Embed Size (px)
Citation preview
บทท� 1
ความรเบ�องตนเก�ยวกบเรขาคณตวเคราะห
(Introduction to Analytic Geometry)
เรขาคณตวเคราะห เปนสาขาหน�งของคณตศาสตรซ� งเปนการเช�อมโยงความรระหวางพชคณตและเรขาคณตเขาดวยกน ซ�งเรอเน เดอการตส (Rene De Cartes) และปแอร เดอ แฟรมาต (Pierre De Fermat) เปนผวางรากฐานเอาไว
เรอเน เดอการตส (Rene De Cartes) และปแอร เดอ แฟรมาต (Pierre De Fermat) สองนกคณตศาสตรชาวฝร�งเศส ผวางรากฐานเก�ยวกบเรขาคณตวเคราะห
ในการศกษาเร�องเรขาคณตวเคราะห เราจะทาการศกษาเก�ยวกบคณสมบตของจด และเสนตรงโดยอางองกบระบบพกดฉากเปนหลก ดงตอไปน5
2
1.1 ระบบพกดฉาก (Rectangular Co-ordinate System)
ระบบพกดฉาก ประกอบดวย แกนพกดฉาก 2 แกน ไดแก เสนจานวนท�อยบนแกนนอน (แกน X) และเสนจานวนท�อยบนแกนต5ง (แกน Y) แกนพกดฉากท5งสองน5จะแบงพ5นระนาบออกเปน 4 สวน เรยกพ5นท�ท�ถกแบงออกเปนสวนๆ น5วา "ควอดรนต" (Quadrant) ซ� งมลกษณะดงรป
Y
Quadrant 2 Quadrant 1
( - , + ) ( + , + )
X
Quadrant 3 Quadrant 4
( - , - ) ( + , - )
แกน X และ แกน Y ตดกนเปนมมฉาก เรยกจดน5วา "จดกาเนด" (Origin) คอ (0 , 0) และเขยนแทนตาแหนงของจดบนระบบพกดฉากดวย (X, Y) เม�อ
(1) Ordinate คอ คาตามแกน Y (2) Abscissa คอ คาตามแกน X (3) จด Co-ordinate คอ (X,Y) (4) จดทกจดบนแกน X ม Co-ordinate เปน (a , 0) เม0อ a∈R
(5) จดทกจดบนแกน Y ม Co-ordinate เปน (0 , a) เม0อ a∈R
3
1.2 โปรเจคชน (Projection)
กาหนดให P เปนจด และ L เปนเสนตรง โปรเจคชนของ P บนเสนตรง L เขยนแทนดวย )P(ojPr L คอ จด Q ท0ทาใหสวนของเสนตรง PQ ตBงฉากกบ L ดงรป
.
ขอสงเกต
(1) เราอาจกลาวไดวา โปรเจคชนของจด P บนเสนตรง L คอ จดบนเสนตรง L ท0ทาให ระยะทางจากจด P ไปยงจดนBนส5นท�สด
(2) โปรเจคชนของจด )y,x(P 111 บนแกน X คอจด )0,x( 1 (3) โปรเจคชนของจด )y,x(P 111 บนแกน Y คอจด )y,0( 1
.
P
Q
L
)y,x(P 111
)0,x( 1
)y,0( 1
Y
X
4
1.3 ระยะทางระหวางจดสองจด
พจารณารปตอไปน5
บนเสนจานวน ถาจด 1P แทนจานวนจรง 1x และ 2P แทนจานวนจรง 2x ระยะทางระหวางจด
1P และจด 2P คอคาสมบรณของ 1x - 2x เขยนแทนดวย 21PP หรอ 21PP
จากทฤษฎบทของพทาโกรส จะไดวา
21PP = ( ) ( )22
2
1 PPPP +
21PP = 2
21
2
21 yyxx −+−
21PP = ( ) ( )221
2
21 yyxx −+−
ดงน5น จงสรปเปนทฤษฎบทไดดงน5
ทฤษฎบท 1.1 :
ถา )y,x(P 111 และ )y,x(P 222 เปนจดสองจดใดๆ ในระนาบ ระยะทางระหวางจด )y,x(P 111 และ )y,x(P 222 เขยนแทนดวย 21PP ซ� ง
( ) ( )221
2
2121 yyxxPP −+−=
ขอสงเกต
ถาเสนตรงขนานแกน X อาจใชสตร 21PP = 21 xx − ถาเสนตรงขนานแกน Y อาจใชสตร 21PP = 21 yy −
5
ไมยากเลยใชไหมครบเพ�อนๆ อยากเกงตองทาบอยๆ และถาไมเขาใจตองไปถามคณครนะครบ
ตวอยางท� 1.1 กาหนดให )6,1(P1 และ )2,4(P2 − จงหาระยะทางระหวางจด 1P และ 2P
วธทา 21PP = ( ) ( )221
2
21 yyxx −+−
= ( ) ( )2226)4(1 −+−−
= ( ) ( )2245 +
= 1625+ = 51 ≈ 1414.7 หนวย Ans..
