ตรรกศาสตร์เบื้องต้น · 2020. 1. 20. · ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 3 1. การอ้างเหตุผลเชิงนิรนัย

เอกสารประกอบการสอนรายวิชา คณิตศาสตร์ทั่วไป | ดร.ธิดาพร เสียงวัฒนะ

1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

บทท่ี 1

ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น

ตรรกศาสตร์ หมายถึง แขนงวิชาที่เกี่ยวกับการคิดการหาเหตุผลโดยใช้หลักเกณฑ์เพื่อยืนยันความคิดหรือ

ความจริงที่มีอยู่ อาทิเช่น การคิดจากสิ่งที่รู้แล้วน าไปค้นหาสิ่งที่ยังไม่รู้หรือไม่เคยเกิดข้ึนมาก่อน ตรรกศาสตร์นั้น

เป็นเครื่องมือส าคัญอย่างหนึ่งในการศึกษาทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากคณิตศาสตร์นั้นเป็นนามธรรมจึงต้องอาศัย

หลักการและการให้เหตุผลเป็นหลัก องค์ประกอบของคณิตศาสตร์โดยทั่วไปแบ่งออก เป็น 2 ส่วนใหญ่ๆ ได้แก่

โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ และ การอ้างเหตุผล

1.1 โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Structure)

โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วย ค านิยาม ค าอนิยาม สัจพจน์ และ ทฤษฎีบท

1. ค านิยาม (Defined Term) คือ ค าหรือข้อความที่สามารถให้ค าจ ากัดความได้ หรือเรียกอีกอย่างว่า

บทนิยาม (Definition) เช่น ค าว่า “มุม” หมายถึง รังสีสองเส้นที่มีจุดปลายเป็นจุดเดียวกัน เป็นต้น

2. ค าอนิยาม (Undefined Term) คือ ค าหรือข้อความที่ไม่สามารถให้ค าจ ากัดความได้ แต่เมื่อกล่าวถึง

ต้องมีความเข้าใจตรงกัน เนื่องจากมีความหมายชันเจนอยู่ในตัวเอง เช่น จุด เส้นตรง มากกว่า น้อยกว่า

เท่ากัน ระนาบ เป็นต้น

3. สัจพจน์ (Axiom) คือ ข้อความที่ตกลงหรือยอมรับว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ เช่น “เส้นตรงที่ขนาน

กันจะไม่สามารถตัดกันได้”

4. ทฤษฎีบท (Theorem) คือ ข้อความหรือผลสรุปที่ได้มาจากการรวบรวม อนิยาม นิยาม และสัจพจน์

สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริงทุกกรณี โดยอาศัยหลักการให้เหตุผลทางตรรกวิทยาเข้ามาใช้ในการพิสูจน์

เพื่อแสดงว่าทฤษฎีเป็นจริง ทฤษฎีบทใดก็ตามที่พิสูจน์ได้บนระบบใด จะถือว่าเป็นจริงเฉพาะระบบนัน้ๆ

เท่านั้น นอกจากนั้นยังสามารถน าไปใช้อ้างอิงในระบบเดียวกันได้อีกด้วย



ตัวอย่าง : ทฤษฏีบทปิทาโกรัส

“รูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ ก าลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลบวกของก าลังสองของความยาว

ด้านประกอบมุมฉาก”

ทฤษฎีบทปิทาโกรัส

2 2 2c a b

1.2 การอ้างเหตุผล (Argument)

การอ้างเหตุผลในเชิงตรรกวิทยาหมายถึงกระบวนการการคิดของมนุษย์ที่เรียบเรียงข้อเท็จจริง ข้อความ

ประโยคบางส่วน หรือปรากฏการณ์ต่างๆ ที่สามารถบอกได้ว่าเป็นจรงิหรือเปน็เท็จมาสนับสนุนกันและกัน จนท าให้

เกิดข้อความใหม่หรือปรากฏการณ์ใหม่ที่สามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จ การอ้างเหตุผลจะประกอบด้วย

ข้อความ 2 กลุ่ม ได้แก่

- ข้ออ้าง (Premises) : กลุ่มของข้อความ ประโยค ปรากฏการณ์ ที่สนับสนุนกันและกัน

- ข้อสรุป (Conclusion) : กลุ่มของข้อความใหม่หรือปรากฏการณ์ใหม่ที่ได้มากจากข้ออ้าง

การอ้างเหตุผลในเชิงตรรกวิทยาน้ันสามารถแบ่งลักษณะการอ้างเหตุผลได้เป็น 2 ลักษณะ ดังนี้

การอ้างเหตุผล

การอ้างเหตุผลเชิงนิรนัย การอ้างเหตุผลเชิงอุปนัย - ข้อสรุปบอกได้ว่า - ข้อสรุปบอกไม่ได้ว่า

สมเหตสมผล หรือ ไม่สมเหตุสมผล สมเหตสมผล หรือ ไม่สมเหตุสมผล

อย่าใดอย่างหน่ึได้ชัดเจน เป็นแค่ความน่าจะเป็นไปได้เท่าน้ัน - ข้อสรุปเป็นจริงก็ต่อเม่ือ - ข้อสรุปเป็นจริงหรือไม่จริงก็ได้

