A Non-Mathematical Introduction to X-Ray Crystallography [Short Article] - C. Taylor (1980) WW

8/8/2019 A Non-Mathematical Introduction to X-Ray Crystallography [Short Article] - C. Taylor (1980) WW

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A1

No n-M a thema t i ca l I n tro duc t io nto X-ray Crysta l lographyby

C. A. Taylor

T h i s e l e c t r o n i c ed i t i o n m a y b e fr e e l y c o p i e d a n dr e d i s t r ib u t e d f o r ed u c a t i o n a l o r r es e a r c h p u r p o s e s

o n l y .I t m a y no t be s o l d fo r p ro f it no r i nc o rpo ra t e d i n a ny p roduc t s o l d fo r p ro f i twi t ho u t t he e xp re s s pe rn f i s s i on o f Th e F .xe c u ti ve S e c re t a ry , In t e rna t i ona lU n i o n o f C r y s t a l l o g r a p h y , 2 A b b e y S q u a r e , C h e s t e r C I I I 2 11 U , U KC o p y r i g h t i n t h i s e l e c t r o n i c e d i t i o n ( i )2 0 0 1 I n t e r n a t i o n a l l .J n io n o fC r y s t a l l o g r a p h y

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1 9 8 0 b y t h e I n t e r n a t io n a l U n i o n o f C r y s t a l l o g r a p h y .A l l r i g h t s r e s e r v e d .P u b l i s h e d b y t h e U n i v e r s i t y C o l l e g e C a r d i f f P r e s s f o r t h eI n t e r n a t io n a l U n i o n o f C r y s t a U o g r a p h y w i t h t h ef i na n c ia l a s s is t a n ce o f U n e s c o C o n t r a c t N o . S C / R P 2 5 0 . 2 7 1T h i s p a m p h l e t i s o n e o f a s e r i e s p r e p a r e d b y t h eC o m m i s s i o n o n C r y s t a ll o ,g r a p h ic T e a c h i n g o f t h eI n t e rn a t io n , 't l U n i o n o f C r y s t a l l o g r a p h y , u n d e r t h eG e n e r a l E d i t o r s h i p o f P r o f e s s o r C . A . T a y l o r .C o p i e s o f t h i s p a m p h l e t a n d o t h e r p a m p h l e t s i nt h e s er i es m a y b e o r d e r e d d i r e c t f r o m t h eU n i v e r s i t y C o l l e g e C a r d i f f P r e s s ,P . O . B o x 7 8 , C a r d i ffC F 1 1 X / . , , U . K .

I S B N 0 9 0 6 4 4 9 0 5 7P r i n t e d i n W a l e s b y U n i v e r s i t y C o l l e g e , C a r d i f f .


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S e r i e s P r e f a c e

T h e l o n g t e r m a i m o f t h e C o m m i s s i o n o n C r y s t a l l o g r a p h i c T e a c h i n g i ne s t ab l is h i n g t hi s p a m p h l e t p r o g r a m m e i s t o p r o d u c e a l ar g e c o ll e c t io n o fs h o r t s t a t e m e n t s e a c h d e a l i n g w i t h a s p e c if i c t o p i c a t a s p e c i f ic le v e l . T h ee m p h a s i s is o n a p a r t i c u l a r t e a c h i n g a p p r o a c h a n d t h e r e m a y w e l l, in t im e ,b e p a m p h l e t s g i v in g a l te r n a t iv e t e a c h in g a p p r o a c h e s t o th e s a m e t o p ic . I tis n o t t h e f u n c ti o n o f t h e C o m m i s s i o n t o d e c i d e o n t h e ' b e s t ' a p p r o a c hb u t t o m a k e a ll a v a i l a b l e so th a t t e a c h e r s c a n m a k e t h e i r o w n s e l ec t io n .S i m i l a rl y , in d u e c o u r s e , w e h o p e t h a t t h e s a m e t o p i c s w i ll b e c o v e r e d a tm o r e t h a n o n e l ev e l.

T h e i n it ia l se l e ct io n o f t e n p a m p h l e t s p u b l i s h e d t o g e t h e r r e p r e s e n t s as a m p l e o f t h e v a r i o u s l e v e l s a n d a p p r o a c h e s a n d i t i s h o p e d t h a t i t w i l ls t i m u l a t e m a n y m o r e p e o p l e t o c o n t r i b u t e t o th is s c h e m e . I t d o e s n o t t a k ev e r y l o n g t o w r i te a s h o r t p a m p h l e t , b u t i ts v a l u e t o s o m e o n e t e a ch i n g at o p i c f o r t h e f ir st . t im e c a n b e v e r y g r e a t .

E a c h p a m p h l e t is p r e f a c e d b y a s t a t e m e n t o f a im s , le v e l , n e c e s s a r yb a c k g r o u n d , e t c .

C . A . T a y l o rE d i t o r f o r th e C o m m i s s i o n

Th e financial assistance of UN ESC O, ICSU and of the International U nio n of Crystallog-raphy in publishing the pam phlets is gratefully acknowledged.


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Teaching AimsT o h e l p s t u d e n t s w i t h n o p r e v i o u s k n o w l e d g e o f X - r a y d i ff r a c ti o n to

u n d e r s t a n d t h e g e n e r a l p r i n c i p le s a n d t o g iv e s o m e i d e a o f w h a t i t c a n d o .L e v e l

T h i s a p p r o a c h c o u l d b e u s e d a t a lm o s t a n y le v e l f r o m a b o u t a g e 1 6u p w a r d s .

B a c k g r o u n dA g e n e r a l i n t e re s t in sc i e n c e a n d a n e l e m e n t a r y k n o w l e d g e o f w h a t c a n

b e d o n e w i th a m i c r o s c o p e a n d s li d e p r o j e c t o r s i s a ll t h a t is n e e d e d .P r a c t i c a l R e s o u r c e s

U s e is m a d e o f t h e Atlas o f Opt ical Transforms p u b l i s h e d a s p a r t o f t h eT e a c h i n g C o m m i s s i o n ' s P i lo t P r o j e c t ( s e e r e f e r e n c e a t e n d ) .

T i m e R e q u i r e d f o r T e a c h i n gT h i s r e p r e s e n t s a n i n t r o d u c t o r y c o u r s e o f t w o o r t h r e e l e c t u r e s w i t h

t i m e t o s t u d y t h e At las .


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A N o n - M a t h e m a t i c a l I n t r o d u c t i o n t o X - r a yD i f f r a c t i o n

C h a r l e s A . T a y l o rU n i v e r s i t y C o l l e g e , C a r d i f f , U . K .

