บทท 8 ปจจยการผลต การผลต และผลผลต (1)

ในบทนเราจะไดศกษาถงความสมพนธของตวแปรปจจยการผลต (Inputs or Factor)

การผลต (Production) และผลผลต (Outputs or Productions) ในเชงเศรษฐศาสตร เพอใชเปนขอมลในการตดสนใจในการบรหารจดการทส าคญ 2 ประการใหญๆ กคอ (1) การตดสนใจเลอกปรมาณปจจยการผลตทท าใหไดรบก าไรสงสด และ (2) การตดสนใจเลอกปรมาณปจจยการผลตทท าใหตนทนต าทสด ซงถอเปนการตดสนใจเลอกแนวทางปฏบตทมประสทธภาพ ดงจะไดกลาวถงรายละเอยดตอไป ความหมายของปจจยการผลต การผลตและผลผลต

1. ปจจยการผลต ปจจยการผลต (Inputs or Factors) หมายถง ทรพยากร (Resources) ตางๆอนเปน

สวนประกอบในการผลตทางเศรษฐศาสตร ไดแก ทดน แรงงาน ทน การประกอบการ (ไดกลาวไปแลวในบทท 4 เพอทจะใชในการผลตสนคาและบรการหนงๆ

1.1 ปจจยคงท (Fixed Factors) หมายถง ปจจยการผลตทไมสามารถ

เปลยนแปลงไดตลอดระยะเวลาการผลตชวงระยะเวลาใดเวลาหนง เชน สงกอสรางตางๆ ในฟารม เครองจกร ทดน ถาฟารมตองการเพมการผลตขน กระท าไดโดยการเพมปจจยผนแปรเขาไปในการ ผลตเทานน

1.2 ปจจยผนแปร (Variable Factors) หมายถง ปจจยทเปลยนแปลงไดตลอดชวงเวลาแหงการผลต เชน ป ย เมลดพนธ ยาปราบศตรพช การเพมหรอลดจ านวนการผลตในชวยเวลาใดเวลาหนง กระท าไดโดยการเพมหรอลดปจจยการผลตเหลาน

2. การผลต การผลต (Production) หมายถง การเปลยนแปลงสภาพปจจยการผลตตงแต 2 ชนด

ขนไป เพอใหกลายเปนผลผลต หรอสนคาอยางใดอยางหนง

242

3. ผลผลต ผลผลต (Outputs or Product) หมายถง ผลทไดรบตอบแทนจากการน าเอาปจจย

การผลตหลายๆชนดมารวมกนโดยผานกระบวนการผลต (Production Process) รปภาพท 14 แสดงความสมพนธระหวาง ปจจยการผลต กระบวนการผลต ผลผลต ทมา: (ดดแปลงจาก เบญจมาส ลกษณยานนท, 2545, หนา 16)

ฟงกชนการผลต ฟงกชนการผลต (Production function) เปนฟงกชนทแสดงความสมพนธระหวางปจจยในการผลต (Inputs) ทใชกบผลผลตทไดรบ ฟงกชนการผลตอาจแสดงได 3 แบบ ดงน

1. ตาราง ตาราง (Tabular Form) ดงตารางท 33 ซงแสดงถงการใชป ยแตละระดบจะไดผล

ผลตตางกนออกไป

สภาพแวดลอมภายนอก (External Environment)

สภาพแวดลอมภายใน (Internal Environment)

ปจจยการผลต (Factors)

กระบวนการผลต (Production Process)

ผลผลต (Products)

ขอมลปอนกลบ

(Feed Back)

243

ตารางท 33 แสดงความสมพนธระหวางปจจยการผลตกบผลผลต

ปจจยการผลต (หนวย) ปย (X1)

ผลผลตขาว (หนวย/ไร) (Y1)

0 0 1 2 2 5 3 9 4 14 5 18 6 21 7 22 8 21 9 19 10 16

ทมา: (เบญจมาส ลกษณยานนท, 2547, หนา 3)

2. กราฟ กราฟ (Graphic form) จากขอมลในตารางท 1 เมอแสดงความสมพนธระหวาง

จ านวนป ยทใชกบผลผลตขาวทไดรบโดยกราฟ จะไดดงรปท 5

244

Y1

24 21 18 15 12 9 6 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

รปภาพท 15 ความสมพนธระหวางปจจยการผลตกบผลผลต

ทมา: (เบญจมาส ลกษณยานนท, 2547, หนา 4)

3. พชคณต พชคณต (Algebraic Form) การแสดงความสมพนธระหวางปจจยการผลตกบ

ผลผลตทไดรบในแบบท 3 แสดงไดโดยงายดงน

Y = f(X) เมอ Y = ตวแปรตาม (Dependent Variable) X = ตวแปรอสระ (Independent Variable) f = ขนอยกบ (function of)

(X1/X2,X3,…Xn)

Production Function Curve

245

ความหมายวา ปรมาณผลผลต (Y) ขนอยกบปจจยการผลต (X) ในกรณมปจจยการผลต 2 ชนด เขยนไดวา Y = f(X1, X2) ในกรณมปจจยการผลต 3 ชนด เขยนไดวา Y = f(X1, X2, X3) ในกรณมปจจยการผลต n ชนด เขยนไดวา Y = f(X1, X2, X3,…,Xn)

ในทางปฏบต ปรมาณผลผลต Y ขนอยกบปจจยการผลตหลายชนด บางปจจยการผลตมอทธพลนอยมากตอปรมาณผลผลต การวเคราะหจงอาจจ ากดโดยเลอกวเคราะหเฉพาะปจจยการผลตบางชนดทส าคญเทานน เชน ถาตองการวเคราะหเฉพาะปจจยชนดท 1 และ 2 เทานน ฟงกชนการผลตแสดงไดดงน Y = f(X1, X2 / X3 X4, X5, ,…,Xn)

หมายความวา ปรมาณผลผลต (Y) ขนอยกบปจจยการผลต X1 กบ X2 เทานน โดยก าหนดใหปจจยการผลตอน (X3 X4, X5, ,………Xn) คงทตลอดการวเคราะห ความสมพนธระหวางปจจยการผลตกบผลผลต ความสมพนธระหวางปจจยการผลตกบผลผลตน (Input-Output Relationship) อาจเรยกวาเปน ฟงกชนการผลต (Production Function หรอ Transformation Function) ในเบองตนนจะพจารณาถงความสมพนธระหวางปจจยผนแปรเพยง 1 ชนด กบผลผลตทไดรบ วาลกษณะความสมพนธจะเปนอยางไร

คอพจารณา Y1 = f(X1 / X2, X3 X4,…,Xn) เมอ Y1 = ผลผลตพชหรอสตวชนดใดชนดหนง อาจเปนขาว หรอ ขาวโพด หรอฝาย อยางใดอยางหนง (X1, X2, X3 X4, …,Xn) = ปจจยการผลตแตละชนดทมผลกระทบตอ Y เชน ป ย ทดน แรงงาน ปรมาณน า อณหภม ยาปราบศตรพช เปนตน ซงในทนจะพจารณาเพยงปจจยเดยวคอ X1 วาเมอ X1 เปลยนแปลงไปจะท าใหผลผลต Y1 เปลยนแปลงไปอยางไรบาง โดยก าหนดใหปจจยการผลตอนคงท

246

ผลผลตทงหมด ผลผลตเฉลย ผลผลตเพม กอนทจะพจารณาตอไปควรทราบถงลกษณะของผลผลตซงแบงเปน 3 ชนดคอ

1. ผลผลตทงหมด ผลผลตทงหมด (Total Product: TP หรอ Y1) หมายถง จ านวนผลผลตทผลตได

ทงหมดจากการใชปจจยผนแปร (X1) เมอมปจจยคงทอยจ านวนหนง 2. ผลผลตเฉลย

ผลผลตเฉลย (Average Product: AP) หมายถง ผลผลตทงหมดตอปจจยผนแปร (X1) 1 หนวย ดงนน AP = Y1 X1 3. ผลผลตเพม

ผลผลตเพม (Marginal Product : MP) หมายถง ผลผลตทงหมดทเพมขน เมอเพมปจจยผนแปร (X1) เขาไปอก 1 หนวย

ผลผลตทงหมดทเพมขน = Y1

ปจจยผนแปร (X1) ทเพมขน = X1

ดงนน MP = Y1

X1

ความสมพนธระหวางปจจยการผลตกบผลผลต หรอ ฟงกชนการผลต (Production Function) แสดงไดดงรปท 16

