บทท่ี 2 สมการกําลังสองตัวแปรเดียว

นักเรียนเคยทราบมาแลววาพหุนาม เชน 4x2 , x

2 , x

2 – 5 , 3x

2 + x และ x

2 - 4x + 1 เปนพหุนาม

ดีกรีสองที่มีตัวแปรเดียว คือ x พหุนามดังกลาวมีรูปทั่วไปเปน ax2 + bx + c เม่ือ a, b และ c เปนคาคง

ตัว โดยที่ a ≠ 0 เราจะไดเห็นการนาํพหุนามดังกลาวมาใชในสมการกําลังสองตัวแปรเดียว

ตัวอยางของสมการกําลังสองตัวแปรเดียว

1. 24 0x =

2. 2 3 0x − =

3. 22 4 0x x+ =

4. 23 3 1 0x x− + =

5. 2 2 0

6yy − − = เปนตน

แนะนําสมการกําลังสองตัวแปรเดียว

ในบางครัง้ เราอาจพบสมการกําลังสองตัวแปรเดียวที่ไมไดเขียนอยูในรูปทั่วไป แตเราสามารถ

เขียนสมการเหลานั้นในรูปทั่วไปได ดังตัวอยางตอไปนี ้

1. 3 5 3x x− =

2. ( )2 2 3 5y y − = −

3. 2 24 2 2 4 6a a a a− = − + −

สมการกําลังสองตวัแปรเดียว มีรูปทั่วไปเปน ax2 + bx + c = 0 เม่ือ x เปนตัวแปร

a, b และ c เปนคาคงตัว โดยที่ a ≠ 0

ตัวอยาง จงเขียนสมการกําลังสองตอไปนี้ใหอยูในรูปทั่วไป 2 0ax bx c+ + = เม่ือ x เปนตัวแปร

a , b และ c เปนคาคงตัว โดยที่ 0a ≠ พรอมทั้งบอกคา a , b และ c ในแตละสมการ

1. 32 5 3x x+ = − 2. 2 3a a= −

3. ( )21 2x − = 4.

23 3 3 5n n n− − + =

5. ( )4 2 3 5 2x x x− + − = 6.

