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目 录

第一章 ABAQUS 动力学问题概述………………………………………………………………1

§1-1 动力学问题........................................................................................1

§1-2 结构动力学研究的内容........................................................................................3

§1-3 振动的分类......................................................................................................4

§1-4 结构动力学的研究方法....................................................................................5

§1-5 动力学问题的基本方程.......................................................................................5

§1-6 小结..............................................................................................................6

第 2 章 结构特征值的提取…………………………………………………………………………7

§2-1 问题的产生..................................................................................................7

§2-2 特征值的求解方法...........................................................................................7

§2-3 特征值求解器的比较...........................................................................................8

§2-4 重复的特征频率...........................................................................................9

§2-5 征值频率的提取 ...........................................................................................9

§2-6 频率输出 .............................................................................................12

§2-7 有预载结构的频率...........................................................................................16

§2-8 复特征频率和刹车的啸声分析..............................................................................17

第 3 章 模态叠加法………………………………………………………………………………22

§3-1 模态叠加法的基本概念......................................................................................22

§3-2 模态叠加法的应用............................................................................................24

第 4 章 阻尼………………………………………………………………………………………26

§4-1 引言............................................................................................................26

§4-2 阻尼............................................................................................................26

§4-3 在 ABAQUS 中定义阻尼.....................................................................................27

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§4-4 阻尼选择.....................................................................................................31

第 5 章 稳态动力学分析…………………………………………………………………………33

§5-1 稳态动力学简介..............................................................................................33

§5-2 分析方法..................................................................................................35

§5-3 激励和输出....................................................................................................36

§5-4 算例—轮胎的谐波激励稳态响应...........................................................................42

第 6 章 瞬态动力学分析…………………………………………………………………………49

§6-1 引言......................................................................................................49

§6-2 模态瞬态动力学简介.........................................................................................49

§6-3 分析方法....................................................................................................54

§6-4 载荷和输出.................................................................................................55

§6-5 算例—货物吊车..............................................................................................58

第 7 章 基础运动…………………………………………………………………………………64

§7-1 基础运动形式.................................................................................................64

§7-2 初级基础运动.................................................................................................65

§7-3 次级基础运动.................................................................................................66

§7-4 在 ABAQUS 中定义基础运动...............................................................................66

§7-5 算例............................................................................................................70

第 8 章 加速度运动的基线校准…………………………………………………………………73

§8-1 加速度基线调整和校准简介................................................................................73

§8-2 基线校准方法.................................................................................................74

§8-3 加速度基线校准步骤.....................................................................................76

§8-4 考虑基线校准的悬臂梁算例分析..........................................................................77

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第 1 章 ABAQUS 动力学问题概述

§1-1 动力学问题的产生

在现代结构和机械设计中，通常需要考虑两类荷载的作用——静力荷载(static loading)和动力荷载

(dynamic loading)，因此结构的设计也经常分为静力设计和动力设计两部分。对于静力设计和静力强度

计算已不存在什么问题，通过传统的经验设计和类比设计方法，根据相关规范，使用一般的通用程序即可

进行。但在工程中动力荷载作用事实上是普遍存在的，很多情况下仅仅进行静力计算将不能满足工程使用

要求，必须作动力分析和动态设计。 动力这个词可以简单地被定义为大小、方向或作用点随时间而改变的任何荷载，而在动力作用下结构

的反应亦即所产生的位移、内力、应力和应变也是随时间而改变的。可以认为静力荷载仅仅是动力荷载的

一种特殊形式。由于荷载和响应随时间而变化，显然动力问题不像静力问题那样具有单一的解，而必须建

立相应于时程中感兴趣的全部时间的一系列解答，因此动力分析显然要比静力分析更为复杂、且更消耗时

间。 但是，静力问题与动力问题还有更重要的区别。如图 1.1.1(a)所示，如果简支梁承受一静荷载 P，则

它的弯矩、剪力及挠曲线形状直接依赖于给定的荷载，而且可以根据力的平衡原理用 P 求出。而如果荷载

P(t)是动力的，如图 1.1.1(b)所示，则所产生的梁的位移与加速度有联系，这些加速度又产生与其反向的

惯性力，于是梁的弯矩和剪力不仅要平衡外加荷载，而且还要平衡由于梁的加速度所引起的惯性力(inertial forces)。

结构或构件上的动力作用其实就是惯性力作用，动力作用的大小（或者说显著与否）直接与惯性力大

小和惯性力随时间变化情况有关。根据牛顿第二定律可知，惯性力大小与结构或构件的质量(mass)和加速

度(acceleration)分别成正比。结构加速度所引起的惯性力，是结构动力学问题的一个更重要的区别特征。 一般来说，如果惯性力是结构内部弹性力所平衡的全部荷载中的一个重要部分，则在求解时必须考虑

问题的动力特征。如果运动非常缓慢，以致惯性力小到可以忽略不计的程度，则即使荷载和位移可能随时

间变化而变化，但对任何瞬时的分析，仍可用近似静力(quasi-static)结构分析的方法来解决。对于有些

情况下，虽然也存在着较大的惯性力，也仍然可以使用静力分析方法求解，例如离心荷载(centrifugal loading)。有时也可以通过在频域(frequency domain)内的频谱分析来研究一些工程振动问题，而没有

必要进行考虑惯性力的全过程分析。 通过以下的例子进一步研究静力分析和动力分析的必要性，以及在动力分析中存在的困难。首先我们

看如图 1.1.2 所示的浅拱（或扁壳）（shallow arch），在图示荷载的作用下它的响应是不是动力问题呢？

P P(t)

惯性力 (a) 静荷载 (b) 动荷载

图 1.1.1 静动力荷载作用下的简支梁

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回答时肯定的，因为在荷载增加到一定程度时，浅拱将发生跳跃(snap through)失稳，从一个平衡状态

跳跃到另一个平衡状态，但其过程是一个不稳定的状态，结构中要释放一定的应变能，显然这部分应变能

将转化为动能，使浅拱在一个平衡位置附近产生振动，这是一个动力问题，需要使用动力分析。但如果我

们主要关心的不是跳跃失稳的振动过程，而仅仅关心振动停止后平衡状态下的位移，那么也可以简单的使

用弧长法(arc-length method)对其进行静力求解（Risks），可以求得在不稳定阶段的静态平衡解。在

ABAQUS 中的输入命令为：

*static, riks ABAQUS 计算结果如图 1.1.3 所示，将得到一个由稳定平衡状态到不稳定状态，再到新的稳定平衡

状态的荷载-位移曲线。

再来研究一下弹性碰锁(latch)的拔出过程，在 ABAQUS 中可以建立如图 1.1.4 所示的分析模型。当

碰锁锁柄在逐渐增大的外力作用下被拔出的瞬间，碰锁之间将失去接触，积累的应变能量将被释放并转化

为动能，显而易见存在动力问题。但是如果我们关心的重点仅仅是拔出力和位移的关系或在在最大拔出力

作用下的应力状态，那么在 ABAQUS 中我们也可以使用粘滞性阻尼来平衡在碰锁分离过程中的响应，从

而进行静力求解，得到图 1.1.5 所示的荷载位移曲线。输入命令为：

*static, stabilize

图 1.1.5 拔出力-位移曲线 DISPLACEMENT –U1

REA

CTI

ON

FO

RC

E

图 1.1.4 碰锁的分析模型

F ?0

v

图 1.1.2 浅拱及作用荷载 图 1.1.3 浅拱的荷载-位移曲线

DISPLACEMENT -U2

REACTIO

N F

ORCE -

RF2

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由上述分析可见动力问题在工程中是普遍存在的，应该根据我们要研究问题的特征，确定是采用动力

分析，还是采用静力分析。有时复杂的动力问题不是我们关心的重点，那么就可以使用一些特殊的方法将

动力问题转化为静力问题来进行求解，在这方面 ABAQUS 程序具有十分强大的功能。当然 ABAQUS 程序

也提供了强大的动力分析方法和手段，本书的以后章节将重点介绍有关线性和非线性动力分析的内容。

§1-2 结构动力学研究的内容

如果假设由惯性力引起的运动与其它弹性内外力引起的运动相比小到可以忽略的程度，那么就可以使

用静力分析。在静力问题中，没有惯性力的存在，内外力之间的平衡的： 0==− umIP && (1.2.1)

式中 P 代表外力， I 代表内力，m 为质量，u&& 为位移的二阶导数（即加速度）。当然对于特定问题，应由

使用者来判断是否可以忽略惯性力的影响。 当不能忽略惯性力的影响时，就应该使用动力分析方法来解决问题。此时由于加速度的存在，使结构

的内外力之间不再保持平衡，而不平衡力在数值上应该等于惯性力的大小，即：

0≠=− umIP && (1.2.2) 我们还是回顾一下上节中浅拱的例子，如果考虑动力作用，将得到如图 1.2.1 所示的曲线。可见如果

不考虑阻尼的影响，将得到一个荷载随位移往复振动的结果；而如果存在一定的阻尼，结构振动的衰减幅

度将明显加快。但是对于非稳定状态的跳跃过程中荷载位移的详细信息只有通过 Riks 静力方法才能得到。

现在来研究某单自由度质量弹簧系统。外荷载分别在基本周期的 10％、100％和 500％的范围内全

部施加。从 ABAQUS 程序动力分析的结果中可以看出在速率最快荷载的作用下，弹簧系统产生的响应是

静态分析的 2 倍左右，如图 1.2.2 所示；在速率较慢荷载的作用下，将产生准静态响应。 接下来继续研究一个更为复杂的系统——离心转子，如图 1.2.3 所示。转子的速度在 10 秒内从 0 到

650rad/sec(大约 100 转/秒)。此时的瞬态动力响应如何呢？此问题能被当作稳态问题用静力方法来分析

吗？ 我们可以通过对以下几项内容的研究来回答上述问题：(1)在 10s 之内恒定的旋转加速度

(65rad/sec2)引起的应力；(2)10s 之后恒定的旋转速度(650rad/sec)引起的向心力；(3)上述两项引起

应力效应的迭加；(4)转子加速时间(10s)与结构振动的基本周期( fT 12 == ωπ )的比较。上述前 3 项

可以通过静态分析的方法得到，第 4 项可以通过自然频率分析的方法得到。

图 1.2.1 浅拱的荷载-位移对比曲线

DISPLACEMENT -U2

REACTIO

N F

ORCE -

RF2

图 1.2.2 质量弹簧的荷载-位移对比曲线

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对于静态分析，可以分别按照如下步骤进行操作： 步骤一：施加一个旋转加速度荷载，研究在这个荷载作用下的应力。

*DLOAD rotor, ROTA, 65, 可以得到最大的 Mises 应力为 0.17MPa。 步骤二：施加一个离心荷载，研究此荷载作用下的应力。

*DLOAD, op=new rotor, CENTRIF, 650, 可以得到此时的最大 Mises 应力为 34.4MPa。 步骤三：同时施加旋转加速度荷载和离心荷载，相当于在 t＝10s 时存在

的荷载，可以得到此时的最大 Mises 应力为 34.6MPa。 由此可见由最大旋转速度而产生的离心荷载下的应力(34.4MPa)远比由旋转加速度荷载而引起的应

力(0.17MPa)显著。因此如果某结构的应力是由稳定的旋转状态起控制作用，那么通过使用离心荷载进行

静力分析就足够了。 荷载作用速度快慢将直接影响结构的瞬态动力响应，影响的大小取决于加速度荷载作用时间与结构基

本周期的关系。通过对转子自然频率的提取分析可以得到结构的基本周期，它对应于结构的最低振动模态。

*FREQUENCY 2

可以得到结构基频(最低频率)为 840 圈/s，结构基本周期(最大的振动周期)为 0.0012s。可见荷载的

施加周期 10s 与转子的基本振动周期 0.0012s 相比是一个漫长的过程，瞬态动力响应是十分微小的。 其实在很多实际工程问题都存在动力问题，但并不一定都需要瞬态动力分析，有时仅仅使用等效静力

的稳态分析就足够了。因此在研究带有动力性质的问题是时必须适当考虑以下问题，采用适合的分析方法，

才能得到满意的结果： 1、能量守恒，即有多少应变能量转化为了动能； 2、阻尼和动能，即在真实结构中能量是如何耗散的，如何控制和使用阻尼才能使结构的振动更加接

近实际情况； 3、荷载，以何种速度施加荷载将直接影响计算结果。

§1-3 振动的分类

随着科学技术的飞速发展，各种工程结构和工业产品向大型、高速、大功率、高性能、高精度和轻结

构方向发展，使得动力学问题越来越突出和严重。例如飞机由于强度破坏而引起的事故中，90％是由振动

疲劳所至；高速喷气飞机的出现，促进了随机振动的研究；高层建筑的出现，必须事先对它进行结构响应

计算和地震评估；大功率的气轮发电机组出现频繁的事故，促进了转子动力学发展；高速公路和高速汽车

的发展，人们不得不研究侵彻问题和汽车碰撞动力学仿真；大型火箭导航陀螺的位置安排，必须考虑火箭

的模态形状，在设计过程中必须做振动模态计算和试验分析；大型空间站及太阳能电池帆板的结构尺寸可

以达到公里级，在微重力条件下的动力学行为无法在地面试验和观察，必须作精确的动力学仿真，因而促

进了柔性结构动力学及展开动力学的发展。动力荷载的作用是随时间变化的，结构动力学就是研究结构在

动荷载作用下产生响应的规律，或者说是研究结构、动荷载和响应三者的关系。 结构的动力响应可以是随时间变化的变形，如弹性变形和塑性变形等。但多数情况下的响应表现为振

动，即结构在平衡位置附近往复运动。结构振动分类方法很多，如单自由度系统的振动、多自由度系统的

振动和连续体的振动；线性振动和非线性振动等等。但从运动学的观点来看，可分为以下四种振动：

图 1.2.3 离心转子

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1. 周期振动——振动量是时间的周期函数，可写为 )()( Ttxtx += ，其中T 为周期。周期振动中的

一种典型振动为简谐振动，或称谐振动，可写为 )cos()sin()( αωϕω +=+= tAtAtx 。周期振动可以用谐

波分析的方法展开为一系列谐振动的叠加，其频谱为离散谱，而且都是基频的倍频关系； 2. 非周期振动——振动量是时间的非周期函数，其频谱一般为连续谱。也可为离散谱，但不是倍频

关系，而是无理数关系。如衰减振动是一种具有连续谱的非周期振动； 3. 瞬态振动——由冲击引起结构系统的振动，一般发生在较短的时间内； 4. 随机振动——受偶然因素影响的一种不确定性的振动。

§1-4 结构动力学的研究方法

结构动力学的研究方法可分为分析方法(结构动力分析)和试验方法(结构动力试验)两大类。结构动力

试验是产品设计和生产过程中不可缺少的环节，可直接检验产品的动力学性能，也为分析方法建立可靠的

数学模型提供了必要的数据。 分析方法的首要任务是建模(modeling)，建模的过程是对问题去粗取精、去伪存真的过程。模型是抽

象的，但能反应问题的本质。在结构动力学中，着重研究力学模型(物理模型)和数学模型。力学模型可分

为连续模型和离散模型两大类，连续模型对应的数学模型是偏微分方程，离散模型对应的数学模型是常微

分方程组或代数方程组。建模方法很多，一般可分为正问题建模方法与反问题建模方法。正问题建模方法

所建立的模型称为分析模型(或机理模型)。因为在正问题中，对所研究的结构(系统)有足够的了解，这种

系统称为白箱系统。我们可以把一个实际系统分解为若干个元素或元件(element)，对每个元素或元件直

接应用力学原理建立方程(如平衡方程、本构方程、汉密尔顿原理等)，再考虑几何约束条件综合建立系统

的数学模型。如果所取的元素是一无限小的单元，则建立的是连续模型；如果是有限的单元或元件，则建

立的是离散模型。这是传统的建模方法，也称为理论建模方法。反问题建模方法适用于对系统了解(称黑箱

系统——black box system)或不完全了解(称灰箱系统——gray box system)的情况，它必须对系统进

行动力学试验，利用系统的输入(荷载)和输出(响应——response)数据，然后根据一定的准则建立系统的

数学模型，这种方法称为系统辨识(system identification)或参数辨识(parameter identification)，它

也称为试验建模方法，所建立的模型称为统计模型。 也可将上述正反两种问题建模方法相结合建立系统的数学模型，如对一些大型复杂结构，可以先利用

有限元法建立系统的数学模型，然后再利用试验数据修改数学模型，使得修改后模型的输出与试验数据一

致。一般来说，数学模型的规模越大，自由度越多，则模型的精度越高，但同时也带来了计算上的耗费越

大，因此模型规模的选择要根据实际问题的需要来确定。例如美国土星 5 号运载火箭曾用有限元法离散为

4 种力学模型分别进行计算。

§1-5 动力学问题的基本方程

在动力平衡方程中，为了方便起见一般将惯性力一项隔离出来，单独列出，因此通常表达为： 0=−+ PIuM && (1.5.1)

其中 M 为质量矩阵，通常是一个不随时间改变的常量； I 和 P 是与位移和速度有关的向量，而与对时间

的更高阶导数无关。因此系统是一个关于时间二级导数的平衡系统，而阻尼和耗能的影响将在 I 和 P 中体

现。可以定义： uCKuI &+= (1.5.2)

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如果其中刚度矩阵 K 和阻尼矩阵C 为常数，系统的求解将是一个线性的问题；否则将需要求解非线性系统。

可见线性动力问题的前提是假设 I 是与节点位移和速度是线性相关的。 如果把公式(1.5.2)代入公式(1.5.1)中，则有

PKuuCuM =++ &&& (1.5.3) 上述平衡方程是动力学中最一般的通用表达形式，它适合于描述任何力学系统的特征，并且包含了所

有可能的非线性影响。如果方程中的第一项——惯性力——足够小时，可以令其为 0，则方程简化为静力

平衡方程的形式。 求解上述动力问题需要对运动方程在时域内积分，ABAQUS 中提供了很多有效的积分方法，我们将在

以后的各章节中详细介绍。空间有限单元的离散化可以把空间和时间上的偏微分基本控制方程组在某一时

间上转化为一组耦合的、非线性的、普通微分方程组。 线性动力问题是建立在结构内各节点的运动和变形足够小的假设基础之上的，能够满足线性叠加原理，

且系统的各阶频率都为常数。因此结构系统的响应可以由每个特征向量的线性叠加而得到，通常所说的模

态叠加法就是由此而来的。 在 ABAQUS 中根据线性分析的基本思想，总结归纳后得出了线性摄动分析的概念。概括来说，线性

响应就是基于在某预加荷载状态下的小扰动分析，可参考图 1.5.1。这个概念在某些情况下（如旋转电机

分析中）是十分重要的，因为此时系统恒定的旋转将产生应力硬化现象，这将显著改变此系统的切相刚度。

因此在 ABAQUS 中将允许对所研究的、整体上呈非线性的系统，在局部进行线性化处理。而且这种摄动

分析过程可以在非线性响应分析过程中的不同时间点上反复进行操作。

§1-6 小结

在静力分析中，结构响应与施加在结构上的荷载和边界条件有关，使用有限元方法可以求解得到应力、

应变和位移在空间上的分布规律；在动力分析中，结构响应不但与荷载和边界条件有关，还和结构的初始

状态有关，在时域的任何一点上都可以使用有限元法求解空间上的应力、应变和位移，然后可以使用一些

数值积分技术来求解得到时域中各个点上的响应。 某特定系统动力分析方法的选择在很大程度上依赖于是否需要详细考虑非线性的影响。如果系统是非

线性的，应该选择使用在时域上的直接积分法，甚至对于稳定的荷载作用也因该使用直接积分法才能得到

时域内的全部结果。其优点是可以得到分析模型在所有时间点上详细全面的计算结果，但缺点是计算分析

的代价可能比较昂贵。对于动力问题，如果系统能够被合理地线性化，最好选择使用模态分析的方法，因

为程序对线性问题分析的效率是较高的，而且同时在频域和时域范围内求解将更加有助于洞察系统的动力

特性。

P

u0u

线性扰动响应

P(u)实际的

非线性响应

图 1.5.1 关于初始状态 u0的线性摄动分析

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第 2 章 结构特征值的提取

§2-1 问题的产生

对于自由振动方程在数学上讲就是固有（特征）值方程(eigen-equations)。特征值方程的解不仅给

出了特征值(eigenvalues)，即结构的自振频率和特征矢量——振型或模态(eigenmodes)，而且还能使

结构在动力荷载作用下的运动方程解耦，即所谓振型分解法或叫振型叠加法(modal summation methods)。因此，特征值问题的求解技术，对于解决结构振动问题来说，是非常重要的。

特征值或特征频率的提取是建立在一个无阻尼自由振动系统上的，即振动方程中没有阻尼项的影响 0=+ KuuM && (2.1.1)

特征值和结构振动模态描述了结构在自由振动下的振动特点和频率特征。 通过使用振型分解法解得振型和频率，就能够很容易地求得任何线性结构的响应。而且通常在实际问

题中，只需要考虑前面几个振型就能获得相当精度的解。结构动力学的实际问题涉及面很广，对于只有几

个自由度的力学模型，只需要考虑一个或两个自由度就能求得动力响应的近似解，而对于具有几百个甚至

上千个自由度的高度复杂有限元模型，就需要考虑数十个甚至上百个振型对响应的影响。为了适应不同问

题的需要，逐渐产生了各种求解特征值问题的技术。据此，ABAQUS/Standard 提供了大量的求解方法

可供使用。 通常所说的特征值就是指结构的各阶固有频率(ω )，特征向量就是对应某个振动频率的振动模态(φ )。

公式(2.1.2)给出了对特征方程的表达形式，通过对其求解即可得到各阶频率和模态。

( ) 02 =− NMNMN MK φω (2.1.2)

其中MNK 为刚度矩阵，如果基本状态下包括了几何非线性的影响，则刚度矩阵中也包括了初始刚度的贡献；

MNM 为质量矩阵。

可见如果结构系统共有 Ndof个自由度，那么就可通过上述方程解得 Ndof个特征值和特征向量。当然结

构系统是可以被约束的，也可以是不被约束的。对于受约束的系统，在 ABAQUS/Standard 中预加荷载

的影响是可以被考虑的。 由结构动力学可知，绝大多数情况下，刚度矩阵 K 和质量矩阵 M 都是对称的和正半定的，其固有振

型相对于质量和刚度矩阵具有正交性，可用模态坐标使方程简化，而且频率　和特征向量　都是实数。而

对于非对称的情况，可以通过复模态理论来使方程解耦，计算其特征值问题，这一点在本章 2-8 节中还要

介绍。 对于某些工程问题，例如在稳态响应或者是长期响应占主导的动力问题中，我们经常可以遇到只需要

考虑系统的最低频率和模态的情况，此时求解过程简单，将节省大量的计算费用。

§2-2 特征值的求解方法

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在求解特征值问题时，大致有两种情况，一种是求解结构系统特征方程的全部特征值问题，即所有的

特征值和对应的特征向量；另一种是求解部分特征值问题，即部分（通常是最小或最大的一些）特征值和

对应的特征向量。这是因为，在结构动力学中，往往矩阵的阶数都很高，有时不可能，而且也没有必要求

解全部特征值和特征向量。在求解方法上，也分为两大类，一类是直接求解法(Direct methods)，另一

类是向量迭代求解法(Iterative methods)。 直接求解法包括 Householder QR 和 Givens 两种求解技术。这种方法可以用来研究需要求解所有

特征值和特征向量的自由度较少的系统，计算工作量是较大。计算过程中结构的特征矩阵可以被转化为一

个对称的对角阵形式，可以很容易地同时求解出所有特征值。对于较大的系统可以通过缩减技术来提高计

算效率，例如 Guyan 缩减法在求解时就可以有效地减少结构的自由度数目。 向量迭代方法包括反向迭代法(inverse iteration)、子空间迭代法(subspace iteration)和兰佐斯迭

代法(Lanczos technique)等。使用迭代法可以求解较大结构系统的少数特征值问题，计算时间依据结构

自由度的大小和需要提取的特征值个数而定。在 ABAQUS 中提供了两种提取特征值的求解器：Lanczos特征值求解器和子空间迭代求解器。

使用文件输入时，可以使用如下命令：

*FREQUENCY, EIGENSOLVER=SUBSPACE *FREQUENCY, EIGENSOLVER=LANCZOS

使用主菜单输入时选择Step Create: Frequency: Basic: Eigensolver: Lanczos or Subspace

§2-3 特征值求解器的比较

1. 效率的比较 对于需要求解多自由度系统的大量特征模态时，Lanczos 特征值求解器在整体上速度更快。例如对于

某噪声控制问题，处于临界状态时在某个需要研究的范围内可能有几百个特征值，而严格的设计恰恰要求

对此范围内的频率特性进行分析，此时就比较适合使用 Lanczos 特征值求解器。 对于需要求解不超过 20 个特征值的问题，使用子空间迭代法可能更快，反之效率可能不高。

2. 终止原则和精确性的比较 Lanczos 特征值求解器允许计算到特征值真正的误差限制点时才终止，可以满足正常的终止原则。对

于多数问题，相对误差为 1.E-12 量级，因此 Lanczos 求解器的计算结果精度一般要比子空间迭代法高。

Lanczos 求解器的计算时间线性依赖于需要提取的特征值的数量。 而子空间迭代法的终止与否是通过判断从一次迭代到下一次迭代过程中特征值的相对变化来实现的，

如果相对变化小于 1.E-5 则认为问题已经收敛，结束计算。 3. 重启动分析 Lanczos 求解器允许在特征值提取过程中使用重启动分析(restart analysis)。在需要求解更多模态的下

一步分析中，允许使用先前已经得到的特征模态结果。而且在重新进行的 Lanczos 求解过程中，特征值的

数量、频率范围和终止收敛点都相对独立于上一步的求解过程。如果新的求解过程中需要上一次计算已经

得到的结果时，程序此时会自动调用，而不是进行不必要的重新计算。 而应用子空间迭代法求解器计算特征值问题时是不允许进行重启动的。 应指出，在使用重启动时，应该事先或者以模型数据的形式，或者计算一个通用分析步来设置好边界

条件。如果在上一步特征值提取的历程数据中设置了边界条件，重启动的新一步中不会读取和使用任何上

一步的原始边界条件数据。也应该注意对于某特定模型，任何边界条件的变化都可能影响其特征值的计算

结果，因为这些变化可能导致模型刚度或质量矩阵的变化，因此使用重启动时一定要注意边界条件的一致

性。

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4. Lanczos 特征值求解器的限制条件 Lanczos 特征值求解器不能用于结构屈曲分析工程中，因为在屈曲临界点处刚度矩阵是非正定的。类

似的情况还有： 含有杂交单元的模型； 含有分布耦合单元的模型； 含有接触对或接触单元的模型； 模型的预加荷载超过分支屈曲荷载的情况。

§2-4 重复的特征频率

我们知道不同的特征向量之间对于质量矩阵和刚度矩阵都是正交的，即主振型之间没有惯性耦合和弹

性耦合，可以表达成公式(2.4.1)和公式(2.4.2)的形式。

0=βα φφ MT (2.4.1)

0=βα φφ KT (2.4.2)

其中 αφ 和 βφ 为不同的特征向量，即 βα ≠ 。可以证明任何两个特征向量之间的线性组合仍然是特征向量。

如果某结构的特征频率是不同的，那么相应的特征向量也是独立的。但如果特征频率是重复的，即在

某个值上存在对应很多不同振型的相同频率，则这时的特征向量就不再是单一的了。ABAQUS 可以很好区

分和处理这种重复的模态，但当想要得到一个自由结构的刚体模态时，也必须谨慎的加以区分。刚体结构

在整体坐标系下有平动和转动之分，分析后得到的特征向量通常是这些理想模态的混合体。例如平面内（二

维）一个独立单元的 0 频率(w1, 2, 3 =0)对应的模态表现为如图 2.4.1 所示的形式。

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图 2.4.1 平面问题中 0 频率的模态

图 2.5.1 发动机组的模型和网格划分

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§2-5 特征频率的提取

下面通过一个发动机组的例子来说明特征频率的计算和提取过程。模型及网格划分情况如图 2.5.1 所

示，划分网格时使用 10 节点的四面体单元(C3D10)。材料为钢材，使用线弹性模型。结构未被约束。 对于动力分析，必须定义材料的弹性性质和密度等，方法如下：

*MATERIAL,NAME=Steel *ELASTIC 101354.,0.25 *DENSITY 7.20E-9

材料密度为 7.20E-9T/mm3，菜单中的定义方法如图 2.5.2 所示。

进行的特征值提取的数据输入过程可以通过下面菜单交互式输入来完成，如图 2.5.3 所示。

上述定义过程也可以通过如下关键字的输入来完成。

自然频率的

提取过程

激活 Lanczos 求解器

提取前 100 阶频率

频移值 S

定义频移值 S 用来克服在提取未被约

束结构自然频率时数值计算上的奇异

图 2.5.3 特征值提取问题的数据输入方法

图 2.5.2 材料密度的定义方法

14

*STEP *FREQUENCY,EIGENSOLVER=LANCZOS 100, , ,-810000. : : *END STEP

如果需要使用子空间迭代求解器，则需要把 LANCZOS 改为 SUBSPACE。第三行后面的两个空格用

来定义感兴趣的频率范围，-180000 为频移值。 如果选择使用了 Lanczos 特征值求解器，用户可以根据需要指定最小的和（或）最大的频率，ABAQUS

将在指定的范围内按照指定的个数提取出特征值，如果在指定范围内特征值的实际个数少于所指定的特征

值的个数，则 ABAQUS 将把指定频率范围内的所有特征值全部提取出来。如果选择使用了 Lanczos 特征

值求解器，用户也可以定义频率的最大值，ABAQUS 将在最大值以下的范围内按照指定的个数提取特征值。

在*FREQUENCY 中还可以选择以下参数，选择方法如图 2.5.4 所示。 NORMALIZATION：用来控制特征向量是如何正交化的，对于每个特征向量来说，或者是最大位移

为 1、或者广义质量为 1。 PROPERTY EVALUATION：指定在频率提取过程中如何考虑如粘弹性、弹簧和阻尼器等依频率特性

变化而变化的材料特性。 由于所分析问题的复杂程度不同，必须对问题的大小、内存和硬盘的使用进行正确估计，如下表所示。 节点个数 640285 单元个数 402441 结构自由度个数 1920855 需要求解的特征值个数 100 最大的波前个数 7626 每次迭代时的浮点运算精度 2.82e+12 使用的最小内存 1.66 GB 最小输入/输出使用的内存 3 GB 因子文件大小 9.187 GB Lanczos 矢量文件大小 7.013 GB 其它临时文件大小 16.042 GB 使用 IBM B80 计算机进行计算，系统时钟为 375MHz。内存为 4GB，交换缓冲区为 4GB，硬盘空

间为 180GB。因此在定义内存的使用时可以把预处理器使用内存设置为 750MB，Standard 求解器使用

图 2.5.4 特征值分析中的其它参数

15

内存设置为 2000MB，如图 2.5.5 所示。

经过计算得到，发动机组结构的前 10 阶非刚体特征模态如图 2.5.6 所示。

§2-6 频率输出

我们以一个悬臂梁的例子来说明与频率输出有关的一些问题。悬臂梁如图 2.6.1 所示，梁的长度 L＝36in，弹性模量 E＝10Msi，截面高度 h＝2in，截面宽度 b＝1in，材料密度 ρ ＝0.0003。通过理论分析

(参见 Blevins, “Formulas for Natural Frequency and Mode Shape,” Krieger Publishing Co., 1995.)可知梁的自振频率为

图 2.5.6 发动机组的前 10 阶模态图示

模态 1 模态 2 模态 3

模态 4 模态 5 模态 6

模态 7 模态 8 模态 9 模态 10

图 2.5.5 内存的设置

16

A

EIL ρ

ω 2

2...)875.1(= (2.6.1)

在 ABAQUS/CAE 中，为了计算此悬臂梁的特征模态，选择梁单元来进行特征值分析。参数的定义和

输入方法参见上节，最后可以得到悬臂梁的各阶模态，其中的第 2 阶和第 4 阶模态形式如图 2.6.2 所示，

而第 1 阶和第 3 阶模态产生在垂直于纸面的平面内。 模型质量表如下：

TOTAL MASS OF MODEL

2.1600000E-02

LOCATION OF THE CENTER OF MASS OF THE MODEL

18.00000 0.0000000 0.0000000

MOMENTS OF INERTIA ABOUT THE ORIGIN

I(XX) I(YY) I(ZZ)

9.0000000E-03 9.331200 9.331200

PRODUCTS OF INERTIA ABOUT THE ORIGIN

I(XY) I(XZ) I(YZ)

0.000000 0.000000 0.000000

MOMENTS OF INERTIA ABOUT THE CENTER OF MASS

I(XX) I(YY) I(ZZ)

9.0000000E-03 2.332800 2.332800

PRODUCTS OF INERTIA ABOUT THE CENTER OF MASS

I(XY) I(XZ) I(YZ)

0.000000 0.000000 0.000000

各阶频率的计算结果如下：

图 2.6.1 悬臂梁

模态 2：45.5Hz

模态 4：285.2Hz

图 2.6.2 悬臂梁的振动模态

17

(RAD/TIME) (CYCLES/TIME)

MODE NO EIGENVALUE FREQUENCY GENERALIZED COMPOSITE MASS MODAL DAMPING

1 20445. 142.99 22.757 5.40000E-03 0.0000

2 81780. 285.97 45.514 5.40000E-03 0.0000

3 8.02960E+05 896.08 142.62 5.40000E-03 0.0000

4 3.21184E+06 1792.2 285.23 5.40000E-03 0.0000

5 6.29535E+06 2509.1 399.33 5.39997E-03 0.0000

6 1.72843E+07 4157.4 661.68 4.49857E-03 0.0000

7 2.41746E+07 4916.8 782.53 5.39987E-03 0.0000

8 2.51814E+07 5018.1 798.66 5.39997E-03 0.0000

9 6.34620E+07 7966.3 1267.9 1.08000E-02 0.0000

10 6.60620E+07 8127.9 1293.6 5.39965E-03 0.0000

将结构振动方程按正交化原理可以简化成若干个假想的与模态α 有关的单自由度体系，方程如下：

αααααα Pkqqcqm =++ &&& (2.6.2)

其中广义质量是一个数学上的中间量，没有明确的物理意义。

iTii Mm φφ= (2.6.3)

有关广义质量矩阵的计算方法、相关理论知识和其它参量的意义可参见附录 1 的内容。 公式(2.6.4)给出了振型参与系数的表达形式

jTi

iij MT

mφ1

=Γ (2.6.4)

其中 jT 代表整体结构的刚体模态向量。振型参与系数代表了某个振型在某个自由度方向上振动的参与程

度，它可以帮助使用者选择在某种给定荷载作用下最能代表某响应的模态。当设定基底运动来计算具有惯

性荷载的模型时，也常常使用振型参与系数，有关内容将在第 7 章讨论。

在本例中计算得到的各个振型参与系数 ijΓ 如下，其中沿列的方向为 i，沿行的方向为 j。其中由于计算

舍去误差，产生了许多近似为 0 的无穷小数值，可以视为 0。

MODE NO X-COMPONENT Y-COMPONENT Z-COMPONENT X-ROTATION Y-ROTATION Z-ROTATION

1 1.16098E-16 -5.31945E-17 1.5660 -1.16204E-16 -40.955 4.36320E-16

2 -5.87938E-18 1.5660 -6.79618E-16 8.88258E-20 1.57866E-14 40.955

3 -1.00136E-15 1.43326E-16 -0.86787 -8.64429E-16 6.5352 1.41999E-15

4 -4.25759E-15 -0.86787 -6.22473E-15 -4.51600E-15 2.65510E-14 -6.5352

5 -7.82337E-15 -9.72395E-15 0.50885 -9.12654E-15 -2.3340 -6.45957E-14

6 -7.63261E-15 -2.22581E-14 -2.13728E-14 1.2734 6.62988E-14 -1.00812E-13

7 7.04653E-14 6.70174E-13 -0.36380 -7.75658E-14 1.1911 3.12708E-12

序号 i 特征值ω 2 频率ω 广义质量 mi 阻尼，以后

讨论

18

8 -4.03433E-14 0.50885 4.76181E-13 1.68286E-14 -1.58293E-12 2.3340

9 1.2732 -5.56129E-12 -1.27299E-12 -1.71292E-11 1.70052E-12 -9.53263E-12

10 -1.80870E-12 6.41429E-12 0.28295 1.86502E-11 -0.72053 1.01045E-11

有效模态质量给出了整体模型质量在某模态代表的不同自由度方向上是如何分布的。它的计算表达式

为

( )2iji

effij mm Γ= (2.6.5)

对于平动模态，所有有效模态质量之和应该近似等于结构整体质量，即：

结构整体质量≈∑i

effijm (2.6.6)

如果上式不能成立，说明所求得的模态还不够多，尚需要继续进行模态分析。

在本例中计算得到的各个有效模态质量effijm 如下，其中沿列的方向为 i，沿行的方向为 j。

MODE NO X-COMPONENT Y-COMPONENT Z-COMPONENT X-ROTATION Y-ROTATION Z-ROTATION

1 7.27851E-35 1.52802E-35 1.32424E-02 7.29178E-35 9.0577 1.02803E-33

2 1.86663E-37 1.32424E-02 2.49416E-33 4.26061E-41 1.34577E-30 9.0577

3 5.41465E-33 1.10929E-34 4.06729E-03 4.03508E-33 0.23063 1.08884E-32

4 9.78863E-32 4.06729E-03 2.09235E-31 1.10129E-31 3.80677E-30 0.23063

5 3.30506E-31 5.10595E-31 1.39822E-03 4.49783E-31 2.94163E-02 2.25319E-29

6 2.62072E-31 2.22869E-30 2.05492E-30 7.29512E-03 1.97736E-29 4.57194E-29

7 2.68123E-29 2.42526E-27 7.14677E-04 3.24881E-29 7.66042E-03 5.28034E-26

8 8.78889E-30 1.39822E-03 1.22443E-27 1.52927E-30 1.35305E-26 2.94163E-02

9 1.75083E-02 3.34021E-25 1.75013E-26 3.16883E-24 3.12312E-26 9.81407E-25

10 1.76644E-26 2.22158E-25 4.32302E-04 1.87816E-24 2.80330E-03 5.51312E-25

通过计算可知结构的总质量为 2.16E-02。Y 方向弯曲模态 2 和 4 的贡献为(1.32424E-02)+

(4.06729E-03)=1.73097E-02，为总质量的 80％。 最后结构的特征值、特征频率、广义质量和振型发生方向的计算结果如下所示。

MODE NO EIGENVALUE FREQUENCY GENERALIZED MASS

(RAD/TIME) (CYCLES/TIME)

