Notas sobre atmosferas estelares

A. C. Raga

August 7, 2017

Chapter 1

Introduccion

1.1 Espectro, luminosidad, temperatura efec-

tiva, magnitud

A fines del siglo XIX, Fraunhofer (en Alemania) y Schuster (en el ReinoUnido) realizaron las primeras observaciones espectroscopicas (visuales) deestrellas. Vieron que estas tienen un “espectro continuo” con “lineas deabsorcion”. La figura 1.1 muestra como se ven los distintos tipos espectrosestelares.

Los tipos espectrales de las estrellas propuesta por Fraunhofer venıanindicados por letras mayusculas: A, B, ... etc., con el tipo A mostrandolas lineas de absorcion de hidrogeno mas fuertes. Hoy en dıa solo se hanguardado algunas de estas letras, y ordenadas en la forma: O, B, A, F, G,K, M (oh, be a fine girl, kiss me). Esta es una secuencia de temperaturasefectivas decrecientes (ver la figura 1.2).

Si la estrella emite un flujo F(0)ν (energıa por unidad de area, tiempo y

frecuencia), su luminosidad es:

L = 4πR2∗

∫

∞

0

F(0)ν dν , (1.1)

donde R∗ es el radio de la estrella. Esta es la energıa total emitida por laestrella por unidad de tiempo

La temperatura efectiva de una estrella es la temperatura de un cuerponegro que emita el mismo flujo total de energıa, de forma que:

L = 4πR2∗σT 4

eff , (1.2)

3

Figure 1.1: Flujos en funcion de longitud de onda de estrel-las de distintos tipos espectrales (tomado de: http://seaver fac-ulty.pepperdine.edu/dgreen/Nasc109/Resources/HR/classificationof stars.htm

donde σ es la constante de Stefan-Boltzmann.

El flujo medido con un filtro A (de transmicion fA(ν) es:

FA =

∫

∞

0

FνfA(ν) dν , (1.3)

donde Fν es el flujo estelar observado (corregido por absorcion de la atmosferaterrestre).

La magnitud (aparente) de la estrella es:

mA = −2.5 log10

[

FA

FA(V ega)

]

, (1.4)

en otras palabras, en el calculo de la magnitud normalizamos el flujo obser-vado de la estrella (en la banda A) con el flujo observado en la estrella Vega(!!!!!).

El flujo bolometrico viene dada por la ecuacion (1.3) con fA(ν) = 1 (ycon el se puede calcular la magnitud bolometrica).

La magnitud absoluta es la magmitud que tendrıa la estrella observadasi estuviera a una distancia de 10 pc, y si no hubiera extincion (absorcion)debida al medio interestelar entre nosotros y la estrella.

Se llaman “ındices de color” a diferencias de magnitudes de una estrellaobtenidas con distintos dos filtros. Por ejemplo: A − B = mA − mB. Losındices de color son principalmente funciones de la temperatura efectiva dela estrella.

1.2 El diagrama HR

En el diagrama Hertzpring-Russel grafican las luminosidades (o las magni-tudes absolutas) en funcion de su temperatura (o de un ındice de color). Lafigura 1.2 muestra en forma esquematica el diagrama H-R de las etrellas de lavecindad solar. La mayor parte de las estrellas observadas caen en la llamada“sequencia principal” (clase V). Al dar la clasificacion de una estrella, unoespecifica el tipo espectral (por ejemplo, G0 a G9) y su clase (por ejemplo,clase V, de secuencia principal).

Figure 1.2: Diagrama Hertzsprung-Russell (tomado de:http://www.atnf.csiro.au/outreach/education/senior/astrophysics/stellarevolution hrintro.html

Figure 1.3: Estructura de las capas externas del sol (tomado de:http://www.thefullwiki.org/Photosphere).

1.3 La atmosfera de una estrella

La atmosfera es definida como la region exterior de una estrella que puedeser observada directamente. En otras palabras, es la region externa que tieneespesores opticos (medidos desde afuera hacia adentro) τ “no mucho mayoresa 1”.

La figura 1.3 muestra en forma cualitativa la estructura termica de laatmosfera solar. Esta tiene una region interna de temperatura que decrececon la altura (llamada la “fotosfera”) seguida de una zona de rapido incre-mento de la temperatura (la “cromosfera”) que termina en una zona de tem-peratura relativamente constante con altura (la “corona”). Generalmente, alongitudes de onda opticas vemos la fotosfera de las estsrellas, y en el UV yrayos X la cromosfera y la corona. En el presente curso nos concentraremossobre la teorıa de las fotosferas.

En el sol, la fotosfera tiene una profundidad d⊙ ∼ 1.4× 107 cm (≪ R⊙ ∼7 × 1010 cm). Dado que d⊙/R⊙ ∼ 10−3, la fotosfera solar puede tratarsecomo una capa plano-paralela. Para una estrella de 25M⊙ tambien tenemosd/R ∼ 10−3. Para estrellas muy luminosas, podemos tener d/R ∼ 1, deforma que sus fotosferas no pueden ser tratadas como plano-paralelas.

