A NOÇÃO DE MATRIZ NA TRANSIÇÃO ENTRE O ENSINO MÉDIO

UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO FÁBIO SIMIÃO

A NOÇÃO DE MATRIZ NA TRANSIÇÃO ENTRE O ENSINO MÉDIO E O SUPERIOR

SÃO PAULO 2010

UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO

MESTRADO ACADÊMICO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA CONSELHO DA PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA

FÁBIO SIMIÃO

A NOÇÃO DE MATRIZ NA TRANSIÇÃO ENTRE O ENSINO MÉDIO E O SUPERIOR

Dissertação apresentada como exigência parcial à Banca Examinadora da Universidade Bandeirante de São Paulo - UNIBAN, para a obtenção do título de Mestre em Educação Matemática, sob a orientação da Prof.ª Dra. Tânia Maria Mendonça Campos e co-orientação da Prof.ª Dra. Marlene Alves Dias

SÃO PAULO 2010

S61n Simião, Fábio A noção de matriz na transição entre o ensino médio e o

superior / Fábio Simião - São Paulo: [s.n.], 2010. 323 f. il. ; 30 cm. Dissertação de Mestrado – Programa de Pós-Graduação

em Educação Matemática, Universidade Bandeirante de São Paulo, Curso de Educação Matemática.

Orientadora: Profª. Drª. Tânia Maria Mendonça Campos. Co-Orientadora: Profª. Drª. Marlene Alves Dias. 1. Matrizes 2. Licenciatura em Matemática 3. Mudança

de quadro I. Título CDD: 512.9434

ii

FÁBIO SIMIÃO

A NOÇÃO DE MATRIZ NA TRANSIÇÃO ENTRE O

ENSINO MÉDIO E O SUPERIOR

DISSERTAÇÃO APRESENTADA À UNIVERSIDADE BANDEIRANTE

DE SÃO PAULO COMO EXIGÊNCIA DO PROGRAMA DE PÓS-

GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

Presidente e Orientador

Nome: Professora Doutora Tânia Maria Mendonça Campos

Titulação: Doutora em Matemática

Instituição: Universidade Bandeirante de São Paulo

Assinatura: _________________________________________________

2ª Examinador

Nome: Professora Doutora Divanizia do Nascimento Souza

Titulação: Doutora em Tecnologia Nuclear

Instituição: Universidade Federal de Sergipe

Assinatura: _________________________________________________

3ª Examinador

Nome: Professora Doutora Monica Karrer

Titulação: Doutora em Educação Matemática

Instituição: Universidade Bandeirante de São Paulo

Assinatura: _________________________________________________

Biblioteca

Bibliotecário:_______________________________________________

Assinatura:________________________________ DATA ___/___/___ .

São Paulo, ___ de __________ de ____.

iii

Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou

parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

Assinatura:________________________________ Local e Data:___________________

iv

Ao meu amado pai José Simião Filho.

v

AGRADECIMENTOS I

À Professora Doutora Tânia Maria Mendonça Campos, pelos apontamentos

efetuados no decorrer do curso, pelo apoio que acredito ter ultrapassado as

orientações acadêmicas, por suas palavras e cobranças que me conduziram a

novos paradigmas.

À Professora Doutora Marlene Alves Dias, pelas horas de coorientação, pelo

carinho, pela compreensão, pela condução do caminho a ser percorrido e pelas

observações no decorrer desta trajetória, compartilhando comigo sua experiência e

sabedoria.

À Professora Doutora Mônica Karrer e à Professora Doutora Divanizia do

Nascimento Souza, pelas valiosas contribuições oferecidas a esta pesquisa.

A todos os professores do Projeto de Mestrado em Educação Matemática da

Universidade Bandeirante de São Paulo, em especial aos professores Doutora

Angélica da Fontoura Garcia Silva, Doutor Alessandro Jacques Ribeiro, Doutora

Maria Elisabette Brisola Brito Prado, Doutora Silmara Alexandra da Silva, Doutora

Vera Helena Giusti de Souza e Doutor Vincenzo Bongiovanni, pelos momentos de

atenção, carinho e observação.

A toda a Secretaria de Pós-Graduação da Uniban – Campo de Marte, em especial

aos profissionais Fabrício Flores e Guilherme Galvão de Menezes, pelo serviço

prestado aos estudantes e aos professores.

À Biblioteca da Uniban – Campo de Marte, representada pela Bibliotecária

Antônia Irene Bié Alexandre de Azambuja, pelo excelente trabalho prestado e pela

atenção dada a todos os estudantes.

A presença de todos foi importante para finalização desta dissertação.

O autor.

vi

AGRADECIMENTOS II

Aos meus familiares, em especial à minha Mãe Maria Teresinha Simião, às

minhas irmãs Márcia Cristina Simião e Mércia Regina Simião, à minha Companheira

Ruth Martins da Silva e a meu Filho Gustavo Martins Simião, pelos momentos de

colaboração com o meu estudo.

Aos meus amigos e colegas que me conduziram, me compreenderam e me

apoiaram, em especial, Celso Aparecido Alves, Ed Carlos Luiz da Silva, Eliezer

Antônio da Silva, Elvis Ferreira Duarte, José Valdo Souza de Santana, Kleber

Aparecido Guilherme Oliveira, Lucia Helena Nobre Barros, Marcio Dorigo, Paulo

Pagano, Raquel Factori Canova e Sirlene Neves de Andrade.

A todos os professores do meu “Primeiro Grau” (Escola Estadual Professor

Francisco Antonio Martins Junior) e do “Colegial” (Escola Estadual Doutor Luiz

Arrobas Martins), que mesmo sem condições não mediram forças para nos ensinar.

A todos os professores do Ensino Superior, que me ajudaram em todos os

sentidos, em especial aos Professores do Curso de Matemática da Universidade

Presbiteriana Mackenzie, que me ensinaram a refletir e a buscar o significado.

Ao Professor Mestre Fausto Hossamu Mizutani, por suas significativas aulas de

Física Geral; acredito que estas foram importantes para minha vida.

À Professora Doutora Vera Lucia Antonio Azevedo, por sua articulação

matemática, pela amizade e orientação ao meu trabalho de conclusão de

Bacharelado em Matemática e pela imensa ajuda para consecução deste trabalho.

A todos que contribuíram em alguma medida para minha formação e para a

construção desta pesquisa.

O autor

vii

AGRADECIMENTOS III

A todas as Escolas Estaduais do Estado de São Paulo em que trabalhei como

professor e coordenador pedagógico, em especial, à Escola Estadual Professor

Humberto Alfredo Pucca, à Escola Estadual Professor João Silva, à Escola Estadual

Pastor Cícero Canuto de Lima, à Escola Estadual Professor Francisco Antonio

Martins Junior, à Escola Estadual Professor Orlando Mendes de Moraes, à Escola

Estadual Professora Amélia Kerr Nogueira e à Escola Estadual Oswald de Andrade.

À Diretoria de Ensino Sul 2, pelo competente trabalho realizado em sua jurisdição,

em especial à Dirigente Regional de Ensino Maria Ligia Fernandes Branco; aos

supervisores de ensino; aos professores coordenadores pedagógicos; aos

assistentes técnicos; e a todos os funcionários, que me acolheram e me ajudaram.

Ao Diretor Professor Valmir Rodrigues e a Vice-diretora Professora Maria

Angélica S. Carmo, pelos momentos de atenção e luta.

Ao Centro Universitário Anhanguera Educacional - Unidade Campo Limpo, em

especial aos coordenadores de curso, aos professores e aos funcionários, por

acreditarem em meu desenvolvimento profissional.

Ao Centro de Ensino a Distância de São Paulo, em especial à Professora e

Diretora Virginia Christina Torres e à Mantenedora, Professora Silvia Oliveira Leite

de Sá, que contribuíram imensamente para o meu progresso profissional.

À Professora Leda Maria de S. F. Farah, pelo belo trabalho de correção; desejo

ter alcançado suas expectativas, quando mudei algumas colocações.

Acredito que o apoio de todos foi fundamental à minha formação profissional e

pessoal.

O autor

viii

Todos nós somos capazes de aprender e superar nossas dificuldades.

Professora Doutora Tânia Maria Mendonça Campos

ix

RESUMO

SIMIÃO, F. A noção de matriz na transição entre o Ensino Médio e o Ensino Superior. 2010. 323f. Dissertação de Mestrado – Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática, Universidade Bandeirante de São Paulo, São Paulo, 2010.

Nesta pesquisa consideram-se as organizações matemáticas e didáticas associadas à noção de matriz, suas operações e propriedades, com o objetivo de identificar o que se espera como conhecimento prévio, pelo menos mobilizável, desse conteúdo matemático dos estudantes, na transição entre o Ensino Médio e o Superior. Para tanto, analisar-se-ão documentos oficiais, livros didáticos, Caderno do professor e do aluno e propostas institucionais para o desenvolvimento dessa noção no Ensino Médio. Considerar-se-á também qual a importância dessa noção para a disciplina de Álgebra Linear no Ensino Superior. Tal estudo é conduzido por meio de uma grade de análise construída para esse fim, em que se utilizam as ferramentas teóricas escolhidas como referência para esta pesquisa. Os resultados da análise mostram que a noção de matriz, suas operações e propriedades são trabalhadas, enquanto ferramenta explícita, para o desenvolvimento de tarefas associadas a outras noções matemáticas no Ensino Médio, e que esse trabalho pode servir de apoio para a introdução da Álgebra Linear em IRn no Ensino Superior.

Palavras-chave: licenciatura em Matemática; matrizes; mudança de quadro; níveis de conhecimento; relações institucionais e pessoais.

x

ABSTRACT

SIMIÃO, F. The notion of matrix in the transition from High School to Higher Education. 2010. 323f. Master’s dissertation – Post-graduate program in Mathematics Education, Universidade Bandeirante de São Paulo, São Paulo, 2010.

This research considered mathematical and teaching organizations associated to the notion of matrix, its operations and properties, aiming at identifying what is expected as students’ prior, at least mobilized, knowledge of this mathematics concept in the transition from High School to Higher Education. In order to do so, official documents, course books, teachers’ and students’ books as well as institutional proposals for the development of this notion in High School will be analysed. The importance of this notion for the Linear Algebra course in Higher Education will also be considered. Such study is conducted through an analysis grid prepared for this purpose where theoretical tools chosen as reference for this research are used. The results of the analysis reveal that the notion of matrix, its operations and properties are worked as explicit tool for the development of tasks associated to other mathematical notions in High School and that this project can be used as a support for the introduction of linear algebra in R (real numbers) at Higher Education.

Key words: Mathematics teaching course; matrices; change of picture; levels of knowledge; institutional and personal relationships.

xi

LISTA DE ABREVIATURAS AL Álgebra Linear

CASP Caderno do Aluno do Estado de São Paulo, referente à Nova Proposta

Curricular de 2008

CNLDEM Catálogo Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio

CHS Carga Horária

DCNEM Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio

DCNM Diretrizes Curriculares Nacionais para o Curso de Matemática,

Licenciatura e Bacharelado

EFEI-MG Escola Federal de Engenharia Itajubá – Minas Gerais

EM Ensino Médio

ENADE Exame Nacional de Desempenho de Estudante

ES Ensino Superior

IMPA Instituto de Matemática Pura e Aplicada

OCNEM Orientações Curriculares Nacionais para o Ensino Médio

NPCSP Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo

GAV Geometria Analítica e Vetores

GA Geometria Analítica

INEP Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira

MACK Universidade Presbiteriana Mackenzie

MEC Ministério da Educação Cultura e Desporto

PNELEM Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio

PCN Parâmetro Curricular Nacional

PCNEM Parâmetro Curricular Nacional para o Ensino Médio

PCN+ Parâmetro Curricular Nacional para o Ensino Médio (complementar)

SARESP Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo

SBM Sociedade Brasileira de Matemática

SEE-SP Secretaria da Educação do Estado de São Paulo

UNIBAN Universidade Bandeirante de São Paulo

USP Universidade de São Paulo

UFSCAR Universidade Federal de São Carlos

VGA Vetores e Geometria Analítica

xii

LISTA DE FIGURAS pág Figura 1 Tarefa de vestibular ............................................................................................ 41

Figura 2 Tarefa sobre ferramenta implícita e explícita ..................................................... 46

Figura 3 Exemplo de tarefa enunciado no quatro numérico ............................................. 50

Figura 4 Exemplo de quadro matricial numérico .............................................................. 51

Figura 5 Tarefa referente ao quadro matricial numérico .................................................. 52

Figura 6 Exemplos de representação algébrica de uma matriz ....................................... 53

Figura 7 Tarefa da segunda fase do vestibular da Unicamp (2010) ................................ 54

Figura 8 Tarefa sobre relação algébrica funcional ........................................................... 55

Figura 9 Tarefa sobre quadro da geometria métrica plana .............................................. 56

Figura 10 Tarefa sobre quadro da geometria plana ........................................................... 57

Figura 11 Tarefa sobre determinante ................................................................................. 58

Figura 12 Tarefa sobre determinante ................................................................................. 59

Figura 13 Tarefa de quadro dos sistemas lineares ............................................................ 60

Figura 14 Tarefa de nível técnico ....................................................................................... 63

Figura 15 Exemplo de tarefa de nível técnico .................................................................... 64

Figura 16 Tarefa sobre nível mobilizável ............................................................................ 65



Figura 19 Tarefa referente ao nível disponível ................................................................... 67

Figura 20 Tarefa de adição entre matrizes ......................................................................... 73

Figura 21 Tarefa exemplificando objeto não ostensivo ...................................................... 74

Figura 22 Tarefa de multiplicação ...................................................................................... 75

Figura 23 Exemplo enunciado no quadro numérico ........................................................... 140

Figura 24 Exemplo no quadro matricial numérico .............................................................. 142

Figura 25 Exemplo de uma matriz no quadro matricial algébrico ...................................... 143

Figura 26 Exemplo de enunciado no quadro algébrico funcional ....................................... 144

Figura 27 Exemplo no quadro da geometria plana ............................................................ 145

Figura 28 Exemplo no quadro da geometria analítica ........................................................ 146

Figura 29 Exemplo no quadro dos determinantes .............................................................. 147

Figura 30 Exemplo no quadro dos sistemas de equações lineares ................................... 149

Figura 31 Exemplo sobre ostensivos .................................................................................. 150

Figura 32 Exemplo referente ao nível técnico .................................................................... 152

Figura 33 Exemplo de tarefa do nível mobilizável .............................................................. 153

Figura 34 Solução da tarefa da Figura 33 .......................................................................... 154

xiii

Figura 35 Exemplo de tarefa correspondente ao nível disponível ..................................... 155

Figura 36 Exercício correspondente a tarefa 1 ................................................................... 158

Figura 37 Solução do exercício da Figura 36 ..................................................................... 159

Figura 38 Exemplo referente a tarefa 1 .............................................................................. 159

Figura 39 Solução do exemplo da Figura 38 ...................................................................... 160

Figura 40 Exemplo referente a tarefa 2 .............................................................................. 160


Figura 42 Exemplo da tarefa 3 ........................................................................................... 162






Figura 48 Exemplo de tarefa 5 ........................................................................................... 166






















xiv

Figura 70 Exemplo de tarefa 10 ......................................................................................... 180


Figura 72 Exemplo de tarefa 10 ......................................................................................... 181


Figura 74 Exemplo de tarefa de multiplicação de matrizes ................................................ 192

Figura 75 Exemplo dos processos computacionais ........................................................... 198

Figura 76 Ostensivo de representação escritural do discurso de gestos ........................... 204

Figura 77 Tarefa apresentada na situação 1 ...................................................................... 208




Figura 81 Tarefa associada ao braço mecânico ................................................................. 221

Figura 82 Tarefa do SARESP ............................................................................................. 233















Figura 97 Tarefa do ENEM ................................................................................................. 244

Figura 98 Tarefa da FUVEST ............................................................................................. 247




Figura 102 Tarefa do ENADE ............................................................................................... 252



xv

LISTA DE QUADROS pág.

Quadro 1 Base nacional comum dos currículos do Ensino Médio .................................. 85

Quadro 2 Objetivo das competências e habilidades ........................................................ 86

Quadro 3 Reflexão sobre os parâmetros e a noção de matriz ........................................ 96

Quadro 4 Noções que podem ser revisitadas .................................................................. 100

Quadro 5 Objetivos da diretriz ......................................................................................... 112

Quadro 6 Descrição do perfil profissional ........................................................................ 113

Quadro 7 Competências e habilidades do estudante em matemática ............................ 113

Quadro 8 Competências e habilidades do educador matemático ................................... 114

Quadro 9 Estrutura do curso de matemática ................................................................... 114

Quadro 10 Eixo de disciplinas ........................................................................................... 115

Quadro 11 Ementa da disciplina de Geometria Analítica e Vetores I ................................ 117

Quadro 12 Bibliografia básica e complementar de GAV I ................................................. 118

Quadro 13 Ementa da disciplina de Geometria Analítica e Vetores II ............................... 119

Quadro 14 Bibliografia básica e complementar de GAV II ................................................ 119

Quadro 15 Ementa da disciplina de Cálculo Numérico ..................................................... 120

Quadro 16 Ementa da disciplina de Geometria Analítica e Vetores III .............................. 121

Quadro 17 Bibliografia básica e complementar de GAV III ............................................... 121

Quadro 18 Ementa da disciplina de Álgebra Linear .......................................................... 122

Quadro 19 Bibliografia básica e complementar de Álgebra Linear .................................... 122

Quadro 20 Ementa da disciplina de Álgebra Linear .......................................................... 125


Quadro 22 Ementa da disciplina de Vetores e Geometria Analítica .................................. 128

Quadro 23 Bibliografia básica e complementar de VGA ................................................... 128

Quadro 24 Ementa da disciplina de Álgebra Linear A ....................................................... 129

Quadro 25 Bibliografia básica e complementar de Álgebra Linear A ................................ 129

Quadro 26 Ementa da disciplina de Geometria Analítica .................................................. 131

Quadro 27 Bibliografia básica de Geometria Analítica ...................................................... 132

Quadro 28 Ementa da disciplina Introdução à Álgebra Linear .......................................... 133


Quadro 30 Definição dos itens da grade ........................................................................... 157

Quadro 31 Conteúdos desenvolvidos na obra, relacionados as noções de matrizes ....... 191

Quadro 32 Outras tarefas mobilizadas na obra de Elon Lages Lima et al. ....................... 197

Quadro 33 Conteúdos desenvolvidos na obra com relação às noções de matrizes ......... 199

Quadro 34 Outras tarefas mobilizadas n obra de Luiz Roberto Dante .............................. 206

xvi

Quadro 35 Conteúdos desenvolvidos no Caderno com relação às noções de matrizes .. 210

Quadro 36 Outras tarefas desenvolvidas na obra – Caderno do aluno ............................. 213


Quadro 38 Outras tarefas mobilizadas na obra de Carlos Alberto Callioli ......................... 217


Quadro 40 Outras tarefas mobilizadas na obra de Howard Anton .................................... 221

xvii

LISTA DE TABELAS pág.Tabela 1 Conteúdo referente aos três eixos – PCN + ........................................................ 094

Tabela 2 Conteúdo referente a Nova Proposta da SEE-SP (2008) ................................... 104

Tabela 3 Conteúdo – Relações Institucionais Esperadas – PCN + ................................... 107

Tabela 4 Conteúdo – Relações Institucionais Esperadas – OCNEM ................................. 108

Tabela 5 Conteúdo – Relações Institucionais Esperadas – NPCSP .................................. 109

Tabela 6 Extrato da grade curricular – MACK .................................................................... 117

Tabela 7 Extrato da grade curricular – UFSCAR ................................................................ 127

Tabela 8 Extrato da grade curricular – USP ....................................................................... 131

Tabela 9 Livros de Álgebra Linear utilizado pelas Universidades investigadas ................. 135

Tabela 10 Grade de análise ................................................................................................. 156

Tabela 11 Dez tarefas comumente encontradas no Ensino Médio ...................................... 157

Tabela 12 Obras didáticas investigadas na pesquisa .......................................................... 188

Tabela 13 Tarefas desenvolvidas na obra de Elon Lages Lima ........................................... 195

Tabela 14 Tarefas desenvolvidas na obra de Luiz Roberto Dante ...................................... 200

Tabela 15 Tarefas desenvolvidas na obra – Caderno do Aluno .......................................... 211

Tabela 16 Tarefas desenvolvidas na obra de Carlos Alberto CAllioli ................................... 215

Tabela 17 Tarefas desenvolvidas na obra de Howard Anton ............................................... 219

Tabela 18 Eixos dos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio .................. 228

Tabela 19 Avaliações analisadas ......................................................................................... 229

Tabela 20 Panorama das aplicações ................................................................................... 230

Tabela 21 Conteúdos do Ensino Médio mobilizados no SARESP ....................................... 231

Tabela 22 Conteúdos do Ensino Médio mobilizados no ENEM ........................................... 242

Tabela 23 Conteúdos do Ensino Médio mobilizados na FUVEST ....................................... 245

Tabela 24 Conteúdos do Ensino Superior mobilizados no ENADE ..................................... 250

xviii

LISTA DE ANEXOS Pág. Anexo I Solução da tarefa apresentada na Figura 1 ................................................ 273

Anexo II Solução da tarefa apresentada na Figura 2 ................................................ 274

Anexo III Outro método de solução apresentada na Figura 2 .................................... 275

Anexo IV Outro método de solução apresentada na Figura 2 .................................... 276

Anexo V Outro método de solução apresentada na Figura 2 .................................... 277

Anexo VI Representação no Eixo Cartesiano ............................................................. 278

Anexo VII Solução da tarefa apresentada na Figura 3 ................................................ 279

Anexo VIII Solução da tarefa apresentada na Figura 5 ................................................ 280

Anexo IX Solução parcial da tarefa apresentada na Figura 7 ..................................... 281

Anexo X Solução da tarefa apresentada na Figura 8 ................................................ 282

Anexo XI Solução da tarefa apresentada na Figura 9 ................................................ 283

Anexo XII Solução da tarefa apresentada na Figura 10 .............................................. 284

Anexo XIII Solução da tarefa apresentada na Figura 12 .............................................. 285

Anexo XIV Solução final da tarefa apresentada na Figura 7 ......................................... 286

Anexo XV Solução da tarefa apresentada na Figura 15 .............................................. 287

Anexo XVI Solução da tarefa apresentada na Figura 17 .............................................. 288

Anexo XVII Solução da tarefa apresentada na Figura 18 .............................................. 289

Anexo XVIII Solução da tarefa apresentada na Figura 19 .............................................. 290

Anexo XIX Solução da tarefa apresentada na Figura 20 .............................................. 291

Anexo XX Rubrica sobre aprendizagem, competência e habilidade – PCN ................ 292

Anexo XXI Rubrica sobre competência e habilidade para disciplinas do EM – PCN .... 292

Anexo XXII Objetivo da matemática no Ensino Médio – PCN ........................................ 294

Anexo XXIII Competência e habilidade em matemática – PCN ...................................... 295

Anexo XXIV Investigação e compreensão – PCN ........................................................... 296

Anexo XXV Contextualização sóciocultural – PCN ....................................................... 297

Anexo XXVI Três principais competências – PCN + ....................................................... 298

Anexo XXVII Representação e Comunicação – PCN + .................................................... 299

Anexo XXVIII Investigação e compreensão – PCN + ........................................................ 301

Anexo XXIX Contextualização sociocultural – PCN + ..................................................... 303

Anexo XXX Sinopse dos livros Mello (2005) e Boulos (2005) ........................................ 305

Anexo XXXI Sinopse do livro Winterle (2000) .................................................................. 306

Anexo XXXII Diagrama de capítulos da obra de Callioli (1983) ........................................ 307

Anexo XXXIII Sinopse dos livros Anton (2006) e Steimbruch (1997) ................................ 308

Anexo XXXIV Sinopse do livro de Caroli (1978) ................................................................ 308

xix

Anexo XXXV Sinopse dos livros de Boldrini (1980) e Coelho (2005) ............................... 308

Anexo XXXVI Sinopse do livro de Leithold (1997) ............................................................. 309

Anexo XXXVII Sinopse dos livros de Barone (1988) e Banchoff (1992) ............................. 309

Anexo XXXVIII Solução da tarefa apresentada na Figura 23 .............................................. 311

Anexo XXXIX Solução da tarefa apresentada na Figura 24 .............................................. 312

Anexo XL Solução da tarefa apresentada na Figura 26 .............................................. 313

Anexo XLI Solução da tarefa apresentada na Figura 27 .............................................. 314

Anexo XLII Solução da tarefa apresentada na Figura 28 .............................................. 315

Anexo XLIII Solução da tarefa apresentada na Figura 29 .............................................. 316

Anexo XLIV Solução da tarefa apresentada na Figura 30 .............................................. 317

Anexo XLV Solução da tarefa apresentada na Figura 31 .............................................. 318

Anexo XLVI Solução da tarefa apresentada na Figura 32 .............................................. 319

Anexo XLVII Solução da tarefa apresentada na Figura 35 .............................................. 320

Anexo XLVIII Descrição dos livros de matemática segundo CNLDEM (2009) .................. 321

Anexo XLIX Definição das noções trabalhadas no Ensino Médio ................................... 323

xx

SUMÁRIO

Introdução ............................................................................................................ 023

Capítulo 1: Problemática, objetivo e metodologia da pesquisa 029

1.1 Contexto da pesquisa ................................................................................. 029

1.2 Problemática da pesquisa ........................................................................... 032

1.3 Objetivo da pesquisa ................................................................................... 034

1.4 Metodologia da pesquisa ............................................................................ 035

Capítulo 2: Referencial teórico da pesquisa 038

2.1 Considerações iniciais sobre o capítulo ...................................................... 038

2.2 A noção de quadro de Douady ................................................................... 040

2.3 A abordagem teórica em termos de nível de conhecimento e algumas noções da teoria antropológica do didático ................................................. 061

2.3.1 Os três níveis de conhecimento esperado dos estudantes, conforme Robert (1997, 1998) .......................................................... 062

2.3.2 Alguns elementos da teoria antropológica do didático ..................... 069

2.4 Considerações finais sobre o capítulo ........................................................ 076

Capítulo 3: Análise das relações institucionais esperadas – Ensino Médio 078


3.2 A noção de topos do professor e do estudante de Chevallard e Grenier ... 080

3.3 Novo Ensino Médio ..................................................................................... 081

3.4 Diretrizes curriculares nacionais para o Ensino Médio ............................... 083

3.4.1 Parâmetros curriculares nacionais para o Ensino Médio .................. 087

3.4.1.1 Parâmetros curriculares nacionais para o Ensino Médio (2000) ...................................................................................

087

3.4.1.2 Parâmetros curriculares nacionais (+) – Ensino Médio........ 091

3.4.2 Reflexões sobre a abordagem da noção de matriz no Ensino Médio 096

3.5 Orientações curriculares para o Ensino Médio ........................................... 097

xxi

3.6 Nova proposta curricular do Estado de São Paulo, 2008 ........................... 102


Capítulo 4: Análise das relações institucionais esperadas – Ensino Superior 111

4.1 Considerações iniciais sobre o capítulo....................................................... 111

4.2 Diretrizes curriculares nacionais para o curso de matemática .................... 112

4.3 Plano de ensino – Análise das noções de matrizes no E. Superior ............ 115

4.3.1 Universidade Presbiteriana Mackenzie ............................................. 116

4.3.2 Universidade Bandeirante de São Paulo .......................................... 124

4.3.3 Universidade Federal de São Carlos ................................................ 127

4.3.4 Universidade de São Paulo ............................................................... 130


Capítulo 5: Grade de análise 138


5.2 Exemplos das ferramentas didáticas que compõem a grade de análise .... 138

5.3 A grade de análise ...................................................................................... 156

5.4 Exemplos de funcionamento da grade de análise ...................................... 158


Capítulo 6: Análise das relações institucionais existentes 184


6.2 A análise das obras didáticas ..................................................................... 188

6.3 Análise da obra de Elon Lages Lima et al. .................................................. 189

6.3.1 Comentários e análise ...................................................................... 189

6.4 Análise da obra de Luiz Roberto Dante....................................................... 197


6.5 Análise do Caderno do aluno ...................................................................... 207


xxii

6.6 Análise da obra de Carlos Alberto Callioli et al. .......................................... 214


6.7 Análise da obra de Howard Anton .............................................................. 217


6.8 Considerações finais sobre o capítulo......................................................... 222

Capítulo 7: Análise das relações pessoais esperadas dos estudantes por meio das macroavaliações: SARESP, ENEM, FUVEST e ENADE 226


7.2 Relações institucionais esperadas e existentes x Relações pessoais esperadas ...................................................................................................

228 7.3 Análise das avaliações escolhidas .............................................................. 229

7.4 Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo – SARESP ......................................................................................................

230

7.4.1 Comentários e Análise .................................................................... 230

7.5 Exame Nacional do Ensino Médio .............................................................. 242

7.5.1 Comentários e Análise .................................................................... 242

7.6 Fundação Universitária para o Vestibular – FUVEST ................................. 244

7.6.1 Comentários e Análise ..................................................................... 244

7.7 Exame Nacional de Desempenho de Estudantes ....................................... 249

7.7.1 Comentários e Análise ..................................................................... 249


Considerações e perspectivas futuras .............................................................. 258

Referências bibliográficas .................................................................................. 263

Anexos .................................................................................................................. 273

23

INTRODUÇÃO

Quando estudante do Ensino Superior, fui capaz de observar que minhas

dificuldades na disciplina de Álgebra Linear estavam associadas à falta de

conhecimentos de algumas noções que não tinham sido introduzidas no Ensino

Médio ou que os conhecimentos de que eu dispunha não eram suficientes para

compreender os novos conceitos e articulá-los com os conhecimentos prévios que

se consideravam disponíveis, em particular, em Álgebra Linear.

Apesar de ser um impedimento para muitos estudantes, isso me estimulou a

procurar outros meios para resolver o problema, ou seja, identificava quais

conhecimentos eram necessários, mas naquela ocasião decorava alguns teoremas

para conseguir êxito nas avaliações propostas pelo professor. Devido à imaturidade

como estudante, não conseguia detectar os reais motivos relacionados àquele

“fracasso”: precisar decorar para alcançar sucesso na prova por não me apropriar do

conhecimento significativo das tarefas propostas em Álgebra Linear.

Na mesma época, já atuava como professor, em caráter excepcional, no Ensino

Fundamental e no Ensino Médio, nas disciplinas da área de ciências exatas, o que

me levou a estudar temas relacionados ao ensino da Matemática, não apenas para

aprender e conseguir sucesso no Ensino Superior, mas para ensinar, de modo

satisfatório, para os estudantes que estavam sob minha responsabilidade e de cuja

aprendizagem, naquele momento, eu era mediador.

Voltando à minha trajetória no Ensino Superior, observo que, na época, utilizava-

se o livro de Álgebra Linear de Callioli et al. e lembro-me de que o professor da

disciplina iniciava os conteúdos presentes na obra com as noções de sistemas

lineares, utilizando diretamente as regras do escalonamento, o que me fez desistir

algumas vezes, devido à falta de conhecimento relacionado às noções matriciais.

Ao refazer a disciplina, verificava, como estudante, que bastava decorar os

teoremas propostos no livro e pela professora e, por meio de técnicas, refazer de

modo parecido as tarefas associadas; e, assim, tinha como resultado a aprovação

na disciplina, com notas relativamente altas, mas que não refletiam o conhecimento

que eu poderia pelo menos mobilizar em relação às noções e aos conceitos

24

desenvolvidos naquela disciplina. Hoje percebo que as atitudes apresentadas por

mim e por meus colegas não eram adequadas para uma aprendizagem com

significado.

Ao concluir o curso de Matemática, trabalhei alguns anos como contratado, tendo

sido efetivado no ano de 2004, como professor de Matemática da rede de ensino do

estado de São Paulo.

No ano de 2006, a Secretaria de Estado da Educação de São Paulo ofereceu aos

professores de algumas áreas cursos de especialização, e tive a oportunidade de

cursar o proposto pela PUC-SP. Nesse momento, conheci amigos e professores que

me ajudaram a compreender as possíveis mudanças para o ensino da Matemática.

Nesse curso, foi abordada a questão do pensamento e sua relação com a

Educação Matemática e, após seu término, já Especialista em Educação

Matemática, comecei a atuar de forma diferente, agora preocupado em oferecer aos

alunos as reais possibilidades de ensino e aprendizagem, considerando a

importância do pensamento e do raciocínio matemático para os estudantes tanto do

Ensino Fundamental como do Ensino Médio.

O curso de Especialização possibilitou-me adotar novos paradigmas relacionados

ao ensino da Matemática e, como professor, atuar para que o estudante consiga,

pelo menos, mobilizar seus conhecimentos de forma significativa.

A partir da minha nova experiência, iniciei o mestrado acadêmico em Educação

Matemática e, em função das linhas de pesquisa e das propostas de cada uma

delas, escolhi a linha de Ensino e Aprendizagem de Matemática e suas Inovações,

por identificar-me com o projeto sobre a transição entre o Ensino Médio e o Superior,

que corresponde ao projeto mais amplo em que o meu projeto de pesquisa está

inscrito.

Assim, propus este trabalho, que tem como objetivo identificar as relações

institucionais esperadas, existentes e as relações pessoais que se supõe tenham

sido desenvolvidas no processo de ensino e aprendizagem das noções de matrizes,

suas operações e propriedades, na transição entre o Ensino Médio e o Superior.

25

O estudo dessas relações pode auxiliar professores e estudantes a melhor

compreender as dificuldades encontradas, quando da introdução da disciplina de

Álgebra Linear, de forma que os professores possam reconhecer quais

conhecimentos sobre matrizes, suas operações e propriedades podem servir de

apoio para o desenvolvimento dessa disciplina e para que os estudantes possam

encontrar outros meios para dedicar-se com autonomia a sua própria recuperação,

revisitando conhecimentos prévios supostos pelo menos mobilizáveis, quando

ingressam no Ensino Superior.

1Considerado o objetivo da pesquisa e justificada sua pertinência, escolhe-se

analisar, via documentos oficiais, tanto para o Ensino Médio como para o Ensino

Superior, as relações institucionais esperadas dos professores e dos estudantes

dessas duas etapas escolares, identificando o trabalho destinado a cada um deles

no processo de ensino e aprendizagem, considerando a noção de “topos”, que

significa o papel do professor e do estudante para o desenvolvimento das propostas

e das expectativas institucionais.

Analisam-se, ainda, as relações institucionais existentes, via livros didáticos e

materiais didáticos propostos nas relações institucionais esperadas, para verificar a

coerência entre essas duas relações e a possibilidade de considerar, como

conhecimentos prévios pelo menos mobilizáveis para apoiar a introdução das

noções de Álgebra Linear no Ensino Superior, o que se desenvolveu no Ensino

Médio. Para melhor identificar esses conhecimentos, estudam-se ainda as relações

pessoais esperadas dos estudantes e verificam-se quais as expectativas em relação

às marcas das relações institucionais sobre as pessoais, ou seja, o que realmente se

espera como conhecimento prévio dos estudantes que terminam o Ensino Médio,

em relação às noções de matrizes, suas operações e propriedades.

Sendo assim, propôs-se o método da análise documental, escolhendo para isso

os documentos oficiais que indicam o trabalho a ser realizado; por exemplo, a Nova

Proposta Curricular do Estado de São Paulo para o Ensino Médio e os planos de

ensino de algumas universidades para o Ensino Superior, entre outros documentos

1 Finalizada esta breve síntese de minha trajetória escolar pessoal e profissional, passo a relatar o desenvolvimento deste trabalho, que contou com a contribuição de muitos atores; por essa razão, o foco adotado passará a ser de terceira pessoa.

26

analisados e que correspondem às relações institucionais esperadas. Para a

análise das relações institucionais existentes e das relações pessoais esperadas dos

estudantes, utiliza-se o mesmo método e escolhem-se alguns livros didáticos do

Ensino Médio e do Superior e as macroavaliações que sobrevivem atualmente em

nosso sistema de ensino. Para essas análises, constrói-se uma grade de análise,

seguindo a forma apresentada por Dias (1998) em sua tese sobre a articulação de

ponto de vista cartesiano e paramétrico no ensino de Álgebra Linear.

Apresentado o projeto da pesquisa e seu desenvolvimento, iniciam-se a descrição

e a discussão do material estudado nos diferentes capítulos.

O primeiro capítulo expõe a problemática, o objetivo e a metodologia da pesquisa,

precedidos de um breve contexto que descreve a realidade e as dificuldades da

introdução de novos conceitos de Álgebra Linear por meio de trabalhos existentes, o

que permite expor a problemática desta pesquisa e os questionamentos que ajudam

a delimitar o objeto de pesquisa e seu objetivo; e propor a metodologia adequada

para seu desenvolvimento.

No segundo capítulo, apresenta-se o referencial teórico escolhido para

fundamentar as análises desenvolvidas na pesquisa. Ressalta-se que a noção de

quadro e mudança de quadro, conforme definição de Douady (1984, 1992), é central

para este trabalho, mas foi complementada pela Teoria Antropológica do Didático de

Chevallard (1992) e Bosch e Chevallard (1999) e pela abordagem teórica em termos

de níveis de conhecimento esperados dos estudantes, segundo definição de Robert

(1997, 1998), como outros meios para melhor compreender as expectativas

institucionais em relação ao que se espera do trabalho a ser desenvolvido por

professores e estudantes.

O terceiro capítulo trata das relações institucionais esperadas no Ensino Médio,

que foram analisadas, nos documentos oficiais para o Ensino Médio escolhidos para

o estudo, por meio da ferramenta didática “topos”, introduzida por Chevallard e

Grenier (1997).

No quarto capítulo apresentam-se as relações institucionais esperadas para o

Ensino Superior, seguindo a mesma forma de análise proposta no capítulo 3 para o

Ensino Médio.

27

No quinto capítulo apresenta-se a grade de análise com exemplos e as tarefas

usuais, que sobrevivem atualmente nas diferentes instituições. Essa grade é

utilizada para efetuar as análises das relações institucionais existentes e subsidiar

nas análises das relações pessoais esperadas dos estudantes que terminam o

Ensino Médio e o Superior.

O sexto capítulo trata das relações institucionais existentes tanto para o Ensino

Médio como para o Ensino Superior. Ali se analisam a pertinência e a coerência

dessas relações com as expectativas institucionais e os conhecimentos que podem

ser considerados como pelo menos mobilizáveis pelos estudantes num curso de

introdução à Álgebra Linear.

O sétimo e último capítulo trata das análises das macroavaliações que permitem

identificar, da mesma forma que no sexto capítulo, a pertinência e a coerência

dessas relações com o trabalho que se supõe venha sendo realizado no Ensino

Médio e as expectativas institucionais a serem desenvolvidas no Ensino Superior.

Nesse mesmo capítulo, apresentam-se as questões sobre Álgebra Linear

encontradas no exame de avaliação do Ensino Superior, o que permite colocar em

evidência as necessidades em termos das noções de matrizes e transformações

lineares desenvolvidas em Álgebra Linear e os conhecimentos prévios adquiridos no

Ensino Médio que podem auxiliar os estudantes a melhor compreender e interpretar

essas transformações.

Finalmente, apresentam-se as considerações finais e as perspectivas futuras,

mostrando o resultado das análises e as possibilidades reais de trabalho com os

conhecimentos prévios que se supõem disponíveis.

Aqui observa-se que a noção de matrizes, suas operações e propriedades mesmo

sendo desenvolvidas considerando os aspectos tecnológicos da teoria dos espaços

vetoriais, ou seja, para o conjunto das matrizes, são trabalhadas as operações de

adição e multiplicação por escalar com as respectivas propriedades, o que permite

utilizar esse conhecimento como apoio para a introdução da noção de espaço

vetorial.

A multiplicação de matrizes pode ser considerada uma ferramenta explícita pelo

menos mobilizável, quando da introdução da matriz de uma transformação linear. A

28

noção de transformação linear não é trabalhada explicitamente no Ensino Médio,

mas já existem materiais didáticos que utilizam esse conceito para motivar o estudo

das matrizes nessa etapa escolar, como o faz Dante (2004, 2005b).

Ressalta-se que o estudo da noção de matrizes, suas operações e propriedades,

assim como os procedimentos associados à sua introdução no Ensino Médio,

podem ser utilizados para alavancar o ensino da disciplina de Álgebra Linear, pois

os resultados deste estudo mostram que essas noções são consideradas nas

relações institucionais existentes e cobradas nas macroavaliações, enquanto

ferramentas explícitas para a execução de tarefas associadas a outras noções

matemáticas desenvolvidas no Ensino Médio. Portanto, este trabalho pode servir de

apoio para a introdução da Álgebra Linear em IRn no Ensino Superior, mas é preciso

avançar na pesquisa, de forma a encontrar novas tarefas e novas práticas que

permitam levar em conta as novas organizações dos conhecimentos, as novas

formas de pensar matematicamente, as novas linguagens e os novos modos de

comunicação próprios da disciplina e da formação matemática dos futuros

professores de matemática que, na realidade, correspondem às novas expectativas

institucionais impostas pela própria disciplina de Álgebra Linear, quando de sua

introdução no Ensino Superior.

29

CAPÍTULO 1 PROBLEMÁTICA, OBJETIVO E METODOLOGIA DA PESQUISA

1.1 Contexto da pesquisa

O interesse em pesquisar sobre as noções de matrizes, suas operações e

propriedades na transição entre o Ensino Médio e o Superior é advindo

primeiramente da minha experiência enquanto estudante, quando precisei procurar

diferentes meios para recuperar conceitos e noções que não eram disponíveis

quando iniciei meus estudos universitários.

Além disso, em minha prática em sala de aula, tenho vivenciado esse problema,

pois muitos de meus alunos não são capazes de sequer mobiliar conhecimentos que

se supõe tenham sido trabalhados nas séries anteriores, seja porque realmente não

foram tratados ou pela forma com que foram desenvolvidos, em função das várias

organizações matemáticas e didáticas a que foram submetidos.

Ao iniciar o mestrado em Educação Matemática e ao acompanhar a apresentação

dos projetos dos diferentes grupos, interessei-me pelo projeto CAPES–COFECUB,

mais especificamente, pelo eixo que desenvolve um estudo sobre a transição entre o

Ensino Médio e o Superior e cuja proposta é pesquisar as questões associadas a

essa transição para dois domínios da Matemática: Álgebra Linear e Análise

Matemática.

Dessa forma, escolheu-se estudar os problemas dessa transição para uma noção

específica, ou seja, a noção de matriz, suas operações e propriedades e sua

aplicação enquanto ferramenta explícita do trabalho matemático para o ensino do

conceito de transformação linear.

Alguns trabalhos já vêm sendo realizados nesse sentido e considera-se que as afirmações de Artigue (2004), ao analisar as condições do ensino universitário na França, são muito próximas às encontradas nas universidades brasileiras. Segundo a autora, existem muitos desafios, dos quais ela ressalta três que indicam a necessidade de atenção dos pesquisadores de Educação Matemática, a saber:

- uma massificação do ensino que confronta a universidade com públicos diferentes daqueles que ela estava habituada a receber;

30

- uma crescente defasagem em relação ao ensino secundário que, sendo o primeiro a sentir os efeitos da massificação, tentou adaptar-se a essa nova realidade, buscando atualizar tanto as propostas curriculares quanto as práticas pedagógicas;

- uma evolução tecnológica que afeta não só as práticas matemáticas, mas também os meios de ação didática.

A autora afirma ainda que, frequentemente, os professores universitários desconhecem as evoluções do ensino secundário e rejeitam o uso de recursos tecnológicos familiares aos estudantes do secundário. Essa situação também se assemelha ao contexto brasileiro.

Como já se observou acima, os desafios apresentados pela autora não são específicos do contexto francês. Diferentes trabalhos de pesquisa desenvolvidos na França, no Brasil e em outros países sobre essas questões da transição entre o Ensino Médio e o Superior permitem compreender alguns desses desafios e projetar possíveis respostas (ARTIGUE, 2001; ARTIGUE; DIAS, 1995; CAMPOS, 2005; DIAS et al., 2008; GUEUDET, 2007).

Além disso, essas pesquisas mostram que as respostas, quando existem, não são universais, pois estão relacionadas às diversas culturas de ensino e às condições com as quais os diferentes sistemas de ensino devem lidar. Mas essa diversidade é, ao mesmo tempo, uma oportunidade, pois ela nos ajuda a questionar aquilo que, por razões históricas e culturais, aparece frequentemente como próprio da situação e não problemático, conforme Artigue (2004).

No caso específico do sistema educativo brasileiro, sabe-se, por meio de

inúmeras macroavaliações institucionais, que essa transição é vivida entre

estudantes e professores de forma problemática, pois, de um lado, encontra-se o

estudante, que tem dificuldades em mobilizar as noções básicas; e, de outro, o

professor, que tenta entender qual a verdadeira problemática com relação ao

processo ensino e aprendizagem e está sempre procurando novos meios de tratar

esse problema.

É fato que existem problemas específicos, no que diz respeito à disciplina de

Álgebra Linear, mas escolhe-se estudar a noção de matriz, suas operações e

propriedades, pois é uma ferramenta importante num curso de introdução à Álgebra

Linear, em particular, quando se considera a matriz de uma transformação linear.

31

Isso conduz ao estudo das relações institucionais esperadas e existentes no

Ensino Médio e no Ensino Superior, ou seja, dos diferentes tipos de tarefas e das

técnicas associadas desenvolvidos no Ensino Médio e das tecnologias usadas para

descrever, explicar e justificar essas técnicas. O objetivo é compreender como se

pode trabalhar esses conceitos em Álgebra Linear — mais especificamente, quando

se considera o curso de Licenciatura em Matemática —, de forma a articular os

conhecimentos desenvolvidos no Ensino Médio, que podem ser considerados como

conhecimentos prévios pelo menos disponíveis para aqueles que ingressam no

Ensino Superior.

Os resultados desta pesquisa podem auxiliar na proposta de um curso de Álgebra

Linear em que os conhecimentos prévios em relação à noção de matriz, suas

operações e propriedades servem de ferramenta explícita para o desenvolvimento

dos conceitos dessa disciplina e tornam-se, assim, mais elaborados e estáveis em

termos de significado; e, por sua interação com os novos conhecimentos,

possibilitam que estes últimos adquiram significado para o aprendiz, como afirma

Moreira (2005).

Dessa forma, o estudo comparado das propostas institucionais para o Ensino

Médio e o Superior, que corresponde às relações institucionais esperadas, e a

análise dos livros didáticos indicados para essas duas etapas escolares podem

auxiliar a compreender o que pode ser mudado para auxiliar os estudantes dos

cursos de licenciatura em matemática a identificar nas teorias desenvolvidas no

Ensino Superior as técnicas e as tecnologias utilizadas no Ensino Médio, como

exposto acima. Isso poderá conduzi-los a escolher a discussão mais adequada para

descrever e explicar o futuro trabalho matricial com seus estudantes.

Observa-se aqui que esta investigação é inovadora no contexto brasileiro, uma

vez que não se encontrou nenhum documento que trate da transição entre o Ensino

Médio e o Ensino Superior relacionado às noções de matrizes, suas operações e

propriedades. Nem mesmo os trabalhos de Álgebra Linear tratam do tema da

transição entre o Ensino Médio e o Ensino Superior para as noções matriciais,

procurando selecionar os conhecimentos desenvolvidos no Ensino Médio que

podem ser revisitados no Ensino Superior e apoiar a introdução de novos

conhecimentos.

32

Apresentado o contexto da pesquisa, passa-se à descrição da problemática.

1.2 Problemática da Pesquisa

Nesta pesquisa procura-se identificar, por meio do estudo documental das

relações institucionais esperadas e existentes, como estão sendo articuladas as

noções matriciais, suas operações e propriedades e entender, por meio do estudo

das macroavaliações, quais as relações pessoais esperadas dos estudantes que

terminam o Ensino Médio. Este estudo pode auxiliar a proposta de novas tarefas que

mobilizem e articulem conhecimentos prévios desenvolvidos no Ensino Médio e que

podem servir de apoio para o desenvolvimento de um curso introdutório de Álgebra

Linear, em particular, quando se estuda o conceito de matriz de uma transformação

linear.

Dessa forma, pode-se trabalhar com as possíveis e reais dificuldades enfrentadas

pelos estudantes na transição entre o Ensino Médio e o Superior, pois as avaliações

institucionais, que na pesquisa são utilizadas para estudar a conformidade entre o

que se propõe e o que se espera como conhecimento pelo menos mobilizável dos

estudantes, auxiliam na identificação do que realmente pode ser considerado como

conhecimento prévio de apoio à introdução da matriz de uma transformação linear

no Ensino Superior.

Observa-se aqui que as macroavaliações são uma forma de considerar as

dificuldades encontradas pelos estudantes no processo de ensino e aprendizagem

da Álgebra Linear, pois, muitas vezes, eles se submetem a decorar os teoremas, os

procedimentos e os métodos desenvolvidos na disciplina, para obter êxito nas

avaliações, mas não são capazes de descrever, explicar, justificar e controlar o

trabalho realizado, o que se torna evidente quando os estudantes são confrontados

com tarefas em que precisam buscar, entre seus conhecimentos, aquele que permite

solucionar a questão.

Considerando o trabalho de Oliveira (2005, p. 12), que afirma haver “[...] grandes

dificuldades apresentadas pelos alunos na aprendizagem das noções elementares

da Álgebra Linear”, colocam-se as seguintes questões: Quais são estas noções

elementares? É possível desenvolver um rol de tarefas que possibilitem aos

33

estudantes ao menos articular as noções básicas como ferramentas explícitas para

desenvolver tarefas da Álgebra Linear?

A partir deste questionamento inicial, considera-se, nesta pesquisa, que o

trabalho introduzido no Ensino Médio sobre as noções de matrizes, suas operações

e propriedades, pode favorecer o processo de ensino e aprendizagem na disciplina

de Álgebra Linear; ou seja, pode oferecer meios que possibilitem aos estudantes

utilizar os conhecimentos desenvolvidos no Ensino Médio como prévios, pelo menos

mobilizáveis, na introdução de novos conhecimentos no Ensino Superior, pois tais

conhecimentos prévios servem de subsunçores2, quando interagem com novos

conhecimentos, como afirma Moreira (2005).

Isso conduziu ao seguinte questionamento:

1º) É possível construir um rol de tarefas sobre as noções matriciais, suas

operações e propriedades, para que o estudante possa mobilizar os

conhecimentos adquiridos no Ensino Médio, utilizando-os como conhecimentos

prévios, funcionando como ferramentas explícitas, quando da introdução de novos

conceitos associados à disciplina de Álgebra Linear?

2º) A análise de tarefas por meio de uma grade de análise pode facilitar esse

trabalho e provocar a reflexão?

Esses dois questionamentos são importantes, pois as avaliações institucionais

têm mostrado uma defasagem entre os conhecimentos esperados dos estudantes

que iniciam o Ensino Superior e o que eles são realmente capazes de mobilizar.

Dessa forma, nesta pesquisa procura-se compreender que conhecimentos

associados à noção de matriz, suas operações e propriedades, podem ser

considerados como pelo menos mobilizáveis, quando se introduzem os conceitos e

as propriedades associados à Álgebra Linear, em particular, na introdução da noção

de matriz de uma transformação linear que está associada à composta por duas

transformações lineares.

2 “Os conhecimentos relevantes da estrutura cognitiva que servem de ancoradouro para a nova informação são denominados subsunçores” (MOREIRA, 2005, p.7).

34

Sendo assim, com relação aos questionamentos acima, esta pesquisa está

subsidiada pelo questionamento mais específico, considerado em função da noção

escolhida para ser nela desenvolvida:

i) A noção de matriz, suas operações e propriedades são propostas para serem

trabalhadas com os estudantes do Ensino Médio?

ii) Que nível de conhecimento é esperado dos estudantes para o trabalho com

essas noções?

iii) Quais as relações institucionais esperadas e existentes para o

desenvolvimento dessas noções no Ensino Médio?

iv) Os estudantes do Ensino Médio são ao menos capazes de mobilizar os

conhecimentos de matrizes, suas operações e propriedades, quando terminam o

Ensino Médio? Isto é, que relações pessoais eles desenvolvem em função das

relações institucionais esperadas e existentes?

v) É possível determinar um sistema de tarefas e práticas utilizadas no Ensino

Médio que possam servir de apoio para o trabalho em Álgebra Linear no Ensino

Superior, em particular, quando se trata do objeto matemático: transformações

lineares e o espaço das matrizes?

Dessa forma, nesta pesquisa, analisam-se as deficiências relativas ao ensino da

matemática na transição entre o Ensino Médio e o Ensino Superior, no que se refere

às noções de matrizes, suas operações e propriedades e a sua relação com as

possíveis dificuldades encontradas pelos estudantes do Ensino Superior, em função

das organizações matemáticas e didáticas propostas.

A seguir, descreve-se o objetivo da pesquisa.

1.3 Objetivo da Pesquisa

O objetivo desta pesquisa é identificar, por meio de uma análise documental, as

propostas para as diferentes relações institucionais esperadas e existentes para o

tratamento das noções de matrizes, suas operações e propriedades; descrever

algumas tarefas identificadas para a introdução dessa noção no Ensino Médio; e,

35

por meio do mesmo estudo, em relação ao trabalho a ser realizado na disciplina de

Álgebra Linear no Ensino Superior, verificar a possibilidade de utilizar, como

subsunçores para o desenvolvimento dessa disciplina, o que se supõe como

conhecimento prévio pelo menos mobilizável pelos estudantes do primeiro ano do

curso de Licenciatura em Matemática.

Observa-se que a representação da transformação linear por uma matriz permite

estudar as operações com essas transformações por meio das operações de

matrizes, o que, muitas vezes, facilita o cálculo, como é o caso da transformação

composta que, quando definida por meio das matrizes das transformações que a

compõem, exige apenas que o estudante mobilize seus conhecimentos sobre a

multiplicação de matrizes e suas propriedades. Isso mostra a importância das

matrizes das transformações lineares e da utilização da ferramenta matriz, suas

operações e propriedades. Esse trabalho, certamente, pode ser desenvolvido com o

apoio dos conhecimentos que se supõem trabalhados no Ensino Médio.

Apresentado o objetivo da pesquisa, passa-se à metodologia utilizada para

executá-la.

1.4 Metodologia da Pesquisa

Escolheu-se desenvolver neste estudo uma pesquisa documental para identificar

as relações institucionais esperadas e existentes para o processo de ensino e

aprendizagem das noções de matriz, suas operações e propriedades na transição

entre Ensino Médio e o Superior e verificar as regularidades e as diferenças

existentes entre as relações pessoais que se espera que os estudantes

desenvolvam e o que lhes é proposto.

Para isso, utilizam-se os documentos oficiais para o Ensino Médio: Diretrizes

Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 1998), Parâmetros Curriculares

Nacionais para o Ensino Médio (BRASIL, 2000, 2002), Orientações Curriculares para

o Ensino Médio (BRASIL, 2006) e Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo

(SÃO PAULO, 2008); e para o Ensino Superior: Diretrizes Curriculares Nacionais

para os Cursos de Matemática (BRASIL, 2001), Lei 1302, aprovada em 06 de

novembro de 2001, além dos planos de ensino da disciplina de Álgebra Linear das

36

universidades: Universidade Presbiteriana Mackenzie, Universidade Bandeirante do

Brasil, Universidade Federal de São Carlos e Universidade de São Paulo. Esses

documentos permitem a análise das relações institucionais esperadas.

As relações institucionais existentes são analisadas por meio de livros didáticos

indicados no Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio (PNLEM –

2009), dos quais foram escolhidos para análise: A Matemática do Ensino Médio, de

Elon Lages Lima et al. (2006); Matemática, de Luiz Roberto Dante (2005b); e o

Caderno do Estudante, da Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo (SÃO

PAULO, 2008 – 2009). Para o Ensino Superior, as obras selecionadas são: Álgebra

linear e aplicações, de Callioli, C. A. et al. (1983) e Álgebra linear contemporânea, de

Anton, H. et al., tradução de Claus Ivo Doering (2006).

Para as relações pessoais esperadas dos estudantes foram consideradas as

seguintes macroavaliações para o Ensino Médio: Avaliação do Rendimento Escolar

do Estado de São Paulo – SARESP, Exame Nacional do Ensino Médio – ENEM,

exame da Fundação Universitária para o Vestibular – FUVEST. Para o Ensino

Superior, escolheu-se o Exame Nacional de Desempenho de Estudantes – ENADE.

O estudo foi desenvolvido em sete fases:

1. Estudo dos trabalhos de pesquisa existentes, no contexto brasileiro, francês e outros, sobre a problemática em questão, ou seja, a transição entre o Ensino Médio e o Superior.

2. Escolha e estudo do referencial teórico adotado como ferramenta de análise para a pesquisa.

3. Análise das relações institucionais esperadas de professores e estudantes do Ensino Médio e Superior, para a introdução da noção de matriz, suas operações e propriedades, via documentos oficiais descritos acima.

4. Construção de uma grade de análise, inspirada na grade de Dias (1998), para análise das relações institucionais existentes. A grade de análise é um instrumento para identificar tanto as relações institucionais esperadas e existentes como as expectativas em termos de conhecimentos prévios esperados dos estudantes que iniciam o curso superior, ou seja, o que se supõe tenha sido trabalhado no Ensino Médio e pode servir de base aos professores do Ensino Superior que, em geral, desconhecem as novas propostas do Ensino Médio e têm

37

dificuldade em identificar os conhecimentos em que se devem apoiar, quando constroem seus planos de ensino.

5. Análise das relações institucionais existentes, por meio da grade de análise construída com esse objetivo, via livros didáticos indicados acima.

6. Análise das relações pessoais esperadas dos estudantes via macroavaliações, apresentadas anteriormente.

7. Análise comparativa dos resultados encontrados.

Apresentados o contexto, a problemática, o objetivo e a metodologia da pesquisa, considerar-se-á, no capítulo que segue o referencial teórico escolhido para desenvolver as análises propostas.

38

CAPÍTULO 2 REFERENCIAL TEÓRICO DA PESQUISA

2.1 Considerações iniciais sobre o capítulo

Este trabalho tem por objetivo analisar as relações institucionais esperadas e

existentes no processo de ensino e aprendizagem da noção de matriz, suas

operações e propriedades que, em geral, são introduzidas no Ensino Médio e

revisitadas no Ensino Superior.

Essa análise é executada por meio do estudo das propostas institucionais e de

livros didáticos que servem de material de apoio para professores e estudantes do

Ensino Médio e do Superior e das avaliações institucionais que permitem identificar

as relações pessoais esperadas dos estudantes, comparar as expectativas

institucionais com as pessoais e verificar se são coerentes.

Tenta-se compreender como o objeto matriz é introduzido no Ensino Médio e

quais conhecimentos podem auxiliar na introdução das noções dos conteúdos

desenvolvidos na disciplina Álgebra Linear no Ensino Superior.

Para isso, escolhem-se algumas ferramentas de análise didática como referencial

teórico para efetuar os estudos propostos. Inicia-se pela noção de quadro e

mudança de quadro, conforme definição de Douady (1984, 1992), que é considerada

central nesta pesquisa, pois nela trabalha-se a noção de matriz como objeto

matemático, estudando suas propriedades e teoremas; ou seja, ela é considerada

no que denominamos quadro das matrizes. É importante lembrar que as matrizes

podem ser utilizadas apenas como ferramentas para a resolução de problemas de

outros quadros, como, por exemplo, quando elas são usadas para resolver tarefas

que se encontram no quadro dos sistemas lineares.

Isso mostra o papel dessa noção nesta pesquisa, pois uma análise que considera

a possibilidade de mudança de quadro permite identificar os diferentes quadros

introduzidos no Ensino Médio, as noções, as propriedades e os teoremas a eles

associados, assim como as articulações consideradas nessa etapa de ensino.

Portanto, os pressupostos teóricos, segundo Douady (1984, 1992), estão sendo

tomados nesta pesquisa como referencial teórico central.

39

Além da noção de quadro e de mudança de quadro, escolhe-se como referencial

teórico de apoio a Teoria Antropológica do Didático de Chevallard (1992) e Bosch e

Chevallard (1999), em que um dos conceitos didáticos desenvolvidos é a noção de

relação institucional e relação pessoal, que permite identificar, nos documentos

oficiais — como as Diretrizes Curriculares Nacionais do Ensino Médio (BRASIL,

1998a), os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (BRASIL, 2000b,

2002), as Orientações Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (BRASIL, 2006),

a Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2008), as

Diretrizes Curriculares para o Ensino Superior (BRASIL, 2001) e os Planos de

Ensino das Universidades investigadas —, as relações institucionais que

denominamos esperadas, por constituírem, todas elas, propostas a serem

executadas em conjunto pelo professor e estudante. Também os livros e os

materiais didáticos para as duas modalidades de ensino que são tratados nessa

pesquisa como relação institucional existente, por serem um trabalho construído por

meio das propostas e dos documentos oficiais.

Observa-se que os documentos oficiais são analisados por meio da noção de

“topos”, conforme definição de Chevallard e Grenier (1997); para os livros didáticos,

utiliza-se a noção de organização praxeológica, pois esta diz respeito aos tipos de

tarefas, técnicas, tecnologias e teorias, ou seja, por meio destas são descritas as

organizações que são desenvolvidas por meio dos ostensivos e não ostensivos que

as sustentam.

Para refinar as análises, utiliza-se ainda como referencial teórico de apoio a

noção de níveis de conhecimento esperados dos estudantes, conforme definição de

Robert (1997, 1998), pois esses níveis podem fornecer a percepção das

expectativas em relação aos estudantes, em função das necessidades de aplicação

de um determinado conceito matemático, ou seja, podem indicar o que se espera

sobre a utilização de uma definição ou a mobilização correta do conceito; ou, ainda,

a escolha e o uso apropriado de uma determinada noção e seus métodos para a

resolução de uma tarefa em que o conceito não aparece explicitamente.

Apresenta-se, abaixo, uma breve descrição da abordagem teórica, em termos de

quadro e mudança de quadros, segundo Douady (1984, 1992), a qual, como já

enunciado, é utilizada e considerada como referencial teórico central nesta pesquisa.

40

2.2 A noção de quadro de Douady.

Na perspectiva de uma teorização didática e fundamentada sobre a análise

epistemológica do trabalho do matemático profissional, Douady (1984) transpõe para

o ensino as características dessa forma de atuar do profissional, colocando em

evidência:

- a dualidade dos conceitos matemáticos, em geral, funcionando como

ferramentas implícitas e, em seguida, explícitas da atividade matemática, antes de

adquirirem o status de objeto e de serem trabalhados como tal;

- o papel desempenhado pelas mudanças de quadros nas atividades e na

produção matemática.

Segundo Douady (1984), os conceitos matemáticos podem ser trabalhados a

princípio como ferramentas implícitas, ou seja, implícitas antes de adquirirem o

status de objetos de um determinado quadro.

Para a autora, a mudança de quadro é um meio de obter diferentes formulações

de um dado problema, permitindo uma nova forma para resolução das tarefas

apresentadas. Quando os conhecimentos de certo quadro não são suficientes para a

solução da atividade apresentada, o estudante pode efetuar uma mudança de

quadro para avançar na situação oferecida. O professor, ao lançar uma atividade,

pode supor que ela apresente, para um determinado grupo de estudantes, maior

dificuldade de interpretação em um quadro do que em outro; por isso, o professor

pode propor o trabalho no quadro que supõe mais adequado e, em seguida, voltar

ao quadro em que deseja que a situação seja desenvolvida.

É possível identificar, no trabalho de Douady, que a noção de “quadro” tratada por

ela corresponde aos objetos que pertencem a um ramo da matemática. No caso

desta pesquisa, há, por exemplo, o quadro das matrizes, que são as definições, os

teoremas e as propriedades dos objetos matrizes formulados especificamente e que

permitem construir as imagens mentais associadas à noção de matriz, a suas

operações e propriedades.

41

Apresenta-se, a seguir, a noção de quadro segundo definição de Douady (1992),

seguida de um exemplo associado à noção de matriz, que auxilia a esclarecer esta

noção.

Um quadro é:

[...] constituído de objetos de um ramo das matemáticas, das relações entre

os objetos, de suas formulações eventualmente diversas e das imagens

mentais associadas a esses objetos e essas relações. Essas imagens têm

um papel essencial e funcionam como ferramentas dos objetos do quadro.

Dois quadros podem conter os mesmos objetos e diferir pelas imagens

mentais e problemáticas desenvolvidas. (DOUADY, 1992, apud ANDRADE,

2006, p. 14).

Para exemplificar essa definição, segue a tarefa que se encontra na Figura

abaixo, extraída da obra de Giovanni (2000, p. 105), que corresponde a uma

questão de vestibular da EFEI-MG3.

Verifica-se que a questão da Figura 1 é enunciada no quadro das matrizes

algébricas, pois sua solução exige que o estudante disponha de conhecimentos

sobre o cálculo do valor numérico de uma função e das operações no conjunto dos

números reais, sendo preciso identificar, por exemplo, que a11 = i2, e substituir i por 1

no primeiro elemento da matriz; e assim sucessivamente. Após os cálculos,

encontra-se uma matriz numérica, ou seja, pertencente ao quadro das matrizes

numéricas, em que os coeficientes são números reais.

