A Directed Hypergraph Model for Random Time Dependent Shortest Paths

8/13/2019 A Directed Hypergraph Model for Random Time Dependent Shortest Paths

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U n i v e r s i t a d e g l i S t u d i d i C a m e r i n o

D i p a r t i m e n t o d i M a t e m a t i c a e F i s i c a

O p e r a t i o n s R e s e a r c h G r o u p

A D i r e c t e d H y p e r g r a p h M o d e l f o r

R a n d o m T i m e D e p e n d e n t

S h o r t e s t P a t h s

D a n i e l e P r e t o l a n i

S e p t e m b e r 3 0 , 1 9 9 8

T e c h n i c a l R e p o r t n o . O R - C A M - 1 9 9 8 - 0 4


2/16


3/16

1 I n t r o d u c t i o n

S e v e r a l g e n e r a l i z a t i o n s o f t h e c l a s s i c a l s h o r t e s t p a t h p r o b l e m i n d i r e c t e d g r a p h s h a v e

b e e n i n t r o d u c e d i n o r d e r t o t a k e i n t o a c c o u n t t i m e d e p e n d e n c y a n d s t o c h a s t i c i t y .

T i m e d e p e n d e n t s h o r t e s t p a t h s h a v e b e e n t h e s u b j e c t o f e x t e n s i v e r e s e a r c h i n

t h e l a s t y e a r s . A t h e o r e t i c a l a n a l y s i s o f t h e s e p r o b l e m s h a s b e e n g i v e n b y O r d a a n d

R o m 1 1 , 1 2 ] . S o l u t i o n m e t h o d s f o r d i s c r e t e d y n a m i c n e t w o r k s h a v e b e e n w i d e l y

i n v e s t i g a t e d , m a i n l y f o r a p p l i c a t i o n i n t r a n s p o r t a t i o n s y s t e m s . T h e i n t e r e s t e d r e a d e r

i s r e f e r r e d t o 1 3 ] f o r a d e t a i l e d s u r v e y .

S t o c h a s t i c i t y h a s b e e n i n t r o d u c e d i n d i e r e n t w a y s . S e v e r a l a u t h o r s c o n s i d e r e d

t h e c a s e i n w h i c h a r c c o s t s a r e r a n d o m v a r i a b l e s ; d i e r e n t t y p e s o f p r o b l e m a r i s e

( s e e 1 4 , 7 ] f o r a b r i e f o v e r v i e w ) . O t h e r a u t h o r s 1 ] c o n s i d e r e d t h e c a s e i n w h i c h

t h e s u c c e s s o r o f a n o d e i n a r o u t e i s a r a n d o m v a r i a b l e , w h o s e d i s t r i b u t i o n m u s t b e

c h o s e n a m o n g a s e t o f a v a i l a b l e o n e s .

T h e c a s e o f n e t w o r k s w h e r e a r c t r a v e l t i m e i s b o t h s t o c h a s t i c a n d t i m e d e p e n d e n t

h a s r e c e i v e d l e s s a t t e n t i o n i n t h e l i t e r a t u r e . H a l l 5 ] i n t r o d u c e d t h e p r o b l e m o f

n d i n g t h e m i n i m u m e x p e c t e d t r a v e l t i m e t h r o u g h a d y n a m i c n e t w o r k , w h e r e f o r

e a c h a r c ( i ; j ) t h e t r a v e l t i m e i s a r a n d o m v a r i a b l e w h o s e d i s t r i b u t i o n d e p e n d s o n

t h e s t a r t i n g t i m e f r o m i . H e p o i n t e d o u t t h a t t h e b e s t r o u t e i n a d y n a m i c n e t w o r k

d o e s n o t n e c e s s a r i l y c o r r e s p o n d t o a n o r i g i n - d e s t i n a t i o n p a t h . I n d e e d , t h e a n s w e r

t o t h e m i n i m u m e x p e c t e d t r a v e l t i m e p r o b l e m i s a s t r a t e g y , t h a t a s s i g n s o p t i m a l

s u c c e s s o r s t o a n o d e a s a f u n c t i o n o f t i m e . A s w e s h a l l d i s c u s s l a t e r , r e s t r i c t i n g t h e

r o u t e t o b e a p a t h m a k e s t h e p r o b l e m i n t r a c t a b l e .

H a l l p r o p o s e d a s o l u t i o n m e t h o d f o r t h e m i n i m u m e x p e c t e d t i m e p r o b l e m . D u e

t o i t s g e n e r a l i t y , h i s m e t h o d i s m a i n l y o f t h e o r e t i c a l i n t e r e s t . U p t o o u r k n o w l e d g e ,

n o o t h e r a t t e m p t s h a v e b e e n m a d e t o d e v i s e e c i e n t a l g o r i t h m s f o r t h i s p r o b l e m .

S e v e r a l o t h e r p r o b l e m s a n d a p p l i c a t i o n s r e l a t e d t o s t o c h a s t i c d y n a m i c n e t w o r k s h a v e

b e e n t r e a t e d b y M i l l e r - H o o k s a n d M a h a m a s s a n i 6 , 7 , 8 ] . I n p a r t i c u l a r , t h e y d e n e d

e c i e n t m e t h o d s t o n d a l e a s t p o s s i b l e t i m e p a t h ( i . e . a s t r a t e g y y i e l d i n g m i n i -

m u m t r a v e l t i m e i n t h e m o s t f a v o u r a b l e c a s e ) ; m o r e o v e r , t h e y a p p l i e d a p r o c e d u r e

g e n e r a t i n g P a r e t o - o p t i m a l p a t h s t o a r o u t i n g p r o b l e m a r i s i n g i n h a z a r d o u s m a t e r i a l

t r a n s p o r t a t i o n .

I n t h i s p a p e r , w e u s e d i r e c t e d h y p e r g r a p h s 2 ] t o m o d e l d i s c r e t e d y n a m i c n e t -

w o r k s . W e r e p r e s e n t s t r a t e g i e s b y m e a n s o f h y p e r p a t h s , a n d f o r m u l a t e o p t i m a l r o u t e

p r o b l e m s i n t e r m s o f s h o r t e s t h y p e r p a t h s , f o r w h i c h q u i t e e c i e n t s o l u t i o n m e t h o d s

a r e k n o w n . T h e p r o p o s e d m o d e l s h o w s a c e r t a i n d e g r e e o f e x i b i l i t y ; i n d e e d , b y

c h o o s i n g s u i t a b l e d e n i t i o n s o f h y p e r p a t h l e n g t h , w e c a n d e a l w i t h d i e r e n t c r i -

t e r i a f o r r a n k i n g r o u t e s , i n v o l v i n g f o r e x a m p l e t r a v e l t i m e , c o s t , p r o b a b i l i t y , o r a

c o m b i n a t i o n o f t h e a b o v e .

O u r a p p r o a c h r e s e m b l e s t h e o n e f o l l o w e d i n 9 , 1 0 ] , w h e r e a d i r e c t e d h y p e r g r a p h

m o d e l h a s b e e n p r o p o s e d f o r u r b a n t r a n s i t a p p l i c a t i o n s . I n t h a t c o n t e x t , a h y p e r p a t h

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r e p r e s e n t s t h e s t r a t e g y f o l l o w e d b y a p a s s e n g e r w h o s e l e c t s a n a t t r a c t i v e s e t o f t r a n s i t

l i n e s , a n d a l w a y s b o a r d s t h e r s t a v a i l a b l e c a r r i e r o f t h e s e l i n e s . H o w e v e r , i n t h e

u r b a n t r a n s i t m o d e l t i m e d e p e n d e n c y i s n o t c o n s i d e r e d , i n p a r t i c u l a r , t r a v e l t i m e s

a r e x e d .

