11
q 2001 RAS A speedy pixon image reconstruction algorithm Vincent Eke 1,2w 1 Institute of Astronomy, Madingley Road, Cambridge CB3 0HA 2 Steward Observatory, 933 N. Cherry Ave, Tucson, AZ 85721, USA Accepted 2000 December 4. Received 2000 December 4; in original form 1999 December 13 ABSTRACT A speedy pixon algorithm for image reconstruction is described. Two applications of the method to simulated astronomical data sets are also reported. In one case, galaxy clusters are extracted from multiwavelength microwave sky maps using the spectral dependence of the Sunyaev±Zel'dovich effect to distinguish them from the microwave background fluctuations and the instrumental noise. The second example involves the recovery of a sharply peaked emission profile, such as might be produced by a galaxy cluster observed in X-rays. These simulations show the ability of the technique both to detect sources in low signal-to-noise ratio data and to deconvolve a telescope beam in order to recover the internal structure of a source. Key words: methods: data analysis ± techniques: image processing ± galaxies: clusters: general ± cosmic microwave background ± X-rays: general. 1 INTRODUCTION The process of measuring an image can, for many applications in astronomy, be written as DxT *Bx Nx: 1:1 where x represents a pixel position in a two-dimensional array, or image, D is the observed data, T is the true image, B is the point spread function psf) of the measuring instrument, assumed to be invariant across the image, with N being the associated statistical noise and * represents the convolution operator such that f *gx n f ygx 2 y dy; 1:2 where n is defined to be the number of pixels in the data image. The task of an image reconstruction algorithm is to infer the true image given the data, knowledge of the psf and the statistical properties of the noise. For the simple case when there is no noise then, assuming that the inverse of the beam exists, that there is no structure on subpixel scales and ignoring complications intro- duced by edge effects, the inferred truth, T Ã , can be obtained using the convolution theorem and will exactly equal T . Denoting the Fourier transform of fx) by f Ä k), T Ã can be found by inverse transforming ~ ^ T k ~ Dk= ~ Bk: 1:3 The n pieces of information in the data allow a perfect reconstruction of the n pixel values in the truth. With noise switched on, the number of degrees of freedom in the solution increases by n, while the number of constraints remains fixed, yielding an ill-posed problem. Thus, the job of the reconstruction algorithm becomes to decide which of the possible inferred truths is the best, whatever that may mean. An extension of the simple case described above involves filtering the data to remove the noise before inverse transforming equation 1.3) to yield T Ã . One particular, widely used example of this is the Wiener filter Wiener 1949; Rybicki & Press 1992; Bunn et al. 1994; Lahav et al. 1994; Fisher et al. 1995). This procedure is non-iterative it iterates to ^ T 0 and the final inferred truth is completely determined once guesses for the power spectra of the true signal and the noise components have been made. If the assumed power spectra are correct then the resulting filter will minimize over the whole image the variance between the reconstructed and true signals. It can also be shown that the Wiener filter yields the maximally probable inferred truth if the true and noise values are normally distributed Rybicki & Press 1992). For situations where these distributions are not Gaussian, the optimal filter differs from the Wiener filter. While the Wiener filter method involves only a few transforms, and is thus rapid, it would in general be desirable to break the degeneracy in solution space with a technique that both does not require any assumption about the nature of T and produces optimal images for any true signal distribution. Another type of transform is the wavelet transform e.g. Slezak, Bijaoui & Mars 1990) where the inferred truth is described using a set of basis functions designed to extract information on a variety of scales. Once again, this is a linear method that involves applying a transformation to the data in order to extract information about particular scales of interest. Mon. Not. R. Astron. Soc. 324, 108±118 2001) w E-mail: [email protected]

A speedy pixon image reconstruction algorithm

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: A speedy pixon image reconstruction algorithm

� ���� ���

� ������ ��� ��� � ���������� �� �����

���� ���������������� � ������� � �������� ����� ��������� ��� ���������� ���������� � ��� ! �"��� ��� #�$���� % &'()*� +�

������ ���� ������� �� ������� ���� ������� �� � ������� ���� ���� ������� �

�� � �����

� !����" ��#� �������$� ��� ����� ���!��%��� �! ��!������ &'� ���������! �� �$�

���$�� �� !��%����� �!�������� ���� !��! ��� ��!� ��������� ( �� �!�� ����#" �%!���! ���

�#������ ���� �%���'�������$ ����'��� !�" ���! %!�� �$� !������ ������� �� �$�

�%"���)*��+����$ ����� �� ��!���%�!$ �$�� ���� �$� ����'��� ������%� ��%�%����!

�� �$� �!��%����� ��!�� &$� !��� �#����� ������! �$� ������" �� � !$����" ������

���!!�� �������� !%$ �! ���$� �� ����%�� �" � ����#" �%!��� ��!����� � ,-��"!� &$�!�

!��%�����! !$�' �$� ������" �� �$� ��$�.%� ���$ �� ����� !�%��! � ��' !����-��-��!�

����� ���� �� �� �������� � ����!��� ���� � ����� �� ������ �$� ������ !��%�%�� �� �

!�%���

��� ����� ���$��!/ ���� ���"!�! ) ��$�.%�!/ ����� ����!!�� ) ����#��!/ �%!���!/

������ ) �!�� ����'��� ������%� ) ,-��"!/ �������

� ����� !�����

&$� ����!! �� ���!%��� � ����� �� ��� ��" ���������! �

�!�����"� �� '����� �!

,��� � �#0����� � ���� �����'$��� � �����!��! � ��#�� ��!���� � � �'�-����!���� ����"� ��

������ , �! �$� ��!����� ����� # �! �$� ��%� ������ � �! �$� ����

!����� �%��� 1�!�2 �� �$� ���!%��� �!��%���� �!!%��� �� ��

������� ���!! �$� ������ '��$ ���� �$� �!!������ !����!����

��!� �� 0 �����!��! �$� ����%��� �������� !%$ �$��

� 0����� ���

������� �� ��� �����

'$��� � �! ������ �� �� �$� %���� �� ��#��! � �$� ���� ������

&$� ��!� �� � ����� ���!��%��� �������$� �! �� ���� �$� ��%�

����� ���� �$� ����� ��'����� �� �$� �!� �� �$� !����!����

���������! �� �$� ��!�� 3�� �$� !����� �!� '$� �$��� �! � ��!�

�$�� �!!%��� �$�� �$� ����!� �� �$� ���� �#�!�!� �$�� �$��� �! �

!��%�%�� � !%���#�� !���! �� ������ ���������! ����-

�%�� �" ���� �����!� �$� ������� ��%�$� #-� � �� ������� %!��

�$� ����%��� �$����� �� '��� �#���" �.%�� #� ������ �$�

3�%���� ���!���� �� 1�2 �" .1�2� #- � �� ��%� �" ����!�

���!������

��#��� � �,���� ������ ��� �&$� � ����! �� ��������� � �$� ���� ����' � ������

���!��%��� �� �$� � ��#�� ���%�! � �$� ��%�$� 4��$ ��!�

!'��$�� �� �$� %���� �� ������! �� ������� � �$� !��%���

����!�! �" �� '$��� �$� %���� �� �!�����! �����! ��#���

"������ � ���-��!�� �������� &$%!� �$� 5�� �� �$� ���!��%���

�������$� �����! �� ����� '$�$ �� �$� ��!!���� ������� ��%�$!

�! �$� ��!�� '$������ �$�� ��" ����

� �#��!�� �� �$� !����� �!� ��!����� ����� ������!

�������� �$� ���� �� ������ �$� ��!� ������ ����!� ���!������

�.%���� 1�� 2 �� "���� #-� 6� �����%���� '����" %!�� �#����� ��

�$�! �! �$� 4���� ������ 14���� ����� �"���� 7 8��!! �����

9% �� ��� ����� :�$�� �� ��� ����� 3�!$�� �� ��� ���;2� &$�!

�����%�� �! �-��������� 1�� �������! �� �# � �� �� �$� ����

������� ��%�$ �! ��������" ��������� �� �%�!!�! ��� �$� ��'��

!����� �� �$� ��%� !���� �� �$� ��!� ������! $��� ���

����� (� �$� �!!%��� ��'�� !����� ��� ����� �$� �$� ��!%����

������ '��� �����<� ���� �$� '$��� ����� �$� ������ ���'��

�$� ���!��%��� �� ��%� !����!� (� � ��!� �� !$�' �$�� �$�

4���� ������ "����! �$� ��#�����" �������� ������� ��%�$ �� �$�

��%� �� ��!� ���%�! ��� ������" ��!����%��� 1�"���� 7 8��!!

����2� 3�� !��%����! '$��� �$�!� ��!����%���! ��� �� =�%!!���

�$� ������� ������ ������! ���� �$� 4���� ������� 4$��� �$� 4����

������ ���$�� ������! ��" � ��' ���!����!� �� �! �$%! ������ ��

'�%�� � ������ �� ��!������ �� ����� �$� �������" � !��%���

!��� '��$ � ��$�.%� �$�� ���$ ���! �� ��.%��� �" �!!%�����

���%� �$� ��%�� �� # �� ����%�! ������� �����! ��� �" ��%�

!���� ��!����%����

���$�� �"�� �� ���!���� �! �$� '������ ���!���� 1���� ���<���

9�5��%� 7 >��! ����2 '$��� �$� ������� ��%�$ �! ��!����� %!�� �

!�� �� ��!�! �%���! ��!���� �� �#���� ��������� � � ������"

�� !���!� 6� ����� �$�! �! � ����� ���$�� �$�� ������!

