การวิเคราะห์ทางสถิตศาสตร์แบบไม่เป็นเชิงเส้นของโครงสร้าง ... for ThaiScience/Article/62/10038280.pdfเชิงอนุพันธ์

239วารสารวจยและพฒนา มจธ. ปท 37 ฉบบท 2 เมษายน - มถนายน 2557

บทคดยอ

บทความนนำาเสนอผลตอบสนองทางสถตศาสตรแบบไมเปนเชงเสนของโครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลม

ทมความสมมาตรตามแนวแกนตดตงในทะเลลกโดยใชทฤษฎเมมเบรน การคำานวณหารปทรงเรขาคณตของโครงสราง

เปลอกบางจะอาศยหลกการของเรขาคณตเชงอนพนธ การศกษาครงนจะจำาลองโครงสรางเปลอกบางดวยชนสวนของ

คานแบบ 1 มต โดยทำาการแบงเปนชนสวนยอยๆ ในระบบพกดเชงขวแบบทรงกลม สำาหรบฟงกชนพลงงานของ

ระบบโครงสรางเปลอกบางสามารถสรางไดจากหลกการของงานเสมอนในเทอมของคาการเสยรปและเขยนในรปแบบท

เหมาะสมการเสยรปทางสถตศาสตรของโครงสรางเปลอกบางสามารถคำานวณไดโดยใชวธไฟไนตเอลเมนตแบบไมเชงเสน

ซงผลการวเคราะหเชงตวเลขสามารถแกไดโดยใชวธกระบวนการทำาซำา ผลการวเคราะหเชงตวเลขทแสดงคาการเสยรป

ของโครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลมทเกดจากการเปลยนแปลงเงอนไขของฐานรองรบ, อตราสวนความลกของ

ระดบนำาทะเลและอตราสวนความยาวรศมตอความหนาของโครงสรางเปลอกบางไดนำาเสนอในบทความน

คำ�สำ�คญ :โครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลมทมความสมมาตรตามแนวแกน/ทฤษฎเมมเบรน/เรขาคณต

เชงอนพนธ/ระบบพกดเชงขวแบบทรงกลม/หลกการของงานเสมอน/วธไฟไนตเอลเมนต

วรพนธ เจยมมปรชา1*, สมชาย ชชพสกล2

มหาวทยาลยเทคโนโลยพระจอมเกลาธนบร กรงเทพฯและ Tseng Huang3

University of Texas at Arlington, USA

การวเคราะหทางสถตศาสตรแบบไมเปนเชงเสนของโครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลมทมความสมมาตรตามแนวแกนตดตงในทะเลลก

* Corresponding author E-mail : [email protected] นกศกษาปรญญาเอก ภาควชาวศวกรรมโยธา คณะวศวกรรมศาสตร2 ศาสตราจารย ภาควชาวศวกรรมโยธา คณะวศวกรรมศาสตร3 Late Professor, Department of Civil Engineering.

240 วารสารวจยและพฒนา มจธ. ปท 37 ฉบบท 2 เมษายน - มถนายน 2557

Weeraphan Jiammeepreecha1*, Somchai Chucheepsakul2

King Mongkut’s University of Technology Thonburi, Bangkok

and Tseng Huang3

University of Texas at Arlington, USA

This paper presents a nonlinear static analysis of a deep water axisymmetric half drop shell by using membrane theory. Differential geometry is introduced in order to compute the shell geometry. In this study, the shell is simulated using one-dimensional beam elements described in spherical polar coordinates. Energy functional of the shell is derived from the principle of virtual work in terms of displacements and it is expressed in the appropriate forms. The static deformed configuration of the shell can be obtained by using the nonlinear finite element method in which the numerical solutions are solved by using the iterative procedure. The effects for different boundary supported conditions, sea water depth ratios, and radius-to-thickness ratios on the displacement of the half drop shell are presented in this paper.

Keywords : Axisymmetric Half Drop Shell / Membrane Theory / Differential Geometry / Spherical Polar Coordinates / Principle of Virtual Work / Finite Element Method

Abstract

Nonlinear Static Analysis of Deep Water Axisymmetric Spherical Half Drop Shell

* Corresponding author E-mail: [email protected] Ph.D. Student, Department of Civil Engineering.2 Professor, Department of Civil Engineering.3 Late Professor, Department of Civil Engineering.


1. บทนำ� โครงสรางเปลอกบาง (shell structures) ถกนำามา

ใชงานกนอยางแพรหลายทงในอดตและปจจบนเนองจาก

โครงสรางประเภทนมประสทธภาพสงสามารถตานทาน

แรงกระทำาจากภายนอกไดเปนอยางด [1] โดยเฉพาะ

อยางยงกบโครงสรางเปลอกบางทมความสมมาตรตาม

แนวแกน (axisymmetric shells) ซงเปนทนยมใชใน

วศวกรรมหลายแขนง อาทเชนวศวกรรมโครงสราง,

วศวกรรมเครองกล, วศวกรรมการบน, วศวกรรมทาง

ทะเล และวศวกรรมนอกชายฝงทะเล เปนตน [2-6]

นอกจากนยงสามารถประยกตใชในงานทางดานกลศาสตร

ชวภาพ(biomechanics)ซงนำาไปใชเปนแบบจำาลองของ

กระจกตา(cornea)และสมอง(brain)ของมนษยไดเชน

เดยวกน[7-9]

จากการศกษางานวจยในอดตทเกยวของกบโครงสราง

เปลอกบางทมความสมมาตรตามแนวแกนไดแกงานวจย

ของ Spotts [10], Langhaar [11], Horvay และ

คณะ[12],TimoshenkoและKrieger[13],Flügge[14], Goldenveiser[15],และKraus[16]จะพบวาบางสวน