Chapter 2

Principios de transporte (otransferencia) radiativo(a)

2.1 La intensidad especıfica y sus momentos

La intensidad especıfica Iν (o, alternativamente, Iλ) es la energıa en el camporadiativo, por unidad de tiempo, frecuencia, area y angulo solido. Usando larelacion ν = c/λ, es claro que Iλ = ν2Iν/c.

Si uno considera una fuente y un receptor de secciones eficaces S1 y S2,separados por una distancia D, de la geometrıa del problema (mostrada enel diagrama esquematico de la figura 2.1) es facil de probar que la intensidadI1 de fotones que se alejan de la fuente (por unidad de angulo solido medidodesde la fuente) y la recibida I2 (por unidad de angulo solido medido desdeel receptor) son iguales.

Se define la “intensidad promedio” como:

Iν = Jν =1

4π

∮

4π

IνdΩ . (2.1)

El llamado “flujo fısico” (por los astronomos) es:

Fν =

∮

4π

Iν cos θdΩ , (2.2)

donde θ es el angulo medido desde la direccion n en la cual esta dirigidoel flujo. El “flujo astronomico” (o solo “flujo”, en lenguaje astronomico) esFν = Fν/π (!!!!!).

9

Ω

Ω1

2

S S

I I

1

1

2

2

Figure 2.1: Diagrama esquematico de una fuente y un receptor, del cual(argumentando que toda la energıa que sale de S1 al angulo solido sustentadopor S2 es igual a la energıa recibida por el receptor) se puede ver que I1 = I2.

Para una atmsfera plano-paralela, ponemos n en direccion “vertical”, deforma que la intensidad no tiene dependencia en el angulo φ, y poniendoµ = cos θ tenemos:

Iν =1

2

∫ 1

−1

Iνdµ , (2.3)

Fν = 2

∫ 1

−1

Iνµdµ , (2.4)

Kν =1

2

∫ 1

−1

Iνµ2dµ , (2.5)

y se pueden seguir definiendo momentos con potencias superiores de µ, al-ternando factores de 2 y de 1/2 delante de la integral.

2.2 Ecuacion de transporte

La intensidad especıfica obedece una “ecuacion de Boltzmann”, como la deuna distribucion f de partıculas:

∂f

∂t+ v

∂f

∂l=

(

∂f

∂t

)

col

, (2.6)

donde v es el modulo de la velocidad de las partıculas y l es la posicion a lolargo de su direccion de propagacion. El termino de la derecha es la “inte-gral de colisiones” (que considera los cambios de velocidad/direccion de laspartıculas debido a colisiones binarias o multitudinarias). Esta ecuacion debeser resuelta para todos los valores posibles de v y para todas las direccionesde propagacion.

Para la intensidad especıfica, la ecuacion de Boltzmann es mas sencillaporque los fotones todos tienen v = c, y tambien porque el termino de col-isiones es relativamente sencillo porque solo refleja la interaccion entre laradiacion y el gas dentro del cual se propagan los fotones. Esta es la llamada“ecuacion de transporte”:

1

c

∂Iν∂t

+∂Iν∂l

= ρǫν − ρκνIν , (2.7)

que para problemas con dependencias temporales mucho mas lentas que eltiempo de “cruce de la luz” toma la forma mas sencilla:

dIνdl

= ρǫν − ρκνIν . (2.8)

En la derecha, ǫν y κν son los coeficientes de emision y de absorcion (porunidad de masa), y ρ es la densidad del gas. Los terminos ρǫν y ρκνIν sonla energıa emitida (o absorbida) por unidad de tiempo, volumen y angulosolido por el gas.

Si el gas no emite radiacion (→ ǫnu = 0), esta ecuacion tiene la solucion

Iν = Iν,0e−τν ; τν =

∫ l

0

ρκνdl′ , (2.9)

donde τν es el “espesor optico” (sin dimensiones).Para una atmosfera plano-paralela, definimos el “espesor optico vertical”

(medido desde la superficie hacia adentro) a traves de

ρκνdl = −ρκνdz

cos θ= −

dτνµ

, (2.10)

usando la geometrıa mostrada en la figura 2.2.Para una atmosfera plano-paralela se puede entonces escribir la ecuacion

de transporte como:

µdIν(τν , µ

dτν= Iν(τν , µ)− Sν(τν) , (2.11)

dl

z

s

dz

θ

Figure 2.2: Diagrama esquematico de una atmosfera plano-paralela.

donde

τν =

∫ z

0

ρκνdz′ (2.12)

es el espesor optico vertical, µ = cos θ y

Sν =ǫνκν

(2.13)

es la “funcion fuente”. Para un gas con grados de libertad cineticos, de ex-citacion y de ionizacion en equilibrio termodinamico, Sν = Bν(T ), la funcionde Planck calculada en la temperatura local T del gas. Esta es la llamada“ley de Kirchoff”.

