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A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
NUMA PERSPECTIVA METODOLÓGICA
Prof a.
Marta Burda Schastai1
Profa.
Ms. Sandra Mara Dias Pedroso2
Resumo
O presente artigo é resultado final de um estudo sobre “Resolução de Problemas numa Perspectiva
Metodológica”, realizado durante o Programa de Desenvolvimento Educacional do Estado do Paraná – PDE
2008/2009. Neste trabalho constam as concepções de resolução de problemas: como meta, processo ou
habilidade básica. Em seguida passa à discussão da Metodologia da resolução de Problemas e a Resolução de
Problemas numa Perspectiva Metodológica. Apresenta a descrição da implementação do Projeto de Intervenção:
Números, Operações e Conhecimentos em Ação, realizado com alunos da quinta série do segundo segmento do
Ensino Fundamental no Colégio Estadual Professora Linda Salamuni Bacila, Ponta Grossa – PR, utilizando o
material pedagógico elaborado no segundo semestre de 2008 com o título Cortina de Retalhos. O objetivo
principal deste trabalho foi efetivar a Resolução de Problemas numa Perspectiva Metodológica buscando
desenvolver o pensamento criativo e flexível de modo a despertar no aluno o interesse na busca de novos
instrumentos de pensamento para solucionar os problemas que lhe são propostos. No contexto de uma atividade
prática, a confecção de uma cortina de retalhos para a janela da sala de aula, e utilizando-se da problematização
efetivou-se as ações do projeto com resultados significativos para o ensino de matemática.
Palavras-chave: Problematização, Resolução, Problemas, Metodologia.
Abstract
The present article is a final result of a study on “Resolution of Problems in a Methodological Perspective”,
carried through during the Program of Educational Development of the State of Paraná - PDE 2008/2009. In this
work there are the conceptions of resolution of problems: as goal, process or basic skill. Next it passes to the
discussion of the Methodology of the resolution of Problems and the Resolution of Problems in a
Methodological Perspective. It presents the description of the implementation of the Project of Intervention:
Numbers, Operations and Knowledge in Action, carried out with pupils of the fifth series of the second segment
of the Basic Teaching in the State School Teacher Linda Salamuni Bacila, Ponta Grossa – PR, using the
elaborated pedagogical material in a second semester of 2008 with the heading Curtain of Patchwork. The main
aim of this work it was to accomplish the Resolution of Problems in a Methodological Perspective being
searched to develop the creative and flexible thought in order to awake in the pupil the interest in the search of
new instruments of thought to solve the problems that are considered to do it. In the context of a practical
activity, the production of a curtain of patchwork for the window of the classroom, and making use of the
“problematização “ the actions of the project were brought into effect with significant results for the mathematic
teaching.
Key Words: Problematização, Resolution, Problems, Methodology.
1 Licenciada em Matemática – UEPG. Especialista em Metodologia do Ensino Fundamental e Médio – IBPEX.
Especialista em Metodologia do Ensino de Artes – IBPEX. Professora da Rede Pública Estadual de Ensino –
SEED – PR. Professora da Rede Municipal de Ponta Grossa - PR
E-mail: [email protected] 2 Licenciada em Ciências – Habilitação em Matemática – UEPG. Especialista em Ciências – UEPG. Mestre em
Educação - UEPG. Professora da Rede Pública Estadual de Ensino – SEED – PR. Professora da Rede Particular
de Ensino.
E-mail: [email protected]
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1.INTRODUÇÃO
Os resultados dos alunos nas avaliações externas promovidas pelo Ministério da
Educação como a Prova Brasil que acontece a cada dois anos nas séries finais do primeiro e
segundo segmentos do Ensino Fundamental, Sistema de Avaliação da Educação Básica
(SAEB) que acontece a cada dois anos nas séries finais do primeiro e segundo segmentos do
Ensino Fundamental e no final do Ensino Médio e nas Olimpíadas de Matemática que
acontecem anualmente, demonstram o déficit de aprendizagem por parte dos alunos no que se
refere especialmente a interpretação e resolução de situações problemas.
Embora a Resolução de Problemas venha sendo discutida nos últimos anos, não tem
desempenhado o seu verdadeiro papel no ensino, sendo utilizada como forma de aplicação de
conhecimentos adquiridos anteriormente pelos alunos e não como forma de construção do
conhecimento matemático. Uma das práticas mais freqüentes consiste em ensinar um conceito
depois apresentar um problema para empregar o que lhes foi ensinado, dessa forma, para a
maioria dos alunos, resolver problemas significa fazer cálculos com os números em um texto.
Como conseqüência, o saber matemático para o aluno se apresenta como um conjunto de
conceitos e definições, afastando-se muito, da matemática construída pela humanidade,
dotada de significados e, estreitamente, ligada às necessidades de vida.
Essas práticas esvaziam e empobrecem o raciocínio lógico e criativo do aluno,
bloqueando e até mesmo impedindo o desenvolvimento de atitudes inteligentes e necessárias,
como: argumentar, elaborar estratégias para solução de problemas, reconhecer conceitos
matemáticos, entre outras. É fundamental que no ensino da matemática não se parta de
modelos, demonstrações ou regras, pois tais procedimentos limitam todo o conhecimento que
o aluno pode produzir e sua capacidade de pensar, refletir e desenvolver um discurso próprio.
Portanto, em vez de ditarmos regras e modelos a serem seguidos, devemos criar em sala de
aula, situações de aprendizagem em que os alunos cheguem a formular e entender estas
regras.
Diante do apresentado propôs-se o Projeto Números, Operações e Conhecimentos em
Ação com o objetivo de efetivar a Resolução de Problemas como perspectiva metodológica e
não somente metodologia. O termo metodologia foi trabalhado na década de 90, como
conjunto de regras a serem seguidas, já numa Perspectiva Metodológica, ultrapassa a
metodologia e leva em consideração toda uma visão de ensino e aprendizagem, num sentido
sócio interacionista e não como uma transferência de conhecimento para o aluno em um
discurso “bancário”, transferidor do perfil do objeto ou do conteúdo (FREIRE, 1996, p.26).
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Portanto, a realização do trabalho se deu a partir da proposta de intervenção, como
parte do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, da Secretaria de Estado da
Educação do Paraná. A referida proposta foi desenvolvida no Colégio Estadual Professora
Linda Salamuni Bacila – Ensino Fundamental e Médio, em Ponta Grossa – PR, durante o ano
letivo de 2009, com alunos da 5ª série do período noturno, utilizando o Material Didático:
Caderno Pedagógico “Cortina de Retalhos”, confeccionado em 2008, que subsidiou este
trabalho.
2. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
2.1 Apresentando concepções
O tema Resolução de Problemas tem sido discutido e analisado nas últimas décadas
por professores e pesquisadores. A análise e discussão tiveram início a partir da década de 80,
com a National Council of Teacher of Mathematics (NCTM), reconhecida associação norte-
americana de professores de matemática que dedicou a publicação anual à Resolução de
Problemas.
Para Branca (1997), a publicação do NCTM, coloca-nos a seguinte questão: o que é
Resolução de Problemas? Atualmente, esse tema tão difundido, e até mesmo desgastado por
alguns, adquiriu uma mistura de várias concepções ao longo do tempo, surgindo desde visões
simplistas até sofisticadas teorias, as quais têm gerado diferentes orientações para o ensino, a
organização dos currículos, a elaboração de textos e manuais e as orientações didáticas para
sua abordagem.
Portanto, é importante a discussão das concepções de resolução de problemas para que
possamos ter um olhar mais crítico e entender melhor as escolhas e orientações propostas no
Projeto Resolução de Problemas numa Perspectiva Metodológica. Branca (1980) em seu
artigo, coloca a Resolução de problemas como meta, processo ou habilidade básica.
Na primeira concepção, anterior ao movimento da Educação Matemática, a resolução
de problemas é considerada uma meta. O ensino estrutura-se primeiro em preparar o terreno
para que depois o aluno possa atuar, ou seja, os currículos reforçam a necessidade do aluno
possuir todas as informações e conceitos envolvidos nas situações propostas para depois
estruturar o processo de resolução. A consideração importante é que aprender a resolver
problemas é a razão principal para estudar matemática.
A segunda concepção enfoca a Resolução de Problemas como um processo,
valorizando os métodos, os procedimentos e as estratégias que os alunos usam na resolução
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das situações propostas. Esse movimento nasce com os trabalhos de Polya (1977), onde surge
a classificação dos tipos de problemas, tipos de estratégias de resolução e esquemas de passos
a serem seguidos para melhor resolver problemas. O ensino é centrado em ensinar a resolver
problemas o que, como conseqüência resultaria em aprender matemática.
Como habilidade básica, a Resolução de Problemas deve ser entendida como uma
competência mínima para que o indivíduo possa inserir-se no mundo do conhecimento e do
trabalho. A questão principal é o que essencialmente precisa ser ensinado em relação à
Resolução de Problemas, levando-se em consideração o conteúdo específico, os diversos tipos
de problemas e os métodos de resolução de problemas para que se alcance a aprendizagem
matemática.
Percebe-se que as três concepções descritas não se excluem, mas apresentam
diferentes momentos históricos e conseqüentes reflexos nos currículos, nos materiais
didáticos e nas orientações para o ensino.
Nos anos 90, a Resolução de Problemas passa a ter outra dimensão, sendo descrita
como uma metodologia para o ensino de matemática, passando a ser um conjunto de
estratégias para o ensino e o desenvolvimento da aprendizagem nesta área do conhecimento.
Para Diniz (2001, p. 87).
Essa concepção de Resolução de Problemas pode ser vista através de indicações de
natureza puramente metodológica, como usar um problema detonador ou desafio
que possam desencadear o ensino e a aprendizagem de conhecimentos matemáticos,
trabalhar com problemas abertos, usar a problematização ou a formulação de
problemas em projetos, etc.
Partindo da influência de todas as concepções e da pesquisa em ação, na última
década, Kátia Stocco Smole e Maria Ignez Diniz, junto a professores e alunos, propõem a
Resolução de Problemas numa Perspectiva Metodológica, onde termo “perspectiva” está
sendo utilizado no sentido de “uma certa forma de ver” ou “certo ponto de vista” com o
objetivo de ampliar o conceito de Resolução de problemas. A concepção de Resolução de
problemas numa Perspectiva Metodológica corresponde a uma forma de organizar o ensino
que envolve mais que aspecto metodológico, inclui toda uma postura frente ao que é ensinar e
conseqüentemente ao que é aprender.
Analisar a Resolução de Problemas como uma perspectiva metodológica a serviço do ensino e
da aprendizagem de matemática amplia a visão puramente metodológica e derruba a questão
da grande dificuldade que alunos e professores enfrentam quando se propõe a Resolução de
Problemas nas aulas de matemática. A utilização de recursos da comunicação pode resolver
ou fazer com que não existam essas dificuldades. (DINIZ,2001, p.87)
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Assim, para esta autora a Resolução de Problemas numa Perspectiva Metodológica
baseia-se na proposição e enfrentamento do que chamamos de situação problema, definindo
problema como situação sem solução imediata e que exige que o aluno combine os
conhecimentos adquiridos decidindo assim pela forma de usá-los em busca da solução. Dessa
forma, rompe com a visão limitada de problemas que podem ser chamados de convencionais
e que são os tradicionalmente propostos aos alunos. Problemas convencionais apresentam as
seguintes características:
a) são apresentados por meio de frases, diagramas ou parágrafos curtos;
b) vem sempre após a apresentação de determinado conteúdo;
c) todos os dados de que o resolvedor precisa aparecem explicitamente no texto;
d) podem ser resolvidos pela aplicação direta de um ou mais algoritmos;
e) têm como tarefa básica em sua resolução a identificação de que operações são apropriadas
para mostrar a solução e a transformação das informações do problema em linguagem
matemática;
f) é ponto fundamental a solução numericamente correta, a qual sempre existe e é única.
(DINIZ,2001, p.87)
A característica principal da Resolução de Problemas numa Perspectiva Metodológica
é considerar como problema toda situação que pode ser problematizada. Essas situações
podem ser jogos, atividades planejadas como brincadeiras, busca e seleção de informações,
problemas não convencionais e até mesmo os problemas convencionais desde que permitam o
processo investigativo.
A segunda característica é complementar a Resolução de problemas tradicional que
está centrada em duas ações: propor situações problema e resolver situações propostas, com
mais duas que são questionar as respostas obtidas e questionar a própria situação inicial.
Portanto, para resolver uma situação problema não é suficiente a compreensão do que
é exigido e a aplicação de técnicas ou fórmulas adequadas para obter a resposta correta, é
necessária uma atitude de “investigação científica” em relação ao que é proposto. A resposta
correta é tão importante quanto o processo de resolução, permitindo o aparecimento de
diferentes soluções, comparando-as e pedindo que os alunos expressem como chegaram ao
resultado.
Ao questionar as soluções e a situação problema em si, exigem muitas vezes uma volta
à atividade realizada, é como se cada nova pergunta exigisse um novo pensar sobre toda a
situação e até mesmo sobre o que o próprio aluno fez, incluindo assim o processo
metacognitivo, ou seja, pensar sobre o que pensou ou fez. Este pensar exige uma forma mais
elaborada de raciocínio e está ligado à idéia de que aprender depende da possibilidade de se
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estabelecer o maior número possível de relações entre o que se sabe e o que se está
aprendendo.
A Resolução de Problemas numa Perspectiva Metodológica apresenta uma postura de
inconformismo frente aos obstáculos e ao que foi estabelecido nos enunciados, é um exercício
de desenvolvimento do senso crítico e da criatividade, que são objetivos do ensino da
Matemática.
Dessa forma atitudes naturais do aluno que não encontra espaço dentro do modelo
tradicional de ensino, como é o caso da curiosidade, da investigação e da confiança em suas
próprias idéias, passam a ser valorizadas dentro do processo investigativo.
Na prática de Resolução de Problemas, o planejamento das atividades e o
encaminhamento dos questionamentos são essenciais, pois não há separação entre conteúdo e
metodologia. Sendo assim, não há método de ensino sem que seja trabalhado um conteúdo e
todo conteúdo está intimamente ligado a uma ou mais maneiras adequadas de abordagem.
As problematizações devem ter como objetivo alcançar um conteúdo e esse conteúdo
deve ser aprendido, sendo considerado aqui, conteúdo como todo conhecimento
historicamente produzido, incluindo as habilidades necessárias para garantir a formação de
pessoas independentes, confiantes em seu saber e capazes de entender e usar os
procedimentos e regras próprias da área do conhecimento proporcionando a formação de um
indivíduo por inteiro.
Ao assumir a Resolução de Problemas numa Perspectiva Metodológica percebe-se a
íntima relação entre a aprendizagem de conteúdos e o recurso à comunicação que torna-se
essencial, pois é o aluno falando, escrevendo ou desenhando, mostra ou fornece indícios de
que habilidades ou atitudes ele está desenvolvendo e que conceitos apresenta dificuldades,
assim os recursos da comunicação são valiosos para interferir nas dificuldades encontradas ou
para permitir que o aluno avance mais, propondo-se outras perguntas ou mudando-se a forma
de abordagem.
Para Diniz, nessa perspectiva, não importa se a situação a ser resolvida é aplicada, se
vai ao encontro das necessidades ou dos interesses do aluno, se é lúdica ou aberta, pois a
motivação do aluno está em sua percepção de estar se aprimorando ativamente dos
conhecimentos, ou seja, a alegria de conquistar o saber, de participar e aprender idéias e
procedimentos que geram a motivação em aprender e continuar aprendendo, conforme
confirma Butts (apud Krulik, 1997, p. 32) : “Para mim, e suspeito que o mesmo valha para
muitas outras pessoas, o verdadeiro prazer em estudar matemática é o sentimento de alegria
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que vem da resolução de um problema, quanto mais difícil o problema, maior a satisfação.”
No entanto, para Polya “(...) ninguém pode ensinar o que não aprendeu. Nenhum professor
pode comunicar a experiência da descoberta, se ele próprio não a adquiriu (...)“. Nenhum
professor pode comunicar a experiência da descoberta, se ele próprio não a adquiriu “...
(1997, p.3).
Nessa perspectiva é relevante a reflexão sobre os diferentes tipos de problemas que
podem ser propostos aos alunos, destacando suas características e funções no ensino e na
aprendizagem da matemática.
Dante (2005, p.16) classifica os problemas em vários tipos: Exercício de
reconhecimento, Exercícios de algoritmos, Problemas-padrão, Problemas-processo ou
heurísticos, Problemas de aplicação, Problemas de quebra-cabeça e Problemas extravagantes.
Os exercícios de reconhecimento têm como objetivo fazer com que o aluno reconheça,
identifique ou lembre um conceito, um fato específico, uma definição, uma propriedade.
Como nos exemplos: Quais são os 7 primeiros números primos? Uma centena é equivalente
a quantas dezenas?
Os exercícios de algoritmos são aqueles que podem ser resolvidos passo a passo.
Geralmente, são exercícios que pedem a execução dos algoritmos da adição, subtração,
multiplicação e divisão de números naturais, e tem como objetivo treinar a habilidade em
executar um algoritmo e reforçar conhecimentos anteriores, como por exemplo, Calcule o
valor de (3 + 3) x 2; Resolva a operação 148 +15.
Problemas-padrão envolvem em sua resolução a aplicação direta de um ou mais algoritmos
anteriormente aprendidos e não exige qualquer estratégia. A solução do problema já está
contida no próprio enunciado, e a tarefa básica é transformar a linguagem usual em linguagem
matemática, identificando as operações ou algoritmos necessários para resolvê-lo.
O objetivo desses problemas é recordar e fixar os fatos básicos através dos algoritmos
das quatro operações fundamentais, além de reforçar o vínculo existente entre essas operações
e seu emprego nas situações do dia-a-dia.
São problemas-padrão simples: Numa classe há 17 meninos e 22 meninas. Quantos
alunos há na classe? E problemas-padrão compostos: Para confeccionar a cortina dispomos de
37 retalhos na cor amarela, 65 na cor cinza, 104 na cor branca, 12 na cor verde. Sabendo que
esses retalhos serão utilizados para confeccionar duas cortinas do mesmo tamanho, quantos
retalhos serão utilizados em cada cortina?
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Já os problemas-processo ou heurísticos são problemas cuja solução envolve
operações que não estão contidas no enunciado. Em geral, não podem ser traduzidos
diretamente para a linguagem matemática, nem resolvidos pela aplicação automática de
algoritmos, pois exigem do aluno um tempo para pensar e arquitetar um plano de ação, uma
estratégia que poderá levá-lo à solução.
Os problemas-processo permitem o despertar da curiosidade do aluno, possibilitando o
desenvolvimento da criatividade, iniciativa e espírito explorador. E, principalmente,
favorecem o desenvolvimento de estratégias e procedimentos para resolver situações-
problema, o que, em muitos casos, é mais importante que encontrar a resposta correta. Por
exemplo: Numa escola têm 6 professores. Se cada um trocar um aperto de mão com todos os
outros, quantos apertos de mão teremos ao todo?
Problemas de aplicação são aqueles que retratam situações reais do dia-a-dia e que
exigem o uso da Matemática para serem resolvidos. São também chamados de situações-
problema.
Através de conceitos, técnicas e procedimentos matemáticos procura-se problematizar
uma situação real, organizando os dados em tabelas, traçando gráficos, fazendo operações,
etc. Em geral, são problemas que exigem pesquisa e levantamento de dados. Cabe nesta
situação o relatório: Para fazer o mapa de merenda, o diretor da escola precisa fazer o controle
de estoque. Vamos ajudá-lo?
Podemos levantar as seguintes questões:
a) Quantos alunos comem a merenda da escola por dia? E por mês?
b) Quais são os alimentos que a escola recebe?
c) Qual o preço atual, por quilo, de cada um desses alimentos?
d) Qual a opção mais vantajosa adquirir os alimentos com embalagens de 1 kg, ou
embalagens de 5 kg? Existe diferença de preços? Qual?
e) Como é organizado o cardápio da escola? Qual é o “prato preferido” dos alunos?
f) Para fazer a merenda, qual é a quantidade de alimento necessário?
g) Quantos quilos de arroz, macarrão, tomate, cebola, etc a escola recebe por mês?
h) Como é a distribuição da merenda escolar?
i) Quanto se gasta de gás?
j) Como se faz o controle da merenda? É feita uma prestação de contas?
k) Quem atende a validade dos produtos? Quando está vencido, qual é o destino dado
para os produtos?
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Os problemas de quebra-cabeça são problemas que envolvem e desafiam grande parte
dos alunos. Geralmente constituem a chamada Matemática recreativa, e sua solução depende,
quase sempre, de sorte ou da facilidade em perceber algum truque, que é chave da solução.
Qual é a metade de dois mais dois?
Os problemas extravagantes são problemas irreais que despertam o interesse
justamente por não estarem relacionados a situações reais e do dia a dia: “Um casal de polvos
e seus três filhos resolveram colocar pés-de-pato para nadar. Quantos pares de pés-de-pato
precisaram comprar?”
Na obra de Diniz (2001) encontramos outros tipos de problemas: os problemas sem
solução, problemas com mais de uma solução, problemas de lógica e problemas com excesso
de dados.
Os problemas sem solução são aqueles que rompem com a concepção de que os dados
apresentados devem ser usados na sua resolução e de que todo problema tem solução,
ajudando o aluno a desenvolver a habilidade de aprender a duvidar, a qual faz parte do
pensamento crítico. “Um menino possui 3 carrinhos com 4 rodas em cada um. Qual a idade
do menino?”
Os problemas com mais de uma solução tendem romper a crença de que todo
problema tem uma única resposta, bem como a crença de que há sempre uma maneira certa de
resolvê-lo e que, mesmo quando há várias soluções, uma delas é correta. Nem todos os
problemas têm solução e, quanto têm, ela pode não ser única.
O trabalho com problemas com duas ou mais soluções faz com que o aluno perceba
que resolvê-los é um processo de investigação do qual ele participa como ser pensante e
produtor de seu próprio conhecimento. Observemos este exemplo: “Eu e você temos juntos 6
reais. Quanto dinheiro eu tenho?
Os problemas de lógica são problemas que fornecem uma proposta de resolução, cuja
base não é numérica, exigindo raciocínio dedutivo e que propiciando uma experiência rica
para o desenvolvimento de operações de pensamento como previsão e checagem,
levantamento de hipóteses, busca de suposições, análise e classificação.
O método de tentativa e erro, o uso de tabelas, diagramas e listas são estratégias
importantes para a resolução de problemas de lógica. Além da exigência de usar uma dessas
estratégias não-convencionais para sua resolução, os problemas de lógica estimulam mais a
análise dos dados e favorecem a leitura e interpretação do texto e, por serem motivadores,
atenuam a pressão para obter-se a resposta correta imediatamente.
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Problemas com excesso de dados são problemas em que nem todas as informações
disponíveis no texto são usadas em sua resolução.
Trabalhar com eles rompe com a crença de que um problema não pode permitir
dúvidas e de que todos os dados do texto são necessários para sua resolução. Além disso,
evidencia ao aluno a importância de ler, fazendo com que aprenda a selecionar dados
relevantes para a resolução de um problema.
Esse tipo de problema aproxima-se de situações mais realistas que o aluno deverá
enfrentar em sua vida, pois, na maioria das vezes, os problemas que se apresentam no
cotidiano não são propostos de forma objetiva e concisa. Nesses casos, o aluno terá pela
frente, em geral, uma situação confusa, cheia de informações que devem ser identificadas e
algumas descartadas. “Caio tinha 2 dúzias de bolinas de gude. No final do jogo com Júnior,
Caio perdeu um quarto de suas bolinhas e Júnior ficou com o triplo de bolinhas de Caio.
Quantas bolinhas Júnior tinha no início do jogo?”
Percebemos que existem vários tipos de problemas, uns são mais favoráveis à
problematização que outros; no entanto, conhecendo-se o potencial de cada atividade ou de
cada problema proposto é possível encaminhar questionamentos de acordo com os objetivos
da aula e o envolvimento do aluno, transformando-os em situações problematizadoras, mesmo
os problemas convencionais.
Diniz (2001, p.100) exemplifica como é possível trabalhar numa perspectiva
metodológica partindo de um problema retirado de um livro tradicional:
Lafaiete comprou duas coleções de livros. Cada coleção contém 36 livros, e Lafaiete quer
distribuir esses livros nas quatro prateleiras de sua estante. Quantos livros ele deve colocar em
cada estante?
O processo de investigação pode iniciar após os alunos terem resolvido o problema de uma ou
mais das seguintes formas:
a) Podemos propor a alteração dos dados do problema, questionando:
- Como ficaria o problema se fossem 25 livros em cada coleção comprada?
- E se a estante tivesse cinco prateleiras em vez de quatro?
b) Esse problema contém informações suficientes para que sejam propostas novas perguntas:
- Quantos livros Lafaiete comprou?
- Quantos livros ficaram nas duas primeiras prateleiras?
Cada alteração dos dados ou da pergunta exige que o aluno reflita sobre as mudanças
necessárias para a resolução, compreendendo a relação existente entre a utilização desta ou
daquela operação e o texto do problema
c) Outro desafio está em propor que os alunos descubram outras maneiras de resolver o
problema, perguntando:
- Como resolver o problema ser fazer contas? É possível fazer um desenho?
- Como resolver o problema usando apenas adição e subtração?
Buscar outras maneiras de resolver um problema permite que o aluno possa investigar outras
relações aritméticas e formas de registro.
d) É interessante que os alunos possam formular e resolver suas próprias questões. Por isso,
podemos propor que inventem um problema a partir deste, solicitando:
- Invente um problema com os mesmos dados (mesmos números, Lafaiete, prateleiras).
- Invente um problema com a mesma pergunta.
- Invente um problema com as mesmas contas (adição e divisão)
- Invente um problema com a mesma história, mas que seja resolvido através de uma adição e
de uma subtração.
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Formular problemas exige do aluno uma volta ao problema resolvido o que faz
observar novamente os dados, a história e as relações envolvidas, a pergunta e sua relação
com a resposta e as operações feitas. No processo de formular problemas, o aluno participa
ativamente de um fazer em matemática que desenvolve sua linguagem, garante interesse e
confiança em seu próprio modo de pensar, assim aproximando-se a língua materna e a
matemática, permitem o desenvolvimento da linguagem específica (CHICA apud DINIZ,
2001, p.151).
As primeiras propostas de formulação de problemas devem ser planejadas com muito
cuidado, uma vez que os alunos demonstram dificuldade em realizar tal tarefa por estarem
acostumados somente resolver problemas. Os alunos devem ter contato com diferentes tipos
de problemas para resolver antes de propor que criem seus próprios problemas. Podemos
propor aos alunos que a partir de um início de problema dado, de uma tabela ou de uma
figura, possam criar uma pergunta para ser respondida através da situação inicial.
É a pergunta que evidencia a existência de um problema. Ela direciona o raciocínio a
ser realizado e a operação necessária, buscando uma estratégia a ser elaborada e a tomada de
decisão.
Ao propor uma pergunta a partir de uma situação inicial que pode ser um enunciado,
uma tabela ou uma figura, evidenciamos para a criança o quanto esta é importante para um
problema matemático e as pistas para que ela pode fornecer para a resolução. Exemplificando
temos:
a) André tem 12 figurinhas e eu tenho o triplo de figurinhas que ele tem...
Agora, elabore uma pergunta.
b) Observe a tabela:
Lanches
Cahcorro-quente.........................R$ 1,00
Bauru..........................................R$ 1,50
Hambúrguer................................R$ 2,50
Suco de laranja...........................R$ 1,50
Refrigerantes.............................. R$ 1,50
Sorvete (2 bolas)........................ R$ 1,00
A pergunta é com você, vamos lá ....
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c) Analise a figura abaixo e elabore uma pergunta que pode ser respondida através da
observação.
Pode-se também propor que a partir de uma pergunta o aluno formule um problema:
Quantos dias o mês de março tem a mais que o mês de fevereiro?
O mesmo pode ocorrer a partir de uma palavra. A palavra pode estimular no aluno um
processo imaginativo, uma situação de sua vida cotidiana que ele interpretará e transformará
em um enunciado de problema. É preciso propor diferentes tipos de palavras, aquelas que
tenham maior relação com assuntos matemáticos até outras de apelo à fantasia e à
imaginação.
Quando utilizamos palavras específicas da linguagem matemática, como adição,
produto, dobro, etc, o objetivo é ajudar o aluno a familiarizar-se com termos ou palavras que
aparecem em problemas e que, muitas vezes, possuem significados diferentes dos usados na
matemática, e quando utilizamos palavras de caráter geral, com apelo a fantasia, à
imaginação, ao absurdo, como Cinderela e bruxa despertamos nos alunos o desejo de criar,
favorecendo a autonomia e desenvolvendo a criatividade.
Formular problemas a partir de uma operação é uma atividade significativa. Podemos
realizar essa proposta de duas maneiras diferentes: dando apenas o nome da operação ou a
própria operação, que não precisa ser apenas uma, podem ser várias ou até mesmo expressões
numéricas.
Quando se propõe esse tipo de atividade, a ênfase está em verificar se os alunos
compreendem as idéias matemáticas relacionadas às operações, por exemplo, se a operação
dada é uma adição, o texto do problema deve contemplar idéias de juntar ou de acrescentar
quantidades.
Outra estratégia é formular problemas a partir de um tema. Considera-se por tema o
assunto em que os alunos estejam envolvidos, e que possam utilizar seus conhecimentos na
produção do enunciado do problema. Dessa forma, temos a possibilidade de trabalhar com a
interdisciplinaridade, sendo o tema abordado pelos alunos de vários aspectos e pontos de
vista, como o jogo de futebol.
Formular problemas com determinado tipo de texto é uma forma interessante de
aproximar a produção de problemas da língua materna é propor a criação de problemas que
tenham uma estrutura textual, como poema, charada, conto ou rima. “O que é? O que é?
Tem 4 triângulos e 5 faces. É um sólido geométrico e se parece com uma construção egípcia.
Tem 5 vértices, 8 arestas e um quadrado como base?”
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Em qualquer uma das propostas, os alunos juntamente com o professor deverão
verificar se os problemas estão adequados e de boa qualidade, fazendo-se a reestruturação
quando necessário nos dados e na escrita e tomando cuidado para que o “erro” na sala de aula
seja considerado como uma etapa no processo de aprendizagem.
Para valorizar os problemas elaborados pelos alunos podemos propor o sorteio de
alguns problemas para serem resolvidos por todos na classe, trocar problemas entre os alunos
para que um resolva o do outro; montar uma folha com problemas formulados para resolver
durante a semana ou mês; selecionar alguns problemas formulados e fazer correio entre
classes da mesma série, fazer um livro de problemas da classe para ser impresso para todos;
fazer um mural com os problemas mais interessantes escolhidos pela classe.
Stancanelli (apud Smolle, p.119), sugere que é importante a organização de uma
problemoteca, onde será colocada uma coleção de problemas em uma caixa ou fichário, com
fichas numeradas que contêm um problema e que podem trazer a resposta no seu verso,
possibilitando autocorreção e favorecendo o trabalho independente.
Para que os alunos sintam-se desafiados a resolvê-los os problemas devem ser
variados e não-convencionais. A coleção deve ser avaliada mensalmente, excluindo-se
problemas muito difíceis ou fáceis demais que não motivam os alunos. Devemos incluir
alguns problemas novos, inclusive os elaborados pelos alunos.
Um ótimo recurso para ser usado na sala de aula é a problemoteca. Esta deve ficar à
disposição dos alunos que poderão procurar problemas e resolver, ou utilizar os que o
professor indicar, anotando no caderno o número da ficha, os dados do enunciado e a
resolução.
Outra intervenção importante para que os alunos avancem na produção de problemas é
criar uma intenção real e um destinatário para as produções. A qualidade de produção está
relacionada com a sua finalidade, portanto, o contexto de produção e o destino das mesmas
são fatores determinantes para elaboração de um bom texto, fazendo com que o aluno se
preocupe com responsabilidade de se fazer entendido.
Entretanto, não devemos trabalhar os diversos tipos de problemas de uma só vez. A
resolução de problemas e a proposta de formular problemas devem estar presentes ao longo
do ano letivo de maneira diversificada e pertinente. Cada momento deve ser de investigação,
descoberta, prazer e aprendizagem.
Para concretizar esta proposta colocamos a seguir o caminho metodológico adotado
para o desenvolvimento da proposta.
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3. ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO
3.1. Cortina de retalhos
O início do trabalho com a Resolução de Problemas numa Perspectiva Metodológica,
deu-se com a apresentação do Projeto confecção da Cortina de Retalhos para a equipe gestora,
professores, funcionários, pais e alunos, sendo disponibilizado o Caderno Pedagógico
“Cortina de Retalhos” para todos os alunos da 5ª série do período noturno.
O primeiro desafio proposto para os alunos foi o de encontrar as dimensões da janela,
ou seja, o comprimento e altura da janela, utilizando apenas as unidades arbitrárias de
medidas de comprimento como passo, palmo, pé e polegada. As primeiras questões
levantadas pelos alunos foram: Quem vai fazer as medições? Como medir a altura da janela
utilizando o passo ou pé? Podemos medir com um barbante e depois medir o barbante com o
passo e com o pé? Medir o comprimento da janela utilizando a polegada não dá porque dói o
dedo, como se faz essa medição? É melhor utilizar palmo para o comprimento e altura da
janela? Cada um tem um tamanho diferente, medir assim não dá certo temos que usar o metro
“né”? Como vamos fazer a cortina? E o tecido? Quando vamos iniciar a costura? Temos que
utilizar todos os retalhos?
O problema surgiu de uma situação real, não com uma única pergunta e um
enunciado bem elaborado onde não se faz necessário pensar sobre o que está sendo
solicitado, apenas efetuando uma operação. Portanto, percebeu-se que problematizar não é
apenas inserir palavras que se referem ao contexto.
Diante da situação proposta, os alunos estavam inquietos e preocupados de como seria
o processo para a confecção da cortina e como não a intenção não era apenas dar a respostas
aos questionamentos, iniciou-se o trabalho fazendo a leitura no Caderno Cortina de Retalhos
que se refere ao histórico, realizando as atividades propostas, reconstruindo o processo
histórico das medidas para posteriormente chegarem as conclusões quanto a definição de
medir, as medidas arbitrárias, unidades fundamentais de medida, sistema métrico decimal,
múltiplos e submúltiplos.
Para resolver o desafio inicial foi necessária uma série de investigações, possibilitando
o planejamento, organização de dados, elaboração de estratégias, realização de conjecturas
com conhecimentos anteriormente adquiridos.
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Posteriormente os alunos utilizaram a trena e o metro de costureira para obter as
dimensões da janela e os respectivos registros, realizando também uma pesquisa junto aos
familiares mães, tias, avós com experiência em costura para saber “quanto a mais” do
tamanho da janela deveria ser a cortina.
Após discussões, foi tomada a decisão quanto ao tamanho da cortina ideal para a
janela estabelecendo-se 1,5 metros de comprimento e 2,5 m de altura.
O segundo desafio: Quantos retalhos quadrados com 20 cm de lado são necessários
para a confecção da cortina? Desse questionamento surgiram várias estratégias: representar as
medidas no chão e recobrir com os retalhos; sobrepor sobre a janela os retalhos em linha
contando o número total de linhas necessárias para recobrir a superfície; usando a régua e
medindo de 20 em 20 cm representando os quadrados na malha quadriculada e finalmente
com auxílio da calculadora pegando as medidas ideais para o tamanho da cortina em cm e
dividindo pela medida do lado do quadrado (20 cm), obtendo-se quantidades de retalhos não
inteiras. Nesse momento, realizou-se a análise dos processos de resolução do problema
estabelecido, a possibilidade do arredondamento dos números decimais obtidos e a quantidade
de retalhos que seriam necessários no comprimento e altura da cortina, ficando assim definido
8 retalhos no comprimento e 13 retalhos na altura.
O terceiro desafio: Como distribuir os retalhos quadrados de forma a obter uma
estampa bonita?
As quantidades de retalhos disponíveis foram: 19 retalhos na cor amarela, 05 retalhos
na cor roxa, 14 retalhos na cor laranja, 23 retalhos na cor vermelha, 12 retalhos na cor azul, 14
retalhos na cor cinza, 16 retalhos na cor verde escuro, 40 retalhos na cor branca e 28 retalhos
na cor verde claro.
Para a elaboração das estampas os alunos utilizaram lápis de cor e malha quadriculada
(8 quadradinhos de comprimento x 13 quadradinhos na altura) respeitando a quantidade de
retalhos de acordo com as cores disponíveis.
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Figura 1. Estampas projetadas para a cortina de acordo com o número de retalhos e cores disponíveis.
Nesta etapa, percebe-se que alguns alunos não conseguem associar duas ordens:
utilizar os retalhos disponíveis em cada cor e a forma como os retalhos deveriam ser
distribuídos de modo a obter uma estampa bonita, formando figuras simétricas, quadrados,
retângulos, objetos da natureza entre outros, sendo uma situação bastante desafiadora, com a
efetiva participação de todos e com o cuidado para satisfazer os dois critérios estabelecidos.
Nota-se que o erro não é considerado como uma punição, os alunos se ajudam entre si
num clima de cooperação e análise do trabalho do outro, sugerindo e propondo alterações.
Atitudes essas, que em situações de aulas expositivas não acontecem. Para a seleção da
estampa a ser confeccionada percebe-se o respeito em relação aos trabalhos dos colegas e a
maturidade em aceitar o trabalho do outro.
O quarto desafio: Como realizar a costura da Cortina de Retalhos?
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Os encontros para a execução da Costura foram planejados junto com a equipe
gestora, contando também com a participação de professores da turma. Organizando-se o
material necessário: agulhas, fio, tesouras, espaço físico e um ambiente acolhedor. No
primeiro encontro, definiram-se as duplas de trabalho distribuindo a tarefa, cada dupla ficaria
com uma para ser alinhavadas.
Registrou-se no quadro o nome da dupla, qual a tira de responsabilidade de cada dupla
e a sequência de cores de cada tira. Em seguida orientou-se quanto aos procedimentos:
colocar o fio na agulha, dar o nó na ponta do fio, como costurar, cuidado com o lado direito e
lado avesso e como se faz para arrematar a costura.
Percebeu-se que vários alunos já tinham contato com a costura anteriormente, o que
chamou a atenção é que eram os meninos que haviam participado de programas em
Instituições não governamentais de ação social. Todos alinhavaram com muita dedicação e
empenho, refazendo algumas vezes, quando por distração emendavam quadrados de tecidos
sem obedecer a ordem das cores, riam e recomeçavam..
Na medida em que os problemas iam aparecendo, discutiram-se as possibilidades de
resolução, e optava-se pela proposta que melhor solucionasse cada situação problema. Uma
dessas situações foi quando o retalho era um pouco maior ou menor que os demais, como
iniciar a costura? Alinhar em uma ponta ou costurar no meio deixando um intervalo igual nas
duas extremidades? O que isso implicaria depois? Como fazer para costurar as tiras com essas
diferenças?
Após a montagem (alinhavo) da cortina de retalhos foi passada uma costura a
máquina, pois acreditamos que ela deve ser utilizada por muito tempo, portanto, será lavada
muitas vezes, descosturar não seria uma boa opção. E o arremate, como ficou? Para o
arremate optou-se por costurar uma tira de tecido em torno da cortina, no entanto foram
levantadas questões como: Se fossemos para comprar um acabamento quantos metros
precisaríamos? Qual é o valor do metro? Todos os arremates são do mesmo preço? Qual o
critério que utilizaríamos para escolher? Qual seria o custo total? Agora a Cortina já está
pronta? O que falta? Temos trilhos ou varões para colocá-la? Quantos ganchinhos são
necessários? E os terminais para que servem? Questões como essas, indicam a viabilização
da Resolução de Problemas numa Perspectiva Metodológica através do Projeto Números,
Operações e Conhecimentos em Ação.
Ressalta-se a importância de momentos diferenciados, fora do contexto de sala de
aula, com um período de tempo bem maior que o tempo de uma ou duas aulas geminadas,
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para uma melhor interação professor-aluno, aluno-aluno, professor-professor, professor-
equipe gestora, aluno-equipe gestora, aluno-professor-equipe gestora, estabelecendo um
clima educacional de respeito mútuo e de interações de ultrapassam os conhecimentos
matemáticos,
Após a confecção da cortina, o trabalho com os conteúdos em sala de aula continua
sendo problematizado valorizando-se as atividades na malha quadriculada e a conceituação.
Os conteúdos trabalhados a partir da construção da cortina de Retalhos foram: medidas
de comprimento, superfície e volume, figuras geométricas planas e espaciais, polígonos,
simetria, frações, potenciação e as 4 operações fundamentais e suas respectivas idéias. Outro
recurso utilizado foi a problemoteca.
3.2 Problemoteca
Organizou-se a problemoteca em um fichário de acrílico, contendo problemas
convencionais e não convencionais em fichas, ordenados de 1 a 30, e suas respectivas
respostas organizadas em outras fichas também ordenadas. Inicialmente cada aluno escolhia
um problema semanalmente para ser, e depois realizava a conferência com a resolução que
estava contida em outra ficha. Na terceira semana, percebemos que o resultado não estava
sendo satisfatório, pois na ficha resposta continha uma única resposta, um único jeito de
resolver, sem questionamentos, então optou-se em utilizar a problemoteca fazendo o sorteio
de um único problema para ser resolvido por todos, ora em grupos, duplas, ora
individualmente e depois a socialização das respostas no coletivo.
No decorrer do semestre percebemos que, os alunos, estão desenvolvendo o hábito da
leitura dos enunciados, buscando a compreensão do que está sendo solicitado. Inicialmente
era comum ouvir a expressão “não entendi nada, o que devo fazer”, agora, a expressão foi
substituída por “dá para resolver desse jeito, porque .....” o que significa um grande avanço,
pois os alunos tem demonstrado iniciativa, argumentação e estratégias de resolução de
problemas.
4. AVALIAÇÃO
Na avaliação do processo de efetivação da resolução de problemas numa perspectiva
metodológica com o Projeto Números, Operações e Conhecimentos em Ação levou-se em
consideração o processo de ensino e aprendizagem. Em relação ao processo de ensino alguns
questionamentos foram levantados: O problema proposto estava adequado as possibilidades
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dos alunos? Foi significativo para os alunos? Eles se mostram motivados? Foi possível
acompanhar o momento da resolução? As intervenções foram adequadas, possibilitando que o
aluno desenvolvesse a criativa e autonomia? O objetivo proposto foi alcançado? Surgiram
questionamentos a respeito dos conteúdos matemáticos trabalhados?
A partir da análise dessas respostas foi possível detectar as falhas e redirecionar o
trabalho, fato este que aconteceu várias vezes durante o desenvolvimento do Projeto
Números, Operações em conhecimentos em ação, tanto no Caderno Cortina de Retalhos
quanto com os problemas propostos inicialmente com a Problemoteca.
A avaliação em relação à aprendizagem deu-se em relação as reações dos alunos
quanto ao problema proposto, as situações pelos alunos abordadas, as dificuldades
apresentadas, as estratégias utilizadas para resolver os problemas, aos registros realizados
pelos alunos, a explicação quantos aos procedimentos realizados para a resolução dos
problemas, a exposição oral de dúvidas e a argumentação quanto aos encaminhamentos
realizados, o respeito em relação as idéias e argumentos dos colegas, o trabalho coletivo de
forma cooperativa, a iniciativa para análise dos resultados obtidos, entre outros. As
observações foram anotadas em um diário de bordo, analisadas e o trabalho com os alunos foi
redimensionado e / ou confirmado.
Portanto, a partir da análise dos resultados da avaliação houve a decisão sobre os tipos
de encaminhamentos e intervenções pedagógicas a serem efetivadas para que os alunos
superassem suas dificuldades, ou seja, realizou-se uma análise sobre o que o aluno não
conseguia fazer e sobre aquilo que já sabia fazer sozinho, e a partir disso, houve um
planejamento para as atividades seguintes.
Uma situação que exigiu muito cuidado e atenção foi o algoritmo da subtração e da
divisão, que em determinado momento teve que ser trabalhado, pois os alunos ainda não
dominavam essas operações com segurança. Para tanto, foi retomando o sistema de
numeração decimal reforçando o significado da representação posicional decimal.
O Quadro Valor Lugar (QVL) também foi utilizado. Trabalhando com o exercício do
algoritmo da divisão foi possível problematizar com questões do tipo: É possível dividir 1
centena por 2? O resultado dá centenas? Em uma centena temos quantas dezenas? Somando-
se as 3 dezenas do dividendo obtemos quantas dezenas? Agora 13 dezenas podem ser
divididas por 2? Quantas dezenas podem ser igualmente distribuídas para cada um? Quantas
dezenas sobram? Podemos transformar dezenas em unidades? Quantas? Somando as 10
unidades com 4 unidades do dividendo quantas unidades temos? Agora temos 14 unidades, é
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possível dividir por 2? Quantas unidades podem ser igualmente distribuídas? Sobraram
unidades? É possível sobrar duas ou mais unidades? Por que? A partir das respostas os alunos
em relação aos questionamentos acima foi possível fazer numa avaliação do que os alunos
não compreendiam, fazer as intervenções necessárias e dar sentido ao algoritmo da divisão, o
mesmo ocorreu com o algoritmo da subtração.
Assim a avaliação do processo de ensino e aprendizagem não termina com o
diagnóstico, e sim com a aprendizagem, sendo mediada pelas intervenções acertadas, para
que se chegue ao objetivo proposto, ou seja, um conteúdo a ser aprendido.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O Projeto Números, Operações e Conhecimentos em Ação teve como objetivo
principal superar o pensamento rígido que só consegue solucionar um problema dentro de um
esquema aprendido, ação essa, que acontece normalmente nas aulas tradicionais, quando se
trabalha primeiramente com as operações e depois com problemas, como exercícios para
aplicar o conteúdo aprendido.
No decorrer dos estudos percebe-se que é possível efetivar um trabalho em sala de
aula com uma matemática viva, capaz de superar esse pensamento inicial e desenvolver
habilidades de resolução de problemas incentivando o pensamento criativo e flexível,
despertando no aluno uma atitude de resolvedor de problemas buscando instrumentos novos
de pensamento para solucionar os problemas que lhe são postos e interagindo com os colegas
na busca da melhor solução.
Pode-se afirmar que é possível efetivar a Resolução de Problemas numa Perspectiva
Metodológica que considera como problema toda situação que possa ser problematizada. A
situação pode emergir de diversas fontes: interesse de um ou mais alunos, a partir de um
acontecimento, com situações presentes no cotidiano da escola associados a jogos e
brincadeiras, a partir de um projeto, por uma necessidade dos alunos ou da escola. O
importante é que os alunos tenham interesse e estejam envolvidos com a situação em busca de
uma solução.
Ressalta-se a necessidade do aluno vivenciar problemas que realmente o coloquem no
movimento da aprendizagem, como foi possível verificar com os problemas desencadeados a
partir de uma atividade prática, ou seja, da Confecção da Cortina de Retalhos.
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Ao propor problemas precisa o professor atentar para alguns pontos, como: deixar que
os alunos pensem por si mesmos, evitando dar pistas; valorizar o processo de resolução de
problemas como um todo, não apenas a resposta correta; incentivar os alunos a descreverem
os processos que utilizaram para resolverem o problema; evitar problemas muito “fáceis” ou
muito “difíceis” para os alunos, pois esses problemas podem gerar desinteresse; oportunizar
momentos de resolução de problemas individualmente e em pequenos grupos, enfim, em todo
o processo priorizar a qualidade, ao invés da quantidade;
É fundamental que o professor seja sensível aos questionamentos e interesses dos
alunos, a notícias, jogos e brincadeiras do momento, e possa criar um ambiente agradável em
sala para que os interesses possam ser explicitados e explorados, e também, problematize
exercícios a fim de promover a compreensão dos alunos em relação aos algoritmos adotados.
Não se discute a pertinência das colocações anteriores, mas merece destaque neste
contexto a avaliação. Esta realmente foi ponto de referência para o re-planejamento das ações
com o objetivo de melhorar o processo ensino/aprendizagem, revelando suas funções reais
funções: contribuir para melhorar a processo de aprendizagem e informar ao professor sobre
as condições que se dá essa aprendizagem, estando incorporada no próprio ato de ensino.
REFERÊNCIAS
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Resolução de problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997.
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência da Educação. Diretrizes
Curriculares de Matemática para Educação Básica. Curitiba, 2006.
BUTTS, T. Formulando problemas adequadamente. In: A Resolução de problemas na
matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997.
DANTE, Luiz Roberto. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. São Paulo:
Àtica, 2005
FREIRE, P. Pedagogia da autonomia. São Paulo: Terra e Paz, 1996.
__________ Educação e Mudança. Rio de Janeiro: Terra e Paz, 1983.
KRULIK, S. e REYS, R. E. Resolução de Problemas na Matemática Escolar. Trad. Higino
H. Domingues. Atual: São Paulo, 1997.
MARINCEK, Vânia. Aprender matemática resolvendo problemas. Porto Alegre: Artmed,
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POLYA, J. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.
________ Sobre a resolução de problemas de matemática na high school. In: A Resolução de
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SMOLE K. S. e DINIZ. M. I. Ler, escrever e resolver problemas. Porto Alegre. Artmed,
2001.