247

C B A O รปภาพท 16 แสดงความสมพนธระหวางปจจยการผลตกบผลผลตหรอ ฟงกชนการผลต (Production function) และระยะทง 3 ระยะ ทมา: (เบญจมาส ลกษณยานนท, 2547, หนา 7) ตามรปท 16 ในระยะแรกๆ ของการใสป ย ผลผลตทงหมดจะสงขนอยางรวดเรว ทงน เพราะการใสป ยในหนวยท 2 จะท าใหผลผลตทงหมดเพมขนในอตราทมากกวาการใสป ยหนวยแรก พอใสป ยหนวยท 3 อตราการเพมของผลผลตจะมากกวาการใสป ยหนวยท 2 ครนใสป ยหนวยท 4 อตราการเพมของผลผลตจะมากกวาการใสป ยหนวยท 3 ซงแสดงวา ในระยะแรกๆ ของการใสป ยนน ผลตอบสนองของผลผลตตอป ยในหนวยหลงๆ จะสงกวาหนวยแรกๆ ระยะน เรยกวาระยะผลตอบแทนเพม (Increasing Marginal Productivity หรอ Increasing Marginal Returns) คอ จด 0 ถง A การเพมขนของผลผลตจะเปนดงนไปเรอยๆ จนกระทงถงจดๆ หนง ซงเมอใสป ยเพมเขาไปอกแลว ผลผลตทจะเพมขนนนมอตรานอยลงกวาการใสป ยหนวยกอนจดน คอจด A ซงเปนจดเรมตนของระยะผลตอบแทนลดนอยถอยลง ( Diminishing Marginal Returns) หลงจากจด A น การใสป ยเพมขน จะท าใหอตราการเพมขนของผลผลตลดนอยลงเรอย ๆ (ผลผลตทงหมดยงคงเพมขน แตเพมขนในอตราลดลงเรอยๆ) จนกระทงถงอกจดหนงทผลผลตทงหมดสงทสด (จด C) หลงจากจดนแลวการใสป ยตอไปอกจะท าใหผลผลตทงหมดเรม

Y1

(X1/X2, X3, …, Xn)

Stage I Stage II Stage III

248

ลดลง สรปไดวาจากจด 0 ถงจด A คอชวง ผลตอบแทนเพม และจากจด A ถงจด C คอชวงผลตอบแทนลดนอยถอยลง และหลงจากจด C ไปเรยกวาชวงผลตอบแทนลด ( Decreasing Marginal Returns) ความสมพนธระหวางผลผลตทงหมด ผลผลตเฉลย และผลผลตเพม เพอใหเขาใจไดชดเจน จงใชตวเลขทสมมตขนประกอบการอธบายดงตารางท 34 และรปท 17 ตารางท 34 แสดงความสมพนธระหวางผลผลตทงหมด ผลผลตเฉลย และผลผลตเพม

จ านวนปยทใช (X1) (หนวย)

ผลผลตขาว (TP หรอ Y1) (หนวย / ไร)

ผลผลตเฉลย

Y1 X1 ผลผลตเพม

0

0

-

2

1

2 1 2 2 3 1 3 2 5 2.5 4 1 4 3 9 3 5 1 5 4 14 3.5 4 1 4 5 18 3.6 3 1 3 6 21 3.5 1 1 1 7 21 3.14 -1 1 -1 8 21 2.62 -2 1 -2 9 19 2.11 -3 1 -3 10 16 1.6

น าขอมลจากตารางท 34 มาแสดงโดยกราฟจะเหนความสมพนธระหวางผลผลตทงหมด

ผลผลตเฉลย และผลผลตเพม ไดชดเจนยงขน

AP = Y1 X1

MP = Y1 X1

249

. รปภาพท 17 ความสมพนธระหวางผลผลตทงหมด ผลผลตเฉลย และผลผลตเพม ทมา: (เบญจมาส ลกษณยานนท, 2547, หนา 9) จากตารางท 34 และรปท 17 พจารณาความสมพนธระหวางผลผลตทงหมด ผลผลตเฉลย และผลผลตเพม ไดดงน

ความสมพนธระหวางผลผลตทงหมดกบผลผลตเพม 1. ตราบใดทผลผลตเพมยงเปนบวก (เสน MP อยเหนอแกน X1) ผลผลตทงหมดจะยงคงเพมขนเรอย ๆ (เสน TP สงขนเรอย ๆ) ทงนเพราะเมอผลผลตเพมเปนบวก จะไปรวมกบผลผลตทงหมดทเกดจากการใชปจจยการผลตในระดบกอน ท าใหผลผลตทงหมดในระดบตอมาเพมขนเรอย ๆ เชน เมอใสป ยหนวยท 1 ผลผลตทงหมดเทากบ 2 เมอใสป ยเขาไปอก 1 หนวย ผลจากการใสป ยเพมขนอก 1 หนวย นจะท าใหไดผลผลตเพมขน 3 หนวย ดงนนผลผลตทงหมดในระดบการใสป ย 2หนวยจงเทากบผลผลตทงหมดในระดบกอนน รวมกบผลผลตทเพมขนเนองจากการใสป ย

เพมขนในระดบตอมา เทากบ 2 3 = 5 หนวย เมอใสป ยหนวยท 3 ผลจากการใสป ยเพมขน

Y1

(X1/X2, X3, …, Xn)

AP

TP

C B

Stage I Stage II Stage III

MP

250

อก 1 หนวยน จะท าใหไดผลผลตเพมขนอก 4 หนวย ดงนน ในระดบการใสป ย 3 หนวย ผลผลตทงหมดจงเทากบผลผลตทงหมดในระดบการใชป ย 2 หนวยรวมกบผลผลตทไดรบเพมขน

เนองจากการใสป ยเพมขนอก 1 หนวย = 5 4 = 9 หนวย ท านองเดยวกน ผลผลตทงหมดในระดบการใสป ยหนวยท 7 เทากบผลผลตทงหมดในระดบการใสป ยหนวยท 6 รวมกบผลผลต

ทเพมขนอนเกดจากการเพมป ยอก 1 หนวย (จาก 6 หนวย เปน 7 หนวย) ซงเทากบ 21 1 = 22 หนวย จงเหนวา ตราบใดทผลผลตเพมเปนบวก จะท าใหผลผลตทงหมดเพมขนจากเดมเสมอ 2. เมอผลผลตเพมเปนศนย (จดเสน MP ตดแกน X1) ผลผลตทงหมดจะสงสด ทงน เพราะไมมผลผลตเพมทจะรวมเขาไปกบผลผลตทงหมดในระดบกอนอกแลว ผลผลตทงหมดทจดนจงสงทสด 3. เมอผลผลตเพมเปนลบ (MP อยใตแกน X1) ผลผลตทงหมดจะลดลง ดงจะเหนวา ผลผลตทงหมดในระดบการใสป ยหนวยท 8 เทากบผลผลตทงหมดในระดบการใสป ยหนวยท 7 รวมกบผลผลตทเพมขนอนเกดจากการเพมป ยอก 1 หนวย (จาก 7 หนวย เปน 8 หนวย) เทากบ 22 + (-1) = 21 หนวย

ความสมพนธระหวางผลผลตเพมกบผลผลตเฉลย 1. ตราบใดทผลผลตเพมสงกวาผลผลตเฉลย (เสน MP อยเหนอเสน AP) ผลตผลตเฉลยจะสงขนเรอย ๆ 2. เมอผลผลตเพมต ากวาผลผลตเฉลย (เสน MP อยใตเสน AP) ผลผลตเฉลยจะเรมลดลง และผลผลตเฉลยจะไมต ากวาศนย (เสน AP จะไมอยต ากวาแกน X1) เพราะผลผลตทงหมดจะไมต ากวาศนย แมจะไมไดผลผลตจากการผลตเลย 3. ดงนน ผลผลตเพมขนเทากบผลผลตเฉลย เมอผลผลตเฉลยสงทสด (เสน MP ตดกบเสน AP ตรงจดท AP สงทสด) ความสมพนธระหวางปจจยการผลตกบผลผลตแบงเปน 3 ระยะตามรปท 17 ดงน

251

การใชระยะของฟงกชนการผลตประกอบการตดสนใจการผลต ระยะท 1 เรมจากจดก าเนดในระยะตน ๆ ผลผลตทงหมดสงขนอยางรวดเรวจนถงจดทผลตอบแทนลดลง ผลผลตทงหมดกยงคงสงขนตอไป แตสงขนในอตราทลดนอยลง ในระยะน ผลผลตเพมจะสงกวาผลผลตเฉลย (เสน MP อยเหนอเสน AP) อนเปนผลใหผลผลตเฉลยสงขนเรอย ๆ ระยะท 1 นจะไปสนสดเมอผลผลตเฉลยสงทสด หรอเมอผลผลตเพมเทากบผลผลตเฉลยนนเอง ระยะท 2 ผลผลตเฉลยเรมลดลง ผลผลตเพมต ากวาผลผลตเฉลย แตผลผลตทงหมดยงคงเพมขน เพราะผลผลตเพมยงเปนบวกอย ระยะนจะสนสดท ผลผลตเพมเทากบศนยหรอผลผลตทงหมดสงทสด ระยะท 3 ผลผลตเพมเปนลบ เปนเหตใหผลผลตทงหมดเรมลดลงเรอย ๆ ผลผลตเฉลยกลดลงเรอย ๆ เชนกน ในระยะท 1 เมอการใชปจจยการผลตเพมขน ยงท าใหผลผลตเฉลยเพมขนเสมอ ผผลตจงไมควรหยดการผลตในระยะน อยางนอยทสดผ ผลตควรจะใชปจจยการผลตเพมขนเรอยๆ จนถงจดทผลผลตเฉลยสงทสด ซงเรมเขาสระยะท 2 ทงนเพราะการใชปจจยการผลตในหนวยหลงๆ ยงคงท าใหประสทธภาพในการผลตเพมขนเรอย ส าหรบระยะท 3 นน การใชปจจยการผลตในระยะนนอกจากจะท าใหตนทนอนเนองมาจากการใชปจจยการผลตเพมขนแลว ยงท าใหผลผลตทงหมดลดลง ซงท าใหรายไดจากการผลตลดลงดวย ผผลตจงไมควรท าการผลตในระยะท 3 ดงนน ทงในระยะท 1 และระยะท 3 จงเปนระยะทผผลตทมเหตผลไมควรท าการผลต หรอรวมเรยกทง 2 ระยะนวา ระยะทไมสมเหตสมผลทจะผลต (Irrational Stage) ดงนน ในระยะท 2 จงเปนระยะทเหมาะสมในการผลต แมประสทธภาพในการใชปจจยการผลตจะเรมลดลงแลว แตผลผลตเพมยงเปนบวกอย ผลผลตทงหมดจงยงเพมขน จดทเหมาะสมในการผลตจะอยทจดไหนในระยะท 2 นน ผผลตจะตองทราบราคาของปจจยการผลตทใชกบราคาผลผลตทไดรบ จงจะค านวณได ซงกลาวในหวขอตอไป ระยะท 2 นเรยกวาระยะทสมเหตสมผลทจะผลต (Rational Stage)