Douady define mudança de quadro como:

3 EFEI‐MG: Escola Federal de Engenharia Itajubá – Minas Gerais.

(EFEI-MG) Encontre a matriz A=(aij)2x2 tal que A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

− jjii

222

Figura 01: Tarefa de vestibular. Fonte: Giovanni, 2000. p. 105.

42

[...] um meio de obter formulações diferentes de um problema que por ser,

necessariamente, equivalente, permitem um novo acesso às dificuldades

encontradas para fazer funcionar as ferramentas e técnicas que não se

impunham na primeira formulação. Quaisquer que sejam as traduções de

um quadro em outro, elas terminam sempre em resultados desconhecidos,

em novas técnicas, na criação de novos objetos matemáticos, em suma, no

enriquecimento do quadro original e dos quadros auxiliares de trabalho.

(DOUADY, 1992, apud ANDRADE, 2006, p. 15).

Assim, conforme Douady (1992), mudança de quadro pode ser entendida como

um meio de apresentar uma formulação diferente, mas equivalente; ou seja,

conforme exemplo da questão da Figura 1, enuncia-se a matriz, no quadro das

matrizes algébricas, e solicita-se ao estudante escrevê-la numericamente. Portanto,

o estudante deverá efetuar uma mudança, mas com relação ao mesmo objeto

inicialmente formulado. Observa-se que, para uma nova reescrita, o estudante

deverá utilizar ferramentas e técnicas associadas ao quadro algébrico e numérico.

Para melhor explicitar o exemplo, segue no Anexo I a solução4 da questão (Figura

1), em que é possível observar a passagem do quadro algébrico para o quadro

numérico por meio dos ostensivos que a representam.

Para a solução apresentada, o estudante deve partir da matriz fornecida e, por

meio de técnicas, efetuar algumas formulações, com o objetivo de solucionar o que

se pede, ou seja, encontrar o valor numérico de cada elemento inicialmente disposto

em termos algébricos.

Considerando ainda a noção de matriz, para melhor explicitar o conceito de

quadro e a questão da mudança de quadro, escolhem-se também as tarefas abaixo,

em que se utilizam situações contextualizadas que, em geral, fazem parte do

cotidiano dos brasileiros. As tarefas consistem em: efetuar a mudança do quadro de

um contexto da vida cotidiana para o quadro matricial numérico, verificando,

durantes três meses, o consumo — por uma determinada família — de arroz, feijão,

carne e legumes; a outra tarefa consiste em determinar o país vencedor de um

campeonato, no caso, a Copa do Mundo de futebol.

4 Elaborada pelo pesquisador, sendo um dos métodos que pode ser escolhido pelo estudante.

43

Primeiro exemplo: A tabela a seguir mostra o consumo mensal, em quilogramas,

de quatro alimentos básicos, durante um trimestre, por uma família. (GIOVANNI,

2000, p. 101).

ABRIL MAIO JUNHO ARROZ 10 8 9 FEIJÃO 4 5 6 CARNE 5 7 10

LEGUMES 12 11 6

Para encontrar, por exemplo, a quantidade de carne consumida por essa família

no mês de maio, basta procurar o número localizado na 3ª linha e na 2ª coluna da

tabela: 7 quilogramas.

Outro elemento é o número 12, situado na 4ª linha e na 1ª coluna da tabela, que

representa o consumo de legumes no mês de abril.

Esse caso permite que o estudante mobilize seus conhecimentos relacionados à

posição, na linha e na coluna da tabela, de cada elemento apresentado no quadro

numérico. Essa mesma situação poderia ser considerada no quadro matricial

numérico, cabendo uma discussão para introduzir uma outra forma de representação

por meio da notação matricial, como segue.

Para representar essa tabela no quadro matricial numérico, usa-se um par de

parênteses ou um par de colchetes.

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

6111210756549810

ou

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

6111210756549810

Observa-se que este tipo de exemplo tem como objetivo efetuar a introdução do

quadro matricial numérico, fazendo com que o estudante localize a posição de

determinado elemento. A seguir, apresenta-se um outro exemplo, envolvendo a

multiplicação entre duas matrizes.

Segundo exemplo: Durante a primeira fase da Copa do Mundo de futebol,

realizada no Japão e na Coréia do Sul em 2002, o grupo C era formado por quatro

países: Brasil, Turquia, Costa Rica e China. Observe os resultados (número de

44

vitórias, empates e derrotas) de cada um, registrados em uma tabela (DANTE,

2005b, p. 246-247):

VITÓRIAS EMPATES DERROTABRASIL 3 0 0

TURQUIA 1 1 1 COSTA RICA 1 1 1

CHINA 0 0 3

Pelo regulamento da Copa, cada resultado (vitória, empate ou derrota) tem

pontuação correspondente (3 pontos, 1 ponto ou 0 pontos). Veja esse fato registrado

em uma tabela:

PONTOS VITÓRIA 3 EMPATE 1

DERROTA 0

Terminada a primeira fase, foi computado o total de pontos feitos por cada

país. Essa pontuação pode ser apresentada numa tabela que representará o

produto da primeira pela segunda tabela:

POSIÇÃO PONTUAÇÃO TOTAL (T=3v+1e+0d)

1ª) BRASIL 3.3+0.1+0.0 = 9 2ª) TURQUIA 1.3+1.1+1.0 = 4 3ª) COSTA RICA 1.3+1.1+1.0 = 4 4ª) CHINA 0.3+0.1+3.0 = 0

No caso em questão, partindo dos dados de cada país, utiliza-se a fórmula de

cálculo para determinar o vencedor, isto é, trabalha-se apenas no quadro numérico e utilizam-se as regras do cálculo literal quando se substituem os valores na fórmula

dada.

Essa mesma situação poderia ser considerada no quadro matricial numérico para

motivar a multiplicação de duas matrizes. Observa-se, aqui, a importância da

discussão, antes de introduzir a noção de matriz, a respeito dos pontos ganhos e do

vetor de valores para cada seleção no quadro numérico registrado por meio das

tabelas. Essa mudança de quadro serve para mostrar, por exemplo, uma forma mais

simples de construir um programa para o computador calcular a seleção vencedora,

45

Abaixo apresenta-se a matriz dos pontos, em que a primeira coluna representa as

vitórias; a segunda coluna, os empates; e a terceira coluna, as derrotas. As linhas

correspondem às diferentes seleções de futebol. ⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

300111111003

Considera-se, a seguir, o vetor, cuja primeira linha representa os pontos para

cada vitória; a segunda linha, os pontos para cada empate; e a terceira linha, os

pontos para as derrotas. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

013

Multiplicando as duas matrizes ⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

300111111003

.⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

013

, obtém-se uma matriz 4x1, cuja

primeira linha representa o número de pontos da primeira seleção da lista, a saber:

3.3 + 0.1 + 0.0; e assim, sucessivamente. Esse exemplo também pode ser utilizado

para a introdução da representação matricial de sistemas de equações lineares, em

que o vetor pode ser substituído por ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

dev

, sendo v a pontuação da vitória, e a

pontuação do empate e d a pontuação da derrota. Certamente, nesse momento a

noção de matriz e a multiplicação de duas matrizes é disponível e trabalhada como

ferramenta explícita do trabalho matemático, por já ter sido desenvolvida como

objeto matemático no quadro das matrizes.

Observa-se ainda que no Ensino Médio, apesar da possibilidade de aplicação em

informática, esse modelo só serve para motivar a introdução da multiplicação de

matrizes, que terá outras aplicações tanto na própria matemática como nas outras

ciências.

Os exemplos apresentados deixam evidente que a transposição do trabalho dos

matemáticos proposta por Douady (1992) necessita de uma construção da parte do

professor para que possa funcionar, quando necessário. Eles servem também para

46

mostrar como funcionam os conceitos de ferramenta implícita, ferramenta explícita e

objeto matemático definidos por Douady, pois, quando se considera a matriz das

vitórias, dos empates e das derrotas dos diferentes países e o vetor unitário, que

também pode ser considerado uma matriz, tomando o segundo exemplo verifica-se

que o mesmo serve apenas como ferramenta para os cálculos desejados no quadro

numérico, que, em seguida, é explicitada por meio da noção de multiplicação de

matrizes, que corresponde a um objeto matemático do quadro das matrizes5.

Observa-se, assim, que Douady (1984, 1992), ao introduzir a noção de quadro,

define os conceitos de ferramenta implícita, ferramenta explícita e objeto, antes de

considerar o que ela denomina dialética, ferramenta, objeto e jogos de quadros.

Para Douady (1992), as noções de ferramentas implícitas e explícitas são estas:

Ferramenta: implícita e explícita: Uma ferramenta pode ser implícita, se

ela corresponde a um conceito em elaboração, e isto pode durar vários

anos. Uma ferramenta pode ser explícita se ela corresponde a uma

utilização intencional de um objeto para resolver um problema. (DOUADY,

1992, apud ANDRADE, 2006, p. 12)

Conforme definição de Douady, entende-se que, quando o estudante, ao deparar-

se com determinada tarefa, utiliza seus conhecimentos prévios para resolvê-la, sem

associá-la a sua respectiva noção, está fazendo uso de uma ferramenta implícita.

Para ficar mais evidente a idéia, apresenta-se, na Figura 2, a seguir, uma tarefa

resolvida, extraída do livro didático de Dante (2005a), da sétima série (8º ano) do

Ensino Fundamental.

A tarefa da Figura 2 pode ser solucionada por vários métodos, ou seja, para um

estudante em um estágio inicial, poderão ser utilizados seus conhecimentos prévios

5 Quadro das matrizes: nesta pesquisa trabalha‐se com o quadro matricial algébrico e o quadro matricial numérico, conforme definição no decorrer do capítulo.

“Num quintal há galinhas e coelhos. Há 7 cabeças e 22 patas. Quantas são as galinhas? E os coelhos?”

Figura 2: Tarefa sobre ferramenta implícita e explícita. Fonte: Dante, 2005a, p. 128.

47

para resolvê-la, sem necessidade de escrever o exemplo — que se encontra em

linguagem natural6 — por meio de um sistema de equações lineares nem de utilizar

ferramentas como matrizes e determinantes para solucioná-la, conforme solução

desenvolvida pelo pesquisador (Anexo II).

Percebe-se, na solução proposta (Anexo II), que o estudante está iniciando o

processo de mobilização dos conhecimentos relacionados ao conceito de sistema

linear; assim, utiliza-se de outras ferramentas que estão disponíveis. Para essa

solução, basta que o estudante tenha noção das regras do cálculo literal para

efetuar as sucessivas substituições e operações, determinando a quantidade de

animais solicitada. Portanto, entende-se que o conceito de matriz, de sistema linear

e suas ferramentas para resolução encontram-se implícitos. Mas o estudante pode

utilizar algumas noções de forma intencional, assim como alguns objetos. Pode, por

exemplo, escrever o problema da Figura 2 — que se encontra na linguagem natural

— por meio de um sistema de equações lineares e utilizar algumas ferramentas a

sua escolha para resolução; entre essas, a matriz e o processo escalonado. No

Anexo III, registram-se algumas soluções, que correspondem ao método

denominado, da adição, da substituição e da comparação, quando se introduz a

noção de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas no Ensino

Fundamental.

Observa-se que, na resolução desenvolvida pelo pesquisador (Anexo III), utilizou-

se a representação de sistema linear de duas equações com duas incógnitas,

demonstrando-se três métodos (adição, substituição e comparação,

respectivamente) para obter o número de animais. Mas pode-se também utilizar, em

outra etapa de ensino e de forma explícita, a representação de sistema de equações

lineares articulada com a noção de matriz e o processo de escalonamento matricial,

para determinar o que se pede, como apresentado no Anexo IV.

Ao comparar o método da adição com o escalonamento, percebe-se que, para o

exemplo desenvolvido, ambos articulam um sistema equivalente: o método de

escalonamento utiliza a ferramenta explícita matriz para chegar à mesma equação

6 Linguagem Natural: Se refere ao estilo, utilizando redação discursiva na língua corrente, através de signos para efetuar as devidas comunicações.

48

reduzida pelo método da adição, ou seja, o método da adição é um processo

relacionado à introdução da resolução dos sistemas de equações lineares para o

Ensino Fundamental, e o método do escalonamento é um processo pertinente à

introdução da resolução do sistema de equações lineares para o Ensino Médio.

Utiliza-se como ferramenta explícita a noção de matriz, na resolução7 do Anexo

IV, uma vez que, após representar o enunciado por meio do ostensivo associado ao

não ostensivo sistema linear, escreve-se este como uma multiplicação e uma

igualdade entre matrizes, correspondendo à definição, conforme Douady, de

ferramenta explícita, isto é, a noção de matriz é uma ferramenta trabalhada

explicitamente para esse fim.

Nota-se nos exemplos, juntamente com seus enunciados e soluções, que são

utilizados diferentes objetos matemáticos. Douady (1992) assim define objeto:

Por objeto, entendemos o objeto cultural tendo seu lugar em um edifício

mais amplo que é o saber das matemáticas, num dado momento,

reconhecido socialmente. O objeto matematicamente definido,

independente de sua utilização. O status de objeto permite a capitalização

do saber e, portanto, a extensão do corpo de conhecimentos. Ele permite

também o reinvestimento em novos contextos, eventualmente muito

distinto do contexto original. (DOUADY, 1992, apud ANDRADE, 2006, p.

13, grifo nosso).

Com relação a essa definição, a partir de um determinado contexto o estudante

pode utilizar vários objetos, de acordo com seus conhecimentos prévios, ou seja,

segundo Douady, o estudante poderá efetuar um reinvestimento em novos

contextos, os quais nos exemplos apontados são demonstrados pelos vários tipos

de resoluções apresentadas.

Além disso, a teoria de Douady (1984, 1992) considera os jogos de quadro, que

são organizados pelos professores, como transposições didáticas8 das mudanças de

7 O exemplo de solução do Anexo IV foi efetuado por meio de escalonamento, não necessitando de tal processo, por tratar‐se de um sistema de duas equações com duas incógnitas.

8 Transposição Didática: Este termo foi introduzido em 1975 pelo sociólogo Michel Verret e rediscutido por Yves Chevallard, em 1985, em seu livro La transposition didatique, em que conceitua “Transposição Didática” como o trabalho de fabricar um objeto de ensino, ou seja, fazer um objeto de saber produzido pelo sábio (cientista) ser objeto do saber escolar. (POLIDORO, 2010).

49

quadro efetuadas pelos matemáticos profissionais e como meios privilegiados para

suscitar desequilíbrio cognitivo e permitir a ultrapassagem desse desequilíbrio em

um novo equilíbrio de nível superior. Assim, a noção de quadro é centrada no fato

de que uma mesma noção pode funcionar em diferentes ambientes conceituais e

técnicos e pode apresentar características específicas para cada um desses

ambientes, sendo as diferenças existentes um dos motores e ferramentas da criação

matemática. No exemplo apresentado, a Copa do Mundo, a mudança de quadro

apresentada é motivadora para a introdução da multiplicação de matrizes, uma vez

que os estudantes do Ensino Médio já são capazes de utilizar as regras do cálculo

literal para resolver problemas como o discutido no exemplo.

Nota-se que podem ser desenvolvidos com os estudantes diferentes quadros —

definidos na teoria de Douady (1992) como jogos de quadro — que possibilitem

passagens para níveis mais complexos. Por exemplo, a tarefa da Figura 2, que

solicita ao estudante descobrir o número de galinhas e coelhos, pode também ser

solucionada, utilizando-se mais um quadro em jogo: determinar a solução,

empregando o sistema de eixos cartesianos, ou seja, as duas equações escritas no

sistema equações lineares serão mobilizadas como duas funções explícitas,

conforme é apresentado no Anexo V.

Neste tipo de solução, o estudante deverá mobilizar conhecimentos prévios

relacionados à noção de função, valor numérico de uma função e, ainda, perceber

que a solução pertence ao conjunto dos números inteiros positivos. Uma vez que a

tarefa está relacionada com a quantidade de espécies, depois de esboçada a tabela,

pode-se representar a solução no eixo cartesiano ortogonal, como apresentada no

Anexo VI.

Apresentada a solução por meio do sistema de eixos cartesianos, conforme

registrado no Anexo VI, cabe ao professor efetuar um discurso para que o estudante

perceba que tal tarefa se encontra no conjunto dos números inteiros positivos, pois o

problema apresentado envolve a contagem de objetos; no caso, duas espécies de

animais.

Com relação a esses exemplos configurados e suas devidas mudanças de quadro

que exigem diferentes representações, apresentam-se os possíveis quadros, que

50

serão utilizados nesta pesquisa com os respectivos exemplos, sendo a solução

desenvolvida pelo pesquisador, correspondendo a uma provável técnica a ser

desenvolvida pelos estudantes.

- Quadro Numérico: para a noção de matriz, tal quadro é apresentado, utilizando-se

representações em termos numéricos, em suas respectivas tabelas, conforme

segue:

Verifica-se que a tarefa da Figura 3 é enunciada por duas tabelas, ambas de

dupla entrada, cujos termos, todos numéricos, são dispostos em linha e coluna.

Assim, esse tipo de representação é considerado como quadro numérico.

Por exemplo, na tarefa, no item (b), a população urbana de 1940 é igual a 31%,

elemento que pertence ao quadro numérico e, no ano de 1960, a população rural era

Escreva a matriz correspondente às tabelas a seguir.

a) Tabela de notas de três alunos no primeiro bimestre:

MATEMÁTICA

FÍSICA

QUÍMICA

BIOLOGIA

ANA 6 4 5 8

ANTÔNIO

5 7

5

5

BEATRIZ 5 6 7 4

b) Tabela que mostra, em porcentagem, a localização da população brasileira de

1940 a 1990:

POPULAÇÃO URBANA POPULAÇÃO RURAL

1940 31 69

1950 36 64

1960 45 55

1970 56 44

1980 64 36

1990 72 28

Figura 3: Exemplo de tarefa enunciado no quadro numérico. Fonte: Dante, 2004, p. 205.

51

de 55%. No item (a), temos apenas uma nota 8, que corresponde à disciplina de

biologia da aluna Ana. Na disciplina de física, o aluno Antonio ficou com nota 7.

Para a solução da tarefa, o estudante deverá transpor os elementos para um

outro quadro, conforme apresentado no Anexo VII, e, para isso, necessitará de

conhecimento relacionado com a posição de cada um deles, ou seja, deverá indicar

a linha e a coluna que determinado elemento ocupa. Também é preciso reconhecer

o tipo da tabela que está sendo enunciada, em termos de número de linhas e

colunas.

Muitos livros iniciam o ensino da noção de matriz utilizando este tipo

representação na tabela, o que supõe a necessidade de os estudantes

desenvolverem atividades em outros quadros. Como a tarefa acima é enunciada no

quadro numérico na representação tabela, é solicitado aos alunos que escrevam a

matriz correspondente no quadro matricial, como apresentado na Figura 10, ou seja,

que transponham os dados para o quadro matricial numérico, como descrito na

solução e demonstrado abaixo.

- Quadro matricial numérico: para a noção de matriz, apresenta elementos

numéricos dispostos na representação matricial. Para que o estudante consiga

mobilizar seus conhecimentos, são necessárias definições relacionadas ao tipo da

matriz, em termos de linha e coluna, conforme segue:

A tarefa da Figura 4 é enunciada, utilizando-se a notação matricial, com o

respectivo tipo da matriz com relação ao número de linhas e colunas. Nesse quadro

Dados dois números m e n naturais e não nulos, chama-se matriz m por n (indica-se

mxn) toda tabela M formada por números reais distribuídos em m linhas e n colunas.

1) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −

2540

153 é matriz 2 X 3; 2)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

14

273

34

é matriz 3 X 2; 3) [ ]7190 − é matriz 1 X 4;

4) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

− 315

é matriz 3 X 1; 5) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛7321

é matriz 2 X 2.

Figura 4: Exemplo de quadro matricial numérico. Fonte: Iezzi, 1985, p. 35D

52

o estudante articulará os primeiros contatos com a representação explícita de uma

matriz com seu respectivo tipo em termos de linha e coluna. Observa-se, nos livros

didáticos analisados, que o quadro matricial numérico é desenvolvido logo após a

introdução do objeto matriz.

Para melhor demonstrar o quadro matricial numérico, segue abaixo uma tarefa de

vestibular, extraída da obra de Giovanni (2000).

A tarefa da Figura 5 trabalha com um tipo de representação chamado, pelo

enunciado, de tabela, mas trata-se de um exemplo que se enquadra no quadro

matricial numérico, sem a representação explícita de uma matriz desse quadro.

Percebe-se que, mesmo não utilizando a representação explícita de matriz, é preciso

saber qual o tipo de matriz em jogo: ela é do tipo 3Xn (três linha e n colunas), e n

deverá ser calculado, considerando que, nas três linhas, há uma progressão

aritmética de razão 3, variando o primeiro termo. Na primeira linha, trata-se e dos

múltiplos de 3, o que possibilita o uso da noção de divisibilidade. Nesta tarefa o

estudante deve encontrar a posição do elemento 319, em termos de linha e coluna;

assim, o objeto matriz atua como ferramenta explícita apenas para enunciar a tarefa,

pois são necessárias outras noções para determinar o que é pedido, conforme

solução descrita no Anexo VIII.

A solução da tarefa (Anexo VIII) é dada por meio de outras noções, como a

divisibilidade entre números naturais e o termo geral da progressão aritmética, mas o

estudante deve ter noção sobre a posição do elemento na tabela, em termos de

linha e coluna, o que permite a articulação entre as representações de tabelas e

matrizes.

Imagine os números inteiros não negativos formando a seguinte tabela:

...1411852

...1310741

...129630

a) Em que linha da tabela se encontra o número 319? b) Em que coluna se encontra esse número?

Figura 5: Tarefa referente ao quadro matricial numérico. Fonte: Giovanni, 2000, p. 106

53

Para a noção de matriz, outros quadros podem ser definidos para melhor

explicitar as investigações sobre o objeto matemático matriz, como este outro, na

sequência, em que se utiliza a representação algébrica.

- Quadro matricial algébrico: para a noção de matriz, utilizam-se elementos

algébricos dispostos na notação matricial. Para que o estudante consiga mobilizar

seus conhecimentos, são necessárias definições relacionadas ao tipo da matriz, em

termos de linha e coluna, e a posição de cada elemento nessa matriz, utilizando-se a

noção de índice (aij), em que i representa a posição na linha e j, a posição na coluna,

conforme apresentado na Figura que segue.

Nota-se que neste tipo de representação matricial são utilizadas incógnitas “a” e,

para diferenciá-las, são considerados os índices i e j, que indicam a posição de cada

termo. Portanto, i representa a linha e j, a coluna. Uma matriz do tipo mxn também

pode ser indicada por: M=(aij), em que i ∈ {1, 2, 3, ..., m} e j ∈ {1, 2, 3, ..., n}; ou,

simplesmente, M=(aij)mxn. Neste tipo de exemplo, o estudante deve mobilizar uma

sequência de conhecimentos, como o tipo da matriz que deve ser construída, a

noção de índice e a posição algébrica de cada elemento na matriz. O quadro acima

possibilitará ao estudante mobilizar seus conhecimentos para manipular as matrizes

em outros quadros.

Para melhor exemplificar o quadro anterior, apresenta-se uma tarefa extraída da

segunda fase do vestibular da Unicamp (2010).

Em uma matriz qualquer M, cada elemento é indicado por aij. O índice i indica a

linha, e o índice j, a coluna, às quais o elemento pertence. Segundo a convenção de que

as linhas sejam numeradas de cima para baixo (de 1 até m) e as colunas, da esquerda

para a direita (de 1 até n), uma matriz mxn é representada por:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mnmm

n

n

n

aaaaaaaaaaaa

M

...

...

...

...

21

33231

22221

11211

ou ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mnmm

n

n

n

aaaaaaaaaaaa

M

...

...

...

...

21

33231

22221

11211

ou

mnmm

n

n

n

aaaaaaaaaaaa

M

...

...

...

...

21

33231

22221

11211

=

Figura 6: Exemplos de representação algébrica de uma matriz. Fonte: Iezzi, 1985, p. 36D

54

O enunciado da tarefa da Figura 7 é dado no quadro matricial algébrico.9 Com

relação ao item (b)10, o estudante deverá utilizar a relação algébrica funcional

fornecida e, assim, escrever uma matriz no quadro matricial numérico,

determinando, logo após, sua inversa, conforme solução apresentada no Anexo IX.

Conforme resolução registrada (Anexo IX), referente à tarefa da Figura 7, item

(b)11, verifica-se que o estudante tem que efetuar a mudança do quadro matricial

algébrico para o quadro matricial numérico, utilizando a relação algébrica funcional,

como determinado pelo item (b) do enunciado da tarefa. Para determinar a inversa

da matriz, ele deverá utilizar outras noções que dependem do método escolhido

para o cálculo da inversa da matriz dada, quando essa existir. Sendo assim, é

preciso verificar a condição de existência da inversa que se exprime por meio da

noção de determinante, o que significa definir se o determinante da matriz dada é

diferente de zero.

Considera-se ainda, para efeito das análises propostas, o quadro algébrico

funcional, que é definido abaixo.

- Quadro algébrico funcional: para a noção de matriz, utiliza as relações algébricas

funcionais, ou seja, a “lei de formação” para construção da matriz. Assim, o

estudante deverá apropriar-se de conhecimentos relacionados ao tipo de matriz, em

termos de linha e coluna, e a posição de cada elemento na matriz, relacionada aos

9 Com relação ao enunciado e não aos itens. 10 O item (a) não foi analisado. 11 Comentar‐se‐á a matriz inversa em momento posterior.

Considere a matriz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A , cujos coeficientes são números reais.

a) Suponha que exatamente seis elementos dessa matriz são iguais a zero. Supondo também que não há nenhuma informação adicional sobre A, calcule a probabilidade de que o determinante dessa matriz não seja nulo.

b) Suponha, agora, que aij=0 para todo elemento em que j>i, e que aij=i-j+1 para os elementos em que j≤i. Determine a matriz A, nesse caso, e calcule sua inversa, A-1.

Figura 7: Tarefa da segunda fase do vestibular da Unicamp (2010).

55

índices; também deverá dispor de conhecimentos relativos aos conjuntos numéricos,

às operações aritméticas e ao cálculo do valor numérico de uma função.

Para representar essa matriz, que se encontra no quadro algébrico funcional, o

estudante deverá transpor as informações iniciais para o quadro matricial algébrico

e, em seguida, para o quadro matricial numérico, observando que a matriz é do tipo

3x2, ou seja, três linhas e duas colunas. Após a definição e a construção de uma

matriz algébrica, o estudante deve substituir os índices de cada termo na relação

fornecida, determinar o valor numérico de cada relação algébrica e substituir na

matriz algébrica os devidos valores numéricos, esboçando, assim, a matriz pedida

no quadro matricial numérico, como se constata na solução descrita no Anexo X.

Observa-se que, após registrar a matriz A de forma algébrica, pois ela foi

enunciada na forma algébrica compacta, o estudante deverá trabalhar com a relação

algébrica funcional, utilizando os elementos que estão dispostos na matriz em

termos de linha (i) e coluna (j), ou seja, deverá ter noção do índice utilizado para

indicar a posição do elemento e substituí-lo na relação fornecida. Também deverá

ter noção do cálculo do valor numérico da função fornecida.

Após considerar alguns quadros, apresentam-se, a seguir, outros quadros que

podem ser encontrados e utilizados para resolução de diversas tarefas nos livros

didáticos e também nas avaliações institucionais.

- Quadro da geometria métrica plana: para a noção de matriz, este quadro é

apresentado, utilizando figuras relacionadas à geometria plana com as devidas

propriedades, que podem ser articuladas e representadas por meio de

representações matriciais. O estudante deverá dispor de conhecimentos

relacionados às figuras planas, como os polígonos e suas propriedades, além de

medidas relacionadas a esses objetos, como áreas e vértices, para efetuar as

devidas manipulações matemáticas. Na sequência, apresenta-se um exemplo que

evidencia explicitamente este tipo de quadro.

Escreva a matriz A=(aij)3x2, tal que aij=3i-2j+4.

Figura 8: Tarefa sobre relação algébrica funcional. Fonte: Dante, 2004, p. 206.

56

Na tarefa da Figura 9, solicita-se que o estudante efetue uma representação da

distância entre os vértices do quadrado dado por meio de uma matriz, o que

corresponde à passagem do quadro da geometria métrica plana para o quadro

matricial algébrico e depois para o quadro matricial numérico. Para resolver a

questão, são necessários conhecimentos prévios sobre distância, vértices e cálculo

do comprimento da diagonal, que, provavelmente, foram desenvolvidos no Ensino

Fundamental e revisitados no Ensino Médio. A solução da tarefa proposta na Figura

9, está sendo apresentada no Anexo XI.

Na solução apresentada (Anexo XI), o estudante deverá mobilizar seus

conhecimentos prévios, como determinar a medida da diagonal do quadrado. Logo

após, deverá fixar um vértice para determinar a distância dos outros vértices,

gerando uma matriz no quadro matricial numérico do tipo 4X4.

Também por meio das análises efetuadas nos livros didáticos e no material

didático (“Caderno do aluno”, 2009), verificaram-se outros quadros, como o quadro

da geometria analítica, definido a seguir.

- Quadro da geometria analítica: para as noções de matrizes, este quadro é

apresentado, utilizando objetos matemáticos, que podem estar relacionados no

(Unimep-SP) É dado um quadrado de lado medindo 1 unidade, numerado conforme a figura.

21

4 3

A matriz 4X4, tal que aij é a distância entre os vértices de números i e j, é:

Figura 9: Tarefa sobre quadro da geometria métrica plana. Fonte: Giovanni, 2000, p. 123.

57

sistema de eixos cartesianos e ser representados por meio de uma matriz. Neste

quadro, os estudantes, além de dominar as operações utilizadas, devem estar

familiarizados com noções relacionadas às coordenadas do plano e do espaço.

Observa-se que, para esta tarefa, a figura geométrica original sofreu uma

translação, sendo representada de forma explícita no plano cartesiano, e os vértices

do quadrilátero podem ser representados por meio de uma matriz, ou seja, pode-se

efetuar uma passagem para o quadro matricial numérico. A tarefa da Figura 10

Observe os dois polígonos representados no plano cartesiano.

Esses dois polígonos são congruentes, e podemos considerar que o polígono EFGH é uma translação do polígono ABCD, isto é, EFGH foi obtido de duas movimentações de ABCD, sendo uma na horizontal e outra na vertical.

a) Quantas unidades na horizontal e quantas unidades na vertical ABCD

devem ser deslocadas para que, ao final, coincida com EFGH?

b) Represente em uma matriz A(4X2) as coordenadas dos vértices do polígono

ABCD, de maneira que cada linha da matriz contenha coordenadas de um

ponto, com a abscissa na primeira coluna e a ordenada na segunda coluna.

c) Represente em uma matriz B(4X2) as coordenadas dos vértices do polígono

EFGH, de maneira que cada linha da matriz contenha coordenadas de um

ponto, com a abscissa na primeira coluna e a ordenada na segunda coluna.

d) Escreva uma matriz C(4X2 de tal forma que A+C=B.

Figura 10: Tarefa sobre quadro da geometria plana. Fonte: “Caderno do aluno”, 2009, p. 3

58

permite desenvolver outras atividades, além de auxiliar na introdução da noção de

matriz. No exemplo, para resolver a tarefa o estudante deve mobilizar a noção de

translação de figuras geométricas, ter conhecimento de coordenada no sistema de

eixo cartesiano, entre outras noções implícitas na tarefa. No Anexo XII, segue uma

possível solução em que se podem observar os conhecimentos necessários para a

solução da tarefa proposta.

É possível observar que, no item (a), o estudante deverá mobilizar seus saberes

relacionados à medida da distância entre o polígono inicial e o polígono final (depois

de transladado); nos itens (b) e (c), deverá utilizar conhecimentos relativos à posição

de cada vértice, em termos de abscissas e ordenadas, e, assim, escrever a matriz

que representa a posição da figura no sistema de eixo cartesiano. Já o item (d)

requer que o estudante utilize noções de equação e, assim, determine uma matriz

em termos numéricos. Percebe-se inicialmente que a tarefa é apresentada no

quadro da geometria analítica plana, mas o desenvolvimento requer a passagem

para outros quadros.

Na sequência, define-se ainda o quadro dos determinantes, que são utilizados em

algumas tarefas encontradas nos livros didáticos e nas macroavaliações.

- Quadro dos determinantes: este quadro refere-se ao número que se pode obter,

operando com os elementos de uma matriz quadrada. Neste quadro, é necessário

que o estudante disponha de alguns métodos para o cálculo do determinante de

uma matriz e que conheça as propriedades dos determinantes, para facilitar algumas

técnicas associadas à noção de matriz.

Considerando o conjunto das matrizes quadradas de elementos reais, seja M uma matriz de ordem n desse conjunto. Chama-se determinante da matriz M (indicado por det M) o número que se obtém operando com os elementos de M.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

aaaa

M ⇒ 211222112221

1211 .. aaaaaaaa

M −==

Obs.: Colocou-se apenas o determinante da matriz algébrica de ordem dois, existindo determinante de matrizes de outras ordens.

Figura 11: Tarefa sobre determinante. Fonte: Iezzi, 1985, p. 67D

59

A Figura 11 corresponde ao determinante de uma matriz quadrada de ordem 2.

Mesmo considerando que os determinantes tiveram origem por volta do século

XVII e ainda são utilizados em métodos de resolução de sistemas lineares, observa-

se que atualmente, embora não sejam um instrumento prático para desenvolver o

estudo dos sistemas, são um recurso importante para o trabalho em geometria

analítica, dependendo do ponto de vista adotado para sua introdução e seu

desenvolvimento.

A seguir, apresenta-se uma tarefa referente ao quadro dos determinantes, que

pode corresponder às expectativas institucionais esperadas dos estudantes.

A tarefa proposta no vestibular mobiliza a operação de adição entre duas matrizes

e, logo após, os conhecimentos relacionados com a noção do cálculo do

determinante e a resolução de equação, como é possível observar na solução

proposta no Anexo XIII .

Na solução proposta no Anexo XIII, desenvolve-se a operação de adição de

matrizes e calculam-se os possíveis valores de “a”, de forma que a equação det[A +

B] = 0 obtenha solução. Trata-se de trabalhar com cálculos algébricos, tendo a

noção de cálculo do determinante como ferramenta explícita ao trabalho matemático

a ser realizado, ou seja, o valor numérico da equação.

Identifica-se ainda o quadro dos sistemas de equações lineares que podem ser

utilizados para a solução de diversas tarefas específicas da matemática ou que

correspondem a situações contextualizadas de outras ciências ou do cotidiano.

Figura 12: Tarefa sobre determinante. Fonte: Vestibular Mackenzie, 2004.

Dadas as matrizes ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

aaa

A1

e ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1123a

B , o produto das raízes da equação do

[ ] 0det =+ BA é:

a) 1 b) 2 c) -1/2 d) 3/2 e) -1

60

- Quadro dos sistemas lineares: é apresentado por meio de um conjunto de

equações lineares e pode ser representado matricialmente pelo produto da matriz

dos coeficientes do sistema pelo vetor coluna que representa as incógnitas,

igualado ao vetor coluna que representa os segundos membros, ou seja, os

termos independentes.

No Anexo XIV, apresenta-se a solução de uma tarefa, para exemplificar a

utilização do quadro dos sistemas de equações lineares como ferramenta para o

cálculo da inversa de uma matriz.

A solução da tarefa apresentada (Anexo XIV), retrata a utilização do quadro dos

sistemas lineares para determinar a inversa de uma matriz dada. Observe que, para

determinar a matriz inversa, após encontrar a matriz numérica, o estudante pode

optar por utilizar a noção de sistema linear para definir os coeficientes da inversa da

matriz. Para aqueles que dispõem da noção de determinante, é possível verificar se

realmente a matriz “A” admite inversa, sendo necessárias para isso algumas noções

já estudadas. Para chegar à solução, o estudante poderá escolher também outras

técnicas associadas a essa noção, como a regra de Cramer e o método do

escalonamento, entre outros.

A apresentação e os exemplos dos quadros associados à noção de matriz

deixaram claro que é preciso explicitar os conhecimentos matemáticos necessários

para efetuar a passagem de um quadro para outro. E essa passagem será mais

bem-efetuada e compreendida, se os estudantes forem capazes de, pelo menos,

mobilizar conhecimentos relacionados às noções em jogo, nas tarefas propostas no

Ensino Médio — em particular, naquelas em que a noção de matriz pode servir como

elemento facilitador para o seu desenvolvimento.

Figura 13: Tarefa de quadro dos sistemas lineares. Fonte: Iezzi, 1985, p. 117D

O sistema linear: ⎩⎨⎧

=−=+2432

yxyx

Pode ser escrito na forma matricial: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 2

4.

1132

yx

61

Dessa forma, a noção de matriz pode ser utilizada em diferentes níveis — três,

conforme definição de Robert (1997, 1998) —, o que permite compreender qual o

nível de conhecimento (técnico, mobilizável, disponível) que se espera dos

estudantes para a resolução dos diferentes tipos de tarefas sobre a noção de matriz,

quando introduzidas no Ensino Médio; e possibilita, também, constatar se o trabalho

nesses níveis pode auxiliar no desenvolvimento de um curso de introdução à

Álgebra Linear no Ensino Superior.

Além disso, nesta pesquisa são realizadas, por meio das propostas institucionais

e dos livros didáticos elaborados a partir destas, análises das relações institucionais

esperadas e existentes no processo de ensino e aprendizagem da noção de matriz,

suas operações e propriedades. Observa-se, aqui, que em ambos os casos são

consideradas apenas as expectativas de trabalho, o que conduz à análise das

relações pessoais esperadas dos estudantes via avaliações institucionais, ou seja,

estuda-se aqui se as expectativas institucionais estão em conformidade com as

pessoais.

Para essas análises, consideram-se também como referencial teórico desta

pesquisa os trabalhos de Chevallard(1992), Bosch e Chevallard (1999) e Chevallard

e Grenier (1997), para os quais escolhem-se, mais particularmente, os conceitos de

relações institucionais como saberes a serem trabalhados nas diferentes etapas

escolares, o que é analisado via noções de organizações praxeológicas, ostensivos

e não ostensivos, que lhes são associados e o “topos” do professor e do estudante.

Este último é uma ferramenta auxiliar de análise que permite diferenciar e

compreender qual o papel que se espera que o professor e o estudante

desempenhem no processo de ensino e aprendizagem.

Uma breve descrição das noções associadas a esses referenciais teóricos que

auxiliaram nas análises propostas na pesquisa é apresentada a seguir.

2.3 A abordagem teórica em termos de nível de conhecimento e algumas noções da teoria antropológica do didático

Inicia-se esta exposição pela noção dos três níveis de conhecimento esperados

dos estudantes, conforme definição de Robert (1997, 1998).

62

2.3.1 Os três níveis de conhecimento esperados dos estudantes, conforme Robert (1997,1998).

Os três níveis de conhecimentos — técnico, mobilizável e disponível —esperados

dos estudantes foram inicialmente propostos por Robert (1997) em seu artigo

intitulado “Quelques outils d’analyse épistemologique et didactique de

connaissances mathématiques à enseigner au lycée et à l’université” e retomados

pela autora no artigo “Outils d’analyse des contenus mathématiques à enseigner au

Lycée et à l’Université”, de 1998.

Robert (1997) propôs esses três níveis de conhecimento, pois observou nas

pesquisas francesas que, os estudantes e professores do “lycèe” e do superior, em

geral, apresentavam problemas associados a: perdas de sentido frequentes; falta de

curiosidade; dificuldades para entrar no pensamento científico; dificuldades de

gestão de classes cada vez mais heterogêneas, principalmente as classes de

seconde12; mudanças de programas (julgadas redutoras com a força da

simplificação), além da introdução das novas tecnologias (com as interrogações

sobre o conteúdo que a ela estão associados).

Observa-se que os problemas de ensino apontados por Robert correspondem

às dificuldades, em geral, encontradas pelos professores no Brasil.

Após considerar as dificuldades para a introdução de uma determinada noção

matemática, Robert (1997, 1998) aponta as quatro ferramentas que lhe parecem

essenciais para a análise de tarefas e a construção dos cenários de aprendizagem:

as noções de ferramenta e objeto e as representações desses objetos; a natureza

das noções que se deseja ensinar, isto é, sua relação com conhecimentos

introduzidos anteriormente e sua função na paisagem matemática existente e

construída anteriormente. Isso a faz considerar as seguintes possibilidades para a

natureza das noções matemáticas: o grau de generalização da noção em relação às

noções anteriores já apresentadas aos estudantes, como é previsto nas propostas; o

caráter unificador da noção em relação a certas noções anteriores; a função que

ocupa a noção nas matemáticas de que os estudantes dispõem; as noções que

podem ser apresentadas aos estudantes como extensões de noções já introduzidas;

12 Seconde: corresponde a nossa primeira série do Ensino Médio, em termos de etapa escolar.

63

as noções que podem ser apresentadas aos estudantes como respostas a

problemas novos e precisos, que os alunos podem compreender, mas que não

podem resolver completamente; as noções que correspondem apenas à introdução

de um formalismo adaptado (que sempre permitem economias de escritas); as

noções generalizadoras, unificadoras e que sustentam um novo formalismo: os

limites; a noção de variável em álgebra elementar; os níveis de conceitualização13.

Conforme definição proposta por Robert (1997), a seguir definem-se os três

níveis de conhecimento com exemplos escolhidos das análises efetuadas nesta

pesquisa, isto é, a noção de matriz, suas operações e propriedades.

- Nível técnico: corresponde a um trabalho isolado, local e concreto e está

relacionado principalmente às ferramentas e às definições empregadas em uma

determinada tarefa. Utilizando, por exemplo, o objeto matriz, demonstra-se uma

situação extraída da primeira parte do capítulo referente à noção de matriz do livro

didático elaborado por Dante (2005b, p. 240), quando o autor inicia a introdução da

noção de matriz.

Pode-se constatar, por meio do enunciado, que a tarefa corresponde ao nível

técnico, pois basta o estudante utilizar a representação matricial, para apresentar a

tabela de uma outra forma. Para o exemplo anterior, nesse momento, o autor

13 Níveis de conceitualização: trata-se de etiquetar uma etapa em um campo de conhecimentos matemáticos (campo conceitual), correspondendo a uma organização coerente de uma parte do campo, caracterizado por objetos matemáticos apresentados de certa maneira, dos teoremas sobre esses objetos, dos métodos associados a esses teoremas e dos problemas que os estudantes podem resolver com os teoremas do nível considerado e utilizando esses métodos. (ROBERT, 1997, p.205).

Em uma editora, as vendas de livros de Matemática, Física e Química, no primeiro trimestre de um ano, podem ser expressas pela tabela a seguir.

JANEIRO FEVEREIRO MARÇO

MATEMÁTICA 20 000 32 000 45 000

FÍSICA 15 000 18 000 25 000

QUÍMICA 16 000 17 000 23 000

Uma tabela desse tipo pode ser representada por:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

230001700016000250001800015000450003200020000

Figura 14: Tarefa de nível técnico. Fonte: Dante, 2005 b, p. 240

64

introduz a noção de matriz, informando que a tabela pode ser representada de uma

outra maneira, em termos de linha e de coluna, denominada matriz; ou seja, trata-se

de uma noção que corresponde apenas à introdução de um formalismo adaptado,

que permite economias de escritas.

Outro exemplo que descreve o nível técnico é apresentado na figura abaixo:

Para a tarefa da Figura 15, o estudante apenas deverá contar o número de

linhas e colunas e registrar os dados em notação específica, como solução proposta

no Anexo XV.

Para a solução é suficiente que o estudante conte o número de linhas e colunas

e represente os dados numericamente; portanto, este tipo de tarefa é considerado

nesta pesquisa como de nível técnico, bastando apenas que o estudante tenha

conhecimentos de contagem numérica. Nesse caso, também se trata de uma noção

que corresponde apenas à introdução de um formalismo, conforme já citado

anteriormente.

Outros exemplos que também são considerados, como a aplicação de

ferramentas, e que precisam apenas de definições iniciais sobre a noção de matriz

são os encontrados em tarefas que solicitam dos estudantes:

- esboçar entre colchetes uma tabela; - verificar a quantidade de linhas e colunas da tabela; - operar os elementos de uma linha ou coluna de uma tabela.

Observa-se que o nível técnico não necessita de conhecimentos “profundos”

acerca da noção desenvolvida, apenas é necessário que o estudante utilize

ferramentas básicas para determinar o que é pedido, mas, ao utilizar saberes que

Identifique o tipo ou a ordem das seguintes matrizes:

a) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡5164 b)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

− 6521

c)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

1003110

145262031

d) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

2037061104102

e) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

51303

Figura 15: Exemplo de tarefa de nível técnico. Fonte: Dante, 2004, p. 205

65

requerem noções mais complexas, sendo necessário um pensamento matemático

mais apurado, ocorre a mobilização de outro nível, que será definido na sequência.

- Nível mobilizável: corresponde a um início de justaposição de saberes de certo

quadro, podendo até corresponder a uma organização, e vários métodos podem ser

mobilizados. O caráter de ferramenta e o de objeto do conceito estão em jogo, mas o

que se questiona é explicitamente pedido. Se um saber é identificado, ele é

considerado mobilizado, se for acessível, isto é, se o estudante o utiliza

corretamente. Por exemplo, observe a tarefa da figura abaixo:

Nessa tarefa, o estudante deverá dispor de alguns conhecimentos relacionados à

noção de matriz, como o tipo da matriz em jogo; logo após, poderá construí-la

algebricamente e substituir os valores correspondentes, organizando o que é

solicitado na tarefa. Um outro exemplo do nível mobilizável é o seguinte:

Observa-se que, no exemplo da Figura 17, o estudante deve mobilizar seus

saberes e verificar a posição do elemento em termos de número índice (aij); assim,

poderá escrever a matriz algébrica, efetuando a comparação entre essa matriz e a

matriz numérica enunciada, trabalhando implicitamente a igualdade entre matrizes,

como se pode observar na resolução (Anexo XVI).

Na solução apresentada no Anexo XVI, considera-se o nível mobilizável, pois o

estudante necessita de conhecimentos associados à noção de representação dos

elementos e de uma matriz para determinar o que é pedido; por exemplo, quando é

Identifique: a) os elementos a11, a22 e a13 na matriz ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− 1541062

.

Figura 17: Tarefa sobre nível mobilizável. Fonte: Dante, 2005 b, p. 242.

Organizar, na forma de matriz A2X3, os elementos a11=2, a12=6, a13=10, a21=4,

a22=-5 e a23=-1.

Figura 16: Tarefa sobre nível mobilizável. Fonte: Dante, 2005, p. 242.

66

solicitado a identificar o elemento a13, deve mobilizar conhecimentos em função do

número índice i e j, ou seja, o índice 1 significa primeira linha, e o índice 3 significa

terceira coluna e após encontrar esse elemento no quadro matricial algébrico, por

meio de uma igualdade implícita entre as duas matrizes, o estudante deve associar a

ele o valor correspondente.

Outro exemplo para o nível mobilizável é apresentado por meio do quadro

algébrico funcional, conforme descrito em seguida:

No caso do exemplo apresentado14 (Figura 18), considera-se tratar do nível

mobilizável, pois está sendo explicitamente solicitado que o estudante escreva a

matriz, por meio de seus elementos descritos sob a forma (aij) com 1≤i≤3 e 1≤j≤3,

não se esquecendo de considerar a variação de i e j. Na sequência, deve mobilizar

sua noções sobre cálculo do valor numérico de uma função que, no caso, possui

duas variáveis, ou seja, a matriz aqui é dada por meio de uma representação

funcional que, em geral, exige um tratamento especifico, uma vez que esse tipo de

função não é trabalhado explicitamente no Ensino Médio, mas utilizado como

ferramenta para resolver determinadas tarefas.

Observa-se que este tipo de tarefa solucionada (Anexo XVII) é apresentada no

quadro algébrico funcional, para ser transferido para o quadro matricial numérico.

Em geral, apresenta grandes dificuldades, quando o estudante ainda não adquiriu os

conhecimentos necessários segundo os níveis técnicos e a noção em jogo, ou seja,

a identificação da matriz por meio de seus elementos descritos pelos índices que

representam a linha e a coluna em que se encontram e o cálculo do valor numérico

desses elementos. Esse trabalho exige que os estudantes já tenham passado por

14 Analisa‐se apenas o item (b).

Escreva as matrizes:

a) A=(aij)2X3 tal que aij=i2+j2

b) M=(aij), com 1≤i≤3 e 1≤j≤3, tal que aij=3i+2j-5

Figura 18: Tarefa sobre nível mobilizável. Fonte: Dante, 2005, p. 242.

67

outras situações que lhes sirvam de referência e possam auxiliá-los no trabalho a ser

realizado.

Outros exemplos que também são considerados como mobilizáveis são:

- escrever na forma matricial a partir da linguagem natural; - verificar a igualdade de duas matrizes; - adicionar ou multiplicar duas matrizes; - a partir de uma matriz, escrevê-la na forma de relação algébrica funcional e vice-versa.

Para o nível mobilizável, nota-se que objetivo para determinada tarefa é

explicitamente solicitado e, caso o estudante consiga desenvolvê-la corretamente,

considera-se que seja capaz de mobilizar o conhecimento solicitado e que se

encontra neste nível. Além do nível mobilizável, Robert define o nível disponível, que

corresponde às tarefas que o estudante deve saber responder sem indicações

explícitas do enunciado, conforme definido no item seguinte:

- Nível disponível: pressupõe saber responder corretamente o que é proposto, sem

receber indicações: dar contra exemplos (encontrar ou criar), mudar de quadro (fazer

relações), aplicar métodos não previstos. Esse nível de conhecimento está

associado à familiaridade; ao conhecimento de situações de referências variadas

que o estudante sabe que conhece e servem de terreno de experimentação; ao fato

de dispor de referências, de questionamentos, de uma organização. Pode servir

para um único problema e também possibilita fazer resumos.

A seguir apresenta-se um exemplo referente ao nível disponível:

Na tarefa proposta (Figura 19), não é enunciado qual ferramenta o estudante

deve utilizar para determinar o preço da batata; portanto, trata-se do nível disponível,

pois o estudante deve dispor de algum objeto matemático, utilizando seus saberes

Em uma compra de 3 quilos de batata, 0,5 quilos de cenoura e 1 quilo de abobrinha, Arnaldo gastou R$14,45, porque não pediu desconto ao seu Manuel, dono da barraca na feira livre. Juvenal, por sua vez, comprou 2 quilos de batata, 1 quilo de cenoura e 2 quilos de abobrinha, pediu desconto de R$ 0,50 no preço do quilo da batata e de R$ 0,20 no preço do quilo da abobrinha e gastou R$ 11,50. Rosa, conhecida antiga de seu Manuel, conseguiu desconto de R$ 1,00 no preço do quilo da batata, R$ 0,50 de desconto no preço do quilo da cenoura, e R$ 0,20 de desconto no preço da abobrinha, gastando, no total, R$ 18,00 pela compra de 3 quilos de cada produto. Quanto seu Manuel cobra, sem desconto, pelo quilo da batata?

Figura 19: Tarefa referente ao nível disponível. Fonte: “Caderno do aluno”, 2009, p. 47.

68

prévios para determinar o preço solicitado e evocando novos saberes, quando a

situação assim o exigir. Nesta tarefa observa-se a quantidade de conhecimentos em

jogo: o estudante deve dispor da noção de sistema de equações lineares para

efetuar a passagem da linguagem natural da tarefa proposta para a representação

algébrica de um sistema 3x3. Após a identificação do sistema, o estudante pode

utilizar o método de Gauss, o escalonamento ou outra técnica conveniente para

encontrar a solução. No caso de utilizar a noção de matriz, deve efetuar a passagem

para a representação matricial do sistema encontrado e trabalhar apenas com a

matriz aumentada dos coeficientes, como é possível constatar na proposta

apresentada no Anexo XVIII.

A tarefa da Figura 19 é enunciada em linguagem natural e corresponde ao nível

disponível, pois o estudante deve determinar o preço do produto “batata” sem

indicação do processo, da ferramenta ou do algoritmo que deve ser utilizado. Assim,

cabe a ele dispor de conhecimentos para efetuar as devidas mudanças de quadro,

utilizando os métodos que melhor se enquadrem na tarefa e que estejam em

conformidade com seus conhecimentos disponíveis. No Anexo XVIII15, foi utilizado

um dos métodos existentes para solucionar o que é pedido, correspondendo ao nível

disponível, caso o estudante determine o preço do produto, pois deve ser possível

ao aluno tal procedimento, assim como a possibilidade de verificar a validade de sua

resposta.

Apesar das ferramentas de análise consideradas acima, relacionadas ao

funcionamento institucional da noção de matriz no Ensino Médio, parece

interessante considerar as noções de relações institucionais esperadas e existentes

para o desenvolvimento desse conceito, pois são noções mais amplas associadas à

atividade humana, em particular à atividade matemática, e permitem considerar a

diversidade de relações para um mesmo objeto matemático. Tais relações são

finalmente analisadas, quando se consideram as noções de quadro e níveis de

conhecimento esperados dos estudantes.

15 Solução apresentada pelo pesquisador, correspondendo a um dos métodos que podem ser utilizados pelos estudantes.

69

Para isso, escolheu-se completar essas análises por meio da Teoria

Antropológica do Didático, de Chevallard (1992) e Bosch e Chevallard (1999), em

particular, referindo-se aos conceitos de relações institucionais e pessoais e aos

ostensivos e não ostensivos presentes nas organizações praxeológicas (tipos de

tarefas, técnicas associadas, tecnologias e teorias) propostas para o Ensino Médio e

possivelmente revisitadas no Ensino Superior. Observa-se aqui que os ostensivos

estão associados às representações de um mesmo objeto matemático, sendo

evocados por meio dos não ostensivos que representam.

2.3.2 Alguns elementos da Teoria Antropológica do Didático

Apresenta-se, nesta seção, uma breve descrição sobre a Teoria Antropológica do

Didático, mais especificamente as noções de relações institucionais e pessoais,

tarefas, técnicas, tecnologias e teorias, isto é, de organizações praxeológicas,

ostensivos e não ostensivos, segundo Chevallard (1992) e Bosch e Chevallard

(1999).

Para estes dois autores, tudo é objeto e, quando esse é reconhecido por uma

instituição, podemos definir uma relação institucional com esse objeto, que neste

trabalho é reconhecido por meio das Diretrizes Curriculares para o Ensino Médio

(BRASIL, 1998a), dos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (BRASIL,

2000b e 2002), das Orientações Curriculares Nacionais para o Ensino Médio

(BRASIL, 2006), da Nova Proposta do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2008),

das Diretrizes Curriculares para o Curso de Matemática (BRASIL, 2001) e dos

Planos de Ensino de algumas Universidades como relações institucionais esperadas. Assim como os livros didáticos e o “Caderno do aluno” (SÃO PAULO,

2008-2009), que são considerados como relações institucionais existentes. No

texto abaixo, apresenta-se a definição da relação institucional e da relação pessoal a

um objeto “O”, a partir das noções primitivas de objeto, pessoas e instituições, dentro

do que os autores denominam antropologia cognitiva ou antropologia do

conhecimento, que compõe a teoria antropológica do didático.

Três termos primitivos são necessários para iniciar (outros irão se juntar no

que segue): os objetos O, as pessoas X, as instituições I. Os objetos,

apesar disso, ocupam aqui uma posição privilegiada; eles são o material e

base da construção teórica visada. Analogamente, no universo matemático

70

contemporâneo, fundamentado sobre a teoria dos conjuntos, tudo é

conjunto (os próprios números naturais são conjuntos); analogamente, no

universo que considero, tudo é objeto. As pessoas X e as instituições I,

assim como as outras entidades que serei conduzido a introduzir, são,

portanto, objetos de um tipo particular. Por esta razão, ficarei certo instante

sobre a noção genérica de objeto, que a teoria coloca assim no princípio de

seu desenvolvimento. Do ponto de vista da “semântica” da teoria, qualquer

coisa pode ser um objeto. Um objeto existe momento em que uma pessoa

X ou uma instituição I reconhece esse objeto como existente (para ela).

Mais precisamente, diremos que o objeto O existe para X

(respectivamente, para I) se existe um objeto, que indicarei R (X, O) (resp.

RI(O)), que denominarei relação pessoal de X a O (resp. relação institucional de I para O). Em outros termos, o objeto O existe se existe

pelo menos uma pessoa X ou uma instituição I, isto é, pelo menos uma

pessoa ou uma instituição tem uma relação com este objeto. [...]

Adicionarei aqui uma outra noção: a de conhecimento, conhecer um objeto O, no sentido da teoria apresentada (e não no sentido das diversas

instituições que ele deve nos permitir de estudar), é – para uma pessoa

como para uma instituição – ter uma relação com O. A pessoas X (ou a

instituição I) conhece O se existe R (X, O) (respectivamente, RI(O)).

Podemos, então, dizer que um objeto existe se ele é conhecido por pelo

menos uma pessoa ou uma instituição (ele poderá, apesar disso, existir

apenas – caso limite – para esta pessoa ou para esta instituição). Um

objeto só existe quando ele é objeto do conhecimento. O quadro conceitual

que acabo de esboçar é o que denominarei antropologia do conhecimento

ou antropologia cognitiva. (CHEVALLARD, 1992, p. 86-87, apud

ANDRADE, 2008, p. 33-34, grifos nossos).

Segundo os autores, nas instituições, um objeto é reconhecido por meio de tipos

de tarefas que, para serem executadas, necessitam de técnicas. Essas técnicas

precisam ser justificadas e controladas, dando origem às tecnologias ou ao discurso

sobre as técnicas. As tecnologias, por sua vez, precisam ser justificadas, gerando as

tecnologias das tecnologias denominadas teorias. Assim, uma técnica é

considerada, no sentido amplo, como uma “maneira particular de fazer”, e não

segundo a acepção comum de procedimento estruturado e metódico, mesmo

algorítmico – que é um caso particular da técnica (BOSCH; CHEVALLARD, 1999

apud COSTA, 2008, p. 14). Já para as tecnologias ou para o discurso tecnológico

das técnicas, Bosch e Chevallard propõem o seguinte significado: “um discurso

71

descritivo e justificativo das tarefas e técnicas que denominamos de tecnologia da

técnica.” (CHEVALLARD; BOSCH, 1999, apud COSTA, 2008, p. 17-18).

Portanto, deverá existir uma relação entre o objeto e a pessoa ou entre o objeto e

a instituição. Chevallard (1996) acrescenta outra noção, a de conhecimento.

Conhecer um objeto, no sentido da teoria apresentada, é estabelecer uma relação

da pessoa ou da instituição com esse objeto. Dessa forma, o objeto só existe porque

é objeto de conhecimento de uma pessoa ou de uma instituição.

O mesmo autor (1996) afirma que uma instituição pode ser uma escola, uma sala

de aula, um curso, uma família. A cada instituição está associado um conjunto de

objetos chamado de conjunto de objetos institucionais, que são aqueles

reconhecidos pela instituição, ou seja, para os quais existe uma relação institucional.

Para fins de análise das possíveis organizações praxeológicas, considera-se,

nesta pesquisa, a noção de ostensivo, isto é, os objetos de natureza sensível, como

os sons, os grafismos e os gestos; e os objetos não ostensivos, como as noções,

os conceitos e as idéias, que só podem ser evocados por meio da manipulação

adequada dos ostensivos que lhes são associados. A análise dos ostensivos e dos

não ostensivos auxilia a distinguir as diferentes relações institucionais de cada

indivíduo, ou seja, permite ao sujeito identificar conhecimentos prévios que podem

ser revisitados, o que, conforme Moreira (2005), torna-o mais rico, diferenciado e

elaborado, permite a ele adquirir estabilidade e o auxilia na construção de novos

saberes, de forma que estes adquiram significado. Uma nova relação institucional é

realizada por meio das organizações praxeológicas (tipos de tarefas, técnicas,

tecnologias e teorias) que a compõem. Estas, por sua vez, são desenvolvidas com o

auxílio de certos não ostensivos que só podem ser manipulados pela ativação dos

ostensivos que lhes permitem existir, sejam eles materiais ou não materiais, como é

possível identificar e compreender no texto abaixo [...] trabalhamos a matemática principalmente “com a cabeça”, com a ajuda de ferramentas como noções, raciocínios, idéias, intuições e muito pouco com elementos materiais. Com efeito, alguns instrumentos materiais utilizados (papel e lápis, quadro e giz, régua e compasso, calculadoras, computadores) são geralmente considerados como simples suportes, ajudas muitas vezes indispensáveis, mas que em nenhum caso fariam parte da própria atividade. Os outros objetos, se não materiais, pelo menos sensíveis, que o matemático utiliza (escritas, formalismos, grafismos, palavras, discursos, etc.), podem às vezes se beneficiar de algumas especificidades: se supõem que eles intervenham nas atividades apenas como sinais, ocupando o lugar de outros objetos que eles representariam. (BOSCH; CHEVALLARD, 1999, p. 89, apud COSTA, 2008, p. 23).

72

A teoria de Bosch e Chevallard (1999) considera não apenas os objetos sensíveis,

mas também os não sensíveis, que são as noções, os conceitos e as idéias, pois

estes ajudam a construir e a manipular os objetos matemáticos. Segundo Bosch e

Chevallard (1999), para construir matemática, é preciso efetuar o discurso das

figuras e dos símbolos, mas o que é importante é a atividade matemática

concretamente observável, que será a produtora de conceitos; a ausência destes

pode bloquear a evolução do pensamento matemático. Esses pesquisadores

colocam a questão da “natureza” dos objetos matemáticos e da sua real função nas

atividades matemáticas: consideram dois tipos de objetos, como descritos: os

objetos ostensivos e os objetos não ostensivos e expressam da seguinte forma a

noção de ostensivo:

[...] Falamos de objetos ostensivos – do latim “ostendere” mostrar,

apresentar com insistência” – para nos referir a todo objeto tendo uma

natureza sensível, uma certa materialidade, e que, por esta razão,

adquirem para o sujeito humano uma realidade perceptível. Assim,

acontece para qualquer objeto material e principalmente, para os objetos

materiais particulares como os sons (entre os quais as palavras da língua),

os grafismos (entre os quais os grafemas, permitindo as escrituras das

línguas naturais ou constitutivos das línguas formais) e os gestos. (BOSCH;

CHEVALLARD, 1999, p. 89, apud COSTA, 2008, p. 24, grifo do autor).

Para os objetos não ostensivos, Bosch e Chevallard (1999) propõem a seguinte

definição.

Os objetos não ostensivos são todos estes objetos que, como as idéias,

as intuições ou os conceitos, existem institucionalmente – no sentido em

que lhes atribuímos uma existência – sem que para tanto possam ser

vistos, ditos, entendidos, percebidos ou mostrados por eles mesmos: eles

podem apenas ser evocados ou invocados pela manipulação adequada de

certos objetos ostensivos que lhes são associados (uma palavra, uma

frase, um grafismo, uma escritura, um gesto ou um longo discurso).

(BOSCH; CHEVALLARD, 1999, p. 89, apud COSTA, 2008, p. 24).

Percebe-se a distinção entre os ostensivos e os não ostensivos, pelo seguinte

exemplo: quando o professor, em sala de aula, introduz oralmente a palavra “tabela”

(ostensivo oral), o estudante ativa certas expressões, grafismos particulares entre

outros, relacionados à palavra “tabela”. Ou seja, cada estudante poderá ter uma

73

forma de registro mental associada à palavra “tabela”, portanto a essa idéia, intuição

ou conceito chama-se “não ostensivo”, mas os não ostensivos e os ostensivos,

segundo Bosch e Chevallard, não podem ser entendidos como entidades mentais,

mas, sim, como objetos reconhecidos institucionalmente, pois ambos estão

envolvidos em uma dialética; ou seja, os não ostensivos são emergentes da

manipulação dos ostensivos, e essa manipulação só é possível por meio da ativação

dos não ostensivos, que o sustenta.

Para melhor exemplificar o que foi proposto por Bosch e Chevallard (1999),

apresenta-se o exemplo abaixo, extraído de um livro didático destinado ao Ensino

Médio:

Na Figura 20, são dispostas três matrizes do mesmo tipo, cujos respectivos

cálculos o estudante deve efetuar; ou seja, ele deve realizar a adição entre as

matrizes dadas. O Anexo XIX apresenta a solução.

Conforme demonstrado no Anexo XIX, segundo Bosch e Chevallard (1999),

escrever essas matrizes é um ostensivo de representação escrita, mas não se

chegaria ao resultado sem a intervenção de certos objetos não ostensivos

específicos, tais como a noção da operação adição e a de operação no conjunto dos

números inteiros, condição para adicionar duas ou mais matrizes. Observa-se,

segundo os mesmos autores (1999), que em toda atividade humana existe a

coativação de objetos ostensivos e de objetos não ostensivos, o que permite

considerar que ambos não sobrevivem isoladamente, pois os primeiros permitem a

manipulação dos não ostensivos que, por sua vez, são evocados de forma a reger

essa manipulação; e, inversamente, só é possível evocar os não ostensivos por

meio dos ostensivos que lhes são associados, o que, como demonstra Chevallard

(1994), permite considerar a existência de uma dialética entre ostensivos e não

ostensivos.