ข้ออ้างเป็นจริงเท่าน้ัน

a

b

c

การอ้างเหตุผลจะสมเหตุสมผล ก็ต่อเม่ือ ถ้าข้ออ้างเป็นจริงแล้วผลสรุปเป็นจริงด้วย

นอกจากกรณีน้ีเราจะกล่าวว่า การอ้างเหตุผลดังกล่าวไม่สมเหตุสมผล



1. การอ้างเหตุผลเชิงนิรนัย (Deductive Argument) เป็นกระบวนการอ้างเหตุผลที่ข้ออ้างสามารถ

ยืนยันข้อสรุปได้อย่างชัดเจน ความน่าเช่ือถือของข้อสรุปอยู่ในข้ันความแน่นอน

ตัวอย่าง 1 เหตุ 1. นักศึกษาที่เล่นกีฬาทุกคนจะต้องมีสุขภาพดี

2. ก้อยเป็นนักศึกษาและชอบเล่นกีฬา

ผล ก้อยมีสุขภาพดี

วิธีท า พิจารณาโดยการก าหนดเซตของสิ่งต่างๆ ดังนี้

ก าหนดให้ A เป็นเซตของนักศึกษา

B เป็นเซตของคนที่เล่นกีฬา

C เป็นเซตของคนที่มีสุขภาพดี

และ x แทนก้อย

จากเหตุที่ก าหนดให้ สามารถแสดงได้ดังภาพ

จะเห็นได้ว่า x อยู่ในเซต C เราสามารถสรุปได้ว่า ก้อยมีสุขภาพดี

ดังนั้นจากข้อสรุปท าให้ได้ว่าการอ้างเหตุผลดังกล่าวสมเหตุสมผล

ตัวอย่าง 2 เหตุ 1. เครื่องบินทุกล าบินได้

2. เป็ดบินได ้

ผล เป็ดเป็นเครื่องบินชนิดหนึ่ง


ก าหนดให้ A เป็นเซตของเครื่องบิน

B เป็นเซตของสิ่งที่บินได้

และ x แทนเป็ด

AB

C

x




จะเห็นได้ว่า x อยู่ในเซต A หรือ x ไม่อยู่ในเซต A ก็ได ้เราสามารถสรุปได้ทั้งสองกรณี

กรณีที่ 1 : เป็ดเป็นเครื่องบินเครื่องบินชนิดหนึ่ง กรณีที่ 2 : เป็ดไม่เป็นเครื่องบินชนิดหนึ่ง

ดังนั้นจากข้อสรุปทั้ง 2 กรณี ท าให้ได้ว่าการอ้างเหตุผลดังกล่าวไม่สมเหตุสมผล

ตัวอย่าง 3 เหตุ 1. พนาวัลย์เป็นคนไทย 2. คนไทยบางคนชอบเลี้ยงช้าง

3. คนชอบเลี้ยงช้างบางคนชอบเลี้ยงแมว

ผล พนาวัลยช์อบเลี้ยงแมว


ก าหนดให้ A เป็นเซตของคนไทย, B เป็นเซตของคนชอบเลี้ยงช้าง,

C เป็นเซตของคนชอบเลี้ยงแมว, และ x แทนพนาวัลย์




จะเห็นได้ว่า x อยู่ในเซต A B C หรือ x อยู่ในเซต A B หรือ x อยู่ในเซต A C หรือ x อยู่ในเซต

A เพียงอย่างเดียว เราสามารถสรุปได้ถึง 4 กรณี

กรณีที่ 1 : พนาวัลย์เป็นคนไทยที่ชอบเลี้ยงแมวและช้าง

กรณีที่ 2 : พนาวัลย์เป็นคนไทยชอบเลี้ยงช้าง

กรณีที่ 3 : พนาวัลย์เป็นคนไทยชอบเลี้ยงแมว

กรณีที่ 4 : พนาวัลย์เป็นคนไทยที่ไม่ชอบเลี้ยงแมวและช้าง

ดังนั้นจากข้อสรุปทั้ง 4 กรณี ท าให้ได้ว่าการอ้างเหตุผลดังกล่าวไม่สมเหตุสมผล

2. การอ้างเหตุผลเชิงอุปนัย (Inductive Argument) เป็นกระบวนการอ้างเหตุผลที่เกิดจากการสงัเกต

ทดลองหลายๆ ครั้งแล้วน ามาเป็นข้อสรุป ดังนั้นข้อสรุปของการอ้างเหตุผลแบบอุปนัยนั้น ไม่จ าเป็นต้องถูกทุกครั้ง

ตัวอย่าง 1 เหตุ 1. อ้วนทานปลาหมึกแล้วเกิดอาการแพ้

2. อ้วนทานหอยเชลล์แล้วเกิดอาการแพ้

3. อ้วนทานกุ้งแชบ๊วยแล้วเกิดอาการแพ้

4. อ้วนทานปลาเก๋าแล้วเกิดอาการแพ้

ผล อ้วนแพ้อาหารทะเล

วิธีท า สรุปผลว่า อ้วนแพ้อาหารทะเล เพราะจากการทานอาหารทะเลต่างชนิดถึง 4 ชนิด แต่ก็ยังเกิด

