Upload
others
View
8
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 1 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�AyRA§C : Am�� ÈAÒ» ø
QjJ. ÊK. :ÐAtF±� �wl� ¨�AmylF:TsF¥m��
Tyb§r�� �wl� T��A��� : Tb`K��¤ «wtsm��
�éK
Q�J. �JË @
�éJÖ
�ßPA
«ñÊË @
�éË @YË @ : ¨�r`m�� «wt�m��
. øñ�®Ë@ È@ðXð
�éJ�
B@ È@ðYË@ ð Õ
�æKPA
«ñÊË @
J
£ñ
�JK.
�HC¾
��Ó Ég − :T�dhtsm�� ��ºAfk��
�é�mÌ'@ Q�� −
�A\�®� dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
:�®W�³�
�é
��
�¯A
JÓ
áÓ A�
��Ë @
¬Q£YJÓC
�JË @
A�
��Ë @ ¡�. P
Ðñê®ÖÏ AK.
�é¢�ñ
�JÖÏ @ Õæ
�®Ë @
�éJëQ�. Öß.
Q�»Y
�JË @ :Tysfn�� T·yht�� ?
:22 T�f} 2 ªAKn�� TK�An�:dyhm�
: Pñ�Ë@
�ªK. H. A�k ¶
ln 1 = 0 :à
X@
a = 0 : éJÓð ea = 1 : é
JÓ ð ln 1 = a : A
JKYË
ln e = 1 :à
X@
a = 1 : éJÓð ea = e : é
JÓ ð ln e = a : A
JKYË
ln(1e) = −1 :à
X@
a = −1 : éJÓð e−1 = ea
: éJÓð ln(1e) = ln e−1 = a : A
JKYË
ln e2 = 2 :
àX@
a = 2 : éJÓ ð e2 = ea
: éJÓ ð ln e2 = a : A
JKYË
: ln(2) XYªÊË 10−3úÍ@
�éJ�. KQ
�®�K
�éÒJ
�¯
á�Jª�K ?
( 0 < a < 1 : éJÓð e > 2 ð e0 = 1 :
à
@ ÕΪ
K ) ea = 2 : é
JÓ ð ln 2 = a : A
JKYË
ln 2 ' 0, 693 : úÍA
�JËAK. ð a = 0, 693 :
à
X@
: ln( 12 ) = − ln 2 :
à
@
�HAJ.
�K @
?
(1) . . . . ea = 12 : ø
@ a = ln( 1
2 ) : ©
��
(2) . . . . e−b = 2 : èAJªÓ −b = ln 2 : ø
@ b = − ln 2 : ©
�
� ð
ln( 12 ) = − ln 2 : ú
ÍA
�JËAK. ð ea = eb
:à
X@
ea = 1e−b
: i.�J�K (2) ð (1) áÓ
: ú
GAJJ. Ë @ ÉJ
�JÒ
�JË @ ·
Õæ
�®�J�ÖÏ @ úÍ@
ø
@ Èð
B@
�
JÖÏ @ ú
Í@
�éJ.�
�ËAK.
àA
�KQ
£A
J�JÓ M ′(y, x) ð M(x, y)
àA�J¢
�®
JË @ ?
. y = x é�JËXAªÓ ø
YË@
ln b = a :à
X@
ea = b à
@ ú
æªK @
Yëð (C) ú
æj
JÖÏ @ úÍ@
ù
Ò�J��K M(a; b) áº
�JË ?
. (C ′) úÍ@
ù
Ò�J��K M ′(b; a) :
àA
¯
y = x�éËXAªÖÏ @ ð
X Èð
B@
�
JÖÏ @ úÍ@
�éJ.�
�ËAK.
à@Q
£A
J�JÓ (C ′) ð (C) á�J
Jj
JÖÏ @
à
@ i.
�JJ���
� −
(C ′) ð (C) ZA�
�� @
?
:�
HAJJÒ
m�
�' ©
�ð ¸
]0; +∞[ úΫ�èYK@
Q��Ó ln �
éË @YË@ *
limx→0
ln x = −∞ ð limx→+∞
ln x = +∞ *
: d`� ©rybyn�� �t§CA�wl��
:�§r`�¤ Tn¡rb�
YJkð ù
�®J
�®k XY« Yg. ñK ]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ áÓ a ù
�®J
�®k XY« É¿ Ég.