ตวอยางท� 1.2 จงหาจดบนแกน X ท�อยหางจากจด (-4,3) และ (3,-4) เปนระยะทางเทากน
วธทา ใหจดบนแกน X คอ (x,0) ระยะทางระหวาง (x,0) ถง(-4,3) = ระยะทางระหวาง (x,0) ถง (3,-4)
( ) ( )221
2
21 yyxx −+− = ( ) ( )221
2
21 yyxx −+−
( ) ( )2230)4(x −+−− = ( ) ( )22
)4(03x −−+−
ยกกาลงสองท5งสองขาง ( ) ( )22
34x −++ = ( ) ( )2243x +−
916x8x 2 +++ = 169x6x 2 ++− x6x8 + = 0 x14 = 0
x = 14
0
x = 0
∴จด (0,0) เปนจดบนแกน X ท�อยหางจากจด (-4,3) และ (3,-4) เปนระยะทางเทากน Ans..
6
ตวอยางท� 1.3 กาหนดจด ( )32,1A , ( )32,32B −+ และ ( )3,3C จงแสดงวา ABC เปนจดยอดของสามเหล�ยมดานเทา
วธทา AB = ( ) ( )22
32321321 −−++−−
= ( ) ( )22
3131 +−+−−
= ( ) ( )13233321 +−+++
= 8 หนวย
BC = ( ) ( )22
332332 −++−+
= 44 +
= 8 หนวย
AC = ( ) ( )22
332131 −++−
= ( ) ( )22
3131 ++−
= ( ) ( )33213321 ++++−
= 8 หนวย
เหนวา AB = BC = AC แสดงวา ABC∆ มดานยาวเทากนท5งสามดาน
∴ ABC∆ เปนสามเหล�ยมดานเทา Ans..
การหาวาจด 3 จด อยบนเสนตรงเดยวกนหรอไม
. . .
A , B และ C จะอยบนเสนตรงเดยวกนกตอเม�อ AB + BC = AC
A B C
7
ตวอยางท� 1.4 จงแสดงวา A(1,1) , B(-2,0) และ C(4,2) อยบนเสนตรงเดยวกน
วธทา AB = ( ) ( )220121 −++ = 19 +
= 10 หนวย
BC = ( ) ( )222042 −+−− = 436 + = 40
= 104× = 102 หนวย
AC = ( ) ( )222141 −+− = 19 +
= 10 หนวย
เหนวา AB + AC = BC ซ� งม A เปนจดรวม
∴ จด 3 จดน5 จงอยบนเสนตรงเดยวกน Ans..
ตวอยางท� 1.5 ถาระยะหางระหวางจด (k,1) และ (-2,1) เปน 3 หนวย จงหาคา k
วธทา จาก 21PP = ( ) ( )221
2
21 yyxx −+−
3 = ( ) ( )2211)2(k −+−−
ยกกาลงสองท5งสองขาง
9 = ( ) ( )2202k ++
4k4k2 ++ = 9 94k4k 2 −++ = 0 5k4k2 −+ = 0 ( )( )1k5k −+ = 0 k = -5 , 1
∴k = -5 , 1 Ans..
8
แบบฝกหด 1.1
1. จงหาระยะทางระหวางจดตอไปน5กบจดกาเนด (1) (3,4) (2) (0,3) (3) (-1,-3) (4) (a,b)
2. จงหาระยะทางระหวางจดแตละคตอไปน5 (1) (2,5) และ (9,5) (2) (-4,7) และ (6,7) (3) (-5,6) และ (-5,-3) (4) (-4,-8) และ (-4,-2) (5) (3,4) และ (2,2) (6) (-1,-2) และ (3,-4) (7) (2,13) และ (8,5) (8) (-5,3) และ (0,8) (9) (-6,4) และ (-6,17) (10) (-2,-1) และ (-7,-6)
3. ABC เปนรปส� เหล�ยมคางหมดงรป โดยท� BC ยาว 8 หนวย ถาจด A มพกดเปน (-4,0) จด B มพกดเปน (-1,4) และพ5นท�ของรปส�เหล�ยมคางหมน5 เทากบ 48 ตารางหนวย จงหา (1) พกดของจด C (2) ความยาวของเสนของเสนตรง AB (3) พกดของจด D
X
Y
0
B(-1,4)
A(-4,0)
C
D
9
4. จงแสดงวา (1,1) , (-1,-1) และ (-4,2) เปนจดยอดของสามเหล�ยมมมฉาก 5. จงหาระยะหางระหวางจด (-3,-4) กบแกน X 6. จงหาความยาวของเสนรอบรปสามเหล�ยม ABC ซ�ง A มพกดเปน (3,4) B มพกดเปน (7,8) และ