T h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . D i r e c t e d h y p e r g r a p h s a r e i n t r o d u c e d i n S e c -

t i o n 2 . I n S e c t i o n 3 , w e d e s c r i b e d i s c r e t e s t o c h a s t i c t i m e d e p e n d e n t n e t w o r k s , a n d

w e p r o p o s e o u r h y p e r g r a p h m o d e l . B e s i d e s e x p e c t e d t r a v e l t i m e , s e v e r a l o t h e r r o u t e

s e l e c t i o n c r i t e r i a a r e c o n s i d e r e d . T h e c a s e i n w h i c h t h e r o u t e i s r e s t r i c t e d t o b e a

p a t h i s d i s c u s s e d i n S e c t i o n 4 . C o n c l u s i o n s a r e d r a w n i n S e c t i o n 5 .

2 D i r e c t e d H y p e r g r a p h s

A ( d i r e c t e d ) h y p e r g r a p h i s a p a i r H = ( V ; E ) , w h e r e V i s a s e t o f n o d e s a n d E i s a

s e t o f ( d i r e c t e d ) h y p e r a r c s ; a h y p e r a r c i s a p a i r e = ( T ( e ) ; h ( e ) ) , w h e r e T ( e ) V i s

t h e t a i l o f e , a n d h ( e ) 2 V n T ( e ) i s i t s h e a d . A d e t a i l e d i n t r o d u c t i o n t o d i r e c t e d

h y p e r g r a p h s c a n b e f o u n d i n 2 ] , w h e r e a b r o a d e r c l a s s o f h y p e r g r a p h s i s c o n s i d e r e d .

D e n e t h e c a r d i n a l i t y e o f h y p e r a r c e a s t h e n u m b e r o f n o d e s i t c o n t a i n s ,

i . e . T ( e ) + 1 ; a h y p e r a r c o f c a r d i n a l i t y t w o w i l l b e o f t e n r e f e r r e d t o a s a n a r c . T h e

s i z e o f H i s t h e s u m o f t h e c a r d i n a l i t i e s o f i t s h y p e r a r c s :

s i z e ( H ) =

X

e 2 E

e

G i v e n a n o d e u , t h e F o r w a r d S t a r o f u , F S ( u ) , i s t h e s e t o f h y p e r a r c s e s u c h t h a t

u 2 T ( e ) a n d t h e B a c k w a r d S t a r o f u , B S ( u ) , i s t h e s e t o f h y p e r a r c s e s u c h t h a t

u = h ( e )

A p a t h P

s t

, o f l e n g t h q , i n t h e h y p e r g r a p h H = ( V ; E ) i s a s e q u e n c e :

P

s t

= ( v

1

= s ; e

1

; v

2

; e

2

; : : : ; v

q + 1

= t )

w h e r e , f o r 1 i q , e

i

2 E , v

i

2 T ( e

i

) a n d v

i + 1

= h ( e

i

) . N o d e t i s c o n n e c t e d t o n o d e

s i n H i f a p a t h P

s t

e x i s t s i n H I f t 2 T ( e

1

) , t h e n t h e p a t h P

s t

i s a c y c l e . A p a t h i s

c y c l e - f r e e i f i t d o e s n o t c o n t a i n a n y s u b p a t h w h i c h i s a c y c l e , i . e . v

i

2 T ( e

j

) ) j i ,

f o r 1 i q + 1 . A n a c y c l i c h y p e r g r a p h d o e s n o t c o n t a i n a n y c y c l e ; a h y p e r g r a p h

i s a c y c l i c i f a n d o n l y i f t h e r e e x i s t s a t o p o l o g i c a l o r d e r i n g o f t h e n o d e s s u c h t h a t , f o r

e a c h e 2 E a n d u 2 T ( e ) , n o d e u p r e c e d e s n o d e h ( e ) ( s e e 2 ] , S e c t i o n 7 2 )

G i v e n t w o n o d e s s ; t 2 V , a h y p e r p a t h

s t

i s a m i n i m a l h y p e r g r a p h ( w i t h r e s p e c t

t o d e l e t i o n o f n o d e s a n d h y p e r a r c s ) H

= ( V

; E

) s u c h t h a t :

( i ) E

E ;

( i i ) s ; t 2 V

=

e 2 E

T ( e ) f h ( e ) g

;

3


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( i i i ) u 2 V

; u 6= s = ) u i s c o n n e c t e d t o s i n H

b y m e a n s o f a c y c l e - f r e e p a t h .

C o n d i t i o n ( i i i ) i m p l i e s t h a t f o r e a c h u 2 V

n f s g t h e r e e x i s t s a h y p e r a r c e 2 E

s u c h

t h a t h ( e ) = u ; i t f o l l o w s f r o m t h e m i n i m a l i t y o f H

t h a t s u c h h y p e r a r c i s u n i q u e :

h y p e r a r c e i s t h e p r e d e c e s s o r o f u i n

s t

, d e n o t e d b y e

( u ) . W e s a y t h a t n o d e t i s

h y p e r c o n n e c t e d t o s i n H i f t h e r e e x i s t s a h y p e r p a t h

s t

f r o m s t o t i n H

I n a w e i g h t e d h y p e r g r a p h a r e a l w e i g h t w ( e ) i s a s s i g n e d t o e a c h h y p e r a r c e A

w e i g h t i n g f u n c t i o n W

i s a n o d e f u n c t i o n t h a t , g i v e n a h y p e r p a t h

s t

= ( V

; E

) ,

a s s i g n s a v a l u e W

( u ) t o i t s n o d e s , d e p e n d i n g o n t h e w e i g h t s o f i t s h y p e r a r c s ; t h e

w e i g h t o f h y p e r p a t h

s t

i s g i v e n b y W

( t ) . A n a d d i t i v e w e i g h t i n g f u n c t i o n i s o n e

s u c h t h a t W

( s ) = 0 , a n d , f o r u 6= s , W

( u ) i s a f u n c t i o n o f t h e p r e d e c e s s o r e

( u )

o f u i n

s t

. F o r m a l l y , a n a d d i t i v e w e i g h t i n g f u n c t i o n W

i s d e n e d b y t h e r e c u r s i v e

e q u a t i o n s :

W

( u ) =

(

0 i f u = s

w ( e

( u ) ) + F ( e

( u ) ) i f u 2 V

= f s g

w h e r e F ( e ) i s a n o n - d e c r e a s i n g f u n c t i o n o f t h e w e i g h t s o f t h e n o d e s i n T ( e ) . T w o

p a r t i c u l a r a d d i t i v e w e i g h t i n g f u n c t i o n s a r e c o n s i d e r e d i n 2 ] , n a m e l y t h e d i s t a n c e

a n d t h e v a l u e . T h e d i s t a n c e i s o b t a i n e d d e n i n g t h e f u n c t i o n F ( e ) a s f o l l o w s :

F ( e ) = m a x

u 2 T ( e )

f W

( u ) g

T h e v a l u e i s o b t a i n e d a s f o l l o w s :

F ( e ) =

X

u 2 T ( e )

a

e

( u ) W

( u ) ;

w h e r e a

e

( u ) i s a n o n n e g a t i v e m u l t i p l i e r d e n e d f o r e a c h h y p e r a r c e a n d n o d e u 2

T ( e ) . T h e d i s t a n c e ( t h e v a l u e ) o f a h y p e r p a t h

s t

i s t h e w e i g h t o f

s t

w i t h r e s p e c t

t o t h e d i s t a n c e ( t h e v a l u e ) w e i g h t i n g f u n c t i o n .

