5
A fuzzy set analysis for a fracture and fatigue damage response of composite materials A. Muc * , P. Ke z dziora Institute of Mechanics and Machine Design, Cracow University of Technology, ul. Warszawska 24, 31-155 Krak ow, Poland Abstract Experimental data, especially for fatigue tests, have ranges of scatter aected by variability in material microstructure from one test specimen to another. In order to avoid such problems and on the other hand, to include variability in mechanical and geo- metrical properties a fuzzy set approach have been adopted to the analysis of matrix cracking in cross-ply laminates. With the use of ®nite element modelling values of the J-integral have been evaluated as well as the shear lag eects have been studied. Numerical results have been presented for plates with cracks subjected to remote tension. Ó 2001 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. Keywords: Fuzzy set analysis; Fracture and fatigue damage; Composite materials 1. Introduction Many observations have con®rmed that the initiation of damage in multidirectional laminates is often by matrix microcracks in the o-axis plies running parallel to the ®bre direction in those plies see e.g., [1,2]. In [3,4], it has been demonstrated that the crack density in the o-axis plies reaches an asymptotic saturation state, called the characteristic damage state CDS) at which they form roughly regular pattern. The transverse ma- trix cracking saturates from the beginning of the fatigue process and leads to the decrease of the laminate sti- ness. However, although the phenomenon is well-known there are continuous problems with a correct and ac- curate prediction of the laminate behaviour with the increasing number of fatigue cycles for dierent com- posite plies, layups, loading and boundary conditions. Up to now the description is rather qualitative than quantitative since the experimental results have com- monly ranges of scatter and in this way may give an information about a general trend of the fatigue process and mechanisms only. The variability in experimental data is mainly a result of variability in material micro- structure and variability in testing conditions. In the description of fatigue problems there are commonly employed well-established methods of probability the- ory. However, for situations when we do not have suf- ®cient experimental data or the values of parameters are of a non-stochastic nature, the fuzzy-set approach has been proposed [5±7] as a better and more natural ap- proach. Among the advantages of the fuzzy set ap- proach over the probabilistic one, we can mention: 1. the simple estimations of the probability of results with no probability distributions, 2. the easy implementation in conjunction with numeri- cal methods e.g., ®nite element analysis). The aim of the present investigations is to consider ranges of variation of cross-ply laminates in the re- sponse to the appearance of transverse cracks. Both cracks as well as material parameters of the laminate have pre-selected variations fuzziness). To achieve this objective, a fuzzy-set based approach in conjunction with a ®nite element analysis and fracture mechanics is employed. The material response is taken to be linear elastic the linear elastic fracture mechanics). The anal- ysis aims in constructing upper and lower bounds for various parameters. 2. Modelling and description of matrix cracking The ®rst simplest analysis of failure have been de- veloped using ply failure degradation model. As a single ply fails, it is assumed that the transverse Young's modulus and the axial Kirchho's modulus are reduced to zero, and then a new stress analysis is performed. Composite Structures 54 2001) 283±287 www.elsevier.com/locate/compstruct * Corresponding author. Tel.: +48-12-648-4531; fax: +48-12-648- 4531. E-mail address: [email protected] A. Muc). 0263-8223/01/$ - see front matter Ó 2001 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. PII: S 0 2 6 3 - 8 2 2 3 0 1 ) 0 0 0 9 9 - X

A Fuzzy Set Analysis for a Fracture and Fatigue Damage Response of Composite Materials

Embed Size (px)

DESCRIPTION

fuzzy

Citation preview

� ����� ��� ����� � � ������� � ������ �������� �� � � �� ���� �������

�� ��� �� �� ������ ���������� � ��� ���� �� ����� ������� �� ��� ���������� � ����������� ��� � ��� ��� ��� !"!## $� ����� %�� ��

��������

���������� ��� ��������� � � ������ ������ ��� ���� � ������ ������ �� ��������� � ������ ���� ��������� �� � �

���� ������� � ����� ���� � � �� ���� �� ����� � ��� ���� ��� � ������ ��������� � ������� � �� !