Dada as matrizes A= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−10

42 , B= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 06

24 e C= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 25

03, calcule:

a) A+B b) A+C c) B+C d) A+B+C

Figura 20: Tarefa de adição entre matrizes. Fonte: Dante, 2005b, p. 244.

74

O exemplo abaixo, retirado de Chevallard (1994), que trata do nosso objeto

matemático de estudo, pode auxiliar a melhor compreender essa dialética existente

entre ostensivos e não ostensivos.

[...] o não ostensivo “produto de duas matrizes” não pode existir (sempre

em nível elementar) sem o ostensivo gestual, que consiste em colocar em

relação uma linha da primeira matriz e uma coluna da segunda

?3142

.3142

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡− Um dos ingredientes da técnica de multiplicação

(como sempre trabalhado em relação ao cálculo) é aqui um certo gesto,

sem o qual essa técnica não existiria [...] (CHEVALLARD, 1994, p. 5, grifos

do autor).

Para melhor detalhar as tarefas que serão analisadas nesta pesquisa — com

relação à manipulação dos ostensivos e dos não ostensivos —, associadas à noção

de matriz, apresentam-se, adiante, alguns exemplos.

- Não ostensivos: As noções de adição, subtração, multiplicação e divisão são

exemplos considerados como não ostensivos de determinada tarefa, assim como

também a resolução, utilizando métodos e condições de existência de uma

determinada atividade.

Para chegar à solução, ocorre a intervenção de certos objetos não ostensivos:

- noção da operação adição no conjunto dos números inteiros;

- condição para adicionar duas ou mais matrizes;

- tipo da matriz em jogo;

- noção de matriz oposta.

Resumindo, podemos assim entender objetos não ostensivos:

Dadas duas matrizes A=(aij)mxn e B=(bij)mxn, chama-se diferença A-B a matriz soma de A com a oposta de B.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

−−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 2135

0791118741100

174118911

18741100

174118911

Figura 21: Tarefa exemplificando objeto não ostensivo. Fonte: Iezzi, 1985, p. 41.

75

Objetos não ostensivos são as idéias, as intuições ou os conceitos — que não podem ser vistos, ditos, entendidos, percebidos ou mostrados — sobre determinada noção, como segue:

- noção de operações aritméticas; - noção de operações entre matrizes; - noção de matriz; - noção de tipo e ordem de uma matriz; - noção de posição de um determinado elemento da matriz; - noção de matriz algébrica; - noção de matriz numérica; - noção de igualdade; - noção de igualdade entre matrizes; - noção de número índice; - noção de função; - noção do cálculo do valor numérico de uma função; - noção de números reais; - noção de intervalo numérico; - noção sobre resolução de equações; - noção de inversa de uma matriz;

Ao tratar determinado objeto, uma pessoa “A” pode ter uma noção diferente de

uma outra pessoa “B”. Os objetos que permitem que cada um visualize mentalmente

um tipo de noção são denominados por Bosch e Chevallard (1999) objetos não

ostensivos. Estes não estão dissociados dos objetos ostensivos, que também podem

ser distintos para as pessoas A e B, pois estão associados às relações institucionais

a que elas foram submetidas.

- Ostensivos: em relação às noções de matrizes, pode-se verificar que os registros

dos vários signos existentes na matemática e o seu esboço são representações de

objetos ostensivos, assim como o discurso oral e a ação gestual. O próximo

exemplo, seguido de sua solução, melhor exemplifica esta situação:

A solução dessa tarefa aciona vários objetos ostensivos:

Dadas: A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡654321

e B=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

987

, calcular A.B

32654321

x⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡.

13987

x⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

12250

9.68.57.49.38.27.1

12x

Figura 22: Tarefa de multiplicação. Fonte: Iezzi, 1985, p. 41.

76

- ostensivo oral, uma vez que, ao iniciar a resolução, o professor deve informar a

condição de existência, para a multiplicação entre duas matrizes;

- ostensivo gestual, pois o professor poderá efetuar movimentos com as mãos,

para levar o aluno a compreender a multiplicação entre linha e coluna. Além

disso, ao efetuar a multiplicação, é preciso um discurso para mostrar o gesto,

quando se multiplicam elementos de uma linha por uma coluna.

Os ostensivos acima podem estar presentes de forma explícita, na resolução das

tarefas, mas outros objetos também podem estar presentes, como:

- ostensivo da visualização matricial;

- ostensivo da construção;

- ostensivo da leitura;

- ostensivo da escrita, etc.

Resumindo, podemos assim entender objetos ostensivos: Objetos ostensivos apresentam uma natureza sensível, adquirindo uma realidade perceptível,

como: - os sons; - os grafismos: - a representação escrita na língua materna; - a representação escrita na notação matricial algébrica ou numérica; - a representação escrita por meio de uma propriedade matemática; - os gestos;

A noção não ostensiva dos objetos tem uma dialética com os ostensivos, uma vez

que não se pode trabalhar com determinado objeto não ostensivo sem os ostensivos

gestuais, escritos e orais que o acompanham, ou seja, um está diretamente

interligado com o outro. Exemplo: ao dizer ou escrever a palavra “matriz”, ela

representa um não ostensivo cujo ostensivo é a própria palavra que permite

considerá-lo.

Registram-se, a seguir, as considerações sobre o capítulo, colocando em

evidência a escolha dos referenciais.

2.4 Considerações finais sobre o capítulo.

O referencial teórico apresentado será mais bem explicitado no capítulo 5, por

meio dos tipos de tarefas encontradas para a introdução da noção de matriz suas

77

operações e propriedades no Ensino Médio. Para a análise dessas tarefas nesse

quinto capítulo, apresenta-se uma grade de análise em que as noções de quadro,

ostensivos e não ostensivos e os níveis de conhecimento esperados dos estudantes

permitem distinguir as técnicas, as tecnologias e as teorias que sustentam as tarefas

relacionadas à noção de matriz.

Os referenciais teóricos registrados neste capítulo foram escolhidos por serem os

que melhor sustentam as análises propostas nesta pesquisa, para a noção de

matriz, uma vez que, ao introduzir essa noção, o professor necessita desenvolver

vários quadros com suas respectivas mudanças, contribuindo para que o estudante

mobilize os saberes prévios, buscando novas alternativas para atingir um grau mais

elevado em seu conhecimento.

Para os referenciais definidos segundo os pesquisadores, colocam-se alguns

exemplos extraídos de vários livros didáticos e avaliações institucionais, ilustração

necessária para melhor explicitar o que é proposto, demonstrando a importância dos

referenciais adotados com relação ao objeto de estudo, “noção de matriz”.

No capítulo que segue, serão apresentadas, de forma sucinta, as análises sobre

as relações institucionais esperadas dos estudantes, desenvolvidas por meio dos

documentos oficiais que são analisados via noção de “topos” do professor e do

estudante introduzida por Chevallard e Grenier (1997) e que corresponde ao papel

que devem desempenhar esses dois atores em conjunto, no processo de ensino e

aprendizagem.

78

CAPÍTULO 3 ANÁLISE DAS RELAÇÕES INSTITUCIONAIS ESPERADAS – ENSINO

MÉDIO.


Neste capítulo efetua-se a análise das relações institucionais esperadas dos

professores e estudantes do Ensino Médio, conforme definição de Bosch e

Chevallard (1999), via documentos oficiais. Primeiramente verificam-se quais as

novas expectativas institucionais propostas pelas Diretrizes Curriculares para o

Ensino Médio (1998). Para completar este estudo analisam-se os seguintes

documentos: Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (BRASIL,

2000b, 2002), Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006) e Nova

Proposta Curricular do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2008). Esses

documentos complementam-se, pois foram construídos a partir das diretrizes

curriculares nacionais que normatizam os planejamentos curriculares das escolas e

dos sistemas de ensino.

É importante observar que as diretrizes curriculares do Ensino Médio foram

formuladas a partir da Lei 9.394/96 (Lei de Diretrizes e Bases da Educação nacional,

LDB) (BRASIL, 1996), que enfatiza a importância de uma educação escolar

vinculada ao trabalho e às praticas sociais.

Para melhor compreender o que se espera dos professores e dos estudantes do

Ensino Médio das escolas públicas, em relação aos conhecimentos matemáticos

desenvolvidos nessa etapa escolar que podem ser trabalhados como conhecimentos

prévios para a introdução de novos conhecimentos no Ensino Superior, escolhe-se

analisar quais conhecimentos sobre a noção de matrizes podem ser considerados

disponíveis quando se introduzem as primeiras noções de Álgebra Linear no Ensino

Superior — em particular, a noção de matrizes de uma transformação linear. Ou

seja, busca-se discutir que conhecimentos sobre as noções de matrizes trabalhadas

no Ensino Médio podem ser considerados ferramentas explícitas do trabalho

matemático em jogo em um curso de introdução à Álgebra Linear no Ensino

Superior.

79

Sendo assim, um dos objetivos da presente pesquisa é auxiliar os professores do

Ensino Superior a repensar os possíveis desenvolvimentos de tarefas que levem em

conta os conhecimentos que os estudantes são capazes de, pelo menos, mobilizar,

quando iniciam o Ensino Superior. Em outras palavras, é esperado que os

professores definam quais conhecimentos prévios podem ser utilizados para

introduzir novos saberes, pois, conforme Moreira (2005), que enfatiza a importância

da interação entre o conhecimento prévio e o novo conhecimento, essa é

característica importante para uma aprendizagem significativa. Segundo esse

pesquisador (2005), nessa interação “o novo conhecimento adquire significados para

o aprendiz e o conhecimento prévio fica mais rico, mais diferenciado, mais elaborado

em termos de significado, e adquire mais estabilidade”.

Como as mudanças que vêm sendo propostas desde 1996 com a Lei 9394/96

muitas vezes são desconhecidas dos professores de disciplinas específicas de

matemática do Ensino Superior e como essa sequência de documentos ainda não

foi apropriada por muitos professores do Ensino Médio, escolhe-se analisar os

documentos indicados acima, por serem novas propostas para o processo de ensino

e aprendizagem dos estudantes do Ensino Médio.

Além disso, esses documentos trazem orientações para explicitar as novas

práticas esperadas dos professores e as condutas dos estudantes do Ensino Médio

para as inúmeras instituições desse nível de ensino que funcionam no Brasil ou em

São Paulo, quando se trata da Nova Proposta Curricular.

Para auxiliar nessas análises, utiliza-se como ferramenta a noção de topos do

professor e do estudante, que corresponde ao conjunto de tarefas que o professor

ou o estudante deve realizar em uma determinada organização praxeológica (tipos

de tarefas, técnicas, tecnologias e teorias), ou seja, o lugar onde cada um

representa o papel que lhe é destinado; por exemplo, para resolver um exercício na

classe, existe um topos para o professor e um topos para o estudante.

Dessa forma, ao analisar as relações institucionais propostas nos documentos

oficiais, escolhe-se a noção de topos, pois ela pode auxiliar a refletir sobre as

seguintes questões:

80

a) A noção de matriz, suas operações e propriedades são propostas para serem trabalhadas com os estudantes do Ensino Médio?

b) Que nível de conhecimento é esperado dos estudantes para o trabalho com essas noções?

c) Qual a relação institucional esperada para o desenvolvimento dessas noções no Ensino Médio?

d) Os estudantes do Ensino Médio são realmente capazes de mobilizar os conhecimentos de matrizes, suas operações e propriedades? Isto é, que relações pessoais eles desenvolvem em função das relações institucionais esperadas e existentes?

e) É possível determinar um sistema de tarefas e práticas utilizadas no Ensino Médio que possam servir de ponto de apoio para o trabalho em Álgebra Linear no Ensino Superior — em particular, quando se trata do objeto matemático: noção de isomorfismo entre o espaço das transformações lineares e o espaço das matrizes?

Para responder essas questões, escolhe-se proceder da seguinte maneira para a

análise dos documentos aqui apresentados:

1) Apresenta-se o panorama geral do documento, ressaltando o que é esperado do trabalho a ser realizado pelo professor e pelo estudante, em função do topos do estudante e do professor, descrito nesse documento.

2) Considera-se ainda a proposta mais específica para o desenvolvimento da noção de matriz.

3) Observam-se os conhecimentos prévios esperados dos estudantes.

4) Finalmente, efetua-se um comentário a respeito do documento.

Para melhor adotar os procedimentos acima, observa-se que tanto o professor

como o estudante têm o seu papel no processo ensino-aprendizagem o que pode

ser analisado em termos de topos, do professor e do estudante.

A seguir, apresenta-se uma breve descrição sobre a noção de topos,

considerando o trabalho de Chevallard e Grenier (1997) e algumas observações

feitas por Perrin-Glorian e Robert (2008), em um curso sobre a Teoria Antropológica

do Didático.

3.2 A noção de topos do professor e do estudante de Chevallard e Grenier (1997).

A noção de topos introduzida por Chevallard e Grenier (1997) é adequada para a

análise de documentos oficiais que propõem novas formas de trabalho tanto para o

professor como para o estudante, pois ela é definida a partir do significado da

palavra latina topos, que significa lugar. Esses autores (1997) consideram que o

81

topos do professor e do estudante correspondem ao momento e ao lugar em que

cada um deles desempenha, com certa autonomia, seu papel no processo de ensino

e aprendizagem.

É importante destacar, ainda, que Perrin-Glorian e Robert (2008), em um curso de

master, identificam o papel do professor como responsável por desenvolver um tema

de estudo e organizar o trabalho dos estudantes, propondo tarefas que necessitam

de determinadas técnicas para serem resolvidas e de tecnologias e teorias que as

justifiquem. Esse trabalho, no Brasil, é auxiliado pelas orientações dos documentos

oficiais e pelos livros didáticos, o que para nós representa as relações institucionais

esperadas e existentes, respectivamente. Em contrapartida, fica a cargo do

estudante cooperar e interagir com o professor e com os outros estudantes e

desenvolver gradativamente seu papel no processo de ensino e aprendizagem de

forma autônoma, tornando-se responsável pelo próprio desenvolvimento, do qual o

professor deve ser considerado apenas orientador, mediador e auxiliar de seu

projeto de estudo.

Sendo assim, a noção de topos descrita acima foi escolhida para a análise das

relações institucionais esperadas por distinguir explicitamente qual o papel que

devem desempenhar professores e estudantes no processo de ensino e

aprendizagem.

Para melhor compreender as novas propostas para o Ensino Médio, faz-se a

seguir uma breve descrição dos documentos oficiais, que aqui são considerados

como relações institucionais esperadas.

3.3 Novo Ensino Médio

Na década de 1990 foi sancionada a terceira Lei de Diretrizes e Bases da

Educação Nacional, número 9.394 de 20 de dezembro de 1996 (BRASIL, 1996), que

buscou alternativas para reestruturar o sistema educacional brasileiro e

regulamentou várias áreas da educação, como a formação de professores, a gestão

escolar e o currículo. Esse documento foi fruto de um debate ao longo de oito anos e

resultou na implantação da Educação Básica, que consiste no conjunto de Educação

Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio, que compõe a Educação Básica, a

outra modalidade é denominada Educação Superior.

82

A Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (BRASIL, 1996) é a mais

importante lei educacional brasileira e subsidia as demais reformulações no âmbito

educacional, como as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio

(BRASIL, 1998a), sancionada em 1998; os Parâmetros Curriculares Nacionais –

Ensino Médio (PCNEM) (BRASIL, 2000a, 2002) de 1999 editado em 2000 e 2002;

as Orientações Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (BRASIL, 2004, 2006),

primeiramente surgida em 2004 e editada em versão final em 2006; e a Nova

Proposta Curricular do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2008), implementada em

2008.

Em 1999, levando em consideração o que estava disposto nas Diretrizes

Curriculares para o Ensino Médio (1998), surgiu a versão final do PCNEM, editada

em 2000 (BRASIL, 2000a), uma proposta que tenta qualificar a formação do cidadão

brasileiro, voltando suas expectativas para o mundo do trabalho e para o

desenvolvimento de competências e habilidades, que, nessa proposta, assumem

uma importância central, pois as competências estavam vinculadas a um conjunto

de conteúdos articulados entre as várias disciplinas do currículo do Ensino Médio.

Em 2002, orientações complementares ao PCNEM de 1999, editado em 2000, foram

redigidas em novo documento: o PCNEM (BRASIL, 2002), intitulado PCN+, também

com foco no Ensino Médio. Ali é abordado o desenvolvimento de competências e

habilidades, com esquemas para o trabalho contextualizado em sala de aula,

apresentado em três grandes áreas.

Em 2004, iniciou-se a elaboração de um documento — Orientações Curriculares

Nacionais para os Ensinos Médios (OCNEM) — este visava substituir os PCNEM e o

PCN+ e tratava de alguns pontos não adequados da proposta de 1999. Trouxe

mudanças relacionadas à reorganização curricular, como a priorização da

diversidade cultural dentro da escola; ao enfoque da avaliação; e ao estimulo à

formação continuada de professores e gestores. Atualmente, este documento

encontra-se reeditado na versão 2006.

Para o Estado de São Paulo, com o objetivo de subsidiar a reorganização dos

currículos do Ensino Fundamental e Médio, surgiu, em fevereiro de 2008, a Nova

Proposta Curricular do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2008). No Ensino Médio,

essa proposta foi coordenada pela Professora Doutora Maria Inês Fini e elaborada

83

por pesquisadores da área de Educação que atuam no Estado, juntamente com

membros do governo paulista. O material desenvolvido apresentou volumes

específicos para cada disciplina e série, organizados em quatro bimestres.

Atualmente as atividades desenvolvidas na rede estadual de São Paulo, nas três

séries do Ensino Médio, são fundamentadas nesse material.

Assim, por ser a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional a base sobre a

qual se articulam as demais propostas para o ensino no País, disponibiliza-se, aqui,

uma breve descrição das características das Diretrizes Curriculares Nacionais para o

Ensino Médio traçadas nesse documento.

3.4 Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio

As Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio são normas obrigatórias

para o planejamento curricular das escolas e dos sistemas de ensino, fixadas pelo

Conselho Nacional de Educação por meio da Câmara de Educação Básica,

amparada através das Leis nº 9.131, de 25 de novembro de 1995, e nº 9.394, de 20

de dezembro de 1996; e pelo Parecer CEB / CNE nº 15, de 25 de junho de 1998,

instituído pela Resolução CEB nº 3 de 26 de junho de 1998.

Esse Parecer, que é fruto de várias vertentes — pois recolheu, para sua

elaboração, as mais variadas experiências entre os educadores —, apresenta

propostas de regulamentação da base curricular nacional e de organização do

Ensino Médio. Em seu texto, "diretriz" refere-se tanto às direções físicas quanto às

indicações para a ação. É “linha reguladora do traçado de um caminho ou de uma

estrada”, no primeiro caso; e, no segundo sentido, “conjunto de instruções ou

indicações para se tratar e levar a termo um plano, uma ação, um negócio, etc.”

(BRASIL, 1998, p 4).

Para consecução das Diretrizes Curriculares Nacionais, o Conselho Nacional de

Educação16 visou três objetivos principais:

16 Conselho Nacional de Educação: órgão colegiado integrante do Ministério da Educação tem a finalidade de colaborar na formulação da Política Nacional de Educação e exercer atribuições normativas, deliberativas e de assessoramento ao Ministério da Educação.

84

- Sistematizar os princípios e diretrizes gerais contidas na LDB.

- Explicitar os desdobramentos desses princípios no plano pedagógico e traduzi-los em diretrizes que contribuam para assegurar a formação básica comum nacional.

- Dispor sobre a organização curricular da formação básica nacional e suas relações com a parte diversificada, e a formação para o trabalho.

Com vistas a estes três objetivos, percebe-se que a Lei de Diretrizes e Bases de

1996 foi um momento histórico de grande importância, pois apontou caminhos para

a educação com vistas à formação geral. Assim o artigo 21 da LDB/96 retrata este

processo:

Artigo 21 – A educação escolar compõe-se de: I. Educação básica, formada pela educação infantil, ensino

fundamental e ensino médio; II. Educação superior.

(BRASIL, 1996, p.8)

Estabeleceram-se, portanto, duas modalidades na Educação: a Básica

subdividida em outras três etapas e a Superior. Dessa forma, as Diretrizes

Curriculares Nacionais para o Ensino Médio preocupam-se em garantir padrões

mínimos para o estudante do Ensino Médio, que futuramente poderá frequentar o

Ensino Superior; ou seja, o estudante ao final do Ensino Médio, deve estar

preparado para o mundo do trabalho e para a continuidade dos estudos, na

modalidade Superior.

Assim determina a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional de 1996, em

seu artigo 35:

Artigo 35 – O ensino médio, etapa final da educação básica, com duração mínima de três anos, terá como finalidades:

I. a consolidação e o aprofundamento dos conhecimentos adquiridos no ensino fundamental, possibilitando o prosseguimento de estudos; II. a preparação básica para o trabalho e a cidadania do educando, para continuar aprendendo, de modo a ser capaz de se adaptar com flexibilidade a novas condições de ocupação ou aperfeiçoamento posteriores; III. o aprimoramento do educando como pessoa humana, incluindo a formação ética e o desenvolvimento da autonomia intelectual e do pensamento crítico; IV. a compreensão dos fundamentos científico-tecnológicos dos processos produtivos, relacionando a teoria com a prática, no ensino de cada disciplina.

(BRASIL, 1996, p.13)

85

A legislação retrata as finalidades da Etapa final do Ensino Médio, mas também

se preocupa com os aspectos pedagógicos e metodológicos, sinalizando para

continuidade dos estudos, conforme podemos verificar no artigo 36 da LDB/96.

Artigo 36 – O currículo do ensino médio observará o disposto na Seção I deste Capítulo e as seguintes diretrizes:

I. Destacará a educação tecnológica básica, a compreensão do significado da ciência, das letras e das artes; o processo histórico de transformação da sociedade e da cultura; a língua portuguesa como instrumento de comunicação, acesso ao conhecimento e exercício da cidadania; II. Adotará metodologias de ensino e de avaliação que estimulem a iniciativa dos estudantes; III. Será incluída uma língua estrangeira moderna, como disciplina obrigatória, escolhida pela comunidade escolar, e uma segunda, em caráter optativo dentro das disponibilidades da instituição.

Parágrafo primeiro – Os conteúdos, as metodologias e as formas de avaliação serão organizados de tal forma que ao final do ensino médio o educando demonstre:

I. Domínio dos princípios científicos e tecnológicos que presidem a produção moderna; II. Conhecimento das formas contemporâneas de linguagem; III.Domínio dos conhecimentos de Filosofia e de Sociologia necessários ao exercício da cidadania.

(BRASIL, 1996, p.14)

A Lei garante o direito ao prosseguimento dos estudos, não de forma acumulativa,

mas na continuidade do desenvolvimento e da capacidade de aprender e

compreender o mundo físico, social e cultural.

Segundo o Parecer 15/98 e a Resolução CEB n. 3/98, o Ensino Médio deve ser

dividido em três áreas, que devem estar presentes na base nacional comum dos

currículos das escolas de Ensino Médio, cujas propostas pedagógicas deverão

estabelecer o que está descrito no quadro que segue:

- As proporções de cada área no conjunto do currículo. - Os conteúdos a serem incluídos em cada uma delas, tomando como referência as competências descritas. - Os conteúdos e competências a serem incluídos na parte diversificada, os quais poderão ser selecionados em uma ou mais áreas, reagrupados e organizados de acordo com critérios que satisfaçam as necessidades da clientela e da região.

Quadro 1: Base Nacional comum dos currículos do Ensino Médio Fonte: BRASIL, 1998a, p.62

Na descrição acima (Quadro 1), o documento retrata a importância das disciplinas

presentes no Ensino Médio, orientando quanto à proporção em cada área, levando

86

em consideração as competências e as necessidades de cada comunidade, sendo

preciso definir critérios que possam satisfazer os objetivos propostos nesse Parecer.

A segunda área do Ensino Médio corresponde a Ciências da Natureza,

Matemática e suas Tecnologias, objetivando a constituição de habilidades e

competências que estão descritas a seguir.

- Compreender as ciências como construções humanas, entendendo como elas se desenvolvem por acumulação, continuidade ou ruptura de paradigmas, relacionando o desenvolvimento científico com a transformação da sociedade. - Entender e aplicar métodos e procedimentos próprios das ciências naturais. - Identificar variáveis relevantes e selecionar os procedimentos necessários para produção, análise e interpretação de resultados de processos ou experimentos científicos e tecnológicos. - Apropriar-se dos conhecimentos da Física, da Química e da Biologia, e aplicar esses conhecimentos para explicar o funcionamento do mundo natural, planejar, executar e avaliar ações de intervenção na realidade natural. - Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculo de probabilidades. - Identificar, analisar e aplicar conhecimentos sobre valores de variáveis, representados em gráficos, diagramas ou expressões algébricas, realizando previsão de tendências, extrapolações e interpolações, e interpretações. - Analisar qualitativamente dados quantitativos, representados gráfica ou algebricamente, relacionados a contextos socioeconômicos, científicos ou cotidianos. - Identificar, representar e utilizar o conhecimento geométrico para o aperfeiçoamento da leitura, da compreensão e da ação sobre a realidade. - Entender a relação entre o desenvolvimento das ciências naturais e o desenvolvimento tecnológico e associar as diferentes tecnologias aos problemas que se propuseram e propõem solucionar. - Entender o impacto das tecnologias associadas às ciências naturais na sua vida pessoal, nos processos de produção, no desenvolvimento do conhecimento e na vida social. - Aplicar as tecnologias associadas às ciências naturais na escola, no trabalho e em outros contextos relevantes para sua vida. - Compreender conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas e aplicá-las a situações diversas no contexto das ciências, da tecnologia e das atividades cotidianas.

Quadro 2: Objetivo das competências e habilidades Fonte: BRASIL, 1998b, p.63

Assim, as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio, orientam quanto

à necessidade de repensar um currículo voltado ao cidadão, para prepará-lo para o

mundo do trabalho e para continuidade de seus estudos superiores. Tal objetivo teve

como resultado a elaboração de novas orientações para o Currículo Nacional e a

reelaboração de novos parâmetros que contribuíssem para uma significativa

mudança na vida dos estudantes.

Após esta breve discussão sobre as Diretrizes Curriculares Nacionais para o

Ensino Médio, analisa-se, mais especificamente o que se espera do trabalho do

professor e do estudante via a noção de topos do professor e dos estudantes. Para

87

isso, escolheram-se os seguintes documentos: Parâmetros Curriculares Nacionais

do Ensino Médio (BRASIL, 2000b) e PCN + Ensino Médio (BRASIL, 2002), que

constituem novas orientações de trabalho propostas em âmbito nacional.

3.4.1 Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio

Analisam-se os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio

(PCNEM), na disciplina de Matemática. Sua primeira versão surgiu em 1999, tendo

sido editada em 2000 e reformulada posteriormente, resultando no documento

complementar chamado PCN+.editado em 2002. Tanto o PCNEM como o PCN+

correspondem às expectativas para o processo de ensino e aprendizagem, em

particular para o ensino de matemática. Esses documentos são retrabalhados nas

instituições, resultando em novos documentos, como planos de ensino, planos de

aula, projetos educacionais, entre outros.

3.4.1.1 Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (2000)

Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM) são

divididos em quatro partes, das quais a Matemática corresponde à terceira, que traz

as expectativas para o desenvolvimento da área de Ciências da Natureza,

Matemática e suas Tecnologias. As orientações desenvolvidas para essa área são

articuladas com as outras duas partes, que se ocupam de outras duas áreas do

conhecimento. A primeira parte do documento é tomada pela introdução, que é

comum a todas as áreas.

Ali são apresentadas as orientações gerais, levando-se em conta as noções de

competências e habilidades, previstas na Lei de Diretrizes e Bases da Educação

Nacional de 1996. Com o objetivo de garantir a orientação para o ensino e

aprendizagem das disciplinas do Ensino Médio, o documento propõe a

argumentação e a contextualização como forma de relacionar o trabalho a ser

realizado nas disciplinas (ANEXOXX).

As descrições (ANEXO XX), são importantes para o desenvolvimento das

atividades do professor e do estudante para que se realize o processo de ensino e

88

aprendizagem, faz-se nestas uma rápida descrição das rubricas relacionadas às

disciplinas que devem ser trabalhadas de forma interdisciplinar no Ensino Médio.

Ainda conforme o mesmo documento (ANEXO XXI), os conhecimentos a serem

desenvolvidos nas disciplinas da área em que se insere a Matemática e as

possibilidades de articulação entre elas. Observa-se, ainda, que a Matemática,

nessa etapa escolar, tem um papel fundamental de ferramenta para a interpretação,

a compreensão e a organização dos dados das outras ciências, o que corresponde

aos desafios do mundo moderno.

Apesar de destacar o papel da Matemática no desenvolvimento da sociedade e

sua função de ferramenta para compreensão das outras ciências, observa-se que

fica a cargo dos professores a escolha dos conteúdos a serem desenvolvidos, que

devem estar relacionados com as outras disciplinas; e que é preciso levar em conta

as diferenças regionais, para evitar possíveis distorções.

Após as descrições (ANEXO XX e XXI), que oferecem uma breve apresentação

dos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM), percebe-se

que os conteúdos a serem desenvolvidos na disciplina de Matemática têm seus

objetivos voltados para o desenvolvimento das capacidades de comunicação, de

resolver problemas, de tomar decisões, de fazer inferências, de criar, de aperfeiçoar

conhecimentos e valores, de trabalhar cooperativamente. Isso significa que o

professor deve mediar e incentivar os estudantes, propondo tarefas que permitam a

aplicação da Matemática na vida cotidiana e nas diversas atividades humanas, em

particular, aquelas voltadas para o desenvolvimento profissional, que fazem parte do

cotidiano de um determinado grupo de estudantes. Assim indicam os Parâmetros

Curriculares Nacionais para o Ensino Médio:

A matemática no Ensino Médio tem um valor formativo e tem como objetivo

ajudar a estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo do indivíduo,

desempenhando também um papel instrumental, pois é uma ferramenta

que serve para a vida cotidiana e para muitas tarefas específicas em quase

todas as atividades humanas. (BRASIL, 2000b, p. 40).

Observa-se que o topos do professor está associado à necessidade de procurar

alternativas para executar seu trabalho de forma a favorecer o desenvolvimento do

estudante, mostrando a importância da Matemática como ferramenta que permite

89

estruturar o pensamento e o raciocínio, pois o jovem deverá usá-la para a vida

cotidiana e, consequentemente, aplicar os conceitos fundamentais nas diversas

atividades que desempenha, assim como no prosseguimento de seus estudos. Por

essas razões, a Matemática deve compor um conjunto de tarefas com técnicas e

estratégias que possam ser aplicadas, nas mais diversas áreas do conhecimento, de

forma responsável e autônoma. Para isso, os Parâmetros Curriculares Nacionais

para o Ensino Médio orientam:

[...] cabe à Matemática do Ensino Médio apresentar ao aluno o

conhecimento de novas informações e instrumentos necessários para que

seja possível a ele continuar aprendendo. Saber aprender é a condição

básica para prosseguir aperfeiçoando-se ao longo da vida. Sem dúvida,

cabe a todas as áreas do Ensino Médio auxiliar no desenvolvimento da

autonomia e da capacidade de pesquisa, para que cada aluno possa

confiar em seu próprio conhecimento. (BRASIL, 2000b, p. 41).

Os objetivos da disciplina de Matemática para o Ensino Médio apresentados no

documento (ANEXO XXII) conduz o professor a redimensionar alguns temas que

são tradicionalmente ensinados, tendo como critérios centrais a contextualização e a

interdisciplinaridade. Além disso, o documento (BRASIL, 2000b) aborda de forma

geral a importância de trabalhar com alguns temas, possibilitando que o estudante

desenvolva algumas competências com o objetivo de articular o conteúdo aprendido

com os possíveis temas desenvolvidos fora da disciplina. Observa-se que, embora o

documento oriente os professores sobre os temas a serem desenvolvidos, não

existe uma proposta de trabalho para os estudantes, o que também fica a cargo do

professor. Porém, o conjunto de atividades didáticas propostas pelo professor nem

sempre é bem recebido pelos estudantes. Parece necessário melhor explicitar o

papel dos estudantes, e essa explicitação deveria fazer parte do processo de ensino

e aprendizagem. Portanto, caberia, inclusive, uma discussão institucional com os

outros membros da equipe pedagógica, para não gerar insatisfações futuras.

O documento contém uma relação de competências e habilidades a serem

desenvolvidas em Matemática que podem auxiliar o professor no desenvolvimento

dos objetivos dessa disciplina, como descrito no Anexo XXIII.

Assim, pode-se considerar como parte do topos do professor: encontrar

situações que permitam que o estudante manipule os ostensivos materiais e não

90

materiais relacionados acima, justificando por meio dos não ostensivos associados o

trabalho matemático executado, ou seja, o professor deve introduzir as

representações adequadas aos tipos de tarefas e às técnicas por ele escolhidas,

que serão acompanhadas dos não ostensivos que as justificam. Dessa forma, a

utilização dos não ostensivos pode ser feita por meio de tecnologias associadas às

técnicas e às diferentes formas de representação dos objetos matemáticos. Nesse

caso, tanto professor como estudante devem ser capazes de exprimir com correção

e clareza o trabalho matemático efetuado não só na linguagem natural, mas também

por meio da linguagem matemática, utilizando os ostensivos e os não ostensivos

adequados, isto é, as representações que permitem a manipulação e a terminologia

adequada a essa manipulação, que certamente está associada às noções em jogo.

O documento apresenta (Anexo XXIV), mais especificamente, o que se espera do

trabalho do estudante diante de um problema de Matemática. Deixando claro qual o

papel a ser desempenhado pelos estudantes mediante um problema de Matemática:

cabe ao estudante organizar seus métodos de estudo, possibilitando maior

aproveitamento no processo, com o objetivo de adquirir as competências registradas

neste quadro.

Após expor o papel do estudante na resolução de problemas de Matemática, o

documento explicita orientações sobre o tipo de situações e problemas que devem

ser colocados para os estudantes (Anexo XXV), correspondendo, mais

particularmente, ao trabalho do professor, que deve dispor de meios que o auxiliem

a cumprir seu papel: propor situações que permitam a aplicação da Matemática em

contextos reais, nas outras ciências, na história da Matemática e novas formas de

tratamento das situações, que levem em conta as novas tecnologias da informação e

comunicação existentes no mercado. Todo esse trabalho fica a cargo do professor,

que precisa considerar também as diferenças entre os grupos de estudantes, para

escolher situações que interessem a eles e que sejam compatíveis com seus

conhecimentos prévios. Além disso, o professor precisa analisar se a escola dispõe

do material necessário para o trabalho a ser realizado.

Como os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (BRASIL,

2000b) em Matemática não abordam conteúdos específicos, mas de forma geral

ressaltam a importância de alguns temas, é preciso que o professor amplie sua

91

atenção, para que consiga desenvolver os conteúdos necessários para cada série

do Ensino Médio e alcançar com os estudantes todos os objetivos esboçados acima,

a fim de que os jovens consigam obter sucesso nas disciplinas que utilizam esses

conteúdos e na vida pessoal e profissional.

Observa-se, ainda, que nos Parâmetros Curriculares para o Ensino Médio

(BRASIL, 2000b) não se encontra uma indicação direta sobre a abordagem da

noção de matriz, suas operações e propriedades: ao considerar o tema álgebra e

sua importância como ferramenta para a resolução de problemas de Matemática e

das outras ciências, deixa a cargo do professor as escolhas sobre que conteúdos de

álgebra desenvolver no Ensino Médio. Dessa forma, a introdução da noção de matriz

fica a critério dos professores.

Essa falta de orientação específica para os conteúdos parece ter criado a

necessidade da reedição dos Parâmetros Curriculares para o Ensino Médio

(BRASIL, 2000b) — os Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio +:

Ciências da Natureza e suas Tecnologias (BRASIL, 2002), que trazem uma nova

reformulação, desenvolvendo e instruindo sobre a caracterização da área de

conhecimento, além de fazer considerações e orientações sobre as competências

gerais para o aprendizado das Ciências da Natureza e da Matemática, o

desenvolvimento da Linguagem partilhada pelas ciências, o trabalho com os

instrumentos de investigação utilizados em comum pelas várias ciências e a

contextualização para o ensino das ciências.

Para as orientações mais específicas sobre os conteúdos matemáticos, estudam-

se, a seguir, as propostas institucionais apresentadas nos Parâmetros Curriculares

Nacionais: Ensino Médio +: Ciências da Natureza e suas Tecnologias (BRASIL,

2002).

3.4.1.2 Parâmetros Curriculares Nacionais + Ensino Médio: Orientações Educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais.

Para a disciplina de Matemática, este documento aborda novos temas, que são

tratados do ponto de vista da organização escolar para a disciplina e das estratégias

de ação, ultrapassando a descrição das competências esperadas para essa etapa

da escolaridade, aspecto já tratado no documento anterior.

92

O novo documento apresenta alguns exemplos que podem auxiliar o professor a

desenvolver o seu topos , considerando ainda a importância das três principais

competências que se espera desenvolver com os estudantes do Ensino Médio

(Anexo XXVI). Como já discutido em relação os PCNEM (BRASIL, 2000b), as

competências (Anexo XXVI) fazem parte do topos do professor e do estudante, e

cabe a ambos procurar meios de realizar seu trabalho para atingir o objetivo

proposto — o professor, sendo o orientador desse trabalho; e o estudante,

desenvolvendo-se com responsabilidade e autonomia na execução das tarefas

propostas pelo professor. Existe aqui, claramente, uma mudança na relação do

professor e do estudante com o saber a ser desenvolvido na escola, pois cada um

tem seu papel bem determinado.

Para auxiliar o professor, encontra-se nos PCN+ uma tabela que o orienta quanto

às habilidades e às competências que devem ser desenvolvidas na etapa final da

Educação Básica; e que coloca em evidência qual o papel a ser desempenhado por

professor e estudante, para atingir o objetivo proposto (Anexo XXVII). Neste

apresenta-se a descrição sobre a representação e a comunicação, o que significa,

portanto, que, após o desenvolvimento do objeto em estudo, o estudante deverá

reconhecer símbolos específicos da disciplina, com o intuito de efetuar e resolver

problemas presentes no cotidiano, assim como identificá-los, traduzi-los e interpretá-

los.

Nesse caso, é evidente, na orientação, a parte que corresponde ao topos do

professor e do estudante, pois cabe ao professor mediar ações que permitam o

desenvolvimento das competências e habilidades descritas; e, ao estudante, a

responsabilidade de progredir. Assim, devem ser propostas ações adequadas ao

processo de ensino e aprendizagem, devendo o estudante responsabilizar-se por

colocar em prática o que é proposto a ele, uma vez que, segundo orientações, deve

tornar-se protagonista de sua aprendizagem.

Outra ação que deve ser posta em prática pelo professor e mobilizada pelos

estudantes, para alcançar os objetivos nesta etapa de ensino, são as estratégias de

investigação e compreensão (Anexo XXVIII). Assim, observam-se quais as ações

que devem orientar o desenvolvimento das atividades em sala de aula; assim, o

topos do estudante fica em destaque, mas cabe ao professor desenvolver

93

procedimentos para enfrentamento de situações-problema, como também para as

atividades envolvendo medidas, quantificações, grandezas e escalas. Um trabalho

envolvendo a articulação entre os modelos explicativos e representativos será

importante para a mobilização de outros níveis, além do técnico, podendo efetuar

relações entre os conhecimentos disciplinares, interdisciplinares e inter-áreas.

O documento (Anexo XXIX), também orienta o professor a efetuar tarefas que

possibilitem ao estudante verificar que a Matemática faz parte da evolução humana

e que esta contribui diretamente para a ciência e a tecnologia; assim, são

trabalhados alguns temas que configuram a importância descrita, como ciência e

tecnologia na história, ciência e tecnologia na cultura contemporânea, ciência e

tecnologia na atualidade e ciência e tecnologia, ética e cidadania, cabendo ao

professor responsabilizar-se por tarefas que coloquem em evidência a importância

da Matemática. Ele deverá mediar a construção do conhecimento matemático,

oferecendo uma visão panorâmica e crítica, pois a Matemática encontra-se em

constante construção e faz parte da cultura humana. Nessas orientações ficam

explícitas as partes referentes à ciência e à tecnologia, que devem estar associadas

ao trabalho na disciplina de Matemática, pois o professor e o estudante devem

acompanhar o desenvolvimento científico. Este é mais um importante papel que

professor e estudantes devem desempenhar no processo de ensino e

aprendizagem.

Conforme relatado, verifica-se a questão das competências e habilidades que

devem ser mobilizadas entre os participantes do processo de ensino e

aprendizagem, destacadas pelo topos professor e estudante, pois ao professor

compete ser o agente mediador e ao estudante, o responsável pela sua evolução.

Além desses temas gerais, os Parâmetros Curriculares Nacionais + (BRASIL, 2002)

subdividem os conteúdos matemáticos em três grandes eixos, a saber:

1. Álgebra: números e funções

2. Geometria e medidas

3. Análise de dados

94

Do eixo Álgebra faz parte a noção de matriz, e o conteúdo — números e funções

— a ela relacionado deveria ser ali abordado, mas observa-se que esse conteúdo é

tratado de forma implícita, sem abordar de forma clara essa noção. Portanto, é

necessário verificar se o ensino e a aprendizagem da noção de matriz, suas

operações e propriedades devem ser trabalhados considerando a matriz como um

objeto matemático, de um quadro específico, ou se sua introdução é considerada

como ferramenta implícita e explícita para aplicar no desenvolvimento da noção de

sistemas de equações lineares, para a qual existe uma orientação mais específica

do trabalho a ser desenvolvido. Assim, é importante levar em conta e ampliar os

conhecimentos prévios dos estudantes, e auxiliar os alunos, propondo situações de

aplicação desses conhecimentos em outras ciências.

Sabe-se que a noção de matriz não é necessária para o desenvolvimento dos

sistemas lineares e que, historicamente, o estudo desses sistemas no quadro das

matrizes e determinantes retardou, como mostra Dorier (1993a), o avanço do quadro

dos sistemas lineares, ou seja, o estudo da noção de posto de um sistema de

equações lineares e a articulação de seu conjunto de solução com a noção de

espaço vetorial. No quadro das matrizes e determinantes, os sistemas lineares eram

apenas ferramentas explícitas para resolução de problemas da própria Matemática e

das outras ciências.

Com relação à álgebra, há ainda o estudo de equações polinomiais e de sistemas lineares. Esses dois conteúdos devem receber um tratamento que enfatize sua importância cultural, isto é, estender os conhecimentos que os alunos possuem sobre a resolução de equações de primeiro e segundo graus e sobre a resolução de sistemas de duas equações e duas incógnitas para sistemas lineares 3 por 3, aplicando esse estudo à resolução de problemas simples de outras áreas do conhecimento. Uma abordagem mais qualitativa e profunda deve ser feita dentro da parte flexível do currículo, como opção específica de cada escola. (BRASIL, 2002, p. 122).

Dessa forma, a noção de matriz parece ficar a cargo do professor, que poderá

escolher esse conceito para desenvolver a noção de sistemas de lineares, o que

pode conduzir a um número ainda maior de relações institucionais existentes para o

desenvolvimento da noção de sistemas de equações lineares, pois cada professor

poderá escolher a ferramenta mais adequada, em função do grupo de estudantes e

dos conhecimentos prévios destes.

95

Nesse caso, a resolução de sistemas por meio de matrizes requer a introdução da

noção de determinante de uma matriz e de como se propõe um estudo qualitativo de

sistemas 3x3, o que conduz a articulação entre o quadro dos sistemas lineares e o

quadro da geometria analítica, que possibilita uma melhor compreensão da

representação das equações no próprio domínio da matemática.

Esse trabalho torna-se muito mais difícil, quando se utiliza a noção de

determinante de uma matriz para a resolução de sistemas lineares, conforme

pesquisa de Dorier (1990), porém, segundo pesquisa de Dias (1998), o método de

escalonamento ou de eliminação de Gauss mostra-se mais eficiente para esse tipo

de abordagem.

Na seqüência, apresenta-se um esboço dos conteúdos que devem ser tratados

no Ensino Médio, por séries, conforme o documento.

Tabela 1: Conteúdo referente aos três eixos – PCN + 1ª SÉRIE 2ª SÉRIE 3ª SÉRIE

1. Noção de função: funções analíticas e não analíticas; análise gráfica; sequências numéricas; função exponencial ou logarítmica. 1. Trigonometria do triângulo retângulo.

1. Funções seno, cosseno e tangente. 1. Trigonometria do triângulo qualquer e da primeira volta.

1. Taxas de variação degrandeza.

2. Geometria plana: semelhança e congruência; representações de figuras.

2. Geometria espacial: poliedros, sólidos redondos; propriedades relativas à posição; inscrição e circunscrição de sólidos. 2. Métrica: área e volumes; estimativa.

2. Geometria analítica: representação no plano cartesiano e equações; intersecção e posições relativas de figuras.

3. Estatística: descrição de dados; representações gráficas.

3. Estatística: análise de dados.3. Contagem.

3. Probabilidade.

Fonte: BRASIL, 2002, p. 128A tabela 1 classifica os conteúdos com relação aos três eixos e às três séries do

Ensino Médio a serem trabalhados, porém não apresenta indicações específicas

sobre a noção de matriz. Isso pode acarretar o não desenvolvimento dessa noção,

uma vez que esse documento é uma proposta de trabalho para orientar o professor

do Ensino Médio.

Nesta pesquisa, o documento é considerado como uma relação institucional

esperada para o trabalho a ser executado no processo de ensino e aprendizagem,

96

pois, além das noções matemáticas a serem desenvolvidas nessa etapa escolar,

deixa claro o papel do professor e do estudante para alcançar os objetivos

esperados e orienta quanto à flexibilidade do horário: caso se tenha um número

reduzido de aulas, a proposta é trabalhar apenas com a idéia central da noção

abordada.

A tabela 1 também classifica os conteúdos com relação aos três eixos e as três

séries do Ensino Médio a serem trabalhados.

O documento também orienta quanto à flexibilidade do horário, caso se tenha um

número reduzido de aulas, a proposta é trabalhar apenas com a idéia central da

noção abordada.

Assim, o documento finaliza, enfatizando que é preciso encontrar novas formas

de ação, isto é, novas organizações didáticas que permitam articular conteúdos

entre si, conteúdos e competências para desenvolver de forma satisfatória o que é

ali proposto e para seguir sua orientação. Em relação a esse aspecto, não existem

indicações precisas para o trabalho do professor, ficando totalmente a seu cargo

encontrar novos meios para desenvolver seu trabalho com os estudantes, conforme

é possível observar aqui: “[...] a proposta é a de articular conteúdos e competências

e a forma de trabalho é determinante para que muitas das competências almejadas

possam se desenvolver.” (BRASIL, 2002, p.129).

A análise dos documentos acima, em termos do topos do professor e do

estudante, conduz às reflexões seguintes sobre as possibilidades de abordagem, no

Ensino Médio, da noção de matriz, de suas operações e propriedades.

3.4.2 Reflexões sobre a abordagem da noção de matriz no Ensino Médio.

A partir das análises acima, colocam-se as seguintes questões:

- Será possível desenvolver a noção de matriz, segundo a apresentação e a orientação dos documentos PCNEM e PCN +? - Não tendo sido abordada no documento, os professores serão capazes de perceber a importância da noção de matriz para estudos posteriores?

Quadro 3: Reflexão sobre os parâmetros e a noção de matriz. Fonte: BRASIL, 2002, p.113

97

Assim, de acordo com tais questões, importa lembrar que os Parâmetros

Curriculares Nacionais para o Ensino Médio PCNEM (BRASIL, 2000b) e os PCN+

(BRASIL, 2002) são documentos que apresentam apenas propostas para o

desenvolvimento do processo de ensino e aprendizagem e para o trabalho esperado

do professor e do estudante do Ensino Médio, cabendo ao professor refletir sobre o

seu papel e sobre o ensino dos conteúdos matemáticos.

Contudo, na proposta nacional, pode-se supor que era prevista a necessidade de

outras instituições, como as secretarias de estado da educação, reunirem-se com

professores e outros membros dos órgãos associados ao desenvolvimento da

educação, para discutir e escolher os conteúdos a serem trabalhados, de forma a

auxiliar o professor a propor situações contextualizadas, como previsto nos PCNEM

(BRASIL, 2000b) e nos PCN+ (BRASIL, 2002).

Com relação ao topos do estudante, o professor deve deixar que este

desempenhe seu papel, do qual precisa estar consciente, pois, para que o processo

de ensino e aprendizagem se realize, é necessário um trabalho orquestrado entre os

estudantes e o professor, em que cada um conheça seu topos e desempenhe seu

papel de forma eficaz, sem que o professor precise sempre lembrar aos estudantes

qual é a parte que lhes cabe nessa tarefa; isto é, o estudante deve ser responsável e

ter autonomia para pesquisar e fazer novas propostas que permitam sua evolução

no contexto escolar e na vida cotidiana e profissional. Por isso, é importante que, na

prática diária de professores e estudantes, estejam presentes os questionamentos

em relação aos conteúdos desenvolvidos nas disciplinas..

Após as análises dos Parâmetros descritas acima, faz-se uma breve

apresentação das Orientações Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (2006),

que deixam ainda mais evidente qual o topos esperado do professor e do estudante

para o desenvolvimento do processo de ensino e aprendizagem no Ensino Médio.

3.5 Orientações Curriculares para o Ensino Médio

Conforme as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006), esta

etapa deve preparar o estudante para o mundo do trabalho e o desenvolvimento da

98

cidadania, e a instituição escolar não deve mais desenvolver um ensino tradicional17,

mas trabalhar com um amplo conjunto de competências e habilidades, que deverão

ser desenvolvidas nas disciplinas que compõem o Ensino Médio. Os PCNEM

(BRASIL, 2000b) e os PCN+ (BRASIL, 2002) destacam que a Matemática deve

contribuir para que os estudantes possam desenvolver a representação, a

compreensão, a comunicação, a investigação e a contextualização sociocultural.

Com o propósito de contribuir para as discussões, de oferecer reorientação e

substituir os PCNEM (BRASIL, 2000b) e os PCN+ (BRASIL, 2002), as Orientações

Curriculares para o Ensino Médio, em 2004, trouxeram mudanças com relação ao

currículo, à avaliação e à formação.

Atualmente esse documento encontra-se reeditado, com data de 2006. As

Orientações Curriculares para o Ensino Médio tratam de três aspectos importantes,

que não foram considerados nos documentos anteriores, a saber: a escolha de

conteúdos e a forma de trabalhá-los; o projeto pedagógico; e a organização

curricular.

Este documento aborda a importância de considerar os diferentes propósitos da

formação matemática na Educação Básica, observando que, ao final do Ensino

Médio, espera-se que os estudantes saibam usar a Matemática para resolver

problemas do quotidiano, modelar fenômenos em outras áreas do conhecimento,

compreender a Matemática como uma ciência com suas especificidades, perceber

que a Matemática é um conhecimento social e historicamente construído e

reconhecer a importância da Matemática no desenvolvimento científico e

tecnológico.

Em relação ao topos do professor, o documento enfatiza que ele deve levar em

consideração, ao desenvolver o conteúdo, o valor formativo que este pode agregar

aos seus estudantes, ou seja, deve colocar o estudante em um processo de

aprendizagem que possa desenvolver o pensamento matemático e valorizar o

17 Ensino tradicional: o documento considera como ensino tradicional um ensino que privilegia o conteúdo, centrado na figura do professor, que é o único responsável por transmitir o conhecimento, enquanto o estudante se torna passivo, tendo como função apenas receber e assimilar o que foi transmitido. Neste tipo de ensino, a avaliação apenas mede as informações dadas pelo estudante, e basta que este memorize e reproduza o conteúdo por meio de exercícios.

99

raciocínio matemático. O conteúdo desenvolvido deve, pois, possibilitar a formulação

de questões, a verificação da existência de uma solução, o estabelecimento de

hipóteses e conclusões. O professor deve, ainda, propor problemas e situações que

conduzam os estudantes a apresentar outras situações, a generalizar, a identificar

regularidades, a criar modelos, a argumentar com fundamentação lógico-dedutiva.

Ou seja, cabe ao professor auxiliar o estudante a perceber que a Matemática é uma

ciência que pode contribuir para o avanço das ciências, de modo geral.

As Orientações Curriculares para o Ensino Médio propõem que o processo de

ensino e aprendizagem deva considerar o desenvolvimento das habilidades, levando

o estudante a “pensar matematicamente”. Portanto, conforme orienta esse

documento, é importante priorizar a qualidade do processo, e não a quantidade de

conteúdos a serem desenvolvidos com os estudantes. Contudo, a escolha deve ser

efetuada de forma cuidadosa e criteriosa, pois os estudantes devem ter

possibilidade de “fazer matemática”, por meio dos processos que auxiliem na

apropriação desse conhecimento.

Nas Orientações Curriculares para o Ensino Médio, os conteúdos básicos de

Matemática estão organizados em quatro blocos:

• Números e operações

• Funções

• Geometria

• Análise de dados e probabilidade

Importa, porém, tratar os blocos acima de forma articulada e intencional,

consolidando temas e conteúdos já trabalhados em etapas anteriores.

O documento pontua ainda as habilidades que devem ser abordadas no decorrer

do processo. Assim, por exemplo, para o bloco Números e Operações, o enfatiza

que os estudantes devem operar com números inteiros e decimais finitos, com

frações, em especial com porcentagens; fazer cálculos mentais; e estimar ordem e

grandezas de números; usar calculadora e números em notação científica; resolver

problemas de proporcionalidade direta e inversa; interpretar gráficos, tabelas e

dados numéricos veiculados nas diferentes mídias; ler faturas de contas de consumo

de água, luz e telefone; interpretar informações dadas em artefatos tecnológicos

100

(termômetro, relógio, velocímetro). Portanto, espera-se que, ao final do Ensino

Médio, o estudante deva ser capaz de mobilizar habilidades com relação às análises

presentes na vida de um cidadão.

Assim as Orientações Curriculares apontam outras habilidades que deverão ser

desenvolvidas, com relação a Números e operações.

[...] é preciso proporcionar aos “estudantes” uma diversidade de problemas geradores da necessidade de ampliação dos campos numéricos e suas operações, dos números naturais para contar aos números reais para medir. Os números irracionais devem ser entendidos como uma necessidade matemática que resolve a relação de medidas entre dois segmentos incomensuráveis, sendo apropriado tomar o caso dos segmentos lado e diagonal de um quadrado como ponto de partida. Alguns números irracionais devem ser colocados em destaque: as raízes quadradas de números naturais que não são quadrados perfeitos e o número π, por exemplo. É pertinente, nesse nível de escolaridade, caracterizar os números racionais / irracionais por meio de suas expansões decimais e localizar alguns desses números na reta numérica. As propriedades relativas às operações com números reais devem ser trabalhadas de modo que permitam ao aluno a compreensão das estruturas dos algoritmos, prevenindo recorrentes erros na resolução de problemas que envolvam manipulações algébricas. (BRASIL, 2006, p. 71).

Nesse momento é importante que o professor retome alguns conteúdos

desenvolvidos no Ensino Fundamental, para melhor desencadear o processo em

jogo, uma vez que muitos conteúdos podem estar esquecidos ou não ter sido

devidamente apropriados pelos estudantes.

O Quadro 4 orienta quanto aos conteúdos que devem ser retomados pelo

professor e que, possivelmente, foram desenvolvidos no Ensino Fundamental.

Assim, o topos do professor fica em evidência, cabendo a ele organizar um rol de

conteúdos a serem revisitados e compor a forma como desenvolver esse trabalho.

- Desigualdades de números quando ambos os lados são multiplicados por um número

negativo. - Inequações que envolvam quocientes. - Regras de sinais para a multiplicação de números inteiros. - Definições de multiplicação e divisão de frações. - Algoritmo da multiplicação e divisão de números inteiros decimais.

Quadro 4: Noções que podem ser revisitadas. Fonte: BRASIL, 2006.

As Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006) propõem que

esses conceitos sejam adotados, mesmo que as operações e os algoritmos tenham

sido estudados em etapas anteriores, pois é importante retomar esses pontos,

aproveitando a maturidade dos estudantes para entender os aspectos delicados dos

101

argumentos que explicam essas operações e algoritmos. Também é importante

observar os conhecimentos prévios de cada grupo de estudantes, para propor um

trabalho consciente e que possa contribuir com a sua evolução intelectual.

As Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006) não abordam

especificamente nenhum conteúdo relacionado à noção de matriz, mas esta pode

ser desenvolvida com os estudantes no bloco Números e operações. Mas deve-se

priorizar a articulação com outros blocos, quando possível: a noção de matrizes

pode ser revisitada nos blocos Funções e Geometria, que podem utilizá-la como

ferramenta para solução e melhor interpretação de problemas e situações desses

blocos.

Na citação abaixo, observa-se a proposta de articulação dos conhecimentos

matemáticos desenvolvidos no Ensino Médio, feita por meio de exemplos

específicos que exigem ou não o trabalho com as representações matriciais de

sistemas lineares. Observa-se aqui uma orientação clara para abandonar o estudo

de sistemas lineares utilizando o quadro dos determinantes, o que leva a supor que

não seja necessário introduzir a noção de matrizes, suas operações e propriedades.

É desejável, também, que o professor de Matemática aborde com seus alunos o conceito de vetor, tanto do ponto de vista geométrico (coleção dos segmentos orientados de mesmo comprimento, direção e sentido) quanto algébrico (caracterizado pelas suas coordenadas). Em particular, é importante relacionar as operações executadas com as coordenadas (soma, multiplicação por escalar) com seu significado geométrico. A inclusão da noção de vetor nos temas abordados nas aulas de Matemática viria a corrigir a distorção causada pelo fato de que é um tópico matemático importante, mas que está presente no ensino médio somente nas aulas de Física. No estudo de sistemas de equações, além de trabalhar a técnica de resolução de sistemas, é recomendável colocar a álgebra sob o olhar da geometria. A resolução de um sistema 2 X 2 de duas equações e duas variáveis pode ser associada ao estudo da posição relativa de duas retas no plano. Com operações elementares simples, pode-se determinar a existência ou não de soluções desse sistema, o que significa geometricamente os casos de intersecção / coincidência de retas ou paralelismo de retas. A resolução de sistemas 2 X 3 ou 3 X 3 também deve ser feita via operações elementares (o processo de escalonamento), com discussão das diferentes situações (sistemas com uma única solução, com infinitas soluções e sem solução). Quanto à resolução de sistemas de equação 3 X 3, a regra de Cramer deve ser abandonada, pois é um procedimento custoso (no geral, apresentado sem demonstração, e, portanto de pouco significado para o aluno), que só permite resolver os sistemas quadrados com solução única. Dessa forma, fica também dispensado o estudo de determinantes. (BRASIL, 2006, p. 77-78)

102

O documento orienta o professor quanto ao ensino dos objetos matemáticos, mas

dá a ele autonomia para que escolha as técnicas mais adequadas que deseja utilizar

com seus estudantes. Faz apenas uma ressalva sobre a possibilidade de não

trabalhar a noção de determinante, o que pode levar a não considerar a noção de

matrizes, que também não é destacada nos documentos anteriores.

Dessa forma, tanto os Parâmetros Curriculares para o Ensino Médio (PCNEM) e

(PCN+), como as Orientações Curriculares para o Ensino Médio trazem importantes

orientações para o trabalho do professor em sala de aula, tendo em vista o

desenvolvimento das competências e das habilidades, colocando em destaque o

topos do professor quanto à escolha dos conteúdos e sua reflexão quanto ao

desenvolvimento do processo de ensino e aprendizagem.

Até 2008, os documentos que orientavam os professores do Estado de São Paulo

eram os PCNEM (BRASIL, 2000b), os PCN+ (BRASIL, 2002), as Orientações

Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006) e a Proposta Curricular para o

ensino da Matemática: 2° grau do Estado de São Paulo que, em 2002, já estava na

3ª edição e que tem muitas características dos documentos nacionais, conforme

análises de Andrade (2006). Assim, o estado de São Paulo, em 2008, apresentou a

“Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo”, que tem por objetivo

desenvolver as habilidades e as competências propostas pela LDB/96, para essa

etapa final da Educação Básica, e auxiliar o professor por meio de uma orientação

mais precisa da proposta nacional.

3.6 Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo - 2008

A Nova Proposta Curricular para o Estado de São Paulo é uma iniciativa da

Secretaria de Educação do Estado de São Paulo, que visa melhorar a qualidade do

processo de ensino e aprendizagem dos estudantes da Educação Básica. Ampla

pesquisa, envolvendo os professores, as escolas e as práticas ali existentes,

determinou a implementação dessa nova proposta para garantir uma base comum

de conhecimentos e competências.

Para isso, foi disponibilizado um rol de documentos cujo objetivo é orientar todos

os participantes do processo educativo sobre as expectativas da Secretaria de

103

Educação do Estado de São Paulo e de todos aqueles que participaram direta ou

indiretamente da elaboração desses documentos.

Inicialmente, a Secretaria Estadual de Educação do Estado de São Paulo

distribuiu um documento intitulado Proposta Curricular de São Paulo, além de outras

publicações como Orientações para a Gestão do Currículo na Escola, programas de

suporte pedagógico e o Caderno do aluno, dirigidos particularmente aos professores

e aos estudantes integrantes do sistema educativo, para que se colocasse em

prática o que ali está definido teoricamente. Nesse caso, observa-se que existem

nesses cadernos orientações mais específicas sobre o trabalho com determinados

conteúdos, com sugestões para o topos do professor e do estudante.

Na realidade, a Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo de 2008 não

descartou trabalhos anteriores e leva em conta experiências do documento de 1986

que já tinham apresentado resultados favoráveis, uma vez que eles foram

elaborados em um esforço pioneiro para aliar conteúdos escolares ao universo da

cultura.

O novo documento traz uma grade curricular que orienta os professores quanto

aos conteúdos a serem aplicados em sala de aula e as possíveis articulações entre

eles, sendo a noção de matriz proposta para ser desenvolvida no segundo bimestre

da segunda série, no volume dois do Caderno do aluno. Essas noções são

inicialmente articuladas nos quadros geométrico e matricial, seguidas de problemas

do cotidiano e de imagens que auxiliam a orientação aos professores e aos

estudantes sobre a necessidade do ensino e da aprendizagem dessa noção.

Para melhor compreender a Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo,

apresenta-se a seguir uma tabela que descreve os conteúdos do caderno de

Matemática do Ensino Médio.

104

Tabela 2: Conteúdos referente a nova proposta da SEE-SP 1ª SÉRIE 2ª SÉRIE 3ª SÉRIE

PRIM

EIR

O B

IMES

TRE

NÚMEROS E SEQUÊNCIAS

- Conjuntos numéricos - Regularidades

numéricas: - sequências - Progressões

aritméticas e progressões

geométricas

TRIGONOMETRIA - Fenômenos periódicos - Funções trigonométricas - Equações e inequações - Adição de arcos

GEOMETRIA ANALÍTICA - Pontos: distância, ponto médio e alinhamento de três pontos - Reta: equação e estudo dos coeficientes; problemas lineares - Ponto e reta: distância - Circunferência: equação - Reta e circunferência: posições relativas - Cônicas: noções e aplicações

SEG

UN

DO

BIM

ESTR

E

FUNÇÕES - Relação entre duas grandezas - Proporcionalidades: direta, inversa, direta

com o quadrado - Função de 1º grau - Função de 2º grau

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES.

- Matrizes: significado como tabelas, características e operações

- A noção de determinante de uma matriz quadrada

- Resolução e discussão de sistemas lineares: escalonamento

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E NÚMEROS COMPLEXOS

- Equações polinomiais - Números complexos: operações e representação geométrica - Propriedades das raízes

de uma equação polinomial - Relações de Girard

TER

CEI

RO

BIM

ESTR

E

FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA

- Crescimento exponencial

- Função exponencial: equações e inequações - Logaritmos: definição e propriedades - Função logarítmica: equações e inequações

ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE

- Raciocínio combinatório: princípios multiplicativo e aditivo - Probabilidade simples - Casos de agrupamentos: arranjos, combinações e permutações - Probabilidade da reunião e/ou da intersecção de eventos - Probabilidade condicional - Distribuição binomial de probabilidades: o triângulo de Pascal e o Binômio de Newton

ESTUDO DAS FUNÇÕES - Qualidades das funções - Gráficos: funções trigonométricas, exponencial, logarítmica e polinomiais - Gráficos: análise de sinal, crescimento e taxa de variação - Composição: translações e reflexões - Inversão

QU

AR

TO B

IMES

TRE

GEOMETRIA- TRIGONOMETRIA

- Razões trigonométricas nos triângulos retângulos - Polígonos regulares: inscrição, circunscrição e pavimentação de superfícies - Resolução de

triângulos não retângulos: lei dos senos e lei dos cossenos

GEOMETRIA MÉTRICA ESPACIAL

- Elementos de geometria de posição - Poliedros, prismas e pirâmides - Cilindros, cones e esferas

ESTATÍSTICA - Gráficos estatísticos: cálculo e interpretação de índices estatísticos - Medidas de tendência central: média, mediana e moda - Medidas de dispersão: desvio médio e desvio padrão - Elementos de amostragem

Fonte: SÃO PAULO, 2008, p. 56-57.