����"�� � ���!�������� �� �$� ���� � ����� �� �#����

��������� ���%� �����%��� !���! �� �����!��

>�� ?��� �� �!���� ��� "#$� ��@)��@ 1����2

� -����/ ����A��������!����<�����%

Page 2: A speedy pixon image reconstruction algorithm

� ���������� ������$ �� ����� ���!��%��� ������!

.%����"�� �$� ����������" �� � �����%��� ������� ��%�$� �$�

�������� �$� ������� ��%�$ %��� �� �����! ��#�����" ���������

6� ���!����� ����� �� ���� �� #- �! �$�� �$� ��!%����

��!����%��� �� ��!��%��!� ������ �!

���� � ,���� � �#0������ ������! !����!�����" ���!���%�!$���� ���� �$�� �� �$� ��������� ��!�

� ���� ��.%���� � B���� ���+ �� �$� ����� &$� �����%��� !����!��

%!�� �� ��!���� �$� �#��� �� �$� ��!��� '��� ����� � �$� ��%��

�� � 3�� �#������ �� �! � ���.%���" �����"�� !����!�� '$�

��!� ���%�! ��� ���' ���� � ����� ��!����%����

C���� $�!� � ��!��� !����!��� ������$�! �� ���%�� �%��$��

�$� �������� !��%��� !��� ��� ���� ������� � ���� ��

!����� ��%�� �! �� ���������<� #- �� %!� �$� ���� �� ��� � !����

%���� �� ���������!� &$�! �! ���" .%�� �� ��������� ��������

�$�� �$� ���5%��� ������ � �$� ���������<���� �! ������������ 3��

��������� �����!� � ���� !��$�!������ �����%�� �! ��!�������

&� %���!��� ������ '$��� ��#�! ��� ��� �$� !���"� �!���� �$�

�����'�� �������� ����������" �.%���� '��$ � �����!���� ���

�!���! �� �$� ����� %!�� �� ���!���� #- �� ,/

/� �#���,� � /�,� �#���/� �#���/���/�,� � ���;�

&$�! �! �����" �$� ����������" �� $���� � �����%��� ��������

�� ����� ����� �� ������� ��%�$� ������� �" �$� ����������" ��

������� � �����%��� ���� !��� ��� , �! ���!%��� ������ �� �!

%!�� �� ���� #-� /1,2 �! �!���� ( �������� �$� ��!��� �� �����

�����%�� ���5%��� ��.%���! �$�� /1�2 �! �!��� ���� ���

�����!� &$�! �����!

/� �#���,� � /�,� �#���/� �#���� ���D�6 �$� ����-$�� !��� �� �$�! �������������" �! �$� .%����" �$��

�� '�%�� ���� �� ��#���<� � �$� ���!��%���� ����" �$�

����������" �� � �������� �� ������� ��%�$ �� ����� ���� �$�

����� &$� ���!� ���� � �$� ���$�-$�� !��� �! ������" ��������� �!

�$� B������$���+� �� �$� !��� ���� �! �����" ����� �$�

B����� �����+� 3��� � 9�"�!�� ���'����� �� �! ���!����� ��

�!!����� � ����������" �� �$� ���%!������" �� ������� � �����%���

������� ��%�$ �� � ����� �! !�������� ��!���� �$� �-����������

��%�� �� �$� ����� ������ &$�! �������! ��������� �������� � �$�

.%�!� �� ���%� �$� �������� !��%��� !���� ?��� �$�� ��� �� �$�

����� �! $��� ��#�� �� �� !���! �� ��#���<� /1#- E��,2 �$� �����

�.%���� ����! ���" !������ ���%!� � �$�� �!� /���,� � � ��

/� �#���,� � /� �#���,�/���,��( ����� �� .%����" �$� ����� ������ �!���� �$� !��%���� ��

��!����%��� % ���!���%�!$���� �$���! ������" ���� 0

�%���!� ������ �$� %���� �� �$���! � �%��� � �" 1�� �$�

����������" �� � �����%��� ��!����%��� �!

/�F1�G� � %�

0%�0

���1��� ���H�

&$� ��!� �������� $��� �� F1�G � ������" �� !$�' �� ��

�$� �� �$�� $�! �$� !��� %���� �� �$���! � ��$ �%����

&$�! ����������" ��!� ����!�! '$� �$� %���� �� �%���! �!

�����!��� � 6��+! ��<���!.%� ����" �� ����%� !�����

��!������!� �������� ��� �� �$� ����� ������ /1#- E�2 '��� ��

����!�� �" $���� �$� �$���! ��!����%��� ����" �$��%�$ �$�

����� �%���!� �� �" ���%�� �$� %���� �� �%���!�

&$�! ������$ �� ����� ���!��%��� '�! �������� �"

������� 1��@�2 �� =%�� 1��@�2� 9" �����" '��$ !����!����

�$�����"���!� �$�" ������� �$� ��#���<���� �� �$� ����� �����

�� � ��#���<���� �� �$� �����" �� �$� ���!��%��� ��%�$� ( �$�

��!�� �� ��������� ��������� '$�$ �%�� !$��� �$� ����� �'�"

���� �$� ����%�� �����!!� %����� #-! ��� ��������� ���� ����

��������� �����! �$�� ��.%��� � ��!! �������� ��!����%��� �� �$�

���!���%�!$���� �$���! � �$� ����� ��#��!�

&$�!� ��#��%�-�����" ���$��! 1> >2 ��� ���������"

������� � �$� ��#�� ���� � '$�$ �$� ���� ��� ���!%���� C�'�����

�� �$� ���� ��%�$ �������! ���� �����!! �$�� �� �$� �#��� �$�� �$�

����� ����� �! �������� �������� �� �$� ������$��� ���� � �.%����

1��D2� �$�! �����%�� '��� ���! #- �'�" ���� #� &$�! !%���!�! �$��

�$� ��!����%��� �� �%���! ��� '$�$ �$� �$���! ��� �����

!$�%�� �� !�� ������ �� �$� ���!%��� ��!����%��� , �� �$� �����

����������" �! �� �� ��%�" ��#���<��� 3%��$������� �� ���������

���� �$� ����� ��!%!!�� �! �$�� �$� %���� �� �%���! !$�%�� ��

�����<�� � ����� �� ����� �$� !�����!�� �� �!�.%���" ��!�

���%!����� ��!������ ��� #-� ���$�� �$� %!�� � ���������! ���%!�

�$�! �! $�' ��" ��#��! �$��� ��� � �$� ���� ������ I�!��������!

!%$ �! �$�!� ��� 8�J� 7 8%����� 1��� � $�������� 88� 2 ��

�����%� �$� ��#� ����� K���� �$� %������" ������� ��#��!�

��#�! ��� ���� �� ����� �� �$� ���!%��� , � ����� �$�� �$�

��������� ���� �! ���� ���!! �$� ������� ��%�$ '$� ��!�����

� �$� ��#� ��!�!� &$�! �������� B����+ �!!������" %!�! � $��$��

��!��" �� ��#�! �� ��!���� �$� ������� ��%�$ � �����! '$���

���� !���� �#�!�!� �� ��" � ��' ���" ����� �������� ��#�!

��� �$� ������%�� �� ��' !����-��-��!� ����� 1�?�2 ����! �� �

������ �������� �� > >� �$� ��#� ���$�� ����'! �$� ����������"

� �.%���� 1��D2 �� ��#���<� ��!��� '��$ ��!��� �� �� �!��� ��

�$� ����� '$�$ �������� > > ���� ��#��� &$� ��!� ��

��#���<�� /1#-��E,2 ����! ��' �� ����� �$� ������� ��%�$

������ �$� ��'�!� ��#�!� '$�$ �����$���!! �������! �

�������� ��� �� �$� ����� 6����������"� �$� ��� ��������

���'�� > > �� �$� ��#� ���$�� �! �$�� > > �#������"

