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MECÁNICA DEMEDIOS CONTINUOSEL SÓLIDO DEFORMABLESEGUNDA EDICIÓN
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Santiago Hernández IbáñezArturo N. Fontán Pérez
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ISBN 978-84-8408-989-6
El objetivo de este libro es servir de fuente de información para los alumnos de los grados y máster de ingeniería en el ámbito de Mecánica de Medios Continuos que es una materia fundamental como base cientí�ca para otras asignaturas. El contenido se inicia con una breve introducción y se pasa seguidamente al estudio de las relaciones cinemáticas de los sólidos deformables, tanto en el sistema de referencia inicial como en el �nal. Se presentan diferentes de�niciones para el concepto de deformación y se obtienen los diferentes tensores resultantes. Tras ello se relata la obtención de las ecuaciones de equilibrio de los medios continuos y los tensores de tensión que pueden de�nirse, como son los de Cauchy, Kirchhoff o Piola-Kirchhoff. El siguiente capítulo está dedicado a describir diversos tipos de ecuaciones constitutivas de materiales, desde el comportamiento más general al isótropo y la incidencia que ello tiene en la matriz que de�ne las ecuaciones constitutivas.
En este texto, como es habitual, hay un bloque dedicado al estudio de los casos de elasticidad bidimensional, como tensión y deformación plana, que resultan muy útiles para que el estudiante adquiera soltura en la resolución del problema elástico y obtenga soluciones para algunos casos que representan de forma adecuada situaciones de la vida real.
El libro no solo contiene capítulos dedicados a elasticidad lineal o plasticidad, sino que también describe muy detalladamente otras formulaciones como la hiperelasticidad, la viscoelasticidad, la viscoplasticidad o la elasto-viscoplasticidad que son de gran importancia y aplicación actualmente para el estudio de materiales poliméricos o biológicos.
SEGUNDAEDICIÓN
MECÁNICA DEMEDIOS CONTINUOSEL SÓLIDO DEFORMABLE
SEGUNDA EDICIÓN
Santiago Hernández IbáñezArturo N. Fontán Pérez
Para Pilar, Guillermo, Carlos y Dani
Para Ro, Lois y Carme
2ª Edición, Santiago de Compostela. 2017
© Andavira Editora, S. L., 2017 Vía de Édison, 33-35 (Polígono del Tambre) 15890 Santiago de Compostela (A Coruña) www.andavira.com · [email protected]
© Santiago Hernández Ibáñez© Arturo N. Fontán Pérez
Impresión y encuadernación: Tórculo Comunicación Gráfica, S. A.
Impreso en España · Printed in Spain
Reservados todos los derechos. No se permite la reproducción total o parcial de esta obra, ni su incorpo-ración a un sistema informático, ni su transmisión en cualquier forma o por cualquier medio (electrónico, mecánico, fotocopia, grabación u otros) sin autorización previa y por escrito de los titulares del copyright. La infracción de dichos derechos puede constituir un delito contra la propiedad intelectual.Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra. Puede contactar con CEDRO a través de la web www.conlicencia.com o por teléfono en el 91 702 19 70 / 93 272 04 47.Andavira, en su deseo de mejorar sus publicaciones, agradecerá cualquier sugerencia que los lectores hagan al departamento editorial por correo electrónico: [email protected].
Depósito legal: C 111-2016ISBN: 978-84-8408-989-6
Edita:Andavira Editora, S. L.Praza de Mazarelos, 1415703 Santiago de Compostela (A Coruña)www.andavira.com - [email protected]
ISBN: 978-84-8408-904-9
Dep. legal: C 111-2016
PRÓLOGO
La Mecánica de Medios Continuos, es decir, el estudio de los sólidos deformables y los fluidos ha formado siempre parte de los planes de estudio en la ingeniería civil, mecánica y aeronáutica y también se ha incorporado en otras titulaciones más recientes como la ingeniería de materiales o la biomecánica. En este texto solo se aborda lo relativo a los medios continuos sólidos deformables, es decir, aquellos que sufren modificaciones en su geometría bajo la acción de fuerzas exteriores u otras solicitaciones. No obstante, en futuras ediciones está previsto incorporar todo lo relativo a la mecánica de fluidos.
