ตวอยางท 25 จากรป จงหาความดนท A กำาหนดให ความหนาแนนนำ�ามน = 0.75 103 ความหนาแนนนำ�ามน = 13.6 103 กก/ม 3

ก. 8800 N / m2 ข. -8800 N / m2 ค. -9600 N / m2

ง. 9600 N / m2

วธทำา จากรป ความดนทจด x = ความดนทจด Y PA + ( gh ) = ( หาความดนเกจไมคด

ความดบรรยากาศ ) PA = --( gh ) = 13.6 x 103 x 10 x 0.23 = -3.128 x104N/m4

จากรป PA = P + (gh ) แทนคา PA = -3.128 x 104 + 0.75 x 103 x 3 PA = -3.128 x 104 +2.25 x 104 = -8780 N /m2 ตอขอ ข.

ตวอยางท 26 จากรปกำาหนดความดนบรรยากาศ = 105 นวตน / ม. ความหนาแนนของปรอท= 13.6 x 103 กก. / ม 3 จงหาคา x

.א 1.04 m.ב 0.96 m.ג 0.89 m ง. 0.72 m

วธทำา จากรป ความดนทจด P = ความดนทจด Q แทนคา P2 + (gh ) = PA P2+ 13.6 x 103 x 10 x 0.254 = 105

P2 = 105 - 0.34 x 105 = 0.655 x 105

จากรป ความดนทจด x = ความดนทจด y แทนคา P1 = P2+ ( gh )

2.07 x 105 = 0.655 x 105 +13.6 x 103 x 10x 1.415 x 105 = 13.6 x 104 x X = 1.04 m ตอบขอ ก.

ตวอยางท 27 จากรป กำาหนดวามดนบรรยากาศ 1.013 105 น�วตน / ม. จงหาความดน อากาศในถงเหนอนำ�าถาความหนาแนนของปรอทเปน 13.6 103 กก./ม.

ก. 7.32 104 N / m2

ข. 8.28 104 N / m2

ค. 9.59 104 N / m2

ง. 10.24 104 N / m2

วธทำา จากรป ความดนท X = ความดนท Y PA + (gh )Hg = PaPA + 13.6 103 10 ( 5 sin 53 องศา ) 10-2 = 1.013 105

PA + 5.44 103 = 1.013 105 ดงน�น PA =10.13 104 - 0.544 104 = 9.586 104 N / m2 ตอบขอ ค.

ตวอยางท 28 เขอนก�นนำ�าแหงหนง ตวเขอนยาว 10 เมตร สง5 เมตร วศวกรผออก เขอนได

กำาหนดแรงดนท�งหมดของนำ�าทตว เขอนจะรบได 8105 น�วตน จงคำานวณหาระดบนำ�าเหนอเขอนทเขอนจะ

รบไวได กำาหนดวามหนาแนนนำ�า = 103 กก. /ม.3 และใหบอกตำาแหนงของแรงดนทกระทำาตอตวเขอนมาดวยวธทำา ใหสเกตรปแลวเขยนรปปรซมความดน

ใหเขอนนำ�าสง = H ดงน�น F = ปรมาตรปรซมความดน แทนคา F = ( gh H ) L F = gH2 L

จากโจทย F = 8 105 N, =103 Kg /m2 , L =10 m , g =10m/ s2

แทนคา 8 105 = 103 10 H2 10 H2 = 16 H = 4 m

ดงน�น เขอนรบนำ�าได = 4 m และ ตำาแหนงของแรงดนสงจากพ�น = = = 1.33 m

ตอบ

ตวอยางท 29 ตามรปแสดงพ�นทหนาตดของเขอน 4 แบบ เขอนน�ยาว a สง h กกนำ�าเตม F1 , F2 , F3 และ F4 เปนแรงดนของนำ�าทกระทำาตอเขอนท�งสตามลำาดบ แรงน�มทศต�งฉากและพงเขาระนาบ

ของกระดาษ จงพจารณาวาขอใดตอไปน�ถกตอง

1) F3 = F4 2) F1 = F3 3) F3 F4

4) F1 = F2 5) F2 F4 วธทำา จงพจารณาความดนของนำ�าทกระทำาตอเขอน จะไดลกษณะของความ ดนดงรป

เขอนในรปหนง 1 และ 2 จะไดรบความดนกระจายไปตามแนวความยาวเทากบ คอ เ ทากบ a ดง น�นแรง F1 = F2

เขอนในรปท 3 พ�นทสวนลางไดลดลงและไปเพมทสวนบน จากกราฟความดนจะเหนไดวาสวนลางมความดน

มากกวาสวนบน จงทำาใหแรงดนเขอนในรป3 ลดลงF1ดงน�น F3< F1 = F2

เขอนในรปท4 พ�นทสวนบนลดลงและไปเพมทสวนลางทำาใหไดรบความดนเพมจาก F1 ดงน�น F4 > F1 = F2

ตอบขอ4

ตวอยางท 30 ภาชนะใบหนงบรรจนำ�าเกลอความหนาแนน 1.6 103 กก./ม.3 ไวจนเตม ดานขาง

ดานหนง โปงออกไปเปนรปครงทรงกลมรศม 7 ซม. ดานขางอกดานหนงอยในลกษณะเอยงตามรปและมพ�นท

144 ซม. ถาคอของภาชนะยาว 110 ซม. จงหาแรงดนทางดานทเอยง และ แรงดนแนวราบทดานโปง

วธทำา ใหเขยนรปปรซมความดนทดาน AB และ CD หาแรงดนทดานเอยง AB P1 = gh1 = 1.6103 101010-2 = 1.6103 N/m2

P2 = gh2 = 1.6 10310 24 10-2 = 3.86103 N/m3

แรงดนทดานAB = ปรมาตรปรซมความดน

= HL = (1.61033.84103) ( 14410-4) = 39.17 นวตน

ดงน�น แรงกระทำาทดานเอยง = 39.17 นวตน ตอบ

หาแรงดนแนวราบทดานโปง เนองจากความดนต�งฉากกบผวทรงกลม ดงน�นเมอแตกความดนทกความดนใหอยในแนวราบ และนาวดง จะไดความ

ดนแนวดงหกลางกน แตความดนแนวราบเสรมกนดงรป

ดงน�น แรงดนแนวราบทดานโปง = ( P1+P2 ) = ( 1.6103+ 3.84103) ( 710-2)2

= 41.89 นวตน ดงน�น แรงแนวราบทดานโปง = 41.89 นวตน ตอบ

ตวอยางท 31 ประตกนนำ�าดงรป มขนาด1.20 1.80 เมตร 2 ก�นนำ�าสง 3 เมตร จงหาแรงดน

ทกระทำาตอประตก �นนำ�า กำาหนดความหนาแนนนำ�า = 103 กก. /ม 2

วธทำา ใหเขยนรปปรซมของความดน P1 = gh1 = 103101.2 = 12 103 N / m2

P2 = gh2 = 103 103 = 30103 N / m2

F = ปรมาตรปรซม F = ( P1 + P2 ) 1.80 1.20 F = ( 12+ 103 +30 103 )1.8 1.2 = 45.36 103 N

ดงน�น แรงดนทกระทำากบประต = 45.36 103 นวตน ตอบ

ตวอยางท 32 ถงเปนใบหนงมพ�นทหนาตด 5 ตารางเมตร สง 2 เมตร บรรจนำ�าไวเตมต�งบนฐานสงจาก

พ�นดน 2 เมตร ทกนถงตอทอลงมายงถงปดรปลกบาศมปรมาตร 1 ลกบาศกเมตร และมนำ�าอยเตมถงอยบน

พ�นดน ถาความหนาแนนของนำ�าเทากบ 1 103 กโลกรมตอลก บาศกเมตร และความดนบรรยากาศเทากบ 105 น�วตนตอตารางเมตร จงหาแรงดนท �งหมดของนำ�าทกระทำากบผนงดานขางแตละดานของถงปด ( ความเรง

เนองจากสนามโนมถวงของโลก = 10 ม. / วนาท )1 ) 1.35 105 N 2 ) 1.3 105 3)

1.1 105 4 ) 1.05105วธทำา เขยนรปตามขอมลของโจทย

เขยนรปปรซมความดนทกระทำาตอขางภาชนะ P1 = Pa+ = 105+ 103x10 x3 = 1.3 x 105 N/m2

P2 = Pa+ = 105+ 103x10x4 = 1.4 x 105 N/m2

แรงดนขางภาชนะแตละดาน = ปรมาตรปรซมความดน = ( P1+ P2) x 1x1 = ( 1.3x 105+1.4x105 ) = x 2.7x105 = 1.35x105 N แรงดนขางภาชนะแตละดาน = 1.35x105 N