252

การพจารณาจดก าไรสทธสงสด เกษตรกรบางรายมงจะท าการผลต โดยใหผลผลตตอไรของพชแตละชนดสงทสด ซงในความเปนจรงการท าการผลตทจดผลผลตสงทสดนน อาจมตนทนในการผลตสงจนเมอน าไปหกออกจากรายไดจากการขายผลผลตแลว เหลอก าไรสทธเพยงเลกนอยหรออาจขาดทนได ดงนนการเลอกระดบการผลตทจะไดก าไรสทธสงทสดจงเปนสงทจ าเปนในการท าฟารม การพจารณาจดก าไรสทธสงทสดน อาจพจารณาได 2 กรณ ดงน 1. พจารณาในดานปจจยการผลต

พจารณาในดานปจจยการผลตในการขยายการผลต ผผลตสามารถเพมปจจยผนแปรขนทละหนวยไดเรอย ๆ ตราบเทาทมลคาของผลผลตทเพมขน (Marginal Value Product : MVP) อนเนองมาจากการใสปจจยผนแปรแตละหนวยยงสงกวามลคาของปจจยการผลตแตละหนวยนน และผผลตจะไดก าไรสงสดเมอมลคาของผลผลตทเพมขนเทากบมลคาของปจจยการผลตแตละหนวยทใสเขาไปในการผลต มลคาของปจจยการผลตแตละหนวยทใสเขาไปในการผลต กคอ ราคาของปจจยการผลตนนเอง เชน ใสป ยเพมขนทละหนวย มลคาของป ยแตละหนวย กคอ ราคาตอหนวยของป ยนนเอง จงสรปไดวา ผผลตจะไดก าไรสทธสงสดเมอ MVP = Px โดยก าหนดให Px คอ ราคาของปจจยการผลตแตละหนวย หรอกลาวไดวา ราคาของปจจยการผลตแตละหนวยทใสเขาไปในการผลต กคอ มลคาของตนทนทเพมขน (Marginal Input Cost : MIC) จงเขยนอกอยางหนงไดวา ผผลตจะไดก าไรสทธสงสดเมอ MVP = MIC

ตารางท 35 แสดงจดการผลตทจะไดก าไรสทธสงทสด*

ปย (หนวย)

ผลผลต (หนวย/ไร)

MP MIC MVP

(MP, Py) TP TC

ก าไรสทธ

MP MC

0 0 1 2 2 10 12 12 10 2 6 5 2 5 3 10 18 30 20 10 6 3.33 3 9 4 10 24 54 30 24 6 2.5 4 14 5 10 30 84 40 44 6 2 5 18 4 10 24 108 50 58 6 2.5

253

6 21 3 10 18 126 60 66 6 3.33 7 22 1 10 6 132 70 62 6 10 8 21 -1 10 -6 126 80 46 6 -10 9 19 -2 10 -12 114 90 24 6 -5 10 16 -3 10 -18 90 100 -4 6 -3.3

* สมมต ราคาผลผลต (Py1) เปน 6 บาทตอหนวย และราคาปจจยการผลต (Px1) เปน 10 หนวย

ทมา: (เบญจมาส ลกษณยานนท, 2547, หนา 9) จากตารางท 35 มลคาของผลผลตทเพมขน (MVP) ค านวณไดโดยใชราคาของผลผลต (Py) คณกบผลผลตเพม (MP) ในการใสป ยหนวยท 1 มลคาของตนทนทเพมขนเทากบ 10 บาท ในขณะทมลคาของผลผลตทผผลตไดรบเปน 12 บาท ผผลตจงใสป ยหนวยท 2 ตอไป ผลจากการใสป ยหนวยท 2 ผผลตตองเสยตนทนเพมขนอก 10 บาท แตไดผลผลตเพมขนมมลคาอก 18 บาท ผผลตจงควรขยายการผลตโดยใสป ยหนวยท 3 ตอไปจนกระทงมาถงระดบการใสป ยหนวยท 7 ถาผผลตใสป ยหนวยท 7 ตนทนจะเพมขนอก 10 บาท ในขณะทผลผลตเพมขนมมลคาเพยง 6 บาท จงไมคมกบการลงทนตอไป ดงนน ผลตจงควรหยดท าการผลตทระดบการใชป ย 6 หนวย ดงกลาวมาแลววา ผผลตจะตองไดก าไรสทธสงทสดตรงจดท MVP = MIC ซงชวงท MVP = MIC ในตารางท 35 คอ ระดบการใสป ยระหวาง 5-6 หนวย ถาสามารถวเคราะหโดยก าหนดใหป ยมหนวยยอยลงไปอก เชน 5.0000001, 5.0000002, ..., 5.0000009 หนวย/ไร หรอใหมหนวยยอยกวานอก กจะไดระดบการใสป ยทจะใหก าไรสทธสงสดทแนนอน ซงอยระหวางชวงการใสป ย 5-6 หนวย ผ ทสนใจจะไดศกษาในขนสงตอไป ในทนค าตอบอยางหยาบคอ ผผลตจะไดก าไรสทธสงทสดในระดบการใสป ย 6 หนวย ซงเปนจดท MVP = MIC และจดนจะอยในระยะท 2 (Stage II) ของการผลตดงกลาวมาแลว

4. พจารณาในดานผลผลต พจารณาในดานผลผลต ในการขยายการผลต ผ ผลตสามารถเพมผลผลตขนได

เรอยๆ ตราบเทาทรายไดทไดรบเพมขน (Marginal Revenue) ยงสงกวาตนทนทเพมขน (Marginal Cost) อนเนองจากการเพมผลผลตขนทละหนวยนน และผผลตจะไดก าไรสทธสงทสดเมอรายไดทไดรบเพมขนนนเทากบตนทนทเพมขน (MR = MC)

254

รายไดทไดรบเพมขน (MR) หมายถง รายไดทงหมดทไดรบเพมขนเมอเพมผลผลตขนอก 1 หนวย เมอก าหนดใหรายไดทงหมด คอ TR (Total Revenue) ดงนน รายไดทงหมดทไดรบเพมขน คอ TR ถาผลผลตทงหมดทไดรบ คอ Y1 ผลผลตทเพมขน คอ Y1

นนคอ รายไดทงหมดทไดรบเพมขนเมอเพมผลผลตขนอก 1 หนวย เทากบ TR Y1 หรอ MR = TR = dTR

Y1 dY1 ตนทนทเพมขน (MC) หมายถง ตนทนทงหมดทเสยเพมขน เมอเพมผลผลตขนอก 1 หนวย

เมอก าหนดใหตนทนทงหมด คอ TC (Total Cost) ดงนน ตนทนทงหมดทตองเสยเพมขน คอ TC

นนคอ ตนทนทงหมดทเสยเพมขนเมอเพมผลผลตขนอก 1 หนวย เทากบ TC เมอ

Y1 คอ ผลผลตทงหมด Y1 หรอ MC = TC = dTC Y1 dY1

จากตารางท 35 TR เกดจากราคาของผลผลตคณกบจ านวนผลผลต = Py1.Y1 TC เกดจากราคาของปจจยการผลตคณกบจ านวนปจจย การผลตทใช = Px1.X1

ก าไรสทธ = รายไดทงหมด - ตนทนทงหมด

255

MR ในระดบการใสป ย 1 หนวย = TR = 12 - 0 = 6 Y1 2 – 0 MR ในระดบการใสป ย 2 หนวย = 30 - 12 = 18 = 6 5 - 2 3 MR ในระดบการใสป ย 1 หนวย = TC = 10 - 0 = 5 Y1 2 – 0 ในระดบการใสป ย 2 หนวย = 20 - 10 = 10 = 3.33 5 - 2 3

