เอกสารประกอบการเรียนkm.streesp.ac.th/files/140514099443085_1411250885523.pdf · ค31201 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตรเพมเตม 2 (ค31202)

เรอง ฟงกชน

สอนโดย

ครมานตา หมดภย

รวบรวมโดย ชอ............................................................................

ชน.......................เลขท....................

ภาคเรยนท 2 ปการศกษา 2557 โรงเรยนสตรสมทรปราการ

ค31201 คณตศาสตรเพมเตม 2 2 โดย ครมานตา หมดภย

1. ความสมพนธ 1. คอนดบ (Ordered Pairs) บทนยาม คอนดบ (a,b) เทากบ คอนดบ (c,d) กตอเมอ a = c และ b = d ขอสงเกต คอนดบ (a,b) (b,a) ตวอยางท 1 ให (5,a) = (b,-3) จงหา a,b และ a+b วธท า จาก (5,a) = (b,-3) จะไดวา 5 = b และ a = -3 ดงนน a+b = -3+5 = 2 ตอบ ตวอยางท 2 ให (x+1,4) = (3,y-2) จงหา (x , y) วธท า จาก (x+1,4) = (3,y-2) จะไดวา x+1 = 3 และ 4 = y-2 ดงนน x = 3-1 4+2 = y x = 2 6 = y ดงนน (x,y) = (2,6) ตอบ

2. ผลคณคารทเซยน (Cartesian Product) ถาใหเซต A = {1,2,3} และ B = {a,b} ถาเขยนคอนดบโดยใหสมาชกตวหนาเปนสมาชกของเซต A และสมาชกตวหลงเปนสมาชกของเซต B แลว จะไดเซตคอนดบทงหมดดงน {(1,a),(1,b),(2,a),(2b),(3,a),(3,b)} เรยกเซตนวา “ ผลคณคารทเซยนของ A และ B “ เขยนแทนดวย A x B อานวา เอ คณ บ

บทนยาม ผลคณคารทเซยนของเซต A และ B คอเซตของคอนดบ (a,b) ทงหมด โดยท a เปนสมาชกของเซต A และ b เปนสมาชกของเซต B

ผลคณคารทเซยนของเซต A และ B เขยนแทนดวย A x B

เขยน A x B ในรปเซตแบบบอกเงอนไขไดดงน A X B = {(a,b)| a A และ b B}


ตวอยางท 3 A = {2,4,6} , B = {a,b} ดงนน A x B = {(2,a),(2,b),(4,a),(4,b),(6,a),(6,b)} n(AxB) = 6

B x A = {(a,2),(a,4),(a,6),(b,2),(b,4),(b,6)} n(AxB) = 6 A x A = {(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)} n(AxA) = 9

ขอสงเกต 1. ถา A มจ านวนสมาชก n ตว ; B มจ านวนสมาชก m ตว แลว AxB มจ านวน สมาชกทง หมดเทากบ nm

2. ถา n(A) = n ตว และ n(B) = m ตว ความสมพนธจาก A ไป B ทงหมดเทากบ 2nm

แบบฝกทกษะท 1

1. ถา (x,y) = (4,5) จงหาคา x , y …………………………………………………………………………………………………………………… 2. ถา (x,y) (4,5) จงหาคา x , y …………………………………………………………………………………………………………………… 3. (x,3) = (-2,y) จงหาคา x , y ……………………………………………………………………………………………………………………

4. ให (2x+1 , 13) = (3,4y-3) จงหาคาของ x , y ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 5. ขอตอไปนจรงหรอเทจ ……………… 5.1 ถา (a,b) (c,d) แลว a c และ b d ……………… 5.2 ถา (a,b) (c,d) แลว a c หรอ b d ……………… 5.3 ถา a c หรอ b d แลว (a,b) (c,d) ……………… 5.4 ถา a c และ b d แลว (a,b) (c,d)


6.จงเขยน A x B และ B x A เมอก าหนดเซต A และ B ดงตอไปน 6.1 A = {1,2} และ B = {3,4} A x B = …………………………………………………………………………………………………. n(AxB) = ………………….. B x A = .…………………………………………………………………………………………………..

n(BxA) = ………………….. 6.2 A = {1,2} และ B = {a,b,c} A x B = …………………………………………………………………………………………………. n(AxB) = …………………… B x A = ………………………………………………………………………………………………….

n(BxA) = …………………… 6. 3 A = {a,b} และ B = { } A x B = …………………………………………………………………………………………………. n(AxB) = …………………….. B x A =…………………………………………………………………………………………………….

n(BxA) = …………………….. 6.4 A = และ B = {3,4,5} A x B =……………………………………………………………………………………………………. n(AxB) = ……………………… B x A =…………………………………………………………………………………………………….

n(BxA) = ……………………… 6.5 A = {a,b} และ B = {1,2,3} AxA = ……………………………………………………………………………………………… n(AxA) = …………………. BxB = ………………………………………………………………………………………….. n(BxB) = …………………..

7. ก าหนด A = {1,2,3} , B = {2,3} และ C = {3,5} จงหา 1. AxB = ………………………………………………………………………………. 2. AxC = ………………………………………………………………………………….. 3 (AxB) (AxC) = ………………………………………………………………………………. .. 4 Ax(BC) = ………………………………………………………………………………….


5 พจารณาวา (AxB) (AxC) = Ax(BC) หรอไม ………………………………………………………………………………………………………….

6. (AxB) (AxC) = ………………………………………………………………………………….. 7. Ax(BC) = …………………………………………………………………………………

พจารณาวา (AxB) (AxC) = Ax(BC) หรอไม ………………………………….. 8. (AxB) - (AxC) =.……………………………………………………………………………….. 9. Ax(B - C) =……………………………………………………………………………….

พจารณาวา (AxB) - (AxC) = Ax(B - C) หรอไม …………………………….

3. ความสมพนธ (Relation) บทนยาม r เปนความสมพนธจาก A ไป B กตอเมอ r เปนสบเซตของ A x B นนคอ ความสมพนธเปนเซตของคอนดบ ตวอยางท 4 ก าหนดให A = {1,2,3,4} , B = {0,2,4,6} ให r1 แทนความสมพนธ “ นอยกวา” จาก A ไป B จะได r1 = {(a,b) AxB | a < b} ……[แบบเงอนไข] r1 = {(1,2),(1,4),(1,6),(2,4),(2,6),(3,4),(3,6),(4,6)} ……… [แบบแจกแจง] ให r2 แทนความสมพนธ “ หารลงตว “ จาก B ไป A จะได r2 = {(b,a) B x A | b|a } r2 = {(2,2),(2,4),(4,4)} ตวอยางท 5 ก าหนด A = {x | x เปนจ านวนเตม} B = {x |x เปนจ านวนเตมบวก} ถา r1 = {(x,y) A x B | y = x2 } เขยน r1 แบบแจกแจงสมาชกไดดงน

r1 = {(1,1),(-1,1),(2,4),(-2,4),… }

ถา r2 = {(x,y) A x B | y = x

2 } เขยน r 2 แบบแจกแจงสมาชกไดดงน

r2 = {(2,1),(4,2),(6,3),(8,4) ,…}


1. โดเมนและเรนจของความสมพนธ พจารณาความสมพนธ

r1 = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}

r2 = {(x,y) I+x I+ | y = x }

เซตสมาชกตวหนาของความสมพนธ r 1 คอ {1,2,3,4} เรยกเซตนวา โดเมนของ r1

เซตสมาชกตวหลงของความสมพนธ r 1 คอ {2,3,4,5} เรยกเซตนวา เรนจของ r1

สวน r2 มโดเมนและเรนจเทากบจ านวนเตมบวก

บทนยาม ให r เปนความสมพนธจาก A ไป B

โดเมนของ r คอเซตของสมาชกตวหนาของคอนดบใน r เขยนแทนดวย Dr

เรนจของ r คอเซตของสมาชกตวหลงของคอนดบใน r เขยนแทนดวย R r ตวอยางท 6 ก าหนดให A = {-2,-1,0,1,2} , B = {1,2,3,4}

