ความสมพนธเชงพงกชน

25 Aug 2014

สารบญ

ความสมพนธเชงฟงกชน .......................................................................................................................................................... 1

รปกราฟเสนตรง ....................................................................................................................................................................... 2

รปกราฟพาราโบลา .................................................................................................................................................................. 9

รปกราฟเอกซโพเนนเชยล ..................................................................................................................................................... 11

ขอมลทสมพนธกบเวลา ........................................................................................................................................................ 13

ความสมพนธเชงฟงกชน 1

ความสมพนธเชงฟงกชน ในเรองน เราจะเรยนวธสรางสมการความสมพนธ ระหวางสองสงทเราสนใจ

โดยโจทยจะใหคตวเลขมาหลายๆค แลวใหเราหาวาตวเลขในทกๆคสมพนธกนดวยสมการอะไร ตวอยาง เชน ถาเรามขอมลคะแนนสอบ วชาคณตศาสตร และวชาฟสกส ของนกเรยน 8 คน ดงน

จากการดขอมลแบบคราวๆ จะเหนวาคะแนนคณตศาสตร กบคะแนนฟสกส มความสมพนธกนอยนดๆ

ซงถาเราหาสมการความสมพนธนออกมาได เราจะสามารถท านายคะแนนวชาหนง เมอทราบคะแนนอกวชาได

เชน ถาเรารวา นาย ฌ ไดคณตศาสตรกคะแนน กจะพอท านายไดวา นาย ฌ นาจะไดฟสกสซกกคะแนน

อยางไรกตาม สมการความสมพนธทได จะไมสอดคลองตรงเปะกบขอมลทกค แตเราจะหาอนทสอดคลองมากทสด

การหาสมการความสมพนธ จะมขนตอนดงน 1. เลอก ตวแปรอสระ - ตวแปรตาม

2. เลอกรปกราฟ และสรางระบบสมการ 3. แกระบบสมการทสรางในขอ 2

เลอกตวแปรอสระ - ตวแปรตาม ในการหาสมการความสมพนธ กอนอน เราตองเลอกกอน วาเราจะ “ใชอะไร ท านายอะไร”

ตวทเราใชท านาย จะเรยกวา “ตวแปรอสระ” นยมแทนดวยตวแปร ตวทเราจะท านาย จะเรยกวา “ตวแปรตาม” นยมแทนดวยตวแปร

เชน ถาเราตองการใชคะแนนคณตศาสตร ท านายคะแนนฟสกส

คะแนนฟสกส = ตวแปรตาม =

คะแนนคณตศาสตร = ตวแปรอสระ =

เลอกรปกราฟ และสรางระบบสมการ ในขนตอนน เราตองพจารณาขอมลทม วาสอดคลองกบรปกราฟไหนมากทสด โดยจะมใหเลอก 3 แบบ คอ

เสนตรง พาราโบลา

เอกซโพเนนเชยล

รายละเอยดของแตละรปกราฟ จะพดถงในหวขอถดไป

ระวงใหด !

สมการทใชท านายฟสกส จากคณตศาสตร จะไมเหมอนกบ

สมการทใชท านายคณตศาสตร จากฟสกส

นาย ก นาย ข นาย ค นาย ง นาย จ นาย ฉ นาย ช นาย ซ คณตศาสตร 28 43 25 72 78 72 90 91

ฟสกส 26 35 24 53 60 54 71 68

2 ความสมพนธเชงฟงกชน

รปกราฟเสนตรง รปกราฟน เหมาะกบกรณทคตวเลข เพมขนหรอลดลง อยางเปนสดสวนกน

รปสมการ: =

หาคา และ จากการแกระบบสมการ

จะเหนวา การสรางระบบสมการดงกลาว เราตองหาคาของ

n

i 1

,

n

i 1

,

n

i 1

,

n

i 1

เมอไดระบบสมการแลว เราจะเอาสองสมการมาบวกลบกน ให หรอ ตดกนหมดไป กได

หรอจะใชกฎของเครเมอร ทเรยนมาในเรองเมทรกซ กได

ระบบสมการ

จะมค าตอบคอ = |

|

|

| และ =

|

|

|

|

ตวอยาง จากขอมลคะแนนสอบตอไปน จงหาความสมพนธเชงฟงกชน ทมรปสมการเปน = เพอท านายคะแนนวชาคณตศาสตร จากคะแนนวชาฟสกส ถา นาย ฌ ไดคะแนนวชาฟสกส 80 คะแนน จงท านายวา นาย ฌ จะไดคะแนนวชาคณตศาสตรเทาไร

