วชา คณตศาสตรธรกจ (3000-1403)

โดย ครยพด นธภากร

หนวยท 4

ก าหนดการเชงเสน

อสมการ

อสมการ คอ ประโยคทแสดงความสมพนธของจ านวน

โดยมเครองหมาย , , ≤ , ≥ และ

เชน 2X – 1 5

3Y + 4 ≥ 7

X 2

สมบตของอสมการ

ถา a , b, c เปนจ านวนจรง

1. ถา a b และ b c แลว a c

2. ถา a b แลว a + c b + c

3. ถา a b และ c 0 แลว ac bc

4. ถา a b และ c 0 แลว ac bc

ตวอยาง จงพจารณาขอความในขอตอไปนวา

ถกหรอผด

1. 4X - 6X เปนเทจ เมอ X เปนจ านวนเตมลบ

1. 4X - 6X เปนเทจ เมอ X เปนจ านวนเตมลบวธท า 4X - 6X เมอ X เปนจ านวนเตมลบ

ให X = -1แทนคาจะได (4)(-1) (-6)(-1)

-4 6 ดงนน 4X - 6X เปนเทจ เมอ X เปนจ านวนเตม

ลบ ผด

2. 3X - 2 ≤ -X เปนจรง เมอ X เปนจ านวนเตมลบ

2. 3X - 2 ≤ -X เปนจรง เมอ X เปนจ านวนเตมลบวธท า 3X - 2 ≤ -X เมอ X เปนจ านวนเตมลบ

ให X = -4แทนคาจะได (3)(-4) - 2 ≤ -(-4)

-14 ≤ 4 ดงนน 4X - 6X เปนจรง เมอ X เปนจ านวนเตมลบ ถก

3.X2 ≤ (-X2) เปนจรง เมอ X เปนจ านวนจรง

3. X2 ≤ (-X2) เปนจรง เมอ X เปนจ านวนจรงวธท า X2 ≤ (-X2) เปนจรง เมอ X เปนจ านวนจรง

ให X = 1แทนคาจะได (1)2 ≤ (-(12))

1 ≤ (-(1))1 ≤ -1

ดงนน X2 ≤ (-X2) เปนจรง เมอ X เปนจ านวนจรง ผด

การแกอสมการ

ตวอยาง จงแกอสมการตอไปน

1. 6X – 4 4 ( X + 4)

