1

A közgazdászok matematikája I.

(kezdeti, javítatlan fázis)

1. Bevezetés ................................................................................................................................ 2 2. Alapozás (a középiskolai anyag áttekintése, kiegészítése) .................................................... 6

2.1. A halmazelmélet elemei ................................................................................................. 6 2.2. A valós számok struktúrája (meghatározó tulajdonságai, axiómarendszere): ................ 9 2.3. A matematikai állítások szerkezete .............................................................................. 11 2.4. Bizonyítási módszerek: ................................................................................................. 12 2.5. Egyenesek, körök, parabolák ........................................................................................ 14

3. Valós-valós függvények ....................................................................................................... 18 3.1. Néhány nevezetes függvény ......................................................................................... 18 3.2. Polinomok (polinomok osztása, gyöktényezős alakja) ................................................. 20 3.3. Függvények elemi tulajdonságainak értelmezése ......................................................... 24 3.4. Hatvány-, gyök-, trigonometrikus- és exponenciális függvények és elemi

tulajdonságaik: ..................................................................................................................... 25 3.5. Műveletek valós-valós függvényekkel ......................................................................... 29

4. Függvények invertálhatósága, további elemi függvények ................................................... 31 4.1. Függvény invertálhatóságának és inverzének definíciója ............................................ 31 4.2. A négyzetgyök és a logaritmus függvények, mint inverzek ......................................... 33 4.3. A trigonometrikus függvények inverzei ....................................................................... 35

5. Valós-valós függvények határértéke .................................................................................... 38 5.1. A kibővített valós számok halmaza .............................................................................. 38 5.2. A különböző típusú határértékek értelmezése .............................................................. 40 5.3. Egyoldali határértékek értelmezése és kapcsolata a határértékkel ............................... 42 5.4. Függvényhatárértékek meghatározásához használható tételek: ................................... 43 5.5. Kritikus határértékek .................................................................................................... 44 5.6. Nevezetes függvényhatárértékek. Az e szám bevezetése. ............................................ 44 5.7. Néhány fontos példa függvényhatárérték számításra ................................................... 46

6. Valós-valós függvények folytonossága ................................................................................ 48 6.1. A pontbeli folytonosság értelmezése ............................................................................ 48 6.2. Kapcsolat a folytonosság és a határérték között ........................................................... 48 6.3. Egyoldali folytonosság ................................................................................................. 49 6.4. Szakadási helyek és osztályozásuk ............................................................................... 50 6.5. Függvények folytonos kiterjesztése .............................................................................. 51 6.6. Műveletek folytonos függvényekkel ............................................................................ 52 6.7. Korlátos és zárt intervallumon folytonos függvények tulajdonságai (Bolzano-tétel és

Weierstrass-tétel): ................................................................................................................ 53

2

1. Bevezetés

1. Európai Központi Bank és környéke, Frankfurt am Main

Miért ragaszkodunk annyira a valós számokhoz?

Az árak, bevételek, javak, jövedelmek, adókulcsok, átlagköltségek, részesedési

arányok, stb. mérésére szükségünk van a valós számokra, úgyhogy a valós számkör iránti

érzéseink egyáltalán nem mondhatók érdekmentesnek.

Már a természetes számokról is elmondhatjuk, hogy igencsak absztrakt fogalmakat

takarnak. Nézzük csak, honnan is erednek…

A kő latinul calculus. A kőkorszakban ez volt az ember legfontosabb eszköze,

nemcsak azért, mert fegyvereit ebből készítette, hanem azért is, mert a kavicsok segítségével

tudott „kalkulálni”, a számokat kövekkel ki tudta fejezni. A számok fogalma korábban alakult

ki mint a számneveké, melyek minden bizonnyal csak valamikor az újkőkorban születtek

meg.

A természetes számok nevei (egy, kettő, három,…) angolul, spanyolul, franciául,

olaszul, oroszul, latinul, görögül, szanszkritül nagyon hasonlóak. Keletkezésük időpontja sok

ezer évvel megelőzi az írás kifejlődését, ekkor még őseink közös indoeurópai ősnyelvet

3

beszéltek. Egyes számok jele több ezer éves fejlődés eredménye. Bár a számírás története

szervesen kapcsolódik az írás történetéhez, bevezetőnkben a képírásig most mégsem

tekintenénk vissza. A ma használatos számjegyek Indiából származnak. Egy i.e. 662-ben

íródott, Szíriában előkerült könyvben már megtalálhatók az 1-9 számok indiai jelei. Az

araboknál a számjegyeket művészi díszítésre is használták. Az első hindu-arab számokkal

lapszámozott könyv az 1471-ben megjelent Petrarca kötet. (ld. Székely J. Gábor,

Építészmérnök hallgatóknak írt matematika jegyzetterv, 1995).

A természetes számok halmazára a következő jelölést használjuk: : 1,2,3,4,5,... . Az

1 0x lineáris egyenletnek az halmazban nincs megoldása, míg az egész számok

: ..., 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,... halmazán van, és ez az 1x .

A racionális számok halmazát -val, míg a valós számokét -rel jelöljük. A racionális

számok halmaza nem más, mint az összes tört alakban felírható szám halmaza, ezek lehetnek

véges tizedestörtek vagy végtelen szakaszos tizedestörtek. A racionális számok halmazát

kibővítve a végtelen nemszakaszos tizedestörtekkel kapjuk a valós számhalmazt, azaz a

valós számok halmaza tartalmazza a racionális számok halmazának és a nem racionális (azaz

irracionális) számok halmazának minden elemét.

A természetes számokról sok mindent tudunk már és jó pár kérdés nyitott, sejtjük

csupán a választ. Párat ilyenekből is felsorolnánk:

Oszthatósági szempontból mindig is érdekesek voltak a prímszámok, azaz azok a

természetes számok, melyek csak 1-gyel és önmagukkal oszthatók. Ilyenek a

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,… Ezek a természetes számhalmaz legkisebb építőkövei, hiszen

minden természetes szám vagy egység, vagy prímszám, vagy pedig felbontható (szorzási

sorrendtől eltekintve) egyértelműen prímszámok szorzatára. Már az ókori görögök indirekt

okoskodással belátták, hogy végtelen sok prímszám van. Ha indirekt feltételeznénk, hogy a

prímszámok száma véges, akkor őket (mind) összeszorozva és 1-gyet a szorzathoz hozzáadva

olyan számot kapnánk, mely nem volna felbontható prímszámok szorzatára, mert bármelyik

prímmel elosztva a maradék 1 lenne, azaz újabb prímszámot kapnánk, ami ellentmondáshoz

vezet. Az olyan prímszám párosokat, melyeknek különbsége 2, ikerprímeknek nevezzük. A

mai napig nem tudjuk, hogy van-e végtelen sok ikerprím, mint ahogy a Goldbach-sejtést sem,

hogy minden kettőnél nagyobb páros szám felírható-e két prímszám összegeként.

Az ókori görögök, főleg Püthagorasz és követői, a püthagoreusok szerint a tökéletes

harmónia (azaz kapocs) a legkisebb természetes számok arányaival fejezhető ki. A

püthagoraszi harmóniára egyik legszebb példánk a következő: ha egy háromszög oldalainak

aránya 3:4:5, akkor a háromszög derékszögű. Ez éppen Püthagorasz tételéből következik,

mert 2 2 23 4 5 .

Az igazság kedvéért meg kell itt említenünk, hogy bár a matematikatörténet ezt

Püthagorasznak tulajdonítja (hiszen ő bizonyította), a babiloniak is használták ezt egy

évezreddel Püthagorasz előtt, azzal a különbséggel, hogy ők nem tudták, hogy ez igaz

valamennyi derékszögű háromszögre.

A Püthagorasz-tétel (másképpen írva Pitagorasz-tétel) tulajdonképpen közvetlen őse a

nagy Fermat-tételnek (amit érdekes módon - bár 1994-ben bonyolult matematikai

módszerekkel bizonyítottak - gyakran továbbra is sejtésnek nevezünk). Ez a tétel a

püthagoraszi alapokat kapcsolja össze a matematika legbonyolultabb elképzeléseivel, ami

4

több mint három évszázadon át lenyűgözte a matematikustársadalmat. Maga a feladat olyan

egyszerű, hogy egy kisiskolás is megértheti.

1670-ben Toulouse-ban Pierre de Fermat (1601-1665) francia matematikus és jogász

halála után megjelent a „Diophantosz Arithmeticája Pierre Fermat megjegyzéseivel” című

kötet, melyben Fermat a 8. probléma tőszomszédságában széljegyzetként kijelentette, hogy az n n nx y z egyenletnek bármilyen rögzített 3,4,5,...n számra nincsen pozitív egész

, ,x y z megoldása. Matematikusok nemzedékeit „őrjítette meg” ingerkedő megjegyzésével,

amit szintén ide írt be:

„Igazán csodálatos bizonyítást találtam erre a tételre, de ez a margó túl keskeny, semhogy

ideírhatnám.” (ld. Simon Singh, A nagy Fermat-sejtés, Park Könyvkiadó, Budapest, 1999)

Míg az itt tanult matematika tételek nagy többségének az utca embere hátat fordítana, még a

Fermat-sejtés bizonyítása előtti időkben, New Yorkban, a Nyolcadik utcai metróállomás falán

a következő falfirka jelent meg:

„ n n nx y z : nincs megoldás. Igazán csodálatos megoldást találtam erre a tételre, de most

nincs időm ideírni, mert jön a metró”.

Amikor Püthagorasz Hippaszosz nevű fiatal tanítványa felfedezte, hogy a 2 (pl. az

egységnyi oldalú négyzet átlójának hossza) nem fejezhető ki két természetes szám

hányadosaként, tehát a „püthagoreus értelemben véve nem szám”, a püthagoreusok egész

világszemlélete összeomlott. Úgyhogy inkább vízbe fojtották Hippaszoszt és továbbra sem

vettek tudomást az ilyen számok létezéséről. Talán ez az egyetlen dicstelen tett, ami a

nevükhöz kapcsolható. A 2 -t és az irracionális számokat csak a mester halála után merték

újra „életre kelteni”.

Vegyünk most egy 1 és 2 oldalú téglalapot. Megkétszerezve a rövidebbik oldalt, 2

és 2 oldalú téglalapot kapunk, ami ugyanolyan arányú, mert 1: 2 2 :2 . Ez azt mutatja,

hogy két egyforma papírlapot „ügyesen” egymás mellé rakva olyan nagyobb lapot kapunk,

mely hasonló az eredetihez.

Ha egy egységnyi hosszúságú szakaszt úgy osztunk két részre, hogy a kisebbiknek és a

nagyobbiknak az aránya egyenlő legyen a nagyobbiknak és az egésznek az arányával, azaz a

nagyobbik részt x-szel jelölve, az 1

1

x x

x

másodfokú egyenletet kapjuk, melynek egyetlen

pozitív megoldása az 1 5

2x

és ekkor a nagyobbik és kisebbik aránya

1 5

2

,

az aranymetszési arány. Az aranymetszésről Velencében, 1509-ben Fra Luca Paccioli „De

Divina Proportione” címmel könyvet írt, melyet barátja, Leonardo da Vinci illusztrált. Nézzük

meg az aranymetszés egyéb előfordulását is.