ก าหนด r = {(x,y) A x B | y = x2+1} จะได

r = {(-1,2),(0,1),(1,2)}

ดงนน D r = {-1,0,1} , R r = {2,1}

ตวอยางท 7 จงหา โดเมนและเรนจ ของ r เมอก าหนด r = {(x,y)| RxR | x+y = 5} วธท า หาโดเมน จดรป y ในเทอม x จะได y = 5 - x จะเหนวาเมอแทนคา x ดวยจ านวนจรงใดๆจะหาคา

y ไดเสมอ ดงนน โดเมนคอจ านวนจรง หรอ เขยนในรปเงอนไขไดเปน Dr = { x|x R }

หาเรนจ จดรป x ในเทอม y จะได x = 5 - y จะเหนวาเมอแทนคา y ดวยจ านวนจรงใดๆจะหาคา x

ไดเสมอ ดงนน เรนจคอจ านวนจรง หรอ เขยนในรปเงอนไขไดเปน R r = { x|x R }

ตวอยางท 8 จงหาโดเมนและเรนจของ r เมอก าหนด r = { (x,y) | y = x 2 9 } วธท า หาโดเมน

จาก y = x 2 9 จะหาคา y ได กตอเมอ x2- 9 0

ดงนน (x-3)(x+3) 0 -3 0 3 x -3 หรอ x 3

ดงนน D r = { x R | x -3 หรอ x 3 }


หาเรนจ

จาก x Dr จะได x2-9 0 นนคอ x 2 9 0

ดงนน R r = { y R | y 0 }


1. ถา A = {1,2,3} และ r = {(1,1),(1,2),(2,3),(2,2),(3,3),(2,1)} r เปนความสมพนธใน A หรอไม …………………………………………………………………………………………………………………… 2. ก าหนดให A = {0,2,4} ,B = {0,1,2} และ r เปนความสมพนธจาก A ไป B ถา (x,y) r หมายถง x > y เขยน r แบบแจกแจงสมาชกไดเปน r = ………………………………………………………. เขยน r แบบบอกเงอนไขของสมาชกไดเปน r = ….…………………………………………………..

3. ก าหนด A = { -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4 } และ r = { (x,y) AxA | y = x2 } จงเขยน r แบบแจกแจงสมาชก r = …………………………………………………………………………………………………

4. ก าหนด A = { x N | x < 9 } และ r = { (x,y) AxA | x+y = 9 } จงเขยน r แบบแจกแจงสมาชก r = ……………………………………………………………………………………………………………….

5. ก าหนด A = { -3,-2,-1,0,1,2,3 } และ R คอเซตของจ านวนจรง และ

r = { (x,y) AxR | y = x2 +1 } จงเขยน r แบบแจกแจงสมาชก

r =……………………………………………………………………………………………………………….

6. ก าหนด A = { 5,4,3 } , B = { 0,1,2 } และ r = {(x,y) BxA | x > y } จงเขยน r แบบแจกแจงสมาชก r =……………………………………………………………………………………………………………….

7. จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธตอไปน 7.1 r = { (1,2),(4,5),(6,7)}

Dr = …………………………………

R r = …………………………………..

7.2 r = { (-1,1),(1,2),(1,3),(-1,4) }

Dr = ………………………………….

R r = …………………………………..

7.3 r = {(x,y) AxB | y > x+1} เมอ A = {1,2,3,4} และ B = {2,3,4,5} r = ……………………………………………………………………..

Dr = …………………………………………………………………….

R r = …………………………………………………………………….


7.4 r = {(x,y) AxA | y = x2} เมอ A = {-1,-2,-3,-4,0,1,2,3,4}

r = ..…………………………………………………………………..

Dr = …………………………………………………………………….

R r = …………………………………………………………………….

7.5 r = {(x,y) NxN | x + y = 10 } r = ..…………………………………………………………………..

Dr = …………………………………………………………………….

R r = …………………………………………………………………….

7.6 r = {(x,y) RxR | y = 3x+1}

Dr = …………………………………………………………………….

R r = …………………………………………………………………….

7.7 r = {(x,y) RxR | y = x2}

………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………….……………………………… …………………………………………………………………….……………………………… …………………………………………………………………………………………………….

7.8 r = {(x,y) RxR | y = -x2+1}

………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………….……………………………… …………………………………………………………………….……………………………… ……………………………………………………………………………………………………. 7.9 r = {(x,y) RxR | y = |x-5| } ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………….……………………………… …………………………………………………………………….……………………………… …………………………………………………………………………………………………….


7.10 r = {(x,y) RxR | y = x 3 } ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………….……………………………… …………………………………………………………………….……………………………… …………………………………………………………………………………………………….

7.11 r = {(x,y) RxR | y = 1

1x }

………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………….……………………………… …………………………………………………………………….……………………………… …………………………………………………………………………………………………….

7.12 r = {(x,y) RxR | y = x2-2x-8 }

………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………….……………………………… …………………………………………………………………….……………………………… …………………………………………………………………………………………………….

7.13 r = {(x,y) | y = 1

42x }

………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………….……………………………… …………………………………………………………………….……………………………… ……………………………………………………………………………………………………. 7.14 r = {(x,y)| |x|+|y| = 4} ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………….……………………………… …………………………………………………………………….……………………………… …………………………………………………………………………………………………….


5. กราฟของความสมพนธ

บทนยาม ให R เปนเซตของจ านวนจรง r เปนสบเซตของ R x R กราฟของความสมพนธ r คอ เซตของจดในระนาบ โดยทแตละจดแทนสมาชกสมาชกของความสมพนธ r

ตวอยางท 9 จงเขยนกราฟของความสมพนธ r = {(x,y) I x I | y = x2 } y 9 4 -2 0 2 x

ตวอยางท 10 จงเขยนกราฟของความสมพนธ r = {(x,y) R x R |y = x2 }

8 6 4 2 0

ตวอยางท 11 จงเขยนราฟของความสมพนธ r = {(x,y) R x R | 1 x < 4 }

-2 -1 0 1 2 3 4


ขอสงเกต ในการเขยนกราฟเสนทตอเนองจะสามารถหา โดเมนและเรนจของความสมพนธได โดย โดเมนใหดเสนกราฟตามแนวแกน X วาเรมตนและสนสดทใด กจะไดคาโดเมน เรนจใหดเสนกราฟตามแนวแกน Y วาเรมตนและสนสดทใด กจะไดคาเรนจ

ดงนนจาก ตวอยางท 10 จะไดโดเมน คอ { x | x R } และไดเรนจ คอ { x | x 0 } ตวอยางท 11 จะไดโดเมน คอ { x | 1 x < 4 } และไดเรนจ คอ { x | x R }


จงเขยนกราฟความสมพนธตอไปน 1. r = {(2,2),(2,6),(2,8),(3,6),(4,8)}

2. r = {(x,y) AxA | y = 2x+1 } เมอ A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,13}


3. r = {(x,y) | y = 2x+1 } 4. r = { (x,y) | y > 2x+1 }

5. r = { (x,y) | y = |x| }


6. r = { (x,y) | y = x2 }

6. อนเวอรสของความสมพนธ

ก าหนดให r = { (1,2),(3,4),(5,6),(7,8) } จะได โดเมน r คอ { 1,3,5,7} เรนจ r คอ { 2,4,6,8 } ถาสลบทสมาชกตวหนาและตวหลงของแตละคอนดบ จะไดความสมพนธ s = { (2,1),(4,3),(6,5),(8,7) } จะได โดเมนของ s คอ { 2,4,6,8 } และเรนจของ s คอ { 1,3,5,7} จะเหนวา โดเมนของ r คอเรนจของ s และเรนจของ r คอโดเมนของ s เรยก s วา อนเวอรสของความสมพนธ r ดงนนจะไดบทนยาม

บทนยาม อนเวอรสของความสมพนธ r คอความสมพนธซงเกดจากการสลบทของสมาชกตวหนาและ สมาชกตวหลงของแตละคอนดบทเปนสมาชกของ r

อนเวอรสความสมพนธ r เขยนแทนดวย r-1

เขยน r-1 ในรปเซตแบบบอกเงอนไขไดดงน

r-1 = { (y,x) | (x,y) r }

ตวอยางท 12 จงหาอนเวอรสของความสมพนธ r พรอมทงบอกโดเมนและเรนจ r = { (1,1),(3,2),(1,3),(4,1),(0,-1) }

วธท า r-1= { (1,1),(2,3),(3,1),(1,4),(-1,0) }

Dr 1 = {1,2,3,-1 } R

r1 = { 1,3,4,0 }


ตวอยางท 13 จงเขยนกราฟของ r และ r-1 ในระบบแกนของมมฉากเดยวกน

ก าหนดให r = { (x,y) RxR | y = 2x+1 } วธท า ถา r = { (x,y) RxR | y = 2x+1 }

r-1 = { (y,x) RxR | y = 2x+1 }

หรอ r-1 = { (y,x) RxR | x = y 1

2} หรอ r-1 = { (x,y) RxR | y = x 1

2}

ดงนน ในการหาอนเวอรสของความสมพนธใดกตามทอยในรปสมการ อาจท าไดโดยสลบทตวแปรในสมการนน

3 r

2 r-1

1 -2 -3 -1 0 1 2 3 -1 -2


1. จงหาอนเวอรสของความสมพนธตอไปน พรอมทงบอกโดเมน และเรนจของ r และ r-1

1. 1 r = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)}

r-1 =…………………………………………………………………

Dr = …………………………………………………………………..…………………………………….

