หลักคณิตศาสตร์ · 2 หลักคณิตศาสตร์ โดยทั่วไปนิยมใช้อักษร , , ,… แทนประพจน์

01 ตรรกศาสตร ในทางคณตศาสตรนน เราใหความสนใจกบขอความทสามารถตดสนได วาเปนจรงหรอเทจอยางใด

อยางหนงเทานน จะเปนจรงและเทจพรอมกนไมได กลาวคอ ส าหรบขอความทไมเปนจรงแลว

ขอความนนจะตองเปนเทจ หรอขอความทไมเปนเทจจะตองเปนขอความทจรง ทฤษฎบทตางๆ คอ

ขอความทไดรบการตรวจสอบแลววาจรง ปจจบน ทฤษฎบทและนวฒกรรมตางๆ ถอเปนสวนส าคญ

ตอความเจรญกาวหนาทางดานวทยาศาสตรและเทคโนโลย ดงนน กระบวนการสรางและพสจนยอม

มความส าคญตอการพฒนาองคความรใหมๆ ในบทนเราจะกลาวถงตรรกศาสตรพนฐานส าหรบใชใน

การพสจนขอความ หรอทฤษฎบททางคณตศาสตร

1.1 ประพจนและตวเชอมประพจน

บทนยาม 1.1.1 ประพจน (proposition หรอ statement) คอ ประโยคทเปนจรงหรอเทจ อยางใดอยางหนงเทานน

เรยกประพจนทเปนจรงวา ประพจนทมคาความจรง (truth value) เปน “จรง” (true) และ เรยกประพจนทเปนเทจวา ประพจนทมคาความจรง เปน “เทจ” (false)

บทท

2 ห ล ก ค ณ ต ศ า ส ต ร

โดยทวไปนยมใชอกษร 𝑝, 𝑞, 𝑟, … แทนประพจน และใช 𝑇 แทนคาความจรงของประพจน 𝑝 ทมคาความจรงเปนจรง เขยนแทนดวย 𝑝 ≡ 𝑇 และใช 𝐹 แทนคาความจรงของประพจน 𝑝 ทมคาความจรงเปนเทจ เขยนแทนดวย 𝑝 ≡ 𝐹

บทนยาม 1.1.2 ตารางคาความจรง (Truth table) คอ ตารางทแสดงคาความจรงของ ประพจนในทกกรณ

ให 𝑝 เปนประพจนใดๆ คาความจรงของ 𝑝 ทเปนไปไดมทงหมด 2 กรณ สามารถเขยนตารางแสดงคาความจรงของ 𝑝 ดงน

𝑝

𝑇

𝐹

และส าหรบประพจน 𝑝 และ 𝑞 ใดๆ คาความจรงของ 𝑝 และ 𝑞 ทเปนไปไดมทงหมด 4 กรณ สามารถเขยนตารางแสดงคาความจรงของ 𝑝 และ 𝑞 ดงน

𝑝 𝑞

𝑇 𝑇

𝑇 𝐹

𝐹 𝑇

𝐹 𝐹

หมายเหต ตารางแสดงคาความจรงของประพจน 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑘 ทเปนไปไดมทงหมด 2𝑘 กรณ

ตวอยาง 1.1.1 พจารณาประโยคตอไปน (1) 11 + 35 = 35 + 11 (2) 1 ไรเทากบ 200 ตารางวา (3) รากทสองของจ านวนจรงบวกมคามากกวาศนย (4) มจ านวนนบทมากทสดทนอยกวา 2.5 (5) ประเทศฝรงเศสอยในทวปยโรป (6) แมวเปนสตวเลอยคลาน (7) จงหาคาของ √42 + 32 (8) 𝑥2 − 4 = 0 (9) อยาสงเสยงดงในหองเรยน (10) เขาสายตาสน (1) − (6) เปนประโยคทเปนประพจน และ (7) − (10) เปนประโยคทไมเปนประพจน

ต ร ร ก ศ า ส ต ร 3 ∎ ตวเชอมและนเสธของประพจน

การสรางประพจนใหม สามารถสรางไดโดยใชตวเชอมระหวางสองประพจน และนเสธของประพจน ดงตอไปน

บทนยาม 1.1.3 ประพจนรวม (conjunction) ของ 𝑝 และ 𝑞 เขยนแทนดวย 𝑝 ∧ 𝑞 (อานวา 𝑝 และ 𝑞) ซงคาความจรงของประพจน 𝑝 ∧ 𝑞 เปนจรงเพยงกรณเดยว เมอทง 𝑝 และ 𝑞

เปนจรง

𝑝 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞

𝑇 𝑇 𝑇

𝑇 𝐹 𝐹

𝐹 𝑇 𝐹

𝐹 𝐹 𝐹

ตารางคาความจรงของ 𝑝 ∧ 𝑞

บทนยาม 1.1.4 ประพจนเลอก (disjunction) ของ 𝑝 และ 𝑞 เขยนแทนดวย 𝑝 ∨ 𝑞 (อานวา 𝑝 หรอ 𝑞) ซงคาความจรงของประพจน 𝑝 ∨ 𝑞 เปนเทจเพยงกรณเดยว เมอทง 𝑝 และ 𝑞

เปนเทจ

𝑝 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞

𝑇 𝑇 𝑇

𝑇 𝐹 𝑇

𝐹 𝑇 𝑇

𝐹 𝐹 𝐹

ตารางคาความจรงของ 𝑝 ∨ 𝑞

บทนยาม 1.1.5 ประพจนแบบมเงอนไข (conditional proposition หรอ implication) เขยนแทนดวย 𝑝 ⇒ 𝑞 (อานวา ถา 𝑝 แลว 𝑞) ซงคาความจรงของประพจน 𝑝 ⇒ 𝑞 จะเปนเทจ

เพยงกรณเดยว เมอ 𝑝 เปนจรง และ 𝑞 เปนเทจ

𝑝 𝑞 𝑝 ⇒ 𝑞

𝑇 𝑇 𝑇

𝑇 𝐹 𝐹

𝐹 𝑇 𝑇

𝐹 𝐹 𝑇

ตารางคาความจรงของ 𝑝 ⇒ 𝑞


ในกรณน กลาววา 𝑝 เปนสมมตฐาน หรอ เหต (hypothesis) และกลาววา 𝑞 เปนขอสรป (conclusion) หรอกลาววา 𝑝 เปนเงอนไขทเพยงพอ (sufficient condition) ส าหรบ 𝑞 และ 𝑞 เปนเงอนไขทจ าเปน (necessary condition) ส าหรบ 𝑝

บทนยาม 1.1.6 ประพจนผนกลบได (biconditional proposition) เขยนแทนดวย

𝑝 ⇔ 𝑞 (อานวา 𝑝 กตอเมอ 𝑞) ซงไดจากการน าประพจน 𝑝 ⇒ 𝑞 และ 𝑞 ⇒ 𝑝 มาเชอมดวยตวเชอม ∧ ดงนน คาความจรงของประพจน 𝑝 ⇔ 𝑞 จงเหมอนกบคาความจรงของประพจน

(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑝) นนคอ คาความจรงของประพจน 𝑝 ⇔ 𝑞 เปนจรง เมอ 𝑝 และ 𝑞 มคาความจรงเหมอนกน

𝑝 𝑞 𝑝 ⇒ 𝑞 𝑞 ⇒ 𝑝 𝑝 ⇔ 𝑞

𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇

𝑇 𝐹 𝐹 𝑇 𝐹

𝐹 𝑇 𝑇 𝐹 𝐹

𝐹 𝐹 𝑇 𝑇 𝑇

ตารางคาความจรงของ 𝑝 ⇔ 𝑞

บทนยาม 1.1.7 นเสธ (negation) ของประพจน 𝑝 เขยนแทนดวย ~𝑝 (อานวา นเสธ 𝑝 หรอ ไม 𝑝) คอ ประพจนปฏเสธของ 𝑝 ดงนน ~𝑝 จะมคาความจรงตรงขามกบ 𝑝

𝑝 ~𝑝

𝑇 𝐹

𝐹 𝑇

ตารางคาความจรงของ ~𝑝

บางประพจนอาจประกอบดวยตวเชอมมากกวาหนงตวเชอม หรอมนเสธของประพจนรวมอยดวย เราสามารถสรางตารางแสดงคาความจรงของประพจนนนไดทกกรณ

กรณทประพจนมตวเชอมหลายตว อาจใสวงเลบเพอความชดเจน และมล าดบกอนหลงของการเชอมประพจน ดงน

(1) ( )

(2) ~

(3) ∧, ∨ (กรณทมท ง 2 ตวเชอมตองใสวงเลบคน) (4) ⇒

(5) ⇔

เ ช น 𝑝 ∨ 𝑞 ⇒ 𝑟 หมายถ ง (𝑝 ∨ 𝑞) ⇒ 𝑟, ~𝑝 ∧ 𝑞 ⇒ 𝑟 ∨ 𝑝 หม ายถ ง (~𝑝 ∧ 𝑞) ⇒

(𝑟 ∨ 𝑝) เปนตน

ต ร ร ก ศ า ส ต ร 5

บทนยาม 1.1.8 ให 𝑝 และ 𝑞 เปนประพจน จะกลาววา 𝑝 สมมลเชงตรรกศาสตร (logically equivalent) กบ 𝑞 กตอเมอ 𝑝 และ 𝑞 มคาความจรงเหมอนกนในทกกรณ

ในกรณท 𝑝 สมมลเชงตรรกศาสตรกบ 𝑞 เรากลาวสนๆ วา 𝑝 และ 𝑞 สมมลกน หรอ 𝑝 สมมลกบ 𝑞 เขยนแทนดวย 𝑝 ≡ 𝑞 และในกรณท 𝑝 ไมสมมลกบ 𝑞 เขยนแทนดวย 𝑝 ≢ 𝑞

ตวอยาง 1.1.2 จงสรางตารางแสดงคาความจรงของประพจน 𝑝 ∨ ~𝑞 ⇒ 𝑟 วธท า เนองจากประพจน 𝑝 ∨ ~𝑞 ⇒ 𝑟 มประพจนยอย 3 ประพจน ดงนนคาความจรงของ

ประพจนจะมทงหมด 23 = 8 กรณ

𝑝 𝑞 𝑟 ~𝑞 𝑝 ∨ ~𝑞 𝑝 ∨ ~𝑞 ⇒ 𝑟

𝑇 𝑇 𝑇 𝐹 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 𝐹 𝐹 𝑇 𝐹

𝑇 𝐹 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇

𝑇 𝐹 𝐹 𝑇 𝑇 𝐹 𝐹 𝑇 𝑇 𝐹 𝐹 𝑇

𝐹 𝑇 𝐹 𝐹 𝐹 𝑇

𝐹 𝐹 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 𝐹 𝐹 𝐹 𝑇 𝑇 𝐹

ตวอยาง 1.1.3 จงแสดงวา ~(𝑝 ∧ 𝑞) สมมลกบ ~𝑝 ∨ ~𝑞 พสจน ในการแสดงวา ~(𝑝 ∧ 𝑞) และ ~𝑝 ∨ ~𝑞 สมมลกน เราสรางตารางแสดงคาความจรง

