117

บทที่ 6 งานและพลังงาน

พลังงานเปนแนวคิดพ้ืนฐานที่สําคัญยิ่งของวิชาฟสิกส เราพูดอยูเสมอวาหลอดไฟใหพลังงานแสงสวาง เตาแกสใหพลังงานความรอน หรือไมก็ไดยินเรื่องพลังงานอันมหาศาลจากนิวเคลียร พลังงานที่แสนสะอาดจากแสงแดด และพลังงานจากกระแสน้ํา ฯลฯ แตมีใครสักกี่คนที่สามารถใหความหมายที่แนนอนไดวาพลังงานคืออะไร

กีฬายอดนิยมสําหรับผูชอบความทาทาย คือการกระโดดแบบบันจี้ ผูที่ออกแบบจะตองหาเสนเชือกที่มีความยึดหยุนเหมือนสปริง นําไปผูกติดกับขาของผูกระโดด เมื่อผูกระโดดพุงและดิ่งลงดานลาง เชือกจะยืดตามออกมา พอเชือกยืดสุดแลว เชือกจะหดตัวและดึงผูกระโดดขึ้นไป ผูที่ออกแบบจะตองคํานวณไดวาเชือกจะยืดออกมาไดยาวสุดเทาไร โดยใบหนาของผูกระโดดไมกระทบกับพ้ืนน้ําขางลาง แตก็ตองใหใกลกับพ้ืนน้ํามากที่สุด เพ่ือใหเกิดความตื่นเตน เราสามารถคํานวณคาตางๆ เหลานี้ได คลิกครับ

ถานักศึกษาไดอานบทความของฟสิกสราชมงคลนักศึกษาจะไดเห็นคําเหลานี้บอยๆเชน มวล แรง ทอรค งาน กําลัง และพลังงาน คําเหลานี้มีความหมาย และมีความสัมพันธกันอยางไร นักศึกษาสามารถเขาใจความหมายของคําแตละคํา พรอมทั้งมีตัวอยางประกอบ สามารถอานรายละเอียดได คลิกครับ

บทความออนไลน

ฟสิกสราชมงคล

118

6-1 งาน_________________________________________________________ F

S

θ

รูป 6-1 แรง F กระทําใหวัตถุเคล่ือนที่เปนระยะกระจัด S

งานคือผลของแรงที่กระทําบนวัตถุ และทําใหวัตถุเคลื่อนท่ีไปตามแนวแรง

ถามีแรงคงที่ F กระทําตอวัตถุ ทํามุม θ กับแกน x ซึ่งเปนแนวการเคลื่อนที่ของวัตถุ ดังรูป 6-1 จะไดวา Fx = F cosθ ................... (6-1) เมื่อวัตถุเคล่ือนที่เปนระยะกระจัด S งานที่กระทําตอวัตถุ W = FxS ................... (6-2) หรือจะเขียนเปนรูปของการดอตเวกเตอร

W = F⋅S ................... (6-3) งานคือแรงดอตกับระยะกระจัด ผลที่ไดจะเปนปริมาณสเกลาร จึงไมตองคํานึงถึงทิศทาง ตัวอยางเชน ผลักวัตถุดวยแรง 5 N ตะวันออก ทําใหวัตถุเคล่ือนที่เปนระยะ 6 m ตะวันออก จะไดงานเทากับผลักวัตถุดวยแรง 5 N เหนือ ไดระยะ 6 m เหนือ ถึงงานจะเปนปริมาณสเกลาร แตก็มีเครื่องหมายเปนบวกและลบได ดังนั้น ถาแรงอยูทิศเดียวกับระยะการเคลื่อนที่ งานเปนบวก แตถาทิศตรงกันขาม งานเปนลบ หรือถาแรงกับระยะเคล่ือนที่ทํามุมฉากกัน งานจะเปนศูนย ยกวัตถุขึ้นตามแนวดิ่ง งานเปนบวก ออกแรงยืดสปริง งานเปนบวก ในทางกลับกัน วางวัตถุลงตามแนวดิ่ง งานเปนลบ ออกแรงดันสปริง งานเปนลบ เพราะแรงกับระยะกระจัดตรงขามกัน แตถาคุณหิ้วของเดินไปบนพ้ืนแนวระดับ ในทางฟสิกสถือวาคุณไมไดทํางาน เพราะแรงกับระยะกระจัดตั้งฉากกัน และถาวัตถุเคล่ือนที่เปนวงกลม งานที่ทําดวยแรงสูศูนยกลางจะเปนศูนย เพราะแรงกับระยะกระจัดในกรณีนี้ตั้งฉากกัน

หนวยของงานไดจาก แรงคูณกับระยะทาง นิวตัน⋅เมตร (N⋅m) มีชื่อเฉพาะวา จูล (J)

1 จูล (J) = 1 นิวตัน⋅เมตร (N⋅m)

F cosθ x

ฟสิกสราชมงคล

119

ตัวอยาง 6-1

รูป 6-2 ลากกลองบนพ้ืนฝดดวยแรง F เอียงทํามุม θ กับระดับ

ลากกลองบนพ้ืนฝดระดับดวยแรง F เอียงทํามุม θ กับระดับ จากแผนภาพแทนแรง แรง ที่กระทําตอวัตถุคือ น้ําหนัก w แรงปฏิกิริยาที่พ้ืนกระทํากับกลอง n และแรงเสียดทาน f หางานเมื่อกลองเคล่ือนที่ไปทางขวาเปนระยะ S

หลักการคํานวณ แรงในแนวการเคลื่อนที่ คือ F cosθ ดังนั้น งานที่ถูกทําโดยแรง F คือ WF = (F cosθ) S น้ําหนัก w และแรงปฏิกิริยา n ทํามุมฉากกับระยะกระจัด ดังนั้น งานที่ทําจากแรงทั้งสองเปนศูนย Ww = 0 ; Wn = 0 แรงเสียดทานตรงขามกับระยะกระจัด เพราะฉะนั้น งานที่ทําดวยแรงเสียดทานเปนลบ Wf = -fs เพราะงานเปนปริมาณสเกลาร จึงบวกแบบเลขจํานวนได งานทั้งหมดหาจาก

ΣW = WF + Ww + Wn + Wf

= (F cosθ) S + 0 + 0 - fS = (F cosθ -f) S

(F cosθ - f) คือแรงสุทธิที่กระทําบนกลอง กําหนดให F = 50 N , f = 15 N, θ = 36.9o , และ S = 20 m ดังนั้น WF = (F cosθ)S

= (50 N)(0.800)(20 m) = 800 N⋅m Wf = -fS

= (-15 N)(20 m) = -300 N⋅m

งานทั้งหมด ΣW = WF +Wf = 500 N⋅m ตรวจสอบคําตอบโดยหาจากงานสุทธิคูณกับระยะกระจัด = (F cosθ - f)S

= (40 N - 15 N)(20 m) = 500 N⋅m

ฟสิกสราชมงคล

120

6-2 งานที่ถูกทําดวยแรงไมคงที่_____________________________________

รูป 6-3 (a) กราฟระหวางแรง F กับระยะกระจัด x แรงไมคงที่แปรคาตามระยะกระจัด (b) แบงพ้ืนที่เปนส่ีเหล่ียมชวงเล็ก ๆ ผลบวกทั้งหมดของพื้นที่ส่ีเหล่ียมคืองาน นิยามของงานในหัวขอ 6-1 เกิดจากแรงคงที่ อยางไรก็ตาม แรงที่กระทํากับวัตถุอาจไมคงที่ได ตัวอยางเชน ออกแรงดึงสปริงใหยืดชา ๆ แรงจะเพ่ิมขึ้นตามระยะยืดของสปริง

กราฟรูป 6-3 แรง F เปนฟงกชันกับระยะกระจัด x เมื่อแบงระยะกระจัดออกเปนชวงเล็ก ๆ

Δx ในชวง Δx แรง F มีคาเกือบคงที่ประมาณ F1

งานโดยประมาณในชวง Δx1

ΔW1 = F1 Δx1

ทํานองเดียวกันในชวง Δx2 : F เกือบคงที่ประมาณ F2

งานโดยประมาณในชวงΔx2

ΔW2 = F2 Δx2

งานที่ทําทั้งหมดจาก x1 ไปยัง x2 คือผลรวมของงานยอยทั้งหมด

W = F1 Δx1 + F2 Δx2 + .....

= ΣFi Δxi

ใหชวงการแบงΔx เล็กมากที่สุด Δx เขาใกลศูนย เครื่องหมาย Σ จะเปล่ียนเปนอินทิกรัล ( ∫ ) ของ F จาก x1 ไป x2

W = ................... (6-4) ∫2

1

x

xF.dx

ซึ่งก็คือพ้ืนที่ใตเสนโคงของกราฟรูป 6-3 (a) ถามีการเปล่ียนแปลงทิศทางของแรงขณะเคลื่อนที่ แรง F ในสมการ (6-4) ตองแตกมาอยูในแนวการเคลื่อนที่กอน ตัวอยางเชน อนุภาคถูกทําใหเคล่ือนที่บนแกน x ดวยแรง F ที่ทํามุม θ กับแกน x, F cosθ คือแรงที่อยูในแนวการเคลื่อนที่ แทนลงในสมการ (6-4)

W = ∫ ................... (6-5) θ2

1

x

xdxFcos

ฟสิกสราชมงคล

121

รูป 6-4 แรงเปนฟงกชันกับระยะยืด : F = kx

ออกแรง F ดึงสปริง ดังรูป 6-4 F จะเปนสัดสวนตรงกับระยะยืด x F = kx ................... (6-6) k คือคาคงที่ เรียกวา คานิจของสปริง ผูที่คนพบสูตรนี้คือ โรเบิรต ฮุค ในป ค.ศ.1678 เรียกวา กฎของฮุค ถาเราออกแรงดึงปลายขางหนึ่งของสปริง โดยที่ปลายอีกขางติดกับกําแพง แรงจะเพ่ิมขึ้นอยางสม่ําเสมอตามระยะยืด รูป 6-5 คือ กราฟระหวางแรง F กับระยะยืด x งานทั้งหมดที่มือกระทําจาก x = 0 ถึง x = x หาไดจาก

W = 2kx2

1x

0kxdx

x

0Fdx =∫=∫ ................... (6-7)

รูป 6-5 กราฟระหวางแรงกับระยะยืด พ้ืนที่แรเงาที่อยูใตกราฟคืองานที่ทําทั้งหมด ผลจากสมการ (6-7) หาไดจากพื้นที่ใตกราฟโดยตรงจากรูป 6-5 งานคือพ้ืนที่ของสามเหลี่ยม

W = 2

1x ฐาน x สูง

= 2

1 x x x (kx) =

2

1 kx2

ตรงกับสมการ (6-7) โดยไมตองหาจากการอินทิเกรต

ฟสิกสราชมงคล

122

ตัวอยาง 6-2 หญิงคนหนึ่งหนัก 600 N ยืนบนเครื่องชั่ง ปรากฏวาสปริงของเครื่องชั่งถูกกดลงไปเปนระยะ

1 ซม. จงหาคานิจของสปริงและงาน

หลักการคํานวณ จากสมการ (6-6)

k = x

F

= m0.01

N600

= 60,000 N⋅m-1

จากสมการ (6-7)

W = 2

1 kx2

= 2

1 (60,000 N⋅m-1)(0.01 m)2

= 3 N⋅m = 3 J งานที่เกิดจากการดึงสปริงจาก x1 ถึง x2 คือ

W = 21

22 kx2

1kx2

1−

ให x = 0 คือตําแหนงที่สปริงไมไดยืดหรือหด (คุณลองพิสูจนดูวาสมการเปนจริงหรือไม ?)

