A Matematika Tanitasa 2012-3

TANTSAMDSZERTANI FOLYIRAT

AM

ATE

MA

TIK

A

XX. VFOLYAM 20123MZAIK

www.mozaik.info.hu

Egy alapoz trgyhozkapcsold felmrs

eredmnyei(Dkny va Szkely Lszl Veres Antal)

Az amerikai elnk Deegan-Packel-fle hatalmi indexrl

(Csete Lajos)

rjunk adottparalelogrammba

hozz hasonlt!(Dr. Darvasi Gyula)

Sonks szendvics s egybfolytonos csemegk

(Csonka Dorottya)

A MATEMATIKA TANTSA 2012. szeptember

2 MOZAIK KIAD

A MATEMATIKATANTSAmdszertani folyirat

Szerkesztsg:Fszerkeszt:

Dr. Urbn Jnos

Szerkesztsg cme:6723 Szeged, Debreceni u. 3/BTel.: (62) 470-101,FAX: (62) 554-666

Kiad:MOZAIK Kiad Kft.Felels kiad:

Trk ZoltnTrdelszerkeszt:

Kovcs AttilaBortterv:

Dek Ferenc

Megrendelhet:MOZAIK Kiad6701 Szeged, Pf. 301.

ves elfizetsi dj: 1800 FtMegjelenik vente 4 alkalommal.A lap megvsrolhat a

MOZAIK Knyvesboltban:Budapest VIII., lli t 70.

A Matematika Tantsban meg-jelen valamennyi cikket szer-zi jog vdi. Msolsuk brmi-lyen formban kizrlaga kiad elzetes rsbeli enge-dlyvel trtnhet.

ISSN 1216-6650

Kszltaz Innovariant Kft.-ben, SzegedenFelels vezet: Drgn Gyrgy

Kzlsi felttelek:A kzlsre sznt kziratokat e-mailen a [email protected]

cmre kldjk meg. A kziratok lehetleg ne haladjk meg a 6-8oldalt (oldalanknt 30 sorban 66 lets).

A rajzokat, brkat, tblzatokat s fnykpeket kln fj-lokban is krjk mellkelni. (A szvegrszben pedig zrjelbenutaljanak r.)

Krjk, hogy a szvegbeli idzsek nv- s vszmjellsseltrtnjenek, mg a tanulmnyok vgn a felsorolt irodalmak al-fabetikus sorrendben kszljenek.

Krjk szerztrsainkat, hogy a kziratok bekldsvel egyi-dejleg szveskedjenek kzlni pontos cmket, munkahely-ket s beosztsukat.

TARTALOMEgy alapoz trgyhoz kapcsold

felmrs eredmnyeiDkny va egyetemi tanrsegd,

Szkely Lszl adjunktus,Veres Antal adjunktus, Gdll

Az amerikai elnk Deegan-Packel-flehatalmi indexrl

Csete Lajos tanr, Markotabdge

Bcs Reiman IstvntlKatona Gyula matematikus, az MTA rendes tagja,

MTA Rnyi Alfrd Matematikai Kutatintzet

Peller Jzsef (19332012)Ambrus Andrs nyugalmazott egyetemi docens, Budapest

Egy ciklikus egyenltlensg ltalnostsaCsete Lajos tanr, Markotabdge

rjunk adott paralelogrammba hozz hasonlt!Dr. Darvasi Gyula fiskolai docens, Nyregyhza

Quadromin 5 x 5-s lyukas ngyzetekDr. Darvasi Gyula fiskolai docens, Nyregyhza

Sonks szendvics s egyb folytonos csemegkCsonka Dorottya tanr, Budapest

Beszmol a XXI. Nemzetkzi MagyarMatematikaversenyrl

Nemecsk Istvn tanr, Budapest

Jelents a 2012. vi Beke ManEmlkdjak odatlsrl

Feladatrovat tanroknak

2012. szeptember A MATEMATIKA TANTSA

MOZAIK KIAD 3

Megrendlten s szomoran tudatjuk a Tisztelt Olvaskkal,hogy 2012. jnius 11-n, letnek 73. vben elhunytdr. Urbn Jnos, lapunk fszerkesztje.Hallval egy nagy tuds, karizmatikus matematikatanrt,egy kivl tanknyvszerzt s fszerkesztt s egy nagyszer,szeretetremlt, mindig segtksz kollgt vesztettnk el.Emlkt s tantst megrizzk s tovbbadjuk.

ind a mszaki, mind a termszettudo-mnyos felsoktats egyik nagy prob-lmja, hogy a belp hallgatk jelen-

ts rsznek matematikatudsa nem ri el azintzmnyek ltal elvrt, a tantervben szereplmatematika, illetve szakmai trgyak elsajtt-shoz szksges szintet, melyet mrsek is igazol-nak (lsd pl. Cskny s Pipek, 2010, s a ben-ne szerepl hivatkozsokat). Az egyetemek sfiskolk jelents rsze alapoz, felzrkztatkurzusokat tesz ktelezv vagy fakultatv trgy-knt ajnl a hallgatinak.

Tanulmnyunkban a Szent Istvn EgyetemGpszmrnki Karn foly gpszmrnki, me-zgazdasgi s lelmiszeripari gpszmrnki,mechatronikai mrnki s mszaki menedzserBSc szakok elsves nappali tagozatos hallga-tinak tartott Matematikai alapok cm tan-trgyhoz kapcsold felmrs eredmnyeit mu-tatjuk be. A trgy 2001 ta rsze a tantervnek,a tanulmny els szerzje 2010 ta a trgy fe-lelse. A kurzus oktatsa 2007 ta nem a flv 1 A tanulmny Dkny vnak a Varga Tams Md-szertani Napok Konferencin 2011. november 12-nBudapesten elhangzott Examining the efficiency of pre-paration courses in mathematical studies for universitycm eladsnak szerkesztett s kibvtett vltozata

sorn, a tbbi trggyal prhuzamosan, hanemmg a tanv megkezdse eltt, augusztusbantrtnik: 10 napon t napi 3 rt tartunk tm-bstve, napi 1 ra konzultcis lehetsggel ki-egsztve. A dikok ugyanezen idszakban a Fi-zikai alapok cm kurzust is hallgatjk. A mate-matikai alapoz trgyakat tbb egyetemen flvkzben oktatjk, ezen kurzusok tapasztalatairllsd pl. Mder (2010), illetve Plfalvin (2009)tanulmnyait. Az augusztusi oktatsi peridusvgn a hallgatk egy zrthelyi dolgozatot rnak,amelyen legalbb 51%-os eredmnyt kell elr-nik a trgy sikeres teljestshez. A trgy krit-riumtrgy, nem teljestse esetn a hallgat nemveheti fel a Matematika I. kurzust. Trgyunk cl-ja a kzpszint rettsgi szintjnek megfeleltananyag ttekintse: halmazok, logika, elsfokegyismeretlenes egyenletek s egyenltlensgek,elemi algebrai ismeretek, msodfok egyenle-tek s egyenltlensgek, a hatvnyozs azonos-sgai, szmols hatvnyokkal s gykkkel, al-gebrai talaktsok, magasabb fok egyenleteks egyenletrendszerek, vektorok, vektormvele-tek, alapvet trigonometriai fogalmak, trigono-metrikus egyenletek, nevezetes szgek szgfgg-vnyei, fggvnyek, fggvnytranszformcik.Az anyag kiegszl mg az addcis ttelekkel,

Dkny va Szkely Lszl Veres Antal

Egy alapoz trgyhoz kapcsold felmrseredmnyei1

M


4 MOZAIK KIAD

mely mr tlmutat a kzpszint rettsgi tma-krn. Az oktats formja miatt nem vrhat el,hogy a nagy tbbsgben kzpszinten retts-gizett hallgatkat az emelt szint rettsgi ltalmegkvetelt tudsanyagra ksztsk fel. Tanul-mnyunkban egy, a 2011/12-es tanvben tr-tnt felmrst mutatunk be, mely sorn arravoltunk kvncsiak, hogy a kurzus ilyen form-ban szksges-e, illetve hasznos-e a hallgat-inknak. Technikai okokbl a felmrst nem azegsz vfolyamon, hanem csak a hallgatk egycsoportjn vgeztk: augusztusban kt idsv-ban zajlott az oktats, mintnkba csak az egyikidsvba jr hallgatkat vlasztottuk ki. Ezenhallgatk teljestmnyt hrom klnbz id-pontban is mrtk. A mrs eszkze egy olyan,ht feladatbl ll rvid teszt volt, amely fel-adatok a zrthelyi dolgozatban is szerepeltek.A hrom mrsi alkalommal csak a feladatokbanszerepl szmokat vltoztattuk meg gy, hogy atesztek nehzsgi szintje egyforma legyen. Els-knt rpdolgozat formjban a trgy oktatsnakkezdetn, msodjra a zrthelyi dolgozattal,a harmadik mrsre pedig szintn rpdolgozat-knt a flv 8. hetben kerlt sor. Ennek alap-jn kpet kaphattunk a hallgatk tudsrl azegyetemre trtn belpskkor, msrszt lt-hattuk, hogy a trgy oktatsnak hatsra ered-mnyeik hogyan vltoztak. A flvkzi, harma-dik mrs segtsgvel az is kiderlt, hogy meny-nyit felejtettek a hallgatk az ttekintett anyagblakkor, amikor mr nem kzvetlenl az rintetttmakrkkel foglalkoztunk.

A mrs mintja

krdses tanvben 245 hallgat rta mega zrthelyi dolgozatot. Kzlk augusztus-

ban a kivlasztott idsvba 100 hallgat jrt.Ahhoz, hogy elemzseink segtsgvel a hall-gatk teljestmnyrl rnyaltabb kpet kap-junk, figyelembe vettk a hallgatk albbi ngyhttradatt is:

felvteli pontszm, matematika rettsgi jegye, kzpiskola tpusa, rettsgi ve.

Az adatok tiszttsa utn mintnk sszesen76 hallgatbl ll. Kzlk 70 tett csak kzp-szint s 4 emelt szint rettsgi vizsgt, 2 hall-gat pedig mindkt szinten rettsgizett. Az ada-

tok knnyebb sszehasonlthatsga s a ktrettsgi szint kztti nagy klnbsg miatt a csakemelt szint rettsgit tett hallgatkat gy tekin-tettk, mintha jeles kzpszint rettsgit tettekvolna (a mindkt szinten rettsgiz hallgatkkzpszinten eleve jelesre rettsgiztek). A har-madik mrsi alkalommal a 12 hinyzn kvlazok a hallgatk, akik nem teljestettk a trgyat(3 f) mr nem vettek rszt a felmrsben, azon-ban az augusztusi idszakban nyjtott telje-stmnyk vltozsa is rdekes, ezrt abban azesetben, amikor az els s a msodik mrsipont eredmnyeirl beszlnk, illetve ezeket ha-sonltjuk ssze, akkor a 76 fs mintt, egyb ese-tekben a 61 fs mintt vesszk alapul.

A Karunkon foly gpszmrnki, mezgaz-dasgi s lelmiszeripari gpszmrnki, mec-hatronikai mrnki s mszaki menedzser sza-kokon az llamilag finanszrozott kpzsekre rend-re 270, 292, 268, illetve 304 pont volt a felv-teli ponthatr, a kltsgtrtses kpzsi formrapedig egysgesen 200 pont. A mintnkba tech-nikai okokbl ugyan csak az els kt szakra jrhallgatk kerltek be, azonban a gpszmrn-ki s mechatronika, illetve a mezgpsz s me-nedzser szakok felvteli ponthatrai kztti kisklnbsgek alapjn, tovbb az adott szakoshallgatk felvteli pontjainak eloszlsnak ha-sonlsga miatt mintnk az egsz vfolyamranzve reprezentatv. Mivel a harmadik mrssorn csak arra voltunk kvncsiak, hogy azegsz vfolyam tudsa tlagosan hogyan vlto-zott, ezrt a kvetkezkben csak az eredeti min-ta esetben tekintjk t az egyes httrvltozkeloszlst.

Az albbi tblzatban s grafikonon a min-tban szerepl hallgatk felvteli pontszmnakeloszlst mutatjuk be.

Felvteli pontszm Gyakorisg

200229 4

230259 6

260289 14

290319 28

320349 14

350379 6

380409 3

410439 1

A


MOZAIK KIAD 5

A felvteli pontok tlaga 302,4, szrsa pe-dig 41,8. A matematika rettsgi jegyek eloszl-sa a kvetkez:

rettsgi jegy Gyakorisg

3 21

4 41

5 14

A jegyek tlaga 3,9, szrsa 0,7. A hallgatkkzl 46-an gimnziumban, 30-an pedig szak-kzpiskolban rettsgiztek. 2011-ben 53-an,mg 23-an mr korbban szereztk meg az rett-sgi vizsgt, azaz a felvettek kzel egyharmadanem a felvteli vben rettsgizett.

Hny ve rettsgizett Gyakorisg

0 53

1 7

2 9

3 6

4 1

A korbban rettsgizettek tlagosan 2 vvela felvtel eltt maturltak.

A mreszkz

A felmrs sorn hasznlt 7 feladatbl llteszt melyet albb bemutatunk a zrthelyidolgozat egy rvidtett feladatsora, melynek a h-rom mrsi alkalommal hasznlt vltozatai csakszmokban trtek el egymstl, azok ekviva-lensnek tekinthetek.