2.3 Condicion de equilibrio radiativo

Un gas esta en equilibrio radiativo si tenemos un problema estacionario enel que toda la transferencia de energıa es debida al transporte radiativo.Entonces, la energıa absorbida (por unidad de tiempo y de volumen) es iguala la energıa emitida:

∫

∞

0

∮

ρκνIνdΩdν = 4π

∫

∞

0

ρκνSνdν . (2.14)

Usando la definicion de Iν de la ecuacion (2.1) vemos que la ecuacion (2.14)se puede escribir como:

∫

∞

0

(

Iν − Sν

)

κνdν = 0 . (2.15)

Ahora, aplicando un operador∫ 1

−1[ ]dµ a la ecuacion (2.11) obtenemos la

relacion:dFν

dτν= 4

(

Iν − Sν

)

. (2.16)

Integrando sobre ν y usando las ecuaciones (2.12) y (2.15) vemos que lacondicion (2.16) resulta en:

dF

dz= 0 , (2.17)

donde F =∫

∞

0Fνdν.

Chapter 3

La atmosfera gris

3.1 Definicion del problema

Se llama “problema de transporte gris” al caso en que ǫ y κ no dependen de lafrecuencia ν (o, alternativamente, de λ). Entonces, la ecuacion de transportepara una atmosfera plano-paralela toma la forma:

µdI

dτ= I − S , (3.1)

donde τ es el espesor optico vertical, µ = cos θ y S = ǫ/κ es la funcion fuente.La “intensidad gris” I esta definida por:

I =

∫

∞

0

Iνdν . (3.2)

3.2 Solucion aproximada por metodo de mo-

mentos + la aproximacion de M-E

Primero, aplicamos el operador∫ 1

−1[ ]dµ a la ecuacion (3.1), obteniendo

dF

dτ= 4

(

I − S)

. (3.3)

la “version gris” de la ecuacion (2.16). La condicion de equilibrio radiativo(ver la ecuacion 2.14) entonces implica que:

dF

dτ= 0 , (3.4)

15

yS = I . (3.5)

Ahora, aplicamos el operador∫ 1

−1[ ]µdµ a la ecuacion (3.1), obteniendo

dK

dτ=

F

4. (3.6)

Dado que F es independiente de τ (ver la ecuacion 3.4), la ecuacion (3.6)puede ser integrada para obtener:

K =F

4τ + C , (3.7)

donde C es una constante de integracion.Podrıamos calcular momentos mas altos (en potencias de µ) de la ecuacion

de transporte, pero en vez cerramos la cadena de momentos usando la lla-mada “aproximacion de Milne-Eddington”, en la cual ponemos:

K =1

2

∫ 1

−1

Iµ2dµ ≈1

2I

∫ 1

−1

µ2dµ =1

3I . (3.8)

Combinando las ecuaciones (3.5) y (3.8), entonces obtenemos:

S =3

4Fτ + B , (3.9)

donde B = 3C es una constante que debe ser determinada de las condicionesde frontera del problema.

3.3 Condicion de frontera con la aproximacion

de 2 corrientes

La llamada aproximacion “de 2 corrientes” o de Schwarzschild, es suponerque I en funcion de µ tiene 2 valores:

I(µ) = I+ ; µ > 0 ,

I(µ) = I− ; µ < 0 . (3.10)

En esta aproximacion,

I =1

2

(

I+ + I−)

, (3.11)

F = I+ + I− . (3.12)

Entonces, en la superficie de la estrella (o sea, en τ = 0) donde I− = 0,tenemos:

I(0) = S(0) =F

2. (3.13)

De esta condicion, obtenemos la constante B = F/2, y entonces obtenemosla estratificacion de la funcion fuente (de la ecuacion 3.9):

S =3

4F

(

τ +2

3

)

. (3.14)

Finalmente, si el gas esta en equilibrio termodinamico local, tenemos laley de Kirchoff (S = σT 4/π), y usando la ecuacion (3.14) obtenemos la estrat-ificacion de temperatura de la solucion al problema gris en la aproximacionde M-E:

T 4 =3

4T 4eff

(

τ +2

3

)

, (3.15)

donde hemos usado la definicion de la temperatura efectiva (ecuacion 1.2).

3.4 Solucion con el “metodo de ordenadas

discretas”

Aquıveremos el metodo de ordenadas discretas aplicado al problema de laatmosfera plano-paralela gris, pero variaciones de este metodo han sido apli-cadas a todo tipo de problemas de transporte radiativo. Partimos de laecuaciones (3.1) y (3.5), de las cuales obtenemos:

µdI

dτ= I −

1

2

∫ 1

−1

Idµ . (3.16)

Ahora reemplazamos la integral por una suma pesada (que aproxima el valorde la integral), obteniendo:

µidIidτ

= Ii −1

2

n∑

j=−n

ajIj , (3.17)

donde hemos digitalizado los valores de µ (entre −1 y 1) en 2n valores. En la“formula de integracion de Gauss”, las ordenadas (= los valores digitalizados

de µ) vienen dadas por los ceros de los polinomios de Legendre de orden parPn(µ), y los pesos (= los aj) por:

aj =1

P ′n(µj)

∫ 1

−1

Pn(µ)

µ− µj

dµ . (3.18)

Por ejemplo, si tomamos n = 2, tenemos

P2 =1

2(3µ2 − 1) , (3.19)

que tiene las dos raıces µ = ±1/√3 y a1 = a−1 = 1.

