AA6 Taller Final Ecuaciones

8/17/2019 AA6 Taller Final Ecuaciones

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ACTIVIDAD FINAL ALGEBRA LINEAL

JOSE ALFREDO GARCIA HIGIDIOCAROLINA FERNANDEZ LOAIZA

FUNDACI N UNIVERSITARIAPANAMERICANA 2016


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PARTE I:

Solucione los siguientes ejercicios usando el método gráfico y algebraico:

Solución y gráfico

2x + y = 10

X Y0 1

5 0

X + 3Y = 12

X Y0 4

120

Igualación de ecuaciones

y = 12 / 3 – x = y = 4 - x

2x + 12/3 – x

2x – x + 4 =

10 x = 10 - 4

X = 6

y = 4 – x

= y = 4 – 6

Y = -2


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Hallamos el valor máximo según gráfica:

x + 3y = 12 (6;-2)

(0;4)

(5;0) 2x + y = 10

MAX = F(x;y) = 4x + 5y

(0; 4) = F (0; 4) = 0 + 20 = 20

(6; 2) = F (6; 2) = 24 + 10 = 34

(5; 0) ) F (5; 0) = 20 + 0 = 20

El máximo valor lo encontramos en el punto (6; 2), asi que la función es:

F MÁX. = 34


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EJERCICIO 2

Se halla la respuesta factible según ecuaciones:

3x + 2y = 12

X Y0 6

4 0

4x + 5Y = 29

X Y0 5

7.2

0

Al querer igualar las ecuaciones debemos despejar:

y = 29 / 5 – 4x = y = 5.8 - 4x

3x + 2(5.8 – 4x)

3x + 11.6 – 8x3x + 2y = 123x + 11.6 – 8x

= -11x + 11.6

x = 11.6/-11

X = 1.05

y = 5.8 - 4x

y = 5.8 – 4(1.05)

y = 5.8 – 4.2

Y = 1.6

Graficamos y se halla el valor máximo en la gráfica


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3x + 2y = 12 (0;6)

(7.25;0)

4x + 5Y = 29

MAX = F(x;y) = 12x + 10y

(0; 6) = F (0; 6) = 0 + 60 = 60

(1.05; 1.6) = F (1.05; 1.6) = 12.6 + 16 = 28.6

(7.25; 0) F (7.25; 0) = 87 + 0 = 87

EJERCICIO 3

Solución de acuerdo a la ecuación:

4x + 2y = 6

X Y0 3

1.5 0

7x + 8y = 28

X Y0 3

4 0

Comentado [JGH1]: Valor maximo en 7:25 F. Max es87


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Se igualan las ecuaciones al despejar:

y = 28 / 8 – 7x

y = 3.5 - 7x

4x + 2(3.5 - 7x) = 6

4x + 7 – 14x = 6

-10x +1

x = -0.1

y = 3.5 - 7x

y = 3.5 – 7(0.1)

y = 3.5 – 0.7

y = 2.8


(-0.1;2,8)(4x + 2y = 6)

7x + 8y = 28

Max = F(x;y) = 120x + 80y(0; 3) = F (0; 3) = 0 + 240 = 240

(-0.1; 2.8) = F (-0.1; 2.8) = -12 + 224 = 212


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(4; 0) F (4; 0) = 480 + 0 = 480

EJERCICIO 4

Solución de acuerdo a la ecuación:

4x + 5y = 20

X Y

0 4

5 0

7x + 2Y = 14

X Y

0 7

2 0

Se igualan las ecuaciones al despejar:

y = 14 / 2 – 7x = 14

y = 7 - 7x = 14

Y = 21 – 7x

4x + 5(21- 7x) = 20

4x + 105 – 35 x = 20

31x – 85

X = 85/31

X = 2.7

Comentado [JGH2]: Valor Max 4.0 F Max 480


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Y = 21 – 7x

y = 21 – 7(2.7)

y = 21 – 19.1

Y = 1.9


(0;4)

4x + 5y = 20 (1.9;2.7)

(2;0) 7x + 2Y = 14

Max = F(x;y) = 12x + 8y

(0; 4) = F (0; 4) = 0 + 32 = 32

(1.9; 2.7) = F (1.9; 2.7) = 22.8 + 21.6 = 44.4

(2; 0) F (2; 0) = 24 + 0 = 24

Comentado [JGH3]: Maximo valor 1.9:2.7 asi que la FMax es 44.4


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PARTE II

Solucione los siguientes problemas de programación lineal, recuerdecontextualizar las respuestas. Use el Método gráfico o algebraico:

1. Se dispone de 120 bebidas con azúcar y de 180 bebidas sin azúcar. Las bebidas

se venden en dos grupos. Los grupos de tipo A contienen tres bebidas con

azúcar y tres sin azúcar, y las de tipo B contienen dos con azúcar y cuatro sin

azúcar. El vendedor gana 6 euros por cada grupo que venda de tipo A y 5 euros

por cada uno que vende de tipo B. Calcular de forma razonada cuántos grupos

de cada tipo debe vender para maximizar los beneficios y calcular este beneficio.

Solución

Clasificamos variables:

A = marca A disponibles para vender.

B = Cantidad de bebidas B para vender.

En ecuación se maximiza: Z = 6A + 5B

Procedemos a clasificarlas asi:

Bebidas con azucar 3 de marca A y 2 de Marca B

Bebidas sin azucar 3 de marca A y 4 de Marca B

Entonces 1: 3A + 2B ≤ 120 bebidas con azúcar

Entonces 2: 3A + 4B ≤ 180 bebidas sin azúcar

Respuesta

A=20

B=30

Para hallar la función se vendieron 20 paquetesde A y 30 de B hallando un F. MAX 270


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2. Un paciente para su recuperación tiene que tomar en su alimentación dos clasesde componentes que llamaremos A y B. Necesita tomar 70 unidades de A y 120

unidades de B. El médico le da dos tipos de dietas en las que la concentración

de dichos componentes es:

Dieta D1: 2 unidades de A y 3 unidades de B

Dieta D2: 1 unidad de A y 2 unidades de B.

Sabiendo que el precio de la dieta D1 es 2,5 €. y el de la dieta D2 es 1,45 €. ¿Cuál

es la distribución óptima para el menor costo?

Solución:Se deben identificar variables:

D1 = Cantidad de dieta D1 D2 = Cantidad de dieta D2

Hallamos la función para minimizar: Z = 2,5 D1 + 1,45 D2

TIPO DE

COMPONENTEMARCA A MARCA B DOSIS

Componente A 2 1 70

Componente B 3 2 120

Restricción 1: 2 D1 + 1 D2 ≥ 70 (componente A) = 20

Restricción 2: 3 D1 + 2 D2 ≥ 120 (componente B) = 30

Zminima 94

Comentado [JGH4]: Debe consumer 20 dietas en D1Y 3 Dietas en D2 Con un costo de 94

Comentado [JGH5]: Zminima 94


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3. Para recorrer un determinado trayecto, una compañía aérea desea ofertar, a lo

sumo, 5000 plazas de dos tipos: T (turista) y P (primera). La ganancia

correspondiente a cada plaza de tipo T es de 30 euros, mientras que la ganancia

del tipo P es de 40 euros. El número de plazas tipo T no puede exceder de 4500

y el del tipo P, debe ser, como máximo, la tercera parte de las del tipo T que se

oferten. Calcular cuántas tienen que ofertarse de cada clase para que las

ganancias sean máximas.

Solución:

X es igual al número de ofertas de tipo T, y el número que se ofertan

de tipo P.

X=Turista = T Y= Primera = P

Objetivo

Ganancia en x = 30 euros

Ganancia en y = 40 euros

Tenemos 5000 plazas para las dos sustancias x + y = 5000

Número de plazas tipo T : x = < 4500

El número de plazas tipo P tiene que ser máximo la tercera parte de las de tipo T

es decir la ecuación: x – 3y = > 0

Número GananciasT X 30XP Y 40Y

5000 30x + 40y

La F Objetivo: F(x, y)=30x +40y Las restricciones son:

x + y < 5000 (No. en plazas ofertadas)x < 4500 (No. De plazas de tipo T)

y <

3

x < 0y > 0


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Entonces decimos que X > 0, Y > = 0

Respuesta,

A(0, 5000)B(3750, 1250)C(4500, 500)D(4500, 0)

4. Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para sufabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de

30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L1y de 10 minutos para L2.

Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80

horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1

y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.