C มพกดเปน (-1,-2) 7. จงหาจดซ� งอยบนแกน Y และอยหางจากจด (2,5) และ (3,-7) เปนระยะทางเทากน 8. รปสามเหล�ยมรปหน�งมจด (6,8) , (4,6) และ (-2,-2) เปนจดยอด สามเหล�ยมรปน5 เปนสามเหล�ยม
หนาจ�วหรอไม 9. รปวงกลมรปหน�งมจดศนยกลางท� (-3,2) และผานจด (7,4) จงหาความยาวของรศมวงกลมน5 10. รปสามเหล�ยมรปหน�งมจด (10,0) , (-12,0) และ (8,-8) เปนจดยอด จงหาพ5นท�ของสามเหล�ยม
รปน5 11. จด (0,0) , (8,18) และ (12,27) อยบนเสนตรงเดยวกนหรอไม 12. จงบอกเง�อนไขท�ทาให 1P , 2P และ 3P ใดๆ อยบนเสนตรงเดยวกน 13. รปวงกลมวงหน�งมจดศนยกลางท�จด (3,4) และผานจด (6,8) จงหาความยาวของรศมของ
วงกลมน5และตรวจสอบดวาจด (0,0) อยบนวงกลมน5หรอไม 14. รปวงกลมวงหน�งมจดศนยกลางท�จด (4,-3) และมแกน X เปนเสนสมผส จงหาจดสมผส
℘℘℘℘℘℘℘℘℘
10
1.4 จดก�งกลางระหวางจดสองจด
ให )y,x(P เปนจดก�งกลางของ 21PP เราสามารถหาพกดของจดก�งกลางของ 21PP โดยพจารณารปตอไปน5
ให RP1 เปนสวนของเสนตรงท�ขนานกบแกน X ต5งฉากกบ PQ และ RP2 ซ� งเปนสวนของเสนตรงท�ขนานกบแกน Y ท�จด Q และ R ตามลาดบ
จะได จด Q มพกดเปน ( )1y,x จด R มพกดเปน ( )12 y,x
และ QPP1∆ คลายกบ 21RPP∆
จะได RP
QP
1
1 = 21
1
PP
PP
แต )y,x(P เปนจดก�งกลางของ 21PP
จะได 21
1
PP
PP = 2
1
น�นคอ RP
QP
1
1 = 2
1
QP1 = RP2
11
จะได QP1 = QR หรอ
1xx − = xx2 −
11
เน�องจาก x อยระหวาง 1x และ 2x ดงน5น 1x < x < 2x หรอ 2x < x < 1x เพราะฉะน5น x - 1x และ 2x - x จะเปนจานวนเตมบวกเหมอนกน หรอเปนจานวนเตมลบเหมอนกน
ดงน5น x - 1x =
2x - x x + x = 2x + 1x x2 = 1x + 2x
x = 2
xx 21 +
ในทานองเดยวกนสามารถแสดงใหเหนวา
y = 2
yy 21 +
ดงน5น จงสรปเปนทฤษฎบทไดดงน5
ทฤษฎบท 1.2 : ถาจด )y,x(P เปนจดก�งกลางระหวางจด )y,x(P 111 และ )y,x(P 222 แลว
x = 2
xx 21 +
y = 2
yy 21 +
12
ตวอยางท� 1.6 จงหาจดก�งกลางระหวางจด A(2,4) และ B(-4,0)
วธทา ให )y,x(P เปนจดก�งกลางตามท�ตองการ
x = 2
xx 21 +
= 2
)4(2 −+
= 2
2−
= 1−
y = 2
yy 21 +
= 2
04 +
= 2
4
= 2
∴ จดก�งกลาง คอ (-1,2) Ans..
เสนมธยฐานของรปสามเหล�ยม :
หมายถง เสนตรงท�ลากจากมมยอดไปแบงคร� งฐานของรปสามเหล�ยม ซ�งจะมท5งหมด 3 เสน และพบกนท�จดจดหน�งเสมอ เรยกวา จด Centroid หรอ จดรวมมวล
ซ� งหาจดน5ไดโดยใชสตร
x = 3
xxx 321 ++
y = 3
yyy 321 ++
13
ตวอยางท� 1.7 สามเหล�ยมรปหน�งมจดยอดเปน (-5,3) , (2,4) และ (4,0) จงหาจดปลายและ ความยาวของเสนมธยฐานท�ลากจากจด (-5,3) มายงฐานซ�งเกดจากการ ลากเสนเช�อมจด (2,4) และ (4,0)
วธทา
ให )y,x(P เปนจดก�งกลางของ AB
x = 2
xx 21 + = 2
42 + = 2
6 = 3
y = 2
yy 21 + = 2
04 + = 2
4 = 2
∴ จดปลายของเสนมธยฐาน คอ (3,2) Ans..
ความยาวของเสนมธยฐาน = ( ) ( )221
2
21 yyxx −+−
= ( ) ( )222335 −+−−
= ( ) ( )2218 +−
= 164 + = 65 หนวย
∴ เสนมธยฐานยาว 65 หนวย Ans..