105

Em relação à noção de matriz esboçada na Tabela 2 (objeto de estudo dessa

pesquisa), observa-se que nas propostas nacionais não existe uma orientação

específica a respeito de quando trabalhar essa noção e das possíveis articulações

com os outros conceitos que se supõe devam ser desenvolvidos no Ensino Médio.

A nova proposta do Estado de São Paulo articula o ensino da noção de matriz,

considerando-a conteúdo matemático a ser desenvolvido no Ensino Médio e para

isso orienta os professores sobre as noções associadas a esse conceito e sobre as

possíveis articulações com outros conceitos matemáticos, com situações

contextualizadas da vida cotidiana, assim como de outras ciências, como por

exemplo, a computação e informática, cujos cálculos são facilitados pela noção de

matriz, em particular, quando se considera a solução de sistemas de m variáveis e n

incógnitas.

Considera-se essencial o trabalho com a noção de matriz no Ensino Médio, pois é

um conceito importante para os estudantes que pretendem seguir seus estudos, em

particular, nos cursos da área de ciências exatas.

Apesar dos esforços de construção das diferentes propostas, que no estado de

São Paulo já vêm sendo introduzidas há vários anos, observa-se que, em geral,

existe uma forte tendência a desenvolver os conteúdos de Matemática centrados na

escolha de um livro didático. Este, a partir de 2004, vem sendo avaliado pelo

Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio (PNLEM), que prevê a

distribuição de livros didáticos para os estudantes do Ensino Médio de todo o país. A

análise e a avaliação desses livros são feitas com base nas propostas dos

Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM, PCN+), considerando

a possibilidade de o professor efetuar um trabalho articulado entre o Caderno do

aluno e o livro didático, para obter melhores resultados. Observando a grade da

nova proposta para a noção de matriz e todos os conteúdos dessa noção no

caderno do estudante do Ensino Médio, é possível distinguir nesse material a

necessidade do topos do professor para desencadear todos os tópicos necessários

para o ensino da noção de matriz, bem como para sua articulação com as outras

noções trabalhadas no Ensino Médio.

106

A seguir, fazem-se algumas considerações sobre as relações institucionais

esperadas dos professores e dos estudantes do Ensino Médio propostas nos

documentos analisados.


A noção de matriz não é abordada explicitamente nos Parâmetros Curriculares

Nacionais para o Ensino Médio; tampouco é orientado o trabalho em sua versão

complementar PCN+ (BRASIL, 2002), conforme se verifica na grade disponibilizada

nesta versão. O documento considera o professor como um importante agente

transformador do processo de ensino e aprendizagem, tendo o papel de

desenvolver, em conjunto com a Unidade Escolar a que pertence, o projeto

pedagógico desta, levando em conta a comunidade em que ela está inserida.

Cabe à instituição de ensino e aos professores “olhar” para os conteúdos que não

estão explícitos, mas que são importantes para a consecução das atividades

matemáticas e para o prosseguimento dos estudos. Assim, a análise aqui

apresentada mostra que, mesmo não sendo explicitamente orientado o trabalho com

a noção de matriz no Ensino Médio, é importante sua execução, em função de sua

aplicabilidade em várias ciências, em particular, como ferramenta para facilitar a

resolução de problemas que necessitam do estudo de sistemas lineares.

O topos do estudante para essa etapa define que ele deve responsabilizar-se

pelo seu aprendizado, pois a cada um cabe uma parte no processo de ensino e

aprendizagem, ou seja, o professor deve agir como mediador, desempenhando sua

funções com zelo, e o estudante deve responsabilizar-se por aprender e

protagonizar seu próprio futuro.

Para melhor efetuar as considerações sobre este capítulo, apresentam-se, de

forma sintetizada, três tabelas relacionadas aos conteúdos abordados pelas três

propostas institucionais aqui consideradas como as relações institucionais

esperadas para o processo de ensino e aprendizagem do Ensino Médio: PCN +

(BRASIL, 2002), OCNEM (BRASIL, 2006) e a NPCSP (SÃO PAULO, 2008). Essa

forma de expor os dados possibilitará verificar como a noção de matriz é tratada nos

respectivos documentos.

107

A primeira tabela, dividida em três eixos de conteúdos, corresponde ao PCN+

(BRASIL, 2002).

Tabela 3: Conteúdo – Relações Institucionais Esperadas – PCN + EIXO: ALGEBRA: Números e funções.

EIXO: GEOMETRIA E MEDIDAS EIXO: ANALISE DE DADOS

PCN (+

)

NOÇÃO DE FUNÇÃO: ‐ funções analíticas e não analíticas; ‐ análise gráfica; ‐ sequências numéricas; ‐ função exponencial e logarítmica; ‐trigonometria do triângulo

retângulo; funções seno, cosseno e tangente; trigonometria do triângulo qualquer

e da primeira volta; taxas de variação de grandeza

GEOMETRIA PLANA: ‐ semelhança e congruência; ‐ representação de figuras

GEOMETRIA ESPACIAL: ‐ poliedros, sólidos redondos; ‐ propriedades relativas à posição; ‐inscrição e circunscrição de sólidos

MÉTRICA: ‐ áreas e volumes; ‐ estimativa

GEOMETRIA ANALÍTICA: ‐representação no plano cartesiano e

equações; ‐ intersecção e posições relativas de

figuras

ESTATÍSTICA: ‐ descrição de dados; ‐ representação gráfica

ESTATÍSITICA: ‐ análise de dados; ‐ contagem

PROBABILIDADE.

Fonte: BRASIL, 2002.

O trabalho com a noção de matriz em sala de aula não é orientado; o mesmo

ocorre com os números complexos e com as equações polinomiais. Cabe, então, ao

professor ao articular conteúdos, incluir essas noções e, caso isso não seja possível,

fica exclusivamente a cargo dos estudantes o desenvolvimento desses conteúdos

matemáticos.

Além disso, as orientações curriculares não fornecem uma lista dos conteúdos a

serem abordados no Ensino Médio, mas no capítulo que trata das “questões de

conteúdo”, é efetuada uma descrição dos conteúdos que deveriam ser trabalhados

em sala de aula, dando prioridade à qualidade e ao desenvolvimento das

habilidades. Na tabela a seguir, encontram-se os conteúdos que estão sendo

comentados nesta descrição das Orientações Curriculares Nacionais para o Ensino

Médio na disciplina de Matemática. (Tabela segundo esta pesquisa e conforme

descrição da OCNEM, 2006).

108

Tabela 4: Conteúdo – Relações Institucionais Esperadas – OCNEM NUMEROS E OPERAÇOES.

FUNÇÕES. GEOMETRIA. ANALISE DE DADOS E PROBABILIDADE.

‐ Conjuntos numéricos e operações;

‐ equações e inequações; ‐ números complexos e

operações;

‐Relações entre grandezas;

‐ função do 1º grau; ‐ função do 2º grau; ‐ função exponencial; ‐ função logarítmica; ‐ função trigonométrica; ‐ operações envolvendo as

funções descritas acima. ‐ progressão aritmética e

geométrica;

‐Geometria métrica plana; ‐ Trigonometria ‐ Geometria métrica

espacial; ‐ Geometria Analítica; ‐ resolução de sistemas de

equações lineares

‐ Análise combinatória; ‐ Probabilidade; ‐ Estatística.

Registro desta pesquisa.

Os tópicos registrados acima estão dispostos de forma geral, e o documento

orienta quanto ao trabalho articulado e contextualizado entre as disciplinas que

necessitam de determinadas ferramentas como também com aqueles aspectos

encontrados no cotidiano dos estudantes. Percebe-se que não é orientado o

trabalho com a noção de matriz, mas o documento enfatiza a questão da resolução

de sistemas de equações lineares e os seus métodos de soluções, o que permite

supor a utilização da noção de matriz para desenvolver um desses métodos, em

particular, quando se considera o contexto das novas tecnologias, para as quais

essa ferramenta é essencial no desenvolvimento de sistemas mxn.

Na tabela que segue, descrevem-se os conteúdos segundo a Nova Proposta

Curricular do Estado de São Paulo para o Ensino Médio, que se aproxima das

Orientações Curriculares, mas que apresenta novas orientações quanto ao trabalho

com algumas noções que não são descritas nas tabelas 3 e 4, conforme se pode

verificar abaixo. (Tabela segundo o NPCSP, 2008).

109

Tabela 5: Conteúdo – Relações Institucionais Esperadas – NPCSP NUMEROS E OPERAÇOES.

FUNÇÕES. GEOMETRIA. ANÁLISE DE DADOS E PROBABILIDADE.

PROPO

STA CURR

ICULAR DO

ESTAD

O DE SÃ

O PAU

LO

NUMEROS E SEQUÊNCIAS:

- Conjuntos numéricos; - regularidades numéricas:

sequências, progressões aritméticas e progressões geométricas. MATRIZES, DETERMINANTES SISTEMAS LINEARES

- matrizes: significado como tabelas, características e operações;

- a noção de determinantes de uma matriz quadrada;

- resolução e discussão de sistemas lineares: escalonamento EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E NÚMEROS COMPLEXOS.

- equações polinomiais; - números complexos:

operações e representação geométrica;

- propriedade das raízes de uma equação polinomial;

- relação de Girard

FUNÇÕES:

- relação entre duas grandezas

proporcionalidade: direta, inversa, direta com o quadrado;

- função do 1º grau; - função do 2º grau

FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARITMICA:

- crescimento exponencial; - função exponencial:

equações e inequações; - logaritmos: definição e

propriedades; - função logarítmica:

equações e inequações TRIGONOMETRIA:

- fenômenos periódicos; - funções trigonométricas; - equações e inequações; - adição de arcos

ESTUDO DAS FUNÇÕES: - qualidade das funções; - gráficos: funções

trigonométricas, exponencial, logarítmica e polinomiais;

- gráficos: análise de sinal, crescimento e taxa de variação;

- composição: transações e reflexões.

- iInversão

GEOMETRIA – TRIGONOMETRIA:

- razões trigonométricas nos triângulos retângulos;

- polígonos regulares: inscrição, circunscrição e pavimentação de superfícies;

- resolução de triângulos não retângulos: lei dos senos e lei dos co-senos GEOMETRIA MÉTRICA ESPACIAL:

- elementos de geometria de posição;

- poliedros, prismas e pirâmides;

- cilindros, cones e esferas GEOMETRIA ANALÍTICA:

- pontos: distância, ponto médio e alinhamento de três pontos;

- reta: equação e estudo dos coeficientes;

- ponto e reta: distância. - circunferência: equação; - reta e circunferência; - posições relativas; - cônicas: noções e

aplicações.

ANALISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE:

- raciocínio combinatório: princípios multiplicativo e aditivo;

- probabilidade simples; - casos de agrupamentos:

arranjos, combinações e permutações;

- probabilidade da reunião e / ou da intersecção de eventos;

- probabilidade condicional; - distribuição binomial de

probabilidade: o triângulo de Pascal e o Binômio de Newton. ESTATÍSTICA:

- gráficos estatísticos: cálculo e interpretação de índices estatísticos.

- medidas de tendência central: média, mediana e moda;

- medidas de dispersão: desvio médio e desvio padrão;

- elementos de amostragem.

Fonte: SÃO PAULO, 2008.

A disposição, em quatro blocos, dos conteúdos da Tabela 5 está de acordo com

as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006) e conforme orientação da

NPCSP (2008), descrita abaixo.

[...], os conteúdos disciplinares de matemática, tanto no Ensino Fundamental quanto no Ensino Médio, abrangem quatro grandes blocos temáticos. Além dos três ingredientes básicos já contemplados em propostas anteriores (números, geometria e medidas), um quarto componente, referente à representação de dados e ao tratamento da informação, abre espaço para a incorporação crítica das tecnologias no ensino. Cada um dos quatro blocos está presente, direta ou indiretamente, na lista dos conteúdos a serem ensinados em todas as séries, e com pequenas e matizadas diferenças, tanto no Ensino Fundamental quanto no Ensino Médio. (SÃO PAULO, 2008, p. 45).

Assim, de acordo com a Tabela 5, pode-se fazer uma comparação com as duas

outras tabelas (3 e 4) e verificar que a noção de matriz não é um conteúdo orientado

de forma explícita nos PCN+ e nos OCNEM, mas a Nova Proposta Curricular do

Estado de São Paulo aborda esse conteúdo, desenvolvendo temas segundo um

trabalho interdisciplinar. Portanto, esta nova proposta orienta o trabalho com as

noções de matrizes, determinantes e sistemas lineares, como também o trabalho

envolvendo os números complexos e polinômios.

110

Conforme a análise das relações institucionais esperadas via documentos oficiais,

a Proposta Curricular de São Paulo (2008) é a que melhor articula a intenção de

trabalhar com a noção de matriz, pois, além de priorizar as Orientações Curriculares

Nacionais para o Ensino Médio (BRASIL, 2006), efetua as devidas abordagens

quanto ao desenvolvimento de conteúdos anteriormente não verificados de forma

explícita, em especial a noção de matriz.

No capítulo que segue, analisam-se as relações institucionais esperadas para o

ensino e aprendizagem da disciplina de Álgebra Linear nos cursos de Bacharelado e

Licenciatura em Matemática, via Diretrizes Curriculares Nacionais para esses cursos

e planos de ensino de duas universidades públicas e duas universidades privadas.

111

CAPÍTULO 4 ANÁLISE DAS RELAÇÕES INSTITUCIONAIS ESPERADAS –

ENSINO SUPERIOR.


Neste capítulo analisam-se as Diretrizes Curriculares Nacionais para os Cursos

de Matemática (2001), Bacharelado e Licenciatura, de acordo com o parecer do

Conselho Nacional de Educação e a Câmara de Educação Superior n. 1302,

aprovado em 06 de novembro de 2001, e também os Planos de Ensino de quatro

universidades que oferecem cursos de Matemática, em especial licenciaturas,

considerando as relações institucionais esperadas, conforme definição de relação

institucional de Bosch e Chevallard (1999).

Assim, verifica-se o que é oferecido aos estudantes no Ensino Superior e de quais

conhecimentos prévios eles necessitam, quando matriculados nas respectivas

disciplinas do curso de Matemática, em especial os de licenciatura. Propõe-se, aqui,

investigar quais articulações entre os conhecimentos trabalhados no Ensino Médio

são desenvolvidas e se a noção de matriz é revisitada nesta etapa escolar.

Sendo assim, escolhe-se inicialmente descrever as Diretrizes Curriculares

Nacionais para os Cursos de Matemática, por ser esse um documento que orienta

as universidades a construir seus projetos e respectivos planos de ensino, auxiliando

os professores na construção de planos que possam oferecer um aprendizado

significativo18 dos conteúdos voltado às várias disciplinas, entre elas Álgebra Linear.

Para sustentar as análises do ponto de vista do que é esperado para o ensino dessa

disciplina, analisam-se os planos de ensino de quatro universidades, utilizando-se a

noção de “topos” do professor e do estudante, conforme definição dada no terceiro

capítulo deste trabalho.

18 “Aprendizado significativo: o aprendiz não é um receptor passivo. Longe disso. Ele deve fazer uso dos significados que já internalizou, de maneira substantiva e não arbitrária, para poder captar os significados dos materiais educativos. Nesse processo, ao mesmo tempo que está progressivamente diferenciando sua estrutura cognitiva, está também fazendo a reconciliação integradora de modo a identificar semelhanças e diferenças e reorganizar seu conhecimento. Quer dizer, o aprendiz constrói seu conhecimento, produz seu conhecimento”. (MOREIRA, 2005. p. 5).

112

Para a análise da proposta desenvolvida na disciplina de Álgebra Linear, escolhe-

se proceder conforme registrado abaixo.

a) Identificar o momento em que a disciplina é oferecida; se os estudantes já seguiram um curso de geometria analítica; e qual o conteúdo desse curso.

b) Identificar em que momento do curso é revisitada a noção de matriz; ou se essa é considerada disponível e será trabalhada apenas como ferramenta quando se determina a matriz de uma transformação linear, isto é, observar se esse conteúdo faz parte do “topos” do professor ou se ele fica totalmente a cargo do estudante, que deveria ter autonomia para realizar esse trabalho, conforme orientações dos PCNEM e PCN+.

Assim utilizam-se as noções de “topos” do professor e do estudante, segundo

Chevallard e Grenier (1997), adequadas para as análises deste capítulo, e descreve-

se também o porquê da escolha de cada uma das quatro universidades

apresentadas nesta pesquisa.

A apresentação das Diretrizes Curriculares Nacionais para os Cursos de

Matemática, documento que direciona os projetos da Instituições Superiores

relacionados a este curso, inicia este capítulo.

4.2 Diretrizes Curriculares Nacionais para os Cursos de Matemática.

As Diretrizes Curriculares Nacionais para os Cursos de Matemática (DCNCM), Lei

n. 1302 (BRASIL, 2001), foram aprovadas em 06 de novembro de 2001 e têm como

função oferecer orientações para a qualificação de profissionais que irão atuar como

professores na Educação Básica.

No início do documento, encontra-se um breve histórico das aplicações da

Matemática; o perfil do profissional formado em tal área; e os objetivos da diretriz,

registrados no quadro a seguir.

- Servir como orientação para melhorias e transformações na formação do Bacharel e do Licenciado em Matemática. - Assegurar que os egressos dos cursos credenciados de Bacharelado e Licenciatura em Matemática tenham sido adequadamente preparados para uma carreira na qual a Matemática seja utilizada de modo essencial, assim como para um processo contínuo de aprendizagem.

Quadro 5: Objetivos da diretriz. Fonte: BRASIL, 2001, p. 01

Conforme descrito no Quadro 5, a diretriz oferece orientações quanto ao perfil dos

egressos e determina que o curso de Matemática permita diferentes formações para

113

seus graduandos, visando tanto profissionais que desejam a carreira acadêmica,

como aqueles que aspiram seguir no mercado de trabalho. Portanto, o programa de

Matemática deve levar em consideração, segundo esta diretriz, uma formação

flexível, contemplando as diversas áreas de aplicação.

O profissional egresso do curso de Licenciatura em Matemática, conforme

descrito no quadro abaixo, deve ter condições de efetuar seu papel, ou seja,

desenvolver as seguintes visões:

- Visão de seu papel social de educador e capacidade de se inserir em diversas realidades com sensibilidade para interpretar as ações dos educandos. - Visão da contribuição que a aprendizagem da matemática pode oferecer à formação dos indivíduos para o exercício de sua cidadania. - Visão de que o conhecimento matemático pode e deve ser acessível a todos, e consciência de seu papel na superação dos preconceitos, traduzidos pela angústia, inércia ou rejeição, que muitas vezes ainda estão presentes no ensino-aprendizagem da disciplina.

Quadro 6: Descrição do perfil profissional. Fonte: BRASIL, 2001, p. 03

O estudante (futuro professor) deve atuar como educador sensível para perceber

as várias ações desencadeadas pelo processo de ensino e aprendizagem e como

este pode contribuir para a formação de seus estudantes no exercício da cidadania.

O documento também aborda a questão das competências e habilidades que o

estudante deve adquirir no decorrer do curso, conforme descrito no quadro a seguir:

a) capacidade de expressar-se escrita e oralmente com clareza e precisão; b) capacidade de trabalhar em equipes multi-disciplinares; c) capacidade de compreender, criticar e utilizar novas idéias e tecnologias para a resolução de problemas; d) capacidade de aprendizagem continuada, sendo sua prática profissional também fonte de produção de conhecimento; e) habilidade de identificar, formular e resolver problemas na sua área de aplicação utilizando rigor lógico-científico na análise da situação-problema; f) estabelecer relações entre a Matemática e outras áreas do conhecimento; g) conhecimento de questões contemporâneas; h) educação abrangente necessária ao entendimento do impacto das soluções encontradas num contexto global e social; i) participar de programas de formação continuada; j) realizar estudos de pós-graduação; k) trabalhar na interface da Matemática com outros campos do saber.

Quadro 7: Competências e habilidades do estudante em matemática. Fonte: BRASIL, 2001, p.03

Verifica-se, conforme apresentado no Quadro 7, que a diretriz aponta uma série

de competências esperadas do estudante e futuro professor, com o propósito de

garantir a sua evolução, visando um ensino de Matemática que possibilite formular,

114

interpretar e resolver os problemas decorrentes do cotidiano, ou seja, o documento

destaca, de forma privilegiada, o topos do estudante como futuro professor.

Também as competências e habilidades próprias do educador matemático são

objeto deste documento, como revela o próximo quadro:

a) elaborar propostas de ensino-aprendizagem de matemática para a educação básica; b) analisar, selecionar e produzir materiais didáticos; c) analisar criticamente propostas curriculares de matemática para a educação básica; d) desenvolver estratégias de ensino que favoreçam a criatividade, a autonomia e a flexibilidade do pensamento matemático dos educandos, buscando trabalhar com mais ênfase nos conceitos do que nas técnicas, fórmulas e algoritmos. e) perceber a prática docente de Matemática como um processo dinâmico, carregado de incertezas e conflitos, um espaço de criação e reflexão, onde novos conhecimentos são gerados e modificados continuamente. f) contribuir para a realização de projetos coletivos dentro da escola básica.

Quadro 8: Competências e habilidades do educador matemático. Fonte: BRASIL, 2001, p. 04

Este Quadro 8 demonstra que as universidades devem oferecer aos seus

estudantes um currículo que os levem a refletir sobre o processo de ensino e

aprendizagem relacionado aos conteúdos de Matemática, para que possam

contribuir, como futuros professores, para o desenvolvimento de seus futuros alunos.

O documento também aborda a estrutura do curso de Matemática a ser oferecido

pelas instituições. Argumenta que, ao chegar na universidade, o estudante já

construiu para si uma imagem dos conceitos matemáticos a que foi exposto durante

o ensino básico; assim, nesse momento, a sua formação demanda aprofundamento

desses conceitos,o que exige que os conteúdos curriculares dos cursos de

Matemática sejam estruturados de modo a contemplar as duas orientações descritas

abaixo.

- Partir da representação que os alunos possuem dos conceitos matemáticos e dos processos escolares para organizar o desenvolvimento das abordagens durante o curso. - Construir uma visão global dos conteúdos de maneira teoricamente significativa para o aluno.

Quadro 9: Estrutura do curso de matemática. Fonte: BRASIL, 2001, p. 04

Como evidencia o Quadro 9, o documento oficial destaca os aspectos que o

curso deve priorizar para possibilitar ao futuro profissional, durante sua experiência

universitária, um rol de procedimentos e visões que o auxiliem a atuar de maneira

satisfatória como profissional da educação. Assim, as Instituições Superiores de

115

Ensino são orientadas a adotar um eixo de disciplinas distribuídas ao longo do

curso:

- Calculo Diferencial e Integral - Álgebra Linear - Fundamentos de Análise - Fundamentos de Álgebra - Fundamentos de Geometria - Geometria Analítica

Quadro 10: Eixo de disciplinas. Fonte: BRASIL, 2001, p. 06

A parte comum deve incluir, além das disciplinas apresentadas no Quadro 10,

conteúdos pertencentes à Educação Básica nas áreas de Álgebra, Geometria e

Análise, conteúdos afins à Matemática e conteúdos da Ciência da Educação, da

História e Filosofia das Ciências e da Matemática.

Percebe-se a importância de as instituições desenvolverem uma grade flexível,

que possa contribuir para as reais aprendizagens de seus estudantes e futuros

professores: os cursos de licenciatura deverão incluir um conjunto de disciplinas

voltadas para o currículo e para a formação, para desenvolvimento do estudante e

futuro profissional que possivelmente atuará no Ensino Fundamental e Médio.

Observadas as orientações das diretrizes curriculares para os cursos de

Matemática, segue a apresentação das análises dos planos de ensino das quatro

universidades investigadas.

4.3 Planos de Ensino – Análise das noções de matrizes no Ensino Superior.

As análises aqui apresentadas são retiradas dos planos de ensino de Álgebra

Linear e de outras disciplinas que abordam a noção de matriz de quatro

Universidades do Estado de São Paulo, sendo duas particulares — a Universidade

Presbiteriana Mackenzie e a Universidade Bandeirante do Brasil — e duas públicas:

a Universidade Federal de São Carlos e a Universidade de São Paulo.

Escolheu-se a Universidade Presbiteriana Mackenzie por ter sido a única

instituição privada de São Paulo que, no ano de 2008, obteve o conceito 5 no

ENADE (2008) para o curso de Matemática e também por ter sido a universidade

em que tive os primeiros contatos com a Matemática Superior, em especial os

conteúdos da disciplina de Álgebra Linear. A escolha da Universidade Bandeirante

116

do Brasil se deu porque este projeto, uma pesquisa documental, está

sendo desenvolvido nesta instituição e porque esta universidade está modificando e

modernizando seu currículo para o curso de Matemática. A Universidade Federal de

São Carlos foi escolhida por ser uma instituição federal que desenvolve modernos

programas para o seu curso de Matemática e a Universidade de São Paulo, em

razão de ser uma instituição pública de reconhecida qualidade em todo o país.

O primeiro plano de ensino investigado será o da Universidade Presbiteriana

Mackenzie, obtido no sítio dessa instituição no ano de 2009. Inicialmente apresenta-

se um breve histórico do curso de Matemática da instituição e, na seqüência,

expõem-se as análises das relações institucionais esperadas para o

desenvolvimento do curso de Álgebra Linear.

4.3.1 Universidade Presbiteriana Mackenzie - MACK

Em meados de junho de 1946, o Conselho Deliberativo do Instituto Presbiteriano

Mackenzie resolveu, entre outras coisas, criar a Faculdade de Filosofia do

Mackenzie e oferecer, já em 1947, pelo menos os cursos de Matemática e Física,

Línguas Neolatinas, Letras Clássicas, História e Geografia.

Em 1947, a Faculdade começou a funcionar efetivamente com três dos Cursos:

Física, Matemática e Letras, que foram, durante anos, os únicos oferecidos pela

"Filosofia" do Mackenzie. O curso de Matemática, Licenciatura Plena e Bacharelado,

foi reconhecido pelo Decreto número 27515, publicado no Diário oficial da União em

04/12/1949.

Desde 1947, até a presente data, o curso de Matemática foi oferecido sem

interrupções, colocando no mercado de trabalho, durante todos esses anos,

profissionais formados com qualidade e seriedade. Atualmente, além da Licenciatura

em Matemática, a instituição oferece o Bacharelado em Matemática.

No ano de 2008, a Universidade Presbiteriana Mackenzie foi a única Universidade

Privada do Estado de São Paulo que obteve nota máxima para o curso de

Matemática no ENADE (2008). Para essa avaliação, segundo o ENADE (2008), a

Universidade contou com vinte e nove participantes, sendo dezenove ingressantes e

dez concluintes.

117

Atualmente, a Universidade Presbiteriana Mackenzie oferece o Curso de

Licenciatura em Matemática em seis semestres, de acordo com as Diretrizes

Curriculares Nacionais para o Curso de Matemática. A disciplina Álgebra Linear é

oferecida em apenas um semestre, na terceira etapa, que corresponde ao terceiro

semestre do curso, conforme a tabela abaixo.

Tabela 06: Extrato da grade curricular - MACK 3ª ETAPA

CODIGO NOME DA DISCIPLINA CHS 070.1307.8 ÓPTICA E ACÚSTICA 04 070.1376.0 FÍSICA EXPERIMENTAL III 02 070.1378.7 FÍSICA GERAL III 04 100.1307.5 ESTATÍSTICA I 04 100.1310.5 GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES III 02 100.1311.3 METODOLOGIA DO ENSINO DE MATEMÁTICA I 04 100.1380.6 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 04 100.1389.1 ÁLGEBRA LINEAR 04 221.2301.6 PSICOLOGIA DO DESENVOLVIMENTO E DA APRENDIZAGEM 02

CARGA HORÁRIA DA ETAPA 30 Fonte: MACK, 2010

Conforme revela a Tabela 06, nesta etapa, os estudantes já tinham passado por

um curso de Geometria Analítica e, como a Álgebra Linear é trabalhada no mesmo

semestre em que se desenvolve o curso de Geometria Analítica e Vetores III,

consideram-se como conhecimentos prévios os conteúdos desenvolvidos em

Geometria Analítica e Vetores I e II, conforme descrito abaixo.

Ementa:

- Vetores; - Dependência linear e bases; - Produto escalar; - Produto vetorial; - Sistema de coordenadas no espaço; - Estudo da reta;

Conteúdo Programático: • Vetores: Segmentos orientados, segmentos eqüipolentes, vetor, operações e

propriedades. • Dependência linear e bases: Combinação linear, vetores l. i. e l. d., dependência linear

(visão geométrico e definição), bases e coordenadas, mudança de base e bases ortonormais. • Produto escalar: Definição, propriedades, ângulo entre dois vetores, projeção ortogonal de

um vetor na direção de outro vetor e produto escalar em bases distintas. • Produto vetorial: Orientação de V3, definição, propriedade, interpretação geométrica,

bases ortonormais positivas e negativas. • Sistema de coordenadas no espaço: Estudo da reta: equações vetoriais, paramétricas e

simétricas. Posição relativa entre retas. Distância de ponto a ponto e ponto a reta. Quadro 11: Ementa da disciplina de Geometria Analítica e Vetores I. Fonte: MACK, 2010.

http://www.mackenzie.br/

118

Conforme descrito no Quadro 11, não existe nenhuma retomada da noção de

matriz, o que supõe que os professores desta disciplina considerem que seus

estudantes já tenham conhecimentos prévios suficientes sobre esse conteúdo

matemático, ou seja, conhecimentos disponíveis para a execução das tarefas

envolvidas nesse conteúdo.

Na bibliografia básica e complementar para esta disciplina, utilizam-se os

seguintes livros didáticos que nesta pesquisa são considerados como as relações

institucionais existentes, pois é por meio deles que identificamos as tarefas e as

técnicas que se supõe sejam desenvolvidas no curso de Álgebra Linear da

Universidade Presbiteriana Mackenzie:

Básica:

Vetores e uma iniciação à Geometria Analítica. MELLO, D. A. WATANABE, G. R., 2005. Complementar:

Geometria Analítica: um tratamento vetorial. BOULOS, P. CAMARGO, I., 2005. Quadro 12: Bibliografia básica e complementar de GAV I. Fonte: MACK, 2010.

Conforme o Quadro 12 são indicadas duas obras, cabendo ao professor e aos

estudantes atuarem juntos: é importante que o professor proponha tarefas que

mobilizem os conhecimentos e que os estudantes e futuros professores se

responsabilizem pelo aprendizado.

A leitura da sinopse dos livros descritos (Anexo XXX), revela que as obras não

efetuam uma revisita à noção de matriz, cabendo aos professores desta disciplina,

em um momento oportuno, retomar tal noção ou indicá-la aos seus estudantes, uma

vez que estes deverão ser responsáveis pelo próprio aprendizado, em particular

quando se trata dos conhecimentos prévios supostamente disponíveis para os

estudantes que atingiram essa etapa escolar.

Na segunda etapa do curso, é oferecida aos estudantes, entre outras, a disciplina

de Geometria Analítica e Vetores II, que desenvolve as seguintes noções:

119

Ementa: - Retas: equações, posições relativas, perpendicularismo, ortogonalidade, distâncias, ângulos; - Planos: equações, posições relativas, distância, ângulos; - Intersecção de retas e planos. Conteúdo Programático: - Introdução. Sistemas de coordenadas no espaço. Relação entre coordenadas de vetores e de pontos. Aplicação do ponto médio de um segmento; - Estudo da reta. Equação vetorial. Equações paramétricas de uma reta. Equações de uma reta na forma simétrica. - O plano. Equações no plano: vetorial, paramétrica e geral. Vetor normal ao plano. Feixe de planos. - Distância entre dois pontos. Distância ponto a reta. Distância ponto a plano. Distância entre retas paralelas. Distancia entre retas reversas. Distância entre planos. Quadro 13: Ementa da disciplina de Geometria Analítica e Vetores II. Fonte: MACK, 2010

Analisando a ementa e o conteúdo programático descrito no Quadro 13,

correspondente à disciplina de Geometria Analítica e Vetores II, verifica-se o

oferecimento e a continuidade dos estudos já iniciados na disciplina anterior

(Geometria Analítica e Vetores I), tendo os dois módulos descritos como objetivo,

segundo a instituição, familiarizar o estudante com os conceitos fundamentais da

Geometria Analítica e Vetores, dando-lhe o ferramental necessário para aplicação

em diversas áreas e estudando a geometria por meio de associações entre

equações e entes geométricos.

Nesta segunda etapa do curso, os professores utilizam as obras apresentadas no

quadro que segue:

Básica:

Vetores e uma iniciação à Geometria Analítica. MELLO, D. A. WATANABE, G. R., 2005. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. BOULOS, P. CAMARGO, I., 2005. Vetores e Geometria Analítica. WINTERLE, P., 2000.

Complementar: Álgebra Linear. LIMA, E. L., 1996. Calculo com geometria analítica. SIMMONS, G. F., 2005. Lectures on Linear Algebra. GELFAND, I. M., 1961.

Quadro 14: Bibliografia básica e complementar de GAV II. Fonte: MACK, 2010

Os livros indicados no Quadro 14 (bibliografia básica), trabalhados na segunda

etapa do curso de Matemática na disciplina de Geometria Analítica e Vetores II,

levam-nos a supor que os estudantes já dominem as noções básicas — inclusive a

de matriz —, desenvolvidas no Ensino Médio, pois essas obras não fazem nenhuma

revisita a essas noções.

120

Observando-se a sinopse do livro Vetores e Geometria Analítica, (Anexo XXX), e

a obra de Winterle (2000) (Anexo XXXI), pode-se compreender como é executado o

processo de ensino nesta disciplina. Caso os estudantes nesta etapa não tenham

familiaridade com os conceitos matemáticos supostamente dominados, em especial

a noção de matriz, para efetuar as tarefas propostas que necessitem destas noções,

cabe ao professor desencadear um conjunto de atividades em que os estudantes,

pelos menos, mobilizem essas noções. Assim, o topos do professor fica em

destaque, pois será preciso um olhar mais atento para os conteúdos que deverão

ser articulados nesta etapa de ensino. Pode-se também considerar as

responsabilidades do estudante, que correspondem ao seu topos, uma vez que são

indicadas obras complementares para estudo e apropriação das noções necessárias

à execução das tarefas que serão propostas durante seu percurso no Ensino

Superior.

A grade curricular apresentada pela instituição permite verificar o esboço das

disciplinas que são disponibilizadas no curso de licenciatura em Matemática.

Quando se considera a noção de matriz, observa-se que as disciplinas pesquisadas

acima não efetuam uma revisita explícita a ela, mas a disciplina de Cálculo

Numérico, que se encontra na segunda etapa do curso, desenvolve essa noção,

como segue descrito no quadro abaixo.

Ementa:

- Matrizes; - Sistemas Lineares; - Zeros da função; - Interpolação Polinomial; - Regressão; - Anamorfose gráfica; - Séries; - Integração numérica.

Conteúdo Programático: 1. Matrizes: Definição, notação, operações, propriedades e aplicações práticas; 2. Sistemas Lineares: Definição, notação, algoritmo de Gauss e aplicações práticas; 3. [...]

Quadro 15: Ementa da disciplina de Calculo Numérico. Fonte: MACK, 2010

Percebe-se que neste momento, na segunda etapa do curso de Matemática

(segundo semestre), é oferecida uma revisita à noção de matriz e à noção de

sistema de equação linear, pois a disciplina de Cálculo Numérico utiliza estes dois

objetos matemáticos, muitas vezes, como ferramenta explícita para solução das

121

tarefas a serem propostas e desenvolvidas. As noções apresentadas nesta disciplina

também são utilizadas em Pesquisa Operacional e nas disciplinas de Geometria

Analítica e Vetores e Álgebra Linear.

Na terceira etapa do curso, as disciplinas de Geometria Analítica e Vetores III e

Álgebra Linear são desenvolvidas simultaneamente. Para a disciplina de Geometria

Analítica e Vetores III, é apresentada a seguinte ementa, com o seguinte conteúdo

programático.

Ementa:

- Estudo das cônicas: equações de elipses, hipérboles, parábola, deduções destas funções, análises de gráficos e formas, esféricas, plano tangente, plano secante e quádricas reduzidas;

Conteúdo Programático: - Equações de elipse, excentricidade, equação geral da elipse, elementos de cálculo; - Equações da hipérbole, excentricidade, equação geral da hipérbole; - Parábola, teoremas e deduções, equações reduzidas, elementos, vértice, deduções destas funções; - Cones, classificações do cone, secções do cone; - Tronco de cone, análises de gráficos e formas; - Coordenadas esféricas, esferas, volume e área de esferas; - Plano tangente, plano secante e quádricas reduzidas.

Quadro 16: Ementa da disciplina de Geometria Analítica e Vetores III. Fonte: MACK, 2010

Conforme revela o Quadro 16, a disciplina de Geometria Analítica e Vetores III,

oferecida na 3ª etapa do curso (terceiro semestre), não retoma, como as demais, a

noção de matriz. Apenas dá continuidade ao trabalho das etapas anteriores das

disciplinas de Geometria Analítica e Vetores.

Na bibliografia não houve grandes mudanças, pois pode-se considerar que a

relação institucional existente é encontrada na obra didática de Boulos (2008),

considerada como bibliografia básica.

Básica:

- Geometria Analítica: um tratamento vetorial. BOULOS, P. CAMARGO, I., 2008. Complementar:

- Geometria Analítica. REIS, G. L.; SILVA, V. V., 2002. - Geometria Analítica do plano e do espaço. VALLADARES, R. J. C., 1990. - Vetores e Geometria Analítica. WINTERLE, P., 2000.

Quadro 17: Bibliografia básica e complementar de GAV III. Fonte: MACK, 2010

A disciplina Geometria Analítica e Vetores III, além da bibliografia básica,

apresenta três obras didáticas complementares. Portanto, caso o estudante encontre

alguma dificuldade, poderá retomar essas obras para apropriar-se dos conteúdos

122

necessários. Assim, o topos do estudante é destacado pela presença da bibliografia

complementar, que tem como objetivo auxiliar e suprir possíveis lacunas.

Após esta análise das disciplinas que antecedem Álgebra Linear, é possível

identificar, na grade curricular do curso para essa disciplina, que ela tem carga

horária de 60 horas semestrais e 4 horas-aula semanais. Seu objetivo é desenvolver

os conteúdos apresentados na rubrica conteúdo programático, em que a noção de

matriz será trabalhada como ferramenta explícita para a representação de uma

transformação linear, isto é, como um novo ostensivo de manipulação das

transformações lineares, como descrito no quadro que segue.

Ementa:

- Espaços vetoriais; - Base e dimensão; - Transformações Lineares; - Matriz de uma transformação linear; - Auto Valores, auto vetores.

Conteúdo Programático: - Espaços vetoriais: Definição e propriedades; subespaços; combinações lineares; subespaços finitamente gerados; - Dependência Linear; base; dimensão; coordenadas; mudança de base; - Transformações lineares: Definição e propriedades; núcleo e imagem; isomorfismo e automorfismo; operações. - Matriz de uma transformação; matrizes semelhantes.

Quadro 18: Ementa da disciplina de Álgebra Linear. Fonte: MACK, 2010

Nesse mesmo plano de ensino, é possível supor como será trabalhada essa

disciplina em função da bibliografia básica proposta para o curso. Como se trata da

obra de Callioli et al. (1990), pode-se supor que a noção de matriz será revisitada

pelos estudantes, pois esse livro traz um capítulo inicial de introdução a essa noção

e sua relação com a Álgebra Linear. No quadro a seguir, encontram-se as obras

adotadas pelo curso de Licenciatura em Matemática da Instituição (Álgebra Linear).

Básica:

- Álgebra linear e aplicações. CALLIOLI, C. A.; DOMINGUES, H. H.; COSTA, C. F. R., 1990.

Complementar: - Álgebra Linear. STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P., 1987. - Álgebra Linear. LIPSCHUTZ, S., 1994.

Quadro 19: Bibliografia básica e complementar de Álgebra Linear. Fonte: MACK, 2010

Conforme se observa no Quadro 19, a bibliografia básica adota uma abordagem

clássica da Álgebra Linear centrada no desenvolvimento axiomático das noções a

123

ela associadas, como revela o diagrama de capítulos apresentados na obra, que

propõe uma retomada das noções de sistemas lineares e matrizes. Logo após, são

desenvolvidas as noções clássicas de Álgebra Linear, sendo introduzida de forma

axiomática a noção de espaço vetorial, seguida das noções de subespaços vetoriais

e das noções de base e dimensão para espaços vetoriais de dimensão finita. Estas

noções são essenciais para a introdução e o desenvolvimento do conceito de

transformação linear e matriz de uma transformação linear.

O diagrama de capítulos (Anexo XXXII), fornecido pela obra de Callioli (1983),

permite uma ampla visão de como pode ser conduzido um curso que utiliza tal obra

para o seu desenvolvimento. Assim, é possível observar como poderá ser conduzida

a aula da disciplina de Álgebra Linear, já que a obra Callioli faz parte da bibliografia

básica.

Pode-se supor, em função da obra indicada como bibliografia básica, que o

professor vá revisitar ou indicar que os estudantes façam uma revisão das noções

de matrizes e sistemas lineares, enfatizando sua importância como ferramentas

matemáticas para desenvolver os conteúdos apresentados no diagrama. Conforme

descrito, o conteúdo sobre matrizes de transformações lineares é desenvolvido na

obra; portanto, necessita-se da noção de matriz, para desencadeamento das

atividades e dos exercícios propostos para serem trabalhados por professores e

estudantes. Assim, é necessário observar atentamente os procedimentos a serem

adotados para que estudantes e professores alcancem os objetivos para o ensino e

aprendizagem das tarefas e das técnicas consideradas nessa disciplina.

Após essa apresentação detalhada do curso da Universidade Presbiteriana

Mackenzie, considera-se a grade da Universidade Bandeirante do Brasil para o ano

de 2009, que está em vias de modificação, para o curso de Licenciatura de

Matemática.

Escolhe-se analisar a grade de 2009 por já ter sido aplicada e ter possibilitado

que os estudantes revisitassem a noção de matriz ou que trabalhassem pela

primeira vez com esse conhecimento, caso não tivessem tido a oportunidade de

desenvolver esse conteúdo no Ensino Médio.

124

4.3.2 Universidade Bandeirante de São Paulo - UNIBAN

A UNIBAN teve origem com a fundação do Colégio Bueno Aires (atual colégio

Padre Antônio Vieira), logo após um de seus mantenedores ter iniciado sua

participação na Academia Paulista Anchieta, atual mantenedora da UNIBAN. Na

década de 1970, foi criado o colégio Anchieta, que se tornou, logo após, o atual

colégio Salete. Após a aquisição de alguns colégios e faculdades, em 1988, criou-se

o Centro de Ensino Unificado Bandeirantes e, em 1994, nasceu a UNIBAN de São

Paulo, expandindo seus campi para diversas regiões da Grande São Paulo,

atualmente também em outros estados brasileiros, denominada UNIBAN Brasil.

A Universidade Bandeirante Brasil, por meio da Portaria MEC nº 48 de 17 de

janeiro de 1994, oferece o curso de Licenciatura em Matemática na maioria dos seus

campi e atualmente trabalha para modernização de seus currículos, em especial os

do curso de Licenciatura em Matemática.

A disciplina de Álgebra Linear é oferecida aos estudantes no segundo ano do

curso de Matemática, em dois semestres, com carga horária semanal de duas horas.

Seu plano de ensino está reproduzido abaixo e, por meio dele, pode-se observar

que existe espaço para revisitar o quadro das matrizes com suas operações e

propriedades; está prevista, ainda, a articulação desse quadro com o quadro dos

sistemas lineares, o que supõe também um trabalho com os espaços IR2, IR3 e IRn,

antes de generalizar as propriedades desses espaços para outros espaços de

dimensão finita por meio da noção de isomorfismo de espaços vetoriais.

Na seqüência, registra-se, no quadro abaixo, a ementa da disciplina de Álgebra

Linear oferecida no curso de Licenciatura em Matemática pela UNIBAN.

Ementa: - Revisão de conceitos elementares de matrizes; - Álgebra dos espaços vetoriais: conceito, operações e transformações em espaços multi-dimensionais. Conteúdo Programático: - Noção de matriz, matrizes especiais; - Igualdade e adição de matrizes; produto de um número real por uma matriz; - Produto de matrizes; - Propriedade do produto de matrizes; - Matriz inversa; - Determinante ≤ 3: definição; calculo; regra de sarrus; - Menor complementar e cofator de um elemento; - Teorema de Laplace;

125

- Propriedade dos determinantes; - Abaixamento de ordem de um determinante – Regra de Chio; - Calculo da matriz inversa por meio de um determinante; - Sistemas de equações lineares: equação linear, solução de equação linear, sistema linear, classificação de um sistema linear; - Matrizes associadas a um sistema linear por escalonamento; - Regra de Cramer; - Discussão de um sistema linear; - Tratamento Geométrico – Espaço vetorial: conceituação dos espaços (R1, R2, R3), conceito de vetor, representação, operações com vetores; - Tratamento algébrico – distância entre dois pontos, vetor definido por dois pontos, igualdade de vetores, operações com vetores, versor; - Componente de um vetor; norma (módulo) de um vetor; - Aritmética vetorial; - Produto escalar: conceito, propriedades. - Ângulos entre vetores, projeção ortogonal de um vetor sobre o outro; - Produto vetorial: conceituação, propriedades; - Aplicações geométricas do produto vetorial: área do triângulo e do paralelogramo; - Produto misto: conceituação, propriedades, aplicações geométricas do produto vetorial: volume do paralelepípedo; - Espaço e subespaço vetorial; - Combinação Linear; - Dependência e Independência linear; - Bases e dimensões; - Transformações (aplicações); Transformações Lineares; - Matriz de uma transformação linear; - Transformações e suas matrizes: homotetia, translação, rotação; - Transformação e suas matrizes: simetria ou reflexão; alongamento, cisalhamento;

Quadro 20: Ementa da disciplina de Álgebra Linear. Fonte: UNIBAN, 2009

O Quadro 20, referente ao conteúdo programático, é detalhado e permite a

análise mais apurada do trabalho a ser realizado, quando se considera a noção de

matriz como já indicado acima. Verifica-se que o estudo desta disciplina se inicia

com várias noções do Ensino Médio, em especial a noção de matriz. Após a revisão

dos conteúdos desta modalidade, o professor começa a desenvolver noções de

Álgebra Linear, como verificado no mesmo quadro.

Para desenvolver as noções acima apresentadas, o curso de Licenciatura em

Matemática utiliza os livros didáticos do Quadro 21, que aqui são considerados como

as relações institucionais existentes.

126

Básica:

Álgebra linear e aplicações. CALLIOLI, C. A.; DOMINGUES, H. H.; COSTA, C. F. R., 2005. Álgebra Linear com aplicações. ANTON, H., 2006. Introdução à Álgebra Linear. STEIMBRUCH, A.; WINTLE, P., 1997

Complementar: Introdução à História da Matemática. EVES, H., 2004. Geometria Analítica, um tratamento vetorial. BOULOS, P., 2000. Vetores e geometria analítica. WINTERERLE, P., 2006. Fundamentos de Matemática elementar, 4: seqüências, matrizes, determinantes, sistemas. IEZZI, G., 2005. História da Matemática. BOYER, C. B., 2006.

Quadro 21: Bibliografia básica e complementar de Álgebra Linear. Fonte: MACK, 2009

Na bibliografia básica encontram-se os livros de Callioli (2005), cujo diagrama já

foi apresentado (Anexo XXXII). Conforme já relatado, trata-se de uma obra clássica

para a disciplina de Álgebra Linear, que apresenta as noções de espaço vetorial por

meio de um tratamento axiomático. A obra de Steimbruch (1997) e a de Anton

(2006) também fazem parte da bibliografia (Anexo XXXIII). O livro de Anton (2006)

corresponde a um novo tratamento da Álgebra Linear: considera a articulação das

novas noções que lhe são associadas com aquelas já trabalhadas no Ensino Médio,

ou seja, a noção de matriz, suas operações e propriedades e as relações dessa

noção com os conhecimentos de Geometria Euclidiana. Articula esses

conhecimentos com a noção de sistemas lineares, antes de introduzir a Álgebra

Linear “mais abstrata”. Já a obra de Steimbruch (1997) é bastante próxima da

abordagem proposta na obra de Callioli, mas não efetua uma revisita à noção de

matriz, suas operações e propriedades, iniciando o trabalho por espaço vetorial, ou

seja, os autores consideram que os estudantes disponham de conhecimentos

prévios relacionados à noção de matriz.

Na bibliografia complementar, verifica-se uma obra destinada ao Ensino Médio, o

que coloca o topos do estudante em evidência, uma vez que, provavelmente, o

professor não trabalhe de forma explícita com esta obra, mas fica a cargo do

estudante verificar quais conhecimentos ainda não foram por ele apropriados, para

dedicar-se com responsabilidade ao estudo e à aprendizagem das noções

desenvolvidas nesta obra. Também se observa a presença de livros que tratam a

história da matemática, ou seja, existe uma articulação entre a teoria da Álgebra

Linear e o seu surgimento no campo da Matemática.

127

O tratamento da Álgebra Linear no curso de Matemática da Universidade

Bandeirante aproxima-se da abordagem pela Universidade Mackenzie, mas com um

tratamento diferenciado, uma vez que efetua uma revisão explícita da noção de

matriz em sua disciplina de Álgebra Linear, utilizando a obra de Anton (2006); e o

Mackenzie trata os quadros das matrizes, dos sistemas lineares e a Geometria

Euclidiana, nas disciplinas de Geometria Analítica e Vetores, além da noção de

matriz, que é trabalhada explicitamente na disciplina de Cálculo Numérico.

Apresenta-se, neste momento, a grade curricular da Universidade Federal de São

Carlos, verificando quais conteúdos são abordados na disciplina de Álgebra Linear,

no curso de Matemática dessa Universidade.

4.3.3 Universidade Federal de São Carlos - UFSCAR

A UFSCAR foi criada em 1º de dezembro 1968 e, em março de 1970, começou a

receber seus primeiros 96 alunos para os cursos de Licenciatura em ciências

(extinto) e Engenharia de Materiais. O primeiro curso de Matemática da UFSCar foi o

Curso de Licenciatura em Ciências - Habilitação em Matemática, iniciado em março

de 1975. No final de 1977, foi criado o Curso de Bacharelado em Matemática.

Em 1986, foi criado o curso de Licenciatura Plena em Matemática, de graduação

plena, reconhecido pelo Decreto Federal nº 1.160, de 4 de julho de 1991 e, em 1998,

o Conselho de Coordenação do Curso de Matemática iniciou a construção de um

novo currículo, motivado pelo Exame Nacional de Cursos de Graduação,

modernizando a estrutura curricular do curso de Matemática que, atualmente, segue

os padrões determinados pelo Projeto Pedagógico de 2004.

Analisa-se, a seguir, o Projeto Pedagógico de 2004, no que se refere às

disciplinas que trabalham com a noção de matriz, em especial Álgebra Linear, que

pertence ao grupo de conhecimentos matemáticos desenvolvidos no 3º período do

Curso.

Tabela 07: Extrato da grade curricular - UFSCAR 3ª ETAPA

CÓDIGO NOME DA DISCIPLINA CHS ÁLGEBRA LINEAR A 4 GEOMETRIA EUCLIDIANA 4 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL B 4

128

INSTRUMENTOS PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA B 4 PSICOLOGIA: DESENVOLVIMENTO 4 TOTAL 20

Fonte: UFSCAR, 2005

A disciplina que antecede Álgebra Linear e revisita a noção de matriz é a Vetores

e Geometria Analítica, oferecida no 1º período do curso. No quadro abaixo, é

possível identificar os conteúdos disponibilizados na disciplina de Vetores e

Geometria Analítica.

Ementa: - Obter conhecimentos básicos relacionados ao calculo vetorial; - Obter conhecimentos básicos relacionados a geometria analítica, plana e espacial. Conteúdo Programático: - Noções sobre matrizes e Sistemas Lineares; - Vetores; - Produto: escalar, vetorial e misto. - Retas e planos; - Cônicas; - Quádricas.

Quadro 22: Ementa da disciplina de Vetores e Geometria Analítica. Fonte: UFSCAR, 2005

A noção de matriz é revistada na disciplina de Vetores e Geometria Analítica, o

que possivelmente poderá contribuir para a introdução de outras noções que são

trabalhadas em Geometria Analítica e na disciplina de Álgebra Linear, propostas

para o 3º período do curso.

Para Vetores e Geometria Analítica, que antecede a disciplina de Álgebra Linear,

os professores indicam as obras que estão descritas no quadro que segue.

Básica:

Geometria Analítica - Um Tratamento Vetorial. BOULOS, P.; CAMARGO, I., 1987. Matrizes, Vetores e Geometria Analítica. CAROLI, A.; CALLIOLI, C. A.; FEITOSA, M.O., 1978. Álgebra Linear com aplicações. ANTON, H., 2006. Vetores e Geometria Analítica. WINTERLE, P., 2000.

Quadro 23: Bibliografia básica e complementar de VGA. Fonte: UFSCAR, 2005

A disciplina de Vetores e Geometria adota, além da obra de Boulos (1987) e de

Winterle (2000), já descritas anteriormente, a obra Matrizes, vetores e Geometria Analítica, de Caroli (1978), desenvolvendo trabalhos sobre a noção de matriz,

possibilitando que o estudante se aproprie de conhecimentos necessários tanto para

a disciplina em jogo, como para futuras disciplinas, em especial Álgebra Linear

(Anexo XXXIV).

129

Os conteúdos da obra didática descrita (Anexo XXXIV), oferecem uma idéia de

como são desenvolvidos os conteúdos na disciplina de Vetores e Geometria

Analítica: além do tratamento vetorial e analítico, a disciplina inicialmente efetua uma

revisita à noção de matriz, ou seja, no decorrer do curso, o estudante vai se

apropriando dos conteúdos necessários ao desenvolvimento das tarefas, tanto em

Vetores e Geometria Analítica, como também para futuras disciplinas, como, por

exemplo, a disciplina de Álgebra Linear, que é trabalhada na etapa subsequente.

O quadro abaixo expõe a relação dos conteúdos trabalhados na disciplina de

Álgebra Linear.

Ementa: - Reconhecer as estruturas da Álgebra Linear; - Estabelecer conexões entre as propriedades dos vetores e as estruturas algébricas. Conteúdo Programático: - Métodos de eliminação de Gauss para sistemas Lineares; - Espaços Vetoriais; - Bases; - Somas diretas; - Introdução à Programação Linear; - Transformações Lineares; - Matrizes de Transformações lineares; - Núcleo e imagem; - Auto-valores e auto-vetores; - Diagonalização; - Espaços com produto interno; - Bases Ortogonais; - Projeções Ortogonais; - Movimentos rígidos;

Quadro 24: Ementa da disciplina de Álgebra Linear A. Fonte: UFSCAR, 2005

Verifica-se que a noção de matriz é revisitada na disciplina de Vetores e

Geometria Analítica, mas não aparece na ementa de Álgebra Linear. Acredita-se

que, nesse momento, os professores considerem que os estudantes já dominem tal

noção, mas, a bibliografia inclui obras que oferecem uma revisita às noções de

matrizes e sistemas lineares, como é o caso dos livros de Callioli e Boldrini, descritos

abaixo.

Básica: Álgebra Linear. BOLDRINI, J. L.; COSTA, S. I. R.; FIGUEIREDO, V. L.; WETZLER, H. G., 1980. Álgebra linear e aplicações. CALLIOLI, C. A.; DOMINGUES, H. H.; COSTA, C. F. R., 1990. Um curso de Álgebra Linear. COELHO, F. U.; LURENÇO, M. L., 2005. Complementar:

130

Álgebra linear. LIMA, E. L., 1995. Introdução à Álgebra Linear. STEIBRUCH, A.; WINTERLE, P., 1997.

Quadro 25: Bibliografia básica e complementar de Álgebra Linear A. Fonte: UFSCAR, 2005

O curso utiliza o livro de Callioli como bibliografia básica, como já apontado, uma

obra clássica para o ensino da disciplina de Álgebra Linear. Também são indicadas

mais duas obras, Boldrini (1980) e Coelho (2005), ambas fazendo parte da

bibliografia básica.

Verifica-se (Anexo XXXV), que os autores iniciam a obra revisitando a noção de

matriz; na seqüência, abordam as noções de sistemas lineares, desenvolvendo suas

respectivas aplicações e utilizando, além dos quadros matriciais e dos sistemas

lineares, outros quadros que requerem estas noções básicas.

A bibliografia complementar permite destacar a responsabilidade do estudante,

uma vez que ele poderá programar seus estudos utilizando estas obras.

Percebe-se que a disciplina de Álgebra Linear é bem parecida com as da

Universidade Mackenzie e a Universidade Bandeirante, pois, em geral, adotam

quase a mesma bibliografia. O que as diferencia, em geral, é o tratamento dado

anteriormente às noções de matrizes e sistemas lineares, que não são revisitadas

explicitamente na disciplina de Álgebra Linear, pois já foi desenvolvida na disciplina

de Vetores e Geometria Analítica, aplicada na etapa anterior.

A seção seguinte será dedicada à apresentação dos resultados das análises das

propostas curriculares da Universidade de São Paulo, para o curso de Matemática,

considerando as disciplinas que tratam explicita ou implicitamente a noção de matriz.

4.3.4 Universidade de São Paulo – USP

A Universidade de São Paulo (USP) foi fundada em 1934, quando se criou

também a Faculdade de Filosofia, Ciência e Letras, que começou a oferecer, no

mesmo ano de fundação, o primeiro curso de Bacharelado em Matemática. Anos

depois, foi criado o curso de Licenciatura em Matemática, com as mesmas

disciplinas do Bacharelado.

Nascido da Faculdade de Filosofia da rua Maria Antonia, em São Paulo, o

Instituto de Matemática e Estatística da USP (IME-USP) sempre esteve na

131

vanguarda da pesquisa e do ensino em Matemática Pura. A criação do Instituto

ocorreu em 15 de janeiro de 1970 pela Reforma Universitária, que reuniu num só

instituto os docentes de Matemática, Estatística e Ciência da Computação dos vários

cursos da USP.

O curso de Matemática do Instituto de Matemática e Estatística da USP oferece a

disciplina de Álgebra Linear no segundo período, em apenas um semestre, com uma

carga horária de quatro aulas, conforme se verifica pelo recorte da grade curricular e

pela ementa, ambos descritos abaixo.

Tabela 08: Extrato da grade curricular – USP 2º SEMESTRE

CÓDIGO NOME DA DISCIPLINA CHS MAT0134 Introdução à Álgebra Linear 4 MAT1352 Cálculo para funções de uma variável real II 6 MAT1512 Estatística para Licenciatura II 4 MAT1514 A Matemática na educação básica 4 4300156 Gravitação 2

SUBTOTAL 22 Fonte: USP, 2010

Conforme indicado na Tabela 08, no segundo semestre é oferecida a disciplina de

Introdução à Álgebra Linear. A ementa e os conteúdos programáticos desta

disciplina, correspondentes ao ano de 2010, revelam que ela requer que o estudante

já tenha passado pela disciplina de Geometria Analítica, com aprovação (pré-

requisito), ou seja, o projeto do curso visualiza a necessidade de conhecimentos

prévios para que o estudante curse a disciplina de Introdução à Álgebra Linear.

O quadro que segue explicita o programa da disciplina de Geometria Analítica,

seu objetivo e os conteúdos a serem trabalhados.

Objetivo: Estudo da Geometria Analítica no plano e no espaço, com ênfase nos seus aspectos geométricos e suas traduções em coordenadas cartesianas. Lugares Geométricos. Conteúdo Programático: - Coordenadas no plano: coordenadas cartesianas retangulares no plano. - Distância entre dois pontos. Equação de uma circunferência. - Posição relativa de duas circunferências. - Coordenadas polares. - Vetores no plano. - Componentes de um vetor. - Adição de vetores. - Multiplicação de um vetor por um número real. - Vetores linearmente independentes e linearmente dependentes.

132

- Produto escalar. Estudo da reta no plano: equação geral da reta. - Paralelismo e perpendicularismo. Ângulo. Distância de ponto a reta. - Secções cônicas: equações na forma reduzida em coordenadas cartesianas e polares. - Mudança de coordenadas no plano. - Classificação das cônicas. - Vetores no espaço. - Coordenadas cartesianas retangulares no espaço. - Distância entre dois pontos. - Componentes de um vetor. - Adição e multiplicação por escalar. - Vetores l.i e l.d.. - Produtos: escalar, vetorial e misto. - Estudo da reta e do plano no espaço. - Equação do plano. - Paralelismo e perpendicularismo entre planos. - Equações de uma reta no espaço. - Posições relativas. Ângulos. Distâncias. - Estudo das superfícies quádricas. - Equações na forma reduzida. - Mudança de coordenadas no espaço. - Classificação de quádricas.

Quadro 26: Ementa da disciplina de Geometria Analítica. Fonte: USP, 2010

Conforme se pode depreender do Quadro 26, não existe nenhuma revisita às

noções de matrizes, determinantes e sistema de equações lineares, e a disciplina

utiliza como bibliografia básica duas obras didáticas (Quadro 27), uma delas já

comentada e descrita no Anexo XXX; a outra obra, o livro didático de Leithold

(1977), está descrita no Anexo XXXVI. Abaixo segue a bibliografia adotada na

disciplina de Geometria Analítica.

Básica:

Geometria Analítica: Um tratamento vetorial. BOULOS, P. CAMARGO, I., 1987. O Cálculo com Geometria Analítica. LEITHOLD, L., 1977.

Quadro 27: Bibliografia básica de Geometria Analítica. Fonte: USP, 2010

São indicadas duas obras que não abordam as noções matriciais, conforme

descrito no Anexo XXX (BOULOS, 1987) e na sinopse da obra didática de

LEITHOLD (1977), (ANEXO XXXVI).

Como se pode constatar (ANEXO XXXVI), a obra não efetua nenhuma revisita as

noções matriciais, o que supõe fazer parte do topos do professor a aplicação das

noções não trabalhadas, em um momento oportuno, cabendo ao estudante também

responsabilizar-se para apropriar-se das noções matriciais, para utilizá-las quando

necessárias, como noção matemática ou como ferramenta para solucionar

aplicações da matemática ou de outra ciência.

133

Após análise da disciplina de Geometria Analítica, pré-requisito da disciplina de

Introdução à Álgebra Linear, verifica-se que fica a cargo desta a aplicação das

noções de matrizes, determinantes e sistema de equações lineares; e cabe, então,

ao professor verificar o momento adequado para efetuar a correta articulação com

as demais noções da disciplina de Álgebra Linear.

Para a disciplina Introdução à Álgebra Linear, o programa descreve os objetivos e

os conteúdos a serem desenvolvidos com os estudantes, conforme indica o quadro

que segue.

Objetivo: Familiarizar o estudante com os conceitos de transformação linear e espaço vetorial de dimensão finita através da geometria do IR2 e do IR3. Trabalhar a relação entre matrizes e transformações lineares, bem como a resolução de sistemas lineares de equações. Conteúdo Programático: - Geometria dos vetores no plano e no espaço; - Transformações do espaço; - Transformações lineares (no plano e no espaço); - Somas e composição de transformações lineares; - Inversão e sistemas de equações lineares; - Determinantes; - Autovalores de transformações do plano e do espaço; - Matrizes simétricas; - Classificação das superfícies cônicas e quádricas. - Geometria dos vetores de Rm; - Transformações lineares de Rn em Rm; - Matrizes; - Sistemas de equações lineares homogêneos e não homogêneos; - Espaços vetoriais; - Bases e dimensão; - Existência e unicidade de soluções de um sistema linear; - Teorema de Rouché-Capelli; - Matriz de uma transformação linear; - Espaços vetoriais; - Produto interno; bases ortonormais; - Projeção ortogonal; - Aproximação de funções polinomiais.

Quadro 28: Ementa da disciplina Introdução à Álgebra Linear. Fonte: USP, 2010

O curso de Álgebra Linear oferecido pela Universidade de São Paulo, conforme

conteúdo programático apresentado no Quadro 28, prevê, explicitamente, um

trabalho específico sobre a noção de matriz, suas operações e propriedades,

articulado com outras noções da disciplina de Álgebra Linear; ou seja, no decorrer

do curso, a noção de matriz é revisitada, possibilitando um trabalho mais adequado,

pois é utilizada como ferramenta explícita para os conteúdos da disciplina. Verifica-

se também que o trabalho com a noção de matriz na disciplina é efetuado no

134

decorrer das aulas. Essa noção é articulada com os novos conhecimentos que são

introduzidos durante o desenvolvimento da disciplina, ou seja, a noção de matriz não

é trabalhada inicialmente, mas durante o curso.

Conforme a bibliografia do quadro abaixo, além da obra de Callioli (1977), cujo

primeiro capítulo trata explicitamente do quadro dos sistemas lineares e das

matrizes, o plano aborda, entre outras obras, o livro de Barone (1998), que

desenvolve inicialmente as noções dos sistemas lineares homogêneos e as noções

dos espaços em IRn, ficando, então, a cargo do professor efetuar uma revisita mais

explícita para tal noção, no início do trabalho com a disciplina.

No quadro abaixo, descreve-se a bibliografia básica utilizada na disciplina.