2 23 2 4 5 4 6a a a a− + = − − +

สมการกําลังสองตวัแปรเดียว มีรูปทั่วไปเปน ax2 + bx + c = 0 เม่ือ x เปนตัวแปร

a, b และ c เปนคาคงตัว โดยที่ a ≠ 0

คําตอบของสมการ คือ จํานวนจรงิที่แทนตัวแปรในสมการแลวทําใหไดสมการที่เปนจรงิ

ใหนักเรียนพิจารณาการหาคําตอบของสมการกําลังสองตัวแปรเดียว โดยวิธีลองแทนคาตัวแปรใน

สมการ ดังตัวอยางตอไปนี้

การแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียวโดยการแทนคา

ตัวอยางท่ี 1 2 4 0x x− =

วิธีทํา เม่ือแทน x ดวย 0 ในสมการ 2 4 0x x− =

จะได ( ) ( )20 4 0 0− =

0 0= ซึ่งเปนสมการท่ีเปนจริง

ดังน้ัน 0 เปนคําตอบของสมการ 2 4 0x x− =

และเม่ือแทน x ดวย 4 ในสมการ 2 4 0x x− =

จะได ( ) ( )24 4 4 0− =

0 0= ซึ่งเปนสมการท่ีเปนจริง

ดังน้ัน 4 เปนคําตอบของสมการ 2 4 0x x− = และเม่ือแทน x ดวย

จํานวนจริงอ่ืนๆท่ีไมใช 0 และ 4 ในสมการ 2 4 0x x− = แลวจะไดสมการท่ีไมเปนจริง

ดังน้ัน คําตอบของสมการ 2 4 0x x− = มี 2 คําตอบ คือ 0 และ 4

ตัวอยางที่ 2 2 4 4 0y y− + =

วิธีทํา เม่ือแทน x ดวย 2 ในสมการ 2 4 4 0y y− + =

จะได ( )22 4 2 4 0− + =

0 0= ซ่ึงเปนสมการที่เปนจริง

ดังนั้น 2 เปนคําตอบของสมการ 2 4 4 0y y− + =

และเม่ือแทน y ดวยจํานวนจริงอืน่ๆทีไ่มใช 2 ในสมการ 2 4 4 0y y− + = แลวจะได

สมการที่ไมเปนจริง

ดังนั้น คําตอบของสมการ 2 4 4 0y y− + = มี 1 คําตอบ คือ 2

ตัวอยางที่ 3 2 7 0x + =

วิธีทํา จากสมการ 2 7 0x + =

จะได 2 7x = −

เนื่องจาก จาํนวนจริงใดๆ ยกกําลังสองแลว จะตองเปนจํานวนจริงบวก หรือศูนย

ดังนั้น ไมมีจํานวนจริงใดยกกาํลังสองแลว ไดผลลพัธเปน -7

นั่นคือ ไมมีจํานวนจริงใดเปนคําตอบของสมการ 2 7 0x + =

จากตัวอยางท้ังสามขางตน แสดงใหเห็นวา สมการกําลังสองตัวแปร

เดียวอาจมี 2 คําตอบ หรือ 1 คําตอบ หรืออาจไมมีจํานวนจริงใดเปน

คําตอบก็ได ในทางคณิตศาสตร สมการกําลังสองตัวแปรเดียวมีคําตอบได

ไมเกิน 2 คําตอบ

การแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียว มีรูปทั่วไปเปน ax2 + bx + c = 0 เม่ือ x เปนตัวแปร

a, b และ c เปนคาคงตัว โดยที่ a ≠ 0 ดวยวิธีลองแทนคานั้น ในทางปฏบิัติ อาจทําไมได หรืออาจไมสะดวก

และตองใชเวลามาก

ในกรณีที่เราสามารถแยกตัวประกอบของ ax2 + bx + c ใหอยูในรูปการคณูกันของพหุนามดีกรีหนึ่ง

2 พหุนาม และเนื่องจากในที่นี้พหนุามแทนจํานวน เราจงึใชสมบัติของจํานวนจริงที่วา ถา m และ n เปน

จํานวนจริง และ mn=0 แลว m=0 หรือ n=0 มาใชในการแกสมการดวย ก็จะทําใหแกสมการกําลังสองตัว

แปรเดียวไดสะดวกขึ้น

การแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียวโดยการแยกตัวประกอบ

การแกสมการกําลังสอง โดยการดึงตวัรวม

ตัวอยางที่ 1 จงแกสมการ 2 5x x=

วิธีทํา 2 5x x=

ตัวอยางที่ 2 จงแกสมการ ( )22 5x x x− =

วิธีทํา ( )22 5x x x− =

การแกสมการกําลังสอง โดยใชสูตรผลตางกําลังสอง

ตัวอยางที่ 3 จงแกสมการ 24 9 0x − =

วิธีทํา 24 9 0x − =

ตัวอยางที่ 4 จงแกสมการ ( ) ( )2 23 2 1x x+ = −

วิธีทํา ( ) ( )2 23 2 1x x+ = −

ตัวอยางที่ 5 จงแกสมการ ( )22 60x − =

วิธีทํา ( )22 60x − =

การแกสมการกําลังสอง โดยใชสูตรกําลังสองสมบูรณ

ตัวอยางที่ 6 จงแกสมการ 2 4 4 0x x− + =

วิธีทํา 2 4 4 0x x− + =

ตัวอยางที่ 7 จงแกสมการ 24 8 4 0x x− + =

วิธีทํา 24 8 4 0x x− + =

การแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียว มีรูปทั่วไปเปน ax2 + bx + c = 0 เม่ือ x เปนตัวแปร a,

b และ c เปนคาคงตัว โดยที่ a ≠ 0 โดยการแยกตัวประกอบพหุนามใหอยูในรูปการคูณกันของพหุนามดีกรี