A(2,4)
B(4,0)
เสนมธยฐาน
C(-5,3) )y,x(P
Y
X
14
ตวอยางท� 1.8 จด )y,x(P เปนจดก�งกลางของ 21PP พกดของจด P และ 1P คอ (2,3) และ (5,4) ตามลาดบ จงหาพกดของจด 2P
วธทา x = 2
xx 21 + y = 2
yy 21 +
2 = 2
x5 2+ 3 = 2
y4 2+
4 = 2x5+ 6 = 2y4+ 54− =
2x 46− = 2y
2x = 1− 2y = 2
∴ (-1,2) เปนพกดของจด 2P Ans..
ตวอยางท� 1.9 วงกลมวงหน�งมจดศนยกลาง (-2,-3) จดปลายเสนผานศนยกลางขางหน�ง คอ (5,10) จงหาพกดของจดปลายอกขางหน�งของเสนผานศนยกลาง
.
วธทา x = 2
xx 21 + y = 2
yy 21 +
2− = 2
x5 2+ 3− = 2
y10 2+
4− = 2x5+ 6− = 2y10+ 54 −− = 2x 106 −− = 2y 2x = 9− 2y = 16−
∴ พกดของจดปลายอกขางหน�งของเสนผานศนยกลางของวงกลมน5 คอ (-9,-16) Ans..
(-2,-3) (5,10)
15
แบบฝกหด 1.2
1. จงหาจดก�งกลางระหวางจดแตละคตอไปน5 (1) (-1,-3) และ (5,3) (2) (-3,-2) และ (-1,-1)
(3) (2
1 ,2) และ (3,-1)
(4) (3,2
5− ) และ (-3,-9)
2. จด P เปนจดก�งกลางของสวนของเสนตรง AB จงหาพกดของจด P ถา (1) P มพกดเปน (1,2) และ B มพกดเปน (3,4) (2) P มพกดเปน (5,6) และ B มพกดเปน (15,-4)
3. สามเหล�ยมรปหน�งมจดยอดเปน A(2,6) , B(4,-4) และ C(-2,3) จงหาความยาวของเสนมธยฐานท�ลากจากจด C ไปยงดานตรงขาม
4. วงกลมวงหน�งมจดศนยกลาง (-4,1) จดปลายขางหน�งของเสนผานศนยกลาง คอ (2,6) จงหาพกดของจดปลายอกขางหน�งของเสนผานศนยกลาง
5. วงกลมวงหน�งมจดศนยกลาง (3,2) คอรดยาว 8 หนวยและจดก�งกลางคอรดเปน (5,3) จงหารศมของวงกลมวงน5
6. วงกลมวงหน�งมจด (2,3) เปนโปรเจคชนของจดศนยกลางบนคอรด ซ�งมจดปลายขางหน�งเปน (-1,-4) จงหาจดปลายอกขางหน�ง
℘℘℘℘℘℘℘℘℘
16
1.5 ความชนของเสนตรง
คอ ลกษณะของเสนตรงในระนาบแกนมมฉาก ซ� งลกษณะเหลาน5จะบอกใหรวาเสนตรงน5ทามมแหลมหรอมมปานกบแกน X หรอขนานแกน X , Y
จากรป สามารถสรปเปนบทนยามไดดงน5
บทนยาม 1.1 :
ให L เปนเสนตรงท�ผานจด )y,x(P 111 และ )y,x(P 222 โดยท� 21 xx ≠ m เปนความชนของเสนตรง L กตอเม�อ
m = 21
21
xx
yy
−−
ขอสงเกต
(1) ถา 21 xx = เสนตรงจะขนานกบแกน Y ถอวาหาความชนไมได (2) ความชนของเสนตรงท�ขนานแกน X คอ 0 (3) ถาความชนมคาเปนบวก หรอมากกวาศนย เสนตรงจะทามมแหลมกบแกน X
เม�อวดทวนเขมนาฬกา (4) ถาความชนมคาเปนลบ หรอนอยกวาศนย เสนตรงจะทามมปานกบแกน X
เม�อวดทวนเขมนาฬกา
17
เราสามารถนาเอาบทนยามของความชนท�กลาวมาขางตนไปใชในการอธบายคณสมบตของเสนตรงสองเสนท�ขนานกนและต5งฉากกนไดดงน5
(1) เสนขนาน
ทฤษฎบท 1.3 :
เสนตรงสองเสนท�ไมขนานแกน Y จะขนานกน กตอเม�อ ความชนของเสนตรงท5งสองเทากน (2) เสนต�งฉาก
ทฤษฎบท 1.4 :
เสนตรงสองเสนท�ไมขนานแกน Y จะต5งฉากกน กตอเม�อ ผลคณความชนของเสนตรงท5งสองเทากบ -1
ตวอยางท� 1.10 จงหาความชนของเสนตรงท�ผานจดตอไปน5
(1) ผานจดกาเนด และ (4,-2) (2) ผานจด (a+b , a) และ (b , a-b)
วธทา (1) ผานจดกาเนด และ (4,-2)
m = 21
21
xx
yy
−− =
40
)2(0
−−− =
4
2
− =
2
1− Ans..
(2) ผานจด (a+b , a) และ (b , a-b)
m = 21
21
xx
yy
−− =
b)ba(
)ba(a
−++− =
bba
baa
−+−− =
a
b Ans..