Fibonacci, a középkor kiemelkedő matematikusa, 1200 körül, nyulak szaporodását

vizsgálva, bevezette és tanulmányozta a következő numerikus sorozatot: 1,1,2,3,5,8,13,21,…,

azaz általánosan 2 1n n nu u u . A Fibonacci sorozat egymást követő tagjainak hányadosa:

1; 2; 1,5; 1,666; 1,6; 1,625; 1,6153, ..., az aranymetszés értékéhez tart.

5

A Fibonacci számok arányai a természetben is megtalálhatók: a szilvafa gallyain a

levelek általában félfordulatra követik egymást, a bükknél, mogyorónál ez 1/3, a tölgynél,

sárgabaracknál 2/5, körtefánál, nyárfánál 3/8, mandulánál, fűzfánál 5/13, és így tovább. Ezek

az arányok éppen a másodszomszéd Fibonacci számok arányai. Kepler szerint éppen az

aranymetszés adta az ötletet a Teremtőnek, hogy bevezesse a hasonló dolgoknak hasonló

dolgokból való származtatását.

6

2. Alapozás (a középiskolai anyag áttekintése, kiegészítése)

Fontosabb jelöléseink: A nyílt intervallumra az ,a b jelölést, a zártra az ,a b jelölést

használjuk, , : ,  a b x a x b , , : ,  a b x a x b , teljesen hasonló módon

definiálhatjuk a balról nyílt, jobbról zárt ,a b , valamint a balról zárt, jobbról nyílt ,a b

intervallumokat is. A valós számhalmazt jelölhetjük még a , nyílt intervallummal is,

ami annyiban különbözik az eddigiektől, hogy a és b szimbólumok, nem számok.

( A nem tekinthető valós számnak.)

Mire érdemes a továbbiakban odafigyelni?

A görög ábécé betűi igen gyakran előfordulnak a matematikai képletekben, érdemes

megismerkedni velük, mint ahogy az univerzális és egzisztenciális kvantorokkal is: a

„minden”, „bármely”, „minden egyes” jelentéssel bír, míg az egzisztenciális kvantor, a

nem más, mint „létezik”, „van olyan”. Ismernünk kell továbbá az implikációt , valamint

az ekvivalenciát , ezekre azonban még a matematikai állítások szerkezetének

tárgyalásakor részletesebben visszatérünk. Ismernünk kell a szumma (összeg) és a produktum

(szorzat) jelöléseket, azaz 1 21

...n

k nk

a a a a

és 1 21

n

k nk

a a a a

.

Egy tetszőleges bizonyítás végét a jelezheti.

2.1. A halmazelmélet elemei

A matematika nyelvének ismeretéhez elengedhetetlen a halmazelméleti fogalmak

alapos ismerete. Egyetlen tételt sem tudunk e nélkül megfogalmazni, mint ahogy a

bizonyításokban is szükségünk van a halmazra, mint alapfogalomra. Ha mindenképpen meg

akarjuk fogalmazni, mi is a halmaz, mondhatnánk, hogy egymástól különböző objektumok

összessége, gyűjteménye. Ezeket az objektumokat a halmaz elemeinek nevezzük. A

halmazokat nagybetűkkel jelöljük, A, B, C, stb. A halmaz elemeit általában kisbetűkkel

jelöljük. Azt, hogy a eleme az A halmaznak, így jelöljük: a A . Ellenkező esetben az a A

jelölést használjuk.

Miképp adhatunk meg egy halmazt? Például úgy, hogy felsoroljuk elemeit,

1,2,3,...,999,1000A vagy megadjuk azt a tulajdonságot, amellyel csak a halmazunk

elemei rendelkeznek, pl. 1000A x x .

Tetszőleges a dolog és tetszőleges A halmaz esetén, az a A és a A állítások közül

pontosan egynek igaznak kell lennie.

Azt a halmazt, melynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük, jelölése: .

Legyenek A és B tetszőleges halmazok. Akkor mondjuk, hogy az A és B halmazok egyenlők,

ha ugyanazok az elemeik, és ezt így jelöljük: A = B.

7

2.1.1. Halmazműveletek definíciója (az ábrák mindegyike megtalálható itt)

Egyesítés (halmazunió): :      A B x x A vagy x B .

  

Halmaz metszet (közös rész): :      A B x x A és x B .

Halmazok különbsége: \ :      A B x x A és x B .

2.1.2. Részhalmaz definíciója: Az A halmaz részhalmaza a B halmaznak, ha az A minden

eleme B -hez is hozzátartozik, azaz ( )A B x A x B .

Jelölése: A B .

Abban az esetben, ha A B , de A B , szoktuk még az A B jelölést is használni, ilyenkor

azt mondjuk, hogy „az A halmaz valódi részhalmaza B -nek”.

8

2.1.3. Példa: .

2.1.4. Definíció: Legyen adott valamely U halmaz. Tetszőleges A U halmaz esetén az

\U A halmazt az A halmaz komplementerének (vagy komplementer halmazának) nevezzük.

U

2.1.5. Tétel: Tetszőleges A és B halmazokra igaz a következő:

( )A B A B és B A .

A halmazegyenlőségeket általában ennek a felhasználásával igazoljuk.

U \A

A

9

2.1.6. Definíció: Az A halmaz hatványhalmaza nem más, mint a :A X X A

halmaz.

2.1.7. Példa: Az 1,2,3A háromelemű halmaz hatványhalmaza 32 8 elemű és nem más,

mint : , 1 , 2 , 3 , 1,2 , 1,3 , 2,3 , 1,2,3A .

2.1.8. Definíció: Az A és B halmazok Descartes-szorzata (vagy kereszt szorzata) nem más,

mint az összes olyan rendezett pár halmaza, melynek első komponense A-ból, a második meg

B-ből van, azaz : ,      A B a b a A és b B .

2.1.9. Példa: A sík nem más, mint 2 : : ,      a b a és b .

2.1.10. Definíció: Az A halmazt felülről korlátosnak mondjuk, ha K : a K

a A . Hasonlóan definiáljuk az alulról korlátos halmazt. Egy A halmazt pedig

korlátosnak nevezünk, ha van alsó és felső korlátja is, azaz ha ,k K : k a K a A .

A korlát nem feltétlenül eleme a halmaznak (későbbi példában látni fogjuk) és nem is

egyértelmű, pl. az 1,2 zárt intervallumnak -ben egy felső korlátja a 2, de ugyanígy a 3, a

, és sorolhatnánk még a végtelenségig. A legkisebb felső korlátja viszont a 2.

2.1.11. Definíció: A legkisebb felső korlátot, ha van ilyen, pontos felső korlátnak, vagy

szuprémumnak nevezzük, jelölése sup A , míg a legnagyobb alsó korlátot, ha van ilyen, pontos

alsó korlátnak, vagy infimumnak nevezzük, jelölése inf A.

2.2. A valós számok struktúrája (meghatározó tulajdonságai, axiómarendszere):

A) A valós számok halmaza rendelkezik a következő tulajdonságokkal:

1) Értelmezett a következő + „összeadás művelet”: ,a b esetén a b , mely a

következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1 )    a a b b a ,a b (kommutativitás);

1 )    b a b c a b c , ,a b c (asszociativitás);

1 )     0    :   0c a a a (létezik zéruselem);

1 )            :   0d a a a a (minden a elemnek létezik a a ellentettje);

2) Értelmezett a következő „szorzás művelet”: ,a b esetén a b , mely a

következő tulajdonságokkal rendelkezik:

2 )    a a b b a ,a b (kommutativitás);

2 )    b a b c a b c , ,a b c (asszociativitás);

2 )     1    :   1c a a a (létezik egység);

10

2 )     \ 0        :   1d a a a a (minden \ 0a elemnek létezik 11:a a

a

reciproka.);

3) Disztributivitás:   a b c a c b c , ,a b c .

B) A valós számhalmazon van rendezési reláció, amit a b -vel jelölünk és melynek a

következő tulajdonságai vannak:

1 )    a a a a (reflexivitás);

1 )    b a b és  b a a b ,a b (antiszimmetria);

1 )    c a b és  b c a c , ,a b c (tranzitivitás);

1 )    d a b vagy  b a ,a b (trichotómia).

2) A műveletek és a rendezés között kapcsolat van:

2a) a b c : a c b c ;

2b) a b és c 0 a c b c .

C) Teljességi axióma: (a rendezésre nézve) teljes, azaz bármely nemüres, felülről

korlátos részhalmazának van -beli pontos felső korlátja (szuprémuma) .

Szemléletesen, ez azt jelenti, hogy „kitölti” a számegyenest, míg például a racionális

számok halmaza „lyukacsosan hagyja” ezt. (Azaz nem teljesíti a teljességi axiómát,

pedig az összes többit (az A. és B. -belieket) igen.

2.2.1 Példa: Tekintsük a számhalmazt, azon belül pedig egy A részhalmazt, mely a

következő tulajdonsággal van megadva: A x x . Az A felülről korlátos, mert pl.

4 egy felső korlát, de A-nak a számhalmazon belül nincs szuprémuma, mert .

Összefoglalva, a valós számok halmaza tehát egy teljes rendezett test.

2.2.2. Megjegyzés: A felsorolt axiómákból minden -rel kapcsolatos ismeretünk

levezethető. Például, az, hogy a 2 0a , vagy az, hogy az a b egyenlőtlenséget

1 -gyel beszorozva, az egyenlőtlenség iránya megváltozik, vagy például azt, hogy az a és b

számok mértani közepe mindig kisebb vagy egyenlő a számtani középnél, azaz, 2

a bab

,

stb. Lássuk, hogyan igazoljuk például ez utóbbit: elegendő igazolni, hogy 2

4

a bab

,

ehhez pedig elég belátni azt, hogy a jobboldalból kivonva a baloldalt nemnegatív számot

kapunk.

11

2 2 2 240

4 4 4 2

a b a b ab a b a bab

. Ugyanígy az is belátható, hogy

amennyiben megköveteljük, hogy az a és b számok különbözzenek egymástól, akkor

2

a bab

.

2.3. A matematikai állítások szerkezete

Az állítások olyan kijelentések, melyek vagy igazak (i), vagy hamisak (h). Az

állításokat , , ,...p q r betűkkel jelölhetjük.

2.3.1. Definíció (negáció): A p állítás tagadása (negáltja) „non p”, jelölése p (vagy p

nem más, mint az az állítás, mely akkor igaz, mikor a p hamis és akkor hamis, amikor a p

igaz.

A logikai műveletek a következők:

2.3.2. Definíció: Diszjunkciónak nevezzük a p q állítást, amit még „p vagy q”-nak is

nevezünk, és ami abban az esetben igaz, ha legalább az egyik állítás igaz.

2.3.3. Definíció: Konjunkciónak nevezzük a p q állítást, amit még „p és q”-nak is

nevezünk, és ami abban az esetben igaz, ha mindkét állítás egyidőben igaz.

2.3.4. Definíció: A p állítás implikálja a q állítást, jel. p q , ha minden olyan esetben,

amikor p igaz, q is igaz. Szoktuk még úgy is mondani, hogy „ha p, akkor q”, vagy „p-ből

következik q”, a „” jelet pedig implikációs nyílnak nevezzük. A p q implikáció azt is

jelzi, hogy „p elégséges feltétele a q-nak”, vagy azt, hogy a „q szükséges feltétele a p-nek”.

2.3.5. Példa: Implikáció például a következő: „Ha , és a táblán lévő háromszög szögei,

akkor 180 .” Ez ugyanazt jelenti, hogy „Ha 180 , akkor az , és

nem a táblán lévő háromszög szögei.”