T h e s h o r t e s t h y p e r p a t h p r o b l e m i n a h y p e r g r a p h H c o n s i s t s i n n d i n g m i n i m u m

w e i g h t h y p e r p a t h s f r o m a n o r i g i n n o d e s 2 H t o e a c h n o d e u h y p e r c o n n e c t e d t o s i n

H . T h e m i n i m u m d i s t a n c e a n d t h e m i n i m u m v a l u e p r o b l e m s a r e s h o r t e s t h y p e r p a t h

p r o b l e m s w h e r e h y p e r p a t h w e i g h t s a r e g i v e n b y t h e d i s t a n c e a n d t h e v a l u e w e i g h t i n g

f u n c t i o n s , r e s p e c t i v e l y . A s e t o f m i n i m u m w e i g h t h y p e r p a t h s c a n b e r e p r e s e n t e d b y

a p r e d e c e s s o r f u n c t i o n f , t h a t a s s o c i a t e s w i t h e a c h n o d e u h y p e r c o n n e c t e d t o s a

h y p e r a r c f ( u ) 2 B S ( u ) ; f o r a n o p t i m a l h y p e r p a t h

s t

, a n d f o r e a c h n o d e u 6= s 2

s t

,

f ( u ) g i v e s t h e p r e d e c e s s o r e

( u ) i n

s t

S o l u t i o n m e t h o d s f o r s h o r t e s t h y p e r p a t h p r o b l e m s i n g e n e r a l h y p e r g r a p h s h a v e

b e e n d e v i s e d i n 2 ] . F o r t h e c a s e o f a c y c l i c h y p e r g r a p h s , a s i m p l e a n d f a s t i m p l e -

m e n t a t i o n h a s b e e n p r o p o s e d i n 3 ] ( s e e a l s o 2 ] , S e c t i o n 7 2 ) : t h e m i n i m u m v a l u e

a n d m i n i m u m d i s t a n c e p r o b l e m s c a n b e s o l v e d i n O ( s i z e ( H ) ) t i m e ( i . e . i n l i n e a r

t i m e ) f o r g e n e r i c w e i g h t s a n d m u l t i p l i e r s .

4


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A n a c y c l i c h y p e r g r a p h w i t h o r i g i n s i s s u c h t h a t n o d e s p r e c e d e s t h e o t h e r n o d e s

i n t h e t o p o l o g i c a l o r d e r , a n d B S ( u ) i s n o t e m p t y f o r e a c h n o d e u 6= s 2 V . T h e

f o l l o w i n g p r o p e r t y h o l d s :

P r o p e r t y 2 . 1 I n a n a c y c l i c h y p e r g r a p h H = ( V ; E ) w i t h o r i g i n s e a c h p r e d e c e s s o r

f u n c t i o n f : V n f s g ! E d e n e s a h y p e r p a t h f r o m s t o t f o r e a c h n o d e t 2 V n f s g

P r o o f : G i v e n a n o d e t 2 V , l e t

f

s t

b e t h e m i n i m a l h y p e r g r a p h c o n t a i n i n g n o d e s

s a n d t a n d s u c h t h a t f ( u ) 2

f

s t

f o r e a c h u 6= s 2

f

s t

. H y p e r g r a p h

f

s t

c l e a r l y

s a t i s e s c o n d i t i o n s ( i ) a n d ( i i ) ; m o r e o v e r , i t s a t i s e s c o n d i t i o n ( i i i ) . I n d e e d , f o r e a c h

u 6= s 2

f

s t

a c y c l e - f r e e p a t h :

P

s u

= ( v

1

= s ; e

1

= e

( v

2

) ; v

2

; : : : ; v

q

; e

q

= e

( u ) ; v

q + 1

= u )

c a n b e c o n s t r u c t e d p r o c e e d i n g b a c k w a r d s f r o m n o d e u ; a t e a c h s t e p , a n o d e v

i ? 1

i s

s e l e c t e d f r o m t h e t a i l o f h y p e r a r c f ( v

i

) . S i n c e v

i ? 1

p r e c e d e s v

i

i n t h e t o p o l o g i c a l

o r d e r , t h e p r o c e s s e v e n t u a l l y e n d s a t n o d e s . I t f o l l o w s t h a t

f

s t

i s a h y p e r p a t h f r o m

s t o t 2

P r o p e r t y 2 . 1 i m p l i e s t h a t i n a n a c y c l i c h y p e r g r a p h w i t h o r i g i n s e a c h n o d e u 6= s

i s h y p e r c o n n e c t e d t o s . N o t e t h a t a s i m i l a r p r o p e r t y d o e s n o t h o l d i n g e n e r a l f o r

a c y c l i c h y p e r g r a p h s . S i n c e a s e t o f m i n i m u m w e i g h t p a t h s c a n b e d e s c r i b e d b y a

p r e d e c e s s o r f u n c t i o n , t h e s h o r t e s t p a t h p r o b l e m i n a n a c y c l i c h y p e r g r a p h w i t h o r i g i n

s c a n b e r e s t a t e d a s t h e p r o b l e m o f n d i n g a n o p t i m a l p r e d e c e s s o r f u n c t i o n , i . e . a n

f d e n i n g m i n i m u m w e i g h t h y p e r p a t h s . I n f a c t , t h i s f o r m u l a t i o n w i l l b e u s e d i n

S e c t i o n 3 . 1 .

3 R a n d o m T i m e D e p e n d e n t S h o r t e s t P a t h s

W e c o n s i d e r d i s c r e t e s t o c h a s t i c d y n a m i c n e t w o r k s , w h e r e d e p a r t u r e t i m e s a r e i n t e g e r ,

a n d t r a v e l t i m e s a r e i n t e g e r - v a l u e d d i s c r e t e r a n d o m v a r i a b l e s . D e p a r t u r e a n d a r r i v a l

t i m e s b e l o n g t o a n i t e t i m e h o r i z o n , i . e . a n i n t e r v a l H = 0 t

m a x

] o f i n t e g e r v a l u e s .

I n p r a c t i c e , w e a s s u m e t h a t t h e r e l e v a n t t i m e p e r i o d i s d i s c r e t i z e d i n t o t i m e i n t e r v a l s

o f l e n g t h , t h a t i s , t h e t i m e h o r i z o n H c o r r e s p o n d s t o t h e s e t o f t i m e i n s t a n t s

f 0 ; ; 2 ; : : : ; t

m a x

g

L e t G = ( N ; A ) b e a d i r e c t e d g r a p h ; w e w i l l r e f e r t o G a s t h e t o p o l o g i c a l n e t w o r k .

L e t d 2 N b e t h e d e s t i n a t i o n n o d e ; w e a s s u m e t h a t t h e r e a r e n o a r c s l e a v i n g n o d e

d . F o r e a c h a r c ( i ; j ) 2 A l e t L ( i ; j ) H b e t h e s e t o f p o s s i b l e l e a v i n g t i m e s f r o m

n o d e i a l o n g ( i ; j ) . F o r e a c h i 2 N , i 6= d , t h e s e t L ( i ) H c o n t a i n s t h e p o s s i b l e

s t a r t i n g t i m e s f r o m i a l o n g s o m e a r c , t h a t i s

L ( i ) =

( i j ) 2 A

L ( i ; j )

5


7/16

W e l e t L ( d ) = H . F o r e a c h ( i ; j ) 2 A a n d t 2 L ( i ; j ) d e n e t h e s e t

I ( i ; j ; t ) = f t

1

; t

2

; : : : ; t

K ( i ; j ; t )

g ;

I ( i ; j ; t ) c o n t a i n s t h e K ( i ; j ; t ) p o s s i b l e a r r i v a l t i m e s a t j w h e n l e a v i n g i a t t i m e t ;

f o r e a c h t

h

2 I ( i ; j ; t ) d e n o t e b y p

i j t

( t

h

) t h e p r o b a b i l i t y o f a r r i v i n g a t j a t t i m e t

h

D e n o t e b y

K =

X

( i j ) 2 A t 2 L ( i j )

K ( i ; j ; t )

t h e t o t a l n u m b e r o f p o s s i b l e t r a v e l t i m e s ; t h e v a l u e K c a n b e c o n s i d e r e d a s t h e s i z e

o f t h e i n p u t . T h r o u g h o u t t h e p a p e r , w e m a k e t h e f o l l o w i n g s i m p l i f y i n g a s s u m p t i o n :

A s s u m p t i o n 3 . 1 F o r e a c h ( i ; j ) 2 A a n d t 2 L ( i ; j ) i t i s I ( i ; j ; t ) L ( j ) , m o r e o v e r ,

t r a v e l t i m e s a r e p o s i t i v e , i . e . t

h

> t f o r e a c h t

h

2 I ( i ; j ; t )

I n f o r m a l l y , t h e m e a n i n g o f A s s u m p t i o n 3 . 1 i s t h a t a t r a v e l e r c a n n o t \ g e t s t u c k "

a t n o d e j 6= d : i f i t i s p o s s i b l e t o a r r i v e a t n o d e j a t t i m e t

h

t h e n i t i s p o s s i b l e

t o l e a v e j a t t i m e t

h

. S i n c e t r a v e l t i m e s a r e p o s i t i v e i n t e g e r s , a n d t

m a x

i s n i t e , a

t r a v e l e r a r r i v e s a t d w i t h i n t i m e t

m a x

, t r a v e l i n g t h r o u g h a t m o s t t

m a x

a r c s .