1 . I n t r o d u c t i o nI n m y v i e w t h e b a s ic p r o b l e m in p r e s e n t i n g X - r a y d i f f ra c t io n t o

n o n - s p e c i a li s t a u d i e n c e s is t o r e m o v e s o m e o f t h e a t m o s p h e r e o fm a t h e m a t i c a l d i ff ic u l ty a n d m y s t i c i s m a n d t o s h o w , f ir st o f a ll , t h a t t h ep r o c e s s e s i n v o l v e d a r e , in p ri n c i p le , i d e n t i c a l w i th t h o s e o f m i c r o s c o p y .M y s u g g e s t e d a p p r o a c h t o th is p r o b l e m is t o u s e o p t i c a l a n a l o g u e s a tq u i t e a n e a r l y s t a g e : t h e m a t h e m a t i c s c a n b e f i l l e d i n e a s i l y e n o u g h o n c et h e e s se n t ia l i d ea s h a v e b e e n g r a s p e d - - o r o f c o u r s e it m a y b e t h a t an o n - s p e c i a l i s t g r o u p w i ll n o t n e e d t h e m a t h e m a t i c s a n y w a y . I s h a lli l lu s t r at e t h i s p a m p h l e t b y r e f e r r i n g t o i ll u s t ra t i o n s i n t h e A t l a s o f O p t i c a lT r a n s f o r m s w h i ch w a s p u b l i s h e d i n 1 9 7 5 b y B e l l f o r t h e U n e s c o p i lo tp r o j e c t o f t h e T e a c h i n g C o m m i s s i o n , w h i c h r e a ll y i n i ti a te d t h e i d e a o ft h e s e p a m p h l e t s .

I u s u a l ly b e g i n b y d r a w i n g a t t e n t i o n t o t h e b a s i c s t e p s t h a t o c c u r in a llp r o c e s s e s o f i m a g e f o r m a t i o n : t h e f ir st is s c a t t e r i n g o f t h e r a d i a t i o n a n dt h e s e c o n d is r e c o m b i n a t i o n o f t h e s c a t te r e d b e a m s . T h e b a s i c id e a c a n b ei l lu s t r a te d w i t h a n o r d i n a r y 2 " x 2 " s li d e p r o j e c t o r . I f t h e l e n s is r e m o v e ds o t h a t a d i f fu s e p a t c h o f l i g h t i s s e e n o n t h e s c r e e n e v e n t h o u g h a s l i d e isi n p l a c e , i t w i ll b e c l e a r t o a n a u d i e n c e t h a t a ll t h e i n f o r m a t i o n t h a t i sc o n t a i n e d i n t h e sl id e m u s t b e a v a i l a b l e in t h e p a t c h o f l ig h t o n t h e s c r e e na l t h o u g h i t is n o t r e a d i ly d e c i p h e r a b l e . C l e a r l y t h e le n s c a n n o t ' k n o w 'a n y t h i n g a b o u t t h e s l id e a n d y e t a s s o o n a s i t i s p l a c e d i n t h e c o r r e c tp o s i t i o n t h e n a t u r e a n d d e t a i l o f t h e s l id e a r e re v e a l e d . A l l th a t t h e l e n sc a n d o i s t o r e a r r a n g e t h e i n f o r m a t i o n s o t h a t it is i m m e d i a t e l y u n d e r -s t a n d a b l e t o t h e e y e a n d b r a in .

2 . T h e P r o b l e m o f F o c u s i n gT h e o p e r a t i o n w h i c h w e c al l ' f o c u s i n g ' is a v e r y s o p h i s t i c a t e d o n e w h i c h

w e t a k e v e r y m u c h f o r g r a n t e d . B u t h o w d o w e a c t u a l l y p e r f o r m i t ? E v e na v e r y b r i e f t h o u g h t w i l l m a k e i t c l e a r t h a t w h a t w e r e a l l y d o is to m a k et h e i m a g e l o o k a s w e t h i n k t h e o b j e c t i s m e a n t t o l o o k . W e a s s u m e , f o re x a m p l e , t h a t i f in o n e p o s i t i o n o f th e l e n s a ll t h e j u n c t i o n s b e t w e e n b l a c ka n d w h i t e a r e a s a r e s h a r p l y d e f i n e d , t h e n i t is p r o b a b l y ' in fo c u s ' . T h e

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a s s u m p t i o n c l e a r l y is t h a t t h e j u n c t i o n s r e a l l y a r e s h a r p . I f o n t h e o t h e rh a n d t h e o b j e c t o n t h e s l i d e a l r e a d y h a d d i f f u s e j u n c t i o n s i t w o u l d b ec o r r e s p o n d i n g l y m o r e d i ff ic u l t f o r t h e p r o j e c t i o n i s t to f o c u s t h e s l id e . I nt h e e v e n t o f r e a l d i ff ic u l ty w e m a y . fo c us o n a h a i r, o r o n s o m e s p e c k s o fd u s t , w h i c h w e a s s u m e s h o u l d h a v e ' s h a r p e d g e s ' a n d h o p e t h a t w h e nt h e y l o o k r ig h t t h e w h o l e s l id e w ill b e r ig h t. T h e r e a r e i n f a c t, w h e t h e r w el i k e i t o r n o t , o n l y t w o w a y s o f f o c u s i n g ; o n e is t o c a l c u l a t e t h e p r e c i s ep o s i t i o n o f l e ns , s li d e , s c r e e n , e t c . , o n t h e b a s is o f g e o m e t r i c a l o p t i c s a n dt h e o t h e r is t o w o r k o n t h e b a s is o f s o m e p r e k n o w l e d g e a b o u t t h e n a t u r eo f t h e o b j e c t . W e s h al l r e t u r n t o t h e i m p l i c a t io n s o f th i s s t a t e m e n t f o rX - r a y d i f f r a c t i o n a t a l a t e r s t a g e .

W i t h v i si b le li g h t w e c a n u s u a l l y s o l v e t h e f o c u s i n g p r o b l e m s f a i r lye a s il y a n d i m a g e s o f e x t r e m e l y sm a l l o b j e c t s m a y b e p r o d u c e d in t h eo p t i c a l m i c r o s c o p e . O n e s e v e r e l i m i t a t i o n h o w e v e r , i s t h e w a v e l e n g t h o fl i g h t a n d d e t a i l b e l o w t h i s s i z e c a n n o t b e i m a g e d . O n e a l t e r n a t i v e i s t o u s ee l e c t r o n s w h o s e w a v e l e n g t h is q u i t e s m a ll e n o u g h , b u t t h e p r a c t ic a lp r o b l e m s o f l en s d es ig n s f o r t h e e l e c t r o n m i c r o s c o p e p r o v i d e a n e x p e r i -m e n t a l l i m it b e f o r e t h e r e s o l u t i o n o f i n d iy i d u a l a t o m s c a n b e a c h i e v e d .