@ áÓ
. eb = a �IJk b
. ln a QÓQËAK. éË QÓQKð a XYªÊË ø
Q�J. �JË @ Õ
�æKPA
«ñÊË @ b XYªË@ ù
Ò�
�
:�y¡Afm�� ºAn�
1
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 1 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�A\�®� dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
: �A��
ln 2 = b XYªË@ ñë eb = 2 ��
�®m�'
ø
YË@ b YJkñË@ ù
�®J
�®mÌ'@ XYªË@
: T§rybyn�� Tmt§CA�wl�� T��d��
:�§r`�
ɾK.�
�Q̄�K ú
�æËð ln QÓQËAK. AêË @
QÓQ
K ÿ
��JË @
�éK
Q�J. �JË @
�éJÖ
�ßPA
«ñÊË @
�éË @YË @ ù
Ò�
�
. ln x ù
�®J
�®mÌ'@ XYªË@ ]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ áÓ x ù
�®J
�®k XY«
: �¶At�
R áÓ y É¿ Ég.
@ áÓð ]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ áÓ x ù
�®J
�®k XY« É¿ Ég.
@ áÓ ¶
ln x = y :à
@ ú
æªK ey = x : A
JKYË
eln x = x : ]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ áÓ x ù
�®J
�®k XY« É¿ Ég.
@ áÓ ·
ln ex = x : x ù
�®J
�®k XY« É¿ Ég.
@ áÓ ¸
ln e = 1 à
X@
e1 = e ð ln 1 = 0 :à
X@
e0 = 1 :à
@ AÖß. ¹
: T§rybyn�� Tymt§CA�wl�� T��d�� ry�� £A���
. ]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ úΫ AÓAÖ�ß
�èYK@
Q��Ó
�éJÖ
�ßPA
«ñÊË @
�éË @YË @ :Ty}A�
: A¡r�
. eln a < eln bø
@ a < b :
�IJm
�'. ]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ áÓ
àAJ
�®J
�®k
à@XY« b ð a áºJË
�éJÖ
�ßPA
«ñÊË @
�éË @YË @ é
JÓð , ln a < lnb :
àA
¯ R úΫ AÓAÖ
�ß
�èYK@
Q��Ó
�éJ�
B@
�éË @YË@
àñ»ð
. ]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ úΫAÓAÒ��K
�èYK@
Q��Ó
: �¶At�
: AJKYË ]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ áÓ y ð x áKXY« É¿ Ég.
@ áÓ
x > y à
@ ú
æªK ln x > ln y · ''' x = y
à @ ú
æªK ln x = ln y ¶
0 < x < 1 à
@ ú
æªK ln x < 0 ¹ ''''' x > 1
à @ ú
æªK ln x > 0 ¸
:�éJËA
�JË @
�HAj�k. @Q
��ÖÏ @ ð
�HBXAªÖÏ @ R ú
¯ Ég : ¨qybW� �§rm�
ln(x2 − 1) = ln(x) ¸ ''' ln(x− 2) = −1 · ''' ln(2x + 1) = 0 ¶
ln(2x + 1) > ln(x) » ''' ln(x− 5) ≥ −2 º '''' ln(2− x) < 0 ¹
2(ln x)2 − ln x− 1 ½ ''' x ln(x)− ln(x) ≥ 0 ¼
. 106 T�f}61¤59 �§rmt�� ��
�§wq�
......................................................... :TO��� �w� T�A� �A\�®�
2
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 2 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�AyRA§C : Am�� ÈAÒ» ø
QjJ. ÊK. :ÐAtF±� �wl� ¨�AmylF:TsF¥m��
Tyb§r�� �wl� T��A��� : Tb`K��¤ «wtsm��
�éK
Q�J. �JË @
�éJÖ
�ßPA
«ñÊË @
�éË @YË @ : ¨�r`m�� «wt�m��
. øñ�®Ë@ È@ðXð
�éJ�
B@ È@ðYË@ ð Õ
�æKPA
«ñÊË @
J
£ñ
�JK.
�HC¾
��Ó Ég − :T�dhtsm�� ��ºAfk��
�é�mÌ'@ Q�� −
�A\�®�dm��
(Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
:�®W�³�
.�éJ�
B@
�éË @YË@ �@ñ
m�'
.Q�»
Y
�JË @ :Tysfn�� T·yht�� ?