ตอบขอ 1

ตวอยางท 33 มาโนมเตอรชนดหลอดแกวรปตวยตออยกบถงปรมาตร V บรรจกาซจำานวน n โมล และ อณหภม t องศาเซลเซยส ถาเราทำาการทดลองโดยเปลยนอณหภมของกาซจะไดความสมพนธระหวางผลตางของ

ระดบของเหลวในสองแขนของหลอดแกว ( d ) กบอณหภมของกาซ ( เปนไปตามกราฟเสนใด ถาความดนกาซ

เมอ t =0 องศาเซลเซยสนอยกวาความดน บรรยากาศ

1) ก 2) ข 3) ค 4) ง

วธทำา เขยนรปตามขอมลโจทย สมมตวากาซในภาชนะมความดนตำากวาบรรยากาศ ระดบของเหลวจะสงกวาปลายทสมผสกบ อากาศ

หาความดนกาซในภาชนะจาก PV = nRT P =

จากรปจะได P = Py P+gd = P a แทนคาP จะได ; + gh = Pa

gh = Pa - d =

( = -( t + ( )- - - - - -

ถา d = h1 - h2 และเมอ t =0 c ความดนกาซนอยกวาความดนบรรยากาศ จะไดh1 h2 ดงน�นคา d จะเปนบวก

จากสมการ จะได คาคงท = m และ คาคงทเปนบวกให = C สมการ เขยนใหมได d = -mt + C เขยนกราฟความสมพนธจะไดดงรป

จากรป ถา d = h1 - h2 จะได d มคาเปนลบ ดงน�นสมการ (1) เขยนใหมได -d = - ( ) t+ ( ) d = ( ) t - ( ) - - - - - - - (2)

แทนคา m และ c ในสมการ (2) จะได d = mt - C เขยนกราฟ d และ t

ดงน�นกราฟทถกตองควรเปนกราฟ ก และ ง คำาตอบทถกคอขอ 1 และขอ4 ตอบ

ตวอยางท 34 ภาชนะรปลกบาศกยาวดานละ 60 ซม. บรรจของเหลว 3 ชนด คอนำ�ามน ม นำ�า และ

ปรอทซงมความหนา 0.9 103 กก. /ม.3 1.000 กก. /ม 3 และ 13.6 103 กก. / ม 3 ตามลำาดบ จงหาแรงดนของของเหลวทกระทำาตอขางภาชนะ

วธทำา เขยนรปปรซมความดน ดงรปขวามอ

P1 = ( gh ) นำ�ามน = 0.9 103 10 0.3 = 2.7 103 N/m2

P2 = P1 +(gh ) นำ�า = 2.7 103 +103 10 0.2 = 2.7 103 + 2 103 = 4.7 103 N / m2

P3 = P2 + (gh )ปรอท = 4.7 103 +13.6 103 10 0.1 = 4.7 103+ 13.6103 = 18.3 103 N / m2 ดงน�น แรงดนขางภาชนะ = ปรมาตรรปปรซมความดน F = ( P 1 0.3 0.6 ) + (P 1 + P 2) 0.2 0.6 + (P 2 + P 3 ) 0.10.6 = 0.09 2.7 103 + 0.06 (2.7 103+4.7103 )+0.03 (4.7103+18.3103) = 0.243103+0.444103+0.69103 = 1.377103 นวตน

ดงน�น ความดนขางภาชนะ = ปรมาตรรปปรซมความดน นวตน ตอบ

ตวอยางท 35 ควำาถงทรงกระบอกสง 50 เซนตเมตรใบหนง แลวกดลงในสระ นำ�า ขณะน�นอณหภมทผวนำ�า

เปน 27 C เมอปากถงแตะกนสระ นำ�าถกอดเขาไปทางปากถงสง 20 เ ซนตเมตร เมออณหภมทกนสระเปน

22 C ความลกทแทจรงของนำ�าในสระเปนเทาไร ( ดรปประกรอบ ) กำาหนดให ความดนของบรรยากาศ = 105 N / m2

ความหนาแนนของนำ�า ( ) = 103 kg / m3 ความโนมถวง ( g ) = 10 m / s 1) m 2 ) + 0.2 m 3) m 4) + 0.2 m

วธทำา เขยนรปและกำาหนด P, v และT ลงไปในรปP2 = Pa + gh = 105 +103 x10 (H-0.2 ) = 105+

104 (H-0.2) จาก =

แทนคา , =

= 105+104 ( H- 0.2 ) = H-0.2 H = + 0.2 m

ตอบขอ 2

ตวอยางท 36 จากรปกำาหนดภายในภาชนะบรรจของเหลวท มความหนาแนน 200 กก. /ม 3 จงหา

ก. แรงดนทภาชนะ ข.นำ�าหนกของของเหลวทวหมด

วธทำา หาความดนทกนภาชนะจาก P = gh แทนคา P = 2000x10x4x10 = 800 N /m2

ดงน�น แรงดนทกนภาชนะ = PA = 800x3x3x10-4 = 0.72 N ตอบ

หานำ�าหนกของของเหลวจาก W = Vg แทนคา w = 2000 10-6 x10

ดงน�น นำ�าหนกของเหลว = 1.44 N ตอบ

ตวอยางท 37 วตถรปครงทรงกลม รศม R ควำาอยทกนนำ�าลกH แรงดนลพธทกระทำาบนผวโคงเปนเทาไร ก. gR2 ข. gR2

ค. gR2 ง. gR2

วธทำา

ความดนทนำ�ากระทำาตอครงทรงกลมปรากฏดงรป ( a ) จะเหนไดวาความดนแนวราบจะหก ลางกนหมด คงเหลอแตความดนแนวดง แรงดนของเหลวในแนวดงทกระทำาตอครงทรงกลม มคาเทากบนำ�าหนก

ของของเหลวทอยเหนอครงทรงกลม ดงรป ( b ) จากรป b จะได F = Vg =

F = gR2

ตอบ

ตวอยางท 38 จงหาแรงลพธทกระทำาตอตวเขอน จากรป

วธทำา เขยนรปปรซมความดนทกระทำาตอตวเขอน

จากรป P1 = gh1 = 103x10x20 = 2x105 N /m2

P2 = gh2 = 103x10x10 = 1x 105 N /m2

F1 = ปรมาตรปรซมความดน = x20xP1x20 = 10x20x105x20 = 4x107 N F2 = x10xP2x20 = x10x1x105x20 = 1x107 N

ดงน�น แรงลพธ F = F1 - F2 = 4x107 -1x107 N ตอบ 16 .8 กฏของปาสคาล เมอเพมความดนภายนอกใหกบของเหลวทอยนงในภาชนะปด จะพบวาของเหลวจะพง

ออกจากภาชนะตามจดตาง ๆ ( ทเจาะร ) ดวยแรงดนทเพมข�นน�จะมขนาดมากหรอนอยข�นอยกบขนาดของความดน ภายนอกทเพมข�น ถาเราใหความดนภายนอกมากของเหลวจะพงออกจากภาชนะดวยแรงดนทสงมาก ดงรป

รปท16.8 แสดงการพงของของเหลวออกจากภาชนะเมอเพมความดนภายนอก การทเปนเชนน�ปาสคาลอธบายไดวา เมอเพมความดนภายนอกใหกบของเหลวทอยในภาชนะปด ความดนทเพมข�นน�จะถกถายทอดตาง ๆ ทกจดภายในของเหลว ทำาใหความดนของของเหลวทจดตางๆ ภายในภาชนะ

เพมข�นเทากบความดนภายนอกทเพมใหกบของเหลว ของเหลวจงสามารถพงออกจากภาชนะดวยแรงดนทสงข�น

กวามากหรอนอยตามขนาดของความดนภายนอกทเพมข�นได ปาสคาลไดต�งเปนกฏข�นมา กลาววา " ความดนท กระทำาตอสวนหนงสวนใดของของเหลวทอยในภาชนะปด จะถายทอดความดนน�ไปยงทกๆ จดภายในของเหลวน�น "

ดงรปท 16.10

รปท 16.10 ความดนภายนอกจะถายทอดไปยงทก ๆ จดภายในของเหลวน �น

จากกฏของปาสคาล เราสามารถนำามาอธบายการทำางานของเครองอดไฮโดรลกไดดงน�

เครองอดโดรลกประกอบดวยกระบอกสบและลกสบ 2 ชดเชอมถงกน ภายในกระบอกสบน�บรรจ

ของเหลวไว ดงรปท 16. 11

รปท16.11 แสดงการทำางานของเครองอดไฮโดรลก เมอออกแรง f ทลกสบซงมพ�นทหนาตด a ทำาใหเกดความดน P ตามกฏของปาสคาล ความ