2.3.6. Megjegyzés: A p q implikáció nem más, mint a p q , tehát csak akkor hamis,

ha p igaz és q hamis.

2.3.7. Definíció: A p állítás ekvivalens a q állítással, jel. p q , ha egyidőben p q és

q p . Szoktuk még úgy is mondani, hogy „p pontosan akkor igaz, ha q is igaz”, vagy „p

akkor és csak akkor igaz, ha q is igaz”, vagy azt is, hogy a „p szükséges és elégséges feltétele

a q-nak”. A p q ekvivalencia pontosan akkor igaz, ha mindkét állításunk egyszerre igaz,

vagy mindkettő egyszerre hamis.

2.3.8. Példa: Ekvivalencia például a következő: 2 4 2 2x x .

12

2.4. Bizonyítási módszerek:

A matematika legfontosabb eredményeit tételek formájában közöljük és ezeket mind-

mind logikailag hibátlan bizonyítással kell ellátnunk. Jelen előadásjegyzet csak nagyon kevés

tétel bizonyítását tartalmazza, nem ezek képezi jegyzetünk fő részét, most mégis a bizonyítási

módszerekre térnénk ki.

Azzal kezdenénk, hogy minden tétel megfogalmazható egy p q implikációként.

A p a tétel feltételeit jelöli, más néven a tétel premisszáit, q pedig a tétel konklúzióját, más

néven a tétel állítását.

2.4.1. Direkt bizonyítás: az, amikor a p premisszákból kiindulva, lépésről-lépésre, helyes

következtetések láncolatán keresztül eljutunk a q konklúzióig. Lássunk egy, a

kombinatorikából kiemelt nagyon egyszerű példát erre a bizonyítási módszerre:

2.4.2. Tétel: Legyen n . Ekkor n különböző elem összes lehetséges sorrendjének száma

1 2 1n n .

Bizonyítás: A sorrend első elemét n -féleképpen választhatjuk ki, a másodikat már csak

1n -féleképpen (merthogy a sorrendbeli elemek különböznek egymástól), a harmadikat

2n -féleképpen, és így tovább, az utolsó előtti elemet a sorrendből már csak

kétféleképpen, míg az utolsót egyféleképpen választhatjuk ki, ez így 1 2 1n n

különböző sorrendet jelent, amit bizonyítanunk kellett.

2.4.3. Megjegyzés: A fenti 1 2 1n n számot n elem ismétlés nélküli permutációjának

nevezzük, jelölése !n , azaz „n faktoriális”.

2.4.4. Indirekt bizonyítás: az, amikor egy tételt úgy bizonyítunk, hogy feltételezzük, hogy az

állításunk hamis (azaz, az ellenkezője igaz) és ebből lépésről-lépésre, helyes következtetések

láncolatán keresztül ellentmondáshoz jutunk. Mivel igaz állításból helyes következtetések

láncolatán keresztül lehetetlen hamis állításhoz jutni, akkor eredeti állításunk szükségképpen

igaz kell, hogy legyen.

Itt tulajdonképpen a reductio ad absurdum érvelési formát használjuk, melynek során

bebizonyítjuk, hogy a tétel állításának tagadása képtelenségbe torkollik.

Lássunk egy szép példát az indirekt bizonyításra is:

2.4.5. Tétel: 2 irracionális.

Bizonyítás: Tegyük fel indirekt, hogy tételünk nem igaz, azaz 2 . Ez azt jelentené, hogy

felírható tört alakban, azaz a és b , hogy az a és b relatív prímek legyenek, azaz

legnagyobb közös osztójuk 1 legyen és 2a

b . Ekkor négyzetre emeléssel kapjuk, hogy

2

22

a

b , azaz 2 22a b , ami azt jelenti, hogy 2a páros, így a is az. Tehát 2a l valamely

13

l esetén. Ez azt jelenti, hogy 2 24 2l b , azaz b is páros, ami ellentmond annak, hogy az a

és b relatív prímek. Tehát hibás volt az a feltételezésünk, hogy 2 . Így 2 .

2.4.6. A teljes indukció: Az induktív észjárásnak sok tételt köszönhetünk a matematikában,

de nem szabad elfelejteni, hogy olyan formulák igazolására használjuk, melyek természetes

számokra vonatkoznak. Az elv a következő:

Tegyük fel, hogy a p n egy olyan állítás, mely természetes számokra igaz és

amelyre

1p igaz

tetszőleges n esetén, ha a p n indukciós feltevés igaz, akkor 1p n is igaz.

Ekkor p n minden n természetes számra igaz.

Szemléletesen, ha egy égig érő létránk lenne, ha az első fokra fel tudunk lépni (nagyon

fontos lépés minden teljes indukciót használó gondolatmenetben!) és bármely fokról a

következőre fel tudunk lépni, akkor a létránk minden fokáig eljuthatunk.

2.4.7. Megjegyzés: Az elv használható olyankor is, mikor csak bizonyos 0n természetes

számtól kezdődő 0n n természetes számokra érvényes állítást szeretnénk igazolni, csak

akkor az első lépésben nem azt kell belátnunk, hogy 1p igaz, hanem azt, hogy 0p n igaz,

majd második lépésben azt, hogy tetszőleges 0n n természetes számra ha a p n indukciós

feltevés igaz, akkor 1p n is igaz.

A módszer alkalmazásaként, lássuk a következő tétel bizonyítását:

2.4.8. Tétel (Bernoulli-egyenlőtlenség): 1h valós szám és n esetén

1 1n

h nh .

Bizonyítás: n szerinti teljes indukcióval történik. Első lépésben, 1n esetén igaz az állítás,

mert 11 1 1h h .

Tegyük fel, hogy az állítás igaz n-re. (indukciós feltétel)

Igazoljuk, hogy ( 1)n -re is igaz.

1 21 1 1 1 1 1 1

.   .

1 1 ,

n nh h h h nh n h nh

ind felt

n h

amit igazolnunk kellett, így teljes indukcióval bebizonyítottuk a tételt.

Szintén teljes indukcióval bizonyítható a következő két tétel is, bár itt nem bizonyítjuk őket:

14

2.4.9. Tétel (a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség): Tegyük fel, hogy

1 2, ,..., 0na a a . Ekkor 1 21 2

...... nn

na a a

a a an

. Egyenlőség akkor és csak akkor állhat

fenn, ha 1 2 ... na a a .

2.4.10. Megjegyzés: Az 2n esetet bizonyítottuk a 2.2.2. Megjegyzésben.

A második beígért (szintén teljes indukcióval bizonyítható) tétel megértéséhez szükségünk

van a következő, kombinatorikából jól ismert fogalomra:

2.4.11. Definíció: Egy n elemű halmaz k elemű részhalmazainak számát n elem k-ad osztályú

ismétlés nélküli kombinációjának nevezzük és n

k

-val jelöljük.

Könnyű belátni, hogy

!

! !

n n

k k n k

, ahol ! 1 2 1n n n , mint ahogy azt is, hogy a

kiegészítő kombinációs számok egyenlőek, azaz n n

k n k

.

Megegyezés szerint 0! 1 .

2.4.12. Tétel (Binomiális tétel): ,a b és 1,2,...n esetén

1 2 2 1

0...

0 1 2 1

nn n k k n n n n n

k

n n n n n na b a b a a b a b ab b

k n n

.

2.4.13. Megjegyzés: A binomiális tétel 1n és 2n esetei az

2 2 22a b a ab b , valamint az 3 3 2 2 33 3a b a a b ab b .

Amennyiben a képletekbe b helyére –b -t írunk, kapjuk, hogy 2 2 22a b a ab b ,

valamint 3 3 2 2 33 3a b a a b ab b .

2.5. Egyenesek, körök, parabolák

A derékszögű vagy Descartes-féle koordinátarendszer két egymásra merőleges

tengelyből áll, a vízszintes az x-tengely, a függőleges az y-tengely, metszetük az

0,0O origó. A tengelyekre fölmérjük a valós számokat úgy, hogy az origóban legyen

mindkét tengelyen a 0 szám. A sík bármely P(x,y) pontjának egyértelműen meghatározható a

helye a koordinátarendszer segítségével, azaz minden számpárnak egyértelműen

megfeleltethető egy pont az xy-síkban és fordítva, a sík bármely pontjához egyértelműen

hozzárendelhető egy valós számpár, melyből az első számot a pont abszcisszájának, míg a

másodikat a pont ordinátájának nevezzük.

15

2.5.1. Definíció: Az egyenes egyenlete a síkban felírható az y mx b formában, ahol

,m b . Az m tg , ahol nem más, mint az x-tengely és az egyenes által alkotott (és az

óramutató irányával ellentétesen, azaz pozitív trigonometrikus irányban bejárt) szög. Ezért az

m együtthatót szoktuk még az egyenes iránytangensének vagy iránytényezőjének nevezni.

4 2 2 4

2

4

6

8

10

Két 1 1y m x b és 2 2y m x b egyenes akkor és csak akkor párhuzamos, ha

1 2m m , valamint az előbbi egyenesek akkor és csak akkor merőlegesek, ha 1 2 1 0m m .

2.5.2. Megjegyzés: Amennyiben az egyenest az Ax By C alakban adják meg, az y -t

kifejezve kapjuk a definícióban megadott alakot: A C

y xB B

.

2.5.3. Definíció: Az ,a b középpontú, 0r sugarú kör egyenlete a síkban

2 2 2x a y b r .

C 1, 2

1 1 2 3

1

2

3

4

16

2.5.4. Megjegyzés: Amennyiben a kör egyenlete nem a definícióban megadott alakban

szerepel, a teljes négyzetté alakítás segítségével átírhatjuk. Így a középpont koordinátáit,

valamint a sugár hosszát is látjuk. Pl. az 2 23 2 4 0x x y y kör átírható

2

23 91 1 4 0

2 4x y

alakba, azaz 22

23 291

2 2x y

, amiből rögtön

látszik, hogy a kör középpontja 3

,12

, sugara pedig 29

2.

2.5.5. Definíció: Az 2y ax bx c , , ,a b c , 0a egyenletet kielégítő pontok parabolát

alkotnak.

Az a főegyüttható előjelétől függően a parabola szárai állhatnak fölfelé, vagy lefelé.

Amennyiben 0a , a parabolánk szárai felfelé mutatnak, azaz parabolánk konvex, ha pedig

 0a , akkor szárai lefelé mutatnak, azaz parabolánk konkáv. Az első esetben a parabolának

minimuma van, a másodikban maximuma.

0a eset 4 2 2

5

10

4 2 2

10

5

 0a eset.

2.5.6. Megjegyzés: Amennyiben az 2y ax bx c , , ,a b c , 0a egyenletű parabolát

az 2y x parabolából kiindulva, elemi transzformációk segítségével szeretnénk ábrázolni, a

következő átalakításra van szükségünk:

2 22 22

2 2

4

2 24 4

b c b b c b b acy a x x a x a x

a a a a aa a

.

17

Innen azonnal következik a másodfokú egyenlet megoldóképlete is, azaz amennyiben a

2: 4D b ac diszkrimináns nemnegatív, 1,22

b Dx

a

.

Ugyanez az átalakítás magyarázza azt is, hogy a másodfokú függvény szélsőértékhelye

(legyen az minimumhely, ha 0a , vagy maximumhely, ha  0a ) 2

mb

xa

, míg a

szélsőértéke 2 4

4m m

b acy f x

a

. Szintén innen kaphatjuk a gyökök és együtthatók

közötti összefüggést másodfokú egyenlet esetén, azaz a François Viète matematikusról

elnevezett Viète-formulát, mely szerint

1 2b

x xa

és 1 2c

x xa

.