วธท า 6X – 4 4 X + 16

6X - 4X 16 + 4

2X 20

X 10

เซตค าตอบของอสมการคอ X X 10

2. 2X + 6 ≤ -5X- 1

วธท า 2X + 6 ≤ -5X - 1

2X + 5X ≤ -1 - 6

7X ≤ - 7

X ≤ -1

เซตค าตอบของอสมการคอ X X ≤ -1

3. 2(X+ 3) 12

วธท า 2(X + 3) 12

2X + 6 12

2X 12 - 6

2X 6

X 3

เซตค าตอบของอสมการคอ X X 3

การเขยนกราฟของอสมการเชงเสนสองตวแปร

อสมการเชงเสนสองตวแปร เปนความสมพนธของสองตวแปร

ทมเลขชก าลงเปนหนงทงค

เชน 3X - Y ≤ 2

-5X + 2Y ≠ 1

ตวอยาง จงเขยนกราฟของอสมการ Y 3วธท า

ตวอยาง จงเขยนกราฟของอสมการ Y 2 และ Y 0วธท า

ตวอยาง จงเขยนกราฟของอสมการ X + Y 2 วธท า

ตวอยาง จงเขยนกราฟใหสอดคลองกบทกอสมการตอไปน

Y+X 200

X 150

Y 120

X 0

Y 0

วธท า

ตวอยาง จงเขยนกราฟใหสอดคลองกบทกอสมการตอไปน

2X + 2Y 10

X + 2Y 8

X 0

Y 0

วธท า

ก าหนดการเชงเสน

การด าเนนธรกจใดๆ เพอใหกจการบรรลตามเปาหมาย

ทไดก าหนดไวโดยการจ าลองระบบงานดวยระบบอสมการเชงเสน

และเขยนเปาหมายในการหาคาสงสดหรอคาต าสดของฟงกชน

เชงเสน เรยกวา ก าหนดการเชงเสน และยงสามารถใชค านวณเพอ

แกปญหาไดหลายอยาง เชน ค านวณการผลตสนคาใหไดก าไร

มากทสดแตเสยคาใชจายนอยทสด , บรษทหนงตองการผลตสนคา

2 ประเภท ตองผลตอยางละกชนจงจะไดก าไรสงสด เปนตน

การแกปญหาโจทยก าหนดการเชงเสน

1.ก าหนดตวแปรทใชในฟงกชนจดประสงควา X แทนตวแปร

อะไร และ Y แทนตวแปรอะไร

2.สรางฟงกชนจดประสงคใหสอดคลองกบทโจทยตองการ โดย

เขยนแบบจ าลองทางคณตศาสตร

3.สรางเงอนไขขอจ ากดตามขอมลทโจทยก าหนด

4.หาผลลพธโดยวธทงายทสด คอ การเขยนกราฟตามเงอนไขบงคบ

เมอเขยนกราฟแลว ใหแรเงาอาณาเขตบรเวณทเปนไปได

ตอมาหาผลลพธหรอค าตอบทดทสด โดยการแทนคาจดยอด

มมของรปเหลยมทปดลอมบรเวณทแรเงาไว และคา (x,y) เปนคา

ของฟงกชนเชงเสนทสงสด จะเรยกวา ค าตอบทเหมาะสมทสด

พกด (x,y) ทเปนจดตดของกราฟ น าแตละจดไปแทนคาใน

ฟงกชนจดประสงค จะไดคาสงสดหรอต าสดตามตองการ

การหาคาสงสดหรอคาต าสด ประกอบดวย

1. ก าหนดการเชงเสน ซงเนนเปาหมายในการคาสงสดหรอ

หรอคาต าสดทสนใจของฟงกชนเชงเสน เรยกวา ฟงกชนจดประสงค

2. ระบบอสมการเชงเสนทแสดงขอบงคบหรอเงอนไข

ขอจ ากดตางๆ ทอยในเปาหมาย เรยกวา อสมการขอจ ากด

เชน P = 4X + 3Y ฟงกชนจดประสงค

จงหาคา P ทมคามากทสดภายใตเงอนไขหรอขอจ ากดตอไปน

X - 2Y ≤ 1

5X + Y ≤ 6

X ≥ 0 อสมการขอจ ากด

Y ≥ 0

ตวอยาง

ก าหนดใหสมการจดประสงค คอ P = 30x + 50y

และอสมการขอจ ากด คอ 2x + y ≤ 10

x + 2y ≤ 11

x ≥ 0

y ≥ 0แลวจงหาวา P มคามากทสดเปนเทาไร

วธท า

เขยนกราฟของระบบอสมการขอจ ากด

จะไดจดยอดมมของรปสเหลยมคอ (0,0) , (0,5.5) , (3,4) และ (5,0)

น าจดยอดมมแทนคาในจดประสงค ดงตารางตอไปน

จดยอดมม ( x , y ) P = 30x + 50y

( 0 , 0 ) P = 30(0) + 50 (0) = 0

( 0 , 5.5 ) P = 30(0) + 50 (5.5) = 275

( 3 , 4 ) P = 30(3) + 50 (4) = 290

( 5 , 0 ) P = 30(5) + 50 (0) = 150

ดงนน จากตาราง จะพบวา

คามากทสดของ P คอ 290 เมอ x = 3 และ y = 4

ตวอยาง บรษทผลตผาเชดตวแหงหนง ไดผลตผาเชดตวออกจ าหนาย ออกจ าหนายแบบ A และแบบ B แบบ A ใชเวลาตดผนละ 5 นาท และใชเวลาเยบผนละ 10 นาท แบบ B ใชเวลาตดผนละ 8 นาท และใชเวลาเยบผนละ 8 นาท โดยบรษทมเวลาส าหรบการตด 3 ชวโมง 20 นาท และเวลาส าหรบการเยบ 4 ชวโมง ถาบรษทไดก าไรจากการขายผาเชดตวแบบ A ผนละ 50 บาท และ แบบ B ผนละ 60 บาท บรษทควรจะผลตผาเชดตวทงสองแบบนอยางละเทาไรจงจะไดก าไรสงสด

วธท า ให x แทน ปรมาณของผาเชดตวแบบ A ทผลตได(ผน)

y แทน ปรมาณของผาเชดตวแบบ B ทผลตได(ผน)

P แทน ก าไร

จะไดสมการจดประสงคและอสมการขอจ ากดดงน

P = 50x + 60y

5x + 8y 200

10x + 8y 240

x 0

y 0

เขยนกราฟของอสมการขอจ ากด

จดยอดมมทไดจากอสมการขอจ ากด คอ (0,0) , (0,25) ,

(24,0) , (8,20) แทนคาพกดของมมดงกลาวในสมการจดประสงค

P = 50x + 60y

จดยอดมม ( x , y ) P = 50x + 60y

( 0 , 0 ) P = 50(0) + 60 (0) = 0

( 0 , 25 ) P = 50(0) + 60 (25) = 1,500

( 24 , 0 ) P = 50(24) + 60 (0) = 1,200

( 8 , 20 ) P = 50(8) + 60 (20) = 1,600

ดงนน บรษทจะไดรบก าไรสงสด 1,600 บาท

เมอผลตผาเชดตวแบบ A จ านวน 8 ผน และผลตผาเชดตวแบบ B จ านวน 20 ผน

ขอขอบคณภาพจาก Internet