A s t r a t e g y i s a f u n c t i o n S : ( N n f d g H ) ! A a s s i g n i n g t o e a c h p a i r ( i ; t ) w i t h

t 2 L ( i ) a s u c c e s s o r a r c ( i ; j ) w i t h t 2 L ( i ; j ) . I n f o r m a l l y , t h e m e a n i n g o f a s t r a t e g y

i s t h a t a t r a v e l e r l e a v i n g a n o d e i a t t i m e t 2 L ( i ) t r a v e l s a l o n g S ( i ; t ) . G i v e n a

s t r a t e g y S , t h e c o r r e s p o n d i n g e x p e c t e d a r r i v a l t i m e s E

S

T

a r e d e n e d f o r e a c h i 6= d

a n d t 2 L ( i ) b y t h e f o l l o w i n g r e c u r s i v e e q u a t i o n :

E

S

T

( i ; t ) =

X

t

h

2 I ( i ; j ; t )

p

i j t

( t

h

) E

S

T

( j ; t

h

) S ( i ; t ) = ( i ; j ) ;

w h e r e f o r t h e d e s t i n a t i o n d :

E

S

T

( d ; t ) = t 8 t 2 H

T h e m i n i m u m e x p e c t e d t r a v e l t i m e p r o b l e m ( M E T ) c o n s i s t s 5 ] i n n d i n g a s t r a t -

e g y S y i e l d i n g a m i n i m u m E

S

T

( i ; t ) f o r e a c h p a i r ( i ; t ) w i t h t 2 L ( i ) . N o t e t h a t t h e

e x p e c t e d t r a v e l t i m e f o r a t r a v e l e r l e a v i n g n o d e i a t t i m e t 2 L ( i ) i s g i v e n b y

E

S

T

( i ; t ) ? t , t h a t i s , t h e m i n i m u m E

S

T

( i ; t ) a c t u a l l y g i v e s t h e m i n i m u m e x p e c t e d

t r a v e l t i m e .

3 . 1 A H y p e r g r a p h M o d e l

I n o r d e r t o f o r m u l a t e M E T i n t e r m s o f s h o r t e s t h y p e r p a t h s , w e d e n e a t i m e e x -

p a n d e d h y p e r g r a p h H = ( V ; E ) a s f o l l o w s . T h e s e t V c o n t a i n s o n e n o d e f o r e a c h p a i r

( i ; t ) , t 2 L ( i ) , p l u s a n o r i g i n n o d e s :

V = f ( i ; t ) : i 2 N ; t 2 L ( i ) g f s g

6


8/16

F o r e a c h ( i ; j ) 2 A a n d t 2 L ( i ; j ) d e n e a h y p e r a r c h ( i ; j ; t ) 2 E a s f o l l o w s :

h ( i ; j ; t ) =

f ( j ; t

h

) : t

h

2 I ( i ; j ; t ) g ; ( i ; t )

;

n o t e t h a t t h e o r i e n t a t i o n o f h ( i ; j ; t ) i s o p p o s i t e t o t h e o r i e n t a t i o n o f a r c ( i ; j ) , i n d e e d ,

t h e t a i l o f h ( i ; j ; t ) c o n t a i n s a p a i r ( j ; t

h

) f o r e a c h p o s s i b l e a r r i v a l t i m e a t j l e a v i n g i

a t t , w h i l e t h e h e a d c o n t a i n s t h e p a i r ( i ; t ) . I n a d d i t i o n , f o r e a c h t 2 H d e n e a n a r c

h ( d ; t ) = ( f s g ; ( d ; t ) ) f r o m t h e o r i g i n s t o n o d e ( d ; t ) . T h e s e t o f h y p e r a r c s i s t h e n

d e n e d a s f o l l o w s :

E = f h ( i ; j ; t ) : ( i ; j ) 2 A ; t 2 L ( i ; j ) g f h ( d ; t ) : t 2 H g

N o t e t h a t s i z e ( H ) = O ( K ) , a n d H c a n b e b u i l t i n O ( K ) t i m e . T h e f o l l o w i n g p r o p e r t y

i s a c o n s e q u e n c e o f A s s u m p t i o n 3 . 1 :

P r o p e r t y 3 . 1 H i s a n a c y c l i c h y p e r g r a p h w i t h o r i g i n s

I n d e e d , a t o p o l o g i c a l o r d e r w h e r e s p r e c e d e s t h e o t h e r n o d e s c a n b e o b t a i n e d b y

r a n k i n g t h e n o d e s i n V n f s g i n d e c r e a s i n g o r d e r o f t i m e , t h a t i s , f o r e a c h i ; j 2 V

a n d t

0

< t n o d e ( i ; t ) p r e c e d e s n o d e ( j ; t

0

) . M o r e o v e r , i f n o d e u = ( i ; t ) b e l o n g s t o V

t h e n t 2 L ( i ) , a n d t h e r e f o r e B S ( u ) i s n o t e m p t y .

O b s e r v e t h a t t h e r e i s a o n e t o o n e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n s t r a t e g i e s a n d p r e d e -

c e s s o r f u n c t i o n s o n H . I n d e e d , c h o o s i n g f ( i ; t ) = h ( i ; j ; t ) i s e q u i v a l e n t t o c h o o s i n g

S ( i ; t ) = ( i ; j ) ; n o t e t h a t f ( d ; t ) = h ( d ; t ) i s t h e o n l y p o s s i b l e p r e d e c e s s o r f o r a n o d e

( d ; t ) . G i v e n a s t r a t e g y S , d e n o t e b y f

S

t h e c o r r e s p o n d i n g p r e d e c e s s o r f u n c t i o n o n

H , t h a t i s , f

S

( i ; t ) = h ( i ; j ; t ) w h e r e S ( i ; t ) = ( i ; j ) . M o r e o v e r , d e n o t e b y

S

( i t )

t h e

h y p e r p a t h f r o m s t o ( i ; t ) d e n e d b y f

S

. N o t e t h a t h y p e r p a t h

S

( i t )

r e p r e s e n t s t h e

r o u t e o f a t r a v e l e r l e a v i n g f r o m i a t t i m e t a n d f o l l o w i n g s t r a t e g y S

A s s i g n w e i g h t s t o h y p e r a r c s i n H a s f o l l o w s :

w ( e ) =

(

t i f e = h ( d ; t ) ;

0 o t h e r w i s e

( 1 )

F o r e a c h h y p e r a r c e = h ( i ; j ; t ) , d e n e t h e m u l t i p l i e r s a

e

( s e e t h e d e n i t i o n o f t h e

v a l u e w e i g h t i n g f u n c t i o n ) a c c o r d i n g t o t h e p r o b a b i l i t i e s p

i j t

:

a

e

( u ) = p

i j t

( t

h

) 8 e = h ( i ; j ; t ) 2 E ; 8 u = ( j ; t

h

) 2 T ( e ) ; ( 2 )

f o r e a c h a r c e = h ( d ; t ) d e n e t h e m u l t i p l i e r a

e

( s ) = 1 .

P r o p e r t y 3 . 2 F o r e a c h i 2 N a n d t 2 L ( i ) t h e e x p e c t e d a r r i v a l t i m e E

S

T

( i ; t ) i s

e q u a l t o t h e v a l u e o f h y p e r p a t h

S

( i t )

, w i t h r e s p e c t t o w e i g h t s ( 1 ) a n d m u l t i p l i e r s ( 2 ) .

