คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติมคณิตศาสตร เลม ๑

กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตรช้ันมัธยมศึกษาปที่ ๓

ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

จัดทําโดย

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศึกษาธิการ

คร้ังที่หนึ่งพ.ศ. ๒๕๔๘

คําชี้แจง

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี (สสวท.) ไดรับมอบหมายจากกระทรวงศึกษาธิการใหพัฒนาหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2544 ของกลุมสาระ การเรียนรูคณิตศาสตร กลุมสาระการเรียนรูวิทยาศาสตร รวมทั้งสาระการออกแบบและเทคโนโลยี และสาระเทคโนโลยีสารสนเทศในกลุมสาระการเรียนรูการงานอาชีพและเทคโนโลยี ตลอดจน จัดทําสื่อการเรียนรูตามหลักสูตรดังกลาว

คูมือครูเลมนี้เปนสวนหนึ่งของสื่อการเรียนรูตามหลักสูตรของกลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ใชประกอบการเรียนการสอนควบคูกับหนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพิ่มเติมคณิตศาสตร เลม 1 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 3 เพื่อใหครูผูสอนใชเปนแนวทางในการจัดการเรียนรูคณิตศาสตรใหผูเรียนบรรลุมาตรฐานการเรียนรูที่กําหนดไว

ในการจัดทําคูมือครูเลมนี้ สสวท. ไดรับความรวมมืออยางดียิ่งจากคณาจารย ผูทรงคุณวุฒิ นักวิชาการและครูผูสอน จากหลายหนวยงานทั้งภาครัฐและเอกชน สสวท. จึงขอขอบคุณทุกทานไว ณ ที่นี้ และหวังเปนอยางยิ่งวาคูมือครูเลมนี้จะเปนประโยชนสําหรับครูผูสอนคณิตศาสตรใหสามารถนําไปใชหรือปรับใชใหเหมาะสมกับศักยภาพของผูเรียน

หากมีขอเสนอแนะใดที่จะทําใหคูมือครูเลมนี้สมบูรณยิ่งขึ้นโปรดแจง สสวท. ทราบดวย จักขอบคุณยิ่ง

(นางนงนุช ชาญปริยวาทีวงศ) รองผูอํานวยการ รักษาการแทน

ผูอํานวยการสถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คําชี้แจงการใชคูมือครู

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีไดพิจารณาเห็นวา เพื่อใหการจัดการเรียนการสอนคณิตศาสตรไดอยางมีประสิทธิภาพและบรรลุมาตรฐานการเรียนรูที่กําหนดไวในหลักสูตรครบถวนทั้งสามดาน ไดแก ดานความรู ดานทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร และดานคุณธรรมจริยธรรมและคานิยม จึงไดจัดทําคูมือครูซ่ึงเสนอแนะแนวการจดักจิกรรมการเรยีนการสอนไวโดยละเอยีดเพือ่ใชควบคูกบัหนงัสอืเรียนสาระการเรยีนรูเพิม่เตมิ คณติศาสตร เลม 1 ช้ันมธัยมศกึษาปที ่3 ดงันัน้ครตูองศกึษาคูมอืครูใหเขาใจถองแท ควรทดลองปฏิบัติกิจกรรมเพื่อใหเกิดความพรอมในการสอนกอนเขาสอนทุกบทเรียน และดําเนินกิจกรรมตามที่เสนอแนะไว ครูอาจปรับเปลี่ยนกิจกรรมและวิธีจัดกิจกรรมการเรียนการสอนไดตามความเหมาะสมโดยคํานึงถึงศักยภาพของนักเรียนเปนสําคัญ

คูมือครูของแตละบทประกอบดวยหัวขอตอไปนี้ 1. ชือ่บทและหวัขอเร่ืองประจาํบท ระบจุาํนวนชัว่โมงทีใ่ชในการเรยีนการสอนของแตละบทและแตละหวัขอไวโดยประมาณ ครูอาจยืดหยุนไดตามที่เห็นสมควร 2. คํานําประจําบท บอกสาระสําคัญของบทเรียนทั่วไป ส่ิงที่ควรปฏิบัติและสิ่งที่ควรย้ํา

3. ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป ในแตละบทเรียนจะระบุผลการเรียนรูที่คาดหวังรายปตามที่ปรากฏอยูในหนังสือคูมือการจัดการเรียนรูกลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ครูตองคํานึงถึงเสมอวาจะตองจดักจิกรรมการเรยีนรูใหนกัเรยีนเกดิผลการเรยีนรูตามทีก่าํหนด เพือ่การวดัและประเมนิผลหลังจบการเรยีนการสอน ผลการเรียนรูที่ผานการประเมินนี้จะทําใหผูเรียนบรรลุผลตามมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้นที่ 3 ดวย

4. แนวทางในการจัดการเรียนรู ในแตละหัวขอยอยของแตละบทไดใหรายละเอียดของหัวขอตอไปนี้

1) จุดประสงค ระบุไวเพื่อใหครูคํานึงถึงเสมอวาจะตองจัดกจิกรรมการเรียนการสอนใหนักเรียนมีความรูและมีความสามารถตรงตามจุดประสงคที่วางไว ซ่ึงจะตองเกิดขึ้นระหวางเรียนหรือดําเนินกิจกรรม ครูตองประเมินผลใหตรงตามจุดประสงคและใชวิธีการประเมินผลที่หลากหลายเพื่อใหบรรลุถึงผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป

การประเมินผลที่หลากหลายอาจเปนการสังเกต การตอบคําถาม การทําแบบฝกหัด การทํากิจกรรม หรือการทดสอบยอย จุดประสงคใดที่ครูเห็นวานักเรียนสวนใหญยังไมผาน ในชั่วโมงตอไปครูควรนําบทเรียนนั้นมาสอนซอมเสริมใหม

2

2) เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม ในบางหัวขอไดระบุรายการกิจกรรมเสนอแนะหรือใบประกอบกิจกรรมไวดังรายละเอียดในขอ 6

3) ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน เปนสวนสําคัญของคูมือครูครูควรศึกษาและทําความเขาใจควบคูกับหนังสือเรียน เพื่อเตรียมจัดกิจกรรมการเรียนการสอนใหสอดคลองกับจุดประสงคและเหมาะสมกับความสามารถของนักเรียน

5. คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม คําถามทุกคําถามในกิจกรรมและแบบฝกหัดทุกขอมีคําตอบใหและบางขอมีเฉลยแนวคิดไวใหเพื่อเปนแนวทางในการหาคําตอบ บางขอมีหลายคําตอบแตใหไวเปนตัวอยางอยางนอยหนึ่งคําตอบ ทั้งนี้เพราะกิจกรรมหรือแบบฝกหัดที่ใหนักเรียนทําไดสอดแทรกปญหาที่เปดโอกาสใหนักเรียนไดสืบเสาะ สังเกต รวบรวมขอมูล วิเคราะห สรางขอความคาดการณและพิสูจนงาย ๆ การเฉลยคําตอบหรือการใหเหตุผลประกอบคําตอบไดคํานึงถึงพื้นฐานความรูและวุฒิภาวะของนักเรียนเปนหลัก การใหเหตุผลหรือคําอธิบายของนักเรียนอาจแตกตางจากที่เฉลยไว ในการตรวจแบบฝกหัดครูควรพิจารณาอยางรอบคอบ ยอมรับคําตอบที่เห็นวามีความถูกตองและเปนไปได ถึงแมวาจะไมเหมือนกับคําตอบที่เฉลยไว ปญหาที่มีลักษณะเปนปญหาชวนคิด มีคําตอบอยูในสวนนี้ดวย 6. กิจกรรมเสนอแนะ บางบทเรียนไดเสนอแนะกจิกรรมทีพ่ฒันาทกัษะกระบวนการทางคณติศาสตรเพือ่ใหครูเลือกใช ในแตละกจิกรรมครอูาจปรบัเปลีย่นใหเหมาะสมกบัเวลาและความสามารถของนักเรียน

กอนดําเนินกิจกรรม ครูควรสนทนากับนักเรียนดวยบรรยากาศที่เปนกันเอง เพื่อใหเกิดความเขาใจและมองเห็นแงมุมตาง ๆ ของกิจกรรมที่จะทํา ไมควรดวนอธิบายหรือช้ีนําแนวคิด ขณะทํากิจกรรมครูตองสงเสริมใหนักเรียนไดมีโอกาสแสดงความคิดเห็นที่หลากหลาย ตลอดจนฝกฝนใหนักเรียนรูจัก วิเคราะหปญหา ตัดสินใจและหาขอสรุป ทั้งนี้ในบางกิจกรรมไดแสดงคําตอบไวในวงเล็บสีแดง

7. แบบฝกหัดเพิ่มเติม ในบางบทเรียนไดเตรียมแบบฝกหัดเพิ่มเติมไวใหครูเลือกหรือปรับใชใหเหมาะสมกับนักเรียนของตนเองและในบางขอไดแสดงคาํตอบไวในวงเล็บดวยเชนกัน

3

คําแนะนําการใชหนังสือเรียนสาระการเรียนรูพ้ืนฐาน คณิตศาสตร

หนังสือเรียนสาระการเรียนรูพื้นฐาน คณิตศาสตร ประกอบดวย1. เนื้อหาสาระ ในการนําเสนอเนื้อหาสาระของแตละบทเรียน ไดคํานึงถึงการเชื่อมโยงความรูใหม

กับความรูพื้นฐานเดิมของนักเรียน โดยพยายามใชตัวอยางจากชีวิตจริงและความรูจากศาสตรอ่ืนประกอบการอธิบายเพื่อใหไดขอสรุปเปนความรูใหมตอไป

2. ตัวอยาง มีไวเสริมความเขาใจในเนื้อหาสาระและการนําไปใช3. แบบฝกหัดทายหัวขอ แบบฝกหัดที่นําเสนอไวมีหลายลักษณะ คือฝกทักษะการคิดคํานวณ แก โจทยปญหา ฝกวิเคราะห ใหเหตุผล และฝกหาขอสรุปเพื่อนําไปสูการสรางขอความคาดการณ4. ปญหาชวนคิดหรือเร่ืองนารู เปนโจทยปญหาหรือสถานการณกระตุนใหนักเรียนไดใชความรูที่ เรียนมาเพื่อแกปญหาหรือหาขอสรุปใหม

เพื่อใหเกิดประสิทธิภาพสูงสุดในการใชหนังสือเรียน ครูควรปฏิบัติดังนี้1. ศึกษาเนื้อหาสาระและวิธีนําเสนอควบคูกับกิจกรรมของแตละเร่ืองที่เสนอแนะไวในคูมือครู ให

เขาใจอยางถองแท2. ทําแบบฝกหัดทายหัวขอและแสวงหาวิธีการที่เหมาะสมที่สุดในการหาคําตอบ โดยเฉพาะอยางยิ่ง

ขอที่มีวิธีคิดหรือคําตอบที่หลากหลาย3. วางแผนการจัดการเรียนรูตลอดภาคเรียนใหครอบคลุมทุกเนื้อหาสาระและเหมาะสมกับเวลา4. ในการสอนเนื้อหาสาระแตละเรื่องไมควรดวนบอกนักเรียนทันที ควรใชวิธีการสอนผานกิจกรรม

หรืออภิปรายโตตอบ เพื่อใหนักเรียนสรุปความคิดรวบยอดดวยตนเองเทาที่จะสามารถทําได5. สรางสถานการณหรือโจทยที่สอดคลองกับเนื้อหาสาระในบทเรียนเพิ่มเติมจากสิ่งที่อยูใกลตัวหรือ

ภูมิปญญาทองถ่ิน เพื่อใหนักเรียนมีความเขาใจในเนื้อหาสาระมากขึ้นและสามารถเชื่อมโยงความรูตาง ๆ เปนแนวทางในการประยุกตตอไป

กําหนดเวลาสอนโดยประมาณ

หนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพิ่มเติมคณิตศาสตร เลม 1

ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 3

บทท่ี เร่ือง จํานวนชั่วโมง

1

2

3

4

5

กรณฑที่สอง

การแยกตัวประกอบของพหุนาม

สมการกําลังสอง

พาราโบลา

พื้นที่ผิวและปริมาตร

9

15

12

12

12

รวม 60

สารบัญ หนา

คํานําคําชี้แจงคําชี้แจงการใชคูมือครู กกําหนดเวลาสอนโดยประมาณ งบทท่ี 1 กรณฑท่ีสอง 1

ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 1แนวทางในการจัดการเรียนรู 2

1.1 สมบัติของ a เมื่อ a > 0 2จุดประสงค 2

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 21.2 การดําเนินการของจํานวนจริงซึ่งเกี่ยวกับกรณฑที่สอง 3

จุดประสงค 3 ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 3

1.3 การนําไปใช 3จุดประสงค 3

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 3คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม 4

บทท่ี 2 การแยกตัวประกอบของพหุนาม 11ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 11แนวทางในการจัดการเรียนรู 122.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนผลตางของกําลังสอง 12

จุดประสงค 12 เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 12

ขอเสนอแนะในการจดักิจกรรมการเรียนการสอน 122.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณ 13

จุดประสงค 13 เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 13 ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 13

2.3 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวาสองที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็ม 14จุดประสงค 14

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 14ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 14

2.4 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็มโดยใช 16 ทฤษฎีบทเศษเหลือ 16

จุดประสงค 16 ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 16

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม 18กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ 23

บทท่ี 3 สมการกําลังสอง 33ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 33แนวทางในการจัดการเรียนรู 343.1 ทบทวนสมการกําลังสอง 34

จุดประสงค 34ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 34

3.2 การแกสมการกําลังสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณ 34 จุดประสงค 34

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 34ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 34

3.3 โจทยปญหาเกี่ยวกับสมการกําลังสอง 36จุดประสงค 36

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 36ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 36

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม 38กิจกรรมเสนอแนะ แบบฝกหัดเพิ่มเติมและคําตอบ 42

บทท่ี 4 พาราโบลา 50ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 50

แนวทางในการจัดการเรียนรู 514.1 สมการของพาราโบลา 51

จุดประสงค 51 ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 51

4.2 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 เมื่อ a ≠ 0 52จุดประสงค 52

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 524.3 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 + k เมื่อ a ≠ 0 53

จุดประสงค 53 ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 54

4.4 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0 55จุดประสงค 55

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 554.5 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมื่อ a ≠ 0 56

จุดประสงค 56 เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 56

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 56คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม 57กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ 79

บทท่ี 4 พื้นท่ีผิวและปริมาตร 83ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 83

แนวทางในการจัดการเรียนรู 845.1 พื้นที่ผิวของพีระมิด กรวยและทรงกลม 84

จุดประสงค 84 เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 84ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 84

5.2 การนําไปใช 87จุดประสงค 87

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 87ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 87

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม 88กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ 97

คณะกรรมการจัดทําสื่อการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร ระดับมัธยมศึกษาตอนตน

บทที่ 1กรณฑที่สอง (9 ชั่วโมง)

1.1 สมบัติของ a เมื่อ a > 0 (2 ช่ัวโมง) 1.2 การดําเนินการของจํานวนจริงซึ่งเกี่ยวกับกรณฑที่สอง (4 ช่ัวโมง)

1.3 การนําไปใช (3 ช่ัวโมง)

เนื้อหาในบทนี้เปนเรื่องตอเนื่องจากเรื่องรากที่สอง ในหนังสือเรียนสาระการเรียนรูพื้นฐานคณิตศาสตร เลม 2 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 2 ซ่ึงไดกลาวถึงรากที่สองของจํานวนจริงทั้งรากที่สองที่เปนบวกและรากทีส่องทีเ่ปนลบ สําหรับในบทนีจ้ะเนนเฉพาะรากทีส่องทีเ่ปนบวกหรอืกรณฑทีส่องและการดาํเนนิการของจํานวนจริงซึ่งเกี่ยวกับกรณฑที่สอง การนําเสนอเนื้อหาไดจัดลําดับจากการทบทวนความหมายของรากที่สองที่นักเรียนเคยเรียนมาแลว และใชความรูเร่ืองคาสัมบูรณชวยในการกําหนดรากที่สองและนําไปสู

สมบัติ a b = ab เมื่อ a > 0, b > 0 และ ba = b

a เมื่อ a > 0, b > 0 จากนั้นได

กลาวถึงการใชสมบัติการสลับที่ สมบัติการเปลี่ยนหมู และสมบัติการแจกแจง ในการดําเนินการของจํานวนจริงซึ่งเกี่ยวกับกรณฑที่สอง เพื่อใหนักเรียนมีความรูและทักษะเกี่ยวกับการดําเนินการกอนจะสอนเร่ืองการนําไปใช การจัดกิจกรรมการเรียนการสอนในบทนี้ ควรใหนักเรียนมีโอกาสทํากิจกรรมที่พัฒนาความรูสึกเชิงจํานวนเกี่ยวกับกรณฑที่สอง ทั้งนี้เพราะเรื่องความรูสึกเชิงจํานวนมีความสําคัญในชีวิตจริง นอกจากนี้ครูควรฝกใหนักเรียนใชความรูสึกเชิงจํานวนในการพิจารณาหรือตรวจสอบคําตอบที่ไดจากการคํานวณ ซ่ึงจะทําใหนักเรียนตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ไดมา

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป 1. บวก ลบ คูณ และหารจํานวนจริงซึ่งเกี่ยวกับกรณฑที่สองที่กําหนดใหและนําไปใช แกปญหาได 2. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

2

แนวทางในการจัดการเรียนรู

1.1 สมบัติของ a เมื่อ a > 0 (2 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถใชสมบัติของ a เมื่อ a > 0 สองขอตอไปนี้แกปญหาได 1) a b = ab เมื่อ a > 0, b > 0

2) ba = b

a เมื่อ a > 0, b > 0

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูควรทบทวนความหมายของรากที่สองและการใชเครื่องหมายกรณฑ ตลอดจนรากที่สองที่เปนจํานวนตรรกยะและรากที่สองที่เปนจํานวนอตรรกยะโดยการถามตอบและยกตัวอยางประกอบ และใหนักเรียนทํากิจกรรม “ยังจําไดไหม” เพื่อทบทวนการหารากที่สอง 2. ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นวาการหารากที่สองของจํานวนจริงบวกใด ๆ หรือศูนย หากสามารถทําจํานวนนั้นใหอยูในรูปกําลังสองของจํานวนจริงใด ๆ จะสามารถหารากที่สองของจํานวนนั้นไดงายขึ้นครูควรทบทวนเรื่องคาสัมบูรณและใหนักเรียนทํากิจกรรม “กรณฑที่สองของ a2 เปนเทาไร” เพื่อใหนักเรียนหาขอสรุปไดวากรณฑที่สองของ a2 เทากับคาสัมบูรณของ a จากนั้นจึงคอยฝกใหนักเรียนนําขอสรุปดังกลาวไปใชในการแกปญหา โดยหากรณฑที่สองของ a2 เมื่อ a เปนจํานวนเต็มบวกจํานวนเต็มลบ เศษสวน ทศนิยม และตัวแปรใด ๆ ตามลําดับ 3. ในตัวอยางที่ 8 ไดเขียนคําตอบของ 22 qp25 เปน 5pq4 โดยไมไดเขียนเปน 5q4 p ทั้งนี้เพราะนักเรียนยังไมมีพื้นฐานความรูเกี่ยวกับสมบัติของคาสัมบูรณ การตอบวา 5pq4 หรือ 5q4 p ถือวาถูกตองทั้งคู ในชั้นนี้ การหาคําตอบเกี่ยวกับการหารากที่สองโดยใชคาสัมบูรณ นักเรียนอาจเขียนคําตอบติดคาสัมบูรณไวทั้งหมดหรือแยกเขียนเปนผลคูณตามสมบัติของคาสัมบูรณก็ได

4. การสอนสมบัติ a b = ab เมื่อ a > 0, b > 0 และ ba = b

a เมื่อ a > 0,

b > 0 ครูควรใหนักเรียนสังเกตการใชสมบัติเกี่ยวกับการคูณในตัวอยางที่ 10 และตัวอยางที่ 11 วาใชอยางไร และการใชสมบัติเกี่ยวกับการหารในตัวอยางที่ 12 และตัวอยางที่ 13 วาใชอยางไร 5. กิจกรรม “นาสงสัย” ตองการฝกการสังเกตและการตั้งคําถามจากสิ่งที่เรียน ครูอาจอธิบายเพิ่มเติมหลังการทํากิจกรรมวานักเรียนจะไดเรียนเกี่ยวกับ a เมื่อ a < 0 ในเรื่องจํานวนเชิงซอน ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย

3

1.2 การดําเนินการของจํานวนจริงซึ่งเกี่ยวกับกรณฑที่สอง (4 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถบวก ลบ คูณ และหารจํานวนจริงซึ่งเกี่ยวกับกรณฑที่สองที่กําหนดใหได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูควรใหนักเรียนอภิปรายเพื่อใหเห็นวาการบวกและการคูณจํานวนในรูป a เมื่อ a > 0มีสมบัติการสลับที่ สมบัติการเปลี่ยนหมู และสมบัติการแจกแจงเชนเดียวกับการบวกและการคูณจํานวนจริง เนื่องจาก a เมื่อ a > 0 เปนจํานวนจริงเชนกัน 2. กิจกรรม “บอกไดไหม” ตองการใหนักเรียนไดฝกใชความรูสึกเชิงจํานวนเกี่ยวกับกรณฑที่สองของจํานวนตรรกยะ ครูควรใหนักเรียนฝกสังเกตการใชสมบัติของ a เมื่อ a > 0 และอาจใชคาประมาณเปนจํานวนที่คิดไดงาย ๆ ในการเปรียบเทียบจํานวนทางซายมือและขวามือ ซ่ึงจะเปนการหลีกเลี่ยงการคํานวณโดยตรง ปญหาบางขอที่นักเรียนคิดไมได ครูอาจใหแนวคิดเพื่อพัฒนาความรูสึกเชิงจํานวนหรืออาจใหนักเรียนรวมกันอภิปรายวิธีคิดซึ่งอาจแตกตางกันได ในสวนตัวอยางคําตอบของกิจกรรมนี้มีหลายขอที่อาจตองใชสมบัติเกี่ยวกับอสมการซึ่งแมนักเรียนไมเคยเรียนมา แตก็ใหใชสามัญสํานึกเกี่ยวกับการเปรียบเทียบจํานวนมาชวยในการคิดวิเคราะหและตัดสินใจได

3. ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นวาสมบัติ ba = ab เมื่อ a > 0, b > 0 และ ba = b

a

เมื่อ a > 0, b > 0 เมื่อใชรวมกับสมบัติกฟรสลับที่ สมบัติการเปลี่ยนหมู และสมบัติการแจกแจง ทําใหการดําเนินการของจํานวนจริงซึ่งเกี่ยวกับกรณฑที่สองทําไดสะดวกขึ้นและทําใหมีวิธีการที่หลากหลายในการแกปญหาแตละขอ นักเรียนจึงอาจเลือกใชวิธีการตางกันในการแกปญหาเดียวกันได ดังเชนตัวอยางที่ 12 4. กิจกรรม “ชวยคิดหนอย” ตองการใหนักเรียนไดฝกการคิดเกี่ยวกับลําดับขั้นตอนในการทํางานและการคิดยอนกลับ ครูควรถามใหนักเรียนไดอภิปรายและเปรียบเทียบทั้งคําตอบที่ไดและวิธีคิดของแตละคน