18
สงทนาสรรเสรญทสดในชวตของเรากคอ ความวรยะ อตสาหะ
ตวอยางท� 1.11 กาหนดจด )4,x(A 1 และ )4,3(B − เปนเสนตรงท�มความชนเปน -1 จงหาคาของ 1x
วธทา m ของ AB = 21
21
xx
yy
−−
1− = 3x
)4(4
1 −−−
)3x)(1( 1 −− = 8 3x1 +− = 8
1x− = 38−
1x− = 5
1x = 5−
∴ 1x = 5− Ans..
ตวอยางท� 1.12 จงแสดงวาเสนตรงท�ผานจด A(0,4) และ B(3,1) ขนานกบเสนตรงท�ผานจด
C(-1,-2) และ D(-4,1)
วธทา m ของ AB = 21
21
xx
yy
−− =
30
14
−− =
3
3
− = 1−
m ของ CD = 21
21
xx
yy
−− =
)4(1
12
−−−− =
3
3− = 1−
เหนวา m ของ AB = m ของ CD แสดงวาเสนตรงสองเสนน5ขนานกน
∴ เสนตรงท�ผานจด A และ B ขนานกบเสนตรงท�ผานจด C และ D Ans..
19
ตวอยางท� 1.13 จงแสดงวาจด A(-4,3) , B(-1,2) และ C(2,11) เปนจดยอดของสามเหล�ยมมมฉาก
วธทา m ของ AB = 21
21
xx
yy
−− =
)1(4
23
−−−− =
3
1
−
m ของ BC = 21
21
xx
yy
−− =
31
112
−−− =
3
9
−− = 3
m ของ AD = 21
21
xx
yy
−− =
24
113
−−− =
6
8
−− =
3
4
เหนวา ผลคณของ m ของ AB และ m ของ BC เทากบ -1 น�นคอ ดาน AB ต5งฉากกบดาน BC
∴ จดท5งสามเปนจดยอดของรปสามเหล�ยมมมฉาก Ans..
ตวอยางท� 1.14 จงแสดงวาจด A(-1,-2) , B(0,1) , C(-3,2) และ D(-4,-1) เปนจดยอดของส�เหล�ยมดานขนาน
วธทา m ของ AB = 21
21
xx
yy
−− =
01
12
−−−− =
1
3
−− = 3
m ของ BC = 21
21
xx
yy
−− =
)3(0
21
−−− =
3
1− = 3
1−
m ของ CD = 21
21
xx
yy
−− =
)4(3
)1(2
−−−−− =
1
3 = 3
m ของ AD = 21
21
xx
yy
−− =
)4(1
)1(2
−−−−−− =
3
1− = 3
1−
เหนวา m ของ AB = m ของ CD และ m ของ BC = m ของ AD น�นคอ มดานขนานกนสองค
∴ จดท5งส� เปนจดยอดของรปส� เหล�ยมดานขนาน Ans..
20
ตวอยางท� 1.15 ถาจด A(3,-1) , B(6,1) และ C(-3,k) อยบนเสนตรงเดยวกนแลว จงหาคา k
วธทา จะไดวา m ของ AB = m ของ BC
63
11
−−− =
)3(6
k1
−−−
3
2
−− =
9
k1−
3
2 = 9
k1−
93
2× = k1−
6 = k1− k = 61− k = 5−
∴ k = 5− Ans.. ตวอยางท� 1.16 เสนตรงท�ผานจด A(-3,-1) , B(2,3) ขนานกบเสนตรงท�ผานจด
C(-4,-5) , D(k,3) จงหาคา k
วธทา จะไดวา m ของ AB = m ของ CD
23
31
−−
−− = k4
35
−−
−−
5
4
−
− = k4
8
−−
−
5
4 = k4
8
−−
−
( )k44 −−× = 5)8( ×− k416 −− = 40− k4− = 1640 +− k4− = 24−
k = 4
24
−
−
k = 6
∴ k = 6 Ans..