ของงานวจยเหลานจะใชวธการวเคราะห (analytical

method) ในการแกปญหา แตวธการนจะสามารถใชได

เฉพาะโครงสรางเปลอกบางทเปนปญหาอยางงายๆ แต

สำาหรบโครงสรางเปลอกบางทมความซบซอนสวนมากจะ

นยมเลอกใชวธการเชงตวเลขมาแกปญหาดงกลาวเชนวธ

ผลตางสบเนอง(finitedifferencemethod),วธไฟไนต

เอลเมนต,วธยงเปาและวธการบาวดารอนทกรล เปนตน

โดยเฉพาะอยางยงสำาหรบวธไฟไนตเอลเมนตซงเปนวธท

กำาลงไดรบความนยมในการแกปญหาทางดานวศวกรรม

ในปจจบน อาทเชน งานวจยของ Peshkam และ

Delpak[17,18]ซงไดทำาการพฒนาวธการวเคราะหโดย

การแปรผนเพอศกษาพฤตกรรมแบบไมเปนเชงเสนของ

โครงสรางเปลอกบางทหมนรอบแกน(rotationalshells)

โดยทสมการจะอาศยหลกการแปรผนกำาลงสองของสมการ

พลงงานศกยรวมและใชวธไฟไนตเอลเมนตในการแก

ปญหา และในงานวจยของ Polat และ Calayir [19]

ไดนำาเสนอสมการสำาหรบใชในการตรวจสอบโครงสราง

เปลอกบางโดยอาศยหลกการของวธโททอลลากรองจ

(total Lagrangian approach) และใชวธอนทเกรต

โดยตรงของนวมารค (Newmark integration) และ

กระบวนการนวตน-ราฟสนในการหาคำาตอบเชงตวเลข

สำาหรบงานวจยทเกยวของกบโครงสรางเปลอกบางท

นำามาใชในงานทางดานวศวกรรมนอกชายฝงถกนำาเสนอ

โดยWillsonและคณะ[20]โดยทำาการศกษาโครงสราง

เปลอกบางรปทรงหวงยาง (toroidal shell) ตดตงอย

ในทะเล ซงลกษณะของโครงสรางประเภทนคอจะไมม

การตดกนรอบแกนหมน (axis of revolution) ตอมา

RoylesและLlambias [21] ไดทำาการศกษาความเปน

ไปไดสำาหรบการตดตงถงรบแรงดนทบรรจปโตรเลยมเหลว

(LNG) ซงวางอยใตนำา หลงจากนน Yasuzawa [22]

ไดทำาการศกษาโครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลม

ทมความสมมาตรตามแนวแกนตดตงในนำาโดยใชทฤษฎ

เมมเบรนในการวเคราะห ซงจะพบวาคาการเสยรปและ

คาความเคนของเมมเบรนจะมคาสมำาเสมอตลอดแนวเสน

เมอรรเดยนยกเวนตรงบรเวณฐานรองรบ

สำาหรบวตถประสงคของงานวจยในครงนคอเพอนำา

เสนอถงผลตอบสนองทางสถตศาสตรแบบไมเปนเชงเสน

ของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดแบบครงทรงกลมทม

ความสมมาตรตามแนวแกนรองรบแรงดนนำาสถตแบบ

เชงเสน โดยในการศกษาครงนจะรวมผลของคาการเสย

รปและการหมนทมขนาดใหญเขาไปในสมการซงลกษณะ

ปญหาดงกลาวจะสามารถเขยนไดในรปแบบการแปรผน

(variationalform)โดยใชทฤษฎของเชลล[1]และเขยน

ในรปแบบทเหมาะสม[23]ซงจะสะดวกในแกปญหาแบบ

ไมเปนเชงเสนและลดเวลาทใชในการคำานวณลง การ

เสยรปทางสถตศาสตรของโครงสรางเปลอกบางสามารถ

คำานวณไดโดยใชหลกการของงานเสมอน [24] และวธ

ไฟไนตเอลเมนต สำาหรบระบบสมการแบบไมเปนเชงเสน

สามารถแกไดโดยใชวธกระบวนการทำาซำา (iterative

process) โดยทการเสยรปของโครงสรางเปลอกบางเมอ

รบแรงดนนำาสถตแบบเชงเสนเปนสงทตองคำานวณหา

2. สมมตฐ�นทใชในก�รวเคร�ะห 2.1วสดของโครงสรางเปลอกบางมคณสมบตยดหยน

แบบเชงเสน(linearlyelastic)

2.2ความหนาของโครงสรางเปลอกบางมคาคงทและ

ไมมการเปลยนแปลงทงกอนและหลงการเสยรป


2.3นำาหนกของโครงสรางเปลอกบางจะสมมตวามคา

นอยมากเมอเปรยบเทยบกบคาแรงดนสถตของนำาจงไมนำา

มาพจารณา

2.4 เงอนไขของฐานรองรบจะสมมตใหเปนแบบยด

หมนและยดแนนอยางสมบรณแบบทบรเวณพนทะเล

3. รปทรงเรข�คณตของโครงสร�งเปลอกบ�ง กำาหนดใหX, Y, Zคอระบบพกดฉาก (rectangularcoordinate)และSคอพนผวอางองของโครงสรางเปลอกบางทตำาแหนงกงกลางของความหนา (middle surface)

ดงแสดงในรปท 1 ซงสามารถนยามไดดวยสมการ

X = X (x,y),Y = Y (x,y)และZ = Z (x,y)เมอ(x,y) คอคาพารามเตอรของพนผว(surfaceparameters)โดย

วดตามแนวเสนพกดเมอรรเดยนและเสนพกดลองจจด

ตามลำาดบ สำาหรบกรณทพนผวมความสมมาตรตามแนว

แกนจะเกดการเปลยนแปลงเฉพาะเสนเมอรรเดยนเทานน

ดงนนเมอกำาหนดใหตำาแหนงจดใดๆบนพนผวSจงสามารถนยามไดดวยสมการเวคเตอร และเวคเตอร

ระบตำาแหนง จะสามารถนยามไดโดยใชรศมของวงกลม

ในแนวขนานrดงสมการ

(1)

n

yr

xrx

y

x ydr r dx r dy

P

+=r

ij

k

ri

Z

Y

rX

แกนสมมาตร

ทศทางในแนวลองจจด

พนผวอางอง (S)