1.3 การนําไปใช (2 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถนําความรูเกี่ยวกับกรณฑที่สองไปใชในการแกปญหาได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูอาจนําเขาสูบทเรียนดวยการใหนักเรียนไดนึกถึงปญหาในชีวิตประจําวันที่เกี่ยวของกับตัวนักเรียน เชน การเดินทางลัดจะชวยยนระยะทางเทาไร การวิ่งรอบสนามเด็กเลนรูปวงกลมที่มีพื้นที่150 ตารางเมตร หนึ่งรอบจะไดระยะทางเทาไร เพื่อช้ีใหนักเรียนเห็นวาปญหาลักษณะนี้ บางปญหาอาจมีคําตอบเปนจํานวนอตรรกยะที่มีเครื่องหมายกรณฑติดอยู ซ่ึงตองใชความรูเกี่ยวกับกรณฑที่สองในการคํานวณ

4

2. ตัวอยางที่ 4 ตองการใหนักเรียนเขาใจวิธีการคํานวณความสูงและพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมดานเทา นักเรียนอาจนําวิธีการนี้ไปใชคํานวณความสูงและพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมชนิดอื่น ๆ เมื่อนักเรียนเขาใจแลวอาจใหจดจําเปนสูตรไวใชได 3. กิจกรรม “ทําไดไหม” ตองการใหนักเรียนนําความรูจากตัวอยางที่ 4 มาใช โดยครูอาจแนะใหนักเรียนแบงรูปหกเหลี่ยมดานเทามุมเทาออกเปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา 6 รูปที่เรียงชิดติดกันและมีจุดยอดรวมกัน เพื่อที่นักเรียนจะสามารถคิดตอไปได 4. กิจกรรม “บอกไดหรือไม” ตองการเนนใหนักเรียนฝกใชความรูสึกเชิงจํานวนเกี่ยวกับกรณฑที่สองของจํานวนตรรกยะ เชนเดียวกับกิจกรรม “บอกไดไหม” ในหัวขอ 1.2 5. กิจกรรม “กรณฑที่สองของจํานวนจริง” ตองการใหนักเรียนฝกทักษะการสังเกตแบบรูปและการวิเคราะหความสัมพันธ ครูควรฝกใหนักเรียนรูจักสังเกต คิดและคนหาความสัมพันธจากแบบรูปที่หาได 6. กิจกรรม “วางอยางไร” ตองการใหนักเรียนฝกบูรณาการทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตรเพื่อแกปญหาที่เปนนามธรรม ครูอาจใหนักเรียนอธิบายเหตุผลของคําตอบที่ไดดวย

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรมคําตอบกิจกรรม “ยังจําไดไหม”

1. 1) 6 และ -6 2) 14 และ -14

3) 50 และ - 50 4) 200 และ - 200 5) 9

4 และ - 94 6) 75

24 และ - 7524

7) 0.4 และ -0.4 8) 049.0 และ - 049.0 2. 1) 16 2) 625

3) 25681 4) 0.1296

5) 12 6) 73

7) 0.9 8) 0.16

5

คําตอบกิจกรรม “กรณฑท่ีสองของ a2 เปนเทาไร”

1. เทา 2. เทา 3. เทา 4. เทา 5. เทา 6. เทา 7. เทา 8. 111 9. เทา10. เทา

คําตอบแบบฝกหัด 1.1

1. 1) 11 2) 17 3) -35 4) -140 5) 112

25 6) 8471

7) 17519- 8) -0.08

9) 0.5a2 เมื่อ a > 0 10) 43yx 43

11) 105nm 2511 12) 0.25a8b12

2. 1) 33 2) 72-

3) 210 4) 315 5) 295 6) 615 7) 250 8) 260

3. 1) 9 2) 24 3) 100 4) 7 5) 2 6) 25

11

6

7) ⏐0.08a9⏐ 8) 14m22 เมื่อ m ≠ 0

4. 1) ประมาณ 4.242 2) ประมาณ -8.660

3) ประมาณ 12.726 4) ประมาณ 15.588 5) ประมาณ -1.928 6) ประมาณ 391.300

คําตอบกิจกรรม “บอกไดไหม”ตัวอยางคําตอบ 1. จริง เพราะ 53 = 5 3 3 ⋅⋅ = 15 3 ⋅ และ

35 = 3 5 5 ⋅⋅ = 15 5 ⋅ แต 3 นอยกวา 5 จะได 53 < 35 2. ไมจริง เพราะ 85 = 83 + 82 เนื่องจาก 53 นอยกวา 83 และ

32 นอยกวา 82 ดังนั้น 53 + 32 นอยกวา 83 + 82จะได 53 + 32 ≠ 85

3. ไมจริง เพราะ 5 มากกวา 2 ดังนั้น 1 + 5 มากกวา 3จะได 1 + 5 > 3

4. จริง เพราะ 3 นอยกวา 2 ดังนั้น 32 นอยกวา 4 จะได 32 – 3 < 1 5. จริง เพราะ 3 นอยกวา 2 ดังนั้น 32 นอยกวา 2 × 2 หรือ 4 และ

33 นอยกวา 3 × 2 หรือ 6 จะได 32 + 33 < 10 6. จริง เพราะ 2 ≈ 1.4, 3 ≈ 1.7 และ 5 นอยกวา 2.5 จะได 2 + 3 ≈ 3.1 ซ่ึงมากกวา 5

จะได 2 + 3 > 5 7. ไมจริง เพราะ 57 – 56 = 5 และ 5 มากกวา 2

จะได 57 – 56 > 2 8. จริง เพราะ 35 – 34 = 3 ซ่ึงมากกวา 1 แต 35 – 24 มากกวา

35 – 34จะได 35 – 24 > 1

7

9. จริง เพราะ 3 + 5 ≈ 1.7 + 5 หรือ 6.7 และ 5 + 3 ≈ 2.2 + 3 หรือ 5.2จะได 3 + 5 > 5 + 3

10. จริง เพราะ 2 + 3 + 5 ≈ 1.4 + 1.7 + 2.2 หรือ 5.3

จะได 2 + 3 + 5 > 5

คําตอบแบบฝกหัด 1.2 ก

1. 1) 215 2) 78

3) 32 4) 7- 5) 26 6) 53 7) 312 8) 512-

2. 1) 312 – 63

2) 219 – 52 3) 54 – 216 4) 58 35 +

5) 358 – 23 6) 645 + 28

คําตอบกิจกรรม “ชวยคิดหนอย”

227

คําตอบแบบฝกหัด 1.2 ข

1. 1) 105 2) 1510

3) 150 4) 14 + 355 5) 12 + 636 6) 45

8

2. 1) 9 2) 90 3) 7

25- 4) -72 5) ⏐2y⏐ 6) x6 3. 1) ประมาณ 2.475 2) ประมาณ 4.330 3) ประมาณ 11.429 4) ประมาณ 0.490 4. 1) 11

51

2) 251-

5. 6

คําตอบกิจกรรม “ทําไดไหม”

233 ตารางหนวย

คําตอบกิจกรรม “บอกไดหรือไม”

ตัวอยางคําตอบ 1. จริง เพราะ 3 นอยกวา 2 ดังนั้น 315 นอยกวา 15 × 2 หรือ 30

จะได 315 < 30 2. ไมจริง เพราะ 310 = 3 10 10 ⋅⋅ หรือ 30 10 ⋅ และ

103 = 10 3 3 ⋅⋅ หรือ 30 3 ⋅ แต 10 มากกวา 3จะได 310 > 103

3. จริง เพราะ 3 × 5 = 15 ซ่ึงนอยกวา 4จะได 3 × 5 < 5

4. ไมจริง เพราะ 25 × 34 = 620 จะได 25 × 34 ≠ 69

14

11

2

a2

9

5. จริง เพราะ 2 × 7 = 14 และ 3 × 5 = 15จะได 2 × 7 < 3 × 5

6. ไมจริง เพราะ 220 = 10 แต 10 มากกวา 9 หรือ 3

จะได 220 > 3

7. ไมจริง เพราะ 26 มากกวา 5 ดังนั้น 526 มากกวา 1

จะได 526 > 1

8. จริง เพราะ 214 = 2

214 หรือ 27

จะได 214 > 7

9. จริง เพราะ ตัวเศษของ 53 นอยกวาตัวเศษของ 3

5 และตัวสวนของ 53

มากกวาตัวสวนของ 35

จะได 53 < 3

5

10. จริง เพราะ 3 × 01.0 = 3 × 0.1 = 0.3 และ 01.03 = 1.0

3 = 30

จะได 3 × 01.0 < 01.03

คําตอบแบบฝกหัด 1.3

1. 1) 21 หรือ -21 2) 3 หรือ -5 3) 16 4) 99 2. 13 หนวย 3. 72 หนวย 4. 65 หนวย 5. 2 เทา

10

6. ประมาณ 38.2 เมตร 7. ประมาณ 0.7746 เทา

คําตอบกิจกรรม “กรณฑท่ีสองของจํานวนจริง”

1 = 1 121 = 1 1 12321 = 1 1 1 1234321 = 1 1 1 1 123454321 = 1 1 1 1 1 11234565432 = 1 1 1 1 1 1 3211234567654 = 1 1 1 1 1 1 1 543211234567876 = 1 1 1 1 1 1 1 1

คําตอบที่ไดเปนจํานวนที่มีเลขโดดเปน 1 ทั้งหมด โดยจํานวนของ 1 เทากับเลขโดดที่มากที่สุดของจํานวนที่อยูในเครื่องหมายกรณฑ เชน 1234321 = 1111มีจํานวนของ 1 เปน 4 ซ่ึงเทากับ 4 ที่เปนเลขโดดที่มากที่สุดของ 1 2 3 4 3 2 1

คําตอบกิจกรรม “วางอยางไร”

1.

2. 40 หนวย

8

56 7

123

4

บทที่ 2การแยกตัวประกอบของพหุนาม (15 ชั่วโมง)

2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนผลตางของกําลังสอง (2 ช่ัวโมง)2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณ (4 ช่ัวโมง)2.3 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวาสองที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็ม (6 ช่ัวโมง)2.4 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็มโดยใช

ทฤษฎีบทเศษเหลือ (3 ช่ัวโมง)

สาระของบทนี้เปนเรื่องตอเนื่องจากที่นักเรียนเคยเรียนมาแลวในหนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตร เลม 2 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 2 ที่ไดกลาวถึงการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เปนจํานวนเต็ม a ≠ 0 และสัมประสิทธิ์ของแตละพจนของตัวประกอบเปนจํานวนเต็ม ในบทนี้จึงขยายความรูเพิ่มเติมเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนผลตางของกาํลังสองและของพหนุามทีท่าํเปนกาํลังสองสมบรูณและสมัประสทิธิข์องแตละพจนของตวัประกอบเปนจาํนวนจรงิ อีกทัง้ยงัมสีาระใหมทีก่ลาวถึงการแยกตวัประกอบของพหนุามดกีรีสูงกวาสองทีสั่มประสทิธิข์องแตละพจนเปนจํานวนเต็ม โดยใชสมบัติการเปลี่ยนหมู สมบัติการสลับที่ สมบัติการแจกแจง หรือใชทฤษฎีบทเศษเหลือ ในสาระใหมนี้จะเนนการแยกตวัประกอบของพหนุามดกีรีสูงกวาสองทีม่สัีมประสทิธิ์ของแตละพจนเปนจาํนวนเตม็และสมัประสทิธิข์องแตละพจนของตวัประกอบเปนจาํนวนเตม็เทานัน้ สําหรับหวัขอ 2.4 การแยกตวัประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็มโดยใชทฤษฎีบทเศษเหลือนั้น จะมีการกลาวถึงอีกครั้งในชวงชั้นที่ 4 ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนของบทนี้ ครูควรใหนักเรียนไดฝกทักษะมาก ๆ จนสามารถจัดพหุนามใหอยูในรูปที่จะนําสูตรการแยกตัวประกอบตาง ๆ มาชวยแยกตัวประกอบไดอยางคลองแคลวโดยเฉพาะเรื่องการทําเปนกําลังสองสมบูรณ เพราะเรื่องนี้เปนพื้นฐานสําคัญของการเรียนพีชคณิตและการคํานวณอื่น ๆ ในชั้นที่สูงขึ้น ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป 1. แยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณได 2. แยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวาสองที่มีสัมประสิทธิ์ของแตละพจนเปนจํานวนเต็มและ ไดตัวประกอบที่มีสัมประสิทธิ์ของแตละพจนเปนจํานวนเต็ม โดยอาศัยวิธีทําเปนกําลังสอง สมบูรณหรือใชทฤษฎีเศษเหลือได

12

แนวทางในการจัดการเรียนรู

2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนผลตางของกําลังสอง (2 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนผลตางของกําลังสองได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.1

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูควรทบทวนความรูเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เคยเรียนมาแลว เชนการแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยูในรูปผลตางของกําลังสองและในรูปที่สามารถทําเปนกําลังสองสมบูรณได ทั้งนี้อาจเสริมดวยแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.1 2. กอนใหความรูเร่ืองการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนผลตางของกําลังสองและมีสัมประสิทธิ์ของแตละพจนของตัวประกอบเปนจํานวนจริง ครูควรทบทวนเกี่ยวกับสมบัติบางประการของจํานวนจริงคือ ( a )2 = a เมื่อ a > 0

ba = ab เมื่อ a > 0 และ b > 0

ba = b

a เมื่อ a > 0 และ b > 0

3. การแยกตัวประกอบของพหุนาม เชน 5 x41 2

− ในตัวอยางที่ 2 ครูอาจแนะนําวิธีทําอีกแบบหนึ่งดังนี้ 5 x4

1 2− = 4

1 (x2 – 20)

= 41 (x – 20 )(x + 20 )

= 41 (x – 52 )(x + 52 )

4. การแยกตัวประกอบของพหุนาม 8 – (x – 3)2 ในตัวอยางที่ 3 ซ่ึงมีการถอดวงเล็บ ครูควรย้ําและทบทวนถึงวิธีการเขาวงเล็บและถอดวงเล็บดวย เพราะถาทําไมถูกตอง การคํานวณจะผิดพลาดทําใหแยกตัวประกอบไมไดหรือแยกตัวประกอบไดไมถูกตอง

13

2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณ (4 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูอาจทบทวนความรูเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง และย้ําถึงรูปแบบของพหุนามที่อยูในรูปกําลังสองสมบูรณ อาจใชแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2 ประกอบดวยก็ได 2. ในการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณ ในชวงตน ๆครูอาจใหนักเรียนฝกทําเฉพาะการแยกตัวประกอบที่ไดสัมประสิทธิ์ของแตละพจนของตัวประกอบเปนจํานวนเต็มกอน ทั้งนี้เพื่อใหนักเรียนคุนเคยและมีทักษะในการทําตามวิธีการที่ใชพจนบวกเขาและลบออก ถาครูเห็นวานักเรียนสามารถทําความเขาใจรูปแบบของการทําพหุนามดีกรีสองใหเปนกําลังสองสมบูรณไดดีแลว ก็อาจใหนักเรียนเห็นขั้นตอนการแยกตัวประกอบของ ax2 + bx + c เมื่อ a = 1เปนกรณีทั่วไปดังนี้ 1) จัดพหุนามที่กําหนดใหอยูในรูป x2 + 2px + c หรือ x2 – 2px + c เมื่อ p เปน จํานวนจริงบวก 2) ทํา x2 + 2px หรือ x2 – 2px ที่จัดไวในขอ 1) ใหมีบางสวนเปนกําลังสองสมบูรณ โดยนําพจน p2 บวกเขาและลบออกดังนี้ x2 + 2px + c = (x2 + 2px + p2) – p2 + c = (x + p) 2 – (p2 – c) หรือ x2 – 2px + c = (x2 – 2px + p2) – p2 + c = (x – p) 2 – (p2 – c) 3) จากขอ 2) ถาให p2 – c = d2 เมื่อ d แทนจํานวนจริงบวก จะได x2 + 2px + c = (x + p)2 – d2

หรือ x2 – 2px + c = (x – p)2 – d2

4) แยกตัวประกอบของ (x + p)2 – d2 หรือ (x – p)2 – d2 โดยใชสูตรการแยก ตัวประกอบของผลตางของกําลังสองคือ A2 – B2 = (A + B)(A – B) เมื่อ A และ B เปนพหุนาม ถาครูสอนการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในกรณีทั่วไปตามขั้นตอนขางตน ก็ใหคํานึงวาสอนเพื่อใหนักเรียนเกิดความคิดรวบยอดในเชิงคณิตศาสตร ไมตองนําไปวัดผลหรือประเมินผล

14

3. การเขียนคําตอบของการแยกตัวประกอบในตัวอยางที่ 5 ไดนําตัวประกอบรวม 3 คูณเขาไปในวงเล็บเพื่อใหคําตอบอยูในรูปอยางงาย มีคาคงตัวเปนจํานวนเต็มและอยูในรูปการคูณของพหุนามดีกรีหนึ่งสองพหุนาม สําหรับตัวอยางที่ 6 ถึงตัวอยางที่ 8 ยังเขียนตัวประกอบรวมอยูนอกวงเล็บ เพราะแมจะนําตัวประกอบรวมคูณเขาไปในวงเล็บใดวงเล็บหนึ่ง ก็ไมทําใหไดคําตอบอยูในรูปอยางงาย อยางไรก็ตามการเขียนคําตอบดังตัวอยางที่ 5 ถึงตวัอยางที่ 8 จะเขียนตัวประกอบรวมอยูนอกวงเล็บหรือนํากลับเขาไปคูณในวงเล็บก็ได ครูไมควรนําประเด็นนี้มาเปนเกณฑตัดสินคะแนน สําหรับตวัอยางที ่8 ครูควรทาํความเขาใจกบันกัเรยีนเปนพเิศษเกีย่วกบัการเปลีย่นเครือ่งหมายในวงเล็บเมื่อเขียนผลบวกหรือผลลบในรูปของเศษสวน ครูควรย้ําและชี้ใหเห็นวาระหวางพหุนามแตละคูในแตละวงเล็บมีการเปลี่ยนแปลง ดังนี้

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+− 253 2

5 x = ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −− 2

53 25 x = ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

− 253 5 x

และ 253 2

5 x ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−− = ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +− 2

53 25 x = ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

− 253 5 x

4. สําหรับกิจกรรม “ทําไดเหมือนกัน” มีเจตนาเสริมความรูใหนักเรียนไดเห็นพหุนามดีกรีสองที่เปนกําลังสองสมบูรณและสัมประสิทธิ์ของบางพจนไมเปนจํานวนเต็ม ครูไมควรนําโจทยในลักษณะนี้ไปใชในการวัดผลและประเมินผล

2.3 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวาสองที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็ม (6 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวาสองที่มีสัมประสิทธิ์ของแตละ พจนเปนจํานวนเต็มได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 2.3 ก และ 2.3 ข

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ในหัวขอนี้จะกลาวถึงเฉพาะการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวาสองที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็ม และเมื่อแยกตัวประกอบแลวสัมประสิทธิ์ของแตละพจนของตัวประกอบเปนจํานวนเต็มดวย ดังนั้นคําตอบของแบบฝกหัดแตละขอจึงอาจมีตัวประกอบเปนพหุนามดีกรีสอง โดยเฉพาะคําตอบของพหุนามที่อยูในรูปผลบวกของกําลังสามและผลตางของกําลังสาม 2. ครูอาจใชกิจกรรมเสนอแนะ 2.3 ก และ 2.3 ข ประกอบการเรียนการสอนใหนักเรียนเห็นความสัมพันธระหวางการแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยูในรูปผลบวกของกําลังสามและผลตางของกําลังสามกับปริมาตรของรูปเรขาคณิตสามมิติก็ได

15

3. เมื่อครูใหตัวอยางการแยกตัวประกอบของพหุนามในรูปผลบวกของกําลังสามและผลตางของกําลังสาม ครูควรย้ําใหนักเรียนระวังในการใชสูตร A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) และA3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) นักเรียนมักจะสับสนจําพหุนาม A2 – AB + B2 หรือ A2 + AB + B2 เปน A2 – 2AB + B2

หรือ A2 + 2AB + B2 ซ่ึงเปนพหุนามดีกรีสองที่เปนกําลังสองสมบูรณ ซ่ึงไมถูกตอง 4. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสามและพหุนามดีกรีส่ีที่อาศัยสมบัติการเปลี่ยนหมูสมบัติการสลับที่และสมบัติการแจกแจง ดังตัวอยางที่ 13 และตัวอยางที่ 14 ซ่ึงใชวงเล็บเปนเครื่องมือในการใชสมบัติตาง ๆ ดังกลาว ครูไมจําเปนตองอธิบายใหนักเรียนเห็นวาใชสมบัติเหลานั้นอยางไร แตครูควรใหขอสังเกตวิธีพิจารณาการเขาวงเล็บวาทําไดอยางไร อาจใหขอสังเกตกับนักเรียนในการทําโจทยแบบฝกหัด 2.3 ค ดังนี้ กรณีที่เปนพหุนามดีกรีสามและมี 4 พจน นักเรียนควรจัดเปนสองวงเล็บใหมีวงเล็บหนึ่งอยูในรูปผลบวกของกําลังสามหรือผลตางของกําลังสาม พจนที่เหลือจัดเขาไวในอีกวงเล็บหนึ่งและใชสมบัติการแจกแจงในการแยกตัวประกอบ เชน จัด x3 – 5x2 – 15x + 27 เปน (x3 + 27) – (5x2 + 15x) จะเห็นวา x3 + 27 อยูในรูปผลบวกของกําลังสามและ 5x2 – 15x มี 5x เปนตัวประกอบรวม เมื่อใชสมบัติของการแจกแจงจะไดดังนี้ จาก x3 – 5x2 – 15x + 27 = (x3 + 27) – (5x2 + 15x) = (x3 + 33) – 5x(x + 3) = (x + 3)(x2 – 3x + 9) – 5x(x + 3)

= (x + 3)[(x2 – 3x + 9) – 5x]

= (x + 3)(x2 – 8x + 9) สําหรับกรณีที่เปนพหุนามดีกรีส่ีและมี 4 พจน จัดใหพหุนามในวงเล็บหนึ่งมี 3 พจนและจัดเปนกําลังสองสมบูรณได อีกพจนหนึ่งเขียนอยูในรูปกําลังสองไดและใชสูตรผลตางของกําลังสองในการแยกตัวประกอบ เชน จัด 9x4 – y2 – 6y – 9 เปน (9x4) – (y2 + 6y + 9)

จาก 9x4 – y2 – 6y – 9 = (9x4) – (y2 + 6y + 9) = (3x2)2 – (y + 3)2

= [3x2 + (y + 3)][3x2 – (y + 3)] = (3x2 + y + 3)(3x2 – y – 3)