ดนน�จะไปปรากฏทลกสบใหญทมพ�นทหนาตด A ดวย ดงน�นจะได

ความดนทลกสบเลก = ความดนทลกสบใหญ

ดงน�น แทนคา = w = x f

เครองอดไฮโดรลกจงเปนเครองผอนแรงชนดหนง โดยมการไดเปรยบเชงกลเทากบอตราสวน

ของพ�นทหนาตดลกสบเลก , แมแรงสำาหรบยกรถยนต, หามลอไฮโดรลก ลวนแตใชหลกการของเครองอดไฮโดรลกท�งน�น

ขอสงเกต ! 1. หลกของปาสคาลจะใชไดตอเมอของเหลวอยในภาชนะปด และไมเคลอนทเมอเราเพมความดน แกของเหลวเทาใด ความดนท จะปรากฏทของเหลวทกจดเทากน ดงรป

ตองหาความสมพนธ F, FY และFZ จากรป จะได PX = Py = PZ

แทนคา = = หรอ = =

Fy = และ

FZ =

น�นคอของเหลวในภาชนะจะอยนงเมอแรงทลกสบ X, y และZ เทากบ F, และ ตามลำาดบ

2. ถาเราตองการผอนแรงในการยกของโดยใชเครองอดไฮโดรลก จะตองตอคารโยกเขากบสบดงรป

ตองการหาการไดเปรยบเชงกล

จากรป ใหจดหมนคานอยทo และแขนของคานโยกเปน และL ดงรป พจารณาทเครองอด จะได = ดงน�น f = a

พจารณาแรงทกระทำาทคาน Take Moment รอบจด o = 0 จะได P x L = f x หรอ P x L = a w = P

น�นคอ การไดเปรยบเชงกลของระบบเทากบ = x

16.9 หลกของอารคมดส นกเรยนมกจะพบอยเสมอ วตถบางชนดจะจมในของเหลว และวตถบางชนดจะลอยใน

ของเหลว ท�งน�ข�นอยกบความหนาแนนของวตถและของเหลว ถาวตถมความหนาแนนมากกวาของเหลว วตถน �นจะจม และถาวตถมความหนาแนนนอยกวาของเหลววตถน �นจะลอย กรณทวตถจมในของเหลวถาเราชงนำ�าหนกในของเหลวจะ

ไดนำ�าหนกของวตถนอยกวาในอากาศ เหตทเปนเชนน�เพราะวาของเหลวมแรงตานในทศตรงขามกบนำ�าหนกวตถซง

แรงน�เรยกวาแรงพยง ( Bouyant force ) เขยนยอๆวา BF หลกของอารคมดสกลางวา แรงพยงทเกดข�นกบวตถทจมในของเหลวหรอลอยในของเหลวยอมมเทากบนำ�าหนกคาของของเหลวทมปรมาตรเทากบสวนทจม ดงน�นจะได

BF =

9.1 พยงทเกดกบวตถทลอยในของเหลวแรง

วตถ A และ B ความหนาแนน PA และPB ตามลำาดบ ลอยอยในของเหลวทมความหนาแนน L ดงรป

พจารณาแรงทวตถ A จะได wA = BFA แทนคา AVAg = LV จม g =

จากรป V จม VA แสดงวา A L พจาณาแรงทวตถ B จะได wB = BFB

แทนคา BVBg = LV จม g =

จากรป VB = V จม แสดงวา L = B

นนคอ ถาวตถมความหนาแนนนอยกวาของเหลว วตถจะลอยพนของเหลว และถาวตถมความหนา แนนเทากบของเหลว วตถจะจมปรมของเหลวพอด

พจารณาแรงทภาชนะ จะได R = BFA + WL + BFB นนคอแรงปฏกรยาทกนภาชนะไดารบยอมมคาเทากบผลรวมของนำ�าหนกของเหลวกบแรงพยรงทกบ วตถ A และB

9.2 แรงพยงทเกดกบวตถทจมในของเหลว

วตถ A และ B ความหนาแนน A และ B ตามลำาดบ จมอยในของเหลวทมความหนาแนน L โดยกอน A ผกเชอกไว และกอน B จมอยทกนภาชนะ ดงรป

พจารณาแรงทวตถ A จะได T + BFA = WA แทนคา T+LVAg = AVAg T = ( A- L) VAg - - - - - - -- (1)

พจารณาแรงทวตถ B จะได RB+ BFB = WB แทนคา RB+LVBg = BVBg RB = (B- L)VBg - - - - - - - - (2)

จากสมการ (1) และสมการ (2) จะได A และ B ตองมากกวา L แสดงวาวตถทจมในของเหลวจะตองมความหนาแนนมากกวาความหนาแนนของของเหลวเสมอ

พจารณาแรงทกนภาชนะไดรบ จะได R = BFA+WL+RB+BFB

นนคอ แรงทกนภาชนะไดรบยอมมคาเทากบผลบวกของนำ�าหนกของเหลวกบแรงพยงทเกดกบวตถ

ท�งสอง และแรงปฏกรยาระหวางผวสมผสกนภาชนะกบวตถ B

9.3 ตงอยางการหาคานำ�าหนกทอานไดจากตาชง

a. กรณวตถจม ใหวตถA มนำ�าหนกWA จมอยในของเหลวทมนำ�าหนก WL บรรจ อยในภาชนะC ซงมนำ�าหนกWC ต�งอยบนตาชงดงรป ตองการหานำาหนกทอานไดจากตาชงทงสามรป

คานำ�าหนกทตงชงอานได คอ คา Reaction ระหวางซงกบภาชนะใหเขยนแรงตางๆทเกดกบวตถใหครบ

จากรปท (1) แรงพยงทกระทำากบวตถA และกนภาชนะจะหกลางกนหมดไปจงไม ตองนำามาคดดงน�นจะได R1 = WA+WL+Wc

จากรปท (2) พจารณาแรงทกระทำากบจานตาชงจะได R2 =BF+WL+WC และแรงทกระทำากบวตถA จะได T+ BF = WA

จากรปท(3) พจารณาแรงทกระทำากบจานตาชงจะได R3 =WA+WL+WC

b. กรณวตถลอย ใหวตถ A หนกWA ลอยอยในของเหลว L ทมนำ�าหนก WL อยใน ภาชนะ c ซงมนำ�าหนกWC ต�งอยตาชงดงรป ตองการหานำ�าหนกทอานไดจากตาชง

เขยนแรงทกระทำาทเกดข�นกบวตถใหครบ

รปท (1) พจารณาแรงทจานตาชงจะได R1 = WA+ WL+ WC ( BF หกลาง

กนหมดไป ) รปท (2) พจารณาแรงทจานตาชง จะได R2 = WA+ WL+ WC

( BF และ T หกลางกนหมดไป )

รปท (3) พจารณาแรงทจานตาชงจะได R3 = WA+ WL+ WC

16.10 ความตงผว ความตงผว หมายถง ปรากฏการณทเกดข�นทผวของของเหลว เมอของเหลวน �นสมผสของแขง

หรอของเหลวชนดอน ความตงผวน�จะมมากหรอนอยข�นอยกบแรงดงดดตอกนระหรางโมเลกลของเหลวชนดน�น และ แรงดงดดระหวางโมเลกลของของเหลวน�นตอของเหลวหรอของแขงอน ๆ ความตงผวนบวามบทบาทตอปรากฏการณ

ธรรมชาต เชน การทของเหลวน�สามารถข�นไปไดในชองแคบๆ การเกดฟองอากาศในของเหลว, การแตกตงของลำาของของเหลวจากหวฉด, การกอตวเปนหยดของของเหลว เปนตน

16.10.1 ตวอยางปรากฏการณทเกดจากความตงผว

1. โครงลวดวงกลมผกดวยวงรอบตรงกลางแลวจมลงในสบ เมอตงข�นมาจะมฟลมสบ

ตดข�นมาดงรป a และถาเอาเขมเจาะฟลมในวงรอบของดายทะล จะทำาใหฟลมสบเฉพาะดานนอกของวงรอบของ

ดายเทาน�นเปนผลทำาใหวงรอบของดายเปนวงกลมดงรป b

รปท16.12 แรงตงผวของฟลมสบกระทำาทวงรอบของดาย การทวงรอบของเสนดายในรป a ไมเปนวงกลม เพราะขณะน�นเกดแรงตงผวทดานในอและดาน