อาการแพ้จากการสังเกต ซึ่งจะเห็นได้ว่าข้อสรุปไม่มีความชัดเจนว่าเป็นจริงหรือไม่จริง เป็นแค่การคาดการณ์จาก

การสังเกตเท่านั้น นอกเสียจากว่าอ้วนจะไปตรวจร่างกายที่โรงพยาบาลจึงจะท าให้ทราบว่าอ้วนน้ันแพ้อาหารทะเล

จริงหรือไม่

ตัวอย่าง 2 ก าหนดรูปภาพดังนี้

ภาพที่ 1 ภาพที่ 2 ภาพที่ 3 ภาพที่ 4

จงใช้การอ้างเหตุผลเชิงอุปนัยหาค่า x และค่า y



วิธีท า พิจารณา

ภาพที่ 1 : ต าแหน่งของ y เกิดจากการน า 6 3 2 16


ภาพที่ 3 : ต าแหน่งของ y เกิดจากการน า 5 4 6 5 4 26x


ดังนั้น จากการอ้างเหตุผลเชิงอุปนัยท าให้ทราบว่าค่า x มีค่าเท่ากับ 6 และ y มีค่าเท่ากับ 31

ความแตกต่างระหว่างการอ้างเหตุผลเชิงนิรนัยและเชิงอุปนัยสามารถสรุปได้ดังตารางนี้

การอ้างเหตุผลเชิงนิรนัย การอ้างเหตุผลเชิงอุปนัย 1. สรุปจากเหตุใหญ่ๆ ไปสู่ข้อสรุปย่อย 1. สรุปจากเหตุย่อยๆ เล็กๆ หลายเหตุ

ไปสู่ข้อสรุปใหญ่ 2. ข้อสรุปที่ได้อยู่ในวงจ ากัดเฉพาะเหตุเท่านั้น 2. ข้อสรุปที่ได้เป็นความรู้ใหม่ 3. ข้อสรุปเป็นจรงิก็ต่อเมื่อเหตุเป็นจริงเท่านั้น 3. ข้อสรุปเป็นจริงหรือไม่จริงก็ได้

1.3 สัญลักษณ์ทางตรรกศาสตร์ (Logic Symbols) เนื่องจากเราทราบกันดีว่าวิชาตรรกศาสตร์นั้นเป็นวิชาที่ว่าด้วยการอ้างเหตุผลเพื่อให้เกิดข้อสรุป

การอ้างเหตุผลนั้นในชีวิตจริงมักไม่ได้มีเพียงแค่หนึ่งเหตุ แต่มักจะมีเหตุที่ซับซ้อนกันหลายๆ เหตุเพื่อให้ได้มาซึ่ง

ข้อสรุป ดังนั้นการสื่อความหมายเพื่อให้เข้าใจตรงกัน ชัดเจน รัดกุม และถูกต้อง จึงจ าเป็นต้องอาศัย “สัญลักษณ์”

มาใช้แทนข้อความที่มีความหมายในเชิงตรรกวิทยา สัญลักษณ์ดังกล่าวเราเรียกว่า “สัญลักษณ์ทางตรรกศาสตร์”

นั้นเอง

1.3.1 ประพจน์ (Proposition)

ประพจน์ คือ ประโยคหรือข้อความที่สามารถบอกได้ว่ามีค่าความจริง เป็นจริง หรือเป็นเท็จ เพียงอย่างใด

อย่างหนึ่งเท่านั้น ส่วนประโยคที่มีลักษณะเป็น ประโยคบอกเล่า, ค าถาม, ค าสั่ง, ขอร้อง, อุทาน ฯลฯ ที่ไม่สามารถ

บอกได้ว่ามีค่าความจริง เป็นจริงหรือเป็นเท็จ อย่างใดอย่างหนึ่งได้ ประโยคเหล่าน้ีเราจะถือว่าไม่เป็นประพจน์

ตัวอย่าง ประโยคที่เป็นประพจน์

หนึ่งวันมี 24 ช่ัวโมง ค่าความจริงเป็นจริง

19 < 12 ค่าความจริงเป็นเท็จ

ดวงอาทิตย์ข้ึนทางทิศตะวันออก ค่าความจริงเป็นจริง

เดือนที่ลงท้ายด้วย “ยน” มี 31 วัน ค่าความจริงเป็นเท็จ



ตัวอย่าง ประโยคที่ไม่เป็นประพจน์

จังหวัดระยองอยู่ภาคอะไรในประเทศไทย เป็นประโยคค าถาม

2 3 10x เป็นประโยคบอกเล่า

กรุณาอย่าส่งเสียงดัง เป็นประโยคขอร้อง

อาจารย์ปูเป้สวยและรวยมาก เป็นประโยคบอกเล่า

ประพจน์สามารถแบ่งได้ 2 แบบ ดังภาพ

ประพจน์

ประพจน์เชิงเดี่ยว ประพจน์เชิงซ้อน ประพจน์หรือประโยคเดียว ประพจน์หรือประโยคเชิงเดี่ยว