ใชสมบัติการแจกแจง

ใชสมบัติการแจกแจง

จัดเปนกําลังสองสมบูรณได

เขียนเปนกําลังสองได

อยูในรูปผลตางของกําลังสอง

16

2.4 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็มโดยใช ทฤษฎีบทเศษเหลือ (3 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ของแตละพจนเปนจํานวนเต็ม โดยใชทฤษฎีบทเศษเหลือได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. เนื่องจากในการแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใชทฤษฎีบทเศษเหลือ บางครั้งอาจตองใชการหารพหุนามประกอบดวย ครูจึงควรทบทวนการหารพหุนามตัวแปรเดียวที่ตัวตั้งมีดีกรีสูงกวาสองและตัวหารเปนพหุนามดีกรีหนึ่งกอน โดยทบทวนถึงความรูที่เกี่ยวของกับความสัมพันธของตัวตั้ง ตัวหาร ผลหาร และเศษ ซ่ึงสัมพันธกันดังนี้ ตัวตั้ง = (ตัวหาร × ผลหาร) + เศษ เมื่อตัวหารเปนพหุนามดีกรีหนึ่งที่อยูในรูป x – a ที่ a เปนคาคงตัว จะไดเศษจากการหารเปนคาคงตัว ใหครูแนะนําคําวา เศษ ที่นักเรียนเคยรูจักนั้น ตอไปนี้จะเรียกวาเศษเหลือ กอนใหทฤษฎีบทเศษเหลือ ครูอาจหาโจทยการหารที่มีเศษเหลือใหนักเรียนทําเพิ่มเติมเพื่อเปรียบเทียบเศษเหลือที่ไดจากวิธีตั้งหารและวิธีแทนคา x ในพหุนาม P(x) ที่เปนตัวตั้งวาไดเศษเหลือเทากันหรือไม 2. ในตัวอยางที่ 6 การแยกตัวประกอบของ x3 – x2 – 8x + 12 ครูอาจใหขอสังเกตกับนักเรียนวา เนื่องจากจํานวนเต็มที่หาร 12 ไดลงตัวมีหลายจํานวนคือ 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 และ-12 การพิจารณาแทน x ใน P(x) ดวยจํานวนเต็มใดจึงจะทําใหไดเศษเหลือเทากับ 0 นั้น ครูควรแนะนําใหนักเรียนลองแทนคาโดยเริ่มจากจํานวนที่มีคาสัมบูรณนอย ๆ เชน ลองแทนดวย 1, -1, 2, -2, ... ไปตามลําดับ การหาพหุนามที่เปนตัวประกอบอาจใชวิธีหาเศษเหลือที่ไดเศษเหลือเปน 0 มากกวาหนึ่งครั้งและอาจคิดอยางเปนระบบดังนี้ตัวอยาง จงแยกตัวประกอบของ x3 – x2 – 8x + 12 ให P(x) = x3 – x2 – 8x + 12 ตัวประกอบของ 12 ไดแก 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 และ -12 P(1) = 13 – 12 – 8(1) + 12 = 1 – 1 – 8 + 12 ≠ 0

P(-1) = (-1)3 – (-1)2 – 8(-1) + 12 = (-1) – 1 + 8 + 12 ≠ 0 P(2) = 23 – 22 – 8(2) + 12 = 8 – 4 – 16 + 12 = 0 P(-2) = (-2)3 – (-2)2 – 8(-2) + 12 = (-8) – 4 + 16 + 12 ≠ 0 P(3) = 33 – 32 – 8(3) + 12 = 27 – 9 – 24 + 12 ≠ 0

17

P(-3) = (-3)3 – (-3)2 – 8(-3) + 12 = (-27) – 9 + 24 + 12 = 0 จะได x – 2 และ x + 3 เปนตัวประกอบของ x3 – x2 – 8x + 12 เนื่องจาก (x – 2)(x + 3) = x2 + x – 6 เมื่อหาร x3 – x2 – 8x + 12 ดวย x2 + x – 6 จะไดผลหารเปน x – 2 ดังนั้น x3 – x2 – 8x + 12 = (x – 2)(x + 3)(x – 2) = (x – 2)2(x + 3) ครูอาจชี้ใหนักเรียนสังเกตวาในกรณีที่แทน x ใน P(x) = x3 – x2 – 8x + 12 ดวยจํานวนเต็มบางจํานวนนั้น นักเรียนควรใชการพิจารณาผลลัพธวาเทากับศูนยหรือไม กรณีที่ไมเทากับศูนยก็ไมจําเปนตองระบุวามีผลลัพธเปนเทาไร 3. สําหรับการเขียนวิธีทําในแบบฝกหัด 2.4 ครูอาจใหนักเรียนแสดงวิธีแยกตัวประกอบโดยใชทฤษฎีบทเศษเหลือส้ัน ๆ เชน ตัวอยางที่ 9 อาจทําไดดังนี้ จงแยกตัวประกอบของ x4 + 3x3 – 27x – 81 ให P(x) = x4 + 3x3 – 27x – 81 แทน x ดวย 3 ใน P(x) จะได P(3) = 34 + 3(3)3 – 27(3) – 81 = 81 + 81 – 81 – 81 = 0 จะได x – 3 เปนตัวประกอบของ x4 + 3x3 – 27x – 81 ดังนั้น x4 + 3x3 – 27x – 81 = (x – 3)(x3 + 6x2 + 18x + 27) ให Q(x) = x3 + 6x2 + 18x + 27 แทน x ดวย -3 ใน Q(x) จะได Q(-3) = (-3)3 + 6(-3)2 + 18(-3) + 27 = -27 + 54 – 54 + 27 = 0 จะได x + 3 เปนตัวประกอบของ x3 + 6x2 + 18x + 27 ดังนั้น x3 + 6x2 + 18x + 27 = (x + 3)(x2 + 3x + 9) นั่นคือ x4 + 3x3 – 27x – 81 = (x – 3)(x + 3)(x2 + 3x + 9) 4. สําหรับกิจกรรม “คา k เปนเทาใด” มีเจตนาเสนอไวเพื่อใหนักเรียนใชความรูเกี่ยวกับการหารและการแยกตัวประกอบโดยใชทฤษฎีบทเศษเหลือมาประยุกตหาคําตอบ โจทยในลักษณะนี้ไมเหมาะสําหรับนําไปวัดผลและประเมินผล อาจนําไปใชเพื่อฝกการคิดวิเคราะหกับนักเรียนที่มีความสามารถคอนขางสูง

18

5. สําหรับกิจกรรม “ตัวปญหา” มีเจตนาสรางเจตคติที่ดีในการเรียนคณิตศาสตร ใหนักเรียนไดฝกทกัษะในการแยกตวัประกอบและไดตรวจสอบความถกูตองของคาํตอบดวยการเชือ่มโยงกบัสาํนวนไทย

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรมคําตอบแบบฝกหัด 2.1

1. (x + 3 )(x – 3 ) 2. (x + 7 )(x – 7 ) 3. ( 52 + x)( 52 – x) 4. ( 23 + x)( 23 – x)

5. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+ 23 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

− 23 x 6. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+ 65 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

− 65 x

7. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ + 15 x 3

1⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

− 15 x 31 8. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ + 62 x 4

5⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

− 62 x 45

9. ( x 7 + 62 )( x 7 – 62 ) 10. (x – 1 + 6 )(x – 1 – 6 )11. (x + 3 + 10 )(x + 3 – 10 ) 12. (x – 2 + 33 )(x – 2 – 33 )13. ( 25 + x – 4)( 25 – x + 4) 14. ( 24 + x + 5)( 24 – x – 5)15. (2x + 3 + 62 )(2x + 3 – 62 ) 16. (3x – 2 + 132 )(3x – 2 – 132 )17. (5x – 1 + 34 )(5x – 1 – 34 ) 18. ( 26 + 4x + 3)( 26 – 4x – 3)

คําตอบแบบฝกหัด 2.2 ก

1. (x + 14)(x + 10) 2. (x + 33)(x – 17) 3. (x – 13)(x – 15) 4. (x + 5)(x – 31) 5. (x + 4 + 6 )(x + 4 – 6 ) 6. (x + 1 + 6 )(x + 1 – 6 ) 7. (x – 3 + 7 )(x – 3 – 7 ) 8. (x – 1 + 11 )(x – 1 – 11 )

9. (x + 5 + 62 )(x + 5 – 62 ) 10. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

− 25 7 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

− 25 7 x

11. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ 25 9 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ 25 9 x 12. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ 233 5 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ 233 5 x

13. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ 25 11 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ 25 11 x 14. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ 213 7 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ 233 7 x

15. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

− 233 9 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

− 233 9 x 16. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

− 265 15 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

− 265 15 x

19

คําตอบแบบฝกหัด 2.2 ข

1. (x + 7)(3x – 2) 2. (11x + 1)(x – 13) 3. (x – 5)(15x – 2) 4. -2(x + 3 + 11 )(x + 3 – 11 )

5. -3(x – 4 + 21 )(x – 4 – 21 ) 6. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ 637 5 x 3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ 637 5 x

7. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ 393 9 x 6 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ 393 9 x 8. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ 441 9 x 4 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ 441 9 x

9. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

− 457 1 x 2- ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

− 457 1 x 10. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

− 213 5 x - ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

− 213 5 x

11. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ 20129 17 x 10 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ 20129 17 x 12. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ 4173 13 x4 -

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ 4173 13 x

คําตอบกิจกรรม “ทําไดเหมือนกัน”

1. (x – 5 )2 2. 2

21 x ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

3. (x + 32 )2 4. 2

31 x ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−

คําตอบแบบฝกหัด 2.3 ก

1. (x + 3)(x2 – 3x + 9) 2. (y + 4)(y2 – 4y + 16) 3. (2x + 1)(4x2 – 2x + 1) 4. (4z + 5)(16z2 – 20z + 25) 5. (3x + 8y)(9x2 – 24xy + 64y2) 6. (x + 7)(x2 – 13x + 103) 7. (4x – 5)(7x2 – x + 13) 8. (7x – 4)(19x2 – 77x + 151) 9. (x – 1)(x2 + x + 1) 10. (z – 6)(z2 + 6z + 36)11. (5y – 4)(25y2 + 20y + 16) 12. (10 – 6x)(100 + 60x + 36x2)13. (11y – 7z)(121y2 + 77yz + 49z2) 14. (4x – 2)(16x2 + 44x + 49)15. (x – 11)(127x2 + 131x + 67) 16. (5x – 8)(97x2 – 383x + 379)

20

คําตอบแบบฝกหัด 2.3 ข

1. (x2 + 25)(x + 5)(x – 5) 2. (9y2 + 25)(3y + 5)(3y – 5) 3. (9x2 + 16y2)(3x + 4y)(3x – 4y) 4. (x2 + x + 2)(x2 – x + 2) 5. (y2 + 2y + 5)(y2 – 2y + 5) 6. (x2 + 4x + 8)(x2 – 4x + 8) 7. (y2 + 6y + 18)(y2 – 6y + 18) 8. (y + 1)(y – 1)(y2 – y + 1)(y2 + y + 1) 9. (2x + 3)(2x – 3)(4x2 – 6x + 9)(4x2 + 6x + 9) 10. (x + y)(x – y)(x2 – xy + y2)(x2 + xy + y2)11. (x2 + 6)(x4 – 6x2 + 36) 12. (7x2 + 10z2)(49x4 – 70x2z2 + 100z4)13. (8 – y2)(64 + 8y2 + y4) 14. (6x2 – 3y2)(36x4 + 18x2y2 – 9y4)

คําตอบแบบฝกหัด 2.3 ค

1. (x + 1)(x – 1)2 2. (y + 2)(y – 1)(y2 + y +1) 3. (z – 4)(z2 + 5z + 16) 4. (y – 6)(y2 + 15y + 36) 5. (x + 3)(x2 – 8x + 9) 6. (x + 2y)(6x2 + 4y2) 7. x(x – 3)(x + 2)(x – 2) 8. (3x2 + y + 3)(3x2 – y – 3) 9. (2x2 – y + 11)(2x2 – y – 11) 10. (3x2 – y + 3)(3x2 – y – 3)11. (1 + x + y2)(1 – x – y2) 12. (x2 + 2y2 + 5)(x2 – 2y2 – 5)13. (x2 – a + z)(x2 – a – z) 14. (2x2 – a + y – b)(2x2 – a – y + b)

คําตอบแบบฝกหัด 2.4

1. 1) 40 2) 3

3) 1 4) 38 5) -60 6) 0

2. 1) 121 2) -60

3) 85 4) 0 5) 14 6) 0 3. ใชทฤษฎีบทเศษเหลือหาเศษเหลือที่ไดจากการหาร x3 – 2x2 – 2x + 121 ดวย x + 2 ถาไดเศษเหลือ เปน 0 แสดงวา x + 2 หาร x3 – 2x2 – 2x + 12 ไดลงตัว

21

วิธีทํา ให P(x) = x3 – 2x2 – 2x + 12 จากทฤษฎีบทเศษเหลือ P(-2) เปนเศษเหลือที่ไดจากการหาร P(x) ดวย x + 2 P(-2) = (-2)3 – 2(-2)2 – 2(-2) + 12 = -8 – 8 + 4 + 12 = -16 + 16 = 0 ดังนั้น เศษเหลือเทากับ 0

นั่นคือ x + 2 หาร x3 – 2x2 – 2x + 12 ไดลงตัว 4. ใชทฤษฎีบทเศษเหลือหาเศษเหลือที่ไดจากการหาร x4 – 23x2 + 18x + 40 ดวย x – 4 ถาไดเศษเหลือ เปน 0 แสดงวา x – 4 เปนตัวประกอบของ x4 – 23x2 + 18x + 40 วิธีทํา ให P(x) = x4 – 23x2 + 18x + 40 จากทฤษฎีบทเศษเหลือ P(4) เปนเศษเหลือที่ไดจากการหาร P(x) ดวย x – 4 P(4) = 44 – 23(4)2 + 18(4) + 40 = 256 – 368 + 72 + 40 = 368 – 368 = 0 ดังนั้น เศษเหลือเทากับ 0 นั่นคือ x – 4 เปนตัวประกอบของ x4 – 23x2 + 18x + 40 5. 1) (x – 1)(x – 3)(x – 4) 2) (x + 2)(x2 – 4x + 6)

3) (x – 5)(x + 2)(x + 3) 4) (x – 1)2(x + 6) 5) (x + 2)(x + 4)(x – 4) 6) (x – 4)(x2 + 3x + 1) 7) (x – 2)2(x + 3)2 8) (x – 4)(x + 5)(x – 3)2

9) (x – 5)(x + 5)(x + 3)(x – 3) 10) (x + 2)(x + 1)(x – 3)(x + 4)(x – 4)

คําตอบกิจกรรม “คา k เปนเทาใด”

1. -6 2. 59 3. -27 4. -6

22

คําตอบกิจกรรม “ตัวปญหา”

1. x2 + 2x – 3 = (x – 1)(x + 3)2. x2 + 4x + 1 = (x + 2 – 3 )(x + 2 + 3 )3. 81x2 – 169 = (9x + 13)(9x – 13)4. 27x3 – 1 = (3x – 1)(9x2 + 3x + 1)5. x4 + 64 = (x2 + 4x + 8)(x2 – 4x + 8)6. x2 – 28x + 196 = (x – 14)2

7. x3 + x2 – x – 1 = (x + 1)2(x – 1)สํานวนนั้นคือ อยาเอาพิมเสนไปแลกกับเกลือ

23

กิจกรรมเสนอแนะ แบบฝกหัดเพิ่มเติมและคําตอบ

24

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.1

จงแยกตัวประกอบของพหุนามตอไปนี้ 1. 3x2 + x [ x(3x + 1) ] 2. x – 2x2 [ x(1 – 2x) ] 3. 2x(x – 3) + 3(x – 3) [ (x – 3)(2x + 3) ] 4. 3(2x – 1)2 + 4(2x – 1) [ (2x – 1)(6x + 1) ] 5. x2 + 4x – 5 [ (x + 5)(x – 1) ] 6. 2x2 – 5x + 3 [ (2x – 3)(x – 1) ] 7. a2 – a – 2 [ (a – 2)(a + 1) ] 8. a2 + 6a + 9 [ (a + 3)2 ] 9. 4x2 – 4x + 1 [ (2x – 1)2 ]10. 4y2 – 20y + 25 [ (2y – 5)2 ]11. 14y2 + y – 3 [ (7y – 3)(2y + 1) ]12. p2 – 1 [ (p – 1)(p + 1) ]13. 4x2 – 32 [ (2x + 3)(2x – 3) ]14. 12a2 – 27 [ 3(2a – 3)(2a + 3) ]15. 81 – 49x2 [ (9 – 7x)(9 + 7x) ]16. 9x2 – 121 [ (3x – 11)(3x + 11) ]17. (2x – 1)2 – 4 [ (2x – 3)(2x + 1) ]18. (x – 3)2 – y2 [ (x – y – 3)(x + y – 3) ]

25

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2

1. จงเขียนพหุนามตอไปนี้ใหอยูในรูปกําลังสองสมบูรณ ตัวอยาง x2 – 8x – 16 = x2 – 2(x)(4) + 42

16x2 + 24x + 9 = (4x)2 + 2(4x)(3) + 32

a2 + 3a + 49 = a2 + 2(a)

32

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ 23

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4a2 – a34 + 9

1 = (2a)2 – 2(2a)13

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ 21

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1) a2 + 6a + 9 = …………………….. [ a2 + 2(a)(3) + 32 ] 2) y2 – 10y + 25 = …………………….. [ y2 – 2(y)(5) + 52 ] 3) x2 – 18x + 81 = …………………….. [ x2 – 2(x)(9) + 92 ] 4) 4x2 + 8x + 4 = …………………….. [ (2x)2 + 2(2x)(2) + 22 ] 5) 4x2 – 20x + 25 = …………………….. [ (2x)2 – 2(2x)(5) + 52 ] 6) 100x2 – 20x + 1 = …………………….. [ (10x)2 – 2(10x) + 12 ]

7) y2 + 5y + 425 = …………………….. [ y2 + 2(y)

52

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ 25

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

]

8) a2 – 7a + 449 = …………………….. [ a2 – 2(a)

72

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ 27

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

]

9) 41 a2 – 3a + 9 = …………………….. [

21a2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

– 21

a2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(3) + 32]

10) 2516 y2 + 8y + 25 = …………………….. [

24y5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ 24

y5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(5) + 52 ]

26

2. จงเติมพจนในชองวางเพื่อทําใหพหุนามตอไปนี้เปนพหุนามดีกรีสองที่เปนกําลังสองสมบูรณ แลวแยกตัวประกอบ ตัวอยาง x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

x2 – 14x + 49 = (x – 7)2

a2 + 5a + 425 =

25a 2+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1) x2 + ……….. + 25 = …………………… [ 10x, (x + 5)2 ] 2) 4x2 – ……….. + 1 = …………………… [ 4x, (2x – 1)2 ] 3) 9x2 – 24x + ……….. = …………………… [ 16, (3x – 4)2 ] 4) 9x2 + ……….. + 25 = …………………… [ 30x, (3x + 5)2 ] 5) ……….. + 6a + 1 = …………………… [ 9a2, (3a + 1)2 ] 6) 64y2 – 80y + ……….. = …………………… [ 25, (8y – 5)2 ]

7) x2 + ……….. + 41 = …………………… [ x,

21x 2+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

]

8) y2 – 3x + ……….. = …………………… [ 94 ,

23y 2−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

]

9) 64y2 ……….. + 161 = …………………… [ 4y,

218y 4+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

]

10) 25x2 + 15x + ……….. = …………………… [ 32 ,

235x 2+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

]

27

กิจกรรมเสนอแนะ 2.3 ก

กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนเห็นวา a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b3) โดยใชปริมาตร

ใหนักเรียนทํากิจกรรมและตอบคําถามตอไปนี้ 1. สรางกลองกระดาษทรงสี่เหล่ียมมุมฉาก 5 กลอง ขนาดตาง ๆ กันดังนี้ กลองที่ 1 ขนาดกวาง ยาวและสูง ดานละ a หนวย กลองที่ 2 ขนาดกวาง ยาวและสูง ดานละ b หนวย (ให b ∠ a) กลองที่ 3 ขนาดกวาง b หนวย ยาว b หนวย และ สูง a หนวย กลองที่ 4 ขนาดกวาง b หนวย ยาว a – b หนวย และ สูง a หนวย

กลองที่ 5 ขนาดกวาง a – b หนวย ยาว a หนวย และ สูง a หนวย

ตัวอยาง

1a

aa

b

bb

2b b

a3

a – b b

4 a

a – b

a5

a

28

2. ใหนักเรียนหาปริมาตรของกลองแตละใบแลวเขียนคําตอบเติมในชองวางตอไปนี้ ปริมาตรของกลองที่ 1 เทากับ .................................... [ a3 ]

ปริมาตรของกลองที่ 2 เทากับ .................................... [ b3 ]ปริมาตรของกลองที่ 3 เทากับ .................................... [ ab2 ]ปริมาตรของกลองที่ 4 เทากับ .................................... [ ab(a – b) ]ปริมาตรของกลองที่ 5 เทากับ .................................... [ a2(a – b) ]

3. นํากลองที่ 3 กลองที่ 4 และกลองที่ 5 มาประกอบเปนทรงสี่เหล่ียมมุมฉากที่มีความสูง a หนวย ดังรูป ก แลวใหนักเรียนสังเกตวา ทรงสี่เหล่ียมมุมฉากรูป ก นี้มีปริมาตรเทากับปริมาตรของ กลองที่ 1 หรือไม [เทากัน]

4. ผลบวกของปริมาตรของกลองที่ 1 และกลองที่ 2 เทากับเทาใด [ a3 + b3 ] 5. นํากลองที่ 2 วางซอนบนกลองทรงสี่เหล่ียมมุมฉากรูป ก ในขอ 3 จะไดรูปเรขาคณิตสามมิติ ดังรูป ข

a

5

b

a 3

a – b

4 a 1a

aa

รูป ก

ba – b

รูป ขa

5

b

a 3

b

a – b

4

2

ba – b

29

6. จากรูปเรขาคณิตสามมิติรูป ข ใหนักเรียนดึงกลองที่ 4 ออก แลวนําไปวางซอนดานบนของ กลองที่ 5 ใหไดดังรูป ค

7. ปริซึมรูป ค มีปริมาตรเทาใด [a3 + b3]

a – b b

4 aa

5

a 3

b

b a – bb

a – b

a

b

4

a5

a 3

b

b

a – b

2

รูป ค

a – b

รูป ค

a

b

4

a5

a 3

b

b

a – b

2

a – b

30

8. จากกิจกรรมในขอ 4 ขอ 6 และขอ 7 นักเรียนสามารถหาความสัมพันธของปริมาตรของรูปเรขาคณิต สามมิติในขอ 4 และขอ 7 เปน a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) ไดหรือไม ถาได จงแสดงวิธีทํา

ได ดังแนวคิดตอไปนี้

ผลบวกของปริมาตรของกลองที่ 2 และปริมาตรของกลองที่ 3 = b2(a + b) ลูกบาศกหนวย ผลบวกของปริมาตรของกลองที่ 4 และปริมาตรของกลองที่ 5 = a(a – b)(a + b) ลูกบาศกหนวย เนื่องจาก ในขอ 3 ผลบวกของปริมาตรของกลองที่ 3 กลองที่ 4 และกลองที่ 5 เทากับปริมาตร ของกลองที่ 1 จะได ผลบวกของปริมาตรของกลองที่ 2 กลองที่ 3 กลองที่ 4 และกลองที่ 5 เทากับ ผลบวกปริมาตรของกลองที่ 2 และปริมาตรของกลองที่ 1 ดังนั้น b2(a + b) + a(a – b)(a + b) = b3 + a3

นั่นคือ a3 + b3 = (a + b)[b2 + a(a – b)] = (a + b)(a2 – ab + b2)

a

=1

a

aa

b

bb

2

b

4

a5

a 3

b

b

a – b

2b

a – b

31

กิจกรรมเสนอแนะ 2.3 ข

กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนเห็นวา a3 – b3 = (a – b)(a2+ ab + b2) โดยใชปริมาตร

