Upload
others
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
เอกสารประกอบการสอน วชา คณตศาสตรเพมเตม 3 (ค 32201)
ระดบชนมธยมศกษาปท 5 ภาคเรนท 1 ปการศกษา 2563
ฟงกชนตรโกณมต
อาจารยอลงกต วงศศรยา โรงเรยนสาธตมหาวทยาลยราชภฎสวนสนนทา
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
1
A
B
C
a
b
c
ฟงกชนตรโกณมต ตรโกณมตกอก าเนดมาตงแตยคอยปตโบราณ ไดแกยค Mesopotamia และ ยค Indus Valley ซงผานมาแลวมากกวา 4,000 ป โดยมนกดาราศาสตรชอ Hipparchus ซงเกดในป 190 B.C.ใน Bithymia ในปจจบนคอประเทศตรก และเสยชวตในป 120 B.C. ในกรซ
Hipparchus เปนผบกเบกผหนงในการน าความรเรองตรโกณมตมาใชค านวณหาต าแหนงของดวงดาวตางๆ ค าวาตรโกณมต ตรงกบค าในภาษาองกฤษวา Trigonometry ทเปนภาษากรกวา Trigonon ซงแปลวา มม 3 มม และค าวา metro แปลวา การวด ในสมยกอนตรโกณมตจงเปนวชาทวาดวยการวดมม ตลอดจนความสมพนธระหวางดานและมมของรปสามเหลยม ตอมาในศตวรรษท 17 พรอมๆกบการเกดวชาแคลคลส กมการน าความรเรองฟงกชนมาใชในวชาตรโกณมต จงเกดเปนฟงกชนตรโกณมตทเกยวเนองกบวงกลมหนงหนวยซงสามารถน าไปใชประยตในศาสตรสาขาตางๆ มากมาย
บทน า ความรเกยวกบอตราสวนตรโกณมต ก าหนดรป ABC เปนรปสามเหลยมทม ˆACB เปนมมฉาก ดงรป เรยกอตราสวนระหวางดาน 2 ดานของรปสามเหลยมมมฉากใดๆ วา อตราสวนตรโกณมต ซงไดแก
sin A = a
c cosec A = 1
sinA
cos A = b
c sec A = 1
cosA
tan A = a
b cot A = 1
tan A
ตวอยาง 1 รปสามเหลยมมมฉาก ABC มมม C เปนมมฉาก และ AB ยาว 8 หนวย AC ยาว 6 หนวย จงหาความยาวของดาน และขนาดของมมทเหลอของรปสามเหลยมน ตวอยาง 2 ก าหนดรปสามเหลยมมมฉาก ABC โดยมมม C เปนมมฉาก ลากเสนจากจด C ไปตงฉากกบ
AB ทจด D ถา AC และ BC ยาว 8 และ 15 เซนตเมตร ตามล าดบ จงหาความยาวของ CD , BD และ AD
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
2
1. วงกลมหนงหนวย (Unit Circle) บทนยาม วงกลมหนงหนวย หมายถง วงกลมทมจดศนยกลางทจดก าเนด รศม 1 หนวย ซงมสมการดงน x2 + y2 = 1 เนองจากวงกลมหนงหนวย มรศมยาว 1 หนวย ท าให ความยาวเสนรอบวงเปน 2 หนวย
1
4 ของความยาวของเสนรอบวง = 1
4(2)
=
หนวย
1
2 ของความยาวของเสนรอบวง = 1
2(2)
= หนวย
3
4 ของความยาวของเสนรอบวง = 3
4(2)
= 3
2 หนวย
ให a เปนความยาวสวนโคงของวงกลมหนงหนวยทวดจากจด (1, 0) ไปยงจดโดยก าหนดทศทางดงน ถา a > 0 ถา a < 0 เปนการวดไปในทศทางทวนเขมนาฬกา เปนการวดไปในทศทางตามเขมนาฬกา จากความรเกยวกบการวดมมทมหนวยเปนเรเดยน จะไดวา
a a
r 1
a
เรยกจด (x, y) วาเปนจดปลายสวนโคงทยาว ทวดจากจด (1, 0) ไปตามสวนโคงของวงกลมยาว หนวย เขยนแทนดวย P() = (x, y) ซงเราสามารถหาจด P() บนวงกลมหนงหนวย ซงมจดเดยวทจบคกบ
x 0
(0,1)
(–1,0)
(0,–1)
(1,0)
y
ความยาวสวนโคง a คอมมทวดเปนแบบเรเดยนนนเอง....
Y
X 0 (1,0)
a > 0 P
O
Y
X 0
(1,0)
a < 0 P
O
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
3
ตวอยาง 3 จงหาจดปลายสวนโคงทยาว
P(0) = …………. P(
) = …………. P( 32) = ………….
P(2) = …………. P( 52
)= …………. P(3) = ………….
P(–
)= …………. P(–)= …………. P(– 3
2)= ………….