7


9/16

P r o o f : C o n s i d e r t h e r e c u r s i v e d e n i t i o n o f t h e v a l u e w e i g h t i n g f u n c t i o n , a p p l i e d

t o t h e n o d e s o f t h e h y p e r p a t h

S

( i t )

. S i n c e f

S

( d ; t ) = h ( d ; t ) i s t h e o n l y p o s s i b l e

p r e d e c e s s o r f o r a n o d e ( d ; t ) , i t i s W

( d ; t ) = w ( h ( d ; t ) ) = t = E

S

T

( d ; t ) . F o r a n o d e

( l ; t ) w i t h f

S

( l ; t ) = h ( l ; j ; t ) = e i t i s :

W

( l ; t ) = w ( e ) +

X

( j t

h

) 2 T ( e )

a

e

( j ; t

h

) W

( j ; t

h

) =

X

t

h

2 I ( l ; j ; t )

p

l j t

( t

h

) W

( j ; t

h

)

S i n c e t h e r e c u r s i v e d e n i t i o n s o f W

a n d E

S

T

a r e i d e n t i c a l , W

( i ; t ) = E

S

T

( i ; t ) 2

P r o p e r t y 3 . 2 i m p l i e s t h a t M E T c a n b e f o r m u l a t e d a s n d i n g a p r e d e c e s s o r f u n c -

t i o n f

S

: V n f s g ! E d e n i n g m i n i m u m v a l u e h y p e r p a t h s ; a s o b s e r v e d b e f o r e , t h i s

c o r r e s p o n d s t o a m i n i m u m v a l u e p r o b l e m i n H . O u r m a i n r e s u l t f o l l o w s :

P r o p o s i t i o n 3 . 1 P r o b l e m M E T c a n b e f o r m u l a t e d a s a m i n i m u m v a l u e p r o b l e m i n

H a n d s o l v e d i n O ( K ) t i m e .

E x a m p l e 3 . 1 C o n s i d e r t h e t o p o l o g i c a l n e t w o r k i n F i g u r e 1 , a n d a t i m e h o r i z o n

H = 0 6 ; l e t L ( a ; b ) = f 0 g , L ( b ; c ) = L ( b ; d ) = f 1 ; 2 g a n d L ( c ; d ) = f 2 ; 3 g . T h e

s e t s I a n d t h e c o r r e s p o n d i n g p r o b a b i l i t i e s a r e g i v e n i n T a b l e 3 . 1 .

d

c

b

a

F i g u r e 1 t o p o l o g i c a l n e t w o r k G

( i ; j ) ; t ( a ; b ) ; 0 ( b ; c ) ; 1 ( b ; c ) ; 2 ( b ; d ) ; 1 ( b ; d ) ; 2 ( c ; d ) ; 2 ( c ; d ) ; 3

I ( i ; j ; t ) f 1 ; 2 g f 2 g f 3 g f 3 g f 5 g f 3 ; 4 g f 4 ; 6 g

p

i j t

f 1 = 2 ; 1 = 2 g f 1 g f 1 g f 1 g f 1 g f 1 = 3 ; 2 = 3 g f 3 = 4 ; 1 = 4 g

T a b l e 1 a r r i v a l t i m e s a n d p r o b a b i l i t i e s .

T h e c o r r e s p o n d i n g t i m e e x p a n d e d h y p e r g r a p h H i s d r a w n i n F i g u r e 2 ( n o d e s

( d ; 0 ) , ( d ; 1 ) a n d ( d ; 2 ) a r e o m i t t e d ) ; m i n i m u m e x p e c t e d a r r i v a l t i m e s a r e r e p o r t e d .

8


10/16

T h e h y p e r a r c s s e l e c t e d b y t h e o p t i m a l p r e d e c e s s o r f u n c t i o n f

S

a r e s h o w n i n s o l i d

l i n e s .

C o n s i d e r t h e h y p e r p a t h

S

( a 0 )

d e n e d b y f

S

, t h a t c o n t a i n s t h e s e t o f n o d e s :

f ( a ; 0 ) ; ( b ; 1 ) ; ( b ; 2 ) ; ( c ; 3 ) ; ( d ; 3 ) ; ( d ; 4 ) ; ( d ; 6 ) ; s g ;

h y p e r p a t h

S

( a 0 )

r e p r e s e n t s t h e o p t i m a l r o u t e f r o m a t o d . L e a v i n g a a t t i m e 0 ,

o n e a r r i v e s i n b e i t h e r a t t i m e 1 o r a t t i m e 2 : t h i s i s r e p r e s e n t e d b y h y p e r a r c

f ( b ; 1 ) ; ( b ; 2 ) g ; ( a ; 0 )

; i n t h e f o r m e r c a s e o n e g o e s d i r e c t l y f r o m b t o t h e d e s t i n a t i o n ,

a r r i v i n g a t t i m e 3 ; i n t h e l a t t e r c a s e , o n e p r o c e e d s t o n o d e c r s t , a n d t h e n a r r i v e s

i n d e i t h e r a t t i m e 4 o r a t t i m e 6

s

2

ddd4 5 6

d3

c3

b

c

b21

0a

3

9/2

11/3

15/49/2

F i g u r e 2 A s t r a t e g y y i e l d i n g m i n i m u m e x p e c t e d t r a v e l t i m e s .

O t h e r f e a t u r e s c a n b e e a s i l y i n c l u d e d i n o u r h y p e r g r a p h m o d e l b y a d a p t i n g s o m e

t e c h n i q u e s d e v e l o p e d f o r d y n a m i c n e t w o r k s ( s e e e . g . 1 3 ] ) . F o r e x a m p l e , w a i t i n g a t

n o d e i f r o m t i m e t t o t i m e t

0

> t c a n b e r e p r e s e n t e d b y a n a r c ( f ( i ; t g ; ( i ; t

0

) )

O b s e r v e t h a t t h e s i z e o f t h e t i m e - e x p a n d e d h y p e r g r a p h w i t h w a i t i n g a r c s r e m a i n s

O ( K ) . M o r e o v e r , t i m e w i n d o w s m a y b e e a s i l y m o d e l e d b y d e l e t i n g f r o m H s u i t a b l e

s e t s o f h y p e r a r c s .

9


11/16

3 . 2 O t h e r R o u t e S e l e c t i o n C r i t e r i a

B e s i d e s t h e m i n i m i z a t i o n o f t h e e x p e c t e d t r a v e l t i m e , s e v e r a l o t h e r c r i t e r i a f o r s e l e c t -

i n g a b e s t r o u t e c a n b e t a k e n i n t o a c c o u n t . F o r e x a m p l e , c o s t s m a y b e c o n s i d e r e d ,

i n s t e a d o f t r a v e l t i m e s , a n d w o r s t c a s e s ( m a x i m u m p o s s i b l e t r a v e l t i m e o r c o s t ) m a y

b e o f c o n c e r n , r a t h e r t h a n t h e a v e r a g e b e h a v i o u r . S o m e o f t h e s e s i t u a t i o n s c a n b e

m o d e l e d i n t e r m s o f s h o r t e s t h y p e r p a t h s , w i t h a p r o p e r c h o i c e o f h y p e r a r c w e i g h t s

a n d w e i g h t i n g f u n c t i o n . A f e w e x a m p l e s , i n v o l v i n g d i s t a n c e a n d v a l u e , a r e g i v e n

b e l o w ; p r o o f s a r e s i m i l a r t o t h e o n e g i v e n f o r P r o p e r t y 3 . 2 , a n d a r e o m i t t e d .

C o n s i d e r t h e p r o b l e m o f m i n i m i z i n g t h e m a x i m u m p o s s i b l e t r a v e l t i m e . F o r a

g i v e n s t r a t e g y S , t h e l a t e s t a r r i v a l t i m e s M

S

T

a r e d e n e d f o r e a c h i 6= d a n d t 2 L ( i )

b y t h e r e c u r s i v e e q u a t i o n :

M

S

T

( i ; t ) = m a x

t

h

2 I ( i ; j ; t )

f M

S

T

( j ; t

h

) g ; S ( i ; t ) = ( i ; j ) ;

w h e r e a g a i n M

S

T

( d ; t ) = t . T h e m i n - m a x t r a v e l t i m e p r o b l e m ( M M T ) c o n s i s t s i n

n d i n g a s t r a t e g y y i e l d i n g t h e m i n i m u m M

S

T

( i ; t ) f o r e a c h i a n d t 2 L ( i ) . C o m p a r i n g

t h e d e n i t i o n o f M

S

T

a n d t h e d e n i t i o n o f h y p e r p a t h d i s t a n c e , i t c a n b e s e e n t h a t

M

S

T

( i ; t ) i s e q u a l t o t h e d i s t a n c e o f h y p e r p a t h

S

( i t )

w i t h r e s p e c t t o t h e w e i g h t s ( 1 ) .