ใหนักเรียนทํากิจกรรมและตอบคําถามตอไปนี้ 1. สรางกลองกระดาษทรงสี่เหล่ียมมุมฉาก 5 กลอง ขนาดตาง ๆ กันดังนี้ กลองที่ 1 ขนาดกวาง ยาวและสูง ดานละ a หนวย กลองที่ 2 ขนาดกวาง ยาวและสูง ดานละ b หนวย ให b < a กลองที่ 3 ฐานยาวดานละ a หนวย สูง a – b หนวย กลองที่ 4 ฐานกวาง a – b หนวย ยาว a หนวย สูง b หนวย

กลองที่ 5 ฐานกวาง b หนวย ยาว a – b หนวย สูง b หนวย

2. ใหนักเรียนหาปริมาตรของกลองแตละใบแลวเขียนคําตอบเติมในชองวางตอไปนี้ ปริมาตรของกลองที่ 1 เทากับ .................................... [ a3 ]

ปริมาตรของกลองที่ 2 เทากับ .................................... [ b3 ]ปริมาตรของกลองที่ 3 เทากับ .................................... [ a2(a – b) ]ปริมาตรของกลองที่ 4 เทากับ .................................... [ ab(a – b) ]ปริมาตรของกลองที่ 5 เทากับ .................................... [ b2(a – b) ]

a

a

a1

b bb

2

a – b

a

b

4b

a – b

b

5

aa3

a – b

32

3. นํากลองที่ 2 กลองที่ 3 กลองที่ 4 และกลองที่ 5 มาประกอบกันเปนกลองทรงสี่เหล่ียมมุมฉาก ดังรูป ก นักเรียนคิดวา ทรงสี่เหล่ียมมุมฉากรูป ก มีปริมาตรเทากับปริมาตรของกลองที่ 1 หรือไม

[เทากัน]

4. จากทรงสี่เหล่ียมมุมฉากรูป ก ใหนักเรียนยกกลองที่ 2 ออกดังรูป จะไดรูปเรขาคณิตสามมิติ ที่มีปริมาตรเทากับ a3 – b3 ใชหรือไม [ใช]

5. ใหนักเรียนหาผลบวกของปริมาตรของกลองที่ 3 กลองที่ 4 และกลองที่ 5 [ a2(a – b) + ab(a – b) + b2(a – b) ] 6. ผลบวกของปริมาตรที่ไดในขอ 5 นักเรียนสามารถเขียนใหอยูในรูปการคูณของพหุนามสองพหุนาม ไดหรือไม ถาได เขียนไดเปนอยางไร [ได และเขียนไดเปน (a – b)(a2 + ab + b2) ] 7. จากผลที่ไดในขอ 4 และขอ 6 มีความสัมพันธกันอยางไร [ a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ]

a – b a3

4 5b

a

b

a – b

b bb

2

a – b a3

4 5

a

2รูป ก

b

บทที่ 3สมการกําลังสอง (12 ชั่วโมง)

3.1 ทบทวนสมการกําลังสอง (2 ช่ัวโมง)3.2 การแกสมการกําลังสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณ (6 ช่ัวโมง)3.3 โจทยปญหาเกี่ยวกับสมการกําลังสอง (4 ช่ัวโมง)

นักเรียนเคยเรียนการแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียวที่อยูในรูป ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b, cเปนคาคงตัว และ a ≠ 0 ในกรณีที่สามารถแยกตัวประกอบของพหุนาม ax2 + bx + c ใหอยูในรูปการคูณกันของพหุนามดีกรีหนึ่งสองพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็มมาแลวในหนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตร เลม 2 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 2 เนื้อหาในบทนี้เปนสาระตอเนื่องจากความรูดังกลาวเกี่ยวกับการแกสมการกําลังสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณและผลตางของกําลังสองคําตอบของสมการกําลังสองในบทเรียนนี้จะขยายไปถึงจํานวนที่เขียนอยูในรูปของกรณฑที่สอง นอกจากนี้ยังไดกลาวถึงการหาคําตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัว และ a ≠

0 โดยใชสูตร x = 2a4ac b b- 2

−± เพื่อใหนักเรียนมีวิธีการหาคําตอบของสมการไดมากขึ้น ทั้งมีการนําความรูเกี่ยวกับสมการกําลังสองไปใชแกโจทยปญหา ตัวอยางและกิจกรรมที่จัดไวในแตละหัวขอ มีเจตนาใหนักเรียนเขาใจเทคนิควิธีแกสมการกําลังสองและการนําไปใชแกโจทยปญหา นอกจากการทําแบบฝกหัดในหนังสือเรียนตามปกติแลวครูอาจใหนกัเรยีนฝกทกัษะเพิม่เตมิโดยยกตวัอยางและเลอืกโจทยทีไ่มซับซอนและยุงยากตอการคดิคาํนวณแตเนนแนวคดิและวธีิการแกปญหาเพือ่ใหนกัเรยีนมคีวามรูความเขาใจมากขึน้ ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป 1. แกสมการกําลังสองตัวแปรเดียวได 2. แกโจทยปญหาเกี่ยวกับสมการกําลังสองตัวแปรเดียวได 3. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

34

แนวทางในการจัดการเรียนรู

3.1 ทบทวนสมการกําลังสอง (2 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียวในรูป ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัว และ a ≠ 0 โดยใชการแยกตัวประกอบได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูควรทบทวนรูปทั่วไปของสมการกําลังสองตัวแปรเดียว และขั้นตอนการแกสมการรวมถึงการตรวจสอบคําตอบเพื่อเปนพื้นฐานในการเรียนหัวขอนี้ 2. สําหรับตัวอยางที่ 1, 2, 3 และ 4 มีเจตนาใหทบทวนความรูเร่ืองการแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียวโดยใชการแยกตัวประกอบของพหุนามตามที่นักเรียนเคยเรียนมาแลว ในตัวอยางที่ 3 ครูควรช้ีใหนักเรียนเห็นรูปแบบของการแยกตัวประกอบที่เปนกําลังสองสมบูรณ ซ่ึงทําใหไดตัวประกอบสองตัวประกอบที่เหมือนกันและไดคําตอบของสมการสองคําตอบเหมือนกัน ดังนั้นสมการเชนนี้มีคําตอบเพียงคําตอบเดียว

3. สําหรับตัวอยางที่ 5, 6 และ 7 เปนตัวอยางที่ขยายความรูเดิม ในตัวอยางแสดงใหเห็นการแกสมการโดยการแยกตัวประกอบที่เปนผลตางของกําลังสองและคําตอบอยูในรูปของกรณฑที่สอง ครูอาจแนะใหนักเรียนหาคําตอบของสมการเหลานี้โดยใชสมบัติของรากที่สองของจํานวนจริง แตการใชวิธีนี้นักเรียนจะตองระมัดระวังในการหาคําตอบของสมการมาใหครบทุกคําตอบ ทั้งนี้ครูควรย้ํากับนักเรียนวาในการแกสมการทุกครั้ง ในขั้นตอนสุดทายตองตรวจสอบคําตอบของสมการดวย

3.2 การแกสมการกําลังสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณ (6 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถแกสมการกําลังสอง ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัว

และ a ≠ 0 โดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณหรือใชสูตร x = 2a4ac b b 2

−− ±

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 3.2 ก และ 3.2 ข

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูควรทบทวนการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนกําลังสองสมบูรณ ครูอาจยกตัวอยางสมการกําลังสองที่ไมสามารถแยกตัวประกอบไดโดยงาย จําเปนตองมีการเพิ่มพจนเขาและลบออก เพื่อจัดบางสวนของพหุนามใหอยูในรูปกําลังสองสมบูรณ ครูควรชี้แนะใหนักเรียนสังเกตวาพจนที่นํามาลบนั้นสามารถทําใหไดจํานวนที่อยูในรูปกําลังสอง เพื่อทําใหไดพหุนามที่เปนผลตางของกําลังสอง

35

และสามารถแยกตัวประกอบตอไปได 2. สําหรับตัวอยางที่ 5 การทําสมการที่อยูในรูป ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a ≠ 1 ใหมีพหุนามอยูในรูปกําลังสองสมบูรณ จะตองทําสัมประสิทธิ์ของ x2 ใหเปน 1 ครูควรชี้และย้ํากับนักเรียนวาจะตองนํา a ไปหารทุก ๆ พจนของสมการ 3. ครูควรใหนักเรียนฝกการแกสมการกําลังสองโดยการแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยูในรูปกําลังสองสมบูรณและผลตางของกําลังสองโดยการทําแบบฝกหัด 3.2 ก แลวจึงยกตัวอยางการแกสมการกําลังสองที่อยูในรูป ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัวที่ a ≠ 0 ซ่ึงจะไดสูตรหาคําตอบของ

สมการเปน x = 2a4ac b b 2

−− ± ครูควรย้ํากับนักเรียนวาในกรณีที่ใชสูตรนี้หาคําตอบของสมการจะตองรูวา b2 – 4ac > 0 จากนั้นครูจึงคอยช้ีแนะใหนักเรียนสังเกตจํานวนคําตอบของสมการax2 + bx + c = 0 ที่ขึ้นอยูกับคาของ b2 – 4ac โดยพิจารณาแยกกรณีตามที่เสนอไวในหนังสือเรียนสวนกรณีที่ 3 กลาวถึง b2 – 4ac < 0 จะไดคําตอบของสมการที่ไมใชจํานวนจริง ในกรณีนี้ครูไมจําเปนตองบอกนักเรียนวาคําตอบเปนอยางไร แตใหบอกเพียงวาไมมีคําตอบที่เปนจํานวนจริงเทานั้น ครูควรชี้แนะใหนักเรียนสังเกตวาในการหาคําตอบโดยใชสูตร จะไมมีการตรวจสอบคําตอบ เพราะไดมีการตรวจสอบในขั้นตอนการพิสูจนสูตรอยูแลว แตถาไมแนใจในการคํานวณ ก็ควรตรวจสอบความถูกตองของคําตอบอยางไมเปนทางการดวย 4. กิจกรรม “ทําไดไหม” มีเจตนาใหนักเรียนใชเงื่อนไขในการหาคําตอบจากสูตรหาคําตอบของสมการกําลังสอง ซ่ึงในที่นี้นักเรียนควรวิเคราะหไดวาตองใชเงื่อนไข b2 – 4ac = 0 มาชวยในการหาคา k 5. กิจกรรม “เกี่ยวของกันอยางไร” มีเจตนาใหนักเรียนสังเกตเห็นความสัมพันธระหวางคําตอบของสมการกําลังสอง ครูอาจใหนักเรียนทํากิจกรรมเสนอแนะ 3.2 ก ประกอบดวยก็ได 6. กิจกรรมเสนอแนะ 3.2 ข “สูตรชวยได” มีเจตนาแสดงใหเห็นการใชสูตรหาคําตอบของสมการกําลังสองมาชวยในการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป ax2 + bx + c ที่ไมสามารถเขียนเปนผลคูณของพหุนามดีกรีหนึ่งสองพหุนามไดโดยงาย ครูอาจยกตัวอยางการแยกตัวประกอบของพหุนาม 24x2 + 7x – 5 มาแสดงใหเห็นวา ถาแยกตัวประกอบโดยวิธีปกติจะยุงยากอยางไร แตเมื่อใชสูตรที่แนะนําไวมาชวย จะสามารถแยกตัวประกอบไดอยางรวดเร็ว

36

3.3 โจทยปญหาเกี่ยวกับสมการกําลังสอง (4 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. แกโจทยปญหาเกี่ยวกับสมการกําลังสองตัวแปรเดียวได 2. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม แบบฝกหัดเพิ่มเติม 3.3

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูทบทวนขั้นตอนการแกโจทยปญหาโดยใชสมการกําลังสอง อาจใชโจทยในตัวอยางที่ 1มาแสดงวิธีทําและชี้ใหเห็นวาในขั้นตอนการแกสมการกําลังสองในการหาคา x นักเรียนอาจใชการแยกตัวประกอบของพหุนาม x2 – 22x + 105 เปน (x – 15)(x – 7) แลวหาคา x ตามวิธีทําที่เคยเรียนมากอนแลวก็ได นอกจากตัวอยางที่ใหไวในหนังสือเรียนแลว ครูอาจยกตัวอยางโจทยปญหาที่มีคําตอบเปนจํานวนอตรรกยะเพิ่มเติมดวยก็ได ครูควรเนนใหนกัเรยีนเหน็ความสาํคญัของการตรวจสอบคาํตอบ ซ่ึงจะตองนาํคาของตวัแปรไปตรวจสอบกับเงื่อนไขในโจทย ไมควรนําคาของตัวแปรไปแทนในสมการที่นักเรียนหามาได ทั้งนี้เพราะนักเรียนอาจเขียนสมการผิด และเมื่อนําคาของตัวแปรที่หามาไดจากสมการนั้นไปแทนคาตัวแปรในสมการก็จะยังไดสมการที่เปนจริง แตเมื่อนําคาของตัวแปรไปตรวจสอบกับเงื่อนไขในโจทยก็จะไมสอดคลองกับเงื่อนไขในโจทย

2. สําหรับแบบฝกหัด 3.3 เปนการแกโจทยปญหาเกี่ยวกับสมการกําลังสองที่อยูในรูปการบวกการลบและการคูณของพหุนามเทานั้น ในที่นี้จะยังไมกลาวถึงสมการที่เกี่ยวของกับเศษสวนของพหุนามซ่ึงนักเรียนจะไดเรียนในภาคเรียนตอไป ครูไมควรใหโจทยฝกเพิ่มเติมที่เกี่ยวกับเศษสวนของพหุนาม ครูอาจใชแบบฝกหดัเพิม่เตมิ 3.3 ซ่ึงเปนโจทยปญหาทีม่คีาํตอบเปนจาํนวนอตรรกยะเพิม่เตมิอีกก็ได 3. สําหรับกิจกรรม “หาอัตราสวนทองอีกวิธีหนึ่ง” ตองการใหนักเรียนไดเห็นการหาอัตราสวนทองโดยใชสมการกําลังสอง ถามีเวลาพอครูอาจนําวิธีการหาอัตราสวนทองตามแนวคิดที่นักเรียนเคยเรียนมาแลวในหนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตร เลม 1 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 2ในกิจกรรม “อัตราสวนทอง” หนา 121 – 122 มาเชื่อมโยงโดยขยายความรูดังนี้ กําหนดให ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสมีแตละดานยาว x หนวย ใหจุด E เปนจุดกึ่งกลางของ AB เมื่อใชจุด E เปนจุดศูนยกลางรัศมี EC เขียนสวนโคงตัด AB ที่จุด F ดังรูป กลาก FG ตั้งฉากกับ AF ตัด DC ที่จุด H จะได AFHD เปนรูปสี่เหล่ียมผืนผาทอง ดังรูป ข ซ่ึงสามารถหาอัตราสวนทองไดดังนี้

37

จากรูป AFHD จะได BC = a หนวย และ BE = a2 หนวย

จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได EC2 = BC2 + BE 2

= a2 + 2

2a⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

EC = 4a a

22 +

= 45a 2

ดังนั้น EC = a25

เนื่องจาก EC = EF (เปนรัศมีของวงกลมเดียวกัน)

จะได EF = a25

เนื่องจาก AF = AE + EF

จะได AF = 2a + a2

5

= 2a)5 1( +

จากรูปสี่เหล่ียมผืนผาทอง AFHD จะไดอัตราสวนของความยาวตอความกวางเทากับ AF : AD

ดังนั้น ADAF = a

a25 1+

= 25 1+

นั่นคือ อัตราสวนทองเทากับ 25 1+ ซ่ึงคิดเปนประมาณ 1.618

A E B

CD

F A E B

CD

F

H

G

รูป ก รูป ข

38

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรมคําตอบแบบฝกหัด 3.1

1. 1) 0 และ 3 2) 0 และ 2

5

3) 1 และ 3 4) ไมมีคําตอบ

5) 32 และ -1 6) 5

2

7) 25- และ 3

1 8) 53 และ 2

5-

9) 43 และ -2 10) 4

1-

11) 23- และ -1 12) 3

5 และ 1

13) 35 14) ไมมีคําตอบ

15) 37 และ 8 16) 3

4 และ 1 2. 1) 6 และ 6- 2) 17 และ 17-

3) 6 และ -6 4) ไมมีคําตอบ

5) 2 + 60 และ 2 – 60 6) ไมมีคําตอบ

7) 23 และ 2

9- 8) 323 4 − และ 3

23 4 +

9) 510 2+ และ 5

10 2 − 10) 1 และ 73-

11) 2 และ 34- 12) 2

3- และ 41-

13) 211 และ 4 14) ไมมีคําตอบ

15) ไมมีคําตอบ 16) 92

39

คําตอบแบบฝกหัด 3.2 ก

1. 10 3+ และ 10 3 − 2. 10 4- + และ 10 4 - −

3. ไมมีคําตอบ 4. 229 3- + และ 2

29 3- −

5. 3 6. ไมมีคําตอบ

7. 37 2+ และ 3

7 2 − 8. ไมมีคําตอบ

9. 233 2- + และ 2

33 2- − 10. 54 และ 2

3-

11. 433 9- + และ 4

33 9- − 12. ไมมีคําตอบ

13. 34 และ 2

1 14. 210-

15. 689 7+ และ 6

89 7 − 16. 0 และ 38

17. 3 และ -1 18. 1330 2- + และ 13

30 2- −

19. 257 7+ และ 2

57 7 − 20. 233 1- + และ 2

33 1- −

คําตอบกิจกรรม “ทําไดไหม”

1. -12 และ 12 2. 16 3. 25 4. 2 และ 18

คําตอบแบบฝกหัด 3.2 ข

1. 1) มีคําตอบ สองคําตอบ 2) มีคําตอบ สองคําตอบ

3) ไมมีคําตอบ 4) มีคําตอบ หนึ่งคําตอบ 5) มีคําตอบ สองคําตอบ 6) ไมมีคําตอบ 7) มีคําตอบ สองคําตอบ 8) มีคําตอบ หนึ่งคําตอบ

40

9) ไมมีคําตอบ 10) มีคําตอบ หนึ่งคําตอบ 2. 1) 1 และ 11 2) -2 และ 5 3) -2 + 3 และ -2 – 3 4) ไมมีคําตอบ

5) 27 และ -2 6) 2

3 และ 51

7) 71 8) 6

13 7+ และ 613 7 −

9) 417 7+ และ 4

17 7 − 10) 562 2- + และ 5

62 2- −

3.

1) 27 1+ และ 2

7 1− 2) 1 + 5 และ 1 – 5

3) 433 1+ และ 4

33 1− 4) ไมมีคําตอบ

5) 0 และ 41 6) 0

7) 7 และ 413- 8) 4

5 3+ และ 45 3 −

9) -4 และ 5 10) 1710 และ -2

คําตอบกิจกรรม “เกี่ยวของกันอยางไร”

1. ab- 2. a

c

ผลบวกของคําตอบของสมการเทากับ ab- และผลคูณของ

คําตอบของสมการเทากับ ac

คําตอบแบบฝกหัด 3.3

1. กวาง 12 เมตร ยาว 15 เมตร 2. AB = 12 เซนติเมตร BC = 5 เซนติเมตร

41

AC = 13 เซนติเมตร 3. ความยาวของฐาน BC = 8 เซนติเมตร 4. 25 และ 27 5. กวาง 8 เซนติเมตร ยาว 15 เซนติเมตร และสูง 6 เซนติเมตร 6. 4 เซนติเมตร 7. กวาง 5 เซนติเมตร ยาว 11 เซนติเมตร หรือกวาง 5.5 เซนติเมตร ยาว 10 เซนติเมตร 8. รูปสี่เหล่ียมจัตุรัส ABCD มีขนาดยาวดานละ 6 เซนติเมตร รูปสี่เหล่ียมมุมฉาก PQRS มีขนาดกวาง 4 เซนติเมตร และยาว 9 เซนติเมตร 9. 50 แถว และแถวละ 40 ตน10. 49 ตารางวา และ 121 ตารางวา

42

กิจกรรมเสนอแนะ แบบฝกหัดเพิ่มเติมและคําตอบ

43

กิจกรรมเสนอแนะ 3.2 ก

กิจกรรมนี้ใชเสริมกิจกรรม “เกี่ยวของกันอยางไร” ในหนังสือเรียน หนา 82

นักเรียนทราบมาแลววาถา r1 และ r2 เปนคําตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b, cเปนคาคงตัว และ a ≠ 0 แลว r1 + r2 = a

b-

21 r r ⋅ = ac

ความสัมพันธของคําตอบของสมการดังกลาวสามารถนํามาแกปญหาได เชน

ตัวอยาง จงหาคา k จากสมการและสิ่งที่กําหนดใหในแตละขอตอไปนี้ 1) kx2 – 2x + 7 = 0 และผลบวกของคําตอบของสมการเปน 5

2

2) 4x2 – 11x + (k – 3) = 0 และผลคูณของคําตอบของสมการเปน 23

วิธีทํา 1) kx2 – 2x + 7 = 0 เนื่องจาก r1 + r2 = 5

2

จะได ab- = 5

2

ดังนั้น k(-2)- = 5

2

นั่นคือ k = 5 ตอบ 5

2) 4x2 – 11x + (k – 3) = 0 เนื่องจาก 21 r r ⋅ = 2

3

จะได ac = 2

3

ดังนั้น 43k − = 2

3

k – 3 = 6 นั่นคือ k = 9

ตอบ 9

44

จงหาคา p จากสมการและสิ่งที่กําหนดใหในแตละขอตอไปนี้

1. 3px2 – 5x – p = 0 และผลบวกของคําตอบของสมการเปน 5 13⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

2. 2py2 + 4y – 6p = 0 และผลบวกของคําตอบของสมการเปน 34 3- 2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

3. 5m2 – (p + 1)m – 2 = 0 และผลบวกของคําตอบของสมการเปน 53 [2]

4. 6x2 + x – 3p = 0 และผลคูณของคําตอบของสมการเปน 23- [3]

5. px2 – 6x – 1 = 0 และผลคูณของคําตอบของสมการเปน 51- [5]

6. 32 px2 + 2px – 4 = 0 และผลคูณของคําตอบของสมการเปน 6 [-1]

45

กิจกรรมเสนอแนะ 3.2 ข

กิจกรรมนี้ตองการใหเห็นการนําสูตรการหาคําตอบของสมการกําลังสองมาใชในการแยกตัวประกอบพหุนามที่อยูในรูป ax2 + bx + c

สูตรชวยได

นักเรียนเคยหาคําตอบของสมการกําลังสอง ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัว และa ≠ 0 ไดจากสูตร

x = 2a4ac b b- 2 −± เมื่อ b2 – 4ac > 0

เราสามารถอาศัยสูตรนี้ชวยในการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป ax2 + bx + c

เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัวที่ b2 – 4ac > 0 และ a ≠ 0 ได โดยกําหนดให r1 = 2a4ac b b- 2 −+

และ r2 = 2a4ac b b- 2 −−

สูตรการแยกตัวประกอบของพหุนาม ax2 + bx + c จะไดเปน ax2 + bx + c = a(x – r1)(x – r2)

คําอธิบายเพิ่มเติมสําหรับครูพิจารณาการแยกตัวประกอบของพหุนาม ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัวที่ b2 – 4ac > 0