:ªAK�
β = ln a+ ln b ð α = ln(ab) : ©
�� , AÓAÖ
�ß
àAJ.k. ñÓ
àAJ
�®J
�®k
à@XY« b ð a
β ð α áKXYªË@á�K.
àPA
�¯ ?
:ªAKn�� TK�An�
eβ = eln a+ln b = eln a n eln b = ab : øQ
k @
�éêk.
áÓ ð eα = ab�éêk.
áÓ : AJKYË
ln(ab) = ln a+ ln b : ø
@ α = β : é
JÓ ð
Tymt§CA�wl�� T��dl� T§rb��� Q�w���
:TyFAF±� Ty}A���
: Ty}A�
]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ áÓ b ð a á�J�®J
�®k áKXY« É¿ Ég.
@ áÓ
ln(ab) = ln a+ ln b : AJKYË
�éJ
�®J
�®k X@Y«
@
�èY« 'Z@Yg. úÍ@
�é�®K. A�Ë@
�éJ�A
mÌ'@ Õæ
Òª
�K áºÖß :
�é
¢kCÓ
. ]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ áÓ
�¶At�
. ]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ áÓ b ð a á�J�®J
�®k áKXY« É¿ Ég.
@ áÓ :¬ T�yt�
ln ab
= ln a− ln b ð ln 1a
= − ln a : AJKYË
]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ áÓ ù
�®J
�®k XY« a áºJË : A¡r�
ln a
a= ln 1 = 0 :
�éêk.
áÓ AJKYË
lna
a= ln
(a.
1a
)= ln a + ln 1
a: øQ
k
@
�éêk.
áÓ AJKYË ð
ln 1a
= − ln a :à
X@
ln a + ln 1a
= 0 : éJÓð
]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ áÓá�J
�®J
�®k áKXY« b ð a áºJË ?
ln a
b= ln
(a n
1b
)= ln a + ln 1
b: A
JKYË
ln a
b= ln a− ln b :
à
X@
:�y¡Afm�� ºAn�
1
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 2 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�A\�®�dm��
(Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
: T�yt�
XY« É¿ Ég.
@ áÓð , ]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ áÓ a ù
�®J
�®k XY« É¿ Ég.
@ áÓ
ln an = n ln a : AJKYË n ú
æ.�
� iJj��
:á�
�JËAg
Q�Ö
ß : A¡r�
( ©k. @Q��ËAK.
àAëQ�. Ë @ ÉÒª
�J�
� ) : n ≥ 0 �
éËAg ¬
: n < 0 �éËAg
ln(an) = ln( 1a−n ) = − ln(a−n) = −(−n) ln a = n ln a : A
JKYË
( −n > 0 :à
B )
ln 9 = 2 ln 3 ð ln 23 = 3 ln 2 :�A��
:® T�yt�
]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ áÓ a ù
�®J
�®k XY« É¿ Ég.
@ áÓ
ln√
a = 12 ln a : A
JKYË
(√
a)2 = a : AJKYË ]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ áÓ a ù
�®J
�®k XY« É¿ Ég.
@ áÓ : A¡r�
ln(√
a)2 = 2 ln(√
a) ð ln(√
a)2 = ln a : éJÓð
ln(√
a) = 12 ln a : é
JÓð 2 ln(
√a) = ln a :
à
X@
: ¨ñÒj. ÖÏ @ n ùªJJ.¢Ë@ XYªË@
�éËBYK. I. �k@ :1¨qybW� �§rm�
ln 12 + ln 2
3 + ln 34 + ... + ln n− 1
n
:����
ln 12 + ln 2
3 + ln 34 + ... + ln n− 1
n= ln
(12 n
23 n
34 n ... n
n− 1n
)= ln
( 1n
)= − ln(n)
: ù�ÊKAÓ R ú
¯ Ég :2¨qybW� �§rm�
ln(x− 1) + ln(x + 2) ≤ 2 ln 2 ¶
ln(x + 1)− ln(x− 1) > 0 ·
107 T�f}68¤67 �§rmt�� �� �§wq�
......................................................... :TO��� �w� T�A� �A\�®�
2
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 3 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�AyRA§C : Am�� ÈAÒ» ø
QjJ. ÊK. :ÐAtF±� �wl� ¨�AmylF:TsF¥m��
Tyb§r�� �wl� T��A��� : Tb`K��¤ «wtsm��
�éJÒ�
�KPA
«ñÊË @ È@ðYË@ : ¨�r`m�� «wt�m��
.�éK
Q�J. �JË @
�éJÒ�
�KPA
«ñÊË @
�éË @YË @ �@ñ
k
J
£ñ
�K − :T�dhtsm�� ��ºAfk��
�é�mÌ'@ Q�� −
�A\�®� dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
:�®W�³�
�é
��
�¯A
JÓ
áÓ A�
��Ë @
¬Q£YJÓC
�JË @
�é
��
�¯A
JÓ
áÓ A�
��Ë @
¬Q£YJÓC
�JË @
.�éJÒ�
�KPA
«ñÊË @
�éË @YË @ ÿ
�¯ H. A�mÌ'@ Y«@ñ
�®K.