วธท า จะท านายวชาคณตศาสตร จากวชาฟสกส

ดงนน ตองใหคณตศาสตรเปน และใหฟสกสเปน

ขอน โจทยใหใชรปกราฟเสนตรง

เราตองหา

8

1i

,

8

1i

,

8

1i

,

8

1i

จะไดระบบสมการ คอ

499 = 8 + 391 …(1) 27795 = 391 + 21467 …(2)

ถาเลขนอยๆ จะแกแบบปกตกได คอเอา 391 (1) 8 (2) เพอให หกกน พอได กเอากลบไปแทนหา

28 26 728 676 43 35 1505 1225 25 24 600 576 72 53 3816 2809 78 60 4680 3600 72 54 3888 2916 90 71 6390 5041 91 68 6188 4624

∑ 499 391 27795 21467

นาย ก นาย ข นาย ค นาย ง นาย จ นาย ฉ นาย ช นาย ซ คณตศาสตร 28 43 25 72 78 72 90 91

ฟสกส 26 35 24 53 60 54 71 68

n

i 1

= +

n

i 1

…(1)

n

i 1

=

n

i 1

+

n

i 1

…(2)

คณ

ความสมพนธเชงฟงกชน 3

หรอจะใช กฎของเครเมอรทเรยนมาในเรองเมทรกซ กได จะได

= |

|

|

| =

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) = 8.26

= |

|

|

| =

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) = 1.45

ดงนน สมการทใชท านาย คอ = 2 1 และ นาย ฌ นาจะไดคะแนนคณตศาสตร = 8.26 + (1.45)(80) = 107.74 #

แบบฝกหด

1. จากขอมลทก าหนด

จงหาค าตอบในแตละขอตอไปน

1. สมการเพอใชท านาย จากคา 2. สมการเพอใชท านาย จากคา

3. คา เมอ = 1 4. คา เมอ = 4

2 3 5 2 4 1

4 ความสมพนธเชงฟงกชน

2. ก าหนดให

5

1i

= 2 ,

5

1i

= 27 ,

5

1i

= 11 ,

5

1i

= 30 ,

5

1i

= 16

ถาความสมพนธเชงฟงกชนระหวาง และ เปนความสมพนธเชงเสนแลว จงท านายคา เมอก าหนดให = 5

3. ก าหนดใหขอมล และ มความสมพนธกนดงตารางตอไปน 1 2 3 3 1 3 4 6

ถาสมการปกตของความสมพนธเชงฟงกชนดงกลาวอยในรป

แลวเมอ = 10 คาของ เทากบเทาใด [PAT 1 (ต.ค. 52)/2-25]

ความสมพนธเชงฟงกชน 5

4. ก าหนดใหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมลทก าหนดใหตอไปนเปนเสนตรง

ขอใดตอไปนถกตองบาง [PAT 1 (ต.ค. 55)/23]

1. ถาสมการของความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล คอ = แลว เทากบ 2.6

2. ถา = 15 แลว = 26.4

5. ตารางตอไปน เปนความสมพนธระหวาง กบ

ให = เปนสมการทแสดงความสมพนธเชงฟงกชน

ระหวาง กบ โดย เปนตวแปรอสระ ขอใดตอไปนถกตองบาง [PAT 1 (เม.ย. 57)/22]

1. = + 1.1

2. ถา = 8 แลว = 0.02

0 1 2 3 1 0.8 0.8 0.6

1 2 3 4 5 3 4 6 7 10

6 ความสมพนธเชงฟงกชน

6. จากการส ารวจคะแนนสอบของนกเรยน 6 คน ทมคะแนนสอบวชาฟสกส ( ) และคะแนนสอบวชา

คณตศาสตร ( ) ปรากฏวาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบวชาฟสกสเทากบ 9 คะแนน คาเฉลยเลขคณตของ