ที่ไม่มีประพจน์ใดมาประกอบ ตั้งแต่สองประพจน์ขึ้นไป ถูกเชื่อม

เช่น ด้วยตัวเชื่อมทางตรรกวิทยาเป็น

ม้ามีสี่ขา ประพจน์ใหม่ เช่น

นกบินได้ ม้ามีสี่ขา หรือ นกบินได้

1.3.2 ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ (Logical connective)

การน าประพจน์เชิงเดี่ยวตั้งแต่สองประพจน์ข้ึนไปมาสร้างประพจน์ เป็นประพจน์ใหม่ เราต้องอาศัย

ตัวเช่ือมทางตรรกศาสตร์ มาใช้ในการเช่ือมประพจน์ โดยตัวเช่ือมนั้นมีด้วยกันทั้งหมด 5 ตัวเช่ือม ได้แก่ “และ”

“หรือ” “ถ้า...แล้ว...” “...ก็ต่อเมื่อ...” “ไม่”

การเช่ือมประพจน์เข้าด้วยกันนั้นเพื่อให้เกิดความสะดวกและชัดเจน เรามักจะใช้พยัญชนะภาษาอังกฤษ

เช่น ,p ,q r และอื่นๆ แทน ประพจน์

“T ” แทน ค่าความจริงที่เป็นจริง (True) “ F ” แทน ค่าความจริงที่เป็นเท็จ (False)

“” แทน “และ” (and) “” แทน “หรือ” (or)

“” แทน “ถ้า...แล้ว...” (if…then…) “” แทน “...ก็ต่อเมื่อ...” (…if and only if…)

“ ” แทน “ไม่” หรือ “นิเสธ” (not)

ตัวบ่งปริมาณ ได้แก่ “ ” แทน “ทั้งหมด, ทุกๆสิ่ง” (for all) และ “ ” แทน “บางสิ่ง” (for some)



1.4 ค่าความจริงและตาราง (Truth value and Table) ก าหนดให้ ,p q และ r แทนประพจน์ใดๆ

T แทน ค่าความจริงของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง

F แทน ค่าความจริงของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ

ค่าความจริงของประพจน์แต่ละประพจน์จะมไีด้เพียงอย่างใดอย่างหนึ่งจากค่าความจริงทีเ่ป็นไปได้ทัง้หมด

2 กรณี คือ เป็นจริง (T ) หรือ เป็นเท็จ ( F ) สามารถแสดงได้ดังนี้

p

T F

กรณีที่ประพจน์ 2 ประพจน์ ถูกเช่ือมด้วยตัวเช่ือมทางตรรกศาสตร ์การพิจารณาค่าความจริงของประพจน์

ที่เกิดจากการถูกเช่ือมค่าความจริงที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 4 กรณี สามารถแสดงได้ดังนี้

p q

T T T F F T F F

กรณีที่ประพจน์ 3 ประพจน์ ถูกเช่ือมด้วยตัวเช่ือมทางตรรกศาสตร ์การพิจารณาค่าความจริงของประพจน์

ที่เกิดจากการถูกเช่ือมค่าความจริงที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 8 กรณี สามารถแสดงได้ดังนี้

p q r T T T T T F T F T T F F F T T F T F F F T F F F



จากข้อมูลที่แสดงให้เห็นข้างต้นท าให้เราทราบว่า

ตารางต่อไปนี้คือตารางแสดงค่าความจริงของตัวเช่ือมทางตรรกศาสตร์ทั้ง 5 ตัวเช่ือม

ตัวเช่ือม “และ” ตัวเช่ือม “หรือ”

ตัวเช่ือม “ถ้า...แล้ว...” ตัวเช่ือม “...ก็ต่อเมื่อ...”

ตัวเช่ือม “นิเสธ”

ค าแนะน า นักศึกษาควรเข้าใจและสามารถจดจ ากรณีเฉพาะของแต่ละตัวเช่ือมให้ได้

บันทึกช่วยจ า

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

ถ้ามีประพจนเ์ชิงเดี่ยวจ านวน n ประพจน์ แล้ว จะมีค่าความจริงที่เป็นไปได้ทั้งหมด 2n จ านวน



ตัวอย่างที่ 1 จงสร้างตารางค่าความจริงของประพจน์ p q q

วิธีท า

p q p q p q q

T T T T T F F T F T F T F F F T

ตัวอย่างที่ 2 จงสร้างตารางค่าความจริงของประพจน์ p q r q

วิธีท า

p q r r p q r q p q r q

T T T T F F F F

T T F F T T F F

T F T F T F T F

F T F T F T F T

T T F F F F F F

F T T F F T T F

F T T T T T T T

ตัวอย่างที่ 3 จงสร้างตารางค่าความจริงของประพจน์ p q r q

วิธีท า



1.5 การวิเคราะห์ค่าความจริงของประพจน์ (Truth value analysis) การวิเคราะห์ค่าความจริงของประพจน์เราสามารถแบ่งได้เป็น 2 ลักษณะ

