Modele de retele

• Reteaua cu comutarea de circuit modelata ca o retea cu pierderi

• Reteaua cu comutarea pachetelor modelata ca o retea cu asteptare

Modelul traficului in cadrul unei retele bazata pe comutarea de circuit

• Fie o retea cu comutare de circuit– de exemplu: reteaua telefonica

• Traficul:– apelurile telefonice– fiecare apel prelucrat ocupa un canal al liniei de-a lungul careia se

propaga• Sistemul:

– terminalul (aparatul) telefonic– nodurile retelei– liniile de acces– trunchiul de retea

A

B

Reteaua cu comutare de circuit

• QoS:– Data de probabilitatea de blocare a apelului de la terminal la terminal-

end-to-end ( probabilitatea ca, conexiunea dorita sa nu poata fi stabilitadatorita congestiei de-a lungul caii acesteia)

• In cadrul modelului facem presupunerea ca:– Nodurile de acces si reteaua de acces nu pot produce blocarea

• Un apel este blocat daca si numai daca toatecanalele sunt ocupate in orice trunchi de reteade-a lungul traseului apelului prelucrat

A

B

Liniile (legaturile)

• În cadul modelului toate liniile sunt dublu sens• Liniile in trunchiul de retea se indexeaza dupa j ,

- de expl. • Fie numarul de canale aferente linie j = capacitatea liniei

–

• Fiecare linie e modelata ca– un sistem pur cu pierderi

6J =

A

B

1

2

3

45

6

1,j J= …

1,j J= …

jn1( , )Jn n n= …

Cai

• Se defineste o cale ca fiind:– Un set de legaturi (dublu sens) consecutive ce leaga 2 noduri de retea

• Caile se indexeaza prin r,

• In exemplu:– exista 3 cai intre nodurile a si b:

• Sa notam:daca legatura j apartine caii r

in caz contrar

{1,2},{6,3},{5,4,3}

A

B

1

2

3

45

6a

b

12 10 7 3 32R = + + + =

1, ,r R= …

1, ,r R= …

1jrd =

0jrd =

( 1, ; 1, , )jrD d j J r R= = =… …

Clase de trafic

• Se presupune ca:– Probabilitatea de blocare, end – to – end este aceeasi pentru toate conexiunile

apartinand unei anumite cai

• Clasa de trafic a anei conexiuni este determinata de calea r pe care aceasta o urmeaza

– Exemplu: conexiunea intre A si B apartineclasei ce utilizeaza calea {6,3}

• Sa notam prin numarul de conexiuniactive ce urmeaza calea r

–

– Vectorul x reprezinta starea sistemului

A

B

1

2

3

45

6a

b

rx

1( , )Rx x x= …

Spatiul starilor

• Numarul de conexiuni active ale unei clase de traficr este limitat de capacitatile de-a lungul caiicorespunzatoare r

• Acelasi lucru se poate scrie sub forma vectoriala:

• Spatiul starilor S reprezentand spatiul starilor permiseeste:

• Nota: Datorita capacitatii finite a liniei setul S este finit

D x n⋅ =

{ 0 }S x D x n= ≥ ⋅ ≤

rx

,1

R

jr r jr

d x n pentru toti j=

≤∑

jn

Exemplu

3 linii cu capacitatile:Linia a-c: 3 canaleLinia b-c: 3 canaleLinia c-d: 4 canale

2 cai:calea a-c-dcalea b-c-dcelelalte 4 cai (a-c-b, a-c, c-d, b-c) sunt ignorate in cadrul modelului

Spatiul starilor:

S= {(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0)(1,1),(1,2),(1,3), (2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1)}

Setul de stari Sr care nu produc blocarea in cadrul clasei r• Sa consideram un apel care soseste, apartinand clasei r (adica urmeaza

calea r)– Acesta nu va fi blocat de linia j apartinand caii r daca:

• Acelasi lucru exprimat sub forma vectoriala este ( reprezinta vectorulunitate in directia r)

• Setul de stari Sr care nu produc blocarea in cadrul clasei r este:

' '' 1

1R

jr r jr

d x n pentru toti j r=

≤ − ∈∑

re

( )rD x e n⋅ + ≤

{ 0 ( ) }r rS x D x e n= ≥ ⋅ + ≤

Setul de stari SrB care produc blocarea pentru clasa r

• Setul starilor care produc blocarea in cazul claseir este:

• Un apel apartinand clasei r este blocat si pierdutdaca si numai daca starea x a sistemului apartinesetului

• Exemplu:Starile de blocare corespunzatoareconexiunilor din clasa 1 ( ce utilizeazacalea a-c-d) sunt marcate pe figura

BrS

1BS

1 {(1,3),(2,2),(3,0),(3,1)}BS =

Br

r

SSS

=

BrS

Retele cu pierderi

• Presupunem ca:– Cererile de noi conexiuni apartinand clasei de trafic r sosesc

independent potrivit unui proces Poisson de intensitate ( parametru) λ

– Timpii de mentinere a apelurilor sunt sunt variabile iid de medieh

• Notam– intensitatea traficului pentru clasa rr ra h= λ ⋅

Distributiile in conditiile de echilibru (Probabilitatile de stare)

• Se poate demonstra- probabilitatea de stare pentru orice stare este

Unde G este constanta de normalizare:

Si functiile sunt definite astfel:

xπ

1

1( )

R

x r rr

G f x−

=π = ⋅∏

1( )

R

r rx S r

G f x∈ =

= ∑∏

x S∈

( )r rf x

( )!

rxr

r rr

af xx

=

Distributiile in conditiile de echilibru (Probabilitatile de stare)(2)

• Probabilitatea de stare este sub forma de produs

- totusi numarul de conexiuni active al diferitelor clase nu este independent ( intrucat constanta de normare depinde de fiecare )

- numai daca toate liniile ar avea capacitati infinite toateclasele de trafic ar fi independente intre ele

- rezulata ca dependenta intre diferitele clase de trafic estedata de numarul limitat al resursele

rx

xπ

PASTA

• Sa consideram– orice model simplu de trafic cu sosiri de tip Poisson

• Potrivit proprietatii numite PASTA (Poisson Arrivals See Time Averages)– apelurile care sosesc (potrivit unui proces Poisson)

gasesc sistemul in stare de echilibru• Aceasta este o importanta observatie

– aplicabila in numeroase probleme• De exemplu

– ne permite sa calculam probabilitatile de blocare end-to-end in cadrul modelului de retea cu comutare de circuit ( intrucat am presupus ca sosirea apelurilor se face potrivit unui proces de tip Poisson)

Blocarea end-to end: formula

• Probabilitatea ca sistemul sa se afle intre-o stare in care sa nu mai poata accepta apeluri din clasa r este data de relatia:

– In continuare vom numi aceasta probabilitate: probabilitatea de blocare de timp pentru clasa r

• Datorita proprietatii PASTA probabilitatea de blocare end-to-end de apel egaleaza aceasta probabilitate:

• Intrucat nu exista diferente intre probabilitatea de blocare de timpsi cea de apel vom numi in continuare aceasta probabilitatesimplu probabilitatea de blocare

Br

r xx S

B∈

= π∑

Br

xx S∈

π∑

rB

Exemplu

• Fie sistemul prezentat anterior ( slide + slide)• Probabilitatea de blocare end-to-end pentru clasa 1 este:

1

1 3 2 2 3 11 2 1 2 1 2

1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3 12 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2

(1,3) (2,2) (3,0) (3,1)

11!3! 2!3! 3! 1!

1 1 1 11! 2! 3! 1! 1! 2! 3! 2! 1! 2! 3! 1!

B

a a a a a a

a a a a a a a a a a a a

= π + π + π + π =

⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Metode aproximative

In practica este deosebit de greu( chiar imposibil) de aplicat o astfelde formula

- acest lucru se datoreste asa numita explozie a starilor: suntatatea dimensiuni in spatiul starilor cate cai avem in model ceea cedetermina o crestere exponentiala a spatiului starilor

Astfel sunt necesare in metode approximative- una dintre cele mai simple: metoda marginii produsului

Product Bound method- se estimeaza, mai intai probabilitatile de blocare in fiecare linie

separat ( comune pentru toate clasele de trafic)- se calculeaza apoi probabiliattile de blocare end-to-end pentrufiecare clasa pe baza ipotezei conform careia blocarea apare pefiecare linie in mod independent

Product Bound (1)• Sa consideram probabilitatea de blocare intr-o linie arbitrara

j- fie setul de cai care utilizeaza linia j

• Daca capacitatile tuturor celorlalte linii ar fi infinite, – Linia j ar putea fi modelata ca un sistem cu pierderi in care noile

apeluri sosesc potrivit unui proces Poisson de intensitate

- in acest caz probabilitatea de blocare se poate calcula cu formula:

- Aceasta reprezinta in mod clar o aproximare intrucat traficul oferitliniei j datorita blocarilor in alte linii ( si nici macar nu e tip Poisson)

jB

( )R j

( )jλ

( )( ) r

r R jj

∈λ = λ∑

( )( ) ( , )j r

r R jB j Erl n a

∈= ∑

Product Bound (2)• Sa consideram probabilitatea de blocare end-to-end pentru

clasa r- fie setul de linii ce apartin caii r

• Un apel care soseste, apartinand clasei r nu este blocat daca nu e blocat in nici in nici o linie

• Daca blocarea se produce independent in fiecare linie,– un apel care soseste si apartine clasei r va fi blocat cu

probabilitatea

– Pentru valori mici ale lui B(j) se poate aproxima conform:

rB

( )J r

( )j J r∈

( )( ) j

j J rB r B

∈≈ ∑

( )1 (1 )r jj J rB B∈≈ − −∏

Modelul de trafic in cadrul unei retele cu comutarea pachetelor

• Fie o retea cu comutarea pachetelor fara conexiune, la nivelulpachetelor:– Ex. O subretea in cadrul Internetului

• Traficul:– pachete de date– identificate prin sursa A si destinatia B

• Sistemul– Statii de lucru si servere (terminale)– Routere( noduri ale retelei)– Linii de acces (de la terminale la rutere)– Linii de trunchi (intre rutere)

Ω

B

B

B

B

A

Modelul de trafic in cadrul unei retele cu comutarea pachetelor

• Calitatea serviciului– Intarziere medie end-to-end a pachetelor( timpul

mediu necesar unui pachet sa parcurga drumul A-B• Totusi in cadrul modelului

– Ne restrictionam la timpul mediu in cadrul trunchiuluide retea( de la ruterul sursei la ruterul destinatiei)

– Implicit presupunem ca intarzierea datorata reteleide acces este neglijabilasau cel putin, aproapedeterminista)

Ω

Componentele intarzierii end-to-end

• Intarzierea in cadrul trunchiului de retea consta din:– Intarzierile de propagare ( in linii)– Intarzierile de transmisie ( in linii)– Intarzierile de procesare ( in noduri)– Intarzieri datorate cozilor de asteptare inainte de transmisie si inainte

de procesare)• De notat:

– Intarzierile datorate propagarii si cele de transmisie sunt deterministe– Intarzierile cauzate de procesare pot fi aleatoare– Intarzierile cauzate de cozile de asteptare sunt aleatoare

• In cadrul modelului– Luam in considerare intarzierile cauzate de transmisie si de cozile de

asteptare– Nu luam in considerare pe cele cauzate de propagare si de procesare

Liniile

• In acest caz separam diectiile astfel incat– Toate liniile sunt intr-un sens

• Indexam liniile intr-un trunchi dupa j–– In figura

• Fie capacitatea liniei j in bps;

1, ,j J= …

1, ,j J= …

12J =

jC

Cai

• Se defineste o cale– Un set ordonat de linii consecutive( intr-un singur sens) ce conecteaza doua

noduride retea numite sursa si destinatie

• Caile se indexeaza dupa r–– In figura

• In exemplul considerat–– exista 3 cai de la nodul (a) la

nodul (b): (1,3) (11,6) (10,8,6)

– pentru aceste cai nodul a esteoriginea, iar nodul b este destinatia

1, ,r R= …

1, ,r R= …

2 (12 10 7 3)R = ⋅ + + +

Modelul de linie individual

• Fiecare linie e modelata ca – Un sistem pur cu asteptare ( cu un singur server si un buffer

infinit• Fie

– rata de sosire a pachetelor ce urmeaza a fi transmise pelinia j (in pachete pe secunda)

– L lungimea medie a unui pachet (in biti)– = timpul mediu de transmisie a unui pachet pe

linia j in secunde

• Stabilitatea impune conditia:–

jλ

j jλ < μ

1j j

LC=μ

Ratele de sosire ale pachetelor – pe o linie

• Fie – rata de sosire a unui pachet ce urmeaza calea r

– setul de cai ce utilizeaza linia j• Se poate duce pe baza tabelelor de rutare

• Rata de sosire pe linia j se poate deduce conform:

( )R j

( )rλ

( )( )j

r R jr

∈λ = λ∑

Clase de trafic

• Nota– Intarzierea medie end-to-end este egala pentru toate pachetele ce urmeaza

aceeasi cale• Astfel, clasa de trafic a unui pachet ete determinata de calea r pe care

conexiunea o urmeaza

1, ,r R= …

Spatiul starilor

• Fie numarul de pachete in coada j (incluzand pachetul in curs de transmisie)

–

• Vectorul x reprezinta starea sistemului K,• In acest caz poate avea orice valoare nenegativa• Spatiul starilor S este in acest caz:

– Spatiul starilor este in acest caz infinit

jx

1( , , )Jx x x= …

{ 0}S x= ≥

jx

Exemplu

• 2 linii:– linia a-b– linia b-c

• 3cai:– calea a-b– calea b-c– calea a-b-c

• Spatiul starilor: – S = {(0,0),– (1,0),(0,1),– (2,0),(1,1),(0,2),– (3,0),(2,1),(1,2),(0,3),

...}

Retea cu asteptare

• Presupunem ca – Noile pachete care urmeaza calea r sosesc (independent)

potrivit unui proces Poisson de intensitate– Lungimea pachetelor este un proces independent si distribuit

exponential de medie L • Rezulta:

– noile pachete ce urmeaza a fi transmise pe linia j sosescpotrivit unui proces Poisson de intensitate conform:

– Timpii de transmitere ai pachetelor sunt independenti siurmeaza o distributie exponetiala de medie

( )rλ

( )j r

r R j∈λ = λ∑

1j j

LC=μ

jλ

Probabilitatile de stare

• In continuare se presupune ca:

– Sistemul e stabil: pentru toate valorile j

– Lungimea pachetului este in mod independent refacuta (pe baza aceleasi

distributii) in cadrul fiecarei linii pe care pachetul o strabate

• Aceasta reprezinta asa numita ipoteza de independenta a lui Kleinrock

• In aceste conditii se poate demonstra ca :

– Probabilitatea ca sistemul sa se afle intr-o stare de stationaritate

ori care ar fi este:

– Unde prin s-a notat incarcarea cu trafic a liniei j jρ

j jλ < μ

x S∈

1( ) (1 ) j

Jx

j jj

x=

π = −ρ ρ∏

( )xπ

1j jj

j j

LC

λ λ ⋅ρ = = <

μ

Probabilitatile de stare (2)

• Probabilitate de stare este din nou sub forma de

produs:

– acum numarul de pachete in cadrul fiecarei cozi e

independent

• Fiecare coada individuala j reprezinta o coada de tipul M/M/1

– Numarul de pachete intr-o astfel de coada j este dat de o

distributie geometrica de medie:

1j

jj

Xρ

=−ρ

( )xπ

Intarzierea medie end-to-end

• Sa consideram intarziere medie end-to-end pentru clasa r :

– Fie setul de legaturi care apartin caii r

• In cadrul modelului intarzierea medie end-to-end va fi reprezentata de

– suma intarzierilor medii corespunzatoare diferitelor linii de-a lungul

caii respective (care includ intarzieri de transmisie si intarzieri

datorate cozilor de asteptare)

• Potrivit Formulei lui Little intarzierea medie a liniei este:

• Astfel intarzierea medie end-to-end pentru clasa r:

( ) ( ) ( )

1 1 1( )1j

j j j jj J r j J r j J rT r T

∈ ∈ ∈= = =

μ −ρ μ −λ∑ ∑ ∑

( )J r

1 1 1 11 1

j jj

j j j j j j j

XT

ρ= = = =λ λ −ρ μ −ρ μ − λ