ชวงท MR = MC คอ ชวงระหวางการใสป ยระดบ 5 - 6 หนวย

ค าตอบอยางหยาบคอ ผผลตจะไดก าไรสทธสงสดทระดบการใสป ย 6 หนวย จะเหนวาไมวาจะพจารณาดานผลผลตหรอดานปจจยการผลต ผผลตจะไดก าไรสทธทระดบการใสป ย 6 หนวยเหมอนกน ซงจะไดก าไรสทธ 66 บาท การใชลเนยรโปรแกรมมงในการวางแผนการผลต วธการลเนยรโปรแกรมมง (Linear Programming) เรมใชกนอยางกวางขวางตงแตสมยสงครามโลกครงทสอง เชน ใชในการหาระยะทางเดนเรอทสนทสด ใชวเคราะหการจดสรรทรพยากรตาง ๆ ทมอยจ ากดใหเกดประโยชนทสด และหลงจากสงครามโลกครงทสองเปนตนมา ไดใชในวงการตาง ๆ แพรหลายมากขน ส าหรบในทางการเกษตร วธการนจะชวยในการวางแผนการผลตตาง ๆ ในฟารม เปนตนวา ก าหนดกจการตาง ๆ ทจะท าในฟารม ก าหนดการจดสรรปจจยการผลตตาง ๆ ทมอยในฟารม วาจะใชไปในการผลตสงใด จ านวนเทาไร จงจะเหมาะสม ก าหนดขนตอนตาง ๆ ในขบวนการผลตทจะท าใหเสยตนทนต าทสด หรอไดก าไรสงทสด เปนตน ค าวา Linear ในทนหมายความวา ความสมพนธระหวางตวแปรอสระ (Independent variable) กบตวแปรตาม (Dependent variable) จะมลกษณะเปนเสนตรง เชน ถาฟงกชนการผลต เปน Y = 2X ถา X มคาเปน 1, 2, 3 จะท าใหมคาเปน 2, 4, 6 ตามล าดบ แสดงวา Y จะเพมขนเปนสดสวนโดยตรงกบ X หรอถาน าฟงกชนการผลตนไป

256

เขยนกราฟ เสนฟงกชนการผลตทไดจะมลกษณะเปนเสนตรง แตถาฟงกชนการผลตเปน Y = 2X2 ถา X มคาเปน 1, 2, 3 จะท าให Y มคาเปน 2, 8, 18 ตามล าดบ ในกรณน Y จะไมเพมขนเปนสดสวนโดยตรงกบ X หรอความสมพนธระหวาง Y กบ X จะไมมลกษณะเปนเสนตรง นนคอวธการ ลเนยรโปรแกรมมง (Linear Programming) จะใชกบสมการทมลกษณะเปนเสนตรง หรอสมการทมก าลงหนงเทานน โดยปกตจะเปนการวางแผนเพอวตถประสงคใหญสองประการคอ เพอใหเสยตนทนการผลตนอยทสดหรอเพอใหไดก าไรสงทสด แตในเบองตนน จะพจารณาเฉพาะในแงของการผลตเพอใหไดก าไรสง ทสด ดงนนปญหาทจะพบคอ เมอฟารมของเรามปจจยการผลตตาง ๆ อยจ ากด เชน มทดนจ ากด มแรงงานจ ากด มเงนทนจ ากด เราจะตดสนใจใชปจจยการผลตอนจ ากดเหลานไปท าการผลตอะไรบาง จ านวนเทาใด จงจะบรรลวตถประสงคก าไรสงทสดทวางไว ขอสมมตตางๆในการใชลเนยรโปรแกรมมง ค าตอบทไดรบจากการวเคราะหโดยใชลเนยรโปรแกรมมง (Linear Programming) นน เมอน าไปใชปฏบตในฟารมแลว จะไดผลสมบรณเพยงใดนน จะตองค านงถงเงอนไขหรอขอสมมตตาง ๆ ดงน 1. ความสมพนธระหวางปจจยการผลตทใชกบผลผลตทไดรบ จะมลกษณะเปนเสนตรง เชน ถาการผลตขาว 1 ถง จะตองใชทดน 0.02 ไร และป ย 0.6 กโลกรม ดงนน ถาจะผลตขาวใหได 100 ถง จะตองใชทดน 2 ไร และป ย 60 กโลกรม หรอถาจะผลตขาวใหได 300 ถง จะตองใชทดน 6 ไร และป ย 180 กโลกรม ซงในทางปฏบตการเพมการผลตขาวขนอก 3 หรอ 4 เทาจากจ านวนการผลตเดมอาจไมตองใชทดนหรอป ยเพมขน 3 หรอ 4 เทาดวยกได 2. ปจจยการผลตและผลผลตตาง ๆ ในฟารมแบงเปนหนวยยอย ๆ ได เชน ทดนสามารถแบงมาใชในการปลกขาวเพยง .00001 ไร หรอ 9.982 ไร ป ยอาจแบงใชเพยง 7.02 กโลกรม หรอผลผลตทค านวณไดอาจเปน วว 10.5 ตว จะตองใชรถบรรทก 3.2 คน เปนตน ขอสมมตขอนเปนการสนบสนนขอสมมตขอแรกวา ความสมพนธระหวางปจจยการผลตกบผลผลตจะยงคงลกษณะเปนเสนตรงเสมอ จงท าใหผลการวเคราะหออกมาเปนหนวยยอย ๆ ได

257

3. ไมมผลกระทบซงกนและกนระหวางกจการตาง ๆ ทท าในฟารม หรอกลาวไดวา กจการแตละอยางทท าใหฟารมนนเปนอสระตอกน เชน การปลกพชตระกลถวรวมกบขาวโพด อาจท าใหผลผลตขาวโพดดขนกวาการปลกขาวโพดแยกเปนอสระอยางเดยว แตเมอใชลเนยรโปรแกรมมงจะตองถอวา ถวและขาวโพดไมมผลกระทบตอกนแมจะปลกรวมกน หรอปลกในระบบหมนเวยน 4. คาสมประสทธในสมการตาง ๆ ทใชวเคราะห จะตองคงทตลอดเวลาของการวเคราะห และเวลาทน าผลไปใชปฏบตในฟารมจรง ๆ เชน ถาราคาของผลผลตชนดหนงเปน 10 บาทตอหนวย เมอใชราคานในการวเคราะห ค าตอบทไดรบกจะเปนผลจากราคาทใชน ซงเมอน าค าตอบทไดรบไปด าเนนการผลตในฟารม ในชวงการผลตนนราคาผลผลตอาจเปลยนไปจากเดม หรอคาสมประสทธอน ๆ ในสมการทใชวเคราะห อาจะเปลยนไปจากเดม ผลการด าเนนงานฟารมจงอาจแตกตางไปจาผลการวเคราะหได 5. ผด าเนนงานฟารมควรก าหนดกจการทจะท าไวจ ากดจ านวนหน ง เพอใหการวเคราะหมขอยตได เชน เลอกกจการทจะท าเพยง 3-5 ชนด อาจจะปลกขาว ขาวโพด และออย แลวจงวเคราะหวา การใชปจจยการผลตทมอยไปผลตอะไรบาง อยางละเทาไร จงจะไดก าไรสงสด ถาเลอกกจการทจะวเคราะหไวมากเกนไป จะเสยเวลาและยงยากในการวเคราะห และกวาจะไดขอยตวาแผนการผลตไหนดทสด จะเสยเวลามากเกนความจ าเปน การสรางองคประกอบตาง ๆ เพอใชในการวเคราะห องคประกอบทจะตองสรางขนเพอใชในการวเคราะหทางลเนยรโปรแกรมมง ม 3 ชนด ซงมรปแบบและวธการสรางดงน 1. ฟงกชนเปาหมาย (Objective Function) เปนฟงกชนทแสดงวาผผลตมเปาหมายอยางไรในการผลต ซงโดยปกตจะมเปาหมายอยสองชนดใหญ ๆ คอ ใหเสยตนทนต าทสด หรอไดก าไรสงทสด ในเบองตนนจะกลาวถงเฉพาะเปาหมายทจะไดก าไรสงสด รปฟงกชนเปาหมายคอ

Maximize = c1x1 + c2x2 + c3x3 + …+ cnxn

258

ก าหนดให x1, x2, x3, … xn = จ านวนผลผลตของกจการทท าแตละอยางตามล าดบ เชน x1 หมายถง ผลผลตขาว x2 หมายถง ผลผลตขาวโพด x3 หมายถง ผลผลตขาวฟาง c1, c2, c3, … cn = ก าไรตอหนวยของผลผลตแตละชนดตามล าดบ

ถา x1 หมายถง ผลผลตขาว ดงนน c1 กคอ ก าไรจากกการผลตขาว 1 หนวย ถา x2 หมายถง ขาวโพด ดงนน c2 กคอ ก าไรจากการผลตขาวโพด 1 หนวย ถา x3 หมายถง ขาวฟาง ดงนน c3 กคอ ก าไรจากการผลตขาวฟาง 1 หนวย

c1x1 = (ก าไรจากการผลตขาว 1 หนวย)(จ านวนผลผลตขาวทงหมด) = ก าไรจากการผลตขาวทงหมด ท านองเดยวกน c2x2 = ก าไรจากการผลตขาวโพดทงหมด c3x3 = ก าไรจากการผลตขาวฟางทงหมด … .... cnxn = ก าไรจากการผลต xn ทงหมด ดงนน c1x1 + c2x2 + c3x3 + … + cnxn = ก าไรจากการผลตขาวทงหมด + ก าไรจากการ ผลตขาวโพดทงหมด + ก าไรจากการผลตขาว ฟางทงหมด + ... + ก าไรจากการผลต xn ทงหมด = ก าไรทงหมดทไดรบจากการท ากจการทก