21
แบบฝกหด 1.3
1. จงหาความชนของเสนตรงท�ผานจดสองจดตอไปน5
(1) (0,0) และ (2,6) (2) (0,0) และ (-2,6) (3) (5,3) และ (12,7) (4) (3,-8) และ (-5,7) (5) (t+1 , s) และ (2t , s-3)
2. จงหาคา x ท�ทาใหเสนตรงท�ผานจด P และ Q มความชนเทากบ m ตามท�กาหนดให (1) P(5,2) และ Q(x,6) เม�อ m = 4
(2) P(4,x) และ Q(-3,1) เม�อ m = 2
1
(3) P(6,-3) และ Q(9,x) เม�อ m = 3
2−
(4) P(x,12) และ Q(5,12) เม�อ m = 0
(5) P(1,x) และ Q(4,3) เม�อ m = 3
4
3. จงหาคา k ททาใหเสนตรงท�เช�อมจด (1,k) และ (k,-2) มความชนเปน 4 4. จงหาความชนและความยาวของดานแตละดานของรปสามเหล�ยมซ�งมจด A(2,10) , B(5,7) และ
C(5,7) เปนจดยอด 5. จงแสดงวาเสนตรงซ�งผานจด (-2,-4) และ (3,3) ขนานกบเสนตรงซ�งผานจด (1,-2) และ (6,5) 6. ถาเสนตรงผานจด (k,7) และ (-3,2) ขนานกบเสนตรงท�ผานจด (3,2) และ (1,-4) จงหาคา k 7. จด (1,2) , (6,7) และ (-3,4) อยบนเสนตรงเดยวกนหรอไม เพราะเหตใด 8. จงหาคา k ท�ทาให (k,6) , (1,4) และ (-4,2) อยบนเสนตรงเดยวกน 9. จงแสดงวา A(-4,2) , B(2,6) , C(1,0) และ D(-2,-2) เปนจดยอดของส�เหล�ยมคางหม
10. ถาความชนของเสนตรง L เทากบ 3
4 แลวเสนตรงท�ต5งฉากกบเสนตรง L จะมความชนเทาไร
11. เสนตรงซ�งผานจด (4,3) และ (-3,-5) ต 5งฉากกบเสนตรงซ�งผานจด (-2,-3) และ (-8,2) หรอไม 12. เสนตรงซ�งผานจด (k,7) และ (-3,-2) ต 5งฉากกบเสนตรงซ�งผานจด (3,2) และ (1,-4) จงหาคา k 13. จงแสดงวา (2,1) , (6,4) , (3,8) และ (-1,5) เปนจดยอดของส� เหล�ยมจตรส และหาพ5นท�ของรป
ส� เหล�ยม
℘℘℘℘℘℘℘℘℘℘
22
1.6 ความสมพนธซ�งมกราฟเปนเสนตรง
1.6.1 รปแบบของเสนตรงท�ขนานกบแกน X มรปแบบเปน y = b เม�อ b เปนคาคงตว
- ถา b มากกวา 0 เสนตรงจะอยเหนอแกน X
- ถา b เทากบ 0 เสนตรงจะทบแกน X
- ถา b นอยกวา 0 เสนตรงจะอยใตแกน X
23
1.6.2 รปแบบของเสนตรงท�ขนานกบแกน Y มรปแบบเปน x = a เม�อ b เปนคาคงตว
- ถา a มากกวา 0 เสนตรงจะอยขวาแกน Y
- ถา a เทากบ 0 เสนตรงจะทบแกน Y
- ถา a นอยกวา 0 เสนตรงจะอยซายแกน Y
24
1.6.3 รปแบบของเสนตรงท�ไมขนานแกน X และแกน Y ซ� งอยในรปท�วไปคอ Ax + By + C = 0 เม�อ A , B และ C เปนคาคงตว และ A , B ไมเทากบศนยพรอมกน
รปแบบน5หาความชนไดโดยใชสตร B
Am
−=
ตวอยางท� 1.17 จงหาความชนจากสมการเสนตรง 2x – 3y + 5 = 0
∴ 3
2
3
2
B
Am =
−−
=−
= Ans..
1.6.4 รปแบบของเสนตรงท�อยในรป y = Ax + B
- คา A คอ ความชนของเสนตรง - คา B คอ จดตดบนแกน Y ซ� งคอจด (0,B)
ตวอยางท� 1.18 จงหาความชน และจดตดบนแกน Y จากสมการเสนตรง y = 5x + 3
∴ 5m = ตดแกน Y ท�จด (0,3) Ans..
1.6.5 รปแบบของเสนตรงท�อยในรป Point Slope Form คอจะบอกจดท�เสนตรงผาน และบอกความความชนของเสนตรงมาให เราสามารถหาสมการเสนตรงน5ไดโดยใชสตร
( )11 xxmyy −=−
1.6.6 รปแบบของเสนตรงท�อยในรป Two Point Form คอจะบอกจดท�เสนตรงผานมาให 2 จด คอ ( )11 y,x และ ( )22 y,x เราสามารถหาสมการเสนตรงน5ไดโดยใชสตร
( )1
21
211 xx
xx
yyyy −
−−
=−
1.6.7 รปแบบของเสนตรงท�อยในรป Intercept Form คอบอกจดตดบนแกน X และจดตดบนแกน Y มาให เราสามารถหาสมการเสนตรงน5ไดโดยใชสตร
1b
y
a
x=+
เม�อเสนตรงตดแกน X ท�จด (a,0) และตดแกน Y ท�จด (0,b)
25
การเรยนแมเหนอยยาก ยอมลาบากอยาทอถอย
สดทางทรอคอย คออนาคตอนงดงาม
ตวอยางท� 1.19 จงแสดงวาเสนตรง x = 2y +4 ขนานกบเสนตรง y = 22
x+
วธทา จากเสนตรง 04y2x:L1 =+− 2
1
2
1
B
Am1 =
−−
=−
=
จากเสนตรง 22
xy:L2 +=
2
1m2 =
เหนวา 21 mm =
∴ เสนตรงสองเสนน5ขนานกบ Ans..