1. rja fel egyetlen a alap hatvnyknt:2

4a

a a=

(3 pont)

2. Szmolja ki az rtkt:

2 26 8+ =(1 pont)

3. Gyktelentse a nevezt:

13 2+

(2 pont)

4. Oldja meg a kvetkez egyenletrendszert avals szmprok halmazn!

5 2 14 3 5

x yx y+ =+ =

(4 pont)

5. Oldja meg a kvetkez egyenltlensgeta vals szmok halmazn!

x2 + 15 > 8x(4 pont)

6. brzolja a fggvny grafikonjt:

f(x) = (x + 3)2 + 1(2 pont)

7. Jellemezze az albbi grafikonjval adottfggvnyt!

rtelmezsi tartomny:rtkkszlet:Zrushely:Monoton n:Abszolt maximumhely:Abszolt maximumrtk:

(6 pont)


6 MOZAIK KIAD

A feladatok pontszma megegyezik a meg-oldsukhoz szksges logikai lpsek szmval,gy a teszten sszesen 22 pont szerezhet. A dol-gozatok rtkelsnek f szempontja szerint a hi-bs logikai lps nem r pontot, azonban a rosszrszeredmnnyel vgrehajtott helyes logikai l-psek igen. Szeretnnk kiemelni, hogy ezen fel-adatok mind a kzpiskolai matematika anyag-nak, mind az egyetemen a tovbbtanulshozszksges ismereteknek elengedhetetlen rsztkpezik. A feladatok megoldshoz a hallgatksegdeszkzknt csak szmolgpet hasznlhat-tak, ngyjegy fggvnytblzatot nem. A zrt-helyi dolgozat s az adott teszten elrt pont-szmok kztti korrelci 0,76, ami alapjn el-mondhat, hogy a tesztnk ltal mrt tudste-rleten szerzett pontszm elg jl kzelti a teljesdolgozaton elrt pontszmot.

Eredmnyek

Elsknt a hrom mrsi pont tlagait sszrsait mutatjuk be.

Hallgatkszma

tlag Szrs

1. mrs 76 14,3 4,62. mrs 76 17,8 3,13. mrs 61 18,0 3,3

rdemes megnzni, hogy a pontszmok el-oszlsa a hrom mrs sorn hogyan vltozott.

Lthat, hogy az els mrs esetben a hall-gatk pontszmnak eloszlsa jl kzelthet egylapos Gauss-grbvel, mg a msik kt eset-ben a grbe cscsosabb s jobbra toldik el,utbbiak karakterisztikja j kzeltssel meg isegyezik. Ennek alapjn arra kvetkeztethetnk,hogy a hallgatk teljestmnye a msodik m-rskor az els mrshez kpest tnylegesen ja-vult, vagyis az oktats, illetve a hallgatk tanu-lsa rvn a zrthelyi dolgozaton jobb ered-mnyt rtek el, mint az egyetemre trtn bel-pskkor. A msodik s a harmadik mrs hisz-togramjnak hasonlsga pedig arra utal, hogya korbban tismtelt anyagot nem felejtettkel. A mrsek tlageredmnyeit egy statisztikaiprbval, az n. prostott t-prbval (lsd pl.Reiczigel, Harnos s Solymosi, 2007) is ssze-hasonltottuk2. Arra voltunk kvncsiak, hogy az 2 A prbt akrcsak a ksbbiekben a tbbi prbt is 95%-os megbzhatsgi szinten hajtottuk vgre.

egyes mrsi pontok kztt a hallgatk tlagtel-jestmnyben valban trtnt-e vltozs, azokkztt n. szignifikns klnbsg van-e, vagy azeredmnyek kztti klnbsg kicsi s a kt r-tk statisztikai szempontbl egyenlnek tekint-het-e. A prbt az els s a msodik mrsadatain elvgezve azt kaptuk, hogy a kt mrskztt a hallgatk tlagos teljestmnye tnyle-gesen javult. Ezzel szemben a msodik s a har-madik mrs eredmnyeinek az utbbiban isrszt vev 61 hallgat mintjn a prbvaltrtn sszehasonltsa alapjn kijelenthet,hogy a hallgatk ezen kt alkalommal tlagosanugyanolyan teljestmnyt nyjtottak.


MOZAIK KIAD 7

A kvetkezkben tekintsk t, hogy az egyesfeladatokban a hrom mrs sorn hogyan tel-jestettek a hallgatk. Elrebocstjuk, hogy a m-sodik s a harmadik mrs esetben ltalbankzel azonos volt a pontszmok eloszlsa, aholnem, ott azt kln jelezzk.

A hatvnyok rtelmezse s a hatvnyozsazonossgainak alkalmazsa alapvet kzpisko-lai matematikai anyag, elengedhetetlen a diffe-rencil- s integrlszmtshoz. Ugyanakkor jlmutatja, hogy a hallgat rti-e a hatvnyok lnye-gt, illetve kpes-e egyszer szablykvetsre.Ennek ellenre az els feladatot a bemeneti m-rskor mindssze a hallgatk 20%-a tudta hi-btlanul, kzel 40%-a pedig a hrom szksgeslogikai lpsbl kettt tudott helyesen megol-dani. A zrthelyi dolgozatra a hibtlan megol-dsok arnya valamivel tbb, mint 60% lett,a kt pontot elrk arnya 20% volt.

A hrom mrs sorn ltalban a hallgatk510%-a vont tagonknt gykt; sajnos a ta-pasztalat azt mutatja, hogy ltszlag bonyolul-tabb feladatok esetben ez az arny jval ma-gasabb.

A nevez gyktelentse a zsebszmolgpekelterjedsvel mra elvesztette eredeti fontos-sgt a kzpiskolban, csak mint azonos tala-ktsnak van jelentsge, viszont az egyetementbb feladattpusnl is jl alkalmazhat. Ezt jljelzi, hogy belpskor a dikok 60%-a egyl-taln nem tudott mit kezdeni a feladattal, mga hallgatk ehhez kapcsold ismeretei a rvidismtls utn felelevenedtek s a zrthelyi dol-gozatban mr csak a 40%-uk hibzott.

Az elsfok ktismeretlenes egyenletrend-szer megoldsa egyszer, tbb ismert mdszer isvan r, s szinte minden tudomnygban alkal-mazzk. Az els mrs alkalmval a hallgatkfele adott hibtlan megoldst a feladatra, negye-dk pedig 3 pontot rt el. A kurzus alatt prec-zebb vltak a dikok, a msodik alkalomkormr kzel hromnegyedk helyesen oldotta mega feladatot, s kzel a negyedk 3 pontot szerzett.

Egy msodfok egyenletet elg knnyenfelismernek a hallgatk s hla a sok kzpis-kolai gyakorlsnak, legtbben hibtlanul meg isoldanak. Ehhez kpest megdbbent, de kz-ismert, hogy ugyanezt a problmt egyenltlen-sgknt csak a legjobbak kpesek helyesen meg-oldani. Esetnkben is az egyetemre trtn be-lpskor a hallgatk kzel 70%-a megllt a m-sodfok egyenlet megoldsnl, 20%-uknak saj-

nos pedig ezzel is problmja akadt. A zrthelyidolgozatban mr elenysz volt azon hallgatkszma, akik ne tudtk volna hibtlanul megol-dani a msodfok egyenletet, s mr 40%-ukkezelte valban egyenltlensgnek a kitzttproblmt. A flv kzbeni mrskor ez az arnymr 65%-ra javult. Ennek egyik oka az lehet,hogy a Matematika I. trgy keretein bell tbbfeladat esetben is szksg volt ilyen egyenlt-lensg megoldsra.

A msodfok fggvny grafikonjnak br-zolst transzformcival s a fggvnyjellem-zk leolvasst elg jl tudtk a hallgatk, csakrvid ismtlsre volt szksg. A hatodik feladatesetben 8090% kztt volt a helyes megol-dst adk arnya. Belpskor a grafikon leolva-ssa sorn a hallgatk fele rt el 5 vagy 6 pon-tot, a tbbi pontszm eloszlsa kzel egyenletesvolt. rvendetes, hogy szinte alig volt olyan hall-gat, aki a zrthelyi dolgozatban ne rt volna ellegalbb 4 pontot, az 5 pont felett teljestk ar-nya pedig 70%-ra ntt, utbbiak arnya a har-madik mrsi alkalommal mg tovbb nveke-dett.

Hogy az vfolyamon bell mg rnyaltabbanlssuk a trgy oktatsnak eredmnyt, a mintabizonyos rszcsoportjaira is vgeztnk elemz-seket, illetve sszehasonltsokat. Elsknt te-kintsk t, hogy a belpskor 51% alatti telje-stmnyt nyjt (legfeljebb 11 pontot szerz),azaz akkori tudsuk alapjn a trgyat nem telje-st dikok eredmnye hogyan vltozott a zrt-helyi dolgozatra. sszesen 24 hallgat, azaz k-zel a mintban szereplk harmada rt el legfel-jebb 11 pontot, az tlagos teljestmnyk azels mrs alkalmval 8,8 pont volt, mg a m-sodik mrskor mr 15,5 pont, azaz a kurzus sa tanuls hatsra tlagosan 6,7 ponttal javulta teljestmnyk (prostott t-prbval a javulststatisztikailag is igazoltuk).

Az albbiakban bemutatjuk, hogy az rett-sgi jegyek fggvnyben hogyan alakult az el-s kt mrs sorn a hallgatk teljestmnynektlaga.

retts-gi jegy

Gyako-risg

1.mrs

2.mrs

Javuls

3 21 10,9 15 4,1

4 41 14,2 18,4 4,2

5 14 19,4 20 0,6


8 MOZAIK KIAD

Lthat, hogy azok a hallgatk, akik kze-pes vagy j jegyet szereztek, tlagosan kzel4 pontot, azaz 18,2%-ot javtottak a belpskormrt teljestmnykhz kpest, mg a jelesrerettsgizetteknl ez a vltozs 0,6 pont. Pro-stott t-prbval kiderlt, hogy ez a klnbsgaz els kt esetben valban szignifikns, mg aztssel vgzk esetben statisztikailag nem ki-mutathat a klnbsg az eredmnyek kztt.Utbbi rthet is, hisz aki az els mrsen kzelmaximlisan teljestett, annak mr nem volt le-hetsge a teszteredmnyn jelentsen javtani.Mindkt krdses mrsi pontban ktmintst-prbt (lsd pl. Lukcs, 2002) hasznlva meg-mutathat, hogy a hrmassal s ngyessel vg-zettek eredmnyei kztt valdi a klnbsg.Hasonl a helyzet a ngyesre, illetve tsrerettsgizettek esetben a bemeneti mrskor,azonban az elbbiek felzrkzsnak kszn-heten a hallgatk ezen kt csoportja mr ugyan-olyan jl teljestett a zrthelyi dolgozatban.

Vizsgljuk meg, hogyan fggtt a hallgatkteljestmnye a kzpiskola tpustl.

Iskolatpusa

Gyako-risg

1.mrs

2.mrs

Javuls

Gim-nzium

46 15,2 17,9 2,7

Szakk-zpiskola

30 12,8 17,5 4,7

A kt mrsi pont kztt a gimnziumbanrettsgizettek tlagos javulsa 2,7 pont (12,3%),a szakkzpiskolsok teljestmnye pedig tla-gosan 4,7 ponttal, azaz 21,4%-kal bizonyult jobb-nak a zrthelyi dolgozaton. Ktmints t-prbaalkalmazsval ellenriztk, hogy a gimnazistktlagosan jobban teljestettek a belpskor, minta szakkzpiskolban vgzettek, a zrthelyi dol-gozaton azonban mr nem volt statisztikailagkimutathat klnbsg a kt iskolatpus kztt.

A kvetkezkben azt tekintjk t, hogyan vl-tozott a hallgatk teljestmnye az els kt m-rs kztt attl fggen, hogy a hallgat a fel-mrs vben vagy korbban rettsgizett-e.

Idnretts-gizett?

Gyako-risg

1.mrs

2.mrs Javuls

igen 53 15,8 18,4 2,6

nem 23 10,8 16,2 5,4

A 2011-ben rettsgizett hallgatk teljest-mnye tlagosan 2,6 ponttal (11,8%), a korb-ban rettsgizettek pedig tlagosan 5,4 ponttal(24,5%) javult; a prostott t-prbk eredm-nyei alapjn elmondhat, hogy a vltozs egyikesetben sem a vletlen mve. A hallgatk ezenkt csoportja kztt lv teljestmnyklnbsgmindkt mrsi pontban statisztikailag kimutat-hat, azaz a korbban rettsgizettek tlagered-mnye sem a belpskor, sem a zrthelyi dol-gozatban nem rte el az rettsgi vben felv-telizkt.

Diszkusszi s konklzik

Ismtelten szeretnnk hangslyozni, hogya teszteken hasznlt feladattpusok nagy hang-slyt kapnak a kzpiskolai oktats sorn salapvetek az egyetemi tanulmnyokhoz, nemcsak matematikban, hanem szinte minden mstudomnyterlet esetben is.

Eredmnyeink alapjn elmondhat, hogya kurzus hasznos volt azon hallgatknak, akikhrmas vagy ngyes jegyre rettsgiztek. Elb-biek tlagteljestmnye belpskor mg a mini-mlisan megkvetelt szint alatt volt, a tanuls sismtls hatsra azonban eredmnyk jelent-sen javult. rdekes, hogy az e kt csoportbatartoz hallgatk esetben ez a teljestmnyja-vuls ugyanakkora mrtk volt, azaz a tudsukkztti klnbsget az oktats kt hete alattnem sikerlt megszntetnnk, de az nem is voltvrhat, hogy az vek alatt kialakult tves be-idegzdseket s hinyossgokat ennyi id alattkijavtjuk. A jelesre rettsgizk eredmnye nemvltozott szmotteven, viszont a ngyesek tel-jestmnye a kurzus vgre mr megkzeltetteaz eredmnyket; gy vljk, ez rszben k-sznhet a mrt anyag nehzsgi szintjnek is.