ของทงสองประพจน ไดดงน

𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 ~(𝑝 ∧ 𝑞) ~𝑝 ∨ ~𝑞

𝑇 𝑇 𝐹 𝐹 𝑇 𝐹 𝐹

𝑇 𝐹 𝐹 𝑇 𝐹 𝑇 𝑇

𝐹 𝑇 𝑇 𝐹 𝐹 𝑇 𝑇

𝐹 𝐹 𝑇 𝑇 𝐹 𝑇 𝑇

สรปไดวา ~(𝑝 ∨ 𝑞) ≡ ~𝑝 ∧ ~𝑞


จากตวอยาง 1.1.5 เรากลาววา ~𝑞 ⇒ ~𝑝 เปนประพจนแยงสลบท (contrapositive) ของ 𝑝 ⇒ 𝑞

∎ รปแบบของประพจนทสมมลกน

นอกจากการสรางตารางหาคาความจรงแลว เราสามารถใชรปแบบประพจนทสมมลกนมาตรวจสอบการสมมลกนของประพจน ตอไปนคอรปแบบของประพจนทสมมลกน

𝐸1. ~(~𝑝) ≡ 𝑝 กฎนเสธซอน (Double negation)

𝐸2. 𝑝 ∧ 𝑝 ≡ 𝑝 กฎนจพล (Absorption Law) 𝑝 ∨ 𝑝 ≡ 𝑝

𝐸3. 𝑝 ∧ 𝑞 ≡ 𝑞 ∧ 𝑝 กฎสลบท (Commutative Law) 𝑝 ∨ 𝑞 ≡ 𝑞 ∨ 𝑝

𝐸4. ~(𝑝 ∧ 𝑞) ≡ ~𝑝 ∨ ~𝑞 กฎเดอมอรแกน (De Morgan’s Law) ~(𝑝 ∨ 𝑞) ≡ ~𝑝 ∧ ~𝑞

𝐸5. 𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟) ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟 กฎการเปลยนกลม (Associative Law) 𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟) ≡ (𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟

ตวอยาง 1.1.4 จงแสดงวา ~𝑝 ⟺ 𝑞 สมมลกบ 𝑝 ⟺ ~𝑞 พสจน ในการแสดงวา ~𝑝 ⟺ 𝑞 และ 𝑝 ⟺ ~𝑞 สมมลกน เราสรางตารางแสดงคาความ

จรงของทงสองประพจน ไดดงน

𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 ~𝑝 ⟺ 𝑞 𝑝 ⟺ ~𝑞

𝑇 𝑇 𝐹 𝐹 𝐹 𝐹 𝑇 𝐹 𝐹 𝑇 𝑇 𝑇

𝐹 𝑇 𝑇 𝐹 𝑇 𝑇

𝐹 𝐹 𝑇 𝑇 𝐹 𝐹

ดงนน ~𝑝 ⟺ 𝑞 ≡ 𝑝 ⟺ ~𝑞

ตวอยาง 1.1.5 จงแสดงวา 𝑝 ⇒ 𝑞 สมมลกบ ~𝑞 ⇒ ~𝑝 พสจน จากตารางแสดงคาความจรง

𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 𝑝 ⇒ 𝑞 ~𝑞 ⇒ ~𝑝

𝑇 𝑇 𝐹 𝐹 𝑇 𝑇

𝑇 𝐹 𝐹 𝑇 𝐹 𝐹 𝐹 𝑇 𝑇 𝐹 𝑇 𝑇

𝐹 𝐹 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇

ดงนน 𝑝 ⇒ 𝑞 ≡ ~𝑞 ⇒ ~𝑝


𝐸6. 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟) กฎการแจกแจง (Distributive Law) 𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) ≡ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)

𝐸7. 𝑝 ⇒ 𝑞 ≡ ~𝑝 ∨ 𝑞 𝐸8. 𝑝 ⇒ 𝑞 ≡ ~𝑞 ⇒ ~𝑝 กฎการแยงสลบท (Contrapositive Law) 𝐸9. ~𝑝 ∧ 𝑝 ≡ 𝐹 กฎการขดแยง (Contradiction Law)

𝐸10. ~𝑝 ∨ 𝑝 ≡ 𝑇 กฎนรมชฌม (Excluded middle Law) 𝐸11. 𝑝 ∨ 𝐹 ≡ 𝑝 กฎเอกลกษณ (Identity Law)

𝑝 ∧ 𝑇 ≡ 𝑝 𝐸12. 𝑝 ∧ 𝐹 ≡ 𝐹

𝑝 ∨ 𝑇 ≡ 𝑇 𝐸13. 𝑝 ⇒ (𝑞 ∧ 𝑟) ≡ (𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ (𝑝 ⇒ 𝑟) 𝐸14. (𝑝 ∨ 𝑞) ⇒ 𝑟 ≡ (𝑝 ⇒ 𝑟) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑟) 𝐸15. ~(𝑝 ⇒ 𝑞) ≡ 𝑝 ∧ ~𝑞 𝐸16. ~(𝑝 ⇔ 𝑞) ≡ (𝑝 ⇔ ~𝑞) ∧ (𝑞 ⇔ ~𝑝) 𝐸17. 𝑝 ⇒ (𝑞 ⇒ 𝑟) ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ⇒ 𝑟

บทนยาม 1.1.9 สจนรนดร (tautology) คอ ประพจนทมคาความจรงเปนจรงในทกกรณ ประพจนขดแยง (contradiction) คอประพจนทมคาความจรงเปนเทจในทกกรณ

ตวอยาง 1.1.7 จงแสดงวา (𝑝 ∧ 𝑞) ⇒ 𝑟 สมมลกบ 𝑝 ⇒ (𝑞 ⇒ 𝑟) พสจน (𝑝 ∧ 𝑞) ⇒ 𝑟 ≡ ~(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ 𝑟 (𝐸7)

≡ (~𝑝 ∨ ~𝑞) ∨ 𝑟 (𝐸4) ≡ ~𝑝 ∨ (~𝑞 ∨ 𝑟) (𝐸5) ≡ ~𝑝 ∨ (𝑞 ⇒ 𝑟) (𝐸7) ≡ 𝑝 ⇒ (𝑞 ⇒ 𝑟) (𝐸7)

ตวอยาง 1.1.6 จงแสดงวา (𝑝 ∨ 𝑞) ⇒ 𝑟 ≡ (𝑝 ⇒ 𝑟) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑟) พสจน (𝑝 ∨ 𝑞) ⇒ 𝑟 ≡ ~(𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟 (𝐸7)

≡ (~𝑝 ∧ ~𝑞) ∨ 𝑟 (𝐸4) ≡ (~𝑝 ∨ 𝑟) ∧ (~𝑞 ∨ 𝑟) (𝐸6) ≡ (𝑝 ⇒ 𝑟) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑟) (𝐸7)


∎ รปแบบของประพจนทเปนสจนรนดร

นอกจากการสรางตารางหาคาความจรงแลว เราสามารถใชรปแบบประพจนทเปนสจนรนดรในการตรวจสอบประพจนอนๆ ตอไปนคอรปแบบของประพจนทเปนสจนรนดร

𝑇1. 𝑝 ⇔ 𝑝

𝑇2. (𝑝 ⇒ 𝑞) ⇔ (~𝑞 ⇒ ~𝑝)

𝑇3. (𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑟) ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑟) 𝑇4. 𝑝 ∧ 𝑞 ⇒ 𝑝 𝑇5. 𝑝 ⇒ (𝑝 ∨ 𝑞) 𝑇6. (𝑝 ⇒ 𝑟) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑟) ⇒ (𝑝 ∨ 𝑞 ⇒ 𝑟) 𝑇7. ~𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ⇒ 𝑞 𝑇8. (𝑝 ⇒ 𝑞) ⇒ (𝑝 ∨ 𝑟 ⇒ 𝑞 ∨ 𝑟) 𝑇9. (𝑝 ⇒ 𝑞) ⇒ (𝑝 ∧ 𝑟 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑟)

𝑇10. (𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ (𝑝 ⇒ 𝑟) ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑟)

ตวอยาง 1.1.8 จงแสดงวา [(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ ~𝑝] ⇒ ~𝑝 เปนสจนรนดร พสจน เราสรางตารางแสดงคาความจรงของประพจน [(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ ~𝑝] ⇒ ~𝑝 ไดดงน

𝑝 𝑞 𝑝 ⇒ 𝑞 ~𝑝 (𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ ~𝑝 [(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ ~𝑝] ⇒ ~𝑝

𝑇 𝑇 𝑇 𝐹 𝐹 𝑇 𝑇 𝐹 𝐹 𝐹 𝐹 𝑇

𝐹 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇

𝐹 𝐹 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇

ดงนน [(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ ~𝑝] ⇒ ~𝑝 เปนสจนรนดร

ตวอยาง 1.1.9 จงแสดงวา (𝑝 ⇒ 𝑞) ⇔ (~𝑞 ⇒ ~𝑝) เปนสจนรนดร พสจน จากตารางแสดงคาความจรงของประพจน (𝑝 ⇒ 𝑞) ⇔ (~𝑞 ⇒ ~𝑝)

𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 𝑝 ⇒ 𝑞 ~𝑞 ⇒ ~𝑝 (𝑝 ⇒ 𝑞) ⇔ (~𝑞 ⇒ ~𝑝)

𝑇 𝑇 𝐹 𝐹 𝑇 𝑇 𝑇

𝑇 𝐹 𝐹 𝑇 𝐹 𝐹 𝑇

𝐹 𝑇 𝑇 𝐹 𝑇 𝑇 𝑇 𝐹 𝐹 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇

สรปไดวา (𝑝 ⇒ 𝑞) ⇔ (~𝑞 ⇒ ~𝑝) เปนสจนรนดร


ตวอยาง 1.1.10 จงแสดงวา (𝑝 ⇒ 𝑞) ⇔ (~𝑞 ⇒ ~𝑝) เปนสจนรนดร พสจน (𝑝 ⇒ 𝑞) ⇔ (~𝑞 ⇒ ~𝑝) ≡ (𝑝 ⇒ 𝑞) ⇔ (𝑝 ⇒ 𝑞) (𝐸8)