นอกของดายซ�งหกลางกนหมด จงเปรยบเสมอนไมมแรงกระทำาตอเสนดาย สำาหรบในรป b เมอดานในของดาย ไมมฟลมสบ แสดงวาขณะน�ทเสนดายจะรบแรงดงผวเฉพาะดานนอกเทาน�นจงทำาใหวงรอบเสนดายตงและเนองจาก

แรงคงผวต�งฉากกบเสนดายจงทำาใหมลกษณะเปนวงกลม ดงรป16.12 (b) 2. โครงลวดรปตวย และรางเลอน AB ในรปท16.13 จมลงในฟองสบ

แลงดงข�นมาจะมฟลมสบตดอย เมอดงใหรางเลอน AB ขยบไปทางขวามอ ฟลมสบจะยดออก และในทสดจะขาดจากกน

รปท 16.13 แสดงฟลมสบในโครงลวดตวย การทเราดงรางเลอน AB แลวฟลมสบไมขาดเปนเพราะวาฟลมมแรงตงผวกระทำาตอรางเลอนไปทาง

ซายดงรปท 16.13 3. การทของเหลวเกาะขางภาชนะแลวม โคงข�นลง แสดงวาขณะน�นเกดความตงผว

ระหวางของเหลวกบภาชนะ ดงแสดงในรป 16.14

a) ระดบนำ�าใกลผวแกวจะโคงข�น b) ระดบปรอทใกลผวแกวจะโคงลง รปท 16.14 แสดงแรงตงผวแรงระหวางของเหลวกบขางภาชนะ 4. ถาเรานำาหลอดแกวเลก ๆ จมลงไปในนำ�า จะทำาใหระดบนำ�าในหลอดสงกวาระดบ

นำ�านอกหลอด หรอถานำาหลอดแกวเลก ๆ จมลงในหลอด จะทำาใหระดบปรอทในหลอดตำากวาระดบปรอทนอกหลอด

ดงรป 16.15

รปท16.15 แสดงแรงตงผวทหลอดแกวการทดลองหาความตงผว

ความตงผวเราใชสญลกษณ '' r " โดยทวไปมกำาหนดเปนแรงตาหนวยความทผวของเหลวสมผสกบภาชนะหรอของเหลวดวยกน

r =

โดย r = ความตงผวมหนวยเปน นวตน / เมตร F = แรงตงผวมหนวยเปน นวตน

= ความยาวทผวของเหลวสมผสกบของเหลวดวยกน หรอภาชนะทบรรจของเหลว

วธท 1 การหาความตงผวในวธน�คอ การออกแรงตง F กระทำาตอลวด เพอตานเยอบาง ๆ ของของเหลว ซงสามารถยดออกได เชน ฟองสบ เปนตน เราสามารถหาความตงผวไดดงน�

จากรป ( a ) ลวด AB ถกกระทำาดวยแรง F ใหแรงไปทางขวา แตฟมลบไม

ขาดตองมแรงตงผวกระทำากบลวด AB ไปทางซาย จากรป (b ) แสดงความหนาของฟลมสบ จากการมองรป (a ) ทดานบนเกดแรง

ตงผวข�นสองดานคอ ดานหนาและดานหลง ดงน�นแตละดานจะรบแรงเพยง เทาน�น หาความตงผว

จาก = จากรป แรงตงผวแตละดาน

= แทนคา =

วธทำา2 โครงลงดวงกลมผกเชอกใหลอยอยทผวของเหลวดงรป แลวดงดวยแรง F ใหข�นจากผวของเหลว

จากรปแสดงการทดลองแรงดงผวจากลวดวงกลม

จากรป (b) แรงดงผวเกดข�นทผวดานในและดานนอกของโครงลวด ดงน�นความยาวลวดจะตอง

คด2 ดาน

จาก = = 2( 2r) = 4 r =

วธท3 พจารณาหลอดปลายเปดรปทรงกระบอกทจมลงในของเหลวชนดหนง

กำาหนดให = ความตงผวของของเหลวมหนวยเปนแรงตอเนองหนวยความยาว = มมทผวของเหลวกระทำากบขางหลอด = ความหนาแนนของของเหลว r = รศมของหลอดปลายเปดรปทรงกระบอก h = ความสงของหลอดภายในหลอดทสงหรอตำากวาระดบของของเหลวภาย นอกหลอด เมอของเหลวภายในหลอดอยในสดภาวะสมดล จะได

แรงตงผวทดงของเหลวข�น = นำ�าหนกของเหลวภายในหลอด แทนคา (L) cos = Vg ( 2 r ) cos = ( r2 h ) g =

เครองหมาย ของh เปนบวกเมอของเหลวในหลอดอยสงกวาขางนอกและเปนลบเมอของเหลวตำากวาขางนอก

มม ทเกดข�นระหวางขางหลอดแกวกบผวของเหลวชนดตาง ๆ มกจะเปนมมทเลกกวา 90จง

ทำาใหระดบของเหลวในหลอดสงกวาขางนอก สำาหรบปรอทกบขางแกวจะใหมม มากกวา 90จงทำาใหระดบปรอทใน

หลอดแกวตำากวาขางนอก ดงรป 16.16

รปท16.16 แสดงมม ทเกดข�นระหวางผวของเหลวชนดตางๆ กบขางแกว

วธท 4 การหาความตงผวในฟองสบทรงกลม ฟองสบทรงกลมประกอบดวยผวทรงกลม 2 ช�น อยชดกน มากและมฟลมอยระหวางกลางของผวท �งสอง ขณะทฟลมมรปรางเปนรปทรงกลมจะกดอากาศไวภายในทรงกลม

ทำาใหความดนของอากาศภายในทรงกลมมากกวาความดนของอากาศภายนอก ( ความดนบรรยากาศ ) ซงผลตาง ข องความดนท�งสองน�มความสมพนธกบความตงผวของฟลมสบ ดงน�

รปแสดงแรงทเกดกบหยดนำ�าครงวงกลม จากรป เปนภาพตดขวางตามแนวดงของหยดนำ�าโดยผาทครงของหยดนำ�าโดยผาทครงทรง

กลมของหยดนำ�า จะเหนไดวาแรงดงผวของนำ�าทเกดจากครงทรงกลมของหยดนำ�าดงไปทาง.ซายจะมทศขนานกบผว ทรงกลม และกระทำาททก ๆ จดท�งขอบในและขอบนอกของครงทรงกลม

หาแรงตงผว จะได F = = ( 2x2 R ) F = 4 Rr เนองจากครงทรงกลมอยภายในภาชนะสมดล ดงน �นแรงตงผวทกระทำาตอครงทรงกลมไปทางซายจะเทากบแรงทกระทำาตอครงทรงกลมไปทางขวาซงแรงน�เกดจากผลตางของความดนอากาศภายในและภายนอก

ของทรงกลม ( P- Pa ) กระทำาตอพ�นทของครงทรงกลมในระนาบทต �งฉากกบความดนน� ( R2 )ดงน�นจะไดวา

( 4R ) = ( P- Pa )R2

P-Pa = โดย P = ความดนภายในฟองสบ Pa = ความดนบรรยากาศ r = ความตงผว R = รศมเฉลยของฟองสบ

16.11 ความหนด เปนคณสบตอยางหนงของเหลวทขจะตานการเครอนทของวตถในของเหลว ของเหลวทมความ

หนาแนนมาก แรงตานภายในของเหลววตถทเคลอนทผานเรยกวา แรงหนด ลกษณะของแรงหนด

แรงหนดในของเหลวจะมคามากข�น เมอวตถทผานของเหลวมความเรวมากข�น จากผลการ ทดลองไดขนาดของแรงหนดทเกดกบวตถทรงกลม มขนาดดงน�

F = 6nrv โดย F = แรงหนดมหนวยเปนนวตน n = คาความหนดของของเหลวมหนวยเปน ( น�วตน / เมตร 2) วนาท r = รศมของทรงกลมโลหะ ( เมตร ) v = อตราเรวของทรงกลมในของเหลว ( เมตร / วนาท )

หมายเหต คา 6nr มคาคงท ดงน �นแรงหนดทเกดกบวตถทรงกลม จะได F= kvตวอยางทแสดงถงลกษณะของแรงหนด

(a) การเคลอนทของลกกลมเหลก (b) แรงทเกดข�นกบลกกลมเหลก ในการปลอยลก เหลกลงในกระบอกแกวทมนำ�ามนหลอลนอย ถาจบเวลาขณะทลกเหลก