Se puede probar que para todos los valores de n, se obtiene:

I(z = 0) =

√3

4F . (3.20)

Esta es la llamada “relacion de Hopf-Bronstein”, que es exacta (dado que enel lımite de n → ∞ el metodo de ordenadas finitas converge a la solucionexacta).

La solucion al problema entonces se obtiene integrando numericamenteel sistema de 2n ecuaciones de la ecuacion (3.17) para obtener los valores detodas las Ii en funcion de z. La solucion obtenida se suele dar como:

S =3

4F [τ + q(τ)] , (3.21)

donde los valores de q(τ) (calculados para n elevado) son: 0.5774, 0.6495,0.6802, 0.7098 y 0.7104 para τ = 0, 0.2, 0.5, 3.0 y ∞. Estos valores puedencompararse con el valor constante q = 0.6667 obtenido con la aproximacionde Milne-Eddington.

Tambien existe la llamada “solucion exacta” del problema gris, dada enterminos de las “funciones H” de Chandrasekhar.

3.5 Como elegir la “opacidad promedio” para

la atmosfera gris

El problema es: dado una opacidad κν , como elegimos una opacidad prome-dio κ (independiente de ν) que resulte en una estratifiacion de temperaturasimilar a la del problema “no gris”. Partimos de la de la ecuacion (3.6):

dK

dτ==

1

ρκ

dK

dz

F

4, (3.22)

y de su version “no gris”:

dKν

dτν=

1

ρκν

dKν

dz=

Fν

4. (3.23)

Ahora, integramos la ecuacion (3.23) para obtener F =∫

∞

0Fνdν e igualamos

a la ecuacion (3.22) para obtener:

1

κ=

∫

∞

0

1

κν

(

dIν/dz

dI/dz

)

dν . (3.24)

Ahora consideramos que a suficiente profundidad en la atmosfera, Iν →Bν(T ), de forma que:

dI

dz≈

dB

dT

dT

dz, (3.25)

dIνdz

≈dBν

dT

dT

dz, (3.26)

Insertando las ecuaciones (3.25-3.26) en la ecuacion (3.24), obtenemos lallamada “opacidad promedio de Rosseland”:

1

κR

=

∫

∞

0

1

κν

(

dBν/dT

dB/dT

)

dν . (3.27)

Si hacemos un cambio de variables x = hν/kT , el termino dentro de laintegral que multiplica a 1/κν tiene la forma:

G(x) =15

4π2

xex

(ex − 1)2. (3.28)

Tambien se define la “opacidad promedio de Planck” como:

κP l =1

B(T )

∫

∞

0

κνBν(T )dν , (3.29)

Donde B = σT 4/π. La mejor aproximacion es usar la opacidad promedio deRosseland para resolver el transporte radiativo, y la de Planck para modelosde balance energetico.

Chapter 4

Estructura de la atmosfera

4.1 La ecuacion de equilibrio hidrostatico

En el caso de una atmosfera plano-paralela, el problema de transporte radia-tivo puede resolverse en terminos del espesor optico τν =

∫

ρκνdz, sin queaparezca explıcitamente la coordenada espacial z. Este desacoplamiento delas coordenadas espaciales no ocurre en general, por ejemplo en el caso deuna atmosfera con simetrıa esferica.

Para obtener la estructura vertical de la densidad, es necesario considerarla ecuacion hidrostatica:

dP

dz= ρg , (4.1)

donde z es la coordenada que apunta “hacia abajo” (ver la figura 2.2). Parauna atmosfera delgada y de baja masa, tenemos g = GM∗/R

2∗≈ consante.

Para el caso isotermico:

P =ρRT

µ; T = constante , (4.2)

donde R = k/mH es la constante de Avogadro y µ es el peso molecularpromedio de las partıculas del gas, la ecuacion de equilibrio hidrostaticotiene la solucion:

P (z) = P0e−z/H , (4.3)

donde H = RT/µg es la llamada “escala de altura” de la presion. Si ten-emos una “dependencia politropica” P ∝ ργ (esto podrıa verse como unaformula de interpolacion de la verdadera dependencia de P en funcion de ρ

21

de una atmosfera real), la ecuacion de equilibrio hidrostatico tambien tieneuna solucion analıtica.

Para calcular un modelo de atmosfera realista, hay que resolver la ecuacionde equilibrio hidrostatico conjuntamente con el problema de transporte ra-diativo. Veremos como se hace esto en forma cualitativa.