1.5.1 การหาค่าความจริงของประพจน์เชิงซ้อน เมื่อทราบค่าประพจน์เชิงเดี่ยว

ตัวอย่าง 1 ก าหนด ประพจน์ p , q มีค่าความจริงเป็นจริง T

ประพจน์ r , s มีค่าความจริงเป็นจริง F

จงหาค่าความจริงของประพจน์ p q r s q r


จากภาพท าให้ทราบว่าค่าความจริงของประพจน์เชิงซ้อนที่พิจารณา คือ เป็นจริง T

ตัวอย่าง 2 ก าหนดให้ประพจน์ p q มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของประพจน์

q q p q วิธีท า พิจารณาประพจน์ p q โจทย์ก าหนดให้มีค่าความจริงเป็นเท็จ ท าให้เราทราบว่า

p มีค่าความจริงเป็น เท็จ และ q มีค่าความจริงเป็น เท็จ

จากนั้นพิจารณาประพจน์เชิงซ้อน

จากภาพท าให้ทราบว่าค่าความจริงของประพจน์เชิงซ้อนที่พิจารณา คือ เป็นเท็จ F

p q r s q r

F FT F T T

F T

F T

T

q q p q

F FT T

T T

F

F



1.5.2 การหาค่าความจริงของประพจน์เชิงเดี่ยว เมื่อทราบค่าประพจน์เชิงซ้อน

ตัวอย่าง 1 ก าหนดให้ประพจน์ p s s p q r เป็นเท็จ จงหาค่าความจริง

ของประพจน์ ,p ,q r และ s


สรุปได้ว่า : ,p T : ,q T : ,r F และ :s T

ตัวอย่าง 2 ก าหนดให้ประพจน์ p s q s เป็นจริง จงหาค่าความจริงของ p q s


สรุปได้ว่า : ,p F : ,q F และ :s F

พิจารณาหาค่าความจริงของประพจน์ p q s จะได้ว่า F F F F F F

ดังนั้นประพจน์ p q s มีค่าความจริงเป็นเท็จ

p s s p q r

F

FT

T T F T :r F

:s F

:p T :q T:p T :s F

p s q s

T

T T

T F T F

:q F :s F:s F:p F



1.6 สัจนิรันตร์และประพจน์ขัดแย้ง (Tautology and Contradictory proposition) 1.6.1 สัจนิรันดร ์หมายถึง ประพจน์เชิงซ้อนที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกๆ กรณี

การตรวจสอบสัจนิรันตร์สามารถท าได้หลายวิธี ในที่นี้ของกล่าวถึงเฉพาะ วิธีการหาข้อขัดแย้ง

เพียงเท่านั้น โดยมีขั้นตอนการตรวจสอบทั้งหมด 3 ข้ันตอน ดังนี้

ข้ันตอนที่ 1 : ก าหนดให้ค่าความจริงเป็น “เท็จ” ให้กับประพจน์เชิงซ้อนที่ต้องการตรวจสอบ

ข้ันตอนที่ 2 : พิจารณาหาประพจน์เชิงเดี่ยวที่มีทั้งหมด โดยการใช้วิธี 1.5.2

ข้ันตอนที่ 3 : ถ้าค่าความจริงของประพจน์ ขัดแย้งกัน ให้สรุปว่า เป็นสัจนิรันดร์

ถ้าค่าความจริงของประพจน์ ไม่ขัดแย้งกัน ให้สรุปว่า ไม่เป็นสัจนิรันดร์

ถ้าค่าความจริงของประพจน์ ไม่สามารถสรุปได้ ให้สรุปว่า ไม่เป็นสัจนิรันดร์

ตัวอย่างทื่ 1 จงพิจารณาว่าประพจน์ p q q เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

วิธีท า ข้ันตอนที่ 1 : ก าหนดให้ค่าความจริงเป็น “เท็จ” ให้กับประพจน์ที่ก าลังจะพิจารณา


ข้ันตอนที่ 3 : พิจารณาหาข้อขัดแย้ง

จากภาพจะเห็นได้ว่าพบข้อขัดแย้งเกิดข้ึน ค่าความจริงของประพจน์ไม่สามารถเป็นเท็จได้

จึงสรุปได้ว่าประพจน์ p q q เป็นสัจนิรันดร์

เกิดข้อขัดแย้ง



ตัวอย่างทื่ 2 จงพิจารณาว่าประพจน์ p q q p เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่



ข้ันตอนที่ 3 : พิจารณาหาข้อขัดแย้ง

จากภาพจะเห็นได้ว่าไม่พบข้อขัดแย้งเกิดข้ึน ค่าความจริงของประพจน์เป็นเท็จได้

จึงสรุปได้ว่าประพจน์ p q q p ไม่เป็นสัจนิรันดร์

ตัวอย่างทื่ 3 จงพิจารณาว่าประพจน์ p q r p q r เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่