P(–2) = …………. P(– 5
2)= …………. P(–3)= ………….
y
x 0
(1,0)
O
y
x 0
(1,0)
O
y
x 0
(1,0)
O
y
x 0
(1,0)
O
y
x 0
(1,0)
O
y
x 0
(1,0)
O
y
x 0
(1,0)
O
y
x 0
(1,0)
O
y
x 0
(1,0)
O
y
x 0
(1,0)
O
y
x 0
(1,0)
O
y
x 0
(1,0)
O
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
4
ส าหรบ และเนองจากความยาวของเสนรอบวงของวงกลมหนงหนวยเทากบ 2 หนวยเทานน
ดงนน จะมจ านวนจรงอกมากมายนบไมถวนทจบคกบจด P() ดวยเชนกน จ านวนจรงเหลานคอจ านวนท เพมขนหรอลดลงจาก ครงละ 2 ซงไดแกจ านวนจรงท อยในรป + 2n เมอ n เปนจ านวนเตม เพราะฉะนน
ถา เปนจ านวนใด ๆ แลว P() = P( + 2n) เมอ n เปนจ านวนเตม ตวอยาง 4 จงหา P(
4) , P(
6) และ P(
3)
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
5
ตวอยาง 5 จงหา P() = (x, y) จากวงกลมหนงหนวยตอไปน
Y
X
P(2
) P( )
3
4P( )
3
2P( )
3
5P( )
3
P( 3
2)
P() P(0)
P( )6
5
P( )6
7P( )
6 11
P( )6
P( )4
3P( )
4
5P( )
4
7
P( )4
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
6
2. ฟงกชนตรโกณมต
เราจะอาศยวงกลมหนงหนวยเปนเครองมอในการสรางฟงกชนตรโกณมต ดงน ใหจด P(x, y) เปนจดใดๆ บนวงกลมหนงหนวย
ซงเปนจดปลายของสวนของเสนรอบวงกลมทยาว หนวย ลากสวนของเสนตรง PA ตงฉากกบแกน X ทจด A จะไดรปสามเหลยมมมฉาก OAP และจะพบวา
PA y
sin yOP 1OA x
cos xOP 1
นนคอ x = cos และ y = sin
จากลกษณะการก าหนดจดบนเสนรอบวงดงกลาว จะพบวาทกครงทก าหนดคา มาให เราสามารถ
หาจด P(x, y) ซงเปนจดปลายของสวนโคงทวดตามแนวเสนรอบวงทเรมตนทจด (1, 0) ทยาว หนวย ไดเพยงจดเดยว นนคอ แตละคา จะท าใหเกดคา x เพยงคาเดยว และคา y เพยงคาเดยว จากความเขาใจดงกลาวนเราสามารถน าไปสรางฟงกชนโคไซนและฟงกชนไซน ไดดงน บทนยาม ฟงกชนไซน หมายถง ฟงกชน sine : ℝ ℝ ซงนยามวา sine = {(, y) ℝℝ| P() = (x, y)} ฟงกชนโคไซน หมายถง ฟงกชน cosine : ℝ ℝ ซงนยามวา cosine = {(, x) ℝℝ| P() = (x, y)} จากบทนยามอาจกลาวไดวา ถาจด (x, y) เปนจดปลายของสวนโคงทวดตามแนวเสนรอบวงทเรมตนทจด (1, 0) ทยาว หนวย แลว
sin = y และ cos = x เนองจาก P() = (x, y) อยบนวงกลมหนงหนวย ดงนน –1 x 1 และ –1 y 1 นนคอ ถา ℝ แลว –1 cos 1 และ –1 sin 1 ดงนน
cosD = ℝ และ cosR = [–1, 1]
sinD = ℝ และ sinR = [–1, 1]
เนองจากมจ านวนจรงทมากมายทไมเทากน แตใหจดปลายสวนโคงเปนจดเดยวกน ดงนนฟงกชนไซนและโคไซน จงไมเปนฟงกชนหนงตอหนง
Y
X 0 (1,0)
O
P(x, y)
y x A
cos sin
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
7
จากสมการวงกลมหนงหนวย 2 2x y 1
ดงนน 2 2cos sin 1 เมอ เปนจ านวนจรง
นอกจากนยงมฟงกชนตรโกณมตชนดอนๆ อก ดงบทนยามตอไปน
บทนยาม ก าหนดให เปนจ านวนจรง (1) ฟงกชนแทนเจนต (tangent) คอฟงกชนทนยามวา
tangent =
sin
cos เมอ cos 0
(2) ฟงกชนโคแทนเจนต (cotangent) คอฟงกชนทนยามวา
cotangent =
cos
sin เมอ sin 0
(3) ฟงกชนเซแคนต (secant) คอฟงกชนทนยามวา
secant =
1
cos เมอ cos 0
(4) ฟงกชนโคเซแคนต (cosecant) คอฟงกชนทนยามวา
cosecant =
1
sin เมอ sin 0
หมายเหต tan =
1
cot เมอ cot 0
และ cot =
1
tan เมอ tan 0
จากนยามขางตน อาจหาความสมพนธระหวางฟงกชนตรโกณมตตาง ๆ ไดเชน
2 2csc – cot 1 เมอ sin 0
และ 2 2sec – tan 1 เมอ cos 0
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
8
คาของฟงกชนตรโกณมตของจ านวนจรงทควรสนใจ
