A mesterképzésre vonatkozó akkreditációs …math.bme.hu/~balint/msc/Alk_Mat_MSc_ind_0426.doc · Web viewMérhető függvények (valós és metrikus térbeli értékű). Luzin,

A mesterképzésre vonatkozó akkreditációs követelmények és a vonatkozó jogszabályok áttekintése folyamatban van

Kérelem Alkalmazott matematikus mesterszak (MSc.) indításáraBME

Kérelem

Alkalmazott matematikus

mesterképzési (MSc) szak

indítására

Budapest

2008

Tartalomjegyzék

I. Adatlap……………………………………………………………………………….. 4

II. A szakindítási kérelem indoklása…………………………………………………….6

1. A szak előzményei…………………………………………………………….6

2. A szakon végzők iránti igény prognosztizálása……………………………….7

3. Felkészítés kutatásra, doktori képzésre………………………………………..7

4. Tehetség gondozás…………………………………………………………….8

5. Képzési kapacitás…………………………………………………………….. 8

III. A mesterképzési szak tanterve……………………………………………………….9

1. Mintatanterv

1) Alkalmazott analízis szakirány …………………………………..….10

2) Operációkutatás szakirány ………………………………...…………12

3) Pénzügy-matematika szakirány………………………………………14

4) Sztochasztika szakirány …………………………………………...…16

2. Tantárgyi programok

a) Elméleti alapozás tárgyai ………………………………….................18

b) Törzstárgyak ………………………………………………………..35

c) Differenciált szakmai ismeretek

(i) Alkalmazott analízis szakirány………………………….……46

(ii) Operációkutatás szakirány…………………………………...54

(iii) Pénzügy-matematika szakirány……………………………..61

(iv) Sztochasztika szakirány……………………………………..70

3. Kompetenciák…………………………………………………………………85

4. Idegennyelvi követelmények……………………………………………….....87

5. A szakra való belépés feltételei ……………………………………………….87

6. Értékelési és ellenőrzési rendszerek…………………………………………...88

IV. A képzés személyi feltételei

1. Szakfelelős…………………………………………………………………….89

2. Tantárgylista – tantárgyak felelősei

a) Alapozó tárgyak…………………………………………….………...89

b) Törzstárgyak………………………………………………….……....91

c) Differenciált szakmai ismeretek

(i) Alkalmazott analízis szakirány……………………………….92

(ii) Operációkutatás szakirány…………………………………...93

(iii) Pénzügy-matematika szakirány……………………………..94

(iv) Sztochasztika szakirány……………………………………..94

3. Az oktatók személyi adatai……………………………………………………96

4. Nyilatkozatok………………………………………………………………..248

V. A szakindítás kutatási és infrastrukturális feltételei

1. Tudományos műhely bemutatása……………………………………………249

2. A képzés tárgyi feltételei………………………………………………….....249

I.

Adatlap

1. A kérelmező felsőoktatási intézmény neve, címe:

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

1111 Budapest, Műegyetem rkp. 3.

2. Kari tagozódású felsőoktatási intézmény esetén a képzésért felelős kar megnevezése

Természettudományi Kar

3. Az indítandó mesterszak megnevezése:

Alkalmazott matematikus mesterképzési szak

(angolul: MSc in Applied Mathematics)

4. Az oklevélben szereplő szakképzettség megnevezése:

okleveles alkalmazott matematikus

(angolul: MSc in Applied Mathematics)

5. Az indítani tervezett és oklevélben szerepeltetni kívánt szakirány(ok) megnevezése: Alkalmazott analízis (Specialization in applied analysis),

Operációkutatás (Specialization in operations research),

Pénzügy-matematika (Specialization in financial mathematics),

Sztochasztika (Specialization in stochastics).

6. Az indítani tervezett képzési formák (teljes idejű, részidejű, székhelyen kívüli, távoktatás):

Csak teljes idejű képzést kívánunk indítani.

7. A képzési idő

· a félévek, valamint az oklevél megszerzéséhez szükséges kreditek száma:

félévek száma: 4

kreditek száma: 120

az összóraszámon (összes hallgatói tanulmányi munkaidőn) belül a tanórák (kontaktórák) száma: 1344 kontaktóra

· a szakmai gyakorlat időtartama és jellege (ha van).

– Nincsen szakmai gyakorlat. Van helyette a „Témalabor” c. tárgy, amelynek keretében találkoznak a hallgatók valódi alkalmazásokkal.

8. A szak indításának tervezett időpontja: 2009. szeptember 1.

9. A szakért felelős oktató megnevezése és aláírása:

Dr. Rónyai Lajos

egyetemi tanár

10. Dátum, és az intézmény felelős vezetőjének megnevezése és cégszerű aláírása

Budapest, 2008. április 26.

Dr. Moson Péter

Dr. Molnár Károly

BME TTK

BME

dékán

rektor

11. Az adatlap mellékletei

· A szenátus támogató javaslata: 1. melléklet

· A mesterszak képzési és kimeneti követelményeit (KKK) tartalmazó leírás:

2. melléklet

· Felhasználói kapcsolatok és vélemények (amennyiben a felhasználói szféra jól azonosítható)

II.

A szakindítási kérelem indoklása, a továbblépés körülményei

A képzési kapacitás bemutatása

(Legfeljebb 2-5 oldal terjedelemben)

1. A szak képzési és kutatási előzményei az intézményben.

Intézményi képzési előzmények esetén az indítandó szak kimenetének és a korábbi egyetemi végzettségi színvonalnak az összevetése, a megfelelés konkrét bemutatása. (A korábbi egyetemi képzés tartalmával és kimeneti elvárásaival való összevetés.)

Az utolsó néhány évtizedben a világ nagy fejlődésen ment keresztül: a modern elektronika, a számítástechnika, a műszaki területek nagy része is alapvetően megváltozott. Ez a változás egyre nagyobb mértékben fejti ki a hatását más területeken, nevezetesen a matematika területén is. A rohamos fejlődés, a tudományterületek átstrukturálódása és különböző, eddig önállónak tekintett területek összefonódása szükségessé tette a műszaki és természettudományi egyetemi oktatás és továbbképzés szerkezeti átalakítását. A vezető európai egyetemeken, ahol ilyen képzések nem voltak korábban, rendre megjelentek például az önálló fizikus-, matematikus-, közgazdász-, és menedzserszakok.

A 90-es évek elejétől kezdődően a BME-n új helyzet állt elő a matematika oktatásával kapcsolatban. A mérnök-fizikus szak, és a műszaki informatika szak beindításával a korábbinál mélyebb matematikai ismeretek és új tantárgyak oktatása vált szükségessé (diszkrét matematika, sztochasztikus folyamatok, információelmélet, kódelmélet, algoritmuselmélet, matematikai logika, funkcionálanalízis), a doktoranduszképzéshez és a PhD szigorlatokhoz is új tárgyakat kellett indítani (pl. algebra, mértékelmélet, funkcionálanalízis, parciális differenciálegyenletek, kombinatorikus optimalizálás). A mérnöki-, gazdasági szaktudományok fejlődésével egyre erősebben jelentkezett az igény olyan szakemberek iránt, akik a matematikát nem csak elméleti szinten ismerik, de képesek a gyakorlati problémák megértésére és azokban a matematikatudásukat alkotó módon alkalmazni.

A hagyományos, osztatlan matematikusképzés során is törekedett a Matematika Intézet oktatógárdája a matematika elméleti tudásának átadása mellett minél több alkalmazást bemutatni a hallgatóknak. Igyekeztünk kihasználni a Műegyetem adta lehetőségeket, hogy hallgatóink betekintést nyerjenek a műszaki és gazdasági alkalmazásokba. Erre szolgáltak olyan tárgyak, mint Témalabor, Matematikai modellalkotás stb. Az új Alkalmazott matematikus mesterszak megindításával erősíteni kívánjuk ezt a folyamatot.

A BME matematika tanszékein számos kiváló szakember található, akik az alapozó képzéshez tartozó oktatás mellett nemzetközileg is elismert kutatómunkát végeznek. Jelenleg a BME-n valamennyi, a matematikus alap- és mesterképzéshez tartozó tantárgyat matematikából minősített oktató tudja magas színvonalon előadni.

A képzést döntően a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Természettudományi Karának Matematika Intézete fogja tartani, amely a következő 5 tanszékből áll:

· Algebra Tanszék,

· Analízis Tanszék,

· Differenciálegyenletek Tanszék,

· Geometria Tanszék,

· Sztochasztika Tanszék.

A szak oktatásában a Matematika Intézet együttműködik a Villamosmérnöki és Informatikai Kar Számítástudományi és Információelméleti Tanszékével, valamint a mérnöki karokkal. A fent említett tanszékek és karok a nevüknek megfelelő tudományterületek szerint szerveződtek. A legtöbb intézmény élén nemzetközileg is elismert, kimagasló tudományos teljesítményt nyújtó professzorok állnak. A vezetésük alatt álló tanszéken illetve karon folyó kutatási munka a hazai és nemzetközi tudományos élet elismert központja. Kitűnő, és az utóbbi időben kétoldalú együttműködési szerződéssel szabályozott oktatási és kutatási kapcsolataink vannak a hozzánk tematikusan közel álló akadémiai intézetekkel (MTA Rényi Intézet, MTA SZTAKI).

A fent ismertetett adottságoknak köszönhetően a hagyományos, osztatlan matematikusképzés rendkívül sikeres és magas színvonalú. A bolognai rendszerre való áttéréskor nagy hangsúlyt helyeztünk arra, hogy elért eredményeinket, jól bevált tantárgyainkat megőrizzük, és kihasználjuk az új többciklusú oktatási rendszer előnyeit. Az elindított alapképzés tapasztalatait folyamatosan értékeljük, és figyelembe vettük a mesterképzés koncepciójának kidolgozásakor.

Az EUROSTAT 2003 adatai szerint hazánkban a természettudományi karokonvégzettek aránya fele sincsen az EU átlagának (pl. 4,8 fő jut 1000 lakosra a 20-29 évesek korosztályában; ugyanezen mennyiség EU-átlaga 12,2). A fejlettebb országokkal szemben pedig különösen erős a lemaradásunk. Általában véve is indokolt tehát a kapacitások megőrzése/bővítése a szakterületünkön.

