1

◆構造力学で学ぶ内容

図 構造力学の関係図

◆力のつり合い 教

建物は基本的に動かないので，建物に作用している力を全て足し合わせると０になる．足し合わせ

る方向は，水平( ）方向，垂直( )方向,回転( )方向である

：力 の x成分 ：力 の y成分

：力 の作用点と原点間の距離

y：力 の作用点と原点間の距離

静定構造

の応力

不静定構

造の応力

断面諸係数

変形の計算

変形制限

の確認 応力度の

計算

応力度の

確認

x

y

θ

2

◆支点と反力 教

建物に力が作用した場合，建物を支えるモノが無いと釣り合いが取れない．この支えるモノを支点

という．支点には，固定（X,Y，回転方向を支持），ピン（X,Y 方向を支持），ローラー（一般に Y 方

向を支持）の 3 種類がある．支点には，建物に作用する力に応じて力が作用する．これを（支点）

反力という．

H=3m

固定

E=200000N/mm2

I=300*6003/12

P=

110kN

V

C

H

B

D M

ピン ローラー

V V

H

◆応力 教

建物に力が作用して釣り合っている時，その部材（柱・梁）は作用している力を支点まで伝えてい

る．この部材が伝えている力を応力という．応力には，軸力（N：部材材軸方向に作用する力），せ

ん断力（Q：部材材軸直交方向に作用する力），曲げモーメント（M：部材を曲げる力），の 3 種類が

あり，部材の場所により変化する．

H=3m

応力の正方向

E=200000N/mm2

I=300*6003/12

P=

110kN

Qx

C Nx

B

D

Mx

Nx

Qx

Mx

N 図

(正負を記入する)

P=

110kN

Qx

C

B

＋ ＋

M 図

（図の方向に意味がある）

Q 図

(正負を記入する)

3

◆構造物の不安定・安定（静定・不静定） 教

建物に力が作用して釣り合っている状態を安定という．安定には，２つの状態（静定・不静定）が

あり，静定状態では「力の釣り合い」だけで部材に作用する応力を計算できる．不静定状態では，

建物の変形を考慮しないと部材に作用する応力を計算できない．

m：部材数，r：支点反力数，k：節点数，

p：ある節点において 1つの部材に剛節される部材数

◆静定梁 教

解き方

１）反力を外力と反力のつり合いから計算する

２）部材端から x の距離で部材を切断し，切断面に応力(Nx，Qx，Mx)を記入する．次に，外力，反

力，応力，のつり合いから応力を計算する

３）MNQ図を作成する

◆ 単純梁型ラーメン

① 垂直荷重

１）反力を求める

w N/m

h

L

B C

A D

4

２）部材力を求める

AB 材

0:

0:

02

:

xx

x

x

MM

Qy

wLNx

BC 材

022

:

02

:

0:

xwLx

wxMM

wxwL

Qy

Nx

xx

x

x

３) MIQ 図

AH

AV

Y

wL

M

Y X

DV

8

2wL

０ ０ ０ ０

2

wL

2

wL 2

wL

2

wL

02

:

0:

0:

LVL

wLM

wLVVY

HX

DA

DA

A

2

wLVV DA

X

X

XQ

Y

X

X

M

N

X

X

M

2

wL

wx

X

X XQ

X

X

X

Y

M

XM

xN

2

wL

5

② 水平荷重

１）反力を求める

A

B C

D

L

ｈ

P

AH AV

DV PH

PV

PV

LVPhM

VVY

PHX

A

Lh

A

Lh

D

DA

DA

A

0:

0:

0:

２）部材力を求める

AB 材

PxM

PQ

Lph

N

PxMMx

PQy

Lph

Nx

x

x

x

x

x

x

0:

0:

0::

BC 材

３）MNQ 図

P

NP

xN

x xQ

xM

P

LhP

P Ph

N 図 Q 図 M 図

0 0

0

LhP

LhP

xQ

ｘ

P

xM

LhP

xN

L

xPhPhM

Q

N

PhxM

Qy

PPNx

x

LPh

x

x

LPh

x

LPh

x

x

0

0:

0:

0:

－ ＋ ＋

6

◆ ３ヒンジラーメン、３ヒンジアーチ

＜解決＞ 通常の釣合式の他に、”頂点のヒンジでのモーメント＝０”の条件を加える

① ３ヒンジラーメン

１）反力

0:

2,

2,

2

02:

0:

0:

LVhHM

HP

HL

PhV

L

PhV

LVPhM

VVY

HHPx

AAC

EAAE

EA

EA

EA

２）部材力

AB 材

02

:

02

:

02

:

xp

MM

Qp

y

L

phNx

x

x

x

BC 材

022

:

02

:

02

:

xL

phh

pMM

L

phQy

pPNx

x

x

x

B C D

xQ xN

x

2

P

xM

L

Ph

2

xQ

2

P

L

Ph

2

P

xN

xM

x

P

AH AV

IH

P

AH AV

EV

P h

A E

L L

7

３)MNQ 図

② ３ヒンジアーチ

033:

32,

2

0323

0:

0:

hVhHM

pHH

pVV

hVhPM

VVPy

HHx

AAC

EAEA

EA

EA

EA

AH EV

EH

AV

AV AH

C

P

B D

h

2h

P

A E

P 3 h 3 h

２）部材力

AB 材

032

:

032

:

