A12 Kruto Tijelo PROSTOkruto teloR

19.12.2011 . Lozina: Mehanika 3, FESB 1

DINAMIKA TIJELAu PROSTORU

Jednadbe gibanja


Vektorski pristup i gibanje tijelaTijelo je sustav estica, pa za njega vrijede sve ope jednadbe izvedene za sustav estica.

Za tijelo u prostoru vrijede i do sada izvedene vektorske jednadbe gibanja za tijelo u ravnini na koje nisu postavljana posebna ogranienja u vezi prostora. Slijedi pregled:


Tijelo je sustav estica=F G& G GM = H& 1 2 e gW T V V = + +

Ponavljanje


Kruto tijelo

Razmak izmeu proizvoljno odabranih estica krutog tijelase ne mijenja

Ponavljanje


KINEMATIKA: Brzina ope estice tijela

{/i G

i G iv

v = v +

G

rG

ri

ivGvi/G

vi/G

vG

vi=vG+vi/G

vi

Ponavljanje


Neovisnost koliine gibanja o kutnoj brzini

( )i i

i G i

G i i

G

m

m

m m

m

=

= +

= +

=

G vG v G v G v

Ponavljanje


Neovisnost Momenta koliine gibanja o brzini centra mase

( )( ) ( )

( )

G i i i

G i i G i

G i i G i i i

G i i i

m

m

m m

m

=

= +

= +

=

H v

H v

H v

H

Ponavljanje


Formalna slinost momenta koliine gibanja za nepominu toku tijela O i centar mase G

d

d

Gm

Gm

m

m

=

=

H

H

&

d

d

Om

Om

m

m

=

=

H r v

H r r

Ponavljanje

vG

vi=vG+vi/G

vi

G

i

vi/G

ri

rG

vi/G

vG

O


0

0 00 0 d

0 0

z y

z x

m

y x

z y xz x y m

y x z

=

H

Moment tromosti krutog tijelaNapomena:

0

00 d

0

z y

z x

m

y x

z y y zz x x z m

y x x y

= +

H

( )0d dmH = r rU matrinom obliku je:

Ponavljanje


( ) ( )( ) ( )

( ) ( )0 d

z x y x

z y y xm

z y z x

z x z y x y

z y z x x y m

y y z x x z

+

= +

+

H

2 2

2 20

2 2

dx

ym

z

z y xy xzyx x z yz mzx zy y x

+

= + +

H

0H = I

Ponavljanje


xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

I I II I II I I

=

I

( )( )

( )

2 2

2 2

2 2

d d d

d d d

d d d

m m m

m m m

m m m

z y m xy m xz m

yx m x z m yz m

zx m zy m y x m

+

= +

+

I

Gdje je: Ponavljanje


( )2 2 dd

d

xx

m

xym

xz

m

I z y m

I xy m

I xz m

= +

=

=

I gdje je:

Ponavljanje


Kinetika energija12 i i ii

T m= v v

i G i= + v v

( ) ( )12 i G i G ii

T m= + + v v

Ponavljanje


( ) ( )121 22

i G i G ii

i G Gi

T m

T m

= + +

= +

v v

v v12

( ) ( ) ( )0

12

i i

i G i i i ii i

m m

+

v

1442443 14444244443

( ) ( )1 12 2i i i i i ii i

m m =

Prelaskom u matrini oblik je:

1 12 2

Ti i i i i i

i im T mH I I = =

Ponavljanje


1 12 2

T TG GT m= +v v I

Konano, u matrinom obliku Kinetika energija je:

Ponavljanje

1 12 2

T TG GT v G H= +


Primjer 1: Odredi matricu momenta tromosti tapa za centralne osi. Poznato: l, m.

Ponavljanje


m mdm Adx dxAL L

= =

2 2

3 222 2 2

22

2 2 2

( ) 0

( )3 12

( )12

xx

m

L

yyL

m L

zz

m L

I y z dm

m m x mLI z x dm x dxL L

m mLI x y dm y dxL

= + =

= + = = =

= + = =

0

0

0

xym

yzm

zx

m

I yxdm

I zydm

I xzdm

= =

= =

= =

Ponavljanje


2

2

0 0 0

0 012

0 012

mL

mL

=

I

Konano, matrica tromosti tapa je:

Ponavljanje


Primjer 2: Odredi matricu momenata tromosti diska za centralne osi. Poznato: R, m.