Azt tapasztaltuk, hogy a szakkzpiskolsokeredetileg gyengbben teljestettek gimnzium-ban tanult trsaikhoz kpest, de az ismtlsekhatsra mr nem volt klnbsg a kt iskolat-pusban tanult hallgatk eredmnye kztt. Fizi-kt oktat kollgink elmondsa szerint az trgyuk esetben az iskolk tpusa szempontj-bl pp fordtott a helyzet.

A korbban rettsgizett hallgatkat vizsgl-va azt lttuk, hogy az els mrskor az tlagtel-jestmnyk kzel volt a trgy teljestshez szk-sges ponthatrhoz, azonban a msodik mrs-


MOZAIK KIAD 9

re eredmnyeik mr szmotteven javultak.Tbb mrs igazolja, hogy a dikok az ltalnoss kzpiskolban megszerzett tudsuk jelentsrszt, ha azt nem hasznljk, az rettsgi utntlagosan 3 v alatt elfelejtik (Fldes, 2002).A korbban rettsgizett hallgatink tlagosankt vvel a felvtelk eltt fejeztk be kzpis-kolai tanulmnyaikat, gy ez a folyamat az ese-tkben is elindult. A felmrs vben maturlhallgatk kisebb mrtkben ugyan, de szintnjavtottak teljestmnykn. Br a kt csoportkztti klnbsg az oktats hatsra cskkent,a 2011-ben rettsgizettek tlagteljestmnyea zrthelyi dolgozaton mg mindig szignifikn-san jobb volt.

sszefoglalva: azt talltuk, hogy kurzusunka kzepesre, illetve a nem a felvteli vbenrettsgizetteknek szksges volt ahhoz, hogytudsuk elrje az elgsges szintet, de trgyunkegyben hasznos is volt szmukra, hisz tlagosteljestmnyk jelentsen javult. ltalnossg-ban elmondhat, hogy a tbbi hallgatnk kzlazoknak, akik nem jelesre rettsgiztek, de k-lnskppen a szakkzpiskolban vgzettek-nek a kurzus ltal nyjtott ttekints hasznosnakbizonyult, hisz teljestmnyk a zrthelyi dolgo-zatra jobb lett, ezltal felkszltebben kezdhet-tk meg egyetemi tanulmnyaikat. A szakk-zpiskolsok esetben a gimnazistkkal szem-ben tapasztalt kezdeti htrnyt is sikerlt ledol-gozni. A harmadik mrsi alkalommal melyrea flv 8. hetben kerlt sor kapott eredm-nyek pedig azt igazoljk, hogy a hallgatk telje-stmnye a zrthelyi dolgozat ta nem romlott,a kurzuson zajlott ismtls hatsos volt. rde-mes mg megemltennk, hogy a hallgatkkalfolytatott beszlgetsek is azt tmasztjk al,hogy kurzusunk a felkszlsben sokuknak hasz-nos segtsget jelentett.

gy vljk, trgyunk tmbstett oktatsiformja elnysebb a hallgatknak a flv kz-beni prhuzamos alapozsnl, felzrkztatsnl.Mivel az ilyen tpus kurzusukon ttekintett tu-dsanyagra mr az egyetemi tanulmnyok kez-detn szksg van, gy a tmbstett trgyalsesetben nem fordulhat el az a helyzet, hogya hallgatk az alapjaik egyes hinyossgaivala flv kzben, les helyzetben tallkoznakelszr s a hinyptlsra ezutn akr hetekkelksbb kerl csak sor. Jelenlegi adataink a 2007

eltti dolgozatokkal, illetve ms felsoktatsiintzmnyek hasonl trgyainak eredmnyvelnehezen sszehasonlthatak, gy ezen hipot-zist statisztikailag nem tudjuk igazolni.

A felmrs sorn keletkezett adatbzisunklehetsget nyjt arra, hogy a ksbbi vfolya-mok eredmnyeit is sszehasonltsuk a jelenle-givel, ezltal a kz- s felsoktatsban lejtsz-d folyamatoknak a jvbeli hallgatink mate-matikatudsra vonatkoz hatsairl is kpetalkothatunk. A ksbbiekben pedig megvizs-glhatjuk, hogy a hallgatknak a Matematika I.trgyon elrt pontszmai, illetve az alapoz tr-gyon elrt eredmnyei kztt milyen sszefg-gs van, azaz kurzusunk hatsa a r pl ma-tematikai tanulmnyokban megmutatkozik-e.

Ksznetnyilvnts

Szeretnnk megksznni tanszki kollginktmogatst s kzremkdst a felmrsekelvgzsben, tovbb hallgatinknak, hogy afelmrsben val rszvtelket nknt vllaltk.Ksznjk Tth Editnek (MTA SZTE Kpessg-kutat Csoport) a cikk rsa sorn adott rtkesjavaslatait.

Hivatkozsok[1] Cskny Anik, Pipek Jnos: A 2009 szep-

temberben a mszaki s termszettudom-nyos szakokon tanulmnyaikat kezd hall-gatk ltal rt matematikafelmr eredm-nyeirl. Matematikai lapok, 16/1 (2010) 115.

[2] Fldes Petra: l matematika. Hogyan vl-hatnak hasznoss s hasznlhatv a mate-matikai ismeretek Beszlgets Vancs dnkutatval. j pedaggiai szemle, 52/9 (2002)133140.

[3] Lukcs Ott (2002): Matematikai statisztika.Bolyai-knyvek, Mszaki Knyvkiad, Bu-dapest.

[4] Mder Attila: Mit tud(hat) a hallgat? Mit ltaz egyetem? Egy felmrs s kvetkeztetsei.A matematikai tantsa, 18/3 (2010) 312.

[5] Plfalvi Jzsefn: Szintfelmr dolgozatok azELTE TTK-n 20062008, A matematika ta-ntsa, 17/5 (2009) 314.

[6] Reiczigel Jen, Harnos Andrea, SolymosiNorbert (2007): Biostatisztika nem statiszti-kusoknak. Pars Kft., Nagykovcsi.


10 MOZAIK KIAD

1. Bevezets

formlis hatalom mrsre tbbfle md-szert talltak ki. Korbban foglalkoztunka hatalom mrtknek Shapley-Shubik-

fle indexvel [1] s a hatalom Banzhaf-index-vel. [2,3]

Most a hatalom Deegan-Packel-fle indextalkalmazzuk az amerikai elnk hatalmnak egylehetsges mrsre. Mint tudjuk, 1978-ban JohnDeegan Jr. s Edward Packel vezette be a ha-talom egy j mrtkt, az gynevezett Deegan-Packel-fle indexet. [4,8]

A hatalom mrtknek Deegan-Packel-fleindexe hrom feltevsen alapszik.

1. Csak a minimlis gyztes koalcikat fog-juk figyelembe venni az egyes szavazkhatalmi arnynak a meghatrozshoz.

2. Minden minimlis gyztes koalci egy-forma valsznsg.

3. Egy szavaz hatalmnak rsze, amely va-lamely minimlis gyztes koalcihoz valtartozsbl kvetkezik, ugyanaz, mint ugyan-ennek a minimlis gyztes koalcihoz tar-toz msik szavaznak azon hatalmi rsze,amely ehhez a minimlis gyztes koalci-hoz val tartozsbl kvetkezik.

1. Definci:

Tegyk fel, hogy egy igen-nem szavaz-rendszer szavazi p1, p2, , pn s pi tetszlegesszavaz (i = 1, 2, , n) a szavazk kzl. Ekkora pi szavaz teljes Deegan-Packel hatalmtTDPP(pi)-vel jelljk s a kvetkez mdonkaphatjuk meg:

Tegyk fel, hogy a pi szavaz a K1, K2, ,Kj minimlis gyztes koalcikba tartozik bele.Tegyk fel, hogy k1 darab szavaz tartozik K1-be, k2 darab szavaz tartozik K2-be, s gy to-vbb, kj darab szavaz tartozik Kj-be.

Ekkor legyen 1 2

1 1 1( ) ... .i

jTDPP p

k k k= + + +

2. Definci:

Tegyk fel, hogy egy igen-nem szavaz-rendszer szavazi p1, p2, , pn s pi tetszlegesszavaz (i = 1, 2, , n) a szavazk kzl.

Ekkor a pi szavaz Deegan-Packel-fle ha-talmi indexnek jellse DPI(pi) s legyen

1 2

( )( ) .

( ) ( ) ... ( )i

in

TDPP pDPI p

TDPP p TDPP p TDPP p= + + +

(Intuitv mdon lthatjuk, hogy a pi szavazDeegan-Packel-fle hatalmi indexe megmutatjaa pi szavaz rszesedst a teljes Deegan-Packel-fle hatalombl.)

1. llts:

Tegyk fel, hogy egy igen-nem szavaz-rendszer szavazi p1, p2, , pn s pi tetszlegesszavaz (i = 1, 2, , n) a szavazk kzl. Ekkora pi szavaz Deegan-Packel-fle hatalmi inde-xre fennll, hogy

0 DPI(pi) 1.

A bizonyts a DPI(pi) defincijbl kvetkezik.Esetleg rdemes meggondolnunk, hogy mindigrtelmes-e a definci. Vagyis TDPP(p1) ++ TDPP(p2) + ... + TDPP(pn) 0 mindig fenn-ll?

Csete Lajos

Az amerikai elnk Deegan-Packel-flehatalmi indexrl

A


MOZAIK KIAD 11

2. llts:

Tegyk fel, hogy egy igen-nem szavaz-rendszer szavazi p1, p2, , pn , ekkor

DPI(p1) + DPI(p2) + ... + DPI(pn) = 1.

Bizonyts:

1 2( ) ( ) ... ( )nDPI p DPI p DPI p+ + + =1

1 2

( )( ) ( ) ... ( )n

TDPP pTDPP p TDPP p TDPP p

= ++ + +2

1 2

( )...

( ) ( ) ... ( )n


+ + ++ + +

1 2

( )( ) ( ) ... ( )

n

n


+ =+ + +1 2

1 2

( ) ( ) ... ( )1

( ) ( ) ... ( )n

n

TDPP p TDDP p TDPP pTDPP p TDPP p TDPP p

+ + += =+ + +

2. Az amerikai elnk, a szentuss a kpviselhz teljes

Deegan-Packel-fle hatalma

2.1. A szavazsi rendszer vzlata

Az amerikai hatalmi rendszerben a politikaihatalom formlisan az elnk, a szentus s a kp-viselhz kztt oszlik meg. A szentusnak 100tagja, azaz szentora van, mg a kpviselhz-nak 435 tagja, azaz kpviselje van. Egy olyandntst vizsglunk, amelynek meghozatalhozmindhrom hatalmi tnyez szavaz.

1. tpus:Egy javaslatot elfogadnak, ha az elnk szavaz

mellette, a szentus legalbb 51 tagja s a kp-viselhz 218 tagja. Ez a szentus esetben 50%s mg 1 szavazat, mg a kpviselhz esetben217,5 az 50%, gy ebben az esetben nem k-vetelik meg az 50% + 1 szavazatot, hanem aztmondjk, hogy 50%-nl tbb szavazat kell. Eza megfogalmazs persze rvnyes a szentusrais, erre is mondhatjuk, hogy 50%-nl tbb sza-vazat szksges a dntshez.

2. tpus:Egy javaslatot akkor is elfogadhatnak, ha az

elnk nem szavaz mellette, ebben az esetben aszentus tagjainak legalbb ktharmadnak sa kpviselhz tagjainak is legalbb ktharma-dnak a javaslat mellett kell szavaznia. Figyeljkmeg, hogy itt nem azt mondjk, hogy a kt-harmadnl tbb szavazat kell, hanem azt, hogylegalbb ktharmad.

Vagyis a szentus 100 tagja kzl legalbb67-nek a javaslat mellett kell szavaznia, mg akpviselhz 435 tagja kzl legalbb 290-nekkell a javaslat mellett szavaznia.

2.2. A minimlis gyztes koalcik szma

Az 1. lehetsgnl a minimlis gyztes koa-

lcik szma 1 100 435

,1 51 218 hiszen az 1 el-

nkbl 1-et kell kivlasztanunk, a 100 szen-torbl 51-et kell kivlasztanunk, mg a 435 kp-viselbl 218-at kell kivlasztanunk a minimlisgyztes koalcihoz.

A 2. lehetsgnl a minimlis gyztes koal-

cik szma 1 100 435

,0 67 290 hiszen az 1 el-

nkbl 0-t kell kivlasztanunk, a 100 szen-torbl 67-et kell kivlasztanunk, mg a 435 kp-viselbl 290-et kell kivlasztani a minimlisgyztes koalcihoz.

2.3. Az elnk teljes Deegan-Packel-flehatalma

Az elnk 1 100 4351 51 218 darab minimlis

gyztes koalciban szerepel, teht ennyit tudsztrombolni, ha kilp bellk. Az ilyen tpusminimlis gyztes koalcikban 1 + 51 + 218 == 270 tag szerepel. gy definci szerint az elnkteljes Deegan-Packel-fle hatalma:

1 100 4351(elnk)

1 51 218270TDPP

= 1561,241 326 087 902 10 .