ตวอยางท� 1.20 จงแสดงวาเสนตรง 3x + 2y = 8 ต5งฉากกบเสนตรง 4x – 6y = 3
วธทา จากเสนตรง 08y2x3:L1 =−+ 2
3
B
Am1
−=
−=
จากเสนตรง 03y6x4:L2 =−− 3
2
6
4
B
Am2 =
−−
=−
=
เหนวา 1mm 21 −=×
∴ เสนตรงสองเสนน5ต 5งฉากกน Ans..
26
พากเพยร เรยนร ดตวอยาง บนไดสทางกาวหนา
ตวอยางท� 1.21 จากสมการเสนตรง 06y4
3x
3
2=−−
จงบอกความชนและจดตดบนแกน X และแกน Y
วธทา หาความชนโดยใชสตร 9
8
3
4
3
2
4
33
2
B
Am =×=
−
−=
−= Ans..
หาจดตดบนแกน X ตองให y = 0
60x3
2−− = 0
x3
2 = 6
x = 2
36×
x = 9
∴ เสนตรงตดแกน X ท�จด (9,0) Ans..
หาจดตดบนแกน Y ตองให x = 0
6y4
30 −− = 0
y4
3− = 6
y =
−×3
46
y = 8−
∴ เสนตรงตดแกน Y ท�จด (0,-8) Ans..
27
ตวอยางท� 1.22 จงหาสมการเสนตรงท�ผานจด (2,3) และมความชน 2
1
วธทา 1yy− = ( )1xxm −
3y− = ( )2x2
1−
6y2 − = 2x − 2x6y2 +−− = 0 4y2x −+− = 0 4y2x +− = 0
∴ 4y2x +− = 0 เปนสมการเสนตรงท�ตองการ Ans..
ตวอยางท� 1.23 จงหาสมการเสนตรงท�ผานจด (-3,-1) และขนานกบเสนตรง 2x + 3y + 12 = 0
วธทา หาความชนโดยใชสตร 3
2
3
2
B
Am =
−−
=−
=
สมการเสนตรงท�จะหา ม 3
2m = และผานจด (-3,-1)
1yy− = ( )1xxm −
)1(y −− = ( ))3(x3
2−−
1y + = ( )3x3
2+
3y3 + = 6x2 + 3y3x2 −+− = 0 3y3x2 +− = 0 ∴ 3y3x2 +− = 0 เปนสมการเสนตรงท�ตองการ Ans..
28
ความรคอชวต บอกความคดและปญญา การเรยนมคณคา อนาคตขางหนาจะดเอง
ตวอยางท� 1.24 จงหาสมการเสนตรงท�ผานจด (1,-3) และ (-3,4)
วธทา 1yy− = ( )1
21
21 xxxx
yy−
−−
3y + = ( )1x31
43−
+−−
3y + = ( )1x4
7−−
12y4 + = 7x7 +− 5y4x7 ++ = 0
∴ 5y4x7 ++ = 0 เปนสมการเสนตรงท�ตองการ Ans..
ตวอยางท� 1.25 จงหาสมการเสนตรงท�ตดแกน X ท�จด (-3,0) และตดแกน Y ท�จด (0,5)
วธทา b
y
a
x+ = 1
5
y
3
x+
− = 1
นา -15 มาคณท5งสองขาง
y3x5 − = 15− 15y3x5 +− = 0
∴ 15y3x5 +− = 0 เปนสมการเสนตรงท�ตองการ Ans..
29
แบบฝกหด 1.4
1. จงบอกความชนและจดตดแกน X และแกน Y
สมการ ความชน จดตดแกน X จดตดแกน Y
(1) 2x – 3y = 7 (2) 5x + 4y – 2 = 0 (3) x – 4y + 5 = 0 (4) 3x + 2y + 7 = 0 (5) 5x – y – 11 = 0
(6) 24y3
4x
4
3=−
(7) x – y = 0 (8) 2y + 3 = 0 (9) x = 4 (10) 3(y – 1) = –2(x – 2)
2. จงแสดงวาเสนตรง 3y = 2x – 6 ขนานกบเสนตรง y = 1x3
2+
3. จงแสดงวาเสนตรง 2x + y = 8 ต5งฉากกบเสนตรง y = 5x2
1−
4. จงหาสมการเสนตรงท�ผานจด (0,-3) และมความชนเปน 4
3−
5. จงหาสมการเสนตรงท�ผานจด (7,5) และขนานกบเสนตรง x + 2y + 12 = 0 6. จงหาสมการเสนตรงท�ผานจด (3,2) และต5งฉากกบเสนตรง 3x – 2y +12 = 0 7. จงหาสมการเสนตรง และ
(1) ผานจด (-1,0) และขนานกบเสนตรงซ�งผานจด (1,2) และ (-3,4) (2) ผานจด (-1,-4) และต5งฉากกบเสนตรงซ�งผานจด (-1,3) และ (-2,-2)
8. จงหาสมการเสนตรงท�ตดแกน X ท�จด (5,0) และตดแกน Y ท�จด (0,-4) 9. จงหาสมการเสนตรงท�ผานจด (4,2) และตดแกน Y ต�ากวาจดกาเนด 3 หนวย 10. จงหาสมการเสนตรงซ�งต5งฉากกบคร� งของเสนตรงท�เช�อมจด A(-5,2) และ B(3,-2)
℘℘℘℘℘℘℘℘℘
30
1.7 ระยะหางระหวางเสนตรงกบจด และระยะระหวางเสนคขนาน
1.7.1 ระยะระหวางเสนตรงกบจด
.