y

x

z

G

R


2

4

m mdm LdA dAdAL pi

= =

( ) ( )2 2 2 22 24 2

2

2

4 4

32 84

2

Axx P

m A

xx

xx

m mI y z dm y z dA Jd d

m d mdId

mRI

pi pi

pi

pi

= + = + =

= =

=


Konano, matrica tromosti diska je:

2 2zzI y x= +( ) 2

m m

dm y dm=

2

2

2

0 02

0 04

0 04

mR

mR

mR

=

I

( ) ( )2 2 2 2zz yy

xx

m m m

I I

I y z dm y dm z dm= + = + 123 14243

2 2yyI z x= +( ) 2

m m

dm z dm=

2

2 4xx

yy zzI mRI I= = =

yy zzI I=


Jednadbe gibanja 1

=M H&Gm=F r&&


Jednadbe gibanja 2

xyz

ddt

= +

HH H&

xyz

ddt

= +

= +

HH H

H I I

%&

%& &

Matrino:


Jednadbe gibanja 2aIlustracija:

( ) {d

d d d /d

dd

xyz

xyz

t t

t

= +

= +

H H H

HH H&

+

H

(dH)xyz

x Hdt

dt

(dH)xyz x Hdt


Jednadbe gibanja 30

00

x xx xy xz x z y xx xy xz x

y yx yy yz y z x yx yy yz y

z zx zy zz z y x zx zy zz z

M I I I I I IM I I I I I IM I I I I I I

= +

&

&

&

00

0

x xx x z y xx x

y yy y z x yy y

z zz z y x zz z

M I IM I IM I I

= +

&

&

&

( )( )( )

x xx x yy zz y z

y yy y zz xx z x

z zz z xx yy x y

M I I I

M I I I

M I I I

=

=

=

&

&

&

Za glavne osi tijela je:


Primjer 1: Pojasni fizikalno znaenje momenata tromosti i devijatorskih momenata tromosti na primjeru na slici. Sustav ima jedan stupanj slobode gibanja: osovina se vrti samo oko osi z.


2

2 2

2

00 ( ) 0

0

ma mar

m a r

mar mr

= +

I

O O O= +M I I %2

2 2

2

2

2 2

2

0 00 ( ) 0 0

0

0 0 0 0 0 0 0 ( ) 0 0

0 0 0 0

x

y

z z

z

z

z

M ma marM m a rM mar mr

ma mar

m a r

mar mr

= + +

+ +

Rjeenje:


2

2

00

0

x

y z z

z

M marM marM mr

= +


Primjer 2: Robot rotira sastavljenu elinu plou debljine t, prema slici, oko nepomine toke O zadanom brzinom i ubrzanjem . Odredi moment M kojim hvataljka rotira plou oko toke O, potrebnu snagu P za zadanu rotaciju i trenutnu kinetiku energiju T sastavljene ploe.Poznato: a=1m , b=0.8m , h=0.5m , t=0.02m , = -5i+9j1/s2, = 6i-4j 1/s, =7.9kg/m3, m1=0.126kg, m2=0.063kg


2 2 21 2 1

2 21 1 2 2

O

2 2 22 1 2

O

( ) 03 3 4

4 3 3 4( )0

4 3 30.0456 0.025 0

0.025 0.0472 0.00630 0.0063 0.0823

m b m b h m ab

m ab m a m h m bh

m bh m a b m b

++

= + =

+ +

=

I

I

Rjeenje:


( )

12

O 1

1 2

O 1

2 20

200

2

2

x

y

z

x

y

z

bm g b

m gMaM m g

M

bM m m g

aM m g

M

= + +

+

= +

M

M

0

0.5540.3980.595

x

y

z

MMM

= +

M


O O O= +M I I %

0.554 0.0456 0.025 0 50.398 0.025 0.0472 0.0063 90.595 0 0.0063 0.0823 0

0 0 4 0.0456 0.025 0 0 0 6 0.025 0.0472 0.0063

4 6 0 0 0.0063 0.0823

x

y

z

MMM

+ = +

+

64

0

0.1870.090 Nm

0.59

x

y

z

MMM

=


Snaga robota:

0.1876 4 0 0.090

0.590.208 W

x

Tx y z y

z

MP M

M

P

P

= =

=

=

M


Trenutna kinetika energija sloene ploe (toka O je trenutni pol brzina):

12

0.0456 0.025 0 61 6 4 0 0.025 0.0472 0.0063 42

0 0.0063 0.0823 03.6288 Nm

TOT

T

T

=

=

=

I


Primjer 3: Rotacije slobodnog tijela u prostoru: Zadano je slobodno tijelo u prostoru (kojem centar mase miruje, to nije bitna pretpostavka, ve je vezana uz percepciju) s matricom tromosti I s poetnom kutnom brzinom .Prikazati Poinsotovu konstrukciju polhoda i komentirati stabilnost gibanja.Napomena: Razmatranje vrijedi i za tijelo oslonjeno u centru mase u homogenom gravitacijskom polju.