≡ 𝑇 (𝑇1) ตวอยาง 1.1.11 จงแสดงวา [(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ ~𝑝] ⇒ ~𝑝 เปนสจนรนดร พสจน [(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ ~𝑝] ⇒ ~𝑝 ≡ ~[(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ ~𝑝] ∨ ~𝑝 (𝐸7)

≡ [~(𝑝 ⇒ 𝑞) ∨ 𝑝] ∨ ~𝑝 (𝐸4), (𝐸1) ≡ ~(𝑝 ⇒ 𝑞) ∨ (𝑝 ∨ ~𝑝) (𝐸5)

≡ ~(𝑝 ⇒ 𝑞) ∨ 𝑇 ≡ 𝑇 (𝐸10), (𝐸12)

ตวอยาง 1.1.12 จงแสดงวา [(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑟)] ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑟) เปนสจนรนดร พสจน [(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑟)] ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑟)

≡ [(~𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (~𝑞 ∨ 𝑟)] ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑟) (𝐸7) ≡ [((~𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ~𝑞) ∨ ((~𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑟)] ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑟) (𝐸6) ≡ [((~𝑝 ∧ ~𝑞) ∨ (𝑞 ∧ ~𝑞)) ∨ ((~𝑝 ∧ 𝑟) ∨ (𝑞 ∧ 𝑟))] ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑟) (𝐸6)

≡ [((~𝑝 ∧ ~𝑞) ∨ 𝐹) ∨ ((~𝑝 ∧ 𝑟) ∨ (𝑞 ∧ 𝑟))] ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑟) (𝐸9) ≡ [(~𝑝 ∧ ~𝑞) ∨ ((~𝑝 ∧ 𝑟) ∨ (𝑞 ∧ 𝑟))] ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑟) (𝐸11) ≡ ~[(~𝑝 ∧ ~𝑞) ∨ ((~𝑝 ∧ 𝑟) ∨ (𝑞 ∧ 𝑟))] ∨ (~𝑝 ∨ 𝑟) (𝐸7) ≡ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ ~𝑟) ∧ (~𝑞 ∨ ~𝑟)] ∨ (~𝑝 ∨ 𝑟) (𝐸4), (𝐸1) ≡ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∨ (~𝑝 ∨ 𝑟)] ∧ [(𝑝 ∨ ~𝑟) ∨ (~𝑝 ∨ 𝑟)] ∧ [(~𝑞 ∨ ~𝑟) ∨ (~𝑝 ∨ 𝑟)]

(𝐸6)

≡ [(𝑝 ∨ ~𝑝) ∨ (𝑞 ∨ 𝑟)] ∧ [(𝑝 ∨ ~𝑝) ∨ (~𝑟 ∨ 𝑟)] ∧ [(~𝑞 ∨ ~𝑝) ∨ (~𝑟 ∨ 𝑟)]

(𝐸5), (𝐸3)

≡ [𝑇 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟)] ∧ [𝑇 ∨ 𝑇] ∧ [(~𝑞 ∨ ~𝑝) ∨ 𝑇] ≡ 𝑇 ∧ 𝑇 ∧ 𝑇 ≡ 𝑇 (𝐸10)

ตวอยาง 1.1.13 จงแสดงวา 𝑝 ∧ ~(𝑝 ∨ 𝑞) เปนประพจนขดแยง พสจน 𝑝 ∧ ~(𝑝 ∨ 𝑞) ≡ 𝑝 ∧ (~𝑝 ∧ ~𝑞) (𝐸4)

≡ (𝑝 ∧ ~𝑝) ∧ ~𝑞 (𝐸5) ≡ 𝐹 ∧ ~𝑞 ≡ 𝐹 (𝐸9), (𝐸12)

ตวอยาง 1.1.14 จงแสดงวา (𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ (𝑝 ∧ ~𝑞) เปนประพจนขดแยง พสจน (𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ (𝑝 ∧ ~𝑞) ≡ ((𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ 𝑝) ∧ ~𝑞 (𝐸5)

≡ ((~𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑝) ∧ ~𝑞 (𝐸7) ≡ ((~𝑝 ∧ 𝑝) ∨ (𝑞 ∧ 𝑝)) ∧ ~𝑞 (𝐸6) ≡ (𝐹 ∨ (𝑞 ∧ 𝑝)) ∧ ~𝑞 (𝐸9)

≡ (𝑞 ∧ 𝑝) ∧ ~𝑞 (𝐸11) ≡ 𝑝 ∧ (𝑞 ∧ ~𝑞) (𝐸3), (𝐸5) ≡ 𝑝 ∧ 𝐹 ≡ 𝐹 (𝐸9), (𝐸12)


แบบฝกหด 1.1

1. ให 𝑝 เปนจรง, 𝑞 เปนเทจ, 𝑟 เปนเทจและ 𝑠 เปนจรง จงหาคาความจรงของประพจนตอไปน

1) ~(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ 𝑟

2) 𝑝 ⇒ ~(𝑝 ∧ 𝑠)

3) (𝑝 ⇒ 𝑞) ⇔ (𝑝 ∧ 𝑞)

4) ~(𝑠 ⇒ 𝑟) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑝)

2. จงสรางตารางคาความจรงของประพจนตอไปน

1) (𝑝 ∧ 𝑞) ⇒ 𝑞 2) (𝑝 ∨ 𝑞) ⇒ 𝑝

3) ~(𝑝 ∧ 𝑞) ⇔ (𝑝 ∨ ~𝑞)

4) ~(𝑝 ⇒ 𝑞) ⇔ (𝑝 ∧ 𝑟)

3. จงตรวจสอบวาประพจนทก าหนดใหตอไปนสมมลกนหรอไม 1) ~(𝑝 ⇔ 𝑞) และ (𝑝 ∧ ~𝑞) ∧ (𝑞 ∧ ~𝑝)

2) 𝑝 ⇒ (𝑞 ⇒ 𝑟) และ (𝑝 ⇒ 𝑞) ⇒ 𝑟

3) (𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ (𝑝 ⇒ 𝑟) และ 𝑝 ⇒ (𝑞 ∧ 𝑟)

4) (𝑝 ⇒ 𝑟) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑟) และ (𝑝 ∨ 𝑞) ⇒ 𝑟

5) 𝑝 ⇒ 𝑞 และ 𝑞 ⇒ 𝑝

6) ~(𝑝 ⇒ 𝑞 ∨ 𝑟) และ 𝑝 ∧ ~(~𝑞 ⇒ 𝑟)

4. จงตรวจสอบวาประพจนทก าหนดใหตอไปนเปนสจนรนดรหรอไม

1) 𝑝 ⇒ [ 𝑞 ⇒ (𝑝 ∧ 𝑞)]

2) (~𝑝 ∧ 𝑞) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑝)

3) (𝑝 ⇔ 𝑞) ⇔ (~𝑝 ∨ 𝑞)

4) [ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ~𝑝 ] ⇒ 𝑞

5) [ (𝑝 ⇒ 𝑟) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑟)] ⇒ [ (𝑝 ∨ 𝑞) ⇒ 𝑟]

6) (𝑝 ⇒ 𝑞) ⇒ [ ~(𝑞 ∧ 𝑟) ⇒ (~𝑟 ∧ 𝑝) ]

7) (𝑝 ⇔ 𝑞) ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑞)

8) (𝑝 ⇔ 𝑞) ⇒ (𝑝 ∨ 𝑞)

9) (𝑝 ∧ 𝑞) ⇒ (𝑝 ∨ 𝑞)


1.2 ตวบงปรมาณ

พจารณาประโยค “𝑥 > 3” เมอแทน 𝑥 = −2 จะไดวาประโยค “𝑥 > 3” เปนเทจ แตถาแทน 𝑥 = 4 จะไดวาประโยคดงกลาวมคาความจรงเปนจรง ดงนน “𝑥 > 3” จงไมเปนประพจน

บทนยาม 1.2.1 ให 𝑃(𝑥) เปนประโยคทม 𝑥 เปนตวแปร เรยกประโยค 𝑃(𝑥) วา ประโยคเปด (open sentence หรอ predicate) เมอเราแทน 𝑥 ในเอกภพสมพทธ แลวท าให

𝑃(𝑥) เปนประพจน และเรยกตวแปรในประโยคเปดวา ตวแปรเสร (free variable)

การท าใหประโยคเปดเปนประพจน สามารถท าไดโดยการเพมวลบงปรมาณซงแสดงปรมาณของสมาชกในเอกภพสมพทธของตวแปรนน เชน ใหเอกภพสมพทธคอเซตของจ านวนเตม และให 𝑃(𝑥) แทน 𝑥 > 3 พจารณาประโยคตอไปน (1) “ ส าหรบทกจ านวนเตม 𝑥 จะไดวา 𝑥 มากกวา 3 ” (2) “ มจ านวนเตม 𝑥 อยางนอยหนงคา ซง 𝑥 มากกวา 3 ”

เราสามารถบอกไดวาประโยค (1) เปนเทจ เพราะเมอแทน 𝑥 = 1 จะไดวา 𝑥 < 3 และประโยค (2) เปนจรง เพราะเลอก 𝑥 = 7 ท าให 𝑥 > 3 ดงนนประโยค (1) และ (2) เปนประพจน ซงเราเรยกวล “ ส าหรบทก 𝑥 ในเอกภพสมพทธ ” หรอ “ ม 𝑥 อยางนอยหนงจ านวนในเอกภพสมพทธ ” วา ตวบงปรมาณ (quantifier)

บทนยาม 1.2.2 ตวบงปรมาณทงหมด (universal quantifier) ∀ อานวา “ ส าหรบทก ” หรอ “ ส าหรบแตละ ” ไดแก ตวบงปรมาณซงมความหมาย เดยวกบค าวา “ ทกๆ ” เชน ทงหมด,

แตละสมาชก เปนตน

บทนยาม 1.2.3 ตวบงปรมาณม (existential quantifier) ∃ อานวา “ ม ” ไดแกตวบงปรมาณซงมความหมายเดยวกบ “ ม ” เชน มอยางนอยหนงสมาชก, มบางสมาชก

เปนตน

ให 𝒰 เปนเอกภพสมพทธ และ 𝑃(𝑥) เปนประโยคเปด เราเขยน

∀𝑥 ∈ 𝒰, 𝑃(𝑥) หรอ ∀𝑥 ∈ 𝒰 [𝑃(𝑥)] แทนประพจน “ ส าหรบทก 𝑥 ในเอกภพสมพทธ ทมสมบต 𝑃(𝑥) ” และ

∃𝑥 ∈ 𝒰, 𝑃(𝑥) หรอ ∃𝑥 ∈ 𝒰 [𝑃(𝑥)] แทนประพจน “ ม 𝑥 อยางนอยหนงตวในเอกภพสมพทธ ทมสมบต 𝑃(𝑥) ”