ทศทางในแนวเมอรรเดยน

วงกลมในแนวขนาน

รปท 1พนผวอางองของโครงสรางเปลอกบาง

เมอr = r(x)และz = z(x)โดยทผลรวมเชงอนพนธของความยาวชนสวน สามารถหาไดดงสมการ

(2)

ในทนตวหอย x และ y แสดงถงอนพนธยอยตามแนวระบบพกดของโครงสรางเปลอกบาง ดงนนความยาวของ

ชนสวนdsสามารถหาไดจากสมการ

(3)

จากหลกการเรขาคณตเชงอนพนธ(differentialgeometry)

จะไดวารปแบบพนฐานอนดบหนง (first fundamental

form)ของพนผวอางองSจะสามารถแสดงสวนประกอบของเมตรกซเทนเซอร (metric tensor) ไดดงสมการตอ

ไปน


(4)

(5)

(6)

และรปแบบพนฐานอนดบสอง (second fundamental

form)ของพนผวอางองSแสดงสวนประกอบของเมตรกซ ความโคง(metriccurvature)ไดดงสมการตอไปน

(7)

(8)

(9)

เมอ คอเวคเตอรในแนวตงฉากกบพนผวอางองSซงจะมคา โดยท

และคาความโคงหลก(principalcurvatures) ของพน

ผวอางอง S สามารถหาไดดงสมการ

(10)

ในกรณของโครงสรางเปลอกบางทมความสมมาตรตาม

แนวแกนจะพบวาเสนโคงหลกจะซอนทบกบเสนพกด

แสดงวาคาF = f = 0ดงนนจากสมการท(10)จะไดคาความโคงหลกκ1 = e / Eและκ2 = g / G

4. ก�รเสยรปของโครงสร�งเปลอกบ�ง เมอโครงสรางเปลอกบางเกดการเสยรปจะทำาใหพนผว

อางอง S เคลอนทไปยงพนผวทตำาแหนงใหม S* ดงนน

เวคเตอรระบตำาแหนง บนพนผวทเกดการเสยรป S*

โดยอางองจากตำาแหนงของเวคเตอรระบตำาแหนง บน

พนผวทอางองSทตำาแหนงเดยวกนคอ

(11)

เมอ คอเวคเตอรของระยะการเสยรปจากพนผวอางอง

SไปยงพนผวทเกดการเสยรปS*

u คอคาการเสยรปตามแนวสมผสกบเสนเมอรรเดยน wคอคาการเสยรปในแนวตงฉากกบเสนเมอรรเดยน

กำาหนดให และ ดงนน และ

สามารถเขยนไดดงน

(12)

(13)

สำาหรบสวนประกอบของเมตรกซเทนเซอรของพนผวทเสย

รปS*สามารถแสดงไดดงสมการตอไปน

(14)

(15)

(16)

xrE

yrGds

n

*n*ds

r

q

R

Z

X

Y

พนผวทเสยรป (S*)

พนผวอางอง (S)

รปท 2การเสยรปและเวคเตอรระบตำาแหนงของโครงสราง

เปลอกบาง


5. คว�มสมพนธระหว�งคว�มเครยดกบระยะก�ร เสยรป เมอพจารณาความยาวชนสวนใดๆ บนพนผวอางอง

S ซงมระยะdsจะสามารถคำานวณไดจากสมการ

(17)

เมอชนสวนเกดการเสยรปจะทำาใหระยะความยาวdsจะเปลยนเปนds*โดยสามารถคำานวณไดจากสมการ

(18)

ดงนนคาความเครยดของความยาวชนสวนในทศทางของ

ระบบพกดซงสามารถนยามไดจากการเปลยนแปลงความ

ยาวเวคเตอรของชนสวนในรปยกกำาลงสองเทยบกบความ

ยาวของชนสวนทสภาวะกอนการเสยรป[25]โดยเขยนใน

เทอมของเมตรกซเทนเซอรดงสมการตอไปน

(19)

(20)

ซงคาความเครยดดงกลาวขางตนนจะแตกตางจากคา

ความเครยดทางวศวกรรม(engineeringstrain)εeซง

จะมคาεe = (ds* / ds) - 1 ดงนนε = εe + (εe2 / 2)และ

เมอแทนคาจากสมการท (14) ถง (16) ลงไปในสมการ

ท (19) และ (20) จะไดสมการสำาหรบคำานวณหาคา

ความเครยดดงตอไปน

(21)

(22)

กำาหนดให {g}T = u w ux wx ดงนนคาความเครยดสามารถแบงออกไดเปนสองสวนคอสวนทเปนเชงเสนและ

ไมเปนเชงเสน โดยสามารถเขยนในรปแบบดชน (index

form)ไดดงน

(23)

เมอ และ คอเวคเตอรและเมตรกซสมมาตรตาม

ลำาดบ

6. พลงง�นคว�มเครยดของโครงสร�งเปลอกบ�ง พลงงานความเครยดUสำาหรบโครงสรางทมคณสมบต

ยดหยนแบบเชงเสนทวไปสามารถแสดงไดดงสมการ

(24)

ในทน (25)

เมอ [C′]คอเมตรกซคณสมบตของวสดโครงสรางเปลอก

บาง

t คอความหนาของโครงสรางเปลอกบาง

E′ คอโมดลสยดหยน

v คออตราสวนปวสซอง

สำาหรบพลงงานความเครยดUในสมการท(24)สามารถ

เขยนในรปแบบดชนไดดงสมการ

(26)

ในทนCij = Cjiดงนนเมอแทนคาจากสมการท(23)ลง

ไปในสมการท (26) จะไดสมการสำาหรบคำานวณหาคา

ความเครยดดงตอไปน

(27)