ผานระยะ 5, 10, 15, … ซม. แลวหาความเรวของลกเหลกทก ๆ ระยะ 5 ซม . จะพบ ความเรวของลกเหลกในชวง5 ซม. แรกนอยกวาความเรวในชวง5 ซม. ถดมา

และความเรวในชวงหลงๆ จะเทากนตลอด แสดงวาในชวงตนๆ ลกเหลกเคลอนทดวยความเรง ตอมาเมอลกเหลกม ความเรวสงข�น ลกเหลกจะเคลอนทดวยความเรวคงท สาเหตททำาใหลกเหลกเคลอนทแบบน�กคอ ในขณะทลกเหลกเคลอนทในนำ�ามนหลอหลน

ลกเหลกไดถกกระทำาดวยแรง3 แรงคอ แรงดงดดโลก, แรงลอยตว, แรงหนดของนำ�ามน ในชวงตนๆ แรง

หนดของนำ�ามนมคานอย ทำาใหลกเหลกเคลอนทดวยความแรงลพธทมคาเทากบผลดางของ mg, แรงลอยและหนด ( = mg-BF-kv ) แตในชวงหลง แรงหนดของนำ�ามนข�นจนกระท�งทำาใหแรงลพธทกระทำา

ตอลกเหลกเปนศนย ลกเหลกจงไปดวยความคงท จากตวอยางน�จะเหนวา แรงหนดจะมคามากข�นเมอวตถทผานของเหลวมความเรวสงข�น ความรในเรองความหนดของเหลวแตละชนด เชน พวกนำ�ามนตางๆ มประโยชนในการเลอกใชนำ�ามนหลอลนใหเหมาะกบเครองจกรชนดตางๆ นำ�ามนมความหนดสงเคลอนตวไดชา จะสามารถจบบนช�นสวนของเครองจกรไดด จง

ชวยในการลดการกระแทกหรอเสยดส แตมขอเสยคอจะมแรงหนดไปตานเคลอนทของช�นสวนน�นๆ ทำาใหกำาลงของ เครองจกรเสยบาง ดงน�นสำาหรบเครองจกรขนาดเลก เชน จกรเยบผา หรอนารกา ซงไมตองการใหมการสญเสย

กำาลงมาก จงตองใชนำ�ามนหลอลนทมความหนดนอย

ตวอยางท 39 แมแรงยกนำ�าหนกมพ�นทลกสบดานนอกแรงกด A1 = 2 ตารางเซนตเมตร และพ�นทลก สบดานยกนำ�าหนก A2 = 20 ตารางเซนตเมตร ถาแรงกด P1 = 5 กโลกรม จะไดแรงยก

P2 1) 50 กก. 2) 100 กก. 3) 250 กก. 4) 500 กก.

วธทำา หาแรงยก P2 จาก ความดนสบอด = ความดนสบยก แทนคา = P2 = P1

= 50 แรงยก P2 = 500 กก.

ตอบขอ 4

ตวอยางท 40 จากรป ถาออกแรง 88 นวตน กดทหลอดฉดยาทมเสนผานศนยกลาง 4 เซนตเมตร จงหา แรงดนทกนภาชนะ ถากนภาชนะมพ�นท 400 ตารางเซนตเมตร

วธทำา ความดนทกนภาชนะประกอบดวยความดนเนองจากแรง F และความดนเนองจากนำ�าหนกของนำ�า จากรป จะได P = = + 103x 10 ( 30 ) x 10-2

P = +3000 = 73. 063. 7 N / m2

แรงดงทกนภาชนะ F = PA = 73. 063. 7 (400x10-4) F = 2922 .55 N ตอบ

ตวอยางท 41 เครองดบบรามาหเครองหนง มเสนผายศนยกลางของลกสบท �งสองเปน 25 และ 20 เซนตเมตร ตามลำาดบ ถานำามวล 1 กโลกรม วางทาบลกสบเลก ถามวาจะตองนำามวลเทาไรทบลกสบใหญ จงจะ

ทำาใหลกสบท�งสองสมดล

วธทำา ใหนำามวล m วางทบลกสบใหญ

แรงกดลกสบใหญ F = mg = 10 m นวตน

แรงกดลกสบเลก f = 1 g = 10 นตน

พ�นทลกสบ a = = ซม 2

พ�นทลกสบ A = = ซม 2

ความดนทลกสบใหญ = ความดนทลกสบเลก จะได

แทนคา =

m = = 1.5625 kg จะตองนำามวล 1.5625 กโลกรม มาวางทลกสบใหญจงทำาใหลกสบท�งสองสมดล ตอบ

ตวอยางท 42 แมแรงยกรถยนตเครองหนง ลกสบใหญมพ�นทเปน 80 เทาของลกสบเลก ถาตองการ

ใหแมแรงน�ยกมวล 800 กโลกรม จะตองออกแรงกดทลกสบเลกของแมแรงเทาใด

วธทำา ใหออกแรงกดทลกสบเลก = f นวตน แรงกดทลกสบใหญ F = mg = 800x10 = 8000 นวตน ความดนทลกสบใหญ = ความดนทลกสบเลก =

f = F .

แทนคา f = 8000 = 100 N

นนคอ จะตองออกแรงกดทลกสบเลกเทากบ 100 นวตน จงสามารถยกรถมวล800 กโลกรม ได ตอบ

ตวอยางท 43 เครองอดไฮโดรลกเครองหนง ใชยกขอกหนก 2240 นวตน โดยผใชออกแรงกดเทากบ

5 นวตน ถาเสนผาศนยกลางทลกสบใหญเปน 8 เทา ของเสนผาศนยกลางของลกสบเลก จงหาอตราสวนของแขนคานงดทใชกดลกสบเลก

วธทำา เขยนรปตามโจทย

ความดนทลกสบเลก = ความดนทลกสบใหญ

จะได =

= ; F1 =

แทนคา F1 = 2240 = 35 นวตน พจารณาแรงทคาน

take moment รอบจด o = 0

จะได F1 = F2L 35 = 5L

= = 7 อตราสวนของแขนคานงด = 7 : 1 ตอบ

ตวอยางท 44 จากรป เครองไฮโดรลกโดยลกสบยกมรศม 40 ซม. และลกสบอดมรศม 5 ซม. ให คดวาลกสบท�งสองไมมนำ�าหนก จงหาแรงF ททำาใหระบบสมดล และถาออกแรง เพมข�น 100 นวตน จะยกของ

ไดหนกเทาใด

วธทำา จากรป ทลกสบเลกจะมแรงดนจากนำ�าหนกกระทำา

หาแรงดนทนำ�ากระทำาตอลกสบ f = PA = gh = ( 103x 10x 1) r2

f = 104 x (5x10-2)2 = 78.57 N

พจารณาแรงทคาน

หาแรง F จาก = 0 แทนคา 50F = 78.57 x 10 F = = 15.71 ตองออกแรงกระทำาตอ

คาน 15.71 นวตน จงทำาให คานอยในสมดล ตอบ

ถาแรง F เพมข�น 100 N แรงดนทสบอดเพมข�น x F = 5x100 =500 N หานำ�าหนกW จากความดนเพมทสบยก = ความดนเพมทสบอด

ตอบ

ตวอยางท 45 เคลองอดบรามาห พ�นทหนาตดของลกสบใหญและเลกเทากบ 2 เมตร 2 และ

0.5 เมตร 2 ตามลำาดบ ภายในบรรจนำ�ามพ�นทมความจจำาเพราะ 0.78 ถามวสด300,000 นวตน

วางบนลกสบอนใหญ จงหาแรง F ททำาใหระบบสมดล

วธทำา หาแรง F จาก ความดน X = ความดนท Y แทนคา

F = 240x0.5 =120 N ตอบ

ตวอยาง ท 46 A และB เปนเครองอดไฮโดรลก a1 , a2, a3 และb1 เปนกระบอกลกสบทม รศม r ถาตองการออกแบบใหกระบอกลกสบ a2, a3 และกระบอกลกสบb2 ยกนำ�าหนกไดเทา กนเมอ

ออกแรงกดทกระบอกลกสบ a1 และ b1 เทากน ลกสบb2 ตองมรศม

1) r 2) r/ 3) 4) 2r 5) 2

วธทำา

ลกสบa2,a3 และลกสบb2 ยกนำ�าหนกไดเทากน = w โดย ออกแรงกดลกสบ a1

และ b1 เทากบF พจารณาทรป A จะได P2 = P3 = P4

แทนคา = = พจารณาทรป B จะได P2 = P1

แทนคา = หรอ

= R =

ตอบขอ 3

ตวอยางท 47 ไมรปลกบาศกยาวดานละ 0.1 เมตร ลอยระหวางนำ�ามนดงรป ดานลางอยตำากวาผวรอย

ตอระหวางนำ�ามนและนำ�า 0. 02 เมตร นำ�ามนมความหนาแนน 600./ ม.3 จงหา ก. นำ�าหนกของไม ข. ความดนเกจทดานลางของไม