4.2 Presion de radiacion

En estrellas de alta luminosidad, el efecto de transferencia de momento delcampo radiativo al gas (producido por las absorciones) debe ser tomado encuenta. Entonces, la ecuacion de equilibrio hidrostatico es:

dP

dz= ρ

(

g −π

c

∫

∞

0

κνFνdν

)

. (4.4)

Para el caso gris, esta ecuacion queda como:

dP

dz= ρ

(

g −πκF

c

)

, (4.5)

donde por razones evidentes conviene poner κ− = κP l (ver la ecuacion 3.29).Ahora ponemos g = GM/R2 y πF = L/4πR2, obteniendo:

dP

dz=

GM

R2

(

1−κL

4πGMc

)

ρ . (4.6)

La atmosfera solo tiene una configuracion estable si dP/dz > 0. Entonces ellımite de estabilidad se obtiene para una luminosidad

L0 =4πGMc

κ, (4.7)

la llamada “luminosidad de Eddington”, arriba de la cual la atmosfera tieneque estar en expansion (porque el gradiente de presion termica + la fuerzade gravedad no alcanzan a balancear la presion de radiacion).

Para una estrella masiva, la extincion κ es debida a la dispersion sobreelectrones, la cual tiene una seccion eficaz independiente de T , P y ν. Eneste caso, obtenemos

L0 ≈ 1.3× 104(

M

M⊙

)

L⊙ . (4.8)

Este es el lımite superior de luminosidad de las estrellas.

4.3 Aproximacion de “equilibrio termodinamico

local”

En una atmosfera estelar, los atomos/iones/electrones tienen un camino libremedio (asociado a colisiones elasticas) muy pequeno, lo cual lleva a unadistribucion de Maxwell-Boltzmann:

f(v, T ) =( m

2πkT

)3/2

4πv2e−mv2/2kT , (4.9)

donde m es la masa de las partıculas consideradas.La existencia de esta distribucion lleva a la ecuacion de los gases ideales:

P = nkT , (4.10)

donde n es el numero total de partıculas, y a la “ecuacion de estado”:

E =3

2P , (4.11)

donde E es la energıa termica por unidad de volumen. Estas relacionesson validas en las atmosferas de todas las estrellas salvo en atmosferas muydensas (de enanas blancas o de estrellas de neutrones) en las cuales el gaspuede estar degenerado (cuanticamente) o tener efectos de “gas real” (debidoa interacciones entre partıculas).

Dado que las excitaciones y desexcitaciones colisionales son con partıculascon una distribucion de M-B, estas llevan a una distribucion de Boltzmannpara la excitacion de los niveles de los atomos/iones:

ni

n=

gie−Ei/kT

u, (4.12)

donde Ei es la energıa (sobre el nivel fundamental) y gi el peso estadısticodel nivel i, y

u =∑

j

gje−Ej/kT , (4.13)

es la funcion de particion. En la ecuacion (4.12), n es la densidad total delatomo en consideracion, y ni es la densidad de los atomos que se encuentranen el nivel de energıa i.

Analogamente, las ionizaciones colisionales y las recombinaciones (de 3cuerpos, dominantes en las densidades de atmosferas estelares), llevan alestado de ionizacion dado por la ecuacion de Saha:

nenz+1

nz

=(2πmekT )

3/2

h3

2uz+1

uz

e−χ/kT , (4.14)

donde ne, nz y nz+1 son la densidad electronica, la de iones de carga z y lade iones de carga z + 1 (respectivamente), me es la masa electronica, χ es elpotencial de ionizacion z → z + 1 y uz (uz+1) es la funcion de particion delion de carga z (z + 1).

La suposicion que las ecuaciones (4.12) y (4.14) son validas es llamada laaproximacion de “equilibrio termodinamico local” (LTE).

Dado que en una atmosfera estelar el campo radiativo en general no tienela distribucion de equilibrio termodinamico (= la distribucion de Planck Bν

a la temperatura T del gas), los procesos radiativos (absorciones y emisionesespontaneas e inducidas) llevan a desviaciones de las distribuciones de ex-citacion/ionizacion de equilibrio termodinamico. Si el efecto de estos proce-sos es importante, hay que realizar un calculo del equilibrio estadıstico de losniveles excitados y de los estados de ionizacion para todos los iones de los el-ementos presentes en la atmosfera (el cual esta acoplado al campo radiativo,y por lo tanto a la solucion del problema de transporte radiativo). Esto sellama un modelo “non-LTE”.

Estrictamente, solo las atmosferas de enanas blancas estan en LTE. Apesar de esto, la mayor parte de los modelos de atmosferas estelares soncalculados con la aproximacion de LTE.