������� �� ������� ����� ��� ��� �� ��� ��� � ���� � ��� ����� � ����� ���"�� � �� ��!��� ������� #��� ��� ��� �

$��� ������ � ������ ����� � ��� &!������ ��� ��� ������� � %��� � ��� ���� �� ������ ��� ��� �������� &�������

������� ��� ��� �������� � � ����� %��� ���"� ���'����� � ��� �� ���� � � ())* �������� +����� ,��� ��� ������ ���������

$�������' -���� ��� �����. -������ � ������ ����. / �� ���� �������

� ���� ������

�� ������� � ��� � $���� ��� ��� ������ � ���� � ������������ � ������ �� ��� ������� ���� ���"� � ��� �!��� ����� ���� ������� ��� $��� ������� � �� �� ����� ��� ����� 0*�(1� 02�31��� �� ��� ��� ������ ��� ��� ���" ������ � ��� �!��� ����� ������ ����� ��� ������ ���������� ��� ������������ ���� ���� 4/5+6 � %�������� � �� � ����� ������ ������ 7�� �������� �!���� ���"�� ������� �� � ��� ������ � ��� �������� ���� � ���� � ��� ������� � ��� ����� ����!���� 8 %����� ��� ��� ��� ��� �� �� %���!" %����� �� � ��� �� �� ����� %��� � ����� � �!����� �������� � ��� ����� ����� �� %��� ���������� ����� � ������ ������ � � ������� � �!� ���� ������ ������ � ��� � � ���� � ���� ��9� � % ��� ��������� �� ����� :�������� ��:�������� ���� ��� ���������� ������� ��� � �!� �� ���� � ������ � � ���� %� �� ���� �� ���� � �� ����� ���� � ��� ������ �� ����� �������� ��� 7�� ��������� � ������������ �� ���� ������ � ��������� � ������ ���� !��������� � ��������� � ������ � ���� �� ������������ � ������ �� ����� ����� �� � �� ������ ��� %���!���������� ���� �� � �� ������� ���!

��� 8 %����� � � ������ � %�� %� � � ��� ���!$���� ���������� �� � ��� ����� � �������� �� � !�� ������ ����� ��� �����!��� ��� �� ����� �� � ��� 0;<=1 � ������ � � �� ���� �!�� ��� �� � ��� ������ � ��� ����� ��� �!�� �� ��� ��� �� ��������� �� %� � ���� >*� ��� ������ ������� � � ��� �� ������� � �������

%��� �� ������� ���������� ��(� ��� ��� ���������� � � '���� %��� �����!

�� ���� �� 4����� $��� ������ �����6�7�� �� � ��� ������ ��������� � �� � � �����

���� � ����� � �� ��!��� ������ � ��� ��!�� �� � ��� ������ � �������� ���"�� ? �����"� � %��� � ������ �������� � ��� �������� ���!�������� ����� � 4��������6� 7 ������ ���� �'������� �����!��� ���� ��� �� � � '���� %��� $��� ������ ����� � ������� ������� ������ ���� 7�� ������ ���� �� �� �"� � �� ���������� 4��� ���� ������ ������� �������6� 7�� �!���� ��� � � �������� ����� � � %�� � ��� � ���� �� ���������

� �� ������ �� ���������� �� ������ ��������

7�� $��� �������� ����� � ������ ��� ��� ��!��� ��� ���� ��� ������ ������� � ���� �� �������� ����� �� �� ������ ��� ��� �������� @ ��A�� ����� � ��� ��� ������ �A� � ����� �� �������� ��� � � ��� �% ������ ����� �� ���� �����

/ �� ���� +��������� ;3 4())*6 (B2<(B=

%%%����������� �C� ���C� ��������

� / ����� ��� ��� �� 7���> D3B!*(!E3B!3;2*. ��> D3B!*(!E3B!

3;2*�

(") �� ������' ��"���F������"������� 4�� ���6�

)(E2!B((2C)*CG ! ��� �� � ����� � ())* �������� +����� ,��� ��� ������ ���������

� > + ) ( E 2 ! B ( ( 2 4 ) * 6 ) ) ) H H ! I

J�������� 031 �� ����� ��� � !����� ���� �� � ���%���� ��� ����� ��� ��� � � ������ ���� �"� ����� ��� ����� ��� � ��� ������� � ��� ���"� 8��� 0B1�� � �������� ������ ������ � ��� � ������� � �" % ����� ��� ��������� ��� ������ �����!�� ��� � ��� ������ � �������� ����� ���"��#� 0H1 �� �� � ��� �� ��������� � ���������� ��� � ������� ���"�� � ������ ���� ������ �� � K%� � $��� ������ ������ 7�� �!�� ����� ��� �� �� ����� �� ������ �����"�� � ���������� ����� �� � ��� ���"�� ��������� 7���� ��������� ���������� ������ � ��� � ��� �� ���� ��� ���" � ��� ���������� � ��� ��������K% ���� ���������� � �� ��� ������ ��� K% ��� ��������� ������ ��� �� �������� � ���� � �� � 7�������� ������� ������ ������ �� �� �"� �� � !������� � � 0H1�

� ������������� ����� ���

,�� �� � ����� ��� �� ��!��� ����� �)�� H)���� �� ��� � ��� �� ���� 4�:�� � * ��6 � � ��� *������� � 7�� ����"��� � ��� �������� ��� �� �:��� �� � ��� ��� � �� ����"��� � ��� ����� �� �:�� � (��� (��� 7�� ���" �� ��������� �� ��� ���� � ��� �������� � ��� � ���� � ��� ����� ��� 7�� �� ���!���� �������� � ��� ����� � � ��� ���" ���� % � -��� *�

7�� ���" �� �%�� ��������� %��� ������� � ��� *���� 7���� �� ��� � ��� ����� �� ����������� %������ ��� � $��� �������� 7�� ���� ��� ��� � ���������� *;2E (!5 ����� �� �� �������� ��� ������ ���!���� ��� � ��� ���" ��� ��� �� ���� ����� 7������"��� � ��� ����� � ��� � ������� �� ������ � ���:�� � �� ��� �� ������� :������� �� ���� � ���

#��� ��� �� � ��� �������� $��� ������ � ��� ���&!������ ��� ��� � ������� ����� � �������� ������ �� �� ��$�� � � �� %�>

� ������* � ��*���� �*�

%���� � �� ��� ���� ������ � �� ���������� ���� � �� � �� ��� � � ��� �* �� ��� ��� ���� � � �!

� ��� *� �� ��� ��������� � ��� ���������� � � ����� ����� ���� � � ��� ��� � �� � ��� � � �� �� ��� ��� � � �� ������ �� � ��� ���" ��� � � ��� �� ��� ���" ��� � ��!�� �" %��� ������� ����� ��� ���� ���" ���� 7��� &!������ �� ��� � �� ��� ��� � ���� � � ����� ����� %��� ������� � ��� ���" ����� � - � ��� ���� ������ ������ ��� &!������ �� �:�� � ��� ����� ������ ��� +� +��� �������� �� ���'����� � ��� ��� �� ���� ��� $���� �� �� �� ����� ������ ��� ������ � ��� &!������� � � �� ��� �� �"� � � ��� $��� ���������� � ����� � :������� � �:� 4*6 �� � ������� ��� ������ ������

��� ������� ������ ��� ��� �� ������ � ����� � ��� C�� �� ���� ���� ��� � �� %�� �!����� �� ������� 4������ � �� %��� �� ������� ���� ��� �����6>