Bibliografia Básica:

Álgebra linear e aplicações. CALLIOLI, C. A.; DOMINGUES, H. H.; COSTA, C. F. R., 1977. Introdução à Álgebra Linear. CARAKUSHANSKY, M. S.; LA PENHA, G. H. S. M.,1976. Álgebra Linear. BARONE, M. Jr., 1988. Linear Algebra through Geometry. BANCHOFF, T.; WERMER, J., 1992.

Quadro 29: Bibliografia básica e complementar de Álgebra Linear. Fonte: USP, 2010

Conforme as obras relacionadas acima (Quadro 29) pode-se supor que fica a

cargo do professor revisitar ou não os conceitos associados à noção básica de

matriz, inicialmente, e que pelo menos essa ferramenta possa ser trabalhada pelos

estudantes, que encontram referências no próprio livro destinado ao

desenvolvimento do curso. Mas, caso o professor não revisite inicialmente a noção

de matriz, no decorrer do curso o estudante estará em contato com essa noção, uma

vez que ela está presente na ementa e em um dos livros descritos na bibliografia

básica. Sendo assim, caso o estudante sinta necessidade, as obras indicadas no

plano de ensino podem auxiliá-lo a desenvolver as competências e as habilidades

necessárias para trabalhar com as noções de Álgebra Linear e aplicá-las, quando

necessário.

A sinopse de duas obras didáticas Barone (1988) e Banchoff (1992), (Anexo

XXXVII), permite deduzir como os professores do curso de Licenciatura em

Matemática da Universidade de São Paulo podem conduzir suas aulas, pois as

obras fornecem os conteúdos a serem desenvolvidos. Percebe-se que a noção de

matriz não é trabalhada de forma explícita nestas duas obras, que se ocupam do

135

desenvolvimento de sistemas lineares e determinantes. Para executar as tarefas por

elas apresentadas, o estudante deverá mobilizar as noções de matrizes e, caso não

domine tais noções, deverá estudar para conseguir executar o que é proposto. Para

isso, será útil a obra de Callioli (1977, 1983).

Assim, verifica-se que o topos do professor também fica destacado, pois é

necessário que ele reflita sobre quais noções podem ser desencadeadas em cada

tarefa e sobre os procedimentos a serem utilizados pelos estudantes, para que todos

consigam, na disciplina, utilizar as noções como ferramentas para manipular as

técnicas possíveis em um curso na área de ciências exatas.

Apresentam-se, a seguir, algumas considerações sobre as análises efetuadas nos

planos de ensino das quatro universidades escolhidas para o estudo proposto nesta

pesquisa e também sobre os resultados encontrados.


As análises deixam evidente a consciência, entre os professores do Ensino

Superior, em particular entre os das universidades privadas — cuja maioria dos

estudantes é proveniente do Ensino Médio público — da necessidade de trabalhar

explicitamente o quadro das matrizes, articulando-as com o quadro dos sistemas

lineares e da geometria analítica, para auxiliar os estudantes a compreender melhor

as noções de Álgebra Linear que são “mais abstratas” e que, em geral, apresentam

maiores dificuldades.

Para as quatro universidades, registram-se, na tabela abaixo as obras utilizadas

na disciplina de Álgebra Linear.

Tabela 09: Livros de álgebra linear utilizados pelas universidades investigadas LIVROS UTILIZADOS NOS CURSOS INVESTIGADOS – ÁLGEBRA LINEAR

LIVRO MACK. UNIBAN UFSCar USP

ALGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES – Carlos Alberto Callioli et al. SIM SIM SIM SIM

INTRODUÇÃO À ALGEBRA LINEAR - A. Steinbruch e P. Winterle SIM SIM SIM

ÁLGEBRA LINEAR - S. Lipschutz SIM

ÁLGEBRA LINEAR COM APLICAÇÕES - H. Anton. SIM

ÁLGEBRA LINEAR - L. J. Boldrini et al. SIM

UM CURSO DE ALGEBRA LINEAR - F. U. Coelho et al. SIM

ÁLGEBRA LINEAR - Elon Lages Lima SIM

136

LINEAR ALGEBRA THROUGH GEOMETRY - T. Banchoff et al. SIM

ÁLGEBRA LINEAR- M. Barone Jr. SIM

INTRODUÇÃO À ALGEBRA LINEAR - M. S. G. Carakushansky SIM

Tabela elaborada pelo pesquisador

Percebe-se que a obra de Callioli é indicada na bibliografia básica dos cursos de

Licenciatura em Matemática das quatro universidades pesquisadas, mesmo aqueles

que propõem uma abordagem mais moderna, que se inicia pelos espaços de

pequenas dimensões, de forma a associar os conhecimentos desenvolvidos em

Álgebra Linear com os desenvolvidos em Geometria Analítica. Pode-se dizer que a

indicação comum do livro de Callioli permite considerar que os cursos de Álgebra

Linear apresentam certa regularidade, pois essa obra pode influenciar professores,

considerando o tempo em que vem sendo indicada nesses planos de ensino.

Observa-se aqui que o mesmo ocorre com a obra de Boulos para a Geometria

Analítica, o que faz com que os programas das universidades pesquisadas se

aproximem.

Sendo assim, mesmo que a noção de matriz não seja desenvolvida

explicitamente no curso, cabe ao estudante efetuar por conta própria uma revisita a

essa noção. Verificando a Tabela 09, percebe-se claramente que todas as

universidades adotam uma ou mais obras que revisitam o quadro das matrizes e que

podem auxiliar professores e estudantes a desenvolver seu topos em relação à

noção de matriz, quando necessário.

No próximo capítulo, apresentar-se-á a grade de análise construída para

identificar as tarefas e as técnicas que compõem as relações institucionais

existentes e as relações pessoais esperadas dos estudantes, quando se considera o

trabalho a ser realizado utilizando a noção de matriz — seja como ferramenta do

trabalho matemático, seja como objeto de estudo do quadro das matrizes, tanto no

Ensino Médio como no Ensino Superior.

Observa-se rapidamente aqui que as relações institucionais existentes são

identificadas via livros didáticos e as relações pessoais esperadas são analisadas

via macroavaliações. Maiores detalhes a esse respeito serão apresentados nos

capítulos 6 e 7, que correspondem, respectivamente, às análises das relações

institucionais existentes e das relações pessoais esperadas. Verifica-se, assim, se

137

as relações pessoais esperadas estão em conformidade com as relações

institucionais existentes.

138

CAPÍTULO 5 GRADE DE ANÁLISE

5.1 Considerações iniciais

Neste capítulo desenvolve-se a grade de análise, que também permite ilustrar o

referencial teórico da pesquisa, Douady (1984, 1992), Bosch e Chevallard (1999) e

Robert (1997, 1998), conforme descrito no primeiro capítulo. Com esta grade,

identificam-se e analisam-se as tarefas usualmente encontradas quando se introduz

a noção de matrizes, suas operações e suas propriedades no Ensino Médio e

também aquelas que são revisitadas no Ensino Superior, ou seja, verifica-se qual o

nível de conhecimento que se espera tenha sido desenvolvido no Ensino Médio e o

que é deixado a cargo do Ensino Superior.

A elaboração da grade permitiu analisar as tarefas que podem ser desenvolvidas

nas diferentes formas, ou seja, efetuar as possíveis mudanças de quadro, segundo

definição de Douady (1984, 1992), o que permite a articulação dos conhecimentos

em jogo nos diferentes quadros. Na grade também são considerados os ostensivos

e não ostensivos, conforme definição de Bosch e Chevallard (1999), e os níveis de

conhecimento esperados dos estudantes, conforme definição de Robert (1997,

1998). Essa análise é executada por meio dos novos conhecimentos a serem

introduzidos e dos conhecimentos prévios necessários para o desenvolvimento da

tarefa.

Na sequência, apresentam-se exemplos que ilustram como as ferramentas

didáticas escolhidas foram utilizadas na identificação dos tipos de tarefas que

sobrevivem nas instituições escolares atualmente.

5.2 Exemplos das ferramentas didáticas que compõem a grade de análise

A grade foi construída segundo o padrão apresentado por Dias (1998), em sua

tese, para analisar a articulação entre os pontos de vista cartesiano e paramétrico,

num curso introdutório de Álgebra Linear.

Em particular, a grade construída para esse trabalho utiliza a noção de quadro de

Douady (1984, 1992), que também compõe a grade de Dias (1998), e introduz as

139

noções de ostensivos e não ostensivos de Bosch e Chevallard (1999), para analisar

as representações externas e internas que permitem o desenvolvimento do trabalho

matemático a ser realizado e a noção de nível de conhecimentos esperado dos

estudantes, conforme definição de Robert (1997,1998). Tal procedimento possibilita

identificar se os conhecimentos prévios dos estudantes são apenas técnicos ou se

estes são capazes de desenvolver uma tarefa, quando a noção de matriz é pedida

explicitamente; ou, ainda, se os estudantes utilizam essa noção espontaneamente,

por acreditarem que se trata de uma ferramenta que permita determinar a solução

da tarefa que lhes é proposta. Ou seja, o estudante utiliza a noção de matriz, suas

operações e suas propriedades, sem que essa seja pedido explicitamente no

enunciado.

Dessa forma, a grade tem como objetivo analisar os diferentes tipos de tarefas e

as técnicas que são associadas à noção de matriz, ou seja, busca revelar as práticas

que sobrevivem atualmente no ensino da noção de matrizes e as variações dessas

tarefas em função das possibilidades de mudanças de quadros; em função também

das representações internas e externas que permitem manipular as técnicas e

evocar noções e idéias em jogo; e do nível de conhecimento esperado dos

estudantes, que depende do discurso utilizado na interpretação, na descrição e na

justificativa das tarefas que lhes são propostas.

Para melhor descrever as distinções utilizadas na construção da grade, serão

definidos previamente os quadros utilizados, com seus respectivos exemplos, como

também as definições de não ostensivos e ostensivos e os níveis de conhecimentos

esperados dos estudantes, quando se considera a noção de matrizes,suas

operações e suas propriedades.

Observa-se que a distinção entre os quadros é realizada, considerando as

representações das matrizes (ostensivos escriturais) em relação aos domínios da

matemática em que essas representações estão inseridas, pois considera-se que é

necessário dispor de conhecimentos desses domínios para compreender as

respectivas representações. Exemplo: Aritmética, Matrizes, Álgebra, Geometria

métrica plana, Funções, Geometria Analítica, Determinantes e Sistemas lineares,

140

Essa distinção está associada ao papel, que a noção de matriz desempenha, de

ferramenta explícita para solução de tarefas nos domínios considerados acima.

Inicia-se com a descrição da distinção desses quadros, apenas para efeito de

análise, sendo que as soluções que seguem foram desenvolvidas pelo pesquisador.

- Quadro Numérico: para as noções de matrizes, suas operações e suas

propriedades, tal quadro é apresentado, utilizando-se representações, em termos

numéricos, em suas respectivas tabelas; ou apenas utilizando termos numéricos,

sem nenhuma representação específica. Para a análise dos dados, é necessário

apenas dispor de conhecimentos relacionados às noções dos conjuntos numéricos

desenvolvidos no Ensino Fundamental, das operações aritméticas e das regras de

cálculo, conforme exemplo que segue.

Figura 23: Exemplo enunciado no quadro numérico. Fonte: Mackenzie, dez. 2007

141

Verifica-se que a tarefa da Figura 23 é enunciada no quadro numérico, utilizando

a representação explícita na tabela (ostensivo escritural), mas sua solução e

discussão são desenvolvidas por meio da representação matricial com coeficientes

numéricos (ostensivo escritural); ou seja, é preciso fazer a passagem da

representação explícita na tabela para a representação matricial com coeficientes

numéricos (ostensivo), conforme solução proposta pelo pesquisador e apresentada

no Anexo XXXVIII.

Após a passagem para a representação adequada, é preciso identificar que se

trata de uma tarefa sobre multiplicação de matrizes e utilizar esse conhecimento

para encontrar a solução. Trata-se de uma tarefa cujo nível de conhecimento

esperado dos estudantes é o disponível, pois apresenta uma situação

contextualizada, para a qual é preciso mobilizar a noção de matriz, uma vez que o

enunciado explicita que o resultado deve ser dado na forma de matriz, mas não faz

referência à operação em jogo; portanto, esse conhecimento é suposto disponível.

Portanto, apesar de ser uma tarefa simples, que é enunciada no quadro numérico

e cuja solução não exige mudança de quadro, pode apresentar dificuldades para

aqueles que não identificarem que se trata da aplicação da noção de multiplicação

de matrizes. Além disso, como a tarefa é enunciada em milhões de tonelada, o valor

será representado em termos de potência de dez, multiplicando a matriz produto;

portanto, para esta solução também é necessário mobilizar conhecimentos sobre a

multiplicação de um número real por uma matriz.

A seguir, descreve-se o quadro matricial numérico utilizado na solução do

exercício da Figura 23.

- Quadro matricial numérico: para as noções de matrizes, é apresentado utilizando

elementos numéricos dispostos na notação matricial, ou seja, na representação

explícita de matriz, para que o estudante consiga mobilizar algumas técnicas são

necessários conhecimentos relacionados ao tipo da matriz, em termos de linha e

coluna, de tipo de matriz, de operações e suas propriedades, como segue.

142

Nesse exemplo, observa-se que os dados da tarefa já são representados por

meio da representação matricial com coeficientes numéricos, e o que se pede é o

cálculo das potências da matriz dada e o determinante da matriz que representa a

adição dessa sequência infinita, ou seja, é preciso mobilizar conhecimentos sobre a

noção de potência de matrizes, adição e multiplicação de matrizes. Para determinar

os coeficientes a11 e a22 da matriz, é preciso reconhecer que as sequências que

representam esses coeficientes são progressões geométricas, ou seja, deve-se

dispor da noção de progressão geométrica e de uma progressão geométrica infinita

com razão maior que zero e menor que 1. No Anexo XXXIX, apresenta-se uma

solução para essa tarefa.

Na solução, como pode-se observar (Anexo XXXIX), é preciso mobilizar

conhecimentos sobre a noção de matrizes e determinante de uma matriz, mas deve-

se dispor de conhecimentos sobre a noção de progressão geométrica e suas

propriedades.

Expõe-se, abaixo, em que consiste o quadro matricial algébrico, muitas vezes

associado com outros quadros, para facilitar a interpretação e a resolução de uma

determinada tarefa.

Figura 24: Exemplo no quadro matricial numérico. Fonte: Mackenzie, dez. 2005.

143

- Quadro matricial algébrico: para as noções de matrizes, é apresentado utilizando

elementos algébricos dispostos na notação matricial. Para descrever a matriz em

relação às linhas e às colunas consideradas em uma determinada tarefa, é preciso

dispor da noção de número índice (aij), em que i representa a posição na linha e j, a

posição na coluna. Na tabela abaixo, apresenta-se uma matriz genérica que

exemplifica a representação matricial algébrica explícita (ostensivo escritural) de

uma matriz desse quadro.

Na Figura 25, é apresentado um exemplo de representação de matriz pertencente

ao quadro matricial algébrico. Na realidade, pode-se considerar apenas como uma

representação (ostensivo escritural) que facilita a resolução de problemas em outros

quadros, conforme exposição abaixo.

- Quadro algébrico funcional: para as noções de matrizes, é explicitado, utilizando

as relações algébricas funcionais que acompanham a notação que informa o tipo de

matriz em jogo, ou seja, a informação do tipo da matriz com a “lei de formação”, para

possibilitar a sua representação matricial algébrica explícita (ostensivo escritural) e a

representação matricial com coeficientes numéricos (ostensivo escritural). Além

dessas representações para desenvolver tarefas associadas a matrizes desse

quadro, é preciso dispor de conhecimentos sobre conjuntos numéricos, operações

aritméticas e cálculo do valor numérico. O exemplo da Figura 26 corresponde à

determinação de uma matriz desse quadro.

Figura 25: Exemplo de uma matriz no quadro matricial algébrico. Fonte: Iezzi, 1985. p. 36D

Em uma matriz qualquer M, cada elemento é indicado por aij. O índice i indica a

linha e o índice j a coluna às quais o elemento pertence. Com convenção que as linhas

sejam numeradas de cima para baixo (de 1 até m) e as colunas da esquerda para a direita

(de 1 até n), uma matriz mxn é representada por:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mnmm

n

n

n

aaaaaaaaaaaa

M

...

...

...

...

21

33231

22221

11211

ou ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mnmm

n

n

n

aaaaaaaaaaaa

M

...

...

...

...

21

33231

22221

11211

ou

mnmm

n

n

n

aaaaaaaaaaaa

M

...

...

...

...

21

33231

22221

11211

=

144

Para facilitar a resolução da tarefa, primeiramente constrói-se a matriz algébrica

para favorecer a interpretação, substituindo os termos na respectiva representação

algébrica funcional, conforme apresentado no Anexo XL.

A tarefa é enunciada por meio de uma relação funcional que amalgama linhas e

colunas em uma representação algébrica funcional; esta será transformada em uma

representação algébrica explícita que, consequentemente, será convertida em uma

representação matricial com coeficientes numéricos que permitirão aplicar a

definição de traço e determinar a solução da tarefa. Nesse caso, é preciso apenas

mobilizar conhecimentos relacionados à passagem de uma representação para

outra, à noção de traço de uma matriz e às operações e propriedades dos números

reais.

Após este quadro, apresenta-se o da geometria métrica plana, também utilizada

em algumas tarefas.

- Quadro da geometria métrica plana: para as noções de matrizes, este quadro é

apresentado utilizando figuras relacionadas à geometria plana, com as devidas

propriedades que podem ser articuladas e representadas por meio de

representações matriciais. O estudante deverá dispor de conhecimentos

relacionados às figuras planas, em especial os polígonos no plano e suas

propriedades, além das noções e das relações de medidas associadas a esses

Figura 26: Exemplo de enunciado no quadro algébrico funcional. Fonte: Mackenzie, jun. 1995.

145

objetos, como áreas, vértices, entre outras, para descrever esses dados por meio de

uma representação matricial.

Repete-se, aqui, o exemplo já desenvolvido no primeiro capítulo.

Verifica-se que, além dos conhecimentos relacionados à geometria plana, é

preciso dispor de técnicas para representar a figura na forma matricial, conforme

apresentado no Anexo XLI.

Para resolver a tarefa, é preciso mobilizar a noção de matriz e associar seus

elementos às distâncias entre os vértices. Por exemplo: a11 corresponde à distância

do vértice 1 a ele mesmo, resultando em uma distância nula; já a13 representa a

diagonal do quadrado de lado 1, conduzindo à aplicação do teorema de Pitágoras,

que deve ser disponível. Dessa forma, a representação da matriz no quadro da

geometria métrica plana exige que se disponha de outros conhecimentos que

ultrapassam a representação matricial algébrica explícita e a representação matricial

com coeficientes numéricos que corresponde ao resultado esperado.

Um outro quadro encontrado nas tarefas investigadas é o da geometria analítica,

descrito abaixo.

- Quadro da geometria analítica: para as noções de matrizes, este quadro é

apresentado, utilizando figuras geométricas que podem ser representadas por meio

de coordenadas cartesianas que correspondem a pontos que compõem essa figura

sobre um sistema cartesiano ortogonal e possíveis de ser transformadas por meio de

(Unimep-SP) É dado um quadrado de lado medindo 1 unidade, numerado conforme a figura.

A matriz 4X4, tal que aij é a distância entre os vértices de números i e j, é:

Figura 27: Exemplo no quadro da geometria plana. Fonte: Giovanni, 2000, p. 123.

146

uma representação matricial. Neste quadro, é preciso estar familiarizado com

noções relacionadas às coordenadas do plano e do espaço e das operações e das

propriedades das matrizes. Eis um exemplo de uma tarefa pertencente a esse

quadro:

A tarefa é enunciada no quadro da geometria analítica, pois é dada uma figura por

meio de suas coordenadas cartesianas no plano IR2, mesmo que para definir a

transformação desejada seja necessário utilizar a sua representação matricial; ou

seja, nesse caso, a tarefa é enunciada no quadro da geometria analítica, mas é

Figura 28: Exemplo no quadro da geometria analítica. Fonte: UFSCar, 2009.

147

preciso o suporte da representação simbólica algébrica para que se possa encontrar

sua solução. O Anexo XLII, disponibiliza a resolução associada ao enunciado

anterior.

Para resolver a tarefa, é preciso mobilizar conhecimentos relacionados à noção

de coordenadas cartesianas; à multiplicação de matrizes para encontrar a

representação algébrica simbólica da transformação dada; e ao cálculo do valor

numérico, pois é preciso substituir as coordenadas da figura dada para determinar

as novas coordenadas e identificar o gráfico que representa a transformação dessa

figura.

O quadro dos determinantes, a seguir, é identificado nas tarefas associadas às

noções de matrizes, suas operações e propriedades.

- Quadro dos determinantes: para as noções de matrizes, este quadro refere-se ao

número que se pode obter operando com os elementos de uma matriz quadrada.

Neste quadro, é necessário dispor da definição de determinante de uma matriz e de

alguns métodos para cálculo do determinante da matriz, que variam em função do

tipo de matriz. Por exemplo: o método de Sarrus, que só é válido para matrizes 3x3,

e o método de Laplace, que se aplica a matrizes mxm. .

Verifica-se, pelo enunciado, que, além da noção de matriz, é necessário mobilizar

conhecimentos relacionados às equações exponenciais e logarítmicas, como se

pode constatar na solução da tarefa (Anexo XLIII).

Figura 29: Exemplo no quadro dos determinantes. Fonte: Mackenzie, jun. 2007.

148

A tarefa é enunciada no quadro matricial, onde os termos representam números

exponenciais em função de x; é preciso articular o quadro das matrizes com o

quadro dos determinantes e as operações com números exponenciais, uma vez que

será preciso utilizar esta noção para calcular o determinante solicitado.

Além disso, para determinar o logaritmo, é necessário utilizar a definição,

segundo a qual o sinal de equivalência, conforme Chevallard (1994), pode ser

considerado como uma possibilidade de articular a visão materialista, que consiste

em considerar a matemática uma atividade material, com a visão idealista, que

consiste em esquecer o papel dos ostensivos na atividade matemática. A

observação abaixo corresponde a um exemplo dado por Chevallard (1994) para

justificar a importância de utilizar o sinal de equivalência já no Ensino Médio.

Observa-se, aqui, que Chevallard (1994) justifica, por meio da dialética entre

ostensivos e não ostensivos, que a noção de equivalência (não ostensivo) e o

emprego regrado do sinal de equivalência (ostensivo) se elaboram em conjunto,

em uma dialética em que o sinal (visão materialista) tem um papel tão importante

quanto o conceito (visão idealista): a noção de equivalência emerge do emprego,

cada vez retificado, do sinal de equivalência.

Essa tarefa mostra a importância do quadro das matrizes e dos determinantes,

quando articulados com outros quadros, pois, no caso acima, permitiram uma

discussão sobre a utilização do sinal de equivalência, que é essencial para a

definição da noção de logaritmo e para sua associação com a noção de equação

exponencial.

O próximo quadro refere-se aos sistemas de equações lineares, e esse tipo de

noção é importante para a resolução de alguns problemas, que também utilizam a

noção de matriz como ferramenta explícita para solução.

- Quadro dos sistemas de equações lineares: para as noções de matrizes, este

quadro é apresentado por meio de um conjunto de equações lineares, que podem

ser representadas explicitamente ou enunciadas em língua natural. É preciso dispor

de conhecimentos relacionados às operações numéricas, além de algoritmos para

149

resolução de equações lineares e sistemas de equações lineares, com uma ou

várias variáveis. Segue um exemplo retirado de exame de vestibular.

A tarefa enunciada utiliza a representação matricial, mas podem-se transformar

os dados num sistema de equações lineares, como apresentado no Anexo XLIV.

Verifica-se que, além de articular o quadro das matrizes com o quadro dos

sistemas lineares, utilizando a multiplicação de matrizes para encontrar a

representação por meio de equações, o que é equivalente à representação matricial,

é preciso mobilizar conhecimentos sobre as noções de trigonometria, para

determinar a solução. Nesse caso, o quadro dos sistemas de equações lineares é

utilizado para facilitar o desenvolvimento da solução; também se pode trabalhar com

o sistema na forma matricial, mas, para isso, é necessário dispor de conhecimentos

sobre o escalonamento de uma matriz.

Além das noções referentes aos quadros enunciados, a grade de análise proposta

nesta pesquisa utiliza as noções de não ostensivos e ostensivos definidas na teoria

antropológica do didático de Bosch e Chevallard (1999), apresentadas no segundo

capítulo. Relembram-se abaixo essas noções e consideram-se alguns exemplos.

Figura 30: Exemplo no quadro dos sistemas de equações lineares. Fonte: Mackenzie, jun. 2008.

150

- Não ostensivos: os objetos não ostensivos são as idéias, as intuições, os

conceitos sobre determinada noção, que não podem ser vistos, ditos, entendidos,

percebidos ou mostrados. Por exemplo, as noções de adição, subtração,

multiplicação e divisão, assim como a resolução utilizando essas denominações e os

algoritmos a elas associados, são consideradas os não ostensivos de determinada

tarefa.

Um outro exemplo: diante de um determinado objeto, uma pessoa “A” pode ter

uma noção diferente de uma outra pessoa “B”; nesse caso, segundo Bosch e

Chevallard (1999), trata-se de objetos não ostensivos, que não estão desassociados

dos objetos ostensivos. Abaixo segue um exemplo sobre ostensivos associados ao

não ostensivo matriz.

Ao visualizar as matrizes da Figura 31, podem-se associar várias noções, como

tipo ou ordem da matriz, sua representação, operações. Para efetuar as operações

pedidas, é preciso dispor da técnica de adição de matrizes, pois é preciso verificar

primeiro a condição para a adição de matrizes, ou seja, elas devem ter o mesmo tipo

ou ordem. Em seguida, efetua-se a adição termo a termo, considerando que a

operação de adição para os números inteiros possa ser mobilizada. Certamente,

para desenvolver as técnicas associadas à adição de matrizes, é preciso dispor dos

ostensivos que são associados às noções de tipo e ordem, à adição de matrizes e

de números inteiros. O exemplo disponibilizado no Anexo XLV mostra como os

ostensivos possibilitam trabalhar com os não ostensivos descritos acima.

Dadas as matrizes ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

1042

A , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=0624

B e ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=2503

C , calcule:

a) A+B

b) A+C

c) B+C

d) A+B+C

Figura 31: Exemplo sobre ostensivos. Fonte: Dante, 2004, p. 211

151

Conforme solução apresentada no Anexo XLV, a noção do tipo de matriz não é

tratada explicitamente; passa-se diretamente para a adição termo a termo dos

elementos das matrizes, que estão dispostas de forma a facilitar o desenvolvimento

da técnica. Observa-se que a apresentação da adição dos elementos corresponde a

uma forma de representação do discurso associado à soma termo a termo.

Indicam-se abaixo os ostensivos retidos, quando se considera a noção de matriz,

suas operações e propriedades.

- Ostensivos: ao considerar os ostensivos em relação à noção de matriz, suas

operações e propriedades, pode-se verificar que os registros dos vários signos

existentes na Matemática e o seu esboço são representações de objetos ostensivos,

assim como também o discurso oral e a ação gestual e visual. Para a noção de

matriz, os seguintes ostensivos de representação escrita estão em jogo:

- Ostensivo da visualização

- Ostensivo da construção

- Ostensivo da leitura

Percebe-se que, para a solução da Figura 31 (Anexo XLV), é preciso utilizar

várias representações, como, por exemplo, a representação escrita na forma

numérica, a representação escrita na notação matricial. Ou seja, são utilizados

vários signos para representar e associar a idéia não ostensiva.

Os ostensivos permitem a manipulação dos não ostensivos, e estes são evocados

para justificar as regras utilizadas nessa manipulação; ou seja, ostensivos não

podem existir sem os não ostensivos, nem estes últimos sem os primeiros, o que

conduz Bosch e Chevallard (1999) a considerar a existência de uma dialética entre

ostensivos e não ostensivos. Ainda segundo Bosch e Chevallard (1999), toda

técnica supõe a ativação de um complexo de objetos ostensivos e não ostensivos.

Além disso, para Chevallard (1994), a “compreensão” de um conceito matemático

depende da técnica em que esse conceito é utilizado, e esta depende de todo o

sistema de objetos não ostensivos e ostensivos por ela ativados.

152

Uma vez definidos os objetos não ostensivos e ostensivos de Bosch e Chevallard

(1999), com o propósito de aperfeiçoar as análises, utiliza-se, em seguida, a noção

de níveis de conhecimento esperados dos estudantes, proposta por Robert (1997,

1998). Para a noção de matrizes analisam-se as possibilidades de solução da tarefa

em função dos níveis de conhecimento esperados dos estudantes, conforme

definido pela pesquisadora e exemplificado no segundo capítulo desta pesquisa.

- Nível técnico: corresponde a um trabalho isolado, local e concreto e está

relacionado principalmente às ferramentas e às definições utilizadas em uma

determinada tarefa, como, por exemplo:

- esboçar uma tabela entre colchetes;

- verificar a quantidade de linhas e colunas da tabela;

- operar os elementos de uma linha ou coluna de uma tabela;

Para exemplificar o nível técnico, apresenta-se a tarefa abaixo, encontrada no

livro de Dante 2005, como segue:

O item (a) necessita de conhecimentos específicos sobre a definição de tipo de

uma matriz, e, para os demais itens, basta associar a noção de tipo com as linhas e

as colunas da matriz, identificando os elementos de uma determinada linha e coluna.

Observe a matriz seguinte e responda:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

55151321010

a) De que tipo ou ordem é a matriz dada?

b) Quais são os números da 1ª linha?

c) E os da 3ª linha?

d) Qual é o número que está na 2ª linha e 1ª coluna?

e) E na 3ª linha e na 1ª coluna?

f) E na primeira linha e na 3ª coluna?

Figura 32: Exemplo referente ao nível técnico. Fonte: Dante, 2004, p. 205

153

Conforme Anexo XLVI, verifica-se um trabalho extremamente isolado e concreto,

bastando que o estudante tenha alguns conhecimentos relacionados ao tipo de uma

matriz e à contagem e à posição do elemento solicitado.

- Nível mobilizável: é um início de justaposição de saberes de certo quadro,

podendo até corresponder a uma organização. Vários métodos podem ser

mobilizados. O caráter de ferramenta e de objeto do conceito estão em jogo, mas o

que se questiona é explicitamente pedido. Se um saber é identificado, ele é

considerado mobilizado, se acessível, isto é, se o estudante o utiliza corretamente.

Como por exemplo:

- escrever na forma matricial a partir da linguagem natural ou de uma tabela;

- verificar a igualdade de duas matrizes;

- adicionar ou multiplicar duas matrizes;

- a partir de uma matriz, escrevê-la na forma de relação algébrica funcional.

Para exemplificar o nível mobilizável, apresenta-se a tarefa abaixo, transcrita do

livro de Dante (2004), como segue.

A tarefa da Figura 33 solicita, de forma explícita, a multiplicação entre as duas

matrizes; para determinar o que se pede, o estudante deve recorrer à condição de

existência da multiplicação entre duas matrizes, para depois determinar o produto.

Na sequência, apresenta-se a solução disponibilizada na obra, já que se trata de um

exercício resolvido.

Dados

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

410523

A e ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2613

B , determine A.B

Figura 33: Exemplo de tarefa do nível mobilizável. Fonte: Dante, 2004, p. 217.

154

Verifica-se que o produto solicitado mobiliza a identificação do tipo das duas

matrizes. A partir dos tipos, deve-se dispor de conhecimentos sobre a condição para

a existência do produto de duas matrizes. Finalmente, é preciso mobilizar a técnica

para determinar o produto das matrizes e pode-se, ainda, controlar os resultados,

quando se dispõe de conhecimentos sobre a noção de existência. Observa-se que,

apesar de ser pedido explicitamente, no enunciado, a multiplicação da matriz A pela

matriz B, antes de efetuá-lo, o autor utiliza um discurso escrito em língua natural

para justificar a existência de tal produto, o que lhe permite também controlar o

resultado encontrado.

Pode-se ainda considerar a necessidade de um discurso oral e gestual para

efetuar a multiplicação, que poderia ser explicitado por meio de um esquema que

mostrasse que cada elemento da matriz produto — por exemplo, um elemento da

primeira linha dessa matriz — é a soma dos respectivos produtos da linha da

primeira matriz por cada uma das colunas da segunda matriz, no exemplo, a11.b11 +

a12.b21 e a11.b12 + a12.b22 e assim sucessivamente.

- Nível disponível: corresponde a saber responder corretamente o que é proposto

sem indicações; poder dar contraexemplos (encontrar ou criar); mudar de quadro

(fazer relações); aplicar métodos não previstos, por exemplo:

- verificar se uma matriz admite inversa, quando se pede para determinar inversa

de uma matriz;

- escolher o método mais econômico para determinar a inversa de uma matriz;

Figura 34: Solução da tarefa da Figura 33. (desenvolvida por Dante, 2004)

155

Esse nível de conhecimento está associado à familiaridade, ao conhecimento de

situações de referências variadas que o estudante sabe que conhece (servem de

terreno de experimentação), ao fato de dispor de referências, de questionamentos,

de uma organização. Pode funcionar para um único problema ou possibilita fazer

resumos. A seguir apresenta-se um exemplo associado a este nível de

conhecimento.

O exemplo da Figura 35 solicita o valor de cada eletrodoméstico e não informa

qual procedimento o estudante deverá utilizar para solucioná-lo. Assim, a tarefa

corresponde ao nível disponível, pois é preciso colocar o problema em forma de

equação, o que corresponde a um sistema de três equações e três incógnitas. Para

resolver esse sistema, é possível utilizar a noção de matriz, como na solução

proposta a seguir. Observa-se aqui que esse método para solução de sistemas de

equações lineares não é o mais econômico, mas ainda é muito utilizado, tanto no

Ensino Médio como no Ensino Superior.

A solução (Anexo XLVII) apenas apresenta um dos métodos que podem ser

adotados para determinar os valores solicitados; portanto, cabe ao estudante

determinar qual a melhor técnica para solucionar a tarefa, ou seja, ele vai utilizar os

conhecimentos de que dispõe no momento da solução da tarefa.

Conforme definição de Douady (1992), para melhor compreender as

possibilidades de articulação — em termos de quadros — em jogo nas tarefas

habitualmente propostas no Ensino Médio e revisitadas no Ensino Superior, quando

se trabalha com a noção de matriz, com suas operações e propriedades, constrói-se

a grade de análise, inspirada na grade que Dias (1998) utiliza para estudar a

Uma loja de eletrodoméstico está fazendo uma promoção para a compra conjunta de

dois tipos de eletrodomésticos, de maneira que o consumidor interessado paga:

• R$ 590,00 por um forno micro-ondas e um aspirador de pó;

• R$ 1300,00 por um forno de micro-ondas e uma geladeira;

• R$ 1250,00 por um aspirador de pó e uma geladeira.

Quanto a loja está cobrando por tipo de aparelho?

Figura 35: Exemplo de tarefa correspondente ao nível disponível. Fonte: C. do Aluno, 2009, p.29

156

articulação entre os pontos de vista “cartesiano” e “paramétrico” no ensino de

álgebra linear. Para essa grade, além da noção de quadro, consideram-se também

as noções de não ostensivos e ostensivos, segundo a teoria antropológica do

didático de Bosch e Chevallard (1999), e os níveis de conhecimento esperados dos

estudantes, conforme definição de Robert (1997, 1998).

Apresenta-se a seguir a grade construída para esta pesquisa, com exemplos que

ilustram as tarefas habitualmente propostas aos estudantes.

5.3 A grade de análise

Para analisar as diferentes tarefas, quando se introduz a noção de matriz,

constrói-se a seguinte grade de análise, com o objetivo de verificar quais as tarefas e

as técnicas que sobrevivem nas práticas usuais e quais as necessidades, em termos

de representações e tecnologias, e as teorias que se utilizam para justificá-las e

controlá-las. Para isso, verifica-se em que quadro a tarefa é enunciada e

solucionada, observando também quais objetos não ostensivos e ostensivos são

utilizados e os níveis de conhecimento que determinada tarefa pode mobilizar nos

estudantes. Apresentam-se na Tabela 10 os elementos que compõem a grade de

análise.

Tabela 10: Grade de análise

GRADE DE ANÁLISE

I Quadro em que a tarefa é enunciada

II Quadro de solução da tarefa

III Não ostensivos utilizados na tarefa

IV Ostensivos utilizados na tarefa

V Níveis de conhecimento esperado para solução da tarefa

No quadro que segue apresenta-se um resumo de como foram utilizados os

diferentes itens da grade, aqui descritos como definição dos itens que correspondem

às ferramentas didáticas escolhidas para a análise das organizações praxeológicas

que sobrevivem atualmente na transição entre o Ensino Médio e o Superior, quando

157

se introduz e se desenvolve a noção de matriz, suas operações e propriedades; ou

seja, quais tipos de tarefas e técnicas alimentam o bloco prático e que tecnologias e

teorias que compõem o bloco teórico são utilizadas para descrever, explicar e

justificar as técnicas empregadas.

I: Corresponde ao enunciado, verifica-se em quais dos quadros definidos para esse estudo a tarefa é enunciada. II: Corresponde ao quadro em que a tarefa é solucionada; muitas vezes, tal quadro já está explícito no objetivo da tarefa. III: Corresponde às noções, idéias, às definições e às condições que são utilizadas e que podem ser evocadas para solucionar uma tarefa em função da técnica utilizada. IV: Corresponde à representação escrita utilizada tanto para registrar como para visualizar e manipular a técnica escolhida para solucionar uma tarefa. V: Identifica o nível de conhecimento sobre a noção de matriz, suas operações e propriedades utilizadas para solução da tarefa, assim como os níveis de conhecimento de outras noções em jogo.

Quadro 30: Definição dos itens da grade.

Para explicitar o funcionamento da grade de análise, através das investigações

efetuadas descreve-se algumas tarefas importantes, usualmente encontradas nos

livros didáticos do Ensino Médio, para introduzir a noção de matriz, suas operações

e propriedades, que estão na tabela abaixo.

Tabela 11: Dez tarefas comumente encontradas no ensino médio.

Tarefa 1: Tipos de matrizes e suas representações.

Tarefa 2: Representação algébrica de uma matriz.

Tarefa 3: Matrizes especiais.

Tarefa 4: Igualdade entre matrizes.

Tarefa 5: Adição de matrizes;

Tarefa 6: Multiplicação de número por matriz.

Tarefa 7: Multiplicação de matrizes.

Tarefa 8: Matriz transposta.

Tarefa 9: Matriz inversa.

Tarefa 10: Equações matriciais.

158

Com relação às dez tarefas apresentadas na Tabela 11, efetua-se a aplicação da

grade de análise para uma tarefa que ilustra o trabalho matemático que se espera

desenvolver na transição entre o Ensino Médio e Superior quando se trabalha com a

noção de matriz, suas operações e propriedades.

5.4 Exemplos de funcionamento da grade de análise

Nestes exemplos, utilizam-se alguns exercícios correspondentes às tarefas

encontradas no Ensino Médio e revisitadas no Ensino Superior, extraídos dos livros

investigados, do Caderno do aluno (2009) e da nova Proposta Curricular do Estado

de São Paulo (2008). São exemplos particulares, por serem relações institucionais

existentes adotadas pelas instituições de ensino. Para facilitar a compreensão da

aplicação da grade os exemplos são acompanhados de um método de solução da

tarefa desenvolvido pelo pesquisador.

Tarefa 1: Tipos de matrizes e suas representações

Exemplo 1: Registrar na forma matricial.

Escreva a matriz correspondente à tabela de notas de três alunos no primeiro bimestre:

MATEMÁTICA FÍSICA QUÍMICA BIOLOGIA

ANA 6 4 5 8

ANTONIO 5 7 5 5

BEATRIZ 5 6 7 4

Figura 36: Exercício correspondente à tarefa 1. Fonte: Dante, 2005, p. 241

159

APLICAÇÃO DA GRADE DE ANÁLISE

Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro numérico, pois é utilizada a representação explícita da tabela de dupla entrada em termos numéricos.

Quadro de solução da tarefa: quadro matricial numérico, pois para solução é utilizada a notação matricial, para disposição dos elementos, em que cada elemento é identificado pela linha e pela coluna a que pertence.

Não ostensivos utilizados na tarefa: noção do objeto matriz em termos de linha e coluna, noção da posição do elemento na tabela, noção do tipo da matriz em jogo.

Ostensivos utilizados na tarefa: ostensivo da representação da tabela de dupla entrada para o enunciado e ostensivo da representação matricial para solução, ostensivo da leitura da tabela, ostensivo oral, gestual e visual quando do discurso da passagem de um ostensivo para o outro.

Níveis de conhecimento esperados para solução da tarefa: nível mobilizável, pois para solução da tarefa são necessários conhecimentos relacionados com a noção de matriz e sua representação, utilizando a notação matricial em termos de linha e coluna.

Exemplo 2: Identificar o tipo de matriz.

Figura 37: Solução do exercício da Figura 36. (desenvolvida pelo pesquisador)

Identifique o tipo ou a ordem das seguintes matrizes:

a) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡5164

b)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

− 6521

c)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

1003110

145262031

Figura 38: Exemplo referente à tarefa 1. Fonte: Dante, 2005, p. 241

160


Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro matricial numérico, pois a tarefa é enunciada utilizando a representação explícita de matriz de m linhas e n colunas em termos numéricos.

Quadro de solução da tarefa: quadro numérico, pois basta verificar a quantidade de linhas e colunas e registrar na forma (mxn, onde m representa o número de linhas e n o número de colunas).

Não ostensivos utilizados na tarefa: noção de ordem e tipo das matrizes dadas.

Ostensivos utilizados na tarefa: ostensivo de representação matricial para o enunciado, ostensivo de representação escrita para a solução, ostensivo gestual, oral e visual quando do discurso de passagem de um ostensivo para o outro.

Níveis de conhecimento esperados para solução da tarefa: nível mobilizável, pois o estudante deve mobilizar conhecimentos relacionados ao tipo de matriz, bastando escrever o tipo de matriz no registro (mxn).

Tarefa 2: Representação algébrica de uma matriz

Figura 39: Solução do exemplo da Figura 38. (desenvolvida pelo pesquisador)

Representação algébrica de uma matriz. Escreva as matrizes:

a) A=(aij)2X3 tal que aij=i2+j2

b) M=(aij), com 1≤i≤3 e 1≤j≤3, tal que aij=3i+2j-5

Figura 40: Exemplo referente à tarefa 2. Fonte: Dante, 2005, p. 242

161


Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro algébrico funcional, pois a tarefa é enunciada utilizando uma relação funcional em termos de i (linha) e j (coluna) e o tipo de matriz que deve ser construída.

Quadro de solução da tarefa: quadro matricial algébrico, pois é escrita uma matriz algébrica em termos de linha e coluna, usam-se os índices de cada termo para substituição na relação funcional fornecida e, após calcular o valor numérico desses termos, escreve-se a matriz solicitada, ou seja, a solução é descrita, utilizando o quadro matricial numérico.

Não ostensivos utilizados na tarefa: noção de posição de cada termo na matriz, noção de tipo de matriz, noção de cálculo do valor numérico segundo a relação fornecida, noção de igualdade, noção de intervalo e número índice.

Ostensivos utilizados na tarefa: ostensivo da manipulação matricial; ostensivo da representação funcional, algébrica e numérica; ostensivo gestual, oral e visual, quando do discurso de passagem de um ostensivo para o outro.

Níveis de conhecimento esperados para solução da tarefa: nível mobilizável, pois o estudante deverá ter conhecimentos relacionados à notação que representa uma matriz algébrica e utilizar os termos algébricos na escrita matricial; também deverá ter noções sobre o cálculo do valor numérico, utilizando a relação funcional fornecida, que, depois de calculada em termos numéricos, deverá ser escrita no quadro matricial numérico.


162

Tarefa 3: Matrizes especiais

Escreva a matriz triangular:

1. de ordem 4, em que⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−==+=>=

jiparaajiparajiajiparaa

ij

ij

ij

,2,)(

,02

2. de ordem 3, na qual⎪⎩

⎪⎨

⎧≤=>=

jiparaiajiparaa

ij

ij

,,0

3

Figura 42: Exemplo da tarefa 3. Fonte: Dante, 2005, p. 243


163


Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro algébrico funcional, pois é apresentada utilizando a relação algébrica em termos de i (linha) e j (coluna), com o tipo de matriz em jogo.

Quadro de solução da tarefa: inicialmente desenvolve-se o quadro matricial algébrico; após construir a matriz em termos algébricos, utiliza-se a noção de intervalo para utilizar a relação algébrica funcional correta, a fim de calcular o valor numérico e escrever a matriz solicitada no quadro matricial numérico.

Não ostensivos utilizados na tarefa: noção de tipo de matriz e da posição de cada termo na matriz dada, noção de intervalo e cálculo do valor numérico, utilizando a noção de número índice.

Ostensivos utilizados na tarefa: ostensivo da manipulação matricial; ostensivo da representação algébrica, funcional e numérica; ostensivo gestual, ora e visual, quando do discurso de passagem de um ostensivo para o outro.

Níveis de conhecimento esperados para solução da tarefa: nível mobilizável, pois a tarefa requer que o estudante consiga articular alguns conhecimentos que envolvam a noção de matriz, como a representação na notação matricial em termos numéricos e a substituição desses termos na relação funcional correta, segundo o intervalo considerado.

Tarefa 4: Igualdade entre matrizes

Exemplo 1: Igualdade e determinação dos termos de uma matriz.

Seja A=(aij) uma matriz quadrada de ordem 2 tal que aij=i+j. Determine x, y, z e t para que se tenha:

Azttxzxyx

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−++

3


164


Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro algébrico funcional e quadro matricial algébrico, pois é apresentada uma relação funcional para determinar o valor da matriz A, com o tipo da matriz em jogo.

Quadro de solução da tarefa: quadro matricial algébrico, pois os termos devem ser substituídos, na relação algébrica funcional, para determiná-los e escrever a matriz A no quadro matricial numérico. Em seguida, será desenvolvida a igualdade entre as matrizes, ambas no quadro matricial, para determinar o valor das incógnitas.

Não ostensivos utilizados na tarefa: noção de tipo de matriz, noção do cálculo do valor numérico dos termos de uma matriz em uma relação funcional dada, noção da igualdade entre matrizes, noção da resolução de sistemas de equações lineares do 1º grau.

Ostensivos utilizados na tarefa: ostensivo da representação algébrica matricial; ostensivo da representação algébrica funcional; ostensivo gestual, oral e visual, quando do discurso de passagem de um ostensivo para o outro.

Níveis de conhecimento esperados para solução da tarefa: nível mobilizável, pois são necessários conhecimentos sobre a noção de matriz, na forma algébrica e numérica, e a utilização da relação algébrica funcional para cálculo do valor numérico dos termos da matriz algébrica. Também são necessárias as articulações entre a igualdade de duas matrizes dadas e o conhecimento do algoritmo para resolução das equações resultantes da igualdade matricial.


165

Exemplo 2: Igualdade e determinação do valor da incógnita de uma matriz.


Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro matricial numérico, pois a tarefa é enunciada utilizando a representação explícita de matriz com incógnitas e números.

Quadro de solução da tarefa: quadro numérico; após a resolução das equações provenientes das igualdades das matrizes dadas, determinam-se os valores das incógnitas em termos numéricos.

Não ostensivos utilizados na tarefa: noção da igualdade entre matrizes dadas e noção do algoritmo de resolução das equações geradas pelas igualdades.

Ostensivos utilizados na tarefa: ostensivo da representação matricial com incógnitas e números, ostensivo da representação simbólica de uma equação.

Níveis de conhecimento esperados para solução da tarefa: nível mobilizável, pois é preciso ter conhecimentos sobre a noção da igualdade entre matrizes e a resolução da equação do primeiro grau com uma incógnita, a fim de determinar os valores das incógnitas, para que as matrizes sejam iguais e resultem em sentenças verdadeiras.

Determine x, y e t, sabendo que: a) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

54

10

51

3

zyx

b) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛184

110323 zt

xzyx



166

Tarefa 5: Adição de matrizes

Exemplo 1: Adição entre matrizes dadas.


Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro matricial numérico, pois a tarefa é enunciada utilizando a notação explícita de matriz em termos numéricos.

Quadro de solução da tarefa: quadro matricial numérico; após as devidas adições entre as matrizes dadas, representa-se utilizando a notação de matriz em termos numéricos.

Não ostensivos utilizados na tarefa: noção de matriz, noção da condição de adição entre matrizes, noção da operação adição e subtração no conjunto dos números inteiros.

Ostensivos utilizados na tarefa: ostensivo da representação matricial.

Níveis de conhecimento esperados para solução da tarefa: nível mobilizável; para solucionar a tarefa, é necessário ter conhecimentos relacionados à condição de existência da adição de duas ou mais matrizes; também é necessário que se mobilize a adição em relação ao conjunto a que pertencem os elementos das matrizes.

Dados as matrizes: A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−10

42 B= ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡− 06

24 e C= ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡− 25

03, calcule:

a) A+B b) A+C c) B+C d) A+B+C

Figura 48: Exemplo de tarefa 5. Fonte: Dante, 2005, p. 244.


167

Exemplo 2: Representação e adição entre matrizes.


Esses dois polígonos são congruentes, e podemos considerar que o polígonoEFGH é uma translação do polígono ABCD, isto é, EFGH foi obtido de duas movimentações de ABCD, sendo uma na horizontal e outra na vertical.

a) Quantas unidades na horizontal e quantas unidades na vertical ABCD devem ser deslocadas para que, ao final, coincida com EFGH? b) Represente em uma matriz A(4X2) as coordenadas dos vértices do polígono ABCD, de maneira que cada linha da matriz contenha coordenadas de um ponto, com a abscissa na primeira coluna e a ordenada na segunda coluna. c) Represente em uma matriz B(4X2) as coordenadas dos vértices do polígono EFGH, de maneira que cada linha da matriz contenha coordenadas de um ponto, com a abscissa na primeira coluna e a ordenada na segunda coluna. d) Escreva uma matriz C(4X2 de tal forma que A+C=B.

Figura 50: Exemplo de tarefa 5. Fonte: Caderno do aluno, 2009, p. 3


168

GRADE DE ANÁLISE

Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro da geometria analítica, pois a tarefa é enunciada, utilizando um polígono pertencente ao quadro da geometria plana, no sistema de eixos cartesianos.

Quadro de solução da tarefa: quadro matricial numérico, pois é solucionada utilizando a escrita na notação matricial.

Não ostensivos utilizados na tarefa: noção de unidades no sistema de eixos cartesianos, noção de vértice de figuras planas, noção de coordenadas, noção de translação de uma figura geométrica no plano, noção de matriz e sua representação.

Ostensivos utilizados na tarefa: ostensivo da representação geométrica plana e representação em coordenadas associadas à geometria analítica; ostensivo da representação matricial. Nesse caso, é importante ressaltar o ostensivo oral, gestual e visual, quando do discurso de passagem de um ostensivo para o outro. O ostensivo gestual já é utilizado no enunciado, quando se explicita o tipo de movimentação efetuado na figura.

Níveis de conhecimento esperados para solução da tarefa: nível mobilizável, pois, para solução da tarefa, são necessários conhecimentos com relação às figuras planas e seus vértices, ao sistema de eixos cartesianos e os conhecimentos relacionados à representação destas figuras, utilizando a representação matricial. Na realidade, trata-se de determinar a matriz de uma translação no plano, que, no Ensino Médio, só pode ser justificada por meio de uma tecnologia adequada, cuja teoria está associada à noção de transformações do plano desenvolvidas em Álgebra Linear.

Tarefa 6: Multiplicação de número por matriz

Sendo ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

314102

A e ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

605210

B , determine:

(a) 5A (b) -2B (c) 21

A (d) 2A+3B (e) 3A-21

B (f) 5A-O2X3

Figura 52: Exemplo de tarefa 6. Fonte: Dante, 2005, p. 246

169


Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro matricial numérico, pois a tarefa é enunciada utilizando a notação explícita de matriz com termos numéricos.

Quadro de solução da tarefa: quadro matricial numérico, pois são utilizadas as operações de multiplicação e adição entre matrizes com termos numéricos.

Não ostensivos utilizados na tarefa: noção de matriz, noção de multiplicação de um número real por uma matriz, noção da condição para se adicionar duas ou mais matrizes, noção de matriz nula.

Ostensivos utilizados na tarefa: ostensivo da representação matricial, ostensivo gestual, oral e visual.

Níveis de conhecimento esperados para solução da tarefa: nível mobilizável, pois, para determinar a solução, são necessários conhecimentos sobre a multiplicação de um número real por uma matriz, a noção da condição para adicionar duas ou mais matrizes dadas e a noção de multiplicação e adição nos conjuntos numéricos a que pertencem os elementos das matrizes.


170

Tarefa 7: Multiplicação de matrizes

Exemplo 1: Multiplicação entre matrizes representadas por tabelas.


Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro numérico, pois a tarefa é enunciada utilizando a representação tabela com termos numéricos.

Para a fabricação de caminhões, uma indústria montadora precisa de eixos e rodas para seus três modelos de caminhões, com as seguintes especificações:

MODELOCOMPONENTES

A B C

EIXOS 2 3 4 RODAS 4 6 8

Para os dois primeiros meses do ano, a produção da fábrica deverá seguir a tabela abaixo:

MESES MODELO

JANEIRO FEVEREIRO

A 30 20 B 25 18 C 20 15

Usando a multiplicação de matrizes, responda: nessas condições, quantos eixos e quantas rodas são necessários em cada um dos meses para que a montadora atinja a produção planejada?



171

Quadro de solução da tarefa: quadro matricial numérico, para multiplicação entre as matrizes e determinação do seu produto, seguido do quadro tabela numérico, pois o estudante poderá retornar ao quadro original, que permite identificar, por exemplo, a quantidade de rodas que precisam ser produzidas no mês de fevereiro.

Não ostensivos utilizados na tarefa: noção de matriz e tipo de matriz, noção da condição para efetuar a multiplicação entre duas matrizes dadas, noção de organização dos elementos na tabela e interpretação dos resultados da multiplicação por meio da tabela.

Ostensivos utilizados na tarefa: ostensivo da representação tabela, ostensivo da representação matricial, ostensivo gestual, oral e visual, quando do discurso de passagem de um ostensivo para o outro e da interpretação dos resultados encontrados.

Níveis de conhecimento esperados para solução da tarefa: nível mobilizável, pois o estudantedeverá articular conhecimentos sobre a noção de multiplicação de matrizes, ou seja, deverá efetuar a passagem da representação tabela para a representação matricial e verificar se essas matrizes satisfazem a condição de existência da multiplicação de matrizes, o que equivale à multiplicação dos elementos das tabelas fornecidas para a interpretação dos resultados. No caso da existência da multiplicação, é preciso efetuá-la, utilizando algoritmo específico. A interpretação dos resultados supõe que se disponha de situações de referência para associar as tabelas às respectivas matrizes e, finalmente, identificar os elementos da matriz produto com os dados da situação.


Uma empresa, que possui duas confeitarias, chamadas A e B, fabrica três tipos de bolo: 1, 2 e 3, os quais são feitos de farinha, açúcar, leite, manteiga e ovos. Em cada semana as duas confeitarias são estimadas conforme a matriz m de vendas semanais abaixo:

CONFEITARIA BOLO TIPO 1 BOLO TIPO 2 BOLO TIPO 3 A 50 UNIDADES 30 UNIDADES 25 UNIDADES B 20 UNIDADES 20 UNIDADES 40 UNIDADES

Para a fabricação desses bolos, o material é usado de acordo com a matriz n seguinte:

BOLO FARINHA

AÇÚCAR

LEITE MANTEIGA

OVOS

TIPO 1 500g 200g 500ml 150g 4 TIPO 2 400g 100g 300ml 250g 5 TIPO 3 450g 150g 600ml 0 6

A direção da empresa, a fim de atender à demanda, quer saber a quantidade de cada uma das cinco matérias-primas que deve alocar às suas duas confeitarias.

Figura 56: Exemplo de tarefa 7. Fonte: Lima, 2006, p. 131-133

172



Quadro de solução da tarefa: inicialmente, verifica-se o quadro matricial numérico, para multiplicação entre as matrizes, seguido do quadro numérico, pois o estudante poderá retornar ao quadro original.

Não ostensivos utilizados na tarefa: noção de matriz e tipo de matriz, noção da condição para efetuar a multiplicação entre duas matrizes dadas, noção de multiplicação e adição em elementos da matriz dada, noção de organização dos elementos na tabela e interpretação dos resultados da multiplicação por meio da tabela.

Ostensivos utilizados na tarefa: ostensivo da representação tabela; ostensivo da representação matricial, ostensivo gestual, oral e visual, quando do discurso de passagem de um ostensivo para o outro e da interpretação dos resultados encontrados.

Níveis de conhecimento esperados para solução da tarefa: nível disponível, o estudante deverá articular conhecimentos sobre a noção de multiplicação de matrizes, ou seja, deverá verificar se realmente existe multiplicação entre as tabelas fornecidas; em caso afirmativo, deve efetuar a multiplicação, utilizando algoritmo específico com relação à multiplicação da primeira linha da primeira matriz com os elementos da primeira coluna da segunda matriz e assim sucessivamente. A interpretação dos resultados supõe que se disponha de situações de referência para associar as tabelas às respectivas matrizes e, finalmente, identificar os elementos da matriz produto com os dados da situação. Verifica-se que não está sendo explicitamente solicitado como encontrar a quantidade de cada uma das cinco matérias-primas.


173




Quadro de solução da tarefa: para determinar a solução da tarefa, poderá ser utilizado qualquer algoritmo, mas, ao final, o aluno deverá transpor os resultados, utilizando a representação explícita

Figura 58: Exercício de tarefa 7. Fonte: Caderno do aluno, 2009, p. 7


No campeonato baiano da terceira divisão, após cinco rodadas, foram obtidos os seguintes resultados pelas cinco equipes participantes.

EQUIPE VITÓRIA EMPATE DERROTA

BARRO VELHO 3 2 0

CARRANCA 2 1 2

VENEZA 2 0 3

COLONIAL 1 1 3

OLARIA 1 0 4

RESULTADO PONTOS

VITÓRIA 3

EMPATE 1

DERROTA 0

Calcule quantos pontos cada time conquistou até agora e represente os resultados em uma matriz 5X1.

174

de matriz do tipo 5X1, ou seja, no quadro matricial numérico.

Não ostensivos utilizados na tarefa: noção de matriz e tipo de matriz, noção da condição para efetuar a multiplicação entre duas tabelas dadas, noção de multiplicação e adição entre elementos da tabela dada, noção de organização dos elementos na tabela e na representação matricial.

Ostensivos utilizados na tarefa: ostensivo da representação tabela; ostensivo da representação matricial; ostensivo gestual, oral e visual, quando do discurso de passagem de um ostensivo para o outro e da interpretação dos resultados encontrados.

Níveis de conhecimento esperados para solução da tarefa: nível disponível para calcular a pontuação de cada time, pois o estudante deverá articular conhecimentos sobre a multiplicação entre tabelas, que supõe a passagem da representação tabela para a representação matricial, ou seja, a multiplicação não está sendo explicitamente solicitada. Em seguida, é preciso verificar se realmente existe multiplicação entre as tabelas fornecidas; em caso afirmativo, o aluno deve efetuar a multiplicação, utilizando algoritmo específico. Finalmente, é necessário realizar a passagem da representação matricial para a representação tabela, a fim de fazer as interpretações pedidas.

Exemplo 4: Multiplicação entre matrizes dadas.

Encontre o produto AB de

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

062421

A e ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

257213103414

B

Figura 60: Exemplo de tarefa 7. Fonte: Anton, 2006, p. 103.

175


Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro matricial numérico, pois a tarefa é enunciada por meio da representação explícita de matriz.

Quadro de solução da tarefa: quadro matricial numérico, pois, conforme orientação da obra, a tarefa é resolvida por meio de outro algoritmo, mas utilizando o mesmo quadro do enunciado, ou seja, quadro matricial numérico.

Não ostensivos utilizados na tarefa: Noção de matriz linha e matriz coluna (vetor linha e vetor coluna), noção de entradas de matrizes dadas, noção de combinação linear.

Ostensivos utilizados na tarefa: ostensivo da representação matricial, ostensivo gestual, oral e visual, quando do discurso de passagem de um ostensivo para o outro.

Níveis de conhecimento esperados para solução da tarefa: nível mobilizável, pois, para determinar o produto entre as matrizes dadas, o estudante deverá mobilizar conhecimentos relacionados à condição para multiplicação entre matrizes e do algoritmo para multiplicação de duas matrizes.


176

Tarefa 8: Matriz transposta


Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro matricial numérico, pois a tarefa é enunciada utilizando a representação explícita de matriz com termos numéricos.

Quadro de solução da tarefa: quadro matricial numérico, pois, para determinar a transposta, basta dispor as linhas em colunas, não alterando a representação inicial de notação matricial.

Não ostensivos utilizados na tarefa: noção de matriz e tipo de matriz, noção de matriz transposta.

Ostensivos utilizados na tarefa: ostensivo da representação matricial, ostensivo gestual, ostensivo oral.

Níveis de conhecimento esperados para solução da tarefa: nível mobilizável, pois, para determinar a transposta de uma matriz dada, são necessários conhecimentos relacionados com a noção de matriz e a transposta desta, utilizando a representação correta.


Escreva a matriz transposta das seguintes matrizes:

a) ( )625=A b) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

604152

B c) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

1524

C d) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

341500231

D


177

Tarefa 9: Matriz inversa

Exemplo 1: Cálculo da inversa de uma matriz.


Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro matricial numérico, pois a tarefa é enunciada utilizando a representação explícita de matriz.

Quadro de solução da tarefa: inicialmente, desenvolve-se a tarefa no quadro algébrico, ao considerar que o produto da matriz pela sua inversa é igual à matriz identidade, onde a matriz inversa é representada algebricamente. A partir da relação A.A–1 = I, encontra-se um sistema de equações lineares com duas equações com duas incógnitas e utiliza-se o quadro do sistema de equações lineares, para calcular os elementos da matriz inversa. A tarefa é solucionada no quadro matricial numérico, pois, após determinar o valor das incógnitas, estas devem ser representadas na representação matricial.

Não ostensivos utilizados na tarefa: noção da propriedade das matrizes, noção de multiplicação e igualdade entre matrizes, noção de sistemas de equações lineares e um método para sua solução, noção de posição e representação dos valores calculados na forma de matriz.

Ostensivos utilizados na tarefa: ostensivo da representação algébrica; ostensivo da representação matricial; ostensivo oral, gestual e visual, quando do discurso de passagem de um ostensivo para o outro.

Níveis de conhecimento esperados para solução da tarefa: nível mobilizável, pois, para determinar a inversa da matriz, necessita-se de conhecimentos relacionados à definição de matriz inversa, que supõe que se disponha de conhecimentos, operações e propriedades das matrizes e

Determine, se existir, a inversa de cada uma das seguintes matrizes:

a) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2031

A b) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

42105

A c) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

5432

A d) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

3121

A

Figura 64: Exemplo de tarefa 9. Fonte: Dante, 2005, p. 250.


178

da definição de sistemas de equações lineares, assim como de um método de resolução desse tipo de sistema. Nos exemplos abaixo, ilustram-se outros métodos para a determinação da inversa de uma matriz.

Exemplo 2: Verificação e determinação da matriz inversa.


Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro matricial numérico, pois a tarefa é enunciada utilizando a representação explícita de matriz.

Quadro de solução da tarefa: quadro numérico, pois, neste caso, é utilizado o algoritmo (escalonamento) para determinar o que é solicitado, representando a matriz inversa em notação matricial com termos numéricos.

Não ostensivos utilizados na tarefa: noção de matriz, suas propriedades e operações, noção do processo de escalonamento para obter a matriz inversa, noção de adição e subtração entre os elementos da matriz.

Ostensivos utilizados na tarefa: ostensivo da representação matricial; ostensivo da gestual, oral e visual, quando do discurso de passagem de um ostensivo para o outro.

Níveis de conhecimento esperados para solução da tarefa: nível mobilizável, pois, para

Figura 66: Exemplo de tarefa 9. Fonte: Callioli, 1983, p. 34.


Verificar se a matriz A abaixo é inversível e, se o for, determinar sua inversa:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

111210121

A

179

solucionar a tarefa, o estudante deverá dispor de conhecimentos relacionados à noção de matriz, inversa de matriz e o método de escalonamento de matrizes, que permite solucionar o que é explicitamente pedido. Nesse caso, como se pede para verificar se existe a inversa, é preciso dispor da noção de determinante, pois a inversa de uma matriz só existe quando o determinante da matriz dada é diferente de zero.

Exemplo 3: Cálculo da matriz inversa por meio de determinantes.


Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro matricial numérico, pois a tarefa é enunciada utilizando a notação explícita de matriz.

Quadro de solução da tarefa: quadro matricial numérico, mas durante o processo é utilizado o quadro dos determinantes, para utilização do teorema enunciado para cálculo da matriz inversa, utilizando o determinante de uma matriz.

Não ostensivos utilizados na tarefa: noção de determinantes, suas operações e propriedades, incluindo a noção de cofator, a noção de matriz adjunta e matriz transposta. E o teorema associado à inversa de uma matriz e à transposta da matriz dos cofatores.