Respuesta:

Elección de las incógnitas.x = nº de lámparas L1 y = nº de lámparas L2 La Función objetivo es: f(x, y) = 15x + 10y

Restricciones:

Pasamos los tiempos a horas

4500

3000

1500

1500 3000 4500


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20 min = 1/3 h30 min = 1/2 h10 min = 1/6 h

Se gráfican asi:

L1 L2 TIEMPO

Manual 01 Marzo 01febrero

100

Máquina 01 Marzo 01 junio 80

1/3x + 1/2y ≤ 100 1/3x + 1/6y ≤ 80

El número de lámparas son números naturales, por lo tanto habrán dosrestricciones más:x ≥ 0 ; y ≥ 0

Al ser x ≥ 0 ; y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.

= 1/3 x + 1/2 y ≤ 100;=1/3·0 + 1/2·0 ≤ 100 =1/3·0 + 1/6·0 ≤ 80

1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200)

1/3x + 1/6y = 80; y = 0(240, 0)

1/3x + 1/2y = 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60)


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(0,480)500

400

300(0,200)

200

100(240,0) (300,0)

100 200 300 400 500

f(x, y) = 15x + 10y

f(0, 200) = 15·0 + 10·200 = 2 000 €

f(240, 0 ) = 15·240 + 10·0 = 3 600 €

f(210, 60) = 15·210 + 10·60 = 3 750 € Máximo

Comentado [JGH6]: Se deben fabricar 210 delmodelo L1 y 60 del modelo L1 para obtener unbeneficio de 3 750 € .


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5. Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de latemporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en

un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste

en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea

ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B.

¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

Respuesta:

Identificación de las incognitas.

x = nº de lotes de A

y = nº de lotes de B

F.O: f(x, y) = 30x + 50y Ahora sacamos las restricciones

x + 3y ≤ 200

x + y ≤ 100

x ≥ 20

y ≥ 10

A B MÍNIMO

Camisas 1 3 200

Pantalones 1 1 100

S e Calcula el valor de la función

objetivo f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 10 =

1100 €

f(x, y) = 30 · 90 + 50 · 10 = 3200 €

f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 60 = 3600 €

f(x, y) = 30 · 50 + 50 · 50 = 4000 € Máximo Comentado [JGH7]:Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia

máxima de 4000 €.


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6. En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composiciónmínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el

mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una

composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición

de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo

Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las

necesidades con un coste mínimo?

Solución:

Hallamos las Variables:

X = Cantidad de compuesto X a comprar.

Y = Cantidad de compuesto Y a comprar.F.O: Z = 10 X + 30 Y (costo a minimizar)

TIPO DE SUSTANCIA X Y REQUERIMIENTO

Sustancia A 1 5 15

Sustancia B 5 1 15

Restricción 1: 1 X + 5 Y ≥ 15 (Unidades de sustancia A)

Restricción 2: 5 X + 1 Y ≥ 15 (Unidades de sustancia B

Se calcula el valor de la función objetivo

f(0, 15) = 10 · 0 + 30 · 15 = 450

f(15, 0) = 10 · 15 + 30 · 0 = 150f(5/2, 5/2) = 10 · 5/2 + 30 · 5/2 = 100 Mínimo Comentado [JGH8]: El coste mínimo son 100 € para

X = 5/2 e Y = 5/2.


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7. Cierto fabricante produce dos artículos, A y B, para lo que requiere la utilización

de dos secciones de producción: sección de montaje y sección de pintura.

El artículo A requiere una hora de trabajo en la sección de montaje y dos en la

de pintura; y el artículo B, tres horas en la sección de montaje y una hora en la

de pintura.

La sección de montaje solo puede estar en funcionamiento nueve horas diarias,

mientras que la de pintura solo ocho horas cada día. El beneficio que se obtiene

produciendo el artículo B es de 40 euros y el de A es de 20 euros.

Calcula la producción diaria de los artículos A y B que maximiza el beneficio.

Respuesta:Realizamos en primera instancia una tabla para identificar las restricciones

Articulo A (x) Articulo B (y)

Sección Montaje 1 3 9

Pintura 2 1 8

Precio 20 40

A= X

B=Y

Función Objetivo: Max Z= 20x + 40y


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Las restricciones son:

x + 3y< 9 2x+ y < 8x , y > 0

Igualación en

restricciones: x + 3y + h1

+ 0h2 = 95x + y + 0h1 + h2 = 8

Igualación de F:O: z – 20x – 40y = 0 Y desarrollamos

la

Base x y h1 h2 Vs

h1 1 3 1 0 9

h2 5 1 0 1 8

z -20 -40 0 0 0

Respuesta: x= 15/14; y=37/14; z=890/7


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