และ a ≠ 0 โดยใชวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณไดดังนี้

ax2 + bx + c = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++ a

c xab x a 2

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +++ − a

c 2ab 2a

b xab x a

222

= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

−+ 2

2

2

4a4ac b 2a

b x a

ถา b2 – 4ac > 0

จะได ax2 + bx + c = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

−+

22

2

2a4ac b 2a

b x a

46

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

−+ 2a4ac b

2ab x a

2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

++ 2a4ac b 2a

bx 2

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−+ 2a

4ac b bx a2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −++ 2a

4ac b bx 2

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

+2a

4ac b b-x a2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−− 2a

4ac b b-x 2

กําหนด r1 = a24ac b b- 2

−+ และ r2 = a24ac b b- 2

−−

ดังนั้น จะสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใชสูตรไดดังนี้ ax2 + bx + c = a(x – r1)(x – r2) เมื่อ r1 และ r2 เปนคําตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0

ตัวอยาง จงแยกตัวประกอบของพหุนามตอไปนี้ 1) 2x2 – 3x + 1

2) 30x2 + 7x – 18 3) 3x2 – 2x – 4

วิธีทํา 1) 2x2 – 3x + 1

จากสูตร x = 2a4ac b b- 2 −±

ในที่นี้ a = 2, b = -3 และ c = 2

จะได x = 2(2)4(2)(1) (-3) )3-(- 2 −±

= 41 3 ±

นั่นคือ r1 = 1 หรือ r2 = 21

ดังนั้น 2x2 – 3x + 1 = 2(x – 1) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

− 21 x

หรือ = (x – 1)(2x – 1)

ลองตรวจสอบดูซิวาเปนจริงหรือไม

47

2) 30x2 + 7x – 18

จากสูตร x = 2a4ac b b- 2 −±

ในที่นี้ a = 30, b = 7 และ c = -18

จะได x = 2(30)4(30)(-18) 7 7- 2 −±

= 6047 7- ±

นั่นคือ r1 = 32 หรือ r2 = 10

9-

ดังนั้น 30x2 + 7x – 18 = 30 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

− 32 x ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

− 109- x

= 3 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

− 32 x 10 ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ + 10

9 x

= (3x – 2)(10x + 9)

3) 3x2 – 2x – 4

จากสูตร x = 2a4ac b b- 2 −±

ในที่นี้ a = 3, b = -2 และ c = -4

จะได x = 2(3)4(3)(-4) (-2) )-2(- 2 −±

= 652 2 ±

= 313 1 ±

นั่นคือ r1 = 313 1 + หรือ r2 = 3

13 1 −

ดังนั้น 3x2 – 2x – 4 = 3 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

− 313 1 x ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

− 313 1 x

= ( )[ ]13 1 x3 +− ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

− 313 1 x

48

ใหนักเรียนแยกตัวประกอบของพหุนามตอไปนี้ 1. 2x2 + 11x – 6 [(x + 6)(2x – 1)] 2. 5x2 – 8x – 4 [(5x + 2)(x – 2)]

3. 3m2 – 4m – 1 3 2 7 2 7x x 3 3−

− −+⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞

⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

4. 5y2 – 6y – 1 3 14 3 145 x x 5 5−

− −+⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞

⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

5. 24x2 + 7x – 5 5 1

24 x x 8 3−+⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

6. 2x2 + 9x + 6 9 33 9 33

2 x x 4 4−+

+ +⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

7. 3x2 + 12x + 1 6 33 6 33

3 x x 3 3−+

+ +⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

8. 25x2 – 10x – 1 1 2 1 2

25 x x 5 5−

− −+⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞

⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

49

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 3.3

1. จํานวนสองจํานวนตางกันอยู 5 ถาผลคูณของทั้งสองจํานวนมากกวาสามเทาของผลบวกของทั้งสอง

จํานวนอยู 1 จงหาจํานวนทั้งสองนั้น + +⎡

⎢⎣

11 65 1 65, 2 2 หรือ

− − ⎤⎥⎦

11 65 1 65, 2 2

2. รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีดานฐานยาวกวาความสูงอยู 3 เซนติเมตร ถาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเทากับ 120 ตารางเซนติเมตร ดานฐานของรูปสามเหลี่ยมนี้ยาวเทาไร [ประมาณ 17.06 เซนติเมตร] 3. ดินสอแทงหนึ่งยาว 7 นิ้ว ใสลงในกระปองทรงกระบอกรัศมี 2 นิ้ว ความสูงของกระปองเทากับ ความยาวของดินสอพอดี ถาเลื่อนดินสอใหปลายขางหนึ่งชนกับขอบกระปองดานในที่อยูตรงขาม ดังรูป ดินสอจะเลื่อนลงจากขอบกระปองเปนระยะทางเทาไร [ประมาณ 1.26 นิ้ว]

4. ลุงพรมีที่ดินเปนรูปสี่เหล่ียมผืนผาอยูติดริมคลองสองดาน วัดความยาวรอบที่ดินได 74 เมตร ที่ดินกวาง 10 เมตร ดานที่ติดคลองลุงพรปลูกผักไว ทําใหเหลือเนื้อที่ตรงกลางเพียง 205 ตารางเมตร ดังรูป จงหาความกวางของแปลงผัก [ประมาณ 1.85 เมตร]

10 เม

ตร

ปลูกผัก

ปลูกผ

ัก

คลอง

คลอง

205 ตารางเมตร

7 นิ้ว

บทที่ 4พาราโบลา (12 ชั่วโมง)

4.1 สมการของพาราโบลา (2 ช่ัวโมง)4.2 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 เมื่อ a ≠ 0 (2 ช่ัวโมง)4.3 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 + k เมื่อ a ≠ 0 (2 ช่ัวโมง)4.4 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0 (3 ช่ัวโมง)4.5 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมื่อ a ≠ 0 (3 ช่ัวโมง)

ในบทนี้ตองการใหนักเรียนมีความรูเกี่ยวกับพาราโบลาและการเขียนกราฟพาราโบลาที่มีสมการอยูในรูปy = ax2 + bx + c เมื่อ x, y เปนตัวแปร a, b, c เปนคาคงตัว และ a ≠ 0 เทานั้น เนื้อหาของบทนี้สวนใหญเสนอไวในรูปกิจกรรมที่ใหความรูเปนลําดับขั้นตอนของเนื้อหาที่สัมพันธ จากรูปอยางงายไปสูสมการของพาราโบลา y = ax2 + bx + c ดังที่ปรากฏในแตละหัวขอขางตน ดังนั้นในการจัดการเรียนการสอน ครูจึงควรใหนักเรียนไดทํากิจกรรมทุกกิจกรรมตามลําดับ เพื่อใหนักเรียนไดศึกษาสํารวจ สังเกตและสรางขอความคาดการณ เพื่อนําไปสูขอสรุปที่เปนลักษณะทั่วไปของกราฟพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการในแตละกิจกรรมซึ่งเชื่อมโยงตอเนื่องกัน และสามารถนําความรูไปแกปญหาที่กําหนดใหได ในการจัดการเรียนการสอนเรื่องนี้ ครูและนักเรียนอาจใชเครื่องคํานวณเชิงกราฟหรือคอมพิวเตอรที่มีโปรแกรมการเขียนกราฟ มาประกอบการเรยีนการสอนเพื่อใหนักเรียนไดสํารวจ หาความสัมพันธระหวางสมการของพาราโบลาและกราฟพาราโบลา ซ่ึงจะชวยใหนักเรียนไดพบตัวอยางที่หลากหลายและหาขอสรุปไดเร็วข้ึน

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป 1. เขียนกราฟพาราโบลาที่กําหนดใหได 2. บอกลักษณะของกราฟพาราโบลาที่กําหนดใหได

51

แนวทางในการจัดการเรียนรู

4.1 สมการของพาราโบลา (2 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถบอกไดวาสมการที่กําหนดใหเปนหรือไมเปนสมการของพาราโบลา

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ในการนําเขาสูบทเรียน ครูอาจสนทนาใหนักเรียนสังเกตสิ่งแวดลอมและสิ่งกอสรางรอบตัวที่มีลักษณะเปนพาราโบลา เชน สายเคเบิ้ลที่ขึงโยงสะพานแขวน สายน้ําพุที่พุงขึ้นในชวงเวลาตาง ๆ ดังที่เสนอไวในบทนําของหัวขอนี้ จากนั้นจึงแนะนําลักษณะกราฟพาราโบลาในทางคณิตศาสตร ดังตัวอยางกราฟพาราโบลาหงายและพาราโบลาคว่ําที่เสนอไวในหนังสือเรียนหนา 94 และหนา 95 ซ่ึงนักเรียนเคยพบมาแลวในหนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตร เลม 2 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 2 เร่ือง สมการกําลังสองตัวแปรเดียว ครูอาจใชการถามตอบและยกตัวอยางสมการเชิงเสนสองตัวแปร กราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปร เปรียบเทียบกับสมการของพาราโบลาและกราฟพาราโบลาขางตน เพื่อโยงไปสูรูปของสมการของพาราโบลาและกราฟที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมื่อ x, y เปนตัวแปร a, b, c เปนคาคงตัว และa ≠ 0 2. กิจกรรม “ลองคิดดู” มีเจตนาใหนักเรียนตระหนักวา เมื่อเขียนสมการในรูป y = ax2 + bx + cควรเขียน a ≠ 0 เสมอ เพราะถา a = 0 แลวจะไดสมการเชิงเสนสองตัวแปรซึ่งมีกราฟเปนเสนตรง 3. กิจกรรม “บอกไดหรือไม” มีเจตนาใชเพื่อตรวจสอบความรูความเขาใจเกี่ยวกับสมการของพาราโบลาในขอ 1 ขอยอย 5) และขอยอย 6) ครูควรแนะนําใหนักเรียนเขียนสมการที่กําหนดให ใหอยูในรูปy = ax2 + bx + c กอน แลวจึงระบุคา a, b และ c ดังตัวอยาง

กําหนดสมการ 2y = 3x – x2 – 5

เขียนเปน y = ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

21- x2 + ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

23 x + ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

25-

จะได a = 21- , b = 2

3 และ c = ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

25-

52

4.2 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 เมื่อ a ≠ 0 (2 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. เขียนกราฟพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 เมื่อ a ≠ 0 ได 2. บอกจุดสูงสุดหรือจุดต่ําสุด และแกนสมมาตรของกราฟของสมการ y = ax2 เมื่อ a ≠ 0 ได 3. บอกคาสูงสุดหรือคาต่ําสุดของ y จากสมการ y = ax2 เมื่อ a ≠ 0 ได 4. บอกความแตกตางของกราฟของสมการ y = ax2 เมื่อ a > 0 และ a < 0 ได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ในการจัดเนื้อหาเกี่ยวกับพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 เมื่อ a ≠ 0 ซ่ึงเปนสมการของพาราโบลาที่สามารถเขียนกราฟไดงาย ในกรณีนี้ครูช้ีใหนักเรียนเห็นวาเมื่อกําหนด a ≠ 0 จะแยกพิจารณาสมการเปน 2 กรณี คือ เมื่อ a > 0 และ a < 0 2. กิจกรรม “กราฟของ y = x2” มีเจตนาใหนักเรียนไดศึกษาสํารวจ สังเกตลักษณะของกราฟของสมการ y = ax2 เมื่อ a = 1 ในกิจกรรมนี้นักเรียนจะไดพบคําบางคําที่เกี่ยวของกับกราฟพาราโบลา ซ่ึงไดแก แกนสมมาตรของพาราโบลา จุดต่ําสุดของกราฟ จุดสูงสุดของกราฟ คาต่ําสุดของ y และคาสูงสุดของ y เพื่อใชคําเหลานี้ในกิจกรรมตอ ๆ ไป นอกจากครูจะใหนักเรียนตอบคําถามที่กําหนดใวในกิจกรรมแลว ครูควรใหนักเรียนพิจารณากราฟและเกิดความรูสึกเชิงกราฟเชนในกรณี x > 0 เมื่อคา x เพิ่มขึ้นทีละ 1 คา y ที่เพิ่มขึ้นในแตละครั้งเปลีย่นแปลงเปนอยางไร หรือในกรณ ี x < 0 เมือ่คา x ลดลงทลีะ 1 คา y ทีเ่พิม่ขึน้ในแตละครัง้เปลีย่นแปลงเปนอยางไร และมีผลทําใหลักษณะของกราฟพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = x2 เปนอยางไร ทั้งนี้เพื่อใชความรูและขอสรุปที่ไดไปเปรียบเทียบกับกราฟของสมการ y = ax2 เมื่อ a > 0 ตอไป 3. กิจกรรม “กราฟของ y = ax2 เมื่อ a > 0” มีเจตนาใหนักเรียนไดศึกษา สํารวจ สังเกตและเปรียบเทียบกราฟของสมการ y = ax2 เมื่อ a > 0 และ a มีคาตาง ๆ กัน เพื่อสรางขอความคาดการณที่นําไปสูขอสรุปลักษณะกราฟพาราโบลา y = ax2 เมื่อ a > 0 ครูอาจใหนักเรียนสังเกตคา a ในสมการ y = ax2 เมื่อa > 0 มีผลทําใหกราฟทั้งสามบานมากหรือบานนอยตางกันอยางไร แตไมควรนําประเด็นคําถามเกี่ยวกับการบานของกราฟไปวัดผลและประเมินผล 4. สําหรับกิจกรรม “กราฟของ y = -x2” และกิจกรรม “กราฟของ y = ax2 เมื่อ a < 0” เปนกิจกรรมที่มีสาระในทํานองเดียวกันกับกิจกรรมที่กลาวมาแลวขางตน ครูอาจใหนักเรียนศึกษากันเปนกลุมและนําผลสรุปมาอภิปรายรวมกันในชั้นเรียน หลังจากจบกิจกรรมนี้แลวนักเรียนควรบอกลักษณะสําคัญ ๆ ของกราฟy = ax2 เมื่อ a > 0 และกราฟ y = ax2 เมื่อ a < 0 ในแงที่มีลักษณะเหมือนกันและแตกตางกันได เชน บอกไดวากราฟมีแกน Y เปนแกนสมมาตรเหมือนกัน ถา a > 0 กราฟเปนพาราโบลาหงาย แตถา a < 0 กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา เปนตน

53

5. สําหรับกิจกรรม “ภาพสะทอน” มีเจตนาใหนักเรียนเห็นวากราฟพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการy = ax2 และ y = -ax2 เมื่อ a > 0 ที่สัมประสิทธิ์ของ x2 ในสมการทั้งสองเปนจํานวนตรงขามกัน จะทําใหไดกราฟทั้งสองเปนภาพสะทอนซึ่งกันและกัน โดยมีแกน X เปนเสนสะทอน ครูอาจใหนักเรียนใชกระดาษลอกลายตรวจสอบกราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = 3x2 และ y = -3x2 วาเปนภาพสะทอนซึ่งกันและกันหรือไมหลังจากนั้นครูควรใชคําถามเชื่อมโยงความรูตอ เชน เมื่อกําหนดกราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = 2x2 บนระนาบในระบบพิกัดฉาก นักเรียนจะเขียนกราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = -2x2 บนแกนคูเดียวกันใหไดรวดเร็ว นักเรียนจะทําไดอยางไร ทั้งนี้เพื่อใหนักเรียนไดรูจักนําความรูเกี่ยวกับการสะทอนมาใชใหเปนประโยชน 6. สําหรับแบบฝกหัด 4.2 ขอ 1 ครูควรชี้ใหนักเรียนสังเกตคา x และคา y ในตารางวาการหาคูอันดับที่สอดคลองกับสมการ คูอันดับแรกควรไดจากการแทนคา x ในสมการดวย 0 จะหาคา y ไดงายที่สุด และดวยความรูเกี่ยวกับแกนสมมาตรเมื่อแทนคา x ดวยจํานวนตรงขามกัน เชน 1 และ -1 จะได y เปนจํานวนเดียวกันนักเรียนควรใชความรูนี้มาชวยหาคา y เติมในตาราง ซ่ึงจะไดคูอันดับที่สอดคลองกับสมการเร็วข้ึน

ในการเขียนกราฟพาราโบลาครูควรใหนักเรียนใชกระดาษกราฟ เพราะจะชวยใหเขียนกราฟไดรวดเร็วและชัดเจน ในขั้นตนนี้ควรแนะนําใหนักเรียนกําหนดหนวยบนแกน X และหนวยบนแกน Y เปนหนวยเดียวกัน ควรเขียนตารางแสดงคา x และ y ประกอบการเขียนกราฟดวย ครูอาจแนะนําใหนักเรียนเลือกกําหนดคา x เปนจํานวนเตม็ที่เมื่อแทน x ในสมการแลวไดคา y เปนจํานวนเต็มดวย ทั้งนี้ควรคํานึงถึงความสะดวกในการเขียนกราฟดวย ครูควรย้ํากับนักเรียนเกี่ยวกับการเขียนกราฟวา เมื่อเขียนเสนผานระหวางจุด จะตองพยายามเขียนใหเปนเสนโคงเรียบ สําหรับแบบฝกหัดขอ 6 ตองการใหนักเรียนสามารถนําความรูและขอสรุปที่ไดจากแบบฝกหัดขอกอนหนามาวเิคราะหสมการทีก่าํหนดใหและอธบิายลกัษณะสาํคญัของกราฟพาราโบลาทีไ่ด ครูควรใหความสาํคญักับกระบวนการเรียนรูกับนักเรียนโดยใหนักเรียนไดฝกเขียนกราฟ สังเกตลักษณะของกราฟพาราโบลาที่สัมพันธกันกับสมการแตละสมการที่กําหนดให เพื่อใหไดความคิดรวบยอดจนสามารถบอกลักษณะของกราฟจากสมการไดโดยไมตองเขียนกราฟ

4.3 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 + k เมื่อ a ≠ 0 (2 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. เขียนกราฟพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 + k เมื่อ a ≠ 0 ได 2. บอกจุดสูงสุดหรือจุดต่ําสุด และแกนสมมาตรของกราฟของสมการ y = ax2 + k เมื่อ a ≠ 0 ได 3. บอกคาสูงสุดหรือคาต่ําสุดของ y จากสมการ y = ax2 + k เมื่อ a ≠ 0 ได

54

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ในการจดักจิกรรมการเรยีนการสอนในหวัขอนี ้ ครูควรใหนกัเรยีนสงัเกตสมการ y = ax2 + k เมื่อa ≠ 0 เปรียบเทียบกับสมการ y = ax2 เมื่อ a ≠ 0 เพื่อใหนักเรียนเห็นวาสมการ y = ax2 เปนสมการที่สามารถเขียนอยูในรูปของสมการ y = ax2 + k เมื่อ k = 0 นั่นเอง ดังนั้นขอสรุปเกี่ยวกับลักษณะของกราฟของสมการ y = ax2 + k จึงมีหลายอยางเหมือนกราฟของสมการ y = ax2 เชน มีแกนสมการเปนแกน Y เหมือนกัน ลักษณะเปนพาราโบลาหงายหรือเปนพาราโบลาคว่ําเหมือนกัน กราฟจะบานมากหรือบานนอยก็ขึ้นอยูกับคา a เชนเดียวกัน ดังนั้นในการพิจารณากราฟของสมการ y = ax2 + k ในที่นี้จึงมุงพิจารณาที่คา kเมื่อ k > 0 หรือ k < 0 2. สําหรับกิจกรรม “กราฟของ y = ax2 + k, a > 0” และกิจกรรม “กราฟของ y = ax2 + k, a < 0”ครูควรดําเนินกิจกรรมการเรียนการสอนใหนักเรียนเห็นความสัมพันธของกราฟที่กําหนดใหกับการเลื่อนขนานตามแนวแกน Y อาจใหนักเรียนใชกระดาษลอกลายตรวจสอบความสัมพันธระหวางกราฟ เชน ลอกกราฟของสมการ y = 2x2 แลวเล่ือนกราฟขึ้นหรือลงตามแนวแกน Y ดูวาเล่ือนไปทับกราฟของสมการ y = 2x2 + 2 และ y= 2x2 – 2 ไดสนิทหรือไม หลังจากจบกิจกรรมทั้งสอง ครูควรใหนักเรียนชวยกันสรุปลักษณะที่สําคัญของกราฟพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 + k เมื่อ a ≠ 0 และเชน จุดต่ําสุดหรือจุดสูงสุดของกราฟ เพื่อนําความรูที่ไดไปใชตอไป 3. ครูควรใหนักเรียนสังเกตการเขียนกราฟพาราโบลาในตัวอยางที่ 1 และตัวอยางที่ 2 วา จากสมการที่โจทยกําหนดให นักเรียนควรวิเคราะหลักษณะของกราฟในสวนสําคัญ ๆ กอน เพื่อใหการเขียนกราฟงายขึ้น จากตัวอยางแสดงใหเห็นลักษณะของกราฟที่วิเคราะหไดดังในขอ 1 ถึงขอ 4 เมื่อทราบลักษณะที่สําคัญของกราฟแลวจึงสรางตารางเพื่อกําหนดคา x ที่เหมาะสมและหาคา y ตอไป ในการกําหนดคา x ในตารางจะสังเกตเห็นการนําหลักการที่แกน Y เปนแกนสมมาตรมากําหนดจุดตาง ๆ ที่อยูขางเดียวกันของแกนสมมาตร โดยเริ่มกําหนดคูอันดับที่เปนพิกัดของจุดต่ําสุดหรือจุดสูงสุดของกราฟกอน แลวจึงกําหนดคา x ที่อยูทางซายหรือทางขวาของแกนสมมาตรเพียงดานเดียว เมื่อหาจุดที่มีคูอันดับสอดคลองกับสมการในตารางครบแลว ครูอาจใหนักเรียนชวยกันหาจุดที่เปนภาพสะทอนของจุดเหลานี้ ซ่ึงเปนการใชแกนสมมาตรชวยในการหาจุดเหลานั้น 4. แบบฝกหัด 4.3 สําหรับขอ 1 ครูอาจชี้แนะใหนักเรียนใชหนวยบนแกน X และหนวยบนแกน Yตางกันได สําหรับขอ 2 มีเจตนาใหนักเรียนใชขอสรุปลักษณะของกราฟพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการy = ax2 + k เมื่อ a ≠ 0 มาวิเคราะหกราฟที่สอดคลองกับสมการที่กําหนดให นักเรียนควรวิเคราะหไดโดยดูความสัมพันธที่คา a กับลักษณะกราฟที่เปนพาราโบลาหงายหรือพาราโบลาคว่ํา และคา k กับจุดต่ําสุดหรือจุดสูงสุดของกราฟที่สอดคลองกับสมการแตละสมการดวย