R r = ..………………………………………………………. Dr 1 = ……………………………………………………………….

Rr1 = .………………………………………………………………

2. 2 r = {(2,-1),(0,3),(1,-4),(-2,-3),(-5,6)}

r-1 = …………………………………………………………………

Dr = …………………………………………………………………..……………………………………….

R r = …..………………………………………………………. Dr 1 = .…………………………………………………………………

Rr1 = …………………………………………………………………


1.3 r = {(x,y)RxR | y = x+1 }

r-1 = …………………………………………………………………

Dr = …………………………………………………………………..……………………………………….

R r = ..…………………………………………………………. Dr 1 = …………………………………………………………………

Rr1 = …………………………………………………………………

1.4 r = {(x,y)RxR | y = 3-2x }

r-1 = …………………………………………………………………

Dr = …………………………………………………………………..……………………………………….

R r = .…………………………………………………………. Dr 1 =……………………………………………………………………

Rr1 = ..…………………………………………………………………

1.5 r = {(x,y)RxR | y = x2 }

r-1 = …………………………………………………………………

Dr = …………………………………………………………………..……………………………………….

R r = …………………………………………………………. Dr 1 = …………………………………………………………………

Rr1 = …………………………………………………………………

1.6 r = {(x,y)RxR | y = x }

r-1 = …………………………………………………………………

Dr = …………………………………………………………………..……………………………………….

R r =……………………………………………………………. Dr 1 = ………………………………………………………………….

Rr1 = ………………………………………………………………….

1.7 r = {(x,y)RxR | y = | x | }

r-1 = ………………………………………………………………… .

Dr = …………………………………………………………………..…………………………………………

R r = …………………………………………………………… Dr 1 = ………………………………………………………………….

Rr1 = .…………………………………………………………………


1.8 r = {(x,y)RxR | |x|+ |y| = 4 }

r-1 = ………………………………………………………………… ..

Dr = …………………………………………………………………..………………………………………….

R r = ……………………………………………………………. Dr 1 = …………………………………………………………………..

Rr1 = …………………………………………………………………..

1.9 r = {(x,y)RxR | y > x }

r-1 = …………………………………………………………………

Dr = …………………………………………………………………..……………………………………….

R r = ..…………………………………………………………. Dr 1 = …………………………………………………………………..

Rr1 = …………………………………………………………………..

2. จงหา r -1 และเขยนกราฟของ r และ r-1 บนระบบแกนมมฉากเดยวกน เมอก าหนด r ดงตอไปน

2.1 r = {(x,y) | y = x+1}

r-1 = ……………………………………………………………………

2.2 r = {(x,y) | y = x2 }

r-1 =…………………………………………………………………………


2.3 r = {(x,y) | y = |x-2| }

r-1 = ………………………………………………………………………

2.4 r = { (x,y) | y = x 3 }

r-1 = ……………………………………………………………………………



กราฟทก าหนดใหแตละขอตอไปนเปนกราฟของความสมพนธ r จงเขยนกราฟของ r -1 ลงบนระนาบ

มมฉากเดยวกน 1.

r

2. r


3.

r

4. 5. r


6. r

2.ฟงกชน 2.1 ความหมายของฟงกชน บทนยาม ฟงกชน คอ ความสมพนธ ซงจะไมมคอนดบสองคอนดบใดในความสมพนธทมสมาชกตว หนาเหมอนกน แตสมาชกตวหลงตางกน ตวอยางท 1 จงพจารณาความสมพนธ r ตอไปนเปนฟงกชนหรอไม 1. r = { ( 1,1 ) , ( -1,1 ) , ( 2, 2 ) , ( -2, 2 ) , (3, 3 ) , ( -3, 3 ) } 2. r = { ( -2, 1 ) , ( -1, 0 ) , ( 1, 1 ) , ( 2, 1 ) , ( 1, -1 ) } วธท า 1 ในความสมพนธ r จะพบวาไมมสองคอนดบใดทมสมาชกตวหนาเทากน แตสมาชกตวหลงไมเทากน

ดงนน r จงเปนฟงกชน 2 ความสมพนธไมเปนฟงกชนทงนเพราะมคอนดบ ( 1, 1 ) r และ ( 1, -1 ) r ซงเปนคอนดบทม

สมาชกตวหนาเทากน ( คอ 1 ) แตสมาชกตวหลงไมเทากน

หมายเหต ถาความสมพนธทก าหนดใหอยในรปบอกเงอนไข เชน r = { ( x, y )RR | 2x + y = 1 }


การตรวจสอบดวาความสมพนธเปนฟงกชนหรอไม โดยไมตองแจกแจงคอนดบ ท าไดดงน วธท 1 ถา r เปนความสมพนธซงประกอบดวยคอนดบ ( x, y ) และมเงอนไข r ( x, y ) แลว ใหน าเงอนไข r ( x, y ) มาเขยนใหมโดยเขยน y ในรปของ x 1. ถาแตละคาของ x หาคา y ไดเพยงคาเดยว สรปไดวา r เปนฟงกชน 2. ถาแตละคาของ x ทท าใหหาคา y ไดมากกวา 1 คา สรปไดวา r ไมเปนฟงกชน ตวอยางท 2 ก าหนดความสมพนธ r = { ( x, y ) RR | 2x + y = 1 } r เปนฟงกชนหรอไม วธท า เงอนไข r คอ 2x + y = 1 เขยน y ในรปของ x จะได y = 1 - 2x จะพบวาแตละคาของ x จะใหคา y เพยงคาเดยวเทานน แสดงวา r เปนฟงกชน ### วธท 2 เมอก าหนดความสมพนธ r ซงประกอบดวยคอนดบ ( z, y ) และมเงอนไข r ( x, y ) สมมต ( x, y ) r และ ( x, z ) r ดงนนไดเงอนไข r ( x, y ) และ r ( x, z ) 1. ถาสามารถแสดงไดวา y = z แลว r เปนฟงกชน 2. ถามกรณท y และ z ไมเทากนได แลว r จะไมเปนฟงกชน ตวอยางท 3 ก าหนดความสมพนธ r = { ( x, y ) RR | 5x + y = 2 } แลว r เปนฟงกชนหรอไม วธท า ให ( x, y ) r และ ( x, z ) r ดงนน 5x + y = 2 ……………………………… ( 1 ) 5x + z = 2 ……………………………… ( 2 ) ดงนน 5x + y = 5x + z แสดงวา y = z เพราะฉะนน r เปนฟงกชน ### วธท 3 โดยใชกราฟ ก าหนดความสมพนธ r ใหลากเสนตรงทขนานกบแกน y และใหตดกราฟของ r 1. ถาเสนตรงแตละเสนตดกราฟของ r ไดเพยงจดเดยวเทานน แลว r จะเปนฟงกชน 2. ถามเสนตรงบางเสนทตดกราฟของ r ไดมากกวา 1 จด แลว r ไมเปนฟงกชน


ตวอยางท 4 ความสมพนธทมกราฟตอไปนเปนฟงกชนหรอ ……………………………….. …………………………………

แบบฝกท 2.1 1. ความสมพนธทก าหนดใหตอไปนเปนฟงกชนหรอไม เพราะเหตใด { ( 5, 1 ) , ( 3, 2 ) , ( 1, 3 ) , ( 0, 1 ) } ……………………………………………………………….. { ( 2, 1 ) , ( 3, 1 ) , ( 4, 1 ) } ……………………………………………………………….. { ( 3, 0 ) , ( 3, 1 ) , ( 2, 5 ) } ……………………………………………………………….. 2. ก าหนด A = { -4, -3, … , 4 } จงพจารณาวาความสมพนธตอไปนเปนฟงกชนหรอไม เพราะเหตใด 2.1 { ( x, y ) AA | y = | x | }

……………………………………………………. 2.2 { ( x, y ) AA | x2 + y2 = 4 }

…………………………………………………….. 2.3 { ( x, y ) AA | | x | - | y | = 0 }

……………………………………………………. 3. ความสมพนธตอไปนเปนฟงกชนหรอไม

3.1 r = { ( x, y ) RR | y = x

x

5

12 }

…………………………………………………………… 3..2 r = { ( x, y ) R+

R+ | | x | - | y | = 5 } …………………………………………………………….