1 20445. 142.99 22.757 5.40000E-03 Z bend 1

2 81780. 285.97 45.514 5.40000E-03 Y bend 1

3 8.02960E+05 896.08 142.62 5.40000E-03 Z bend 2

4 3.21184E+06 1792.2 285.23 5.40000E-03 Y bend 2

5 6.29535E+06 2509.1 399.33 5.39997E-03 Z bend 3

6 1.72843E+07 4157.4 661.68 4.49857E-03 Torsion 1

7 2.41746E+07 4916.8 782.53 5.39987E-03 Z bend 4

8 2.51814E+07 5018.1 798.66 5.39997E-03 Y bend 3

9 6.34620E+07 7966.3 1267.9 1.08000E-02 Axial 1

10 6.60620E+07 8127.9 1293.6 5.39965E-03 Z bend 5

19

通过上述振型参与系数和有效模态质量，可以识别哪个振型（模态）对所要研究的荷载作用方向是有

用的。本例题中，如荷载是沿着 Y 方向作用的，则第 2 和第 4 阶振型的贡献是较大的，第 8 振型也有一定

贡献，必要时可以考虑，而其它振型是没有任何贡献的。

§2-7 有预载结构的频率

对于某个结构来说，如果被预先施加外荷载，其自振频率通常是会发生变化的。比如结构在拉力作用

下刚度会增加；而在压力作用下刚度会降低。因此频率会依据先前荷载作用历史状态的变化而变化。在

ABAQUS 中可以使用线性摄动的方法，计算在任何荷载步时、或在任何荷载作用状态下结构的自然频率。 摄动法是以先前状态为基准的线性求解步，它的计算并不会对原来的计算过程产生任何影响，即摄动

步在时程上占用的时间为 0，这样通过摄动法求解得到某一荷载作用状态下的特征频率和特征向量后，对

非线性分析的时间历程不会产生影响。当前进行的摄动法模态分析中使用的是与先前时程步骤中相同的边

界条件。非 0 的边界条件和荷载都是关于基本状态的扰动，换句话说，它们是与基本状态是有关的。有关

更详细的内容，读者可参考 ABAQUS 分析用户手册的 6.1.2 节。 下面介绍一个跳跃失稳的浅拱例子，如图 2.7.1 所示。步骤如下： 步骤 1：对未加荷载结构频率的计算； 步骤 2：在浅拱结构中心施加 32 lbf 的荷载； 步骤 3：在 32 lbf 荷载的作用下、跳跃失稳发生之前的时

刻进行频率计算； 步骤 4：使用位移控制加载，使结构发生跳跃失稳，直到

中点竖向位移达到 14 in； 步骤 5：转回到荷载控制，在浅拱中心施加荷载为 50 lbf； 步骤 6：在 50 lbf 荷载的作用下、发生跳跃失稳之后，再

次进行频率计算。 经过计算可以得到浅拱的荷载位移曲线如图 2.7.2 所示，图中的 A、B、C 点为如上步骤中所说的频

率计算点，图中还给出了各点的基本频率为：52.7Hz、12.4Hz 和 31.7Hz，由此可以看出结构上所加荷

载对其基频的影响。图 2.7.3 给出了不同荷载作用时刻浅拱的第一模态和原始形状的对比，从图中可以看

出不同时刻的模态（振型）是不同的，也正说明了结构预加荷载的影响。

F ?0

v

图 2.7.1 浅拱和作用荷载

Mode 1: 52.7 Hz

Mode 1: 12.4 Hz

Mode 1: 31.7 Hz

A

C

B

Mode 1: 52.7 Hz

Mode 1: 12.4 Hz

Mode 1: 31.7 Hz

A

C

B

图 2.7.2 浅拱的荷载位移曲线

20

§2-8 复特征频率和刹车的啸声分析

在前面各节讲述的多自由度响应的问题中，认为质量矩阵和刚度矩阵都是正定对称的；而且认为系统

阻尼是比例阻尼，是一种可解耦阻尼；同时结构固有模态（振型）相对于质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵

都具有正交性。因此可用模态坐标使方程简化，这种理论称为实模态理论。但是如果刚度矩阵和阻尼矩阵

是非对称的，则不能用常规方法将方程解耦，这时必须用复模态解耦，称这种方法为复模态理论(complex modal theory)。

复特征值理论使用投影法(projection method)来提取系统的复特征值(complex eigenvalues)。有限元模型的特征值问题可以用以下公式来表达：

0)( 2 =++ NMNMNMN KCM φμμ (2.8.1)

其中MNM 是质量矩阵，通常是对称的和半正定的；

MNC 是阻尼矩阵；MNK 是刚度矩阵，可以包括预载荷

和阻尼的影响，因此有可能是非对称的；μ 是复特征值；Nφ 是复特征向量，即振动模态；上标 M 和 N 代

表自由度。 在 ABAQUS/Standard 中，复特征值的提取过程使用子空间投影法，而且在复特征值提取过程之前，

一般先进行具有对称刚度矩阵的无阻尼系统的特征值和特征模态的计算。全部的子空间都被缺省地作为基

本矢量，ABAQUS/Standard 在考虑用户对子空间的各种规定之后，通常计算出投影空间内所有的有效

复模态。用户指定的需要求解的特征模态数不能超过投影子空间的维数。在复特征值提取过程中，为了能

够计入刚度矩阵或阻尼矩阵非对称的影响，程序能够自动使用非对称矩阵求解和存储方法。如果用户强行

指定了对称矩阵的求解技术和存储方法，矩阵非对称性的影响将被忽略。 输入文件如下：

*COMPLEX FREQUENCY 在菜单中的输入方法如下：

Create Step: Linear perturbation: Complex frequency: Number of eigenvalues requested: All or Value 下面以一个刹车啸声分析(Brake Squeal Analysis)的例子说明复特征值求解器的应用过程。采用

TRW 汽车刹车的实物和模型，如图 2.8.1 所示。计算得到的复特征频率和复模态的动画可以说明刹车啸

声噪音的产生时某频率下结构的变形状态。

模态 1 的形状

0 lbf 时的原始形状

模态 1 的形状

32 lbf 时的原始形状

模态 1 的形状

50 lbf 时的原始形状

（a）A 点的模态 1 （b）B 点的模态 1 （c）C 点的模态 1

图 2.7.3 不同荷载作用时刻浅拱的第一模态

21

使用 ABAQUS 计算在预加荷载作用下的复特征模态，其中可以包括几何和材料非线性的影响。同时

ABAQUS 可以在不需要用户的任何外部干预的情况下，内部自动计算并计入摩擦对刚度和阻尼矩阵的贡献

（或影响），即摩擦导致的阻尼可以被考虑在内。 考虑阻尼项以后，结构振动方程的形式仍然不变，为

0=++ KuuCuM &&& (2.8.1) 其中质量M 质量矩阵；C 为阻尼矩阵，可以包括摩擦导致的阻尼（正和负）的影响； K 为刚度矩阵，由

于摩擦作用，亦可能是非对称的；未知向量u 的表达形式为

tAeu μ= (2.8.2)

iωαμ ±= (2.8.3)

因此有

)sincos( 21 tAtAeu t ωωα += (2.8.4)

根据复模态理论，如果 0>α ，则表明是一个不稳定的模态。 刹车啸声分析的过程如下： (1) 使用通常的静力荷载步施加预载。使用面面接触，并且考虑几何非线性的影响。不约束轮盘各节

点的切向自由度。 (2) 确定系统在运动中的稳态平衡。例如定义摩擦垫是静止的，轮盘是转动的。可以使用如下命令：

*MOTION, ROTATION (3) 进行复特征频率的提取。首先需要进行自然频率的提取；然后依据先前定义的运动，程序会自动

检查不同速度的节点处的滑动条件；最后进行模态分析。 与轮盘弯曲振动相关联的摩擦应力（变形如图 2.8.2a），将影响刚度矩阵，使其变成非对称的矩阵；

摩擦垫切向振动相关联的摩擦应力（变形如图 2.8.2b），将导致阻尼矩阵具有非对称性，程序能够自行考

虑，是正是负依据滑动的速率。 在ABAQUS中建立如图 2.8.2所示的简化模型，具体过程不做详细叙述，最后得到的模型具有 26000个单元、37000 个节点和 440000 个自由度数。通过 ABAQUS/CAE 的菜单输入，还需要完成以下如图

2.8.3 和图 2.8.4 所示的过程。

图 2.8.1 TRW 汽车刹车的实物及 ABAQUS 模型

22

图 2.8.4 编辑步骤菜单

图 2.8.3 步骤管理菜单

(a) (b)

图 2.8.2 弯曲变形与切向变形

23

也可以通过关键字文件的输入来完成此过程： *Step, name=preloading *Static, nlgeom : *End Step **

*Step, name=steady-state rotation *Static, nlgeom : *Motion, type=VELOCITY, rotation : *End Step ** *Step, name=extract natural frequencies *Frequency : *End Step *Step, name=extract complex eigenvalues *Complex Frequency, friction damping = [NO|YES] : *Select Eigenmodes : *End Step ** *Step, name=change friction *Static, nlgeom : *Change Friction *Friction : *Motion, type=VELOCITY, rotation : *End Step ** *Step, name=extract complex eigenvalues 2 *Complex Frequency, friction damping = [NO|YES] *End Step

ABAQUS 计算之后可输出的变量包括： EIGREAL, EIGIMAG—特征值的实部和虚部，即前面公式中的α 和ω ； U—复特征向量； GU—广义特征位移，即投影系统的复特征模态； E, S—复应变和复应力；

DAMPRATIO—由 ωα∗− 2 定义的阻尼比；

SENER—弹性应变能密度：

2122 ])::()::[()::( riiriirriirrIE εσεσεσεσεσεσ ++−++=

24

其中 rσ 和 iσ 为应力张量的实部和虚部； rε 和 iε 为应变张量的实部和虚部。

在各计算过程中 CPU 所需时间为：静力分析为 23 分钟；自然频率的提取（100 阶模态）为 17 分钟；

复特征值的求解为 5 分钟。 计算得到的模态耦合结果如图 2.8.5 所示。可以看到当两个自然频率相接近时就会出现啸声现象，频

率为 2KHz 时的结构响应如图 2.8.6 所示。图 2.8.7 给出了当摩擦系数为 0.3 和 0.5 时，阻尼比和频率

的关系曲线。可见在频率为 2KHz 的位置发生了啸声现象；当摩擦系数增大到 0.5 时，又产生了三个附加

啸声模态，但是它们的影响要小得多。

1940

1950

1960

0.01 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Friction Coefficient

Freq

uenc

y (H

z)

1940

1950

1960

0.01 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Friction Coefficient

Freq

uenc

y (H

z)

稳定的区域， 没有啸声

非稳定的区域，发生啸声

图 2.8.5 频率与摩擦系数的关系 图 2.8.6 频率为 2KHz 时的变形响应

啸声模态

3 个附加啸声模态

3.0=μ 5.0=μ图 2.8.7 啸声模态与频率的关系

25

第 3 章 模态叠加法

§3-1 模态叠加法的基本概念

对于多自由度系统，如果考虑粘性阻尼，则其受迫振动的微分方程为

)(tfKuuCuM =++ &&& (3.1.1)

解此运动方程一般有两类方法，一类是直接积分法，就是按时间历程对上述微分方程直接进行数值积

分，即数值解法。常用的数值解法有中心差分法、纽马克法和威尔逊-θ 法，这将在以后介绍。另一类解法

就是模态（振型）叠加法，在叙述模态叠加法之前，首先介绍一下展开定理。

若已解出系统的各阶固有频率 1ω 、 2ω ，…， nω 和各阶主振型（模态） 1φ ， 2φ ，…， nφ ，并有

{ }Tniiii aaa ,,, 21 L=φ (3.1.2)

因为主振型的正交性，可知主振型是线性无关的，设有常数 1ξ 、 2ξ ，…， nξ 使

∑=

=n

iii

10φξ (3.1.3)

上式两端左乘 MTjφ 有

∑=

=n

ii

Tji M

10φφξ (3.1.4)

注意到主振型关于质量阵的正交性： 0=iTj Mφφ ，并代入上式，可推出 021 ==== nξξξ L ，这就

证明了 1φ ， 2φ ，…， nφ 线性无关。

于是，由线性代数理论知向量 1φ ， 2φ ，…， nφ 构成了 n 维空间的一组向量基，因此对于 n 个自由度

系统的任何振动形式（相当于任意一个 n 维矢量），都可以表示为这 n 个正交的主振型的线性组合，即

∑=

=n

jiiu

1φξ (3.1.5)

写成矩阵的形式为

φξ=u (3.1.6)

上式就是展开定理，在线性代数中称为坐标变换。用模态（振型）叠加法求系统动力响应就是建立在

26

展开定理的基础上。但在实际问题应用中，应注意的是系统的自由度太多，而高阶模态对响应的影响通常

又很小，所以应用时在满足工程精度的前提下，只取低阶模态（N<<n）作为向量基，而将高阶模态截断。

模态截断是一种近似，取多少阶模态合适，这要遵循模态截断准则，要深入了解这方面的知识，可参阅有

关资料。

根据展开定理，对方程(3.1.1)实行坐标变换，再以模态矩阵的转置Tφ 前乘方程的两边，得

)(tfKCM TTTT φφξφξφφξφφ =++ &&& (3.1.7)

若系统为比例阻尼，则可利用正交条件使上述方程变为一系列相互独立的方程组

fKCM =++ ξξξ &&& (3.1.8)

其中M 、C 和 K 都是对角矩阵，它们的对角线元素分别为

iTii Mm φφ=

iiiTii MCc ωξφφ 2==

iiiTii MKk 2ωφφ ==

nimk iii ,,2,1/2 L==ω (3.1.9)

其广义力为

)(tff Tii φ= (3.1.10)

这样方程组(3.1.8)可写为

nifkcm iiiiiii ,,2,1 L&&& ==++ ξξξ (3.1.11)

这是 n个相互独立的单自由度系统的运动方程，每一个方程都可以按单自由度系统的振动理论去求解。

如果 if 为任意激振力，对于零初始条件的系统可以借助于杜哈梅积分公式求出响应，即

∫ −=t

iii dtfh0

)()( τττξ (3.1.12)

其中 )(thi 为单位脉冲响应函数。

如果 if 为简谐激励，即

tjii eff ω0= (3.1.13)

则系统的稳态响应为

tjii e ωξξ 0= (3.1.14)

将上式代入方程(3.1.11)，可解得

27

iii

ii cjmk

fωω

ξ+−

= 2 (3.1.15)

或

)21()21( 222

iiiii

i

iiii

ii jm

fjk

fλξλωλξλ

ξ+−

=+−

= (3.1.16)

其中， ii ωωλ /= ，在主坐标 iξ 解出后，还应返回到原广义坐标 iu 上，利用公式(3.1.5)和公式(3.1.6)得

∑= +−

=n

i iii

iTi

cjmkfu

12 ωωϕφ

(3.1.17)

上式表示了多自由度系统在简谐激振力 f 作用下的稳态响应。从中可以看出激振响应除了与激振力 f

有关外，还与系统各阶主模态及表征系统动态特性的各个参数有关。

如果系统仅在第 r 个坐标处进行单点激振，其激振力为tj

rr eff ω0= ，那么在第 s 个坐标处的响应可

以从公式(3.1.17)得到

∑= +−

⋅=

n

i iii

rsirisr cjmk

fx1

2 ωωφφ

或

∑∑== +−

=+−

=n

i iiiii

rsirin

i iiii

rsirisr jm

fjkfx

122

12 )21()21( λξλω

φφλξλ

φφ (3.1.18)

以上就是模态叠加法的一些基本原理，更加详细的介绍，读者可参考有关文献。通过以上的讲述内容

可见在以模态理论为基础的各种分析过程中，必须首先进行模态分析，提取结构的自然频率。

§3-2 模态叠加法的应用

模态叠加法的应用十分广泛，本节给出的以下结构分析中都可以使用到模态叠加法。本节仅仅进行简

单介绍，详细的应用方法参见以后各章节。

3.2.1 稳态的谐波响应分析

通常使用基于系统自然模态的稳态动力分析，计算系统在谐波激励下的线性响应，这种基于模态的计

算方法比直接积分的方法的计算速度更快。以频率的函数形式表达的结果变量（位移和应力等）是以同相

（实部）和异相（虚部）两个部分给出的。对于需要以模态叠加计算响应的时候，必须事先进行频率提取

的计算。 使用这种方法，可以在用户指定的频率范围内计算结构在谐波激励下的响应幅值和相位。典型的工程

应用包括：在不同发动机运行速度的范围内发动机架的响应；建筑物内旋转的机械设备；飞机发动机的组

成部件等等。

28

3.2.2 瞬态模态动力学分析

在模态动力分析过程中，对线性问题使用模态叠加法可以计算得到结构的动力时程响应，因此必须事

先进行频率和模态的提取和计算。 线性问题在时域内的瞬态模态动力学分析过程与非线性问题十分相似，但速度却提高很多。系统的响

应首先被“投射”到模态上，随后模态响应在时域内持续向前进行积分。方程组解耦后，每一个模态对应的

方程都是非耦合的，所以不需要进行方程组的求解。在模态动力分析中，应根据经验使用一定技巧以确保

选取的模态的子集是足够的，这样才能使计算结果准确地代表结构在荷载作用下的真实响应。

3.2.3 响应谱分析

当结构承受某些固定点的动力作用时，这种方法可以计算出结构的峰值响应，如应力和位移等。也就

是说，对于用户提供和输入的反应谱（例如地震作用等），通常使用线性响应谱分析可以得到系统响应的近

似上限值。这种方法计算费用较低，但能提供系统性能的有用信息。可以把这些固定点的运动称为基底运

动，例如地震作用就是通过基底运动的形式输入的。

3.2.4 随机响应分析

当结构所受振动是连续的，并且可以使用功率谱密度(PSD)函数来表达作用荷载时，该结构在随机振

动作用下的线性响应可以通过模态叠加原理的方法计算得到。系统的响应是以统计量值的形式计算得到的，

例如节点和单元变量的平均值和标准差等。 随机响应分析在工程上的应用有：飞机对湍流的响应、结构对喷气发动机产生噪声的响应等。 随机响应分析在本书中不做更加深入的介绍，读者可以参考 ABAQUS 分析用户手册获得更多的资料。

29

第 4 章

阻 尼

系统结构特征值和模态的求解是在无阻尼情况下得到的，而在动力学问题中，任意结构都应存在或大

或小的阻尼，阻尼的大小将会对系统动力学响应产生一定的影响。本章主要讨论在动力学分析中怎样应用

ABAQUS 定义系统的阻尼特性。

§4-1 引言

当系统作无阻尼自由振动时，由于没有能量输入与输出，系统机械能守恒，系统的振幅为常数。然而

在实际结构中，这种无阻尼自由振动并不存在。结构运动时能量耗散，振幅将逐渐减小直至停止振动，这

种能量耗散被称为阻尼(damping)。

通常假定阻尼为粘性的，其大小正比于速度，方向与速度相反。有阻尼结构系统的动力学方程可以写

为：

0Mu I P+ − =&& (4.1.1)

I Ku Cu= + & (4.1.2)

其中， C 为结构的阻尼矩阵，u&为结构的速度。

能量耗散来源于几个因素，其中包括结构连接处的摩擦和局部材料的迟滞效应。阻尼对于表征结构吸

收能量是一个很方便的方法，它包含了重要的能量吸收过程，而不需要模拟耗能的具体机制。

§4-2 阻尼

在 ABAQUS/Standard 中，特征模态的计算是从无阻尼系统中提取出的。然而，大多数工程问题都

包含某种阻尼，尽管阻尼可能很小。

对于每一模态，有阻尼固有频率和无阻尼固有频率之间的关系是：

21dω ω ξ= − (4.2.1)

其中 dω 是有阻尼的固有频率；c

cc

ξ = 为临界阻尼； c是该模态的阻尼， 0c 是该模态的临界阻尼。

当临界阻尼ξ 取较小值( < 0.1ξ )时，有阻尼系统的特征频率和特征向量与无阻尼系统非常接近；随着

ξ 的增加，采用无阻尼系统求得的特征频率就会开始变得不准确，当ξ 接近 1 时，无阻尼特征频率和特征

向量就失效了。但是，大多数用线性动力学分析的结构问题只有很小的阻尼，因而可以采用无阻尼特征频

率。

30

当结构处于临界阻尼即 1ξ = 时，施加一个扰动后，结构不会振荡，而是尽可能迅速地恢复到它的初

始静止构形，如图 4.2.1 所示。

§4-3 在 ABAQUS 中定义阻尼

在 ABAQUS 中阻尼可以应用在下面的动力学分析中：

非线性问题直接积分求解(显式分析或者隐式分析)；

直接法或子空间法稳态动力学分析；

模态动力学分析(线性)。

针对模态动力学分析，在 ABAQUS/Standard 中可定义几种不同类型的阻尼：直接模态阻尼(Direct

Modal Damping)，瑞利阻尼(Rayleigh Damping)，复合模态阻尼(Composite Modal Damping)和

结构阻尼(Structure Damping)。

ABAQUS 模态动力学分析中用*MODAL DAMPING 选项来定义阻尼。阻尼是包含在分析步内定义

的一部分，每阶模态可以定义不同量值的阻尼。

4.3.1 直接模态阻尼

采用直接模态阻尼可以定义对应于每阶模态的阻尼比ξ 。其典型的取值范围是在临界阻尼的 1％～

10％之间。直接模态阻尼允许用户精确定义系统的每阶模态的阻尼。

在分析步骤内定义直接模态阻尼。如图 4.3.1 所示，激活直接模态阻尼选项(Direct modal)，并在数

据行内输入数据。

图 4.2.1 阻尼 图 4.2.1 阻尼

31

对应的 ABAQUS 输入文件为：

*MODAL DAMPING, MODAL=DIRECT

m1, m2, 　　

其中，*MODAL DAMPING 选项中的 MODAL=DIRECT 参数表示被指定的直接模态阻尼，数

据行输入的数据m1为起始模态序号，m2为截止模态序号，　　为模态阻尼比。例如，对于前 10 阶振型

的阻尼定义为 4%的临界模态阻尼，11～20 阶振型的阻尼为 5%的临界阻尼，在分析步骤中的定义如下：

*MODAL DAMPING, MODAL=DIRECT

1，10，0.04

11，20，0.05

4.3.2 瑞利阻尼

在瑞利阻尼中，假设阻尼矩阵可表示为质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，即

C M Kα β= + (4.3.1)

其中，α 和 β 是用户根据材料特性定义的常数。尽管假设阻尼正比于质量和刚度没有严格的物理基础，但

是实际上我们对于阻尼分布的真实情况知之甚少，也就不能保证其它更为复杂的模型是正确的。通常，瑞

利阻尼模型对于大阻尼系统，即阻尼值超过 10%临界阻尼时是不可靠的。

使用瑞利阻尼有许多方便，例如系统的特征频率与对应的无阻尼系统特征值一致；相对于其它形式的

阻尼，可以精确地定义系统每阶模态的瑞利阻尼；各阶模态的瑞利阻尼可转换为直接模态阻尼，在

ABAQUS/Standard 中将瑞利阻尼转换为直接模态阻尼进行动力学计算。

对于一个给定模态 i，临界阻尼值为 iξ ，而瑞利阻尼系数α 和 β 的关系为：

22

ii i i

i

αξ β ωω

= + (4.3.2)

其中 iω 表示第 i 阶模态的固有频率。(4.3.2)式表明，瑞利阻尼的质量比例阻尼部分在系统响应的低频段起

图 4.3.1 直接模态阻尼定义

m1 m2 ξα

32

主导作用，刚度比例阻尼部分在高频段起主导作用。

ABAQUS 在模态动力学分析步骤内定义瑞利阻尼。如图 4.3.2 所示，激活瑞利阻尼选项(Reyleigh)，

并输入数据。如果需要定义多阶模态的阻尼值，则可在菜单内点击鼠标右键，通过 insert row before 或

者 insert row after 来增加数据行。

对应的 ABAQUS 文件输入为：

*MODAL DAMPING, RAYLEIGH

m1, m2, 　　, 　

参数 RAYLEIGH 指定阻尼形式为瑞利阻尼， m1、 m2的含义与直接模态阻尼定义相同。α 、 β　

分别为模态质量、刚度比例系数。例如，对前 10 阶模态定义 0.2525α = 和32.9 10β −= × ，对于 11～20

阶振型定义 0.2727α = 和33.03 10β −= × ，则可以在分析步骤中定义：

*MODAL DAMPING, RAYLEIGH

1,10,0.2525,2.9E-3

11,20,0.2727,3.03E-3

4.3.3 复合阻尼

在复合阻尼中，对应于每种材料的阻尼定义一个临界阻尼比，这样就得到了对应于整体结构的复合阻

尼值。如果结构由多种材料组成，那么采用复合阻尼来描述系统的阻尼特性是非常简便有效的。

ABAQUS 将材料的复合阻尼加权平均得到模态阻尼比，转换关系为：

( )1 M MN Nm m

ma

Mmα α αξ φ ξ φ= ∑ (4.3.3)

M MN Nm Mα α αφ φ= (4.3.4)

其中， aξ 为模态α 的模态阻尼比， mξ 材料m 的阻尼比，MNmM 为与材料m 相关的质量矩阵，

Mαφ 为模态

图 4.3.2 瑞利阻尼定义

m1 m2 α β

33

α 的振型， am 为模态的α 模态质量。

在 ABAQUS 中分两步定义复合阻尼。

第一步，在材料属性中定义与该材料对应的复合阻尼，如图 4.3.3 所示。

对应的 ABAQUS 输入文件为：

*MATERIAL, NAME=STEEL

*DAMPING, COMPOSITE=　M

其中 Mξ 为材料“STEEL”的临界阻尼比。

然后在分析步骤中引用复合阻尼，如图 4.3.4 所示。 对应的 ABAQUS 文件输入为：

*STEP :

*MODAL DAMPING, MODAL=COMPOSITE

图 4.3.4 选定复合阻尼

图 4.3.3 在材料属性中定义复合阻尼

34

4.3.4 结构阻尼

系统的结构阻尼特性与结构或者材料的内摩擦机理有关。其他形式的阻尼属于粘性阻尼，即阻尼力的

大小与运动速度成正比，而结构阻尼力与位移成正比。同时结构阻尼力不会随着激振频率变化而变化。

结构阻尼力可用下式来表示：

N NDF isI= (4.3.5)

其中， DF 阻尼力， s 结构阻尼因子， I 是结构的变形力， i 虚数单位， 1i = − 。

结构阻尼力的方向与速度方向相反，与其位移相比滞后 90°。只有当位移和速度的相位差为 90°时，

结构阻尼假设才能成立，因此激励必须是正弦函数。使用结构阻尼假设的动力学分析包括稳态响应分析和

随机响应分析，其他如瞬态动力学分析则不能直接应用结构阻尼；对于某些问题如果只能得到结构阻尼，

那么必须依据一定的准则将结构阻尼转换为等效的粘性阻尼。

图 4.3.5 为结构阻尼定义菜单。对应 ABAQUS 输入文件为：

*MODAL DAMPING, STRUCTURAL

m1, m2, s

参数 STRUCTURAL 指定模态阻尼形式为结构阻尼。m1、 m2的含义与定义直接模态阻尼相同，s

为结构阻尼因子。

§4-4 阻尼选择

在大多数的线性动力学问题中，为了获得精确的结果，恰当地选择阻尼类型和规定阻尼系数值是十分

重要的。但是在某种意义上，由于阻尼只是在结构吸收能量特性意义上的近似，而不是模拟造成这种效果

的物理机制，所以确定模型中需要的阻尼数据是很困难的。在某些问题中有时不得不根据工程经验来选取

适合的阻尼，偶尔也可以从动态试验中获得这些数据。但通常情况下必须通过查阅参考资料或者凭借经验

获得这些数据，在这种情况下，必须十分谨慎地解释模拟结果，并通过参数分析来评估模拟对于阻尼值的

敏感性。

m1 m2 s

图 4.3.5 结构阻尼定义

35

在定义阻尼类型和选取阻尼值时需要注意以下问题：

1． 在许多实际应用中，材料阻尼是主要的。一些材料中，阻尼力在本质上是粘性的，并且与材料

的刚度成正比。这种形式的阻尼可以通过瑞利阻尼选项来得到，其中 α = 0 和 β ≠0，β 值可以

通过试验数据来确定；

2． 如果材料阻尼应力在本质上是摩擦力，同时需要研究系统的稳态响应，这种情况下可以应用结

构阻尼。结构阻尼系数 s 根据摩擦应力占应力总和的百分比来确定；

3． 有些情况下，可以在不同的频率下测量阻尼。如果这些数据是可靠，则可以将结构特征频率下

的阻尼值作为模态阻尼来直接应用到模态动力学分析中；

4． 在少数情况下，可以从动力学试验中获得阻尼的数据。但是在多数情况下，不得不通过经验或

参考资料获得数据。这时，解释结果要十分小心，应该通过参数分析来评价阻尼系数对结果的

敏感性；

5． ABAQUS 中可以同时定义不同类型的阻尼，如果在分析中同时定义了多种阻尼，那么分析结

果是包含了各种阻尼的综合效果。

36

第 5 章 稳态动力学分析

§5.1 稳态动力学简介

在工程中存在较多的是受迫振动，即系统在外界干扰力或干扰位移作用下产生的振动。由于外界不断

对振动系统输入能量，才能使振动得以维持而不至于因阻尼存在而随时间衰减。根据外界激励的形式不同，

可将受迫振动分为简谐激振、周期激振、脉冲激振、阶跃激振和任意激振。

图 5.1.1 表示一弹簧质量阻尼系统的受迫振动。

图 5.1.1 质量-弹簧系统

弹簧内力为 ku，阻尼力为 cu& , 所以该系统的动态运动方程为：

0Mu I P+ − =&& (5.1.1)

I Ku Cu= + & (5.1.2)

当 0 sin( )P P tω= 时，即系统在简谐激振力作用下的振动。式中 0P 为激振力幅值，ω 为激振力角频率。

若引入

202 , ,nn c m k m h P mω= = = (5.1.3)

则运动方程(5.1.1)可写为标准形式

22 sin( )nu nu u h tω ω+ + =&& & (5.1.4)

根据微分方程理论，上述非齐次方程的解由两部分组成，即

1 2u u u= + (5.1.5)

其中 1u 是齐次方程22 0nu nu uω+ + =&& & 的通解，在欠阻尼( nn ω< )情况下，有

1 1 2( cos( ) sin( ))ntd du e C t C tω ω−= + (5.1.6)

37

式中2 2 21d n nnω ω ω ξ= − = − ，而 2u 是方程(5.1.4)的特解，设

2 sin( )u A tω α= − (5.1.7)

将(5.1.7)式代入方程(5.1.4)后可解得

2 2 2 2 2

2 2 2

( ) 4

(1 ) (2 )

n

st

hAn

uω ω ω

ω ξω

=− +

=− +

(5.1.8)

2 2 2

2 21n

ntg ω ξωαω ω ω

= =− −

(5.1.9)

式中 nω ω ω=

这样方程(5.1.4)的解可写为

1 2 2 2 2 2 2( cos( ) sin( )) sin( )

( ) 4nt

d d

n

hu e C t C t tn

ω ω ω αω ω ω

−= + + −− +

(5.1.10)

如果初始条件为： 0t = ， 0u u= ， 0u u=& & ，则得方程的全解为

0 00( cos( ) sin( ))

sin cos(sin cos( ) sin( ))

sin( )

ntd d

d

ntd d

d

u nuu e u t t

nAe t t

A t

ω ωω

α ω αα ω ωω

ω α

−

−

+= +

−+ +

+ −

&

(5.1.11)

式(5.1.11)表示单自由度系统对简谐激振力 0 sinP tω 的位移响应。全式由三大项组成，前两项之和代

表自由振动部分，这部分只在最初一段时间起作用，称为过渡过程。最后一项是以激振力频率ω 的简谐振

动，这部分振动不衰减，称为稳态响应。

在简谐激振作用下的强迫振动，包含过渡过程和稳态响应两部分。由于结构中不可避免地会出现阻尼

力，过渡过程是迅速衰减的瞬态振动；同系统的稳态响应相比较，这种瞬态振动在某些问题中是相对次要

的，因而可以不与考虑。本章所讨论的稳态动力学分析(Steady State Dynamics)是指在简谐激励作用

下的系统稳态响应。

从式(5.1.11)可以看出，系统在简谐激振作用下的稳态响应频率与激励频率相同，但振动相角与激励

不同。ABAQUS/Standard 中的稳态动力学分析提供了线性动力学方程的解，可以得到在给定频率激励

下系统响应的幅值和相位。

38

§5-2 分析方法

ABAQUS 中稳态动力学分析包括以下三种方法：

直接稳态动力学分析(Direct-solution steady-state dynamic analysis)

模态稳态动力学分析(Mode-based steady-state dynamic analysis)

子空间稳态动力学分析(Subspace projection steady-state dynamic analysis)

下面将分别加以介绍。

5.2.1 直接稳态动力学分析

在直接稳态动力学分析中，系统的稳态谐波响应是通过对模型的原始方程直接积分计算出来的。

定义一个直接稳态动力学分析步骤时，首先定义扫频范围和频率点数量，从而得到包括频率范围边界

点的分析结果。其中频率可以用振动的周期形式来给出。频率间隔有两种类型：线性或者对数形式

(ABAQUS 默认为对数间隔形式)，可以任选其一。整个频率轴(线性或者对数刻度)可以正好被频率间隔等

分，或者在某一频率范围引入一个偏置量参数来定义非均匀的频率点分布。

在不能提取系统特征模态的情况下，不能应用模态方法来计算稳态响应，此时可以应用直接法进行稳

态响应的计算和分析。通常情况下，如果系统具有以下特征，则不能提取特征模态：

存在非对称刚度；

包含模态阻尼以外的其他形式阻尼；

必须考虑粘弹性材料特性(具有频变特性)。

求解结构稳态响应的过程是线性过程。在稳态响应分析步之前可以是线性步或者非线性步分析。若在

直接法稳态动力学分析之前的任何分析步中包含几何非线性影响，那么在稳态动力学响应分析中可以通过

参数设置增加初始应力和载荷刚度的影响。

进行直接稳态动力学分析不需要提取系统的特征模态，而是在每个频率点对整个模型进行复杂的积分

运算。因此，对于具有大阻尼和频变特性的模型，应用直接求解法比模态分析方法精确，但是耗时较多。

5.2.2 模态稳态动力学分析

模态稳态动力分析方法是基于模态叠加法求解系统的稳态响应。在求解模态稳态响应之前必须先提取

无阻尼系统的特征模态，通过变换使系统解耦，得到一组用模态坐标表示的单自由度运动方程。求解各个

单自由度运动方程得到系统在模态坐标下的稳态响应后，通过变换最后获得系统在物理坐标下的稳态响应。

模态稳态动力学分析具有以下特点：

分析速度快，耗时最少（相比直接法和子空间法）；

计算精度低于直接法和子空间法；

不适于分析具有大阻尼特性的模型；

不适于分析具有粘弹材料（频变特性）的模型。

39

另外需要注意，使用基于模态的分析方法时，用户必须确定需要保留的特征模态，以确保用这些模态

能够精确描述系统的动力学特性。

5.2.3 子空间稳态动力学分析

与模态稳态动力学分析不同，子空间稳态动力学分析是将运动方程投影到一组特征模态上再进行求解。

子空间稳态动力学分析的基本思想是：首先提取无阻尼、对称系统的特征模态，并选取适当的特征向量组

成特征模态子空间，然后将稳态动力学方程组投影到特征模态子空间上，通过直接法求解子空间下的稳态

动力学方程。

子空间法基于这样一个假设条件，即我们所关心的频率范围内的无阻尼特征模态，能够精确表达强迫

运动下的稳态动力学响应。而且子空间必须包含足够数量的特征模态向量，其数量由用户自定义。系统的

动力学方程组投影到模态子空间后形成一低维（并不解耦）的方程组，求解这个经过缩减的动力学方程组，

并将结果返回到得到物理坐标的节点位移、应力响应。

子空间法稳态动力学分析有以下特点：

模型可以定义任意形式的阻尼；

可以处理具有非对称刚度矩阵的模型；

能有效、快速的分析具有频变特性的模型；

与直接法相比节省大量的时间；

模型规模急剧增加时，计算成本优势更加明显；

计算精度低于直接法求解。

§5.3 激励和输出

5.3.1 扫频范围和密度

划分扫频区间

ABAQUS 提供了两种划分扫频区间的方法： a) 用户自定义划分扫频区间

用户可根据需要将扫频范围划分为若干区间。对应的文件输入为 *STEADY STATE DYNAMIC，INTERVAL=RANGE

b) 根据系统的特征频率划分扫频区间

如果在进行稳态分析之前已经提取了系统的特征模态，那么就可以按照特征频率来划分扫频区间。

对应的文件输入为 *STEADY STATE DYNAMIC，INTERVAL=EIGENFREQUENCY

40

图 5.3.1 以特征频率划分扫频区间

若在稳态响应分析步之前定义了模态分析步，那么直接稳态响应分析也可以应用特征频率划分方式。

ABAQUS 默认设置为用户自定义划分方式。

定义扫频间隔 ABAQUS 中扫频间隔可以定义为线性或者对数形式，默认设置为对数间隔。

定义扫频间隔的文件输入为： *STEADY STATE DYNAMICS, FREQUENCY SCALE=LOGARITHMIC （对数间隔）

或 *STEADY STATE DYNAMICS, FREQUENCY SCALE=LINEAR （线性间隔）

设置偏置参数

ABAQUS 提供了偏置参数来控制扫频区间内频率点的非均匀分布。设置不同的偏置参数值可以调整频

率点向扫频区间两端集中或向区间中部集中。图 5.3.2 说明了偏置参数对频率点分布的影响。

图 5.3.2 偏置参数对频率点分布的影响(区间内包括 7 个频率点)

设 kf 为偏置函数，它可以表示为

( ) ( ) ( )1/1 2 2 1

1 12 2

pkf f f f f y sign y= + + − (5.3.1)

式中各参数的具体含义如下：

y ( ) ( )1 2 1 / 1y k n= − + − −

41

n 扫频区间内频率点的数量（包括区间边界点）

k 扫频区间内第 k 个频率点

1f 频率区间的下限

2f 频率区间的上限

p 偏置参数值

从式(5.3.1)可以看出，当偏置参数 p 大于 1.0 时，频率点向区间两端集中；若偏置参数 p 小于 1.0，

则频率点向区间中部集中，如果偏置参数 p 等于 1.0，则表示频率点在区间内均匀分布。 当自定义方式划分区间(INTERVAL=RANGE)时， p 默认值为 1.0；对于特征频率方式划分区间

(INTERVAL=EIGENFREQUENCY)时， p 的默认值为 3.0。

定义多个扫频范围

ABAQUS 内可指定多个扫频区间，对于每个扫频区间可以分别定义频率点数和偏置参数。如果还希望

得到其他单个频率点的输出，则必须先定义扫频区间再定义单个点。下面的例子定义了两个扫频区间和两

个频率点。 *STEADY STATE DYNAMICS, DIRECT (默认为自定义方式划分区间) 0.01,10.0,5,2 （扫频范围 0.01~10.0，扫频点数 5，偏置参数 2.0） 12.0,20.0,5 （扫频范围 12.0~20.0，扫频点数 5，偏置参数 1.0） 15.0 （频率点 15.0） 25.0 （频率点 25.0）

5.3.2 定义阻尼

直接法和子空间法的稳态动力学分析中，可定义的阻尼包括减振器阻尼、与材料和单元相关的瑞利阻

尼以及具有频变特性的粘弹性阻尼。而应用模态叠加法求解稳态动力学分析中只能定义模态阻尼。阻尼的

定义可参见第 4 章内容。

5.3.3 选取特征模态

模态叠加法和子空间法都是基于特征模态的计算方法，其中子空间法需要选取构成子空间的特征模态，

模态叠加法需要选取用于模态叠加计算的模型特征模态。 用户可输入模态序号来选取特征模态，对应文件输入为：

*SELECT EIGENMODES m1,m2,m3...