02

:

xp

M

pQy

pNx

x

x

x

32

P

2

P

x

xN

xM

xQ

L

Ph

2

2P

2P

2P

+

L

Ph

2

2

Ph 2

Ph

- + -

L

Ph

2

＋ ― ―

1) 反力

8

BC 材

x

xM

2

P

32

P

xQ

xN

02

)3

12(

32:

02

3

22

1

32:

02

3

22

1

2

3

32:

xP

xhP

MM

PPQy

PPNx

xx

x

x

３）MNQ 図

N 図 Q 図 M 図

3

Ph

3

Ph

32

P32

P

2

P

2

P

2

P

2

P

32

P

32

P

9

◆問題

④

P

h

L

⑥ M

h

L P

L

L

L L

⑦

③

M

L

h

⑤

ｈ

L

R ①

h

2L

2L

②

P

h

h

L

10

◆静定トラスの解法

トラス 軸力しか作用しない

節点法 数式解法 節点での釣合を解く

図式解法（クレモナの図解法）

切断法 数式解法（リッターの切断法） トラスを切断して、切断されたものの釣合を解く

図式解法（クルマンの図解法)

①節点法（数式解法）

１）反力を求める

02

:

0:

0:

LVLPM

PVVy

Hx

CA

CA

A

２）部材力（軸力）

･A 点

ABN

2

P

ACN

･B 点

3

02

3

2

3:

02

1

2

1:

PNN

NNPy

NNx

ABBC

BCAB

BCAB

ABN

P

BCN

C

L

A

L

B P

AV AH

P

L CV

32

3

022

3:

02

1:

PN

PN

PNy

NNx

AC

AB

AB

ACAB

11

３）N 図

3

P

or

3

P

3

P

3

P

32

P

32

P

圧縮 節点を押している

引張 節点を引っ張っている

②リッターの切断法

１）反力

PV

PV

H

E

A

A

0

２）部材力(軸力）；求めたい軸力の部分でトラスを切断する

・ ABN と ACN

3

3

2

0:

02

3:

02

1:

PN

PN

M

PNY

NNX

AC

AB

A

AB

ACAB

P

P

P

P

ABN

ACN

P

(略) AH AV

A

B

P

E C

EV

D

P

L L

L

L L L

L

12

・ BDN と BCN と ACN

3

0

02

3

2

3

2:

02

3:

02

1:

PN

N

LNLNL

PM

NPPY

NNNX

BD

BC

BCBDA

BC

ACBCBD

３）N 図

P3

2

P3

2

3

P

3

P

3

P

0

0

P

P

P

BDN

ACN

BCN

P

P

P

13

◆問題

①

③軸力と反力を比較せよ

L L L L

P P P P ｈ

④ N 図を求めよ

LLLLL

h 2,2

3,.

2,

4 とおいて軸力の表を作り、

Lh と軸力

の関係を考慮せよ

A

B

C

h

P

2L

2L

L

ｈ P

L L L L L L L L

L

P P P P P P P P P P

P P P P ｈ

②

h=L,2L,3L とおいて、軸力と反力の表をつくり

と軸力の関係を考察せよ Lh

14

◆断面図形（教科書 P.91)

応力度を求める為の部材断面に関する諸量の定義

① 断面積 2mm

y

x

AdAA dxdy

,/ ANcc AN tt /

② 断面１次モーメント（ yx SS , ) 3mm

Ax ydAS x 軸に関する断面１次モーメント

Ay xdAS y 軸に関する断面１次モーメント

x

y

y

0y

0x x

利用目的:断面の図心位置（ 00 , yx ）を求める

,/0 ASx y ASy x /0

簡単な計算法

1y

x

2y 1A

2A

2211 yAyAS x

③ 断面２次モーメント 4mm

y x

y

x

dAxI

dAyI

Ay

Ax

2

2

;; yx 通常は、図心からの距離を取る

15

b

h

xx

12

3bhI x

D

x

64

4DI x

x x

XIA ,0

X X

0y

断面係数 3mm

2

2Z

My

I

M

1

1Z

My

I

M

中立軸 M

2y

1y

中立軸 応 用 度 分 布

中立軸

M

1y

2y

xx

0AXI0y

x x

OyXO IA ,

x x

2211 /,/ yIZyIZ xx 　　

2

00 yAII Xx

16

④ 断面相乗モーメント 4mm

断面が対称形で両軸のいずれかが対称軸である場合は 0xyI

xydAI Axy

⑤ 断面極２次モーメント：棒のねじりを考える時に用いる

yxAAp IIdAyxdArI 222

⑥ 断面の主軸

0xyI でないものでも、 0XYI となる X 軸 Y, 軸が存在する。この X 軸 Y, 軸を断面の主軸という。こ

の時の YX II , を断面主 2 次モーメントという。 yxyx IIII

y

y

y

x

x

x

X

x

y

Y

r

17

⑦ 断面 2 次半径(回転半径) mm

AI xx / , AI yy /

利用目的：:棒材の座屈を検討する時用いる。

2

2

2

2

2

22

2

2

/

E

L

E

L

xE

A

I

L

E

A

N

x

xcr

cr

x

L

：細長比

鉄だと ６０～８０ぐらいにすると（弾性）に座屈しない

crN N

N

crN

EIL

N a 2

2

座屈：

18

◆応力度

単位面積当りに作用する力 （ 222 098.01,mm

Ncm

kgfmm

N ,）

① 垂直応力度

N N

AN

引張応力度：A

N tt

圧縮応力度：A

Ncc

曲げ応力度：Z

Mb A:断面積，Z:断面係数

② せん断応力度（τ)

