11
: XA J B@ 1 : : ¨A» l QjJ . ˚K . : : : ØK Q J . J¸@ ØJ PA «æ˚¸@ ظ@Y¸@ : . læ fi¸@ ¨@X ØJ B@ ¨@Y¸@ K PA «æ˚¸@ ›J £æ JK . HC g - : Øm ’@ Q - ( ) : Ø flA J Æ A ¸@ ‹Q£ YJ C J¸@ A ¸@ ¡ . P —æŒ fiˇAK . Ø¢æ Jˇ@ fi¸@ Ø Q . . Q » Y J¸@ : :22 2 : : Pæ¸@ “K . H . Ak ln 1 = 0 : X@ a =0 J e a =1 J ln 1 = a :A JK ln e =1 : X@ a =1 J e a = e J ln e = a :A JK ln(1e)= -1 : X@ a = -1 J e -1 = e a J ln(1e) = ln e -1 = a :A JK ln e 2 =2 : X@ a =2 J e 2 = e a J ln e 2 = a :A JK : ln(2) XY“˚¸ 10 -3 œ˝@ ØJ . K Q K ØJ Æ J K (0 <a< 1 J e> 2 e 0 =1 : @ ˛ K ) e a =2 J ln 2 = a :A JK ln 2 0, 693 ˝A J¸AK . a =0, 693 : X@ : ln( 1 2 )= - ln 2 : @ HAJ . K@ (1) .... e a = 1 2 :l @ a = ln( 1 2 ) :' (2) .... e -b =2 : LA J“ -b = ln 2 :l @ b = - ln 2 :' ln( 1 2 )= - ln 2 ˝A J¸AK . e a = e b : X@ e a = 1 e -b :i . J K (2) (1) Æ GAJ J . ¸@ J J J¸@ Jˇ@ œ˝@ l @ ¨ B@ Jˇ@ œ ˝@ ØJ . ¸AK . A KQ £A J J M (y,x) M (x, y) A J¸@ . y = x Ø J¸XA“ l Y¸@ ln b = a : X@ e a = b “K @ (C) œ j Jˇ@ œ˝@ ø J K M (a; b) Æ” . (C ) œ˝@ ø J K M (b; a) : A y = x ظXA“ˇ@ X ¨ B@ Jˇ@ œ˝@ ØJ . ¸AK . @Q £A J J (C ) (C) Æ J Jj Jˇ@ @i . J J - (C ) (C) ZA @ : HA JJ m ' ]0; +[ œ˛ « LYK @ Q ln ظ@Y¸@ * lim x0 ln x = -∞ lim x+ln x =+* : : YJ k ø fiJ fik XY« Yg . æK ]0; +[ ¨Aj . ˇ@ Æ a ø fiJ fik XY« ¿ g . @ Æ . e b = a IJ k b . ln a QQ¸AK . ظ QQK a XY“˚¸ l Q J . J¸@ K PA «æ˚¸@ b XY“¸@ ø :

¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF–ıwl ¤žAmylF:TsF¥mŸ…ذكرات/الدالة...ıAmŁ'r˘bl:XA J… B@ 1 œ™C›rŁ@ł ıwl ¤žAmylFT§wžA :TsF¥mŸ AyRA§C:› AmŸ ¨AÒ»

  • Upload
    others

  • View
    8

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF–ıwl ¤žAmylF:TsF¥mŸ…ذكرات/الدالة...ıAmŁ'r˘bl:XA J… B@ 1 œ™C›rŁ@ł ıwl ¤žAmylFT§wžA :TsF¥mŸ AyRA§C:› AmŸ ¨AÒ»

�Am� ©r�bl� :XA

�J�

B@ 1 ��C ­r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��

�AyRA§C : ­ Am�� ÈAÒ» ø

QjJ. ÊK. :ÐAtF±� �wl� ¨�AmylF:TsF¥m��

Tyb§r�� �wl� T��A��� : Tb`K��¤ «wtsm��

�éK

Q�J. �JË @

�éJÖ

�ßPA

«ñÊË @

�éË @YË @ : ¨�r`m�� «wt�m��

. øñ�®Ë@ È@ðXð

�éJ�

B@ È@ðYË@ ð Õ

�æKPA

«ñÊË @

­J

£ñ

�JK.

�HC¾

��Ó Ég − :T�dhtsm�� ��ºAfk��

�é�mÌ'@ Q�� −

�A\�®� ­dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��

:�®W�³�

�é

��

�¯A

áÓ  A�

��Ë @

¬Q£YJÓC

�JË @

 A�

��Ë @ ¡�. P

Ðñê®ÖÏ AK.

�é¢�ñ

�JÖÏ @ Õæ

�®Ë @

�éJëQ�. Öß.

Q�»Y

�JË @ :Tysfn�� T·yht�� ?