X - r a y s h a v e a s u i t a b l e w a v e l e n g t h a n d w o u l d p r o v i d e a s i m p l e s o l u t i o ni f t h e y c o u l d b e f o c u s e d e x p e r i m e n t a l l y . U n f o r t u n a t e l y t h i s is n o t p o s s i b lee x c e p t w i th s y s t e m s o f c u r v e d m i r r o r s w h i c h a r e c a p a b l e o f o n l y v e r yl im i t e d m a g n i fi c a ti o n . T o a c h i e v e t h e f ul l b e n e f i ts o f t h e s m a l l w a v e l e n g t hs o m e a l t e r n a t i v e a p p r o a c h m u s t b e a d o p t e d .

3 . T h e E s s e n c e o f X - r a y D i ff r a c ti o nI n p r i n c i p l e o n e c o u l d s a y t h a t t h e w h o l e d e v e l o p m e n t o f X - r a y

d i f f r a c t i o n t e c h n i q u e s r e a l l y a m o u n t s t o t h e d e v e l o p m e n t o f a l t e r n a t i v e st o t h e f o c u s i n g o f X - r a y i m a g e s . T h e p o i n t i s t h a t t h e f ir st s t a g e o f t h ei m a g i n g p r o c e ss , i ll u s t ra t e d b y t h e p r o j e c t o r w i t h n o l en s , c a n b e p e r -f o r m e d b u t t h e c r y s t a l l o g r a p h e r h a s n o l e ns to p u t b a c k i n t h e p r o j e c t o ra n d m u s t t r y to m a k e s e n s e o u t o f t h e d i ff u s e p a t c h in s o m e o t h e r w a y .

I f t h e p r o b l e m w e r e s t r i c t l y a n a l o g o u s t o t h i s i t i s u n l i k e l y t h a t a n ys t ru c t u re s w o u l d e v e r h a v e b e e n s o lv e d . F o r t u n a t e l y t h e r e a r e t w os i g n i f i c a n t w a y s i n w h i c h t h e X - r a y c r y s t a l l o g r a p h e r ' s c a s e d i f f e r s f r o mt h a t o f t h e p r o j e c t i o n i s t w i t h n o l e n s f o r h i s p r o j e c t o r . F i r s t o f a l l t h ep r o j e c t o r u se s w h i t e li g ht w i t h a b r o a d f r e q u e n c y b a n d w h i c h is a l sos p a ti a ll y i n c o h e r e n t a n d i s p r o d u c e d f r o m a l a r g e so u r c e . I n t h e X - r a yc a s e i t i s u s u a l ( e x c e p t u n d e r t h e s p e c i a l c i r c u m s t a n c e s o f L a u e p h o t o -g r a p h s w i t h w h i c h w e a r e n o t c o n c e r n e d h e r e ) t o u s e m o n o c h r o m a t i cr a d i a t i o n w h i c h , a s a r e s u l t o f t r a v e l l in g t h r o u g h a l o n g , f in e h o l e o r s l ith a s q u i t e a h i g h d e g r e e o f sp a t ia l c o h e r e n c e . T h e s e c o n d p o i n t i s t h a t t h eo b j e c t u s u a l l y e x h i b i t s s o m e d e g r e e o f r e g u l a r i t y o r c r y s t a l l i n i t y .

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T h e s e t w o f a c ts l e a d t o t h e p r o d u c t i o n o f p a t t e r n s w h i c h c o n s i st n o t o fa d i f f u se p a t ch b u t r a t h e r o f a s e r i e s o f d i s c r e t e sp o t s ( t h o u g h t h e r e m ayw e l l b e d i ff u se sp o t s an d p a t ch es i f t h e o b j ec t i s n o t su f f ic i en tl y r eg u l a r) .

T h e p a r a l l e l w i t h t h e p r o j e c t o r w h i c h m o s t n e a r l y m a t c h e s t h e X - r a ycase w o u l d b e a g a s - p h ase l a se r b eam f a l l i n g o n a r eg u l a r g r a t i n g ( e . g . af in e ly w o v e n h a n d k e r c h i e f o r a p i e c e o f g a u ze ) ; t h e b e a m is s c a t te r e d o rd i f fr ac t ed in t o a n u m b er o f w e l l d e f i n ed b eam s o r sp o t s a r r an g ed i n ar e g u l a r w a y . T h e o p t i c a l d i f f r a c t o m e t e r u s e d i n t h e p r e p a r a t i o n o f t h ep l a t e s i n t h e A t l a s i s m e r e l y a so p h i s t i c a t ed d ev e l o p m en t f r o m t h i s s i m p l ee x p e r i m e n t .T h e d i f f e r en ce i n t h e p a t t e r n s o f r eg u l a r an d i r r eg u l a r o b j ec t s , a l li l lu m i n a t ed b y m o n o ch r o m a t i c c o h e r en t r ad i a ti o n is i l lu s t r a t ed i n P l a t e s1 6 an d 1 7 o f t h e A t l a s .T h e p r o c e s s c a r ri e d o u t b y th e l e n s o f t h e p r o j e c t o r o r b y t h e o b j e c t i v eo f t h e m i c r o sco p e an d w h i ch n eed s t o b e ca r r i ed o u t a r t i f i c i a l l y b y t h eX - r a y c r y s t a l l o g r a p h e r i n v o l v e s t h e m a t h e m a t i c a l o p e r a t i o n o f F o u r i e rS y n t h e s i s . W e s h a l l h o w e v e r a t t e m p t t o i l l u s t r a t e t h e p r o c e s s w i t h o u tr e s o r t t o m a t h e m a t i c s .I f the sca t t e r ing (o r d i f f r ac t ion pa t t e rn as i t t ends to be ca l l ed i f i tco n s i s t s o f r eg u l a r sp o t s ) i s co m p l e t e l y d e t e r m i n ed t h en i t sh o u l d , i np r in c ip l e, b e p o s s i b l e t o t r a n s f o rm t h e b e a m i n to a n i m a g e b y t h e p u r e l ym a t h e m a t ic a l p r o c e s s o f F o u r i e r S y n t he s is . U n f o r t u n a t e l y , h o w e v e r , i t h a sso f a r p r o v ed q u i t e i m p o ss i b l e t o r eco r d t h e r e l a t i v e p h ase s : t h i s i m -m e d i a t e l y i n v a l i d a t e s t h e d i r e c t m a t h e m a t i c a l p r o c e s s . T h e r e a s o n w h yt h e p h a s e c a n n o t b e r e c o r d e d b e c o m e s c l ea r if o n e c a l c u la t e s th e f r e -q u e n c y o f X - r a y s ; d e t e r m i n a t i o n o f p h a s e w o u l d , i n e ff e c t, in v o l v e t i m em e a s u r e m e n t s c o r r e s p o n d i n g t o a f r a c t i o n o f o n e p e r i o d . I f w e a s s u m eX - r ay s o f w av e l en g t h 1 . 5 / ~ ( 1 .5 x 1 0 - 1 m ) t h e f r eq u en c y i s ab o u t 2 x10 TM an d h en ce t o m eas u r e a p h ase d i f f e r en ce o f (s ay) th o f a cy c l e w o u l di n v o l v e a t i m e m e a s u r e m e n t o f a b o u t 1 0 - ~ g s w h i c h i s c e r t a i n l y b e y o n do u r p r e s e n t r e s o u r c e s . P e r h a p s o n e d a y a m e a n s o f a d d i n g a c o h e r e n tb e a m , a s i n o p t i c a l - l a s e r h o l o g r a p h y m a y b e c o m e a v a i l a b l e a n d t h e n t h ew h o l e s i t u a t i o n w o u l d c h a n g e l