12 MOZAIK KIAD

2.4. Egy szentor teljes Deegan-Packel-flehatalma

Szemeljnk ki egy tetszleges szentort shatrozzuk meg, hogy mennyi minimlis gyz-tes koalciban szerepel.

Nzzk elszr az 1. tpus minimlis gyz-tes koalcikat!

Ha kiszemeltk az 1 szentort, akkor mrcsak 50 szentort kell kivlasztanunk, hogy 51szentort kapjunk. Az 50 szentort mr csak 99szentor kzl kell kivlasztanunk.

Ezt 9950 -flekppen vgezhetjk el. Ms-

rszt tovbbra is 218 kpviselt kell kivlaszta-

nunk a 435 kpviselbl, ezt 435218 -flekppen

tehetjk meg.

gy a kiszemelt szentor 1 99 4351 50 218

darab 1. tpus gyztes koalciban szerepel.Nzzk a 2. tpus minimlis gyztes koal-

ciit!A kiszemelt szentor mell mr csak 66 sze-

ntort kell kivlasztanunk, hogy megkapjuk aszksges 67 szentort. A 66 szentort mr csak

99 szentor kzl kell kivlasztanunk. Ezt 9966 -

flekppen tehetjk meg. (A Taylor-knyv 224.

oldaln 10066

szerepel, ez szerintnk sajthiba.Klnben a vgeredmnyeket lnyegben nembefolysolja ezen sajthiba. Mg akkor sem, haezzel szmoltak tovbb.) A 435 kpviselbl

most 290-et kell kivlasztanunk, ezt 435290 -fle-

kppen tehetjk meg.

gy a kiszemelt szentor 1 99 4350 66 290

darab 2. tpus minimlis gyztes koalcibanvesz rszt.

Egy 1. tpus minimlis gyztes koalcitagjainak szma 270, mg a 2. tpus minimlis

gyztes koalci tagjainak szma 0 + 67 + 290 == 357.

gy egy kiszemelt szentor teljes Deegan-Packel-fle hatalmi indexe:

1 99 4351(szentor)

1 50 218270TDPP

= + 1 99 43510 66 290357 +

1560,633 076 304 830 10 .

2.5. Egy kpvisel teljes Deegan-Packel-fle hatalma

Szemeljnk ki egy tetszleges kpviselt svizsgljuk meg, hogy mennyi minimlis gyzteskoalciban szerepel!

Nzzk elszr az 1. tpus minimlis gyz-tes koalcikat!

Itt a kiszemelt kpvisel mell mg 217kpviselt kell vlasztanunk, hogy 218 kpvi-selt kapjunk. Ezen 217 kpviselt mr csak434 kpviselbl vlaszthatjuk.

Ezt 434217 -flekppen tehetjk meg. Ms-

rszt 100 szentor kzl 51-et kell kivlaszta-

nunk. Ezt 10051

-flekppen tehetjk meg. Az 1

elnkbl az 1 elnkt kivlasztjuk 11 -flekp-

pen.

sszesen 1 100 4341 51 217 darab 1. tpus

gyztes koalciban szerepel a kivlasztott kp-visel.

Nzzk most a 2. tpus minimlis gyzteskoalcikat!

Itt a kiszemelt kpvisel mell 289 kpvise-lt kell vlasztanunk, hogy a 290 kpviselt meg-kapjuk. A 289 kpviselt mr csak 434 kpvi-selbl vlasztjuk ki.

Ezt 434289 -flekppen tehetjk meg.


MOZAIK KIAD 13

A 100 szentorbl 67 szentort kell kiv-

lasztanunk, ezt 10067

-flekppen tehetjk meg.

Az 1 elnkbl 0 elnkt 10 -flekppen v-

laszthatunk ki.

sszesen 1 100 4340 67 289 darab 2. tpus

minimlis gyztes koalciban szerepel a kiv-lasztott kpvisel.

Az 1. tpus koalcik 270 tagak, mg a 2.tpus koalcik 357 tagak. gy a definci sze-rint egy kivlasztott kpvisel teljes Deegan-Packel-fle hatalma:

1 100 4341(kpvisel)

1 51 217270TDPP

= + 1 100 43410 67 289357 +

1560,622 089 855 546 10 .

3. Az amerikai elnk, a szentuss a kpviselhz Deegan-Packel-fle

hatalmi indexe

Az elnk Deegan-Packel-fle hatalmi indexedefinci szerint:

(elnk)DPI =(elnk)

(elnk) 100 (szentor) 435 (kpvisel)TDPP

TDPP TDPP TDDP= + +

0,003 703 703 704 0,370%. Egy szentor Deegan-Packel-fle hatalmi

indexe:(szentor)DPI =

(szentor)(elnk) 100 (szentor) 435 (kpvisel)

TDPPTDPP TDPP TDDP

= + + 0,001 888 888 0,189%.

Egy kpvisel Deegan-Packel-fle hatalmiindexe:

(kpvisel)DPI =(kpvisel)

(elnk) 100 (szentor) 435 (kpvisel)TDPP

TDPP TDPP TDDP= + +

0,001 856 109 0,186%.

A szentus tagjainak sszes DPI hatalma:kb. 100 0,189 = 18,9%.

A kpviselhz tagjainak sszes DPI hatal-ma: kb. 435 0,1856 80,74%.

4. Ksrletnk a kpviselhzltszmnak a vltoztatsra

rdekes lehet megvizsglni, hogyan vltoz-na meg az elnk, a szentorok s a kpviselkDPI hatalma, ha megvltozna a kpviselk sz-ma. Az elnk s a szentus ltszmnak meg-vltoztatsa lehetsges, de mg valszntle-nebb ksrletekhez vezetne.

Cskkentsk kpzeletben 10%-kal a kpvi-selhz ltszmt s vizsgljuk meg az egyesszereplk DPI hatalmt! Ez 391,5 kpvisellenne, legyen 391 kpvisel, hogy pratlanszm legyen. Itt az 50%-ot meghalad ltszmlegalbb 196 kpvisel, mg a ktharmadot p-pen meghalad ltszm 261 f.

Az elnk 1 100 3911 51 196 darab minimlis

gyztes koalciban vesz rszt.

1 100 3911(elnk)

1 51 196248TDPP

= 1428,101 219 820 10

1 99 3911(szentor)

1 50 196248TDPP

= + 1421 99 3911 4,131 622 108 10

0 66 261328 +

1 100 3901(kpvisel)

1 51 195248TDPP

= + 1 100 39010 67 260328 +

1424,060 969 526 10

DPI(elnk) 0,004 032 258 0,403%


14 MOZAIK KIAD

Mivel 0,403 0,370

100% 8,9%,0,370 ezrt

az elnk DPI hatalma kb. 8,9%-kal ntt volna.

DPI(szentor) 0,002 056 451 0,206%

Mivel 0,206 0,189

100% 8,25%,0,206 ezrt

egy szentor DPI hatalma 8,25%-kal ntt volna.

DPI(kpvisel) 0,002 021 285 0,202%

Mivel 0,202 0,186

100% 7,92%,0,202 ezrt

egy kpvisel DPI hatalma 7,92%-kal ntt vol-na.

A szentus tagjainak sszes DPI hatalma kb.20,6% lenne. Ez kb. 8,25%-os nvekedsnekfelel meg.

A kpviselhz tagjainak sszes DPI hatal-ma kb. 391 0,202 78,98% lenne.

Mivel 78,98 80,74

100% 2,18%,80,74 te-

ht a kpviselhz tagjainak egyttes DPI ha-talmnak cskkense 2,18% lenne.

Vegyk szre, hogy mindenki nvelte a DPIhatalmt, mg a kpviselk is, de a kpvisel-hz tagjainak egyttes DPI hatalma kiss csk-kent; ez nem ellentmonds, hiszen a kpviselkszma cskkent.

Cikknket csak ismeretterjesztnek sznjuk,jdonsgok nincsenek benne, csak kiss rszle-tesebben trgyalja a tmt, mint a [7] knyv segy sajthibjt javtja ki a e knyvnek. Rem-lem, hogy j hibkat nem helyeztem el a cikk-ben. Msrszt a kongresszus 10%-os kpzelet-beli cskkentsnek szmtsa e cikknkbenszerepel j gyakorlatknt.

Irodalom s jegyzetek

[1] Csete Lajos (2004): A hatalom Shapley-Shubik-fle indexrl. A Matematika Tant-sa, 2004/5. 1624.

[2] Csete Lajos (2006): A hatalom Banzhaf-fleindexrl. A Matematika Tantsa, 2006/2.39. Hibajavts: A Matematika Tantsa,2006/3. 29.

[3] Csete Lajos (2007): A hatalom Banzhaf-fleindexnek alkalmazsai: A Biztonsgi Tancss az USA hatalmi rendszernek egy elemz-se. Matematikai Lapok, 20042005/2. (Meg-jelent 2007-ben), 4858.

[4] Deegan, John and Edward Packel (1978):A new index for simple n-person games.International Journal of Game Theory, 7,113123.

[5] Kemeny, J. G. J. L. Snell G. L. Thompson(1971): A modern matematika alapjai (Vgesstruktrk). Mszaki Knyvkiad, Budapest.9093. s 123127.

[6] Packel, Edward (1981): The Mathematics ofGames and Gambling. The MathematicalAssociation of America, Washington D.C.

[7] Taylor, Alan D. (1995): Mathematics andPolitics. Strategy, Voting, Power and Proof.Springer-Verlag, New York-Berlin-Heidelbergetc., 6375.

[8] Theisz Gyrgy (2003): Igen-nem szavazrend-szerek. Polygon, XII. ktet 12. szm, 2003.jnius, 6369.E cikkben formlisan is definiljk az igennem szavazrendszert.Legyen adva az sszes szavaz X halmaza.Szavazsnak nevezzk X egy A rszhalmazt.Az A halmazbeli szavazk igennel szavaztak,mg a tbbi szavaz nemmel szavazott. Egyszavazrendszertl elvrjuk, hogy minden Aszavazsra adjon pontosan egy vgered-mnyt, vagyis dntse el, hogy elfogadtka javaslatot vagy nem. Mskppen a szava-zrendszer egy v: P(X) {i, n} lekpezs,ahol P(X) az X halmaz rszhalmazainaka halmaza, s v(A) = i, ha A X szavazsesetn igent mond a szavazrendszer, sv(A) = n, ha nemet mond a szavazrend-szer.

Ksznm szpen Varga Ferencn knyv-trvezetnek (Szegedi Tudomnyegyetem Bo-lyai Intzete) a Taylor-knyv klcsnzst.


MOZAIK KIAD 15

magyar matematika egy nagy alakjtl,Reiman Istvn matematikustl bcs-zunk, a sz nagyon szles rtelmben.Kevesen tudtk rla, hogy kivl kutat

volt, szp s fontos eredmnyekkel. A Zarankie-wicz-problmrl szl kombinatorikus cikknekgondolatait pldul az elss matematikus hall-gatknak tantom, a cikkre 78 hivatkozs tall-hat a neten, kzlk tbb 2010-es s 2011-es.De sok szp geometriai eredmnye is volt.

A matematikusi feladatok kzl az egyetemioktatsban is kivlt nyjtott. 1953-tl 1970-igaz Etvs Lrnd Tudomnyegyetemen, majd1996-ig a Budapesti Mszaki Egyetem Geomet-riai Tanszkn tantotta azokat, akiknek olyanszerencsjk volt, hogy hozz kerltek. 1986 s1992 kztt az utbbi helyen tanszkvezet isvolt. Mint minden tevkenysgt, az egyetemitis nagy tudssal, alapos felkszlssel s hatr-talan szernysggel vgezte.

Leghresebb azonban a magyar matemati-kai tehetsgek kivlasztsban, kinevelsbenjtszott szerepe ltal lett. 1961-tl 2002-ig volta Nemzetkzi Matematikai Olimpikon rsztvevmagyar csapat felksztje. Az alap a Reiman-szakkr volt, amit kthetente szombat dlut-nonknt tartott. Azutn az Olimpik eltt voltegy intenzv felkszts is. Sajnos ids korommegakadlyozott abban, hogy rszese legyekezeknek az lmnyeknek, n kt vvel korb-ban, 1959-ben voltam olimpikon. De a kiemel-ked magyar matematikusok, akadmikusok,nagydoktorok ngy vtizednyi hada ebbl aziskolbl kerlt ki. k meslnek a szakkr cso-dlatos hangulatrl. Kis fzetbl a tblra fel-rta a gondosan sszevlogatott szp s izgal-mas feladatokat, azutn a httrbe hzdott.Hagyta a dikokat rvnyeslni, csak nha f-ztt kommentrt egy-egy feladat megoldshoz.

Mennyi munka volt e mgtt! Hny s hnyknyvbl, szaklapbl gyjttte ssze a feladato-kat! s micsoda pedaggiai rzket kvnt a ki-hvs, az orszg legtehetsgesebb matematikusdikjaival dolgozni, mekkora felelssg, hogybellk kihozza a maximumot! Vezetse alatt

sok nagy sikert rt el a ma-gyar olimpiai csapat. Pedignem ezt tartotta f clnak,hanem azt, hogy kivl,egszsges gondolkodsmatematikusokat neveljenaz orszgnak.