P r o p o s i t i o n 3 . 2 P r o b l e m M M T c a n b e f o r m u l a t e d a s a m i n i m u m d i s t a n c e p r o b l e m

o n h y p e r g r a p h H , w i t h r e s p e c t t o w e i g h t s ( 1 ) .

E x a m p l e 3 . 2 ( c o n t i n u e d ) C o n s i d e r t h e d y n a m i c n e t w o r k o f E x a m p l e 3 . 1 . T h e

s t r a t e g y s h o w n i n F i g u r e 2 y i e l d s M

S

T

( c ; 2 ) = 4 , M

S

T

( c ; 3 ) = 6 , M

S

T

( b ; 1 ) = 3 a n d

M

S

T

( b ; 2 ) = M

S

T

( a ; 0 ) = 6 . T h e o p t i m a l s o l u t i o n f o r M M T i s o b t a i n e d b y s e t t i n g

S ( b ; 2 ) = ( b ; d ) i n s t e a d o f S ( b ; 2 ) = ( b ; c ) , w h i c h y i e l d s M

S

T

( b ; 2 ) = M

S

T

( a ; 0 ) = 5

L e t c ( i ; j ; t ) b e t h e c o s t o f t r a v e l i n g a l o n g a r c ( i ; j ) l e a v i n g a t t i m e t 2 L ( i ; j )

M o r e o v e r , l e t g

d

( t ) b e t h e c o s t o f a r r i v i n g a t d a t t i m e t , e . g . a p e n a l t y f u n c t i o n f o r

e a r l y o r l a t e a r r i v a l s . G i v e n a s t r a t e g y S , t h e e x p e c t e d c o s t s E

S

C

, w i t h r e s p e c t t o c

a n d g

d

, a r e d e n e d b y t h e r e c u r s i v e e q u a t i o n :

E

S

C

( i ; t ) = c ( i ; j ; t ) +

X

t

h

2 I ( i ; j ; t )

p

i j t

( t

h

) E

S

C

( j ; t

h

) S ( i ; t ) = ( i ; j ) ;

w h e r e E

S

C

( d ; t ) = g

d

( t ) f o r e a c h t 2 H . T h e m a x i m u m c o s t s M

S

C

a r e o b t a i n e d a s

f o l l o w s :

M

S

C

( i ; t ) = c ( i ; j ; t ) + m a x

t

h

2 I ( i ; j ; t )

f M

S

C

( j ; t

h

) g S ( i ; t ) = ( i ; j ) ;

w h e r e a g a i n M

S

C

( d ; t ) = g

d

( t ) f o r e a c h t 2 H

1 0


12/16

T h e m i n i m u m e x p e c t e d c o s t p r o b l e m ( M E C ) a n d t h e m i n - m a x c o s t p r o b l e m

( M M C ) c o n s i s t i n n d i n g a s t r a t e g y g i v i n g r e s p e c t i v e l y t h e m i n i m u m E

S

C

( i ; t ) a n d

t h e m i n i m u m M

S

C

( i ; t ) , f o r e a c h i a n d t 2 L ( i )

D e n e t h e h y p e r a r c w e i g h t s o n t h e h y p e r g r a p h H a s f o l l o w s :

w ( e ) =

(

g

d

( t ) i f e = h ( d ; t ) ;

c ( i ; j ; t ) i f e = h ( i ; j ; t )

( 3 )

F o r a g i v e n s t r a t e g y S , e a c h v a l u e E

S

C

( i ; t ) ( r e s p e c t i v e l y , M

S

C

( i ; t ) ) i s e q u a l t o t h e

v a l u e ( r e s p e c t i v e l y , t h e d i s t a n c e ) o f h y p e r p a t h

S

( i t )

, w . r . t . w e i g h t s ( 3 ) a n d m u l t i p l i -

e r s ( 2 ) .

P r o p o s i t i o n 3 . 3 P r o b l e m M E C ( M M C ) c a n b e f o r m u l a t e d a s a s h o r t e s t v a l u e ( d i s -

t a n c e ) h y p e r p a t h p r o b l e m o n H , w i t h r e s p e c t t o w e i g h t s ( 3 ) a n d m u l t i p l i e r s ( 2 ) .

E x a m p l e 3 . 3 ( c o n t i n u e d ) I n t h e d y n a m i c n e t w o r k o f E x a m p l e 3 . 1 , s e t c ( i ; j ; t ) = 1

f o r e a c h a r c ( i ; j ) a n d t i m e t 2 L ( i ; j ) ; s e t t h e c o s t s g

d

( t ) a s f o l l o w s : g

d

( 3 ) = 3 ,

g

d

( 4 ) = 0 , g

d

( 5 ) = 1 a n d g

d

( 6 ) = 4 . T h e o p t i m a l s t r a t e g y f o r M E C i s s h o w n i n

F i g u r e 3 ; t h e m i n i m u m e x p e c t e d c o s t s a r e r e p o r t e d . T h e o p t i m a l s o l u t i o n f o r M E C

y i e l d s t h e f o l l o w i n g m a x i m u m c o s t s : M

S

C

( c ; 2 ) = 4 , M

S

C

( c ; 3 ) = 5 , M

S

C

( b ; 1 ) = 5 ,

M

S

C

( b ; 2 ) = 2 , M

S

C

( a ; 0 ) = 6 . T h e o p t i m a l s o l u t i o n f o r M M C i s o b t a i n e d b y s e t t i n g

S ( b ; 1 ) = ( b ; d ) i n s t e a d o f S ( b ; 1 ) = ( b ; c ) , w h i c h y i e l d s M

S

C

( b ; 1 ) = 4 a n d M

S

C

( a ; 0 ) =

5

S u p p o s e w e a r e g i v e n a n o p t i m a l s t r a t e g y S f o r t h e M M C p r o b l e m . F o r a

p a i r ( i ; t ) , l e t P

S

m a x

( i ; t ) b e t h e p r o b a b i l i t y o f i n c u r r i n g i n t h e m a x i m u m t r a v e l c o s t

M

S

C

( i ; t ) . T h e v a l u e s P

S

m a x

a r e d e n e d b y t h e r e c u r s i v e e q u a t i o n :

P

S

m a x

( i ; t ) =

X

t

h

2 I

m a x

( i ; j ; t )

p

i j t

( t

h

) P

S

m a x

( j ; t

h

)

w h e r e t h e s e t I

m a x

( i ; j ; t ) i s d e n e d a s f o l l o w s :

I

m a x

( i ; j ; t ) = f t

h

2 I ( i ; j ; t ) M

S

C

( i ; t ) = M

S

C

( j ; t

h

) + c ( i ; j ; t ) g

a n d P

m a x

( d ; t ) = 1 f o r e a c h t 2 H . D e n e t h e f o l l o w i n g h y p e r a r c w e i g h t s :

w ( e ) =

(

1 i f e = h ( d ; t ) ;

0 o t h e r w i s e .

( 4 )

F o r e a c h h y p e r a r c e = h ( d ; t ) d e n e t h e m u l t i p l i e r a

e

( s ) = 1 ; f o r e a c h a r c e = h ( i ; j ; t )

a n d u = ( j ; t

h

) 2 T ( e ) d e n e t h e m u l t i p l i e r a

e

( u ) a s f o l l o w s :

a

e

( u ) =

(

p

i j t

( t

h

) i f t

h

2 I

m a x

( i ; j ; t ) ;

0 o t h e r w i s e .

( 5 )

1 1


13/16

s

2

ddd4 5 6d3

c3

b

c

b21

0a

2

3

2

2

403 1

7/2

F i g u r e 3 A s t r a t e g y y i e l d i n g m i n i m u m e x p e c t e d c o s t s .