รูป 6-6 แรง F กระทําใหอนุภาคเคลื่อนที่จาก P1 ไป P2 แรง F ไมคงที่ เปล่ียนทั้งขนาด

และทิศทาง วิธีคํานวณหางานใหแบงเสนทางการเคลื่อนที่เปนสวนเล็ก ๆ dl

งานชวงเล็ก ๆ หาไดจาก dW = F⋅dl แรง F กระทําใหอนุภาคเคลื่อนที่จาก P1 ไป P2 เพ่ือจะหางานบนเสนทางการเคลื่อนที่ เราจะ

แบงเสนทางการเคลื่อนที่เปนชวงเล็กๆ dl ให θ เปนมุมระหวาง F กับ dl ที่ตําแหนงนั้น ๆ งานในชวงเล็กๆ dW หาไดจาก

ฟสิกสราชมงคล

123

dW = F cosθ dl

= F|| dl

= F⋅dl

F|| = F cosθ เปนแรงที่อยูในทิศเดียวกับเสนทางการเคลื่อนที่ dl งานทั้งหมดที่ทําใหอนุภาคเคลื่อนที่จาก P1 ไป P2

W = ∫ θ2

1

P

PdFcos l

= ∫ 2

1

II

P

PdF l

= ∫ ................... (6-8) ⋅2

1

P

PdF l

การอินทิกรัลแบบนี้มีชื่อเรียกวา การอินทิกรัลตามเสน ตัวอยาง 6-3 เด็กชายคนหนึ่งน้ําหนัก w นั่งอยูบนชิงชายาว R ดังรูป 6-7 แรงในแนวระดับ P เริ่มจาก

ศูนยที่จุดต่ําสุดและมากสุดเมื่อชิงชาแกวงไปไดสูงสุด ขณะที่เชือกทํามุม θ0 กับแนวดิ่ง คํานวณหางานของแรง P

θ0

รูป 6-7 แรงในแนวระดับ P ขณะที่ชิงชาเคล่ือนที่ไปไดระยะทาง S

หลักการคํานวณ ขณะที่เชือกทํามุม θ0 กับแนวดิ่ง ระบบอยูในสมดุล

ผลรวมของแรงในแนวระดับเปนศูนย

P - T sinθ = 0 , P = T sinθ ผลรวมของแรงในแนวดิ่งเปนศูนย

w - Tcosθ = 0 , w = T cosθ

สมการแรกหารดวยสมการที่สอง จะได

P = w tanθ

จากรูป s = Rθ, dl = Rdθ จากสมการ (6-8) W = ∫ ⋅ ldP

ฟสิกสราชมงคล

124

= ∫ θ ldPcos

= ∫θ

θθθ0

0Rdcoswtan

= ∫θ

θθ0

0dsinwR

= wR(1 - cosθ0) .................... (6-9)

วิเคราะหโจทย θ0 = 0 ชิงชาอยูตําแหนงต่ําสุด ไมมีระยะกระจัด : cosθ0 = 1 และ W = 0 ถา θ0 =

90o : cosθ0 = 0 และ W = wR เด็กจะแกวงไปจนถึงแนวระดับ

ในการทดลองนี้จะเปนการศึกษาความสัมพันธระหวางแรง งาน และระยะกระจัด การเคล่ือนที่ของกลอง โดยคุณสามารถใชเมาสคลิกและลากกลองไปที่ใดก็ไดในหองทดลองเสมือนหรือจะใชลูกศรของคียบอรดก็ไดเชนเดียวกัน งานที่ไดจากแรงโนมถวงหรือจากแรงเสียดทาน จะปรากฏเปนตัวเลขอยูดานบนของหองทดลองเสมือน คุณสามารถเปลี่ยนมวล m และสัมประสิทธิ์แรงเสียดทาน โดยใชตัวเล่ือน เมื่อคุณตองการใหกลองกลับเขาสูจุดเริ่มตน ใหกดปุม Reset ตําแหนงเริ่มตนของกลองจะแสดงดวยเงาสีเทาดํา ใหคุณทดลองเลื่อนกลองไปบนพ้ืน และสังเกตดูวาการเปลี่ยนแปลงไปอยางไร ตอไปกดปุม Reset และยกกลองขึ้นจากพื้น โดยไมใหกลองติดพ้ืน เมื่อยกกลับมาที่เดิม หรือจุดเริ่มตน สังเกตวางานมีคาเทาไร กดที่รูปหรือท่ีนี่เพ่ือเขาสูการทดลอง

การทดลองเสมือนจริง

ฟสิกสราชมงคล

125

6-3 พลังงาน_____________________________________________________ พลังงานของระบบหนึ่งระบบใดจะมีคาคงที่ เรียกวา กฎการคงตัวของพลังงาน เพ่ือใหเขาใจ สมมติใหมวล m 2 อัน เคล่ือนที่เขาชนกัน ถาเปนการชนแบบยืดหยุน พลังงานสุดทายหลังชนจะเทากับ พลังงานกอนชน คือพลังงานไมไดหายไปไหนยังคงเดิม แตถามวลทั้งสองเกิดเปล่ียนรูปรางขณะชน ตัวอยางเชน ปาหมากฝรั่งไปติดกําแพง ยิงลูกปนฝงเขาไปในเปา ฯลฯ มวลที่เขาชนจะมีอุณหภูมิสูงขึ้น พลังงานสูญเสียไปทางอื่นที่ไมใชการเคลื่อนที่ การชนในลักษณะนี้เปนการชนแบบไมยืดหยุน กฎการคงตัวของพลังงานใชไมไดกับกรณีนี้ ถึงกระนั้นก็ตาม ถาระบบขยายขอบเขตออกไป ไมคํานึงถึงแตการเคลื่อนที่เพียงประการเดียว พลังงานกอนชนจะเทากับพลังงานหลังชนบวกดวยพลังงานที่สูญเสียไป ฉะนั้นพลังงานรวมทั้งในและนอกระบบก็ยังคงที่ ซึ่งจะไดอธิบายอยางละเอียดอีกครั้งในเรื่องของเทอรโมไดนามิก ตอไปนี้ เราจะศึกษาพลังงานที่เกี่ยวของกับการเคลื่อนที่ เชน การเปล่ียนแปลงตําแหนงของความเร็วและความเรง ซึ่งกฎการคงตัวของพลังงานใชไดเปนอยางดี ยกเวนถามีแรงเสียดทานในระบบเทานั้นที่จะทําใหมีการสูญเสียพลังงานออกนอกระบบไป

6- 4 งานและพลังงานจลน__________________________________________ ออกแรง F กระทํากับมวล m จากกฎขอท่ีสอง F = ma เกิดความเรงทําใหความเร็วเพ่ิมขึ้นจาก v1 เปน v2 มวล m เคล่ือนที่ไดระยะกระจัด S จากสมการการเคลื่อนที่เมื่อความเรงคงที่ เราจะได

= 22v 2aSv21 +

a = 2S

vv 21

22 −

จะได F = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −2S

vvm

21

22

FS = 21

22 mv2

1mv2

1− ................... (6-10)

FS คืองานที่ทําโดยแรงสุทธิ F

2mv2

1 คือพลังงานจลน แทนดวยอักษร K

K = 2mv2

1 ................... (6-11)

K1 = 21mv2

1 คือพลังงานจลนตําแหนงเริ่มตน (ตําแหนงที่ 1)

K2 = 22mv2

1 คือพลังงานจลนตําแหนงสุดทาย (ตําแหนงที่ 2)

22mv2

1 - 2

1mv2

1 คือการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลนขณะที่มวล m ถูกทําใหเคล่ือนที่จาก

ตําแหนง 1 ไปยังตําแหนง 2 สรุปไดวา งานที่ทําโดยแรงสุทธิจะเทากับการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน

ฟสิกสราชมงคล

126

W = K2 - K1 = ΔK .................... (6-12)

พลังงานจลนเหมือนกับงานคือเปนปริมาณสเกลารทั้งคู

ถา W เปนบวก พลังงานจลนสุดทายมากกวาพลังงานจลนเร่ิมตน เขียนแบบงาย ๆ วา พลังงานจลนเพิ่มข้ึน แตถา W เปนลบ พลังงานจลนสุดทายนอยกวาพลังงานจลนเร่ิมตน นั่นก็คือ พลังงานจลนลดลง และถา W เปนศูนย แสดงวา พลังงานจลนคงท่ี ไมมีการเปล่ียนแปลง

จากสมการ (6-11) m มีหนวยเปน kg, v มีหนวยเปน m⋅s-1 ดังนั้น พลังงานจลน K มีหนวย

เปน (N⋅m) หนวยเดียวกับงาน

1 J = 1 N⋅m

= 1 kg⋅m⋅s-2⋅m

= 1 kg⋅m2⋅s-2

ตัวอยาง 6-4 จากตัวอยาง 6-1 งานทั้งหมดที่กระทําบนกลอง = 500 J ถากลองมีความเร็วเริ่มตน v1