A nemzetkzi mate-matikai kzvlemny is jlismerte s elismerte a te-vkenysgt. Rszben az eredmnyek miatt,rszben az olimpiai feladatokat sszegyjt, an-golul is megjelent ktetei alapjn. A Matemati-kaversenyek Nemzetkzi Szvetsge ezrt2000-ben Erds-remmel tntette ki.

Szernysge vitte e terletre. Felvetdik a kr-ds, hogy ha nem tlti idejt a fiatalok nevel-svel, mennyivel tbb szp matematikai tteltalkothatott volna. De azt hiszem, helyesebb gyszmolni, hogy annak a tbb szz matemati-kusnak, akiket nevelt, egy-kt cikkt a javrarjuk, hiszen ezek a cikkek Reiman tanr r nl-kl taln nem szlettek volna meg haznks a vilg matematikja hasznra.

A Bolyai Jnos Matematikai Trsulat nev-ben is ksznetet kell mondanom ldozatos te-hetsgkivlaszt, -nevel munkjrt, de a k-lnbz bizottsgaink munkjban vgzett te-vkenysgrt, hasznos tancsairt is.

Volt mg egy rdekes munkja, amely ismert-t tette az orszg kzvlemnye eltt is. vekent a fl orszg lt az jjeli rkban a kpernyel, hogy vilgos magyarzatait hallgatva meg-tudja, hogyan kellett volna a koszinuszos fel-adatot megoldani az egyetemi felvtelin.

Az orszg s a szakma megprblta kitn-tetsekkel kifejezni hljt. 1993-ban ApcaiCsere Jnos-djat, 2002-ben Rcz Tanr rletmdjat, 2007-ben pedig a Magyar Kztr-sasg rdemrem tisztikeresztjt nyerte el.

Kedves Pista Bcsi, ksznjk Neked ezt azletet, s rengeteg munkt! Tudd, hogy rde-mes volt. Szzaknak adtl egy j kezdetet, let-re szl lmnyt. Te vagy az egyik oka a ma-gyar matematika vilghrnek.

Katona Gyula

Bcs Reiman Istvntl

A


16 MOZAIK KIAD

eller Jzsef elszr a Budai Tantkp-zben szerzett tanti kpestst, majd azELTE TTK-n 1956-ban matematika-

fizika szakos tanrknt diplomzott. 1956 s1961 kztt a Budapesti rpd Gimnzium ta-nra, 1961-tl az ELTE TTK oktatja volt. Dol-gozott az akkori Analzis II. tanszken, ksbbaz brzol s Projektv Geometria tanszken,majd a Matematikai Szakmdszertani Csoport-ban, tovbb az Oktatstechnikai Csoportban.1995-tl hrom vig a kaposvri Csokonai Mi-hly Tantkpz Fiskola matematikai tan-szknek vezetje volt.

Bcszunk a tudstl

Egyetemi doktori rtekezst A differenci-lhnyados s az integrlszmts a kzpisko-lban cmmel 1966-ban vdte meg az ELTETTK-n. Tudomnyos aspirantra ideje alatt kt-szer is volt hrom hnapos tanulmnytonMoszkvban. Kandidtusi rtekezst 1989-benvdte meg A szmfogalom s a fggvnytan-ts fejlesztsre irnyul matematikai-didaktikaivizsglatok, ksrleti eredmnyek cmmel. Emunka egy rendszer lersa, amely felleli azltalnos iskola als s fels tagozatos, a k-zpiskolai matematikaoktatsi vizsglatokat,elemzseket s a tanrjelltekkel val szakmd-szertani foglalkozsokat is. Tudomnytrtnetitny, hogy Magyarorszgon hrman rtak kan-didtusi dolgozatot matematikadidaktikbl (ma-tematika szakmdszertanbl): Varga Tams, Pel-ler Jzsef s Ambrus Andrs.

Abban a szerencss helyzetben vagyok, hogyvgigkvethettem a matematikai szakmdszer-tannak ma matematikadidaktiknak nevezzk a magyarorszgi fejldst s nll tudo-

mnygg vlst. Az ELTE TTK MatematikaiSzakmdszertani Csoportjnak megalakuls-ban, kutatmunkjban, fejldsben nagy sze-repe volt Peller Jzsefnek. Rszt vett a Mate-matika tantsa trgy tantervnek, llamvizsgaitematikjnak, rendszernek kidolgozsban.

Egyik alaptja volt a Szakmdszertani Kz-lemnyek cm, flvenknt megjelen periodi-knak, szerkesztknt, szerzknt szmos ta-nulmny megjelentetsben mkdtt kzre.Mint vidki, kisgimnziumi matematikatanr-nak, nagyon fontos segtsget jelentettek e k-tetek. Az ELTE TTK ktves tanr-tovbbkp-zsi rendszernek kidolgozsban, a kurzusoktartsban nagy szerepet vllalt. E tovbbkp-zsi formt kvette az egyetemi doktortus meg-szerzsnek lehetsge, mellyel tbb kivl k-zpiskolai matematikatanr lt.

Peller Jzsef kutatmunkjnak kiemelkedrsze kt nagyformtum oktatsi ksrlet. A ma-tematikaoktats tartalmnak s mdszernekkorszerstse (58. osztly), illetve A tanulktevkenysgnek tervezse s irnytsa (912.osztly) kutatprojekt volt, amelynek keretbengyakorliskolai matematika vezettanrok be-vonsval kidolgoztak egy rszletes, a minden-napi matematikatants realizlst segt, teljestantsi anyagot. A klasszikus kzpiskolai osz-tlyok anyagt a Tanknyvkiad knyv for-mjban is megjelentette.

Mint tantkpzt vgzett szakember, az elsngy osztly matematikai tananyagnak feldol-gozst is elksztette Kovcs Bertalann gya-korliskolai vezettanr kzremkdsvel. Pel-ler Jzsefnek szvgye volt, hogy a sok j gyakor-lati munka mellett tudomnygunk is fejldjn,elmleti httere ki legyen dolgozva. A Debrece-

Ambrus Andrs

Peller Jzsef (19332012)

P


MOZAIK KIAD 17

ni Egyetem matematikadidaktikai PhD prog-ramjnak megalaptsban szakrt tancsaival,a ksbbiekben kurzusok tartsval vett rszt.

Bcszunk a tanrtl

Ritka az olyan tanr, akinek sajt tapasztala-ta van minden letkorrl, a kiselssktl az egye-temi diplomig tlel idszak matematikaok-tatsrl. Fejldsben tekintette a gyerekeket,az alapvet matematikai fogalmak kialaktsnakszakaszos elmlett dolgozta ki a szmfogalom-mal s a fggvnyfogalommal kapcsolatban. Eza kisgyermekkortl a diplomig terjed fejlds,fokozatos matematizls jellemz volt didaktikaigondolkodsra. Szakmailag nagyon ignyes,minden rjra alaposan felkszl, a hallgatit,tanulit szeret, tmogat tanr volt. Jellemz asegtkszsgre, hogy a mdszertani oktatsontl a matematika-fizika szakos tanrjelltek sz-mra segtsget nyjtott az elmleti fizika meg-rtshez szksges matematikai ismeretek ren-dezsben specilkollgiumok tartsval.

Egytt tantottunk az ELTE Radnti MiklsGyakorliskolban. Meghat volt az a szeretet,amellyel ptyolgatta a kis hatodikosokat, tmo-gatta a tehetsgesebb tanulkat.

Tanrok tanra is volt, a tanulk tev-kenysgnek tervezse projekt keretben sokatutazott vidkre is, ahol szemlyesen vizsglta,hogyan realizldnak matematikaoktatsi elvei.A ksrletben rszt vev tanroknak idejt nemkmlve sokat segtett. A Rtz Lszl Vndor-gylseken tbbszr tartott eladst, sok mate-matikatanr vette mindig krl, npszer volt azegyszer tanrok krben.

A matematika tantsa mdszertani kurzustantervnek, tartalmnak, valamint a gyakorlis-kolai tdves tantsi gyakorlat tematikjnakkidolgozsban alapvet szerepe volt. A gya-korliskolai matematika vezettanrok szakfel-gyelett, az tdves hallgatk ltogatst atle megszokott gondossggal, alapossggal szer-vezte, vezette.

A matematika tantsval kapcsolatos fonto-sabb Peller-knyvek:

A matematikai ismeretszerzsi folyamatrl.ELTE Etvs Kiad, 2003

A matematikai ismeretszerzs gykerei.ELTE Etvs Kiad, 2003

Az analzis elemeinek tantsa kzpisko-lban. Tanknyvkiad, 1967

A szmfogalom fejlesztsnek szintjei azoktatsi gyakorlatban. Tanknyvkiad, 1974

Bcszunk a kedves kollgtl, az embertl

Jskval egy kedves, segtksz, szenvedlye-sen igazsgkeres kollgnk tvozik. szinte, egy-szer, tisztalelk, csaldszeret, nagy humnum,elveirt kill, azokrt pozitv rtelemben meg-szllottan kzd ember volt. Kzvettett, bktetthallgatk s oktatk kztt knyes krdsekben.

Nagy szeretettel, trelemmel ksrte, tmo-gatta beilleszkedsnket, szakmai fejldsnket.Szmomra, a kis vidki matematikatanr sz-mra nagyon fontos volt, hogy a kezdetektl fog-va mellm llt, minden szakmai s szakmn k-vli krdsben segtett. A volt kollgk nagy sze-retettel emlkeznek a sok beszlgetsre, kzskirndulsra, a Jska ltal nagyon szeretett ba-latonkenesei telkn tett ltogatsra, tovbbiegyttltekre.

Vci Mihly aki maga is volt nyrsgi ta-nt Es a homokra cm versben Jskrais oly jellemzen r:

Hasznlni akartam nem tndklni,sem eszttikk rangsort prlni.A halhatatlan szent tlekedsbenLemaradtam a startnl mr lekstem.Osztani magad, hogy gy sokasodjl,Kicsikhez hajolni hogy magasodjl,Hallgatni ket, hogy tudd a vilgot,Rluk beszlni, ha szlsz a vilghoz.Szjjel szrdni es a homokra sivatagnyi remnytelen dologra,s ha nyr se lesz tled s a tj se zldebb,kutakk gyjt a mly sokan isznak belled!


18 MOZAIK KIAD

1. Bevezets

Ismert a kvetkez egyenltlensg:

Legyenek a1, a2, ..., an pozitv vals sz-mok. Ekkor fennll, hogy

2 2 2 21 2 1

1 2 2 3 1 1... n n

n n n

a a a aa a a a a a a a

+ + + + + + + +1 2

1( ... ).

2 na a a + + +

Ez pldul versenyfeladat volt 2001-ben azOrszgos Kzpiskolai Tanulmnyi Versenyen,illetve korbban egyb helyeken is kitztk.[3],[4],[6],[9],[10].

(A [3] cikkben olvashatunk a trtnetrl s8 megoldst tekinthetnk meg.)

A kvetkezkben clunk ezen egyenltlen-sg egy ltalnostsa. Ehhez elszr egy segd-ttelt idznk fel.

2. Egy Young-fle segdttel

A kvetkez segdttelt azrt nevezzkYoung-fle segdttelnek, mert ez a Young-fleegyenltlensg (1912) egy specilis esete. Eb-bl klnben knnyen levezethet a Hlder-fle egyenltlensg is.

A Young-fle segdttel:Ha a s b nemnegatv vals szmok s

p > 1, q > 1 olyan vals szmok, amelyekre tel-

jesl 1 1

1,p q+ = akkor fennll, hogy

,p qa b

a bp q+

ahol egyenlsg akkor s csak akkor van, haap = bq.

Bizonyts:A slyozott szmtani s mrtani kzp kzttiegyenltlensget fogjuk alkalmazni. [7]

Mint tudjuk, fennll, hogy

1 21 1 2 2 1 2... ... ,

nw w wn n nw x w x w x x x x + + +

ahol x1, x2, ..., xn pozitv vals szmok s w1,w2, ..., wn szintn pozitv vals szmok, az gy-nevezett slyok.Legyen n = 2 s x1 = ap, x2 = bq, mg a slyok

11

wp

= s 2 1 .w q=Ekkor a slyozott szmtani s mrtani kzpkztti egyenltlensg szerint:

1 1

( ) ( ) .p q

p qp qa b a b a bp q+ =

3. A Bernoulli-fle egyenltlensglevezetse a Young-fle segdttelbl

A Young-fle segdttelbl indulunk ki:

,p qa b

a bp q+ ahol a s b nemnegatv vals

szmok, mg p s q 1-nl nagyobb olyan vals

szmok, amelyekre 1 1

1.p q+ = Ebbl .

1p

qp

= Ezt felhasznlva kapjuk, hogy:

,p qa b

a bp q

vagyis

11 .pp

pa pa b bp p

Ezenkvl legyen b = 1, teht

11 1pp

pa pap p

vagyis

1.

pa pa

p p

Csete Lajos

Egy ciklikus egyenltlensg ltalnostsa


MOZAIK KIAD 19

Az utbbi egyenltlensgbl kapjuk, hogy

ap 1+p (a - 1).Ez ppen a Bernoulli-fle egyenltlensg egyalakja.

