Upload
others
View
5
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
บทท 5
การสนสะเทอนแบบบงคบจากแรงรปแบบตางๆ
1. บทนา
ในบทท 4 ไดกลาวถงการสนสะเทอนแบบบงคบ ซงเกดจากพลงงานภายนอกแบบฮารโมนก ซง
เปนรปแบบอยางงาย และเปนพนฐานของการพจารณาการสนสะเทอนโดยพลงงานภายนอกรปแบบอนๆ
ในบทนจะไดกลาวถงวธการพจารณาการสนสะเทอนแบบบงคบ ซงเกดจากพลงงานภายนอกรปแบบอนๆ
โดยจะแบงเปน 3 สวนใหญๆ เรมจาก Part A ซงกลาวถงการสนสะเทอนจากพลงงานเปนคาบรปแบบใดๆ
หลงจากนน ใน Part B จงจะกลาวถงการสนแบบบงคบจากการกระแทก หรอพลซ (Pulse) ซงผลเฉลยทได
จากการกระแทกน ยงเปนพนฐานของการพจารณาการสนเนองจากพลงงานกระตนรปแบบใดๆ ซงไมม
ความสมพนธเปนคาบ ใน Part C ซงจะกลาวถงเปนลาดบสดทายของบทน
Part A การสนสะเทอนจากพลงงานเปนคาบรปแบบใดๆ
2. ลกษณะการกระตนและแนวคดในการวเคราะหปญหา
เครองจกรกลแทบทกชนด ไมวาจะเปนเครองยนต มอเตอร พดลม ป ม หรอชนสวนกลในเครองจกร
เชน เฟอง โซ สายพาน ตลบลกปน จะมการทางานเปนคาบ ดงนนพลงงานกระตนททาใหเกดการ
สนสะเทอนในเครองจกรกลหรอชนสวนเหลานจงมลกษณะเปนคาบดวย ตวอยางการกระตนทเปนคาบแสดง
ดงรปท 5-1
รปท 5-1 ตวอยางการกระตนทมลกษณะเปนคาบ
หากกาหนดใหคาบของการกระตนเหลานมคาเทากบ T จะสามารถเขยนความสมพนธของฟงกชน
ของการกระตนไดดงสมการ
)()( TtFtF += (5-1)
เนองจากฟงกชนทเปนคาบรปแบบใดๆ กตาม จะสามารถเขยนใหอยในรปอนกรมอนนตของผลรวม
ของฟงกชนไซน และโคไซน ทมความถเปนจานวนเทาของความถทมากระตน (1/T) ไดตามหลกการของ
อนกรมฟเรยร (Furier series) ดงแสดงในแผนภาพรปท 5-2 และสมการ
++++
++++=
)3sin()2sin()sin(
)3cos()2cos()cos(2
)(
030201
0302010
tbtbtb
tatataa
tF
ωωω
ωωω
หรอ ∑∞
=
++=1
000 )sincos(
2)(
nnn tnbtna
atF ωω (5-2)
โดย Tπω 2
0 = คอความถการกระตนของฟงกชนคาบรปแบบใดๆ
รปท 5-2 ความสมพนธของฟงกชนทเปนคาบกบผลรวมฟงกชนไซนซอยดตามการแปลงอนกรมฟเรยร
คาคงท 0a ในสมการ (5-2) สามารถหาไดโดยคณคา dt และอนทเกรตทงสองขางของสมการ (5-2)
ตงแต 0 ถงคาบ T เทอมทมพจนของไซน และโคไซน เมออนทเกรตครบหนงคาบจะมคาเปนศนยทงหมด
เหลออยแตเพยงพจนของ 0a โดยจะหาคา 0a ไดจากสมการ
∫=T
dttFT
a0
0 )(2
คาคงท na และ nb กสามารถหาไดทานองเดยวกบ 0a โดยการคณคา dttm )cos( 0ω หรอ
dttm )sin( 0ω ในสมการ (5-2) และอนทเกรตทงสองขางของสมการตงแต 0 ถง T การอนทเกรตเทอมทม
Periodic excitationFourier series
Sum of harmonic excitationsF(t)
พจน dttma )cos( 00 ω หรอ dttma )sin( 00 ω และเทอม dttmtnan )sin()cos( 00 ωω หรอ
dttmtnbn )cos()sin( 00 ωω ครบหนงคาบจะไดคาเปนศนยทงหมด แตสาหรบการอนทเกรตเทอม
dttmtnan )cos()cos( 00 ωω หรอ dttmtnbn )sin()sin( 00 ωω แลว คาทไดจะเทากบศนยหากคา m ไม
เทากบ n แตการอนทเกรตจะมคาเมอ m เทากบ n ดงนนดวยวธนจะเหลอเพยงเทอมทมคา m เทากบ n
ซงเปนสมประสทธของ na และ nb เทานน เมอจดรปสมการจะทาใหหาคา na และ nb ไดดงสมการ
∫=T
n dttntFT
a0
0 )cos()(2 ω และ ∫=T
n dttntFT
b0
0 )sin()(2 ω
จากพนฐานของอนกรมฟเรยรขางตน ปญหาการสนสะเทอนจากการกระตนทเปนคาบซงมสมการ
การเคลอนท
)(tFkxxcxm =++ (5-3)
จงสามารถเขยนแทนไดดวยสมการ
∑∞
=
++=++1
000 )sincos(
2 nnn tnbtna
akxxcxm ωω (5-4)
เนองจากในสมการท (5-4) แรงกระตนดานขวามอของสมการแตละเทอม เปนคาคงท หรออยในรป
ของฮารโมนคฟงกชน ซงการสนสะเทอนโดยแรงกระตนแตละเทอมสามารถหาผลเฉลยไดทงหมด หากให
x1, x2, x3, … เปนผลเฉลยการสนสะเทอนเนองจากแรงกระตนทางดานขวาแตละเทอม จะสามารถหาผล
เฉลยการสนสะเทอนเนองจากฟงกชนทเปนคาบ F(t) ในสมการท (5-3) ไดดวยหลกการ superposition โดย
หากให x(t) เปนผลเฉลยของสมการ (5-3) หรอ (5-4) จะไดวา
+++= 321)( xxxtx (5-5)
Note
1. การจะใชหลกการ superposition ได สมการการเคลอนทตองเปนสมการเชงเสน (Linear equation)
หากไมใชสมการเชงเสน ตองประมาณใหเปนสมการเชงเสนเสยกอน
2. เนองจากฟงกชน F(t) จะเขยนใหอยในรปอนกรมอนนตไดตามหลกการของอนกรมฟเรยร ดงนน
ผลเฉลยในสมการ (5-5) จะถกตอง กตอเมอรวมคา x ตางๆ ไปจนถงพจนทอนนต อยางไรกตามใน
การคานวณจรงๆ ไมสามารถทาได จงอาจจะประมาณคาการสนสะเทอน x โดยใชพจนแรกๆ ของ
xn ได ตามสมการ
nxxxxtx ++++≈ 321)(
3. โดเมนความถและการหาผลเฉลย
หลกการของการเขยนฟงกชนทเปนคาบใหอยในรปของผลรวมของอนกรมฟเรยร ทาใหสามารถ
เปลยนรปแบบการแสดงผลของฟงกชนจากโดเมนเวลาใหอยในรปของโดเมนความถได ดงแสดงในรปท 5-3
ดานลางซายมอในรปท 5-3 แสดงฟงกชนคลนรปสเหลยมโดยแกนนอนเปนแกนเวลา เรยกการแสดงฟงกชน
โดยแกนนอนเปนแกนเวลานวา การแสดงผลในโดเมนเวลา สาหรบฟงกชนคลนรปสเหลยมนสามารถเขยน
ในรปผลรวมของฟงกชนไซนและโคไซน ทความถเปนจานวนเทาของความถฟงกชนคลนรปสเหลยม 0ω
ตามหลกการของอนกรมฟเรยรได และผลรวมของฟงกชนไซนและโคไซนทความถใดๆ นน ยงสามารถ
เขยนใหอยในรปของฟงกชนโคไซน (หรอไซน) ทมมเฟสตางๆ กนไดดงสมการ
)cos()sin()cos( 000 nnnn tnCtnbtna φωωω −=+
โดย 22nnn baC += และ )arctan( nnn ab=φ
หากนาคา nC และมมเฟส nφ ทความถตางๆ ในอนกรมฟเรยรมาเขยนกราฟโดยใหแกนนอนแสดง
ความถ ดงแสดงทางดานขวาของรปท 5-3 แลว จะทาใหสามารถแสดงขอมลของกราฟรปสเหลยมไดในอก
รปแบบหนง การแสดงขอมลในรปแบบทแกนนอนแสดงความถนนเรยกวา การแสดงผลในโดเมนความถ ซง
สามารถแปลความหมายไดวา กราฟรปสเหลยมในโดเมนเวลา ประกอบขนจากฟงกชนโคไซนทมขนาด C1
และมมเฟส 1φ รวมกบฟงกชนโคไซนทมขนาด C2 และมมเฟส 2φ และรวมกบฟงกชนโคไซนทมขนาด C
และมมเฟส φ ไปเรอยๆ ดงแสดงในรป
รปท 5-3 การแสดงคาของฟงกชนในรปโดเมนเวลาและโดเมนความถ
Time domain Frequency domain
Amplitude and phase must be collected
Note
1. เราอาจแสดงขอมลของฟงกชนทเปนคาบในรปของโดเมนเวลา หรอโดเมนความถซงประกอบดวย
ขอมลทงขนาดและมมเฟสกได โดยการแสดงทงในโดเมนเวลาและโดเมนความถจะใหขอมล
เชนเดยวกน
2. การแสดงผลของขอมลในโดเมนความถ อาจเรยกชออกอยางวา สเปกตรมของขอมลนน
การหาผลเฉลยของการสนสะเทอนโดยการกระตนทเปนคาบ สามารถทาไดโดยใหหลกการของการ
ตอบสนองเชงความถ (Frequency response) ดงทไดอธบายมาในบทท 4 และแสดงสรปในรปท 5-4 (a)
จากรปจะเหนวาหากทราบการตอบสนองเชงความถ Η(jω) เมอกาหนดการกระตนทางดานซายมอ จะ
สามารถคานวณหาคาผลเฉลยซงแสดงทางดานขวามอไดโดยงาย ในกรณของการกระตนตามรปแบบของ
สมการท (5-4) จะสามารถหาผลเฉลยไดดงแสดงในรปท 5-4 (b)
(a)
(b)
รปท 5-4 ผลตอบสนองเชงความถ
รปท 5-5 แสดงตวอยางของการหาผลเฉลยของระบบเชงเสนทถกกระตนดวยแรงทมลกษณะเปน
คลนรปสเหลยม โดยแรงกระตนนสามารถเขยนใหอยในโดเมนความถ โดยแยกเปนสเปกตรมของขนาดแรง
และสเปกตรมของมมเฟสของแรง สาหรบการตอบสนองเชงความถ Η(jω) สามารถแยกออกเปนการ
ตอบสนองเชงความถของขนาด และของมมเฟสเชนกน โดยผลเฉลยในโดเมนความถของขนาดการ
สนสะเทอน x(ω) สามารถหาไดโดยคณขนาดของแรงกระตนกบการตอบสนองเชงความถของขนาด ท
ความถเดยวกบความถแรงกระตนนน สวนมมเฟสของผลเฉลยสามารถหาไดทานองเดยวกน โดยบวกมม
เฟสของแรงกระตนกบผลการตอบสนองเชงความถของมมเฟสทความถนน ขอมลของขนาดและเฟสของการ
tjeF ω0
)(0 )( θ+ωω tjejHF
)cos(0 tF ω )cos()(0 θ+ωω tjHF
)sin(0 tF ω )sin()(0 θ+ωω tjHF
)( ωjH
)( ωjH
20a
)cos( 0tnan ω
)sin( 0tnbn ω
)(tF
)0()2( 0 Ha
)cos()( 00 nn tnjnHa θωω +
)sin()( 00 nn tnjnHb θωω +
)(txpFourier series
Superposition
สนสะเทอนในโดเมนความถสามารถเปลยนใหอยในรปของโดเมนเวลา ดงแสดงดวยกราฟของ xp(t) ทาง
ดานบนขวาของรป
รปท 5-5 การหาผลเฉลยของระบบทถกระตนดวยแรงทเปนคาบโดยวธการตอบสนองเชงความถ
ตวอยางท 5-1
A square wave force F(t) is applied to a 1-kg mass with k = 4 N/m. Determine steady-state
response of the mass
สมการการเคลอนท (EOM) ของระบบในรป สามารถเขยนไดดงน : )(tFkxxm =+
เมอแทนคามวลและคาความแขงเกรงของสปรง จะได : )(4 tFxx =+
จากสมการจะไดคาความถธรรมชาต 2/ == mknω rad/s
H
km
F(t)
x
2π 4π
F(t)
t
A
-A
สาหรบแรงกระตนสามารถเขยนในรปฟงกชนไดเปน
2/0;)( TtAtF <≤=
และ TtTAtF <≤−= 2/;)(
จากรปจะได π2=T และ 1222
0 ===πππω
T rad/s
เมอสามารถเขยน )(tF ในรปฟงกชนไดแลว จะสามารถปรบใหอยในรปของอนกรมฟเรยรไดดงน
∑∞
=
++=1
000 )sincos(
2)(
nnn tnbtna
atF ωω
สามารถหาคาคงทตางๆ ไดจาก
022)(2 2
000 =
−+== ∫∫∫
π
π
π
πAdtAdtdttF
Ta
T
0)cos()cos(22)cos()(2 2
000 =
−+== ∫∫∫
π
π
π
πω dtntAdtntAdttntF
Ta
T
n
)cos1(2)sin()sin(22)sin()(2 2
000 π
ππω
π
π
π
nn
AdtntAdtntAdttntFT
bT
n −=
−+== ∫∫∫
ดงนนจะได
+++= tttAtF 5sin
513sin
31sin4)(
π
แทนคาฟงกชน )(tF ลงใน EOM จะได
+++=+ tttAxx 5sin
513sin
31sin44
π
Review
การหาผลเฉลยการสนสะเทอนดวยวธการ Frequency response
EOM: tFkxxm ωsin0=+
The steady-state response:
โดย:
)sin()()( 0 θωω +⋅= tFHtx p
22
1)(ωω
ω−
=n
H
nωωθ <= when,0
nωωπθ >−= when,
จากผลเฉลยทแสดงขางตน จะสามารถหาคาตอบของสมการ EOM ไดดงน
++++++= )5sin()5(
51)3sin()3(
31)sin()1(4
531 θθθπ
tHtHtHAx p
โดยคา )(ωH และ nθ หาไดจากตารางดานลาง
ANS
Part B การสนสะเทอนจากการกระแทกหรอพลซ
4. ฟงกชนอมพลซ (Impulse function)
การกระแทกเปนการใหแรงในชวงเวลาสนๆ เชนการเคาะของคอนทระบบการสนสะเทอนระบบหนง
ดงแสดงตวอยางในรปท 5-6(a) หากเขยนกราฟของแรงกระทาระหวางแรงกบเวลา จะไดกราฟดงแสดงใน
รปท 5-6(b) โดยชวงเวลาทแรงกระทาจะเปนเพยงชวงสนๆ สวนขนาดแรงทกระทามกจะมคามาก ในทาง
คณตศาสตรไดจาลองแรงเนองจากการกระแทกในรป 5-6(b) ใหเปนดงรปท 5-6(c) โดยแรงกระแทกจะ
กระทาทเวลาตงแต ετ − จนถงเวลา ετ + โดยขนาดของแรงกระทาในชวงเวลานมคาคงทเทากบ ε2F
(Daniel J. Inman, Engineering Vibration, 2nd edition)
(a) (b) (c)
รปท 5-6 การกระแทกและการจาลองการกระแทกทางคณตศาสตร
จากรปท 5-6(c) จะเขยนความสมพนธของฟงกชนแรง F(t) ไดดงน
0 ετ −≤t
=)(tF ε2
F ετετ +<<− t (5-6)
0 ετ +≥t
โดย ε เปนคาบวกทมขนาดเลก จากนยามของ F(t) ขางตน สามารถนา F(t) มาอนทเกรตเพอหาการดล
หรออมพลซ (Impulse, I) ของแรงไดดงสมการ
∫+
−
=ετ
ετ
ε dttFI )()(
อยางไรกตามเนองจาก F(t) ในชวงอนๆ มคาเปนศนยทงหมด ดงนนจงสามารถเขยนสมการการอนทเกรต
ใหครอบคลมชวงทกวางขนไดดงน
∫+∞
∞−
= dttFI )()(ε (5-7)
ผลของการอนทเกรตสมการ (5-7) จะไดพนทใตกราฟในรปท 5-6(c) และสามารถเขยนเปนสมการไดดงน
FFdttFI ˆ22
ˆ)()( =⋅== ∫
+∞
∞−
εε
ε (5-8)
เมอชวงเวลาทแรงกระทาสนมากๆ ( 0→ε ) อาจจะนยามฟงกชนอมพลซ F(t) ไดตามสมการ
0)( =−τtF เมอ τ≠t (5-9)
และ FdttF ˆ)( =−∫+∞
∞−
τ (5-10)
ในกรณท 1ˆ =F ฟงกชนอมพลซ F(t) จะถกเรยกวา ฟงกชนอมพลซหนงหนวย (Unit implulse function)
หรอ Dirac delta function ซงใชสญลกษณ )(tδ และมหนวยเปน N ไดตามสมการ
0)( =−τδ t เมอ τ≠t (5-11)
และ 1)( =−∫+∞
∞−
dtt τδ (5-12)
5. การสนสะเทอนจากการกระตนโดยอมพลซ
กอนทจะพจารณาถงลกษณะการสนสะเทอนจากการดล หรออมพลซ ในเบองตนจะอธบายกอนวา
การกระแทกนนทาใหวตถเกดการเปลยนแปลงการเคลอนทไดอยางไร เมอพจารณาถงสมการการเคลอนท
ของนวตน ในกรณทวตถเคลอนทเปนเสนตรง จาก maF = จะได
∫∫ = dtmaFdt )(
หรอ vmvvmI ∆=−= )( 12 (5-13)
จะเหนวาการดลทาใหความเรวของการเคลอนทเปลยนแปลงไป รปท 5-7 แสดงวตถทในตอนแรก
หยดนง เมอไดรบการกระแทกทเวลา t = 0 จะมการเปลยนแปลงโมเมนตม โดยความเรวเปลยนไปเปน 0v
และจะไดวา 00 )0( mvvmI =−= หรอ mF
mIv
ˆ0 == โดยการขจดไมมการเปลยนแปลงในชวงเวลาน
รปท 5-7 ผลของการกระแทก (อมพลซ) ตอลกษณะการเคลอนทของวตถ
impact
สาหรบในระบบการสนสะเทอน ดงเชนในตวอยางรปท 5-6(a) นน หากสมมตใหวตถไดรบแรงททา
ใหเกดอมพลซหนงหนวย ทเวลา t = 0 จะสามารถเขยนสมการการเคลอนทไดดงน
)(tkxxcxm δ=++ (5-14)
เนองจากวตถหยดเรมเคลอนทจากหยดนง จงมเงอนไขคาเรมตนดงน
0)0(,0)0(,0 === xxt (5-15)
อยางไรกตามเมอพจารณาเวลาทผานไปเพยงเลกนอย ( += 0t ) หลงจากทแรงจากอมพลซหนง
หนวยกระทาแลว ระบบนจะไมมแรงกระทาอกตอไป โดยผลของแรงทาใหวตถเรมเคลอนทโดยมความเรว
เทากบ mm
FmIv 1ˆ
0 === แตยงถอวายงไมมการเปลยนแปลงการขจด ในกรณนจะสามารถเขยนสมการ
การเคลอนทและเงอนไขคาเรมตนไดดงน
0=++ kxxcxm (5-16)
mxxt 1)0(,0)0(,0 === + (5-17)
จากการพจารณาขางตนจงสรปไดวา การสนสะเทอนจากแรงททาใหเกดอมพลซหนงหนวย มคา
เทากบการสนสะเทอนอยางอสระ ซงมความเรวเรมตนเทากบ mx 1)0( = ดงนนการหาผลเฉลยทแสดงถง
ลกษณะการสนสะเทอน จงสามารถทาไดดวยวธการเชนเดยวกบการหาผลเฉลยของการสนสะเทอนอยาง
อสระ
จากสมการท (5-16) และ (5-17) ในกรณทระบบเปนแบบ Underdamp จะสามารถหาผลเฉลยของ
การสนสะเทอนอยางอสระไดดงสมการ
tem
txth dt
d
n ωω
ζω sin1)()( −== (5-18)
กราฟแสดงการสนตามสมการท (5-18) แสดงในรปท 5-8 ซงจะเหนไดวาเปนเชนเดยวกบลกษณะการ
สนสะเทอนแบบอสระ ทมเง อนไขเรมตนเปนความเรวเพยงอยางเดยวโดยไมมการขจด
รปท 5-8 การสนสะเทอนเนองจากอมพลซทเวลา t = 0
หากการกระแทกเกดทเวลา τ=t การหาผลเฉลยกทาไดทานองเดยวกน โดยกอนการกระแทก
วตถจะไมมการสนสะเทอน สวนหลงการกระแทกวตถจะมการสนเชนเดยวกบทแสดงในสมการ (5-18)
เพยงแตคา t ในสมการจะเปลยนไปเปน τ−t แทน โดยจะสรปเปนสมการไดดงน
0)( =tx เมอ τ≤< t0 (5-19)
)(sin1)()( )( τωω
τ τζω −=−= −− tem
thtx dt
d
n เมอ τ>t (5-20)
เรยก )(th และ )( τ−th ฟงกชนการตอบสนองตออมพลซ (Impulse response function)
เมอระบบถกกระทาดวยแรงททาใหเกดอมพลซขนาดใดๆ กยงสามารถหาการสนสะเทอนของระบบ
ไดโดยใชวธการเดยวกน โดยในกรณนสมการการเคลอนทคอ
)(ˆ tFkxxcxm δ=++ (5-21)
โดย F คอขนาดของอมพลซ สวนเงอนไขเรมตนในกรณนคอ 0)0(,0)0(,0 === xxt
สมการท (5-21) และเงอนไขเรมตนขางตน สามารถแปลงใหเปนสมการการสนสะเทอนอยางอสระ และ
เงอนไขเรมตนทใชคานวณทานองเดยวกบสมการ (5-16) และ (5-17) ไดดงน
0=++ kxxcxm (5-22)
mFxxt ˆ)0(,0)0(,0 === + (5-23)
สาหรบการสนสะเทอนตามสมการ (5-22) สามารถแสดงไดในรปเดยวกบสมการ (5-18) โดยเปลยนขนาด
จากอมพลซหนงหนวยเปน F ดงน
)(ˆsinˆ
)( thFtem
Ftx dt
d
n ⋅== − ωω
ζω (5-24)
เมอการกระแทกเกดทเวลา τ=t ใดๆ กสามารถหาผลเฉลยไดดงสมการ
0)( =tx เมอ τ≤< t0 (5-25)
)(sinˆ
)(ˆ)( )( τωω
τ τζω −=−⋅= −− tem
FthFtx dt
d
n เมอ τ>t (5-26)
ตวอยางท 5-2
ในระบบมวล-สปรง-ตวหนวง อยางงาย กาหนดให m = 1 kg, c = 0.5 kg/s และ k = 4 N/m
ระบบนถกกระทาดวยแรงกระแทก )(1.0)(2.0)( τδδ −+= tttF
จงหาผลตอบสนองของระบบตอแรงกระแทกน (Example 3.1.1, Daniel J. Inman, Engineering Vibration, Second edition)
จากโจทยจะได
ความถธรรมชาต 214 ==nω rad/s
อตราสวนการหนวง 125.0)212(5.0)2( =××== nmc ωζ
เนองจากระบบนเปนระบบเชงเสน จงสามารถใชหลกการของ superposition ได
ในทนจะพจารณาผลของแรงกระแทกทละตว แลวจงนามารวมกนในภายหลง
สาหรบแรง )(2.0)( ttF δ= จะไดผลการสนสะเทอนตามสมการ (5-26) ดงน
)125.012sin()125.012)(1(
2.0)( 2)2)(125.0(
21 tetx t ⋅−−
= −
)984.1sin(1008.0)( 25.01 tetx t−=
สาหรบแรง )(1.0)( τδ −= ttF จะไดผลการสนสะเทอนตามสมการ (5-26) ดงน
))(125.012sin()125.012)(1(
1.0)( 2))(2)(125.0(
22 ττ −⋅−−
= −− tetx t
))(984.1sin(0504.0)( )(25.02 ττ −= −− tetx t
เมอรวมผลของการสนสะเทอนทงสองสวนเขาดวยกน จะไดสมการทแสดงถงผลเฉลยขอการสนสะเทอนดงน
)()()( 21 txtxtx +=
= )984.1sin(1008.0 25.0 te t− τ<< t0 ))(984.1sin(0504.0)984.1sin(1008.0 )(25.025.0 ττ −+ −−− tete tt τ≥t
กาหนดให Heaviside step function มนยามดงตอไปน
)( τ−Φ t or )( τ−tH = 0 เมอ τ<< t0
= 1 เมอ τ≥t
ดงนนจะสามารถเขยนการสนสะเทอนไดดงน
[ ] )())(984.1sin(0504.0)984.1sin(1008.0)( )(25.025.0 τττ −Φ⋅−+= −−− ttetetx tt ANS
หากให 5.0=τ จะสามารถเขยนกราฟของแรงกระแทกไดดงรปทางดานซายมอ สวนกราฟการสนสะเทอน
แสดงทางดานขวามอ โดยเสนทบแสดงการสนสะเทอน )(1 tx จากแรงทเวลา t = 0 s เพยงแรงเดยว เมอถง
เวลาท t = 0.5 s เนองจากผลของแรงกระแทกอกครงหนง ทาใหการสนสะเทอนเพมขน โดยเสนประแสดง
ผลรวมของการสนสะเทอนจากแรงทงสองครง ( )()( 21 txtx + )
Response
)()()( 21 txtxtx +=
0.5 )()( 1 txtx =
Part B การสนสะเทอนจากการกระตนรปแบบใดๆ
6. Convolution integral และผลการตอบสนองการสนสะเทอน
ในสวนนจะกลาวถงการสนสะเทอนจากการกระตนรปแบบใดๆ ดงแสดงตวอยางในรปท 5-9 สาหรบ
การหาผลการสนสะเทอนเนองจากการกระตนลกษณะน จะตองใชพนฐานความร 3 สวนประกอบกน อน
ไดแก 1) การตอบสนองตอการกระตนแบบอมพลซซงกลาวถงไปแลวในสวนกอนหนา 2) หลกการ
Superposition และ 3) Convolution integral
รปท 5-9 ตวอยางแรงกระตนรปแบบใดๆ
รปท 5-10 แสดงแนวคดในการหาผลเฉลยของแรงกระตนแบบใดๆ และหลกการของ Convolution
integral รปบนสดทางดานซายมอแสดงถงแรงกระตนรปแบบใดๆ โดยแรงกระตนนสามารถพจารณาวาเกด
จากการประกอบกนของฟงกชนพลซขนาดตางๆ เรยงตอๆ กน ดงแสดงในรปดานลางซายมอ โดยเมอ
พจารณาตามลาดบเวลาทแรงกระทาจะพบวา เมอพลซทเวลา t1 กระทากบระบบการสนสะเทอนแลว จะทา
ใหระบบสนตามกราฟ x1 ทางดานขวามอ โดยความสมพนธระหวางแรงกระตนกบการสนสะเทอนเปนไป
ตาม Response function (h(t)) เมอเวลาผานไปเปนเวลา t2 พลซทเวลานกจะทาใหเกดการสนสะเทอน x2
ซงจะเรมสนทเวลา t2 เชนเดยวกนกบพลซทเวลา t3 กจะทาใหเกดการสนสะเทอน x3 โดยเรมสนทเวลา t3
เปนเชนนไปเรอยๆ ตราบทยงมแรงกระตนกระทากบระบบอย ผลการสนสะเทอนรวม x สามารถหาได
โดยรวม x1, x2, x3, … เขาดวยกนตามลาดบเวลาทแรงมากระทา โดยผลการสนสะเทอนรวม x แสดงดง
กราฟดานบนทางดานขวามอ หลกการทอธบายขางตน สามารถนามาเขยนเปนสมการคณตศาสตรไดดงน
+++= )()()()( 321 txtxtxtx (5-27)
การสนสะเทอน )(),(),( 321 txtxtx เปนการสนเนองจากการกระตนแบบอมพลซ จงสามารถ
เขยนใหอยในรปผลคณของขนาดอมพลซ และฟงกชนการตอบสนองตออมพลซดงสมการ (5-24) ได ดงนน
สมการดานบนจะสามารถเขยนไดเปน
+−+−+−= )(ˆ)(ˆ)(ˆ)( 332211 tthFtthFtthFtx (5-28)
รปท 5-10 แนวคดในการหาผลเฉลยการสนสะเทอนของแรงกระตนรปแบบใดๆ และ Convolution integral
เนองจากขนาดของอมพลซ F หาไดจากผลคณของขนาดแรงและชวงเวลาทแรงกระทา ดงนนจะได
+−⋅∆+−⋅∆+−⋅∆= )()()()( 332211 tthtFtthtFtthtFtx (5-29)
กาหนดให τ คอเวลาทแรง F กระทากบระบบ ดงนนจะสามารถเขยน 321 ,, ttt ไดเปน
321 ,, τττ ชวงเวลา t∆ เขยนไดเปน τ∆ และจะไดดวยวาแรง F เปนฟงกชนของ τ หรอ )(τF เมอ
พจารณาใหการแบงชวงเวลา τ∆ เลกๆ สมการ (5-29) จะสามารถเขยนใหอยในรปการอนทเกรตไดดงน
∫ −⋅=t
dthFtx0
)()()( τττ (5-30)
สมการท (5-30) มชอเรยกวา Convolution integral ในกรณทใช Convolution integral เพอหาผล
การตอบสนองของระบบดงทไดอธบายมาขางตน สมการ Convolution integral อาจเรยกอกอยางวา
Duhamel integral ตามชอของนกคณตศาสตรชาวฝรงเศส J. M. C. Duhamel (1797-1872)
ในกรณทแรงกระทาไมเปนฟงกชนตอเนอง ผลของการสนสะเทอนกสามารถหาไดโดยใชหลกการ
ขางตนเพยงแตแยกชวงของแรง และ Convolution integral ออกเปน 2 ชวง ดงน
กาหนด EOM =++ kxxcxm )(1 tF 10 tt <≤
)(2 tF 1tt ≥
ผลเฉลยคอ =)(tx
∫ −⋅1
01 )()(
t
dthF τττ 10 tt <≤
(5-31)
∫∫ −⋅+−⋅t
t
t
dthFdthF1
1
)()()()( 20
1 ττττττ 1tt ≥
ขอสงเกต
เนองจากแรงทกระตนไมไดเปนคาบหรอมสวนประกอบทเปนฟงกชนฮารโมนก ดงนนความถการ
สนสะเทอนตามสมการท (5-30) หรอ (5-31) จงเทากบความถของฟงกชนการตอบสนองตออมพลซ
)( τ−th ซงกคอความถธรรมชาตทมตวหนวงการสนสะเทอน dω (ในกรณทระบบเปนแบบ underdamped
motion)
ตวอยาง 5-3
หาลกษณะการสนสะเทอนของระบบมวล สปรง และตว
หนวงการสนอยางงาย ทไดรบแรงกระทาดงรป และ
แสดงดวย EOM ดานลาง
=++ kxxcxm 0 00 tt <≤
F0 0tt ≥
เงอนไขเรมตน 000 ==vx
ระบบเปนแบบ underdamped motion (Example 3.2.1, Daniel J. Inman, Engineering Vibration,
Second edition)
เนองจากในชวง 00 tt <≤ ไมมแรงภายนอกกระทา และเงอนไขเรมตนเปน 000 ==vx ทาใหในชวงแรก
ระบบไมมการเคลอนท และระบบจะเรมสนเมอ 0tt ≥ เมอเรมมแรงคงทมากระทา
จาก )(sin1)( )( τωω
τ τζω −=− −− tem
th dt
d
n
และ 0)( FF =τ
แทนลงในสมการ Convolution integral จะได
∫ −⋅= −−t
td
t
d
dtem
Ftx n
0
)(sin1)( )(0 ττω
ωτζω
∫ −= −t
td
t
d
dteemFtx nn
0
)(sin)( 0 ττωω
τζωζω
อนทเกรตออกมาจะได
[ ]θωζ
ζω −−−
−= −− )(cos1
)( 0)(
200 0 tte
kF
kFtx d
ttn เมอ 0tt ≥
โดย 2
1
1tan
ζζθ−
= −
จากผลการสนสะเทอนทไดจะสามารถแบงออกเปน 2 สวนคอ
1. Static displacement : kF0
2. สวนทมการสน : [ ]θωζ
ζω −−−
−− )(cos1
0)(
20 0 tte
kF
dttn
เมอทดลองกาหนดคาตวแปรตางๆ จะสามารถเขยนกราฟไดดงน
1.0=ζ
16.3=nω rad/s
300 =F N
1000=k N/m
00 =t sec
จากกราฟจะเหนไดวา การใหแรงกระตนแบบ step function ทโจทยกาหนดจะทาใหจดสมดลใหมเลอนขน
ไปตามคา Static displacement และจะสนรอบจดสมดลใหมนดวยความถธรรมชาตทมการหนวง dω
ANS
ตวอยาง 5-4
หาลกษณะการสนสะเทอนของระบบมวล สปรง และตวหนวงการสนอยาง
งาย ทไดรบแรงกระทาดงรป และแสดงดวย EOM ดานลาง
=++ kxxcxm F0 10 tt <≤
0 1tt ≥
เงอนไขเรมตน 000 ==vx
ระบบเปนแบบ underdamped motion (Example 3.2.2, Daniel J. Inman, Engineering Vibration, Second edition)
ในตวอยางนเปนการใหแรงขนาดคงทในชวงระยะเวลาหนง หลงจากนนจงเอาแรงทใหออก ในขอนอาจทาได
โดยใชหลกการ Superposition ของแรงทกระทากบระบบ ดงแสดงในรปดานลาง
1. ชวงแรกจะใหแรงทมขนาดคงท 0F กบระบบ
2. หลงจาก 1tt = จะใหแรงทมขนาดตรงกนขาม เพอหกลางกบแรงในชวงแรก ทาใหผลลพธเหมอนกบการ
ไมไดใหแรงอะไรกบระบบ
จะเหนวาทงสองชวงเปนการพจารณาแรงในรปแบบ Step function ซงทราบผลเฉลยอยแลวดงแสดงใน
ตวอยางกอนหนา การคานวณจงทาไดโดยงาย
สาหรบในชวงแรก สามารถหาลกษณะการสนสะเทอนไดเชนเดยวกบตวอยางกอนหนา
[ ]θωζ
ζω −−−
−= −− )(cos1
)( 0)(
200 0 tte
kF
kFtx d
ttn เมอ 0tt ≥
โดย 2
1
1tan
ζζθ−
= −
เมอ 00 =t จะได
[ ]θωζ
ζω −−
−== − tek
FkFtxtx d
tn cos1
)()(2
001 เมอ 10 tt ≤<
ในชวงทสองการสนสะเทอนจะเพมสวนทใหแรงในทศตรงขามเขามา โดยจะสามารถหาไดเชนเดยวกบ
ตวอยางกอนหนาเชนกน ปรบเพยงแทน 0)( FF −=τ จะได
[ ]θωζ
ζω −−−
+−
= −− )(cos1
)( 1)(
200
21 tte
kF
kFtx d
ttn เมอ 1tt ≥
นาการสนสะเทอนทงสองสวนมารวมเขาดวยกนจะได
[ ] [ ]
−−
−+
−+
−
−−=
+=
−−− θωζ
θωζ
ζωζω )(cos1
cos1
)()()(
1)(
200
200
21
1 ttek
FkFte
kF
kF
txtxtx
dtt
dt nn
[ ][ ])cos()(cos1
)( 120 1 θωθωζ
ζωζω −−−−−
= − ttteek
Ftx ddtt nn เมอ 1tt >
ขอสงเกต
ในขอนหากตองการทาตรงๆ โดยไมใชวธ Superposition อาจทาไดดงน
1. ชวง 10 tt ≤< ทาเหมอนในตวอยาง
2. ชวง 1tt > เนองจากไมมแรงกระทา แสดงวาระบบสนอยางอสระ ดงนนลกษณะการสนสะเทอนจงเปน
เชนเดยวกบการสนอยางอสระ โดยการหาคา initial condition ในชวงนจะตองสมพนธกบตาแหนงใน
ชวงแรก คอ )()( 111 txtx = และ )()()( 1111 txtxtv ==
ANS
ANS
7. สรป
ในบทนกลาวถงการหาลกษณะการสนสะเทอนแบบบงคบจากการกระตนภายนอกรปแบบตางๆ
โดยแบงการพจารณาตามลกษณะของการกระตนออกเปน 3 ประเภทใหญๆ ไดแก 1) การกระตนแบบเปน
คาบ 2) การกระตนแบบอมพลซ หรอการกระแทก และ 3) การกระตนแบบใดๆ ซงไมเปนคาบ
สาหรบการกระตนแบบเปนคาบนน จะใชหลกการของอนกรมฟเรยร แปลงฟงกชนการกระตนทเปน
คาบใหอยในรปผลบวกของฟงกชนไซนซอยดทมความถเปนจานวนเทาของฟงกชนคาบนน เนองจากแตละ
พจนของฟงกชนไซนซอยดสามารถหาผลเฉลยไดโดยงายโดยพจารณาผลตอบสนองเชงความถ
เชนเดยวกบทไดกลาวมาแลวในบทกอนหนา เมอทราบผลเฉลยแตละพจนแลวจงสามารถหาลกษณะการ
สนสะเทอนรวมไดโดยใชหลกการของ Superposition
การกระตนแบบอมพลซนนสามารถพจารณาไดเชนเดยวกบการสนสะเทอนอยางอสระ โดยม
เงอนไขคาเรมตนเปนความเรวตนทสอดคลองกบการเปลยนแปลงโมเมนตมเนองจากการดลนน สวนการ
ขจดเรมตนมคาเปนศนย สาหรบการกระตนแบบใดๆ จะพจารณาฟงกชนของการกระตนเปนการรวมกนของ
ฟงกชนพลซยอยๆ ดงนนจงสามารถใชหลกการพนฐานของผลเฉลยในกรณของการกระตนแบบอมพลซใน
กรณนได โดยผลของการกระตนแบบอมพลซทเวลาตางๆ จะถกนามารวมกนโดย Convolution integral
สาหรบปญหาทางวศวกรรมนนประกอบขนจากการกระตนทมรปแบบตามทกลาวมาทงหมดในบทน
ความเขาใจในการหาลกษณะการสนสะเทอนของการกระตนรปแบบพนฐานเหลาน ทาใหสามารถนาไป
ประยกตใชกบปญหาทซบซอนตอไปได