A Villamosságtan Alapjai

7/24/2019 A Villamosságtan Alapjai

http://slidepdf.com/reader/full/a-villamossagtan-alapjai 1/300

PETKOVICS IMRE

A VILLAMOSSÁGTAN ALAPJAI

TANKÖNYV

KÉSZÜLT AZ APÁCZAI CSERE JÁNOS ALAPÍTVÁNY TÁMOGATÁSÁVALSZABADKA, 2000



EL!SZÓ

A szabadkai M!szaki F"iskolán #996 óta mindhárom szakon magyarul is hallgatható Avillamosságtan alapjai kötelez" tantárgy. Az #996/97-es iskolaévt"l kezdve készül ez a

tankönyv, amely alapozó jelleg! a hallgatók számára. Els"dleges célja, hogy a villamosságtan

alapfogalmait, alaptörvényeit és a nemzetközileg elfogadott normákat ismertesse. F"leg a

jelenségek fizikai oldalát igyekszik kidomborítani, nem belebonyolódva a matematikai apparátuslabirintusaiba. Matematika nélkül, persze, nem lehet tanulni és tanítani villamosságtant, de a

tankönyv még a Maxwell egyenletekig (a vektortér divergenciájának és rotációjának fogalmáig)

sem vezeti el az olvasóját. Megelégszik a jelenségek makroszkopikus szint! leírásával. Elvétve

található csak egy-egy “kirándulás” az anyagtechnológia világába, hogy a törvényszer !ségek

miértjére, más törvényszer !ségekkel való kapcsolataira rámutasson. Az az elenyész" számú

mikroszkopikus szint! leírás (pl. az egyenáramok megfogalmazásánál) pedig a legels"

közelítésre, a legegyszer ! bb modellre szorítkozik. A villamosságtan alapjait képez" jelenségek

és törvények már több, mint száz éve ismertek a tudomány számára. Ezt a témakört már nagyon

sok kutató és pedagógus feldolgozta, átdolgozta. Felvet"dik a kérdés, vajon mi szükség van

akkor erre a könyvre? Hiszen az irodalomban szerepl"

könyvek-munkák jó része klasszikussá,meghatározó jelleg!vé vált az utóbbi harminc évben. A válasz sokkal hétköznapibb, mint bárki

gondolná: magyar nyelven itt, Jugoszláviában, az érvényben lév" tantervnek megfelel"

szakkönyv még nem készült.

A villamosságtan alapjai nev! tantárgy, annak ellenére, hogy a villamosságtan alapjai már

lassan másfél évszázada nem változnak, id"r "l-id"re módosul. Nem a témakör változik, hanem a

tantervet szabogatják ki-kihagyva bel"le egyes (a nagylépték ! m!szaki – f "leg

számítástechnikai-informatikai – fejl"dés következtében) háttérbe szoruló részeket. Ennek a

tankönyvnek is vannak olyan fejezet-részei, amelyek a megjelenés idejében már nem képezik a

tárgy “oktatandó tömegét”. A kép teljességének érdekében azonban nem csonkítottam meg az

anyagot. A tankönyv természetesen els"sorban a leend" villamosmérnökök számára készült, devélhet"leg használni tudja majd mindenki, aki köszön"viszonyba akar kerülni a villamosságtan

alapjaival (akár önkéntesen, akár kényszerb"l). A tankönyv anyaga a hallgatók megsegítése, és a

tantárgy jobb elsajátítása céljából az Interneten és CD-n is megjelenik.

A tankönyv rögzíti az órákon el"adott, valamint a táblagyakorlatokon begyakorolt anyagot.

A következ" lépés, a hálózatépítés és hálózatanalízis számítógépes szimulációja, remélhet"leg

hamarosan beindul. Nem lenne jó, azonban, ha mindezek háttérbe szorítanák a mással igazából

nem pótolható laboratóriumi gyakorlatokat. A tankönyvben az általam legfontosabbnak és

nehezebbnek vélt témaköröknél szemléltet"-magyarázó példák találhatók. Minden fejezet végén

ellen"rz"

kérdések sorakoznak felölelve a tananyag teljes egészét. Jó szolgálatok tehetnek azoknak, akik ellen"rizni szeretnék tudásukat.

Kihasználom az alkalmat, hogy köszönetemet fejezzem ki els"sorban családomnak, de

kollégáimnak és munkatársaimnak is az anyag összeállításánál, illetve a tankönyv megírásánál

nyújtott segítségért.

Külön köszönöm az Apáczai Csere János Alapítvány támogatását.

Petkovics Imre

[email protected]

Szabadka, 2000.07.25.



Alkalmazott jelölések (szimbólumok) jegyzéke:

Jelölés A jelölés jelentése Egység Az egység neve

Q töltésmennyiség C coulomb

∆Q próbatöltés C coulombe az elektron töltésmennyisége C coulomb

F er ! N newton

k a Coulomb törvény arányossági

tényez! je 2

2

C

m N ⋅

ε0 a vákuum permittivitása

(dielektromos állandója)

⋅ 2

2

m N

C

m

F

r0 egységvektor

E villamos tér (térer !

sség-vektor)mV

σ az elektrosztatikában felületi

töltéss"r "ség 2m

C

ρ az elektrosztatikában térbeli

töltéss"r "ség 3m

C

A munka J joule

V potenciál V volt

U feszültség (potenciálkülönbség) V volt

p dipólusnyomaték (momentum) C·m

Ψ a villamos tér fluxusa V·mC kapacitás F farad

P polározás vektora

(polarizációvektor) 2m

C

χe villamos szuszceptibilitás -

Q p kötött (látszólagos) töltések C coulomb

D eltolási vektor 2m

C

We a villamos tér energiája J joule

we a villamos tér energiájának

térfogats"r "sége 3m

J



TARTALOMJEGYZÉK

1. BEVEZET! ...................................................................................................................................................... 1 1.1. Történelmi áttekintés .................................................................................................................................. 1 1.2. Az anyagok felépítése, a villamos (elektromos) er" és az elektromosság fogalma ................................ 4

1.3. A töltéssel rendelkez" testek definiciója ................................................................................................... 4 1.4. Az villamos (elektromos) töltés mértékegysége és jelölése ...................................................................... 5 1.5. Az atom méreteir"l és két test érintkezésér"l az atomelmélet szempontjából ...................................... 5 1.6. Vezet"k, szigetel"k és félvezet"k ............................................................................................................... 6 1.7. Alap- és származtatott mennyiségek és mértékegységek ........................................................................ 6 1.8. Alapismeretek a vektormennyiségekr"l ................................................................................................... 7 1.8.1. A vektormennyiségek definíciója ........................................................................................................ 7 1.8.2. Vektoralgebra ....................................................................................................................................... 8 1.8.2.1. Vektorok összege, különbsége, skalárszámmal való szorzata .................................................... 8 1.8.2.2. Skalárszorzat ................................................................................................................................... 9 1.8.2.3. Vektorszorzat .................................................................................................................................. 10 1.8.2.4. Vegyes szorzat ................................................................................................................................. 11 1.8.2.5. Kétszeres vektorszorzat .................................................................................................................. 12

1.8.2.6. A felületelem mint vektor ............................................................................................................... 12

2. ELEKTROSZTATIKA .................................................................................................................................... 13 2.1. Az elektrosztatikus er"k ............................................................................................................................. 13 2.1.1. Coulomb törvénye ................................................................................................................................. 13 2.1.2. A szuperpozíció-elv ............................................................................................................................... 15 2.2. A villamos tér .............................................................................................................................................. 15 2.2.1. A villamos tér fogalma és vektortermészete ....................................................................................... 15 2.2.1.1. A villamos (elektromos) térer"sség er"vonalai ............................................................................ 17 2.2.1.2. Felületi és térbeli töltéseloszlások és villamos terük .................................................................... 17 2.2.2. Az elektromos tér potenciálja .............................................................................................................. 19 2.2.2.1. Az elektromos er" munkája ........................................................................................................... 19 2.2.2.2. Az energiamegmaradás törvénye és felhasználása az elektrosztatikában ................................. 20

2.2.2.3. A villamos tér potenciáljának definiciója és a potenciálkülönbség ............................................ 21 2.2.2.4. Ekvipotenciális felületek, a potenciál és a térer"sség-vektor közötti kapcsolat ........................ 24 2.2.2.5. A dipólus potenciálja és tér"sségvektora ...................................................................................... 26 2.2.2.6. A felületi és térbeli töltéseloszlás potenciálja ............................................................................... 27 2.2.3. Gauss törvénye ...................................................................................................................................... 27 2.2.3.1. Gauss törvényének levezetése ........................................................................................................ 28 2.2.4. Vezet"k az elektrosztatikus térben ...................................................................................................... 30 2.2.4.1. A vezet" felszínén lev" felületi töltéss#r#ség és a felszín közelében lev" térer"sség kapcsolata 31 2.2.4.2. A töltésmennyiség eloszlása különböz" alakú magányos vezet" testeken ................................. 32 2.2.4.3. Influencia (elektrosztatikus indukció vagy megosztás) ............................................................... 33 2.2.4.4. A vezet" testek töltése és potenciálja közötti kapcsolat, kondenzátorok és azok kapacitása .. 35 2.2.4.4.1. A kondenzátorok soros és párhuzamos kötése .......................................................................... 37 2.2.4.5. A potenciál és a térbeli töltéss#r#ség-eloszlás közötti kapcsolat (Poisson egydimenziós

egyenlete) ................................................................................................................................... 38 2.2.5. Szigetel"k az elektrosztatikus térben .................................................................................................. 39 2.2.5.1. A villamos polározás vektora (polarizációvektor) ....................................................................... 40 2.2.5.2. Kötött (látszólagos) villamos töltések ............................................................................................ 42 2.2.5.3. A villamos tér homogén szigetel"kben (az abszolut és relatív permittivitás) ............................ 43 2.2.5.4. Gauss törvényének általános alakja .............................................................................................. 45 2.2.5.5. Az er"vonalak törési törvényei (határfeltételek) ......................................................................... 47 2.2.5.6. Az eltolási vektor fluxuscsatornája ............................................................................................... 48 2.2.5.7. A szigetel"k kritikus (átütési) térer"ssége .................................................................................... 49 2.2.5.8. A visszamaradt polarizáció ............................................................................................................ 51 2.2.5.9. Ferroelektromos (szenyetto-elektromos) anyagok ....................................................................... 51 2.2.5.10. Elektretek ...................................................................................................................................... 52 2.2.5.11. Dörzsölési elektromosság ............................................................................................................. 53

2.2.6. Er"k az elektrosztatikus térben ........................................................................................................... 53 2.2.6.1. A feltöltött kondenzátor energiája ................................................................................................ 54

2.2.6.2. Az energias#r#ség az elektrosztatikus térben .............................................................................. 55



2.2.7. A változó villamos térben elhelyezked" dielektrikumok veszteségei ............................................... 58 2.2.8. Villamos töltések mozgása elektrosztatikus térben ........................................................................... 60 2.2.8.1. Villamos töltések mozgása homogén villamos térben .................................................................. 60 2.2.8.2. A villamos töltések mozgása inhomogén villamos térben ........................................................... 62 2.3. Ellen"rz" kérdések ...................................................................................................................................... 62

3. EGYENÁRAMOK – ELEKTROKINEMATIKA ......................................................................................... 67 3.1. Elektromos áram szilárd és folyékony vezet"kben .................................................................................. 67 3.1.1. Az áram s#r#sége és az áram er"ssége ............................................................................................... 69 3.2. Kirchhoff els" törvénye .............................................................................................................................. 73 3.3. Az elektromos áram áramlási tere ............................................................................................................ 75 3.3.1. A fajlagos ellenállás és fajlagos vezet"képesség ................................................................................. 75 3.3.2. A vezet"kben h"vé alakuló villamos energia teljesítménys#r#sége ................................................. 75

3.3.3. A!

!

JE

=ρ

kifejezés elméleti levezetése ............................................................................................ 77

3.3.4. A fémek fajlagos ellenállása ................................................................................................................. 78 3.3.5. Az elektronok mozgékonysága a fémekben ........................................................................................ 80 3.3.6. A szupravezet"k .................................................................................................................................... 80

3.3.7. Az elektrolitok vezet"képessége ........................................................................................................... 81 3.3.8. A dielektrikumok (szigetel"k) vezet"képessége ................................................................................. 82 3.4. Az elektromos ellenállás és Ohm törvénye ............................................................................................... 83 3.4.1. Az ellenállások soros, párhuzamos és vegyes kapcsolása .................................................................. 86 3.4.2. Az ellenállás h"fokfüggése ................................................................................................................... 88 3.4.3. A feszültség referenciairánya az ellenállásokon ................................................................................. 89 3.4.4. Földelések ellenállása ............................................................................................................................ 89 3.4.4.1. A lépésfeszültség .............................................................................................................................. 91 3.5. Joule törvénye ............................................................................................................................................. 92 3.6. Villamos generátorok ................................................................................................................................. 95 3.6.1. A feszültséggenerátor forrásfeszültsége és bels" ellenállása ............................................................. 97 3.6.2. A generátor kapocsfeszültsége ............................................................................................................. 99 3.7. Áramer"sség és feszültség az áramkörben ............................................................................................... 101

3.7.1. Az áramer"sség meghatározása az egy generátorból és egy ellenállásból álló áramkörben ......... 101 3.7.2. A több áramforrást és több ellenállást tartalmazó áramkörök áramer"sségének meghatározása 103 3.7.3. Feszültség és potenciál az áramkörben ............................................................................................... 104 3.8. A villamos hálózatok és Kirchhoff második törvénye ............................................................................. 105 3.8.1. Röviden a villamos hálózatokról ......................................................................................................... 105 3.8.2. Kirchhoff második törvénye ................................................................................................................ 106 3.9. Áramgenerátorok ....................................................................................................................................... 107 3.10. Hálózatanalízis .......................................................................................................................................... 110 3.10.1. A hálózattopológia alapfogalmai ....................................................................................................... 110 3.10.2. Hálózatszámítás a Kirchhoff-törvényekkel ...................................................................................... 113 3.10.3. Hurokáramok módszere .................................................................................................................... 115 3.10.4. Csomóponti potenciálok módszere .................................................................................................... 118 3.10.4.1. A csillag-háromszög átalakítás .................................................................................................... 121

3.10.5. A szuperpozíció elve ........................................................................................................................... 124 3.10.6. A felcserélési tétel (Reciprocitás tétele) ............................................................................................. 126 3.10.7. Thèvenin- és Norton-tétel ................................................................................................................... 128 3.10.7.1. Feszültséggenerátorok kapcsolása .............................................................................................. 130 3.10.8. A kompenzáció (helyettesÍtés) tétele ................................................................................................. 131 3.10.9. A teljesítménymegmaradás tétele ...................................................................................................... 132 3.10.10. A hálózat egyéb meoldási eljárásai ................................................................................................. 132 3.10.10.1. Arányos mennyiségek eljárása (létrahálózat) .......................................................................... 133 3.10.10.2. A szimmetrikus hálózatok megoldása ....................................................................................... 133 3.11. A nemlineáris áramköri elemek .............................................................................................................. 135 3.12. Átmeneti jelenségek az RC hálózatban ................................................................................................... 137 3.13. Kondenzátorokat tartalmazó hálózatok ................................................................................................. 142 3.14. Ellen"rz" kérdések .................................................................................................................................... 144

4. STACIONÁRIS (ID!BEN ÁLLANDÓ) MÁGNESES TÉR ....................................................................... 1494 1 Két áramelem között ható mágneses er" 149



4.2. A mágneses tér fogalma, mágneses indukció vektora, Biot-Savart törvénye ........................................ 150 4.2.1. Mágneses indukcióvektor az áramhurok síkjának pontjaiban ........................................................ 154 4.3. A mágneses térben lev" áramhurokra ható er" és forgatónyomaték .................................................... 156 4.4. Villamos töltés mozgása mágneses és elektromos térben ....................................................................... 157 4.4.1. A ciklotron elvi m#ködése .................................................................................................................... 158 4.4.2. Hall effektus .......................................................................................................................................... 159

4.5. A mágneses indukció vektorának er"vonalai ........................................................................................... 160 4.6. Mágneses indukció fluxusa és a mágneses fluxusmegmaradás törvénye .............................................. 162 4.7. Ampère törvénye ......................................................................................................................................... 164 4.7.1. Példák az Ampère-törvény alkalmazására ......................................................................................... 164 4.8. Anyag a mágneses térben ........................................................................................................................... 167 4.8.1. Diamágneses, paramágneses és ferromágneses anyagok .................................................................. 167 4.8.2. Mágnesezettség vektora ........................................................................................................................ 169 4.8.3. Az általános Ampère-törvény .............................................................................................................. 170 4.8.4. Az elemi Ampère-áramokkal ekvivalens makroszkópikus áramok ................................................ 173 4.8.5. Határfeltételek ....................................................................................................................................... 176 4.9. Általános fogalmak a ferromágneses anyagokról .................................................................................... 177 4.9.1. A ferromágneses anyagok mágnesezési görbéje ................................................................................ 178 4.9.2. A ferromágneses anyagok permeabilitásának definíciója ................................................................ 181

4.9.3. Magnetosztrikció ................................................................................................................................... 183 4.9.4. Mágneses körök .................................................................................................................................... 183 4.9.4.1. Kirchhoff törvényei a vékony mágneses körökre ........................................................................ 185 4.9.4.2. Légréssel rendelkez" mágneses körök .......................................................................................... 187 4.9.4.3. A mágneses körök számítása ......................................................................................................... 188 4.9.4.3.1. Egyszer# mágneses körök számítása ...................................................................................... 188 4.9.4.3.2. Az összetett szimmetrikus mágneses körök számítása .......................................................... 189 4.9.4.3.3. Az összetett nemszimmetrikus mágneses körök számítása ................................................... 190 4.9.4.4. Állandó mágnesb"l készült mágneses kör .................................................................................... 192 4.10. Ellen"rz" kérdések .................................................................................................................................... 194

5. ID!BEN VÁLTOZÓ VILLAMOS (ELEKTROMOS) ÉS MÁGNESES TÉR .......................................... 197 5.1. Elektromágneses indukció ......................................................................................................................... 197

5.1.1. Az indukált villamos tér ....................................................................................................................... 197 5.1.2. Az elektromágneses indukció Faraday-törvénye ............................................................................... 199 5.1.2.1. Az elektromágneses indukció iskolapéldái ................................................................................... 200 5.1.3. Lenz törvénye ........................................................................................................................................ 203 5.2. A potenciál és a feszültség az id"ben változó elektromos és mágneses térben ...................................... 204 5.3. Örvényáramok ............................................................................................................................................ 205 5.4. A szkineffektus és a közelhatás elve .......................................................................................................... 206 5.5. A kölcsönös indukció és az önindukció ..................................................................................................... 207 5.5.1. A kölcsönös indukció-együttható ......................................................................................................... 207 5.5.2. Az önindukció-együttható .................................................................................................................... 208 5.6. Induktív tekercs és ohmos ellenállás az áramkörben .............................................................................. 209 5.7. A mágneses indukció mérése próbatekerccsel ......................................................................................... 212 5.8. Szupravezet"b"l készült vezet"hurok a mágneses térben ....................................................................... 213

5.9. A mágnesesen csatolt áramkörök áramai ................................................................................................. 214 5.10. Energia és er" a mágneses térben ............................................................................................................ 214 5.10.1. A mágneses tér energiája ................................................................................................................... 214 5.10.2. Energiaeloszlás a mágneses térben .................................................................................................... 216 5.10.3. Hiszterézisveszteségek a ferromágneses anyagokban ..................................................................... 217 5.10.4. A mágneses er"k számításának általános módszere ........................................................................ 218 5.11. Ellen"rz" kérdések .................................................................................................................................... 219

6. AZ ID!BEN VÁLTAKOZÓ ÁRAMÚ VILLAMOS HÁLÓZATOK ......................................................... 222 6.1. Bevezet" ........................................................................................................................................................ 222 6.1.1. Különbségek az egyenáramú és id"ben váltakozó áramú áramkörök között .................................. 222 6.1.2. Alapelemek a váltakozó áramú áramkörökben ................................................................................. 222 6.1.3. Kirchhoff törvényei a váltakozó áramú áramkörökre ...................................................................... 224

6.1.4. Teljesítmény a váltakozó áramú áramkörökben ............................................................................... 224 6.2. Alapfogalmak a periodikus mennyiségekr"l ............................................................................................ 225

6.2.1. A periodikus mennyiségek középértéke és effektív értéke ................................................................ 227



6.3.1. A sinusosan változó áram és feszültség el"állÍtása és alkalmazása .................................................. 228 6.3.2. Az áramer"sség meghatározása a sinusos feszültségre kapcsolt passzív alapelemeken keresztül 229 6.3.3. A sinusos mennyiségek ábrázolása forgóvektor segítségével ............................................................ 230 6.3.4. A teljesítmény a váltóáramú hálózatokban ........................................................................................ 231 6.3.5. A váltóáramú hálózatok megoldása komplex számítással ................................................................ 234 6.3.5.1. Kirchhoff törvényei komplex alakban. Impedancia és admittancia .......................................... 235

6.3.5.2. Az elemek soros és párhuzamos kapcsolása. Az elemek csillag- és háromszög-kapcsolásánakazonossága ................................................................................................................................. 237 6.3.5.3. A komplex feszültség és áram ábrázolása a komplex síkban ..................................................... 239 6.3.6. Feszültség- és áramgenerátorok ......................................................................................................... 241 6.3.7. Hurokáramok módszere komplex alakban ........................................................................................ 241 6.3.8. A csomóponti potenciálok módszere komplex alakban .................................................................... 242 6.3.9. A fogyasztók és generátorok komplex teljesítménye ......................................................................... 243 6.3.10. Általános hálózatszámítási tételek ..................................................................................................... 244 6.3.10.1. A szuperpozíció elve ..................................................................................................................... 244 6.3.10.2. A reciprocitás elve ......................................................................................................................... 244 6.3.10.3. Thèvenin tétele ............................................................................................................................... 245 6.3.10.4. Kompenzáció elve ......................................................................................................................... 245 6.3.10.5. A komplex és a pillanatnyi teljesítmény megmaradásának elve .............................................. 245

6.3.11. A fogyasztó generátorra való hangolása ........................................................................................... 245 6.3.12. A fogyasztók teljesítménytényez" jének feljavítása .......................................................................... 246 6.4. Néhány rendhagyó kapcsolás a váltóáramú áramkörökben .................................................................. 247 6.4.1. Áramkörök mágnesesen csatolt ágakkal (légmagos transzformátor) .............................................. 247 6.4.2. Villamos transzformátor ...................................................................................................................... 248 6.4.2.1. A transzformátort helyettesít" Thèvenin-generátor .................................................................... 251 6.4.2.2. A transzformátor bemen" impedanciája ...................................................................................... 251 6.4.2.3. Ideális transzformátor .................................................................................................................... 252 6.4.2.4. A transzformátor általános helyettesít" sémája ........................................................................... 253 6.4.2.5. Autotranszformátor ........................................................................................................................ 254 6.4.3. Rezg"körök ............................................................................................................................................ 255 6.4.3.1. Egyszer# (soros) rezg"kör .............................................................................................................. 255 6.4.3.2. Párhuzamos rezg"kör ..................................................................................................................... 258

6.5. Háromfázisú rendszerek ............................................................................................................................ 261 6.5.1. Általános fogalmak a polifázisú rendszerekr"l .................................................................................. 261 6.5.2. Általános fogalmak a háromfázisú generátorokról ........................................................................... 262 6.5.3. A fogyasztók háromfázisú generátorra való kapcsolása ................................................................... 263 6.5.4. A szimmetrikus háromfázisú rendszerek kivizsgálása ...................................................................... 264 6.5.4.1. A fogyasztók csillagkapcsolása ...................................................................................................... 265 6.5.4.2. A fogyasztók háromszög-kapcsolása ............................................................................................. 266 6.5.5. A háromfázisú fogyasztók és generátorok teljesítménye .................................................................. 266 6.5.6. A háromfázisú és monofázisú rendszerek összehasonlítása az energiaszállítás szempontjából .... 268 6.5.7. Forgó mágneses tér létrehozása két- és háromfázisú áramrendszer segítségével ........................... 269 6.6. Alapfogalmak az üzemmód-változás folyamatairól a villamos hálózatokban ...................................... 272 6.6.1. Folyamatok a soros RC-kör üzemmód változásakor ........................................................................ 272 6.6.2. A soros RC-kör egyenfeszültségre kapcsolása ................................................................................... 273

6.6.3. A kondenzátor kisütése a soros RC-körben ....................................................................................... 274 6.6.4. A soros RC-kör váltófeszültségre kapcsolása ..................................................................................... 275 6.7. Folyamatok a soros RL-kör üzemmód-változásakor .............................................................................. 277 6.7.1. Soros RL-kör egyenfeszültségre kapcsolása ....................................................................................... 277 6.7.2. Az áram megszünése a soros RL-körben ............................................................................................ 277 6.7.3. A Soros RL-kör váltófeszültségre kapcsolása .................................................................................... 278 6.8. Ellen"rz" kérdések ...................................................................................................................................... 279

7. MELLÉKLET ................................................................................................................................................... 284 7.1. Ferromágneses anyagok mágnesezési görbéi ........................................................................................... 284 7.2. Alapmágnesezési görbék ............................................................................................................................ 284 7.3. Lemágnesezési görbe .................................................................................................................................. 285 7.4. Ferromágneses anyagok relatív permeabilitása ...................................................................................... 285

7.5. Paramágneses anyagok relatív permeabilitása ........................................................................................ 286 7.6. Diamágneses anyagok relatív permeabilitása .......................................................................................... 286

7.7. Egyes anyagok relatív permittivitása ........................................................................................................ 287



7.9. Fémek fajlagos ellenállása és ellenállásh"mérsékleti tényez"i ................................................................ 288 7.10. Szigetel"anyagok fajlagos ellenállása ...................................................................................................... 288 7.11. Ellenállás-alapanyagok fajlagos ellenállása és h"mérsékleti tényez" je ............................................... 289 7.12. A tankönyvben alkalmazott trigonometrikus összefüggések ................................................................ 289 7.13. A tankönyvben használt állandók értékei .............................................................................................. 290

8. IRODALOM ..................................................................................................................................................... 291





magnetit) vonzza a vastárgyakat. A vasércdarabokat, amelyek mágneses tulajdonsággalrendelkeznek, természetes mágneseknek nevezzük. Azokat a vastárgyakat, amelyeket atermészetes mágnesekhez közelítünk és maguk is mágnesek lesznek, mesterséges mágneseknek hívjuk. A mágnes pólusai a mágnes azon területei, ahol a mágneses er !k a legkifejezettebbek.Még a régi Kinában (i.e. #20) megfigyelték, hogy a vízszintesen elhelyezett mágnesrúdmegközelít!en a földrajzi észak-dél irányba áll be (egész #600-ig azt hitték, hogy ez az északi

sarkcsillag hatása miatt van). Ennek megfelel!en a mágnesrúdnak az Északi sark felé mutatóvégét északi, a másikat déli pólusnak nevezik. Az egynem" mágneses pólusok taszítják, akülönnem"ek vonzzák egymást. Az elektromos er !khöz és a töltésekhez hasonlóan kezdetbenazt hitték, hogy egy mágnes kettévágásával külön lehet választani a két pólust. Egy mágnesfelezésével azonban, mint tudjuk, két új kétpólusú mágnest kapunk. E tulajdonság miatt, ésamiatt, hogy a mágnes nem hat a nyugalomban lev! elektromos töltésekre, egészen a múltszázad elejéig (#820-ig) úgy hitték, hogy az elektromos és mágneses jelenségek között nincssemmi kapcsolat. A mágneses jelenségekkel foglalkozó tudomány fejlõdése során sokáig azelektromos jelenségekrõl már el! bb megszerzett tudásra támaszkodott. A mágneses er !k kiszámítására el!ször Coulomb fogalmazott meg egy kifejezést, amely az elektrosztatikus er !képletének mintájára készült. Ez a kezdet nem volt megfelel! a mágnesesség további

fejl!déséhez és megértéséhez. Különválasztott mágneses pólusok a természetben nem léteznek,így a mágnesesség elmélete, amely az elektrosztatikával való hasonlóságon alapult, egyúttal sok érthetetlen definícióval és megmagyarázhatatlan jelenséggel is párosult.

Térjünk vissza #820-hoz. Ett!l az évt!l kezdve ugyanis már teljesen egybefonódnak azelektrosztatikus, elektrokinematikus, mágneses, majd kicsit kés! bbt!l (#83#) azelektromaágneses jelenségekkel kapcsolatos kutatások és eredmények is. Oersted felfedezéseután még ugyanebben az évben két francia kísérleti fizikus, Biot (Jean Baptiste Biot #774-#862)és Savart (Felix Savart #79#-#84#) kvantitatív leírását adták a vezet! ben folyó áram mágnesesterének. Az azóta róluk elnevezett törvény pontos megfogalmazásában honfitársuk Laplace(Pierre Simon Laplace #749-#827, matematikus, fizikus, csillagász) segédkezett. Ampère (AndréMarie Ampère #775-#836, francia fizikus, matematikus) még ugyancsak #820-ban felismerte éssok kísérlet alapján megfogalmazta a két áramjárta vezet! (két áramelem) között ható mágneseser ! kiszámítására szolgáló kifejezést, amelyet a következ! évben publikált is. El!ször #826-banírta fel a róla elnevezett törvényt Ohm (Georg Simon Ohm #787-#854, német fizikus), amely avillamos töltések áramlása (az elektromos áram) és az !t létrehozó elektromotoros er ! közöttadja meg a kapcsolatot. Furcsa játéka a sorsnak, hogy elméletét csak tizenöt évvel kés! bb, #84#-

ben ismerték el véglegesen. Faraday (Michael Faraday #79#-#867, angol kísérleti fizikus) #83#- ben felfedezte az Oersted-i jelenség “fordítottját”, neki sikerült ugyanis el!ször átalakítani amágnesességet elektromossággá. Nevéhez sok más felfedezés f "z!dik, de ez valamennyi közül alegjelent!sebb. Az indukált áram irányára vonatkozó kvalitatív törvényt fogalmazta meg #833-

ban Lenz (Heinrich Friedrich Emil Lenz #804-#865, német származású pétervári fizikus)

pétervári akadémikus, amelyben kimondja, hogy az indukált áram olyan irányú, hogy mágnesesterével akadályozza azt a változást amely !t magát létrehozta. #84#-ben Joule (James PrescottJoule #8#8-#899, angol fizikus) megjelentette az áram h!hatására vonatkozó munkáját, #845-ben

pedig az energiamegmaradás törvényét. Ez utóbbi munkájára csupán egyetlen lelkes fiatal tudósThomson (William Thomson, kés! bb Lord Kelvin #824-#907, ír-skót fizikus) figyelt fel, akir !l,ha mást nem, azt illik tudni, hogy ! volt a reg!kör frekvenciáját megadó képlet atyja. Azáramelágazások problémáját csak Ohm törvényének végleges elismerése után oldotta megKirchhoff (Gustav Robert Kirchhoff #824-#887, német fizikus), és Ohm törvényét általánosítvamegfogalmazta a bonyolult hálózatok megoldásának módszerét (a róla elnevezett két törvényt).Az elektromágneses tér teljes elmélete a XIX. század legnagyobb lángelméjéhez, legnagyobbelméleti fizikusához Maxwellhez (James Clerk Maxwell #83#-#879, skót elméleti fizikus)

f "z!dik. Oersted, Ampère és Faraday felfedezéseit általánosítva foglalta egyenletrendszerbe(#862-ben) az elektromosságtant, a mágnességtant és a fénytant. Az elektromágneses hullámok



létezése Maxwell egyenleteib!l könnyen lesz"rhet!, amit kés! bb Hertz (Heinrich Rudolf Hertz#857-#894, német fizikus) #886-ban kísérletileg is igazolt.

Ma már tudjuk, hogy a mágneses jelenségek is (akárcsak a villamos jelenségek) az elemitöltött részecskékt!l származnak. Az egyetlen különbség az, hogy az elektromos(elektrosztatikus) jelenségek akkor jelentkeznek (és mérhet!k) ha ezek a részecskék nyugalomban vannak, míg mágneses jelenségek csak akkor figyelhet!k meg, amikor a

részecskék a megfigyelõhöz viszonyítva mozognak. Például a két mágnes között ható mágneseser !k tulajdonképpen a két mágnes atomjaiban mozgó elemi töltések (az atommag körül kering!elektronok) közötti er !ket jelentik.

A mélyebb ismeretszerzésre, az ok-okozati összefüggések megvilágítására azonban csak azatom szerkezetének felfedezése után, a múlt század végén, illetve századunk, a XX század elejénkerülhetett sor. Az anyag szerkezetér !l els!ként Démokritosz (Abderai Démokritosz, i.e. ~ 460 – i.e. ~ 37#, görög filozófus) fogalmazott meg elméletet, amelyr !l egyes tudománytörténészek elmarasztalóan (elsietett, kiforratlan) mások viszont lelkesedéssel („a filozófiatörténetlegzseniálisabb gondolatcsírája”) beszélnek. Démokritosz az anyagot diszkrét (nem folytonos)felépítés", parányi, tovább nem osztható (a görög atomosz szó jelentése oszthatatlan) részecskék halmazának tekinti, rámutatva a vákuum (az üres) létezésének szükségszer "ségére. A

démokritoszi elképzelést Dalton (John Dalton #766 – #844, angol fizikus és kémikus) fejlesztettetovább. Rámutatott, hogy az atomok közötti vonzóer ! anyagonként változó, és az anyagok halmazállapota az atomok közötti távolságtól (az atomok közötti vonzóer !t!l) függ.Atomsúlytáblázatot is készített. Aztán az oszthatatlannak hitt atomkép is szertefoszlottThomsonnak (Sir Joseph John Thomson #856 – #940, angol fizikus) köszönve, aki #897-benfelfedezte az elektront, minden elem atomjának alkotórészét. Az atom szerkezetének megismerésében sorsdönt! szerep jutott Rutherford (Ernest Rutherford #87# – #937, újzélandiszületés" angol fizikus) szórási kísérleteinek, amelyekb!l egyértelm"en kiderült, hogy az atomkisméret" és nagy tömeg" magból és a mag körül kering! elektronokból épül fel. Az atommag ésaz elektronpályák között vákuum van, az elektronok száma pedig megegyezik az elemrendszámával, vagyis az atom kifelé elektromosan semleges. A klasszikus fizika törvényeiszerint azonban ez a Rutherford által leírt atommodell, a gyakorlattól eltér !en, nem stabilisképz!dményeknek ábrázolta az atomokat. Elvetve a klaszikus elektrodinamika törvényeit Bohr (Niels Henrik David Bohr #885 – #962, dán elméleti fizikus) #9#3-ban új atommodellt írt le,amely szerint az elektronok csak meghatározott pályákon keringhetnek a mag körül, és ilyenkor nem sugároznak. Az atom csak akkor sugároz, ha valamelyik (esetleg több) elektronja pályátcserél. Ezt az atommodellt fejlesztették tovább közösen Sommerfelddel (Arnold Sommerfeld#868 – #95#, német fizikus, matematikus) #9#5 és #922 között. Rutherford #9##-benazonosította a protont, az atommag egyik összetev! jét, és már #920-tól próbálták kimutatni a

protonnal körülbelül azonos tömeg" semleges részecskének, a neutronnak a létezésétChadwickkel (Sir James Chadwick #89# – #947, angol fizikus). Chadwick a neutron felfedezését

bejelent!

cikkét#

932-ben jelentette meg. A kvantummechanika kidolgozásával több tudós isfoglalkozott: Heisenberg (Werner Karl Heisenberg #90# – #976, német elméleti fizikus),Schrödinger (Erwin Schrödinger #887 – #96#, osztrák elméleti fizikus), Pauli (Wolfgang Pauli#900 – #958, osztrák-svájci elméleti fizikus) és Dirac (Paul Adrien Maurice Dirac #902 – #984,angol elméleti fizikus), hogy csak a legismertebbeket említsük. Nekik köszönve újabb,

bonyolultabb atommodellek születtek. Ma már több mint kétszáz a felfedezett és ismert elemirészecskék száma.



1.2. Az anyagok felépítése, a villamos (elektromos) er" és az elektromosságfogalma

Minden ami körülvesz bennünket atomokból épül fel. Az atomok egyszer " eszközökkelnem oszthatók tovább. A természetben 92 fajta atom létezik. Mostani tanulmányozásunkhozelég, ha az atomot úgy képzeljük el, hogy azt egy központi, nehéz részecske (az atommag) ésmeghatározott számú könny" részecske (elektron) alkotja. Ez utóbbiak úgy keringenek aközponti mag körül, mint a bolygók a Nap körül.

A gravitációs er ! hatása révén a bolygók nem távolodnak el a Naptól. Az atomalkotórészei között elektromos er !k hatnak és ezek kényszerítik az elektronokat arra, hogykeringjenek a mag körül. Az elektromos er ! (amely lehet vonzó vagy taszító) az atomon belülsokkal er !sebb mint a gravitációs er ! (amely csak vonzó lehet). Mint ahogy az elektromostestekr !l, az elektromos er !kr !l is csak azt tudjuk, hogy léteznek, de nem tudjuk, hogy hogyan ésmiért hatnak. Ugyanígy nem tudjuk miért hat a gravitációs er ! két test között. Mégis, azegyszer "ség kedvéért azt mondjuk, hogy az er ! két villamos (elektromos) részecske között azelektromosságuk (a töltésük) következménye.

A mag és az elektronok töltése különböz!

: pozitív és negatív. Az elektromos er !

k matematikai megfogalmazásának szempontjából igen hasznos az egyik töltésnek pozitív, amásiknak negatív el! jelet adni, mivel ez lényegesen könnyít a jelenségek matematikaimagyarázatánál. Így már a nevük is utal az el! jelükre.

Az elektronokat nem tudjuk felbontani kisebb részekre. Az elektron egyben a legkisebbnegatív töltés" részecske is, mely a természetben el!fordul. Az atommagot kétféle részecskealkotja: a proton és a neutron. A protonok pozitív töltés"ek és számuk megegyezik azelektromok számával. A neutronoknak nincs töltésük. Tömegük megközelít!leg egyforma a

protonokéval és majdnem 2000-szer (#835-ször) nagyobb az elektronokétól. Ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy az atom szinte teljes tömege a magban található.

Egyforma vagy különböz! vegyi elemek két vagy több atomja társulhat. Például: egy vagy

több elektron lehet közös elektronja ennek a társulásnak, és ezek keringhetnek a társult atomok magjai körül különböz! összetett pályákon. Az ilyen atomok csoportját, társulását nevezzük molekulának.

A természetben a legösszetettebb atom az urán atomja, amely 92 elektronnal rendelkezik.Atommagja 92 protonból és #46 neutronból áll. Mesterséges úton létrehoztak még néhányösszetett atomot és ezeket transzuránoknak (uránon túliaknak) nevezzük.

1.3. A töltéssel rendelkez" testek definiciója

Az atomokon belül az elektronok különböz! szinteken helyezkednek el, amelyeketelektronhéjaknak nevezzük. Egyes esetekben és bizonyos körülmények között egy elektron asaját atomja küls! héjáról leválhat és egy másik atom küls! héjához csatlakozhat. Ilyenesetekben mindkét atom elveszti semleges töltését és elektromos (villamos) er !kkel hatnak egymásra, még akkor is ha egymástól aránylag messze vannak.

Egy test, melynek minden atomja semleges, maga is semleges. Két ilyen test közöttsemmilyen elektromos er ! nem hat. Ha egy megfelel! számú atomból valamilyen módonelveszünk egy-egy elektront, vagy hozáadunk valamenyi elektront a test villamossá(elektromossá) válik. Két elektromosan töltött test között villamos (elektromos) er !k hatnak.Ezek az er !k lényegében véve azon elektromos er !k ered! jének tekinthet!k, amelyek a testeken

fellelhet!

töltéstöbbletek között hatnak.



A testek elektromossá tétele dörzsöléssel: dörzsölés folyamán egy meghatározott számúelektron átjut az egyik test küls! elektronhéjáról a másik test küls! elektronhéjára, így mindkéttest elektromossá válik.

1.4. Az villamos (elektromos) töltés mértékegysége és jelölése

Ahhoz, hogy egy test elektromos töltését meg tudjuk határozni, ki tudjuk fejezni,ismernünk kell a villamos töltés mértékegységét. Mivel a testek villamos töltése mindig egészszámú elektron vagy proton töltésével egyenl!, ezért természetes lenne, hogy az elemi villamostöltést vegyük mértékegységként. Tudjuk azonban, hogy egy elektromos testnek általában többmilliárd elektron- vagy protontöbblete van, ezért sokkal nagyobb mértékegységre van szükség.Az elektromos töltés mértékegysége a coulomb (C):

A villamos töltés jeleként a nagy Q jelet használjuk. A Q lehet pozitív vagy negatív, ezértazt mondjuk, hogy a Q a villamos töltés algebrai értéke.

1.5. Az atom méreteir"l és két test érintkezésér"l az atomelméletszempontjából

Ha az atommagot úgy képzeljük el mint kis golyót, akkor a sugara m ésm között mozog. Ha ugyanebben az alakban elképzeljük az elektronokat (mint kis gömböket),azoknak a sugara m. Magának az atomnak a sugara m. Az atom térfogatában arészecskék nagyon kis térfogatrészt foglalnak el, az atom térfogatának legnagyobb részét üres tér képezi, amelyet vákuumnak nevezünk.

Felvet!dik a kérdés: ha az atom ilyen "üres", akkor, hogyan lehet megmagyarázni két testösszeütközését. Miért nem hatolnak át a test atomjai a másik test atomjai között? Kalapáccsalmiért üthetünk az ujjunkra?

Ilyen ütés alkalmával valójában nem kerül sor érintkezésre sem a testek, sem az atomok, demég az atomok elektronjai között sem. Amikor a kalapács atomjai megközelítik a kéz atomjait

egy er !s taszító er ! kezd hatni az elektronok között. Ez a taszító er ! átviv!dik a kéz atomjaira(fájdalom kíséretében) egyetlen atom ütközése illetve érintkezése nélkül. Persze ez gyengevigasz annak, aki kalapáccsal a kezére üt.

Így nem kell csodálkozni azon, hogy két, töltéssel rendelkez! test már távolról hategymásra, anélkül hogy valamilyen test vagy közeg továbbítaná ezt a hatást. A hatástovábbítást avillamos térnek tulajdonítjuk, amely minden fajta közegben, még a vákuumban is jelen van atöltéssel rendelkez! test közelében.



1.6. Vezet"k, szigetel"k és félvezet"k

Az összes kémiai elemet, amelyekkel találkozhatunk a természetben, elektromosszempontból három csoportba oszthatjuk.

Az els! csoportba tartoznak azok az elemek, amelyeknél normális feltételek mellett azelektronok a küls! pályán szorosan kapcsolódnak az atomhoz vagy atomcsoporthoz amely

molekulát alkot. Ezeket az elemeket szigetel!knek, vagy dielektrikumoknak nevezzük. Haideális szigetel! közelébe egy elektromosan töltött test kerül, a villamos er ! hatni kezd azatommagra is meg az elektronokra is a szigetel!anyagban, de elektron nem távozik az atomból,csupán az atom kismérték " deformációját figyelhetjük meg. A valóságban el!fordulószigetel!knél ilyen esetben elektronok szakadnak el némely atomtól vagy atomcsoporttól, ésrendezett, irányított mozgásba fognak, de ezt a mozgást, az elektronok elenyész! száma miatt, alegtöbb esetben elhanyagolhatjuk.

A másik csoportba tartoznak a vezet!k. Ezek nagyszámú töltéssel (elektromosan töltöttrészecskével) rendelkeznek, amelyek szabadon mozognak az anyag belsejében. A legjobbvezet!k a fémek (réz - Cu, aluminium - Al, ezüst - Ag). Náluk az elektronok a küls!elektronhéjon nagyon lazán köt!dnek az atomhoz. Így az elektronok atomtól atomigmozoghatnak és ezeket vezet! elektronoknak nevezzük.

Folyékony oldatok esetében az oldott anyag semleges molekulái az oldatban két különböz!töltés" részecskére esnek szét: úgynevezett pozitív és negatív ionokra. Ionok léteznek agázokban is. Ha egy gázban nincs ion akkor az szigetel!ként viselkedik. Ha egy gázban csak kisszámú ion van jelen (leveg!), akkor ez a gáz továbbra is szigetel! marad, ha nem túl nagyok a

benne ható elektromos er !k. Nagy intenzitású villamos er !k hatására a gázokban az ionok akkora sebességet kaphatnak,

hogy a semleges molekulákkal való ütközéskor azokat két különböz! töltés" részre, ionra osztják (ütközési ionizáció). Az ionok száma a gázokban így növekszik, és azok mind jobb vezet!kéntviselkednek.

A harmadik csoportba tartoznak a félvezet!

k. Ezeknél a szabadon mozgó elektromostöltés" részecskék száma sokkal nagyobb, mint a szigetel!knél, de kisebb mint a vezet!knél.

1.7. Alap- és származtatott mennyiségek és mértékegységek

Válasszunk ki tetsz!legesen négy mennyiséget, amelyet használunk az elektrotechnikában(villamosságtanban). A négy szabadon kiválasztott mennyiség segítségével kifejezhetjük az össztöbbit, és ezért alapmennyiségeknek nevezzük !ket, mértékegységeiket pedigalapmértékegységeknek. A többi mennyiséget származtatott mennyiségeknek,

mértékegységeiket pedig származtatott mértékegységeknek nevezzük.Az MKSA mértékrendszerben az alapmennyiségek a következ!k: hosszúság, tömeg, id! és

áramer !sség. Ezeknek az alapmennyiségeknek a mértékegységei rendre a következ!k: méter (m), kilogramm (kg), másodpec (s) és amper (A).

A nemzetközi mértékrendszer SI rövidítése a megjelölésére használt francia kifejezésrövidítése ("Système International"). Alapmennyiségei közé a fent említett négyen kívül még ah!mérséklet, a fényer !sség vagy megvilágítás intenzitása (er !ssége), és az anyagmennyiségtartozik. Az SI rendszerben a négy MKSA-alapmértékegység mellett még három szerepel: kelvin(K), kandela (cd), és a mol. A mérnök számára nagyon fontos, hogy tudja az arányokat azalapvet! fizikai mértékegységek és a gyakorlatban jelentkez! értékek között.

A mért vagy számított értékek a villamosságtanban gyakran az SI mértékrendszer (alap)egységeinek többszöröseit vagy csupán tört részeit teszik ki. Ilyenkor az SI egységeketmegszorozzuk vagy elosztjuk #0 valamelyik hatványával, illetve az #.#. táblázatban található



#.#. táblázatAz el"tag

neveAz el"tag

jeleSzorzószám

exa- E- 1018

peta- P- 1015

tera- T- 1012

giga- G- 109

mega- M- 106

kilo- k- 103

hekto- h- 102

deka- Da- 101

deci- d- 10-1

centi- c- 10-2

milli- m- 10-3

mikro-µµµµ

- 10-6

nano- n- 10-9

piko- p- 10-12

femto- f- 10-15

atto- a- 10-18

1.8. Alapismeretek a vektormennyiségekr"l

1.8.1. A VEKTORMENNYISÉGEK DEFINÍCIÓJA

A villamosságtanban alapvet!en két fajta mennyiséggel találkozhatunk. Az els! fajtamennyiséget a skalármennyiségek képviselik, amelyeket egyetlen számadattal megadhatunk illetve jellemezhetünk. Ilyen mennyiségek például a villamos töltés (villamos töltésmennyiség),a töltéss"r "ség, a feszültség, a h!mérséklet, stb.

A vektormennyiségek meghatározására, definiálására nem elegend! egyetlen számadat,mert abból nem tudjuk egyértelm"en kiszámítani a t!lük függ! egyéb fizikai mennyiségeket.Vektormennyiségek például az er !, a térer !sség, a nyomaték, stb.

Lássuk a különbséget egy példán kereszül! Ha a tér meghatározott P# pontjának h!mérsékletét írjuk le, akkor elégséges egyetlen t# h!mérsékletet megadnunk. Amennyibenviszont a P# pontban ható er !t akarjuk jellemezni, akkor nem elégséges egyetlen érték megadása- pl. az er ! nagysága -, hiszen ha ez az er ! egy pontszer " töltésre hat, az er ! nagyságából mégnem tudjuk, hogy milyen irányban fogja elmozdítani a pontszer " töltést.

Vektor tehát minden olyan mennyiség, amelynek egyértelm" meghatározásához egymegjelölt kezd!- és végponttal rendelkez! (vagyis irányított) egyenesszakasz szükséges.

A vektormennyiségek három jellemz!

je a következ!

:− a vektor abszolút értéke (intenzitása vagy nagysága), amely mindig pozitív szám

(skalármennyiség), jelölése pedig| |

,|v|, vagy egyszer "en csak v,

− a vektor iránya, amely nem más, mint az !t ábrázoló egyenesszakasz iránya, és

− a vektor irányítása, amelyet az egyenesszakasz kezd! és végpontja határoz meg (az adott

irányban – egyenesszakaszon – a két lehetséges irány közül az egyik).Két vektort akkor tekinthetünk egyenl!nek, ha egyenl! az irányuk, irányításuk és az

intenzitásuk, vagyis egyenesszakaszaik hossza (a vektorok abszolút értéke) megegyezik,egyenesszakaszaik párhuzamosak egymással, és azonos értelm" nyillal rendelkeznek. Nemszükséges tehát, hogy a két vektor egybeessen, elég, ha transzláció (párhuzamos eltolás) útjánegybeejthet!ek.

Az irányított egyenesszakasz megadásához elég biztosítani az egyenesszakasz vetületét aDescartes-koordináta rendszer három tengelyére. Jelölése:



v = (vx, vy, vz)

A vx, vy, vz pozitív vagy negatív (skalár)számok a v vektor koordinátái (rendez!i). Nyilvánvaló, hogy ugyanazt a v vektort bármilyen más három, egymástól független adattal ismegadhatjuk, pl. a vektor abszolút értékével (nagyságával) és két különböz! tengellyel bezártszögével. A könyvben csak a vektor rendez!ivel találkozunk majd, de akit érdekel a vektoroknak

a hengeres és gömbszferikus koordináta rendszerben való ábrázolása és az ott alkamazottvektorparamétereknek a rendez!kkel való kapcsolata, az nézzen utána a vektortanban vagyW.H.Hayt könyvében

[8.].

Az irányított egyenesszakasz hossza, vagyis a v vektor abszolút értéke a rendez!k ismeretében a következ! módon számítható:

Ha|v| = #, akkor a v vektort egységvektornak nevezzük, jelölése v0. Ha

|v| = 0, akkor a v

vektort zérusvektornak (nullavektornak) nevezzük, jelölése 0 (vastagon szedve,

megkülönböztetésül a skaláris nullától).

1.8.2. VEKTORALGEBRA

1.8.2.1. Vektorok összege, különbsége, skalárszámmal való szorzata

A vektorokat a paralelogrammaszabály szerint adjuk össze. A v1 és v2 vektor összegén azta vektort értjük, amelyet úgy kapunk, hogy

− a v2 vektort párhuzamos eltolással úgy mozdítjuk el, hogy a kezd!

pontja egybeessen a v1vektor végpontjával, majd

− a v1 vektor kezd! pontját egyenesszakasszal összekötjük a v2 vektor végpontjával

; az így

kapott vektor nem más, mint a keresett vektorösszeg (v1+v2), irányítása (nyilazása) pedig a v1 vektor kezd! pontjától a v2 vektor végpontja felé mutat.

A vektorok kivonása az összeadásra vezethet! vissza, ha tudjuk, hogy a mínusz jel a vektor el!tt csupán az irányítás megváltoztatását (a nyilazás vagy nyil megfordítását) jelenti.

Könnyen belátható, hogy a vektor összeadás kommutatív (v1+v2=v2+v1) és asszociatív((v1+v2)+v3=v1+(v2+v3)) m"velet.

A vektor és a skalárszám szorzatának eredménye egy, az eredeti vektorral párhuzamosvektor, amely rövidebb, hosszabb vagy az eredeti vektorral egyenl! hosszúságú, irányítása pedig

a skalárszám értékét!l függ: az eredeti vektorral megegyez! irányú, ha pozitív a skalárszám,illetve ellenkez! nyilazású, ha negatív a skalárszám. Az eredményvektor (a vektor és askalárszám szorzatának eredménye) akkor lesz rövidebb, ha a skalárszám abszolút értéke kisebbegynél, egyenl! lesz az eredeti vektorral, ha a skalárszám abszolút értéke egyenl! eggyel, éshosszabb lesz mint az eredeti vektor, ha a skalárszám abszolút értéke nagyobb mint egy. Asklaárszámmal való szorzás disztributív m"velet:

λλλλ(v1+v2) =

λλλλv1+

λλλλv2.

Legyen v1=(v#x, v#y, v#z), v2=(v2x, v2y, v2z) és v3=(v3x, v3y, v3z), ahol a zárójelben lev!számok a vektor skalár-összetev!i, skalár-komponensei, vagy egyszer "en: a derékszög"

koordinátái.Ilyen jelölésmód mellett két vektor, a v1 és v2 akkor és csak akkor egyenl!, ha



A v1 és v2 vektorok összege:v1 + v2 = (v#x+ v2x, v#y+ v2y, v#z+ v2z).

A v1 és v2 vektorok különbsége:v1 - v2 = (v#x-v2x, v#y-v2y, v#z-v2z).

A vektor szorzása skalárszámmal:

λv1=(

λv#x,

λv#y,

λv#z).

Vezessük be az x, y és z tengely irányába mutató egységvektorokat, amelyeknek jelölése: i, j, és k .Ebben az esetben a fenti vektorok a következ! alakban írhatók fel:

v1=v#xi + v#y j + v#zk ,v2=v2xi + v2y j + v2zk ,v3=v3xi + v3y j + v3zk.

A villamosságtanban fontos szerepet játszik a tetszés szerinti irányba mutató, egységnyi

hosszúságú vektor, más nevén egységvetor. Segítségével ugyanis minden vektor felírható akövetkez! alakban:

v1 =|v1| v10 = v# v10.

Innen aztán könnyen kifejezhet! a v1 vektor egységvektora, a v10:

aholα

,β

,γ a v1 vektor és a koordinátatengelyek által bezárt szögek. Magától értet!d!,

hogy:

1.8.2.2. Skalárszorzat

Két vektor skaláris szorzatán azt a skalárszámot értjük a definíció szerint, amelyet a kétvektor abszolút értékének és az általuk bezárt szög koszinuszának szorzatával kapunk meg:

v1·v2 =|v1|·|v2|·cos(v1, v2) = v#v2cos

ϕ = v#xv2x + v#yv2y + v#zv2z ,

ahol a ϕ a v1 és v2 vektor által közrezárt szög.Két egymásra mer !leges vektor skalárszorzata nulla, ami a fenti kifejezésb!l is kit"nik.A vektorok skaláris szorzása kommutatív m"velet, és ezt a tényt legegyszer " bben a

definícióból következtethetjük ki, vagyis érvényes, hogy:

v1·v2 = v2·v1.

Könnyen belátható a geometriai ábrázolás alapján, hogy a skalárszorzás m"veletedisztributív is, vagyis

v1(v2 + v3) = v1v2 + v1v3 .



Az #.#. ábra alapján látszik, hogy ugyanazt kapjuk akár külön-külön vetítjük a v2 és v3

vektort a v1 vektorra és úgy adjuk össze, akár el! bb adjuk össze a v2 és v3 vektort és csak utánavetítjük a v1 vektorra.

Az asszociatív tulajdonság viszont nem érvényes a skaláris szorzás esetében, vagyis

v1(v2v3)≠

(v1v2)v3 .

A fenti kifejezés igazolására lássuk be, hogy a bal oldalon egy, a v1 vektor irányába mutatóvektor szerepel (hiszen a v2v3skaláris szorzat eredménye egy skalárszám), a jobb oldalon viszontegy, a v3 vektor irányába mutató vektor áll.

1.8.2.3. Vektorszorzat

A definíció szerint a v1 és v2 vektorok v1 ×

v2 vektoriális szorzata olyan vektor, melynek iránya mer !leges a két vektor által kifeszített síkra (tehát mind a v1, mind a v2 vektorra), azeredményvektor irányítása pedig abból a feltételb!l határozható meg, hogy a v1, v2, v1

× v2

vektorhármas jobbsodrású rendszert alkot. Más szóval a vektorszorzat nyilazását a jobbmenet"csavar haladási iránya adja meg akkor, amikor a forgási irányának megfelel!en az els! vektort (av1 vektort) a második vektor (a v2 vektor) irányába forgatjuk el (rotáljuk). A vektor abszolút

értéke (intenzitása, nagysága) pedig a két vektor abszolút értékének és a közbezárt szögszinuszának a szorzata:

|v1

× v2

| =

| v1

| | v2

| sin

ϕ

ahol aϕ

a v1 és v2 vektor által bezárt szög.Két párhuzamos vektor vektorszorzata zérusvektort eredményez, ez a fenti kifejezésb!l is

látható.A vektoriális szorzás m"velete nem kommutatív, hiszen nyilvánvaló, hogy

v1

×

v2

≠

v2

×

v1 .

A tényez!k felcserélésével ugyanis megváltozik a vektoroknak az egymásbaforgatásii á i

#.# ábra



v1 ×

v2 = - v2 ×

v1 .

Az asszociatív tujajdonság sem érvényes a vektorszorzatra, tehát

v1

×

(v2

×

v3)

≠

(v1

×

v2)

×

v3 .

A disztributív tulajdonság azonban megmarad, tehát érvényes a vektoriális szorzásm"veletére is:

v1 ×

(v2 + v3) = v1 ×

v2 + v1 ×

v3 .

Ismerve a vektorszorzat egyes vektorainak komponenseit, a vektorszorzat komponenseinek kényelmes (könnyen megjegyezhet!) kiszámítási módját nyújtja a determináns alakban felírtkifejezés:

.

A számítás végeredménye pedig természetesen a következ!:

v1 ×

v2 = (v#yv2z – v#zv2y) i + (v#zv2x – v#xv2z) j + (v#xv2y – v#yv2x) k .

1.8.2.4. Vegyes szorzat

Legyen a v1, v2, v3 három térbeli vektor. Nézzük hogyan értelmezhetjük e három vektor (v1

×v2)v3 alakú vegyes szorzatát. Ha a v1 és v2 vektorok vektorszorzatát skalárisan

megszorozzuk a v3 vektorral nyilvánvalóan pozitív vagy negatív skalárszámot kapunk eredményül. Az

|v1×

v2|, tehát a vektorszorzat abszolút értéke a v1 és v2 vektor által kifeszített

paralelogramma területével egyenl!, maga a vektorszorzat pedig mer !leges a paralelogrammáttartalmazó síkra. Ennek az eredményvektornak (vektorszorzatnak) a v3 vektorral való skalárisszorzata a három vektor alkotta paralelepipedon magasságával való szorzást jelenti. Így a felírtvegyes szorzat eredményeként a három vektor által meghatározott paralelepipedon térfogatátkapjuk (igaz ugyan, hogy a térfogatérték sohasem lehet negatív). Az eredmény (a vegyes szorzatértéke) attól függ!en lesz negatív vagy pozitív, hogy a v1, v2, v3 jobbsodrású vagy balsodrásúrendszert alkot. Érdemes megjegyezni, hogy a vegyes szorzat esetében csak a vektorok sorrendjére kell ügyelni, nem pedig arra, hogy melyik két vektort szorozzuk vektoriálisan,ugyanis

(v1×

v2)v3 = v1(v2×

v3) = v2(v3×

v1) = - (v2×

v1)v3 = - v1(v3×

v2) = - v2(v1×

v3)

A vegyes szorzat értékének számítása determináns alakban:



A vegyes szorzat kifejezéséb!l és a magyarázat alapján könnyen belátható, hogy a vegyesszorzat értéke nulla lesz, ha a három adott vektor egy síkba (ugyanabba a síkba) tartozik.

1.8.2.5. Kétszeres vektorszorzat

A v1×

(v2×

v3) kétszeres vektorszorzat (dupla vektorszorzat) eredménye egy újabb vektor.Mivel a v2

×v3 vektorszorzat mer !leges a v2 és v3 által meghatározott síkra, a kétszeres

vektorszorzat eredményvektora mindenképpen a v2 és v3 által meghatározott síkba fog esni.Ennek köszönve a dupla vektorszorzat eredményvektora felbontható v2 és v3 menti összetev!kreamit kifejtési tételnek is hívnak:

v1×

(v2×

v3) = (v1v3)v2 – (v1v2)v3 .

1.8.2.6. A felületelem mint vektor

A vektoriális szorzat fogalma illetve jelentése már sejteti a lehet!séget, hogy a felületetvektorként is ábrázolhatjuk. Két vektor vektorszorzata ugyanis olyan vektor, melynek abszolútértéke egyenl! a vektorok által kifeszített felület nagyságával, iránya pedig mer !leges a vektorok által meghatározott síkra. A felület vektorának irányítását (nyilazását, értelmét) a felületkörüljárási iránya szabja meg, amelyet a vektorszorzatban szerepl! két vektor sorrendje diktál. Afelületvektor irányítása úgy viszonyul a felület körüljárási irányához, mint a jobbmenet" csavar haladási iránya annak forgásirányához.



2. ELETROSZTATIKA

2.1. Az elektrosztatikus er!k

Az elektromos töltés! testek közötti er "k meghatározása: már mondtuk, hogy a villamos(elektromos) er " két villamosan töltött test között, helyesebben szólva a töltéstöbbleteik között

jelentkez" er "k eredménye. Ha ismernénk minden részecske pontos helyét, meg tudnánk határozni az er "t minden részecskepár között és így megkaphatnánk az ered" er "t a két töltötttest között. Ez a módszer a gyakorlatban, a töltéstöbbletet alkotó elemi töltések roppant nagyszáma miatt, alkalmatlan a két töltött test közötti er " számítására. A probléma könnyebbmegoldása céljából átlagértékeket vezetünk be. A fizikában és a technikában ez gyakori jelenség.Például a testek tömegs!r !ségének meghatározásánál a ∆m/∆V hányados jelzi a közép- vagyátlagsür !séget. Itt a ∆V térfogatelem nem lehet végtelen kicsiny, hiszen ily módon a térben egytetszés szerinti pontot kiválasztva a hányados értéke lehet akár nulla is, ha a ∆V térfogatelemnem tartalmazza a test egyetlen atomját sem. A fizikailag kis térfogatnak vagy térfogatelemnek

tehát, az elektrotechnikában, makroszkópikus méretben kicsinynek kell lennie (nagyszámúelektromos részecskét kell tartalmaznia), azaz a töltéss!r !ség nem szabad hogy változzék lényegesen a térelem széls" pontjai között, mikroszkópikusan azonban nagynak kell lennie,vagyis még mindig igen sok töltést kell magába foglalnia. Amikor a fizikai jelenségek megközelítésénél a mikroszkópikus mennyiségek átlagértékeit vesszük figyelembe, akkor makroszkópikus hozzáállásról beszélünk. A mennyiségek középértékeit makroszkópikusmennyiségeknek is nevezzük ("makroszkópikus" a görög "szemmel látható"-ból).

Kísérletek bizonyítják, hogy az er "k nem egyformák, változnak ha a villamos töltések nyugszanak vagy ha mozognak a megfigyel"höz visszonyítva. A legegyszer ! bb, ha az össz töltésmakroszkópikusan nyugalomban van (mikroszkópikus szinten ez természetesen lehetetlen).

2.1.1. COULOMB TÖRVÉNYE

A villamos töltés (az elektromosan töltött test) egy olyan test, amelyen pozitív, vagynegatív töltéstöbblet van. A villamos töltések között fellép" villamos er " a töltésmennyiségt"l ésa távolságtól függ. Coulomb törvénye a pontszer ! töltések egymásra hatását írja le. Azelektromosan töltött testeket akkor tekinthetjük pontszer !eknek, ha a testek dimenziója,nagysága elenyész", elhanygolható a közöttük lev" távolsághoz viszonyítva (pl. egy kisebbméret! könyvet 10m-r "l vagy távolabbról nyugodtan tekinthetjük pontszer ! testnek). Coulombtörvénye, amely egyes vélemények szerint az elektrosztatika alaptörvényének számít kísérletek,kísérletsorozatok eredményeként jött létre és kapta meg a számunkra ismert végs" alakját:

2

29

2

21

109C

Nmk

r

QQk F

⋅≈

=

A villamos töltések közötti er " nagysága egyenesen arányos a töltésmennyiségekkel ésfordítottan arányos a töltések közötti távolság négyzetével. Gyakran a k arányossági tényez"t

041

πε =k alakban írjuk fel, ahol 0ε egy új állandó (konstans).



0ε - a vákuum dielektromos állandója, vagy a vákuum permittivitása

ε π

ε

πε

0

9 2

2

0

12

2

0

1 22

10

36

8 854 10

1

4

≅

= ⋅

=

−

−

C

Nm

F

m Nm

F Q Q

r

F

m

C

2

,

Ez a Coulomb törvény algebrai alakja. A vektoralak pedig a következ":

012221

0

124

1 →→

⋅= r r

QQF

πε

Megegyezés:1. az F12 er " az az er ", amellyel a Q1 töltés hat a Q2 töltésre,2. a pozitív és a negatív töltésekhez a megfelel" algebrai jelet is hozzárendeljük,3. ha azonos el" jel!ek a töltések, az F12 er " a képen megjelölt irányba hat,4. ellentétes el" jel! töltések esetén, a fellép" er " irányát a szaggatott nyil jelzi

( a012012

r azmintvanirányaellenkezõnek-→→

− r -nek).

2.1. Példa: Három elektromosan töltött kisméret! test a, b és (a+b) távolságra vannak egymástól, tehát egy egyenesen helyezkednek el. Mekkora kell, hogy legyen a három test töltése(a töltésmennyisége és el" jele) ahhoz, hogy az ered" elektromos er " mind a három testre nullalegyen?

Megoldás:Az er "k összege az egyes testekre a példa szerint nullával egyenl", vagyis

F F

F F

F F

! !

! !

! !

" #

" #

" #

21 31

12 32

13 23

0

0

0

Mivel a harmadik egyenlet megkapható az els" kett" összeadásával, így az els" kett"következményének is tekinthet", tehát semmiféleképp sem független és mint ilyet nyugadtanelhegyhatjuk (nem hordoz új információt a számunkra)



)(

Q 0

0)(

)(Q

4

/0)(44

)(

4 /0)(

)(4)(

4

orok egységvektmutató balra jobbról

orok egységvektmutató jobbra balról

4F r 4

Q

=F

r )(4

Q=F

)(4

4F r

4

Q=F

2

2

22

2

3123

21

23

22

0

0

020

32

020

21

3212

01

002

0

1302

0

213121

0031032021

0023013012

03220

32

3202320

32

23

03120

13310132

0

3113

0212

0

2121012

20

2112

b

baQ

b

aQ

b

Q

a

Q

ba

Q

a

Q

r r b

QQ

r a

QQ

F F

r Q

r ba

QQr

a

QQF F

r r r r

r r r r

r b

QQ

b

Q

ba

Qr

ba

QQF

r a

QQ

a

Q

+−=⋅==−

=+

+

→=

→

−⋅

⋅

+⋅⋅

⋅

=

→

+

−→=−

+⋅

+−⋅⋅

=+

−===

===

⋅

⋅

=⋅

⋅

⋅+

⋅⋅

+⋅

=

⋅⋅

=⋅⋅

→→

→

→→→→

→→→→

→→→→

→→→→

→→→→

→→→→

πε

πε πε

πε

πε πε

πε πε

πε πε

πε πε

2.1.2. A SZUPERPOZÍCIÓ-ELV

Coulomb törvényét alkalmazhatjuk akkor is, ha több pontszer ! villamos töltésselrendelkez" test hat egymásra. Ezt a szuperpozició-elv segítségével végezzük. Az összelektromos er!, amelyel a testre hatnak a többi testek, egyenl! azon er!vektorok vektoriálisösszegével, amellyekkel a testek külön-külön hatnak az adott testre.

2.2. A villamos tér

2.2.1. A VILLAMOS TÉR FOGALMA ÉS VEKTORTERMÉSZETE

Coulomb törvénye vákuumban írja le az er "hatást két pontszer ! töltés között. Nem létezik megmagyarázható mechanizmusa a két, egymástól bizonyos távolságra elhelyezked" testegymásra hatásának, mivel nincs közvetlen kapcsolat a két test között. Az er "k, amelyekkel avákuumban a testek egymásra hatnak azért érthetetlen, mert a vákuumban nem létezik számunkra ismert anyag, amely ezt a hatást átvinné, terjesztené. Ezt a nehézséget a villamos(elektromos) tér fogalmának bevezetésével oldjuk fel. Azt mondjuk, hogy Q1 töltésmegváltoztatja, modifikálja a teret maga körül, villamos teret hoz létre abban a térrészben aholelhelyezkedik, és ez a villamos tér hat a másik (Q2) testre, amelyet beviszünk ebbe a térbe.

Próbatöltésnek (jele ∆Q) nevezzük azt a kisméret! testet, amely kis mennyiség! pozitívvillamos töltéssel rendelkezik. Minden elektromosan töltött test valamilyen módon hat avillamos töltések elrendezésére a közelben elhelyezked" testeken és így a térre is. A próbatöltés



töltéshordozókon sem, így a villamos térer "sség bevezetésénél fontos szerepe van. Írjuk fel mostCoulomb törvényét egy Q és egy ∆Q töltés! pontszer ! testre, majd osszuk át a kifejezés jobb és

bal oldalát a próbatöltés töltésmennyiségével (∆Q). A kifejezés jobb oldalán csak a Q töltésselkapcsolatos mennyiségek maradnak (kivéve a távolságot a ∆Q töltést"l a Q töltésig). Ezt akifejezést tekintjük a Q pontszer ! töltés által r távolságban létrehozott villamos térer "sségdefiniciójának:

02

0

02

0

02

0

41

Q

4

1

Q

4

1

→→

→→

→→

→

→

=

=

=

=

=

r r

Q E

E QF

F E

r r

QF

r r

QF

Qa

Qa

Qa

πε

∆

∆

πε ∆

πε

∆

∆

∆

!

!

2.2. Példa: Számítsuk ki az elektromos tér vektorának x és y összetev" jét egy tetsz"leges (x,y) pontban a képenlátható esetre, amikor két ellentétes el" jel!, de egyformatöltésmennyiség! pontszer ! töltés hozza létre a villamosteret!

Megoldás:

222

221

2

1

0

32

23

1

11

21

)2

(

)2

(

nagyságaaakvektoroknaEzeknek

)

2

(

)2

(

4

d y xr

d y xr

jd

yi xr

jd

yi xr

r

r

r

r Q

E E E

++=

−+=

++=

−+=

−

=+=

−=

→→→

→→→

→→

→→→

πε

ezért,QQahogymivel 12

A feladat megoldásánal másik módja:



→⋅+

→⋅−

→⋅+

→⋅=

→+

→=

→

→⋅+

→⋅

−=

→

→

⋅+

→

⋅=

→

→⋅+

→⋅=

→→−=

→

→⋅

→⋅

→→=

→

jir

jir

Q E E E

jir

Q E

jir

Q

E

jir r

Q

jr r

Q E

β β α α πε

β β πε

α α πε

β β πε

α α πε

sin(cos1

)sin(cos1

4

)sin(cos4

)sin(cos4

sincosr 4

E

sin+icos=r 4

22

210

21

220

2

210

1

0202220

2

0101210

1

2

2d

1

2

21

2

2

2

1

22

21

22

210

r

+y=cos cos

r

x=sin

r

x=sin

2

2

sin1

sin1

cos1

cos1

4

β α

β α

β α β α πε

r

y

d y xr

d y xr

jr r

ir r

Q E

d −=

++=

−+=

→

−+

→

−=

→

2.2.1.1. A villamos (elektromos) térer!sség er!vonalai

Az elektromos tér vizuális ábrázolásához avillamos tér er "vonalait,vagy az elektromos tér vektorait használjuk. Azelektromos tér er "vonalaiképzeletbeli görbevonalak, amelyeknek

minden pontjában a villamos térer "sség vektora (E→

) érint" irányú. Ahhoz, hogy az E vektorainak ne csak az irányát, hanem az irányítását is meg tudjuk határozni, nyilakkal látjuk el a villamostérer "sség er "vonalait. Az intenzitás meghatározásához az er "vonalak s!r !ségét vesszük figyelembe: s!r ! bb er "vonalak nagyobb térintenzitást, a ritkábbak gyöngébb teret jeleznek.

2.2.1.2. Felületi és térbeli töltéseloszlások és villamos terük

A villamos töltésmennyiség mindig az elektronok töltésmennyiségének egész számúbb ké j l k ik A l k l é k ( l é bbl l é hiá )



egyenként vesszük számba, hanem bevezetjük az elektromos töltéss!r !ség fogalmát. Ez jellemzia töltésmennyiség makroszkópikus középértékét valamely pont közelében az elektromosantöltött test belsejében vagy felületén. A szigetel"ket (dielektrikumokat) is dörzsöléssel lehetelektromossá tenni, így keletkeznek a felületi töltéseloszlások, amelyekhez a felületitöltéss!r !ség fogalma kapcsolódik. Képzeljünk el egy felületet, amely felületi töltéseloszlássalrendelkezik és ezen a felületen válasszunk ki egy kis felületelemet (∆S). Az ezen a felületelemen

elhelyezked" töltésmennyiség (∆Qa ∆S-en ) és a kiválasztott felületelem hányadosa adja meg afelületi átlagos töltéss!r !séget:

$ #%

%

%Qa S

S

A felületi töltéss!r !ség általános esetben pontról pontra változik, illetve a testfelületminden pontjában más és más. Ha az S felület minden pontjában ismerjük az elektromos testfelületi töltéss!r !ségét, akkor a töltésmennyiséget a következ" módon határozzuk meg:

Q S # &az össz Q összege az S területen = S% %$

A Q értéke annál pontosabb, minél kisebb %S felületelemet választunk ki. A nagyon kisfelületelemeket dS-el jelöljük és a & jelet az integrál jele váltja fel, vagyis:

Q dS

Q S

S

= →

→

∫ σ σ

σ σ

különbözö a terület minden pontjá ban

= konstans az egész területen

A gyakorlatban találkozhatunk (habár sokkal ritkábban mint a felületi töltéseloszlással)

felh" alakban elhelyezked" töltésekkel (elektroncsöveknél, plazma állapotban lev" anyagoknál),tehát térbeli töltéss!r !séggel. Az ilyen esetek miatt vezetjük be a térbeli töltéss!r !ség fogalmát,mint a kis ∆V térfogatelemben elhelyezked" össz töltésmennyiség (∆Q) és a kis térfogatelemhányadosát:

' #%

%

%Qa V

V

Általános esetben a térbeli töltéss!r !ség a megfigyelt térrész minden pontjában más ésmás. Ha az elektromosan töltött test V térfogatának minden pontjában ismerjük a térbelitöltéss!r !séget, akkor az össz töltésmennyiséget a következ" módon kapjuk meg:

pontjábanmindentestaállandóaha V=Q

agy vdV=Q

vagyis,V= belülntérfogatoVaösszaz

V

ρ ρ

ρ

ρ

∫

∑ ∆∆=V

QQ

Ha a tér egy konkrét pontjában a felületi, vagy térbeli töltéseloszlások esetében érdekel bennünket a villamos térer "sség, akkor a következ" módon járunk el.

A felületi töltéseloszlás (töltéss!r !ség) esetében ismernünk kell a felületi töltéss!r !ség-

függvényt (vagyis azt, hogy pontról pontra hogyan változik a felületi töltéss!r !ség értéke). Afelületet kis dS felületelemekre osztjuk (ahol az elektromosság σdS) és ezt a töltésmennyiségetpontszer! töltésnek tekintve felírhatjuk hogy:



E dS

r r

S

→ →

= ∫ 1

4 02 0

πε

σ

Az el"z" kifejezésben felület menti vektorintegrálásról van szó, hiszen az integrálást atöltéshordozó test egész felületére kell elvégeznünk, emellett egyúttal vektoriális összegezést isigényel a kifejezés hiszen a tér általunk kiválasztott pontjában (amely pontra a térer "sségetszámítjuk) csak egy villamos térérték létezik, viszont a ponthoz húzott helyvektorok iránya ésintenzitása a felület különböz" dS felületelemeib"l más és más, tehát vektoriálisan kellösszegezni "ket.

Térbeli töltéseloszlás (töltéss!r !ség) alkalmával a villamos térer "sség meghatározásáhozismernünk kell a térbeli töltéss!r !ség-függvényt (térbeli töltéss!r !ség-eloszlást). Hasonlóeljárással mint a felületi töltéss!r !ség esetében (itt természetesen a töltések által elfoglalt térrésztosztjuk dV térfogatelemekre) a következ" kifejezéshez jutunk:

E dV

r r

V

→ →

= ∫ 1

4 02 0

πε

ρ

2.2.2. AZ ELEKTROMOS TÉR POTENCIÁLJA

Láttuk, hogy a villamos teret minden pontban meghatározhatjuk a térer "sség vektorával E !

.E módszer mellett létezik még egy másik is, amellyel meghatározhatjuk az elektromos teret.Ennél a módszernél csak egy skaláris mennyiséget kell ismernünk, az úgynevezett potenciált. Ez

az egyszer ! bb módszer a villamos tér leírásának. Az E !

vektort könnyen meghatározhatjuk, ha atér minden pontjában rendelkezésünkre áll a potenciál értéke.

2.2.2.1. Az elektromos er! munkája

Képzeljük el, hogy az A pontban %Q

próbatöltés van. Erre a töltésmennyiségre F1 er "hat:

11

→→

= E QF ∆

Ha megengednénk, hogy az E vektor irányában az F1 er " elmozdítsa a töltést, akkor egy rövid %l úton az er " a következ" munkátvégezné:

.1 lF A ∆∆ =

Ha az F1 er " hatására a Q∆ töltés nem az→

1F vektor irányában mozdul el, akkor a % A1 munkát egy kicsit másképp

számoljuk ki. Az F1

→

er "t felírhatjuk két mer "leges komponensösszegeként:

F F F1 1p 1n

→ → →

= +



Látható, hogy a Q∆ töltés csak az→

1pF er " hatására mozog és mivel

1111111

11 p1,111

coscos

cos)cos(

α ∆∆α ∆

α

∆ lQE lF A

F F F F F p

====

A 1l∆ tulajdonképpen elmozdulás egy meghatározott irányban, ez felfogható a

→

dl vektor intenzitásának is. A szorzat jobb oldala két vektor intenzitásának és a köztük lev" szögkoszinuszának szorzata: ez két vektor skaláris szorzatát jelenti! Tehát felírtahó, hogy:

111

→→

= dl E Q A ∆∆

Az er "tér össz munkája amely ahhoz szükséges, hogy valamilyen töredezett útvonalon a%Q töltés az A pontból a B pontba kerüljön:

. lEQ=

=)lE+...+lE+lEQ(=A+...+A+A=

n

1=ik k

nn2211n21ig-Btól-Aerejetér

∑ →→

→→→→→→

∆∆

∆∆∆∆∆∆∆ A

Ha azt akarjuk, hogy a töltés egy szabályos (nem tördezett) útvonalon mozogjon, akkor eztaz utat sok kis rövid szakaszra kell felosztanunk, és ezekre kell alkalmazni az el"z" képletet. Aszámítás annál pontosabb, minél rövidebb, apróbb szakaszokat képezünk.

∫

→=

∫ →∑

→

→ B

A

dl E Q∆

∆

ig-Btól-Aazerejetéra

A

dll k

Az utolsó kifejezés szavakkal így fogalmazható meg: az A és a B pont között a villamostérer " (a tér erejének) munkája egyenl" a mozgó test töltésmennyiségének és a villamostérer "sség-vektor adott út menti vonalintegráljának a szorzatával.

2.2.2.2. Az energiamegmaradás törvénye és felhasználása az elektrosztatikában

Az energia megmaradásának törvénye azt mondja ki, hogy az energia nem jöhet létre, csak fenntartható, vagyis átalakulhat egyik alakjából a másikba. Figyeljük meg a képen láthatóelektromos testek rendszerét! Képzeljük el, hogy a villamos tér által kifejtett er " átvitte a

próbatöltést az A pontból a B pontba. El"ször az AaB úton, másodszor pedig az AbB úton.Különbözik-e a munka e két esetben ?

Be fogjuk bizonyítani, hogy az energiamegmaradástörvénye szerint ez a két munka egyforma. Mekkora munkát kell

befektetni ahhoz, hogy a próbatöltés körüljárja az egész AaBbAzárt görbét? Láthatjuk, hogy egyes részeken a tér gyorsítja a

próbatöltést míg máshol lassítja, mégpedig ahol az E→ →

és a dl

közötti szög kisebb mint(

2 , ott a térer " munkája pozitív, vagyis

gyorsítja a töltést Ahol ez a szög nagyobb mint(

ott az térer"



munkája negatív, azaz a villamos er "k lassítják a töltést. A mozgás ezeken a részeken csak valamilyen küls" mechanikus er " hatására történhet. Miután a töltés körüljárja a zárt görbét ésvisszatér az A pontba, az egész rendszer ugyanolyan lesz mint amilyen volt az elindulás el"tt,tehát a rendszer energiája is azonos marad.

Ebb"l következik, hogy nyugvó töltések terében (az elektrosztatikus térben) tetsz!leges

zárt görbe mentén a végzett össz munka (az elektromos térer! által végzett munka) értékenulla:

∆

∆ ∆

Q Ed l

Q Ed l Q E d l

d l E d l

A

B

B

A

B A

→ →

→ → → →

→ → → →

∫

∫ ∫

∫ ∫

=

+ =

= −

AaBbA

Könnyen bebizonyítható, hogy:

E

A B

0

0

Más szóval azt is mondhatjuk, hogy az elektrosztatikus tér cirkulációmentes, vagyis avillamos térer "sségvektor integrálja bármely zárt görbére nulla. Ebb"l az alábbi lényeges ténykövetkezik. Elektrosztatikus térben két pont között a feszültség (a tér által valamely töltésenvégzett munka) csak a kezd"- és végpont helyzetét"l függ, az integrációs úttól (magától a töltés

pályájától) azonban független. Lássuk most azt a gondolatmenetet, amellyel eljutunk az iméntleírt tényig!

Ha a "b" úton megyünk az A pontból a B pontba nem pedig a B-b"l az A-ba, akkor a dlvektor el" jele megváltozik, vagyis -dl lesz bel"le. (A matematikából ismert, hogy azintegrálhatárok felcsrélése el" jelváltozást eredményez). Így megkapjuk, hogy az elektromos er "k

munkája nem függ a választott út hosszától, vagy alakjától hanem csak a végs" pontok elhelyezkedését"l.

∆ ∆Q Ed l Q Ed l AaB AbB

→ → → →

∫ ∫ =

2.2.2.3. Az villamos tér potenciáljának definiciója és a potenciálkülönbség

Bebizonyítottuk, hogy a próbatöltés átvitelekor a tér egyik pontjából a másik pontba avillamos tér által végzett munka nem függ az út alakjától hanem csak a végs" pontoktól. Avillamos térnek ez a tulajdonsága lehet"vé teszi, hogy a tér minden pontját leírhassuk egyskaláris mennyiséggel, a potenciállal.

Válasszunk ki a térben egy tetsz"leges R pontot (alappont, referens pont, zérus potenciálú pont)! Így a tér minden pontjához egyértelm!en rendelhetünk egy értéket, amely avval avillamos tér által elvégzett munkával egyenl", amely szükséges ahhoz, hogy a % Q töltést avillamos er "k a tér adott pontjából az R pontba vigyék át. A villamos tér pontjainak ilyenleírásánál mindig szerepelne a % Q töltésmennyiség, ami kellemetlen, mert mindig fel kellenetüntetnünk, hogy mekkora ez a % Q töltésmennyiség. Ha viszont a munkát elosztjuk a % Q-val,egy olyan mennyiséget kapunk, amely nem függ a ∆ Q-tól, és ezt potenciálnak nevezzük:



V Ed l A

A

R

= → →

∫ , ahol a VA az A pont potenciálja a referens R ponthoz viszonyítva

A villamos tér valamely kiválasztott pontjának potenciálja számbelileg megegyezik amunkával, amelyet az elektromos er!k végeznek, amíg az egységnyi próbatöltést átviszik a

kiválasztott pontból a zérus potenciálú R pontba.A referens pont kiválasztása tetsz"leges. Az elméleti számítások során a végtelen távoli pontot, gyakorlati feladatok esetében pedig a Földet szokás alappontnak tekinteni, de gyakranmás választás is célszer ! lehet. A potenciál definiciójából látjuk, hogy a referens pont potenciáljaegyenl" nullával (mivel az integrál határai megegyeznek), ami azt jelenti, hogy a Föld felszínezérus potenciálú.

Számoljuk ki két pont (A és B) potenciálkülönbségét!

∫ ∫

∫ ∫

→→→→

→→→→

+=−

−=−

R

A

B

R

B A

R

A

R

B

B A

ld E ld E V V

ld E ld E V V

Mivel az el" bbi magyarázat szerint az integrál az A-tól a B-ig nem függ az úttól ésmindegy, hogy az R pont ezen az úton van vagy sem, az következik, hogy:

V V E d l A B

A

B

− = → →

∫

A két pont közötti potenciálkülönbség nem függ a referens pont helyzetét"l. Az el"z"egyenlet jobb oldalán szerepl" integrált elektromos feszültségnek nevezzük, vagy egyszer !enfeszültségnek, amely két pont (az A és B pontok) között mérhet". Ez azt jelenti, hogy afeszültség és a potenciálkülönbség az elektrosztatikában megegyez" fogalmak (ez a megállapításnem vonatkozik az id" ben változó villamos térre).

[ ]V BA B A AB U V V U −=−= E V

m

A feszültség jellegzetes értékei a gyakorlatban:

- a legkisebb feszültség, amelyet manapság mérni tudunk 10 nV

- a feszültség értéke az ember szíve és a kezei között 1 mV- az akkumulátor csatlakozói között a feszültség 1,5-12 V- a városi hálózati feszültség 220 V- a feszültség a távvezeték vezetékei és a föld között 35,110,220,400 kV- a feszültség a föld és az elektromosan töltött felh" között a villámlás pillanatában 100

MV

2.3. Példa: Négy kicsi és egyforma töltésmennyiség! test (Q C #" ) *0 5 10 9, ) egy négyzetcsúcsaiban helyezkedik el. A négyzet oldalainak hossza a=2 cm. Határozzuk meg a potenciált azátlók metszetében, és a potenciálkülönbséget az átlók metszéspontja és az egyik oldalközéppontja között! Mekkora munkát végeznek a villamos er "k az egyik töltésnek egy nagyontávoli pontba való elmozdítása során?



Megoldás: Jelöljük az átlók metszéspontját D-vel, a tetsz"legesen kiválasztott oldalfelez" pontját (középpontját) pedig S-sel. A következ" kifejezésekhez jutunk:

V Q

a

Q

a

V kV

V

Qa a

V kV

V V V

D

D

S

S

D S

= ⋅

= = ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

=

=

+

=

⋅ +⋅

⋅ ⋅=

− = −

−

−

−

−

4

4 22

2 0 5 10 2

3 14 8 854 10 0 02

1271

1 5

50 5 10

1

0 02

5

5 0 02

3 14 8 854 10

1301

30

0

2 0

9

12

0

9

12

πε πε

πε

,

, , ,

,

,, ,

, ,

,

Az elektromos er "k munkája, amely ahhoz szükséges, hogy az egyik töltést eltávolítsahelyér "l egy végtelen távoli pontba egyenl":

A Q V elektromos er " # ) , ahol V az a potenciál, amelyet a többi töltés az alapon létrehoz.

A

Qa a

J elektromos erõ04

=

+

=

2 2 2

20 304

πε µ ,

A feladat másik megoldása:

V E dl

V V V V V

V E dl Q

lr

V Q

lr dl

Q

ldl

Q

l

Q

l

l l l l V V V

V

V Q

ll

A

A

A A A A A

A

A

A

l l l

A A A

A

A

=→

⋅→

= + + +

=→ →

=→

=→

⋅→

= = −

=

= = = = = =

=

= =

∞

∞

∞ ∞ ∞

∫

∫

∫ ∫

1 2 3 4

1 11

02

11

02

1

1

02

1

0

1

0 1

1 2 3 4 2 3 4

1

1

0 112

4

4 4 4

1

4

4

44

01

01

1 1

E

V

V

1

A1

A

πε

πε πε πε πε

πε

a a

V l a

2 2

1272 79 22

2 2

1

+

= =V A ,



V V V V V

V Q

V l a a

V Q

lV l

a

V V l a

U V V V

A Q V V V

V V V

V V Q

a

V Q

l

B B B B B

B a B

B B

B

AB A B

= + + +

= = = +

= = =

= =

= − = −= − =

= + +

= =

=

∞ ∞

1 2 3 4

11

0 23 4

2 22

22

0 44 4

22

4

3 3

13 23 43

13 430

230 23

4 2

4

5

4

1302 49 2 5

29 7

0

4

4

πε

πε

πε

πε

a vonatkoztatási pont

V

3

,

,

( )

l a a a

V V

A nJ

232 2

3

2

6091

304 55

= + =

=

=

,

,

2.2.2.4. Ekvipotenciális felületek, a potenciál és a térer!sség-vektor közötti kapcsolat

Azokat a felületeket, amelyeknek pontjai ugyanazon a potenciálon vannak ekvipotenciálisfelületeknek nevezzük. Az ekvipotenciális felületen figyeljünk meg két közeli pontot (A-t és B-taz ábrán) nevezzük. Figyeljünk meg két közeli pontot (A-t és B-t) valamilyen. A "B" pontnak az"A" ponthoz viszonyított helyzete dl vektorral van meghatározva. A potenciálkülönbség egyenl"nullával, mivel ezek ekvipotenciális felületen helyezkednek el. A definició szerint:

V V E dl Edl E dl A B* # #! ! ! !

cos( , )

A VA-VB kifejezés csak akkor lehet nulla, ha a

szög az E és a dl között 90 fok, vagyis ( /2. Ebb"l arrakövetkeztetünk, hogy a térer "sség vektora derékszögbenszeli az ekviponenciális felületeket. Az elektromostérer "sség vektora és a potenciál között egyszer !kapcsolat létezik.

Legyen az A és a B két közeli pont az elektromostérben! Tételezzük fel, hogy az x-tengely irányában növekszik a potenciál és így:

V V V V dV dV A B A A* # * " #*( )

Mivel ez a két pont közel van egymáshoz, ezért a potenciálkülönbséget úgy számíthatjuk, mint:

V V Edx E dx Edx E dx A B x* # # #! !

cos( , ) cos+

Ha összehasonlítjuk a két el" bbi kifejezést, akkor láthatjuk, hogy az E vektor Ex komponense az x irányában:

E E dV

d x # #*cos+





2.2.2.5. Az dipólus potenciálja és tér!sségvektora

Az elektromos dipólus foga alatt két egyforma töltésmennyiség! villamos töltést értünk,melyeknek különböz" az el" jelük, és a töltések közötti távolság nagyon kicsiny. A valóságbangyakran szükség van a dipólus hatására (terére, potenciáljára) olyan távolságban a dipólustól,amely távolság nagy a két töltés közötti távolsághoz képest. Az elektromos dipólus fogalma

fontos a szigetel"knek (dielektrikumoknak) az elektrosztatikus térben való viselkedésének tanulmányozásához. A dipólustól nagy távolságra elhelyezked" M pont potenciálja egyenl" azzala potenciállal melyet a Q és a -Q töltések hoznak létre.

V Q

r

Q

r

Q

r r M # "

*# *

" * * *4 4 4

1 1

0 0 0(, (, (, ( )

A képen r+ jelöli az M pont távolságát a Q töltést"l, r- pedig az M pont távolságát a -Q töltést"l (r a középtávolság).A képr "l láthatjuk, hogy:

1 1

2r r

r r

r r

d

r " *

* "

" ** #

*-

cos.

mivel az r, r+ és az r- sokkal nagyobb mint a d, ezért

V Qd

r M #

cos.

(, 4 02

A dipólus potenciálja nem függ külön-külön a Q -tól és a d-t"l, ami azt jelenti, hogy adipólust a Q és d szorzatával elég meghatározni. A potenciál meghatározásához tudnunk kell a

dipólus irányítását is. Ezért a d távolságot vektorként fogjuk kezelni. Így a p Qd ! !

# szorzat

jellemzi a dipólus nagyságát és irányítását is, és ezt a szorzatot dipólusmomentumnak nevezzük.A dipólustól ered" villamos tér er "sségének megállapításához a következ" ábrát használjuk.Ezen az ábrán a dipólust egy kis függ"leges nyillal ábrázoltuk.

p Qd

V

pr

r

! !

! !

#

#

0

0 24(,

E dV

dr

p

dr r dr r

p

dr

r r dr

r r dr

p

r

E dV

rd

p

r

d

d

r = − = −+

−

= −

− ++

≅

= − = − + −

cos

( )

cos ( )

( )

cos

cos( ) cos

θ

πε

θ

πε

θ

πε

θ πε

θ θ θ

θ θ

4

1 1

4 2

4

02 2

0

2 2

2 20

3

03

Mivel a d . kicsi, ezért



cos( ) cos cos sin sin cos sin

sin

. . . . . . . . .

. . .

.

(, .

" # * / *

/ /

/

d d d d

d

p

r

cos , sind d

E

1

4 03

2.2.2.6. A felületi és térbeli töltéseloszlás potenciálja

El"ször tételezzük fel, hogy az elektrosztatikus tér egy meghatározott, ismerttöltéss!r !ség! elektromosan töltött testt"l ered (ahogy a képen látható). Egy kiválasztott kis dSfelületen a fellelhet" töltésmennyiség dQ=σdS. A potenciál, amelyet ez a töltésmennyiség a P

pontban létrehoz a következ" módon fejezhet" ki:

dV

dS

r #

$

(, 4 0

A P pontban az ered" potenciál megkapható mint azelemi potenciálok algebrai összege (integrálja):

V dS

r S

= ∫ 1

4 0πε

σ

Hasonló módon határozzuk meg azt a potenciált is amely a térbeli töltéss!r !ségt"l ered. Aváltozó töltéss!r !ség! (a ' minden pontban más és más) térfogatot, amelyen belül helyezkedik

el a töltésmennyiség felosztjuk kis dV térfogatelemekre. A töltésmennyiség értéke a kistérfogatelemben dQ= ' dV, a P pont potenciálja pedig

dV dV

r V

dV

r V

= = ∫ ρ

πε πε

ρ

4

1

40 0

2.2.3. GAUSS TÖRVÉNYE

A pontszer ! villamos töltést"l ered" térer "sség vektorának matematikai alakja, vagyisCoulomb törvényének közvetlen következménye Gauss törvénye, vagy teorémája. Ez egymatematikai kifejezés, amely egy zárt felületen átmen" villamos térer "vonalak számát hozzamennyiségi kapcsolatba a felület által bezárt töltésmennyiséggel.

A vektor fluxusának fogalma: képzeljük el,hogy valamilyen örvénymentesen áramló folyadékba

belehelyezünk egy kis merev hálót, melynek területe% S. Ha ismerjük a folyadék sebességét (v), hogyantudnánk meghatározni a folyadék áramlásának

er "

sségét a hálón keresztül ?El"ször határozzuk meg azt a térfogatot amelykeresztülfolyik a hálón egy rövid dt id" elteltével. A



a térfogat amely keresztülfolyik a hálón: vdt % Scosα. Így az áramlás a % S teruleten keresztülv S % cos+ .

Ez hasonlít két vektor skaláris szorzatára, de a % S nemvektor. Definiáljuk a ∆S felületelemet mint ∆S vektort melynek intenzitása ∆S az irányítása pedig a felületelemre mer "leges negységesvektorral van meghatározva:

% %S S n! !

#

Így az áramlás er "ssége a ∆S felületelemen keresztül

egyenl" a következ" szorzattal: v S ! !

)%

A latin "fluxus" szóból, ami "átfolyást " jelent a v S ! !

)% szorzatot a v vektor fluxusának nevezzük a %S felületelemen keresztül. Igazi áramlásról csak akkor beszélhetünk, ha asebesség vektorának fluxusáról van szó.

A definició értelmében valamilyen felületen (felületelemen) keresztül a vektor fluxusaskaláris érték. Így a tetsz"leges felület fluxusát kiszámíthatjuk az össz felületelemekre vonatkozó

fluxusok összegeként: E S k k

k

n !

)

!

#

& %

1

Tegyük fel, hogy az a vektor, amelynek a fluxusát keressük változó irányú és intenzitású.A számítások ebben az esetben is annál pontosabbak lesznek, minél kisebb részecskékre osztjuk a felületet.

[ ]

∆

Ψ

S k

d S

E d S E

S

→ →

→ → →

→ →

→

∑ → ∫

=∫

∫

dS

Az E fluxusa az S területen keresztül = E

Vm

S

Az S lehet valós és elképzelt geometrikus felület, ugyanúgy lehet zárt is. Megegyezésszerint az n egységvektor mindig a zárt felületb"l kifelé, a tér felé mutat.

2.2.3.1. Gauss törvényének levezetése

Figyeljünk meg egy pontszer !, Q töltésmennyiséggel rendelkez" testet! Határozzuk megaz E térer "sségvektor fluxusát egy képzeletbeli gömb alakú zárt felületen keresztül, melynek sugara r és középpontját a pontszer ! villamos töltés képezi.

Az E vektor derékszögben metszi a zárt felületet, tehát:

E d S EdS E dS E r Q

r r

S S S

→ →

= = = =∫ ∫ ∫ 44

42

02

2π πε

π

Az E vektor intenzitása egyforma a felület minden pontjában

E d S Q

S

→ →

=∫ ε 0



A gömb sugara nem szerepel a jobb oldalon, s ezabból következik, hogy az E vektor intenzitása egyforma afelület minden pontjában. Be fogjuk bizonyítani, hogy afluxus értéke nem fog megváltozni, ha az S akármilyen zártfelület amely magába foglalja a Q töltést! Képzeljük el,hogy a töltés körüli teret nagyszámú, tetsz"leges

keresztmetszet! gúla alakú metszetre osztottuk fel úgy, hogya töltés a gúlatestek csúcsaiban helyezkedik el.A képen látható gúla az elképzelt r sugarú gömbb"l az

árnyékolt ds felületet metszi ki. Határozzuk meg az E vektor fluxusát a dS1 felületen keresztül:

d EdS E d S EdS EdS 0 1 1 1# #! !

cos( , )

Következtetés: az E vektor fluxusa a vékony gúla területén keresztül nem függ a szögt"l,amelyet a metszetfelület bezár az r 0 szakasszal:

d EdS Q dS

r

E 0 # #4 0 2(,

Vizsgáljuk meg mennyire függ a fluxus a Q töltésmennyiségt"l való r távolságtól!Láthatjuk, hogy a fluxus nem függ az r távolság nagyságától. Más r' és r'' sugárnak különböz"dS' és dS'' felel meg. Az össz gúlák hasonlóságából megkaphatjuk, hogy:

dS

r

dS

r

dS

r

'

'

' '

' '2 2 2# # #...