Q�»Y
�JË @ :Tysfn�� T·yht�� ?
:T§rybyn�� Tym�CA�wl�� T��d�� TF�C
:�A§Ahn�� ¶
: ªAK�
limx→+∞
ln x = +∞ :à
@
KQª
�JË @ ÈAÒª
�J�AK.
�I�.
�K @ ¶
limx→0
ln x i.�JJ���@ , X = 1
x: ©
�ñK. ·
: Q�w�
limx→0
ln x = −∞ ð limx→+∞
ln x = +∞
: Ty�AqtJ¯�¤ T§C�rmtF¯� ·
]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ úΫ�èQÒ
�J�Ó ln �
éË @YË@ :«¬»Ty}A�
: ªAK�
f(x) = eln x: �K. ]0; +∞[ úΫ
�éQ̄ªÖÏ @ f
�éË @YË@ Q�.
�Jª
K
á��JË @X I. »QÓ
���J
��Ó ÈAÒª
�J�AK. f
′(x) I. �k @ ¶
f ′(x) @XYm.× I. �k@ , f(x) = x :
à
@
�é
¢kCÖß. ·
ln′(x) i.�JJ���@ ¸
]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ úΫ�
�A�®�J
��C
Ë
�éÊK. A
�¯ ln �
éË @YË@ :«»Ty}A�
ln′(x) = 1x
: AJKYË x > 0 É¿ Ég.
@ áÓ ð
: Tym�CA�wl�� T��d�� ��ry�� �¤d� ¸
x
1x
ln x
0 +∞
+
−∞
+∞+∞
1
0
e
1
:�y¡Afm�� ºAn�
1
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 3 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�A\�®� dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
: Tym�CA�wl�� T��dl� ¨�Ayb�� �y�mt�� ¹
:�
HA
¢kCÓ
H. PA�®Ó Õæ
�®�J�Ò» I. �
�K @Q
��Ë @ Pñm× ÉJ.
�®K ln �
éË @YÊË É�JÒÖÏ @ ú
æj
JÖÏ @ ?
1 �éÊ�A
®Ë @
�H@
X
�é¢
�®
JË @ Y
J« A�AÜØ ÉJ.
�®K
�éJ�
B@
�éË @YÊË É
�JÒÖÏ @ ú
æj
JÖÏ @ ?
y = x− 1 : é�JËXAªÓ
limh→0
ln(1 + h)h
= 1 ð @ lim
x→1
ln xx− 1 = 1 : Ym.
�' �
��J
��ÖÏ @ XYªË@ ñê
®Ó ÈAÒª
�J�AK. ?
:�éj. J
��K
0 P@ñm.�'
. x 7→ ln(1 + x) �éË @YÊË ù
®Ë
�A�K I. KQ
�®�K á�k
@ ù
ë x 7→ x
�éË @YË@
ln(1 + x) ≈ x : AJKYË 0 áÓ I. KQ
�¯ x Ég.
@ áÓ : ø
@
: ¨qybW� �§rm�
f(x) = 1− (ln x)2: �K. ]0; +∞[ úΫ
�éQ̄ªÖÏ @ f
�éË @YË@ áº
�JË
+∞ ð 0 YJ« f
�éË @YË@
�HAKAî
E I. �k@ ¶
Aî�E@Q�
ª
�K ÈðYg. ɾ
�� ð f
�éË @YË@ Q�
ª
�K èAm.
��' @ �PX@ ·
2 < β < 3 ð 0 < α < 1 :�
IJk β ð α á�Êg ÉJ.�®�K f(x) = 0 �
éËXAªÖÏ @à
@
á�K. ¸
]0; 5] ÈAj. ÖÏ @ úΫ ��Aj.