Várható, hogy az alapképzést befejező hallgatók el tudnak helyezkedni a munkaerőpiacon, és ezért csak azok a tehetséges fiatalok folytatják tanulmányaikat a mesterszakon, akik tehetségük mellett nagy elhivatottságot éreznek a matematika művelése iránt. Következésképpen arra számítunk, hogy az újonnan indítandó mesterszak színvonala legalább olyan magas lesz, mint a korábbi 5 éves képzésé.

2. Az új típusú szakon végzők iránti regionális és országos igény prognosztizálása, a foglalkoztatási igény lehetőség szerinti bemutatásával/dokumentálásával.

Örömmel tapasztaltuk, hogy az elmúlt néhány évben jelentősen megnőtt a matematikus álláslehetőségek száma. A magyar matematika nagy sikerének könyveljük el, hogy jelentős multinacionális cégek éppen azért települtek Magyarországra, mert itt találnak magas színvonalú matematikatudással rendelkező munkaerőt. A fejlett technológia, az egyre bővülő szolgáltatások (pl. bank- és biztosítási ágazat) növekvő szakemberigénye továbbra is valószínűsíthető. Figyelembe lehet venni, hogy más szakterületek nem „termelnek ki” matematikus munkaerőt, annyi a matematikus, ahányat a matematikusok maguk kiképeznek. A BME-n természetes módon adott az a tudományos és alkalmazási háttér, mely ehhez a szakhoz alapvetően szükséges.

Eddig végzett diákjaink tapasztalatai azt mutatják, hogy alkalmazások területén jártasságot szerzett, a más (mérnöki, gazdasági, stb.) területek szakembereivel kommunikálni képes, a matematika alapjait jól ismerő, a matematikai gondolkodásmódot alkalmazni tudó diplomások iránt jelentős az igény, elsősorban a központi régióban.

Az alábbi táblázatban tájékoztatásként bemutatjuk 2002-től a matematikus szakon az államilag finanszírozott képzésre vonatkozó keretszámokat, a felvételhez szükséges alsó ponthatárokat / maximálisan elérhető pontszámot és a felvett hallgatók felvételi pontszámának átlagát:

2002

2003

2004

2005

2006

2007

felvételi keretszám

25

25

25

25

50

70

felvételi alsó ponthatár

117/126

117/126

114/126

141/144

127/144

134/144

felvételi átlagpontszám

122,1

121,5

122,2

142,4

137,8

141,4

Az itt közölt számadatok mutatják, hogy a leendő diákok, a felvételizők körében is magas a képzéseink elfogadottsága.

3. Az indítandó mesterszak hallgatóinak a kutatás-fejlesztésre, illetve a doktori képzésre való felkészítésének, valamint a doktori képzésre való továbblépés lehetőségének bemutatása.

Ennek a szaknak elsődleges célja, hogy felkészítse a hallgatókat a matematika magas színvonalú alkalmazására a gazdasági és műszaki élet különböző területein. Ugyanakkor lehetőséget teremt a kutatói pályára készülő hallgatóknak doktori iskolában való továbbképzésre.

Az eddigi és a jövőbeli várható (létszám-) keretszámaink lehetővé tették,hogy a tehetségesekkel kiemelten, egyénileg foglalkozzunk. Ezt a jelenlegiBSc-képzésünkben az "Önálló kutatási feladat" c. tárgyak már a másodévelején megalapozzák. A K/F-feladatok megoldására erős felkészítő programotjelentenek a témalaborok, amelyek során az egész egyetem és külső kutató és matematika igényes alkalmazó központok (mint például az Ericsson kutató laboratórium és az MTA SZTAKI) legjobb tanárai/kutatói segítik a munkánkat.

4. A kiemelkedő képességű hallgatók alkalmasságát figyelő, azt előmozdító, „tehetség-gondozó” tevékenység beépítésére vonatkozó elképzelések, ill. intézkedések bemutatása.

Az előző pontban említetteken túl a BME Természettudományi Karán évtizedes múltra visszatekintő eredményes TDK tevékenység folyik, továbbá az egyetem rendelkezik a hallgatói mobilitást támogató rendszerekkel (ERASMUS ösztöndíj, külföldi részképzés intézményi megállapodás alapján, vezető oktatók-kutatók személyes kapcsolatai). A legjobb kutatási eredményeket elérő hallgatók számára lehetővé tesszük a konferenciaszereplést és támogatjuk a publikálást a diplomamunka témájából. A hallgatókkal való személyes, egyenkénti foglalkozásra lehetőséget ad, hogy a szakot relatíve kis létszámban kívánjuk indítani, több szeminárium jellegű tantárgy van beépítve, továbbá a diplomamunka esetén, heti rendszeres egyéni konzultáció a témavezetővel biztosítja a megfelelő lehetőséget. Az ilyen törekvéseink eddigi hatékonyságát bizonyítják látványos OTDK eredményeink és az a tény, hogy több hallgatónknak született már az egyetemi évei alatt – rendszerint a témavezető társszerzőségével -- folyóiratban közölt tudományos dolgozata.

5. A felsőoktatási intézmény képzési kapacitásának bemutatása az érintett képzési területen, illetve szakon. A tervezett hallgatói létszám képzési formánként bemutatva.

A szakon kizárólag nappali képzést tervezünk. A jelenlegi alapképzési szak felvételi keretszámát is figyelembe véve a BME alkalmazott matematikus mesterszakán a képzési kapacitás 60-70 fős évfolyamonkénti hallgatói létszámot tesz lehetővé az államilag finanszírozott nappali képzésben.

III.

A mesterképzési szak tanterve és a tantárgyi programok leírása

A képzési és kimeneti követelményeknek való megfelelés bemutatása

1. A szak tantervét táblázatban összefoglaló, krediteket is megadó, óra és vizsgaterv

· Ha vannak szakirányok, azok bemutatása, kredit-tartalommal is.

· Az idegen nyelven folyó képzés tantervi táblázatát, a tantárgyak leírását a tervezett idegen nyelven is mellékelni kell.

Amennyiben az idegen nyelven folyó képzés tanterve nem azonos a magyar nyelvű képzésével, úgy az eltéréseket részletesen be kell mutatni.

Az alábbi első két táblázat ([0H] és [0E]) az elméleti alapozás tárgykínálatát mutatja be magyarul és angolul. A felkínált tárgyak össz-kreditszáma természetesen lényegesen meghaladja a KKK-ban előirtat. Ennek oka az, hogy módot adunk a különböző háttérrel és különböző ismeretekkel (illetve, ismeret-hiánnyal) érkező hallgatóknak arra, hogy kiválaszthassák a specifikus hiányaikat megfelelően pótló tárgyakat. A felkínált tárgyak --- az általánosan elfogadott gyakorlatnak megfelelően --- a BSc képzésünkben szereplőek. Ennek megfelelően: a saját, és más magas színvonalú egyetemi BSc képzést abszolváló hallgatóknak nem (vagy csak minimális mértékben) kell „elméleti alapozás” jellegű tárgyakat felvenniük. Az ilyen módon felszabaduló kredit-keretüket választható szakmai tárgyakkal töltik fel. Mivel az elméleti alapozás tárgyait (ritka és indokolt kivételektől eltekintve) az MSc tanulmányok első két félévében kell teljesíteni, a tantervi hálóban (mintatantervben) való elosztás csak tavaszi és őszi félév között történik. A tárgyak beosztása őszi/tavaszi félévre megfelel a BSc képzésünkben elfoglalt jelenlegi helyüknek. Ez a későbbi tapasztalatok alapján ésszerű keretek között változhat.

Az ezután következő 4X2 táblázat ([1H], [1E], [2H], [2E], [3H], [3E], [4H], [4E]) az indítani szándékozott négy szakirányunk (alkalmazott analízis, operációkutatás, pénzügyi matematika, sztochasztika) tantervi hálóját (mintatantervét) tartalmazza, szintén magyarul és angolul. A szakmai törzsanyag tárgyai, a KKK előírásainak megfelelően közösek. A szakirányok anyagait tartalmazó tábálázatok előtt összefoglaltuk a törzsanyag tárgyak tematikus besorolását. E tárgyakat azután mind a négy táblázatban külön-külön is felsoroljuk, mert az egyes szakirányok a törzsanyag tárgyaiból is megjelöl(het)nek néhányat (tipikusan hármat), mint a szakirány leendő hallgatói számára kötelezően teljesítendőt --- és ezek az előírások, természetesen, szakirányonként eltérnek. Végül, a szakirányok differenciált ismereteket tartalmazó tárgyai különbözőek, bár lehetnek átfedések is (pl. természetes módon adódnak átfedések a pénzügyi matematika és a sztochasztika szakirány differenciált tárgykínálata között).

Megjegyzés az elméleti alapozó tárgyak és a szakmai törzsanyag tárgyak tematikus kínálatának a KKK-ban előírtakkal való megfeleléséhez:

Az elméleti alapozáshoz a MAB által már korábban elfogadott és a gyakorlatban immár két éve megvalósított matematikus BSc képzésünk teljes szakmai tárgykínálatát ajánljuk fel. Ezen tárgyak összessége bőségesen lefedi a KKK által az elméleti alapozásban előírt anyagot. Ezzel módot adunk a különböző háttérrel és különböző ismeretekkel (illetve, ismeret-hiánnyal) érkező hallgatóknak arra, hogy kiválaszthassák a specifikus hiányaikat megfelelően pótló tárgyakat. E választásban vezető oktatóink szervezett módon aktív segítséget fognak nyújtani. Tipikus esetben saját és más magas színvonalú egyetemi BSc képzést abszolváló hallgatóknak nem (vagy csak minimális mértékben) kell „elméleti alapozás” jellegű tárgyakat felvenniük. Az ilyen módon felszabaduló kredit-keretüket választható szakmai tárgyakkal (a bő választékban kínált törzstárgyakkal) töltik fel.