:22 T�f} 2 ªAKn�� TK�An�:dyhm�

: Pñ�Ë@

�ªK. H. A�k ¶

ln 1 = 0 :à

X@

a = 0 : éJÓð ea = 1 : é

JÓ ð ln 1 = a : A

JKYË

ln e = 1 :à

X@

a = 1 : éJÓð ea = e : é

JÓ ð ln e = a : A

JKYË

ln(1e) = −1 :à

X@

a = −1 : éJÓð e−1 = ea

: éJÓð ln(1e) = ln e−1 = a : A

JKYË

ln e2 = 2 :

àX@

a = 2 : éJÓ ð e2 = ea

: éJÓ ð ln e2 = a : A

JKYË

: ln(2) XYªÊË 10−3úÍ@

�éJ�. KQ

�®�K

�éÒJ

�¯

á�Jª�K ?

( 0 < a < 1 : éJÓð e > 2 ð e0 = 1 :

à

@ ÕΪ

K ) ea = 2 : é

JÓ ð ln 2 = a : A

JKYË

ln 2 ' 0, 693 : úÍA

�JËAK. ð a = 0, 693 :

à

X@

: ln( 12 ) = − ln 2 :

à

@

�HAJ.

�K @

?

(1) . . . . ea = 12 : ø

@ a = ln( 1

2 ) : ©

��

(2) . . . . e−b = 2 : èAJªÓ −b = ln 2 : ø

@ b = − ln 2 : ©

� ð

ln( 12 ) = − ln 2 : ú

ÍA

�JËAK. ð ea = eb

X@

ea = 1e−b

: i.�J�K (2) ð (1) áÓ

: ú

GAJJ. Ë @ ÉJ

�JÒ

�JË @ ·

Õæ

�®�J�ÖÏ @ úÍ@

ø

@ Èð

B@

­�

JÖÏ @ ú

Í@

�éJ.�

�ËAK.

àA

�KQ

£A

J�JÓ M ′(y, x) ð M(x, y)

àA�J¢

�®

JË @ ?

. y = x é�JËXAªÓ ø

YË@

ln b = a :à

X@

ea = b à

@ ú

æªK @

Yëð (C) ú

æj

JÖÏ @ úÍ@

ù

Ò�J��K M(a; b) áº

�JË ?

. (C ′) úÍ@

ù

Ò�J��K M ′(b; a) :

àA

¯

y = x�éËXAªÖÏ @ ð

X Èð

B@

­�

JÖÏ @ úÍ@

�éJ.�

�ËAK.

à@Q

£A

J�JÓ (C ′) ð (C) á�J

Jj

JÖÏ @

à

@ i.

�JJ���

� −

(C ′) ð (C) ZA�

�� @

?

:�

HAJJÒ

m�

�' ©

�ð ¸

]0; +∞[ úΫ�èYK@

Q��Ó ln �

éË @YË@ *

limx→0

ln x = −∞ ð limx→+∞

ln x = +∞ *

: d`� ©rybyn�� �t§CA�wl��

:�§r`�¤ Tn¡rb�

YJkð ù

�®J

�®k XY« Yg. ñK ]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ áÓ a ù

�®J

�®k XY« É¿ Ég.

@ áÓ

. eb = a �IJk b

. ln a QÓQËAK. éË QÓQKð a XYªÊË ø

Q�J. �JË @ Õ

�æKPA

«ñÊË @ b XYªË@ ù

Ò�

:�y¡Afm�� ºAn�

1

Page 2: ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF–ıwl ¤žAmylF:TsF¥mŸ…ذكرات/الدالة...ıAmŁ'r˘bl:XA J… B@ 1 œ™C›rŁ@ł ıwl ¤žAmylFT§wžA :TsF¥mŸ AyRA§C:› AmŸ ¨AÒ»

�Am� ©r�bl� :XA

�J�

B@ 1 ��C ­r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��

�A\�®� ­dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��

: �A��

ln 2 = b XYªË@ ñë eb = 2 ��

�®m�'

ø

YË@ b YJkñË@ ù

�®J

�®mÌ'@ XYªË@

: T§rybyn�� Tmt§CA�wl�� T��d��

:�§r`�

ɾK.�

�Q̄�K ú

�æËð ln QÓQËAK. AêË @

QÓQ

K ÿ

��JË @

�éK

Q�J. �JË @

�éJÖ

�ßPA

«ñÊË @

�éË @YË @ ù

Ò�

. ln x ù

�®J

�®mÌ'@ XYªË@ ]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ áÓ x ù

�®J

�®k XY«

: �¶At�

R áÓ y É¿ Ég.

@ áÓð ]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ áÓ x ù

�®J

�®k XY« É¿ Ég.