Le t us f i r s t o f a l l cons ider in a l i t t l e more de ta i l t he r e l a t ionsh ipsb e t w e e n a n o b j e c t a n d i ts s c at te r in g o r d if fr a ct io n p a t t e r n - - r e g a r d l e s s , f o rt h e m o m e n t , o f w h e t h e r w e a r e d e a l in g w i t h li gh t o r w i t h X - r a y s . S u p p o s et h a t t h e o b j ec t co n s i s t s o f t w o p o i n t s o n l y . P l a t e 1 o f t h e A t l a s sh o w s t h a tt h e r e su l t i s a s e t o f f r in g es w h o se sp ac i n g v a r i e s i n v e r se l y w i t h t h a t o f t h ep o i n t s . T h e s e a r e t h e w e l l k n o w n ' Y o u n g ' s ' o r ' D o u b l e - s l i t ' f r i n g e s a n dcan b e sh o w n t o v a r y co s i n u so i d a l l y i n am p l i t u d e w i t h a l t e r n a t e f r i n g es ~ ro u t o f p h a s e w i th t h e r e st . F o r t h e m o m e n t w e w i ll i g n o r e t h e e f fe c t s o ft h e s i z e o f t h e s c a t t e r i n g p o i n t s a n d a s s u m e t h a t t h e y a r e m a t h e m a t i c a l l ysmal l . The f r inges wi l l t hen , in p r inc ip le , be o f in f in i t e ex ten t and wi thou t


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t h e r i n g p a t t e r n s s u p e r i m p o s e d a s , in P l a t e 1 ; t h e c e n t r e r e g i o n w ill b e t i leo n l y o n e o f i n t e r e st . I f w e n o w a d d f u r t h e r p a i rs o f p o i n t s i n d i ff e r e n to r i e n t a t io n s , f r in g e s o f d i f f e r e n t o r i e n t a t i o n a n d s p a c i n g w i l l b e a d d e d a n dt h e r e s u l t a n t p a t t e r n b e c o m e s . m o r e c o m p l e x ( P l a t e 2 ). I f t h e b a s ica r r a n g e m e n t o f p o i n ts f o r m i n g t h e o b j e c t i s r e p e a t e d .in a n y k i nd o f .r e g u l a r w a y , f u r t h e r f ri ng e s a r e i n t r o d u c e d a n d . a t w o - d im e n s i o n a l - "' c r y s t a l ' p r o d u c e s a p a t t e r n o f r e g u l a r s p o t s ( P l a t e 1 1 . ): I t w il l b e c l e a rf r o m a st u d y o f p l a t e s 1 , 2 a n d : 1 1 t h a t w e c a n n o w s e p a r a t e , t w o q u i t ed i s t in c t v a r i a b l e s . F i r s t t h e s iz e a n d s h a p e : o f t h e l a t t ic e ( s tr i c tl y t h erec iproca l l a tt ic e ) i n w h i c h t h e s p o t s o f t h e d i f f r a c t io n p a t t e r n a r e . a r -r a n g e d d e p e n d s s o l el y o n t h e s iz e a n d s h a p e o f t h e l a t ti c e o n w h i c h t h eg r o u p s o f s c a t t e r e r s : a r e a r r a n g e d . . A n d s e c o n d l y t h e r e l a t i v e in t e n s i ty o ft h e s p o t s d e p e n d s o n t h e a r r a n g e m e n t o f s c a t t e r e r s in e a c h i n d iv i d u a l .g r o u p . I n t li e c r y s t a l l i n e . c a s e t h e ' i n d iv i d u a l g r o u p ' is t h e u n i t c e llc o n t e n t s . "

4 . T h e F u n d a m e n t a l P r o b l e m o f R e c o n s t r u c t in gi ~ . . . a n X - r a y I m a g e

I n t h e t e r m s o f th is p a m p h l e t w e a r e n o w f a c e d w i th t h e p r o b l e m o fd e r iv i n g t h e a r r a n g e m e n t s s h o w n o n t h e l e f t h a n d p a g e o f P l a t e l I , g iv e nt h e s c a t t e r in g p a t t e r n s o n t h e r i g h t h a n d of. P l a t e 1 1 .