A KKK elõírásaiban a szakmai törzsanyagban sok olyan ismeretkör szerepel, amit már az alapozó tárgyak tartalmaznak. (Ilyen pl. az algoritmuselmélet, az operációkutatás vagy a sztochasztikus matematika jelentős része.) Az általunk javasolt törzstárgyak itt a KKK által előírtak felett további ismereteket tartalmaznak. (A fenti példáknál maradva: a bonyolultság elemei, lineáris programozás, globális optimalizálás, Lévy folyamatok, haladóbb statisztika, információelmélet elemei.)

A fentiek értelmében a KKK tematikus előírásainak teljesítése úgy értendő, hogy az alapozó- és törzstárgyak együttesen fedik le a megnevezett matematikai területek klasszikus anyagát. Minden előírt témakörben e két tantárgycsoport tematikája együttesen bőségesen lefedi a KKK előírásai szerinti elméleti alapozó és törzsanyag tematikák együttesét.

Megjegyzés a félévenkénti vizsgák számáról:

A BME TVSZ előírja, hogy a hallgatóknak félévenként maximum 4 vizsgát lehet kötelezően teljesítendőként előírni. Ennek megfelelően az alábbi mintatanterv kötelezően előírt vizsgaszámai a következők: I.-II.-III. félévben 4 vizsga, IV. félévben 2 vizsga és egy záróvizsga.

[0H] TÁBLÁZAT

ELMÉLETI ALAPOZÁS TÁRGYKÍNÁLATA

kontakt óra per hét / kredit / vizsgák

I.

II.

III.

IV.

Elméleti alapozás

12/14/2v

4/6/1v

0/0/0v

0/0/0v

16/20/3v

Az alábbi tárgyak közül a hallgatónak szükség és oktatói előírás szerint maximum 20 kreditnyit kell teljesítenie. Azok a hallgatók, akiknek az alapozó tárgyakból 20-nál kevesebb kreditnyi teljesíteni valójuk van, a fennmaradó kredit-keretet választható szakmai tárgyakkal töltik ki.

Algebra és számelmélet blokk

Lineáris algebra

4/2/0/v/6

Számelmélet

2/2/0/v/5

Algebra 1

2/2/0/v/4

Algebra 2

2/2/0/v/4

Analízis blokk

Analízis 1, 2

4/2/0/v/6

4/2/0/v/6

Analízis 3, 4

2/2/0/v/5

1/1/0/f/2

Differenciálegyenletek

4/2/0/v/6

Parciális differenciálegyenletek 1

2/2/0/f/5

Funkcionálanalízis

4/2/0/v/6

Numerikus módszerek 1

4/0/2/v/6

Diszkrét matematika és számítástudomány blokk

Kombinatorika és gráfelmélet 1,2

2/1/0/v/4

2/1/0/f/3

Algoritmuselmélet

2/2/0/f/4

Kriptográfia és kódelmélet

3/0/0/v/3

Informatika 2

1/0/1/f/2

Informatika 4

0/0/4/f/4

Geometria blokk

Geometria

4/2/0/v/6

Differenciálgeometria 1

2/1/0/f/3

Differenciálgeometria 2

2/2/0/v/4

Operációkutatás és gazdasági matematika blokk

Operációkutatás

2/2/0/f/4

Optimalizálási modellek

0/0/2/f/2

Bevezetés a makro-/mikroökonómiába

2/0/0/f/2

2/0/0/f/2

Közgazdasági és pénzügyi matematika

2/2/0/v/6

Biztosításmatematika 1

2/0/0/f/3

Sztochasztika blokk

Valószínűségszámítás 1

2/2/0/v/4

Valószínűségszámítás 2, 3

1/1/0/f/2

1/1/0/f/2

Matematikai statisztika

2/2/0/v/4

Statisztikai programcsomagok 1

0/0/2/f/2

Sztochasztikus folyamatok

2/2/0/f/6

Biomatematika blokk

Sztochasztikus modellek a bioinformatikában

2/0/0/f/3

Dinamikai modellek a biológiában

2/0/0/f/3

TABLE [0E]

LIST OF COURSES OFFERED AS THEORETICAL FOUNDATIONS

contact hours per week / credits / exams

I.

II.

III.

IV.

Theoretical foundations

12/14/2v

4/6/1v

0/0/0v

0/0/0v

16/20/3v

Students obtain a maximum of 20 credits from the courses listed below, according to necessity and the prescription of the instructors. Those students who – due to a solid theoretical preparation – need less than 20 credits from these subjects will obtain the remaining credits by choosing other optional courses of professional character.

Block of Algebra and Number Theory

Linear algebra

4/2/0/v/6

Number theory

2/2/0/v/5

Algebra 1

2/2/0/v/4

Algebra 2

2/2/0/v/4

Block of Analysis

Analysis 1, 2

4/2/0/v/6

4/2/0/v/6

Analysis 3, 4

2/2/0/v/5

1/1/0/f/2

Differential equations

4/2/0/v/6

Partial differential equations 1

2/2/0/f/5

Functional analysis

4/2/0/v/6

Numerical methods1

4/0/2/v/6

Block of Discrete Mathematics and Computer Science

Combinatorics and graph theory 1,2

2/1/0/v/4

2/1/0/f/3

Theory of algorithms

2/2/0/f/4

Criptography and coding theory

3/0/0/v/3

Informatics 2

1/0/1/f/2

Informatics 4

0/0/4/f/4

Block of Geometry

Geomety

4/2/0/v/6

Differential geometry 1

2/1/0/f/3

Differential geometry 2

2/2/0/v/4

Block of operations research and mathematical methods of economy

Operations research

2/2/0/f/4

Models of optimization

0/0/2/f/2

Introduction to macro- and micro economy

2/0/0/f/2

2/0/0/f/2

Financial mathematics

2/2/0/v/6

Insurance mathematics 1

2/0/0/f/3

Block of Stochastic Mathematics

Probability 1

2/2/0/v/4

Probability 2, 3

1/1/0/f/2

1/1/0/f/2

Mathematical statistics

2/2/0/v/4

Statistical sofwares 1

0/0/2/f/2

Stochastic processes

2/2/0/f/6

Block of Biomathematics

Stochastic models in bioinformatics

2/0/0/f/3

Dynamical models in biology

2/0/0/f/3

A szakmai törzsanyag tárgyainak tematikus besorolása

Rendszerünkben a következő 12 darab, egyenként 3+1+0 kiméretű, 5 kredit értékű törzsanyag-tárgy szerepel. Ezeknek a KKK előírása szerinti tematikus besorolása a következő (egy tárgy természetesen több témacsoportban is szerepelhet):

szakmai törzsanyag tárgyai

kkk szerinti tematikus besorolásuk

Globális optimalizálás

Operációkutatás, Algoritmuselmélet

Lineáris programozás

Operációkutatás, Algoritmuselmélet

Elméleti számítástudomány

Diszkrét matematika, Algoritmuselmélet

Algebrai és általános kombinatorika

Diszkrét matematika

Dinamikai rendszerek

Alkalmazott analízis

Fourier analízis és függvénysorok




Sztochasztikus analízis és alkalmazásai

Sztochasztika

Statisztika és információelmélet

Sztochasztika

Kommutatív algebra és algebrai geometria

egyéb, nincsen KKK szerinti besorolása

Reprezentáció elmélet


Differenciálgeometria és topológia


A hallgatónak úgy kell a tizenkét törzs-tárgyból legkevesebb hatot kiválasztania, hogy a KKK szerinti öt tematikus tárgycsoportból (Diszkrét matematika, Operációkutatás, Alkalmazott analízis, Sztochasztika, Algoritmuselmélet) legalább négyet lefedjen. Ezen előírás ellenőrzésekor azok a tárgyak, amelyek több tematikus csoportba sorolhatóak (Globális optimalizálás, Lineáris programozás, Elméleti számítástudomány) természetesen csak egyszer számolhatók el.

[1H] TÁBLÁZAT

ALKALMAZOTT ANALÍZIS SZAKIRÁNY


I.

II.

III.

IV.

(A) Elméleti alapozás

12/14/2v

4/6/1v

0/0/0v

0/0/0v

16/20/3v

Az elméleti alapozés tárgyai közül a hallgatónak szükség és oktatói előírás szerint maximum 20 kreditnyit kell teljesítenie. Azok a hallgatók, akiknek az alapozó tárgyakból 20-nál kevesebb kreditnyi teljesíteni valójuk van, a fennmaradó kredit-keretet választható szakmai tárgyakkal töltik ki.

Részletes tárgykínálat az [0H] táblázatban.

(B) Szakmai törzsanyag

12/15/2v

12/15/2v

0/0/0v

0/0/0v

24/30/4v

Az alábbi 12 tárgyból legalább 6-ot kell teljesíteni. A tárgyakat oly módon kell kiválasztani, hogy a KKK előírása szerint legalább négy tematikus csoportot lefedjenek. Ezen előírás pontos részleteit ld. jelen dokumentum egy korábbi oldalán.

Az alább *-gal megjelölt tárgyakat az Alkalmazott analízis szakirány hallgatóinak kötelezően fel kell venniük.


3/1/0/f/5


3/1/0/v/5


3/1/0/f/5


3/1/0/v/5

Dinamikai rendszerek*

3/1/0/v/5

Fourier analízis és függvénysorok*

3/1/0/v/5

Parciális differenciálegyenletek 2*

3/1/0/f/5


3/1/0/v/5

Statisztika és információelmélet

3/1/0/f/5


3/1/0/f/5


3/1/0/f/5


3/1/0/v/5

(C) Szakirány tárgyak

2/1/0v

4/4/0v

18/20/3v

12/15/2v

36/40/5v

A ***-gal megjelölt tárgyakból a szakirány hallgatóinak félévenként egyet kell felvenniük.