คะแนนสอบวชาคณตศาสตรเทากบ 6 คะแนน และ 6

1

i

= 428 , 6

1

i

= 694 และ

6

1

i

= 268

ถาคะแนนสอบวชาทงสองมความสมพนธเชงฟงกชนแบบเสนตรง และนกเรยนคนหนงทมคะแนนวชาคณตศาสตร เทากบ 7.5 คะแนน แลวคะแนนสอบวชาฟสกส โดยประมาณควรจะมคาเทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 56)/47]

7. ถาความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลชดหนงระหวางตวแปร และ มกราฟเปนเสนตรง โดยท

8

1i

2 ,

8

1i

1 ,

8

1i

8

1i

1 ,

8

1i

ถา แลว จะประมาณคา ไดเทาใด (ตอบเปนทศนยมสองต ำแหนง) [A-NET 50/10]

ความสมพนธเชงฟงกชน 7

8. ในการหาความสมพนธเชงฟงกชนระหวางคะแนนสอบวชาคณตศาสตร ( ) และวชาฟสกส ( ) ของนกเรยน 100 คนของโรงเรยนแหงหนง ไดพจนตางๆทใชในการค านวณคาคงตวจากสมการปกตของความสมพนธเชงฟงกชนทมรปสมการเปน ดงน

100

1i

100

1i

1 ,

100

1i

2 ,

100

1i

ถาคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนายสมชายเทากบ 15 คะแนน แลวคะแนนสอบวชาฟสกส (โดยประมาณ) ของนายสมชายเทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 52)/45]

9. ขอมลความสง (เซนดเมตร) และน าหนก (กโลกรม) ของนกเรยนหญง 4 คน ดงน

ถาสวนสงและน าหนกของนกเรยนมความสมพนธเชงฟงกชนเปนเสนตรง = เมอ เปนสวนสง และ เปนน าหนก แลว นกเรยนทมสวนสง 155 เซนตเมตร จะมน าหนกกกโลกรม [PAT 1 (ม.ค. 54)/47]

นกเรยนหญง คนท 1 คนท 2 คนท 3 คนท 4

ความสง (เซนตเมตร)

150 152 154 156

น าหนก (กโลกรม)

45 45 48 50

8 ความสมพนธเชงฟงกชน

10. ถาในการหาความสมพนธเชงฟงกชนระหวางคะแนนสอบวชาทหนง ( ) และวชาทสอง ( ) ของนกเรยนชนหนงจ านวน 10 คน ของโรงเรยนแหงหนง ไดพจนตางๆทใชในการค านวณคาคงตวจากสมการปกต ดงน

10

1i

= 50 ,

10

1i

= 50 ,

10

1i

= 288

10

1i

= 304 และ

10

1i

= 284

ไดสมการประมาณคะแนนสอบวชาทสองจากคะแนนสอบวชาทหนงเปน 1 (ใชทศนยมหนงต าแหนง) ขอใดตอไปนถกตองบาง [A-NET 51/25]

1. ถานกเรยนสองคนในกลมนมคะแนนสอบวชาทหนงตางกน 2 คะแนน แลว

คะแนนสอบวชาทสองของนกเรยนสองคนนตางกนประมาณ 1.4 คะแนน

2. เมอทราบคะแนนสอบวชาทสอง จะประมาณคะแนนสอบวชาทหนงของนกเรยนในกลมนได

จากสมการ 1 2 1

11. ในการหาความสมพนธเชงฟงกชนระหวางปรมาณสารปนเปอนชนดท 1 ( ) และปรมาณสารปนเปอนชนดท 2 ( ) จากตวอยางสารอาหารจ านวน 100 ตวอยาง พบวาความแปรปรวนของปรมาณสารชนดท 1 มคาเทากบ 1.75 ,

คาเฉลยเลขคณตของปรมาณสารชนดท 2 มคาเทากบ 0.5 ,

100

1i

1 และ

100

1i

2 ถาสมการ

ปกตของความสมพนธเชงฟงกชนดงกลาวอยในรป แลว เมอพบสารปนเปอนชนดท 1 อย 4 หนวย จะพบสารปนเปอนชนดท 2 (โดยประมาณ) เทากบเทาใด [PAT 1 (ก.ค. 52)/45]