其中，m1,m2,m3...为特征模态序号。此外，ABAQUS 还提供了“GENERATE”方式来选取模态。如

果选取模态的序号成等差数列，那么可以使用“GENERATE”方式简化输入，这时需要使用带有

GENERATE 参数的输入命令：

42

*SELECT EIGENMODES，GENERATE

n1,n2,i 其中 n1 为最低阶特征模态；n2 为最高阶特征模态；i 为特征模态序号间隔，它必须是整数，其默认

值为 1。例如，要选择第 1、3、5、7、9 阶模态，可以输入以下内容： *SELECT EIGENMODES，GENERATE

1,9,2

5.3.4 初始条件

系统的稳态动力学响应与结构的瞬间状态无关，因此不需要定义初始条件。

5.3.5 边界条件

在稳态动力学分析中，所有自由度的实部和虚部只能是同时被约束或者同时被释放，仅约束某个自由

度的实部（或虚部）而同时释放其虚部（或实部）在物理上是无意义的。

直接法

每个节点包括三个平动自由度和三个转动自由度，直接法中边界条件可以施加在节点的任意自由度上，

且稳态动力学分析步内定义的边界都按照正弦规律变化。 定义边界条件的输入文件为： *BOUNDARY，LOAD CASE=1 （定义自由度的实部运动）

和 *BOUNDARY，LOAD CASE=2 （定义自由度的虚部运动）

直接法可以定义边界条件随频率变化的幅度（使用*AMPLITUDE 选项定义），在定义边界条件时通

过选项*BOUNDARY 的 AMPLITUDE 参数来引用频变幅值。输入文件为：

*AMPLITUDE, NAME=name *BOUNDARY, LOAD CASE=n, AMPLITUDE=name

模态叠加法和子空间法

由于这两种方法都建立在系统的特征模态分析基础之上，因此在稳态动力学分析步内不能定义任何零

位移边界条件，也不能使用*BOUNDARY 选项定义边界条件的运动，而只能通过选项*BASE MOTION来定义边界条件的运动。ABAQUS 中将忽略使用*BOUNDARY 选项定义的零位移边界条件，并且如果

边界条件与特征模态提取步的边界条件不一致，将导致错误发生。关于*BASE MOTION 选项的使用和

基础运动的定义请参考第 6 章和第 7 章内容。 模态叠加法和子空间法同样使用*AMPLITUDE 选项来定义边界条件随频率变化的幅度，输入文件

与直接法中的定义相同。

5.3.6 载荷

稳态动力学分析中可定义的载荷包括：

43

施加在节点自由度上（自由度方向 1~6）的集中载荷 使用选项 *CLOAD 定义

施加在特定单元上的分布压力和体力载荷 使用选项 *DLOAD 定义

稳态动力学分析过程中施加在模型上的载荷随时间按正弦规律变化，如 ~ cosP tω 。ABAQUS 定义

载荷分为实部和虚部两部分。

*CLOAD（或*DLOAD），LOAD CASE=1 （定义载荷实部） 和

*CLOAD（或*DLOAD），LOAD CASE=2 （定义载荷虚部） 例如，在集合“load”的所有节点定义两个集中载荷，其一作用在方向 1 上，实部值为 10.0，另一载

荷作用在方向 2 上，虚部值为 50.0，可以作如下定义

*Cload, load case=1 load, 1, 10. *Cload, load case=2 load, 2, 50. 图 5.3.3 集中载荷定义（ABAQUS/CAE）

ABAQUS 可以定义载荷随频率变化的幅度（使用*AMPLITUDE 选项定义），并通过*CLOAD 或

*DLOAD 的 AMPLITUDE 参数引用。

*AMPLITUDE, NAME=name *CLOAD （或*DLOAD）, LOAD CASE=n, AMPLITUDE=name

5.3.7 场定义

直接法和子空间法稳态动力学分析支持温度场定义，并生成简谐变化的热应变场。模态叠加法稳态动

力学分析不支持带有温度场的分析。

5.3.8 材料

稳态动力分析考虑了结构的惯性效应，因此必须输入材料的密度属性。另外，还有一些材料属性的定

义在稳态模态动力分析中是无效的：如材料的塑性，及其他的非弹性属性，如热属性、传播特性、电特性

（除压电分析中的电动势之外）和毛细流体流动特性。 在直接法和子空间法稳态动力学分析可以考虑材料的频变特性，因此可在模型中定义粘弹性材料属性，

而模态法则不能在计算中考虑到材料的频变属性。

44

5.3.9 单元

ABAQUS 稳态动力学分析中可以使用如下类型的单元： 应力/应变单元（不包括带有扭曲的广义轴对称单元） 噪声单元 压电单元 流体静力单元

5.3.10 输出

稳态动力学分析计算出的部分变量（如应力、应变）结果为复数形式，ABAQUS 除输出变量的实部和

虚部，还提供了这些复数变量的幅值、相位输出。 复数输出变量的幅值和相位角定义为

幅值 2 20 R Iu u u= + (5.3.2)

相位角 arctan I

R

uuuψ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (5.3.3)

其中， Ru 为变量的实部， Iu 为变量的虚部。

ABAQUS 稳态动力学分析可输出的变量非常完备，见表 5.3.1。

表 5.3.1 ABAQUS 可输出的变量

单元积分变量

关键字 变量含义

PHS 应力的幅值和相位

PHE 应变的幅值和相位

PHEPG 电动势梯度的幅值和相位

PHEFL 电通向量的幅值和相位

PHMFL 流体连接器单元内质量流动率幅值和相位

PHMFT 流体连接器单元内总体质量流动率幅值和相位

连接器单元变量

PHCTF 连接器总体受力幅值和相位

PHCEF 连接器弹性力幅值和相位

PHCVF 连接器粘性力幅值和相位

PHCRF 连接器反力幅值和相位

PHCSF 连接器摩擦力幅值和相位

PHCU 连接器相对位移幅值和相位

PHCCU 连接器基本位移幅值和相位

PHCV 连接器相对速度幅值和相位

45

PHCA 连接器相对加速度幅值和相位

节点变量

PU 节点平动/转角所有分量幅值和相位

PROR 节点流体、噪声或小空压力幅值和相位

PHPOT 节点电动势幅值和相位

PRF 节点所有反力/反力矩幅值和相位

绝对运动变量（不包括直接法稳态动力学分析）

TU 节点位移

TV 节点速度

TA 节点加速度

PTU 节点绝对位移幅值和相位

BM 基础运动

模态变量（仅包括模态叠加稳态动力学分析）

通过*MODAL PRINT 和*MODAL FILE 选现控制输出

GU 广义位移

GV 广义速度

GA 广义加速度

GPU 广义位移相位

GPV 广义速度相位

GPA 广义加速度相位

SNE 模态应变能

KE 模态动能

稳态动力学分析不能输出单元的能量密度，如 SENER；也不能输出单元能量，如单元动能 ELKE。但

可以输出模型变量，可以用选项*MODAL PRINT 和*MODAL FILE 选择输出模型的整体应变能

ALLIE。

§5.4 算例——轮胎的谐波激励稳态响应

5.4.1 模型描述

本算例是在求解 175 SR14 型轮胎与地面静态接触问题的基础上进行分析和计算的。轮胎与地面接触

为基本状态，地面以刚性表面模拟，使用直接法和子空间法计算轮胎受到谐波激励下的稳态频率响应。轮

胎的有限元模型如图 5.4.1 所示。

46

图 5.4.1 轮胎有限元模型

材料模型

轮胎为橡胶材料，是一种超弹性材料，其材料特性可采用频变粘弹性材料来描述。因此，只能应用直

接法或子空间法求解该例的稳态动力学响应。

载荷与边界条件

在刚性面的参考点上作用有 200N 的垂直动载，载荷覆盖了 80~130Hz 的频率范围。在分析中轮胎

边缘被约束。在定义子空间法求解稳态响应步之前要先进行模态分析，提取前 20 阶特征模态，能够完全

覆盖载荷的频率范围。

5.4.2 分析步骤

直接法

定义直接法稳态动力学分析步，并以此为参考来评价子空间求解方法的计算精度和速度。如图 5.4.2所示。

图 5.4.2 直接法定义

刚性表面

设定扫频间隔

设置频率点分布

定义每一对相邻特征频率之间包括

的频率点数 (包括区间的边界频率

点)： 在后面用关键字编辑器内定义

频率区间划分方式为特征频率划分。

在非线性预加载分析之后定

义直接稳态动力学分析步，

不需要求解模型的特征模态

扫频范围

47

也可以采用文件输入方式：

*step,nlgeom=YES, name=Footprint *static *step, name=harmonic load *steady state dynamics, direct, INTERVAL=EIGENFREQUENCY, FREQUENCY scale=LINEAR 80, 130, 20 子空间法

目前 ABAQUS/CAE 尚不直接支持定义子空间法求解稳态动力学分析。在本例中使用关键字编辑器

（KEYWORDS EDITOR）输入来定义子空间法稳态动力学分析步。如图 5.4.3 所示。

图 5.4.3 子空间定义

与模态叠加法相比，子空间法求解稳态响应的优势主要体现在其支持频变材料属性的计算，如粘弹性

材料。子空间法计算时间分为两部分，其中一部分时间用于组集子空间运动方程，另一部分时间用于直接

法求解响应。ABAQUS 提供了四种控制组集方程和求解时间分配的方法，下面分别介绍。

1. 在每一个频率点都重新组集子空间运动方程

SUBSPACE PROJECTION =ALL FREQUENCIES 该计算方式最为精确，但最耗时较长。因此，这种时间分配方式将会大大降低子空间法的计算速度，

同时也减小了其原本所具有的优势。输入方法如图 5.4.4 所示。

填加/修改命令行

编辑关键字 提取特征频率

以接触分析步的结果为基本状态

定义稳态响应分析步

48

2. 仅以频率范围内的中点频率计算子空间运动方程

SUBSPACE PROJECTION =CONSTANT 使用这种时间分配方式，运动方程仅组集一次，因而计算时间最短，适合于分析具有弱频变阻尼特性

的模型。

3. 在特征频率点重组运动方程

SUBSPACE PROJECTION =EIGENFREQUENCY 使用这种时间分配方式计算时，结果仅在特征频率附近的频率点处比较精确。

4. 自定义重组运动方程

SUBSPACE PROJECTION =PROPERTY CHANGE, DAMPING CHANGE =factor1, STIFFNESS CHANGE=factor2

当刚度和（或）阻尼特性的变化达到自定义的变化比例时，重新组集运动方程。

子空间法计算稳态响应的精度和速度与以上的四种参数选择密切相关，在实际分析时需要根据模型的

图 5.4.4 在关键字编辑器内的定义方法

图 5.4.5 在关键字编辑器内的定义方法

图 5.4.6 在关键字编辑器内的定义方法

图 5.4.7 在关键字编辑器内的定义方法

49

本身特点来选择不同的参数，以达到计算精度和分析成本的平衡。

5.4.3 频率间隔

分析步内必须定义计算频率范围、频率区间划分、频率点间隔方式及频率点分布等。在本例中频率范

围为 80~130Hz，扫频区间以特征频率为界，频率点之间为线性间隔，偏置参数使用默认值 3.0。

5.4.4 载荷

刚性面上作用的载荷为同相的简谐激励 ~ coszF tω ，定义载荷的实部值为 200（N）虚部为零，

如图 5.4.9 所示。

图 5.4.9 载荷定义

5.4.5 结果

结果显示

使用 ABAQUS/CAE 读取结果文件，可以用云纹图方式显示某一频率下的模型位移等变量的分布，或

者通过频率响应曲线考察节点变量在频率范围内的稳态响应幅值，如图 5-9 所示。

施加载荷的区域

载荷虚部 载荷实部

频率区间以特征频率为界

图 5.4.8 频率区间以特征频率为界的定义方法

50

图 5-10 列出分别用直接法和子空间法（ALL FREQUENCY 和 CONSTANT）计算的结果曲线。

计算速度对比

应用直接法和子空间法具有不同的计算速度和精度，本例分别采用直接法和不同参数的子空间法来求

解轮胎稳态响应问题，计算速度具有明显的差异。

表 5-2 计算速度对比

图 5-9 轮胎的稳态位移云纹图

图 5-10 接触点垂直位移的稳态响应

51

轮胎模型共有 20,115 个自由度，两种方法的计算速度相差还不是很大。如果处理更大规模的模型，

直接法和子空间法的计算速度差异将更为明显。例如，对于一个具有 300,000 自由度的模型，与直接法

的速度之比，子空间法的计算速度是直接法的 13.2 倍。

计算方法及参数选择 计算速度（比值）

DIRECT 1.0

SUBSPACE PROJECTION=ALL FREQUENCY

1.13

SUBSPACE PROJECTION=EIGENFREQUENCY

1.85

SUBSPACE PROJECTION=CONSTANT 2.78

52

第 6 章

瞬态动力学分析

§6-1 引言

瞬态动力学分析用来研究时域载荷作用下的结构动力学响应问题。ABAQUS 提供的瞬态动力学分析方

法包括：隐式动力学分析、子空间显式动力学分析，显式动力学分析以及模态瞬态动力学分析。 隐式动力学分析

ABAQUS/Standard 隐式动力学分析通过对时间进行隐式积分求解动力学问题，适用于(强)非线性瞬

态响应分析。 子空间显式动力学分析

ABAQUS/Standard 子空间显式动力学分析，通过对子空间下的动力学方程直接积分来求解系统瞬

态响应，子空间基向量由系统的特征向量构成。这种方法能够非常有效的求解具有弱非线性系统的瞬态响

应。 显式动力学分析

ABAQUS/Explicit 显式动力学分析对结构的运动方程直接进行显式积分，进而求解动力学问题，该

方法能够有效处理载荷作用时间较短的大规模模型。 模态瞬态动力学分析

ABAQUS/Standard 模态瞬态动力学分析应用模态叠加法求解线性系统的瞬态响应问题。模态瞬态

分析建立在线性系统的特征模态基础上，因此在应用该方法之前必须先提取系统的特征模态。 上述几种求解瞬态动力学问题的方法各有其特点和适用范围，其中模态瞬态动力学分析方法主要用于

线性系统的瞬态响应问题，它也是本章主要介绍的瞬态动力学分析方法。 模态叠加法求解瞬态动力学问题有其自身的优势和局限性，在进行模态瞬态响应分析前需要考虑以下

几个问题，以便合理地选择分析方法和设置参数。 时域载荷能否用特征模态精确描述； 模态叠加计算后保留的模态必须足以覆盖载荷所包含的频率； 初始条件能否用特征模态来精确描述； 对突然施加的载荷所引起的初始加速度能否用特征模态来精确描述； 仅仅进行线性动力学分析是否能够满足要求。

§6-2 模态瞬态动力学简介

ABAQUS 求解线性系统的动力学响应问题时，一般是在模态分析的基础上进行的。因此，求解响应之

前必须先提取系统的模态数据（特征频率、特征向量）。对于大规模、复杂系统，虽然提取足够数量的模态

需要付出较大的计算代价，但是基于模态的动力学响应计算本身并不需要耗费很多的时间。相比之下，直

接求解法需要对复杂系统的所有动力学方程逐一进行积分，计算代价较大。因此分析大规模、复杂线性系

统的动力学响应问题时，模态方法具有明显的成本优势。

53

6.2.1 瞬态模态方程分析

模态瞬态动力学分析用于线性系统的时域分析。施加的激励为时间的函数，并且假设在激励确定的情

况下，幅值在每个增量时间段内呈线性变化。 将物理模型投影到特征模态坐标系下，可以得到一组互相独立的单自由度系统运动方程。

22 t t tfq q q f f tt

ξ ω −ΔΔ

+ + = = + ΔΔ

&& & (6.2.1)

其中，ξ 临界阻尼比（阻尼与临界阻尼之比），

q 模态坐标下的运动变量，

ω 无阻尼振动的圆频率，

f 对应模态作用下的模态力，

fΔ tΔ 时间内的模态力增量。

方程(6.2.1)的解可由微分方程的特解和齐次解两部分组成，将这两部分解叠加可得单自由度动力学

方程解的一般形式：

11 12 11 12

21 22 21 22

t t t t

t t t t t

q q fa a b bq q fa a b b

+Δ

+Δ +Δ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭& & (6.2.2)

其中， ija 与 ijb 是常数， , 1, 2i j = 。

按照阻尼的大小将方程(6.2.2)的非刚体运动解分为三种情况，即阻尼大于、等于和小于临界阻尼，

它们分别对应 ( )2 1ξ − 为正、零和负的情形。为方便讨论，记21ω ω ξ= − 。

阻尼小于临界阻尼

阻尼小于临界阻尼是最为常见的情况，此时2 1 0ξ − < ，称为欠阻尼情况。

( )11 exp sin cosa t t tωξω ξ ω ωω

⎛ ⎞= − Δ Δ + Δ⎜ ⎟⎝ ⎠

； 121exp( ) sina t tξω ωω

= − Δ Δ

( )21 2exp sin

1a t tωξω ω

ξ= − − Δ Δ

−； 22 exp( ) cos sina t t tξωξω ω ω

ω⎛ ⎞= − Δ Δ − Δ⎜ ⎟⎝ ⎠

tt

tt

ttb

Δ+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Δ++Δ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ−

+Δ−−= 3322

2

112cos21sin12)exp(

ωξω

ωξ

ωω

ωωξ

ωωξξω

( )2

12 2 3 2 3

2 1 2 1 2exp sin cosb t t tt t t

ξ ξ ξξω ω ωω ω ω ω ω

⎧ ⎫−= − Δ Δ + Δ + −⎨ ⎬Δ Δ Δ⎩ ⎭

54

( ) ( )2

21 2

2 1exp cos sinb t t tt

ξ ξξω ω ω ξω ωω ω ωω

⎧ ⎛ ⎞−⎪= − − Δ Δ − Δ +⎨ ⎜ ⎟Δ⎪ ⎝ ⎠⎩

( ) 2 3 2

1 2 1sin cos }t tt t

ξω ω ξω ωω ω ω

⎫⎛ ⎞− Δ + Δ + − ⎬⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠ ⎭

( ) ( )2

22 2

2 1exp cos sinb t t tt

ξξω ω ω ξω ωω ω

⎧ −= − − Δ − Δ − Δ⎨ Δ⎩

( ) 3 2

2 1sin cost tt t

ξω ω ξω ωω ω

⎫+ Δ + Δ +⎬Δ Δ⎭

阻尼等于临界阻尼

此时2 1 0ξ − = ，称为临界阻尼情况。

( )( )11 exp 1a t tξω ξω= − Δ + Δ ； ( )12 expa t tξω= − Δ Δ

( )( )221 expa t tξω ξω= − − Δ Δ ； ( )( )22 exp 1a t tξω ξω= − Δ − Δ

( ) ( )11 2 3 2

1 2 1exp 1b t tt

ξξω ξωω ω ω

⎧ ⎫⎛ ⎞= − − Δ − + Δ + +⎨ ⎬⎜ ⎟Δ⎝ ⎠⎩ ⎭

( ) ( )12 3 2 2 3

2 1 1 2exp 1b t tt t

ξ ξξω ξωω ω ω ω

⎧ ⎫⎛ ⎞= − Δ + Δ − + −⎨ ⎬⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠⎩ ⎭

( ) ( )221 2 3 2 2

1 2 1 1exp tb t tt t t

ξ ξωξω ξωω ω ω ω

⎧ − Δ ⎫⎛ ⎞= − − Δ Δ + + −⎨ ⎬⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠⎩ ⎭

( ) ( )222 3 2 2

2 1 1exp tb t tt t t

ξ ξωξω ξωω ω ω

− Δ⎧ ⎫= − − Δ − Δ − +⎨ ⎬Δ Δ Δ⎩ ⎭

阻尼大于临界阻尼

此时，2 1 0ξ − > ，称为过阻尼情况。

( )11 exp sinh cosha t t tωξω ξ ω ωω

⎛ ⎞= − Δ Δ + Δ⎜ ⎟⎝ ⎠

； ( )121exp sinha t tξω ωω

= − Δ Δ

( )21 2exp sinh

1a t tωξω ω

ξ= − Δ Δ

−； ( )22 exp cosh sinha t t tξωξω ω ω

ω⎛ ⎞= − Δ Δ − Δ⎜ ⎟⎝ ⎠

55

( )2 2

11 2 2 3 3

2 1 1 2 2exp sinh coshb t t tt t t

ξ ξ ξ ξξω ω ωωω ω ω ω ω ω

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎪ ⎪= − − Δ + Δ + + Δ +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

( )2

12 2 3 2 3

2 1 2 1 2exp sinh coshb t t tt t t

ξ ξ ξξω ω ωω ω ω ω ω

⎧ ⎫−= − Δ Δ + Δ + −⎨ ⎬Δ Δ Δ⎩ ⎭

( ) ( )2

21 2

2 1exp cosh sinhb t t tt

ξ ξξω ω ω ξω ωω ω ωω

⎧ ⎛ ⎞−⎪= − − Δ Δ − Δ +⎨ ⎜ ⎟Δ⎪ ⎝ ⎠⎩

( ) 2 3 2

1 2 1sinh cosht tt t

ξω ω ξω ωω ω ω

⎫⎛ ⎞− − Δ + Δ + −⎬⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠⎭

( ) ( )2

22 2

2 1exp cosh sinhb t t tt

ξξω ω ω ξω ωω ω

⎧ −= − − Δ − Δ − Δ⎨ Δ⎩

( ) 3 2

2 1sinh cost tt t

ξω ω ξω ωω ω

⎫⎛ ⎞+ − Δ + Δ +⎬⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠⎭

6.2.2 刚体模态分析

在零频率下的模态称为刚体模态，它是方程（6.2.1）的特殊情况。下面分为有阻尼刚体模态和无阻

尼刚体模态两种情况讨论。

有阻尼刚体模态

此时方程(6.2.1)可以简化成如下形式

t tfq q f tt

α −Δ

Δ+ = + Δ

Δ&& & (6.2.3)

这种情况下，临界阻尼为 0，因而刚体模态阻尼只能采用瑞利阻尼形式。而且在刚体模态下，仅

有质量阻尼系数α 有效，结构无弹性变形，不发生应变，因此刚度阻尼系数在刚体模态下无效。 方程(6.2.2)中的系数为

11 1a = ， ( )( )121 1 expa tαα

= − − Δ ； 21 0a = ； ( )22 expa tα= − Δ ；

( )( )11 2

1 1 11 exp 1 12

tb t tt t

αα α α α

Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − Δ + + Δ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )( )ααα

αα 2

11exp112212

tt

tb Δ+−

ΔΔ−−=

( )( )211 1 11 1 expb t

tα

α α α⎛ ⎞= + − − Δ −⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

56

( )( )22 2

1 11 expb tt

αα α

= − − − Δ +Δ

无阻尼刚体模态

在无阻尼刚体模态下，方程(6.2.1)进一步简化为以下形式

t tfq f tt−Δ

Δ= + Δ

Δ&& (6.2.4)

方程(6.2.2)中的系数为

11 1a = ， 12a t= Δ ， 21 0a = ， 22 1a = ；

2

11 3tb Δ

= ，2

12 6tb Δ

= ， 21 2tb Δ

= ， 22 2tb Δ

=

6.2.3 响应和初始条件

节点和单元变量的响应

将模态坐标下的动力学方程对时间积分，得到模态坐标的动力学响应。然后，通过模态叠加得到系统

的物理坐标响应。

u q

q

q

R R q

α αα

α αα

α αα

α αα

φ

ε ε

σ σ

=

=

=

=

∑

∑

∑

∑

(6.2.5)

其中 αφ 、 αε 、 ασ 和 Rα 分别表示模态α 的模态振型、模态应变、模态应力和模态反力。

初始条件

瞬态动力学响应分析中，初始位移和初始速度定义必须转换为广义初始位移和广义初始速度。需要注

意的是，只有保留模型的全部模态向量（模态向量数量等于模型自由度数）的情况下，初始条件的转换才

是精确的。然而，在计算中显然不可能采用全部的特征模态进行计算，而只能截取其中的某一部分模态，

在这种情况下，初始位移和初始速度的转换可由下式确定：

01 M MN Nq M x

mα αα

φ= (6.2.6)

01 M MN Nq M x

mα αα

φ=& & (6.2.7)

57

其中，mα 模态α 的广义质量，

αφ 模态α 的振型，

M 质量矩阵，

0x 初始位移。

§6-3 分析方法

模态瞬态动力学分析应用模态叠加法求解模型的瞬态响应，分析过程依赖于系统特征模态的子集合，

选取的模态必须保证能够充分描述系统的动态响应特性。如果系统是线性的，并且可由模型特征模态的子

集合精确表示，那么应用模态叠加方法得到的结果也是精确的。

6.3.1 定义模态瞬态分析

为了确保计算精度，用户需要合理的定义强迫函数和选择时间步长。例如，载荷为一段随时间变化的

地震载荷，时间间隔是 1 毫秒，那么求解过程中设置的时间步长也应该是 1 毫秒。 定义模态瞬态分析步之前，要先定义特征模态分析步。对于获得特征模态数据的具体方法没有限制，

求解可使用 LANCZOS 或者子空间迭代等方法来求解。 提取特征值可用下列命令实现： *FREQUENCY，EIGENSOLVER=LANCZOS 或 *FREQUENCY，EIGENSOLVER=SUBSPACE 定义模态瞬态分析步，用如下命令实现：

*MODAL DYNAMIC

6.3.2 模态选取

根据模态数据，用户可输入模态序号来选取特征模态，对应输入文件为：

*SELECT EIGENMODES m1,m2,m3...

其中，m1,m2,m3...，为特征模态序号。ABAQUS 还提供了使用“GENERATE”（生成）方式来简化

选取模态的输入方法，即： *SELECT EIGENMODES，GENERATE

n1,n2,i n1为选取的最低阶模态的序号；n2为选取的最高阶模态序号；i 为序号间隔，是整数，其默认值为 1。 如果定义过程中跳过选取模态这一步，那么 ABAQUS 将选取前一分析步所提取的全部模态。如果定

义了模态阻尼（*MODAL DAMPING 选项，参见第 4 章），选项将被自动添加到关键字编辑器中

（Keyword Editor），而且同时生成*SELECT EIGENMODES 选项指定要保留的模态。

58

6.3.3 模态阻尼

模态瞬态分析可使用的阻尼形式包括，直接模态阻尼、瑞利阻尼和复合阻尼，而结构阻尼则不能直接

应用在模态瞬态分析中。 使用输入文件方式定义模态阻尼：

*MODAL DAMPING，MODAL=DIRECT 或

*MODAL DAMPING，MODAL=RAYLEIGH 或

*MODAL DAMPING，MODAL=COMPOSITE

注意*MODAL DAMPING 选项必须与*SELECT EIGENMODES 联合使用（具体的阻尼定义方

法参见第 4 章）。在同一模型内可以单独定义某一类型的阻尼，也可以同时定义多种类型的阻尼。如果在

分析中没有定义模态阻尼，就相当于定义了一个无阻尼系统。

6.3.4 材料

在瞬态动力学分析中考虑到了结构的惯性效应，因此必须输入材料的密度属性。一些材料属性的定义

在瞬态模态动力学分析中是无效的，如材料的塑性及其他的非弹性属性、热属性、传播特性、电特性（除

压电分析中的电动势属性之外）和小孔流体流动特性。

6.3.5 单元

ABAQUS 瞬态动力学分析中可以使用如下类型的单元： 应力/应变单元（不包括带有扭曲的广义轴对称单元） 噪声单元 压电单元 流体静力单元

§6-4 载荷和输出

6.4.1 基础运动

在模态瞬态动力学分析过程中不能通过使用*BOUNDARY 选项定义零位移边界条件和边界运动，在

分析过程中唯一可用来指定节点自由度运动的选项是“基础运动”(*BASE MOTION)。模态瞬态分析步

内通过*BOUNDARY 选项定义的非零位移或者加速度历程在分析中被忽略，并且对特征模态提取步

（*FREQUENCY）内边界条件的任何修改将会导致错误发生。 定义基础运动激励可参考第 7 章内容。 在模态叠加过程中定义基础

在瞬态模态动力学过程中的运动基础必须在特征模态提取分析过程内定义为边界条件。运动基础所包

含的自由度被划分为一个集合或多个集合，没有名称定义的基础集合称为“初级”基础；具有名称定义的“次级”基础集合必须在定义边界条件时用参数 BASE NAME 定义。初级和次级基础可定义不同的运动形式。

59

定义运动方向和运动函数

与基础相联系的位移要在瞬态模态动力响应过程中用*BASE MOTION 选项中的 DOF 和

AMPLITUDE 参数定义。 运动历程包含在振幅函数之中，振幅函数通过参数 AMPLITUDE 引用。如以下的输入文件定义了基

础的运动为方向 3，运动函数的名称为 amp。

*BASE MOTION, DOF=3, AMPLITUDE=amp 幅值比例系数

激励的幅值函数用参数 AMPLITUDE 指定，并可以通过参数 SCALE 设置比例因子以调整振幅的大

小，比例因子默认值为 1.0。 以下的输入文件定义了幅值比例因子为 2.0。 *BASE MOTION, DOF=3, AMPLITUDE=amp，SCALE=2.0

指定基础运动的类型

基础运动可以是位移、速度或者加速度时间历程。若运动是以位移或者速度的形式给出的，ABAQUS将其对时间微分得到基础运动的加速度时间历程。基础运动的默认输入形式是加速度。 指定次级基础运动

要定义某个次级基础运动，只需要在特征模态提取过程中用 BASE NAME 参数设置为该次级基础的

名称。

*BASE MOTION, DOF=n, AMPLITUDE=name, BASE NAME=secondary base 需要注意的是，如果构成初级基础的边界条件不能完全约束刚体模态，用户就必须在特征模态提取过

程中附加定义一个适当的频移，以避免数值计算出现奇异。

基础运动分析输入模版

在建立了 ABAQUS 有限元模型后可参考以下的输入文件模板在模态瞬态动力分析中定义基础运动。

*HEADING … *AMPLITUDE, NAME=amplitude 数据行，指定运动运动函数

** *STEP *FREQUENCY 数据行，指定提取模态数

*BOUNDARY 数据行，定义初级基础所包括的自由度

*BOUNDARY, BASE NAME=base 数据行，指定次级基础所包含的自由度

*END STEP ** *STEP *MODAL DYNAMIC 数据行，确定分析时间增量

60

*SELECT EIGENMODES 数据行，指定分析需要保留的模态范围

*MODAL DAMPING 数据行，定义模态阻尼

*BASE MOTION, DOF=dof, AMPLITUDE=amplitude *BASE MOTION, DOF=dof, AMPLITUDE=amplitude, BASE NAME=base *END STEP

6.4.2 载荷

ABAQUS 瞬态模态动力分析中可定义集中载荷和分布式载荷两种形式。 集中载荷，施加在节点自由度（1~6）

输入文件时使用选项 *CLOAD 施加在某些特定单元上的分布压力载荷或体力载荷

输入文件时使用选项*DLOAD

6.4.3 场定义

ABAQUS 瞬态模态动力学分析不支持预定义温度场（选项*TEMPERATURE）分析，忽略场的定义

（选项*FIELD）。

6.4.4 初始条件

在 ABAQUS 中定义瞬态模态动力学分析时可用以下的输入文件定义初始条件：

*MODAL DYNAMIC, CONTINUE=NO 或

*MODAL DYNAMIC, CONTINUE=YES 如果参数 CONTINUE 为 NO，那么计算自基本状态开始，即初始位移为 0，初始速度为*INITIAL

CONDITIONS，TYPE=VELOCITY 选项中指定的值，如果无初始速度的定义则初始速度为 0。 如果参数 CONTINUE 为 YES，那么前一步（可以是瞬态模态分析步或线性摄动步）的计算结果将

被作为该次计算的初始条件。 如果前一步的分析为瞬态模态动力学分析，则当前计算的初始位移和初始速度都取自前一步的计

算结果 如果前一步的分析为线性摄动分析，则当前计算的初始位移取自前一步计算的结果，而初始速度

取自*INITIAL CONDITIONS，TYPE=VELOCITY 选项中指定的值

注意：当定义了多次瞬态响应的分析步时，它们不可能从同一个分析步开始分析，不论参数

CONTINUE 的值是 YES 还是 NO。

6.4.5 输出

处理输出结果花费的时间实际上远超出计算所用的时间。ABAQUS 仅支持输出指定节点的结果输出方

61

式，以节省时间，减少分析成本。 ABAQUS 对于模态瞬态动力学分析不仅提供了完备的物理变量结果输出，还提供了模态变量的结果输

出，具体可以通过*MODAL PRINT 和*MODAL FILE 选项控制输出，可输出的模态变量包括： GU 模态坐标下的广义位移 GV 模态坐标下的广义速度 GA 模态坐标下的广义加速度 SNE 单个模态的模态应变能 KE 单个模态的模态动能 BM 基础运动 瞬态模态动力学分析不能输出单元的能量密度(如 SENER)和能量(如单元动能 ELKE)，但可以输出模

型变量，如可以用选项*MODAL PRINT 和*MODAL FILE 选择输出模型的整体应变能 ALLIE。 计算基础运动的响应时，要注意输出节点的运动是相对于初级基础的运动。节点的绝对运动为相对运动与

初级基础运动之和，因而节点相对于基础的运动与其绝对运动是等价的。

§6-5 算例：货物吊车

6.5.1 模型描述

图 6.5.1 所示为一个轻型货物吊车，吊车由两榀桁架结构组成，通过交叉支撑连接在一起。吊车在点

A、B、C 和 D 四点固连在刚性基础结构上，两榀桁架结构在它们的端点(E 点)连接，这种连接方式允许它

们各自独立地沿 z 方向移动和所有的转动，而约束使它们在 x 方向和 y 方向的位移相等。在端部(E 点)施加一个持续 0.2 秒，幅值为 10KN 的集中动态力，要确定吊车的瞬态响应，来判断结构是否可靠以及何处

为危险部位。图 6.5.2 为加在端点处载荷的时间历程曲线。

图 6.5.1 轻型货物吊车草图

62

图 6.5.2 载荷时间历程曲线

由于加载的持续时间很短（0.2s），表明结构的惯性效应可能是相当重要的，因此必须进行动态分析。

例子中的模型没有提供关于阻尼的信息，实际结构在框架和加强桁条之间采用了螺栓连接，因此由摩擦效

应引起的能量耗散估计是比较显著的，因此根据经验在各阶模态上定义了 5％的临界阻尼比。

6.5.2 分析步骤

在建立吊车的有限元模型后，完成该模型的模态瞬态响应分析需要两个分析步，如图 6.5.3 所示。 提取模型的特征模态，包括特征频率和特征向量； 用模态叠加法计算吊车提升货物的瞬态响应。

图 6.5.3 定义模态瞬态分析

定义模态分析步

定义模态分析步，并设置提取该模型的前 30 阶模态，如图 6.5.4 所示。

在模态提取步后添加瞬态

模态动力学分析

首先进行特征模态分析

63

对应的ABAQUS输入文件为

*STEP, name="Extract frequencies" *FREQUENCY, EIGENSOLVER=LANCZOS 30, : *END STEP

定义瞬态模态动力学分析步

定义模态瞬态动力学分析步，并设定 1~30 阶模态阻尼比值为 5%。在定义了模态阻尼后，

ABAQUS/CAE 自动生成命令*SELECT EIGENMODES 设置选取模态数，也可以通过关键字编辑器方

式(Keywords Editor)进行编辑。

*STEP, name="Transient dynamics" Simulation of Drop Load *MODAL DYNAMIC, CONTINUE=NO 0.005, 0.5 *MODAL DAMPING, MODAL=DIRECT 1, 30, 0.05 *SELECT EIGENMODES, GENERATE 1, 30, 1 : *END STEP

图 6.5.5 定义步长

*STEP, name="Transient dynamics" *MODAL DYNAMIC, CONTINUE=NO 0.005, 0.5 *MODAL DAMPING, MODAL=DIRECT 1, 30, 0.05 *SELECT EIGENMODES, GENERATE 1, 30, 1

分析采用定步长方式

图 6.5.4 模态提取

64

: *END STEP

图 6.5.6 定义模态阻尼

定义初始条件

该例中初始位移和初始速度为零，因此选择零初始条件，如图 6.5.7 所示。

图 6.5.7 定义初始条件

ABAQUS 定义计算的初始条件有两种方式，一种是零初始条件，另一种是使用初始条件。两种方法的

区别如表 6.5.1 所示。 表 6.5.1 初始条件定义

参数 定义

CONTINUE=NO

由基本状态重新计算（默认）

忽略初始速度 初始位移为 0

结果是从基本状态摄动的结果 步进时间重新累积

CONTINUE=YES 从前步结果继续计算

6.5.3 结果分析与讨论

根据§6-4 节的定义对吊车进行瞬态动力学分析，得到在给定激励下的瞬态响应结果。下面从模态数

零初始条件

65

量和阻尼大小的影响两方面来分析。

模态数量的影响

以上是模态分析步的结果。从结果来看，前 30 阶提取模态的最高频率 96Hz，周期为 0.0104s，与

固定时间步长 0.005s 相当。分解得到的固有频率周期与时间步长相当。需要注意的是，所取的计算时间

步长必须对最高的频率具有足够的解析度。

模型总质量为 414.34 kg，其中有些节点被约束，可运动质量实际为 385kg。为确保保留足够多的

模态，选取的一般准则为：每一个运动方向上的模态有效质量之和要足够大，一般要求各模态有效质量之

和占模型可运动质量的 90%以上。 在本例中，前 30 阶模态在 1 方向上并不满足模态保留的准则，而 2、3 方向满足。进一步考虑到载

荷的主运动方向为 2 方向，1 方向的动力响应实际上并不明显，因此可以考虑选取前 30 阶模态来进行计

算。 模态数量对结算结果的影响如图 6.5.8 所示。从图中可以看出，仅使用两阶特征模态进行模态叠加计

算得到的响应值太小。模态分析表明，第一个显著的模态质量出现在第 3 阶模态的 2 方向上，因此保留两

阶特征模态对问题的描述明显不够充分，必须考虑增加计算的模态数量。分别用 5 阶和 30 阶模态计算的

结果显示，响应值在 0.2s 之后几乎一致，开始阶段的响应差异比较显著，这一结果表明 5~30 阶之间的

模态对开始阶段的响应影响较大。

固有频率数据

MODE NO EIGENVALUE FREQUENCY GENERALIZED COMPOSITE

MASS MODAL DAMPING

(RAD/TIME) (CYCLES/TIME)

1 1773.5 42.113 6.7025 151.93 0.0000

2 7016.2 83.763 13.331 30.208 0.0000

:

29 3.13942E+05 560.31 89.175 272.81 0.0000

30 3.64670E+05 603.88 96.110 65.355 0.0000

有效质量

MODE X-COMPONENT Y-COMP Z-COM X-ROTATION Y-ROT Z-ROT

1 5.61E-05 5.79E-03 310.00 77.31 5515.4 0.174

2 1.03 2.00 1.98E-05 8.80E-05 1.15E-03 85.87

3 2.75 217.75 2.14E-03 5.83E-03 9.50E-02 7778.3

:

29 2.63E-02 3.64E-03 5.77E-03 2.66E-03 6.60E-02 2.13E-03

30 0.150 2.12E-02 1.12 3.07E-02 8.00 2.11E-02

TOTAL 22.181 378.25 373.63 269.75 8348.0 8518.0

66

阻尼的影响

框架和加强桁条连接点的局部摩擦效应很可能消耗了相当大的能量，需要选取适当的临界阻尼值来计

算这种耗能效应。如果不能获得阻尼的精确值（如在本例中的情况），就需要慎重考虑所选取阻尼值的作用

效果，并且有必要分析模型瞬态响应对阻尼的敏感性，以评价阻尼对瞬态响应的影响。 下面通过选取不同阻尼值进行比较，如图 6.5.9 所示。与理论分析的结果一致，小阻尼时振动衰减速

度明显低于大阻尼的振动衰减速度。

图 6-9 阻尼对计算结果的影响

图 6.5.8 模态数量对计算结果的影响

67

第 7 章

基础运动

§7-1 基础运动形式

基础运动激励用于分析支座运动激励下的动力学响应问题。例如由地震、爆炸或结构的机械性能等引

起的结构动响应问题，例如图 7.1.1 所示汽车在路面上行驶的情况。在模态动力学分析过程中，支座的运

动定义为基础运动激励。ABAQUS 支持多重基础运动的结构动态响应计算，基础运动的自由度可划分成一

组基础或是多组基础。如果基础运动难以由一组刚性运动描述，就要采用多组基础运动形式来表示。例如，

桥梁的各个底座受一组形式相同而时间上具有不同程度延迟的地震载荷作用，在这种情况下，需要定义多

基础来模拟基础运动。

图 7.1.1 基础运动

初级基础

可以由一组刚性运动来描述的基础运动通常定义为初级基础运动。如结构仅有一个支座，或结构具有

多个支座但各支座运动形式一致，则仅需要定义初级基础运动。 次级基础

如果模型需要定义多个基础运动来模拟激励，那么，除了定义初级基础还需要定义次级基础。 在模态动力学分析中，多基础激励只能在瞬态模态动力学分析和稳态动力分析过程中使用，而且基础

所包含的自由度必须在特征模态提取步内定义边界条件时，用参数 BASE NAME 定义。 ABAQUS 内定义基础的关键字是：

*BOUNDARY 或

*BOUNDARY，BASE NAME=name 定义基础运动的关键字是

*BASE MOTION 或

*BASE MOTION，BASE NAME=name

flat road (reference)

ufront(t)urear(t)bumpy road

68

§7-2 初级基础运动

在模态动力学分析中，ABAQUS 采用模态参与法处理初级基础运动。

假设结构与基础的相对运动为u ，施加的基础运动激励为 bu ，结构的总体响应 tu 是基础运动及相对于

基础运动之和。

t bu u u= + (7.1.1)

速度和加速度也有和位移相同的关系。将 tu 代入线性动力学的基本方程中，得到，

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }bM u C u K u M u+ + = −&& & && (7.2.2)

因为我们假定 bu 代表刚体运动，即所有的基础点被同时激励，因而有[ ]{ } 0bC u =& 和[ ]{ } 0bK u = ，

基础运动激励转化为惯性力载荷 [ ]{ }bM u− && 。如果基础运动是以位移或者速度形式定义的，

ABAQUS/Standard 通过微分将其转换为加速度形式。基础运动向量可用刚体模态向量{ } jT 和时域运动

变量 ( )1,2, ,6jz j = K 线性表示

{ } { }6

1b jj

j

u T z=

= ∑ (7.2.3)

将运动方程投影到模态空间，得到模态坐标表示的运动方程

( )6

1

m mm m m m jj

jm m

c kq q q zm m =

+ + = − Γ∑&& & && (7.2.4)

其中， mq 表示相对运动对应于模态m 的模态坐标；

{ }mφ 表示相对运动对应于模态m 的模态振型；

mk 、 mc 和 mm 分别为模态刚度、模态阻尼和模态质量；

( ) { } [ ]{ }1 Tm j m j

m

M Tm

φΓ = 为模态m 第 j 个自由度的模态参与因子。

初级基础运动的理论推导表明，求得的结构运动是与初级基础的相对运动。模型的特征模态是在基础

自由度全部固定的状态下得到的，因此初级基础所包含的自由度必须在提取特征模态步内定义为固定形式。

§7-3 次级基础运动

在模态动力学分析中，次级基础运动与初级基础运动的处理方法不同，处理次级基础运动应用大质量

69

法。 在特征模态提取步内，次级基础所包含的自由度全部被释放，取而代之在这些自由度上加上大质量（质

量远远大于结构的总质量）。附加大质量后基础运动通过在次级基础自由度上施加集中力的方式实现，此集

中力为

N Ns big sP M u= && (7.3.1)

其中 bigM 为大质量，Nsu&& 为基础运动加速度， N 表示次级基础包含的自由度数。

将初级基础和次级基础的运动方程联合，可得运动方程，

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }b sM u C u K u M u P+ + = − +&& & && (7.3.2)

{ } { }i is big s

iP M u⎡ ⎤= ⎣ ⎦∑ && (7.3.3)

其中，ibigM⎡ ⎤⎣ ⎦ 对角矩阵，对角线上的元素对应第 i 个次级基础上的大质量；

{ }isu&& 第 i 个次级基础的运动；

[ ]M 结构的质量矩阵，包括次级基础上的大质量。

将运动方程投影到模态空间，得到模态坐标下的运动方程，

( ) { } { }6

1

1 Tm mm m m m j sj m

jm m m

c kq q q z Pm m m

φ=

+ + = − Γ +∑&& & && (7.3.4)

附加的大质量导致模型出现低频模态，增加附加大质量的数量，也同时增加了低频模态的数量。为了

获得关心频率范围内的模态，提取的模态数量也要随之增加。 模态运动方程的解返回到物理坐标系后，得到的是结构相对于初级基础和次级基础的相对运动。 为了获得精确的基础运动，附加的大质量要尽可能的大；同时也要注意，如果附加质量过大，将导致

计算溢出错误。通常要获得 6 位小数的计算精度，每个大质量的值要取为结构总质量的 106倍，转动惯量

取为结构总转动惯量的 106倍。 大质量仅在特征频率提取步内定义，而并不包含在模型其他动力学分析步内。这样，大质量的定义不

会影响输出信息中有关结构总质量和总惯量的输出。但是，大质量的存在将影响特征模态提取步的输出，

如广义质量和模态有效质量将受到附加质量的影响。

§7-4 在 ABAQUS 中定义基础运动

目前 ABAQUS/CAE 尚不支持定义基础运动。因此，用户需要使用 Keywords Editor 进行相关定义。

定义基础

在模态动力学过程中的运动基础所包含的自由度，必须在之前特征模态提取分析过程内定义为固定边

界条件。运动基础所包含自由度被划分为一个集合或多个集合。没有名称定义的基础称为“初级”基础；具

有名称定义的“次级”基础必须在固有模态提取过程中用选项*BOUNDARY 的参数 BASE NAME 定义。

不同的基础可定义不同的运动。

70

定义基础运动的时间历程

运动历程包含在振幅函数之中，振幅函数通过参数 AMPLITUDE 引用。 基础运动形式由总体坐标系下的三个平动自由度和三个转角自由度确定。基础运动必须在总体坐标系

下定义，ABAQUS 将忽略转换坐标系选项（*TRANSFORM）。定义基础运动的方向（自由度 1~6）由

参数 DOF 指定，每个基础自由度的运动都需要一个单独的*BASE MOTION 选项来定义。如果基础运

动定义包括围绕某点的转动，而该转动中心并不在坐标系原点，那么必须说明该转动中心点的位置。 例如，定义绕点[x0, y0, z0]在 4 方向的转动，幅值时间历程为 amp 的初级基础运动，可用下面的输

入文件

*BASE MOTION, DOF=4, AMPLITUTE=amp x0, y0, z0

基础运动的比例系数

振幅函数用参数 AMPLITUDE 指定，并可以通过参数 SCALE 设置比例因子以调整振幅的大小，比

例因子默认值为 1.0。 下面的输入文件定义了幅值比例因子为 2.0。 *BASE MOTION, DOF=3, AMPLITUDE=amp，SCALE=2.0

指定基础运动的类型

基础运动可以是位移、速度或者加速度形式的时间历程。若运动是以位移或者速度的形式给出的，

ABAQUS 将其对时间微分得到基础运动的加速度时间历程。基础运动的默认输入形式是加速度。

指定基础运动的加速度历程用以下命令：

*BASE MOTION, DOF=n, AMPLITUDE=name, TYPE=ACCELERATION

指定基础运动的速度历程

*BASE MOTION, DOF=n, AMPLITUDE=name, TYPE=VELOCITY

指定基础运动的位移历程

*BASE MOTION, DOF=n, AMPLITUDE=name, TYPE=DISPLACEMENT

指定次级基础运动

要定义某个次级基础运动，只需要在特征模态提取过程中用 BASE NAME 参数来设置该基础的名称。

*BASE MOTION, DOF=n, AMPLITUDE=name, BASE NAME=secondary base

下面举例说明定义初级基础运动与次级基础运动的不同方法。模型的支撑位置为节点 1 和节点 4，假

设在特征模态抽取步骤之前输入了以下的边界条件

*BOUNDARY 1, 1, 6 4, 1, 1

4, 3, 6

节点 4 沿 Y 方向的平移自由度被释放

71

并且节点 1 和节点 4 的第 2 自由度上定义为不同的基础运动，则可以在特征模态提取步和模态动力学分析

过程（如瞬态模态响应）中输入以下的内容：

*STEP *FREQUENCY 数据行，设置需要提取的模态数

*BOUNDARY, BASE NAME=BASE2 4, 2, 2 *END STEP ** *STEP *MODAL DYNAMIC 数据行，指定时间步长

*BASE MOTION, DOF=2, AMP=name 数据行，定义初级基础运动

*BASE MOTION, DOF=2, AMP=name, BASE NAME=BASE2 数据行，定义次级基础运动

*END STEP 如果在特征模态提取步之前没有定义边界条件，那么就必须在特征模态提取步内补充定义。再次指出，

定义次级基础必须定义名称（*BOUNDARY 选项 BASE NAME 参数）。

*STEP *FREQUENCY 数据行，指定模态提取数量

*BOUNDARY 1, 1, 6 4, 1, 1 4, 3, 6 *BOUNDARY, BASE NAME=BASE2

4, 2, 2 *END STEP ** *STEP *MODAL DYNAMIC 数据行，指定时间步长

*BASE MOTION, DOF=2, AMP=name 数据行，定义初级基础运动

*BASE MOTION, DOF=2, AMP=name, BASE NAME=BASE2 数据行，定义次级基础运动

*END STEP

节点 4 沿 Y 方向的平移自由度

在提取模态步内被定义为次级基础

补充定义边界条件

定义初级基础运动

定义次级基础运动

72

一个完整的*BASE MOTION 选项为

*BASE MOTION, TYPE=[DISP | VEL | ACCEL], DOF=i, AMP=name, SCALE=s, LOAD CASE=j, BASE NAME=name

x0, y0, z0 其中各参数的意义见表 7.4.1。

表 7.4.1 参数意义

§7.5 算例

7.5.1 模型描述

下面以一个受多级基础激励的双悬臂梁为例，对该模型进行瞬态动力分析来说明多基础激励的应用。

关键字 定义

TYPE 定义运动的类型，运动可以是以下几种： 位移、速度、加速度

DOF=i 基础运动的方向，1~6 之间的整数

AMP=name 运动幅值的名称 定义时域运动幅值（MODAL DYNAMIC 过程） 定义频域运动幅值（STEADY STATE DYNAMICS 过程）

SCALE=s 指定幅值的比例因子

LOAD CASE=j

1j = ,运动的实部（默认）

2j = ,运动的虚部

仅对稳态动力分析和随机响应分析有效

BASE NAME=name

如果是定义了次级基础运动，则为基础的名称。基础的名称在

*FREQUENCY 步内使用*BOUNDARY 选项的 BASE NAME 参数定义。

x0, y0, z0

转动中心位置 如果基础的运动包含绕某点的转动，而该点并非坐标原点，则需要输

入该点的位置；否则，不需要输入任何内容。

73

图 7.5.2 所示的双悬臂梁模型是一个基础受到地震载荷激励的简化模型，计算该模型在两种不同基础

激励下的运动响应，激励作用时间为 2.0 秒。 第一种情况，考虑模型的两个支座受到相同基础激励作用。 第二种情况，两个支座受到的基础激励不同，假设左支座受到的基础激励相对右支座基础激励有

一个时移。

梁的横截面参数： 高 50.8 mm (2.0 in)

宽 25.4 mm (1.0 in) 杨氏模量： 206.8 GPa (3.0x107 lb/in2) 密度： 7780 kg/m3 (0.00078 lb-s2/in4)

图 7.5.2 桥梁简化模型

分析两种不同基础激励下的结构响应需要建立两个不同的模型。

在第一个模型中，*BASE MOTION 选项无 BASE NAME 参数。

*HEADING : *AMPLITUDE, INPUT=QUAKE01.AMP, NAME=EQ

*BOUNDARY LEFT, 1, 6 RIGHT, 1, 6

*STEP *FREQUENCY 10, *END STEP *STEP EARTHQUAKE INPUT *MODAL DYNAMIC .01 , 2. *MODAL DAMPING 1,6 *SELECT EIGENMODES, GENERATE 1,6,1

定义直接模态阻尼

初级基础所包含的自由度

仅取前 6 阶模态

(与模态阻尼的设置一致)

RIGHT LEFT

( )gu t τ−&& ( )gu t&&

y

74

*BASE MOTION, DOF=2, AMPLITUDE=EQ, SCALE=386.09 *END STEP 在第二个模型中，右支座是初级基础，因而*BASE MOTION 选项无 BASE NAME 参数。在提取

特征模态步用*BASE MOTION 选项的 BASE NAME 定义左支座为次级基础，并命名为 BASE_LEFTEND。

*HEADING : *AMPLITUDE, NAME=SHIFT_EQ, INPUT=QUAKE21.AMP *BOUNDARY RIGHT, 1, 6 LEFT, 1 LEFT, 6 *STEP *FREQUENCY 10 *BOUNDARY, BASE NAME=BASE_LEFTLEFT, 2 *END STEP

*STEP *MODAL DYNAMIC 0. 01, 2.0 *SELECT EIGENMODES, GENERATE 1, 6, 1 *BASE MOTION, DOF=2, AMPLITUDE=EQ, SCALE=386.09 *BASE MOTION, DOF=2, AMPLITUDE=SHIFT_EQ, SCALE=386.09, BASE NAME=BASE_LEFT *END STEP

释放左支座的第二个自由度

具有时移的运动历程

次级基础运动

使用关键字编辑器编辑

(KEYWORD EDITOR)

定义次级基础

75

7.5.2 计算结果

图 7.5.3 两条曲线分别表示两种基础运动激励作用下，梁跨距中点的位移响应对比：

图 7.5.3 多基础激励与初级基础激励算例结果对比

第一个模型的两个支撑位置具有相同的运动，第二个模型两个支撑位置的运动具有一定的时移。地震

载荷可视为各支座具有形式相同而有一定时移的运动，因此多基础模型适合于模拟桥梁承受地震载荷作用。

计算结果表明结构各基础的运动发生时移后可能使结构产生较大瞬态动响应，在实际情况下，此种载荷对

结构具有很大的危害。

使用关键字编辑器编辑

(KEYWORD EDITOR)

76

第 8 章

加速度记录的基线校准

§8.1 加速度基线调整和校准简介

在地震仪器测得的加速度记录，或者经过数字化后得到的加速度记录中，既包含了大量的有用信息，

也混杂了各种干扰，这些干扰主要是测量仪器的误差及采样频率的不足所导致的。为了对记录进行恰当的

分析，确保精度，应该在可能的条件下，在尽量宽的频率范围内，把记录中的干扰和误差减少到最低的水

平，使从加速度记录中取得的信息尽可能如实地保留下来。为了达到这个目的，就需要对加速度记录进行

调整和校准。 所谓调整是指对包含干扰信号的加速度记录的时标、固定基线形状和基线等进行调整，使它变成

更便于作进一步分析计算的具有统一形式的加速度记录。在调整过程中，对已数字化了的加速度

记录中包含的信息及干扰，基本上不作过多修改，只是在如实地反映原始记录的基础上，使加速

度记录具有更合理的统一的标准形式而已。 所谓校准是指对调整后的加速度记录，进行仪器振幅－频率响应失真和加速度记录基线长周期失

真的校准。在校准过程中，将使误差和干扰得以排除，失真的信号得以恢复，有时甚至为了压制

一部分干扰的影响，还必须舍弃一部分相对来说用途较小的信息。 在对加速度模拟记录数字化时，应该尽可能地如实反应实际加速度记录中的各种信息。因此，必须精

确地读出记录曲线中每一点的纵坐标值和横坐标值。但由于在实际记录中，并不包含基线，而且由于种种

原因，例如记录纸在传动机构中的横向走动，感光介质在各种化学溶液中浸泡和凉干后的变形等，将使加

速度记录基线的形状变得十分复杂，因此加速度记录的实际基线位置，包含了许多不确定的因素，使确定

基线变得更加困难。那么没有基线又如何去量取加速度记录的纵坐标呢？通常总是人为地去假定一条直线

作为近似的基线，以此为基础对模拟曲线逐点读数，然后再对假定的基线进行调整和校准，使得到的数据

误差最小。 加速度记录的基线位置定得准确与否，对加速度记录得精度有着重要得影响，这种影响表现在两个方

面： 首先它直接影响加速度记录的纵坐标值，从而造成了虚假成分。比如人为确定的基线和实际基线

有一个固定的偏移 a（即假定人为的零线和实际的零线互相平行），则对于真实的加速度记录 )(tf

来说，等于叠加了一个常数a ，使加速度变为 )(tfa + 。假如记录的持续时间为T ，则由此算得

的傅立叶谱，将在真实的傅立叶谱 )(ϖF 上叠加了一个相当时域上为矩形 aT 的傅立叶谱

)2

/()2

sin( TTa ϖϖ；如果选取的基线为一个倾斜的直线at ，则在 )(ϖF 上将受到一个相当于锯齿

波函数的傅立叶谱2/ϖa 的干扰。

其次，由于结构体系各个自由度位移及速度历程是在输入加速度记录基础上作时间积分运算得到

的，在 ABAQUS 非线性有限元分析中，带有微小干扰的加速度记录最直接的影响是可能导致结

构在分析过程中产生较大的位移相对误差。

77

分析非线性动力学问题时，ABAQUS/Standard 分析模块采用*AMPLITUDE 定义加速度曲线。对加

速度记录存在微小干扰的情况，ABAQUS 程序*BASELINE 提供两种方式进行加速度记录基线校准，校准

过程中在加速度记录内插入一项二次修正项，使得修正后的积分位移的整体漂移最小。

§8.2 基线校准方法

8.2.1 多种加速度记录误差分析

加速度记录存在多种干扰因素，归纳起来主要有两个方面： 由于记录纸横向走动和读数器本身的系统误差，以及数字化过程中由于读数器 X 轴与记录曲线基线不一致

所产生的偏差。 还有其他因素，如读数时的随机误差，记录纸的畸变等，也会给加速度记录基线带来各种高频和低频的干

扰。这些干扰也同样会给加速度记录分析，特别是对加速度记录的积分和微分运算带来严重的影响。 图 8.2.1 给出了这类误差的影响，其中图（a）表明了高频数字噪声的影响，由于信号上叠加了高频

干扰，导致记录曲线的斜率（微分）发生明显变化，使信号的切线从 1－1 变化到 2－2；图（b）表明了

基线长周期漂移的影响，由于信号叠加了这种长周期漂移，尽管对记录曲线的斜率影响较小，但对曲线所

包围的面积即它的积分值有明显的影响。

对于加速度记录来说，主要问题在于体系由时间积分得到节点位移时，低频漂移的影响更为显著，从

图 8.2.1 分析来看高频随机噪声的幅值要远远低于低频漂移的幅值。所以对零线的校准主要限于对长周期

干扰的校准。

8.2.2 几种常用基线校准方法

如何消除这种基线偏移的影响呢？根据不同加速度记录特点，存在三种常用基线校准的方法，即零终

值条件法、数字滤波法和最小均方速度法。本章中重点针对天然地震加速度记录中运用较广的最小均方速

信号 )(tX S

高频噪声 )(tX N

信号＋噪声

信号 )(tX S

低频噪声 )(tX N

信号＋噪声

t

t

t t

t

t

X

X

X

X

X

X

图 8.2.1 加速度记录中高低频率误差

图(a) 高频率误差 图(b) 低频率误差

78

度法进行详细介绍，ABAQUS/Standard 分析模块利用该法为非线性动响应分析中加速度记录输入进行

基线校准。 零终值条件法－E.T.O.法 (End Time Zero Technique) E.T.O.法假定各种随机干扰所产生的基线为一条高次曲线，通常假定它是一条三次曲线：

33

2210 tCtCtCC +++ ，若原来的加速度记录读数为 )(0 tX&& ，则校准后的加速度记录应为：

33

22100 )()( tCtCtCCtXtX c ++++= &&&& (8.2.1)

然后利用校准后加速度、速度、位移的初值及终值为零的条件，确定待定系数 0C ， 1C ， 2C ， 3C 。

E.T.O.法的主要特点是采用零终值以及零初值条件，这种方法对于爆破地震加速度记录进行基线校准较为

合宜，因为爆破地震加速度记录一般均有确定的初、终值条件，对于天然地震加速度记录来说，无论初值

条件或终值条件都不是确定的，例如强震时，往往可能导致永久的残余变形，而不是零位移，因此这种方

法本身也会给零线带来一些不确定的影响，所以在地震加速度记录的零线校准，一般很少采用。 数字滤波法 地震工程研究中感兴趣的主要频率范围大概在 10 秒－0.04 秒之间。数字滤波法将基线中的主要干扰（周

期大于 10 秒的加速度信号）通过两次傅立叶变换过滤掉。该法物理概念比较明确，可以把仪器记录和数

字化过程中引入的一切长周期干扰都予以消除。所不足之处在于消除长周期干扰的同时，把一些有用的信

息也过滤了。 数字滤波校准基线的原理虽然比较简单，但实施起来还是有很多具体问题有待解决。譬如滤波的精度问题、

计算效率问题以及合理的临界周期选取。 最小均方速度法－L.M.S.V.法（Least Mean Square Velocity Technique）

该法假定记录的基线为一条二次抛物线：2

210)( tCtCCtX ++=&& ，将加速度修正项 )(tX&& 插入原始加速度

记录 )(0 tX&& 得到校准后的加速度记录 )(tX c&& 和速度记录 )(tX c

& 为：

22100 )()( tCtCCtXtX c +++= &&&& )( 1时+<< jj TtT (8.2.2)

32

2100 3

121)()( tCtCtCtXtX c +++= && )( 1时+<< jj TtT (8.2.3)

式中 1, +jj TT 为基线校准的前后时间区间。

则修正后的地震运动均方速度和为：

∫ +

−+

1 2

1

)]([)(

1 j

j

T

T cjj

dttXTT

& (8.2.4)

式(8.2.4)中包含待定系数 0C ， 1C ， 2C 。为求这些系数，假定它们满足使均方速度和为最小，即令：

79

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=∂

∂

=∂∂

=∂

∂

∫

∫

∫

+

+

+

0)]([

0)]([

0)]([

1

1

1

2

2

2

1

2

0

j

j

j

j

j

j

T

T c

T

T c

T

T c

dttXC

dttXC

dttXC

&

&

&

(8.2.5)

从方程(8.2.5)中可以解得 0C ， 1C ， 2C ：

1 1 1

1 1 1

1

2 30 0 0 03 4 5

2 31 0 0 04 5 6

2 0 05 6

300 900 630( ) ( ) ( )

1800 5760 4200( ) ( ) ( )

1890 6300( ) ( )

j j j

j j j

j j j

j j j

j

j

T T T

T T T

T T T

T T T

T

T

C X t tdt X t t dt X t t dtT T T

C X t tdt X t t dt X t t dtT T T

C X t tdt X t tT T

+ + +

+ + +

+

−= ⋅ + ⋅ − ⋅

Δ Δ Δ

= ⋅ − ⋅ + ⋅Δ Δ Δ

−= ⋅ + ⋅

Δ Δ

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

& & &

& & &

& &1 12 307

4725 ( )j j

j j

T T

T Tdt X t t dt

T+ +

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪− ⋅ ⎪Δ ⎭∫ ∫ &

(8.2.6)

其中 ∫+= 1 )()( 00

j

j

T

TdttXtX &&& 。

根据式(8.2.6)求得的待定系数 0C ， 1C ， 2C ，将 0C ， 1C ， 2C 代入式(8.2.2),可以得到校准后的加

速度 )(tX c&& ，经过相应时间积分计算后，便可以依次得到校准后的速度 )(tX c

& 和位移 )(tX c 。

L.M.S.V.法假定均方速度和为最小时，没有明确的物理根据，但是它在强震观测记录分析中得到广泛

运用的原因有如下几点： 强震记录往往很难指出终了的时间和终止时的数据，而 L.M.S.V.法恰恰可以不需要这类条件。 L.M.S.V.法给出的校准基线是一个二次抛物线，比较符合人们的口味，因为采用一次直线明显与

实际情况不符合，采用高次曲线，既没有明确的物理意义，又太麻烦，不如二次抛物线适中。 二次抛物线对相当二倍持续时间长的长周期地震波有一定的滤波作用，而基线中的随机干扰往往

是长周期的影响比较严重，因此采用二次抛物线可以自动地消除这种影响，得到比较好的结果。 在 ABAQUS 程序进行瞬态动力学问题及模态动力学问题分析时，加速度激励输入也面临着系统误差

及随机误差的干扰影响。ABAQUS/Standard 程序中关键词*BASELINE 采用 L.M.S.V.方法对加速度记

录作基线校准。为了能够对位移漂移提供更精确的控制，在关键词*BASELINE 中可以定义多个校准区间，

在不同校准区间中分别对加速度记录作基线校准。

§8.3 加速度基线校准步骤

加速度基线校准基本步骤： 在荷载曲线定义过程中，先通过 ABAQUS/CAE 或者关键词*AMPLITUDE 定义加速度记录文件 然后在此基础上通过*BASELINE CORRECTION 激活基线校准功能，在加速度项中插入一项二次修正项，

该修正项使每个修正区间内速度平方均值最小。 可以利用*BASELINE CORRECTION 关键词定义不同修正区间，在不同区间中分别对幅值作修正，若该

项为定义，则默认为对整个幅值域进行单区间修正。 单区间校准

80

多区间校准 注意点：

在 INPUT 文件中，利用*BASELINE CORRECTION 启用加速度基线校准时，必须紧随

*AMPLITUDE 定义加速度记录数据块之后。 只有在瞬态直接积分动力学问题的边界条件定义及模态动力学问题基础激励定义中才有必要用

到基线校准。 一般*BASELINE CORRECTION 从加速度曲线 T=0 s 处开始修正，并且假设初始速度为零。

§8.4 考虑基线校准的悬臂梁算例分析

在时域线性模态动力学问题及直接积分法动力学问题分析中，输入加速度激励存在干扰时，分析中需

考虑对加速度记录作调整和校准。针对不同精度要求，ABAQUS 程序允许用户采用不同方式，很方便地对

加速度记录进行基线校准。本节以线性模态动力学问题为对象，通过实例来讲解 ABAQUS 程序在动力学

分析中如何对存在干扰的加速度记录进行基线校准，并比较未作基线校准、单区间方式基线校准及多区间

方式基线校准对分析结果的影响。

8.4.1 问题描述

本实例对一端自由，一端嵌固的悬臂柱在地震波激励下考虑加速度基线校准和不考虑加速度基线校准

两种情况下分别作线性模态动响应分析。悬臂柱截面尺寸如图 8.4.1 所示，高 )(300 inL = ,箱形截面尺寸

)(1)(2 ininWH ×=× ，图中悬臂柱尺寸选取可以使结构固有频率落在地震工程研究中感兴趣的主要频率

范围内，大概大于 33Hz。其材料为钢，相关参数为：杨氏模量 )/(100.3 27 inlbE ×= ，密度

)/(00728.0 42 inslbDENS −= 。

8.4.2 线性模态动力学问题分析步骤

同其他有限元分析一样，进行线性模态动力学分析时首先建立相应的有限元模型。 在 ABAQUS 程序中，首先通过完成如下工作来建立本实例的有限元模型，包括指定分析标题、定义节点

和单元、定义材料性能参数、定义单元截面特性、定义初始边界条件等。 实例给出 ABAQUS/CAE 前处理器建立有限元模型过程（实体建模方式），然后分析了命令流文件。

先建立节点，在节点基础搭建单元来建立有限元分析模型的详细过程（直接生成方式）。对于直接生成法，

需要手工定义每个节点的位置和单元的连接方式。 注意： 一般来说对于规模较小的问题才适于采用直接生成法，常见的问题都需要先通过实体建模生成

几何模型，再对其划分网格生成有限元模型，结合关键词编辑器，设置完求解选项后直接提交

任务；也可以在前处理模块 CAE 中直接生成*.inp 文件，可以手工对模型数据进行适当修改，

直接利用文本编辑软件或 ABAQUS 自带的关键词编辑器，填写历史数据，保存后在

ABAQUS/CAE 或 ABAQUS/Command 窗口中提交任务。

81

在 ABAQUS/CAE 模块实体建模时，建立几何模型和生成有限元模型这两个步骤通常是交织进

行的。建立几何模型的目的是生成有限元模型，在建立几何模型时要考虑到有限元模型的生成，

生成有限元模型时如果出现问题或者单元形状不能满足要求时还需要对几何模型进行修改和简

化，因此这两步通常要放在一起进行考虑的。 通过模态分析，获取模态解。

注意：模态分析中，必须提取出可能对动力学响应有贡献的所有模态。位移约束必须在模态分析

前指定出。若位移约束在模态动力学分析步中指定，而不是在模态分析步中指定，则这些约束将无效。 通过模态动力学分析，获取时程分析解。

8.4.3 利用 ABAQUS/CAE 前处理器进行有限元分析

ABAQUS/CAE 进行有限元分析时，将分析过程中的相关操作封装在七个功能不同的模块中。具体分

析过程详述如下： （1）、构建网格部件 ■ 在建立有限元模型中要充分利用基于特征（FEATURE）的建模方式，一般的建模步骤可以归纳如下：

首先对问题特征、模型几何要素进行仔细分析，选定这个模型的基本几何组成特征。 然后通过部件及部件基础上的附属特征补充，构建模型的不同组成部分。 在部件实例基础上装配得到整个模型。 ■ 进入 PART 模块，构建线部件

ABAQUS 程序中模型部件的建立存在如下五种方式：直接建立、导入第三方软件模型、由 INPUT 文

图 8.4.1 悬臂柱截面尺寸及材料

82

件直接导入网格部件、由输出数据库文件*.ODB 导入网格部件、直接由 MESH 模块创建网格模块。本节

中考虑到与 INPUT 命令流相对应，采用直接由 MESH 模块构建网格部件的方式。 点击 Module 下拉菜单选中 Part，进入 Part 功能模块。

弹出部件选项框，如图 8.4.2 所示，输入部件名 Name=Part-1；部件空间形式 Modeling Space选项中共有三维、二维平面及轴对称形式选项，例中选为二维平面问题；Type 选项给定分析问

题的类型包括变形体问题、离散刚体问题及刚体问题，例中选为变形体问题；基特征为 Wire；

Approximate size 选项取值与模型草图尺寸有关，这里取 300，按 键。

进入部件投影草图绘制过程，ABAQUS 几何建模时，采用由投影草图拉伸、旋转及扫略的方式

绘制模型几何基特征，如图 8.4.3 给出投影草图绘制工具栏用法。点击 ，绘制连续线，在提

示框中输入第一点坐标（0，300），第二点（0，0），然后点击 ，回车后，连续线绘制结束。

1 2 3

4

5

图 8.4.2 悬臂柱截面尺寸及材料

83

■ 进入 Assembly 模块，生成部件实例 点击 Module 下拉菜单选中 Assembly，进入 Assembly 功能模块。

单击 ，用部件 Part-1 生成部件实例，在对话框 Create Instance 中选中 Part-1 后单击

图 8.4.3 投影图绘制工具栏

画直线 画矩形

由端部斜率到圆

画多样线

尺寸编辑

剪切、延伸及断

圆周阵列 平移 删除

添加草图

重设视图

画直线

画椭圆

画圆弧

几何构造工具

尺寸修改工具

复制

创建参考边

草图选项

保存草图

恢复

画圆

导角

角度编辑

线性阵列

4

1 2 3

图 8.4.4 部件装配对话框

84

。

■ 进入 Mesh 模块，生成网格部件 点击 Module 下拉菜单选中 Mesh，进入 Mesh 功能模块。

图 8.4.5 给出网格划分工具栏列表，单击 图标，通过网格尺寸控制网格划分密度，在提示框

中输入网格尺寸为 30，按回车键。

图 8.4.5 网格划分工具栏

网格尺寸 控制 单元类型控制

网格检查

网格划分属性控制

网格划分 操作

图 8.4.6 单元类型对话框

85

单击 ，给部件实例赋予单元类型，例中选用 ABAQUS/Standard 单元库中 3 节点平面梁元

B23，B23 属于 Beam 族三次梁单元。对话框选项如图 8.4.6 所示，单击 。

单击 ，对实例进行单元划分，出现提示框后，单击 。

如图 8.4.7 所示，由主菜单命令 Mesh>Creat Mesh Part 生成网格划分后的新部件

Part-1-mesh-1。在跳出提示框 Mesh part name 中输入所创建新部件名，缺省名称取为

Part-1-mesh-1。

（2）、单元材料属性、截面形式确定 ■ 进入 Property 模块，给新部件 Part-1-mesh-1 赋予单元材料属性及截面属性

在 Module 下拉菜单上选中 Property，进入 Property 模块。 在 Part 下拉菜单上选中部件 Part-1-mesh-1，图形窗口即只显示部件 Part-1-mesh-1 部分。

■ 在工具栏单击 ，创建新材料属性，跳出如图 8.4.8 所示材料属性对话框

在材料属性对话框上 Name 一项填入所创建材料名 A1。

单击对话框下拉菜单 General>Density，DATA 表中填入材料密度 )/(000728.0 42 inslb − ，因

为不考虑温度相关性，不选 Use temperature dependent data 一项。 单击对话框下拉菜单 Mechanical>Elasticity>Elastic，如图 8.4.9 所示。材料模型选用理想弹

性本构，因此在 Type 一项选 Isotropic。DATA 表中，Young’s Modulus 一项为杨氏模量，这

里取为27 /103 inlb× ，Poisson’s Ration 一项为泊松比，例子中取为 0。

在 Material Options 列表框中给出材料 A1 已选用的相关属性项，单击 ，完成材料 A1

设置。

1 2

图 8.4.7 生成新部件 Part-1-mesh-1

86

1

2

3 4

图 8.4.9 材料属性编辑对话框

1 2 3 4

5

6

图 8.4.8 创建新材料

87

■ 在工具栏单击 按钮，创建新截面形式，弹出如图 8.4.10（a）所示单元截面形式编辑对话框。

在Name项中输入新截面形式名称Profile-1，ABAQUS提供多达10种截面形式可供用户选择，

此外用户可自行创建新截面形式。例中选用矩形截面形式，单击 ，在弹出对话框

8.4.10（b）矩形截面宽（a）和高（b）项中分别填入 1 和 2。

单击 完成截面形式 Profile-1 定义。

■ 用户在创建完截面形式的基础上，可选用不同截面形式用于创建对应构件截面，在工具栏单击 按

钮，创建构件截面。 如图 8.4.11（a）所示，在构件截面创建对话框中选中构件单元类别，例子中采用梁单元 B23，

在单选框 Category 中选中 Beam，在列表框 Type 中选中 Beam 选项，单击 。

弹出如图 8.4.11（b）所示构件截面编辑对话框，在单选框 Section Integration 选中 During analysis 选项，在 Profile name 截面形式下拉列表项中选中 Profile-1，在 Material name 对

话框中输入材料名字 A1，截面泊松比 Section Poisson’s ratio 设置为 0，单击 。赋予

单元截面属性及截面方向矢量给部件 Part-1-mesh-1 赋予梁截面形式，单击 ，在图形窗口

上选中部件 Part-1-mesh-1，单击 。弹出截面形式对话框中如图 8.4.12，选中截面形式

1

2

3

4

5

图 8.4.10 创建新截面

(a) (b)

88

Section-1，单击 。

给部件 Part-1-mesh-1 定义截面的方位，单击 ，在图形窗口上选中部件 Part-1-mesh-1，

单击 ，所分析问题为二维平面问题，因此在提示框中输入截面方向矢量（0,0,1），单击

。

■ 进入 Assembly 模块，利用网格划分后的部件 Part-1-mesh-1 生成实例 Part-1-mesh-1 点击 Module 下拉菜单选中 Assembly，进入 Assembly 功能模块。

单击 ，用部件 Part-1-mesh-1 生成部件实例，在对话框 Create Instance 中选中

1

2

4

3 6 7

8

5

图 8.4.11 构件截面编辑对话框

(a) (b)

图 8.4.12 截面形式选择对话框

89

Part-1-mesh-1 后单击 。

此时步骤1所建的实例Part-1-1可以将其删除。由主菜单Feature>Manager进入特征管理器，

如图 8.4.13，选中实例 Part-1-1，单击 Delete 删除实例 Part-1-1。 （3）施加边界条件、创建节点单元组集及读取荷载文件 ■ 施加边界条件

点击 Module 下拉菜单选中 Load，进入 Load 功能模块。

单击 ，创建新边界条件，如图8.4.14所。施加柱底嵌固约束，选中Dsplacement/Rotation.，

在 Step 框中选中约束所属的荷载步 Initial，在 Name 中输入边界约束名 BC_1，单击

。

1

2

图 8.4.13 特征管理器

90

提示框提示用户输入约束对象，用鼠标框选坐标为（0，0）的节点，单击 。

如图 8.4.15 所示，在边界约束自由度选项对话框中将沿着 1、2 方向平移自由度及绕 3 方向转

动自由度约束住，单击 。

■ 创建单元、节点组集

3

1 2

4 图 8.4.14 创建新边界条件

图 8.4.15 边界条件对话框

2

1

91

由主菜单 Tools>Set>Manager 进入组集管理器，如图 8.4.16

在分析步中荷载施加及输出控制时可以通过单元及节点组集准确控制操作对象范围。单击

，创建节点组及单元组。

如图 8.4.17 所示，在弹出对话框中 Name 项输入所创建组名 ENDS，在 Type 选项框中选中

Node，创建节点组，单击 。

在图形窗口，按住 Shift 键，通过鼠标点选柱子上下端点,单击 。

同理，点选嵌固端单元 10，创建单元组 PR。 点选所有单元，创建单元组 EALL。 ■ 读取荷载文件 由 Tools>Amplitude>Create 创建荷载曲线，如图 8.4.18（a）所示，选项 Name 为创建荷