@ áÓ ¶

ln x = y :à

@ ú

æªK ey = x : A

JKYË

eln x = x : ]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ áÓ x ù

�®J

�®k XY« É¿ Ég.

@ áÓ ·

ln ex = x : x ù

�®J

�®k XY« É¿ Ég.

@ áÓ ¸

ln e = 1 à

X@

e1 = e ð ln 1 = 0 :à

X@

e0 = 1 :à

@ AÖß. ¹

: T§rybyn�� Tymt§CA�wl�� T��d�� ry�� £A���

. ]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ úΫ AÓAÖ�ß

�èYK@

Q��Ó

�éJÖ

�ßPA

«ñÊË @

�éË @YË @ :Ty}A�

:  A¡r�

. eln a < eln bø

@ a < b :

�IJm

�'. ]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ áÓ

àAJ

�®J

�®k

à@XY« b ð a áºJË

�éJÖ

�ßPA

«ñÊË @

�éË @YË @ é

JÓð , ln a < lnb :

àA

¯ R úΫ AÓAÖ

�ß

�èYK@

Q��Ó

�éJ�

B@

�éË @YË@

àñ»ð

. ]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ úΫAÓAÒ��K

�èYK@

Q��Ó

: �¶At�

: AJKYË ]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ áÓ y ð x áKXY« É¿ Ég.

@ áÓ

x > y à

@ ú

æªK ln x > ln y · ''' x = y

à @ ú

æªK ln x = ln y ¶

0 < x < 1 à

@ ú

æªK ln x < 0 ¹ ''''' x > 1

à @ ú

æªK ln x > 0 ¸

:�éJËA

�JË @

�HAj�k. @Q

��ÖÏ @ ð

�HBXAªÖÏ @ R ú

¯ Ég : ¨qybW� �§rm�

ln(x2 − 1) = ln(x) ¸ ''' ln(x− 2) = −1 · ''' ln(2x + 1) = 0 ¶

ln(2x + 1) > ln(x) » ''' ln(x− 5) ≥ −2 º '''' ln(2− x) < 0 ¹

2(ln x)2 − ln x− 1 ½ ''' x ln(x)− ln(x) ≥ 0 ¼

. 106 T�f}61¤59 �§rmt�� ��

�§wq�

......................................................... :TO��� �w� T�A� �A\�®�

2

Page 3: ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF–ıwl ¤žAmylF:TsF¥mŸ…ذكرات/الدالة...ıAmŁ'r˘bl:XA J… B@ 1 œ™C›rŁ@ł ıwl ¤žAmylFT§wžA :TsF¥mŸ AyRA§C:› AmŸ ¨AÒ»

�Am� ©r�bl� :XA

�J�

B@ 2 ��C ­r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��

�AyRA§C : ­ Am�� ÈAÒ» ø

QjJ. ÊK. :ÐAtF±� �wl� ¨�AmylF:TsF¥m��

Tyb§r�� �wl� T��A��� : Tb`K��¤ «wtsm��

�éK

Q�J. �JË @

�éJÖ

�ßPA

«ñÊË @

�éË @YË @ : ¨�r`m�� «wt�m��

. øñ�®Ë@ È@ðXð

�éJ�

B@ È@ðYË@ ð Õ

�æKPA

«ñÊË @

­J

£ñ

�JK.

�HC¾

��Ó Ég − :T�dhtsm�� ��ºAfk��

�é�mÌ'@ Q�� −

�A\�®�­dm��

(Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��

:�®W�³�

.�éJ�

B@

�éË @YË@ �@ñ

m�'

.Q�»

Y

�JË @ :Tysfn�� T·yht�� ?

:ªAK�

β = ln a+ ln b ð α = ln(ab) : ©

�� , AÓAÖ

�ß

àAJ.k. ñÓ

àAJ

�®J

�®k

à@XY« b ð a

β ð α áKXYªË@á�K.

àPA

�¯ ?

:ªAKn�� TK�An�

eβ = eln a+ln b = eln a n eln b = ab : øQ

k @

�éêk.

áÓ ð eα = ab�éêk.

áÓ : AJKYË

ln(ab) = ln a+ ln b : ø

@ α = β : é

JÓ ð

Tymt§CA�wl�� T��dl� T§rb��� Q�w���

:TyFAF±� Ty}A���

: Ty}A�

]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ áÓ b ð a á�J�®J

�®k áKXY« É¿ Ég.

@ áÓ

ln(ab) = ln a+ ln b : AJKYË

�éJ

�®J

�®k X@Y«

@

�èY« 'Z@Yg. úÍ@

�é�®K. A�Ë@

�éJ�A

mÌ'@ Õæ

Òª

�K áºÖß :

�é

¢kCÓ

. ]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ áÓ

�¶At�

. ]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ áÓ b ð a á�J�®J

�®k áKXY« É¿ Ég.