18

3. Valós-valós függvények

3.1. Néhány nevezetes függvény

3.1.1. Definíció: Legyenek A és B valós számhalmazok. Rendeljünk hozzá minden

x A számhoz egyetlen y B számot. Az ilyen egyértelmű hozzárendelést függvénynek

nevezzük. Az A halmazt a függvény értelmezési tartományának nevezzük, B pedig a

függvény képhalmaza. A függvény értékkészlete a B halmaz azon elemeiből áll, melyeket a

függvény ténylegesen felvesz. Valós-valós függvényt mondunk akkor, mikor hangsúlyozni

szeretnénk, hogy mind az értelmezési tartomány, mind pedig az értékkészlet részhalmaza.

3.1.2. Jelölések: Az :f A B jelölést szoktuk a függvényre használni (természetesen

g,h,…-val is jelölünk függvényeket), az értelmezési tartományt pedig fD -fel jelöljük. Az

értékkészlet pedig : :f fR y B x D f x y .

3.1.3. Néhány nevezetes függvény:

1) Abszolút érték függvény: :abs , , 0

, 0

x ha xx x

x ha x

.

2) Reciprok függvény: : \ 0f , 1

f xx

, ( \ 0 )fR .

4 2 2 4

2

1

1

2

f x x

4 2 2 4

1

2

3

4

5

19

3) Előjel függvény vagy szignum függvény: :sign ,

1,       0

0,        0

1,        0

ha x

x ha x

ha x

.

4) Egészrész függvény: int : , x x , ahol x jelöli az x valós szám egész részét

(vagy alsó egészét, amit még x -szel is jelölhetünk), ami az x -nél kisebb vagy egyenlő

egész számok közül a legnagyobb. Az egészrész függvény grafikonja a következő:

5) A törtrész függvény: :frac , x x , ahol x jelöli az x valós szám törtrészét,

ami nem más, mint :x x x . A törtrész függvény grafikonja a következő:

20

6) Dirichlet-függvény: :f , 1,  

0,   \

ha xf x

ha x

.

7) Polinom függvények: :p , 20 1 2: ... n

np x a a x a x a x , ahol n a polinom

fokszáma. Ha szeretnénk hangsúlyozni a polinom fokát, akkor n -edfokú polinomot mondunk

és a deg p n jelölést használjuk. Az ia , 1,...,i n , 0na számokat a polinom

együtthatóinak nevezzük, na pedig az n-edfokú polinom főegyütthatója. A konstans

függvényeket szoktuk még nulladfokú polinom függvénynek tekinteni. Az eddigiekben láttuk

már, hogy az elsőfokú polinom függvények (azaz lineáris függvények) grafikonja egyenes,

míg a másodfokú polinom függvényeké parabola.

3.2. Polinomok (polinomok osztása, gyöktényezős alakja)

A továbbiakban a polinomok egy kényelmes definícióját használjuk, mely szerint

(n-ed fokú egyhatározatlanú, valós együtthatós) p x polinomnak nevezzük a

20 1 2: ... n

np x a a x a x a x formális kifejezést, ahol n , ia , 1,...,i n ,

0na .

A 20 1 2: ... n

np x a a x a x a x és 20 1 2: ... n

nq x b b x b x b x polinomokat akkor

és csak akkor nevezzük egyenlőknek, ha 1,2,...,i n indexre i ia b .

Két, 20 1 2 ... n

na a x a x a x és 20 1 2 ... n

nb b x b x b x polinomot egyenlőnek nevezünk,

ha i ia b 1,2,...,i n .

3.2.1. Definíció: Az 0x gyöke (vagy zérushelye) a p x polinomnak, ha 0 0p x

(azaz 0x megoldása a 0p x egyenletnek).

3.2.2. Tétel (Bézout tétele): Az n-ed fokú p x polinomnak 0x gyöke

0p x x x q x , ahol q x egy 1n -ed fokú polinom.

3.2.3. Definíció: Ha a p x polinom 0k

p x x x q x alakban írható fel, ahol

0 0q x , akkor 0x a p x polinom k -szoros gyöke. Mondjuk még azt is, hogy az 0x a

p x polinom k multiplicitású gyöke.

3.2.4. Megjegyzés: A Bézout - tételből azonnal következik, hogy egy n -ed fokú polinomnak

legfeljebb n db. valós gyöke lehet. Ezek között persze lehetnek többszörös gyökök, őket

multiplicitással együtt számoltuk.

21

A gyökök és együtthatók közötti összefüggést n -edfokú egyenletekre is fel tudjuk írni

a másodfokú egyenletre bemutatott képletek mintájára.

3.2.5. Tétel (Viète-formula n-edfokú polinomra): Ha a 20 1 2: ... n

np x a a x a x a x

polinomnak az összes 1 2, ,..., nc c c gyöke valós szám, akkor

1 2

1 2

11

21 2 1 1

1

01 2

...

... ...

1

1

k

k

nn

n

nn n n

n

kn ki i i

i i i nn

nn

n

ac c

a

ac c c c c c

a

ac c c

a

ac c c

a

A Viète-formula akkor is igaz, ha a polinomunknak nem minden gyöke valós, erre

most a komplex számok ismeretének hiánya miatt nem térnénk ki.

A polinomokkal végzett műveletek (összeadás, kivonás, szorzás, osztás, akár valós

számmal való szorzás) ismeretében elmondhatjuk, hogy a valós együtthatós polinomok

rendelkeznek a 2.2.-ben felsorolt, valós számok axiómarendszerét alkotó A1), A2) és A3)

tulajdonságok mindegyikével, kivéve a 2d) tulajdonságot, az itt nem igaz. A zérus elem itt

nem más, mint a zérus polinom, míg az egység a 1q x konstans 1-es polinom.

Polinomokat pontosan úgy oszthatunk maradékosan, mint egész számokat. A

párhuzam kedvéért nézzünk meg egy polinom osztást: legyen np x egy n -ed fokú polinom,

mp x pedig egy m -ed fokú, n m . A np x polinomot a mp x osztóval maradékosan

elosztva kapunk egy q x hányadost és egy r x maradékot. A maradék foka szigorúan

kisebb az osztó fokával, azaz, ellenkező esetben a maradékos osztás folytatható lenne.

22

3.2.6. Példa (polinom osztás):

Megoldás:

4 3 2 2 2

4 3 2

3 2

3 2

3 10 8 8 : 1 2 7

2 9 8

2 2 2

7

x x x x x x x x

x x x

x x x

x x x

x

2

2

6 8

7 7 7

1

x

x x

x

Az euklideszi algoritmusban is használatos maradékos osztás az n m esetben mindig

elvégezhető, az ezzel kapcsolatos tétel tehát a következő:

3.2.7. Tétel (polinomok maradékos osztása): Legyen np x egy n -ed fokú polinom,

mp x pedig egy m -ed fokú úgy, hogy n m . Ekkor q x és r x polinomok úgy,

hogy deg deg mr x p x és n mp x q x p x r x .

3.2.8. Megjegyzés: A np x polinomot a mp x osztóval maradékosan elosztva kapunk egy

q x hányadost és egy r x maradékot. Az osztás helyességét a n mp x q x p x r x

képlettel ellenőrizhetjük. Például, a 3.2.6. –beli osztás helyességét a következőképpen

ellenőrizzük: 2 2 4 3 22 7 1 1 3 10 8 8x x x x x x x x x .

3.2.9. Megjegyzés: A np x polinomot a mp x osztóval maradékosan elosztva, a q x

hányados és az r x maradék segítségével felírhatjuk

n

m x m x

p x r xq x

p p . Erre még

később, a racionális törtfüggvények vizsgálatánál, valamint határozatlan integráljánál még

visszatérünk.

Először Carl Friedrich Gauss (1777-1855) bizonyította az algebra alaptételét, mely

szerint az n-edfokú egyenletnek pontosan n megoldása van. A megoldások nem feltétlenül

mind valósak. (Az n-edfokú egyenleteket általában a komplex számok halmazán oldjuk meg).

Egy n -edfokú egyenlet megoldóképletének nevezzük azt a tetszőleges véges lépés után

véget érő számítási eljárást, ami csak a négy algebrai műveletet, valamint a gyökvonást

használja és tetszőleges n -edfokú egyenlet összes gyökét ki lehet vele számolni.

Az első- és másodfokú egyenletek megoldóképletét láttuk már, a harmadfokúakra is

van képlet, mely Girolamo Cardano (1501-1576) olasz matematikus nevét viseli, ez a

23

Cardano-képlet (bonyolult, nem szükséges megjegyezni). A negyedfokú esetre Cardano

tanítványa, Lodovico Ferrari (1522-1565) adott megoldóképletet. Később Niels Henrik Abel

(1802-1829) bebizonyította, hogy 5-ödfokú esetben nincs megoldóképlet. Évariste Galois

(1811-1832) pedig bebizonyította, hogy az 5-nél magasabb fokú esetben sincs ilyen

megoldóképlet.

Azért egyszerűbb magasabb (pl. n-edfokú) 0np x egyenleteket gyakran meg

tudjunk oldani. „Egyszerűbben” most azt értjük, hogy kis egész számok a megoldások. A

„módszer” a következő:

1. behelyettesítjük a 1, 2, 3,... számok valamelyikét a polinomba, és

amennyiben valamely 0 1, 2, 3,...x értékre a helyettesítés 0 eredményt

ad, következhet a 2) lépés

2. elosztjuk a np x polinomot az 0x x -val, így a megoldandó egyenlet

fokszámát már 1n -re csökkentettük, merthogy a 0 1n np x x x q x

egyenlőséghez jutottunk. Most már a 1 0nq x (eggyel kisebb fokú)

egyenletnek keressük a gyökeit, így visszatérünk az 1) lépéshez. Ne feledjük,

számtalan esetben vannak többszörös gyökeink, így az, hogy az előző,

magasabb fokú egyenletnél 0x gyök volt, semmit nem jelent.

3.2.10. Példa: Oldjuk meg az 4 3 25 17 12 0x x x x negyedfokú egyenletet.

Megoldás: Behelyettesítve az 1 1x értéket, nullát kapunk, így a Bézout-tétel (3.2.2. tétel)

és annak 3.2.3. következménye miatt a polinomunk osztható 1x -gyel. Az osztást

elvégezve, kapjuk, hogy 4 3 2 35 17 12 1 5 12x x x x x x x .

Most már csak az 3 5 12 0x x egyenletre koncentrálunk. Az 3 5 12x x

polinomba behelyettesítve az 2 3x értéket 0-t kapunk, így tovább oszthatunk ( 3)x -mal,

így kapjuk, hogy 3 25 12 3 3 4x x x x x . Az 2 3 4 0x x másodfokú egyenlet

diszkriminánsa negatív, így további valós gyökeink nincsenek, ezért további „felbontás” sem

lehetséges. A (valós) gyökök 1 1x és 2 3x .

24

3.3. Függvények elemi tulajdonságainak értelmezése

A következőkben mind-mind valós-valós függvényekről lesz szó, azaz olyanokról,

melyeknek értelmezési tartománya és értékkészlete a valós számhalmaz egy-egy

részhalmaza.

3.3.1. Definíció: Az f függvény felülről korlátos, ha K : f x K fx D , alulról

korlátos, ha k : f x k fx D . Az f függvény korlátos, ha van felső és alsó

korlátja, azaz ,K k : k f x K fx D .