55

4.4 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0 (3 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. เขียนกราฟพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0 ได 2. บอกจุดสูงสุดหรือจุดต่ําสุด และแกนสมมาตรของกราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0 ได 3. บอกคาสูงสุดหรือคาต่ําสุดของ y จากสมการ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0 ได ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. การจัดกิจกรรมการสอนในหัวขอนี้ ครูอาจดําเนินกิจกรรมทํานองเดียวกันกับหัวขอ 4.3 โดยเปรียบเทียบสมการ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0 กับสมการ y = ax2 + k เมื่อ a ≠ 0 ที่อาจเขียนเปนสมการ y = a(x – 0)2 + k แลวใหนักเรียนเปรียบเทียบกราฟของสมการที่มีคา h = 0 และ h ≠ 0 วามีความแตกตางกันอยางไร 2. สําหรับกิจกรรม “กราฟของสมการ y = a(x – h)2” มีเจตนาใหนักเรียนไดสํารวจ สังเกตและสรางขอความคาดการณเพื่อหาขอสรุปวา เมื่อ h ≠ 0 ลักษณะของกราฟพาราโบลาจะเปนอยางไรโดยใหนักเรียนเห็นกราฟของสมการ y = 2x2 หรือ y = 2(x – 0)2 เปรียบเทียบกับกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 และy = 2(x + 1)2 บนแกนคูเดียวกัน ครูควรใหนักเรียนสังเกตการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = 2x2 ไปตามแกน X เพื่อใหนักเรียนเห็นวาคา h ในสมการ y = a(x – h)2 เมื่อ a ≠ 0 บงบอกใหทราบถึงจุดต่ําสุดของกราฟอยางไร 3. สําหรับตัวอยางที่ 1 และตัวอยางที่ 2 มีเจตนาใหนักเรียนเห็นการวิเคราะหลักษณะที่สําคัญของกราฟของสมการ y = a(x – h)2 เมื่อ a ≠ 0 และ h ≠ 0 กอนเขียนกราฟ เพราะจะชวยใหการเขียนกราฟงายขึ้นและรวดเร็วขึ้น ในการเขียนกราฟดังตัวอยางที่ 1 ถึงแมในตารางจะกําหนดคา x เปนจํานวนเต็มที่อยูทางขวาของแกนสมมาตร ครูควรชี้ใหเห็นวาเมื่อกําหนดจุดตามคูอันดับในตารางไดแลว นักเรียนอาจใชแกนสมมาตรเปนหลักในการหาจุดที่เปนภาพสะทอนของจุดเหลานั้น 4. ในการพิจารณากราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0 และ h ≠ 0 และ k ≠ 0 ครูอาจใหนักเรียนลองใชความรูที่ทราบแลวจากกราฟของสมการ y = ax2 + k และ y = a(x – h)2 มาคาดการณลักษณะทีสํ่าคญั ๆ ของกราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k วานาจะเปนอยางไร จากนัน้จงึใหตรวจสอบขอความคาดการณนั้น โดยพิจารณากราฟของสมการ y = 2(x – 1)2, y = 2(x – 1)2 + 2 และ y = 2(x – 1)2 – 2 แลวจึงใหนักเรียนทํากิจกรรม “กราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k” เพื่อยืนยันขอความคาดการณของนักเรียน ขอสรุปของกิจกรรมนี้เปนความรูหลักที่สําคัญของเรื่องกราฟพาราโบลา เมื่อนักเรียนพบเห็นสมการของพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = a(x – h)2 + k นักเรียนควรจินตนาการลักษณะกราฟพาราโบลาดังกลาวในวงความคิดได ดังนั้นครูจึงควรใหนักเรียนไดฝกทักษะการคิดวิเคราะหลักษณะของกราฟ จากสมการของพาราโบลาในรูปแบบตาง ๆ ใหมากพอดวย

56

เมื่อนํา (-12) ออกมานอกวงเล็บ จะตองนํา 3 ซึ่งเปนตัวประกอบรวมมาคูณดวย

5. สําหรับแบบฝกหัด 4.4 ข ขอ 3 มีเจตนาใหนักเรียนไดฝกทักษะการเชื่อมโยงความรูเร่ืองการแปลงทางเรขาคณิตกับการเลื่อนขนานและการสะทอนของกราฟพาราโบลา เพื่อใหนักเรียนไดพัฒนาความรูและมีความคิดยืดหยุนในการพิจารณากราฟ ครูอาจหาโจทยในลักษณะนี้ใหนักเรียนไดทําเพิ่มเติมอีกก็ได

4.5 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมื่อ a ≠ 0 (3 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. เขียนกราฟพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมื่อ a ≠ 0 ได 2. บอกจุดสูงสุดหรือจุดต่ําสุด และแกนสมมาตรของกราฟของสมการ y = ax2 + bx + c เมื่อ a ≠ 0 ได 3. บอกคาสูงสุดหรือคาต่ําสุดของ y จากสมการ y = ax2 + bx + c เมื่อ a ≠ 0 ได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 4.5 ก

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนหัวขอนี้ นักเรียนจะตองใชความรูเร่ืองสมการกําลังสองในบทที่ 3 เกี่ยวกับการทําบางสวนของสมการใหเปนกําลังสองสมบูรณ เพื่อเขียนสมการในรูป y = ax2 + bx + cเมื่อ a ≠ 0 ใหอยูในรูปสมการ y = a(x – h)2 + k ตามตัวอยางที่ 1 และตัวอยางที่ 2 ครูควรย้ําวิธีการคํานวณบางขั้นตอนที่นักเรียนพึงระมัดระวัง เชนจากตัวอยางที่ 1 y = 3x2 – 6x + 1 = 3(x2 – 2x) + 1 = 3(x2 – 2x + 12 – 12) + 1

= 3(x2 – 2x + 12) – 3(12) + 1จากตัวอยางที่ 2 y = -2x2 – 12x – 17 = -2(x2 + 6x) – 17 = -2(x2 + 6x + 32 – 32) – 17

= -2(x2 + 6x + 32) – (-2)(32) – 17

2. ครูควรอธิบายและทําความเขาใจกับนักเรียน เพื่อใหนักเรียนเกิดความคิดรวบยอดไดวาเมื่อโจทยกําหนดสมการในรูป y = ax2 + bx + c เมื่อ a ≠ 0 มาให นักเรียนจะวิเคราะหลักษณะของกราฟที่กําหนดใหนี้ไดโดยไมตองเขียนกราฟก็ตอเมื่อตองทําสมการนั้นใหอยูในรูป y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0 กอนจึงจะบอกจุดต่ําสุดหรือจุดสูงสุดของกราฟและแกนสมมาตรไดงาย เพื่อใหนักเรียนมีทักษะในเรื่องนี้ ครูอาจหาโจทยมาใหนักเรียนทําเพิ่มเติมไดอีก

ตัวประกอบรวมเปน -2 จึงตองเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บจากลบเปนบวก

นํา -2 ซึ่งเปนตัวประกอบรวมมาคูณ

57

3. แบบฝกหัด 4.5 ขอ 2 ขอยอย 4) เปนคําถามทิ้งทายใหนักเรียนหาจุดตัดของกราฟบนแกน X ถาครูเห็นสมควรที่จะเชื่อมโยงความรูเกี่ยวกับการหาคําตอบของสมการกําลังสองโดยใชกราฟพาราโบลา ครูอาจใหความรูเพิ่มเติมโดยใชกิจกรรมเสนอแนะ 4.5 ก็ได

4. สําหรับกิจกรรม “จานพาราโบลา” และ “สะพานแขวน” ตองการใหนักเรียนเห็นการนําความรูเกีย่วกบัพาราโบลาไปใชในชวีติจรงิ เปนการเชือ่มโยงสาระคณติศาสตรกบัศาสตรอ่ืน ครูอาจใหนกัเรยีนยกตวัอยางส่ิงตาง ๆ ที่อยูรอบตัวที่ใชประโยชนของพาราโบลาเพิ่มเติมอีกก็ได 5. สําหรับกิจกรรม “สูงแคไหน” และ “หาไดอยางไร” มีเจตนาใหเห็นการนําความรูเกี่ยวกับพาราโบลาไปใชแกปญหา ครูอาจใหนักเรียนสังเกตวาการหาคําตอบในกิจกรรมทั้งสองนี้ นักเรียนจะตองเขียนสมการที่กําหนดให ใหอยูในรูปสมการ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0 กอน จะทําใหเห็นจุดสูงสุดของกราฟและชวยใหตอบคําถามอื่น ๆ ไดงายขึ้น

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรมคําตอบกิจกรรม “ลองคิดดู”

สมการเชิงเสนและมีกราฟเปนเสนตรง

คําตอบกิจกรรม “บอกไดหรือไม”

1. 1) a = 1, b = 1 และ c = -6

2) a = -2, b = 0 และ c = 03) a = 1, b = 0 และ c = 94) a = 2

1- , b = 2 และ c = 05) a = 1 , b = 6 และ c = 9

6) a = -1, b = -1 และ c = 41-

2. 1) เปนสมการของพาราโบลา เพราะสามารถจัดใหอยูในรูป y = ax2 + bx + c ได โดยที่ a = 1, b = 0 และ c = 0

2) ไมเปนสมการของพาราโบลา เพราะไมสามารถจัดใหอยูในรูป y = ax2 + bx + c ได โดยที่ a ≠ 0

58

3) เปนสมการของพาราโบลา เพราะอยูในรูป y = ax2 + bx + c โดยที่ a = 1, b = 2 และ c = -1

4) เปนสมการของพาราโบลา เพราะสามารถจัดใหอยูในรูป y = ax2 + bx + c ได โดยที่ a = 1, b = 2 และ c = 1

5) เปนสมการของพาราโบลา เพราะสามารถจัดใหอยูในรูป y = ax2 + bx + c ได โดยที่ a = -1, b = -2 และ c = -6

6) ไมเปนสมการของพาราโบลา เพราะไมสามารถจัดใหอยูในรูป y = ax2 + bx + c ได โดยที่ a ≠ 0

คําตอบกิจกรรม “กราฟของ y = x2”

1. พาราโบลาหงาย 2. 16 3. 16 4. 3 หรือ -3 5. เปนรูปสมมาตร มีเสนตรง x = 0 หรือแกน Y เปนแกนสมมาตร 6. มีคาเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ 7. 0 8. มีคาเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ 9. 0 ไดมาจากคา x เปน 010. ไมมี เพราะคา y เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ ไมส้ินสุด

คําตอบกิจกรรม “กราฟของ y = ax2, a > 0”

1. เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 2. จุด (0, 0) และคาต่ําสุดของ y เปน 0 3. คา a กลาวคือ ถา a มีคานอยกราฟจะบานมาก แตถา a มีคามากกราฟจะบานนอย

59

คําตอบกิจกรรม “กราฟของ y = -x2”

1. พาราโบลาคว่ํา 2. -9 3. -9 4. 4 หรือ -4 5. เปนรูปสมมาตร มีเสนตรง x = 0 หรือแกน Y เปนแกนสมมาตร 6. มีคาลดลงเรื่อย ๆ 7. 0 8. มีคาลดลงเรื่อย ๆ 9. 0 ไดมาจากคา x เปน 010. ไมมี เพราะคา y ลดลงเรื่อย ๆ ไมส้ินสุด

คําตอบกิจกรรม “กราฟของ y = ax2, a < 0”

1. เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 2. จุด (0, 0) และคาสูงสุดของ y เปน 0 3. คา a กลาวคือ ถา a มีคานอยกราฟจะบานนอย แตถา a มีคามากกราฟจะบานมาก

คําตอบกิจกรรม “ภาพสะทอน”

เปนภาพสะทอนซึ่งกันและกัน โดยมีแกน X เปนเสนสะทอน

60

คําตอบแบบฝกหัด 4.2

1. 1)

x -3 -2 -1 0 1 2 3y = 2x4

1 94 1 1

4 0 14 1 9

4

2)x -3 -2 -1 0 1 2 3

y = 2x23 27

2 6 32 0 3

2 6 272

Y

X

2

2 4

6

60-2

-2-4-6

4

-4

Y

X

2

2 4

6

60-2

-2-4

-4

-6

4

61

3)x -3 -2 -1 0 1 2 3

y = 2x32- -6 - 8

3 - 23 0 - 2

3 - 83 -6

4)x -3 -2 -1 0 1 2 3

y = 2x34- -12 - 16

3 - 43 0 - 4

3 - 163 -12

Y

2 4

4

60-2

-2-4

-4

-6

2

X

-6

-12

-2

-4

-6

-8-10

X2 4 6 80-2-4-6-8

-14

Y

62

2.x -2 -1 0 1 2

y = 3x2 12 3 0 3 12y = 21 x3

43

13 0 1

343

1) เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 2) จุด (0, 0) ทั้งสองกราฟ 3) 0 ทั้งสองสมการ

3.x -2 -1 0 1 2

y = -4x2 -16 -4 0 -4 -16y = 21- x4 -1 - 1

4 0 - 14 -1

Y

X

2

2 4

6

60-2

-2-4-6

4

-4

Y

2 4

4

60-2

-2-4

-4

-6

2

X

-6

63

1) เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 2) จุด (0, 0) ทั้งสองกราฟ 3) 0 ทั้งสองสมการ

4.x -2 -1 0 1 2

y = 25 x2 10 52 0 5

2 10

y = 25- x3 - 203 - 5

3 0 - 53 - 20

3

1) เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 2) จุด (0, 0) ทั้งสองกราฟ 3) 0 ทั้งสองสมการ 5.

1) พาราโบลาหงาย พิจารณาไดจากคา a ซ่ึง a > 0 2) เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 3) จุด (0, 0) เปนจุดต่ําสุด 6. 1) พาราโบลาคว่ํา พิจารณาไดจากคา a ซ่ึง a < 0 2) เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 3) จุด (0, 0) เปนจุดสูงสุด

Y

2 4

4

60-2

-2-4

-4

-6

2

X

-6

64

คําตอบกิจกรรม “กราฟของ y = ax2 + k, a > 0”

1. ทับกันไดสนิท 2. เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 3. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2x2 + 2 คือจุด (0, 2) และคาต่ําสุดของ y เปน 2

จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2x2 คือจุด (0, 0) และคาต่ําสุดของ y เปน 0จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2x2 – 2 คือจุด (0, -2) และคาต่ําสุดของ y เปน -2

4. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2x2 + 2 อยูเหนือแกน X และจุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2x2 – 2 อยูใตแกน X 5. กราฟของสมการ y = 2x2 + 2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = 2x2 ตามแนว แกน Y ขึ้นไปเหนือแกน X เปนระยะ 2 หนวย และกราฟของสมการ y = 2x2 – 2 เปนภาพที่ไดจาก การเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = 2x2 ตามแนวแกน Y ลงมาใตแกน X เปนระยะ 2 หนวย

คําตอบกิจกรรม “กราฟของ y = ax2 + k, a < 0”

1. ทับกันไดสนิท 2. เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 3. จุดสูงสุดของกราฟของสมการ y = -2x2 + 2 คือจุด (0, 2) และคาสูงสุดของ y เปน 2

จุดสูงสุดของกราฟของสมการ y = -2x2 คือจุด (0, 0) และคาสูงสุดของ y เปน 0จุดสูงสุดของกราฟของสมการ y = -2x2 + 2 คือจุด (0, -2) และคาสูงสุดของ y เปน -2

4. จุดสูงสุดของกราฟของสมการ y = -2x2 + 2 อยูเหนือแกน X และจุดสูงสุดของกราฟของสมการ y = -2x2 – 2 อยูใตแกน X 5. กราฟของสมการ y = -2x2 + 2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = -2x2 ตามแนว แกน Y ขึ้นไปเหนือแกน X เปนระยะ 2 หนวย และกราฟของสมการ y = -2x2 – 2 เปนภาพที่ไดจาก การเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = -2x2 ตามแนวแกน Y ลงมาใตแกน X เปนระยะ 2 หนวย

แบบฝกหัด 4.3

1. 1) พิจารณากราฟของสมการ y = 5x2 + 4 1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย 2. จุดต่ําสุดคือ จุด (0, 4)

65

3. แกน Y เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = 5x2 + 4 ไดดังนี้

x 0 1 2y = 5x2 + 4 4 9 24

2) พิจารณากราฟของสมการ y = -3x2 – 2 1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา 2. จุดสูงสุดคือ จุด (0, -2) 3. แกน Y เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = -3x2 – 2 ไดดังนี้

x 0 1 2y = -3x2 – 2 -2 -5 -14

X

2

4

6

8

10

12

2 4 6 80-2-4-6-8

Y

66

3) พิจารณากราฟของสมการ y = - 21 23 +x 1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา 2. จุดสูงสุดคือ จุด (0, 2) 3. แกน Y เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = - 21 23 +x ไดดังนี้

x 0 1 2y = - 21 23 +x 2 5

323

X2 4

4

60-2

-2-4

-4

-6

2

-6

Y

-12

-10

X2 4 6 8-2-4-6-8-2

-4

-6

-8

0Y

67

4) พิจารณากราฟของสมการ y = 21 - 14 x 1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย 2. จุดต่ําสุดคือ จุด (0, -1) 3. แกน Y เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = 21 - 14 x ไดดังนี้

x 0 1 2y = 21 - 14 x -1 3- 4 0

2. c1 เปนกราฟของสมการ y = 5 x3

1 2−

c2 เปนกราฟของสมการ y = 3x2 – 5c3 เปนกราฟของสมการ y = -x2 + 1c4 เปนกราฟของสมการ y = 1 x4

1- 2+

Y

X

2

2 4

4

-6

60-2

-2-4

-4

-6

68

คําตอบกิจกรรม “กราฟของสมการ y = a(x – h)2”

1. ทับกันไดสนิท 2. กราฟของสมการ y = 2(x + 1)2 มีเสนตรง x = -1 เปนแกนสมมาตร กราฟของสมการ y = 2x2 มีเสนตรง x = 0 เปนแกนสมมาตร กราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 มีเสนตรง x = 1 เปนแกนสมมาตร 3. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x + 1)2 คือจุด (0, -1) จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2x2 คือจุด (0, 0) จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 คือจุด (0, 1) 4. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 อยูทางขวาของแกน Y 5. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x + 1)2 อยูทางซายของแกน Y 6. กราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = 2x2

ตามแนวแกน X ไปทางขวา 1 หนวย กราฟของสมการ y = 2(x + 1)2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = 2x2

ตามแนวแกน X ไปทางซาย 1 หนวย 7. กราฟของสมการ y = -2x2 มีจุดสูงสุดคือจุด (0, 0) กราฟของสมการ y = -2(x – 1)2 มีจุดสูงสุดคือจุด (0, 1)

กราฟของสมการ y = -2(x + 1)2 มีจุดสูงสุดคือจุด (0, -1) 8. กราฟของสมการ y = -2(x – 1)2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = -2x2

ตามแนวแกน X ไปทางขวา 1 หนวย กราฟของสมการ y = -2(x + 1)2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = -2x2

ตามแนวแกน X ไปทางซาย 1 หนวย

แบบฝกหัด 4.4 ก

1. 1) พิจารณากราฟของสมการ y = (x + 1)2 1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย 2. จุดต่ําสุดคือ จุด (-1, 0) 3. เสนตรง x = -1 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร

69

เขียนกราฟของสมการ y = (x + 1)2 ไดดังนี้

x -1 0 1y = (x + 1)2 0 1 4

2) พิจารณากราฟของสมการ y = -3(x – 1)2 1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา 2. จุดสูงสุดคือ จุด (1, 0) 3. เสนตรง x = 1 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = -3(x – 1)2 ไดดังนี้

x 1 2 3y = -3(x – 1)2 0 -3 -12

Y

2

64

X2 4 60-2-4-6

8

70

3) พิจารณากราฟของสมการ y = -4(x + 2)2 1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา 2. จุดสูงสุดคือ จุด (-2, 0) 3. เสนตรง x = -2 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = -4(x + 2)2 ไดดังนี้

x -2 -1 0y = -4(x + 2)2 0 -4 -16

-12

-2

-4

-6

-8-10

X0 2 4 6 8-2-4-6-8

Y

-12

-2

-4

-6

-8-10

X2 4 60-2-4-6-8

Y

71

4) พิจารณากราฟของสมการ y = (x – 3)2 1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย 2. จุดต่ําสุดคือ จุด (3, 0) 3. เสนตรง x = 3 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = (x – 3)2 ไดดังนี้

x 3 4 5y = (x – 3)2 0 1 4

2.c1 เปนกราฟของสมการ y = (x + 5)2

c2 เปนกราฟของสมการ y = (x – 1)2

c3 เปนกราฟของสมการ y = (x + 3)2

c4 เปนกราฟของสมการ y = (x – 2)2

คําตอบกิจกรรม “กราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k”

1. ทับกันไดสนิท 2. เสนตรง x = 1 เปนแกนสมมาตร 3. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 + 2 คือจุด (1, 2) จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 คือจุด (1, 0) จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 – 2 คือจุด (1, -2)

Y

2

64

X2 4 60-2-4-6

8

72

4. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 + 2 อยูเหนือแกน X จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 – 2 อยูใตแกน X 5. กราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = a(x – h)2

ตามแนวแกน Y ขึ้นไปเหนือแกน X เปนระยะ k หนวย เมื่อ k > 0 และลงมาใตแกน X เปนระยะ k หนวย เมื่อ k < 0 6. กราฟของสมการ y = -2(x – 3)2 มีจุดสูงสุดคือจุด (3, 0) กราฟของสมการ y = -2(x – 3)2 + 2 มีจุดสูงสุดคือจุด (3, 2)

กราฟของสมการ y = -2(x – 3)2 – 2 มีจุดสูงสุดคือจุด (3, -2) 7. กราฟของสมการ y = -2(x – 3)2 + 2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = -2(x – 3)2 ตามแนวแกน Y ขึ้นไปเหนือแกน X เปนระยะ 2 หนวย กราฟของสมการ y = -2(x – 3)2 – 2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = -2(x – 3)2 ตามแนวแกน Y ลงมาใตแกน X เปนระยะ 2 หนวย

แบบฝกหัด 4.4 ข

1. 1) พิจารณากราฟของสมการ y = 1

3 (x – 1)2 – 2 1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย 2. จุดต่ําสุดคือ จุด (1, -2) 3. เสนตรง x = 1 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร

เขียนกราฟของสมการ y = 13 (x – 1)2 – 2 ไดดังนี้

x 1 2 3y = 1

3 (x – 1)2 – 2 -2 5- 32- 3

73

2) พิจารณากราฟของสมการ y = -(x + 1)2 – 3 1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา 2. จุดสูงสุดคือ จุด (-1, -3) 3. เสนตรง x = -1 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = -(x + 1)2 – 3 ไดดังนี้

x -1 0 1y = -(x + 1)2 – 3 -3 -4 -7

X

2

2 4

4

60-2

-2-4-6-8

-4

Y

-12

-2

-4

-6

-8-10

X2 4 60-2-4-6-8

Y

74

3) พิจารณากราฟของสมการ y = -(x + 1)2 + 3 1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา 2. จุดสูงสุดคือ จุด (-1, 3) 3. เสนตรง x = -1 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = -(x + 1)2 + 3 ไดดังนี้

x -1 0 1y = -(x + 1)2 + 3 3 2 -1

4) พิจารณากราฟของสมการ y = 15 (x + 2)2 + 2

1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย 2. จุดต่ําสุดคือ จุด (-2, 2) 3. เสนตรง x = -2 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = 1

5 (x + 2)2 + 2 ไดดังนี้

x -2 -1 0y = 1

5 (x + 2)2 + 2 2 115

145

2

-2

-4

X2 4 60-2-4-6-8

-6

-8

-10

Y

75

2.c1 เปนกราฟของสมการ y = (x + 4)2 – 1c2 เปนกราฟของสมการ y = (x + 2)2

c3 เปนกราฟของสมการ y = -(x – 4)2

c4 เปนกราฟของสมการ y = -(x – 6)2 – 1 3. 1) แสดงการสะทอน มีเสนตรง y = 2 เปนเสนสะทอน

2) แสดงการสะทอน มีเสนตรง y = -1 เปนเสนสะทอน 3) แสดงการเลื่อนขนาน กราฟของสมการ y = (x – 2)2 – 5 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของ กราฟของสมการ y = (x – 2)2 ลงมาตามแนวเสนตรง x = 2 เปนระยะ 5 หนวย หรือ กราฟของสมการ y = (x – 2)2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = (x – 2)2 – 5 ขึ้นไปตามแนวเสนตรง x = 2 เปนระยะ 5 หนวย

4) แสดงการสะทอนหรือการเลื่อนขนาน ในกรณีแสดงการสะทอน มีแกน Y = 0 เปนเสนสะทอน ในกรณีแสดงการเลื่อนขนาน กราฟของสมการ y = (x + 4)2 + 1 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนาน ของกราฟของสมการ y = (x – 4)2 + 1 ไปทางซายมือตามแนวเสนตรง y = 1 เปนระยะ 8 หนวย หรือกราฟของสมการ y = (x – 4)2 + 1 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = (x + 4)2 + 1 ไปทางขวามือตามแนวเสนตรง y = 1 เปนระยะ 8 หนวย

แบบฝกหัด 4.5 1. 1) สมการ y = x2 + 6x + 8

เขียนไดเปน y = (x + 3)2 – 1 พิจารณากราฟของสมการ y = (x + 3)2 – 1

2

64

X2 4 60-2-4-6

Y

76

1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย 2. จุดต่ําสุดคือ จุด (-3, -1) 3. เสนตรง x = -3 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = x2 + 6x + 8 ไดดังนี้

x -3 -2 -1y = (x + 3)2 – 1 -1 0 3

2) สมการ y = -x2 – 4x – 2เขียนไดเปน y = -(x + 2)2 + 2

พิจารณากราฟของสมการ y = -(x + 2)2 + 2 1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา 2. จุดสูงสุดคือ จุด (-2, 2) 3. เสนตรง x = -2 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = -x2 – 4x – 2 ไดดังนี้

x -2 -1 0y = -(x + 2)2 + 2 2 1 -2

2

4

6

8

-22 4 60-2-4-6-8

10Y

X

77

2.