หมายเหต บางครง อาจละการเขยนเอกภพสมพทธได เมอไมเกดความสบสนเกยวกบ เอกภพสมพทธ เชน ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑥2 ≥ 0 เขยนแทนดวย ∀𝑥, 𝑥2 ≥ 0 ∃𝑥 ∈ ℝ, 𝑥3 < 𝑥 เขยนแทนดวย ∃𝑥, 𝑥3 < 𝑥 เปนตน

ตวแปรในประโยคเปดอาจมไดมากกวาหนงตว ตวอยางเชน 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4 เปนประโยคเปดทม 𝑥 และ 𝑦 เปนตวแปรเสร และนยมแทนประโยคเปดทมสองตวแปรดวย 𝑃(𝑥, 𝑦)

ถา 𝑃(𝑥, 𝑦) เปนประโยคเปดทม 𝑥 และ 𝑦 เปนตวแปรเสร จะไดวา รปแบบประพจนทม ตวบงปรมาณ 2 ตว มดงตอไปน

∀𝑥∀𝑦, 𝑃(𝑥, 𝑦) หรอ ∀𝑥∀𝑦 [𝑃(𝑥, 𝑦)]

∃𝑥∃𝑦, 𝑃(𝑥, 𝑦) หรอ ∃𝑥∃𝑦 [𝑃(𝑥, 𝑦)]

∀𝑥∃𝑦, 𝑃(𝑥, 𝑦) หรอ ∀𝑥∃𝑦 [𝑃(𝑥, 𝑦)]

∃𝑥∀𝑦, 𝑃(𝑥, 𝑦) หรอ ∃𝑥∀𝑦 [𝑃(𝑥, 𝑦)]

ตวอยาง 1.2.1 จงเขยนประพจนตอไปนในรปสญลกษณ (1) มจ านวนนบบางจ านวนมคานอยกวา √7 และมากกวา √2

เขยนแทนดวย ∃𝑥 ∈ ℕ [𝑥 < √7 ∧ 𝑥 > √2] หรอ ∃𝑥 ∈ ℕ, √2 < 𝑥 < √7 (2) ส าหรบทกจ านวนจรง 𝑥 จะไดวา 𝑥 < −5 กตอเมอ 2𝑥 + 10 < 0

เขยนแทนดวย ∀𝑥 ∈ ℝ [𝑥 < −5 ⇔ 2𝑥 + 10 < 0] (3) ส าหรบแตละจ านวนจรง 𝑥 ถา 𝑥3 ≥ 0 แลว 𝑥 ≥ 0

เขยนแทนดวย ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑥3 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ 0 (4) มจ านวนจรง 𝑥 อยางนอยหนงจ านวน ซง 𝑥2 − 7𝑥 − 30 = 0

เขยนแทนดวย ∃𝑥 ∈ ℝ, 𝑥2 − 7𝑥 − 30 = 0 (5) มจ านวนนบ 𝑦 ซง 𝑦3 < 9 และ 𝑚3 + 7 ≥ 8 ส าหรบทกจ านวนเตม 𝑚

เขยนแทนดวย (∃𝑦 ∈ ℕ, 𝑦3 < 9) ∧ (∀𝑚 ∈ ℤ , 𝑚3 + 7 ≥ 8)

ตวอยาง 1.2.2 จงเขยนประพจนตอไปนในรปสญลกษณ (1) ส าหรบทกจ านวนจรง 𝑥 จะมจ านวนจรง 𝑦 อยางนอยหนงตว ซงท าให 𝑥 − 𝑦 = 5

เขยนแทนดวย ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ, 𝑥 − 𝑦 = 5 หรอ ∀𝑥∃𝑦, 𝑥 − 𝑦 = 5 (2) มจ านวนจรง 𝑥 ซงส าหรบทกจ านวนเตม 𝑦 จะไดวา 𝑥 − 𝑦 > 4 หรอ 𝑦 − 𝑥2 > 1

เขยนแทนดวย ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℤ, 𝑥 − 𝑦 > 4 ∨ 𝑦 − 𝑥2 > 1 (3) ส าหรบจ านวนจรง 𝑥 ใดๆ จะมจ านวนนบ 𝑦 ถา 𝑥2 > 𝑦 แลว 𝑥2 + 𝑦 > 5𝑥𝑦

เขยนแทนดวย ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℕ, 𝑥2 > 𝑦 ⇒ 𝑥2 + 𝑦 > 5𝑥𝑦


∎ คาความจรงของประพจนทมตวบงปรมาณ

พจารณาประพจน ∀𝑥 ∈ ℕ, 𝑥 + 2 > 0 เนองจากเราทราบวา จ านวนนบใดๆ มคามากกวา 0 เสมอ ดงนน เมอน ามาบวกกบ 2 จงยงคงมคามากกวา 0 ดงนน ∀𝑥 ∈ ℕ, 𝑥 + 2 > 0 เปนจรงและถาพจารณาประพจน ∀𝑥 ∈ ℕ, 𝑥 − 3 > 0 จะเหนวา 2 เปนจ านวนนบจ านวนหนง ซงท าให 2 − 3 < 0 ดงนน ∀𝑥 ∈ ℕ, 𝑥 − 3 > 0 จงเปนเทจ

ท านองเดยวกนเมอพจารณาประพจน ∃𝑥 ∈ ℕ, 𝑥 < 3 เนองจาก 2 เปนจ านวนนบซงมคานอยกวา 3 ดงนน ประพจน ∃𝑥 ∈ ℕ, 𝑥 < 3 เปนจรง และพจารณาประพจน ∃𝑥 ∈ ℕ, 𝑥2 + 1 = 0 เนองจากจ านวนนบใดๆ จะมากกวาหรอเทากบ 1 ดงนน เมอยกก าลงสองแลวบวกดวย 1 จะมคามากกวาหรอเทากบ 2 ดงนน ประพจน ∃𝑥 ∈ ℕ, 𝑥2 + 1 = 0 จงเปนเทจ

เงอนไขการหาคาความจรงของประพจน ∀𝑥, 𝑃(𝑥) และ ∃𝑥, 𝑃(𝑥) สรปไดดงน ประพจน ประพจนมคาความจรงเปนจรง กตอเมอ ประพจนมคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ ∀𝑥, 𝑃(𝑥) ส าหรบทกสมาชก 𝑥 ใดๆ ในเอกภพ

สมพทธ ท าให 𝑃(𝑥) เปนจรงเสมอ มสมาชก 𝑥 ในเอกภพสมพทธ ซงท าให 𝑃(𝑥) เปนเทจ

∃𝑥, 𝑃(𝑥) มสมาชก 𝑥 ในเอกภพสมพทธ ซงท าให 𝑃(𝑥) เปนจรง

ส าหรบทกสมาชก 𝑥 ใดๆ ในเอกภพสมพทธ ท าให 𝑃(𝑥) เปนเทจเสมอ

(4) ทกจ านวนจรง 𝑥 และ 𝑦 ใดๆ ถา 𝑥 > 0 และ 𝑦 > 0 แลว 𝑥𝑦

+𝑦

𝑥≥ 2

เขยนแทนดวย ∀𝑥∀𝑦 [ 𝑥 > 0 ∧ 𝑦 > 0 ⇒𝑥

𝑦+

𝑦

𝑥≥ 2]

(5) ส าหรบจ านวนจรง 𝑥 และ 𝑦 ใดๆ จะมจ านวนจรง 𝑧 ซง 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 − 2𝑦 เขยนแทนดวย ∀𝑥∀𝑦∃𝑧, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 − 2𝑦

ตวอยาง 1.2.3 จงหาคาความจรงของประพจนตอไปน (1) ∀𝑥 ∈ ℤ, 𝑥 + 0 = 0 + 𝑥 = 𝑥

(2) ∀𝑥 ∈ ℤ, 𝑥2 > 𝑥 (3) ∃𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 < 0 ∧ 𝑥2 > 1

(4) ∃𝑥, 𝑥 + 3 = 0 เมอเอกภพสมพทธ คอ {1,2, 3, 4, … ,100}


ตอไปจะกลาวถงรปแบบการเขยนการพสจนของประพจนทมตวบงปรมาณ นนคอ วธการแสดงวาประพจนทมตวบงปรมาณมคาความจรงเปนจรง เพอใหงายในการพสจนใหระลกวา เมอพบตวบงปรมาณ ∀𝑥 ใหเขยนวา “ ให 𝒙 เปนสมาชกใดๆ ในเอกภพสมพทธ ” และเมอพบตวบงปรมาณ ∃𝑥 ใหเขยนวา “ เลอก 𝒙 = ............ ” ซง 𝑥 ดงกลาวจะตองเปนสมาชกในเอกภพสมพทธ ซงเราจะสรปรปแบบหลกในการเขยนพสจนประพจนทมตวบงปรมาณ ดงน

รปแบบ : ∀𝑥, 𝑃(𝑥) พสจน ให 𝑥 เปนสมาชกใดๆ ในเอกภพสมพทธ

⋮

จะไดวา 𝑃(𝑥)

รปแบบ : ∃𝑥, 𝑃(𝑥) พสจน เลอก 𝑥 =. . . … เปนสมาชกในเอกภพสมพทธ

⋮

จะไดวา 𝑃(𝑥)

วธท า (1) เนองจาก 0 เปนเอกลกษณการบวก นนคอ ส าหรบทกจ านวนเตม 𝑥

จะไดวา 𝑥 + 0 = 0 + 𝑥 = 𝑥 ดงนน ∀𝑥 ∈ ℤ, 𝑥 + 0 = 0 + 𝑥 = 𝑥 เปนจรง

(2) เนองจาก 0 เปนจ านวนเตม และ 0 = 02 ≯ 0 ดงนน ∀𝑥 ∈ ℤ, 𝑥2 > 𝑥 เปนเทจ

(3) ส าหรบ 𝑥 = −5 จะไดวา 𝑥 < 0 และ 𝑥2 = 52 = 25 > 1 ดงนน ∃𝑥 ∈ ℤ, 𝑥 < 0 ∧ 𝑥2 > 1 เปนจรง

(4) พจารณาแตละสมาชกในเอกภพสมพทธ เมอ 𝑥 = 1 จะไดวา 𝑥 + 3 = 4 ≠ 0 เมอ 𝑥 = 2 จะไดวา 𝑥 + 3 = 5 ≠ 0 เมอ 𝑥 = 3 จะไดวา 𝑥 + 3 = 6 ≠ 0 ⋮ เมอ 𝑥 = 100 จะไดวา 𝑥 + 3 = 103 ≠ 0