Chapter 5

El calculo de la opacidad

Como se ve de la ecuacion (3.27), las regiones del espectro (en funcionde la frecuencia) con κν pequenas son las que principalmente contribuyena la opacidad promedio de Rosseland. Por esto, las lineas de absorcion(de κν mayores en intervalos pequenos de frecuencia) generalmente no con-tribuyen fuertemente a la opacidad (esto no es necesariamente cierto en lasestrellas mas frıas, en las cuales hay moleculas con cantidad de lineas roto-vibracionales, las cuales sı afectan la opacidad promedio en forma apreciable).

El coeficiente de absorcion debido a un proceso particular (de absorcionde fotones) se calcula como:

κν =nσν

ρ, (5.1)

donde n es la densidad numerica de la especie atomica/ionica que absorbelos fotones, y σν es la seccion eficaz del proceso bajo consideracion. Las sec-ciones siguientes describen algunos de los procesos importantes en atmosferasestelares.

5.1 El continuo de H−

El un poco sorprendente ion negativo de hidrogeno (H−) es el responsablede la opacidad de estrellas tipo solar. En un gas de temperatura ≈ 6000 K(como la atmosfera del sol), Fe (con un potencial de ionizacion de 7.9 eV)esta en forma de Fe II (ionizado una vez). Los electrones libres (que vienendel Fe II) se recombinan con atomos de H para formar iones de H−. Estamuy pequena fraccion de los atomos de H que han formado H− (dado que

25

la abundacia “numerica” de Fe es de ∼ 3 × 10−5!) es la responsable de laopacidad solar. El ion de H− no tiene niveles excitados.

Dado que el potencial de ionizacion de H− es de 0.754 eV (correspondiendoa λ = 16500A), los fotones con energıas superiores (o λ inferiores) puedenfotoionizar los iones de H−:

H− + hν ↔ H+ e−(v) . (5.2)

Tambien, podemos tener transiciones libre-libre con fotones de cualquier en-ergıa interactuando con atomos de H:

H + hν + e−(v) ↔ H+ e−(v′) . (5.3)

Las transiciones “a la derecha” son absorciones y las “a la izquierda” sonemisiones. La absorcion libre-libre (ecuacion 5.3) es importante solo paraλ > 16500A, donde las estrellas de tipo solar no emiten mucha radiacion.

5.2 El continuo de H

Los atomos de H (en el nivel fundamental o en cualquier nivel n excitado)pueden ser fotoionizados por fotones con energıas mayores al potencial deionizacion (desde el nivel n):

H(n) + hν ↔ H+ . (5.4)

Tambien hay procesos de transiciones libre-libre (de electrones en la presenciade un ion H+) similares a los de la ecuacion (5.3).

5.3 Dispersion de Thompson

La dispersion de Thompson es la interaccion elastica de fotones con partıculascargadas (en las atmosferas estelares, con e−). Este es un proceso que resultaen una seccion eficaz que no depende de ν.

5.4 Resumen

Para un gas en LTE, se puede calcular el estado de ionizacion y de excitacionde todos los atomos/iones/moleculas en funcion de la temperatura y de la

densidad. Una vez que ha sido calculado este estado, se puede calcular laopacidad κν debida a todos los procesos relevantes, y con ella obtener laopacidad promedio de Rosseland.

Existen tabulaciones de las opacidades promedio (generalmente, la deRosseland y la de Planck) en funcion de densidad, temperatura, y de las abun-dancias de los distintos elementos presentes en el gas (por ejemplo, estan lasopacidades del “opacity project”, las cuales pueden ser accedidas en el web).Tambien existen aproximaciones analıticas para las dependencias con den-sidad, temperatura y abundancias de las opacidades promedio (ver el libro deSchwarzschild y el pdf en http://www.astro.princeton.edu/ gk/A403/opac.pdf).

Para calcular un “modelo mınimo” de atmosfera estelar, se puede primeroresolver el problema de transporte gris para encontrar la temperatura enfuncion de τ (con la solucion analıtica dada por la ecuacion 3.15 en la aprox-imacion de Milne-Eddington). Teniendo la opacidad promedio en funcion deT y ρ se puede entonces usar la definicion del espesor optico (ver por ejem-plo la ecuacion 2.9) y el equilibrio hidrostatico (ecuacion 4.1) para calcularla temperatura y la densidad del gas en funcion de la profundidad z. Estecalculo requiere una integracion numerica de la ecuacion (4.1).

Una vez que tenemos la estratificacion de la estrella calculada, podemosintegrar la ecuacion de tranpsorte para un conjunto de valores de ν y de µpara obtener la intensidad emergente I0ν (µ).

Chapter 6

Observaciones de una estrella

6.1 Estrellas no resueltas

En general, las observaciones astronomicas no resuelven el “disco” de lasestrellas. Entonces, para obtener una prediccion del espectro observado,debemos integrar I0ν (µ) sobre toda la superficie de la estrella:

Fobsν =

∫

∆Ω

I0νdΩ = (R∗D)2 I0ν (θ) cos θ sin θdθ = (R∗D)2 πF 0ν , (6.1)

donde R∗ es el radio estelar, D la distancia al observador, Fobsν es el “flujo

fısico” observado, y F 0ν es el “flujo astronomico” emergente de la superficie

de la estrella.