3.3 r = { ( x, y ) RR | | x | - | y | = 5 } ……………………………………………………

3.4 r = { ( x, y ) RR | y = x3 } ……………………………………………………


ฟงกชนจากเซตหนงไปยงอกเซตหนง ฟงกชนจาก A ไป B บทนยาม ก าหนดให A และ B เปนเซต f เปนฟงกชนจาก A ไป B (function from A to B ) กตอเมอ 1. f เปนฟงกชน 2. Df = A 3. Rf B

f เปนฟงกชนจาก A ไป B เขยนแทนดวยสญลกษณ f : A B อานวา f เปนฟงกชน จาก A ไป B ตวอยางท 5 ก าหนดให A = { 0,1,2,3,4 } และ B = { 0,1,2,3,4,5,6 } ฟงกชนใดเปนฟงกชนจาก A ไป B 1. f = { ( x, y ) AB | y = 2x } 2. g = { ( x, y ) AB | y = x+2 } วธท า ตรวจสอบดวา โดเมนเทากบ A และเรนจเปนสบเซตของ B 1. จากเงอนไขของ f ทวา y = 2x เมอ xA และ yB จะไดวา ถา x = 0 แลว y = 0 B ถา x = 1 แลว y = 2 B ถา x = 2 แลว y = 4 B ถา x = 3 แลว y = 6 B ถา x = 4 แลว y = 8 B ดงนน f = { ( 0, 0 ) , ( 1, 2 ) , ( 2, 4 ) , (3, 6 ) }

Df = { 0 ,1 , 2 , 3 } A

เพราะฉะนน f ไมเปนฟงกชนจาก A ไป B ###

2. จากเงอนไข g ทวา y = x+2 เมอ x A และ y B จะไดวา g = { ( 0, 2 ) , ( 1, 3 ) , ( 2, 4 ) , ( 3, 5 ) , ( 4, 6 ) }

ดงนน Dg = { 0,1,2,3,4 } = A

Rg = { 0,2,4,6 } B

เพราะฉะนน g เปนฟงกชนจาก A ไป B ###


ฟงกชนจาก A ไปทวถง B บทนยาม f จะเปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B ( function from A onto B ) กตอเมอ 3 1. f เปนฟงกชน

2. Df = A

3. Rf = B

ฟงกชน f จาก A ไปทวถง B จะเขยนแทนดวยสญลกษณ f : A ทวถง B ตวอยางท 6 1. ก าหนดให f = { ( x, y ) R R | 2x+3x-4 = 0 } 2. ก าหนดให g = { ( x, y ) RR | y = x2- 6x –10 } จงตรวจสอบวา f, g เปนฟงกชนจาก R ไปทวถง R หรอไม วธท า 1. จากสมการ 2x + 3x – 4 = 0 จะได

y =3

24 x และ x = 2

34 y

แสดงวาแตละคา x R จะหาคา y ไดเสมอและไดเพยงคาเดยว ดงนน

f เปนฟงกชน และ D f = R

นอกจากนน แตละ y R จะหาคา x ไดเสมอ ดงนน

R f = R

ดงนน f เปนฟงกชนจาก R ไปทวถง R ### ฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B บทนยาม ก าหนด f : A B f เปนฟงกชนหนงตอหนง ( one – to – one function ) จาก A ไป B กตอเมอ

ถา y R f แลว จะม x A เพยงตวเดยวซงท าให ( x, y ) f

ฟงกชน f ซงเปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B เขยนแทนดวยสญลกษณ f : A 11 B


ตวอยางท 7 ก าหนดฟงกชน 4. f = { ( 1, 0 ) , ( 2, 3 ) , ( -1, 4 ) }

2 . g = { ( 1, 2 ) , ( 3, 4 ) , ( 4, 2 ) , ( 0, -1 ) } f และ g เปนฟงกชนหนงตอหนงหรอไม

วธท า 1. R f = { 0, 3, 4 }

จาก f ทก าหนดให แตละสมาชกของ R f จะถกจบคเพยงครงเดยวเทานน

ดงนน f เปนฟงกชนหนงตอหนง ###

2. Rg = { 2, 4, -1 }

จะพบวามสมาชกใน R g บางตวถกจบคมากกวาหนงครงคอ ( 1, 2 ) g และ ( 4, 2 ) g

ดงนน g ไมเปนฟงกชนหนงตอหนง ### ในกรณทก าหนดฟงกชนออกมาในรปแบบบอกเงอนไข การตรวจสอบดวา ฟงกชนนนเปนฟงกชนหนงตอหนงหรอไม สามารถท าได 3 วธดงน วธท 1 ก าหนดให f : A B ซงประกอบดวยคอนดบ ( x, y ) ซงมเงอนไข P ( x, y ) วธตรวจสอบการ เปนฟงกชนหนงตอหนงหรอไม ท าไดดงน จากเงอนไข P ( x, y ) ใหเขยน x ในรปของ y

1. ถาแตละสมาชก y ใน R f ใหคา x เพยงคาเดยวแลว f จะเปนฟงกชนหนงตอหนง

2. ถาม y R f ซงใหคา x เกนกวา 1 คา แลว f จะไมเปนฟงกชนหนงตอหนง

วธท 2 ก าหนดให f เปนฟงกชนทประกอบดวยคอนดบ ( x, y ) สมมตให ( x1, y ) f และ ( x2, y ) f 1. ถาสามารถพสจนไดวา x1 = x2 แลว f เปนฟงกชนหนงตอหนง 2. ถา x1 และ x2 เปนไปไดทจะไมเทากน แลว f จะไมเปนฟงกชนหนงตอหนง


วธท 3 โดยการเขยนกราฟ ในกรณทสามารถวาดกราฟของฟงกชน f ได การตรวจสอบการเปนฟงกชนหนงตอหนง อาจพจารณาจากกราฟได โดยการลากเสนตรงใหขนานกบแกน x และใหตดกราฟของ f 1. ถาเสนตรงทกเสนตดกราฟเพยงจดเดยวเทานน แลวฟงกชน f จะเปนฟงกชนหนงตอหนง 2. ถามเสนตรงบางเสนตดกราฟของ f มากกวาหนงจด แลวฟงกชน f จะไมเปนฟงกชนหนงตอหนง

ตวอยางท 8 ก าหนดให f = { ( x, y ) RR | x+y+1 = 0 } จงแสดงวา f : R 1

-1 R ( โดยใชวธท 1 ) วธท า ( 1 ) จะแสดงวา f : R R จากสมการ x + y + 1 = 0 จะได y = - x -1 ดงนน x R แลวสามารถหาคา y R ไดเสมอและไดเพยงคาเดยว

ดงนน f เปนฟงกชน Df = R , Rf R

นนคอ f เปนฟงกชนจาก R ไป R ( 2 ) จะแสดงวา f เปนฟงกชนหนงตอหนง จากสมการ x + y + 1 = 0 จะได x = - 1 - y

จะพบวาแตละคา y Rf จะไดคา x เพยงคาเดยว

ดงนน f เปนฟงกชนหนงตอหนง จากขอ ( 1 ) และ ( 2 ) สรปไดวา f : R 11 R ###

ตวอยางท 9 ก าหนดฟงกชน f = { ( x, y ) R R | 4x + 3 y – 5 = 0 } จงแสดงวา f เปนฟงกชนหนงตอหนง ( โดยใชวธท 2 )