= 4 m⋅s-1 ใหมวลของกลอง = 10 kg จงหาความเร็วสุดทายของกลอง

หลักการคํานวณ พลังงานจลนที่จุดเริ่มตนคือ

K1 = 21mv2

1

= 2

1 (10 kg)(4 m⋅s-1)2

= 80 J พลังงานจลนรวมที่จุดสุดทายคือ K2 = K1 + W = 80 J + 500 J = 580 J

แต K2 = 22mv2

1

= 2

1 (10 kg) = 580 J 2

2v

v2 = 10.8 m⋅s-1

ฟสิกสราชมงคล

117

6-5 พลังงานศักยโนมถวง__________________________________________

รูป 6-8 งานที่ทําโดยน้ําหนัก w ระหวางที่เคล่ือนที่จากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง ภายใตสนามโนมถวงของโลก (a) เคล่ือนที่ในแนวดิ่ง จาก y1 ไป y2

(b) เสนทางการเคลื่อนที่เปนเสนโคง

(c) งานที่ทําโดยน้ําหนัก w ในชวงเล็ก ๆ Δs, ΔW = w⋅Δs งานที่ทําโดยน้ําหนัก w ระหวางที่เคล่ือนที่ในแนวดิ่งจาก y1 ไป y2 ดังรูป 6-8a วัดจากแกน อางอิง Wโนมถวง = Fs = -w(y2 - y1) = -(mgy2 - mgy1) ................... (6-13) เพราะทิศทางของน้ําหนัก w ตรงขามกับระยะกระจัดทําใหงานที่กระทําโดยน้ําหนักเปนลบ W โนมถวง คืองานที่ใชในการเคลื่อนที่จากจุดเริ่มตนถึงจุดส้ินสุดในแนวดิ่ง mgy มีชื่อเรียกวา พลังงานศักยโนมถวง แทนดวย U U = mgy ................... (6-14) ใหพลังงานศักยโนมถวงเริ่มตน U1 = mgy1 และสุดทาย U2 = mgy2 เพราะฉะนั้น

Wโนมถวง = -(U2 - U1) = - ΔU ................... (6-15) ในกรณีที่ยกมวลลง y2 นอยกวา y1 งานเปนบวก พลังงานศักยโนมถวงลดลง แตถายกมวลขึ้น y2 มากกวา y1 งานจะเปนลบ พลังงานศักยโนมถวงจะเพ่ิมขึ้น

ฟสิกสราชมงคล

117

ขอสังเกต ถาเล่ือนแกนอางอิง U1 และ U2 จะเปล่ียนคา แตคาความแตกตาง (U1 - U2 ) ไมเปล่ียน

จึงสรุปไดวา พลังงานโนมถวงที่จุดนั้น ๆ ไมมีความสําคัญ เปล่ียนไปมาไดตามแกนอางอิง ดังนั้นเราจะสนใจแตการเปล่ียนแปลงพลังงานโนมถวงระหวางจุด 2 จุดเทานั้น ให Wอ่ืน เปนงานอื่น ๆ ยกเวนงานที่เกิดจากแรงโนมถวง ดังนั้นงานทั้งหมดที่กระทํากับวัตถุ W = W โนมถวง + Wอ่ืน งานทั้งหมดนี้จะไปทําใหพลังงานจลนของวัตถุเปล่ียนไป

Wอ่ืน + W โนมถวง = K2 - K1 = ΔK

Wอ่ืน - (mgy2 - mgy1) = ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ − 2

122 mv2

1mv2

1 ................... (6-16)

จัดรูปสมการ (6-16) ใหมจะได

Wอ่ืน = ( )1221

22 mgymgymv2

1mv2

1−+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

= ΔK + ΔU ................... (6-17) Wอ่ืน คืองานที่เกิดจากแรงภายนอก P ผลบวกของพลังงานจลนกับพลังงานศักย เรียกวา พลังงานรวม (E) E = K + U จัดรูปสมการ (6-17) ใหมจะได

Wอ่ืน = ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ + 1

212

22 mgymv

2

1mgymv

2

1

= (K2 + U2) - (K1 + U1)

= E2 - E1 = ΔE .................... (6-18) ถา Wอ่ืน มีเครื่องหมายเปนบวก แสดงวาพลังงานรวมเพิ่มขึ้น แตถาเปนลบก็แสดงวาพลังงานรวมกําลังลดลง ในกรณีที่ไมมีแรงภายนอกกระทํากับวัตถุ P = 0, Wอ่ืน = 0 สมการ (6-18) เขียนใหมได K1 + U1 = K2 + U2

หรือ 121 mgymv

2

1+ = 2

22 mgymv

2

1+ .................... (6-19)

ภายใตเง่ือนไขนี้ พลังงานรวมจะมีคาคงที่ ไมวาวัตถุจะอยู ณ ตําแหนงใดๆก็ตาม ตั้งเปนกฎขึ้น

เรียกวา กฎการคงตัวของพลังงาน

ฟสิกสราชมงคล

118

ตัวอยาง 6-5 ชายคนหนึ่งโยนลูกบอลมวล 0.2 kg ขึ้นไปในแนวดิ่ง มือของเขาเคลื่อนที่ขึ้น 0.5 m กอนที่

ลูกบอลจะหลุดจากมือดวยความเร็ว 20 m⋅s-1 ลองวิเคราะหการเคลื่อนที่ในมุมมองของงานและพลังงาน

กําหนดให g = 10 m⋅s-2

หลักการคํานวณ ให y = 0 เปนตําแหนงเริ่มตน จุดที่ 1 (แกนอางอิง) จะได

K1 = 0 U1 = 0 จุดที่ 2 เปนตําแหนงที่ลูกบอลออกจากมือของผูขวาง จะได

K2 = 22mv2

1

= 2

1 (0.2 kg)(20 m⋅s-1)2 = 40 J

U2 = (0.2 kg)(10 m⋅s-2)(0.5 m) = 1.0 J ให P เปนแรงที่ชายคนนี้ขวาง

Wอ่ืน = ΔK + ΔU = (K2 - K1) + (U2 - U1) = 41 J งานที่ทําโดยแรง P Wอ่ืน = P (y2 - y1)

P = 12

อ่ืน

yy

W

−

= m0.5

J41 = 82 N

พิจารณาลูกบอลหลังจากที่หลุดออกจากมือแลว ถาไมมีแรงเสียดทานของอากาศ จะมีเพียงแรงเดียวที่กระทํากับลูกบอลก็คือน้ําหนัก w = mg , Wอ่ืน = 0 ดังนั้น พลังงานรวมของระบบคงที่ แตถาเปล่ียนแกนอางอิงใหม โดยใหตําแหนงลูกบอลหลุดจากมือเปนจุด 1 (แกนอางอิง) จะได K1 = 40 J U1 = 0 เพราะพลังงานรวมคงที่ทุกจุด ดังนั้น K1 + U1 = K2 + U2 = 40 J + 0 ถาเราตองการหาความเร็วที่ความสูง 15 เมตร เหนือจากแกนอางอิง พลังงานโนมถวงที่จุดนี้คือ U2 = mgy

= (0.2 kg)(10 m⋅s-2)(15 m) = 30 J พลังงานจลนที่จุดนี้คือ K2 = 10 J

22mv2

1 = K2 , v2 =

m

2K2± = ± 10 m⋅s-2

ฟสิกสราชมงคล

119

เครื่องหมาย ± แสดงวาลูกบอลผานจุดนี้ 2 ครั้ง ครั้งแรกเปนบวกแสดงวาลูกบอลกําลังขึ้น ครั้งที่สองเปนลบแสดงวาลูกบอลกําลังลง พลังงานจลนทั้งสองครั้งเทากัน เพราะความเร็วที่ผานจุดนี้ทั้งขึ้นและลงเทากัน เพียงแตทิศตรงขามกัน ที่จุดสูงสุด v = 0, K = 0 , U = 40 J ฉะนั้นความสูงหาไดจาก

mgh = (0.2 kg)(10 m⋅s-2) h = 40 J h = 20 m ถาโจทยตองการทราบความเร็วที่ความสูง 30 m เหนือแกนอางอิง พลังงานศักย ณ จุดนี้

= mgh = (0.2 kg)(10 m⋅s-2)(30 m) = 60 J แตพลังงานรวมมีแค 40 J จึงเปนไปไมไดเลยที่ลูกบอลนี้จะสูงไปกวา 30 m ได ถาเคล่ือนที่มวลจากจุดเริ่มตน y1 ไปส้ินสุดที่ y2 โดยเสนทางการเคลื่อนที่เปนเสนโคง ดังรูป 6-8 (b) งานที่ทําโดยน้ําหนัก w จะเทากับกรณีที่เคลื่อนที่มวลเปนเสนตรงในแนวดิ่งจาก y1 ไป y2 เพ่ือจะ

พิสูจนใหเห็นจริง ใหแบงเสนทางการเคลื่อนที่เปนชวงเล็ก ๆ Δs ดังรูป 6-8 (c) แตก Δs เขาไปในแกนดิ่ง

Δy = Δs cosθ ทิศทางตรงขามกับ w ดังนั้น งานเล็กๆที่เกิดขึ้นในชวงนี้คือ

Δw = - mg Δs cosθ = - mg Δy

Δy คือระยะที่เปล่ียนแปลงตามแกนดิ่ง ระยะนี้จะถูกแทนที่ดวย (y2 - y1) ดังนั้น งานทั้งหมด ที่ทําโดยน้ําหนัก w ก็คือ - mg(y2 - y1) ไมขึ้นกับเสนทางการเคลื่อนที่ ไมวาจะเคล่ือนที่ในลักษณะใด พลังงานศักยจะขึ้นอยูกับตําแหนงเริ่มตนและตําแหนงสุดทายเทานั้น

ตัวอยาง 6-6 เด็กไถลลงมาบนทางโคง รัศมี R ถาเริ่มจากหยุดนิ่งและพ้ืนไมมีแรงเสียดทาน จงหา

ความเร็วของเด็กที่จุดต่ําสุด

รูป 6-9 เด็กไถลลงบนทางโคงที่ไมมีแรงเสียดทาน

หลักการคํานวณ

แผนภาพแทนแรงแสดงใหเห็นวา แรงที่กระทําตอเด็กมีน้ําหนัก w และแรงปฏิกิริยา n เน่ืองจากแรงปฏิกิริยา n ตั้งฉากกับเสนทางการเคลื่อนที่ Wอ่ืน= 0 ดังนั้น พลังงานรวมของระบบจะคงที่

ฟสิกสราชมงคล

120

ใหตําแหนง 1 เปนจุดเริ่มตน และตําแหนง 2 เปนจุดสุดทายของการเคลื่อนที่ ถากําหนดใหตําแหนง 2 เปนแกนอางอิง ดังนั้น y1 = R และ y2 = 0 เพราะพลังงานรวมคงที่ทุกตําแหนง K2 + U2 = K1 + U1

22mv2

1 + 0 = 0 + mg R

v2 = 2gR± ให R = 3.0 m จะได

v2 = )(3.00m)sm2(9.8 2−⋅±

= 7.67± m⋅s-1

ตัวอยาง 6-7 จากตัวอยาง 6-6 กําหนดใหเด็กมีมวล 25 kg รัศมีทางโคง R = 3 m ความเร็วที่จุดต่ําสุด

เปน 3 m⋅s-1 งานที่ทําโดยแรงเสียดทานจะเปนเทาไร

หลักการคํานวณ งานที่ทําโดยแรงเสียดทาน Wอ่ืน

Wอ่ืน = ( )1221

22 mgymgymv2

1mv2

1−+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

= [2

1(25.0 kg)(3.00 m⋅s-1)2- 0] + [0 - (25.0 kg)(9.8 m⋅s-2)(3.0 m)]

= 112 J - 735 J = - 623 J งานที่เกิดจากแรงเสียดทานคือ - 623 J เครื่องหมายลบแสดงใหเห็นวาพลังงานลดลงไป 623 J พลังงานรวมของระบบไมคงที่ เพราะสวนหนึ่งตองสูญเสียไปกับแรงเสียดทาน

ตัวอยาง 6-8

รูป 6-10 เสนทางการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล 2 เสนทาง ถาความเร็วเริ่มตนเทากัน ความเร็วจะเทากันที่ระดับความสูงเดียวกัน

ฟสิกสราชมงคล

121

สมมติวาไมมีแรงตานอากาศ แรงเดียวที่กระทําตอลูกบอลหลังจากขวางออกไปแลวก็คือ น้ําหนัก ดังนั้น พลังงานรวมของการเคลื่อนที่ทุกทุกจุดจะคงที่ รูป 6-10 คือเสนทางการเคลื่อนที่ของลูกบอลที่ขวางออกไป 2 ครั้ง มุมตางกัน แตมีความเร็วตนเทากัน ทดสอบดวยตนเอง ใหเสนประเปนแกนอางอิง ณ ระดับความสูงเดียวกันพลังงานศักยจะมีคาเทากัน คุณลองพิสูจนดูวาพลังงานจลนตามเสนประนี้ก็เทากัน ซึ่งนําไปสูผลสรุปวา ความเร็วจะเทากันที่ระดับ ความสูงเดียวกัน

ตัวอยาง 6-9 เด็กคนหนึ่งน้ําหนัก w นั่งอยูบนชิงชายาว l ดังรูป 6-11 แรงในแนวระดับ P เริ่มจากศูนยที่

จุดต่ําสุด และมากที่สุดเมื่อชิงชาแกวงไปไดสูงสุด จากสาเหตุนี้ทําใหการแกวงคอนขางชา (พลังงานจลน

( )KΔ จึงนอยมากใหเปนศูนย) ขณะที่เชือกทํามุม θ กับแนวดิ่ง คํานวณหางานของแรง P

รูป 6-11 Δy = l (1- cosθ)

หลักการคํานวณ จากสมการ (6-16)

Wอ่ืน = WP + WT = ΔK + ΔU = ΔE WT คืองานของแรงตึงเชือก = 0 เพราะแรงตึงเชือก T ตั้งฉากกับเสนทางการเคลื่อนที่

WP = ΔU = w Δy

จากรูป Δy = l(1 - cosθ) ดังนั้น

WP = wl (1 - cosθ)

ผลที่ไดเหมือนกับตัวอยาง 6-3 โดยแทน R ดวย l ----------------------------------------------------------

แรงโนมถวงของโลกจะเทากับมวล m เปนไปตามสมการ

Fg = 2E

r

Gmm ................... (6-20)

mE คือมวลของโลก r คือระยะที่วัดจากจุดศูนยกลางโลกถึงจุดศูนยกลางมวล แรงโนมถวงเปนสัดสวนกลับกับ r2

งานที่ทําโดยแรงโนมถวง Wg จาก r1 ไป r2 จะได

ฟสิกสราชมงคล

122

Wg = ∫2

1

r

r

rdrF

Fr คือแรงที่อยูในทิศทางเดียวกับรัศมีของโลกมีทิศพุงออกจาก r1 ไป r2 Fg คือแรงโนมถวง มีทิศพุงเขาสวนทางกับ Fr ดังนั้น Fr = -Fg แทนลงในสมการบนจะได

จะได Wg = ∫−2

12E

r

r r

drGmm

= 1

E

2

E

r

Gmm

r

Gmm− ................... (6-21)

ดังนั้น ถาเราปลอยใหวัตถุเคล่ือนที่จากอนันตมายังจุดที่หางจากโลกเทากับ “r” โดยแทน

r2 = ∝(อนันต) และ r1 = r พลังงานศักยของวัตถุ ณ ตําแหนงใดๆ

U(r) = r

GmmE− ................... (6-22)

แรงโนมถวงเปนแรงเดียวที่กระทําบนวัตถุ ฉะนั้น Wg จะเทากับการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลนจาก r1 ไป r2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−12

E r

1

r

1Gmm = 2

122 mv2

1mv2

1−

21mv2

1 -

1

E

r

Gmm = 2

2mv2

1 -

2

E

r

Gmm ................... (6-23)

ขางซายของสมการคือพลังงานรวมที่จุด 1 (E1) ขางขวาคือพลังงานรวมที่จุด 2 (E2) พลังงานรวมที่ตําแหนงใด ๆ E = K + U

= 2

1mv2

r

GmmE− ................... (6-24)

ถาแรงที่กระทํามีเฉพาะแรงโนมถวง พลังงานรวมจะคงที่และอนุรักษ

ตัวอยาง 6-10 ถาตองการยิงกระสุนปนใหญมวล m ไปยังดวงจันทร ความเร็วเริ่มตนจากปากกระบอก

ปนใหญควรจะเปนเทาใด (ก) สูงจากผิวโลกเทากับรัศมีของโลก (ข) หลุดออกจากแรงโนมถวงของโลก (กําหนดใหแรงดึงดูดของดวงจันทรนอยมาก ไมตองนํามาคิด)

หลักการคํานวณ (ก) ลูกกระสุนปนใหญมีมวล m มีความเร็วเริ่มตน v1 และ R คือรัศมีของโลก r1 = R , r2 = 2R , v2 = 0 แทนคาลงไปในสมการ (6-23)

R

Gmmmv2

1 E21 − =

2R

Gmm0 E−

จะได = 21v R

GmE

v1 = m106.38

kg)10)(5.98kgmN10(6.676

242211

××⋅⋅× −−

= 7920 m⋅s-1

ฟสิกสราชมงคล

123

(ข) ให v1 เปนความเร็วหลุดพนจากแรงโนมถวงของโลก r1 = R , r2 = อนันต , v2 = 0 แทนคาลงไปในสมการ (6-23)

R

Gmmmv2

1 E21 − = 0

จะได = 21v R

2GmE

v1 = m106.38

kg)10)(5.98kgmN102(6.676

242211

××⋅⋅× −−

= 1.12x104 m⋅s-1

สมการ (6-21) จัดรูปใหมจะไดเปน

Wg = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

21

21E rr

rrGmm

ถาอนุภาคไมอยูไกลจากผิวโลกมากนัก ตัวหาร r1 และ r2 สามารถแทนดวยรัศมีของโลก R จะได

Wg = ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

221

E R

rrGmm

แทนคา g = 2E

R

Gm ลงในสมการบน

Wg = mg (r1 - r2) ถาแทน r1 ดวย y1 และ r 2 ดวย y2 จะตรงกับสมการ (6-13) ถาแบงระยะการเคลื่อนที่ r เปนชวงเล็ก ๆ dr งานที่ทําโดยแรงโนมถวงในชวงเล็ก ๆ dW = Frdr เทากับการเปลี่ยนแปลงพลังงานศักยโนมถวงในชวงส้ัน ๆ dU ซึ่งสามารถเขียนอยูในรูปของฟงกชันไดดังนี้

dU = drdr

dU⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ จาก dW = - dU ดังนั้น

ฉะนั้น Fr = ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛dr

dU ................... (6-25)

แรงโนมถวงที่กระทํากับมวล m คือ

Fr = 2E

r

Gmm−

จากสมการ (6-25) แทนคา U ดวยสมการ (6-22) จะได

dr

dU =

2E

r

Gmm

ฟสิกสราชมงคล

124

6- 6 พลังงานศักยยืดหยุน__________________________________________

รูป 6-12

รูป 6-12 มวล m วางนิ่งอยูบนพ้ืนระดับที่ไมมีแรงเสียดทาน ขางหนึ่งของสปริงผูกติดกับมวล อีกขางหนึ่งผูกติดกับตัวยึดหรือกําแพง ที่ตําแหนง x = 0 สปริงไมมีการยืดหรือหด ออกแรง P ดึงมวล m ใหยืดออก จะมีแรงดึงกลับของสปริง Fx เพ่ิมขึ้นเปนสัดสวนกับ P ถาปลอยมวล สปริงจะถูกแรง F ดึงกลับเขาสูตําแหนงเดิม แรง F จึงมีชื่อเรียกวา แรงดึงกลับของสปริง

สปริงถูกทําใหยืดจาก 0 ถึง x งานที่ทําโดยสปริง = - 2kx2

1 (ที่มีเครื่องหมายเปนลบเพราะใน

หัวขอ 6-2 เราใหงานที่เกิดจากคนดึงสปริงมีเครื่องหมายเปนบวก) ถาใหตําแหนงเริ่มตนเปน x1 และสุดทายเปน x2 งานที่ทําโดยสปริงจาก x1 ถึง x2

Wยืดหยุน = ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−−− 2

122 kx

2

1kx2

1

2kx2

1 มีชื่อเรียกวาพลังงานศักยยืดหยุน แทนดวย U

U = 2kx2

1 ................... (6-26)

สัญลักษณ U แทนพลังงานศักยจากแรงโนมถวงหรือสปริงก็ได ดังนั้นอาจจะมีปญหาบางขอท่ีพลังงานศักยมีทั้ง 2 แบบ ซึ่งจะทําใหสับสนได ในที่นี้เราจะใชตัวหอย “ยืดหยุน” เพ่ือแทนวาเปนพลังงานศักยยืดหยุนของสปริง

Uยืดหยุน = 2kx2

1

งานที่ทําโดยสปริง จาก x1 ไป x2

Wยืดหยุน = 2122

21 UUkx2

1kx2

1−=− ................... (6-27)

ยืด x ไปทางบวก งาน (Wยืดหยุน) เปนลบ แตพลังงานศักยยืดหยุนเพ่ิมขึ้น ดัน x ไปทางลบ งาน (Wยืดหยุน) เปนบวก แตพลังงานศักยยืดหยุนลดลง อยางไรก็ตามพลังงานศักยยืดหยุนจะมีคาเปนบวกเสมอตามสมการ (6-26)

ฟสิกสราชมงคล

125

Wอ่ืน คือ งานที่ทําโดยแรงอื่น ในกรณีนี้ Wอ่ืน คืองานที่ทําโดยแรง P งานทั้งหมดของระบบคือ Wอ่ืน + Wยืดหยุน จะเทากับการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน เขียนเปนสมการไดดังนี้

Wอ่ืน + Wยืดหยุน = ΔK

Wอ่ืน - ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ − 2

122 kx2

1kx2

1 = ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ − 2

122 kv2

1mv2

1

ยายพลังงานศักยยืดหยุนไปอยูขางเดียวกับพลังงานจลน จะชวยใหเห็นภาพชัดเจนยิ่งขึ้น

Wอ่ืน = ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ − 2

122 mv2

1mv2

1+ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ − 2

122 kx2

1kx2

1 .................... (6-28)

จัดรูปใหม

= ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ + 2

121

22

22 kx

2

1mv2

1kx2

1mv2

1

= (K2 + U2) - (K1 + U1)

= E2 - E1 = ΔE ................... (6-29) ผลตางของพลังงานรวมสุดทายกับเริ่มตน คืองานทั้งหมดที่กระทําโดยแรงอื่น Wอ่ืน ถา Wอ่ืน เปนบวก พลังงานรวมเพิ่มขึ้น แตถา Wอ่ืน เปนลบ พลังงานรวมจะลดลง หรือในกรณีที่ Wอ่ืน = 0 พลังงานรวมจะคงที่หรืออนุรักษ จากสมการ (6-29) จะได

21

21 kx2

1mv2

1+ = 2

222 kx2

1mv2

1+ ................... (6-30)

หรือ Wอ่ืน = (K2 + U2) - (K1 + U1) ................... (6-31) ถา Wอ่ืน = 0 จะได K1 + U1 = K2 + U2 ................... (6-32)

ตัวอยาง 6-11 จากรูป 6-12 ใหคานิจของสปริง = 24.0 N⋅m-1 และมวล m = 4 kg ดึงสปริงยืดออก 0.500

m และปลอย มวลจะวิ่งกลับ จงหาความเร็วของมวลตรงตําแหนงที่สปริงยืด 0.300 m

หลักการคํานวณ หลังจากปลอยมือแลว ไมมีแรงภายนอกอื่นใด มีแตแรงของสปริงเทานั้นที่กระทําตอมวล ดังนั้น

Wอ่ืน = 0

K1 = 2

1 (4.00 kg)(0)2 = 0

U1 = 2

1 (24.0 N⋅m-1)(0.500 m)2 = 3.00 J

K2 = 2

1 (4.00 kg)(v2)

2

U2 = 2

1 (24.0 N⋅m-1)(0.300 m)2 = 1.08 J

แทนคาลงในสมการ (6-32)

ฟสิกสราชมงคล

126

0 + 3.00 J = (2.00 kg) + 1.08 J 22v

จะได v2 = ± 0.98 m⋅s-1 (สัญลักษณ ± มีความหมายอยางไร) หรือหาไดจากแทนคา v1 = 0 , x1 = 0.5 m , x2 = 0.3 m ลงไปในสมการ (6-30) เพ่ือหา v2

2

1 (4.00 kg)(0)2 +

2

1 (24.0 N⋅m-1)(0.500 m)2 =

2

1 (4.00 kg)(v2)

2 + 2

1 (24.0 N⋅m-1)(0.300 m)2

v2 = ± 0.98 m⋅s-1 (สัญลักษณ ± มีความหมายอยางไร) คําตอบตรงกันไมวาจะหาจากสมการ (6-32) หรือสมการ (6-30) ปญหาขอนี้ไมสามารถแกไดโดยใชสมการการเคลื่อนที่มีความเรงคงที่ เพราะแรงของสปริง ไมคงที่ เปล่ียนไปตามระยะยืดทําใหความเรงก็ไมคงที่ไปดวย จึงตองแกปญหาโดยใชหลักการคงตัวของ พลังงานซึ่งจะทําไดงายและเร็วที่สุด

ตัวอยาง 6-12 รูป 6-12 ออกแรงคงที่ P ขนาด 10 N กระทําตอมวล จงหาความเร็วเมื่อสปริงยืด 0.500 m

หลักการคํานวณ จากสมการ (6-31) Wอ่ืน ไมเปนศูนย เพราะมีแรงภายนอก P มากระทํา

Wอ่ืน = ΔK + ΔU

(10.00 N)(0.500m) = 2

1 (4.00 kg)( ) - 0 + 2

2v 2

1 (24.0 N⋅m-1)(0.500)2 - 0

v2 = 1.00 m⋅s-1

ตัวอยาง 6-13 จากตัวอยาง 6-12 หยุดใหแรง P หลังจากมวลเคลื่อนที่ไปได 0.500 m มวลยังเคล่ือนที่

ตอไปไดไกลอีกเทาไร

หลักการคํานวณ หลังจากหยุดใหแรง Wอ่ืน = 0 พลังงานรวมของระบบจะคงที่ พลังงานรวมที่ 0.500 m จะเทากับพลังงานจลน + พลังงานศักย

พลังงานจลน = 2

1 mv2 = 2 J

พลังงานศักย = 2

1 kx2 = 3 J

Eรวม = 2 + 3 = 5 J มวลยังเคล่ือนที่ตอไปจนหยุดนิ่ง ที่จุดหยุดนิ่ง พลังงานจลนเปนศูนย และพลังงานศักยสูงสุด แตพลังงานรวมยังคงเปน 5 J

เพราะฉะนั้น 2maxkx

2

1 = 2

max1)xmN(24.0

2

1 −⋅ = 5.00 J

xmax = 0.645 m

ฟสิกสราชมงคล

127

ตัวอยาง 6-14 กอนอิฐมวล m ตกจากที่สูง h ลงบนสปริงซึ่งมีคาคงที่ k จงหาระยะมากสุดที่สปริงถูกกดลง

ไป (รูป 6-13)

ตําแหนงเร่ิมตน ตําแหนงสุดทาย

รูป 6-13 ระยะความสูงจริงที่กอนอิฐตกลงมาคือ h + y

หลักการคํานวณ มีเฉพาะแรงโนมถวงและแรงยืดหยุนจากสปริง Wอ่ืน = 0 ดังนั้น พลังงานรวมของ

ระบบที่ทุก ๆ จุดคงที่ ตําแหนงเริ่มตนตก v1 = 0 , K1 = 0 ตําแหนงสุดทาย อิฐจะหยุดนิ่ง สปริงถูกกดลงไป y ที่จุดนี้พลังงานจลนเปนศูนย พลังงานศักยโนมถวงลดลงไป mg(h + y) สวนพลังงานศักยยืดหยุนจะ

เพ่ิมขึ้น 2

1 ky2

จากกฎการคงตัวของพลังงานปริมาณทั้งสองมีคาเทากันตามสมการ

mg ( h + y) = 2

1ky2

จัดรูปใหม

k

h2mg

k

y2mgy 2 −− = 0

เปนสมการกําลังสอง สามารถแกสมการหาคา y ได

y = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛±

k

mgh8

k

mg2

k

mg2

2

1 2

มี 2 คําตอบ คําตอบที่เปนบวก ถูกตอง สวนคําตอบที่เปนลบ เปนระยะที่อยูเหนือจุดสมดุลขึ้นไปจึง ไมใชคําตอบ

ฟสิกสราชมงคล

128

รูป 6-14 วงจรการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ผูกกับปลายสปริงวางในแนวราบ

รูป 6-15 กราฟแสดงความสัมพันธระหวางพลังงานศักย , พลังงานจลนของระยะกระจัด

ตัวอยาง 6-15 เด็กคนหนึ่งไถลลงมาตามเนิน เร่ิมจากหยุดนิ่งที่จุด i มาถึงปลายเนินที่จุด f จงหาความเร็ว

ของเด็กคนนี้ที่จุด f

y1

y2

h

รูป 6-16 เด็กมวล m ล่ืนไถลตามสวนโคง

หลักการคํานวณ จากหลักการคงตัวของพลังงาน (K + U)เริ่มตน = (K + U)สุดทาย

ฟสิกสราชมงคล

129

ใหความเร็วตน = v1

ความเร็วปลาย = v2

ดังนั้น 121 mgymv

2

1+ = 2

22 mgymv

2

1+

= + 2g (y22v

21v 1 - y2)

เมื่อเด็กเริ่มไถลลงมา ความเร็วตน v1 = 0 และ y1 - y2 = h แทนลงไปในสมการบนจะได

= 2gh 22v

v2 = 2gh

ตัวอยาง 6-16 ปลอกเหล็กรูปทรงกระบอก มวล 10 kg สวมเขากับทอเหล็ก ผูกปลอกเหล็กกับสปริง ซึ่งมี

ความยาวเดิม 10 cm และมีคาคงที่ของสปริง 500 N⋅m-1 เดิมปลอกเหล็กอยูนิ่งที่ตําแหนง A จงหาความเร็วของปลอกเหล็กเมื่อเคล่ือนที่ตกมาที่ตําแหนง B ซึ่งอยูหางจาก A เปนระยะ 15 cm โดยไมคิดแรงเสียดทานระหวางปลอกเหล็กและทอเหล็กดังรูป 6-17