载曲线名称 A1，ABAQUS 提供 7 种不同的荷载曲线创建方法，但是只有列表法（Tabular）及

等间隔法可以运用*Baseline 进行基线校准。

例子中选用 Tabular 法，单击 ，弹出荷载曲线编辑对话框，如图 8.4.18（b）所示，

在表中第一行第一列位置上单击鼠标右键，选中 Read from File，从文件中读取荷载曲线。 读取文件 QUAKE.AMP，单击确定。 注意： 例子中加速度记录文件 QUAKE.AMP 可直接利用 ABAQUS/FETCH 程序由 ABAQUS 帮助手册

中的压缩文档中获得。

图 8.4.16 组集管理器

图 8.4.17 创建单元节点组集

92

该步骤未考虑基线校准，若考虑基线校准，如下步骤。 ■ 考虑基线校准 单区间基线校准

单区间基线校准与未考虑基线校准情况区别在于读取荷载文件过程，如上述步骤所示，由

Tool>Amplitude 进入荷载曲线编辑对话框，读入荷载文件 QUAKE.AMP 后，单击 Baseline Correction 标签，如图 8.4.18（b）所示。

如图 8.4.19 所示，单击 Correction 下拉菜单，选中 Single interval，即启动单区间基线校

准，单击 。

多区间基线校准 读入荷载文件 QUAKE.AMP 后，单击 Baseline Correction 标签，如图 8.4.18（b）所示。 如图 8.4.20 所示，单击 Correction 下拉菜单，选中 Multiple intervals，启动多区间基线校

准，输入多区间分界时刻)(3.8 sti = , )(7.16 s , )(99.24 s ，单击 。

注意：其他步骤与未考虑基线校准分析过程一致。

1 2

3 4 5

图 8.4.18 创建荷载曲线

(a) 新荷载曲线创建对话框 (b) 荷载曲线编辑对话框

93

（4）、模态分析过程 ■ 求解设置

点击 Module 下拉菜单选中 Step，进入 Step 功能模块。

单击 ，创建新分析步，弹出分析步设置对话框。

输入框 Name 给出新分析步名 Step-1。Procedure type 选项给出求解步的类型，ABAQUS中将求解步分为一般分析步和线性摄动分析两类。线性模态动力学分析在模态分析的基础上进行，

两种分析过程都属于线性摄动分析过程（Linear perturbation）。分析步设置如图 8.4.21 所示，

单击 。

1 2

图 8.4.19 单区间基线校准

图 8.4.20 多区间基线校准

1

2

3

94

在弹出求解选项设置对话框中，如图 8.4.22 所示，将特征方程求解器 Eigensolver 选项为

Lanczos 法，模态提取数目（Number of eigenvalues requested）设置为 10。 关于模态分析其他求解设置，读者可以参考帮助文件获取更详细的内容，这里不作深入，单击

。

■ 输出设置

1 2

3

4 图 8.4.22 模态分析求解选项设置

2 3

4

5

1

图 8.4.21 分析步设置对话框

95

ABAQUS 分析结果输出可以以三种数据文件输出，*.dat、*.fil 及*.odb 形式，但是在求解输

出设置中，CAE 并不支持对所有三种格式结果进行控制。这时比较好的解决办法就是结合

Keyword 编辑器，对 CAE 不支持的输出控制方式采用 Keyword 编辑器以命令流形式加以补充。 由主菜单 Model>Edit Keywords 进入 Keyword 编辑器。 在 Keyword 编辑器文本行**OUTPUT REQUESTS 后添加输出控制信息如下： .DAT 文件输出设置。

*EL PRINT,FREQUENCY=0 选项 FREQUENCY=0，意味着单元结果不输出

*NODE PRINT U,

U 选项为输出节点位移

*OUTPUT,FIELD,OP=NEW .ODB 文件场变量输出设置，OP 选项决定输出设置在整个分析过程中的作用域

*NODE OUTPUT U,

U 选项为输出节点位移

*MODAL FILE 生成特征值模态，为线性模态动力学分析作准备。

单击 。

（5）、线性模态动力学分析过程 ■ 求解设置

点击 Module 下拉菜单选中 Step，进入 Step 功能模块。

单击 ，弹出创建新分析步对话框，如图 8.4.23 所示。

在选项 Name 中输入分析步名 Step-2，Procedure type 选项下拉菜单上选择线性摄动分析，

然后选中列表框中 Modal dynamics,单击 。

图 8.4.23 分析步设置对话框

1

2 3

4

96

弹出求解选项对话框如图 8.4.24 所示，Description 输入框中用户可以填写问题的描述文本

EARTHQUAKE INPUT，在后处理中，这部分文本将作为后处理结果标题出现在图形窗口上。线

性模态分析过程的总时间 Time period 设置为 10 秒，时间步间隔 Time increment 取为 0.01秒，其他选项按默认设置即可。

■ ABAQUS/CAE 对于线性模态动力学分析的加载操作还需要借助 Keyword 编辑器，通过关键词实现 由主菜单Model>Edit Keywords进入关键行编辑器。将鼠标光标放置于如图8.4.25所示位置，

单击 ，添加数据块编辑行。

*SELECT EIGENMODES,GENERATE 1,6,1 从频率高低顺序选择模态动力学分析考虑的模态，例子中取 1～6 阶模态考虑。 *BASE MOTION,DOF=1,AMPLITUDE=A1,SCALE=386.09 在自由度 1 方向施加加速度激励 A1，A1 为步骤（3）所创建的荷载曲线，SCALE 为放大系数。

■ 输出设置

在 Keyword 编辑器文本行**OUTPUT REQUESTS 后添加输出控制信息如下：

*PRINT,FREQUENCY=50 .DAT 文件输出设置

*EL PRINT,ELSET=PR,FREQUENCY=500 S,E

选项 ELSET 控制只输出单元组 PR 应力（S）和应变（E）结果，输出频率为 500。

*NODE PRINT,FREQUENCY=100 U,TU V,A

1 2

3 4

5 图 8.4.24 线性模态分析求解选项设置

97

输出所有节点位移 U，速度 v 及加速度 A 结果，输出频率为 100。

*NODE FILE,NSET=ENDS U,V,A,TU

.FIL 文件输出设置，只输出节点组 ENDS 节点位移 U，速度 v 及加速度 A 结果，输出频率为默

认设置 1。

*MODAL FILE GU,GV,GA

线性模态动力学分析广义位移 GU、广义速度 GV 及广义加速度 GA 结果输出设置

*OUTPUT,FIELD, OP=NEW, FREQUENCY=100 .ODB 文件场变量输出设置，OP 选项默认为 NEW，程序放弃原有输出设置，用户可重新设置

输出选项，输出频率 100

*NODE OUTPUT,NSET=ENDS U,V,A,TU

输出节点组 ENDS 位移 U、各个自由度整体位移 TU、速度 V 及加速度 A 变量

*OUTPUT,HISTORY,OP=NEW, FREQUENCY=1

.ODB 文件历程变量输出设置，输出频率为 1

图 8.4.25 Keyword 编辑器

1

2

3

4

98

*NODE OUTPUT,NSET=ENDS U,V,A,TU

输出节点组 ENDS 位移 U、各个自由度整体位移 TU、速度 V 及加速度 A 变量

*MODAL OUTPUT GU,GV,GA

线性模态动力学分析广义位移 GU、广义速度 GV 及广义加速度 GA 结果在.ODB 文件输出设置

单击 ，修改完成。

（6）、任务提交 ■ 点击 Module 下拉菜单选中 Job，进入 Job 功能模块

■ 单击 ，创建新任务，如图 8.4.26（a）所示，在对话框 Name 一项填入任务名 Job-1，在模型

列表框中选中所用模型 Model-1，单击 。

■ 如图 8.4.26（b）所示，弹出任务设置对话框，在对话框中给出任务提交方式、常规输出设置、内

存设置、并行设置及精度设置等选项，文中例子按缺省设置即可，单击 。

图 8.4.26 创建新任务及选项设置

1

2

3 (a) 创建新任务

4 (b) 任务选项设置对话框

99

■ 单击 ，进入任务管理器，如图 8.4.27 所示。用户可在任务管理器中编辑任务、提交任务、编

辑关键词文件以及监视任务提交求解过程的信息提示。

8.4.4 输入文件命令流解析

（1）模型数据 输入文件命令流第一部分为建立分析模型的模型数据。这些模型数据从标题、单元节点坐标、单元类

型、单元截面形式、材料特性、初始边界条件、预定义荷载、加载幅值曲线等多个方面给出分析问题的整

体有限元模型。 指定分析标题

在进行一个新的有限元分析时，通常需要修改数据库文件，并在图形输出窗口中定义一个标题用来说

明当前进行的工作内容。另外，可以针对多个不同的任务进行高效便捷的管理。在输入文件中对标题给出

恰当地描述，例如下面：

*HEADING EARTHQUAKE ANALYSIS B23

有限元模型建立 节点及单元定义：一旦选择了网格划分方案及节点编号方案就能确定每一个节点的坐标，使用*NODE

来定义节点坐标，*NGEN 生成节点，*NSET 来定义节点集合 ENDS；单元类型采用平面二次梁元 B23，使用*ELEMENT 定义单元，*ELGEN 生成单元，*ELSET 定义单元集合 EALL。关键词对应选项的格式

为如下形式：

*NODE 1 ,0., 300.,0. 11,0.,0.,0 *NSET,NSET=ENDS 1,11 *NGEN 1,11

定义节点过程

*ELSET,ELSET=PR 10,

图 8.4.27 任务管理器对话框

100

*ELEMENT,TYPE=B23 1,1,2 *ELGEN,ELSET=EALL 1,10

定义单元编号 ■ 材料属性定义

悬臂柱由钢材料构成，材料行为满足各向同性及线弹性假设，取 )/(103 27 inlbE ×= 。在进行所有动

响应相关的频域及时域分析时，必须定义材料密度，取44 /1028.7 inslbDENS −×= −。这些都在

*MATERIAL 数据项中的*ELASTIC 及*DENSITY 数据行中得到体现。

*MATERIAL,NAME=A1 定义新材料 A1

*ELASTIC 30.E6,

杨氏模量为 )/(103 27 inlbE ×=

*DENSITY .000728,

定义材料密度 ■ 截面形式：结构中所有的梁截面都是矩形横截面，使用*BEAM SECTION 定义单元集 EALL 的截面

形式，用选项 SECTION=RECT 来定义矩形截面。数据行中给出了截面的长、宽尺寸，命令流如下形式：

*BEAM SECTION,SECTION=RECT,MATERIAL=A1,ELSET=EALL 1. , 2.

定义矩形截面宽、高尺寸 ■ 边界条件：悬臂柱在 11 号节点处为嵌固边界，使用*BOUNDARY 关键词来约束所有的自由度。

*BOUNDARY 11, 1, 6

■ 加速度幅值曲线定义及重启动设置： 在实例中加速度幅值曲线采用输入文件 QUAKE.AMP 的形式定义，*AMPLITUDE 用于定义包括加速度曲

线在内的各种加载幅值曲线，其选项中，NAME=A1 用于表征加速度曲线名字；DEFINITION 选项决定

幅值曲线的定义方式，ABAQUS 提供了 7 种定义方式，其中表格方式(TABULAR)及等间隔方式(EQUALLY SPACED)常用于定义加速度，缺省方式为表格方式（TABULAR）；VALUE 选项决定幅值的相对关系。

*AMPLITUDE,VALUE=RELATIVE,INPUT=QUAKE.AMP,NAME=A1 其中 QUAKE.AMP 为加速度记录文件，书写格式中注意数据项用逗号间隔。例子中的 QUAKE.AMP 文件

可直接利用 ABAQUS/FETCH 程序由 ABAQUS 帮助手册中的压缩文档中获得。 单区间基线校准：

*BASELINE CORRECTION 多区间基线校准，校准时间区间为[0,8.3],(8.3,16.7],(16.7,24.99]

*BASELINE CORRECTION 8.3,16.7,24.99 *RESTART,WRITE,FREQUENCY=100

101

重启动设置*RESTART 中 FREGQUENCY 用以决定程序中写重启动文件*.res 时的频率，实例

中取 FREQUENCY=100.

（2）历程数据

根据分析问题的类别，其物理过程可分为一系列不同的步骤，ABAQUS 用不同历程数据块定义结构加

载过程中的不同阶段。一个分析过程可能包括若干个历程数据块，一对关键词*STEP~*END STEP 构成

一个所谓历程数据块，每个历程数据块中包含如下信息：问题分析类型、荷载情况、约束情况及输出选项。 模态分析历程 STEP 数据块填写

*STEP *FREQUENCY,EIGENSOLVER=LANCZOS 10,

采用 LANCZOS 法，提取前 10 阶模态

*EL PRINT,FREQUENCY=0 *NODE PRINT U, *MODAL FILE *OUTPUT,FIELD,OP=NEW *NODE OUTPUT U,

输出变量设置，该部分内容可参考第 8.4.3 节步骤 4。

*END STEP 线性模态动力学分析过程 STEP 数据块填写

*STEP EARTHQUAKE INPUT

EARTHQUAKE INPUT 为描述性文本

*MODAL DYNAMIC .01 , 10.

启动线性模态分析过程，分析步时长 10 s，增量步长 0.01 s

*SELECT EIGENMODES,GENERATE 1,6,1

分析中考虑前六阶模态影响效应

*MODAL DAMPING 1,6

1 至 6 阶模态阻尼系数取为 0

*BASE MOTION,DOF=1,AMPLITUDE=EQ,SCALE=386.09 施加基底加速度记录，SCALE 为激励放大系数。 以下为输出变量设置，可参考第 8.4.3 节步骤 5。

*PRINT,FREQUENCY=50 *EL PRINT,ELSET=PR,FREQUENCY=500 S,E *NODE PRINT,FREQUENCY=100 U,TU

102

V,A *NODE FILE,NSET=ENDS U,V,A,TU *MODAL FILE GU,GV,GA BM, *OUTPUT,FIELD, FREQUENCY=100,OP=NEW *NODE OUTPUT,NSET=ENDS U,V,A,TU *OUTPUT,HISTORY, FREQUENCY=1,OP=NEW *NODE OUTPUT,NSET=ENDS U,V,A,TU *MODAL OUTPUT GU,GV,GA BM, *END STEP

8.4.4 加速度基线校准比较

从考虑加速度基线校准和不考虑基线校准的线性模态分析结果比较来看，在加速度项中加入二次修正

项使得速度平方和均值最小，使得修正后基础位移在激励作用下最后趋近于零，并且加速度改变不大。 算例中分两种方式进行基线校准：单区间基线校准及 3 区间基线校准方式。图 8.4.28 给出了顶点相

对位移－时间曲线，可以看出基线校准对悬臂柱顶点与基础的相对位移影响不大，准确保持了加速度激励

引起的真实结构响应。 图 8.4.29 给出了顶点绝对位移－时间曲线，图中可以看出基线校准有助于减小顶点绝对位移漂移，

并且多区间基线校准较单区间校准效果较单区间校准效果更明显。图 8.4.30 给出的嵌固端位移－时间曲

线可以看出基线校准使得在激励作用下的基础位移整体漂移趋近于零，并且多区间基线校准的效果也较单

区间基线校准更为明显。因此可以认为：ABAQUS 程序通过基线校准措施较好地解决了加速度记录的微小

干扰所引发的结构基础整体位移漂移问题。

103

0 2 4 6 8 10-3

-2

-1

0

1

2

3

Rel

ativ

e D

ispl

acem

ent

(in)

TIME (sec)

未作基线校正 单区间基线校正 3段区间基线校正

图 8.4.28 悬臂柱顶点相对位移曲线

图 8.4.29 悬臂柱顶点绝对位移曲线

未作基线校正 单区间基线校正 3 段区间基线校正

104

图 8.4.30 悬臂柱嵌固点绝对位移曲线

未作基线校正 单区间基线校正 3 段区间基线校正

105

第 9 章 响应谱分析

§9.1 响应谱分析概述

9.1.1 响应谱分析原理及基本概念

1．响应谱分析和谱曲线定义 谱分析技术广泛用于多质点弹性体系的地震反应分析，它将模态分析结果与一条已知的谱曲线联系起

来，用于计算模型的位移及应力的一种分析方法。谱曲线可以是各种规范、规程中的标准谱曲线，也可以

是直接由单自由度弹性体系运动方程直接积分得到的特定加速度对应谱曲线。 响应谱分析可用于估计特定加速度记录激励下结构的峰值响应（包括位移和应力），该法是一种近似方法，

适于基本设计研究。响应谱分析过程基于模态分析，因此模态分析提取的有效阶数必须足以反映系统的动

力学特征。 由于各个振型在总的地震效应中的贡献总是以自振周期最长的基本振型（或称第一振型）为最大，高阶振

型的贡献随着阶数的增高而迅速减小。因此，即使结构体系由大量质点组成，常常也只需要将前几个振型

的地震作用效应进行组合，就可以得到精确度较高的近似解，从而大大减少了计算工作量。 响应谱分析过程计算量远低于基于直接积分的动力学分析过程，但是谱分析过程只能对体系在特定谱曲线

作用下峰值响应进行估计，多用于近似估计结构在随机荷载及随时间变化荷载（如地震荷载、风荷载、海

洋波浪荷载、喷气发动机推力荷载）作用下的动力响应。 2．参与系数 响应谱分析法建立在响应谱曲线（即单自由度体系在相应激励下的响应峰值－时间曲线）的基础之上。

用户可以通过对单自由度弹性体系（其阻尼比为 αζ，固有频率为 αω

）运动学方程的时间积分得到不同阻

尼响应谱曲线。 参与系数表示第α 振型在结构整体响应中所占的比重，是不同频率振型对结构响应贡献的一种度量。参与

系数代表了在特定方向上，每一阶振型对结构响应的贡献，这里的结构响应包括位移及应力等方面。 3．模态系数

在响应谱分析过程中，模态系数 αq用于表征第α 阶振型的响应幅值。借助模态系数 αq

，可由公式

（9.1.1）计算第α 阶模态真实响应的大小。k 方向激励所引发第α 阶振型（其阻尼比为 αζ，固有频率为

αω）的峰值响应表示为

max)( kiRα ：

ki

ki qR )()( maxmax

ααα ×Φ= (9.1.1)

式中： i 为位移、应力及内力等物理量；

106

iαΦ为第 i 类物理量对应的第α 阶振型。

模态系数 kq )( maxα 取值取决于谱曲线、谱曲线放大系数及 k 方向参与因子。对应第α 阶模态在 k 方向谱曲

线作用下，模态系数可以表示为：

∑=3

max ),()(j

jkj

ikkk tSCq αααα τζω

(9.1.2)

式中： kC为 k方向谱曲线

ikS的放大比例系数；

ikS为在 k方向上第α 阶模态对应谱曲线幅值， i 表示不同物理量；

∑

3

jj

kjt ατ

项为 k 方向参与因子。

4．模态组合 响应谱分析计算每一阶振型在结构中的最大位移和应力响应，因而可以得到系统各阶振型的峰值响应。

但是如何由各阶振型响应组合得到总体响应尚存在一定分歧，即模态定相还不很清楚的。这还仅仅是考虑

单向谱曲线激励作用的情况，对于 3 个方向都有谱曲线激励作用时，该如何进行组合，还存在许多问题。 在总结前人理论、规范及经验的基础上，ABAQUS 程序针对不同的结构频率特征及激励特征给出了多种有

效模态组合方法。

9.1.2 响应谱分析的基本过程

当结构受到单向激励作用的情况：ABAQUS 程序进行响应谱分析时先计算出各阶模态响应及其参与系

数，然后在各阶模态响应的基础上，采用不同的组合方法进行叠加，得到结构总体响应。 当结构受到三个方向激励作用的情况：ABAQUS 程序进行响应谱分析时，先计算单个方向各阶模态响

应分量，组合各阶模态响应得到单方向响应，然后对三个方向激励的响应进行组合，得到总响应。 值得注意的是，各阶模态响应组合和不同方向激励组合的先后顺序与用户所选择的组合方式有

关。 响应谱分析基本过程大致可以分为如下四个部分：

1．建立模型 2．模态分析 3．谱分析 4．观察结果

§9.2 多方向激励组合方式

实际工作中，结构在不同方向激励作用的响应峰值不一定同时发生，因此当结构在不同方向谱曲线同时作

用情况下，需要选择一种合理的组合方式，以得到结构在多方向激励作用下的总体响应峰值。 ABAQUS 程序提供了两种多方向激励组合方法，通过 COMP 选项进行设置。而各阶模态响应的组合方式

则由选项 SUM 进行设置。用户选用哪种多方向激励组合方式决定了两个组合过程的先后次序。

107

9.2.1 结构多方向上激励的谱曲线相近

当结构各个方向激励的谱曲线相近时，可以先将每一阶模态在不同方向激励作用下的响应按照公式

（9.2.1）进行叠加：

∑=k

kqq )( maxmaxαα

（9.2.1） 然后按照用户所选的模态组合方式对各阶模态响应进行合并，关于模态组合方式在后续章节中将进一

步作介绍。 对应命令流可以表示为如下形式：

*RESPONSE SPECTRUM,COMP=ALGEBRAIC,SUM=ABS 其中选项 COMP=ALGEBRAIC 时，ABAQUS 程序在进行响应谱分析时，先对多方向激励效应进

行组合，然后对各阶模态效应进行叠加。 选项 SUM=ABS 时，各阶模态效应的组合方式采取绝对值相加的方式。

9.2.2 结构多方向上激励的谱曲线相差较大

当结构各个方向激励的谱曲线相差较大时，一般应该先进行各阶模态效应进行叠加，ABAQUS 程序通

过选项 SUM 设置各阶模态效应的组合方式，这部分内容将在第 9.3 节中进行详细介绍。

结构在多方向激励作用下的响应谱分析中，先计算 k 方向激励所引发第α 阶模态（其阻尼比为 αζ，

固有频率为 αω）的峰值响

( )maxk

iRα 如公式（9.2.2）所示：

( ) ki

ki qR )( maxmax

ααα ×Φ= （9.2.2）

式中： i 表示位移、应力、内力等响应变量；

iαΦ为第 i 响应变量在第α 阶模态的振型

如公式（9.2.3）所示，ABAQUS 程序按照第 9.3 节方法对各阶模态响应效应进行组合之后，ABAQUS程序将对多方向上的激励效应按平方和开根号的方法进行叠加，如公式（9.2.4）所示。

( ) ( )∑=α

αmaxmax

ki

ki RR

（9.2.3）

对各阶模态效应进行组合，( ) max

kiR

为 k 方向上进行完整模态效应组合后的峰值响应。

( ) ( )∑=k

kii RR 2maxmax )(

（9.2.4）

对应命令流可以表示为如下形式：

RESPONSE SPECTRUM,COMP=SRSS,SUM=ABS

108

其中选现 COMP=SRSS 时，ABAQUS 程序在进行响应谱分析时，先对各阶模态效应按照用户设

置方法进行组合，然后再对多方向激励效应按照平方和开根号的方法进行叠加。 选项 SUM=ABS 时，各阶模态效应的组合方式采取绝对值相加的方式。

§9.3 各阶模态效应组合方式

一般情况，结构在外界激励作用下各阶模态响应峰值不可能同步出现。因此有必要选择一种合理的模

态效应组合方式，以准确估计结构在外界激励作用下的总体响应峰值。 多数情况下，采用各阶模态效应绝对值相加的方法得到响应结果过于保守。所以针对不同激励和结构

频率特征，研究人员找到了一系列更有效的模态效应组合方法。ABAQUS 程序提供了五种常用的模态效应

组合方法。 ABS 法 SRSS 法 NRL 法 CQC 法 TEMP 法

值得注意：如第 9.2 节所述，当结构各个方向上激励的谱曲线相近时，选项 COMP 取为 ALGEBRAIC 较为合理。此时 ABAQUS 程序先进行多方向激励效应组合，因此在后来的各阶模态效应

组合时，可以不考虑方向效应的影响。 ABAQUS 中，各阶模态效应的组合方式由选项 SUM 进行设置。

9.3.1 ABS 方法

ABS 方法在所有模态组合方法中最保守，它直接将各阶模态响应绝对值相加，这就意味着在外激励作

用中，各阶模态峰值响应将同时发生。对应多数情况，这样的估计是偏于保守的。 ABS 方法组合过程如公式（9.3.1）所示：

( ) ( )∑=α

αmaxmaxk

ik

i RR （9.3.1）

式中( )max

kiR

为在 k 方向上第 i 类各阶模态峰值响应组合。

9.3.2 SRSS 方法

对于结构各阶固有频率 αω较分散的情况，建议采用 SRSS 法具有较高精度。SRSS 法不像 ABS 法那

么保守，更偏于实际。 SRSS 方法组合过程如公式（9.3.2）所示;

( ) ( )( )∑=α

α

2maxmaxk

ik

i RR （9.3.2）

109

9.3.3 NRL 方法

隶属于美国国家海军的研究机构考虑到 ABS 方法及 SRSS 方法的优点，将 ABS 方法及 SRSS 方法

结合起来，建立了 NRL 方法。该方法将影响最大的第 β 阶模态单列出来，用 ABS 方法进行考虑，而其它

各阶模态则按照 SRSS 方法进行组合。 NRL 方法组合过程如公式（9.3.3）所示：

( ) ( ) ( )( )∑≠

+=βα

αβ

2maxmaxmaxk

ik

ik

i RRR （9.3.3）

9.3.4 TEMP 方法

TEMP 方法是源于美国原子能机构（1976 年）的推荐。TEMP 方法考虑到相近频率的耦合效应，对

SRSS 方法进行修正。TEMP 方法认为，当第α 阶固有频率与第 β 阶固有频率相差在 ％10 以内时，应该

考虑α 、 β 阶模态的耦合效应。

TEMP 方法组合过程如下式所示;

( ) ( )( ) ( ) ( )∑∑<

××+=βα

βαα

αmaxmax2maxmax 2k

ik

ik

ik

i RRRR （9.3.4）

其中

%10<−

β

αβ

ϖϖϖ

，并且 βα ϖϖ <，当模态固有频率分散较大时，耦合效应不明显，此时采用 TEMP

方法结果趋于用 SRSS 方法分析的结果。

9.3.5 CQC 方法

CQC 方法采用完全二次组合方法来考虑固有频率相近的模态之间的耦合效应，CQC 方法的组合过程

如下式所示;

( ) ( ) ( )( )∑∑ ××=α β

βαβα ρmaxmaxmax

ki

ki

ki RRR

（9.3.5）

其中 αβρ为第α 阶和第 β 阶模态交叉耦合因子，取值由α 、 β 阶固有频率及阻尼比确定，如下式所示:

222222

2/3

)(4)1(4)1(

8

βαβαβαβαβαβα

βαββααβααβ γζζγγζζγ

γζγζζζρ

++++−

××× ）＋（＝

（9.3.6）

其中： α

ββα ϖ

ϖγ =

（9.3.7）

110

若结构固有频率较分散时，模态交叉耦合因子较小，1<<αβρ，此时 CQC 方法分析结果与 SRSS 方

法相接近。对于反对称结构，采用其他方法可能会过低估计纵向激励作用效应，同时过高估计横向激励的

作用效应，此时采用 CQC 方法比较合适。

§9.4 谱曲线定义

在定义谱曲线时，需要足够数量的插值点才能定义一个能够反映实际响应谱特征的谱曲线。ABAQUS中通常采用两种方式定义谱曲线。

一种方式就是直接在*SPECTRUM 命令行数据块中输入谱曲线插值点数据。 另一种则利用*SPECTRUM 命令中 INPUT 选项，调用用户谱曲线数据文件。

响应谱曲线定义命令流如下所示：

*SPECTRUM, TYPE=[DISP | VEL | ACCEL | G], G=g, NAME=name, INPUT=filename S, f, ξ …

通过关键词*SPECTRUM 定义用于响应谱分析的谱曲线，选项 NAME 给出所定义谱曲线名，用于后

续分析中谱激励的调用。TYPE 给出了谱曲线类型，ABAQUS 提供了位移、速度、一般加速度及以重力加

速度为单位的加速度谱等 4 种谱曲线输入形式。 注意 选项 TYPE=G 时，用户需要定义当地重力加速度 G 大小。 用户可利用选项 INPUT，利用谱曲线数据文件导入谱曲线，或直接在数据行输入。但是不管采

用何种方式，数据行格式都为 S, f, ξ ，其中 S 为谱曲线幅值，f 为该点对应频率，ξ 为谱曲

线对应临界阻尼比。 ABAQUS 程序中通过对（f, ξ）空间离散点线性插值得到域内的整体谱曲线。

§9.5 谱分析运用及算例分析

9.5.1 问题描述

本实例对一简支梁进行位移谱响应分析、速度谱响应分析、加速度谱响应分析及重力加速度谱响应分

析，并将结果与 Biggs（1964）的精确结果进行比较，验证了 ABAQUS 中响应谱分析功能。 简支梁分析如图 9.5.1（a）所示，截面为矩形截面，截面宽为 37 mm（1.458 in），截面高为 355.6 mm

（14 in）。梁材料密度为25 /100473.1 mkg× (

42 /0098.0 inslb − )，梁材料弹性模量为 GPaE 8.206=

（26 /1030 inlb× ）。

有限元模型如图 9.5.1（b）所示，响应谱激励施加在两个铰支点的竖直方向。分析中结构在激励作用

下的响应主要由第一阶模态决定。例子中可以采用线性梁元 B21 及二次梁元 B23 进行模拟，分析过程中

结构处于弹性状态，阻尼系数取为 0。

111

9.5.2 响应谱曲线定义

响应谱曲线的获得通常是通过时间积分求解不同固有频率及阻尼比系数的单自由度弹性体系在特定加

速度记录作用下的响应峰值，然后通过插值得到峰值响应与固有频率及阻尼比的曲线关系。 Biggs（1964）简支梁谱分析的精确解析解中，将简支梁的两个铰支点竖向运动定义为加速度在

=dt 0.1 秒内由＋g 变化到－g，然后回归为 0。

在这个加速度激励下，单自由度体系的集中质量块加速度为：

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−−=−=

−+−=

)2(sin2)2(cos2

)sin1cos1(

2ddtddt

dd

tttutttuu

ttt

ttgu

ϖϖϖϖ

ϖϖ

ϖ

&&&&

&&

)2(

)2(

d

d

tt

tt

>

≤

（9.5.1）

通过对方程（9.5.1）的求解，得到不同频率弹簧振子对应的最大加速度值，并得到加速度峰值－固

有频率关系曲线，如图 9.5.2 所示。 ABAQUS 提供了四类谱曲线加载方式：位移响应谱、速度响应谱、一般加速度响应谱及重力加速度响

应谱。选用何种谱曲线，可以由选项 TYPE 决定。在比例中的加速度谱曲线基础上可以通过 ϖ/av = 及

2/ϖau = 关系扩展得到速度响应谱曲线及位移响应谱曲线，如图 9.5.3 及图 9.5.4 所示。

图 9.5.1 简支梁截面尺寸及材料

图（a） 简支梁示意图

图（b） 简支梁节点单元布置图

112

5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2.0

加速

度响应

峰值

（g）

频率（HZ）

图 9.5.2 加速度峰值—固有频率曲

图 9.5.3 速度响应峰值－固有频率

5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.010

12

14

16

18

20

22

24

26

速度响

应峰

值（in/

sec）

频率（HZ）

5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

位移

响应峰

值（

in）

频率（HZ）

图 9.5.4 位移响应峰值－固有频率曲线

113

9.5.3 利用 ABAQUS/CAE 前处理器进行有限元分析

1. 构建网格部件 进入 PART 模块，构建线部件

ABAQUS 程序中模型部件的建立存在如下五种方式：直接建立、导入第三方软件模型、由 INPUT文件直接导入网格部件、由输出数据库文件*.ODB 导入网格部件、直接由 MESH 模块创建网格模块。

本节中考虑到与 INPUT 命令流相对应，采用直接由 MESH 模块构建网格部件的方式。 点击 Module 下拉菜单选中 Part，进入 Part 功能模块。 弹出部件选项框，如图 9.5.5 所示，输入部件名 Name=Part-1；部件空间形式 Modeling Space

选项中共有三维、二维平面及轴对称形式选项，例中选为二维平面问题；Type 选项给定分析问

题的类型包括变形体问题、离散刚体问题及刚体问题，例中选为变形体问题；基特征为 Wire；

Approximate size 选项取值与模型草图尺寸有关，这里取 300，按 键。

进入部件投影草图绘制过程，ABAQUS 几何建模时，采用由投影草图拉伸、旋转及扫略的方式绘

制模型几何基特征。点击 ，绘制连续线，在提示框中输入第一点坐标（0，0），第二点（240，

0），然后点击 ，回车后，连续线绘制结束。

进入 Assembly 模块，生成部件实例，如图 9.5.6 所示 点击 Module 下拉菜单选中 Assembly，进入 Assembly 功能模块。

1 2 3

4

5

图 9.5.5 悬臂柱截面尺寸及材

114

单击 ，用部件 Part-1 生成部件实例，在对话框 Create Instance 中选中 Part-1 后单击

。

进入 Mesh 模块，生成网格部件 点击 Module 下拉菜单选中 Mesh，进入 Mesh 功能模块。

图 9.5.7 给出网格划分工具栏列表，单击 图标，通过网格尺寸控制网格划分密度，在提示框

中输入网格尺寸为 24，按回车键。

单击 ，给部件实例赋予单元类型，例中若选用 ABAQUS/Standard 单元库中 3 节点平面梁

元 B23，B23 属于 Beam 族三次梁单元，在选项框 Element Controls 中单选 Cubic formulation；例中若选用 ABAQUS/Standard 单元库中 2 节点平面梁元 B21，B21 属于 Beam族低阶梁单元，则在选项框 Element Controls 中单选 Shear-flexible。对话框如图 9.5.8 所示，

4

1 2 3

图 9.5.6 部件装配对话框

图 9.5.7 网格划分工具栏

网格尺寸控制 单元类型控制

网格检查

网格划分属性控制

网格划分操作

115

单击 。

单击 ，对实例进行单元划分，出现提示框后，单击 。

如图 9.5.9 所示，由主菜单命令 Mesh→Creat Mesh Part 生成网格划分后的新部件 Pmesh1。在跳出提示框 Mesh part name 中输入所创建新部件名，缺省名称取为 Pmesh1。

2. 单元材料属性、截面形式确定

进入 Property 模块，给新部件 Pmesh1 赋予单元材料属性及截面属性 在 Module 下拉菜单上选中 Property，进入 Property 模块。 在 Part 下拉菜单上选中部件 Pmesh1，图形窗口即只显示部件 Pmesh1 部分。

在工具栏单击 ，创建新材料属性，跳出如图 9.5.10 所示材料属性对话框

在材料属性对话框上 Name 一项填入所创建材料名 A1。

单击对话框下拉菜单 General→Density，DATA 表中填入材料密度 )/(0098.0 42 inslb − ，因为不考虑温

度相关性，不选择 Use temperature dependent data 一项。 单击对话框下拉菜单 Mechanical→Elasticity→Elastic，如图 9.5.11 所示。材料模型选用理想弹性本构

模型，因此在 Type 一项选 Isotropic。DATA 表中，Young’s Modulus 一项为杨氏模量，这里取为

图 9.5.8 单元类型对话框

116

27 /103 inlb× ，Poisson’s Ration 一项为泊松比，在此例子中取为 0。

在 Material Options 列表框中给出材料 A1 已选用的相关属性项，单击 ，完成材料 A1 设置。

图 9.5.9 生成新部件 Pmesh1

1

2

1 2 3 4

5

6

图 9.5.10 创建新材料

117

在工具栏单击 按钮，创建新截面形式，弹出如图 9.5.12（a）所示单元截面形式编辑对话框。

在 Name 项中输入新截面形式名称 Profile-1，ABAQUS 提供多达 10 种截面形式可供用户选择，此外用

户可自行创建新截面形式。例中选用矩形截面形式，单击 ，在弹出对话框 9.5.12（b）矩形截

面宽（a）和高（b）项中分别填入 1.45772441 和 14。

单击 完成截面形式 Profile-1 的定义。

用户在创建完截面形式的基础上，可选用不同截面形式用于创建对应构件截面，在工具栏单击 按

钮，创建构件截面。 如图 9.5.13（a）所示，在构件截面创建对话框中选中构件单元类别，例子中采用梁单元 B23 或 B21，

在单选框 Category 中选中 Beam，在列表框 Type 中选中 Beam 选项，单击 。

弹出如图 9.5.13（b）所示构件截面编辑对话框，在单选框 Section Integration 选中 During analysis 选项，在 Profile name 截面形式下拉列表项中选中 Profile-1，在 Material name 对话框中输

入材料名字 A1，截面泊松比 Section Poisson’s ratio 设置为 0，单击 。

赋予单元截面属性及截面方向矢量

1

2

3 4

图 9.5.11 材料属性编辑对话框

118

给部件 Pmesh1 赋予梁截面形式，单击 ，在图形窗口上选中部件 Pmesh1，单击 。弹出截

面形式对话框中如图 9.5.14，选中截面形式 Section-1，单击 。

1

2

4

3 6 7

8

5

图 9.5.13 构件截面编辑对话框

（a） （b）

图 9.5.12 创建新截面

1

2

3 （a） （b）

4

5

119

给部件 Pmesh1 定义截面的方位，单击 ，在图形窗口上选中部件 Pmesh1，单击 ，所分析问题

为二维平面问题，因此在提示框中输入截面方向矢量（0,0,1），单击 。

进入 Assembly 模块，利用网格划分后的部件 Pmesh1 生成实例 Pmesh1 点击 Module 下拉菜单选中 Assembly，进入 Assembly 功能模块。