วธท า ให ( x1, y ) f และ ( x2, y ) f

ดงนน 4x1 + 3y - 5 = 0

และ 4x2 + 3y - 5 = 0

ดงนน 4x1 + 3y - 5 = 4x2 + 3y - 5

4x1 = 4x2

x1 = x2

แสดงวา f เปนฟงกชนหนงตอหนง ###


ฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปทวถง B ( ในแบบเรยนไมมหวขอน ) บทนยาม f เปนฟงกชนหนงตอหนง A ไปทวถง B ( one – to – one function from A onto B ) เปนการสมนยแบบหนงตอหนง ( one – to – one correspondence ) กตอเมอ 1. f เปฯฟงกชนหนงตอหนง

2. D f = A

3. R f = B

f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปทวถง B จะเขยนแทนดวยสญลกษณ f : A 11

onto

B

ตวอยางท 10 ก าหนดให f = { ( x, y ) RR | y3 = x } จงแสดงวา f เปนฟงกชนหนงตอหนง

จาก R ไปทวถง R วธท า ( 1 ) จะแสดงวา f เปนฟงกชน

จากเงอนไข y3 = x จะได y = 3 x

จะพบวา แตละคาของ x ในโดเมน จะใหคา y เพยงคาเดยวเทานน ดงนน f เปนฟงกชน

( 2 ) จะแสดงวา f เปนฟงกชนหนงตอหนง

ให ( x1, y ) f และ ( x2, y ) f ดงนน

y3 = x1 และ y3 = x2

ดงนน x1 = x2

แสดงวา f เปนฟงกชนหนงตอหนง ( 3 ) หาโดเมนของ f

จากสมการ y3 = x

จะไดวา y = 3 x จะพบวา x R แลวสามารถหาคา y ไดเสมอ

ดงนน Df = R


( 4 ) หาเรนจของ f

จากสมการ y3 = x

จะพบวา ถา y R แลวสามารถหาคา x ไดเสมอ

ดงนน R f = R

จากขอ ( 1 ) – ( 4 ) สรปไดวา f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปทวถง B ##.

แบบฝกหด 2.2 1. ก าหนดให A = { 1,2,3,4,5 } และ B = { a , b ,c, d } ความสมพนธขอใดตอไปน เปนฟงกชนจาก A ไป B 1.1 r = { ( 1, a ) , ( 2, b ) , ( 3, a ) , ( 4, c ) , ( 5, b ) } ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 1.2 r = { ( 2, a ) , ( 4, d ) , ( 1, a ) , ( 3, d ) , ( 5, e ) } ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………... 1.3 r = { ( 1, d ) , ( 2, c ) , (3, b ) , ( 4, a ) } ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 1.4 r = { ( 1, c ) , ( 2, b ) , ( 3, a ) , ( 4, d ) , ( 5, a ) , ( 2, a ) } ………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………. 2. ก าหนดให A = { - 2, - 1, 0, 1, 2 } B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } ฟงกชนในขอใดเปน ฟงกชนจาก A ไป B 2.1 f = { ( x, y ) AB | y = | x + 3 | } ……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..

2.2 f = { ( x, y ) AB | y = ( x + 1 )2 }

……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..


3. ฟงกชนใดในขอตอไปน เปนฟงกชนหนงตอหนง จาก R ไปทวถง R 3.1 f = { ( x, y ) RR | 2x + 3y – 6 = 0 } ………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………….

3.2 f = { ( x, y ) RR | x2 – y + 1 = 0 }

……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. 4. ฟงกชนในขอใดเปนฟงกชนหนงตอหนงจาก R ไปทวถง R แนะน า ( โดยการเขยนกราฟ พจารณา ) 2x + 1 เมอ x 0 4.1 f ( x ) = 4x + 1 4.2 f ( x ) =

2x - 1 เมอ x < 0 …………………………………….. ………………………………………

4.3 f ( x ) = x2 + 2x 4.4 f ( x ) = | x3 |

………………………………… ………………………………….


2.1 ฟงกชนเพมและฟงกชนลด

บทนยาม ให f เปนฟงกชนจาก Df R ไป R และ A D f

(1 ) f เปนฟงกชนเพม ( increasing function ) ใน A กตอเมอ

ถา x1 A , x2 A และ x1 x2 แลว f ( x 1) f ( x2 )

( 2 ) f เปนฟงกชนลด ( decreasing function ) ใน A กตอเมอ

ถา x1 A , x2 A และ x1 x2 แลว f ( x1 ) f ( x 2 )

การแสดงวาฟงกชนทก าหนดใหเปนฟงกชนเพมหรอลด โดยการเขยนกราฟ หรอถาก าหนดในรปเงอนไข สามารถสรปวธพจารณาเปนขนตอนดงน

ขนท 1 ก าหนดให x1 A , x2 A และ x1 x2

ขนท 2 หาคา f ( x1 ) และ f ( x2 )

ขนท 3 พจารณา f ( x1 ) และ f ( x2 )

ถา f ( x1 ) f ( x2 ) แลว f จะเปนฟงกชนเพมใน A

ถา f ( x1 ) f ( x2 ) แลว f จะเปนฟงกชนลดใน A

ตวอยางท 11 ก าหนดฟงกชน f ( x ) = 5x – 2 เมอ x R จงพสจน f เปนฟงกชนเพมใน R

วธท า ก าหนดให x1 R และ x2 R โดยท x1 x2

ดงนน f ( x1 ) = 5x1 – 2 และ f ( x2 ) = 5x2 – 2

เนองจาก x1 x2 ดงนน

5x1 5x2

5x1 – 2 5x2 – 2

เพราะฉะนน f ( x1 ) f ( x 2 )

แสดงวา f เปนฟงกชนเพมใน R ###


แบบฝกหด 2.3

1. จงตรวจสอบดวา ฟงกชนทก าหนดใหตอไปน ฟงกชนใดเปนฟงกชนเพม ฟงกชนใดเปนฟงกชนในเซต A ทก าหนดให แนะน า ( ใหเขยนกราฟพจารณา ) 1.1 f ( x ) =

2

3x ; A = R

………………………………………… ………………………………………… …………………………………………

1.2 f ( x ) = x2 + 6x + 9 ; A = ( - , - 4 ]

………………………………………… ………………………………………… …………………………………………

1.3 f ( x ) = x2 + 9 ; A = [ - 1, 1 ]

…………………………………………. …………………………………………. …………………………………………. 2.4 ฟงกชนทควรทราบ 1.ฟงกชนเชงเสน ( Linear Function ) บทนยาม ฟงกชนเชงเสนหมายถง ฟงกชนทอยในรป y = 2x+1 f ( x ) = ax + b เมอ a, b เปนจ านวนจรง เชน f ( x ) = 2x + 1 , f ( x ) = - 5x ดงรป y = -5x 2.ฟงกชนก าลงสอง ( Quadratic Function ) บทนยาม ฟงกชนก าลงสองหมายถง ฟงกชนทอยในรป y = x2+3x-4

f ( x ) = ax2 + bx + c

เมอ a, b, c เปนจ านวนจรง และ a 0

เชน f ( x ) = x2 + 3x – 4 , f ( x ) = -4x2 + 5 ดงรป y = -4x2+5


3.ฟงกชนพหนาม ( Polynomial Function ) บทนยาม ฟงกชนพหนามหมายถง ฟงกชนทอยในรป

f ( x ) = anxn +a n – 1x n – 1 + an – 2 x n – 2 + … + a2x2 + a1x + a0

เมอ a0 , a1 a2 , … ,an เปนคาคงตว และ n เปนจ านวนเตมบวกหรอศนย

เชน f ( x ) = 2x + 5 , f ( x ) = x2 – 3x + 1 , f ( x ) = 10

4. ฟงกชนตรรกยะ ( Rational Function ) บทนยาม ฟงกชนตรรกยะหมายถง ฟงกชนทอยในรป f ( x ) =

)(

)(

xq

xp เมอ p ( x ) และ q ( x ) เปนฟงกชนพหนาม และ q ( x ) 0

เชน f ( x ) = 1

1

x

x , f ( x ) = 4

2

x

5. ฟงกชนขนบนได ( Step Function ) บทนยาม ฟงกชนขนบนไดหมายถง ฟงกชนทมโดเมนเปนสบเซตของ R และเปนฟงกชนคงตวเปนชวงๆ - 5 เมอ x -4

- 3 เมอ -4 < x -2 เชน f ( x ) = - 2 เมอ -2 < x 1

2 เมอ 1 < x 3 4 เมอ x > 3

เมอเขยนกราฟ จะมลกษณะเปนขนคลายขนบนได 6. ฟงกชนคาสมบรณ ( Absolute Value Function ) บทนยาม ฟงกชนคาสมบรณหมายถง ฟงกชนทอยในรปคาสมบรณ เชน f ( x ) = | x | , f ( x ) = | 2 | + 1