.%������! �$� ����� ����� �� ���! � !���� ��#���<���� ��

/1#- E��,2� ( �$� ��#� �!� �$�! �! !���� ��� !%�!!��� ������$���

�� ����� ����� ��#���<����!� 9��$ > > �� �$� ��#� ���$��

��.%��� � �!!%����� �� �� ���� ����� �$� ��!�

��!����%��� � ����� �$�� �$� �����!!-��-��� � �� .%��������

( !%����"� �$� ��#� ���$�� �! � ��������� ����� ���!��%-

��� ��$�.%� �$�� ����%�! ������� ��%�$! �$�� ��� !����$ � �

�����" ������ ��#� !���� �� �$� ��������! $��� � '���-

��������� ���!$�� ����� ����" '$� �$� ��#� ��!����%���

$�! ������� �� �$� !�����!� !���� �$�� "����! � �������� ��� ��

�$� ����� &$�! ������$ �� ����� ���!��%��� $�! ��� �������

�� � ������" �� �!�������� ���� !��! 1���� ����$ �� ��� ���;�

>����� �� ��� ���D� ��#� �� ��� ���D� ���H� L�M��!���� �� ���

���D2� � �������� ��!%!!�� �� �$� �$�������� ��!�! �� �$� ��#��

�� � ��!� �� ���������! �� �$� ���$��� � �� ��%� � �$� �����

�" 8%����� 1���D2�

( �$� ������� ��#� ������������ ��!����� �" 88� �

�$� ���� ���� �� ������� � ���!��%��� '�! !%$ �$��� ���

�����! ������ �� ���!� �;D� ��#��!� ���!��%���! '�%�� ��

����������" !��'� 4$��� �$� ��!%!!�� !� ��� !$�'! � �������

�$� ��������! ������� �" �$� ��#� ������$� �$� ������������

�� �$� ���� �����! �� �� !�������� &$� ��� �%���!� �� �$�! �����

�! �� ��!���� � !����" ��#� �������$� �$�� �! ������ ��

���!��%��� �;D� ��#�� �����! � � ��' ��%��! � � '���-

!������ ( ����� �$� ���$�� �! ������� �� �'� !��%�����

�!�������� ���� !��!� &$� ��!%��! ��� ������� '��$ � !�����

��#��%�-������$��� 1>:2 ���$�� �� �$� ���%!��!! �� �$�

���!��%���! �! ��!��� .%����������" %!�� >��� I����

!��%�����!� 8%����� 7 N�$�� 1����2 $��� �������� �$� �#�!���

�/��� /�2�� ����� ��$������$���� ���

� ���� ���� >?��� "#$� ��@)��@

Page 3: A speedy pixon image reconstruction algorithm

�� ��������� �� .%�� ��#� ���$��!� &$�!� ��� ��!�

�!�������" ��!��� �$� �$� ������� ��#� �������$� �� 88� �

# %&�'�

#(� ������

&$� !����" ��#� �������$� ���! �� ������ ������" ���� �$��

��������" �����!�� �" 88� � ?����"� �$� ��#���<���� �� �$�

����������" � �.%���� 1��D2 �! ��������� � � ��������� ��!$��

'��$ ��$ !��� �!�!��� �� � $��� � �$� %���� �� ��#�!

���� %!�� �� ��!���� �$� ������� ��%�$ �����'�� �" � �5%����

������� ��#���<���� �� �$� ������$��� 1�� �.%�������" ���-

��<���� �� �$� ��!��� !����!��2 ��� �$� ��#�� ��#� ��!����%����

&$�!� ��������! ��� !������ '$� �$� ������� ��%�$ �! ��!�����

%!�� �$� ��'�!� ��#�! �$�� ����' � ���.%��� ��� �� �$� ����� &$�

������! �� �$� ��#� ������������ ��� ���� � �$� �����'��

!����� ������ �!������ $�' �$�" ����� %�� �$� �����<�-

��� �� �$� ��!��� !����!��� � ���' ������� �%����� �$� �����

�����%�� �! !$�' � 3��� ��

#(# �����)��� ) ��� ��� �����������

3�� �$� �#�����! ��!����� � ����� �$� ������� ��%�$ �!

���!��%��� � �$� !��� ���� �! �$� ��!����� ���� �� �$%!

����! � ���%�!� �� ��� ��$ ��#��� =��� �$�� �$� ��#�! ��� ��

�� ��!! %����%! �$� �$� ��#��!� �$�!� � ����%����! �� �$�

������� ��%�$ ��� �� ��������� ( ������ � �!�%��-�����

� �! ������ � �$� ��#�� ���� �� #- �! ����%���� �" ��������� �$�

�!�%��-����� ���%�! ���� � ����� '��$ � !�<� ��������� �" �$�

���� ��������� ����� &$�! � �� '����� �!

�#��� ���

3��� ������ ��� �����

'$��� 31���2 �! � '���$� �%���� �$� ��#� !$���� ������ $�'

�%$ !���� �$� ������� ��%�$ �� ��#�� � ���$��! ���� �$� �!�%��-

����� �� �� 3��� �$�! �.%���� �� � �� !�� �$�� #- 1�2 �����"

�����!��! �$� ��!%�� �� ������� �$� �!�%��-����� '��$ �$�

��#� !$��� ����������� �� ��#�� �� &$%!� �������� �$� %���� ��

��!��� ��#� !$���! �! ����� �� �������� �� �� �� �! ������"

������� '$" �$� ���� �� ���%�� �$� ��!��� !����!��� �� �$�

����������! '��$ ��!��� �� �$� �!�%��-������ �! ���� �� !��� ����

� ��� �� (� ��$ ��#�� '��� ����'�� � !������� ��#� '���$ �$� �$�

���� ���� �" �$�!� ��%�����! '�%�� $��� � �#��� ����� �� � �

�$� !����� !� �� �! ���" ��!������ �� ����!� � ������� !�� ��

��������� ��#� '���$!�

&$� $��� �� ��#� !$���! �� !�<�! '��� ���� �!�����! �

Minimise misfit

Calculate pixon width distribution

Select a large pixon SNR

Read in data

Choose minimum pixon widths

and minimise misfit

Acceptable fit?yes

and recalculate the pixon widths

Interval bisect to give new pixon SNR

Minimise misfit

Acceptable fit?

Has pixon SNR converged?Stop

no

no

noyes

yes Reload information from thelast oversmoothed attempt

Double the pixon SNR

*� ��� �( 3��' ������� !$�'�� �$� !��%�%�� �� �$� �������$�� &$��� �! � ������ >: �"�� �� ���� '��$ ��� ��#� '���$! ����� �$� ����%� ��������� ���%��

&$� ��!%���� �!�%��-����� �! %!�� �� ��� � ��#� �?� �$�� �! ��� ����� �� ����� � �������� ��� �� �� ��%�� &$� �$� �����!� ��#� �?� ����� ��!� �� �

�������� ��!��%�� ��!����%��� �! ��%� �" ������� ��!�����

��� 4! 56�

� ���� ���� >?��� "#$� ��@)��@

Page 4: A speedy pixon image reconstruction algorithm

�$� �"��! �� ��%�$! �$�� �%�� ��!!���" �� ��������� &$%!� %!��

�$� ����%���" ������� �" 8%����� 1���D2� �� �! �������� �$�� �$�

��$�!! � �$� ��#� ���%��� �! !%������ �� ����� � '���

������" �� ��%�$! �� �� ���!��%���� ����� ���� �� !$�%�� �� �$� ����

�$�� �����! �$� ���!��%��� �������$� �� � ������� ��%�$� ���$��

�$� �$� �������$� ��'�� ������$�� '$�� �� �! ���� �� !��O 3��

�$� ���!��%���! ���!���� � ����� � � !�� �� ���#� ��%����"

!"������ �'�-����!���� =�%!!��! '�! %!�� '��$ '���$!� F�� �� � �� ���#�G� ���� � ��� ��%���� �� � � �� &$�! ��#� !$���

'�! ��%� �� ���� ������ ��!%��! �$� ���$�� � ������� ����������

�� � ��� $�� ��� �$� �#�����! �!������� &$�!� ���������� ��#�

!$���! ����%�� ��!! !����$ ���!��%���!� '��$ �$� B����!+ ��

��#�! ���� ���� �������� 4$��� �$� !����$�� ���!��%���!

����%�� '��$ =�%!!�� ��#�! '��� ���������� ��� �$� �#�����!

�!������ � �$�! ������ �$� �����%��� ��#� !$��� ���� �������

!$�%�� ����� � �$� ��%�� �� �$� ����� ���� ���!��%����

I�!��%��� #- � �$�! '�" �� '�! ��%� �$��� ��� �$� �#�����!

��!����� � ����� �� '$��� �$��� �! �� !���� !�%�� '$�$ �!

!$����" ������� �$� �!�%��-����� '�! $��$ � �$� ��#�� �� �$�

��!���� �� �$� !�%��� �� �!!������" <��� � ��� !%���%���

�!�%��-����� ��#��!� �� '��$ �$�! �#������" !$��� �!�%��-

������ �$� ������� ��%�$ '�! !���� ��� !����$ �� ��� �$� ����� &$�

!%���%��� ��#��! '��� ���$���� ��� �%$ !���� ���� �$�

����� !���� � �$� �!�%��-������ "�� �$� ����� ��#�� ����� ��

$��� ���� !���� �� ���$ �$� %����"�� !���" !�%��� &$%! �$�

�!�%��-����� $�� ���" ������ ������� �� �$� ���!��%��� �����

'�! ��������� �" �$� ��$�!! � �$� $�!� !�� �� ��#� '���$!�

&� ������� � ������ ���� ���#������" �� �$� �!�%��-����� � !%$ �

!��%����� �$� ������<���� �� �$� ��$ ��#� '�! $�!� !%$ �$��

��

3���� �� �� � ����

� ��

� �����

4��$ � � �� �$�! ���! �$�� � ��#��! $���� ����� ��#� '���$!�

�$� ������� ��%�$ '��� �� !%����!!�� �������� �� �$�� ��%�����

'$� ��� ��#�! ��� ������<�� �� �$� !��� ���%�� &$� �!�%��-

����� ���%�! � �$� ��' !���� �����!� '$��� �$� ������ ��#�! ���

���� %!��� ��� �$%! ��%����� �� ����!� �������� �� �$�!� � �$�

$��$ !���� ����! �� �$� ������ � %����!�� !��� ����� �� �$�! �!