ชนดในฟารม ซงก าหนดใหเทากบ ดงนน เปาหมายทจะท าใหก าไรจากการท าฟารมสงทสดจงเขยนไดคอ

Maximize = c1x1 + c2x2 + c3x3 + … + cnxn

259

2. กลมจ ากดขอบเขต (Constraint Set) เปนการแสดงถงการจ ากดขอบเขตของการใชปจจยการผลตตาง ๆ วาจะใชเกนจ านวนทมอยไมได รปสมการคอ

a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn r1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn r2

a31x1 + a32x2 + a33x3 + … + a3nxn r3

. . . . . . . . . . . . . . . am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn rm ก าหนดให x1, x2, x3, …, xn มความหมายเชนเดยวกบฟงกชนเปาหมาย r1, r2, r3, …, rm = จ านวนปจจยการผลตตาง ๆ ทมอยจ ากด เชน r1 เปนจ านวนทดนทมจ ากด, r2 เปนจ านวนแรงงานทใชในเดอนสงหาคม, r3 เปนจ านวนแรงงานทใชในเดอนตลาคม a11, a12, a13, …, a1n = จ านวนปจจยการผลต (r1) ทใชในการผลตผลผลตแตละชนด 1 หนวย a21, a22, a23, …, a2n = จ านวนปจจยการผลต (r2) ทใชในการผลตผลผลตแตละชนด 1 หนวย a31, a32, a33, …,a3n = จ านวนปจจยการผลต (r3) ทใชในการผลตผลผลตแตละชนด 1 หนวย . . . . . . . . am1, am2, am3, … amn = จ านวนปจจยการผลต (rm) ทใชในการผลต ผลผลตแตละชนด 1 หนวย

260

จากกลมจ ากดขอบเขตท 1 a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn r1 ถา x1, x2, x3 คอ จ านวนผลผลตขาว, ขาวโพด, ขาวฟาง ตามล าดบ และ r1 เปนทดน ดงนน a11 คอ จ านวนทดนทใชในการผลตขาว 1 หนวย a12 คอ จ านวนทดนทใชในการผลตขาวโพด 1 หนวย a13 คอ จ านวนทดนทใชในการผลตขาวฟาง 1 หนวย a1n คอ จ านวนทดนทใชในการผลต xn 1 หนวย

ท านองเดยวกนจากกลมจ ากดขอบเขตท 2 a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn r2 ถา r2 เปนจ านวนแรงงานทใชในเดอนสงหาคม a21 คอ จ านวนแรงงานในเดอนสงหาคมทใชผลตขาว 1 หนวย a22 คอ จ านวนแรงงานในเดอนสงหาคมทใชผลตขาวโพด 1 หนวย a23 คอ จ านวนแรงงานในเดอนสงหาคมทใชผลตขาวฟาง 1 หนวย a2n คอ จ านวนแรงงานในเดอนสงหาคมทใชผลต xn 1 หนวย

ในกลมจ ากดขอบเขตอน ๆ กพจารณาไดเชนเดยวกนดงนน a11x1 = (จ านวนทดนทใชในการผลตขาว 1 หนวย)(ผลผลตขาว)

= จ านวนทดนทใชในการผลตขาวทงหมด และ a12x2 = จ านวนทดนทใชในการผลตขาวโพดทงหมด a31x3 = จ านวนทดนทใชในการผลตขาวฟางทงหมด a1nxn = จ านวนทดนทใชในการผลต xn ทงหมด

a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = จ านวนทดนทงหมดทใชในการผลตผลผลตทกชนดในฟารม

ซงจ านวนทดนทงหมดทใชในการผลตผลผลตทกชนดในฟารม จะตองเทากบหรอนอยกวาจ านวนทดนทมอย (r1) ดงนนจงเขยนกลมจ ากดขอบเขต เกยวกบทดนไดวา

a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn r1 ท านองเดยวกน a21x1 = (จ านวนแรงงานในเดอนสงหาคมทใชผลตขาว 1 หนวย)(ผลผลตขาว) = จ านวนแรงงานในเดอนสงหาคมทใชในการผลตขาวทงหมด a22x2 คอ จ านวนแรงงานในเดอนสงหาคมทใชในการผลตขาวโพดทงหมด

261

a23x3 คอ จ านวนแรงงานในเดอนสงหาคมทใชในการผลตขาวฟางทงหมด a2nxn คอ จ านวนแรงงานในเดอนสงหาคมทใชในการผลต xn ทงหมด

a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = จ านวนแรงงานในเดอนสงหาคม ทงหมดทใชในการผลตผลผลตทกชนดในฟารม ซงจะตองเทากบหรอนอยกวาจ านวนแรงงานในเดอนสงหาคมทงหมดทมอย (r2) กลมจ ากดขอบเขตเกยวกบแรงงานในเดอนสงหาคม จงเขยนไดวา

a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn r2 กลมจ ากดขอบเขตของปจจยการผลตอน ๆ พจารณาไดท านองเดยวกน ตวอยาง การสรางกลมจ ากดขอบเขต (Constraint Set) ถาฟารมแหงหนงมปจจยการผลตจ ากดอยสองชนด คอ มทดนอย 30 ไร และมแรงงานอย 2,000 ชวโมง ท าการผลตผลผลต 2 ชนด คอ ขาวและขาวโพด ถาฟารมแหงนผลตขาวไดไรละ 50 ถง และผลตขาวโพดไดไรละ 30 ถง ซงในการนตองใชแรงงาน 160 ชวโมง และ 120 ชวโมง ในการผลตขาวและขาวโพดตอไรตามล าดบ การสรางกลมจ ากดขอบเขต กระท าไดดงน ก าหนดให x1 = ผลผลตขาว x2 = ผลผลตขาวโพด r1 = จ านวนทดน r2 = จ านวนแรงงาน

เมอปจจยการผลตจ ากด 2 ชนดจงมกลมจ ากดขอบเขต 2 อยาง ซงมรปแบบทวไปดงน

a11x1 + a12x2 r1 ทดน

a21x1 + a22x2 r2 แรงงาน ตามกลมจ ากดขอบเขตทงสองน a11 คอ จ านวนทดนทใชในการผลตขาว 1 ถง a12 คอ จ านวนทดนทใชในการผลตขาวโพด 1 ถง a21 คอ จ านวนแรงงานในเดอนสงหาคมทใชผลตขาว 1 พง a22 คอ จ านวนแรงงานในเดอนสงหาคมทใชผลตขาวโพด 1 ถง

262

จากโจทย จงค านวณ a11, a12, a21, a22 ไดมคาเทากบ 0.02 ไร 0.03 ไร 3.2 ชวโมง และ 4 ชวโมง ตามล าดบ ดงนนกลมจ ากดขอบเขตหลงจากแทนคาตาง ๆ แลวคอ

0.02 x1 + 0.03 x2 30 ทดน

3.2 x1 + 4 x2 2,000 แรงงาน 3. ตวแปรไมเปนคาลบ (Non-negativity Restrictions) หมายถง การก าหนดวา คาตวแปรตาง ๆ (x1, x2, x3, …, xn) ทค านวณไดจะตองไมคาเปนลบ จากตวอยางในขอ 2 เมอค านวณคา x1 และ x2 ออกมาแลว คา x1 และ x2 จะตองไมมคาเปนลบ คอ จ านวนผลผลตขาวและจ านวนผลผลตขาวโพดจะตองไมมคาเปนลบนนเอง รปแบบทวไปของตวแปรทไม

เปนลบคอ x1, x2, x3, …,xn 0 ส าหรบตวแปรทไมเปนลบน แมจะไมใชในการค านวณโดยตรงแตเมอมการแกปญหาลเนยรโปรแกรมมงโดยคอมพวเตอร จะเปนขอมลเพอก าหนดใหคอมพวเตอรใหค าตอบภายในขอบเขตทก าหนด ดงนนจ าเปนทจะตองแสดงตวแปรไมเปนลบใหปรากฏ ๆในหนจ าลอง (Model) ของลเนยรโปรแกรมมงเสมอ หนจ าลอง (Model) ของลเนยรโปรแกรมมง จากองคประกอบทง 3 ชนด ในหวขอทแลว ซงเปนองคประกอบของลเนยรโปรแกรมมง จงสรปไดวา ถาฟารมท าการผลตผลผลต n ชนด (n Variables) โดยมปจจยการผลตจ ากดอย m อยาง (m Constraints) หนจ าลองทวไปของลเนยรโปรแกรมมง คอ

Maximize = c1x1 + c2x2 + c3x3 + …+ cnxn

Subject to a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn r1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn r2

a31x1 + a32x2 + a33x3 + … + a3nxn r3

. . . . . . . . . . . . . . . am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn rm