单击 ，用部件 Pmesh1 生成部件实例，在对话框 Create Instance 中选中 Pmesh1 后单击

。

此时步骤 1 所建的实例 Part-1-1 可以将其删除。由主菜单 Feature→Manager 进入特征管理器，如

图 9.5.15，选中实例 Part-1-1，单击 Delete 删除实例 Part-1-1。

（3）、施加边界条件、创建单元节点组集以及输入谱曲线。 施加边界条件

点击 Module 下拉菜单选中 Load，进入 Load 功能模块。

单击 ，创建新边界条件，如图 9.5.16 所。施加简支梁两端约束，选中 Dsplacement/Rotation.，

在 Step 框中选中约束所属的荷载步 Initial，在 Name 中输入边界约束名 BC_1，单击 。

图 9.5.14 截面形式选择对话框

1

2

图 9.5.15 特征管理器

120

提示框提示用户输入约束对象，按住 Shift 键，用鼠标框选坐标为（240,0）的节点，单击 。

如图 9.5.17 所示，在边界约束自由度选项对话框中将沿着 1、2 方向平移自由度约束住，即 U1=0，

U2=0，单击 。

同样操作将坐标为（0，0）的节点自由度 1 约束住。 创建单元、节点组集

图 9.5.16 创建新边界条件

3

1 2

图 9.5.17 边界条件对话框

2

1

121

由主菜单 Tools→Set→Manager 进入组集管理器，如图 9.5.18。

在分析步中荷载施加及输出控制时可以通过单元及节点组集准确控制操作对象范围。单击 ，

创建节点组及单元组。 如图 9.5.19 所示，在弹出对话框中 Name 项输入所创建节点组名 BOUND，在 Type 选项框中选中

Node，创建节点组，单击 。

在图形窗口，按住 Shift 键，通过鼠标点选简支梁两端支点，单击

同上，通过鼠标点选简支梁上所有节点，创建节点组 ODB_NSET。 同上，通过鼠标点选简支梁上所有单元，创建单元组 BMS。 同上，通过鼠标点选简支梁中间两个单元，创建单元组 EP。 以重力加速度值为单位的加速度谱曲线数据输入 目前 ABAQUS/CAE 前处理器尚不能直接支持谱曲线的输入，在响应谱分析中，需要借助 Keyword

编辑器，以关键词形式进行谱曲线输入、编辑及修改。 由主菜单 Model→Edit Keywords 进入 Keyword 编辑器。弹出 Keyword 编辑器如图 9.5.20 所示，

例子中将谱曲线输入数据块放置在 BOUNDARY CONDITIONS 数据块之后。如图所示将光标放置于 1 位

置处，单击 ，添加新数据块*SPECTRUM

关键词*SPECTRUM 在谱响应分析中用于定义位移、速度、加速度谱曲线。选项 NAME 给出所定义

谱名称为 BIGGSACG。选项 TYPE 给出所定义谱曲线类型：TYPE=DISPLACEMENT 时为位移响应谱曲

线；TYPE=VELOCITY 时为速度响应谱曲线；TYPE=ACCELERATION 时为加速度响应谱曲线；TYPE=G时为以重力加速度为单位的加速度响应谱曲线，此时通过选项 G 给出重力加速度值，例子中以选项

图 9.5.18 组集管理器

图 9.5.19 创建节点组集

122

TYPE=G 方式输入分析谱曲线，曲线形式可以参考图 9.5.2 所示。

每个数据行三个数值分别为谱曲线幅值),( ζωi

kS、对应固有频率ω 及阻尼比ζ ，如图 9.5.20 所示。

（4）、模态分析过程 求解设置

点击 Module 下拉菜单选中 Step，进入 Step 功能模块。

单击 ，创建新分析步，弹出分析步设置对话框。

输入框 Name 给出新分析步名 Step-1。在 Procedure type 选项中给出求解步的类型，响应谱分析

在模态分析的基础上进行，两个分析过程都属于线性摄动分析过程（Linear perturbation）。分析步设置

如图 9.5.21 所示，单击 。

在弹出求解选项设置对话框中，如图 9.5.22 所示，将特征方程求解器 Eigensolver 选项为 Lanczos法，Biggs 认为分析中简支梁在竖直方向激励作用下的响应主要由第一阶模态决定，因此这里模态提取数

目（Number of eigenvalues requested）设置为 1。 关于模态分析其他求解设置，读者可以参考帮助文件获取更详细的内容，这个不作深入分析。单击

1

2

3

图 9.5.20 Keyword 关键词编辑器

123

。

2

3 4

5

1

图 9.5.21 分析步设置对话框

图 9.5.22 模态分析求解选项设置

1 2

3

4

124

输出设置 在响应谱分析及模态动力学分析中需要通过*MODAL FILE 设置特征值及各阶模态输出，但

ABAQUS/CAE 前处理器不直接支持该类输出设置方式，需要借助 Keyword 编辑器实现。 由主菜单 Model→Edit Keywords 进入 Keyword 编辑器。 在关键行*Restart, write, frequency=1 后添加各阶振型输出数据设置语句如下：

*MODAL FILE 生成特征值模态，为线性模态动力学分析作准备。

单击 。

（5）响应谱分析过程 求解设置

点击 Module 下拉菜单选中 Step，进入 Step 功能模块;

单击 ，弹出创建新分析步对话框，如图 9.5.23 所示。

在 Name 中输入分析步名 Step-2，在 Procedure type 选项下拉菜单中选择线性摄动分析 Linear

perturbation，然后选中列表框中 Response spectrum，单击 。

弹出求解设置对话框，如图 9.5.24，Description 输入框中用户可以填写问题的描述文本

ACCELERATION SPECTRUM IN G。在选项 Excitations 中设置单向或多向激励组合，关于该点，读者

可参考第 9.2 节内容，此实例中激励为单向激励，该项选为 Single direction。在选项 Summations 中

设置各阶模态合并方式，实例中该项设置为 SRSS，关于该部分内容，可参考第 9.3 节内容。在对话框

图 9.5.23 分析步设置对话框

1

2

3

4

125

Use response spectrum 中输入谱曲线名称 biggsacg，在激励作用方向余弦 Direction cosines 选项

中填入（0,1,0），沿着 Y 轴作用。在谱值放大系数 Scale factor 选项中输入1=kC。

若用户在选项 Excitations 中选择为多向激励组合方式时，则需要在 Second direction、Third direction 方向对不同方向激励谱曲线进行设置。

在图 9.5.24 所示对话框中，单击 Damping 选项，进入阻尼设置对话框。ABAQUS 可以分别从振型

阻尼比、Rayleigh 阻尼比、结构阻尼比等 4 个方面进行模型阻尼设置。

1 2 3

4

6

图 9.5.24 响应谱分析求解设置对话框

5

7

2

1

3 图 9.5.25 阻尼参数设置对话框

126

如图 9.5.25 所示，实例中采用第一种方法直接设置各阶振型对应阻尼比，单击 Direct modal 选项，

点选 Use direct damping data，通过模态阶数由高至低来设置各阶模态临界阻尼比。例子中仅考虑一

阶振型影响，在起始模态及终止模态填入 1，临界阻尼比设置为 0。

单击 。

响应谱分析中参与模态的选取 由主菜单 Model→Edit Keywords 进入 Keyword 编辑器。

将鼠标光标放置于*Modal Damping 数据块结束处，单击 ，模态选取命令行如下：

*SELECT EIGENMODES,GENERATE 1,1 从频率高低顺序选择响应谱分析考虑的模态，例子中只考虑 1 阶振型贡献。

谱分析步输出选项设置 在 Keyword 编辑器文本行**OUTPUT REQUESTS 后添加输出控制信息如下： .DAT 文件结果输出设置。

*EL PRINT,ELSET=EP,POSITION=AVERAGED AT NODES S, E, SF, .FIL 文件结果输出设置。 选项 ELSET 控制只输出单元组 EP 节点平均应力（S）、应变（E）及截面合力分量（SF）结果，输出

频率为 1。

*NODE FILE U, .FIL 文件节点结果输出设置，输出所有节点位移（U）结果。

*EL FILE,ELSET=EP,POSITION=AVERAGED AT NODES S, E, SF, FIL 文件单元结果输出设置，输出单元组 EP 在节点处平均应力（S）、应变（E）及截面合力分量（SF）

结果，输出频率为 1。 .ODB 文件结果输出设置。

*OUTPUT,FIELD *NODE OUTPUT U, .ODB 文件节点结果输出设置，输出所有节点 S 位移（U）结果。

*ELEMENT OUTPUT,ELSET=EP S, E, SF, .ODB 文件单元结果输出设置，输出单元组 EP 应力（S）、应变（E）及截面合力分量（SF）结果，

127

输出频率为 1。

*OUTPUT,HISTORY .ODB 文件历程变量输出设置，输出频率为 1。

*NODE OUTPUT, NSET=ODB_NSET U, 输出节点组 ODB_NSET 位移 U 结果。

*MODAL OUTPUT 模态结果输出设置。

单击 ，求解设置完成。

（6）、任务提交 点击 Module 下拉菜单选中 Job，进入 Job 功能模块

单击 ，创建新任务，如图 9.5.26（a）所示，在对话框 Name 一项填入任务名 Job-1，在模型列

表框中选中所用模型 Model-1，单击 。

如图 9.5.26（b）所示，弹出任务设置对话框，在对话框中给出任务提交方式、常规输出设置、内存

设置、并行设置及精度设置等选项，文中例子按缺省设置即可，单击 。

图 9.5.26 创建新任务及选项设置

1

2

3 （a） 创建新任务

4 （b）任务选项设置对话框

128

单击 ，进入任务管理器，如图 9.5.27 所示。用户可在任务管理器中编辑任务、提交任务、编辑

关键词文件以及监视任务提交求解过程的信息提示。

输入文件命令流解析 （1）、模型数据

输入文件命令流第一部分为模型数据。这些模型数据从标题、单元节点坐标、单元类型、单元截面形

式、材料特性、初始边界条件、预定义荷载、谱曲线定义等多个方面给出分析问题的整体有限元模型。 指定分析标题

*HEADING RESPONSE SPECTRUM ANALYSIS OF A SIMPLY SUPPORTED BEAM 有限元模型建立

节点及单元定义：单元类型采用平面二次梁元 B23 或低阶梁元 B21。有限元模型单元及节点编号如

图 9.5.1所示。使用*NODE来定义节点坐标，*NSET&*NGEN来定义节点集合BOUND及OBD_NSET；使用*ELEMENT 定义单元，*ELSET&*ELGEN 定义单元集合 EP 及 BMS。关键词对应选项的格式为如下

形式：

*NODE,NSET=BOUND 10,0. 110,240. *NGEN, NSET=ODB_NSET 10,110,10

定义节点过程

*ELEMENT,TYPE=B23 10,10,20 *ELGEN,ELSET=BMS 10,10,10,10 *ELSET,ELSET=EP 50,60

定义单元编号 材料属性定义：

简支梁为各向同性、线弹性材料构成，取 )/(103 27 inlbE ×= 。定义材料的密度属性，取

图 9.5.27 任务管理器对话框

129

43 /108.9 inslbDENS −×= −。这些都在*MATERIAL 数据项中的*ELASTIC 及*DENSITY 数据行中得

到体现。

*MATERIAL,NAME=A1 定义新材料 A1

*ELASTIC 30.E6,

材料杨氏模量为 )/(103 27 inlbE ×= 。

*DENSITY 0.0098,

定义材料密度 截面形式：结构中所有的梁截面都是矩形横截面，使用*BEAM SECTION 定义单元集 EALL 的截面

形式，用选项 SECTION=RECT 来定义矩形截面。数据行中给出了截面的长、宽尺寸，命令流如下形式：

*BEAM SECTION,SECTION=RECT,MATERIAL=A1,ELSET=BMS 1.4577244 ,14

定义矩形截面宽、高尺寸 边界条件：简支梁两端约束可以使用*BOUNDARY 关键词来定义自由度约束情况。

*BOUNDARY BOUND,2,2,0. 10,1,1,0. 响应谱曲线定义：通过关键词*SPECTRUM 定义用于响应谱分析的谱曲线，选项 NAME=BIGGSACG

为所定义谱曲线名，用于后续分析中谱激励的调用。TYPE 给出了谱曲线类型，ABAQUS 提供了位移、速

度、加速度等 4 种谱曲线输入形式。选定何种谱类型后，用户可利用 INPUT 选项，利用输入文件导入谱

曲线，或直接经数据行输入。

*SPECTRUM,TYPE=G,NAME=BIGGSACG,G=386.4 2.,5.,0. 1.6667,6.,0. 1.6399,6.098,0. 1.4286,7.,0. 1.453,8.,0. 数据行格式为谱值、频率、对应阻尼比

（2）、历程数据 例子中分析过程可以分为模态分析及响应谱分析两个步骤，响应谱分析过程是在模态分析基础上进行

的。 模态分析过程 STEP 数据块

*STEP *FREQUENCY,EIGENSOLVER=LANCZOS 1, 采用 LANCZOS 法进行特征值求解，提取第 1 阶模态

*MODAL FILE 将各阶振型写入*.fil 文件中

130

*END STEP 响应谱分析过程 STEP 数据块

*STEP ACCELERATION SPECTRUM IN G ACCELERATION SPECTRUM IN G 为分析步描述

*RESPONSE SPECTRUM, SUM=SRSS,COMP=SRSS BIGGSACG,0.,1.,0.,1. 分析过程为响应谱分析，选项 SUM=SRSS 设置不同方向激励组合方法采用 SRSS 法，选项

COMP=SRSS 设置各阶模态合并方法采用 SRSS 方法。谱曲线选用加速度谱 BIGGSACG，沿着 2 轴方

向施加，方向余弦值坐标（0，1，0），谱曲线比例系数取为 1。

*modal damping, modal=direct 1,1,0. 设置一阶模态对应临界阻尼比为 0

*select eigenmodes, generate 1, 1 只考虑一阶模态的影响 以下为输出控制，可参考第 9.5.3 节内容，这里不作详细解释。

*NODE FILE U, *EL PRINT,ELSET=EP,POSITION=AVERAGED AT NODES S, E, SF, *EL FILE,ELSET=EP,POSITION=AVERAGED AT NODES S, E, SF, *OUTPUT,FIELD *NODE OUTPUT U, *ELEMENT OUTPUT,ELSET=EP S, E, SF, *OUTPUT,HISTORY *NODE OUTPUT, NSET=ODB_NSET U, *ELEMENT OUTPUT,ELSET=EP S, E, SF, *END STEP

131

与解析解结果的比较

Biggs（1964）通过解析方法计算得到的两端简支梁一阶固有频率为 Hzf 1.61 = ，其对应的模态参与

系数为 27324.11 =γ 。采用 ABAQUS 模拟二次梁元 B23 简支梁，单元数为 10 个，得到简支梁一阶固有

频率为 Hzf 098.61 = ，而低阶梁元 B21，同样单元网格尺寸下，得到的一阶固有频率为 Hzf 088.61 = ，

所求得的一阶模态参与系数分别为 1.2733 及 1.2628。可以看出 ABAQUS 程序与 Biggs(1964)的精确

解非常接近，并且二次梁元 B23 比低阶梁元 B21 更接近精确解。 本章分别对两端简支梁进行位移谱响应分析、速度谱响应分析、加速度谱响应分析及重力加速度谱响

应分析，并将结果与 Biggs（1964）的精确结果进行比较如表 9.5.1 所示。 注意：该部分命令流参考 ABAQUS 帮助手册。

序号 单元类型 谱曲线类型 跨中位移（in） 跨中弯矩（lb×in）

1 B23 位移谱曲线 0.549 949300 2 B21 速度谱曲线 0.55 925100 3 B23 重力加速度谱 0.55 949300 4 B21 一般加速度谱 0.551 925100 5 Biggs 解析解 0.56 959500

表 9.5.1 中可以验证了 ABAQUS 中响应谱分析结论与解析方法存在较好的吻合。

表 9.5.1 谱响应分析结果比较

132

第 10 章

非线性动力学分析

§10.1 非线性动力学分析简介

当结构所受到荷载随时间变化时，荷载的时间相关性使得惯性力及材料阻尼在整个结构动响应中的作

用不可忽略，此时不能用静力学分析方法进行近似分析。动力学分析可以确定结构在静荷载、动态荷载和

简谐荷载等任意组合作用下的随时间变化的位移、应变、应力及内力。ABAQUS 提供了几种考虑惯性效应

的方法，它们可以有针对性地解决各种线性、非线性动力学问题，各有不同特点。

10.1.1 线性模态动力学分析：

对于线性动响应问题，一般采用基于模态技术的线性模态动响应分析法。这种方法根据输入的加载曲

线，利用*MODAL DYNAMICS 程序对各阶模态作时间积分，得到与时间 t 相关的模态响应值，然后叠加

所有各阶模态响应值得到结构总体响应。 线性模态动力学分析特点 对于多数线性动响应问题，该法计算量较小。

当加载幅值时间保持线性关系时，线性模态动响应分析方法是准确的，因此要特别注意荷载步的

定义，必须分析中保持时间步长为常数，这种方法不支持自动时间步长法。 允许分别指定每一阶振型阻尼比。 模态动力学分析中考虑的模态阶数则取决于用户经验，因此必须确保提取足够的阶数。 对于线性动响应中几何非线性较微小的情况，若用户在*FREQUENCY 分析中考虑了几何非线性

（即*FREQUENCY 分析中打开选项 NLGOEM），则程序*MODAL DYNAMICS 中将自动考虑预

加荷载效应影响，但程序*MODAL DYNAMICS 不支持预先非零的位移荷载。

10.1.2 非线性动力学分析

当结构所受外荷载幅值较大或受到持续时间较短的冲击荷载作用时，结构在外荷载作用下产生过大的

变形以至于必须考虑结构几何大变形对结构整体刚度及固有频率的影响，即所谓的几何非线性影响。对于

多数非线性动力学问题，还需要考虑材料非线性、接触非线性两个方面影响。 线性模态动力学分析只适用于线性问题。对于考虑各种非线性效应的动力学问题求解则需要对动力学方程

进行直接时间积分。ABAQUS 中*DYNAMIC 程序支持对结构动响应问题的直接时间积分求解。 非线性动力学分析特点 问题分析过程需要考虑时间积分效应，不必作模态分析，不必提取固有频率。 在直接积分求解非线性动力学方程时，需要对时间作积分计算，因此直接积分法分析非线性动力学问

题计算量远远大于线性模态动力学方法。 非线性动力学分析过程中允许施加所有类型的荷载，包括节点力、非零位移、单元荷载、及在实体模

型上施加荷载。 在每个时间步上，进行质量、阻尼及刚度矩阵集成，采用完整矩阵，不涉及质量矩阵的近似。 可以同时考虑几何、材料及接触等多种非线性效应

133

ABAQUS/Standard 中的非线性动力学分析程序采用隐式 Hilber, Hughes and Taylor 法作时间积

分运算。这种方法适于模拟非线性结构的动态问题，对于一些突发事件激发的结构动态响应问题，如冲击、

地震波，以及一些由于塑性或粘性阻尼造成的能量耗散，隐式算法特别有效。 隐式积分方法需要对刚度矩阵求逆运算，并通过多次迭代求解增量步平衡方程。 隐式算法支撑单元类型较显式算法丰富，各类单元的一阶、二阶形式都适用。 Hilber, Hughes and Taylor 时间积分算法为无条件稳定，因此 ABAQUS/Standard 计算中对于时

间步长 tΔ 没有特别限制。

ABAQUS/Standard 也可以采用子空间法对动力学平衡方程作时间积分运算。子空间算法通过选项

SUBSPACE 激活，命令流可写成如下形式：

*DYNAMIC,SUBSPACE 子空间方法提取模态分析得到的各阶特征模态，并采用与线性模态动力学分析方法相近的分析方式进

行求解。 对于带有微小非线性效应的问题，如材料小范围进入屈服、节点转角不大的情况，子空间算法效率介

于直接时间积分和纯线性模态动力学法之间。 这种方法基于特征模态分析，因此对于带有严重非线性效应的动力学响应问题，该方法不能达到好的

结果。 ABAQUS/Explicit 程序提供了非线性动力学分析另一种方法是显式动态算法。显式动态算法具有如

下特点： ABAQUS/Explicit 程序在时间积分时采用中心差分法。显式时间积分算法为有条件稳定，显式积分

算法临界稳定时间步长限制了时间步长 tΔ 的大小，因此在求解过程中，显式算法中时间步长 tΔ 一般比隐

式算法要小。

显式时间积分算法的临界稳定时间步长 mintΔ 与有限元模型最小单元尺寸、材料应力波速有关。当单

元最小尺寸越小、应力波速越快时，中心差分法的临界稳定时间步长 mintΔ 越小，因此该方法适于模拟高

速冲击问题。 对于求解高度不连续问题（例如接触和失效问题），显式时间积分算法的处理方式更为简单，因此

ABAQUS/Explicit 程序处理该类问题更为高效。另外从计算代价与计算模型尺寸之比来观察，显式算法

更适于大型、高度不连续性动响应问题分析。 在处理三维变形体接触问题，ABAQUS/Explicit 也有独到之处。 当应力波在模型中传播时，显式算法采用一次一个单元的方式扩展结果。因此，该方法最适于应力波

影响为主以及碰撞冲击等方面问题的求解。 非线性动力学分析方法中选择一种适于用户的分析方法，需要用户综合考虑计算工作量、分析问题规

模、单元限制等多方面因素。因此丰富的有限元模拟经验对于用户选择一种合理的分析方法非常重要。

§10.2 动力学问题基本方程

非线性动力学分析求解的基本方程如下形式

[ ]{ } [ ] [ ] 0=−+ PIuM && (10.2.1)

134

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]PuKuCuM =++ &&& (10.2.2)

其中： [ ]M 为质量矩阵；

[ ]C 为阻尼矩阵；

[ ]K 为刚度矩阵；

[ ] [ ]{ } [ ]{ }uKuCI +&＝ 为粘性效应项，考虑阻尼、粘塑、粘弹等效应；

[ ]P 为外部激励作用；

{ }u&& 为节点加速度向量；

{ }u& 为节点速度向量；

{ }u 为节点位移向量。

公式（10.2.1）可作为动静力学平衡通式。在任意时刻 t ，上述方程可视为考虑了惯性力项 [ ]{ }uM && 、

粘性效应项 [ ]I 及外荷载项 [ ]P 作用下的动力学平衡方程。当惯性力项足够小，可以忽略时，公式（10.2.1）

即退化为静力学平衡方程。 ABAQUS 可以使用两种方法求解动力学平衡方程组：中心差分时间积分方法（Central difference

time integration）和 Hilber, Hughes, and Taylor 时间积分方法（以下简称为 H.H.T.法）。中心差分

法是一种显式时间积分方法，在 ABAQUS/Explicit 程序中运用于非线性动力学问题分析；H.H.T.方法是

一种隐式时间积分方法，其主要思路是把上述方程中自由度的导数项（速度向量{ }u& 和加速度向量{ }u&& ）用

相邻时刻上的位移向量表示，然后对每个时间增量平衡方程迭代求解。

§10.3 时间积分方法

分析任意的非线性体系普遍适用的方法是对藕合的动力学方程组进行数值直接积分。有限元程序通常

将动力学偏微分方程组近似变换为一组耦合的非线性常微分方程组，把响应时程划分为短的时间步，对每

个时间步长按照线性体系来计算其反应。在每个时间步计算中，把上一个时间步结束时得到的体系状态作

为线性体系计算的初始条件，时间步结束时的体系状态要按照瞬时体系的变形和应力状态进行修正。这样，

非线性分析问题就可以近似为一系列依次变化的线性问题进行分析。

10.3.1 Newmark 时间积分方法

（1）、Newmark 时间积分方法原理 在多自由度体系的非线性动力响应分析中已采用了几种不同的条件稳定（或无条件稳定）的逐步积分

135

法。所谓无条件稳定，是指无论选取的时间步长为多少，迭代求解过程都是稳定收敛的；而条件稳定是指

求解的稳定性依赖于时间步长的选取。各种时间积分方法中运用最广泛的方法之一叫 Newmark 法。 对于 n 个自由度的有限元离散体系，可以建立 n 个动力学平衡方程，现将这 n 个方程用矩阵形式表示，即

有

[ ]{ } [ ] [ ] 0=−+ PIuM && （10.3.1）

式中： [ ]M 为质量矩阵；

[ ] [ ]{ } [ ]{ }uKuCI +&＝ 为粘性效应项，考虑阻尼、粘塑、粘弹等效应；

[ ]P 为外部激励作用；

{ }u 、{ }u& 、{ }u&& 为节点位移、速度、加速度向量。

对应 t ， tt Δ+ 时刻，动力学平衡方程可表为如下形式

[ ]{ } [ ] [ ] 0=−+ ttt PIuM && （10.3.2）

[ ]{ } [ ] [ ] 0=−+ Δ+Δ+Δ+ Ttttt PTIuM && （10.3.3）

为了便于求解将式（10.3.1）改写为增量形式

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ])()()()()()( tPtutKtutCtuM Δ=Δ+Δ+Δ &&& （10.3.4）

Newmark 方法得到 tt Δ+ 时刻的位移和速度向量可以表示为

{ } { } { } { } { }[ ]ttttttt uututuu Δ+Δ+ +⋅−Δ+⋅Δ+= &&&&& ββ )( 212 （10.3.5）

{ } { } { } { }[ ]tttttt uutuu Δ+Δ+ ⋅+⋅−⋅Δ+= &&&&&& γγ )1( （10.3.6）

其中：权重因子 ( )21,0∈β ， ]( 1,0∈γ 。

由方程（10.3.3）可以得到 tt Δ+ 时刻加速度向量{ } ttu Δ+&& ，由方程（10.3.5）、（10.3.6）可以得到 tt Δ+

时刻位移向量及速度向量。

这里权重因子 β 、γ 决定了 Newmark 时间积分方法的收敛稳定性及精度水平，不同的学者通过定义

不同的权重因子 β 、γ 取值，建立了一系列经典动力学方程时间积分算法。

（2）、Newmark 时间积分方法中权重因子 β 、γ 选取

当权重因子 21＝γ 时 Newmark 时间积分方法保持二阶精度，方程（10.3.6）导出如下形式

{ } { } { } { }[ ]tttttt uutuu Δ+Δ+ ⋅+⋅⋅Δ+= &&&&&& 21

21 （10.3.7）

136

注意：Newmark 时间积分方法中，当 21≥γ 时算法可以考虑二阶精度，但是当 2

1<γ 时算法仅

仅为一阶精度。

当权重因子 21＝γ ， 4

1＝β 时，此时的 Newmark 方法即为所谓的梯形算法（或称为平均加速度算法，）

保持二阶精度，同时该时间积分算法为无条件稳定。但是该方法无法直接考虑阻尼影响，式（10.3.6）导

出形式如方程（10.3.7），而式（10.3.5）则导出如下形式

{ } { } { } { } { }[ ]ttttttt uututuu Δ+Δ+ ⋅+⋅Δ+⋅Δ+= &&&&& 41

412 （10.3.8）

当权重因子 21＝γ ， 0＝β 时，Newmark 方法即为所谓的中心差分算法，该方法保持二阶精度，是显式时

间积分方法，这种时间积分运算在 ABAQUS/Explicit 中得到了运用。此时式（10.3.6）导出形式如方程

（10.3.7），而式（10.3.5）则导出如下形式

{ } { } { } { }[ ]ttttt ututuu &&& ⋅Δ+⋅Δ+=Δ+ 212 （10.3.9）

Hilber-Hughes-Taylor 算法

通过修正 tt Δ+ 时刻动力平衡方程（10.3.3），使得结构体系在 tt Δ+ 时刻达朗伯力 [ ]{ } ttuM Δ+&& 与结构

体系在 t 、 tt Δ+ 时刻静力的加权平均值相平衡，如下式所示

[ ]{ } [ ] [ ] 0)1( =−⋅−−⋅++ Δ+Δ+ ttttt PIPIuM αα&& （10.3.10）

将（10.3.5）、（10.3.6）式代入（10.3.10），将权重因子 β 、γ 表征为权重因子α 的函数形式，如

式（10.3.11）所示

⎩⎨⎧

−=

−×

αγαβ

21

241 1 ）（＝

（10.3.11）

此时任意给定一个权重因子α ，就可得到一组对应的权重因子 β 、γ ，然后通过（10.3.5）（10.3.6）

式可导出 tt Δ+ 时刻的位移和速度向量。

注意：上述中参量α 、 β 与 Rayleigh 阻尼中的α 、 β 参量无关。

上述修正积分算法即为 Hilber-Hughes-Taylor 算法，该算法为二阶精度的隐式积分算法，实际上是

Newmark 算法的发展，这种算法在 ABAQUS/Standard 程序中得到很好的运用。

10.3.2 显式 Newmark 时间积分方法

（1）、显式 Newmark 时间积分方法原理

当 Newmark 时间积分方法中权重因子取为 21＝γ ， 0＝β 时，可以得到显式时间积分算法即中心差分

方法。 下面给出中心差分方法的推导过程：

137

由权重因子取为 21＝γ ， 0＝β ，可得体系位移向量及速度向量

{ } { } { } { }[ ]tttttt uutuu Δ+Δ+ ⋅+⋅⋅Δ+= &&&&&& 2

121

(10.3.7)

{ } { } { } { }[ ]ttttt ututuu &&& ⋅Δ+⋅Δ+=Δ+ 212 （10.3.9）

对于 tt Δ− 时刻而言，由方程（10.3.9）可得

{ } { } { } { }[ ]ttttt ututuu &&& ⋅Δ+⋅Δ−=Δ− 212 （10.3.12）

由式（10.3.12）、（10.3.9）相消后得到 t 时刻体系速度向量及加速度向量

{ } { { } { } }ttttt uut

u Δ−Δ+ −×Δ

=21

& （10.3.13）

{ } { } { } { }{ }tttttt uuut

u Δ−Δ+ +−×Δ

= 212

&& （10.3.14）

将上述方程（10.3.2）（10.3.13）（10.3.14）写成前向差分时间积分形式，可以得到如下时间积分

方案： 动力学平衡方程

{ } [ ] [ ] [ ] )(1ttt IPMu −⋅= −&& （10.3.15）

在 2tt Δ+ 时刻体系速度向量

{ } { } { }tttt

tt uttuu tt &&&& ⋅Δ+Δ

+= Δ+−+ ΔΔ

2)(

22 （10.3.16）

在 tt Δ+ 时刻体系位移向量：

{ } { } { }2ttttttt utuu Δ+Δ+Δ+ Δ+= & （10.3.17）

若体系抗力矩阵 [ ]tI 已知，则可由式（10.3.15）导出{ }tu&& 。为了计算体系抗力矩阵 [ ]tI ，必须知道体

系位移向量{ }tu ，虽然此时位移向量{ }tu 未知，但结构体系在 2tt Δ− 时刻的速度可由前一步方程求解中导出，

这里近似认为

[ ] [ ]),(22tt ttt uuII ΔΔ −−

≈ & （10.3.18）

利用方程（10.3.15）（10.3.16）（10.3.17），可以逐步计算出每一时间步的位移、速度向量。 上述算法中所有运动学变量，包括位移、速度、加速度等都是通过显式时间积分获得，因此该算法称之为

显式时间积分算法，在 ABAQUS/Explicit 模块中得到很好的运用。 （2）、显式 Newmark 时间积分方法的运用 用显式中心差分法进行时间积分，每个时间步计算耗时较少。不同于 ABAQUS/Standard 模块中需要经

过大量迭代求解动力学平衡方程，显式积分方法使得动力学方程一开始就满足。 显式积分方法求解动力学问题高效的关键之处在于利用对角单元质量矩阵。在每个时间步的初始加速

度{ }tu&& 求解中，只需要对集中质量矩阵求逆运算，如式（10.3.19）所示，并且过程中不需要通过迭代运

138

算求解切线刚度。

{ } [ ] [ ] [ ] )(1ttt IPMu −⋅= −&& （10.3.19）

显式积分方法分析中必须存在节点质量或节点惯性（除了边界节点以外），即必须有非零的节点质量或节点

惯性，因此一旦在分析中节点自由度被激活，程序便自动给节点质量或节点惯性赋值。所以对于无质量单

元，在 ABAQUS/Explicit 程序中需要特别小心。 中心差分算法是有条件稳定的，因此显式时间积分对时间步尺寸是有限制的。

对于无阻尼系统而言，要求时间积分的时间步小于临界步长，临界步长与结构最高圆频率有关

maxmin

2ϖ

=Δ≤Δ tt （10.3.20）

对于有阻尼系统而言，临界时间步与结构最高圆频率及其阻尼比有关

)1(2max

2max

max

ζζϖ

−+⋅≤Δt (10.3.21）

其中： maxϖ 为结构最高圆频率， maxζ 为 maxϖ 振型对应的阻尼比。

阻尼介入有助于减小显式时间积分的临界时间步尺寸，结构中阻尼的形式可以是材料本身的阻尼或直

接起到耗能作用的阻尼装置。

10.3.3 隐式 Newmark 法

（1）梯形算法的不足

对于 Newmark 时间积分算法而言，当取 21＝γ ， 4

1＝β 时，此时的 Newmark 方法即为梯形积分算

法（或称为平均加速度法则），保持二阶精度，该时间积分算法为无条件稳定。梯形积分算法最大不足之处

是无法在算法中考虑阻尼影响。 关于阻尼效应，应该说大多数系统中存在阻尼现象。阻尼是动态分析的一个重要概念，是系统能否最

终趋于稳态的重要因素。所有材料本身存在粘塑、粘弹等一些非线性因素，在变形过程中都存在一定的阻

尼作用，因此在时间积分算法中加入数值阻尼项是存在物理依据的。 梯形算法无法通过数值方法考虑阻尼影响，因此在模拟实际问题时存在一定的不稳定因素，特别是在

分析一些带有高频响应现象的问题，比如刚性约束、外荷载变化速率很快的情况（冲击问题），或者长时间

段的加速度时程分析过程等，数值阻尼模拟的好坏对结果有重要的影响。 当然从另外一个角度来看，有限元方法中的时间积分过程将连续运动方程人为的离散化后，这个过程

本身就降低了程序对结构高频率响应部分模拟的效果。但对于多数问题而言，结构的高频响应部分常常被

认为是一种噪声，没有实际物理意义。 （2）、Hilber-Hughes-Taylor 时间积分方法

针对梯形算法无法在算法中考虑阻尼影响，Hilber 等人进行了一定的改进。Hilber 等人在梯形时间积

分算法基础上进一步发展得到的 Hilber-Hughes-Taylor 时间积分方法。Hilber-Hughes-Taylor 时间积

分方法中权重因子取为 21＝γ ， 4

1＝β ，也可以实现时间积分的无条件稳定以及计算的二阶精度，同时，

Hilber 将低频率模态的阻尼比用于高频率模态分析中，取得很好的耗散效果。

139

Hilber 等人通过修正 tt Δ+ 时刻 Newmark 动力学平衡方程（10.3.3），使得结构体系在 tt Δ+ 时刻达朗

伯力 [ ]{ } ttuM Δ+&& 与结构体系在 t 、 tt Δ+ 时刻静力的加权平均值相平衡，得到新的动力学平衡方程

[ ]{ } [ ] [ ] 0)1( =−⋅−−⋅++ Δ+Δ+ ttttt PIPIuM αα&& （10.3.10）

将新动力学平衡方程下对应 tt Δ+ 时刻的位移、速度向量写成Newmark法标准位移和速度向量形式，

如下式所示

{ } { } { } { } { }[ ]ttttttt uututuu Δ+Δ+ +⋅−Δ+⋅Δ+= &&&&& ββ )( 212 （10.3.5）

{ } { } { } { }[ ]tttttt uutuu Δ+Δ+ ⋅+⋅−⋅Δ+= &&&&&& γγ )1( （10.3.6）

最后得到权重因子α 的函数形式表示的权重因子 β 、γ ，如下式

⎩⎨⎧

−=

−×

αγαβ

21

241 1 ）（＝

（10.3.11）

此时任意给定一个权重因子 [ ]0,31−∈α ，就可得到一组对应的权重因子 β 、γ ，然后通过（10.3.5）、

（10.3.6）式可导出 tt Δ+ 时刻的位移和速度向量。 对于 0=α 时，Hilber-Hughes-Taylor 时间积分算法实际上退化为梯形时间积分方法。

注意：上述中参量α 、 β 与 Rayleigh 阻尼中的α 、 β 参量无关。

显式时间积分算法的条件稳定性限制了时间步长的取值，但对于隐式时间积分算法而言，任意时间步

长 tΔ 尺寸都不影响计算结果的稳定性。隐式Newmark法是一种无条件稳定的积分算法，但是时间步长 tΔ取值越大，对于结构动力响应中高频部分模拟的精确程度越差。

10.3.4 隐式动力学分析方法平衡迭代及收敛性

在非线性分析中不能象线性问题只求解一组方程即可，必须通过逐步施加给定的荷载，以增量方程形

式趋于最终解。ABAQUS 使用牛顿－拉弗森方法来求解非线性方程。因此 ABAQUS 将每个荷载步分为许

多荷载增量步，并在每个荷载增量步结束时确定近似平衡构形，动力学问题所有增量响应之和就是非线性

动力学分析的近似解。ABAQUS 在一个荷载增量步求解过程中一般需要几次迭代才能找到给定荷载增量的

可接受的解，而这个可接受解的判断标准就是通过半增量步长残差作为参量。ABAQUS/Standard 程序

进行非线性动力学分析时，通过半增量步长残差进行方程迭代平衡控制。

考虑作用在物体上的外部作用力 tP][ 、内部节点作用力 tI ][ 及达朗伯力 [ ]{ }tuM && ，为了使物体处于平

衡状态，每个节点上施加的净作用力必须为零。因此半增量步长残差判断平衡的基本依据在于半增量步长

处内部节点作用力 tI ][ 、达朗伯力 [ ]{ }tuM && 及外部作用力必须互相平衡

[ ]{ } [ ] [ ] 0=−+ ttt PIuM && （10.3.22）

140

（1）、分析步、增量步和迭代步 分析步概念

一般动力学问题计算的加载过程包含一步或多步骤分析。用户可以定义分析步，一个*STEP~*END STEP 数据块构成一个分析步，数据块一般包括分析过程选项、荷载选项和输出控制选项。每个分析步中

都可以采用不同荷载、边界条件、分析过程选项和输出要求。 增量步概念

增量步是分析步的一部分。在非线性动响应分析中，一个分析步中将施加的总荷载分解为许多小的增

量，这样就可以按照非线性求解步骤来进行计算。ABAQUS 程序一般采用固定增量步长法或自动增量步长

法确定分析中增量步大小。增量步尺寸确定与研究问题的非线性程度紧密相关。当初始增量的大小被建议

后，ABAQUS 会自动选择接下来的增量步大小。 每个增量步结束时，结构处于近似平衡状态，结果可以写入重启动文件(扩展名为.RES)、数据文件（扩

展名.ODB）或第三方结果文件（扩展名.FIL）。 迭代步概念

迭代步是在一个增量步中找到平衡解的一种尝试。如果模型在迭代结束时不是处于平衡状态，

ABAQUS 将重新进行一轮迭代。随着每一轮迭代，ABAQUS 得到的解将更接近平衡状态。体系在一给定

迭代步结束时并不一定处于平衡状态，计算结果只有在得到平衡解的迭代步中才是可以实现的，因此有时

ABAQUS 需要进行许多轮迭代才能得到一个平衡解。 （2）、平衡迭代和收敛判据 平衡迭代原理

结构对于一个小荷载增量 [ ]PΔ 的非线性响应如图 10.3.1 所示。ABAQUS 利用基于 t 时刻构形 [ ]tu 的

结构初始刚度 [ ]tK 和 [ ]PΔ 来计算结构的位移修正 [ ] 2/ttC Δ+ ，然后利用 [ ] 2/ttC Δ+ 将结构的构形更新为

[ ] 2/ttu Δ+ 。

在隐式 Newmark 时间积分方法的平衡迭代过程中，假设加速度在 tΔ 内线性变化

[ ]tu[ ]u

[ ] 2/ttu Δ+

[ ] 2/ttC Δ+

[ ]tP

[ ] 2/ttP Δ+

[ ] 2/ttR Δ+

[ ][ ] [ ] 2/2/ tttt IuM Δ+Δ+ +&&

图 10.3.1 平衡迭代示意

[ ]tK

141

[ ] [ ] [ ]{ }ttttt uuu &&&&&& +×= Δ+Δ+ 21

2/ （10.3.23）

由 Newmark 积分算法可以得到 2/tt Δ+ 半增量步长时刻体系位移向量、速度向量

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]ttttt ututuuu &&& ×Δ

+×Δ×+Δ×+=Δ+ 16

2

83

81

2/ （10.3.24）

[ ] [ ] [ ] [ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ×

Δ+×++Δ×

Δ=Δ+ tttt utuu

tu &&&&

2)1(2/ ηη

（10.3.25）

其中： [ ] [ ] [ ]ttt uuu −=Δ Δ+ ；

系数η 为权重因子α 的函数形式 221

)1()(

αα

η−−

= 。

由新的结构构形 [ ] 2/ttu Δ+ ，ABAQUS 形成了新的刚度矩阵 [ ] 2/ttK Δ＋ 。利用刚度矩阵 [ ] 2/ttK Δ＋ 来计算更

新后的构形中结构的内部作用力 2/][ ttI Δ＋ 。利用新的结构构形下加速度 [ ] 2/ttu Δ+&& 来计算更新后的构形中结构

的达朗伯力 [ ]{ } 2/ttuM Δ＋&& 。半增量步外部作用力由式（10.3.26）近似

[ ] [ ] [ ]PP ttt Δ×+=Δ+ 21

2/P （10.3.26）

在 2/tt Δ+ 时刻，所施加总外荷载 [ ] 2/P tt Δ+ 、内部作用力 2/][ ttI Δ＋ 及达朗伯力 [ ]{ } 2/ttuM Δ＋&& 的差值即所