เมอก าหนดจ านวนจรง และตองการหาคา sin และ cos เราสามารถหาไดโดยการหา P() = (x, y) ทไดแสดงแลวในหวขอ 3 คาของ x จะเทากบ cos และ y จะเทากบ sin ตอไปนเปนตารางหาคาของฟงกชนตรโกณมต เมอ เปนจ านวนจรงบางจ านวนทควรทราบ
0
3
2 2
6
4
3
P()=(x,y)
sin
cos
tan
cosec
sec
cot
ตวอยาง 6 จงหาคาของ sin , cos tan , cot , sec และ cosec เมอ ดงตอไปน
(1) = 2
3 (2) = 5
4
sin = ……… sin = …….…
cos = ……… cos = ………
tan = ……… tan = ………
cosec = …… cosec = ……
sec = ……… sec = ………
cot = ……… cot = ………
y
x 0
(1,0)
O
y
x 0
(1,0)
O
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
9
(3) = – 6
(4) = 9
4
sin = ……… sin = …….…
cos = ……… cos = ………
tan = ……… tan = ………
cosec = …… cosec = ……
sec = ……… sec = ………
cot = ……… cot = ………
(5) = – 3
2 (6) =
29
6
sin = ……… sin = …….…
cos = ……… cos = ………
tan = ……… tan = ………
cosec = …… cosec = ……
sec = ……… sec = ………
cot = ……… cot = ………
(7) = 21
4 (8) = – 23
3
sin = ……… sin = …….…
cos = ……… cos = ………
tan = ……… tan = ………
cosec = …… cosec = ……
sec = ……… sec = ………
cot = ……… cot = ………
y
x 0
(1,0)
O
y
x 0
(1,0)
O
y
x 0
(1,0)
O
y
x 0
(1,0)
O
y
x 0
(1,0)
O
y
x 0
(1,0)
O
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
10
ตวอยาง 7 จงหาจ านวนจรง มา 5 จ านวนซงท าใหแตละขอตอไปนเปนจรง (1) sin = 0 (2) cos = –1
(3) sin = 2
2 (4) sin = 3
2
(5) cos = 1
2 (6) cos = 3
2
ตวอยาง 8 จงหาคาของ
(1) sin cos tan sec3 4 4 6
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
11
(2)
5 9 5 7cos sin tan cos cot
2 3 4 6 6
(3) 2 2 2 21 1 43 tan sin cos ec cos
6 3 3 2 4 3 6
(4) 2 23sin sec cos ec sec sin cot
2 4 6 6 4
(5) 5 13 11 11 13 5sin cos tan cos ec( ) sec( ) cot( )
4 6 6 6 6 4
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
12
3. คาของฟงกชนตรโกณมต 3.1 การหาคาของ sin(–) และ cos(–) เมอ เปนจ านวนจรงบวก
ถาก าหนดให เปนจ านวนจรงบวกแลว – จะเปนจ านวนจรงลบ การหาคาของ sin(–) และ
cos(–) สามารถหาไดจาก sin และ cos ซงมความสมพนธกนดวยสตรทจะกลาวตอไปน ดงนน จงสรปความสมพนธระหวาง sin กบ sin(–) และ cos กบ cos(–) ไดดงตอไปน ตวอยาง 9 จงหาคาของ
(1) cos(–
6) = …………………………………………………………………..
(2) cos(– 7
6) = …………………………………………………………………..
(3) cos(–
4) = …………………………………………………………………..
(4) cos(– 3
4) = …………………………………………………………………..
(5) sin(–
3) = …………………………………………………………………..
(6) sin(– 2
3) = …………………………………………………………………..
(7) sin(– 5
6) + cos(– 4
3) = …………..………………………………………
sin(–) = –sin cos(–) = cos
จากบทนยาม เราจะไดวา sin = y และ sin(–) = –y cos = x และ cos(–) = x
y
x 0 A(1,0)
P() = (x, y)
P(–) = (x, –y)
0
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
13
3.2 การหาคาของ sin และ cos เมอ > 2
การหาคาของ sin และ cos เมอ ท > 2 มวธการดงน
ใหน า 2 ไปหาร และสมมตใหผลหารเทากบ n และเหลอเศษ ดงนน = 2n +
เมอ n เปนจ านวนเตมบวก หรอศนย และ 0 < 2 ดงนน จากทฤษฎบท 1 เราทราบแลววา
P(2n + ) = P() ดงนน P() = P() จงสรปเปนสตรการค านวณหา sin และ cos ไดดงน ตวอยาง 10 จงหาคาของ
(1) sin( 323) = …………………………………………………………………..
(2) cos( 25
6) = …………………………………………………………………..
(3) sin( 25
4) = …………………………………………………………………..