รูป 6-17

หลักการคํานวณ

ระยะ BC = 22 1520 + = 25 พลังงานศักยรวมท่ีตําแหนง

UA = mghA + 2Akx2

1 = (10 × 9.8 ×0.15)+ 20.1)(500)(0.2

2

1−

= 14.7 + 2.5 = 17.2 J

พลังงานศักยรวมท่ีตําแหนง B

UB = mghB B + 2Bkx2

1

= 0 + 2

1(500)(0.25 - 0.1)2

= 5.625 J จากหลักการคงตัวของพลังงาน UA + KA = UB + KBB

ฟสิกสราชมงคล

130

KB = KA+[UA-UB] B

= KA+[( mghA + 2Akx2

1)- 2

Bkx2

1]

2B(10)v

2

1 = 0 + (17.25-5.62)

vB = B ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

5

5.6217.25

= 1.52 m⋅s-1

6-7 แรงไมอนุรักษ________________________________________________ พลังงานศักยโนมถวงไมขึ้นกับเสนทางการเคลื่อนที่ แตขึ้นอยูกับตําแหนงเริ่มตนและตําแหนงสุดทายเทานั้น เพราะแรงโนมถวงมีคุณลักษณะเชนนี้ ดังนั้น แรงโนมถวงจึงเปน แรงอนุรักษ การเคลื่อนที่ของวัตถุที่ผูกอยูปลายสปริง วางในแนวระนาบดังรูป 6-14 ขณะที่สปริงยืดออก งานที่ทําโดยสปริงเปนลบ พลังงานจลนลดลง และพลังงานศักยเพ่ิมขึ้น แตขณะที่สปริงหดเขา งานที่ทําโดยสปริงเปนบวก พลังงานจลนเพ่ิมขึ้น และพลังงานศักยลดลง ผลบวกของพลังงานจลนกับพลังงานศักยคือพลังงานรวมของระบบซึ่งจะคงที่ทุกจุด แรงที่มีคุณลักษณะเชนนี้ เปน แรงอนุรักษ ตัวอยางทั้ง 2 แสดงคุณสมบัติของแรงอนุรักษ สรุปวาแรงอนุรักษมีคุณสมบัติดังนี้ 1. ไมขึ้นอยูกับเสนทางการเคลื่อนที่ แตขึ้นอยูกับตําแหนงเริ่มตนและตําแหนงสุดทายเทานั้น 2. เปล่ียนกลับไปมาได ดังเชน พลังงานจลนและพลังงานศักย 3. ถาการเคลื่อนที่มาส้ินสุดที่จุดเริ่มตน ระยะกระจัดเปนศูนย งานรวมทั้งหมดเปนศูนย ถาไมมีคุณสมบัติเชนนี้ก็ไมใชแรงอนุรักษ ดังเชน วัตถุเคล่ือนที่บนพ้ืนที่มีแรงเสียดทานและกลับมายังจุดตั้งตน งานรวมทั้งหมดไมเปนศูนย ดังนั้นถามีแรงเสียดทานในระบบของการเคลื่อนที่ พลังงานรวมของระบบจะไมคงที่ แรงพวกนี้จึงเรียกวา แรงไมอนุรักษ พลังงานบางสวนจะกระจายไปบนพื้น และจะไมมีทางนํากลับมาไดอีกเลย

วีดีโอเพื่อการศึกษา

โดดอนพา

ป 2001 สวนสนุกในญี่ปุน นําเครื่องเลนโดดอนพาออกมาใหคนไดสนุกสนานเปนครั้งแรก ความเร็วของมันสามารถเรงจาก 0 ถึง 107 ไมลตอชั่วโมงโดยใชเวลาเพียง 1.8 วินาที ผูเลนจะไดรับแรงกระทํามากกวา 3.5 เทาของความเรงโลก หมายความวาผูเลนที่มีน้ําหนัก 60 กิโลกรัม จะเพ่ิมขึ้นเปน 200 กิโลกรัมในทันทีทันใด การเคลื่อนที่ใชแรงอัดของอากาศ มันจึงเปนเคร่ืองเลนที่ทําใหเกิดอารมณเสียวสุดๆ คลิกครับ

ฟสิกสราชมงคล

131

6-8 กําลัง_______________________________________________________ นิยามของงานไมไดมีความสัมพันธกับเวลา ตัวอยางเชน ถาคุณยกวัตถุหนัก 100 N สูงขึ้น 0.5 m คุณทํางาน 50 J ถึงคุณจะใชเวลาในการยก 1 วินาที 1 ชั่วโมง หรือ 1 ป คุณก็ทํางานเทากัน เราจึงตองนิยามอัตราการทํางานขึ้นมา ซึ่งเรียกวา กําลัง

ทํางานได ΔW ในชวงเวลา Δt กําลังเฉล่ีย = งาน

ชวงเวลาที่ทํางาน

= Pav = t

W

ΔΔ

กําลังชั่วขณะ คืออัตรากําลังที่คิดในชวงเวลาสั้น ๆ โดยให Δt เขาใกลศูนย

P = t

Wim0t ΔΔ

→Δl =

dt

dW ................... (6-33)

หนวยของกําลังคือ จูลตอวินาที (J⋅s-1)

1 J⋅s-1 เรียกวา 1 วัตต (1 W) 1 kW = 103 W และ 1 MW = 106 W

หนวยในระบบอังกฤษ งานมีหนวยเปน ฟุต-ปอนด (ft⋅lb)

กําลังมีหนวยเปน ฟุต-ปอนดตอวินาที (ft⋅lb⋅s-1) หนวยของกําลังที่นิยมใชกันมากหนวยหน่ึงก็คือ กําลังมา

1 กําลังมา (hp) = 550 ฟุต⋅ปอนด ตอวินาที = 33,000 ฟุต⋅ปอนด ตอนาที กําลังของไฟฟานิยมใชหนวยเปนวัตต เชน หลอดไฟ 100 วัตต จะใหกําลังไฟและความรอน 100 จูลตอวินาที หนวยแตละหนวยของกําลังมีความสัมพันธกันดังนี้ 1 กําลังมา = 746 W = 0.746 kW kWh (กิโลวัตตชั่วโมง) นิยมใชบอกกําลังของกระแสไฟฟา

1 kWh คืองานที่ทําในเวลา 1 ชั่วโมง 3600 × 1000 J = 3,600,000 J

1 kWh = 3.6 × 106 J = 3.6 MJ

ขอสังเกต 1 kWh คือหนวยของงานไมใชกําลัง

ฟสิกสราชมงคล

132

ออกแรง F ทําใหมวลเคล่ือนที่ไดระยะกระจัด Δs แรง F สามารถแตกออกเปน 2 แนว

คือ F|| กับ F⊥ , F⊥ ตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ จึงไมมีงาน ดังนั้น งาน ΔW = F|| Δs กําลังเฉล่ียหาไดจาก

pav = t

W

ΔΔ

= F|| t

s

ΔΔ

= F||vav

เมื่อให Δt เขาใกลศูนย จะไดกําลังชั่วขณะ

P = F||v ................... (6-34)

เขียนอยูในรูปของการดอตเวกเตอร

P = F⋅v .................... (6-35)

ตัวอยาง 6-17 เครื่องบินไอพนใหแรงขับดันออกมา 15,000 N ขณะบินดวยความเร็ว 300 m⋅s-1 กําลัง

ของเครื่องยนตเปนเทาไร

หลักการคํานวณ P = F⋅v = Fvcos00

= (1.50 × 104 N)(300 m⋅s-1 )

= 4.50 × 106 w

= (4.500 × 106 w) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛746w

hp1

= 6,030 hp

ตัวอยาง 6-18 รถบุโรทั่งมวล 50 kg วิ่งไปบนทางลาดสูงจากระดับน้ําทะเล 443 m ในเวลา 15.0 นาที

กําลังเฉล่ียจะเปนเทาไร

หลักการคํานวณ งานทั้งหมด W = mgh

= (50.0 kg)(9.80 m⋅s-1)(443 m)

= 2.17 × 105 J เวลา 15 นาที = 900 s กําลังเฉล่ียหาไดจาก

pav = s900

102.17 5×

= 241 w = 0.241 kw = 0.323 hp หรือจะหาจากความเร็วเฉล่ีย

vav = s900

m443 = 0.492 m⋅s-1

ฟสิกสราชมงคล

133

หรือกําลังเฉล่ียหาไดจาก Pav = Fvav = (mg) vav

= (50.0 kg)(9.80 m⋅s-2)(0.492 m⋅s-1) = 241 w ไมวาจะหาโดยวิธีใดคําตอบก็ไดคาตรงกัน

6-9 กําลังของรถยนต_____________________________________________ ทุก ๆ 1 ลิตรของน้ํามันเบนซินจะใหพลังงาน 3.5 × 104 J นาเสียดายที่วาพลังงานทั้งหมด ไมไดเปล่ียนเปนพลังงานกล 2 ใน 3 ของความรอนทั้งหมดที่ไดจากการเผาไหมเชื้อเพลิงสูญเสียไปกับระบบ หลอเย็น ประมาณ 20% เทานั้นที่เปล่ียนไปเปนพลังงานกล แตก็ยังตองสูญเสียไปกับความสะดวกสบาย ภายในรถยนต เชน แอร ที่จุดบุหรี่ วิทยุ พวงมาลัยเพาเวอร เหลือเพียง 15% ที่ไปขับเคล่ือนรถยนต พลังงานสวนที่เหลือนี้จะตองไปชนะแรงเสียดทานการหมุนของลอและแรงตานของอากาศ โดยที่แรงเสียดทาน การหมุนเปนสัดสวนตรงกับ μr (สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานหมุน) และน้ําหนักของรถ กําหนดให μr ระหวางลอรถยนตกับพ้ืนคอนกรีต = 0.015 และรถมีน้ําหนัก 10,000 N แรงเสียดทานการหมุน Frol = (0.015)(10000 N) = 150 N Frol ไมขึ้นกับความเร็วของรถยนต สวนแรงตานทานของอากาศเปนสัดสวนตรงกับความเร็วของรถ เปนไปตามสมการ