ดงนน ∃𝑥, 𝑥 + 3 = 0 เปนเทจ


ขอสงเกต ส าหรบการแสดงวา ประพจน ∀𝑥, 𝑃(𝑥) เปนเทจนน ในตวอยาง 1.2.6 จะตองเลอก 𝑥0 ในเอกภพสมพทธ ซงท าให 𝑃(𝑥0) เปนเทจ เราเรยก 𝑥0 ดงกลาววา ตวอยางคาน (counter example) ส าหรบประพจน ∀𝑥, 𝑃(𝑥)

ส าหรบประพจนทมตวบ งปรมาณสองตว ไดแ ก ∀𝑥∀𝑦, 𝑃(𝑥, 𝑦), ∃𝑥∃𝑦, 𝑃(𝑥, 𝑦), ∀𝑥∃𝑦, 𝑃(𝑥, 𝑦) และ ∃𝑥∀𝑦, 𝑃(𝑥, 𝑦) เราสามารถพจารณาคาความจรงไดโดยอาศยประพจนทมตวบงปรมาณหนงตว ไดดงตอไปน

ประพจน ประพจนมคาความจรงเปนจรง กตอเมอ ประพจนมคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ ∀𝑥∀𝑦, 𝑃(𝑥, 𝑦) ส าหรบทกสมาชก 𝑥 ใดๆ ในเอกภพ

สมพทธ ท าให ∀𝑦, 𝑃(𝑥, 𝑦) เปนจรงเสมอ นนคอ ส าหรบทกสมาชก 𝑥 และ 𝑦 ใดๆ ในเอกภพสมพทธ ท าให 𝑃(𝑥, 𝑦) เปนจรงเสมอ

มสมาชก 𝑥 ในเอกภพสมพทธซงท าให ∀𝑦, 𝑃(𝑥, 𝑦) เปนเทจ นนคอ มสมาชก 𝑥 และ 𝑦 ในเอกภพสมพทธ ซงท าให 𝑃(𝑥, 𝑦) เปนเทจ

∃𝑥∃𝑦, 𝑃(𝑥, 𝑦) มสมาชก 𝑥 ในเอกภพสมพทธ ท าให ∃𝑦, 𝑃(𝑥, 𝑦) เปนจรง นนคอ มสมาชก 𝑥 และ 𝑦 ในเอกภพสมพทธ ท าให 𝑃(𝑥, 𝑦) เปนจรง

ส าหรบทกสมาชก 𝑥 ในเอกภพสมพทธ ท าให ∃𝑦, 𝑃(𝑥, 𝑦) เปนเทจเสมอ นนคอ ส าหรบทกสมาชก 𝑥 และ 𝑦 ใดๆ ในเอกภพสมพทธ ซงท าให 𝑃(𝑥, 𝑦) เปนเทจ

ตวอยาง 1.2.4 จงแสดงวา ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑥2 − 2𝑥 + 3 > 0 เปนจรง พสจน ให 𝑥 เปนจ านวนจรงใดๆ จะไดวา (𝑥 − 1)2 ≥ 0 ฉะนน 𝑥2 − 2𝑥 + 3 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 2

= (𝑥 − 1)2 + 2 ≥ 0 + 2 > 0 ดงนน ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑥2 − 2𝑥 + 3 > 0 เปนจรง

ตวอยาง 1.2.5 จงแสดงวา ∃𝑥 ∈ ℝ, 𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 0 เปนจรง

พสจน เลอก 𝑥 =3+√5

2 จะไดวา 𝑥 ∈ ℝ และ

𝑥2 − 3𝑥 + 1 = (3+√5

2)

2

− 3 (3+√5

2) + 1 =

14+6√5

4−

9+3√5

2+ 1 = 0

ดงนน ∃𝑥 ∈ ℝ, 𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 0 เปนจรง

ตวอยาง 1.2.6 จงแสดงวา ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑥2 − 4𝑥 > 4 เปนเทจ พสจน เลอก 𝑥 = 2 จะไดวา 𝑥 ∈ ℝ และ 𝑥2 − 4𝑥 = 4 − 8 = −4 ≯ 4

ดงนน ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑥2 − 4𝑥 > 4 เปนเทจ


∀𝑥∃𝑦, 𝑃(𝑥, 𝑦) ส าหรบทกสมาชก 𝑥 ใดๆ ในเอกภพสมพทธ ท าให ∃𝑦, 𝑃(𝑥, 𝑦) เปนจรง นนคอ ส าหรบทกสมาชก 𝑥 ใดๆ ในเอกภพ สมพทธ มสมาชก 𝑦 ในเอกภพสมพทธ ท าให 𝑃(𝑥, 𝑦) เปนจรง

มสมาชก 𝑥 ในเอกภพสมพทธ ท าให ∃𝑦, 𝑃(𝑥, 𝑦) เปนเทจ นนคอ มสมาชก 𝑥 ในเอกภพสมพทธ ซงท าใหส าหรบทก 𝑦 ในเอกภพสมพทธ 𝑃(𝑥, 𝑦) เปนเทจ

∃𝑥∀𝑦, 𝑃(𝑥, 𝑦) มสมาชก 𝑥 ในเอกภพสมพทธ ท าให ∀𝑦, 𝑃(𝑥, 𝑦) เปนจรง นนคอ มสมาชก 𝑥 ในเอกภพสมพทธ ท าใหส าหรบทก 𝑦 ในเอกภพสมพทธ 𝑃(𝑥, 𝑦) เปนจรงเสมอ

ส าหรบทกสมาชก 𝑥 ในเอกภพสมพทธ ท า ให ∀𝑦, 𝑃(𝑥, 𝑦) เ ปน เทจ น น คอ ส าหรบสมาชก 𝑥 ใดๆ ใน เอกภพสมพทธ จะมสมาชก 𝑦 ใน เอกภพสมพทธ ซงท าให 𝑃(𝑥, 𝑦) เปนเทจ

ตวอยาง 1.2.7 ใหเอกภพสมพทธ คอ {0, 1, 2} และ 𝑃(𝑥, 𝑦) คอ 𝑥 + 𝑦 ≥ 0 จงหาคาความจรงของ ∀𝑥∀𝑦[𝑃(𝑥, 𝑦)] วธท า เมอหาคาความจรงของ 𝑃(0, 0), 𝑃(0, 1), 𝑃(0, 2), 𝑃(1, 0), 𝑃(1, 1), 𝑃(1, 2), 𝑃(2, 0), 𝑃(2, 1), 𝑃(2, 2) เปนจรง ดงนน ∀𝑥∀𝑦, 𝑥 + 𝑦 ≥ 0 เปนจรง

ตวอยาง 1.2.8 ใหเอกภพสมพทธ คอ {0, 1, 2} และ 𝑃(𝑥, 𝑦) คอ 𝑥 + 𝑦 > 0 จงหาคาความจรงของ ∀𝑥∀𝑦[𝑃(𝑥, 𝑦)] วธท า จะพบวา 𝑃(0, 0) เปนเทจ ดงนน ∀𝑥∀𝑦, 𝑥 + 𝑦 > 0 เปนเทจ

ตวอยาง 1.2.9 ใหเอกภพสมพทธ คอ เซตของจ านวนจรง และ 𝑃(𝑥, 𝑦) คอ 𝑥 + 𝑦 = 0 จงหาคาความจรงของ ∀𝑥∃𝑦, 𝑃(𝑥, 𝑦) วธท า ให 𝑥 เปนจ านวนจรง เลอก 𝑦 = −𝑥 ดงนน 𝑦 เปนจ านวนจรง จะไดวา

𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + (−𝑥) = 0 นนคอ ∀𝑥∃𝑦, 𝑥 + 𝑦 = 0 เปนจรง


ตวอยาง 1.2.10 ใหเอกภพสมพทธ คอ 𝐴 = {1, 2, 3} และ 𝑃(𝑥, 𝑦) คอ 𝑥 < 𝑦 จงหาคาความจรงของ ∀𝑥∃𝑦, 𝑃(𝑥, 𝑦) วธท า ให 𝑥 เปนเปนสมาชกในเอกภพสมพทธ

ถา 𝑥 = 1 เลอก 𝑦 = 2 หรอ 𝑦 = 3 กได ถา 𝑥 = 2 เลอก 𝑦 = 3 แต ถา 𝑥 = 3 ไมสามารถหา 𝑦 ในเอกภพสมพทธ ซงท าให 𝑥 < 𝑦

นนคอ มสมาชก 𝑥 ในเอกภพสมพทธอยางนอยหนงตว ทท าให 𝑃(𝑥, 𝑦) เปนเทจ ส าหรบทก 𝑦 ในเอกภพสมพทธ ดงนน ∀𝑥∃𝑦, 𝑥 < 𝑦 เปนเทจ

ตวอยาง 1.2.11 ใหเอกภพสมพทธ คอ เซตของจ านวนจรง และ 𝑃(𝑥, 𝑦) คอ 𝑦 + 𝑥 = 𝑦 จงหาคาความจรงของ ∃𝑥∀𝑦, 𝑃(𝑥, 𝑦) วธท า เลอก 𝑥 = 0 จะไดวา 𝑦 + 𝑥 = 𝑦 + 0 = 𝑦 ส าหรบทกจ านวนจรง 𝑦

ดงนน ∃𝑥∀𝑦, 𝑦 + 𝑥 = 𝑦 เปนจรง

ตวอยาง 1.2.12 ใหเอกภพสมพทธ คอ {−2, −1, 0, 1, 2} และ 𝑃(𝑥, 𝑦) คอ 2 < 𝑥 + 𝑦 < 4 จงหาคาความจรงของ ∃𝑥∃𝑦, 𝑃(𝑥, 𝑦) วธท า จะไดวา 𝑃(1, 2) เปนจรง ดงนน ∃𝑥∃𝑦, 𝑃(𝑥, 𝑦) เปนจรง

ตวอยาง 1.2.13 ใหเอกภพสมพทธ คอ {−2, −1, 0, 1, 2, 5} จงแสดงวา ∀𝑥∃𝑦, 𝑥 > 3𝑦 เปนจรง วธท า ถา 𝑥 = −2 เลอก 𝑦 = −1 จะไดวา −2 > 3(−1)

ถา 𝑥 = −1 เลอก 𝑦 = −1 จะไดวา −1 > 3(−1) ถา 𝑥 = 0 เลอก 𝑦 = −1 จะไดวา 0 > 3(−1) ถา 𝑥 = 1 เลอก 𝑦 = 0 จะไดวา 1 > 3(0) ถา 𝑥 = 2 เลอก 𝑦 = 0 จะไดวา 2 > 3(0) ถา 𝑥 = 5 เลอก 𝑦 = 1 จะไดวา 5 > 3(1)

ดงนน ∀𝑥∃𝑦, 𝑥 > 3𝑦 เปนจรง


ตอไปจะกลาวถงรปแบบการเขยนการพสจนของประพจนทมตวบงปรมาณสองตว ซงใชหลกการเดยวกบการเขยนพสจนประพจนทมตวบงปรมาณหนงตว มรปแบบการเขยนพสจน ดงน