(4) sin( 25
4) + cos( 35
4) = …………………………………………………
= …………………………………………………
(5) cos( 653) – sin( 89
8) = …………………………………………………
= …………………………………………………
sin = sin (2n + ) = sin cos = cos (2n + ) = cos
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
14
3.3 การหาคาของ sin และ cos เมอ 2
< <
ก าหนด โดยท 2
< < ดงนน P() = P(x, y) เปนจดทอยในควอดรนตท 2
ตวอยาง 11 จงหาคาของ
(1) sin( 56) และ cos( 5
6) (2) sin(– 20
3) และ cos(– 20
3)
ตวอยาง 12 ก าหนดให sin(
10) = 0.309 และ cos(
10) = 0.951 จงหา
(1) sin( 9
10) (2) cos( 9
10)
ตวอยาง 13 ก าหนดให sin( 2
15) = 0.407 และ cos(
15) = 0.208 จงหาคาของ
sin(– 73
15) + cos( 104
15)
y
x 0 A(1,0)
P() = (x, y) Q(–x, y) = P( – )
B(–1,0) 0 sin = sin( – ) = sin cos = cos( – ) = –cos
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
15
3.4 การหาคาของ sin และ cos เมอ < < 3
2
ก าหนด โดยท < < 3
2 ดงนน P() = P(x, y) เปนจดทอยในควอดรนตท 3
ตวอยาง 14 จงหาคาของ sin( 5
4) และ cos( 5
4)
ตวอยาง 15 ก าหนดให sin(
12) = 0.259 และ cos(
12) = 0.966 จงหาคาของ
sin( 1312) และ cos(– 13
12)
ตวอยาง 16 ก าหนดให sin(
10) = 0.309 และ cos(
10) = 0.951 จงหาคาของ
sin( 2910) + cos( 31
10) + sin(– 51
10)
y
x
A(1,0) P() = (x, y)
Q(–x, –y) = P( – )
0 0
sin = sin( + ) = –sin cos = cos( + ) = –cos
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
16
3.5 การหาคาของ sin และ cos เมอ 3
2 < < 2
ก าหนด โดยท 3
2 < < 2 จะไดวา P() = P(x, y) อยในควอดรนตท 4
ตวอยาง 17 จงหาคาของ sin( 11
6) และ cos( 11
6)
ตวอยาง 18 จงหาคาของ sin(– 5
3) และ cos(– 5
3)
ตวอยาง 19 ก าหนดให cos(
18) 0.98 และ sin(
18) 0.17
จงหาคาของ cos( 3518) และ sin( 35
18)
sin = sin(2 – ) = –sin cos = cos(2 – ) = cos
A(1,0)
P() = (x, y)
Q(x, –y) = P(2 – )
y
x 0 0
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
17
จากหวขอ 3.3 ถง 3.5 เราสามารถสรปการหาคาของ sin และ cos โดยท ไดดงน
(1) หาจ านวนจรง โดยท 0
2 ซงท าให
= ความยาวสวนโคงระหวางจด P() และแกน x (2) หาคาของ sin และ cos (3) คาของ sin = sin และ cos = cos โดยเลอกเครองหมาย + หรอ – ตามจ านวนจรง ทท าให P() อยในควอดรนตทเทาใด ซงสรปเครองหมายของฟงกชนไซนและโคไซนไดดงน
คาของ tan , cot , cosec และ sec จะเปนจ านวนจรงบวก หรอลบนน กท านองเดยวกบ
คาของ sin , cos
นนคอ sin (–) = – sin cos (–) = cos tan(–) = – tan cot(–) = – cot cosec(–) = – cosec sec(–) = sec
y
x 0 0
sin > 0 cos > 0
sin > 0 cos < 0
sin < 0 cos < 0
sin < 0 cos > 0
y
x 0 0
sin > 0 csc > 0 cos > 0 sec > 0 tan > 0 cot > 0
sin > 0 csc > 0 cos < 0 sec < 0 tan < 0 cot < 0
sin < 0 csc < 0 cos < 0 sec < 0 tan > 0 cot > 0
sin < 0 csc < 0 cos > 0 sec > 0 tan < 0 cot < 0
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
18
ตวอยาง 20 ก าหนดให 0 2
และ sin = 0.5075 และ cos = 0.8090 จงหาคา
(1) sin(–) = ………………………………………………………………………
(2) cos(–) = ………...……………………………………………………………
(3) sin( – ) = ………………………………………………………………………
(4) sin( + ) = ……………………………………………………………………...
(5) sin( – ) = ………………………………………………………………………
(6) sin(2 – ) = ………………………………………………………………………
. (7) sin( – 2) = ……………………………………………………………………..
(8) cos( – ) = ………………………………………………………………………
(9) cos( – ) = ………………………………………………………………………
(10) cos(2 – ) = …………………...…………………………………………………
(11) cos( – 3) = ………………………………………………………………………
(12) cos( + ) = ………………………………………………………………………
ตวอยาง 21 จงหาคาแตละขอตอไปน
(1) cos(– 13
6
) + sin(– 7
6) – tan2 ( 5
6) sec2 ( 11
6)
(2) sin( 405 ) cos780
cos ec( 390 )
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
19
4. การวดมม ในการวดขนาดของมมจะมลกษณะของการวดมม 2 แบบ ดงรป (1) การวดมมในทศทางทวนเขมนาฬกา (2) การวดมมในทศทางตามเขมนาฬกา คาของมมทวดไดแสดงเปนจ านวนบวก คาของมมทวดไดแสดงเปนจ านวนลบ หนวยของมมทเกดจากการวดจะม 2 ลกษณะ คอ (1) หนวยของมมเปนองศา เปนการวดขนาดมมในระบบองกฤษ (Sexagesimal system) โดยถอวามมทเกดจากการหมนสวนของเสนตรงรอบจดๆหนงไปครบหนงรอบจะมขนาด 360 และแบงหนวยองศาออกเปนหนวยยอยๆ คอ ลปดา ( ) และ ฟลปดา ( ) โดยท 1 = 60 และ 1 = 60 (2) หนวยของมมเปนเรเดยน (Radean system) คอมมทจดศนยกลางของวงกลมซงรองรบดวยสวนโคงของวงกลมทยาวเทากบรศมของวงกลมนน ถอวาเปนมมทมขนาด 1 เรเดยน
จะเหนไดวา ส าหรบมมทจดศนยกลางของวงกลมทมรศม r หนวย ซงรองรบดวยสวนโคงของวงกลม
ทยาว a หนวย จะมขนาด a
r เรเดยน และถาใหขนาดของมมดงกลาวเปน เรเดยน
จะได = a
r เรเดยน
ดงนนมมทจดศนยกลางของวงกลมรศม 1 หนวย ทไดจากการหมนรศมไปครบ 1 รอบ มขนาด 2 เรเดยน แตมมดงกลาวเมอวดเปนองศาวดได 360 องศา ดงนน 360 = 2 เรเดยน 180 = เรเดยน 1 =
180 เรเดยน 0.01745 เรเดยน
1 เรเดยน =
180 องศา 57 18 57.2958
ดานเรมตน
ดานสนสด
ดานเรมตน
ดานสนสด
r
r
r
O 1 เรเดยน a
r
r
O a
rเรเดยน
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
20
ขอตกลง : ในกรณทเขยนมมโดยไมมหนวยก ากบ แสดงวาเปนการวดมมทมหนวยเปนเรเดยน ตวอยาง 22 จงเปลยนหนวยขนาดมมตอไปน (1 =
180 เรเดยน 0.01745 เรเดยน)
(1) 10 o = …………………………………………………………..