หลังจากก าหนดค่าความจริงที่เป็น “เท็จ” ให้แล้ว ก่อนเข้าสู่ข้ันตอนที่ 2 จะพบว่า มี 2 กรณี ที่เราต้องพิจารณา

เพราะประพจน์เชิงซ้อนดังกล่าวถูกเช่ือมด้วยเครื่องหมาย “ก็ต่อเมื่อ” ดังนั้นการจะเป็นเท็จได้ค่าความจริงของ

วงเล็บใหญ่หน้าและวงเลบ็ใหญ่หลังต้องเป็น 1. T F หรือ 2. F T



พิจารณากรณีที่ 1 โดยการใช้ข้ันตอนที่ 2 หาค่าความจริงของแต่ละประพจน์เชิงเดี่ยว

จากการพิจารณาจะพบว่าไม่พบข้อขัดแย้งเกิดข้ึน


จากการพิจารณากรณีที่ 2 จะพบว่าไม่พบข้อขัดแย้งเกิดข้ึน

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าประพจน์เชิงซ้อนดังกล่าวไม่เป็นสัจนิรันดร์

หมายเหตุ กรณีที่เราไม่พบข้อขัดแย้งหมายถึงประพจน์ที่เราพิจารณาสามารถเป็น “เท็จ” ได้ ดังนั้น

การตรวจสอบสัจนิรันดร์หากเราบพบว่าประพจน์เป็น “เท็จ” แค่เพียงกรณีเดียวก็เพียงพอ

ต่อการสรุปว่าไม่เป็นสัจนิรันดร์แล้ว

ตัวอย่างทื่ 4 จงพิจารณาว่าประพจน์ q p r r q p เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่


หลังจากก าหนดค่าความจริงที่เป็น “เท็จ” ให้แล้ว ก่อนเข้าสู่ข้ันตอนที่ 2 จะพบว่า มี 3 กรณี ที่เราต้องพิจารณา

เพราะประพจน์เชิงซ้อนดังกล่าวถูกเช่ือมด้วยเครื่องหมาย “และ” ดังนั้นการจะเป็นเท็จได้ค่าความจริงของวงเล็บ

ใหญ่หน้าและวงเล็บใหญ่หลังต้องเป็น 1. F T หรือ 2. F F หรือ 3. T F




จากการพิจารณาจะพบว่ามีข้อขัดแย้งเกิดข้ึน เรายังไม่สามารถสรุปได้ว่าเป็นสัจนิรันดร์ การเป็นสัจนิรันดร์จะต้อง

พบข้อขัดแย้งทุกๆกรณีดังนั้นเราจึงต้องพิจารณาในกรณีที่ 2 และกรณีที่ 3 ด้วย


จากการพิจารณากรณีที่ 2 พบว่าไม่มีข้อขัดแย้งเกิดข้ึน นั่นหมายถึงประพจน์ดังกล่าวสามารถเป็นเทจ็ได้หากเกิด

กรณีแบบนีเ้กิดข้ึนไม่มีความจ าเปน็ต้องพจิารณาต่อ เราสามารถสรปุได้เลยว่าไม่เป็นสัจนริันดร์

1.6.2 ประพจน์ขัดแย้ง หมายถึง ประพจนเ์ชิงซอ้นที่มีค่าความจรงิเป็นเท็จทกุๆกรณี

การตรวจสอบประพจน์ขัดแย้งสามารถท าได้คล้ายๆกันกับการตรวจสอบสัจนิรันดร์

โดยมีขั้นตอนการตรวจสอบทั้งหมด 3 ข้ันตอน ดังนี้

ข้ันตอนที่ 1 : ก าหนดให้ค่าความจริงเป็น “จริง” ให้กับประพจน์เชิงซ้อนที่ต้องการตรวจสอบ


ข้ันตอนที่ 3 : ถ้าค่าความจริงของประพจน์ ขัดแย้งกัน ให้สรุปว่า เป็นประพจน์ขัดแย้ง

ถ้าค่าความจริงของประพจน์ ไม่ขัดแย้งกัน ให้สรุปว่า ไม่เป็นประพจน์ขัดแย้ง

ถ้าค่าความจริงของประพจน์ ไม่สามารถสรุปได้ ให้สรุปว่า ไม่เป็นประพจน์ขัดแย้ง




ตัวอย่างทื่ 1 จงพิจารณาว่าประพจน์ p q q p เป็นประพจน์ขัดแย้งหรือไม ่

วิธีท า ก าหนดใหป้ระพจน์ที่ตอ้งการพิจารณามีค่าความจริงเป็น “จริง” จากนั้นหาค่าความจริงในแต่ละประพจน ์

จากการพิจารณาพบว่ามีข้อขัดแย้งเกิดข้ึน ดังนั้นเราจะสรปุได้ว่าประพจน์ดังกล่าวเป็นประพจน์ขัดแย้ง

1.7 ความสมเหตุสมผล (Validity) ในหัวข้อที่ 1.2 กล่าวถึงความสมเหตสุมผลว่าการอ้างเหตผุลเชิงนิรนัยจะสมเหตุสมผล เมื่อ ข้ออ้างเป็นจริง

แล้วข้อสรปุต้องเป็นจรงิด้วย การตรวจสอบว่าการอ้างเหตุผลดังกล่าวนั้นสมเหตสุมผลหรือไม่สามารถท าได้ดังนี้

1. จัดรูปแบบการอ้างเหตุผลในรปูประพจน์

ก าหนดให้ 1 2 3, , , , np p p p แทนเหตุทั้งหมด และ q แทนผล

น าเหตุทีม่ีทั้งหมดเช่ือมกันด้วยตัวเช่ือม “และ” จะได้ 1 2 3 np p p p

จากนั้นน าเหตุทั้งหมดที่ถูกเช่ือมเช่ือมกบัผลด้วยตัวเช่ือม “ถ้า...แล้ว...” จะได ้

1 2 3 np p p p q 2. น าประพจน์เชิงซ้อนในข้ันตอนที่ 1 มาตรวจสอบสจันิรันดร์

หากประพจน์ดังกล่าวเป็น สัจนริันดร์ เราสรุปได้ว่า สมเหตสุมผล

หากประพจน์ดังกล่าวไม่เป็น สัจนริันดร์ เราสรุปได้ว่า ไม่สมเหตสุมผล

ตัวอย่างทื่ 1 จงตรวจสอบว่าการอ้างเหตผุลต่อไปนีส้มเหตสุมผลหรือไม่

เหต ุ 1. q p

2. q

ผล p

วิธีท า ข้ันตอนที่ 1 จัดรูปแบบการอ้างเหตผุล จะได ้

q p q p




ข้ันตอนที่ 2 ตรวจสอบประพจน์ในข้ันตอนที่ 1 ว่าเป็นสัจนรินัดร์หรือไม่ (วิธีการตรวจสอบดูได้จากหัวข้อที่ 1.6)

จากการตรวจสอบพบว่าประพจน์ดังกล่าวเป็นสจันิรันดร์ สรปุได้ว่าการอ้างเหตผุลสมเหตสุมผล

ตัวอย่างที่ 2 จงตรวจสอบว่าการอ้างเหตผุลต่อไปนีส้มเหตสุมผลหรือไม่

เหต ุ 1. A B C

2. D A

3. B

ผล D C

วิธีท า ข้ันตอนที่ 1 จัดรูปแบบการอ้างเหตผุล จะได้

A B C D A B D C


จากการตรวจสอบพบว่าประพจน์ดังกล่าวเป็นสจันิรันดร์ สรปุได้ว่าการอ้างเหตผุลสมเหตสุมผล





ตัวอย่างที่ 3 ในการแข่งขันฟุตบอลชิงแชมปป์ระเทศไทยรายการหนึง่

เหต ุ 1. ถ้าจังหวัดระยองและจังหวัดภูเก็ตชนะ แล้ว จังหวัดสุรินทร์และจังหวัดเลยแพ้

2. จังหวัดภูเก็ตชนะ

ผล จังหวัดสุรินทร์แพ ้

จงตรวจสอบว่าการอ้างเหตุผลดังกล่าวสมเหตุสมผลหรือไม่

วิธีท า ก าหนดให ้ A แทนประพจน ์ “จังหวัดระยองชนะ”

B แทนประพจน ์ “จังหวัดภูเก็ตชนะ”

C แทนประพจน ์ “จังหวัดสรุินทร์ชนะ”

D แทนประพจน ์ “จังหวัดเลยชนะ”

ข้ันตอนที่ 1 จัดรูปแบบการอ้างเหตผุล จะได ้

A B C D B C


จากการตรวจสอบพบว่าไม่มีข้อขัดแย้งเกิดข้ึน ดังนั้นประพจน์ดังกล่าวไม่เป็นสจันริันดร์

เราสามารถสรปุได้ว่าการอ้างเหตผุลดงักล่าวไม่สมเหตสุมผล

บันทึกช่วยจ า

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................



แบบฝึกหดัท้ายบทที่ 1 1. จงวาดภาพและพิจารณาว่าการอ้างเหตผุลต่อไปนี้เป็นการอ้างเหตผุลเชิงนิรนัย หรือเชิงอุปนัย