สมการ y = 2x2 + 5x – 2 เขียนไดเปน y = 2

+5 41

2 x 4 8−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1) กราฟเปนพาราโบลาหงาย

2) จุดต่ําสุดของกราฟคือจุด ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

841- ,4

5-

3) เสนตรง x = 45- เปนแกนสมมาตร

4) กราฟตัดแกน X ที่จุด ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 0 ,4

41 5- และจุด ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − 0 ,4

41 5-

สมการ y = -x2 + 6x – 4 เขียนไดเปน y = -(x – 3)2 + 5 1) กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา 2) จุดสูงสุดของกราฟคือจุด (3, 5) 3) เสนตรง x = 3 เปนแกนสมมาตร 4) กราฟตัดแกน X ที่จุด ( 3 20 , 0+ ) และจุด ( 3 20 , 0− )

Y

2

-2

-4

X2 4 60-2-4-6-8

-6

-8

-10

78

คําตอบกิจกรรม “จานพาราโบลา”

ควรวางอุปกรณรับความรอนไวที่โฟกัส

คําตอบกิจกรรม “สูงแคไหน”

1. 8 วินาที และขึ้นไปไดสูงสุด 64 เมตร2. 63 เมตร3. ประมาณ 3.1 วินาที และ 12.9 วินาที

คําตอบแบบฝกหัด

1. 5 เมตร 2. 5 วินาที และขึ้นไปไดสูงสุด 50 เมตร 3. ประมาณ 10.27 วินาที

คําตอบกิจกรรม “หาไดอยางไร”

1. ขอบเขตที่ดินมีลักษณะเปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสขนาด 25 × 25 เมตร2

2. ขนาด 15.5 × 15.5 เมตร2

3. รูปสี่เหล่ียมจัตุรัส ขนาด p4 × p

4 หนวย2

4. ขนาด 50 × 100 เมตร2 และไดพื้นที่ 5,000 ตารางเมตร

79

กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ

80

กิจกรรมเสนอแนะ 4.5

กิจกรรมนี้มีเจตนาเชื่อมโยงความรูเร่ืองสมการกําลังสองกับพาราโบลา เพื่อใหเห็นวิธีการหาคําตอบของสมการกําลังสองจากกราฟพาราโบลากับแกน X

แนวการจัดกิจกรรม ครูใชคําถามและยกตัวอยางใหนักเรียนเห็นความสัมพันธของคําตอบของสมการกําลังสอง โดยพิจารณาจากจุดตัดของกราฟพาราโบลากับเสนตรง y = 0 หรือแกน X โดยใชคําถามตอเนื่องดังนี้ 1. ถากําหนดสมการของกราฟพาราโบลาเปน y = 2x2 – 4x นักเรียนคิดวา y เทากับเทาใด จึงจะทํา ให 2x2 – 4x = 0 [y = 0] 2. ถาสมการกําลังสองเปน 2x2 – 4x = 0 จํานวนใดเปนคําตอบของสมการนี้ [0 และ 2] 3. เสนตรง y = 0 เปนเสนตรงเดียวกันกับแกน X ใชหรือไม [ใช] 4. ใหนักเรียนพิจารณากราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = 2x2 – 4x กับเสนตรง y = 0 หรือแกน X แลวตอบคําถามตอไปนี้

1) กราฟทั้งสองตัดกันที่จุดใด [(0, 0) และ (2, 0)]2) คา x ในพิกัดของจุดตัดของกราฟทั้งสองคือจํานวนใด [0 และ 2]

2 4 6-2-4-6-2

2

4

6

8

10

X

Y

0

y = 2x2 – 4x

y = 0

81

3) คา x ที่ไดในขอ 2) กับคําตอบของสมการ 2x2 – 4x = 0 สัมพันธกันอยางไร [เปนจํานวนเดียวกัน] 4) นักเรียนสามารถหาคําตอบของสมการกําลังสองที่มีสมการเปน 2x2 – 4x = 0 ไดโดยหาจุดตัด ของกราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = 2x2 + 4x กับแกน X ใชหรือไม [ใช]

5. ครูใหความรูกับนักเรียนวาโดยทั่วไป เราสามารถหาคําตอบของสมการกําลังสองที่อยูในรูปax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b และ c เปนคาคงตัวที่ a ≠ 0 ไดโดยพิจารณาที่คา x ในพิกัดของจุดตัดของกราฟของสมการ y = ax2 + bx + c เมื่อ a, b และ c เปนคาคงตัวที่ a ≠ 0 กับกราฟของเสนตรง y = 0 หรือแกน X

6. ครูยกตัวอยางเพิ่มเติมเพื่อใหนักเรียนเห็นการหาคําตอบของสมการกําลังสองที่มีสองคําตอบหนึ่งคําตอบและไมมีคําตอบ โดยพิจารณาจากกราฟพาราโบลากับแกน X ดังตัวอยางตอไปนี้

จากกราฟขางตนจะสามารถหาคําตอบของสมการกําลังสองไดดังนี้ เนื่องจากกราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = x2 – 2x – 3 ตัดแกน X สองจุด คําตอบของสมการx2 – 2x – 3 = 0 จึงมี 2 คําตอบ คือ -1 และ 3 เนื่องจากกราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = -x2 – 4x – 4 ตัดแกน X หนึ่งจุด คําตอบของสมการ-x2 – 4x – 4 = 0 จึงมีคําตอบเดียว คือ -2 เนื่องจากกราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = x2 – 4x + 7 ไมตัดแกน X สมการ x2 – 4x + 7 = 0จึงไมมีคําตอบ

-6

0 X-2-4-6-8-2

-4

2

4

6

8

-8

2 4 6 8

y = -x2 – 4x – 4

y = x2 – 2x – 3

y = x2 – 4x + 7Y

82

7. ครูใหนักเรียนพิจารณากราฟแลวหาคําตอบของสมการกําลังสองที่กําหนดให

1) -x2 + x + 6 = 0 [-2 และ 3] 2) x2 – 6x + 9 = 0

[ 3]3) -5x2 + 2x – 1 = 0

[ไมมีคําตอบ]

8. ใหนักเรียนหาคําตอบของสมการกําลังสองตอไปนี้ โดยใชกราฟที่กําหนดให

1) 2x2 – 4 = 0 [ 2 และ - 2 ]

2) -x2 + 10x – 25 = 0 [5]

3) -x2 – 10x – 27 = 0 [ไมมีคําตอบ]

4) x2 + 8x + 19 = 0 [ไมมีคําตอบ]

-6

0 X-2-4-6-8-2

-4

2

4

6

8

-8

2 4 6 8

Y

y = -x2 + x + 6

y = -5x2 + 2x – 1

y = x2 – 6x + 9

-6

0 X-2-4-6-8-2

-4

2

4

6

8

-8

2 4 6 8

Yy = x2 + 8x + 19

y = -x2 + 10x – 25

y = 2x2 – 4

y = -x2 – 10x – 27

บทที่ 5พื้นที่ผิวและปริมาตร (12 ชั่วโมง)

5.1 พื้นที่ผิวของพีระมิด กรวยและทรงกลม (6 ช่ัวโมง)5.2 การนําไปใช (6 ช่ัวโมง)

เนื้อหาในบทนี้เปนเรื่องตอเนื่องจากเรื่องพื้นที่ผิวและปริมาตรในหนังสือเรียนสาระการเรียนรูพื้นฐาน คณิตศาสตร เลม 1 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 3 เกี่ยวกับการหาพื้นที่ผิวของพีระมิด กรวยและทรงกลมและการนําความรูในเรื่องของพื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึม ทรงกระบอก พีระมิด กรวยและทรงกลมไปใชแกปญหาในสถานการณตาง ๆ นอกจากนีย้งัมสีาระเชือ่มโยงกบัวทิยาศาสตรในเรือ่งของความหนาแนน การจัดกิจกรรมการเรียนการสอนในบทนี้ยังคงเนนการปฏิบัติกิจกรรมเพื่อใหนักเรียนไดศึกษาสํารวจ สังเกต คิดวิเคราะหและสรางขอความคาดการณเพื่อหาขอสรุปดวยตัวเอง สามารถนําสูตรการหาพื้นที่ผิวและปริมาตรตาง ๆ ไปใชแกปญหาที่ซับซอนขึ้น ครูอาจใหนักเรียนใชเครื่องคิดเลขชวยในการคํานวณไดตามความเหมาะสม

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป 1. หาพื้นที่ผิวของพีระมิด กรวยและทรงกลมได 2. แกปญหาหรือสถานการณที่กําหนดใหโดยใชความรูเกี่ยวกับพื้นที่ผิวและปริมาตรได 3. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

84

แนวทางในการจัดการเรียนรู

5.1 พ้ืนที่ผิวของพีระมิด กรวยและทรงกลม (6 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. หาพื้นที่ผิวของพีระมิด กรวยและทรงกลม และนําไปใชแกปญหาได 2. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 5.1

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูทบทวนลักษณะของพีระมิดตรงซึ่งมีฐานเปนรูปหลายเหลี่ยมดานเทามุมเทาและพีระมิดฐานสี่เหล่ียมผืนผา และใหนักเรียนทราบวาพีระมิดที่กลาวถึงในบทนี้จะหมายถึง พีระมิดที่มีสันยาวเทากันซึ่งไดแก พีระมิดตรงและพีระมิดฐานสี่เหล่ียมผืนผา 2. สําหรับกิจกรรม “สวนสูงเอียง” ตองการใหนักเรียนไดขอสรุปวา พีระมิดที่มีฐานเปนรูปหลายเหลี่ยมดานเทามุมเทา จะมีสวนสูงเอียงยาวเทากันทุกเสน ถึงแมกิจกรรมนี้จะใหฐานของพีระมิดเปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา แตครูก็อาจใชคําถามใหนักเรียนไดคิดวิเคราะหตอไปวา ถาเปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสตามแนวคิดและคําถามดังในกิจกรรมนี้ สวนสูงเอียงของพีระมิดฐานสี่เหล่ียมจัตุรัสยังคงยาวเทากันเพื่อเชื่อมโยงแนวคิดไปสูขอสรุปขางตน 3. สําหรับกิจกรรม “เทากันหรือไม” มีเจตนาใหนักเรียนไดเห็นวาพีระมิดฐานสี่เหล่ียมผืนผาที่มีสันยาวเทากัน จะมีสวนสูงเอียงยาวไมเทากันทุกเสน สวนสูงเอียงของหนาที่อยูตรงขามกันเทานั้นที่ยาวเทากัน สําหรับคําตอบขอ 4 ในกิจกรรมนี้ ครูควรใหนักเรียนไดมีการอภิปรายรวมกันเพื่อใหนักเรียนเขาใจชัดเจนขึ้นโดยใชสมบัติของรูปสี่เหล่ียมมุมฉากและทฤษฎีบทพีทาโกรัสตามลําดับการใหเหตุผล ดังนี้ 1) ถากําหนดใหจุด E เปนจุดตัดของเสนทแยงมุมของ ABCD แลวจุด E อยูหางจากจุด A, B, C และ D เทากันหรือไม [เทากัน]

2) AX = BX และ BY = CY หรือไม เพราะเหตุใด [เทากัน เพราะสวนสูงของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วจะแบง คร่ึงฐาน]

A B

D C

E

O

C

BXA

DYE

85

3) EX ⊥ AB และ EY ⊥ BC หรือไม เพราะเหตุใด [ตั้งฉาก เพราะเสนที่ลากจากมุมยอดของรูปสามเหลี่ยม หนาจั่วมาแบงครึ่งฐานจะตั้งฉากกับฐาน] 4) EXBY เปนรูปสี่เหล่ียมชนิดใด [รูปสี่เหล่ียมมุมฉาก] 5) EX = YB และ EY = XB หรือไม เพราะเหตุใด [เทากัน เพราะเปนความยาวของดานตรงขามของ รูปสี่เหล่ียมมุมฉาก]

จากคําถามขางตนจะชวยทําใหนักเรียนเห็นวา EX ส้ันกวา EY จึงสรุปโดยใชทฤษฎีบทพีทาโกรัสไดวา OX ส้ันกวา OY 4. สําหรับกิจกรรม “พื้นที่ผิวเปนเทาใด” และ “พื้นที่ผิวขางหาไดอยางไร” เปนกิจกรรมที่ตองการใหนักเรียนศึกษาสํารวจ สังเกต คิดวิเคราะห และสรางขอความคาดการณเพื่อนําไปสูขอสรุปที่ทําใหไดสูตรการหาพื้นที่ผิวขางของพีระมิดฐานเปนรูปหลายเหลี่ยมดานเทามุมเทา ครูควรใชการซักถามและการอภิปรายบอกเหตุผลเพิ่มเติมเพื่อตรวจสอบวา นักเรียนมีความเขาใจชัดเจนกับคําตอบเหลานั้นเพียงใด ครูอาจชี้ใหเห็นวาการหาพื้นที่ผิวขางของพีระมิดจําเปนตองทราบสูงเอียง จากนั้นจึงใหตัวอยางการหาสูงเอียงของพีระมิด โดยเฉพาะตัวอยางที่ 2 ควรใหนักเรียนสังเกตวาเมื่อฐานเปนรูปสี่เหล่ียมผืนผา สวนสูงเอียงที่ตั้งฉากกับดานกวางจะยาวกวาสวนสูงเอียงที่ตั้งฉากกับดานยาว ดังนั้นจึงไมสามารถใชสูตรการหาพื้นที่ผิวขางของพีระมิดฐานเปนรูปหลายเหล่ียมดานเทามุมเทา 5. วิธีหาพื้นที่ผิวขางของกรวยที่เสนอไวในกิจกรรม “พื้นที่ผิวของกรวย” ใชอัตราสวนเปรียบเทียบทั้งความยาวของสวนโคงที่รองรับมุมที่จุดศูนยกลางและพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมฐานโคง ซ่ึงนักเรียนยังไมมีความรู กอนใหนักเรียนทํากิจกรรมนี้ ครูควรใหความรูเพิ่มเติมโดยใชการขยายมุมที่จุดศูนยกลางและแสดงความยาวของสวนโคงของวงกลมและพื้นที่ที่เกี่ยวของ ใหเห็นเปนตัวอยางตามลําดับจากงายไปยาก และใชการซักถามเพื่อใหนักเรียนสามารถเขาใจเกี่ยวกับสัดสวนที่ปรากฏในกิจกรรมนี้ครูอาจใชคําถามดังตัวอยางตอไปนี้

ตัวอยาง กําหนดวงกลมหนึ่งวงที่มีจุด O เปนจุดศูนยกลาง ให AB เปน เสนผานศูนยกลาง 1) BOA

∧ มีขนาดกี่องศา [180o]

2) ความยาวของสวนโคง ACB เทากับความยาวของสวนโคง ADB หรือไม เพราะเหตุใด [เทากัน เพราะ ตางเปน สวนโคงของครึ่งวงกลมเดียวกัน]

A BOก

ข

C

D

86

3) อัตราสวนของความยาวของสวนโคง ACB ตอความยาว ของเสนรอบวงของวงกลมที่มี O เปนจุดศูนยกลางเทากับ อัตราสวนใด [1 : 2]

4) อัตราสวนของพื้นที่ของครึ่งวงกลม ก ตอพื้นที่ของวงกลม ที่มี O เปนจุดศูนยกลางเทากับอัตราสวนใด [1 : 2] 5) อัตราสวนของพื้นที่ของครึ่งวงกลม OACB ตอพื้นที่ของ วงกลมที่มี O เปนจุดศูนยกลาง เทากับอัตราสวนของ ความยาวของสวนโคง ACB ตอความยาวของเสนรอบวง ของวงกลมที่มี O เปนจุดศูนยกลางหรือไม [เทากัน]

ในทํานองเดียวกัน ใหครูแบงวงกลมโดยให BOA∧

= 90o ดังรูป แลวใชคําถามตอเนื่อง เชนเดียวกันกับขางตน จนนักเรียนสรุปไดวา อัตราสวนของ พื้นที่ของรูป OACB ตอพื้นที่ของวงกลมที่มี O เปน จุดศูนยกลาง เทากับอัตราสวนของความยาวของสวนโคง ACB ตอความยาวของเสนรอบวงของวงกลมที่มี O เปน จุดศูนยกลาง เมื่อนักเรียนเขาใจเกี่ยวกับอัตราสวนดังกลาวขางตนแลว ใหครูเชื่อมโยงแนวคิดนั้นไปสูกิจกรรม “พื้นที่ผิวของกรวย” 6. ในตัวอยางที่ 3 หลังกิจกรรม “พื้นที่ผิวของกรวย” ครูควรชี้ใหนักเรียนสังเกตเห็นการใชสมบัติการแจกแจงในการคํานวณและการแทนคา π ในขั้นตอนสุดทายกอนเปนคําตอบ 7. สําหรับแบบฝกหัด 5.1 ข ครูควรย้ํากับนักเรียนถึงการใชคาประมาณของ π เปนเศษสวนหรือทศนิยม ตามความเหมาะสมในการคํานวณโจทยปญหาแตละขอ และควรใหนักเรียนตระหนักถึงคําตอบวาขอใดบางควรตอบเปนคาประมาณ ทั้งนี้เพื่อความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได 8. ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนเรื่องการหาพื้นที่ผิวของทรงกลม ครูอาจนําลูกฟุตบอลที่พื้นผิวที่ประกอบขึ้นจากรูปหาเหล่ียมและรูปหกเหลี่ยมดังตัวอยางในหนังสือเรียนมาเปนสื่อ ใหนักเรียนจินตนาการวาถารูปหลายเหลี่ยมเหลานั้นมีขนาดเล็ก ๆ และมีมากมายหลายรูป ผลบวกของพื้นที่ของรูปเหลานั้นก็จะแทนพื้นที่ผิวของทรงกลม ครูอาจใชกิจกรรมเสนอแนะ 5.1 มาสาธิตใหนักเรียนไดเห็นแนวคิดในการหาพื้นที่ผิวของทรงกลมอีกแนวคิดหนึ่งก็ได 9. ในตัวอยางที่ 2 หลังกิจกรรม “พื้นที่ผิวของทรงกลม” ครูควรชี้ใหนักเรียนสังเกตการนําความรูเร่ืองการแยกตัวประกอบของผลตางของกําลังสองมาใชในการหารัศมีของฐานของกรวย ซ่ึงจะชวยใหการคํานวณงายขึ้น

D

BO

AC

87

5.2 การนําไปใช (6 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. แกปญหาหรือสถานการณที่กําหนดใหโดยใชความรูเกี่ยวกับพื้นที่ผิวและปริมาตรได 2. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 5.2

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ในหัวขอนี้ตองการใหนักเรียนไดฝกทักษะการนําความรูเกี่ยวกับพื้นที่ผิวและปริมาตรมาใชแกปญหาในสถานการณตาง ๆ ครูอาจเลือกใหนักเรียนทําโจทยหรือทํากิจกรรมตาง ๆ ที่เสนอไวตามความเหมาะสมกับความสามารถของนักเรียนและเวลาที่มี 2. ครูควรแนะนําใหนักเรียนสังเกตการใชสมบัติการแจกแจง ใชสูตรการแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยูในรูปผลตางของกําลังสอง มาชวยในการแกโจทยปญหาดังในตัวอยางที่ 2 ถึงตัวอยางที่ 4และตอบคําถามในกิจกรรมตาง ๆ เพื่อนําวิธีการเหลานี้ไปใชในการทําแบบฝกหัด 5.2 ดวย 3. สําหรับแบบฝกหัด 5.2 ขอ 9 และขอ 10 เปนโจทยที่คอนขางซับซอน ครูอาจนําโจทยทั้งสองขอมาใหนักเรียนชวยกันคิดวิเคราะหและหาคําตอบรวมกันในชั้นเรียนก็ได 4. สําหรับกิจกรรม “สัมพันธกันอยางไร” มีเจตนาใหนักเรียนเห็นความสัมพันธระหวางปริมาตรของทรงกระบอก กรวยและทรงกลม ครูอาจใหขอแนะนําเพิ่มเติมใหนักเรียนสังเกตเห็นวาถาทรงกระบอกมคีวามสูงเปน 2 เทาของรัศมีของทรงกลม และรัศมีของทรงกลมเทากับรัศมีของฐานของกรวยและฐานของทรงกระบอก แลวปริมาตรของทรงกลมจะเปน 3

2 ของปริมาตรของทรงกระบอก และ

ปริมาตรของกรวยจะเปน 31 ของปริมาตรของทรงกระบอก

ครูอาจอธิบายลักษณะที่รูปเรขาคณิตสามมิติรูปหนึ่งแนบในรูปเรขาคณิตสามมิติอีกรูปหนึ่งวาเปนอยางไร รวมถึงการคิดวิเคราะหวาการกลึงแทงไมใหไดรูปเรขาคณิตสามมิติมีขนาดใหญที่สุดเปนอยางไร 5. สําหรับกิจกรรม “ทําไดงายดี” มีเจตนาใหนักเรียนเห็นวาบางปญหาอาจนําความรูเกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิตของรูปเรขาคณิตสองมิติที่นักเรียนเคยทราบ มาประยุกตเปนแนวคิดแกปญหาเกี่ยวกับรูปเรขาคณิตสามมิติได 6. สําหรับกิจกรรม “ปริมาตรและความหนาแนน” ตองการเชื่อมโยงสาระคณิตศาสตรกับวิทยาศาสตร ใหนักเรียนไดเห็นวาการแกปญหาทางวิทยาศาสตรบางปญหาจําเปนตองใชคณิตศาสตรครูควรตรวจสอบความรูพื้นฐานกับนักเรียนเกี่ยวกับเรื่องความหนาแนนของสารกอนวานักเรียนมีความรูเร่ืองนี้จากวิชาวิทยาศาสตรมาบางหรือยัง ถายังไมมีครูควรใหความรูเพิ่มเติมกอนใหนักเรียนไดทํากิจกรรมนี้