A

Q

③ 許容応力度(例）

コンクリート 22 5.23240mm

Ncm

kgf

鉄 22 2352400mm

Ncm

kgf

τ

Q Q

19

◆ひずみ度

単位長さ当りの変形 （単位は、無次元）

① 垂直ひずみ度（ . ）

LL L

N N

L

L

② せん断ひずみ度（γ）

h

x

◆応力度とひずみ度の関係（弾性範囲）

E :E ヤング係数

G :G せん断弾性係数

)1(2 GE ポアソン比

注）ポアソン比

L

dd

L

L

Q

x

Q

h

N d

dd

LL

N

L

20

◆モールの応力円

C u t C u t

NNN N

0

部材力は、同じだが、断面の切り方により応力度が変化する

↓

一般論

2cos2sin2

2sin2cos22

yx

yxyx

x

x

y

y

◆モールの応力円

0

12

y

x

22

1

2

2

主応力度： を変化させた時 0 の場合の を主応力度と言い、２つ（ 21, ）ある。

その主応力度の方向を主応力度方向（ 21, ）という。

21

◆材料の性質

破壊強度

比例強度

塑性

E

例 許容応力度 2:

mmNE ν

コンクリート 22 5.23240

mmN

cmkgt

4102 0.2

鉄 22 2352400

mmN

cmkgt

5102 0.16

他の注意点

･クリープ：コンクリート、木材は、同じ力を加えていても、時間が経つと変形が増大する

･疲労 ：破壊強度以下の力でも、繰り返し作用すると破壊することがある

･バラツキ：実際のものには、強度や、ヤング係数にバラツキがある

窓 角の部分に力が集中する

･応用集中：

22

◆伸びと力と歪と応力

① 軸力と伸び

δ：伸び EA/L：伸び剛性

L

E

AP

bdA

L

EAP

L

ｂ

ｄ P P

② 曲げモーメントと伸び

オイラー・ベルヌイの仮定（平面保持の法則） 重要

「材軸に直角な断面は、曲げモーメントによって部材が変形した後にも、材軸に直角な平面を保って

いる」

中立軸では長さは変わらない

縮む

下側は伸びる

P

L

M

ρ

伸びる

縮む

y

K 中

立

軸

曲げ剛性 IE

dAyE

dAyM

yEE

y

A

Ay

yy

y

2

)(

)()(

)(

: 曲率半径 → :1

曲率 EI

Mk y

I

MyEy )(

d

b

L

M M

23

③ 軸力と曲げが作用する場合

M

N N

M

N N M M

y yI

M

A

N 　

A

N

yI

M

④ 曲げによるせん断応力度

断面に作用するせん断力分布

1

1

y

yIb

QS

cy

yydAS

1

)(yb

cy

y 1y

12

3bdI x

重ねただけ

一体となって変形する

この接着面にせん断

力が作用している 接着する

43

3bdII x 4

912

)3( 33 bddbI

P P

放物線分布

A

Q

3

4

d

b

h

A

Q

2

3max

略算

wA

wA

Q

24

⑤ 曲げ材の主応力線とクラック

せん断クラック

コンクリート（引張に弱い）

引張の主応力線

せん断力

コンクリート（引張に弱い）

クラックは引張の主応力線に直交して出来る

曲げクラック

2

wL

8

2wL

曲げモーメント

圧縮の主

応力線

⑥ 棒材のねじり

LGI

M

P

T ねじれ角

:PGI サンブナンのねじり剛性

注： ｃ : compression : 圧縮

ｔ : Tension : 引張

ｓ : shear force : せん断力

t :torsion : ねじり

TM ねじりモーメント

L yxp III

25

◆問題

＜例＞

（a）

図心

2120020306010 cmA

3

22

3

11

423

23

2

680025

170000

1133315

170000

9.11200

170000

1700002515302012

302025351060

12

1060

25

20306010152030356010

cmy

I

cmy

I

cmHA

Iix

cmyAII

g

g

x

x

x

ooXx

y

y

G

10

30

20 20 20 (cm）

４

４

G

６ ４ ６ （cm）

１６

・

・

30×20

15

10×60

G 35

1y

2y

・

yg

26

（b）

12 ㎝

3

1

433

2

100312

12032

1.9144

12032

1203212

1662

12

2414

14416622414

cmy

I

cmA

Ii

cmI

cmA

x

xx

x

(c)図に示すはり断面の最大引張応力度を求めよ

断面

30cm

40cm

3m

mtfw /2

最大モーメントは )(25.28

32

8

22

tfmwL

M

最大引張応力度は )/(1.286/4030

1025.2 2

2

5

cmkgfZ

M

t

t

または tt yI

M で求める。

27

(d)主応力とその方向を求めよ

x

τ

x

y

225mm

Nx 25

mmN

y 23.17mm

N

(e)伸びと歪を求めよ

27

26

2

100.2101.2

0.2

cmN

cmkgf

E

cmA

E

AP

cmL

EA

P

E

AP

EE35

5

7

105.2100105.2

105.22102

1000

τ 17.3

τ

-5 5 15 25 35

20

x

12

30°

y

21 35mm

N

22 5mm

N

100cm

Nkgf 1000105

60°

28

◆ 複合材料在（鉄筋コンクリート柱）の圧縮

key point : 歪は、同じである