3.3.2. Megjegyzés: Az f függvény korlátosságát abszolút értékes alakban is

megfogalmazhatjuk, azaz f korlátos, ha K úgy, hogy f x K fx D .

3.3.3. Definíció: Az f függvény monoton növekedő (jel. ), ha 1 2, fx x D , melyre

1 2x x , fennáll, hogy 1 2f x f x .

Az f függvény monoton csökkenő (jel. ), ha 1 2, fx x D , melyre 1 2x x , fennáll, hogy

1 2f x f x . Az f függvény szigorúan monoton növő (jel. ), ha 1 2, fx x D , melyre

1 2x x , fennáll, hogy 1 2f x f x és szigorúan monoton csökkenő (jel. ), ha

1 2, fx x D , melyre 1 2x x , fennáll, hogy 1 2 f x f x .

3.3.4. Definíció: Az f függvény páros, ha fx D esetén fx D (tehát értelmezési

tartománya szimmetrikus) és f x f x . Az f függvény páratlan, ha fx D esetén

fx D (tehát értelmezési tartománya szimmetrikus) és f x f x .

3.3.5. Megjegyzés: A páros függvények grafikonja szimmetrikus az y -tengelyre, míg a

páratlan függvények grafikus képe az origóra szimmetrikus.

3.3.6. Definíció: Az f függvény  0T szerint periodikus, ha fx D esetén fx T D és

f x T f x . A  0T számot a függvény periódusának nevezzük.

25

3.4. Hatvány-, gyök-, trigonometrikus- és exponenciális függvények és elemi

tulajdonságaik:

1) Hatványfüggvények: kf x x ahol k pozitív egész szám

f x x 21

f x x 32

f x x 43

f x x 54

f x x 65

f x x 76

A hatványfüggvények párosak, amennyiben a kitevőjük páros szám és páratlanok, ha a

kitevőjük páratlan szám.

26

2) Páratlan gyökfüggvények:

f (x) x1 f (x) x x 1

332 f (x) x x

155

3 f (x) x x 1

774

mindegyik páratlan függvény

3) Páros gyökfüggvények:

f (x) x x 1

21 f (x) x x

144

2 f (x) x x 1

663

27

4) Trigonometrikus függvények (sinx, cosx, tanx vagy tgx):

A sin és cos függvények periodikusak, főperiódusuk 2T , míg a tg és ctg (melyek szintén

periodikusak) főperiódusa T . A sin, tg és ctg függvények páratlanok, míg a cos függvény

páros.

Fontosabb képletek: ,x y

addíciós tételek: sin sin cos cos sinx y x y x y

cos cos cos sin sinx y x y x y ,

a trigonometria alapösszefüggése: 2 2sin cos 1x x ,

sin2 2sin cosx x x ,

2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sinx x x x x ,

sin cos2

x x

,

sin cos2

x x

, stb.

A ctg függvény grafikonját külön adjuk meg:

28

5) Exponenciális függvények: xf x a , 0a .

Két eset lehetséges 1a , valamint 0 1a .

4 2 2 4

5

10

15

1a

4 2 2 4

5

10

15

0 1a

Érdemes megjegyezni, hogy az exponenciális függvény monotonitása az alaptól függ:

amennyiben a függvény alapja 1a , az exponenciális függvény szigorúan növekvő, míg a

0 1a alap esetén az exponenciális függvény szigorúan csökkenő. Értelmezési tartománya

, értékkészlete pedig 0, .

Speciális eset: a természetes alapú exponenciális függvény: xy e , ahol az alapszám az

e~2,718281828 irracionális szám (könnyű megjegyezni az első tizedesjegy utáni 18281828

számjegyeket, mert a Háború és béke írója, Leo Nikolajevics Tolsztoj születési éve 1828.

29

1873-ban Charles Hermite (1822-1901) francia matematikus bizonyította, hogy az e

szám egyben transzcendens is (azaz nem gyöke egyetlen racionális együtthatójú polinomnak

sem).

3.5. Műveletek valós-valós függvényekkel

3.5.1. Algebrai műveletek definíciója: Legyenek f és g valós-valós függvények úgy, hogy

f gD D . Az f függvény k valós konstanssal vett szorzatát, valamint és g függvények

összegét, különbségét, szorzatát és hányadosát a következőképpen értelmezzük:

1. :k f x k f x , fx D ,

2. :f g x f x g x , f gx D D ,

3. :f g x f x g x , f gx D D ,

4.

:f xf

xg g x

, f gx D D értékekre, melyekre 0g x .

3.5.2. Példák: Hányados függvények például a sin

:cos

xtgx

x , \ 2 1

2x k k

,

valamint a cos

:sin

xctgx

x , \x k k .

3.5.3. Definíció (függvénykompozíció): Legyenek f és g olyan valós-valós függvények,

melyekre g fx D g x D . Ekkor az f g függvénykompozíció (vagy

függvényösszetétel) nem más, mint

: g ff g x D g x D , :x f g x f g x .

Az f g függvénykompozíciót szoktuk még „f kör g”-nek nevezni, f a

függvénykompozíció külső függvénye, g pedig a belső függvény (a sorrend fontos, a

kompozíció nem kommutatív, azaz nem felcserélhető művelet).

3.5.4. Példa: Legyenek : 1f x x , : ,1fD és 2:g x x , :gD . Írjuk fel az

f g és g f összetett függvényeket, ha léteznek.

Megoldás: A 2: 1 1,1f g g fD x D g x D x x .

Tehát : 1,1f g , 21f g x f g x x (grafikonja az origó középpontú,

egység sugarú, nemnegatív y -értékű félkör).

A : ,1 1 ,1g f f gD x D f x D x x .

30

Tehát : ,1g f , 2

1 1g f x g f x x x lineáris függvény ,1 -

en vett leszűkítése, grafikonja egy félegyenes.

Ezen a példán is látszik, hogy általában f g g f , tehát a függvénykompozíció nem

kommutatív művelet.

31

4. Függvények invertálhatósága, további elemi függvények

4.1. Függvény invertálhatóságának és inverzének definíciója

4.1.1. Definíció: Az f függvény invertálható, (vagy injektív), ha fb R egyetlen olyan

fa D , hogy f a b . Az f inverz függvényének nevezzük és 1f -el jelöljük azt a

függvényt, mely minden fb R számhoz azt az fa D számot rendeli, melyre f a b ,

tehát 1f b a .

A definícióból következik, hogy 1f f b b 1fb D és 1f f a a ,

fa D , mint ahogy az is, hogy az 1f értelmezési tartománya az f értékkészlete, és 1f

értékkészlete az f értelmezési tartománya. Csak kölcsönösen egyértelmű függvénynek van

inverze, hiszen szükséges, hogy a egyértelmű legyen.

4.1.2. Példa: Az :f , 2f x x másodfokú függvény -en nem invertálható, hiszen

pl. a 1 0,fb R értékhez két, fD -beli a értéket is meg tudunk adni, 1a ,

melyre f a b .

4.1.3. Tétel (egy elégséges feltétel az invertálhatóságra) :

Az f függvény invertálhatóságának elégséges (de nem szükséges) feltétele a függvény

szigorú monotonitása. Az inverz függvény megőrzi a monotonitást (azaz pl. szigorúan

növekvő függvény inverze is szigorúan növekvő).

4.1.4. Megjegyzés: Az 1f függvény és az f függvény grafikonja egymásnak az y x

egyenesre vett tükörképei. Invertáláskor (már ha létezik az inverz függvény) az x és y

„szerepet cserélnek”, igazából ezt jelenti az y x egyenesre vett tükrözés is.

32

Az ábrán az -en értelmezett 3y x függvény és inverze, az 1

33y x x látható.

Hogyan adhatjuk meg az inverz függvényt invertálható függvény esetén?

4.1.5. Példa: Legyen 1f x x , 0,fD . Határozzuk meg az f függvény inverzét.

Megoldás: 1,fR , ekkor 1 1,f

D , 1 0,f

R , az inverz leképezési törvényt

pedig úgy kapjuk meg a legegyszerűbben, hogy felcseréljük x-et és y-t, majd kifejezzük y-t x

függvényében: 1y x helyett 1x y -et írunk, innen 1y x , ahonnan

21y x , tehát 21 1f x x .

4.1.6. Példa: Legyen 1

2

xf x

x

, \ 2fD .

Bizonyítsuk be, hogy f invertálható és állítsuk elő az inverz függvényt.

Megoldás: Az f invertálhatóságát kétféleképpen is igazolhatjuk. Vagy belátjuk, hogy

szigorúan monoton:

1 2 3 3

12 2 2

x xf x

x x x

.

33

Az 1

x függvény szigorúan monoton csökkenő a ,0 és 0, intervallumokon,

ugyanígy az 1

2x is szigorúan monoton csökkenő a ,2 és 2, intervallumokon, így

az f is az marad. Tehát f invertálható. Sőt, az 3

12

f xx

felírásból az is sejthető, hogy

\ 1fR . Igazoljuk is ezt.

\ 1fR nyilvánvaló, mert 3

02x

. Fordítva, \ 1fR pedig a következőképpen

látható be: \ 1y -hez találnunk kell egy olyan fx D elemet, melyre teljesül, hogy

f x y . Ez ekvivalens azzal, hogy

3 3 3 31   1     2    2

2 2 1 1y y x x

x x y y

. Mivel 2x , ezért fx D .

Ezért f inverze 1 3: \ 1 2

1f y

y

. Természetesen az f inverz függvényét az x

változóban is felírhatjuk, azaz 1 3: \ 1 2

1f x

x

.

4.2. A négyzetgyök és a logaritmus függvények, mint inverzek

A 4.1.2. példában láttuk már, hogy az :f , 2f x x másodfokú függvény

-en nem invertálható. Ha az :f , 2f x x függvény 0, -re való leszűkítését

tekintjük, ami nem más, mint 0, : 0,f , 20, :f x f x x , akkor ez a

függvény az értelmezési tartományán már invertálható, mert a 4.1.2. példában lévő gondot a

leszűkítéssel sikerült kiküszöbölnünk.

4.2.1. Definíció: A 3.4.-ben szereplő négyzetgyök függvényt definiálhatjuk úgy is, mint a

0,: : 0,h f , 20,:h x f x x függvény inverzét.

4.2.2. Megjegyzés: Így a négyzetgyök függvény nem más, mint 1 0,h

D ,

1 0,h

R , 1h x x , mert 0,x 21h h x x x és

1 2h h x x x x .

4.2.3. Definíció (a logaritmus definíciója): Legyen 0a , 1a és 0b . A log :a b c ,

melyre ca b .

4.2.4. Tétel (logaritmus azonosságok): , 0x y , 0a , 1a esetén

log log loga a axy x y ,

34

log log loga a ax

x yy ,

log logya ax y x (ennél az utolsó egyenlőségnél valójában nem szükséges az

0y feltétel megkövetelése).

4.2.5. Definíció (a természetes alapú logaritmus függvény): Az xf x e (e alapú)

exponenciális függvény szigorúan növekvő az -en, tehát mindenhol létezik az inverze. Ezt

az inverz függvényt nevezzük természetes alapú logaritmus függvénynek, 1 : 0,f ,

1 lnf x x .

Mivel az e alapú exponenciális függvény szigorúan növekvő, ezért a természetes logaritmus

függvény is az.

lnxe x 0,x és ln xe x x .