4. Egy ciklikus egyenltlensg ltalnostsa

Az elbb kaptuk az 11

pppa pa b b

p p

egyenltlensget.Ebbl kvetkezik, hogy

1( 1) .p

p pa p a b p b Ezt fogjuk felhasznlni az 1. pontban felidzettciklikus egyenltlensg ltalnostsra.Legyen itt az a helyett a1, mg a b helyett

1 2 .2

a a+ Ezeket behelyettestve kapjuk, hogy

11 2 1 211 ( 1) .2 2

ppp a a a aa p a p+ +

Ezt egy kiss trendezzk:1

11 1 21

1 2 1

( )( 1) ,

22

pp p

pp

a a a ap p

a a

+ +azaz

1111

1 21 2 1

1( ) .

22

pp

pp

a a pp a a

a a

++

Ebbl a tpus egyenltlensgbl fogunk ssze-adni n darabot:

1 2

1 2 2 3 1...

p p pn

n

a a aa a a a a a

+ + + + + +1 2

1

... 12

2

np

p

a a a pp

+ + +

1 1 11 1 1

1 2 2 3 1( ) ( ) ... ( ) .p p p

na a a a a a

+ + + + + + Ezzel megkaptuk a kvetkez problmt:

Problma: Legyenek a1, a2, ..., an pozitvvals szmok s p > 1 vals szm, ekkor fenn-ll, hogy

1 2

1 2 2 3 1...

p p pn

n

a a aa a a a a a

+ + + + + +

1 2

1

... 12

2

np

p

a a a pp

+ + +

1 1 11 1 1

1 2 2 3 1( ) ( ) ... ( ) .p p p

na a a a a a

+ + + + + + E problmt volt szerencsm kitzni 2005-benaz American Mathematical Monthly folyirat-ban is. [1] s [2]

5. Egy specilis eset p = 2-re

Figyeljk meg, hogy ha a p = 2 helyetteststvgezzk el, akkor kapjuk, hogy

2 2 21 2

1 2 2 3 1... n

n

a a aa a a a a a

+ + + + + +1 2

22 1

... 2 12

22

na a a

+ + +

1 1 12 1 2 1 2 1

1 2 2 3 1( ) ( ) ... ( )na a a a a a + + + + + + =

1 2( ... )na a a= + + + 1 2 2 3 1

1(( ) ( ) ... ( ))

4 na a a a a a + + + + + + =

1 2( ... )na a a= + + + 1 2 3

12 ( ... )

4 na a a a + + + + =

1 21

( ... ).2 n

a a a= + + +Ezzel ksz a 9. bizonytsa az 1. pontban felid-zett versenyfeladatnak.

Irodalom s jegyzetek[1] American Mathematical Monthly, The (2005):

Vol. 112. 2005. 929. oldal, Problem 11189 (Pro-poser: Lajos Csete, Markotabdge, Hungary)

[2] American Mathematical Monthly, The (2007):Vol. 114. 2007. 645. oldal, Problem solution11189. Megoldk: R. Bagby (USA), O. Bag-dasar (Romania), R. Chapman (U.K.), P. P.Dlyai (Hungary) [Dlyai Pl Pter, DekFerenc Kzpiskola, Szeged], G. Kiss (Hun-gary), [Dr. Kiss Gza Ph.D., Fazekas MihlyFvrosi Gyakorl Gimnzium, Budapest],R. Strong (USA), L. Zhou (USA), Szeged Prob-lem Solving Group Fejntalltuka [SzegediTudomnyegyetem]A folyirat O. P. Lossers professzor (Eindho-ven University of Technology, Hollandia) meg-


20 MOZAIK KIAD

oldst kzli, aki trja a bizonytand egyen-ltlensget a kvetkez alakra:

10,

2

p qnk k

k kkk

a bpa b

b p q=

+ ahol

1 s .2 1

k kk

a a pb q

p++= = +

Majd megmutatja, hogy a szgletes zrjel-ben lev kifejezsek nemnegatvak.

Ehhez az ( )p qx b

f x xbp q

= + fggvnyvizsglatt emlti, ahol x > 0 s tetszlegesrgztett b > 0. Megemlti, hogy e fggvny

globlis minimuma 1

1px b = -nl van, mg-pedig 0-val egyenl.

[3] Csete Lajos (2003): A komromi trkk segy versenyfeladat. A Matematika Tantsa,2003/4. 411.

[4] Engel, Arthur (1998): Problem-Solving Stra-tegies. Springer-Verlag, New York-Berlin-Heidelberg, 185. oldal, 84. feladat, megold-sa a 202. oldalon.

[5] Kiss Gza Dr. Ph.D. e-mail zenete, 2006.mrciusA tanr r bizonytsa:A slyozott szmtani s mrtani kzp kzttikvetkez egyenltlensget hasznlta:xa + yb axby, ahol x s y olyan pozitv va-ls szmok, amelyekre x + y = 1.

Legyen 1

xp

= s 1 ,pyp= ahol p > 1.

Alkalmazzuk az elbbi egyenltlensget:1

11

1

1 1

2

ppi ii

pi i

a p a ap a a p

++

+ + + 1

1 111

1 2

ppp p pi ii

pi i

a a aa a

+

+

+ = + 1

11

1

2( )

pi i ip

pi i

a a a

a a

+

+

+ = = +1

11

1

( ).

2 2( )

pi i i i

pi i

a a a a

a a

+

+

+= =+

Ezt p-vel szorozva kapjuk, hogy:1

11

1( 1) .

22

ppi i ii

pi i

a a a ap p

a a+

++ + +

Mskppen felrva:1

11

1 1

1.

222

ppi i ii

p pi i p

a p a a ap

a a+

+

+ + + Alkalmazzuk ezt az egyenltlensget i = 1, 2,, n-re, majd ezeket sszeadva kapjuk, hogy:

111

11 11

1

22

pn n pi iip p

i ii ip

a p a aa a

++= =

+ + +

1.

2

n

ii

pa

=

trendezve:

11 12

pn ni

ii ii i

a pa

a a += = +

111

11

1.

22

n pi ip p

ip

p a a +=

+ [6] Kolmogorov, A. N. Sz. V. Fomin (1981):

A fggvnyelmlet s a funkcionlanalziselemei. Mszaki Knyvkiad, Budapest, 56.

[7] Kuznyecova, G. M. I. N. Szergejev (1991):XXIV Vszeszojuznaja matematicseszkaja olim-piada skolnyikov. Matematika v Skole, 91/6.4955., klnsen a 49. s az 52. oldal

[8] Lozansky, Edward Cecil Rousseau (1996):Winning Solutions. Springer-Verlag, NewYork-Berlin-Heidelberg, 123.

[9] Mitrinovic, D.S. J. E. Pe cv ari c A. M. Fink(1993): Classical and New Inequalities in Ana-lysis. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, Chapter XIV. Youngs ine-quality

[10] Panaitopol, L. V. Bandila M. Lascu(1996): Egyenltlensgek. GIL Knyvkiad,Zilah (Fordtotta Andrs Szilrd)

[11] Vavilov, V. Sz. Reznyicsenko (1990): XXIVVszeszojuznaja olimpiada po matematike.Kvant, 90/11. 5860. oldal, klnsen az 59.oldal. A megoldsvzlatok a Kvant 90/12.7275. oldalain, az idevg rsz a 73. oldalon.

Ksznm szpen Varga Ferencn knyv-trvezetnek (Szegedi Tudomnyegyetem BolyaiIntzet) a [4], [8], [9] knyvek klcsnzst.


MOZAIK KIAD 21

cmben kitztt problma s annak meg-oldsa ismers lehet a KMaL Gy. 2492-es gyakorl feladata rvn ([4] 163

165. oldal). Mostani clunk nem csupn a felele-vents lesz, hanem tbb j irnyban elvgzettvizsglat s tovbbi megoldsok bemutatsa.

Az ABCD paralelogrammra legyen a = AB == CD, b = AD = BC, e = AC, f = BD, AC BD == {O}, m(BAD) = a s m(BOC) = j (1. bra),ahol 0 < j 90 esetn a b teljesl ([2] 68.oldal, 11.5/1. ttel). Az oldalak s az tlk k-ztt fennll az e2 + f2 = 2(a2 + b2) ([3] 32. oldal,289. feladat), valamint a terletekre a 2t(ABCD) == 2absina = efsinj = t(PQRS) sszefggs, ahola PQRS paralelogramma oldalai az AC sBD tlkkal prhuzamosak.

Ha az ABCD paralelogrammba egy KLMNparalelogrammt kvnunk berni, akkor annakcscsaira megkveteljk, hogy azok brmelyikeaz ABCD klnbz oldalain bels pont legyen.A bers ktflekppen vgezhet el aszerint,hogy az adott s a bert paralelogramma krl-jrsa egyez vagy ellenttes (2. bra). Mindktesetben teljesl, hogy az adott s a bert para-lelogramma kzppontja egybeesik. Ennek be-ltshoz felhasznljuk, hogy a paralelogramma

kzppontja illeszkedik mindkt kzpprhu-zamos egyenesre ([2] 82. oldal, 14.3/2. ttel).Ha a bert KLMN paralelogramma kzppont-jt O*-gal jelljk, akkor az AD oldalon lv Kpontnak O*-ra vonatkoz K = M tkrkpe raj-ta van AD -nek O*-ra vonatkoz A D tkr-kpn, ami a centrlis tkrzs miatt prhuza-mos AD -vel, s gy A D BC=HJJJJG HJJG addik, mivel azM AD HJJG ponton t ADHJJG -vel csak egy prhuza-mos hzhat. Ennlfogva O* egyenl tvolsg-ra van az AD

HJJG s BCHJJG

egyenesektl, vagyis il-leszkedik azok kzpprhuzamosra. Ugyangylthat be, hogy O* rajta van az AB

HJJG s CDHJJG

egyenesek kzpprhuzamosn is: teht O*

ezen kt kzpprhuzamosnak a metszspontja,ami viszont egybeesik az ABCD paralelogram-ma O kzppontjval ([4] 163. oldal).

Ha az adott ABCD paralelogrammba egyhozz hasonl KLMN paralelogrammt runkbe, akkor ezen hasonlsg sorn mindig fennll

Dr. Darvasi Gyula

rjunk adott paralelogrammbahozz hasonlt!

A

A

S

N B

M

C

Q

D L

OKRP

a

jj

1. bra

A

N

B

M

CD

L

OK

A N B

M

CD L

OK

2. bra


22 MOZAIK KIAD

az A K, B L, C M s D N megfe-leltets, mikzben az adott paralelogramma je-llst rgztve a bertnak a cscsai a centrlisszimmetria miatt ktflekppen is betzhetk: a2. brn egyidejleg cserljk fel a K s M, va-lamint az L s N pontokat. S minthogy brmelyparalelogrammt egyrtelmen meghatrozzakt szomszdos cscsa s a kzppontja, ezrtaz adott s a bert paralelogramma pontosanakkor hasonl, ha kt-kt szomszdos cscsuks a kzs kzppontjuk ltal meghatrozott meg-felel hromszgek hasonlk, amelyek krlj-rsa ugyangy lehet egyez vagy ellenttes.

Elsknt foglalkozunk azzal az esettel, ami-kor az adott ABCD s a hozz hasonl bertKLMN paralelogramma azonos krljrs,amihez elegend az egyez krljrs OBCs OLM hasonl hromszgeket vizsglni(3. bra). Ekkor a megfelel szgeket azonosszm krvvel jellve szrevehet, hogy azOM szakasz a B s L pontokbl egyenl szg-ben ltszik, vagyis a B, L, O s M pontok egy kkrre illeszkednek. Ezen k krben az OL hrttekintve addik az OBL s OML kerletiszgek egyenlsge, s mivel a hasonlsg miattOML @ OCB, ezrt OBL @ OCB is fenn-ll. Ha E jelli a B kezdpont, BC

JJJG-vel ellent-

tes flegyenes valamely bels pontjt, akkor azm(ABE) = m(BAD) = a, m(OBL) = 180 -- [m(ABE) + m(OBC)] s m(OCB) = 180 -- [m(BOC) + m(OBC)] sszefggsekblOBL @ OCB miatt a = m(ABE) = m(BOC) == j kaphat: teht az adott ABCD paralelog-ramma tlinak szge megegyezik kt oldal-

nak szgvel. Ennlfogva arra jutottunk, hogyegyez krljrst tekintve csak az ilyen tulaj-donsg adott paralelogrammba rhat hozzhasonl paralelogramma ([4] 164. oldal).

A szerkeszts kivitelezshez ttelezzk fel,hogy az adott ABCD paralelogrammra a == m(BAD) = m(AOD) teljesl (4. bra). Ez-utn szerkesszk meg az OB szakasz g felezmerlegest, majd a B pontban AB-re s BC-remerlegeseket, amelyek g-bl kimetszenek egyUV szakaszt, s ennek tetszleges bels pontjtkzppontnak vlasztva rajzoljuk meg az O s Bponton thalad k krt, ami az AB oldalt L sa BC oldalt M bels pontban metszi. Az gy ka-pott OLM hromszg szgeit feleltessk megaz OBC hromszg szgeinek. Megmutatjuk,hogy a megfelel szgek kztt van kt egybe-vg. Ugyanis a k krben az OL s OM hro-kat tekintve OBL @ OML s OBC @ OLM,s gy

m(OCB) = 180 - [m(BOC) + m(OBC)] == 180 - [a + m(OBC)] = m(OBL) =

= m(OML)

miatt OBC ~ OLM is igaz. Ezen szerkesztssorn lnyeges, hogy a k kr az AB s BC ol-dalakat egy-egy bels pontban messe: ez a kkr kzppontjnak a felvtele miatt teljesl.S minthogy az AB-re s BC-re B-ben lltottmerlegesek hajlsszge a-val egyenl, ezrtnem eshetnek egybe, s gy a g-bl ltaluk ki-metszett UV szakasznak vgtelen sok belspontja van: teht az adott ABCD paralelog-

Aa

j

a

N

B

E

k

M

CD

L

O

K

3. bra

A

g

a

a

a

N

B

E

k

M

V

U

CD

L

O

K

4. bra


MOZAIK KIAD 23

rammba BAD @ AOD esetn vgtelen sokhozz hasonl s vele egyez krljrs KLMNparalelogramma rhat.