:cE コンクリートのヤング係数

:sE 鉄のヤング係数

:cA コンクリートの断面積

:sA 鉄の断面積

P

L

:鉄 コンクリート

L

E

AP

s

sss

sss

L

E

AP

c

ccc

ccc

その他 cs PPP , cs

L

AEAEP ccss

:c

s

EE

n ヤング係数比

ccsccs AnAE

L

AnAP

29

◆偏心圧縮もしくは、軸力と曲げモーメントを受ける柱

いま、長方形断面が偏心圧縮力をうける場合を例にとれば、図のように、四隅の応力度を次式で表わ

すことができる。

圧縮が正とする N

ｘ

B C

D A

ｙ

ex

ey

y

y

x

xD

y

y

x

xC

y

y

x

xB

y

y

x

xA

Z

M

Z

M

A

N

Z

M

Z

M

A

N

Z

M

Z

M

A

N

Z

M

Z

M

A

N

d b 6

62

2

bdZ

dbZ

NeM

NeM

y

x

xy

yx

N

NeM

偏心荷重

偏心距離

N

N

N

M

M M

e

(a) (b)

圧縮側

引張側

Z

M

A

N

Z

M

A

N

(11.2)

bfZ

M

A

Nmax

ここに、 ：材料の許容曲げ応力度 bf

Z

M

A

N

Z

M

A

N

Z

M

A

N

e N

(a) (b) (c)

N N e e

A

N

A

N

A

N

Z

M

Z

M

Z

M

Z

MZ

MZ

M

30

断面の核：偏心圧縮が作用しても、部材断面内に引張応力度が発生しない偏心圧縮の範囲

◆ 偏心荷重による接地圧

e N

c

xL

6

xLe

の場合,

x

cL

e

A

N 61

6

xLe

x

c

L

eA

N

2

13

2 の場合,

c

2

e

N

M

N

1

xL

6

xLe

x

c

L

eA

N

2

13

2

の場合,

y

b

x d

x

y

r 6

d

6

d

6

b

6

b

4

r

(b) (a)

31

◆ 座屈

細長い棒や、薄い板が、材料の破壊強度以下の荷重で大きく横にはらんで、荷重を支えられなくなる

現象

オイラー座屈、梁の横座屈、板の局部

非線型力学の範囲

① オイラー座屈

N

ｙ

N N

L

ｙ

ｙ

N

M=Ny

ｘ

EI

M

dx

yd

NyM

2

2

2

22

sin

L

EInN

L

xnAy

オイラーの座屈荷重 EIL

NCR 2

2

:

座屈応力度 2

2

2

2

2

2

:

E

iL

E

AL

EI

A

NCRK

:i

L 細長比 :i 断面 2 次半径 限界細長比 Steel:: で 100 程度

弾性座屈

A

ランキン オイラー

ジョンソン

テットマイヤー

Y

C

B

D

P

座屈長さ

2

2

K

CRL

EIN

座屈形

L

一端自由

他端固定 両端ピン 一端ピン

他端固定

両端固定

Lk=2.0L 1.0L 0.7L 0.5L

32

◆ 許容応力度に基づいた部材断面検定

① 考え方

部材に作用する応力度が許容応力度以下なら、安全と考える

② 許容応力度

材料（木、鉄、コンクリート）、荷重の種類（圧縮、引張、曲げ、せん断）

荷重の作用期間（長期、短期）毎に設定

例、 fcL :L 長期、 :S 短期

:c 圧縮、 :t 引張、 :b 曲げ、 :s せん断

③ 例

最大曲げ応力度 224,3

1

mmNFFfbLb を検証

22

62

72

83

12.7

10436

10318

max

max

mmNFf

mmN

bh

wLM

M

bLb

b

安全である

mmN

mkNW 5050

800

400

7000

33

◆ 弾性仕事の諸理論

① 外力仕事と内力仕事

仕事＝力×移動距離

L

E

AP

P

L

E,A P 外力仕事

外力仕事(We)＝ MP2

1

2

1

内力仕事(Wo)＝

dxGA

Q

EI

M

EA

NdVdV

xxxL

v

222

,

2

1

2

1

2

1

2

1222

0

: せん断力に対する形状係数(断面の形状によって変化する,長方形断面の場合は 2.1 )

外力仕事＝内力仕事（エネルギー保存則）

② 仮想仕事の原理

変形を計算する為の手法

物理的意味は無い

M.N.Q.図が判明している必要がある

C B

W

A M N Q

① 仮想荷重

B 点の水平変化を求める

M N Q

1

仮想荷重

dxGA

QQdx

EA

NNdx

EI

MMB 1

部材

34

特に 曲げモーメントが大きい構造物（ラーメン構造）は dxEI

MMB1

軸力が大きい構造物（トラス構造）は、 LEA

NNdx

EA

NNB 1

＜例＞

22

xLw

M x

１）B 点のたわみ（鉛直変位）を求める

EI

wLdx

EI

MM

xLM

8

4

0

２）B 点のたわみ角を求める

EI

wLdx

EI

MM

M

6

1

3

L

B W A

ｘ

M 図

１

ｘ

１

35

＜例＞

図に示す一定断面の単純ばりの全身に等分布荷重 w が作用する場合、中央点のたわみを求める。

（解） 先の事例と同様に

dsEI

MMc

における MM , を求めれば、

)2/(2

)2/0(2

222

2

LxLxL

Lxx

M

xLwxwx

xwL

M

よって、

dx

EIxL

wxxLdx

EIxL

wxx L

L

L

c

1

22

1

22 2/

2/

0

EI

wLdxxLx

EI

w

384

5

4

2 4

2

1

0

2

B

xM

c

ｗ

A （a)