Biomatematika

2/0/0/f/2

A klasszikus mechanika matematikai módszerei

2/0/0/f/2


2/0/2/v/5

Wavelet analízis

2/0/0/f/2

Mátrixanalízis***

2/0/0/v/3

Matematikai kémia

2/0/2/v/5

Operátorelmélet

3/1/0/v/5

Potenciálelmélet***

2/0/0/f/3

Inverz szórási feladatok

2/0/0/v/3

Nem-lineáris hiperbolikus egyenletek***

2/0/0/v/3

Fraktálok és geometriai mértékelmélet***

2/0/0/f/3

Témalabor 1, 2

0/0/4/f/4

0/0/4/f/4

Matematikai modellalkotás 1, 2

2/0/0/f/1

2/0/0/f/1

(D) Választható tárgyak

0/0/0v

5/5/1v

5/5/1v

0/0/0v

10/10/2v

Szabadon választható szakmai tárgyak

3/0/0/v3

3/0/0v/3

2/0/0f/2

Köt. vál. társ. tud./ gazd. tud. tárgy

2/0/0/f/2

(E) Diplomamunka

0/0/0v

0/0/0v

2/5/0v

8/15/1zv

10/20/zv

ÖSSZESEN óra / kredit / vizsgák száma

26/30/

4v

25/30/

4v

25/30/

4v

20/30/

2v+1zv

96/120/

14v+1zv

TABLE [1E]

SPECIALIZATION IN APPLIED ANALYSIS


I.

II.

III.

IV.

(A) Theoretical foundations

12/14/2v

4/6/1v

0/0/0v

0/0/0v

16/20/3v


See table [0E] for the detailed list of courses offered.

(B) Primary body of professional subjects

12/15/2v

12/15/2v

0/0/0v

0/0/0v

24/30/4v

Students choose at least 6 out of the 12 courses listed below. The choice of courses must be done in such a way that in accordance with the requirements of the „KKK” at least four different topical groups be covered. For precise details of these rules see an earlier page of the present document.

The courses marked by * are mandatory for the students who choose specialization in Applied analysis.

Global optimization

3/1/0/f/5

Linear programming

3/1/0/v/5

Theoretical computer science

3/1/0/f/5

General and algebraic combinatorics

3/1/0/v/5

Dynamical systems*

3/1/0/v/5

Fourier analysis and function series*

3/1/0/v/5

Partial differential equations 2*

3/1/0/f/5

Stochastic analysis and applications

3/1/0/v/5

Statistics and information theory

3/1/0/f/5

Commutative algebra and algebraic geometry

3/1/0/f/5

Representation theory

3/1/0/f/5

Differential geometry and topology

3/1/0/v/5

(C) Professional subjects of specialization

2/1/0v

4/4/0v

18/20/3v

12/15/2v

36/40/5v

Students have to choose one of the courses marked by *** in each semester.

Biomathematics

2/0/0/f/2

Mathematical methods of classical mechanics

2/0/0/f/2

Numerical methods 2.

2/0/2/v/5

Wavelet analysis

2/0/0/f/2

Matrix analysis***

2/0/0/v/3

Mathematical chemistry

2/0/2/v/5

Operator theory

3/1/0/v/5

Potential theory***

2/0/0/f/3

Inverse scattering problems

2/0/0/v/3

Nonlinear hyperbolic equations***

2/0/0/v/3

Fractals and geometric measure theory***

2/0/0/f/3

Individual projects 1, 2

0/0/4/f/4

0/0/4/f/4

Mathematical modelling 1, 2

2/0/0/f/1

2/0/0/f/1

(D) Optional courses

0/0/0v

5/5/1v

5/5/1v

0/0/0v

10/10/2v

Optional professional courses

3/0/0/v3

3/0/0v/3

2/0/0f/2

Optional course in economy or social sciences

2/0/0/f/2

(E) Diploma thesis

0/0/0v

0/0/0v

2/5/0v

8/15/1zv

10/20/zv

SUM hours / credits / no. of exams

26/30/

4v

25/30/

4v

25/30/

4v

20/30/

2v+1zv

96/120/

14v+1zv

[2H] TÁBLÁZAT

OPERÁCIÓKUTATÁS SZAKIRÁNY


I.

II.

III.

IV.


12/14/2v

4/6/1v

0/0/0v

0/0/0v

16/20/3v




12/15/2v

12/15/2v

0/0/0v

0/0/0v

24/30/4v


Az alább *-gal megjelölt tárgyakat az Operációkutatás szakirány hallgatóinak kötelezően fel kell venniük.

Globális optimalizálás*

3/1/0/f/5

Lineáris programozás*

3/1/0/v/5


3/1/0/f/5


3/1/0/v/5


3/1/0/v/5


3/1/0/v/5


3/1/0/f/5


3/1/0/v/5

Statisztika és információelmélet*

3/1/0/f/5


3/1/0/f/5


3/1/0/f/5


3/1/0/v/5


2/1/0v

4/4/0v

18/20/3v

12/15/2v

36/40/5v

Nemlineáris programozás

3/1/0/v/5

Kombinatorikus optimalizálás

3/1/0/v/5

Sztochasztikus programozás

3/1/0/v/5

Operációkutatási programrendszerek

0/0/2/f/2

Irányítási rendszerek

2/0/0/v/3

Bevezetés a közgazdasági dinamikába

3/1/0/v/5

Játékelmélet

2/0/0/f/3

Ökonometria

0/0/2/f/2

Témalabor 1, 2

0/0/4/f/4

0/0/4/f/4


2/0/0/f/1

2/0/0/f/1


0/0/0v

5/5/1v

5/5/1v

0/0/0v

10/10/2v


3/0/0/v3

3/0/0v/3

2/0/0f/2


2/0/0/f/2

(E) Diplomamunka

0/0/0v

0/0/0v

2/5/0v

8/15/1zv

10/20/zv


26/30/

4v

25/30/

4v

25/30/

4v

20/30/

2v+1zv

96/120/

14v+1zv

TABLE [2E]

SPECIALIZATION IN OPERATIONS RESEARCH


I.

II.

III.

IV.


12/14/2v

4/6/1v

0/0/0v

0/0/0v

16/20/3v




12/15/2v

12/15/2v

0/0/0v

0/0/0v

24/30/4v


The courses marked by * are mandatory for the students who choose specialization in Operations research.

Global optimization*

3/1/0/f/5

Linear programming*

3/1/0/v/5


3/1/0/f/5


3/1/0/v/5

Dynamical systems

3/1/0/v/5

Fourier analysis and function series

3/1/0/v/5


3/1/0/f/5

Stochastic analysis and applications

3/1/0/v/5

Statistics and information theory*

3/1/0/f/5


3/1/0/f/5


3/1/0/f/5


3/1/0/v/5


2/1/0v

4/4/0v

18/20/3v

12/15/2v

36/40/5v

Nonlinear programming

3/1/0/v/5

Combinatorial optimization

3/1/0/v/5

Stochastic programming

3/1/0/v/5

Softwares in operations research

0/0/2/f/2

Control systems

2/0/0/v/3

Introduction to the economic dynamics

3/1/0/v/5

Game theory

2/0/0/f/3

Econometry

0/0/2/f/2


0/0/4/f/4

0/0/4/f/4


2/0/0/f/1

2/0/0/f/1


0/0/0v

5/5/1v

5/5/1v

0/0/0v

10/10/2v


3/0/0/v3

3/0/0v/3

2/0/0f/2


2/0/0/f/2

(E) Diploma thesis

0/0/0v

0/0/0v

2/5/0v

8/15/1zv

10/20/zv


26/30/

4v

25/30/

4v

25/30/

4v

20/30/

2v+1zv

96/120/

14v+1zv

[3H] TÁBLÁZAT

PÉNZÜGY-MATEMATIKA SZAKIRÁNY


I.

II.

III.

IV.


12/14/2v

4/6/1v

0/0/0v

0/0/0v

16/20/3v




12/15/2v

12/15/2v

0/0/0v

0/0/0v

24/30/4v


Az alább *-gal megjelölt tárgyakat a Pénzügy-matematika szakirány hallgatóinak kötelezően fel kell venniük.


3/1/0/f/5

Lineáris programozás*

3/1/0/v/5


3/1/0/f/5


3/1/0/v/5


3/1/0/v/5


3/1/0/v/5


3/1/0/f/5

Sztochasztikus analízis és alkalmazásai*

3/1/0/v/5


3/1/0/f/5


3/1/0/f/5


3/1/0/f/5


3/1/0/v/5


2/1/0v

4/4/0v

18/20/3v

12/15/2v

36/40/5v

Statisztika

Nemparaméteres statisztika

2/0/0/v/3


0/0/2/f/2

Sztochasztikus rendszerek

Markov folyamatok és martingálok

3/1/0/v/5

Sztochasztikus differenciálegyenletek

3/1/0/v/5

Pénzügyi folyamatok

2/0/0/f/3

Dinamikus programozás a pénzügyi matematikában

2/0/0/v/3

Gazdaságtudományok

Extrémérték elmélet

2/0/0/v/3

Biztosítás matematika 2

2/0/0/f/2

Többváltozós statisztika gazdasági alkalmazásokkal

2/0/0/f/2

Közgazdasági idősorok elemzése

2/0/0/f/2

Egyéb

Témalabor 1 (sztochasztikus matematika témában)

0/0/4/f/4

Témalabor 2 (gazdasági matematika témában)

0/0/4/f/4


2/0/0/f/1

2/0/0/f/1


0/0/0v

5/5/1v

5/5/1v

0/0/0v

10/10/2v


3/0/0/v3

3/0/0v/3

2/0/0f/2


2/0/0/f/2

(E) Diplomamunka

0/0/0v

0/0/0v

2/5/0v

8/15/1zv

10/20/zv


26/30/

4v

25/30/

4v

25/30/

4v

20/30/

2v+1zv

96/120/

14v+1zv

TABLE [3E]

SPECIALIZATION IN FINANCIAL MATHEMATICS


I.

II.

III.

IV.


12/14/2v

4/6/1v

0/0/0v

0/0/0v

16/20/3v




12/15/2v

12/15/2v

0/0/0v

0/0/0v

24/30/4v


The courses marked by * are mandatory for the students who choose specialization in Financial mathematics.