หนึ่งสองพหุนาม

ตัวอยางที ่8 จงแกสมการ 2 5 6 0x x+ + =

วิธีทํา 2 5 6 0x x+ + =

ตัวอยางที ่9 จงแกสมการ 22 5 3 0x x− − =

วิธีทํา 22 5 3 0x x− − =

ตัวอยางที ่10 จงแกสมการ 24 25 15x x+ =

วิธีทํา 24 25 15x x+ =

ตัวอยางที ่11 จงแกสมการ 20.25 0.5 0x x− =

วิธีทํา 20.25 0.5 0x x− =

ตัวอยางที่ 12 จงแกสมการ 20.5 0.5 0z z− + − =

วิธีทํา 20.5 0.5 0z z− + − =

ตัวอยางที่ 13 จงแกสมการ 2 7 32 0

2 2x x− + − =

วิธีทํา 2 7 32 0

2 2x x− + − =

การแกสมการกําลังสองตัวแปรเดยีว มีรูปทั่วไปเปน ax2 + bx + c = 0 เม่ือ x เปนตวั

แปร a, b และ c เปนคาคงตัว โดยที่ a ≠ 0 มีการหาคําตอบของสมการโดยใชสูตร ดังนี้

การแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียวโดยใชสูตร

𝒙 = −𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝟒𝟒

𝟐𝟒

ซ่ึง 1. ถา 𝑏2 − 4𝑎𝑎 > 0 สมการจะมี 2 คําตอบ

2. ถา 𝑏2 − 4𝑎𝑎 = 0 สมการจะมี 1 คําตอบ

3. ถา 𝑏2 − 4𝑎𝑎 < 0 สมการจะไมมีจํานวนจริงใดเปนคําตอบของสมการ

ตัวอยางที่1 จงพิจารณาสมการกําลังสองตอไปนี้วามีคําตอบหรือไม ถามี มีก่ีคําตอบ

1. 22 8 3 0− + =x x

2. 25 2 1= −x x

3. 21 5

2+ =x x

4. 24 68 289 0+ + =x x

5. 216 8 1 0− + =x x

6. ( )25 1 25+ =x

ตัวอยางที ่2 จงหาคา k ที่ทําใหสมการ 29 4 0+ + =x kx นี้มีคําตอบเพียงคําตอบเดียว

วิธีทํา 29 4 0+ + =x kx

ตัวอยางที่ 3 จงหาคา k ที่ทําใหสมการ ( )2 6 8 0+ + + =x k x k นี้มีคําตอบเพียงคําตอบเดียว