（b) A B

1

L

L

x

x

M

図

36

＜例＞

図（a)に示す片持ばり形ラーメンの自由端 C に鉛直集中荷重が作用する場合の C 点の鉛直方向のたわ

み c を求める。ただし、各部材の断面 2 次モーメントを I とする。

(解) 図 10.12（b)のように、集中荷重 P による各部のモーメントM ,また同図（c)のように、C 点に仮

想外力 P=1 が作用する場合の各部のモーメントM を求めれば、

M M

AB 材 PL L

BC 材 2Px 2x

となる。同図（b),(c)の場合に式を適用すれば、

AB 材 BC 材

20

10

dxEI

MMdx

EI

MM Lh

c

LhEI

PL

EI

PL

EI

hPL

dxxEI

Pdx

EI

PL

dxEI

xPxdx

EI

LPL

Lh

Lh

33

32

32

02

2

20

1

2

20

221

0

P

M2x1x

1x

c

図

（a) （b) （c)

1x 1x

2x2x

P=1 P

L

h

B

A

PL B`

C

C`

PL

C

M M

L

37

＜例＞ C 点の水平変位を求める

4P -5P

１ １

4L

3P

N 図

A C

3L

EA

B 3P

N 図

部材 N N L LNN

AB P4 0 L4 0

BC P5 0 L5 0

CA P3 1 L3 PL9

EA

PL

EA

LNN

PLLNN

9

9

③ カステリアノの定理

１）第１定理

「弾性構造物に多くの外力が作用する場合、ある点の変位は，任意の外力におけるそ

の外力群のなす仕事を変位を求めようとする外力で偏微分したものに等しい。」

m

mP

W

２）第２定理

「弾性構造物に多くの外力が作用する場合、これらの外力群のなす仕事を、変位のな

い支点の反力で偏微分したものは、０である。」

3P 2P 1P

38

④ 相互作用の定理

１）Betti の相互作用の定理

dsGA

QQkds

EA

NNds

EI

MMP

dsGA

QQkds

EA

NNds

EI

MMP

ikikik

kik

kikiki

iki

ここに、 kkkk PQNM :,, のみによる材断面の応力

iiii PQNM :,,, のみによる材断面の応力

式(a)と式(b)の右辺は相等しい。したがって、 kikiki PP

２）マクスウェルの相反作用の定理

BBMP

B A

A

A

A

A

A

B

B

B

B

B

k i

k

k

k

k

kP

kP

kP

kP

iP

iPiP

iP

i

i

i

i

(a)

ki

k

ki

ik

ik

i

ik

(b)

（a)

（b)

A (a)

P

1BM

B

B

A (b) B

39

◆ 梁のたわみ曲線

曲げモーメントと歪みと、曲率とたわみ

M

dx

dy

y

x

M

1:

曲率半径

曲率

EI

M

曲率＝角度の変化＝2

2

dx

yd

dx

d

EI

M

dx

yd

2

2

：弾性曲線の微分方程式

21

1

2

2

3

3

2

2

4

4

11

111

CxCdxdxEI

My

CdxEI

M

dx

dy

EI

M

dx

yd

EIQ

EIdx

dM

dx

yd

EIw

EIdx

dQ

EIdx

Md

dx

yd

: 分布荷重

たわみ角

たわみ曲線

たわみ曲線

たわみ

C` たわみ角

たわみ

P

B A

P

A

A A

B

B B

B`

C cy cyC

C`

c

c

40

＜例＞ 図に示す単純ばりに等分布荷重が作る場合のたわみとたわみ角を求める。

B y A

w

B A

x

M

maxy

2

L

2

L

L

xLwxEIdx

yd

xLwxwxwxxRM A

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

32

上式を積分すると、

1

32

3

1

22Cxx

L

EI

w

dx

dy

再び積分して、

21

43

12

1

62CxCxx

L

EI

wy

境界条件は、 Lx ,0 のとき、 ,0y または、変形の対称性から2

1x のとき、 0

dx

dy

であるから、 0,24

2

3

1 CEI

wLC が得られる。したがって、

任意の点のたわみは、 323 224

xLxLEI

wxy

任意のたわみ角は、 323 4624

xLxLEI

w

dx

dy

最大たわみは、2

Lx とおいて、

EI

wLyy L

x 384

5 4

2

max

支点におけるたわみ角は 0x とおき、 dx

dyとして、

EI

wL

EI

wLBA

24,

24

33

（解）

41

＜例＞ 図に示す片持ばりの自由端に集中荷重Pが作用する場合のたわみとたわみ角を

求める。

ｙ By

B

A

B

M

ｘ

L

P

（解）

xLEI

P

dx

yd

xLPM

2

2

上式を積分すると、

1

2

2

1CxLx

EI

P

dx

dy

再び積分すると、

21

32

6

1

2CxCxx

L

EI

Py

境界条件は、 0x で 0,0 dx

dyy であるから、 021 CC が得られる。

したがって、任意の点のたわみは、

32

6

1

2xx

L

EI

Py

自由端のたわみ、およびたわみ角は、 Lx とおいてそれぞれ、EI

PL

EI

PLy BB

2,

3

23

42

◆ モールの定理

wdx

Md

2

2

EI

M

dx

yd

2

2

Qdx

dM

dx

dy

＜活用法＞

ある点の変位を求める

M 図＝ｙ図

EI

MW

M 図

Q 図

W

Q 図＝ 図

EI

M

M 図

W

Q

yM

43

◆ 不静定構造物の解法

静定構造物の MNQ → 力の釣り合いのみで求解可能

不静定構造物の MNQ → 構造物の変形を考慮して解く必要がある

方法 応力法 → 静定問題の組み合わせに置き換えて求解

たわみ角法 → 変形角を未知数に釣合方程式を解く

固定モーメント法 → モーメントの釣合を漸次計算していく方法

D 値法 → 長方形ラーメンの略算法

◆ 応力法

①手順

１）不静定構造物を不静定にしている支持点（ ）もしくは、部材を

不静定次数分除去し、その不静定条件を新たに変形条件に加える

自由端

0

0v

0H

P P

0H

２）不静定条件を満足する為の新たる力を考え、条件を満足するように

X を求める → X に値を入れて、MNQ 図を作成

0H

X

P

X

P

P

0 1

10 H

44

②梁の場合

0 は、仮想仕事法を用いて EI

wLdx

EI

MM

8

4

0

1 も同様に EI

XLdx

EI

MM

3

3

1

010 より wLX8

3

wL8

3

２）

010

EI

L

384

254

0

EI

LX

48

23

1

３）

M 図 M 図

M 図 M 図

１

１

W

L L

X

0

X

1

010

1 0

X W

X 1 0

B

X

A

W

L 010

１）

45

③ ラーメンの場合

１）

0

0

210

210

yyy

XXX

２）

010

④ トラスの場合

１）

010

２）

010

X

0 1

X

P

P P

X

0 1

X

0x

2F

1F

1x

1F

2x

2F

0y 1y2y

P P P

F

F

0

F 1

46

LEA

NN0

P

1

1

N 図 N 図

F

EA

LNN1

1 F

47

◆ たわみ角法

① 概説

節点回転角（ i ）と部材回転角（ ijR ）を未定定数として、

節点に関する釣合式（節点方程式）と層に作用するせん断力の釣合方程式

（層方程式）を記述し、連立させて解く方法

P C

D A

B B

P

ABQ CDQ

C

ABR CDR

0A 0D

節点方程式

モーメントの総和が零

BCQ

BCM

BCQ

CBM

層

方

程

式

CDAB QQP

② 基本仮定と基本公式（教 P41～43 参照）

R:部材回転角がある場合

BABA

BAAB

L

EIM

L

EIM

22

22

モーメントに寄与する回転成分は、ABB

ABA

R

R

ABBABA

ABBAAB

RL

EIM

RL

EIM

322

322

A

ABM

A

B BAM

B

ABM

R

BAM

48

BAAB MM , に対する中間荷重の影響（固定端モーメント） → 教 P.158

BAABBABA

ABABBAAB

CRL

EIM

CRL

EIM

322

322

P

2L

2L

8

8

PLC

PLC

BA

AB

W

L

12

122

2

wLC

wLC

BA

AB

注 L

EI2を書くのは、面倒なので、 kEK

L

EI02

2 とまとめる

kKL

Io :oK 標準剛度（都合の良いように決める） :k 剛比

更に計算時には

,2 0 EK REK 06

と置き換え

BAABBABA

ABABBAAB

CkM

CkM

2

2

とする

③ 節点方程式：固定支持の節点を除き全ての節点で作成

BEBDBCBAB MMMMM （ 普通は＝0）

D BDM

BEM

E

C

A

BAM

B

中間荷重 BAC

ABC

BM

BCM

49

④ 層方向式

ABQ の求め方

h

MMQQ

hQMM

BAABBAAB

ABBAAB

0

中間荷重がある場合は

の釣合を解き BAAB QQ , を求める

BAAB QQ になる保障はない

2P

A

1P B

C F

E

D

2P

BCQ EFQ

2P

1P

ABQ DEQ

EFBC QQP 2

DEAB QQPP 21

ABM

ABQ

BAM

BAQ

h

)( ABBA QQ

A

ABM BAM

h

ABQ B

50

⑤

１）

12

2wLCAB

12

2wLCBA 0A 0ABR

022

2

BABBA

ABBAB

CL