วธทำา ไมจมอยในของเหลว 2 ชนด ด�งน�นจงมแรงพยงจากนำ�ามน

BF1 = นำ�าหนกของนำ�ามนทมปรมาตรเทาวตถจมในนำ�า = Vg = 600x 0.1 x 0.1x 0.08 x 10 = 4.8 นวตน BF2 = นำ�าหนกของมปรมาตรเทาวตถจมในนำ�า = Vg = 1000x0.1x0.1x0.2x10 = 2 นวตน

จาก = 0 จากรป w = BF1 + BF2 =4.8+2 = 6.8 นวตน นำ�าหนกไม = 6.8 นวตน ความดนเกจทผวลางของไมคอ ความดนเนองจากความสงของนำ�ามนและนำ�า

Px = (Vg ) นำ�ามน + ( Vg )นำ�า

แทนคา PX = 600x 10x 0.1 +1000x 10x0.02 = 600+200 = 800

นวตน / ตารางเมตร

ความดนเกจทผวลางของไม = 800 นวตน / ตารางเมตร ตอบ

ตวอยางท 48 จากรปวตถทรงกลมรศม R มวล 10 กก. และมความหนาแนน 6000 กก./ ม 3. ถานำาวตถน�ชงในของเหลวทมความหนาแนน 1800 กก. / ม.3 จงหา

.א นำ�าหนกทอานไดจากตาชง A .ב รศมของวตถ

.ג ถาของเหลวและภาชนะหนก

500 นวตน

ตาชงB อานนำ�าหนกไดเทาใด

วธทำา เขยนแรงทเกดข�นกบวตถทรงกลมและภาชนะดงรป ( a) และ ( b )

หารศมทรงกลม จาก mc = cV = c( ) แทนคา 10 = 6000 x

R3 = = 398 x 10-6

R = 7.35 x10-2 เมตร

= 7.35 ซม ตอบ

ปรมาตรวตถC V = = = m3

จากรม (a) = 0 จะได T = mcg - BF = mcg - LVcg แทนคา T = 10x10 -1800x x 10 = 100 - 30 ตาชงA อานนำ�าหนกได = 70 นวตน ตอบ จากรป ( b ) = 0 จะได RB = BF+W แทนคา RB = LVcg+W = 1800 x x10+500 = 530 นวตน ตอบ

ตวอยางท 49 จากรป D เปนภาชนะหนก 10 นวตน C เปนของเหลวหนก 15 นวตน ซงมความหนา

แนน 1600 กก. / ม.3 B เปนวตถแขวนจากจดนง A และมปรมาตร 2.8 x 10-3 ม.3 จงหาวา ตาชง E จะบอกกนวตน และจงหาแรงตงในเสนเชอก T ถาวตถ B มความหนาแนน 2000 กก. / ม.3

วธทำา เขยนแรงทกระทำากบวตถ B และตาชง E ของเหลวออกแรงพยงวตถดวยแรง BF ด�งน�นของเหลวกจะออกแรงกดตาชงดวยแรง

BF เชนกน ให RE = คานำ�าหนกทอานไดจากตาชง จากรป น. น. ภาชนะ WD = 10 N น. น. ของเหลว WC = 15 N แรงพยงวตถ BF = LVg = 1600x 2.8x10-3 x 10 = 44.8 N พจารณาแรงทตาชง จาก = 0

จากรป จะได RE = wD+ wC + BF แทนคานำ�าหนกอานไดจากตาชง = 10+15+44.8 = 69.8 N หาแรงตงเชอกจากวตถ B = 0 แทนคา T + BF = WB T = WB - BF = BVBg - 44.8 = 2000x 2.8x10-3 x10 - 44.8 = 56 - 44.8 = 11.2

นวตน ตอบ

ตวอยางท 50 ไมรปลกบาศกขนาด 10x10x10 cm3 มวล 0.80 kg ลอยอยในนำ�า ถาไมน�ข�นมาจนผวลางตำากวาผวนำ�าอย 3.0 cm แลวปลอย ความเรงของไมในทนททปลอยจะเปนเทาใด (

กำาหนดความหนาแนนของนำ�ามคา 103k /m3) วธทำา เขยนแรงทเกดข�นกบไม เมอดงไมน�จนผวลางตำากวาผวนำ�าอย 3 Cm

จาก = ma จากรปแทนคา mg -BF = ma 0.8x10 - ล V จม g = 0.8 a 8- 103 ( 0.1 x 0.1x0.03 )10 = 0.8 a 8-3 = 0.8a a = = 6.25 m /s2

ไมรปลกบาศกมความเรง = 6.25 m /s2

ตวอยางท51 ทนเหลกรปสเหลยม มพ�นทในแนวระนาบ 10 ตารางเมตร ลอยในนำ�าโคลนม ถพ.= 1.20 เมอมนำ�าหนกวางบนทน W = 2. 400 กโลกรม ทนจะจมจากระดบเดม เทาไร

วธทำา หาปรมาตรททนจมจากระดบเดมอนเนองจากนำ�าหนก w จาก BF = LV จม g แทนคา w = LV จม g = L( 10h ) g 2400 = 1.2x103x10h x10 h = = 0.2 เมตร ทนจมจากระดบเดม = 0.2 เมตร

ตวอยางท 52 วตถตนช�นหนงม ถพ. 0.8 ลอยแอยในนำ�า ( ถถ. 1.0 ) มปรมาตรสวนทลอยพนนำ�าเปน ลกบาศกเมตร ใหหาคาปรมาตรสวนทจมอยใตนำ�าเปนเทาไร

วธทำา พจารณาแรงทเกดกบวตถตน

จากรปจะได BF = mg แทนคา LV จม g = mg 1x 103x X = m = OVC 103X = 0.8x103(2+X ) X = 1.6+0.8X X = 8 m3

ปรมาตรสวนทจะจมใตนำ�า = 8 m3 ตอบ

ตวอยางท 53 กอนนำ�าแขงซ�งภายในมกอนตะกวฝงอยลอยนำ�าในถวยบกเกอร ดงแสดงในรป เมอนำ�า แขงละลายหมด ระดบนำ�าในบกเกอรจะเปนอยางไร

1. เพมข�นเทยบกบปรมาตรนำ�าแขงบอกกบปรมาตรของกอนตะกว

2. เพมข�นเทยบกบปรมาตรของนำ�าแขงสวนทลอยอยเหนอนำ�า 3. ลดลงจากเดม

4. คงทเหมอนเดม

วธทำา ใหเดมในบกเกอรบรรจนำ�าเพยงอยางเดยวดงรป ( a ) เมอเอานำ�าแขงทมตะกวฝงอยลอยนำ�า ทำาใหระดนนำ�าสงข�นดงรป ( b ) และเมอนำ�าแขงละลายระดบนำ�าปรากฏดงรป ( C )

(a) ภาชนะบรรจนำ�าอยางเดยว (b) ตะกวฝงในนำ�าแขง (c) เมอนำ�าแขงละลายหมด พจารณาแรงทรป (b) จะได ( mpb+mI)g = BF (pbVpb+ iVI ) = wV จอ g V จม =

ปรมาตรของเหลวทเพมข�น V จม = - - - - -- - - - - พจารณาแรงทรป (c) จะได ปรมาตรของเหลวทเพมข�น (V 'จม) = ปรมาตรตะกว+ ปรมาตรนำ�าจากนำ�าแขง

V จม = Vpb+Vwi - - - - - -- - - -

จากสมการ และ ; pb W Vpb

และ มวลของนำ�าแขงกอนละลาย = มวลนำ�าแขงละลายเปนนำ�า แทนคา IVI = WvWi

VWi =

จากสมการ และ สรปไดวา V จท V'จม แสดงวาเมอนำ�าแขงละลายระดบนำ�าในบกเกอรจะลดลงจากเดม ตอบขอ 3

ตวอยางท 54 A เปนนำ�าแทงเหลกตนรปทรงกระบอกมหนาตด 1 ตารางเซนตเมตร แขวนดวยเชอกให

สมผสกบผวนำ�าในถวย B พอด ถวยB มหนาตด2 ตารางเซนตเมตร ถารนนำ�า

1 ลกบาศก เซนตเมตร ในถวยB จะตองรนนำ�าใสถวย C เทาใด จงจะทำาใหตาชงสมดลอกครงหนง

1) 1 ลกบาศกเซนตเมตร 2 ) 1.5 ลกบาศกเซนตเมตร 3) 2 ลกบาศกเซนตเมตร 4) 3 ลกบาศกเซนตเมตร ให mW = มวลนำ�าทเตมในถวย B 1 cc. MC = มวลนำ�าทเตมในถวยC แลวทำาใหตาชงสมดล

วธทำา เขยนแรงทเกดข�นกบระบบเมอรนนำ�า 1 ซม.3 ลงในถวยB เนองจาก

A มหนาตด1 ซม 2 และ ถวยB หนาตด2 .ซม 2 ดงน�นจงเหลอทวาง 1 ซม.2 เมอ

เตมนำ�า 1 ซม.3 จะทำาใหระดบนำ�าสง 1 ซม.