Rjeenje:Poinsotova konstrukcija se oslanja na princip ouvanja momenta koliine gibanja (nema vanjskih momenata):

0G

G

konstHH

=

=&

E T V= +0

konstT

=

=&

( )( )

2 2 21 1 2 2 3 3

2 2 21 1 2 2 3 3

12

2

T I I I

T I I I

= + +

= + +

1 1 1 2 2 2 3 3 3G I I IH e e e = + +

U glavnim osima je:

I Princip ouvanja mehanike energije (vanjske sile ne vre rad):

kao i:


Moment koliine gibanja je ouvan samo u inercijskom koordinatnom sustavu:

GG GH H H= + o

&

0

0

G

G G

G G

H

H H

H H

=

= +

=

o

o

&

gdje krui oznaava lokalnu (materijalnu) vremensku derivaciju, pa je:

Lako se uvjeriti da vrijedi:2 GT H =


Osim toga vrijedi:

22 231 2

1 2 3

12 2 2T T TI I I

= + +

( )2 G GT H H

= =

Uoimo elipsoid u materijalnom koordinatnom sustavu:

odakle zakljuujemo da je vektor momenta koliine gibanja HG okomit na tangencijalnu ravninu elipsoida u toki trenutne kutne brzine, to se sve moe ilustrirati slikom:


HG

12

= konst

12T

I

.

1 2 31 2 3

GTT T TT

H

e e e

= = + +

plhode

herplhode


Djelomina analiza stabilnosti gibanja: Od interesa je analizirati gibanje kutnom brzinom koja je paralelna momentu koliine gibanja HG.

( )00

G

G

G

H I

I E

=

=

=

U sluaju kada nema vanjskog momenta, tijelo se vrti slobodno (po inerciji) jednadba gibanja u glavnim osima tijela je (centralni materijalni koordinatni sustav u smjeru glavnih osi tijela):

1 1 2 3 2 3

2 2 3 1 3 1

3 3 1 2 1 2

0 ( )0 ( )0 ( )

I I II I II I I

=

=

=

&

&

&

1 1 2 3 2 3

2 2 3 1 3 1

3 3 1 2 1 2

( )( )( )

I I II I II I I

=

=

=

&

&

&

2 31 2 3

1

3 12 3 1

2

1 23 1 2

3

( )

( )

( )

I II

I II

I II

=

=

=

&

&

&


2 3 2 330 20

1 11 1

3 1 3 12 30 10 2

2 23 3

1 2 1 220 10

3 3

( ) ( )0

( ) ( )1 02

( ) ( ) 0

I I I II I

I I I II I

I I I II I

=

&

&

&

a) 1 2 30 0 0 = = 1 2 30 0 0 = =1 2 30 0 0 = =

b) c)


odakle slijedi da je gibanje stabilno, tj. oscilira oko trenutnog poloaja (vektor brzine

2 3 2 330 20

1 1

( ) ( )0 I I I II I

J

=3 1 3 1

30 102 2

( ) ( )0I I I II I

1 220

3

( )I II

1 2

103

( )I II

2 330

1

3 130

2

( )0 0

( ) 0 0

0 0 00

I II

I II

=

( )( )1

2 3 3 12/ 3

2 3

0

I I I Ii

I I

=

= =

a) Tangentna (Jacobieva) matrica u ovom sluaju je:Pripadne svojstvene vrijednosti su:


b) U ovom sluaju:2 3

201

1 230

3

( )0 0

0 0 0( ) 0 0

I II

JI I

I

=

( )( )1

2 3 1 22/3

1 3

0

I I I II I

=

= =

odakle slijedi da je ovo prijelazno gibanje kroz os 2, kutna brzina samo prolazi kroz os 2.

c) Za os 1 se dobiju kompleksni korjeni to svjedoi o stabilnosti gibanja kao za os 3 (vektor brzine krui oko osi 1).