Global optimization

3/1/0/f/5

Linear programming*

3/1/0/v/5


3/1/0/f/5


3/1/0/v/5

Dynamical systems

3/1/0/v/5


3/1/0/v/5


3/1/0/f/5

Stochastic analysis and applications*

3/1/0/v/5


3/1/0/f/5


3/1/0/f/5


3/1/0/f/5


3/1/0/v/5


2/1/0v

4/4/0v

18/20/3v

12/15/2v

36/40/5v

Statistics

Nonparametric statistics

2/0/0/v/3

Statistical softwares 2.

0/0/2/f/2

Stochastic systems

Markov processes and martingales

3/1/0/v/5

Stochastic differential equations

3/1/0/v/5

Financial processes

2/0/0/f/3

Dynamic programing in financial mathematics

2/0/0/v/3

Economy sciences

Extreme value theory

2/0/0/v/3

Insurance mathematics 2

2/0/0/f/2

Multivariate statistics with applications

2/0/0/f/2

Anaysis of economic time series

2/0/0/f/2

Other courses

Individual projects 1 (in stoch. Mathematics)

0/0/4/f/4

Individual projects 2 (in math. economy)

0/0/4/f/4


2/0/0/f/1

2/0/0/f/1


0/0/0v

5/5/1v

5/5/1v

0/0/0v

10/10/2v


3/0/0/v3

3/0/0v/3

2/0/0f/2


2/0/0/f/2

(E) Diploma thesis

0/0/0v

0/0/0v

2/5/0v

8/15/1zv

10/20/zv


26/30/

4v

25/30/

4v

25/30/

4v

20/30/

2v+1zv

96/120/

14v+1zv

[4H] TÁBLÁZAT

SZTOCHASZTIKA SZAKIRÁNY


I.

II.

III.

IV.


12/14/2v

4/6/1v

0/0/0v

0/0/0v

16/20/3v




12/15/2v

12/15/2v

0/0/0v

0/0/0v

24/30/4v


Az alább *-gal megjelölt tárgyakat a Sztochasztika szakirány hallgatóinak kötelezően fel kell venniük.


3/1/0/f/5


3/1/0/v/5


3/1/0/f/5


3/1/0/v/5


3/1/0/v/5


3/1/0/v/5

Parciális differenciálegyenletek 2*

3/1/0/f/5

Sztochasztikus analízis és alkalmazásai*

3/1/0/v/5


3/1/0/f/5


3/1/0/f/5


3/1/0/f/5


3/1/0/v/5


2/1/0v

4/4/0v

18/20/3v

12/15/2v

36/40/5v

Statisztika

Többváltozós statisztika.

3/1/0/v/5

Nemparaméteres statisztika

2/0/0/v/3


0/0/2/f/2

Sztochasztikus analízis

Markov-folyamatok és martingálok

3/1/0/v/5

Sztochasztikus differenciálegyenletek

3/1/0/v/5

Pénzügyi folyamatok

2/0/0/f/3

Egyéb

A ***-gal megjelölt két tárgyból a szakirány hallgatóinak egyet kell felvenniük.

Határeloszlás- és nagy eltérés tételek

3/1/0/v/5

Sztochasztikus modellek***

2/0/0/f/2

Ergodelmélet és dinamikai rendszerek***

2/0/0/f/2

Témalabor 1, 2

0/0/4/f/4

0/0/4/f/4


2/0/0/f/1

2/0/0/f/1


0/0/0v

5/5/1v

5/5/1v

0/0/0v

10/10/2v


3/0/0/v3

3/0/0v/3

2/0/0f/2


2/0/0/f/2

(E) Diplomamunka

0/0/0v

0/0/0v

2/5/0v

8/15/1zv

10/20/zv


26/30/

4v

25/30/

4v

25/30/

4v

20/30/

2v+1zv

96/120/

14v+1zv

TABLE [4E]

SPECIALIZATION IN STOCHASTICS


I.

II.

III.

IV.


12/14/2v

4/6/1v

0/0/0v

0/0/0v

16/20/3v




12/15/2v

12/15/2v

0/0/0v

0/0/0v

24/30/4v


The courses marked by * are mandatory for the students who choose specialization in Stochastics.

Global optimization

3/1/0/f/5

Linear programming

3/1/0/v/5


3/1/0/f/5


3/1/0/v/5

Dynamical systems

3/1/0/v/5


3/1/0/v/5

Partial differential equations 2*

3/1/0/f/5

Stochastic analysis and applications*

3/1/0/v/5


3/1/0/f/5


3/1/0/f/5


3/1/0/f/5


3/1/0/v/5


2/1/0v

4/4/0v

18/20/3v

12/15/2v

36/40/5v

Statistics

Multivariate statistics with applications

3/1/0/v/5

Nonparametric statistics

2/0/0/v/3

Statistical softwares 2

0/0/2/f/2

Stochastic analysis

Markov processes and martingales

3/1/0/v/5

Stochastic differential equations

3/1/0/v/5

Financial processes

2/0/0/f/3

Other courses

Students have to choose at least one of the two courses marked by ***.

Limit and large deviation theorems of probab.

3/1/0/v/5

Stochastic models***

2/0/0/f/2

Ergodic theory and dynamical systems***

2/0/0/f/2


0/0/4/f/4

0/0/4/f/4


2/0/0/f/1

2/0/0/f/1


0/0/0v

5/5/1v

5/5/1v

0/0/0v

10/10/2v


3/0/0/v3

3/0/0v/3

2/0/0f/2


2/0/0/f/2

(E) Diploma thesis

0/0/0v

0/0/0v

2/5/0v

8/15/1zv

10/20/zv


26/30/

4v

25/30/

4v

25/30/

4v

20/30/

2v+1zv

96/120/

14v+1zv

2. Tantárgyi programok

Az egyes tantárgyak keretében elsajátítandó ismeretanyag rövid, (néhány soros) leírása, valamint minden tantárgyhoz a tantárgyfelelős, az előtanulmányi feltételek, a kredit feltüntetése, és a 3-5 legfontosabbnak ítélt kötelező, illetve ajánlott irodalom (jegyzet, tankönyv) felsorolása.

Előtanulmányi követelmények:

A differenciált szakmai tananyag előkövetelménye a megfelelő törzstárgyak teljesítése.

(A)

Alapozó tárgyak

Courses of theoretical foundations

Jelölés: Az egyes tárgyak leírásában megjelentetett e/g/l/t/k jelölés feloldása

e = előadások heti óraszáma,

g = gyakorlatok heti óraszáma,

l = laboratóriumi foglalkozások heti óraszáma,

t = teljesítés módja = v(izsga) vagy f(élévközi jegy),

k = kreditszám.

Notation: Meaning of notation e/g/l/t/k appearing in the description of each course:

e = lecture hours per week

g = in-class exercise hours per week

l = laboratory work hours per weak

t = type of examination = „v” stands for oral or written exam, „f” stands for final mark given on basis of midterm exams and home works

k = number of credits

Elméleti alapozás: Algebra és számelmélet blokk

Theoretical foundations: Block of algebra and number theory

Lineáris algebra

4/2/0/v/6

Tárgyfelelős: Horváth Erzsébet

További oktatók: Rónyai Lajos, Nagy Attila, Lukács Erzsébet

Valós és komplex számok, test és gyűrű fogalma, polinomok, algebra alaptétele, interpoláció, többváltozós polinomok.

Mátrixok, determináns, lineáris egyenletrendszerek.

Vektorterek, bázis, dimenzió, koordinátázás. Direkt felbontás, faktortér, tenzorszorzat, duális tér.

Lineáris operátorok és transzformációk, báziscsere, skaláris és vektoriális szorzat. Sajátérték, sajátvektor. Cayley-Hamilton-tétel. Polinommátrixok kanonikus alakja. Jordan-féle normálalak, mátrixfüggvények.

Bilineáris függvények és kvadratikus alakok. Sylvester tétele. Euklideszi terek. Önadjungált, unitér, ortogonális, szimmetrikus, normális transzformációk. Főtengelytétel.

Felbontási tételek.

Irodalom:

D.K. Fagyejev-Szominszkij: Felsőfokú algebrai feladatok, Műszaki Könyvkiadó, 1973.

Freud Róbert, Lineáris algebra, ELTE Eötvös Kiadó, 1996.

Fried Ervin, Algebra I. Elemi és lineáris algebra, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000.

Horváth Erzsébet, Linearis Algebra, Műegyetemi Kiadó, 1995. 45021 sz. jegyzet

Linear algebra

4/2/0/v/6

Course coordinator: Erzsébet Horváth

Other instructors: Lajos Rónyai, Attila Nagy, Erzsébet Lukács

Real and complex numbers, fields and rings, polynomials, the fundamental theorem of algebra, interpolation, multivariablr polynomials.

Matrices, determinants, systems of linear equations.

Vector spaces, basis, dimension, coordinatization. Direct decomposition, factor space, tensor producs, dual space.

Linear operators and transformations, change of basis, scalar and cross product. Eigenvalue, eigenvector. Cayley-Hamilton theorem. Canonical form of polynomial matrices. Jordan normal form, matrix functions.

Bilinear functions and quadratic forms. Sylvester’s theorem. Euclidean spaces. Self adjoint, unitary, orthogonal, symmetric, normal transformations. Spectral theorem.

Decomposition theorems.

References:

D.K. Fagyejev-Szominszkij: Felsőfokú algebrai feladatok, Műszaki Könyvkiadó, 1973.

Freud Róbert, Lineáris algebra, ELTE Eötvös Kiadó, 1996.

Fried Ervin, Algebra I. Elemi és lineáris algebra, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000.

Horváth Erzsébet, Linearis Algebra, Műegyetemi Kiadó, 1995. 45021 sz. jegyzet

Számelmélet

2/2/0/v/5

Tárgyfelelős: Rónyai Lajos

További oktatók: Wettl Ferenc, Lukács Erzsébet

Oszthatóság, euklideszi algoritmus, a számelmélet alaptétele. Kongruenciák, lineáris kongruenciák és lineáris diofantikus egyenletek, Euler-, Fermat- és Wilson-tétel, műveletek maradékosztályokkal. Magasabb fokú kongruenciák, primitív gyök, diszkrét logaritmus, hatványmaradék. Chevalley-tétel és alkalmazásai. Legendre-szimbólum, kvadratikus reciprocitás, Jacobi-szimbólum. Prímszámok eloszlása, Fermat- és Mersenne-prímek. Prímtesztek. Számelméleti függvények: Euler-függvény, Möbius-függvény, Möbius-féle inverziós formula. Diofantikus egyenletek, pitagoraszi számhármasok. Gauss-egészek, számok négyzetösszegként való elő-állításai. A számelmélet alkalmazásai, RSA algoritmus.