7. ฟงกชนทเปนคาบ ( Periodic Function ) บทนยาม ฟงกชนทเปนคาบหมายถง ฟงกชน f ทมจ านวนจรงบวก p ซงท าให f ( x + p) = f ( x ) ……… ( 1 ) ส าหรบทกคาของ x และ x + p ทอยในโดเมนของ f จ านวนจรงบวก p ทนอยทสด ซงสอดคลองกบ ( 1 ) เรยกวา คาบของฟงกชน f เชน f(x) = sin x , f(x) =cos x ดงรป

y = sin x y = cos x


2.5 ฟงกชนคอมโพสต ( Composite Function ) ( ฟงกชนประกอบ )

บทนยาม ก าหนดฟงกชน f และ g

( 1 ) เรยกเซต { x D f | f ( x ) R f D g } วา โดเมนของ f จ ากดเพอ g

ซงเปนสบเซตของ D f เฉพาะทมเรนจเทากบ R fD g

เขยนแทนดวยสญลกษณ D f | g

( 2 ) เรยกเซต { x D g | g ( x ) R gD f } วา โดเมนของ g จ ากดเพอ f

ซงเปนสบเซตของ D g เฉพาะทมเรนจเทากบ R gD f

ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ D g | f

ตวอยางท 12 ก าหนดให f = { ( -3, 0 ) , ( -2, 1 ) , ( -1, 2 ) , ( 0, 3 ) , ( 1, 4 ) , (2, 5 ) , ( 3, 6 ) } g = { ( 0, 0 ) , ( 2, -3 ) , (4, -1 ) , (6, 1 ) , (8, 3 ) , ( 10, 5 ) }

จงหา D f | g และ D g | f

วธท า ( 1 ) หา D f | g

R f = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

D g = { 0, 2, 4, 6, 8, 10 }

ดงนน R fD g = { 0, 2, 4, 6 }

เนองจาก f ( -3 ) = 0 , f ( -1 ) = 2 , f ( 1 ) = 4 และ f ( 3 ) = 6

ดงนน D f | g = { -3, -1, 1, 3 }

( 2 ) หา D g | f

R g = { 0, -3, -1, 1, 3, 5 }

D f = { 3-, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }

ดงนน R gD f = { -3, -1, 1, 3, 0 }

เนองจาก g ( 2 ) = -3 , g ( 4 ) = -1 , g ( 6 ) = 1 และ g ( 8 ) = 3

ดงนน D g | f = { 2, 4, 6, 8 } ###


ตวอยางท 13 ก าหนดฟงกชน f ( x ) = x + 1 และ g ( x ) = x จงหา

( 1 ) D f | g ( 2 ) D g | f

วธท ำ (1 ) หำ D f | g

เนองจาก R f = R และ D g = [0, )

ดงนน R fD g = [0, )

ตองการให f ( x ) R fD g

ดงนน x + 1 [0, ) นนคอ x + 1 0 เพราะฉะนน x -1

แสดงวา D f | g = { x R | x -1 } = [-1, )

( 2 ) หา D g | f

เนองจาก R g = [0, ) และ D g = R

ดงนน R gD f = [0, )

ตองการให g ( x ) R gD f

ดงนน x [0, ) นนคอ x 0 เพาะฉะนน x 0

แสดงวา D g | f = { x R | x 0 } = [0, ) ###

( ขอสงเกต ในขอน R g D f ดงนน R g D f = R g เพราะฉะนน D g | f = D g )

ฟงกชนคอมโพสท

บทนยำม ให f และ g เปนฟงกชนโดยท R f D g

ฟงกชนคอมโพสทของ f และ g เขยนแทนดวย gof ซงเปนฟงกชนจาก D f | g ไป R g

ทนยามดงน ถา x D f | g แลว

( gof ) ( x ) = g ( f ( x ) )


ตวอยางท 14 ก าหนดฟงกชน f = { (1,a) ,(2,a) ,(3,b) ,(4,c) ,(5,d) } g = { (a,2) , (b,4) , (c,6) ,(e,8) } จงหา gof และ fog วธท า (1) หา gof

เนองจาก Rf = { a, b, c, d } , Dg = { a ,b ,c , e }

ดงนน Rf Dg = { a, c , d } ดงนน Dgof = Df| g = { 1 ,2 , 3 , 4 }

f g 1 2 a 2 ดงนน gof = { (1,2) , (2 ,2) , (3,4) , (4,6) } 3 b 4 4 c 6 e 8 gof (2) หา fog

เนองจาก Rg = { 1 , 4 ,6 , 8 } , Df = { 1 ,2 ,3 ,4 ,5 }

จะได Rg Df = { 2 , 4 } จะได Dfog = Df | g = { a, b }

g f a 2 a b 4 c

fog ดงนน fog = { (a,a) , (b,c) }

ตวอยางท 15 ก าหนดฟงกชน f(x) = 3x + 1 และ g(x) = x ถามจงหา 1. (gof)(x) 2. gof 3. (fog)(x) 4. fog

วธท า ( 1 ) หา ( gof ) ( x )

เนองจาก R f = R และ Dg = [0, )

ดงนน R f D g = [0, )


ดงนน หา ( gof ) ( x ) ได โดยท

D gof = D f | g = { x | f ( x ) R f D g }

= { x | 3x + 1 [0, ) } = { x | 0 3x + 1 } = { x | -

3

1 x } = [- 3

1 , )

ดงนน ( gof ) ( x ) = g ( f ( x )) = g ( 3x + 1 ) = 13 x เมอ x [-

3

1 , )

( 2 ) หา gof

เนองจาก ( gof ) ( x ) = 13 x เมอ x [- 3

1 , )

ดงนน gof = { ( x, y ) | y = 13 x } เมอ D gof = [- 3

1 , )

( 3 ) หา ( fog ) ( x )

เนองจาก R g = [0, ) และ D f = R

ดงนน R g D f = [0, ) = R g

แสดงวา ม ( fog ) ( x ) โดยท

D fog = D g = [0, )

และ ( fog ) ( x ) = f ( g ( x ) ) = f ( x ) = x3 + 1 เมอ x [0, ) ( 4 ) หา fog

เนองจาก ( fog ) ( x ) = x3 + 1 เมอ x [0, )

ดงนน fog = { (x, y ) | y = x3 + 1 } เมอ D fog = [0, ) ###

ตวอยางท 16 ก าหนดฟงกชน f ( x ) = x + 2 , g ( x ) = x2 และ h ( x ) = x3 จงหา ( ถาม )

( 1 ) ( fog )oh ( 2 ) fo( goh )


วธท า ( 1 ) พจารณา ( fog )

เนองจาก D f = R ดงนน R g D f

แสดงวา สามารถสราง fog ได และ

D fog = D g = R

ตอไปพจารณา ( fog ) oh

เนองจาก D fog = R ดงนน R h D fog

แสดงวา สามารถสราง ( fog ) oh ได และ D ( fog ) oh = D h = R

( ( fog ) oh ) ( x ) = ( fog ) ( h ( x ) )

= ( fog ) ( x 3 )

= f ( g ( x 3 ) )

= f ( x 6 ) = x 6 + 2 เมอ x R

ดงนน ( fog ) oh = { ( x, y ) | y = x 6 + 2 และ x R }

( 2 ) พจารณา goh

เนองจาก D g = R ดงนน R h D g

แสดงวา สามารถสราง goh ได และ

D goh = D h = R

ตอไปพจารณา fo ( goh )

เนองจาก D f = R ดงนน R goh D f

แสดงวา สามารถสราง fo ( goh ) ได และ D fo ( goh ) = D goh = R

( fo ( goh ) ) ( x ) = f ( ( goh ) ( x ) ) = f ( g ( h ( x ) ) )

= f ( g ( x 3 ) )

= f ( x 6 ) = x6 + 2 เมอ x R

ดงนน fo ( goh) = { ( x, y ) | y = x6 + 2 และ x R } ###


แบบฝกหด 2.4 1. ก าหนดฟงกชน f = { (1, 2 ) , ( 2, 3 ) , ( 3, 4 ) , (4, 4 ) } g = { ( 0, - 1 ) , ( 1, 0 ) , ( 2, 1 ) , (3, 2 ) , ( 4, 3 ) } h = { ( - 3, 0 ) , ( - 2, 0 ) , ( - 1, 0 ) , ( 1, 1 ) , ( 2, 1 ) , ( 3, 1 ) , ( 0, 0 ) } จงหา ( ถาม )

1.1 D f | g = ……………………………………………………………………………………

1.2 D gof = ……………………………………………………………………………………

1.3 gof = …………………………………………………………………………………...