F o r e a c h ( i ; t ) t h e p r o b a b i l i t y P

S

m a x

( i ; t ) i s e q u a l t o t h e v a l u e o f t h e h y p e r p a t h

S

( i j )

,

w . r . t . w e i g h t s ( 4 ) a n d m u l t i p l i e r s ( 5 ) .

I n g e n e r a l , t h e r e m a y b e s e v e r a l o p t i m a l s t r a t e g i e s f o r a n M M C p r o b l e m ; c l e a r l y ,

i t w o u l d b e s e n s i b l e t o s e l e c t t h e o n e y i e l d i n g t h e m i n i m u m p r o b a b i l i t i e s P

S

m a x

T o

t h i s a i m , w e c a n p r o c e e d a s f o l l o w s . F i r s t , w e d r o p t h e h y p e r a r c s t h a t d o n o t b e l o n g

t o o p t i m a l h y p e r p a t h s , i . e . w e d e l e t e e a c h h y p e r a r c e = h ( i ; j ; t ) s u c h t h a t

M

S

C

( i ; t ) < c ( i ; j ; t ) + m a x

t

h

2 I ( i ; j ; t )

f M

S

C

( j ; t

h

) g

T h e n , w e c o m p u t e t h e m i n i m u m v a l u e h y p e r p a t h s i n t h e r e m a i n i n g h y p e r g r a p h ,

w i t h w e i g h t s ( 4 ) a n d m u l t i p l i e r s ( 5 ) . T h e o v e r a l l p r o c e s s t a k e s l i n e a r O ( K ) t i m e .

T h e s a m e a p p r o a c h c a n b e u s e d w h e n e v e r a b e s t s t r a t e g y f o r a g i v e n c r i t e r i o n

m u s t b e f o u n d , a m o n g t h e b e s t s t r a t e g i e s f o r a d i e r e n t c r i t e r i o n . F o r e x a m p l e ,

w e m a y n d a s t r a t e g y y i e l d i n g m i n i m u m l e a s t p o s s i b l e t r a v e l t i m e ( s e e 7 ] ) a n d

m a x i m i z i n g t h e p r o b a b i l i t y o f t r a v e l i n g a l o n g a l e a s t t i m e r o u t e .

4 T h e M i n i m u m P a t h P r o b l e m

C o n s i d e r t h e p r o b l e m o f n d i n g a n o p t i m a l p a t h i n t h e t o p o l o g i c a l n e t w o r k G , r a t h e r

t h a n a n o p t i m a l s t r a t e g y . I n o t h e r w o r d s , a s s u m e t h a t a t r a v e l e r f o l l o w s a s i m p l e

1 2


14/16

p a t h ( i . e . a p a t h w i t h o u t s u b - c y c l e s ) f r o m a g i v e n o r i g i n n o d e o t o t h e d e s t i n a t i o n

n o d e d . T h e M i n i m u m P a t h p r o b l e m 5 ] ( M P ) c o n s i s t s i n n d i n g a s i m p l e o - d p a t h

y i e l d i n g t h e m i n i m u m e x p e c t e d t r a v e l t i m e f o r a g i v e n l e a v e t i m e t

0

2 L ( o )

T r a v e l i n g a l o n g a p a t h i n G m e a n s t h a t t h e s u c c e s s o r o f a n o d e i s u n i q u e , a n d

d o e s n o t d e p e n d o n t i m e ; i n o t h e r w o r d s , a s t r a t e g y S m u s t s a t i s f y t h e f o l l o w i n g

c o n d i t i o n :

S ( i ; t ) = S ( i ; t

0

) 8 i 6= d ; t ; t

0

2 L ( i ) ( 6 )

P r o b l e m M P c a n b e s e e n a s a r e s t r i c t i o n o f M E T , w h e r e w e s e a r c h a s t r a t e g y S

s a t i s f y i n g ( 6 ) a n d m i n i m i z i n g E

S

T

( o ; t

0

) . V a r i a n t s o f M P c a n b e d e n e d c o n s i d e r i n g

M M T , M E C o r M M C i n s t e a d o f M E T .

H a l l s h o w e d i n 5 ] t h a t s t a n d a r d s h o r t e s t p a t h p r o c e d u r e s c a n n o t s o l v e M P ;

h o w e v e r , n o c o m p l e x i t y r e s u l t s a r e g i v e n t h e r e . W e s h o w t h a t M P i s N P - h a r d a l s o

f o r d e t e r m i n i s t i c d y n a m i c n e t w o r k s , i . e . w h e n K ( i ; j ; t ) = 1 f o r e a c h a r c ( i ; j ) 2 A

a n d t 2 L ( i ; j ) . T h i s c a n b e p r o v e d b y a r e d u c t i o n f r o m t h e N P - c o m p l e t e D i r e c t e d

H a m i l t o n i a n P a t h p r o b l e m 4 ] .

C o n s i d e r a d i r e c t e d g r a p h G = ( N ; A ) w i t h t w o d i s t i n g u i s h e d n o d e s , o a n d d ;

t h e H a m i l t o n i a n P a t h p r o b l e m ( H P ) c o n s i s t s i n n d i n g a s i m p l e p a t h f r o m o t o d

c o n t a i n i n g a l l t h e n o d e s , i f i t e x i s t s . H e r e , w e a s s u m e w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y t h a t

G d o e s n o t c o n t a i n a n a r c ( o ; d ) , n e i t h e r c o n t a i n s a r c s o f t h e f o r m ( j ; o ) o r ( d ; j )

T a k i n g G a s t h e t o p o l o g i c a l n e t w o r k , a n d s e t t i n g t

m a x

= N , w e d e n e a d y n a m i c

n e t w o r k w h e r e :

8 ( o ; j ) 2 A : L ( o ; j ) = f 0 g I ( o ; j ; 0 ) = f 1 g ;

8 ( i ; j ) 2 A : L ( i ; j ) = 1 t

m a x

? 3 I ( i ; j ; t ) = f t + 1 g 8 t 2 T ( i ; j )

8 ( i ; d ) 2 A : L ( i ; d ) = 1 t

m a x

? 2 I ( i ; d ; t ) =

(

t

m a x

? 1 i f t = t

m a x

? 2 ;

t

m a x

i f t < t

m a x

? 2 ;

N o t e t h a t t h e m i n i m u m a r r i v a l t i m e a t n o d e d i s t

m a x

? 1 ; t h e t r a v e l t i m e s a r e e q u a l

t o o n e , e x c e p t f o r a r c s ( i ; d ) a n d l e a v e t i m e s t < t

m a x

? 2 , w h o s e c o r r e s p o n d i n g

a r r i v a l t i m e i s t

m a x

. S i n c e K ( i ; j ; t ) = 1 f o r e a c h a r c ( i ; j ) 2 A a n d t 2 L ( i ; j )

t h e t i m e e x p a n d e d h y p e r g r a p h H i s a g r a p h ; i n t h i s c a s e , a s t r a t e g y S y i e l d i n g

E

S

T

( o ; 0 ) = t

m a x

? 1 c o r r e s p o n d s t o a p a t h P

f r o m ( d ; t

m a x

? 1 ) t o ( o ; 0 ) i n H . S u c h

p a t h P

c o n t a i n s e x a c t l y t

m a x

? 1 a r c s ; i f S s a t i s e s ( 6 ) t h e n P

c a n n o t c o n t a i n t w o

n o d e s ( i ; t ) a n d ( i ; t

0

) , t h u s P

m u s t c o n t a i n a n o d e ( i ; t

i

) f o r e a c h i 2 N . T h e r e f o r e ,

t h e r e e x i s t s a s t r a t e g y s a t i s f y i n g ( 6 ) a n d y i e l d i n g E

T

( o ; 0 ) = t

m a x

? 1 i f a n d o n l y i f

t h e r e e x i s t s i n G a H a m i l t o n i a n o - d p a t h ; t h i s p r o o f s t h a t M P i s N P - h a r d . N o t e t h a t

t h e p r o o f c a n b e a d a p t e d t o p r o b l e m s M L T , M E C a n d M M C a b o v e ; f o r w e i g h t e d

p r o b l e m s , a s i m i l a r p r o o f w a s g i v e n i n 1 2 ] .