@ áÓ :¬ T�yt�

ln ab

= ln a− ln b ð ln 1a

= − ln a : AJKYË

]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ áÓ ù

�®J

�®k XY« a áºJË : A¡r�

ln a

a= ln 1 = 0 :

�éêk.

áÓ AJKYË

lna

a= ln

(a.

1a

)= ln a + ln 1

a: øQ

k

@

�éêk.

áÓ AJKYË ð

ln 1a

= − ln a :à

X@

ln a + ln 1a

= 0 : éJÓð

]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ áÓá�J

�®J

�®k áKXY« b ð a áºJË ?

ln a

b= ln

(a n

1b

)= ln a + ln 1

b: A

JKYË

ln a

b= ln a− ln b :

à

X@

:�y¡Afm�� ºAn�

1

Page 4: ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF–ıwl ¤žAmylF:TsF¥mŸ…ذكرات/الدالة...ıAmŁ'r˘bl:XA J… B@ 1 œ™C›rŁ@ł ıwl ¤žAmylFT§wžA :TsF¥mŸ AyRA§C:› AmŸ ¨AÒ»

�Am� ©r�bl� :XA

�J�

B@ 2 ��C ­r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��

�A\�®�­dm��

(Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��

:­ T�yt�

XY« É¿ Ég.

@ áÓð , ]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ áÓ a ù

�®J

�®k XY« É¿ Ég.

@ áÓ

ln an = n ln a : AJKYË n ú

æ.�

� iJj��

:á�

�JËAg

Q�Ö

ß : A¡r�

( ©k. @Q��ËAK.

àAëQ�. Ë @ ÉÒª

�J�

� ) : n ≥ 0 �

éËAg ¬

: n < 0 �éËAg ­

ln(an) = ln( 1a−n ) = − ln(a−n) = −(−n) ln a = n ln a : A

JKYË

( −n > 0 :à

B )

ln 9 = 2 ln 3 ð ln 23 = 3 ln 2 :�A��

:® T�yt�

]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ áÓ a ù

�®J

�®k XY« É¿ Ég.

@ áÓ

ln√

a = 12 ln a : A

JKYË

(√

a)2 = a : AJKYË ]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ áÓ a ù

�®J

�®k XY« É¿ Ég.

@ áÓ : A¡r�

ln(√

a)2 = 2 ln(√

a) ð ln(√

a)2 = ln a : éJÓð

ln(√

a) = 12 ln a : é

JÓð 2 ln(

√a) = ln a :

à

X@

: ¨ñÒj. ÖÏ @ n ùªJJ.¢Ë@ XYªË@

�éËBYK. I. �k@ :1¨qybW� �§rm�

ln 12 + ln 2

3 + ln 34 + ... + ln n− 1

n

:����

ln 12 + ln 2

3 + ln 34 + ... + ln n− 1

n= ln

(12 n

23 n

34 n ... n

n− 1n

)= ln

( 1n

)= − ln(n)

: ù�ÊKAÓ R ú

¯ Ég :2¨qybW� �§rm�

ln(x− 1) + ln(x + 2) ≤ 2 ln 2 ¶

ln(x + 1)− ln(x− 1) > 0 ·

107 T�f}68¤67 �§rmt�� �� �§wq�

......................................................... :TO��� �w� T�A� �A\�®�

2

Page 5: ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF–ıwl ¤žAmylF:TsF¥mŸ…ذكرات/الدالة...ıAmŁ'r˘bl:XA J… B@ 1 œ™C›rŁ@ł ıwl ¤žAmylFT§wžA :TsF¥mŸ AyRA§C:› AmŸ ¨AÒ»

�Am� ©r�bl� :XA

�J�

B@ 3 ��C ­r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��

�AyRA§C : ­ Am�� ÈAÒ» ø

QjJ. ÊK. :ÐAtF±� �wl� ¨�AmylF:TsF¥m��

Tyb§r�� �wl� T��A��� : Tb`K��¤ «wtsm��

�éJÒ�

�KPA

«ñÊË @ È@ðYË@ : ¨�r`m�� «wt�m��

.�éK

Q�J. �JË @

�éJÒ�

�KPA

«ñÊË @

�éË @YË @ �@ñ

k

­J

£ñ

�K − :T�dhtsm�� ��ºAfk��

�é�mÌ'@ Q�� −

�A\�®� ­dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��

:�®W�³�

�é

��

�¯A

áÓ  A�

��Ë @

¬Q£YJÓC

�JË @

�é

��

�¯A

áÓ  A�

��Ë @

¬Q£YJÓC

�JË @

.�éJÒ�

�KPA

«ñÊË @

�éË @YË @ ÿ

�¯ H. A�mÌ'@ Y«@ñ

�®K.

Q�»Y

�JË @ :Tysfn�� T·yht�� ?