Képzeljünk el egy tetsz"

leges zárt felületet, amely magába foglalja a Q töltésmennyiséget.Elképzelt gúlák ezt a zárt felületet kisebb dS1 felületekre osztják. Ezek a dS1 felületek kölönböz"

+ szöget zárnak be az r 0!

vektorral és különböz" távolságokra vannak a Q-tól. Bebizonyítottuk azonban, hogy a fluxus bármelyik felületelemen keresztül független az + szögt"l és az r távolságtól. Ezért számoláskor az össz felületelemnél vehetjük, hogy az + =0 és ugyanazt az r-tis, vagyis a fluxust számíthatjuk egy elképzelt gömbre melynek középpontja a Q, a sugara pedigtetsz"legesen r:

E d S Q

S

→ →=∫ ε 0

Az S egy tetszöleges felület mely Q tölté st tartalmaz

A levezetéskor feltételeztük, hogy a Q > 0, de a kifejezés természetesen vonatkozhat a Q <0 esetre is:

E d S E dS

E d S E dS Q

r r

Q Q

S S

→ →

→ →

= −

= − = − = − =∫ ∫ 44

02

2

0 0πε π

ε ε

Tételezzük fel, hogy egy zárt S felületen belül n számú pontszer ! töltés (Q1, Q2,...Qn) van.Az elektromos térer "sség vektorai a terület egyes pontjaiban E1, E2,...,En. Az ered" E vektor

fluxusa az S felületen keresztül:



E d S E E E d S E d S E d S E d S n n

S S S S S

→ → → → → → → → → → → →

= + + + = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ... )1 2 1 2 ...

Az egyenlet jobb oldalán lev" összeg egyenl":Q Q

... ,Q1 2 n

, , , 0 0 0

, ,

Q Q Q

E d S Q

összesen az S-ben n

összesen az S-ben

S

. .. + Q

= + +=

→ →

∫ 1 2

0ε

Bebizonyítjuk majd, hogy Gauss törvénye érvényben marad akkor is, ha az S felületenkívül helyezkedik el töltés. Figyeljük meg a képen látható gúlát!

mivel

α π

α

α π

α

1 2 tompa szög)

cos 0 negativ fluxus

2

(hegyes szög)

cos 0 pozitiv fluxus

1

2

2

>

<

<

>

(

→

→

Mivel bebizonyítottuk, hogy a fluxus minden gúlánkeresztül egyforma intenzitású (nem függ sem az + -tólsem az r-t"l) megkapjuk, hogy az össz fluxus a dS1 és dS2felületelemen keresztül egyenl" nullával. Mivel ez vonatkozik minden gúlára, az össz fluxus az Sfelületen keresztül egyenl" nullával. A következtetés érvényes a töltések S felületen kívüliminden más eloszlásánál is.

2.2.4. VEZET"K AZ ELEKTROSZTATIKUS TÉRBEN

A vezet"k olyan anyagok, melyeknek nagyszámú szabad villamos töltésük (elektronjuk)van. Ezek a szabad töltések már a legkisebb elektromos er "k hatására is irányított mozgástvégeznek (vezet" elektronok).

A vezet"knek óriási szerepe van az elektrotechnikában, nélkülük nem is létezne azelektrotechnika. Ezért nagyon fontos tudni, hogy mennyire befolyásolja a vezet" azelektrosztatikus teret, hogyan viselkedik a vezet" az ilyen térben és milyen lehet"ségek léteznek a vezet"k gyakorlati alkalmazására.

Az elektrosztatikus térben, a definíció szerint, nem létezik az elemi töltések irányított,makroszkópikus mozgása. Ez azt jelenti, hogy az elektrosztatikus térben elhelyezked" vezet" belsejében egyetlen pontban sem létezhet elektromos er ", mert az elemi töltések rendezett,makroszkópikus mozgásba kezdenének az er " irányában. Mivel az er ", amely a töltésekre hat,arányos a térer "sség vektorával (F=QE), ezért mondhatjuk, hogy :

ha egy test az elektrosztatikus térben van, akkor a test minden (bels!) pontjában azE=0.

(Ez a következtetés csak az elektrosztatikában érvényes) . Az elektromos vezet"testeken kívül, tehát a vákuumban létezik elektromos tér.

Gauss törvénye alapján bebizonyítható, hogy a vezet" belsejében sehol sincsmakroszkópikus töltéstöbblet. Ebb"l a következ" megállapítást adhatjuk:



az esetleges töltéstöbblet a vezet!k felszínén nagyon vékony rétegben helyezkedik el.

A testek belsejében nincs töltéstöbblet.Az elektrosztatikában az elektromos térer "sség vektora mindig derékszöget zár be a vezet"

felületével, vagyis a vezet" test felületei ekvipotenciálisak. Ha létezne az E vektornak tangenciális komponense, akkor az a töltések rendezett makroszkópikus mozgását idézné el".

Mivel az elektrosztatikában nincs ilyen mozgás, ezért az E vektornak nem is létezhet érint"legesösszetev" je a vezet" felületén.

E !

#tang 0.

Az elektrosztatikában az E vektor derékszöget zár be a vezet! felületével, ami azt jelenti, hogy a vezet! test felületei ekvipotenciálisak.

A vezet"n belül minden pontban E=0, ami azt jelenti, hogy a test minden bels" pontjának potenciálja megegyezik a test felületén lév" pontok potenciáljával.

2.5. Példa: Ezer egyforma, gömb alakú vízcseppet (sugaruk r = 1 mm), külön-külön 100V-os potenciálra hoztunk. Ezután az összes vízcseppet egy nagy, gömb alakú cseppbe egyesítettük.Számítsuk ki a nagy vízcsepp potenciálját! (A vizet kezeljük vezet"ként, mint ahogy aztáltalában az elektrosztatikában szokás).

Megoldás:

Minden csepp töltésmennyisége Q rVr

= 4 0πεπε

, mivel a V =Q

4 0

. Ha egyesül az össz

vízcsepp, akkor a nagy csepp töltésmennyisége Q N Q k = , ahol N=1000 vagyis a cseppek

száma. A nagy csepp térfogata egyenl" a kis cseppek térfogatának összegével és így

megkaphatjuk a sugarát r r N k = ⋅ 3 , melynek segítségével aztán kiszámíthatjuk a potenciálját

is: kV r

QV k

k

k 10

4 0

==πε

.

2.2.4.1. A vezet! felszínén lev! felületi töltéss#r#ség és a felszín közelében lev! térer!sségkapcsolata

Tudjuk, hogy vákuumban az E derékszöget zár be a vezet" test felületével. Figyeljünk meg

egy elképzelt nagyon lapos egyenes hengert, melynek egyik alapja a vezet"

ben a másik pedig avákuumban van. Alkalmazzuk Gauss törvényét a zárt hengerfelületre:

E d S E d S E d S E d S E dS E SS

henger

→ → → → → → → →

= + + = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ alap a

vá kum ban

a henger

burokja

alap a

vezetõben

0

E =

∆∆σ

ε

σ

ε

0



A légüres térben lév" vezet"knél, a vezet"k közvetlen közelébenlév" pontokban (a vákuumban) a térer "sség vektora arányos a felületitöltéss!r !ség helyi, lokális értékével (hiszen általános esetben afelületi töltéss!r !ség a vezet" felületi pontjaiban más és más).

2.2.4.2. A töltésmennyiség eloszlása különböz! alakú magányos vezet! testeken

Egy tojás alakú testen (melynek a B ponttal jelzett vége tompább, mint az A vége)

figyeljük meg a felületi töltéss!r !ség-eloszlást a vezet" felszínének egyes pontjaiban. A felületitöltéss!r !ség nagyjából egyenletes lesz az A illet"leg B pontok közvetlen közelében, persze a$ $

A B1 . Durván a $

A megközelít"leg akkora érték !, mint egy a sugarú gömbnél, a $

B pedig

mint egy b sugarú gömbnél.

V Q

a

a

Q a

göm b = =

=

4

4

0 0

2

πε

σ

ε

σ π

Vgö m b

Legyen a felület valamennyi pontjának potenciálja mondjuk V. Így felírhatjuk, hogy:

V a b b

a

A B- - -

-

$

,

$

,

$

$

$

,

0 0

vagyis

vagy mivel E =E

E

b

a

A

B

0

A

B

A vezet" felületén lev" két pont felületi töltéss!r !sége megközelít"en fordítottan arányos a pontokhoz tartozó görbék sugaraival. Következtetés:

Az magányos vezet! testeken a villamos töltéss#r#ség a test hegyes részein alegnagyobb. Ugyanezen részek közvetlen közelében, a vákuumban viszont a villamostérer!sségnek van legnagyobb értéke.

Ezt a tényt a repül"iparban alkalmazzák. A repül"k szárnyaira, a szárnyvégekre hegyes,antennaszer ! fémrészeket er "sítenek. A gép ugyanis repüléskor a leveg"vel való súrlódáskövetkeztében elektromossá válik, és leszálláskor er "s tér alakulhat ki a géptest és a föld között.Ilyen esetekben elektromos kisülés keletkezhetne a repül"géptest és a Föld között és ez t!zh"z



toldalékainak közelében, a leveg" ben akkora értéket ér el, hogy ionizálja a leveg"t és így atöltésmennyiség nagy része "elfolyik", elszivárog a leveg" be.

Másik ismert alkalmazási területe az el"z" ténynek a villámhárítónál van.

2.6. Példa: Egy kis, vezet" b"l készült gömb sugara a = 0,5 cm, töltésmennyisége pedigQ C # ) *2 3 10 10, . Nagyon messze ett"l a kisméret! gömbt"l egy másik, töltés szempontjából

semleges, vezet" b"l készült gömb helyezkedik el, melynek sugara b = 0,5 m. A kis gömböt anagy közelébe visszük, megérintjük vele azt, majd visszavisszük az eredeti helyére. Számítsuk kimegközelít"leg a kis és a nagy vezet"gömb töltésmennyiségét és potenciálját a végs" helyzetben,valamint a kis gömb potenciáljának pontos értékét a kezd" állapotban (az érintkezés el"tt)!

Megoldás:A kisméret! vezet"gömb potenciálja az érintkezés el"tt:

∫ ∞

===

=

a

V a

Q Edr V

r

Q E

4,4134

4

0

20

πε

πε

Ha a két vezet"gömb érintkezik, gyakorlatilag az össz töltés átáramlik a naggyobb gömbre,így a nagyobb vezet"gömb felületi töltéss!r !sége:

22 b m pC 2,73

4 ==

b

Q

π σ

Ha feltételezzük, hogy a töltésmennyiség egyenletesen oszlik el az érintkezés ideje alattmindkét gömb felületén, akkor érvényes, hogy:

1,44

3,24

mnC32,7

01

21

2

a

V b

QV

pC b

QaaQ

a

b

a

a

b

==

==⋅=

=

⋅=

πε

π σ

σ

σ σ

A kapott érték természetesen csak hozzávet"leges, tehát pontatlan, mert feltételeztük, hogyaz érintkezéskor az össz töltésmennyiség átvándorolt a nagyobb vezet"gömbre, amitermészetesen csak megközelít"en igaz.

2.2.4.3. Influencia (elektrosztatikus indukció vagy megosztás)

Figyeljünk meg egy magányos elektromosan töltött vezet" testet (A test)! Képzeljük el,hogy ennek a testnek az er "terébe villámgyorsan beviszünk egy B semleges vezet" testet.Tételezzük fel, hogymindkét testbenléteznek pozitív ésnegatív szabad elemitöltések. A B test

felületén úgy fognak elrendez"dni akülönböz" el" jelü



töltések, hogy er "terükkel fokozatosan megsemmisítsék az A test töltései által a B test pontjaiban generált villamos teret. Ez a folyamat addig folytatódik míg a B test minden pontjában nullára nem csökken az elektromos térer "sség. A B test töltései természetesen a testenkívül is létehoznak elektromos teret, és ezért az A testen is megváltozik a töltéseloszlás. A leírtátmeneti jelenség a vezet"knél nagyon rövid, csaknem azonnali. Magát a jelenséget, amikor avillamos szempontból semleges vagy akár töltött test két oldalán ellenkez" el" jel!, de azonos

mennyiség! töltés jelenik meg egy másik, töltéssel rendelkez" vezet" test hatására, elektromosinfluenciának (elektrosztatikus indukciónak) vagy töltésmegosztásnak nevezzük. A töltéseketmelyek az indukció eredményeként jönnek létre indukált (influált vagy megosztott) töltéseknek nevezzük. Ha a test nincs kapcsolatban a földdel vagy más vezet" testtel, akkor az indukálttöltések összege egyenl" nullával.

Nagyon fontos megérteni, hogy a semleges test megjelenése mindig megváltoztatja mind atérer "sség értékeit a környez" pontokban, mind a töltések elosztását azokon a testeken is,amelyekt"l az elektromos tér ered.

Alkalmazása:1. Küls" és bels" elektrosztatikus tér árnyékolása (Faraday-féle ketrec)2. Van de Graaff generátor

3. Az elektroszkóp.



2.2.4.4. A vezet! testek töltése és potenciálja közötti kapcsolat, kondenzátorok és azok kapacitása

Figyeljünk meg egy magányos elektromos töltéssel rendelkez! vezet! testet, amelynek töltésmennyisége Q, potenciálja pedig V. Mekkora lesz a potenciál ha a test töltésmennyiségét

kQ-ra növeljük?Legyen a testfelület pontjaiban a felületi töltéss"r "ség értéke ! (pontról pontra változó). A! -nak olyannak kell lennie, hogy a vezet! felülete ekvipotenciális legyen és a test valamennyi

pontjában az E=0. Az új kQ töltésmennyiséggel is ekvipotenciálisnak kell maradnia a vezet!

felületének, a test belsejében pedig maradnia kell az E=0 értéknek. Ez csak akkor lehetséges, haaz új felületi töltéss"r "ség minden pontban k-szor lesz nagyobb, mint el!tte. A testen kívül azvillamos tér er !ssége kE lesz (E a villamos térer !sség értéke a Q töltésmennyiségnél) a test

potenciálja pedig ugyancsak k-szor lesz nagyobb mint el!tte. Arra a következtetésre jutottunk,hogy a magányos vezet! test töltése (töltésmennyisége) arányos annak potenciáljával:

Q=CV .Az arányossági tényez! nem függ sem Q-tól sem V-t!l, hanem csak a test alakjától és ezt a

test kapacitásának nevezzük (a C a testet körülvev! dielektrikum tulajdonságaitól is függ).

Figyeljünk meg két vezet!

testet (elektródát), amelyek egyforma nagyságú, de különböz!

el! jel" töltéssel rendelkeznek. Ilyen elektróda-elrendezéssel az elektrotechnikában s"r "ntalálkozunk. Ezeket kondenzátornak vagy s"rít!nek nevezzük. A kondenzátort alkotó vezet!

testeket vagy elektródákat a kondenzátor fegyverzetének is hívják. A kondenzátorok feltöltését agyakorlatban az úgynevezett elektromos generátorok (G) végzik. A generátornak olyantulajdonsága van, hogy az egyik kapcsáról a pozitív töltést képes átvinni a másik kapcsára agenerátor belsejében ható nem villamos természet" er !k segítségével. A "+" jellel megjelölt

pólusra a + (pozitív) töltések átvitele addig tart, amíg az elektródákon felhalmazódott töltésekt!lered! villamos teret a generátor le tudja gy!zni.

Hasonlóképpen mint a magányos vezet! test esetében, itt is arra a következtetésre jutunk,hogy a potenciálkülönbség (V+-V-) az elektródák között és a pozitív elektródán elhelyezked! Q

töltésmennyiség a arányosak egymással:

[ ] [ ]

Q C V V

C C

V

= −

+ −( )

F farad

C - A kondenzátor kapacitása függ az elektródák alakjától, a két elektróda egymáshozviszonyított helyzetét!l és a dielektrikumtól, amely az elektródák közötti teret kitölti.

A kapacitás mértékegysége a farad. A farad nagyon nagy egység (C FFöld = ⋅ −0 708 10 3, ), agyakorlatban a kapacitás értéke néhány pF-tól néhány száz " F-ig terjed.

A kondenzátoroknak manapság a következ! három legismertebb fajtája használatos:#

. változtatható kapacitású kondenzátor (trimer) (50-500 pF)2. papír szigetel!vel ellátott kondenzátor (#0 pF-#00 "F )3 elektrolitikus kondenzátor (néhány #000 "F )



2.7. Példa: Számítsuk ki az egymással párhuzamos kis sugarú hengeres elektródák (vezetékpár) kapacitását egységnyi hosszúságra, ha a vezet!k sugara a = 0,3 cm! Az elektródák d= 0,5 m távolságban vannak egymástól és hosszuk l=#0 km. Mekkora az egységnyi hosszúságraes! töltésmennyiség a pozitív töltés" vezet!n, ha a feszültség az elektródák között U= 220 V ?

Megoldás:

a=0,3 cmd=0,5 cml=#0 kmU=220 V

)(2E

2

)(2E 2

E

Edr = U

0

,

20

,

#

02

0#

S 0

ben-Saz2

0

ben-Saz#

2

#

r d

Q

r

Q E

Qlr d

Qrl E

Qsd

Qds E

U

QC

S

−−

==

−=−⋅=⋅

=→→

=→→

=

∫ ∫

∫

πε ε π

ε π

ε π

ε ε

A vezetékpár közötti pontokban ez a két térer !sség összeadódik, hiszen a vektorok

ugyanolyan irányúak és irányításúak:

U

a

ad Q

aad a

ad QU

ad

a

a

ad QU

r

dr

r

dr Qdl E U

r d r r

Q

r

Q E E E

a

ad

ad

a

ad

a

⋅−

=

−

−⋅=

−−

−=

==

−=⋅=

−=+=+=

∫ ∫ ∫ −

−−

ln

ln

=C ln

lnln2

-dr dr dlmivel 2

22

0,

0,

0

,

0

,

,

,

,

0

,

,

,0

,

0

,

2#

πε

πε

πε

πε

πε

πε ε π

A konkrét számértékek a következ! eredményeket adják:

C##.97ln

illetvenF54.43ln

=C 00 µ ε π πε

=⋅−

==−

U

a

ad

lQ

a

ad

l



2.2.4.4.#. A KONDENZÁTOROK SOROS ÉS PÁRHUZAMOS KÖTÉSE

A gyakorlatban s"r "n találkozhatunk a kondenzátoroknak vezet!kkel különböz! módonösszekötött csoportjával.. A kondenzátorok legelterjedtebb összekötési módja a párhuzamos és asoros kötés.

Mindkét esetben a kondenzátorok egész csoportját helyettesítjük egy ekvivalens (ered!)kondenzátorral (ennek a kapacitása egyenl! az egész csoport kapacitásával).

C Q

U #

Párhuzamos kötés (a kondenzátor elektródái között a potenciálkülönbség egyforma):

Q Q Q

V V C V V C V V

C V V

C C C C

A B A B n A B

A B

ekv

# $ $

% $ % $ $ %

$ $ %

# $ $ $

# 2

2

2

# 2 3

...+Q

= C

= (C ... + C

. .. + C

n

#

# n

n

( ) ( ) ... ( )

)( )

Soros kötés (az összes kondenzátor ugyanakkora töltésmennyiséggel rendelkezik ):

V V U U U

Q

C

Q

C

Q

C

C C C

A B n B

n

n

% # $ $ $

# $ $ $

# $ $ $

%## #2 #

# 2

# 2

# # #

...

...

#

C ...

ekv

( ),

A következ! ábrán (a bal oldali részen) az látható, hogy hogyan valósíthatók meg a nagykapacitású és nagy pontosságú kondenzátorok, valamint (a jobb oldalon) a kis kapacitású denagy pontosságú kondenzátorok.

Nagy kapacitású ésnagy pontosságúkondenzátorokat a gyártásitechnológiai folyamat nemtesz lehet!vé, így a kívánt

pontos értéket egy, a nagykondenzátorral párhuzamosan kapcsolt, aránylag kis kapacitású, de nagy pontosságú trimer kondenzátorral állíthatjuk be.

Nagyon kis kapacitású és pontos érték " kondenzátorok el!állítása sem lehetséges, így a pontos értékre való "hangolást" egy viszonylag nagy, de pontos, a kis kapacitású és pontatlankonden átorral sorosan kapcsolt trimerrel ége ük



Mindkét esetben érvényes, hogy C# >> C2

2.2.4.5. A potenciál és a térbeli töltéss"r"ség-eloszlás közötti kapcsolat(Poisson egydimenziós egyenlete)

Némely gyakorlati esetben (elektroncsövek, ioncsövek, katódsugárcs!, plazmánál, vagykét félvezet! kapcsolatánál) létezik térbeli töltéss"r "ség, amely kihat a közelben lev! pontok

potenciálérték-változásaira. Azt az általános egyenletet, amely a potenciálfüggvény(pontosabban a potenciálfüggvény második deriváltja) és a térbeli töltéss"r "ség-eloszlás közöttikapcsolatot kvantitatívan meghatározza, Poisson egyenletének nvezzük. A továbbiakban Poissonegyenletének egydimenziós formáját ismerjük meg.

Tételezzük fel, hogy a megfigyelttérrészen a töltéss"r "ség csak az x tengelyirányában változik. Ebben a térrészbenképzeljünk el egy kis térfogatelemet, amint aza képen is látható, és alkalmazzuk erre Gausstörvényét.

[ ] E d S E S E dE S S dx

dE

dx E

dV

dx

d V

dx

S

x x x x

x x x

x

→ →

∫ = − + + =

= = −

−

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( )

' ''ρ

ε

ρ

ε

ρ

ε

0

0

2

2

mivel

=(x)

0

2.8. Példa: Két nagyméret", párhuzamos, vezet!anyagból készült síklemez között avillamos töltéss"r "ség értéke & # 0. A lemezek d távolságra vannak egymástól, az egyik nulla, amásik pedig V potenciálon van. Poisson egydimenziós egyenletéb!l kiindulva számítsuk ki a

potenciált a lemezek között minden pontban!Megoldás:

A Poisson egyenletb!l indulunk ki:d V(x)

dx

(x)2

2 = −

ρ

ε 0

. Mivel a ρ (x)= 0 , ezért a

következ! egyenletet kell megoldanunk: d V(x)dx

2

2 = 0 .Ha a potenciál másdik deriváltja nulla,

abból az következik (a függvényanalízisb!l ismeretes), hogy a potenciál els! deriváltja állandó

(legyen mondjuk A#), tehát:dV(x)

dx= A

1. Ha most az utóbbi kifejezés alapján a potenciál

értékét határozatlan integrál segítségével határozzuk meg, a következ! kifejezést kapjuk:V(x)= A x+ A

1 2. A két állandó értékét a határfeltételekb!l állapíthatjuk meg, tudniillik x=0

értékre a potenciál nulla, x=d értékére pedig V . Behelyettesítve a határértékeket a potenciálok képletébe az állandókra a következ!t kapjuk: A#=V/d, illetve A2=0. Tehát a potenciál értéke a

lemezek közötti pontokban:

V(x)= Vdx.



2.2.5. SZIGETEL#K AZ ELEKTROSZTATIKUS TÉRBEN

Az elektromosan semleges test elektrosztatikus térbe való bevitelekor a testen azels!dleges tér hatására indukált töltések jelennek meg, amelyek egy kiegészít! villamos terethoznak létre (amely a tér minden pontjában módosítja az els!dleges villamos teret). Ez akiegészít! tér megváltoztathatja a töltéseloszlást magán az els!dleges tér forrásán is.

Hasonló jelenségre kerül sor akkor is, amikor egy dielektrikumot viszünk be azelektrosztatikus térbe azzal a különbséggel, hogy a nem kompenzált töltések keletkezésemásmilyen.

A szigetel! molekuláinak villamos tulajdonságaiszerint a dielektrikumokat leggyakrabban két csoportbaosztják. Az egyik csoportba tartoznak azok a szigetel!k,amelyeknél a molekulák bels! szerkezete azonos egyelektromos dipóluséval. Az ilyen molekulákatdipólusmolekuláknak , vagy polarizált molekuláknak nevezzük. Példa erre a víz molekulája, amely a képen islátható.

A villamos tér hiányában a molekulák kaotikus,termikus mozgása következtében a polarizált molekulák dipólusmomentumai a térben ugyancsak kaotikusan helyezkednek el. Egy ilyen dielektrikum

bevitelekor az elektromos térben a következ! jelenség játszódik le. A villamos tér hatására a polarizált molekulák (dipólusok) egy része orientálódik a tér irányába (a teljes orientációtmegakadályozza a termikus mozgásuk). Elektromos tereik így már nem semlegesítík egymást,hanem az orientálódott polarizált molekulák következtében jelentkezik egy makroszkópikusvillamos tér is és ez a tér hozzáadódik az els!dleges térhez, amely a dipólusok irányítását okozta.

A másik csoportba azok a szigetel!k tartoznak, amelyeknél a molekuláknak nincsdipólusmomentuma. Az ilyen molekulákat nem poláris molekuláknak nevezzük. A nem polárismolekulák nagyobb távolságokban nem hoznak létre jelent!sebb teret és így a képen láthatómodellel ábrázolhatók .

Ha az ilyen molekulát bevisszük avillamos térbe, akkor a pozitív magra a tér irányában hatnak az er !k, míg a negatívelektronhéjra az ellentétes irányban. A bels!

er !k ellenkeznek a deformációknak, de kismértékben mégis deformálodik a molekula. Ezazt jelenti, hogy az elektromos tér hatására a nem poláris molekula is átalakul dipólussá, illetveez esetben is kiegészít! villamos tér alakul ki, amelyet a nagyszámú orientált dipóluseredményez.

Habár a dielektrikumok bevitelekor a villamos térbe a dipólus kialakulásának mechanizmusa különbözik a poláris és a nem poláris molekulák esetében, a végs! hatás ugyanaz.A szigetel!kben, amelyek egyébként nem hoznak létre makroszkópikus teret, küls! elektromostér hatására óriási számú irányított elemi dipólus jön létre, melyeknek a makroszkópikus terétmár nem lehet elhanyagolni. A dielektrikumok polarizációjának nevezzük azt a folyamatot,amelynek eredményeként nagyszámú irányított dipólus jelenik meg a szigetel!anyagokban. A

polarizációt a poláris molekulák esetében dipóluspolarizációnak , a nem poláris molekulák esetében pedig elektron-polarizációnak nevezzük. Elektronpolarizációról mindkétmolekulafajtánál beszélhetünk, mert az elektronhéjak deformációjára mindig sor kerül.Ugyanolyan er !s tér hatására a dipóluspolarizáció eredményeként nagyobb átlagosdipólusmomentum jön létre, mint elektronpolarizáció alkalmával.

A szilárd kristályos szigetel!knél létezik még egy fajta polarizáció. A kristályosdielektrikum egy pozitív és egy negatív ionból áll, amelyek a kristályszerkezetet alkotják. Idegentér jelenléte nélkül az ionok úgy helyezkednek el hogy nem alkotnak makroszkópikus teret Az



idegen tér hatására a pozitív ionok elmozdulnak a tér irányába, a negatív ionok pedig azellenkez! irányba. Ezt a fajta polarizációt ionos polarizációnak nevezzük.

Az elektrosztatikus leveg!tisztító müködési elveHa nem homogén (inhomogén) villamos térben kis dielektrikum- vagy vezet!részecskék

vannak, akkor a szigetel!darabkák polarizálódnak, a vezet!kön pedig indukált villamos töltések influálódnak. A dipólusok különböz! pólusai, illetve a vezet!k ellenkez! el! jel" influált töltései

némileg eltér ! intenzitású villamos térben helyezkednek el. Az ilyen részecskékre olyan ered!er ! hat, amely arra törekszik, hogy a részecskéket a nagyobb intenzitású térrészbe vonzza.

2.2.5.$ Az villamos polározás vektora (polarizációvektor)

A szigetel!k viselkedését a villamos térben eddig csak szóbeli leírással ismertettük. A jelenség matematikai leírásához, vagyis a szigetel!k polarizációjából ered! villamos tér számításához több új fogalmat kell még megismernünk. Ezek a fogalmak a szigetel!k

polarizációjához kapcsolódnak.

A villamos térnek a szigetel!k jelenlétében való elemzésénél csak az elemidipólusmomentumok meghatározására kell szorítkoznunk, hiszen a dipólusok az egyedüliforrásai annak a makroszkópikus villamos térnek, amely a szigetel!kt!l ered (az anyag többitulajdonsága a villamos tér kialakulásának szempontjából nem játszik szerepet). Ezért ezeket adipólusokat vákuumban kell elképzelnünk. Mivel ilyen dipólus a szigetel! ben rengeteg van,külön-külön nem számolunk minden egyes dipólusmomentummal, hanem bevezetjük adipólusmomentum-vektor s"r "ségének, vagyis a villamos polarizációvektornak (polározásivektornak) a fogalmát.

P p

dV

''

# (( )a dV-ben

Egy dV térfogatelemen belül a villamos polarizációvektor tehát az össz dipólusmomentumvektoriális összegével egyenl!.

A dV térfogatelemen belül az össz dipólusmomentum a következ! módon számítható:

d p p P dV a

' ' '

# ( #( ) dV-ben

A polározási vektort, a P-t másképpen is értelmezhetjük. Figyeljünk meg egyszigetel!darabot, és képzeljünk el egy S felületet, amely a dielektrikumból kivág egy részt. Afelület azon részén, amely a szigetel! ben helyezkedik el, a villamos tér kialakulásakor (a

polarizációs folyamat során) egy meghatározott mennyiség" villamos töltésmennyiség folyt át.

Határozzuk meg ezt a töltésmennyiséget!

- fekete pontok - semleges molekulák a polarizáció el!ttköröcskék a kialakult dipólus pólusai



A polarizáció el!tt a zárt S felületben az ered! töltésmennyiség (Q) nulla volt. A Q_ jelzéssel a polározás folyamán keletkezett dipólusok negatív töltését jelöltük. Ezek a Q_ dipólusvégek a polarizáció során behatolnak az S felületbe és ott negatív töltéstöbbletet hoznak létre. Ugyanakkor a Q+ dipólusvégek eltávoznak az S felületb!l és így pozitív töltéshiányészlelhet!. Az eredmény mindkét esetben ugyanaz, vagyis negatív töltés jelentkezik az S

felületen belül.

) )

) )

Q N Q Sd

NQ Sd

% %

$

# %

#

( ) cos

cos

*

*

( jobbról balra)

Q (balról jobbra)+

N - a semleges molekulák térs"r "sége

Az össz (pozitív) töltésmennyiség, amely a polározás folyamán balról jobbra elhagyja az Szárt felületet:

( ) ( ) cos cos

( ) cos

∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

∆

∆

Q NQ S d d NQd S

Q P S P S

az S-b!l a S-en keresztül

az s-b!l a S-en keresztül PC

m2

= + + − =

= =→

⋅→

⇒

α α

α

A polarizációvektor másik magyarázata :A polározási vektor intenzitása a szigetel!anyag valamely pontjában számbelileg a

polarizáció irányára mer !leges ) S felületelemen áthaladó töltésmennyiség és a ) S felületelemhányadosával egyenl!. A P vektor iránya egybeesik a pozitív töltések mozgásirányával. Ittföltételeztük, hogy a negatív töltések elmozdulása az egyik irányba ugyanazt jelenti, mintha a

pozitív töltések mozdultak volna el az ellenkez! irányba.Ha a szigetel! minden pontjában ismerjük a polarizációvektor értékét, akkor könnyen

meghatározhatjuk az ered! dipólusmomentumokat, amelyek megfelelnek atérfogat minden egyes dV elemének. Így meghatározhatjuk a potenciálfüggvényt (V-t) és a

térer !sségvektort (E-t) is, amelyeket a polarizált szigetel! hoz létre. A P vektor értéke amegfigyelt pontban az össz térer !sség (a primáris forrássoktól és a polarizált szigetel!anyagoktólered! tér összege) vektorától függ.

Mérések bizonyítják, hogy a legtöbb dielektrikumnál a szigetel! egy pontjában a villamos polarizációvektor arányos az adott pontban jelentkez! térer !sség vektorával.

P E e

' '

# + , 0 (az elektromos szuszceptibilitás definiciója) , e egy mértékegység nélküli szám, amely minden szigetel! anyagra különböz!. Mivel a

P→

iránya rendszerint egybeesik az E →

irányával, ezért , e>0.

χ χ

e const

const = ⇒≠ ⇒

.

. a dielektrikum minden pontjában homogén szigetel!

a dielektrikum minden pontjában inhomogén szigetel!e

Lineáris dielektrikumoknak nevezzük azokat a szigetel!ket, amelyekre vonatkoztatható azel! bbi egyenlet.

Nemlineáris dielektrikumoknak nevezzük azokat a szigetel!ket melyekre nem vonatkozik az el! bbi egyenlet.

Izotróp dielektrikumoknak nevezzük azokat a szigetel!ket, amelyeknek egyforma villamostulajdonságaik vannak bármilyen irányú legyen is a küls! tér.

Anizotróp dielektrikumoknak nevezzük azokat a a szigetel!ket, melyeknek villamos

tulajdonságaik változnak a küls! tér irányától függ!en.Léteznek olyan szigetel!k, amelyeknél a P és az E vektorok csak akkor kollineárisak (megegyez! irányúak) ha a térer!sségvektor meghatározott szöget zár be a szigetel!anyag



molekuláinak kristálytengelyével. Ennek a szomszédos molekulák között fönnálló er !skölcsönhatás az oka (pl. kvarckristálynál).

2.2.5.2 Kötött (látszólagos) villamos töltések

Az az össz pozitív töltésmennyiség, amely polarizáció alkalmával áthalad az S zártfelületen, így írható fel:

Q P S

Q P dS

S

az S-b!l a pola rizá ció alatt

az S-b!l a pola rizá ció alatt mivel a P a dielektrikumon kívül

= ∑

= =

→ →

→ → →

∫

∆

0

Mekkora töltés jelent meg az S zárt felületen a polarizáció ideje alatt? A válasz:

Q Q P dS p

S = = −

→

∫ az S-bõl a pola rizá ció alatt

Az S zárt felületen belül ez az a valós töltéstöbblet, amelyet nem tudunk eltávolítani, mertaz atomoknak és molekuláknak elválaszthatatlan részét képezi, éppen ezért kötött villamostöltésnek , vagy a polarizáció töltésének nevezzük.

Az el!z! egyenlet lehet!vé teszi az össz kötött töltéstöbblet kiszámítását egy zárt Sfelületen belül, de semmit sem mond arról, hogy hol helyezkedik el ez a kötött töltéstöbblet.Ahhoz, hogy megtudjuk határozni a töltéstöbblet helyét, figyeljünk meg egy polarizált homogénszigetel!t. Ebben a dielektrikumban képzeljünk el egy zárt S felületet. Ha az S elég kicsi, akkor aP egyforma intenzitású és irányú az S minden pontjában, vagyis a P vektor fluxusa az S felületenkeresztül egyenl! nullával.

Következtetés: A polarizált homogénszigetel! ben nincs kötött töltéstöbblet,vagyis a szigetel! belsejében lev!

dipólusoktól ered! makroszkópikusvillamos tér értéke (intenzitása) nulla. Ez azt

jelenti, hogy az össz makroszkópikusvillamos tér forrását a polarizált homogénszigetel!nél az anyag felületén elhelyezked!

kötött töltéstöbblet képezi. Határozzuk megezt a felületi töltéstöbblet-különbséget akövetkez! kép segítségével:

Q P d S d S P d S d S

P S P n S

p = − = − − − =

= − = +

→ → → → → → → →

→ → →→

∫ ∫ ∫ ∫ a henger S-e alap a

dielek.

burok az alap

a vá kumban

d

P P

n ∆ ∆0

n

Q

S Pn

p

→

→ →

= =

0

0

iránya a dielektrikumból a vákuum felé irányul

pσ ∆



A polarizált szigetel!anyag fizikai modellje:

A ! p

P n#' '

0 egyenlet annak a töltéss"r "ségnek az értékét határozza meg, amely a két

szaggatott vonal között helyezkedik el, és amelyet, mint látjuk, teljes joggal felületi töltésnek tekinthetünk.

Következtetés: A polarizált homogén szigetel!

villamos tere csak a felületen lev!

kötötttöltésmennyiségt!l függ. Mivel a dielektrikum többi része nem hoz létre makroszkópikusvillamos teret ezért a felületen lev! kötött töltésmennyiséget vákuumban kell elképzelnünk.

2.2.5.3 A villamos tér homogén szigetel!kben (az abszolut és relatívpermittivitás)

Mivel a gyakorlatban leggyakrabban homogén szigetel!ket használunk, ezért csak ezekkelfoglalkozunk majd.

Figyeljünk meg néhányvezet!t ahomogéndielektrikum

belsejében úgy,hogy aszigetel!anyagteljes egészébenkitöltse a teret avillamosan töltött vezet!k körül. A homogén szigetel!nek a villamos térre kifejtett hatása, mint

tudjuk, helyettesíthet! a dielektrikum felszínén elhelyezked! kötött töltésmennyiség hatásával.Ez azt jelenti, hogy a rendszer minden pontjában a villamos tér a vezet! felületén lev! szabadtöltésekt!l és a rájuk "ragadt" szigetel!anyagban elhelyezked! kötött töltésekt!l ered, vagyis :

E p

#$! !

+ 0

Mivel az E vektor derékszöget zár be a vezet! felületével és érvényes, hogy P E e

' '

# + , 0 ,

ezért a P'

vektor is derékszöget zár be a felülettel. Az n'

0 vektor a vezet! felé irányuló (adielektrikumból kifelé mutató) egységvektor, így a !

p-re felírhatjuk, hogy:



σ ε χ

ε σ ε χ

σ

ε χ

ε χ

ε ε χ ε ε

σ

ε

p e

e

e

e

e r

P E

E E

E

= − = −

= −

=+

= ++ =

0

0

0

0

#

#

#

é s kib!vítve az el!bbi egyenlettel

a szigetel! r elatív permittivitásá nak definiciója

= az abszolut permittivitá s definiciója

E =

0

r

0

( )

( )

Határozuk meg az össz felületi töltéss"r "séget ( )! ! $ p

:

! ! ! + , ! + , !

+ !

+ + ,

+ !

+

+

!

+ $ # % # % #

%# # p e e

e

r

E 0 00 0

Következtetés: A felületi szabad és kötött töltéss"r "ség (a szabad töltések a vezet!testfelületén, a kötött töltések pedig a dielektrikum felszínén helyezkednek el) összege a homogén,

polarizált, + r relatív permittivitású szigetel!anyagok jelenlétében, + r

-szer lesz kisebb a szabad,vákuumban elhelyezked! fémtest felszínén elhelyezked! töltéss"r "ségt!l.

Amikor a testek homogén dielektrikumban helyezkednek el, akkor a térer !sség vektora, a potenciál, valamint a két pont közötti potenciálkülönbség is + r -szer kisebb, mint amikor a testek vákuumban vannak.

Következtetés: A kondenzátor kapacitása, amennyiben homogén és + r permittivitású

szigetel! tölti ki a fegyverzetek (elektródák) közötti teret + r -szer lesz nagyobb mint az

ugyanolyan méret", de vákuum- illetve leveg!szigetelés" kondenzátoré.A legtöbb szigetel!anyagnál az + r

2 és #0 között mozog, néhány esetben lépheti túl a tizesértéket, de semmi esetre sem haladja meg a százat. Léteznek azonban sajátságos és különösdielektrikumok, ú.n. ferroelektromos dielektrikumok vagy ferroelektrikumok, melyeknél az + r

sokkal nagyobb, mint a közönséges szigetel!anyagoknál. Náluk az + r összetett módon függ a

villamos térer !t!l.

A "dielektromos állandó" mint kifejezés vagy elnevezés, amelyet gyakran használnak a permittivitás szó helyett nem igazán szerencsés, mert a permittivitás értéke több tényez!t!l isfügg (h!mérséklet, nyomás, frekvencia, stb.).

2.9. Példa: A síkkondenzátor (lemezes kondenzátor) dielektrikuma liszkun (ε0=5). Alineáris szigetel!anyagnak tekinthet! liszkun nem fekszik tökéletesen a lemezekre és ezértvékony leveg!réteg keletkezik a liszkun és a lemez között. Ha a liszkunlemez szélességed mm

# ## , a leveg!réteg vastagságának középértéke pedig d mm2 0 ## , , a lemez területe pedig

S dm##2 , akkor határozzuk meg :

a. az elektromos térer !

sség vektorának intenzitását a liszkunban és a leveg!

rétegben, ha akondenzátort U= #000 V feszültségre kapcsoljuk, b. a felületi szabad és kötött töltések s"r "ségét,c. a kondenzátor kapacitását!Megoldás:



d 1 mm

d 0,1 mm

S 1 dm

U 1000 V

1

2

2

==

==

5

2

0

2#

##22

===

+⋅=

r

r E D

D D

d E d E U

ε

ε ε

pF C C

C C C

pF d

S C pF

d

S C

mC E P

E E

mV E E

mV

d d

U E

d E

d E U

E E E E d E d E U

r

r p

s

s

r

r

r

r

r

35,22#

7,4422

7,442

#07,#7)#(

mC#0#35,22

#05,0#05,22

2

2

#2

2#

202

#

0#

26

#0

26

020

2

62#

6

#

2

2

#

222

2#0#20##22

=+⋅=

===⋅=

⋅=−==

⋅=⋅=⇒=

⋅==⋅=+

=

+⋅=

=⇒⋅⋅=+⋅=

−

−

ε ε ε

ε ε σ

ε σ ε

σ

ε

ε

ε

ε ε ε ε

2.2.5.4 Gauss törvényének általános alakja

Képzeljünk el egy zárt S felületet, amely részben magába foglal egy homogénszigetel!testet, de ugyanakkor tartalmaz szabadtöltéseket is (ahogy ez a képr !l is kivehet!). Mint

láttuk, a szigetel! hatását a vákuumban elképzelt, adielektrikum felszínén fellelhet! kötötttöltésmennyiséggel helyettesíthetjük. Mindezek ismeretében alkalmazzuk Gauss törvényét a zárt Sterületre.

Q Q Q Q

E d S Q Q Q

Q P d S

E P d S Q

P

S s

S

= + +

= = +

= −

+ =

→ → → →

→ → →

∫ ∫

∫

# 2 3

0 0

0

#az S-ben

0

Gauss törvé nyének á ltalános alakja

ε ε ε

ε

( )

( )



Az + 0 E P' '

$ vektorösszeg ugyancsak vektor, az elektromos indukció vektora(gerjesztettségi vektor, eltolási vektor, a dielektromos eltolódás vektora). Az eltolási vektornak

jelent!s tulajdosága van: fluxusa bármely zárt felületen keresztül egyenl! a felületen belül jelentkez! össz szabad töltésmennyiséggel. Ezeket a szabad töltéseket elmozdíthatjuk vagymérhetjük, míg a kötött töltésekkel nem manipulálhatunk, nem távolíthatjuk el !ket kedvünk szerint, mert nem választhatók el az atomjaiktól. A dielektromos eltolódás vektora tehát,általános esetben, a következ! összefüggéssel fejezhet! ki:

szabad az S-ben

S

D E P

Dd S Q

→ → →

→ →

= +

=∫

ε 0

Az els! kifejezés az eltolási vektor (gerjesztettségi vektor, az elektromos indukcióvektorának) definíciója, a második pedig Gauss törvének általános alakja

A lineáris szigetel!

anyagoknál felírhatjuk (a dielektrikum lehet inhomogén is):

D E P E E e

' ' ' ' '

# $ # $ #+ + , + 0 0 #( )

Az elektromos polarizációvektor valamilyen módon a reális töltések elmozdulását jelzi amegfigyelt pontban és ezért gyakran illetik a következ! névvel: villamos elmozdulás a

dielektrikumban. Habár az + 0 E '

szorzat nem jelenti a reális villamos töltések semmiféleelmozdulását, mégis s"r "n azt mondják rá: villamos elmozdulás a vákuumban.

2.$0. Példa: Egy kis gömb alakú test

Q C #% - %# 8 #0 9, töltésmennyiséggel rendelkezik, és egymagányos lineáris szigetel!anyaggal kitöltött gömbközéppontjában helyezkedik el. A szigetel!anyag

permittivitása + + # 3 0. Határozzuk meg az E, D és P vektor intenzitását minden pontban, a kötött töltések felületitöltéss"r "ségét a szigetel!anyag felületén és a potenciáltminden pontban! Kiszámítható-e a potenciál aszigetel!gömbön kívüli pontokban anélkül, hogyismernénk a szigetel!gömb belsejében a villamos tér változását? A szigetel!gömb sugara a = # cm.

Megoldás:A villamos eltolás vektorának intenzitása a szigetel!anyagban és a leveg! ben ismegegyezik, és a következ! törvényszer "ség szerint változik:

2

2

4

4

r

Q D

Qr D

Qds Ds

S

⋅=

=⋅

=⋅∫

π

π

A polarizációvektor és az eltolási vektor természetesen különbözni fog egymástól a kétkörnyezetben, hiszen a szigetel!anyagban:



2220

00

20

2

6#22

34)#()#(=P

34

=4

=

r

Q

r

Q

r

Q E

r

Q

r

Q D E

r r

r

π π ε π ε ε ε ε

ε π πε ε

=⋅=⋅

⋅−=−

⋅=

a leveg! ben pedig:

0

4

Q=

200

=

=

P

r

D E

πε ε .

A kötött töltések felületi töltéss"r "sége a szigetel!anyag felületén:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nC954.926

)#(#),cos( =−=−=−⋅⋅=→→

∠⋅⋅=→

⋅→

=a

QaPaPnaPnaPnaPv

π σ .

A szigetel!gömbön kívüli pontokban a potenciál számításához nem szükséges a villamostér változásának ismerete, hiszen:

V-#6#7.794

V 44 0

(a)00

2 =

⋅=

⋅==

→⋅

→= ∫ ∫

∞∞

ε π ε π ε π a

Q

r

Qdr

r

Qr d E V

r r

,

A szigetel! ben a következ! a potenciálváltozás változása:

)(

0

)(2

0

)(

##

#

2#

2

aa

a

r

a

a

r

V

ar

QV dr

r

QV r d E V +

−=+⋅=+→

⋅→

= ∫ ∫ πε πε

2.2.5.5. Az er!vonalak törési törvényei (határfeltételek)

Figyeljünk meg egy felületet, amely két dielektrikumot választ el, és amelyek különböz!

érték " permittivitással (dielektromos állandóval) + + # és 2 -vel rendelkeznek. Ha a szigetel!k

polarizálódnak, akkor a határfelületen két réteg kötött felületitöltés jelenik meg, melyeknek össz felületi töltéss"r "sége:

! p P n P n P P n# $ # %

' ' ' ' ' ' '

# 0# 2 02 # 2 0#( )

A továbbiakban a határfelület különböz! oldalain lev!

pontokban megkeressük az E és D vektor komponensei közötti egyszer " összefüggéseket.

Alkalmazzuk az E d l→ →

=∫ 0 összefüggést

egy kis lapított téglalap alakú zárt vonalra, mintahogy az a képen is látható



E d l E d l E dl E dl E dl

E l E l

E E D

t t

b

c

d

a

b

c

d

a

C

t t

t t t

→ → → → → →

= + = − =

= − =

= ⇒ =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ # 2 # 2

# 2

# 22

2

0

D#t

#

∆ ∆

ε ε

Alkalmazzuk Gauss általános törvényét egy kislapított hengerre, melynek egyik alapja az egyeskörnyezetben, a másik pedig a kettes környezetben van!Azzal a feltétellel, hogy a határfelületen nincs szabadtöltés (mivel a dh' 0, tehát megközelít!leg nulla, a Dvektor fluxusa a henger palástján keresztülelhanyagolható) a kis lapított hengerre a következ!ketírhatjuk fel:

2

#

#

2n2#n

22###2

EE D

0

ε

ε

ε ε ∆∆

==

==−=∫ →→

n

n

S

nnnn

D

E E SDSDS d D

Ha elképzeljük, hogy az # környezet vezet!, akkor

E t = =0 Dn σ Gauss törvénye szerint

S

Dd S D S S n

→ →= =∫ 2 ∆ ∆σ

Ha az E vektor er !vonalai nem párhuzamosak vagy mer !legesek, a két dielektrikumhatárfelületére, úgy azok a határfelületenmegtörnek. Az *

# és az *

2

törési szögek közöttegyszer " kapcsolat áll fenn:

tg E

E E

tg E

E E

tg

tg

E

E

t

n

n n

t

n

n n

n

n

D

D

n

n

* +

* +

*

*

+

+

+

+

#

#

#

# # #

22

#

2 2 2

#

2

2

#

#

2

2

2

#

#

# #

# #

# # #

' '

' '

D

D

2.2.5.6. Az eltolási vektor fluxuscsatornája

Képzeljünk el egy cs! alakú felületet,amelyet a D vektor er !vonalainak sokasága alkot,és amely a pozitív villamos töltés" testt!l anegatív töltés" testig húzódik (vezet! testekr !lvan szó, amelyek között a térben nincs szabadvillamos töltés). Az ilyen cs! alakú felületet,

melyet a D-vonalak sokasága alkot, agerjesztettségi vektor (eltolási vektor)fluxuscsatornájának nevezzük Ez a



fluxuscsatorna a pozitív és a negatív felületi töltéseket tartalmazó vezet!k felületénmeghatározott töltésmennyiségre nyugszik, amelyek mennyiségileg egyforma nagyságúak dekülönböz! el! jel"ek.

Alkossunk a fluxuscsatorna segítségével zárt felületet (ahogy ez a képen is látható) ésalkalmazzuk rá Gauss törvényét:

Dd S Q Q

S S S t

→ →

+ +

= = +∫ 0 # 2

# 2

S# meg S2 a vezet! belsejében van,az S#-re pedig a D vektor érint! irányú.

A D vektor fluxusa a fluxuscsatorna minden metszetén keresztül egyforma.

A Gauss törvény alkalmazásának eredményéb!l kiderül, hogy Q# = - Q2, vagyis, hogy a

fluxuscsatorna különböz! el! jel" de azonos töltésmennyiség" töltéseket köt össze.Ha az egész elektrosztatikus teret felosztjuk azonos fluxusú fluxuscsatornákra, és minden

fluxuscsatornát felváltunk egy egyenessel, akkor a rajzon a D vektor vonalainak sokaságátkapjuk meg. Ezek a vonalak információt tartalmaznak a D vektor intenzitásáról is (ahol avonalak s"r " bbek, ott a D intenzitása nagyobb). Ha az összes egyenes végére + és - jelet rakunk,akkor a vezet!k !n a + és - jelek s"r "sége arányos lesz a felületi töltéss"r "séggel. Az ígyösszesített kép a térr !l is és a töltéseloszlásról is felvilágosítást ad.

2.2.5.7. A szigetel!k kritikus (átütési) térer!ssége

A permittivitás (dielektromos állandó) mellett a szigetel!k legfontosabb tulajdonsága az

átütési térer !ssége. Minden dielektrikum szigetel!ként viselkedik egy meghatározott villamostérer !sség eléréséig. Ezen a kritikus térer !sségen felül a dielektrikumok elveszítik szigetel!

tulajdonságaikat és átütésre kerül sor. A gáznemü dielektrikumokban átütés után nem maradkárosodás. A szilárd szigetel!anyagok átütés után szigetelésre alkalmatlanok lesznek, afolyékonyaknak pedig romlik a min!sége (átütés után gyengébb szigetelési tulajdonságokkalrendelkeznek).

Az átütési (kritikus) térer !sséget úgy definiáljuk, mint a villamos térer !sség legnagyobbértékét, amelyet a dielektrikum kibír anélkül, hogy elveszítené eredeti szigetel! tulajdonságait.Az átütési térer !sség mértékegysége a V/m (kV/cm vagy kV/mm). A szigetel!k kritikustérer !ssége sok tényez!t!l függ: a szigetel!anyag (alapanyag) tisztaságától, nedvességét!l, agyártás módjától, a szigetel!test alakjától stb.

A térer !sség nagy értékeinél megtörténhet, hogy a térer ! a dielektrikum valamely részénnagyobb, mint az anyag átütési térer !ssége. Az ilyen helyeken szikrázásokra kerül sor, vagy agáznemü dielektrikumoknál kialakul egy réteg ionizált gáz (úgynevezett korona). Példa erre akétszálas leveg!vezeték, amelyet nagyon magas feszültségre kapcsoltak. A leveg! a vezeték közelében ionizálódik, és a sötétben ez a jelenség egy világító, szemmel látható henger alakú tér formájában nyilvánul meg. Átütésre nem kerül sor, mert a korona a vezet! körül növeli a vezet!

effektiv sugarát és ugyanazon töltés mellett csökken a térer !sség értéke a korona felületén. Ez afolyamat (a korona vastagodása) addig folytatódik, míg az ionizált réteg sugara nem ér el akkoraértéket, amelynél a térer !sség értéke a korona felületén alacsonyabb nem lesz a leveg! kritikustérer !sségét!l.

Összesítve: a szikrázások és a korona nemkívánatos jelenségek, mégis vannak esetek,amikor éppen arra törekszünk, hogy erre sor kerüljön (villámhárító, elektródák a repül!k villamos töltésének "leválasztására").



2.$$. Példa: A koaxiális kábel két réteg" lineáris szigetel!anyaggal van kitöltvel (az egyik réteg permittivitása + +

# 02 5# , a másiké pedig + + 2 04# ). A bels! elektróda sugara a = 5 mm, aküls! elektróda bels! sugara pedig 25 mm. Határozzuk meg a következ!ket:

a. miként kell elhelyezni a szigetel!rétegeket és milyen vastagoknak kell lenniük azoknak ahhoz, hogy mindkét szigetel!rétegben azonos legyen a térer !sség maximális értéke,

b. a kábel vonalmenti (egységnyi hosszúságra es!)kapacitását,c. a legnagyobb feszültséget, amelyre amelyre a koaxiális kábel rákapcsolható, hamindkét dielektrikum átütési térer !ssége 200 kV/cm.

Megoldás:

ε ε

ε ε

# 0

2 0

2 5

4

5

25

200

=

===

=

,

max

a mm

b mm

E kV

cm

a. A maximális térer !sségértékek kiegyenlítésével jutunk el a rétegek elhelyezési sorrendjéhezés a szükséges rétegvastagsághoz:

IIIIII

maxIImaxI

IImaxII

ImaxI

22

2

2

22

ε ε ε π ε π

ε π ε π

ε π ε π ε

cac

Q

a

Q E E

c

Q E

a

Q E

l

QQ

r

Q

rl

Q E

Qsd E

S

=⇒⋅′

=⋅′

⇒=

⋅′

=⋅

′=

=′⋅′

=⋅

==→

⋅→

∫

Mivel a<c, nyilvánvaló, hogy:

mm#7c bd

mm3acd

mm8a=c

2

#

#

2

#II2I

=−==−=

=⋅

==

ε

ε

ε ε ε ε

b.

pF

c

b

a

cbcQQ

c

bQ

a

cQQC

c

bQ

a

cQU

dr r

Qdr

r

Qdr E dr E U

U

QC

c

a

b

c

b

c

c

a

97ln

#ln

# 2ln

#ln

#

2ln

2ln

2

ln2

ln2

22

#2

#22#

=+

=

+

′ ′=′+

′ ′=′

′+

′=

⋅⋅′

+⋅⋅

′=⋅+⋅=

′=′

∫ ∫ ∫ ∫

εε

π

πεπε

πε πε

ε π ε π



c.

kV c

bQ

a

cQV

C a E Qa

Q E

230ln2ln2

#02252,222

#2

52max

2max

=⋅′

+⋅′

=

⋅=⋅⋅=′⇒⋅

′= −

ε π ε π

ε π ε π

2.2.5.8. A visszamaradt polarizáció

A visszamaradt polarizáció az egyes szigetel!anyagok fontos tulajdonságát képezi.Ezeknél a dielektrikumoknál a teljes polarizáció, illetve depolarizáció folyamata nem történik meg azonnal, mint általában a szigetel!anyagok legtöbbjénél, hanem néhány óráig, s!t napig iseltarthat. Az ilyen szigetel!anyagokkal rendelkez! kondenzátorok esetében a fegyverzetek rövid

id!re történ! rövidre zárása csak részben semlegesíti a szabad töltéseket, hiszen a visszamaradt polarizáció miatt a dielektrikum nem depolarizálódik teljesen, és ezért a szigetel!anyagban lev!

felületi kötött töltések fogva tartják a szabad töltéseket a kondenzátor elektródáin. Id! múltával adielektrikum tovább (részlegesen) depolarizálódik és az elektródák között újra feszültség

jelentkezik, amely a nagyobb kapacitású kondenzátoroknál veszélyes is lehet.

2.2.5.9. Ferroelektromos (szenyetto-elektromos) anyagok

Néhány szigetel!

anyagnál a dielektrikum egyes tartományai küls!

villamos tér nélküliállapotban is dipólusmomentummal rendelkeznek. A küls! tér ezeket a tartományokat igyekszik saját irányába elfordítani. Az ilyen szigetel!knél lefolyó elektromos jelenségek nagyhasonlóságot mutatnak a ferromágneses anyagokban lejátszódó mágneses jelenségekkel. Innenered a ferroelektromos jelenség elnevezés, jólllehet a jelenségnek a vashoz semmi köze sincs.

A szenyetto-elektromos anyagok elnevezés pedig a legrégibb id! óta ismertferroelektromos anyag, a Seignette-sótól (kémiai képlete: NaK(C4H4O6)⋅ 4H2O) ered. Az ilyen

szigetel!anyagoknál a P vektor és az E vektor kapcsolata nem lineáris (vagyis P E→ →

≠ ε χ 0 e ), és

mivel a D E P→ → →

= +ε 0 , az eltolási vektor (D) és atérer !sségvektor (E) kapcsolata sem lesz

lineáris. A gerjesztettségi vektor és atérer !sségi vektor összefüggését szokásosmegfigyelni, nyomon követni aferroelektromos anyagok esetében, mivel azizotróp dielektrikumok közé tartoznak, ígytulajdonságaik nem függnek a polarizációirányától (vagyis a villamos tér hatásának irányától).

A feroelektromos anyagok viselkedésmechanizmusának magyarázata igen

bonyolult. Ezért csak viselkedésük leírásáraszorítkozunk. Ha a lemezkondenzátor szigetel!anyaga ferroelektromos anyagból van, akkor

pontról pontra követni tudjuk az összefüggést a fegyverzetek között uralkodó feszültség (U) és a



feszültséggel, a gerjesztettségi (eltolási) vektor pedig a szabad töltéshordozók felületis"r "ségével a fegyverzeteken, meghatározhatjuk az E és a D között fennálló összefüggést.

O - $ A D nagyon gyorsan növekszik, de nem lineárisan. Más dielektrikumoknál a görbe

egybevágó lenne az E tengellyel, mivel itt a D E + 0

hányados #000-#0000.

$ - 2 a feszültség csökkenésével a lemezek között a D nem csökken ugyanolyan módon,

mint ahogy növekedett, hanem az#

-2 görbe szerint. A kettes pontban az E=0, de a D≠0, ami azt jelenti, hogy az anyag még mindig polarizált ( ) D E P# $+ 0 és ebben a pontban vanvisszamaradt vagy remanens polarizáció.

2 - 3 Ezután, ha megváltoztatjuk a tér irányát és most azt a másik irányba növeljük, akkor az a pont, amely leírja a kapcsolatot a D és az E között a 2-3 görbén mozog. Nagy térer !sségesetében újból jelentkezik a telítettség (hasonlóan mint az # ponton túl).

3 - 4 - 5 A tér csökkentésével, irányának megváltoztatásával és intenzitásának újbólinövelésével a 3-4-5 görbét kapjuk. Néhány ilyen ciklus után a görbe teljesen bezáródik. Ezt azárt görbét nevezzük a megfigyelt ferroelektromos anyag hiszterézisgörbéjének.

Ferroelektromos anyagok: Seignette-só, egyes titanatok (pl. bárium metatitanat - kémiai

képlete: BaOTiO2), és néhány kristályos anyag, amelyek hasonlítanak a bárium metatitanatra, deamelyek tantált és ólomot tartalmaznak.

Alkalmazásuk:#. Olyan kondenzátorok el!állítására használják melyeknek kapacitása függ a rákapcsolt

feszültségt!l.2. A ferroelektromos anyagok permittivitása bonyolult összefüggésben van a

h!mérséklettel, és ez néhány nagyon fontos alkalmazást tesz lehet!vé. A báriummetatitanat relatív permittivitásának h!mérsékleti tényez! je például 25 °C-on +500/°C, 30 °C h!mérsékleten pedig -500/°C. Így a bárium titanátot felhasználhatjuk a

h!

mérséklet nagyon pontos mérésénél.A ferroelektromos anyagok magasabb h!mérsékleten (Curie-pont) elveszítik a fent leírttulajdonságaikat és közönséges szigetel!kké válnak (a bárium metatitanat például #20 °C fölöttválik közönséges szigetel!vé).

2.2.5.$0. Elektretek

A permanens polarizációval bíró szigetel!anyagokat elektreteknek is nevezik Egyes (f !legangolszász) szerz!k azonban az elektret elnevezést olyan szerves anyagokra (f !leg gyanták,

viasz- és kátránykeverékek, pl. kalafónium és karnaubi viasz) alkalmazzák, amelyek a következ!érdekes tulajdonsággal rendelkeznek: ha ezeket az anyagokat olvasztott állapotban er !s villamostérnek tesszük ki, majd ebben a térben hagyjuk kihülni és megkeményedni !ket, akkor

polarizációjukat megtartják a tér megsz"nése után is. Az ilyen polarizált állapotban lév!

dielektrikumokat nevezzük elektreteknek. Gyakorlati alkalmazásuk nincsen, de mégis használjuk !ket a villamos tér kísérleti kivizsgálásakor. Ha egy kis irányt" alakú elektretet, amely szabadonmozoghat a tengelye körül (hasonlóképpen mint a klasszikus irányt") beviszünk valamilyenvillamos térbe, akkor az arra fog törekedni, hogy a tér er !vonalainak irányában helyezkedjen el.



2.2.5.$$. Dörzsölési elektromosság

Figyeljünk meg két dielektrikumot. Az er !k, amelyek az elektronokat a küls!

elektronhéjakon tartják, különböz!ek két különböz! szigetel!anyagnál. Ha a dielektrikumokat"érintkezésbe" hozzuk egymással, akkor az "érintkez!" felületen az elektronokra ható er !k megváltoznak, az er !viszonyok megváltozása, illetve a környezetváltozás miatt. Ezek az er !k

olyanok lehetnek, hogy kiragadnak egy meghatározott számú elektront az egyes molekulákból.Ennek az eredménye az lesz, hogy, ha a két szigetel!anyagot eltávolítjuk egymástól, azok elektromosak maradnak. A dörzsölés er !síti ezt a jelenséget, mert nagyobb számú molekulakerül közeli kapcsolatba, de maga a dörzsölés nem elengedhetetlen ahhoz, hogy a fent leírt

jelenség létrejöjjön.

2.2.6. ER #K AZ ELEKTROSZTATIKUS TÉRBEN

A Coulomb-törvény a két pontszer " töltés között fellép! elektrosztatikus er !t határozzameg. Több pontszer " töltés esetén a kiválasztott testre ható er !t célszer " a villamos térer !sségvektorának segítségével számítani. Több pontszer " töltés villamos terét a kiválasztott test helyénlegcélszer " bb a szuperpozíció-elv alapján megállapítani.

Figyeljünk meg azonban két, elektromos szempontból töltött vezet! testet, amelyek nemkicsik a köztük lev! távolsághozviszonyítva. Tételezzük fel, hogy afelületi töltéss"r "ségeket valami módonsikerült meghatároznunk. Az #-esindexszel rendelkez! test által keltettössz villamos térer !sségre a 2-es

indexszel jelölt test egy pontjábanfelírhatjuk, hogy:

E dS

r r

S

→ →= ∫ #

0

# #

2 0#2#

4#

πε

σ - a különböz! dS# felületi elemeknek

különböz! σ#, r, r 0#2

→ felel meg

Ha ilyen módon meghatároztuk az #-es test által keltett térer !sség vektorát a 2-es testminden pontjában, akkor az er !, amellyel az #-es test a 2-es testre hat, egyenl! lesz:

F dS E S

→ →= ∫ #2 2 2 #

2

σ

Ez a módszer alkalmas az elektromos er !k meghatározására két elektromosan töltött testközött, függetlenül a testek alakjától, de sajnos a vezet!k felületén elhelyezked! töltések pontos(vagy megközelít!) eloszlását ismerni kell. Épp ez utóbbi feltétel miatt, mivel a vezet!kön agyakorlatban csak a legritkább esetekben ismeretes a töltések pontos vagy megközelít! felületieloszlása, e módszer alkalmazása igencsak korlátozott. Amennyiben a felületi töltéseloszlásismeretlen számunkra, a két, pontszer "nek nem tekinthet! villamosan töltött test esetében, azegymás között ható er !k intenzitásának csupán durva becslését írhatjuk fel, mint a következ!

példában:



1

4 20

2

2

2

2πε πε

Q

D

Q

D a < F <

1

4 0 ( )−

2.2.6.$. A feltöltött kondenzátor energiája

Minden töltött kondenzátor rendelkezik egy meghatározott mennyiség" energiával.Figyeljünk meg egy üres (nem töltött) kondenzátort, melynek kapacitása C (U=O). Gondoljuk el,hogy a 2-es elektródáról valami módon + ) Q töltésmennyiséget átviszünk az #-es elektródára ésígy a potenciálkülönbség ) Q/C lett! Most az #-es fegyverzeten +) Q a töltésmennyiség, a kettes

fegyverzeten pedig -) Q. Vigyünk most át ismét egy +) Q töltésmennyiséget a 2-es elektródárólaz #-es elektródára! Mivel ennél az átvitelnél már létezik potenciálkülönbség, így a villamoser !k legy!zésére a következ! munkát kell befektetnünk:

) )) )

A Q Q

C

Q#

# a feszültség az elektódák között2

C

A következ! (harmadik) átvitelkor a munka nagysága:

) ))

A Q Q

C 2

2#

A (k+#)-edik átvitelkor pedig a munka

) ))

A Q k Q

C k

# k = #,2,...

Legyen a pozitív elektróda végs! töltése Q (Q>>) Q), az átvitelek száma pedig n>>#.

Ekkor a )Q Q

n# , az össz munka pedig:

A A Q k QC

QC

k Qn C

n n

A Q

C

k

k

n

k

n

k

n

= = − = − = −

=

=== ∑∑∑∆ ∆ ∆ ∆( ) ( ) ( ) ( )# # #

2

2

2 2

2###

2

Ezt a munkát az elektromos er !k ellen kell végezni.

Az energia megmaradásának elve szerint, az az energia, amit a kondenzátor töltésérefelhasználtunk (amely egyenl! a kiszámított A összmunkával) átalakult valamilyen másenergiáva, az elektrosztatikus tér energiájává, amelyet a kondenzátor tartalmaz:

W Q

CQU CU e

# # #2

2

2

#

2

#

2 Q = C U



A kondenzátor feltöltéséhez szükséges munkát egyszer " bben is levezethetjük, mégpedigintegrálszámítással. Ha a fegyverzeteken +q és -q töltésmennyiség (0<q<Q) van, akkor, a dq(dq>0) töltésmennyiségnek a pozitív elektródáról a negatív elektródára való átvitele a következ!

munkával egyenl!:

dA q

C dq#

Az össz munka, amit be kell fektetni ahhoz, hogy a kondenzátor fegyverzeteit +Q illetve -Q töltésmennyiséggel lássuk el, a következ!képpen kapható meg:

A q

C dq

C qdq

Q

C

QQ

= = =∫ ∫ #

2

2

00

2.2.6.2. Az energias"r"ség az elektrosztatikus térben

Figyeljünk meg egy lemezkondenzátort, melynek karakterisztikus adatai a következ!k: S -a fegyverzetek felülete, d - a fegyverzetek egymásközti távolsága és ε - a szigetel!anyag

permittivitása. A kondenzátort U érték " feszültségre kötjük. A kondenzátor energiáját, illetve akondenzátoron lév! villamos tér energiáját egyszer "en felírhatjuk, és mivel a villamos tér is jól

behatárolt (S⋅d a térfogata a fegyverzetek közötti térrésznek ahol a tér kimutatható) azenergias"r "ség számítása is igen egyszer ", íme:

2

#

W

2

#

Sd= v d

U=E

2

#

2

#

2

#

2

#

2

e

2e

2

2

222

dv E W

Sdw

E Sd

W w

Sd E

d

U Sd U

d

S CU W

v

e

e

e

e

ε

ε

ε ε ε

∫ =

=

==

====

! we az energias"r "ség az elektrosztatikus térben,! We az elektromos tér energiája,! v az a térfogatrész amelyben a tér elhelyezkedik.

2.$2. Példa: Egy magányos vezet!gömb, melynek sugara a = #0 cm desztillált vízben van( )ε

r = 81 , és Q C # %

#0 9 töltéssel rendelkezik. Számítsuk ki az energiát, amelyet elhasználtunk avezet!gömb feltöltésére !

Megoldás:

a cm

Q C

W

r

e

==

==

−

#0

8#

#0 9

ε

?

w E dr

W w dV Q

e r

e e

V r

r

= ⋅

= ⋅ ⋅ =

⋅

∫ ∫

#

2 02

0

0

ε ε π

ε ε

π ε ε

dV=4r

E ds

E =

Q

4 r

2

S

2





így a kondenzátor energianövekménye természetesen negatív (dWe<0). Mivel azonban azelvégzett munka sohasem lehet negatív, írhatjuk, hogy:

const.Q

xerõel. F is vagy=

−=−=dx

dW dW dA e

e

Második eset: A kondenzátor lemezei között a feszültség az elmozdulás idején változatlanmarad. A rendszer geometriájának megváltozásakor (szigetel!anyag behúzásakor a kondenzátor lemezei közé) megváltozik a kapacitás is, és mivel az U=const. az elektródák töltésmennyiségemeg kell, hogy változzon.

Tételezzük fel, hogy a kondenzátor lemezeinek töltésmennyisége dQ értékkeel változottmeg, vagyis a küls!, nem elektromos er !k +dQ töltésmennyiséget vittek át a negatív elektródáróla pozitív elektródára és eközben a következ! munkát végezték:

dA U dQ külsõ erõk

=

A kondenzátor energiája az elmozdulás el!tt W Q

C QU e # #

2

2#

2, az energianövekmény

pedig (a fegyverzetek töltésmennyiségének növekedése miatt):

dW Q dQ U QU UdQe kondenzátor # $ % ##

2

#

2

#

2( )

Ez a mennyiség pontosan annak az energiának a fele, amelyet a küls! energiaforrások (nem elektromos er !k) befektettek a rendszerbe. Ezek szerint, a befektetett energia másik felét azelektromos er !k használták el a mehanikai munka végzésekor (a szigetel!anyag elmozdításakor),vagyis:

F 2#

constU

xerõel.

===

dxdW UdQdA e

2.$3. Példa: Az U feszültségrekapcsolt leveg!szigetelés"

síkkondenzátor lemezei közé belehelyeztünk egy d2 vastagságúvezet!lemezt, mint ahogy az a képen islátható. Számítsuk ki azt az er !t amely a

behelyezett lemezre hat! Létezik-e azer !nek olyan komponense, amely felfeléhat? Külön számítsuk ki a feszültséglegnagyobb értékét, amelyre még rákapcsolható a kondenzátor, had # mm, d # cm, a = #0 cm

# 2# # , a leveg! átütési térer !ssége pedig 30 kV/cm.Megoldás:Ha elhanyagoljuk az élek mentén jelentkez! inhomogén teret, megkapjuk a kapacitást:

C b x a

d d

xa

d #

%

$ $

+ + 0

# 2

0

#

( )

ahol az x a vezet!lemez kondenzátorban elhelyezked! részének a hossza. Az er ! arra törekszik,

hogy a lemezt behúzza a kondenzátorba, intenzitása pedig:



( )F

U dC dx ad U

d d d = =

+

2

0 22

# # 22 2

ε

( )

Ha elhanyagoljuk a tényt, hogy a villamos tér inhomogén a fegyverzetek élei körül, akkor alegnagyobb feszültség amelyre a kondenzátort kapcsolhatjuk U d E kV

kr max = =#

3 , ahol az

E MV mkr # 3 , így a vezet!lemezre ható er ! legnagyobb értéke: F max ,= 3 62 mN.

2.2.7. A VÁLTOZÓ VILLAMOS TÉRBEN ELHELYEZKED#DIELEKTRIKUMOK VESZTESÉGEI

Az eddigiekben a szigetel!k viselkedését csak az elektrosztatikus térben (az elektromos tér vagy állandó volt, vagy csak nagyon kicsit változott az id! folyamán) kísértük figyelemmel. Agyakorlatban viszont leginkább id! ben változó villamos térrel van dolgunk. A változó villamos

térben elhelyezked! dielektrikumban, a szigetel!anyag fajtájától függ!en külnböz! polarizációsfolyamatok játszódnak le (elektron-polarizáció, dipóluspolarizáció és ionos polarizáció, illetveezeknek a kombinációi).

A periódikusan változó villamos terek esetében a polarizáció intenzitása és iránya is periodikus. Ebben az esetben állandó energiacserére kerül sor a dielektrikum és tér között. Avillamos tér munkát végez a szigetel!anyag periódikusan és ellentétes irányokba végzett

polarizációjakor, a dielektrikum pedig ennek az elfogyasztott energiának a legnagyobb részétvisszaszolgáltatja a depolarizációs periódusaiban. Az állandó energiacsere ideje alatt, az energiaegy jelentéktelen része átalakul más fajta energiává (vagyis a dielektrikumokban léteznek veszteségek), például termikus energiává, illetve h!vé.

A vesztességek mellett létezik még egy jelenség. A polarizáció irányának gyors

váltakozása (több tiz- vagy százmilliószor másodpercenként) eredményeként a dielektrikum nem polarizálódik maximálisan mint az id! ben változatlan villamos tér esetében. Hogy mekkoraszázalékban fog a szigetel!anyag polarizálódni, az az anyag fajtájától és a frekvenciától (vagyisa tér változásának sebességét!l) függ. Ezért a szigetel!anyagok tulajdonságai, de különösen adielektromos állandó (permittivitás), nagy mértékben függ a frekvenciától.

Lineáris dielektrikumok esetében, nagyon lassú térváltozások mellett, a villamostérer !sségvektor (E) és a gerjesztettségi (eltolási) vektor (D) közötti kapcsolat ugyancsak lineáris.

A gyakorlatban a villamos térer !sség vektora (E)leggyakrabban szinuszfüggvényként változik vagyis E E t

t m( ) sin# . , és ha lineáris szigetel!r !l van szó,

úgy az eltolási vektor (D) is szinuszfüggvény szerintfog változni, de nem mint sin . t , hanem mint D D t

t m( ) sin( ).# %. / A Dm és a / szög az anyag

fajtájától és a frekvenciától függ. Ha lerajzolnánk aD(t) és az E(t) függvényét, akkor egy ferde ellipszistkapnánk. Bizonyítható, hogy az ellipszis területének értéke:

0 / E Dm msin

- Em - a térer !sség maximális értéke- Dm - az Em-nek megfelel! eltolási vektor-érték



A Dm/Em és a / szög változik a frekvenciával. A / nagyságrendje #0 #04 3% %% vagyis abemutatott ellipszis nagyon keskeny, a Dm/Em arány pedig nagy frekvenciatartománybanmegközelít!leg változatlan.

Az el!z! magyarázathoz kívánkozik még a kölülírt nagyságok szakmai berkekbenközismert neve:

δ −−

veszteségek szögeDm

Em dinamikus dielektromos állandó

A következ! levezetéssel azt bizonyítjuk, hogy az id! ben periódikusan változó térbehelyezett dielektrikumoknál a veszteségek térbeli s"r "sége egy periódusid! alatt arányos azellipszis területével.

Vegyünk egy ismert méret" síkkondenzátort (lemezfelület nagysága S, lemezek közöttitávolság d). Helyezzük el benne a szigetel!anyagot, melynek dinamikus tulajdonságaittanulmányozni kívánjuk. Ha a kondenzátorra kapcsolt feszültség szinuszosan változik, akkor afegyverzetek töltése is a szinuszfüggvény szerint fog változni, hiszen:

E u

d

Q

S t

t t

( )( ) ( )

# # , D(t )

Legyen a feszültség egy bizonyos pillanatban u. Ha ebben a pillanatban megnöveljük alemezek töltését dQ-val, akkor a potenciál definiciója alapján a következ! munkát kellvégeznünk:

dA udQ EdSdD EdDSd # # #Mivel a skkondenzátorban a villamos tér homogén, az EdD szorzatot értelmezhetjük úgy

is, mint a kondenzátor dielektrikumában szükséges energias"r "ség-növekedését abból a célból,hogy az adott E térer !sség mellett azeltolásvektor növekedjen dD-vel. Ha atérer !sség nullától Emax-ig változik,

akkor az össz egységnyi térfogatra es!

munka (energias"r "ség) amelyet be kellfektetnünk kifejezhet! mint:

A

Sd EdD

D

D

= ∫ max

Ez az egységnyi térfogatra es! munka egyenl! a plarizációs görbe és a D tengely közöttiterülettel (függ!legesen vonalkázott terület a képen).

Figyeljük meg a hiszterézisgörbét. A dielektrikum polarizációjához szükséges egységnyitérfogatra es! befektetett munka az # és 2 pont között arányos az #-2-2' görbevonálú háromszögterületével és mivel az E > 0 és dD > 0, következik, hogy A>0 (ami arra utal, hogy a munkátküls! energiaforrások végzik). A 2 és 3 pont közötti részen E>0 de dD<0, amib!l látjuk, hogyA<0, és a 2-2'-3 görbrvonalú háromszög területével arányos munka illetve energiavisszaszármazik az energiaforrásokhoz. A 3 és 4 pont közötti szakaszon E<0 és dD<0, vagyis a3-4-4' görbevonalú háromszög területével arányos munkát ismét az energiaforrások végzik (A>0). A 4 és # pontok között, mivel E<0 és dD>0, a 4-4'-# görbevonalú háromszög területével

arányos energia visszaszármazik a forrásokhoz (A<0).



Az el!z!ekb!l egyértelm"en kit"nik, hogy a teljes polarizációs ciklus alatt azenergiaforrások által befektetett és vissza nem származtatott, egységnyi térfogatra es! energia(az elhasznált energias"r "ség) arányos a hiszterézisgörbe területével.

2.2.8. VILLAMOS TÖLTÉSEK MOZGÁSA ELEKTROSZTATIKUS TÉRBEN

2.2.8.$. Villamos töltések mozgása homogén villamos térben

Figyeljünk meg egy makroszkópikusan mozdulatlan elektromosan töltött részecskét,

melynek töltésmennyisége Q>0 és tömege m, a homogén térben, melynek térer !ssége E '

. Arészecskére ható er ! nagysága, mint tudjuk:

F→ →

= Q E

Ha a töltésre ható gravitációs er ! elhanyagolható (a részecske kis tömege miatt) a Coulomb

er !höz viszonyítva, akkor a magára hagyott töltés az E '

vektor valamely er !vonalán fog mozogni

az E '

vektor irányába. A t pillanatban a részecske mondjuk v sebességgel rendelkezik, a t+∆t pillanatban pedig v+∆v sebességgel. Mindamellett, hogy sem a v, sem a ∆v értékét nem ismerjük tudjuk, hogy a töltés a sebességét a fent felírt er ! hatására változtatta meg. Ennek az er !nek amunkája a ∆t id!tartamra:

) ) ) ) A F s Fv t QEv t # # #

Az energia megmaradásának törvénye szerint, az energia amely elhasználódott a részecskefelgyorsulásakor átalakult annak kinetikus energijájává:

) )

) ) )

W m v v mv

m v v v v mv mv v

kinetikus# $ %

# $ $ % 1

#

2

#

2#

22

#

2

2 2

2 2 2

( )

( )

mivel a t kicsi a v << v

mv v = QEv t

v

t=

QE

m

∆ ∆

∆ ∆

∆

∆

A sebesség növekménye állandó, mivel a Q, m és E értékei nem változnak. Ezért felírható,hogy:

vQE

mt= a kezd!sebesség egyenl! 0 - val.

vagyis:

v QE

t v# $' '

0 0 v a kezd!sebesség a t = 0 pillanatban. A v és az E iránya egyforma0



és ugyanúgy:

v QE

mt v# %

' '

0 0 v és E ellenkez! irányú

Legyen az E vektor iránya megegyez! az x tengely irányával! Tételezzük fel, hogy arészecske a t=0 pillanatban az x=0 és y=0 pontban helyezkedik el, valamint, hogy akezd!sebessége egyenl! nullával.

Egy rövid ∆t id!tartam alatt, a t pillanat közelében (amelyben a részecske v sebességgelmozog) a részecske ) ) x v t # utat tesz meg. Ezt a szorzatot a képen a sötét téglalap képviseli. Azössz út melyet a részecske megtesz t=0-tól valamely t pillanatig egyenl! az össz ilyen téglalapösszegével, vagyis a háromszög területével.

x vt QE

mt # #

#

2 22

Amikor az elektromos részecskekezd!sebessége nem egyenl! nullával, akkor az út,melyet a részecske megtesz:

x QE

mt v t # 2

22

0

Ha a kezd!sebesség iránya nem egyezik meg az E vektor irányával, akkor a v0 sebességet

felbonthatjuk v0x

komponensre amely egybevágó az E vektor irányával és a v0y

komponensre

amely derékszöget zár be erre az irányra:

x QE

mt v t

y v t

x

y

# %

#

22

0

0

Tehát a részecske parabolikus pályán mozog.

2.$4. Példa: Az elektronok a K elektródáról indulnak és az A elektróda felégyorsulnak, mint ahogy az a képen látható. Az Aelektródán van egy kis O nyílás. A rendszer dimenziói és az elektróda potenciálja a képenlátható. Határozzuk meg:a. Az id!t, amely szükséges ahhoz, hogy az #

jelölés" elektron a K elektródáról az Aelektródára érjen, valamint a C pontban azelektron sebességét abban a pillanatbanmikor az A elektródába ütközik.

b. A 2 jelölés" elektron sebességét a C' pontban, és az id!t amely szükséges ahhoz, hogy ez azelektron a K elektródáról a C' pontba érjen.



c. Számítsuk ki az össz keresett értékeket, ha a V V d cm és b cm A = = =20 # 2, , . Az elektrontömege me=9,#083·#0-3# kg, töltésmennyisége pedig e=#,602·#0-#9 C.

Megoldás:a.

s

m#02.65

2

2

6#

2#

⋅=⋅

=

⋅=⋅

=⋅==

⋅−=

e

C

C e

k

m

U ev

U evm

E U eQU A

E eF

nsU e

d mt

t d m

U e

m

U e

t av

vat vv

e

C

C

ee

C C

54,72

2

dm

eU=a m

eE=a 0

eE=am

2

#

#

e##

e

00

e

=⋅

⋅⋅=

⋅⋅

⋅=

⋅⋅

⋅=

=+=

b. Az O nyíláson áthaladva az elektron nem gyosrul tovább, hanem v#C sebességgel halad

tovább a C' pontig:

nsv

bt t t t

vv

C

C C C

C C

09,#5#

#2#2

#2

=+=+=

=

′′′

′

2.2.8.2. A villamos töltések mozgása inhomogén villamos térben

Az elektromos részecske útjának kiszámítása a nemhomogén elektromos térbenlényegében nagyon bonyolult. Sok esetben csak a Q töltés sebességének intenzitása érdekel

benünket. Ilyen esetekben ismerjük a villamosan töltött részecske töltésmennyiségét (Q),tömegét (m), és azt is tudjuk, hogy mekkora potenciálkülönbségen (V#-V2) haladt át.

Legyen a kezd! pontban v#=0 (a részecske kezd!sebessége), és ugyancsak V#=0 (a

potenciál a kezd! pontban). Az elektromos er !k hatására a részecske eljutott a 2-es pontba aholV2 a potenciál értéke. Az út minden pontjában a részecskére hatott az F=QE elektromos er !. A

villamos er ! az út kis dl részén végzett (dAel.er !), illetve az össz elvégzett (Ael.er !) munkája:



dA F d l Q E d l

A Q E d l Q E d l Q V V

el. erõ

té r ereje

= =

= = = −

→ → → →

→ → → →

∫ ∫ #

2

# 2

#

2

( )

Az energiamegmaradási törvény értelmében ez a munka egyenl! kell, hogy legyen akinetikus energiával, mellyel ez a részecske rendelkezik a kettes pontban (mivel nyugalmiállapotból indult el):

1

20

2

22

1 2

21 2

mv Q V V

vQ V V

m

= − =

= −

( ) )

( ).

(v1

2.$5. Példa: Egy pozitív elektromossággaltöltött részecskét, melynek tömege m, töltése pedigQ, felgyorsítottunk v0 sebességre. Ezután a részecskekeresztülhalad két közeli, görbe vezet!lemez között(lásd az ábrát!). Határozzuk meg a feszültséget alemezek között úgy, hogy a részecske a képenmegjelölt félkör alakú pályán mozogjon! Tételezzük fel, hogy a tér a lemezek között homogén (egyformaintenzitású minden pontban) melynek hozzávet!legesértéke U/d és sugár irányú (radiális), mint a koaxiáliskábelben. Számítsuk ki az U feszültség értékét arra az esetre, ha a részecske egy proton, melynek

gyorsítását az U V 0 #

000# feszültség segítségével végeztük, ha az R=#

0 cm, a d=#

cm, az elemitöltés e=#,602·#0-#9 C, a proton tömege pedig m p=#,67239·#0-27 kg..

Megoldás: Általános esetben érvényes, hogy a centrifugális és az elektrosztatikus er !egyensúlyban vannak. A centrifugális er ! számításához azonban ismernünk kell a részecske v0

sebességét, amellyel a görbe vezet!lemezek közé repül:

A eU

E mv

E A

eU mv

K

K

=

=

=

=

0

2

0

2

2

2

v =2eU

m

0

Ezek után már felírható az er !egyensúly:

R

d U

eR

d mvU

ed

U

R

mv

⋅⋅=

⋅=

⋅=

02

2

2

Behelyettesítve a konkrét értékeket, az U feszültségre a következ! értéket kapjuk:



.V2002 0 =

⋅⋅=

R

d U U

2.3. Ellen!rz! kérdések

#. Milyen villamos töltéseket ismersz?2. Mivel magyarázható a kétfajta töltés létezése?3. Mekkorák az atomok és az atommagok?4. Hogyan érintkeznek egymással a testek?5. Hogyan oszthatók csoportokra az anyagok a villamosságtan szempontjából?6. Melyek az SI mértékrendszer alapmennyiségei és –mértékegységei?7. Milyen el!tagokat (el!ragokat) használunk a választott egységek többszöröseinek és

törtrészeinek kifejezésére?8. Mi a makroszkópikus és mikroszkópikus vizsgálódási szint?9. Hogyan szól Coulomb törvénye?#0. Mi a permittivitás (dielektromos állandó)?##. Mikor alkamazható a szuperpozíció-elv?#2. Mi a villamos tér, mikor jelentkezik és milyen természet"?#3. Mi a próbatöltés?#4. Hogyan ábrázolható grafikusan a villamos tér?#5. Mit takar a villamos tér er !vonalai fogalom?#6. Hogyan utal a grafikusan ábrázolt villamos tér a térintenzitásra?#7. Milyen a felületi és térbeli töltéseloszlás és hol fordul el!?#8. Hogyan fejezhet! ki a villamos tér vektora felületi és térbeli töltéseloszlás esetén?#9. Hogyan fejezhet! ki a villamos er !k által elvégzett munka?

20. Mi a skalárszorzat?2#. Miért örvénymentes (cirkulációmentes) az elektrosztatikus tér?22. Miért forrásos a villamos tér?23. Mi a potenciál?24. Mi a feszültség?25. Mik az ekvipotenciális felületek (szintfelületek, nívófelületek)?26. Mi az összefüggés a villamos térer !sség és a potenciál között?27. Ábrázolható-e az elektrosztatikus tér szintfelületekkel?28. Hogyan állapítható meg a villamos térer !sség vektorának iránya, irányítása és nagysága a

szintfelületek rendszerével ábrázolt elektrosztatikus tér esetében?29. Hogyan számítható a dipólus potenciálja és térer !sség vektora?

30. Milyen az alakja a potenciál kifejezésének a felületi és térbeli töltéseloszlás esetében?3#. Mi a fluxus?32. Hogyan szól Gauss törvénye?33. Milyen az egyenletes felületi töltéss"r "ség" (Q töltés") gömb villamos tere és potenciálja

(grafikus ábrázolással is!)?34. Milyen az egyenletes térbeli töltéss"r "séggel töltött (Q töltés") gömb elektrosztatikus tere és

potenciálja (grafikus ábrázolással is!)?35. Hogyan változik a henger alakú (a keresztmetszete a sugarú kör), egyenletes felületi

töltéss"r "ség" (+σ) vezet! elektrosztatikus tere és potenciálja a tengelyét!l való távolságfüggvényében?

36. Milyen módon változik a végtelen nagy, vékony síkfelületen elhelyezked! pozitív töltésekt!l

(+σ felületi töltéss"r "ségt!l) ered! villamos térer !sség?37. Milyen a térer !sség változása az ellenkez! el! jel", de azonos töltésmennyiséggel (σ felületi



38. Mely három megállapítás érvényes az elektrosztatikus térre a vezet!k jelenlétében?39. Mi a kapcsolat a vezet! felszínén lév! felületi töltéss"r "ség és a vezet!felszín közelében

mérhet! térer !sség között?40. Hogyan oszlik el a villamos töltés a különböz! alakú magányos vezet! testeken?4#. Hol alkalmazzák és hogyan az el!z! kérdésben taglalt különböz! alakú vezet!testeket (az

egyenetlen töltéseloszlást)?

42. Mi az influencia (az elektrosztatikus indukció v. elektromos megosztás)?43. Hogyan árnyékolható az elektrosztatikus tér (Faraday-féle ketrec)?44. Milyen elven és hogyan m"ködik az elektroszkóp?45. Mi a kapcsolat a magányos vezet! testek töltése és potenciálja között?46. Mi a kondenzátor és mivel jellemezhet!?47. Milyen kondenzátorfajták használatosak manapság?48. Mekkora a magányos r sugarú vezet!gömb kapacitása?49. Hogyan számítható a síkkondenzátor kapacitása?50. Mekkora az adott méretekkel rendelkez! gömbkondenzátor kapacitása (C), mely pontokban a

legnagyobb a térer !sség (Emax), és mekkora a legnagyobb megengedett feszültség (Umax),amelyre a konenzátor rákapcsolható, ha ismerjük a szigetel!anyag átütési térer !sségét?

5#. Hogyan számítható az adott méretekkel rendelkez! koaxiális, hosszegységenként ellenkez!

el! jel", Q' abszolút érték " töltéssel ellátott hengerek (koaxiális kondenzátor) esetére avonalmenti (hosszegységre es!) kapacitása (C'), hol a legnagyobb a villamos tér (Emax), ésmekkora a legnagyobb megengedett feszültség (Umax), amelyre a konenzátor rákapcsolható,ha ismerjük a szigetel!anyag átütési térer !sségét?

52. Milyen kifejezésekkel számítható az adott méretekkel körülírt, két párhuzamos,hosszegységenként ellenkez! el! jel", Q' abszolút érték " töltéssel ellátott henger keresztmetszet" vonal hosszegységre es! kapacitása (C'), mely pontokban a legnagyobb avillamos tér (Emax), és mekkora a legnagyobb megengedett feszültség (Umax), amelyre azilyen “konenzátor” rákapcsolható, ha ismerjük a szigetel!anyag átütési térer !sségét?

53. Milyen ered! kondenzátorral helyettesíthet! egy soros kapcsolású kondenzátorcsoport?54. Hogyan számítható a párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok ered! kapacitása?55. Hogyan valósíthatók meg a nagy kapacitású és nagy precizitású kondenzátorok?56. Milyen módon állítják el! a kis kapacitású, de nagy precizitású kondenzátorokat?57. Mi a kapcsolat a potenciál és a térbeli töltéss"r "ség-eloszlás között (Poisson egydimenziós

egyenlete)?58. Mi a szigetel!anyagok polarizációja (polározása)?59. Hány fajta polarizáció létezik és mi jellemzi !ket?60. Melyik fajta polarizáció hatása a legkifejez! bb?6#. Hogyan tisztít az elektrosztatikus leveg!tisztító?62. Mi a polarizációvektor (a villamos polározás vektora) els!dleges értelmezése?

63. Mi a polarizációvektor másik értelmezése?64. Milyen a homogén szigetel!anyag?65. Mivel jellemezhet! a lineáris dielektrikum?66. Mi az elektromos szuszceptibilitás és milyen érték " lehet?67. Milyen tulajdonságokkal rendelkezik az izotróp szigetel!anyag?68. Mi jellemzi a nemhomogén (inhomogén) szigetel!t?69. Mi mondható el a nemlineáris dielektrikumokról?70. Melyek a kötött vagy látszólagos villamos töltések?7#. Hogyan számítható a polarizációs (látszólagos) töltések felületi töltéss"r "sége?72. Milyen a polarizált szigetel!anyag fizikai modellje?73. Milyen a villamos tér a homogén és lineáris dielektrikumban?

74. Mi a relatív permittivitás (relatív dielektromos állandó)?75. Mi az abszolút dielektromos állandó?



76. Hogyan változik meg a kondenzátor kapacitása, ha a fegyverzetei között leveg! helyett más, jobb min!ség" (εr relatív permittivitású) szigetel!anyag helyezkedik el?

77. Mi az általános Gauss törvény?78. Mi az elektromos indukció vektora (eltolási vektor)?79. Mi a villamos elmozdulás a dielektrikumban?80. Mit értenek a villamos elmozdulás alatt a vákuumban?

8#. Hogyan törnek meg az er !vonalak a határfelületeken?82. Mi az eltolási vektor fluxuscsatornája és milyen ismeretet hordoz?83. Hogyan fogalmazható meg a szigetel!k kritikus (átütési) térer !ssége?84. Mi történik a gázhalmazállapotú szigetel!anyagok esetében, ha a téer !sség értéke

meghaladja a szigetel!anyag átütési térer !sségét?85. Mi a visszamaradt polarizáció?86. Mi jellemzi a ferroelektromos szigetel!anyagokat?87. Milyen a ferroelektromos dielektrikum hiszterézisgörbéje?88. Mik az elektretek?89. Mivel egyenl! a feltöltött kondenzátor energiája?90. Hol helyezkedik el az energia a kondenzátorban?

9#. Mivel arányos az energia térfogats"r "sége az elektrosztatikus térben?92. Hogyan számíthatók az elektrosztatikus er !k az energia segítségével, ha a töltésmennyiség a

fegyverzeteken állandó marad?93. Mivel egyenl! az er !, ha a testek potenciálja állandó?94. Milyen veszteségek jelentkeznek a változó villamos tében lév! szigetel!anyagban?95. Milyen lehet a villamos töltések mozgása a homogén villamos térben?96. Hogyan számítható a villamos töltés sebessége az inhomogén villamos térben?



3. EGYENÁRAMOK - ELEKTROKINEMATIKA

Az elektrosztatika a mozdulatlan, illetve a makroszkopikusan rögzített villamos töltések által létrehozott villamos tér elemzésével foglalkozik. Az elektrokinematika tárgya a töltöttrészecskék villamos tér hatására történ! mozgásának tanulmányozása. A töltések rendezett

mozgása a folyadékok áramlásához hasonlítható ezért a mozgó elektromos (villamos) töltéseketelektromos áramnak nevezzük. Ha az elektromos áram nem függ az id!t!l, vagyis a villamostöltések sebbesége állandó, akkor azt id! ben állandó elektromos áramnak vagy egyenáramnak nevezzük.

A villamos töltések makroszkopikus mozgása lehet id! ben változó, és akkor ezt váltakozóáramnak illetve váltóáramnak hívjuk. A váltóáramnak nagyobb a technikai jelent!sége, mint azegyenáramnak, de az egyenáramok elemzése sokkal egyszer " bb és az elemzés eredményeirészben felhasználhatók a váltóáramok tanulmányozásakor is.

3.1. Elektromos áram szilárd és folyékony vezet!kben

Helyezzünk a szilárd vagy folyékony dielektrikum (szigetel!anyag) belsejébe két villamostöltéssel ellátott vezet!testet! A vezet! felületén elhelyezked! töltések villamos teret létesítenek a dielektrikumban. A dielektrikum polarizálódik, de mivel nincs szabad töltéshordozó, nemindulhat meg a töltések áramlása. Most tételezzük fel, hogy egy ∆Q>0 töltés eltávozott az els!

test felszínér !l (ez a töltés most a dielektrikum molekulái közötti vákuumban helyezkedik el).

3.#. ábra.A szabad töltés mozgását a villamos térer !sség vektora határozza meg, de ehhez a térhez

még hozzáadódnak a közvetlen közelben lev! dielektrikum atomjainak és molekuláinak amikroszkopikus villamos terei is. Ezért a töltések mozgása (pályája) igen összetett (bonyolult).

Ez esetben megelégedhetünk egy leegyszer "sített elemzéssel is. Tegyük fel, hogy az M pontbana szabad töltésre ∆F=∆QE er ! hat . Az er ! hatására a töltés felgyorsul (az E vektor irányába ),majd rövid id! után a töltés összeütközik egy semleges atommal (mivel a molekulák igen közelvannak egymáshoz ) és megáll. A folyamat ezután ismétl!dik. Gyorsulás…ütközés…megállás.

Makroszkopikusan szemlélve a folyamatot a töltés egy E er !vonal mentén haladmindaddig, amíg nem jut el a másik testen lev! N pontba, ahol végül is semlegesít!dik.

Most tételezzük fel, hogy a két vezet!test közötti térrészt nagy fajlagos ellenállású anyag(rossz vezet!) tölti ki (például konyhasó híg oldata). Az oldatban nagyszámú mozgékony pozitívés negatív ion van, amelyekre hat a villamos er !tér. A pozitív ionok a villamos tér vektorának irányába, míg a negatív ionok a villamos tér vektorával ellentétes irányba mozdulnak el.

Fontos megjegyezni, hogy az ionoknak ez a mozgása nem idéz el! makroszkopikustöltésfelgyülemlést (töltésfelhalmozódást) az oldat egyetlen pontjában sem. Ha ugyanis egytöltés elmozdul, a villamos tér hatására rögtön a helyébe érkezik a szomszédos töltés, amely



A töltések ilyen mozgása lassan a két vezet! test semlegesítéséhez vezet. A villamos tér fokozatosan gyengül, a töltések áramlása csökken és végül teljesen megsz"nik. Az el! bbimeghatározás szerint ez a folyamat nem nevezhet! id! ben állandó áramnak.

Hogyan lehetséges tehát id!ben állandó áramot megvalósítani az oldatban?Ahhoz, hogy létrejöhessen az egyenáram, a két testen a villamos töltések számát (a

töltésmennyiséget) állandó szinten kell tartani. Ez a cél több módon is elérhet!, de valamennyi

módszernek egy és ugyanaz a lényege. Valamilyen módon a töltéseket az egyik testr !l át kellvinni a másik testre (illetve vissza kell vinni a másik testre). Ha ezt a folyamatot állandósítjuk beáll egy egyensúly: a testen, az egységnyi id! alatt semlegesít!dött töltéseket pontosanugyanolyan számú és el! jel" töltéssel pótoljuk ugyanazon id!egység alatt, így a töltésmennyiségaz adott testen állandó marad.

A fent leírt folyamat alkalmazható az id! ben állandó áramok fenntartására mind a szilárd,mind a folyékony közegekben, ahol a töltések “szabad útja” (a két ütközés között megtettútszakasz) mikroszkopikus méret".