ความสมพนธเชงฟงกชน 9

รปกราฟพาราโบลา รปกราฟน เหมาะกบกรณทตวเลขมจดวกกลบ กลาวคอ เพมขนถงจดหนงแลวลด หรอ ลดลงถงจดหนงแลวเพม

รปสมการ: =

หาคา , , และ จากการแกระบบสมการ

การสรางระบบสมการน เราตองหาคาของ

n

i 1

,

n

i 1

,

n

i 1

,

n

i 1

,

n

i 1

,

n

i 1

,

n

i 1

เมอไดระบบสมการแลว เราจะเอาสองสมการมาบวกลบกน ให หรอ ตดกนหมดไป กได

หรอจะใชกฎของเครเมอร ทเรยนมาในเรองเมทรกซ กได

ระบบสมการ

จะมค าตอบคอ =

|

|

|

|

, =

|

|

|

|

, =

|

|

|

|

ตวอยาง จงหาความสมพนธเชงฟงกชนในรป

เพอท านาย เมอทราบ จากขอมลตอไปน

วธท า รปกราฟพาราโบลา ตองใช

4

1i

,

4

1i

,

4

1i

,

4

1i

,

4

1i

,

4

1i

,

4

1i

ดงนน จะไดระบบสมการ คอ

10 = 4 + 20 + 238 …(1) 76 = 20 + 238 + 2438 …(2) 836 = 238 + 2438 + 27394 …(3)

n

i 1

= +

n

i 1

+

n

i 1

…(1)

n

i 1

=

n

i 1

+

n

i 1

+

n

i 1

…(2)

n

i 1

=

n

i 1

+

n

i 1

+

n

i 1

…( )

คณ คณ

3 2 9 12 1 2 3 4

1 -3 9 -3 -27 9 81

2 2 4 4 8 8 16

3 9 81 27 729 243 6561

4 12 144 48 1728 576 20736

∑ 10 20 238 76 2438 836 27394

10 ความสมพนธเชงฟงกชน

จะเอาสมการมาบวกลบกนกได แตตองคดเลขเยอะหนอย หรอจะใชกฎของเครเมอร ซงกคดเลขเยอะเหมอนกน จะได

= |

|

|

|

= |

|

|

|

= |

|

|

|

= 1.51 = 0.16 = 0.003

ดงนน สมการทใชท านาย คอ = 1.51 + 0.16 + 0.003 #

ความสมพนธเชงฟงกชน 11

รปกราฟเอกซโพเนนเชยล

รปกราฟน เหมาะกบกรณท เปลยนนดเดยว แต เปลยนสดๆแบบทวคณ

รปสมการ:

หาคา และ จากการแกระบบสมการ

โดยจะแกสมการ หา กบ ออกมากอน แลวคอยหา กบ ตอ จะเหนวา ระบบสมการของรปกราฟเอกซโพเนนเชยล จะคลายกบ รปกราฟเสนตรง เพยงแคเปลยน เปน log

ดงนน ในเรองน เรานยมสรางชอง log เพมอกชอง

การสรางระบบสมการน เราตองหาคาของ

n

i 1

,

n

i 1

,

n

i 1

,

n

i 1

เมอไดระบบสมการแลว เราจะเอาสองสมการมาบวกลบกน ให log หรอ log ตดกนหมดไป กได

หรอจะใชกฎของเครเมอร ทเรยนมาในเรองเมทรกซ กได

ระบบสมการ

จะมค าตอบคอ = |

|

|

| และ =

|

|

|

|

ตวอยาง จงหาความสมพนธเชงฟงกชนในรป เพอท านาย เมอทราบ จากขอมลตอไปน

วธท า รปกราฟเอกซโพเนนเชยล ตองสรางชอง log แลวหา

5

1i

,

5

1i

,

5

1i

,

5

1i

ดงนน จะไดระบบสมการคอ 3.7 = 5 + 1 …(1) 14.4 = 15 + …(2)

n

i 1

= ( )( ) + ( )

n

i 1

…(1)

n

i 1

= ( )

n

i 1

+ ( )

n

i 1

…(2)

คณ

1 2 3 4 5 1 3 6 14 20

1 0 1 0 1

3 0.48 2 0.95 4

6 0.78 3 2.33 9

14 1.15 4 4.58 16

20 1.30 5 6.51 25

∑ 44 3.7 15 14.4 55

12 ความสมพนธเชงฟงกชน

ใช กฎของเครเมอร แกระบบสมการ จะได

= |

|

|

| = 0.25 → = 1 = 0.56

= |

|

|

| = 0.33 → = 1 = 2.14

ดงนน สมการทใชท านาย คอ = ( )(2 1 ) #

ความสมพนธเชงฟงกชน 13

ขอมลทสมพนธกบเวลา

ในกรณทขอมลมความสมพนธกบเวลา (เชน เดอน หรอ ป พ.ศ.) เรามกจะแปลงขอมลเวลา ใหกลายเปนตวเลขงายๆ

ถาจ านวนขอมล เปนเลขค เรามกจะเปลยนเวลาใหเปน …, 3, 2, 1, , 1, 2, , …

โดยใหตวตรงกลางเปน 0

เชน

จะถกแปลงเปน

ถาจ านวนขอมล เปนเลขค เรามกจะเปลยนเวลาใหเปน …, 5, 3, 1, 1, 3, 5, …

โดยใหคตรงกลางเปน 1 กบ 1

เชน

จะถกแปลงเปน

ตวอยาง จงหาใชความสมพนธในรป เพอท านายคาขนมของเดอน ม.ย.

วธท า แปลงขอมลเวลาใหเปนตวเลขงายๆกอน

เนองจากจ านวนขอมล = 5 เปนเลขค ดงนน แปลงไดเปน

ท านายคาขนมจากเดอน → ใหคาขนมเปน ใหเดอนเปน

ไดระบบสมการคอ

แกสมการ ได = 8 , = 2.3

ดงนน สมการทใชท านาย คอ 2

เดอน ม.ย. จะแปลงไดเปน = 3 ดงนน จะม คาขนมเดอน ม.ย. = 8 + (2.3)(3) = 14.9 บาท #

พ.ศ. 2549 2550 2551 2552 2553

รายจาย 120 151 166 171 190

พ.ศ. 2 1 0 1 2

รายจาย 120 151 166 171 190

พ.ศ. 5 3 1 1 3 5

รายจาย 105 120 151 166 171 190

พ.ศ. 2548 2549 2550 2551 2552 2553

รายจาย 105 120 151 166 171 190

เดอน ม.ค. ก.พ. ม.ค. เม.ย. พ.ค. คาขนม 3 6 8 11 12

เดอน 2 1 0 1 2 คาขนม 3 6 8 11 12

3 -2 -6 4

6 -1 -6 1

8 0 0 0

11 1 11 1

12 2 24 4

∑ 40 0 23 10

40 = 5 + 0 …(1) 23 = 0 + 10 …(2)

14 ความสมพนธเชงฟงกชน

แบบฝกหด

1. จากขอมลทก าหนด จงท านายน าหนกในเดอน พ.ย.

2. จ านวนประชากรในจงหวดหนง ตงแต พ.ศ. 2550 ถง พ.ศ. 2554 มดงน

ถาจ านวนประชากรสมพนธเชงฟงกชนกบเวลา (พ.ศ.) เปนเสนตรง และท านายวาในป พ.ศ. 2557 จะมประชากร 1,028,000 คน แลวใน พ.ศ. 2552 จะมประชากรกคน [PAT 1 (ม.ค. 57)/22]

พ.ศ. 2550 2551 2552 2553 2554

จ านวนประชากร (แสนคน) 1.2 2.6 5.4 6.3

เดอน เม.ย. พ.ค. ม.ย. ก.ค. น าหนก 40 41 42 45

ความสมพนธเชงฟงกชน 15

รปกราฟเสนตรง

1. 1. =

2. =

3. 4 4. 2

2. 6 3. 19 4. 1, 2 5. 1, 2

6. 12 7. 2.33 8. 16.67 9. 48.8

10. 1 11. 2

ขอมลทสมพนธกบเวลา

1. 50.8 ( = 42 + 0.8 ) 2. 340,000