Irodalom:

Freud R., Gyarmati E.: Számelmélet. Tankönyvkiadó, 2000.

I. Niven, H. S. Zuckerman: Bevezetés a számelméletbe. Műszaki Könyvkiadó, 1978.

I. M. Vinogradov: A számelmélet alapjai. Tankönyvkiadó, 1968.

Number theory

2/2/0/v/5

Course coordinator: Lajos Rónyai

Other instructors: Ferenc Wettl, Erzsébet Lukács

Divisibility, Euclidean algorithm, the fundamental theorem of number theory, congruences, linear congruences and linear diophantine equations, Euler’s, Fermat’s and Wilson’s theorems, operations with residue classes. Congruences of higher degrees, primitive root, discrete logarithm, power residue. Chevalley’s theorem and its applications. Legendre symbol, quadratic reciprocity, Jacobi symbol. Distribution of prime numbers, Fermat and Mersenne primes. Prime tests. Arithmetic functions: Euler function, Möbius function, Möbius inversion theorem. Diophantene equations, pythagorian triples. Gaussian integers, decomposition of numbers into quadratic sums. Applications of number theory, the RSA algortithm.

References:

Freud R., Gyarmati E.: Számelmélet. Tankönyvkiadó, 2000.

I. Niven, H. S. Zuckerman: Bevezetés a számelméletbe. Műszaki Könyvkiadó, 1978.

I. M. Vinogradov: A számelmélet alapjai. Tankönyvkiadó, 1968.

Algebra 1.

2/2/0/v/4

Tárgyfelelős: Lukács Erzsébet

További oktatók: Rónyai Lajos, Horváth Erzsébet, Nagy Attila

Csoport bevezetése, példák. Részcsoport, homomorfizmus, izomorfizmus, automorfizmus, faktorcsoport. Ezen fogalmak megfelelői gyűrűkre.

Homomorfizmustétel, izomorfizmustételek.

Részcsoport mellékosztályai, index, Lagrange tétele. Normálosztó, normállánc, Jordan-Hölder-tétel.

Kommutátor-részcsoport, centrum, konjugáltosztályok, osztályegyenlet.

p-csoportok, feloldható csoportok, nilpotens csoportok.

Permutációcsoportok alapfogalmai, csoporthatás. Az alternáló csoportok egyszerűsége.

Direkt szorzat és szemidirekt szorzat. Véges Abel-csoportok alaptétele.

Sylow-tételek és alkalmazásai. Kis rendű csoportok leírása.

Szabad csoportok, definiáló relációkkal megadott csoportok. Dyck tétele.

Test feletti polinomok gyűrűje. F[x] ideáljai, maximális ideáljai, faktorai. Z ideáljai és faktorai.

Bevezetés a testelméletbe. Testbővítések, felbontási test. Véges testek. Wedderburn tétele.

Irodalom:

B. Szendrei M., Czédli G., Szendrei Á., Absztrakt algebrai feladatok, JATEPress, 1983.

Fuchs László, Algebra, Tankönyvkiadó, 1974.

Fried Ervin, Algebra II., Nemzeti Tankönyvkiadó, 2002

Kiss Emil, Bevezetés az algebrába, Typotex, 2007


Algebra 1

2/2/0/v/4

Course coordinator: Erzsébet Lukács

Other instructors: Lajos Rónyai, Erzsébet Horváth, Attila Nagy

Introduction of groups, examples. Subgroup, homomorphism, isomorphism, automorphism, factor group. The corresponding concepts for rings.

Homomorphism theorem, isomorphism theorems.

Cosets of subgroups, index, Lagrange’s theorem. Normal subgroups, normal chains,

Jordan−Hölder theorem.

Commutator subgroup, center of a group, conjugacy classes, class equation.

$p$-groups, solvable groups, nilpotent groups.

Permutation groups, group action. Simplicity of the alternating groups.

Direct product and semidirect product. The fundamental theorem of Abelian groups.

Sylow’s theorems and their applications. Description of groups of small order.

Free group, presentations of groups. Dyck’s theorem.

The ring of polynomials over a field. The ideals, maximal ideals and factors of F[x]. The ideals and factors of Z.

Introduction to the theory of fields. Field extensions, splitting fields. Finite fields. Weddenburn’s theorem.

References:


Fuchs László, Algebra, Tankönyvkiadó, 1974.

Fried Ervin, Algebra II., Nemzeti Tankönyvkiadó, 2002


Algebra 2

2/2/0/v/4

Tárgyfelelős: Lukács Erzsébet

További oktatók: Rónyai Lajos, Horváth Erzsébet, Nagy Attila

Testbővítések, Galois-bővítés, Galois-csoport. Galois-elmélet főtétele. Polinomegyenlet gyökökkel való megoldhatósága, geometriai szerkeszthetőség.

Nemkommutatív gyűrűk, ideálok és egyoldali ideálok, test feletti mátrixgyűrű. Ferdetest.

Integritási tartományok, egyértelmű faktorizációs tartományok, Euklideszi- és főideáltartományok. Gauss-lemma. Irreducibilis polinomok egyértelmű faktorizációs tartományok és hányadostestük felett. Körosztási polinom. Noether-gyűrű, Hilbert bázis tétele. Féligegyszerű Artin-gyűrűk, Wedderburn–Artin-tétel.

Modulusok, teljes reducibilitás. Csoportalgebra, Maschke-tétel. Szabad, projektív és injektív modulusok. Egzakt sorozatok. Kategóriák. Kovariáns és kontravariáns funktorok. Hom és tenzorszorzás funktorok. Funktorok természetes transzformációja, kategóriák ekvivalenciája.

Hálók, modularitás, disztributivitás. Véges dimenziós algebrák R felett, Frobenius tétele. Lie-algebrák.

Irodalom:

B. Szendrei M., Czédli G., Szendrei Á.: Absztrakt algebrai feladatok, JATEPress, 1983

Fuchs László: Algebra, Tankönyvkiadó, 1974.

Fried Ervin: Algebra II, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2002


Algebra 2

2/2/0/v/4

Course coordinator: Erzsébet Lukács

Other instructors: Lajos Rónyai, Erzsébet Horváth, Attila Nagy

Field extensions. Galois extension, Galois group. The Fundamental Theorem of Galois Theory. Solvability of polynomial equations in radical expressions. The theory of geometric constructions. Noncommutative rings, ideals, one-sided ideals, matrix algebras, skew fields. Domains, unit factorization domains, Euclidean and principal ideal domains. Gauss lemma. Irreducible polynomials over unique factorization domains and over their fraction fields. Cyclotomic polynomials. Noetherian rings, Hilbert Basis Theorem. Semisimple Artinian rings. The Artin-Wedderburn theorem. Modules, complete reducibility. Group algebras. Maschke's theorem. Projective, injective and free modules. Exact sequences. Categories. Covariant and contravariant functors. The Hom and tensorproduct functors. Natural transformation of functors, equivalemce of cathegories. Lattices, modularity and distributivity. Finite dimensional algebras over the real numbers, Frobenius Theorem. Lie algebras.

References:

B. Szendrei M., Czédli G., Szendrei Á.: Absztrakt algebrai feladatok, JATEPress, 1983

Fuchs László: Algebra, Tankönyvkiadó, 1974

Fried Ervin: Algebra II., Nemzeti Tankönyvkiadó, 2002


Elméleti alapozás: Analízis blokk

Theoretical foundations: Block of analysis

Analízis 1

4/2/0/v/6

Tárgyfelelős: Horváth Miklós

További oktatók: Matolcsi Máté, G. Horváth Ákosné, Járai Antal

Valós számsorozatok konvergenciája, nagyságrendek. Cantor és Dedekind tulajdonság. Bolzano-Weierstrass kiválasztási tétel. Cauchy konvergencia kritérium.

Valós számsorok. Geometriai sor. Konvergencia kritériumok. Abszolút és feltételes konvergencia.

Elemi függvények folytonossága és differenciálhatósága. Egyváltozós valós, folytonos függvények tulajdonságai. Egyváltozós valós függvények differenciálhatósága, nevezetes határértékek, középérték tételek, függvényvizsgálat, hiperbolikus függvények és inverzeik, lokális tulajdonságok.

Határozott és határozatlan integrálok, az integrálszámítás technikája, alkalmazások. Impropius integrálok.

Valós és komplex hatványsorok konvergencia tartománya. Valós hatványsorok összegfüggvényének határértéke, integrálja, deriváltja. Elemi függvények Taylor sorai. Alkalmazások.

Irodalom:

Leindler László, Analízis, Polygon, 2001.

Császár Ákos, Analízis I.

Analysis 1

4/2/0/v/6

Course coordinator: Miklós Horváth

Other instructors: Máté Matolcsi, Ágota G. Horváth, Antal Járai

Convergence of sequences of real numbers, growth orders. Cantor and Dedekind property. Bolzano-Weierstrass theorem, Cauchy criterion. Numerical series, geometrical series, convergence tests. Absolute and conditional convergence.

Continuity and differentiability of elementary functions. Some properties of continuous functions of one variable. Differentiability, known limits, mean value theorems. Applications: finding local and global extrema, monotonicity test, convexity tests. Hyperbolic functions and their inverses, local properties.

Riemann-integral, antiderivative. Techniques of integration, applications. Improper integrals.

Real and complex power series, domain of convergence. Limit of the sum of real power series. Term-by-term integration and derivatives. Taylor series of elementary functions. Applications.