�JÓ ð YÓAª
�JÓ ÕÎªÓ ú
¯ f
�éË @YÊË ú
GAJJ. Ë @ ÉJ
�JÒ
�JË @ Õæ�P@ ¹
f(5) ' −1, 6 :Y
g
AK
108T�f}89¤82¤81¤80�§rmt�� �� ♠111T�f}113�§rmt�� �� ♠
�§wq�
......................................................... :TO��� �w� T�A� �A\�®�
2
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 4 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�AyRA§C : Am�� ÈAÒ» ø
QjJ. ÊK. :ÐAtF±� �wl� ¨�AmylF:TsF¥m��
Tyb§r�� �wl� T��A��� : Tb`K��¤ «wtsm��
�éJÒ
�JKPA
«ñÊË @ È@ðYË@ : ¨�r`m�� «wt�m��
.�éJÒ
�JKPA
«ñÊË @
�éË @YÊË
�é¯ñË
AÖÏ @
�HAKAî
DË @
J
£ñ
�K ð H. A�k − :T�dhtsm�� ��ºAfk��
�é�mÌ'@ Q�� −
�A\�®� dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
:�®W�³�
�é
��
�¯A
JÓ
áÓ A�
��Ë @
¬Q£YJÓC
�JË @
:Tysfn�� T·yht�� ?
: Tymt§CA�wl��T��dl� T�w��m�� �A§Ahn��
:x 7→ x ¤ x 7→ ln x�yt��dl� CAqm��d§�zt�� .1:ªAK�
limt→+∞
t
et= 0 :
à
@ Q»
Y
K
limx→+∞
ln x
xi.
�JJ���@ Õç
�' t = ln x : ©
� x > 0 Ég.
@ áÓ .1
u = 1x
: ©
�ñK. .2
limx→0
x ln x i.�JJ���@ Õç
�' x ln x = − ln u
u:
à
@
�I�.
�K @ ?
limx→0
x ln x = 0 ð limx→+∞
ln x
x= 0 :Q�w�
:x 7→ xn ¤ x 7→ ln x�yt��dl� CAqm��d§�zt�� .2
ÐðYªÓ Q�« n ù
ªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ :Q�w�
limx→0
xn ln x = 0 ð limx→+∞
ln x
xn= 0
: T\�®�
.�éJÒ
�JKPA
«ñÊË @
�éË @YË @ úΫ
�èñ
�¯
�éË @YË@
�éË @YË @
��ñ
®�J�K
�éKAî
ECË@ Y
J« ?
:¨qybW� �§rm�
:�éJËA
�JË @
�HAKAî
DË @ I. �k@ -
limx→+∞
ln x
4x3 − x2 + 3 ¸ ''''' limx→0
(1− x) ln x · ''''' limx→+∞
(x− ln x) ¶
limx→0
(x3 − x) ln x º ''''' limx→+∞
x2 + 2x− ln x ¹
136T�f} 45¤42�§rmt�� �� ♠.
:�y¡Afm�� ºAn�
:�§wq�
......................................................... :TO��� �w� T�A� �A\�®�
1
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 5 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�AyRA§C : Am�� ÈAÒ» ø
QjJ. ÊK. :ÐAtF±� �wl� ¨�AmylF:TsF¥m��
Tyb§r�� �wl� T��A��� : Tb`K��¤ «wtsm��
�éJÖ
�ßPA
«ñÊË @ È@ðYË@ : ¨�r`m�� «wt�m��
.�éK
Q�J. �JË @
�éJÖ
�ßPA
«ñÊË @
�éË @YË @ �@ñ
k
J
£ñ
�K − :T�dhtsm�� ��ºAfk��
�é�mÌ'@ Q�� −
�A\�®� dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
:�®W�³�
Q�»Y
�JË @
�éKAî
E
�éJëQ�. Öß.
á��JË @X I. »QÓ
�èY«A�Öß.YJÓC
�JË @
èYë
�IJ.
��K
�éJ�A
mÌ'@
ÈAÒª�J�AK.
è Am.��' @
�éJëQ�.Ó
I. J»Q��Ë @ Q�
ª
�K
I. »QÓ�éË @X
���J
��Óð
�éKAî
DK.
Q�»Y
�JË @ :Tysfn�� T·yht�� ?
:ln ◦u T��d�� TF�C
:�A§Ahn�� ¶
.á�
�JË @X I. »QÓ
�éKAî
DK.