EIM

CL

EIM

0 BAB MM EI

wLB

48

3

２）

.0ABR 0BCR 0A 0C

BBA

BAB

kM

kM

22

2

BCB

BBC

kM

kM

1

1 2

BM

h

C

1k

2k

A

L

B

節点方程式（B 点のみ） BBCBA MMM

BM

21

2

kk

kM B

21

1

kk

kM B

剛比で分配される

0BM

A

L

W

B EI

ABM

51

３）教 54

.0A 0D CDAB RR , , 0, BCR

BBA

BAB

M

M

20.1

0.1

CBCB

CBBC

M

M

20.3

20.3

CDC

CCD

M

M

0.1

20.1

ABEKoR6

B

P

A

1.0

3.0 Ｃ

Ｄ

４ｍ

6ｍ

ABR

1.0

節点方程式 B 点 0 BCBA MM

C 点 0 CDCB MM

層方程式

h

MMQ

h

MMQ

QQP

DCCDCD

BAABAB

CDAB

CDQ ABQ

Ｐ

ｈ

４）教 56

0A 0O CDAB RR

BABBA

ABBAB

CM

CM

20.1

0.1

CBCB

CBBC

M

M

20.3

20.3

CDC

CCD

M

M

0.1

20.1

Ｐ

Ｂ

3.0

1.0

Ａ Ｄ

Ｃ

1.0

節点方程式 B 点 0 BCBA MM

C 点 0 CDCB MM

層方程式 0 CDBA QQ

52

注 固定端モーメントの特例

他端がピンの場合 → ピンの節点はモーメント 0 → 0BAM になるので

BAABABAAB

BAABBABA

ABABBAAB

CCkM

CkM

CkM

2

1

2

15.1

02

2

代入して

ABH ともおく

構造対称＋荷重逆対称 CB

Ｂ Ｄ

Ｃ

Ｅ

Ａ

Ｂ B Ｃ

Ａ Ｄ

C

Ｐ B

Ｂ Ｃ

２Ｐ Ｐ

Ａ Ｄ

C

構造対称＋荷重対称 CB

ABM

Ｐ

Ａ Ｂ

CDM

ABQ BAQ

Ｃ Ｄ

CDQ DCQ

DCM

BAM Ｐ BAQ

CDQ

Ｐ

ABQ DCQ

CDBA QQ 0

DCAB QQP

53

◆ 固定法 （教 61）

部材角を生じない（対称な）構造＋（対称な）荷重に対して有利な、曲げモーメント算定法

中間荷重により生じる固定端モーメントを順次解法して求める

DF: 分割率,ある節点に集まる部材の剛比の比

FEM:固定端モーメント BAAB CC ,

iD : 解放モーメント（分割モーメント）

iC : 到達モーメント

注）有効剛比

部材の状態により、計算を省略できる場合がある

１）対称変形

新たに設定した固定端の Di,Ci は計算しない

ABC BAC

K

ABC

右はり 柱上 左はり

1D

FEM

DF

柱下

iRR /1 id RR / iu RR / ir RR /

MT1

3D 2C

2D

1C

MT3

MT2

uR

rR

dR

iR

2

K

54

２）逆対称変形

新たに設定した固定端の Di,Ci は計算しない

３）他端ピン

ABC BAC

K K

4

3

BAABAB CCH2

1

新たに設定した固定端の Di,Ci は計算しない．ただし，M 図を描く時点で，B 点のモーメントを 0 とする

ABC BAC ABC

K K2

3

55

＜例＞

kNmCC BCBA 45

15ｋNm

（a)

固定

5.63kNm

11.25kNm 11.25kNm

225kNm

-45kNm

11.25kNm

（b)

5.63kN

m 65.63kNm

48.75kNm

37.5kNm

3.75kNm

11.25kNm

5.63kNm

（c)

mL 32 mL 61

B

D

C A

k=2 k=1

20kN/m

k=1 k=4m

60kNm

1C

1D

FEM

1) 1DFEM =0 にする

AB

0

-5.6

-65.6

-

-60

BA

0.25

60

-11.25

0

48.75

BD

0.25

0

-11.25

0

-11.25

BC

0.5

-15

-22.5

0

-37.5

CB

-

15

0

-11.25

3.75

DB

-

１

-5.6

-5.6

２） 112

1DC にする

DF

DF

FEM

1D

1C

0

0

C B A B

D

2

1

41

41

42

2

1

２ A

D

C

45

56

＜例＞

6m

30kN/m

20kN/m

3m

4m

E

D

B

C

A F

k=1

k=3

k=2 k=1

k=1.5 k=1.5

29.2kNm

74.2 kNm

31.6kNm

55.3kNm 60.8kNm

34.7kNm

14.1kNm

-60

CB

-5.63

11.25

30

0

0.5 0.5

CD

34.68

0.94

-1.88 0

-5.63

0

30

-34.69

0.94

0.375

BA

0

33.75

0

-5.63

0

1.06

29.18

BC

0.25

0

22.5

15

-3.75

-2.82

0.71

31.64

BE

0.375

-90

33.75

0

-5.63

0

1.06

-2.82

-60.82

0

16.88

0

0

AB

0

14.06

DF

FEM

D1

C1

D2

C2

D3

C

-60

11.25

-1.88

B

-90

15

-2.82

A

DF

FEM

D1

C1

D2

C2

D3

DF

FEM

D1

C1

D2

C2

D3

ke=1

k=1.5

k=1.5

k=1

で０

で０

で０

で０

で０

で０

57

＜例＞節点移動する場合 )0( ABR

P=50kN

A

B

ｋ=3

ｋ=2 ｋ=2

L=6m

C

D

h=4m

（a）

)100( R )100( R

(b)

X

100

(d)

0

Xh

MM

h

MM CDDCBAAB

1100KM AB

1100KM BA

2100KM DC

2100KMCD

(c)

をー100 とする

200 kMMMM CDDCBAAB

0.308

BA

FEM

BC

AB

FEM

61.6

DF

D1

C1

DF

D1

C1

-200

0

-138.4

0.692

0

138.4

0

138.4

-200

0

30.8

-169.2

B

A

5.45.13 ek

0

Xh

MM

h

MM CDDCBAAB

X

PMM ABAB 真の

8.1534/)4.1382.169(2 X

325.08.153

50

X

P

材端モーメントをもとめる。

kNmM

kNmM

kNmM

BC

BA

AB

454.138325.0

0.454.138325.0

0.552.169325.0

55ｋNm

45ｋNm

45ｋNm

55ｋNm

58

◆ 耐震設計

・２段階の耐震設計

一次設計：中地震以下（Co=0.2 相当）

弾性範囲 → 許容応力度設計 f

二次設計：大地震（Co=1.0 相当） 塑性化 OK

0.2W

1.0W

(P)