References:



Analízis 2

4/2/0/v/6


További oktatók: Petz Dénes, Matolcsi Máté, G. Horváth Ákosné, Járai Antal

Függvénysorozatok pontonkénti és egyenletes konvergenciája. Folytonos függvények tere, uniform norma, teljesség. Egyenletesen konvergens függvénysorozatok határfüggvényének folytonossága, differenciálhatósága, integrálhatósága.

Függvénysor pontonkénti és egyenletes konvergenciája, Cauchy kritérium, Weierstrass kritérium. Hatványsor tulajdonságai. Taylor polinom. Lagrange-féle maradéktag. Feltételek egy függvény és Taylor sorának azonosságára. Elemi függvények megegyeznek a Taylor soraikkal. Binomiális sor. Trigonometrikus sor. Szakaszonként folytonos függvények Fourier sora, egyenletes és pontonkénti konvergencia.

Metrikus és Euklideszi tér. A tér teljessége, lokális kompaktsága, Borel tétel.

Többváltozós függvények határértéke, folytonossága. Parciális deriváltak, totális differenciálhatóság, derivált mátrix. Láncszabály. Iránymenti derivált. Implicit- és inverzfüggvény-tétel. Szélsőérték-számítás.

Jordan mérték. Kettős és hármas integrál. Integrálok transzformációja.

Vonalintegrál, potenciálelmélet, felületi integrál.

Komplex függvények folytonossága, regularitása. Cauchy-Riemann parciális differenciálegyenletek, harmonikus függvények. Elemi függvények regularitása.

Irodalom:



Járai Antal, Modern alkalmazott analízis, Typotex, 2007.

Analysis 2

4/2/0/v/6


Other instructors: Dénes Petz, Máté Matolcsi, Ágota G. Horváth, Antal Járai

Pointwise and uniform convergence of sequences of functions. The space of continuous functions, uniform norm, completeness. Effects of uniform convergence to continuity, term-by-term differentiability and integrability.

Pointwise and uniform convergence of function series. Cauchy criterion, Weierstrass test of uniform convergence.

Power series, Taylor polynomials with Lagrangian error term. Condition for a function to be equal to the sum of its Taylor series. Elementary functions can be expanded into Taylor series. Binomial series.

Trigonometric series. Fourier series of piecewise continuous functions, tests for pointwise and uniform convergence.

Metric space, Euclidean space. Completeness, local compactness, Heine-Borel theorem.

Limit and continuity of functions of several variables. Partial derivatives, differentiability, matrix of derivatives. Chain rule, directional derivative, implicite and inverse function theorem. Extremal values.

Jordan measure, double and triple (Riemann-)integral. Transformation rules in integrals.

Line integral, potential. Integration on surfaces.

Continuity and regularity of functions of one complex variable. Cauchy-Riemann equations, harmonic functions. Regularity of elementary functions

References:



Járai Antal, Modern alkalmazott analízis, Typotex, 2007.

Analízis 3

2/2/0/v/5

Tárgyfelelős: Petz Dénes

További oktatók: Horváth Miklós, Matolcsi Máté, Járai Antal

Komplex függvények integrálja. Cauchy-Goursat alaptétele körintegrálra és annak következményei. Reguláris komplex függvények és deriváltjaik integrálelőállításai. (Cauchy integrálformulák). Laurent sor. Izolált szingularitások osztályozása. Residuum-tétel, komplex integrálok meghatározása. Rouché tétel, argumentum elv.

Banach fixpont tétel. Implicit függvénytétel.

Mérhető halmazok, mérték. (Külső mérték kiterjesztése teljes mértékké.) Lebesgue mérték a számegyenesen és a síkon. Lebesgue nem mérhető halmaz létezése. Lebesgue–Stieltjes mérték. Mérhető függvények (valós és metrikus térbeli értékű). Luzin, Jegorov, Riesz approximációs és konvergencia tételei. Integrál. Fatou lemma. Beppo–Levi tétel. Lebesgue tétel, az integrál szigma-additivitása, abszolút folytonossága. Integrálok kiszámítása. Fubini tétele. Newton–Leibniz formula. Parciális integrálás. Radon-Nikodym tétel, integrálok transzformációja.

Irodalom:

Járai Antal: Mérték és integrál, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2002

H.A. Priestly: Introduction to complex analysis, Oxford Univ. Press.

Analysis 3

2/2/0/v/5

Course coordinator: Dénes Petz

Other instructors: Miklós Horváth, Máté Matolcsi, Antal Járai

Functions of one complex variable: The field of complex numbers, power series and analytic functions, Cauchy's theorem and integral formula, Goursat's theorem. Classification of isolated singularities, Laurent expansion, residue theorem and its applications. Rouché theorem, principle of arguments

Measure theory and integration: Extending outer measures to complete measures. Lebesgue measure, existence of a non-measurable set. Lebesgue-Stieltjes measure. Measurable functions (real-valued and with values in a metric space). Theorems of Lusin, Egoroff, Riesz on approximation and convergence. Integration, Fatou lemma, Beppo-Levi theorem, Lebesgue theorem. Sigma-additivity and absolute continuity of the integral. Counting integrals. Fubini theorem. Newton-Leibniz theorem. Integration by parts. Radon-Nikodym theorem, tranformation of integrals.

References:

Járai Antal: Mérték és integrál, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2002

H.A. Priestly: Introduction to complex analysis, Oxford Univ. Press.

Analízis 4

1/1/0/f/2

Tárgyfelelős: Kroó András

További oktatók: Horváth Miklós, Matolcsi Máté:

Klasszikus algebrai és trigonometrikus ortogonális sorok euklideszi terekben.

Ortogonális sorfejtés normált terekben, konvergencia és divergencia különböző normákban.

Polinomapproximáció véges és végtelen intervallumon.

Szummáció, Lebesgue-függvény, szaturációs tételek.

Gyorsan növő polinomok és kapcsolatuk a potenciálelmélettel.

Interpolációs eljárások, optimális alappontrendszerek.

Spline-ok.

Bevezetés a waveletekbe.

Irodalom:

Sz-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok, Tankönyvkiadó 1975

G.G. Lorentz, M.V. Golitschek and Y. Makorov: Constructive Approximation, Springer, 1966

Analysis 4

1/1/0/f//2

Course coordinator: András Kroó

Other instructors: Miklós Horváth, Máté Matolcsi

Classical trigonometric and algebraic orthogonal systems in Euclidean Spaces. Normed Spaces, orthogonal expansions, convergence and divergence theorems in different norms. Approximation by polynomials in finite and infinite intervals. Summation methods, Lebesgue function, saturation theorems. Fast increasing polynomials and their connection to potential theory. Interpolation processes, optimal systems of nodes. Spline Functions. Introduction to wavelet theory.

References:

Sz-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok, Tankönyvkiadó 1975

G.G. Lorentz, M.V. Golitschek and Y. Makorov: Constructive Approximation, Springer, 1966

Differenciálegyenletek

4/2/0/v/6

Tárgyfelelős: Moson Péter

További oktatók: Bálint Péter, Tóth János

Közönséges differenciálegyenletek: Explicit módon megoldható egyenlettípusok, egzakt és lineáris egyenletek. A kezdetiérték-probléma korrekt kitűzöttsége, egzisztencia, unicitás, folytonos függés a kezdeti értékektől. Közelítő megoldási módszerek. Lineáris egyenletrendszerek, variációs rendszer. A stabilitáselmélet elemei, stabilitás, aszimptotikus stabilitás, Ljapunov-függvények, stabilitás a lineáris közelítés alapján. Síkbeli autonóm egyenletek fázisportréi. Periodikus megoldások. A mechanika Hamilton-egyenletei. Megmaradási tételek.

Elemi parciális egyenletek: Elsőrendű egyenletek, kapcsolat közönséges egyenletekkel, karakterisztikák módszere. Véges húr transzverzális rezgései: D'Alambert-formula, Fourier-módszer. Hővezetési egyenlet: Fourier-módszer, diszkretizáció. Maximum-elv.

Irodalom:

Simon Péter, Tóth János: Differenciálegyenletek. Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba, Typotex, Budapest, 2005

Differential equations

4/2/0/v/6

Course coordinator: Péter Moson

Other instructors: Péter Bálint, János Tóth

Ordinary differential equations (ODE), separable, exact and linear equations. Initial value problem, existence and uniqueness. Approximative solution methods. Linear systems of ODEs, variational system. Stability theory. Stability, asymptotic stability, Lyapunov functions. Stability by the linear approximation. Phase portraits of planar autonomous systems. Periodic solutions. Hamiltonian equations in mechanics. Conservation laws.

Elementary partial differential equations (PDE). First order equations, relation to ODEs, method of characteristics. Oscillations of the finite chord: D’Alambert formula, Fourier method. Heat transfer equation: Fourier method, discretization. Maximum principle.

References:

Simon Péter, Tóth János: Differenciálegyenletek. Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba, Typotex, Budapest, 2005


2/2/0/v/6

Tárgyfelelős: Garay Barnabás

További oktatók: Fritz József

Laplace–Poisson egyenlet Dirichlet peremfeltétellel. Klasszikus megoldások: unicitás és folytonos függés, maximum-elv, integrálreprezentációk, példa klasszikus megoldás nemlétezésére. Általánosított/gyenge megoldások: Szoboljev terek, variációs elv, korrekt kitűzöttség, végeselem módszer. Kapcsolat a funkcionálanalízissel: a változók szétválasztása módszer jogosultsága. Közönséges differenciálegyenletek peremérték-problémái, variációszámítás. Elliptikus, parabolikus, hiperbolikus egyenletek: összehasonlítás.

Irodalom:

Jürgen Jost: Partial Differential Equations, Springer, Berlin, 2002


2/2/0/v/6

Course coordinator: Barnabás Garay

Other instructors: József Fritz

Laplace–Poisson equation with Dirichlet boundary condition. Classical solutions: uniqueness, continuous dependence, maximum principle, integral representations, example for nonexistence.

Generalized/weak solutions: Sobolev spaces, Dirichlet variational principle, well-posedness, finite elements method. Connections to functional analysis: the justifying facts behind the separation of variables method. Boundary value problems for ordinary differential equations, calculus of variations. Elliptic, parabolic and hyperbolic equations: a comparison.