(2) 612 o = …………………………………………………………..
(3) 30 o = …………………………………………………………..
(4) 45 o = …………………………………………………………..
(5) 60 o = …………………………………………………………..
(6) 180 o = …………………………………………………………..
(8) 270 o = …………………………………………………………..
(9) – 135 o = …………………………………………………………..
(10) – 300 o = …………………………………………………………..
ตวอยาง 23 จงเปลยนหนวยขนาดมมตอไปน (1 เรเดยน =
180 องศา 57 18 57.2958)
(1) 1.4 เรเดยน = …………………………………………………………..
(2) 10 เรเดยน = …………………………………………………………..
(3) 7
8
เรเดยน = …………………………………………………………..
(4) 9
5
เรเดยน = …………………………………………………………..
(5) 11
6
เรเดยน = …………………………………………………………..
(6) 5
4
เรเดยน = …………………………………………………………..
(8) 5
3
เรเดยน = …………………………………………………………..
(9) – 3
4
เรเดยน = …………………………………………………………..
(10) – 76
เรเดยน = …………………………………………………………..
เ เพอใหเหนภาพพจนนกเรยนสงเกตขนาดของมม ทมขนาด 1 o และ 1 เรเดยน วามขนาดตางกนอยางไร o1
r
r 1 เรเดยน 57 18
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
21
5. ฟงกชนตรโกณมตของมม
เนองจากมมในต าแหนงมาตรฐาน(จดก าเนด)สามารถก าหนดไดดวยความยาวสวนโคงบนเสนรอบวงของวงกลมหนงหนวยเชนกน ดงนน เราจงสามารถหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม ไดเชนเดยวกบการหาคาของฟงกชนตรโกณมตของจ านวนจรงทกลาวไปแลว
นนคอ สวนโคงของวงกลมหนงหนวยทรองรบมม เรเดยน จะยาว หนวย จะเหนไดวา ไมวา
จะใชวธการวดมม หรอวดความยาวสวนโคงของวงกลม ดานสนสดของมมตดกบวงกลมหนงหนวยจะเปนจดเดยวกบจดปลายของสวนโคง ดงนนจงสรปวาไมวาจะนยามฟงกชนตรโกณมต ในแงของมม หรอในแงของความยาวสวนโคงของวงกลมหนงหนวยทรองรบมม(จ านวนจรง) คาของฟงกชนตรโกณมตของจ านวนจรงเหลานนจะมคาเทากน นนคอ sin อาจหมายถง sin ของมม เรเดยน หรอ อาจเปนจ านวนจรงกได ตวอยาง 24 จงหาคาของ
sin cos tan cot cosec sec
0
30
45
60
90
180
270
360
y
x
0 A (1,0) 0
B
ใหจดยอดของมมอยทจด (0, 0) และดานเรมตนของมมทาบไปตามแกน x ทางดานบวก เราจะกลาววามมนนอยในต าแหนงมาตรฐาน ให AOB มขนาด เรเดยน อยในต าแหนงมาตรฐาน จะได AB ยาวเทากบ หนวย
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
22
จากตวอยางจะพบวา การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม ซงมหนวยเปนองศา สามารถใชสตรตางๆ ทกลาวไปแลวของฟงกชนตรโกณมตของมมทมหนวยเปนเรเดยน หรอของจ านวนจรงได ซงจะไดรวบรวมใหเหนชดเจนอกครง ดงตอไปน
ระบบเรเดยน ระบบองศา ระบบเรเดยน ระบบองศา
sin(–) = –sin cos(–) = cos
tan(–) = –tan cot(–) = –cot sec(–) = sec
csc(–) = –csc
sin(–) = –sin cos(–) = cos
tan(–) = –tan cot(–) = –cot sec(–) = sec
csc(–) = –csc
sin( + ) = –sin cos( + ) = –cos tan( + ) = tan cot( + ) = cot
sec( + ) = –sec csc( + ) = –csc
sin(180 + ) = –sin cos(180 + ) = –cos tan(180 + ) = tan cot(180 + ) = cot
sec(180 + ) = –sec csc(180 + ) = –csc
ระบบเรเดยน ระบบองศา ระบบเรเดยน ระบบองศา
sin( – ) = sin cos( – ) = –cos tan( – ) = –tan cot( – ) = –cot sec( – ) = –sec csc( – ) = csc
sin(180 – ) = sin cos(180 – ) = –cos tan(180 – ) = –tan cot(180 – ) = –cot sec(180 – ) = –sec csc(180 – ) = csc
sin(2 – ) = –sin cos(2 – ) = cos tan(2 – ) = –tan cot(2 – ) = –cot sec(2 – ) = sec csc(2 – ) = –csc
sin(360 – ) = –sin cos(360 – ) = cos tan(360 – ) = –tan cot(360 – ) = –cot sec(360 – ) = sec csc(360 – ) = –csc