�$�� �$� #- ���%�! � $��$ !���� ��#��! � ����� %�%�"

���%��� �" �$� ���!��� �����! �� �$� �!�%��-������ !� �

��%����� �$� !����� �$� �����'�� '���$�! '��� ��!� ��%���/

7������ ����� �� �� ���� � ���������������� �� ���� � ����

���� �

!%$ �$��

�#��� ���

3��� ��7������ ��������� ��� �����

&$�! ��'-'���$�! �$� �����%��� �� #- ���$���� ���� �$�

�!�%��-����� ��#��! '��$ ������ �!� ���%�! �� � ���'�� � �� �

'��� %!�� ��� �$� ���!��%���! � ����� � &$� �����%��� ��

�$�! �#��� '���$� ���! �$�� �$� ��%����� �� #- � �����

������! 5%!� � !���� ����%���� C�'����� �" !������� �$�

������� ��� ���#� !������� ����%���! �� 3� '��$ � 7P� ��� 1�2Q-'���$��� �� �$� � ��� � !���� �� �$� ��!��� ��%����� � ��

���!������

&$� �����%�� ��� ������ �$� ��!����%��� �� ��#� '���$! �!

��!�� � �$� ��!��� �� $��� �$� !��� ���%� �� ��������� �

��$ ��#�� (�������� ���� � �� ���������<�� �$��%�$ �

��#� �?�� &$�! �! ������ �!

������� � ������3��� �� �#��� ������������������������������������

�3��� ������� ��

� ������

���� ���;�

� 1�2 �! �$� ��������� ������%�� �� �$� ��!� � ��#�� �� &$� ����

���� 5%!� �����!��! �$� ������� �� �$� �-������<���� �� �$�

��#�!� �� �$� ���!� � 1�2 �! �$��� ���%!� �$� ��� �?� '��$�

�$� ��#� �! ���� ��%������ 3�� � !������� ��#� �?�� �$�

��#� '���$ ��!����%��� �! $�!� !%$ �$�� ��� ��#��! $��� �$�

����%� ��������� � �$�� �������! �� ���!� �$� ��.%���� �?�� &$�!

������! ���� �$� ������ ��#� ��!�! ������$ 18%����� 7 8�J�

��� 2� '$��� �$� ��#� �?� �! �� ���� �!��� ���!! �$� �����

������

3�� �$� ���!��%���! ��!����� � ����� ��� �� '�! ��%�

�$�� ����#�� �$� ��� ��� �$� ������� ��%�$ �� $��� � �!��� �?�

� ��$ ��#� ��� �� !%������ ��!%��!� 4��$ � ���� ������� ��%�$ �

�$� ��#� ��!�!� �$� $��$�� !���� �����! �� �$� ���� �����

������� ������� �� �$%! ��!! �����"� ���%�� ��!��%��!� ( ����� ��

�����!� �$�! ��!����"� �$� ��.%���� ��#� �?� '�! �����!��

� �$� $��$ !���� ��#��!� &$� ��#� �?� ����������� ��� ��#�� �'�! ������ �� �� �?�1�2 ����! �$� ������ ���%�� '$���

�?���� � ��#F��������������������������������������������������������#����� �� ��� ��������

�G� ���D�

'��$ �1�2 ���� �$� ����%��� �� ����������� '��$ �$� ������"

������<�� ��#� ����������� �� ��$ ��#��� �� � � �!���

$�!� �� ��� � �$� ���� P���Q� 4$��� �$�! �! � ���" �� $�

������� �� �$� ���$��� �� ���!%����! �$� ��!��� �� ������� ����

������� � �$� ����" ������ �����! �� �$� ���!��%��� ������

���$�� �$� ������ ������%!�" �� �$� ��#��%�-�����" ���� #-

!��%���� &$�! �! !������ � !����� �� �$� ������ ��#� ��!�!

�����%�� �" 8%����� 7 8�J� 1��� 2�

&$� ������� ���� �� �$� ��#� !���"� �! �� ��!���� �$� ��!$��

� '$�$ �$� ��#� �?� �! ��������� &� ����� �$� ���!� #-� � �����

�$�� �$� �?� � �� ���%��� ��� �.%���� 1��;2� � ��#��%�-

������$���-�"�� ��� �! ��������� %!�� ���� � ���� ��

!������ ���� � ���� #- '��$ �$� ��� ���%� �� ,� � ������ ��#�

�?� �! $�!� !%$ �$�� �$� ��!%���� ��#� ��!����%��� $�! ���

��' ������! �� ������� �� ����' � ���� ��� �� �� �������� (������

��!���� �! �$� %!�� �� ��� �$� ��#��%� �������� ��#� �?��

�� ��$ !����� �$� ��!� ����-!����$�� 1���� ����" ������2 #- �! %!��

�� ���� �$� �' ��#� ��!����%���� &$�! �����!�! �$� $�� ��

�����%�� !�%���%! !��%�%��! ��� �$� ���!��%���� ( �������

�� �$� ��#� �?� ������! �� ���%� �� ��� ��� #- �!

�!�!����� �� �%��$�� �������� �� �$� �����%�� �! !�������

4$��� �$�! �������� ����!! �! ����� �� !%����!!�! ��!� � �$�

���!��%���!� �$� ���� ��!%�� ���! ����� !���$��" %�� �$�

������ �?�� !� !��� $%�� ��������� �! ��!�������

#(" �����)��� ) ��� ��+����� ���������

&$� ��$�� $��� �� �$� ���!��%��� ���$�� ������! �$�

������$��� ����� �� �$� �����%�� %!�� �� ��#���<� �$�! ��� �

��#�� ��#� ��!����%���� � �����" #- �! �� '��$ � !���� ��!���

!����!��� ���� �� �$�� B���! �$� ���� '���+� =�%!!�� �� 8��!!�-

��!����%��� ��!� ��� ������� ��� �$� �#�����! � �����! �� ��

��� !� ���!��%���! '��� ��������� %!�� �$� �� ��

��� ������

F���� ����,���� ��G�,��� � �

���H�

1>��$��� ����2 ��!��� !����!��!� ��!�������"� C�'����� !%������

�/��� /�2�� ����� ��$������$���� ���

� ���� ���� >?��� "#$� ��@)��@

Page 5: A speedy pixon image reconstruction algorithm

��!%��! '��� ������� �" �����"�� �$� 5� !����!�� �� 8�J� 7

8%����� 1����� $�������� 88��2� ���$�� �$� 5%!� ����� ���

��%� �$� ������%��! �� �$� ��!��%��!� �$�! ���!%��! �$��� !������

�%����������� �%���� ( ���� ������� 5� �! ������ �!

5� � �

��

������ ���@�

'$��� � �����!��! � �'�-����!���� ��� � ��#�� !��� �� � �!

�$� �%����������� �� �$� ���%�� ��!��%��!

���� � ���� � ��������

��

�������� ����������� �����

�! 88�� !$�'��� �$� �#����� ���%� �� 5� �! �.%�� �� �$� %����

�� ���! ��%��� � �$� !%������ � �.%���� 1��@2� �� �$� �#���

���� '$�$ ��� ����! ��� %!��%� �! ��������� �" �$� !�<� ��

�$� �!��%����� �!�� 3�� �$� ���������! ��!����� ����'� �

�������� ��� �! ������ �� �� �� �$�� $�! 5� � R �$� %���� ��

��� ����! ���� �!������� &$�! �! ��%� � �� ��� �� �� �$� ����

��� ������" ��!����%��� ��!� �� 8��!!�-��!����%��� ��!� '$�

�$� ��� !���� �! � ������

&� �����<� �$� ��!��� !����!��� �$� 8����)������� �5%����

������� �������$� � ?%������ �����! 18��!! �� ��� ����2 '�!

%!��� ���� ���������! '��� ���� �� ������ �$� ������ �%���!�

��%��� �� �$�! !����� ��!�� �! �������� � ������# �� ( �����

�� $��� �-������� ������� ��%�$!� 88�� !%���!��� %!��

���!������ �!�%��-����� ���%�!� ��� � �$� �����<���� '$���

���� � ������� ����������������������������� � �

��� ������

'��$ � � ��; �� � � �� &$�! ���!�������� '�! %!�� ��� �$�

�#����� � ����� ��� �%� ������ � ���� ���!��%��� �� �$�

��'-!���� �����! � �$� �#�����! � ����� ��� 3�� �$�!� �!�!�

!����� �� � � �� !����" ��%���� ������� ���%�! "������

!%������ ��!%��! '��$�%� !��������" ������� �$� !���� �� �$�

����

&$� ��%����� �� �$� ������� �� �$� ��!��� !����!�� '��$

��!��� �� �$� ���!������ �!�%��-����� ���%�! �! � ��� ��!!"�

����� ���� $���� ��� �� ���������" �� �����! �$� ������� ��%�$ �

!%���%��� ��#��!� &$�! �! �$� ������� '��$ �$� �!��%�����

�!� ������ �$� ��!��%��! �� $�� �$� ��!��� ��� ��%������

������# 9 ����! �$� ��!%��! �� �$�! ��%������ �%� �$�

�������� ���� �! �$�� �� � �� !���� %� ��� ���������! ��

����%���!�

" �,,-��������

&$� !����" ��#� �������$� '�! ������� �� �'� !��%�����

�!�������� ���� !��!� ( �$� ���!� �!�� �$� $������ ��

������"�� ����#" �%!���! � �!�� ����'��� ������%�

1I>92 ���! '�! �!������ ��� � �!��%��� '��$ !���������!