6.2 Estrellas resueltas

En una estrella resuelta (por ejemplo el sol!), observamos directamente laintensidad emergente I0ν (θ) (o en funcion de µ = cos theta). De la ecuacion(2.11) se obtiene:

I0ν (µ) =

∫

∞

0

Sν(τν) e−τν/µ

dτνµ

, (6.2)

donde para una atmosfera LTE tenemos Sν = Bν . Dada la estratificacion deuna estrella, podemos calcular esta integral numericamente. Para proseguiren forma analıtica, proponemos una serie de Taylor:

Bν(τν) =n

∑

k=0

a(k)ν τ kν , (6.3)

29

e insertando este desarrollo en la ecuacion (6.2) obtenemos:

I0ν (µ) =n

∑

k=0

a(k)ν Γ(k + 1)µk =n

∑

k=0

a(k)ν k!µk , (6.4)

donde

Γ(k + 1) =

∫

∞

0

e−ttkdt = k! . (6.5)

Ahora, podemos usar la “variacion centro al limbo” observada en una estrella(=la intensidad decreciente desde el centro de la estrella con µ = 1 hasta el

borde, con µ = 0) para obtener empıricamente los coeficientes a(k)ν . De esta

forma, obtenemos la dependencia con espesor optico de la funcion fuente (o,alternativamente, de la temperatura) directamente de las observaciones!

El caso mas sencillo es suponer que la funcion fuente tiene una depen-dencia lineal con τν . En este caso, comparando las ecuaciones (6.3) y (6.4)obtenemos:

I0ν (µ) = Bν(τν = µ) , (6.6)

la llamada “relacion de Eddington-Barbier”.Esta determinacion empırica de la estratificacion de temperatura de una

estrella se puede hacer:

• para el sol,

• para estrellas resueltas en observaciones interferometricas (normalmente,estas son estrellas gigantes),

• para estrellas con transitos de exoplanetas? (ver el artıculo de Yan etal. 2017, A&A 603, 73) .

Chapter 7

Lineas de absorcion

7.1 Consideraciones generales

Las lineas de absorcion en espectros estelares proveen informacion sobre laestructura de las estrellas. Una modelacion de un conjunto de lineas de ab-sorcion observadas de iones de varios elementos permite una determinacionde la temperatura efectiva, de la aceleracion de la gravedad y de las abun-dancias de los elementos en la estrella observada.

7.2 Modelo simple de produccion de lineas de

absorcion

En este modelo suponemos que tenemos una region interna que produce elcontinuo [con una intensidad que llamamos I0ν = Bν(T0), independiente deµ], sobre la cual hay una capa uniforme de espesor L [con funcion fuenteBν(T1) y coeficiente de extincion ρκν , ambos uniformes dentro de la capa]que produce la absorcion/emision de una linea. La intensidad emergente deesta capa es I1ν (µ). La figura 7.1 muestra un esquema de esta estructura.

Partimos de la ecuacion de transporte en la forma:

dIνdτν

= Sν − Iν , (7.1)

donde Sν = Bν(T1) y dτν = ρκνl . Integrando esta ecuacion encontramos laintensidad emergente:

I1ν = Bν(T0) + [Bν(T1)−Bν(T0)](

1− e−τ0φν/µ)

, (7.2)

31

θ

Ι ν

Iν

0

1

L

Figure 7.1: Geometrıa para el calculo de una “capa productora de lineas”.

donde pusimos

κν = κ0φν , y τ0 = ρκ0L , (7.3)

con κ0 es el valor del coeficiente de extincion de la linea, y φν es la funcionde perfil de la linea (por ejemplo, para ensanchamiento por efecto Doppler,φν es una Gaussiana centrada en la energıa de la transicion y con un anchoigual a la velocidad termica de los atomos/iones que la producen).

De la ecuacion (7.2) vemos directamente que si T1 < T0 (una capa masfrıa que le region interna de la estrella) tenemos una linea de absorcion. Unacapa con T1 > T0 produce una linea de emision. En la ecuacion (7.2) lasfunciones fuentes Bν(T0) y Bν(T1) son casi constantes dentro del intervalo deν de la linea.

Observarıamos I1ν (µ) si tuvieramos una estrella resuelta angularmente.Para una estrella no resuelta, observarıamos el flujo:

F 1ν = 2

∫ 1

0

I1νµdµ = Bν(T0) + [Bν(T1)− Bν(T0)]

[

1−1

2E3(τ0φν)

]

, (7.4)

donde E3 es la integral exponencial de tercer orden. La integral exponencialde orden n es:

En(x) =

∫ 1

0

e−x/ttn−2dt . (7.5)

Estas integrales pueden ser calculadas con las aproximaciones analıticas dadasen el libro de Abramowitz y Stegun. Notemos que la integral exponencialde tercer orden tiene el valor E3(0) = 1/2 [de forma que uno correctamenteobtiene F 1

ν = Bν(T0)].