เมอ , และ คอฟงกชนในเทอมของ{g} ซงมดกรกำาลงสอง, กำาลงสาม, และกำาลงส ตามลำาดบ

ดงนนคาพลงงานความเครยดสามารถเขยนไดในรปแบบท

เหมาะสม[23]ดงสมการ

(28)


ในทน (29)

(30)

(31)

จากสมการท(29)ถง(31)จะพบวาเมตรกซk,n1และ

n2 เปนเมตรกซสมมาตร และการแปรผนของพลงงาน

ความเครยดδUสามารถคำานวณไดจากสมการ

(32)

7. ง�นเสมอนทเกดจ�กแรงดนนำ�สถตแบบเชงเสน แรงดนนำาสถตแบบเชงเสนทกระทำาในแนวตงฉาก

กบพนผวของโครงสรางเปลอกบางสามารถคำานวณไดดง

สมการ

pw = ρwgZw (33)

เมอρw คอคาความหนาแนนของนำาทะเล

g คอคาแรงโนมถวงของโลก

Zw คอระยะในแนวดงวดจากระดบผวนำาทะเล

ดงนนงานเสมอนเนองจากแรงดนนำาสถตแบบเชงเสนδΩ

สามารถคำานวณไดจากสมการ

(34)

เนองจาก pw เปนคาแรงดนนำาซงเปนแรงไมอนรกษ

(nonconservative force) ตดตามการเสยรปคอใน

ทศทางตงฉากกบโครงสรางตลอดเวลาตามหลกการของ

งานเสมอน(virtualworkหรอvirtualdisplacement)

ในการพจารณา δΩ เปนการพจารณาการแปรเปลยน

การเคลอนทδwดงนนจงไมจำาเปนตองพจารณาการแปร

เปลยนของpwหรอδpw

8. ผลรวมของง�นเสมอนผลรวมของงานเสมอนสำาหรบระบบโครงสรางเปลอกบาง

ไดมาจากการรวมผลการแปรผนของพลงงานความเครยด

และงานเสมอนเนองจากแรงดนนำาสถตแบบเชงเสน ซง

สามารถแสดงไดดงสมการ

(35)

ดงนนเมอแทนคาจากสมการท (32)และ (34)ลงไปใน

สมการท(35)จะสามารถแสดงไดดงน

(36)

จากสมการขางตนจะพบวาสมการดงกลาวเขยนอยในรป

ของเทอมไรมตคอนขางสงซงมความยงยากซบซอนในการ

คำานวณหาคาผลเฉลยแมนตรงดงนนจงมความจำาเปนตอง

ใชวธไฟไนตเอลเมนตในการหาผลลพธเชงตวเลข

9. วธไฟไนตเอลเมนต ในการแกปญหาโดยใชวธไฟไนตเอลเมนต จะตอง

ทำาการแบงโครงสรางเปลอกบางออกเปนชนสวนยอยๆ

ตามแนวพกด x ดงแสดงในรปท 3 ดงนนเมอพจารณา

ชนสวนใดๆ จะไดวาคาการประมาณคาการเคลอนท ณ

จดตางๆ บนชนสวนยอยจะสามารถทำาไดโดยการกำาหนด

ใหแตละจดขวของชนสวนยอยมดกรอสระเทากบ4และ

ใชฟงกชนโพลโนเมยลอนดบทสาม (cubic polynomial)

เปนฟงกชนการเคลอนทเพอหาฟงกชนรปราง (shape

functions) และประมาณคาการเสยรปในแนวสมผส u และแนวตงฉากwดงสมการ

{g} = [ѱ]{d} (37)

ในทน{d}T = u(0) w(0) ux(0) wx(0) u(α) w(α) ux(0) wx(α) (38)


เมอ{g}คอเวคเตอรการเคลอนททจดตอ [ѱ] คอเมตรกซฟงกชนรปรางโพลโนเมยลอนดบทสาม {d} คอเวคเตอรของดกรอสระทจดตอ

ดงนนเมอแทนคาสมการท(37)ลงไปในสมการท(36)จะ

สามารถแสดงไดดงน

ri

k1xx

2x

Z

w

u

r

φα

(39)

รปท 3ชนสวนทวไปและระยะพกด

ในทน (40)

เนองจากดกรอสระเฉพาะท(localdegreeoffreedom)

{d} เหมอนกบดกรอสระรวม(globaldegreeoffree-dom) {Q} ดงนนผลรวมของงานเสมอนสำาหรบระบบโครงสรางเปลอกบางสามารถรวมไดโดยตรงโดยใชสมการ

ท(39)ซงจะสามารถแสดงไดดงน

(41)

เนองจากโครงสรางเปลอกบางทมความสมมาตรตาม

แนวแกนถกนำามาพจารณา ดงนนเงอนไขขอบเขตท

ตำาแหนงบนสดของโครงสรางเปลอกบางจะมคาดงน

u = 0, wx = 0 (42)

สำาหรบเงอนไขทบรเวณฐานรองรบจะพจารณาใหเปนแบบ

ยดหมนอยางสมบรณแบบทบรเวณพนทะเลโดยกำาหนดให

u = 0, w = 0 (43)

สำาหรบเงอนไขทบรเวณฐานรองรบจะพจารณาใหเปนแบบ

ยดแนนอยางสมบรณแบบทบรเวณพนทะเลโดยกำาหนดให

u = 0, w = 0, wx = 0 (44)

โดยทระบบสมการไมเปนเชงเสนดงแสดงในสมการท

(41)จะตองทำาการกำาหนดเงอนไขขอบเขตเนองจากความ

สมมาตรตามแนวแกนจากสมการท(42)พรอมทงเงอนไข

ของฐานรองรบจากสมการท(43)หรอ(44)จงจะสามารถ

คำานวนหาผลลพธเชงตวเลขไดดวยวธกระบวนการทำาซำา

(iterativeprocedure)

10. ตวอย�งก�รวเคร�ะหและผลลพธเชงตวเลข ในการนำาเสนอสมการไฟไนตเอลเมนตของทฤษฎของ

โครงสรางเปลอกบางไรแรงดด(membraneshelltheory)

จงไดมการศกษาถงพฤตกรรมของโครงสรางเปลอกบาง

แบบครงทรงกลมทมความสมมาตรตามแนวแกนตดตงใน

ทะเลลกดงแสดงในรปท4ซงลกษณะของปญหาดงกลาว

สามารถคำานวณหาคำาตอบเชงตวเลขไดโดยการประยกต

ใชโปรแกรมคอมพวเตอรของ Goan [26] และทำาการ

ดดแปลงกระบวนในการแกปญหาโดยเลอกใชตวแปรอสระ

เปนพกดในการแกปญหาดวยวธไฟไนตเอลเมนตและใน

การตรวจสอบความถกตองของโปรแกรมคอมพวเตอรจะ

ทำาไดโดยการเปรยบเทยบกบสตรของRoark[27]สำาหรบ

กรณทโครงสรางเปลอกบางแบบทรงกลมรบแรงดนภายใน

และภายนอกแบบสมำาเสมอคงทคอ

(45)

เมอpคอคาแรงดนคงท


w wgZρ

0Z

Z

wZ

dx

H

x a

S.W.L.

r

กำาหนดใหแรงดนภายในคงทมคา 0.5 เมกะปาสคาลและ

คณสมบตของโครงสรางเปลอกบางสำาหรบการคำานวณใน

ครงนจะใชขอมลดงแสดงในตารางท 1 ซงพบวาคาทได

ตรงกนดงแสดงในตารางท 2 และจากนนทำาการทดสอบ

คาการคำานวณเพอหาคาจำานวนชนสวนยอยทมความ

เหมาะสม โดยทำาการแบงชนสวนยอยตรงบรเวณฐาน

รองรบออกเปน 2 และ 3 ชนสวนยอย จะไดผลลพธ

ดงแสดงรปท 5 และ 6 พบวาการแบงจำานวนชนสวน

ยอยจะสงผลโดยตรงตอระยะการเสยรปในแนวเสนสมผส

และแนวตงฉาก โดยเฉพาะอยางยงตรงบรเวณใกลกบ

ฐานรองรบเนองจากการแบงจำานวนชนทมความละเอยด

จะเกดการเสยรปสงกวา อยางไรกตามคาการเสยรป

รปท4โครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลมทมความสมมาตร

ตามแนวแกนตดตงในทะเลลก

ในแนวตงฉากของโครงสรางในตำาแหนงปลายบนสด

(x = 0 เรเดยน) จะพบวามความแตกตางกนคอรอยละ 2.246 และ 2.940 สำาหรบกรณโครงสรางทแบงชน

สวนยอยตรงบรเวณฐานรองรบออกเปน 2 และ 3 ชน

สวนยอยตามลำาดบ เมอเปรยบเทยบกบโครงสรางทไมม

การแบงชนสวนยอยตรงบรเวณฐานรองรบ และเมอ

ทำาการแบงจำานวนชนสวนยอยออกเปน 4 ชนสวนยอย

ตรงบรเวณฐานรองรบจะไมสามารถคำานวณหาคำาตอบได

เนองจากผลทไดจากวธกระบวนการทำาซำาไมสามารถลเขา

คำาตอบไดดงนนในงานวจยชนนจงไดกำาหนดใหใชจำานวน

ของชนสวนยอยทมความยาวของชนสวนเทากนหมด

โดยไมมการแบงชนสวนยอยตรงบรเวณฐานรองรบ

2.04×1011 นวตน/เมตร2

เมตรเมตรเมตรกโลกรม/เมตร3

โมดลสยดหยนอตราสวนปวสซองความลกของระดบนำทะเลรศมของโครงสรางเปลอกบางความหนาของโครงสรางเปลอกบางความหนาแนนของนำทะเล

0.30405

0.201025

รายการ สญลกษณ ปรมาณ หนวยE'

v

H

a

t

ρw

ต�ร�งท 1ขอมลและคณสมบตทใชในการวเคราะห


ต�ร�งท 2ผลการเปรยบเทยบระยะการเสยรปในแนวตงฉากของโครงสรางเปลอกบางแบบทรงกลม

รบแรงดนภายในคงทคอ0.5เมกะปาสคาล

0(เรเดยน)

π/2 π

x(เรเดยน)

สตรของ Roark [27](เมตร)

งานวจยน(รอยละ)

0.1072300.1072300.107230

0.1072670.1072300.107194

-0.0345050

0.033573

ความแตกตาง

0 2 4 6 8-12

-8

-4

0

4

ไมมการแบงชนสวนยอยทฐานรองรบแบงชนสวนยอยทฐานรองรอบจำนวน 2 ชนแบงชนสวนยอยทฐานรองรอบจำนวน 3 ชน

ระยะทางตามแนวเมอรรเดยน, s (เมตร)

การเส

ยรปใ

นแนว

สมผส

, u (x

10-6 เ

มตร)

0 2 4 6 8

100

0

-100

-200

-300

ไมมการแบงชนสวนยอยทฐานรองรบแบงชนสวนยอยทฐานรองรอบจำนวน 2 ชนแบงชนสวนยอยทฐานรองรอบจำนวน 3 ชน


การเส

ยรปใ

นแนว

ตงฉา

ก, w

(x10-6 เ

มตร)

รปท 5การลเขาคำาตอบของผลการเสยรปในแนวสมผสของโครงสราง

เปลอกบางแบบครงทรงกลมเมอมการแบงชนสวนยอยทฐานรองรบ

รปท 6การลเขาคำาตอบของผลการเสยรปในแนวตงฉากของโครงสรางเปลอก

บางแบบครงทรงกลมเมอมการแบงชนสวนยอยทฐานรองรบ


จากขอมลทแสดงในตารางท1จะทำาการศกษาผลตอบ

สนองทางสถตศาสตรแบบไมเปนเชงเสนของโครงสราง

เปลอกบางแบบครงทรงกลมทมความสมมาตรตามแนว

แกนตดตงในทะเลลก โดยทำาการแปรเปลยนเงอนไขของ

ฐานรองรบ, คาอตราสวนความลกของระดบนำาทะเลตอ

ความยาวรศมของโครงสรางเปลอกบาง, และอตราสวน

ความยาวรศมตอความหนาของโครงสรางเปลอกบาง ซง

จะมรายละเอยดดงตอไปน

10.1 ผลของเงอนไขฐ�นรองรบของโครงสร�งเปลอก

บ�งทมตอโครงสร�งเปลอกบ�งแบบครงทรงกลม

รปท 7 แสดงรปรางของโครงสรางเปลอกบาง

แบบครงทรงกลมทสภาวะกอนและหลงการเสยรปโดย

มการเปลยนแปลงเงอนไขของฐานรองรบจะพบวาคา

ระยะการเสยรปมคาใกลเคยงกนทงสองเงอนไขของฐาน

รองรบแตจะมความแตกตางกนอยางเหนไดชดตรงบรเวณ

ใกลกบฐานรองรบเนองจากโครงสรางเปลอกบางทใชใน

การวเคราะหจะคดคาพลงงานความเครยดในเทอมของ

เมมเบรนเพยงเทานน สำาหรบคาพลงงานความเครยดใน

เทอมของแรงดดซงไมไดนำามาพจารณาในการศกษาครงน

จงทำาใหผลของโครงสรางเปลอกบางทมฐานรองรบแบบ

ยดแนนมคาการเสยรปมากกวาโครงสรางเปลอกบางทม

ฐานรองรบแบบยดหมนซงสามารถดไดจากรปท8และ

9 ซงจะแสดงผลการเปรยบเทยบระยะการเสยรปในแนว

สมผสและแนวตงฉากกบระยะทางตามแนวเมอรรเดยน

ของโครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลม และเมอ

ทำาการพจารณาใหโครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลม

รบแรงดนคงทโดยสมมตใหไมมการเปลยนแปลงคาของ

แรงดนตามระดบความลกของระดบนำาซงในทนจะกำาหนด

ใหใชคาแรงดนคงทมคาเทากบคาแรงดนนำาตรงบรเวณ

ตำาแหนงของฐานรองรบจะพบวามความแตกตางกนอยาง

ชดเจนดงในแสดงในรปท 7 ถง 9 ทงสองเงอนไขของ

ฐานรองรบดงนนในการพจารณาผลกระทบของแรงดนนำา

ทแปรเปลยนตามความลกจะพบวาใหคาทมความถกตอง

ตวคณขยายระยะการเสยรป = 25006

5

4

3

2

1

0

แรงดนนำแบบคงทแรงดนนำแบบไมคงท

ฐานรองรบแบบยดแนนฐานรองรบแบบยดหมนรปรางกอนการเสยรป

ระยะทางตามแนวรศม, r (เมตร)

ระยะ

ทางต

ามแน

วดง,

Z (เม

ตร)

0 1 2 3 4 5 6

รปท 7รปรางของโครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลมท

สภาวะกอนและหลงการเสยรป


6420

-2-4-6-8

-10


การเส

ยรปใ

นแนว

สมผส

, u (x

10-6 เ

มตร)

0 2 4 6 8


ฐานรองรบแบบยดแนนฐานรองรบแบบยดหมน

รปท 8 เปรยบเทยบผลการเสยรปในแนวสมผสของโครงสรางเปลอกบาง

แบบครงทรงกลมเมอชนดของฐานรองรบตางกน

200

-20-40-60-80

-100-120-140


การเส

ยรปใ

นแนว

ตงฉา

ก, w

(x10-6 เ

มตร)

0 2 4 6 8


ฐานรองรบแบบยดแนนฐานรองรบแบบยดหมน

รปท 9 เปรยบเทยบผลการเสยรปในแนวตงฉากของโครงสรางเปลอกบาง

แบบครงทรงกลมเมอชนดของฐานรองรบตางกน

ในทางทฤษฎเมมเบรนสำาหรบโครงสรางเปลอก

บาง(thinshell)ทใชเงอนไขทจดรองรบวาu = w = wx = 0 เปนจรงตามนน แตในการใชงานจรงและในการคำานวณ

เชงตวเลขการใชเงอนไขwx = 0 จะทำาใหเกดปญหาไมสามารถใชงานจรงในทางปฏบตและผลการคำานวณเชง

ตวเลขไมเปนทยอมรบ โดยจะมรายละเอยดแสดงในรปท

10 ซงจากผลการคำานวณการใชฐานรองรบแบบยดแนน

(fixedsupport)นนคอu = w = wx = 0จะมผลดกวาในเชงทฤษฎและสามารถนำาไปใชไดในทางปฏบตดงเชน

การออกแบบทรองรบของโครงสรางเปลอกบางทวๆ ไป

ทตรงบรเวณฐานรองรบจะมความหนาเพมขนกวาบรเวณ

อนๆ เพอปองกนไมใหเกดการเสยรปมากจนโครงสราง

เสยเสถยรภาพ




0 1 2 3 4 5 6

6

5

4

3

2

1

0

ระยะ

ทางต

ามแน

วดง,

Z (เม

ตร)

รปรางกอนการเสยรปจดตอ (Node)จดเกาส (Gauss)

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6



ระยะ

ทางต

ามแน

วดง,

Z (เม

ตร)


0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6



ระยะ

ทางต

ามแน

วดง,

Z (เม

ตร)


ก)สำาหรบฐานรองรบทมเงอนไขwx ≠ 0

ข)สำาหรบฐานรองรบทมเงอนไขwx = 0 ค)สำาหรบฐานรองรบทมเงอนไขwx = 0และความหนา ของชนสวนยอยบรเวณฐานรองรบมความหนาเปน

สองเทาของชนสวนอนๆ

รปท 10รปขยายบรเวณฐานรองรบสำาหรบผลของการใชเงอนไขสำาหรบฐานรองรบทมความแตกตางกน


10.2 ผลของอตร�สวนคว�มลกของระดบนำ�ทะเลตอ

คว�มย�วรศมของโครงสร�งเปลอกบ�งทมตอโครงสร�ง

เปลอกบ�งแบบครงทรงกลมทมฐ�นรองรบแบบยดแนน

ในกรณน ขอมลและคณสมบตของโครงสราง

เปลอกบางแบบครงทรงกลมทใชในการคำานวณไดแสดง

ไวในตารางท 1 โดยททำาการปรบเปลยนคาอตราสวน

ความลกของระดบนำาทะเลตอความยาวรศมของโครงสราง

เปลอกบางจาก8ถง40เพอศกษาผลกระทบของความ

ลกของระดบนำาทะเลทมตอโครงสรางเปลอกบางแบบ

ครงทรงกลมทมฐานรองรบแบบยดแนน ซงจากผลการ

วเคราะหจะพบวาระยะการเสยรปของโครงสรางเปลอก

บางแบบครงทรงกลมจะมคาเพมสงขนเมอคาความลกของ

ระดบนำาทะเลมคาสงขนดงแสดงในรปท11และ12

0 2 4 6 8-10

-5

0

5

10

15H/a = 8H/a = 16H/a = 24H/a = 32H/a = 40


การเส

ยรปใ

นแนว

สมผส

, u (x

10-6 เ

มตร)

0 2 4 6 8-800

-600

-400

-200

0

200

H/a = 8H/a = 16H/a = 24H/a = 32H/a = 40


การเส

ยรปใ

นแนว

ตงฉา

ก, w

(x10-6 เ

มตร)

รปท 11ผลของการแปรเปลยนระดบนำาทะเลตอระยะการเสยรปในแนว

สมผสของโครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลมทมฐานรองรบ

แบบยดแนน

รปท 12ผลของการแปรเปลยนระดบนำาทะเลตอระยะการเสยรปในแนว

ตงฉากของโครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลมทมฐานรองรบแบบ

ยดแนน


10.3 ผลของอตร�สวนคว�มย�วรศมตอคว�มหน�

ของโครงสร�งเปลอกบ�งทมตอโครงสร�งเปลอกบ�ง

แบบครงทรงกลมทมฐ�นรองรบแบบยดแนน

สำาหรบการศกษาผลกระทบของอตราสวนความ

ยาวรศมตอความหนาของโครงสรางเปลอกบางทมตอ

โครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลมทมฐานรองรบ

แบบยดแนน ซงในกรณนจะใชขอมลและคณสมบตของ

โครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลม ดงแสดงไวใน

ตารางท 1 โดยททำาการปรบเปลยนคาอตราสวนความ

ยาวรศมตอความหนาของโครงสรางเปลอกบางจาก 25

ถง200ซงผลการวเคราะหจะพบวาระยะการเสยรปของ

โครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลมจะมคาเพมสงขน

เมอคาอตราสวนความยาวรศมตอความหนาของโครงสราง

เปลอกบางมคาสงขนดงแสดงในรปท13และ14

0 2 4 6 8-80

-60

-40

-20

0

20

a/t = 25a/t = 50a/t = 100a/t = 150a/t = 200


การเส

ยรปใ

นแนว

สมผส

, u (x

10-6 เ

มตร)

0 2 4 6 8-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

a/t = 25a/t = 50a/t = 100a/t = 150a/t = 200


การเส

ยรปใ

นแนว

ตงฉา

ก, w

(x10-4 เ

มตร)

รปท 13ผลของการแปรเปลยนความหนาตอระยะการเสยรปในแนวสมผส

ของโครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลมทมฐานรองรบแบบยดแนน

รปท 14ผลของการแปรเปลยนความหนาตอระยะการเสยรปในแนวตงฉาก

ของโครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลมทมฐานรองรบแบบยดแนน


11. สรปผลก�รศกษ� การศกษาผลตอบสนองทางสถตศาสตรแบบไมเปนเชง

เสนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดด แบบครงทรงกลม

ทมความสมมาตรตามแนวแกนรองรบแรงดนนำาสถตแบบ

เชงเสน ซงปญหาสามารถเขยนไดในรปแบบการแปรผน

และใชวธไฟไนตเอลเมนตในการคำานวณการเสยรปทาง

สถตศาสตรของโครงสรางเปลอกบางสามารถสรปไดดงน

1.ผลของการเปลยนแปลงเงอนไขฐานรองรบของ

โครงสรางเปลอกบางทมตอโครงสรางเปลอกบางแบบครง

ทรงกลมจะสงผลสงตรงบรเวณตำาแหนงของฐานรองรบซง

จะพบวากรณทโครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลมทม

ฐานรองรบแบบยดแนนจะเสยรปมากกวากรณทโครงสราง

เปลอกบางแบบครงทรงกลมทมฐานรองรบแบบยดหมน

2.ความลกของระดบนำาทะเลและอตราสวนความยาว

รศมตอความหนาของโครงสรางเปลอกบางจะสงผลกระ

ทบโดยตรงตอระยะการเสยรปของโครงสรางเปลอกบาง

แบบครงทรงกลม

12. กตตกรรมประก�ศ ผวจยในลำาดบท1และ2ใครขอขอบคณสำานกงาน

กองทนสนบสนนการวจยและมหาวทยาลยเทคโนโลย-

พระจอมเกลาธนบรสำาหรบโครงการปรญญาเอกกาญจนา-

ภเษก(สญญาเลขทPHD/0134/2552)ทไดสนบสนนทน

สำาหรบงานวจยในครงนจนงานวจยสำาเรจลลวงไปดวยด

13. เอกส�รอ�งอง 1.Langhaar,H.L.,1964,Foundations of Practical

Shell Analysis, Department of Theoretical and

AppliedMechanics,UniversityofIllinoisatUrbana-

Champaign,Illinois.

2.Yang, T., and Kapania, R., 1983, “Shell

ElementsforCoolingTowerAnalysis”,Journal of

Engineering Mechanics,Vol.109,No.5,pp.1270-

1289.

3.Jianping, P., and Harik, I.E., 1992, “Axi-

symmetricGeneralShellsandJointedShellsof

Revolution”,Journal of Structural Engineering,Vol.

118,No.11,pp.3186-3202.

4.Toyota,K.,Yasuzawa,Y.,andKagawa,K.,

2002,“HydroelasticResponseAnalysisofaLarge

UnderwaterShellofRevolution”,Proceedings of the

12th International Offshore and Polar Engineering

Conference, 26-31May, Kitakyushu, Japan, pp.

456-463.

5.Huang,T.,2002,“AConceptofDeepWater

AxisymmetricShellStorageContainerEquatorially

Anchored”,Proceedings of the 12th International

Offshore and Polar Engineering Conference,26-31

May,Kitakyushu,Japan,OralPresentation.

6.Grigolyuk,E.I.,andLopanitsyn,Y.A.,2002,“The Axisymmetric Postbuckling Behaviour of

Shallow Spherical Domes”, Journal of Applied

Mathematics and Mechanics,Vol.66,No.4,pp.

605-616.

7.Bisarnsin,T.,1983,Predicting the Effects of

Radial Keratotomy,DoctorofPhilosophyDissertation,

CivilEngineeringProgram,TheUniversityofTexas

atArlington,157p.

8.Chen,L.,1984,Large Displacement Analysis

of an Ellipsoid Shell Subjected to an Imposed

Displacement Along Equator,MasterofEngineering

Thesis,CivilEngineeringProgram,TheUniversity

ofTexasatArlington,137p.

9.Yeh,H.L.,1990,A 3-D Model Predicting the

Effects of Radial Keratotomy,DoctorofPhilosophy Dissertation, Civil Engineering Program, The

UniversityofTexasatArlington,172p.

10.Spotts,M.F.,1939,“AnalysisofSpherical

Shells of Variable Wall Thickness”, Journal of

Applied Mechanics,Vol.61,pp.A97-A102.

11.Langhaar, H.L., 1949, “A Strain Energy

Expression for Thin Elastic Shells”, Journal of

Applied Mechanics,Vol.16,No.2,pp.183-189.

12.Horvay, G., Linkous, C., and Born, J.S.,

1956, “Analysis of Short thin Shells Under

AxisymmetricalEdgeLoading”,Journal of Applied


Mechanics,Vol.23,pp.68-72.

13.Timoshenko,S.,andKrieger,S.W.,1959,

Theory of Plates and Shell, McGraw-Hill, New

York. 14.Flügge, W., 1960, Stresses in Shells,

Springer-Verlag,Berlin.

15.Goldenveiser,A.L., 1961,Theory of Thin

Elastic Shells,PergamonPress,Oxford.

16.Kraus,H.,1967,Thin Elastic Shell,John

Wiley&Sons,NewYork.

17.Delpak, R., and Peshkam, V., 1991, “A

VariationalApproachtoGeometricallyNon-LinearAnalysis of Asymmetrically Loaded Rotational

Shells–I.TheoryandFormulation”,Computers

and Structures,Vol.39,No.3-4,pp.317-326.

18.Peshkam, V., and Delpak, R., 1993, “A

VariationalApproachtoGeometricallyNon-LinearAnalysis of Asymmetrically Loaded Rotational

Shells–II.FiniteElementApplication”,Computers

and Structures,Vol.46,No.1,pp.1-11.

19.Polat,C.,andCalayir,Y.,2010,“Nonlinear

StaticandDynamicAnalysisofShellsofRevolution”,

Mechanics Research Communications,Vol.37,No.

2,pp.205-209.

20.Wilson,E.L.,Hsueh,T.M.,andJones,l.R.,

1971,“NonlinearAnalysisofDeepOceanStruc-

tures”,Proceedings of the 1971 Symposium of

the International Association for Shell Structures

Pacific Symposium Part 1,pp.457-474.

21.Royles,R.,andLlambias,J.M.,1984,“Storage Aspects of Liquid Gases Underwater and the

StructuralImplications”,Proceedings International

Symposium on Transport and Storage of LPG and

LNG,Vol.2,pp.55-72.

22.Yasuzawa,Y.,1993,“StructuralResponseof

UnderwaterHalfDropShapedShell”,Proceedings of the 3rd International Offshore and Polar

Engineering Conference, 6-11 June, Singapore,

pp.475-481.

23.Rajasekaran,S.,andMurray,D.W.,1973,

“IncrementalFiniteElementMatrices”,Journal of

the Structural Division,Vol.99,No.12,pp.2423-

2438.

24.Langhaar,H.L.,1962,Energy Methods in

Applied Mechanics,JohnWiley&Sons,NewYork.

25.Mase,G.T.,andMase,G.E.,1999,Continuum

Mechanics for Engineers, 2nd ed., CRC Press,

Florida,pp.116-120.

26.Goan,L.A.,2000,An Analysis of an Axi-

symmetrical Closed Shell Subjected to Equatorial

Pull with Application to Accommodation of the

Crystalline Lens,DoctorofPhilosophyDissertation,

CivilEngineeringProgram,TheUniversityofTexas

atArlington,206p. 27.Young, W.C., and Budynas RG., 2002,

Roark’s Formulas for Stress and Strain,7thed.,

McGraw-Hill,NewYork.

Documents

การวิเคราะห์ทางสถิตศาสตร์แบบไม่เป็นเชิงเส้นของโครงสร้าง ... for ThaiScience/Article/62/10038280.pdfเชิงอนุพันธ์