N o w l e t u s c o n si d e r th e n a t u r e O f t h e p r o b l e m o f re c o m b i n i n g t h es c a t te r e d i n f o r m a t i o n t o p r o d u c e an i m a g e a n d w e w i ll s t a r t b y o n c e m o r ec o n s id e r in g t h e c a s e o f t w o p o i n t s c a t t e re r s o n ly . A s - w e h a v e s e e n, t h ed i f f r a c ti o n o r s c a t t e r i n g p a t t e r n is a s e t o f c o s i n u s o i d a l f r i n g e s w h o s es p a c in g is i n v e r s e l y r e l a t e d t o t h a t o f th e p o i n t . T h i s l o o k s v e r y l i k e ad i ff r a c ti o n g r a ti n g w h i c h i f : it s el f p l a c e d .in a c o h e r e n t m o n o c h r o m a t i cb e a m o f li g ht w ill g iv e : o r d e r s o f d i f fr a c ti o n . A g o o d e x p e r i m e n t a t t h i sp o i n t i s t o p r o v i d e a f e w c o a r s e d i f f r a c t i o n g r a t i n g s w h i c h c a n b e p l a c e d i n 'a la s e r b e a m a n d g i ve a s in g l e r o w o f r e g u l a r ly s p a c e d s h a r p s p o t s a n d i t ise a s y t o d e m o n s t r a t e t h e r e c i p r o c a l r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e s li t s p a c in g o ft h e g r a ti n g a n d t h e s p a c e b e t w e e n t h e o r d e r s . I f w e n o w s u b s t i tu t e f o r t h e "o r d i n a r y d i f f ra c t i o n g r a t i n g ( w h i c h h a s s h a r p t r a n s p a r e n t a n d o p a q u e s l it s,i . e, h a s a S q u a re w a v e f u n c t i o n ) o n e w i t h a c o s i n u s o i d a l f u n c t io n d e t e r -m i n i n g its tr a n s p a r e n c y v a r i a t i o n w e s h a ll f in d o n l y t h r e e o r d e r s : a b r i g h t 'c e n t r e o n e : a n d a s in g le w e a k e r o n e o n e a c h s i d e . O f c o u r s e o u r g r a t in g r e a ll yh a s a t r a n s p a r e n c y d i s t r ib u t i o n o f (1 + c o s 0 ) s i nc e w e h a v e n o t "p r o v i d e d fo r n e g a t i v e . : tr a n sm i s si on . I f, u s i n g p h a s e c h a n g i n g t r ic k s w i t hp o l a r i s e d l ig ht, a n d m i c a , t h e d e t a il s o f w h i c h n e e d n o t c o n c e r n u s h e r e ,w e m a k e a t r u e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e c o s i n e d i s tr i b u ti o n W ith a l t e r n a t i v e .s tr ip s i n o p p o s i t e p h a s e , W e a r r i v e a t a: d i ff r a c ti o n p a t t e r n w i t h j u s t t w oo r d e r s , o n e o n e i t h e r ' s i d e o f t h e o r i g i n a l . li n e o f t h e b e a m l A l o g ic a l


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d e v e l o p m e n t o f t hi s t ra i n o f t h o u g h t t h e n is t o s e e t h a t f f w e w e r e t o p l a c et h e p a t t e r n s o f ( sa y) . t h e r i gh t h a n d s i d e o f P l a t e 2 in a c o h e r e n tm o n o c h r o m a t i c b e a m o f l ig h t, t h e n w e s h o u l d p r o d u c e a n i m a g e l i k e t h el e f t h a n d p a g e : I n o t h e r w o r d s w e c a n a c h ie v e t h e r e c o m b i n a t i o n t r ic km e r e l y b y u s i n g a r e p r e s e n t a t i o n o f t h e d i f fr a c ti o n p a t t e r n i ts e lf asa n o t h e r d i ff ra c ti n g o b j e c t . T h e p r o b l e m o f r e p r e s e n t i n g t h e p h a s e r e m a i n sh o w e v e r a n d n e e d s s p e c i a l c o n s i d e r a t i o n , .

T h i s r e v e r s e p r o c e s s is i l lu s t r a te d in P l a t e 2 9 . O n t h e l e ft w e h a v e as e r i e s o f p a i rs o f p o i n t s w h i c h b u i ld u p in 29 ;8 L e f t to a r e p r e s e n t a t i o n o f t h ec o m p l e t e s c a t t e r i n g . p a t te r n : in t w o d i m e n s io n s o f a c r y s t a l - o fR h o d i u m p h t h a l o c y a n i n e d e r iv e d u s in g X - r a y s . T h e r e l a t i v e in t en s i t ie s o ft h e s p o t s a r e r e p r e s e n t e d b y V a r yi n g t h e s iz e of th e h o l e s . T h e d i f fr a c ti o np a t t e r n o f th is , : 29 .8 R i g h t , is a r e a s o n a b l e r e c o n s t r u c t i o n o f a n i m a g e o f aR h o d i u m p h t h a l o c y a n i n e m o l e c u l e a n d o n e ca n s e e i n t h e e a rl i er fi gu re so n t h i s p a g e h o w t h e s u c c e s s i v e p a i r s o f h o l e s a d d f u r t h e r f r i n g e s t o b u i l du p t h e p a t t e r n . T h i s , a s o n e m i g h t g u e s s , i s a v e r y s p e c i a l c a s e i n w h i c h i tj u s t h a p p e n s t h a t t h e R h o d i u m a t o m a t t h e c e n t r e i s j u st l s u ff ic ie n t tos c a tt e r e n o u g h c o h e r e n t b a c k g r o u n d o v e r t h e w h o l e p a t t e r n t o b ri n g t h em a x i m u m n e g a t i v e , r e g i o n s t o z e r o , a n d m a k e c o r r e s p o n d i n g e n h a n c e -m e n t s o f t h e p o s i t i v e reg io n_ s (t h is p r i n c i p l e . is f u r t h e r e x p l o r e d i n P l a t e 5 ) .I n t h is ca se . t h e r e f o r e t h e p h a s e p r o b l e m d o e s n o t c a u s e d i f fi c u lt ie s . S u c he x a m p l e s a r e , h o w e v e r , r a r e . .

F o l lo w i n g t h is l in e o f a r g u m e n t w i th f u r t h e r e x a m p l e s w e s h o u l d b ea b l e t o . e s t a b l is h e x p e r i m e n t a l l y t h a t . t h e p r o c e s s o f r e c o m b i n a t i o n isi d e n ti c a l w i t h t h a t o f s c a t t e r i n g a n d t h a t , u n d e r c e r t a i n c i rc u m s t a n c e s , t h ed i ff r ac t io n p a t t e r n o f t h e d i f f r a c t i o n p a t t e r n i s - a n i m a g e o f . t h e o b j e c ta g a in . T h e m a t h e m a t i c s c o u l d b e i n t r o d u c e d a t t h is s t a g e i f i t is d e s i r e db u t i s : n ot e s s e n t ia l f o r n o n - s p e c i a l i s t s . . . . . . " -: . . ..: . . ; , . . .