��ʪ
�JÖÏ @
�éJëQ�. ÖÏ @ ÉÒª
�J�
� ln ◦u �
éË @YË@�éKAî
E H. A�mÌ
. f(x) = ln(x− 3) : ÿ��ÊKAÒ» ]3; +∞[ úΫ
�éQ̄ªÖÏ @
�éKXYªË@
�éË @YË @ f :�A��
limX→0
ln X = −∞ :
à @ AÖß. ð lim
x→3(x− 3) = 0 : A
JKYË ?
limx→3
ln(x− 3) = −∞ :àA
¯
limX→+∞
ln X = +∞ :à
@ AÖß. ð lim
x→+∞(x− 3) = +∞ : A
JKYË ?
limx→+∞
ln(x− 3) = +∞ :àA
¯
:ry�t�� £A��� ·
u á��JË @YÊË
àA
¯ I ÈAm.
× úΫ AÓAÖ�ß
�éJ.k. ñÓ ð
�éQ̄ªÓ
�éË @X u �
IKA¿ @
X @ :Ty}A�
I ÈAj. ÖÏ @ úΫ Q�ª
�JË @ è Am.
��' @
�®
K ln ◦u ð
: A¡r�
]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ úΫ AÓAÖ�ß
�èYK@
Q��Ó ln �
éË @YË@ :à
@ AÒ�K.
I úΫ Q�ª
�JË @ è Am.
��' @
�®
K u ð ln ◦u á�
�JË @YÊË :
àA
¯
( �éJ.»QÓ
�éË @X Q�
ª
�K èAm.
��'AK.
�é�A
mÌ'@
�éJëQ�. ÖÏ @ I. �k )
f(x) = ln( 5
x− 2
): ÿ
��ÊKAÒ» ]2; +∞[ úΫ
�éQ̄ªÖÏ @
�éKXYªË@
�éË @YË @ f :�A��
u(x) = 5x− 2 : �K. ]2; +∞[ úΫ
�éQ̄ªÖÏ @
�éË @YË @ u �
IJk f = ln ◦u :à
@
¡kC
K
]2; +∞[ úΫ AÓAÖ�ß
�é�
�¯A
J�JÓ f :
àA
¯ ]2; +∞[ úΫ AÓAÖ
�ß
�é�
�¯A
J�JÓ u
�éË @YË@ :
à
@ AÖß.
: ln ◦uT��d�� TqtK� ¸
àA
¯ I ÈAm.
× úΫ AÓAÖ�ß
�éJ.k. ñÓ ð
��A
�®�J
��C
Ë
�éÊK. A
�¯
�éË @X u �
IKA¿ @
X @ :Ty}A�
: I áÓ x É¿ Ég.
@ áÓ A
JKYËð I úΫ
��A
�®�J
��
�ÊË
�éÊK. A
�¯ ln ◦u �
éË @YË@
(ln ◦u)′(x) = u′(x)u(x)
:�y¡Afm�� ºAn�
1
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 5 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�A\�®� dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
I ÈAm.× úΫ AÓAÖ
�ß
�éJ.k. ñÓ ð
��A
�®�J
��C
Ë
�éÊK. A
�¯ u �
IKA¿ @
X @ : A¡r�
I úΫ�
�A�®�J
��C
Ë
�éÊK. A
�¯ ln ◦u :
àA
¯ ]0; +∞[ úΫ
��A
�®�J
��C
Ë
�éÊK. A
�¯ ln �
éË @YË@à
@ AÒÊ«
:�éJ.»QÓ
�éË @X
���J
��Ó H. A�k
�èY«A
�¯
��JJ.¢
��K. ?
(ln ◦u)′(x) = u′(x) n (ln)′ [u(x)] = u′(x) n 1u(x) : I áÓ x É¿ Ég.