���� �$�!� �� �$� 3���$6 ����� ��� &$� �������!� ��!����� �����

'��� �� �#����� �� ���� '��$ �$� �%������.%�" �� �%���-

������ ��%��! �� �$� ���� �� ��%�$� ��!�������"� ( �$�

!��� �#����� !��� !��%����� B� +-�������! ������� '��$ �

����� �!�� !%$ �! �$� �� ,-��" ������� '�%�� ���!%�� '$�

������ �� ����#" �%!���!� ��� ���!��%����

"(� %������.��� �� ������� ������� � ��������� �%�

����

&$� 3���$6 ����� �� !�������� 1&�%���� 8�� 7 ������S ����2 �!

�#����� �� ���%� ���! �� �$� !�" � � %���� �� ����'���

'�������$ ����!� ( ������� �� �$� ����!� I>9 ��%�%����!� �

%���� �� �����!��� �������%�! '��� ��!� �����%�� �� �$�!�

���!� 6� !%$ �����%��� '��� ��� ���� �$� �%"���)

*��+����$ 1�*2 ����� ����%�� '$� I>9 �$���! ��� ����!�

I����� !������� �%��� �$��� ��!!��� �$��%�$ �$� ���<�� ��! �

����#" �%!���! 1�%"��� 7 *��+����$ ��H�2� &$� ��!������

!������ ��!������ ������ �" �$� �� $����� �� I>9 �$���! �

�$� �������! �� ����#" �%!���! !$�%�� ����� !��� �$�%!��! ��

�%!���! �� �� ������� �" 3���$6 1C��!� �� ��� ���@2�

�!*!* ��������� ��������

&$� �������!� ��!����� $��� '��� �!!%�� �$�� �$� !������

������� �� ��$ �� �$� ������! 1���� I>9� �* �� ��!�2 �!

��' �� �!��� ���� �$� ����� ���� ��!������ ���$�%�$ �

������� �$�! �%�� ��!� �� ���� �! � ���� �� �$� ����� ���� '$�$

�$� ����������" �! ��#���<��� 3�� ��$ �� �$� � ������!� �$�

!������ �������� '��� �� ������ �" �8� � � �� �� 8 � �� ��'$��� � �! �$� %���� �� '������! � �$� ��!����� ����� &$%!

�$� ������� ��%�$ � '������ 5 � �� '�����

�#��� 8� �����

�8���

3��� ��7������ ��������� ��� � ���

�$ ������ $�! ��! �' ��#� ��!����%��� �� �!�%��-�����

������ �" �$� !%�!����� &$� �!�%��-����� ��������! ��� �$�

����!� I>9 �� �$����� �* ������! ��� �$� �$�����"���

�#T# �� �$� I������<���� ��������� � ��!�������"� ���$ �

%��! �� ���D� ?��� �$�� �#T# � ���� ��!����� �� ������� ���%�!

!� �$� ���!������ �!�%��-����� �! $�!� �� �.%�� �$� �!�%��-

����� ��� �$�! ������� '$����! �.%���� 1����2 �! %!�� ��

�!%�� �$�� ��*1�2 1� 2 �! �-������� � ��� ��#��!� 3�� �$�

���!��%���! ���!���� ����'� �$� ���%� �� � � �! ������ �

�.%���� 1���2� '�! !�� �� <��� !%$ �$�� ��� ��#�! '���

������<�� �� %��"� ( ������� �� ��" �� �������� �� ����' ��� �� � �%��� �� �������

&$� �%���'�������$ ����� �� �$� ��� �$�� �$� I>9

������ � ���� ��!����� �� ������� ���%�!� ��.%��� �

�������� �� ��#� �?� �������� ���� �$�� � �.%���� 1��;2�

&$�! �! $�!� �� ��

������� � ������3��� ��� �#��� ��� �������������������������������������������

�3��� ������� �� ��

� �������

� ����

� � ���

&$� � ���# '��$ �$� #- �� �� ����! �����!��! �$�� ��" �$� ���!�

'������ �! ���� %!�� �� ����� �$� �?� �� ��� �! �$� !�����!�

��#� '���$ ��� ������ � 3�� �$� �"�� �� ���� !��%����� $����

'��$ �$� ����!� I>9 ������ �������� �$� �$����� �*

������� �� �! ��!!����� �� �$� ��.%���� ��#� �?� �! �$� !���

��� ��� ������!� �� ��� � �������� ��� �� �$� ���� '��$�%� �$�

��� ��� � �%!��� ������ � �$� ������� ��%�$� ( ����� ��

����' � ������ ���!��%��� �� �$� '����� ������ 1���� �

���!��%��� �$�� ��%��! !��� !����2� �� �! ��!!��" ��

�����%� �����! ��?�1$2 !%$ �$�� �$� ��%�� ��#� �?�

��.%�!��� ��� ��#�! �����!���� ������ $ �! ��?�1$2 ����!

�$� ����%�� ���%�� 4$��� �$�!� �����! �%�� �� ���� ��� �$� ��#�

�������$� �� ����%��� � � 9�"�!�� ��!$��� �$�! '�%�� �� ���$��

��� 4! 56�

� ���� ���� >?��� "#$� ��@)��@

Page 6: A speedy pixon image reconstruction algorithm

���� �!%���� ( ������ �$� �������� !�����$! �� �$�

������! '��� !�� �� ��?� � � �� ��� ��� �$� ����!� I>9

�� �$����� �* ������!� ��!�������"� � ����� �$�� �%!���!

'��� ��%�� '��$�%� �����%�� ��" !�%���%! !�%��!�

&$� � ��������� ��� ��������� �$� �������� � ��#� �?�

���!! �$� ����� ��� � ���� ������ '�! !�� �� � ��� ���$ �$�

I>9 �� �* ������!� &$�! ������ � ���� ��#� �?� ���!!

��$ �� �$� ������ ���! � �?� � ��� (� !��� �?� ��������

'�! �� �� %!��� �$� � ������� ���� '������! �� �$� ���%��

��!��%��! ������� '��$ �$� ���� ��#� !$��� '�%�� ��� �� ��

��%������ ���$�� �$� �$� ���$������ ���!�� ������ �

�.%���� 1��D2�

&� ���� '��$ �$� !$��� ���� � �$� ��!����� ����� �$�

���!��%��� �����! '��� ����'�� �� �#��� ��"�� �$� �������

���� ��#�� ����� � ����� �� ;��� ��#��! '��� %!�� �� �$�!� �"��

�%�!��� �$� ��%� ���� ����� $�� ���� � � ������ � �$��� �%�

'��� ��$��'�!� ������� ��������" '��$ �$� ��!� �� �$� ���-

!��%��� ����� ��#��!� &$�! �%���� ����� ����'! �$� ��#� �?� ��

��/�� �( :�!�! �� 1�2 �$� ����� 3���$6 ��!����� ���.%���! �����"�� $��� 1=C<2� 1�2 �$� =�%!!�� �%�� '���$ $��� ��#���1����2� 1 2 �$� �� =�%!!�� ��!� ��� ��;-����� ��#�� � �U" 1��� �� ���$! �� ��!�������!2� 1�2 �$� ����!�� ������������ �$�����"��� I>9 �#T#� � %��! �� ���D� �� �$� $��� � ��%# � �U" � � ��#��� 1;2 �$� ����!�� ����� ��������$� I������<���� ��������� � � %��! �� ���D� �� �$� $��� � ��%# � �U" � � ��#��� 1D2 �$� ��! �%!��� # � ��� ��#��1�U"2� 1H2 �$� ��#��%� ������%�� �� �%!��� # � ��� ��#�� 1�U"2� 1@2 �$� ��! ����!� I>9 # � ��� ��#�� 1�U"2� 1�2 �$���#��%� ������%�� �� ����!� I>9 # � ��� ��#�� 1�U"2�

1�2 1�2 1 2 1�2 1;2 1D2 1H2 1@2 1�23��.%�" ���� ?��!� �*182 I>9182 ��! #�*0� ��# �#�*0�� ��! #I>90� ��# �#I>90����� ���H ��� ����� ����� ���� ;�� ��D �H���� @�� ��� ����� ����H ��� H�@ H�D ������H ;�; �� ���� � ��� ����� �� � ��� ���� ��� @�; ; ;�� ;�@ �� � ���;; ��� ���D D�� ����

*� ��� #( &$� ��� ����-$�� ���� ����! � $�!������ �� �$� �������� ���'�� �$� ��%� �� ��#�-������� ����!� I>9 ������ ��%#�! �� ���=C< �

��$ ��#��� 3�%# %��! ��� �U" ��� ��� ����! � �$�! ���%��� &$� '���$ �� �$� ��!�-������ =�%!!�� �! ��!� ����� ( �$� ��'�� ����-$�� ����� �$� �%�� %���

�����!��! �$� ������� �������� ���'�� �$� ��%� �� ��#�-������� ����!� I>9 ������ ��%#�! �! � �%��� �� �$� ��%� ��#�� ��%#� �� �$� ������

%��� ����! �$� !������ �������� �� �$� ���!��%��� ������ &$� �'� ���$�-$�� ����! !$�' �$� ����!����� ��!%��! ��� �$� >: ���!��%���� ( ���$

�!�!� �$� =�%!!�� ���! �� �$� ���!��%��� �����! ��� �� !$�' ���%!� �$�" �!!������" ��� � ��� �� �$� $�!������!�

�/��� /�2�� ����� ��$������$���� ��

� ���� ���� >?��� "#$� ��@)��@

Page 7: A speedy pixon image reconstruction algorithm

�� !�!���" ������� !� �$�� �$� ������� ��%�$! $��� �$� !���

!�!������" ���!! ��� �� �$� ��!����� ����� '$��� �� ������"

���%��� �$� ��%����� �� �$� ��!��� !����!���

&$� ���%����� �� �$� ��!��� !����!�� ��%��! � ��������

��!��%�� ���! �� �$� �������� �� � �������� ���%� �! ��������

�������"� ( �������� �$� ��!��� �����<���� �! ���������

���� � � � ��������!�

�!*!) ,��� /����$����

� ���� ��#��� �� ���� ����� �� !��%����� I>9 !�"� '�! ������

��%��� ���$ ����!� I>9 ��%�%����! �� �$����� �*

��!������! ����%�� �" �%!���!� &$� ����!� I>9 ��� '�! �

�����<���� �� �$� !������ ��� ���� ������ ����� %!�� �$� ��'��

!����%� ���%��� �" ������ 1���5�� 7 *���������� ���D2� &$�

�$����� �* ��� '�! ����%�� �" ������ !��� ��������! ����

�$� $"����"����� ����#" �%!��� !��%�����! �� ��� ?������ 7

3��� 1���@2 �� �$� ��!��� �$�!�� !%�����" !����� �� �����

��%��� ��!����! '��$ ��!! �� ���!$��� ��!����%���! ������ ��

�$� 8��!!)�$�$��� �������!� 18��!! 7 �$�$��� ��H�2� &$�

�$����� �* I������<���� ���������� � �� �$� �$�����"���

�#T# �� �$� ����!� I>9 ��%�%����! '��� ������� �� ��%#�!

��� ��#�� � �U"� � ��$ �� ��%� '������! �" �%�����"�� �"

1 82 �! ��!��� � ��%�! � �� ; �� &���� �� &$�!� ��%�

������ ��%�$! '��� �$� B��!�����+ �" ����"�� �$� �������

=�%!!�� ���� �� ����� �$� ��#�� ��!� ����������� �� ��$

'�������$ 1!�� ��%�! � �� �� &���� �2�

&$� ���� ��%� ��%�! � &���� � !$�' �$� ��#��%� �#0���� ��! #0� ��� ��#�� ����%�� �" ��$ �� �$� �'� ������!

!��������"� &$�!� %����! ����!����� ���$ �$� $��$ �?� '��$

'$�$ 3���$6 '��� ��!���� �$� ����!� I>9 ��%�%����! �� �$�

���������" ��' �?� �� ��� �$� ����$��!� �%!��� � �$� ������ �����

����%��� '��$ �$� �!��%����� �!�!�

�!*!� �������

&$� !��! �� ��#� '���$! ��� �$� �'� ������! '��� $�!� ��

�� �I>9��� � ;� H� � �� ��*��� � ;� �� @�� 3�� �$� ����!�

I>9� �$� �?� �! !� ���� �$�� �$� ��#�! �� �� ��� �� �� ���"

����� ������ �$�" ������ � �������� ��� ���� ���� ��%�� (

�$� �* �%!���! �!�� �$� !������ �� � !���� �� � ���" ����� ��#�

!�<� ����'! �$� ���!��%��� �� !$��� ����%��! � � !����$

������%�� &$� �����������-!�<�� ��#� $���! �$� ��#�! ������

�$� ��� ���'�� ������%� �� �%!��� �! �$� ��#� �?� �!

���%�� �� �$� ��� �����! ������!!����" ��!! ���������� &$�!�

�* ��#� '���$! ��� !������ �� ���$ �$� !���! �� �$� ����%��!

�#����� �� �� ���!�� ��� �$�! ������ ���� ���%� �� ��%��!

�� ���%��� ���� '��� ��.%���� �� ������� �$� �%���������

�� �%���'�������$ !����" ��#� ���!��%��� �� �$�

���� ��#�� ����� 1������ %� �� ;��� ��#��!2� 3�� ������!� �

>: ���!��%��� '��$ ��� ��#�! ���� !�� �� �� ��#��-!�<�� '�!

��!� ���������� &$�! ���� �����#������" �� �� ��������

( 3��� �� �$� ��#� �� >:-������� ��%�$! ��� �$� ����!�

I>9 ��%# �� ���=C< ��� ������� '��$ �$� ��%� ���%�! � ��$

��#��� &$� ��� ����! !$�' �$� ��!����%���! �� ���!��%���

�����! ��� ��#�� ��� �$� �'� ���$��!� ���� '��$ �$� '���$! �� �$�

��!�-������ =�%!!��! ��� �$�!� ��!����%���!� I������� �$� ��'

���� 1���� ��%��� �* �%!���!� ����%��� '��$ �$� ���� ��

��!�2 '��$ �$� ��%� ����!� I>9 ��#�� ���%�!� ����! �� � ��!�-

������ =�%!!�� '���$ �� ��H��U"� !� �� �! ������� �$�� ���$

��#� �� >: ���!��%���! $��� ����� �$� ���� �� !���

�#���� ���$�%�$ �$� ����'�� �� �$� ����� ��!����%��� �!

!��������" ������ ��� �$� ��#� �!�� &$� ��'�� ����! !$�'

����! ��� ���$ �$� ��� 1�%�� %���!2 �� !������ ��������

1������ %���!2 �� �$� ��%# �����! �! � �%��� �� �$� ��%� ��#��

��%#� ( �$� >: �!�� �$� !����� � �$� ��%# �����! �! ����� ��

�����#������" �������� �� �$� ��%� !����� '$����! ��� �$�

*� ��� "( &$� ��%� �$����� �* ��� �! !$�' � �$� ��� ����� �� �$� >:

�� ��#�-������� ��%�$! ��� ������ � �$� !��� �� �$��� ����!�

��!�������"� �#�! ��� �������� � ��#��!�

� ��U" � ����� 4��� C<���

��� 4! 56�

� ���� ���� >?��� "#$� ��@)��@

Page 8: A speedy pixon image reconstruction algorithm

��#� ���!��%��� �$� !����� �! !%����!!�� �%� ����!�! '$�

�$� !���� �! !���� �� �$� ��#� '���$ ���� %!�� �����!

!������� 4$��� �$� !����� � �$� ����� ����!�!� �$� ���

�������� ���'�� �$� ��#�-������� �� ��%� !����! �����!�!�

&$�! !$�'! �$�� ��� ��#��! '��$ ��!��%�� ���%�! �� ����!� I>9

���-=C< ��%# �#����� �D�U"� � !������ ��#� '���$ $�! ���

!������ �� �$� ��� $�! ��������� &$� $��� �� ��#� '���$! �!

�$%! ���" �������� � ��������� �$�!� ��!%��!� ( �$� >: �!��

�$� ���� � �$� ��� ����� !$�'! �$�� �$� ���� !�<�! ���

%����!������� !"!���������"�

3��� �! � ���"-!��� ������!� �� �$� ��%� 1��� ����2� >:-

������� 1������2 �� ��#�-������� 1������2 �%!��� ���!� (� �!

���" ������� �$�� �$� ��#� ���!��%��� $�! ������" !%����!!��

�$� ��!� �������� �� �$� >: ������� &$��� ��� � ��' !�%��! � �$�

��#� ���!��%��� �$�� �� �� ����!��� '��$ !���� �������-

���� !�%��! � �$� ��%�� ��%�$� ( �����! '$��� �$� ��!��" ��

!���� �%!���! �! �����%����" $��$� �$� ��#� �������$� $�! �

����" �� ���� � !���� ����$� !�%�� �� ����� �$� ���!!���

C�'����� �������� �� �$� >: ������� �$� �����!!�� �� �$�

���!��%��� ��������� �! ���" ����� &$� ��#� �������$� $�!

�!!������" ������" ���� �$� ���!�� �! �� '$�$ �� �$� ��" >:

!�%��! ��� !����!�����" 5%!��������� ���%�� �$� �* ��#� �?�

�������� �� �$�� �� �$� ����!� I>9 %!�� �$� ��?�1�*2 ���������

'�%�� ����' �$� ��#� �������$� �� ����� �%!���! '��$ !������

��%#�!� ������ '��$ � ����!�� ��!� �� ����%�� !�%���%! !�%��!�

&$� ��� I����� ���������! ��� ��#�� � %��! �� ���D ���

��@�� ���; �� ��H� ��� �$� ��%�� >: �� ��#� �����!�

��!�������"� !� �$� ��#� �������$� ���! � ���� 5�� �� �!�����

�$� ����� �$����� �* ��%#� � ����!� �� �$� >: ��$�.%��

�! � �!���� �$� ��%!�� �� � ����!� I>9 ������ ���!

�� ����� �$� �%!��� ������� ������" !��������"� &$�

�������� .%����" �! �$� �?� '��$ '$�$ �$� �%!���! ����

'�%�� �� ��!������ 6�$�� �������%�! !%$ �! �%!� �� =�����

����)���� �� !"$����� ���!!��! ��� %�����" �� ���" � !����

!���! �� !$�%�� �� ������" ����� �$� ������" �� �$� �������$� ��

����� �%!���! 1!��� ����� C��!� �� ��� ���@2�

"(# ��������� ���� 01��� ������� ���� ���� ,���1������/���� ���

,-��" ������ �� ����#" �%!���! %!�� �$� �� !�������� ������!

����%��� '��$ � ����� ����"-������� �!��%����� �!�� &$�

��� �$�� �$� �!� �����! '��$ ��!���� � �$� ����� '��� �� �������

� �$� �����'�� �#�����!� ���%!� �.%���� 1���2 �! ����������

� !%$ !��%����! ��� �� �$� �%�� �� �$� ���!!�� �! ���"

�������� �$� �$� �!��%����� �!� '��� �� �����#������"

�!��� ���� �$� ����� �� �����!�� � '$�$ �!� �$�!

*� ��� $( I���%� ����! ��� �$� ,-��" �%!��� �#����� � ����� �� !$�'�� �$� ����� ����� �� �$� $��$ �?� ��%� � ������� 1��� ����2� �� ��!" �����<����

�� �� 1��'�� ����2� � ��#�-������� ��%�$ 1��� ���$�2 �� �$� >:-������� ��%�$ 1��'�� ���$�2� &$� ���%� �����! ��� ��;��� ���� � 1����2� H���;� ��

�� �%� ��#���� �� �$� !���! � �$� �#�! ��� %����! �� ��#��!�

�/��� /�2�� ����� ��$������$���� ��;

� ���� ���� >?��� "#$� ��@)��@

Page 9: A speedy pixon image reconstruction algorithm

�������� '�%�� �� ������ �� $�! � �����%����" ����� �!� ���

� ,-��" �!��%���� !� ��! %!� ��� ������ ���$� ������ ���$��

!%����!��� C�'����� �$� ���� !������ ��!��%���� �%���� '��$

�$� ����"-������� �� �$� �!� �����! � !��%���� '$��� �

����� ���!��%��� �������$� �%��� ��� �!���� �� %!��%��"

�����"�� � ��������� ��������%�� ���! �� �$� ���<�� ��! �

,-��" �%!���!� 8��!!�� ���$�� �$� =�%!!��� ��!� �! �����-

������ ��� �$�!� �����! '$��� �$� %���� �� �$���! ��� ��#�� �!

!�����

�!)!* ,��� /����$����

&'� �������� !%���� ����$��!! �������! '��� ������ � �

�;D� ��#�� ���� ������ ��

���� � ��

��� ������� ���� �� � � �

&$�! �! �$� � -������� �����!�� �" I�������� 7 3%!�-3�����

1��HD2 �� �����!�� �%!��� ,-��" !%���� ����$��!! �������! '��$ �

����!����� �� � ��������� ������%� �����%���� &$� $��$

�?� ����� $�� ���� ���� �� � � �� �%�! ��#����� ; ��#��!�

��H� ��� �%�! ��#����2 '$����! �$� ��' �?� ��%�$ %!��

1H�D���H������2� &$�!� ��%�$! '��� $�!� �� �� !������ �� '$��

�$� �� !�������� '�%�� $��� !�� '$� ������ �� � �%!��� �

�$� ����" ����! �)� �� H)@ ���� � �-��%����" !"������

��-���� �!� $���� � �%�� '���$ $��� ��#��%� �� ��� ��#��!

'�! ������� �� �$�!� �'� ��%�$! �� �� >��� I���� �����<����! ��

�$� ��!%���� #0�! '��� ����� ����� !������ �%� '��$ �$� �����

�$� ��#��%� �%� ��#���� '��� �H� �� ��; ��� �$� �'� ����

!��!� ����� !����-��-��!� �����! �������H�

��

���������;

�� �$� ���� ��

�$� ���!!���

�!)!) �������

���!��%���! '��� ��������� %!�� �� ��#�! ����� � !�<�

���� �� � � ��#�� �� ����#� � ��� 1!�������� �" �����! �� ��� 2�

� � ��@ �� � � ��D� &$�!� $���! '��� ���� �$� !��� ��� ���$

�$� ���� !��!� 3�� �$� 8��!!�-��!����%��� ��!� �$� �#�����

������%�� �� �$� ��!� � ��#�� � '�! !�� !%$ �$�� ����� �� �#0������ &$� ������!� >: ���!��%���! '��� ��������� �"

!����� ��� ��#� '���$! ���!! �$� �!�%��-����� �� �.%�� �� ��#���

3�� �$� ��' �?� �#������ � ��������� ��� ������ �� ���� �%����%���" �� ������� '��$ � ���� #-� 6�" '$� �$� ��!��� !����!��

'�! $���� �� 5� '�! �� ��!!��" �� �!��� � !�%�� ��� �$�

������� ��%�$ � ����� �� ����%� � ���� ���� &$�� �!� �$� ���������

��!��%��! ����%�� '$� � %����� #- '�! %!�� �� ��!���� �$�

'��� !�%�� '��� !%�������" !���� �$�� �$��� ������%��! '���

!����!�����" ��������� C�'����� �$� !������ ��������� �� �$�

��!��%��! ��� $��� �$� ��'�� �� ��!������� ���'�� �$�! ��!��%��

����� �� �$� ��������� ��!��

3��� � !$�'! �$� ����� �����! �� �$� B,-��" �%!���+ ���

�$� $��$ �?� ����� &$� ���-���� ���� !$�'! �$� ��%�$� �� ��

�� �$� �����<����! �� �$� ��!����� ���� �! !$�' �����$ �$�!� 9��$

�$� !������ �%� �� �$� !$����" ������ ���!!�� �� �$� ����-

�%��� �� ��!� ��� ���" ������� &$� ��#�-������� ��%�$ ��� �$�!

�����%��� , �! !$�' � �$� ���-���$� ���� �� �$� ����!�����

>:-������� ��%�$ �! ������ � �$� ���� ����� (� � �� !��

�$�� �$� ��!� �! ������" !%����!!�� �" �$� ��#� ���$�� �� �%$

�� �$� ������ ���!!�� $�! ��� �������� � !%��!� !���!� &$�

>: ���!��%��� ��!� ������! ��!� � �$� ����� �����!� �%� ��

����� ����� !�%���%! ����%��! ��� �����%��� �!!������" ������ ��

�$� ��!�� ��!�� �� !���� ������ �$� >: ������%��� ���! �� �� �

���� 5�� �� �������� �$� %!������ ��������

>��� �������� ��!%��! ����� �$� ������ !%���� ����$��!!

�������! ��� !$�' � 3��� ;� ��� ���$ �$� $��$ �� ��' �?� ����

!��!� &$� ��� ��#�-������� �������! ��� ���' �! ������ ���!

���� '��$ ����� ���! !$�'�� �$� !������ �������� �� �$�

������%�� >��� I���� ���!��%���!� :�� ����� %���!

�����!�� �$� ����!����� >: .%������!� (� �! ������� ��

���!!%���� �����%����" ��� �$� $��$ �?� ����� �$�� �$� ��#�

�������$� ���! �� ����%� !������ �������!� �������� �� '$��

��!� �����<���� $�! ��� %!��� &$� >: ��!%��! !$�' �

!��������" ������ ��!���!�� � �$� ���!��%���! ���!��

���� �$� �������� ��!� �����<����!� C�'����� ��� �$� ��#�

*� ��� 2( �<��%�$���" �������� �������!� !$�'�� �$� ��������� �� �$�

��#� 1������ %���!2 �� >: 1���-��!$�� %���!2 �������$�! ���

���!��%��� $��$ 1%���� ����2 �� ��' �?� ���� �������!� ���� ���!

� �$� ���!��%��� ��!%��! �����!�� �$� !������ �������� �� �� >���

I���� �����<����! �� �$� !��� ��%�$� 3�� �����"� �$� ����� ���! ��� �$� >:

��!%��! $��� ��� ��!����� ���� �� �$� ���$�� &$� �%�� '���$ $��� ��#��%�

�� �$� ���� �! ��� ��#��!� 3%�� �� !$���-��!$�� %���! �����!�� �$� ��%�

� �������! �� �$� ����� ��!�������"�

��D 4! 56�

� ���� ���� >?��� "#$� ��@)��@

Page 10: A speedy pixon image reconstruction algorithm

���!��%���!� �$� ����� ���! ��� !%�������" !���� �$�� �$�

!"!������ ��������! ���'�� �$� ������� �� ��%�� ��%�$! �

�� !��� &$�!� ��� ����%�� �" �$� ��� �� ��$�!! � �$� ��#�

��!������ '$�$ ����! �� � �������� ��� �����%��� �������!�

?�����$���!!� �� �! ��%����� �$�� �$� !����" ��#� �������$�

� "���� !%$ ��!%��! ��� �'� ���" �������� .%����" ���� !��!� (

�������� �$� !%����!!�� �� ��!� �! ���" ��������� '��$ � $�� ��

�" !�%���%! !�%��! ���� ����%�� � �" �� �$� �����<����!

��� ��� �$� ��' �?� !��%�����!� � ����!� �� �$� >:

���!��%���!�

$ ����-!�����

&$� ������! �� � !����" ��#� ���$�� ��� ����� ���!��%���

$��� ��� ����� &$�! �������$� �! !%$ �$�� �$� �������� ��

�;D� ��#�� �����! �! ��!!���� %!�� ��" � ��' ��%��! � � �"����

'���!������ &$� ��������� �� �$� ���$�� �� �'� �"��! ��

!��%����� ���� !��! !$�'! ��! ������" �� ����� !�%��! � ��'

�?� ���� '��$�%� �����%�� !�%���%! ��5��!� � ������� ��

��������� �$� �!��%����� �!�� &$�!� ��!%��! ��� � ������

���������� ���� � !����� >: ���!��%��� �����%�� '$�$ �!

������� � �$� ���� ��#�� ���� �� ��%��! � %����� ����� �����

����� � ���� �������� !�%�" �� �$� ������" �� �$� ��#� ���$�� ��

��� �%!���! �$��%�$ �$��� �* ��!������ �� I>9 ���! �! �

������!!� ��%��� � ������!� '��$ > >�

�����3-& 4%&���

( '�%�� ���� �� �$�� =����� �!���$��% ��� $�! $����%� �����!�

��%��� ������ �%� �� �� �$� �#�!��� �� ��#�!� �%M�����

L��!!� ��� $�! I>9 ��� �� ��" %!��%� ��!%!!��!� �����

4$��� ��� �������� �� ������! �� $����%� !%���!���!� �$�%

I��� ��� 33& �!!�!��� �� ��%� 9%���� 6��� :�$�� �� �����

������� ��� ������ ����$������ &$�! '��� '�! ������ �%�

'��$ �$� !%����� �� � 88��I ��!�������� �����'!$���

�&*&�&��&�

9% �� 3�!$�� L� 9�� C����� N�� :�$�� 6�� ���� U�� *���%�� ��� �����

��U� � �� :H;

I�������� ��� 3%!�-3����� ��� ��HD� �7�� ��� � H

��#� �� ��� �� ���� ���D� �7��� ���� D@

��#� �� ��� �� ���� ���H� ��U� �@�� @��

�� �� ��� ?������ U� 3�� 3��� I� ��� ���@� ��U� ;� � ;D�

3�!$�� L� 9�� :�$�� 6�� C����� N�� :"��-9��� ��� *���%�� ��� ���;�

>?���� �H�� @@;

=%�� �� 3�� ��@�� � ������� U�� ��!� >�#��%� ����" �� 9�"�!��

>��$��!� L�%'��� ������$�� �� ;

C��!� >� 8�� U��! �� 4�� :�!��" �� ?�� 9�%$�� 3� ��� ���@� >?����

��� �

L�M��!���� U�� �� ���� ���D� �8( � �@�D� @D

:�$�� 6�� 3�!$�� L� 9�� C����� N�� �$��� I�� *���%�� ��� ����� ��U� �� �

:�

>����� &� ��� C%�!� C� ��� L�!%�� &�� 8%����� �� I�� 8�J� �� L�� ���D�

��U� �DD� ;@;

>��$��� L� U�� ����� ��U� ;�@� @�

8�J� �� L�� 8%����� �� I�� ����� 8��8� ���� ���D188��2

8�J� �� L�� 8%����� �� I�� ��� � 8��8� ��;� D �188� 2

8��!! 4� C�� �$�$��� 8�� ��H�� ��U� �@H� ��;

8��!! 4� C�� &�%���!�" �� ��� ��������� 4� &�� 3����" 9� 8�� �����

?%������ �����!� I�������� K��� 8��!!� I��������

8%����� �� I�� ���D� �8( � �@�H� ��

8%����� �� I�� 8�J� �� L�� ��� � �8( � ���D� ��;

8%����� �� I�� N�$�� ��� ����� � >�$����� ��� 8���� ��� ������! ��� ��!�

��8 I��� ����� �!�������� ���� ���"!�! ����'��� �� �"!���!

�(((� �!���� ��� 8��� �� 3���!�� �� �H

�"���� =� 9�� 8��!! 4� C�� ����� ��U� �@� �D�

���5�� K�� *���������� >�� ���D� ��U� �D�� � H

������� U�� ��@�� � ������� U�� ��!� >�#��%� ����" �� 9�"�!��

>��$��!� L�%'��� ������$�� �� �;

���<�� �� 9�5��%� ��� >��! =�� ����� �7�� ��H� ��

����$ I� C�� ����� �� L�� >���� &� U� &�� ��$� 8� 3�� 8%����� �� I�� 8�J�

�� L�� ���;� >?���� �H � ;�

�%"��� �� ��� *��+����$ N��9�� ��H�� I���� �!����$"!� ���� 8$"!�� ��

�H

&�%��� U�� 8�� 6�� ������S ��� ����� �� U�� �@� � �

4���� ?�� ����� #���������� �� �����$�� �� ��������" &��� �����!�

4���"� ?�' N���

�,,&� �0 � � ���5!4��& 4�� �&��

%���%�6����� &���-�

&$� ��!� ��5����" �� �$� �% ���� �� �$� !����" ��#� ���$�� �!

!��� ��%����� �$� ���������� �� �$� ��!��� !����!�� '��$ ��!���

�� �$� ���!������ �!�%��-����� ���%�!� ��� �� ����%���� �$�

������� ��%�$ ��� � ���� ��� � �%��� �� !����� $���! �� �$�

?%������ �����! ��� �����<���� ��%���� ������ !�����-

���" ���%� �$� %���� �� �%��� �� ���������� ���!� �� �$%!

����� � ����� $���� 1� ���� �������� ��!%!!�� �� !��� ��

�$�!� �!!%�! �! ������ �� $���/TT'�������$"������%�T����"TT

������$����2

3��!�� �$� ����%�� ������� ��.%�!��� �" ����� �! ��� ����!

���� !������ �$� ��� �� ��� �$�! ���������� �����"� �$�

������ �%�!!�! �� �������� �$� !��� !�<� ��.%���� �� ���$ �$�

�%��� ����%� ���� �$� $�!� ������� � �� ���� ����

��������"� ���$�� �$� ������ �$�� ��#�� �� � �� �� �$�!� !�<�!

!$�%�� ������ �$� ��� �$�� �$� �������� !���! � ��������� !���

��� �����" �� $��� !������ �����%��!� &$%! �$� �������" �%�!!��

!��� !�<� !$�%�� �� ����!��" ����������� �� �$� ���%�%! �� �$�

����� ���� '$�$ �$� !��� �! �� �� ����� ( �������� ����'��

�$�!� �!������! �� ����� �� ������%! ���%�! ��!� ����! �� � ����

����� �����<����� &%�� �$� ��%��� ���� �$�!� ���! ����! �� �

!���� %� �� ���%� � ����� �� �����%�� ��� �$� �#�����!

�!������ � �$�! ������

�,,&� �0 � � ��-�!-����� �* �'&

%��* �� ������� �� &��7���7&�

&$� �5%���� ������� ��!��� !����!�� �����<���� ��.%���! �$�

����%���� �� �$� ������� ����������! �� �$� !����!�� 1$��������

�������� 2 '��$ ��!��� �� �$� ���!������ �!�%��-�����

��������!� &$� $�� �%�� ��� ������������� ����!

������ ��

���������������� � �9��

������ �$� ������� ���������� �� '��$ ��!��� �� � �#0����� �"91�2� �$� ���������� �� '��$ ��!��� �� �$� �!�%��-����� � ��

'����� �!

����� �����#����

7���� �����F��9 � �� � 4�� � 3�G���� �9��

4� �����!��! � ��!� �$�� �! %��" � ��#��! '��$ � � �� �� <���

��$��'�!�� &$� ��%����� � �� !�� �� �� � !����! �� ���#����������!� $�� �$� � ��� � !����� 9 �! ������" !$�' �� ��

�/��� /�2�� ����� ��$������$���� ��H

� ���� ���� >?��� "#$� ��@)��@

Page 11: A speedy pixon image reconstruction algorithm

���T1���2 �� ���,����,� ��� �#0������,� ��� ��� �� ��

���� ��!�������"�( �$� �!� �� �$� �%����������� �� �$� ��!��%��! '$� �$�

��������� ��!� ������%�� �! �������� �� !���� ��

��!���� � �$� ����� 1���� ��� �$� �#�����! �!������ �

����� ��2� �.%���� 19�2 �! !���� ���������� �%� �$� ���������� ��

5� '��$ ��!��� �� � �#0����� ���! �� ��%�� � !%� ���� ��� ����!/

9��� � ��

���

��

��������� �� � ���� ���� �9 �

&$� !%� �� ��!��%��! ���! ���� �$� ���������� �� �1�2 '��$ ��!����� �1�2�4$� �$� ��������� ��!� ������%�� � ��!� �����! %�� �$�

!���� � �$� ��#��� �! �! �$� �!� ��� �$� 8��!!� ��!� %!�� � �$�

�#�����! � ����� ��� �$� ���������� ��%����� �����!

!���'$�� ���� �������� �������� ��� �� �.%���� 19�2� �$�

��.%���� ���� ��� 9 �����!

9��� � ��

��

����:����;��� �� � ;��� ���� �9��

'$���

:��� � ,���� ��;����� �#0����� �� �9;�

��

;��� � ����������������������� �#0�����

� �9D�

&$�! ����� $�! ��� �"��!�� ���� � ���T��� ���� �������� �" �$� �%�$���

��@ 4! 56�

� ���� ���� >?��� "#$� ��@)��@