�* � ()) L�� �( � *( L��

*( � B L�� (2 � *( � B L��

*2 � )�E � *( � 3�B L�� �*( � )�2�

�(�

���� � ������ ��� ����������� � ��� �� � ������� � � ��� ������� � ������ � ��� ������������ ����� %��� ��� ������� ����� � �:����� �� ��� � � ��� �� ���� %��� ����� ���" ���!'����� � ���� ��� ��� � ���� < ��� ?� �" 0*)1� 5��� ��� ����� ��������� � :����� � ��� ���� ������ ����� � ����������� %��� ��� ��� � =EB $����������� ��� ������ � ��� &!������� �% � !� �� ���� �� �"� � � ���� ��� �������� ��� � !� �� ���� ��� � �� ��� ���" ��� �� � � %�� ���"��� �� � ��� � � ���" ������ � � ��� $��� ����������� �� �� ��% ����������� � -��� (�

7�� ������� � � ������ � �� �������� � 7��� *� ������ %��� ��� ������ �������� 7�� ������� ��!�%�� ���� ����� � �� ���� � �� ������� � ���!��� �� �% ������� � � �� ���� �� �%�� �"��� � ������� � � ���� � ������� � ������ ��� ��� � ������ � ��� ����

-��� *� 7�� �� ������� �������� � ��� ����� %��� ��� ���"� -��� (� / � �� ���� � ��$��� ��

(B3 ,� ��� %� $������� - ��).����� /��������� #� 0�11!2 �3 4�35

� ��� ������ �����

M�������� 4��������6 � �������� 4 � � ����� ������� �������� ������� ����6 �� ��� ����� �� ���������� !����� ���������� ����� ����� * �� ��� ����� ������������ �������� ��� ������ ������ ������������� ����� �� ������ � �� ������� ��� % � -��� 2�

7�� ���������� ����� �� ������� ���������� � ��� ����� ������� *� 7���� �� �� �:������� ��� �� ���������� ����� � �!���� ��� -��� 2�7�� �!��� �� ��� ��� ������ ���� � %���� ��� � ���!������ � * �� � ���� �:�� � �� ��� ������ ���� �� ������������� ����� � � �� ����� ��������� � � *� (� � � � ��� �� ����������� ���� ������ �!�����5������ ���� � ����� � �� � ���� �� ��� ���� 46� ��� ����� 4�6 �� � ���� 7�� ����� � � ���!�� � � �� %����� � ��� � �� %�� � �� 4 � �� � ���� ������� ���������� ����� �6>

���� � (� � � )� � � *�* � � � � *�

��2�

7�� ���� � ����� � �� �������� � ����� ��� ����� 4� � *� (� � � � �����6� +��� ��� &!������ �� ������ ���� ����� ���� �� � ��� ���� ����� ��������� ������ ����� � �� %����� � ��� � �� %�� � ��>

� � � ��*� �(� � � � � ��� � � ������� �3�%���� 6 ��� ��� ����� %���� �� ������� � �!������ %�� - � ���� �!���� ��� � ����� ��� �!����� � ��� &!������ �� ����� �� � ��� ����� 4���0**16>

��� � �

��

� � � �� ��� � ������� �

� �� ��� � ������� �� �

�� �� � � *� (� � � ������ �;� ��� �� ������� ���� � �!��� � �������� �����!���� � ��� 7!������ � ����� %����� ��� &!������4��� ���� ��6 �� � ���� � ��� � � * ������ � - � ���

������� � � ������� � ��� �� ����� ��� � � (� � ��� ��� �!��� �� �������� -��� 3� �� �� �� �� �������� � ��������� ���������� � ���� � �� � �������� �������� �:� 4;6 � �%��� � �!���� � ������� � ���!������ ������ ���� �� � ) � *� ����� ������ �� � ��������� �������� 4� � )6 � $����� � ��� � ��4� � *6� � ��� �������� ����� 436 �� � � ������������ 4��������6 ����� %��� ������� � ���������� �:� 4;6 ����� �%�� ��� � ����� � ��� 4����!��� �6 � ��� ���� �� �����

!�������� �������

��� ������� ����� � �� �������� �� � !������� � �� ������ ����� ����� ������� ����!���� < @ ��A� � ���� �*��(� ������ �A� � ����� *(

� � �� ������� ������� ��������� ��� � ���� � ��� ���" ����� ��� - � ��� ������� ����������� ��� ���� � ����� ��� � � � * 4-��� 26 ���"� � �� �:�� � ��� ���� � �:� 4(6� 7���� ���!������ 4��������6 �� �"� � �� �:�� � *)N %�������� %��� ������ ���� � ������ � ���������� ���� � ����� ������ � �� ������ ��� ��� � ���� � ������" ����� � ��� � ��� ������ 0)� ��C31 4�� ��� � ������� � ��� �����6� 7�� ������ � ��� ����������������� ����� � �� �%�� � ���� � ��� ������ ���� ������� ��������� ����� � � ��� ��������� ��� ��� �� ��������� ��� ��� � �� � ��� ��������������� �� ��� ������ � ��� ������ �� ���� � -��� 2� �� ������� �� ���� ����� �������� ������!���� � ���� � � ������� � ������ ��� ������� � � ��� ��� ������ � �������

7�� � ��������� ���������� � � ��� ���� �� :������ ��� ���� � ��� &!������ � � � )� )�; � * ���������� � -��� ;� 7�� ���� �� �� �� ���� � ��� ��!���� ���� � �� � �� �� �������� � ��� ���� � ��� &!������ � � �� �� ��� ����� 7�� ���� �� �������� ���������� � ��� +���� 2 < ��� �� 7��� *� 7���� �� ������� ������ �� � � ��� ����� � %�� ��� �������� �������� 8 %����� � �� �� �� ��� ����� �� ��" � ��� �������� %��� ������� � ��� ����� � � *�7����� �� �� �� ������� � � ����� ��� ����� � ������� � �� ������� �� ������� ���� ��� ��������!�� � � �� ������ �� � ����������-��� 2� 7������ ���������� ����� �

-��� 3� 8��������� � (!������ � ���� 4� � (6�

7��� *

/ ����� � ������ � ������� ����� � ��� &!������

��� ��� ������� �*)�)�*32=3 �!)3 )�*;*BH �!)3 )�*;*(( �!)3

,� ��� %� $������� - ��).����� /��������� #� 0�11!2 �3 4�35 (B;

9��� ��� ������� �� ���� � -��� ; �� �� � ������ �� � ����� ��� ����� � ��������� ���������� � ����!������ ����� � � ��� ��������� �� �����

7�� ������� ���%�� ��� ����� ��� � ���"�� ��� �������� ������� � ��� &!������ ���� �� ������������ ������ � ��� ����� ���"��� 7�� ������ �� ��������� %��� ��� ��� � ��� ������ ��� � ����� �� ��$�� � ��� � �� %�� %�>

��*� � ���� ��)�� �E�%���� + �� ��� ��� ����� ������ ��� 4�:����������� � ��� ���� � ��� &!������6� � �)� �* �� �������� � �% ����� ��� � ���"�� 7�� ���� ��)6� ����� �� � ��� ������ %�� � ���" ���� �������� �) ������ �� � ��� ������ ���� � �"��� �� �� ��� ������ ���� ����� � �% ����� ��!� � ���"�� ��� ����� � �� ������� ����� �������� ��� ��� ��� ����� � ��� � �� � ��� ��� �)��*� ��� ������ ��� ��� ���� � ��� � ������� ��� �� � ��� ������ �)�;� *�)�� 7�� ������� � � ������ � ��

�� ���� � -��� E� �� �� �� �� ������ ����� �� ���!�$�� �K���� � ��� ��������� � �������� �������� � ��� ������ ��� � ���� � �� � � ���������� �� � ��� � ������� ��

9� � %� ���� ��� � �� ���� � �� �� � ������ � ������ ��� ������� ������� � ��� ����� � ���/5+ ����� %��� �� ������� ���� � ����� ��� �!� ���� � �� ��� ��������� � �� �������� ��!������� ��� �������� ����� ���"��� � %��� ����������� � ������ � ��� ��� % �"�

" �����������

� ����� ���!���� ��� �� �� ���� � � '���� %��� ��� $��� ������ ����� � ����� ��� ��������� ��� ������� � ������� �������� � ��� ����������� ��� ���� �� 4��� &!������6 � ��� �� ��!��������� 9� � % ��� ���� �� �� ��������� �� ������� �� � ��� ���� ������ ������� �������� &�!������ ������� �� � ������ � � ��� ������ �� ���� �� '���� � ��� ������� � ������ �� ����� %���������� � ��� ������� ������� 4������� 6 �������� �� ���� � �������� ����� ���"��� 7�� ����!������ ����� � �������� ��� ����� � � �� �� ������� � �� ������� ������� �� � �� � ������ �>*� +���$���� ����� ��� � ��������� � ���!

������ � ��� ����� ���� �� :����� � ����� � ��� ����� � ����� � � � ������� ���

(� /���� � ����� � � �������� �� � �� ��������� ����� %��� ��� ����� � ����� � ��� &!������� � ��� ������ ��� �� � �� �� ��� ��� �� ���� �������� � �� � ���% � ��� ������� � ���� ������ � ��� ������� ������� ��� � �!���� ���"���

2� 9��� ��� � �� ���� � �� �� � ������ � ������ �� ������ � ���� ���� ������ %�� �� �� ���!��� � ��� ������� � ��� ������� ���������

�����#�� �������

7�� ���� �� �� � ��� �?& ���� ��� ��� �?!B3=C7)=CHBC*3 �� ��������� �" %�������

$���������

0*1 8��� O� ������ � ���� � � �� ���� �������� > ? �����

P�� ���� �� @������� ���� � ������ � �� �� ��� � �����

4�L- ;6� , � > ������� �������� �������� �. *HH)� ��

2<2*�

0(1 8�������� �,� J�������� �,� +������!������� �������� �

� �� ���� ������� > J�������� �,� ���� �� 5��� �

� �� ���� ������� 4�+7� +7� ==;6� ����������� ��> �+7�.

*HB(� �� *)2<*=�

021 J�������� �,� -����� � � �� ���� �������� &�% @ �">

��������. *HH)�-��� E� M���� � � ��� ����� ������ ��� ������ ��� ��

-��� ;� M���� � � ��� &!������ ������

(BE ,� ��� %� $������� - ��).����� /��������� #� 0�11!2 �3 4�35

031 J�������� �,� ������ � ������ ���� � � �� ���� ���!

���� � P -����� *HB).2>2<**�

0;1 �����" � � ���� ���������� � ������ � ���� ������

����������� / ���� Q +����� *HH2.;>B=*<H;�

0E1 /��� #,� 5 � #�� # � -+� 5���� ���� �� �

���������� %��� ������ ��������> � ������� ����� �

�� ��������� � ����� ��� � ����� �� ������� �� ����

*HBB.(>B(<H*�

0=1 M���� +� ��� 75� ���� !������ $��� ������ ����� %���

����� ��� ��������� � P &�� ���� �� *HH;.2B>;2*<3B�

0B1 8��� O� ������ � ���"�� ������> ����� � ��� ���

���� �� *HB;.3>*(*<2E�

0H1 #� �+5� +������ � ����� ���"�� � � �� ���� ���!

���� > � � + ��� /�� � � + ��� /�� -����� �P��

���� ��� ������� � � �� ���� ������� Q ����������� � �� *�

*HHB� �� (*2<(2�

0*)1 ?� �" 5� �������� �������� ������� �������� &�'� �>

8���. *HB(�

0**1 5 � #� +�� #/� M����� ���� � � � � ������ ����� � �

����� �������� -���� +��� Q +����� *HB=.(3>E;<=B�

,� ��� %� $������� - ��).����� /��������� #� 0�11!2 �3 4�35 (B=