El objetivo de este libro es que sirva de material docente en las enseñanzas de esta disciplina para los alumnos de las titulaciones antes mencionadas u otras similares. Como requisito previo para entender el contenido solo se necesitan los conocimientos de álgebra lineal y cálculo integral y diferencial que se imparten en los primeros cursos de los actuales grados universitarios, de manera que partiendo de ello este texto puede considerarse autosuficiente.
Históricamente la mayoría de los manuales de este tipo se limitaban principalmente a describir la teoría de la elasticidad lineal de los medios continuos homogéneos e isótropos y la plasticidad. La primera porque aunque es solamente uno de los comportamientos posibles de los materiales más habituales es el que ha servido a lo largo del tiempo para obtener soluciones analíticas a un amplio conjunto de problemas frecuentes en la práctica y ello era trascendental en las épocas previas al desarrollo y generalización del uso de los ordenadores digitales. Además esa teoría está en el origen del análisis lineal de estructuras. En el caso de la plasticidad porque los fenómenos de plastificación en materiales dúctiles, como el acero, o en diferentes tipos de suelo, que son de gran interés en la mecánica del suelo, resultan de elevada relevancia en ingeniería.
Sin embargo una publicación que vea la luz en el siglo XXI debe, por una parte, incluir otros tipos de comportamiento más complejos de los materiales habituales ya que ello redunda en un mayor acercamiento a la respuesta mecánica que tienen en la realidad y por otra incorporar la manera eficaz de estudiar materiales más recientes que no han existido hasta épocas recientes, como los materiales compuestos, u otros que no se habían estudiado desde el punto de vista mecánico como es el caso de los tejidos de los seres vivos.
Por ello a lo largo de los capítulos de este texto se comprobará como el estudio del comportamiento elástico lineal se amplía a materiales anisótropos en general y se
considera tanto la hipótesis de pequeñas deformaciones como la de grandes deformaciones y en el comportamiento plástico se incluye la posibilidad de que exista endurecimiento por deformación en la respuesta resistente. También se realiza el planteamiento de los materiales hiperelásticos, que son a los que se pueden asimilar los productos elastoméricos o los materiales biológicos. Se presenta asimismo la formulación de la viscoelasticidad, que refleja de una manera más adecuada lo que sucede con el hormigón cuando está sometido a cargas de larga duración. Aparecen igualmente los materiales viscoplásticos que pueden servir en estudios geotécnicos y también los elasto-viscoplásticos que reúnen varias de las características anteriores.
Junto al contenido formal que se acaba de comentar, a lo largo de las páginas del libro se presentan, donde ha parecido necesario, algunos ejemplos que sirvan para aclarar las descripciones teóricas que se realizan. Además, al final de cada capítulo se ha añadido un conjunto de ejercicios que pueden ser útiles para que el alumno pueda comprobar si ha entendido con suficiente claridad la información que se le ha presentado en las páginas anteriores.
Los autores esperan que este libro aporte alguna novedad a la literatura técnica ya existente y por ello sea útil a los estudiantes de ingeniería o a cualquier lector interesado por esta disciplina. Serán receptivos respecto a las opiniones y sugerencias que se les hagan llegar pues ello mejorará la obra y también albergan la ilusión de ampliar el contenido en futuras ediciones.
Finalmente, desean mostrar su agradecimiento a Xián Meirás por el esmerado trabajo de edición de cada una de las páginas del libro y a la editorial Andavira por aceptar la publicación del mismo.