:T§rybyn�� Tym�CA�wl�� T��d�� TF�C

:�A§Ahn�� ¶

: ªAK�

limx→+∞

ln x = +∞ :à

@

­KQª

�JË @ ÈAÒª

�J�AK.

�I�.

�K @ ¶

limx→0

ln x i.�JJ���@ , X = 1

x: ©

�ñK. ·

: Q�w�

limx→0

ln x = −∞ ð limx→+∞

ln x = +∞

: Ty�AqtJ¯�¤ T§C�rmtF¯� ·

]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ úΫ�èQÒ

�J�Ó ln �

éË @YË@ :«¬»Ty}A�

: ªAK�

f(x) = eln x: �K. ]0; +∞[ úΫ

�éQ̄ªÖÏ @ f

�éË @YË@ Q�.

�Jª

K

á��JË @X I. »QÓ

���J

��Ó ÈAÒª

�J�AK. f

′(x) I. �k @ ¶

f ′(x) @XYm.× I. �k@ , f(x) = x :

à

@

�é

¢kCÖß. ·

ln′(x) i.�JJ���@ ¸

]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ úΫ�

�A�®�J

��C

Ë

�éÊK. A

�¯ ln �

éË @YË@ :«­»Ty}A�

ln′(x) = 1x

: AJKYË x > 0 É¿ Ég.

@ áÓ ð

: Tym�CA�wl�� T��d�� ��ry�� �¤d� ¸

x

1x

ln x

0 +∞

+

−∞

+∞+∞

1

0

e

1

:�y¡Afm�� ºAn�

1

Page 6: ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF–ıwl ¤žAmylF:TsF¥mŸ…ذكرات/الدالة...ıAmŁ'r˘bl:XA J… B@ 1 œ™C›rŁ@ł ıwl ¤žAmylFT§wžA :TsF¥mŸ AyRA§C:› AmŸ ¨AÒ»

�Am� ©r�bl� :XA

�J�

B@ 3 ��C ­r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��

�A\�®� ­dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��

: Tym�CA�wl�� T��dl� ¨�Ayb�� �y�mt�� ¹

:�

HA

¢kCÓ

H. PA�®Ó Õæ

�®�J�Ò» I. �

�K @Q

��Ë @ Pñm× ÉJ.

�®K ln �

éË @YÊË É�JÒÖÏ @ ú

æj

JÖÏ @ ?

1 �éÊ�A

®Ë @

�H@

X

�é¢

�®

JË @ Y

J« A�AÜØ ÉJ.

�®K

�éJ�

B@

�éË @YÊË É

�JÒÖÏ @ ú

æj

JÖÏ @ ?

y = x− 1 : é�JËXAªÓ

limh→0

ln(1 + h)h

= 1 ð @ lim

x→1

ln xx− 1 = 1 : Ym.

�' �

��J

��ÖÏ @ XYªË@ ñê

®Ó ÈAÒª

�J�AK. ?

:�éj. J

��K

0 P@ñm.�'

. x 7→ ln(1 + x) �éË @YÊË ù

®Ë

�A�K I. KQ

�®�K á�k

@ ù

ë x 7→ x

�éË @YË@

ln(1 + x) ≈ x : AJKYË 0 áÓ I. KQ

�¯ x Ég.

@ áÓ : ø

@

: ¨qybW� �§rm�

f(x) = 1− (ln x)2: �K. ]0; +∞[ úΫ

�éQ̄ªÖÏ @ f

�éË @YË@ áº

�JË

+∞ ð 0 YJ« f

�éË @YË@

�HAKAî

E I. �k@ ¶

Aî�E@Q�

ª

�K ÈðYg. ɾ

�� ð f

�éË @YË@ Q�

ª

�K èAm.

��' @ �PX@ ·

2 < β < 3 ð 0 < α < 1 :�

IJk β ð α á�Êg ÉJ.�®�K f(x) = 0 �

éËXAªÖÏ @à

@

á�K. ¸

]0; 5] ÈAj. ÖÏ @ úΫ ��Aj.

�JÓ ð YÓAª

�JÓ ÕÎªÓ ú

¯ f

�éË @YÊË ú

GAJJ. Ë @ ÉJ

�JÒ

�JË @ Õæ�P@ ¹

f(5) ' −1, 6 :Y

g

AK

108T�f}89¤82¤81¤80�§rmt�� �� ♠111T�f}113�§rmt�� �� ♠

�§wq�

......................................................... :TO��� �w� T�A� �A\�®�

2

Page 7: ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF–ıwl ¤žAmylF:TsF¥mŸ…ذكرات/الدالة...ıAmŁ'r˘bl:XA J… B@ 1 œ™C›rŁ@ł ıwl ¤žAmylFT§wžA :TsF¥mŸ AyRA§C:› AmŸ ¨AÒ»