1.1 เหต ุ 1. เด็กบางคนไม่ชอบทานผกั 1.2 เหต ุ 1. ดอกดาวเรืองเป็นดอกไม ้

2. ผักมีรสขม 2. ดอกไม้บางชนิดใช้บูชาพระ

ผล เด็กทุกคนไม่ชอบของทีม่ีรสขม ผล ดอกดาวเรืองใช้บูชาพระ

1.3 เหต ุ 1. สุธีเป็นผู้ชาย ชอบสีชมพ ู 1.4 เหต ุ 1. คนชอบเล่นดนตรเีป็นคนเก่ง

2. สิงหเ์ป็นผู้ชาย ชอบสีชมพ ู 2. คนชอบเล่นกีฬาเป็นคนเกง่

3. สุเทพเป็นผู้ชาย ชอบสีชมพ ู 3. คนชอบท าอาหารเป็นคนเก่ง

4. สาธิตเป็นผู้ชาย ชอบสีชมพ ู 4. คนชอบเล่นเกมส์เป็นคนเก่ง

ผล ผู้ชายทุกคนชอบสีชมพ ู ผล คนทุกคนเป็นคนเก่ง

2. จงพิจารณาว่าข้อใดต่อไปนี้เป็นประพจน ์

2.1 จังหวัดระยองเป็นจังหวัดหนึ่งที่อยู่ในภาคตะวันออกของประเทศไทย

2.2 35x

2.3 ณเดช เป็นคนหน้าตาด ี

2.4 ฉัตรชนี แก้วสีทอง เป็นนักคณิตศาสตร ์

2.5 สิงโตตัวเมียทุกตัวมหีนวด 19 เส้น

3. จงสร้างตารางค่าความจรงิของประพจน์ต่อไปนี้

3.1 q p p 3.2 q p r q

3.3 p q r s 3.4 r s q p

4. ก าหนดให ้ ,p q เป็นประพจน์ทีม่ีค่าความจรงิเป็นจริง T

,r s เป็นประพจน์ทีม่ีค่าความจรงิเป็นเทจ็ F

4.1 จงหาค่าความจริงของประพจน์ q p s r r

4.2 จงหาค่าความจริงของประพจน์ q s r q

4.3 จงหาค่าความจริงของประพจน์ s p q r p r

4.4 จงหาค่าความจริงของประพจน์ r r p s s q



5. จงหาค่าความจริงของประพจน์ q q p p เมื่อ p q มีค่าความจริงเป็นเท็จ

6. จงหาค่าความจริงของประพจน์ q p p q เมื่อ p q มีค่าความจริงเป็นเท็จ

7. จงหาค่าความจริงของประพจน์ q q p p เมื่อ p q มีค่าความจริงเป็นจริง

8. จงพิจารณาประพจน์ต่อไปนีข้้อใดเป็นสจันิรันดร์, ประพจน์ขัดแย้ง, หรือไมเ่ป็นสัจนริันดร์และประพจน์ขัดแย้ง

8.1 p q q p

8.2 r q p r q p

8.3 p q p q

8.4 s t r r s

8.5 A B C B C D A D

9. จงพิจารณาว่าการอ้างเหตผุลต่อไปนี้ สมเหตุสมผลหรือไม่

9.1 เหต ุ 1. p q 9.2 เหต ุ 1. p q

2. q r 2. q s

3. r s 3. s

ผล s ผล p s

9.3 เหตุ 1. ถ้า A เป็นจ านวนเต็มบวก แล้ว B ไม่เป็นจ านวนเต็มบวก

2. 2 1A หรือ 2 1B

3. ถ้า 2 1A แล้ว A เป็นจ านวนเต็มบวก

4. 2 1B

ผล A เป็นจ านวนเต็มบวก

9.4 สมมติให้ เอฟเป็นนักสืบถูกว่าจ้างให้สืบสวนเรื่องราวเกี่ยวกับคดีฆาตกรรมของสมพร

โดยเอฟได้ไปเก็บข้อมูลในสถานที่เกิดเหตุและได้บันทึกรายละเอียดได้ดังนี้

- ถ้าวันจันทร์ฝนตกแล้วสมพรไม่มาท างาน

- ถ้าวันอังคารแดดออกแล้วสมพรมาท างาน

- วันจันทร์ฝนตก

- วันอังคารแดดออกหรือสมพรถูกฆาตกรรมวันอังคาร

- ถ้าวันพุธฝนตกแล้วสมพรถูกฆาตกรรมวันพุธ

จงใช้การอ้างเหตุผลเพื่อหาว่าสมพรถูกฆาตกรรมวันอังคารหรือไม่



เฉลยแบบฝึกหัดท้ายบทที่ 1 1. 1.1 เป็นการอ้างเหตุผลเชิงนรินัย 1.2 เป็นการอ้างเหตุผลเชิงนรินัย

1.3 เป็นการอ้างเหตุผลเชิงอุปนัย 1.4 เป็นการอ้างเหตุผลเชิงอุปนัย

2. 2.1 เป็นประพจน ์ 2.2 ไม่เป็นประพจน ์ 2.3 ไม่เป็นประพจน ์

2.4 เป็นประพจน ์ 2.5 เป็นประพจน ์

4. 4.1 จริง 4.2 จริง 4.3 จริง 4.4 เท็จ

5. เท็จ 6. เท็จ 7. เท็จ

8. 8.1 สัจนิรันดร ์ 8.2 ไม่เป็นสจันิรันดร ์ 8.3 ประพจน์ขัดแย้ง

8.4 สัจนิรันดร ์ 8.5 สัจนิรันดร ์

9 9.1 สมเหตสุมผล 9.2 สมเหตสุมผล 9.3 ไม่สมเหตุสมผล 9.4 สมเหตสุมผล

Documents

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น · 2020. 1. 20. · ตรรกศาสตร์เบื้องต้น 3 1. การอ้างเหตุผลเชิงนิรนัย