T h o u g h n o t c o n s i d e r e d h e r e , h e u r i s t i c a n d e x a c t a l g o r i t h m s f o r t h e M i n i m u m

P a t h p r o b l e m r e p r e s e n t a s t i m u l a t i n g r e s e a r c h t o p i c . H a l l p r o p o s e d a d u a l e n u m e r -

a t i v e m e t h o d f o r M P , o b t a i n e d b y s p e c i a l i z i n g a k - s h o r t e s t p a t h s p r o c e d u r e ; t h i s

1 3


15/16

m e t h o d m a y b e a d a p t e d t o o u r h y p e r g r a p h m o d e l , w h e r e a k - s h o r t e s t h y p e r p a t h s

p r o c e d u r e c a n b e u s e d .

5 C o n c l u s i o n s

W e u s e d d i r e c t e d h y p e r g r a p h s t o r e p r e s e n t d i s c r e t e , s t o c h a s t i c , t i m e d e p e n d e n t n e t -

w o r k s . T h i s a l l o w e d u s t o o b t a i n e c i e n t a l g o r i t h m s f o r o p t i m a l r o u t i n g p r o b l e m s ,

s i m p l y b y b o r r o w i n g e x i s t i n g s h o r t e s t h y p e r p a t h m e t h o d s . M o r e o v e r , o u r h y p e r -

g r a p h r e p r e s e n t a t i o n p r o v e d t o b e a q u i t e e x i b l e m o d e l l i n g t o o l .

I n o u r m o d e l , a s t r a t e g y d e n e s a s i n g l e s u c c e s s o r a r c f o r e a c h n o d e a n d t i m e .

T h e s i t u a t i o n i n w h i c h b o t h t r a v e l t i m e s a n d s u c c e s s o r a r c s a r e s t o c h a s t i c a n d t i m e

d e p e n d e n t v a r i a b l e s m a y b e i n v e s t i g a t e d : a s l o n g a s d i s c r e t e d i s t r i b u t i o n s a n d p o s -

i t i v e t r a v e l t i m e s a r e c o n s i d e r e d , a m o d e l b a s e d o n t i m e - e x p a n d e d h y p e r g r a p h s c a n

b e d e v i s e d . I n c o n c l u s i o n , w e b e l i e v e t h a t h y p e r g r a p h m o d e l s f o r d y n a m i c n e t w o r k s

p r o v i d e a p r o m i s i n g d i r e c t i o n f o r f u r t h e r r e s e a r c h .

R e f e r e n c e s

1 ] D . P . B e r t s e k a s a n d J . N . T s i t s i k l i s , A n A n a l y s i s o f S t o c h a s t i c S h o r t e s t P a t h

P r o b l e m s , M a t h e m a t i c s o f O . R . 1 6 , N o . 3 ( 1 9 9 1 ) 5 8 0 { 5 9 5 .

2 ] G . G a l l o , G . L o n g o , S . N g u y e n a n d S . P a l l o t t i n o , D i r e c t e d H y p e r g r a p h s a n d

A p p l i c a t i o n s , D i s c r e t e A p p l i e d M a t h e m a t i c s 4 2 ( 1 9 9 3 ) 1 7 7 - 2 0 1 .

3 ] G . G a l l o a n d S . P a l l o t t i n o , H y p e r g r a p h s M o d e l s a n d A l g o r i t h m s f o r t h e

A s s e m b l y P r o b l e m , T R 6 / 9 2 , D i p a r t i m e n t o d i I n f o r m a t i c a , U n i v e r s i t a d i

P i s a , I t a l y ( 1 9 9 2 ) .

4 ] M . R . G a r e y a n d D . S . J o h n s o n , C o m p u t e r s a n d I n t r a c t a b i l i t y , F r e e m a n , S .

F r a n c i s c o 1 9 7 8 .

5 ] R . W . H a l l , T h e F a s t e s t P a t h t h r o u g h a N e t w o r k w i t h R a n d o m T i m e -

D e p e n d e n t T r a v e l T i m e s , T r a n s p o r t a t i o n S c i e n c e 2 0 , N o . 3 ( 1 9 8 6 ) 1 8 2 { 1 8 8 .

6 ] E . D . M i l l e r - H o o k s , O p t i m a l R o u t i n g i n T i m e - V a r y i n g , S t o c h a s t i c N e t w o r k s :

A l g o r i t h m s a n d I m p l e m e n t a t i o n s , P h . D . D i s s e r t a t i o n , D e p a r t m e n t o f C i v i l

E n g i n e e r i n g , T h e U n i v e r s i t y o f T e x a s a t A u s t i n ( A u g u s t 1 9 9 7 ) .

7 ] E . D . M i l l e r - H o o k s a n d H . S . M a h m a s s a n i , L e a s t P o s s i b l e T i m e P a t h s i n

S t o c h a s t i c , T i m e - V a r y i n g N e t w o r k s , W o r k i n g P a p e r ( J u l y 1 9 9 7 ) . T o a p p e a r

i n C o m p u t e r s a n d O p e r a t i o n s R e s e a r c h

1 4


16/16

8 ] E . D . M i l l e r - H o o k s a n d H . S . M a h m a s s a n i , O p t i m a l R o u t i n g o f H a z a r d o u s

M a t e r i a l s i n S t o c h a s t i c , T i m e - V a r y i n g T r a n s p o r t a t i o n N e t w o r k s , f o r t h c o m i n g

i n T r a n s p o r t a t i o n R e s e a r c h R e c o r d ( 1 9 9 8 ) .

9 ] S . N g u y e n a n d S . P a l l o t t i n o , H y p e r p a t h s a n d S h o r t e s t H y p e r p a t h s , i n : B .

S i m e o n e , ( E d . ) , C o m b i n a t o r i a l O p t i m i z a t i o n , L e c t u r e N o t e s I n M a t h e m a t i c s

1 4 0 3 ( 1 9 8 9 ) , 2 5 8 { 2 7 1 .

1 0 ] S . N g u y e n a n d S . P a l l o t t i n o , E q u i l i b r i u m T r a c A s s i g n m e n t F o r L a r g e S c a l e

T r a n s i t N e t w o r k , E u r o p e a n J . o f O p . R e s . 3 7 ( 1 9 8 8 ) , 1 7 6 { 1 8 6 .

1 1 ] A . O r d a a n d R . R o m , S h o r t e s t - P a t h a n d M i n i m u m D e l a y A l g o r i t h m s i n

N e t w o r k s w i t h T i m e - D e p e n d e n t E d g e - L e n g t h , J . o f A C M 3 7 , N o . 3 ( 1 9 9 0 )

6 0 7 { 6 2 5 .

1 2 ] A . O r d a a n d R . R o m , M i n i m u m W e i g h t P a t h s i n T i m e - D e p e n d e n t N e t w o r k s ,

N e t w o r k s 2 1 , N o . 3 ( 1 9 9 1 ) 2 9 5 { 3 1 9 .

1 3 ] S . P a l l o t t i n o a n d M . G . S c u t e l l a \ S h o r t e s t p a t h a l g o r i t h m s i n t r a n s p o r t a t i o n

m o d e l s : c l a s s i c a l a n d i n n o v a t i v e a s p e c t s " i n : P . M a r c o t t e a n d S . N g u y e n ,

( E d s . ) E q u i l i b r i u m a n d A d v a n c e d T r a n s p o r t a t i o n M o d e l l i n g K l u w e r A c a d e m i c

P u b l i s h e r s ( 1 9 9 8 ) p . 2 4 5 - 2 8 1 .

1 4 ] G . H . P o l y c h r o n o p o u l o s a n d J . N . T s i t s i k l i s , S t o c h a s t i c S h o r t e s t P a t h P r o b -

l e m s w i t h R e c o u r s e , N e t w o r k s 2 7 ( 1 9 9 6 ) 1 3 3 { 1 4 3 .

1 5

Documents

A Directed Hypergraph Model for Random Time Dependent Shortest Paths