�Am� ©r�bl� :XA

�J�

B@ 4 ��C ­r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��

�AyRA§C : ­ Am�� ÈAÒ» ø

QjJ. ÊK. :ÐAtF±� �wl� ¨�AmylF:TsF¥m��

Tyb§r�� �wl� T��A��� : Tb`K��¤ «wtsm��

�éJÒ

�JKPA

«ñÊË @ È@ðYË@ : ¨�r`m�� «wt�m��

.�éJÒ

�JKPA

«ñÊË @

�éË @YÊË

�é¯ñË

AÖÏ @

�HAKAî

DË @

­J

£ñ

�K ð H. A�k − :T�dhtsm�� ��ºAfk��

�é�mÌ'@ Q�� −

�A\�®� ­dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��

:�®W�³�

�é

��

�¯A

áÓ  A�

��Ë @

¬Q£YJÓC

�JË @

:Tysfn�� T·yht�� ?

: Tymt§CA�wl��T��dl� T�w��m�� �A§Ahn��

:x 7→ x ¤ x 7→ ln x�yt��dl�  CAqm��d§�zt�� .1:ªAK�

limt→+∞

t

et= 0 :

à

@ Q»

Y

K

limx→+∞

ln x

xi.

�JJ���@ Õç

�' t = ln x : ©

� x > 0 Ég.

@ áÓ .1

u = 1x

: ©

�ñK. .2

limx→0

x ln x i.�JJ���@ Õç

�' x ln x = − ln u

u:

à

@

�I�.

�K @ ?

limx→0

x ln x = 0 ð limx→+∞

ln x

x= 0 :Q�w�

:x 7→ xn ¤ x 7→ ln x�yt��dl�  CAqm��d§�zt�� .2

ÐðYªÓ Q�« n ù

ªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ :Q�w�

limx→0

xn ln x = 0 ð limx→+∞

ln x

xn= 0

: T\�®�

.�éJÒ

�JKPA

«ñÊË @

�éË @YË @ úΫ

�èñ

�¯

�éË @YË@

�éË @YË @

��ñ

®�J�K

�éKAî

ECË@ Y

J« ?

:¨qybW� �§rm�

:�éJËA

�JË @

�HAKAî

DË @ I. �k@ -

limx→+∞

ln x

4x3 − x2 + 3 ¸ ''''' limx→0

(1− x) ln x · ''''' limx→+∞

(x− ln x) ¶

limx→0

(x3 − x) ln x º ''''' limx→+∞

x2 + 2x− ln x ¹

136T�f} 45¤42�§rmt�� �� ♠.

:�y¡Afm�� ºAn�

:�§wq�

......................................................... :TO��� �w� T�A� �A\�®�

1

Page 8: ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF–ıwl ¤žAmylF:TsF¥mŸ…ذكرات/الدالة...ıAmŁ'r˘bl:XA J… B@ 1 œ™C›rŁ@ł ıwl ¤žAmylFT§wžA :TsF¥mŸ AyRA§C:› AmŸ ¨AÒ»

�Am� ©r�bl� :XA

�J�

B@ 5 ��C ­r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��

�AyRA§C : ­ Am�� ÈAÒ» ø

QjJ. ÊK. :ÐAtF±� �wl� ¨�AmylF:TsF¥m��

Tyb§r�� �wl� T��A��� : Tb`K��¤ «wtsm��

�éJÖ

�ßPA

«ñÊË @ È@ðYË@ : ¨�r`m�� «wt�m��

.�éK

Q�J. �JË @

�éJÖ

�ßPA

«ñÊË @

�éË @YË @ �@ñ

k

­J

£ñ

�K − :T�dhtsm�� ��ºAfk��

�é�mÌ'@ Q�� −

�A\�®� ­dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��

:�®W�³�

Q�»Y

�JË @

�éKAî

E

�éJëQ�. Öß.

á��JË @X I. »QÓ

�èY«A�Öß.YJÓC

�JË @

èYë

�IJ.

��K

�éJ�A

mÌ'@

ÈAÒª�J�AK.

è Am.��' @

�éJëQ�.Ó

I. J»Q��Ë @ Q�

ª

�K

I. »QÓ�éË @X

���J

��Óð

�éKAî

DK.

Q�»Y

�JË @ :Tysfn�� T·yht�� ?

:ln ◦u T��d�� TF�C

:�A§Ahn�� ¶

.á�

�JË @X I. »QÓ

�éKAî

DK.