รปแบบ : ∀𝑥∀𝑦, 𝑃(𝑥, 𝑦)

พสจน ให 𝑥 และ 𝑦 เปนสมาชกใดๆ ในเอกภพสมพทธ

⋮

จะไดวา 𝑃(𝑥, 𝑦) รปแบบ : ∀𝑥∃𝑦, 𝑃(𝑥, 𝑦) พสจน ให 𝑥 เปนสมาชกใดๆ ในเอกภพสมพทธ เลอก 𝑦 = . . . . . . .. เปนสมาชกในเอกภพสมพทธ

⋮

จะไดวา 𝑃(𝑥, 𝑦) รปแบบ : ∃𝑥∀𝑦, 𝑃(𝑥, 𝑦) พสจน เลอก 𝑥 = . . . . . . .. เปนสมาชกในเอกภพสมพทธ ให 𝑦 เปนสมาชกใดๆ ในเอกภพสมพทธ

⋮

จะไดวา 𝑃(𝑥, 𝑦)

รปแบบ : ∃𝑥∃𝑦, 𝑃(𝑥, 𝑦)

พสจน เลอก 𝑥 = . . . . . . .. เปนสมาชกในเอกภพสมพทธ และ เลอก 𝑦 = . . . . . . .. เปนสมาชกในเอกภพสมพทธ

⋮

จะไดวา 𝑃(𝑥, 𝑦)

ตวอยาง 1.2.14 จงแสดงวา ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ,𝑥

𝑦+

𝑦

𝑥≥ 2

พสจน ให 𝑥 และ 𝑦 เปนจ านวนนบใดๆ จะไดวา (𝑥 − 𝑦)2 ≥ 0 เสมอ นนคอ 𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 ≥ 0

เนองจาก 𝑥𝑦 > 0 จะไดวา 𝑥

𝑦− 2 +

𝑦

𝑥≥ 0 นนคอ 𝑥

𝑦+

𝑦

𝑥≥ 2

ดงนน ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ,𝑥

𝑦+

𝑦

𝑥≥ 2 เปนจรง


∎ นเสธของประพจนทมตวบงปรมาณ

พจารณาคาความจรงของประพจน ∃𝑥 , ~𝑃(𝑥) และประพจน ∀𝑥 , ~𝑃(𝑥) ดงน

ประพจน ประพจนมคาความจรงเปนจรง กตอเมอ ประพจนมคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ ∃𝑥, ~𝑃(𝑥) ม 𝑥 ในเอกภพสมพทธ ท าให ~𝑃(𝑥) เปน

จรง (นนคอ 𝑃(𝑥) เปนเทจ) ส าหรบทกสมาชก 𝑥 ใดๆ ในเอกภพสมพทธ ซงท าให ~𝑃(𝑥) เปนเทจ (นนคอ 𝑃(𝑥) เปนจรง)

∀𝑥, ~𝑃(𝑥) ส าหรบทกสมาชก 𝑥 ใดๆ ในเอกภพสมพทธ ท าให ~𝑃(𝑥) เปนจรง (นนคอ 𝑃(𝑥) เปนเทจ)

ม 𝑥 ในเอกภพสมพทธ ซงท าให ~𝑃(𝑥) เปนเทจ (นนคอ 𝑃(𝑥) เปนจรง)

จะสงเกตไดวา ∃𝑥, ~𝑃(𝑥) มคาความจรงตรงขามกบ ∀𝑥, 𝑃(𝑥) และ ∀𝑥, ~𝑃(𝑥) มคาความจรงตรงขามกบ ∃𝑥, 𝑃(𝑥) ท าใหไดวา

∼ ∀𝑥, 𝑃(𝑥) ≡ ∃𝑥, ~𝑃(𝑥) และ ∼ ∃𝑥, 𝑃(𝑥) ≡ ∀𝑥, ~𝑃(𝑥)

หรอกลาววา นเสธของ ∃𝑥, 𝑃(𝑥) คอ ∀𝑥, ~𝑃(𝑥) และนเสธของ ∀𝑥, 𝑃(𝑥) คอ ∃𝑥, ~𝑃(𝑥)

ตวอยาง 1.2.15 จงแสดงวา ∃𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℝ, 𝑥 > 8 − 𝑦2 เปนจรง พสจน เลอก 𝑥 = 10 จะไดวา 𝑥 ∈ ℕ ให 𝑦 เปนจ านวนจรงใดๆ เนองจาก 0 ≤ 𝑦2 ดงนน 8 − 𝑦2 ≤ 8 < 10 = 𝑥 ดงนน ∃𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℝ, 𝑥 > 8 − 𝑦2

ตวอยาง 1.2.16 จงแสดงวา ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ, 𝑥 + 𝑦 < 6 พสจน ให 𝑥 เปนจ านวนจรงใดๆ เลอก 𝑦 = 5 − 𝑥 จะไดวา 𝑦 ∈ ℝ ดงนน 𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + (5 − 𝑥) = 5 นนคอ 𝑥 + 𝑦 < 6 ดงนน ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ, 𝑥 + 𝑦 < 6

ตวอยาง 1.2.17 จงแสดงวา ∃𝑥∃𝑦, 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 6𝑦 ≤ −13 พสจน เลอก 𝑥 = 2 และ 𝑦 = −3 ดงนน

𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 6𝑦 = (2)2 + (−3)2 − 4(2) + 6(−3) = −13 ≤ −13

ดงนน ∃𝑥∃𝑦, 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 6 ≤ −13 เปนจรง


ส าหรบการหานเสธของประพจนทมตวบงปรมาณ 2 ตวนน สามารถหาไดโดยอาศยนเสธของประพจนทมตวบงปรมาณ 1 ตวดงน

∼ ∀𝑦∃𝑥, 𝑃(𝑥, 𝑦) ≡ ∃𝑦[~∃𝑥, 𝑃(𝑥, 𝑦)]

≡ ∃𝑦∀𝑥, ~𝑃(𝑥, 𝑦) นนคอ นเสธของ ∀𝑦∃𝑥, 𝑃(𝑥, 𝑦) คอ ∃𝑦∀𝑥, ~𝑃(𝑥, 𝑦) ท านองเดยวกนจะไดวา

∼ ∀𝑥∀𝑦, 𝑃(𝑥, 𝑦) ≡ ∃𝑥∃𝑦, ~𝑃(𝑥, 𝑦)

∼ ∃𝑥∃𝑦, 𝑃(𝑥, 𝑦) ≡ ∀𝑥∀𝑦, ~𝑃(𝑥, 𝑦)

∼ ∃𝑦∀𝑥, 𝑃(𝑥, 𝑦) ≡ ∀𝑦∃𝑥, ~𝑃(𝑥, 𝑦)

ในกรณทตองการแสดงวา ประพจนใดเปนเทจ เราจะแสดงวานเสธของประพจนนนเปนจรงนนคอ เราจะตองหานเสธของประพจนทมตวบงปรมาณใหถกตอง และแสดงวานเสธของประพจนดงกลาวเปนจรง โดยอาศยรปแบบทกลาวมาแลวในขางตน

ตวอยาง 1.2.18 จงเขยนประพจนตอไปนในรปสญลกษณ (1) นเสธของ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℤ, 𝑥2 ≥ 𝑦2 ⇒ 𝑥 + 𝑦 < 10 คอ

∃𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ ℤ, 𝑥2 ≥ 𝑦2 ∧ 𝑥 + 𝑦 ≮ 10 หรอ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ ℤ, 𝑥2 ≥ 𝑦2 ∧ 𝑥 + 𝑦 ≥ 10

(2) นเสธของ ∃𝑥 ∈ ℕ ∀ 𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℕ, 𝑥 > 𝑦 + 𝑧 ∧ 𝑥2 ≤ 𝑦2 + 𝑧2 คอ ∀𝑥 ∈ ℕ ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℕ, 𝑥 ≯ 𝑦 + 𝑧 ∨ 𝑥2 ≰ 𝑦2 + 𝑧2 หรอ ∀𝑥 ∈ ℕ ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℕ, 𝑥 ≤ 𝑦 + 𝑧 ∨ 𝑥2 > 𝑦2 + 𝑧2

ตวอยาง 1.2.19 ใหเอกภพสมพทธ คอ ℝ จงหานเสธของประพจนตอไปน (1) ∀𝑥∃𝑦, (𝑥 + 𝑦)2 ≥ 𝑥2 + 𝑦2

(2) ∃𝑥∃𝑦, (𝑥𝑦 = 0 ⇒ 𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0) (3) ∃𝑦∀𝑥, 𝑥 + 𝑦 = 2

(4) ∀𝑥∃𝑦∀𝑧, (𝑧 > 𝑦 ⇒ 𝑦𝑧 < 𝑥) วธท า (1) ∼ ∀𝑥∃𝑦, (𝑥 + 𝑦)2 ≥ 𝑥2 + 𝑦2 ≡ ∃𝑥∀𝑦, ~((𝑥 + 𝑦)2 ≥ 𝑥2 + 𝑦2)

≡ ∃𝑥∀𝑦, (𝑥 + 𝑦)2 < 𝑥2 + 𝑦2 (2) ∼ ∃𝑥∃𝑦, (𝑥𝑦 = 0 ⇒ 𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0) ≡ ∀𝑥∀𝑦, ~(𝑥𝑦 = 0 ⇒ 𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0) ≡ ∀𝑥∀𝑦, 𝑥𝑦 = 0 ∧ ~(𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0) ≡ ∀𝑥∀𝑦, 𝑥𝑦 = 0 ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0) (3) ∼ ∃𝑦∀𝑥, 𝑥 + 𝑦 = 2 ≡ ∀𝑦∃𝑥, ~(𝑥 + 𝑦 = 2) ≡ ∀𝑦∃𝑥, 𝑥 + 𝑦 ≠ 2 (4) ∼ ∀𝑥∃𝑦∀𝑧, (𝑧 > 𝑦 ⇒ 𝑦𝑧 < 𝑥) ≡ ∃𝑥∀𝑦∃𝑧, ~(𝑧 > 𝑦 ⇒ 𝑦𝑧 < 𝑥)

≡ ∃𝑥∀𝑦∃𝑧, (𝑧 > 𝑦 ∧ 𝑦𝑧 ≥ 𝑥)


ตวอยาง 1.2.20 จงแสดงวา ∀𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℝ, 𝑦2 ≤ 𝑥2 − 3 เปนเทจ พสจน เนองจาก ~(∀𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℝ, 𝑦2 ≤ 𝑥2 − 3) ≡ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℝ, 𝑦2 > 𝑥2 − 3