Ove rezultate potkrepljuje slika polhoda:

Slika 3: Polhode na elipsoidu kutnih brzina u materijalnom sustavu

1

3

2

Vidi video: YouTube: polhode


Primjer 4: Pokai da svako slobodno tijelo sa zadanom poetnom kutnom brzinom u realnim uvjetima gubitka energije tei vrtnji oko glave osi I1 (osi najvie tromosti).


Rjeenje:Za sve izolirane sustave pa tako i slobodno tijelo koje se giba vrijedi prvi zakon termodinamike:

E T V= +

Q konst+ =

12 G

T H = {12 G

konst

T H =

G GH I = {G Gkonst

H I =

Vidi video: YouTube: stable rotation


Posebni sluajevi gibanja tijela Sferno gibanja Prostorna translacija Gibanje u paralelnim ravninama Vrtnja oko nepomine osi Ravninsko gibanje


Prostorna translacijax x y y z zF ma F ma F ma= = =

00

0

x xx xy xz x z y xx xy xz x

y yx yy yz y z x yx yy yz y

z zx zy zz z y x zx zy zz z


= +

&

&

&

Sferno gibanje


Gibanje tijela u paralelenimravninama

000

x

y

z

v

v

v

=

00

x y

z

= =


0x x y y zF ma F ma F= = =

0 0 0 00 0 0 0

0 0 0

x xx xy xz z xx xy xz

y yx yy yz z yx yy yz

z zx zy zz z zx zy zz z


= +

&

Jednadbe gibanja sada glase:

2

0

x xz yz

y z yz z xz

z zz

M I IM I IM I

= +

&


Vrtnja oko nepomine osi

2N z

T z

a r

a r

=

=

Vrtnja oko nepomine osi se moe promatrai kao gibanje u paralelnim ravninama.


2 0x z y z zF m r F m r F = = =

2

0

x xz yz

y z yz z xz

z zz

M I IM I IM I

= +


Ravninsko gibanje Ravninska Translacija Vrtnja oko nepomine toke (osi) Ope ravninsko gibanje

x x y yF ma F ma= =

0xz yzI I= =

z zz zM I = &9.12.2011 . Lozina: Mehanika 3, FESB 54

Ogledna pitanja i zadaci 1 Pojasni pojam glavne osi tromosti tijela. Prikai moment koliine gibanja (kinetiki

moment) tijela preko matrice tenzoratromosti i vektora kutne brzine.

Da li se pri gibanju tijela vektor momenta koliine gibanja poklapa po pravcu s vektorom kutne brzine?

10


Ogledna pitanja i zadaci 2 Da li postoje okolnosti pod kojima se pri

gibanju tijela vektor momenta koliine gibanja poklapa po pravcu s vektorom kutne brzine?

Pojasni fizikalno znaenje devijatorskogmomenta tromosti na odabranom primjeru.

Eulerove jednadbe gibanja.


Ogledna pitanja i zadaci 3 Da li jednadbe gibanja tijela moemo postaviti u

lokalnom koordinatnm sustavu tijela i zato? U inercijskom sustavu, pri gibanju tijela u opem

sluaju, moment tromosti krutog tijela se stalno mijenja. Kako prevladavamo tu potekou pri postavljanju jednadbi gibanja.

Pojasni izraz za punu vremensku derivaciju vektora prikazanog u pominom koordinatnom sustavu.


Ogledna pitanja i zadaci 4 Zadano je tijelo (matrica tenzora tromosti)

te vektori kutne brzine i ubrzanja. Odredi moment koji uzrokuje to gibanje.

Zadano je tijelo (matrica tenzora tromosti) te vektori kutne brzine i ubrzanja. Odredi trenutni moment koliine gibanja H i trenutnu kinetiku energiju T.


Ogledna pitanja i zadaci 5 Slobodno gibanje tijela u prostoru Poinsotova

konstrukcija Da li je slobodna vrtnja tijela u prostoru stabilna

oko svake glavne osi tijela? Objasni pojavu da se tijelo, koje se u realnim

uvjetima u prostoru slobodno vrti oko najmanje osi tromosti, nakon odreenog vremena pone vrtiti oko osi s najveim momentom tromosti.


KRAJ

Documents

A12 Kruto Tijelo PROSTOkruto teloR