Ugyanígy, a xg x a , 0, \ 1a (a alapú) exponenciális függvény szigorúan

monoton az -en, tehát mindenhol létezik az inverze. Ezt az inverz függvényt nevezzük a

alapú logaritmus függvénynek, 1 : 0,g , 1 logag x x .

Itt is log x

aa x 0,x és log xa a x x .

35

Az 0a , 1a alapú logaritmusfüggvény monotonitása megegyezik az ugyanolyan alapú

exponenciális függvény monotonitásával.

4.3. A trigonometrikus függvények inverzei

4.3.1. Definíció (arcsin függvény): Az siny x függvény nem invertálható a ,

intervallumon, mert nem kölcsönösen egyértelmű. Invertálható viszont a ,2 2

tartományon, mert itt szigorúan monoton növekvő. Az inverz függvényét arkusz szinusz

(arcus sinus) függvénynek nevezzük, jele arcsin x .

Az arcsiny x értelmezési tartománya a 1,1 intervallum, értékkészlete pedig ,2 2

.

Továbbá, amennyiben 1,1x és ,2 2

y

, ha arcsiny x , akkor

sin sin arcsiny x x .

4.3.2. Definíció (arccos, arctg (vagy arctan) és arcctg (vagy arccot) függvények):

Hasonlóan, a többi trigonometrikus függvényt is egy-egy szigorúan monoton szakaszon

invertáljuk, például:

a cos függvényt a 0, intervallumon invertáljuk, így az arccos függvény értelmezési

tartománya 1,1 , értékkészlete pedig 0, , grafikonja

36

(Itt is felírhatjuk, hogy amennyiben 1,1x és 0,y , ha arccosy x , akkor

cos cos arccosy x x .)

a tangenst a ,2 2

intervallumon invertáljuk, így , így az arctg függvény

értelmezési tartománya :arctgD , értékkészlete pedig : ,2 2

arctgR

,

a kotangenst a 0, intervallumon , így invertáljuk, így , így az arcctg függvény

értelmezési tartománya :arcctgD , értékkészlete pedig : 0,arcctgR ,

grafikonjaik a következők:

37

A fenti ábrából is látszik, hogy 2

arctgx arcctgx

, x (később, a 7. fejezetben

bizonyítjuk).

5. Valós-valós függvények határértéke

A valós-valós függvények nagyon sokfélék lehetnek. Bizonyos függvények esetén az x

független változó kismértékű megváltozása csak egészen kis változást idéz elő az f x

függvényértékben is, más esetekben ez különféle szakadásokat, ugrásokat eredményez.

A határérték fogalmával ezek a jelenségek (változások) pontosan leírhatók, talán ezért is

tekintjük a határértéket (más szóval limeszt) az analízis alapvető fogalmának. Tegyük fel a

továbbiakban végig, hogy az f x értelmezve van valamely, az 0x körüli nyílt

intervallum minden pontjában ( 0x lehet kivétel).

5.1. A kibővített valós számok halmaza

Még nem ismerjük a határérték fogalmát, mégis szeretnénk megvizsgálni, hogyan

viselkedik a cos

sin

xctgx

x , \ctgD k k függvény a 0 környezetében. Ehhez szükségünk

lesz a szimbólumokra is. (A + esetén, akárcsak a pozitív valós számoknál, nem szükséges

kitenni az előjelet.) A valós számok halmazához ezt a két szimbólumot hozzávéve kapjuk a

kibővített valós számok halmazát, amit még szoktunk „ -fölülvonásnak” is nevezni és jelölése a

következő: : , . Tudjuk még, hogy

x x , x , \ 0x esetén x pedig vagy -t eredményez,

attól függően, hogy az x pozitív, vagy negatív volt, , ,

, ,

, .

Nem lehet azonban megmondani, hogy mennyi (azaz nem értelmezett): 0 , , ,

0( ) ,

, 1 , 00 ,

0

0,

0

c, ahol c .

Ellenben x esetén : 0x x

.

5.1.1. Példa: Visszatérve az f x ctgx , \fD k k függvényre, a határérték definíciója

nélkül is látjuk, hogy amennyiben a 0

limx x

f x

jelölést használjuk az f x függvénynek az 0x

helyen vett határértékére, függetlenül attól, hogy 0x , vagy maga a határérték véges szám, vagy ,

a következőket olvashatjuk le a grafikonból:

39

A ctg függvénynek az 0 0x helyen (vagy 0 0x -ban) nincs határértéke, azaz 0

limx

ctgx

nem

létezik. Ugyanez elmondható minden 0x k , k érték esetén, hiszen amennyiben balról

közelítjük meg ezeket az értékeket, a függvény -hez „tartana”, míg jobbról -hez. Ha az

02

x

környezetében vizsgáljuk a függvényt, ha x az 2

-höz közelít (de nem egyenlő vele),

látható, hogy a ctg függvény a 0-hoz közeledik.

5.1.2. Definíció: Rögzített 0r szám esetén az a r sugarú környezetén a

: ,rk a a r a r intervallumot értjük. Az a tetszőleges környezetét k a -val szoktuk

jelölni, itt nem fontos, hogy az a -ra nézve szimmetrikus legyen a környezet. Az a , valamint az

a környezetén a 1

: ,rkr

, valamint a

1: ,rk

r

nyílt intervallumokat

értjük. Legyen továbbá H egy adott halmaz. Azt mondjuk, hogy egy 0x H pont a H halmaz

egy belső pontja, ha 0r úgy, hogy 0rk x H , azaz ha létezik egy 0x -nak egy környezete,

mely teljes egészében a H halmazban van.

5.1.3. Megjegyzés: a k a környezethez 0 k a k a .

5.1.4. Példa: A : \ 1g , 2 1

1

xg x

x

függvény az 0 1x -ben nem értelmezett, de ha x az

1-hez közelít (de nem egyenlő vele), látható, hogy a g x függvény a 2-höz közeledik.

Összefoglalva, tegyük fel, hogy az f x függvény értelmezve van az 0x egy környezetében

( 0x -ban nem feltétlenül). Azt mondjuk, hogy az f x határértéke L , midőn x az 0x -hoz tart, ha

f x az L -hez közeledik, midőn x az 0x -hoz közelít (de nem egyenlő vele). Lehetséges, hogy az

f függvény semmilyen rögzített L számhoz nem közeledik, miközben x az 0x -hoz közelít. Ekkor

mondjuk azt, hogy 0

limx x

f x

nem létezik, vagy hogy az f x függvénynek nincs határértéke, ha x

az 0x -hoz tart.

40

5.2. A különböző típusú határértékek értelmezése

Megadjuk a végesben vett véges határérték, a végesben vett végtelen határérték (2 féle), a

végtelenben vett véges határérték (2 féle), valamint a végtelenben vett végtelen határérték (4 féle)

definícióját.

5.2.1. Definíció (végesben vett véges határérték): Az f x függvénynek az 0x helyen létezik

a határértéke és az az L valós szám (jelölés 0

limx x

f x L

), ha 0 0 szám úgy, hogy

:fx D 00 x x f x L .

5.2.2. Példa: Igazoljuk a függvényhatárérték definíciójával, hogy 2

2lim 4x

x

, azaz az 2f x x

másodfokú függvény esetén ~ 2x , akkor ~ 4f x .

Megoldás: A határérték definíciója akkor teljesül, ha tetszőlegesen rögzített 0 számhoz sikerül

olyan 0 számot találni, hogy :x 0 2x 2 4x .

Amennyiben figyelembe vesszük, hogy 2x , tekinthetjük csak a 0,4 intervallumbeli x

értékeket, ezekre pedig az utolsó egyenlőtlenség 2 4 2 2 6 2x x x x , azaz

26

x

, ami azt jelzi, hogy az 6

egy jó választás.

Amint az előbbi példán is láttuk, definícióval nehéz igazolni, hogy létezik a limesz, mint

ahogy azt is, hogy 0

limx x

f x L

.

5.2.3. Definíció (végesben vett végtelen határérték, (I)): Azt mondjuk, hogy az f x

függvénynek az 0x helyen (plusz) végtelen a határértéke, ha 0B 0 szám úgy, hogy

:fx D 00 x x > Bf x .

Jelölés: 0

limx x

f x

.

5.2.4. Példa: Tekintsük az 2

1f x

x , \ 0fD függvényt.

6 4 2 2 4 6

0.5

1.0

1.5

2.0

41

Az előbbi grafikon esetén azonnal látszik, hogy bár az f x függvény az 0 0x -ban nem

értelmezett, 0

limx

f x

.

Hasonlóan definiáljuk a 0

limx x

f x

esetet is.

5.2.5. Definíció (végesben vett végtelen határérték, (II)): Azt mondjuk, hogy az f x

függvénynek az 0x helyen a határértéke, ha 0B 0 :fx D 00 x x

Bf x .

Jelölés: 0

limx x

f x

.

A 2

1h x

x , \ 0hD függvény esetén azonnal látszik, hogy bár az h x függvény az

0 0x -ban nem értelmezett, 0

limx

h x

.

Megjegyezzük, hogy 0x esetén, mivel az f x és h x függvények nem egy jól

meghatározott véges számhoz tartanak, hanem -hez, illetve -hez, azt mondjuk, hogy „a

határérték nem létezik”. (Annak ellenére, hogy a limeszhez beírjuk a „”-t, illetve a „”-

t, követjük azt az általános matematikai egyezményt, hogy a limeszek véges számok.) De amint

azt az előzőekben láttuk, használjuk azt a kifejezést, hogy 0

limx x

f x

vagy

0

limx x

f x

.

5.2.6. Definíció (végtelenben vett véges határérték (I)): Az f x függvény határértéke x

esetén az L valós szám, ha 0 0x :fx D x x f x L .

Jelölés: limx

f x L

.

Hasonlóan definiáljuk a limx

f x L

esetet is:

5.2.7. Definíció (végtelenben vett véges határérték (II)): Az f x függvény határértéke x

esetén az L valós szám, ha 0 0x :fx D x x f x L .

Az 5.2.4. példa esetén 2 2

1 1lim lim 0x xx x

.

5.2.8. Definíció (végtelenben vett végtelen határérték (I)): Azt állítjuk, hogy limx

f x

, ha

0B 0x :fx D x x f x B .

Hasonlóan definiáljuk a többi három végetlenben vett végtelen határértéket is:

42

5.2.9. Definíció (végtelenben vett végtelen határérték (II)): Azt állítjuk, hogy limx

f x

,

ha 0B 0x :fx D x x f x B .

5.2.10. Definíció (végtelenben vett végtelen határérték (III)): Azt állítjuk, hogy limx

f x

,

ha 0B 0x :fx D x x f x B .

5.2.11. Definíció (végtelenben vett végtelen határérték (IV)): Azt állítjuk, hogy limx

f x

,

ha 0B 0x :fx D x x f x B .

5.2.12. Példa: A 2.5.5. definícióban megadott 2y ax bx c , , ,a b c , 0a egyenletet

kielégítő parabola esetén, amennyiben az 0a , pl. 23 2 1f x x x , kapjuk, hogy

limx

f x

és limx

f x

, míg ha az 0a , pl. 23 2 1g x x x , kapjuk, hogy

limx

f x

, valamint limx

f x

.

Amennyiben használjuk az : , -ban értelmezett környezet fogalmát (ld.

5.1.2. definíció), a fenti definíciók egységesíthetők:

5.2.13. Definíció: Az f valós-valós függvénynek az 0x helyen létezik a határértéke és az az

L (jelölés 0

limx x

f x L

), ha 0 0 :fx D 0 0\x k x x

f x k L .