จะแสดงวา ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℝ, 𝑦2 > 𝑥2 − 3 เปนจรง เลอก 𝑥 = −1 จะไดวา 𝑥 ∈ ℤ ให 𝑦 เปนจ านวนจรงใดๆ เนองจาก 𝑥2 − 3 = (−1)2 − 3 = −2 < 0 และ 0 ≤ 𝑦2

ดงนน ∀𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℝ, 𝑦2 ≤ 𝑥2 − 3 เปนเทจ

ตวอยาง 1.2.21 ใหเอกภพสมพทธ คอ ℝ จงหาคาความจรงของประพจนตอไปน (1) ∃𝑥∃𝑦, 𝑥 < 𝑦 ⇒ 𝑦2 < 𝑥2 เมอเอกภพสมพทธคอ ℤ

(2) ∃𝑥∀𝑦, (𝑦 − 𝑥)3 = 𝑦3 − 𝑥3 เมอเอกภพสมพทธคอ ℝ (3) ∀𝑥∀𝑦, 𝑥2𝑦 > 𝑥𝑦 เมอเอกภพสมพทธคอ ℝ

(4) ∀𝑥∃𝑦, 𝑥 < 𝑦 เมอเอกภพสมพทธของ 𝑥 คอ {−1, 0, 1} เอกภพสมพทธของ 𝑦 คอ {−2, −1, 0, 1, 2}

(5) ∃𝑥∃𝑦∀𝑧, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑧 เมอเอกภพสมพทธคอ ℤ วธท า (1) ∃𝑥∃𝑦, 𝑥 < 𝑦 ⇒ 𝑦2 < 𝑥2 เปนจรง เพราะวา −2 < 1 ⇒ 1 < 4 เปนจรง

(2) ∃𝑥∀𝑦, (𝑦 − 𝑥)3 = 𝑦3 − 𝑥3 เปนจรง เนองจาก (𝑦 − 0)3 = 𝑦3 − 03 เปนจรง ส าหรบทกจ านวนจรง 𝑦

(3) ∀𝑥∀𝑦, 𝑥2𝑦 > 𝑥𝑦 เปนเทจ เนองจาก (1

2)

2

(1) ≯1

2(1)

(4) ∀𝑥∃𝑦, 𝑥 < 𝑦 เปนจรง ถา 𝑥 = −1 เลอก 𝑦 = 1, ถา 𝑥 = 0 ลอก 𝑦 = 1 และถา 𝑥 = 1 เลอก 𝑦 = 2 นนคอ ทก 𝑥 ∈ {−1, 0, 1} จะม 𝑦 ∈ {−2, −1, 0, 1, 2} ซง 𝑥 < 𝑦

(5) ∃𝑥∃𝑦∀𝑧, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑧 เปนจรง เลอก 𝑥 = 1 และ 𝑦 = −1 จะไดวา

1 + (−1) + 𝑧 = 0 + 𝑧 = 𝑧 เปนจรง ส าหรบทกจ านวนเตม 𝑧



1. จงเขยนประพจนตอไปนในรปสญลกษณทางตรรกศาสตร

1) ส าหรบจ านวนจรง 𝑥 ใดๆ จะมจ านวนนบ 𝑦 ซง ถา |𝑥| > |𝑦| แลว 𝑥 + 𝑦 < 0

2) ส าหรบจ านวนจรง 𝑎, 𝑏 และ 𝑐 ใดๆ ถา 𝑎 + 𝑏 > 𝑐 หรอ 𝑏 + 𝑐 > 𝑎 แลว 𝑎 > 𝑏

และ 𝑎 > 𝑐

3) ทกจ านวนจรง 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥, 𝑦 และ 𝑧 ใดๆ ซง 𝑏 ≠ 0 ถา 𝑎𝑧 − 2𝑏𝑦 + 𝑐𝑥 = 0

และ 𝑎𝑐 − 𝑏2 > 0 แลว 𝑥𝑧 − 𝑦2 ≤ 0

4) ส าหรบจ านวนจรง 𝑎, 𝑏 และ 𝑝 ใดๆ ถา 𝑎 > 𝑏 > 0 และ 𝑝 > 0 แลว 𝑎𝑝 > 𝑏𝑝

5) ถา 𝑎 และ 𝑏 เปนจ านวนค แลว ไมมจ านวนเตม 𝑐 ซง 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2

6) ส าหรบทกจ านวนจรง 𝑥 จะมจ านวนจรง 𝑦 บางตว ซง 𝑥 + 𝑦 = 𝑥𝑦

7) ส าหรบทกจ านวนเตม 𝑥 ถา 𝑥 เปนจ านวนค แลวจะมจ านวนเตม 𝑦 บางตว ซง 𝑥 = 2𝑦

8) มจ านวนจรง 𝑥 บางตว ซงส าหรบทกจ านวนจรง 𝑦 ท าให 𝑥 + 𝑦 = 1

9) มจ านวนเตม 𝑥, 𝑦 และ 𝑧 บางตว ซงท าให 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧

10) ส าหรบจ านวนจรง 𝑥 และ 𝑦 ทกตว จะไดวา |𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦|

11) จะมจ านวนเตม 𝑥 ทท าให 𝑥(𝑦 + 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧 ทกจ านวนจรง 𝑦 และ 𝑧

12) ไมวา 𝑦 จะเปนสมาชกใดกตามใน 𝐵 จะม 𝑥 อยางนอยตวหนงใน 𝐴 ทท าให 𝑓(𝑥) = 𝑦

2. จงหานเสธของแตละขอตอไปน

1) (∀𝑥, 𝑥 < 0) ⇒ (∃𝑦, 𝑦 ≥ 𝑥)

2) ∃𝑥∀𝑦, (𝑦 − 𝑥)5 = 𝑦5 − 𝑥5

3) ∀𝑥∀𝑦, 𝑥 + 𝑦 = 𝑥 ⇒ 𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0

4) ∀𝑥∃𝑦, |𝑥 − 1| < 3 ⇒ |𝑥 + 𝑦| ≥ 5

5) ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ, 𝑥 ≥ 𝑦

3. จงแปลงประพจนตอไปนเปนรปสญลกษณ แลวหาคานเสธ เสรจแลวแปลงเปนรปประโยคเดม

1) ไมมใครใสกางเกง

2) นกเรยนทกคนถาขยนแลวยอมไดรบค าชนชม

3) สมการทกสมการมค าตอบเพยงค าตอบเดยว

4) พวกคณทงสองไดรบรางวลจากทางเรา

5) ไมมนกเรยนคนใดสอบตก


6) นกเรยนทกคนในหองนเรยนคณตศาสตร

7) ผลไมทกชนดมรสหวาน

8) นกเรยนทกคนในหอง ถาใสแวนแลวตองเปนผชาย

4. จงแสดงวาประพจนตอไปนเปนจรง

1) ∃𝑥 ∈ ℝ, |𝑥|3 − |𝑥| > 5

2) ∀𝑥 ∈ ℕ, 𝑥2 + 5𝑥 > 4

3) ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ, 3𝑥 + 𝑦 > 2

4) ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℝ, 2𝑦2 − 5𝑥 > 13

5) ∀𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℝ, 𝑦2 > 𝑥2 − 3

6) ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ, |𝑥| − |𝑦| > 0 ∧ 2𝑥 + 𝑦 < 0

7) ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℤ, 𝑥2 − 2𝑦2 + 3𝑧2 > 0

8) ∃𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 > 10

5. จงพจารณาวาแตละขอตอไปนเปนจรงหรอเทจ พรอมทงพสจนค าตอบ

1) ∀𝑥∃𝑦, 𝑥 + 𝑦 หารดวย 3 ลงตว เมอ เอกภพสมพทธ คอ {1, 2, 3, 4, 5}

2) ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ, 𝑦 − 𝑥 > 𝑦 + 𝑥

3) ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ, 𝑥 ≥ 𝑦

4) ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 2𝑦2 = 0

5) ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ, 𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 2𝑦2 = 0

6) ∀𝑥∃𝑦, 𝑥𝑦 > 𝑥 + 𝑦 เมอ เอกภพสมพทธ คอ {−1, 0, 1, 2}

7) ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ, 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 − 𝑥

8) ∀𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ, 𝑥 + 𝑦 ∈ ℕ

9) ∀𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ, 𝑥 + 𝑦 ≥ 2

10) ∃𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ, 𝑥 + 𝑦 = 𝑦

11) ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℕ, 𝑥 + 𝑦 = 𝑦


1.3 การอางเหตผล

การอางเหตผล คอ การอางจากเหตทมอย หรอเหตทก าหนดให (assumption) น าไปสขอสรปหรอผล (conclusion)

ให 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛 เปนเหตทมอย และ 𝑞 เปนผล เราเขยนอยในรปแบบดงน

เหต 1. 𝑝1

2. 𝑝2 ⋮ 𝑛. 𝑝𝑛

ผล 𝑞 หรอ 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛 ⊢ 𝑞

จะกลาววา การอางเหตผล 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛 ⊢ 𝑞 สมเหตสมผล (valid) กตอเมอ ประพจน (𝑝1 ∧ 𝑝2 ∧ ⋯ ∧ 𝑝𝑛) ⇒ 𝑞 เ ปนสจน ร นดร แล ะ ในกรณท (𝑝1 ∧ 𝑝2 ∧ ⋯ ∧ 𝑝𝑛) ⇒ 𝑞 ไม เ ปน สจนรนดร เรากลาววา การอางเหตผลไมสมเหตสมผล (invalid)

ตวอยาง 1.3.1 จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปน สมเหตสมผลหรอไม เหต 1. 𝑝 ⇒ 𝑞 2. ~𝑝 ผล ~𝑞 วธท า จะตองตรวจสอบวา [(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ ~𝑝] ⇒ ~𝑞 เปนสจนรนดรหรอไม

สมมตวา [(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ ~𝑝] ⇒ ~𝑞 ≡ 𝐹 ดงนน 𝑝 ⇒ 𝑞 ≡ 𝑇, ~𝑝 ≡ 𝑇 และ ~𝑞 ≡ 𝐹

จะไดวา 𝑝 ≡ 𝐹 และ 𝑞 ≡ 𝑇 จะไดวามกรณทท าให [(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ ~𝑝] ⇒ ~𝑞 เปนเทจ ดงนน การอางเหตผลดงกลาวไมสมเหตสมผล

ตวอยาง 1.3.2 จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปน สมเหตสมผลหรอไม เหต 1. 𝑝 ⇒ 𝑞 2. ~𝑞 ผล ~𝑝 วธท า จะตองตรวจสอบวา [(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ ~𝑞] ⇒ ~𝑝 เปนสจนรนดรหรอไม

สมมตวา [(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ ~𝑞] ⇒ ~𝑝 ≡ 𝐹 ดงนน 𝑝 ⇒ 𝑞 ≡ 𝑇, ~𝑞 ≡ 𝑇 และ ~𝑝 ≡ 𝐹

จะไดวา 𝑝 ≡ 𝑇 และ 𝑞 ≡ 𝐹 ซงเกดขอขดแยง ดงนน [(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ ~𝑞] ⇒ ~𝑝 เปนสจนรนดร ดงนน การอางเหตผลดงกลาวสมเหตสมผล


ตอไปเราจะตรวจสอบความสมเหตสมผล โดยใชการอางอง ซงเปนการอางเหตผลทสมเหต สมผลมาใช และเราเรยกการอางเหตผลดงกลาววา กฎของการอางอง (Rules of inference)

กฎของการอางอง (Rules of inference)

1. การยนยนน า (Modus Ponens: M.P.) เหต 1. 𝑝 ⇒ 𝑞 2. 𝑝 ผล 𝑞

2. การยนยนปฎเสธขอตาม (Modus Tollens : M.T.) เหต 1. 𝑝 ⇒ 𝑞 2. ~𝑞 ผล ~𝑝

3. ตรรกบทแบบสมมตฐาน (Hypothetical Syllogism: H.S.) เหต 1. 𝑝 ⇒ 𝑞 2. 𝑞 ⇒ 𝑟 ผล 𝑝 ⇒ 𝑟

4. ตรรกบทแบบเลอก

(Disjunctive Syllogism : D.S.)