263

And x1, x2, x3, …, xn 0

หรอเขยนโดยสรปดวยการใชสญลกษณ ไดคอ

Maximize =

n

j 1

cjxj

Subject to

n

j 1

aijxj ri (i = 1, 2, 3, …, m)

And xj 0 (j = 1, 2, 3, …, n) ถาฟารมท าการผลตผลผลต 2 ชนด โดยมปจจยการผลตจ ากด 3 ชนด หนจ าลองทวไปคอ

Maximize = c1x1 + c2x2

Subject to a11x1 + a12x2 r1

a21x1 + a22x2 r2

a31x1 + a32x2 r3

And x1, x2 0

หรอ Maximize =

2

1j

cjxj

Subject to

2

1j

aijxj ri (i = 1, 2, 3)

And xj 0 (j = 1, 2) ถาฟารมท าการผลตผลผลต 3 ชนด โดยมปจจยการผลตจ ากด 3 ชนด หนจ าลองทวไปคอ

264

Maximize = c1x1 + c2x2 + c3x3

Subject to a11x1 + a12x2 + a13x3 r1

a21x1 + a22x2 + a23x3 r2

a31x1 + a32x2 + a33x3 r3

And x1, x2,x3 0 หรอ

Maximize =

3

1j

cjxj

Subject to

3

1j

aijxj ri (i = 1, 2, 3)

And xj 0 (j = 1, 2, 3) จะสงเกตเหนวา ฟงกชนเปาหมายมฟงกชนเดยวเสมอ สวนกลมจ ากดขอบเขต จะมจ านวนกลมจ ากดขอบเขตเทากบจ านวนชนดของปจจยการผลตทจ ากดขน การแกปญหาของลเนยรโปรแกรมมง เมอสามารถสรางหนจ าลองของไดสมบรณแลว ปญหาตอไปคอ จะตองหาคาตวแปรตาง ๆ (xj) ในหนจ าลองออกมาใหได ซงตวแปรตางๆ เหลานจะแสดงวา ฟารมนนๆ ควรจะท าการผลตอะไรบาง จ านวนเทาใด และจะจดสรรปจจยการผลตอนจ ากดนนอยางไร จงจะบรรลเปาหมาย คอ ก าไรสงสดทวางไว การแกปญหาม 2 วธ คอ วธกราฟ (Graphic Method) และ วธซบซอน (Simplex Method)

1. วธกราฟ วธกราฟ (Graph)เปนวธทเหมาะสมเฉพาะกบฟารมทจะท าการผลตผลผลตเพยง 2 ชนด และปจจยการผลตไมควรเกน 3 ชนดเทานน ทงนเพราะการสรางกราฟหลาย ๆ มตเปนสงทยงยาก ไมเหมาะสม ในเมอสามารถแกปญหาดวยวธอนไดอก เพอใหเขาใจไดงาย จงใชตวอยางทสมมตขนประกอบค าอธบาย

265

ตวอยาง ฟารมแหงหนงมทดน 27 ไร มแรงงานเดอนสงหาคม 240 ชวโมง มแรงงานเดอนตลาคม 210 ชวโมง ผ จดการฟารมตองการใชปจจยการผลตเหลานไปท าการผลตขาวและขาวโพด โดยคาดวาจะไดก าไรจากขาวตนละ 300 บาท และจากขาวโพดตนละ 500 บาท ในการผลตขาว 1 ตนตองใชทดน 3 ไร แรงงานในเดอนสงหาคม 10 ชวโมง แรงงานในเดอนตลาคม 26.25 ชวโมง และในการผลตขาวโพด 1 ตน ตองใชทดน 3 ไร แรงงานในเดอนสงหาคม 40 ชวโมง แรงงานในเดอนตลาคม 10 ชวโมง จากรายละเอยดนใหสรางหนจ าลองทสมบรณและหาจ านวนการผลตขาวและขาวโพดทจะท าใหไดก าไรสงสด ตามตวอยางนจะท าการผลตผลผลต 2 ชนด โดยพจารณาปจจยการผลต 3 ชนด ดงนน หนจ าลองโดยทวไปในกรณนคอ

Maximize = c1x1 + c2x2

Subject to a11x1 + a12x2 r1

a21x1 + a22x2 r2

a31x1 + a32x2 r3

And x1, x2 0 ถา x1 = จ านวนผลผลตขาว x2 = จ านวนผลผลตขาวโพด r1 = จ านวนทดน r2 = จ านวนแรงงานในเดอนสงหาคม r3 = จ านวนแรงงานในเดอนตลาคม แทนคาตวเลขตาง ๆ ตามโจทยตวอยางในหนจ าลองทวไปจะไดหนจ าลองตามโจทยคอ

Maximize = 300 x1 + 500 x2

Subject to 3x1 + 3x2 27 ทดน

10x1 + 40x2 240 แรงงานเดอนสงหาคม

26.25x1 + 10x2 210 แรงงานเดอนตลาคม

And x1, x2 0

266

จากกลมจ ากดขอบเขตทง 3 ชนดน เพอจะหาพนทซงสามารถผลตขาวและขาวโพดได

โดยอยในขอบเขตของปจจยการผลตทง 3 ทมอย จงตองเปลยนเครองหมาย ใหเปน = ทงหมด แลวน ามาเขยนกราฟซงจะไดเสนตรง 3 เสน ดงรปท 18

รปภาพท 18 พนททเปนไปได (Feasible Region) ของปจจยการผลตทจ ากด 3 ชนด

ทมา: (ดดแปลงจาก ไพฑรย คชมาตย, 2539, หนา 134) ตามรปท 18 พนทนอกเหนอจากพนททเปนไปได (Feasible Region) ไมสามารถท าการผลตไดเพราะปจจยการผลตไมพอ เชน ทจด ก. อยใตเสนแรงงานเดอนตลาคม แตสงกวาเสนทดนและเสนแรงงานเดอนสงหาคม แสดงวา การผลตทจด ก แมจะมแรงงานเดอนตลาคมเพยงพอจะท าการผลต แตกมทดนและแรงงานเดอนสงหาคมไมพอ หรอทจด ข. กแสดงวา แมผผลตจะมทดนและแรงงานเดอนตลาคมเพยงพอ แตแรงงานเดอนสงหาคมไมพอ จงท าการผลตไมไดเชนกน พนทภายใตแรเงา แสดงขอบเขตทจะท าการผลตไดโดยมปจจยการผลตพอเพยง เชน ทจด ค. มปจจยการผลตทง 3 ชนดเพยงพอทจะท าการผลต x1 จ านวน oa หนวย และผลต x2 จ านวน ob หนวย แตปจจยการผลตทง 3 ชนดยงมเหลอทจะท าการผลตตอไปไดอก ผผลตจงควร

B

C

A

D X1

X2

26.25X1 + 10X2 = 210 แรงงานเดอนตลาคม

3X1 + 3X2 = 27 ทดน

10X1 + 40X2 = 240 แรงงานเดอนสงหาคม

.ก

.ข

.ค b

a 0

Feasible Region

267

ผลตใหมากขนอกเพอบรรลวตถประสงคก าไรสงสด ดงนน จงเหลอจดทจะพจารณาเพยง 4 จด คอ A, B, C และ D

การผลตทจด A ท าใหแรงงานเดอนสงหาคมหมดพอดแตทดนและแรงงานเดอนตลาคมเหลอ

การผลตทจด B ท าใหแรงงานเดอนสงหาคมและทดนหมด แตแรงงานเดอนตลาคมเหลอ

การผลตทจด C ท าใหทดนและแรงงานเดอนตลาคมหมด แตแรงงานเดอนสงหาคมเหลอ

การผลตทจด D ท าใหแรงงานเดอนตลาคมหมด แตทดนและแรงงานเดอนสงหาคมเหลอ

จงตองพจารณาวา ใน 4 จดนจดใดจะท าใหก าไรสงสด

การพจารณาวธท 1 จากฟงกชนเปาหมาย Maximize = 300 x1 + 500 x2

หรอ x2 = 500

- 5

3 x1

สมการน จงเปนสมการเสนตรงทมความชน เทากบ - 5

3 ดงแสดงโดยเสนจดไขปลา ในรปท 19

6 5

4 รปภาพท 19 การแกปญหาลเนยรโปรแกรมมงดวยกราฟ ทมา: (เบญจมาส ลกษณยานนท, 2547, หนา 28)

A B

C

D X1

X2

268

ทกๆ จดบนเสนไขปลาแตละเสนแสดงจ านวนการผลต x1 และ x2 ทจะไดก าไรเทากน จงเรยกวาเสนผลก าไรเทากน (Iso-profit) เสนนทระดบเหนอขนไปแสดงระดบก าไรทสงกวาเสนลาง (ท านองเดยวกบเสนผลผลตเทากน (Iso-quant) ในบทท 4) ตามวตถประสงคทตองการก าไรสงสด ดงนนจงตองเลอกใชเสนผลก าไรเทากนทอยในระดบสงทสด แตยงคงอยในขอบเขตของ