Fอากาศ = 2vCA2

1ρ

A = พ้ืนที่ตานลม , ρ เปนความหนาแนนของอากาศ (ประมาณ 1.2 kg.m-3) ที่อุณหภูมิปกติ v = ความเร็วของรถยนต , และ C คือคาคงที่เรียกวา drag coefficient ขึ้นอยูกับรูปรางของตัวรถ กําหนดให C = 0.5 สมมติให A = 2 m2 แรงตานอากาศ

Fอากาศ = 2

1(0.5)(2 m2)(1.2 kg⋅m-3) v2 = (0.6 N⋅s2⋅m-2) v2

ให v = 15 m⋅s-1

Fอากาศ = 135 N

และถา v = 30 m⋅s-1

Fอากาศ = 540 N ที่ความเร็วตํ่า แรงเสียดทานที่ลอมากกวาแรงตานทานอากาศ แตที่ความเร็วสูงแรงตานของอากาศมากกวา และเปนปจจัยสําคัญมากสําหรับงานออกแบบรถยนต กําลังของรถยนตที่ความเร็ว v ตางๆ คือ

ฟสิกสราชมงคล

134

P = (Frol + Fอากาศ ) v

= [150 + (0.6 N⋅s2m-2) v2] v ตารางกําลังท่ีความเร็วตางๆ

v

(m⋅s-1)

Frol

(N) Fอากาศ

(N) Fทั้งหมด

(N) P

(kW) P

(hp)

10 150 60 210 2.10 2.81 15 150 135 285 4.28 5.73 30 150 540 690 20.70 27.70

จากตาราง ที่ความเร็ว 15 m⋅s-1 เครื่องยนตใหกําลัง 4.28 kW = 4,280 J⋅s-1 ในเวลา

1 ชั่วโมง (3,600 s) พลังงานทั้งหมดในเวลา 1 ชั่วโมงคือ (4,280 J⋅s-1)(3,600 s) = 1.54 × 107 J รถยนต

เคล่ือนที่ไดระยะทาง (15 m⋅s-1)(3,600 s) = 5.4 × 104 m = 54 km ; 1 ลิตรของเบนซินใหพลังงาน

3.5 × 107 J

เพราะฉะนั้นปริมาณน้ํามันที่ใชใน 1 ชั่วโมง = )literJ10(3.5

J)10(1.5417

7

−⋅××

= 0.44 liter เพียง 15 % เทานั้นที่ใชในการขับเคล่ือนรถยนต

∴ ใน 1 ชั่วโมงใชน้ํามัน = 0.15

liter)(0.44

= 2.93 ลิตร

ระยะทางตอน้ํามันที่ใช คือ liter)(2.93

km)(54 = 18.4 km⋅liter-1

ฟสิกสราชมงคล

135

บรรยายลงในกระดานฟสิกสราชมงคล

ในการแขงขันยกน้ําหนักของกีฬาโอลิมปก ในป ค.ศ.1976 นาย วาสิรี

อเล็กซีฟ ไดทําใหโลกตื่นเตน โดยการยกน้ําหนักขนาด 562 ปอนด

(2500 นิวตัน) ขึ้นเหนือศีรษะสูงจากพื้นประมาณ 2 เมตร ทําลาย

สถิติโลก อยางไรก็ตาม ยอนหลังไปในป ค.ศ. 1957 นาย พอล แอน

เดอรสัน ไดยกน้ําหนักโดยใชแผน ผาคลองผานเอว เขาสามารถยก

น้ําหนักไดสูงสุด 6270 ปอนด (27 900 N) ขึ้นไดสูง 1 เซนติเมตร ดู

จากตัวเลขแลวนายแอนเดอรสันยกน้ําหนักไดมากกวา แตได

ระยะทางนอยกวา คําถามก็มีอยูวา ทั้งสองคนนี้ใครทํางานมากกวา

กัน หรือใครมีพลังมากกวากันนั่นเอง มีตอ คลิกเขาสูกระดานฟสิกสราชมงคลใหม

ทดสอบกอนและหลังเรียน

วิธีทํา ให ใสชื่อ สกุล เลือกวิชาที่สอบ และจํานวนขอ แตตองไมเกินจากที่กําหนดไว เชน กําหนดไว 10 ขอ เวลาเลือกจํานวนขอ ใหเลือก 5 และ 10 ขอไมเกินจากนี้ เปนตน เมื่อ

ทําเสร็จสามารถดูคะแนนจากรายละเอียดผูทําขอสอบไดทันที เร่ือง งานและพลังงาน

คลิกเขาสู ทดสอบกอนและหลังเรียน

แบบฝกหัดทายบทพรอมเฉลย คลิกครับ

แบบฝกหัดทายบทพรอมเฉลย

ฟสิกสราชมงคล

117

แบบฝกหัดเรื่องงานและพลังงาน

1. ออกแรง F สม่ําเสมอขนาด 70 N กระทําตอบล็อกในแนวทํามุม 250 กับพ้ืนระดับ ทําใหบล็อกมวล 15 kg เล่ือนไปบนพ้ืน ถาสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลนระหวางพ้ืนกับบล็อกเปน 0.3 ในขณะที่บล็อกเคล่ือนที่จากสภาพนิ่งไดระยะ 5.0 m จงหา

ก) งานของแรง F [ ตอบ 317.21 J ] ข) งานของแรงเสียดทาน [ ตอบ -176.13 J ] ค) งานสุทธิที่ทําตอบล็อก [ ตอบ 141.08 J ] ง) พลังงานจลนของบล็อก [ ตอบ 141.08 J ] 2. ออกแรง F = (6i-2j) N กระทําตออนุภาค ทําใหอนุภาคมีการกระจัด S = (3i +j) จงหา ก) งานของแรง F ที่กระทําตออนุภาค [ ตอบ 16 J ] ข) มุมระหวาง F กับ S [ ตอบ 36.90 ] 3. สมมติวาสปริงมีสมบัติเปนไปตามกฎของฮุคเมื่อทํางาน 4 J ใหแกสปริงยืดออกได 10 cm จงหางานที่

ตองทําเพ่ิมเพ่ือใหสปริงยืดออกไปอีก 4 cm [ ตอบ 3.84 J ] 4. วัตถุมวล 3.0 kg มีความเร็วตน v0 = (6i-2j) m/s ก) จงหาพลังงานจลนของวัตถุในขณะนี้ [ ตอบ 60 J ] ข) จงหา KΔ เมื่อวัตถุเปล่ียนความเร็วเปน (8i+4j) m/s (แนะนํา v2 =v.v) [ ตอบ 60 J ] 5. จงคํานวณหาอัตราเร็ว ของโปรตอนที่มีพลังงานจลน 100 MeV (กําหนดใหมวลนิ่งของโปรตอน mp =

1.67×10-27 kg และ 1 MeV = 1.6×10-13 J) [ ตอบ 1.28 810× m/s ] 6. ลูกเบสบอลลูกหนึ่งออกจากมือผูปาดวยอัตราเร็ว 32.0 m/s ลูกบอลมีมวล 0.145 kg ไมตองคํานึงถึงแรง

ตานอากาศ ในการปาลูกเบสบอลนี้ผูปาทํางานเทาใดตอลูกเบสบอล [ ตอบ 74.2 J ] 7. อิเล็กตรอนซึ่งกําลังเคล่ือนที่มีพลังงานจลน K1 หลังจากที่ไดทํางานสุทธิ W ตออิเล็กตรอน พบวา

อิเล็กตรอนเคล่ือนที่ดวยอัตราเร็วหนึ่งในส่ีของคาเดิมในทิศตรงกันขาม ก) จงหา W ในรูป K1 [ ตอบ –(15/16)K1 ] ข) คําตอบของคุณขึ้นอยูกับทิศการเคลื่อนที่สุดทายของอิเล็กตรอนหรือไม [ ตอบ ไม ] 8. ลูกฟุตบอลมวล 0.420 kg ลูกหนึ่งเดิมเคล่ือนที่ดวยอัตราเร็ว 2.00 m/s นักฟุตบอลคนหนึ่งเตะฟุตบอล

นั้นดวยแรงคงตัวขนาด 40.0 N ในทิศเดียวกับการเคลื่อนที่ของลูกบอล เทาของเขาตองสัมผัสกับลูกบอลเปนระยะทางเทาใดเพื่อท่ีจะเพิ่มอัตราเร็วของลูกบอลเปน 6.00 m/s [ ตอบ 16.8 cm ]

ฟสิกสราชมงคล

118

9. แรงขนาด 160 N ยืดสปริงขดหนึ่งออกได 0.050 m จากความยาวเมื่อยังไมยืด ก) จะตองใชแรงขนาดเทาใดเพื่อยืดสปริงขดนี้ 0.015 m จากความยาวที่ยังไมยืด และจะตองใชแรง ขนาดเทาใดเพื่ออัดสปริงขดนี้เขา 0.020 m [ ตอบ 48.0 N ,64.0 N ] ข) จะตองทํางานขนาดเทาใดเพื่อยืดสปริงขดนี้ 0.015 m จากความยาวที่ยังไมยืด และจะตอง ทํางานขนาดเทาใดเพื่ออัดสปริงขดนี้เขา 0.020 m จากความยาวที่ยังไมยืด [ ตอบ 0.360 J, 0.640 J ]

10. ที่สวนน้ําแหงหนึ่ง แครเล่ือนพรอมผูขี่ถูกสงไปตามผิวระดับล่ืนโดยการปลอยจากสปริงใหญที่ถูกอัดไว สปริงซึ่งมีคา k = 4000 N/m และมีมวลนอยมากวางอยูบนผิวระดับล่ืน ปลายหนึ่งของสปริงยึดติดกับกําแพงซึ่งอยูกับท่ี แครเล่ือนและผูขี่ซึ่งมีมวลรวมกัน 70.0 kg ถูกดันเขากับอีกปลายหนึ่งของสปริงและอัดสปริงเขาไป 0.375 m หลังจากนั้นก็ปลอยแครเล่ือนใหเคล่ือนที่จากหยุดนิ่ง จงหาอัตราเร็วของแครเล่ือนเมื่อสปริง

ก) กลับไปอยูตําแหนงที่ยังถูกอัด [ ตอบ 2.83 m/s ] ข) ยังถูกอัดอยูเปนระยะ 0.200 m [ ตอบ 2.40 m/s ]