Ostensivos utilizados na tarefa: ostensivo da representação matricial; ostensivo da gestual, oral e visual, quando do discurso de passagem de um ostensivo para o outro.

Calcular, usando a teoria precedente, as inversas das seguintes matrizes:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

5835

A,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

51027

B , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

senaaasena

Ccos

cos ,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

300020001

D,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

011101010

E e

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

175013001

F

Figura 68: Exemplo de tarefa 9. Fonte: Iezzi, 1985, p.112-D.


180

Níveis de conhecimento esperados para solução da tarefa: nível disponível, pois, mesmo sendo pedido explicitamente que se determine a inversa de uma matriz, o método apresentado exige outros conhecimentos associados à noção de determinantes de uma matriz, suas operações e propriedades, que podem ou não ser trabalhados quando se estuda a inversa de uma matriz.

Tarefa 10: Equações matriciais

Exemplo 1: Equações que utilizam matrizes.


Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro matricial numérico, pois a tarefa é enunciada utilizando a representação explícita de matriz, e o quadro algébrico, utilizado para enunciar a equação.

Quadro de solução da tarefa: quadro algébrico para redução da equação apresentada e quadro numérico para determinar a matriz X.

Não ostensivos utilizados na tarefa: noção da propriedade distributiva da multiplicação, noção do algoritmo para solução e redução da equação do primeiro grau, noção de multiplicação de um número real por uma matriz, noção de condição e adição entre matrizes.

Equações matriciais.

Sendo ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=13

12A , ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

0121

B e ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

1214

C , determine a matriz X, que verifica

a igualdade 3(X-A)=2(B+X)+6C.



181

Ostensivos utilizados na tarefa: ostensivo da representação matricial; ostensivo da representação algébrica; ostensivo gestual, oral e visual, quando do discurso de passagem de um ostensivo para o outro.

Níveis de conhecimento esperado para solução da tarefa: nível mobilizável, pois o estudante deverá mobilizar conhecimentos relacionados à noção de matriz e suas operações e à noção do algoritmo e resolução de equações do primeiro grau. Observa-se aqui que a solução da equação sem utilizar as matrizes dadas só é possível, pois o conjunto das matrizes, munido das operações de adição e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial sobre o conjunto dos números reais. Mesmo se essa noção não for trabalhada no Ensino Médio, pode-se revisitar esse exemplo, ao introduzir a noção de espaço vetorial no Ensino Superior, quando é possível apresentar a descrição, a interpretação e a justificativa teórica da técnica utilizada.

Exemplo 2: Sistemas que utilizam matrizes.


Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro dos sistemas lineares, pois a tarefa enuncia duas equações com duas incógnitas, em função da matriz A e B, que se encontram no quadro matricial

Sendo A e B as matrizes do exercício 1, determine matrizes X, Y ∈ M3 (IR) de

maneira que: ⎩⎨⎧

−=++=−BAYXBAYX2

As matrizes A e B são: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

400020001

A e

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

100020004

B

Figura 72: Exemplo de tarefa 10. Fonte: Callioli, 1983, p. 28.


182

numérico.

Quadro de solução da tarefa: quadro matricial numérico, pois encontram-se e registram-se os respectivos valores de X e Y, utilizando a notação explícita de matriz com termos numéricos.

Não ostensivos utilizados na tarefa: noção de sistema de equações lineares e um método para solução desse sistema, noção de multiplicação de um número real por uma matriz, noção de adição entre matrizes, noção de representação matricial.

Ostensivos utilizados na tarefa: ostensivo da representação algébrica; ostensivo da representação matricial; ostensivo gestual, oral e visual, quando do discurso de passagem de um ostensivo para o outro.

Níveis de conhecimento esperados para solução da tarefa: nível mobilizável, pois, para executar o que é solicitado, necessita-se de conhecimentos relacionados à noção de sistema de equações lineares e um método para solução desses sistemas, e da noção de matriz, para efetuar a representação matricial numérica das matrizes solicitadas.


Este capítulo permitiu repensar as possibilidades de estabelecer algumas tarefas

importantes para as noções de matrizes e se estas podem ser desenvolvidas em

outros quadros, com o objetivo de efetuar as devidas mobilizações dos

conhecimentos e as articulações possíveis, quando se trabalha com a noção de

matrizes, com suas operações e propriedades, tanto no Ensino Médio como no

Ensino Superior.

Certamente, essas articulações exigem a introdução de novos conhecimentos

tecnológicos e teóricos associados à noção de matriz, que dependem da etapa

escolar em que se está trabalhando com essa noção e de seu papel ferramenta ou

objeto que se deseja introduzir.

As tarefas aqui exemplificadas são consideradas nesta pesquisa como relações

institucionais existentes em função do que está sendo considerado, ou seja, as

noções de matrizes, que foram extraídas de várias obras para o seu ensino na etapa

final da Educação Básica que possibilitaram a distinção de dez tarefas e a aplicação

dos diferentes itens da grade de análise do campo de estudo; e oportunizaram

refletir sobre um trabalho diferenciado nas instituições de ensino, seja no Ensino

Médio ou Superior.

As análises descritas na grade permitiram verificar que grande parte das tarefas

disponibilizadas aos estudantes se encontram no nível mobilizável, o que pode

significar que eles devam aprender as noções básicas, para mobilizar e desenvolver

183

as tarefas que são oferecidas, cabendo aos professores desenvolver tarefas que

levem os estudantes a articular o nível disponível, o que supõe considerar que estes

devam tornar-se autônomos para determinar o melhor processo de execução de

uma determinada tarefa.

Esse resultado das análises que identifica as tarefas, exigindo quase

exclusivamente o nível mobilizável, está associado ao papel ferramenta da noção de

matriz, de suas operações e propriedades, no desenvolvimento de situações

associadas a outras noções matemáticas que podem ser tratadas de outras formas.

Mas é importante ressaltar que é esse papel facilitador do desenvolvimento do

trabalho matemático por meio de algoritmos de programação que torna a noção de

matrizes, suas operações e propriedades tão importantes para a computação e a

informática.

184

CAPÍTULO 6 ANÁLISE DAS RELAÇÕES INSTITUCIONAIS EXISTENTES


No capítulo 3 apresentaram-se as análises das relações institucionais esperadas

para o ensino e a aprendizagem da noção de matriz, suas operações e propriedades

no Ensino Médio, efetuadas por meio dos documentos oficiais, como os Parâmetros

Curriculares Nacionais para o Ensino Médio, as Orientações Curriculares Nacionais

para o Ensino Médio e a Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo.

Estudaram-se ainda no capítulo 4, via planos de ensino de duas universidades

públicas e duas universidades privadas, essas mesmas relações, quando se

considera o trabalho a ser realizado com a noção de matriz, suas operações e

propriedades na disciplina de Álgebra Linear.

Para identificar como essas relações podem ser abordadas, escolhe-se estudar o

tratamento dado às noções matriciais em alguns livros didáticos para o Ensino

Médio, como a obra de Dante (2005), por ter sido esta bem avaliada pelo Programa

Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio (PNLEN, 2009); o livro didático, de

autoria de Lima et al. (2006), destinado a professores e futuros professores do

Ensino Médio, por ser uma obra de aperfeiçoamento destinada a esse público; o

Caderno do aluno (2009)19, segundo a Nova Proposta do Estado de São Paulo

(2008), por ser uma relação institucional existente e presente nas escolas públicas; a

obra de Callioli (1983) – Álgebra linear e aplicações —, comumente adotada pelas

quatro universidades escolhidas para as análises propostas nessa pesquisa; e a

obra de Anton (2006), por realizar um tratamento moderno para o ensino da álgebra

linear, isto é, iniciando com o estudo dos espaços vetoriais de IRn centrado na noção

de sistemas de equações lineares, em que a noção de matriz pode servir de

ferramenta para o desenvolvimento de tarefas que envolvem esses sistemas.

Como já anunciado acima, a escolha do livro de Dante (2005) está associada à

avaliação pelo PNLEM (2009); portanto, abaixo se faz um breve comentário sobre o

19 Caderno do aluno: chamado assim pela Secretaria de Estado da Educação de São Paulo.

185

programa e as análises dos livros didáticos considerados pelos avaliadores,

justificando nossa escolha.

O PNLEM foi implantado em 2004 pelo Ministério da Educação e Cultura, e seu

objetivo é a universalização de livros didáticos para os estudantes do Ensino Médio

público de todo país. Inicialmente, o programa distribuiu livros das disciplinas de

Português e Matemática e atualmente já atende as demais disciplinas, “beneficiando

todas as regiões brasileiras”, que são cadastradas no censo escolar realizado

anualmente pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio

Teixeira (INEP/MEC). Dessa forma, trata-se de uma fonte apropriada para uma

pesquisa documental, mas certamente apenas se aproxima das possíveis relações

institucionais existentes para o desenvolvimento de uma noção matemática no

Ensino Médio.

Segundo o MEC, a avaliação dos livros que se encontram no Catálogo Nacional

do Livro Didático para o Ensino Médio (2009) é efetuada por renomadas instituições

públicas superiores, que organizam equipes formadas por docentes da Educação

Básica, com qualificação mínima de mestrado, e por pesquisadores e professores

universitários com experiência acadêmica, didática e pedagógica. Cada obra é

avaliada por, pelo menos, duas equipes; e, caso não haja consenso, o livro é

submetido a uma terceira. Todas observam os critérios preestabelecidos pelos

órgãos federais e divulgados nos Parâmetros Curriculares Nacionais e nas

Orientações Curriculares Nacionais; ou seja, são obras que seguem as propostas e

as expectativas desenvolvidas nos documentos oficiais que, na nossa pesquisa, são

considerados como as relações institucionais esperadas.

No Catálogo do Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio (2009),

encontram-se os livros destinados ao Ensino Médio — isto é, a relação institucional

existente — e as indicações dos PCN+, ou seja, as relações institucionais esperadas

(Anexo XLVIII). Assim as descrições apresentadas (Anexo XLVIII) indicam que o

livro de Dante (2005b) é uma obra bem avaliada, no catálogo do PNLEM. Segundo

essa avaliação e conforme sintetizado, a obra supriu com louvor todas as categorias

de análise — a seleção dos conteúdos, a distribuição dos conteúdos, a abordagem

dos conteúdos, sua articulação, a sistematização, a contextualização, as atividades

e a metodologia de ensino e aprendizagem —, o que justifica a escolha deste livro

186

didático para as análises das relações institucionais existentes, propostas nesta

pesquisa.

Outro livro escolhido para ser analisado é a obra dirigida a professores e

estudantes universitários da área de ciências exatas, em especial àqueles que

pretendem dedicar-se ao ensino da matemática, A Matemática do Ensino Médio –

coleção do professor de Matemática, volume 3, de Lima et al. (2006). Trata-se de um

livro que é resultado de um curso destinado aos professores e que foi desenvolvido

por pesquisadores do Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), a partir das

propostas e das indicações dos PCNEM e dos PCN+, uma obra importante para os

professores e futuros professores de matemática de todos os níveis. Segundo os

autores, esta coleção tem o objetivo de proporcionar ao professor do Ensino Básico

uma fonte de referência e de atualização para os conteúdos de matemática

ensinados na escola. O livro é distribuído pela Sociedade Brasileira de Matemática

e, como já anunciado acima, sua elaboração ocorreu em cursos de aperfeiçoamento

de professores patrocinados por VITAE – apoio à Cultura, Educação e Promoção

Social, uma associação civil sem fins lucrativos que apóia projetos nas áreas de

cultura, educação e promoção social.

Analisa-se também o caderno distribuído aos estudantes e professores (edição

2009), pela Secretaria de Educação do Estado de São Paulo, por tratar-se de uma

nova proposta que vem sendo implementada a partir de 2008 e que é utilizada por

professores e estudantes do ensino público do estado de São Paulo. Esses

cadernos foram distribuídos pela Secretaria de Educação do Estado de São Paulo

somente para as escolas públicas e foram desenvolvidos por equipes de renomados

professores. O objetivo desse novo material é aplicar os conteúdos mínimos, para

que todos tenham a mesma oportunidade de desenvolver as competências básicas,

levando em consideração a série e a idade dos alunos. Na realidade, os cadernos

tentam pôr ordem a infinidade de organizações praxeológicas existentes, uma vez

que os professores podiam escolher tanto os temas a serem trabalhados como as

diferentes metodologias e o nível de conhecimento que esperavam desenvolver com

seus estudantes. Trata-se, aqui, de garantir um conteúdo mínimo que possa auxiliar

a melhorar o desempenho dos estudantes, em particular, quando se consideram as

avaliações institucionais.

187

Finalmente, analisam-se duas obras destinadas ao Ensino Superior, a de Callioli

(1983) e a de Anton (2006)20, escolhidas segundo o seguinte critério: a primeira é

uma obra adotada pelos cursos de matemática das quatro universidades

investigadas nesta pesquisa, segundo registro em seus planos de ensino (relações

institucionais esperadas); e a segunda corresponde a uma visão mais moderna de

tratamento da álgebra linear, que também faz parte da bibliografia básica do curso

de Licenciatura de Matemática de uma dessas universidades e indica uma nova

perspectiva para o tratamento das noções de álgebra linear, mais centrado no

estudo dos espaços vetoriais de IR2, IR3 e IRn, dando ênfase ao estudo do conjunto

solução desses sistemas, que permite articular o quadro da álgebra linear com o

quadro dos sistemas lineares e com o quadro das matrizes.

Essas obras são analisadas por fornecerem um “olhar” diferenciado não apenas

sobre as possibilidades de articulação das noções, dos teoremas e das proposições,

associados ao conceito de matriz, suas operações e propriedades, mas também

sobre outros quadros, como os da aritmética, da álgebra, da geometria plana, das

funções, da geometria analítica, dos determinantes e dos sistemas lineares; e por

possibilitarem também a interação entre conhecimentos prévios e novos

conhecimentos, o que pode auxiliar na naturalização e na compreensão das técnicas

propostas.

Além disso, a escolha dessas obras deve-se ao fato de serem indicações

construídas com a intenção de orientar a prática diária tanto do professor como dos

estudantes e, assim, auxiliá-los a efetuar escolhas e mudanças aceitáveis, mais

adequadas às suas próprias realidades, para o desenvolvimento das técnicas

possíveis em função das tecnologias e das teorias de que cada um deles dispõe,

pois, segundo os PCNEM, o topos esperado do estudante do Ensino Médio é que

ele seja autônomo e responsável pelo seu próprio desenvolvimento; isto é, ele deve

ter consciência do trabalho a ser executado, procurando outros meios para melhorar

o seu desempenho. Certamente, espera-se que o estudante do Ensino Superior já

disponha dessas competências.

20Escolhe‐se uma versão mais atualizada da obra de Howard Anton (2006).

188

Após as considerações iniciais registradas acima e as justificativas necessárias

para as indicações escolhidas, apresentam-se os procedimentos adotados para as

análises das obras mencionadas.

6.2 A análise das obras didáticas

Inicia-se a apresentação das análises efetuadas nas obras didáticas com um

comentário sobre a obra, que permite mostrar a apresentação geral das noções

associadas ao conceito de matriz; em seguida, em função das tarefas referidas no 5º

Capítulo, procura-se identificar as técnicas associadas e, consequentemente, as

tecnologias e as teorias que as acompanham.

As obras analisadas estão dispostas a seguir.

Tabela 12: Obras didáticas investigadas na pesquisa.

LIVROS ANO ED. DÉC. PNLEM

Lima, E. L. et al. A matemática do Ensino Médio – Coleção do

Professor de Matemática. Volume 3. 1996. SBM

2006 6ª 90

Dante, L. R. Matemática. Volume único. 1. ed. São Paulo: Ática,

2005.

2005 1ª - 2009

Caderno do aluno – Nova Proposta Curricular do Estado de São

Paulo 2008. SEESP, 2009.

2009 1ª -

Callioli, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. 4. ed. rev. São

Paulo: Atual, 1983.

1983 4ª 80

Anton, H. et al. Álgebra linear contemporânea, Tradução Claus Ivo

Doering. 1. ed. Porto alegre: Bookman, 2006. Reimp. 2008.

2006 1ª -


As análises destas obras serão conduzidas por meio das seguintes questões:

a) A noção de matriz, suas operações e propriedades estão presentes na obra,

para serem trabalhadas com os estudantes?

b) As noções de sistemas de equações lineares por meio da representação

matricial são trabalhadas na obra? O estudo das possibilidades de solução é

desenvolvido no quadro das matrizes?

c) Quais quadros são considerados e quais são as articulações entre eles?

189

d) Quais os não ostensivos evocados?

e) Quais os ostensivos utilizados?

f) Que nível de conhecimento é esperado dos estudantes para o trabalho com

essas noções?

Para responder as questões acima, será utilizada a ferramenta topos do professor

e do estudante, ou seja, procurar-se-á identificar qual parte fica a cargo do professor

e o que é da responsabilidade do estudante, em função da proposta da obra; ou

seja, se esta é apresentada por capítulo, em que se introduz a noção e se

desenvolvem alguns exemplos, e, em seguida, é apresentada uma lista de tarefas

(exercícios propostos). Considera-se, para efeito de análise, que a introdução da

noção e dos exemplos corresponde ao topos do professor, enquanto as tarefas

propostas dizem respeito ao topos do estudante.

Inicia-se com a análise da obra de Lima et al. (2006), que representa uma

proposta diferenciada para um curso para professores do Ensino Médio e

professores estudantes, que pode auxiliá-los a desenvolver as articulações dos

conhecimentos matemáticos propostas nos Parâmetros Curriculares Nacionais +

(BRASIL, 2002).

6.3 Análise da obra de Elon Lages Lima et al. – A matemática do Ensino Médio.

6.3.1 Comentários e análises

Apresentada em três volumes, a obra desenvolve a parte conceitual dividida em

teorias, exemplos e exercícios para as noções matemáticas a serem trabalhadas no

Ensino Médio, e um quarto volume corresponde à solução de todas as tarefas

propostas nos três primeiros.

A noção de matriz, suas operações e propriedades e a de determinante de uma

matriz são desenvolvidas no quarto capítulo do terceiro volume. Nesse mesmo

volume, o primeiro capítulo trata das noções de geometria analítica plana por meio

de uma abordagem teórica das tecnologias que justificam as técnicas nas diferentes

obras indicadas para o Ensino Médio. O desenvolvimento desse trabalho é ilustrado

por ostensivos de representação geométrica que auxiliam a visualização das

190

representações cartesianas (equações); estas constituem os ostensivos de

representação algébrica para a manipulação dos não ostensivos que lhes são

associados.

No segundo capítulo, os conceitos associados à geometria analítica espacial são

trabalhados da mesma forma que a descrita acima para a geometria analítica plana,

mas observa-se ainda que, nesse caso, é introduzida a noção de vetores no espaço

e de ostensivos de representação paramétrica de retas no espaço. Mesmo

introduzindo a noção de vetores no espaço, representados por meio dos ostensivos

de representação biponto →

'PP e o ostensivo de representação por coordenadas, não

existe articulação entre essa noção e as noções de retas e planos no espaço. Para

essas noções, são considerados apenas os diferentes ostensivos de representação

utilizados no Ensino Médio, ou seja, ostensivo de representação paramétrica

(equação paramétrica) de retas no espaço e ostensivo de representação cartesiana

(equação do plano) de planos no espaço, o que deixa evidente que a articulação

entre representações cartesianas e paramétricas de retas e planos no espaço não é

considerada.

No terceiro capítulo é introduzida a noção de sistemas de equações lineares, e a

noção de matriz já é utilizada como ferramenta explícita para estudo das condições

de solução, que são apresentadas por meio de ostensivos de representação

paramétrica; isto é, implicitamente é tratada a passagem do ostensivo de

representação cartesiana para o ostensivo de representação paramétrica, o que

poderá ser utilizado como conhecimento prévio no estudo dos espaços vetoriais de

IRn no Ensino Superior. Observa-se ainda que o estudo da solução e das

possibilidades de solução dos sistemas lineares 3x3 é acompanhado de seus

respectivos ostensivos de representação geométrica, o que possibilita a visualização

das intersecções de planos no espaço.

A obra tem como objetivo fornecer meios para o aperfeiçoamento dos professores

de matemática e dos estudantes professores21; portanto, algumas noções são

tratadas sem considerar exemplos de casos particulares, uma vez que

21 Estudantes professores: estudantes do curso de licenciatura em matemática, como também outros professores licenciados que estão se aperfeiçoando.

191

provavelmente os autores supõem que esses profissionais já dominem esse

trabalho. Para as noções de matrizes e determinantes, a adição de matrizes e suas

propriedades, assim como a multiplicação de um escalar por uma matriz e suas

propriedades, não são tratadas explicitamente e identificam-se apenas os conceitos

descritos no Quadro 47, abaixo:

- Matrizes e determinantes: - Introdução - Multiplicação entre matrizes - Determinantes - Regra de Cramer - Determinante do produto de duas matrizes - Caracterização das matrizes invertíveis

Quadro 31: Conteúdos desenvolvidos na obra, relacionados às noções de matrizes.

No capítulo referente às noções registradas (Quadro 31), estas são introduzidas

por meio de um discurso tecnológico-teórico que articula a noção de vetores de IRn e

matrizes e de matrizes e sistemas lineares. Para os autores, a novidade operacional

está associada à multiplicação de matrizes, o que lhes permite associar essa

operação com a noção de transformações lineares em que o produto de matrizes é

naturalmente definido como a matriz associada à composta de duas transformações

lineares, ou seja, o discurso teórico justifica a tecnologia utilizada para descrever,

interpretar e justificar a técnica de multiplicação de duas matrizes.

A partir dessa breve introdução teórica, os autores chamam a atenção para o fato

de que, apesar de esse trabalho não poder ser realizado no Ensino Médio, é

importante que a noção de matriz e, em particular, a multiplicação de matrizes sejam

introduzidas por meio de exemplos simples, como o da tabela apresentada na Figura

74, que auxilia a definir o produto de duas matrizes quaisquer e articular com a

noção de produto interno entre dois vetores quaisquer. Portanto, observam-se, aqui,

claramente, a descrição, a interpretação e a justificativa teórica da técnica e da

respectiva tecnologia apresentada no Ensino Médio sobre a multiplicação de

matrizes. Esse trabalho pode auxiliar o professor a compreender melhor a

importância dessa noção para os estudantes do Ensino Médio e encontrar meios

para explicitar esse interesse, quando necessário.

192

Na sequência, é definida a noção de determinante de uma matriz e suas

propriedades, que são introduzidas articuladas com a noção de vetores e

dependência linear; é também exposta a regra de Cramer como nova técnica para

resolver sistemas lineares. Os autores apresentam as vantagens e desvantagens

desse método.

O estudo do produto de duas matrizes permite que os autores demonstrem que

quatro pontos não coplanares no espaço determinam um paralelepípedo, cujo

Figura 74: Exemplo de tarefa de multiplicação de matrizes. Fonte: Lima, 2006, p.131-133.

193

volume é igual ao valor absoluto do determinante da matriz dos vetores

estabelecidos por esses pontos. Essa demonstração é efetuada por meio da

articulação entre a noção de vetores no espaço, representados por meio do

ostensivo de representação coordenada, e a noção de paralelepípedo, explicitada

por meio do ostensivo de representação geométrico, um sistema de eixos

determinados pelos quatro pontos que constituem o paralelepípedo.

A noção de determinante é finalmente utilizada para enunciar e demonstrar o

teorema que permite caracterizar a invertibilidade de uma matriz.

Para efetuar a introdução das noções de matrizes, os autores utilizam a

representação no quadro matricial algébrico, trabalhando com a idéia geral de que

uma matriz é frequentemente utilizada para organizar dados; no Ensino Médio, tal

noção é desenvolvida, em geral, como no quadro dos sistemas de equações

lineares, para facilitar o desenvolvimento do método do escalonamento. Além disso,

a noção de matrizes pode surgir para facilitar o trabalho em situações que envolvam

a utilização de vetores, o que fica evidente quando da justificativa das propriedades

de determinantes e do produto de matrizes como a composta de duas

transformações lineares.

Os autores abordam alguns exemplos que utilizam operações e representações

de algumas matrizes, como, por exemplo, a matriz quadrada. Também esboçam a

noção sobre a posição de um determinado elemento na matriz, em termos de

números índices, em que i corresponde à posição na linha, e j, à posição na coluna

(aij). Além disso, algumas noções de matrizes, suas operações e propriedades são

mencionadas e rapidamente revisitadas, para articulá-las com outros objetos

matemáticos que fazem parte do conteúdo abordado no Ensino Médio. Ou seja,

desenvolvem-se algumas técnicas que lhes são associadas, por meio de situações

contextualizadas. Assim, um dos primeiros exemplos abordados (Figura 74), já

apresentado, corresponde ao quadro numérico, envolvendo uma empresa que

possui duas confeitarias; o objetivo da tarefa é mostrar a importância da

multiplicação entre duas matrizes como meio de efetuar os cálculos necessários

para a tomada de decisão, que atualmente são realizados por meio de softwares.

Sendo assim, a noção de matrizes é considerada um facilitador para esse tipo de

194

trabalho. Essa necessidade conduz à introdução da noção de vetor, que será

retrabalhada em álgebra linear por aqueles que seguirem seus estudos superiores.

São apresentados também outros exemplos no quadro matricial numérico,

envolvendo a multiplicação entre matrizes, o que permite colocar em evidência a

distinção entre o produto de matrizes e o produto de números. Isso conduz os

autores à introdução da noção de determinantes, que possibilita a caracterização da

existência da inversa de uma matriz.

Fica claro que os autores abordam os exemplos e os exercícios, supondo que os

estudantes detenham conhecimentos referentes às dez tarefas consideradas nesta

pesquisa e apresentadas no 5º capítulo, mas desenvolvem outras tarefas, como, por

exemplo, a associação da noção de matriz com a noção de vetores tanto de IR2

como de IR3; dedicam-se também a outros tópicos que não fazem parte das

relações institucionais esperadas para a noção de matriz no Ensino Médio22,

segundo verificado nos livros presentes no Catálogo Nacional do Programa Nacional

do Livro Didático para o Ensino Médio (2009), como a matriz de Gram dos vetores

dados, o traço de uma matriz, a matriz quadrada ortogonal e o posto de uma matriz.

Lima et al. oferecem também o desenvolvimento de tarefas articuladas com as

noções de transformações lineares, raramente desenvolvidas no Ensino Médio, o

que deixa evidente o papel desempenhado pela obra: apresentar as descrições, as

interpretações e as justificativas teóricas para as tecnologias apresentadas no

Ensino Médio como meios para descrever, interpretar e justificar as técnicas

uilizadas.

Em razão da suposição referida no parágrafo anterior, cabe aos autores buscar

alguns conhecimentos esquecidos ou talvez não apropriados pelos alunos no Ensino

Médio e mesmo em sua formação específica no Ensino Superior, uma vez que, no

desenvolvimento da obra, Lima et al. não apresentam sequências de cálulos, mas

um texto, em linguagem natural, que explica, exemplifica e ilustra o trabalho que está

sendo efetuado.

22 Ensino Médio: por não fazer parte dos conteúdos comumente adotados no Ensino Médio, não compõe a nossa lista de 10 tarefas, conforme o capítulo 5 deste trabalho.

195

Considerando a grade de análise e as tarefas nela classificadas de acordo com o

5º capítulo desta pesquisa, apresenta-se (Tabela 13) a parte do trabalho do

professor (topos do professor), isto é, as tarefas resolvidas que envolvem a noção

matricial; e o que representa a parte do estudante (topos do estudante), isto é, as

tarefas propostas para serem resolvidas pelos estudantes nesse capítulo.

Tabela 13: Tarefas desenvolvidas na obra de Elon Lages Lima et al.

TAREFAS QUANTIDADE EXERCICIO PROFESSOR

PORC. EXERCÍCIO PROFESSOR

QUANTIDADE EXERCÍCIO ESTUDANTE

PORC. EXERCÍCIO ESTUDANTE

Tarefa 1: Tipos de matrizes e suas representações - - - -

Tarefa 2: Representação algébrica de uma matriz - - - -

Tarefa 3: Matrizes especiais - - 3 27%

Tarefa 4: Igualdade entre matrizes - - - -

Tarefa 5: Adição de matrizes - - 1 9%

Tarefa 6: Produto de número por matrizes - - 1 9%

Tarefa 7: Multiplicação de matrizes 4 80% 4 37%

Tarefa 8: Matriz transposta - - - -

Tarefa 9: Matriz inversa 1 20% 2 18%

Tarefa 10: Equações matriciais - - - -

TOTAL 5 100% 11 100%


O topos do professor, ou seja, o número de tarefas resolvidas permite dizer que

nesta obra, em especial em seu 4º capítulo, os autores privilegiam o estudo das

multiplicações de matrizes (80% das tarefas resolvidas), que corresponde ao nível

mobilizável, pois, ao efetuar uma multiplicação de matrizes, o estudante deverá,

além das técnicas de multiplicação e adição e do ostensivo de representação escrita

e gestual, mobilizar conhecimentos prévios que garantam a condição de

multiplicação entre duas matrizes, conforme solicitado em cada enunciado da

questão proposta na obra. O desenvolvimento da matriz inversa é realizado apenas

com um exemplo genérico que supõe a articulação com a noção de sistemas de

equações lineares tratada no capítulo anterior, correspondendo, assim, a uma

evocação que deve ser feita pelo professor; isto é, faz parte do topos do professor.

196

As tarefas apresentadas na grade e que não aparecem são articuladas de forma

implícita nas operações que envolvem multiplicação de matrizes e inversa de matriz,

uma vez que, para desenvolver as técnicas possíveis, o estudante deve conhecer

previamente as dez tarefas consideradas. O objetivo da obra é o aperfeiçoamento

do professor do Ensino Médio, que se supõe esteja habituado a desenvolver com

seus estudantes as tarefas apresentadas na grade. Portanto, cabe ao professor e

aos estudantes abrir uma ampla discussão, colocando em jogo as técnicas

envolvidas em cada tarefa desta obra.

Para o topos do estudante, há poucas tarefas referentes de forma explícita à

noção de matriz, relacionadas ao Ensino Médio; o maior percentual delas é

destinado a multiplicação entre duas matrizes (37%), acompanhado de matrizes

especiais, com 27%; e a inversa de uma matriz, com 18%. No decorrer das tarefas

apresentadas, percebe-se que cabe ao estudante obter os conhecimentos básicos

referentes à noção de matriz, suas operações e propriedades, pois, caso contrário,

poderá encontrar dificuldades para desenvolver todas as tarefas registradas nesta

obra. Ou seja, o estudante deverá responsabilizar-se e apropriar-se de

conhecimentos anteriores para solucionar cada um dos 26 exercícios apresentados

no referido capítulo da obra, o que é compreensível, pois espera-se que os

estudantes do Ensino Médio tenham autonomia para planejar e desenvolver sua

própria formação; portanto, essa competência já deve estar incorporada por futuros

professores e professores.

Ao verificar os exercícios propostos aos estudantes, surgem outras tarefas

referentes à noção de matriz que, segundo os documentos oficiais analisados, não

fazem parte das relações institucionais existentes para o Ensino Médio; mas que

correspondem a conhecimentos desenvolvidos na disciplina de Álgebra Linear no

Ensino Superior e que se supõe possam ser mobilizados pelos professores e pelos

futuros professores.

Para melhor identificar as noções que se espera que componham os

conhecimentos prévios de professores e futuros professores, registram-se na

sequência (Quadro 32) as novas tarefas encontradas na análise efetuada.

197

Tarefa: Traço da matriz Tarefa: Transformação linear Tarefa: Matriz ortogonal Tarefa: Posto de uma matriz Tarefa: Produto vetorial Tarefa: Combinação linear e dependência linear Tarefa: Operadores lineares Tarefa: Teorema de Rouché Tarefa: Matriz aumentada

Quadro 32: Outras tarefas mobilizadas na obra de Elon Lages Lima et al.

Todas as tarefas descritas acima (Quadro 32), encontradas no 4º capítulo da

obra, colocam em destaque as dez tarefas consideradas nesta pesquisa, pois, para

que o estudante as manipule, é necessário que ele disponha de conhecimentos

relacionados às dez tarefas que se supõe tenham sido desenvolvidas no Ensino

Médio.

A obra articula um trabalho com a noção de matriz, destacando para os exemplos

o quadro matricial numérico e para as demonstrações o quadro matricial algébrico;

em particular, o quadro da álgebra linear. Destaca-se também que as novas tarefas

desenvolvidas na obra necessitam de conhecimentos prévios relacionados às dez

tarefas identificadas como as relações institucionais esperadas para serem

desenvolvidas no Ensino Médio. Ou seja, a falta desses conhecimentos pode

conduzir os estudantes a dificuldades para compreender a abordagem proposta

nessa obra.

Na sequência, apresenta-se a análise da obra de Dante (2005b), considerada,

segundo o Catálogo Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio (2009), aquela

que melhor apresenta o trabalho com as noções destinadas ao Ensino Médio. Nas

escolas públicas, esta obra é oferecida em volume único, sintetizando as noções

vinculadas ao Ensino Médio.

6.4 Análise da obra de Luiz Roberto Dante – Matrizes e sistemas lineares


A obra é disponibilizada em volume único para as escolas públicas de Ensino

Médio do Estado de São Paulo e conta com 35 capítulos que desenvolvem os

conteúdos que correspondem às relações institucionais esperadas para o Ensino

198

Médio. A noção de matriz, suas operações e propriedades são abordadas no 21º

capítulo, em que se trabalham as tarefas apresentadas no quinto capítulo desta

pesquisa.

O autor inicia o estudo sobre a noção de matriz, articulando de forma

interdisciplinar as técnicas possíveis, desenvolvendo exemplos sobre os processos

computacionais que utilizam a noção matricial como ferramenta matemática. Na

primeira parte, Dante apresenta uma tabela, inserindo algumas definições básicas

sobre a noção matricial.

Como podemos ver, inicialmente a obra desenvolve exemplos relacionados à

imagem de figuras (Figura 75); logo após, aborda as noções matriciais, com tarefas

Figura 75: Exemplo dos processos computacionais Fonte: Dante, 2005, p. 240.

199

que possibilitam ao estudante perceber a aplicação desta noção; e, no final do

capítulo, são articuladas as noções de matrizes com as possíveis transformações

geométricas que permitem as diferentes representações de objetos em computação

gráfica; ou seja, são dados exemplos de transformações lineares e não lineares que

serão revisitadas em álgebra linear.

O trabalho apresentado na obra conduz a utilização das dez tarefas apresentadas

no 5º capítulo desta pesquisa, conforme se vê a seguir:

Matrizes:

- Introdução - Definição - Representação genérica de uma matriz - Matriz quadrada - Matriz triangular - Matriz diagonal - Matriz identidade - Matriz nula - Igualdade de matrizes - Adição de matrizes - Matriz oposta de uma matriz A - Subtração de matrizes - Multiplicação de um número real por uma matriz - Matriz transposta de uma matriz dada - Multiplicação de matrizes - Matriz inversa de uma matriz dada - Equações matriciais - Aplicações de matrizes

Quadro 33: Conteúdos desenvolvidos na obra com relação às noções de matrizes.

Conforme o Quadro 33, o autor introduz os conhecimentos necessários para tratar

as dez tarefas identificadas no 5° capítulo, iniciando com a noção de resolução de

imagens, e, logo após, disponibiliza uma tabela (quadro numérico), representando-a

no ostensivo de representação matricial, na forma de linhas e colunas; desenvolve,

na sequência, os conceitos referente à noção de matriz, suas propriedades e

operações.

Na obra são propostos e resolvidos exercícios para os quais se colocam algumas

questões para reflexão pelos estudantes ou pelos professores e estudantes, quando

os primeiros se propõem a mediar essa tarefa, abrindo uma discussão que pode

auxiliar a construção dos conceitos que estão sendo introduzidos. Verifica-se, assim,

que o autor não desenvolve apenas questões habituais, mas apresenta tarefas

contextualizadas que permitem a aplicação em situações cotidianas e a articulação

200

com conhecimentos de outras ciências, como é o caso das questões associadas à

computação e à informática, áreas bastante escolhidas pelos estudantes que

continuam seus estudos superiores.

Quando se trata da multiplicação de matrizes, são trabalhadas matrizes de

diferentes tipos, mas, para o caso da matriz inversa, apenas as de ordem 2 são

consideradas, o que pode representar uma dificuldade para aqueles que

continuarem seus estudos.

Finalizando a introdução da noção de matriz, suas operações e propriedades, o

autor apresenta alguns exemplos de sua aplicação, por meio da rotação de figuras

planas representadas no sistema de eixo cartesiano, efetuando um trabalho mais

consistente que requer o uso de outras noções, como, por exemplo, as de

trigonometria. Ou seja, é justificada por meio de um discurso tecnológico associado

ao deslocamento de uma figura plana que corresponde às transformações do plano

no plano; mas, nesse trabalho, não se explora a noção de transformação linear que

possibilita a descrição, a interpretação e a justificativa teórica da tecnologia utilizada

para articular matrizes e transformações geométricas no Ensino Médio.

Partindo da grade de análise e das tarefas nela classificadas, conforme o 5º

capítulo desta pesquisa, apresentam-se as tarefas resolvidas que envolvem a noção

de matriz, suas operações e propriedades, que compõem a parte do trabalho do

professor (topos do professor); e o que se refere à parte do estudante (topos do

estudante), ou seja, as tarefas propostas para ele no capítulo:

Tabela 14: Tarefas desenvolvidas na obra de Luiz Roberto Dante

TAREFAS QUANTIDADE EXERCICIO PROFESSOR


QUANTIDADE EXERCICIO ESTUDANTE


Tarefa 1: Tipos de matrizes e suas representações 5 12,0% 2 4,2%

Tarefa 2: Representação algébrica de uma matriz 2 4,9% 2 4,2%

Tarefa 3: Matrizes especiais 7 17,1% 6 12,5%

Tarefa 4: Igualdade entre matrizes 4 9,8% 5 10,4%

Tarefa 5: Adição de matrizes 9 22,0% 6 12,5%

Tarefa 6: Multiplicação de número por matrizes 2 4,9% 1 2,1%

Tarefa 7: Multiplicação de matrizes 4 9,8% 11 22,9%

201

Tarefa 8: Matriz transposta 3 7,3% 3 6,2%

Tarefa 9: Matriz inversa 3 7,3% 5 10,4%

Tarefa 10: Equações Matriciais 2 4,9% 7 14,6%

TOTAL 41 100% 48 100%


Conforme descrito acima (Tabela 14), a quantidade de exercícios relacionados às

tarefas e desenvolvidos na obra é proporcional, quando se considera a parte do

professor e a do estudante, mas o número de tarefas exemplificadas e resolvidas

que representam o topos do professor permite dizer que os autores privilegiam a

tarefa 5, referente à adição de matrizes (22% das tarefas resolvidas); ela exige o

nível mobilizável, pois os estudantes precisam dispor de conhecimentos apenas

sobre a definição de matriz e a operação de adição, uma vez que nas tarefas são

estabelecidos os procedimentos a serem adotados. Para a parte dos estudantes, a

tarefa 7 (22,9 %), que corresponde à multiplicação de matrizes e, conforme Lima et

al. (2006), é a novidade operacional entre matrizes, determina um maior número de

tarefas que ficam a cargo dos estudantes, pois espera-se que estes desenvolvam as

habilidades necessárias, ou seja, que verifiquem a condição de existência da

multiplicação, que é uma nova forma de raciocínio matemático; e que utilizem a

definição de multiplicação de duas matrizes, podendo associar cada elemento da

matriz produto como o produto interno do vetor linha da primeira matriz pelo vetor

coluna da segunda matriz, quando dispõem da noção de vetores, suas operações e

propriedades. Em geral, associar o quadro das matrizes com o quadro da álgebra

linear só será possível no Ensino Superior, quando os estudantes já dispuserem dos

ostensivos verbais, visuais e gestuais desenvolvidos no Ensino Médio, ao introduzir

a operação de multiplicação de duas matrizes.

As outras tarefas são disponibilizadas em menor quantidade; algumas são

trabalhadas apenas no nível técnico, pois não necessitam de maiores

conhecimentos sobre a noção de matriz, como, por exemplo, as tarefas 1 e 2, em

que basta aplicar a definição de matriz como um quadro de m linhas e n colunas que

representa a organização de uma tabela de dados em geral numéricos.

Conforme se observa na descrição dos dados (Tabela 14), as tarefas 3, 4 e 5 são

disponibilizadas proporcionalmente, quando se considera tanto o topos do estudante

202

como o do professor. Há, aqui, a necessidade de evocar os não ostensivos

associados ao tipo de matriz, à relação de igualdade entre duas matrizes e as

operações de adição, para descrever e justificar a manipulação dos ostensivos que

permitem a execução das técnicas associadas.

A tarefa 6, que corresponde ao produto de um número por uma matriz, é pouco

trabalhada tanto pelo professor como pelo estudante, ficando a cargo daquele dar

maior ênfase ao desenvolvimento dessa noção. Ela será importante para a

discussão das equações matriciais no Ensino Médio e para a introdução da noção

de espaços vetoriais no Ensino Superior, pois a multiplicação de um escalar por uma

matriz é uma das operações que permitem concluir que um conjunto munido da

adição e da multiplicação por escalar sobre um corpo dotado de determinadas

propriedades é um espaço vetorial. Dessa forma, a pouca importância dada à

operação de multiplicação de um escalar por uma matriz não favorece a utilização

desse conhecimento, quando se introduz a noção de espaço vetorial no Ensino

Superior.

Em geral, a operação de multiplicação de um escalar por uma matriz é tratada

como se não apresentasse dificuldades, pois não é considerado o corpo dos

escalares. Isso precisa ser retomado com muita atenção pelos professores do

Ensino Superior, uma vez que no Ensino Médio só se consideram as matrizes com

coeficientes reais e o corpo dos reais, o que não deve ser repetido no Ensino

Superior, em que é preciso mostrar a importância do corpo dos escalares.

Na tarefa 8, disponibilizada na mesma quantidade para o professor e para o

estudante, verifica-se que este provavelmente só mobilize o nível técnico, pois nas

tarefas basta aplicar a definição, trocando linhas e colunas. Um trabalho que mostre

a importância da matriz transposta será possível quando da introdução da matriz de

uma transformação linear, em cujo final é preciso transpor a matriz encontrada. Mas

no Ensino Médio pode-se introduzir o cálculo da matriz inversa por meio de

determinantes, em que a noção de matriz adjunta corresponde à matriz transposta

da matriz dos cofatores daquela cuja inversa se deseja determinar. Nesse caso,

além de utilizar a noção de transposta, apresenta-se aos estudantes um novo

método para o cálculo da inversa de uma matriz, em que se articula o quadro

matricial com o quadro dos determinantes.

203

A tarefa 7, que corresponde à multiplicação de matrizes, vem acompanhada de

um esquema que representa os ostensivos orais e gestuais que permitem descrever,

interpretar e justificar a existência do produto de duas matrizes, assim como o

procedimento de cálculo a ser utilizado. Sendo a multiplicação de matrizes a

novidade operacional relativa a essa noção, não é surpreendente que

aproximadamente 23% das tarefas destinadas ao trabalho proposto aos estudantes

sejam associadas à multiplicação de matrizes. A Figura 76, a seguir, ilustra os

esquemas apresentados pelo autor para descrever o procedimento de verificação da

existência do produto entre duas matrizes e do controle do tipo da matriz produto,

assim como do próprio algoritmo de multiplicação. As flechas que acompanham o

desenvolvimento da tarefa correspondem aos ostensivos escriturais que

representam os ostensivos orais e gestuais que auxiliam na execução da tarefa.

204

Para a tarefa 9, relativa à determinação da inversa de uma matriz, o método

proposto pelo autor consiste em multiplicar a matriz por uma matriz genérica, que

corresponde à sua inversa, e igualar a identidade; recai, assim, em um sistema

linear que permite determinar os elementos da matriz inversa, quando existirem, e

afirmar que a matriz não admite inversa, quando um dos sistemas é impossível. O

autor verifica, ainda, que, no caso da existência da inversa, o produto da matriz por

esta é comutativo. Essa noção, que também é uma novidade e permite que os

estudantes utilizem seus conhecimentos prévios sobre a noção de sistemas lineares,

corresponde a aproximadamente 10% do trabalho proposto para os estudantes.

Figura 76: Ostensivos de representação escritural do discurso de gestos utilizados na multiplicação de matrizes. Fonte: Dante, 2005, p. 247. (adaptação do pesquisador)

205

Na realidade, nesta tarefa o estudante é chamado a revisitar a noção de sistemas

de duas equações e duas incógnitas desenvolvida no Ensino Fundamental, uma vez

que o autor só trabalha com matrizes de ordem 2.

A tarefa 10, que poderá ser revisitada por aqueles que seguirem o Ensino

Superior, mobiliza a noção de equação e sistemas de equações matriciais — que,

no momento, são trabalhados da mesma forma que as equações do primeiro grau —

e sistemas de duas equações e duas incógnitas, desenvolvidos no Ensino

Fundamental. Ou seja, trata-se apenas de utilizar as regras e as leis do cálculo literal

para determinar os valores das incógnitas e, no final, substituí-las pela

correspondente matriz, isto é, após resolver a equação, utilizam-se apenas as

noções de adição de matrizes e produto de um número real por uma matriz.

A justificativa teórica para o procedimento utilizado acima só poderá ser

desenvolvida por meio da noção de espaço vetorial no curso de Álgebra Linear.

Nesse momento, pode-se chamar a atenção dos estudantes, utilizando exemplos

das equações matriciais que eles já trabalhavam no Ensino Médio, o que permite

mostrar a importância do papel da álgebra linear, que possibilita a formalização, a

unificação e a generalização de conceitos matemáticos.

Observa-se, finalmente, que, mesmo trabalhando apenas com matrizes de ordem

2, essa tarefa corresponde a aproximadamente 15% do trabalho a ser realizado

pelos estudantes. Ou seja, quando se consideram as tarefas 7, 9 e 10, o autor é

sensível ao fato de que estas se distanciam das práticas dos estudantes, o que o

conduz a propor um trabalho em que aproximadamente 50% correspondem a essas

tarefas.

Nesta obra, Dante apresenta situações contextualizadas e torna evidente que se

preocupa não apenas com as operações matriciais, mas também com as

possibilidades de utilizá-las para resolver tarefas que envolvem outras noções

matemáticas e de outras ciências. Fica clara também sua disposição para colaborar

com aqueles que desejam um conhecimento mais específico sobre as noções de

matrizes, suas operações e propriedades, assim como para subsidiar determinadas

áreas do Ensino Superior. Isso vem ajudar as relações institucionais esperadas para

o Ensino Médio, que deixam evidente a necessidade de preparar o estudante para

206

conduzir seu próprio plano de estudo e aprofundá-lo de forma autônoma e

responsável.

Ao final do capítulo sobre a noção de matriz, o autor desenvolve momentos

privilegiados de contextualização, como apresentado a seguir (Quadro 34).

Tarefa: Transformações geométricas

Quadro 34: Outras tarefas mobilizadas na obra de Luiz Roberto Dante. Fonte: Dante, 2005b, p.252

Para a tarefa descrita no Quadro 34, o autor articula os conhecimentos

desenvolvidos anteriormente e trabalhados nas tarefas resolvidas e nas propostas,

utilizando também outras noções, como as noções trigonométricas e seus

207

respectivos ostensivos de representação e o ostensivo de representação do sistema

de eixos cartesianos, para trabalhar com as transformações de figuras geométricas

no plano.

As dez tarefas habitualmente desenvolvidas no Ensino Médio são trabalhadas

nessa obra. Ao analisar os exemplos e os exercícios propostos, observa-se que os

níveis técnico e mobilizável são privilegiados e, ao final do capítulo, o autor, como

mencionado no Quadro 34, apresenta uma nova tarefa, que articula o quadro das

matrizes com o quadro da geometria analítica e que supõe que os estudantes

disponham de conhecimentos de geometria, geometria analítica e trigonometria,

para compreender as transformações do plano no plano e os ostensivos de

representação algébrico e gráfico dessas mesmas transformações.

A obra apresenta uma sequência de atividades bem elaboradas, que privilegiam o

trabalho tanto do professor como do estudante, com as dez tarefas usualmente

propostas nessa etapa escolar, colocando em evidência os conhecimentos que

poderão servir como prévios para aqueles que desejam continuar seus estudos. Ou

seja, trata-se de um curso que pode ser revisitado pelos estudantes do Ensino

Superior para nivelar seus conhecimentos, antes de iniciarem um curso de

Geometria Analítica e Álgebra Linear.

A seguir, analisa-se o Caderno do aluno — que é uma relação institucional

existente atualmente —, utilizado nas escolas públicas do Estado de São Paulo e

fornecido pela Secretaria de Educação do Estado de São Paulo.

6.5 Análise do Caderno do Aluno – Proposta do Estado de São Paulo 2008.

6.5.1 Comentários e análise

O caderno do estudante do Ensino Médio é disponibilizado em quatro volumes

para cada série desta etapa de ensino, considerando-se, para esta pesquisa, o

volume 2 do segundo ano do Ensino Médio, em que se introduz a noção de matriz,

sistemas lineares e determinantes. Esse material é desenvolvido por meio da

articulação de quatro situações de aprendizagem sobre as noções descritas acima,

para as quais se faz um breve relato.

208

Na situação de aprendizagem 1 é desenvolvida a noção de matriz por meio do

quadro da geometria analítica, articulado com o quadro matricial numérico e suas

operações e, em seguida, são oferecidas tarefas contextualizadas, com o propósito

de estimular a aprendizagem da noção de matriz e suas operações, como por

exemplo, a representação explícita; os tipos de matrizes; a adição e a multiplicação

entre matrizes. Nesta mesma situação, observa-se que é desenvolvida uma nova

tarefa, chamada matriz de compensação, e outras atividades que envolvem a

aplicação da noção em estudo em contextos da vida, como a formação de imagens

e o princípio da tomografia. A figura abaixo ilustra a situação de aprendizagem 1:


Esses dois polígonos são congruentes, e podemos considerar que o polígono EFGH é uma translação do polígono ABCD, isto é, EFGH foi obtido de duas movimentações de ABCD, sendo uma na horizontal e outra na vertical.

a) Quantas unidades na horizontal e quantas unidades na vertical ABCD devem ser

deslocadas para que, ao final, coincida com EFGH?

b) Represente em uma matriz A(4X2) as coordenadas dos vértices do polígono

ABCD, de maneira que cada linha da matriz contenha coordenadas de um ponto,

com a abscissa na primeira coluna e a ordenada na segunda coluna.

c) Represente em uma matriz B(4X2) as coordenadas dos vértices do polígono

EFGH, de maneira que cada linha da matriz contenha coordenadas de um ponto,

com a abscissa na primeira coluna e a ordenada na segunda coluna.

d) Escreva uma matriz C(4X2 de tal forma que A+C=B.

Figura 77: Tarefa apresentada na situação 1. Fonte: Caderno do aluno, 2009, p. 3

209

A situação de aprendizagem 2 trabalha com as matrizes de codificação,

sendo uma nova tarefa, articulada com a construção de figuras geométricas planas e

espaciais, como é possível observar na figura seguinte.

As outras duas situações introduzem as noções de sistemas lineares e

determinantes. A terceira desenvolve os sistemas lineares por meio de situações

contextualizadas, cabendo ao professor verificar qual o melhor momento de

introduzir uma das várias técnicas de resolução. Esta figura é representativa:



210

Já, na quarta situação de aprendizagem, é trabalhada a resolução de sistemas

por meio dos métodos de escalonamento e do algoritmo, para calcular

determinantes.Também são disponibilizadas tarefas que envolvem a articulação por

meio das figuras planas no eixo cartesiano. Abaixo, apresenta-se uma das tarefas da

quarta situação.

Após essa breve descrição das situações contextualizadas utilizadas para

introduzir as noções de matrizes, determinantes e sistemas lineares, o texto expõe

ao professor qual o papel do Caderno: trata-se apenas de introduzir a noção,

utilizando como motivação suas possíveis aplicações em diferentes contextos, como

os apresentados acima. O Quadro 35 deixa evidente a necessidade de o professor

complementar o estudo de matrizes, determinantes e sistemas lineares, pois,

quando se consideram as tarefas habituais identificadas no capítulo 5 da presente

pesquisa, observa-se que existe espaço para que os professores trabalhem outras

tarefas e situações, uma vez que nem todas são contempladas no Caderno da nova

proposta.

Situação de aprendizagem 1 - Matrizes: diferentes significados:

- Operações entre duas matrizes - Matriz de compensação - Resolução de imagens: os pixels - Matrizes e o princípio da tomografia

Figura 80: Tarefa apresentada na situação 4. Fonte: Caderno do aluno, 2009, p. 46-47

211

Situação de aprendizagem 2 – Matriz de codificação: desenhando com matrizes Situação de aprendizagem 3 – Sistemas lineares em situações-problema Situação de aprendizagem 4 – Resolução de sistemas lineares: escalonamento x Cramer

Quadro 35: Conteúdos desenvolvidos no Caderno com relação às noções de matrizes.

Para melhor justificar a afirmação acima, na sequência, apresenta-se o topos do

professor, isto é, as tarefas resolvidas que envolvem a noção matricial; e o que

representa a parte do estudante, no Caderno do aluno, com as proporções das

tarefas identificadas no capítulo 5:

Tabela 15: Tarefas desenvolvidas na obra – Caderno do aluno TAREFAS QUANTIDADE

EXERCÍCIO PROFESSOR


QUANTIDADE EXERCÍICIO ESTUDANTE


Tarefa 1: Tipos de matrizes e suas representações 3 37,5 9 42,9

Tarefa 2: Representação algébrica de uma matriz 3 37,5 2 9,5

Tarefa 3: Matrizes especiais 2 25,0 - -

Tarefa 4: Igualdade entre matrizes - - - -

Tarefa 5: Adição de matrizes - - 4 19,0

Tarefa 6: Multiplicação de número por matrizes - - 1 4,8

Tarefa 7: Multiplicação de matrizes - - 5 23,8

Tarefa 8: Matriz transposta - - - -

Tarefa 9: Matriz inversa - - - -

Tarefa 10: Equações matriciais - - - -

TOTAL 8 100% 21 100%

Na tabela 15 evidenciam-se as quantidades das tarefas disponibilizadas no

material, sendo perceptível que o trabalho do professor e do estudante deva ser

articulado em conjunto, pois, no Caderno do aluno existem poucos exercícios

resolvidos, cabendo ao professor efetuar um amplo discurso das técnicas a serem

empregadas e desenvolver conjuntamente com os estudantes as tarefas que

necessitem de diferentes caminhos para a execução da técnica, ou seja, é preciso

uma tecnologia que possibilite a compreensão e a utilização da técnica em outras

tarefas.

De todas as tarefas disponibilizadas, as tarefas 4, 8, 9 e 10 não são trabalhadas

de forma explícita, quer quando se considera o topos do professor, quer quando se

considera o topos do estudante. Ou seja, cabe ao professor propor atividades que

permitam trabalhar essas tarefas, utilizando, para isso, os livros didáticos que

212

provavelmente foram escolhidos e fornecidos aos estudantes pelo Programa

Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio.

Dessa forma, as tarefas que não são privilegiadas no Caderno do aluno

poderão ser introduzidas no curso por meio do livro didático ou de outros materiais

que o professor desejar incluir. Isso dá ao docente autonomia para desenvolver seu

curso, sem ficar limitado apenas ao trabalho com o Caderno da nova proposta.

Com relação às tarefas privilegiadas no topos do estudante, a tarefa 1, que

corresponde ao início dos estudos envolvendo a noção de matriz, é desenvolvida

com um índice de aproximadamente 43%, ou seja, no Caderno existe a

preocupação de mediar o aprendizado de forma que o estudante se aproprie do

conceito de matriz e de suas diferentes maneiras de tratamento, em função do

quadro em que as situações de aprendizagem são propostas, sempre recorrendo ao

ostensivo de representação matricial. Observa-se, ainda, que a representação

algébrica de matrizes corresponde a aproximadamente 10% das atividades

destinadas ao estudante, ou seja, não se trabalha apenas no quadro numérico, onde

a operação de adição e suas propriedades são as mesmas dos conjuntos

numéricos.

As outras tarefas desenvolvidas envolvem as operações, como, por exemplo, a

adição de matrizes, a multiplicação de um número real por uma matriz e a

multiplicação de matrizes, que estão contempladas nas tarefas 5, 6 e 7; as mais

trabalhadas são as tarefas 5 e 7, que correspondem a aproximadamente 20% e 24%

do que é disponibilizado para a prática pelos estudantes. Observa-se que a tarefa 7

é a que possui uma maior quantidade de exercícios de fixação, o que é

compreensível, pois, como afirmam Lima et al. (2006), a multiplicação de matrizes é

a grande novidade operacional, quando se introduz a noção de matriz, suas


Ressalta-se ainda que as únicas tarefas que ficam a cargo do professor, ou seja,

que, conforme nossa proposta de análise, correspondem ao topos do professor, são

as tarefas 1, 2 e 3. Portanto, as quantidades disponibilizadas ratificam que o

professor deva ser um mediador no processo de ensino, para que os estudantes

possam desenvolver com autonomia o que lhes é proposto.

213

Ainda com relação ao que foi detectado, encontram-se no Caderno do aluno

outras tarefas, que estão registradas no Quadro 36:

Tarefa: Translação de figura geométrica Tarefa: Matriz de compensação Tarefa: Resolução de imagens e matrizes Tarefa: Matrizes e o princípio da tomografia Tarefa: Matriz de codificação: desenho com matriz

Quadro 36: Outras tarefas desenvolvidas na obra – Caderno do aluno.

Esse quadro revela que o Caderno do aluno privilegia outras tarefas não

comumente encontradas nos livros didáticos, mas que utilizam as noções

trabalhadas nas dez tarefas propostas nesta pesquisa; ou seja, a obra desenvolve

temas contextualizados, fazendo com que o estudante perceba algumas aplicações

da noção em estudo.

A noção de matriz é parcialmente contemplada no Caderno do aluno, uma vez

que o material não desenvolve com os estudantes todas as tarefas disponibilizadas

na Tabela 15. Também a noção de sistema de equações lineares é desenvolvida no

material, porém articulada apenas por meio do ostensivo de representação de

sistema de equações lineares, sem levar em conta a representação matricial desses

sistemas. O método do escalonamento é desenvolvido diretamente sobre o sistema

linear, sem considerar o escalonamento da matriz dos coeficientes.

O material disponibilizado trabalha com os quadros definidos no 5º capítulo desta

pesquisa (quadro numérico, quadro matricial numérico, quadro da geométrica

métrica plana, quadro da geometria analítica, quadro dos determinantes e quadro

dos sistemas lineares), articulados, quando possível, cabendo ao professor, para

facilitar esse processo, propor outros exemplos que contribuam para o aprendizado.

O Caderno utiliza diferentes ostensivos que possibilitam ao estudante visualizar o

desenvolvimento das técnicas, que devem ser justificadas por meio dos não

ostensivos, o que permite utilizar um discurso tecnológico adequado, que ajude os

estudantes a identificar o conhecimento a ser aplicado para resolver as tarefas

propostas.

Após a análise da obra de Lima et al. (2006), do livro didático de Dante (2005b) e

do Caderno do aluno da nova proposta do estado de São Paulo, indicados para a

214

formação de professores e para o trabalho dos estudantes do Ensino Médio,

analisam-se duas obras indicadas para o Ensino Superior e que são indicadas na

bibliografia básica das universidades escolhidas para as análises apresentadas no

capítulo 4. Inicia-se pela obra de Callioli et al. (1983), que representa uma relação

institucional existente, indicada pelas quatro universidades investigadas, nos planos

de ensino do curso de Álgebra Linear estudados.

6.6 Análise da obra de Carlos Alberto Callioli et al. – Álgebra linear e aplicações.

6.6.1 Comentários e análise

A obra, apresentada em volume único, é destinada aos estudantes que

frequentam um curso de introdução à Álgebra Linear no Ensino Superior, e seu

primeiro capítulo efetua uma revisita às noções de sistemas de equações lineares e

matrizes.

Os autores iniciam pela noção de sistema de equações lineares, sendo

desenvolvidas as técnicas de resolução e, por meio da noção de sistemas

equivalentes, desenvolve-se o método do escalonamento, seguido das

possibilidades de discussão. O conjunto solução é apresentado por meio de uma

representação paramétrica, o que corresponde à passagem de uma representação

cartesiana para uma representação paramétrica.

Após revisitar a noção de sistemas de equações lineares, os autores abordam a

noção de matriz, suas operações e propriedades, iniciando esse estudo pelo quadro

matricial algébrico; em seguida, trabalham os conhecimentos relacionados às

matrizes especiais, a igualdade entre matrizes, operações com matrizes, matrizes

inversíveis, sistema de Cramer e, por fim, as matrizes elementares, o que é possível

observar no Quadro 37.

Matrizes:

- Linhas e colunas - Igualdade de matrizes

Operações com matrizes: - Adição - Multiplicação de uma matriz por um número - Multiplicação de matrizes

215

Matrizes invertíveis: - Determinação da inversa - Sistema de Cramer - Matrizes elementares


Conforme descrito nesse quadro, a obra privilegia todas as dez tarefas

identificadas no capítulo cinco desta pesquisa, que são apresentadas por meio de

exemplos resolvidos, ou seja, correspondem ao topos do professor, segundo a forma

de análise proposta neste trabalho.

Como esse primeiro capítulo da obra é uma revisita, supõe-se que os autores

considerem que os estudantes já detenham algumas noções com relação ao objeto

matricial que faz parte do conteúdo proposto para ser trabalhado no Ensino Médio.

Para melhor compreender o desenvolvimento da obra, apresenta-se, agora, uma

análise mais detalhada, por meio da grade de análise e estudando mais

especificamente o que corresponde ao topos do professor e do estudante.

Considerando a grade de análise e as tarefas nela identificadas, apresenta-se a

parte do trabalho do professor, isto é, as tarefas resolvidas que envolvem a noção

de matriz, suas operações e propriedades; e também o que representa a parte do

estudante: as tarefas propostas para ele, no capítulo, como descreve a Tabela 16.

Tabela 16: Tarefas desenvolvidas na obra de Carlos Alberto Callioli et al. TAREFAS QUANTIDADE

EXERCICIO PROFESSOR


QUANTIDADE EXERCICIO ESTUDANTE


Tarefa 1: Tipos de matrizes e suas representações 6 12,1% - -

Tarefa 2: Representação algébrica de uma matriz 1 2,0% - -

Tarefa 3: Matrizes especiais 2 4,1% 2 5,0%

Tarefa 4: Igualdade entre matrizes 4 8,2% - -


Tarefa 6: Multiplicação de número por matrizes 4 8,2% 4 10,3%




Tarefa 10: Equações matriciais 4 8,2% 5 12,8%

TOTAL 49 100% 39 100%

216

Como se vê, cabe ao professor trabalhar as dez tarefas, das quais a 7 e a 9 são

as mais solicitadas, pois correspondem, respectivamente, a 14% e 29% do que é

considerado como parte a ser desenvolvida pelo professor, o que mostra a

importância operacional do produto de matrizes e da determinação da inversa de

uma matriz, quando se considera a organização matemática proposta pelos autores.

Essa organização deixa evidente que os autores supõem disponíveis os conteúdos

sobre matrizes desenvolvidos no Ensino Médio.

Isso fica evidente, quando se considera o topos do estudante: nem todas as

tarefas são disponibilizadas para serem trabalhadas por eles. As tarefas 1, 2 e 4 não

são tratadas de forma explícita, mas são necessárias para que os estudantes

desenvolvam as outras tarefas, cabendo, então, ao professor efetuar uma revisita,

quando necessário. Ainda com relação aos exercícios propostos aos estudantes, fica

evidente que as tarefas 7 e 9 também são as mais solicitadas, correspondendo a

46% e 20%, respectivamente.

As tarefas não solicitadas aos estudantes são trabalhadas na parte que cabe ao

professor, ou seja, no que corresponde ao topos do professor; assim, é possível

efetuar um discurso e um tratamento para que os estudantes possam relembrar as

noções iniciais desse conteúdo. Porém, comparando os dois topos, ou seja, do

professor e do estudante, verifica-se que não existe um equilíbrio entre o número de

tarefas propostas aos dois grupos, o que permite supor que se espera que os

estudantes já disponham de conhecimentos sobre as matrizes, suas operações e

propriedades.

Os exercícios correspondentes às tarefas encontradas são trabalhados, de forma

geral, no quadro matricial algébrico e numérico, por meio dos ostensivos de

representação matricial, sendo necessário um discurso tecnológico que justifique as

técnicas utilizadas. Observa-se ainda que os ostensivos gestuais e orais devem

fazer parte do trabalho do professor, para melhor esclarecer as possíveis dúvidas

dos estudantes.

As tarefas apresentadas na obra privilegiam os níveis técnico e mobilizável,

deixando evidente o papel da noção de matriz no desenvolvimento do curso de

Álgebra Linear, ou seja, as matrizes, suas operações e propriedades são utilizadas

217

como ferramentas para o desenvolvimento de outros conceitos associados às

noções de espaço vetorial e transformações lineares.