A Coruña, Julio de 2017
Los autores
Índice — I
ÍNDICE
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN ......................................................................... 1
1.1. MECÁNICA DE MEDIOS CONTINUOS ............................................................... 1
1.2. EL MEDIO CONTINUO DEFORMABLE SÓLIDO ................................................... 3
CAPÍTULO 2. RELACIONES ENTRE MOVIMIENTOS Y DEFORMACIONES EN LOS MEDIOS DEFORMABLES. ECUACIONES CINEMÁ-TICAS ............................................................................................ 9
2.1. CAMPO DE MOVIMIENTOS EN LOS MEDIOS DEFORMABLES ............................. 9
2.2. TENSORES DE DEFORMACIONES ..................................................................... 12
2.2.1. Tensores en teoría de grandes deformaciones ...................................... 12
2.2.2. Tensor en teoría de pequeñas deformaciones. Tensor de Cauchy ........ 15
2.2.3. Otra definición de deformación. Tensores de Cauchy-Green .............. 18
2.3. DIRECCIONES PRINCIPALES DE DEFORMACIÓN Y DE DEFORMACIÓN ANGULAR
MÁXIMA ......................................................................................................... 19
2.4. ELIPSOIDE DE DEFORMACIONES ..................................................................... 26
2.5. CUÁDRICA INDICATRIZ DE DEFORMACIONES ................................................. 27
2.6. CUÁDRICA DIRECTRIZ DE DEFORMACIONES ................................................... 30
2.7. CÍRCULOS DE MOHR DE DEFORMACIONES ..................................................... 31
2.8. ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD EN TEORÍA DE PEQUEÑAS DEFORMACIONE . 34
EJERCICIOS ............................................................................................................. 37
CAPÍTULO 3. RELACIONES DE EQUILIBRIO TENSIONAL EN LOS MEDIOS DEFORMABLES. ECUACIONES ESTÁTICAS ........ 39
3.1. TENSOR DE TENSIONES EN UN PUNTO ............................................................ 39
3.2. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO ........................................................... 41
3.3. ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN EL CONTORNO .............................................. 45
3.4. TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES ....................................................... 47
3.5. TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS ........................................................... 49
3.6. CUÁDRICAS ASOCIADAS AL TENSOR DE TENSIONES ....................................... 50
II — Índice
3.6.1. Elipsoide de tensiones .......................................................................... 51
3.6.2. Cuádrica indicatriz de tensiones .......................................................... 51
3.6.3. Cuádrica directriz de tensiones ............................................................ 54
3.7. CÍRCULOS DE MOHR DE TENSIONES .............................................................. 56
3.8. TENSORES ESFÉRICO Y DESVIADOR ............................................................... 58
EJERCICIOS .......................................................................................................... 62
CAPÍTULO 4. RELACIONES ENTRE TENSIONES Y DEFORMACIONES EN LOS MEDIOS DEFORMABLES. ECUACIONES CONSTITU-TIVAS ........................................................................................... 65
4.1. MODELOS DE COMPORTAMIENTO DE LOS MATERIALES ................................. 65
4.2. MATERIALES ELÁSTICOS. LEY DE HOOKE GENERALIZADA ............................ 68
4.3. ENERGÍA DE DEFORMACIÓN .......................................................................... 76
EJERCICIOS .......................................................................................................... 79
CAPÍTULO 5. ELASTICIDAD LINEAL BIDIMENSIONAL. DEFORMACIÓN PLANA Y TENSIÓN PLANA ..................................................... 81
5.1. ESTADO DE DEFORMACIÓN PLANA ................................................................ 81
5.2. ESTADO DE TENSIÓN PLANA .......................................................................... 84
5.3. DIRECCIONES PRINCIPALES EN ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL ...................... 86
5.4. CÍRCULO DE MOHR EN ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL .................................. 87
5.5. OBTENCIÓN DEL CAMPO DE TENSIONES EN ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL. FUNCIÓN DE AIRY ......................................................................................... 90
5.5.1. Estado de deformación plana ............................................................... 90
5.5.2. Estado de tensión plana ........................................................................ 91
5.6. PUNTOS Y LÍNEAS REPRESENTATIVAS DE TENSIONES EN ELASTICIDAD
BIDIMENSIONAL ............................................................................................ 92
5.7. ELASTICIDAD PLANA EN COORDENADAS POLARES ........................................ 95
5.7.1. Ecuaciones de equilibrio y relaciones cinemáticas .............................. 95
5.7.2. Estados de tensión plana y deformación plana .................................... 99
5.7.3. Función de Airy en coordenadas polares ............................................. 100
5.8. EJEMPLOS DE PROBLEMAS ELÁSTICOS EN COORDENADAS POLARES .............. 101
Índice — III
5.8.1. Tubo circular solicitado por presiones radiales .................................... 101
5.8.2. Cuña y medio continuo semi-infinito con carga vertical concentrada . 105
5.8.3. Medio continuo semi-infinito con carga distribuida ............................ 110
5.8.4. Chapa delgada con orificio ................................................................... 112
EJERCICIOS ........................................................................................................... 116
CAPÍTULO 6. HIPERELASTICIDAD ................................................................. 123
6.1. MATERIALES HIPERELÁSTICOS ...................................................................... 123
6.2. MODELOS DE MATERIALES HIPERELÁSTICOS INCOMPRESIBLES ..................... 124
6.2.1. Modelo de Mooney-Rivlin ................................................................... 125
6.2.2. Modelo actualizado de Hooke .............................................................. 126
6.2.3. Modelo de Yeoh ................................................................................... 126
6.2.4. Modelo de Ogden ................................................................................. 126
6.3. ENERGÍA DE DEFORMACIÓN EN MATERIALES HIPERELÁSTICOS ...................... 127
6.4. OBTENCIÓN DEL TENSOR DE TENSIONES EN MATERIALES HIPERELÁSTICOS ... 128
6.5. TENSOR DE TENSIONES EN MATERIALES HIPERELÁSTICOS INCOMPRESIBLES. FUERZAS UNIAXIALES .................................................................................... 129
6.5.1. Tensión en el modelo de Mooney-Rivlin ............................................. 131
6.5.2. Tensión en el modelo actualizado de Hooke ........................................ 131
6.5.3. Tensión en el modelo de Yeoh ............................................................. 131
6.5.4. Tensión en el modelo de Ogden ........................................................... 132
6.6. MATERIALES HIPERELÁSTICOS COMPRESIBLES .............................................. 132
6.6.1. Modelo de Mooney-Rivlin ................................................................... 133
6.6.2. Modelo actualizado de Hooke .............................................................. 134
6.6.3. Modelo de Ogden ................................................................................. 135
6.6.4. Modelo de Yeoh ................................................................................... 135
EJERCICIOS ........................................................................................................... 136
CAPÍTULO 7. PLASTICIDAD ............................................................................. 139
7.1. INTRODUCCIÓN .............................................................................................. 139
7.2. CRITERIOS DE PLASTIFICACIÓN EN MATERIALES METÁLICOS ......................... 140
IV — Índice
7.2.1. Criterio de Beltrami-Haigh .................................................................. 140
7.2.2. Criterio de Von Mises-Hencky ............................................................ 141
7.2.3. Criterio de Tresca ................................................................................. 144
7.3. CRITERIOS DE PLASTIFICACIÓN EN MECÁNICA DEL SUELO ............................ 145
7.3.1. Criterio de Mohr-Coulomb .................................................................. 146
7.3.2. Criterio de Drucker-Prager .................................................................. 147
7.3.3. Modelos de Cambridge. Cam Clay y Cam Clay Modificado .............. 150
7.4. COMPORTAMIENTO ELASTOPLÁSTICO EN MATERIALES ................................. 153
7.4.1. Comportamiento elastoplástico sin endurecimiento por deformación 154
7.4.2. Comportamiento elastoplástico con endurecimiento por deformación 156
EJERCICIOS .......................................................................................................... 160
CAPÍTULO 8. VISCOELASTICIDAD LINEAL ................................................. 163
8.1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................. 163
8.2. MODELOS DE COMPORTAMIENTO VISCOELÁSTICO ........................................ 164
8.2.1. Modelos de dos parámetros. Modelos de Maxwell y de Voigt ........... 164
8.2.2. Modelos de tres parámetros. Modelos estándar lineal de Maxwell y de Voigt .......................................................................................................... 169
8.2.3.Modelos estándar lineal generalizados. Modelos de Maxwell y de Voigt 177
EJERCICIOS .......................................................................................................... 184
CAPÍTULO 9. ELASTO-VISCOPLASTICIDAD LINEAL ................................. 187
9.1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................. 187
9.2. MODELO CON DOS PARÁMETROS ................................................................... 188
9.3. MODELOS DE TRES PARÁMETROS. MODELOS DE BINGHAM .......................... 190
9.4. MODELO DE BINGHAM DE CUATRO PARÁMETROS ......................................... 194
9.5. MODELOS CON VISCOSIDAD NO LINEAL. MODELO DE NORTON ..................... 199
EJERCICIOS .......................................................................................................... 200
BIBLIOGRAFÍA ..................................................................................................... 203
Capítulo 1. Introducción — 1
Capítulo 1
INTRODUCCIÓN
1.1. MECÁNICA DE MEDIOS CONTINUOS
La mecánica es la parte de la física que estudia el movimiento y el equilibrio de los cuerpos, así como las fuerzas que los producen, y dentro de esta ciencia, la mecánica del medio continuo es la rama dedicada a los cuerpos materiales extensos, en contraposición a la mecánica del punto material. La mecánica de medios continuos propone modelos para sólidos deformables y para fluidos.
Se entiende como material continuo a un material idealizado cuyas propiedades se pueden definir en un sentido matemático como funciones continuas en el espacio y el tiempo. Realmente la materia está compuesta por partículas discretas ligadas unas a otras mediante fuerzas más o menos intensas y que determinan su estado, sólido, líquido o gaseoso, sin embargo, un análisis a tamaño atómico carece de interés desde el punto de vista ingenieril porque lo importante es que los resultados obtenidos aplicando el concepto de medio continuo sean congruentes con el comportamiento macroscópico observado.
Si un cuerpo actúa como un continuo, independientemente de lo pequeña que sea la porción considerada, las propiedades del material estudiado serán las mismas que las del material original. La asunción de medio continuo permite disminuir un volumen arbitrario de material a un punto, pudiéndose así definir en él cantidades de interés, por ejemplo, densidad, tensión, deformación, entre otras.
Las propiedades físicas tratadas por la mecánica de los medios continuos son independientes del sistema de coordenadas con el que sean observadas, por lo que pueden
2 — Capítulo 1. Introducción
representarse con tensores, conceptos matemáticos que cumplen con la propiedad de ser independientes del sistema de referencia.
La mecánica de medios continuos permite determinar el comportamiento interno de un cuerpo en respuesta a las fuerzas externas que actúan sobre él y proporciona la base para campos de la ciencia tan variados como resistencia de materiales, hidráulica, ciencia de materiales, mecánica de rocas, hidrodinámica, aerolasticidad o biomecánica. En disciplinas como la mecánica de rocas, la hipótesis de continuo no es completamente válida y es necesario complementar la mecánica de medios continuos con teorías específicas.
El comportamiento de un modelo de medio continuo puede describirse aplicando las leyes fundamentales de la física tales como la conservación de la masa, la conservación del momento o la conservación de la energía, y los principios de comportamiento propios de cada material idealizado, que se denominan ecuaciones constitutivas, y tienen en cuenta sus características particulares.
Desde el punto de vista de las metodologías de estudio, un medio continuo puede analizarse mediante formulaciones teóricas, ensayos en laboratorio utilizando modelos a escala y/o métodos computacionales, es decir, modelos numéricos. En este último caso, la mecánica computacional y los enormes avances de los ordenadores digitales han permitido resolver problemas considerados irresolubles hasta hace tan sólo unas décadas.
Los medios continuos pueden clasificarse atendiendo a su comportamiento mecánico en sólidos deformables y fluidos, cuya diferencia fundamental es que en los primeros las tensiones en un punto e instante dados dependen de la deformación de dicho punto, es decir, de la diferencia entre la configuración inicial y la final, mientras que en los fluidos, las tensiones en un punto e instante dados dependen de la presión y de la velocidad de deformación, pero no de la deformación misma.
La reología, que marca la frontera difusa entre la mecánica de sólidos deformables y la mecánica de fluidos, es la ciencia que se ocupa de los materiales que se comportan inicialmente como sólidos, pero que con el tiempo fluyen igual que los líquidos.
Los parámetros que caracterizan al material fluido son la viscosidad, que es la fuerza interna que se opone a su movimiento, y la densidad. Los fluidos pueden clasificarse según su viscosidad en fluidos no viscosos o perfectos, fluidos newtonianos y fluidos no newtonianos, y según su densidad en compresibles e incompresibles.
En el presente libro se introducirán los conceptos fundamentales de la mecánica de medios continuos aplicados exclusivamente a los sólidos deformables.
Capítulo 1. Introducción — 3
1.2. EL MEDIO CONTINUO DEFORMABLE SÓLIDO
La mecánica del sólido deformable es la rama de la física que trata de medios continuos que tienen una forma definida, en contraposición a los fluidos cuya forma está determinada enteramente por el recipiente o conjunto de restricciones sobre su superficie y requieren estudios diferenciados.
En el estudio de los medios continuos es necesario considerar siempre tres tipos de ecuaciones, las cinemáticas, las de equilibrio y las constitutivas del material.
En la formulación de las ecuaciones cinemáticas se parte de los cambios de posición de los puntos del medio continuo, es decir, los movimientos. Mediante las variaciones que estos experimentan cabe definir las deformaciones, que son un aspecto fundamental en ingeniería para averiguar el estado en que se encuentra un material y por ello el objetivo final de estas ecuaciones es relacionar los movimientos de los puntos con las deformaciones. Existen diversos planteamientos para definir el concepto de deformación y de ello se dará cuenta a lo largo del texto.
También hay que ser conscientes de que la magnitud de los movimientos que experimenta un medio continuo bajo la acción de cargas puede ser muy variable, en algunos casos puede que sea pequeña y en consecuencia la geometría del mismo queda modificada muy ligeramente, pero también existen situaciones en que sucede lo contrario. Es ese caso, ello lleva a tener que decidir el sistema de referencia de los puntos del medio y da lugar a dos planteamientos posibles, el de Lagrange que utiliza el sistema de referencia inicial o el de Euler que se sirve del que define al medio continuo tras las modificaciones de volumen, y ambos se desarrollan más adelante. En pequeñas deformaciones ambos planteamientos se funden en el modelo de Cauchy. Dado que las deformaciones de un medio continuo tienen carácter tensorial, todo lo anterior da lugar a definir un conjunto de tensores, Lagrange-Green, Euler-Almansi, Cauchy-Green, que describen de maneras diversas el campo de deformaciones del medio continuo.
Por su parte, las relaciones de equilibrio son de dos tipos, unas son ecuaciones que asocian las tensiones en el interior del material con las cargas de masa a que está sometido, y se denominan ecuaciones de equilibrio interno; las otras expresan las tensiones en las superficies del contorno del cuerpo con las cargas distribuidas que existan allí, y se denominan ecuaciones de equilibrio en el contorno. Al igual que en las deformaciones, también es conveniente formular diferentes tensores de tensiones, Cauchy, Kirchhoff, Piola-Kirchhoff, que faciliten el tratamiento del estado tensional de un medio continuo. Algunos de esos posibles estados son más relevantes que otros, especialmente los
4 — Capítulo 1. Introducción
denominados esférico y desviador, que son muy utilizados en los criterios de plastificación de materiales y por ello se describirán adecuadamente.
El restante grupo de ecuaciones, las denominadas constitutivas, son relaciones entre dos magnitudes distintas del medio continuo, las tensiones y las deformaciones, por ello suelen calificarse de relaciones mixtas. Las ecuaciones constitutivas no son derivables de leyes fundamentales de la física, sino que son específicas de cada material y se formulan en base a la observación de su comportamiento al ser sometido a un conjunto de acciones exteriores.
Los materiales empleados en construcción son muy variados, acero, hormigón, suelos y rocas, madera, aluminio, elastoméricos, fibra de carbono, fibra de vidrio, entre otros; sus comportamientos son muy diferentes entre sí y para cada uno de ellos deben definirse las correspondientes ecuaciones constitutivas.
Históricamente, los materiales se estudiaron como homogéneos e isótropos, lo que quiere decir que se asumía que su composición es idéntica en cualquiera de los puntos del volumen y que sus propiedades mecánicas son las mismas en cualquier dirección. Sin embargo, en alguno de ellos es evidente que su respuesta resistente varía según su orientación y por lo tanto requieren formulaciones más refinadas. Para ello se realizan habitualmente formulaciones de ortotropía que definan las ecuaciones constitutivas del material en un sistema de ejes tridimensional y ortogonal. Ello contribuye a que el estudio que se realice sea más acorde con la realidad.
Este planteamiento resulta muy útil en materiales que están compuestos por fibras en determinadas direcciones como es el caso de la madera, o en los modernos materiales confeccionados con fibras de vidrio o de carbono. Es un planteamiento también adecuado para materiales que sean homogéneos pero en los que existan huecos en alguna dirección y por tanto varíe su capacidad resistente.
Cuando el medio continuo se considera elástico y lineal se está en el ámbito de la elasticidad lineal. En ella existe una regla de proporcionalidad entre tensiones y deformaciones en el material y puede considerarse la respuesta del material frente a varios estados de carga como la suma de la respuesta a cada uno de ellos, lo que se conoce como principio de superposición. Esta formulación posee una arraigada tradición de soluciones analíticas de problemas de estados tensionales y es el fundamento de todos los teoremas que han dado lugar al análisis elástico y lineal de todos los tipos de estructuras.
Entre los posibles estados de elasticidad lineal, los casos de tensión plana y deformación plana son los más conocidos porque permiten representar con suficiente
Capítulo 1. Introducción — 5
aproximación numerosas situaciones que se producen en la vida real. En ambos supuestos las componentes de los campos de tensiones pueden obtenerse a partir de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de segundo orden utilizando unas expresiones ad hoc, conocidas como funciones de tensiones y habitualmente también como funciones de Airy, en honor a su descubridor. A partir del tensor de tensiones puede obtenerse a continuación el tensor de deformaciones y las expresiones de los movimientos de los puntos del medio continuo.
Para realizar este estudio de manera analítica es conveniente utilizar un sistema de coordenadas que sea adecuado y ello depende de la geometría del dominio que se esté considerando. Por ello en algunas ocasiones se plantea el problema elástico en coordenadas cartesianas y en otras se hace uso de sistemas de coordenadas polares. Este último puede ser más adecuado en casos en los que existe simetría respecto a un eje perpendicular al dominio en estudio y en casos en los que se están analizando recintos semi-infinitos. Algunas de estas circunstancias se producen en problemas relacionados con la Mecánica del Suelo y por ello en este texto se mostrarán algunos ejemplos de aplicación a situaciones de este tipo.
Por el contrario, existen otros materiales elásticos en los que dicha proporcionalidad no se produce, por lo que se denominan hiperelásticos. Entre ellos se encuentran materiales orgánicos como gomas o materiales biológicos como los de los tejidos de los seres vivos. Estos últimos están teniendo cada vez más importancia debido al desarrollo del campo de la ingeniería biomédica que se ocupa del comportamiento mecánico de esos materiales. En los materiales hiperelásticos es importante distinguir entre los incompresibles y los que experimentan variación de volumen al deformarse, es decir, los compresibles.
Como se expondrá en este libro, los primeros modelos de hiperelasticidad asumían la condición de conservación del volumen, es decir, se les consideraba incompresibles, porque los materiales elastoméricos responden bien a esa hipótesis y formulaciones como la neo-Hooke, Yeoh, Ogden o Mooney-Rivlin proporcionaban resultados adecuados. No obstante, no sucede lo mismo en los materiales de los tejidos de los seres vivos por lo que actualmente esos modelos han generado versiones actualizadas para adecuarse al comportamiento de los materiales hiperelásticos compresibles.
Es muy común que los materiales tengan un final en su fase elástica y tras ello cambien su comportamiento, lo que conduce, en general, a un crecimiento de las deformaciones sin incremento de la tensión dando lugar al fenómeno conocido como plastificación. La situación que desencadena este fenómeno, es decir, el estado tensional que culmina la fase elástica es muy diversa y difiere entre sí en los materiales de
6 — Capítulo 1. Introducción
construcción. Ello también se produce en los materiales geológicos y por ello la Mecánica del Suelo siempre ha estado muy atenta a la plastificación de los suelos o rocas.
Dado su carácter fenomenológico, este comportamiento fue objeto de estudios mediante campañas experimentales en las que se sometía el material a un conjunto específico de estados de carga y también de planteamientos teóricos que intentaban reproducir de manera suficientemente fidedigna los resultados de los ensayos y tenían la ventaja de que eran más generales pues servían para identificar el inicio de la plastificación en cualquier caso de carga. Como modelos más conocidos en materiales metálicos pueden citarse los criterios de Beltrami-Haigh, Von Mises-Hencky o Tresca y los de Mohr-Coulomb, Drucker-Prager o los de Cam Clay en el ámbito de la Mecánica del Suelo.