เหต 1. 𝑝 ∨ 𝑞 2. ~𝑝 ผล 𝑞

5. ทวบถสรางเสรม (Constructive Dilemma : C.D.) เหต 1. 𝑝 ⇒ 𝑞 2. 𝑟 ⇒ 𝑠 3. 𝑝 ∨ 𝑟 ผล 𝑞 ∨ 𝑠

6. ทวบถหกลาง (Destructive Dilemma : D.D.) เหต 1. 𝑝 ⇒ 𝑞

2. 𝑟 ⇒ 𝑠 3. ~𝑞 ∨ ~𝑠 ผล ~𝑝 ∨ ~𝑟

7. การรวมหรอการเชอม (Conjunction : Conj.)

เหต 1. 𝑝 2. 𝑞 ผล 𝑝 ∧ 𝑞

8. การคดออก (Simplification : Simp.) เหต 𝑝 ∧ 𝑞 ผล 𝑝

9. การเพม (Addition : Add.) เหต 𝑝 ผล 𝑝 ∨ 𝑞

10. ความจ าเปน (Necessity : Nec.) เหต 1. 𝑝 ⇒ 𝑞 2. ~𝑝 ⇒ 𝑞 ผล 𝑞


ตวอยาง 1.3.3 จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปน สมเหตสมผลหรอไม เหต 1. 𝑝 ⇒ (𝑞 ∧ ~𝑟) 2. (𝑞 ∨ 𝑟) ⇒ 𝑠 3. 𝑝

ผล 𝑠 พสจน (1) 𝑝 ⇒ (𝑞 ∧ ~𝑟) เหต 1.

(2) 𝑝 เหต 3. (3) 𝑞 ∧ ~𝑟 (1), (2), M.P. (4) 𝑞 (3), Simp. (5) 𝑞 ∨ 𝑟 (4), Add. (6) (𝑞 ∨ 𝑟) ⇒ 𝑠 เหต 2.

(7) 𝑠 (5), (6), M.P.

ตวอยาง 1.3.4 จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปน สมเหตสมผลหรอไม เหต 1. 𝑝 ⇒ 𝑞 2. 𝑞 ⇒ [(𝑟 ⇒ 𝑟) ⇒ 𝑠] ผล 𝑝 ⇒ 𝑠 พสจน (1) 𝑞 ⇒ [(𝑟 ⇒ 𝑟) ⇒ 𝑠] เหต 2.

(2) [𝑞 ∧ (𝑟 ⇒ 𝑟)] ⇒ 𝑠 (1), 𝐸17 (3) [(𝑟 ⇒ 𝑟) ∧ 𝑞] ⇒ 𝑠 (2), 𝐸3 (4) (𝑟 ⇒ 𝑟) ⇒ (𝑞 ⇒ 𝑠) (3), 𝐸17 (5) (∼ 𝑟 ∨ 𝑟) ⇒ (𝑞 ⇒ 𝑠) (4), 𝐸7 (6) ∼ 𝑟 ∨ 𝑟 𝐸10 (7) 𝑞 ⇒ 𝑠 (5), (6), M.P. (8) 𝑝 ⇒ 𝑞 เหต 1.

(9) 𝑝 ⇒ 𝑠 (7), (8), H.S.

ตวอยาง 1.3.5 จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปน สมเหตสมผลหรอไม เหต 1. 𝑝 ⇒ (𝑞 ∨ 𝑟) 2. 𝑞 ⇒ ~𝑝 3. 𝑠 ⇒ ~𝑟

ผล 𝑝 ⇒ ~𝑠



จงตรวจสอบความสมเหตสมผลของการอางเหตผลตอไปน

1) เหต 1. 𝑝 ⇒ 𝑞

2. ~𝑞 ∨ 𝑟 3. ~𝑟 ผล ~𝑝

2) เหต 1. (𝑝 ∨ 𝑞) ⇒ (𝑟 ∧ 𝑠)

2. ~𝑟 ผล ~𝑞

3) เหต 1. 𝑝 ⇒ (𝑞 ⇒ 𝑟)

2. 𝑟 ⇒ (𝑠 ∧ 𝑡) ผล 𝑝 ⇒ (𝑞 ⇒ 𝑠)

4) เหต 1. ~𝑠 ∨ [(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ (𝑟 ⇒ 𝑠)] 2. 𝑠 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ผล 𝑞

5) เหต 1. 𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟)

2. (𝑞 ⇒ 𝑠) ∧ (𝑟 ⇒ 𝑡) 3. (𝑠 ∨ 𝑡) ⇒ (𝑝 ∨ 𝑟) 4. ~𝑝 ผล 𝑟

6) เหต 1. (𝑝 ∧ 𝑞) ⇒ [𝑝 ⇒ (𝑟 ∧ 𝑠)] 2. 𝑝 ∧ 𝑞 ผล 𝑟 ∨ 𝑠

พสจน (1) 𝑝 ⇒ (𝑞 ∨ 𝑟) เหต 1. (2) ~𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟) (1), 𝐸7 (3) (~𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟 (2), 𝐸5 (4) (𝑞 ∨ ~𝑝) ∨ 𝑟 (3), 𝐸3 (5) ~(~𝑞) ∨ (~𝑝 ∨ 𝑟) (4), 𝐸5, 𝐸1 (6) ~𝑞 ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑟) (5), 𝐸7 (7) 𝑞 ⇒ ~𝑝 เหต 2. (8) 𝑝 ⇒ ~𝑞 (7), 𝐸8, 𝐸1 (9) 𝑝 ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑟) (6), (8), H.S. (10) (𝑝 ∧ 𝑝) ⇒ 𝑟 (9), 𝐸17 (11) 𝑝 ⇒ 𝑟 (10), 𝐸2 (12) 𝑠 ⇒ ~𝑟 เหต 3. (13) 𝑟 ⇒ ~𝑠 (12), 𝐸8, 𝐸1

(14) 𝑝 ⇒ ~𝑠 (11), (13), H.S.


7) เหต 1. 𝑝 ⇒ (𝑞 ⇒ 𝑟)

2. 𝑝 ⇒ (𝑠 ⇒ 𝑡) 3. 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑠) 4. ~𝑟 ผล 𝑡

8) เหต 1. [𝑝 ∨ (𝑞 ∧ ~𝑟) ∧ ~𝑝]

2. 𝑞 ⇒ (𝑠 ⇒ 𝑡) 3. ~𝑟 ⇒ (𝑢 ⇒ 𝑣) 4. (~𝑝 ∨ 𝑢) ⇒ (𝑢 ∨ 𝑠) ผล 𝑣 ∨ 𝑡

9) เหต 1. (𝑠 ⇒∼ 𝑝) ∧ (𝑝 ⇒ 𝑞) 2. 𝑞 ⇒ 𝑠 3. ~𝑟 ⇒ 𝑝 ผล 𝑟

10) เหต 1. 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟)

2. (𝑝 ∧ 𝑟) ⇒ ~(𝑠 ∨ 𝑡) 3. (~𝑠 ∨ ~𝑡) ⇒ ~(𝑝 ∧ 𝑞) ผล 𝑠 ⇔ 𝑡

11) เหต 1. 𝑝 ⇒ ~𝑞

2. 𝑞 3. ~𝑝 ⇒ (𝑠 ∧ 𝑟) ผล 𝑠 ∧ 𝑟

12) เหต 1. (𝑝 ∨ 𝑞) ∨ (𝑟 ∧ 𝑠)

2. (~𝑝 ∧ 𝑠) ∧ ~(~𝑝 ∧ 𝑞) ผล ~𝑝 ∧ 𝑟

13) เหต 1. (𝑝 ∧ ~𝑞) ⇒ 𝑟

2. 𝑞 ⇒ (𝑠 ∧ 𝑡) 3. ~𝑠 ∨ ~𝑡 4. ~𝑟 ผล ~𝑝

14) เหต 1. 𝑝 ⇒ ~𝑞

2. 𝑞 3. ~𝑝 ⇒ (𝑠 ∧ 𝑟) ผล 𝑠 ∧ 𝑟

15) เหต 1. (𝑝 ∧ ~𝑞) ⇒ 𝑟

2. 𝑞 ⇒ (𝑠 ∧ 𝑟) 3. ~𝑠 ∨ ~𝑡 4. ~𝑟 ผล ~𝑝

16) เหต 1. 𝑝 ⇒ 𝑞

2. ~(𝑟 ∨ 𝑠) 3. ~𝑠 ⇒ (𝑝 ∨ 𝑡) 4. 𝑡 ⇒ 𝑞 ผล 𝑞 ∧ ~𝑟

17) เหต 1. (𝑞 ⇒ 𝑟) ⇒ ~𝑡

2. 𝑟 ⇒ 𝑡 3. 𝑞 ⇒ 𝑟 ผล ~𝑟

18) เหต 1. 𝑝 ⇒ (𝑞 ⇒ 𝑟)

2. (𝑞 ∧ 𝑟) ⇒ (𝑝 ∧ 𝑠) 3. 𝑞 ผล (𝑝 ∧ 𝑞) ⇒ 𝑠

Documents

หลักคณิตศาสตร์ · 2 หลักคณิตศาสตร์ โดยทั่วไปนิยมใช้อักษร , , ,… แทนประพจน์