Na obra são oferecidas duas novas tarefas, que não fazem parte das relações

institucionais existentes para o Ensino Médio e que deixam evidente o papel de

ferramenta da noção de matriz, quando se desenvolve o conceito de transformação

linear.O Quadro 38 apresenta essas tarefas:

Tarefa: Matriz de uma transformação linear Tarefa: Matriz elementar Tarefa: Matriz ortogonal

Quadro 38: Outras tarefas mobilizadas na obra de Carlos Alberto Callioli.

Essas novas tarefas não são trabalhadas no Ensino Médio, mas, em algumas

obras, são encontrados exemplos de transformações geométricas, quando se

desenvolve a noção de matriz; ou seja, ilustra-se, por meio da matriz da

transformação, sua aplicação para o desenvolvimento de softwares de computação

gráfica.

Nesta obra, o objetivo de efetuar esta revisita deve-se ao desenvolvimento das

demais noções vinculadas à disciplina de Álgebra Linear, e muitas tarefas

desencadeadas no Ensino Médio servem como ferramentas explícitas para a

solução de novas tarefas no Ensino Superior.

Analisa-se, em seguida, a obra de Anton, mais moderna que a anterior. O autor

inicia, introduzindo a Álgebra Linear para os espaços vetoriais de IRn, antes de

generalizar os resultados para outros espaços de dimensão finita.

6.7 Análise da obra de Howard Anton – Álgebra linear contemporânea.


A obra de Anton (2006), constituída de nove capítulos, trata de uma forma mais

moderna e articulada a introdução das noções de álgebra linear. A noção de

matrizes, suas operações e propriedades são apresentadas no terceiro capítulo, que

se inicia, introduzindo as operações matriciais. Os autores revisitam os diferentes

ostensivos de representação matricial e a terminologia utilizada para identificá-los. A

ênfase é dada aos ostensivos de representação algébrica e numérica.

218

Além dos exercícios resolvidos, que aqui são considerados como parte do topos

do professor, a obra apresenta uma sequência bem detalhada de tarefas separadas

pelas rubricas: exercícios, discussão e descoberta. Além disso, é dada ênfase às

demonstrações e às possibilidades de utilização de recursos computacionais. Isso

possibilita um trabalho mais orquestrado entre professores e estudantes, motivado

pela discussão, pela descoberta e pela utilização do computador como ferramenta

para evitar cálculos desnecessários, mostrando, ainda, a possibilidade de aplicação

das noções de álgebra linear em outras áreas do conhecimento.

O capítulo destinado ao ensino da noção de matriz é extenso, pois destina uma

parte para revisitar as noções que se supõe tenham sido desenvolvidas no Ensino

Médio, como é possível distinguir na relação de conteúdos apresentados no Quadro

39.

Operações com matrizes:

- Notação matricial e terminologia - Operações com matrizes - Vetores-linha e vetores-coluna - O produto Ax - O produto AB - Encontrando entradas específicas num produto de matrizes - Encontrando linhas ou colunas específicas num produto de matrizes - Produto matricial como combinação linear - Transposta de uma matriz - Traço - Produto matricial interno e externo

Inversas; propriedades algébricas de matrizes:

- Propriedades da adição de matrizes e da multiplicação por escalar - Propriedades da multiplicação matricial - Matrizes zero - Matrizes identidade - Inversa de uma matriz - Propriedades das inversas - Potências de uma matriz - Polinômios matriciais - Propriedades da transposta - Propriedades do traço - Transposta e produto escalar

Matrizes elementares; um método para obter A-1:

- Matrizes elementares - Caracterização de invertibilidade - Equivalências por linhas - Um algoritmo para inversão de matrizes - Resolvendo sistemas lineares por inversão de matrizes - Resolvendo múltiplos sistemas lineares com uma matriz de coeficientes comum - Consistência de sistemas lineares


219

Conforme o Quadro 39, a parte considerada como já trabalhada no Ensino Médio

permite revisitar as dez tarefas consideradas nesta pesquisa, o que é importante

para desenvolver a autonomia necessária para a resolução de outras tarefas

vinculadas à noção de matriz. Para isso, os autores disponibilizam novas tarefas,

associando-as às demais, e apresentam um desenvolvimento teórico suficiente para

sustentar as aplicações disponibilizadas na obra.

Para melhor compreender como são trabalhadas as tarefas usuais identificadas

no capítulo cinco, apresentam-se na Tabela 17 as tarefas resolvidas que envolvem a

noção matricial e que, nas análises, correspondem ao topos do professor; e as

tarefas propostas que representam o topos do estudante.

Tabela 17: Tarefas desenvolvidas na obra de Howard Anton TAREFAS QUANTIDADE

EXERCÍCIO PROFESSOR


QUANTIDADE EXERCÍCIO ESTUDANTE


Tarefa 1: Tipos de matrizes e suas representações - - 4 2,5%

Tarefa 2: Representação algébrica de uma matriz - - 2 1,3%

Tarefa 3: Matrizes especiais - - 5 3,2%

Tarefa 4: Igualdade entre matrizes 1 2,4% 14 8,9%


Tarefa 6 Multiplicação de número por matrizes 3 7,1% 18 11,5%




Tarefa 10: Equações matriciais 7 16,7% 14 8,9%

TOTAL 42 100% 157 100%

A Tabela 17 revela que, para o topos do professor, a obra não privilegia o trabalho

explícito com as tarefas 1, 2 e 3, e para estas não são fornecidos exemplos de

tarefas resolvidas. Como na obra de Callioli et al. (1983), as tarefas 7 e 9 são as

mais trabalhadas, com aproximadamente 33% e 26%, respectivamente, o que é

compreensível, pois elas trazem a novidade operacional tanto para os estudantes do

Ensino Médio como para os do Ensino Superior. A tarefa 10, que permite considerar

a teoria que justifica a tecnologia utilizada para desenvolver a técnica associada à

solução de equações matriciais, é trabalhada apenas por meio da técnica e da

220

tecnologia associadas, mas esse trabalho será retomado quando da introdução da

noção de espaço vetorial.

Observa-se, aqui, que, tanto em Anton (2006) como Callioli et al. (1983), a tarefa

10 é privilegiada, mas não se utiliza explicitamente esse resultado para mostrar a

importância e a economia de trabalho, quando se considera a noção de espaço

vetorial. Este, por sua vez, permite justificar a tecnologia que associa a solução de

equações matriciais e sistemas de equações matriciais às equações lineares e aos

sistemas de equações lineares e suas tecnologias, em geral conhecidas do

estudante, por já terem sido trabalhadas desde o Ensino Fundamental. Essa

articulação entre os diferentes conhecimentos é pouco explicitada nas obras

analisadas.

Para o topos do estudante, a obra privilegia todas as tarefas, muitas das quais

associadas em um mesmo exercício; novamente, as tarefas mais trabalhadas são as

de número 7 e 9, com 28% e 13%, respectivamente. A tarefa 10 também é pouco

privilegiada no trabalho a ser desenvolvido pelos estudantes; são considerados

ainda os sistemas de equações lineares matriciais, mas são colocadas em jogo

apenas as técnicas de resolução já trabalhadas no Ensino Fundamental e Médio

para resolver esse tipo de questão. Ou seja, não se articula a utilização das técnicas

e das tecnologias associadas à solução de equações lineares e sistemas de

equações lineares à noção de espaço vetorial. Nesta obra existem novas

tarefas, além das identificadas como já trabalhadas no Ensino Médio, o que exige

cuidado por parte do professor, que deve associá-las aos conhecimentos prévios de

seus estudantes e articulá-las com a noção de espaço vetorial, que permite justificar

as tecnologias desenvolvidas no Ensino Médio; em particular, quando se considera a

tarefa 10, isto é, a articulação entre os conhecimentos sobre matrizes, suas

operações e propriedades e a noção de espaço vetorial corresponde ao topos do

professor, que deverá encontrar um discurso adequado para desenvolver esse

trabalho com seus estudantes.

As novas tarefas apresentadas na obra de Anton (2006) mostram algumas das

possibilidades de articulação entre as noções de matrizes, suas operações e

propriedades e as noções associadas à estrutura de espaço vetorial de dimensão

infinita, desenvolvidas na disciplina de Álgebra Linear, como revela o Quadro 40.

221

Tarefa: Vetores-linha e vetores coluna Tarefa: Entradas específicas num produto de matrizes Tarefa: Produto matricial como combinação linear Tarefa: Traço Tarefa: Produto matricial interno e externo Tarefa: Matriz de uma transformação linear Tarefa: Potência de uma matriz Tarefa: Matrizes elementares

Quadro 40: Outras tarefas mobilizadas na obra de Howard Anton

Para exemplificar as noções adquiridas, a obra apresenta uma tarefa associada

ao funcionamento de um braço mecânico, cuja simulação é desenvolvida por meio

de uma transformação linear, exposta na Figura 81, abaixo.

Observa-se que as novas tarefas consideradas pelos autores necessitam de

conhecimentos referentes às dez tarefas introdutórias da noção de matriz, de suas

operações e propriedades desenvolvidas a partir do Ensino Médio; ou seja, revisitar

Figura 81: Tarefa associada ao braço mecânico. Fonte: Anton, 2006, p. 117-118

222

as noções trabalhadas anteriormente fica a cargo do professor, que deve considerar

os conhecimentos prévios de seus estudantes.

Ressalta-se ainda que os autores propõem momentos privilegiados chamados de

“discussão e descoberta”, “trabalhando com provas” e “usando recursos

computacionais”, que são formas inovadoras que podem auxiliar os professores a

discutir com seus estudantes a importância da álgebra linear para o desenvolvimento

da ciência.

Finalizando, apresenta-se uma breve consideração sobre os resultados da análise

das diferentes obras, em função das questões colocadas no início do capítulo.

6.8 Considerações finais sobre o capítulo

Neste capítulo, as noções de matrizes, suas operações e propriedades são

abordadas por meio de tecnologias que justificam o desenvolvimento das técnicas

que permitem resolver tarefas de identificação de matrizes, adição e multiplicação

por um número, mas essas operações não são tratadas como leis internas e

externas, e não se faz nenhuma alusão às propriedades que as sustentam. O

mesmo ocorre para a multiplicação de matrizes e a determinação de sua inversa, ou

seja, a noção de matriz, de suas operações e propriedades é trabalhada apenas

como ferramenta do trabalho matemático a ser desenvolvido, quando se introduz a

noção de sistemas lineares.

Observando o tratamento que é dado a tal noção, no Ensino Médio, por meio

das propostas institucionais e dos livros analisados; e, no Ensino Superior, via

planos de ensino e referências bibliográficas, que aqui são consideradas como as

praxeologias desenvolvidas pelos professores, conclui-se que, existindo uma

proposta de tratamento no Ensino Médio, as obras indicadas nos planos de ensino

para os cursos de licenciatura estudados prevêem uma revisita aos conteúdos, o

que pode ficar a cargo tanto dos professores como dos estudantes, cabendo aos

primeiros verificar a possibilidade de os últimos efetuarem esse trabalho e articulá-lo

com as noções de álgebra linear, no decorrer do curso. Ao introduzir a noção de

espaço vetorial, podem-se verificar as propriedades e mostrar que o conjunto das

matrizes, munido das operações de adição e multiplicação por escalar, é um espaço

223

vetorial; e, portanto, podem-se trabalhar as equações matriciais e os sistemas de

equações lineares da mesma forma que os espaços vetoriais de IRn.

Observa-se que o livro escolhido para análise das relações institucionais existente

no Ensino Médio foi a obra Dante (2005b), por ser uma obra novamente bem

avaliada pelo PNLEM (2009) e que aborda todas as tarefas propostas no quinto

capítulo desta pesquisa; ou seja, do ponto de vista deste trabalho, pode-se

considerar que os estudantes, ao utilizarem esse material, terão a oportunidade de,

pelo menos, mobilizar as noções relacionadas aos conhecimentos da noção matricial

e articulá-las com outros conhecimentos já desenvolvidos no Ensino Médio. Existe

ainda a preocupação do autor em motivar o estudo desse conteúdo por meio das

aplicações das transformações geométricas em computação gráfica.

Analisou-se também o Caderno do aluno, vinculado à Nova Proposta Curricular

do Estado de São Paulo (2008). Constatou-se que ele não contempla todas as

tarefas identificadas como usuais no Ensino Médio, mas oferece apenas uma parte

do trabalho a ser desenvolvido em sala de aula, e o professor pode complementá-lo

com recursos próprios ou com o uso do livro didático, dependendo da turma e das

expectativas de seus estudantes.

A escolha do livro de Lima et al. (2006) está associada ao trabalho proposto na

obra, que é indicado para a formação de professores e estudantes que pretendem

melhorar seus conhecimentos. O autor não trabalha as tarefas do Ensino Médio, que

são consideradas ferramentas explícitas do trabalho a ser realizado. Nessa obra

encontra-se um discurso que indica quais as teorias que justificam as tecnologias

empregadas nas técnicas desenvolvidas no Ensino Médio, ou seja, faz-se a inter-

relação entre os conhecimentos desenvolvidos no Ensino Médio e o que será

posteriormente tratado na disciplina de Álgebra Linear, mesmo sendo deixadas as

definições e as demonstrações para serem desenvolvidas no próprio curso de

Álgebra Linear.

O obra de Lima et al. (2006) não é contemplada nas bibliografias da disciplina de

Álgebra Linear dos cursos considerados nesta pesquisa, mas poderia ser um

material motivador para o futuro professor, que nela pode encontrar meios para

224

justificar para seus estudantes a importância do estudo da noção de matriz, suas


Para o Ensino Superior, considerou-se a obra de Callioli et al. (1983) que, apesar

de antiga, ainda integra a bibliografia básica de alguns cursos de licenciatura. Para

as análises aqui apresentadas, observou-se que a obra revisita a noção de matriz,

suas operações e propriedades e propõe tarefas do mesmo tipo das que se supõe

tenham sido trabalhadas no Ensino Médio, antes de introduzir a noção axiomática de

espaço vetorial e mostrar que o conjunto das matrizes com as operações de adição

e multiplicação por escalar é um espaço vetorial sobre IR, ou seja, os autores

utilizam os conhecimentos prévios dos estudantes como apoio para introduzir a

noção de espaço vetorial.

Outro livro do Ensino Superior analisado neste capítulo é a obra de Anton (2006),

que efetua um tratamento moderno do ensino das noções de álgebra linear. Com

base no capítulo analisado, observa-se que o autor se preocupa em articular os

conhecimentos sobre matrizes de que os estudantes já dispõem com as

propriedades das operações de adição e multiplicação por um número, antes de

introduzir a noção axiomática de espaço vetorial.

Dessa forma, observou-se que existe uma preocupação em revisitar os conteúdos

sobre matrizes, suas operações e propriedades e as respectivas técnicas e

tecnologias, antes de justificar essas tecnologias por meio da teoria que lhes é

associada. A noção de espaço vetorial permite justificar as propriedades utilizadas

para as operações de adição e multiplicação por um número e a associação de uma

matriz a uma transformação linear que possibilita definir naturalmente o produto de

duas matrizes como a composta de duas transformações lineares, ou seja, articula-

se a noção de matriz com a noção de transformação linear que será útil,

dependendo do trabalho a ser realizado. Por exemplo, quando se trabalha com as

transformações geométricas, utilizando o computador, a matriz da transformação é

mais adequada para efetuá-la.

Nas diferentes obras analisadas, os diferentes quadros considerados nesta

pesquisa aparecem com maior ou menor intensidade, dependendo da proposta do

autor. As obras de Dante (2005b) para o Ensino Médio e Anton (2006) para o Ensino

225

Superior são as que mais trabalham com a articulação entre o quadro das matrizes e

outros quadros.

Em todas as obras analisadas, os autores julgaram importante justificar as

técnicas desenvolvidas utilizando os não ostensivos que se supõe fazer parte dos

conhecimentos prévios dos estudantes, o que os auxilia a melhor compreender o

trabalho matemático que está sendo realizado. Nesse momento, cabe ao professor

identificar as dificuldades e revisitar os conteúdos, quando necessário.

Observou-se ainda que os ostensivos de representação escrita e figural são os

mais utilizados, o que é compreensível, uma vez que se trata de obras escritas, e os

ostensivos orais e gestuais ficam a cargo do professor. Em relação aos ostensivos

orais, parece-nos que a obra de Lima et al. (2006) pode ser de grande utilidade, uma

vez que nela se encontram justificativas relacionadas tanto ao trabalho matemático a

ser desenvolvido como às possíveis articulações com outras noções.

Finalmente, verifica-se que as obras iniciam a abordagem da noção de matriz,

suas operações e propriedades por meio das técnicas associadas a essas

operações e, gradualmente, vão articulando os diferentes quadros e propondo

aplicações em que é preciso mobilizar e, mesmo, dispor de conhecimentos sobre

matrizes e suas operações. Cabe ao professor desenvolver esse trabalho em função

das diferentes turmas, refletindo e propondo ações que auxiliem seus estudantes a

obter o máximo aproveitamento no processo de ensino e aprendizagem relacionado

às noções matriciais que, em determinado momento, serão uma importante

ferramenta para articular os outros conhecimentos, em particular, na disciplina de

Álgebra Linear, para os que seguem os cursos de Matemática e Licenciatura em

Matemática e em outras disciplinas, dependendo do curso escolhido.

226

CAPÍTULO 7 ANÁLISE DAS RELAÇÕES PESSOAIS ESPERADAS DOS

ESTUDANTES POR MEIO DAS MACROAVALIAÇÕES: SARESP, ENEM, FUVEST E ENADE


As análises precedentes das relações institucionais esperadas e existentes sobre

a noção de matriz, suas operações e propriedades mostram que existe um trabalho

desenvolvido no Ensino Médio sobre esse conceito que pode ser considerado como

conhecimento prévio, pelo menos mobilizável, num curso introdutório de Álgebra

Linear no Ensino Superior.

Para identificar que tipo de relações pessoais é esperado dos estudantes que

terminam o Ensino Médio e se as expectativas institucionais estão em conformidade

com as relações institucionais esperadas e existentes, analisa-se, via Avaliação do

Rendimento Escolar do Estado de São Paulo – SARESP, Exame Nacional do Ensino

Médio – ENEM, exame da Fundação Universitária para o Vestibular – FUVEST, se

os tipos de tarefas encontrados nesses exames são aqueles que compõem a nossa

grade de tarefas usualmente desenvolvidas no Ensino Médio.

A mesma proposta de análise é feita para o Exame Nacional de Desempenho de

Estudantes – ENADE, para examinar se existe coerência entre o trabalho que, em

geral, é desenvolvido nas diferentes instituições de ensino e os conhecimentos que

se espera que os estudantes apresentem ao final dessas duas etapas escolares.

Para isso, inicia-se apresentando uma breve descrição dos programas das

avaliações escolhidas para esse estudo.

O Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo –

SARESP, aplicado aos estudantes do 3º ano do Ensino Médio, tem como objetivo

avaliar a qualidade do curso e perceber quais conhecimentos podem ser, pelo

menos, mobilizados pelos estudantes que terminam essa etapa escolar.

227

O Exame Nacional do Ensino Médio – ENEM, é oferecido a todos os estudantes

concluintes do Ensino Médio e é atualmente utilizado por diversas universidades

como uma das formas de avaliação para iniciar um curso universitário, servindo,

ainda, para a distribuição de bolsas de estudos em universidades privadas.

O exame aplicado pela Fundação Universitária para o Vestibular – FUVEST é

exclusivo para os estudantes que desejam prosseguir seus estudos na Universidade

de São Paulo, que disponibiliza vários cursos superiores de reconhecida qualidade.

As avaliações acima correspondem a exames de término do Ensino Médio e

entrada no Ensino Superior e têm caráter classificatório.

Para o Ensino Superior existe um exame de avaliação dos cursos: Exame

Nacional de Desempenho de Estudantes – ENADE, analisado neste trabalho para

mostrar a evolução necessária dos estudantes na transição entre o Ensino Médio e

Superior.

Jamal (2004) considera o vestibular um sinalizador da seleção de conteúdos e,

mesmo, de sua abordagem nas instituições de nível médio. Considerando essa

possibilidade, analisam-se os conhecimentos sobre a noção de matrizes, suas

operações e propriedades por meio das tarefas em que esse conceito desempenha

o papel de ferramenta ou objeto para sua solução nos exames escolhidos.

Analisando os programas indicados para essas avaliações em relação à noção de

matriz e as tarefas que utilizam esta noção, observa-se que nem todas as noções

associadas às matrizes são desenvolvidas nessas provas e exames.

Na sequência, faz-se uma breve identificação entre as noções que se espera

desenvolver nas instituições de Ensino Médio e as expectativas institucionais em

relação aos conhecimentos que os estudantes devem possuir ao final dessa etapa

escolar.

228

7.2 Relações institucionais esperadas e existentes x Relações pessoais esperadas

Com relação às noções desenvolvidas no Ensino Médio, destaca-se uma relação

de conteúdos23 relacionados com os três eixos, propostos pelos Parâmetros

Curriculares Nacionais + (BRASIL, 2002), e que foram verificados por meio dos

livros indicados pelo Catálogo Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio

(BRASIL, 2009), do qual se retiraram as noções registradas abaixo (Tabela 18).

Conforme os Parâmetros Curriculares Nacionais + (BRASIL, 2002), os conteúdos

relacionados na Tabela 18 não devem ser trabalhados de forma estanque, mas

articulados entre si, de forma intencional, consolidando temas já desenvolvidos em

etapas anteriores. Para análise das macroavaliações registra-se no Anexo XLVIX, o

que se espera como conhecimento disponível

Após essa breve apresentação, passa-se à análise das avaliações escolhidas.

23 Algumas noções registradas não constam da tabela de conteúdos presentes no PCN+ (BRASIL, 2002), mas fazem parte dos respectivos eixos, conforme registrado na Tabela 18.

Tabela 18: Eixos dos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. ÁLGEBRA: NÚMEROS E FUNÇÕES. GEOMETRIA E MEDIDAS.

- Noção de conjuntos numéricos e õ

- Noção de geometria métrica plana; - Noção de função - Noção de geometria métrica espacial; - Noção de função polinomial - Noção de geometria analítica; - Noção de função modular Eixo de geometria e medidas. - Noção de função exponencial e

l í i- Noção de função trigonométrica

- Noção de sequência numérica ANÁLISE DE DADOS. - Noção de matrizes e determinantes - Noção de matemática financeira; - Noção de sistema linear - Noção de análise combinatória; - Noção de números complexos - Noção de probabilidade; - Noção de polinômios e suas equações - Noção de estatística.

Eixo de álgebra: números e funções

Eixo de análise de dados. Fonte: Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (+). (BRASIL, 2002).

229

7.3 Análise das avaliações escolhidas.

Para a apresentação das análises efetuadas, inicia-se com um comentário sobre

o programa, que permite mostrar a apresentação geral do projeto; em seguida,

analisam-se as provas, procurando identificar as noções associadas aos conceitos

de matrizes, suas operações e propriedades e que tipos de tarefas são privilegiados

nessas avaliações, isto é, que conhecimentos são considerados necessários para os

estudantes que terminam uma determinada etapa escolar. A tabela 19 indica as

avaliações aplicadas a partir de 2005, ano escolhido para iniciar as análises. em

razão de ter o ENADE começado a ser aplicado nessa data.

As avaliações analisadas estão dispostas abaixo (Tabela 19).

TABELA 19: Avaliações analisadas. AVALIAÇÕES 2005 2006 2007 2008 2009

SARESP – SISTEMA DE AVALIAÇÃO DO RENDIMENTO ESCOLAR DO ESTADO DE SÃO PAULO24.

SIM SIM SIM SIM

ENEM – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO.

SIM SIM SIM SIM SIM

FUVEST – FUNDAÇÃO UNIVERSITÁRIA PARA O VESTIBULAR.

SIM SIM SIM SIM SIM

ENADE - EXAME NACIONAL DE DESEMPENHO DE ESTUDANTES25.

SIM SIM

Com base na tabela acima, a análise das provas do Ensino Médio consideradas

nesta pesquisa será conduzida por meio das seguintes questões:

a) A noção de matriz, suas operações e propriedades estão presentes para

serem pelo menos mobilizadas nas avaliações pelos estudantes do Ensino

Médio?

b) As noções de sistemas de equações lineares representadas por meio de

matrizes são disponibilizadas nestas avaliações?

Já as análises das provas referentes aos conteúdos relacionados ao Ensino

Superior serão conduzidas por meio das seguintes questões:

24 O Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo não aconteceu no ano de 2006. 25 Este exame não aconteceu nos anos de 2006, 2007 e 2009 para o curso de matemática, pois é uma avaliação aplicada a cada três anos, duração do curso de licenciatura em Matemática. A prova é aplicada para os que frequentaram seis meses de curso e os que estão terminando o curso, de forma a analisar a evolução dos

230

a) A noção de matriz de uma transformação linear está presente para ser, pelo

menos, mobilizada pelos estudantes do Ensino Superior?

b) Nas tarefas, quais conteúdos requerem conhecimentos pelo menos

mobilizáveis sobre as noções de matrizes e de matrizes de uma transformação

linear?

Inicia-se apresentando as análises do SARESP: identificam-se, por meio da grade

de análise construída e descrita no quinto capítulo deste trabalho, as tarefas que são

privilegiadas nessa avaliação, isto é, define-se que conhecimento é suposto pelo

menos mobilizável e se ele é compatível com as relações institucionais esperadas e

existentes.

7.4 Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo - SARESP.

7.4.1 Comentários e Análise

O Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo é

realizado pela Secretaria de Educação do Estado de São Paulo desde 1996, com a

finalidade de fornecer informações consistentes com relação à situação da

escolaridade básica na rede estadual de ensino, com o objetivo de orientar gestores

do ensino no monitoramento das políticas voltadas para a melhoria da qualidade

educacional.

Na Tabela 20 registra-se um panorama das aplicações do Sistema de Avaliação

do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo referente ao Ensino Médio desde

2005.

TABELA 20: Panorama das aplicações.

SÉRIES DO ENSINO MÉDIO 2005 200626 2007 2008 2009

PRIMEIRA SÉRIE DO ENSINO MÉDIO SIM SEGUNDA SÉRIE DO ENSINO MÉDIO SIM TERCEIRA SÉRIE DO ENSINO MÉDIO SIM SIM SIM SIM

estudantes de um mesmo grupo e avaliar se o trabalho realizado pela instituição é adequado, ou seja, trata‐se de uma avaliação da instituição.

231

Em 2005 o Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São

Paulo27 foi aplicado nas três séries do Ensino Médio, mas, a partir de 2006, sofreu

uma reestruturação e passou a ser aplicado nas séries concluintes. As análises

baseiam-se apenas nos conteúdos desenvolvidos nessas avaliações em relação à

noção de matriz e naqueles que utilizam essa noção. Não se referem, portanto, aos

resultados alcançados pelos estudantes.

A apresentação seguinte diz respeito às tarefas abordadas nas avaliações com

relação à noção de matriz e aos conteúdos que utilizam esta noção para

desenvolvimento e solução, como, por exemplo, os sistemas lineares, algumas

noções de geometria analítica, entre outros. Apresenta-se também um panorama

dos conteúdos abordados nesta avaliação, pois constatou-se que algumas noções

não são desenvolvidas em algumas provas, a exemplo da noção de matriz, que

deixa, muitas vezes, de ser um objeto matemático explícito e passa atuar apenas

como ferramenta para solução de determinadas tarefas.

Com relação à noção de matriz, verifica-se, conforme dados da Tabela 21, que

não é tratada explicitamente nas tarefas propostas aos estudantes, tendo aparecido

apenas em 2005.

TABELA 21 - Conteúdos do Ensino Eédio mobilizados no SARESP CONTEÚDO 2005 2006 2007 2008 2009 MÉDIA

A NOÇÃO DE CONJUNTO NUMÉRICO E OPERAÇÕES - 2,5% 4,0% 12,5% 4,8%

B NOÇÃO DE FUNÇÃO 5,0% 6,0% 4,0% - 3,7%

C NOÇÃO DE FUNÇÃO POLINOMIAL 13,0% 20,0% 8,0% 17,0% 14,5%

D NOÇÃO DE FUNÇÃO MODULAR - - - - -

E NOÇÃO DE FUNÇÃO: EXPONENCIAL, LOGARÍTMICA E OPERAÇÕES 5,0% 1,0% 6,0% 4% 4,0%

F NOÇÃO DE TRIGONOMETRIA E SUAS FUNÇÕES 7,5% 10,0% 4,0% - 5,4%

G NOÇÃO DE SEQUÊNCIA NUMÉRICA 8,0% 6,0% 8,0% 4,0% 6,5%

H NOÇÃO DE MATRIZES E DETERMINATES 1,0% - - - 0,3%

I NOÇÃO DE SISTEMA LINEAR 2,5% 5,0% 4,0% 4,0% 4,0%

26 O Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo não aconteceu neste ano. 27 Este sistema de avaliação também é aplicado ao Ensino Fundamental.

232

J NOÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS E OPERAÇÕES 1,0% - 3,0% - 1,0%

K NOÇÃO DE POLINÔMIO E SUAS EQUAÇÕES 1,0% - 1,5% - 0,6%

L NOÇÃO DE GEOMETRIA PLANA E MEDIDAS 5,0% 11,0% 14,5% 21,0% 12,8%

M NOÇÃO DE GEOMETRIA ESPACIAL E MEDIDAS 8,0% 11,0% 13,5% 8,5% 10,0%

N NOÇÃO DE GEOMETRIA ANALÍTICA 14,0% 5,0% 9,5% 4,0% 8,0%

O NOÇÃO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA 8,0% 4,0% 1,5% - 3,4%

P NOÇÃO DE ANÁLISE COMBINATÓRIA 5,0% 4,0% 4,0% 8,5% 5,4%

Q NOÇÃO DE PROBABILIDADE 2,5% 6,0% 5,5% - 3,5%

R NOÇÃO DE ESTATÍSTICA E INTERPRETAÇÃO 13,0% 9,0% 9,5% 17,7% 12,1%

TOTAL 100% 100% 100% 100% 100%

No panorama descrito acima (Tabela 21), a média da utilização de questões que

utilizam a noção de matriz, mobilizadas de forma explícita, é pequena, quando se

considera a proporção das outras noções, como função polinomial, geometria plana,

geometria espacial e estatística; mas as noções matriciais podem ser articuladas

quando da resolução de outras tarefas que envolvem as noções de sistemas

lineares e geometria analítica, já que o estudante pode mobilizar a noção de matriz

para solução desse tipo de tarefa.

Analisam-se, em seguida, nas avaliações do SARESP, os diferentes tipos de

tarefas encontrados, para cuja solução a noção de matriz, suas operações e

propriedades funcionam como um conhecimento pelo menos mobilizável.

O primeiro tipo corresponde ao estudo das soluções particulares e do conjunto

solução de um sistema de equações lineares, como mostra o exemplo da Figura 82:

233

Essa tarefa pode ser resolvida de formas diferentes, dependendo do

conhecimento prévio dos estudantes. Mas, quando se considera a possibilidade de o

estudante utilizar as noções de matriz e determinante de uma matriz, ele deve dispor

de conhecimentos sobre o ostensivo de representação matricial de um sistema de

equações lineares para retirar do sistema dado a matriz de seus coeficientes e

calcular o determinante dessa matriz, que é igual a zero, o que permite concluir que

o sistema é indeterminado ou impossível.

Aplicando o método do escalonamento ou de Gauss no sistema dado ou na

matriz aumentada do sistema, conclui-se que o mesmo é impossível. Nesse caso,

calcular o determinante da matriz dos coeficientes auxilia a controlar o resultado.

Outro tipo de tarefa encontrada associa apenas a representação matricial de um

sistema de equações lineares:

Considere o sistema ⎩⎨⎧

=+=+

26961664

yxyx

A única alternativa correta é:

(A) o sistema é impossível

(B) x=2 e y=1 é uma solução do sistema

(C) x=1 e y=2 é a única solução do sistema.

(D) existem infinitas soluções deste sistema.

Figura 82. Tarefa do SARESP. Fonte: SARESP 2005 – noite – 2ª série EM

234

Para responder corretamente à tarefa da Figura 83, basta que o estudante

mobilize seus conhecimentos sobre a representação de um sistema de equações

lineares na forma de matriz.

Na tarefa da Figura 84, o sistema de equações lineares é dado por meio de sua

representação matricial, o que pode conduzir os estudantes a calcular o

determinante da matriz dos coeficientes, que é igual a zero; logo, o sistema é

impossível ou indeterminado.

Para determinar a solução, em função da representação dada, espera-se que o

estudante mobilize seus conhecimentos sobre o método da matriz aumentada do

sistema, para concluir que o mesmo é indeterminado.

Pode-se ainda aplicar o método do escalonamento ou método de Gauss no

próprio sistema, mas, para isso, é preciso mobilizar conhecimentos sobre

Considere o sistema de três equações e três incógnitas, representado a seguir na forma matricial:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

241

642753321

zyx

.


(A) (4, 0, -1) é uma solução. (B) o sistema tem uma única solução. (C) o sistema é impossível. (D) o sistema é indeterminado.

O sistema ⎩⎨⎧

=+=+

3128153

yxyx

pode ser representado por:

(A) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3181

2153

yx

(B) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3181

2153

yx

(C) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3181

2513

yx

(D) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3181

2513

yx


235

multiplicação de matrizes e igualdade de duas matrizes e dispor de conhecimentos

sobre esse outro método.

Após os exemplos referentes à noção de sistemas de equações lineares, que

podem ser resolvidos utilizando a noção e a representação matricial, considera-se a

tarefa da Figura 85, associada ao quadro da geometria analítica, que utiliza como

ferramenta explícita para o cálculo da área de um triângulo, dadas as coordenadas

de seus vértices, a noção de determinante.

Observa-se, aqui, que a noção de determinante é uma ferramenta utilizada para

facilitar os cálculos, quando se determina a condição de alinhamento de três pontos

e é utilizada para definir a representação cartesiana de uma reta no plano; utilizando

essa ferramenta, deduz-se que a área de um triângulo, dada as coordenadas de

seus vértices, reduz-se ao cálculo do determinante de ordem 3, formado por esses

pontos e uma coluna de 1, que é o neutro da multiplicação para os números reais.

Na Figura 86, é apresentado o exemplo de três pontos colineares, para o qual se

aplica a condição de alinhamento de três pontos, que corresponde à determinação

da representação cartesiana de uma reta que passa por esses pontos e que, em

geral, conduz a considerar que o determinante de um ponto genérico e dois pontos

por onde passa a reta é igual a zero.

A área do triângulo ABC, cujos vértices estão indicados na figura abaixo, é


(A) 6 (B) 10 (C) 12 (D) 20

236

Na Figura 87, encontra-se outra questão de determinação da função afim, pois é

o gráfico de uma reta. Nesse caso, existem várias formas de determinar essa

função, como mostra Andrade (2006), e uma delas é por meio do método descrito

acima, em que se utiliza o determinante.

Na Figura 88, há o mesmo caso do da figura anterior, mas a diferença é que,

dado o gráfico, é preciso mobilizar conhecimentos sobre a identificação das

coordenadas dos pontos no gráfico, enquanto, no segundo exemplo, utilizam-se

diretamente os pontos dados. Dessa forma, é uma tarefa do mesmo tipo que a

anterior, em que a diferença corresponde aos ostensivos de representação dados no

enunciado.

No gráfico abaixo, você vê uma reta que corta o eixo X no ponto de abscissa 8, e o eixo Y no ponto de ordenada 6. A equação dessa reta é:


(A) 643

+−= xy (B) 643

+= xy

(C) 86 +−= xy (D) 86 += xy

Os pontos (1, 1), (3, 5) e (6, k) são colineares. O valor de k é: (A) ‐9 (B) 9 (C) 10 (D) 11


237

A tarefa da Figura 89, SARESP – 2007 distingue-se das anteriores, pois no

sistema é dado um parâmetro, e é em função dele que se pede para determinar as

condições de solução. Há, aqui, vários métodos para a solução, mas o mais

econômico é verificar para que valores de k o determinante dos coeficientes do

sistema é diferente de zero; ou seja, dispor da representação matricial de um

sistema linear e da noção de determinante e propriedade, associada ao conceito de

sistema de equações lineares, facilita a execução da tarefa.

A tarefa da Figura 90 pode ser resolvida pela aplicação direta de um dos métodos

de resolução de sistemas de equações lineares, incluindo o da matriz aumentada do

sistema; ou seja, o estudante pode utilizar o método que lhe seja mais conveniente,

A equação da reta que contém os pontos (1, 6) e (5, 4) é:

(A) 7+−= xy

(B) 2

112

+=xy

(C) 82 +−= xy

(D) 2

132

+−=xy

Figura 88. Tarefa do SARESP Fonte: SARESP 2005 – noite – 3ª série EM

Sobre o sistema nas variáveis x e y ⎩⎨⎧

=+=+32.

yxyxk

, em que k é uma constante real, é verdade

que o sistema

(A) admite uma única solução, se k≠1.

(B) admite infinitas soluções quaisquer que sejam os valores de k.

(C) é impossível, quaisquer que sejam os valores de k

(D) admite uma única solução, se k=1.

Figura 89. Tarefa do SARESP Fonte: SARESP 2007 – manhã – 3ª série EM

238

uma vez que já é indicado que o sistema tem uma única solução. Nesse caso, não é

necessário nenhum conhecimento sobre matrizes e determinantes.

Na tarefa seguinte, são dadas duas retas por meio dos ostensivos de

representação geométrico e algébrico e pede-se o ponto de interseção dessas duas

retas. Existem vários métodos para resolver essa tarefa, mas o mais simples é

considerar um sistema de duas equações e duas incógnitas, que pode ser resolvido

utilizando até um dos métodos desenvolvidos no Ensino Fundamental; ou seja, para

solução, a noção de matriz só será útil para aqueles que disponham do método da

matriz aumentada para resolvê-la. Isso deixa, mais uma vez, evidente que a noção

de matriz e determinante de uma matriz é uma ferramenta que pode ou não ser

empregada, dependendo da escolha para descrever, explicar e justificar esse tipo de

tarefa, que depende da técnica escolhida para desenvolvê-la.

Observa-se ainda que, para a tarefa da Figura 91, nenhum método é necessário,

e basta identificar o ponto de interseção das duas retas no sistema cartesiano

ortogonal. Ela pode ser resolvida de várias formas, dependendo dos conhecimentos

prévios dos estudantes que identificam as retas e reconhecem que as equações de

duas retas determinam um sistema linear cuja solução é a sua interseção.

Sendo (a, b, c) a solução do sistema de equações lineares, qual é o valor da soma a+b+c?

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−=+−

=+

12343

02

cbcba

ba

Figura 90. Tarefa do SARESP. Fonte: SARESP 2007 – tarde – 3ª série EM

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

239

Na tarefa da Figura 92 podem-se resolver todos os sistemas e verificar para qual

deles a solução é o par (x, y) dado, mas o mais econômico é o estudante substituir

os valores de x e y nas equações dadas e verificar para que sistema linear esse par

satisfaz as duas equações, ou seja, não são necessários conhecimentos sobre

matrizes, nem mesmo sobre sistemas de equações lineares para resolver a tarefa.

Já a tarefa da Figura 93 exige um método de resolução de sistemas equações

lineares para resolvê-la e, nesse caso, um dos métodos seria o da matriz aumentada

do sistema. Mas esse não é o modo mais econômico, pois os estudantes podem

recorrer aos métodos desenvolvidos no Ensino Fundamental.

O par (x; y)=(‐3; ‐6) é solução do sistema de equações:

(A)⎩⎨⎧

=+=−

033

yxyx (B)

⎩⎨⎧

−=−=−

302

yxyx (C)

⎩⎨⎧

=−−=+

02122

yxyx (D)

⎩⎨⎧

=−−=+

829

yxyx

Figura 92. Tarefa do SARESP Fonte: SARESP 2007 – noite – 3ª série EM

Na figura abaixo estão representadas as retas r, de equação y=-3x+b, e a reta t, de equação y=ax+1.

Figura 91. Tarefa do SARESP. Fonte: SARESP 2007 – tarde – 3ª série EM

A resolução do sistema formado por estas duas equações

(A) é dada por x=2 e y=3

(B) é dada por x=-3 e y=1

(C) depende do valor de a e b

(D) é dada por x=3 e y=2

240

Ainda, como nos casos anteriores, a tarefa da Figura 94 necessita que o

estudante disponha de um método de resolução de sistemas de equações lineares e

de situações de referência que o auxiliem a identificar que o conceito a ser utilizado

para modelar o que é dado no enunciado é a noção de sistemas de equações

lineares. Portanto, também nesse caso, a noção de matriz não é necessária para a

solução da tarefa.

Na tarefa da Figura 95, onde se pede a reta suporte que representa a posição da

escada, pode-se utilizar a noção de equação geral da reta, que é calculada por meio

de determinante. Por ser uma questão dirigida ao terceiro ano do Ensino Médio, a

solução proposta na Figura96 poderá corresponder a uma das técnicas utilizadas

pelos estudantes, pois as noções de Geometria Analítica no plano são

desenvolvidas nessa série. Mas eles podem recorrer aos métodos para determinar

uma função afim que, no caso, não seria o mais econômico.

Um clube promoveu um show de música popular brasileira ao qual compareceram 200 pessoas, entre sócios e não‐sócios. No total, o valor arrecadado foi de R$ 1400,00 e todas as pessoas pagaram ingresso.

O preço do ingresso era R$ 10,00, e cada sócio pagou metade desse valor. Pode‐se afirmar que o número de sócios presentes ao show foi

A) 100. B) 120. C) 140. D) 150.

Figura 94. Tarefa do SARESP Fonte: SARESP 2008 – 3ª série EM

As duas retas a e b, representadas na figura abaixo, têm as seguintes equações:

a: y=x+5 b: y=‐2x+11


O ponto P(m, n) é intersecção das duas retas.

O valor de m‐n é igual a:

(A) 1

(B) ‐2

(C) ‐5

(D) ‐7

241

Para essa tarefa, a noção de determinante de uma matriz serve apenas de

ferramenta explícita para o cálculo da equação da reta e não exige conhecimentos

sobre matrizes, suas operações e propriedades.

Após a análise de algumas tarefas extraídas do SARESP, registra-se um breve

comentário sobre este sistema de avaliação, que, para o Governo do Estado de São

Paulo, é um instrumento que pode catalisar o que está sendo realmente

desenvolvido nas inúmeras salas de aula, além de abrir um leque de discussão,

verificação e auto-estudo para os educadores em geral.

Conforme se verifica no panorama da Tabela 21, a noção de matriz não é pedida

de forma explícita nas tarefas que compõem o SARESP, mas, conforme alguns

exemplos apresentados, ela pode servir como ferramenta matemática explícita para

a solução de tarefas associadas às noções de sistemas de equações lineares e de

equação de uma reta no plano, quando se considera o seu estudo no quadro da

Geometria Analítica.

Figura 96. Solução do exemplo da Figura 95. (Desenvolvida pelo pesquisador)

Uma escada é encontrada numa parede, tocando‐a 4 m acima do chão e afastada 1 m da parede. Uma possível equação da reta suporte dessa escada, num sistema cartesiano convencional, em que a origem é o ponto de encontro da parede com o chão, é:

A) 14

=− yx B) 1

4=+

yx C) 5=+ yx D) 5=+ yx

Figura 95. Tarefa do SARESP. Fonte: SARESP 2008 – 3ª série EM

242

Dessa forma, a noção de matriz, suas operações e propriedades não é um

conhecimento que se pode considerar como pelo menos mobilizável para os

estudantes que terminam o Ensino Médio, pois apenas uma das tarefas tratava da

representação matricial de um sistema linear e, nas outras, a noção de determinante

de uma matriz pode ser aplicada, mas não é necessária; ou seja, é um

conhecimento que pode ser disponível para alguns estudantes.

Após a análise de algumas tarefas do Sistema de Avaliação do Rendimento

Escolar do Estado de São Paulo - SARESP, estuda-se, entre as tarefas do Exame

Nacional do Ensino Médio – ENEM, quais podem ser resolvidas por meio da noção

de matriz, suas operações e propriedades e se existe necessidade desse conceito

para a solução da tarefa.

7.5 Exame Nacional do Ensino Médio.

7.5.1 Comentários e Análises

O Exame Nacional do Ensino Médio foi criado em 1998 pelo Ministério da

Educação e consiste em uma prova que avalia a qualidade do Ensino Médio do

Brasil, sendo utilizada também como acesso ao Ensino Superior em Universidades

brasileiras.

Analisando os exames aplicados desde 2005, elabora-se um panorama que

fornece a porcentagem das diferentes noções matemáticas cobradas nessa

avaliação, que pode ser observado na tabela 22.

TABELA 22: Conteúdos do Ensino Médio mobilizados no ENEM

CONTEÚDO 2005 2006 2007 2008 2009 MÉDIA

A NOÇÃO DE CONJUNTO NUMÉRICO E OPERAÇÕES 5,0% - - - 5,0% 2,0%

B NOÇÃO DE FUNÇÃO - - - - 14,0% 2,8%

C NOÇÃO DE FUNÇÃO POLINOMIAL 15,0% - 5,0% 4,0% 2,0% 5,2%

D NOÇÃO DE FUNÇÃO MODULAR - - - - - -

E NOÇÃO DE FUNÇÃO: EXPONENCIAL, LOGARÍTMICA E OPERAÇÕES - - 5,0% - 2,0% 1,4%

F NOÇÃO DE TRIGONOMETRIA E SUAS FUNÇÕES - 6,0% - - - 1,2%

243

G NOÇÃO DE SEQUÊNCIA NUMÉRICA - - 11,0% 14,0% - 5,0%

H NOÇÃO DE MATRIZES E DETERMINANTES - - - - - -

I NOÇÃO DE SISTEMA LINEAR - - - - 2,0% 0,4%

J NOÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS E OPERAÇÕES - - - - - -

K NOÇÃO DE POLINÔMIO E SUAS EQUAÇÕES - - - - - -

L NOÇÃO DE GEOMETRIA PLANA E MEDIDAS - - - 14,0% 23,0% 7,4%

M NOÇÃO DE GEOMETRIA ESPACIAL E MEDIDAS 5,0% 12,0% 5,0% 4,0% 14,0% 8,0%

N NOÇÃO DE GEOMETRIA ANALÍTICA - - - 2,0% 0,4%

O NOÇÃO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA - - - 7,0% 2,0% 1,8%

P NOÇÃO DE ANÁLISE COMBINATÓRIA 5,0% - 5,0% - 5,0% 3,0%

Q NOÇÃO DE PROBABILIDADE - 6,0% 11,0% - 9,0% 5,2%

R NOÇÃO DE ESTATÍSTICA E INTERPRETAÇÃO 70,0% 76,0% 58,0% 57,0% 20,0% 56,2%

TOTAL 100% 100% 100% 100% 100% 100%

Conforme o panorama acima (Tabela 22), a noção de matriz não foi desenvolvida

de forma explícita em nenhuma das avaliações aqui consideradas, e as tarefas

associadas às noções de sistemas de equações lineares e geometria analítica, em

que a noção de matriz e determinante pode ser utilizada como ferramenta para sua

solução, foram introduzidas apenas no ano de 2009.

Para registrar, entre as tarefas pedidas no Exame Nacional do Ensino Médio –

ENEM, aquelas para as quais se podem utilizar as noções de matrizes e

determinantes, apresenta-se abaixo uma tarefa para mostrar essa possibilidade,

observando que, nesse caso, a noção de matriz não é necessária para seu

desenvolvimento.

244

Pode-se dizer que não existem tarefas em que o conhecimento de matrizes, suas

operações e propriedades são necessários para sua solução; logo, considerando o

ENEM, conclui-se que esse conhecimento não corresponde ao conjunto de

conhecimentos prévios pelo menos mobilizáveis ao final do Ensino Médio.

As demandas da noção de matrizes, suas operações e propriedades na avaliação

para a entrada na Universidade de São Paulo, o exame da Fundação Universitária

para o Vestibular – FUVEST serão consideradas a seguir.

7.6 Fundação Universitária para o Vestibular – FUVEST.


A Fundação Universitária para o Vestibular – FUVEST é uma instituição

responsável pela realização dos exames vestibulares de escolas de nível superior do

Estado de São Paulo, selecionando alunos para a Universidade de São Paulo –

USP, para a Academia de Polícia Militar do Barro Branco – APMBB e para a

Brasil e França têm relações comerciais há mais de 200 anos. Enquanto a França é a 5.ª nação mais rica do planeta, o Brasil é a 10.ª, e ambas se destacam na economia mundial. No entanto, devido a uma série de restrições, o comércio entre esses dois países ainda não éadequadamente explorado, como mostra a tabela seguinte, referente ao período 2003-2007.

Os dados da tabela mostram que, no período considerado, os valores médios dos investimentos da França no Brasil foram maiores que os investimentos do Brasil na Françaem um valor (A) inferior a 300 milhões de dólares. (B) superior a 300 milhões de dólares, mas inferior a 400 milhões de dólares. (C) superior a 400 milhões de dólares, mas inferior a 500 milhões de dólares. (D) superior a 500 milhões de dólares, mas inferior a 600 milhões de dólares. (E) superior a 600 milhões de dólares.

Figura 97: Tarefa do ENEM. Fonte: ENEM 2009

245

Faculdade de Ciências Médicas da Santa Casa de São Paulo – FCMSC-SP. Este

exame, o maior vestibular do Brasil, é realizado em duas fases.

A tabela oferece um panorama das noções matemáticas desenvolvidas nas

provas da FUVEST desde 200528, destacando as porcentagens correspondentes a

cada noção.

TABELA 23: Conteúdos do Ensino Médio mobilizados na FUVEST

CONTEÚDO 2006 2007 2008 2009 2010 MÉDIA

A NOÇÃO DE CONJUNTO NUMÉRICO E OPERAÇÕES - - - - - -

B NOÇÃO DE FUNÇÃO - - - 4,0% - 0,8%

C NOÇÃO DE FUNÇÃO POLINOMIAL 5,0% - - 4,0% 13,0% 4,4%

D NOÇÃO DE FUNÇÃO MODULAR - 5,0% - - 7,0% 2,4%

E NOÇÃO DE FUNÇÃO: EXPONENCIAL, LOGARÍTMICA E OPERAÇÕES 5,0% - 4,0% 4,0% 7,0% 4,0%

F NOÇÃO DE TRIGONOMETRIA E SUAS FUNÇÕES 14,0% 5,0% 13,0% 4,0% - 7,2%

G NOÇÃO DE SEQUÊNCIA NUMÉRICA 5,0% 10,0% 9,0% 4,0% 7,0% 7,0%

H NOÇÃO DE MATRIZES E DETERMINANTES - - - - - -

I NOÇÃO DE SISTEMA LINEAR 5,0% 10,0% 9,0% 5,0% - 5,8%

J NOÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS E OPERAÇÕES 5,0% - 5,0% - - 2,0%

K NOÇÃO DE POLINÔMIO E SUAS EQUAÇÕES - 5,0% 9,0% - - 2,8%

L NOÇÃO DE GEOMETRIA PLANA E MEDIDAS 10,0% 30,0% 9,0% 23,0% 32,0% 20,8%

M NOÇÃO DE GEOMETRIA ESPACIAL E MEDIDAS 14,0% 20,0% 13,0% 14,0% 7,0% 13,6%

N NOÇÃO DE GEOMETRIA ANALÍTICA 14,0% 5,0% 9,0% 14,0% 7,0% 9,8%

O NOÇÃO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA 9,0% - 5,0% 5,0% - 3,8%

P NOÇÃO DE ANÁLISE COMBINATÓRIA 9,0% 5,0% 5,0% 5,0% 7,0% 6,2%

Q NOÇÃO DE PROBABILIDADE - 5,0% 5,0% 5,0% - 3,0%

R NOÇÃO DE ESTATÍSTICA E INTERPRETAÇÃO 5,0% - 5,0% 9,0% 13,0% 6,4%

TOTAL 100% 100% 100% 100% 100% 100%

28 O vestibular efetuado pelos estudantes em 2005 é chamado de FUVEST 2006, pois o ingresso só se concretiza no ano posterior.

246

As noções de matrizes e determinantes, juntamente com a noção de conjunto

numérico e operações, foram as únicas noções que não foram pedidas

explicitamente na prova, mas observa-se que foram trabalhadas outras noções que

utilizam ou podem fazer apelo a objetos matrizes e determinantes, como ferramenta

explícita para sua solução, como, por exemplo, as noções de sistema de equações

lineares e geometria analítica, como já identificadas nas análises do SARESP e do

ENEM.

Constata-se que as noções de geometria, em geral, são os conceitos mais

pedidos nos últimos cinco anos de aplicação, e algumas tarefas necessitam da

articulação com outras noções para sua solução.

Na tarefa da Figura 98, pede-se explicitamente para que se mobilize a noção de

determinante e matriz dos coeficientes do sistema de equações lineares dado. Na

realidade, o estudo das possibilidades de solução do sistema dado, via a noção de

determinante da matriz de seus coeficientes, é o método mais econômico, mas aqui

só precisa ser mobilizado, pois o trabalho matemático a ser realizado é pedido

explicitamente no enunciado da tarefa.

Mesmo sendo a noção de determinante a mais econômica, existem outros

conhecimentos em jogo de que o estudante deve dispor para encontrar a solução da

tarefa; por exemplo, o Teorema de Jacobi29 e o Teorema Fundamental de Laplace30,

este último necessitando de conhecimentos relacionados às técnicas para

determinar o Menor Complementar31 e o Complemento Algébrico32 (Cofator).

29 Teorema de Jacobi: Seja uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou coluna) pelo mesmo número e somarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha (ou coluna), formando outra matriz, então o determinante da matriz inicial será igual ao determinante da matriz formada. (DANTE, 2005).

30 Teorema Fundamental de Laplace: O determinante de uma matriz quadrada de ordem n≥2 é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. (IEZZI, 1985).

31 Menor Complementar: Dada uma matriz quadrada de ordem n≥2 e seja aij um elemento da matriz, define‐se menor complementar do elemento aij como o determinante da matriz que se obtém, suprimindo a linha i e a coluna j da matriz. (IEZZI, 1985).

32 Complemento Algébrico: Dada uma matriz quadrada de ordem n≥2, e sendo aij um elemento da matriz, define‐se Complemento Algébrico ou Cofator do elemento aij como o número (‐1)i+j multiplicado pelo seu Menor Complementar. (IEZZI, 1985).

247

Para essa tarefa da FUVEST, os conhecimentos mobilizáveis e disponíveis em

relação às noções de matrizes e determinantes permitem supor que os estudantes

tenham trabalhado com essas noções não apenas como ferramentas para solução

de outros tipos de tarefas, mas como objetos do quadro matricial composto de

definições, propriedades, teoremas e proposições.

Nas Figuras 99 e 100, são apresentadas situações contextualizadas, nas quais o

estudante deve reconhecer, entre aquelas que pertencem ao seu sistema de

referência, as tarefas em que é preciso modelar os dados por meio de um sistema

de equações lineares e, em seguida, dispor de um método de resolução que não faz

necessariamente apelo às noções de matrizes e determinantes. Nesse caso, o

método mais econômico é o do escalonamento ou eliminação de Gauss, mas pode-

se utilizar o método da matriz aumentada do sistema, em que se escalona a matriz.

.

Figura 99: Tarefa da FUVEST. Fonte: FUVEST 2007 – 2ª FASE

Considere o sistema linear nas variáveis x, y e z:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=++=++

0)()(cos0)()(cos0)()(cos

22

22

22

zcsenyczbsenybxzasenyax

a) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes do sistema linear.

b) Para que valores de a, b e c o sistema linear admite soluções não triviais?

c) Calcule as soluções dos sistemas, quando 12 =asen e 51cos 2 =a


Se Amélia der R$ 3,00 a Lúcia, ambas ficarão com a mesma quantia. Se Maria der um terço do que tem a Lúcia, então esta ficará com R$ 6,00 a mais do que Amélia. Se Amélia perder a metade do que tem, ficará com uma quantia igual a um terço do que possui Maria.

Quanto possui cada uma das meninas: Amélia, Lúcia e Maria?

248

Já na tarefa da Figura 101, mesmo se tratando de um sistema de duas equações

e duas incógnitas, o fato de ser um sistema com parâmetros exige que os

estudantes mobilizem métodos adequados para a sua solução. Nesse caso, calcular

o determinante da matriz dos coeficientes pode auxiliar a controlar os resultados,

mesmo que os métodos de escalonamento e o de Gauss sejam os mais

econômicos. Mais uma vez, a noção de matriz e determinante de uma matriz é

apenas uma ferramenta de cálculo, não necessária para resolver a tarefa.

Observando-se o panorama descrito na Tabela 23, conclui-se que a noção de

matriz não é pedida de forma explícita para a solução das tarefas da FUVEST: ela

serve apenas de ferramenta para a sua solução, quando disponível, o que não é

necessário e pode ser utilizado apenas para auxiliar a controlar e justificar os

resultados encontrados.

Considere o sistema de equação nas variáveis x e y, dado por

⎩⎨⎧

=−+=−

0)12(2024 2

ymmxymx

a) Desse modo, resolva o sistema para m=1.

b) Determine todos os valores de m para os quais o sistema possui infinitas soluções.

c) Determine todos os valores de m para os quais o sistema admite uma solução da forma (x, y)=(α,1), sendo α um número irracional.


João entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambúrgueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastando R$ 21,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 hambúrgueres, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gastando R$ 57,00. Sabendo‐se que o preço de um hambúrguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada totaliza R$ 10,00, calcule o preço de cada um desses itens.


249

Após análise da avaliação da FUVEST, considera-se o Exame Nacional de

Desempenho de Estudantes – ENADE, destinado aos universitários matriculados

nos cursos que são investigados pelos órgãos responsáveis e vinculados ao

Ministério da Educação Cultura e Desporto – MEC. São obrigados a passar por essa

avaliação os estudantes que ingressam no primeiro ano do Ensino Superior e os que

estão matriculados no último ano do curso.

7.7 Exame Nacional de Desempenho de Estudantes

7.7.1 Comentários e Análises

O Exame Nacional de Desempenho de Estudantes inicialmente foi chamado de

Exame Nacional de Cursos – Provão. Foi aplicado aos formandos, no período de

1996 a 2003, com o objetivo de avaliar os resultados do processo de ensino-

aprendizagem dos cursos de graduação da Educação Superior. Na última edição,

em 2003, foram avaliadas 26 áreas: Administração, Agronomia, Arquitetura e

Urbanismo, Biologia, Ciências Contábeis, Direito, Economia, Enfermagem,

Engenharia Civil, Engenharia Elétrica, Engenharia Mecânica, Engenharia Química,

Farmácia, Física, Fonoaudiologia, Geografia, História, Jornalismo, Letras,

Matemática, Medicina, Medicina Veterinária, Odontologia, Pedagogia, Psicologia e

Química.

Em 14 de abril de 2004, foi criado, pela Lei n.º 10.861, o Sistema Nacional de

Avaliação Superior – SINAES, formado por três componentes: a avaliação das

instituições, dos cursos e do desempenho dos estudantes, avaliados com relação

aos componentes: o ensino, a pesquisa, a responsabilidade social, o desempenho

dos alunos, a gestão da instituição, o corpo docente, as instalações e vários outros

aspectos. Esse sistema possui uma série de instrumentos, entre eles o Exame

Nacional de Desempenho de Estudantes – ENADE, que é uma avaliação dos cursos

de graduação.

A avaliação dos cursos de graduação e os instrumentos de avaliação traçam

resultados que possibilitam verificar um panorama da qualidade dos cursos e das

instituições de educação superior no País, sendo todos estes processos

coordenados e supervisionados pela Comissão Nacional de Avaliação da Educação

250

Superior – CONAES, sob a responsabilidade do Instituto Nacional e Estudos e

Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira – INEP.

Com relação aos conteúdos desenvolvidos nas provas do Exame Nacional de

Desempenho de Estudantes (2005 e 2008), registram-se, na Tabela 24, os

conteúdos específicos relacionados às disciplinas do curso de licenciatura em

matemática, segundo as Diretrizes Curriculares Nacionais para Matemática (2001),

conforme segue.

TABELA 24: Conteúdos do Ensino Superior referente às disciplinas - ENADE

CONTEÚDO 2005 2006 2007 2008 2009 MÉDIA

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 24,0% 22,0% 23,0%

ÁLGEBRA LINEAR 9,0% 11,0% 10,0%

FUNDAMENTOS DE ANÁLISE 6,0% 6,0% 6,0%

FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 28,0% 39,0% 33,5%

FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA 24,0% 16,0% 20,0%

GEOMETRIA ANALÍTICA 9,0% 6,0% 7,5%

TOTAL 100% 100% 100%

A tabela 24 demonstra que as tarefas mais trabalhadas nas duas versões do

ENADE, referentes ao curso de Licenciatura em Matemática se encontram na

disciplina de Fundamentos de Álgebra, seguidas de questões pertencentes à

disciplina de Cálculo Diferencial e Integral; portanto, as questões relacionadas a

Álgebra Linear correspondem apenas a 10% do total, ou seja, tarefas relacionadas a

esta disciplina, são frequentemente pouco demandadas nos exames propostos.

Nas tarefas extraídas das duas versões do ENADE, verifica-se a articulação com

noções envolvendo o quadro das matrizes, determinantes e sistemas de equações

lineares, às vezes de forma explícita e outras vezes como ferramenta matemática

para solução de sistemas de equações lineares das tarefas de Geometria Analítica e

Álgebra Linear.

251

As transformações lineares e suas matrizes são demandadas nessa avaliação.

Assim, acredita-se que os estudantes devam dispor de conhecimentos relacionados

a Álgebra Linear, para solucionar o que é pedido.

Para melhor compreender os tipos de tarefas sobre a noção de matrizes, suas

operações e propriedades que foram pedidos nesse exame consideram-se os

exemplos abaixo.

Na tarefa da Figura 102, o enunciado é extenso, mas o que se pede não exige

conhecimentos desenvolvidos especificamente no Ensino Superior. Apesar de tratar

de uma situação contextualizada, da forma como a tarefa é enunciada, os

estudantes precisam apenas mobilizar seus conhecimentos sobre a noção de

sistemas de equações lineares. Neste caso, é preciso mobilizar também a noção de

determinante de uma matriz, mas isso não permite tirar conclusões sobre a resposta

a). Para isso, é preciso dispor de um método de resolução de sistemas de equações

lineares, o que permite encontrar a solução: o custo total estimado da obra é

superior a 4 bilhões de reais.

Trata-se de uma tarefa simples, que pode ser resolvida pelos estudantes que

terminaram o Ensino Médio, uma vez que os conhecimentos a serem mobilizados,

em geral, são desenvolvidos nessa etapa escolar.

Isso mostra que a noção de sistemas de equações lineares é considerada como

um conhecimento prévio para os estudantes que iniciam o Ensino Superior, mas é

possível trabalhar diferentes métodos para solução desses sistemas, de forma a

tornar esse conhecimento mais estável, possibilitando um melhor desempenho dos

estudantes, que poderão escolher a técnica que lhes parece mais adequada.

252

Há, na Figura 103, a seguir, uma questão específica de Álgebra Linear, que os

estudantes que acabam de terminar o Ensino Médio dificilmente poderiam explicar e

justificar sua resposta. Para chegar à solução, é necessário dispor de

conhecimentos sobre as transformações geométricas do plano no plano; da noção

de transformação linear da propriedade, que afirma que toda transformação linear

leva o vetor nulo do espaço de partida no vetor nulo do espaço de chegada. Isso

permite concluir que a transformação da figura III não é linear, o que já elimina as

respostas A), B) e E). Por outro lado, a transformação da figura I é uma rotação; a da

figura II, um cisalhamento; a da figura V, uma expansão; e a da figura VI, uma

A transposição do rio São Francisco é um assunto que desperta grande interesse. Questionam-se, entre outros aspectos, os efeitos no meio ambiente, o elevado custo do empreendimento relativamente à população beneficiada e à quantidade de água a ser retirada — o que poderia prejudicar a vazão do rio, que hoje é de 1.850 m3/s. Visando promover em sala de aula um debate acerca desse assunto, um professor de matemática propôs a seus alunos o problema seguinte, baseando-se em dados obtidos do Ministério da Integração Nacional. Considere que o projeto prevê a retirada de x m3/s de água. Denote por y o custo total estimado da obra, em bilhões de reais, e por z o número, em milhões, de habitantes que serão beneficiados pelo projeto. Relacionando-se essas quantidades, obtém-se o sistema de equações lineares AX = B, em que

Com base nessas informações, assinale a opção correta. (A) O sistema linear proposto pelo professor é indeterminado, uma vez que det(A) = 0. (B) A transposição proposta vai beneficiar menos de 11 milhões de habitantes. (C) Mais de 2% da vazão do rio São Francisco serão retirados com a transposição, o que pode provocar sérios danos ambientais. (D) O custo total estimado da obra é superior a 4 bilhões de reais. (E) A matriz linha reduzida à forma escalonada, que é linha equivalente à matriz A, possui uma coluna nula.

Figura 102: Tarefa do ENADE. Fonte: ENADE 2005

253

projeção sobre o eixo x. Logo, a resposta correta é D), uma vez que a transformação

da figura IV não é linear.

Dessa forma, observa-se que não é necessário conhecer a noção de matrizes,

suas operações e propriedades, para a solução da questão.