88

ครูควรเนนใหนักเรียนระมัดระวังในการใชหนวยตาง ๆ ในเรื่องนี้ ซ่ึงอาจตองเปลี่ยนหนวยใหสอดคลองกับความสัมพันธตามสูตร ครูอาจเลือกแบบฝกหัดใหนักเรียนทําเปนบางขอตามความเหมาะสม 7. สําหรับกิจกรรม “คิดเลนเย็นใจ” และ “เกาะน้ําแข็ง” มีเจตนาเชื่อมโยงกับสาระอื่น ๆ ใหนักเรียนนําความรูเกี่ยวกับความหนาแนนของน้ําและน้ําแข็งมาใชแกปญหา ครูอาจใหมีการอภิปรายเพิ่มเติมเกี่ยวกับภาวะโลกรอนเนื่องจากมนุษยทําลายชั้นของบรรยากาศโลก และสนทนาถึงการปองกันที่มนุษยควรจะชวยกันลดภาวะโลกรอนไดอยางไร 8. สําหรับกิจกรรม “พีระมิดยอดตัดและกรวยยอดตัด” มีเจตนาใหนักเรียนเห็นแนวคิดในการหาปริมาตรของพีระมิดยอดตัดที่มีฐานเปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสและกรวยยอดตัดที่อยูในสิ่งแวดลอมรอบ ๆ ตัวนักเรียน และใหเห็นการนําความรูเร่ืองของความคลายและอัตราสวนมาใชในการแกปญหา ครูอาจขยายความรูจากวิธีการหาปริมาตรของพีระมิดยอดตัดที่ใหไวในหนังสือเรียนไปพัฒนาเปนสูตรในรูปทั่วไป ครูอาจนํากิจกรรมเสนอแนะ 5.2 มาใหนักเรียนชวยกันทําในชั้นเรียน เพื่อใหเห็นสูตรการหาปริมาตรของพีระมิดยอดตัดฐานสี่เหล่ียมจัตุรัส 9. สําหรับกิจกรรม “เขาคิดอยางไร” มีเจตนาใหนักเรียนไดเห็นวาคนในสมัยโบราณใชความรูทางเรขาคณิตหาปริมาตรของพีระมิดยอดตัดฐานสี่เหล่ียมจัตุรัสไดดวยการแบงพีระมิดยอดตัดออกเปนสวนยอยที่เปนปริซึมและพีระมิด แลวหาผลบวกของปริมาตรของสวนยอยเหลานั้น ก็สามารถคํานวณหาสูตรของพีระมิดยอดตัดฐานสี่เหล่ียมจัตุรัสไดโดยไมตองใชความรูเกี่ยวกับความคลาย

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรมคําตอบกิจกรรม “สวนสูงเอียง”

1. เทากัน เพราะเปนความยาวของสันของพีระมิดตรง 2. เทากัน เพราะเปนความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยมดานเทา 3. เทากันทุกประการ เพราะรูปสามเหลี่ยมแตละคูมีความยาวของดานเทากันสามคู ซ่ึงเปน ความสัมพันธแบบ ด.ด.ด. 4. เทากัน เพราะรูปสามเหลี่ยมที่เปนหนาทั้งสามหนาเปนรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ 5. เทากัน เพราะเปนความสูงของรูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เทากันและมีฐานยาวเทากัน 6. เทากัน 7. เทากัน

89

คําตอบกิจกรรม “เทากันหรือไม”

1. เทากัน เพราะเปนความยาวของสันของพีระมิดฐานสี่เหล่ียมผืนผา 2. เทากัน เพราะ OX และ OY เปนสวนสูงของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ซ่ึงจะแบงครึ่งฐาน 3. ยาวกวา เพราะ AB ยาวกวา BC 4. ส้ันกวา เพราะ BX ยาวกวา BY 5. ไมเทากัน

คําตอบกิจกรรม “พื้นที่ผิวเปนเทาใด”

1. รูปสี่เหล่ียมจัตุรัส 2. 196 ตารางเซนติเมตร 3. ได โดยนําความรูเร่ืองทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาใชในการคํานวณ และคํานวณได 24 เซนติเมตร 4. สวนสูงเอียง 5. 672 ตารางเซนติเมตร 6. 868 ตารางเซนติเมตร

คําตอบกิจกรรม “พื้นที่ผิวขางหาไดอยางไร”

1. มีรูปสามเหลี่ยม 8 รูป แตละรูปมีพื้นที่ la21 ตารางหนวย

2. 4al ตารางหนวย 3. lp2

1 ตารางหนวย

คําตอบแบบฝกหัด 5.1 ก

1. 432 ตารางเซนติเมตร 2. 150 ตารางเซนติเมตร 3. 96 ตารางเซนติเมตร 4. 936 ตารางเซนติเมตร 5. 6 เซนติเมตร 6. 8 เมตร

90

7. 1) 17 นิ้ว

2) 6,960 ตารางนิ้ว

คําตอบแบบฝกหัด 5.1 ข

1. ประมาณ 204.1 ตารางเซนติเมตร (ใชคา π ≈ 3.14)

2. ประมาณ 42,743 ตารางเซนติเมตร ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ≈ 7

22 ใชคา π

3. พื้นที่ผิวประมาณ 75.36 ตารางเซนติเมตร และ ปริมาตรประมาณ 37.68 ตารางเซนติเมตร (ใชคา π ≈ 3.14) 4. ประมาณ 942 ตารางเซนติเมตร (ใชคา π ≈ 3.14) 5. 378 ตารางเซนติเมตร 6. รัศมียาว 3.5 เซนติเมตร และสูงประมาณ 6 เซนติเมตร

7. รัศมียาวประมาณ 14.7 เซนติเมตร ทํากรวยไดอยางมาก 3 อัน ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ≈ 7

22 ใชคา π

แนวคิด 31πr2h = 297

21 × 7

22 × r2 × 14 ≈ 297 r2 ≈ 20.25

r ≈ 4.5 รัศมีของสังกะสีรูปวงกลมเทากับสูงเอียงของกรวย

จะได 2l ≈ 142 + 4.52

≈ 196 + 20.25 ≈ 216.25 l ≈ 14.7 พื้นที่ของสังกะสีรูปวงกลมเทากับ πr2

≈ 722 × 14.72

≈ 679.14 พื้นที่ผิวขางของกรวยเทากับ πrl ≈ 7

22 × 4.5 × 14.7 ≈ 207.9

91

ทํากรวยได 9.20714.679 ≈ 3 อัน

คําตอบแบบฝกหัด 5.1 ค

1.

1) ประมาณ 905.14 ตารางเซนติเมตร ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ≈ 7

22 ใชคา π

2) ประมาณ 361.43 ตารางเซนติเมตร ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ≈ 7

22 ใชคา π

3) ประมาณ 233.15 ตารางเซนติเมตร (ใชคา π ≈ 3.14)

4) ประมาณ 550 ตารางเซนติเมตร ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ≈ 7

22 ใชคา π

2. พื้นที่ผิวเทากับ 72π หรือประมาณ 226.08 ตารางเซนติเมตร (ใชคา π ≈ 3.14) ปริมาตรเทากับ 72 2 π หรือประมาณ 319.68 ลูกบาศกเซนติเมตร (ใชคา π ≈ 3.14 และใช 2 ≈ 1.414) 3. 1) 2 : 3 2) 4 : 9 4. 1) ประมาณ 39,689.6 กิโลเมตร (ใชคา π ≈ 3.14)

2) ประมาณ 1.25 × 108 ตารางกิโลเมตร (ใชคา π ≈ 3.14) 3) ประมาณ 000,10

41 ของพื้นที่ผิวของโลกสวนที่ไมไดปกคลุมดวยน้ํา

5. ประมาณ 943.4 ตารางเซนติเมตร (ใชคา π ≈ 3.14) 6. ประมาณ 30 เซนติเมตร (ใชคา π ≈ 3.14) แนวคิด แผนเงินรูปวงกลมมีพื้นที่ 1,413 ตารางเซนติเมตร จะได π 2l = 1413

พื้นที่ผิวคร่ึงทรงกลม เทากับ 2πr2

2πr2 = π 2l

2πr2 = 1413 2r2 = 1413

3.14 r2 ≈ 2

450

92

≈ 225 r ≈ 15 จะไดเสนผานศูนยกลางยาวมากที่สุดประมาณ 30 เซนติเมตร

คําตอบแบบฝกหัด 5.2

1. 8 เทา 2. 2 : 1 3. แกวน้ําทรงกระบอกจุน้ําไดมากกวา เพราะวา แกวน้ําทั้งสองใบมีสวนลึกเทากัน แตพื้นที่ของ กนแกวรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสนอยกวาพื้นของกนแกวรูปวงกลม แสดงใหเห็นแนวคิดไดดังนี้ ใหความยาวรอบกนแกวแตละใบเปน l เซนติเมตร

จะได ความยาวของเสนรอบวงของวงกลมเปน 2πr = l เมื่อ r แทนรัศมีของวงกลม r = π 2

l

ดังนั้น พื้นที่ของรูปวงกลม เทากับ πr2 = π2

π 2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ l

= π4 2l ตารางหนวย

ความยาวรอบรูปของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสเปน l หนวย จะได แตละดานของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสยาว 4

l หนวย

ดังนั้น พื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส เทากับ 4l × 4

l

= 162l ตารางหนวย

เนื่องจาก π4 2l > 16

2l

ดังนั้น พื้นที่กนแกวของแกวน้ําทรงกระบอกมากกวาพื้นที่กนแกวของแกวน้ําปริซึมสี่เหล่ียมจัตุรัส นั่นคือ แกวน้ําทรงกระบอกจุน้ําไดมากกวา 4. 10 ลูก 5. ประมาณ 749.66 บารเรล

6. ประมาณ 666.85 ตารางเมตร ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ≈ 7

22 ใชคา π

7. ประมาณ 0.4 เซนติเมตร

93

8. ประมาณ 39,800 ลูกบาศกเซนติเมตร (ใชคา π ≈ 3.14)

แนวคิด พื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมดานเทามุมเทา เทากับ 6 × 2a43

= 6 × 43 × 82 ตารางเซนติเมตร

พื้นที่ของวงกลมที่เปนรูกลวง เทกับ πr2

= π(1.5)2

จะไดพื้นที่หนาตัดของเสาเข็มเปน 8 43 6 2 ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ×× – π(1.5)2

≈ (6 × 16 × 1.732) – (3.14 × 1.52) ≈ 166.27 – 7.07

≈ 159.2 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น ปริมาตรของเสาเข็มประมาณ 159.2 × 250 ≈ 39,800 ลูกบาศกเซนติเมตร 9. 3 เซนติเมตร แนวคิด น้ําแข็งกอนหนึ่งมีปริมาตร 2,112 ลูกบาศกเซนติเมตร

สวนที่จมน้ํามีปริมาตร 87 × 2,112 = 1,848 ลูกบาศกเซนติเมตร

คูลเลอรน้ําทรงกระบอกมีรัศมีของฐานเปน 228 = 14 เซนติเมตร

มีพื้นที่ฐานของคูลเลอรที่เปนรูปวงกลมประมาณ 722 ×142 ≈ 616 ตารางเซนติเมตร

สวนของน้ําแข็งที่จมน้ําทําใหระดับน้ําสูงขึ้น 616848,1 = 3 เซนติเมตร

ดังนั้น ตองใสน้ําในคูลเลอรใหต่ํากวาปากขอบอยางนอย 3 เซนติเมตร10. 2 เซนติเมตร แนวคิด ปริมาตรของเหล็กทรงกลมตันเปน 3

4 π(73) ลูกบาศกเซนติเมตร ใหทรงกลมกลวงมีรัศมีภายในเปน x เซนติเมตร ทรงกลมกลวงมีรัศมีภายนอกเปน 2 เซนติเมตร จะไดปริมาตรของทรงกลมกลวงแตละลูกเทากับ 3

4 π(23 – x3) ลูกบาศกเซนติเมตร

ดังนั้น 49 × 34 π(23 – x3) = 3

4 π(73) 49(23 – x3) = 73

23 – x3 = 7 x3 = 8 – 7 x = 1

94

เสนผานศูนยกลางยาว 2x = 2 เซนติเมตร

คําตอบกิจกรรม “สัมพันธกันอยางไร”

1. 2πr3

2. 34 πr3

3. 32 πr3

4. เทากับ 5. 1 : 2 : 3 6. 6πr2

7. 4πr2

8. (1 + 5 )πr2

9. 1 + 5 : 4 : 6

คําตอบแบบฝกหัดในกิจกรรม

1. เสนผานศูนยกลางยาว 2 นิ้ว ทรงกลมมีปริมาตรเทากับ 3

4 π ลูกบาศกนิ้ว 2. เสนผานศูนยกลางยาว 2 นิ้ว กรวยมีปริมาตรเทากับ 3

2 π ลูกบาศกนิ้ว 3. 2 : 1 4. 1) 4 เทา

2) 8 เทา 5. 3

2 เทา 6. 2 เทา

คําตอบกิจกรรม “ทําไดงายดี”

1) 1,936 ลูกบาศกเซนติเมตร 2) 600 กอน

95

3) ประมาณ 2,520 กิโลกรัม

คําตอบกิจกรรม “ปริมาตรและความหนาแนน”

1. 0.00072 ลูกบาศกเมตร หรือ 720 ลูกบาศกเซนติเมตร 2. 30 เซนติเมตร 3. ประมาณ 9.36 กิโลกรัม 4. 71.6 กิโลกรัม 5. ทรงกลมตะกั่วมีน้ําหนักมากกวา เพราะตะกั่วมีความหนาแนนมากกวา 6. ประมาณ 0.68 × 103 กิโลกรัมตอลูกบาศกเมตร 7. ทองแดง 8. 1.5 เซนติเมตร

คําตอบกิจกรรม “คิดเลนเย็นใจ”

ประมาณ 6.344 × 107 ลูกบาศกกิโลเมตร แนวคิด พื้นที่ที่ปกคลุมดวยน้ําแข็ง เทากับ 97.6% ของ 13 ลานตารางกิโลเมตร คิดเปน 100

6.97 × 13 × 106 ตารางกิโลเมตร น้ําแข็งหนาเฉลี่ย 5 กิโลเมตร จะได ปริมาตรของน้ําแข็งประมาณ 100

6.97 × 13 × 106 × 5 ≈ 6,344 × 104 ลูกบาศกกิโลเมตร หรือ ≈ 6.344 × 107 ลูกบาศกกิโลเมตร

คําตอบกิจกรรม “เกาะน้ําแข็ง”

ประมาณ 47,0255.9 ลานตัน แนวคิด เกาะน้ําแข็งมีปริมาตรประมาณ 180 × (37 × 103) × (77 × 103) ≈ 51,282 × 107 ลูกบาศกเมตร น้ําแข็งมีความหนาแนนเปน 0.917 ของความหนาแนนของน้ํา จะได ปริมาตรของน้ําประมาณ 0.917 × 51,282 × 107

≈ 47025.59 × 107 ลูกบาศกเมตร จากสูตร ความหนาแนน = ปริมาตร

มวล

96

และความหนาแนนของน้ําเทากับ 1 × 103 กิโลกรัมตอลูกบาศกเมตร จะได น้ําหนักของน้ําประมาณ 1 × 47025.59 × 1010 กิโลกรัม

≈ 3

10

1010 59.47025 × ตัน

≈ 47025.59 × 107 ตัน ≈ 470,255.9 ลานตัน

คําตอบกิจกรรม “พีระมิดยอดตัดและกรวยยอดตัด”

1. 1 : 7 2. ประมาณ 1,469.52 ลูกบาศกเซนติเมตร 3. 1 : 7 4. ประมาณ 3,700 ลูกบาศกเซนติเมตร 5. ประมาณ 7,600 ลูกบาศกนิ้ว 6. ประมาณ 32,340 ลูกบาศกเซนติเมตร 7. ประมาณ 18,567.06 ลูกบาศกเซนติเมตร

97

กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ

98

กิจกรรมเสนอแนะ 5.1

พื้นที่ผิวของทรงกลม

กิจกรรมนี้มีเจตนาใหนักเรียนเห็นการหาพื้นที่ผิวของทรงกลมโดยใชความสัมพันธของความยาวของเสนผานศูนยกลางของเชือกและความยาวของเชือกที่ปดเนื้อที่ทั้งหมดบนพื้นผิวของทรงกลม

สื่อการเรียนรู 1. เชือกกลมขนาดเสนผานศูนยกลางประมาณ 0.5 เซนติเมตร ยาวประมาณ 3 เมตร 2. ลูกบอลที่ทําดวยพลาสติกบาง (ผิวไมล่ืน) ขนาดเล็ก 1 ลูก 3. ดินน้ํามันหรือดินเหนียว

ครูเตรียมอุปกรณสําหรับการสาธิตตามลําดับขั้น ดังนี้ขั้นที่ 1 ผาครึ่งลูกบอล ใสดินน้ํามันหรือดินเหนียวใหเต็มครึ่งทรงกลมพอดีขั้นที่ 2 ใชเชือกกลมทอนหนึ่งขดบนดินน้ํามันหรือดินเหนียวใหปดเนื้อที่ของรูปวงกลมพอดี (ใชเข็มหมุดตรึงปลายเชือกขางหนึ่งไวที่จุดศูนยกลางของวงกลม แลวขดเชือกรอบเปนวงกลม) ดังรูป

ขั้นที่ 3 ใชเชือกกลมขนาดเดียวกันอีกทอนหนึ่งวัดความยาวใหไดเปนสองเทาของความยาวของเชือกใน ขั้นที่ 2 แลวนําไปขดบนผิวของครึ่งทรงกลมใหปดเนื้อที่ทั้งหมด ดังรูป

99

แนวการจัดกิจกรรม 1. ครูนําเชือกขนาดเดียวกันกับที่ครูใชขางตนมา 1 ทอน ยาวประมาณ 10 เซนติเมตร ใหนักเรียน บอกวาเชือกทอนนี้มีลักษณะเปนรูปเรขาคณิตชนิดใด [ทรงกระบอก] 2. ครูวางเชือกทอนนี้ทาบบนกระดานดํา ใหนักเรียนคิดวิเคราะหวาถาตองการทราบวาเชือก ทอนนี้ปดเนื้อที่บนกระดานดําไดประมาณเทาใด จะตองทําอยางไร (ครูอาจเขียนรูปของเชือกทอนนี้บนกระดานซึ่งจะไดรูปสี่เหล่ียมผืนผา) [วัดความยาวของเชือกและหาความยาวของเสนผานศูนยกลาง จะไดวา ผลคูณของความยาว ของเชือกและความยาวของเสนผานศูนยกลาง เทากับพื้นที่ที่เชือกทอนนี้ปดเนื้อที่บน กระดานดําไว] 3. ครูนําอุปกรณในขั้นที่ 2 ใหนักเรียนบอกพื้นที่ของวงกลม โดยพิจารณาจากสวนที่เชือกปดทับ อยูทั้งหมด [ถาให r แทนรัศมีของวงกลม จะไดพื้นที่ของวงกลมเทากับ πr2] 4. ครูคลายเชือกจากวงกลมเปนเสนยาว ใหนักเรียนเห็นวาเชือกที่มีความยาวเทาที่คลายออกมา จากวงกลมนั้นปดเนื้อที่ของวงกลม ซ่ึงมีพื้นที่ของวงกลมเทากับ πr2 ตารางหนวย 5. ครูคลายเชือกออกจากผิวของครึ่งทรงกลมในอุปกรณขั้นที่ 3 แลววัดความยาวของเชือก เปรียบเทียบกับความยาวของเชือกในขอ 4 ซ่ึงเชือกเสนนี้ยาวเปนสองเทาของความยาวของ เชือกในขอ 4 ใหนักเรียนบอกพื้นที่ผิวของครึ่งทรงกลมที่ถูกปดทับดวยเชือกเสนนี้ [2πr2 ตารางหนวย] 6. ครูใหนักเรียนชวยกันสรุปพื้นที่ผิวของทรงกลมจากแนวคิดที่ไดในขอ 5

[พื้นที่ผิวของทรงกลมเทากับ 2 × 2πr2 = 4πr2 ตารางหนวย] 7. ครูสรุปพื้นที่ผิวของทรงกลมจากแนวคิดในกิจกรรมนี้ใหนักเรียนเห็นวา สูตรที่ไดเหมือนกับ แนวคิดที่เสนอไวในหนังสือเรียน

100

กิจกรรมเสนอแนะ 5.2

กิจกรรมนี้มีเจตนาใหนักเรียนไดเห็นการนําแนวคิดในตัวอยางกิจกรรมพีระมิดยอดตัดและกรวยยอดตัดมาใชในการหาสูตรปริมาตรของพีระมิดยอดตัดฐานสี่เหล่ียมจัตุรัส

ครูใชแนวคิดดังตัวอยางหนา 178 มาอธิบายใหเห็นที่มาของการหาสูตรปริมาตรพีระมิดยอดตัดฐานสี่เหล่ียมจัตุรัส ดังนี้

เนื่องจาก ∆ AFC ∼ ∆ AGE จะได GE

FC = AGAF

2b2a

= t h t +

รูป ข

aa

b

รูป ก

b

a

hb

a

t

h bD E

A

B C a

G

F

รูป ง

a

B

bD

C

E

A

รูป ค

101

ba = t

h t +

at = bt + bh at – bt = bh t(a – b) = bh t = b a

bh −

ปริมาตรของพีระมิดยอดตัดเทากับ 2a31 (t + h) – tb3

1 2

= 2a31 ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

− h b a

bh – 2b31

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

− b abh

= 2a31 ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

−

−+ b a

bhah bh – 31

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− b a

hb3

= 2a31 ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

− b aah – 3

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− b a

hb3

= 31

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− b aha3

– 31

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− b a

hb3

= 31

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

b ah bh a 33

= 31

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−− b a

) b a(h 33

= h31

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−− ++

b a) b ab a)( b a( 22

= h31 (a2 + ab + b2)

ดังนั้น ปริมาตรของพีระมิดยอดตัดรูป ก = h31 (a2 + ab + b2)

คณะกรรมการจัดทําสื่อการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร ระดับมัธยมศึกษาตอนตน

นางสาวลัดดาวัลย เพ็ญสุภา มหาวิทยาลัยธรรมศาสตรนายปรีชา เนาวเย็นผล มหาวิทยาลัยสุโขทัยธรรมาธิราชนางสาวอัมพร มาคนอง จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัยนางจารุนี สูตะบุตร สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนายสมพล เล็กสกุล สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางปยรัตน จาตุรันตบุตร สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางอารียา สุวรรณคํา สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางเจริญศรี จันไพบูลย สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางสาวจารุวรรณ แสงทอง สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางสาวปานทอง กุลนาถศิริ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางชุลีพร สุภธีระ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางสาวรจนา รัตนานิคม สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนายสุรัชน อินทสังข สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีนางสาววันดี ตีระสหกุล สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คณะบรรณาธิการนางจารุนี สูตะบุตร นายสมพล เล็กสกุล นางปยรัตน จาตุรันตบุตร นางสาวจารุวรรณ แสงทอง นางชุลีพร สุภธีระ นางสาวปานทอง กุลนาถศิริ

ผูจัดพิมพตนฉบับนางสาวเสาวนีย ประมูลทรัพย