พนททแรเงา (Feasible Area) เราจงเลอนเสนผลก าไรเทากนทมความชนเปน - 5

3 ขนไป

จนกระทงถงจดปลายสดของพนททแรเงา ในทนทจด B จะเปนจดแสดงจ านวนการผลต x1 และ x2 ทจะไดก าไรสงสด ทจด B อานคาจ านวนการผลต x1 และ x2 ไดเทากบ 4 ตนและ 5 ตนตามล าดบ แทนคา x1 และ x2 ในฟงกชนเปาหมาย จะทราบก าไรทจะไดรบจากการผลตคอ

Maximize = 300 (4) + 500 (5) = 3,700 บาท การพจารณาวธท 2 เปนการหาก าไรของแตละจด แลวน ามาเปรยบเทยบกนวาจดไหนจะใหก าไรสงสด ถาเขยนกราฟไดละเอยดเพยงพอกอานคา x1 และ x2 ทจด A, B, C และ D ไดเลย แลวน าคา x1, x2 ทไดไปแทนในฟงกชนเปาหมาย จะไดก าไรของแตละจดการผลตออกมา เมอเปรยบเทยบกนจะทราบจดก าไรสงสดเชนเดยวกน ในกรณทกราฟไมละเอยดเพยงพอจ าเปนตองอาศยการค านวณจากสมการกลมจ ากดขอบเขต ตางๆ เขาชวย ดงน (ดรปท 19 ประกอบค าอธบาย) ทจด A เมอ x1 = 0, x2 = 6

ดงนน Maximize = 300 (0) + 500 (6) = 3,000 บาท ทจด B คา x1 และ x2 เกดจากเสนทดนตดกบเสนแรงงานเดอนสงหาคม จงใชสมการาของทงสองเสนน ค านวณคา x1 และ x2 3x1 + 3x2 = 27 10x1 + 40x2 = 240 จากสมการทงสองน ค านวณคา x1 และ x2 ไดเทากบ 4 และ 5

ดงนน Maximize = 300 (4) + 500 (5) = 3,700 บาท

269

ทจด C สมการทตองการใชในการค านวณคอ 3x1 + 3x2 = 27 และ 26.25x1 + 10x2 = 210 จะไดคา x1 = 7.385, x2 = 1.615

ดงนน Maximize = 300 (7.385) + 500 (1.615) = 3,023 ทจด D x1 = 8, x2 = 0

Maximize = 300 (8) + 500 (0) = 2,400 จะพบวา การผลตทจด B ไดก าไรสงสดเชนเดยวกบการพจารณาวธแรก ดงนนค าตอบของเราคอ ผผลตควรท าการผลตขาว 4 ตนและผลตขาวโพด 5 ตน จะไดก าไรสงสดเทากบ 3,700 บาท ดงไดพจารณามาแตแรกแลววา การผลตทจด B จะท าใหแรงงานเดอนสงหาคมและทดนหมด แตแรงงานเดอนตลาคมเหลอ จะแสดงใหเหนจรงไดดงตอไปน จากโจทยเราทราบวา การผลตขาว 1 ตน ตองใชแรงงานเดอนสงหาคม 10 ชวโมง และทดน 3 ไร เมอผลตขาว 4 ตน จงใชแรงงานเดอนสงหาคม = 4 x 10 = 40 ชวโมง และทดน 4 x 3 = 12 ไร และการผลตขาวโพด 1 ตน ตองใชแรงงานเดอนสงหาคม 40 ชวโมง ทดน 3 ไร เมอผลตขาวโพด 5 ตน จงใชแรงงานเดอนสงหาคม = 5 x 40 = 200 ชวโมง ทดน 5 x 3 = 15 ไร รวมแลวจงพบวา ในการผลตขาว 4 ตน และขาวโพด 5 ตน จะตองใชแรงงานเดอนสงหาคม 40 + 200 = 240 ชวโมง ทดน 12 + 15 = 27 ไร ซงเทากบจ านวนทฟารมมพอด ส าหรบแรงงานเดอนตลาคมจะถกใชไปในการผลตดงกลาวน คอ ขาว 4 ตน ใชแรงงานเดอนตลาคม = 4 x 26.25 = 105 ชวโมง ขาวโพด 5 ตน ใชแรงงานเดอนสงหาคม = 5 x 10 = 50 ชวโมง รวม = 155 ชวโมง ในการผลตทจด B นจงมแรงงานเดอนตลาคมเหลอ = 210 – 155 = 55 ชวโมง

270

2. วธซบซอน ใชวธซบซอน (Simplex Method) เนองจากขอจ ากดของวธกราฟทไมสามารถแกปญหาของลเนยรโปรแกรมมง ในกรณทตวแปร (x1) จ านวนมาก และมปจจยการผลตทจ ากดหลาย ๆ ชนด (r1) ดงกลาวมาแลวในตอนตน วธ Simplex Method งถกน ามาใชเพอแกปญหาทมความซบซอนยงขน ซงจะอธบายโดยใชตวอยางประกอบตอไปน สมมตวา หนจ าลองของลเนยรโปรแกรมมงคอ

Maximize = 40x1 + 30x2

Subject to x1 16

x2 8

x1 + x2 24

And x1, x2 0

จากกลมจ ากดขอบเขตทง 3 ชนดน ถาจะเปลยนเครองหมาย ใหเปนเครองหมาย = ทงหมด จะตองบวกตวเลขจ านวนหนงเขาไปในดานซายของสมการทงสาม ตวเลขทบวกเขาไปน เรยกวาตวแปรลดหยอน (Slack Variables) สมมตใหคาน ในสมการจ ากดขอบเขตท i คอ Si ดงนน สมการจ ากดขอบเขตทงสองสมการเมอมเครองหมาย = จงเปนดงน x1 + S1 = 16 ………………….. (1) x2 + S2 = 8 ………………….. (2) x1 + 2x2 + S3 = 24 ………………….. (3) ถา (1) แสดงถง ทดน S1 กคอ จ านวนทดนทไมไดใชในการผลต ส าหรบ S2 และ S3 กพจารณาท านองเดยวกน ตวแปรลดหยอน (Slack Variables) นจะไมมผลตอก าไร แตจะตองใสเขาไปในสมาการเปาหมายดวย โดยใหสมประสทธหนาตวแปรลดหยอน ในฟงกชนเปาหมายเปนศนย ฟงกชนเปาหมาย จงเขยนใหมไดคอ

Maximize = 40x1 + 30x2 + 0S1 + 0S2 + 0S3

271

ตวแปรทไมเปนลบ กจะเปลยนไปเปน x1, x2, S1, S2, S3 0 เมอรวมสมการทงหมดทเปลยนแปลงแลวเขาดวยกน และจดเรยงใหมจะเปนดงน

Maximize = 40x1 + 30x2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 Subject to x1 + S1 = 16 X2 + S2 = 8 x1 + 2x2 + S3 = 24

And x1, x2, S1, S2, S3 0

หรอ - 40x1 - 30x2 - 0S1 - 0S2 - 0S3 = 0 x1 + S1 = 16 x2 + S2 = 8 x1 + 2x2 + S3 = 24 การน าสมประสทธของตวแปรและคาคงทตางๆ เขยนลงในตาราง I เพอค านวณตอไป ดงนนตารางท I จงเปนดงน

ตาราง I x1 x2 S1 S2 S3 คาคงท แถว 0 1 -40 -30 0 0 0 0 แถว 1 0 1 0 1 0 0 16 แถว 2 0 0 1 0 1 0 8 แถว 3 0 1 2 0 0 1 24

เมอตารางท I เรยบรอยแลว พจารณาเปนขน ๆ ดงน ขนท 1 พจารณาคาตวเลขใน แถว 0 ทมเครองหมายลบ แลวเลอกคาทมากทสดเมอไมค านงถงเครองหมาย ในกรณนมคาทตองพจารณา 2 คาคอ -40 กบ -30 เ มอไมค านงถงเครองหมาย 40 จงมากกวา 30 ตวเลข 40 นอยในคอลมนของ x1 เรยกคอลมนของ x1 วาคอลมนหลก (Pivot Column)

272

ขนท 2 น าคาตวเลขตางๆ ในคอลมนหลก เฉพาะทมคาเปนบวกไปหารตวเลขใน คอลมนคาคงทของแตละแถว ตามตวอยางคาตวเลขในคอลมนหลกมคาเปนบวกมอย 2 คาคอ 1 ใน แถว 1 กบ 1 ใน แถว 3

เอา 1 ใน แถว 1 ไปหาร 16 ในคอลมนหลกได = 1

16

เอา 1 ใน แถว 3 ไปหาร 24 ในคอลมนหลกได = 1

24

เปรยบเทยบผลหารทไดนวา คาไหนนอยทสด คาทนอยทสดอยในแถวไหน เรยกแถวนนวาแถวหลก (Pivot Row)

จากตวอยาง คานอยทสดของผลหารคอ Min 1

16 , 1

24 = 16

ผลหารทนอยทสดนอยในแถว 1 จงเรยกแถว 1 วา แถวหลก (Pivot Row) ขนท 3 เมอไดคอลมนหลกและแถวหลกแลว ตวเลขทจดตดกนของคอลมนหลกกบแถวหลก เรยกวา จดหลก (Pivot Element) และจากตารางท I จดหลก คอ 1 ซงไดวงกลมลอมรอบไว ขนท 4 จะตองท าให จดหลกเปน 1 และตวเลขอน ๆ ในคอลมนหลกเปนศนยหมด ตามตวอยาง จดหลกเปน 1 อยแลวจงไมตองท าอะไรอก แถว 1 ในตารางท I จงยายมาเขยนเปน แถว 1 ในตารางท I I ไดเลย แตถา จดหลกเปนคาอน สมมตวาเปน k เราตองเอา k หารตลอดทง แถว 1 เสยกอน คา จดหลกจงจะเปน 1 แลวจงยายผลทไดมาเขยนเปน แถว 1 ในตารางท I I งานตอไป คอ ท าใหตวเลขอนๆ ใน คอลมนหลกเปนศนยใหหมด ใน แถว 2 คาตวเลขใน คอลมนหลกเปนศนยอยแลว จงยาย แถว 2 ในตารางท I ไปเขยนเปน แถว 2 ในตารางท I I ไดเลย ใน แถว 0 จะตองท า -40 ใหเปนศนย

วธท าคอ จะตองเอา แถว ทตองการท าเปนตวตง แลวถกกระท าดวย แถว ทม จดหลกเสมอ นนคอ

273

แถว 0 1 -40 -30 0 0 0 0 แถว 1 x 40 0 40 0 40 0 0 640 1 0 -30 40 0 0 640 ผลลพธทไดยายไปเขยนลงใน Row 0 ของตารางท II ใน แถว 3 ตองท า 1 ใหเปนศนย ซงท าไดโดย แถว 3 – แถว 1 ผลลพธทไดยายไปเขยนใน แถว 3 ของตารางท II ดงนน ตารางท II ทสมบรณจงเปนดงน

ตาราง II x1 x2 S1 S2 S3 คาคงท แถว 0 1 0 -30 40 0 0 640 แถว 1 0 1 0 1 0 0 16 แถว 2 0 0 1 0 1 0 8 แถว 3 0 0 2 -1 0 1 8

จากตารางท II เรมพจารณาใหมท านองเดยวกบการพจารณาในตารางท I โดยเรมพจารณาคาตวเลขใน แถว 0 ทมเครองหมายลบ ในตารางท II นเหลอคาทเปนลบคาเดยว คอ -30 ซงอยในคอลมนของ x2 ดงนนคอลมน x2 จงเรยกวาคอลมนหลก หาแถวหลกตอไปท านองเดยวกบทกลาวมาแลว คอ น าคาตวเลขตาง ๆ ในคอลมนหลกเฉพาะทมคาเปนบวกไปหารตวเลขในคอลมนคาคงทในแตละแถวแลวเลอกคาของผลหารทนอยทสด

Min 1

8 , 2

8 = min (8,4) = 4

ผลหารทมคานอยทสดอยใน แถว 3 ดงนน แถว 3 จงเปน แถวหลก ทจดตดของ คอลมนหลกกบแถวหลกน จะได จดหลก คอ 2 ซงไดวงกลมลอมรอบไว ตอมาท าจดหลกใหเปน 1 โดยใช 2 หาร แถว 3 ตลอด น าผลหารทไดยายไปเขยนใน แถว 3 ของตารางท III ท าตวเลขอน ๆ ใน คอลมนหลกเปนศนยใหหมด แถว 1 เปนศนยอยแลวจงยายไปเขยนลง แถว 1 ในตารางท III ไดเลยใน แถว 0 ตองท า -30 ใหเปนศนย ซงท าไดโดย แถว 0 + แถว 3 x 15

+

274

แถว 0 1 0 -30 40 0 0 640 แถว 3 x 15 0 0 30 -15 0 15 120 1 0 0 25 0 15 760 ผลลพธน น าไปเขยนลง แถว 0 ของตารางท 3

ใน แถว 2 ตองท า 1 ใหเปนศนย โดยใช แถว 2 – แถว 3 x 2

1

แถว 2 0 0 1 0 1 0 8

แถว 3 x 2

1 0 0 1 -2

1 0 2

1 4

0 0 0 2

1 1 -2

1 4

ผลลพธเขยนลงใน แถว 2 ของตารางท III ดงนน ตารางท III จะเปนดงน

ตาราง III x1 x2 S1 S2 S3 คาคงท แถว 0 1 0 0 25 0 15 760

แถว 1 0 1 0 1 0 0 16

แถว 2 0 0 0 2

1 1 -2

1 4

แถว 3 0 0 1 -2

1 0 2

1 4

จากตารางท III เมอเรมตนพจารณาใหม จะเหนวาใน แถว 0 ไมมตวเลขทมคาเปนลบเหลออยอก จงไมตองพจารณาตอไป การแกปญหานจงเสรจสนในตารางท 3 น ค าตอบทไดรบจากตารางท III ทราบไดโดยพจารณาจากหนวยบอกทศทาง (Unit Vectors) จะได

= 760, x1 = 16, x2 = 4, S2 = 4

+

275

ส าหรบ S1 และ S3 ไมเปนหนวยบอกทศทาง (Unit Vectors) พจารณาไดวา S1 และ S3 มคาเปนศนยจงกลาวไดวา ผผลตควรจะท าการผลต x1 16 หนวย, x2 4 หนวย จะไดก าไรสงสดเทากบ 760 โดยในการผลตนจะใชปจจยการผลตชนดท 1 (S1) และปจจยการผลตชนดท 3 (S3) หมด แตยงเหลอปจจยการผลตชนดท 2 (S2) อย 4 หนวย การอธบายถงวธการลเนยรโปรแกรมมง ในบทน เพยงเพอเปนพนฐานเบองตนเพอใหเขาใจถงกระบวนการของโปรแกรมนเทานน ในทางปฏบตตวแปรตาง ๆ ตลอดจนปจจยการผลตทจ ากดนนอาจมจ านวนมาก จนท าใหหนจ าลองมขนาดใหญ การแกปญหาจงตองใชคอมพวเตอรเขาชวย ซงผ ทสนใจควรจะไดศกษาตอไป อยางไรกตาม การใชโปรแกรมน อาจไมเหมาะกบเกษตรกร แตเหมาะกบนกวชาการเกษตร หรอนกวจยทอาจท าการศกษาตวแปร และไดผลสรปทางงานวจยดานการผลตพชและผลตสตวใหกบเกษตรกรไดใชประโยชนตอไป สรปสาระส าคญของบทท 8 ปจจยการผลตทมอยอยางจ ากด จะถกน ามาผานกระบวนการผลตเพอใหไดผลผลต ตามหลกเศรษฐศาสตร และตามหลกการตดสนใจทางการจดการทมประสทธภาพ เกษตรกรหรอผผลตตองใชปจจยการผลต โดยเลอกท าการผลต ณ จดทท าใหไดก าไรสงสด ในการพจารณาความสมพนธของปจจยการผลตกบผลผลต ในความสมพนธนนมสงทตองเขาใจ 3 อยาง คอ (1) ผลผลตทงหมด (2) ผลผลตเฉลย และ (3) ผลผลตเพม ซงเราพจารณาความสมพนธของผลผลตทงหมด ผลผลตเฉลย และผลผลตเพม ดงน (1) ความสมพนธระหวางผลผลตทงหมดกบผลผลตเพม และ (2) ความสมพนธระหวางผลผลตเพมกบผลผลตเฉลย ลกษณะความสมพนธจะเปนไปตามกฎผลตอบแทนลดนอยถอยลง และเราจะเลอกท าการผลตในระยะทสอง (ระยะสมเหตสมผล) เลอกทการผลต ณ จดทไดก าไรสงสด ซงสงทตองทราบคอ (1) ราคาของปจจยการผลต และ (2) ราคาของผลผลตทขายได นอกจากนยงใชลเนยรโปรแกรมมงชวยในการวางแผนการผลตไดดวย ส าหรบการเลอกท าการผลต ณ จดทท าใหตนทนต าทสดจะกลาวถง ในบทท 9 ตอไป

276

ค าถามทายบท

1. จงอธบายความสมพนธของปจจยการผลต การผลต และผลผลต 2. ฟงชนการผลตคออะไร 3. เหตใดเมอเราสนใจปจจยการผลตตวใดตวหนง ท าไมตองใหปจจยการผลตตวอนๆ

คงทหมด 4. ในการท าการเกษตร เชนปลกพช ความสมพนธของปจจยการผลตกบผลผลตมกฎวา

อยางไร 5. ผลผลตทงหมดตางกบผลผลตเพมอยางไร 6. เหตใดผลผลตเพมจงมคาเปนลบได ชวงทเปนลบคอชวงระยะใดของเสนกราฟ 7. ระยะใดของกราฟทเกษตรกรควรท าการผลต และระยะใดทไมควรท าการผลต 8. เราควรเลอกใชปจจยการผลตทท าใหไดผลผลตสงสดใชหรอไม เพราะเหตใด 9. การจะทราบจดทท าก าไรสงสดเราตองทราบราคาของอะไรบาง 10. ลเนยรโปรแกรมมงคออะไร ใชท าอะไร