1.4 D f | h = …………………………………………………………………………………..

1.5 D hof = ……………………………………………………………….…………………

1.6 hof = …………………………………………………………………………………. 1.7 fog = …………………………………………………………………………………. 1.8 goh = ………………………………………………………………………………….

2. ก าหนดฟงกชน f ( x ) = x2 – 1 และ g ( x ) = 3x + 5 จงหา ( ถาม )

2.2 ( gof ) ( x ) ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

2.2 gof ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

2.3 ( fog ) (x ) ………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….

2.4 fog ……………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….


3. ก าหนดฟงกชน f : R R , g : R R และ h : R R โดยท 2x – 2 เมอ x 0

f ( x ) = 3x , g ( x ) = x2 + 1 , h ( x ) =

2x – 3 เมอ x 0 จงหา

1. ( fo ( goh ) ) ( 2 ) …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………….

2. ( ( fog ) oh ) ( - 2 ) …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………

3. ( ( gof ) oh ) ( 0 ) ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………...

4. ( ( goh ) of ) ( - 1 ) …………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….… ………………………………………………………………………………………………….

5. ( ( fog ) o ( foh ) ) ( 1 ) ………………………………………………………………………………….……………... ………………………………………………………………………………….……………... …………………………………………………………………………………………………

6. ( ( hof ) o ( hog ) ) ( - 3 ) ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………...


2.6 ฟงกชนอนเวอรส ( Inverse Function ) การหาอนเวอรสของฟงกชนกเหมอนกบการหาอนเวอรสของความสมพนธ เชน f = { ( 1, -1 ) , ( 2, 0 ) , ( 3, 2 ) , (4, 1 ) , ( 5, 2 ) } g = { ( -4, 4 ) , ( -2, 2 ) , ( 0, 0 ) , ( 2, 2 ) , ( 4, -4 ) } จะไดอนเวอรสของ f และ g ดงน

f –1 = { ( -1, 1 ) , ( 0, 2 ) , ( 2, 3 ) , ( 1, 4 ) , ( 2, 5 ) }

g-1 = { ( 4, -4 ) , ( 2, -2 ) , ( 0, 0 ) , ( 2, 2 ) , ( -4, 4 ) }

หมายเหต จากตวอยางสรปไดวา อนเวอรสของฟงกชนไมจ าเปนตองเปนฟงกชน

ในกรณทก าหนดฟงกชน y = f ( x ) ซงเปนฟงกชนหนงตอหนง และตองการหา f –1( x )

มวธการหา 2 วธ คอ วธท 1 โดยการสลบตวแปร มวธการดงน

1. เขยน y = f ( x ) ( ตามทก าหนดให ) 2. สลบตวแปรระหวาง x และ y ในสมการ y = f ( x ) 3. ค านวณหา y ในรปของ x จากสมการใหมในขอ 2

4. y ทไดใน ขอ 3 คอ f –1 ( x ) นนคอ y = f –1 ( x )

วธท 2 โดยการใชทฤษฎบท

วธการนมขนตอนดงน ( ดตวอยางประกอบ )

ก าหนด y = f ( x ) = x + 1 จงหา f –1 ( x )

ล ำดบขนตอน ตวอยำง

1. เขยน y = f ( x )

2. จtได f –1 ( y ) = x ( ท. บ. )

3. ให y = k แลวแกสมการหา x 4. แทนคา y และ x ทไดจากขอ 3 ลงใน

สมการขอ 2 จะได f –1 ( k)

5. แทน k ดวย x จะได f –1 ( x )

1. x + 1 = f ( x )

2. f –1 ( x + 1 ) = x

3. ให x + 1 = k จะได x = k – 1

7. f –1 ( k) = k – 1

5. f –1 ( x ) = x – 1


ตวอยางท 17 ก าหนดฟงกชน f ( x ) = 2x + 4 จงหา

( 1 ) D f –1 ( 2 ) f –1 ( x )

วธท า เนองจาก f ( x ) = 2x + 4 เปนฟงกชนหนงตอหนง จาก R ไปทงถง R

ดงนน f –1 เปนอนเวอรสฟงกชนหนงตอหนงจาก R ไปทวถง R

( 1 ) D f –1 = R

( 2 ) ในทนจะแสดงวธหา f –1 ( x ) ทงสองวธดงน

วธท 1 เขยน y = f ( x ) = 2x + 4 สลบตวแปร x = 2y + 4

หาคา y ในรป x จะได y = 2

4x

ดงนน f –1 ( x ) = 2

4x

วธท 2 เขยน 2x + 4 = f ( x )

ดงนน f –1 ( 2x + 4 ) = x

ให 2x + 4 = k จะได x = 2

4k ดงนน

f –1 ( k ) = 2

4k

ดงนน f –1 ( x ) = 2

4x เมอ xR

ตวอยางท 18 ก าหนดฟงกชน f ( x ) = 45 x เมอ x [0, 10 ] จงหา f –1 ( x )

วธท า กอนอน หา D f –1 จาก R f ดงนน

เนองจาก 0 x 10 ดงนน 0 5x 50 4 5x + 4 54 ดงนน 2 45 x 63

ดงนน R f = [2, 3 6 ] = D f –1

ตอไปหา f –1 ( x )

เนองจาก y = f ( x ) = 45 x สลบตวแปร x = 45 y


ดงนน 5y + 4 = x2

y = 5

42 x

ดงนน f –1 ( x ) = 5

42 x เมอ x [2, 3 6 ] ###

ตวอยางท 19 ก าหนดฟงกชน f ( 3x – 4 ) = 4x + 3 จงหา f –1 ( x )

วธท า วธการทสะดวกในการหา f –1 ( x ) ในตวอยางน คอใชทฤษฎดงน

4x + 3 = f ( 3x - 4 ) ………… ( 1 )

ดงนน f –1 ( 4x + 3 ) = 3x – 4

สมมตให 4x + 3 = k ดงนน x = 4

3k ………… ( 2 )

จาก ( 1 ) และ ( 2 ) จะได f –1 ( k ) = 3 (4

3k ) – 4

f –1 ( k ) = 4

1693 k

ดงนน f –1 ( x ) = 4

253 x ###

ตวอยางท 20 ก าหนดฟงกชน f ( x ) =

3

1x จงหา

( 1 ) f –1 ( 3 ) ( 2 ) f –1 ( 4 )

วธท า โดยทฤษฎบท จาก

3

1x = f ( x )

จะได f –1 (3

1x ) = x

( 1 ) สมมตให 3

1x = 3 จะได x = 10

ดงนน f –1 ( 3 ) = 10

( 2 ) สมมตให 3

1x = - 4 จะได x = - 11

ดงนน f –1 ( - 4 ) = -11 ###

2x + 2 เมอ x 0 ตวอยางท 21 ก าหนดฟงกชน f(x) =

- x2 - 1 เมอ x < 0

จงหา (1) f-1(x) (2) f- -1(1) (3) f-1(-5)


วธท า (i) พจารณา f(x) = 2x + 2 เมอ x 0 , y 2

สลบตวแปร x = 2y + 2 เมอ y 0 , x 2

y = 2

2x เมอ x 2

f –1(x) = 2

2x เมอ x 2

(ii) พจารณา y = f(x) = - x2 – 1 เมอ x < 0 , y < -1

สลบตวแปร x = - y2 – 1 เมอ y < 0 , x < - 1

y = - 1 x เมอ x < - 1

นนคอ f – 1(x) = - 1 x เมอ x < - 1

จาก (I) และ (ii) จะไดวา

2

2x เมอ x 2

f – 1(x) =

- 1 x เมอ x < - 1

แสดงวา Df- 1 = (- , 1 ) [2, )

(2) ไมสามารถหา f- 1(1) ได และ 1 Df-1

(3) เนองจาก - 5 Df-1 ดงนน

f-1(-5) = - 1)5( = - 4 = - 2 ###

ตวอยางท 22 ก าหนดให f ( x + 3 ) = 4x – 5 และ g ( x – 3 ) = 2 – 3x

จงหา ( 1 ) ( fog –1 ) ( 5 ) ( 2 ) ( gof –1 ) ( -1 )