11. ทีมรถจักรยานขี่สองคนตองเอาชนะแรง 165 N เพ่ือท่ีจะรักษาอัตราเร็วไวที่ 9.00 m/s จงหากําลังที่ตองใชตอผูขี่หน่ึงคน ใหสมมุติวาแตละคนใหกําลังเทากัน ใหตอบในหนวยวัตตและกําลังมา [ ตอบ 743 W = 0.995 hp ]

12 เมื่อเครื่องยนตขนาด 75 kW (100 hp) ของเครื่องบินเล็กเครื่องยนตเดียวมวล 700 kg ลําหนึ่งใหกําลัง

เต็มที่ เครื่องบินจะไตความสูงขึ้นที่อัตรา 2.5 m/s (150 m/นาที) เครื่องบินใชกําลังของเครื่องยนตเปนเศษสวนเทาใดในการไตความสูง (กําลังที่เหลือถูกใชในการเอาชนะแรงตานอากาศและความไมมีประสิทธิภาพในเครื่องขับและเครื่องยนต) [ ตอบ 0.23 ]

13. ลิฟตตัวหนึ่งมีมวล 600 kg เมื่อไมรวมมวลผูโดยสาร เขาออกแบบลิฟตตัวนี้มาใหเคล่ือนที่ขึ้นที่อัตราเร็ว

คงตัวเปนระยะทางแนวดิ่ง 20.0 m ในเวลา 16.0 s ลิฟตตัวนี้ขับเคล่ือนดวยมอเตอรที่ใหกําลังไดถึง 40 hp จงหาจํานวนผูโดยสารสูงสุดที่ขึ้นลิฟตนี้ได ใหสมมติวาผูโดยสารเฉลี่ยมีมวล 65.0 kg [ ตอบ 28 ]

14. เรือบรรทุกเครื่องบิน John F. Kennedy มีมวล 7.4 x 107 kg เมื่อเครื่องยนตของเรือใหกําลังเต็มที่

280,000 hp เรือจะเคล่ือนที่ดวยอัตราเร็วสูงสุด 35 knots (65 km/h) ถา 70% ของกําลังจายออกของเครื่องยนตใหไปในการขับเรือในการน้ํา จงหาขนาดของแรงตานน้ําที่ตานการเคลื่อนที่ของเรือท่ีอัตราเร็วนี้ [ ตอบ 1.8 x 106 N ]

15. กอนวัตถุเล็กมวล 0.120 kg กอนหน่ึงผูกติดกับเชือกเสนหนึ่งซึ่งสอดผานรูในผิวระดับที่ไมมีความฝด ดัง

รูป เดิมกอนวัตถุกําลังหมุนอยูที่ระยะหาง 0.40 m จากรูดวยอัตราเร็ว 0.70 m/s หลังจากนั้นเชือกถูกดึงจากดานลางของรูทําใหรัศมีของวงกลมที่กอนวัตถุหมุนส้ันลงเปน 0.10 m ที่ระยะใหมนี้สังเกตเห็นวาอัตราเร็วของวัตถุมีคา 2.80 m/s

ก) ความตึงเชือกในสถานการณเดิมเมื่อกอนวัตถุมีอัตราเร็ว v=0.70 m/s มีคาเทาใด [ ตอบ 0.15N ] ข) ความตึงเชือกในสถานการณสุดทายเมื่อกอนวัตถุมีอัตราเร็ว v=2.80m/s มีคาเทาใด [ตอบ 9.4 N] ค) งานที่ทําโดยคนที่ดึงเชือกมีคาเทาใด [ ตอบ 0.44 J ]

ฟสิกสราชมงคล

119

16. กอนวัตถุมวล 5.00 kg กอนหน่ึงกําลังเคล่ือนที่ดวยอัตราเร็ว v0 = 6.00 m/s ไปตามผิวระดับที่ไมมีความ

เสียดทานเขาหาสปริงขดหนึ่งซึ่งผูกยึดไวกับผนัง ดังรูป สปริงมีมวลนอยมากและมีคาคงตัวของสปริง k = 500 N/m

ก) จงหาระยะทางที่สปริงหดเขาไปมากที่สุด [ ตอบ 0.600 m ] ข) ถาตองการใหสปริงหดไมเกิน 0.15 m v0 ควรมีขนาดสูงสุดเทาใด [ ตอบ 1.5 m/s ]

17. จากรูป เชือกและรอกมีมวลนอยมาก และรอกไมมีความฝด เดิมวัตถุมวล 6.00 kg กําลังเคล่ือนที่ลง และ

วัตถุมวล 8.00 kg กําลังเคล่ือนที่ไปทางขวา โดยที่วัตถุทั้งสองกําลังเคล่ือนที่ดวยอัตราเร็ว 0.900 m/s หลังจากที่วัตถุทั้งสองเคล่ือนไปได 2.00 m ก็หยุดนิ่ง จงใชทฤษฎีงาน-พลังงาน คํานวณหาสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลนระหวางวัตถุมวล 8.00 kg กับผิวโตะ [ ตอบ 0.786 ]

18. แทงวัตถุมวล 0.25 kg ถูกวางอยูบนสปริงซึ่งตั้งอยูในแนวดิ่ง โดยมีคาคงตัว k = 5000 N.m-1 ทําใหสปริง

ถูกอัดลงไปจากความยาวปกติ 0.1 m เมื่อปลอยวัตถุจะทําใหสปริงดีดวัตถุขึ้นไป จงหาระยะสูงสุดจากตําแหนงปลอยวัตถุ [ ตอบ 10.2 m ]

19. มวล 2.5 kg ผูกติดกับสปริงเบาซึ่งมีคา k = 65 N.m-1 เมื่อสปริงถูกยืดออกจากความยาวปกติ 10 cm

ปรากฏวาพลังงานจลนของมวลที่ผูกติดกับสปริงมีปริมาณเทากับพลังงานศักยของสปริง ถาระบบนี้ถูก ปลอยใหเคล่ือนที่อยางอิสระบนพ้ืนระนาบเรียบ จงหาอัตราเร็วสูงสุดของมวล [ ตอบ 0.72 m/s ]

20. พลังงานศักยของระบบซึ่งประกอบดวยวัตถุสองอันอยูหางกันเปนระยะ r คือ U = A/r โดยที่ A คือคาคงตัว

จงหาแรงกระทําระหวางวัตถุ [ ตอบ A/r2 ]

ฟสิกสราชมงคล

หนังสืออิเล็กทรอนิกส

ฟสิกส 1(ภาคกลศาสตร( ฟสิกส 1 (ความรอน)

ฟสิกส 2 กลศาสตรเวกเตอร

โลหะวิทยาฟสิกส เอกสารคําสอนฟสิกส 1ฟสิกส 2 (บรรยาย( แกปญหาฟสิกสดวยภาษา c ฟสิกสพิศวง สอนฟสิกสผานทางอินเตอรเน็ต

ทดสอบออนไลน วีดีโอการเรียนการสอน หนาแรกในอดีต แผนใสการเรียนการสอน

เอกสารการสอน PDF กิจกรรมการทดลองทางวิทยาศาสตร

แบบฝกหัดออนไลน สุดยอดสิ่งประดิษฐ

การทดลองเสมือน

บทความพิเศษ ตารางธาตุ)ไทย1) 2 (Eng)

พจนานุกรมฟสิกส ลับสมองกับปญหาฟสิกส

ธรรมชาติมหัศจรรย สูตรพื้นฐานฟสิกส

การทดลองมหัศจรรย ดาราศาสตรราชมงคล

แบบฝกหัดกลาง

แบบฝกหัดโลหะวิทยา แบบทดสอบ

ความรูรอบตัวท่ัวไป อะไรเอย ?

ทดสอบ)เกมเศรษฐี( คดีปริศนา

ขอสอบเอนทรานซ เฉลยกลศาสตรเวกเตอร

คําศัพทประจําสัปดาห ความรูรอบตัว

การประดิษฐแของโลก ผูไดรับโนเบลสาขาฟสิกส

นักวิทยาศาสตรเทศ นักวิทยาศาสตรไทย

ดาราศาสตรพิศวง การทํางานของอุปกรณทางฟสิกส

การทํางานของอุปกรณตางๆ

การเรียนการสอนฟสิกส 1 ผานทางอินเตอรเน็ต

1. การวัด 2. เวกเตอร3. การเคลื่อนท่ีแบบหนึ่งมิต ิ 4. การเคลื่อนท่ีบนระนาบ5. กฎการเคลื่อนท่ีของนิวตัน 6. การประยุกตกฎการเคลื่อนท่ีของนิวตัน7. งานและพลังงาน 8. การดลและโมเมนตัม9. การหมุน 10. สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง11. การเคลื่อนท่ีแบบคาบ 12. ความยืดหยุน13. กลศาสตรของไหล 14. ปริมาณความรอน และ กลไกการถายโอนความรอน15. กฎขอท่ีหน่ึงและสองของเทอรโมไดนามิก 16. คุณสมบัติเชิงโมเลกุลของสสาร

17. คลื่น 18.การสั่น และคลื่นเสียง การเรียนการสอนฟสิกส 2 ผานทางอินเตอรเน็ต

1. ไฟฟาสถิต 2. สนามไฟฟา3. ความกวางของสายฟา 4. ตัวเก็บประจุและการตอตัวตานทาน 5. ศักยไฟฟา 6. กระแสไฟฟา 7. สนามแมเหล็ก 8.การเหนี่ยวนํา9. ไฟฟากระแสสลับ 10. ทรานซิสเตอร 11. สนามแมเหล็กไฟฟาและเสาอากาศ 12. แสงและการมองเห็น13. ทฤษฎีสัมพัทธภาพ 14. กลศาสตรควอนตัม 15. โครงสรางของอะตอม 16. นิวเคลียร

การเรียนการสอนฟสิกสท่ัวไป ผานทางอินเตอรเน็ต

1. จลศาสตร )kinematic) 2. จลพลศาสตร (kinetics) 3. งานและโมเมนตัม 4. ซิมเปลฮารโมนิก คลื่น และเสียง

5. ของไหลกับความรอน 6.ไฟฟาสถิตกับกระแสไฟฟา 7. แมเหล็กไฟฟา 8. คลื่นแมเหล็กไฟฟากับแสง9. ทฤษฎีสัมพัทธภาพ อะตอม และนิวเคลียร

ฟสิกสราชมงคล