A ngyzettl klnbz specilis paralelog-rammk kzl nem jhet szmtsba sem a tg-lalap, sem a rombusz, minthogy ezekre az olda-lak szge nem egyenl az tlk szgvel. A ngy-zetre viszont az oldalak s az tlk szge egy-arnt derkszg, s gy brmely ngyzetbe vg-telen sok hozz hasonl s ugyanolyan krlj-rs ngyzet rhat, aminek megszerkesztshezclra vezet akr az ltalnos esetre fentebb lertmd, de sokkal egyszerbb is lehet a dolgunk:K-nak az AD oldal tetszleges bels pontjtvlasztva az OK

HJJG egyenes BC-t M-ben, az O-

ban KMHJJJG

-re merleges az AB s CD oldalakataz L s N pontokban metszi (5. bra). A ha-sonlsg l arnyra AK = x jellssel 0 < x < a

miatt 2 22 ( )

1 1x a x

a=


24 MOZAIK KIAD

ralelogrammra KL = AD s 2AD

LMAB

= telje-sl. A msodik esetben a k kr kzppontja le-gyen a V pont (7. bra), ami azonos az OBChromszg krlrt krnek a kzppontjval,mivel V rajta van az OB szakasz felez merle-

gesn s az FBC kerleti szg BFJJJG

szrra B-

ben lltott merlegesen. Ekkor a szerkeszts ered-mnyeknt K = A, L = B, M = C s N = D kap-hat: teht KLMN egybevg az adott ABCDparalelogrammval, s gy a hasonlsg nyil-vnval, br ezt nem fogjuk bertnak tekinteni.Ha pedig a k kr kzppontjnak a V kezd-pont VU

JJJG-val ellenttes flegyenes azon bels

pontjt vlasztjuk, amelyre az ABCD hosszabboldala egyenl a KLMN rvidebb oldalval(8. bra), akkor a K, L, M s N cscsok, br il-leszkednek az ABCD oldalainak egyeneseire, deaz oldalaknak kls pontjai: teht KLMN azABCD-re nzve egy krlrt paralelogramma.

S minthogy ,2e

OC = 2,e a= ab

=l s

OM = l OC = 2 2

,2

ab

ezrt az OBC hrom-

szgbl Stewart-ttellel 2 2

2a b

BMb+= kaphat

([2] 319. oldal 36.4/2. ttel). Ezutn a k kr k-zppontja legyen az U kezdpont, UV

JJJG-vel el-

lenttes flegyenes azon bels pontja, amelyreKLMN @ ABCD (9. bra). Ekkor a K, L, M s Ncscsokra ADK, ALB, MBC s CND, s

mivel az egybevgsg miatt OM = OC = 2 ,2

a

ezrt az OBC-bl 2 2

2a b

BMb= addik. S v-

gl a k kr kzppontja legyen azonos az OABhromszg krlrt krnek kzppontjval (10.bra), amikor KLMN cscsira ADK, L = A,MBC s N = C, tovbb a hasonlsg miatt

KN = a = LM s KLLM

= BC BMLM+ = AB

BC fi

BM = 2 2a b

b

teljesl.

Ezen kitr rvn felfedezhet, hogy aBAD @ AOD felttelt kielgt ABCD para-lelogramma megadsa utn a hozz hasonlKLMN paralelogramma bershoz mellzhetaz elbbi k kr megrajzolsa: ugyanis az Mcscs a BC oldal tetszleges bels pontja lehet.Ennlfogva megtehet, hogy egy intM BCpont kijellse utn az OM

HJJJG egyenes B-t tartal-

maz oldaln az OMJJJJG

flegyenesre msoljuk az

A = K ga a

a

B = L F

k

V

C = MD = N

O

7. bra

A

K

ga

a

a

B L

k

V

C

M

DN

O

8. bra

A

g

a

a

a

B

M

L

K

N

k

U

CD

O

9. bra


MOZAIK KIAD 25

a szget, melynek OMJJJJG

-tl klnbz szra azAB oldalt L pontban metszi, s a mg hinyzK s N cscsok megkaphatk az O-ra vonatko-z szimmetrit felhasznlva (3. bra). Ezt a fel-fedezst ersti meg a kvetkez szerkesztsimd is. Az OLM s OBC hromszgek ha-sonlsga miatt OM : OL = OC : OB = e : f sm(LOM) = m(BOC) = a, s gy az O kzp-

pont, a szg s ef

arny forgatva nyjts

(vagy nyjtva forgats) sorn az ABHJJG

-re illesz-ked L pont kpe M-mel azonos, amit BC-bl

az ABHJJG

-nek a kpe metsz ki (11. bra). Ha az As B pontok kpeit az O kzppont, a szgforgats sorn A s B jelli, akkor OC > OB sm(BOC) = a miatt B az OC szakasz belspontja, tovbb m(BAD) = a miatt az A B

HJJJG

egyenes prhuzamos BCHJJG

-vel. S ha az O k-

zppont, ef

arny nyjtsnl az A s B

pontok kpeit A s B jelli, akkor B OB JJJJG

s 2 2

e e e f eOB OB OB

f f f= = = = miatt

B = C, tovbb a centrlis nyjts prhuza-mossgtart volta miatt A BC HJJG teljesl, sezrt az A B

HJJJJJG egyenes egybeesik BC

HJJG-vel: te-

ht M a BCHJJG

egyenes brmely pontja lehet, dea bershoz csak a BC oldal bels pontjai te-kinthetk.

A KLMN ~ ABCD hasonlsg az irnyts-tarts miatt vagy J = m(AOK) szg O krlielforgats, vagy pedig O kzppont forgatvanyjts. E hasonlsg l = OM : OC arnynakjellemzshez legyen m a BM irnytott szakaszeljeles hossza (3. bra). Ekkor BC = b, OB =

=2f = 2

2b

s OC =2e = 2

2a

miatt OM = x

jellssel az OBC-bl a Stewart-ttel szerint

b[x2 + m(b - m)] =2

2a

m +2

( ),2

bb m ahonnan

2 2 2 32 2 ( 3 ) ,

2bm a b m b

xb

+ += melynek szm-

llja 1 1 2ab

< + miatt minden m-re pozitv,

s gy a l arnyra 2 2 2 3

22

2 ( 3 )bm a b m ba b

+ +=lkaphat. Ha teht M befutja a BC

HJJG egyenest,

akkor m fggvnyben l-ra az albbi esetekllnak fenn:

L = A

g

a

a

a

B

M

K

k

C = ND

O

10. bra

Aa

aa

N

B

A

B

A

M

C = BD

L

O

K

11. bra


26 MOZAIK KIAD

m = 0 fi ,ba

=l (6. bra)

0 < m < b 2 2

02

b am

b < < fi 1,b

a< l

A l = 1 esetn hat elforgatsra J = 0

(7. bra), vagy 22 2

cos2

a bab

= J (9. bra),a l 1 esetn hat forgatva nyjtsra pedig

J = a (6. bra), 4 2 2 4

34

cos4

a a b ba b

=J (8. b-

ra), vagy 2 2

cos2

b aab=J (10. bra) teljesl.

Az egyez krljrs esetnek befejezse-knt vizsgljuk meg, hogy miknt szerkeszthetmeg a BAD @ AOD felttelt kielgt ABCDparalelogramma. Erre tbb klnbz md isknlkozik attl fggen, hogy kiindulskor mittekintnk adottnak. S minthogy a specilis pa-ralelogrammk kzl sem a tglalap, sem a rom-busz nem jhet szmtsba, ezrt az a = b, aze = f s az a = 90 esetek mindegyike ngyzetrevezet, amivel itt mr nem kell foglalkoznunk.Ha az a s b oldalakat tekintjk adottnak, akkor

a ( )1 2b a b< < + felttel miatt clszer elbb

a BC oldalt felvenni, s a B-ben r merleges

flegyenesen BXY, BX = b s 2XY b=felttellel ellltani az X s Y pontokat(12. bra). Ekkor az a egyik vgpontja B, msikpedig az XY szakasz valamely bels Z pontjalehet. Ezen szerkesztsnl az XY szakasz egybe-

vg a BD tlval, s gy ( )1 2a b b f< + = +miatt az a, b s f szakaszokbl megszerkeszthetaz ABD hromszg, s ezutn BD-nek az Ofelezpontjra A-t tkrzve a hinyz C cscsis. Az elbbi esetre knnyen visszavezethet aza s f (vagy b s e), valamint az e s f eset.Ugyanis a s f ismeretben b elllthat a

22

fb = sszefggs alapjn. Tovbb e s fismeretben 2e a= s 2f b= alapjn a sb is elllthat, mikzben e s f felvtelnl

teljeslni kell az ( )1 2f e f< < + felttelnek.

A a

a

b

bX

Z

Y

a

a

B

CD

O

b2

12. bra

A a

a

b

aB

CD

e

a2

13. bra


MOZAIK KIAD 27

Ha a s a az adott, ahol 0 < a < 90, akkor aza oldal felvtele utn az 2e a= sszefggs r-vn ellltjuk az e tlt: gy az a, e s 180 - aadatokbl az ABC hromszg megszerkeszt-

het (13. bra). A hinyz D cscs az ABHJJG

-velC-n t s a BC

HJJG-vel A-n t hzott prhuzamo-

sok metszspontja. Hasonl mdon trgyalhata b s a eset. Ha pedig f s a adott, akkor el-lltjuk BD -nek az O felezpontjt, az OD

JJJG fl-

egyenesre tmsoljuk az a szget, amelynekODJJJG

-tl klnbz szra a BD szakasz fl raj-zolt a szg k ltkrvet az A pontban metszi(14. bra). A mg hinyz C cscs elllthatA-nak O-ra vonatkoz tkrzsvel, vagy azelbbi esetnl kvetett ton. Hasonl mdontrgyalhat az e s a eset.

Az adott ABCD paralelogrammba bert el-lenttes krljrs KLMN paralelogramma ak-kor hasonl ABCD-hez, ha az OAB s OKLmegfelel hromszgek hasonlk (15. bra),jllehet OKL @ OMN miatt az OAB s OMNhromszgek hasonlsga is teljesl, amiblOM : ON = OA : OB = e : f s m(MON) == m(AOB) = 180 - j addik. Ekkor az O k-

zppont, 180 - j szg s ef

arny forgatva

nyjts (vagy nyjtva forgats) az ABHJJG

-re illesz-ked N pontot M-be viszi t: ezrt ezen forgatvanyjtsnl az AB

HJJG egyenes A B

HJJJJJG kpe a BC

HJJGegyenest az M pontban metszi. Az M ismeret-ben a mg hinyz K, L s N cscsok is meg-szerkeszthetk, mivel K az AD

HJJG s OMHJJJG

egye-

nesek metszspontja, tovbb a KMHJJJG

egyenes-nek az O krli j - 180 szg elforgatssalkapott kpe az AB s CD oldalakat N s Lpontokban metszi (16. bra: forgatva nyjts,17. bra: nyjtva forgats). Ha pedig az Opontot orignak vlasztjuk, akkor az elbbi for-gatva nyjtst (vagy nyjtva forgatst) ler

A

a

aa

B

C

D O

14. bra

Aa

a j

N B

M

CD L

OK

15. bra

A

A

A

B

B

j

N B

M

CD L

OK

16. bra

AA

A

B

B

j

N B

M

CD L

OK

17. bra


28 MOZAIK KIAD

cos sin

sin cos

e ef f

e ef f

j j

j j

mtrix felrhat a

cos 0 0 sin

0 cos sin 0

e ef f

e ef f

+

j j

j j

sszeg alakban ([1] 205206. oldal), s ennl-fogva egy vektornak az elbbi forgatva nyjts-sal kapott kpe elllthat ezen vektor

cosef

j -szeresnek s 90-os elforgatottja

sinef

j -szeresnek sszegeknt. Az ABCD pa-ralelogramma felvtele s az O kzppont meg-szerkesztse utn ezt az eljrst az OA

JJJG s OBJJJG

vektorokra alkalmazva kapjuk az A s Bpontokat:

cos ,e

OA OAf

= jJJJJG JJJG

( ) sin rot90 ,eA A OAf

= jJJJJJG JJJG

cose

OB OBf

= jJJJJG JJJG

s

( ) sin rot90 ,eB B OBf

= jJJJJJG JJJG

ahol rot90 jelli a vektor 90-os elforgatottjt(18. bra).

Mindezek alapjn nem specilis paralelog-rammra a szerkeszthetsg szksges felttele:

180,A B BC + a jHJJJJJG HJJG ami 0 < a, j Ezrt ltezniekell egy c [a; b], ahol a fggvny metszi az

2T

y = egyenest, mert az f(x) fggvny folyto-

nos, azaz ( ) .2T

f c =Ennek kvetkezmnye az 1.b llts. Bizonyt-sa indirekt mdon trtnhet, az olvasra bzom.

1.b llts: Minden irnyhoz pontosan egy te-rletfelez egyenes ltezik.