" " ' 5 . S o m e P r a c t i c a l Q u e s t i o n s .." " W e n o w n e e d t o tr y t o a n s w e r a s e r ie s o f q u e s t i o n s t h a t s h o u l d a ri se .( a ) W h a t - h a p p e n s i n t h e g e n e ra l c a se i f w e ig n o r e t h e p h a s e . a n d t r y . t or e c o m b i n e w i t h j u s t t h e i n t e n s i t i e s ?

I n o r d e r t o a n s w e r t hi s q u e s t i o n - w e n e e d t o t hi n k b a c k o n c e m o r e t ot h e o b j e c t c o n s i s t in g o f t w o p o i n t s a n d i ts d if f ra c t io n p a t t e r n w h i c h is ac o s i n u s o i d a ll y v a r y i n g f r i n g e p a t t e r n . S u p p o s e n o w t h a t t h e o b j e c t i st r a n s l a t e d in it s o w n p l a n e ( w h ic h is a s s u m e d p e r p e n d i c u l a r t o t h e li g h tb e a m ) . I t i s w e l l k n o w n t h a t t h e f r i n g e s w il l n o t m o v e l a t e r a l l y . ( T h i s c a nb e d e m o n s t r a t e d e a s il y i f a d i s t a n t s t r e e t la m p i s v i e w e d t h r o u g h a p i e c eo f f a b r ic s u c h a s a h a n d k e r c h i e f o r a n u m b r e l l a : t h e d i f fr a c ti o n p a t t e r nd o e s n o t m o v e o n t h e r e t i n a w h e n t h e f a b r i c is t r a n s l a te d . ) I t i s c l e a r


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h o w e v e r t h a t s o m e r e p r e s e n t a t io n o f t h e t ra n s la t io n m u s t b e e n c o d e d i nthe d i f fr ac t ion p a t t e rn , s ince , if w e a l low ed the f r inges to f a l l on a lensa n d b e r e c o m b i n e d t o f o r m a n i m a g e , t h e t ra n s la ti o n o f th e o b j e c t w o u l di m m e d i a t e ly b e c o m e a p p a r e n t . I t ca n b e s h o w n t h a t t h e r e l a t iv e p h a s e s o ft h e l ig h t a r ri v in g a t v a r i o u s p o i n t s o f t h e p a t t e r n ch an g e b u t s i n ce w ec a n n o t s e e o r re c o r d p h a s e w e a r e n o t a w a r e o f t h e c h a n g e . I t f o ll o w sl o gi cal ly t h en t h a t i f w e r e - co m b i n e t h e intensi t ies of the d i f f r ac t ionp a t t e r n i g n o r i n g t h e p h ase s , t h e i n f o r m a t i o n ab o u t lateral p o s i ti o n w o u l db e m i s s i n g . T h e p a i r s o f p o i n t s w h i ch m ak e u p t h e o b j ec t w i l l a l l b er e p r o d u c e d w i t h t h e r i g h t s e p a r a t i o n f r o m e a c h o t h e r a n d i n t h e r i g h to r i en t a t i o n b u t t h ey w il l a ll b e sy m m et r ica l l y d i sp o sed ab o u t t h e cen t r e o ft h e p a t t e r n i n s t ead o f b e i n g p r o p e r l y d i s t r i b u t ed . I n o t h e r w o r d s t h eresu l t ing d i s t r ibu t ion wi l l con ta in in fo rmat ion abou t a l l t he vec to r d i s -t an ces t h a t a r e p r e sen t b e t w een t h e v a r i o u s p a i r s o f s ca t t e r i n g p o i n t s i nt h e o b j ec t b u t a l l w i l l b e t r an s l a t ed so t h a t o n e en d o f ev e r y v ec t o r i s t h eor igin .S ince i t i s per f ec t ly poss ib le to r ecord a l l t he in tens i t i es in an X- rayp h o t o g r a p h a n d t o p e r f o r m t h i s r e c o m b i n a t i o n m a t h e m a t i c a l l y u s i n g ad i g it a l co m p u t e r i t sh o u l d n o t b e su r p r is i n g t o f i n d t h a t su ch a r eco n s t r u c -t i o n i s o n e o f t h e s t an d a r d m e t h o d s o f t r y i n g t o d ec i p h e r X - r ay p a t t e r n s .T h e p r o ces s i s k n o w n a s t h e ca l cu l a t i o n o f a P a t t e r so n f u n c t i o n , a f t e rA . L . P a t t e r s o n o f P en n sy l v an i a , U . S . A . w h o f ir st su g g es t ed t h e t e ch n i q u e .T h e p r o b l e m is h o w t o i n t e rp r e t t h e r e su l ti n g m a p .F i g u r e 1 sh o w s a s i m p l e o b j ec t co n s i s t i n g o f t h r ee p o i n t s an d F i g . 2s h o w s a n I d e a l i s e d P a t t e r s o n m a p s h o w i n g h o w t h e six p o s s i b l e v e c t o r sab , h a , b e , eb , a e an d ea ap p ea r . T h e r e l a t i o n sh i p b e t w een t h e m ap an dthe ob jec t i s no t d i f f i cu l t to see . The d i f f i cu l ty increases very r ap id ly ,h o w ev e r , i f t h e n u m b er s o f s ca t t e r i n g p o i n t s i n c r ea se s . 1 0 sca t t e r i n gp o i n t s w o u l d g iv e r is e to 9 0 p eak s ( t h o u g h m an y w o u l d o v e r l ap ) an d 1 0 0w o u l d g i v e 9 9 0 0 p e a k s . T o s e e h o w t h e c o m p l e x i t y i n c r e a s e s e v e n w i t hs i m p l e s t r u c t u r e s w e w i ll co n s i d e r an ac t u a l ex am p l e . F i g u r e 3 is a t y p i ca lm ap an d F i g . 4 is o n e o f t h e sy m m e t r ica l l y r e l a t ed m o l ecu l e s i n t h e c ry s t a lg iv i ng r i se t o t h i s d i s t ri b u t i o n . A p ea k m ar k e d a i n F i g. 1 w o u l dco r r e sp o n d t o v ec t o r s su ch a s 6 - 4 , 1 - 3 , 7 - 2 o r 9 - 8 an d a p eak su ch a s bw o u l d co r r e sp o n d t o 7 -6 , 1 - 5 , 2 - 4 , an d 8 - 2 . E v en t h o u g h t h is is q u i t e as i m p l e a r r a n g e m e n t t h e in t e r p r e ta t i o n o f t h e P a t t e rs o n m a p w i t h o u t s o m ek n o w l e d g e o f t h e m o l e c u l e w o u l d b e v e r y d i f f i cu l t i f n o t i m p o ss i b l e .