��ʪ

�JÖÏ @

�éJëQ�. ÖÏ @ ÉÒª

�J�

� ln ◦u �

éË @YË@�éKAî

E H. A�mÌ

. f(x) = ln(x− 3) : ÿ��ÊKAÒ» ]3; +∞[ úΫ

�éQ̄ªÖÏ @

�éKXYªË@

�éË @YË @ f :�A��

limX→0

ln X = −∞ :

à @ AÖß. ð lim

x→3(x− 3) = 0 : A

JKYË ?

limx→3

ln(x− 3) = −∞ :àA

¯

limX→+∞

ln X = +∞ :à

@ AÖß. ð lim

x→+∞(x− 3) = +∞ : A

JKYË ?

limx→+∞

ln(x− 3) = +∞ :àA

¯

:ry�t�� £A��� ·

u á��JË @YÊË

àA

¯ I ÈAm.

× úΫ AÓAÖ�ß

�éJ.k. ñÓ ð

�éQ̄ªÓ

�éË @X u �

IKA¿ @

X @ :Ty}A�

I ÈAj. ÖÏ @ úΫ Q�ª

�JË @ è Am.

��' @

�®

K ln ◦u ð

:  A¡r�

]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ úΫ AÓAÖ�ß

�èYK@

Q��Ó ln �

éË @YË@ :à

@ AÒ�K.

I úΫ Q�ª

�JË @ è Am.

��' @

�®

K u ð ln ◦u á�

�JË @YÊË :

àA

¯

( �éJ.»QÓ

�éË @X Q�

ª

�K èAm.

��'AK.

�é�A

mÌ'@

�éJëQ�. ÖÏ @ I. �k )

f(x) = ln( 5

x− 2

): ÿ

��ÊKAÒ» ]2; +∞[ úΫ

�éQ̄ªÖÏ @

�éKXYªË@

�éË @YË @ f :�A��

u(x) = 5x− 2 : �K. ]2; +∞[ úΫ

�éQ̄ªÖÏ @

�éË @YË @ u �

IJk f = ln ◦u :à

@

¡kC

K

]2; +∞[ úΫ AÓAÖ�ß

�é�

�¯A

J�JÓ f :

àA

¯ ]2; +∞[ úΫ AÓAÖ

�ß

�é�

�¯A

J�JÓ u

�éË @YË@ :

à

@ AÖß.

: ln ◦uT��d�� TqtK� ¸

àA

¯ I ÈAm.

× úΫ AÓAÖ�ß

�éJ.k. ñÓ ð

��A

�®�J

��C

Ë

�éÊK. A

�¯

�éË @X u �

IKA¿ @

X @ :Ty}A�

: I áÓ x É¿ Ég.

@ áÓ A

JKYËð I úΫ

��A

�®�J

��

�ÊË

�éÊK. A

�¯ ln ◦u �

éË @YË@

(ln ◦u)′(x) = u′(x)u(x)

:�y¡Afm�� ºAn�

1

Page 9: ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF–ıwl ¤žAmylF:TsF¥mŸ…ذكرات/الدالة...ıAmŁ'r˘bl:XA J… B@ 1 œ™C›rŁ@ł ıwl ¤žAmylFT§wžA :TsF¥mŸ AyRA§C:› AmŸ ¨AÒ»

�Am� ©r�bl� :XA

�J�

B@ 5 ��C ­r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��

�A\�®� ­dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��

I ÈAm.× úΫ AÓAÖ

�ß

�éJ.k. ñÓ ð

��A

�®�J

��C

Ë

�éÊK. A

�¯ u �

IKA¿ @

X @ :  A¡r�

I úΫ�

�A�®�J

��C

Ë

�éÊK. A

�¯ ln ◦u :

àA

¯ ]0; +∞[ úΫ

��A

�®�J

��C

Ë

�éÊK. A

�¯ ln �

éË @YË@à

@ AÒÊ«

:�éJ.»QÓ

�éË @X

���J

��Ó H. A�k

�èY«A

�¯

��JJ.¢

��K. ?

(ln ◦u)′(x) = u′(x) n (ln)′ [u(x)] = u′(x) n 1u(x) : I áÓ x É¿ Ég.

@ áÓ

f(x) = ln(x2 + x + 1) : úÎKAÒ» R úΫ

�éQ̄ªÖÏ @

�éKXYªË@

�éË @YË @ f áº

�JË :¬�A��

f ′(x) = 2x + 1x2 + x + 1 : A

JKYË

g(x) = ln(e−x + 3) : �K. R úΫ�éQ̄ªÖÏ @

�éKXYªË@

�éË @YË @ g áº

�JË :­�A��

g′(x) = −e−x

e−x + 3 : AJKYË

: 2012 A§Cw�Ak� �� �ybW�

108T�f}88¤ 85¤ 84 �§rmt�� �� ♠109T�f}97¤ 96 �§rmt�� �� ♠

�§wq�

......................................................... :TO��� �w� T�A� �A\�®�

2

Page 10: ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF–ıwl ¤žAmylF:TsF¥mŸ…ذكرات/الدالة...ıAmŁ'r˘bl:XA J… B@ 1 œ™C›rŁ@ł ıwl ¤žAmylFT§wžA :TsF¥mŸ AyRA§C:› AmŸ ¨AÒ»