7.3 Funcion de perfil de una linea

7.3.1 Ensanchamiento natural

Debido al ancho finito de los niveles de enrgıa de un electron ligado (debidoal principio de incertidumbre), una linea de absorcion tiene un perfil

ρκν =πe2ngf

mecφnatν , (7.6)

donde n es la densidad de los atomos/iones y g el peso estadıstico del niveldel cual comienza la transicion (hacia arriba), f es la “fuerza de oscilador”(=factor de correccion adimensional) y el “perfil de ensanchamiento natural”es:

φnatν =

(γ/4π2)

(ν − ν0)2 + (γ/4π)2, (7.7)

donde ν0 es la frecuencia de la transicion y:

γ = γL + γU , (7.8)

conγL =

∑

i<L

AL,i , γU =∑

i<U

AU,i . (7.9)

Este ensanchamiento natural es importante para “lineas de resonancia”(transiciones que terminan en el nivel fundamental), las cuales a veces tienenespesores opticos muy grandes.

7.3.2 Ensanchamiento por efecto Doppler

El movimiento termico de los atomos resulta en un “perfil de ensanchamientoDoppler”:

φdopν =

1√π∆νT

e−(ν−ν0)2/(∆νT )2 , (7.10)

donde

∆νT = ν0vTc, con vT =

√

2kT

m, (7.11)

donde m es la masa del atomo/ion. Normalmente se agrega una “velocidadturbulenta”, poniendo v20 = v2T + v2turb (esto se llama “microturbulencia”),determinando vturb de una comparacion con perfiles de linea observados.

7.3.3 Otros perfiles de linea

• Se llama “perfil de Voigt” (o de Hjerting) a la convolucion entre elensanchamiento natural y el de Doppler,

• se llama “ensanchamiento por presion” al efecto de colisiones con otraspartıculas que acortan la vida media de los niveles (llevando a un in-cremento en el γ del perfil natural, ecuacion 7.7),

• ensanchamiento por efecto Stark (el campo electrico de electrones quepasan cerca del atomo/ion producen corrimientos de las energıas delos estados ligados). Las teorıas de este efecto son complejas (existenteorıas de “un perturbador” y de “muchos perturbadores”), y llevana distintas predicciones del perfil de linea (similares funcionalmente alensanchamiento natural, pero con distintas potencias de ν − ν0.

7.4 Ancho efectivo y curva de crecimiento

Se define el ancho efectivo de una linea como:

W =

∫

rν dν , (7.12)

donde la profundidad de la linea rν esta definida por:

rν =I0 − Iν

I0, (7.13)

donde Iν es la intensidad observada e I0 es la intensidad del continuo contiguoa la linea (ver el diagrama esquematico de la figura 7.2). La integral se hacesobre todo el perfil observado de la linea.

Si tomamos un multiplete de lineas que vienen del mismo nivel superiorde un ion, tenemos τ0 = Ngfπe2/me (ecuaciones 7.3 y 7.6), donde N = nL

0

I

Iν

0r x Iν

ν

Figure 7.2: Perfil de linea, mostrando la definicion de la profundidad de lalinea rν .

es la densidad columnar del nivel superior. Si para estas lineas graficamoslos anchos efectivos W en funcion del producto Ngf , obtenemos una curva(debido a que los productos gf son distintos para cada linea). La grafica deW en funcion de NGf es la llamada “curva de crecimiento”.

La “curva de crecimiento teorica” puede ser calculada de un modelo de-tallado de atmosfera estelar, o con nuestro modelo sencillo (ecuacion 7.12combinada con las ecuaciones 7.2 o 7.4). La figura 7.3 ilustra el resultadode este ejercicio. Entonces, uno puede tomar las observaciones (logW enfuncion de log gf), y desplazarlas a lo largo de la ordenada hasta que se su-perponga con la curva teorica. El desplazamiento que tuvimos que realizarnos da el valor de la densidad columnar N .

Se puede realizar lo mismo para otro multiplete del mismo elemento, paraobtener la densidad columnar de otro nivel excitado. Entonces, suponiendoLTE, el cociente de dos densidades de niveles excitados distintos nos da latemperatura (a traves de la distribucion de Boltzmann). Tambien, se puedenhacer curvas de crecimiento para otros elementos, y entonces determinar lasabundancias relativas de los elementos observados. Existe una literatura muyextensa sobre este tipo de determinaciones.

Hoy en dıa, es comun hacer predicciones del espectro de un conjuntode modelos de atmosfera, y hacer determinaciones de abundancias, de latemperatura efectiva y de la gravedad de la atmosfera eligiendo el “espec-

Figure 7.3: Curvas de crecimiento teorica (figura obtenida dehttp://www.physics.sfsu.edu/ lea/courses/grad/cog.PDF).

tro sintetico” mas parecido al espectro observado. Este proceso es llamado“sıntesis espectral”.