Fig, 1.6


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b a ~ c a ab

Fig.2.

Fig.3.4 5"3

97

Fig.4.


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( b ) H o w c a n w e b y - p a s s o r o th e r w i s e s o l v e t h e p r o b l e m o f th e p h as e st h a t c a n n o t b e m e a s u r e d ?

T h e w h o l e a r t o f t h e c r y s t a l l o g r a p h e r i s r e a l ly c o n t a i n e d in t h e a n s w e rt o t h i s q u e s t i o n . T h e p o s s i b i l i t i e s a r e n u m e r o u s a n d w e s h a l l s e l e c t o n l yf o u r b y w a y o f i l l u s t r a t i o n .(i) W e m a y k n o w e n o u g h a b o u t th e c h e m i s t r y a n d s t e r e o - c h e m i s t r y to

m a k e a n i n t e l l i g e n t g u e s s a t t h e c o n f i g u r a t i o n . W e m a y t h e n u s et h i s t o c a l c u l a t e t h e d i f f r a c t i o n p a t t e r n t h a t w o u l d r e s u l t a n d o u rc a l c u la t i o n w ill g iv e b o t h a m p l i t u d e s a n d p h a s e s . I f t h e a m p l i t u d e sc o m p a r e r e a s o n a b l y w e l l w i t h th o s e o b s e r v e d w e m a y t h e n c o m -b i n e o u r obserued a m p l i t u d e s w i t h t h e calculated p h a s e s a n d d o ac o m p u t e d F o u r i e r s y n t h e s i s - - o r i m a g e r e c o m b i n a t i o n - - t h a t w ill b ea fa i r r e p r e s e n t a t i o n o f t h e r e q u i r e d s t r u c t u r e . T h i s is t h e s o - c a l l e dt r i a l a n d e r r o r m e t h o d .(ii) W e m a y u s e th e P a t t e r s o n m a p t e c h n i q u e a l r e a d y d e s c r i b e d in (a )a b o v e .

( i i i ) W e m a y h a v e a v a i l a b l e , o r b e a b l e t o c r e a t e a s e r i e s o f r e l a t e dc r y s t a l s w i t h v e r y s i m i l a r s t r u c t u r e s b u t w i t h o n e a t o m d i f f e r e n t i ns c a t t e r i n g p o w e r . F o r e x a m p l e , a m a t e r i a l c o n t a i n i n g a c h l o r i n ea t o m m a y a l s o e x i s t i n a v e r y s i m i l a r f o r m w i t h b r o m i n e r e p l a c i n gc h l o r i n e . A c a r e f u l o b s e r v a t i o n o f th e e f f e c t t h is h a s o n t h e r e l a t iv ei n t e n s i t i e s o f t h e d i f f r a c t e d b e a m s ( c f. P l a t e 5 o f th e A t l a s ) c a n l e a dt o t h e d e t e r m i n a t i o n o f th e r e l a t i v e p h a s e s n e c e s s a ry t o r e p r o d u c et hi s h e a v y a t o m a n d i t c a n t h e n b e a s s u m e d t h a t t h e s a m e p h a s e sw i l l n o t b e f a r w r o n g f o r t h e w h o l e s t r u c t u r e .

(iv ) T h e a p p l i c a t i o n o f v a r i o u s m a t h e m a t i c a l a n d s t at is t ic a l r e l a ti o n -s h ip s ( 'd i r e c t m e t h o d s ' ) b e t w e e n t h e a m p l i t u d e s c a n l e a d to th ed i r ec t d e t e r m i n a t i o n o f t h e p h a s e s o f a p r o p o r t i o n o f t h e b e a m sa n d t h e n , b y a p r o c e s s o f s u c c e ss i v e a p p r o x i m a t i o n s , t h e c o m p l e t ei m a g e c a n b e b u i l t u p .

( c ) H o w c a n th e s t a te m e n t s m a d e i n s e c ti o n 2 a b o u t f o c u s in g b er e c o n c i l e d w i th t h e s o lu t i o n s o f t h e p h a s e p r o b l e m w h i c h w e h a v ej u s t l is te d a n d d e s c r i b e d u n d e r ( b ) ? .

T h e f o u r t e c h n i q u e s a g r e e v e r y w e ll w it h t h e s t a t e m e n t s a b o u t f o c us i ngm a d e in s e ct io n 2 . In ( i) w e c l e a r ly h a v e t o k n o w a g o o d d e a l a b o u t t h eo b j e c t i n o r d e r t o f o c u s . I n (ii) ( as w a s p o i n t e d o u t i n t h e d i s c u s s i o n s o f 5 (a )a b o v e ) w e c an o n l y i n t er p r e t a P a t t e rs o n m a p i f w e k n o w s o m e t h i n ga b o u t t h e o b j e c t e v e n i f - - i n t h e s i m p l e s t p o s s i b le c a s e - - o u r o n l y k n o w -l e d g e i s t h a t t h e o b j e c t c o n s is t s o f d i sc r e t e a t o m s r a t h e r t h a n o f ac o n t i n u o u s d i s t r i b u t i o n o f e l e c t r o n d e n s i t y . I n (iii) o u r h e a v y a t o m i sa n a l o g o u s w i t h t h e h a i r o r s p e c k o f d u s t t h a t w e k n o w is t h e r e : i f w e f o c u so n i t w e c a n a s s u m e t h a t t h e r e s t w i ll b e i n f o c u s . I n ( iv ) t h e m a t h e m a t i c a l


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r e l a ti o n s h i p s u s e d a r e a ll f o u n d t o d e p e n d o n s p e ci fi c a s s u m p t i o n s a b o u tt h e o b j e c t - - u s u a l l y t h a t t h e s c a tt e r in g is e v e r y w h e r e r e al a n d p o s i t i v e a n dt h a t d i s c r e t e s p h e r i c a l a t o m s m a k e u p t h e o b j e c t .(d ) W hat determ ines t i le accuracy o f reproduct ion o f the image?