�Am� ©r�bl� :XA

�J�

B@ 6 ��C ­r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��

�AyRA§C : ­ Am�� ÈAÒ» ø

QjJ. ÊK. :ÐAtF±� �wl� ¨�AmylF:TsF¥m��

Tyb§r�� �wl� T��A��� : Tb`K��¤ «wtsm��

�éJÒ

�JKPA

«ñÊË @ È@ðYË@ : ¨�r`m�� «wt�m��

. Aî�EA

�®JJ.¢

�� ð ø

��ªË@ Õ

�æKPA

«ñÊË @

�éË @X �@ñ

k − :T�dhtsm�� ��ºAfk��

�é�mÌ'@ Q�� −

�A\�®� ­dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��

:�®W�³�

:Tysfn�� T·yht�� ?

: ©rK`�� �t§CA�wl�� T��

log QÓQËAK. AîDË @ QÓQ

K ú

�æË @

�éË @YË @ ø

��ªË@ Õ

�æKPA

«ñÊË @

�éË @X ù

Ò�

� :�§r`�

log x = ln x

ln 10 : �K. ]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ úΫ�éQ̄ªÖÏ @ ð

log 10 = 1 ð log 1 = 0 : AJKYË ?

É¿ Ég.

@ áÓð ]0; +∞[ áÓ b ð a á�

�®J

�®k áKXY« É¿ Ég.

@ áÓ :Q�w�

: AJKYË n iJj�� XY«

log(

a

b

)= log a− log b · '''' log(ab) = log a + log b ¶

log an = n log a ¸

:  A¡r�

log 10n = n : AJKYË n iJj�� XY« É¿ Ég.

@ áÓ :T}A� T�A�

]0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ úΫ AÓAÖ�ß

�èYK@

Q��Ó log �

éË @YË@ :Ty}A�

:�

IJk AJ�®J

�®k @XY« x

àA¿ @X @ :T�yt�

n ≤ log x ≤ n + 1 :àA

¯ 10n ≤ x ≤ 10n+1

x = 3, 87 n 107:

�IJk x ù

�®J

�®mÌ'@ XYªË@ Q�.

�Jª

K :�A��

log 107 < log x < log 108: é

JÓ ð 107 < x < 108

: AJKYË

7 < log x < 8 :à

@ @

Yºë Ym.

�'

:�y¡Afm�� ºAn�

1

Page 11: ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF–ıwl ¤žAmylF:TsF¥mŸ…ذكرات/الدالة...ıAmŁ'r˘bl:XA J… B@ 1 œ™C›rŁ@ł ıwl ¤žAmylFT§wžA :TsF¥mŸ AyRA§C:› AmŸ ¨AÒ»

�Am� ©r�bl� :XA

�J�

B@ 6 ��C ­r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��

�A\�®� ­dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��

: T§rK`�� T�Atk�� ¨� �A�C±� d� T�r`�

: x > 1 �IJk ù

�®J

�®k XY« x :Tq§rV

log x XYªÊË iJj�Ë@ Z Qm.Ì'@

�éJ.�AmÌ'@ ÈAÒª

�J�AK.

á�ªK ¶

E(log x) = p : áºJË ð

10p ≤ x < 10p+1: é

JÓ ð p ≤ log x < p + 1 Qå�mÌ'@ i.

�JJ���

� ·

p + 1 : ñë x XYªË@ ÐA�P̄

@ XY« ¸

: ¨qybW� �§rm�

ù�Ëð

B@ XYªË@ curtis cooper

­

��

��» @ 2013 ÐAªË ù

®

KAg. QîD

�� ÈñÊm�'

.

.á��QÓ X@Y«

B

àñªK. P

B@ ð áÓA

�JË @

( úÍð

@ p : ©Ó 2p − 1 : ɾ

��Ë@ áÓ I.

�Jº

�K ú

�æË @

�éJËð

B@ X@Y«

B@ )

M48 = 257885161 − 1 : ñë XYªË@ @Yë

log(M48) XYªÊË iJj�Ë@ Z Qm.Ì'@

á�«�éJ.�AmÌ'@ ÈAÒª

�J�AK. ¶

1017425169 ≤M48 < 1017425170: ú

ÍA

�JË @ Qå�mÌ'@ i.

�JJ���@ ·

? M48 ÐA�P̄

@ XY« ñë AÓ ¸

: �ybW�

? 20162017ÐA

�P̄

@ XY« ñë AÓ ?

108T�f} 101¤100¤98�§rmt�� �� ♠

�§wq�

......................................................... :TO��� �w� T�A� �A\�®�

2