ใบความรท 1.1.1 (ก)คำ�ชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท 1.1.1(ก) ใหเขาใจถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอนและเตมตวเลขลงในชองวางใหสมบรณ 1.1 ค�กล�งของขอมล

การวเคาระหขอมลเบองตนนอกจากจะทำาโดยการสรางตารางแจกแจงความถหรอกราฟดงไดกลาวมาแลว การหาคากลางซงเปนตวแทนของขอมลทงหมดไวใช เพอสะดวกในการจดจำาหรอสรปเรองราวทเกยวกบขอมลนนๆจะชวยใหการวเคาระหขอมลเบองตนดขน เชนผอำานวยการโรงเรยนตองการทราบผลการเรยนวชาคณตศาสตรของนกเรยนชนตางๆของปทผานมา วาเปนอยางไร แทนทผอำานวยการจะตองทราบระดบคะแนนของวชาคณตศาสตรของนกเรยนแตละคนในแตละชน อาจทราบเพยงคากลางของระดบคะแนนของวชาคณตศาสตรของนกเรยนในแตละชนกเพยงพอทจะตดสนใจไดโดยกวางๆวาผลการเรยนวชาคณตศาสตรของแตละชนเปนอยางไร คากลางมทงหมด 6 ชนดแตทนยมใชมอย 3 ชนดแรกคอ

1.1.1 คาเฉลยเลขคณต หรอคาเฉลย (arithmetic mean ) 1.1.2.มธยฐาน (median ) 1.1.3 ฐานนยม (mode ) 1.1.4 คาเฉลยเรขาคณต (geometric mean ) 1.1.5 คาเฉลยฮารโมนค (harmonic mean ) 1.1.6 คากงกลางพสย (mid-range ) กอนทจะศกษาคากลางชนดตางๆเรามาศกษาสญลกษณของ ซกมา “ ” (sigma )

…………. (summation of x )

สมบตบางประการของ ถา c เปนคาคงตวใดๆ

1. เชน

2. เชน

3.

4.

ตวอยางท 1 ถา

จงหา ก. ข. ค.

วธทำา (ใหนกเรยนเตมตวเลขในชองวางใหสมบรณ)ก.

=……………………………………………….. =……………………………………………….. =………………………………………………..

ข. =……………………………………………….. =………………………………………………..

=………………………………………………..

ค. = =……………………………………………….

=………………………………………………. =………………………………………………. =……………………………………………….

ตวอยางท 2 (ใหนกเรยนเตมตวเลขในชองวางใหสมบรณ) ถา และ จงหา

ก. = ข. =

= …………………….. = ……………………………… =…………………….. =………………………………

=……………………. =……………………………….

= ……………………………...

ใบความรท 1.1.1 (ข)คำ�ชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท 1.1.1 (ข) ใหเขาใจถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอน และเตมตวเลขลงในชองวางใหสมบรณ1.1.1 ค�เฉลยเลขคณต (arithmetic mean ) หรอค�เฉลย ใชสญลกษณ “ ” (เอกซบาร)หรอ A.M.

-ขอมลทไมไดแจกแจงคว�มถ ( ungrouped data ) จะใชกรณทมขอมลไมมากนกและเปนขอมลทมาจากตวอยาง

ผลรวมของขอมลทงหมดสตร

จำานวนขอมลแตถาขอมลมาจากประชากรจะใช

ผลรวมของขอมลทงหมดสตร

จำานวนขอมล

ตวอยางท 1 ตอไปนเปนความสงของนกเรยนเจดคน(หนวยเปนเซนตเมตร)คอ 157,156,160,156,175,160 และ 156 จงหาความสงโดยเฉลยของคนทงเจดคนนวธทำา

จากสตร =………………………………………………………..

=………………………………………………………..

=………………………………………………………..

- ค�เฉลยเลขคณตแบบถวงนำ�หนก (weighted arithmetic mean ) “ ”

คอคากลางเลขคณตทไดจากขอมลทมคาความสำาคญไมเหมอนกนหาไดจากสตร

คอคาความสำาคญหรอนำาหนกทใชถวงเมอ I= 1,2,3,…………n

คอคาจากการสงเกต เมอ I = 1,2,3,……………n

ตวอยางท 2 นางสาวอรอนงค ทรงงาม มผลการเรยนรายวชาประจำาภาคเรยนท1 ชน ม.ศ.5 ดงตารางตอไปน จงคำานวณหาระดบคะแนนเฉลยของนางสาวอรอนงค ทรงงาม ในภาคเรยนน

วธทำา จากสตร

- หนวยกต ( นำาหนก )- ระดบคะแนน ( )