Na tarefa da Figura 104, é dispensável conhecer algum método de resolução de

sistemas de equações lineares, mas, nesse caso, deve-se dispor de conhecimento

sobre a propriedade que afirma que, se o determinante da matriz dos coeficientes de

um sistema linear é igual a zero, então o sistema não possui solução única. Logo,

para verificar que o sistema dado é impossível, é preciso dispor de um método de

resolução de sistemas de equações lineares, que pode ser o método da matriz

aumentada do sistema.

Observe as figuras abaixo.

Podem ser imagem da figura A por alguma transformação linear T : R2 → R2 apenas as figuras

(A) I, III e IV. (B) III, IV e VI. (C) I, II, IV e V. (D) I, II, V e VI. (E) II, III, V e VI.

Figura 103: Tarefa do ENADE. Fonte: ENADE 2005

254

Portanto, a noção de matrizes, suas operações e propriedades não é necessária

para a solução da tarefa, mas, para escolher a alternativa (B), é preciso mobilizar

conhecimentos sobre a propriedade do determinante da matriz dos coeficientes.

Conforme descrito na Tabela 24, as tarefas relativas a Álgebra Linear solicitadas

no ENADE para o curso de Licenciatura em Matemática, nas duas versões

existentes, correspondem apenas a 10% da prova; e, quando se considera que,

entre as três tarefas, duas correspondem apenas à mobilização de conhecimentos

sobre a noção de sistemas de equações lineares, espera-se que os estudantes

possam ao menos mobilizar as propriedades sobre as condições de solução,

quando o determinante dos coeficientes da matriz é igual a zero.

Como essa noção, em geral, é considerada conhecimento prévio para os

estudantes do Ensino Médio, pode-se supor que as duas questões sobre sistemas

de equações lineares não colocarão dificuldades para os estudantes.

Considere o sistema de equações a seguir.

Analise as asserções seguintes relativas à resolução desse sistema de equações lineares.

O sistema não tem solução

porque o determinante da matriz dos coeficientes é igual a zero.

A respeito dessa afirmação, assinale a opção correta.

(A) As duas asserções são proposições verdadeiras e a segunda é uma justificativa correta da primeira. (B) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira. (C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa. (D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira. (E) Ambas as asserções são proposições falsas.

Figura 104: Tarefa do ENADE. Fonte: ENADE 2008.

255

Já a questão de transformação linear exige que se reconheçam algumas das

transformações geométricas de IR2 em IR2 e que se mobilize a noção de

transformação linear e suas propriedades. Observa-se que a noção de matriz de

uma transformação linear não é tratada nessa avaliação.

Termina-se, fazendo algumas considerações sobre as análises apresentadas

acima.

7.8 Considerações finais sobre o capítulo

As análises descritas neste capítulo fizeram-se necessárias para verificar qual a

relação entre o que está sendo oferecido em relação às noções de matrizes

desenvolvidas, tanto no Ensino Médio como no Ensino Superior, e o que se pede

nas avaliações institucionais.

Ressalta-se que algumas avaliações discriminadas nesta pesquisa têm como

objetivo apenas demonstrar a qualidade educacional oferecida pelas inúmeras

escolas e universidades, como, por exemplo, o SARESP e o ENADE,

respectivamente; outras servem como ferramentas a serviço dos estudantes, para

sua entrada nas universidades escolhidas, como, por exemplo a FUVEST e o

ENEM. Este último também é uma ferramenta de análise para os órgãos

educacionais.

Com relação ao SARESP, foram analisadas as avaliações aplicadas desde 2005

para a disciplina de Matemática, constatando-se que as noções de matrizes, suas

operações e propriedades não são necessariamente mobilizadas nessas avaliações.

Em geral, ela serve de ferramenta explícita para a resolução de sistemas de

equações lineares e para desenvolver tarefas de Geometria Analítica, em que a

noção de determinante de uma matriz facilita os cálculos e a forma de representar as

fórmulas para cálculo.

As tarefas do SARESP não exigem, para sua solução, conhecimentos específicos

da noção de matrizes, suas operações e propriedades: basta dispor de

conhecimentos sobre a conversão de um sistema de equações lineares em sua

representação matricial; determinar a matriz dos coeficientes do sistema; e mobilizar

a propriedade sobre o determinante da matriz dos coeficientes, que possibilita

256

controlar os resultados encontrados e torna mais econômica a resolução e o estudo

das condições de solução de um sistema com parâmetros.

Logo, pode-se dizer que, para ter sucesso no SARESP, em relação à noção de

matriz, basta mobilizá-la enquanto ferramenta explícita de representação e dispor de

um método para o cálculo do determinante de uma matriz.

No Exame Nacional do Ensino Médio – ENEM, analisado desde 2005, constatou-

se que a noção de matrizes, suas operações e propriedades não é desenvolvida em

suas provas. Apenas foram disponibilizadas — e unicamente na avaliação de 2009

—, representando apenas 2% do total das noções utilizadas, as noções de sistema

de equações lineares e geometria analítica, que não necessitam da noção de matriz

para a sua solução, como se mostrou no exemplo retirado dessa avaliação e

apresentado.

A avaliação da Fundação Universitária para o Vestibular – FUVEST, segundo a

Tabela 23, não solicita explicitamente as noções de matrizes e determinantes, mas

apresenta tarefas envolvendo as noções de sistemas de equações lineares, para as

quais o estudante pode utilizar as noções de matrizes e determinantes para

desenvolvê-las.

Já o Exame Nacional de Desempenho de Estudantes – ENADE, conforme

apresentado, propõe tarefas relacionadas às noções desenvolvidas na disciplina de

Álgebra Linear, em especial aquelas que mobilizam o quadro das matrizes,

articulado com o dos sistemas de equações lineares e a noção de transformações

lineares e geométricas. As tarefas sobre transformações lineares e geométricas não

necessitam da matriz dessa transformação para sua solução.

Por fim, conforme analisado nas macroavaliações, a noção de matrizes, suas

operações e propriedades é demandada muito superficialmente em algumas

avaliações e esquecida em outras; em geral, ela é apenas trabalhada enquanto

representação matricial de sistemas de equações lineares e possibilita o uso da

propriedade do determinante da matriz do coeficiente, que é uma ferramenta eficaz

para controlar os resultados encontrados, principalmente para o estudo de sistemas

com parâmetros.

257

Isso mostra que existe pouca coerência entre as relações institucionais esperadas

e existentes para o desenvolvimento da noção de matrizes, suas operações e

propriedades no Ensino Médio e a relação pessoal esperada dos estudantes, que

pouco necessitam dessa noção para resolver as tarefas propostas nas

macroavaliações.

Fazem-se, a seguir, as considerações finais e as perspectivas futuras para este

trabalho, que se espera possa auxiliar professores e estudantes a melhor escolher

quando introduzir a noção de matrizes, suas operações e propriedades, de forma

que esse conceito possa ser útil para resolver diferentes tipos de tarefas, em

particular, aqueles em que essa noção possa facilitar e tornar mais econômico o

trabalho a ser realizado, como é o caso das matrizes das transformações lineares e

geométricas que correspondem à forma mais adaptada para trabalhar com essas

transformações em computação e informática.

258

CONSIDERAÇÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS

Apresentam-se as considerações e as perspectivas elaboradas a partir das análises

apresentadas anteriormente. Dessa forma, procura-se responder as questões iniciais que

estão associadas à problemática e ao objetivo da pesquisa:

- É possível construir um rol de tarefas sobre as noções matriciais, suas operações e

propriedades, para que o estudante possa, pelo menos, mobilizar os conhecimentos

adquiridos no Ensino Médio, utilizando-os como conhecimentos prévios, de forma que

funcionem como ferramenta explícita, quando da introdução de novos conceitos associados

à disciplina de Álgebra Linear?

Conforme exposto, as análises dos livros indicados pelo PNLEM — que correspondem às

relações institucionais existentes, aqui representadas pela obra de Dante (2004, 2005b), por

ser esta bem avaliada por esse programa — mostram que existe uma preocupação em

desenvolver as noções matriciais, suas operações e propriedades, por meio de tarefas e

técnicas que utilizam como tecnologia elementos teóricos que serão desenvolvidos na

disciplina de Álgebra Linear.

Observa-se que, nessa obra, as operações de adição de matrizes e multiplicação por um

número real são trabalhadas, considerando implicitamente as propriedades dessas

operações, ou seja, esse trabalho pode ser retomado quando da introdução da noção de

espaço vetorial, para mostrar que o conjunto das matrizes, munido dessas duas operações

e satisfazendo determinadas propriedades, é um espaço vetorial.

Além disso, ainda no Ensino Médio, são trabalhadas as equações matriciais e os

sistemas de equações matriciais, em que a estrutura de espaço vetorial também é

implicitamente utilizada, pois se resolve a equação sem considerar o objeto matemático

matriz, que só é introduzido após determinada a solução da equação; ou seja, as equações

matriciais e os sistemas de equações matriciais são trabalhados como elementos de um

conjunto que, definidas as operações de adição e multiplicação por escala, tem uma

estrutura de espaço vetorial.

Ressalta-se ainda que, no Ensino Médio, é introduzida a noção de multiplicação de

matrizes, uma ferramenta importante para o estudo das transformações lineares, em

particular, do isomorfismo do espaço das transformações lineares e o espaço das matrizes.

259

A multiplicação de matrizes só poderá ser definida nesse momento, ou seja, por meio da

matriz associada à composta de duas aplicações lineares.

Logo, as dez tarefas usuais identificadas por meio da grade de análise permitem concluir

que, caso trabalhados da forma como apresentados no livro didático escolhido, os conceitos

de matrizes, suas operações e propriedades podem servir de conhecimentos prévios pelo

menos mobilizáveis num curso de introdução à Álgebra Linear.

Nesse caso, pode-se partir diretamente para a explicitação da noção de espaço vetorial,

e não é necessário todo um trabalho sobre as representações do objeto matriz e suas

operações. Quanto às transformações lineares, mobilizar a operação de multiplicação de

matrizes é uma ferramenta importante, pois trabalhar no quadro das matrizes é mais

econômico e necessário, dependendo dos cálculos a serem efetuados.

Passamos à segunda questão:

- A análise de tarefas por meio de uma grade de análise pode facilitar esse trabalho e

provocar a reflexão?

Conforme as ponderações feitas acima, considera-se que a grade de análise, além de ser

um meio de identificar os tipos de tarefas usuais que compõem algumas das relações

institucionais existentes, possibilita melhor compreensão de como são articulados os

quadros trabalhados no Ensino Médio, incluindo os diferentes contextos em que eles podem

ser utilizados.

Além disso, a grade auxilia a entender as dificuldades que podem ser encontradas pelos

estudantes, a depender do nível de conhecimento esperado para a solução de uma

determinada tarefa, em função do próprio conhecimento em jogo e dos conhecimentos

prévios que servem, em geral, de ferramentas explícitas para a solução da tarefa.

A partir dessas duas questões, foram introduzidas cinco outras, específicas sobre as

expectativas em relação ao processo de ensino e aprendizagem da noção de matrizes, suas

operações e propriedades e a mobilização desses conhecimentos como conhecimentos

prévios para apoiar a introdução das noções de Álgebra Linear, em particular, da noção de

matriz de uma transformação linear no Ensino Superior. Relembram-se abaixo essas cinco

questões:

260

i) A noção de matriz, suas operações e propriedades são propostas para serem trabalhadas

com os estudantes do Ensino Médio?

ii) Que nível de conhecimento é esperado dos estudantes para o trabalho com essas

noções?

iii) Quais as relações institucionais esperadas e existentes para o desenvolvimento dessas

noções no Ensino Médio?

iv) Os estudantes, quando terminam o Ensino Médio, são ao menos capazes de mobilizar

os conhecimentos de matrizes, suas operações e propriedades? Isto é, que relações

pessoais eles desenvolvem em função das relações institucionais esperadas e existentes?

v) É possível determinar um sistema de tarefas e práticas utilizadas no Ensino Médio que

possam servir de apoio para o trabalho em Álgebra Linear no Ensino Superior, em

particular, quando se trata do objeto matemático: transformações lineares e o espaço das

matrizes?

Apresentam-se, abaixo, alguns elementos de resposta para essas questões, em função

das análises consideradas na pesquisa.

Os resultados das análises das relações institucionais esperadas, a noção de matrizes,

suas operações e propriedades revelam que esse conteúdo matemático é considerado

importante: são dadas orientações para a sua introdução no Ensino Médio como objeto

implícito associado à noção de espaço vetorial, uma vez que se trabalham implicitamente

operações de adição e multiplicação por um número e suas propriedades, como se

observou por meio das análises das relações institucionais existentes.

Ressalta-se, aqui, que as relações institucionais existentes são coerentes com as

relações institucionais esperadas e, portanto, pode-se concluir que pelo menos os dez tipos

de tarefas usualmente encontradas no estudo dessas relações correspondem ao trabalho

que se desenvolve no Ensino Médio.

Em geral, o nível de conhecimento esperado dos estudantes para o desenvolvimento das

tarefas, quando se consideram as relações institucionais existentes, é o mobilizável, mas,

em razão das análises das relações pessoais que se espera que os estudantes do Ensino

Médio desenvolvam, pouco se pode avançar em função dos resultados encontrados para as

análises das macroavaliações.

261

Essas macroavaliações permitem considerar que as noções de matrizes e determinantes,

em geral, são demandadas enquanto ferramentas explícitas do trabalho matemático a ser

realizado, mas nem sempre são realmente necessárias. Em geral, trata-se de tarefas sobre

a noção de sistemas de equações lineares, em que outras ferramentas são mais eficazes

para a solução da tarefa proposta; ou de tarefas associadas a noções de Geometria

Analítica, em que a definição de determinante de uma matriz é utilizada para tornar mais

econômica a representação de uma fórmula e facilitar os cálculos.

Apesar de pouco cobrado nas macroavaliações, caso se trabalhe da forma que se

propõe, pode-se considerar que os estudantes do Ensino Médio sejam capazes de mobilizar

os conhecimentos sobre a noção de matrizes, suas operações e propriedades, utilizados

nos dez tipos de tarefas identificados por meio da grade de análise.

Portanto, as tarefas identificadas nessa grade podem constituir o rol de tarefas e práticas

que podem ser utilizadas como apoio para um curso de introdução à Álgebra Linear e, mais

especificamente, para trabalhar o conceito de matriz de uma transformação linear.

Observa-se, ainda, que as relações institucionais esperadas e existentes para o Ensino

Superior são mais regulares para as diferentes instituições analisadas.

Dessa forma, pode-se considerar que muitas das dificuldades encontradas no Ensino

Superior estão associadas às deficiências do Ensino Médio. Isso fica evidente, quando se

considera a macroavaliação ENADE, na qual três questões puderam ser associadas aos

conteúdos geralmente desenvolvidos na disciplina de Álgebra Linear, duas delas

correspondentes a conhecimentos que se espera possam ser, pelo menos, mobilizados

pelos estudantes egressos do Ensino Médio.

Isso conduz à seguinte reflexão: Como elaborar um curso de Licenciatura em Matemática

que possa atender corretamente aos estudantes egressos do Ensino Médio?

Observou-se, nas análises conduzidas nesta pesquisa, que existe uma expectativa

institucional que não pode ser considerada real, pois não se sabe se está ou não realmente

sendo implementada, mas que poderia ser utilizada eficazmente para o desenvolvimento

dos estudantes do Ensino Médio.

Mas o que mais preocupa é a situação do Ensino Superior, no qual foi possível identificar

relações institucionais muito parecidas para estudantes com conhecimentos prévios

diferentes, o que pode justificar a grande evasão dos cursos de licenciatura e a fraca

262

demanda por esse tipo de curso. Ou seja, voltamos à questão para reflexão enunciada

acima.

Os resultados deste estudo mostram que a noção de matrizes, suas operações e

propriedades é trabalhada, enquanto ferramenta explícita, para o desenvolvimento de

tarefas associadas a outras noções matemáticas no Ensino Médio e que esse trabalho pode

servir de apoio para a introdução da Álgebra Linear em IRn no Ensino Superior, mas é

preciso ter certeza de que o trabalho proposto foi realizado.

263

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ANEXOS

Anexo I – Solução da tarefa apresentada na Figura 1.

(Desenvolvida pelo pesquisador)

274

Anexo II - Solução da tarefa apresentada na Figura 2.


275

Anexo III – Outro método de solução da tarefa apresentada na Figura 2.


276

Anexo IV – Outro método de solução da tarefa apresentada na Figura 2.


277

Anexo V - Outro método de solução da tarefa apresentada na Figura 2.


278

Anexo VI – Representação no eixo cartesiano.

Figura 8: Solução da tarefa apresentada na Figura 3. (desenvolvida pelo pesquisador)

279

Anexo VII - Solução da tarefa apresentada na Figura 3.


280

Anexo VIII - Solução da tarefa apresentada na Figura 5.


281

Anexo IX - Solução parcial da tarefa apresentada na Figura 7.


282

Anexo X - Solução da tarefa apresentada na Figura 8.


283

Anexo XI - Solução da tarefa apresentada na Figura 9.


284

Anexo XII - Solução da tarefa apresentada na Figura 10.


285

Anexo XIII - Solução da tarefa apresentada na Figura 12.


286

Anexo XIV - Solução final da tarefa apresentada na Figura 7.


287

Anexo XV - Solução da tarefa apresentada na Figura 15.


288

Anexo XVI - Solução da tarefa apresentada na Figura 17.


289

Anexo XVII - Solução da tarefa apresentada na Figura 18.


290

Anexo XVIII - Solução da tarefa apresentada na Figura 19.


291

Anexo XIX - Solução da tarefa apresentada na Figura 20.


292

Anexo XX – Rubricas sobre Aprendizagem, Competências e habilidades – PCNEM

(2000)

O sentido da aprendizagem na área Em relação a essa rubrica, observa-se que faz parte do topos do professor considerar que os estudantes têm uma maior maturidade, o que possibilita uma formação que leve em conta o aprofundamento dos saberes disciplinares, os procedimentos científicos e a articulação entre as disciplinas, ficando a cargo dos estudantes, isto é, fazendo parte do topos dos estudantes alcançar suas próprias metas por meio do estudo das diferentes formas de tratamento dos saberes desenvolvidos nessa etapa escolar.

Competências e habilidades Com relação às competências e às habilidades, o documento propõe o desenvolvimento de atividades que possam contribuir para que o estudante seja capaz de representar e comunicar, investigar, compreender e contextualizar social e culturalmente. Nesse momento, observa-se de forma mais clara o que se espera das propostas de trabalho do professor e do estudante, isto é, tanto o topos do professor como do estudante ficam definidos de forma mais clara e fica evidente que cabe ao estudante do Ensino Médio a responsabilidade de administrar seu crescimento intelectual.

Anexo XXI – Rubricas sobre Competências e habilidades para as disciplinas do

Ensino Médio – PCNEM (2000)

Conhecimentos de Biologia;

No que se refere aos conhecimentos na disciplina de Biologia e considerando suas particularidades, o documento propõe a interdisciplinaridade, a contextualização e a articulação com as outras disciplinas do Ensino Médio para que se alcancem certas metas. Para o processo de ensino e aprendizagem da Biologia, a Matemática é considerada uma ferramenta imprescindível. Competências e habilidades a serem desenvolvidas em Biologia Descrever e caracterizar os processos biológicos, representando e comunicando-se de forma que o estudante tenha condições de investigar e compreender certos processos é o esperado no trabalho com Biologia. Assim, a Matemática poderá ser uma ferramenta para subsidiar o estudante, no que se refere à organização de certos eventos, acontecimentos e problemas biológicos.

Conhecimentos de Física A disciplina de Física deverá fornecer ao estudante a possibilidade de articulação entre os conceitos físicos e os saberes matemáticos, ou seja, o aluno poderá desenvolver modelagens matemáticas significativas para interpretação do mundo físico, compreendendo-o e comunicando-se. Exemplos de aplicações matemáticas na disciplina de Física são as relações distância e tempo, velocidade e tempo, entre muitas outras. A construção e a interpretação de tabelas, em Matemática, podem facilitar as interpretações dos fenômenos da natureza. Competências e habilidades a serem desenvolvidas em Física A disciplina de Física tem por meta fazer com que os estudantes consigam representar e comunicar-se de modo científico, utilizando as particularidades da disciplina. Assim, o aluno deverá desenvolver a capacidade de investigar certos acontecimentos físicos, contextualizando-os, de forma que possa argumentar e modelar os acontecimentos, utilizando outras disciplinas — em particular, a Matemática — como suporte para as interpretações físicas.

Conhecimentos de Química O documento informa que a Química participa do desenvolvimento tecnológico, e a proposta para a

293

disciplina é fazer com que o estudante compreenda os processos químicos, tendo a Matemática como ferramenta que subsidiará o professor e os estudantes para compreenderem certas situações do mundo químico, possibilitando ao estudante um olhar crítico durante o processo de ensino-aprendizagem desta disciplina. Assim, cálculos e interpretações de tabelas serão importantes para a consecução das tarefas propostas pelo professor. Competências e habilidades a serem desenvolvidas em Química A proposta da disciplina é possibilitar que o estudante descreva em linguagem discursiva certos acontecimentos químicos, reconhecendo-os na interação social. Essa descrição poderá ser efetuada por meio de gráficos, tabelas e relações matemáticas, que servirão como facilitadores para a compreensão dos dados quantitativos da disciplina.

Conhecimentos de Matemática A disciplina de Matemática tem por objetivo desenvolver a capacidade de comunicação, de resolver problemas, de tomar decisões, refletir, inferir, conjecturar, ou seja, aperfeiçoar conhecimentos e valores. A proposta é trabalhar de modo que o estudante seja protagonista de sua evolução, tendo como fator essencial a inserção no mundo globalizado. Nesse caso, cabe ao professor oferecer subsídios e procedimentos para que o estudante possa progredir, tendo uma visão geral e particular do mundo em que vive. Os conteúdos da disciplina de Matemática devem permitir que o estudante possa refletir e analisar diferentes situações, inferir possibilidades de resoluções de problemas e encontrar seus próprios caminhos para desenvolver-se como cidadão de uma sociedade globalizada. Nesse caso, o papel do professor é propor situações e problemas, relacionados aos conteúdos matemáticos, que conduzam a essas atitudes. Competências e habilidades a serem desenvolvidas em Matemática A Matemática deverá fornecer subsídios para que o estudante possa ler e interpretar dados matemáticos de forma a facilitar a compreensão das outras disciplinas. São inúmeras as competências matemáticas para serem desencadeadas e utilizadas em outras ciências, uma vez que a sociedade moderna almeja pessoas que possam contribuir para a construção e a interpretação da realidade. O papel da Matemática é fornecer as contribuições devidas a todas as outras disciplinas, facilitando a compreensão e a organização de dados, efetuando, então, algumas mudanças que possam oferecer outro olhar, no que se refere aos vários recursos existentes em nossa sociedade.

Rumos e desafios O documento aborda a questão das variáveis regionais, ao elaborar uma proposta educacional. Portanto, é necessário um olhar crítico, por parte dos professores, durante a elaboração de seus planos de ensino, para que não existam graves distorções no ensino da Matemática, em especial no Ensino Médio, etapa final da Educação Básica. O currículo tem que responder aos avanços científicos e levar em consideração os novos aspectos educacionais relacionados ao mundo moderno, sendo essenciais o estudo e a compreensão das novas tecnologias para o ensino e aprendizagem da Matemática. Cabe, porém, ao estudante ser responsável por esse processo, uma vez que será protagonista de sua própria evolução e contribuição social. Bibliografia O documento, em especial na parte referente à disciplina de Matemática, orienta o professor a desenvolver certas competências e habilidades, tendo um olhar crítico em relação ao ensino da Matemática e às distorções que determinadas decisões podem causar. É destacada uma série de pontos, relacionando o trabalho que deve ser adotado pelo professor, mas não é abordado de forma específica o conteúdo a ser desenvolvido no Ensino Médio; ou seja, fica a cargo dos professores a escolha dos materiais disponibilizados pelos órgãos responsáveis e a decisão de desenvolver ou não determinado conteúdo. Portanto, cabe a cada professor desempenhar seu topos, ser um mediador consciente no ensino e na escolha dos conteúdos matemáticos; e, ao estudante, ser responsável e protagonista de sua própria evolução.

294

Anexo XXII – Objetivos da matemática no Ensino Médio – PCNEM (2000)

- Compreender os conceitos, os procedimentos e as estratégias matemáticas que permitam ao aluno desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação científica geral. - Aplicar seus conhecimentos matemáticos a situações diversas, utilizando-os na interpretação da ciência, na atividade tecnológica e nas atividades cotidianas. - Analisar e valorizar informações provenientes de diferentes fontes, utilizando ferramentas matemáticas para formar uma opinião própria, que lhe permita expressar-se criticamente sobre problemas da Matemática, das outras áreas do conhecimento e da atualidade. - Desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de problemas, de comunicação, bem como o espírito crítico e criativo. - Utilizar com confiança procedimentos de resolução de problemas para desenvolver a compreensão dos conceitos matemáticos. - Expressar-se oral, escrita e graficamente em situações matemáticas e valorizar a precisão da linguagem e as demonstrações em Matemática. - Estabelecer conexões entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e o conhecimento de outras áreas do currículo. - Reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito, relacionando procedimentos associados às diferentes representações. - Promover a realização pessoal mediante o sentimento de segurança em relação às suas capacidades matemáticas, o desenvolvimento de atitudes de autonomia e cooperação.

Fonte: BRASIL, 2000, p. 42

295

Anexo XXIII – Competências e habilidades em matemática – PCNEM (2000)

- Ler e interpretar textos de Matemática. - Ler, interpretar e utilizar representações matemáticas (tabelas, gráficos, expressões etc.). - Transcrever mensagens matemáticas da linguagem corrente para linguagem simbólica (equações, gráficos, diagramas, fórmulas, tabelas etc.) e vice-versa. - Exprimir-se com correção e clareza, tanto na língua materna, como na linguagem matemática, usando a terminologia correta. - Produzir textos matemáticos adequados. - Utilizar adequadamente os recursos tecnológicos como instrumentos de produção e de comunicação. - Utilizar corretamente instrumentos de medição e de desenho.

Fonte: BRASIL, 2000, p. 46.

296

Anexo XXIV – Investigação e Compreensão – PCNEM (2000)

- Identificar o problema (compreender enunciados, formular questões etc.). - Procurar, selecionar e interpretar informações relativas ao problema. - Formular hipóteses e prever resultados. - Selecionar estratégias de resolução de problemas. - Interpretar e criticar resultados numa situação concreta. - Distinguir e utilizar raciocínios dedutivos e indutivos. - Fazer e validar conjecturas, experimentando, recorrendo a modelos, esboços, fatos conhecidos, relações e propriedades. - Discutir idéias e produzir argumentos convincentes.

Fonte: BRASIL, 2000b, p. 46.

297

Anexo XXV – Contextualização sociocultural – PCNEM (2000)

- Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática na interpretação e intervenção no real. - Aplicar conhecimentos e métodos matemáticos em situações reais, em especial em outras áreas do conhecimento. - Relacionar etapas da história da Matemática com a evolução da humanidade. - Utilizar adequadamente calculadoras e computador, reconhecendo suas limitações e potencialidades.

Fonte: BRASIL, 2000, p.46.

298

Anexo XXVI – Três principais competências – PCN + (2002)

- representação e comunicação, que envolvem a leitura, a interpretação e a produção de textos nas diversas linguagens e formas textuais características dessa área do conhecimento; - investigação e compreensão, competência marcada pela capacidade de enfrentamento e resolução de situações-problema, utilização dos conceitos e procedimentos peculiares do fazer e pensar das ciências; - contextualização das ciências no âmbito sociocultural, na forma de análise crítica das idéias e dos recursos da área e das questões do mundo que podem ser respondidas ou transformadas por meio do pensar e do conhecimento científico.

Fonte: BRASIL, 2002, p. 113

299

Anexo XXVII – Representação e Comunicação – PCN + (2002)

SÍMBOLOS, CÓDIGOS E NOMENCLATURAS DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA

NA ÁREA EM MATEMÁTICA Reconhecer e utilizar

adequadamente, na forma oral e escrita, símbolos, códigos e nomenclatura da linguagem científica.

• Reconhecer e utilizar símbolos, códigos e nomenclaturas da linguagem matemática; por exemplo, ao ler embalagens de produtos, manuais técnicos, textos de jornais ou outras comunicações, compreender o significado de dados apresentados por meio de porcentagens, escritas numéricas, potências de dez, variáveis em fórmulas.

• Identificar, transformar e traduzir adequadamente valores e unidades básicas apresentadas sob diferentes formas, como decimais em frações ou potências de dez, litros em metros cúbicos, quilômetros em metros, ângulos em graus e radianos.

ARTICULAÇÃO DOS SÍMBOLOS E CÓDIGOS DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA NA ÁREA EM MATEMÁTICA

Ler, articular e

interpretar símbolos e códigos em diferentes linguagens e representações: sentenças, equações, esquemas, diagramas, tabelas, gráficos e representações geométricas.

• Ler e interpretar dados ou informações apresentadas em diferentes linguagens e representações, como tabelas, gráficos, esquemas, diagramas, árvores de possibilidades, fórmulas, equações ou representações geométricas.

• Traduzir uma situação dada em determinada linguagem para outra; por exemplo, transformar situações dadas em linguagem discursiva em esquemas, tabelas, gráficos, desenhos, fórmulas ou equações matemáticas e vice-versa, assim como transformar as linguagens mais específicas umas nas outras, como tabelas em gráficos ou equações.

• Selecionar diferentes formas para representar um dado ou conjunto de dados e informações, reconhecendo as vantagens e limites de cada uma delas; por exemplo, escolher entre uma equação, uma tabela ou um gráfico para representar uma dada variação ao longo do tempo, como a distribuição do consumo de energia elétrica em uma residência ou a classificação de equipes em um campeonato esportivo.

ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DE TEXTOS E OUTRAS COMUNICAÇÕES DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA NA ÁREA EM MATEMÁTICA

Consultar, analisar e

interpretar textos e comunicações de ciência e tecnologia veiculados em diferentes meios.

• Ler e interpretar diferentes tipos de textos com informações apresentadas em linguagem matemática, desde livros didáticos até artigos de conteúdo econômico, social ou cultural, manuais técnicos, contratos comerciais, folhetos com propostas de vendas ou com plantas de imóveis, indicações em bulas de medicamentos, artigos de jornais e revistas.

• Acompanhar e analisar os noticiários e artigos relativos à ciência em diferentes meios de comunicação, como jornais, revistas e televisão, identificando o tema em questão e interpretando, com objetividade, seus significados e implicações para, dessa forma, ter independência para adquirir informações e estar a par do que se passa no mundo em que vive.

ELABORAÇÃO DE COMUNICAÇÕES NA ÁREA EM MATEMÁTICA

300

Elaborar comunicações

orais ou escritas para relatar,

analisar e sistematizar eventos, fenômenos, experimentos, questões, entrevistas, visitas, correspondências.

• Expressar-se com clareza, utilizando a linguagem matemática, elaborando textos, desenhos, gráficos, tabelas, equações, expressões e escritas numéricas – para comunicar-se via internet, jornais ou outros meios, enviando ou solicitando informações, apresentando idéias, solucionando problemas.

• Produzir textos analíticos para discutir, sintetizar e sistematizar formas de pensar, fazendo uso, sempre que necessário, da linguagem matemática. Redigir resumos, justificar raciocínios, propor situações-problema, sistematizar as idéias principais sobre dado tema matemático com exemplos e comentários próprios.

• Expressar-se de forma oral para comunicar idéias, aprendizagens e dificuldades de compreensão; por exemplo, explicando a solução dada a um problema, expondo dúvidas sobre um conteúdo ou procedimento, propondo e debatendo questões de interesse.

DISCUSSÃO E ARGUMENTAÇÃO DE TEMAS DE INTERESSE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA

NA ÁREA EM MATEMÁTICA Analisar, argumentar e

posicionar-se criticamente em relação a temas de ciência e tecnologia.

• Compreender e emitir juízos próprios sobre informações relativas a ciência e tecnologia, de forma analítica e crítica, posicionando-se com argumentação clara e consistente sempre que necessário, identificar corretamente o âmbito da questão e buscar fontes onde possa obter novas informações e conhecimentos. Por exemplo, ser capaz de analisar e julgar cálculos efetuados sobre dados econômicos ou sociais, propagandas de vendas a prazo, probabilidades de receber determinado prêmio em sorteios ou loterias, ou ainda apresentadas em um dado problema ou diferentes sínteses e conclusões extraídas a partir de um mesmo texto ou conjunto de informações.

Fonte: BRASIL, 2002, p.114-115

301

Anexo XXVIII – Investigação e Compreensão – PCN + (2002)

ESTRATÉGIAS PARA ENFRENTAMENTO DE SITUAÇÕES-PROBLEMA

NA ÁREA EM MATEMÁTICA Identificar em dada

situação problema as informações ou variáveis relevantes e elaborar possíveis estratégias para resolvê-la.

Identificar fenômenos naturais ou grandezas em dado domínio do conhecimento científico, estabelecer relações, identificar regularidades, invariantes e transformações.

• Identificar os dados relevantes em uma dada situação problema para buscar possíveis resoluções; por exemplo, em situações com uma diversidade de dados apresentados por meio de tabelas, gráficos, especificações técnicas, reconhecer as informações relevantes para uma dada questão que se busca resolver.

• Identificar as relações envolvidas e elaborar possíveis estratégias para enfrentar uma dada situação-problema; por exemplo, para obter uma dada distância, saber optar por medi-la diretamente, utilizar uma planta em escala, usar semelhança de figuras, fazer uso de propriedades trigonométricas ou utilizar um sistema de eixos cartesianos e abordar o problema através da geometria analítica.

• Frente a uma situação ou problema, reconhecer a sua natureza e situar o objeto de estudo dentro dos diferentes campos da Matemática, ou seja, decidir-se pela utilização das formas algébrica, numérica, geométrica, combinatória ou estatística. Por exemplo, para calcular distâncias ou efetuar medições em sólidos, utilizar conceitos e procedimentos de geometria e medidas, enquanto para analisar a relação entre espaço e tempo no movimento de um objeto, optar pelo recurso algébrico das funções e suas representações gráficas.

• Identificar regularidades em situações semelhantes para estabelecer regras, algoritmos e propriedades; por exemplo, perceber que todas as funções do segundo grau possuem o mesmo tipo de gráfico, o que implica propriedades de sinal, crescimento e decrescimento. Da mesma forma, ao identificar a regularidade de que é constante a soma dos termos equidistantes de uma progressão aritmética finita, estender essa propriedade a toda situação envolvendo progressões aritméticas e daí deduzir a soma de seus termos.

• Reconhecer a existência de invariantes ou identidades que impõem as condições a serem utilizadas para analisar e resolver situações-problema; por exemplo, estabelecer identidades ou relações como aquelas existentes entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro, os volumes de um cilindro e de um cone que tenham a mesma base e a mesma altura, a relação entre catetos e hipotenusa em qualquer triângulo retângulo; ou ainda a identidade fundamental da trigonometria.

• Identificar transformações entre grandezas ou figuras para relacionar variáveis e dados, fazer quantificações, previsões e identificar desvios. As ampliações e reduções de figuras são exemplos que devem ser entendidos como transformações de uma situação inicial em outra final.

• Perceber as relações e identidades entre diferentes formas de representação de um dado objeto, como as relações entre representações planas nos desenhos, mapas e telas de computador com os objetos que lhes deram origem.

• Reconhecer a conservação contida em toda igualdade, congruência ou equivalência para calcular, resolver ou provar novos fatos. Por exemplo, ao resolver uma equação ou um sistema linear, compreender que as operações realizadas a cada etapa transformam a situação inicial em outra que lhe é equivalente, com as mesmas soluções.

302

MEDIDAS, QUANTIFICAÇÕES, GRANDEZAS E ESCALAS NA ÁREA EM MATEMÁTICA

Selecionar e utilizar

instrumentos de medição e de cálculo, representar dados e utilizar escalas, fazer estimativas, elaborar hipóteses e interpretar resultados.

• Identificar e fazer uso de diferentes formas e instrumentos apropriados para efetuar medidas ou cálculos; por exemplo, discriminar o melhor instrumento para medir, comparar ou calcular comprimentos e distâncias, ângulos, volumes ocupados por líquidos, em dada situação específica. Usar adequadamente réguas, esquadros, transferidores, compassos, calculadoras e outros instrumentos ou aparelhos.

• Identificar diferentes formas de quantificar dados numéricos para decidir se a resolução de um problema requer cálculo exato, aproximado, probabilístico ou análise de médias. Por exemplo, de acordo com uma dada situação, escolher número de algarismos apropriado ou fazer aproximações adequadas, optar pelo uso de fração, porcentagem, potências de dez; escolher melhor unidade para representar uma grandeza.

• Fazer previsões e estimativas de ordens de grandeza, de quantidades ou intervalos esperados para os resultados de cálculos ou medições e, com isso, saber avaliar erros ou imprecisões nos dados obtidos na solução de uma dada situação-problema.

• Compreender a necessidade e fazer uso apropriado de escalas; por exemplo, na construção de gráficos ou em representações de plantas e mapas.

MODELOS EXPLICATIVOS E REPRESENTATIVOS NA ÁREA EM MATEMÁTICA

Reconhecer, utilizar,

interpretar e propor modelos para situações-problema, fenômenos ou sistemas naturais ou tecnológicos.

• Interpretar, fazer uso e elaborar modelos e representações matemáticas para analisar situações; por exemplo, utilizar funções ou gráficos para modelar situações envolvendo cálculos de lucro máximo ou prejuízo mínimo; utilizar ferramentas da estatística e probabilidade para compreender e avaliar as intenções de votos em uma campanha eleitoral ou, ainda, optar entre modelos algébricos ou geométricos para obter determinadas medições de sólidos.

RELAÇÕES ENTRE CONHECIMENTOS DISCIPLINARES, INTERDISCIPLINARES E INTERÁREAS NA ÁREA EM MATEMÁTICA

Articular, integrar e

sistematizar fenômenos e teorias dentro de uma ciência, entre as várias ciências e áreas do conhecimento.

• Construir uma visão sistematizada das diferentes linguagens e campos de estudo da Matemática, estabelecendo conexões entre seus diferentes temas e conteúdos, para fazer uso do conhecimento de forma integrada e articulada.

• Compreender a Matemática como ciência autônoma, que investiga relações, formas e eventos e desenvolve maneiras próprias de descrever e interpretar o mundo. A forma lógica dedutiva que a Geometria utiliza para interpretar as formas geométricas e deduzir propriedades dessas formas é um exemplo de como a Matemática lê e interpreta o mundo à nossa volta.

• Adquirir uma compreensão do mundo da qual a Matemática é parte integrante, através dos problemas que ela consegue resolver e dos fenômenos que podem ser descritos por meio de seus modelos e representações.

• Reconhecer relações entre a Matemática e outras áreas do conhecimento, percebendo sua presença nos mais variados campos de estudo e da vida humana, seja nas demais ciências, como a Física, Química e Biologia, seja nas ciências humanas e sociais, como a Geografia ou a Economia, ou ainda nos mais diversos setores da sociedade, como na agricultura, na saúde, nos transportes e na moradia.

Fonte: BRASIL, 2002, p.115-117

303

Anexo XXIX – Contextualização sociocultural – PCN + (2002)

CIÊNCIA E TECNOLOGIA NA HISTÓRIA

NA ÁREA EM MATEMÁTICA Compreender o

conhecimento científico e o tecnológico

como resultados de uma construção humana, inseridos em um processo histórico e social.

• Compreender a construção do conhecimento matemático como um processo histórico, em estreita relação com as condições sociais, políticas e econômicas de uma determinada época, de modo a permitir a aquisição de uma visão crítica da ciência em constante construção, sem dogmatismos ou certezas definitivas. Por exemplo, o uso da geometria clássica ou da analítica para resolver um mesmo problema pode mostrar duas formas distintas de pensar e representar realidades comparáveis em momentos históricos diferentes.

• Compreender o desenvolvimento histórico da tecnologia associada a campos diversos da Matemática, reconhecendo sua presença e implicações no mundo cotidiano, nas relações sociais de cada época, nas transformações e na criação de novas necessidades, nas condições de vida. Por exemplo, ao se perceber a origem do uso dos logaritmos ou das razões trigonométricas como resultado do avanço tecnológico do período das grandes navegações do século 16, pode-se conceber a Matemática como instrumento para a solução de problemas práticos e que se desenvolve para muito além deles, ganhando a dimensão de ideias gerais para novas aplicações fora do contexto que deu origem a elas.

• Perceber o papel desempenhado pelo conhecimento matemático no desenvolvimento da tecnologia e a complexa relação entre ciência e tecnologia ao longo da história. A exigência de rapidez e complexidade dos cálculos fez com que a Matemática se desenvolvesse e, por outro lado, as pesquisas e avanços teóricos da Matemática e demais ciências permitiram o aperfeiçoamento de máquinas como o computador, que vêm tornando os cálculos cada vez mais rápidos.

CIÊNCIA E TECNOLOGIA NA CULTURA CONTEMPORÂNEA NA ÁREA EM MATEMÁTICA

Compreender a ciência e

a tecnologia como partes integrantes da cultura humana

contemporânea.

• Compreender a Matemática como parte integrante da cultura contemporânea, sendo capaz de identificar sua presença nas manifestações artísticas ou literárias, teatrais ou musicais, nas construções arquitetônicas ou na publicidade.

• Perceber a dimensão da Matemática e da ciência em espaços específicos de difusão e mostras culturais, como museus científicos ou tecnológicos, planetários, exposições.

• Compreender formas pelas quais a Matemática influencia nossa interpretação do mundo atual, condicionando formas de pensar e interagir. Por exemplo, comparando os cálculos feitos pelas máquinas com aqueles feitos “com lápis e papel”, e identificando a função, especificidades e valores de cada um desses meios na construção do conhecimento.

CIÊNCIA E TECNOLOGIA NA ATUALIDADE NA ÁREA EM MATEMÁTICA

304

Reconhecer e avaliar o desenvolvimento tecnológico

contemporâneo, suas relações com as ciências, seu papel na

vida humana, sua presença no mundo cotidiano e seus impactos na vida social.

• Acompanhar criticamente o desenvolvimento tecnológico contemporâneo, tomando contato com os avanços das novas tecnologias nas diferentes áreas do conhecimento para se posicionar frente às questões de nossa atualidade. Utilizar o conhecimento matemático como apoio para compreender e julgar as aplicações tecnológicas dos diferentes campos científicos. Por exemplo, o uso de satélites e radares nos rastreamentos e localizações, ou dos diferentes tipos de transmissão e detecção de informações.

CIÊNCIA E TECNOLOGIA, ÉTICA E CIDADANIA NA ÁREA EM MATEMÁTICA

Reconhecer e avaliar o

caráter ético do conhecimento científico e tecnológico e utilizar esse conhecimento no exercício da cidadania.

• Compreender a responsabilidade social associada à aquisição e uso do conhecimento matemático, sentindo-se mobilizado para diferentes ações, seja em defesa de seus direitos como consumidor, dos espaços e equipamentos coletivos ou da qualidade de vida.

• Conhecer recursos, instrumentos e procedimentos econômicos e sociais para posicionar-se, argumentar e julgar sobre questões de interesse da comunidade, como problemas de abastecimento, educação, saúde e lazer, percebendo que podem ser muitas vezes quantificados e descritos através do instrumental da Matemática e dos procedimentos da ciência.

• Promover situações que contribuam para a melhoria das condições de vida da cidade onde vive ou da preservação responsável do ambiente. Utilizar as ferramentas matemáticas para analisar situações de seu entorno real e propor soluções, por exemplo, analisando as dificuldades de transporte coletivo em seu bairro por meio de levantamento estatístico, manuais técnicos de aparelhos e equipamentos.

BRASIL, 2002, p.117-119

305

Anexo XXX – Sinopse dos livros Mello (2005) e Boulos (2005).

Vetores e uma iniciação à Geometria Analítica. MELLO, D. A. WATANABE, G. R., 2005.

- Vetores; - Dependência Linear; - Produto escalar; - Produto Vetorial; - Produto misto; - Sistema de coordenadas no espaço: estudo da reta; - Estudo do Plano; - Superfície esférica.

Geometria Analítica: um tratamento vetorial. BOULOS, P. CAMARGO, I., 2005. - Vetor; - Soma de vetores; - Produto número real por valor; - Soma de pontos com vetor; - Aplicações geométricas; - Dependência linear; - Base - Mudança de base; - Produto escalar; - Orientação de V3. - Produto vetorial; - Produto Misto; - Sistema de coordenadas; - Equações de retas e planos; - Intersecção de retas e planos; - Posição relativa de retas e planos; - Perpendicularidade e ortogonalidade; - Media angular; - Distância; - Mudança de sistema de coordenadas; - Elipse, hipérbole, parábola; - Cônicas; - Superfícies esféricas; - Quádricas; - Geração de superfícies.

Elaborado pelo pesquisador.

306

Anexo XXXI – Sinopse do Livro Winterle (2000).

Vetores e Geometria Analítica. WINTERLE, P., 2000.

- Vetores; - Produto escalar; - Produto vetorial; - Produto misto; - A reta; - O plano; - Distância; - Cônicas; - Superfície quadrática; - Bibliografia.


307

Anexo XXXII – Diagrama de capítulos da obra de Callioli (1983)

Diagrama da obra de Callioli. Fonte: Callioli, 1983. p. vii.

308

Anexo XXXIII – Sinopse dos livros Anton (2006) e Steimbruch (1997).

Álgebra Linear com aplicações. ANTON, H., 2006.

- Vetores; - Sistema de equações lineares; - Matrizes e álgebra das matrizes; - Determinantes; - Modelos matriciais; - Transformações lineares; - Dimensão e estrutura; - Diagonalização; - Espaços vetoriais arbitrários; - Apêndice A: Como ler teoremas; - Apêndice B: Números complexos.

Introdução à Álgebra Linear. STEIMBRUCH, A.; WINTLE, P., 1997 - Espaços vetoriais; - Espaços vetoriais euclidianos; - Transformações lineares; - Operadores lineares; - Vetores próprios; - Simplificação da equação geral das cônicas; - Apêndice: Matrizes, determinantes e sistemas de equações lineares.


Anexo XXXIV – Sinopse do livro Caroli (1978).

Matrizes, Vetores e Geometria Analítica. CAROLI, A.; CALLIOLI, C. A.; FEITOSA, M.O., 1978.

- Matrizes; - Vetores; - Produtos; - Retas e planos; - Distâncias, áreas, volumes, ângulos; - Curvas planas; - Noções sobre superfícies e curvas no espaço.


Anexo XXXV – Sinopse dos livros Boldrini (1980) e Coelho (2005).

Álgebra Linear. BOLDRINI, J. L.; COSTA, S. I. R.; FIGUEIREDO, V. L.; WETZLER, H. G., 1980.

- Matrizes; - Sistemas de equações lineares; - Determinante e matriz inversa; - Espaço vetorial; - Transformações lineares; - Autovalores e autovetores; - Diagonalização de operadores; -Produto interno; - Tipos especiais de operadores lineares; - Formas lineares, bilineares e quadráticas; - Classificação de cônicas e quádricas; - Resolução de sistemas de equações diferenciais lineares;

309

- Processos iterativos e álgebra linear. Um curso de Álgebra Linear. COELHO, F. U.; LURENÇO, M. L. 2005.

- Números, corpos, resolução de sistemas lineares e matrizes; - Espaços vetoriais; - Transformações lineares; - Funcionais lineares; - Formas canônicas; - Espaços com produto interno; - Adjuntos; - Formas bilineares.


Anexo XXXVI – Sinopse do livro Leithold (1977).

O calculo com geometria analítica. LEITHOLD, L., 1977

- Números reais e Introdução à Geometria Analítica; - Funções, limites e continuidade; - A Derivada; - Aplicações da Derivada; - A Diferencial e a Antidiferencial; - A Integral Definida; - Aplicações da Integral Definida; - Funções Logarítmicas e Exponenciais; - As Funções Trigonométricas e Hiperbólicas; - Técnicas de Integração; - Coordenadas Polares; - As Secções Cônicas; - Formas Indeterminadas, Integrais Impróprias e a Fórmula de Taylor; - Séries Infinitas; - Vetores no Plano e Equações Paramétricas; - Vetores no Espaço Tridimensional e Geometria Analítica Sólida; - Cálculo Diferencial de funções de Várias Variáveis; - Integração Múltipla; - Teorema de Green.


Anexo XXXVII – Sinopse dos livros Barone (1988) e Banchoff (1992).

Álgebra Linear. Barone, M. Jr., 1988.

- Dois exemplos básicos; - Espaços vetoriais; - Combinação linear – Subespaço; - Geradores; - Sistemas lineares – Escalonamento; - Dependência linear; - Conjuntos geradores infinitos – Conjuntos L. I. infinitos; - Base – Dimensão; - Coordenadas; - Aplicações do escalonamento; - O subespaço das soluções de uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes;

310

- Sistemas lineares e equações diferenciais lineares não homogêneas; - Espaços com produto interno; - Ortogonalidade; - Projeção ortogonal; - Aplicações da projeção ortogonal; - Transformações lineares; - Matriz de uma transformação linear – Mudança de base; - Vetores e valores próprios; - Diagonalização; - Operadores Simétricos; - Reconhecimento de quádricas; - Máximos e mínimos de formas quadráticas; - Sistemas de equações diferenciais ordinárias lineares com coeficientes constantes; - Raízes múltiplas e complexas; - Diagonalização de operadores simétricos em dimensão n; - Determinantes.

Linear Algebra through Geometry. BANCHOFF, T.; WERMER, J., 1992. - Vectors in the Line; - The Geometry of Vectors in the Plane; - Transformations of the plane; - Linear Transformations and Matrices; - Sums and Products of Linear Transformations; - Inverses and Systems of Equations; - Determinants; - Eigenvalues; - Classification of Conic Sections; - Vector Geometry in 3-Space; - Transformations of 3-Space; - Linear Transformations and Matrices; - Sums and Products of Linear Transformations; - Inverses and Systems of Equations; - Determinants; - Eigenvalues; - Symmetric Matrices; - Classification of Quadric Surfaces; - Vector Geometry in n-Space, n≥4; - Transformations of n-Space, n≥4; - Linear Transformations and Matrices; - Homogeneous Systems of Equations in n-Space; - In homogeneous Systems of equations; - Vector space; - Bases and Dimensions; - Existence and Uniqueness of solutions; - The Matrix Relative to a Given Basis; - Vector Space with an Inner Product; - Orthonormal Bases; - Orthogonal Decompositions of a Vector Space; - Symmetric Matrices in n Dimensions; - Quadratic Forms in n Variables; - Differential Systems; - Least Squares Approximation; - Curvature of Function Graphs.


311

Anexo XXXVIII – Solução da tarefa apresentada na Figura 23.


312

Anexo XXXIX – Solução da tarefa apresentada na Figura 24.


313

Anexo XL – Solução da tarefa apresentada na Figura 26.


314

Anexo XLI – Solução da tarefa apresentada na Figura 27.


315

Anexo XLII – Solução da tarefa apresentada na Figura 28.


316

Anexo XLIII – Solução da tarefa apresentada na Figura 29.


317

Anexo XLIV – Solução da tarefa apresentada na Figura 30.


318

Anexo XLV – Solução da tarefa apresentada na Figura 31.


319

Anexo XLVI - – Solução da tarefa apresentada na Figura 32.


320

Anexo XLVII – Solução da tarefa apresentada na Figura 35.


321

Anexo XLVIII – Descrição dos livros de Matemática do Ensino Médio CNLDEM

(2009)

Kátia Stocco Smole e Maria Ignez Diniz.

O livro didático é oferecido em três volumes. Segundo o Catálogo do PNLEM (2009), o livro é eficaz, apresentado de forma coesa com relação aos textos e às orientações metodológicas, e os conteúdos foram distribuídos atendendo à conexão entre os temas propostos nos PCN+, proporcionando ao estudante a oportunidade de usufruir tanto dos valores científicos como do caráter formativo e instrumental. As autoras desenvolveram uma variedade de enfoques, permitindo a contextualização e a articulação entre os conteúdos, conforme indicação dos PCN+.

Os exercícios são variados e de boa qualidade, e há preocupação em desenvolver a manipulação das técnicas e tecnologias associadas, por meio da manipulação dos ostensivos e da evocação dos não ostensivos escolhidos em quantidades suficientes para a assimilação e o aprendizado de novos conceitos; para a estabilização de conhecimentos prévios; e também para a naturalização das técnicas. Mas alguns problemas contextualizados contêm dados ou descrições que podem colocar dificuldades para alguns estudantes do Ensino Médio, por não serem condizentes com a realidade. Benigno Barreto Filho e Cláudio Xavier da Silva.

O livro didático é apresentado em três volumes. Conforme o Catálogo do PNLEM (2009), apresentam de forma clara e objetiva os conteúdos, sendo cada tópico iniciado por um fato histórico ou por considerações sobre a origem ou a importância do conceito. A utilização da história da matemática para motivar os estudantes também é indicada nos PCN+. Ainda conforme a avaliação do PNLEM, o livro contém uma quantidade razoável de aplicações envolvendo outras áreas das ciências.

Os conteúdos contemplam de forma satisfatória os tópicos matemáticos, mas a sua abordagem é desenvolvida de maneira sucinta e superficial, e a articulação dos conteúdos da obra deixa a desejar; inclusive, um dos pontos discriminados é que não existe relacionamento entre o estudo das matrizes e os sistemas lineares, objeto de estudo dessa pesquisa. Também é informado que os exercícios são resolvidos por meio de fórmulas ou por repetição de procedimentos mecânicos; isto é, escolhida uma técnica, mesmo sendo essa justificada por meio dos não ostensivos que sustentam sua manipulação, não se introduzem outras formas de tratamento, limitando, assim, a utilização dos ostensivos de manipulação e as mudanças de quadros que auxiliariam na articulação dos conhecimentos e na naturalização de outras técnicas que já fazem parte dos conhecimentos prévios dos estudantes. José Roberto Bonjorno e José Ruy Giovanni.

O livro didático é composto por três volumes. Segundo o Catálogo do PNLEM (2009), a coleção contempla o conteúdo tradicionalmente abordado no Ensino Médio, trazendo também alguns temas destinados ao Ensino Superior. O objetivo da obra é estimular a efetiva participação do estudante na construção do conhecimento a ser apresentado. Assim, são aplicados alguns modelos clássicos, sendo cada capítulo finalizado com exercícios de fixação e de recapitulação, muitos envolvendo situações contextualizadas do cotidiano.

A contextualização, a interdisciplinaridade e a utilização da calculadora acompanham a obra, sendo também abordados textos com diversos assuntos, com destaque para as profissões. Um ponto negativo é a ausência de exercícios provocantes, destinados a estimular o estudante em processo de aprendizagem. Em geral, as técnicas são justificadas, levando em conta os conhecimentos prévios dos estudantes, exigindo o nível mobilizável, com pouca atenção ao desenvolvimento do nível disponível, no qual o estudante utiliza seus conhecimentos para resolver tarefas em que não se pede explicitamente a noção a ser utilizada; ou seja, cabe ao estudante encontrar a técnica adequada para a solução da tarefa proposta. Angel P. Rubió e Luciana M. T. de Freitas.

O livro didático é oferecido em três volumes e, segundo o Catálogo do PNLEM (2009), aborda grande parte dos conteúdos do Ensino Médio, além de apresentar uma revisão dos números reais, de geometria plana e áreas de figuras planas. Não existe preocupação em estabelecer ligações entre os vários tópicos apresentados, mas percebe-se a contextualização e a interdisciplinaridade, sendo a apresentação do conteúdo acompanhada por uma nota histórica; ou seja, alguns conteúdos são revisitados, mas não há o cuidado de articular os conhecimentos prévios com os novos, uma vez que os primeiros são introduzidos separadamente, dificultando a articulação dos conhecimentos e a naturalização das técnicas.

As demonstrações formais são escassas, ou seja, no livro, a validação do conhecimento matemático é simplesmente empírica, isto é, a obra contenta-se com a justificativa das técnicas, sem apresentar as teorias que as sustentam, mas essa é uma prática corrente do Ensino Médio, em que a Matemática é tratada quase exclusivamente por meio de tarefas desenvolvidas por meio das técnicas e das tecnologias que lhe são associadas, sem preocupação com a justificativa dessas tecnologias. A quantidade de atividades propostas aos estudantes, segundo o PNLEM, é elogiável, e existem ainda tarefas apresentadas em boxes separados que dão ênfase ao desenvolvimento do raciocínio lógico. Marcio Cintra Goulart.

O livro didático possui três volumes e, como informa o Catálogo do PNLEM (2009), privilegia satisfatoriamente os conteúdos do Ensino Médio. Seu estilo oscila entre a linguagem formal e o coloquialismo. A articulação entre as unidades não é satisfatória, e as situações de contextualização aparecem com pouca frequência. Nesse caso,

322

também se observa que as técnicas são justificadas por meio de tecnologias que, em geral, não são explicadas pelas teorias que as sustentam. Isso leva à utilização da linguagem coloquial, na tentativa de facilitar a compreensão pelos estudantes.

O livro apresenta cerca de quatro mil exercícios, em diferentes níveis de dificuldades, mas o desenvolvimento dos conteúdos parece não ser suficiente para que os estudantes atinjam o nível disponível, isto é, para que tenham a possibilidade de tratar atividades que ultrapassem a aplicação imediata das noções desenvolvidas no curso e que, consequentemente, são pedidas explicitamente nos enunciados. Isso pode estar associado à utilização da linguagem coloquial para justificar as técnicas que servirão de base para a resolução das tarefas propostas aos estudantes. Luiz Roberto Dante.

O livro didático é oferecido em volume único. Segundo o Catálogo do PNLEM (2009), a obra trabalha com os tópicos comumente aplicados no Ensino Médio, e os conteúdos são dispostos obedecendo a um encadeamento lógico. Assim, as diferentes noções são introduzidas por meio de situações contextualizadas do cotidiano ou situações de aplicação nas outras ciências, e a articulação entre os conteúdos aparece em toda a obra, de forma variada, seguindo as orientações do PCN+. Destaca-se aqui a articulação do quadro das matrizes com o quadro da geometria apresentada neste livro. Nesse caso, diferentes ostensivos são manipulados, e a articulação entre eles é feita por meio dos não ostensivos que permitem justificá-los, tanto por meio de tecnologias apropriadas, como pelas teorias que os sustentam.

Ao longo de toda obra, percebe-se a preocupação com a contextualização do conteúdo, sendo aplicada por meio de situações problemas que auxiliam na construção e no desenvolvimento de conceitos e das técnicas que lhes são associadas. As atividades são bem selecionadas e possibilitam tanto a articulação de conhecimentos prévios e novos conhecimentos como o desenvolvimento de atividades que exigem o nível disponível, que não considera apenas a aplicação das ferramentas matemáticas, mas exige descobrir qual a mais adequada para realizar a tarefa proposta. Antônio Nicolau Yossef, Elizabeth Soares e Vicente P. Fernandez.

O livro didático é oferecido em volume único e, segundo o Catálogo do PNLEM (2009), os temas abordados na obra abrangem os conteúdos usualmente indicados para o Ensino Médio, sendo adequados aos objetivos propostos para essa etapa escolar. A linguagem é clara e bem trabalhada, mas, como informa a avaliação do PNLEM, existem algumas imprecisões conceituais nas diversas partes da obra, e os temas não são tratados de forma articulada.

A obra não favorece o desenvolvimento de competências complexas, por ser a introdução dos conteúdos feita de forma impositiva, sem exploração do caráter dedutivo da formalização das teorias, o que leva a considerar que as técnicas são reproduzidas sem justificativa. Os exercícios são organizados após a introdução de cada novo conceito, respeitando o crescente grau de dificuldade, mas não ultrapassam o nível mobilizável. Considerando que, segundo os PCNEM, o estudante do Ensino Médio deve ser autônomo e responsável por seu próprio plano de estudo, essa falta de tarefas que exijam o nível disponível pode ser um fator de limitação para aqueles que utilizarem apenas essa obra. Manoel Paiva.

O livro didático é oferecido em um único volume. Segundo o Catálogo do PNLEM (2009), traz conteúdos usualmente trabalhados no Ensino Médio, distribuídos de forma equitativa. O conteúdo é satisfatório, mas efetuado de forma direta e sucinta, sem estimular o estudante à construção do próprio conhecimento; ou seja, as técnicas que permitem resolver as tarefas propostas são desenvolvidas apenas por meio da manipulação dos ostensivos e não ostensivos desenvolvidos no curso, sem fazer apelo aos conhecimentos prévios dos estudantes e, consequentemente, sem relacioná-los com os novos conhecimentos. Existe articulação entre os conteúdos, mas, segundo nossas análises, o quadro das matrizes não é satisfatoriamente articulado com os quadros dos determinantes e sistemas lineares, isto é, a noção de matriz serve apenas de ferramenta explícita para o cálculo de determinantes e sistemas lineares, privilegiando, assim, o nível técnico.

No conjunto da obra, pode-se considerar que os estudantes não são estimulados a descobrir, conjecturar, argumentar, questionar ou formular problemas e expressar-se usando a linguagem matemática. Isso significa que o nível de conhecimento que se supõe desenvolvido nessa obra é o mobilizável, ou seja, o que é questionado pode ser identificado explicitamente no enunciado das tarefas propostas aos estudantes, não exigindo o desenvolvimento de novas estratégias.

CNLDEM, 2009.

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Anexo XLVIX – Definição das noções trabalhadas no Ensino Médio

NOÇÃO DE CONJUNTO NUMÉRICO E OPERAÇÕES: será verificado o que é disponibilizado em termos da teoria dos conjuntos e suas operações, como também o conjunto dos números reais e suas operações. NOÇÃO DE FUNÇÃO: será verificado o que é abordado, utilizando a noção de função, por meio de conjuntos, assim como o trabalho com os conceitos de domínio, imagem e de funções definidas por meio de uma relação matemática. Também serão verificadas as tarefas que utilizam os conhecimentos relacionados às funções injetiva, sobrejetiva e bijetiva, composta e inversa. NOÇÃO DE FUNÇÃO POLINOMIAL: serão averiguados os conteúdos relacionados a função afim e a função quadrática e os casos particulares, assim como os estudos e a análise desses casos. NOÇÃO DE FUNÇÃO MODULAR: será verificado o que é disponível em termos da definição modular, assim como as funções, as equações e as inequações modulares. NOÇÃO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA: para as duas funções, averigua-se o que é disponível em termos de funções, propriedades e operações, equações e inequações. NOÇÃO DE TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: serão averiguados os conceitos de arcos e ângulos, funções circulares, relações fundamentais, redução ao primeiro quadrante, arcos notáveis, transformações, equações, inequações, triângulos retângulos e triângulos quaisquer. NOÇÃO DE SEQUÊNCIA NUMÉRICA: serão averiguadas as tarefas desenvolvidas de acordo com as sequências e sua lei de formação, progressão aritmética e progressão geométrica e a articulação com outras noções, como funções. NOÇÃO DE MATRIZ E DETERMINANTE: para esta noção são considerados os conhecimentos de matrizes e determinante de uma matriz, suas propriedades e operações. NOÇÃO DE SISTEMA LINEAR: serão considerados os conhecimentos sobre os métodos de resolução de sistemas, a determinação do conjunto solução e a possibilidade de aplicação desses conhecimentos para resolver tarefas relacionadas a outros conteúdos. NOÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS: serão verificadas suas representações: forma algébrica e geométrica e suas operações. Também serão averiguadas as aplicações utilizando esta noção. NOÇÃO DE POLINÔMIO E SUAS EQUAÇÕES: será averiguado o que é desenvolvido utilizando as operações, equações e aplicação de teoremas. NOÇÃO DE GEOMETRIA PLANA E MEDIDAS: serão verificadas as propriedades de figuras geométricas, a semelhança de triângulos, as relações métricas no triângulo retângulo, polígonos e áreas. NOÇÃO DE GEOMETRIA ESPACIAL E MEDIDAS: serão averiguadas as noções de posições relativas aos entes geométricos, de poliedros e corpos redondos. NOÇÃO DE GEOMETRIA ANALÍTICA: serão averiguados os conceitos associados ao estudo dos pontos e retas no sistema de eixos cartesianos. Também serão consideradas às noções de circunferência e secções cônicas. NOÇÃO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA: será verificado o que é desenvolvido utilizando os números proporcionais, porcentagem, juros simples e compostos. NOÇÃO DE ANÁLISE COMBINATÓRIA: serão verificados os princípios da multiplicação e da contagem, permutação, arranjos, combinações e problemas que envolvam vários desses tipos de agrupamento. Também serão considerados os conceitos de Binômio de Newton e o triângulo de Pascal. NOÇÃO DE PROBABILIDADE: serão verificados os conceitos de espaço amostral e eventos, cálculos de probabilidade e sua definição teórica e as aplicações associadas. NOÇÃO DE ESTATÍSTICA E INTERPRETAÇÃO DE DADOS: será verificado o que é fornecido com relação às análises de dados por meio de pesquisas e representações gráficas. Também serão avaliados os conceitos de medidas de tendência central e de dispersão.

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A NOÇÃO DE MATRIZ NA TRANSIÇÃO ENTRE O ENSINO MÉDIO