วตถA จงจมอยในนำ�าปรมาตร1 ซม.3

แรงกดทถวยB เพมข�น= mWg+BF ดงน�นระบบ จะสมดลเมอเตมนำ�าทถวย C เทากบ

mWg+ BF จากรป mCg = mWg+BF = mWg+Wg+V จม g mC = mW+WV จม - - - - - - - - - - แต mW = มวลนำ�าปรมาตร1 ซม.3

และ WV จม = มวลนำ�าปรมาตร 1 ซม.3

จากสมการ จะได mC = มวลปรมาตร 2 ซม 3 ตอบขอ3 ตวอยางท 55 คานในรป (ก) และ (ข) อยในสมดล ในกรณ (ก) กอนนำ�าหนกเปนวสดชนดเดยวกนในกรณ

(ข) กอนนำ�าหนกท�งสองมนำ�าหนกตางกนแตมปรมาตรเทากน สมดลของคานจะเปนอยางไร เมอหยอนเฉพาะกอนนำ�าหนกเทาน�นลงในนำ�า

1) เสยสมดลเฉพาะกรณ (ก) 2) เสยสมดล เฉพาะกรณ (ข)

3) เสยสมดลท�งสองกรณ 4) ยงอยในสมดลท�งสองกรณ

วธทำา พจารณาแรงทระบบในกรณ (ก)

ระบบในกรณ (ก) จะสมดลไดเมอ = 3 รปท1 = 3, = 10 แสดงวา = 3 ระบบจงสมดล รปท 2 = 30 - BF1 = 30 - W ( 3V )g = 3(10 -WVg) = 10 - BF2 = 10 - WVg = 3 แสดงวาระบบสมดล พจารณาแรงทระบบในกรณ (ข)

ระบบดงรป จะสมดลไดเมอ = 3 รปท1 = 30 N , = 10 N แสดงวา

= 3 ระบบจงสมดล รปท 2 = 30 -BF1 = 30 - WVg = 10 - BF2 = 10 -WVg 3 แสดงวาระบบไมสมดล ปลายคาน A จะ

กดลง และ

ปลายคาน B จะยกข�น ตอบขอ 2

ตวอยางท 56 อางครงทรงกลมบางเบา รศม r = 21 ซม. ผกเชอกทกนดงใหขอบพอดผวนำ�า จงหาแรง

ตงเชอก ถาความหนาแนนของนำ�า = 103 กก. / ม.3

วธทำา พจารณาแรงทอาง จาก = 0 จะได T = BF = LV จม g แทนคา T = 103 (

) 10 T = 104 x ( 21 x 10-2 )3

T = 194 N ตอบ

ตวอยางท 57 ถงนำ�ารปสเหลยมซงมพ�นทหนาตด 100 เมตร 2 ถาเอาลกเหลกรศม 0.5 เมตร ความถวงจำาเพาะ 7.8 ถวงใตถงใบน� ถงจะจมลงไปในนำ�าอกเทาไร

วธทำา หาปรมาตรทถงจมลงไปในนำ�าเนองเอาลกเหลกมาถวง จากสมการ

นำ�าหนกลกเหลก = แรงพยงของนำ�า แทนคา FeVFeg = L (V จม + VFe) g 7.8 x 103( ) = 103 ( V จม+ ) 7.8 ( ) = V จม +

4.086 = V จม+ 0.524 V จม = 3.562 m3

ถงจะจมลงไปในนำ�าอก = = 0.036 m ตอบ

ตวอยางท 58 ฟลมของฟองสบมลกษณะเปนทรงกลมกลาง ความหนาแนนนอยมากมรศม 0.7 ซม. ถา ฟอง สบมความตงผง 7x 10-2 นวตน / เมตร และอากาศขณะน�นมความกดดน 1.013 x 105 น วตน / m2 จงหาความดนภายในฟองสบ วธทำา หาความตงผวไดจาก P - Pa =

จากโจทย R = 0.7 x 10-2 m, = 7 x 10-2 N / m2 Pa = 1.013x105 N/m2

แทนคา P-1. 013x105 = P = 40+1.013x105 = ( 0.0004+1.013 ) 105

P = 1.0134x105 N/m2 ตอบ

ตวอยางท 59 จงหาความดนเกจของเมดนำ�าฝน ซงมเสนผาศนยกลาง 3 มลลเมตร กำาหนดความตงผวของ

นำ�าเทากบ 7x10-2 นวตน / เมตร วธทำา พจารณาแรงทเกดกบหยดนำ�าฝน

จากรป (b) จะได F = ( P-Pa) R2

กรณน�แรงตงผวเกดเฉพาะทผวนอกเทาน�น จะได F = = (2R ) แทนคา (2R ) = ( P – Pa ) R2

P – Pa =

ความดนเกจ = P – Pa = = 97.3 N/m2 ตอบ

ตวอยางท60 ภายหลงฝนตก จะเหนหยดนำ�าเลกๆ เกาะอยตามใบไม ถาความดนบรรยากาศเทากบ 1.01x 105 นวตนตอตารางเมตร จงหาความตงผวของนำ�าเมอความดนของอากาศภาย ในหยดนำ�าซงมเสนผาศนยกลาง0.5 เซนตเมตร

มคาเปน1.011 x 105 นวตนตอตารางเมตร วธทำา เนองจากในหยดนำ�าเปนอากาศ แสดงวาความตงผวเกดข�น2 ผว

หาความตงผวของหยดนำ�า ไดจากสมการ P – Pa = จากโจทย P = 1.011x105 N/m2, Pa = 1.01x 105 N/m2, R = Cm = 0.25x10-2 m แทนคา 1.1 x 105 –1.01x105 = 105( 1.011 – 1.01 ) = 1, 600 = = 6.25 x 10-2 N /m ความตงผวของหยดนำ�า = 6.25x 10-2 นวตน / เมตร ตอบ

ตวอยางท 61 เมอจมหลอดดดขนาดเสนผาศนยกลาง8 มลลเมตร ลงในแกวนำ�าหวาน ซงมความหนาแนน

1.1x 103 กก. / ม 3 ปรากฏวาระดบนำ�าหวานภายในหลอดดดอยสงกวาระดบภายนอก3 มลลเมตร มมท

แนวความตงผวของนำ�าหวานทำากบแนวดงเทากบ 45o จงหาความตงผวในหนวยนวตน / เมตร วธทำา จาก =

จากโจทย = 1.1x103 kg /m3

r = 4x10-3 m h = 3x10-3 m cos = cos 45o = 0.707 แทนคา =

= 9.33x 10-2 N/m ความตงผว = 9.33 x10-2 N/m ตอบ

ตวอยางท 62 ถานำาหลอดแกวคะปลลารยาวไมนอยกวา 5 เซนตเมตร ( เพยงเพอถองายและมอง เหนงาย ) จมลงในนำ�าแลวยกข�นใหพนผวนำ�า ใหหลอดแกวต�งในแนวดงดงรป พบวายงมรนำ�าคางอยทปลายหลอด

แกว ( ถาตองการกำาจดนำ�าสวนน�ตองสะบดแรงๆ หรอเปาท�งไป ) ท�งน�เปนเพราะ1. นำ�ามความหนดจงคงยงตดคางอยในหลอดแกว

2. ความดนอากาศเหนอผวนำ�าดานบนนอยกวาความดนอากาศทผวนำ�าดานลาง3. แรงตงผวของนำ�าตลอดแนวสมผสของผวนำ�าดานบนเทากบนำ�าหนกของนำ�าทยงคงตกคางใน หลอดแกว4. แรงดงดดของโลกทกระทำาตอนำ�าทตกคางในหลอดแกวไมมากพอทจะตงใหนำ�าสวนน�ไหล ออกมาได