谓的半增量步残差 [ ] 2/ttR Δ+

[ ] [ ]{ } [ ] 2/2/2/2/ P][ tttttttt IuMR Δ+ΔΔΔ+ −+= ＋＋&& （10.3.27）

如果 [ ] 2/ttR Δ+ 在模型的每个自由度上的值都为零，图 10.3.1 中的b 点将位于荷载－位移曲线上，此时

结构处于平衡状态。 迭代收敛判据

收敛判据（一）：在实际非线性动力学响应分析问题中，几乎不可能使 [ ] 2/ttR Δ+ 等于零，因此

ABAQUS 将其与用户设置的半增量步残差容许值 HAFTOL 进行比较，这个作用力残差容许值以

力为单位形式给出，并且与模型中所用的单位相一致。

如果 [ ] 2/ttR Δ+ 比作用力残差容许值HAFTOL小，ABAQUS则接受结构的新的构形作为平衡结果。若 [ ] 2/ttR Δ+

比当前结构作用力残差容许值小，则 2/tt Δ+ 时刻，总外荷载 [ ] 2/P tt Δ+ 、内部作用力 2/][ ttI Δ＋ 及达朗伯力

[ ]{ } 2/ttuM Δ＋&& 就处于平衡状态，此时， [ ] 2/ttu Δ+ 可作为结构在下一个荷载增量步合理的平衡构形。

142

收敛判据（二）：值得一提的是，ABAQUS程序在接受迭代平衡结果之前，还检查位移修正 [ ] 2/ttC Δ+

与总的增量位移 [ ] [ ] [ ]ttt uuu −=Δ Δ+ 2/ 相比是否是一个小量。若 [ ] 2/ttC Δ+ 与增量位移 [ ]uΔ 的比值大

于位移修正系数 %1=αnC ，ABAQUS 将重新进行迭代。

只有这两种收敛性检查都得到满足，结果才称为对此荷载增量是收敛的。

若迭代结果不收敛，ABAQUS 将进行另一轮迭代以使得总外荷载 [ ]P 、内部作用力 ][I 及达朗伯

力 [ ]{ }uM && 达到平衡。第二次迭代采用上一次迭代结束时计算得到的刚度 [ ] 2/ttK Δ＋ 和 [ ] 2/ttR Δ+ 一起

来确定下一轮的位移修正 [ ]C ，使得系统更加趋于平衡。

对于一般非线性问题，按默认求解控制参量即可得到较好的收敛效果，但对于特别的非线性问题，用户也

可以通过关键*CONTROLS 对收敛判据（二）进行适当修改，以期得到更快收敛的目的。 位移修正系数可以通过*CONTROLS 进行修改如下：

*CONTROLS,PARAMETERS=FIELD,FIELD=DISPLACEMENT

, αnC ,

选项 PARAMETERS 及 FIELD 决定控制参数作用于位移场方程组，用户可以自行修改位移修正系数

αnC 。

用户也可以通过 ABAQUS/CAE 前处理器对αnC 进行修改，步骤如下：

进入 STEP 模块 主菜单 Other>General Solution Controls>Manager 进入求解控制管理器，如图 10.3.2

所示，选中欲修改位移修正系数所在分析步 STEP，单击 。

弹出求解控制参量设置对话器，如图 10.3.3 所示。ABAQUS 给出了 3 种控制参量设置方法：

Propagate from previous step 表示荷载步中求解控制参量按前一个 STEP 中的取值进行；

Reset all parameters to their system-defined defaolts 选项被选中，则求解控制参量按

1

2

图 10.3.2 求解控制管理器

143

系统默认设置进行；Specify 选项被选中，则用户可自行设置求解控制参量。

选中 Specify 选项，用户可以从场方程、时间步长、约束方程及线性搜索等 4 个方面进行求解

控制参量的设置，参量αnC 的修改过程可如图 10.3.3 所示，单击 即可。

对非线性动力学分析中的每一轮迭代，ABAQUS 形成模型的刚度矩阵并求解一组方程。实际上，每一

轮迭代程序都相当于求解一组完整的线性方程，因此 ABAQUS/Standard 显式非线性动力学分析计算费

用要比 ABAQUS/Explicit 要大很多。

§10.4 自动时间步长控制方法

10.4.1 自动时间步长控制方法的运用

自动时间步长控制使得程序按照响应频率及结构非线性效应情况，调整求解过程中积分时间步长 tΔ 。

自动时间步长控制方法的优势在于可以减少分析增量步数，从而节省计算时间，采用自动时间步长控制方

法可以降低需要进行增量步重新分析的次数。另外对于非线性动力学问题来说，当出现收敛性问题造成过

多的增量步时，使得增量步值降低到最小值以下时，ABAQUS 就会自动中止分析。

图 10.3.3 求解控制参量设置对话框

1

2

3

144

ABAQUS 中自动时间步长控制方法使得非线性动力学问题的求解变得容易。用户只需要在每步 STEP过程数据中给出初始时间步长大小，之后 ABAQUS 就会自动调整时间步大小。如果没有设置初始时间步

长大小，那么在高度非线性动响应问题分析中，ABAQUS 不得不反复调整增量步大小，从而导致计算时间

的浪费。一般来说，提供一个合理的初始时间步长尺寸，将有利用 ABAQUS 程序在后续的非线性分析中

很快的找到一系列合适的时间步长。

10.4.2 自动时间步长控制原理

对于同一个荷载增量步而言，动力学平衡方程组找到一个收敛解所需要的迭代步数会随系统的非线性

程度不同而不同的。默认情况下，如果结果在 8=RI 次迭代中仍然不收敛或结果出现发散，ABAQUS 将

放弃当前的增量步尺寸，并将增量步大小设置为当前值的 0.25 倍，重新开始计算。利用这个较小的增量

步，ABAQUS 将更容易找到方程组的收敛解。如果这个增量步仍然不能收敛，ABAQUS 将再次减小增量

步大小。当增量步长减小到用户设置的最小时间步长或一个时间步求解中出现 5 次以上的时间步长调整，

ABAQUS 程序将自动中止分析。

若一个增量步下，平衡方程组经过不到 40 =I 次迭代即得到收敛解，则表明方程求解收敛容易。如果

连续两个增量步中，平衡方程组经过不到 40 =I 次迭代即得到收敛解，ABAQUS 将自动将增量步长提高

至当前值的 1.5 倍。

10.4.3 对于一些不连续非线性问题的控制参数调整

一些不连续非线性问题常常导致的求解困难，用户可以尝试通过关键词*CONTROLS 对增量步迭代控

制参量 RI ， 0I 进行修改，以期达到较好的收敛效果。

给出*CONTROLS 修改命令流实例如下：

*CONTROLS, PARAMETERS=TIME INCREMENTATION

0I , RI ,,,

ABAQUS 针对不连续非线性问题的求解给出一组迭代控制参数经验取值 80 =I ， 10=RI ，用户可直

接通过如下关键行直接激活：

*CONTROLS,ANALYSIS=DISCONTINUOUS 当然用户也可在 ABAQUS/CAE 前处理器中通过求解控制参量设置对话框直接对相关荷载步 STEP 中

的迭代控制参量进行修改，如图 10.4.1 所示： 进入 STEP 模块 主菜单 Other>General Solution Controls>Manager 进入求解控制管理器，如图 10.4.1 所

示，选中欲修改位移修正系数所在分析步 STEP，单击 。

145

弹出求解控制参量设置对话器，如图 10.4.2 所示。ABAQUS 给出了 3 种控制参量设置方法。

选中 Specify 选项，用户可以从场方程、时间步长、约束方程及线性搜索等 4 个方面进行求解控

制参量的设置。单击 Time Incrementation，用户可在编辑对话框中直接修改迭代控制参量

0I , RI 单击 即可。

点选 Discontinuous analysis，用户也可直接激活不连续非线性问题默认参量设置。 注意：不是所有动力学分析问题运用自动时间步长法都能取得很好的效果的。对于有些情况比如： 只有在结构局部存在动力学行为的问题，例如涡轮叶片和轮毂组件分析，此时系统部件的低频

能量部分远远高于高频部分，自动时间步长法可能导致花费大量的计算时间仍不收敛。 一些运动学问题，如刚体运动，在这种情况下体系刚体运动对于整体响应频率的作用占主导地

位，自动时间步长法也不大适用。

一个时间步长的确定与 ABAQUS 程序在迭代求解平衡方程组时的收敛判据密切相关，第 10.5 节内容

将就 ABAQUS 隐式显式算法步长收敛判断方法进行展开。

1

2

图 10.4.1 求解控制管理器

146

§10.5 ABAQUS/Standard 中自动时间步长法运用探讨

隐式时间积分算法中采用自动时间步长控制技术时，ABAQUS 程序利用半增量步长残差容许值判断平

衡方程组迭代收敛。因此半增量步长残差检查是自动时间步长控制技术在 ABAQUS/Standard 程序中运

用的基础，半增量步长残差取值越小，则非线性动力学问题求解精度越高，增量步长增幅也就越保守一些。 对于一些动力学问题（如突发动响应问题），结构在响应过程中材料已进入塑性，发生大量的能量耗散。

ABAQUS 在面对这类突发动响应问题时，需要足够小增量步尺寸，以真实反映结构响应特征。然而在结构

突发响应过后的多数时间段内，由于响应中的高频部分很快被耗能机制阻尼掉后，程序适当放大增量步长，

仍可以得到较好的结果。 ABAQUS 程序利用自动时间步长控制技术，从两个方面进行调整，可以有效地处理这类问题。

10.5.1 时间积分步长选取原则

Hilber-Hughes-Taylor 时间积分算法在求解非线性动力学问题时能够保证二阶精度，但是该算法求

解精度还和时间步长 tΔ 与结构自振周期T 的比值有关。一般比值 Tt /Δ 越大，Hilber-Hughes-Taylor 时

间积分算法精度越低，因此在非线性动力学分析中最大时间步长 maxtΔ 的选取需要考虑荷载变化率、非线

1 2

5 4 3

6

图 10.4.2 求解控制参量设置对话框

147

性结构阻尼情况以及结构自振周期T 等多方面因素，最好应遵循如下原则： 时间步长应该足够小，以便于反映出结构高阶模态响应的贡献。 结构动力学响应可以看作是各阶模态响应的组合，因此时间步长应该小到能够反映出对整体响应有贡献的

最高阶模态。对于 Hilber-Hughes-Taylor 时间积分算法，研究发现当时间步长取值在结构最高阶固有频

率 maxf 对应周期值的 10/1 时，可以得到比较合理精度等级的解，如公式（10.5.1）

maxmax 10

1f

t ≤Δ （10.5.1）

精度要求越高，对最大时间步长 maxtΔ 取值应越小一些合理。

在分析荷载－时间变化剧烈的非线性动响应问题时，时间步长应当小到足以捕捉到荷载曲线的变化。 分析中结构响应总是滞后于结构所施加的荷载，特别是对于突变性荷载（如锯齿波、阶跃荷载等）。因此分

析中，在荷载发生突变的时间点附近要求采用较小的时间步 tΔ 以准确跟踪荷载的突变特征。例如用户若需

要跟踪阶跃荷载的变化，一般要求最大时间步长 maxtΔ应取到与荷载最高阶频率 maxf

对应周期值的 180/1

相近时，才可以得到较好的效果。

maxmax 180

1f

t ≈Δ （10.5.2）

在分析接触问题时，时间步长取值应小到足以捕捉到两个接触表面之间的动量传递，否则将发生明显

的能量损失，接触将不会是完全弹性的。 在波传播问题时，如果关注波传播效果时，时间步长取值应足够小，保证当波在两个单元之间传播时也能

够捕捉得到。

注意：最大时间步长 maxtΔ 的取值并不是越小越好的，过小的 maxtΔ 取值可能导致数值求解问题。

10.5.2 Hilber-Hughes-Taylor 时间积分算法半增量步长残差控制

（1）、残差容许值 HAFTOL 设置的几点规律 半增量步长残差检查是自动增量步长控制技术在 ABAQUS/Standard 程序中运用的基础，半增量步

长残差容许值 HAFTOL 取值越小，则非线性动力学问题求解精度越高，计算耗时也随之增加；反之半增量

步长残差容许值 HAFTOL 取值增大并超过一定值时，求解精度发生明显退化。

残差容许值 HAFTOL 也具有力的量纲，通常将残差容许值 HAFTOL 与经典力 ][P （ P 为无阻尼体系

所受的典型外力）进行比较。残差容许值 HAFTOL 的取值存在如下一些原则：

当 ][1.0][ 2/* PR tt ×≈Δ+ 时，对于求解小阻尼弹性问题时，精度较高。分析中塑性及其他一些耗能因素可以

过滤结构动响应中的高频部分；

148

当 ][][ 2/* PR tt ≈Δ+ 时，对于求解小阻尼弹性问题时，精度尚可，但对于存在阻尼机制的结构响应，精度有

所欠缺；

当 ][10][ 2/* PR tt ×≈Δ+ 时，对于求解小阻尼弹性问题，较为粗糙，但对于存在耗散效应的问题，效果不错；

当 ][100][ 2/* PR tt ×≈Δ+ 时，只对整体变形分析有效，精度较差。

（2）、残差容许值 HAFTOL 的设置 Hilber-Hughes-Taylor 时间积分算法若运用自动时间步长控制技术，则在*DYNAMIC 中必须定义半增量

步长残差容许值 HAFTOL， 2/*][ ttR Δ+ 定义命令流实例如下：

*STEP *DYNAMIC,ALPHA= -0.06,HAFTOL=0.1 0.1,10,0.01,0.2

选项 ALPHA 给出了数值阻尼系数-0.06，选项 HAFTOL 给出了半增量步长残差容许值

HAFTOL。 用户也可在 ABAQUS/CAE 中实现上述设置，步骤如下：

进入 STEP 模块，单击 ，建立新荷载步。

弹出分析步设置对话框，如图 10.5.1 所示，在 Name 选项中输入荷载步名称，分析类型选为一

般分析步 General，在分析类型列表框中选择 Dynamic implicit，即隐式动力学分析，单击

Continue。

弹出求解选项设置对话框，如图 10.5.2 所示。在对话框 Basic 分页填入分析问题标题

Description 及分析时间 Time period。在对话框 Incrementation 分页中，选项 Type 决定时

间步长控制方法，例中采用自动时间步法，故选 Automatic。选项 Maximum number of

increments 为最大时间步数，选项 Increment size 中输入初始步长 inittΔ 、最小步长 mintΔ 及

1

23

4图 10.5.1 分析步设置对话框

149

最大步长 maxtΔ 。选项 Half-step residual tolerance 为半增量步长残差容许值 HAFTOL。对话

框分页 Other 给出了阻尼等其他一些求解设置选项，这里不作详细介绍。

单击 ，完成 STEP 设置。

注意：除非*STEP 中用了固定时间步长，不然半增量步长残差容许值必须定义 HAFTOL。

§10.6 ABAQUS/Explicit 临界稳定步长法探讨

10.6.1 ABAQUS/Explicit 临界稳定步长控制法

用显式中心差分法进行时间积分，不同于隐式积分算法需要迭代求解一系列动力学平衡方程组。显式

积分方法使得动力学方程一开始就满足，因此显式积分算法计算工作量相对于隐式方法要小些。中心差分

算法的有条件稳定性对增量步长进行了限制，因此显式积分算法较隐式积分算法需要更多的增量步数。

ABAQUS/Explicit 程序中自动时间步长大小由临界稳定时间步 mintΔ 控制。在求解过程中当

mintt Δ>Δ 时将导致求解不稳定，此时整体能量将不再平衡。

临界稳定时间步长的相关因素 对于无阻尼系统而言，要求时间步长小于临界稳定时间步长。临界稳定时间步长与结构最高圆频

率有关

maxmin

2ϖ

=Δ≤Δ tt （10.6.1）

1 2 3

4 5

6 图 10.5.2 求解选项设置对话框

1

150

对于有阻尼系统而言，临界稳定时间步长与结构最高圆频率及其阻尼比有关

)1(2max

2max

max

ζζϖ

−+⋅≤Δt （10.6.2）

其中： maxϖ 为结构最高圆频率；

maxζ 为 maxϖ 振型对应的阻尼比。

当系统只由一种材料组成时，临界稳定时间步 mintΔ 与最小单元尺寸密切相关，可以式（10.6.3）

描述

minmin lkt ⋅=Δ （10.6.3）

临界稳定时间步长的确定 对于较复杂的非线性问题，ABAQUS/Explicit 程序的自动时间步长控制方法通过基于单元（或整体）

两种方式决定临界稳定时间步 mintΔ 。默认设置下，ABAQUS 在分析初始阶段一般采用基于单元的方法估

计临界稳定时间 mintΔ ，在分析过程中采用基于整体的方法估计临界稳定时间 mintΔ 。

基于单元的估计方法通常较保守些，不能考虑阻尼、接触、约束等效应对临界稳定时间 mintΔ 的影响。

用户也可以通过关键行激活基于单元的方法估计 mintΔ ，此时 ABAQUS 程序将自始至终利用基于单元的方

法进行临界稳定时间 mintΔ 的估计。

激活基于单元的方法估计的命令流实例如下所示：

*STEP *DYNAMIC, EXPLICIT, ELEMENT BY ELEMENT

其中选项 ELEMENT BY ELEMENT 将激活基于单元的 mintΔ 估计方法。

ABAQUS/CAE 前处理器中激活方式

进入 STEP 模块，单击 ，建立新荷载步。

弹出分析步设置对话框，如图 10.6.1 所示，在 Name 选项中输入荷载步名称，分析类型选为

一般分析步 General，在分析类型列表框中选择 Dynamic Explicit，即显式动力学分析，单击

Continue。

151

弹出求解选项设置对话框，如图 10.6.2 所示。在对话框 Incrementation 分页中，选项 Type决定时间步长控制方法，例中采用自动时间步法，故选 Automatic。选项 Stable increment estimator 为临界稳定时间步长估计方法选项，默认情况为基于整体的估计方法（Global），这

里选择基于单元的估计方法，单击选项 Element-by-element。选项 Max. time increment

输入最大步长 maxtΔ 。选项 Time scaling factor 可以通过比例系数 f 对临界稳定时间步 mintΔ

进行人为调整。其他对话框分页给出了阻尼等其他一些求解设置选项，这里不作详细介绍。

1

2 3

4 图 10.6.1 分析步设置对话框

图 10.6.2 求解选项设置对话框

1 2 3 4

5

6

152

注意：ABAQUS/Explicit 程序固定时间步长法中时间步长 inittΔ 可以由用户直接设定，也可基

于单元 mintΔ 估计得到时间步长 inittΔ 。

在一些问题中，为了减小 ABAQUS/Explicit 程序求解的不稳定性，可以通过比例系数 f 对临界稳定时间

步 mintΔ 进行人为调整。但是比例系数 f 只对自动时间步控制方法有效，对于采用固定时间步长法进行显

式动力学求解的情况将不产生作用。

比例系数 f 设置命令流如下所示：

*STEP

*DYNAMIC,EXPLICIT,SCALE FACTOR= f

10.6.2 利用一维弹性波模型解释临界稳定时间步 mintΔ

（1）、临界稳定时间步 mintΔ 概念可以借助一维弹性波模型进行解释

如图 10.6.3 所示，临界稳定时间步 mintΔ 可以理解为弹性波经过模型中任意一个单元的最小时间值。

一个膨胀波传播速率由传播介质弹性模量及密度决定，传播速率可以表示为如下

ρECd = （10.6.4）

假定单元特征长度为 eL ，则临界稳定时间步可表示为如下

d

e

CLt =Δ min （10.6.5）

因此从上面的式子可以看出，当单元特征长度 eL 减小或传播速率 dC 增大都将引起临界稳定时间步

mintΔ 的减小。所以导致临界稳定时间步 mintΔ 减小的可能原因如下：

在变形过程中导致单元特征长度 eL 减小。

一维弹性波传播模型

图 10.6.3 一维弹性波模型示意

153

弹性模量变化可能导致弹性波传播速率 dC 增大。

可压缩性会导致弹性波传播速率 dC 变化。

ABAQUS/Explicit 程序在方程求解过程中，通过（10.6.1）（10.6.2）式对有限元模型行为进行监

测，以确定临界稳定时间步尺寸。

（2）、临界稳定时间步 mintΔ 对有限元分析结果的影响

显式方法的临界稳定时间步 mintΔ 一般要远远小于隐式方法的时间步长，这里以模拟汽车碰撞问题为例

进行分析。

汽车构件多数采用钢材料，波速在 )/(5000 秒米 ，模拟时单元尺寸在 20mm 左右，因此临界稳定时

间步长 秒＝ 6min 104 −×Δt ，通常一次汽车碰撞发生的时间在 秒4.0 ，所以问题分析中所需要的增量步数在

510 左右。

对于高速问题，尽管每个时间步长 mintΔ 较小，但是高速动力学问题的总时长通常不大，所以增量步数

不是很多。而对于低速问题而言，由于总的时长比较长，需要大量增量步数。需要如此多的时间步数，

ABAQUS/Explicit 程序似乎不大适合于低速问题的分析。但是 ABAQUS/Explicit 程序显式积分算法在求

解过程中如下两个独有的优势使得一般低速问题的分析变得简单。 显式积分算法中仅仅要求对质量矩阵作转置计算，当单元质量矩阵对角化后，质量矩阵的转置计算及存储

变得容易多。 单元操作过程中，不需要求解切线刚度矩阵，因此该方法无需繁琐迭代求解过程，特别适于分析接触、材

料屈曲行为引起的严重非线性问题。

§10.7 动力学接触问题

动力学接触问题是一个高度非线性行为。结构动响应过程中，接触条件不断发生变化，产生不连续的

非线性接触问题。非线性动力学问题中的接触问题与静力学问题中的接触有一点很大不同，就是在分析中

需要考虑包括动量交换。 ABAQUS/Standard 程序与 ABAQUS/Explicit 程序都具有强大的接触分析能力，但两种方法力学接

触的算法存在较大差别，在运用及分析过程中各有特点。 （1）、两个程序尽管关键行中输入选项相近，但运用中还存在一定区别 ABAQUS/Standard 程序在模型数据块中定义接触，在接触分析过程中可以在*STEP 过程数据中暂停接

触作用或重新激活接触作用；在 ABAQUS/Explicit 程序中，采用接触对算法（Contact pair algorithm）

时，接触定义可以在 STEP 过程数据中进行，而采用通用算法（General contact algorithm）时，接触

定义可以同时在模型数据块或 STEP 过程数据块中定义。 ABAQUS/Standard 程序在定义接触对时运用到主从接触面的概念。从接触面上的节点不能侵入主接触

面中，而主接触面上的节点则可以侵入到从面中。ABAQUS/Explicit 在这方面的定义，则采用一种平衡

的方式进行处理。

154

ABAQUS/Standard 及 ABAQUS/Explicit 程序中都运用了滑移接触理论，ABAQUS/Standard 程序中

要求主接触面必须保持光滑，而 ABAQUS/Explicit 程序中主接触面可以是分片构成的。 （2）、在分析不连续非线性动力接触问题，ABAQUS/Standard 和 ABAQUS/Explicit 存在较大差异，特

别是对于碰撞过程中接触模拟，ABAQUS/Explicit 程序显得更有优势。 ABAQUS/Standard 程序中对于接触约束分析，采用 Lagrange 乘子简化处理，并通过迭代求解检查接

触面节点间的侵入及分离状况，以确定方程稳定的接触状态； 同时该法在计算中需要考虑节点间的动量传递，因此 ABAQUS/Standard 程序中的方法在分析动力学接

触时，显得更加复杂，这就是为什么 ABAQUS/Standard 程序通常不用于碰撞问题分析的原因。 ABAQUS/explicit 中的通用接触功能(General Contact)可以不用定义接触对，对于汽车碰撞这样接触对

很多且不好确定的问题有明显的优势。

§10.8 ABAQUS/Standard 与 ABAQUS/Explicit 动力学分析特点

ABAQUS 软件的两个主要的分析模块：ABAQUS/Standard 程序提供了通用的分析能力，如应力和

变形、热交换、质量传递等；ABAQUS/Explicit 程序应用对时间进行显式积分的动态模拟，提供了应力、

变形分析的能力，这种显式积分的应用使得 ABAQUS/Explicit 为处理复杂接触条件的问题提供了强有力

的工具。 以下从五个方面对两个程序在动力学问题分析中的运用特点进行深入比较：

ABAQUS/Standard 程序采用隐式 H.H.T 时间积分算法，为无条件稳定，因此对时间步长 tΔ 没有限制，

但是时间步长 tΔ 越小，精度越高，同时计算耗时也增加。而 ABAQUS/Explicit 程序采用显式时间积分算

法，为条件稳定，要求时间步长必须小于临界稳定时间步长 mintΔ ，因此在完成一个分析问题时需要更多

的时间步数。 ABAQUS/Standard 程序在求解非线性动力学问题中，分析步中的每个时间增量步的线性方程组求解过

程中需要作大量的迭代计算，耗时过长。而 ABAQUS/Explicit 程序采用显式算法，每个时间步求解过程

中不用为求解刚度矩阵作迭代运算，因此耗时相对较少些，ABAQUS/Explicit 程序在每个时间步中耗时

通常缘于单元自适应网格划分等单元操作。

ABAQUS/Standard 程序中通过半增量步长残差控制方程迭代求解精度，初始时间步长 maxtΔ及半增量步

长残差容许值选取的不合适可能导致线性方程组在迭代求解过程中的收敛困难。而利用 ABAQUS/Explicit程序分析非线性动力学响应问题则不存在求解收敛问题。 从分析问题类型来看，ABAQUS/Standard 程序特别适于分析低速动力学问题。这类问题，结构在激励

作用下的响应周期与固有周期的比值 Tt / 较大，而此时 ABAQUS/Explicit 程序由于 mintΔ 的限制，需要大

量的时间步数，效率较低。反之对于高速碰撞问题的模拟，需要较小的时间步长，特别是存在不连续非线

性接触的动响应过程，隐式算法解决不好，需要通过 ABAQUS/Explicit 方法可以得到补充。 比如，在一些发电厂，常发生高压线断开后线管与线管之间的碰撞问题。一些压力容器管道在内部高压流

体突然释放时，管道会绕支点转动并与相邻管道发生碰撞，此时就涉及到管线的不连续非线性碰撞问题，

运用 ABAQUS/Explicit 程序分析这类问题可以得到很好的效果，如图 10.8.1 所示。

155

ABAQUS/Standard 适于处理中等非线性及非线性发展缓慢问题的分析（如一般材料塑性发展）。对于平

缓的非线性响应，ABAQUS/Standard 需要较少的迭代步数就能找到动力学平衡方程组收敛解，但是在

处理碰撞接触问题中的动量交换问题时，ABAQUS/Standard 需要花费大量计算代价，因此效率较低。

而对于不连续非线性动力学问题，使用 ABAQUS/Explicit 程序则更可靠些，因为接触不连续行为及碰撞

中的动量交换计算都可能带来隐式算法求解过程中的收敛问题，Explicit 程序则在这方面不存在收敛问题。

图 10.8.1 线管碰撞问题分析

156

第 11 章 ABAQUS 在非线性动力学分析中的运用

§11.1 非线性动力学分析的基本过程

11.1.1 非线性动力学分析的准备工作

非线性动力学分析需要考虑几何、材料、接触的非线性，在整个加速度记录时间段上对激励加速度记

录做时间积分计算，因此非线性动力学分析通常需要占用更多的计算时间，较静力学分析更为复杂。在进

行一次完整的非线性动力学分析之前需要进行一些准备工作，以节约计算时间，并且对模拟过程中可能出

现的一些情况有所了解。 先对较简单的模型，可以进行动力学相似过程的模拟分析，了解该类非线性动响应问题分析的基本过程，

简单模型可以让用户对动力学响应分析整体过程有一个直观的认识。 选取激励（如加速度记录等）中激励峰值作为荷载，通过静力学方法分析非线性特性对结构的影响，因为

一般的非线动响应分析过程通常需要较长计算时间，一些非线性选项设置的不当可能导致用户浪费大量时

间和精力。 可以通过试验或 ABAQUS 中频率分析*FREQUENCY 对所研究问题的动力学特性进行了解。通过频率分

析计算结构的固有频率和振型，了解各阶模态振型被激活时结构的响应。同时固有频率的计算有助于用户

确定适当的分析初始时间步长。 根据分析对象的问题特征，正确选择隐式或显式算法进行合理的非线性动响应分析。

11.1.2 非线性动力学分析的基本步骤

（1）、非线性动力学问题分析过程通常可以分为如下 3 个步骤： 有限元模型数据块建立。 STEP 过程数据块填写，包括加载设置及输出控制选项设置。 通过 ABAQUS/Viewer 后处理器观察结果。

用户在可以利用 ABAQUS/CAE 前处理器进行有限元模型建立、求解设置、边界条件和加载设置以及

各种输出选项控制，也可以直接通过 ABAQUS 程序关键词命令流进行上述操作。在 ABAQUS/CAE 前处

理器中进行非线性动力学分析的基本过程，用户可以参考第 8.4.3 节算例分析过程。本节给出了

ABAQUS/Standard 及 ABAQUS/Explicit 进行非线性动力学问题分析关键词命令流书写的基本步骤。 （2）、ABAQUS/Standard 程序非线性动力学分析 INPUT 文件模板 模型数据块部分的内容包括命令行中关键词*HEADING 至第一个*STEP 之间的部分。

*HEADING 输入文件的首要部分包括所有的模型数据。这些数据定义了分析问题的模型，数据块中包括：分

析任务标题，定义分析由底至上定义构成有限元模型的节点坐标、节点组集、单元类型、单元组集、材料

属性、单元截面形式等等。

*BOUNDARY

157

定义模型的分析过程中零值的边界条件。

*INITIAL CONDITIONS 定义有限元模型的初始条件。

*AMPLITUDE, NAME=name 定义加载幅值曲线，ABAQUS 中提供了多达 7 种的加载幅值曲线定义方式，用户可以直接在输

入文件数据行中定义幅值曲线；也可以在 INPUT 选项中通过添加数据文件的方式定义。 以下为输入文件过程数据块部分，过程数据是定义问题模拟过程发生的顺序。用户可以将加载过程分解为

一系列步骤，每一个步骤定义一个结构加载的不同阶段。每个步骤中包括模拟分析的类型、荷载及约束、

输出要求等，由一对*STEP~*END STEP 标志符之间的数据块构成。

*STEP (,NLGEOM) *STEP 作为一个步骤开始的标志，当在第一个步骤开始加入选项 NELGEOM 时，以后的所有分

析步中都按照大变形计算考虑。

*DYNAMIC, HAFTOL=tolerance 关键词*DYNAMIC 表示该分析类型为隐式动力学分析，选项 HAFTOL 给出了半增量步长残差容

许值，在该部分数据块中给出了隐式积分算法中自动时间步长法的初始步长、最大步长及最小步长。

*BOUNDARY 边界条件给出了模型中某些部分的已知位移。这些部分在模拟过程中可以被约束而保持固定（零

位移）或指定非零位移量值。无论哪种情况，约束必须直接加载在模型的节点上。

*CLOAD/ *DLOAD / *INCIDENT WAVE 加载导致结构产生动力响应的外部激励荷载，在非线性动力学分析中的外部荷载包括集中荷载、

分布荷载、非零边界荷载、体荷载、稳定荷载以及爆炸等因素引起的冲击波动荷载等。数据块中利用

*CLOAD 实现集中荷载施加，实际荷载总是分别在面、体上，加载过程中可以理想化在各个节点上进行施

加；也可以通过关键词*DLOAD 实现分布荷载的施加；通过*INCIDENT WAVE 实现冲击波荷载的施加。

*TEMPERATURE/ *FIELD 对于初始预应力场、初始温度场等一些初始物理场量不为零的模型，可以通过该部分数据行定义

实现温度场及其他物理场量的施加。

*END STEP 过程数据块结束，在实际加载过程中可以有多个步骤存在，来实现对真实问题的模拟，因此针对

不同的加载过程可以包含有多个*STEP~*END STEP 过程数据块。 （3）、ABAQUS/Explicit 程序非线性动力学分析 INPUT 文件模板 同理，模型数据块部分的内容包括命令行中关键词*HEADING 至第一个*STEP 之间的部分。

*HEADING 这些数据定义了分析问题的模型，定义数据中包括：分析任务标题，定义分析由底至上定义构成

有限元模型的节点坐标、节点组集、单元类型、单元组集、材料属性、单元截面形式等等。

*MATERIAL, NAME=name ABAQUS 程序中几乎任何材料模型对于单元库中的任意单元都适用，因此一旦网格生成后，就必

须给每一类单元赋予材料属性。ABAQUS 拥有大量的材料模型，输入文件中材料定义数据块始于

*MATERIAL 语句，选项 NAME 被用于结合材料和单元局部特性。材料定义相关的数据行必须紧随

*MATERIAL 语句之后。

*ELASTIC 用*ELASTIC 来定义弹塑性材料的弹性部分，用两个参量来表示这部分材料特性：杨氏模量和泊

松比。

158

*PLASTIC 用*PLASTIC 等命令来定义材料的非弹性材料特性，文中在该处不作展开讨论。

*DENSITY 用*DENSITY 定义材料密度。

*DAMPING, ALPHA =α , BETA= β

多数系统中存在阻尼，因此在动力学分析中应当指定阻尼参数。ABAQUS 程序在模型中指定了多

种形式的阻尼，程序按所指定的阻尼之和形成阻尼矩阵 [ ]C 。ABAQUS 程序允许通过数值阻尼系数或者通

过 Rayleigh 阻尼中的α 、 β 系数两种方式定义结构的阻尼状况。

*BOUNDARY 定义模型中分析过程中零值的边界条件

*INITIAL CONDITIONS, TYPE=type 设定结构非线性动力学问题分析前的各项初始值，通过选项 TYPE 可以从多个方面包括接触、初

应力、各种场量等进行设置，以便更逼真反映问题的真实情况。

*AMPLITUDE, NAME=name ABAQUS 中提供了多达 7 种的加载幅值曲线定义方式

以下为输入文件过程数据块部分，每个步骤中包括模拟分析的类型、荷载及约束、输出要求等。

*STEP *STEP 作为一个步骤开始的标志，缺省情况下，在 ABAQUS/Explicit 所有分析步中都按照大变

形计算考虑，这点与隐式算法存在一定区别。 *DYNAMIC, EXPLICIT,FACTOR=f，ELEMENT BY ELEMENT 关键词*DYNAMIC,EXPLICIT 启用显式算法进行非线性动力学分析，选项 FACTOR 给出了稳定

临界时间步长人为调整系数。默认情况下程序在自动增量步控制技术中采用基于整体与基于单元两种方法

相结合来确定稳定临界时间步长，用户也可通过选项 ELEMENT BY ELEMENT 全程激活基于单元的稳定

临界步长确定方法，该法趋于保守，无法考虑考虑阻尼、接触、约束等效应对稳定临界时间 mintΔ 的影响。

在该部分数据块中还需要给出显式积分算法中时间周期及最大步长值。

*DIAGNOSTICS, DEFORMATION SPEED CHECK=SUMMARY 关键词*DIAGNOSTICS 用于控制求解诊断信息在文件.STA 及文件.MSG 的输出，如自适应网

格划分信息、变形速率、塑性发展信息等等，选项 DEFORMATION SPEED CHECK=SUMMARY 使得

在.DAT 文件中只输出单元变形速率与波速率比值最大的单元信息。

*BOUNDARY, AMPLITUDE=name 边界条件给出了模型中某些部分的已知位移。这些部分在模拟过程中可以被约束而保持固定（零

位移）或指定非零位移量值。用户也可以通过幅值曲线 name 定义与时间相关的位移约束。

*CLOAD / *DLOAD 在非线性动力学分析中的外部荷载包括集中荷载、分布荷载、非零边界荷载、体荷载、稳定荷载

以及爆炸等因素引起的冲击波动荷载等，可以通过*CLOAD/*DLOAD 实现。

*TEMPERATURE / *FIELD 对于初始预应力场、初始温度场等一些初始物理场量的加载。

*FILE OUTPUT, NUMBER INTERVAL=n

159

关键词*FIEL OUTPUT 与*ENERGY/NODE/EL FILE 等构成了文件.SEL 输出控制信息数据块，

数据行中不嵌入其他关键词语句。选项 NUMBER INTERVAL=n 控制输出的频率。

*EL FILE 控制单元结果在文件.SEL 中的输出选项。

*NODE FILE 控制节点结果在文件.SEL 中的输出选项。

*ENERGY FILE 控制节点能量结果在文件.SEL 中的输出选项。

*OUTPUT, FIELD, NUMBER INTERVAL=n 关键词*OUTPUT,FIELD 与*ELEMENT /NODE OUTPUT 等构成了文件.ODB 中场量结果输出

控制信息数据块，数据行中不可嵌入其他关键词语句。选项 NUMBER INTERVAL=n 控制输出的频率。

*ELEMENT OUTPUT 控制单元场量结果在文件.ODB 中的输出选项。

*NODE OUTPUT 控制节点场量结果在文件.ODB 中的输出选项。

*OUTPUT, HISTORY, TIME INTERVAL=t 关键词*OUTPUT,HISTORY 与*ELEMENT /NODE OUTPUT 等构成了文件.ODB 中特定节点组

或单元组的特定输出变量在全过程输出的控制信息数据块，数据行中不可嵌入其他关键词语句。选项 TIME INTERVAL=t 给出了程序两次输出之间的时间间隔。

*ELEMENT OUTPUT, ELSET=e_name 控制单元组 e_name 过程结果在文件.ODB 中的输出选项.