เพราะฉะนนคะแนนเฉลย(เกรดเฉลย) ของนางสาวอรอนงค ทรงงาม มคาเทากบ 2.70

- ขอมลทแจกแจงคว�มถแลว ( grouped data ) ใชในกรณทมจำานวนขอมลมากแลวนำามา

แจกแจงความถของขอมลหาได 2 วธคอ1.แบบธรรมด�

คอคาของความถของแตละอนตรภาคชนเมอ i=1,2,3,……..,kสตร

รายวชา หนวยกต ระดบคะแนนภาษาไทย 3

3ภมศาสตร 1

2ประวตศาสตร 1

3ศลธรรม 1

3พลานามย 1

2English 4

คอคาจดกงกลางชนของแตละอนตรภาคชน เมอ I=1,2,3,………,k

ตวอยางท 3 จากตารางแจกแจงความถแสดงความสงของคนกลมหนงจงหาคาเฉลยของความสงของคนกลมนวธทำา ใหนกเรยนเตมตวเลขในชองวางใหครบเพอแทนคาในสตร

=

=

2.แบบลด (วธทอนค�ขอมล) เมอขอมลหรอจดกงกลางชนทงหมดมคามาก การหาคา

เฉลยเลขคณตโดยการบวกตวเลขมากๆอาจมขอผดพลาดไดและเสยเวลาในการบวกเลข ฉะนนจงใชวธลดคาตวเลขของขอมลใหนอยลงลดหลนลงไปทกๆอนตรภาคชนเทาๆกนทงนตองอาศยความเบยงเบนของขอมล(deviation of data ) เขยนยอ “ ” แตละคาหางจากตวกลางสมมตเขยนยอ “a” หารดวยขนาดของอนตรภาคชน กลาวคอ

เมอ i=1,2,…..,kซง a ในทนจะเลอกสมมตจากจดกงกลางชนใดกได

ความสง(ซม.)

จำานวนคน

148-152

5

153-157

7

158-162

12

163-167

6

168-172

3

173- 4

แตโดยทวไปนยมเลอกชนทมความถสงสด และ I เปนขนาดของอนตรภาคชนซงเทากนทกชน จะได

จากตวอยางท 3 จงหาคาเฉลยเลขคณตโดยวธลด

วธทำา I = , a = จากสตร

= = ซม.

ความ

สง(ซม.)

จำานวนคน

148-152

5 150

153-157

7 155

158-162

12 160

163-167

6 165

168-172

3 170

173- 4 17

- ค�เฉลยเลขคณตรวม (combined arithmetic mean ) “ ”

ในกรณทมขอมลหลายๆชด แตละชดมคาเฉลยเลขคณตและกำาหนดจำานวนขอมลใหจะได

คอคาเฉลยเลขคณตของขอมลแตละชด เมอ i = 1,2,….,n

คอจำานวนขอมลแตละชด เมอ i = 1,2,……..,n

ตวอยางท 4 นกเรยนชน ม.ศ. 5 ของโรงเรยนแหงหนงมหาหองแตละหองมจำานวนนกเรยน28,30,32,33 และ 27 คนตามลำาดบ ในการสอบกลางภาคไดคะแนนเฉลยวชาสถตแตละหองคอ48,45,36,42 และ 40 คะแนนตามลำาดบ อยากทราบวาคะแนนเฉลยทง 5 หองเปนเทาใดวธทำา จากโจทยกำาหนดใหจะได และ

จากสตร

กลาวคอ คะแนนเฉลยวชาสถตทงหาหองเทากบ 42.08 คะแนน

สมบตทสำ�คญของค�เฉลยเลขคณต1. คาเฉลยเลขคณตเมอคณกบจำานวนขอมลทงหมด จะไดผลรวม

ของขอมลทกๆคา กลาวคอ

ซงมาจากสตร (ครและนกเรยนชวยกนยก

ตวอยาง)2. ผลรวมของความแตกตางระหวางแตละคาของขอมลจากคาเฉลย

เลขคณตของขอมลชดหนงจะ

เทากบ 0 เสมอ กลาวคอ (ครและนกเรยนชวยกนยก

ตวอยาง)3. ผลรวมของความแตกตางกำาลงสองของแตละคาของขอมล จากจำานวน M ใดๆจะมคานอยทสดเมอ M เทากบคาเฉลยเลขคณต

ของขอมลชดนนกลาวคอ นอยทสดเมอ

(ครและนกเรยนชวยกนยกตวอยาง)

4. คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดใดๆจะตองอยระหวางคาจากการสงเกตทนอยทสดและคาจากการสงเกตทมากทสดในขอมลชดนน กลาวคอ เมอ และ เปนคาจากการสงเกตทนอยทสดและมากทสดในขอมลตามลำาดบ (ครและนกเรยนชวยกนยกตวอยาง)5. ถาตวแปร Y สมพนธกบตวแปร X ในรปของฟงกชนเสนตรงนนคอ ถา เมอ i = 1,2,3,…….,N เมอ a,b เปนคาคงตวใดๆแลว จะสมพนธกบ ดงน ตวอยางท 5 ถาอณหภมเมอเวลา 12.00 น. ของแตละวนในสปดาหแรกของเดอนเมษายน พ.ศ.2516เปน 33,35,32,37,34,36 และ 31 องศาเซลเซยล ตามลำาดบ จงหาคาเฉลยเลขคณตของอณหภมทมหนวยเปนองศาฟาเรนไฮตวธทำา ให C เปนตวแปรแทนอณหภมมหนวยเปนองศาเซลเซยล F เปนตวแปรแทนอณหภมหนวยเปนองศาฟาเรนไฮตความสมพนธระหวาง C กบ F คอ จะได

ในทน เมอ i = 1,2,3,………,7 ดงนน

แต

ดงนน นนคอ คาเฉลยเลขคณตของอณหภมคอ 93.2 องศาฟาเรนไฮต6. ถานำาคาคงตวตวหนงไปบวกกบทกคาในขอมลชดหนง แลวคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดใหมเทากบ ผลบวกของคาคงตวนนกบคาเฉลยของขอมลชดเดม

ถา คอคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดเดม , คอคาเฉลยเลคณตของขอมลชดใหมจะได เมอ C คอคาคงตวตวอยางท 6 ในปจจบนเดกหาคนมอายดงน 8,10,11,15,16 ป ตามลำาดบ จงหา

ก. คาเฉลยเลขคณตของอายของเดกทงหาคนในอก 6 ปขางหนา

ข. คาเฉลยเลขคณตของอายของเดกทงหาคน เมอ 4 ปทแลว

วธทำา ให แทนอายเฉลยของเดกในปจจบน แทนอายเฉลยของเดกในอก 6 ปขางหนา แทนอายเฉลยของเดกเมอ 4 ปทแลว ป

ก. ข. ป ป

7. ถานำาคาคงตวตวหนงไปคณกบทกคาในขอมลชดหนงแลวคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดใหม

เทากบผลคณของคาคงตวนนกบคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดเดม ถา แทนอายเฉลยของขอมลชดเดม แทนอายเฉลยของขอมลชดใหม จะได เมอ C คอคาคงตว (ครและนกเรยนชวยกนยกตวอยาง)8. ถานำาคาคงตวตวหนงซงไมเทากบ 0 ไปหารทกคาในขอมลชดหนง

แลวคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดใหมจะเทากบคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดเดมหารดวยคาคงตวนน

ถา ถา แทนอายเฉลยของขอมลชดเดม แทนอายเฉลยของขอมลชดใหม จะได เมอ C คอคาคงตว (ครและนกเรยนชวยกนยกตวอยาง)

9. จากคาสงเกต 72,68,80,70,85,80,75,78,82,86,79,69 หาคาเฉลยเลขคณตได = 77ถานำามาสรางตารางแจกแจงความถแลวหาคาเฉลยเลขคณตจะได

อนตรภาคชน

68 - 72 4 70 28073 - 77 1 75 7578 - 82 5 80 40083 - 87 2 85 170

N = 12

คาเฉลยเลขคณตทหาไดจากคาสงเกต (77) จะเปนคาเฉลยเลขคณตทแทจรง

สวนคาเฉลยเลขคณตทหาไดจากตารางแจกแจงความถ (77.08) จะเปนคาเฉลยเลขคณตโดยประมาณเทานน

สรป ค�เฉลยเลขคณตทห�ไดจ�กค�สงเกตจะมคว�มเทยงตรงกว�ค�เฉลยเลขคณตทห�ไดจ�กต�ร�งแจกแจงคว�มถ

ใบความรท 1.1.1 (ค)คำ�ชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท 1.1.1(ค) ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอนจากขอมลตอไปน 157,156,160,156,175,160 และ 156 จงหาคาเฉลยเลขคณตของขอมลโดยใช Microsoft Excel