J u s t a s in o p t i c a l m i c r o s c o p y t h e l im i ts o f a c c u r a c y a r e s e t f u n d a m e n -t a l l y b y t h e w a v e l e n g t h o f t h e X - r a y s u s e d a n d e x p e r i m e n t a l l y b y t h e' a p e r t u r e ' o f t h e s y s t e m . I n t h e X - r a y c a s e t h e ' a p e r t u r e ' m e a n s t h en u m b e r o f t e r m s i n c l u d e d i n t h e F o u r i e r s y n t h e s i s . P l a t e 3 2 o f t h e A t l a si l l u s t r a t e s t h i s w i t h a n o p t i c a l a n a l o g u e . 3 2 . 1 o n t h e r i g h t i s a n o b j e c tc o n s i s t in g o f a sm a l l s q u a r e c r i st a ll i te o f m o l e c u l e s o f b i s h y d r o x y - d u r y lm e t h a n e . ( 3 2 . 1 ) o n t h e l e f t is i ts d i f f r a c ti o n p a t t e r n . I f w e u s e d t h e w h o l eo f 3 2 .1 o n t h e l e ft w e c o u ld , in t h e o r y , p r o d u c e - - a s s u m i n g t h a t w e k n e wb o t h a m p l i t u d e s a n d p h a s e s - - a n e x a c t r e p li c a o f 3 2 .1 o n t h e r i g h t. I f w erestrict t h e t e r m s i n c l u d e d i n o u r c a l c u l a t io n t o t h o s e s h o w n i n 3 2 . 2 o n t h el e f t t h e r e s u l t in g d e t e r i o r a t i o n o f t h e i m a g e i s s h o w n in 3 2 . 2 o n t h e r i g h t.T h e r e m a i n d e r o f t h e p l a t e p u r s u e s t h i s t h e m e i n v a r i o u s w a y s a n d i t i ss i g n if i ca n t t o n o t e t h a t i n 3 2 . 6 w e c o m e b a c k f u l l -c i r c le t o t h e p o i n t t h a t ,i f w e o n l y i n c l u d e o n e o r d e r o f d i f fr a c ti o n o n e i t h e r s i d e o f t h e c e n t r e( 3 2 . 6 o n t h e l e f t ) t h e r e s u l t ( 3 2 . 6 o n t h e r i g h t ) i s o n e s e t o f s i n u s o i d a l l yv a r y i n g f r i n g e s .( e ) W hat com pl ica t ions are in troduced by the fact that crystal s are

three d imens iona l?T h i s i s a d if fi cu l t q u e s t i o n t o a n s w e r s y s t e m a t i c a l l y w i t h o u t d r a w i n g o n

a f a i r ly f u l l k n o w l e d g e o f c r y s t a l l o g r a p h y . I n p r a c t i c e h o w e v e r i t c a n b es a i d t h a t t h e c o m p l i c a t i o n s i n t h e pr i n c i p l e s i n v o l v e d a r e r e l a t i v e l y f e w :t h e c o m p u t a t i o n b e c o m e s n e c e s s a r i l y g r e a t l y i n c r e a s e d .

T h e i m p o r t a n t p o i n t t o r ea l is e is t h a t t h e r e l a t iv e s ca l e o f w a v e l e n g t h -t o - o b j e c t - s i z e is q u i te d i f f er e n t f o r l ig h t a n d f o r X - r a y s . F o r m o s t o f t h eo b j e c t s i l lu s t r a t e d i n t h e A t l a s t h e s i g n if ic a n t d i m e n s i o n s a r e a f e wt h o u s a n d w a v e l e n g t h s o f l ig h t. I n t h e X - r a y c a s e h o w e v e r t y p ic a l d i m e n -s io n s ( e.g . a c a r b o n - c a r b o n b o n d o f ] . 4 1 0 1 m ) a r e c o m p a r a b l e w i t ht h e w a v e l e n g t h ( 1 . 5 4 x 1 0 - ~ m f o r C u K a r a d i at i o n ). T h u s i n o p t ic s allt h e s i g n i fi c an t s c a t t e r e d i n f o r m a t i o n is c o n t a i n e d w i t h in v e r y s m a l l a n g le s ,w h e r e a s in X - r a y d i f f r a c ti o n w e n e e d t o t a k e in s c a t t e r i n g a n g l e s o f u p t o1 8 0 in o r d e r t o e x t r a c t t h e m a x i m u m i n f o r m a t i o n . T h e c o m p l i c a t io n st h e r e f o r e t u r n o u t t o b e e x p e r i m e n t a l r a t h e r t h a n t h e o r e t i c a l a n d w i l l b ed e a l t w i t h i n l a t e r p a m p h l e t s i n t h e s e r i e s d e a l i n g w i t h o t h e r a s p e c t s o ft h e s u b j e c t . A t t h e m o m e n t i t w ill su f f ic e t o s a y t h a t t h e r e i s n o d i f f e r e n c ei n p r i n c i p l e t h a t n e e d c o n c e r n u s , t h o u g h e x p e r i m e n t a l l y a n d c o m p u t a -t io n a l ly t h e r e a r e s i g n if ic a n t i n c r ea s e s i n c o m p l e x i t y o n m o v i n g f r o m t w ot o t h r e e d i m e n s i o n s .

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R e f e r e n c e sG . H a r b u r n , C . A . T a y l o r a n d T . R . W e l b e r r y . Atlas o f Opt ical Trans forms, l . o n d o n : G .B e l l ; U . S . A . : C o r n e l l U n i v e r s i t y P r e s s .C . A . Ta y l o r . 'Th e P a t t e r s o n F u n c t i o n ' , Physics Edt~catio~, 2 (1967) 276 .C . A . Ta y l o r . bnages , Th e W y k e h a m S c i e n c e S c r i e s N o . 4 6 , 1 9 7 8 , U . K . : Ta y l o r & F r a n c i s ;U . S . A . : C r a n e . R u s s a k .

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In te r n a tion a l U n io n o fC r y st allo g ra p h y C o m m iss io n o nCrystal lographic TeachingList of booklets in the first series

1A non-mathematical introduction to X-ray diffractionby C.A. Taylor2An introduction to the scope, potential and applications of X-ray analysisby M. Laing3Introduction to the Calculation of Structure Factorsby S.C. Wallwork4The ReciproCal Latticeby A. Authier5Close-packed structures

by P. Krishna and D. Pandcy6Pourquoi les groupes de Symetrie en Cristallographieby D. Weigcl7Solving the phase problem when heavy atoms are in special positionsby L. Hohne and L. Kutchabsky- 8Anomolous Dispersion of X-rays in Crystallographyby S. Caticha-Ellis

9Rotation Matrices and Translation Vectors in Crystallographyby S. Hovmrller10Metric Tensor and Symmetry operations in Crystallographyby G. RigaultPrice 95p eachAvailable fromUniversity College Cardiff Press,P.O. Box 78Cardiff CF1 1XLUnited Kingdom

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A Non-Mathematical Introduction to X-Ray Crystallography [Short Article] - C. Taylor (1980) WW