耐

力

弾性設計

塑性設計

水平変位 )(

Co=1.0 の弾性設計に相当する塑性設計とは、

12

1

sD =0.25～0.55

変形能力（）に応じた

荷重低減係数（ sD ）が決まる

P 1.0W

面 積 が等しい

P

WDs

y

y

・二次設計で行う事

保有水平耐力必要保有水平耐力を確める

sDQuni F e s Q u d

構造特性係数 Qud ＝ Z Rt Ai Co W

形状係数 1.0

・建物の崩壊形（崩壊機構）

全体崩壊（O） 部分崩壊,層崩壊

主に梁が壊れる，変形性能が良い 特定の層の柱が壊れる，変形性能が低い

↓

保有水平耐力を計算するには、塑性解析が必要

自重 W WCo

地震力

59

◆ 骨組の塑性解析

① 弾塑性を考慮した M 関係（曲げ－モーメント曲線関係）

y

bdM

6

2

応力度分布

ｄ

ｂ

状態 A

ひずみ度分布 y

bdM

4

2

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

状態 B

状態 C

状態 D

（b)断面内のひずみ度と応力度の分布

PM

M

A

B

C D

M

M

（a)モーメントー曲線関係

圧縮

ひずみ度

応力度

引張 y

y

理想化された鋼材の応力度と

ひずみ度の関係

y

y

:6

2bdZ e 断面係数 :

4

2bdZ p 塑性断面係数

② 崩壊機構と崩壊荷重

塑性ヒンジでの

塑性変形 塑性ヒンジ

崩壊荷重

P

はりの弾性変形

P

B A

L

yM

B

B

L

MP

pmax

PMM

L

MP

pmax

EI

PL3

崩壊機構（崩壊メカニズム）

塑性ヒンジの数＝不静定次数＋１

60

＜例＞

P

A L=5m L=5m

B C

(a)弾性時（破線はたわみを示す

kNmM P 20

0

P

(b)A 点で塑性ヒンジが発生

kNm20

kNm20

(e)崩壊機構

（d)崩壊機構の M 図

P16

25

P8

15

3

50

15

160P

5

2020xQ

5

20xQ

PM2

P

L L

kNP 125

20

5

2020

・仮想仕事法による崩壊荷重の求め方

１）崩壊機構を仮定する（全ての可能性を検討）

２）外力仕事＝内力仕事より、崩壊荷重を求める（全てのケース）

３）計算された崩壊荷重の最小値が真の崩壊荷重

LP ＝ 2 MpMp

外力仕事 内力仕事

KNL

MP P 12

52033

61

＜例＞崩壊荷重を求める

A

B

D

5m

A

B C

C

D

5m

P

100kNm 100kNm

150kNm

kNQ 505

150100

150kNm

Q=50kN

PM (梁）＝１００kNm

B 点,C 点では

PM (柱）＝１５０kNm

(梁）＜ PM PM

なので、梁が先に壊れる

(柱）

保有水平耐力：水平力に対する崩壊荷重

P=100kN

別階

P 5 θ=2( 100θ+150θ) → P=100

62

＜例＞崩壊荷重を求める

34 PMP

kNP 5.487

＜例＞崩壊荷重を求める

kNP

MP P

50

24

kNP

MMMP PPP

100

24

2m

mKNM P 650 P

4m 2

P

3

2

4m 4m

P

mKNM P 100 P

4m 4m

2

63

＜例＞保有水平耐力を求める

Mp 左はり+Mp 右はり<Mp 上柱+Mp 下柱

塑性ヒンジ

はり降伏型

Mp 左はり+Mp 右はり>Mp 上柱+Mp 下柱

塑性ヒンジ

柱降伏型

PP 22

PP 1

mkN

5m

A

B E

D C

F

4m

4m

100PM

80PM

120PM

150PM

はり降伏

塑性ヒンジの発生箇所

80kNm

kNm80kNm80

kNm120 kNm120

kNm150 kNm150

PP 22

PP 1 120

仮想変位

80

150

82

41

80

120

150

４ｍ

４ｍ

120250100150

15021202802482 PP

外力仕事 内力仕事

kNP 35

保有水平耐力

kNPF

kNPF

1053:1

702:2

150kNm

80kNm 80kNm

60kNm 60kNm

60kNm 60kNm

120kNm

120kNm

150kNm

35kN

崩壊機構時 M 図

kN2

105

64

＜例＞保有水平耐力を求める

mkNM P

①崩壊機構 A

90217021202482 PP

kNP 38

②崩壊機構 B

kNP

PP

30

904442

③真の値は、 kNP 30

保有水平耐力 kNPF

kNPF

903:1

602:2

PP 1

PP 21 C

B

A

D

E

F

4m

4m

120

150

170

90

P

2P

2P

P

65

◆ 軸力と曲げを同時に受ける材の塑性条件

①軸力だけの時の塑性条件

y

b

d bdAN yyP

②曲げだけの時の塑性条件

4

2bdZM yPyP

②同時の場合

1

2

PP N

N

M

M

y

軸力ー曲げモーメント相関降伏条件

PMM

PMM

１

１

降伏しない

M/Mp

N/Np

01.

0,

2

PP N

N

M

Mex

NMG

y