@ áÓ
f(x) = ln(x2 + x + 1) : úÎKAÒ» R úΫ
�éQ̄ªÖÏ @
�éKXYªË@
�éË @YË @ f áº
�JË :¬�A��
f ′(x) = 2x + 1x2 + x + 1 : A
JKYË
g(x) = ln(e−x + 3) : �K. R úΫ�éQ̄ªÖÏ @
�éKXYªË@
�éË @YË @ g áº
�JË :�A��
g′(x) = −e−x
e−x + 3 : AJKYË
: 2012 A§Cw�Ak� �� �ybW�
108T�f}88¤ 85¤ 84 �§rmt�� �� ♠109T�f}97¤ 96 �§rmt�� �� ♠
�§wq�
......................................................... :TO��� �w� T�A� �A\�®�
2
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 6 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�AyRA§C : Am�� ÈAÒ» ø
QjJ. ÊK. :ÐAtF±� �wl� ¨�AmylF:TsF¥m��
Tyb§r�� �wl� T��A��� : Tb`K��¤ «wtsm��
�éJÒ
�JKPA
«ñÊË @ È@ðYË@ : ¨�r`m�� «wt�m��
. Aî�EA
�®JJ.¢
�� ð ø
Qå
��ªË@ Õ
�æKPA
«ñÊË @
�éË @X �@ñ
k − :T�dhtsm�� ��ºAfk��
�é�mÌ'@ Q�� −
�A\�®� dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
:�®W�³�
:Tysfn�� T·yht�� ?
: ©rK`�� �t§CA�wl�� T��
log QÓQËAK. AîDË @ QÓQ
K ú
�æË @
�éË @YË @ ø
Qå
��ªË@ Õ
�æKPA
«ñÊË @
�éË @X ù
Ò�
� :�§r`�
log x = ln x
ln 10 : �K. ]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ úΫ�éQ̄ªÖÏ @ ð
log 10 = 1 ð log 1 = 0 : AJKYË ?
É¿ Ég.
@ áÓð ]0; +∞[ áÓ b ð a á�
�®J
�®k áKXY« É¿ Ég.
@ áÓ :Q�w�
: AJKYË n iJj�� XY«
log(
a
b
)= log a− log b · '''' log(ab) = log a + log b ¶
log an = n log a ¸
: A¡r�
log 10n = n : AJKYË n iJj�� XY« É¿ Ég.
@ áÓ :T}A� T�A�
]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ úΫ AÓAÖ�ß
�èYK@
Q��Ó log �
éË @YË@ :Ty}A�
:�
IJk AJ�®J
�®k @XY« x
àA¿ @X @ :T�yt�
n ≤ log x ≤ n + 1 :àA
¯ 10n ≤ x ≤ 10n+1
x = 3, 87 n 107:
�IJk x ù
�®J
�®mÌ'@ XYªË@ Q�.
�Jª
K :�A��
log 107 < log x < log 108: é
JÓ ð 107 < x < 108
: AJKYË
7 < log x < 8 :à
@ @
Yºë Ym.
�'
:�y¡Afm�� ºAn�
1
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 6 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�A\�®� dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
: T§rK`�� T�Atk�� ¨� �A�C±� d� T�r`�
: x > 1 �IJk ù
�®J
�®k XY« x :Tq§rV
log x XYªÊË iJj�Ë@ Z Qm.Ì'@
�éJ.�AmÌ'@ ÈAÒª
�J�AK.
á�ªK ¶
E(log x) = p : áºJË ð
10p ≤ x < 10p+1: é
JÓ ð p ≤ log x < p + 1 Qå�mÌ'@ i.
�JJ���
� ·
p + 1 : ñë x XYªË@ ÐA�P̄
@ XY« ¸
: ¨qybW� �§rm�
ù�Ëð
B@ XYªË@ curtis cooper
��
��» @ 2013 ÐAªË ù
®
KAg. QîD
�� ÈñÊm�'
.
.á��QÓ X@Y«
B
àñªK. P
B@ ð áÓA
�JË @
( úÍð
@ p : ©Ó 2p − 1 : ɾ
��Ë@ áÓ I.
�Jº
�K ú
�æË @
�éJËð
B@ X@Y«
B@ )
M48 = 257885161 − 1 : ñë XYªË@ @Yë
log(M48) XYªÊË iJj�Ë@ Z Qm.Ì'@
á�«�éJ.�AmÌ'@ ÈAÒª
�J�AK. ¶
1017425169 ≤M48 < 1017425170: ú
ÍA
�JË @ Qå�mÌ'@ i.
�JJ���@ ·
? M48 ÐA�P̄
@ XY« ñë AÓ ¸
: �ybW�
? 20162017ÐA
�P̄
@ XY« ñë AÓ ?
108T�f} 101¤100¤98�§rmt�� �� ♠
�§wq�
......................................................... :TO��� �w� T�A� �A\�®�
2