Megjegyzs: Az llts igaz konkv s nem sz-szefgg alakzatokra is. Az egyszersg kedv-rt azonban a tovbbiakban csak konvex alak-zatokat tekintnk.

2. llts: Egy konvex halmazon kvli P pont-bl mindig ltezik olyan P-n tmen egyenes,ami felezi a halmaz terlett.

Az llts bizonytsa nagyon hasonl az elslltshoz. Ezt a dikok megkaptk nll bi-zonytsra, miutn az els lltst megbeszltk.Lssuk a bizonytst rviden:


MOZAIK KIAD 33

Biztos van olyan P-n tmen egyenes, amelymg nem metszi az alakzatot, s az egsz alak-zat annak egyik oldaln van (ea). Mozgatva azegyenest az alakzat fel, miutn thaladt rajta,lesz olyan egyenes, melynek msik oldaln vanaz alakzat (eb). Mivel az egyenest folytonosanmozgattuk, s a terlet is folytonosan vltozott,ezrt kellett lennie egy olyan egyenesnek a moz-gats sorn, amely ppen felezte az alakzatun-kat (ef) (4. bra).

4. bra

3. llts: Tetszleges hromszgbe rhat ngy-zet gy, hogy egy-egy cscsa egy-egy oldalon,a msik kt cscsa pedig a harmadik oldalonhelyezkedik el.

A feladat ismert, a nagyts tmakrn bell tr-gyalni is szoks ennek a ngyzetnek a megszer-kesztse. De most csak a ltezst szeretnnk bi-zonytani.

5. bra

Az a, b, c oldal hromszgbe rjunk gy tgla-lapot, hogy annak d oldala legyen prhuzamos

a hromszg c oldalval, e oldala pedig mer-leges r (5. bra). Vegyk gy fel a tglalapot,hogy d < e teljesljn. Kzeltsk a d oldalta hromszg c oldalhoz. Mikor mr kellenkzel van a d oldal a c-hez, biztosak lehetnkbenne, hogy lesz olyan llapot, ahol e < d. Mi-vel d folytonosan n a mozgats sorn, s atglalap e oldala folytonosan cskken, gy szk-sgszeren lesz olyan llapot, amikor d = e, az-az amikor a tglalap ngyzet.

4. llts: Ha f(x) egy T szerint periodikus,

folytonos fggvny, akkor ltezik f(x)-nek 2T

hossz hrja.

Az f(x) fggvnynek akkor van 2T

hossz hrja,

ha ( ).2T

f x f x + = Definiljuk a g(x) fggvnyt

a kvetkezkppen: ( ) ( ).2T

g x f x f x = + Havan olyan a, ahol g(a) = 0, akkor kszen va-gyunk.

Tegyk fel, hogy g(a) < 0. Legyen .2T

b a= +

( )2 2 2 2T T T T

g b g a f a f a = + = + + + = ( ) ( ) ( ),

2 2T T

f a T f a f a f a g a = + + = + = azaz g(b) > 0. Mivel a g(x) fggvny az [a; b]intervallumon eljelet vlt, ezrt van olyanc [a; b], hogy g(c) = 0. Ezt kellett beltnunk.

5. llts: Tekintsk azokat a ngyzet alakasztallappal rendelkez asztalokat, melynek l-bai a ngyzet ngy cscsban vannak. Tetsz-leges folytonos felleten mozgathat az asztalolyan llapotba, ahol nem billeg. (Ebben a sta-bil llapotban nem kveteljk meg, hogy azasztallap vzszintes legyen.)

6. bra


34 MOZAIK KIAD

Jelljk az asztal lbainak helyzett az A, B, Cs D betkkel. Ha az asztal lbai billegnek, ak-kor minden esetben megoldhat, hogy az asztalhrom lba lent, a negyedik lba a levegbenlegyen, mert 3 pont meghatroz egy skot.A 6/a. brn a D helyzetben lv lb legyen a le-vegben, az A, B s C pozcin lvk pedig le-gyenek a fldn. Forgassuk az asztalt AC egye-nese krl gy, hogy a B s D pozciban lvlb is azonos tvolsgra legyen a fldtl (6/b. b-ra), legyen ez a tvolsg d, a fldtl mrve.Kpzeljk el most, hogy a fldet helyettestjkegy kocsonyaszer anyaggal. Megtehetjk, hogyelforgatjuk az asztalt a kzppontja krl gy,hogy kt lba (kezdetben a 6/b. brn A s Chelyen lvk) folyamatosan a felleten vannak,a msik kt lba pedig mindig ugyanannyival(d-vel) feljebb tlk. Mikor a lent lv lbak ne-gyed fordulat utn B s D helyzetbe kerlnek,akkor mg mindig a fldn lesznek hiszen gyforgattuk. De mivel a msik kt lb hozzjukkpest d tvolsggal lejjebb van, gy most azok(A s C helyen a 6/c. brn) a fld alatt helyez-kednek el d tvolsggal. Mivel a 6/b. s 6/c. b-rn jellt helyzetet figyelve elszr a B-D, majdaz A-C helyzetben lv kt nem vgig a fel-leten lv asztallb felszntl vett tvolsgaeljelet vlt, gy szksgszeren kellett lennieegy olyan pillanatnak, amikor azok a fldnhelyezkedtek el. Azaz akkor az asztal mind angy lba a fldn helyezkedett el, nem bille-gett az asztal.

A megoldsban fontos szerepet jtszott, hogy azasztal lbai egy ngyzet ngy cscsban helyez-kednek el. Ismeretlen eddig, hogy ez az lltsigaz tglalap alak asztalra is, vagy sem.

Tovbbi problmk

Az albbi, t csoportba osztott feladatok elsitegyszerre kaptk meg a dikok gondolkodsra.A csoportokban a feladatok nehzsgi sorrend-ben kvetik egymst. A foglalkozson a tanulktetszlegesen vlaszthattak, hogy melyiken gon-dolkodnak. Amikor kszen voltak, akkor a cso-port kvetkez feladatait kaptk meg. Majd hamind kszen volt vagy a msik tmakrbe is

bele akartak kstolni , akkor tovbb ugrottakegy msik feladatkrre.Id hinyban nem hangzott el az sszes fel-adat. Itt azoknak a vzlatos megoldsait kzlm,amelyek j gondolatokat tartalmaznak, a tbbimegoldst az Olvasra bzom.

A vilg krlttnk knnyebb feladatok

6. a. llts: Tegnap jflkor hidegebb volt,mint tegnapeltt jflkor s ma jflkor is. Bizo-nytsd be, hogy ma valamikor ugyanannyi volta hmrsklet, mint tegnap ugyanakkor! (Pl.tegnap 15.23-kor ugyangy 14 C volt, mintma 15.23-kor.)

6. b llts: Egy l hossz ltrt falnak tmasz-tunk. Bizonytsuk be, hogy van olyan pontja altrnak, amely ugyanolyan tvol van a fldtl,mint a faltl!

6. c llts: Ltezik az egyenltn kt tellenespont, ahol a hmrskletek megegyeznek.

6. d llts: A Fldn mindig ltezik kt tel-lenes pont, ahol egyszerre a nyoms s a h-mrsklet rtkei is megegyeznek. (Ez mr ne-hz feladat...)

Sonks-szendvics s bartai kt halmazszimultn felezse

7. a llts (Pizza-ttel): Ltezik olyan egye-nes, amely egyszerre felezi egy tetszleges kon-vex halmaz kerlett s terlett.

Megolds: Vlasszunk kt pontot (A-t s B-t) akonvex alakzat hatrn gy, hogy azok felezzkaz alakzat kerlett. Mozgassuk A-t s B-t gy,hogy azok hatron mrt tvolsga lland ma-radjon, az alakzat kerletnek fele. Tekintsk azA s B egy tetszleges llapotban az AB egyiks msik oldaln lv terletek klnbsgt. Ezaz rtk eljelet vlt, midn A s B helyet cserl.

7. b llts (Ktdimenzis sonks szendvics-ttel): Kt konvex alakzat egy egyenessel meg-felezhet. Azaz ltezik olyan egyenes vgs, ami-vel egy kenyr s egy sonka egyszerre megfe-lezhet.


MOZAIK KIAD 35

Megolds: Az 1. lltsnl lttuk, hogy lteziktetszleges irny felez egyenes. Legyen a ktalakzatunk S (mint sonka) s K (mint kenyr).Hzzunk meg egy olyan S-t felez egyenest,amelynek egyik oldaln helyezkedik el K. Le-gyen ez a 0-hoz tartoz felez egyenes. Majdezt a szget folytonosan vltoztatva hozzuk ltremindig a szghz tartoz S-t felez egyenest.Lesz olyan a, amikor mr a K alakzat az egye-nes msik oldaln helyezkedik el. Az egyenesegyik oldaln lv terletet nevezzk T1-nek,a msik oldaln lv terletet T2-nek. Kezdet-ben T1 - T2 negatv, a esetn pozitv. Azaz el-jelet vlt. Teht van olyan szg, amely egyszer-re felezi K s S terlett (7. bra).

7. bra

Megjegyzs: A Pizza-ttel s a Sonks szendvics-ttel analg, ha a kerletet megfeleltetjk az Shalmaznak. Valamint vegyk szre, hogy a bi-zonytsban nem volt fontos, hogy hol helyez-kedik el egymshoz kpest az S s a K halmaz.Azaz a bizonyts akkor is igaz, ha a kenyrsze-let mg a pknl, a sonkaszelet pedig mg a hen-tesnl van...

7. c llts (Hromdimenzis sonks szend-vics-ttel): Ltezik olyan sk, amely egyszerrefelez hrom konvex alakzatot.

Darabols problmk krdsek a konvexalakzatokon bell

8. a llts (Tkrtojs-ttel) Konvex alak-zat tartalmaz egy msik konvex alakzatot. A bel-

s alakzatnak lteznek olyan e s f rinti, ame-lyek prhuzamosak, s a kls alakzatbl egyen-l terlet rszeket vgnak le (8. bra).

8. bra

8. b llts: Minden konvex alakzatnak van-nak olyan e s f hrjai, melyek egyszerre prhu-zamosak, egyenl hosszak s a konvex alak-zatot hrom egyenl terlet rszre osztjk fel.

8. c llts: Adott kt konvex alakzat gy, hogyaz egyik tartalmazza a msikat. Bizonytsuk be,hogy a kisebb alakzatnak vannak olyan rinti,melyek egymssal prhuzamosak, s egyenlhossz rszk fut a kls alakzaton bell (9/a b-ra)!

8. d llts: Adott kt konvex alakzat gy, hogyaz egyik tartalmazza a msikat. Bizonytsuk be,hogy a kls alakzatnak van olyan pontja, ami-bl egyenl hossz rintket hzhatunk a belsalakzathoz! ($X Kls: XZ = XY) (9/b bra)

8. e llts: Adott hrom konvex alakzat a9/c bra szerint egymsba gyazva. Bizonytsukbe, hogy a kls alakzaton van olyan X pont ,hogy abbl a legbels alakzatba hzhat olyanrint, melynek a msodik alakzatba es rszeiazonos hosszak. ($X Kls: AB = CD)

Megolds: Legyen AB = a s CD = b. Vegykfel X-et gy, hogy b a legnagyobb hzhat


36 MOZAIK KIAD

rint legyen. Ekkor b - a > 0. Most X fussonvgig a kls alakzaton mindaddig, mg a kthr helyet cserl. Ekkor a - b > 0. Mivel a b - aeljelet vlt, ezrt volt olyan pont, ahol a = bvolt.

9. bra

Ngyzetes feladatok konvex burok

9. a llts: Tetszleges konvex alakzat krngyzet rhat.Megjegyzs: Olyan alakzatokra igaz az albbibizonyts, ahol az rint folytonosan vltozik.

9. b llts: Magyarorszg trkpe is ngyzet-be foglalhat.

9. c llts: Tetszleges test kockba rhat.

Fggvnyek

10. a llts: Az f(x) egy tetszleges T szerintperiodikus, folytonos fggvny. Ltezik f(x)-nek

a)3T

hossz hrja.

b)Tn

hossz hrja.

c)p

Tq hossz hrja.

Megolds: A b. rszt bizonytjuk.

Legyen ( ) ( ).T

g x f x f xn

= + (0) (0)

Tg f f

n = 2T T T

g f fn n n

= 2 3 2T T T

g f fn n n

= 3 4 3T T T

g f fn n n

= ...

( )( 1) ( 1)n T n Tg f T fn n =

A fenti teleszkopikus sszegnl f(T) - f(0) = 0,mivel az f fggvny T szerint periodikus.

Ha a fentiek kzl az egyik k T

gn rtk nul-

la, akkor kszen vagyunk.Ha nem, akkor kell, hogy legyen negatv s po-zitv tag is felsorolva, mert az sszeg nulla. Haviszont a g fggvny eljelet vlt, akkor ltezikolyan c pont, ahol g(c) = 0, azaz van az f fgg-

vnynek Tn

hossz hrja.

10. b llts: Minden harmadfok polinomnakvan gyke.

10. c llts: Minden pratlan kitevs polinom-nak van vals gyke.

10. d llts: Az f(x) egy tetszleges [a; b] zrtintervallumon folytonos fggvny, melynek r-tkkszlete az [a; b]. Bizonytsuk be, hogy vanolyan x, amire f(x) = x.

10. e llts: Az f(x) egy tetszleges [a; b] zrtintervallumon folytonos fggvny, ahol b - a == T, s

Documents

A Matematika Tanitasa 2012-3