วธท า เนองจาก f ( x + 3 ) = 4x – 5 ดงนน f –1 ( 4x – 5 ) = x + 3

และ g ( x – 3 ) = 2 – 3x ดงนน g –1 ( 2 – 3x ) = x – 3

( 1 ) ( fog –1 ) ( 5 ) = f ( g –1 ( 5 ) ) 2 – 3x = 5 ดงนน x = -1

= f ( -1 –3 ) = f ( -4 ) x + 3 = -4 ดงนน x = -7 = 4 ( -7 ) –5 = - 33


( 2 ) ( gof–1 ) ( -1 ) = g ( f–1 ( -1 ) ) 4x – 5 = -1 ดงนน x = 1

= g ( 1 + 3 ) = g( 4 ) x – 3 = 4 ดงนน x = 7 = 2 – 3 ( -7 ) = - 19

แบบฝกหด 2.5 1. โจทยตอไปน ก าหนดฟงกชน f ( x ) จงหา f –1 ( x ) พรอมทงหาโดเมนของ f –1

1.1 f ( x ) = 1x ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..

1.2 f ( x ) = 4

32 x

……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. 1.3 f ( x ) = x3 + 1 ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..

1.4 f ( x ) = x 3 + 8

……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..

2. ก าหนดฟงกชน f : R R และ g : R R โดยท

f ( x ) = 2

x + 1 และ g ( x ) = 5x – 3 จงหา

f –1 ( 1 )

……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..


f –1 ( -2 )

……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..

g –1 ( 2 )

……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..

g –1 ( 12 )

……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..

( fog –1 ) ( 7 )

……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..

( g –1 of ) ( 4 )

……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..

( f –1og - 1 ) ( 17 )

……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..

( gof ) –1 ( 17 )

……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..


2.7 พชคณตของฟงกชน ( Algebra of Functions )

สามารถเขยนฟงกชน f + g , f – g , f . g , g

f ในรปเซตของคอนดบแบบบอกเงอนไขไดดงน

f + g = { (x, y ) R R | y = ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) เมอ x D f D g }

f – g = { (x, y ) R R | y = ( f – g ) ( x ) = f ( x ) – g ( x ) เมอ x D f D g } f . g = { (x, y ) R R | y = ( f . g ) ( x ) = f ( x ) . g ( x ) เมอ x D f D g }

g

f = { (x, y ) R R | y = (g

f ) ( x ) = )(

)(

xg

xf เมอ x D f D g และ g ( x ) 0 }

ตวอยางท 23 ก าหนดฟงกชน f = { (0, 0) , (1, 1 ) , (2, -1 ) , (3, 2 ) , (4, -2 ) , (5, 3 ) , (6, -3 ) } g = { (0, 1 ) , (2, 3 ) , (4, 5 ) , (6, 6 ) , (8, 9 ) , (10, 10 ) } จงหา f + g , f – g , f.g ,

f

f

วธท า

D f = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } และ Dg = { 0, 2, 4, 6, 8, 10 }

ดงนน D f D g = { 0, 2, 4, 6 }

( 1 ) D f + g = D f D g = { 0, 2 4, 6 }

f + g = { (0, 0 + 1 ) , (2, -1 + 3 ) , (4, -2 + 5 ) , (6, -3 + 6 ) } = { ( 0, 1 ) , (2, 2 ) , (4, 3 ) , (6, 3 ) }

( 2 ) D f – g = D f D g = { 0, 2, 4, 6 }

f – g = { ( 0, 0 – 1 ) , ( 2, -1 – 3 ) , ( 4, -2-5 ) , ( 6, -3-6 ) } = { (0, -1 ) , ( 2, -4 ) , ( 4, -7 ) , ( 6, -9 ) }

( 3 ) D f . g = D f D g = { 0, 2, 4, 6 }

f . g = { ( 0, 0 ( 1 ) ) , ( 2, -1 ( 3 ) ) , (4, -2 ( 5 ) ) , ( 6, -3 ( 6 ) ) } = { ( 0, 0 ) , ( 2, -3 ) , ( 4, -10 ) , ( 6, -18 ) }

( 4 ) D f / g = D f D g = { 0, 2, 4, 6 }

g

f = { ( 0, 1

0 ) , ( 2, 3

1 ) , ( 4, 5

2 ) , ( 6, 6

3 ) }

g

f = { ( 0, 1

0 ) , ( 2, 3

1 ) , ( 4, 5

2 ) , ( 6, 2

1 ) }

- - - - - - - - - - - - -- - - - - - - -


ตวอยางท 24 ก าหนดฟงกชน f = { ( x, y ) R R | y = 4x – 2 และ x [ -2, 2 ] } g = { ( x, y ) R R | y = -2x และ x [ -1, 4 ] } จงหา f + g พรอมทงหาโดเมนและเรนจของ f + g วธท า ในทน f ( x ) = 4x – 2 เมอ x [ -2, 2 ] และ g ( x ) = -2x เมอ x [ -1, 4 ]

ดงนน D f = [ -2, 2 ] และ D g = [ -1, 4 ]

ดงนน D f + g = D f D g = [ -1, 2 ]

f + g = { ( x, y ) R R | y = f ( x ) + g ( x ) และ x [ -1, 2 ] } = { ( x, y ) R R | y = ( 4x – 2 ) + ( -2x ) และ x [ -1, 2] } = { ( x, y ) R R | y = 2x – 2 และ x [ -1, 2] }

เนองจาก D f + g = D f D g = [ 1, -2 ]

ดงนน - 1 x 2 - 2 2x 4 - 4 2x - 2 2

นนคอ R f + g = { y R | -4 y 2 } = [ -4, 2 ] ###

ตวอยางท 25 ก าหนดฟงกชน f ( x ) = 4x เมอ x R , g ( x ) = x2 + 1 เมอ x R

x + 1 เมอ x 0 , y 1 h ( x ) = x - 1 เมอ x < 0 , y < -1 จงหา (1 ) ( f –1 + g + h –1 ) ( -2 )

วธท า เนองจาก f –1 ( x ) = 4

x เมอ x R

x – 1 เมอ x 1 h -1( x ) = x + 1 เมอ x < -1

ดงนน f –1 ( -2 ) = - 4

2 = - 2

1

h –1 ( -2 ) = - 2 + 1 = -1 และ g ( 2 ) = 22 + 1 = 5 ดงนน ( f –1 + g + h –1 ) ( -2 ) = f –1 ( -2 ) + g ( -2 ) + h –1 ( -2 )

= - 2

1 + ( -1 ) + 5 = 2

7 ###


แบบฝกหด 2.6 1. ก าหนดฟงกชน f = { ( -3, -7 ) , ( -2, -5 ) , ( -1, -3 ) , ( 0, -1 ) , ( 1, 1 ) , ( 2, 3 ) , ( 3, 5 ) } g = { ( -4, -3 ) , ( -2, -1 ) , ( 0, 0 ) , ( 2, 1 ) , ( 4, 3 ) , ( 6, 5 ) } จงหา 1.1 f + g = …………………………………………………………………………………………. 1.2 g + f = …………………………………………………………………………………………. 1.3 f – g = .………………………………………………………………………………………… 1.4 g – f = …………………………………………………………………………………………. 1.5 f . g = …………………………………………………………………………………………. 1.6 g . f = ………………………………………………………………………………………….

1.7 g

f = ………………………………………………………………………………………….

1.8 gf

gf

.

= ………………………………………………………………………………………

2. ก าหนดฟงกชน f ( x ) = x + 5 และ g(x ) = x2 – 25

f + g ………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………..

f – g ………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………..

f . g ………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..

g

f

………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………..


3. ก าหนดให f ( 2x – 3 ) = 2x + 3 และ ( f + g ) ( x ) = x2 + x – 3 จงหา

( fog ) ( x ) ………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………..

( gof ) ( x ) ………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………..

( f – g ) ( x ) ………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………..

(g

f ) ( x )

………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………..

( f + f –1 ) ( x )

………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………..

( g + f –1 ) ( x )

………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………..


Documents

เอกสารประกอบการเรียนkm.streesp.ac.th/files/140514099443085_1411250885523.pdf · ค31201 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม