∆ηµοκρίτειο∆ηµοκρίτειο ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΘράκηςΘράκης, , ΤµήµαΤµήµα ΠολιτικώνΠολιτικών ΜηχανικώνΜηχανικών, , ΤοµέαςΤοµέας ΜηχανικήςΜηχανικής, , ΕργαστήριοΕργαστήριο ΑντοχήςΑντοχής τωντων ΥλικώνΥλικών11

ΠολυτεχνικήΠολυτεχνική ΣχολήΣχολήΤµήµαΤµήµα ΠολιτικώνΠολιτικών ΜηχανικώνΜηχανικών

∆∆ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΘΡΑΚΗΣΡΑΚΗΣ

∆ικτυωτοί∆ικτυωτοί ΦορείςΦορείς

ΜόρφωσηΜόρφωση ∆ικτυώµατος∆ικτυώµατος

ΥπολογισµόςΥπολογισµός ∆ικτυωµάτων∆ικτυωµάτων

ΜέθοδοςΜέθοδος τωντων κόµβωνκόµβων

22

∆ικτυωτοί Φορείς - Εισαγωγή

Οι φορείς που χρησιµοποιούνται στις διάφορες κατασκευέςείναι δυνατό να καταταγούν, από άποψη εσωτερικήςσυµπεριφοράς, σε δύο βασικές κατηγορίες :

• δικτυωτούς και• ολόσωµους

Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε την ανάλυση τωνδικτυωτών φορέων, ενώ η µελέτη των ολόσωµων φορέωνθα αποτελέσει το αντικείµενο του επόµενου κεφαλαίου

33

∆ικτυωτοί Φορείς - Εφαρµογές

• Σκεπές κτιρίων

• Βιοµηχανικά Υπόστεγα

• Γέφυρες

44

∆ικτυωτοί Φορείς - Εφαρµογές

5

∆ικτυωτοί Φορείς - Εφαρµογές

6

∆ικτύωµα Pratt

7

∆ικτύωµα Howe

8

∆ικτύωµα Baltimore (Pratt)

9

∆ικτύωµα Warren

10

Συνήθη ∆ικτυώµατα Γεφυρών

1111

ΜόρφωσηΜόρφωση τουτου ∆ικτυώµατος∆ικτυώµατος

• ∆ικτυωτός φορέας ή δικτυωτός δίσκος ήδικτύωµα -ο φορέας εκείνος ο οποίος αποτελείται από έναπεπερασµένο πλήθος υλικών σηµείων τα οποίασυνδέονται µεταξύ τους µε δεσµικές ράβδους

• Τα υλικά σηµεία λέγονται κόµβοι, ενώ οι δεσµικές ράβδοιλέγονται ράβδοι του δικτυώµατος

12

ΜόρφωσηΜόρφωση τουτου ∆ικτυώµατος∆ικτυώµατος

Είναι προφανές πως η θέση τριών σηµείων που δεν κείνται επίευθείας, ορίζεται µονοσήµαντα όταν τα σηµεία αυτά συνδεθούνµε τρεις ράβδους. Συνεπώς το τρίγωνο αποτελεί το απλούστεροισοστατικό δικτύωµα.

Με βάση το τρίγωνο είναι δυνατό να µορφώσουµε πιο σύνθεταδικτυώµατα, λαµβάνοντας υπόψη πώς η θέση ενός κόµβουσχετικά µε το τρίγωνο ορίζεται µονοσήµαντα, όταν ο κόµβοςαυτός συνδεθεί µε τις κορυφές του τρίγωνου µε δύο ράβδους

Στερεό Μη Στερεό

1313

Μαθηµατική σχέση κόµβων-ράβδων

Το δικτύωµα θα έχει σχήµα γεωµετρικά ορισµένο, όταν οαριθµός των κόµβων του συνδέεται µε τον αριθµό τωνράβδων του δικτυώµατος µε µία µαθηµατική σχέση

Αν Κ ο αριθµός των κόµβων και ρ ο αριθµός των ράβδωντου δικτυώµατος, οι τρεις κόµβοι που ανήκουν στο αρχικότρίγωνο συνδέονται µε τρεις ράβδους, ενώ καθ’ ένας απότους υπόλοιπους (Κ-3) κόµβους συνδέεται µε τουςπροηγούµενους κόµβους µε δύο ράβδους ,δηλαδήσυνολικά έχουµε

ρ = 3 + 2(Κ – 3) = 2Κ -3

ράβδους για ισοστατικό δικτύωµα

1414

ΜαθηµατικήΜαθηµατική σχέσησχέση κόµβωνκόµβων--ράβδωνράβδων

Το δικτύωµα στο οποίο δεν συµπεριλαµβάνονται ταστοιχεία σύνδεσης του µε το έδαφος, ονοµάζεταιελεύθερο δικτύωµα, ενώ όταν στο ελεύθερο δικτύωµαπροσθέσουµε και τα στοιχεία σύνδεσής του µε τοέδαφος, τότε αποκτούµε τον δικτυωτό φορέα, οοποίος µπορεί να αναλάβει οποιαδήποτε φόρτιση.

Επειδή η ισοστατική στήριξη του ελεύθερου στερεούισοδυναµεί µε τρεις δεσµικές ράβδους έπεται πως γιατον εσωτερικά και εξωτερικά ισοστατικό δικτυωτό φορέααπαιτούνται

ρ0 = (2Κ – 3) + 3 = 2Κ

1515

Μόρφωση του ∆ικτυώµατος

• Στην περίπτωση που ο αριθµός των ράβδων τουδικτυώµατος είναι ο ελάχιστος απαιτούµενος για τονπλήρη καθορισµό της θέσης των κόµβων του, δηλαδήτου σχήµατος του δικτυώµατος, τότε το δικτύωµα λέγεταιισοστατικό.

• Όταν ο αριθµός των ράβδων του δικτυώµατος είναιµεγαλύτερος απ’ αυτόν που απαιτείται για τονκαθορισµό του σχήµατος του, το δικτύωµα καλείταιυπερστατικό.

• Και όταν ο αριθµός των ράβδων του δικτυώµατος είναιτέτοιος, ώστε να µη ορίζεται το σχήµα του, τότε τοδικτύωµα αποτελεί µηχανισµό

16

ΜαθηµατικήΜαθηµατική σχέσησχέση κόµβωνκόµβων--ράβδωνράβδων

1. Αν ρ = 2Κ – 3 έχουµε ισοστατικό δικτύωµα

2. Αν ρ > 2Κ – 3 έχουµε υπερστατικό δικτύωµα

3. Αν ρ < 2Κ – 3 έχουµε µηχανισµό

17

Απλοποιητικές ΠαραδοχέςΟι κόµβοι όπουσυνδέονται τα στοιχείαλειτουργούν σαναρθρώσεις

Τα φορτία και γενικά οι εξωτερικές δυνάµεις ασκούνταιµόνο στους κόµβους του δικτυώµατος

Το ίδιο βάροςκάθε στοιχείουείναι αµελητέο

1818

ΕφελκυσµόςΕφελκυσµός -- ΘλίψηΘλίψη

Εφελκυσµός (T)T T

A

B

C

Θλίψη (C)

C C

• Εάν η τάση της ράβδου έχει κατεύθυνση προς τηνάρθρωση, η ράβδος βρίσκεται σε κατάσταση θλίψης (C),

• εάν αποµακρύνεται από την άρθρωση, η ράβδος βρίσκεταιυπό εφελκυσµό (T)

19

Απλή Ανάλυση – Ισορροπία τριγώνου

P

TAB TBC

TBCTAB

TAB TBC

TAC TAC

TAC TAC

AxAy Cy

P

A

B

C

2020

Μέθοδος των Κόµβων(γενικά)

Οι δυνάµεις στα µέλη ενός δικτυώµατος µπορούν ναπροσδιοριστούν µε την µέθοδο των κόµβων. Η µέθοδοςβασίζεται στην εξέταση της ισορροπίας των κόµβων τουδικτυώµατος• Πρώτα, λαµβάνονται οι αντιδράσεις στις στηρίξειςθεωρώντας το δικτύωµα ως ελεύθερο σώµα.• Έπειτα αποµονώνουµε, ένα προς ένα, όλους τους κόµβουςτου δικτυώµατος και γράφουµε για τον καθένα από αυτούς τιςδύο εξισώσεις ισορροπίας του συστήµατος των συντρεχουσώνδυνάµεων που ενεργεί στον υπόψη κόµβο• Έτσι βρίσκουµε τις δυνάµεις που εξασκούν οι ράβδοι στουςκόµβους του δικτυώµατος. Οι δυνάµεις αυτές είναι ίσες καιαντίθετες µε τις δυνάµεις που εξασκούν οι κόµβοι στιςράβδους, δηλαδή µε τις τάσεις των ράβδων και οµόσηµες

21

ΜέθοδοςΜέθοδος τωντων ΚόµβωνΚόµβων((βήµαβήµα--βήµαβήµα))

1. Εντοπίζουµε ένα κόµβο στον οποίο να συντρέχουν δύο τοπολύ ράβδοι άγνωστων τάσεων

2. Κατασκευάζουµε το ∆ΕΣ του κόµβου τοποθετώντας σ’ αυτότις εξωτερικές δυνάµεις που εξασκούνται στο υπόψη κόµβοκαι αντικαθιστώντας τις ράβδους που συντρέχουν στον κόµβοµε τις τάσεις τους (επειδή δεν γνωρίζουµε τις φορές των τάσεων, τιςσχεδιάζουµε όλες να αποµακρύνονται από τον κόµβο και κατά συνέπειαεφελκυστικές, δηλαδή θετικές)

kN kNkN kNkN

22

ΜέθοδοςΜέθοδος τωντων ΚόµβωνΚόµβων((βήµαβήµα--βήµαβήµα))

3. Στον υπόψη κόµβο δυνάµεων γράφουµε τις δύοεξισώσεις ισορροπίας

ΣFx = 0 , ΣFy = 0

kN kNkN kNkN

23

ΜέθοδοςΜέθοδος τωντων ΚόµβωνΚόµβων ((βήµαβήµα--βήµαβήµα))4. Προχωρούµε στη συνέχεια σ’ ένα άλλο κόµβο στον οποίονα συντρέχουν δύο το πολύ ράβδοι άγνωστων τάσεων καιεφαρµόζουµε µε τον ίδιο τρόπο τα βήµατα 2 και 3

kN kNkN kNkN

2424

Μέθοδος των Κόµβων(βήµα-βήµα)

5. Προχωρώντας από κόµβο σε κόµβο, συναντάµε τονπροτελευταίο κόµβο του δικτυώµατος όπου έχουµε ένανάγνωστο και δύο εξισώσεις.

a. Τη µία εξίσωση χρησιµοποιούµε για τον υπολογισµό τουαγνώστου και την άλλη για έλεγχο των αποτελεσµάτωνµας.

b. Στον τελευταίο κόµβο έχουµε δύο εξισώσεις οι οποίεςπρέπει να επαληθεύονται από τις τιµές των τάσεων πουέχουν ήδη υπολογιστεί(δύο επιπλέον εξισώσεις γιαέλεγχο της ακρίβειας των αποτελεσµάτων της ανάλυσηςτου δικτυώµατος)

25

kN kNkNkNkN

kN

26

Σηµείωση : Σε µερικές περιπτώσεις είναι δυνατό νααποφύγουµε το βήµα 3

i. Όταν σ’ ένα κόµβο συντρέχουν τέσσερεις ράβδοι, οι οποίεςανά δύο βρίσκονται στην ίδια ευθεία, τότε οι συνευθειακέςράβδοι έχουν ίσες τάσεις y

x

FBF

FCB

FBA

27

ii. Όταν σ’ ένα κόµβο συντρέχουν τρεις ράβδοι από τις οποίεςοι δύο είναι συνευθειακές, ενώ η τρίτη έχει τυχούσαδιεύθυνση, τότε η ράβδος τυχούσας διεύθυνσης έχειοπωσδήποτε µηδενική τάση, ενώ οι τάσεις τωνσυνευθειακών ράβδων είναι ίσες

28