ระบบเรเดยน ระบบองศา
ถา n แลว
sin(2n + ) = sin cos(2n + ) = cos tan(2n +) = tan cot(2n + ) = cot sec(2n + ) = sec csc(2n + ) = csc
ถา n แลว
sin(n360 + ) = sin cos(n360 + ) = cos tan(n360 + ) = tan cot(n360 + ) = cot sec(n360 + ) = sec csc(n360 + ) = csc
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
23
7. เอกลกษณบางประการของตรโกณมต
จากสมการวงกลมหนงหนวย 2 2x y 1 และ x = cos และ y = sin เมอ เปนจ านวนจรง จะได 2 2cos sin 1 ….. (1) ถา cos ≠ 0 น า 2cos หารตลอด จะได สมการ (1) จะได 2 21 tan sec ..... (2)
ถา sin ≠ 0 น า 2sin หารตลอด จะได สมการ (1) จะได 2 21 cot csc ..... (3) ตวอยาง 25 จงแสดงวาสมการตอไปนเปนจรงส าหรบทกจ านวนจรง
(1) sin 1 cos
1 cos sin
(2) sin
1 coscsc cot
(3) 2 2 2 2sec csc sec csc (4) 2 2 2sec csc (tan cot )
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
24
ตวอยาง 26 จงพจารณาวาสมการตอไปนเปนจรงหรอเปนเทจ
(1) 2 2
2 2
1 sin A 1 cos A
cos A sin A = 2
(2) 2 2
2 2
sec A 1 cos ec A 1
tan A cot A = 2
(3) tan2A + cot2A – sec2A – cosec2A = 2 (4)
2 o 2 o 2 o 2 o
1 1 1 1
cos 18 sin 18 cot 18 tan 18 = 1
(5) ถา sec A + tan A = 2 แลวคาของ sec A – tan A = 0.5
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
25
ตวอยาง 27 จงตอบค าถามตอไปน
(1) จงหาคาของ cos
1 sin เมอก าหนดให sec – tan = 5
(2) จงหาคาของ 2
2
(1 cos )(1 cos ) cos
(1 sin )(1 sin )sin
(3) จงหาคาของ 1(csc cot )(csc cot )
(sec tan )(sec tan )
ตวอยาง 28 จงหาเซตค าตอบของสมการ
(1) 22sin x 1 cosx เมอ 0 x 2
(2) 2tan x 2tanx 3 0 เมอ 0 x 360
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
26
A B = 90
sin A = a
c = cos B
tan A = a
b = cot B
sec A = c
b = cosec B
A = 90 – B
จะได sin A = sin(90 – B) = cos B tan A = tan(90 – B) = cot B sec A = sec(90 – B) = cosec B
ขอสงเกต ถา ABC เปนสามเหลยมมมฉาก ทมมม C เปนมมฉาก
ฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชนจะมการจบคกนเปนค ๆ ไดแก sin คกบ cos, tan คกบ cot, sec คกบ cosec ฟงกชนในแตละคเรยกวา โคฟงกชน (Co – Functions) ซงกนและกน เชน sin 30 = sin(90 – 60) = cos 60 tan 75 = tan(90 – 15) = cot 15 sec 55 = sec(90 – 35) = csc 35
ตวอยาง 29 (1) ก าหนดให sin 20 = a, –1 a 1 จงหา cos 70
(2) จงหาคาของ tan 1 tan 2 tan 3 … tan 89
(3) จงหาคาของ
sin( 234 ) cos216tan 36
sin144 cos126
B
C A
a c
b
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
27
8. กราฟของฟงกชนตรโกณมต
ฟงกชนตรโกณมตเปนฟงกชนทเปนคาบ (period function) หมายถง ฟงกชนทสามารถแบงแกน x ออกเปนชวงยอยๆ โดยทความยาวของแตละชวงเทากน และกราฟของฟงกชนในชวงยอยแตละชวงมลกษณะเหมอนกน ความยาวของชวงยอยทสนทสด ซงมลกษณะดงกลาว เรยกวา คาบ (period) ของฟงกชน
ฟงกชนทเปนคาบซงมคาต าสด และคาสงสด จะเปนฟงกชนทมแอมพลจด ซงมคาเทากบครงหนงของผลตางระหวางคาสงสด และคาต าสดของฟงกชน นนคอ
แอมพลจด = 1
2(คาสงสดของฟงกชน – คาต าสดของฟงกชน)
1. กราฟของ y = sin x 2. กราฟของ y = cos x
โดเมน เรนจ คาบ คาสงสด คาต าสด แอมพลจด
y = sin x (–, ) [–1, 1] 2 1 –1 1
y = cos x (–, ) [–1, 1] 2 1 –1 1
3. กราฟของ y = tan x 4. กราฟของ y = cot x
โดเมน เรนจ คาบ คาสงสด คาต าสด
และ แอมพลจดไมม
y = tan x ℝ – { 3 5 7, , , ,...