วิธีทํา ( )2 6 8 0+ + + =x k x k

ตัวอยางที ่4 จงแกสมการ 2 4 1 0+ − =x x โดยใชสูตร

วิธีทํา 2 4 1 0+ − =x x

ตัวอยางที ่5 จงแกสมการ 23 7 1 0+ − =x x โดยใชสูตร

วิธีทํา 23 7 1 0+ − =x x

ตัวอยางที ่1 จงแกสมการ 2 4 13 0x x+ + =

วิธีทํา 2 4 13 0x x+ + =

ตัวอยางที ่2 จงแกสมการ 216 24 9 0+ + =x x

วิธีทํา 216 24 9 0+ + =x x

ตัวอยางที ่3 จงแกสมการ 22 3 14x x= +

วิธีทํา 22 3 14x x= +

ตัวอยางที ่4 จงแกสมการ 24 3 8 9− = +x x

วิธีทํา 24 3 8 9− = +x x

ตัวอยางที ่5 จงแกสมการ ( ) ( )2 3 4 10− = −x x x

วิธีทํา ( ) ( )2 3 4 10− = −x x x

ตัวอยางที ่6 จงแกสมการ ( )21 1162 55 5

x x− = −

วิธีทํา ( )21 1162 55 5

x x− = −

ตัวอยางที ่7 จากสมการ 22 7 4 0x x− + = จงหาผลบวกและผลคูณของคําตอบของสมการ

วิธีทํา 22 7 4 0x x− + =

การแกสมการกําลังสองตัวแปรเดยีว มีรูปทั่วไปเปน ax2 + bx + c = 0 เม่ือ x เปนตวั

แปร a, b และ c เปนคาคงตัว โดยที่ a ≠ 0 มีการหาคําตอบของสมการโดยใชสูตร ดังนี้

𝒙 = −𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝟒𝟒

𝟐𝟒

ซ่ึง 1. ถา 𝑏2 − 4𝑎𝑎 > 0 สมการจะมี 2 คําตอบ

2. ถา 𝑏2 − 4𝑎𝑎 = 0 สมการจะมี 1 คําตอบ

3. ถา 𝑏2 − 4𝑎𝑎 < 0 สมการจะไมมีจํานวนจริงใดเปนคําตอบของสมการ

สรุป การแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียวโดยใชสูตร

การแกโจทยปญหาเก่ียวกับสมการกําลังสองตวัแปรเดียว เริ่มจาก

1. อานและวิเคราะหโจทย

2. กําหนดตัวแปร

3. วิเคราะหเงื่อนไขในโจทยและเขียนสมการ

4. แกสมการ

5. ตรวจสอบคําตอบของสมการตามเงื่อนไขในโจทย

6. แสดงคําตอบ

การแกโจทยฺปญหาสมการกําลังสองตัวแปรเดียว

ตัวอยางที่ 1 ใหผลคูณของจํานวนคูจํานวนหนึ่งกับจํานวนคูอีกจํานวนหนึ่งที่อยูถัดไปเปน 168 จงหาจํานวน

คูทั้งสองจํานวนนัน้

วิธีทํา

ตัวอยางที่ 2 ถาผลบวกของจํานวนสองจํานวนเปน 20 และผลบวกของกําลังสองของแตละจํานวนเปน

272 จงหาจํานวนทั้งสอง

วิธีทํา

ตัวอยางที่ 3 ถาผลคูณของจํานวนคูสองจํานวนที่เรียงติดกันเทากับ 440 จงหาจํานวนคูทั้งสองนัน้

วิธีทํา

ตัวอยางที่ 4 รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปหนึง่เม่ือเพ่ิมความยาวของดาน ดานละ 4 ซม. รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหมและ

รูปเดิมจะมีพ้ืนที่รวมกันเทากับ 346 ตร.ซม. จงหาความยาวดานของรูปเดมิ

วิธีทํา

ตัวอยางที่ 5 สี่เหลี่ยมผืนผารูปหนึง่ ดานยาวยาวกวาดานกวาง 3 เซนติเมตร สี่เหลี่ยมผืนผารูปนี้มีพ้ืนที่ 40

ตารางเซนติเมตร จงหาวา ดานยาวของสี่เหลี่ยมผืนผารปูนี้ยาวก่ีเซนติเมตร วิธีทํา

ตัวอยางที่ 6 กําหนดสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีดานตรงขามมุมฉากยาว 2 3x − หนวย ดานประกอบมุม

ฉากยาว x และ 3x + จงหาพ้ืนที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปนี้

วิธีทํา

การแกโจทยปญหาเก่ียวกับสมการกําลังสองตวัแปรเดียว เริ่มจาก

1. อานและวิเคราะหโจทย

2. กําหนดตัวแปร

3. วิเคราะหเงื่อนไขในโจทยและเขียนสมการ

4. แกสมการ

5. ตรวจสอบคําตอบของสมการตามเงื่อนไขในโจทย

6. แสดงคําตอบ

สรุป การแกโจทยฺปญหาสมการกําลังสองตัวแปรเดียว