1. ปอนขอมลลงในแผนทำางานของ Excel จาก A1 ถง A7

2. คลกท A8 แลวไปทเมนเครองมอ เลอก คาเฉลย

3. กด Enter กจะไดคาเฉลยเลขคณตเทากบ 160 ท A8

ใบความรท 1.1.2 (ก)คำ�ชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท1.1.2 (ก) ใหเขาใจถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอน และเตมตวเลขลงในชองวางใหสมบรณ1.1.2 มธยฐ�น (median) “Med” คอขอมลทมตำาแหนงอยกงกลางของขอมลทงหมด เมอเรยงลำาดบขอมลทงหมดแลว

- เมอขอมลไมแจกแจงคว�มถ ( ungrouped data ) ถา N เปนจำานวนขอมลทเรยงลำาดบจากนอยไปหามากหรอจากมากไปหานอย

ถา N เปนจำานวนค มธยฐานคอ ขอมลตำาแหนงท เชน จากขอมลตอไปน 1,3,6,7,9 จงหามธยฐาน

วธทำา N= 5 ตำาแหนงของมธยฐานคอ เพราะฉะนนมธยฐานคอ 6

ถา N เปนจำานวนค มธยฐานคอ คาเฉลยของขอมลตำาแหนงท เชน จากขอมลตอไปน 18.3,20.6,22.4,19.3,20.2,18.8,20.0,19.7 จงหามธยฐานวธทำา เรยงลำาดบขอมล 18.3,18.8,19.3,19.7,20.0,20.2,20.6,22.4N = 8 ตำาแหนง และตำาแหนง เพราะฉะนน มธยฐานคอ ขอสงเกต 1. ถา N เปนจำานวนคแลว มธยฐานจะเปนคาในขอมลนน

2. ถา N เปนจำานวนคแลว มธยฐานอาจจะเปนหรอไมเปนคาในขอมลนน

- ขอมลทแจกแจงคว�มถแลว(grouped data ) คอคาของขอมลในอนตรภาคชนซงมขอมลตำากวาและสงกวามจำานวนอยางละครงหนงของจำานวนขอมลทงหมด หามธยฐานไดจาก

ตำาแหนงของขอมลทเปนมธยฐานสตร ความถของอนตรภาคชนทมธยฐานตกอย

ความถสะสมทตำากวาอนตรภาคชนทมธยฐานตกอย

ขอบลางของอนตรภาคชนทมธยฐานตกอย

ขนาดของอนตรภาคชนทมธยฐานตกอย

ตวอยางท 1 จากตารางแจกแจงความถ แสดงรายไดตอวนของกรรมกรเปนดงนก. จงหามธยฐานของรายไดตอวนของกรรมกรวธทำา

……..,I = …… ,L = ……., cuf=………fm = ………..แทนคา

= …………………… = ……………………

= ………………… บาท / วน

ข. จงหามธยฐานโดยใชกราฟของโคงความถสะสม

ความถสะสม

รายได 59.5 65.5 71.5 77.5 83.5 89.5

95.5 101.5

รายไดตอวน(บาท)

จำานวนกรรมกร

60-65 366-71 772-77 1578-83 684-89 1090-95 5

96-101 4 N =

50454035302520

โคงความถ

วธทำา หาตำาแหนงมธยฐาน ซงอยบนแกนตง แลวลากเสนตรงจากจดนขานกบแกนนอนไปตดทกราฟโคงความถสะสม ทจดตดกราฟลากเสนตรงขนานกบแกนตงลงมาตดกบแกนนอนจดทตดกบแกนนอนคอคามธยฐานซงเทากบ 77.5

ตวอยางท 2 จากตารางแจกแจงความถ เปนนำาหนกของคน 100 คนดงน

ก. จงหาคาของมธยฐานวธทำา จากสตร

………,I = …. ,L = ……., cuf=……..fm = …….., แทนคาในสตรจะได

= ……………….. = ……………….กก.ข. จงหาคาเฉลยเลขคณต ( จากตารางแจกแจงความถ ไมสามารถหาคาเฉลยเลขคณตได เนองจากไมสามารถหาจดกงกลางชนของชนแรกและชนสดทายได )สมบตของมธยฐ�น ผลรวมของคาสมบรณของผลตางระหวางคาในขอมลแตละตวกบคาคงตว จะมคานอยทสดกตอเมอ คาคงตวนนเทากบมธยฐาน นน

คอ จะมคานอยทสดเมอ a = Medเชน กำาหนดขอมล 18,22,22,23,24,24,29

นำาหนก(กก

.)