5.3. Egyoldali határértékek értelmezése és kapcsolata a határértékkel

Amint azt a ctg x függvény grafikonján is látni lehet, ld. az 5.1.1. példában, a 0

limx

ctgx

nem létezik, de elmondható, hogy amennyiben a nullát „jobbról” (jelölés 0x ) vagy „balról”

(jelölés 0x ) közelítjük meg, az eredmény 0

limx

f x

vagy 0

limx

f x

. Ugyanez

elmondható minden k érték esetén.

A :sign ,

1,       0

0,        0

1,        0

ha x

x ha x

ha x

(ld. 3.1.3., harmadik függvény) esetén is elmondható,

hogy nem létezik a 0

limx

sign x

, de a függvénynek van a 0-ban jobb-és baloldali határértéke (csak a

kettő nem egyenlő egymással): 0

lim 1x

sign x

, valamint 0

lim 1x

sign x

.

43

5.3.1. Definíció (a jobboldali határérték): Az f x függvénynek az 0x helyen létezik a

jobboldali határértéke és az az L valós szám (jelölés 0

limx x

f x L

vagy 0 0

limx x

f x L

), ha

0 0 :fx D 0 0x x x f x L .

5.3.2. Definíció (a baloldali határérték): Az f x függvénynek az 0x helyen létezik a

baloldali határértéke és az az L valós szám (jelölés 0

limx x

f x L

vagy 0 0

limx x

f x L

), ha

0 0 :fx D 0 0x x x f x L .

5.3.3. Tétel (egyoldali határértékek kapcsolata a határértékkel): 0

limx x

f x L

0

( limx x

f x

, 0

limx x

f x

és 0 0

lim lim )x x x x

f x f x L

.

5.4. Függvényhatárértékek meghatározásához használható tételek:

5.4.1. Tétel (Műveleti tételek az általános esetben, avagy a műveletek és a határérték

kapcsolata): Tegyük fel, hogy az f és g olyan valós-valós függvények, melyekre f gD D .

Ha 0

limx x

f x L

és 0

limx x

g x M

, akkor a két függvény összegéről, különbségéről,

szorzatáról, hányadosáról a következők mondhatók el:

1. 0

limx x

f x g x L M

, feltéve, hogy L M értelmezve van.

2. 0

limx x

f x g x L M

, feltéve, hogy L M értelmezve van.

3. 0

limx x

f x g x L M

, feltéve, hogy L M értelmezve van.

4. ha 0M , akkor 0

limx x

f x L

g x M , feltéve, hogy

L

M értelmezve van.

5.4.2. Megjegyzés: Az előző tételben azon, hogy „ L M értelmezve van” a következőt értjük: pl.

, , de nincs értelmezve, mint ahogy szorzásnál pl. 0 sincs

értelmezve.

5.4.3. Tétel: (Összetett függvény határértéke): Ha limx a

g x b

és limx b

f x c

, továbbá van

olyan 0 szám, hogy 0 x a esetén g x b , akkor limx a

f g x c

.

5.4.4. Tétel (közrefogási elv vagy szendvicstétel függvényhatárértékekre): Ha az f, g és h

függvények értelmezve vannak az 0x pont egy környezetében ( 0x esetleg lehet kivétel) és itt

f x g x h x , valamint 0 0

lim limx x x x

f x h x L

, akkor 0

limx x

g x L

. (Később látunk

példát az alkalmazására.)

5.4.5. Következmény: Egy korlátos és egy 0-hoz tartó függvény szorzata 0-hoz tart.

44

5.5. Kritikus határértékek

Láttuk már az bevezetésénél (5.1. legelején), hogy a nem értelmezett esetek

tulajdonképpen a következők: 0 , , , 0( ) ,

, 1 , 00 ,

0

0,

0

c, ahol c .

Kritikus határértékeknek nevezzük azokat a határértékeket, melyekben a fenti esetek előfordulnak.

Ilyenkor a műveleti tételek sem használhatóak, úgyhogy az ilyen határértékeket „kezelnünk” kell,

azaz át kell alakítanunk őket nem kritikus határértékekké.

Határérték számításnál először is behelyettesítünk ( x helyére 0x -t). Amennyiben konkrét szám,

, vagy a helyettesítés eredménye, készen vagyunk. Legtöbbször azonban a

000

, ,0 , ,0 , ,10

alakú határozatlan kifejezések (esetek) valamelyike áll fenn, a

feladat megoldása nem ilyen egyszerű, szükségünk lehet a következő tételekre.

5.6. Nevezetes függvényhatárértékek. Az e szám bevezetése.

1. Ha az x szöget radiánban adjuk meg, akkor 0

sinlim 1x

x

x (természetesen,

0lim 1

sinx

x

x is

igaz),

Ugyanakkor igaz, hogy 0

lim 1x

tgx

x (természetesen,

0lim 1x

x

tgx is igaz).

2. 0,       0 1

lim,     1 

x

x

ha aa

ha a

.

A címben említett e számot láttuk már az elemi függvények ábráinál is, ahol szó esett arról

is, hogy e~2,718281828 irracionális szám, egyben transzcendens is (azaz nem gyöke egyetlen

racionális együtthatójú polinomnak sem). A következő képlettel azonban határértékként

vezethetjük be az e számot:

3. 1

lim 1 :

x

xe

x

(természetesen,

1

0lim 1 y

yy e

is igaz, a lényeg, hogy úgy tekintsük a

képletet, mint egy 1

...1 ... alakot, ahol ... 0 ),

4.

0

log 1 1lim log

ln

a

ax

xe

x a

, amennyiben 0, 1a  a , speciális esetben

0

ln 1lim 1x

x

x

,

5. 0

1lim ln

x

x

aa

x

, ha 0, 1a  a , speciális esetben

0

1lim 1

x

x

e

x

,

45

6.

0

1 1limx

x

x

, ahol .

Bizonyítani csak az 1. tulajdonságot fogjuk a közrefogási elv segítségével:

Ívmértekkel mérve az x szöget, a mellékelt ábra területeiből látszik, hogy sin x x tgx , innen

sin x -szel osztva

11

sin cos

x

x x

Mivel 0

1lim 1

cosx x , ezért a rendőrelv szerint

0lim 1

sinx

x

x .

Ekkor 0 0

sin 1lim lim 1

sin

x x

x

xx

x

.

46

5.7. Néhány fontos példa függvényhatárérték számításra

Az alábbi példákon bemutatjuk, hogyan kell hatványfüggvények, polinom függvények,

racionális törtfüggvények, trigonometrikus függvények határértékét kiszámolni:

Szimbolikusan Példa

1) 2 2

2

2

4 13

3 4 1 3lim lim

11 2 22x x

x x x xx

x

(Kiemeltük x előforduló

legmagasabb hatványát (ugyanezt tettük volna, ha x), majd

leegyszerűsítettünk.)

2) Amennyiben exponenciális tagjaink vannak, kiemeljük a legnagyobb

alapú exponenciális kifejezést, kihasználva az exponenciális függvény

következő tulajdonságát: lim x

xa

, ha 1a , és lim 0x

xa

, ha

0 1a (ld. az exponenciális függvény grafikus képét).

3 34 2 243 2 4 4 4

lim lim lim 03 5 4 1 5 4 14 1

35 35 55 5

x xx

xx x

x xx x x xx x xx

0

0

3) számlálóban vagy nevezőben vagy 3 3 , stb. esetben

gyöktelenítenünk kell, pl. a következőképpen:

2

20

100 10limx

x

x

2

20 02 2

100 100 1 1lim lim

20100 10100 10x x

x

xx x

.

4) 0 0 0

sin sin sin 1lim lim limx x x

x x x

x x x x x

.

5) 5 4 2 2 3 2

6 2 2 40 0

( 1) 1 1lim lim 1

5 4 (5 4) 4 4x x

x x x x x x

x x x x

, valamint

6) 5 4 2 2 3 2

3 20 0

( 1)lim lim 0 1 0

( 1)x x

x x x x x x

x x x x

. (Vegyük észre, hogy

amennyiben 0x , x előforduló legalacsonyabb hatványát

emeljük ki.)

7) amennyiben 0

0

típusú a limesz, de x egy 0-tól különböző számhoz tart,

47

szorzatra bontunk, pl.

2

21 1 1

1 2 22lim lim lim 3

1x x x

x x xx x

x x x x x

8) 5 3 2 5

2 3 4 5

1 1 3 1lim 5 4 3 1 lim 5 4x x

x x x x xx x x x

9) 5 3 2 5

2 3 4 5

1 1 3 1lim 5 4 3 1 lim 5 4x x

x x x x xx x x x

10) 3

2 2 2lim lim 1x x

x x x x

(Használtuk, hogy és

.)

0

11) 0 0 0

2 2 sinlim sin lim sin lim 2 0x x x

x xx x x

xx x x

1

13)

55

51 1lim lim 1

x x

x x

xe

x x

48

6. Valós-valós függvények folytonossága

Ha egyszerűen szeretnénk fogalmazni, egy függvényt akkor nevezünk folytonosnak, ha a

független változó „kis változása” a függvény értékének „kis változását” vonja maga után.

Geometriai szemszögből tekintve, folytonosnak nevezünk egy függvényt, ha grafikonja összefüggő,

azaz nincsenek szakadásai (ha a grafikont le tudjuk rajzolni a ceruzahegy megemelése nélkül). Ha

csak „ugrásokkal” tudjuk a függvény grafikonját megrajzolni, akkor a függvényt szakadásosnak

nevezzük. A közgazdaságtanban különböző jelenségek időbeli változását függvényekkel

reprezentáljuk, melyekben az idő a változó. Ezek folytonossága azt jelenti, hogy hirtelen változások

nélküli, azaz fokozatos a fejlődés, azaz valamilyen váratlan hír vagy történés nem befolyásolhatja

jelentősen ezt.

6.1. A pontbeli folytonosság értelmezése

Azt sugalltuk az előbbi bevezetőnkben, hogy az f x függvény folytonos az 0x helyen, ha

nincs ott szakadása, azaz az f x érték nem sokkal térhet el az 0f x helyettesítési értéktől,

amikor x közel van 0x -hoz. Ez magyarázza a következő definíciót:

6.1.1. Definíció: Az f x függvény folytonos a fD értelmezési tartomány egy belső 0x

pontjában, ha 0 0 úgy, hogy fx D , melyre 0x x kapjuk, hogy

0f x f x .

Például az 5.2.4. példában ábrázolt 2

1f x

x , \ 0fD függvény nem folytonos a 0-

ban, míg mindenütt máshol igen. A szinusz és coszinusz függvények folytonosak az halmaz

minden pontjában.

6.1.2. Jelölés: 0f C x .

6.2. Kapcsolat a folytonosság és a határérték között

6.2.1. Tétel: Legyen f valós-valós függvény és tegyük fel, hogy 0x az értelmezési tartomány belső

pontja (azaz 0 fk x D ). Ekkor 0f C x ( 0

limx x

f x

és 0

0limx x

f x f x

).

A következő ábrán látszik, hogy limx a

f x A

. Ez a függvény akkor lesz folytonos az a pontban,

ha először is a -ban a függvényt értelmezzük, a az értelmezési tartomány belső pontja és

f a A .

49

A szignum függvény nem folytonos 0-ban, mert a

0limx

signx

nem létezik. Az egészrész függvény

nem folytonos egyetlen egész pontban sem.