2 2 2 2
} (–, )
y = cot x ℝ – { , 2 , 3 , 4 ,... } (–, )
1
Y
–1
X
2
–2
3
2
– –2 –3
2
2 0
1
Y
–1
X
2
–2
3
2
– –2 –3
2
2 0
1
Y
–1
X
2
–2
3
2
– –2 –3
2
2 0
1
Y
–1
X
2
–2
3
2
– –2 –3
2
2 0
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
28
5. กราฟของ y = sec x 6. กราฟของ y = cosec x
โดเมน เรนจ คาบ คาสงสด คาต าสด และ
แอมพลจดไมม y = sec x ℝ – { 3 5 7, , , ,...
2 2 2 2
} (– –1] [1, ) 2
y = cosec x ℝ – { , 2 , 3 , 4 ,... } (– –1] [1, ) 2
ตวอยาง 30 จงวาดกราฟ y = sin x และ y = cos x ลงบนแกนเดยวกน
และจงหาจ านวนจรง x ซง 0 x 2 และท าให sin x cos x ตวอยาง 31 จงวาดกราฟของ y = – cos x และ
จงหา x [0, 2] พรอมทงหาจ านวนจรง x ซงท าให sin x + cos x > 0
1
Y
–1
X
2
–2
3
2
–
–2 –3
2
2
0
1
Y
–1
X
2
–2
3
2
– –2 –3
2
2 0
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
29
9. ฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของจ านวนจรงหรอมม ก าหนดให A และ B เปนจ านวนจรงหรอมมใดๆ ตวอยาง 32 จงหาคาตอไปน 1. cos 15o 2. cos
12
3. cos 75o 4. cos 7
12
5. sin 15o 6. sin 512
7. tan 15o 8. tan 7
12
cos(A – B) = cos A cos B + sin A sin B cos(A + B) = cos A cos B – sin A sin B sin(A – B) = sin A cos B – cos A sin B sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
tan(A – B) = tanA tanB
1 tanAtanB
tan(A + B) = tanA tanB
1 tanBtanB
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
30
ตวอยาง 33 ก าหนด A และ B เปนมมในควอดรนตท 1 ซง
sin A = 4
5 และ cos B = 5
13
จงหาคาของ
(1) cos(A – B) = ...........................................................................................
= ...........................................................................................
(2) cos(A + B) = ...........................................................................................
= ...........................................................................................
(3) sin(A – B) = ...........................................................................................
= ...........................................................................................
(4) sin(A + B) = ...........................................................................................
= ...........................................................................................
(5) tan(A – B) = ............................................................................................
= ...........................................................................................
(6) tan(A + B) = ............................................................................................
= ........................................................................................... ตวอยาง 34 ก าหนด A และ B เปนมมในควอดรนตท 1 และในควอดรนตท 2 ตามล าดบ ซง
sin A = 4
5 และ cos B = 12
13
จงหาคาของ
(1) sin(A + B) = ...........................................................................................
= ...........................................................................................
(2) tan(A + B) = .................................................................................. .........
= ...........................................................................................
(3) มม A + B เปนมมในควอดรนตท .....................................................................
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
31
ตวอยาง 35 ถา cos(A + B) = 3
4 และ sin B = 1
4 เมอ 0 < B <
2 และ 0 < A <
2
จงหาคาของ sin A ตวอยาง 36 จงหาคาของ tan 15o + tan 30o + tan 15o tan 30o ตวอยาง 37 จงหาคาของ cos2 A + cos2(60o + A) + cos2(60o – A)
ตวอยาง 38 จงหาคาของ o o
o
cos10 sin40
sin70
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
32
ตวอยาง 39 ถา A + B = 495o, tan A 0 และ tan B 0 จงหาคา tanA tanB
1 tanA 1 tanB
ตวอยาง 40 จงหาคาของ cos 65o cos 20o + sin 65o sin 20o ตวอยาง 41 จงหาคาของ sin 110o cos 40o + cos 110o sin 40o
ตวอยาง 42 จงหาคาของ sin( )3
cos ( )6
+ cos ( )3
sin ( )6
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
33
10. เอกลกษณของโคฟงกชน ฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชน จะมการจบคเปนคๆ ไดแก ฟงกชนไซนคกบฟงกชนโคไซน ฟงกแทนเจนตคกบฟงกโคแทนเจนต และ ฟงกเซแคนตคกบฟงกโคเซแคนต ฟงกชนในแตละค เรยกวา โคฟงกชนของกนและกน ซงเอกลกษณของโคฟงกชน เปนเอกลกษณทหาคาฟงกชนตรโกณมตจากฟงกชนทเปนโคฟงกชน ซงมหลายรปแบบดงตอไปน
ถา เปนจ านวนจรง หรอ มมใดๆ
คาของฟงกชนตรโกณมตของจ านวนหรอมมในรป 2
หรอ 3
2
ขนาดมม คาของฟงกชนตรโกณมต
2
มมในควอดรนตท 1
sin(2
– ) = cos cosec(2
– ) = sec
cos(2
– ) = – sin sec(2
– ) = – cosec
tan(2
– ) = – cot cot(2
– ) = – tan
2
+
มมในควอดรนตท 2
sin(2
+ ) = cos cosec(2
+ ) = sec
cos(2
+ ) = – sin sec(2
+ ) = – cosec
tan(2
+ ) = – cot cot(2
+ ) = – tan
3
2
–
มมในควอดรนตท 3
sin( 3
2
– ) = – cos cosec( 3
2
– ) = – sec
cos( 3
2
– ) = – sin sec( 3
2
– ) = – cosec
tan( 3
2
– ) = cot cot( 3
2
– ) = tan
3
2
+
มมในควอดรนตท 4
sin( 3
2
+ ) = – cos cosec( 3
2
+ ) = – sec
cos( 3
2
+ ) = sin sec( 3
2
+ ) = cosec
tan( 3
2
+ ) = – cot cot( 3
2
+ ) = – tan
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
34
ตวอยาง 43 จงหาคาของ (1) sin 75o = .............................................................................................
(2) cos(–40o) = .............................................................................................
(3) tan( )3
= .............................................................................................
(4) cot( )12
= .............................................................................................
(5) sec 5( )
4 = .............................................................................................
(6) cosec(–105o) = .......................................................................................... ...
ตวอยาง 44 จงเขยนคาตรโกณมตตอไปนในรปของโคฟงกชนของมม เมอ 0 < < 90o
(1) sin 115o = .............................................................................................
(2) cos(–160) = .............................................................................................
(3) tan(–500) = ......................................................................... ....................
ตวอยาง 45 ก าหนดให sin 35o = 0.5736 และ cos 35o = 0.8192 จงหาคาของ (1) sin 235o = ............................................................................................
(2) cos(–235o) = ............................................................................................
(3) tan 595o = ............................................................................................
(4) cot(–595o) = ................................................................................ ............
ตวอยาง 46 จงเขยนคาตรโกณมตตอไปนในรปโคฟงกชนของ เมอ 0 < < 2
หรอ 0o < < 90o
7(1) sin
4 = ............................................................................................
o(2) cos 320 = ............................................................................................
8(3) tan
5 = ............................................................................................
o(4) cot( 350 ) = ............................................................................................
17(5) sec( )
10 = ............................................................................................
o(6) cos ec 665 = ............................................................................................
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
35
11. ฟงกชนตรโกณมตของสองเทาของจ านวนจรงหรอมม
เราสามารถใชความรเรอง sin(A + B), cos(A + B) และ tan(A + B) ชวยหาคาของ sin2A, cos2A และ tan2A ได ซงสรปไดเปนสตรดงน
ถา A เปนจ านวนจรงหรอมมใดๆ แลว sin 2A = 2 sin A cos A
= 2
2 tanA
1 tan A
cos 2A = cos2 A – sin2 A = 1 – 2 sin2 A = 2 cos2 A – 1
= 2
2
1 tan A
1 tan A
2
2 tanAtan 2A
1 tan A
ตวอยาง 47 จงหาคาของแตละขอตอไปน
(1) sin 15o (2) cos 22.5o (3) cos 105o (4) sin(–67.5o) (5) tan 75o (6) tan 105o
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
36
ตวอยาง 48 ก าหนด 0 < < 2
และ sin = 4
5 จงหาคา sin 2, cos 2 และ tan 2
ตวอยาง 49 ก าหนดให tan = 3
4 และ 0
2 จงหาคา sin 2, cos 2 และ tan 2
ตวอยาง 50 จงหาคาของ
(1) 2 oo
2 2
1 tan 752 tan15(2)
1 tan 15 1 tan 75
ตวอยาง 51 ก าหนดให 1tan
2 2 แลว จงหาคาของ sin + cos + tan
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
37
ตวอยาง 52 จงหาคาของ 2
2
1 tan ( )4 ;
81 tan ( )
4
ตวอยาง 53 จงหาคาของ sin 3 cos 3
sin cos
ตวอยาง 54 ถาก าหนดให tan 10o = a จงหาคาของ o o
o
tan178 tan108
1 tan178 tan108
ตวอยาง 55 ก าหนดให 0o < A < 90o และ 0o < B < 90o และ 3sin2 A + 2sin2 B = 1 3 sin 2A – 2 sin 2B = 0 จงหาคาของ A + 2B
คณตศาสตรเพมเตม 3 ฟงกชนตรโกณมต
38
ตวอยาง 56 ถา A และ B เปนจ านวนจรง โดยท A B2
และ
cos(A – B) = a , sin 2A = b และ sin 2B = c จงหา cos(A + B) ตวอยาง 57 จงหาเซตค าตอบของสมการ 2cos2 + 2cos 2 = 1 เมอ 0o 360o ตวอยาง 58 จงหาเซตค าตอบของสมการ cos2 + sin = 0 เมอ 0 2