ทฤษฎบท 1.5 : ระยะหางระหวางเสนตรง Ax + By + C = 0 กบจด )y,x( 11
คอ
22
11
BA
CByAxd
+
++=
1.7.2 ระยะระหวางเสนคขนาน
ทฤษฎบท 1.6 : ระยะหางระหวางเสนตรง 0CByAx 1 =++ และเสนตรง 0CByAx 2 =++ คอ
22
21
BA
CCd
+
−=
d
Ax + By + C = 0
)y,x(P 11
0CByAx 1 =++
0CByAx 2 =++
d
31
การศกษา คอ ความเจรญงอกงาม
ตวอยางท� 1.26 จงหาระยะหางจากจด (2,-3) ไปยงเสนตรง 6x – 8y + 4 = 0
วธทา d = 22
11
BA
CByAx
+
++
= 22 )8(6
4)3)(8()2(6
−+
+−−+
= 6436
42412
+
++
= 100
40
= 10
40
= 4 หนวย Ans..
ตวอยางท� 1.27 จงหาระยะหางจากจดกาเนด ไปยงเสนตรง 3x – 4y – 5 = 0
วธทา d = 22
11
BA
CByAx
+
++
= 22 )4(3
)5()0)(4()0(3
−+
−+−+
= 169
)5(00
+
−++
= 25
5−
= 5
5
= 1 หนวย Ans..
32
ตวอยางท� 1.28 จงหาระยะหางจากเสนตรง 3x – y – 8 =0 ไปยงเสนตรง 3x – y – 2 = 0
วธทา d = 22
21
BA
CC
+
−
= 22 )1(3
)2(8
−+
−−−
= 19
28
+
+−
= 10
6−
= 10
6
= 10
106
= 5
103 หนวย Ans..
ตวอยางท� 1.29 จงหาสมการเสนตรงท�ขนานกบเสนตรง 3x – 4y + 2 = 0 และ อยหางจากเสนตรงน5 2 หนวย
วธทา เสนตรงท�จะหามสมการเปน 3x – 4y + c = 0
d = 22
21
BA
CC
+
−
2 = 22 )4(3
2c
−+
−
2 = 25
2c −
10 = 2c − 2c − = 10
3x – 4y + 2 = 0 2 หนวย
2 หนวย
33
ครเปดประตให แตคณตองเดนเขาไปดวยตนเอง
จะได c – 2 = 10 หรอ c – 2 = –10 c = 10 + 2 c = –10 + 2 c = 12 c = –8
∴ สมการเสนตรงท�ตองการ คอ 3x – 4 y +12 = 0 และ 3x – 4y – 8 = 0 Ans..
34
แบบฝกหด 1.5
1. จงหาระยะหางระหวางเสนตรงกบจดท�กาหนดใหตอไปน5 (1) 6x – 8y + 4 = 0 และ (2,-3) (2) 4x + 3y – 8 = 0 และ (0,6) (3) 2x + 3y = 13 และ (0,0)
(4) y – 4 = 5
7 (x – 3) และ (8,11)
(5) y = 1 และ (-1,1) 2. จงหาระยะทางระหวางเสนคขนานตอไปน5
(1) 3x + 4y – 7 = 0 และ 3x + 4y + 3 = 0 (2) 3x – 4y – 7 = 0 และ 6x – 8y + 16 = 0 (3) 5x + 12y – 15 = 0 และ 10x + 24y + 9 = 0 (4) x – y – 3 = 0 และ 3x – 3y + 7 = 0 (5) 3x + y + 5 = 0 และ 7 – 3x – y = 0
3. จงหาสมการเสนตรงท�ขนานกบเสนตรง 3x – 4y – 5 = 0 และอยหางจากเสนตรงน5 1 หนวย 4. จงหาสมการเสนตรงท�ขนานกบเสนตรง 3x – 4y + 26 = 0 และอยหาจากจด (8,8)
เปนระยะ 2 หนวย 5. จงหาสมการเสนตรงท�ต5งฉากกบเสนตรง 12y = 5x – 7 และอยหางจากจด (-1,2)
เปนระยะ 3 หนวย 6. ถาเสนตรง 12x – 5y – 10 = 0 เปนเสนตรงท�อยก�งกลางระหวางเสนขนานคหน�ง ซ� งอยหางกน
8 หนวย จงหาสมการของเสนขนานคน5
℘℘℘℘℘℘℘℘℘