6.3. Egyoldali folytonosság

6.3.1. Definíció: Tegyük fel, hogy f x függvény értelmezett az 0x helyen, és annak egy „jobb

oldali környezetében”, azaz 0 0,x x -ban valamely pozitív -ra. Azt mondjuk, hogy az f x

függvény jobbról folytonos az 0x pontban, ha

0 0 fx D : 0 0x x x 0f x f x .

6.3.2. Példa: az egészrész függvény jobbról folytonos minden egész pontban (bár ezekben a

pontokban a függvény nem folytonos).

6.3.3. Tétel: Tegyük fel, hogy az f valós-valós függvény értelmezett az 0x helyen, és annak egy

„jobb oldali környezetében”, azaz 0 0,x x -ban valamely pozitív -ra. Ekkor f jobbról

folytonos az 0x pontban ( 0

limx x

f x

és 0

0limx x

f x f x

).

50

6.3.4. Definíció: Tegyük fel, hogy az f valós-valós függvény értelmezett az 0x helyen, és annak

egy „bal oldali környezetében”, azaz 0 0,x x -ban valamely pozitív -ra. Azt mondjuk, hogy az

f x függvény balról folytonos az 0x pontban, ha

0 0 fx D : 0 0x x x 0f x f x .

6.3.5. Példa: Az :f ,

1,   ,0

0,   0,

ha xf x

ha x

függvény balról folytonos az 0 0x -

ban, míg ebben a pontban nem folytonos.

6.3.6. Tétel: Tegyük fel, hogy az f valós-valós függvény értelmezett az 0x helyen, és annak egy

„bal oldali környezetében”, azaz 0 0,x x -ban valamely pozitív -ra. Ekkor f balról folytonos

az 0x pontban ( 0

limx x

f x

és 0

0limx x

f x f x

).

6.3.7. Tétel: Tegyük fel, hogy az f valós-valós függvény értelmezett az 0x helyen, és annak egy

„környezetében”, azaz 0 0,x x -ban valamely pozitív -ra. Ekkor f folytonos az 0x

pontban f balról is és jobbról is folytonos az 0x pontban.

6.3.8. Definíció (nyílt intervallumon vett folytonosság értelmezése):: Az f x függvény folytonos

az ,a b intervallumon, ha annak minden pontjában folytonos.

6.3.9. Definíció (zárt intervallumon vett folytonosság értelmezése): Az f x függvény folytonos

az [a,b] intervallumon, ha folytonos az (a,b) intervallumon és az a pontban jobbról-, b pontban

pedig balról folytonos.

6.3.10. Példa: A :g , g x c ( c ) konstans függvény mindenütt folytonos.

6.3.11. Példa: Az :f , f x x identikus függvény mindenütt folytonos, a

hatványfüggvények, az abszolút érték függvény, a trigonometrikus függvények, az exponenciális-

és logaritmusfüggvények értelmezési tartományuk minden pontjában folytonosak.

6.3.12. Példa: az 1,  

0,   \

ha xf x

ha x

Dirichlet függvény sehol sem folytonos.

6.4. Szakadási helyek és osztályozásuk

6.4.1. Definíció: Az f valós-valós függvénynek az 0 fx D szakadási helye, ha 0f C x .

6.4.2. Definíció: Az f függvénynek az 0 fx D megszűntethető szakadási helye, ha 0

limx x

f x

(véges) és 0

0limx x

f x f x

.

51

6.4.3. Definíció: Az f függvénynek az 0 fx D elsőfajú szakadási helye, ha 0

limx x

f x

és

0

limx x

f x

, (mindkettő véges), de 0 0

lim limx x x x

f x f x

. Ekkor azt mondjuk, hogy 0x -ban az f-

nek ugrása van, a 0 0

lim limx x x x

f x f x

értéket pedig az f ugrásának nevezzük.

6.4.4. Példa: A szignum függvénynek 0-ban 2 az ugrása és az 0 0x ebben az esetben nem

megszűntethető a szakadási hely.

6.4.5. Definíció: Az f függvénynek az 0 fx D másodfajú szakadási helye, ha nem

megszűntethető és nem elsőfajú szakadási hely.

6.4.6. Példa: A Dirichlet függvénynek minden valós helyen másodfajú szakadási helye van, mert

sem a jobb-, sem pedig a baloldali határértéke nem létezik a függvénynek egyetlen valós pontban

sem. Akkor is másodfajú szakadásunk van az 0 fx D pontban, ha valamelyik egyoldali határérték

(vagy maga a határérték) végtelen.

6.5. Függvények folytonos kiterjesztése

6.5.1. Példa: A :g ,

2 1,      1

1

0,      1

xha x

g x x

ha x

függvénynek az 0 1 fx D megszűntethető

szakadási helye, mert 1

lim 2 0 1x

f x f

, mindenütt máshol folytonos az f.

Amennyiben megváltoztatjuk a függvényértéket 0 1x -ben és ott 2-nek vesszük, azaz tekintjük a

:h ,

2 1,      1

1

2,      1

xha x

h x x

ha x

függvényt, ez mindenütt folytonos lesz.

6.5.2. Megjegyzés: Ha az f függvénynek az 0 fx D megszűntethető szakadási helye,

mindenütt máshol folytonos, akkor a

0

0

0

,   \

lim ,  

f

x x

ha x D xf x

h x

f x ha x x

, :h fD D

konstrukcióval a függvény folytonossá tehető, azaz az így definiált 0h C x .

52

6.6. Műveletek folytonos függvényekkel

6.6.1. Tétel: Folytonos függvények összege, szorzata, hányadosa (ha a nevező nem zérus)

folytonos.

6.6.2. Tétel (Összetett függvény folytonossága): Ha egy g x függvény folytonos az 0x helyen,

f x pedig folytonos a 0g x helyen és létezik az f g kompozíció (azaz f g x ), akkor az

f g is folytonos az 0x helyen.

6.6.3. Következmény: Minden :p , 20 1 2: ... n

np x a a x a x a x polinom függvény

folytonos -en.

6.6.4. Következmény: Minden

p xr x

q x racionális törtfüggvény folytonos az értelmezési

tartományának minden pontjában.

6.6.5. Példa: Határozzuk meg az a valós paraméter értékét úgy, hogy az

2

1 cos, \ 0

, 0

xha x

f x x

a ha x

.

Megoldás:

20 0 0

2sin sin1 cos 12 2lim lim lim ,

242 2

x x x

x xx

f xx xx

0f a , így folytonosság csak az 1

2a esetben lehetséges.

6.6.6. Tétel (Inverz függvény folytonossága): Ha : ff D függvény szigorúan monoton és

folytonos, akkor létezik az 1 : ff R , 1( : )ff

R D inverz függvény, ami megőrzi a

monotonitást és szintén folytonos.

53

6.7. Korlátos és zárt intervallumon folytonos függvények tulajdonságai (Bolzano-tétel és

Weierstrass-tétel):

A nyílt és zárt intervallumokon vett folytonosságot értelmeztük a 6.3.8., illetve 6.3.9. definíciókban.

6.7.1. Tétel: Az ,a b zárt intervallumon folytonos függvény korlátos.

6.7.2. Bolzano-tétel vagy Bolzano-féle közbülsőpont tétel: Ha az f x függvény folytonos az

,a b zárt intervallumon és f a f b , akkor f az f a és f b között minden értéket

felvesz.

A Bolzano-tételből azonnal következik a következő igen sokszor alkalmazott állítás:

6.7.3. Tétel (a Bolzano-tétel következménye): Ha az f x függvény folytonos az ,a b zárt

intervallumon és 0f a f b , akkor ,a b úgy, hogy 0f .

6.7.4. Megjegyzés: A 6.7.3. tétellel gyakran bizonyítjuk egyenletek megoldásának létezését, főleg

olyankor, amikor a megoldás nem fejezhető ki explicit módon.

6.7.5. Példa: Bizonyítsuk be, hogy az 2xe x egyenletnek van megoldása (azaz, grafikusan,

bizonyítsuk be azt, hogy a valós számok halmazán értelmezett xh x e exponenciális függvény és

a 2g x x lineáris függvény grafikonjai metszik egymást).

Megoldás: Legyen az :f , 2xf x e x különbség függvény, mely a 6.6.1. tétel miatt

folytonos függvény -en. Az 0f valamint 1f függvényértékeket kiszámolva

0 1 2 0 1 0f és 1 2 1 1 0f e e , így a Bolzano-tétel következménye miatt

0,1 úgy, hogy 0f .

6.7.6. Példa: Bizonyítsuk be, hogy bármely páratlan fokú (valós együtthatós) polinomnak van valós

gyöke.

Megoldás: Legyen 2 2 10 1 2 2 1: ... n

np x a a x a x a x , ahol a főegyüttható, azaz 2 1 0na .

Tegyük fel, hogy 2 1 0na . (Amennyiben azt tennénk fel, hogy 2 1 0na , a bizonyítás menete

nem változik meg.)

Mivel

2 2 10 1 2 2 1

2 1 01 2 2 12 1 2 2 1

lim lim ...

1 1lim ... ,

nn

x x

nnn n nx

p x a a x a x a x

ax a a a

x x x

1 0x úgy, hogy 1p x . Hasonlóan végigszámolva,

54

2 2 10 1 2 2 1

2 1 01 2 2 12 1 2 2 1

lim lim ...

1 1lim ... ,

nn

x x

nnn n nx

p x a a x a x a x

ax a a a

x x x

,

azaz 2 0x úgy, hogy 2p x . Azt kaptuk, hogy az 1 2,x x intervallumon folytonos p

függvényre 1 2p x p x . Ekkor a Bolzano-tétel következménye miatt 2 1,x x úgy, hogy

0p .

Megjegyezzük, hogy példánkban fontos az a feltétel, hogy páratlan fokú a polinom, ellenkező

esetben állításunk nem igaz, ld. például a 2 1q x x polinomnak nincs valós gyöke.

6.7.7. Weierstrass-tétel: Az ,a b korlátos és zárt intervallumon folytonos függvény felveszi

abszolút maximumát és abszolút minimumát az ,a b intervallumon, azaz 1 ,x a b úgy, hogy

1f x f x ,x a b és 2 ,x a b úgy, hogy 2f x f x ,x a b .

6.7.8. Megjegyzés: fontosak a tétel feltételei, bármelyiküket elhagynánk, már nem kapnánk igaz

állítást: pl. az 1

f xx

, 0,1x nyílt intervallumon folytonos függvényre nem igaz a tétel, mint

ahogy akkor sem, ha a függvény folytonosságát nem követeljük meg az ,a b intervallumon.

Például, a

1, 0,1

2 , 0,1

ha xg x x

ha x

függvény az abszolút minimumát nem veszi fel a 0,1 intervallumon.

6.7.9. Definíció: Az előző tételben definiált 1x -et az f függvény abszolút maximum helyének

nevezzük az ,a b korlátos és zárt intervallumon, míg az 2x -t az f függvény abszolút minimum

helyének nevezzük az ,a b intervallumon. Amint az a tételből is kiderült, az 1f x az abszolút

maximum (érték), 2f x pedig az abszolút minimum (érték).

A Bolzano tételből és a Weierstrass-tételből kapjuk azonnal a következőt:

6.7.10. Tétel: Ha az f x függvény folytonos az ,a b korlátos és zárt intervallumon, akkor az

abszolút minimuma és abszolút maximuma között minden értéket felvesz.