En las cargas cíclicas la fase plástica se paraliza si el valor de la carga disminuye respecto al que la ha producido y el material retorna a una nueva fase elástica dando lugar a lo que se denomina comportamiento elastoplástico. En él puede suceder que se mantengan las características del material o por el contrario en ocasiones puede ser que se mejoren, es decir, que el hecho de que haya habido una deformación previa en el material permita que puedan existir estados tensionales de mayor magnitud. Este es el comportamiento que se denomina endurecimiento por deformación.
Existen también otras respuestas de materiales de gran interés como la que se produce cuando, para un estado de cargas constante, la deformación de un medio continuo aumenta con el tiempo, lo que se denomina fenómeno de fluencia, o como la que aparece cuando el mantenimiento continuado de un estado de deformación constante puede hacerse con un valor decreciente de la fuerza necesaria, lo que se denomina fenómeno de relajación. El primero se produce comúnmente en el hormigón y el segundo en el acero cuando se le somete a una tensión inicial, lo que es habitual en las estructuras de hormigón pretensado o en los cables de puentes atirantados.
Ambos pertenecen al ámbito de la viscoelasticidad y combinan comportamientos de los sólidos elásticos con los de los fluidos. Para el estudio de estos tipos de respuestas temporales de los materiales existen modelos matemáticos compuestos por modelos sencillos de Maxwell o Voigt, que se combinan en orden de complejidad creciente para poder reproducir adecuadamente los comportamientos de los materiales que se producen en la realidad.
El último modelo de comportamiento que se presenta en el texto es el de los materiales elasto-viscoplásticos, en ellos existe una primera fase elástica, superada la cual se produce una deformación creciente que será permanente. Los casos del hormigón
Capítulo 1. Introducción — 7
fresco o los suelos arcillosos son ejemplos de estos materiales. En este texto se aborda exclusivamente el estudio de los materiales de este tipo en los que las componentes elástica y viscosa son lineales. El modelo de Bingham es uno de los más utilizados para estudiar este tipo de deformabilidad y varias de sus versiones, utilizando tres y cuatro parámetros, aparecen descritas en detalle en el texto.
MECÁNICA DEMEDIOS CONTINUOSEL SÓLIDO DEFORMABLESEGUNDA EDICIÓN
MEC
ÁNIC
A DE
MED
IOS
CONT
INUO
S - E
L SÓ
LIDO
DEF
ORM
ABLE
- 2
ª ED
ICIO
N
Santiago Hernández IbáñezArturo N. Fontán Pérez
SANT
IAGO
HER
NÁND
EZ IB
ÁÑEZ
· AR
TURO
N. F
ONTÁ
N PÉ
REZ
ISBN 978-84-8408-989-6
El objetivo de este libro es servir de fuente de información para los alumnos de los grados y máster de ingeniería en el ámbito de Mecánica de Medios Continuos que es una materia fundamental como base cientí�ca para otras asignaturas. El contenido se inicia con una breve introducción y se pasa seguidamente al estudio de las relaciones cinemáticas de los sólidos deformables, tanto en el sistema de referencia inicial como en el �nal. Se presentan diferentes de�niciones para el concepto de deformación y se obtienen los diferentes tensores resultantes. Tras ello se relata la obtención de las ecuaciones de equilibrio de los medios continuos y los tensores de tensión que pueden de�nirse, como son los de Cauchy, Kirchhoff o Piola-Kirchhoff. El siguiente capítulo está dedicado a describir diversos tipos de ecuaciones constitutivas de materiales, desde el comportamiento más general al isótropo y la incidencia que ello tiene en la matriz que de�ne las ecuaciones constitutivas.
En este texto, como es habitual, hay un bloque dedicado al estudio de los casos de elasticidad bidimensional, como tensión y deformación plana, que resultan muy útiles para que el estudiante adquiera soltura en la resolución del problema elástico y obtenga soluciones para algunos casos que representan de forma adecuada situaciones de la vida real.
El libro no solo contiene capítulos dedicados a elasticidad lineal o plasticidad, sino que también describe muy detalladamente otras formulaciones como la hiperelasticidad, la viscoelasticidad, la viscoplasticidad o la elasto-viscoplasticidad que son de gran importancia y aplicación actualmente para el estudio de materiales poliméricos o biológicos.
SEGUNDAEDICIÓN