จำานวนคน

ตำากวา 60

3

60-62 563-65 1566-68 4269-71 27

จะเหนวา เมอ a = 23 ซงคอคามธยฐาน จะทำาให ม

คานอยทสดคอ 15

ใบความรท 1.1.2 (ข)คำ�ชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท 1.1.2(ข) ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอนจากขอมลตอไปน 157,156,160,156,175,160 และ 156 จงหาคามธยฐานของขอมลโดยใช Microsoft Excel1. ปอนขอมลลงในแผนทำางานของ Excel จาก A1 ถง A7

2. คลกท A8 แลวพมพ = MEDIAN (A1:A7)

3. กด Enter กจะไดคามธยฐานเทากบ 157 ท A8

ใบความรท 1.1.3 (ก)คำ�ชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท1.1.3(ก)ใหเขาใจถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอน 1.1.3 ฐ�นนยม (Mode)” ” คอขอมลทมความถมากทสด(มตวซำากนมากทสด)หรอคอขอมลทมแนวโนมเกดมโนภาพมงไปสความคดแบบเดยวกนฐ�นนยม จะสอความหมายไดเมอใชขอสรปขอมลทเปนขอมลเชงคณภาพ เชน เพศ อาชพ ภมลำาเนา เบอรหรอขนาดของเสอ ความคดเหน ความชอบ เปนตน

- ขอมลทไมไดแจกแจงคว�มถ (ungrouped data ) ขอมลทมคาซำากนมากทสด ขอมลนนคอฐานนยมตวอยางท 1 จากขอมลตอไปนจงหาฐานนยม

ก. 29,31,30,31,26,31,24,29,22,25 วธทำา ขอมลทมความถมากทสดคอ 31 มความถเทากบ 3 ฐานนยมคอ 31

ข. 2,5,8,9,8,7,10,8,9,10,10

วธทำา ขอมลทมความถมากทสดคอ 8 มความถ 3 และ 10 มความถ 3 ฐานนยมมสองคาคอ 8 และ 10

ค. 3,4,8,10,12,7,6,5,9วธทำา ขอมลชดนไมมฐานนยมเพราะขอมลทกตวมความถเทากนหมดคอ 1

ง. 2,5,5,4,2,3,3,2,4,5,3,4วธทำา ขอมลชดนมความถมากทสดมมากกวาสองคาเราถอวาไมมฐานนยม- ขอมลทแจกแจงคว�มถแลว (grouped data)สตร อนตรภาคชนทฐานนยมตกอยคอ

อนตรภาคทมความถมากทสด

L คอขอบลางของอนตรภาคชนทฐานนยมตกอยI คอขนาดของอนตรภาคชนทฐานนยมตกอย

คอผลตางระหวางความถของอนตรภาคชนทฐานนยมตกอยกบความถของอนตรภาคชนทอยตดกนซงเปนชวงคะแนนทตำากวา

คอผลตางระหวางความถของอนตรภาคชนทฐานนยมตกอยกบความถของอนตรภาคชนทอยตดกนซงปนชวงคะแนนทสงกวาKarl Peason ไดคนพบความสมพนธของ ดงน

ความสมพนธนจะใชกรณทโจทยกำาหนดสองคาใดๆมาให

T ตวอยางท 2 ตอไปนเปนตารางแสดงนำาหนกคดเปนกโลกรมของนกเรยนจำานวน 50 คนจงหาฐานนยมของนำาหนกทงหมด

วธทำา จากสตร

ชนทฐานนยมตกอยคอชน 45-49 (มความถมากทสดคอ 14)L= 44.5 , I = 5 , แทนคาในสตร

ตวอยางท 3 จากตวอยางท 2 จงหาฐานนยมโดยใชฮสโทแกรม ความถ

R S pP

29.5 34.5 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 นำาหนก วธทำา 1. สรางฮสโทแกรม 2. ชนทฐานนยมตกอยคอแทงรปสเหลยมมมฉากทสงสด3. ลาก RT ตดกบ SQ ทจด P 4. จากจด P ลาก PM ขนานกบแกนตงตดแกนนอนทจด Mคาทอานไดบนแกนนอนทจด M คอฐานนยม ซงมคาเทากบ 46.5 กโลกรม

นำาหนก(กก

.)

จำานวนคน

30-34 535-39 740-44 1045-49 1450-54 855-59 6

15

10

PT

Q

ใบความรท 1.1.3 (ข)คำ�ชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท 1.1.3(ข) ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอนจากขอมลตอไปน 157,156,160,156,175,160 และ 156 จงหาคาฐานนยมของขอมลโดยใช Microsoft Excel1. ปอนขอมลลงในแผนทำางานของ Excel จาก A1 ถง A7

2. คลกท A8 แลวพมพ = MODE (A1:A7)

3. กด Enter กจะไดคาฐานนยมเทากบ 156 ท A8