A fent leírt egyszer "sített modell alapján három fontos következtetést vonhatunk le:a. A villamos tér hatására a szabad töltések a vezet! ben a két ütközés között felgyorsulnak.

b. A munka, amelyet a villamos tér végez a szabad töltések felgyorsításakor, a töltések kinetikai

energiájává alakul át.c. Ütközés alkalmával a villamos töltések kinetikai energiájukat átadják a semleges

atomoknak. Ennek következtében az atomok termikus mozgása felgyorsul. (A vezet!

felmelegszik.)1. Bármely vezet!ben, amelyben villamos áram folyik, a villamos energia egy része

h!energiává alakul át (Joule féle h!veszteség jelensége.)a. Az id! ben állandó áramok fenntartásához elengedhetetlenül szükséges, hogy a

töltésmennyiséget a testeken valamilyen módon állandó szinten tartsuk. A pozitív töltésnek anegatív töltés" testr !l történ! eltávolításához és a pozitív töltés" testre való átviteléhezszükséges egy küls! (nem elektromos) er !, amely a villamos er ! ellen fejti ki hatását.

2. Ahhoz, hogy egy adott vezet!ben az egyenáramot fenntarthassunk, feltétlenül szükségesegy “küls!”, nem villamos er! jelenléte (közrem"ködése), amely er! a villamostöltéseket a villamos tér hatása ellen mozgatja.

3. Az elektromos energia egy része a vezet! minden pontjában, ahol áram folyik, h!véalakul át. Tehát a generátor els!dleges energiája nem csak egyszeres átalakuláson megyát (a villamos tér energiájává), hanem az energia egyúttal el is szállítódik a vezet!minden pontjába, és ott másodszori átalakuláskor h!vé válik.

generátor generátor

az elektrosztatikus tér esetében a stacionárius áramlási tér esetében

3 2 ábra



A 3.2. ábrán nyil jelöli a generátort, illetve a küls! er !ket, amelyek arra törekszenek, hogya pozitív töltéseket “átvigyék” a generátoron keresztül a nyíl irányában, a negatív töltéseket

pedig a nyíllal ellenkez! irányban. A generátor vezetékekkel (3) csatlakozik a villamosan töltöttvezet! testekhez (# és 2).

A töltések áramlása a generátoron keresztül addig tart, amíg a villamos er !hatás (amely az

#, 2 és 3 testekre felgyüleml! töltésektöl ered), ki nem egyenlít!dik a küls! (nem elektromoser !k által kifejtett) er !hatással. Ha most a két vezet! testet összekötjük egy vezetékkel (4), avillamos tér, amely az # és 2 testen lév! töltésekt!l ered megindítja a szabad töltések mozgását a4 vezetéken keresztül.

Ennek a folyamatnak kett!s következménye lesz. Az egyik az, hogy a villamos tér munkátvégez a szabad töltések felgyorsításakor (ennek az energiának egy része mint mondottuk átalakulh!energiává). Így tehát a villamos tér energiája csökken, mert a töltések egy részesemlegesít!dött, és ezáltal a villamos tér értéke is csökken. Ezért (és ez a második következmény) a küls! er !k újra képesek folytatni a töltések mozgatását a villamos térrelellentétes irányban és így pótolják az # és 2 jelölés" testr !l eltávozott töltéseket. Így beáll egyegyensúly, amelyeben a generátor folyamatosan pótolja az # és 2 testr !l a 4 vezet!n át eltávozó

töltésmennyiséget. Ennek az az eredménye, hogy a 4 vezet!n keresztül id! ben állandó(stacionáris) áram vagyis egyenáram folyik.

Egyenáramok esetén a töltések eloszlása a vezet!k felületén makroszkopikusan szemlélveváltozatban marad. Ez szerint:Az egyenáramokat létrehozó villamos tér ugyanolyan tulajdonságokkal bír mint az azelektrosztatikus tér amely ugyanolyan eloszlású sztatikus (mozdulatlan) töltésekt!l ered.

Az elektrosztatikában meghatározott fogalmak közül a villamos térer !sség, a potenciál és afeszültség érvényesek itt is, a stacionáris áramok villamos térében vagyis az egyenáramoknál.Egyetlen fontos különbség az elektrosztatikus tér és az egyenáramoknál jelentkez! villamos tér között, hogy az utóbbi a vezet!k belsejében is létezik (fennáll). Könnyen belátható, hogytulajdonképpen ez a villamos tér okozza a szabad töltések mozgását a vezet ! ben, és ennek további következménye az, hogy az egyenáramok esetében a vezet!k felülete nem ekvipoteciálisfelület.

További fontos észrevétel, hogy a villamos tér egyid! ben közvetít! és “tároló” szerepet is játszik az energia átvitelében a generátor és a fogyasztó között, illetve a generátor és az a pontközött, ahol a villamos tér energiája átalakul, és valamilyen más energiaformát ölt. Az energiafolyamatosan alakul át a fogyasztón miközben a generátor biztosítja a villamos energiautánpotlását. A sebesség, amellyel az energia a fogyasztókon átalakul, igen nagy értékeket vehetfel (#06J/s). Másfel!l a villamos tér energiája a gyakorlatban aránylag kis értékeket képvisel (#0#

J ). Ez azt jelenti, hogy az egyenáramoknál jelentkez! villamos tér igen kisméret"

energiatárolónak mondható, amely azonnal újra tölt!dik mihelyt egy kicsit is “kiürül”.

Maga a villamos tér, amely az energiaszállító közeg szerepét játssza nem igényel különid!t a feltöltésre, mert az energiabefogadó képessége igen kicsiny. Ezért, a villamos tér segítségével lehetséges az energia átvitele nagy távolságra és, ami gyakorlatilag sokkalfontosabb, hogy az energiaátviteli sebesség (teljesítmény) változtatása rendkivül széles skálánszinte késleltetés nélkül bonyolítható.

3.1.1. AZ ÁRAM S#R #SÉGE ÉS AZ ÁRAM ER $SSÉGE

A villamos áram, illetve a villamos töltések rendezett mozgása két fizikai egységgel

jellemezhet!:Az árams"r "ség vektormennyiség, amely a villamos töltések rendezett mozgását írja le atér egy adott pontjában



Az áram er !ssége skaláris mennyiség, amely egy adott makroszkopikus felületen áthaladószabad villamos töltések mozgását jellemzi.

A tér egy meghatározott részét, amelyben villamos áram folyik, áramlási térnek nevezzük.Példaként jelöljünk meg egy pontot a stacionáris áramlási térben. Tételezzük fel továbbá,

hogy a villamos töltéshordozók mind azonosak (pl. a fém vezet! ben a szabad elektronok mindegyenl! töltéssel rendelkeznek). Jelöljük továbbá a szabad töltéshordozók töltésmennyiségét Q-

val (Q>0 V Q<0), N-nel pedig a töltéshordozók koncentrációját. N= a szabad töltéshordozók száma az elemi ∆V térfogatelemben

∆VJelöljük

!v -vel a szabad töltéshordozók tér hatására létrejött mozgásának átlagsebességét. Az

árams"r "ség vektorát e három mennyiség ( Q N!v ) szorzata határozza meg.

! !J Q N v= ⋅ ⋅

A definíció szerint a pozitív töltések egy adott irányba történ! áramlása, illetve ugyanolyantöltésmennyiség" negatív töltések ellentétes irányba történ! áramlása eredményeként ugyanaztaz árams"r "séget kapjuk.

N(-Q)(-!

v)=N Q!

vEgyes vezet!kben létezhetnek különböz! töltésmennyiséggel rendelkez! szabadtöltéshordozók (pl. egy oldat többféle + és - ionnal). Ez esetben az árams"r "ség vektorát egyadott pontban a külömböz! Nk Qk

!v k szorzatok vektoriális összegeként kaphatjuk meg:

∑=

⋅⋅=n

k

k k k vQ N J #

!!

Figyeljünk meg az áramlási térben egy tetszés szerinti kicsiny ∆S sík felületet, az N Q és!v mennyiségeknek most is ugyanaz az értelmezésük, mint az árams"r "ség vektorának ameghatározásakor. Tételezzük fel továbbá, hogy a felületelemre mer !leges vektor és a

!v vektor

egy α szöget zárnak be. Most határozzuk meg azt a töltésmennyiséget, amely az elemi ∆Sfelületen ∆t id! alatt áthalad.

3.3. ábra.

A töltéshordozók a ∆t id! alatt!v ∆t utat tesznek meg, ami azt jelenti, hogy az összes

töltéshordozó, amely a kis ferde hasábon belül helyezkedik el, a t és a t+∆t id!közben áthalad a∆S felületen. A ferde hasáb térfogata nem más mint ∆S⋅ !

v ⋅∆t⋅cosα és így:∆Q∆s-en át ∆t alatt = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ N Q v S t

! ∆ ∆ cosα

∆Q∆s-en át ∆t alatt = ⋅ ⋅ ⋅J S t∆ ∆ cos α



∆Q∆s-en át ∆t alatt = ⋅ ⋅! !J S t∆ ∆

(ahol a ∆ !S=∆S ⋅

!n , a felületelemet, mint vektort szemléljük)

Az áram er !sségét a ∆Q szabad töltéshordozóknak a ∆S felületelemen ∆t id! alatt áthaladtmennyisége és a ∆t id!köz hányadosaként határozhatjuk meg. Ez tehát a ∆S felületelemenáthaladó szabad töltéshordozóknak a töltésmennyisége egységnyi id! alatt.

∆I∆s-en át = ∆Q∆s-en át ∆t alatt

∆I∆s-en át =! !J S⋅ ∆

Vegyünk most egy S felületet, (amely nem szükségszer "en sík felület). Az ezen a felületenáthaladó áram er !sségét úgy határozhatjuk meg, hogy az S felületet kicsiny ∆S felületelemekreosztjuk fel, és minden egyes felületelemen keresztül meghatározzuk az áram er !sségét.

∆Q∆s-en át ∆t alatt =s

∑ ∆Q∆s-en át ∆t alatt =s

∑ ! !J S t⋅ ⋅∆ ∆

∆I∆s-en át =∆Q∆s-en át ∆t alatt / ∆t

∆I∆s-en át =s

∑ ! !

J S⋅ ∆

Ha az árams"r "ség az S felületen pontról pontra változó, akkor a fenti képlet által kapotteredmény akkor lesz egyre pontasabb, ha a ∆S elemi felületek nagyságát minden határon túl

csökkentjük. Végül is ∆S helyett dS írhatunk és a Σ jel helyett az integrálás jelét ∫ írjuk.

Is-en át =! !J d S

S

⋅∫

Mértékegységek:− az áramer !sség mértékegysége a

coulombmásodperc

amit ampernek nevezünk, a jele pedig: A.− az árams"r "ség (vektorának) egysége az

amper m2

és nincs külön egysége valamint jele, de a gyakorlatból tudjuk róla, hogy nagyon kis egységnek számít. Ebb!l kifolyólag az SI mértékrendszer használatának ajánlása mellett is gyakranel!fordul, hogy az árams"r "séget A/mm2-es egységben fejezik ki. Ez természetesen helytelen ésnem ajánlott.

Az áramer !sség kifejezés helyett gyakran csak az áram megnevezést használjuk, amitermészeteesen helytelen, mivel az áram fogalma sokkal általánosabb: a szabad töltéshordozók rendezett mozgását jelenti.

Az áram er !sségét árammér ! m"szerrel (amperméterrel) mérjük. A mérést úgy végezzük,hogy megszakítjuk a vezet!t, amelyben az áram er !sségét mérni akarjuk, és a mér !m"szert

bekötjük a megszakított helyre. A gyakorlatban sokféle áramer ! m"szer létezik, egyesek érzékenyek az áram irányára, mások nem.

Íme néhány méréssel megállapított adat az áramer !sség tipikus értékére:



galvanométerrel mérhet! legkisebb érték kb. # pAidegimpulzus kb. 0,0# nAhalálos érték, ha az emberi szervezeten keresztül folyik kb. 0,02 Azseblámpa 0,2 Aizzólámpa 0,2-0,6 Avasaló 2 A

villanyt"zhely #0-20 Amikrohullámú süt! #0 Avillamos 50 Aelektromos hegeszt!készülék 50-600 Aelektromos angolna #00 Avillanymozdony 2 kAolvasztókemence #5 kAVillámcsapáskor (amely kb. 50µs tart) 20-#00 kA

3.1. Példa: Ha a rézben atomonként átlagban egy szabad elektronnal számolunk, akkor a szabad

elektronok koncentrációja 8,4 #022

[e-/cm3

]. Számítsuk ki egy elektron átlagos sebességét, ha azárams"r "ség értéke J=#0 [A/mm2] (ez az érték a rézben aránytalanul nagy; a megszokott értékek a réz vezet!kben nem haladják meg az 5 [A/mm2] értéket ).

Megoldás:

[ ] [ ]smmsme N

J 744.0#0744.0

#06.##04.8

#0#0v 3

#928

6

=⋅=⋅⋅⋅

⋅=⋅

= −−

!!

Tehát az elektronnak 22,5 percre van szüksége ahhoz, hogy a villamos tér hatására # mutat megtegyen. Ezzel szemben a fémekben a szabad elektronok termikus mozgásának sebessége szobah!mérsékleten #00 km/s nagyságrend".

3.2. Példa: Tegyük fel, hogy egy egyenes és kör keresztmetszet" (d=2mm) réz vezet! ben 5Aer !sség" egyenáram folyik. Számítsuk ki az árams"r "ség vektorának intenzítását a vezet! ben,és a vezet! keresztmetszetén egy másodperc alatt áthaladó elektronok számát.

Megoldás:A villamos tér homogén az egyenes és henger alakú vezetékben ezért az árams"r "ség

vektortere is homogén a vezeték belsejében.

[ ] [ ]J

d

=

⋅

= ⋅ =Ι

26

4

1 5 9 2 1 0 1 5 9 2

π

. . A2

m A2

m m

A villamos töltésmennyiség, amely egy másodperc alatt a vezet! keresztmetszetén áthalad:

(Q)#s = I⋅# [s]=5 [ C ]

Legyen n a vezet! keresztmetszetén egy másodperc alatt áthaladó elektronok száma:

n=( Q )# sek /e =5/#,6∗#0−#9=3,#3 ∗#0#9



3.2. Kirchhoff els! törvénye

A vezet! ben lév! stacionáris áramlási térben figyeljünk meg egy zárt S felületet. Ez az Sfelület ki is metszheti a vezet! egy részét. Az áramer !sség definíciója minden esetben érvényeslesz. A zárt felületre húzott mer !leges pozitív iránya a megegyezés szerint a felületb!l kifelémutat. Az S felületen áthaladó áramot pozitívnak tekintjük, ha a “+” töltések a felületb!l kifelé

haladnak illetve ha a “-“ töltések a felület által körülzárt térbe befelé áramlanak.A töltések makroszkopikus mozgása és eloszlása esetünkben (az id! ben államdó villamos

áram esetében) id!független. Ebb!l az következik, hogy amennyi pozitív vagy negatív töltés bejut a zárt S felület által körülzárt térbe, pontosan ugyanannyi töltésnek ki is kell jutnia az Sfelület által körülzárt térb!l. Ellenkez! esetben a pozitív vagy negatív töltések felhalmozódásakövetkezne be az S felület által körülzárt térben. Ezáltal megváltozna a szabad töltések eloszlásailletve maga a villamos tér is, amely a töltések áramlását el!idézte. Ennek következményekéntmaga a villamos áram is változna és nem beszélhetnénk többé egyenáramról. Tehát:

Az id! ben állandó áram vagyis az egyenáram esetében az áram intenzítása minden zártfelületen keresztül nullával egyenl!. Kirchhoff els! törvényének matematikai alakja alegáltalánosabb esetben:

! !J d S

S

⋅ =∫ 0

Szemléljünk most egy fém vezet!t, amelyben az árams"r "ség vektora J, a keresztmetszet pedig S.

Az S keresztmetszeten keresztül folyó áramer !sség számításakor, meg kell határozni afelületre mer !leges vektor irányítását. Az S felületre felvehetjük az

!n , illetve -

!n vektorokat a

felület pozitív “mer !legeseként” (így lesznek pozitív és negatív áramok).Az áramer !sség I skaláris, algebrai mennyiség (lehet pozitív vagy negatív el! jel"). Az

áramer !sség algebrai el! jele függ az árams"r "ség vektorának vezet! beni irányától és az Sfelületre tetsz!legesen felvett mer !leges irányától, az úgynevezett vonatkoztatási iránytól vagy

referenciairánytól.Az áram er !ssége egy adott keresztmetszetre (vagy egy adott vezet! ben) csak akkor

értelmezett, ha ismert az áram tetsz!legesen felvett vonatkoztatási- vagy referenciairánya. Azáram referenciairányát általában a vezet! mellett berajzolt nyíllal tüntetjük fel.

3.4. ábra. I az #-es metszeten át S -be =I a 2-es metszeten át az S-b!l

Sokszor beszélünk az áram irányáról egy adott vezet! ben, habár az áram er !ssége skalárismennyiség és mint ilyen, nincs iránya. Az áram iránya fogalom definíció szerint az árams"r "ség

( !J ) vektorának irányát jelenti, illetve a pozitív töltéshordozók mozgásirányát.



Ebben az értelemben a fémekben az áram iránya és a töltések valódi mozgásirányaellentétes (mivel a fémekben elektronok a töltéshordozók).

Kirchhoff els! vagy csomóponti törvényének a leggyakrabban használt alakja a többvezet!t összeköt! csomópontra vonatkozik:

3.5. ábra.

! ! ! ! ! ! ! ! ! !J d S J d S J d S J d S J d S 0

I I kIk

01 2 3 41

4

⋅ = ⋅∫ ∫ + ⋅∫ + ⋅∫ + ⋅∫ =

+ + + ==

∑ =

SS S S S1 2 3 4

Ι Ι

Minden egyes kifejezés (integrál) az áramer !sség meghatározására szolgál a hozzárendeltvezet!n keresztül, mégpedig a zárt felületb!l kifelé mutató mer !legeshez mintreferenciairányhoz viszonyítva. Ha ez a referencia-, illetve vonatkoztatási irány helyett mostvalamelyik vezet!n ellentétes vonatkoztatási irányt veszünk fel, a hozzátartozó kifejezés(integrál), illetve az áram er !ssége csak el! jelet vált. Az 5. ábrán feltüntetett áramirányok mellettaz el!z! egyenlet a következ! alakot ölti:

I# - I2 + I3 - I4 = 0

Ikk =∑ =

1

4

0

Kirchhoff els! vagy csomóponti törvényét és a vonatkoztatási irányokat az 5-ös ábraszemlélteti. A referenciairányok a csomópontból “kifelé” irányulnak. Ez azt jelenti, hogy a

csomópontba folyó áramokat negatív, a csomópontból elfolyó v. kifolyó áramokat pedig pozitívalgebrai el! jellel vesszük számba a Kirchhoff els! törvényét rögzít! egyenletben (kifejezésben).

3.3. Példa: A képen látható amperméterek csak az áramer !sség abszolutértékét tudják mérni és kimutatni. Ha az A# és A2 amperméterek |I#|=5[A] és |I2|=8[A] értékeket mutatnak, milyen érték(ek)et mutathat azA3-as amperméter?

Megoldás: Mivel ilyen feltételek mellett az A3-as amperméterenkeresztül +#3[A], +3[A], -3[A] vagy -#3[A] áram folyhat, de ez azamperméter is csak az áramer !sség abszolut értékét mutatja, így |I3|=3[A], vagy |I3|=#3[A].

A#

A2

A3



3.3. Az elektromos áram áramlási tere

Mint már tudjuk. a tér azon részét, amelyben villamos áram folyik, áramlási térnek, vagyisa villamos áram áramlási terének nevezzük. Nézzük most meg, hogy mi jellemz! erre azáramlási térre általánosan, és hogyan írható le akkor, ha az áramlási tér vezet! ben, elektrolitbanvagy szigetel! ben fordul el!.

3.3.1. A FAJLAGOS ELLENÁLLÁS ÉS FAJLAGOS VEZET$KÉPESSÉG

A villamos áram fenntartásához szükséges, hogy a vezeték minden pontjában létezzenvillamos tér. A vezet! minden pontjában a villamos tér és az árams"r "ség vektora között egyegyszer " öszefüggés áll fenn. Az E és J vektornak megegyez! az irányuk és az irányításuk is.Egyszer " méréssel meggy!z!dhetünk arról, hogy a legtöbb vezet! esetében az árams"r "ségvektora J arányos a villamos tér E vektorával a vezet! minden pontjában.

! !J E= ⋅σ ahol σ a fajlagos vezet!képesség jele.

σ =

→

→

!

!J

E

A

Vm

A

mV

m

S

m

2

A fajlagos vezet!képesség egysége simens méterenként, vagyis simens/méter.A gyakorlatban gyakran használjuk a fordított összefüggést is:

! !

E = Jρ ⋅ ahol ρ a fajlagos ellenállás jele.

[ ]mA

Vm

m

Am

V

J

E=

2

⋅→

→

Ω ρ !

!

A fajlagos ellenállás egysége ohm-méter, vagyis ohm·méter.

3.1.2. A VEZET$KBEN H$VÉ ALAKULÓ VILLAMOS ENERGIATELJESÍTMÉNYS#R #SÉGE

A vezet! ben, amelyen keresztül villamos áram folyik, a villamos energia a vezet! minden pontjában folytonosan h!vé alakul át. Így meghatározhatjuk azt a kifejezést, amelynek segítségével az energiaátalakulás teljesítményének s"r "ségét kiszámíthatjuk. Nézzünk most egyvezet!t, amelyben a szabad töltéshordozók koncentrációja N, a töltéshordozók villamos töltéseQ, és az E villamos tér hatására létrejött átlagsebességük v. Az E és v vektorok egy irányúak deaz irányításuk lehet ellentétes is, attól függ!en, hogy a Q töltés értéke Q > 0 vagy pedig Q < 0.

Vegyünk egy tetsz!leges kicsiny ∆V térfogatelemet és számítsuk ki azt a munkát, amelyet

a villamos er !k végeznek a ∆V térfogatelemben lev! töltések ∆t id! alatti elmozdításával.

∆A = F ∆s a töltések száma ∆V ben



∆Ael.er !k = Q E!v ∆t N ∆V

∆Ael.er !k = J E ∆V ∆t

Ez a munka (amelyet természetesen joule-ban fejezünk ki) a szabad töltéseknek afolyamatos ütközések közötti felgyorsítására használódik el. Az energiamegmaradás törvényének értelmében ez a munka egyenl! azzal az energiamennyiséggel, amely a ∆V térfogatban a ∆t id!

alatt h!vé alakul.

A villamos er !k teljesítménye ∆P a ∆V térfogategységben: ∆ ∆

∆P

A

te l e rok= .

Figyelembe véve, hogy E=ρJ és ∆P arányos ∆V-vel megkapjuk a térfogatelemben h!véalakuló teljesítmény s"r "ségét, illetve a Joule-féle h!veszteség teljesítménys"r "ségét:

∆∆

P

VJ E J= ⋅ = ⋅ρ 2 (Joule törvénye az áramlási térre)

A Joule-féle h!veszteség teljesítménys"r "sége nem más, mint a h!veszteség teljesítményének

téfrogats"r "sége, ami természetesen a fenti kifejezésb!l is lesz"rhet!, és ennek wattköbméterenként, vagy watt/köbméter (W/m3) az egysége.

Nézzük most a 3.6. ábrán lév! változó keresztmetszet" vezet!t:

3.6. ábra.

Az áram s"r "sége egy A pontban, amely pont elegend! távol van a keresztmetszetváltozássíkjától, egyenl! lesz J#=I/S A vékonyabb keresztmetszet" rész B pontjában pedig azárams"r "ség J2=I/(S/n)=n I/S

A Joule féle h!veszteség teljesítménys"r "sége az A és B pontokban:

∆∆

∆∆

P

VJ

P

Vn J

A B

= ⋅

= ⋅ ⋅ρ ρ

#

2 2#

2 ;

Ha az I áramer !sség növekszik a felszabaduló h!mennyiség térfogatelemkénti értéke avezet! második, sz"kített keresztmetszet" részében mindig n2-szer lesz nagyobb, mint az els!

nagyobb keresztmetszet" részben. Ezért a 2-es rész sokkal intenzívebben fog melegedni, mint avezet! #-es, nagyobb keresztmetszet" része (lásd a 3.6. ábrát). Nagyobb áramer !sségek esetébena vezet! még el is olvadhat, sokkal el! bb, miel!tt még a nagyobb keresztmetszet" részegyáltalán komolyabban felmelegedne. Ezt a jelenséget használják fel az áramkörök megszakítására olvadó biztosítékok segítségével. Ezek mint tudjuk, védik a vezetékeket atúlzottan nagy áramer !sségekt!l, a túlmelegedést!l.



3.1.3. A!

!

JE

=ρ

KIFEJEZÉS ELMÉLETI LEVEZETÉSE

A villamos áram mechanizmusának eddig ismertetett modellje vezet!kben igen egyszer " (a töltéshordozók gyorsulása-ütközése-leállása-gyorsulás-ütközés-leállás-…). Valamivel jobb

megközelítés ( de a váloságtól még igen távoli ) a következ!.A töltéshordozók kaotikus h!mozgása (a gázrészecskék Brown−féle mozgásáhozhasonlítható) a makroszkopikus villamos tér jelenléte nélkül is fennáll a vezet!kben (hasonlóan,mint a gázmolekulák kaotikus mozgása, minden küls! er ! és egyéb hatás hiányában).

Ez a h!mozgás makroszkopikus méretekben nem eredményezi a töltéshordozók rendezettmozgását.

3.7. ábra.

Szemléljünk most egy fém vezet!t, amelyben a töltéshordozók a szabad elektronok. Azelektronok h!mozgásának átlagsebessége a fémekben igen nagy értékeket vehet fel (a réz

esetében szobah!

mérsékleten v=#

600 km/s, ami#

0

#0

-szer nagyobb, mint a villamos tér hatásáravégzett rendezett mozgás átlagsebessége).

τ=λ/vt, ahol α a két ütközés közötti átlagos úthossz,

τ a két ütközés között eltelt átlagos id!tartam,vt pedig az elektronok h!mozgásának átlagsebessége.

Ha a fémekben makroszkópikus villamos tér is jelen van, akkor a szabad elektronok rendezetlen h!mozgása módosul olyan értelemben, hogy a szabad elektronok a jelenlév!

makroszkopikus villamos tér irányába elmozdulnak. A töltött részecskék gyorsulásának értékét

már a stacionáris villamos tér esetében meghatároztuk:

aQ E

m=

⋅

A töltött részecske (az elektron) a τ id! alatt egyenletesen gyorsulva mozog a következ!

ütközésig. A részecske sebessége az id!intervallum végén aτ, és mivel a kezd!sebesség nullavolt, az átlagsebesség értékét egyszer "en aτ/2-nek vehetjük. A villamos tér hatására azelektronok a fémekben a következ! átlagsebességgel mozognak:

,22

#v E

m

ea

e

!!⋅

⋅⋅

=⋅⋅= τ τ



τ ρ

ρ

τ

⋅⋅

⋅⇒=

⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅=

N

E J

E m

N eQ N J

e

2e

2

e

m2=

2v

!!

!!!

Az egyvegyérték " fémek esetében (réz, ezüst) a számítással kapott fajlagosellenállásértékek legalább #00-szor nagyobbak a méréssel megállapított valós értékekt!l. Tehát aklasszikus elmélet nem képes pontosan meghatározni a fajlagos ellenállás értékét. Akvantumelmélet felhasználásával a gyakorlati mérésekkel megegyez! eredmények érhet!k el, deannak ismertetése már túllépi a villamosságtan alapjaira kiszabott keretet.

3.4. Példa: Számítsuk ki az elektronok két egymásután következ! ütközésének az átlagidejét arézvezetékben, ha az elektronkoncentráció N=84 10

22, ⋅ #/cm3, az elektron töltésmennyisége

C e #9

#0602,# −⋅= , a réz fajlagos ellenállása 0 °C-on pedig [ ]mΩ⋅= −8

0 #0588,#ρ .

Megoldás: A klasszikus elmélet és az áramvezetés egyszer "sített modellje alapán afajlagos ellenállás a következ! kifejezés szerint számítható ki:

τ ρ

⋅⋅⋅

= N e

me

20

2.

A képletb!l egyszer "en kifejezhet! és kiszámítható az ütközések átlagidejének (τ) az értéke:

[ ][ ] [ ] [ ]

[ ]s N

m

mmC

kge

e#4

828#9

3#

02

#032,5#0588,##04,8#0602,#(

#0#,9223#)

−−−

−

⋅=⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅⋅

=Ωρ

τ .

3.1.4. A FÉMEK FAJLAGOS ELLENÁLLÁSA

A fémek a vezet!k legfontosabb osztályát képezik (a réz, alumínium, ezüst, wolfrám és akülönféle ötvözetek). A legtöbb vezet! esetében, (így a fémeknél is) a fajlagos vezet!képesség (σ ) és a fajlagos ellenállás ( ρ ) nem függ a villamos tér nagyságától (lineáris karakterisztikájúvezet!k). Ezzel szemben a σ és a ρ is igen nagy mértékben függ a h!mérséklett!l. Aszobah!mérséklet környezetében azonban a fajlagos ellenállás értékének h!fokfüggésegyakorlatilag egyenesnek tekinthet!:

ρt = ρ0 (#+αt),

ez a kisebb h!mérséklettartományokra érvényes összefüggés ahol:ρt a fajlagos ellenállás t°C-on,α a fajlagos ellenállás h!foktényez! je (h!koefficiense),ρ0 a fajlagos ellenállás 0°C-on.

Általános érvény" és a nagyobb h!mérséklettartományokra érvényes összefüggés:

( )ρ ρ α β γ t t t t= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅0

2 31

Az el!z! kifejezés jelölései itt is érvényesek. Az α,β és γ tényez!ket (h!koefficienseket)ki é l ti é é kk l áll ítják külö i d fé A β é té !k é ték it



táblázatokba rendezik a fémek, ötvözetek és h!mérsékleti tartományok szerint. Kivonatosh!koefficiens-táblázat található a köny végén a függelékben.

Ha megnézünk néhány ilyen táblázatot, észrevehetjük, hogy a legtöbb esetben ah!foktényez!nek pozitív az értéke. Ez azt jelenti, hogy a fémek és ötvözetek fajlagos ellenállásanövekszik a h!mérséklettel. Ennek a jelenségnek van egy leegyszer "sített magyarázata:magasabb h!mérsékleten az elektronok termikus mozgása felélénkül és ezért nehezebb !ket a

villamos tér segítségével rendezett mozgásra bírni.Léteznek olyan anyagok is, amelyeknél a fajlagos ellenállás h!foktényez! je negatív,illetve, amelyeknél a fajlagos ellenállás értéke csökken a a h!mérséklet növekedésével.

Egyes ötvözeteknél ( pl. konstantán és manganin ) sokkal kisebb a fajlagos ellenállásh!foktényez! je (igaz ugyan, hogy náluk valamivel nagyobb maga a fajlagos ellenállás mint másanyagoknál), mint a többi fémeknél, és ezért ezeket az ötvözeteket igen pontos ellenállások készítésére és preciziós mérésekre használják.

3.5. Példa: Számítsuk ki a villamos térer !sség nagyságát 20°C-on az aluminium- ésrézvezetékben, ha körkeresztmetszet"ek, d=#[mm] átmér !vel és I=2[A] er !sség" áram folyik keresztül rajtuk. Ismertek még a következ! adatok: az alumínium fajlagos ellenállása 0°C-on

[ ]262 10 8, ⋅ − Ωm , a réz fajlagos ellenállása 0°C-on [ ]1588 10 8, ⋅ − Ωm , az aluminium h!mérsékleti

tényez! je

⋅ −

C "

#3

#046,4 , a rézé pedig

⋅ −

C "

#3

#027,4 .

Megoldás: Ismert számunkra a villamos térer !sség és az árams"r "ség vektora közötti

összefüggés: E J= ⋅ρ , valamint a JI

S= kifejezés is. Ezek alapján felírhatjuk, hogy a villamos

tér értéke 20°C-on: [ ]EI

SC

= ⋅ρ200

( ) [ ] [ ] [ ]) [ ]mm C C t C

AlΩ⋅Ω −−− ⋅≈⋅⋅+⋅=⋅+⋅=

800#38

0 #0854,220#046,4##062,2#020

α ρ ρ

ugyanez a számítás a rézre a következ! eredményt adja: [ ]mC

Cu Ω−⋅≈

8#0724,#

020

ρ .

Így a villamos térer !sség az aluminiumvezetékben:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

m

V

m

Am

S

I E Al

0727,0#0#4,3

8#0854,2

#4,34

#0

2#0854,2

6

8

26

8 =⋅

⋅⋅=

⋅

⋅Ω⋅=⋅= −−

−−ρ ,

a rézvezetékben pedig:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

mV

m

Am

S

I E Cu

04,0#0#4,3

8#0724,#

#4,34

#0

2#0724,#

6

8

6

8

2 =

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=⋅= −

−−

−Ωρ .

3.6. Példa: A vízmelegít! f "t!teste d=0,5[mm] átmér ! j", körkeresztmetszet" krómnikkel-huzalból készült. Határozzuk meg annak a messzingb!l készült vezetéknek a keresztmetszetét,

amelyen keresztül a f "t!test a villamos hálózathoz csatlakozik azzal a föltétellel, hogy amesszing vezetékben a Joule-veszteségek teljestménys"r "sége #%-át tegye ki a f "t!testh l ib k l k ! J l é k lj í é " " é é k! A f" ! k h! é ékl



850[0C], a messzingvezetéké pedig 30[0C]. [ ]mnk Ω⋅= −−

80 #0#37ρ , [ ]mm Ω⋅= −8

0 #05,7ρ ,

=− C nk

"#0000002,0α és

= C m

"#00#6,0α .

Megoldás: A Joule veszteségek teljesítménys"r "ségéb!l∆

∆

P

V

J E J= ⋅ = ⋅ρ 2 kiindulva a

messzingb!l és a krómnikkelb!l készült huzalokra nézve fölírhatjuk, hogy22 0#,0

nk nk mm J J −− ⋅⋅=⋅ ρ ρ . Az áramer !sség nyilvánvalóan megegyezik mind a két vezetékben,

tehát 22mmnk d J d J ⋅=⋅− , viszont a fajlagos ellenállásokat ki kell számolni a megfelel!

munkah!mérsékletre: ( ) ( )nk nk mm

t t −− ⋅+⋅=⋅+⋅= α ρ ρ α ρ ρ #és# 00 .

Ezután már csak a behelyettesítés és a keresett érték kifejezése marad hátra:

⋅=⋅⋅

−−

0#,00574,04

4

2

2

mnk nk

mm

d

d

J

J

ρ

ρ

ebb!l aztán már egyszer " kifejezni a keresett átmér !t, hiszen [ ]⋅=⋅= mmd d m 774,0548,#

3.1.5. AZ ELEKTRONOK MOZGÉKONYSÁGA A FÉMEKBEN

Az árams"r "ség vektorának definíciója alapján:

ρ σ

E=E=J ;v

!!!!!

⋅⋅⋅= Q N J ,

és mivel a fémekben Q = -e ebb!l következik, hogy: E

e

!!⋅

⋅⋅ ρ N

#-=v

Ezt az összefüggést általában a következ!alakban írjuk:

E=v !!

⋅µ

ahol µ arányossági tényez!t az elektronok mozgékonyságának nevezzük:

µρ

=⋅ ⋅1

N e.

A különféle szabad töltéshordozók mozgékonyságát a vezet!kben a fentihez hasonló

módon határozhatjuk meg.

3.1.6. A SZUPRAVEZET$K

Egyes fémek esetében (pl. réz) a fajlagos ellenállás csökkenése a h!mérsékletfüggvényében szabályos (törés nélküli). Míg más fémeknél, az igen alacsony h!mérsékleteken(az abszolut nulla fok, -273,#6°C közelében) a fajlagos ellenállás hirtelen elenyész! nagyságra(praktikusan nullára) csökken. Az ilyen vezet!re azt mondjuk, hogy ideális vezet!vé vagyszupravezet!vé válik. Ez a különböz! fémeknél más és más h!mérsékleten következik be, pl:

ólom (Pb) 7,26 0K tantál (Ta) 4,38 0K hi (H ) 4 #2 0K



ón (Sn) 3,69 0K alumínium (Al) #,#4 0K cink (Zn) 0,79 0K kadmium (Cd) 0,54 0K hafnium (Hf) 0,35 0K

A szupravezet!k másik, jellemz! tulajdonsága, hogy „kilökik” magukból a mágnesesindukcióvonalakat (Meissner-effektus), vagyis úgy viselkednek, mint egy ideális diamágnesesanyag (a mágnesességgel, a mágneses anyagokkal a könyv következ! két fejezete foglalkozik).

A fémek 4,2 0K fok alá történ! leh"tése folyékony hélium segítségével történik, és ma már nem jelent különösebb technológiai nehézséget.

Alkalmazás: az aránylag kisméret" szupravezet! ben lehetséges igen nagy áramok fenntartása veszteség nélkül, hiszen meleg nem fejl!dik, tehát nincs veszteség, ami felemésztenéaz energiát. Ennek segítségével igen er !s mágneses teret lehet létesíteni. Szupravezet!kkelmegoldható a veszteségmentes energiaszállítás.

A szupravezetés jelenségét Kammerlingh-Onnes (Heike Kammerlingh-Onnes #853 – #926holland fizikus) fedezte fel #9##-ben. A jelenség elméleti magyarázata igen bonyolult és csak

jóval kés! bb, #957− ben sikerült megadni (Bardeen −Cooper −Schrieffer), megmozgatva akvantummechanika teljes fogalmi és számítástechnikai apparátusát.

3.1.7. AZ ELEKTROLITOK VEZET$KÉPESSÉGE

A sók, savak, lúgok vizes oldatai, amelyeket más szóval elektrolitoknak nevezünk, aviszonylag jó vezet!k csoportjába sorolhatók. Az érdekesség ebben csupán az, hogy sem a víz(ha desztillált) sem a fent említett anyagok (savak, lúgok, sók) nem tartoznak a vezet!k közé,tehát nem vezetik az elektromos áramot. Az oldatok fajlagos ellenállása, illetve fajlagosvezet!képessége függ:

#. az oldószer fajtájától,2. az oldott anyag fajtájától és3. az oldat koncentrációjától.

A h!mérséklet emelkedésével az elektrolitok disszociáció foka növekszik (a disszociációfoka alatt az adott pillanatban az ionokra felbomlott molekulák százalékarányát értjük), de ezzelellentétben csökken az ionok mozgékonysága. Végül mégis csak az els! hatás az er !sebb és ígyaz oldat fajlagos vezet!képessége növekszik a h!mérséklet emelkedésével:

( )[ ]#2$t#t2 tt%#$$ −⋅+⋅= ,

ahol az ασ a h!foktényez! vagy h!koefficiens.Az elektrolitikus oldat fajlagos vezet!képessége igen tág határok között független a

villamos tér értékének a változásaitól, tehát akár csak a szilárd vezet!k, az elektrolitok is lineárisvezet!knek tekinthet!k. Ki kell azonban hangsúlyozni, hogy a villamos áram áthaladásakor, azoldatokban fellép az elektrolízis jelensége is. Ennek következményeként az elektródák és azelektrolit határfelületén, a szabad töltésekre a villamos er !k mellett kémiai eredet" köt!er !k ishatnak. Ebb!l az következik, hogy a villamos áram áthaladása az oldatokon igencsak összetettfolyamat.



3.1.8. A DIELEKTRIKUMOK (SZIGETEL$K) VEZET$KÉPESSÉGE

A természetben nem létezik dielektrikum, amely tökéletes szigetel!anyag lenne,mindegyik dielektrikumnak van egy bizonyos (igen kicsiny) fajlagos vezet!képessége, illetveigen nagy (de nem végtelen) fajlagos ellenállása. Ami a villamos áram vezetési mechanizmusátilleti kétféle dielektrikumot különböztethetünk meg:

#. a szabad elektronok elszakadnak a dielektrikum molekuláitól egy küls! ok (általában igennagy villamos tér) hatására és

2. egy bizonyos számú molekula szétesik ionokra, hasonlóképpen, mint az oldatoknál (ez agyakoribb eset).

A dielektrikumokban a szabad töltések koncentrációja sokkal kisebb, mint a fémekbenvagy az elektrolitokben, a fajlagos ellenálás sokkal nagyobb, mint a fémek és elektrolitok fajlagos ellenállása. Így a dielektrikumokban fennálló villamos áramok is sokkal kisebbek, minta vezet!kben és általában a vezet!k áramához viszonyítva elhanyagolhatók (kivételt képeznek azigen er !s villamos terek, amikor is a dielektrikum árama nagyobb értékeket vehet fel ésszámolnunk kell vele).

A legtöbb dielektrikum vezet!képessége nem függ a villamos térer !sségét!l, tehát ezek a

dielektrikumok, illetve szigetel!k igen rosszmin!ség", de lineáris vezet!knek tekinthet!k.Azoknál a dielektrikumoknál, amelyek vezetési mechanizmusa hasonlít az elektrolitok

vezetési mechanizmusához, a fajlagos ellenállás a h!mérséklet növekedésével érezhet!enlecsökken. Megfelel! erej" villamos tér hatására elektromos áram léphet fel, és a dielektrikum

belseje ennek következtében felmelegszik. Mivel a dielektrikumok egyben rossz h!vezet!k is, afejl!d! h! lassan vezet!dik el. Tehát a h!mérséklet tovább emelkedik, ami a fajlagos ellenállásmég nagyobb csökkenését idézi el!, ami természetesen méginkább az áram növekedéséhezvezet. E folyamat végül is a dielektrikum olvadásához és kémiai széteséséhez vezet. Adielektrikum elveszti szigetel! tulajdonságát és vezet!vé válik. Ezt a jelenséget a dielektrikum(szigetel!) átütésének (h!átütésének) nevezzük.

A dielektrikum fajlagos ellenállását nagymértékben befolyásolja:#. a dielektrikum szennyzetségi foka,2. a dielektrikum nem egyöntet" (inhomogén ) felépítése,3. a dielektrikum nedvességtartalma stb.A legtöbb esetben a dielektrikumok fajlagos ellenállásának csak a megközelít! értékét

adjuk meg. A szennyezettség jelenléte szinte kivétel nélkül jelent!s mértékben csökkenti adielektrikum (szigetel!) fajlagos ellenállását. A szigetel!knél külön figyelmet kell fordítani afelületi fajlagos ellenállásra, mivel a szigetel!k felülete a környezettel érintkezve szennyez!désreigencsak hajlamos. A szennyezett vagy nedves felületek esetében a szigetel!k felületi áramasokkal nagyobb értékeket vesz fel mint a szigetel!k bels! árama.

A felületi fajlagos ellenállás meghatározása a következ! módon történik. Tételezzük fel,

hogy az áram igen vékony rétegben folyik a dielektrikum felszínén, ezért el!ször a felületiárams"r "ség vektorát Js határozzuk meg. E vektor irányítása megegyezik a pozitívtöltéshordozók haladási irányával.

Js = ∆I∆a szélességben

mivel a felületi árams"r "ség vektora, a!Js arányos a téer !sség felületi (tangenciális)

összetev! jével (komponensével), az!Et vektorral ebb!l az következik, hogy:

! !E t = ⋅ρs sJ ,

ahol ρs [Ω] a felületi fajlagos ellenállás.



3.8. ábra.

Az #-#’ és 2-2’ szakaszok mer !legesek a felületi árams"r "ség Js vektorára és ezértekvipotenciális szakaszoknak tekinthet!k. A feszültség a két szakasz pontjai között:

U E b J bt s s12 = ⋅ = ⋅ ⋅ =∆ ∆ ∆Ιρ ∆a szélességben⋅ ρs

b

a⋅ ∆∆

Az egyenlet útmutatást nyújt ahhoz, hogy hogyan lehet a felületi fajlagos ellenállástmegmérni. Helyezzünk el két “a“ hosszúságú elektródát párhuzamosan egymással, “b“távolságra egymástól ( b << a ) a szigetel! felületén ( íly módon homogén villamos teret kapunk az elektródák között). Ezek után mérjük meg a feszültség és az áramer !sség értékét a kételektróda között. Ez a mérési eljárás igencsak “körülményes“, és a kapott eredmények is csak tájékoztató jelleg"ek.

3.4. Az elektromos ellenállás és Ohm törvénye

Vegyünk egy tetsz!leges S keresztmetszet" igen hosszú egyenes vezet!t. Tételezzük feltovábbá, hogy a vezet! homogén szerkezet", fajlagos ellenállása ρ, és I er !sség" áram folyik keresztül rajta. A villamos tér vektora E a vezet! belsejében homogén és iránya párhuzamos avezet! tengelyével.

Az el!z!ekben elmondottak alapján következik, hogy a vezet! minden mer !legeskeresztmetszete ekvipotenciális felületnek tekinthet!. Most határozzuk meg az # és 2keresztmetszetek közötti feszültségkülönbséget, ha a vezet! ben I er !sség" áram folyik. Azt már el!z!leg megállapítottuk, hogy az id! ben állandó áram esetén a villamos tér ugyanolyan

természet"

, mint az elektrosztatikus tér esetében, amely azonos eloszlású, de nyugvótöltéshordozóktól ered. Ezért a feszültség definiciója ugyanaz marad mint az elektrosztatikában:

3 9 ábra



MivelE J S= ⋅ρ , J = Ι

U V V E d E d ES

1 2 1 2

1

2

1

2

= − = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅∫ ∫ ! !

# # ##

ρ Ι

Mint a kifejezésb!l látjuk, a két pont közötti feszültség arányos a közöttük folyó áram

er !

sségével. A fenti kifejezés U = R·I formában felírt alakja Ohm törvényeként ismert. Azarányossági együtthatót Ohm törvényében elektromos ellenállásnak (vagy egyszer "en csak ellenállásnak) nevezzük. Az l hosszúságú, homogén szerkezet", ρ fajlagos ellenállású vezet!

ellenállása tehát R=ρ l/s.Az elektromos ellenállás jele R, mértékegysége pedig a volt/amper, amelynek külön nevet is

adtak: ohm

Ω,

A

V. Az R=ρ l/s kifejezésb!l a fajlagos ellenállás mértékegysége sz"rhet! le

kínnyen, ami Ω·m.Vegyünk most egy tetsz!leges alakú szilárd vezet!testet, amelynek két jó vezet! b!l

készült (fémvezet!) kivezetése van. Tegyük fel továbbá, hogy a vezet!test fajlagos ellenállása ρ

sokkal nagyobb a fémvezet!

fajlagos ellenállásánál ρfémvez, tehát ρ >> ρfémvez .

3.#0. ábra.

Az ilyen elemet, amely egy adott fajlagos ellenállású testb!l, és két jó min!ség" vezet! b!lkészült kivezetésb!l áll “ellenállásnak“ nevezzük. Tételezzük fel továbbá, hogy az adott“ellenállástest“ lineáris anyagból készült, tehát a fajlagos ellenállása nem függ a rajtakeresztülfolyó áram er !sségét!l, az árams"r "ség vektorától illetve a villamostérer !sségvektortól, vagyis felírható, hogy:

( )ρ ≠ f Ι és ( )ρ ≠ f J , illetve ( )ρ ≠ f E .Ez azt jelenti, hogy a vezet!test valamennyi pontjában az árams"r "ség vektora arányos az

áramer !sséggel, és akkor felírhatjuk, hogy:! !J = ⋅Ι ω illetve

! !E = Ι ⋅ ⋅ρ ω ahol

felület

#ω !

A!ω vektor (melynek #/felület az egysége) iránya és irányítása pontról pontra változó a

szigetel!testben. Vegyük észre, hogy eddig csak a szigetel!test anyagának linearitását kötöttük ki, vagyis a test anyagának összetétele nem szükségszer "en homogén ( a ρ minden pontban lehetmás és más). Ha most a kapott térer !sség alapján számítjuk a feszültséget az # és 2 pontok között, a következ! kifejezést kapjuk:

U d R12

1

2

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅∫ Ι Ιρ ω! !

# ,ahol R = ρ ω⋅ ⋅∫ ! !

#d

1

2



Az integrálást tetsz!leges útvonal mentén végezhetjük, mivel a feszültség értéke függetlena vonalintegrál integrálási útvonalától (amelyen az #-es pontból a 2-es pontba jutunk - ez azelektrosztatikus villamos tér egyik jellegzetes tulajdonsága ).

Ahogy az a fenti képletb!l is látszik, az ellenállás értéke nem függ az áram er !sségét!l.Azokat az ellenállásokat, amelyek értéke független az áram er !sségét!l, illetve a kivezetések közötti feszültség értékét!l amíg más körülmények (h!mérséklet, nedvesség stb.) meg nem

változnak, lineáris ellenállásoknak nevezzük. Azokat az ellenállásokat, amelyek nem teljesítik azel!z! feltételt nemlineáris ellenállásoknak nevezzük.Amennyiben az ellenállás értéke szokványos üzemmódban (áramer !sségértékeken)

közvetlenül független is az áramer !sség értékét!l, ez a függetlenség közvetve nem áll fenn. Haugyanis az ellenállásnak nincs megfelel! h"tése, akkor az ellenállás értéke id!vel változni fog,mert a végs! h!mérsékleti értéket az adott áramer !sség és a h"tés viszonya határozza meg. Ha azellenállás értékének változása csak késve követi az áramer !sség változását, akkor aztmondhatjuk, hogy az ellenállás lineáris, mert az értéke csak a h !mérséklet változása miattmódosult. De ha az áramer !sség változását az ellenállás változása csak jelentéktelen késésselköveti, (mint pl. a wolfram izzószálas izzólámpa esetében), akkor nemlineáris ellenállásról

beszélünk.

Léteznek olyan anyagok is, amelyeknek a fajlagos ellenállásértéke a villamos tér értékét!lfügg. Ezekb!l az anyagokból készíthet!k a nemlineáris jelleg" ellenálások.

A tetsz!leges alakú ellenállás értékének meghatározására egyetlen mód a közvetlen mérés.A feszültséget az ellenállás két végpontja között voltméterrel mérjük, a rajta átfolyóáramer !sséget pedig amperméterrel úgy, hogy megszakítván az áramkört az ampermétertsorbakötjük az ellenállással és újra zárjuk az áramkört. A keresett ellenállásértéket Ohmtörvényéb!l kapjuk meg:

I

U R =

Több tetsz!legesen összekapcsolt ellenállás, amelynek két kivezetése van, minden esetben

egy ered! (ekvivalens) ellenállásal helyetesíthet!. Az ellenállások ábrázolására leggyakorabban a3.##. ábrán látható szimbólumok használatosak:Az ellenállás mint áramköri elem jellemzésére az ellenállás helyett gyakran az ellenállás

reciprok értékét használjuk, amit vezetésnek nevezünk. Ilyenkor a fajlagos ellenállás fogalmahelyett a fajlagos vezet!képességet használjuk.

[ ]GR

=

#

#

A

V S ,

S

mΩ σ

Az elektromos vezetés jele, mint a fenti kifejezésb!l kit"nik, G, az egysége pedig siemens(S). Az egység a nevét Siemensr !l (Ernst Verner von Siemens #8#6 – #892, német

elektrotechnikus, feltaláló, gyáros) kapta.

3.##. ábra.



3.1.1. AZ ELLENÁLLÁSOK SOROS, PÁRHUZAMOS ÉS VEGYESKAPCSOLÁSA

A gyakorlatban különféle okokból az ellenállásokat sokszor igen összetett módonkapcsoljuk össze. Minden ilyen kapcsolás, amelynek két kivezetése van, egy ekvivalens (ered!)ellenállásként kezelhet!.

3.#2. ábra.

A sorbakapcsolt ellenállásokra, a fenti 3.#

2. ábra alapján felírható, hogy:( )U U U R R

UR R R R

G G G

AB R R

AB

ekv n

ekv

= + + = ⋅ + +

= = + + +

= + +

1 2 1 2

1 2

1 2

1 1 1

+ U + R

+1

G

R n

n

n$ $

$

$

Ι

Ι

A kapott kifejezésb!l látható, hogy R ekv értéke minden esetben nagyobb, mint alegnagyobb sorbakötött ellenállás értéke. Az ered! vezetésr !l azt tudjuk, hogy kisebb, mint a

sorbakapcsolt vezetések legkisebbike.

3.#3. ábra.

A 3.#3. ábra alapján Kirchhoff els! törvényét alkalmazva az A pontra felírható, hogy:

n2#

2#

2#

R

#+

##

#

++

$

$$

++=

Ι=

++=Ι+Ι+Ι=Ι

R R

U R

R

U

R

U

R

U

AB

n

AB AB ABn

ekv



nekv

ekv

GGGG

R R R

+++=

++=

R

#+

###

2#

n2#

$

$

Párhuzamos kapcsolás esetén az R ekv értéke minden esetben kisebb, mint a legkisebb párhuzamossan kötött ellenállás értéke. Mivel pedig az elektromos vezetések összeadódnak asorbakapcsolt ellenállások esetében, így elmondható, hogy az ered! vezetés nagyobb, mint alegnagyobb párhuzamosan kapcsolt vezetés.

Az ellenállások vegyes kapcsolása alatt, azt az összetett kapcsolási módszert értjük, amikor mind a soros mind a párhuzamos kapcsolás esete fennáll és a vegyes kapcsolású résznek csak kétkimenete van. A vegyes kapcsolású kétpólusok ered! ellenállását a soros és párhuzamosellenálláscsoportok fokozatos, egyenkénti helyettesítésével oldjuk meg.

3.7. Példa: Számítsuk ki az ered! (ekvivalens) ellenállást az A és B pont között (lásd a mellékelt

ábrát), ha R=#0[ ]Ω !

Megoldás:

A jelzett transzformációk (átalakítások) alapján, az A és B pontok közötti ellenállásra azt kapjuk,hogy (tulajdonképpen három párhuzamosan kapcsolt ellenállásunk van, hiszen ha jobbanmegnézzük, könnyen belátjuk, hogy mindhárom ellenállásnak az egyik kapcsa az A, a másik a B

ponthoz csatlakozik):

[ ]Ω==== 33,33232

R R

R R R R AB

.

A B

R R R R

A

BR

R

#2

3

42

#

# 2

3 4

R R R

A B

#

3

24

R 32

R

A B

34

B

R R R

A



3.1.2. AZ ELLENÁLLÁS H$FOKFÜGGÉSE

Vegyünk egy tetsz!leges alakú, homogén és lineáris anyagból készült ellenállást. Ez

esetben a fajlagos ellenállás, a ρ, az R d= ⋅ ⋅∫ ρ ω! !

#

1

2

kifejezésben kiemelhet! az integrálás

jele elé. A homogén anyagból készült ellenállás értéke arányos az adott anyag fajlagosellenállásával és értéke ugyanúgy függ a h!mérséklett!l, mind a felhasznált anyag fajlagosellenállása, tehát:

R t=R 0 ( #+ αt )az alacsonyabb h!mérsékletek esetén (a szobah!mérséklet környezetében). Viszont nagyobbh!mérsékletkülönbségek esetén:

R t = R 0 ( #+ αt + βt2 + γ t3 ),

ahol: R 0 az ellenállás értéke 00C-on

R t az ellenállás értéke t

0

C-onα, β és γ az anyagra jellemz! h!foktényez!k (h!koefficiensek).Ha az ellenállás nem homogén anyagból készült ezek a képletek nem érvényesek. Az

ellenállás és a h!mérséklet közötti összefüggés ez esetben csak kisérleti úton (méréssel)állapítható meg.

3.8. Példa: Egy P=#00 [W]-os, U=220[V] feszültségre el!relátott izzószálhoz 45[mg] wolframothasználtak fel. A wolframból készült izzószál munkah!mérséklete 2400[0C], tömegs"r "sége

pedig ρm

=#9,3[g/cm3], fajlagos ellenállása ρ0=5⋅#0-8[Ωm], a h!mérsékleti tényez!k pedig:

α=5,238⋅#0-3 [#/°C] β=0,7⋅#0-6 [#/°C2] és γ =0,062⋅#0-9 [#/°C3]. Határozzuk meg az izzószálhosszát és átmér ! jét!

Megoldás: A wolfram fajlagos ellenállása 2400 °C-on:))2400(#0062,0)2400(#07,02400#0238,5#()#( 39263

032

02400 ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+=⋅+⋅+⋅+= −−−ρ γ β α ρ ρ t t t

mΩ=⋅= µ ρ ρ 923,046,#8 02400

Az izzószál ellenállása a munkah!mérsékleten [ ]Ω=== 4842

P

U

I

U R , másrészr !l bármely

huzal ellenállása, így a wolframé is 2400 °C-onS

R #

⋅= 2400ρ , és ez az els! egyenletünk, amely

két ismeretlent tartalmaz. A második egyenlet #⋅⋅= S m mρ , amely ugyanazt a két ismeretlent

tartalmazza mint az els!. Az egyenletrendszer megoldása után a következ! értékeket kapjuk: azizzószál hossza l=#,# m az átmér ! je pedig d=0,052 mm.





A gyakorlatban a fogyasztók túlnyomó többségét leföldelik, illetve egy vezet!n átösszekötik a földdel. Sok esetben ez biztonsági okokból elengedhetetlen, mint például aháztartási gépeknél. Ha a feszültség alatt lév! vezeték és a gép (fogyasztó) fémszerkezete közöttvalamilyen okból (meghibásodás) zárlat keletkezik, akkor a földeléstest és a földvezeték megakadályozza, hogy a fémszerkezet a földhöz viszonyítva magas potenciálértéket vegyen fel.A gyakorlatban a földelést úgy végezzük, hogy egy viszonylag nagy felület# jó vezet! b!l készült

tárgyat (földeléstestet) leásunk, vagy leszúrunk (leverünk) a földbe. Ezután azt a fémszerkezetet,amelyet földelni szándékozunk jó vezet! segítségével összekötjük a földeléstesttel.Vegyünk egy félgömb alakú földeléstestet, amelynek sugara a és tételezzük fel, hogy a

vezet! ben, amely a földeléshez van kötve I er !sség# áram folyik (az áram a meghibásodott berendezés fémszerkezete és a feszültség alatt lév! vezeték közötti rövidzárlat miatt folyik).Tételezzük fel továbbá, hogy a villamos energiát szolgáltató generátor igen távol van, ésugyancsak le van földelve. Ez esetben az áramkör a földön keresztül záródik s így a földet,valamint a fogyasztó és a generátor ellenállástestét ellenállásnak tekinthetjük (3."5. ábra). Ennek az ellenállásnak a föld az ellenállásteste, a fogyasztó és a generátor földelései pedig a kivezetései(kapcsai), és ennek az ellenállásnak az értékét tekintjük földelési ellenállásnak.

A gyakorlatban a generátor földelése nagyságrendekkel jobb kivitelezés#, mint a

fogyasztó földelése, vagyis a generátor földelésének sokkal nagyobb a felülete, mint a fogyasztóföldelésének a felülete. Ez a feltételezés módot nyújt egy egyszer #sített elemzésre. A generátor földelését (földeléstestét) úgy is elképzelhetjük, mint egy félgömb, amelynek sugara (b) sokkalnagyobb, mint a fogyasztó földelésének sugara (a), vagyis b >> a (3."6. ábra). Ami a fajlagosellenállásokat illeti ρfém << ρföld, ezért mind a két félgömböt ekvipotenciális felületnek tekinthetjük. Az árams#r #ség vektora J jó megközelítéssel radiálisnak mondható. Ezek alapján aföldelés (a föld) ellenállása a következ! módon számítható:

3."6. ábra.

S r

JI

S r

E Jr

V Vr

dr I

a b

I

aa b

a

b

= ⋅ ⋅

= =⋅ ⋅

= ⋅ = ⋅⋅ ⋅

− = ⋅⋅ ⋅

⋅ = ⋅

⋅ ⋅ −

≅

⋅⋅ ⋅∫

2

2

2

2 2

1 1

2

2

2

2

2

π

π

ρ ρπ

ρπ

ρπ

ρπ

Ι

Ι

Ι

R föld. =

−

= ⋅ ⋅

V V

I a

a b ρπ2



3.9. Példa: Hogy reális képet alkothasunk a földelés ellenállásának értékér !l tegyük fel, hogy a

föld fajlagos ellenállása ρ="02 Ωm (nedves föld ) és legyen a="m. Az el! bbi R . = ⋅ ⋅ρπ2 a

egyenlet alapján kapjuk, hogy:

R föld. [ ]=

⋅ ⋅

=

⋅ ⋅

=ρ

π π2

10

2 1

15 9212

a

, Ω

"0 Ω-nál kisebb értékeket nehezen valósíthatunk meg a földelésellenállás értékére. Alegjobb földeléseket fémlemezek édes ( R föld="Ω), illetve sós (R föld <<" Ω) talajvizbe valósüllyesztésével kaphatjuk.

Ha a földelés értéke kicsi, rövidzárlat esetén nagy áramer !sségek lépnek fel aföldvezetéken keresztül. Az el!írások szerint a magasfeszültség# vezetékeket olvadó- vagy másfajta biztosítékokkal kell ellátni, és rövidzárlat esetén ezek a biztosítékok reagálnak (leválasztják a zárlatos fogyasztót a magasfeszültség# vezetékekr !l). Az el! bbi példából viszont azt isláthatjuk, hogy az U=220 V feszültség esetén az áram er !ssége a földvezetéken keresztülI=U/R föld=220/"5,92="3,82 A lesz. A háztartásokban használt olvadóbiztosítékok gyakran "6 A-os vagy még nagyobb áramer !sségekre reagálnak, tehát a földelés nem minden esetben nyújt

biztonságos védelmet az áramütést!l, amit igencsak szem el!tt kell tartanunk.

3.4.4.1. A lépésfeszültség

Esetenként a földelésen keresztül igen nagy áramok folyhatnak. Több ezer amper nagyságrend#ek (villámcsapás alkalmával, illetve a magas feszültség# távvezetékek földzárlatakor ) is lehetnek ezek az áramok. Ha a közeg (a talaj), amelyben a földelés van rosszvezet! (száraz talaj) a villamos tér értéke a földelés közelében igen nagy értékeket vehet fel.Ennek eredményeként a feszültség a talaj két pontja között a földeléstest körül igen nagy, s !tnéha életveszélyes értékeket érhet el.

A földelés közelében lépéstávolságra, d távolságra sugárirányban (kb. 0,75 m)elhelyezked! két pont közötti potenciálkülönbséget lépésfeszültségnek nevezzük. Alépésfeszültség értéke függ a földelés fajtájától, a rajta áthaladó áramer !sségt!l és akörnyezetében lév! talaj fajlagos ellenállásától.

Természetesen a lépésfeszültség legnagyobb lehetséges értéke fontos jellemz! je aföldelésnek, ezért a lépésfeszültség alatt legtöbbször a lépésfeszültség legnagyobb értékét értjük az adott földelésre:

)(2

""

22 2 d aa

d I

d aa

I dr

r V V

d a

a

d aa +⋅⋅⋅⋅⋅

=

+−⋅

⋅⋅

=⋅⋅⋅

Ι⋅=− ∫

+

+π

ρ

π

ρ

π ρ

3.10. Példa: A lépésfeszültség, mint már mondottuk, egyes esetekben igen nagy értékeket vehetfel. Szemléltetésképpen most határozzuk meg a lépésfeszültség értékét egy félgömb alakúföldeléstest esetére. Legyen ρ="02 (nedves talaj), továbbá a="m, a lépéshossz d=0,75m és azáram er !ssége I="250 A (ami megközelít!leg egy 20 kV-os magasfeszültség# hálózat földzárlatiáramának felel meg). Ekkor a lépésfeszültség értéke:

Ulép( ) ( )

[ ]= ⋅⋅

++

=

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ +

= ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ +

=ρ

πρ

πI

a a d

d

a a d2

1 1

2

10 1250 075

2 314 1 1 0758526

2Ι ,

, , V

Amint látható, ez igen nagy érték.



3.5. Joule törvénye

Joule törvénye alatt azt a kifejezést értjük, amelynek segítségével az adott ellenálláson egymeghatározott id!egység alatt h!vé átalakuló villamos energia értékét kiszámítjuk.

Vegyünk egy tetsz!leges ellenállást, amelynek értéke R, tételezzük fel, hogy azellenálláson keresztül I er !sség# egyenáram folyik keresztül és a kapcsai közötti feszültség

értéke U.A t id! alatt az R ellenálláson áthaladó villamos töltés mennyisége Q=I·· t értéket tesz ki.

Ezeket a töltéseket a villamos er !k “vitték át“ az ellenálláson keresztül munkát végezve ezzel,miközben a munkát a villamos tér energiájának „számlájára” (rovására) végezték el, és ez azenergiamennyisége az ellenálláson h!vé alakult:

A vill. er !k =Q U I t

Az energiamegmaradás törvényének értelmében az ellenálláson h!vé alakult energiamennyisége éppen ezzel a munkával egyenl!.

W U t R t UR

t= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅Ι Ι 2

2

A t id! alatt az R ellenállásban h!vé alakult villamos energia mennyiségének megállapításáhozhasználatos fenti összefüggést JOULE törvényének nevezzük.

Mivel egyenáramokról van szó, az energiaátalakulás folyamata állandó (folytonos), ezértátosztva az id!velaz átalakulás teljesítményét kapjuk:

P U RU

R= ⋅ = ⋅ =Ι Ι 2

2

Az ellenállásban h!vé alakuló villamos energia teljesítményének számításához szolgáló fentikifejezést ugyancsak JOULE törvényének nevezik.

Igen gyakran az ellenálláson h!vé alakuló villamos energia teljesítményét röviden csak afogyasztó (ez esetben az ellenállás) teljesítményének nevezzük.

Az energia jele:W, mértékegysége pedig a joule, melynek jele: J. A joule nem más, mintwatt-szekundum [Ws]

A teljesítmény jele: P, mértékegysége a watt, melynek jele: W. A watt viszont J/s.Az energiát nemcsak joule-okban fejezik ki, mint például az elhasznált elektromos energia

elszámolásánál, ahol az energiát kWh (kilówattórákban) fejezik ki. Ennek az egységnek a joule-hoz való viszonya:

[ ] [ ] [ ]1 3 6KWh = 1000 3600 W s 10 J6⋅ ⋅ = ⋅, .

A h!mennyiség (h!energia) mérésére gyakran használt mértékegység a kalória [cal]. Ameghatározás szerint a kalória az a h!mennyiség, amely egy gramm víz h!mérsékletét "

0C-al("4,5 0C −ról "5,5 0C −ra) emeli. Kisérletileg megállapították, hogy:

" [cal] = 4,"86 [J ],vagy megfordítva:

" [J ] = 0,239 [cal ].

3.11. Példa: Határozzuk meg, hogy milyen hosszú krómnikkel huzalok szükségesek az "500[W],"000[W] és 500[W] teljesítmény# f #t!testek elkészítéséhez. A f #t!testeket U=220[V]

l k d ik d k h l ll d lk k



munkah!mérséklete pedig 850 [0C]. Milyen teljesítmény# f #t!testeket kaphatunk e háromf #t!test soros-, párhuzamos- és vegyes kapcsolásával (természetresen ezeket a különböz!

kapcsolásokat is U=220[V] feszültségen tervezik m#ködtetni) ?

Megoldás: A keresett huzalhossz a következ! módon számítható ki:

a P"="500[W] teljesítmény# f #t!test esetében:

[ ]

[ ][ ]

[ ]

[ ][ ] [ ]

P U IP

U

U I RU

I

W

VA

V

A

1 1

1

1 1 1

1

1500

2206 82

220

6 8232258 32

= ⋅ ⇒ = = =

= ⋅ ⇒ = = = ≈

I

R

,

,, Ω Ω

( ) [ ] [ ] [ ]

[ ]

ρ ρ α850 0

8 7 1

0

8 8

1 137 10 1 2 10 850

13702 10 137 10

0= ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

=

= ⋅ ≈ ⋅

− −

− −

t mC

C

m

Ω

Ω

,

[ ]( ) [ ]

[ ] [ ]R

SS

R m

mm1 850

1

1

1

850

32

8

06 10

4314

32

137 1066= ⋅ ⇒ = ⋅ =

⋅⋅ ⋅

⋅ =

−

−ρρ

!!

,, ,

Ω

Ω

a P"="000[W] teljesítmény# f #t!test esetében:

[ ][ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

IP

U

RU

I

W

VA

V

A

22

2

2

1000

2204545

220

4545484

= = =

= = =

,

,, Ω

[ ]( ) [ ]

[ ] [ ] [ ]!

2

2

850

32

8

06 10

4314

484

137 10998 10= ⋅ =

⋅⋅ ⋅

⋅ = ≈

−

−SR m

mm m

ρ

,,

,,

Ω

Ω

a P"=500[W] teljesítmény# f #t!test esetében:

[ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ] [ ]

IP

U

RU

I

W

VA

V

A

3

3

3

3

500

220227

220

22796 92 97

= = =

= = = ≈

,

,, Ω Ω

[ ]( ) [ ][ ]

[ ]!3

3

850

32

806 10

4314 97

137 1020= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

⋅ =

−

−S R m

mm

ρ, , Ω

Ω



Ha mindhárom melegít!test szerepel a kapcsolásokban, akkor a következ! esetek fordulnak el!:

A f #t!testek párhuzamos kapcsolása

[ ]RR R R

R R R R R Ru =

⋅ ⋅⋅ + ⋅ + ⋅

= ≅1 2 3

1 2 1 3 2 3

16072 16, Ω , az ennek megfelel! Pu teljesítmény

[ ]

[ ] [ ]P

U

Ru

VW= = =

2 220

163025

Ω

A f #t!testek soros kapcsolása

[ ]R R R Ru = + + =

1 2 31774, Ω , ez esetben a teljesítmény

[ ]

[ ] [ ]P

U

Ru

u

VW= = = ≅

2 2220

1774272829 273

,,

Ω

A f #t!testek vegyes kapcsolása

a)

( )[ ]R R R

R R R R R

R Ru = + =

⋅ + ⋅ +

+ =

12 3

1 2 3 1 2

1 2

11626, Ω , a teljesítmény pedig

R 3

R 2

R "

U

Az ered! ellenállás meghatározásával

R u

U

R " R 2 R 3 R uAz ered! ellenállás meghatározásával

U U

R 3R 2

R "R u

U U



[ ]

[ ] [ ]P

U

R

VW

u

u

= = =2 2

220

116264163

,,

Ω b)

( )[ ]Ω=

++⋅+⋅

= 46,723"

3"23"

R R

R R R R R R

u, az ennek megfelel! teljesítmény

[ ]PU

Ru

W= = ≅2

66795 668,

c)

( )

[ ]Ω=+

+⋅+⋅

= "

3,29032

32"32

R R

R R R R R

Ru , a teljesítmény itt

[ ]PU

Ru

W= = ≅2

16682 167, .

Még három kombináció hiányzik a három f #t!testet tartalmazó vegyes kapcsolások halmazából!Melyek ezek a kapcsolások ?Gyakorlásképpen kiszámíthatók még az ellenállások és a teljesítmények azokra az esetekre is,amikor a három f #t!test közül csak kett!t kapcsolunk sorosan illetve párhuzamosan!

3.6. Villamos generátorok

Az id! ben állandó áramok fenntartásához (a vezet!kben) elengedhetetlenül szükséges egyküls!, idegen, nem villamos er ! jelenléte, amely a töltéseket szétválasztja, és a villamos er !hatásával ellentétes irányban mozgatja. El!ször analizáljunk egy generátort, amely mintközvetlen átalakító m#ködik, h!energiát alakít át villamos energiává. E generátor hatásfokamindössze néhány század százalék, ezért a gyakorlatban igen ritkán alkalmazzuk, de az idegen(nem villamos) er !k hatását ezen a példán jól érzékelhetjük.

Ha egy fémvezet!t hevítünk, a szabad elektronok termikus sebessége megnövekszik, és

egy bizonyos h!mérsékleten az elektronok átlagsebessége annyira megnövekszik, hogy képesek legy!zni az !ket az anyaghoz köt! villamos er !ket. Tehét az elektronok elhagyják a fémet

R 3

R 2

R "R u

U U

R 3

R 2R "

R u

U U



(termikus elektronemisszió). Az elektronok sebessége a fém elhagyásakor függ a fém fajtájátólés a h!mérséklett!l.

Nézzünk most egy vákuumdiódát, amelynél a katód hevítésekor termikus elekronemissziókezd!dött. Ennek következtében az elektronok fokozatosan elhagyják a katódot, és közülük egy

bizonyos számú elektron az anódra jut. Ezáltal az anódon negatív, a katódon pedig pozitívtöltésfelesleg halmozódik fel.

3."7. ábra.

A felhalmozódott töltésfelesleg természetesen villamos teret létesít, amely akadályozza azelektronok áramlását az anódra. Az elektronok átvándorlása az anódra csak akkor sz#nik meg,mikor az elektronok átjutásához szükséges munka kiegyenlít!dik az elektronok kinetikus

energiájával. ( "/2mv2= eU )Ekkor tehát az elektronoknak a katódról az anódra való átjutásához szükséges

energiamennyiség pontosan megegyezik a fémb!l kilép! elektronok kinetikus energiájával.Ha az anódot és a katódot egy vezet!vel összekötjük, akkor a vezet!n át áram folyik.

Ezáltal csökken az anód és a katód töltése, a villamos tér legyengül és az elektronok kezd!sebessége ismét elegend! lesz arra, hogy az anódra jussanak (a jelenlév! villamosfékez!er ! ellenére is) A beállt egyensúlyi helyzet után, az elektronok száma amelyek a akatódról az anódra jutnak a vákumon keresztül, megegyezik az elektronoknak a vezet!nkeresztül a katódra visszatér ! számával.

Ebben az esetben tehetetlenségi er ! az az idegen, nem villamos er !, amely a töltéseket avillamos térel szemben mozgatja. Ennél a generátornál az idegen er ! az elektródák közötti

útszakasz teljes hosszán hat az elektronokra (ez nem mindegyik generátortípusnál van így)." "F e Ee = − ⋅

" "F m ai. = − ⋅

Newton törvénye értelmében a két er ! vektoriális összege minden pillanatban nullávalegyenl!, ezért felírhatjuk, hogy:

"F ösz. = + = − ⋅ − ⋅ =

" " " "F F e E m ae i. 0

"F ösz = − ⋅−

+−

= − ⋅ + ⋅

=e F

eF

ee E m a

ee i

" "

"

"

.0



Az ma/e kifejezésnek ugyanaz a mértékegysége, mint a villamos térer !sségnek, de ez nemvillamos térer !sség, hanem egy idegen küls! er !t!l ered! tér er !ssége. Az idegen er ! értékét úgykapjuk meg, hogy ezt az idegen térer !sséget megszorozzuk az elektron töltésével. Ez ameghatározás azonos a villamos térer !sség definíciójával, ezért is kapta az idegen térer !sségvektora (idegen- vagy generátortér) elnevezést.

"

"

EF

Qi

i

.

.=

Elemezzük most a kémiai áramforrások (generátorok) galvánelemek és akumulátorok m#ködési elvét. Nézzük meg, hogy mi fog történni, ha egy vezet!t az elektrolitba süllyesztünk.Mint tudjuk az oldatban pozitív és negatív ionok vannak jelen. Ha a jelenlév ! ionok közül egyik fajta sem reagál kémiailag a vezet! (elektróda) anyagával, semmi sem fog történni, de ha azelektróda anyaga kémiailag reagál az oldatban jelenlév! ionokkal, akkor egy új molekulakeletkezik. Az elektróda és az elektróda felülete mellett az elektrolitnak egy vékony rétegefeltöld!dik ellentétes töltéshordozókkal. A töltéshordozók fajtája az elektródán és az oldatban az

oldat és az elektróda anyagától függ. Rövid id! után a villamos er !k, amelyek az elektródán és azoldatban felhalmozódott töltésekt!l erednek, megakadályozzák az ionokat, hogy az elektródafelületével érintkezzenek és így a folyamat leáll.

Két azonos anyagból készült elektróda ugyanabban az oldatban azonos fajtájútöltéshordozókkal tölt!dik fel.

Ha a másik elektróda más anyagból készült mint az els!, akkor az, az oldathoz viszonyítvamás potenciálon lesz, mint az el!z! elektróda. Függetlenül attól, hogy ez a másik elektródakémiailag reagál-e vagy sem az elektrolittal. Ha most a két elektródát egy vezet!vel összekötjük,az így zárt áramkörön keresztül megindul a villamos áram. Tehát két különböz! anyagúelektróda ugyanabba az oldatba süllyesztve, úgy viselkedik, mint egy áramforrás (villamosgenerátor).

Ennél a generátornál az idegen, nem villamos er !k, illetve a töltésekre ható szétválasztóer !k, (amelyek nem a villamos tért!l erednek) a kémiai köt!er !k. Ezek a kémiai köt!er !k csak az elektróda és az elektrolit érintkezési felületén hatnak. Ezek az er !k az oldatban lév! ionokat ésaz elektróda anyagának atomjait igyekeznek egy új vegyületté összekapcsolni.

Valamennyi kémiai generátor a fenti elv alapján m#ködik. A kémiai köt!er !k csak meghatározott helyen ( az elektróda felszínén ) hatnak.

3.6.1. A FESZÜLTSÉGGENERÁTOR FORRÁSFESZÜLTSÉGE ÉS BELS!ELLENÁLLÁSA

Az el!z!ekben a galvánelem felépítését és m#ködését írtuk le. Ez a fajta áramforrás (vagyvillamosenergia-forrás) rendelkezik azzal a jó tulajdonsággal, amivel a hálózati feszültség is: jóközelítéssel a terhelést!l függetlenül “tartja” a feszültségét. Az ilyen áramforrásokatfeszültséggenerátoroknak nevezzük. A generátorok alkalmazásának szemszögéb!l nézve,lényegtelen az idegen töltésmozgató er !k természete és eredete, amelyek a generátorokban avillamos töltésekre hatnak. A feszültséggenerátorokat két mennyiség segítségével

jellemezhetjük: a generátor forrásfeszültségével (elektromotoros er !vel) és a bels! ellenállásal.Vegyünk most egy “nyitott kapcsú“ (üresjáratú) feszültséggenerátort (3."8. ábra). Az

idegen (nem elektromos, küls! er !k által létrehozott) tér irányát a felfelé mutató nyíl jelzi. Az

idegen tér hatására a pozitív töltéshordozók a P elektródán halmozódnak fel, a negatívtöltéshordozók pedig az N-el jel!lt elektródára jutnak.



A felhalmozódott töltések villamos terét a lefelé irányuló nyíl szemlélteti. A pólusok feltöltése (töltési folyamata) akkor szünik meg, amikor a villamos er !k hatása kiegyenlít!dik azidegen, töltésszétválasztó er !k hatásával:

" "F Fi e. + = 0 és mivel a definíció szerint,

" "F Q Ee = ⋅ , az"

"F Q Ei i= ⋅ ekkor felírhatjuk a következ! egyenletet:

" "E Ei+ = 0 , amely érvényes az üresjáratú generátor minden pontjában ahol idegen er !k

hatnak.

3."8. ábra.

A generátor forrásfeszültsége a definíció szerint a töltésszétválasztó er !k által végzettmunka, és a ∆Q töltésmennyiség hányadosával egyenl!. A töltésszétválasztó er !k, az el!z!

mondatban említett munkát akkor fejtik ki, amikor a ∆Q töltésmennyiséget a generátorban anegatív pólusról a pozitív pólusra viszik át, vagyis:

az idegen er !k által kifejtett munka, amellyel a +∆QE= töltésmennyiséget, a generátorban, a negatív pólusról a pozitív pólusra juttatják ∆Q

A töltésszétválasztó er !k (Fi) által végzett munka az Fi vektor vonallintegráljával egyenl! az Nés P elektródák között, és mivel Fi=∆QEi:

E E diN

P

= ⋅∫

" "!

A töltésszétválasztó, idegen er !k nagysága a definíció szerint nem függ a generátor elektródáin (pólusain) lév! töltésmennyiségt!l, sem a generátoron áthaladó áramer !sségét!l.Ezért a generátor elektromotoros erejét (forrásfeszültségét) számíthatjuk a generátor bármilyenüzemmódjára, tehát az üresjáratra is:

E E d E d E d E d V VN

P

P

N

P

R

P

R

N

N= − ⋅ = ⋅ = ⋅ + ⋅ = −∫ ∫ ∫ ∫ " "

!" "

!" "

!" "

!

és a kifejezés értéke független az integrálás útvonalától.



Az integrálást a “generátoron kív#li úton“ is el lehet végezni a környez! dielektrikumon át.Mivel E=Vp-Vn, tehát a generátor forrásfeszültsége (elektromotoros ereje) egyenl! az üresjáratúgenerátor pozitív és negatív elektródái közötti potenciálkülönbséggel, illetve feszültséggel.

A gyakorlatban tehát a generátor forrásfeszültségét igen egyszer #en megmérhetjük, hiszenelég ha megmérjük a generátor üresjárási kapocsfeszültségét.

Az elektromotoros er ! skaláris mennyiség és nincs iránya. Mégis bevezetjük a generátor

forrásfeszültségének irányának fogalmát, és alatta a töltésszétválasztó er !k által, a generátor belsejében a pozitív töltésekre kifejtett er ! irányát értjük. Ez az irány az “N” kivezetést!l a “P”kivezetés felé mutat.

A generátorban ható idegen er !k munkája a ∆Q töltésmennyiségnek az “N“ elektródáról a“P“ elektródára történ! átvitelekor:

∆Ag=∆Q⋅E

Mivel, az id! ben állandó áram er !ssége I, és az áram valós iránya a generátorban a negatívelektrodától a pozitív elektroda felé mutat, akkor ∆Q=I∆t, ahol ∆t, az az id!tartam, amely alatt agenerátoron áthalad a ∆Q töltésmennyiség. Így a generátor által végzett munka a ∆t id!tartamalatt:

∆Ag=E⋅I⋅∆t

Ez alapján a feszültséggenerátor teljesítménye:

Pg=∆Ag/∆t=EI

Ez a teljesítmény lényegében annak az energiaátalakulásnak a sebessége, amellyel agenerátor a rendelkezésére álló idegen, nem villamos eredet# energiát a villamos tér energiájává

alakítja át. Meg kell jegyezni, hogy ez a képlet csak akkor érvényes, az áram referenciairánya agenerátor pozitív kapcsából (kivezetéséb!l) “kifelé“ mutat.Mivel a generátoron áram folyik keresztül, így a villamos energiának egy része, ugyanúgy

mint bármely más ellenállás esetében, h!vé alakul át. A Joule-féle h!veszteség teljesítménye azáram értékének a négyzetével arányos. A generátor bels! ellenállását pedig a következ!

egyenletb!l határozhatjuk meg:

P j a gen.=Rg⋅I2

A generátor bels! ellenállását sok esetben nem lehet kiszámítani, mert a számításhozismernünk kell a pontos árameloszlást, és a fajlagos ellenállás pontos értékét az egész útvonal

mentén a generátor minden pontjában. Ez legtöbbször ismeretlen, de a feszültséggenerátor bels!ellenállása aránylag könnyen megmérhet!, ahogy azt a kés! bbiekben látni fogjuk.

3.6.2. A GENERÁTOR KAPOCSFESZÜLTSÉGE

Az elhanyagolható bels! ellenállású feszültséggenerátor (ideális feszültséggenerátor)esetében az áramer !sség I=E/R, a feszültség értéke pedig a generátor, és az ellenállás végpontjaiközött is UR =RI=E.

Az ideális feszültséggenerátor kapocsfeszültsége mindíg állandó és egyenl! a generátor elektromotoros erejével (forrásfeszültségével).



3."9. ábra.

UAB=VA —VB=+E

UBA=VB —VA=-E

Nézzünk most egy valós feszültséggenerátort, mégpedig két esetben: az els! ben az ágbanfolyó áram iránya megegyezik a forrásfeszültség irányával, a másodikban pedig ellentétes vele.Írjuk fel most a kifejezéseket a generátor kapcsain mérhet! feszültségre (az A és B pontok

között), mégpedig mind az UAB, mind az UBA feszültséget, el! bb az els! (a kép bal oldalánelhelyezked!), majd a második esetre is!

3.20. ábra.

( ) ( )U V V V V V V U U R I E

U U U E R I

AB A B A C C B AC CB g

BA BC CA g

= − = − + − = + = − ⋅ +

= + = − + ⋅

U U U R I E

U U U E R I

AB AC CB g

BA BC CA g

= + = ⋅ +

= + = − − ⋅

A fenti egyenletekben a generátoron keresztülfolyó áram algebrai értékét I-vel jelöltük, areferenciairányok a 24. ábrán láthatók. I értéke lehet úgy pozitív mint negatív ezekhez a

referenciairányokhoz viszonyítva.



3.7. Áramer"sség és feszültség az áramkörben

3.7.1. AZ ÁRAMER !SSÉG MEGHATÁROZÁSA AZ EGY GENERÁTORBÓLÉS EGY ELLENÁLLÁSBÓL ÁLLÓ ÁRAMKÖRBEN

A generátornak és az ellenállásnak a 20. ábrán látható kapcsolását áramkörnek nevezzük.Tételezzük fel, hogy a feszültséggenerátor forrásfeszültsége E, bels! ellenállása R g, a rákapcsoltfogyasztó pedig R ellenállású. Az áramkörben ismeretlen er !sség# áram folyik. Az áramer !sségét a következ! módon határozhatjuk meg. Tételezzük fel, hogy az áram er !ssége I, akkor a generátor teljesítménye Pg=EI a Joule-féle h!veszteség teljesítménye pedig P jg=R gI

2 és P jf =RI2.

3.2". ábra.

Az energiamegmaradás törvénye értelmében a generátor teljesítménye egyenl! a Joule-féle

h!veszteségek teljesítményeinek az összegével:

22gR =E Ι⋅+Ι⋅Ι⋅ R

ebb!l az I −vel való egyszer #sítés után:

R R

E

g +=Ι .

Ha a küls! ellenállás értéke R=0, akkor rövidre zárt generátor esetével állunk szemben:

Irövidzárlat =E

Rg

Rg = Uüresjárat

Irövidzárlat

A fenti kifejezés alapján állapítható meg a generátor bels! ellenállása a lemért üresjáratifeszültségb!l (forrásfeszültségb!l) és rövidzárlati áramból. Ez a generátor bels! ellenállásának ameghatározására a legegyszer # bb módszer, viszont nem a legszerencsésebb is, mert sokszor lehetetlen a rövidzárlat körülményeit a mérés id!tartalmára a generátorban fenntartani anélkül,hogy a generátor meg ne károsodna. Sokkal kedvez! bb módszer, ha a generátor pólusaira(kapcsaira) egy ismert érték # ellenállást kötünk és megmérjük az áramkörben folyó áram

er !sségét. A generátor bels! ellenállását ezután a fent ismertetett képlet segítségével számítjuk ki.



A feszültséggenerátor belsejében az a térrész, amelyben a villamos energia h!vé alakul,legalább részben egybeesik azzal a térséggel, ahol az idegen, töltésszétválasztó er !k hatnak.Tehát a generátor bels! ellenállása a valóságban is magában a generátorban helyezkedik el. Azegyszer #ség kedvéért azonban a feszültséggenerátort egy ideális (bels! ellenállás nélküli)feszültséggenerátor és egy R g bels! ellenállás soros kapcsolásának tekinthetjük ( ahogy azt a3.22. ábra mutatja). Egyéb jelölésmódok a 3.23. ábrán láthatók.

3.22. ábra.

3.23. ábra.

3.12. Példa: A maximális teljesítményleadás feltétele (teljesítményillesztés). A generátorrakapcsolt R x ellenállás mely értékére lesz az R x ellenálláson a Joule-féle h!veszteség értéke alegnagyobb?

Megoldás: Mivel az áram er !ssége a fent lert egyszer # körben:

Ι =+E

R R g x ,

a Joule-féle h!veszteség értéke az R x ellenálláson az ellenállás értékének a függvénye:

( )P R I E

R

R R R x

x

g x

x = ⋅ = ⋅

+

2 22 .

A teljesítmény legnagyobb értékét úgy kapjuk meg, hogy megkeressük ateljesítményfüggvény (az R x-nek a függvénye) maximumát. A maximumfeltételben ugyancsak szerepel az R x ismeretlen ellenállás, amelynek a kifejezése már nem jelent komolyabb gondot,amit a következ! rövid levezetésb!l is látni lehet.

A függvény extremitásának feltétele:





Az utolsó kifejezésb!l számítva az áramer !sséget a következ!ket kapjuk:

32"

32"

32"

R R R R R R

E E E I

ggg ++++++−

=

Ezek alapján általánosan felírható, hogy az áramer !sség milyen képlettel is számítható:

∑∑±= R E I

Amennyiben az áram feltételezett referenciairánya és az elektromotoros er ! irányamegegyeznek, az E el!tt a pozitív algebrai el! jel érvényes, ellenkez! esetben pedig a negatív.

Ha az áram valós iránya és a felvett referenciairány megegyeznek, (lásd a 25. ábrát) akkor a 2−es számú generátorban (E2 jelöléssel a képen) az áram iránya és az elektromotoros er ! irányaellentétesek (a generátor fogyasztóként m#ködik). Benne a töltéshordozók az idegentöltésszétválasztó er !kkel szemben mozognak. Ezért a villamos tér energiája ebben agenerátorban az idegen töltésszétválasztó er !k “leküzdésére“ használódik el. Így egy más fajtaenergiává (nem szükségszer #en h!energiává) alakul át. Hogy a fogyasztóként m#köd!

feszültséggenerátor milyen energiává alakítja a villamos tér energiáját, az a generátor fajtájátólfügg (pl. az akkumulátorokban a villamos energia kémiai energiává alakul át, a forgógenerátorokban a villamos energia mechanikai energiává alakul át, illetve ez esetben a generátor,mint villanymotor m#ködik).

3.7.3. FESZÜLTSÉG ÉS POTENCIÁL AZ ÁRAMKÖRBEN

Azt már láttuk hogyan lehet a feszültséget kiszámítani a generátor és az ellenállás pólusaiközött. Most megismerkedünk azokkal a kifejezésekkel, amelyek segítségével egy áramkör

bármely két pontja között ki lehet számítani a feszültséget, illetve bármely pont potenciálját meglehet határozni a kiválasztott, vonatkoztatási vagy alapponthoz viszonyítva.

A feszültség értéke az áramkör bármely két pontja között, egyenl! a pontok között lév!

ellenállások és generátorok kivezetései ill. pólusai között lév! feszültségek algebrai összegével.Magától értet!d!, hogy ennek a feszültségnek az értéke nem függ (nem függhet) az úttól,

amelyen át számítjuk, mert mint már említettük, a stacionáris áramlási tér ugyanolyantulajdonságú, mint az elektrosztatikus tér.

Fejezzük ki a C és G pontok közötti feszültséget mind a két lehetséges módon: el!ször a C- b!l a D, E és F ponton keresztül haladva a G pont felé, majd pedig a B és A érintésével eljutva aC-b!l a G-be.

R g" R 3R 2

E"

E3

E2

R g2

R g3R 4

R "

FG

AB C

D

+

+

+

I

E

3.25. ábra.



U U U U U R I E R I R I E R I

U U U U R I E R I R I

cg cd de ef fg g g

cg cb ba ag g

= + + + = ⋅ + + ⋅ + ⋅ − + ⋅

= + + = − ⋅ + − ⋅ − ⋅3 2 3 4

2 " "

2 3

"

A feszültség számításakor három fontos irányra kell figyelnünk. Az elektromotoros er !(forrásfeszültség) irányára, az áram referenciairányára és az áramkör körüljárási irányára (azt az

irányt értjük alatta, amely irányba haladva eljutunk az egyik pontból a másikba).Ha a számításkor az áram referenciairánya és a körüljárási irány megegyeznek, akkor az RIszorzatot pozitív el! jellel vesszük számba, ha viszont az áram referenciairánya és a körüljárásiirány ellentétesek, akkor az RI szorzat el! jele negatív. Az elektromotoros er ! el! jele pozitív, haaz iránya a körüljárási iránnyal ellentétes, és negatív el! jel#, ha az iránya és a körüljárási iránymegegyeznek.

A kifejezés könnyebb megjegyzése céljából az összes elektromotoros er ! elé negatível! jelet teszünk, és ezután az elektromotoros er !t pozitív el! jellel látjuk el, ha a forrásfeszültségiránya és az áramkör körüljárási iránya megegyeznek, illetve negatív el! jellel, ha különböznek.

( )U R I E A B = ⋅ − ∑∑ A-tól B-ig

Ebben a kifejezésben, a körüljárási irányt A-tól B-felé vesszük és amennyiben az áramreferenciairánya illetve az elektromotoros er ! iránya megegyezik a körüljárási iránnyal, akkor azRI szorzatok és az E-k értékét pozitív algebrai el! jellel vesszük számba.

Sok esetben a hálózatok elemzésekor az UAB feszültséget nem az A pontból a B pont feléhaladva számítjuk, hanem fordítva, a B pontból haladunk az A pont felé. Ez esetben a fentiképletben a tényez!k el! jelet váltanak.

( )U E R I A B = − ⋅∑∑ a B-t!l az A-ig

A két pont közötti feszültség mellett, az áramkörben bármely pont potenciálját ismeghatározhatjuk. Az adott pont potenciáljának kiszámításához szükség van egy kiválasztottalappontra (vonatkoztatási pontra vagy referenciapontra). A kiválasztott pont potenciálértékét akiválsztott pont és az alappont közötti feszültség kiszámításával kapjuk meg:

( )V R I E A = ⋅ −∑ ∑ A-tól R-ig,

vagy pedig:

( )V A = − ⋅∑ ∑E R I R-t!l A-ig.

3.8. A villamos hálózatok és Kirchhoff második törvénye

3.8.1. RÖVIDEN A VILLAMOS HÁLÓZATOKRÓL

Eddig csak a generátorok és ellenállások soros kapcsolását elemeztük amit egyszer #áramkörnek nevezünk. A gyakorlatban sokkal nagyobb jelent!séggel bír a generátorok ésellenállások összetett kapcsolási módja, ahogy azt az 3.26. ábra is mutatja. Az ilyen összetettkapcsolási módot villamos hálózatnak esetleg összetett áramkörnek nevezzük. Ha a villamos

hálózat áramforrásokat (generátorokat) tartalmaz, úgy aktív hálózatról beszélünk. Ha viszont avillamos hálózatban nincs áramforrás, akkor passzív hálózattal állunk szembe.



E"

R "

+

+R 3

E3

R 4R 2

21

0

Ig

3.26. ábra

A hálózat lineáris, ha csak lineáris elemeket (kétpólusokat) tartalmaz, a nem lineárishálózatok legalább egy nem lineáris elemet kell, hogy tartalmazzanak. Csomópontnak ahálózatnak azt a pontját nevezik, ahol legalább két vagy több vezet! összekapcsolódik. Mi,

csomópontnak azokat a pontokat fogjuk tekinteni, ahol legalább három vezet! kapcsolódik össze. A hálózat azon részét, amely kétpólusokat (ellenállást vagy áramforrást) tartalmaz a kétszomszédos csomópont között, a hálózat ágának nevezzük.

3.8.2. KIRCHHOFF MÁSODIK TÖRVÉNYE

Ha a hálózat ágaiban egyenáram folyik, akkor a villamos tér, ahogy azt már említettük,ugyanolyan tulajdonsággal bír, mint az elektrosztatikus villamos tér. Tehát a villamos térer !sségvektorának vonalintegrálja egy tetsz!leges zárt vonal mentén, (amely most a villamos hálózat

ágait követi) nullával egyenl!." "

!E dC

⋅ =∫ 0

Ez az egyenlet Kirchhoff második törvényének általános alakja (integrálalakja). A villamoshálózatok esetében a törvényben szerepl! zárt vonalakat, amelyeket a hálózat ágai képeznek hurkoknak nevezzük. A hálózatelméletben megszokott eljárás, hogy a Kirchhoff második törvényében az integrálalak helyett kifejezzük az ágakban elhelyezked! ellenállások ésgenerátorok pólusai közötti feszültségeket. Az így kapott egyenletet Kirchhoff második vagyhuroktörvénye törvénye néven ismeretes.

E R I− ⋅ =∑∑ 0

Természetesen az E és RI kifejezések el! jele pozitív, ha az elektromotoros er !, illetve azáram referenciairánya megegyezik a hurok körüljárási irányával, ellenkez! esetben pedig azel! jel negatív.

Kirchhoff els! (csomóponti) és második (hurok) törvénye a hálózatelemzés alapjaitképezik, és rájuk épül sok más, a gyakorlati hálózatelemzésben igen hasznos és használatoseljárás és tétel is.



3.9. Áramgenerátorok

Többféle olyan áramforrás létezik, amelyeknek az a közös tulajdonságuk, hogy a rajtuk átfolyó áram er !ssége, (illetve az általuk szolgáltatott áram er !ssége) nem függ a pólusaikrakapcsolt ellenállás értékét!l, ha az a bizonyos pólusokra kapcsolt ellenállás értéke egy el!remeghatározott határértékek között mozog.

IE

R R

E

R I

g g=

+ ≅ = 0

Ha most feltételezzük, hogy Rg >> R, akkor az I áram gyakorlatilag független az R ellenállás értékét!l. Az ilyen áramforrás (generátor) az adott R ellenállásra nézve úgy viselkedik,mint egy állandó áramer !sség# generátor. Az ilyen áramforrást ideális áramgenerátornak nevezzük.

R R

R g >> R

+

R g

E

I = Is

Is

3.27. ábra.

A villamos hálózatnak abban az ágában, amelyben ideális áramgenerátor van, az áramer !ssége mindig egyenl! a generátor áramával, függetlenül a vele sorba kötött ellenállások, vagyfeszültséggenerátorok értékeit!l.

Az áramgenerátor teljesítménye egyenl! a generátor áramának és a pólusain lév!

feszültségnek a szorzatával. A generátor feszültsége függ a generátor bekötési módjától ésminden egyes áramgenerátorra külön kell meghatározni (Kirchhoff második törvénye alapján).

Az ideális feszültség- és áramgenerátor között nincs és nem is lehet egyenérték #ség(ekvivalencia) mert, a meghatározás szerint lényegbeli eltérés van közöttük. Az ideálisfeszültséggenerátor a definíció értelmében állandó feszültségkülönbséget tart fenn a pólusaiközött, függetlenül a rajta áthaladó áramer !sségt!l. Az ideális áramgenerátoron, viszont, mindigállandó áram folyik keresztül, függetlenül a pólusai közötti feszültségkülönbségt!l.

A valós feszültséggenerátor kapocsfeszültségének áramfügg!ségét egy ideálisfeszültséggenerátor és egy ellenállás (a valós feszültséggenerátor bels! ellenállása) soroskapcsolásával szemléltettük. A valós áramgenerátor árama bizonyos mértékben függ a generátor

pólusaira kapcsolt feszültségt!l, ezért a valós áramgenerátort egy ideális áramgenerátor és egyellenállás párhuzamos kötéseként ábrázoljuk.

A következ!kben azt bizonyítjuk majd, hogy mindig található egy olyan valósáramgenerátor, amely egyenérték # egy adott valós feszültséggenerátorral. Az egyenérték #ségalatt ez esetben azt értjük, hogy egy tetsz!leges ellenállású fogyasztón, akár az áram-, akár afeszültséggenerátorra kapcsoljuk, ugyanaz az áram folyik keresztül illetve ugyanakkora lesz afeszültség is a végpontjai között.

A feszültséggenerátor árama:

IE

R R=

+.



A feszültség értéke az áramgenerátor pólusai között viszont:

U = Iá⋅R R

R R

a

a

⋅+

.

Az áram er !ssége az R ellenálláson keresztül:

IU

R

I R

R Ra a

a

= = ⋅+

Az el! bbi kifejezések alapján, a valós feszültséggenerátorral egyenérték # valósáramgenerátor tényez!inek az értékei:

R á = R g és Iá =E

Rg

= Gg⋅E

A valós áramgenerátor modelljeként egy ideális áramgenerátor és egy ellenállás (amely avalós áramgenerátor bels! ellenállását képezi) párhuzamos kapcsolását fogadtuk el. E modellszerint, még ha az áramgenerátor pólusai nyitottak is, a generátor bels! ellenállásán (Rá)keresztül áram folyik. Így tehát, az elfogadott modell alapján, a villamos energia h!vé alakulásafolyamatosan történik, függetlenül attól, hogy a valós áramgenerátor áramkörbe van-e kapcsolvavagy sem. Ez azonban csak a valós áramgenerátor elfogadott modelljének a következménye és avalóságban nem jellemzi a valós áramgenerátort.

3.13. Példa: Számítsuk ki az R " és R 2ellenállásokon keresztülfolyó áram er !sségét azalábbi kép alapján. Mekkora a számértéke azáramer !sségeknek, ha E=20[V], R "=2[Ω], R 2=4[Ω],az áramgenerátor árama pedig:

a) Is=2 [A], b) Is="0 [A]?

Mindkét esetre határozzuk meg az áram- ésfeszültséggenerátor teljesítményét is!

Megoldás:A példában megadott hálózatra Kirchhoff els! vagy csomóponti törvénye alapján (legyen ez azA csomópont) egy egyenlet írható fel:

02" =++− I I I S

,

és ugyancsak egy egyenletet írhatunk felKirchhoff második vagy huroktörvényesegítségével (a képen a kiválasztott hurok körüljárási iránya adott):

− ⋅ − + ⋅ =I R E I R1 1 2 2 0 .

+R 2Is

R "

E

A

B

US

I2

I"

+R 2Is

R "

E

3.28. ábra



Ha I" és I2 értékeire megoldjuk az egyenletrendszert, akkor a következ! kifejezéseket kapjuk:

2"

2"

R R

E R I I S

+−⋅

= ,

és

2"

"

2 R R

E R I I S

++⋅= .

Az els! esetben, amikor IS=2 [A], a keresett értékek a következ!k:

I"=-2[A], I2=4[A],az áramgenerátor teljesítménye ( ) [ ]P U I U I I R E I W

SG S s AB s s= ⋅ = ⋅ = ⋅ + ⋅ =

1 132 ,

a feszültséggenerátor teljesítménye pedig ( ) [ ]P I E WNG

= ⋅ − =1

40 .

Az második esetre, amikor IS="0 [A], a kért értékek a következ!k:

I"=3,33[A], I2=6,67[A],az áramgenerátor teljesítménye ( ) [ ]W I E R I I U I U P ss ABsS SG

6,266""

=⋅+⋅=⋅=⋅= ,

a feszültséggenerátor teljesítménye pedig ( ) [ ]W E I P NG6,66

" −=−⋅= .

A kapott eredményekb!l látható, hogy a második esetben a feszültséggenerátor fogyasztóiüzemmódban dolgozik (tehát nem generátorként, hanem fogyasztóként viselkedik)!



3.10. Hálózatanalízis

Az elektromágneses jelenségek vizsgálatánál általában nem érdekel bennünket azelektromágneses tér minden ismérve, hanem csupán néhány, valamint az elektromágneses

jelenségeket leíró számunkra fontos mennyiségek kapcsolata. Hatványozottan igaz ez az állítás avillamos hálózatok esetében, ahol csupán a leggyakrabban használatos integrális mennyiségek

(áram, feszültség és töltés) közötti kapcsolatra vagyunk kíváncsiak (majd kés! bb, a mágnesességáttanulmányozása után a mágneses fluxus és az el! bbiek közötti kapcsolat is érdekessé fogválni). Ebben a részben a villamos hálózatokkal kapcsolatos alapvet! fogalmakkal éstörvényszer "ségekkel ismerkedünk meg, valamint a hálózatanalízis (hálózatszámítás)“egyszeregy”-gyét tanuljuk meg.

A hálózatanalízis problémája a következ! módon írható le. Adott a villamos hálózatgeometriája, az aktív és passzív elemek elhelyezése a hálózatban, és az aktív valamint passzívelemek jellemz!inek teljes leírása. A feladat pedig a hálózati elemeken átfolyó áramok meghatározása, esetleg még a rajtuk fellép! feszültségesés kiszámítása.

3.10.1. A HÁLÓZATTOPOLÓGIA ALAPFOGALMAI

Villamos hálózatok esetében két fontos dologra kell figyelnünk: az egyik az, hogy milyenelemekb!l, a másik pedig, hogy hogyan épül fel a hálózat (vagyis milyen a geometriája ahálózatnak – 3.30 ábra).

A hálózat felépítése vagy hálózattopológiai szempontból csupán az a fontos, milyen módonkapcsolódnak egymáshoz az elemek. Azokat a hálózati elemeket, amelyeknek két kapcsuk vagy

pólusuk van, kétpólusoknak vagy póluspároknak nevezzük. Az eddig megismert hálózatielemek mind a kétpólusok képvisel!i voltak, és mint ilyenek, csak a pólusoknál kapcsolódhattak egymáshoz.

Az el!z! fejezetekben már megismerkedtünk a hálózattopológia egyes fogalmaival, de ateljesség kedvéért vegyük !ket újra számba, valamint mindazokat az újabb fogalmakatamelyeket a kés! bbiekben használunk.

A villamos hálózat ágát azok a sorba kapcsolt kétpólusok képezik, amelyeken ugyanazonáram folyik keresztül. Az ágak találkozásánál találhatók a csomópontok. Valódi csomópontnak csak olyan pontot tekintünk, ahol legalább három ág találkozik. Hurkot akkor képezünk egyvillamos hálózatban, ha egy csomópontból kiindulva, az ágak mentén haladva visszatérünk akiindulási pontba. Egy hálózatban általában nagyon sok hurkot kijelölhetünk, de a kés! bbiekben

+

+

+

3.30. ábra



gráf ja topológiai szempontból nem különbözik az eredeti hálózattól (ágak, csomópontok és ahurkok száma és elrendezése ugyanaz), de nem tartalmazza a konkrét hálózati elemeket.

A hálózat gráfjának birtokában teljesen általános jelleg" tényeket sz"rhetünk le, tudhatunk meg a hálózatról, amelyek függetlenek a hálózatot alkotó elemek (kétpólusok) természetét!l,fajtájától. A gráf segítségével határozható meg, hogy hány független egyenlet írható felKirchhoff csomóponti (els!) és huroktörvénye (második) alapján.

Amennyiben a villamos hálózatnak ncs csomópontja van, úgy a csomóponti törvénysegítségével ugyanannyi egyenlet írható fel. Ezek az egyenletek azonban nem függetlenek,vagyis nem mindegyik hordoz új információt a számunkra. Lássuk hány független egyenletírható fel Kirchhoff els! (csomóponti) törvénye alapján. Írjuk fel a csomóponti törvényt a 3.31.ábrán feltüntetett 1 és 2 csomópontokra, majd adjuk össze a két kapott egyenletet. Mit kaptunk így? Hát azt az egyenletet, amit az 1 és 2 csomópontot magába foglaló csomópontra adna acsomóponti törvény.

Írjuk most fel Kirchhoff els! törvényét az Sncs-1 csomópontra, amely felöleli az utolsónkívül az összes (ncs-1) csomópontot:

I1+I2-I3 = 0.Ha most felírjuk a csomóponti törvényt a még megmaradt ncs-edik csomópontra, ugyanezt

az egyenletet kapjuk (csak megváltozott el! jelekkel). Más szóval az utolsó csomópontra felírhatóegyenlet megkapható az el!z! egyenletek összeadásával, vagyis nem független. Ebb!l aztánmegállapíthatjuk, hogyaz ncs csomóponttal rendelkez! hálózat esetén csak (ncs-1) független

egyenletet írhatunk fel a csomóponti törvény alapján.Vizsgáljuk most meg a huroktörvény alkalmazásának lehet!ségeit, vgyis, hogy hányfüggetlen egyenlet írható fel Kirchhoff második törvénye alapján. Nézzük meg a 3.32. ábrán lev!hálózat gráfját (bal oldali kép). Vegyük most figyelembe azokat az ágakat, amelyek összekötik agráf valamennyi csomópontját, de úgy, hogy nem hoznak létre egyetlen hurkot sem. Ezek azágak képezik a gráf fáját, és a gráf faágainak nevezzük !ket. Vegyük észre, hogy mindengráfnak több lehetséges fája is létezik (a bal oldali gráf két lehetséges fája látható a 3.32. ábraközepén). Egy kiválasztott fa esetén, a gráf fájában nem szerepl! ágak a beköt! ágak (ezeketszaggatott vonal jelzi a 3.32. ábrán). Nézzük most, hogy hány ágból épül fel a gráf fája. Ha ahálózat ncs csomópontot tartalmaz, akkor a gráf fája pontosan (ncs-1) ágból áll, hiszen az els! ágkét csomópontotban végz!dik, míg az összes többi ág csak egy-egy újabb csomópontban.

Legyen ná a hálózat össz ágainak száma, így a beköt! ágak száma könnyen számítható:

( 1)

I2

I3

I1 Sncs

Sncs-1

S1

S1+2

S2

1

2

3.31. ábra



A kicsit is összetettebb hálózatban a lehetséges hurkok száma igencsak nagy, deszámunkra csak a független hurkoknak van jelent!sége, mert az csak az ilyen (független)hurkokra felírt hurokegyenletek függetlenek egymástól. Egy-hurok teljes bizonyossággal csak akkor független az el!z!leg kijelöltekt!l, ha legalább egy új, addig még nem kijelölt (máshurkoknál nem számbavett) ágat tartalmaz. Matematikailag bizonyítható, hogy egy adott

hálózatra is sok független hurokrendszer alakítható ki, de valójában a létrehozható függetlenhurkok legnagyobb száma a számunkra elfogadható. Ezt viszont úgy alakíthatjuk kilegkönnyebben, ha az els! utáni minden újabb hurok kialakításánál csak egy, addig még nemfigyelembe vett ágat kapcsolunk be.

Ennek bizonyítására nézzük meg a 3.32. ábra jobb oldali részén lév! két független hurkot,amelyeket telt vonalakkal ábrázoltunk. Ezeknek kialakításánál a hálózati gráf ágaihoz csak egy-egy beköt! ágat kapcsoltunk be. Vegyük észre, hogy a szaggatott vonallal ábrázolt hurok esetében a kialakítás folyamán a gráf ágaihoz két beköt! ágat rendeltünk hozzá, mégpedig azt akét beköt! ágat, amelyek az el!z! két független hurok beköt!ágai is voltak. Az így kialakított (ésszaggatott vonallal megjelölt) hurok nem független, mert a rá felírható egyenlet Kirchhoff második törvénye alapján megkapható az !t alkotó két független hurokra felírt huroktörvény(egyenlet) összegeként. Ugyanezzel a fejtegetéssel bizonyítható, hogy az összes olyan hurok,amelynek kialakításánál a gráf ágai mellett két vagy több beköt! ág szerepel, nem lehetfüggetlen. Ezzel egyben bizonyítást nyert, hogy Kirchhoff független hurokegyenleteinek száma,amelyet egy hálózatra felírhatunk, a független hurkok számával egyenl!.

Egy ncs számú csomóponttal és ná számú ággal rendelkez! hálózatban, ná számú ismeretlenáramunk (ágáramok) és ugyanannyi számú ismeretlen feszültségünk (ágfeszültségünk) van,vagyis az ismeretlenek száma 2ná.Ohm törvényének ismeretében felírható ná számú egyenlet azágfeszültségek és ágáramok közötti összefüggésr !l, tehát még ná számú egyenlet szükséges,

hogy az össz 2ná ismeretlent kiszámíthassuk. Pontosan ennyi, tehát ná számú (független)egyenletet biztosít számunkra Kirchhoff csomóponti és huroktörvénye, hiszen a csomópontitörvény alapján felírható független egyenletek száma (ncs – 1), a huroktörvény alapján pedig [ná-(ncs-1)], vagyis összesen:

(ncs-1) + [ná-(ncs-1)] = ná.

Ezek szerint bármilyen bonyolult is a villamos hálózat, Kirchhoff törvényei elégségesek amegoldására, hiszen elegend! egyenletet biztosítanak a megoldásra.

Ha ismerjük a feszültségeket a fa minden ágán (a hálózat fájának össz ágfeszültségét – melynek száma megegyezik a fát alkotó ágak számával – [ncs-1]), akkor segítségükkelkifejezhet!k a feszültségek az összes beköt!ágon. Másrészt, beköt!ágak nélkül nem írható fel

egyetlen hurokáram-egyenlet sem, hiszen a fa ágai nem alkotnak hurkot, más szóval nem írhatófel egyetlen olyan hurokáram-egyenlet sem, amelyben kizárólag csak a hálózat fájának ágfeszültségei szerepelnének Az el!z!ek alapján tehát leszögezhetjük hogy a hálózatban az ná

2

6

1

3 4

5

7

1

2 3 4

5

6 7

1

2 3 4

5

6 7

1

2 3 4

5

67

3.32. ábra



számú ágfeszültségb!l csak (ncs-1) számú a független (ág)feszültség. Ez a tény képezi az alapjáta csomóponti potenciálok módszerének (egyesek független potenciálok módszerének is nevezik).

Kirchhoff csomóponti törvénye alapján (ncs-1) független egyenlet írható fel. Ez azt jelenti,hogy az összes ná számú ágáramból (ncs-1) számú ágáram kifejezhet! a többi (nh=[ná-(ncs-1)])számú ágáram függvényében. Ez arra utal, hogy az összes ná számú ágáram nem független,hanem csupán az az nh számú ágáram független, amelyeknek függvényében a többi (ncs-1) áram

kifejezhet!. A hurokáramok módszere épül erre a tényre.

3.10.2. HÁLÓZATSZÁMÍTÁS A KIRCHHOFF-TÖRVÉNYEKKEL

A hálózatszámítás talán legtermészetesebb (de semmiképpen sem a legrövidebb) útja vagymódja a Kirchhoff-törvények közvetlen alkalmazása.

A hálózatszámítás menete a következ!. A megoldanadó hálózat ágaiban megjelöljük (kijelöljük) az ágáramokat és vonatkoztatási (referencia) irányaikat. Lerajzoljuk a hálózat gráfját,és kijelöljük a gráf egyik fáját. Ezek után, egy-egy beköt! ág hozzáadásával a kapott független

hurokra felírjuk Kirchhoff második törvényét, amelynek eredményeként nh függetlenhurokegyenletet kapunk. A maradék (ncs-1) egyenletet a csomóponti törvény alapján írjuk fel,tetsz!legesen kiválasztva, hogy melyik csomópontra nem írjuk fel a csomóponti törvényt.Legvégül pedig a lineáris egyenletrendszer megoldása a feladat.

A Kirchhoff-törvények alkalmazásának az a nagy hátránya, hogy nagy számú egyenletetkell megoldani (amennyi az ismeretlen, vagyis ná). Az n számú egyenletb!l álló egyenletrendszer megoldása folyamán elvégzend! matematikai m"veletek száma megközelít!leg n3/3, és ez aszám már magáért beszél.

A Kirchhoff-törvényekkel leírt hálózat egyenletrendszere lineáris (els!fokú) egyenletekb!láll, amelyeknek általános alakja:

∑=

=gn

k

jk jk b I a1

,........... án j ,...2,1=

Itt az a jk és b j értékei ismertek, az Ik ismeretlenek értékeit kell kiszámolnunk. Akés! bbiekben látni fogjuk majd, hogy a hurokáramok és a csomóponti potenciálok módszere isilyen egyenleteket ad, csak az egyenletek száma jóval kisebb: a hurokáramok módszerénél nh, acsomóponti potenciálok módszerénél pedig (ncs-1).

A csomóponti és huroktörvény egyenletei mellett a hálózat megoldásához szükségünk vanmeg ná számú egyenletre, amely egyenleteket, mint már tudjuk Ohm törvényének ismeretébenírhatunk fel: ezek az egyenletek az ágfeszültségek és ágáramok közötti kapcsolatot tartalmazzák a hálózat minden egyes ágára, tehát pontosan annyi van bel!lük, amennyi a hálózatszámításhozszükséges. Amennyiben az ágban ellenállás, valós (bels! ellenállással rendelkez!) feszültség-vagy áramgenerátor található, az ágfeszültség és ágáramok közötti összefüggés mindenkülönösebb gond nélkül felírható.

Abban az esetben azonban, amikor az ágban csak egy ideális feszültség- vagyáramgenerátor található, a fent említett összefüggés (az ág feszültsége és árama között) nemlétezik. Az ilyen ágakra tehát nem írhatók fel a feszültséget és áramer !sséget kapcsolatba hozóegyenletek, de vegyük észre, hogy nincs is szükség rájuk, hiszen ezekben az ágakban már eleveismert a két ismeretlen mennyiség közül az egyik (vagy az ideális feszültséggenerátor feszültsége, amely ekkor egyben az ágfeszültség is, vagy az ideális áramgenerátor árama, amely

akkor egyben az ág árama is). Így tehát a hálózatra felírandó Kirchhoff-egyenletek számaannyival kevesebb az össz ágak számánál, ahány ágban ideális feszültség- vagy áramgenerátor



alkotja az ágat (ahány ágban az ideális feszültség- vagy áramgenerátor egyedül, önmagábanalkotja az ágat).

3.14. Példa: Számítsuk ki az R 1 és R 2ellenállásokon keresztülfolyó áram er !sségéta 3.33. ábra alapján. Mekkora a számértéke az

áramer !sségeknek, ha E=20[V], R 1=2[Ω],R 2=4[Ω], az áramgenerátor árama pedig:

a) Is=2 [A], b) Is=10 [A]?

Mindkét esetre határozzuk meg az áram- ésfeszültséggenerátor teljesítményét is!

Megoldás:

A példában megadott hálózatra Kirchhoff els! vagy csomóponti törvénye alapján (legyen ez azA csomópont a 3.34. ábrán) egy egyenlet írható fel:

021 =++− I I I S ,

és ugyancsak egy egyenletet írhatunk felKirchhoff második vagy huroktörvényesegítségével (a képen a kiválasztott hurok körüljárási iránya adott):

− ⋅ − + ⋅ =I R E I R1 1 2 2

0 .

Ha I1 és I2 értékeire megoldjuk azegyenletrendszert, akkor a következ!kifejezéseket kapjuk:

21

21

R R

E R I I S

+−⋅

= és21

12

R R

E R I I S

++⋅

= .

Az els! esetben, amikor IS=2 [A], a keresett értékek a következ!k:

I1=-2[A], I2=4[A],

az áramgenerátor teljesítménye ( ) [ ]P U I U I I R E I WSG S s AB s s= ⋅ = ⋅ = ⋅ + ⋅ =1 1 32 ,a feszültséggenerátor teljesítménye pedig ( ) [ ]P I E W

NG = ⋅ − =

140 .

Az második esetre, amikor IS=10 [A], a kért értékek a következ!k:I1=3,33[A],I2=6,67[A],

az áramgenerátor teljesítménye ( ) [ ]W I E R I I U I U P ss ABsS SG6,26611 =⋅+⋅=⋅=⋅= ,

a feszültséggenerátor teljesítménye pedig ( ) [ ]W E I P NG6,661 −=−⋅= .

A kapott eredményekb!l látható, hogy a második esetben a feszültséggenerátor fogyasztóiüzemmódban dolgozik (tehát nem generátorként, hanem fogyasztóként viselkedik)!

+R 2Is

R 1

E

3.33. ábra

+R 2Is

R 1

E

A

B

US

I2

I1

3.34. ábra



3.10.3. HUROKÁRAMOK MÓDSZERE

A Kirchhoff egyenletek esetében az ágáramok voltak az ismeretlenek, így ná számúegyenletet kellett felírni a hálózat áramainak kiszámítására. Az el!z!ek alapján azonban tudjuk,hogy a hálózatban folyó áramok közül csak nh számú áram független egymástól, mert a többi(ncs-1) felírható az el! bbiek függvényében. Válasszuk most ezeket a független hurkokban folyó

áramokat ismeretlennek, csökkentve ezzel az ismeretlenek és szükséges egyenletek számát.

A 3.35. ábrán a megoldandó hálózat gráfját láthatjuk valamint ennek egy kijelölt fáját,amely alapján a független hurkokat is megjelöltük. A hurokáramok módszerénél azt kellelképzelnünk, hogy minden független hurokban egy-egy fiktív, id! ben állandó áram, ahurokáram folyik körbe. Ez az elképzelés fizikailag természetesen képtelenség, hiszen aztfeltételezi, hogy az ágakat képez! vezetékek keresztmetszetének egyik részén egyik, másik részén esetleg a másik irányba folyik az áram, ami helytelen, és nincs valóságalapja.Matematikailag azonban ez a feltételezés teljesen helyes és azt jelenti, hogy az ágáramokat az

illet! ágakban folyó fiktív hurokáramok algebrai összegeként számolhatjuk. A 3.35.ábra azt iselárulja, hogy a hurokáramok bevezetésével Kirchhoff els! törvényét már eleve automatikusankielégítettük, vagyis, hogy a csomóponti egyenletek a hurokáramok esetében automatikusankielégülnek, hiszen az állandó hurokáramok változatlanul haladnak keresztül a csomópontokon.

A hurokáramok bevezetésének jogosságának igazolására írjuk fel a huroktörvényt az I-el jelölt független hurokra:

( ) ( ) ( )( ) 0IR --IR -E n-aazágán,közöshurokIIIésIaz3menténhurokIaz1menténhurokIaz 2=⋅⋅ Σ Σ Σ

Az el!z! kifejezés az átrendezés után a következ! alakot veszi fel:

( ) ( ) ( ) menténhurokIazn-aazágán,közöshurokIIIésIaz3menténhurokIaz1 ER IIR 2

Σ Σ Σ =−⋅+⋅

A teljes egyenletrendszer így a következ! alakot ölti:

nnnnnn22n11

222nn222211

111nn122111

ER I...R IR I

ER I...R IR I

ER I...R IR I

=+++−−−−−−−−−−−−−−−−−−

=+++=+++

ahol a jelölések értelme:Ij - az ismeretlen hurokáram a j hurokban j 1 ≤ j ≤ n

I3= Iá5

Iá2

Iá3

III

I II

I2= I

á4I1= Iá1

B

A C

5. ág

2. ág 3. ág

4. ág1. ág

3.35. ábra



R jj = ( )∑R a j hurok mentén

ha a j és k hurok iránya az adott ágban megegyez!

R jk = R kj = ±±±± ( )∑ R a j és k hurok közös ágai mentén (j ≠k j,k=1,...n)

ha a j és k hurok iránya az adott ágban különböz!

ha a generátor és a hurok iránya megegyez!

E jj = ( )( )∑ ± E a j hurok mentén

ha a generátor és a hurok iránya különböz!

Amennyiben a j és k huroknak nincs közös ága, akkor érvényes, hogy:

R jk = R kj = 0

A hurokáramok módszere alkalmazható valós (bels! ellenállással rendelkez!)áramgenerátorokat tartalmazó villamos hálózatokra is. Ez esetben a valós áramgenerátorokatvalós feszültséggenerátorrá alakítjuk és csak utána alkalmazzuk a hurokáramok módszerét ahálózat megoldására.

Ideális áramgenerátorokat tartalmazó hálózat esetében a hurokáramokat úgy válasszuk meg, hogy azok egyenl!ek legyenek valamely hurok áramával, vagyis, hogy mindenáramgenerátor árama a hálózat ágai mentén önmagába záródik. Magától értet!d!en egy adottáramgenerátor áramát nem zárhatjuk olyan ág mentén, amelyben egy másik áramgenerátor van.Így minden áramgenerátor meghatároz egy hurokáramot, amelyre már szükségtelen felírni a

hurokáram-egyenletet, mert ezek a hurokáramok már ismertek számunkra (ugyanis azáramgenerátorok áramai adottak). Ezek szerint a hurokáramok módszere alapján felírandóegyenletek száma nem a független hurkok számával egyenl! ha ideális áramgenerátorok isvannak a hálózatban. Az egyenletek száma ett!l (a független hurkok számától) pontosan ahálózatban el!forduló ideális áramgenerátorok számával kevesebb. Természetesen az ideálisáramgenerátorok alkotta hurokáramok is szerepelnek a hurokáramok-egyenletekben.

3.15. Példa: A hurokáramok módszerével határozzuk meg az áramer !sséget a 3.36. ábránlátható áramkör valamennyi ágában valamint azösszes áramfejleszt! (generátor) és ellenállásteljesítményét! Számadatok: E1=1V, E2=2V,E3=3V, E5=5V, E6=6V, Ig4=0,3mA, R 1=1k Ω,R 2=7k Ω, R 3=3k Ω, R 5=7k Ω, R 6=6k Ω.

Megoldás:

Vegyük szemügyre a 3.36. ábrát, és jelöljük kitetsz!legesen a független hurkokat. El!tteazonban számláljuk meg a csomópontok és azágak számát:ná= 6

ncs = 4nh =ná – (ncs – 1) = 3

E3

R 1

+ +

+

+ E5

E6

R 2

R 6

R 3

+

E2

E1

R 5

Ig4

23

1

4

3.36. ábra



Alakítsuk ki a hurkokat a 3.37. ábrán feltüntetett módon. Ez természetesen csak egy a többlehetséges független hurokrendszer közül, de figyeljünk fel arra, hogy a II hurok áramamegegyezik az egyetlen áramgenerátor áramával, amely ismert, így a felírandó egyenletek számaeggyel csökken. Az egyenletek tehát:

R 11II+R 12III+R 13IIII = EIR 31II+R 32III+R 33IIII = EIII

III = Ig4

Lássuk most, hogy mi is a jelölések értelme a fentfelírt egyenletekben:

R 11=R 3+R 6+R 1=10k ΩR 12=R 21=R 1=1k ΩR 13=R 31=R 3=3k ΩR 23=R 32= −R 2= −7k ΩR 33=R 2+R 3+R 5=17k Ω

EI=E6− E1− E3=2VEIII=E5−E3+E2=4V

Behelyettesítve a kiszámolt értékeket a következ!egyenletekhez jutunk:

10⋅103II+103III+3⋅103IIII = 23⋅103II −7⋅103III+17⋅103IIII = 4

III = 0,3⋅10−3

Rendezés után az egyeneletek alakja:10II+3IIII=1,7⋅10−3

3II+17IIII=6,1⋅10−3

Alkalmazzuk a Cramer szabályt az egyenletek megoldására:

D=10 3

3 17=161; D1=

1 7 10 3

6 1 10 17

3

3

,

,

⋅⋅

−

− =10,6⋅10-3; DIII=10 1 7 10

3 6 1 10

3

3

,

,

⋅⋅

−

− =55,9⋅10-3

II=D

DI =0,07⋅10-3A=0,07mA; IIII=

D

DIII =0,35⋅10-3A=0,35mA.

A hurokáramok alapján az ágáramok könnyen kiszámíthatók:I1=II+III=0,37 mAI2=IIII−III=0,05mAI3=II+IIII=0,42mA

I4=Ig4=0,3mAI5=IIII=0,35mAI6=II=0,07mA

Az áramgenerátor teljesítményének kiszámításához szükség van a kapcsain mérhet! feszültség( ) k

I II

E3

R 1

+ +

+

+ E5

E6

R 2

R 6

R 3

+

E2

E1

R 5

Ig4

23

1

4

I III

I 3

I 5

I 2

I 1 I 6

I I

3.37. ábra



U12= ∑ −2

1

)ERI( =−(−E6+E5)+R 5I5 −R 6I6=3,03V

A generátorok teljesítményei:PIG4=U12Ig4=0,92mW, PE1= −E1I1= −0,37mW, PE5=E5I5=1,75mW,PE2=E2I2=0,1mW, PE3= −E3I3= −1,26mW, PE6=E6I6=0,42mW.

A generátorok összteljesítménye pedig:Pen=PE1+PE2+PE3+PIg4+PE5+PE6=1,6mW

Az ellenálásokon a Joule-veszteségek teljesítménye egyenként a következ!:PR1=R 1I1

2=0,137mW, PR3=R 3I32=0.53mW, PR6=R 6I6

2=0,03mW,PR2=R 2I2

2=0,012mW, PR5=R 5I52=0,86mW.

Az ellenállásokon h!vé alakuló energia teljesítménye a generátorok összteljesítményével kell,hogy megegyezzen, amit az ellenállásokon számított veszteségek összegezése is igazol:

PR =

∑=

6

1iR

i

P =1,6mW.

3.10.4. CSOMÓPONTI POTENCIÁLOK MÓDSZERE

A hálózatra felírt általános egyenletek száma nemcsak a hurokáramok bevezetésévelcsökkenthet!. Az egyenletek száma ugyanúgy csökkenthet! a csomóponti potenciálok

bevezetésével is. Mivel a hálózatban (ncs-1) független (ág)feszültség van, a csomópontok potenciáljainak bevezetésével (ncs-1) ismeretlenünk lesz (egy tetsz!legesen kiválasztottcsomópont potenciálját önkényesen nullának vehetjük). A csomóponti potenciálok a

huroktörvényt automatikusan kielégítik, amit példán keresztül nagyon egyszer " ellen!rizni, merta feszültségek összeadásakor minden potenciál kétszer szerepel, mégpedig egyszer pozitív,egyszer pedig negatív el! jellel. A potenciálok ismeretében az ágáramok a huroktörvénysegítségével egyszer "en kifejezhet!k.

Nézzük a j és k csomópontok közöttiegyetlen ágat a 3.38. ábrán.Alkossa ezt az ágat (azegyszer "ség kedvéért) csak egy ideálisfeszültséggenerátor és egyellenállás. A generátor elektromotoros erejemutasson a k csomópont felé,ahogy ez a 3.38. ábrán islátható. Ekkor a

potenciálkülönbségdefiníciós kifejezése alapján felírható, hogy:

( )∑ ∑−=− RIEVV k j k-tól j felé ERI −=

Kifejezve innen az áramer !

sséget:( )kj VVE

1I −+= ,

+

E

G = 1/ R

j V j

k

Vk

I

3.38. ábra



illetve:

k j VVEGI −+= .

Ez a kifejezés az, amelynek segítségével kiszámítható bármelyik ágáram, amennyibenismerjük a végein a potenciálokat. A kapott kifejezést alkalmazhatjuk az összes j csomópontbanvégz!d! ágra. A csomóponti törvény szerint az ágáramok algebrai összege minden csomópontra

nulla. Írjuk fel a csomóponti egyenletet, és vegyük észre, hogy az tartalmazza az összes, vagycsak néhány csomóponti potenciált. Felírva az össz (ncs-1) csomóponti egyenletet elegend!számú egyenletünk lesz a csomóponti potenciálok kiszámításához. A kapott csomóponti

potenciálértékek ismeretében pedig közvetlenül számíthatók az ágáramok.A csomóponti potenciálok módszerének rendezett egyenletrendszerét a következ! módon

tudjuk be- illetve levezetni. Nézzük a 3.39. ábrán lév! gráf-részt, és írjuk fel a j csomópontraKirchhoff els! (csomóponti) törvényét.

0)VV(EG)VV(EG)VV(EG

)VV(EG)VV(EG)VV(EG

3 j ja3 ja32 j jc2 jc22 j jb2 jb2

2 j ja2 ja21 j jb1 jb11 j ja1 ja1

=−++−++−++

+−++−++−+

ahol:G ja1 – a j-a-1 ág vezetéseE ja1 – a j-a-1 ágban lev! generátorok algebrai összege – az irány a j csomóponttól

mutat az 1 csomópont felé

Átrendezés után a következ! egyenlethez jutunk:

)GEGEGEGEGEG(E

)GGGGG(GV

GV)GG(GV)G(GV

ja3 ja3 jc2 jc2 jb2 jb2 ja2 ja2 jb1 jb1 ja1 ja1

ja3 jc2 jb2 ja2 jb1 ja1 j

ja33 jc2 jb2 ja22 jb1 ja11

+++++−=

=++++++

+−++−+−

A rövidebb egyenletalak elérése céljából vezessük be a következ! jelöléseket:

G jk – az össz j és k csomópont között lev! ág vezetéseinek összege negatív el! jellel.G jj – az össz j csomópontban találkozó ág vezetéseinek összege.(ΣEG) j – azon ágak vezetésének és generátorának e.m.s. szorzatát summázzuk (adjuk

össze), amelyek a j csomópontban találkoznak (azon szorzatokat vesszük pozitível! jellel számba, amely ágakban a generátor iránya a j csomópont felé mutat;ellenkez! esetben a szorzat el! jele negatív).

Ezekután az egyenlet alakja a következ!:

( ) j∑=+++ EGGVGVGVGV jj j j33 j22 j11

j

b

b

a

a

a

c

2

3

3.39. ábra



Hasonló egyenletek írhatók fel a villamos hálózat minden csomópontjára. A hálózatban azegyik tetsz!legesen kiválasztott csomópont potenciálját nullának vesszük, a többi csomópontra

pedig felírjuk a fentihez hasonló egyenleteket. Ha bevezetjük, hogy n = ncs-1, akkor a következ!,n egyenletb!l álló egyenletrendszerhez jutunk:

( )

( )

( )nnnnn22n11

22nn222211

11nn122111

EGGV...GVGV

EGGV...GVGV

EGGV...GVGV

∑

∑∑

=+++

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

=+++

=+++

V j – a j csomópont potenciálja, j = 1,2,...,n.

G jj – az össz j csomópontban találkozó ág vezetéseinek összege, j = 1,2,...,n.

G jk = Gkj – az össz j és k csomópont között lev! ág vezetéseinek összege negatív el! jellel, j≠k j,k = 1,2,...,n.

( ) j

EG ∑ - azon ágak vezetésének és generátorának e.m.s. szorzatát summázzuk (adjuk

össze), amelyek a j csomópontban találkoznak (azon szorzatokat vesszük pozitív el! jellel számba, amely ágakban a generátor iránya a j csomópontfelé mutat; ellenkez! esetben a szorzat el! jele negatív), j = 1,2,...,n.

Ha a villamos hálózatban áramgenerátorok m"ködnek a feszültséggenerátorok helyett,akkor az egyenletrendszer alakja a következ! lesz:

( )

( )

( )nsnnnn22n11

2s2nn222211

1s1nn122111

IGV...GVGV

IGV...GVGV

IGV...GVGV

∑∑

∑

=+++

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

=+++

=+++

( ) j s I ∑ - a j csomópontban találkozó ágakban elhelyezked! áramgenerátorok áramainak

algebrai összege (az összegezésnél pozitív el! jellel azokat az áramgenerátor-áramokat vesszük, amelyek referencia – vonatkoztatási iránya a j csomópontfelé mutat, ellenkez! esetben az el! jel negatív), j = 1,2,...,n.

Ha a villamos hálózat feszültség- és áramgenerátorokat is tartalmaz, úgy az egyenletek jobb oldalán a feszültséggenerátortól ered! „tag” és/vagy az áramgenerátoroktól ered! „tag” ismegjelenhet. Legtöbbször azonban a hálózatban megjelen! valamennyi generátort el!z!legfeszültség- vagy áramgenerátorrá alakítjuk.

Ha a hálózatban vannak olyan ágak, amelyekben csak ideális feszültséggenerátorok helyezkednek el, akkor ezekre az ágakra az EG szorzat értéke végtelen (hiszen az ideálisfeszültséggenerátor bels! ellenállása nulla), így az ilyen hálózatokra a csomóponti potenciálok módszere közvetlenül nem alkalmazható. Egy kibúvó-esetet említünk meg, amikor a csak ideálisfeszültséggenerátort tartalmazó ágakat magába foglaló hálózatokra mégis alkalmazható acsomóponti potenciálok módszere. Ha az ilyen (csak ideális feszültséggenerátort tartalmazó)ágak egy csomópontban találkoznak, akkor ezt a csomópontot választjuk a nulla potenciálú

csomópontnak, amelyhez a többi csomópont potenciálját viszonyítjuk. Ebben az esetben az ilyenágak másik végén elhelyezked! csomópontok potenciáljai ismertek (a generátorok pozitív vagy



negatív el! jellel vett elektromotoros erejével vagy forrásfeszültségével lesznek egyenl!k), másszóval ennyivel kevesebb egyenletet kell felírnunk.

A hurokáramok és csomóponti potenciálok módszere elvileg egyenérték ". Hogy mégismelyiket ajánlatos használni, azt maga a hálózat topológiája fogja meghatározni, és általában azta módszert alkalmazzuk, amelyik kevesebb egyenlethez vezet. Ha az ágáramokat kellkiszámolnunk a hálózatban, akkor a hurokáramok módszere, ha pedig a feszültségekre vagyunk

kíváncsiak, akkor a csomóponti potenciálok módszere vezet közvetlenebbül eredményre.

3.10.4.1. A csillag-háromszög átalakítás

Az eddigiek során megismerkedtünk az ellenállások soros, párhuzamos és vegyeskapcsolásával. Az ellenállásokból kialakított hurkokat rendre ered! ellenállással helyettesítettük,egyszer "sítve a hálózatot. Az ered! ellenállás számítása egyszer " az ismertetett kifejezések alapján. Szépséghibája talán csak a vegyes kapcsolású ellenállás-hurkoknak van, hiszen ott,általános esetben, nem számítható ki „egy lépésben” az ered! ellenállás.

Összetett áramkörökben gyakran el!fordul három ellenállásnak (esetleg más áramkörielemnek) a 3.40. ábrán bemutatott kétfajta kapcsolata. Most annak a feltételét fogjuk kutatni,hogy mikor lesz egyenérték " egymással a 3.40. ábra bal oldalán elhelyezked! csillag (ipszilon)kapcsolás az ábra jobb oldalán elhelyezked! háromszög (delta) kapcsolással? Természetesenakkor, ha az egyes kapcsok közötti ellenállások megegyeznek. Tételezzünk fel mindkétkapcsolásfajta esetében egyforma áramgenerátor-gerjesztést az a, b és c csomópontokban, ahogy

az a 3.40. ábrán is látható (a 3.40. ábráról az is leolvasható, hogy Ia+I b+Ic = 0). Amennyibenezen feltételek mellett az illet! csomópontok potenciáljai is megegyeznek, úgy a két kapcsolásmegegyez!.

A megegyez!ségi (ekvivalencia) feltétel a megfelel! csomópontok potenciáljainak kiegyenlítéséb!l áll, ehhez azonban ismernünk kell a csomópontok potenciáljait. Alkalmazzuk hát a csomóponti potenciálok módszerét a csillag és háromszög kapcsolásra is. Legyen a ccsomópont a kiválasztott, melynek potenciálját nullának vesszük. Így a delta kapcsolásra akövetkez! két egyenletet kapjuk:

Va (Gab + Gac) – V bGab = Ia

-Va Gab+ V b(Gab+ G bc) = I b

ahol G a megfelel! vezetést jelenti, és az ellenállás reciprok értékével egyenl!.

Vd

d

cVc

Ic

a

Va

Ia

Vb

b

Ib

c

Ic

Vc

a

VaI

a

b

Vb I

b

Ra

Rb

Rc

Rab

Rbc

Rac

3.40. ábra



A csillag kapcsolásra három egyenletet kapunk, hiszen a háromom kívül van még egycsomópontunk, a d csillagpont:

VaGa – 0 – VdGa = Ia

0 + V bG b- VdG b = I b

VaGa - V bG b + Vd (Ga+G b+ Gc) = 0

A harmadik egyenletb!l a d pont potenciálját kifejezve, majd azt behelyettesítve az el!z!két egyenletbe, ezek összehasonlíthatókká válnak a háromszögre felírt csomóponti potenciálegyenletekkel. Tehát:

Vd =o

bbaa

G

GV GV +

ahol Go = Ga+ G b+ Gc.

A visszahelyettesítés után a csillag kapcsolás két egyenlete:

a

o

bab

o

aaa I

G

GGV

G

GGV =−

−

2

b

o

b

bb

o

ba

a I G

GGV

G

GGV =

−+−

2

A háromszög és csillagkapcsolás két-két egyenletét összehasonlítva könnyen belátható,hogy a megfelel! potenciálok mellett álló tényez!k kiegyenlítésével a megegyez!ségi feltételhez

jutunk:

o

bbbcab

o

baab

o

a

aacab

G

GGGG

GGGG

G

GGGG

2

2

−=+

=

−=+

Amennyiben az így kapott egyenletrendszer els! egyenletéb!l kivonjuk a második egyenletet, a különbségre a következ!ket kapjuk:

( ) ( )

o

cb

bc

o

baab

o

ca

o

caoaoaac

o

coa

a

o

baa

a

o

ba

o

a

aac

G

GGG

G

GGG

GGG

GGGGGGGG

G

GGGG

G

GGGG

G

GG

G

GGG

=

=

=+−=

+−=

+−=−−=

2

Az utolsó két kifejezés már számítás nélkül is felírható a Gac vezetésre kapott kifejezésb!l,teljes megfeleltetés alapján. Ha most a Gac egyenletébe behelyettesítjük a vezetéseknek megfelel! ellenállásokat, akkor a vezetések közötti összefüggés helyett az ellenállások közötti

összefüggésekhez jutunk (bennünket ugyanis els!sorban ez a kapcsolat érdekel):



b

cacaac

abacbc

b

cba

abacbc

ac

cba

ca

ac

R

R R R R R

R R R

R

R R R

R R R

R

R R R

R R

R

++=

++=

++=

++

⋅=

1

111

11

1

A háromszög kapcsolás a és b pontja közötti ellenállás értéke látható a fenti kifejezésben,mégpedig a csillag kapcsolásban szerepl! ellenállások függvényében. Az egyenlet alapján atörvényszer "ség a kétindex" (delta) ellenállás és az egyindex" (csillag) ellenállások közöttnagyon szembet"n!, így a másik két háromszög kapcsolású ellenállásra már egyszer "en írható:

a

cb

cbbc

c

ba

baab

R

R R R R R

R

R R R R R

++=

++=

Ezzel az átalakítás csillagból háromszögbe lényegében adott. A fenti egyenletek szolgálnak a delta kapcsolás ellenállásainak kiszámítására, ha adottak a csillag kapcsolás ellenállásértékei. Afordított összefüggés levezetéséhez tüntessük el az el!z! három kifejezésb!l a törteket:

bacbcaabc

bacbcabac

bacbcacab

R R R R R R R R

R R R R R R R R

R R R R R R R R

++=++=++=

Mivel az egyenletek jobb oldalai egybevágóak, így a bal oladalaikat is kiegyenlíthetjük egymással. Fejezzük ki ezekb!l az egyenletekb!l az az R b és R c csillag kapcsolású ellenállásokata delta kapcsolású ellenállások és az R a függvényében:

ab

bca

c

ac

bca

b

abcbaccab

R

R R R

R

R R R

R R R R R R

=

=

==

Helyettesítsük most be az így kapott kifejezéseket az R bc háromszög kapcsolású ellenállásegyenletébe, és fejezzük ki a benne szerepl! egyetlen csillag kapcsolású ellenállást, az R a-t:



bcacab

abac

a

bcbcacbcab

bcabac

a

abac

bcbcacbcab

a

abac

bc

a

ab

bc

ca

bc

abc

a

ac

bca

ab

bca

ac

bca

ab

bca

bc

R R R

R R R

R R R R R

R R R R

R R

R R R R R

R R R

R

R R

R

R

R

R R

R

R

R R

R

R R

R

R R

R

R R R

++=

++=

++=+

+=

++=

2

22

Ezek szerint, ha a háromszög kapcsolású ellenállások értéke adott, akkor azokat akövetkez! kifejezésekkel számíthajuk át a csillag kapcsolás ellenállás-értékeivé:

bcacab

bcac

c

bcacab

bcab

b

bcacab

abaca

R R R

R R R

R R R

R R R

R R R R R R

++=

++=

++=

Amint látható az átalakításra használatos egyenletek egyszer "ek, könnyenmegjegyezhet!ek, nem úgy, mint a hozzájuk tartózó levezetés. Tekinthetjük viszont ezt a kisagytornát a csomóponti potenciáloknak, mint eljárásnak a gyakorlati alkalmazásaként is.

3.10.5. A SZUPERPOZÍCIÓ ELVE

A villamos hálózatok, függetlenül a bonyolultságuk fokától, megoldhatók a Kirchhoff egyenletek segítségével. A gyakorlatban azonban ez a hozzáállás általában nem javasolt amegoldandó egyenletek nagy száma miatt. A hálózatanalízis megoldásainak gyorsított eljárásai(hurokáramok módszere, csomóponti potenciálok módszere) mellett rendelkezésünkre állnak olyan általános érvény" tételek, amelyek a hálózat linearitásából fakadnak. Ezek közé tartozik aszuperpozíció elve is.

Ez a tétel azt mondja ki, hogy a lineáris hálózat valamennyi ágárama kifejezhet! azonáramok algebrai összegével, amelyeket a hálózatban m"köd! feszültség- és áramgenerátorok egyenként m"ködve létrehoznak.

A szuperpozíció elvének bizonyítására nézzük meg hogyan fejezhet! ki általánosan atetsz!leges hurokáram a determinánsok módszerével. Ez nem más, mint a hurokáramok módszere alapján felírható egyenletrendszer megoldása Cramer-szabállyal. Nézzük el! bb ahurokáramok módszer nyújtotta egyenletrendszert:

nnnnnn22n11

222nn222211

111nn122111

ER I...R IR I

ER I...R IR I

ER I...R IR I

=+++

−−−−−−−−−−−−−−−−−−=+++=+++

E k l d k ldá C bál bál i



D

D I k

k =

ahol - D az egyenletrendszer (nullától különböz!) determinánsa:

nnnn

n

n

R R R

R R R

R R R

D

......................................................

..................

..................

21

22221

11211

=

- a Dk determinánst pedig úgy kapjuk, hogy a D determináns k-adik oszlopának elemeit(R 1k , R 2k , ..., R nk ) rendre felcseréljük az E11, E12, ..., Enn elemekkel, vagyis

∑=

=n

i

ik iik D E D1

ahol Dik a D determináns R ik eleméhez tartozó algebrai vagy el! jeles aldetermináns

Behelyettesítve a Dik algebrai aldeterminánst az egyenletrenszernek a Cramer szabály

szerinti megoldásába, a kifejtett alak a következ!

lesz:

D

D E

D

D E

D

D E I k n

nnk k

k +++= ...2

221

11 k nk ,...,2,1=

Ismeretes, hogy az ágáramokat az illet! ágakban folyó hurokáramok algebrai összegekéntírhatjuk fel, így a tetsz!leges, mondjuk k-adik ágban folyó ágáram a következ! alakú lesz:

mkmk k gk E a E a E a I +++= ...2211

ahol az ak1, ak2, ..., akm tényez!k csak a hálózat ágaiban elhelyezked! ellenállás-értékekt!lfüggnek, a generátorok forrásfeszültségeit!l (legyen, mondjuk összesen mfeszültséggenerátorunk a hálózatban) viszont nem! Ha az m számú feszültséggenerátor mellett pdarab áramgenerátor is m"ködik a hálózatban, úgy a k-adik ágban folyó áram a következ!

alakban írható fel:spkpsk mkmk gk I b I b E a E a I +++++= ...... 1111

ahol az Isj (j = 1, 2, ..., p) az áramgenerátorok forrásáramait jelöli.Innen aztán már szembeötl! a bizonyítani kívánt tétel, tudniillik, hogy a lineáris hálózat

bármelyik (valamennyi) ágárama kifejezhet! azon áramok algebrai összegével, amelyeket ahálózatban m"köd! feszültség- és áramgenerátorok az illet! (a megfigyelt) ágban egyenkéntm"ködve hoznának létre.

3.16. Példa: A 3.41. ábrán látható áramkörnek ismert minden ellenállása: R 1=100Ω, R 2=200Ω,

R 3=300Ω, R 4=200Ω. Amikor a K kapcsoló az 1.helyzetben van akkor az elhanyagolható bels!ellenállású amperméter I41=0,1A áramer !sségetmutat. Amikor a kapcsoló a 2. helyzetben van,akkor az amperméter I41=0,2A-t mutat. Aszuperpozíció-tétel alapján határozzuk meg az E2

feszültséggenerátor forrásfeszültségét(elektromotoros erejét)!

Megoldás:

Jelölje I41’ az áramer !sséget a 4-1 ágban amikor csak az E1 generátor dolgozik a hálózatban (a

’

R 1

R 2

13

2

R 3

+

E2

A +

E1

R 4

4

(1) (2

)

3.41. ábra



Jelölje I41’’ az áramer !sséget a 4-1 ágban amikor csak az E2 generátor dolgozik a hálózatban.

Amikor a K kapcsoló az 1. helyzetben van, akkor mindkét generátor dolgozik, tehát E 1 és E2

forrásfeszültség is jelen van az összetett áramkörben. Ekkor, a szuperpozíció tétele alapján a 4 −1ágban az áramer !sség: I41=I41

’+I41”

Mikor a kapcsoló a 2. helyzetben van, akkor az amperméter I41=I41’

áramer !sséget mutat.

Azt az állapotot, amikor csak az E2 generátor m"ködik, a3.42. ábra mutatja. Ha most a 3.42. ábra 4-escsomópontjára Kirchhoff els! törvényét alkalmazzuk,akkor a következ! kifejezést kapjuk:

I’’41=I’’

24 −I’’43.

Másrészt az ábra alapján felírható, hogy::

3

24''24 R

UI = , illetve

4

43''43 R

UI = .

Ugyancsak a 3.42. ábráról közvetlenül leírhatjuk, hogy:

31

31

42

42

31

31

224

R R

R R

R R

R R

R R

R R

E U

++

++

= , és

42

42

42

42

31

31

234

R R

R R

R R

R R

R R

R R

E U

++

++

= .

2

2

42

2

31

1

42

42

31

31

2''41 7

10 E

R R

R

R R

R

R R

R R

R R

R R

E I

−−=

+−

++

++

=

Ezt az áramer !sséget a hurokáramok módszerével is meghatározhattuk volna, s!tgyakorlásképpen és az eredmények egyeztetésének céljából bármikor elvégezhet! ez a másik módszer is, csak akkor három egyenletet kell felírni a 3.42. ábrán látható három hurokra.

Az ismert áramértékekb!l egyszer "en számítható a keresett forrásfeszültség:I’’

41=I41 −I’41= −0,1A

1,0E1071I 2

2''41 −=⋅−= −

E2=0,7⋅102V=70V

3.10.6. A FELCSERÉLÉSI TÉTEL (RECIPROCITÁS TÉTELE)

A felcserélési tétel megértéséhez figyeljük meg a 3.43. ábrán lev! hálózatot, amelybencsupán egy m"köd! feszültséggenerátor található. A hálózat két megjelölt ággal rendelkezik: a j

és a k ággal. Igazolni fogjuk, hogy ha a j ágban elhelyezett generátor a k ágban I áramer !sségeteredményez, akkor ugyanez a generátor áthelyezve a k ágba a j-vel jelölt ágban ugyancsak I

R 1

R 2

13

2

R 3

+

E2

R 4

4

3.42. ábra



áramer !sséget fog létrehozni. Az el!z! mondatban megfogalmazott elvet tekintjük a reciprocitástételének (felcserélési tételnek).

A bizonyításhoz választjuk meg úgy a hurkokat, hogy a j-vel jelölt ág a j hurok részelegyen, hasonlóképpen járjunk el a k jelzés" ággal is. Ez esetben a 3.43. ábra bal és jobb oldalirészén látható hálózatra a két megjelölt ágban folyó áramra felírhatjuk, hogy:

D

D E

D

D E I

D

D E

D

D E I

kj

k

kj

kk j

jk

j

jk

jjk

==

==

A kifejezések természetesen az el!z! pontban ismertetett hurokáramok módszerévelfelírható egyenletrendszer Cramer szabály szerinti megoldásából erednek azzal a megszorítással,

hogy most csupán egyetlen feszültséggenerátorunk van.Esetünkben a D jk és a Dkj algebrai vagy el! jeles aldeterminánsok a következ!k:

( ) ( )

( )

( )

nnn

j

j

nk k

k j

jk

R R

R

R

R R R R

D

...........................

.....................................

...........................

...........................

.....................................

........

)1(

1

1,1

1,1

11,11,111

+

−

+−

+−=

illetve( ) ( )

( )

( )

nnn

k

k

n j j

jk

kj

R R

R

R

R R R R

D

.............................

.....................................

...........................

...........................

.....................................

.........

)1(

1

1,1

1,1

11,11,111

+

−

+−

+−=

Mivel R jk = R kj minden j és k értékre, így a D jk algebrai aldetermináns sorai rendre

megegyeznek a Dkj oszlopaival, és ez fordítva is igaz. A determinánsokkal kapcsolatos vegyestételek között szerepel az a tétel is, amely kimondja, hogy a determináns értéke nem változik

h i d á f l élj k i dik l á l E é l l já

+

+

j-edik ág

k-adik ág

j-edik hurok

k-adik hurok

passziv hálózat

R j E j=E

I =IRk

j-edik ág

k-adik ág

j-edik hurok

k-adik hurok

passziv hálózat

R j

E j=E

Ik =I

Rk

3.43. ábra



állíthatjuk, hogy a fenti két algebrai aldetermináns egyenl!, vagyis D jk = Dkj . Mivel pedig E j =Ek (hiszen ugyanarról a feszültséggenerátorról van szó), az áramoknak is egyenl!knek kelllenniük, tehát I j = Ik .

3.17. Példa: A felcserélési (reciprocitás)tétel alkalmazására nézzük meg a 3.44.

ábrán látható kétpóluspárt (négypólust). Ezegy passzív hálózat két pár csatlakozóval.A hálózat linearitásának köszönvefelírható, hogy:

I1 = G11U1+G12U2

I2 = G21U1+G22U2

Bizonyítsuk be a reciprocitás-tétel segítségével, hogy G12 = G21, másszóval, hogy a kétpóluspár három tényez!vel jellemezhet! (definiálható).

Megoldás:

A rövidrezárt 1-1’ csatlakozás esetében (U1 = 0) az els! egyenlet a következ! alakot ölti:

I1 = G12U2.

Ha viszont a 2-2’ csatlakozást zárjuk rövidre (U2 = 0), akkor a második egyenlet alakjaegyszer "sül:

I2 = G21U1.

A felcserélési tétel alapján viszont leszögezhet!, hogy a fent leírt két esetre, amennyibenU1 = U2, vagyis, ha a feszültségek egyenl!k, akkor az áramer !sségeknek is egyenl!eknek kelllenniük. Ezekb!l pedig egyértelm"en az következik, hogy G12 = G21 , amit bizonyítani kellett.

3.10.7. THÈVENIN- ÉS NORTON-TÉTEL

A Thèvenin-tételként ismert összefüggést Helmholz (Hermann Ludwig Ferdinand vonHelmholz, 1821-1894, német fizikus, fiziológus) fogalmazta meg még 1853-ban. A tétel szerintminden aktív villamos hálózat, bármely kiválasztott két pontjához viszonyítva úgy viselkedik,mint egy valós feszültséggenerátor. Másszóval a lineáris aktív kétpólus egy ideális (bels!ellenállás nélküli) feszültségforrás és egy ellenállás soros kapcsolásával (Thèvenin-generátorral)helyettesíthet!. A tételt a következ! kifejezés írja le:

I R E U T T −=ahol:

- U a hálózat tetsz!legesen kiválasztott két pontja közötti feszültség,- ET a kiválasztott két pont közötti üresjárati feszültség (a Thèvenin-generátor

forrásfeszültsége),- R T pedig a következ! kifejezéssel adott (a Thèvenin-generátor bels! ellenállása):

0 I

E R T

T =

az utolsó kifejezésben az I0 a rövidrezárási áramot jelöli.Ha a hál ózatot a ki vál asztott két pontjához vi szonyí tva nem

f eszül tségf or rással , hanemáramgenerátor ral hel yettesí t jük, akkor a tétel tNorton tétel nek nevezzük, az áramgenerátort pedi g Norton-generátornak. A

I1

U1 U2

I21

1' 2'

2

+ +

3.44. ábra



val ós f eszül tséggenerátor ral egyenér ték val ós áramgenerátor tényez i nekaz értékei t már megtanul tuk ki számí tani :

R á = R g, és Iá =E

Rg

= Gg⋅E,

vagyis esetünkben az érvényes, hogy:

T N R R = , ésT

T N R

E I I == 0

Vegyük észre, hogy a Norton-generátor árama a rövidrezárási árammal egyenl!.

Lássuk most a tétel bizonyítását! Vegyünk egy tetsz!leges bonyolultságú hálózatot – 3.45.ábra (a) része –, és húzzunk ki egy tetsz!leges ágat (amely, az egyszer "ség kedvéért, csak egy R ellenállást tartalmaz)a hálózatból. Tegyük fel, hogy az A és B pontokkal megjelölt kihúzott ágbakét, egymással ellentétes irányba mutató, Eekv elektromotoros erej" (forrásfeszültség")feszültséggenerátort kötünk – (b) része a 3.45. ábrának. Így az ágáramok értékei a hálózatbannem változnak meg. Az Eekv forrásfeszültség konkrét értékét a következ! módon határozzuk meg. Képzeljük el, hogy a fels! generátort kiiktattuk (az ágáramok értéke természetesen akikapcsolás pillanatában megváltozott). Állítsuk be az alsó feszültségforrás Eekv értékét úgy,hogy az A-B ágon keresztül folyó áram értéke nulla legyen! Erre az értékre állítsuk be a fels!generátor forrásfeszültségét is, és helyezzük vissza az eredeti helyére!

Alkalmazzuk most a szuperpozíció elvét oly módon, ahogy ez a 3.45. ábra (c) részénlátható. Ez a kép szolgál alapul arra, hogy a hálózat A-B ág nélküli részét generátorralhelyettesíthessük, illetve, hogy a helyettesít! Thèvenin-generátor jellemz!inek (tényez!inek)értékét meghatározhassuk. A (c) ábrarész jobb oldala arról szól, hogy az Eekv az A és B pontok közötti feszültséggel egyenl! akkor, amikor az A-R-B ágat eltávolítjuk, vagyis az Eekv az A és B

pontok közötti üresjárati feszültséget jelenti. Ez tehát nem más, mint a helyettesít! Thèvenin-generátor forrásfeszültsége, azaz ET = Eekv. A (c) ábrarész bal oldala viszont a helyettesít!generátor bels! ellenállásának meghatározásában segít: R T = R AB, az A-R-B ágat természetesennem számítjuk bele.

+

R

IA

B

+

R

IA

B

+

+

Eekv

Eekv

R

I'=IA

B

+

Eekv

+

R

A

B

+

Eekv

I''=0

(a) (b)

(c)

3.45. ábra



3.10.7.1. Feszültséggenerátorok kapcsolása

A Thèvenin-tétel alkalmazásaként határozzuk meg a soros, párhuzamos és vegyeskapcsolású generátorok ered! forrásfeszültségét és ered! bels! ellenállását! Lássuk el!ször agenerátorok soros kapcsolását, amelyet akkor alkalmaznak, amikor nagyobb feszültségre vanszükség, mint a rendelkezésre álló generátor forrásfeszültsége (a bels! ellenállás értéke pedig

nem meghatározó tényez!).

Az üresjárati feszültség az A és B pont között a 3.46. ábra alapján a generátorok forrásfeszültségeinek összegével egyenl!, tehát:

UAB = ET = E1+ E2 + ... + En

A bels! ellenállás megállapításánál az ideális feszültséggenerátorokat rövidzárnak kelltekintenünk, így egyszer "en írható, hogy:

R AB = R T = R g1+ R g2 + ... + R gn

Párhuzamosan általában egyenl! forrásfeszültség" (leginkább teljesen egyforma)generátorokat kapcsolnak. Teszik ezt akkor, amikor nincs szükség nagy kapocsfeszültségre, detartósabb és nagyobb áramer !sség" forrásra van szükség, mint amilyet egy rendelkezésre állófeszültséggenerátor biztosítani tud.

A 3.47. ábra alapján könnyen belátható, hogy a párhuzamosan kapcsoltfeszültséggenerátorok kapcsolásának üresjárati feszültsége egy generátor forrásfeszültségével egyenl!, a bels!ellenállás kiszámolásánál pedig n darabR g ellenállás párhuzamos kapcsolásávalvan dolgunk. Így aztán a párhuzamosankapcsolt generátorok 3.47. ábrán

felvázolt esetére felírhatjuk, hogy:

UAB = ET = Eilletve:

n

R R R

g

T AB == .

Vegyes kapcsolásra akkor vanszükség, amikor aránylag magasfeszültségre és nagy áramer !sségremutatkozik igény. Ennél a kapcsolásnális leggyakrabban azonos jellemz! j"

generátorokat alkalmaznak (3.48. ábra).

+++

E1 E2

En

RgnRg2Rg1

BA+

3.46. ábra

+ + +

Rg

Rg

Rg

A

B

+ 1 2 n

EEE

3.47. ábra

++ +

+ + +

B

E,Rg

A

E,Rg

E,Rg

E,Rg

E,Rg

E,Rg

E,Rg

E,Rg

E,Rg

+

m

n

+++

3.48. ábra



A Thèvenin-tétel alkalmazásával a következ! kifejezések írhatók fel a 3.48. ábrán láthatóvegyes kapcsolásra:

UAB = ET = mE,

valamint

n

Rm R R

g

T AB

⋅== .

3.10.8. A KOMPENZÁCIÓ (HELYETTESÍTÉS) TÉTELE

Nézzük a 3.49. ábrán felvázolt összetett hálózat-részt, potosabban az összetett hálózat egykiragadott ágát. A kompenzáció tételének értelmében a hálózat egy ága (ágrésze), amely R ellenállást tartalmaz helyettesíthet! egy Eg = RI forrásfeszültség" feszültséggenerátorral,melynek referenciairánya ellentétes az áram irányával az adott ágban. A forrásfeszültségkifejezésében szerepl! áramer !sség természetesen az R ellenálláson keresztülfolyó ágáramot

jelöli. Úgyanígy, ha egy ágban (ágrészben) az áramer !sség valódi irányával ellentétes irányú

feszültséggenerátor m"ködik, akkor az helyettesíthet! egy I

E R

g= érték " ellenállással.

Válasszuk meg úgy a hurkokat a hálózatban, hogy az A és B csomópontok között, a 3.49.ábrán látható ág árama, az I egyben a k-adik hurok árama is legyen, majd írjuk fel Kirchhoff huroktörvényét a k-adik hurokra:

0=− ∑∑ RI E .

Vegyük ki most az ellenállások és a rajtuk keresztülfolyó áramok szorzatainak összegéb!laz águnkra vonatkozó szorzat-tagot:

0=−− ∑∑ nélkül R RI RI E ,

majd helyettesítsük az RI szorzatot egy Eg értékkel:

( ) 0=−− ∑∑nélkül R

g RI E E .

Formailag az utolsó egyenlet is érvényes és pontos kifejezése Kirchhoff huroktörvényének a k-adik hurokra, azzal a megjegyzéssel, hogy a megfigyelt ágban szerepl! ellenállást nemtartalmazza. Helyette (mintegy ellensúlyozásként) egy Eg = RI forrásfeszültség" generátor

jelenik meg. Ezzel bizonyítottnak tekinthetjük a helyettesítési (kompenzáció) tételt.Amennyiben egy bonyolult hálózat egyik ágfeszültségét szeretnénk egy el!re

meghatározott értékre ellenállás segítségével beállítani, akkor a kompenzáció tétel alkalmazása alegszerencsésebb. A kiválasztott ágat, ahol csak ellenállás van, feszültséggenerátorral

UAB = RI

IR

A

B

k

+

Eg = RI I

UAB

= Eg = RI

k A

B

3.49. ábra



ágfeszültségre meghatároztunk. A hálózatot ezután valamilyen módszerrel megoldjuk. Ha akiválasztott ágban az áram vlódi irányára ugyanazt az irányt kaptuk, mint amelyikbe ahelyettesít! feszültséggenerátor is mutat, ez annak a bizonyítéka, hogy tisztán ellenállás-változtatással (mégpedig csak a kiválasztott ágban elhelyezked! ellenállás megváltoztatásával)nem érhetjük el a kívánt (el!re meghatározott) ágfeszültséget.

A helyettesítés tétele áramgenerátor segítségével is megfogalmazható. Ez a hozzáállás

akkor kedvez!, ha a kiválasztott ágra nem az ágfeszültséget, hanem az ágáram értékét kötjük ki.A tétel pedig a következ! képpen hangzik. A hálózat bármelyik, ellenállást tartalmazó ága,amelyen keresztül I er !sség" áram folyik, helyettesíthet! egy ideális áramgenerátorral. Azáramgenerátor forrásárama és referenciairánya megegyezik az ágban folyó (el!re meghatározottérték ") áram er !sségével és irányával.

3.10.9. A TELJESÍTMÉNYMEGMARADÁS TÉTELE

A teljesítménymegmaradás törvénye egyszer " tényt fogalmaz meg: a generátorok által

termelt összteljesítmény egyenl! az ellenállásokon fellép! (és Joule-féle h!vé alakuló)teljesítmények összegével.

Amennyiben csak egyetlen generátort tartalmaz a hálózat, a teljesítményviszonyok kézzelfoghatóak: a generátor által termelt teljesítmény egyenl! az ellenállásokon számíthatóteljesítmények összegével. Ha több generátor van a hálózatban, akkor a viszonyok

bonyolultabbak: egy generátor bizonyosan pozitív teljesítménnyel fog rendelkezni (termelteljesítményt), a többi viszont rendelkezhet úgy pozitív, mint negatív teljesítménnyel (vagyistermelhet is és fogyaszthat is teljesítményt – természetesen nem mindkett!t egyszerre, vagyfelváltva –, a körülményekt!l függ!en).

A generátor teljesítménye akkor negatív, ha az áram valódi iránya ellentétes a generátor elektromotoros erejének (forrásfeszültségének) irányával. Az elektromotoros er ! iránya pedig(emlékezzünk csak vissza!) a generátorban jelenlev! idegen, nem elektromos tér irányávalegyezik meg (vagyis ellentétes a generátorban felhalmozott töltések következtében jelentkez!villamos tér irányával). Az el!z! fejtegetés valójában csak a feszültséggenerátorokra vonatkozik.Egyszer " azonban az értelmezése az áramgenerátorokra is. Az áramgenerátor teljesítményeakkor negatív, ha az áramforrás kapcsain számítható feszültség iránya ellentétes azáramgenerátor forrásáramának irányával.

Fontos hangsúlyozni, hogy a szuperpozíció elve nem érvényes a teljesítményekre. Aszuperpozíció elve a hálózat linearitása miatt érvényes az áramokra és feszültségekre: aKirchhoff törvények lineáris kapcsolatot írnak le a feszültségek és áramer !sségek között. Ateljesítmények viszont az áramok vagy feszültségek négyzetével, illetve az áramok és

feszültségek szorzatával arányosak, így rájuk nem vonatkozik a szuperpozíció elve.

3.10.10. A HÁLÓZAT EGYÉB MEOLDÁSI ELJÁRÁSAI

Az el!z!ekben ismertetett általános eljárások minden hálózat megoldásában hasznosak ésalkalmazhatók. A hálózat topológiájától függ!en egyesek el!nyösebben alkalmazhatók, mintmások, mert kevesebb számítással juttatnak bennünket az eredményhez Nyilvánvaló azonban,hogy vannak olyan gráffal rendelkez! hálózatok, amelyeknél a megismert eljárások egyike semvezet eléggé gyorsan eredményhez (hiszen teljesen formális, általános eljárásokról van szó). Két

hálózat-típust fogunk elemezni a következ! alpontokban, gyorsabban konvergáló eljárások ismertetésével.



3.10.10.1. Arányos mennyiségek eljárása (létrahálózat)

Nézzük a 3.50. ábrán lév! létrahálózatot. A hálózatnak hét ága és négy csomópontja van. AKirchhoff egyenletekb!l tehát hetet kellene felírnunk a hálózat megoldásához, a hurokáramok

módszere négy egyenletet igényel, a csomóponti potenciálok módszere pedig hármat.Gondolkozzunk azonban a következ! módon: mivel csak egyetlen generátor m"ködik ahálózatban, minden ágáram arányos a generátor forrásfeszültségével (E). Határozzuk meg hát azágáramokat egy tetsz!leges forrásfeszültség-értékre (E’), és a valódi ágáramok értékét úgykapjuk meg, hogy az el!z!leg kiszámolt ágáramok értékét beszorozzuk az E/E’ hányadossal.

Tételezzük fel, hogy az R 8 ellenállások keresztülfolyó áram értéke I8 = 1 A. Ez alapján, azellenállások ismeretében könnyen számítható az UC0 feszültség értéke, amib!l tovább az R 6,majd az R 5 ellenálláson keresztül folyó áramok, az UB0 feszültség, majd tovább..., egészen azUD0 feszültségig. Ez az érték nem más, mint annak a generátornak a forrásfeszültsége, amelyik azt a bizonyos feltételezett I8 = 1 A áramer !sséget hajtja át az R 8 ellenálláson.

Mivel a feszültséggenerátorunk forrásfeszültsége E, így a valódi ágáramok értékét úgykaphatjuk meg, ha az el!z!leg kiszámolt ágáramok értékét beszorozzuk az

0 DU

E hányadossal.

Könnyen ellen!rizhet! az elvégzend! m"veletek számából, hogy ez az eljárás gyorsabban aderedményt, mint az eddigiekben megismert eljárások.

3.10.10.2. A szimmetrikus hálózatok megoldása

A hálózatanalízis gyakorlatában el!fordulhatnak szimmetrikus összetett áramkörök is.Ilyen hálózat látható a 3.51. ábrán, ahol a csomópontok száma 5, az ágak száma 8, tehát ahurokáramok és acsomóponti potenciálok módszere egyaránt négy-négy egyenleteteredményez.

A hálózatot aszimmetriatengelymentén kettévágjuk,akkor a 3.51. ábra jobb

oldali részén lev!állapothoz jutunk, vagyiskét ekvivalens

R1

R2

I1

E

A R3

R4

R5

R6

R7

R8

B CD

+

I8

O

3.50. ábra

R5

R3

R2

R3

R5

B

E

R4

R1

R4

+

A

R5

R3

2R2

E

R4

2R1

+

2R2

R3

R5

E

2R1

R4

+

3 51 ábra



hálózathoz, amelyekben csupán két csomópont és három ág van. A hurokáramok módszereezekre a hálózatokra két egyenlet, a csomóponti potenciálok módszere pedig mindössze egyetlenegyenlet felírását látja el!.

Vegyük észre, hogy a kettévágott ág mentén az ellenállások értékei duplázódtak, afeszültséggenerátor elektromotoros ereje azonban nem. Az ellenállásértékek duplázódását úgyigazolhatjuk, ha elképzeljük, hogy az ellenállások fémhuzalból készültek és ezeket kettévágtuk.

Ekkor azS l R ⋅= ρ kifejezésb!l látható, hogy a keresztmetszet felezésével az R értéke

duplázódik. A generátor forrásfeszültsége nem változik, hiszen a feszültséggenerátor állandófeszültséget biztosít a kapcsain függetlenül a rajta keresztülfolyó áramtól. A hálózat kiszámítása,hála a szimmetriatengely mentén történt kettévágásnak gyorsabb lesz, és bármelyik hálózatanalízis-módszer alkalmazható. A hálózat egyik felének megoldásával a teljes hálózatmegoldásához gyorsan eljutunk. A félbevágott hálózat azon ágaiban számított ágáramok,amelyek a szimmetriatengelyét alkották az eredeti hálózatnak kett!vel szorozva megadják azeredeti hálózat ágáramait, a többi, félbevágott hálózatra számított ágáramok pedig megegyeznek az eredeti hálózat ágáramaival.

Ha ideális áramgenerátor helyezkedik el a szimmetriatengely valamelyik ágában (ágaiban),akkor a kettévágáskor az áramforrás forrásáramát, hasonlóan mint az ellenállások értékét,módosítanunk kell: itt azonban duplázás helyett a forrásáramok érték(ei)t meg kell feleznünk. Azágáramok megfeleltetése a kettévágott és eredeti hálózatok között megegyezik afeszültéggenerátor esetében leírtakkal.



3.11. A nemlineáris áramköri elemek

Az eddigiekben csak lineáris elemeket alkalmaztunk a megfigyelt áramkörökben illetvehálózatokban. Ez a hozzáállás teljesen jogos, hiszen az alkalmazásban szerepl! elemek nagytöbbsége lineárisnak tekinthet!. Emlísük meg azonban, hogy szigorúbb mércék szerint értékelve

a valóságban lineáris elemek nem is léteznek, hanem az elemek legnagyobb részénél a lineáris jellemz!t!l való eltérés elhanyagolható. Más oldalról a nemlineáris hálózatok analíziseösszehasonlíthatatlanul bonyolultabb, nehezebb, mint a lineáris hálózatoké. Ezért itt csak anemlineáris elemeknek és az egyszer " nemlineáris hálózatok megoldásának rövid áttekintése acél.

A nemlineáris elemeket többféle módon lehet csoportosítani illetve csoportokba osztani.Az egyik felosztási szempont az elemeket alkotó anyagra vonatkozik. Ezek szerint:

1. A nemlineáris elemek els! csoportjába az olyan elemek tartoznak, amelyeknek alapanyagai ugyan lineáris jelleg"ek, de a környezeti feltételek megváltozása miatt azelemek mégis nemlineáris elemként viselkednek. Mivel az alkalmazott elemek leginkább a h!re érzékenyek, ennek a csoportnak neve is van: termisztoroknak hívják az ide sorolható elemeket.

2. A nemlineáris elemek másik csoportjának nincs külön neve. Ide azok az elemek tartoznak, amelyeknél a feszültség-áramer !sség – U/I (vagy éppen fordítva:áramer !sség-feszültség – I/U) görbe (más szóval karakterisztika) a környezetifeltételek állandó volta mellett is eltér a lineáristól. Más szóval ezek az elemek olyananyagokból készülnek, amelyek már eleve nemlineáris jelleg"ek.

Lássunk most egy-egy példát a két csoport elemei közül. A termisztorok er !senh!mérsékletfügg! ellenállások, az utóbbi id! ben majdnem kizárólag félvezet!kb!l készülnek. Atermisztorok nagyobbik hányadánál az ellenállás a h!mérséklet növekedésével csökken (NTC – negatív h!mérséklet koefficiens" ellenállás). Az ilyen termisztorok alapanyaga a mangánoxid(MnO) és a nikkeloxid (NiO). Kisebb gyakorlati jelent!séggel bírnak azok a termisztorok,amelyeknél a h!mérséklet növekedésével az ellenállás is növekszik (PTC – pozitív h!mérsékletkoefficiens" ellenállás). Újabban ferroelektromos (seignette só, bárium metatitanat) kerámiábólis készülnek termisztorok. Figyeljük meg az áram változását a feszültség függvényében ahidrogénnel töltött, fém(vas)szállal rendelkez! üvegbúrából álló termisztor esetére.Karakterisztikája a 3.52. ábrán látható.

A karakterisztikáról jól leolvasható, hogy az áramer !sség értéke gyakorlatilag állandó afeszültség 4V-tól 17V-ig terjed! értékei között. A karakterisztika alakjára az üvegbúra alakjávalés a búrában uralkodó nyomással lehet hatni hiszen ezekkel a h!elvezetés feltételeit szabjuk

2 4 6 8 10 12 14 16 18 U[V]

I[mA]

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

3.52. ábra



meg. A termisztorok karakterisztikáit általában kísérleti úton, méréssel határozzák meg, determészetesen az analitikus helyettesít! görbe(ék) is kiszámíthatók.

A termisztorokat leggyakrabban h!mérsékletmérésre alkalmazzák, amelynél az er !sh!mérsékletfügg!ségüket használják ki. A mérni kívánt környezetbe hozva megmérik azellenállásukat, és az ismert állandók alapján (amelyek a h!mésékletfüggésüket leíró kifejezésbenszerepelnek) kiszámítják a mérend! h!mérsékletet. A termisztorok áramkorlátozó

el!tétellenállásként is alkalmazást nyerhetnek.A második csoportba a félvezet! anyagokból készült elemek, a vákuum-csövek és afélvezet! kerámiából készült elemek tartoznak. A második csoportból a félvezet! kerámiábólkészült elemek (varisztorok) egy fajtáját a tirit ellenállásokat fogjuk megismerni. A tiritellenállást agyag, szilícium-karbid és grafit keverékének henger alakba préselésével és kés! bbih!kezelésével állítják el!. A tirit ellenállás analitikus karakterisztikája a következ! kifejezésseladott:

I = AU a

Ahol az: A és a paraméterek – az anyagoknak a keverékbeni részarányától és azellenállástest alakjától és méreteit!l függnek. A kitev! (a) értéke 1 és 10 közöttváltozik (a mérések szerint, az A paraméter pedig 10-10 és 10-25 érték közöttmozog.

A könnyebb becslés érdekében lássuk most táblázatosan a feszültség- és áramértékeket azA = 2·10-10 és az a = 3,5 értékekre:

U [V] 10 100 1000 10000

I [A] 6,3·10-7 2·10-3 6,3 20000

A táblázatból jól lesz"rhet! az ilyen típusú elemek alkalmazási területe is: gépek és berendezések túlfeszültség-védelmére kiválóan alkalmasak. A védett berendezéssel

párhuzamosan kötve, a tirit-ellenálláson keresztül folyó áramer !sség a szokványosfeszültségszinten elenyész!, magas feszültség megjelenésekor viszont a tirit ellenállás hatalmasáramot képes „átvállalni” és levezetni, megvédve ezzel a vele párhuzamosan kapcsolt

berendezést.A termisztorok és a varisztorok szimmetrikus átmeneti görbével rendelkeznek (lehetne ez

egy másik felosztási alapja a nemlineáris elemeknek). Sokkal fontosabbak azonban az olyannemlineáris áramköri elemek amelyeknek karakterisztikái kihangsúlyozottan aszimmetrikusak.Ebbe a csoportba tartoznak a elektroncsövek (vákuumcsövek) és a félvezet! diódák éstranzisztorok.

A vákuum-dióda a legegyszer " bb vákkuumcs!: csak egy anódból és egy f "tött katódbóláll, amelyek légmentesített üvegbúrában helyezkednek el.. A katód anyaga jó elektronemittáló

kell, hogy legyen, ezért általában wolframból vagy tóriumos wolframból készül.A vákuum-dióda átmeneti

karakterisztikája a következ! közelít!kifejezéssel írható le:

2

3

U k I ⋅≈ , U>0,

a karakterisztika-görbe pedig a 3.53. ábránlátható.

A félvezet! dióda esetében akristálylapka egyik felét p másik felét n

tipusúvá alakítják. A p tipusú részt azelektronhiány következtében megjelen!lyukáram az n tipusú részt pedig az

U

I

3.53. ábra



elektronáram jellemzi. Az átmenetikarakterisztika itt is er !sen aszimmetrikus,amit az analitikus kifejezése is igazol:

−= 10

0

U

U

e I I

A félvezet! dióda az egyik iránybansokkal jobban vezeti az áramot mint amásikban. Átmeneti karakterisztikájának grafikus ábrázolása a 3.54. ábrán látható.

A nemlineáris elemekkel rendelkez!hálózatok analízise több szempontból isnagyon nehézkes. Els!sorban Kirchhoff egyeletei itt nem lineáris egyenletek, így akapott egyenletrendszer megoldásanem szokványos. Másodsorban azátmeneti karakterisztika analitikus

alakja a legtöbb esetben ismeretlen(csak a grafikus alakja ismert). Éppenezért nincs talán általános megoldásimódszer a nemlineáris elemekkelrendelkez! hálózatokra. Alegegyszer " bb esetekben a megoldásegy kis odafigyeléssel elérhet!. Akövetkez!kben grafikus úton keresünk megoldást egy termisztor és egylineáris ellenállás soros és párhuzamoskapcsolására.

Lássuk el!ször az elemek soroskapcsolását. Az elemek soros kapcsolása eseténaz egyes elemek végein mért feszültségek összeadódnak. A soros kapcsolás átmenetikarakterisztikáját tehát úgy kapjuk meg, ha akiválasztott áramer !sségértékekre összeadjuk az elemeken mért(mérhet!) feszültségeket. Ezta tényt, illetve megoldást tartalmazza a 3.55ábra.

A párhuzamosa kapcsolt lineáris és

nemlineáris elemek esetében viszont a rajtuk keresztülfolyó áramok adódnak össze, vagyis asoros kapcsolás átmeneti karakterisztikája úgy kapható meg, ha a kiválasztott feszültségekreösszeadjuk az elemeken átfolyó áramer !sség-értékeket. Ez látható a 3.56. ábrán.

3.12. Átmeneti jelenségek az RC hálózatban

Eddig csak az állandósult állapotot taglaltuk a villamos hálózatoknál, más szóval afeszültségek és áramer !sségek (úgy a generátoroké mint az áramköri elemeké) állandók voltak.

A generátor hálózatba kapcsolásának pillanatában azonban, ha a hálózatban energiatároló elemek (kondenzátor) is vannak, nem jön létre rögtön az állandósult állapot. Bizonyos id!nek el kelltelni amíg az átmeneti (tranziens) jelenségek lezajlanak és a hálózat állandósult (stacionárius)

U

I

3.54. ábra

U[V]

I[mA]

0,5

1,0

10 20 30 40

3.55. ábra

10 20

I[

mA]

1

2

3.56. ábra



állapotba kerül. A generátor bekapcsolásakor ugyanis változik az energiatároló egységek energiája és ez a változás nem történhet meg ugrásszer !en, egy „szempillantás alatt”. Azugrásszer " energiaváltozás végtelen nagy teljesítmény" generátort feltételez, amilyen avalóságban nem létezik.

A lineáris koncentrált paraméter " hálózat esetében az átmeneti jelenségek elemzéseállandó együtthatójú, inhomogén, lineáris differenciálegyenlet-rendszer megoldására vezethet!

vissza. Az ilyen differenciáegyenlet-rendszerek általános megoldása a homogénegyenletrendszer megoldása és a partikuláris megoldás összegeként írható fel. Fizikaiszempontotból nézve és magyarázva a dolgokat az mondható el, hogy a homogénegyenletrendszer általános megoldása a hálózat küls! gerjesztésekt!l független, ún. „sajátviselkedését” írja le. Ez a rész, a homogén megoldás, az általános, teljes megoldás átmeneti(tranziens) részét adja, hiszen az átmeneti jelenségek kezd!energiája a kiküszöbölhetetlenveszteségek következtében eltávozik a hálózatból. A küls! gerjesztések és az áramköri elemek közösen határozzák meg az inhomogén egyenletrendszer partikuláris megoldását, ami azátmeneti jelenségek lefolyását követ! stacionárius állapotot jellemzi. Az integrálási állandók (amegoldásban szerepl! állandók) a határértékekb!l (kezd!értékekb!l) számíthatók ki.

Átmeneti jelenségek nemcsak a generátor hálózatba kapcsolásának pillanatában jelennek

meg, hanem az áramkör megszakításakor, a feszültséggenerátor forrásfeszültségének megváltozásakor, új feszültséggenerátor hálózatba kapcsolásakor és a passzív elemek karakterisztikáinak hirtelen megváltozásakor is.

Az átmeneti jelenségek iskolapéldája, tehát a legegyszer " bb eset a soros RC kör egyenfeszültségre kapcsolása (3.57. ábra).

A fenti ábrára a következ! egyenletek (egyenletrendszer) írható fel:

( ) ( ) E t ut u RC =+ .

Egyrészr !l:

( )( )t u

t qC

c=

( ) ( )

( )∫ == dt t iC C

t qt uc

1

dt

d

( ) ( )( )

( )

dt

t duC t i

C

t i

dt

t du cc =⇒=

Másrészr !l viszont

( ) ( )t Rit u R =

Összevonva az utóbbi két kifejezést az el! bbibe, a következ! differenciálegyenlethez jutunk:

( ) ( )

E dt

t du RC t u c

c =+

Egyes vélemények szerint célszer " bb a két feszültséget (a kiinduló egyenletben) akondenzátor töltésének függvényében felírni:

( ) ( )dt

t dq Rt Rit u R

)(== ,

illetve:

( )C t qt uc )(= .

Ekkor a differenciálegyenlet a következ! alakot ölti:

+E

R C

3.57. ábra



E C

t q

dt

t dq R =+

)()(.

Ez utóbbi egyenlet ugyancsak lineáris, inhomogén, els!fokú differenciálegyenlet állandóegyütthatókkal, akárcsak az el!z!, amelyben a kondenzátor feszültségének az els! deriváltjaszerepel. Mivel a kondenzátor töltésváltozásának id!függvénye számunkra nem els!dleges

fontosságú, így az el!z! egyenlet megoldásával foglalkozunk (az irodalomban általában azutóbbi egyenletet oldják meg). Írjuk fel tehát a megoldandó egyenletet és oldjuk is meg! Amegoldandó egyenlet:

( ) ( )

E dt

t du RC t u c

c =+ ,

az általános megoldás pedig a következ! alakban írható fel:

( ) ( ) ( ) ( ) cáct cpchc ut ut ut ut u +=+=

Mint tudjuk, a homogén megoldás a tranziens (átmeneti) részét adja az általános

megoldásnak (a kondenzátor feszültségértékének), a partikuláris pedig az állandó (az átmeneti jelenségeket követ! stacionárius állapotban érvényes) fegyverzetek közötti feszültségértéketképviseli. A homogén megoldás természetesen a homogén egyenletet elégíti ki, vagyisfelírhatjuk, hogy:

( ) ( )

0=+dt

t du RC t u ch

ch.

Tételezzük fel az ( ) pt

ch Aet u = megoldásalakot, és helyettesítsük be azt a homogén egyenletbe!

Ezzel a p állanó értékét határozhatjuk meg:

0=+ pt pt RCpAe Ae

01 =+ RCp

RC p

1−=

A homogén megoldás tehát a következ! alakot kapja:

( ) RC

t

ch Aet u−

=

Az RC szorzarot az átmeneti folyamat id!állandójának is nevezik és a görög τ bet"vel jelzik. A homogén megoldás egyenérték " másik kifejezése tehát:

( ) τ

t

ch Aet u−

= .

Az állandósult állapotban (a kívetkez! stacionáris állapotban) a kondenzátor feszültsége agenerátor forrásfeszültségével lesz egyenl!, azaz:

( ) ( ) E t ut u cácp == .

Ezek alapján felírható az általános megoldás:

( ) τ

t

c Ae E t u−

+=

Az A állandó a kezdeti feltételb!l határozható meg: A kondenzátor energiája a bekapcsolás pillanatában nem változhat meg, vagyis amennyiben a kondenzátor töltetlen állapotban volt a bekapcsolás el!tt (q(t = 0) = 0, és uc(t = 0) = 0), úgy a bekapcsolás után is érvényes a nulla



( ) ( ) ( ) 0000 ==+=− ccc uuu .

Így aztán az A állandó értéke:

00 Ae E += ,

E A −= .

A kondenzátor feszültségváltozása azátmeneti id!szakban (3.58. ábra) pedig:

( )

−=−=

−−τ τ

t t

c e E Ee E t u 1

Mivel a feszültséggörbe folyamatosan(asszimptotikusan) éri el az állandósult Eértéket, felmerül a kérdés, hogy gyakorlatilagmeddig is tart (id! ben) az átmeneti jelenség.Amennyiben az eltérés az állandósult értékt!l

1%-nál kisebb, a gyakorlatban a jelenségetlezajlottnak tekinthetjük. Az ennek megfelel! id! pillanat könnyen kiszámítható:

( ) E t uc99,0=

−=

−τ

t

e E E 199,0

01,0=−

τ

t

e

210ln −=−τ

t

210lnτ =t

τ 60,4=t

Szavakkal ez azt jelenti, hogy az átmeneti jelenség 5τ idejig tart. Könnyen igazolható,hogy τ id! elmúltával az átmeneti jelenségek 63%-a zajlik le (t = τ behelyettesítésével akondenzátor feszültségváltozásának kifejezésébe).

Az áramer !sség a körben (amely egyúttal a kondenzátor tölt!árama is) az el!z!ek alapján a következ! módon számítható (3.59. ábra):

( ) ( ) τ τ t t

c e R

E e RC

EC dt

t duC t i−− === 1

Az átmeneti jelenségek az RC kör megszakításakor is fellépnek. Vegyük észre, hogyebben az esetben (az RC soros kapcsolásrövidrezárásakor) homogén, lineáris els!fokúdifferenciálegyenelet kapunk állandóegyütthatókkal.

A rövidrezárt RC soros kapcsolás esetében érvényes, hogy:( ) ( ) 0=+ t ut u RC

,

t

uC

E

3.58. ábra

t

i

E/R

3.59. ábra



vagyis az el!z! eset homogén egyenletéhez jutunk:

( ) ( )

0=+dt

t du RC t u c

c.

Feltételezve az ( ) τ

t

ch Aet u−

= megoldást

( RC =τ ), és figyelembe véve az aktuáliskezd!értéket a kondenzátor feszültségére (az5τ pillanatra kiválasztott kezd! pillanatra

E uuu ccc ==+=− )0()0()0( ) az A állandó

értéke:

0 Ae E = .

A kondenzátor feszültsége (3.60. ábra)és kisülési árama (3.61. ábra) exponenciálisancsökken! lesz:

( ) τ

t

c Eet u−

=

( ) ( )

τ

t

c e R

E

dt

t duC t i

−−==

Az áram negatív algebrai el! jelearra utal, hogy a kisülési áram ellentétesaz ábrán feltüntetett és a töltési áramnak megfelel! áramiránynak. A

kondenzátorban a töltéskor felhalmozottenergia itt, a kisülésnél a kör ellenállásán h!vé alakul.

Áttekinthet! bb az átmeneti jelenségek lezajlása, de talán fogalmais, ha ugyanazon áaz ábrán láthatók atöltési és kisülési diagramok is. Ennek agondolatnak eleget téve jött létre a 3.62.ábra és a 3.63 ábra. Az els!n a feszültségek változása követhet! (úgy a kondenzátoron, mint azellenálláson mérhet! feszültség) a töltés és kisülés folyamán, a másodikon pedig a kör áramának görbéje látható az id! függvényében. A kisülési folyamat 5τ hosszúságú töltési id! elmúltával

indul.

t

uC

E

3.60. ábra

t

i

-E/R

3.61. ábra

t

u

-E

E

uC

uR

u'C

u'R



3.13. Kondenzátorokat tartalmazó hálózatok

Ritkán használják a gyakorlatban egyenáramok esetében az ilyen fajta hálózatokat. Ezértcsak nagyon röviden, elemi szinten érintjük ezt a problémakört. A kondenzátorokat tartalmazóhálózatokat két nagy csoportra osztják:

1. Olyan hálózatok, amelyeknél legalább néhány ágban folyik áram (egyenáram),2. Elektrosztatikus hálózatok (minden ágban legalább egy kondenzátort tartalmaznak, az

állandósult állapotban itt egyetlen ágban sem folyik áram).A kondenzátorok szigetel!anyaga sohasem ideális. Ez más szóval azt jelenti, hogy

bizonyos jelentéktelen er !sség" áram mindig folyik a feltöltött kondenzátor két fegyverzete

között a szigetel!anyagon keresztül. Ez az áram azonban legtöbbször elhanyagolható.

Az els! csoportba sorolható hálózatok esetében csak a kondenzátoroktól mentes ágakbanfolyik egyenáram. A kondenzátorokat is tartalmazó ágak végén mérhet! (számítható) feszültséga kondenzátorok kapcsain mért feszültségek összegével egyenl!.

Az elektrosztatikus hálózatok minden ágábankondenzátor található. Ezekre a hálózatokra érvényesKirchhoff els! és második törvénye, igaz, egy kicsitmódosított formában.

Nézzük az els! Kirchhoff törvény

érvényességét az elektrosztatikus hálózatok esetére(3.64. ábra). Figyeljük meg az ábrán láthatócsomópontot, amelyet n ág találkozása képez.Tételezzük fel, hogy a kondenzátorok azonfegyverzetei, amelyek a csomóponthoz kapcsolódnak Q1, Q2, Q3, ..., Qn töltésmennyiséggel rendelkeznek.Legyen ezen (algebrai el! jellel rendelkez!)töltésmennyiségek algebrai összege Q0. Mekkora lesza megfigyelt csomóponthoz tartozó töltésmennyiségalgebrai összege, ha egy vagy több feszültségforrástkikapcsolunk? Mivel áram nem folyhat egyetlen ágban sem, a töltésmennyiségek összege nemváltozhat meg, annak ellenére, hogy a töltéseloszlás a kondenzátorokon esetleg megváltozhat.Ezek szerint felírható, hogy:

t

i

-E/R

E/R

i

i'

3.63. ábra

+

+

E1

C1

Q1

-Q1

C2

Q2

-Q2

C3

Q3

-Q3

Cn

Qn

-Qn

E3

3.64. ábra



01

QQn

i

i =∑

=

Ez a kifejezés nem más, mint Kirchhoff els! vagy csomóponti törvénye az elektrosztatikushálózatokra. A Q0 értéke a kezd! értékekt!l függ: ha kisütött kondenzátorokat kötünk ahálózatba, akkor a Q0 értéke nulla lesz.

Az elektrosztatikus hálózatoknál is érvényes az energiamegmaradás törvénye, azaz

0=⋅∫ ld E !!

.

Itt is makroszkópikus nagyságokat fogunk összeadogatni az ld E !!

⋅ szorzatok helyett: afeszültségeket a generátorok és kondenzátorok kapcsain. A generátorok feszültsége aforrásfeszültségükkel egyenl!, mivel nem folyik áram az ágakban (nincs feszültségesés sem aküls! ellenállásokon, sem a generátorok bels! ellenállásain). A kondenzátorokon mérhet!feszültségekkel kapcsolatosan pontosan ugyanaz mondható el, mint az ellenállások esetében: ahálózat elemzése elején nem ismerjük a kondenzátorokon a feszültség „irányát”, vagyis azt, hogymelyik fegyverzeten helyezkedik el a pozitív, és melyiken a negatív töltés. Ilyen hálózatok analízisénél els! lépésként meghatározzuk a kondenzátorok tölt!áramának feltételezett irányátminden egyes ágban (3.65. ábra).

A 3.65. ábra alapján a következ! megállapításfogalmazható meg: ha a Q pozitív töltésmennyiséga kondenzátor bal oldali fegyverzetére folyt, akkor akondenzátoron mérhet! feszültség

C

QU C

= ,

és a kondenzátor bal fegyverzete van magasabb potenciálon. Amennyiben a 3.65. ábrán megjelöltirányban negatív töltésmennyiség folyt akondenzátor bal oldali fegyverzetére, úgy az UC feszültség negatív, vagyis a jobb oldali

fegyverzet van magasabb potenciálon. A tölt!áram feltételezett irányának és a kondenzátoronmérhet! feszültség irányának ilyen viszonyát összehangolt iránymeghatározásnak is nevezzük.Az öszehangolt tölt!áram és kondenzátorfeszültség betartása a következ! kifejezés

felírását teszi lehet!vé az 0=∫ ld E !!

kifejezés helyett (Kirchhoff második vagy huroktörvénye az

elektrosztatikus hálózatokra):

∑ ∑ =− 0C

Q E

Az elektromotoros er !nek és aC

Q hányadosnak is algebrai el! jele van: ez az el! jel pozitív,

ha a generátor „iránya” megegyezik a hurok körüljárási irányával, illetve ha a kondenzátor

magasabb potenciálú fegyverzetére jutunk el!ször a hurok körüljárása alkalmával (a tölt!áramfeltételezett pozitív iránya megegyezik a hurok körüljárási irányával). Ellenkez! esetben azalgebrai el! jel negatív.

Ha minden csomópontra érvényes, hogy Q0 = 0, akkor az ellenállásokat tartalmazóhálózatoknál megismert valamennyi eljárás és kifejezés érvényben marad az elektrosztatikushálózatoknál is, azzal a különbséggel, hogy az áramer !sség (I) helyett a kifejezésekben atöltésmennyiséget (Q) kell szerepeltetni, az ellenállásértékek (R) helyett viszont a kapacitás

reciprok értét (C

1) kell feltüntetni. A hurokáramok módszere itt hurok-tölt!áramok módszerévé

módosul.

Amennyiben Kirchhoff csomópotni törvényében az elektrosztatikus hálózatokra akár egycsomópotra is nem érvényes a Q0 = 0 feltétel, akkor az egyedüli hálózatanalízis-módszer aKirchhoff törvények közvetlen alkalmazása.

+Q -Q

C

UC+

Q Q

3.65. ábra




1. Mit nevezünk villamos áramnak?2. Mi az egyenáram?3. Milyen töltéshordozók alkotják az áramot a vezet!kben és milyenek az elektrolitokban?4. Hogyan (minek a segítségével) valósítható meg az egyenáram (id! ben állandó áram)?

5. Mi a leegyszer "sített egyenáram-modell három alapelve?6. Kizárható(megszüntethet!)-e a Joule-féle h!veszteség az áramtérben?7. Milyen tulajdonságú az egyenáramokat létrehozó villamos tér?8. A villamos tér eneriaközvetít! és –tároló szerepe9. Milyen energiaátviteli rendszernek számít a villamos térrel megvalósított átviteli rendszer?10. Mi az árams"r "ség, és mi az egysége?11. Mi az áramer !sség definíciója és egysége?12. Mi az áram iránya?13. Mivel mérjük az elektromos áramot?14. Mi a csomópont?15. Hogyan fogalmazható meg Kirchhoff els! törvénye szóban és képletben?16. Lehet-e töltésfelhalmozódás az áramtérben egyenáramok esetében?17. Mi az els! Kirchhoff törvény általános matematikai alakja?18. Mi az els! Kirchhoff törvénynek a gyakorlatban legtöbbször használt alakja?19. Mit nevezünk a villamos áram áramlási terének?20. Mi a fajlagos ellenállás (mi az egysége)?21. Mi a fajlagos vezetés és miben fejezik ki?22. Minek következtében melegszik fel az áramjárta vezet!?23. Hogyan írható fel a vezet!kben h!vé alakuló villamos energia teljesítménys"r "sége (Joule

törvénye az áramlási térre)?24. Milyen az olvadóbiztosítékok m"ködési elve?

25. Mi a villamos áram mechanizmusának legegyszer "

bb modellje a vezet!

kben?26. Mihez hasonlítható a töltéshordozók termikus (kaotikus h!mozgása) a vezet!kben?27. Milyen nagyságrend" az elektronok h!mozgásának átlagsebessége a fémekben?28. Hogyan számítható a fajlagos ellenállás értéke a klasszikus elmélet szerint?29. Az egyvegyérték " fémek esetében használható-e a klasszikus elmélet?30. A gyakorlati mérésekkel megegyez! eredmények milyen elmélettel érhet!k el?31. Hogyan változik és mit!l függ a fémek fajlagos ellenállása?32. Milyen anyagokból készítik a preciziós mérésekre szánt ellenállásokat?33. Hogyan fejezhet! ki az elektronok mozgékonysága a fémekben?34. Mi a szupravezetés és a szupravezet!k?35. Mi a Meissner-effektus?

36. Mire használhatók a szupravezet!k?37. Ki fedezte fel a szupravezetést?38. Mit nevezünk elektrolitnak?39. Mit!l függ az elektrolitok fajlagos vezet!képessége?40. Hogyan függ az elektrolitok fajlagos vezet!képessége a h!mérséklett!l?41. Milyen vezet!knek tekinthet!k az elektrolitok?42. A villamos áram vezetési mechanizmusát illet!en hogyan oszthatók csoportba a

szigetel!anyagok?43. Milyen vezet!knek tekinthet!k a dielektrikumok?44. Milyen szigetel!anyagoknál és hogyan következik be a h!átütés?45. Mit!l függ a dielektrikum fajlagos ellenállása?

46. Mire kell külön figyelmet fordítani a szigetel!knél?47. Mi a felületi fajlagos ellenállás a szigetel!knél és hogyan mérhet!?48 H ól Oh tö é ( ób é kif j é b )?



49. Mi az elektromos ellenállás (és mi az egysége)?50. Hogyan számítható ki az l hosszúságú, homogén szerkezet", ρ fajlagos ellenállású vezet!

ellenállása?51. Mely ellenállásokat nevezzük lineárisnak?52. Hogyan határozható meg a tetsz!leges alakú ellenállás ellenállás-értéke?53. Mi az elektromos vezetés (és egysége)?

54. Hogyan számítható ki a sorosan kapcsolt ellenállások ered! ellenállás-értéke?55. Hogyan szól a kifejezés az ered! ellenállás kiszámítására a párhuzamosan kapcsoltellenállások esetében?

56. Mi a teend! a vegyes kapcsolásnál az ered! ellenállás meghatározásakor?57. Hogyan számítható ki a sorosan kapcsolt ellenállások ered! vezetés-értéke?58. Hogyan szól a kifejezés az ered! vezetés kiszámítására a párhuzamosan kapcsolt

ellenállások esetében?59. Mi a teend! a vegyes kapcsolásnál az ered! vezetés meghatározásakor?60. Milyen az ellenállások h!fokfüggése?61. Mi az áram valódi (pozitív) iránya?62. Mikor összehangolt a feszültség- és áramirány?

63. Mi a „földelés”?64. Miért alkalmaznak földel! ellenállásokat?65. Hogyan számítható egy félgömb alakú földeléstest segítségével létrehozott földelés

ellenállás-értéke?66. Mi képezi a földelésnél az „ellenállástestet”?67. Milyen nagyságrend" a földelésellenállás értéke?68. Biztonságos védelmet nyújt-e a földelés az áramütéssel szemben?69. Mi a lépésfeszültség?70. Hogyan számítható a lépésfeszültség?71. Hogyan szól Joule törvénye (szóban és kifejezésben)?72. Milyen egységekben fejezik ki a fogyasztó teljesítményét?73. Mi az el!z! kérdés válaszában szerepl! egységek közötti összefüggés?74. Miárt szükségesek a villamos generátorok?75. Hogyan „termelik” a villamos energiát a villamos generátorok?76. Milyen a m"ködési elve a h!energiát közvetlenül villamos energiává alakító generátornak?77. Milyen a m"ködési elve a kémiai generátoroknak?78. Milyen er !k képezik a kémiai generátoroknál a nem villamos (a töltésekre ható

szétválasztó) er !ket?79. Milyen generátorokat nevezünk feszültséggenerátoroknak?80. Milyen jellemz!kkel írhatók le (definiálhatók) a feszültséggenerátorok?81. Mi a feszültséggenerátor forrásfeszültsége (és egysége)?

82. Hogyan számítható ki a feszültséggenerátor forrásfeszültsége?83. Hogyan mérhet! le a feszültséggenerátor forrásfeszültsége?84. Mi a feszültséggenerátor bels! ellenállása (és egysége)?85. Hogyan számítható a feszültséggenerátor bels! ellenállása?86. Hogyan mérhet! le a feszültséggenerátor bels! ellenállása?87. Mi a generátor forrásfeszültségének „iránya”?88. Hogyan számítható ki a feszültséggenerátor teljesítménye (milyen a forrásfeszültség és az

áramer !sség összehangolt iránya)?89. Mivel egyenl! az ideális feszültséggenerátor kapocsfeszültsége?90. Mi a valós feszültséggenerátor?91. Hogyan szémítható ki a valós feszültséggenerátor kapocsfeszültsége?

92. Mi a villamos áramkör?93. Hogyan számítható ki az áramer !sség értéke az egy generátort és egy ellenállást tartalmazóáramkörben?



94. Hogyan ábrázolják a valós feszültséggenerátorokat?95. Mi a teljesítményillesztés?96. Mi a maximális teljesítmény-leadás feltétele?97. Hogyan számítható ki az áramer !sség értéke a több generátort és több ellenállást tartalmazó

áramkörben?98. Mikor m"ködik generátorként és mikor fogyasztóként a feszültséggenerátor?

99. Hány irányra kell ügyelni a feszültség számításakor az áramkörben?100. Mi a feszültségszámításra szolgáló általános kifejezés alakja, ha UAB értékét számítjuk az A pontból haladva a B pont felé?

101. Mi a feszültségszámításra szolgáló általános kifejezés alakja, ha UAB értékét számítjuk a B pontból haladva az A pont felé?

102. Hány és mely irányokra kell ügyelni a feszültség számításánál az általános kifejezések alkalmazásakor?

103. Mi az el!feltétele annak, hogy az áramkör egy adott pontjának potenciálját ki tudjuk számolni?

104. Mi a potenciál számítására szolgáló általános kifejezés alakja, ha VA értékét számítjuk az A pontból haladva a vonatkoztatási (leföldelt) pont felé?

105. Mi a potenciál számítására szolgáló általános kifejezés alakja, ha VA értékét a referencia(leföldelt) pontból az A pont felé haladva számítjuk?

106. Mi a villamos hálózat (összetett áramkör)?107. Mikor aktív és mikor passzív a villamos hálózat?108. Mikor mondhatjuk egy hálózatra azt, hogy lineáris?109. Mikor nemlineáris a hálózat?110. Mi a hálózati csomópont?111. Mi a hálózat ága?112. Melyik elektrosztatikában megismert törvény képezi Kirchhoff második törvényének

alapját?113. Írd fel Kirchhoff második törvényének integrálalakját!114. Mi a huroktörvény szokványos alakja?115. Mikor milyen algebrai el! jellel rendelkezik az E és RI szorzat a huroktörvényben?116. Milyen energiaforrások az áramgenerátorok?117. Mi jellemzi az ideális áramgenerátort?118. Milyen a valós áramgenerátor (elfogadott elvi modellje)?119. Hogyan ábrázoljuk az áramgenerátort?120. Mivel egyenl! az áramgenerátor teljesítménye?121. Lehet-e egyenérték " egy ideális feszültséggenerátor és egy ideális áramgenerátor?122. Milyen egyenérték "ségi feltétel mellett keressük a valós feszültséggenerátornak megfelel!

valós áramgenerátort?

123. Mi a két egyenérték "

ségi feltétel a valós feszültség- és áramgenerátor megfeleltetésekor?124. Miért hibás a valós áramgenerátor elfogadott elvi modellje?125. Mit ölel fel a hálózatanalízis problémaköre?126. Mik a kétpólusok vagy póluspárok?127. Mi képezi a hálózat gráfját?128. Mire szolgál a hálózat gráfja?129. Hány független egyenlet írható fel Kirchhoff els! (csomóponti) törvénye alapján egy adott

hálózatra és miért?130. Mi a gráf fája?131. Melyek a gráf faágai?132. Melyek a beköt! ágak?

133. Hogyan hozható létre a független hurkok legnagyobb száma a lehet! legegyszer " bb módon?134. Hány független egyenlet írható fel Kirchhoff második, ún.huroktörvénye alapján egy adotthálózatra és miért?



135. Mennyi az ismeretlenek száma egy hálózat megoldásánál?136. Hány egyenlet írható fel összesen a Kirchhoff-egyenletek segítségével?137. Minek alapján írhatók fel a további szükséges (kiegészít!) egyenletek?138. Mennyi a független ágfeszültségek száma egy adott hálózatban?139. Mennyi a független ágáramok száma egy adott hálózatban?140. Mi a Kirchhoff-törvényekkel végzend! hálózatanalízis menete?

141. Mi a Kirchhoff-törvények alkalmazásának a hátránya?142. Milyen általános alakú egyenleteket adnak a Kirchhoff-törvények?143. Hogyan módosul a felírandó Kirchhoff-egyenletek száma, ha egyes ágakban csak ideális

feszültség- vagy áramgenerátorok vannak?144. A hurokáramok módszerénél mit (miket) tekintünk ismeretlennek?145. Mi az a fizikailag teljesen alaptalan, de matematikailag helyes elképzelés, amely a

hurokáramok bevezetését igazolja?146. Mennyi egyenletet kell felírni a hurokáramok módszerét alkalmazva?147. Milyen alakú egyenletrendszert biztosít a hurokáramok módszere, és mi a jelölések értelme?148. Valós áramgenerátorokat is tartalmazó hálózatok esetén hogyan alkalmazzuk a

hurokáramok módszerét?

149. Ideális áramgenerátorokat is tartalmazó hálózatok esetében mi a teend!?150. A csomóponti potenciálok módszerénél mit tekintünk ismeretlennek?151. Mennyi egyenlet írható fel a csomóponti potenciálok módszerének segítségével?152. Milyen alakú egyenletrendszert biztosít a csomóponti potenciálok módszere, és mi a

jelölések értelme?153. Ha a hálózatban áramgenerátorok (is) m"ködnek, hogyan módosul az egyenletrendszer?154. Mit lehet tenni, ha a hálózat egyes ágait ideális feszültséggenerátorok alkotják?155. Melyik az el!nyösebb hálózatanalízis-módszer: a hurokáramok vagy a csomóponti

potenciálok módszere (és mikor)?156. Mi a csillag-delta transzformáció (átalakítás) alapja (melyik eljárás képezi az alapját)?157. Melyek a csillagból delta-kapcsolásba való átszámítás kifejezései?158. Hogyan szólnak a háromszögb!l csillag-kapcsolásba való átszámítás egyenletei?159. Hogyan fogalmazható meg a szuperpozíció elve?160. Hogyan bizonyítható a szuperpozíció elve?161. Hogyan szól a felcserélési tétel (a reciprocitás tétele)?162. Hogyan bizonyítható a felcserélési tétel?163. Mit fogalmaz meg a Thèvenin-tétel?164. Miként szól a Norton-tétel?165. Hogyan lesz a Thèvenin-tételb!l Norton-tétel?166. Hogyan bizonyítható a Thèvenin-tétel?167. A Thèvenin-tétel alkalmazása: a feszültséggenerátorok soros, párhuzamos és vegyes

kapcsolása168. Mit mond ki a helyettesítés (kompenzáció) tétele?169. Hogyan bizonyítható a helyettesítés tétele?170. Mit rögzít a teljesítménymegmaradás tétele?171. Érvényes-e a szuperpozíció elve a teljesítményekre?172. Mi a létrahálózat gyors megoldásának lényege?173. Mi a szimmetrikus hálózatok megoldásánál a könnyítés?174. Mi történik a kettévágott ágakban az ellenállások és az áramgenerátorok forrásáramának

értékeivel?175. Léteznek-e a valóságban ideális lineáris elemek?176. Miért fektetünk mégis nagy hangsúlyt a lineáris hálózatok analízisére?

177. Hogyan csoportosítjuk a nemlineáris elemeket az !ket alkotó anyagok jellege alapján?178. Milyen elemek a termisztorok és milyen fajtájuk ismert?179.Milyen a termisztorok jellegzetes átmeneti (I/U) görbéje?



180. Mire használják leggyakrabban a termisztorokat?181. Milyen nemlineáris elemek készülnek nemlineáris jelleg" anyagokból?182. Mib!l és hogyan készül, és milyen karakterisztikával rendelkezik a tirit ellenállás

(varisztorok családja)?183. Hol alkalmazzák a tirit ellenállásokat?184. Melyek az aszimmetrikus karakterisztikájú nemlineáris elemek?

185. Milyen a vákuum-dióda átmeneti görbéje (analitikus és grafikus alak)?186. Milyen a félvezet!-dióda átmeneti görbéje (analitikus és grafikus alak)?187. Hogyan kapható meg egy lineáris és egy nemlineáris elem soros kapcsolásának ered!

átmeneti karakterisztikája?188. Hogyan kapható meg egy lineáris és egy nemlineáris elem párhuzamos kapcsolásának ered!

átmeneti karakterisztikája?189. Mikor találkozunk átmeneti jelenségekkel a villamos hálózatoknál?190. Milyen egyenlettel (egyenletrendszerrel) írhatók le az átmeneti jelenségek a lineáris

koncentrált paraméter " hálózat esetében?191. Milyen megoldás-részekb!l áll az állandó együtthatójú, inhomogén, lineáris

differenciálegyenlet-rendszer (differenciálegyenlet) általános megoldására?

192. Fizikailag hogyan magyarázhatók ezek a megoldás-részek?193. Mi a soros RC kör egyenfeszültségre kapcsolásának kiinduló egyenlete és

differenciálegyenlete?194. Hogyan történik az állandók meghatározása?195. Milyen a kondenzátor feszültségének pillanatnyi értéke az egyenfeszültségre kapcsolás

id! pontjától számítva (analitikusan és grafikusan)?196. Milyen a kondenzátor tölt!áramának pillanatnyi értéke az egyenfeszültségre kapcsolás

id! pontjától számítva (analitikus és grafikus alak)?197. Meddig tartanak gyakorlatilag az átmeneti jelenségek?198. Milyen a kisütés céljából rövidre zárt soros RC kör kondenzátor-feszültségének pillanatnyi

értéke?199. Milyen a rövidre zárt soros RC körben a kondenzátor kisütési áramának pillanatnyi értéke?200. Hogyan sorolhatók osztályokba a kondenzátorokat tartalmazó hálózatok?201. Milyen hálózatot jelöl az „elektrosztatikus hálózat” fogalom?202. Milyen alakú Kirchhoff csomóponti törvénye az elektrosztatikus hálózatok esetében?203. Milyen alakú Kirchhoff huroktörvénye az elektrosztatikus hálózatok esetében?



4. STACIONÁRIS (ID!BEN ÁLLANDÓ) MÁGNESES TÉR

4.". Két áramelem között ható mágneses er#

A két kis, nyugalomban levõ villamos töltés (elektromosan töltött test) között fellép!elektromos (villamos) erõt közvetlen módon le lehet mérni. Sajnos két kis, mozgó, elektromosantöltött test között az erõt gyakorlatilag nem lehet lemérni. Másszóval lehetetlen olyan kísérletetelvégezni, amely alapján következtetni tudnánk arra, hogy hogyan változik meg az erõ kétvillamosan töltött test között, mikor azok mozogni kezdenek.

Létezik azonban egy egyszer " mód arra, hogy az elektrosztatikus erõkt!l különválasztvelemérjük a mágneses erõket. Az elektromos áram tulajdonképpen nagyszámú elektromos töltésrendezett mozgása. A jó vezetõknél, hogy fenntartsuk a rajtuk átfolyó áramot, nagyon kicsivillamos tér szükséges, így a vezetõ felületén nincs felhalmozódott nyugvó elektromos töltés.Két ilyen vezetõ között az erõ az áramot létrehozó töltések mozgásának eredménye, így avezetõk közötti erõ tisztán mágneses erõ. A mágneses jelenségek tanulmányozását kétáramvezetõ közötti erõ meghatározásával kezdjük, pontosabban a két vezetõ egy-egy áramkörieleme között jelentkez! er ! kiszámításával. Az ilyen elemeket áramelemeknek fogjuk nevezni.

Itt azokról a mágneses erõkröl beszélünk, amelyek a vákuumban levõ áramjárta vezet!k között jelentkeznek (a közelben csak olyan testek vannak, amelyekben nincs vas, nikkel éskobalt).

A két áramelem között ható mágneses erõ törvényének matematikai formája összetettebb,mint a Coulomb-törvény matematikai alakja. A törvény megfogalmazásához két vektor vektoriális és három vektor dupla (kétszeres) vektoriális szorzatának alkalmazása kell.

Vegyünk például két vékony, zárt C1 és C2 vezetõt I1 és I2 árammal, amelyek tetszõlegesalakúak (4.1. ábra). Ahhoz, hogy kiszámítsuk a két tetszõleges alakú áramhurok között ható erõt,

elõbb meg kell határozni azt az erõt, amellyel a két áramelem (két rövid, egyenesvonalúáramjárta vezetékrész) egymásra hat. Ha ismerjük a két áramelem között ható mágneses erõmatematikai kifejezését, akkor a két áramhurok között jelentkez! ered! erõ –elméletileg– egyenlõ az összes áramelem között ható erõk vektoriális összegével (vektorintegráljával).

Az áramelemek között ható erõk mérése kísérleti úton nem lehetséges, mivel ilyenáramelemek külön nem léteznek (az áramkörnek zártnak kell lennie). De a több különbözõ alakúés helyzet" áramelem között lemért erõb!l kikövetkeztethet!, hogy milyen alakú lehet a kétáramelem között ható erõ. Ilymódon meghatározható a mágneses erõ kifejezése, amellyel az I1

áramú dl!

1 áramelem az I2 áramú dl!

2 áramelemre hat:

( )2

012122112

r

r l d l d I I k F d

!

!!

! ××=

π

µ

40=k

Az SI (MKSA) mértékrendszerben k = −10 7

2 A

N

µ 0 − vákuum permeabilitása

= −2

70 104

A

N

m

H π µ H-henry, az induktivitás mértékegysége

r 012

r dl2dl1

C2

I2I1

C1

4.1. ábra



4.2. A mágneses tér fogalma, mágneses indukció vektora, Biot-Savarttörvénye

Amint az elektromos, úgy a mágneses erõk is látható közvetítõk nélkül hatnak, ami idegenaz ember megszokott gondolkodásmódjától és érzékelését!l. E nehézség elhárítása céljábólvezetjük be a mágneses tér (vagy mez!) fogalmát, amely a közvetítõ szerepét kapja. A dl

!

1

áramelemben levõ áram úgy módosítja a környezetét (a vákuumot), hogy egy másik áramelemre( dl

!

2 ), amellyet az elsõ áramelem ( dl!

1 ) közelébe hozunk, erõ hat a fent leírt képlet (törvény)

szerint. A dl!

2 áramelemre nem a dl!

1 áramelemben folyó áram hat közvetlenül, hanem a

mágneses tér a dl!

2 környezetében, amely a dl!

1 áramelemben levõ áramtól ered. A két áramkörielem között fellép! erõ a következõ alakban is felírható:

⋅=

2012110

2212 4 r

r xl d I xl d I F d

!

!

!!

π

µ

A zárójelben lévõ kifejezésben nem szerepel egyetlen olyan jelölés vagy nagyság sem,amely a dl

!

2 áramelemre utalna, kivéve a dl!

1 áramelemtõl való távolságot (r). Ezért a zárójelben

levõ kifejezést mint alapkifejezést használhatjuk, amely leírja az I1 áramú dl!

1 áramelem

mágneses terét. Ezt a kifejezést a mágneses indukcióvektor definíciójának tekintjük, jelölése!

B .A Biot-Savart-törvény szerint az áramelem által létrehozott mágneses indukció (4.2. ábra):

200

4 r

r xl Id Bd

!

!

!

⋅=π

µ

0r !

- a mágneses tér forrásától a tér meghatározásának pontjába irányított (odamutató)

egységvektor.

20 sin

4 r

Idl Bd dB

α

π

µ ⋅==

!

|!

B | = B az indukcióvektor intezitása

A dB!

vektor iránya merõleges a l d !

és 0r !

vektorok által alkotott síkra.

Irányítása a jobbcsavar haladási irányávalegyezik meg, a jobbcsavar elfordítását

pedig a l d !

vektor olyan irányú rotációja

(elforgatása) jelenti, melynek segítsége által a l d !

iránya és irányítása a legrövidebb úton esik egybe az 0r

!

egységvektor irányával és irányításával. Az áramelem irányítása a hurokban folyó

áram referenciairányával (vonatkoztatási irányával) adott.Figyeljük meg az 4.2. ábrán látható hurkot. A

!

B mágneses indukciót, amelyet ez a vezetõhoz létre, bármely pontban úgy határozzuk meg, hogy vektoriálisan összeadjuk a dB

!

indukciókat,amelyeket a C áramhurok elemei az adott pontban létrehoznak. A vektoriális összeadás(integrálás) matematikai alakja a következ!:

∫ ⋅=

c r

xr l Id B

200

4

!

!

π

µ

I M

αr 0

r

C

4.2. ábra



A!

B mértékegysége az SI (MKSA) mértékrendszerben: teszla [ ]T , illetve a vele

egyenérték " mértékegység-kifejezések: N

Am

, valamintWb

m2

.

A mágneses indukcióvektor intenzitásának értéke a gyakorlatban:

-a Föld mágneses terének vízszintes komponense nálunk 0.2⋅10-4 T ,-a Föld mágneses terének függõleges komponense nálunk 0.35.10-4 T,- levegõben levõ áramvezetõ körül 10-6-10-2 T,- az elektromágnesekben (a vasmagban) néhány tíz T.

4.". Példa: Számítsuk ki a mágneses indukció vektorát (irányát, irányítását és nagyságát vagyintenzitását) a kör alakú áramhurok középpontjában (4.3. ábra).

Megoldás:

202

0

04

90sin

4 a

Idl

a

Idl dB π

µ

π

µ

=⋅=

∫ ∫ =4

=4

=2

02

0

cc

dl a

I

a

Idl B

π

µ

π

µ

a

Ia

a 2 2=2⋅

4= 00 µ

π π

µ I B

Mivel az összes elemi dB!

indukció, amelyek összeadásával a

!

B indukciót kapjuk, egyforma irányú és irányítású, ezért a!

B vektor intenzitása

egyenlõ a dB

!

vektorok intenzitásainak összegével.

4.2. Példa: Határozzuk meg az indukcióvektor értékét (mindhárom ismérvét) a végtelen hosszúegyenes vezetõ körül (4.4. ábra).

Megoldás:

204

sin

R

Idl dB

π

α µ =

Az A pontban a vezetõ minden eleme egyformairányú és irányítású elemi mágneses indukciót hozlétre:

2

vezetõegész

0

vezetegész 4

sin

R

Idl dB B

õ

π

α µ ∫ ∫ ==

A képr !l látható, hogy:

θ α += 090 , vagyis:

( )sin sin cosα θ θ= + =900 , (1)

másrészr !l pedig könnyen belátható a következ! két

dl

I

r 0

a

C

dB

4.3. ábra

z

Ix

y

A

θ

β

αdl

R

r

r 012

dB

4.4. ábra



összefüggés is: θ

θ θ

θ

coscos

Rd dl

dl

Rd =⇒= (2)

θ θ

coscos

r R

R

r =⇒= (3)

Ha az el!z! három összefüggést behelyettesítjük a mágneses indukció fenti kifejezésébe, akövetkez!ket kapjuk:

20 1

coscos

R

4

2

1 R

d I B ⋅⋅= ∫ θ

θ

θ

π

µ θ

θ

,

egyszer "sítés után pedig:

θ θ

π

µ θ

θ

cos4

2

1

0 ⋅= ∫ r

d I B ,

az integrált kiértékelve:

θ θ π

µ θ

θ

d oscr

I B ∫ =

2

14

0 ( )120 sinsin

4 θ θ

π

µ −=

r

I .

A fenti kifejezés általános érvény", a kés! bbi példákban alkalmazást is nyer.Ebben a feladatban a szögek értékei:

21

π θ −= ,

22

π θ = .

Az indukcióvektor intenzitása tehát az A pontban (az indukcióvektor iránya és irányítása az 4.4.

ábrán látható):B=

r

I

π

µ

20 .

4.3. Példa: Mekkora a mágneses indukcióvektor értéke a 4.5. ábrán látható téglalap alakú áramjártavezetékhurok középpontjában. Alkalmazzuk azel!z! példában eredményként kapott általánosérvény" kifejezést!

Megoldás:

Az el!z! példában megkapott általános kifejezésalapján:

−−

+

−−

=2

sin2

sin

24

22

sin2

sin

24

2 00 α α

π

µ β β

π

µ

b

I

a

I B ,

illetve rendezés után:

I

b

β/2

β

β/2

α

a

B

4.5. ábra



+=

ba

I B 2sin2sin

2 0α β

π

µ .

Mivel a 4.5. ábráról könnyen belátható a következ! két trigonometriai összefüggés:

222sinba

b+

=β (1)

és

sinα 2 2 2=

+

a

a b, (2)

így az indukció keresett értéke (intenzitása – az irány és az irányítás a 4.5. ábrán látható):

2202 baab

I B +=

π

µ .

A Biot-Savart-törvény egyenlete (a dB!

-re és a !

B -re) lehetõvé teszi a tetszõleges alakú ésvékony áramjárta vezetéktõl származó mágneses indukció kiszámítását. A

!

B számításárahasznált kifejezésben levõ integrált nem tudjuk közvetlenül kiértékelni (kiszámítani), de mindignagy pontosággal kiszámíthatjuk numerikus módszerrel, számítógép segítségével.

Határozzuk meg a kifejezéseket arra az esetre, amikor a mágneses indukció felületiáramtól, vagy vastag vezetékben folyó áramtól származik!

Ha a vastag vezeték keresztmetszete S, akkor az I dl!

szorzat felírható mint:

dV J Sdl J l JSd l Sd

S

I l Id !!!!!

==== ,

ezek szerint a mágneses indukció, amely a dV térfogatú elemben a!

J árams"r "ségt!l származik:

dV r

r J Bd

200

4

!

!

! ×⋅=

π

µ ,

illetve:

∫ ×

⋅=V

dV r

r J B

200

4

!

!

!

π

µ .

Ha a felületi áram a szélesség" sávban folyik, akkor:

dS J adl J l ad J l ad a

I l Id S s s

!!!!!

====

vagyis a mágneses indukció, amely a dS felület" elemen folyó!

J s felületi árams"r "ségtõlszármazik:

dS r

r J Bd s

200

4

!

!

! ×⋅=

π

µ ,

az össz indukció pedig:

∫ ×

⋅=

S

s dS r

r J B

200

4

!

!

!

π

µ .



Elevenítsük most fel a σ felületi töltéss"r "ségt!l ered! villamos tér leírására a sztatikábanmegismert kifejezést:

0204

1r

r

dS E

s

!

!

∫ = σ

πε .

Összehasonlítva a két képletet észrevehetjük, hogy mindkét esetben egy vektorintegrálkiértékelésér !l van szó. A sztatikában az elektromos töltések elhelyezkedése (eloszlása) a vezetõfelszínén általában ismeretlen, mivel e töltésektõl származó villamos tér nagy kihatással vanmagukra a töltésekre, illetve a töltések elhelyezkedésére a test felszínén. Ezzel szemben azárams"r "ség a vezetõ egyetlen pontjában sem függ a

!

B vektor intenzitásától, irányától ésirányításától ugyanabban a pontban. Emiatt a

!

B meghatározására szolgáló kifejezést sokkaltöbbet használják a gyakorlatban, mint az

!

E meghatározására szolgálló kifejezést.

4.".". MÁGNESES INDUKCIÓVEKTOR AZ ÁRAMHUROK SÍKJÁNAK

PONTJAIBAN

A!

B vektor kiszámítására szolgáló kifejezés igen bonyolult. Ha az áramhurok sík és amágneses indukció vektorát e sík bármely pontjában kell meghatározni, akkor a

!

B -re vonatkozókifejezést le lehet egyszer "síteni. A

!

B vektor intenzitása a 4.6. ábrán látható síkbanelhelyezked! áramhurok esetében az áramhurokhoz tartozó sík tetsz!leges pontjában akövetkez! módon számítható ki:

dBIdl

r =

µπ

α024

sin

A képr !l kivehet!, hogy:

θ β β θ

rd dl dl

rd =⋅⇒= coscos

és

β α += 090

( ) β β α cos90sinsin 0 =+= ,

vagyis az el!z!ek alapján:θ α rd l d =⋅ sin .

Behelyettesítve a kiinduló kifejezésbe a következ!ket kapjuk:

r

Id dB

θ

π

µ

40= ,

illet!leg:

∫ =

2

14

0θ

θ

θ

π

µ

r

d I

B .

P

M

dB'

dB

dl'

dlI

r 0 r

dθ

θ

β

α

4.6. ábra



4.4. Példa: Határozzuk meg a mágneses indukcióvektort a síkban elhelyezked! kör alakúáramhurok (körvezet!) középpontjában (4.7. ábra)!. Most ne a Biot-Savart törvényt használjuk,hanem a fent levezetett kifejezést!

Megoldás:

a

I B

d a

I

r

d I Bc

2

44

0

2

0

00

µ

θ π µ θ

π µ π

=

== ∫ ∫

4.5. Példa: Számítsuk ki most a másik Biot-Savart törvénnyel megoldott példafeladatot is: amágneses indukcióvektor értékét a végtelen hosszú, egyenes, áramjárta vezet! közelében (4.8

ábra)!

Megoldás:

BI d

r

I

dd

I

d= = =

− −

∫ ∫ µπ

θ µπ

θ θ µ

ππ

π

π

π

0

2

2

0

2

2

0

4 4 2cos

4.6. Példa: Nehezítsünk az utolsó-el!tti példa feladatán: határozzuk meg a mágneses indukcióvektorát a kör alakú vezet! tengelye mentén (4.9. ábra).

Megoldás:

20

4 r

Idl dB

π

µ = ∠ ( dl r

!

!

, 0 ) = 900

mivel l d

!

és az 0r !

által bezárt szögmindig derékszög, bárholhelyezkedjen is el az áramelem. Aszimmetria miatt azindukcióvektornak csak a z tengelyirányába mutató vektorkomponensevan:

( ) 23

22

0

4sin

z a

Iadl dBdB z

+==

π

µ α

22sin

za

a

+=α

M

IC

a

B

dθ

θdl

4.7. ábra

M

dθ

θ

IB

d

r dl

4.8. ábra

r 0

I

y

x

z

C

aP

r

α

α

dl

dB

dBz

4.9. ábra



( ) ( )a

z a

Iadl

z a

Ia B

c

z π

π

µ

π

µ 2

+4=

+4=

23

22

0

23

22

0 ∫

( ) 23

22

20

2 z a

Ia B z

+=

µ .

A kapott kifejezés helyességét igazolandó, helyettesítsük be a z=0 értéket az utolsóképletbe! A 4.4. példa eredményét kell megkapnunk:

a

I B z

π

µ

20=

A síkban elhelyezked! körvezet!t!l távol (z>>0), a tengely mentén az indukcióvektor értéke:

BIa

zz = µ0

2

32.

4.7. Példa: Számítsuk ki az indukcióvektor értékét a Helmholz-orsó (kör alakú vezetékpár – 4.10. ábra) tengelye menetén.

Megoldás:

Használjuk ki az el!z! példa megoldását, ésírjuk fel kízvetlenül az indukcióvektor nagyságát a P pontban (milyen azindukcióvektor iránya és irányítása?):

( ) ( )( )B

Ia

a z a a zz =

++

+ −

µ02

2 23

2 2 23

22

1 1

( ) ( )B

I

a za

za

z =+

+− −

µ0

23

2 23

22

1

1

1

1 1

.

Kicsit hosszadalmas, de aránylag egyszer " eljárással bizonyítható (az indukcióvektror els! ésmásodik deriváltjának nullával való kiegyenlítésével), hogy a mágneses tér értéke akörvezetékek között félúton, a tengely mentén gyakorlatilag állandó, illetve homogén.

4.3. A mágneses térben lev# áramhurokra ható er# és forgatónyomaték

A mágneses térben levõ áramhurokra ható ered!erõ és ered! forgatónyomaték elvbenkiszámítható a

)2 012122112r

r l d l d I I k F d

!

!!

!

××=

2aP

a-zz

a

4.10. ábra



képlettel. Általánosabb kifejezést akkor kapunk, ha azer !t és a forgatónyomatékot a hurok mentén kiszámítottmágneses indukció segítségével számítjuk ki. Az ilyeneljárás akkor is érvényben marad, ha a mágneses tér nem valamilyen vezet! ben folyó áramtól származik,hanem pl. állandó mágnest!l. Az er !, amellyel

a dl1!

elem a dl2!

elemre hat felírható a következ!alakban is:

dF I d l xdB! ! !

12 2 2= .

Általánosan fogalmazva, a mágneses tér B!

indukcióértékkel rendelkez! pontjában elhelyezked!áramelemre ható er ! (4.11. ábra):

dF IdlxdB! ! !

= .

Az ered! mágneses erõ az áramhurokra vonatkoztatva:

B xd l d I F !!!

∫ =

menténvezet!a

.

Az O-O’ tengelyre számított forgatónyomaték (4.11. ábra), amely a ld!

áramelemre hatómágneses er ! következménye, így írható fel:

)BxlIdr =Fdx00

!!

!

!

!

!

r M d =′− ,

illetve:

)Bxldx00

!!

!

!

r I M d =′− .

Az ered! (O-O’ tengelyre számított) forgatónyomaték, amely a teljes áramhurokra hatómágneses er ! következménye, a következ! alakot kapja:

)∫ =′−

mentén vezet!a

00 Bxldx!!

!

!

r I M .

4.4. Villamos töltés mozgása mágneses és elektromos térben

Az áramelemre ható er ! tulajdonképpen a dl!

elemben mozgó villamos töltésekre hatómágneses erõk vektoriális összege. Gyakorlásként határozzuk meg az egy töltésre ható mágneseserõt. Az áramelemre ható mágneses er !t már el! bbr !l ismerjük:

Bd l d I F d !!!

×⋅= .

A jobb oldal els! része tovább bontható:→

=== v NSdlQl NQvSd l JSd l Id !!!

,

ahol: NSdl - a dl áramelemben levõ össz szabad töltéshordozó száma.

C - nem

deformálható hurok

B

O

O'

r

dl

I

4.11. ábra



A kapott értéket behelyettesíthetjük az er ! kifejezésébe. Ha csak az egy töltésre ható er !érdekel bennünket, úgy az áramelemre ható er !t el kell osztanunk a bennük lev! töltéshordozók

számával (NSdl). Így jutunk el a→

v sebeséggel mozgó részecskére ható mágneses erõkifejezéséhez:

Bv !!

×=→

Q F .

A →v és

!

B vektorok változnak a részecske mozgásának ideje alatt. A mágneses erõ mindigmerõleges a részecske mozgási irányára. Ezért mágneses erõvel (a mágneses tér által) nem lehetmegváltoztatni a részecske sebességének intenzitását, csak mozgási irányát (a mozgás iránya ésirányítása változik, viszont a részecske kinetikus energiája nem).

4.8. Példa: A Q>0 töltés" és m tömeg" részecske!

B indukciójú homogén mágneses térbenmozog (lásd a 4.12. ábrát). Határozzuk meg a mozgási pálya sugarát, a részecske forgásisebességét és frekvenciáját.

Megoldás:

Írjuk fel az 4.12. ábrán feltüntetett er !k kifejezéseit:

Bv !!

×= →

Q F - (a Lorenz-féle mágneses er !)

QvB,)B,v(sinQvBF =∠⋅= !

!

mert rad2

90, π

=°=

∠ →

Bv!

.

R

mv

F

2

c = - centrifugális erõ.

Körmozgás esetén a két er ! egyensúlyban van:

R

mv=QvB

2

,

amib!l a körmozgás sugara közvetlenül adódik:

QB

mv

QvB

mvR

2

==

A sugárból a periódus egyszer "en számítható, hiszen az egy periódus ideje alatt megtett úta kör kerületével egyenl!:

QBm2

QBmv

v2

vR 2T

π π π === .

Az eredmény érdekes és értékes, mert rámutat, hogy a periódus nem függ a részecskesebességét!l. A frekvencia a periódus reciprok értéke:

f T

QB

m= =

1

2π.

4.".". A CIKLOTRON ELVI M$KÖDÉSE

A villamos töltések felgyorsítására ciklotront használnak. A ciklotron fõ része a két részre vágottl h b j ll l j l l lh k ill ( l i

Q

B

F

Fc

v

R

4.12. ábra



beállítható sebességgel változtató feszültségforrásra) kapcsolódnak. Az egész rendszer homogénmágneses térben helyezkedik el úgy, hogy a tér merõleges a henger alapjára. A hengerbenvákuum, illetve légritkított tér van. A villamos töltések a kettévágott henger közötti elektromostérbe kerülnek és felgyorsulnak. A résen kívül (az egyik vagy a másik félhenger belsejében) arészecskék csak mágneses térben mozognak, mégpedig félkör alakú pályán, melynek sugara:

QB

mv R = .

A teljes kör leírásának ideje (a periódus), mint ahogy azt az el!z!ekben láttuk, nem függ asebességt!l:

QB

mT

π 2= .

Ezért a részecskék mindig ugyanannyi idõ alattérnek a réshez. Ha az oszcillátor feszültségváltozását úgy állítják be, hogy a résbenlevõ elektromos térrel a részecskéket mindiggyorsítják, akkor a részecskék egyre nagyobb és

nagyobb sugarú félkört fognak leírni. A végén azeltérít! elektróda elektromos tere miatt arészecskék kirepülnek a ciklotronból. A kirepülésivagy végsebesség értéke:

m

QBav = .

A villamos és mágneses térben mozgóvillamos töltésekre az úgynevezett Lorenz-er ! hat,melynek alakja:

Bx

!!! →

+= vQ E Q F .

Egyszer " bb esetekben meghatározható a részecske pályája is:

( ) ( )m

d dB

2 !

!

!

!r

dtQE Q

r

dtx

t t2 = + .

Az elektromos és mágneses térben mozgó töltött részecske mozgásegyenletében az ( )!

r t a

részecske helyvektora. A részecske pályájának meghatározása (kiszámítása) a mágneses és azelektromos tér tetszõleges eloszlása mellett nagyon nehéz, különösen ha ezek a terek idõbenváltoznak

4.".2. HALL EFFEKTUS

Hall kidolgozott egy kísérletet amelyalapján meghatározható a szabadtöltéshordozók elõjele a vezetõkben. Figyeljük a vékony, d vastagságú vezetõ szalagot, amely

!

B indukciójú homogén mágneses térben van(4.14. ábra). A

!

B vektor vonalai merõlegesek aszalag síkjára. A szalagon keresztül

!

J s"r "ség"áram folyik amelyet pozitív (4.14.a ábra-rész)

oszcillátor

kimen!

részecske

eltérít!

elektróda

B

a

1 2

4.13. ábra

1 2

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

-

-

(a)

d

(b)

J

Bv

Fm 1 2

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

-

-

d

J

B

v

Fm

4.14. ábra



vagy negatív (4.14.b ábra-rész) töltések hozhatnak létre.

A mágneses térben mozgó töltésre az Bx!! →

= vQ F m erõ hat, és ennek az a következménye,

hogy a szalag egyik szélén pozitív (+), a másik szélén pedig negatív (-) töltések fognak összegy"lni. A széleken elhelyezked! töltések által keletkezett elektromos tér (Eh) ellenáll a

!

Bmágneses tér hatása alatt mozgó töltések további felgyülemlésének. Az állandósult állapotban:

QvB=QEh,

azazEh=vB.

A széleken megjelölt pontok közöti feszültség:V1-V2=Ehd=vBd.

Ez a potenciálkülönbség lemérhetõ és az elõjel alapján következtetni lehet arra, hogy aszabad töltéshordozók a vezetõben milyen elõjel"ek. A 4.14. ábra alapján kit"nik, hogy:

− pozitív töltéshordozók esetén a V1-V2<0,

− negatív töltéshordozók esetén pedig a V1-V2 >0.

Mivel J=NQv, közvetlenül felírhatjuk, hogy

B NQ

Jd V V =− 21 .

A kifejezésben szerepl! töltéshordozók s"r "sége viszont az

M

N N maρ =

képlet alapján számítható, ahol:− Na- az Avogadro szám,

− ρm - az anyag tömegs"r "sége és− M- az anyag atomtömege.

Mivel a potenciálkülönbség kifejezésében maga a potenciálkülönbség, az árams"r "ség és avezetõ szélessége lemérhetõ, az Na, ρm és M ismert egy adott anyagra, ilyen módonmeghatározható a mágneses tér, vagyis az indukció (

!

B ) amelyben a Hall-elem (Hall-szonda)elhelyezkedik. Ezt használják ki az igen kisméret"re gyártott mér !elemeknél, amelyek avillamos gépek légréseiben mérik a mágneses teret.

4.5. A mágneses indukció vektorának er#vonalaiEgy vektor er !vonalai képzeletbeli görbe vonalak amelyeknek minden pontjában a vektor

érint! irányú. A!

B vektor vonalai nagyon hasznosak a mágneses tér ábrázolására. E vonalak kísérlettel is meghatározhatók. Ismeretes, hogy a mágnest" (állandó mágnesb!l készített t",irányt", amely szabadon mozoghat egy tengely körül) a mágneses térrel (a

!

B vektorral) mindig párhuzamosan áll be, úgyhogy az irányt" észak-dél pólusiránya megegyezik a

!

B vektor irányításával. Ezek az ismeretek lehetõvé teszik a

!

B vektor vonalainak könny" meghatározását.A Biot-Savart törvény alapján e vonalak némely esetben ki is számíthatók. Példaként

határozzuk meg egy áramelem !

B vektorának vonalait. A dB!

vektor merõleges arra a síkra,

amely a dl

!

és!

r 0 vektort tartalmazza (4.15. ábra jobb oldali része). Mivel a mágneses tér szimmetrikus a dl

!

elem irányára, ebbõl következik, hogy a dB!

vektor vonalai körök. E vonalak



középpontjai a dl !

elem irányával egybeesnek és a dB!

vektor intenzitása egy kör minden pontjában egyforma.

Egy vékony hosszú (egyenes) vezet ! esetén a!

B vektor vonalai körök és a vezetõ tengelyénvan a középpontjuk (4.15. ábra bal oldali része). A

!

B vektor iránya és a vezetõben folyó áramiránya a jobbcsavar szabály szerint vannak összekötve ( a

!

B vektor a jobbmenetes csavar elfordulási irányába, az áram iránya pedig a csavar haladási irányába mutat).

A 4.16. ábra bal oldali részén egy áramhurok (körvezet!) !

B vektorának er !vonalailáthatók, míg ugyanennek az ábrának a jobbl oldali részén két, egymáshoz közeli, koaxiális,egyforma áramer !sség" és sugarú körvezet!

!

B vektorának er !vonalait láthatjuk. A 4.2.1.fejezetben kidolgozott példák alapján tudjuk, hogy az említett ábra jobb oldali részénelhelyezked! rajzon a tengely körül homogén tert kapunk. Várható, hogy ha növeljük akörvezetékek számát és csökkentjük a köztük levõ távolságot, akkor a mágneses tér mindnagyobb térrészben lesz homogén.

A 4.17. ábrán látható a s"r "n tekercselt szolenoid

!

B vektor vonalai. A!

B vektor vonalainak nincs se kezdetük se végük,

vagyis zárt görbék. Ez annak akövetkezménye, hogy egy áramelemmágneses indukciójának vektorvonalai isönmagukba záródnak (tetszõleges eloszlásúáram mágneses terét úgy kapjuk meg, hogyvektoriálisan összeadjuk az áramelemektõleredõ er !tereket).

A természetben nem léteznek azelektromos töltésekhez hasonló, “mágnesestöltések” (különválasztott pólusok). Csak az ilyen “mágneses töltések” hozhatnának létre olyanmágneses teret, amelynek vonalai egyik pólusban kezdõdnének és a másikban végzõdnének.Ezért a mágneses teret forrásmentes (örvényes) er !térnek mondjuk, melynek zárt er !vonalai

B

I

BB

BBB

Idl

B

4.15. ábra

4.16. ábra

4.17. ábra



4.6. Mágneses indukció fluxusa és a mágneses fluxusmegmaradástörvénye

Képzeljünk el a mágneses térben egy S felületet (4.18. ábra). A definició szerint a!

Bmágneses indukció fluxusa az S felületen, egyenlõ a

!

B

és a Sd

!

vektorok skaláris szorzatának összegével ezen afelületen.

Φ = ⋅∫ ! !

B dSs

A mágneses fluxus definíciója az egyik legfontosabb mennyiséget (bár nem alapmennyiséget)határozza meg az elektrotechnikában. Az elektromosgépek számításai és kivizsgálásai a fluxuson alapulnak.A mágneses fluxus egysége az SI és az MKSA

mértékrendszerben a weber:[ ] [ ]Tm Wb2

= .

4.9. Példa: Határozzuk meg a fluxust a 4.19. ábránlátható téglalap alakú felületen keresztül, ha amágneses teret a végtelen hosszú, egyenes, vékonyvezetékben folyó áram hozza létre.

Megoldás:

"

Φ = ⋅ = ⋅

∫ ∫

! ! ! !

B dS B dS B dSs s

cos ,

π

Φ = − ⋅ = =∫ B dS BI

xdS bdx

s

µπ0

2

Φ = − = − = − +

∫ ∫ +

BbdxIb

xdx

Ib

x

d a

ds d

d a µπ

µπ

0 0

2 2ln

A mágneses fluxusnak egyszer ", de nagyon fontos tulajdonsága van: tetszõleges zártfelületen keresztül a fluxus egyenlõ nullával.

A bizonyítás egyszer "sítése érdekében ne tévesztjük szem elöl a következ! két tényt:

1. A tetsz!

leges áramelosztású áramrendszertõl származó mágneses indukció a tér egy pontjában egyenlõ a rendszert alkotó áramelemek mágneses indukcióinak vektoriálisösszegével.

2. Egy tetsz!leges elosztású áramrendszer mágneses fluxusa egy adott felületen egyenlõa mágneses fluxusok algebrai összegével amelyeket a rendszer áramelemei az adottfelületen létrehoznak.

Ezek szerint ha bebizonyítjuk, hogy egy áramelem fluxusa bármilyen alakú zárt felületenegyenlõ nullával, akkor abból az következik, hogy a zárt felületre számított mágneses fluxusmindig nulla.

Bizonyítás: Egy áramelem indukcióvonalai (a!

B vektor er !vonalai) körök, és azáramelem tengelyén van a középpontjuk. A

!

B vektor intenzitása egyforma egy adott er !vonal (a

kör) minden pontján. Ha elképzelünk egy vékony kör alakú, dS keresztmetszet" csatornát amelysaját magába záródik (nem kötelezõ, hogy kör keresztmetszet" legyen) és amelyet tetsz!leges

á ú ! l lk t á fl f i t itá ú l ké lt t bá l

BdS

S

4.18. ábra

dS

S

B

dxx

b

adI

dS = b·dx

4.19. ábra



keresztmetszetén. A fluxus elõjele a felületvektor (pozitívmer !leges irányításától) és az er !vonalak irányától(irányításától) függ. Tételezzük fel, hogy egy ilyenelképzelt csatorna egy képzeletbeli zárt felületen halad át.A megegyezés szerint a felületvektor (a pozitívmer !leges) mindig a zárt felületbõl kifelé mutat (amint az

a 4.20. ábrán is látható). A d

!

S1és d

!

S2 felületen keresztüláthaladó fluxusok összege nulla.

Mivel az áramelem mágneses tere ilyen csatornákra bontható, ebb!l az következik, hogy az áramelem

!

Bvektorának fluxusa nulla bármilyen alakú zárt felületenkeresztül. Ezzel bizonyítást nyert, hogy a tetsz!legesalakú zárt felületen keresztül a

!

B vektor fluxusa általánosesetben nulla. Ezt a következtetést a mágnesesfluxusmegmaradás törvényének nevezzük, melynek matematikai alakja:

! !

BdSs

=∫ 0 .

A mágneses fluxusmegmaradás törvényének segítségével bizonyítható, hogy egy zártgörbe fölé kifeszített összes felületen keresztül a mágneses fluxus egyforma. Megállapodásszerint a felület mer !legesének irányát (irányítását) a következ! módon kell meghatározni: a zártgörbe (hurok) pozitív irányítása és a görbe fölé kifeszített (a hurokra támaszkodó) felületmer !legesének irányítása a jobbcsavarszabály szerint kötöttek (függnek össze).

Figyeljük meg a 4.21. ábrán a C hurkot, amelyre az S " és S 2 felületet feszítettük ki. Azábrán jelölt a felületek 1n

!

és 2n!

mer !legese (felületvektora), a fluxusaik pedig ezekre az

egységvektorokra számítva Φ " és Φ 2.Az (S "+S 2 ) felület viszont zárt, afelületbõl kifelé mutatófelületvektorral (merõlegessel). Amágneses fluxus bármilyen zártfelületen keresztül nulla.

A mágneses fluxusmegmaradástörvényére hivatkozva felírhatjuk,hogy:

∫ +

=21

0S S

S d B!!

,

természetesen a zárt felületb!l kifelé mutató felületvektorhoz viszonyítva. Az 1n!

egységvektor

(irányvektor) megegyezik a fluxusmegmaradás törvény elfogadott pozitív vektorirányával, az 2n!

egységvektor viszont nem. Így a törvény alkalmazásánál a zárt felület S2 – vel jelölt részén a 2n!

−egységvektort kell figyelembe venni, amelyre vonatkoztatva az S2-n keresztül a fluxus értéke -Φ2. Tehát:

2121

21 21

0 Φ=Φ=Φ−Φ=+=∫ ∫ ∫ +S S S S

azaz S d BS d BS d B!!!!!!

A mágneses fluxus egyforma minden azonos zárt görbére kifeszített felületen keresztül. Eznagyon fontos következtetés, mert lehetõvé teszi, hogy a fluxust arra a felületre számítsuk kiamelyre számunkra a legeggyszer " bb. Mivel a mágneses fluxus értéke nem függ a felületalakjától hanem csupán a zárt vonal (görbe) alakjától amelyre a felületet kifeszítjük, gyakranhasználjuk az “egy zárt vonal (vezeték, görbe) által körülfogott fluxus” kifejezést az “egy, a zárt

vonal (vezeték, görbe) fölé kifeszített felületen áthaladó fluxus” kifejezés helyett. A fluxusszámításakor, természetesen meg kell jelölni azt a zárt vonalra kifeszített felületet, amelyre a

á ítá tk ik

B1

dS2

dS1

Idl

B2

4.20. ábra

n2n1

CS1S2

+n

C

4.21. ábra



4.7. Ampère törvénye

Az idõben állandó áram!

B mágneses indukcióvektora a vákuumban egyszerû, de nagyonfontos tulajdonsággal rendelkezik. Képzeljünk el egy tetsz!leges zárt C vonalat a mágneses

térben! A mágneses térerõsség vonalintegrálja e zárt vonal mentén (azaz!

B és dl!

skaláris

szorzatának összege a C mentén) egyenlõ a zárt vonalra kifeszített felületen áthaladó áramok algebrai összegének µ0 –val való szorzatával. Az összeg képzésénél a felületen a pozitívmer !leges irányában áthaladó áramokat pozitív elõjellel kell venni, az ellenkez! iránybanhaladókat pedig negatívval. A C vonal körbenjárási irányának és a felület pozitív mer !legesének a jobbcsavarszabály szerint kell összehangolva lennie. A mágneses térerõsség e tulajdonságátAmpère törvényének nevezzük.

Emlékezzünk vissza, hogy az idõben állandó áram árams"r "ségvektora (!

J ) kielégíti akövetkezõ relációt:

∫ =S

S d J 0!!

(Kirchhoff I.törvénye)

Ez az egyenlet alakra ugyanolyan, mint a mágneses fluxusmegmaradás törvénye, aminek segítségével bebizonyítottuk, hogy egy zárt vonalra kifeszített felületeken keresztül a fluxusegyforma. Ezért az áramerõségnek is megvan e tulajdonsága, azaz beszélhetünk a zárt vonalonáthaladó áramról, ami alatt az árams"r "ség vektorának (

!

J ) fluxusát értjük, amely a zárt vonalrakifeszített felületen halad át. A megegyezés szerint a zárt vonal (pozitív) körüljárási iránya és afelület mer !legese a jobbcsavarszabály szerint vannak összehangolva. Ampère törvényének matematikai alakja tehát:

∑=−

∫ átn

0C

C

I l d B µ !!

.

4.".". PÉLDÁK AZ AMPÈRE-TÖRVÉNY ALKALMAZÁSÁRA

Fontos megérteni, hogy az Ampère-törvény a fent leírt alakban ( ∑= 0∫ átn-C

C

I l d B µ !!

) csak

akkor érvényes, ha az áramhurkok (áramjárta vezetékek) vákuumban vannak és a vezetékekbenidõben állandó áram folyik. Idõben változó áram esetén az Ampère-törvénynek más alakja van.

Minden mágneses tér forrása az elektromos áram. Az anyagtól (állandó mágnes) eredõmágneses tér kiváltó okai az elemi Ampère-áramok. Hangsúlyozni kell azonban, hogy azAmpère-törvény minden esetben érvényes, nem csak vákuumban, egy feltétellel: mindig

figyelembe kell venni az össz áramerõsséget, amely a zárt vonalon áthalad. E zárt vonal menténszámítjuk a mágneses indukció

!

B vektorának vonalintegrálját. Ezt a következtetést használvaalkalmazzuk majd az Ampère-törvényt abban az esetben, ha a mágneses térben ferromágnesesanyagok is megjelennek, melyekben elemi Ampère-áramok vannak és maguk körül mágnesesteret hoznak létre.

Az Ampère-törvény két területen alkalmazható. Egyrészt az id! ben állandó mágneses tér tulajdonságainak bizonyítására, másrészt a mágneses indukcióvektor (

!

B ) kiszámítására azolykor egyszer "nek t"n!, de a gyakorlat számára fontos esetekben. Ezek az esetek megoldhatók ugyan a Biot -Savart törvény segítségével is, de a megoldások jóval bonyolultabbak.

4."

0. Példa: Határozzuk meg az egyenes vezetõ körül és magában a vezetõben is a mágnesesindukciót, ha a vezetõ kör keresztmetszet" és a sugara a (4.22. ábra).



Megoldás:

r≥≥≥≥a! !

Bdl Bdl B dl r B IC C C∫ ∫ ∫ = = = =cos0 2 0π µ B

I

r =

µπ0

2

r < a

Mivel a vezetõ keresztmetszetén az áram egyenletesenoszlik el, a C’ hurokban az áram erõssége:

2

2

2

2C r a

I#r

#a

II ′=′=′ π

π ,

a keresett indukcióvektor értéke viszont:

20 2 a

r I B

π µ

′= .

4."". Példa: Határozzuk meg a mágneses indukció vektorát a koaxiális kábelben (4.23. ábra).

Megoldás:

r<a:2

2

2

2C r a

Ir

#a

II == π

π

2

20 r a

IB2r ldB µ π ==∫

!!

20

2 a

Ir B π

µ

= .

b > r >a:! !

Bdl r B I

BI

r

C′∫ = =

=′

2

2

0

0

π µ

µπ

b < r < c:( )( ) ( )

( )( )22

22

22

2222

22

22

C bc

r cI bc

br bcI bc

br III −

′′−=−

+′′−−=−

−′′−=′′

π π

π π

( )( )

! !

Bdl r BI c r

c bC′′∫ = ′′ =

− ′′−

2 02 2

2 2π µ

( )( )

BI c r

r c b=

− ′′′′ −

µπ0

2 2

2 22.

r>c:

! !

Bdl r BC′′′∫ = ′′′ =2 0π ⇒ B=0.

dl

I

a

r r'

C'

B

4.22. ábra

c

b

aI

I

4.23. ábra



4.12. Példa: Határozzuk meg a mágneses indukció vektorát, amelyet az ún. tórusztekercsben(körgy!r !) folyó áram hoz létre (4.24. ábra).

Megoldás:

A mag keresztmetszete tetszõleges (kör,

négyzet, téglalap) alakú lehet. Amikor a körgy!r !keresztmetszetének méretei sokkal kisebbek aközépsugártól (r>>a), akkor vékony

tórusztekercsnek (4.24. ábra) hívjuk. Ha amenetek s!r !n helyezkednek el egymás mellett,akkor mágneses indukció vektorvonalai csak amagban léteznek, a magon kívül a

!

B vektor vonalait nullának vehetjük. A magon kívül avalóságban mégis van mágneses tér (természetesen sokkal kisebb intenzitású, mint amagban), amelynek alakja a 4.25. ábrán látható, mivela tórusztekercset kívülr "l egyetlen menetnek tekinthetjük, amelyben I er "sség! áram folyik.

A körgy!r !re alkalmazva Ampère törvényét akövetkez"ket kapjuk:

NI Br ld BC

02 µ π ==∫ !!

,

r

NI B

π

µ

20= .

A vékony tórusztekercs esetén az r els"

közelítésben egyforma a tórusz minden pontjában, ezért a B a mag keresztmetszeténmegközelítõleg állandónak tekinthet".

4.13. Példa: Határozuk meg a nagyon hosszú, tetszõleges keresztmetszet! szolenoidban (4.26.ábra) a mágneses indukciót, ha a szolenoidhosszanti menetszáma Ne

Megoldás:

Az indukciót a szolenoidban úgy alegkönyebb meghatározni, ha azt képzeljük el, hogy a tórusztekercs r sugara növekszik amenetszámmal együtt úgy, hogy az N/(2π r) arány (a tórusz egységnyi hosszúságra es"menetszáma) állandó marad, vagyis:

r

N N

eπ 2

= .

Így az indukció értéke:Bz=µ0 NeI .

Mivel tekinthetjük úgy, hogy a szolenoidban a z tengely irányában I áram folyik, aszolenoidon kívül létezik mágneses tér, de azt a legtöbb esetben el lehet hanyagolni.

I

I

a

r

B

O

O'

C

4.24. ábra

I

IB

4.25. ábra

Bzz

4.26. ábra



4.8. Anyag a mágneses térben

4.8.1. DIAMÁGNESES, PARAMÁGNESES ÉS FERROMÁGNESES ANYAGOK

Az eddigi vizsgálatok a vákuumban levõ vezetõkben folyó, idõben állandó áramoktóleredõ mágneses térrõl szóltak. A gyakorlatban sokkal jelentõsebbek az anyagokban levõmágneses terek, amelyek jelenlétükkel hatnak az anyagon kívüli, tehát küls" mágneses térre.

A mágneses és az elektromos tér hatása az anyagokra különbözõ, habár e két hatás között bizonyos formális hasonlóság észlelhetõ. A mágneses tér hatása az anyagra tulajdonképpen azanyag atomjaiban mozgó elemi töltésekre való hatásban nyilvánul meg, míg az elektromos(villamos) tér hatása nincs kapcsolatban a részecskék mozgásával.

Az anyag atomjai nehéz pozitív magból és a mag körül keringõ elektronokból állnak. Azelektronok nagy sebességgel keringenek a mag körül, fordulatszámuk 1015 fordulat/s. Így mindenegyes mozgó elektront elemi áramkörnek tekinthetünk, azaz minden elektronnak mágnesesnyomatékot tulajdoníthatunk (keringési vagy orbitális mágneses nyomaték). Ezen a nyomatékon

kívül az elektronnak van egy másik mágneses nyomatéka is, amely a saját tengelye körüliforgásának (perdület) az eredménye (perdületi mágneses nyomaték vagy spin).Makroszkopikusan minden atomot az elemi áramkörök (Ampère-áramok) összetett

rendszerének tekinthetjük. Mint minden elektromos áram, az Ampère-áramok is mágneses tér forrásai, de ha az anyag nincs küls" állandó mágneses térben, akkor az Ampère áramok mágneses tere csak az atomok közelében észlelhetõ.

4.14. Példa: Az Ampère-áramok és a keringési (orbitális) mágneses nyomaték számításához ahidrogénatomot vegyük alapul és számítsuk ki az elektron:

a) mozgási sebességét, b) mag körüli fordulatszámát egy másodperc alatt,

c) mozgása következtében jelentkez" ekvivalens áramerõsséget ésd) keringési (orbitális) mágneses nyomatékát, ha a hidrogénatom sugara a= 5,29.10-11 m

Megoldás:

a) Coulomb-féle vonzóerõ egyenlõ az elektronra ható centrifugális erõvel:

a

m

a

e e

20

2

2

0

v

4

1=⋅

πε

000

1

2 am

ev

πε ⋅=

mivel az elektron tömege me=9,108⋅10-31 kg, töltésmennyisége pedig e=1,602⋅10-19 C, így asebesség:

smv

60 1019,2 ⋅=

b)

s/fordulat1058,6na2

vnalapjánna2saz

így,vsra1stmivelt

vs

150

00

⋅=⋅

=⋅⋅=

=−==

π π

c) Ia= n . e- =1,06⋅10-3 A



d) 2240202a Am1027,9

2

aev#a

a#2

ev aISIm −⋅====⋅= π

π π

Az elemi elektromos részecskék össz mágneses nyomatékának jellege szerint az anyagok atomjait két csoportba oszthatjuk:

I. csoport - Azok az anyagok tartoznak ide, melyeknél az atomok (molekulák) ered" mágnesesnyomatéka egyenlõ nullával (az atom részecskéinek mágneses nyomatékai megsemmisítik egymást). Küls" mágneses tér hiányában ezek az anyagok nem hoznak létre mágneses teret ésnincs mágneses tulajdonságuk. Ezeket az anyagokat DIAMÁGNESES ANYAGOK -nak nevezzük.

A diamágneses (a “dia” görög szó jelentése “keresztbe”) anyagból készült rúd, haállandó mágnes mágneses terébe kerül, akkor a mágneses térer " vonalaira mer "legesen(keresztbe) igyekszik beállni. Az atomok szupravezetõkbõl készült kis áramhurkokkéntviselkednek (a töltések súrlódás nélkül mozognak a vákuumban), melyekben az összáramerõsség nullával egyenlõ (mintha minden atomot két egyforma nagyságú, egymáshoznagyon közel elhelyezked", azonos intenzitású de ellentétes irányítású árammal rendelkez"szupravezet" b"l készült áramhurok alkotná). Ha az anyagot küls" mágneses térbe visszük, azatomoknál kiegészítõ elemi áram jelentkezik, amely saját terével igyekszik megsemmisíteni aküls" mágneses teret az atomban. Ezt a jelenséget nevezzük diamágneses effektus-nak . Adiamágneses anyagokon belül a mágneses tér kisebb intenzitású, mint a küls" tér, amelyben "k maguk helyezkednek el (gyengítik a küls" teret). A gyengítés azonban nagyon kicsi. Adiamágneses anyagok közé tartoznak: réz, cink, ezüst, bizmut, grafit. Diamágneses effektusminden anyagnál jelentkezik, tehát nemcsak azoknál, amelyeknél a molekulák, azaz az atomok mágneses nyomatéka nullával egyenlõ.

II. csoport - Ebbe a csoportba azok az anyagok tartoznak, melyeknél az atomok (molekulák)

részecskéinek mágneses nyomatékai nem semmisítik meg egymást, azaz melyeknél azatomoknak atomi szinten van ered" mágneses nyomatékuk. Ilyen atomok közelében létezik lokális (helyi) mágneses tér, amely az atomokban mozgó elemi elektromos részecskéktõlszármazik.

Az ebbe a csoportba tartozó anyagok, az atomok egymás közötti hatásának (interakció)erõssége és fajtája szerint két alcsoportba oszthatók:

II. a) PARAMÁGNESES ANYAGOK - Azokat az anyagokat soroljuk a paramágnesesanyagok közé, amellyeknél a molekulák közötti interakció (kölcsönhatás) kis intenzitású. Ígyküls" mágneses tér hiányában (mágnesezetlen állapotban) a molekulák mágneses nyomatékai alegkülönböz" bb térbeli irányokban helyezkednek el és megsemmisítik egymást, vagyis nem

hoznak létre makroszkopikus mágneses teret. Mágneses térbe hozva "ket a molekulákra a küls"mágneses tér kényszerít" ereje hat, amely az atomok mágneses nyomatékát önmagával párhuzamosan igyekszik beállítani. Ennek az az eredménye, hogy a molekulák mágnesesnyomatéka (melynek iránya megegyezik annak a tengelynek az irányával, amely körül arészecskék mozognak) ún. precessziós mozgást végez a molekulák helyete által meghatározottkoordináta-ponthoz tartozó

!

B vektor iránya körül. Mivel a mágneses nyomatékok orientációjakaotikus, a precessziós mozgás nem tudja a mágneses nyomatékokat irányítani, ezért ebben azesetben is csak diamágneses effektus létezne (ha nem lenne a molekulák közötti gyöngekölcsönhatás). Az atomok közötti kölcsönhatás miatt azonban az atomok mágneses nyomatékarészben a

!

B vektorral párhuzamosan áll be, habár ezt a hatást gyengítik a h"mozgás miattiütközések. Eredményként létrejön egy - a részben orientált Ampère-áramoktól ered" - kiegészítõmágneses tér. Ez a kiegészít" mágneses tér összeadódik a küls" mágneses térrel, úgyhogy a

!

B

intenzitása az anyagon belül megnövekszik. A mágneses nyomatékok küls" térrel párhuzamos



minél alacsonyabb az anyag hõmérséklete. A “para” görög szó jelentése “párhuzamos”. Az ilyenanyagból készült rúd a mágneses térben, a

!

B vektor er "vonalaival párhuzamosan áll be. Alegismertebb paramágneses anyagok: aluminium, platina, oxigén, levegõ.

II. b) FERROMÁGNESES ANYAGOK - Azokat az anyagokat nevezzük ferromágnesesanyagoknak, amelyeknél a molekulák közötti kölcsönhatás nagyon erõs. Ennek következtében a

szomszédos atomok mágneses nyomatéka egy tartományban (domen) szigorúan párhuzamosanhelyezkedik el. Ez az irány tartományról tartományra változik és mágnesezetlen állapotban, alegkülönböz" bb térbeli irányban mágnesezett tartományok miatt, az anyag nem létesítmakroszkopikus mágneses teret. Amikor az anyag küls" mágneses térbe kerül, növekszik azontartományok száma, amelyek mágneses nyomatékai párhuzamosak a küls" mágneses térrel, és

jelentkezik egy szekundáris, nagy intenzitású mágneses tér. Az elektrotechnikában használatosferromágneses anyagok: vas, nikkel, kobalt, gadolínium, dysprosium és más ötvözetek, amelyek a felsorolt öt elem közül esetleg egyet sem tartalmaznak.

4.8.2. MÁGNESEZETTSÉG VEKTORA

A mágnesezett anyagtól származó mágneses tér nem más, mint a nagyon sok kis elemiáramtól (Ampère-áramtól) származó tér. Ez általánosan mind a három anyagfajtára érvényes.Ezeket a kis elemi áramokat vákuumban kell figyelni, mert az atom többi része nincs kihatással amágneses térre. Ha ismerjük a vákuumban levõ egy elemi áramkör által gerjesztett mágnesesteret, akkor az össz ekvivalens Ampère-áramok terének összeadásával megkaphatjuk amágnesezett anyag mágneses terét. Ez az eljárás gyakorlatilag lehetetlen, mivel az atomok számaa mágneses anyag legkisebb makroszkopikus térfogatában is óriási. Ezért megfelelõbbmegfigyelni nagyobb számú atomcsoportot kis fizikai térfogatban és az e csoportoktól származómágneses teret. Ily módon, matematikai módszerrel a mágneses tér úgy számítható ki, mint a kisfizikai térfogatban elhelyezked" nagyszámú elemi áramtól származói mágneses terek integrálja.

Mivel az elemi áramkörök mérete nagyon kicsi (az atom méreteinek nagyságrendjévelhasonlítható össze), a mágneses teret mindig az áramkörökt"l nagy távolságra mérjük vagy

számítjuk. Bizonyítható, hogy a!

B vektor intenzitása az I áramerõsségû és S felület! áramkör síkjától távol es" pontban nem függ külön-külön az áramer "sségt"l és a felülett"l, hanem csupán

azok szorzatától. Az I S⋅!

szorzatot!

m -mel jelöljük és az elemi áramkör mágnesesnyomatékának nevezzük. A kis dV térfogatban levõ elemi áramkörökt"l eredõ mágneses tér kiszámításához a mágneses nyomaték s!r !ségét illetve a mágnesezettség vektorát használjuk,melynek jelölése

!

M :

( )!

!

M m u dVdV= ∑ .

Legtöbb esetben a kis dV térfogatban levõ áramoktól származó össz mágneses nyomaték (

!

m ) egyforma. Ha az elemi áramok koncentrációja (térfogats!r !sége) N , akkor az el"z"kifejezést a következ" alakban is írhatjuk:

!!

M Nm= .

Általános esetben a mágnesezettség vektora ( !

M ) pontról pontra változik. Ha egymágnesezett test minden pontjában egyforma irányú, irányítású és intenzitású a mágnesezettség

vektora (

!

M ), akkor az a test homogén mágnesezettség!. Lássuk most a mértékegységeket:-a mágneses nyomaték egysége:

!!

m I S= ⋅ [Am2],!



Az össz diamágneses és paramágneses anyagra érvényes, hogy a mágnesezési vektor arányos az indukcióvektorral:

B~MBk M !!!!

⇒= .Az ilyen anyagokat lineáris mágneses anyagoknak nevezünk.

A ferromágneses anyagok nem lineáris anyagok.

Az anyag mágnesezettségi fokát egy pontban (vagyis azt, hogy mennyire irányítottak -

orientáltak az Ampère-áramok az adott pont körül) a M !

0µ szorzattal írjuk le (határozzuk meg).

Ezt a nagyságot a mágneses polarizáció vektorának nevezzük.

M J !!

0µ = .

4.8.3. AZ ÁLTALÁNOS AMPÈRE-TÖRVÉNY

Az el"z"kben megismert Ampère-törvény a következ" kifejezéssel volt adott:

∑∫ −

=átn

0C C

I ld B µ !!

.

A fenti Ampère-törvény csak bizonyos megszorítások mellett érvényes:1) az elképzelt zárt C görbe vákuumban van (a térrészben nincs ferromágneses anyag),2) idõben állandó, vagyis egyenáramok folynak a vezetékekben.

A mágnesezett anyagot úgy képzeljük el, mint nagyszámú elemi áramkört, amelyek vákuumban vannak. Ampère törvényét akkor is alkalmazhatjuk, ha a térben bármilyen anyag van

jelen, azzal a feltétellel, hogy figyelembe kell venni az összáramot ami a C zárt hurkon keresztül áthalad: az elemiáramokat (4.27. ábra), és a vezetõkben folyó áramokat is. Ez

elég egyszer ! feladat, ha ismerjük a mágnesezési vektort ( !

M ) aC görbe minden pontjában. Figyeljük meg a mágneses térbenlev" testet a 4.28. ábrán, ahol a 4.27. ábrán felrajzolt zárt Cvonalnak csak egy (kinagyított) része látható. Az anyagban levõelemi áramokat kis, számokkal ellátott körökkel jelöltük.

Néhány elemi áram kétszer halad át a zárt C görbérekifeszített felületen (egyszer pozitív, egyszer negatív irányban – 1 és 2-vel jelölt hurok). Ilyen áramkörök nem adnak ered"

áramot a C zárt vonalon keresztül, mint ahogy azok sem,amelyek egyszer sem haladnak át a C hurokra kifeszített (arratámaszkodó) felületen.

Az Ampère-törvény egyenletének jobb oldalán csak azokat az áramokat kell figyelembevenni, amelyek a zárt C görbére kifeszített felületen csak egyszer haladnak keresztül (4 és 5-tel

jelölt hurkok). Tisztán látható a 4.28. ábrán, hogy a C zárt vonalra támaszkodó felületenkeresztül csak azokat az elemi áramokat kell figyelembe venni, amelyek az elképzelt zártgörbére “fel vannak f !zve”.

Határozzuk meg mennyi elemi áramkör van “felf !zve” a dl hosszúságú vonalelemen (azárt vonal egy elemén). Legyen az elemi áramkör sugara a, felülete S , az átfolyó áram erõssége I ,

valamint minden, a dl

!

vonalelem közelében levõ elemi áramkör mágneses nyomatéka legyen!!

m I S= ⋅ (az utolsó feltétel csak akkor teljesül, ha dl!

elég kicsi, az anyag pedig homogén).

B C

4.27. ábra



Tételezzük fel, hogy az!

S és dl!

vektorok α szögetzárnak be egymással és az elemi (Ampère-) áramok koncentrációja N .

Ha az!

m és dl!

vektorok párhuzamosak, akkor

a C zárt görbe vonalelemére ( dl!

) azok azáramkörök vannak “felf !zve”, amelyek középpontjaaz a alapsugarú hengerben van (4.29. ábra jobboldali rajza), melynek tengelye maga a dl

!

elem. A

4.29. ábra bal oldali rajza alapján adl!

elemre azok az áramkörök vannak “felf !zve”, melyek középpontja az a alapsugarú, dl·cos α magasságú és

dV=S·dl·cosα =! !

Sdl térfogatú ferde hengerben van

(melynek ferde tengelye ugyancsak a dl!

elem. Ezért a dl!

elemre N·! !

Sdl számú elemi áramkör

van felf !zve. Így a C zárt görbe dl!

hosszán felf !zött elemi Ampère áramok összege:

( ) ld M ld m N ld S IN I hosszonld A

!!!!

!!

!

===∑ .A fenti kifejezésben ott van az I S⋅

!

szorzat is. Mint már említettük, azAmpère-áramok alakja (felülete) ésintenzitása külön-külön nem fontosak, atér csak a szorzatuktól függ. Emiatt azAmpère-áramok összegét a mágnesezési

vektor ( !

!

M Nm= ) függvényébenfejeztük ki. A zárt C hurkon keresztül, azelemi Ampère-áramoktól származó össz

áramer "sség így a következ" kifejezésseladott:

I Mdl ACá t C

∑ = ! !

.

Képzeljük el, hogy a C zárt vonal átfog makroszkopikus, vezetékekben folyó áramokat, ésáthalad mágnesezett (ferromágneses) anyagon (anyagokon) is. Erre az esetre kapjuk meg azAmpère-törvény általános alakját:

+=

+= ∫ ∑∑∑∫

Cátn-C0

átn-CA

átn-C0

C

ldMIIIldB!!!!

µ µ ,

illetve

∑∫ =

−

átn-CA

C 0

IldMB !!

!

µ .

Az Ampère-törvény általános alakjában a mágnesezett anyag elemi áramai az! !

Mdlszorzatba rejtve jelentkeznek. Az elemi (Ampère-) áramok nem mérhet"k, tetszés szerint nemnövelhet"k illetve csökkenthet"k és nem kapcsolhatók ki. Ezért el"nyösebb, ha csak makroszkópikus áramokkal van dolgunk. Az anyag jelenlétében a mágneses tér leírásához

megfelelõbb a [ ]! !

B Mµ0 − vektorkülönbség mint maga a

!

B vektor: a [ ]! !

B Mµ0 −

vektorkülönbség vonalintegrálja zárt görbe mentén csak a zárt vonalon áthaladó makroszkopikusáramoktól függ. Ezért külön jele van a fent említett vektorkülönbségnek, amelyet a mágneses

térer!sség vektorának nevezünk:

+n

I

I

II

I

5

4

32

1

a C hurokrésze

4.28. ábra

dl

mm

m

a

αdl cosα

a

dl

mm

m

4.29. ábra



!

!

!

HB

M= −µ0

.

A mágneses térerõsség vektora kifejezhet" a mágneses polarizáció vektorának (! !

J M= µ 0 )függvényében is:

( )

! ! !

H B J= −

1

0µ.

Ampère törvényének általános alakja tehát:

∑∫ =átn-CC

IldH!!

.

Az el"z" kifejezésekb"l kit!nik, hogy a!

H és az!

M vektorok mértékegysége ugyanaz:A

m , hasonlóképpen vonatkozik ez a megállapítás a!

J és!

B vektorokra is, melyeknek

mértékegysége a T (tesla).A mágneses térerõsség vektorának definíciója általános és minden anyagra érvényes. A

lineáris mágneses anyagoknál, mint láttuk az el"z"ekben, az

!

M és

!

B vektorok arányosak egymással. Ezért a térerõsség vektora, a

!

H is arányos a!

B vektorral az adott pontban, ami azt

jelenti, hogy !

M is arányos a!

H vektorral. Ezt az arányosságot a következõ alakban írjuk fel:

! !

M Hm= χ .

A fenti kifejezést a mágneses szuszceptibilitás (χm ) definíciójaként kezeljük; a χm

dimenzió (egység) nélküli állandó, vagyis puszta szám, és az anyagot jellemzi, amelyrevonatkozik. Így aztán, mivel

H M m

!!

χ = ,

( ) ( ) ( ) H H M H M H B r mm

!!!!!!!

⋅=⋅+⋅=+⋅=+⋅= µ χ µ χ µ µ 1000 ,

ahol µ r a relatív permeabilitás.Az abszolút permeabilitás, vagy egyszer !en csak permeabilitás felírható úgy is, mint:

µ=µ0µr =µ0(1+χm) [H/m].

Ezek szerint a lineáris (de csakis a lineáris) mágneses anyagokra érvényes a következ"összefüggés:

H B!!

⋅= µ

A diamágneses anyagoknál a molekulák ered" mágneses nyomatéka ellenkezõ irányítású a!

B vektorral, ezért χm< 0 és µr < 1. A paramágneses anyagoknál χm > 0 és µr > 1. A lineárisanyagoknál a relatív permeabilitás értéke megközelítõleg egy. A ferromágneses anyagok

permeabilitásának értéke nem határozható meg egyértelm!en. Erre a kés" bbiekben mégkitérünk.

A mágneses térerõsség erõvonalait úgy definiáljuk, mint bármely más vektor er "vonalait,

tehát mint képzeletbeli görbe vonalakat, amelyeknek minden pontjában a!

H vektor érintõirányú. Mivel a definíció szerint:

=H!

M0

B!!

− ,

ezért vákuumban a

!

H és

!

B vektor er "vonalai egybeesnek. Lineáris közegben e három vektor közül bármelyik kett" arányos egymással és ezért a!

H és!

B vektorok ugyancsak egybeesnek.



Az eddigiekb"l láttuk, hogy a!

B vektor er "vonalai mindig zártak, viszont a!

H vektor er "vonalai(mint ahogy az a definíciós képletb"l is lesz!rhet") nem mindig zártak.

4.15. Példa: Határozzuk meg a nemhomogén (inhomogén) anyagból készült tórusztekercs (4.30.ábra) mágneses indukcióvektorát.

Megoldás:

A tórusztekercs azért nem homogén, mert amag anyaga nem homogén: az a<r < b részen µ1

permeabilitású, az b<r <c részen pedig µ2

permeabilitású.A magban a mágneses térer "sség:

NI r H ld H ld H C C

=== ∫ ∫ π 2!!!

,

( )

r

NI H r

π 2

= .

A magon kívül, mivel a zárt görbe által“körülölelt” makroszkópikus áramok áramer "sségének összege nulla, a térer "sség értéke:

!

H=0.Ebb"l aztán az indukcióértékek:

B1(r)=µ1H(r) a < r < b,B2(r)=µ2H(r) b < r < c.

4.8.4. AZ ELEMI AMPÈRE-ÁRAMOKKAL EKVIVALENS

MAKROSZKÓPIKUS ÁRAMOK

A mágnesezett anyag mágneses tere az anyagban levõ orientált (irányított) elemi (Ampère)áramoktól származik. Ha bennünket az Ampère-áramoknak csak az ered" makroszkopikusmágneses tere érdekel, akkor az elemi áramokat helyettesíthetjük vákuumban levõmakroszkopikus áramokkal.

Figyeljünk meg (képzeljünk el) egy kis ∆C hurkot a mágnesezett lineáris és homogénanyagban, amelyben nincs makroszkopikus áram. Legyen az anyag mágneses szuszceptibilitása

χm, akkor! !

M Hm= χ . Az össz Ampère-áramok erõssége a C hurkon keresztül:

I Mdl Hdl AC á t C

m

C ∆ ∆ ∆∑ = = ≡! ! ! !

χ 0,

(az általános Ampère törvény alapján, mivel a ∆C hurok nem fog át makroszkópikus áramokat).

Ez az eredmény igaz a ∆C hurok akármilyen helyzetére és irányítására az anyagon belül.Az Ampère-áramokat helyettesít" makroszkópikus áram árams!r !ségvektora (

!

JA ) a homogén,mágnesezett anyag minden pontjában. ahol nincs makroszkópikus áram, egyenlõ nullával. Ez azt

jelenti, hogy az így mágnesezett test makroszkopikus mágneses tere csak a mágnesezett testfelületén levõ Ampère-áramoktól származik (a testen belül az Ampère-áramok semlegesítik

egymás hatását).Ez a következtetés szigorúan csak a diamágneses és paramágneses anyagokra érvényes (aferromágneses anyagokra csak megközelítõleg) Látni fogjuk majd hogy a homogén

4.30. ábra



ferromágneses anyagból készült, de nem homogén mágnesezés! test mágneses szempontból nemtekinthet" homogénnek.

Határozzuk meg a mágnesezett testek felületén levõered" felületi árams!r !séget, amellyel a makroszkopikusmágneses tér létrehozásakor és létrehozásábanhelyettesíthetõk az Ampère- áramok. A 4.31. ábráról

látható, hogy a felületi árams!r !ségvektor

!

JSA merõlegesaz

!

M mágnesezettség (mágnesezési) vektorára.

lsinMlcosMldMIC$átn-C

A ∆⋅⋅=∆⋅⋅== ∫ ∑∆

α β !!

tehát a felületi árams!r !ség:

!

J

I

l M SA

AC á t

= =−

∑∆

∆sinα ,

vagy vektor alakban, mivel

β β β β

α

sin90coscos90sin90sincos 00 −≡

−="#$

így a felületi árams!r !ségre felírható, hogy:! !

!

J M x nSA =

Az elemi Ampère-áramok vákuumban vannak. Ezért az ered" Ampère-áramokat is avákuumban kell elképzelni. Mivel tudjuk hogyan számítható ki a tetszõleges eloszlású árammágneses indukciója vákuumban, a mágnesezett anyagtól származó mágneses tér meghatározásának problémája könnyen megoldható, ha ismerjük az

!

M vektort a mágnesezett

anyag minden pontjában. Sajnos a mágnesezési vektor (

!

M ) értékét a mágnesezett anyagbangyakran nehéz meghatározni.

4.16. Példa: Adott egy hosszú szolenoid (tetszõleges keresztmetszet!), s!r !n tekercselve,hosszanti menetszáma N`. Legyen a szolenoid magjának permabilitása µ , a tekercsben folyóáram erõssége pedig I . Mutassuk ki (vessük össze) a makroszkópikus és az Ampère-áramoktólered" mágneses teret!

Megoldás:

Az általános Ampère-törvény segítségével megkapjuk, hogy a szolenoidban a mágneses tér

homogén és a!

H vektor intenzitása:H=N’I így B=µH=µ N’I,

amib"l aztán:M=χmH=(µr -1)H=(µr -1)N’I.

Az Ampère-áramok ered" makroszkópikus árams!r !sége a magban, mint tudjuk, egyenl"nullával (hiszen a mágnesezett testen belül az Ampère-áramok semlegesítik egymás hatását). Afelületi, Ampère-áramoktól ered" makroszkópikus árams!r !ség pedig:

MJ nMJ SASA

!!!!!

=×= .

Az!

M vektor párhuzamos a szolenoid tengelyének irányával. Így a szolenoid magjának felületén jelentkez", az Ampère-áramok ered" makroszkopikus árams!r !sége:

( )!

J N ISA r= − ′µ 1 .

4.31. ábra



A szolenoid ered" mágneses tere egyenl" a felületi ered" árams!r !ség primáris (küls", atekercsben folyó áram által gerjesztett) és szekundáris (a molekuláris, mikroszkópikus vagyAmpère-áramok által gerjesztett) tereinek vektoriális összegével. Mivel ezeket az áramokatvákuumban kell elképzelni, az eredmény:

BI=µ0 N’I,Bm=µ0(µr -1)N’I,

B=BI+Bm=µ0 N’I+µ0(µr -1)N’I =µ0µr N’I=µ N’I.

Figyeljük meg az ekvivalens felületi árams!r !ség nagyságrendjét a a szolenoid magjakénthasználatos testen (vasmagon). Az Ampère-áramoktól ered" felületi árams!r !ség értéke (µr -1)N’I, a tekercsben folyó áramok N’I érték ! felületi árams!r !séggel írhatók le. Amikor a mag

paramágneses vagy diamágneses anyagból készült, a mag felületi árams!r !sége (vagyis azAmpère-áramok hatása) sokkal kisebb, mint N’I . Ferromágneses anyagoknál a µr relatív

permeabilitás értéke nem definiálható egyértelm!en, de nagyságrendje néhány száz, s"t százezer is lehet. Ilyenkor a "kiegészítõ" (az Ampère-áramoktól ered") felületi árams!r !ség sokkalnagyobb a primáris primáris (küls", a tekercsben folyó) árams!r !ségtõl.

4.17. Példa: Az atomok száma a szilárd test 1mm3 térfogatában megközelítõleg 1020. Az 1mm

hossz mentén a szilárd testben kb. 10 4 56 10203 6≅ ⋅, atom van. Ha minden atomot 1mAáramerõsség! nemkompenzált áramelemnek képzelünk el, és az össz áramelem mágnesesnyomatéka

!

m párhuzamos a mag felszínével, akkor az 1mm széles felületcsíkon átfolyóáramer "sség:

( ) A I mm A

46501065,41011065,4 3361 =⋅=⋅⋅⋅≅ − .

Ez olyan nagy áramerõsség, melyet normális körülmények között 1mm szélesvezetõszalagon keresztül nem érhetünk el. Tehát elemi áramok irányításával sokkal nagyobbintenzitású ekvivalens áramot kaphatunk, mint a legjobb vezetõben tartósan megvalósítható

makroszkopikus áram. A tekercsben folyó áram csupán arra szolgál, hogy primáris mágnesesteret hozzon létre, amely az elemi (Ampère-) áramokat orientálja. Az irányított elemi áramok ekvivalens áramerõssége sokkal nagyobb, mint amilyen erõsség! áram a tekercsben folyik és azáltaluk létrehozott (generált) szekundáris (másodlagos) mágneses tér képezi a vasmagostekercsek mágneses terének f " (legnagyobb) részét.

4.18. Példa: Határozuk meg az elemi (Ampère-) áramoknak megfelel" makroszkopikus áramotaz állandó mágnesbõl készült aránylag rövid, egyenes henger esetében. Tételezzük fel, hogy

!

Mállandó a henger belsejének minden pontjában. (A rövid, henger alakú állandó mágnesbenszigorúan homogén mágnesezettség nem valósítható meg, de a hengert megközelítõleghomogénen felmágnesezhetjük).

Megoldás:

Ekvivalens felületi áram (anMJSA

!!!

×= kifejezés alapján) csak ahenger palástján van, mégpedig JSA=Ms!r !ség!. Ezek szerint egy ilyen mágnesa tér minden pontjában olyan mágnesesteret létesít, mint a JSA=M felületi

árams!r !ség! szolenoid. A B!

er "

vonalak a 4.32. ábra középs"

rajzánláthatók. Mivel!

H = [ ]! !B Mµ0

− és a 4.32. ábra



mágnesben M B!!

0µ ⟨ (csak ha a mágnes végtelen hosszú lenne, akkor lenne érvényes a! !

B M= µ0 kifejezés), a mágnesben a!

B és!

H vektorok ellenkezõ irányításúak. Ez a mágnesestérerõsség vektor definíciójának következménye.

4.8.5. HATÁRFELTÉTELEK

Határfeltételek alatt azokat a (mágneses) teret leíró mennyiségek közötti összefüggéseketértjük, amelyek két különbözõ tulajdonságú közeget szétválasztó felület különböz" oldalán levõ

pontokban mért mennyiségértékek között fönnálnak. Az elektrosztatikában ezeknek azösszefüggéseknek minden szigetel"anyagra külön-külön komoly gyakorlati jelent"sége van.Mágnesesség esetében a határfeltételeknek csak a ferromágneses és nem ferromágneses anyagotelválasztó felületre vonatkozóan van gyakorlati jelent"sége.

Az els" összefüggéshez az általános Ampère-törvény vezet (a 4.33. ábra alapján)

! !

Hdl IC

= =∑∫ 0

H1t∆l-H2t∆l=0H1t=H2t.

Lineáris közegekre érvényes a következ"összefüggés:

2

2

1

1

µ µ t t B B

= .

A második összefüggést a mágnesesfluxusmegmaradás törvényének a 4.34. ábránlátható esetre alkalmazva kaphatjuk meg:

! !

BdSS∫ = 0

− ⋅ + ⋅ =! !

B S B Sn n1 2 0∆ ∆! !

B Bn n1 2=

Lineáris közegek esetén:µ1H1n=µ2H2n .

A vektorok a határfelületen áthaladva afénytöréshez hasonló irányváltozást szenvednek (4.35.ábra). A beesési mer "legeshez viszonyított szögek tangenseinek aránya:

tg

tg

BB

BB

B

B

t

n

t

n

t

t

αα

µµ

1

2

1

1

2

2

1

2

1

12

= = =

Tételezzük fel, hogy az 1. közeg nem ferromágneses, a 2. közeg pedig ferromágneses,vagyis µ1≅µ0 , µ2>>µ0 . Ekkor a szögek tangenseinek aránya:

00 12

1 ≅⇒≅ α α

α tg

tg .

4.33. ábra

h 0

S

B B1 2

1

4.34. ábra

4.35. ábra





A ferromágneses anyagok kristályszerkezet!ek (nincs folyékony vagy gáz halmazállapotúferomágneses anyag). A kristályrácsot a kristályokban azok az atomok alkotják, amelyek akörnyezettel egy vagy több elektront cserélnek, azaz a kristályrács vázát az ionok képezik.

A kristályrács ionjainak megvan a saját mágneses nyomatéka, amely a spin mágnesesnyomatékától (a perdülett"l) ered (az orbitális mágneses nyomaték részesedése az ered"momentumban nagyon kicsi). A rács szomszédos ionjaiban levõ elektronok között nagyon erõs

elektromos erõk hatnak, amelyek egy mikroszkópikus térfogatban lev" össz ion elektronjainak mágneses nyomatékát egy bizonyos irányba irányítják. Ezek az erõk nagy indukcióvektor (

!

B )intenzitásnak (kb.105 T) felelnek meg (a legnagyobb, laboratóriumi feltételek között elért

!

Bintenzitás értéke 103 T). Ilyen intenzitású erõk hatása 10-2 mm méret! területen észlelhetõ, ahol1015 atom van (Weiss-tartomány). Míg a ferromágneses anyag egy tartománya anizotrópikusanyagként viselkedik mágneses szempontból, normális feltételek között a ferromágneses testmakroszkópikusan szemlélve mágnesesen izotróp (anizotróp - nincs egyforma mágnesestulajdonsága minden irányban).

Az említett erõk irányított hatása csökkenti a kristályrács termikus vibrációját. Egy bizonyos hõmérsékleten felül a technikai vibrációk lehetetlené teszik a kristályrácsban szerepl"ionok elektron-nyomatékának (mágneses nyomatékának, perdületének) párhuzamos orientációjátés az anyag egyszer ! paramágneses anyaggá válik. Ezt a hõmérsékletet Curie ferromágneseshõmérsékletnek nevezzük, és ez a hõmérséklet különbözõ más-más ferromágneses anyagnál.

A ferromágneses anyagokban a szomszédos tartományok mágneses nyomatékainak irányanem változik meg ugrásszer !en. A szomszédos tartományok között átmeneti terület van, amitBloh-falnak neveznek, és amelyben az ionok mágneses nyomatékai fokozatos átmenetetképeznek a szomszédos nyomatékirányok között. A Bloh-fal vastagsága hozzávet"legesen 10-8 -10-6 m, azaz kb. 500 - 5000 atomtávolság.

Létezik egy anyagcsoport, melyben a szomszédos atomok mágneses nyomatéka egyirányban van ugyan, de elenkezõ irányításúak, így teljesen megsemmisítik egymást (vasoxid -FeO, vasfluorid -FeF2 ,rézklorid -CuCl2). Az ilyen anyagokat antiferromágneses anyagoknak

nevezzük. A gyakorlati alkalmazásban nincs különösebb jelentõségük.Az antiferromágneses anyagok jellegzetes csoportját ferrimágneseknek, vagy ferriteknek nevezzük. Ezeknél az anyagoknál szintén jelentkezik a szomszédos atomok vagy atomcsoportok között a mágneses nyomaték ellentétes orientációja, azonban a nemszimmetrikus struktúra miatta szomszédos atomok ekvivalens nyomatékai nem egyformák. Az ilyen ellentétes orientációmégis intenzív mágnesességet ad.

A ferrit telítettségig való mágnesezése alkalmával a ferromágneses anyagok mágnesezettségének kb. 20 % -át éri el. A ferriteknek nagyon nagy gyakorlati jelentõségük van.A ferromágneses tulajdonságuk mellet nagy fajlagos ellenállással (103-1010 Ωm) rendelkeznek,és ezért a nagyfrekvenciás készülékekben használják õket.

4.8.1. A FERROMÁGNESES ANYAGOK MÁGNESEZÉSI GÖRBÉJE

Mikor a ferromágneses anyagot küls" mágneses térbe visszük, a tartományokra ható küls"mágneses tér a nyomatékokat a saját irányába igyekszik fordítani. Kis intenzitású küls" terek esetén csak növekszik a küls" tér irányába mutató tartományok mérete a szomszéd (nem küls"térirányba mutató) tartományok rovására. Ha megszüntetnénk a küls" teret, a kezdeti állapotállna vissza – a folyamat tehát reverzibilis vagyis visszafordítható (4.38. ábra). Ha a küls" terettovább növeljük, egész tartományok ugrásszer ! rotációja következik be. A tartományok nyomatékirányának elfordulása (rotációja) hirtelen megy végbe. A mágnesezésnek ez a része

irreverzibilis (visszafordíthatatlan) folyamat. Mikor az össz tartomány nyomatéka többnyire beáll (igazodik) a küls" tér irányába, a tartományok ugrásszer ! rotációja megsz!nik és a továbbikül " é i i á ö lé k á j k dé k i di ibili f l



A telítettség akkor jelentkezik, mikor az össz tartomány össz mágnesesnyomatéka a

!

B vektor irányításávalmegegyezik. A telítettség leírásáhoza mágneses polarizációvektort vagya mágnesezési vektort használjuk

(telített megjelöléssel):( )

! ! ! ! !

B H J H M telített telített = + = +µ µ 0 0 .

A tartományok között elmozduláskor “súrlódás” jelentkezik. Ezért a tartományok elmozdulását és rotációját mindig a mágneses energia hõvé való átalakulása kíséri. Ezeket aveszteségeket hiszterézisveszteségeknek nevezzük. A hiszterézisveszteségek mellett atartományok súrlódásának még két fontos következménye van:1) A mágnesezési folyamat ideje alatt történõ változások a ferromágneses anyagban mindig

késnek a mágnesezést elõidézõ mágneses tér változásaihoz viszonyítva. Ennek atulajdonságnak az eredményeként jelentkezik a hiszterézis viselkedés, amit majd késõbb

fogunk részletesebben leírni.1) A küls" mágneses tér kikapcsolása után a tartományok nem állhatnak vissza az elsõdlegesállapotukba (kaotikusan elrendezett - orientált domének). Ennek eredményeként a küls"mágneses tér kikapcsolása után is létezik mágneses tér a felmágnesezett és mágnesezettségétmegtartó ferromágneses anyagnak köszönhet"en. Ezzel magyarázható az állandó mágnesek létezése.

A ferromágneses anyagokat legtöbbször a saját mágnesezési görbéjükkel jellemzik (írják le). Legtermészetesebb az volna, ha a mágnesezési görbe a mágnesezési vektor (M) vagy a

polarizációvektor (J) és az indukció (B ) között adná meg az összefüggést. Ez azonban nemvolna praktikus, mivel sem a mágnesezési vektort, sem a polarizációvektort nem lehet egyszer !módon mérni. A ferromágneses anyagban egyszer !en csak a

!

H és a!

B vektorok intenzitását

(nagyságát) lehet mérni közvetlen (direkt) vagy közvetett (indirekt) módon. A ferromágnesesanyag mintájának megfelelõ alakúnak kell lennie. Legmegfelel" bb a vékony, toroid (körgy!r !)alakú minta, amelyre nagy számú menet van tekercselve, mert a mágneses térer "sséget, a

!

H -t pontosan kiszámíthatjuk az Ampère törvény segítségével, az indukcióvektort, a

!

B-t pedigindirekt módon lemérhetjük. Így jutunk el a ferromágneses anyagban a B-t és H-t összekötõgörbéhez. Az összes mágnesezési görbét a vékony tóruszmag alakú mintán kapott mérések alapján rajzolják meg.

A B(H) görbe szerkesztése a következõ módon történik (4.39. ábra): vékony tóruszmagalakú vasmagra s!r !n N menetszámú huzalt tekercselünk. A mag középsugara R, akereszmetszet felülete S . Az általános Ampère törvény alapján következik, hogy:

H NI

R = 2π .

A mag körül még egy menet van tekercselve, amely össze vankötve az ún. balisztikus galvanométerrel, amely a körbenátfolyt elektromos töltést méri. Mikor változik a tóruszmagkeresztmetszetén a fluxus (∆Φ), akkor a balisztikusgalvanométeren (BG) a ∆Φ fluxusváltozással arányosanátfolyik a ∆Q töltésmennyiség. Így az I áramerõsségugrásszer ! változásával megszerkesztjük a B(H) görbét, vagyisa mágnesezési görbét.

Azokat a mágnesezési görbéket, amelyeket a H

mágneses tér lassú változásával kapunk, sztatikusmágnesezési görbéknek nevezzük.

4.38. ábra

4.39. ábra



A gyakorlatban még az el"z"knél is fontosabbak azok a görbék, melyeket a H mágnesestér viszonylag gyors és periódikus változtatásával kapunk. Az így kapott görbéket dinamikusmágnesezési görbéknek (4.40. ábra) nevezzük. E görbék alakja nagyon függ a térerõsségváltozásának gyorsaságától és idõbeli alakjától. Legtöbbször azokat a görbéket használjuk.melyeket a H mágneses térerõsség sinusos vagy cosinusos (egyszer ! periódikus) változtatásakor kapunk.

Különbözõ anyag mágnesezési görbéje különbözõ alakú. A 4.40. ábrán a ferromágnesesanyagok tipikus dinamikus mágnesezési görbéje látható, melyet a kezdetben nem mágnesezetttóruszvasmagon végzett mérések eredményeztek.

Ha az áram növelésével növeljük a H-t nullátólHm-ig, akkor a görbe 0-1 részét kapjuk. Az áramcsökkentésével a H-B síkban a pont nem az 1-0részen, hanem az 1-2 görbe részén halad vissza. A 2.

pontban annak ellenére létezik mágneses indukciú,hogy az áram a tekercsben megsz!nt, azaz a H nulla.A mágneses indukciónak ezt az értékét remanens(visszamaradt) indukciónak nevezzük és Br -el

jelöljük. Az elfordított tartományok részbenorientáltak maradtak és ennek eredményeként atóruszban van indukció. Mivel

! ! ! !

H B M J= = =0 0, µa remanens indukció egyenlõ a visszamaradtmágneses polarizációval. Ha most növeljük az áramintenzitását a menetben, de ellenkezõ irányban mint elõször, a

!

H is ellenkezõ iránybannövekszik (negatív

!

H érték). A H-B síkban a pont a 2-3 görbét követi. A Hc (koercitív) értékûmágneses térre a mágneses indukció a magban nulla. Ez azt jelenti, hogy a menetben folyómakroszkópikus áramtól származó mágneses indukció egyforma intenzitású, de ellenkezõirányítású attól a mágneses tértõl, ami a részben irányított tartományoktól származik. Hogy ezt

bebizonyítsuk, kapcsoljuk ki a menetben az áramot. A munkapont a 3-4 görbét írja le, ami bizonyítja, hogy a tartományok az elsõdleges irányban voltak orientálva. A koercitív tér értékeszerint a ferromágneses anyagokat mágneses puha (kis Hc) és mágneses kemény (nagy Hc)anyagokra osztjuk.

Ha a Hc értéktõl növeljük a H intenzitását, akkor a pont a 3-4 görbét írja le. Amennyibencsökkentjük az áram intenzitását és ismét megváltoztatjuk az irányát a pont a 4 -5 - 6 görbét írjale, azonban a 6. pont nem fedi az 1. pontot az elsõdleges mágnesezési görbén. Amikor azonbanezt a folyamatot tíznél többször megismételjük zárul a munkapont által leírt görbe. Az így kapottzárt görbét hiszterézisgörbének nevezünk.

A 4.41. ábrán látható hiszterézisgörbék közül a legnagyobb görbe egyben a lehetségeslegnagyobb az adott ferromágneses anyagra. A Hm nagyobb értékeinél a H-B síkban a pont leírja

a legnagyobb hiszterézisgörbét, azután egyenes vonalon mozog tovább. Ez az eset akkor fordulel", amikor az össz tartomány irányítva van, és elértük a telítettséget. A remanens indukció Br ésa koercitív HC tér értékeit arra a ciklusra adják,amikor jelentkezik a telítettség. A telítettségegyenes vonalának az egyenlete: B=µ0(H ±Mtelített). A szaggatott vonalat, amely összeköti ahiszterézisgörbe hegyét különbözõ Hm értékekremágnesezési alapgörbének nevezzük.Ugyanannál az anyagnál a mágnesezési alapgörbekülönbözik az elsõdleges mágnesezési görbétõl. Agyakorlatban ezt a különbséget általábanelhanyagolják.

Most leírunk egy folyamatot a

4.40. ábra





Az állandó mágnesek készítésére használatos kemény ferromágneses anyagok közül alegismertebbek a króm-wolfram és króm-molibdén acélok, melyeknél a Br nagysága 1 T a Hc

értéke pedig 5000 A/m-nél kezd"dik.A mágneses puha anyagokat (HC = 5 - 150 A/m) ott használják, ahol kis veszteséggel

nagy B értéket kell elérni periódikus mágnesezéskor (a kés" bbiekben látni fogjuk, hogy minélkisebb a koercitív tér - HC – annál kisebb a hiszterézisgörbe felülete, amely a

hiszterézisveszteségekkel arányos, valamint minél nagyobb a ferromágneses anyag fajlagosellenállása – vagyis kisebb a fajlagos vezetés – annál kisebbek az örvényáramok okoztaveszteségek). A mágneses puha anyagok alkalmazási területei: elektromos gépek és m!szerek,forgógenerátorok, motrok, transzformátorok stb. A legfontosabb mágneses puha anyagok:

• elektrolitikusan tiszta vas (99,99 % Fe) : az el"állítási folyamat (tehnológia) nagyondrága, a legkisebb szennyez"dés is rontja a mágneses tulajdonságát, µr >100 000 kistérerõségnél, a HC nagyon kicsi (a hiszterézisgörbe nagyon keskeny). A leggyakoribbszennyez"dések: szén (C), oxigén (O), nitrogén (N), kén (S) és mangán (Mn). Már az 1%szén vagy mangán szennyez"dés is kemény ferromágneses anyaggá teszi azelektrolitikusan tiszta vasat.

• szilíciumacél (1,7 % - 4 % Si hozzáadásával): a Si jelenléte nagymértékben növeli azacél fajlagos ellenállását (az örvényáramok okozta veszteségek ennek következtébennagyon kicsik). Szilíciumacélból készülnek a standard vastagságú (0,35 mm és 0,5 mm)dinamólemezek és transzformátorlemezek , amelyek vékony lakkréteggel (szigetelõvel)vannak átkenve és a váltóáramú villamos gépek vasanyagát készítik bel"lük.Dinamólemezb"l (1,7% Si) a forgó villamos gépek, transzformátorlemezb"l (4% Si)

pedig a transzformátorok vasanyaga készül. Az egyenáramú gépek vasmagjai° öntöttvas ból vagy° öntött acél ból készülnek.

• permalloy (80% Ni és 20% Fe) és supermalloy (79% Ni, 16,4 %Fe, 4% Mo, 0,6 % Mn) – nagy a telítési mágneses polarizációvektora (Jtelített), kezd" relatív permeabilitása

(µr kezdõ), maximális relatív permeabilitása (µr max), viszont kicsi a koercitív tere (Hc).Ma sok puha mágneses anyagként viselkedõ ötvözet létezik.A mágneses puha és kemény anyagok hiszterézisgörbéje a 4.43. ábra bal oldalán látható (a

– görbe: puha vas, b – görbe: edzett acél.A ferromágneses anyagok

mágneses tulajdonsága függ ahõmérséklettõl, amirõl agyakorlatban figyelmesen gondotkell vezetni. A 4.43. ábra jobboldalán lev" grafikon, valamint a4.44. ábra illusztrálja, érzékelteti

a mágneses tulajdonságok h"mérsékletfüggését.

A puha vas telítésiindukciójának hõfokfüggése a4.43. ábra jobb oldalán látható.

A 4.44. ábrán egy ferrimágneses anyag kezd"-és maximális permeabilitásának görbéje látható ah"mérséklet függvényében.

4.43. ábra

4.44. ábra



4.9.3. MAGNETOSZTRIKCIÓ

A ferromágneses anyagokból készült testek mágnesezés hatására bekövetkezett kisalakváltozását magnetosztrikciónak nevezzük. A ferromágneses anyagok méretváltozását aWeiss-tartományok elfordulása és méreteinek változása idézi elõ. A ferromágneses anyagok

mágneses tér irányába es! mérete csökken vagy növekszik, a térre mer !leges irányban szinténméretváltozás áll el!, úgyhogy a test térfogata (köbtartalma) els! közelítésben állandó marad. Atest méretének a mágneses tér irányában bekövetkezett viszonylagos (relatív) változását amagnetosztrikciós együtthatóval (λ) fejezzük ki:

λ = ∆ll ,

ahol a- ∆l -a test méretváltozásának, pontosabban a megnyúlásának az értéke,- l a test eredeti mérete a tér irányában.

A telítettségig való mágnesezés folyamán a test megnyúlása folyamatosan n!l, éstelítettségnél éri el a magnetosztrikciós együttható a legnagyobb értékét, amelyet λS-el jelölünk.

Az λ negatív értéke azt jelzi, hogy a tér irányában a test hossza csökkent, vagyis, hogy a testmegrövidült.

Alkalmazás: A nagy magnetosztrikciós együtthatóval rendelkez! anyagokat azelektrotechnikában az oszcillátorok frekvenciájának stabilizálására és elektroakusztikusátalakítókként (ultrahang-generátorok és ultrahang felfogók el!állítására) használják. Alegnagyobb magnetosztrikciós effektusa a vas és a platina ötvözeteinek (pl. 46% Fe+54% Pt)van. Nagy (20 kHz feletti) frekvenciákon ferrimágneses, nagy magnetosztrikciós együtthatóvalrendelkez! anyagokat alkalmaznak a klasszikus ferromágneses anyagok helyett, mert aferritekben, nagy fajlagos ellenállásuk következtében kisebbek az örvényáramok okoztaveszteségek.

4.9.4. MÁGNESES KÖRÖK

A ferromágneses anyagokat leginkább a villamos gépek vasmagjainak készítésérehasználják. Ezek a vasmagok különböz! alakúak lehetnek (légrésük is lehet), és egyes részeikenáltalában gerjesztõtekercsek vannak. A mágneses fluxust majdnem teljes egészében a vasmagirányítja, vezeti, hasonlóan mint az elektromos áramot a vezetõk. Emiatt az ilyen rendszertmágneses körnek nevezzük. A “mágneses kör” fogalma alatt tágabb értelemben az össz test vagyközeg egységét értjük, melyekben mágneses fluxus van. Számunkra a mágneses körök azokat a

rendszereket jelentik, amelyeknél ferromágneses anyagok segítségével a mágneses fluxust akívánt úton szabályozzuk. A mágneses körökkel kapcsolatos problémák két csoportba oszthatók:• mágneses körök tervezése (méretezése) - a vasmag és a gerjeszt!tekercs méreteinek és

tulajdonságainak meghatározása úgy, hogy a körben megfelelõ (el!írt) mágneses fluxustkapjunk,

• mágneses körök elemzése (analízise, kivizsgálása) – a gerjeszt!tekercsben folyó áramlétesítette fluxus meghatározása az adott kör minden ágában, vagy a gerjeszt!tekercsáramának és a menetszámának meghatározása úgy, hogy az adott méret" mágneses kör tetsz!leges (adott) részén a kívánt fluxus vagy

!

B értékét kapjuk.

Mi csak a mágneses körök analízisével foglalkozunk.

Annak ellenére, hogy a ferromágneses anyagok nem lineárisak (a µ=B/H értéke függ aá té á ától) " íté éljából li á i k k t ki tjük õk t f ltét l



nagy számérték " relatív permeabilitást (µr ). Pontosabb számításkor természetesen figyelembekell venni, hogy a ferromágneses anyagok nem lineáris tulajdonságúak. Ilyenkor a számítások összetettebbek és hasonlóak a nemlineáris villamos hálózatok számításaihoz.

Fontos feltételezés a mágneses körök kivizsgálásakor, hogy a mágneses fluxust teljesegészében a ferromágneses anyag vezeti. A

határfeltételek segítségével ezt a feltételezést akövetkezõ módon tudjuk igazolni:Tételezzünk fel, hogy a ferromágneses anyagunk

relatív permeabilitása

µ µ

µr = ⟩⟩0

1

µr -nem állandó, de nagy számérték ",

a határfeltételek szerint (4.45. ábra):( ) ( )

n f nv B B =1

( ) ( ) t f t v H H =2 .

Mivel B=µH, a (2)-es egyenlet

( ) ( )µ µ

t f t v B B

!!

=0

lesz , azaz

( )( ) ( )t vr t f B B

!!

µ =′2 .

A mágneses körök kivitelezésénél ügyelnek arra, hogy a gerjesztõtekercs által létrehozottmágneses tér indukcióvonalai megközelít!leg párhuzamosak legyenek a vasmag felületével(kivéve természetesen a légrés pontjaiban).

A 4.45. ábráról az olvasható le, hogy( )

( )

!

!

B

B

f t

tϑ

≅ 5 , míg a gyakorlatban a mágneses tér

indukcióvektorának tangenciális komponenseinek aránya a ferromágneses és nemferromágnesesanyagokban több száztól több tízezres naggyságrend".

Ebb!l aztán könnyen belátható, hogy:

.)(+)(=>>)(+)(= 2222t vnvvt f n f f B B B B B B

Ezek szerint a mágneses körökben a mágneses fluxust gyakorlatilag majdnem teljesegészében a ferromágneses anyag vezeti. Minden ferromágneses anyagból készült vasmagmellett azonban létesülnek a leveg! ben is indukcióvonalak. Ezeket az indukcióvonalakat szórtindukcióvonalaknak nevezzük, melyeknek összessége a szórt fluxus. Reális esetekben a szórtfluxus arányát a vasmagban mért fluxushoz viszonyítva nehéz meghatározni, de a becslések szerint ez az arány százalékban kifejezve nem nagyobb mint 10-15%. A számításoknáliskolapéldák esetében a szórt fluxust elhanyagoljuk, pontosabb számítás esetén azonban nemszabad !t sem kihagyni. Formális hasonlóság áll fenn a villamos hálózatok és a mágneses körök megoldása között. A mágneses körök megoldhatóságának pontossága azonban sokkal kisebb,mint a villamos hálózatoké. Ennek több oka van. Az egyik ok, hogy a vezetõ és a szigetelõfajlagos vezetõképessége közötti arány nagy: 1018 - 1024, vagyis a szórt áramok elhanygolhatók.A mágneses köröknél a ferromágneses anyag és a környezet permeabilitásának aránya sokkalkisebb: 102 - 104, vagyis a szórt fluxus kisebb vagy nagyobb mértékben, de mindig létezik, és ez

némely esetben csökkentheti a számítás pontosságát. Legtöbbször azonban az ilyen pontosság ismegfelel a gyakorlatban (a hibaszázalék általában az 5 - 10 %-os határon belül van).

4.45. ábra



4.9.4.1. Kirchhoff törvényei a vékony mágneses körökre

A mágneses köröket, melyeknél a hosszukhoz viszonyítva rövidek a keresztmetszetdimenziói (vékony ferromágneses magjuk van) röviden vékony mágneses köröknek nevezünk.

Ilyen köröknél a!

B és!

H vektorokat a mag keresztmetszetén állandónak vehetjük.

A mágneses körök méretezésekor szükséges tudni a!

B és!

H vektorok intenzitásai közöttikapcsolatot. A ferromágneses anyagoknál a µ = B / H arány nem állandó. A mágneses körök analízisekor a a B és H közötti összefüggés meghatározására vagy a mágnesezési alapgörbétvagy az elsõdleges mágnesezési görbét használják. A továbbiakban mi a mágnesezési görbefogalma alatt nem teszünk különbséget a mágnesezési alapgörbe és az elsõdleges mágnesezésigörbe között (mivel a gyakorlatban is – az elenyész! eltérések miatt - ezt a különbséget általábanelhanyagolják).

A 4.46. ábrán egy vékony mágneses kör látható. Tételezzük fel, hogy a kör méreteiismertek, az ágak permeabilitása úgyszintén (akár analitikusan, vagy mágnesezési görbealakjában). A feladat az ágak fluxusainak meghatározása, ha a méretek és a permeabilitások mellett ismerjük a gerjeszt!tekercsek áramait. Egy adott ág fluxusa a mágneses körben vagy

pozitív vagy negatív lesz attól függ!en, hogy:(1) milyen a gerjeszt!tekercs tekercselésének iránya,(2) milyen (melyik) az áram valódi iránya, és(3) milyen (melyik) az ág keresztmetszetére kiválasztott pozitív egységvektor

(mer !leges) iránya.Az egyenáramú hálózatoknál az adott

ágban folyó áram el! jele, mint az el!z!ekbenláttuk, függ az ágakban (nemcsak a megfigyeltágban!) elhelyezked! elektromotoros er !k (generátorok) irányától és nagyságától(intenzitásától), valamint az adott ágban

tetsz!legesen felvett referenciairánytól. Ez ahasonlóság, az egyenáramú- és mágneses körök között sokkal mélyebb, mint ahogy ezt akövetkez!kben látni fogjuk, olyannyira, hogy azegyenáramoknál megismert alakú Kirchhoff törvényekhez hasonló egyenleteket írhatunk fela mágneses körökre is.

A fluxusmegmaradás törvényének értelmében a mágneses kör minden csomópontjára (a csomópont fogalma azonos azegyenáramú köröknél ismertetett csomópont fogalmával) felírható egy egyenlet, melynek alakjaa 4.46. ábra alapján az A pontra:

0=Φ+Φ+Φ−=⋅Β 431∫ A

Sd!!

Amennyiben a csomópontok száma ncs, akkor az így fölírható független egyenletek száma(ncs-1). Az utolsó, ncs-edik csomópontra felírt egyenlet megkapható az el!z!leg felírt (ncs-1)egyenlet alapján (a bizonyítást lásd az egyenáramú hálózatoknál)!

Az el!z! egyenlet makroszkópikus alakja a vékony mágneses körökre érvényes Kirchhoff csomóponti törvényét (vagy Kirchhoff els! törvényét) képezi:

0=Φ±∑=

n

1k k

Az általános Ampère-törvény egy zárt görbére felírva (érvényes úgy a lineáris, mint a

nemlineáris körökre):∑∫ Ι±=⋅Η ld

!!

A

B

C

D

3

4

256

I1

N1

I2

N2

+n

4.46. ábra



Az egyenletben szerepl! integrál felírható a C zárt görbét alkotó ágak mentén számíthatóintegrálok összegeként. Tételezzük fel, hogy egy-egy ág keresztmetszete állandó (Sk ).Elhanyagolva a szórt fluxust felírhatjuk, hogy:

,⋅Η ±≅⋅Η ∫ k k

menténágka

lld!!

ahol a pozitív el! jel akkor érvényes, ha a H vektor és a k ágban a C zárt görbe irányítása

megegyezik. Az általános Ampère-törvény bal oldala így a következ! alakra módosul:

.⋅Η ±=⋅Η ∑∫ mentén-C

k k

C

lld!!

Az általános Ampère-törvény jobb oldala ugyancsak egyszer "síthet! az NI szorzatok alkalmazásával. A jobb oldalon azon gerjeszt!tekercsek menetszámainak és a hozzátartozóáramnak a szorzatait (NI szorzatokat) vesszük számba (adjuk össze), amelyeket a C zárt görbefelölel (magára “felf "z”). Nézzük a C zárt görbét az 1.44. ábrán! A C-re kifeszített felületen N1 – szer halad át I1 er !sség" áram pozitív irányban, és N2 –ször halad át I2 er !sség" áram, de negatívirányban. Az ábráról látható, hogy az NI szorzat akkor pozitív el! jel", ha a gerjeszt!tekercsbenfolyó áram és a C zárt görbére felvett tetsz!leges pozitív körüljárási irány a jobbcsavarszabályszerint kötöttek. Ezek szerint az általános Ampère-törvény jobb oldalát a következ! alakraegyszer "síthetjük:

∑∑ )ΝΙ±(=Ι±mentén-C

k átn-C

.

Az általános Ampère-törvény teljes, egyszer "sített alakja a vékony mágneses köröknélKirchhoff huroktörvényének (Kirchhoff második törvényének) felel meg:

.)ΝΙ±(=)⋅Η ±( ∑∑mentén-C

k mentén-C

k k l

Az el!

z! kifejezés nem véletlenül kapta a “Kirchhoff huroktörvénye a vékony mágneseskörökre” nevet. Amennyiben ugyanis szem el!tt tartjuk, hogy:

,k k

k k )Η (

Β=Η

µ akkor

.)Η (

⋅Φ=⋅)Η (

⋅Β=

)Η (

⋅Β=⋅Η

k k

k k

k

k

k k

k k

k k

k k k k

l

S

Slll

µ µ µ

A Φk melletti kifejezés alakja megegyezik az lk hosszúságú, Sk keresztmetszet" vezet!ellenállásának kifejezésével, azzal a különbséggel, hogy itt a vezet! anyagának fajlagos vezetésehelyett a mágneses anyagból készült ág permeabilitása szerepel. Ezért a Φk melletti kifejezést a k

ág mágneses ellenállásának vagy reluktanciájának nevezzük, és R mk -val jelöljük:.

⋅)Η (=

k k k

k mk

S

lR

µ

Így tehát : .Φ⋅=⋅Η k mk k k R l Kirchhoff huroktörvényének végleges alakja a következ!:

.0=Φ⋅−)ΝΙ( ∑∑mentén-C

k mk mentén-C

k R

Az el!z! kifejezés NI és R mk ⋅Φk szorzatai pozitív el! jel"ek lesznek, ha a gerjeszt!tekercsáltal létrehozott indukció iránya, illetve az adott ágban a fluxus tetsz!legesen felvettreferenciairánya megegyezik a zárt hurok pozitív körüljárási irányával. Ellenkez! esetben azel! jelek negatívak.

Az egyenáramokra érvényes Kirchhoff-huroktörvényben szerepl! generátornak itt az NIszorzat felel meg, melyet gyakran magnetomotoros er !nek (esetleg gerjesztésnek) is neveznek ésFm-mel jelölnek. Az ellenállásnak az egyenáramú hálózatokban a reluktancia felel meg a vékony



Ezek tehát Kirchhoff egyenletei a vékony mágneses körökre. A villamos hálózatok, minttudjuk, a legtöbb esetben lineárisoknak tekinthet!k még ha valójában nem is egészen azok. Amágneses körök azonban úgyszólván sohasem tekinthet!k lineárisoknak. Ezért a villamoshálózatoknál megismert hálózatanalízis-módszerek csak néhány speciális esetben, úgyszólvánsohasem használhatók.

A reluktancia fogalma a mágneses köröknél csak a villamos körökkel való hasonlatosság

bemutatása céljából jelent meg. A nemlineáris mágneses körök számításánál a reluktanciafogalma nem használatos, hanem az általános Ampère-törvény, a fluxusmegmaradás törvénye ésmágneses körök ágaiban felhasznált mágneses anyagok mágnesezési görbéi (a mágnesestérer !sség-vektor – H – és az indukcióvektor – B - közötti összefüggés meghatározására).

4.9.4.2. Légréssel rendelkez! mágneses körök

Az elektrotechnikai gyakorlatban s"r "n találkozhatunk légrés(ek)el rendelkez! mágneseskörökkel (villanymotorok, villamos generátorok, relék eletromágnesek, stb.). Nézzük meg a

4.47. ábrán lév! mágneses kört, melyben egy kisméret" (l0 hosszúságú) légrés található. Alégrésben természetesen érvényes, hogy: B0=µ0⋅H0, a ferromágneses anyagban pedig: B=µ(H)⋅H.Ha csupán közelít! számítást végzünk, és Kirchhoff huroktörvényét a reluktancia segítségévelírjuk fel, akkor a következ! kifejezést kapjuk a 4.47. ábrán alkalmazott jelölésekkel:

,0=Φ⋅−Φ⋅−ΝΙ m0m R R

ahol:

.⋅

=⋅

=00

0m0m

S

lR és

S(H)

lR

µ µ

A ferromágneses anyag keresztmetszetének felülete

pontosan adott (S), viszont a légrés körül szórt fluxus, illetveszórt mágneses tér jelentkezik, aminek következtében a légréskeresztmetszetének effektív (valódi) felülete (S0) bizonyosannagyobb a ferromágneses anyag keresztmetszetének felületét!l. Magában a légrésben (a légrés belsejében) amágneses tér majdnem teljesen homogén, a légrés szélein

pedig bizonyosan inhomogén (nemhomogén). A fent felírt reluktancia-képlet így annál pontosabb értéket ad eredményként minél kisebb az l0 értéke a keresztmetszet dimenzióinál.

A mágneses körben lev! légrés nagymértékben befolyásolja a fluxus értékét, hiszen alehet! legrövidebb (legkeskenyebb) légrések is a legtöbb esetben nagyobb reluktanciátképviselnek, mint az össz ágtól ered! reluktancia együttvéve. Ez a megállapítás a reluktancia-

kifejezésekb!l is lesz"rhet!, mert a µ(H) értéke általában több ezerszerese a µ0-nak. Ezért fontos,hogy a reluktancia számításánál a légrés valódi (S0) felületét vegyük figyelembe.

A mágneses körök keresztmetszete általában vagy derékszög" paralelogramma (négyzetvagy téglalap), vagy kör. Emellett a légrés két oldalán vagy ugyanazon méret" ferromágnesesmagkeresztmetszet, vagy eltér ! méret" magkeresztmetszet található. Ez összesen négyfélekombinációt jelent:

(1) Téglalap (a és b oldalú) keresztmetszet" és egyforma felület" vasmag határolja alégrést. Ekkor az effektív légréskeresztmetszet:

).+(⋅)+(= 000 l blaS

(2) Kör (D átmér ! j") keresztmetszet" és egyforma felület" vasmag határolja a légrést.

Az effektív légréskeresztmetszet:.

)+(⋅=

2

4

lDS 0

0

π

I

N

l

l0

S

S0

4.47. ábra



(3) Téglalap (a és b oldalú) keresztmetszet" és különböz! felület" vasmag határolja alégrést. Az effektív légréskeresztmetszet értéke itt:

.)+(⋅)2+(= 000 2l blaS

(4) Kör (D átmér ! j") keresztmetszet" és különböz! felület" vasmag határolja a légrést.Az effektív légréskeresztmetszet értéke:

.

)+(⋅

=

2

4

2lD

S

0

0

π

4.9.4.3. A mágneses körök számítása

Az el!z!ekben már kikötöttük, hogy a tantágy keretei nem ölelik fel a mágneses körök tervezését, így csak a mágneses körök analízisét ismerjük majd meg, ahol a mágneses körök méreteit, és a mágneses kört alkotó ferromágneses anyagokat is ismerjük. Két típusfeladatkínálkozik ebben az esetben:

(1) Meghatározni a magnetomotoros er !

t (a gerjesztést), illetve annak amper-menetértékét oly módon, hogy a nemlineáris mágneses kör egy adott ágában konkrétfluxus- vagy indukcióérték legyen (ez az egyszer " bb feladattípus).

(2) Kiszámítani a nemlineáris mágneses kör valamennyi ágában a fluxust illetve azindukciót, ha ismert az össz gerjesztés a körben (bonyolultabb feladattípus).

A két problématípus megoldási menete nemcsak, hogy egymástól különbözik, de eltér !még ugyanannak a problématípusnak a megoldásmenete is az egyszer "- (egy ággal rendelkez!)és az összetett mágneses körök (több ággal rendelkez! – az ágak száma általában nem haladjameg a hármat) esetében.

4.9.4.3.1. EGYSZER # MÁGNESES KÖRÖK SZÁMÍTÁSA

Az egyszer " mágneses körökben nincsenek elágazások, csupán egy ág és egy hurok létezik. A szórt fluxus most is elhanyagoljuk, így a fluxus mindegyik magkeresztmetszetremegegyezik, vagyis egyforma.

I. Tételezzük fel, hogy az egyszer " mágneses körben adott a fluxus értéke (els!, egyszer " bbfeladattípus), legyen mondjuk Φ. Határozzuk meg a szükséges gerjesztés értékét!

A megoldás menete a következ!:

1. Kiszámítjuk az indukcióértékeket az ágrészekben: .Φ=k

k SB

- ne felejtsük el, hogy az egyetlen ág különböz! keresztmetszet" részekb!lépülhet fel,

- a légrésekben az effektív (valódi) keresztmetszettel számoljunk.2. Meghatározzuk a mágneses térer !sség vektorának intenzitását vagy az

ferromágneses anyagokra analitikusan adott kifejezések vagy a mágnesezésigörbék alapján.

- tartsuk szem el!tt, hogy a mágneses kör egyetlen ága (az egyetlen hurok)

többféle ferromágneses anyagból is állhat,



- a légrésekben viszont a mágneses térer !sség vektorának intenzitása:

.=0

00

BH

µ

3. Összegezzük a Hk ⋅lk szorzatokat, és megkapjuk a szükséges gerjesztést(magnetomotoros er !t, amely szükséges az adott fluxus (Φ) eléréséhez.

II. Tételezzük fel, hogy az egyszer " mágneses körben adott az össz gerjesztés értéke(második, bonyolultabb feladattípus), legyen mondjuk NI, a H(B) funkció (összefüggés)

pedig grafikusan adott. Határozzuk meg a fluxust a hurokban, illetve azindukcióértékeket az ágrészekben!

A megoldás menete ebben az esetben a következ!: Mivel a H(B) összefüggés csak grafikusan ismert, a ∑ =⋅Η NIlk k egyenlet csak valamilyen közelít! megoldással oldható

meg. A legegyszer " bb, és a gyakorlatban leggyakrabban használt eljárás a következ!:

1. Feltételezünk egy fluxusértéket a körben, meghatározzuk az indukcióértékeket és amágneses térer !sség-értékeket az ágrészekben, majd összegezzük a Hk ⋅lk

szorzatokat (az els! feladattípus megoldás-menete alapján).2. Összehasonlítjuk a kapott Hk ⋅lk szorzatok összegét az adott NI értékével. Ha az

értékek megegyeznek (valószín"tlen, hogy egyb!l eltaláljuk a keresettfluxusértéket), vagy nagyon kicsi az eltérés közöttük (modjuk 2-5 %), úgy afeladat megoldásához értünk.

3. Szükség szerint növeljük vagy csökkentjük az el!z! lépésben meghatározottfluxusértéket, hogy közelítsünk a megadott NI értékhez, és visszalépünk az 1.

pontra (újraszámoljuk az indukcióértékeket és a mágneses térer !sség-értékeket azágrészekben, majd…) .

A feladat általában néhány iteráció (átszámolási ciklus után) elfogadható eredményhezvezet.

Ennek a feladatnak a megoldása az analitikus módszer mellett grafikusan is kereshet!:

1. Néhány (nem kett!-három, hanem több) tetsz!legesen kiválasztott fluxusértékre azels! problématípus megoldás-menete alapján kiszámítjuk a számukra szükségesgerjesztésértékeket.

2. Interpoláció alapján megrajzoljuk a Φ(NI) függvényt (a kapott pontokon keresztülgörbét húzunk vagy analitikusan kiszámoljuk a görbe paramétereit, mondjuk alegkisebb négyzetek módszerével – létezik kész számítógép-program is, amelyik eztszámolja), majd

3. Grafikus úton a Φ(NI) függvény segítségével meghatározzuk azt a fluxusértéket,amely megfelel az adott gerjesztésnek.

4.9.4.3.2. AZ ÖSSZETETT SZIMMETRIKUS MÁGNESES KÖRÖK SZÁMÍTÁSA

A gyakorlatban szokszor találkozunk szimmetrikus szétágazó (összetett) mágneses

körökkel. Egy ilyen mágneses kör a 4.48. ábrán látható. A szimmetria miatt a körnek csak egyik felét figyeljük. Így egy egyszer " mágneses kört kapunk, amelyet az elõz!ekben leírt módszerek egyikével oldhatunk meg. Itt is kétféle feladat fogalmazható meg: megadható az ágban levõ



fluxus, illetve az ágrészekben az indukció értéke vagy agerjeszt!tekercs(ek) amper-ment értéke(i).

4.9.4.3.3. AZ ÖSSZETETT NEMSZIMMETRIKUS MÁGNESES KÖRÖK SZÁMÍTÁSA

A gyakorlatban ritkán találkozunk olyan mágneses körökkel, melyeknek több mint háromáguk van. Mivel a mágneses körök nem lineárisak nem alkalmazhatók a lineáris elektromoshálózatok megoldásának módszerei. Az összetett mágneses körök megoldására a következõeljárásokat használjuk:

1. Kirhhoff törvényei a mágneses körökre (a huroktörvénynek nem a reluktanciát istartalmazó alakja) - amelyek a nemlineáris mágneses körökre érvényesek

2. A mágneses kör ágait alkotó ferromágneses anyagok mágnesezési görbéi (ha vannak légrések, akkor a légrésben: B 0 = µ 0H 0).

Létezik néhány módszer a mágneses körök megoldására. A legegyszerübb ésleggyakrabban alkalmazott eljárás a megközelítési (iterációs) módszer, hasonló ahhoz, amelyet amásodik feladattíus megoldás-meneténél ismertettünk. Hasonlóan, mint a nemlineáriselektromos hálózatoknál, nincs egy általánosan alkalmazható eljárás valamennyi mágneses körre,hanem az eljárás módszerét a mágneses kör geometriai alakja diktálja. Így, minden típusúmágneses kört más módszerel kell megoldani.

4.20. Példa: A 4.49. ábrán adott egy nemszimmetrikus mágneses kör. A kör középsõ ágában akívánt mágneses indukció B = 0.8 T. Határozzuk meg aztaz NI gerjesztést, amely ezt az indukciót eredményezi, ha amágneses kör transzformátorlemezb!l készült. Atranszformátorlemez mágnesezési görbéje a Melléklet 1.ábráján adott. A vasmag kitöltési koefficiense 0.9.

Megoldás:

Az ábrán látható méretadatokból kapjuk, hogy:

l 1 = l 2 = 131.4 mml 3 = 40 mmS1= S2 = 7.2 . 10-4 m2

S 3 = 14.4 . 10-4 m2

Ezek után felírhatók az egyenletek:

H1 l 1 + H3 l 3 = NI (1)H 2 l 2 - H3 l 3 = 0 (2)

4.48. ábra

4.49. ábra





Az eredményhez vezet! iterációs lépéssorozat egy-egy lépése a következ! aktivitásokbóláll:

1. Kiszámítjuk a 3 ágban az indukciót: .Φ

=3

33

SB

(els! lépésben a feltételezett Φ’3 fluxust vesszük – tehát Φ3=Φ’

3 - , második lépésben az(a) egyenlet segítségével kiszámított Φ’’

3 –ot - tehát akkor Φ3=Φ’’3 lesz – minden

következ! lépésben pedig a (b) egyenlet által kiszámított Φ’’’3 -ot - tehát akkor Φ3=Φ’’’3

lesz).2. Meghatározzuk a H3 –at a mágnesezési görbe alapján.

3. Kiszámítjuk a H2 értékét a (2) egyenletb!l: (2

332

l

lHH

⋅= ).

4. Meghatározzuk a B2 értékét a mágnesezési görbe alapján.5. Kiszámítjuk a 2 ág fluxusát: Φ2=B2⋅S2.6. Kiszámítjuk az 1 ág fluxusát a (3) egyenletb!l (Φ1=Φ2+Φ3).

7. Kiszámítjuk az 1 ág indukcióvektorának intenzitását (1

11 S

B Φ= ).

8. Meghatározzuk a H1 értékét a mágnesezési görbe alapján, és9. Végül kiszámítjuk a gerjesztés értékét az (1)+(2) egyenletek összegéb!l

(NI=H1⋅l1+H2⋅l2), vagy csak az (1) egyenletb!l (NI=H1⋅l1+H3⋅l3).

Majd ezt a kapott értéket hasonlítjuk össze a példában megadott (esetünkben(NI)ADOTT=1000 amper-menet) értékkel. Ha a különbség kisebb 5%-nál, úgy a feladatmegoldásához értünk, ellenkez! esetben számítjuk a 3 ág újabb (megközelít!) értékét az (a),vagy (b) egyenlet segítségével, és elvégezzük az új iterációs lépés kilenc aktivitását.

Gyakorlatként végezze el az olvasó a számításokat az adott kezd! fluxus értékére!

4.9.4.4. Állandó mágnesb!l készült mágneses kör

Az állandó mágnesek alkalmazása az elektrotechnikában nagyon sokoldalú (hangszórók,relék, egyenáramú amperméterek, forgó villamos generátorok stb.). Ezért a gyakorlatbanszükséges az el!re meghatározott mágneses tulajdonsággal rendelkez! állandó mágnestervezésének ismerete. Ismerkedjünk meg hát az állandó mágnesb!l készül! mágneses körök tervezésének alapelemeivel.

A 4.50. ábrán látható ferromágneses tóruszmagot arátekercselt vezetékben folyó áram telítettségig felmágnesezte,

majd a gerjeszt!áram kikapcsolásával a munkapont, amely a H -B síkban a mágnesezettség állapotát írja le most a Br pontban van(4.51. ábra). Ha most a magból eltávolítunk egy l0 hosszúságúrészt, akkor a körre a következ! alakú második Kirchhoff törvény(általános Ampére törvény) írható fel:

H l H l HH l

lm m mm

0 00 00+ = ⇒ = − !

Ha elhanyagoljuk a szórt fluxust, azt kapjuk, hogy:Φ 0 = Φ m ,

azaz:

B 0 ⋅S 0 = B m ⋅S m.A leveg! ben lev! indukcióvektort kifejezve:

4.50. ábra



BB S

Sm m

00

= .

Mivel a leveg! ben B0=µ0Ho , a mágneses térer !sségintenzitása az el!z! két kifejezésb!l:

HB S

S

m m0

0 0

=

µ

",

majd a "-t behelyettesítve az !-be:

H BS l

S lm mm

m

= − 0

0 0µ.

Ez az egyenlet nem más, mint az 1.49. ábrán láthatóOP egyenes egyenlete. Mint kit"nik, a légrés a magbanindukciócsökkenést idéz elõ (a munkapont a P pontban van).Az egyenes hajlásszöge az l 0/lm aránytól függ (a fenti levezetés csak akkor érvényes, ha az l0kicsi a tórusz keresztmetszetének felületi méreteihez viszonyítva (az S0 a légrés effektív felületét

jelenti). A gyakorlatban általában a légrés méretei, vagy effektív méretei ( l0, S0) és a légrésbenszükséges indukcióértékek (B

0) adottak, a feledat pedig az, hogy kiszámítsuk a mágnes méreteit

úgy, hogy legkevesebb ferromágneses anyagot használjunk fel.Határozzuk meg tehát a mágnes l m hosszát és a keresztmetszetének felületét úgy, hogy az

adott l 0, S 0 és B 0 mellett az l m S m szorzat minimális legyen (vagyis, hogy a felhasznált anyagtérfogata a lehet! legkisebb legyen). A mágneses anyag térfogata:

Vm≅Smlm

Az !-b!l a mágneses kör hossza:

lH l

Hm

m

= − 0 0 ,

a mágneses anyag keresztmetszete pedig (a " egyenlet alapján):

S BS B

Bm mm

m

= 0 .

Így a mágneses anyag térfogata az el!z! két kifejezés alapján:

VH l S B

H B

l S B

H Bm

m m m m

= =0 0 0 0 0 02

0

0µA Vm értéke akkor lesz minimális az adott l0, S0 és B0 értékekre, ha a ferromágneses anyag

munkapontját a mágnesezési (lemágnesezési - demágnesezési) görbén úgy választjuk meg, hogya |Hm|Bm szorzat maximális érték " legyen. A |Hm|Bm szorzatot maximális energiaszorzatnak isnevezik (a maximális energiaiszorzat elnevezés abból ered, hogy a HB szorzat mértékegysége

megegyezik a térbeli –térfogati- energias"r "ség mértékegységével). A maximálisenergiaszorzatot, mint a kemény ferromágneses anyagok fontos ismérvét táblázatok formájábanis megadják.

Ha a maximális energiaszorzatnak megfelel! térerõsség- és indukcióértéket rendreHMAX-al és B MAX -al jelöljük, akkor a legkisebb anyagtérfogat mérete:

( )S S B

Bm optimá lis MAX

≅ 0 0 és

( )ll B

H m optimá lis

MAX

≅ 0 0

0µ .

4.51. ábra




1. Nyugalomban villamos töltések között milyen er !k jelentkeznek?2. Milyen testek között jelentkezik mágneses er !?3. Lehet-e a töltések közötti mágneses er !t közvetlenül (kísérleti úton) mérni?4. Hogyan mérhet!k mégis a mágneses er !k?

5. Mit nevezünk áramelemnek?6. Ki fogalmazta meg a két áramelem között ható mágneses erõ matematikai alakját?7. Milyen alakú a két áramköri elem között ható elemi er ! kifejezése?8. Mi a vákuum permeabilitása, és mi az egysége?9. Mi a mágneses tér, és milyen nagysággal írjuk le?10. Hogyan szól a Biot-Savart-törvény?

11. Mi a mágneses indukcióvektor jele és egysége (mekkora ez az egység)?12. Hogyan számítható a mágneses indukció vektora (iránya, irányítása és nagysága) a kör alakú

áramhurok középpontjában?13. Hogyan számítható a mágneses indukció vektora a végtelen hosszú egyenes vezetõ körül?14. Milyen a Biot-Savart-törvény alakja felületi áram esetében?15. Milyen a Biot-Savart-törvény alakja, amely a vastag vezeték dV térfogatelemében folyó

áramától ered! indukciót írja le?16. Mivé egyszer "södik a Biot-Savart-törvény, ha a mágneses tér síkbeli áramhuroktól ered, és bennünket csak

eme sík pontjaiban érdekel az indukció értéke?17. Mire szolgál a Helmholz orsó (tekercs)?18. Hogyan írható fel a mágneses térben levõ áramhurokra ható erõ?19. Mi az alakja a mágneses térben levõ áramhurokra ható forgatónyomaték kifejezésének?20. Hogyan szól az egy töltésre ható mágneses er ! képlete?21. Milyen irányú a mágneses er ! a töltés sebességvektorának irányához viszonyítva?22. Gyorsítható-e villamos töltés mágneses térrel?23. Milyen alakú pályán mozog a töltött test a mágneses térben?24. Mit!l függ a körmozgás sugara?25. A körmozgás periódusa (frekvenciája) függ-e a töltött részecska kinetikai energiájától

(sebességét!l)?26. Mi a ciklotron, és milyen részekb!l épül fel?27. Milyen elven m"ködik a ciklotron?28. Mit fejez ki a Lorentz-er !?29. Mire használható a Hall-effektus?30. Milyen gyakorlati alkalmazása van a Hall-effektusnak?31. Milyenek a mágneses indukcióvektor er !vonalai?32. Milyen er !térnek hívják a mágneses teret (épp az er !vonalainak sajátossága miatt)?

33. Mi a mágneses fluxus (és egysége)?34. Mit jelent a negatív fluxus-érték?35. Mi a felület mer !legese (hogyan határozható meg)?36. Mi a felületelem-vektor?37. Mi a fluxusmegmaradás törvénye?38. Hogyan szól Ampère törvénye?39. Hol alkalmazzák az Ampère törvényt?40. Milyen feltételek mellett használható Ampère törvénye?41. Hogyan számítható a mágneses indókció egyenes vezet! esetében Ampère törvényével?42. Hogyan változik a mágneses indukcióvektor értéke a koaxiális vezetéknél?43. Milyen a toroidtekercs (körgy"r "-tekercs) mágneses tere (indukcióvektora)?

44. Milyen mágneses teret hoz létre a szolenoid?45. Minek tekinthetünk makroszkopikusan minden atomot illetve molekulát?



46. Hogyan osztályozhatjuk az anyagokat atomjaik (molekuláik) ered! mágneses nyomatékaszerint?

47. Mi jellemzi a diamágneses anyagokat?48. Melyek a diamágneses anyagok?49. Mi a diamágneses effektus és milyen anyagoknál jelentkezik?50. Az ered! mágneses forgatónyomatékkal (momentummal) rendelkez! molekulák milyen

ismérv szerint oszthatók további csoportokba?51. Mit kell tudni a paramágneses anyagokról?52. Melyek a paramágneses anyagok?53. Melyek a ferromágneses anyagok legf ! bb jellemz!i?54. Melyek a legismertebb ferromágneses anyagok?55. Milyen mennyiséggel vesszük figyelembe a mágnesezett anyagtól származó (az Ampère-

áramok következtében megjelen!) mágneses teret?56. Mi a mágnesezettség vektorának definíciós képlete?57. Mi az elemi mágneses forgatónyomaték és a mágnesezettség vektorának az egysége?58. Mit határoz meg és hogyan fejezhet! ki a mágneses polarizáció vektora?59. Miért van szükség az általános Ampère-törvényre?

60. Mivel kell “b!víteni” az Ampère-törvény jobb oldalát, hogy eljuthassunk az általánosAmpère-törvényhez?

61. Mi az általános Ampère-törvényt meghatároz! kifejezés?62. Hogyan definiáljuk a mágneses térer !sség vektorát?63. Mi a mágneses szuszceptibilitás, és mit jellemez?64. Mi a mágneses szuszceptibilitás mértékegysége?65. Mi a mágneses anyagok linearitásának feltétele (kifejezés)?66. Mi a relatív és permeabilitás?67. Milyen összefüggés érvényes az indukcióvektor és a mágneses térer !sségvektor között

lineáris környezetben?68. Mely anyagok tartoznak a lineáris mágneses anyagok közé?69. Milyen érték " a mágneses szuszceptibilitás a dia- para- és ferromágneses anyagoknál?70. Milyenek a mágneses térer !sség er !vonalai lineáris és nemlineáris környezetben?71. A mágneses anyag melyik részén nem semlegesítik egymást az Ampère-áramok?72. Mekkora az elemi Ampère-áramokat helyettesít! ekvivalens felületi árams"r "ség (kifejezés)?73. Mekkora az elemi Ampère-áramokat helyettesít! ekvivalens felületi árams"r "ség a dia-,

para- és ferromágneses anyagok esetében (nagyságrend)?74. Mik a határfeltételek?75. Melyek a határfeltételek egyenletei (lineáris közegben is)?76. Hogyan “törnek meg” a vektorok a határfelületen áthaladva?77. Milyen típusú anyagok a ferromágneses anyagok?

78. Mibe “tömörülnek” az azonos irányba mutató elemi mágneses forgatónyomatékkalrendelkez! atomok (molekulák)?79. Mekkorák ezek a tartományok (nagyságra és molekulaszámra nézve)?80. Mi választja el egymástól a tartományokat?81. Mi a ferromágneses anyagok viselkedésének egyszer " magyarázata?82. Mi a ferromágneses Curie h!mérséklet?83. Milyen tulajdonságokkal rendelkeznek az antiferromágneses anyagok?84. Mi jellemzi a ferrimágneses anyagokat (ferriteket)?85. Hogyan néz ki a ferromágneses anyagok statikus mágnesezési görbéje?86. Milyen jelenség kíséri a ferromágneses anyagok “átmágnesezési” folyamatát?87. Hogyan hívjuk az “átmágnesezési” veszteséget?

88. Milyen következményekkel kell számolni a ferromágneses anyagok “átmágnesezésekor”?89. Milyen nagyságok közötti összefüggést ábrázol a ferromágneses anyagok statikusmágnesezési görbéje?



90. Milyen mennyiségek mérhet!k (számíthatók) a ferromágneses anyagokra?91. Milyen nagyságok közötti összefüggést ábrázol a ferromágneses anyagok dinamikus

mágnesezési görbéje?92. Milyen alakú mintáról készül a dinamikus mágnesezési görbe?93. Hogyan történik a dinamikus mágnesezési görbe szerkesztése?94. Mi a szerepe a ballisztikus galvanométernek a dinamikus mágnesezési görbe

szerkesztésében?95. Milyen alakú a tipikus dinamikus mágnesezési görbe?96. Melyek a tipikus dinamikus mágnesezési görbe jellemz! (karakterisztikus) pontjai?97. Milyen típusúak lehetnek a ferromágneses anyagok a koercitív terük értéke alapján?98. Melyik hiszterézisgörbére érvényesek a táblázatokban megadott Hc és Bm értékek?99. Mit nevezünk mágnesezési alapgörbének?100. Hogyan végzik a ferromágneses anyagok “lemágnesezését”?101. Mi a Rayleigh-féle hiszterézisgörbéje?102. Mi az alappermeabilitás?103. Mi a differenciális permeabilitás?104. Hogyan definiálják az inkrementális permeabilitást?

105. Mi a komplex permeabilitás?106. Melyek a mágneses kemény anyagok jellemz!i?107. Melyek a mágneses kemény anyagok, és mire használják !ket?108. Mi jellemzi a mágneses puha anyagokat?109. Melyek a mágneses puha anyagok, és melyek az alkalmazási területeik?110. Mi a magnetoszrikció?111. Milyen lehet a magnetosztrikciós együttható?112. Hol alkamazzák a nagy magnetoszrikciós együtthatóval rendelkez! anyagokat?113. Mi a mágneses kör?114. Mely csoportokba oszthatók a mágneses körökkel kapcsolatos problémák?115. Mi a szórt fluxus a mágneses köröknél?116. Figyelembe vesszük-e a szórt fluxust a mágneses körök analízisénél?117. Milyen mágneses köröket nevezünk vékony mágneses köröknek?118. Hogyan szól Kirchhoff csomóponti törvénye a mágneses körökre?119. Mi a kiindulópontja Kirchhoff huroktörvényének a mágneses körök esetében?120. Mi Kirchhoff második törvényének a mágneses körökre érvényes alakja?121. Mi a reluktacia?122. Mi a magnetomotoros er ! (gerjesztés)?123. A Kirchhoff törvények alkalmazásakor milyen anyagoknak tekintjük a ferromágneses

anyagokat?124. Mely törvények és karakterisztikák segítségével végezzük a mágneses körök analízisét, ha

ténylegeses nemlineáris köröknek tekintjük!ket?125. Hol találkozhatunk légrés(ekk)el rendelkez! mágneses körökkel?

126. Hogyan számítható a légrés keresztmetszetének effektív (valódi) felülete?127. Milyen mértékben határozza meg a fluxus értékét a légrés a mágneses körben?128. Mely két feladattípus jelentkezik a mágneses körök analízisénél?129. Milyen a megoldás menete az egyszer " mágneses köröknél az els! (egyszer " bb)

feladattípus esetében?130. Milyen a megoldás menete az egyszer " mágneses köröknél a második (bonyolultabb)

feladattípus esetében?131. Hogyan számítható ki a mágneses kör a bonyolultabb feladattípus esetében grafikus úton?132. Mi a könnyítés a szimmetrikus mágneses körök esetében?

133. Milyen módszereket alkalmaznak a nemszimmetrikus mágneses körök megoldásánál?134. Hogyan tervezhet! az államdó mágnesb!l készül! mágneses kör?



5. ID!BEN VÁLTOZÓ VILLAMOS (ELEKTROMOS) ÉS MÁGNESES TÉR

5.". Elektromágneses indukció

5.".". AZ INDUKÁLT VILLAMOS TÉR

A mozgás mindig relatív, mindig valamihez viszonyítva mérjük. Több, mozgásban lev!test esetén egyiknek a mozgását leírhatjuk bármely másik mozgásban lev! testhez viszonyítva.Érthetõ, hogy megfelelõbb (de csak megfelelõbb) ha olyan referenciarendszert választunk ki (azta mozgó testet választjuk ki), melyhez viszonyítva a legtöbb jelenség leírása a legegyszer " bb.

A referenciarendszer, vagy a ”koordináta-rendszer, amelyhez viszonyítva figyeljük a jelenséget” kifejezést legtöbbször a “megfigyelõ” fogalommal helyettesítjük. A “megfigyel!”fogalma alatt egy képzeletbeli megfigyelõre gondolunk, aki a kiválasztott koordináta-rendszerhez viszonyítva mozdulatlanul figyeli és elemzi a jelenségeket.

Figyeljünk meg egy Q villamostöltésmennyiséggel rendelkez! testet(Q töltést), amely

!v sebeséggel

mozog az idõben állandó (de általánosesetben inhomogén – vagyis nemhomogén) mágneses tér forrásáhozviszonyítva. Az egyszer "ség kedvéérttételezzük fel, hogy a mágneses tér forrása egy áramhurok (áramjárta zártvezeték).

Emlékezzünk vissza a villamosés mágneses tér definíciójára.1. A térrészben akkor van villamos tér, ha a megfigyelõhöz viszonyított mozdulatlan Q töltésre

! !

F Q E e = ⋅ alakú erõ hat.

2. A térrészben a mágneses tér akkor igazolható, ha a megfigyel!höz (esetleg a tér forrásáhozis) viszonyított

!v sebeséggel mozgó Q töltésre

! !F Q v

m = ⋅ ×

!

B alakú erõ hat.

Hogyan lehet meghatározni, hogy létezik-e villamos vagy mágneses tér?

A P1 megfigyelõ (5.1.ábra) aki az áramhurokhoz kötött koordinátarendszerhez viszonyítva

nyugalomban van, azt fogja megállapítani, hogy a P2 megfigyel! koordinátarendszeréhezrögzített Q töltésre

! !F Q vm

= ⋅ × !

B alakú mágneses erõ hat, hiszen látja, hogy az!v sebeséggel

mozog a (megfigyelõhöz viszonyítva nyugalomban lev! – általános esetben id! ben változó)mágneses térben.

Tételezzük fel, hogy a P2 megfigyelõ (5.1.ábra), akihez viszonyítva a Q töltésmozdulatlan, m"szerekkel pontosan mérni tudja a mágneses indukció vektorát és a villamostérerõsséget. Tételezzük fel továbbá, hogy a mágneses tér egyetlen forrása a 5.1. ábrán láthatóáramhurok, de err !l a P2 megfigyelõnek nincs tudomása (vagyis, hogy ! nem látja az xyzkoordináta-rendszert).

Mit fognak észleleni a P2 megfigyelõ m"szerei, és hogyan fogja õ azokat értelmezni?

Az egyik m"szer regisztrálja az id! ben változó mágneses teret. A másik m"szer az ! !F Q E e = ⋅alakú erõt igazolja (amelyet a P1 megfigyelõ az

! !F Q v= ⋅ ×

!

B egyenlettel magyaráz), amely a

5.1. ábra



P2 megfigyelõhöz viszonyítva nyugalomban levõ Q töltésre hat. Ezek szerint a P2 megfigyelõazt fogja megállapítani, hogy az õ (x’y’z’) koordináta-rendszeréhez viszonyítva létezik id! benváltozó villamos tér is. Tehát a P2 megfigyelõ arra a következtetésre jut, hogy idõben változó

villamos és mágneses térben tartózkodik, habár a P1 megfigyelõ, akihez viszonyítva a mágnesestér forrása nyugalomban van, csak idõben állandó mágneses teret észlel.

Az ilyen következtetést általánosítani lehet: függetlenül attól, hogy mi váltja ki, az idõbenváltozó mágneses teret mindig idõben változó villamos tér kíséri.

Figyeljünk meg egy nagyon hosszú, s"r "ntekercselt, nagy menetszámú szolenoidot. Tételezzük fel, hogy a mozgatható, csúszó érintkez!vel (K ) ki-és bekapcsolhatjuk az áramot a szolenoid végén,ahogy az a 5.2. ábrán látható.

Képzeljük el, hogy az egész szolenoid jobbra- balra mozog d hosszúságnyira, a K érintkez! pedig az1-es helyzetben áll. A Q töltésre mágneses erõ foghatni, mert relatív mozgás létezik a Q töltés és a

mágneses tér forrása között. A P2 megfigyelõ ezt az erõt úgy fogja értelmezni, mint egyvillamos tér hatását, mivel az õ koordináta-rendszerében a töltés mozdulatlan.

Nyilvánvaló, hogy a szolenoid jobbra-balra való mozgatását helyettesíthetjük a K érintkez! jobbra-balra való mozgásával. A két m"velet értelme azonban egészen más.

Az elsõ esetben a megfigyelõ és a mágneses tér forrása közötti relatív mozgásról, amásodik esetben viszont a megfigyelõhöz (azaz a Q töltéshez) viszonyítva mozdulatlanvezetõkben folyó idõben változó áramokról (konkrétan, a K érintkez!vel ki- és bekapcsoltáramokról) van szó.

Következtetés:Az idõben változó mágneses teret mindig idõben változó villamos tér kíséri. Az elektromos

tér, amely megfelel a mágneses tér változásainak, nem függ a mágneses tér változásának okától:a változás következménye lehet a megfigyelõ és a mágneses tér forrása közötti relatívmozgásnak, vagy a megfigyelõhöz viszonyítva mozdulatlan vezetõ(k)ben folyó áramerõsségváltozásának (a mágneses tér gerjeszt!árama változásának).

Hangsúlyozzuk ki tehát, hogy a villamos térnek két elõidézõje van. Az egyik amozdulatlan elektromos töltések, amelyek elektrosztatikus teret -

!

E st eredményeznek. A másik

elõidézõje az id! ben változó mágneses tér, amely az áramhurok (állandó mágnes) amegfigyelõhöz viszonyított mozgásaként, vagy a megfigyelõhöz viszonyított mozdulatlanhurokban folyó áramer !sség változásaként indukált elektromos teret -

!

E ind hoz létre.

Az össz (totális) térer !sség tehát a következ! módon írható fel:! ! !

E E E tot st ind = + (a tér sztatikus és indukált komponenseinek összege)

! ! !

E v Bind = × (indukált elektromos tér, amely a megfigyelõ és a mágneses tér

forrása közötti relatív mozgás eredménye)

A mozdulatlan, változó áramer !sség" áramhurkok közelében jelentkez! indukált villamostér számítására szolgáló kifejezést kísérleti úton határozták meg:

dE ind

!

= − ⋅µ

π

0

4 di t

dt

( ) dl

r

!

(az indukált villamos tér er !ssége a dl!

áramelem közelében)

!

!

E di t dt

dlr

ind

c

= − ⋅ ⋅∫ µ π 0

4( )

5.2. ábra



(az!

E ind

vektor erõssége mozdulatlan vezet!hurok közelében)

A d !

E ind

vektor tehát párhuzamos a dl!

- el,tényleges irányítása (nyilazása) pedig az áram elsõderiváltjától függ az adott pillanatban (5.3.ábra).

Az indukált elektromos tér egyik legfontosabb

tulajdonsága, hogy a d

!

E ind térerõsség vektorának vonalintegrálja zárt vonal mentén általános esetbenkülönbözik nullától. Ez azt jelenti, hogy az ilyentérben elhelyezked! vezetõhurokban elektromos áram

jelentkezik (indukálódik). Az!

E ind vektor

vonalintegrálját zárt vezet!hurok mentén indukált

elektromos er ! nek (e.m.e.) nevezzük.

5.".2. AZ ELEKTROMÁGNESES INDUKCIÓ FARADAY-TÖRVÉNYE

Figyeljünk meg egy zárt C vezetõhurkot, illetve a vezet!hurok egy dl!

elemét (5.4.ábra),amely idõben állandó mágneses térben, a mechanikai erõk hatására tetszõleges módon mozog ésdeformálódik. A hurok egyes részei (dl

!

elemei) párhuzamosan mozdulnak el egy nagyon rövididõ alatt, mégpedig egy kis ds vdt

! != utat megtéve.Ilyenkor a dl

!

hurokelemben indukálódó e.m.e. értéke:

de E dl v B dldt

ds B dlind = ⋅ = × ⋅ = × ⋅

! ! ! ! ! ! ! !

( ) ( )1

.

A vektorok vegyes szorzatának van egy számunkramost nagyon kedvez! tulajdonsága, ti. a vektorok balról

jobbra való “eltolásával” a vegyes vektorszorzateredménye nem változik, amit így írhatunk fel:

( ) ( ) ( )ds B dl dl ds B B dl ds! ! ! ! ! ! ! ! !× ⋅ = × ⋅ = × ⋅

Nos ennek felhasználásával írhatjuk az áramelemt!lered! indukált feszültségre:

de d

dt B dl ds

d

dt B d s= ⋅ × = ⋅ ⋅

! ! ! ! !( ) 2

ahol a sd B !!

⋅⋅ 2 kifejezés nem más, mint a dl!

hurokelem által dt id! alatt “áttörölt” felületen (a5.4. ábrán a szóban forgó felület árnyékolt) keresztüli fluxus. Az össz e.m.e. értéke a zárt

vezet!hurok mentén a hurokelemekben indukált (elemi) e.m.e.-k összegeként kapható meg:

edt

B d s d

dt c

= ⋅ =∑1 2! ! φ

.

Az el!z! kifejezésben csak a fluxusváltozás szerepel, a változás oka nem. Az árnyékoltfelületen keresztüli fluxus értéke úgy számítható, mint a zárt vezet!hurokra kifeszített felületenkeresztüli fluxuskülönbség az 1 és a 2 helyzetben:

d φ az áttörölt felületen = φ φ 1 2−

Ha most a C zárt vezet!n keresztüli fluxusnövekményt írjuk föl, ami a végállapotban (2helyzet) mért fluxus és a kezd!állapotban (1 helyzet) mért fluxus különbsége:

d φ fluxusnövekmény a C hurkon keresztül = φ φ 2 1− ,

5.3. ábra

5.4. ábra



akkor az el!z! kifejezésben az “áttörölt” felületen keresztüli fluxust helyettesíthetjük a C zártvezet!hurkon keresztüli fluxusnövekménnyel:

d φ az áttörölt felületen = − d φ fluxusnövekmény a C hurkon keresztül

Ezzel az indukált e.m.e. értékére vonatkozó kifejezés a következ! alakot ölti:

dt

d

e

Φ

−=ahol a d φ a zárt vezet!hurkon keresztüli fluxusnövekményt jelenti, melynek el!idéz! je bármilehet. Ez az elektromágneses indukció Faraday törvénye

A dinamikus (mozgási) elektromágneses indukció az idõben állandó mágneses tér forrásaés a zárt vezet!keret közötti relatív mozgásnak az eredménye.

A sztatikus (statikus, nyugalmi) elektromágneses indukció esete pedig akkor áll fenn,amikor az indukált e.m.e.-t egy mozdulatlan vezet!hurokban a másik mozdulatlanvezet!keretben folyó id! ben változó áram idéz el!.

5.".2.". Az elektromágneses indukció iskolapéldái

5.". Példa: Az elektromágneses indukción alapuló, id! ben állandó feszültséget (e.m.e-t) adógenerátor m"ködési elve.

Figyeljük meg az AA′ vezetõt (5.5.ábra), amelysúrlódás nélkül csúszhat két párhuzamos vezetõn (a 5.5.ábrán 1 és 2 a jelük), amelyek a távolságra vannak egymástól. A vezet!k az általuk meghatározott síkramer !leges indukcióvonalakkal rendelkez! homogénmágneses térben helyezkednek el.

Mivel az AA′ vezet! homogén mágneses térbenvégez transzlációs mozgást, az indukált e.m.e. minden

dl!

elemére )×( Bv !!

érték ", így az össz indukált e.m.e.értéke az a hosszúságú vezet! mentén az indukált e.m.e értéke:

aBve !!! ⋅)×(= .

A képr !l a vektorok közötti szögek alapján lesz"rhet!, hogy:aBve ⋅⋅= .

Ennek az e.m.e.-nek a következménye a következ!képpen számítható áram:

R aBv

R eI ⋅⋅== ,

illetve a Joule féle veszteségek (a melegedés) teljesítménye:

R

aBvIR P

2222 ⋅⋅=⋅= .

Mivel az AA′ vezetõben

R

aBvI

⋅⋅=

áram folyik, a vezeték mentén a következ! mágneses er ! jelentkezik:

BldIFdmag

!!!

×⋅=

BaIBaIFmag ⋅⋅=×⋅= !!!

5.5. ábra



Amennyiben az AA′ vezetõ állandó sebeséggel mozog, a mágneses és a mechanikus er !k egyforma intenzitásúak:

BaIFF magmech ⋅⋅== .

A mechanikus er !k munkája (behelyettesítve az áramer !sségre a fent kapott értéket):

t d

R

aBvdtvBaIdtvFdA

222

mech.er !k mech ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=. ,

a mechanikus er !k teljesítménye pedig:

R

aBvvF=P

222

mech.er !k er !k mech.

⋅⋅=⋅ .

Mint látható, ez az érték megegyezik a Joule veszteségek teljesítményével, amit azenergiamegmaradás törvénye alapján el is vártunk.

A vF=P mech.er !k er !k mech. ⋅ kifejezésb!l kifejezhet! az AA′ vezet! sebessége a stacionáris

(állandósult) állapotban:

BaIR

aBv

FPv

222

silemeh

silemeh

⋅⋅

⋅⋅

==

/

.

. ,

amib!l aztán az egyszer "sítés után

aB

R Iv

⋅⋅= .

5.2 Példa: Az elektromágneses indukción alapuló villamos motor m"ködési elve.Tételezzük fel, hogy a motor üresjáratban van (G=0), és kezdetben az AA′ mozdulatlan. A

P kapcsoló bezárásával (5.6.ábra) az áramerõsség gyorsan nagy értéket ér el (az R ellenállásértéke határozza meg). Az AA′ -re nagy mágneses erõ hat,

minek következtében az mozogni kezd. Mivel a vezetõmágneses térben mozog, a forrás e.m.e.-vel ellenkezõ irányú(irányítású) e.m.e. indukálódik benne. Az AA′ vezetõ addiggyorsul (a súrlódást elhanyagolva) amíg az indukált e.m.e.egyforma intenzitású nem lesz a forrás e.m.e. -jével, ésekkor a körben megsz"nik az áram. Ebb!l a föltételb!lkiindulva az AA′ vezet! sebessége:

E a v B= ⋅ ⋅ ,amib!l tehát

v E

a B=

⋅ ( ) I = 0 .

Ha G ≠ 0, a vezet! sebessége nyilvánvalóan kisebb lesz a fent felírt értékt!l. Az AA′ vezet!n keresztül áramnak kell folyni, hogy a vezet!re mágneses er ! hasson, amely a súlytfölfelé emeli. Az áram intenzitását, a súly felfelé irányuló egyenletes mozgásakor, abból afeltétélbõl határozzuk meg, hogy a súly (G) és a mágneses erõ egyforma intenzitású:

G F I a Bmag= = ⋅ ⋅ ,

amib!l kifejezve az áramer !sséget:

I G

a B=

⋅.

Másrészt a körben folyó áramot a generátor kapocsfeszültsége (e.m.e.-je) és az AA′vezet!n létrejött indukált e.m.e. (mely ellentétes irányítású v. nyilazású a generátor e.m.e.-jéhez

viszonyítva) közösen határozzák meg:

I E e E a v B= − = − ⋅ ⋅

5.6. ábra



Ebb!l és az el!z! kifejezésb!l pedig az AA′ vezet! sebessége egyszer "en számítható ki:

v E R I

a B

E R G

a B

a B=

− ⋅⋅

=−

⋅⋅

⋅.

Ha a G súly túl nehéz, akkor a mágneses erõ nem fogja emelni azt, hanem a G súly fogjaelmozdítani az AA′ vezetõt a mágneses erõ hatásával ellentétes irányban. A rendszer ilyenkor

generátorként viselkedik, miközben a súly potenciális energiája a villamos- és mágneses tér közvetítésével a vezetékben hõvé alakul.

5.3. Példa: Egyenáramú generátor, Faraday-féle tárcsa (korong)A tárcsa (kerék) egyenletesen ω szögsebeséggel forog a

homogén,!

B indukciójú mágneses térben (5.7.ábra). A kerületisebesség és a szögsebesség közötti összefüggés:

ω ⋅= r v ,az elemi e.m.e.-t pedig a következ! összefüggés szerintszámíthatjuk ki legegyszer " bben:

( ) r dBvde

!!!

⋅×==de dr Br ⋅⋅⋅ω

e B r dr B a

a

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∫ ω ω 0

21

2

Ha ω=2π.100 rad/s, B=1T, a=5 cm, akkor azelektromotoros er !, e=0,785 V. Az adott értékek a lehetõlegnagyobbak, amit a gyakorlatban el lehet érni. Amegvalósítható e.m.e a Faraday-féle korongnál, mint az értékb!l is látható, nagyon kicsi.

5.4. Példa: Az sinusgörbe szerint váltakozó feszültség"

generátor m"ködési elve.A generátor egyszer "sített rajza a 5.8. ábrán látható.Ha a t=0 pillanatnak az ábrán látható helyzetet választjuk (aB!

vektor megegyez! irányú és irányítású a keretremeghatározott pozitív egységvektorral), akkor az ωszögsebességgel forgó kereten keresztül a fluxus:

tcos baB)( ⋅⋅⋅⋅= ω φ t .Az indukált elektromotoros er ! a keretben pedig:

t dt

t d t e ω ω

φ sin baB

)()( ⋅⋅⋅⋅=−= = E t max sin⋅ ω

A gyakorlatban a sinusgörbe (5.9. ábra)szerint változó feszültség" generátorokat(5.8.ábra) leginkább úgy készítik, hogy atekercs, amelyben az áram indukálódik (esetünkben a keret) mozdulatlan, és arajta történõ fluxusváltozást megfelelõmágnes vagy elektromágnes mozgatásávalérik el. Így a csúszógy"r "k (ezek agenerátor legérzékenyebb,legsérülékenyebb részei) használata

feleslegessé válik.

5.7. ábra

5.8. ábra

5.9. ábra



5.5. Példa: Egyenáramú (pulzáló) generátor.Az 5.4. példában szerepl! generátor kis, de

lényegbeli átalakítással dolgozhat egyenáramúgenerátorként is. Ha az 5.8. ábrán a két különállócsúszógy"r " helyett csak egyet (kettévágva,egymástól elszigetelt félgy"r "ként) alkalmazunk,

akkor váltakozó feszültség" generátor helyettegyenáramú generátorunk lesz (5.10.ábra).

Az 5.11. ábra fels! részén aváltakozó feszültség" generátor kapocsfeszültség-görbéje (e.m.e-je)látható. A példánkban (5.5. példa)szerepl! egyenáramú (egyenfeszültség")generátor feszültséggörbéje (az alsó görbeaz 5.11. ábrán) a fels! görbe segítségévelegyszer "en magyarázható. Abban a

pillanatban, amely az A2 pontnak felelmeg a fels! görbén, amikor a keretben az indukált e.m.e. irányítását (el! jelét) váltja (váltaná), afélgy"r "k kefét váltanak, és az e.m.e. az 1 és a 2 ponthoz (keféhez) viszonyítva nem változtatjairányítását, illet!leg el! jelét.

5.6. Példa: A többmenet" tekercsben indukálódó e.m.e.A gyakorlatban nem egyszer " keretek, hanem kisebb vagy nagyobb menetszámmal

rendelkez! tekercsek mozognak mágneses és villamos térben. Nézzük, mekkora e.m.e. fogindukálódni egy kisebb, N menetszámú tekercsben, ha az változó mágneses és elektromos térbenvan!

Mivel a tekercs néhány s"r "n (szorosan) egymáshoz illesztett menetbõl (vezet!hurokból)áll, az indukált villamos (elektromos) tér egyforma a tekercs minden részében. Ezért az indukáltelektromos térerõsség vektorának vonalintegrálja az össz N menet mentén megközelítõleg N-szerese az egy menet mentén számolt indukált tér vonalintegráljának.

5.".3. LENZ TÖRVÉNYE

Figyeljük meg a vezetõhurkot az idõben változómágneses (és elektromos) térben (5.12.ábra). A tér változásátelõidézheti a mágneses tér forrásának mozgása avezet!hurokhoz viszonyítva, vagy valamilyen mozdulatlanvezet! ben folyó idõben változó áram.Mivel

e

d t

dt = − φ ( )

a 0>φ d -ra 0<e lesz.

5.10. ábra

e (t)

t

5.11. ábra

5.12. ábra



Az 5.12. ábrán látható, hogy a vezet!hurokban indukált áramtól (iránya, mely megegyezik az e.m.e. irányával, lásd az ábrát) ered! mágneses fluxus ellenkezõ irányú (nyilazású) a küls!fluxus növekedéséhez viszonyítva.

Természetesen i t e t

R( )

( )≠ , viszont az indukált áram többnyire az indukált e.m.e.

irányában folyik. A vezet!hurokban indukált áram tehát mindig olyan irányú, hogy igyekszik

megakadályozni azt a fluxusváltozását amely !t létrehozta. Ezt az indukált áram irányának meghatározására vonatkozó szabályt Lenz törvényének nevezzük.

5.7. Példa: A betatron m"ködési elve.A betatron elektronok felgyorsítására szolgáló berendezés. Az

elektronok végsebessége megközelíti a fény terjedési sebességét avákuumban. A betatron m"ködési elve az indukált elektromos térenalapul, amelyet idõben változó mágneses tér kísér. Koaxiálisan azelektromágnes tengelyével, a pólusok közötti rés pereménlégmentes, tórusz alakú üvegcsövet (toroidcsövet) helyeznek el(5.13.ábra). Tételezzük fel, hogy 0<t<T id!intervallumban azelektromágnes mágneses fluxusa folyamatosan növekszik. Ekkor azüvegcsõben indukált elektromos tér jelentkezik. A gyorsítandóelektonok az indukált villamos (elektromos) tér hatására gyorsulnak az üvegcs! ben, de mivel egyidej"leg az elektromágnes mágnesesterében is mozognak, az út, amit leírnak kör alakú lesz.

Ha a toroidcsõben elektronok vannak, a 5.13. ábrán pedig afluxus a megjelölt irányban növekszik, akkor az elektronok az ábrán

jelölt irányban mozogva gyorsulnak fel (az elektronok mozgásirányaa fluxusnövekedés irányával a jobbcsavar szabály szerint kötött ill. függ össze). Ez akövetkeztetés Lenz törvényébõl ered. A mozgó elektronokra ható mágnes erõ (

! !F Q vm

= ⋅ × !

B ) a

mágnes tengelye felé irányul, így az elektronok megközelítõleg körpályát írnak le és a fluxusnövekedésével gyorsulnak.

5.2. A potenciál és a feszültség az id#ben változó elektromos és mágnesestérben

Az id! ben állandó villamos térben (elektrosztatikus, örvénymentes és forrásos, potenciálostér) a potenciál és a feszültség fogalma megegyezik. Más a helyzet azonban az id! ben változó

villamos (forrásmentes, örvényes tér) és mágneses tér esetében, itt ugyanis a potenciál és afeszültség fogalma különbözik egymástól.Az idõben változó elektromos és mágneses térben a két pont közötti feszültséget, mint az

elektromos térerõsség vektorának ( ! !

E E st ind + ) két pont közötti vonalintegrálját definiálják:

U E E dl AB st

A

B

ind = + ⋅∫ ( )

! ! !

Könnyen észrevehetõ a kifejezésb!l, hogy a feszültség függ az A és B pont közötti úttól (azintegrálás útjától)!

Bizonyítás:

Az össz térer !sség: ! ! !

E E E st ind = + ,

a feszültség pedig:

5.13. ábra



(UAB)a keresztül - (UAB) b keresztül ( ) ( )= + ⋅ − + ⋅ =∫ ∫ ! ! ! ! ! !

E E dl E E dlst ind

Aa

B

st ind

Ab

B

= ! ! ! !

E dl E dld

dt ind

Aa

B

ind

Bb

A

S esztül∫ ∫ ⋅ + ⋅ = − φ ker (1)

A voltméterek a két pont közötti feszültséget az (1) reláció szerint mérik. Az id! ben

változó áramú villamos hálózatok két adott pontja közötti feszültség (amelyekre a voltmétertkötöttük) elméletileg függ a voltmétert a hálózat pontjaihoz kapcsoló vezeték alakjától is. Ez ahatás folytonosan létezik, de nagysága általában elhanyagolható. Amennyiben a hatás jelent!s,úgy a két pont közötti feszültséget nem csak a számértékével, hanem a voltmétert a hálózat

pontjaihoz kapcsoló vezeték geometriájával is jellemeznünk kell.

5.3. Örvényáramok

A vezetõben keletkez! indukált áramokat (amelyeket az indukált elektromos tér hoz létre)örvényáramoknak nevezünk. A vezetõkben az idõben változó elektromos és mágneses tereknek elkerülhetetlen kísérõi az örvényáramok. Az örvényáramok Joule-veszteségekkel járnak és mintminden áram, idõben változó (szekundáris) elektromos és mágneses teret hoznak létre. Ezek ahatások legtöbbször károsak, ezért különbözõ módon csökkentik õket. Vannak azonban esetek,amikor az örvényáramokat felhasználás céljából tudatosan gerjesztik.

A ferromágneses anyagok elég jó vezetõk, és bennük nagy intenzitású örvényáramok indukálódnak. A Joule-veszteségek mellett az örvényáramok (a szekundáris villamos ésmágneses tér létrejöttének következtében) eltorzítják az eredeti teret is (a fluxus eloszlása nemlesz egyenletes a vasmag keresztmetszetén).

Az el!z! bekezdésben leírt nem kívánatos jelenségek csökkentése érdekében (mivelteljességgel kizárni !ket lehetetlen) lemezelik a vastestet (egymástól elszigetelt lemezekb!lkészítik a vasmagot), vagy por-vasmag alakjában készítik.

A veszteségek nagyságát megközelítõleg a következõ módon lehet kiszámolni. Figyeljük meg a lemezelt vastest egy lemezét, amely olyan vékony, hogy a keresztmetszetén a

!

B vektor intenzitása gyakorlatilag állandónak tekinthet!. Az indukció változzon a cosinus függvényszerint:

B t B t m( ) cos= ⋅ ω

A szimmetriának köszönhet!enfelírható, hogy:

J y t J y t ( , ) ( , )− = .

Az indukált elektromos(villamos) térnek csak x komponensevan az 5.14. ábrán megjelölt zártgörbére (a téglalap alakú görbe csúcsainak jelölése: 1234), értéke pedig:

J

σ .

Faraday törvénye szerint:!

! J dl L

J y t d

dt L y B t m

σ σ ω

12341

2 2∫ ⋅ = ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅( , )( cos ) ,

innen pedig: J y t y B t m

( , ) sin= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅σ ω ω .

5.14. ábra



A Joule-veszteségek teljesítménye a lemez egy pontjában (vagyis a Joule veszteségek térfogats"r "sége):

dP

dV

J y B t J

m= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

22 2 2

σ σ ω ω sin

P

dP

dV S dy S B t y dy J

J

d

d

md

d

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅− −∫ ∫ 2

22 2 2 2

2

2

σ ω ω sin

P d

S B t J m= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅2

3 23 2 2 2( ) sinσ ω ω

a (sin )2 ω t − függvény középértéke egy periódusnyi id! alatt :1

2.

Így a Joule-veszteségek közép- vagy átlagos értéke:

( )P S d B d B V J közé p m m lemez= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1

24

1

242 3 2 2 2 2σ ω σ ω .

Ezek szerint az örvényáramoktól eredõ átlagos Joule-veszteségek térfogats"r "sége:

( )P

V d B

J közé p

lemez

m= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅1

242 2 2σ ω .

A fajlagos vezetõképesség csökkentése céljából szilíciumötvözést alkalmaznak. A lemez

vastagsága a gyakorlatban a frekvenciától függ. Az Hz f 502

==π

ω frekvenciánál a lemezek

vastagsága 0,35 mm és 0,5 mm. Nagyfrekvenciás tekercsek vasmagjai (a rádiótechnikában) nem lemezekbõl, hanem préselt

ferromágnes porból (por-vasmag) készülnek, melyek részecskéi egymástól el vannak szigetelve.Manapság a por-vasmagok helyett a vasmagok el!állítására ferriteket (nagy a fajlagosellenállásuk) használnak. A ferriteket nem szükséges lemezelni, sem por-vasmag alakban

készíteni.Az örvényáramokat az indukciós kályhákban használják, ahol nagy intenzitású, idõben

változó mágneses tér segítségével nagy s"r "ség" örvényáramokat állítanak elõ, így a fémdarabok felmelegszenek, és ilyen módon olvasztani lehet õket.

5.4. A szkineffektus és a közelhatás elve

Az id! ben állandó áram eloszlása az egyenes vezetõ állandó keresztmetszetén egyenletes.

A váltóáramnál (sinusosan változó áram esetében) az indukált elektromos tér megjelenése miattaz áram eloszlása nem egyenletes a vezetõ keresztmetszetén. Ez a hatás annál kifejezettebb,minél vastagabb a vezetõ és nagyobb a frekvencia. Nagy frekvenciáknál véges érték " áramúgyszólván csak a vezetõ felszínén folyik. Ezt a jelenséget szkineffektusnak nevezzük. Aszkineffektus hatására a vezeték ellenállása megn! az egyenáramnál mért ellenálláshoz képest,hiszen az áram nem az egész rendelkezésre álló keresztmetszeten, hanem annak csak egytöredékén folyik keresztül.

Ha két egymáshoz közel elhelyezett vezetõnk van, a bennük levõ áram eloszlása nemolyan, mint amikor a vezetõk távol vannak egymástól. Ezt a jelenséget közelségi effektusnak

nevezzük (és a szkineffektushoz hasonlóan az elektromágneses indukció eredménye).A jelenségek egzakt matematikai levezetése túlságosan bonyolult, de létezésük könnyen

belátható a következ! okfejtés alapján. Figyeljünk meg egy kör keresztmetszet" váltóáram jártavezet!t. Legyenek a

!

J o t ( , ) és a!

J r t ( , ) a vezet! tengelyén, illetve a vezetõ tengelyét!l rá l á l ! b é á " " é k k (5 15 áb ) A ! f jl é é



jelöljük σ -val. Ha a φ ( , )r t az abcda felületre felírt fluxusérték, akkor a Faraday-törvényszerint:

J r t J o t L

d r t

dt

( , ) ( , ) ( , )

σ σ

φ −

⋅ = − .

Mivel az φ ( , )r t növekszik az r-el, az el!z!

kifejezésb!l az következik, hogy az J r t ( , ) isnövekszik az r-el, tehát az árams"r "ség vektorának intenzitása is növekszik a vezetõ tengelyétõl a felszínfelé. A szkineffektus annál kifejezettebb, minélnagyobb a vezetõ fajlagos vezetése (vezetõképessége),a σ és a permeabilitása , a µ (a fluxus arányos a

permeabilitással). Az f = 50 Hz -nél a rézhuzalszkineffektusa csak akkor észlelhetõ, ha a keresztmetszet átmér ! je nagyobb 10 mm-nél, avashuzalnál pedig (melynek ugyan kisebb a fajlagos vezetõképessége, de sokkal nagyobb a

permeabilitása) a hatás már az 1-2 mm átmér ! j" keresztmetszetnél is észlelhetõ.

5.5. A kölcsönös indukció és az önindukció

5.5.". A KÖLCSÖNÖS INDUKCIÓ-EGYÜTTHATÓ

Figyeljünk meg a térrészben két vékony, mozdulatlan vezetõhurkot (jelölésük legyen C 1 és

C 2 - 2.16.ábra). Az els! körben folyó i t 1( ) áram változó mágneses és elektromos teret idéz elõ

és ennek következtében a C 2 -ben e.m.e.indukálódik. Az 5.16. ábrán lév! két hurokramondjuk, hogy mágnesesen csatoltak, noha acsatolás az indukált elektromos tér következménye.

A C 2 -ben indukálódó e.m.e. értékeszámítható úgy is, mint:

e t E dlind

C

i12 2

2

1( ) ( )= ⋅∫ ,

de a legtöbb esetben sokkal egyszer " bb adt

d 12−

φ

kifejezés.A C 2 -ben indukálódó feszültséget kifejezhetjük az i t 1 ( ) és a vezet!hurok alakjának és

egymáshoz viszonyított helyzetének függvényében is. A Biot-Savart törvény szerint azindukcióvektor arányos az áram pillanatnyi értékével ( B ~ i t 1( ) ), amib!l az következik, hogy a

C 2 vezet!hurkon keresztüli fluxus, tehát a φ 12 ( )t is arányos az i t 1( ) pillanatnyi értékével(természetesen ez csak akkor igaz, amennyiben a megfigyelt térrészben nincsenek ferromágnesesanyagok):

φ 12 12 1( ) ( )t L i t = ⋅ (1)

Az L12 arányossági tényez!, melyet a két hurok kölcsönös induktivitásának (kölcsönös

indukció-együtthatójának) nevezünk, és amely a C 1 és C 2 hurok alakjától, kölcsönös helyzetétõlfügg. Az (1) képlet érvényes függetlenül az i t 1( ) áram idõbeli változásától, így:

5.15. ábra

5.16. ábra



φ 12 12 1= ⋅ L I ,vagyis:

e d t

dt L

di t

dt 12

1212

1= − = − ⋅φ ( ) ( )

.

Az L12 meghatározásához a következ! módon kell hozzáállni:

1) tételezzük fel a C" hurokban az I 1 áramot,2) határozzuk meg (ha tudjuk) a!

B -t (amelyet az I 1 hoz létre) egy a C 2 vezet!hurokrakifeszített felület pontjaiban,

3) számítsuk ki a φ12 fluxust, ahonnan: L I

1212

1

= φ

A kölcsönös indukció-együttható mértékegysége:

[ ][ ] L Wb

A H mH H nH 12

, ,µ .

Az L12 kölcsönös indukció-együttható lehet pozitív vagy negatív. Az el! jel attól függ, hogyaz egyik vezet!hurokban folyó áram pozitív vagy negatív fluxust eredményez-e a másik

vezet!hurokban. Az elõjelnek azonban nincs fizikai jelent!sége, mivel a C1 és C2 hurkok kiválasztott referenciairánya teljesen tetsz!leges.

Teljesen fordítva is elképzelhet! az alapállás: a C2-ben )(2 t i áram folyik, a C1-ben pedignincs áram. Ekkor a C1-ben indukált fluxus:

φ 21 21 2= ⋅ L I ,illetve feszültség:

e t L di t

dt 21 21

2( )( )

= − ⋅ .

Könnyen bebizonyítható, hogy L L12 21= , ami fontos következtetés.

5.5.2. AZ ÖNINDUKCIÓ-EGYÜTTHATÓ

A két vezetõhurok esetén az egyik hurokban indukált e.m.e. (feszültség) a másik hurokbanfolyó, idõben változó áramtól ered. Az indukált e.m.e. a térrészben az id! ben változó indukáltvillamos térnek köszönve jelentkezik, melynek vonalintegrálja zárt görbe mentén nem nulla. Ezaz elektromos tér azonban jelen van abban a hurokban is, amelyben az áram folyik, azazelektromágneses indukció és annak következménye jelentkezik az egyedülálló vezet!hurokbanis, amelyben idõben változó áram mutatható ki. Ezt a jelenséget önindukciónak nevezzük. A

magányos vezet!hurokban indukálódó feszültség (e.m.e.):e t

d t

dt önind

sajá t ( )

( )= −

φ .

Ha a vezet!hurok lineáris közegben van (nincs ferromágneses anyag a térrészben), a fluxusarányos az i(t) áram erõséggel:

φ ( ) ( )t L i t = ⋅ ,illetve:

φ = ⋅ L I

vagyis az e.m.e.:

e t L di t dt

( ) ( )= − .

Két mágnesesen csatolt hurokra mindig érvényes hogy:



L L L122

1 2≤ ⋅ ,amib!l:

L k L L12 1 2= ⋅ ⋅ ,

másszóval a k ≤ 1 (k - a csatolás koefficiense, együtthatója).

Minden tekercs rendelkezik önindukcióval. Néha a szükség megkívánja, hogy ezt azinduktivitást a lehet! legkisebb értékre csökkentsük. Ez elérhetõ bifiláris tekerccsel (5.17. ábra bal oldali rajz) vagy a sodrott vezetékkel

(5.17. ábra jobb oldali rajz). Néha olyan elem szükséges,

melynek az induktivitását változtatnilehet. E célra kétféle megoldáskínálkozik:1) olyan tekercs, melyben a vasmagot (ferrit magot) mozgatni lehet2) két sorba kötött tekercs, melynek kölcsönös helyzete változtatható (variométer, 5.18.ábra)

5.6. Induktív tekercs és ohmos ellenállás az áramkörben

Az egyszer " RL áramkörben (5.19. ábra) folyóáram meghatározásakor a generátor feszültségemellett az önindukció következtében jelentkez!indukált e.m.e.-vel (feszültséggel) is számolnunk kell:

R

t e E t i L

)(+=)( önind .

Az önindukció folyamán indukálódó feszültségértéke, mint tudjuk:

dtdiLdt

dLsajátönind −=−=)(

φ t e ,

amib!l rendezés után a következ! kifejezést kapjuk:

R i t L di t

dt E L

L⋅ + ⋅ =( )( )

.

Ez egy elsõfokú, lineáris, inhomogén (nemhomogén), állandó együtthatósdifferenciálegyenlet. Megoldásának alakja:

)(+)(=)( t it it i LpLhL ,

ahol i Lh az el!z! differenciálegyenlet homogén egyenletének a megoldása, az i Lp pedig a partikuláris vagy stacionáris megoldás (az áramkör “felelete”, “válasza” a generátor

gerjesztésére).Az egyszer " RL áramkör differenciálegyenletének homogén egyenlete tehát:

R L

+ +

+

UR UL

P2

P1

E

5.19. ábra

5.17. ábra

5.18. ábra



R i L di

dt Lh

Lh⋅ + ⋅ = 0

Az els!fokú homogén differenciálegyenlet feltételezett megoldásának alakja: i A e Lh

pt = ⋅ ,ezt visszahelyettesítve a homogén egyenletbe, a következ!ket kapjuk:

R A e L p A e

pt pt

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = 0,amib!l aztán, az egyszer "sítés után:

R L p+ ⋅ = 0 , illetve p R

L= −

A homogén egyenlet megoldása tehát:

i A e Lh

R

Lt

= ⋅ − ⋅

.A partikuláris vagy stacionáris megoldás, az i Lp tulajdonképpen az átmeneti jelenségek

után beálló stacionáris áram értéke a körben:

i i E

R

Lp Ls= = .

Végeredményben az áramer !sség kifejezése:

i i i A e E

R L Lh Lp

R

Lt

= + = ⋅ +− ⋅

.

Az ismeretlen A állandó meghatározásának érdekében tételezzünk fel egy kezd!értéket azáramer !sségre:

i I L( )0 0= .

Behelyettesítve az el!z! kifejezésbe, A értéke könnyen számítható:

i I A E

R

A I E

R L

( )0 0 0= = + = = −" .

Ezek alapján az áramkörben folyó áram, az ohmikus (tiszta, hatásos) ellenálláson és akapacitásmentes, elhanyagolható hatásos ellenállású önindukciós tekercsen mérhet! feszültség akövetkez! kifejezésekkel írható le:

i t E

R I

E

Re

L

R

Lt

( ) = + −

⋅

− ⋅

0 ,

u R i t E R I E

Re

R L

R

Lt

= ⋅ = + ⋅ −

⋅

− ⋅( ) 0 ,

t L

R

L L e I R E

dt

t di Lu

⋅−

0 ⋅)⋅−(=)(

⋅= .

A τ = L

R hányadost (melynek id! az egysége) gyakran alkalmazzák a fenti kifejezésekben

az egyszer " bb, rövidebb felírás céljából. Amennyiben az áram kezd!értéke i L ( )0 0= , azaz

I 0 0= , akkor a fenti kifejezések egyszer "södnek:

i t E

Re

E

Re L

R

Lt

t

( ) = ⋅ −

= ⋅ −

− ⋅ −1 1 τ ,

u t E e R

t

( ) = ⋅ −

−1 τ ,

u E e L

t

= ⋅ −

τ .



Ha az átmeneti jelenségek lezajlása után (a t > 5τ értékekre úgy tekintünk, hogy a t >> τmivel az áramkörben folyó áram t = 5τ-ra már eléri végs! –aszimptotikus – értékének 99%-át), aP1 -et kinyitjuk a P2 -t pedig bezárjuk. A generátor feszültsége ekkor megsz"nik (E=0), az áram

kezd!értéke (ha a t = 5τ id! pillanatot tekintjük kezd! pillanatnak) pedig I E

R0 = lesz. Ekkor az

áramer !sség és a feszültségek a következ! módon változnak az id! ben:

i t E

Re L

t ′ = ⋅ −

( ) τ , u t E e R

t ′ = ⋅ −

( ) τ , u t E e L

t ′ = − ⋅ −

( ) τ .

Az áramkörben folyó áram áramer !ssége, az ohmikus (R) ellenálláson és az önindukcióstekercsen (L) mérhet! feszültség id! beni változása az 5.20. ábrán látható. Az id!tengely csak 5τértékig növekszik, az 5τ utáni események ugyanezen grafikonon vannak, ismét a koordináta-rendszer középpontjából kiindulva. A sötétebb görbék a 0 és 5τ közötti id! alatt lejátszódóváltozásokat, a halványabb görbék (a “vessz!s” változókkal megjelölt görbék) pedig az 5τ és 10τközötti id! alatt lefolyó változásokat ábrázolják.

Ha az áramkörbe sinusosan változó feszültség" generátort kapcsolunk, melynek feszültségalakja e t E m( ) = ⋅ sinω t , a differenciálegyenlet, illetve az áram id!függése így

módosul: R i t L

di t

dt E t L

L

m⋅ + ⋅ = ⋅( )

( )sinω ,

i t I e Lh

R

Lt

) = ⋅ − ⋅

0 ,

i t I t Lp m) sin( )= ⋅ −ω ϕ ,

( )i t I e

E

R Lt arctg

L

R L

R

Lt

m( ) sin= ⋅ ++

⋅ −

− ⋅

02 2

ω ω

ω .

5.20. ábra



5.7. A mágneses indukció mérése próbatekerccsel

Próbatekercsnek nevezzük a szorosan egymáshoz illesztett vékony huzalmenetb!l készültlapos tekercset, melynek végei ballisztikus galvanométerhez (BG) kapcsolódnak (a ballisztikusgalvanométer az áramkörben átfolyt töltésmennyiséget méri).

Tételezzük fel, hogy a próbatekercsünk N menetet tartalmaz, melyeknek egyenként S afelülete, rajtuk keresztül az össz küls! (idegen) fluxus értéke φidegen, a hatásos ellenállás pedig R.Ebben az áramkörben az áramer !sség értéke:

R

t et i

)(+)(=)( önindte

,

ahol

dt

d idegenφ −=)(t e ,

és

dtdiLönind −=)(t e .

Behelyettesítve az utóbbi két kifejezést, az el!z! egyenlet a rendezés után a következ!alakot ölti:

Ri(t)dt

di(t)L

dt

d idegen +=− φ

.

Beszorozva az egyenletet dt-vel (szem el!tt tartva, hogy dq=i(t)dt ), majd átosztva R-el, akifejezés új alakja:

di(t)R

Ld

R dq idegen −

1−= φ .

A t = t0 pillanatig legyen a próbatekercsen keresztüli fluxus állandó (mondjuk φidegen(t0)érték "), így a küls! fluxusváltozás következtében indukálódó feszültség e(t)=0, és az i(t)=0 isérvényes a t< t0 értékekre. Tételezzük fel továbbá, hogy a t=t0 és a t=t1 (t1>t0) közötti id!szakbanid! ben változó a fluxus a próbatekercsen keresztül, de utána ismét állandó marad (legyen példáulφidegen(t1) érték "). Ezért az e(t) értéke nulla lesz a t > t1 id! pillanattól kezdve, de az áramer !sségértéke csak a t > t2 (t2 > t1) id! pillanatokban lesz nulla érték "! Lássuk miért! A t0< t< t1

id!intervallumban jelentkezik a küls! fluxusváltozás következtében fellép! e(t)= - dφidegen(t)/dtelektromotoros er !, aminek következtében az áram is megjelenik. Ennek az áramnak köszönve

jelentkezik az eönind(t), amely csak az áram változásakor létezik (hiszen eönind(t)= -L(di(t)/dt).Vagyis az önindukciós e.m.e. csak az áram növekedésekor (a t0 utáni pillanatokban) éscsökkenésekor (a t1 utáni pillanatokban) különbözik nullától. Az önindukciós e.m.e.-nek

köszönve folyik tehát áram a t1 utáni id! pillanatokban is, mondjuk egy t2 pillanatig.A ballisztikus galvanométer által mért átfolyt töltésmennyiség a t=t0 id! pillanattól a t=t2

id! pillanatig a következ! módon számítható:

∫ ∫ ∫ −1

−==∆2

0

2

0

2

0

t

t

t

t

idegen

t

t

di(t)R

Ld

R dqq φ ,

amib!l

[ ])−)−)−)

=∆ 022idegen0idegen

i(ti(tR

L

R

(t(tq

φ φ .

Mivel i(t0)=0 és i(t2)=0 a feltétel szerint, és φidegen(t0)=NSB(t0), valamint φidegen(t2)=

φidegen(t1)=NSB(t1):[ ])−)=∆ 10 B(tB(t

R

NSq



Ha a próbatekercset hirtelen kihúzzuk a mágneses térb!l (t1-t0 id! alatt), mérni tudjuk amágneses indukció er !sségét (a B(t1)=0):

S N

q R B

⋅∆⋅

=)0(t .

Az indukcióvektor irányát a ballisztikus galvanométeren (illetve a körön, a próbatekercsen)átfolyt töltésmennyiség valódi irányából határozzuk meg, a jobbkézszabály segítségével.

5.8. Szupravezet!b!l készült vezet!hurok a mágneses térben

Némely fémek (ólom, cink, higany, stb), valamint szigetel!anyagok (pl. kerámiák), mintismeretes, az abszolutt nulla fok h!mérséklet (-273,16 0 C) közelében tökéletes vezetõvé(szupravezet!kké) válnak.

A szupravezet! b!l készült vezetõhurokban folyó áramra érvényes az egyszer " ellenállásoshurokra alkalmazott kifejezés, azzal, hogy R=0. Tételezzük fel, hogy a hurokban nincs

semmilyen áramforrás, de a hurok maga id!

ben változó mágneses és villamos térben van, vagyisrajta keresztül id! ben változó idegen fluxus (φ i en t deg ( )) mutatható ki. Az áramer !sség ekkor:

i t e e t

R

önind ( )( )

= +

,

ahol

ed t

dt

i en= −

φ deg ( ), és e t L

di t

dt önind ( )

( )= − ⋅ .

Beszorozva az els! kifejezést R-rel: R i t e e t önind

⋅ = +( ) ( ) ,majd az R-t kiegyenlítve nullával, a következ! kifejezéshez jutunk:

dt

t di L

dt

t d )(⋅−

)(−=0 idegenφ

,

illetve:

− = ⋅d t

dt L

di t

dt

i enφ deg ( ) ( )

.

Az utolsó egyenlet szerint az idegen fluxus φ i en

t deg ( ) értéke és az L i t ⋅ ( ) szorzat (a saját

fluxus φ sajá t

t ( ) pillanatnyi értéke, amelyet a benne folyó áram létesít) állandóan egyformák és

ellenkezõ irányításúak vagy csak egy állandóval ( )φ 0 különbözhetnek egymástól, tehát: L i t t t

sajá t str ⋅ = = − +( ) ( ) ( )φ φ φ 0

Az össz fluxus a szupravezet! b!l készült vezetõhurkon keresztül egyenlõ a saját és azidegen fluxus összegével:

φ φ φ φ φ φ φ uk sajá t str i en str

t t t t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( )deg= + = − + + =0 0.

Az eredmény érdekes következtetés alapjául szolgál: a szupravezetõb!l kélszült hurokbana fluxust nem lehet megváltoztatni olyan módon, hogy a vezet!hurkot idegen mágneses térbevisszük. Az elektromágneses indukció miatt a hurokban minden pillanatban pontosan akkoraáram indukálódik, amely a saját fluxával megsemmisíti az idegen fluxust a hurokban.

Ez a Lenz-törvény határesete, mely szerint a hurokban indukált áram igyekszik

megakadályozni azt a változást, amely!

t létrehozta (más szóval a fluxusváltozást a hurokban).



5.9. A mágnesesen csatolt áramkörök áramai

Figyeljük meg a 2.21. ábrán látható két mágnesesen csatolt vezetõhurkot. Az áramer !sségének meghatározása a hurkokban a következ! módon történik.

Az áramer !sségek a körökben:

1

21önindukció11

1

)()()(

)( R

t et et e

t i

++= ,

2

12önindukció 222

)()()()(

R

t et et et i

++= .

Ezekb!l kifejezhetjük a generátorok kapocsfeszültségét (ekkor a jobb oldalon az összfeszültségesések szerepelnek):

e t R i t L di t

dt

L di t

dt 1 1 1 1

121

2( ) ( )( ) ( )

= ⋅ + ⋅ + ⋅

dt

t di L

dt

t di Lt i Rt e

)(⋅+

)(⋅+)(⋅=)( 1

122

2222 .

Ismeretes, hogy: L L12 21= .

A kölcsönös indukció-együttható elõjele függ a menet tekercselésének módjától és afeltételezett áramiránytól (az áram referenciairányától) mindkét hurokban. Ha az egyik hurokbana referenciairányban folyó áram pozitív fluxust létesít a másik hurokban, a kölcsönös indukció-együttható elõjele pozitív, ellenkez! esetben az elõjel negatív.

A ábrákon a mágnesesen csatolt (kapcsolt) tekercsek egy-egy kapcsa mellett pontotrajzolnak a kölcsönös indukció-együttható el! jelének meghatározása céljából. Az áramreferenciairányát tetsz!legesen vesszük fel a tekercseken. Ha mindkét tekercsnél a ponttalmegjelölt kapcson folyik be (vagy ki) az áram a tekecsbe (tekercsb!l), akkor az L12 > 0,ellenkez! esetben az L12< 0

5."0. Energia és er! a mágneses térben

5."0.". A MÁGNESES TÉR ENERGIÁJA

Figyeljünk meg egy id! ben állandó árammal rendelkez! vezet!hurkot. Az áramlétrejöttéhez szükséges egy korábbi id!szak, amelyben az áramer !sség a vezet!hurokban nullaértékt!l a végértékig (nominális értékig) növekszik. Ebben az id!szakban a vezet!hurokbanönindukciós feszültség (az önindukció e.m.e.-je) keletkezik, amely Lenz törvénye szerintakadályozza (késlelteti) az áram növekedését a vezet!hurokban. Azt az önindukciós feszültséglegy!zéséhez szükséges munkát keressük, amely az id! ben állandó áram létrejöttéhez, illetve avezet!hurok körüli mágneses tér kiépítéséhez szükséges. Mint látható, ezt az energiát nem tudjuk kiszámítani az elektromágneses indukció jelenségének ismerete nélkül.

Legyen adott n darab vékony vezet!hurok, rendre i t i t i t n1 2( ), ( ), ... ( ) áramokkal, melyek

ellenállásai R R Rn1 2, , ... és a bennük m"köd! generátorok kapocsfeszültségei (e.m.e.-i)e t e t e t n1 2( ), ( ), ... ( ) . Jelöljük a vezet!hurkokba kapcsolt valamennyi generátor össz munkáját

ki dt idõ i t ál b dA l E i ib t lj ált lá t t

5.21. ábra



veszünk alapul (amikor a vezet!hurkok mozognak is és deformálódnak is a mágneses er !k hatására, valamint ferromágneses anyagok is jelen vannak a mágneses térben, amelyek mozoghatnak is) három területre fordítható, három módon használható fel:

1) a Joule veszteségekre a vezet!hurkokban a dt idõintervallumban ( dA J ),

2) a mágneses erõk munkájára (dA mág. erõ) amelyet az er !k a térben levõ hurkok vagytestek dt id!intervallumban való deformálásakor vagy elmozdításakor végeznek és

3) a dAm munkára, amelyet a hurkok közelében lév! mágneses tér változásakor kellelvégezni.

Tehát matematikailag:dA dA dA dAg J má gerõ m= + +.. .

A generátorok össz munkája a vezet!hurkokban dolgozó generátorok munkájának azösszege:

dA dAg gk

k

n

==

∑1

,

illetve, mivel:dA e t i t dt

gk k k = ⋅ ⋅( ) ( )

és

i t

e t d t

dt

Rk

k

k

k

( )( )

( )

=−

φ

,

ahonnan:

e t R i t d t

dt k k k

k ( ) ( )( )

= ⋅ + φ

.

Behelyettesítve az ek (t) értékét a k-adik vezet!hurokban m"köd! generátor munkájának

kifejezésébe:dA R i t dt i t d t gk k k k k = ⋅ +2 ( ) ( ) ( )φ ,

majd ezt összegezve az összes vezet!hurokra, a következ! kifejezést kapjuk:

dA dA R i t dt i t d t g gk

k

n

k

k

n

k k

k

n

k = = ⋅ +

= = =∑ ∑ ∑

1 1

2

1

( ) ( ) ( )φ .

A jobb oldal els! tagja, mint a kifejezés alakjából kit"nik, a Joule-veszteségeket jelöli azösszes vezet!hurokban, tehát:

)()(=− ∑1=

t d t idAdA k

n

k

k g φ J .

Összehasonlítva ezt a kifejezést a legels! kifejezéssel ebben a (5.10.1.) pontban, akövetkez!khöz jutunk:

dA dA i t d t m má gerõ k k

n

k + =

=∑.. ( ) ( )

1

φ .

A kapott kifejezés nem más, mint az energiamegmaradás törvénye n áramhurokra.

Ha feltételezzük, hogy a vezet!hurkok merevek és mozdulatlanok, valamint a hurkok körüli testek is mozdulatlanok, akkor dA mág. erõ = 0, azaz:

dA i t d t m k

k

n

k ==

∑1

( ) ( )φ

Az el!

z!

kifejezés azt a munkát jelöli, amelyet be kell fektetni, hogy a n merev,mozdulatlan vezet!hurokra számított vagy mért fluxus dφ1, dφ2, … dφn értékkel megváltozzon (akörnyezet nemlineáris, tehát ferromágneses anyagok is jelen vannak). Ahhoz, hogy a



vezet!hurkokban az áramok elérjék végleges értéküket ( I I I n1 2, , .. . ), miközben a hurkokon

keresztüli fluxusok is végértékeikhez ( φ φ φ 1 2, , ... k

) tartanak, a következ! munkát kell

befektetni:

(Am) áram bekapcsol.= ∫ ∑=

i t d t k

k

n

k

k

01

φ

φ ( ) ( ).

Ha a mágneses térben ferromágneses anyagok is vannak, akkor a fenti egyenlõség nemérvényes, mert a jobb oldalon számításba kell venni a hiszterézisvesztességeket is, ezérttételezzünk fel lineáris környezetet (vagyis, hogy a hurkok közelében nincs ferromágneses anyag

– erre ugyanis érvényes a fenti kifejezés). Tételezzük fel az össz hurokban az áram lineárisnövekedését nullától a hurkokban meghatározott végértékekig. Ilyenkor:

i t I t

T k k

( ) = ⋅ ,

és

φ φ k k t t

T ( ) = ⋅ ,

azaz ennek megfelel!

end

dt

T k k

φ φ = ⋅ .

Behelyettesítve ezeket az értékeket az el!z! kiejezésbe, kiértékelve az integrált, akövetkez! lépéseken haladunk keresztül:

(Am) áram bekapcsol.= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

⋅∫ ∑ ∑ ∫ = =

I t

T

dt

T

I

T tdt k

T

k

n

k

k k

k

n T

012

1 0

φ φ

,

(Am) áram bekapcsol.= ⋅ ⋅ ==

∑ 1

21k

n

k k m I W φ .

A kapott energia a vezet!hurkokban raktározódik el, és lineáris környezetben az n számú

vezet!hurokból álló rendszer mágneses energiájának nevezzük. Mivel a linearitás következtében:

φ φ φ φ φ k k k kk nk k k kk nk n kj

j

n

j L L L L I L I = + + + + + = + + + + + ⋅ = ⋅

=∑1 2 1 2

1

... ... ... ...

és érvényes az L L jk kj

= egyenl!ség is, az n számú vezet!hurok mágneses energiája az

induktivitás függvényében:

W L I I m k

j

n

k

n

k j= ⋅ ⋅ ⋅==

∑∑1

2 11

.

Ebb!l aztán a magányos áramjárta vezet!hurok mágneses energiája:

W I L I m = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

1

2

1

2

2

φ .

5."0.2. ENERGIAELOSZLÁS A MÁGNESES TÉRBEN

Vegyünk egy vékony tóruszvasmagot, melynek S a keresztmetszete, R a középsugara, ésamelyre s"r "n N menetszámú huzalt tekercseltünk. Amennyiben a tekercsben folyó áramáramerõssége i(t), a mágneses tér a magban:

H t N i t

R

( )( )

= ⋅

⋅ ⋅2 π

,

amib!l az áramer !sség:



i t R H t

N ( )

( )=

⋅ ⋅ ⋅2 π .

A toroidvasmagban a fluxusnövekedés legyen d S dB t jφ = ⋅ ( ) dt id! alatt. Ekkor az össz

fluxusnövekedés az N menetszámú tekercsben:d t N d t N S dB t J φ φ ( ) ( ) ( )= ⋅ = ⋅ ⋅ .

A szükséges (befektetett) munka, amely a mágneses körben (vékony tóruszvasmagban) φ1-t!l φ2-ig terjed! fluxusváltozást eredményez, a következ! módon számítható:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). A i t t R S H t R S H t dB t m töl ig

B

B

B

B

φ φ

φ

φ

φ π π 1 2

1

2

1

2

1

2

2 2− − = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ ,

mivel az integrál el!tti kifejezés (2πRS) a toroidvasmag térfogatát jelöli, így a

dA

dV H t dB t

m

B tõl B ig B

B

=

− −

∫ 1 2 1

2

.

( ) ( )

kifejezés a mágneses tér egységnyi térfogatára es! szükségszer "en befektetett munka a mágnesestér megváltoztatásához a B1 indukcióértékr !l B2 indukcióértékre. A kifejezés általános, így

nemlineáris (ferromágneses anyagokat tartalmazó) közegekre is érvényes.Ha a közeg lineáris, akkor érvényes a

H B=

µ

összefüggés, és az egyszer "ség kedvéért vegyük azt, hogy a B1 0= és a B B2 = . Ekkor az

energias"r "ség elõzõ kifejezése a következ! értéket kapja:dA

dV

BdB

Bm

tól B ig

B

= =

− −

∫ 0 0

2

2.

µ µ .

Mivel a lineáris közegekben nincs veszteség, az utóbbi kifejezés a mágneses energias"r "ségét adja, mivel a tér kikapcsolásával ezt az energiát a rendszer visszaszolgáltatja, tehát:

dW

dV H B H

Bm = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅12

12

12

22

µ µ

.

A mágneses tér energiája számítható a mágneses tér energias"r "ségéb!l is:

W H dV m

V

= ⋅ ⋅ ⋅∫ 1

22µ .

5."0.3. HISZTERÉZISVESZTESÉGEK A FERROMÁGNESES

ANYAGOKBAN

Ha a mágneses tér egy pontjában a térer !sség értékeH, akkor ebben a pontban az indukció dB értékkel valómegváltoztatásához a következ! energias"r "ségszükséges (lásd az el!z! pontban!):

dA

dV H t dB t m

B

B

m

m

=

−

+

∫ ( ) ( ) (1).

Ezt a szorzatot az 5.22. ábrán s"r " árnyékolásútéglalapfelülettel jelöltük. Az egységnyi térfogatra es!

munka számításához (általános kifejezés) tehát az integrálértéke ilyen téglalapfelületek összegével lesz arányos, haa munkapont a hiszterézisgörbén mozog (5 22 ábra) 5.22. ábra



Az a-tól a b pontig a H>0 és úgyszintén, a dB>0, azaz HdB>0. A befektetett energia(s"r "sége) arányos a görbe oldalú abc háromszög területével.

A b-t!l a d pontig a H csökken, de H>0 , viszont az indukció növekménye negatív, vagyisdB<0, tehát HdB<0, azaz a befektetett energias"r "ség negatív. Az energiának ezt a részét arendszer visszaszolgáltatja a generátornak (az visszaszolgáltatott energias"r "ség arányos a görbeoldalú bcd háromszüg területével).

A d-t!l az e pontig a mágneses térer !sség vektora és az indukciónövekmény is negatív(H<0 és dB<0), vagyis a HdB>0. Szavakkal ez annyit jelent, hogy ismét a generátor fektet bemunkát (energiát). A befektetett energia térfogats"r "sége arányos a görbe vonalú def háromszögterületével.

Az e-t!l az a pontig a mágneses térer !sség vektora negatív érték " (H<0), ellentétben azindukciónövekménnyel, amely pozitív (dB>0). Ebb!l aztán látható, hogy HdB<0, vagyis amágneses tér az energia egy részét visszajuttatja a generátornak. A visszajuttatott energiatérfogats"r "sége arányos a görbe oldalú efa háromszög területével.

Az el!z! okfejtésb!l, magyarázatból lesz"rhet!, hogy a befektetett és vissza nem térültenergia s"r "sége egy ciklus alatt arányos a hiszterézisgörbe felületével. Ez az energia aferromágneses anyagokban hõvé alakul át, és hiszterézisveszteségnek nevezzük.

Ha a munkapont egy másodperc alatt f ciklust vagy periódust ír le, úgy ahiszterézisveszteségek térfogat"r "sége a következ! alakot kapja:

( ) ( )arányfelületesgörbehiszterézia ⋅⋅= f dV

dPn .

A hiszterézisveszteségek tehát a frekvenciával (az örvényáram okozta veszteségek – emlékezzünk csak vissza! - a frekvencia négyzetével arányosak) és a hiszterézisgörbe területévelarányosak. A hiszterézisgörbe területét legtöbbször grafikus úton kell meghatározni(megszámlálni a miliméterpapírra rajzolt hiszterézisgörbe kockácskáit), ami elég nehéz feladat.A gyakorlatban a következõ megközelítõ (Steinmetz-féle) kifejezést használják ahiszterézisveszteségek kiszámítására:

P V f Bh m≅ ⋅ ⋅ ⋅η 1 6, ,

ahol- η - a Steinmetz állandó (minden anyagra más értéke van, kísérleti úton határozzák

meg),- V – a ferromágneses anyag térfogata,- Bm – az indukció maximális értéke (amplitúdója).

Ha a Bm értéke közel áll a telítettségi indukcióhoz akkor az 1,6-os kitevõ helyett 2-es

kitevõt használunk, azaz:

Ph ≅ ⋅ ⋅ ⋅η V f Bm

2 .

5."0.4. A MÁGNESES ER #K SZÁMÍTÁSÁNAK ÁLTALÁNOS MÓDSZERE

Az eljárás alapja az energia megmaradásának törvénye, amelyet a rendszer kis változásairaírunk fel. Legyen adott n vezet!hurok lineáris közegben és tétezzük fel, hogy a rendszer egyik vezet!hurka, vagy egy test a dt id!intervallum alatt egy kicsit elmozdult vagy deformálódott. Azenergia megmaradásának törvénye szerint:

dW dA i t d tá õ k

n

k+ = ∑ ( ) ( )φ .



Tételezzük föl, hogy az ered! mágneses er ! hatására a testek egy dx távolságraelmozdulnak eredeti helyükt!l az x tengely irányában, vagy az ered! forgatónyomaték a testetegy kis dαx szöggel mozdítja el. Ekkor a a mágneses er !k munkája:

dAmág.er !=Fxdx ,illetve

dAmág.er !=Mxdαx.

Induljunk ki el!ször abból a feltételezésb!l, hogy az elmozdulás ideje alatt fluxusváltozásnem történt (dφ=0), így az energia megmaradásának törvénye a következ! alakot ölti:

dW dAm má gerõ+ =. 0, vagyis

dA dW má gerõ m. = − .

Ebb!l aztán:

const dx

dW

x

m =−= jxF φ

és

const d

dW

M x

m

=−= jx φ α .

Másodszor viszont azt tételezzük fel, hogy valamennyi vezet!hurokban változatlan maradtaz áramer !sség ( I =const.). Ekkor a következ!ket írhatjuk. Mivel

k k

n

k

m I W φ ⋅⋅21

= ∑1=

,

így

k k

n

k

m d I dW φ ⋅⋅21

= ∑1=

,

így, ennek az 5.10.4. pontnak az els! (energia megmaradásra felírt) kifejezése alkalmas arra,hogy a mágneses energiát kifejezzük bel!le:

mk

n

k

k k

n

k

k k

n

k

k dW d d d dA =21

=21

−= ∑∑∑1=1=1=

φ φ φ IIImág.er. ,

amib!l aztán

const dx

dW

x

m =−= jxF I

és

const d

dW M

x

m =−= jx Iα

.

5."". Ellen!rz! kérdések

1. Mikor beszélhetünk villamos- és mikor mágneses mez! (tér) jelenlétér !l egy adotttérrészben?

2. Mir !l szól a képzeletbeli kisérlet a két egymáshoz viszonyítva v sebességgel mozgókoordinátarendszerrel kapcsolatban?

3. Hogyan fogja értelmezni a Q töltésre ható er !t a két megfigyel!?

4. Mi a képzeletbeli kisérletb!l levonható következtetés?5. Milyen két el!idéz! je lehet a villamos térnek?



6. Mi az indukált villamos tér egyik legfontosabb tulajdonsága (amelyben eltér azelektrosztatikus tért!l)?

7. Mi az indukált feszültség (elektromotoros er !)?8. Hogyan írható fel a hurokelemben indukálódó feszültség értéke?9. Hogyan fejezhet! ki a zárt vezet!hurokban indukálódó feszültség értéke?10. Mire utal Faraday törvényének a matematikai alakja?

11. Mi a statikus és dinamikus indukció?12. Milyen példákkal szemléltethet! az elektromágneses indukció (motor, generátor)?13. Hogyan szól Lenz törvénye?14. Hogyan m"ködik a betatron?15. Megegyezik-e a potenciál és a feszültség fogalma az id! ben változó villamos és mágneses

térben?16. Mik az örvényáramok?17. Kiküszöbölhet!k- e az örvényáramok?18. Milyen nemkívánatos jelenségek kísérik az örvényáramokat?19. Hogyan számíthatók ki az örvényáram-veszteségek?20. Mivel arányos az örvényáramoktól eredõ átlagos Joule-veszteségek térfogats"r "sége?

21. Hogyan csökkenthet!k az örvényáramok okozta Joule-veszteségek?22. Mib!l készülnek a nagyfrekvenciás tekercsek vasmagjai?23. Hol alkalmazzák a gyakorlatban az örvényáramokat?24. Mi a szkineffektus, és minek a következménye?25. Mi történik a vezeték ellenállásával a szkineffektus fokozódásával?26. Mi a közelhatás elve, és mivel magyarázható?27. Mi a kölcsönös indukció?28. Mi a kölcsönös indukció-együttható mértékegysége?29. Milyen érték " lehet a kölcsönös indukció-együttható?30. Mi az önindukció?31. Milyen módon lehet változtatható induktivitással rendelkez! elemet kialakítani?

32. Mi a variométer?33. Hogyan viselkedik a soros RL kör egyenfeszültségre kapcsoláskor (fizikailag mi történik az

áram kiépítésekor)?34. Milyen egyenlettel írható le az átmeneti állapot?35. Milyen a tekercs áram- és feszültséggörbéje a tranziens állapotban?36. Mi játszódik le az RL kör rövidrezárásakor?37. Hogyan mérhet! a mágneses indukcióvektor értéke próbatekerccsel?38. Hogyan viselkedik a szupravezet! b!l készült vezet!hurok a mágneses térben?39. Megváltoztatható-e a szupravezet!-hurkon keresztüli fluxus a hurok idegen mágneses térbe

vitelével?

40. Miért mondják, hogy a szupravezet!

-hurok Lenz törvényének határesetét képviseli?41. Hogyan fejezhet!k ki az áramok a mágnesesen csatolt körökben?42. A kölcsönös indukció-együttható el! jelére milyen megegyezés érvényes a mágnesesen

csatolt tekercsek esetében?43. Mire használódik el az n vékony vezet!hurokban lév! generátorok össz munkája?44. Hogyan írható fel az energiamegmaradás törvénye az n vékony vezet!hurokra?45. Statikus esetre (merev, mozdulatlan hurkok, mozdulatlan testek) milyen egyszer "sített

kifejezéssé alakul az energiamegmaradás törvénye?46. Milyen energiát (munkát) jelöl ennek az egyszer "sített kifejezésnek a bal oldala (és milyen

feltétel mellett)?47. Mivel egyenl! az áramok kiépítésére fordított munka (energia)?

48. Mi a kifejezés a magányos áramjárta vezet! mágneses energiájára?49. Hogyan számítható ki a szükséges energias"r "ség, amely a mágneses tér B1 indukcióértékr !lB2 indukcióértékre való megváltoztatásához szükséges?



50. Hogyan fejezhet! ki lineáris közegben a mágneses tér energias"r "sége?51. Mi a hiszterézisveszteség?52. Mire fordítódik a hiszterézisveszteségként elnevezett energia?53. Mivé alakul át a vissza nem térül! energia?54. Mit!l függ (mivel arányos) a hiszterézisveszteségek térfogat"r "sége?55. A gyakorlatban milyen kifejezést használnak a hiszterézisveszteségek kiszámítására?

56. Hogyan számíthatók ki a mágneses er !k az energia ismeretében (függvényében), ha azelmozdulás ideje alatt a fluxus nem változik?57. Minek a “számlájára” történik az elmozdulás (honnan ered az elmozduláshoz szükséges

munka) állandó fluxusérték mellett?58. Hogyan számíthatók ki a mágneses er !k az energia függvényében, ha az elmozdulás ideje

alatt az áramok a hurkokban nem változnak?59. Hogyan oszlik meg az energia-növekmény a mágneses er !k végezte munka és a rendszer

mágneses energiája között?



6. AZ ID!BEN VÁLTAKOZÓ ÁRAMÚ VILLAMOS HÁLÓZATOK

6.". Bevezet#

6.".". KÜLÖNBSÉGEK AZ EGYENÁRAMÚ ÉS ID!BEN VÁLTAKOZÓÁRAMÚ ÁRAMKÖRÖK KÖZÖTT

Amennyiben ismerjük az összefüggést az ellenállások végei közt mérhet! feszültség és arajtuk átfolyó áramer !sség között , akkor az id! ben állandó áramok esetében érvényes, hogy azösszes ágban az áramer !sséget és az ágak végei közti feszültséget Kirchhoff I. és II. törvényealapján határozhatjuk meg. Kirchhoff törvényeinek bevezetésénél az egyenáramoknál semmilyenmegszorítást, illetve feltételt sem fogalmaztunk meg, tehát az id! ben állandó áramokra ezek atörvények egzaktok . Nagyon szigorúan véve Kirchhoff I. törvénye csak akkor érvényes, ha avezet!ket körülvev! szigetel! fajlagos vezetése nullával egyenl!. Ez a feltétel ugyan sohasemteljesül, de a jó vezet!k és szigetel!k fajlagos vezet!képességének aránya "0"8-"024

nagyságrend#. Más részr !l viszont az egyenáramoknál a vezet!huzalok alakja, mellyel azáramkör elemei össze vannak kötve, még csak elméletileg sem hat ki az ágakban folyó

áramer ! sségre.Az id! ben váltakozó áramot mindig id! ben változó indukált villamos(elektromos) tér

kíséri, amely feszültséget (elektromotoros er !t - e.m.e.-t) indukál az itt található vezet!kben..Szigorúan tekintve minden id! ben váltakozó áramú áramkör egy különlegesen összetett rendszer az elemzés szempontjából, mivel az áramkör minden ága között kapcsolat van, amely függ azágak alakjától és helyzetét!l. Így az id ! ben váltakozó áramú áramkörökben az ágak

áramer ! ssége függ bizonyos mértékben az áramkör mértani alakjától . Szerencsére a gyakorlatiesetek nagy részében az áramkör ágainak csatoltsága által indukált e.m.e. sokkal kisebb mint azágakban az elemek végei közti feszültség. Ezért az ágakban legtöbbször el lehet hanyagolni azáramkör alakjának befolyását az áramer !sségre. Mivel az indukált elektromos tér arányos az

áramer !

sség deriváltjával, a frekvencia növekedésével az ágak áramának kölcsönhatása egyrekevésbé elhanyagolható.Az id! ben váltakozó áramú áramköröknél számolni kell azzal is, hogy az áram

terjedésének sebessége véges. Az áram a vezetékekben, melyek összekötik a villamos hálózatelemeit, megközelít!leg fénysebességgel terjed. Ez azt jelenti, hogy egy pillanatban az id ! ben

váltakozó áram er ! ssége nem azonos a vezet ! minden pontján! Szerencsére ezt a jelenséget csak akkor észleljük, ha a vezet! kivételesen hosszú. Ha az áramer !sség változása elég lassú ahhoz,hogy az áram véges terjedési sebességének hatását elhanyagolhatjuk, akkor azt mondjuk, hogyaz áramkör állapota kvázistacionárius.

Mi az áramköröknek csak a kvázistacionárius állapotával ismerkedünk meg azelkövetkez!kben.

6.".2. ALAPELEMEK A VÁLTAKOZÓ ÁRAMÚ ÁRAMKÖRÖKBEN

A váltakozó áramú áramkörökben különböz! elemek vannak jelen: félvezet!-diódák,elektroncsövek, transzformátorok, tekercsek (vasmaggal és anélkül), tranzisztorok,kondenzátorok (egyszer # és nemlineáris dielektrikummal), lineáris és nemlineáris ellenállások,stb.

Némely elemek átalakíthatnak valamilyen másfajta energiát az id! ben váltakozóelektromos (villamos) tér energiájává. Az ilyen elemeket aktív elemeknek nevezzük. A többielemet, melyeknek nincs ilyen tulajdonsága, passzív elemeknek nevezzük.

Ebben a fejezetben csak a lineáris áramkörökre szorítkozunk : generátorok (feszültség- és



tekercsek (illetve lineáris üzemmódú vasmagos tekercsek) lesznek a figyelmünk középpontjában.Ha mégis eltérnénk ett!l a lineáris körökre irányuló ígéretünkt!l, úgy azt külön hangsúlyozniigyekszünk a szövegben!

Az id ! ben váltakozó áram fogalma alatt az olyan áramot értjük, amely az id ! ben

változtathatja vagy az intenzitását (6.".a ábra) , vagy az irányát (6.".b ábra) , vagy mindkett ! t (6.".cábra). Az ilyen áramra azt mondjuk, hogy pozitív azokban az id!tartományokban amikor a valós

iránya megegyezik a vonatkoztatási vagy referenciairányával.

Az elemek végein mért feszültség és az elemeken átfolyó áram közti összefüggés

- ellenállás esetében (6.2. ábra):

)()( t Rit u =

innen:

R

t ut i

)()( = .

- induktív tekercs esetében (6.3. ábra):

t

t i Lt u

d

)(d)( = ,

innen

0d)(

"

)( I t t u Lt i += ∫ .

6.". ábra

6.2. ábra

6.3. ábra



- kondenzátor esetében:

t

t uC t i

d

)(d)( =

innen:

0d)(

"

)( I t t iC t u += ∫ .

6.".3. KIRCHHOFF TÖRVÉNYEI A VÁLTAKOZÓ ÁRAMÚ ÁRAMKÖRÖKRE

Ha az áramkörben kvázistacionárius állapot uralkodik, akkor minden pillanatban az

áramkör minden csomópontjára érvényes Kirchhoff I. törvénye:i t k

k

n

( )====

∑∑∑∑ ===="

0

(ahol n az ágak száma, melyek a csomópontban találkoznak ; a vonatkoztatási vagyis pozitívreferenciairány pedig a csomópontból kifelé mutató irány), illetve minden pillanatban érvényesminden zárt körre az áramkörben Kirchhoff II. törvénye:

u t k k

n

( )====

∑∑∑∑ ===="

0

(ahol, ha az ágon keresztül haladva az áramköri elem magasabb potenciálú kapcsához érünk

el!

ször, akkor a feszültséget "+" el!

jellel vesszük számba az összegezésnél).A váltakozó áramú áramkörök esetében Kirchhoff törvényeinek segítségével nem tudunk olyan egyszer # egyenletrendszert felállítani, mint az egyenáramú áramkörök esetében. Váltakozóáramú hálózatoknál az egyenletrendszer az áramer !sségek mellett tartalmazná az áramer !sségid! szerinti deriváltjait és integráltjait is. Ezzel az áram meghatározása az áramkörben sokkal

bonyolultabb és nehezebb.A váltakozó áramú áramköröknél két állapotot, illetve üzemmódot különböztetünk meg:". Átmeneti (tranziens) állapot - átmeneti üzemmód2. Állandósult állapot - állandósult üzemmód

6.".4. TELJESÍTMÉNY A VÁLTAKOZÓ ÁRAMÚ ÁRAMKÖRÖKBEN

Figyeljünk meg egy u t( ) feszültségre kapcsolt fogyasztót a 6.5. ábrán megjelöltösszehangolt áram- és feszültségirányokkal. A d t id!intervallumban a fogyasztón d dq i t t==== ( )elektromos töltésmennyiség folyik keresztül.

A villamos er !k munkája:

d d d A t u t q t u t i t tel. er ! ( ) ( ) ( ) ( ) ( )==== ====

A fogyasztó teljesítményének pillanatnyi értéke: p t u t i t ( ) ( ) ( )====

6.4. ábra

6 5 ábra



Az össz energia, melyet a fogyasztónak t 0 id! pillanattól t -ig átadunk, kiszámítható, mint

az elektromos er !k munkájának összege (azaz integrálja) ebben az id!tartományban.

A u t i t t el. er ! -tól -ig0

0

t t

t

t

==== ∫ ∫∫ ∫ ( ) ( )d

A generátor teljesítményének pillanatnyi értéke: p t u t i t g g g

=( ) ( ) ( ))

A generátor munkája ( t 0,t ) id!tartományban:

A u t i t t g ggenerátor -tól -ig0

0

t t

t

t

==== ∫ ∫∫ ∫ ( ) ( )d

Az el!z! kifejezések az áram és a feszültség azon vonatkoztatási (referencia) irányáraíródtak, amelyek a 6.5 és 6.6 ábrákon láthatók.

A váltakozó áramok esetében a generátorok és fogyasztók teljesítménye is bizonyos

id!intervallumokban lehet pozitív és negatív. Ezért a generátor és az elektromos er !k munkája,míg áram folyik át a fogyasztón, egy id!intervallumban lehet pozitív és negatív is.

Következtetés:A váltakozó áramú hálózatok alapegyenletei a következ!kben különböznek az egyenáramú

hálózatok alapegyenleteit!l:". Csak az e.m.e., az áramer !sség, a feszültség és a teljesítmény pillanatnyi értékeir !l beszélhetünk.

2. Az egyenletek, melyekb!l a hálózat ágaiban folyó áramok er !sségét kell kiszámítani, nemcsak az áramer !sségek értékeit tartalmazzák, hanem az áramer !sség id! szerinti deriváltjaités integráljait is. Ezért a váltakozó áramú hálózat megoldása különösen összetett.

A gyakorlatban a leggyakoribb eset az, amikor a hálózatba több azonos frekvenciájúsinusosan változó e.m.e. vagy áramgenerátor van kötve. Ekkor az egyenletek, melyekkel azáramer !sségeket határozzuk meg az áramkör ágaiban leegyszer #södnek, s!t még olyan alakra isegyszer #síthet!k, mint az egyenáramú áramkörök esetében.

6.2. Alapfogalmak a periodikus mennyiségekr#l

Az id ! ben periodikusan változó mennyiségek alatt értjük azokat a mennyiségeket, melyek értékei azonos id!közönként ismétl!dnek.

Az f t ( ) periodikus függvénynek bármely t id! pillanatban ki kell elégítenie a következ!

feltételt:!! ,2,",",2 ,)()( −−==+ nt f nT t f

A T id!tartományt, melynek lejárta utána periodikus függvény értékeimegismétl!dnek, a függvény periódusának

nevezzük (6.7. ábra). Mértékegysége a másodperc

vagy szekundum [ s ].

A periodikus mennyiség egy periódus alattegy ciklust ír le, tesz meg. Ha t N

-el jelöljük azt azid l l i dik

6.6. ábra

6.7. ábra



teljes ciklust ír le, akkor az f N t N ==== hányadost a periodikus függvény frekvenciájának

nevezzük.

f T

==== "

.

A frekvencia kifejezéséb!l láthatjuk, hogy számbelileg megegyezik a periodikus függvényciklusainak számával egy id!egység alatt. A frekvencia mértékegysége a hertz [ Hz ].

Az elektrotechnikában legfontosabb szerepük azoknak a periodikus mennyiségeknek van,melyek sinus- vagy cosinusfüggvény szerint változnak. Mivel matematikailag a sinus- éscosinus-függvény a legegyszer # bb periodikus függvény, ezért elnevezték !ket egyszer "

periodikus függvényeknek. Az összes többi periodikus függvényt csak periodikus vagyösszetetten periodikus függvénynek nevezzük.

Figyeljünk meg egy egyszer # periodikus függvényt, például feszültséget:

u t U t m ( ) cos( )==== ++++ωωωω θθθθ

U m jelöli a legnagyobb értéket, melyet az u t( ) feszültség felvehet, ezért maximális

értéknek vagy amplitúdónak nevezzük.

Ismert, hogy cos( ) cos( )ωωωω θθθθ ππππ ωωωω θθθθ t n t++++ ++++ ==== ++++2 azaz ωωωω ππππT ==== 2 . Innen az egyszer # periodikus mennyiség periódusa

T ====2ππππωωωω

.

A körfrekvencia definíciója az el!z! kifejezésb!l:

ωωωω ππππ

ππππ==== ====2

2T

f

Láthatjuk, hogy ωωωω egyenl! a frekvencia és a radiánban kifejezett teljesszög szorzatával,ezért ωωωω-át körfrekvenciának nevezzük. Mértékegysége a radián másodpercenként [ rad/s ].

θθθθ a feszültség kezd ! fázisa. Ez határozza

meg a görbe id! beli eltolódását a "tiszta"cosinus görbéhez viszonyítva. θθθθ > 0 értékre agörbe „siet”, θθθθ < 0 értékre pedig „késik” a"tiszta" cosinus görbéhez viszonyítva (6.8.ábra).

Az θ ω +t kifejezést, amely azt aszöget határozza meg, melynek a cosinusátkeressük, a feszültség pillanatnyi fázisának

nevezzük. A kezd!fázisoknak külön bet# jelük van, attól függ!en, hogy milyen mennyiségrevonatkoznak:

kezd!fázis jelölésfeszültség θáram ψ e.m.e. θe

A kezd!fázis értéke kapcsolatban van az áram, a feszültség, illetve az e.m.e. kiválasztottreferenciairányával. Tudjuk, hogy a referenciairány megváltoztatása magával vonja az ilyenmennyiségek el! jelének megváltozását is. Mivel

−−−− ++++ ==== ++++ ±±±±U t U t m mcos( ) cos( )ωωωω θθθθ ωωωω θθθθ ππππlátjuk, hogy a referenciairány megváltoztatása megváltoztatja a feszültség kezd!fázisát +ππππ-velvagy ππππ vel

6.8. ábra



Az egyszer # periodikus mennyiségek kezd!fázisa két tényez!t!l függ:". A kiválasztott kezd! id! ponttól, az id! számításához ( t = 0 pillanat kiválasztásától)2. Az önkényesen kiválasztott referenciairánytól.

Figyeljünk meg két azonos ω körfrekvenciájú egyszer # periodikus feszültséget,:u t U t m" " "

( ) cos( )==== ++++ωωωω θθθθ és u t U t m2 2 2 ( ) cos( )==== ++++ωωωω θθθθ .

". Ha θθθθ θθθθ" 2==== , akkor u t" ( ) és u t2 ( ) feszültség fázisban van és csak az amplitúdójuk különbözik.

2. Ha θθθθ θθθθ" 2≠≠≠≠ , akkor az u t

" ( ) és az u t2 ( ) feszültséget mutató görbék egymástól eltolódnak,

azaz a két feszültség között fáziskülönbség lép fel: θθθθ θθθθ −−−− θθθθ"2 " 2==== , azaz a fáziskülönbség a

megfigyelt két feszültség között egyenl ! a kezd ! fázisaik különbségével .

a) θθθθ >>>> θθθθ" 2 - u t

" ( ) görbe balra tolódik az u t2 ( ) görbéhez viszonyítva, u t

" ( ) görbe

"siet" az u t2 ( ) görbéhez viszonyítva.

b) θθθθ <<<< θθθθ" 2 - u t

" ( ) görbe jobbra tolódik az u t2 ( ) görbéhez viszonyítva, u t

" ( )

görbe "késik" az u t2 ( ) görbéhez viszonyítva.A fáziskülönbség fogalma nincs azonos mennyiségekhez kötve (nem csak kizárólag két

áram vagy két feszültség között állapítjuk meg). A kés! bbiekben meglátjuk, hogy a feszültség ésaz áram közti fáziskülönbség φφφφ θθθθ ψ ψψ ψ ==== −−−−( ) fontos szerepet játszik az elektrotechnikában. Ekkor mondjuk azt, hogy az áram siet illetve késik a feszültséghez viszonyítva.

6.2.". A PERIODIKUS MENNYISÉGEK KÖZÉPÉRTÉKE ÉS EFFEKTÍVÉRTÉKE

A maximális érték mellett a periodikus mennyiségeket még néhány értékkel jellemezzük.A periodikus áram és feszültség középértéke jelent!s néhány gyakorlati alkalmazásnál. Egy periódus alatt az áramer !sség középértéke a következ! módon írható fel matematikailag (ez adefiníció érvényes minden más periodikus mennyiség középértékére is ):

I T

i t t

T

közép ==== ∫ ∫∫ ∫ "

0

( )d

Fontos gyakorlati példa az I t m

sinω illetve U t m

sinω függvény (úgynevezett"egyenirányított sinusfüggvény" ) középértéke.

I I

T

t

T

t I

T

t

T

t m

T

m

T

közép ==== ====∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ sin d sin d2

2

2

0 0

2ππππ ππππ

Mivel:

sin2

d dππππ

ππππ ππππ

ππππ t

T t

T x x

T T

0

2

02∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ==== ====sin

a helyettesítés tehát2ππππT

t x==== , amib!l deriválás után2ππππT

t xd d==== , illetve d d tT

x====2ππππ

, viszot

ekkor az integrálási határok is megváltoznak, hiszen ha 0=t , akkor 0= x , és 2T t = értékre

π π

=⋅=2

2 T

T x . A kiértékelés ezután:

[[[[ ]]]]T

xT T T

2 2 " "

2

20ππππ ππππ ππππ ππππ

ππππ

( cos ) ( ) ( )−−−− ==== −−−− −−−− ++++ ++++ ==== ==== .



A középérték eszerint:

I I

T

T I I m m

mközép ==== ⋅⋅⋅⋅ ==== ====2 2

0 637ππππ ππππ

, .

Az egyenirányított sinusfüggvény középértéke tehát:

I

I

I

m

mközé p ==== ====ππππ 2 0 637,Magától értet!dik, hogy az egyszer # periodikus áram vagy feszültség középértéke egyenl!

nullával.Az elektrotechnikában vannak olyan jelenségek, amelyben az áram vagy feszültség hatása

arányos ezen mennyiségek négyzetének a középértékével. A periodikus mennyiségek négyzetesközépértékének négyzetgyökét nevezzük a mennyiség effektív értékének . Ez a definíció érvényesminden más periodikus mennyiség effektív értékére is:

I T

i t teff

T

==== ∫ ∫∫ ∫ " 2

0

( )d

Fontos példa az egyszer # periodikus áram és feszültség függvény effektív értéke. Azu t U t T

m( ) ( )==== cos 2ππππ feszültség effektív értékét a következ! módon kapjuk meg:

U U

T

t

T t U

T

t T t

U eff

m

T

m

T

m==== ==== ++++

====∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ 2

2

0 0

2 " " 4

2 2cos

cos( )ππππ ππππd d

Mivel:

" " 4 "

2

" 4 "

20 0 0 0T

tT

t

T t

T t

T

t

T

T T T T "

2d d∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ++++ ==== ++++ ====cos sin

ππππ ππππ .

Tehát:

U U

U m

m==== ====2

0 707, , I I

I m

m==== ====

20 707,

Az eff indexet a gyakorlatban többnyire elhagyják, ezért a következ!kben az I és U megjelölés az áram és a feszültség effektív értékére vonatkozik.

6.3. Sinusos áramú hálózatok

6.3.". A SINUSOSAN VÁLTOZÓ ÁRAM ÉS FESZÜLTSÉG EL!ÁLLÍTÁSA ÉSALKALMAZÁSA

Csak az egyszer # periodikus függvény szerint változó feszültség hoz létre ugyanolyanalakú periodikus áramot a lineáris elemeken, mint saját maga. Ezért a lineáris elemekkel és azegyszer # periodikus függvény szerint változó (sinusos) áramokkal m#köd! áramkörök sokkalkönnyebben vizsgálhatók, mint más periodikus áramú áramkörök.

Minden periodikus mennyiség felírható úgy, mint egyszer # periodikus mennyiségek

(sinusos mennyiségek) összege (általános esetben végtelen összeg), megfelel!

amplitúdóval,frekvenciával és fázissal. Ezért az összes periodikus jelenség kivizsgálása leegyszer #síthet!

különböz! frekvenciájú egyszer # periodikus (sinusos) jelenségek kivizsgálására. Bebizonyítható,

0



hogy egy tetsz!leges, periodikus jel f frekvenciával ábrázolható mint "tiszta" egyszer # periodikus tagok öszszege, f , 2 f , 3 f ... frekvenciával. Azt a tagot, melynek f a frekvenciájaalapharmonikusnak nevezzük, a 2 f frekvenciájú tagot második felharmonikusnak nevezzük, ésígy tovább. Mivel a veszteségek a ferromágneses lemezekben arányosak f

2-el, ezért a villamosenergia el!állításában arra törekednek, hogy a forgógenerátorok kivezetésein lév! feszültségminél inkább egyszer # periodikushoz közelítsen.

A villamos energia átalakításánál tudnunk kell azt, hogy ha a feszültség n-szeresére n!,akkor az áramer !sség n-szeresére csökken, a távvezetékekben a veszteségek pedig n2-szeresen

csökkenek.Egy ipari villamos hálózat leegyszer #sített rajza a 6.9. ábrán látható.

Az ipari frekvenciájú egyszer # periodikus (illetve jólmegközelít!en egyszer # periodikus) e.m.e. el!állításaegyszer #. Erre a célra azokat a generátorokat használják,melyek leegyszer #sített rajza a 6."0.ábrán látható. A forgórész

(rotor) mágnes (általában több pólusú), legtöbbször

elektromágnes, melyet csúszó érintkez ! kön keresztül

egyenárammal táplálnak. Megfelel ! tekercseléssel elérhet ! ,

hogy az állórészen (sztátoron), illetve a generátor kimenetén

megközelít ! en egyszer " periodikus (sinusos) feszültség jöjjön

létre.

Magas frekvenciájú sinusos feszültségek létrehozásáraúgynevezett elektroncsöves vagy aktív félvezet! elemes oszcillátorokat (rezgéskelt!ket)használnak. A rezgéskelt! központi része egy rezg!kör, amely meghatározott f frekvenciánrezeg. Az áramkör kivezetésein aktív elemekkel kell feler !síteni a feszültséget.

6.3.2. AZ ÁRAMER !SSÉG MEGHATÁROZÁSA A SINUSOS FESZÜLTSÉGREKAPCSOLT PASSZÍV ALAPELEMEKEN KERESZTÜL

Figyeljük meg a 6."". ábrán látható R ellenállást, melyet u t U t m( ) ( )==== ++++cos ωωωω θθθθ

feszültségre kapcsolunk!Az áramer !sség ebben az esetben:

i tu t

R

U

R t R

m ( )( )

cos( )==== ==== ++++ωωωω θθθθ

Az áram amplitúdója: I U

R m

m==== , kezd!fázisa pedig:

ψ ψψ ψ θθθθ==== .

i t I t R m( ) cos( )==== ++++ωωωω ψ ψψ ψ

A sinusos feszültségre kapcsolt ellenálláson keresztül folyó

áram ugyancsak sinusos és fázisban van a feszültséggel

6.9. ábra

6."0. ábra

6."". ábra

6."

2. ábra



Induktív tekercs esetében (6."2. ábra) az áramer !sség:

i tT

U t t I L m ( ) cos( )==== ++++ ++++∫ ∫∫ ∫ "

0ωωωω θθθθ d

Sinusos üzemmódban nincs egyirányú komponens ( I 0 = 0 ), tehát:

i t

U

L t

U

L t L

m m

( ) sin( ) cos( )==== ++++ ==== ++++ −−−−ωωωω ωωωω θθθθ ωωωω ωωωω θθθθ

ππππ

2

Az áram amplitúdója ezek szerint: I U

L m

m====ωωωω

, és kezd!fázisa: ψ ψψ ψ θθθθ ππππ

==== −−−−2

.

A sinusos feszültségre kapcsolt tekercsen keresztül folyó áram úgyszintén sinusos, viszont a

feszültséghez képest késik π/2-vel, vagyis negyed periódussal.

Kondenzátor esetében (6."3. ábra) az áramer !sséget a következ! kifejezéssel írhatjuk le:

[[[[ ]]]]i t C

t

U tC m( ) cos( )==== ++++d

d

ωωωω θθθθ

i t CU tC m( ) sin( )==== −−−− ++++ ====ωωωω ωωωω θθθθ

==== ++++ ++++ ====ωωωω ωωωω θθθθ ππππCU t msin( )

==== ++++ ++++ −−−− ====ωωωω ωωωω θθθθ ππππ ππππCU t mcos( )2

==== ++++ ++++ ====ωωωω ωωωω θθθθ ππππCU t m cos( )2

==== ++++ ++++U

C t m

"2

ωωωω ωωωω θθθθ ππππcos( )

Az áram amplitúdója: I U

C m

m====" ωωωω

, és kezd!fázisa: ψ ψψ ψ θθθθ ππππ

==== ++++2

.

A sinusos feszültségre kapcsolt kondenzátoron keresztül folyó áram is sinusos, viszont a feszültséghez képest siet π/2-vel, vagyis negyed periódussal.

6.3.3. A SINUSOS MENNYISÉGEK ÁBRÁZOLÁSA FORGÓVEKTOR SEGÍTSÉGÉVEL

Ha elképzeljük, hogy az 0A szakasz állandó ωωωω szögsebességgel forog az 0 pont körül,akkor a szakasz vetületének hossza az x tengelyen cosinusfüggvény szerint változik (6."4. ábra):

x t X t m( ) cos( )==== ++++ωωωω θθθθ ,

ahol X m az 0A szakasz hosszát jelöli.

A sinusosan változó mennyiségek három jellemz!

segítségével írhatók le: amplitúdó, frekvencia és kezd ! fázis.Ha a lineáris áramkörre kapcsolt összes generátor egyszer #

periodikus és azonos frekvenciájú, akkor az áramkör összesfeszültsége és árama azonos frekvenciájú és egyszer # periodikuslesz. Ekkor még csak két adatot kell róluk tudnunk:

amplitúdójukat és fázisukat.A forgó vektor szokásos jelölése X = Xθθθθ , X az amplitúdó, θθθθ a kezd!fázis. A tengelyt,

melyhez viszonyítva a kezd!fázist számítjuk, fázistengelynek nevezzük.

6."3. ábra

6."4. ábra



A vektordiagramokon feltüntetett vektorok általában az effektív értékekkel arányosak , nem

pedig az amplitúdókkal.

Az áramkörök megoldására régebben gyakran használták ezt a módszert és még elvétve mais használják. Sokkal kényelmesebb és célszer # bb viszont az a módszer, mikor a sinusos áramotés feszültséget komplex mennyiséggel szemléltetjük.

6.". Példa: Határozzuk meg az áramer !sséget ( I) a 6."5 a ábrán látható soros RLkapcsoláson.

Megoldás:

20 π +=+= L R L R U U U U U

Mivel RI U = és LI U ω = , ezért: 20 π ω += LI RI U .

222222 I L I RU ω +=

222 L R

U I

ω +=

R

Lω θ arctan'= '' θ θ ψ ψ θ θ −=⇒−=

Így a pillanatnyi áramer !sségre a következ! kifejezést kapjuk:

)'cos(2

)(222

θ θ ω ω

−++

= t L R

U t i

Az áramkör feszültségének és áramának vektordiagramja a 6."5.b ábrán látható.

6.3.4. A TELJESÍTMÉNY A VÁLTÓÁRAMÚ HÁLÓZATOKBAN

A sinusosan változó áramokat hétköznapi nyelven váltóáramoknak is nevezik. Figyeljünk meg egy u t U t m

( ) ( )==== ++++cos ωωωω θθθθ feszültségre kapcsolt fogyasztót. Tételezzük fel, hogy afogyasztón átfolyó áram i t I t m( ) ( )==== ++++cos ωωωω ψ ψψ ψ , ekkor a fogyasztó pillanatnyi teljesítményének értéke :

p t u t i t U I t t m m ( ) ( ) ( ) cos( ) cos( )==== ⋅⋅⋅⋅ ==== ++++ ++++ωωωω θθθθ ωωωω ψ ψψ ψ

Mivel [[[[ ]]]]cos cos cos( ) cos( )αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ==== ++++ ++++ −−−−"

2 ,

6."5. ábra



p tU I

tU I m m m m ( ) cos( ) cos( )==== ++++ ++++ ++++ −−−−

22

2ωωωω θθθθ ψ ψψ ψ θθθθ ψ ψψ ψ

Bármely egész számú periódus id!tartama alatt az els! tag középértéke nullával egyenl!. Amásodik tag nem függ az id!t!l és a fogyasztó középteljesítményét képezi.

PU I

UI m m==== −−−− ====2

cos( ) cosθθθθ ψ ψψ ψ φφφφ

Az el!z! kifejezésben a cos φφφφ -t teljesítménytényez ! nek nevezzük, maga a φφφφ pedig afáziskülönbség a feszültség és az áram között, vagyis:

φφφφ θθθθ ψ ψψ ψ ==== −−−− .Mivel a pillanatnyi teljesítménynek a váltóáramú hálózatok esetében ritkán van gyakorlati

jelent!sége, ezért a teljesítmény fogalma alatt a középteljesítményt értjük.

Most tételezzük fel, hogy u t U t m

( ) ==== cosωωωω feszültségre R ellenállást, C kondenzátort és L tekercset kötöttünk. Határozzuk meg mindhárom fogyasztó pillanatnyi teljesítményét !

Ellenállás esetében ( tudjuk, hogy i t u t R ( ) ( )==== ) a pillanatnyi teljesítmény:

p tU

R t

U

R t R

m m ( ) cos ( cos )==== ==== ++++2

22

2 " 2ωωωω ωωωω .

A zárójelben lév! kifejezés mindig pozitív, azaz az ellenállás teljesítménye mindig pozitív,ez azt jelenti, hogy minden id!tartományban az ellenálláshoz áramlik az energia. Ezért azellenállásra azt mondjuk, hogy aktív fogyasztó.

Figyelembe véve, hogy: sin cos sinωωωω ωωωω ωωωω t t t==== "

22 és i t CU tC m( ) cos( )==== ++++ωωωω ωωωω

ππππ2

,

a kondenzátor pillanatnyi teljesítménye:

t CU t t CU

t I t U t p

mm

mmC

t

ω ω ω ω ω

π ω ω

ω

2sin2

"sincos

)2

cos(cos)(

22

sin

−=−=

+=

−"#"$%

A váltóáramú feszültségre kapcsolt kondenzátor váltakozva tölt!dik ellentétes irányból, akét tölt!dési (töltési) id!tartam között a kondenzátor kisül, vagyis visszaadja az energiát azáramkörnek. Ezért a kondenzátorra azt mondjuk, hogy reaktív fogyasztó.

A tekercs ( amelynél az áram kifejezése i tU

L t

U

L t L

m m ( ) cos( ) sin==== −−−− ====ωωωω

ωωωω ππππ

ωωωω ωωωω

2 ) pillanatnyi

teljesítménye:

p tU

L t t

U

L t L

m m ( ) cos sin sin==== ====2 2

"

22

ωωωω ωωωω ωωωω

ωωωω ωωωω .

Abban az id!tartományban, melyben az áramer !sség növekszik, a tekercsbe áramlik az

energia, mikor pedig az áramer !

sség csökken, az energia visszaáramlik az áramkörbe. A tekercsezért reaktív fogyasztó.Figyeljünk meg egy fogyasztót, melyet az ellenállások, kondenzátorok és tekercsek

tetsz!leges kombinációja alkot. Az ilyen fogyasztó teljesítményét két részre oszthatjuk:- arra a részre, mely id! ben változik, de mindig pozitív marad;- és arra a részre, amely egyenletes id!közönként változtatja el! jelét.

A pillanatnyi teljesítmény kifejezésének els! része az energia fogyasztóhoz valószállításának folyamatát írja le, amely a fogyasztón átalakul vagy h!energiává vagy valamilyenmás energiává, a második része pedig a fogyasztó és a generátor közti energiacsere folyamatátírja le.

Tételezzük fel az egyszer #ség kedvéért, hogy θθθθ = 0, akkor φφφφ = - ψ ψψ ψ vagy ψ ψψ ψ = - φφφφ. Ekkor a

pillanatnyi teljesítmény kifejezése a következ!képpen néz ki: p t u t i t U I t t m m ( ) ( ) ( ) cos cos( )==== ==== −−−−ωωωω ωωωω φφφφ ,



a cos( ) cos cos sin sinωωωω φφφφ ωωωω φφφφ ωωωω φφφφ t t t−−−− ==== ++++ bevezetésével:

p t U I t U I t t m m m m( ) cos cos sin sin cos==== ++++φφφφ ωωωω φφφφ ωωωω ωωωω2 .

Ha alkalmazzuk a következ! átalakításokat:

cos ( cos )

2 "

2 "

2αααα αααα==== ++++ és

sin cos sinαααα αααα αααα==== "

22 ,

megkapjuk a kívánt kifejezést a fogyasztó teljesítményére:

p t U I t U I t m m m m( ) cos ( cos ) sin sin==== ++++ ++++"

2 " 2

"

22φφφφ ωωωω φφφφ ωωωω .

Az els! tag középértéke pontosan megegyezik a fogyasztó középteljesítményével, melyet a fogyasztó hatásos (aktív) teljesítményének is nevezünk.

P U I UI m m==== ===="

2

cos cosφφφφ φφφφ

A második tag amplitúdóját a fogyasztó medd ! (reaktív) teljesítményének nevezzük.

Q U I UI m m==== ===="

2sin sinφφφφ φφφφ

A veszteségek, melyek az energia szállítása közben a vezetékekben keletkeznek elkerülhetetlenek, ezért ezzel számolni kell. A mellékveszteségek, melyek a fogyasztó medd!

teljesítményéb!l erednek, a fogyasztó és a generátor közti energiavándorlás következményei - ezaz ára az energia "sétájának" a vezetéken keresztül. A gyakorlatban arra törekednek, hogy ezeketa fölösleges veszteségeket kiküszöböljék. A fogyasztó medd! teljesítménye jelzés arra, hogymekkorák ezek a fölösleges, mellékveszteségek.

Figyeljünk meg most egy ideális feszültség- vagy áramgenerátort u t U t g gm( ) cos==== ωωωωfeszültséggel és i t I t g gm( ) cos( )==== ++++ωωωω φφφφ áramer !sséggel a generátoron keresztül. A generátor

pillanatnyi teljesítménye: p t u t i t U I t t g g g gm gm ( ) ( ) ( ) cos cos( )==== ==== ++++ωωωω ωωωω ψ ψψ ψ

A fáziskülönbség pedig:φφφφ θθθθ ψ ψψ ψ ψ ψψ ψ ' ==== −−−− ==== −−−−

A pillanatnyi teljesítmény a fáziskülönbség függvényében:

p t U I t U I t g gm gm gm gm( ) cos ' cos sin ' sin==== ++++φφφφ ωωωω φφφφ ωωωω2 "

22

Az els! tag középértékét a generátor hatásos teljesítményének nevezzük.

PU I

U I g

gm gm

g g==== ====2

cos ' cos 'φφφφ φφφφ

A második tag amplitúdóját a generátor medd ! teljesítményének nevezzük.

QU I

U I g

gm gm

g g==== ====2

sin ' sin 'φφφφ φφφφ



6.3.5. A VÁLTÓÁRAMÚ HÁLÓZATOK MEGOLDÁSA KOMPLEXSZÁMÍTÁSSAL

Ha van egy tetsz!leges hálózatunk, melyben azonos ωωωω körfrekvenciájú sinusos változásúgenerátorok m#ködnek, akkor a hálózatban a feszültségek és az áramok is sinusos változásúak lesznek ugyancsak ωωωω körfrekvenciával, ami a következ! alakban írható le:

i t I t m( ) ( )==== ++++cos ωωωω ψ ψψ ψ , illetve u t U t m

( ) ( )==== ++++cos ωωωω θθθθ .

Kirchhoff I. törvénye a váltóáramú hálózatok csomópontjaira így szól:

I t k k k

n

2 0 2"

cos( ) :ωωωω ψ ψψ ψ ++++ ========

∑∑∑∑ .

Mivel cos( ) cos cos sin sinαααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ++++ ==== −−−− , felírhatjuk így is:

(((( )))) I t I t k k k k k

n

cos cos sin sinωωωω ψ ψψ ψ ωωωω ψ ψψ ψ −−−− ========

∑∑∑∑"

0,

vagy:

cos cos sin sinωωωω ψ ψψ ψ ωωωω ψ ψψ ψ t I t I k k k

n

k k k

n

==== ====∑∑∑∑ ∑∑∑∑−−−− ====

" "

0.

Az egyenlet bal oldala minden pillanatban egyenl! kell, hogy legyen nullával, ez akkor teljesül, ha mindkét összeg a bal oldalon egyenl! nullával (az I k az áram effektív értékét jelöli):

I k k k

n

cos ψ ψψ ψ ====

∑∑∑∑ ===="

0, I k k k

n

sin ψ ψψ ψ ====

∑∑∑∑ ===="

0.

A Kirchhoff II. törvénye szerinti egyenletek is leegyszer #síthet!k olyan egyenletpárokra,melyekben az id ! nem szerepel (a törvény, mint tudjuk minden zárt körre – hurokra- érvényes,

amely tetsz!

leges n számú ágat tartalmaz):U t k k

k

n

2 0"

cos( )ωωωω θθθθ++++ ========

∑∑∑∑

U k k k

n

cos θθθθ====

∑∑∑∑ ===="

0 , U k k k

n

sin θθθθ====

∑∑∑∑ ===="

0

Az el!z! két kifejezésben az U k a feszültség effektív értékét jelöli. Tételezzünk fel egyhálózatot n g számú ággal és n cs számú csomóponttal. Ekkor:

Kirchhoff I. Törvénye 2 "( ) n cs −−−− számú egyenletet ad

Kirchhoff II. Törvénye 2 2 " n n n k g cs==== −−−− ++++( ) számú egyenletet adÖsszesen 2 " 2 " 2( ) ( ) n n n n cs g cs g−−−− ++++ −−−− ++++ ====Az ismeretlenek száma: 4 n g (effektív érték és kezd!fázis - n g feszültségre és

- n g áramer !sségre ).A pótegyenletek száma: 2 n g. A pótegyenletek megadják az összefüggést az ágakban folyó

áramok effektív értéke és kezd!fázisa, valamint az ágak végei között mérhet! feszültségek effektív értéke és kezd!fázisa között az n g ágban.

Ezek az összefüggések az ideális ellenállásokra, kondenzátorokra és tekercsekre akövetkez!k:

a) ellenállás : RI U = , ψ θ =

b) tekercs : LI U ω = ,2

π ψ θ +=



c) kondenzátor : C I U ω = ,2

π ψ θ −=

d) ideális feszültséggenerátor : E U = , eθ θ =

e) ideális áramgenerátor : s I I = , iψ ψ =

Távolítsuk el a Kirchhoff egyenletek alapján kapott négy egyenletb!l a feszültségeket azimént felsorolt 5 egyenlet segítségével. Az ilyen egyenletek megoldása I k és ψ ψψ ψ k szerint nagyonnehéz. Mivel ezek lineáris egyenletek I k k

cos ψ ψψ ψ és I k ksin ψ ψψ ψ szerint, célszer #nek látszik a

következ! helyettesítés: I I k k k

' cos==== ψ ψψ ψ és I I k k k" sin==== ψ ψψ ψ .

Így könnyen kiszámíthatjuk I' k-et és I" k-ot, viszont I k-t és ψ ψψ ψ k-t a következ! kifejezések segítségével kaphatjuk meg:

I I I k k k==== ++++' "2 2 , illetve tan"

'ψ ψψ ψ k

k

k

I

I ==== .

6.3.5.". Kirchhoff törvényei komplex alakban. Impedancia és admittancia

Komplex mennyiségek használatával az egy-egy Kirchhoff törvényb!l kapott egyenletpár (amelyek Kirchhoff törvényeit fejezik ki a váltóáramú áramkörökre algebrai alakban) felírhatóegy-egy komplex egyenlet formájában. Figyeljük meg a Kirchhoff csomóponti törvényéb!lered! el!z!ekben felírt egyenletpárt: ha a második egyenletet megszorozzuk az imagináriustaggal, j-vel, majd összeadjuk az els!vel, akkor a következ! komplex egyenletet kapjuk:

(((( )))) I j k k k k

n

cos sinψ ψψ ψ ψ ψψ ψ ++++ ========

∑∑∑∑"

0 .

Fontos megérteni, hogy ez a komplex egyenlet az eredeti egyenletpárnak csupán egykompakt (összevont) ábrázolásmódja.

Euler képlete szerint még egyszer # bb alakban írható fel (az I k továbbra is az áram effektívértékét jelöli):

0"

=∑=

n

k

j

k k e I

ψ .

Definiáljuk az áram komplex effektív értékét a következ! módon:

I I e j==== ψ ψψ ψ

Az áram komplex effektív értéke komplex mennyiség, melynek abszolút értékemegegyezik az áram effektív értékével, argumentuma pedig a kezd!fázissal.Így Kirchhoff I. törvényének komplex alakja a következ! lesz:

I k

k

n

====∑∑∑∑ ====

"

0.

Miért vezetjük be a komplex áramer !sség fogalmát? Az utóbbi egyenlet sokkalkompaktabb (vel!sebb, többet mondó), mint az egyenletpár amib!l ered. Sokkal fontosabbviszont, hogy a komplex alakú Kirchhoff-egyenlet alakjában megegyezik az egyenáramú

áramkörökre érvényes egyenlettel . A különbség csak annyi, hogy itt az áramer !sség helyett azáram komplex effektív értéke van jelen, amely magába foglalja a váltóáramok valódi effektívértékét és kezd!fázisát.

Ugyanez az el! bbi gondolatmenet megismételhet! a Kirchhoff huroktörvénye alapján (az



U k

k

n

====∑∑∑∑ ====

"

0

Ez utóbbi kifejezés Kirchhoff II. törvényének komplex alakja, amelyben a feszültségkomplex effektív értéke jelenik meg. A komplex effektív érték természetesen itt is az effektívértéket és a kezd!fázist tartalmazza:

k j

k k eU U θ =

Az áramkör elemein az áramer !sség és a feszültség közti összefüggést komplex alakban akövetkez! egyenletek adják meg:

a) ellenállás : I RU R =

b) tekercs : I L je I LU j

L ω ω

π

=⋅= 2

c) kondenzátor : I C j

I C

j

C

e I U

j

C ⋅=⋅−=⋅

=−

ω ω ω

π

"2

d) ideális feszültséggenerátor : E U =

e) ideális áramgenerátor : S I I =

Az a), b) és c) pontokban felírt egyenletek alapján, a feszültség felírható az alábbi alakbanis (és ezt a komplex impedancia definíciójának is tekinthetjük, ámbár sokan az általánosítottOhm-törvényt látják benne):

I Z U = .Az áramköri elemek impedanciái tehát:

Z R R

==== , Z j L L

==== ωωωω ,C j

Z C

ω

"=

Az impedancia ( Z ) mértékegysége az ohm [ ΩΩΩΩ ].Az ellenállás impedanciája valós (reális), viszont a tekercs és a kondenzátor impedanciája

képzetes ( imaginárius ).Kirchhoff II. törvényét, ezek szerint, felírhatjuk az egyenáramoknál megszokott alakban is:

E Z I ∑∑∑∑ ∑∑∑∑−−−− ==== 0

Az E és Z I el ! tt "+" el ! jel van, ha az e.m.e. illetve az áram referenciairánya

(vonatkoztatási iránya) megegyezik a haladási iránnyal a hurok mentén, ellenkez ! esetben "-" az

el ! jel .Az impedancia reciprok értékét admittanciának ( Y ) nevezzük.

Y Z

==== "

.

Az ellenállás, a tekercs és a kondenzátor admittanciája a megfelel! impedanciából kaphatómeg:

Y R

G R

==== ===="

, Y j L L

==== "

ωωωω, Y j C

C ==== ωωωω

Az admittancia ( Y ) mértékegysége a siemens [ S ].Az ellenállás admittanciája valós (reális), viszont a tekercs és a kondenzátor admittanciája

képzetes (imaginárius).A váltóáramú körök impedanciája az egyenáramú körök ellenállásának “felel meg”, azadmittancia pedig a vezet!képességnek.



Szemmel látható, hogy az impedanciának és admittanciának, az elemek összetett kötéseesetén, általános esetben lesz valós és imaginárius része is:

Z R jX ==== ++++ahol:

R – a rezisztencia ( hatásos, ohmikus ellenállás ), X - a reaktancia ( medd ! ellenállás ).

Azokban az esetekben, melyeket mi vizsgálunk R mindig pozitív ( vannak úgynevezettaktív elemek, melyeket negatív rezisztenciával is jellemezhetünk, de ezekr !l mi a kés! bbiekbennem teszünk említést). A reaktancia lehet pozitív és negatív is, úgy tekintjük, hogy X a medd !

ellenállás algebrai értékét jelöli.Az admittancia esetében felírható, hogy:

Y G jB==== ++++ahol:

G - a konduktancia ( hatásos vezet ! képesség ), B - a szuszceptancia ( medd ! vezet ! képesség ).

B is a medd ! vezet ! képesség algebrai értékét jelöli, mint az X a medd! ellenállás esetében.Összefüggések a hatásos és medd! vezet!képesség valamint a hatásos és medd! ellenállás

között:

G R

R X ====

++++2 2 ,22 X R

X B

+−= , illetve

RG

G B====

++++2 2 , X B

G B==== −−−−

++++2 2 .

Mint minden komplex számot, az impedanciát és az admittanciát is felírhatjuk exponenciális alakban. Az impedancia argumentumát φφφφ -vel szokás jelölni.

φ je Z Z = , illetve Y Z

Y e j==== ==== −−−−" φφφφ .

Két pont közti potenciálkülönbség vagy feszültség effektív értékét váltóáramúáramkörök.ben a következ! egyenlet alapján kapjuk meg (ha az út iránya és az áram vagy e.m.e.referens iránya megegyezik, akkor I -t illetve E -t "+" el! jellel írjuk):

(((( ))))U E Z I AB B A

==== −−−−∑∑∑∑ ∑∑∑∑- t!l -ig

6.3.5.2. Az elemek soros és párhuzamos kapcsolása. Az elemek csillag- és

háromszög-kapcsolásának azonossága

Figyeljük meg el!ször több n Z Z Z ,,, 2" ! impedanciájú elem soros kapcsolását (6."6a

ábra). Az elemek ered! impedanciája ( n számúl soros kapcsolású impedancia ered!

impedanciája):

n Z Z Z Z +++= !2"ekv

Ennek megfelel!en az ered! admittanciára a következ! kifejezést kapjuk:

nY Y Y Y

""""

2"ekv

+++= !

Az elemek párhuzamos kapcsolása esetén ( 6."6b ábra ), az ered! impedancia a következ!

egyenlettel határozható meg ( n számú párhuzamosan kapcsolt impedancia ered! impedanciája):



n Z Z Z Z

""""

2"ekv

+++= !

Ha az elemek admittanciáját használjuk egyszer # bb kifejezést kapunk ( n darab párhuzamosankapcsolt admittancia ekvivalens-ered! admittanciája ):

nY Y Y Y +++= !2"ekv

Végül figyeljünk meg három csillagba kötött és három háromszögbe kötött elemet (6."7ábra). A feltételek, melyek mellett az elemek csillagkapcsolása ekvivalens az elemek háromszög-kapcsolásával és megfordítva, a következ!k:

Ha ismertek a delta (háromszög) kötés impedancia-értékei, akkor a csillag (ipszilon)kapcsolás elemei:

Z Z Z

Z Z Z"

"2 "3

"2 "3 23

====++++ ++++

Z Z Z

Z Z Z2"2 23

"2 "3 23

====++++ ++++

Z Z Z

Z Z Z3"3 23

"2 "3 23

====++++ ++++

Ismert, csillagkötésbe kötött impedancia-értékek birtokában a háromszög-kötés elemei:

Z Z Z Z Z

Z"2 " 2

" 2

3

==== ++++ ++++

Z Z Z Z Z

Z

"3 " 3" 3

2

==== ++++ ++++

Z Z Z Z Z

Z23 2 32 3==== ++++ ++++

6."6. ábra

6."7. ábra



6.3.5.3. A komplex feszültség és áram ábrázolása a komplex síkban

Minden komplex számot egy ponttal ábrázolhatunk a komplex síkban. Ez a pont leírhatókoordinátáival (a komplex szám valós és imaginárius részével) vagy a koordinátarendszer középpontjától való távolságával (a komplex szám abszolút értékével) és azzal a szöggel, melyetez a szakasz bezár a valós tengellyel (a komplex szám argumentuma).

Ha U U e j==== θθθθ a feszültség komplex effektív értéke a Z Z e j==== φφφφ komplex impedanciájúelem végei között, akkor az elemen keresztül folyó áram komplex effektív értéke:

(((( )))) I

U

Z

U e

Z e

U

Z e

j

j

j==== ==== ==== −−−−

θθθθ

φφφφθθθθ φφφφ

Konvenció ( megegyezés ): A pozitív szöget akomplex síkban az óra járásával ellenkez! iránybanvesszük (6."8. ábra). A szöget mindig a valós tengelyt!lkezdve számítjuk.

A 6."8. ábrán a θθθθ pozitív szög, a ψ ψψ ψ θθθθ φφφφ==== −−−−( )

viszont negatív, mivel φφφφ >>>> 0.Az ilyen ábrázolás nemcsak az effektív értéket

szemlélteti, hanem a komplex feszültség és áram fázisát is.Ezért az ilyen módon ábrázolt komplex feszültségeket ésáramokat fázoroknak (fazoroknak vagy egyszer #en csak vektoroknak) nevezzük, a diagramokat

pedig, melyekben a feszültség és az áram közti összefüggés fázorokkal (fazorokkal, vektorokkal)van ábrázolva, fázordiagramnak ( fazorábráknak ) vagy vektordiagramnak , a valós tengelyt pedig

fázistengelynek nevezzük. Néha el!nyös az impedanciát is a komplex síkban ábrázolni. Habár az impedancia nem

periodikus mennyiség és nincs kezd!fázisa, mégis az ilyen diagramokra gyakran mondjuk, hogyimpedancia-vektordiagramok.

6.2. Példa: Készítsük el a 6."9.a ábrán felrajzolt párhuzamos RLC áramkör feszültség ésáram vektordiagramját

Megoldás:Számadatok hiányában csak elvi megoldás lehetséges, amit a 6."9.b ábra illusztrál

6.2. Példa: Rajzoljuk fel a 6.20.a ábrán látható soros RLC áramkör impedancia-vektordiagramját

Megoldás: A keresett impedancia-vektordiagram a 6.20.b ábrán látható.

6."8. ábra

6."9. ábra



6.2. Példa: Szerkesszük meg a 6.2".a ábrán látható párhuzamos RLC áramkör admittancia-vektrodiagramját!

Megoldás: 6.2".b ábra.

6.20. ábra

6.2". ábra



6.3.6. FESZÜLTSÉG- ÉS ÁRAMGENERÁTOROK

A valós feszültséggenerátorokat ábrázolhatjuk, mint sorba kötött ideális feszültséggenerátor ( E e.m.e.-vel, bels! impedancia nélkül) és impedancia (amely megegyezik a generátor

bels! impedanciájával).

A valós áramgenerátort ideális áramgenerátor és ellenállás párhuzamos kapcsolásávalábrázoljuk.Minden valós feszültséggenerátort helyettesíthetünk valós áramgenerátorral és fordítva. A

feszültség- és áramgenerátorra azt mondjuk, hogy ekvivalensek (egyenérték "ek), ha azonosimpedanciájú fogyasztón keresztül azonos er !sség" áramot idéznek el! (az ekvivalenciafeltételei az egyenáramoknál megismert módon számíthatók ki).

Az ekvivalencia feltételei feszültség- és áramgenerátornál

Z Z s g

==== , I E

Z Y E

s

g

g==== ====

6.3.7. HUROKÁRAMOK MÓDSZERE KOMPLEX ALAKBAN

Az egyenáramú áramkörök megoldására minden módszer és elmélet, Kirchhoff kéttörvényén alapszik. Minden módszer és elmélet, melyet az egyenáramú áramkörökre levezettünk

érvényes a váltóáramú áramkörökre is, mivel ezek a törvények formailag azonosak a váltóáramúáramkörökre is. A különbség csak annyi, hogy most a komplex feszültségekkel és áramokkalszámolunk ezeknek a mennyiségeknek az intenzitása helyett, és az ellenállások helyett komplexellenállások vannak.

A hurokáramok módszerével közvetlenül ( n g - n cs +1 ) számú egyenletet írhatunk fel

Kirchhoff II. törvénye szerint, melyekben Kirchhoff I. törvénye szerint figyelembe vettünk ( n cs-1) számú egyenletet. A hurokáramok egyenletei komplex alakban a következ!képpen néznek ki:

nnnnnnn

nn

nn

E I Z I Z I Z

E I Z I Z I Z

E I Z I Z I Z

=+++

=+++=+++

!

""""

!

!

2211

222222121

111212111

Ezekben az egyenletekben:

I j

- komplex áramer !sség a j ágban, j =1,2,..., n

jj Z - az elemek impedanciáinak összege a j hurok

mentén, j =1,2,..., n

Z jk

, j ≠ k - a j és k hurok közös ágaiban lev!

impedanciáinak összege; ha a közös ágban a j és k hurok kiválasztott referenciairányaimegegyez!ek, akkor Z

jk el! jele pozitív,

ellenkez! esetben negatív; j, k =1,2,..., n



A hurokáramok módszerének esetében foglaljuk össze az áramkörök megoldásának lépéseit,:

1. Azokat az ágakat, melyekbe áramgenerátor van kötve nem számíthatjuk a hurkok számának ( n k ) meghatározásánál. Ezek a hurkok nem tartalmazhatnak olyan ágat, melybeáramgenerátor van kötve.

2. Képzeljük el, hogy minden áramgenerátor árama olyan hurok mentén záródik, amelynem tartalmaz más áramgenerátort. Ezekre nem írjuk fel a hurokáramok módszere szerintiegyenleteket, mivel ezeknek a hurokáramoknak az er !sségét ismerjük.

3. A hurokáramoknak n k egyenletét írjuk fel, melyeknél az áramgenerátorok hurokáramameghatározott módon kerül be (a közös ágak impedanciáin keresztül, melyek egyid! ben a

figyelt hurok és az áramgenerátorokhoz tartozó hurkok részei is).

6.3.8. A CSOMÓPONTI POTENCIÁLOK MÓDSZERE KOMPLEX ALAKBAN

A csomóponi potenciálok vagy független potenciálok módszere ( n cs-1) egyenlet sematizáltmódon való felírását jelenti Kirchhoff I. törvénye szerint, melyekben mindjárt figyelembe vettük az ( n g- n cs+1) számú egyenletet, melyeket Kirchhoff II. törvénye szerint írhatunk fel azáramkörre.

( ) ( )

( ) ( )n snnnnnn

snn

I Y E V Y V Y V Y

I Y E V Y V Y V Y

∑∑∑∑

+=+++

+=+++

+

+

!

####

!

2211

111212111

Ezekben az egyenletekben:

E jj

- az összes komplex e.m.e. összege a j hurok

mentén; a generátorok e.m.e.-je , melyek referenciairánya megegyezik a hurok irányával, "+" el! jel"; j =1,2,..., n

V j - j csomópont komplex potenciálja, j = 1,2,..., n

Y jj

- a j csomópontban összefutó összes ág komplex

vezet!képességének (impedanciáinak)összege, j = 1,2,..., n

Y Y jk kj

==== - a j és k csomópont közti összes ág

impedanciájának az összege, negatív

el ! jellel véve, j, k = 1,2,..., n , j ≠ k



Ha ezeknek az egyenleteknek a segítségével meghatározzuk minden csomópont potenciálját, akkor a j és k csomópont közti bármely ágban az áramer !sséget a következ! képletalapján kapjuk meg (6.22. ábra):

(((( )))) I Y E V V j k

==== ++++ −−−−

6.3.9. A FOGYASZTÓK ÉS GENERÁTOROK KOMPLEX TELJESÍTMÉNYE

A fogyasztó P hatásos teljesítménye alatt értjük a fogyasztó teljesítményének középértékét

egész számú periódusid! alatt, a Q medd! teljesítmény alatt pedig annak a résznek azamplitúdóját, amely az energiacsere gyorsaságát írja le a fogyasztó és az áramkör többi elemeközött.

Az alapvet! különbség ellenére, a fogyasztó hatásos és medd! teljesítményét gyakran egykomplex kifejezésben egyesítjük, melyet a fogyasztó komplex teljesítményének ( S ) nevezünk.

S P jQ UI jUI UI e j==== ++++ ==== ++++ ====cos sinφφφφ φφφφ φφφφ

A komplex teljesítmény (S) abszolút értékét (S = UI ) a fogyasztó látszólagos

teljesítményének nevezzük.S UI ====

A fogyasztónak az így definiált komplex teljesítménye kifejezhet! a feszültség és áramkomplex effektív értékének segítségével is. Legyen:

U U e j==== θθθθ , I I e j==== ψ ψψ ψ .

Tudjuk, hogy ψ ψψ ψ θθθθ φφφφ==== −−−− , ahol φφφφ a feszültség és áram közti fáziskülönbség, ezértS U I ≠≠≠≠ , hanem:

S U I ==== *

ahol I * - az áram konjugált komplex értéke.

(((( )))) EY j

∑∑∑∑ - a j csomópontban összefutó ágak generátorai

e.m.e.-jének szorzata a megfelel! (agenerátorhoz tartozó) ág impedanciájával;azok a szorzatok, amelyeknél az e.m.e.referenciairánya a j csomópont felé mutat

pozitív el! jel"ek; j = 1,2,..., n

(((( )))) I s j

∑∑∑∑ - a j csomópontban összefutó ágakban

elhelyezked! áramgenerátorok áramainak összege; ha az I

s áram referenciairánya a j

csomópont felé mutat, akkor I s pozitív el! jel"; j = 1,2,..., n

6.22. ábra



Ha a fogyasztó csak impedanciájával írható le ( I Z U = , jX R Z += ), akkor:

S Z I I Z I RI jXI ==== ==== ==== ++++* 2 2 2

Összehasonlítva az utolsó két egyenletet látjuk, hogy a Z R jX ==== ++++ impedanciájúfogyasztó hatásos és medd! teljesítményét az az áram effektív értékének függvényében iskifejezhetjük. Ekkor a kifejezés a következ! alakot ölti:

P RI ==== 2 , Q XI ==== 2

Mindhárom (hatásos, medd! és látszólagos) teljesítmény mértékegysége a watt [W].Mégis, hogy különbséget tehessünk ezen teljesítmények között, a mértékegységeiket különböz!módon nevezték el. Így a hatásos teljesítmény mértékegységét wattnak [W], a medd!teljesítményét voltamper reaktívnak [VAr], a látszólagos teljesítmény mértékegységét pedigvoltampernek [VA] nevezzük. A VAr és VA számbelileg és dimenziójában is megegyezik awattokban kimutatott értékkel.

A feszültség- vagy áramgenerátor komplex teljesítményét a következ!képpen definiáltuk:S P jQ U I jU I U I e

g g g g g g g g g

j==== ++++ ==== ++++ ====cos ' sin ' 'φφφφ φφφφ φφφφ

A generátor komplex teljesítményének abszolút értéke, a generátor látszólagos

teljesítménye:S U I g g g====

A generátor komplex teljesítménye a komplex feszültség és az áram komplex effektívértékének függvényében:

S P jQ U I g g g g g

==== ++++ ==== *

6.3.10. ÁLTALÁNOS HÁLÓZATSZÁMÍTÁSI TÉTELEK

Az általános hálózatszámítási tételek mélyreható vizsgálata az egyenáramoknál található.Mivel formailag ugyanazokhoz a kifejezésekhez vezet a váltóáramokra alkalmazotthálózatszámítási tételek analízise is, itt csak a tételek leltárszer " felsorolására szorítkozunk.

6.3.10.1. A szuperpozíció elve

A hálózat bármelyik ágában az áramer !sség komplex effektív értéke egyenl! azoknak azáramer !sségeknek az összegével, melyeket a hálózatban lév! feszültség- és áramgenerátorok hoznának létre abban az ágban, ha egyenként m"ködnének.

6.3.10.2. A reciprocitás elve

Ha a j ágba kötött E e.m.e.-j" generátor a k ágban I er !sség" áramot hoz létre, akkor ez agenerátor a k ágba kötve a j ágban azonos I er !sség" áramot hozna létre.



6.3.10.3. Thévenin tétele

Bármely két kiválasztott pontja közötti ágra vagy ágrészre nézve, a váltóáramú hálózat úgyviselkedik mint egy valós feszültséggenerátor Eekv e.m.e.-vel és Zekv bels! impedanciával. Eekv

megegyezik a pontok közötti üresjárási feszültséggel (a vizsgált ágat kiiktatva számítjuk afeszültséget), Zekv pedig a két pont közti impedanciával (ha a feszültséggenerátorok feszültségeit

nullának tekintjük, az áramgenerátorokat pedig szakadással helyettesítjük).

6.3.10.4. Kompenzáció elve

Egy tetsz!leges áramkörben, a Z impedanciájú ágat (vagy egy részét), melyen keresztül I

áram folyik, kicserélhetjük ideális feszültséggenerátorra, E g = Z I e.m.e.-vel, ha a generátor referenciairánya megegyezik az impedancia magasabb potenciálú kapcsával. Ha I áramer !sség"ágban egy E g e.m.e.-j" feszültséggenerátor található melynek az e.m.e.-je ellenkez! irányításúmint I áram vonatkoztatási iránya, akkor kicserélhet! egy Z = E g / I impedanciájú elemmel.

6.3.10.5. A komplex és a pillanatnyi teljesítmény megmaradásának elve

A komplex teljesítmény megmaradásának elve a villamos hálózatokban egyszer " módonírható fel a következ! kifejezés segítségével:

S k

k

n g

====∑∑∑∑ ====

1

0

illetve, mivel S P jQ k k k==== ++++ , ezért:

P k k

n g

====∑∑∑∑ ====

1

0 és Q k k

n g

====∑∑∑∑ ====

1

0.

A pillanatnyi teljesítmény megmaradásra viszont az alábbi képlet írható fel:

p t k k

n g

( )====

∑∑∑∑ ====1

0.

6.3.11. FOGYASZTÓ GENERÁTORRA VALÓ HANGOLÁSA

A fogyasztó impedanciáját gyakran úgy kell megválasztanunk, hogy a hatásosteljesítménye a lehet! legnagyobb legyen. Itt fogjuk kivizsgálni, hogy melyek az elengedhetetlenfeltételei annak, hogy ezt elérjük és mely esetekben van értelme ezen feltételek teljesítésének.

Ha egy Z R jX p p p==== ++++ impedanciájú fogyasztónk Z R jX

g g g==== ++++ bels! impedanciájú

generátorra van kapcsolva (vagy egy összetett áramkör két vége közé, mely áramkör úgyviselkedik Thévenin elve szerint úgy viselkedik, mint egy reális feszültséggenerátor), az I áramáramer !sség a fogyasztón keresztül a következ!:

(((( )))) (((( )))) I

E

Z Z

E

R R j X X g p g p g p

====++++

====++++ ++++ ++++

,

a fogyasztó komplex teljesítménye:



S Z I R I jX I p p p p==== ==== ++++2 2 2 .

A fogyasztó hatásos teljesítménye:

(((( )))) (((( )))) P R I R

E

R R X X p p p

g p g p

==== ====++++ ++++ ++++

22

2 2 .

A fogyasztó hatásos teljesítménye két változó függvénye (az R p és az X p változóké),amelynek maximuma R p-re és X p-re a következ! egyenletek segítségével határozható meg:

(((( ))))∂∂∂∂

∂∂∂∂

P R X

R

p p p

p

,==== 0, illetve

(((( ))))∂∂∂∂

∂∂∂∂

P R X

X

p p p

p

,==== 0

A második egyenlet szerint X X p g==== −−−− , az els! szerint R R p g==== .

A Z R jX g g g==== ++++ bels! impedanciájú generátorra kapcsolt fogyasztó maximális hatásos

teljesítményének feltétele tehát:

Z Z R R X X p g p g p g==== ==== ==== −−−−*

, azaz é s

Ráhangolás esetén a fogyasztó hatásos teljesítménye:

P E

R p

g

====2

4

A generátor hatásos teljesítménye a komplex teljesítményének a valós részével egyenl!,

P EI g ==== Re * :

P E

R g

g

====2

2

A generátor hatásos teljesítménye kétszerese a fogyasztó hatásos teljesítményének (agenerátor energiájának fele magában a generátorban használódik el). Kis teljesítmény esetébenennek a veszteségnek nincs jelent!sége, viszont nagy teljesítménynél (az áramelosztó cégek esetében például) a ráhangolási feltételnek nincs értelme.1

6.3.12. A FOGYASZTÓK TELJESÍTMÉNYTÉNYEZ!JÉNEK FELJAVÍTÁSA

A fogyasztók teljesítménytényez! jének feljavítása alatt értjük a fogyasztóra való reaktív pótelemek kapcsolását, úgy, hogy az így kapott csoport (fogyasztó és pótelemek)

teljesítménytényez! je javuljon,azaz megn! jjön.

Valószín"leg a villamosmotorok a leggyakoribbfogyasztók, melyek a gyakorlatbanteljesítménytényez!-növelésreszorulnak. Sematikusan a motorok els! megközelítésben úgyábrázolhatók, mint egy ellenállás és

1 Ha a feltétel teljesülne, akkor a fogyasztó hatásos teljesítményével azonos nagyságú teljesítmény alakulna

át h!energiává a villamos hálózatban és magában a generátorban. Ráhangolás helyett arra törekszenek, hogy aveszteségek minél kisebbek legyenek mind a generátorban mind az elektromos hálózatban

6.23. ábra





u t Li t

t R i t M

i t

t A B1 1 11

1 12( )

( )( )

( )==== ++++ ++++

d

d

d

d

u t L

i t

t R i t M

i t

t A B2 2 22

2 21

( )

( )

( )

( )

==== ++++ ++++d

d

d

d

Az el!z! egyenletek komplex értelmezése a következ! alakot adja:U j L I R I j MI

A B1 1 1 1 1 1 2==== ++++ ++++ωωωω ωωωωU j L I R I j MI

A B2 2 2 2 2 2 1==== ++++ ++++ωωωω ωωωω

A csatolt tekercsek hatását pótgenerátorokkal helyettesíthetjük ( j MI ωωωω 2 , illetve j MI ωωωω 1

e.m.e.-vel jelölt generátorok a 6.24.b ábrán) az ágakban, melyek referenciairánya ellenkez ! , mintaz áram referenciairánya a megfelel! ágakban.

6.4.2. VILLAMOS TRANSZFORMÁTOR

A villamos energia gazdaságos szállítása vezetékek segítségével magas feszültségszintekentörténik. Ekkor, adott teljesítmény mellett az áramer !sség aránylag kicsi, és a Joule-veszteségek is kisebbek a vezetékekben. A fogyasztók számára viszont általában nem megfelel! a magasfeszültség (háztartási gépek). Ezért olyan berendezésekre van szükség, amelyek a feszültségetmegnövelik az energiatermelés színhelyén (a hosszú távvezetékekre kapcsolás el!tt), éslecsökkentik a szállítás végén, a fogyasztók közvetlen táplálása el!tt. A villamos energia

feszültségszintjének megváltoztatására a transzformátorok szolgálnak.A transzformátor általában vasmagból és két tekercsb!l áll (6.25. ábra). A primer tekercset

az adott feszültségre kötik, a szekunder tekercset pedig a fogyasztóra.A magot, az örvényáramok jelensége miatt, vékony, egymástól elszigetelt lemezekb!l

(alacsony frekvenciára) vagy ferritb!l készítik. A szórt fluxus állandóan jelen van, de eztegyenl!re elhanyagoljuk. Nem vesszük figyelembe a következ! veszteségeket sem: azörvényáramok által létrejött, az átmágnesezés miatt megjelen! (hiszterézis-veszteségek) és atekercsek saját ellenállása (tökéletes transzformátor ) következtében jelenlev! veszteségeket. Azelhanyagolás igazolására álljon itt az adat, hogy a valós transzformátorok veszteségei kisebbek 10%-tól, a nagytranszformátorok vesztesége pedig kb. 1-2%.

6.24. ábra



Vizsgáljuk meg a transzformátor m"ködését a következ! két esetben:

1. Vegyük el!ször az üresjárás esetét. Ekkor a szekunder végei nyitottak , azaz aszekunderen nem folyik áram ( i t2 0( ) ==== ). A primer tekercsen keresztül folyik bizonyosáram, i t1

0 ( ) ( mágnesezés árama vagy üresjárat árama ). Ha elhanyagoljuk a primer ellenállását ( R1), akkor felírhatjuk, hogy:

u t L i t t1 1

10

( ) ( )==== dd

Ez az áram ΦΦΦΦ j ( t) mágneses fluxust hoz létre a transzformátor magjában:

u t N t

t

j

1 1( )( )

====d

d

ΦΦΦΦ ,

ahol N 1 a primer tekercs meneteinek száma.Legyen a szekundernek N 2 számú menete, ΦΦΦΦ j azonos a primer és a szekunder meneteinkeresztül ( nincs szórt fluxus ), a szekundérben létrejöv! ( indukálódó ) e.m.e.:

−−−− −

−−−

==== N

t

t N

t

t

j j

2 2

d

d

d

d

ΦΦΦΦ ΦΦΦΦ( ) ( )

Mivel a szekunder tekercselésének iránya olyan, hogy a rajta áthaladó ΦΦΦΦ j ( t) fluxusnegatív, ezért a szekunder végei között feszültség van jelen:

u t N t

t

j

2 2( )( )

====d

d

ΦΦΦΦ

A primer és szekunder feszültségek arányba állításával megkapjuk a tekercsek végein jelenlév! feszültségek arányát, amit a tökéletes transzformátor els! alapegyenletének ishívnak:

u t

u t

N

N

1

2

1

2

( )

( ) ====

Az N N 1 2 arányt a transzformátor átviteli számának (áttételének ) nevezzük.

2. A szekunder végeire (terhel!) fogyasztó van kötve. Az egyszer "ség kedvéért legyen ezegy tiszta ohmikus ellenállás. A fogyasztón keresztül i t2 ( ) áram folyik, amely a magban

pótfluxust hoz létre, viszont, mivel a primer tekercs változatlanul az )(1 t u feszültségre

van kapcsolva (az )(1 t u -re felírt egyenlet továbbra is érvényben marad), ezért a fluxus a

magon keresztül nem változhat meg ! Amikor a fluxus a szekunder áram hatásáraváltozni kezd, a primeren i t1

0 ( )-t!l nagyobb áram jelentkezik, melynek fluxusa pontmegsemmisíti az i t2 ( ) áram fluxusát. A transzformátornál az energiaátvitel a primer

tekercst ! l a szekunder felé a transzformátor magjában keletkez! id! ben változó

6.25. ábra



mágneses tér és az !t követ! (és a transzformátor magja körül jelen lév!) indukált,id! ben változó elektromos tér segítségével2 valósul meg.

Mivel elhanyagoljuk a szórt fluxust, a primer pótáramától ( i t1' ( )) származó fluxusarányos az N i t1 1' ( ) szorzattal, a szekunder áramától származó fluxus pedig az N i t2 2 ( )szorzattal. Ez a két fluxus azonos intenzitású, de ellentétes irányú:

N i t N i t2 2 1 1( ) ' ( )==== ,vagyis:

i t

i t

N

N

1

2

2

1

' ( )

( ) ==== .

Általában a pótáram ( i t1' ( )) sokkal nagyobb intenzitású (er !sség"), mint a mágnesezésárama ( i t1

0 ( )), ezért a primer össz árama megközelít!en egyenl! a pótárammal:i t i t i t i t1 1

01 1( ) ( ) ' ( ) ' ( )==== ++++ ≈≈≈≈ .

Így a tökéletes transzformátorra felírható, hogy:i t

i t

N

N

1

2

2

1

( )

( ) ≈≈≈≈ .

Az eddigi fejtegetés a primer oldal tetsz!leges feszültségalakjára vonatkozott, vagyis a primerfeszültség tetsz!leges változására az id! ben. A továbbiakban sinusos változásúfeszültségek és áramok esetében fogjuk vizsgálni a transzformátor m"ködését, azaz lineárisüzemmódban.

A 6.26. ábrán az áram és a feszültség referenciairányait úgy jelöltük meg, mintha a primer oldal lenne a fogyasztó, a szekunder oldal pedig a generátor. A kölcsönös indukció el! jelének meghatározására szolgáló pontoknak, és a 6.26.b ábrán feltüntetett áramok referenciairányainak alapján a kölcsönös indukció-együttható értéke negatív lesz. Tehát az egyenletekben M <<<< 0érvényes.

A transzformátor alapegyenletei a 6.26b ábrán látható helyettesít! kapcsolás alapján:

U Z I Z I 1 11 1 12 2==== −−−−U Z I Z I 2 21 1 22 2==== −−−−

Ezekben az egyenletekben: Z R j L11 1 1==== ++++ ωωωω , Z R j L22 2 2==== ++++ ωωωω , Z Z j M 12 21==== ==== ωωωω .

2 A primer és szekunder menetei abban az elektromos térben vannak, mely a bennük folyó áramoktól szár-

mazik, de az Amperáramokkal ekvivalens felületi áramoktól is, melyek a mag felületén jelen vannak . Ezt azelektromos teret nehéz meghatározni, ezért az indukált e.m.e.-t a magon áthaladó fluxuson keresztül határozzuk meg

6.26. ábra



6.4.2.1. A transzformátort helyettesít" Thèvenin-generátor

Lineáris üzemmódot feltételezve határozzuk meg Thèvenin ekvivalens generátorát,amellyel a transzformátort helyettesíthetjük a szekunder kivezetéseihez képest. Thèveninekvivalens generátorának e.m.e.-je egyenl! a szekunder üresjárási feszültségével. Atranszformátor alapegyenleteinek alapján:

(((( )))) E U Z I ZU

Z

j M

Z U

I ekv üresjá ratban==== ==== ==== ====

====2 0 21 1 211

11 111

2( )ωωωω

Thèvenin ekvivalens generátorának bels! impedanciája egyenl! a 2 és 2' pontok köztiimpedanciával, ha a generátorok ki vannak kapcsolva az áramkörben, azaz 01 =U . Ebben azesetben, ugyancsak a transzformátor alapegyenleteib!l, a következ!t kapjuk:

ZU

I Z

Z

Z

Z Z Z

ZU

ekv ====−−−−

==== −−−− ====

−−−−

====

2

2 0

22122

11

11 22 122

111

Ennek alapján a szekunder végein jelenlév! feszültséget a következ! alakban írhatjuk fel:

211

2122211

111

22 I Z

Z Z Z U

Z

M j" I Z E U ekvekv

−−=−=

6.4.2.2. A transzformátor bemen" impedanciája

Ha a szekunder kivezetéseire Z p

impedanciájú terhel! fogyasztót kötünk, akkor:

22 I Z U U p p == . A transzformátor második alapegyenlete ekkor a következ! alakot veszi fel: Z I Z I Z I

p 2 21 1 22 2==== −−−− ,

vagyis:

(((( ))))0 21 1 22 2==== −−−− ++++ Z I Z Z I p

.

Ebb!l aztán az I 2 kifejezve:

I Z

Z Z I

p

221

221====

++++ .

I 2-t behelyettesítve a transzformátor alapegyenleteinek els! egyenletébe a következ!t

kapjuk:1

22

112121122

122

212

1111 I Z Z

Z Z Z Z Z I

Z Z

Z I Z U

p

p

p ++−

=+

−= .

Tehát a transzformátor bemen! impedanciája:

p

p

Z Z

Z Z Z Z Z

I

U Z

++−

==22

112121122

1

1 be



6.4.2.3. Ideális transzformátor

Az ideális transzformátor egy olyan elképzelt transzformátor, mely a következ!tulajdonságokkal rendelkezik (az ideális transzformátor feltételei):

1. ) R R1 2 0==== ==== (azaz Z j L11 1==== ωωωω , Z j L22 2==== ωωωω ),

pontosabban szólva 11 L R ω << és 22 L R ω << , vagyis 111 L j Z ω ≈ , és 222 L j Z ω ≈ .Ez szavakkal annyit jelent, hogy a veszteségek (az ellenállások) elhanyagolhatók).

2. ) M L L==== 1 2 (azaz a csatolási tényez! k = 1), pontosítva a feltételt k # 1, ami a csatolás szoros voltára utal.

3. ) L L1 2, →→→→ ∞∞∞∞ (azaz a primer és szekunder tekercsének nagyon nagyszámú menete van, így a fluxus a transzformátor magjábannullához tart),

pontosítva és más szavakkal: a tekercsek reaktanciája sokkal nagyobb, mint a

transzformátorokhoz csatlakozó (terhel!) impedanciák reaktanciája (látszólagosellenállása).

Ezek a feltételek nem valósíthatók meg teljes mértékben az elektrotechnikai gyakorlatban. Nagytranszformátorok esetében viszont az 1.) és 2.) feltételek jó közelítéssel kielégítettek (azilyen transzformátorokat nevezzük tökéletes transzformátoroknak ).

A nagy teljesítmény" transzformátoroknál:- a tekercsek hatásos ellenállása 0,01Ω nagyságrend",- a tekercsek medd! ellenállása 100Ω nagyságrend",- a csatolási tényez! k = 0,99.Mikor a második feltétel teljesül ( k = 1, illetve k # 1), akkor L1 arányos N 1

2-el, L2 arányos

N 22

-el és M arányos az N N 1 2 szorzattal (azonos arányossági tényez!vel). Jelöljük az arányosságitényez!t Lmen -el ( Lmen - a tekercs egy menetének önindukciós együtthatóját jelenti), ekkor:

L L N 1 12≈≈≈≈ men , L L N 2 2

2≈≈≈≈ men , M L N N ≈≈≈≈ men 1 2 .

Ebben az esetben a szekunder oldal üresjárati feszültsége a

(((( ))))U Z I ZU

Z

j M

j LU

j L N N

j L N U

N

N U

I 2 0 21 1 211

11 11

1 2

12 1

2

11

2üresjá ratban

men

men( )====

≈≈≈≈ ==== ==== ==== ====ωωωωωωωω

ωωωωωωωω

,

kifejezés írja le, vagyis:

(((( ))))U

U N N

1

2

1

2üresjá ratban

≈≈≈≈

illetve eljutottunk az ideális (tökéletes) transzformátor els! alapegyenletéhez. Ez akifejezés alkalmazható a jómin!ség" ferromágneses maggal rendelkez! valós transzformátornális.

A második feltétel ( k = 1, illetve k # 1) teljesülése miatt Z Z Z11 22 122 0−−−− ≈≈≈≈ , ezért a

transzformátor bemeneti impedanciája:

Z Z j L

j L Z

p

p

be ====

++++

ωωωω

ωωωω

1

2

.



Ez a kifejezés, az el! bbihez hasonlóan, jól alkalmazható a min!séges ferromágnesesmaggal ellátott valós transzformátorokra is.

Az ideális transzformátorra (6.27. ábra) az els! és második feltétel mellett a harmadik feltétel is teljesül, ezért a Thévenin ekvivalens generátorának meghatározásakor felírt szekunder

feszültség kifejezése tovább egyszer "sül (hiszen 02122211 =− Z Z Z ):

U

j M

j L U

N

N U 21

12

11==== ====

ωωωωωωωω ,

vagyis:U

U

N

N

1

2

1

2

==== .

Vegyük észre, hogy itt nem azüresjárási feszültség szerepel a kifejezésben.

Figyelembe véve, hogy a terhel!

impedanciára érvényes a Z Z p

<<<<<<<< 22

feltétel, a transzformátor második

alapegyenletéb!l következik, hogy: I

I

N

N

1

2

2

1

====

Az ideális transzformátor bemen!

impedanciája figyelembe véve, hogy Z Z p22 >>>>>>>> és a (((( )))) Z Z N N 11 22 1 2

2==== helyettesítést

alkalmazva:

Z N

N Z n Z

p p be ====

====1

2

2

2

ahol n N N ==== 1 2 a transzformátor áttétele (átviteli száma).

6.4.2.4. A transzformátor általános helyettesít" sémája

A valós transzformátor többfajta helyettesít! sémával ábrázolható (T-séma, vagy másnevén T-tag, $-séma vagy $-tag) A helyettesítés lényege abban van, hogy a helyettesít!vázlatra (sémára) felírt alapegyenletek, valamint a bemeneti és kimeneti karakterisztikák megegyezzenek a helyettesítetttranszformátor megfelel! ismérveivel.Gyakran használatos a 6.28. ábrán

bemutatott helyettesít! séma is, amely egynégypólust és egy m átvitellel bíró ideálistranszformátort tartalmaz (általánosesetben m nem egyenl! az eredeti(helyettesített transzformátor áttételével,

n-nel).Az ideális transzformátor egyenletei:

U U

m22===='

,

I mI 2 2==== ' .

A téglalappal ábrázolt áramkör (négypólus) egyenletei viszont:U Z I Z I 1 11 1 12 2==== −−−− ' ' ,

6.27. ábra

6.28. ábra



'2

'221

'212 I Z I Z U −=

Behelyettesítéssel a következ! egyenleteket kapjuk:

2

'12

1111 I m

Z I Z U −= ,

22

'22

1

'21

2 I

m

Z I

m

Z U

−=

Ezen egyenletek összehasonlítása a transzformátor alapegyenleteivel a következ!kifejezéseket adja a négypólus paramétereire:

Z Z mZ12 21 12' '==== ==== , Z m Z22

222

' ==== .Az így, karakterisztikáiban megkapott négypólus aztán tovább helyettesíthet! akár T, akár

$-taggal.

6.4.2.5.

Autotranszformátor

Az autotranszformátor a transzformátor különleges fajtája egy tekerccsel éscsúszóérintkez!vel (6.29.a ábra). Az autotranszformátor helyettesít! vázlata a 6.29.b ábránlátható.

A 6.29.b ábrán látható séma szerint az autotranszformátor egyenletei a következ!k ( azábráról jól látható, hogy M > 0):

( ) ( )( ) ( ) 12121221111 I M j I I M j I I L j R I L j RU ω ω ω ω +−+−+++=( )( )212212 I I L j R I M jU −++= ω ω

Rendezés után az egyenletek a következ! alakot kapják:

( )[ ] ( )[ ] 222121211 2 I M L j R I M L L j R RU ++−++++= ω ω

( )[ ] ( ) 2221222 I L j R I M L j RU ω ω +−++=

Ha a következ! helyettesítéseket alkalmazzuk:

(((( )))) Z R R j L L M 11 1 2 1 2 2==== ++++ ++++ ++++ ++++ωωωω ,

(((( )))) Z R j L M 12 2 2==== ++++ ++++ωωωω , Z R j L22 2 2==== ++++ ωωωω ,

akkor a fenti egyenletek a transzformátor alapegyenleteit adják.

6.29. ábra



Az autótranszformátorokat általában ferromágneses maggal készítik, ezért M L L≅≅≅≅ 1 2 ésa tekercsek hatásos ellenállása elhanyagolható a medd! ellenállásukhoz képest. Ebben azesetben:

(((( )))) (((( )))) Z j L L M j L L L L11 1 2 1 2 1 22 2≅≅≅≅ ++++ ++++ ≅≅≅≅ ++++ ++++ωωωω ωωωω ,

(((( )))) Z j L L L12 2 1 2≅≅≅≅ ++++ωωωω , Z j L22 2≅≅≅≅ ωωωω .

Mivel ekkor L L N 1 12==== men és L L N 2 2

2==== men , ezért:

(((( )))) Z j L N N j L N 11 1 2

2 2≅≅≅≅ ++++ ≅≅≅≅ωωωω ωωωωmen men ,

(((( )))) Z j L N N N j L N N 12 22

1 2 2≅≅≅≅ ++++ ≅≅≅≅ωωωω ωωωωmen men ,

Z j L N 22 22≅≅≅≅ ωωωω men .

Amennyiben ezeket az értékeket behelyettesítjük a 6.4.2.1. pontban levezetett Thèveninekvivalens generátorának e.m.e.-jének képletébe, akkor a következ!t kapjuk az átviteli szám(áttétel) értékére:

U U

Z Z

N N

I

1

2 0

11

12 22

≅≅≅≅ ====

====

A csúszó érintkez! elmozdításával tehát az autotranszformátor áttétele ( n N N ==== 2 ) szélestartományban mozog. Ha elhanyagoljuk a szórt fluxust és a mágnesezési áramot a tekercsenkeresztül, akkor az áramer !sségek aránya a primer és a szekunder tekercs kivezetéseinmegközelít!leg az:

I

I

N

N

1

2

2≅≅≅≅

értéket adják.

6.4.3. REZG!KÖRÖK

6.4.3.1. Egyszer# (soros) rezg"kör

Egyszer " rezg!kör alatt ellenállás, kondenzátor és tekercs soros kapcsolását értjük (6.30.ábra). Az ilyen kapcsolást gyakran soros rezg ! körnek is nevezzük.

Ismert R, C és L értékekrevalamint a gerjesztés( 0 jeU U = ) ismeretében az érdekel bennünket, hogy

miként változik az I áramer !sség és az RU , C U meg

LU , feszültségek, ha változik a gerjesztés

körfrekvenciája (ωωωω). Az áram komplex effektívértéke:

I U

Z

U

Z e

U

Z e j

j==== ==== ==== −−−−

φφφφφφφφ

Z impedancia abszolút értéke ( Z) és argumentuma (φφφφ) a következ! kifejezések általszámítható ki:

Z R LC ==== ++++ −−−−

2

21

ωωωω ωωωω,

6.30. ábra



φφφφωωωω

ωωωω====−−−−

arctan L

C

R

1

,

aminek alapján az áramkörben folyó áram effektív értéke:

I U

Z

U

R LC

==== ====

++++ −−−− 2

21

ωωωω ωωωω

,

a feszültség és az áram közti fáziskülönbség pedig:θθθθ ψ ψψ ψ φφφφ φφφφ−−−− ==== −−−− −−−− ====0 ( ) .

Mivel az áram komplex effektív értékének I I e j==== ψ ψψ ψ az alakja, összehasonlítva ez utóbbikifejezést a 6.30. ábrán lev! rezg!kör áramára felírt kifejezéssel, azt kapjuk, hogy ψ ψψ ψ φφφφ==== −−−− . Azáram effektív értékenek és kezd!fázisának körfrekvencia-függése a 6.31. ábrán látható.

Az áramkörön keresztül az áramlegnagyobb effektív értéke akövetkez! körfrekvencián van (azáram effektív értékének kifejezéséb!l):

ωωωωωωωω0

0

10 L

C −−−− ==== ,

melyb!l:

ωωωω0

1====

LC .

Ezen a körfrekvenciánál a legnagyobb az áram effektív értéke ( I U R==== ) az áramkörben.Az ωωωω0 körfrekvenciát, melynél rezonancia jön létre rezonáns körfrekvenciának nevezzük. ωωωω0

körfrekvenciánál az áram és feszültség fáziskülönbsége egyenl! nullával. A rezonáns

körfrekvencia alatti körfrekvenciákon a soros rezg!kör kapacitív, felette pedig induktív jelleg".Mivel

ωωωω ππππ

ππππ00

0

22==== ====

T f ,

ezért:

f LC

0

1

2====

ππππ.

Az f 0 frekvenciát rezonanciafrekvenciának illetve sajátfrekvenciának nevezzük.Határozzuk meg a feszültség komplex effektív értékét az ellenálláson, a kondenzátoron és

a tekercsen, rezonáns körfrekvencián:U RI U

R ==== ==== ,

U jX I jC

U

RC C ==== ==== −−−−1

0ωωωω ,

U jX I j LU

R L L==== ==== ωωωω0 .

A kondenzátor és tekercs végei között tehát afeszültségek nem egyenl!ek nullával (mint ahogy az afenti egyenlet-hármas els! egyenletéb!l els! pillanatbant"nik), viszont e két feszültség összege valóban nullávalegyenl! (6.32. ábra). Ezért ezt a fajta rezonanciát gyakran

feszültség rezonanciának is nevezzük.A 6.32. ábra az egyszer " rezg!kör feszültségeinek

6.31. ábra



A kondenzátor és tekercs végei közti feszültségek lehetnek nagyobbak, s!t sokkalnagyobbak U feszültségt!l, melyre az áramkört kapcsoltuk. LU és U

C értékeit ebben az esetben

túlfeszültségnek nevezzük.Ha a rezg!kör nem a rezonanciafrekvencián m"ködik, akkor felírhatjuk, hogy:

ωωωω

ωωωω

ωωωω ωωωω

ωωωω ωωωωωωωω

ωωωω ωωωω

ωωωω

ωωωω

ωωωω

L

C

L

LC

L−−−− ==== −−−−

==== −−−−

1 1

0

0 0

0

0

0

A zárójelben lév! kifejezés az el!z! egyenletben a rezg!kör lehangoltságának adefiníciója:

r ==== −−−−ωωωω

ωωωωωωωωωωωω0

0 .

Így az impedancia abszolút értékét és argumentumát a rezg!kör lehangoltságának függvényében a következ! alakban írhatjuk fel:

Z

R

L

R r==== ++++

1 0

2ωωωω

és φφφφ ωωωω====

arctan 0 L

R r .

A rezg!kör egyik jellemz! nagysága asávszélesség. Ha az ω=ω0, akkor az áramer !sség akörben maximális. Legyen ω1 és ω2 az a két

körfrekvenciaamelyen az áramer !sség 2 -ed részea maximális áramer !sségének. Másszóval asávszélesség az a körfrekvencia-intervallum,

amelynek határain az áramer !sség 2 -ed része amaximális áramer !sségének (amely az ω=ω0

körfrekvencián mérhet! a soros rezg!körben).

A 6.33. ábra alapján I I ωωωω ωωωω==== 0 2 , azaz I I ωωωω ωωωω0

2==== , és tudjuk, hogy:

I U

Rωωωω 0

====

és

I U

R LC

U

Zωωωω

ωωωωωωωω

====

++++ −−−−

====2

21

.

Tehát az

I

I

U RU

Z

Z

R

L

R r

ωωωω

ωωωω

ωωωω0 1 0

2

==== ==== ==== ++++

kifejezésb!l az hámozható ki, hogy a körfrekvenciák, melyek a rezg!kör sávszélességéthatározzák meg, a következ! egyenletb!l számíthatók ki:

ωωωω ωωωω ωωωωωωωω

ωωωωωωωω

0 0

0

0 1 L

R r

L

R==== −−−−

==== ±±±±

Szemmel látható, hogy a sávszélesség függ az ωωωω 0 L R hányadostól. Amennyiben ennek atényez!nek az értéke nagyobb, a rezg!kör sávszélessége kisebb és fordítva. A gyakorlatban a

6.33. ábra



keskeny sávszélesség" rezg!körök el!állítására törekednek, az ωωωω 0 L R hányados pedig arezg!kör jósági tényez ! je néven ismert. Általában Q-val szokás jelölni:

Q L

R====

ωωωω 0

Amennyiben megoldjuk a

10

0

±=

−

ω

ω

ω

ω Q

egyenletet, amely mint látjuk másodfokú egyenletω szerint, a következ! gyököket kapjuk:

20

124

11

2 QQ ⋅++

⋅±= ω

ω

Innen aztán könnyen írható az összefüggés arezg!kör sávszélessége ω ∆ és jósági tényez! je

(Q) között: Ezt az összefüggést szemléltetigrafikusan a 6.34. ábra.

Q

021

ω

ω ω ω =−=∆

6.4.3.2. Párhuzamos rezg"kör

Egyszer " antirezg!kör (vegyes párhuzamos rezg!kör) alatt ideális kondenzátor és valós

tekercs párhuzamos kapcsolását értjük. Az ilyen kapcsolást gyakran (vegyes) párhuzamosrezg ! körnek is nevezzük. Mivel minden valós induktív tekercsnek bizonyos ellenállása is van,ezért a 6.35. ábrán látható valós antirezg!kört fogjuk kivizsgálni.

Határozzuk meg a közös ág áramának ( I ) komplexeffektív értékét:

I U

Z AB

==== ,

ahol Z AB

az A és B pont közti ered! impedancia. A 6.35.

ábra szerint:

(((( ))))

1 12 2

Z R j L j C R j L

R L j C AB

==== ++++ ++++ ==== −−−−

++++ ++++ωωωω ωωωω ωωωω

ωωωω ωωωω

Az esetek többségében R L<<<<<<<< ωωωω , tehát az el!z! egyenlet a következ!képpen alakul:

(((( ))))

1 12

Z

R

L j C

L AB

≈≈≈≈ ++++ −−−−

ωωωω ωωωω

ωωωω .

Ennek az egyenletnek a jobb oldala akkor valós, ha 1 ωωωω ωωωω L C ==== , vagyis ha U feszültségkörfrekvenciája:

ωωωω 0

1====

LC

.

6.34. ábra

6.35. ábra



Ezt a körfrekvenciát a megfigyelt párhuzamos rezg!kör antirezonáns körfrekvenciájának

nevezzük. Magát a jelenséget, vagyis a párhuzamos rezg!kör m"ködését az ω0 frekvenciánantirezonanciának nevezzük. Ilyenkor a közös ág áramának er !ssége megközelít!en minimális(ellentétben a rezonancia esetével, mikor az áramer !sség maximális). Az antirezonanciátgyakran áram rezonanciának is nevezzük.

Az áram komplex effektív értéke antirezonancia esetében:

(((( )))) I U R

L====

ωωωω2 .

Az el!z! egyenlet alapján megállapíthatjuk, hogy antirezonanciánál a tekercs ágának ellenállását (a vegyes párhuzamos rezg!kör ellenállását) leképezhetjük párhuzamosan kötöttellenállásba az áramkörben (6.36. ábra):

R L

R p ====

ωωωω 02 2

.

Az így kapott rezg!kört (az R pellenálással rendelkez!t a 6.36. ábra jobboldalán) tiszta párhuzamos rezg!körnek ishívják. A vegyes párhuzamos rezg!kör

admittancia egyenletében az (((( )))) R Lωωωω 0

2

hányadost G R p p==== 1 -vel helyettesítve az

admittancia-kifejezés alakja:

Y Z

G j C L

p==== ==== ++++ −−−−

1 1ωωωω

ωωωω.

Hangsúlyozni kell azonban, hogy az összes további kifejezés, amelyben G p vagy R pszerepel csupán az antirezonanáns körfrekvencia közelében érvényes, továbbá azt is tudni kell,

hogy az R L

R p ====

ωωωω 02 2

helyettesítés csak az R p >> %L, továbbá R << %L feltételek érvényessége

mellett jogos (természetesen csak az %0 közelében) Ezután felírhatjuk a feszültség effektívértékét (amib!l a látszólagos - az impedancia abszolút értéke olvasható ki) és a ϕ kezd!fázist(ami nem más, mint az impedancia szöge: tudjuk azonban azt is, hogy a ϕ =ϕY ):

U I

Y

I

G C

L

p

==== ====

++++ −−−−

2

21

ωωωω

ωωωω

,

θθθθ ψ ψψ ψ φφφφ−−−− ==== , vagyis

φφφφωωωω

ωωωω==== −−−−−−−−

arctanC

LG p

1

(((( ))))ωωωω ωωωω≈≈≈≈ 0 .

Ezek az egyenletek azonosak mint a soros rezg!kör esetében kapott egyenletek, csak afeszültség és az áram felcserélte a helyét és impedancia helyett itt admittanciánk van. Az utóbbikifejezésb!l az is kiderül, hogy az antirezonáns körfrekvencia alatti körfrekvenciákon (ω<ω0) a

párhuzamos rezg!kör induktív, felette(ω>ω0) pedig kapacitív jelleg".

Ha a tiszta párhuzamos rezg!kör nem az antirezonáns körfrekvencián, hanem annak közelében dolgozik, akkor felírhatjuk, hogy:

6.36. ábra



ωωωωωωωω

ωωωω ωωωω

ωωωω ωωωωωωωω ωωωω

ωωωωωωωω

ωωωωωωωω

C L

C LC

C −−−− ==== −−−−

==== −−−−

1 10

0 00

0

0

ahol a zárójelben lév! kifejezés a soros rezg!körnél megismert lehangoltságot képviseli. Azadmittancia felírva a rezg!kör lehangoltságának függvényében, a lehangoltság (r) jele mellettfelfedezhetjük a tiszta párhuzamos rezg!kör jósági tényez! jét:

Y

G

C

G r

p p

==== ++++

1 0

2

ωωωω .

A tiszta párhuzamos rezg!kör (egyszer " antirezg!kör) jósági tényez! je tehát:

Q C

G p

==== ωωωω 0 .

Mivel (((( ))))ωωωω ωωωω0 01C L==== és (((( ))))G R R L p p==== ====1 0

2ωωωω , ezért a jósági tényez!t felírhatjuk a

vegyes párhuzamos rezg!kör elemeinek a függvényében is. A jósági tényez! így a soros

rezg!körnél megismert alakot veszi fel:

Q C L

R

L

R==== ====

ωωωω ωωωω ωωωω0 02 2

0 .

A jósági tényez! értéke, általánosan szólva (a rezg!körök esetében), hozzávet!legesen azta rezgésszámot jelenti, amelyet a magárahagyott rezg!kör még képes elvégezni. A sávszélességszámításának kiinduló egyenlete, itt a párhuzamos rezg!kör esetében teljesen megegyezik asoros rezg!körnél megismert egyenlettel, így az eredmény sem lehet más. A jósági tényez! és asávszélesség viszonyát ezek szerint a soros rezg!körnél megismert összefüggés adja:

Q

0

21

ω

ω ω ω

=−=∆ .



6.5. Háromfázisú rendszerek

6.5.1. ÁLTALÁNOS FOGALMAK A POLIFÁZISÚ RENDSZEREKR !L

Eddig olyan áramkörökkel foglalkoztunk, amelyekben csak két kivezetés! (két pólusú)

generátorok szerepeltek. Az elektrotechnikában, f "leg az energetikában gyakran többkivezetés!generátorokat használnak. Az ilyen generátort úgy képzeljük el, hogy a semleges kivezetése

mellett (mely általában földelve van) még m számú kivezetése van (6.37. ábra), melyek egy

pillanatban más és más potenciálon vannak. Azokat a váltakozó feszültség! generátorokat,

melyeknek több kivezetése van többfázisú

illetve polifázisú generátoroknak nevezzük.

Az N -nel jelölt kivezetés a nulla vagy

semleges kivezetés. Az A, B, C ,..., M -mel jelölt

kivezetéseket röviden fázisoknak nevezzük, a

feszültség frekvenciája minden fázis esetén

egyforma. Az U A, U B,..., U M -mel jelölt

feszültségek a fázisfeszültségek . Az U AB,

U BC ,..., U MA-val jelölt feszültségek a

vonalfeszültségek illetve összetett feszültségek .

U B és U A, U C és U B stb. fázisfeszültségek

közti fáziskülönbség egyforma és −−−−2ππππ m -mel

egyenl" ( m a fázisok száma), a feszültségek

amplitúdója pedig azonos nagyságú. Az ilyen

generátorokat szimmetrikus polifázisú

generátoroknak nevezzük.

A polifázisú rendszer fázisai

(fázisfeszültségei):

U U e A A

j==== 0 , U U e B A

j m====

−−−−

2ππππ

, U U eC A

j m====

−−−− ⋅⋅⋅⋅

2 2ππππ

, ... ,(((( ))))

U U e M A

j m

m

==== −−−− −−−−

21

ππππ

A fázisfeszültségek vektorai egymástól 2ππππ m szöggel térnek el. Az el"z" kifejezésekb"l

lesz!rhet", hogy:

0... =++++ M C B A U U U U

A vonalfeszültségek ekkor a következ" kifejezésekkel adottak:

U U U U e AB A B A

j m==== −−−− ==== −−−−

−−−−1

2ππππ

U U U U e BC B C B j m==== −−−− ==== −−−−

−−−−1

2ππππ

...........

U U U U e MA M A M

j m==== −−−− ==== −−−−

−−−−1

2ππππ

A monofázisú fogyasztókat kapcsolhatjuk fázis- vagy vonalfeszültségre. Gyakran viszont a

fogyasztókat is m kivezetéssel és a semleges kivezetéssel gyártják. Az ilyen fogyasztókat

polifázisú fogyasztóknak nevezzük.

Az olyan hálózatokat, melyekbe polifázisú generátorok és fogyasztók vannak kapcsolva

polifázisú hálózatoknak nevezzük. A polifázisú rendszerek közül a háromfázisú rendszerekethasználják leggyakrabban. A polifázisú rendszereket, az elektromos energia szállítására, Nikola

Tesla fedezte fel és 1887 - 1888.-ban szabadalmaztatta.

6.37. ábra



6.5.2. ÁLTALÁNOS FOGALMAK A HÁROMFÁZISÚ GENERÁTOROKRÓL

A háromfázisú feszültségek el"állítására háromfázisú forgó generátorokat használnak,

melyek csak annyiban különböznek a monofázisú forgó generátoroktól, hogy az állórész

vájataiban egy tekercs helyett három tekercs van (6.38. ábra). A forgórész egy mágnes (általában

elektromágnes, melyet csúszó érintkez"kön keresztül táplálnak id" ben állandó feszültséggel),

mely forgása közben az állórész tekercseiben feszültségeket indukál. Az állórészben indukáltfeszültségek azonos amplitúdójúak, fázisuk pedig −−−−2 3ππππ -mal van eltolódva.

Ha E-vel jelöljük a tekercsekben indukált feszültségk

(e.m.e.-k) effektív értékét, akkor E A, E B és EC (6.39. ábra)

komplex effektív értéke:

E E e A

j==== 0 ,

E E e B

j

==== −−−−

2

3

ππππ

,

E E eC

j

==== −−−−

4

3

ππππ

.

A háromfázisú generátornak elvben hat kivezetéselehetne (ennyi kivezetése van a három tekercsnek), hogy

ezután hat vezeték segítségével kössük a különböz"

fogyasztókat a generátorra. A gyakorlatban viszont ezek közül

néhányat rövidre zárnak már a generátorban, vagy rögtön a

kivezetéseknél, úgyhogy a generátorból csak három vagy négy

vezetéket kell kivezetni.

A háromfázisú generátor tekercseit leggyakrabban

csillagba kötik (6.40. ábra). A három tekercs közös pontját,

mely N -nel van megjelölve, csillagpontnak nevezzük. A

csillagpontra kapcsolt vezet"t nullvezetéknek vagy nullának

nevezzük. A többi három vezet"t fázisvezetéknek vagy fázisnak nevezzük. A fázisokat A, B és C -vel jelöljük, így a

fázisfeszültségek:

U U e A f

j==== 0 , U U e B f

j

==== −−−−

2

3

ππππ

, U U eC f

j

==== −−−−

4

3

ππππ

A vonalfeszültségek:

U U U AB A B==== −−−− , U U U BC B C ==== −−−− , U U U CA C A==== −−−−

Határozzuk meg, hogy mekkora az U vonalfeszültségek effektív értéke az U f fázisfeszültségek

effektív értékéhez viszonyítva a 6.41.ábra alapján:

6.38. ábra

6.39. ábra

6.40. ábra



U

U

AB

A

26

==== cos ππππ

,

U

U f

26

==== cos ππππ

,U

U f 2 6

==== cos ππππ

U U f ==== 23

2 , vagyis

U U f ==== 3

A városi elektromos hálózat esetében a

fázisfeszültségek effektív értéke 220V, az ennek

megfelel" vonalfeszültség 380V. A szimmetrikus

háromfázisú hálózat nominális feszültsége alatt az U

vonalfeszültség effektív értékét értjük. A városi háromfázisú elektromos hálózat névleges

(nominális) feszültsége tehát 380V.

Nagyon ritkán a háromfázisú generátor tekercseit háromszögbe kötik, mint a 6.42. ábrán

látható. Az ilyen kötés f " hiányossága, hogy nem teszi lehet"vé mindegyik tekercs egyik

végének földelését. A vonalfeszültségek ilyen kötés esetén egyenl"

ek a tekercsek végei köztifeszültségekkel. Mivel nullvezeték nincsen, ezért a fázisfeszültségeket nem lehet definiálni.

6.5.3. A FOGYASZTÓK HÁROMFÁZISÚ GENERÁTORRA VALÓKAPCSOLÁSA

Az alacsonyfeszültség! háromfázisú vezetéknek négy vezetéke van (három fázis vezeték és

a nullvezeték), míg a magasfeszültség!

háromfázisú távvezetéknek csak három fázis vezetékevan (6.43.a ábra).

Minden vezetéknek van saját impedanciája, mely a vezet"k közti kölcsönös indukciótól

függ. Mivel a vezetékek nem szimmetrikusan vannak felhelyezve, az impedanciák nem lennének

egyformák, ha a vezetékek az egész távvezeték hosszában egyformán helyezkednének el. A

generátor mindhárom fázisának szimmetrikus terhelése érdekében a háromfázisú távvezetéknek

is szimmetrikusnak kell lennie, azaz mindhárom fázisvezetéknek azonos impedanciával kell,

hogy rendelkezzen. Ezt a gyakorlatban úgyérik el, hogy a vezetékeket, hozzávet"legesen azonos

távolságokon keresztezik (6.43.b ábra).

Az áramer "sség a fogyasztón keresztül attól függ, hogy fázis- vagy vonalfeszültségre

kötjük-e a fogyasztót (a 220V fázisfeszültségre el"irányozott ég" kiég, ha a 380V-os

vonalfeszültségre kapcsoljuk).

6.41. ábra

6.42. ábra



A fogyasztó háromfázisú rendszerre való kapcsolásának módja több tényez"t"l függ.

Legfontosabb tényez" a fogyasztó teljesítménye. Ha a fogyasztó kis teljesítmény!, akkor

fázisfeszültségre kötjük, ha nagy teljesítmény! és fázisfeszültségre kötjük, akkor az áramer "sség

a vezetékeken nagy lesz, így a veszteségek is jelent"sek. A nagyteljesítmény! fogyasztókat

három illetve négy kivezetéssel készülnek (háromfázisú fogyasztók ). A fogyasztók háromfázisú

táplálási rendszerre való kapcsolásának példái a 6.44. ábrán találhatók

Habár a nullvezeték földelve van, általában mégis valamilyen potenciálon van a földhöz

viszonyítva (ha áram folyik rajta keresztül, akkor feszültség is jelen van a földhöz viszonyítva,mivel bármilyen kicsi is az ellenállása a vezetéknek, az mégsem egyenl" nullával).

A háromfázisú fogyasztókat legtöbbször három azonos, kétkivezetés! elemb"l készítik,

melyeket a fogyasztón belül vagy csillagba vagy háromszögbe kötnek. Az ilyen háromfázisú

fogyasztókat szimmetrikus fogyasztóknak nevezzük.

Ha minden háromfázisú generátorra kapcsolt fogyasztó szimmetrikus háromfázisú

fogyasztó lenne, akkor a generátor mindhárom tekercse azonosan lenne leterhelve, mint ahogy

minden fázisvezeték is. Az elektromos energia el"állítói számára ez a legkedvez" bb üzemmód az

egész rendszerben. Azonban lehetetlen minden fogyasztót szimmetrikusan elkészíteni. A hálózat

szimmetrikussá tételét, a monofázisú fogyasztók három fázisra történ" minél egyenletesebb

elosztásával érik el. A nagyteljesítmény! fogyasztóknál pedig követelmény, hogy háromfázisúak

és szimmetrikusak legyenek.

6.5.4. A SZIMMETRIKUS HÁROMFÁZISÚ RENDSZEREK KIVIZSGÁLÁSA

A gyakorlatban mindig a háromfázisú generátorok szimmetrikus megterhelésére

törekednek, néha viszont az aszimmetria nagyon kifejezett. Ekkor a háromfázisú rendszerre azt

mondjuk, hogy aszimmetrikus. Most a szimmetrikus háromfázisú rendszerek kivizsgálásával

foglalkozunk.

6.43. ábra

6.44. ábra



6.5.4.1. A fogyasztók csillagkapcsolása

A háromfázisú generátorok tekercsei szinte kivétel nélkül csillagba vannak kötve. A

fogyasztó viszont lehet csillagba is és háromszögbe is kötve. El"ször figyeljük meg a fogyasztók

csillagkapcsolását (6.45. ábra).

Oldjuk meg az áramkört a

csomóponti potenciálok módszerével!Mivel csak két csomópontunk van, N és

N' (a hurokáramok módszere szerint

három egyenletet kellene felírni, így csak

egyet !).

Legyen Y Z Z Z g f

össz ====++++ ++++

1 ,

ekkor:

(((( ))))V Y Y E Y E Y E Y N n A B C ' ++++ ==== ++++ ++++ ====3 0össz össz össz össz ,

mivel E E E A B C ++++ ++++ ==== 0 .

Tehát, a csillagba kötött szimmetrikus háromfázisú fogyasztó csillagpontjának potenciálja

megegyezik a generátor csillagpontjának potenciáljával . ez azt jelenti, hogy a nullvezetékben

nem folyik áram. A fázisáramok így egyszer !en írhatók:

I E

Z A

A====össz

, I E

Z B

B====össz

, I E

ZC

C ====össz

I E

Ze A

A j==== −−−−

össz

φφφφ , I I e B A

j

==== −−−−

2

3

ππππ

, I I eC B

j

==== −−−−

2

3

ππππ

ahol Zössz a Z g, Z f és Z impedanciák összegének abszolút értéke, φφφφ pedig az impedanciák

összegének argumentuma.

Megterhelés mellett a generátor kivezetésein mérhet" fázisfeszültségek:

U E Z I A A g A==== −−−− , U E Z I B B g B==== −−−− , U E Z I C C g C ==== −−−−

A fázisfeszültségek értékei a fogyasztó kapcsain:

U ZI A A' ==== , U ZI B B' ==== , U ZI C C ' ====

Ebb"l a háromfázisú vezeték feszültségesése a vezetékeken:

U V V U U Z I AA A A A A f A' ' '==== −−−− ==== −−−− ==== ,

U Z I BB f B' ==== ,

U Z I CC f C ' ==== .

A csillagba kapcsolt szimmetrikus háromfázisú

rendszer tehát nagyon egyszer !en analizálható: csak egy

fázis áramer ! sségét és feszültségét határozzuk meg, a többi

áram és feszültség a megmaradt két fázisban csak fázisban

tolódik el 2 3ππππ -mal és 4 3ππππ -mal a meghatározottakhoz

képest .

A 6.45. ábrán látható szimmetrikus háromfázisú

rendszer áram- és feszültség-vektordiagramja (fazorábrája)

a 6.46. ábrán található.

6.45. ábra

6.46. ábra



6.5.4.2. A fogyasztók háromszög-kapcsolása

A fogyasztó három elemén keresztülfolyó áramer "sségét itt, a szimmetrikus háromfázisú

fogyasztó háromszögkapcsolása esetében a vonalfeszültségek segítségével határozhatjuk meg

legegyszer ! bben (6.47. ábra):

I

U

Z A B

A B

' '

' '

==== , I

U

Z B C

B C

' '

' '

==== , I

U

ZC A

C A

' '

' '

====Ezeket az áramokat egyszer !en összetett áramoknak nevezzük.

A fogyasztók helyén a vonalfeszültségeket legkönnyebben úgy határozhatjuk meg, hogy a

háromszöget csillaggá alakítjuk át. Az összetett áramok láthatóan szimmetrikus áramrendszert

alkotnak. A fázis áramok:

I I I A A B C A==== −−−−' ' ' ' , I I I B B C A B==== −−−−' ' ' ' , I I I C C A B C ==== −−−−' ' ' '

Az összetett áramok és a fázisáramok vektordiagramja (fazorábrája) a 6.48. ábrán látható.

Jelöljük az összetett áramok effektív értékét I -vel, a fázis áramok effektív értékét pedig I f -fel.Ekkor:

I I f ==== 3

A szimmetrikus háromfázisú fogyasztók

megoldását mindig egy fázisra való visszavezetéssel

végezzük.

6.5.5. A HÁROMFÁZISÚ FOGYASZTÓK ÉS GENERÁTOROK TELJESÍTMÉNYE

A háromfázisú fogyasztók alapjában véve monofázisú fogyasztók speciális kapcsolásai.

Ezért a teljes fogyasztó pillanatnyi teljesítményét a háromfázisú fogyasztót alkotó monofázisú

fogyasztók pillanatnyi teljesítményének összegeként kapjuk meg. Csak a szimmetrikus

háromfázisú fogyasztók esetére szorítkozunk.

Legyen U p a fogyasztó elemeinek vége közti feszültség effektív értéke, I p pedig az ezekenaz elemeken átfolyó áram effektív értéke. Egyenl"re mellékes, hogy a fogyasztó csillagba vagy

há ö b k l A f ült é é á kö ti fá i külö b é φφφφ l l" (φφφφ

6.47. ábra

6.48. ábra



impedanciák argumentuma, melyekb"l a háromfázisú fogyasztót összeállították). Tételezzük fel,

hogy U p1 feszültség kezd"fázisa nulla! A háromfázisú fogyasztó teljesítményének pillanatnyi

értéke ekkor:

p t u t i t u t i t u t i t p p p p p p( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )==== ++++ ++++1 1 2 2 3 3 ,

ahol:

u t U t p p1

2( ) cos==== ω

ωωω ,

(((( ))))i t I t p p1

2( ) cos==== −

−−−ω

ωωω φ

φφφ ,

u t U t p p2 22

3( ) cos==== −−−−

ωωωω ππππ

, i t I t p p2 22

3( ) cos==== −−−− −−−−

ωωωω ππππ

φφφφ ,

u t U t p p3 24

3( ) cos==== −−−−

ωωωω ππππ

, i t I t p p3 24

3( ) cos==== −−−− −−−−

ωωωω ππππ

φφφφ .

A fenti egyenletek alapján:

(((( ))))u t i t U I t t p p p p1 1 2( ) ( ) cos cos==== −−−−ωωωω ωωωω φφφφ .

Mivel

(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]cos cos cos cosαααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ==== ++++ ++++ −−−−1

2

a fenti egyenletet a következ" alakban is felírhatjuk:

(((( ))))u t i t U I U I t p p p p p p1 1 2( ) ( ) cos cos==== ++++ −−−−φφφφ ωωωω φφφφHasonlóan az el"z"ekhez:

u t i t U I U I t p p p p p p2 2 24

3( ) ( ) cos cos==== ++++ −−−− −−−−

φφφφ ωωωω ππππ

φφφφ ,

u t i t U I U I t p p p p p p3 3 28

3( ) ( ) cos cos==== ++++ −−−− −−−−

φφφφ ωωωω ππππ φφφφ .

A fogyasztó pillanatnyi teljesítménye (mivel a három egyenlet második tagjának összege

egyenl" nullával):

p t U I p p( ) cos==== 3 φφφφ

A szimmetrikus háromfázisú fogyasztó teljesítménye állandó, azaz nem függ az id ! t ! l.

Ha a háromfázisú generátor teljesítménye állandó, akkor a forgatásához szükséges

teljesítmény is állandó lesz. A generátor simán és nyugodtan dolgozik, ami nem érvényes a

monofázisú generátorok esetében.

A háromfázisú fogyasztót alkotó három elem teljesítménye id" ben nem állandó. Minden

elemre definiálható hatásos és medd" teljesítmény.

A fogyasztó hatásos teljesítménye ( P) alatt értjük a fogyasztó teljesítményének

középértékét egész számú periódusid" alatt, medd" teljesítmény (Q) alatt pedig a teljesítmény

azon részének amplitúdóját, mely a fogyasztó és az áramkör többi része közti energiacseregyorsaságát írja le.

Ha mindhárom elem hatásos és medd" teljesítménye azonos és egyenl" U I p pcos φφφφ -vel

illetve U I p psin φφφφ -vel, akkor az egész szimmetrikus háromfázisú rendszerre érvényes:

P U I

Q U I

p p

p p

====

====

3

3

cos

sin

φφφφ

φφφφ

A csillagkapcsolású fogyasztóérvényes, hogy: U U p f ==== , I I p f ==== , U U f ==== 3 .

A háromszög-kapcsolásban lev" fogyasztóviszont: U U p ==== , I I p s==== , I I f s==== 3 .



Ezek szerint a szimmetrikus háromfázisú fogyasztó hatásos és medd" teljesítménye a

vonalfeszültség és a fázis áram függvényében:

P UI

Q UI

f

f

====

====

3

3

cos

sin

φφφφ

φφφφ

A fogyasztó teljesítményéhez hasonlóan meg lehet határozni a háromfázisú generátor hatásos és medd" teljesítményét is. A kifejezések azonosak, mint a fogyasztó esetében, csak a

feszültség effektív értéke helyett a generátor esetében a megfelel" e.m.e. effektív értékét kell

venni.

6.5.6. A HÁROMFÁZISÚ ÉS MONOFÁZISÚ RENDSZEREK ÖSSZEHASONLÍTÁSA AZ ENERGIASZÁLLÍTÁS SZEMPONTJÁBÓL

Képzeljük el, hogy három azonos monofázisú, tiszta ohmikus ellenállású fogyasztót

akarunk P p középteljesítménnyel ellátni. Legyen a monofázisú feszültség effektív értéke U f .

Vizsgáljuk meg, hogy ehhez a három fogyasztóhoz, monofázisú és háromfázisú ellátás esetén,

milyen (mekkora) vezetékkeresztmetszet szükséges.

Az áram effektív értéke minden fogyasztón keresztül

I P

U p

p

f

==== .

Monofázisú vezeték esetén a vezet"kön átfolyó össz áramer "sség háromszor nagyobb lesz:

I P

U

p

f

monofá zisúvezeté k ==== 3 .

Háromfázisú rendszer esetén (a három fogyasztót köthetjük csillagba és háromszögbe is) ahárom monofázisú fogyasztó összteljesítménye 3 P p és cosφφφφ ==== 1, mivel tiszta ohmikus

ellenállásokról van szó. Mivel P P p==== 3 és U U f ==== 3 , a 6.5.5. (el"z") pont utolsó két

egyenlete szerint:

P P UI U I

U I p

f f f

f f ==== ==== ==== ====3

3

3

3 3

3

cos φφφφ ,

ebb"l:

I P

U

I f

p

f

==== ==== monofá zisúvezeté k

3 ,

amely csillagkapcsolásra és háromszög-kapcsolásra is érvényes.

Szimmetrikus háromfázisú fogyasztó esetén nullvezetékre nincs szükség! A nullvezetékenkeresztül nem folyik áram.

Ha J max a legnagyobb megengedett árams!r !ség a távvezeték vezet"iben, akkor

monofázisú ellátás esetén két vezet"re van szükség, melyek keresztmetszetének felülete:

S I

J

P

J U

p

f

monofá zisúvezeté k

monofá zisúvezeté k

max max

==== ==== ,

S Shá romfá zisú vezeté k monofá zisúvezeté k ====1

3.

Az utolsó egyenletb"l kit!nik, hogy a háromfázisú rendszer mindhárom vezetékének össz

keresztmetszete egyenl" a monofázisú vezeték keresztmetszetének felületével. Tehát ha

háromfázisú rendszert alkalmazunk, akkor fele annyi vezetékanyagra van szükségünk atápláláshoz, mint monofázisú rendszer esetén . Még ha nullvezetéket alkalmazunk is, azonos

keresztmetszet!t mint a fázisvezetékeké (a nullvezet"k általában kisebb keresztmetszet!ek mint



a fázisvezetékek) a háromfázisú távvezetékhez (általában, a háromfázisú tápláláshoz), akkor is

csak összesen 4/3 Smonofázisú vezeték összkeresztmetszet! vezetékekre van szükség a két monofázisú

vezeték 2Smonofázisú vezeték keresztmetszet-felületével szemben.

6.5.7. FORGÓ MÁGNESES TÉR LÉTREHOZÁSA KÉT- ÉS HÁROMFÁZISÚÁRAMRENDSZER SEGÍTSÉGÉVEL

Képzeljük el, hogy a tér valamely részében mágneses tér van jelen, mely id" ben változó: a

mágneses indukció vektorának B intenzitása id" ben megközelít"en állandó, de maga a B vektor

állandó ωωωω szögsebességgel forog. Az ilyen mágneses teret forgó mágneses térnek nevezzük.

Tételezzük fel, hogy a 6.49 ábrán látható mágnes forgó mágneses terében egy mágnest! is

jelen van, mely a mágnessel azonos tengely körül foroghat. Mivel a különböz" mágneses

pólusok vonzzák egymást, ezért a mágneses er "k, melyek a t!re hatnak, arra törekednek, hogy

ugyanolyan sebességgel forgassák azt (a mágnest!t), mint amilyen sebességgel maga a mágnes

forog. Ha a t! végeire ható mágneses er "k elég nagyok, és a súrlódási ellenállás elég kicsi, a t!

azonos sebességgel forog ( szinkronban a forgó térrel), mint a mágnes. Ez az egyszer ! rendszer a

szinkronmotorok egyszer !sített m!ködési elvét példázza.

A mágnest! esetében egyszer ! elképzelni,

hogy lesz egy olyan nyomaték, amely arra

törekszik, hogy a t!t a térrel együtt forgassa.

Nehezebb megérteni, hogy a forgó mágneses

térnek azonos a hatása a rövidre zárt

vezet"tekercsre is, amely foroghat a mágnes

tengelyével azonos tengely körül.

Tételezzük fel, hogy t pillanatban n és B

közti szög αααα, B intenzitása, B állandó.A tekercsenáthaladó fluxus t pillanatban:

Φ( ) cos t abB==== αααα

Forogjon B állandó ωωωω szögsebességgel. Ekkor

felírhatjuk, hogy αααα ωωωω==== t ( t ==== 0 pillanat αααα ==== 0

szögnek felel meg). A tekercsen áthaladó fluxus az id"

függvényében:

Φ( ) cos t abB t==== ωωωω .

A fluxusváltozás hatására a tekercsben feszültség

(e.m.e.) indukálódik:

e t t

t abB t( )

( )sin==== −−−− ====

d

d

Φωωωω ωωωω .

Az e.m.e. referenciairánya a 6.50. ábrán látható: a

fluxus csökken a tekercsen keresztül, e t( ) pedig

igyekszik mérsékelni a fluxuscsökkenést (igyekszik

meggátolni azt a változást, amely "t létrehozta – Lenz törvénye).

Az indukált feszültség (e.m.e.) hatására a tekercsben (keretben) a megjelölt irányban folyó

áram jelentkezik. A tekercs 1-es és 2-es oldalára azonos intenzitású, ellentétes irányú er "k

fognak hatni, melyek viszont nem egy tengelyen helyezkednek el. Ezek az er "k arra törekednek,

hogy a mágneses tér forgásirányába forgassák el a tekercset. Ha a súrlódás kicsi, a tekercs

forogni fog, viszont ez a forgás nem lesz szinkronban a forgó mágneses térrel, hanem állandóan

6.49. ábra

6.50. ábra



késni fog. Mivel a B és n közti szög változik, így ugyanúgy mint az indukált áram er "ssége, a

vezet"tekercsre ható mágneses er "k nyomatéka is változni fog.

Ez a leírás az aszinkron (indukciós) motorok egyszer !sített m!ködési elvét hivatott

bemutatni. Az aszinkron indukciós motorok széleskör ! alkalmazása úgyhiszem manapság már

mindeki számára ismert.

Ahhoz, hogy a motor forgórészére (rotor) lehet"leg állandó forgatónyomaték hasson, egy

menet (keret) helyett elképzelhetünk több téglalap alakú menetet is egy tengelyen. Az ilyenforgórészt "kalitkás" forgórésznek nevezzük. A gyakorlatban az aszinkron motorok forgórészére

ferromágneses hengerb"l áll, benne vájatokkal a "kalitka" vezet"i részére.

Most lássuk hogyan kaphatunk egyszer ! módon forgó mágneses teret két azonos

amplitúdójú váltóáram segítségével, melyeknek fázisa ππππ/2-vel van eltolódva (6.51. ábra).

Az i t1 ( ) és i t2 ( ) között π/2 radián (90º

fok) a fáziseltolódás. Felírható tehát például,

hogy:

B t B t B t x m( ) ( ) cos==== ====1 ωωωω

és

B t B t B t y m

( ) ( ) sin

==== ====2 ωωωω.

Az ered" mágneses indukció vektorának

intenzitása ( B B1 2++++ vektorösszeg intenzitása ):

B t B t B t B r x y m( ) ( ) ( )==== ++++ ====2 2 .

Az ered" B vektor intenzitása id" ben nem

változik. Iránya azonban igen:

tan( )

( )tanαααα ωωωω==== ====

B t

B t t

y

x

,

innenαααα ωωωω==== t .

Tehát B r állandó szögsebességgel forog a 6.51. ábrán megjelölt irányban, és ez a

szögsebesség számbelileg egyenl" a mágneses teret létrehozó áramok körfrekvenciájával. A

mágneses tér forgásirányát egyszer !en megváltoztathatjuk: az egyik elektromágnes áramának ππππ-

vel való fáziseltolásával.

Forgó mágneses teret kaphatunk

szimmetrikus háromfázisú áramrendszer

segítségével is (6.52. ábra). Ekkor a B t1( ), B t2 ( ) és

B t3( ) mágneses indukciók is, amelyeket ezek azáramok hoznak létre, id" ben szimmetrikus

háromfázisú mágneses indukciórendszert alkotnak.

Tehát:

B t B t m1( ) cos==== ωωωω ,

(((( )))) B t B t m2 2 3( ) cos==== −−−−ωωωω ππππ ,

(((( )))) B t B t m3 4 3( ) cos==== −−−−ωωωω ππππ .

A )(1 t B!

, )(2 t B!

és )(3 t B!

vektorok irányai

id" ben állandók, viszont az irányításuk ésnagyságuk id" ben folyamatosan változik. E mellett, a 6.52. ábráról jól kivehet", hogy

mindhárom vektor iránya különböz" ezért a vektoralgebra összeadás szabályai szerint kell "ket

6.51. ábra

6.52. ábra



összeadni. Határozzuk meg a mágneses indukció ered" vektorának, B t r( )-nek B t rx

( ) és

B t ry( )összetev"it:

[[[[ ]]]] B t B t B t B t B t B t B t rx( ) ( ) ( ) cos ( ) cos ( ) ( ) ( )==== −−−− −−−− ==== −−−− ++++1 2 3 1 2 33 3

1

2

ππππ ππππ ,

mivel cos ππππ 3 1 2==== .

A B t1( ), B t2 ( ) és B t3 ( ) kifejezéseinek alapján tudjuk, hogy:

B t B t B t1 2 3 0( ) ( ) ( )++++ ++++ ==== ,

ebb"l következik, hogy:

B t B t B t2 3 1( ) ( ) ( )++++ ==== −−−− , azaz

B t B t B t B t B t ry m( ) ( ) ( ) ( ) cos==== ++++ ==== ====1 1 1

1

2

3

2

3

2 ωωωω

A képr "l látható, hogy:

[[[[ ]]]] B t B t B t B t B t ry ( ) ( ) cos ( ) cos ( ) ( ) cos==== −−−− ==== −−−−2 3 2 36 6 6ππππ ππππ ππππ

A 6.53. ábrán látható, hogy B2 és B

3 vektor különbségének iránya a képzetes tengely

irányával ellentétes, azaz kezd"fázisa egyenl" -ππππ/2-vel, abszolút értéke pedig: B B

B m

2 3

2 6

−−−−==== cos

ππππ,

B B B m2 3 26

−−−− ==== cosππππ

Tehát az y irányban az összetev":

B t B t B t ry m m( ) cos cos sin==== −−−−

====2 6 2

3

22 ππππ

ωωωω ππππ

ωωωω ,

mivel cos ππππ 6 3 2==== .

Az ered" mágneses indukció amplitúdója az el"z" eredmények

alapján:

B t B t B t B r rx ry m( ) ( ) ( )==== ++++ ====2 2 3

2

Az αααα szög (a )(t Br

!

vektor és az x tengely közti szög) a következ" kifejezéssel van

meghatározva:

tan( )

( )

sin

cos

tanααααωωωω

ωωωωωωωω==== ==== ====

B t

B t

B t

B t

t ry

rx

m

m

3

23

2

,

ebb"l aztán látható, hogy:

αααα ωωωω==== t .

Tehát forgó mágneses teret kaptunk, melyben r B!

vektor ωωωω szögsebességgel forog, és ez a

forgási sebesség számbelileg megegyezik az elektromágnes tekercseit tápláló a háromfázisú

áramrendszer körfrekvenciájával. A r B!

vektor forgásiránya megváltoztatható bármely két

elektromágnes egyszer! felcserélésével illetve bármely két fázis helycseréjével.

6.53. ábra



6.6. Alapfogalmak az üzemmód-változás folyamatairól a villamoshálózatokban

A gyakorlatban gyakran találkozunk üzemmód-változással. Ha egy fogyasztót váltóáramúvillamos hálózatra kapcsolunk, a fogyasztón keresztül nem fog azonnal sinusos változású áram

folyni. Bizonyos id!nek kell eltelnie, hogy a fogyasztón keresztül sinusos változású áram follyonkeresztül. Üzemmód-változáskor (két állandósult állapot között) bonyolultabb folyamatok mennek végbe, mint a kezdeti és végs! állapotban, vagyis az állandósult állapotokban. A kétállandósult állapot között végbemen! folyamatokat átmeneti (tranziens) folyamatoknak

nevezzük.Az üzemmód-változás folyamatainak kivizsgálása a villamos hálózatokban sokkal

összetettebb, mint az állandósult állapotok folyamatainak kivizsgálása. Ez egy külön területe azelektrotechnikának. Mi csak néhány egyszer " esettel fogunk megismerkedni.

Az üzemmód-változás folyamatai néhány esetben, mint munkafolyamatok jelentkeznek.Pl., egyes áramkörökben, melyeket az impulzus- és televíziós technikában, az automatikábanalkalmaznak, az átmeneti folyamatok tulajdonságait használják fel. Más esetekben viszont azátmeneti folyamatok kifejezetten nem kívánatosak. Pl., a generátorok és a nagyteljesítmény"

fogyasztók hálózatra való kapcsolásakor a hálózat egyes részeiben túlfeszültségek jelentkeznek,melyek megkárosíthatják a hálózatot.

Az egyszer " villamos hálózatokban az átmeneti jelenségei el!reláthatók, ha ismerjük azalapelemek (ellenállás, kondenzátor és induktív tekercs) viselkedését üzemmód változáskor.Emlékeztet!ül írjuk fel az elemek végein mért feszültség és az elemeken átfolyó áram köztiösszefüggést:

( ) ( )t i Rt u R = , ( ) ( )

t

t i Lt u L

L d

d= , ( )

( )

t

t uC t i C

C d

d= .

Láthatjuk, hogy a feszültség és az áram értéke ideális ellenállás esetén pillanatnyilagmegváltozhat. Ideális tekercs esetében a feszültség értéke azonnal változhat, viszont az áram

er ! ssége nem, mivel ehhez végtelen nagy feszültségre lenne szükség. Ideális kondenzátoron azáram er !sség változhat meg azonnal, viszont a kivezetések (fegyverzetek) közötti feszültségnem.

6.6.1. FOLYAMATOK A SOROS RC-KÖR ÜZEMMÓD VÁLTOZÁSAKOR

Figyeljük meg egy R ellenállás és egy C kapacitású kondenzátor soros kapcsolását, melyet

0=t pillanatban )(t e e.m.e.-j" (forrásfeszültség") áramforrásra kötünk (6.54. ábra).Tételezzük fel, hogy t ==== 0 pillanatig a

kondenzátor töltetlen. A kapcsoló zárása után azáramkörnek minden pillanatban ki kell elégítenieKirchhoff II. törvényét. Ezért t >>>> 0 esetén az áramkör állapota a következ! egyenlettel adott:

R i tq t

C e t( )

( )( )++++ ==== ,

ahol i t( ) az áramer !sség pillanatnyi értéke azáramkörön keresztül, q t( ) pedig a kondenzátor egyik

fegyverzetének a pillanatnyi töltésmennyisége.A fegyverzet pillanatnyi töltésmennyiségének növekedése dq t( ) és az áramer !sség

pillanatn i értéke kö ött a kö etke ! öss efüggés áll fenn:

6.54. ábra



i tq t

t( )

( )====

d

d ,

így az els! kifejezés a következ! alakban írható fel:

R

t e

RC

t q

t

t q )()(

d

)(d=+ .

Mivel ebben az egyenletben nem csak q t( ) ismeretlen jelentkezik, hanem a deriváltja is,ezt az egyenletet differenciálegyenletnek nevezzük. Ezt a problémakört már érintettük, és meg isoldottuk az egyenáramoknál, de ott a kondenzátor feszültsége volt az ismeretlen mennyiség.Tudjuk azt is, hogy az inhomogén, els!fokú, állandó együtthatójú differenciálegyenletmegoldása két részb!l áll: a partikuláris és a homogén megoldás-részb!l. A homogén megoldás ahálózat küls! gerjesztésekt!l független, ún. saját viselkedését jellemzi, és a teljes megoldásátmeneti (tranziens) részét adja meg. A aprtikuláris megoldást viszont a küls! gerjesztések és azáramköri elemek közösen határozzák meg. Ez a megoldás-rész az átmeneti jelenségeket követ!

stacionárius állapotot írja le. Az integrálási állandókat a kezd!értékekb!l lehet kiszámolni.Tételezzük fel, hogy megtaláltuk q t p

( ) függvényt, melyet az inhomogén

differenciálegyenlet bal oldalába behelyettesítve pontosan e t R( ) -t kapunk. Ez a megoldásszemmelláthatóan az egyenlet jobb oldalán álló e t R( ) függvény alakjától függ és, mint tudjuk adifferenciálegyenlet partikuláris megoldásának nevezzük. Hagyjuk meg egyenl!re az ilyenáltalános alakú parciális megoldást. A kés! bbiekben az egyenlet jobb oldalának (e t R( ) ) néhányegyedi alakjára a konkrét partikuláris megoldásokat is megkeressük.

A differenciálegyenlet homogén megoldását a homogén egyenlet megoldásával kapjuk meg:

d

d

q t

t

q t

RC

( ) ( )++++ ==== 0 .

Tudjuk azt is, hogy a homogén egyenlet megoldásának alakja q t A e h

at

( ) ====

−−−−

(ahol a és Aegyenl!re még nem meghatározott paraméterek – konstansok). Ha ezt a megoldás-alakot behelyettesítjük a homogén egyenletbe, az a paramétert közvetlenül kiszámíthatjuk. Az ígykapott érték: a RC ==== # ( )

Az A paraméter értéke csak a kezd!értékek ismeretében számítható ki, ehhez azonban akonkrét gerjesztést is ismerni kellene. Ennek hiányában a differenciálegyenletnek csak akövetkez! alakú általános megoldását írhatjuk fel:

q t q t q t q t A e p h p

t

RC ( ) ( ) ( ) ( )==== ++++ ==== ++++ −−−−

A következ!kben a különböz! id!függvény" gerjesztésekre adott feleletet fogjuk megkeresni, vagyis a differenciálegyenlet általános megoldását számítjuk majd ki, az azinhomogén egyenlet jobb oldalának (e t R( ) ) néhány egyedi alakjára.

6.6.2. A SOROS RC-KÖR EGYENFESZÜLTSÉGRE KAPCSOLÁSA

Tételezzük fel, hogy e t E( ) ==== . Ekkor az inhomogén differenciálegyenlet partikuláris

megoldására a gerjesztésnek megfelel! alakú megoldást tételezünk fel, vagyis állandót (mondjuk

q p(t) = B). A feltételezett megoldást behelyettesítve az inhomogén egyenletbe a partikutáris

megoldásra a következ! értéket kapjuk:



q t CE p ( ) ==== ,

(tehát a behelyettesítés után kiszámítható, hogy B = CE, mivel d dq t t( ) ==== 0). Tehát az általános

megoldás az e t E( ) ==== alakú gerjesztésre a következ!:

q t CE A e

t

RC ( ) ==== +

+++

−−−− .

Az A paramétert a kondenzátor kezd! pillanatbeli töltésértékéb!l határozzuk meg. Miveltudjuk, hogy a kondenzátor t ==== 0 pillanatban töltetlen volt, azaz q( )0 0==== ,egy olyan egyenletetkapunk, melyb!l meghatározható az A konstans. A q( )0 0==== feltételt kezd ! feltételnek (értéknek,határértéknek) nevezzük, melyet a differenciálegyenlet megoldásának ki kell elégítenie.Behelyettesítve a kezd!értéket az általános megoldás kifejezéséb a következ!t kapjuk:

0 ==== ++++CE A .

Ebb!l A CE==== −−−− , így végül is:

q t CE e

t

RC ( ) ==== −−−−

−−−−# )0( ≥t

Az utóbbi egyenlet id! szerinti els! deriváltja az áramkörben folyó áramer !sség pillanatnyi

értékét adja:

i tq t

t

E

R e

t

RC ( )( )

==== ==== −−−−d

d ( ) t >>>> 0

Ezen egyenlet szerint az áramer !sség értéke t ==== 0 pillanatban a legnagyobb, mikor E R -rel egyenl!. Ezután az áramer !sség értéke csökken az áramkörben. Az áramer !sség-csökkenéssebességének mértéke a soros RC-körben az RC szorzat (az ellenállás ellenállásértékének és a

kondenzátor kapacitásának a szorzata), melyet id ! állandónak nevezünk és ττττ-val jelölünk (ττττ = RC ). Az id!állandó reciprok értékét, az # RC -t, csillapítási tényez ! nek nevezzük. Minnél kisebbaz áramkör id!állandója, annál gyorsabbancsökken az áramer !sség az áramkörben ésfordítva.

t >>>> ττττ -ra az áramer !sség az áramkörbentovábbra is hirtelen csökken. Végül, "végtelenhoszszú" id! után, egyenl! lesz nullával. Viszontmár néhány id!állandónyi id!tartam elteltével azáramkörben az áramer !sség elhanyagolhatóan kisérték " lesz. Például a t = 5ττττ pillanatban az

áramer !sség (# 0 00675e ≈≈≈≈ , )a kezd!értékének akb. 0,7%-ra csökken.

A kondenzátor fegyverzetén lév!

töltésmennyiség és tölt!áram er !ssége az id!

függvényében a 6.55. ábrán látható.

6.6.3. A KONDENZÁTOR KISÜTÉSE A SOROS RC-KÖRBEN

Tételezzük fel, hogy az áramkörben a kondenzátor fel van töltve Q0 villamostöltésmennyiséggel, viszont az áramkör t ==== 0 pillanatig nyitott. t ==== 0 pillanatban zárjuk azáramkört (6 56 ábra) Határozzuk meg a kondenzátor pozitív fegyverzetének töltésmennyiségét

6.55. ábra



és a kisülési áramer !sséget az áramkörön keresztül az id! függvényében, ha az áramkörbe nincsáramforrás kötve.

Ebben az esetben a kondenzátor pozitívfegyverzetének a töltésmennyisége csak az el!z! fejezetben(6.6.2. pontban) felírt homogén differenciálegyenlettel vanmeghatározva, mivel az áramkörbe nincs áramforrás kötve.

Ennek az egyenletnek a megoldása, mint ahogy azt már ottláttuk:q t A e t RC ( ) ==== −−−−

0 .

Az A0 paramétert a kezd!feltételb!l határozzuk meg: t ==== 0 pillanatban q Q( )0 0==== -nak kell lennie, így A Q0 0==== . Tehát:

q t Q e t RC ( ) ==== −−−−0 .

Az áramer !sséget az el!z! egyenlet id! szerinti els! deriváltja adja meg:

i tq t

t

Q

RC e t RC ( )

( )==== ==== −−−− −−−−d

d0

Az áramer !sség azonos törvény szerint csökken az áramkörben, mint az el!z! esetben.Most viszont ugyanezen törvény szerint csökken a kondenzátor töltésmennyisége is. A negatível! jel az áramer !sség kifejezésében azt jelenti, hogy az áram valódi iránya ellentétes a 6.56.ábrán megjelölt referenciairánnyal (másszóval a kisülési áram ellentétes irányú a töltési áramhozviszonyítva, ami természetes).

6.6.4. A SOROS RC-KÖR VÁLTÓFESZÜLTSÉGRE KAPCSOLÁSA

Tételezzük fel, hogy (((( ))))e t E t m( ) cos==== ++++ωωωω θθθθ . Ebben az esetben is (mint bármilyen más,tetsz!leges gerjesztés-alakra) az inhomogén differenciálegyenlet partikuláris megoldásamegegyezik a sinusos változású feszültségre kapcsolt áramkör állandósult állapotával. Azáramer !sséget komplex számítással határozzuk meg:

(((( )))) I

E

R j C

E

R C

e j====++++

====++++

−−−−

##

2 2ωωωω ωωωω

φφφφ , φφφφωωωω

==== −−−−

arctan #

CR .

Mivel I j Q==== ωωωω , ezért Q j I ==== −−−− ωωωω , vagy

(((( ))))

(((( ))))Q E

R C e

j====++++

−−−− ++++

ωωωω ωωωω

φφφφ ππππ

2 2

2

#

,

tehát

(((( ))))(((( ))))q t

E

R C t p

m( ) cos====++++

++++ −−−− −−−−ωωωω ωωωω

ωωωω θθθθ φφφφ ππππ2 2

#

2 .

Így az inhomogén egyenlet általános megoldása esetünkben:

(((( ))))(((( ))))q t E

R C t A e m t RC ( ) cos====

++++++++ −−−− −−−− ++++ −−−−

ωωωω ωωωωωωωω θθθθ φφφφ ππππ

2 2#

2 .

6.56. ábra



Ha q(0) ==== 0 (a kondenzátor az áramkör zárása el!t töltetlen volt), akkor t ==== 0 pillanatban:

(((( ))))(((( ))))

E

R C A m

ωωωω ωωωωθθθθ φφφφ ππππ

2 2#

2 0++++

−−−− −−−− ++++ ====cos ,

mivel (((( ))))cos sinαααα ππππ αααα−−−− ====2 , t ≥≥≥≥ 0-ra:

(((( ))))(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]q t

E

R C

t e m t RC ( ) sin sin====++++

++++ −−−− −−−− −−−− −−−−

ωωωω ωωωωωωωω θθθθ φφφφ θθθθ φφφφ

2 2#

.

Innen a töltési áram er !ssége az áramkörben:

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))i t

E

R C

t RC

e m t RC ( ) cossin

====++++

++++ −−−− ++++ −−−−

−−−−

2 2# ωωωω

ωωωω θθθθ φφφφ θθθθ φφφφ

ωωωω ( t ≥≥≥≥ 0)

t →→→→ ∞∞∞∞-re a várt kifejezést kapjuk. Viszont t ==== ++++(0 ) -ra R

E i m θ cos

)0( =+ -t kellene kapni, az

utolsó egyenlet szerint viszont a következ!t kapjuk:

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))i

E

R C R RC

m(0 ) cossin

++++ ====++++

−−−− ++++ −−−−

#

# #2ωωωω

θθθθ φφφφ θθθθ φφφφ

ωωωω

Ha azonban figyelembe vesszük, hogy (((( ))))# ωωωω φφφφCR ==== −−−− tan , akkor néhány trigonometriaiátalakítás után megkapjuk a várt kifejezést:

i E

R

m(0 )cos

++++ ==== θθθθ

.

A kondenzátor fegyverzetei között uralkodó feszültség u tC ( ) és az ellenálláson mértfeszültségesés u t R

( ) a következ! kifejezésekkel van megadva:

u t q t

C C

( )( )

==== , u t R i t R( ) ( )==== .

Az el!z! egyenletek alapján az áramer !sség az áramkörben i t( ) és u tC ( ) és u t R

( )feszültségek a gerjeszt! feszültség (a generátor e.m.e.-jének) kezd!fázisától függenek. Ha pl.θθθθ φφφφ==== , akkor az áram az áramkörben rögtön a bekapcsolás után sinusos változású lesz (6.57.aábra), az u tC

( ) és u t R( ) feszültségek szintén. A θθθθ φφφφ ππππ−−−− ==== 2 feltétel a bekapcsolásra legkevésbé

el!nyös pillanatot jelöli. Itt az általános megoldás kifejezésében a zárójelben lév! második taghatása a legnagyobb. Erre az esetre a sinusos változású áram kialakulásának folyamata a 6.57.bábrán látható. Mindkét görbe szerkesztésénél az RC ωωωω ==== # összefüggés érvényes.

6.57. ábra



6.7. Folyamatok a soros RL-kör üzemmód-változásakor

A 6.58. ábrán látható soros RL-körre minden pillanatban teljesülnie kell a következ!

egyenlet-nek:

L i t

t R i t e t

d

d

( )( ) ( )++++ ==== vagy

d

d

i t

t

R

Li t

e t

L

( )( )

( )++++ ====

Ez az egyenlet nagyon hasonló, pontosabban azonosalakú, mint az RC körre felírt általános egyenlet, ezért azáltalános megoldása is olyan, mint az RC körre megkapottáltalános megoldás:

i t i t i t i t B e p h p

tR L( ) ( ) ( ) ( )==== ++++ ==== ++++ −−−− .

Az i t p ( ) itt is az egyenlet jobb oldalán álló e t L( )

függvényt!l függ.

6.7.1. SOROS RL-KÖR EGYENFESZÜLTSÉGRE KAPCSOLÁSA

Legyen e t E( ) ==== . Ekkor az inhomogén differenciálegyenlet partikuláris megoldása:

i t E R p( ) ==== ,

így az általános megoldás a következ!:

i t

E

R B e tR L

( ) ==== ++++ −−−−

.

A B állandót (paramétert) az i(0 )++++ ==== 0 kezd!feltételb!l (az áramer !sség az induktívtekercsen nem változhat meg azonnal) határozzuk meg. Így azt kapjuk, hogy B E R==== −−−− , tehát ateljesérték " általános megoldás:

(((( ))))i t E

Re tR L( ) ==== −−−− −−−−

# .

Az el!z! kifejezésb! jól látható, hogy az áram er !ssége az áramkörben E R véges értékignövekszik. Id! ben állandó áram el! bb jön létre, ha kisebb a ττττ ==== L R állandó. Ezt az állandót asoros RL-kör id ! állandójának nevezzük.

Az áramer !sség az áramkörben erre az esetre úgy változik, mint a töltésmennyiség a 6.55.ábrán. Az u t R ( ) és az u t L ( ) feszültségek a következ! kifejezések segítségével határozhatók meg:

u t R i t R( ) ( )==== és u t L

i t

t L

( )( )

====d

d .

6.7.2. AZ ÁRAM MEGSZÜNÉSE A SOROS RL-KÖRBEN

Vizsgáljuk ki, hogyan változik az áramer !sség a soros RL-körben, melyben id! ben állandó I 0 áramer !sség" áram folyt, ha t ==== 0 pillanatban kikapcsoljuk az áramforrást és rövidre zárjuk az áramkört. Kirchhoff II. törvénye az áramkörre ekkor a következ!:

6.58. ábra



L i t

t R i t

d

d

( )( )++++ ==== 0 .

Ennek a homogén differenciálegyenletnek a megoldását már ismerjük az el!z! pontból:

i t A e tR L( ) ==== −−−−0 .

Az A0 állandót a kezd!feltételb!l határozzuk meg: mivel i I (0 )++++ ==== 0 -nak kell lennie,

megkapjuk, hogy A I 0 0==== . Tehát ebben az esetben:i t I e tR L( ) ==== −−−−

0 .

Az áramer !sség ugyanúgy csökken, mint a soros RC-kör esetében, csak más id!állandóval.

6.7.3. A SOROS RL-KÖR VÁLTÓFESZÜLTSÉGRE KAPCSOLÁSA

Legyen (((( ))))e t E t m( ) cos==== ++++ωωωω θθθθ . Ekkor az inhomogén differenciálegyenletnek az a

partikuláris megoldása, amely megfelel a sinusos változású feszültségre kapcsolt áramkör állandósult állapotának. Ezt az állandósult állapotot komplex számítással határozhatjuk meglegkönnyebben:

I E

Z

E

R Le j==== ====

++++−−−−

2 2 2ωωωωφφφφ , tan φφφφ

ωωωω====

L

R .

Ebb!l aztán a partikuláris megoldás:

(((( ))))i t E

R L t p

m( ) cos====++++

++++ −−−−2 2 2ωωωω

ωωωω θθθθ φφφφ ,

így az inhomogén differenciálegyenlet általános megoldása:

(((( ))))i t E

R L t B e m tR L( ) cos====

++++++++ −−−− ++++ −−−−

2 2 2ωωωωωωωω θθθθ φφφφ .

Mivel t ==== ++++( )0 -ra i(0 )++++ ==== 0-nak kell lennie, azt kapjuk, hogy:

(((( )))) B E

R L

m==== −−−−++++

−−−−2 2 2ωωωω

θθθθ φφφφcos ,

tehát:

(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]i t E

R L

t e m tR L( ) cos cos====++++

++++ −−−− −−−− −−−− −−−−

2 2 2ωωωωωωωω θθθθ φφφφ θθθθ φφφφ , ( t >>>> 0).

A sinusos változású áram kialakulásának folyamata, akárcsak az RC-kör esetében, itt is agerjeszt!feszültség (a rákapcsolt generátor e m e -jének) kezd!fázisától függ Amennyiben

6.59. ábra



θθθθ φφφφ ππππ−−−− ==== 2, akkor az áramkörben azonnal si-nusos változású áram jön létre (6.59. ábra), mivelaz általános megoldás kifejezésében a szögletes zárólejben lév! második tag értéke ekkor nulla.Ez a feltétel határozza meg a legkedvez! bb id! pillanatot a generátor hálózatba kapcsolására. Alegkedvez!tlenebb pillanatot a θθθθ φφφφ−−−− ==== 0 jelöli. Ekkor ugyanis az általános megoldás szögleteszárójelében lév! második tag a domináns, meghatározva ezzel a tranziens jelenségeket. Azáramer !sség hullámalakja a 6.59.b ábrán látható. Az ábráról leolvasható, hogy az áramer !sség

értéke elérheti az állandósult állapot áramamplitúdójának közel kétszeresét is, az RL-kör nagyid!állandója esetén.


#. Nagyon szigorúan véve Kirchhoff törvényei milyen feltételek mellett érvényesek (úgy azegyen-, mint a váltóáramoknál?

2. Összefüggésben van-e az ágáramok er !ssége az áramkör mértani alakjával azegyenáramoknál (és az id! ben változó áramok esetében?)?

3. Milyen gyakorlati jelent!séggel bír az áramkör ágainak mágneses csatoltsága a szokványos(alacsony) frekvenciákon?

4. Milyen körülmények között, és milyen következményekkel kell számolni áram terjedésének véges sebessége miatt?

5. Mi az áramkör kvázistacionárius állapota?6. Melyek az aktív, és melyek a passzív áramköri elemek?7. Mit értünk az id! ben változó villamos áram fogalma alatt?8. Mikor mondjuk az id! ben változó áramra, hogy pozitív?9. Hogyan írható le az összefüggés az R, L és C elemek végein mért feszültség és az elemeken

átfolyó áram között?#

0. Hogyan szólnak, és milyen kikötéssel érvényesek Kirchhoff törvényei az id!

ben változóáramok esetében?##. Hogyan alkalmazhatók a Kirchhoff egyenletek az id! ben változó áramú hálózatokban?#2. Milyen üzemmódokat különböztetünk meg a váltakozó áramú áramköröknél?#3. Hogyan írható fel a fogyasztó és generátor teljesítménye a váltakozó áramok esetén?#4. Milyen lehet a generátorok és fogyasztók teljesítménye a váltakozó áramoknál?#5. Melyek a periódikus mennyiségek alapjellemz!i (hét jellemz!)?#6. Milyen szimbólummal jelölik a feszültség, az áram és az e.m.e. kezd!fázisát?#7. Mit!l függ egy periódikus mennyiség kezd!fázisa?#8. Mikor siet az egyik periódikus mennyiség a másikhoz viszonyítva?#9. Mi a neve és jele a feszültség és az áram közötti fáziskülönbségnek?

20. Mi a periódikus mennyiségek középértéke (definíció, összefüggés az amplitúdóval)?2#. Mi a a periódikus mennyiségek négyzetes középértéke vagy effektív értéke?22. Mi az el!nye és jelent!sége a sinusos áramoknak (váltóáramoknak)?23. Hogyan analizálhatók a nemsinusos, de periódikus mennyiségek?24. Mi az alapharmonikus és felharmonikus?25. Mivel állítják el! az ipari frekvenciájú sinusos áramokat?26. Hogyan m"ködik a generátor (elvi szinten)?27. Minek a segítségével állítják el! a magas frekvenciájú sinusos feszültségeket?28. Hogyan hatúrozhatók meg az áramok az ismert feszültségre kapcsolt háromfajta áramköri

alapelemen?29. Mi a sinusosan változó mennyiségek három alapjellemz! je?

30. Hogyan ábrázolhatók a sinusos mennyiségek forgóvektor segítségével?3#. Mivel arányosak a vektordiagramon feltüntetett vektorok?32 Hogyan számítható a teljesítménnny a váltóáramoknál?



33. Milyen fajta teljesítményt különböztetünk meg, és mi a teljesítménytényez!?34. Mi jellemzi az aktív és mi a reaktív fogyasztót (reaktáns elemet)?35. Melyek az egységeik a különböz! teljesítményeknek?36. Hogyan definiálható a generátorok teljesítménye?37. Milyen a váltóáramú hálózatok szokványos megoldási módja?38. Mennyi az ismeretlenek száma egy adott váltóáramú hálózatban?

39. Hány egyenlet írható fel a Kirchhoff egyenletek segítségével?40. Hogyan alakíthatók a Kirchhoff-egyenletek komplex alakra?4#. Mit takarnak a Kirchhoff-egyenletek komplex alakjai?42. Hogyan definiáljuk az áram és a feszültség komplex effektív értékét?43. Miért van szükség a komplex effektív értékek bevezetésére?44. Milyen alakú komplex kifejezésekb!l állnak a (komplex) pótegyenletek?45. Mi az impedancia, mi az egysége, és milyen részekb!l áll (mik a nevei)?46. Mi az admittancia, mi az egysége, és milyen részekb!l áll (mik a nevei)?47. Hogyan számítható az ered! impedancia az elemek soros és párhuzamos kapcsolásánál?48. Hogyan számítható az ered! admittancia az elemek soros és párhuzamos kapcsolásánál?49. Hogyan kezelend! a vegyes kapcsolás?

50. Mi a csillag-delta transzformáció?5#. Hogyan ábrázolható a komplex feszültség és áram a komplex síkban?52. Mi az impedanciaábra(impedancia-vektordiagram) és admittanciaábra (impedancia-

vektordiagram)?53. Rajzold meg egy soros és egy párhuzamos RLC-kör impedancia- és admittanciaábráját!54. Mi a feszültség- és mi az áramgenerátor?55. Melyek a feszültséggenerátor áramgenerátorral való helyettesítésének feltételei és fordítva?56. Hogyan szólnak a hurokáramok módszerének egyenletei komplex alakban?57. Milyenek a csomóponti potenciálok módszerét leíró komplex egyenletek?58. Mi a komplex teljesítmény definíciója?59. Hogyan írható fel a komplex teljesítmény a komplex feszültség és áram függvényében?60. Mi a különbség a fogyasztó és a generátor komplex teljesítménye között?6#. Hogyan szól és írható fel (az egyenáramokkal való analógia alapján) a szuperpozíció elve?62. Hogyan szól és miként bizonyítható (egyenáram-analógia) a reciprocitás tétel (felcserélési

tétel)?63. Mi a Thévenin-tétel (Norton tétele) a váltóáramoknál?64. Mi a lényege a kompenzációs (helyettesítési) tételnek?65. Mi a pillanatnyi teljesítmény megmaradásának elve?66. Mire alkalmazható a komplex teljesítmény megmaradásának tétele?67. Hogyan “hangolható rá” egy fogyasztó egy adott generátorra?68. Hol és mennyi energia “disszipálódik” (alakul h!vé) a generátorra hangolt fogyasztó

esetében?69. Mikor van értelme a fogyasztónak a generátorra való ráhangolásának, és mikor nincs?70. Mit értünk a fogyasztók teljesítménytényez! jének feljavítása alatt?7#. Milyen természet" elemekkel történik a teljesítménytényez! feljavítása?72. Hogyan határozható meg a pótelem szükséges karakterisztikája a teljesítménytényez! adott

értékre való feljavításahoz?73. Hogyan írható le a csatolt ágakban elhelyezked! induktív tekercsek kölcsönhatása?74. Minek tekinthet!k a mágnesesen csatolt ágak?75. Mire szolgálnak a villamos transzformátorok?76. Milyen részekb!l áll egy transzformátor?77. Milyen a tökéletes transzformátor?

78. Hogyan jellemezhet! a tökéletes transzformátor “üresjárása”?79. Mit nevezünk a transzformátor áttételének?80. Mi történik, ha a transzformátor szekunder végeit terhel! fogyasztóval zárjuk?



8#. Hogyan történik az energiaátvitel a primer tekercst!l a szekunder felé?82. Melyek a lineáris üzemmódban m"köd! transzformátor alapegyenletei?83. Melyek a transzformátort a szekunder kivezetésein helyettesít! Thèvenin generátor

paraméterei?84. Hogyan számítható ki a transzformátor bemen! impedanciája?85. Milyen tulajdonságokkal rendelkezik az ideális transzformátor?

86. Milyen helyettesít! vázlata (sémája) lehet egy transzformátornak?87. Milyen feltételek mellett alkalmazható a helyettesítési vázlat egy adott transzformátorra?88. Hogyan néz ki a transzformátor helyettesít! sémája, amely egy négypólust és egy ideális

transzformátort tartalmaz?89. Hogyan számíthatók ki a vázlat négypólusának paraméterei?90. Mi az autotranszformátor?9#. Hogyan szólnak az autotranszformátor alapegyenletei?92. Mib!l áll az egyszer " (soros) rezg!kör?93. Milyen feltétel kielégítése mellett jutunk el a Thomson képlethez (a rezonáns körfrekvencia

értékéhez)?94. Hogyan változik az áram effektív értéke és kezd!fázisa a körfrekvencia-függvényében?

95. Milyen jelleg" a soros RLC-kör a rezonáns körfrekvencia alatti körfrekvenciákon, és milyenfelette?

96. Mivel egyenl! az egyszer " rezg!kör sajátfrekvenciája?97. Milyen jelleg" fogyasztóként viselkedik a soros rezg!kör a rezonanciafrekvencián?98. Mekkora a kondenzátor és a tekercs feszültsége az $0 körfrekvencián?99. Miért hívják feszültség rezonanciának is ezt a fajta rezonanciát?#00. Mikor beszélhetünk túlfeszültségr !l?#0#. Mit nevezünk a rezg!kör lehangoltságának?#02. Mi a rezg!kör sávszélessége?#03. Hogyan számítható ki a sávszélesség?#04. Mi a rezg!kör jósági tényez! je?#05. Mi az összefüggés a sávszélesség és a jósági tényez! között?#06. Mib!l áll egy vegyes párhuzamos rezg!kör?#07. Mi az antirezonáns körfrekvencia és hogyan határozható meg?#08. Hogy hívják a párhuzamos rezg!kör m"ködését az ω0 frekvencián?#09. Miért hívják áram rezonanciának is ezt a rezonanciát?##0. Milyen frekvenciákon és milyen feltételek mellett alakítható át a vegyes párhuzamos

rezg!kör tiszta párhuzamos rezg!körré?###. Milyen jelleg" a párhuzamos RLC-kör az antirezonáns körfrekvencia alatti

körfrekvenciákon, és milyen felette?##2. Mi a tiszta párhuzamos rezg!kör jósági tényez! je?##

3. Mit mutat meg hozzávet!

legesen a jósági tényez!

számértéke?##4. Hogyan jellemezhet!k a többfázisú rendszerek?##5. Ki szabadalmaztatta a polifázisú rendszereket?##6. Milyen többfázisú rendszereket használnak manapság?##7. Hogyan m"ködik a háromfázisú generátor?##8. Hány kivezetése van a háromfázisú generátoroknak?##9. Milyen a háromfázisú generátor fázisfeszültségeinek fazorábrája?#20. Mi mondható el a háromfázisú generátor tekercseinek csillagkapcsolása esetén?#2#. Milyen feszültségek definiálhatók a csillagkapcsolású generátoroknál?#22. Mi a vonal- és fázisfeszültség közötti összefüggés?#23. Mekkora a városi hálózat vonal- és fázisfeszültségének (névleges) értéke?

#24. Mi mondható el a háromfázisú generátor tekercseinek háromszög kapcsolása esetén?#25. Milyen feszültségek definiálhatók a háromszög kapcsolású generátoroknál?#26 Miért van szükség a távvezetékeknél a fázisvezetékek keresztezésére?



#27. Hogyan kapcsolhatók a fogyasztók a háromfázisú táplálásra?#28. Csillagba kötött szimmetrikus háromfázisú fogyasztó esetében milyen a háromfázisú

hálózat analízise?#29. A háromszögbe kötött szimmetrikus háromfázisú fogyasztó esetében hogyan oldható meg

a háromfázisú hálózat?#30. Mi az összefüggés a fázisáramok és összetett áramok között a háromszögbe kötött

fogyasztó esetében?#3#. Hogyan számítható a háromfázisú fogyasztók (terhelések) és generátorok teljesítménye?#32. Milyen a szimmetrikus háromfázisú fogyasztó (pillanatnyi) teljesítménye?#33. Mekkora a szimmetrikus háromfázisú fogyasztó hatásos és medd! teljesítménye?#34. Mekkora a szimmetrikus háromfázisú fogyasztó hatásos és medd! teljesítménye a

vonalfeszültség és a fázisáram függvényében?#35. Hogyan fejezhet! ki a háromfázisú generátor hatásos és medd! teljesítménye?#36. Melyek a háromfázisú táplálás el!nyei?#37. Hogyan m"ködnek a szinkronmotorok?#38. Milyen az indukciós motorok m"ködési elve?#39. Hogyan állítható el! forgó mágneses tér kétfázisú áram segítségével?

#40. Mekkora a fázisáramok közötti késés a forgó mágneses teret létrehozó kétfázisúrendszerben?

#4#. Hogyan változik a létrehozott forgó mágneses tér (az ered! B vektor) intenzitása ésiránya az id! függvényében?

#42. Hogyan állítható el! forgó mágneses tér háromfázisú áram segítségével?#43. Hogyan változik a háromfázisú áram segítségével létrehozott forgó mágneses tér (az

ered! B vektor) intenzitása és iránya az id! függvényében?#44. Hogyan változtatható meg a forgó mágneses tér forgásiránya?#45. Mikor találkozunk üzemmódváltozással egy villamos hálózatban?#46. Milyen “fajsúlyú” feladat az átmeneti jelenségek analízise?#47. Milyen egyenlettel írható le az RC-kör üzemmód-változása?#48. Milyen részekb!l áll az üzemmód-változást leíró egyenlet általános megoldása?#49. Melyik megoldás-rész írja le a hálózat saját viselkedését?#50. Hogyan hívják azt a megoldásrészt, amelyik a tranziens jelenségeket követ! stacionárius

állapotot írja le?#5#. Milyen alakú megoldást tételezünk fel a homogén egyenletre?#52. Hogyan határozható meg az exponenciális tag kitev! jében lev! paraméter?#53. Milyen alakú parciális megoldást tételezünk fel, ha egyenfeszültség" a gerjesztés?#54. Mi alapján határozható meg az általános megoldás egyetlen paramétere?#55. Milyen az áram változása az RC-kör egyenfeszültségre kapcsolásakor?#56. Hogyan nevezik, és mi a jele az RC szorzatnak?#

57. Minek nevezik az#

/(RC) kifejezést?#58. Meddig tartanak a tranziens jelenségek?#59. Milyen a feszültség változása a kondenzátor fegyverzetein az átmeneti jelenségek ideje

alatt?#60. Milyen egyenlettel írható le a kondenzátor kisütése?#6#. Hogyan változik a kisütési áram az id! függvényében?#62. Hogyan változik a kondenzátor feszültsége a kisütés folyamán?#63. Mivé alakul a kondenzátor fegyverzetei között felhalmozódott energia az RC-kör

rövidrezárásakor?#64. Mi a különbség az RC-kör váltófeszültségre kapcsolásánál az egyenfeszültségre

kapcsoláshoz viszonyítva?

#65. Milyen megoldási módszer vezet leggyorsabban a parciális megoldáshoz?#66. Melyik a legkedvez! bb pillanat (feltétel) az RC-körnek a váltófeszültség" gerjesztésre

kapcsolásához (milyen alakú lesz az áram akkor a tranziens állapotban)?



#67. Melyik a legkedvez!tlenebb feltétel az RC-kör váltófeszültségre kapcsolásának?#68. Milyen egyenlet írható fel a gerjesztett RL-körre az átmeneti (tranziens) állapotban?#69. Milyen alakú az el!z! kérdésben keresett egyenlet?#70. Milyen az áram id!függése az RL-kör egyenfeszültség" gerjesztésre kapcsolásakor?#7#. Hogyan változik az induktív tekercsen és az ellenálláson mérhet! feszültség az RL-kör

egyenfeszültségre kapcsolásakor?

#72. Az RL-kör rövidrezárásának átmeneti állapotára milyen egyenlet írható fel?#73. Hogyan változik a rövidrezárt RL-kör árama?#74. Az RL-kör váltófeszültségre kapcsolásakor mit kell els!ként kiszámolni?#75. A váltófeszültségre kapcsolt RL-kör esetében mit!l függ a sinusos változású áram

kialakulásának folyamat?#76. Melyik a legkedvez! bb pillanat a sinusos változású generátor RL-körre való

kapcsolására?#77. Melyik a legkedvez!tlenebb pillanat a válófeszültség" gerjesztés RL-körre kapcsolásának?



284

1. MELLÉKLET

1.1. Ferromágneses anyagok mágnesezési görbéi

7.1. ábraA 7.1. ábrán a három talán leggyakrabban használt ferromágneses anyag mágnesezési görbéje

látható. A megfelel! H érték úgy kapható meg a mágnesezési görbér !l, hogy a tengelyr !l leolvasott

értéket beszorozzuk a mágnesezési görbéhez legközelebb álló számértékkel (forrás: [5])

1.2. Alapmágnesezési görbék

7.2. ábra

0

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

Dinamólemez

Transzformátorlemez

Acéllemez (0.4% Si)

H(A/m)

B(T)

1

10

100

0

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1200 1400

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

Si acél lemez

Öntött vas

100

10

100 1

10

1H(A/m)

B(T)

Öntött acél



285

A 7.2. ábrán három lágymágneses anyag els! mágnesezési görbéje (mágnesezési alapgörbének is hívják) látható. A mágneses térer !sség vektorának (H) értéke itt is a 7.1. ábránál leírt módonkapható meg a mágnesezési görbér !l: a tengelyr !l leolvasott H értéket beszorozzuk a mágnesezésigörbéhez legközelebb álló számértékkel (forrás: [5])

1.3.

Lemágnesezési görbe

7.3. ábraA 7.3. ábrán látható lemágnesezési görbe és energia-szorzat (|BH|) görbe az Alnico V (51%Fe,

24%Co, 14%Ni, 8%Al, 3%Cu) keménymágneses anyagra vonatkozik (forrás: [5]).

1.4. Ferromágneses anyagok relatív permeabilitása

Az anyag neve Az anyag összetétele µµµµrkezdõ µµµµrmax

Vas kis széntartalmú 250 6 000 Nagy tisztaságú vas kb. 99,99%Fe 25 000 275 000Öntöttvas 3% C 70 600Permalloy 79%Ni,16,4%Fe,

4%Mo, 0,6%Mn22 000 72 000

Szupermalloy 79%Ni,15%Fe,5%Mo, 1%Mn

100 000 300 000

Acél 1% C 40 7 000Dinamólemez 500 7 000Silícium acél I 95,5%Fe,4,5%Si 750 8300Silícium acél II 99%Fe,1%Si 350 52000

Alnico 63%Fe, 20%Ni,12%Al, 5%Co 4 7 300

Permendur 50%,50%Co 800 5000

-40000 -20000 0 20000 40000

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25 B(T)

|BH|(J/m 3)

|BHM AX



286

1.5. Paramágneses anyagok relatív permeabilitása

Az anyag neve µµµµr

Leveg! 1,000 000 4Alumínium 1,000 023Wolfram 1,000 176

Ebonit 1,000 014Kálium 1,000 210Oxigén 1,000 002Platina 1,000 250 Nátrium 1,000 008Króm 1,000 33Mangán 1,000 017Ón 1,000 002Vanádium 1,000 343

A paramágneses anyagoknál, mint ismeretes a mágneses szuszceptibilitás értéke nagyobbnullánál, így a relatív permeabilitás nagyobb egynél (a számításoknál általában egynek veszik). Arelatív permeabilitásértékek forrása: [39].

1.6. Diamágneses anyagok relatív permeabilitása

Az anyag neve µµµµr

Aceton 0,999 994 2Benzol 0,999 992 5Hidrogéní 0,999 999Bizmut 0,999 824Réz 0,999 989Glicerin 0,999 99 Naftalin 0,999 989Ólom 0,999 984Üveg 0,999 987Etilalkohol 0,999 993Metilalkohol 0,999 993

A diamágneses anyagok mágneses szuszceptibilitása kisebb mint nulla, így a relatív permeabilitás értéke egynél valamivel kisebb (a számításoknál, a paranágneses anyagokhozhasonlóan, általában egynek veszik). A relatív permeabilitásértékek forrása: [39].



287

1.7. Egyes anyagok relatív permittivitása

Az anyag neve εεεεr

Leveg! 1,000 581 Nitrogén 1,000 606Oxigén 1,000 552Hidrogén 1,000 264Metán 1,000 950Hélium 1,000 070Papír 2 – 2,5Csillám 7Kvarcüveg 3 – 4,5Tiszta víz 80,4PVC 3 – 4Glicerin 56Gumi (különféle) 2 – 35

Prespán 5,5 – 8,0Márvány 8,3Jég 2,85 – 3,2Teflon 2Parafin 2,2 – 2,5Alkohol 28,4Magnézium-szilikát-tartalmú kerámia 5,5 – 6,5Szigetel!olaj 2,2 – 2,4Bárium-titanát 1000 - 2000

1.8. Szigetel!anyagok átütési szilárdsága

Az anyag neve Ek [[[[kV/mm]]]]Leveg! 2,5 – 3,0Üveg 10 – 40Száraz papír 3 – 20Impregnált papír 20 – 50Szigetel!olaj 8 – 20PVC 32 – 60Gumi 20 – 40

Porcelán 20 – 300Kerámia 1 – 45Prespán 30 – 60



288

1.9. Fémek fajlagos ellenállása és ellenállásh!mérsékleti tényez!i1

Az anyag neve ρρρρ0[[[[ΩΩΩΩm]]]]

(××××10-8)αααα[[[[1/°°°°C]]]]

(××××10-3)ββββ[[[[1/°°°°C2]]]]

(××××10-6)γ γγ γ[[[[1/°°°°C3]]]]

(××××10-9)Ezüst 1,505 3,890 0,000 0,000

Réz 1,588 4,270 0,000 0,000Arany 2,190 3,650 0,000 0,000Alumínium 2,620 4,460 1,800 0,000Wolfram 5,000 5,238 0,700 0,062Cink 5,640 3,468 1,160 0,000 Nikkel 6,930 5,440 6,000 0,000Vas 8,530 7,257 9,630 0,000Platina 9,830 3,981 -0,585 0,000Ón 10,480 4,359 2,400 0,000Ólom 19,800 3,955 2,650 0,000

Higany 94,070 0,910 0,811 0,000

1.10. Szigetel!anyagok fajlagos ellenállása2

Az anyag neve ρρρρ [[[[ΩΩΩΩm]]]]

Üveg 109 – 1015

Csillám 1013 – 1014

Porcelán 1012 – 1013

Keménypapír 107 – 108 Kaucsuk 1014

Fenolgyanta 108 – 1010

Polietilén 1013 – 1016

Polisztirol 1012 – 1018

PVC – lágy 1010 – 1012

PVC – kemény 1012 - 1014

1 Az értékek 0°C-ra érvényesek. Forrás: [5]2 Az értékek 20°C-ra érvényesek. Forrás: [36]



289

1.11. Ellenállás-alapanyagok fajlagos ellenállása és h!mérsékletitényez! je3

Az anyag neve Az anyag összetétele ρρρρ [[[[ΩΩΩΩm]]]]

(××××10-8)αααα[[[[1/°°°°C]]]]

(××××10-3)Konstantan 60%Cu, 40%Ni 49 -0,0400Manganin 84%Cu, 12%Mn, 4%Ni 43 ±0,0100 Nickelin 55%Cu, 25%Ni, 20%Zn 40 – 45 0,1500 – 0,3000Cronix 80%Ni, 20%Cr 112 0,0750Krómnikkel 60%Ni, 12%Cr, 28%Fe 137 0,0002Aluchrom 20%Cr, 5%Al, 75%Fe 137 0,0500Messzing 60%Cu, 40%Zn 7,5 1,6000Reotan 53%Cu, 25%Ni, 17%Zn, 5%Fe 52,5 0,4000

1.12. A tankönyvben alkalmazott trigonometrikus összefüggések

1. sin2αααα + cos2αααα = 12. sin(αααα±±±±ββββ) = sinαααα⋅⋅⋅⋅cosββββ±±±± cosαααα⋅⋅⋅⋅ sinββββ3. cos(αααα±±±±ββββ) = cosαααα⋅⋅⋅⋅cosββββ!!!! sinαααα⋅⋅⋅⋅ sinββββ4. sin2αααα = 2⋅⋅⋅⋅sinαααα⋅⋅⋅⋅cosαααα5. cos2αααα = cos2αααα - sin2αααα

6. 2⋅⋅⋅⋅sinαααα⋅⋅⋅⋅ sinββββ = cos(αααα - ββββ) - cos(αααα + ββββ)7. 2⋅⋅⋅⋅cosαααα⋅⋅⋅⋅cosββββ = cos(αααα - ββββ) + cos(αααα + ββββ)8. 2⋅⋅⋅⋅sinαααα⋅⋅⋅⋅cosββββ = sin(αααα - ββββ) + sin(αααα + ββββ)

9. 2cos

2sin2sinsin β α β α β α −⋅+⋅=+

10. 2

sin2

cos2sinsin β α β α

β α −

⋅+

⋅=−

11. 2

cos2

cos2coscos β α β α

β α −

⋅+

⋅=+

12. 2

sin2

sin2coscos β α β α

β α −

⋅+

⋅−=−

13. 2

cos-1

2sin

α α =

14. 2cos1

2cos

α α +=

3 Az értékek 20°C-ra értend!k, és -50°C-tól +900°C-ig a β és a γ h!mérsékleti tényez!k értéke elhanyagolhatóan kicsi.



290

1.13. A tankönyvben használt állandók értékei

Az állandó neve Jelölése ÉrtékeA fény terjedési sebessége a vákuumban c 299 792 485 m/sA proton tömege m p 1,6726231·10-27 kgA neutron tömege mn 1,6749286·10-27 kgAz elektron tömege me 9,1093897·10-31 kgAz elektron töltése e 1,60217733·10-19 CA vákuum permittivitása "0 1/(#0c

2) F/m ≈ 8,85·10-12 F/mA vákuum permeabilitása #0 4$·10-7 H/mGravitációs állandó G(γ ) 6,67259·10-11 N⋅m2/kg2

Szabadesési gyorsulás g 9,80665 m/s ≈ 9,81 m/sAvogadro-szám NA 6,0221367·1023 1/molAbszolút nulla fok T0 -273,16 °CA víz fagyás-olvadáspontja TV 273,16 K Abszolút nulla fok T0 -273,16 °C

π 3.141592653589e 2.718281828459



291

2. IRODALOM

1. Simonyi Károly: Villamosságtan, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1973.2. Simonyi Károly: Elméleti villamosságtan, Tankönyvkiadó, Budapest, 1973.

3. Simonyi Károly: Elektronfizika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1973.4. Fodor György: Elméleti elektrotechnika I-II, Tankönyvkiadó, Budapest, 1979.5. Branko Popovi%: Osnovi elektrotehnike I-II-III-IV, Nauka, Beograd, 1976.6. Bakos I., Balczó Z.: Villamosságtan er !sáramú mérnököknek, M&szaki Könyvkiadó,

Budapest, 1981.7. Selmeczi K., Schnöller A.: Villamosságtan példatár, KKMF-1124 Budapest,1996.8. William H. Hayt, Jr.: Engineering Electromagnetics, McGraw-Hill Book Company, New

York,1988.9. Jovan Surutka: Elektromagnetika, Gradjevinska knjiga, Beograd, 1975.10. Branko Popovi%: Zbornik problema iz elektromagnetike, Gradjevinska knjiga, Beograd, 1972.11. Radoslav Horvat: Teorija elektri'nih kola, Nau'na knjiga, Beograd, 1970.

12. Radoslav Horvat: Sinteza elektri'nih mreža, Nau'na knjiga, Beograd, 1970.13. Dušica (alovi%: Rešeni problemi iz teorije elektri'nih kola, Minerva, Subotica-Beograd, 1975.14. Géher Károly: Lineáris hálózatok, M&szaki Könyvkiadó, Budapest, 1975.15. P. Pravica, I. Bagari%: Metrologija elektri'nih veli'ina, Nauka, Beograd, 1993.16. Viktor Pinter: Osnove elektrotehnike I-II, Tehni'ka knjiga, Zagreb, 1980.17. Csernus Imre: Elektrotechnika I, M&szaki Könyvkiadó, Budapest, 1977.18. Liska J., Retter Gy.: Váltakozó áramok elmélete, Tankönyvkiadó, Budapest, 1956.19. H.Božilovi%, Ž.Spasojevi%, G.Božilovi%: Zbirka zadataka iz Osnova elektrotehnike I-IV,

Nau'na knjiga, Beograd, 1972-75.20. Stanko Tonkovi%: Elektroni'ka mjerna tehnika I, Liber, Zagreb, 1975.21. N.Pekari%-Nadj, V.Brajovi%: Zbirka rešenih ispitnih zadataka iz Osnova elektrotehnike,

Gradjevinska knjiga, Beograd, 1996.22. A.Djordjevi%, G.Božilovi%, B.Notaroš: Zbirka rešenih ispitnih zadataka iz Osnovaelektrotehnike I, Elektrotehni'ki fakultet, Beograd, 1997.

23. I.Felja, D.Kora'in: Zbirka zadataka i riješenih primjera iz Osnova elektrotehnike I-II, Školskaknjiga, Zagreb, 1974.

24. E.Šehovi%, M.Tkali%, I.Felja: Osnove elektrotehnike – zbirka primjera I-II, Školska knjiga,Zagreb, 1989.

25. M.Ranojevi%: Zbirka zadataka iz Osnova elektrotehnike, Gradjevinska knjiga, Beograd, 1969.26. Aleksandra Gavrilovi%: Osnovi elektrotehnike – zbirka rešenih zadataka, VETŠ, Beograd,

1995.27. Dragan Kandi%: Elektrotehnika – zbirka zadataka I, Nauka, Beograd, 1995.

28. Nagy Károly: Elektrodinamika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1968.29. Litz József: Elektromosságtan I – kézirat, Tankönyvkiadó, Budapest, 1983.30. Prónay G., Solymosi J., Trón T.: Példatár a lineáris hálózatokhoz – kézirat, Tankönyvkiadó,

Budapest, 1977.31. Fodor György: Villamosságtan 1-10 füzet, Tankönyvkiadó, Budapest, 1978-79.32. Szarka Zoltán: Vektoranalízis és tenzoralgebra, SZÁMALK-LSI, Budapest, 1988.33. Blažo Borozan: Elektrotehnika, VTŠ Užice, 1996.34. Simony Károly: A fizika kultúrtörténete, Gondolat, Budapest, 1986.



Documents

A Villamosságtan Alapjai