References:

Jürgen Jost: Partial Differential Equations, Springer, Berlin, 2002

Funkcionálanalízis

4/2/0/v/6

Tárgyfelelős: Petz Dénes

További oktatók: Horváth Miklós, Nagy Béla, Matolcsi Máté

Lineáris terek (lineáris függetlenség és összefüggőség, lineáris leképezések, algebrai duális, lineáris leképezések mátrixa). Lineáris terek tenzorszorzata (szimmetrikus és antiszimmetrikus tenzorszorzat, bázisok, determináns).

Normált terek (példák, Hölder- és Minkowski-egyenlőtlenségek, lineáris leképezések folytonossága és korlátossága, operátor normája). Banach-terek (példák, normált tér teljes burka, abszolút konvergens sorok konvergenciája és átrendezhetősége, az exponenciális függvény, Neumann-sor).

Nevezetes tételek Banach-terekben (nyílt leképezés tétele, egyenletes korlátosság tétele, alkalmazás Fourier-sorokra, zárt gráf tétel)

Duális tér (

p

L

terek duálisa, Hahn–Banach-tétel, a folytonos függvények terének duálisa). Hilbert-tér (bázis szerinti kifejtés, példák, Riesz-lemma, projekció tétel, Riesz-féle reprezentációs tétel). Speciális függvények (Hermite-, és Legendre-polinomok, sorfejtések). Hilbert-terek és lineáris operátorok tenzorszorzata.

Az adjungált (korlátos operátor adjungáltja, önadjungált operátorok, unitér operátorok és projekciók, példák).

Topológiák (gyenge topológia a Hilbert-téren, operátorok pontonkénti konvergenciája és pontonkénti gyenge konvergenciája, önadjungált operátorok monoton sorozata, unitérek topologikus csoportja). A Haar-mérték lokálisan kompakt topologikus csoportokon.

Korlátos operátor spektruma (a spektrum osztályozása, spektrál sugár, rezolvens).

Kompakt operátorok (a kompakt operátorok ideálja, Hilbert–Schmidt-féle integráloperátor, Green-függvény, Riesz–Schauder tétel).

A Fourier-transzformáció (az L1-téren, kiterjesztés az L2-tér unitér operátorává, spektruma, a Fourier-transzformált differenciálhatósága, a Schwartz-tér és topológiája, duálisa, disztribúciók). Nemkorlátos operátorok (az adjungált és szimmetrikus operátorok, a Laplace-operátor, példák).

A spektráltétel (projektormértékek, önadjungált operátorok folytonos függvénykalkulusa, a spektráltétel korlátos önadjungált operátora, pont és folytonos spektrum a spektrálmértékből).

Egy-paraméteres unitér csoportok (kétfajta folytonosság, az eltolás csoport, Fourier-traszformált, Stone-tétel).

Irodalom:

Petz Dénes: Lineáris analízis, Akadémiai Könyvkiadó, 2003

Functional analysis

4/2/0/v/6

Course coordinator: Dénes Petz

Other instructors: Miklós Horváth, Béla Nagy, Máté Matolcsi

Vector spaces (linear independence and dependence, linear maps, algebraic dual, matrix of linear maps). The tensor product of linear maps (symmetric and antisymmetric tensor product, bases, determinant).

Normed spaces (examples, Hölder and Minkowski inequalities, continuous and bounded linear maps, the norm of operators).

Banach spaces (examples, completion of normed spaces, absolutely convergent series, the exponential function, spectrum, Neumann series). The theorem of open mapping, uniform boundedness, closed graph theorem, applications.

Dual spaces (

L

p

spaces, Hahn–Banach theorem, the dual of the space of continuous functions).

Hilbert spaces (expansion of vectors, Riesz lemma, projection theorem, Riesz representation theorem).

Special functions (Hermite and Legendre polynomials, expansions).

Tensor product of Hilbert spaces and operators.

Adjoint operator. Special operators (self-adjoint, unitary, projections and normal operators).

Topologies (weak topology on Hilbert spaces, pointwise and weak pointwise convergence of operators, monotone sequence of selfadjoint operators, topological group of unitaries).

Haar measure on locally compact topological groups.

Spectrum of a bounded operator (parts of the spectrum, spectral radius, resolvent).

Compact operators (The ideal of compact operators, Hilbert-Schmidt integral operators, Riesz-Schauder theorem, Green functions).

Fourier transformation (on L_1, unitary extension to L_2, spectrum, differentiability of a Fourier transform, teh topology of the Schwartz space, its dual, distributions). Unbounded operators (adjoint operator, symmetry, Laplace operator, examples). The spectral theorem (projection-valued measures, functional calculus of selfadjoint operators, the spectral theorem for bounded selfadjoint operators, point spectrum, continuous spectrum from the spectral measure). One-parameter unitary semigroups ( two types of continuity, Fourier transform, Stone theorem).

References:

Petz Dénes: Lineáris analízis, Akadémiai Könyvkiadó, 2003


4/0/2/v/6


További oktatók: Gyurkovics Éva

MATLAB numerikus szoftver használata. Hibaszámítás. Lineáris egyenletrendszerek direkt es iteratív megoldása: Gauss elimináció, Gauss transzformáció. Mátrixok faktorizációi. Lineáris egyenletrendszerek kondicionáltsága. Jacobi-, Seidel-, SOR iteráció; az iteráció konvergenciája, hibabecslése.

Optimalizációs típusú eljárások lineáris egyenletrendszerek megoldására. Sajátértékek becslése.

Hatványmódszer mátrixok sajátérték-sajátvektor feladatára. Inverz hatvány módszer. Mátrixok speciális alakra való transzformálása. Jacobi módszer sajátértékek és sajátvektorok meghatározására. QR módszer sajátértékek meghatározására. Közönséges interpoláció polinommal. Hermite-féle interpoláció. Interpoláció harmadfokú spline-nal. Közelítés legkisebb négyzetek értelemben polinommal és trigonometrikus polinommal; trigonometrikus interpoláció; a gyors Fourier-transzformáció alapja.

Numerikus integrálás: Newton–Cotes formulák és alkalmazásuk. Gauss-típusú kvadratúrák. Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása. Polinomok gyökei. Közönséges differenciálegyenletek kezdetiérték feladatainak numerikus megoldása: egylépéses módszerek alapfogalmai; Runge–Kutta formulák, egylépéses módszerek stabilitása, konvergenciája és hibabecslése. Többlépéses módszerek.

Irodalom:

Stoyan G., Tako G.: Numerikus módszerek I-II, Typotex, Budapest, 1993, 1995

J. Stoer, R. Bulirsch: Introduction to Numerical Analysis, 1980

A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri: Numerical Mathematics, 2000

Numerical methods 1

4/0/2/v/6


Other instructors: Éva Gyurkovics

Elements of using the software Matlab. Calculus of errors. Direct and iterative methods in solving linear systems of equations: Gaussian elimination, Gauss transform. Factorizations of matrices. Condition numbers of matrices, Jacobi, Seidel and SOR iterations, convergence, error estimates. Optimization methods for linear systems.

Estimating the eigenvalues. The power method to find eigenvalues and eigenvectors. Inverse power method. Transformation of matrices into special forms. Jacobi method. QR method.

Interpolation by polynomials: Lagrange, Hermite, spline interpolation. Least squares in approximating by polynomials or by trigonometric polynomials. Trigonometric interpolation, fast Fourier transform.

Numerical integration: Newton-Cotes formulae, Gaussian quadratures.

Solving nonlinear equations. Roots of polynomials.

Initial value problems for ODE: one-step methods, Runge–Kutta methods, stability, convergence, error estimates. Multistep methods.

References:

A. Quarteroni, R. Sacco and F. Saleri: Numerical Mathematics, New York, Springer 2000

J. Stoer and R. Bulirsch: Introduction to Numerical Analysis, New York, Springer 2002

Stoyan Gisbert: Takó Galina Numerikus Módszerek I-II., ELTE Typotex, 1993, 1995

Elméleti alapozás: Diszkrét matematika és számítástudomány blokk

Theoretical foundations: Block of discrete mathematics and computer science

Kombinatorika és gráfelmélet 1

2/1/0/v/4

Tárgyfelelős: Recski András

További oktatók: Simonyi Gábor

Leszámlálások (permutációk, variációk, kombinációk, binomiális tétel, binomiális együtthatókra vonatkozó tételek). Nevezetes leszámlálási módszerek, skatulya-elv, szita-módszer. Rekurziók és generátorfüggvények. Fibonacci-számok, állandó együtthatós homogén lineáris rekurziók általában, Catalan-számok.

Gráfelméleti alapfogalmak, pont, él, fokszám, izomorfia, út, kör, összefüggőség. Fák, Cayley-tétel, Prüfer-kód. Páros gráfok, jellemzésük. Párosítások, König-Hall-Frobenius tétel. König tételei, Tutte tétele, Gallai tételei.

Hálózati folyamok, Ford-Fulkerson tétel, Edmonds-Karp tétel. Kiterjesztések. Menger-tételek. Magasabb összefüggőség, Dirac-tétel, Petersen-tétel. Euler-körök és utak. Euler tétele. Hamilton-körök és utak. Hamilton-kör létezésének szükséges feltétele. Elégséges feltételek: Dirac és Ore tételei.

Irodalom:

Katona - Recski - Szabó, A számítástudomány alapjai, Typotex, Budapest, 2002

Combinatorics and graph theory 1

2/1/0/v/4

Course coordinator: András Recski

Other instructors: Gábor Simonyi

Enumerations (permutations, variations, combinations, binomial theorem, theorems concerning binomial coefficients). Methods of enumeration, pigeonhole-principle, sieve method. Recursions and generating functions. Fibonacci numbers, homogeneous linear recursions with constant coefficients in general, Catalan numbers.

B

Documents

A mesterképzésre vonatkozó akkreditációs …math.bme.hu/~balint/msc/Alk_Mat_MSc_ind_0426.doc · Web viewMérhető függvények (valós és metrikus térbeli értékű). Luzin,