วธทำา เมอจมนำ�าหลอดคะปลารลงในนำ�า แรงตงผวทผวนำ�าสมผสกบขางหลอดจะดงนำ�าใหสงกวานำ�านอกหลอด ตอบขอ 3

ตวอยางท 63 ในการทดลองวดความตงผวของของเหลวชนดหนง โดยใชเครองมอทดลองดงรป เมอใช

หวงวงกลมรศม 8 ซม. พบวาจะตองเพมมวลทหวงสำาหรบแขวนนำ�าหนกเปนจำานวน 120 กรม จงทำาใหหวง

วงกลมหลดจากผวของเหลวไดพอด จงหาความตงผวของของเหลวน�ในหนวย นวตน / เมตร

วธทำา คานดงรป จะดงวงแหวนข�นได จะตองออกแรงอยางนอยเทากบแรงตงผวเนองจากของเหลวสมผสลวด ท �งดานในและ

ดานนอก ดงน�นความยาวจงเปน 2 เทา F = ( 2 ) = 2 = 4 พจารณาแรงทคาน

= 0 จะได 120x 10-2 x1 = 4 1.2 = 4

= = 0.39 N/m

ความตงผวของของเหลว = 0.39 N/m ตอบ

ตวอยางท 64 ลวด A ขดเปนรป ทปลายท�งสองทำาเปนหวงคลองเขากบลวด B ทขดเปนรป โดยลวดA สามรถเลอนข�นลงได เมอนำาอปกรณ ดงกลาวไปจมในนำ�าสบ และผกมวล m

ไวทกงกลางของลวดA ดงรป ถาความตงผวของนำ�าสบเทากบ 0.028 N/m จงหาคามวลm ทพอดทำาใหฟลมสบขาด

วธทำา เขยนแรงกระทำาทเกดข�นกบเสนลวด แลวแตกแรงในแนวดง

จากรป = 0 จะได F1 + F2 Sin 30O = mg F1 + 2F2x = 10m F1 + F2 = 10m = 10m 2 = 10m แทนคา ; 2x0.028 ( 1+2 ) 10-2 = 10m 0.056x3x10-2 = 10m มวล m = 0.168x10-3

= 1.68x10-4 กโลกรม ตอบ

ตวอยางท65 ความดนอนเนองมาจากแรงตงผวของนำ�าททำาใหข�นไปในหลอดคะปลาร ( ขนาดเสนผาศนยกลางภายใน

0.3 เซนตเมตร ) ไดสงกวาระดบนำ�าภายนอกหลอด 0.5 เซนตเมตร อยากทราบวาหลอดคะปลารน�ถกจมลงไปในนำ�า

โดยเหลอระยะจากปลายหลอดดานบนจนถงระดบนำ�าเพยง0.3 เซนตเมตร จะปรากฏการณอะไร

ก. นำ�าพงจากปลายหลอดแกวสอากาศข. นำ�าไมพงออกจากปลายหลอดแกว แตมระดบเทากบปากหลอดพอด

ค. ระดบนำ�าเทากบปากหลอดแตเกดผวเวาของนำ�าทบรเวณจดศนยกลางหลอด

ง. ระดบนำ�าเทากบปากหลอดและเกดผวนนของนำ�าทบรเวณจดศนยกลาหลอด

วธทำา การทของเหลวในหลอดสามารถพงสงกวาระดบของเหลวนอกหลอด 0.5 เซนตเมตร เปนเพราะแรงตระหวางผวนำ�า

สมผสกบขางหลอดแกวดงของเหลวใหสงกวาระดบของเหลวนอกหลอดใหมากทสด 0.5 เซนตเมตร เทาน�นถาหลอดอย

เหนอผวของเหลว0.3 เซนตเมตร แรงตงผวสามารถดงของเหลวในหลอดไดสงกวาระดบของเหลวดานนอกเพยง 0.3 เซนตเมตร เทาน�น ดงรป

แรงตงผวมากทสด แรงตงผวยงไมมากทสดเพราะ ขางหลอดสมผสได สงเพยง0.3 cm

ตวอยางท66 ฟองสบเสนผานศนยกลาง2 ซม. ตดอยทปลายทอซงโยงตอกบมาโนมเตอรรปตวย บรรจนำ�าดงแสดง

ในรป ปรากฏวาระดบนำ�าในหลอดสงกวากน1.2 มม. จงหาความตงผวของฟองสบ กำาหนดg = 10 g เมตร / วนาท2

วธทำา จากรปความดนทจด x = ความดนทจด y แทนคา PX = Pa+ Px- Pa = 10-3x10x1.2x10-3 = 12 อากาศใ นฟองสบจะมความดนเทากนหมด และเทากบความดนทจดx จากแรงตงผวฟองสบจะไดPx- Pa = แทนคา 12 = = 3 x 10-2 = 0.03 N/m ตอบ

ตวอยางท67 จมโครงลวดสเหลยมจตรสเบา ยาวดานละ a ลงในของเหลวชนดหนงซงมความตงผว เมอ ดงใหโครงลวดหลดจากของของเหลวจะตองใชแรง F ดงรป อยางนอยทสดเทาไร และ แรงตงเชอกเปนเทาไร

วธทำา ขนาดของแรง F ยอมมคาเทากบแรงตงผวทเกดกบโครงลวดสเหลยมจตรส จากรป จะได F = 2 = 2 (4a ) ( ผวของเหลว

สมผสลวด2 ดาน ) F = 8 ขนาดแรงตงเชอกจาก จะได F = 4T cos 45o

แทนคา 8 = T = 2 ตอบ

ตวอยางท68 จงหาแรงตานทานการเคลอนทของลกเหลกรศม 0.5 ซม. เคลอนทในของเหลวชนดหนง ทมความหนาแนน 1.5x 103 กก./ม 3 และมความหนด 0.96 นวตน / ม 3 ถาขณะน�นลกเหลก

เคลอนทดวยความเรวคงท 0.3 เมตร / วนาท วธทำา หาขนาดของแรงหนดจาก F = 6 แทนคา F = 6 x x 0.96 x0.3 x0.5x10-2

= 2.72 x 10-2 ตอบ

ตวอยางท69 ลกเหลกรศม R มความหนาแนน 1 เคลอนทดงลงในของเหลวทมความหนาแนน 2 ม ความหนด ดวยความเรวคงท ( Terminal Velocity ) เทาไร

ก. R2g ( 2- 1 ) ข. ( 1 - 2 ) ค. ( 1- 2 ) ง. ( 2- 1) วธทำา พจารณาแรงทเกดกบลกเหลกเคลอนทลงดวยความเรวคงท จากรป

จะได Fv+ BF = mg 6 v r + L Vg = oVg แทนคา 6 VR + 2Vg = 1Vg 6

= Vg (1- 2 ) V =

V = ( 1- 2) ตอบ

ตวอยางท70 ถาปลอยลกกลมโลหะเลกๆ ลงในถงนำ�ามนเครองถงหนงมความสงมาก อยากทราบวากราฟรปไหนทแสดงถงการเคลอนทของลกกลมโลหะน�

วธทำา ในขณะทลกกลมโลหะเคลอนทในนำ�ามนเครองทจะไดรบแรงกระทำา3 แรงคอ แรงดงดดของโลกแรงลอยตวและแรงหนด ของนำ�ามน โดยขนาดของแรงหนดจะมคามากข�นเมอลกกลมเคลอนทดวยความเรวมากข�น ดงรป

F = kv คอ แรงหนดมขนาดข�นอยกบความเรว

BF คอ แรงพยงของของเหลวซงมขนาดคงท

Mg คอ นำ�าหนกของวตถทมขนาดคงท

ในชวงแรกและการเคลอนทแรงลพธทเกดกบวตถจะมทศลง ซงมขนาด = mg-BF-kv ทำาใหวตถเคลอนลงดวยความเรงและขนาดขนองความเรงจะมคาลดลงเรอยๆ เมอ V มคาเพม

ข�น ทำาใหวตถเคลอนทดวยความเรวคงท เมอ

ดงน�นกราฟทเหมาะสมกบการเคลอนทดงรป ข. ตอบ

ตวอยางท71 ปลอยลกเหลกกลมเลกๆ ใหจมลงในนำ�ามนซงมความกวางและลกมาก วดความเรวของลกเหลก ทเวลาตางๆ ไดผลดงตารางขางตน จงพจารณาวาผลการทดลองจากขอมลใดถกตอง