*NODE OUTPUT, NSET=n_name 控制节点组 n_name 过程结果在文件.ODB 中的输出选项。

*ENERGY OUTPUT 控制节点能量结果在文件.ODB 中的输出选项。

*END STEP 过程数据块结束，同理在显式算法求解过程中也可以有多个步骤存在，来实现对真实问题的模拟，

因此可以有多个*STEP~*END STEP 过程数据块。

§11.2 非线性动力学分析求解选项设置

11.2.1 隐式方法求解选项定义

隐式时间积分算法进行非线性动力学问题分析时，采用矩阵迭代计算瞬态结构响应，可以考虑各类非

线性特性（几何、材料及接触），允许施加所有类型的荷载，包括节点力、非零位移、单元荷载及在实体模

型上施加荷载。这种算法在每个时间步上，进行质量、阻尼及刚度矩阵集成，采用完整矩阵，不涉及质量

矩阵的近似，但是同时它也是非线性动力学分析中开销最大方法之一。 （1）、隐式时间积分算法通过关键词*DYNAMIC 激活，命令行可以写成如下格式：

*DYNAMIC, ADIABATIC, DIRECT=…, ALPHA=…,INITIAL=…,HAFTOL=…,NONAF,

inittΔ ， totaltΔ ， mintΔ ， maxtΔ

160

在动力学位移及应力响应问题分析中，用户可以关键词*DYNAMIC 激活 ABAQUS/Standard 程序中隐式

直接积分算法，也可以用于激活 ABAQUS/Explicit 程序中的显式时间积分算法。 选项 ADIABATIC：当命令行中出现该选项时，表示所进行的分析为绝热应力分析过程，该选项只对各向

同性及带 MISES 塑性屈服面的金属材料有效。 选项 DIRECT：用户通过该选项可以直接控制线性方程组求解增量步长，此时分析中时间步长是恒定的。

用户也可以通过定义半增量步残差 HAFTOL，用自动时间步长法控制每个增量步长。因此在隐式时间积分

算法中用 DIRECT 固定步长方式控制时间步的方法与自动时间步长控制方法是互相排斥，用户在分析中只

能选择其中的一种方法。若 DIRECT 取为 NO STEP 时，则在 ABAQUS/Standard 程序不管方程迭代解

是否满足残差检验要求，程序都将进行极限次数迭代后的迭代解作为方程可接受解。该方法通常需要用户

指定较小的固定时间步长，因此只适于特殊情况的求解。 选项 NOHAF 在 ABAQUS/Standard 程序采用了固定时间步长时，用于抑制半步长残差检验。默认情况

下，不管是采用自动时间步长控制法，还是采用固定时间步长控制增量步长，ABAQUS/Standard 程序

都在方程迭代求解过程中对半步长残差进行检验，这部分计算将花费大量的计算时间。因此在固定时间步

长法控制时间增量步时，使用 NOHAF 选项可以节约一定计算时间。 选项 ALPHA 为 ABAQUS/Standard 程序中数值阻尼系数α ，阻尼系数α 范围在 333.0~0 − ，当

333.0−=α 时，阻尼最大。选项 ALPHA 缺省值为 05.0−=α ，结构表现为弱阻尼状态。 选项 HAFTOL 为半增量步长残差，在自动时间步长控制方法中用于判断平衡方程组增量步长迭代收敛与

否。ABAQUS/Standard 程序可以利用半增量步长残差 HAFTOL 控制方程组迭代求解收敛时的求解精度。

当用户未对选项 HAFTOL 进行设置时，ABAQUS/Standard 程序将使用固定时间步长法确定每个增量步

长大小。 选项 HAFTOL 具有力的单位，通常将 HAFTOL 值与经典力（如支反力、承载力等）进行比较，选项

HAFTOL 的取值存在如下一些规律： 对于材料非线性较严重的问题，结构中高频模态被塑性及其他一些耗能机制所抑制，当

FHAFTOL ×= 100~10 时，适于中等精度水平非线性动力学响应分析，此时计算量较小；当

FHAFTOL ×= 10~1 时，适于高精度水平非线性动力学响应分析。 对于材料处于弹性阶段的问题，结构中高阶模态在整体响应中比重增加，ABAQUS/Standard程序推荐 HAFTOL 取更小值。此时， FHAFTOL ×= 10~1 适于中等精度水平问题分析，而

FHAFTOL ×= 1~1.0 适于更高精度问题分析。

选项 INITIAL 用于控制结构初始加速度 0a 取值，缺省情况下，ABAQUS/Standard 程序计算初始加速度。

NOINITIAL = 时，程序分两种情况处理初始加速度，当*STEP 为第一步荷载步时，程序跳过初始加速

度计算，加速度取为 00＝a ；当*STEP 前已完成一些动力学分析步骤时，可以取 0a 为前一次非线性动力

学分析结束时刻系统加速度作为新加载步的初始加速度取值。

数据行： inittΔ 为初始时间步长，自动时间步控制中利用 inittΔ 确定第一个时间增量步长。 totaltΔ 为总加载步

时间。 mintΔ 为最小时间步长，在自动时间步控制中，当分析中增量步长小于选项 inittΔ 时，ABAQUS 程序

停止分析，缺省情况下， totaltt Δ×=Δ −5min 10 。 maxtΔ 为最大时间增量步长，对于自动时间步控制中发挥作

用，缺省情况下取 totaltt Δ=Δ max 。

161

（2）、利用 ABAQUS/CAE 前处理器进行隐式算法求解选项设置 运用 ABAQUS/CAE 完成有限元建模，初始边界条件设置及激励幅值曲线定义。 点击 Module 下拉菜单选中 Step，进入 Step 功能模块。

单击 ，弹出创建新分析步对话框，如图 11.2.1。

在 Name 中输入分析步名，Procedure type 选项下拉菜单上选择一般分析步 General，然后选中列表框

中 Dynamic Implicit，单击 。

弹出求解选项设置对话框，如图 11.2.2。单击 Basic 按钮，进入基本求解选项设置对话框。在 Description中输入框中用户可以输入分析标题 Nonlinear dynamic analysis。在后处理中，这部分文字将作为后处

理结果标题出现在图形窗口上。在选项 Time period 中设置分析步时间 s10＝totaltΔ 。选项 Nlgeom 为大

变形选项，该选项一旦选中则以后的分析步中都必须按大变形进行计算。Include adiabatic heating effects 选项决定分析过程是否为绝热应力分析过程。 单击 Incrementation 按钮，进入时间增量步选项设置对话框如图 11.2.3 所示。单选框 TYPE 用于确定

分析中时间增量步确定方式，Automatic 选项为采用自动时间步控制方法，Fixed 选项为采用固定时间步

长方法。 当分析中采用自动时间步控制（Automatic 选中）时，对话框 Maximum number of increments 给出

了程序在该分析过程中的最大增量步数，当分析中增量步数超过该步数时，分析将自动停止。对话框

Increment size 给出了初始步长 inittΔ 、最大时间步长 maxtΔ 及最小时间步长 mintΔ 。对话框 Half-step

residual tolerance 表示用户可以设置半增量步长残差容许值。 当分析中采用固定时间步长法控制增量步长（Fixed 选中）时，对话框 Increment size 只给出了初始步

长 inittΔ 。对话框 Half-step residual tolerance 显示不可输入状态，默认情况下，不管是采用自动时间

步长控制法，还是采用固定时间步长控制增量步长，ABAQUS/Standard 程序都在方程迭代求解过程中

对半步长残差进行检验，用户可以通过选项 Suppress half-step residual calculation 抑制半步长残差

1

2 3

4 图 11.2.1 分析步设置对话框

162

检验计算的进行。

单击 Other 按钮，进入其它求解选项设置对话框,如图 11.2.4 所示。选项 Matrix solver 表示在求解模型

1 2

3 4 5

图 11.2.2 Basic 求解选项设置对话框

1 2 3

4 5

图 11.2.3 Incrementation 求解选项设置对话框

163

为对称或反对称问题时，通过选择不同矩阵求解器可以加速方程组的求解速度。选项 Default load variation with time 决定了荷载是按照阶跃方式（Instantaneous）还是渐变方式(Ramp linearly over step)进行加载。对话框 Numerical damping control parameter 给出了数值阻尼系数α ，阻尼系数α范围在 333.0~0 − ，选项 ALPHA 缺省值为 05.0−=α ，结构表现为弱阻尼状态。

选项 Bypass calculations of initial accelerations at beginning of step 用于控制结构初始加速

度 0a 取值，选中情况下，ABAQUS/Standard 程序将跳过初始加速度的计算，默认为零值或直接启用上

一个分析步结束时的加速度值作为当前步分析时的初始加速度。在使用固定步长方法确定分析增量步长进

行非线性动力学分析时，选项 Accept solution after reaching maximum number of iterations 将决定 ABAQUS/Standard 程序是否直接将进行极限次数迭代后得到迭代解作为方程可接受解。

11.2.2 子空间算法求解选项定义

ABAQUS/Standard 可以采用子空间法分析弱非线性动力学问题，子空间法是一种基于模态的显式

积分算法，它将提取*FREQUENCY 程序模态分析中的特征模态，并用模态方法求解。这种方法适于带有

微小非线性效应的动力学问题分析，如材料小范围进入屈服、节点转角不大等情况，其效率介于直接时间

积分和纯线性模态动力学法之间。子空间算法基于特征模态分析，因此对于带有严重非线性效应的动响应

问题，该方法不能达到很好的结果。 （1）、子空间算法通过关键词*DYNAMIC,SUBSPACE 激活，命令行可以写成如下格式：

*DYNAMIC, SUBSPACE,

inittΔ ， totaltΔ

1 2

3 4

5

6

图 11.2.4 Other 求解选项设置对话框

164

选项 SUBSPACE 决定了 ABAQUS/Standard 程序在求解非线性动力学问题时是否采用子空间法。若该

参数忽略，程序缺省为采用隐式时间积分算法求解平衡方程。

数据行： inittΔ 为初始时间步长，子空间算法中只能采用固定时间步长控制增量步长，程序中利用 inittΔ 确

定固定时间增量步长。 totaltΔ 为分析步总时间。

*SELECT EIGENMODES,GENERATE 1,2

通过关键词*SELECT EIGENMODES，用户可以按频率低至高顺序选择子空间算法中考虑的模态阶数范

围。 （2）、利用 ABAQUS/CAE 前处理器进行子空间算法求解选项设置： 在 ABAQUS/CAE 前处理器中完成有限元模型建立、初始边界条件创建、加载幅值曲线定义及模态分析步

设置工作。 点击 Module 下拉菜单选中 Step，进入 Step 功能模块。

单击 ，弹出创建新分析步对话框，如图 11.2.5 所示。

在 Name 中输入分析步名，Procedure type 选项下拉菜单上选择一般分析步，然后选中列表框中

Dynamic, Subspace,单击 。

弹出求解步设置对话框，如图 11.2.6 所示。 单击 Basic 按钮，进入基本求解选项设置对话框。

Description 输入框中用户可以填写问题的描述文本

Subspace method。在选项 Time period 中设置分析

步总时间 s10＝totaltΔ 。选项 Nlgeom 为大变形选项，该

选项一旦选中则以后的分析步中都必须按大变形进行计

算。Number of modes to use 选项决定分析过程所考

虑的模态范围。 单击 Incrementation 按钮，子空间算法只能采用固定

时间步长方法。对话框中选项 Maximum number of increments 给出了最大增量步数限值，在分析过程中，

如果增量步数超过该步数时，分析将自动停止。对话框

Increment size 只给出了初始步长 inittΔ 。

1

2 3

4 图 11.2.5 分析步设置对话框

165

单击 Other 按钮，进入其它求解选项设置对话框。选项 Default load variation with time 决

定了荷载是按照阶跃方式（Instantaneous）还是渐变方式(Ramp linearly over step)进行加

载。

11.2.3 显式积分算法求解选项定义

ABAQUS/Explicit 程序提供了非线性动力学分析另一种方法是显式时间积分算法，对于求解高度不

连续问题，ABAQUS/Explicit 程序比 ABAQUS/Standard 程序更高效，例如接触和失效问题，并且处理

方式比 ABAQUS/Standard 程序简单。另外从计算代价与计算模型尺寸之比来观察，显式算法特别适于

大型、高度不连续性动响应问题分析。 （1）、显式时间积分算法通过关键词*DYNAMIC,EXPLICIT 激活，命令行格式如下所示：

*DYNAMIC, EXPLICIT, DIRECT USE CONTROL, ELEMENT BY ELEMENT, FIXED TIME INCREMENTATION, ADIABATIC, SCALE FACTOR=…

inittΔ， totaltΔ

，， maxtΔ

选项 EXPLICIT 决定了 ABAQUS 程序是否采用显式时间积分算法求解非线性动力学问题。若该选项忽略，

程序缺省为采用隐式时间积分算法。

选项 DIRECT USE CONTROL 出现时，采用固定步长方法，通过用户定义的初始步长 inittΔ 确定每个增量

步长。

选项 ELEMENT BY ELEMENT 将在自动时间步长控制技术中激活基于单元的 mintΔ 估计方法。基于单元的

1 2 3

4

5

6

图 11.2.6 求解步选项设置对话框

166

mintΔ 估计方法通常较保守，不能考虑阻尼、接触、约束等效应对稳定临界时间 mintΔ 的影响，比基于整体

的方法需要更多的时间步。默认情况下，ABAQUS 程序在分析初始阶段一般采用基于单元的方法估计稳定

临界时间 mintΔ ，随后阶段采用基于整体的方法稳定临界时间 mintΔ 。

选项 FIXED TIME INCREMENTATION 出现时，ABAQUS 程序亦采用固定时间步长方法控制增量步长，

但是此时固定时间步长由分析初始阶段采用基于单元的方法估计得到的稳定临界时间 mintΔ 确定。

选项 ADIABATIC：当命令行中出现该选项时，表示所进行的分析为绝热

应力分析过程，该选项只对各向同性带 MISES 塑性屈服面的金属材料有

效。 选项 SCALE FACTOR 为由自动时间步长控制技术得到的时间步长调整

比例系数，缺省值为 1＝α ，用于人为调整由基于整体的估计方法得到的

临界稳定时间步长大小。该选项也可以与选项 ELEMENT BY ELEMENT及选项 FIXED TIME INCREMENTATION 结合使用，但不能用于带有选

项 DIRECT USE CONTROL 的分析中。 （2）、利用 ABAQUS/CAE 前处理器进行显式时间积分算法求解选项设

置 在 ABAQUS/CAE 前处理器中完成有限元模型建立、初始边界条件设置、

定义激励幅值曲线。 点击 Module 下拉菜单选中 Step，进入 Step 功能模块。

单击 ，弹出创建新分析步对话框，如图 11.2.7 所示。

在 Name 中输入分析步名，Procedure type 选项下拉菜单上选择一般

分析步 General，然后选中列表框中 Dynamic, Explicit，单击

。

2 3

4 图 11.2.7 创建新分析步

1

167

弹出求解步设置对话框，如图 11.2.8 所示。 单击 Basic 按钮，进入基本求解选项设置对话框。在 Description 输入框中用户可以填写问题

描述文字 A dynamic analysis in ABAQUS/Explicit。在选项 Time period 中设置分析步总时

间 s10＝totaltΔ 。选项 Nlgeom 为大变形选项，在 ABAQUS/Explicit 程序中缺省情况为考虑大变

形设置。Include adiabatic heating effects 选项决定分析过程是否为绝热应力分析过程。 单击 Incrementation 按钮，进入时间步选项设置对话框。单选框 TYPE 用于确定分析中时间增

量步确定方式，Automatic 选项为采用自动时间步控制技术，Fixed 选项为采用固定时间步长方

法。 如图 11.2.9 所示，分析中采用自动时间步法（Automatic 选中）时，单选框 Stable increment

estimator 给出了程序临界稳定时间步长的确定方式，默认情况下为基于整体的估计方法。选项框 Max.

time increment，用户可以给出了最大时间步长 maxtΔ 对时间步长加以控制。选项框 SCALE FACTOR，

用户可以通过调整比例系数对自动时间步长法得到的增量步长进行人为调整，缺省值为 1＝α 。 分析中采用固定时间步长法（Fixed 选中）时，单选 User defined time increment，用户可以

通过用户自定义固定时间步长 inittΔ 。如图 11.2.10 所示，单选 Use element-by-element time

increment estimator，用户也可以基于单元的方法确定固定时间步长。选项框 SCALE FACTOR 可以通

过调整比例系数对增量步长进行人为调整，缺省值为 1＝α 。

21

34

5

图 11.2.8 Basic求解选项设置对

168

6

1 2 3

4 5

图 11.2.9 Incrementation求解选项设置对话框

169

11.2.4 施加初始边界条件及荷载

对于一些有初始应力或初始加速度的非线性动力分析计算（如带有残余热应力的焊接应力分析），需要

在分析之前通过*INITIAL CONDITIONS 在初始条件中施加初始场量分布及边界条件，以便于在非线性

动力学分析中考虑初始应力或初始加速度因素等的影响。 （1）、关键词*INITIAL CONDITIONS 可以用于各种初始场量如速度、加速度、应力、塑性应变及边界

接触条件的定义，对于非线性动力学问题而言，用户可给出各个节点的初始速度，关键词命令流实例如下

形式： *INITIAL CONDITIONS,TYPE=VELOCITY

NODE_SET, n , 0v

数据行中 NODE_SET 为节点组名， n 为自由度， 0v 为初始速度值。

（2）、ABAQUS/CAE 前处理器中初始边界条件及荷载施加过程 在 ABAQUS/CAE 前处理器中完成有限元模型建立。

点击 Module 下拉菜单选中 Load，在 Step 下拉菜单选中 Initial，进入 Load 功能模块，设置

初始边界条件及场量分布。

单击 ，施加初始边界条件，ABAQUS 提供包括反/对称约束、边界位移约束、速度、加速度、

角速度、角加速度、温度等多达 17 种初始边界条件的施加方式。例如，这里在边界类型选项框

1 2

3 4

5

图 11.2.10 Incrementation 求解选项设置对话框

170

中选择速度、角速度类型（Velocity/Angular velocity），单击 即可开始在有限元模

型节点上定义节点初始速度，如图 11.2.11 所示。

单击 ，可以在节点上施加非线性动力学分析中用到的初始温度、速度等场量分布，弹出场量

分布类型选项对话框如图 11.2.12 所示。用户可在场量类型选项框中选择欲施加场量类型，单击

即可开始在分析模型节点上加载初始场量分布。

1 2

3

4 图 11.2.11 创建初始边界条件

1 2

3 4

5 图 11.2.12 创建初始场量分布

171

注意点： 在非线性动力学分析中，若用户未定义初始边界条件，则 ABAQUS 程序默认为零。 对于预应力过程为非线性行为所引起的情况，ABAQUS 可以通过几个分析步进行非线性静力分析

来完成静态预应力的加载阶段，达到场量预加的目的。 对于静力学分析过程适用的大多数加载类型在非线性动力学分析中仍然有效。 但是*STATIC 静力学分析过程的加载与*DYNAMIC 非线性动力学问题还存在一定区别：默认情

况下，在静力学分析加载过程中荷载幅值随时间斜率变化，而非线性动力学加载过程中荷载幅值呈阶跃变

化。因此当非线性动力学问题加载过程变化与时间相关时，常常需要借助于预先输入的加载幅值曲线

*AMPLITUDE 进行近似。加载默认方式也可以在 ABAQUS/CAE 前处理器的 STEP 求解控制对话框中进

行修改，如图 11.2.13 所示。

11.3（Trapezoidal Rule）梯形法求解的稳定及精度控制

对于 Newmark 时间积分算法而言，当取 21＝γ ， 4

1＝β 时，此时的 Newmark 方法即为所谓的梯形

算法（或称为平均加速度法则），保持二阶精度，该积分算法仍为无条件稳定。但是该方法无法在算法中考

虑阻尼影响。Hilber 等人在梯形时间积分算法基础上进一步发展得到的 Hilber-Hughes-Taylor 时间积分

方法，该算法将低频率模态的阻尼比用于高频率模态分析中，取得很好的耗散效果。 对于隐式时间积分算法而言，任意时间步长 tΔ 尺寸都不影响计算结果的稳定性，但是时间步长 tΔ 取值越

大，对于结构动力响应中高频部分模拟的精确程度越差。 本节从时间步长、数值阻尼两个方面介绍梯形算法的稳定及精度控制。

图 11.2.13 荷载随时间变化方式的修改

172

11.3.1 时间步长的影响

这里以无阻尼自由振动体系为例，如图 11.3.1 所示，利用 ABAQUS/Standard 程序*DYNAMIC 进行非

线性动力学分析。例子中采用固定时间步长方法进行增量步控制，分析不同时间步长对求解稳定性及求解

精度的影响。

体系中集中质量块质量为 )(1 kgm = ，弹簧刚度为 )/(1 mNk = ，阻尼系数为 0=c ，集中质量块横向

初速度为 )/(10 smv = ，可以列出自由振动动力学平衡方程如式（11.3.1）所示

0)()()( =++ tkvtvctvm &&& （11.3.1）

从方程（11.3.1）可以得到体系自振频率为

）（＝＝ sradmk /1ϖ （11.3.2）

速度解析解为

tttv coscos)( == ϖ （11.3.3）

位移解析解为

ttv

tu sinsin)( 0 == ϖϖ

（11.3.4）

加速度解析解为

tta sin)( −= （11.3.5）

ABAQUS 程序分析无阻尼自由振动体系动力学问题的输入命令流如下所示：

*HEADING Implicit Integration Demonstration

图 11.3.1 无阻尼自由振动体系示意

173

*HEADING 后的字符串用于指定分析模型标题 Implicit Integration Demonstration。

*NODE, NSET=NALL 1, 0., 0., 0. 2, 2., 0., 0. 关键行*NODE 来定义节点组 NALL 坐标。

*ELEMENT, TYPE=SPRINGA, ELSET=SPRING 1, 1, 2 关键行*ELEMENT,TYPE=SPRINGA 定义弹簧单元组 SPRING 由节点 1、2 构成。

*SPRING, ELSET=SPRING 1., 关键行*SPRING 定义弹簧元刚度为 1 (N/m)。

*ELEMENT, TYPE=MASS, ELSET=MASS 2, 2 关键行*ELEMENT, TYPE=MASS 在节点 2 上定义集中质量元 MASS。

*MASS, ELSET=MASS 1., 关键行*MASS 定义质量元属性 M=1 kg。

*BOUNDARY 1, 1, 3 2, 2, 3 约束节点 1 的 1～3 自由度以及节点 2 的 2～3 自由度。

*INITIAL CONDITIONS, TYPE=VELOCITY 2, 1, 1.0

给集中质量块沿着 1 方向的初速度 )/(1 20 smv = 。

*STEP, INC=40 *DYNAMIC, ALPHA=0.0, NOHAF .25, 10. 关键词*DYNAMIC 可以用于对动力学位移及应力响应问题进行隐式直接积分，分析中最大增量

步数设置为 40 步，阻尼系数取值为 0＝α ，分析步总时间为 )(10 sttotal =Δ ，采用固定步长方法控制增量

步尺寸为 )(25.0int st =Δ 。例子中将初始时间步长为 )(25.0int st =Δ 、 )(5.0 s 、 )s(1 及 )(2 s 情况下的位移、

速度、加速度响应进行比较，观察时间步长的影响。

*OUTPUT, HISTORY, FREQ=1 *NODE OUTPUT,NSET=NALL U,V,A 控制节点组 NALL 位移、速度、加速度结果在文件.ODB 中的输出选项。

*END STEP 过程数据段结束。

时间步长 inttΔ 对隐式算法求解精度的影响

174

利用 ABAQUS/VIEWER 后处理器，提取节点 2 沿着 1 方向位移、速度及加速度时程曲线，从图（11.3.2）、（11.3.3）、（11.3.4）及（11.3.5）中可以看出：

当 )(25.0int st =Δ 时 ABAQUS 程序所得到的位移、速度及加速度响应与精确解析解最为接近。

当 )(5.0int st =Δ 时从位移时程曲线来看，已经出现微小的相位误差，这种相位误差在 )(1int st =Δ

时更加明显。随着 inttΔ 的增加，响应曲线的相位误差趋于严重。

值得注意的是，尽管相位误差随着 inttΔ 增大而增加，但节点 2 所有响应幅值保持恒定，与解析

解相一致，进一步分析显示这种趋势不随着时间步长变化而变化。这个现象验证了隐式 Newmark算法的无条件稳定性。

因此 ABAQUS 程序隐式算法分析非线性动力学问题时，时间步长 tΔ 应由系统的物理响应特性确定，

而与求解稳定性无关。用户在保证一定精度情况下，可以选用相对大一些的初始时间步长 inittΔ 进行求解。

尽管隐式积分算法为二阶精度，但随着时间步长 inittΔ 的增大，其求解精度将有所降低，这一点可以从例子

0 2 4 6 8 10

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2节点

位移

、速

度、加

速度

响应

值

时间（秒）

位移（m） 速度（m/s） 加速度（m/s^2）

0 2 4 6 8 10

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2节点

位移

、速

度、加

速度

响应

值

时间（秒）

位移（m） 速度（m/s） 加速度（m/s^2）

0 2 4 6 8 10

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2节点

位移

、速

度、加

速度

响应

值

时间（秒）

位移（m） 速度（m/s） 加速度（m/s^2）

0 2 4 6 8 10

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2节点

位移

、速

度、加

速度

响应

值

时间（秒）

位移（m） 速度（m/s） 加速度（m/s^2）

图 11.3.2 sinit 25.0t =Δ 时节点 2 沿着 1 方向响应曲线 图 11.3.3 sinit 5.0t =Δ 时节点 2 沿着 1 方向响应曲线

图 11.3.4 sinit 1t =Δ 时节点 2 沿着 1 方向响应曲线 图 11.3.5 sinit 2t =Δ 时节点 2 沿着 1 方向响应曲线

175

中的相位误差变化上可以看出。

11.3.2 数值阻尼效应

在第 11.3.1 节中单自由度弹簧振子体系阻尼系数 0＝α ，未考虑阻尼对体系响应的影响。

Hilber-Hughes-Taylor 时间积分算法通过阻尼系数α 在非线性动力学分析中引入数值阻尼效应。一些学

者的研究显示 H.H.T.算法的数值阻尼α 对于模态周期T 在时间步长 tΔ 量级的结构响应存在明显耗散作

用。

图 11.3.6 数值阻尼 05.0−=α 时节点 2 沿着 1 方向位移曲线

0 10 20 30 40 50

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

节点2沿

着1方向

位移

（m）

时间（s）0 10 20 30 40 50

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

节点2沿

着1方向

位移

（m）

时间（s）

0 10 20 30 40 50

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

节点2沿着1方向位

移（m）

时间（s）0 10 20 30 40 50

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

节点2沿

着1方向

位移（

m）

时间（s）

图(a) sinit 25.0t =Δ 时节点 2 沿着 1 方向位移曲线 图(b) sinit 5.0t =Δ 时节点 2 沿着 1 方向位移曲线

图(c) sinit 1t =Δ 时节点 2 沿着 1 方向位移曲线 图(d) sinit 2t =Δ 时节点 2 沿着 1 方向位移曲线

176

通过对第 11.3.1 节中单自由度弹簧振子体系算例可以观察出数值阻尼α 的影响。数值阻尼α 取

值在 ]0,3/1[− 之间，缺省情况下 05.0−＝α 。本节分别取数值阻尼 05.0−＝α 及 33.0−＝α ，对于不

同时间步长情况下分析节点 2 沿着 1 方向位移时程曲线，如图（11.3.6）、（11.3.7）所示。 注意：本节算例中仅需要对第 11.3.1 节命令流中如下修改

*STEP, INC=400 *DYNAMIC, ALPHA=0.05, NOHAF .25, 50.

将最大增量步数设置改为 400，数值阻尼取为 05.0−＝α 或 33.0−＝α ，总荷载作用时间设置为

)(50 sttotal =Δ ，固定时间步长取值在 )(25.0 stinit =Δ 至 )(2 stinit =Δ 之间。

从图（11.3.6）和（11.3.7）分析来看，当时间步长 inittΔ 远小于弹簧振子自振周期T ，即 1/ <<Δ Ttinit

图 11.3.7 数值阻尼 33.0−=α 时节点 2 沿着 1 方向位移曲线

0 10 20 30 40 50

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

节

点2沿

着1方向

位移

（m）

时间（s）0 10 20 30 40 50

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

节点2沿

着1方向

位移

（m）

时间（s）

0 10 20 30 40 50

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

节点2沿着1方向位移

（m）

时间（s）0 10 20 30 40 50

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

节点2沿

着1方向

位移（

m）

时间（s）

图(a) sinit 25.0t =Δ 时节点 2 沿着 1 方向位移曲线 图(b) sinit 5.0t =Δ 时节点 2 沿着 1 方向位移曲线

图(c) sinit 1t =Δ 时节点 2 沿着 1 方向位移曲线 图(d) sinit 2t =Δ 时节点 2 沿着 1 方向位移曲线

177

时，数值阻尼效应接近于零。随着时间步长 inittΔ 增大，体系的数值阻尼效应增强。因此当时间步长取值较

小时，可以有效地过滤掉对结构体系响应中一些无效的高频噪声效应。这个功能对于线性体系及一般程度

的非线性体系的动力学问题非常有效，但是对于碰撞等一些严重非线性问题，体系响应中确实存在一些高

频成分，并且这些高频效应可能引发方程收敛困难，在这种情况下，ABAQUS/Standard 程序中的数值

阻尼的使用是不恰当的。

缺省情况下（即数值阻尼 05.0−＝α 时），对于大多数问题来说结构的阻尼效应是很小的。在 ABAQUS 帮

助实例及用户手册中的问题一般能量耗散都小于整体能量的 %5 。

11.4 材料阻尼介绍

多数结构体系中存在阻尼现象，因此在非线性动力学分析中指定结构阻尼参数是有物理根据的。除了

第 11.3.2 节中的数值阻尼外，ABAQUS 程序还可以以材料阻尼形式定义结构阻尼特性。

11.4.1 Reyleigh 阻尼概念

（1）、Reyleigh 阻尼概念 结构体系材料阻尼可以在材料模型中以 Reyleigh 阻尼形式进行定义。Reyleigh 阻尼参数中包括质量

阻尼系数α 和刚度阻尼系数 β 。阻尼矩阵在阻尼系数α 、 β 与体系质量、刚度矩阵相乘求和的基础上得

到，如公式（11.4.1）所示

[ ] [ ] [ ]KMC ×+×= βα (11.4.1)

注意：这里的质量阻尼系数α 和刚度阻尼系数 β 与 Hilber-Hughes-Taylor 时间积分算法中

的权重因子α 及 Newmark 时间积分算法中的参数 β 是不相关的。

质量阻尼系数α 和刚度阻尼系数 β 由关键词*DAMPING 中的选项 ALPHA 及 BETA 定义。通常α 和

β 的值不是直接得到的，而是用等效振型阻尼比 )( iϖζ 计算出来的。 )( iϖζ 是第 i 阶振型的实际阻尼和临

界阻尼之比， iϖ 为第 i 阶模态对应的圆频率。此时α 和 β 满足如下关系

22)( i

ii

βϖϖ

αϖζ +×

＝ （11.4.2）

为了确定给定阻尼比ζ 对应的α 和 β 值，通常假设α 和 β 之和在某个频率范围内近似为恒定值。这

样在给定阻尼比ζ 和一个频率范围 ）（ ji ϖϖ , 内，解联立方程组便可以求得α 和 β 值。

178

图 11.4.1 给出当 01 ＝，＝ βα 及 10 ＝，＝ βα 情况下 )( iϖζ 曲线，从图中可以看出当结构圆频率 iϖ 较

低时，质量阻尼部分占主导作用；当结构圆频率 iϖ 较高时，刚度阻尼部分占主导作用。

在非线性动力学分析过程中考虑刚度阻尼时最简单的方法是将刚度阻尼系数 β 与切线刚度矩阵 [ ]tE

相乘得到刚度阻尼矩阵 [ ] β×tE 。但是当切线刚度矩阵 [ ]tE 由于大变形产生负特征值时，可能导致负阻尼，

引起方程求解的收敛问题，因此 ABAQUS 一般通过弹性刚度矩阵定义刚度阻尼矩阵。

（2）、数值阻尼与材料阻尼关系 在高频范围内，刚度阻尼成分占主导作用，质量阻尼成分则可以忽略不计。因此刚度阻尼可以作为一种数

值阻尼方法，用于过滤振动周期T 与时间步长 tΔ 相近的响应成分。例如当振动周期为T 的响应成分对应临

界阻尼比 %10=ζ ，此时由公式（11.4.2）可得到等效刚度阻尼系数如下：

ππϖζβ TT ×

=× 1.0

22.02

＝＝ （11.4.3）

当 Hilber-Hughes-Taylor 时间积分算法中设置了数值阻尼系数α 后，随着圆频率 iϖ 的降低，刚度阻尼成

分不会迅速消失。因此这种情况下，刚度阻尼对于低频率振型也有一定影响。

11.4.1 Reyleigh 阻尼系数的定义

（1）、在*MATERIAL 数据块中定义 Reyleigh 阻尼系数 质量阻尼系数定义命令行

*MATERIAL, NAME =name.

12ω

1 12 ω

圆频率 )(Hziϖ

)( iϖζ

图 11.4.1 Reyleigh 阻尼

179

*DAMPING, ALPHA=α 选项 NAME 给出材料名，关键词*DAMPING 定义质量阻尼系数 ALPHA。

刚度阻尼系数定义命令行

*MATERIAL, NAME =name

*DAMPING, BETA= β

选项 NAME 给出材料名，关键词*DAMPING 定义刚度阻尼系数 BETA。 （2）、通过 ABAQUS/CAE 前处理器定义 Reyleigh 阻尼系数

在 Module 下拉菜单上选中 Property，进入 Property 模块。

在工具栏单击 创建新材料，如图 11.4.2 所示。由对话框菜单 Mechanical Damping→ 进

入阻尼参数设置对话框。 在如图 11.4.3 所示阻尼参数设置对话框内，用户可以按提示输入质量阻尼系数α 及刚度阻尼系

数 β 。

图 11.4.2 材料编辑对话框

180

11.5 半增量步长残差控制技术

11.5.1 半增量步长残差（HAFTOL）概念及设置

在 Hilber-Hughes-Taylor 时间积分算法迭代求解过程中通过半增量步长残差容许值 2/*][ ttR Δ+ ，记为

参量 HAFTOL，来判断迭代收敛。在一个新增量步长 tΔ 作用下，平衡方程通过若干轮迭代求解，得到最

后收敛平衡解。迭代求解过程中，每一次迭代后程序都将计算出来的半增量步长残差 2/][ ttR Δ+ 与用户设定

的残差容许值 2/*][ ttR Δ+ 进行比较，以判断迭代收敛与否，如图 11.5.1 所示。

图 11.4.3 阻尼参数设置对话框

模型在加载初始是平衡的.

寻找迭代收敛的方程解.

精确解析解

半增量步长残差

第 3 次迭代后的方程解

图 11.5.1 悬臂柱截面尺寸及材料

181

尽管 Hilber-Hughes-Taylor 时间积分算法在求解非线性动力学问题时能够保证二阶精度，但是用该

算法求解精度还和时间步长 tΔ 与结构自振周期T 的比值有关。半增量步长残差检查是自动增量步长控制技

术在 ABAQUS/Standard 程序中运用的基础，半增量步长残差容许值 HAFTOL 取值越小，则非线性动力

学问题求解精度越高，计算耗时也随之增加；反之半增量步长残差容许值 HAFTOL 取值增大并超过一定值

时，求解精度发生明显退化。

残差容许值 HAFTOL 也具有力的量纲，通常将残差容许值 HAFTOL 与经典力 ][P （如外部加载力、

支反力等）进行比较。残差容许值 HAFTOL 根据不同的求解精度要求而定，通常取值在 FF 100~1.0 之

间，存在如下一些经验性规律：

当 ][1.0][ 2/* PR tt ×≈Δ+ 时，对于求解小阻尼弹性问题时，精度较高。分析中塑性及其他一些耗能

因素可以过滤结构动响应中的高频部分，但是计算量较大。

当 ][][ 2/* PR tt ≈Δ+ 时，对于求解小阻尼弹性问题时，精度尚可，但对于存在阻尼机制的结构响应，

精度有所欠缺。

当 ][10][ 2/* PR tt ×≈Δ+ 时，对于求解小阻尼弹性问题，较为粗糙，但对于存在耗散效应的问题，

效果不错。

当 ][100][ 2/* PR tt ×≈Δ+ 时，只对整体变形分析有效，精度较差。

11.5.2 一些严重非线性问题求解精度的控制

对于一般非线性问题而言，半增量步长残差容许值 HAFTOL 取值直接影响到非线性动力学问题求解精

度，然而对于不连续非线性问题，比如高速碰撞问题、回弹问题，半增量步长残差 HAFTOL 取值对于求解

精度的影响不再显得这么重要。 这类问题的分析比较关心结构在能量耗散过程中的变形量，时间步长一般由问题收敛需要确定。因此

这类问题求解中，半增量步长残差容许值 HAFTOL 选择并不重要，可以选取较大值。

182

第 12 章

非线性动力问题实例 浅拱屈曲后性能分析 小球碰撞问题 网球拍和网球的动力问题 成形问题 涡轮叶片的动力问题 惯性释放问题

§12.1 浅拱屈曲后性能分析（无算例）

为比较显式、隐式算法分析浅拱屈曲后性能的区别，取一浅拱为例。如图 12.1.1 所示，浅拱两端嵌

固，跨中作用一荷载 F。本文中采用 ABAQUS/Standard 程序和 ABAQUS/Explicit 程序分别对该问题进

行分析。 从图 12.2.2 承载力－跨中位移曲线观察，两种方法分析得到的结果吻合的非常好。 值得一提的是采用显式动力方法求解计算耗时仅为隐式动力学方法计算耗时的五分之一。

§12.2 小球碰撞问题（无算例）

12.2.1 问题描述

如图 12.2.1 所示，一个运动的球对所接触的板发生碰撞。例子中用一个刚性球体表征小球，这个刚

ABAQUS/Standard

ABAQUS/Explicit

承载力

, F

跨中竖向位移, v

图 12.2.2 承载力－跨中位移曲线

F ?0

v

图 12.1.1 两端嵌固浅拱示意图

183

性球体是由一个实体的球核和球的外表面所构成。

分析中将板的材料取为线弹性材料。小球以一定的倾斜角度撞击板面，由于摩擦力的存在，该力将会

对球的旋转产生重要的影响。

12.2 求解过程

ABAQUS/Standard 中进行此项动力分析中重要的输入参数及操作界面

ABAQUS/Standard *Dynamic,alpha=-0.05,haftol=1e+06 2.6e-05, 0.001, 3e-09, 0.001

图 12.2.2 给出隐式动力求解的选项对话框。

ABAQUS/Explicit 进行此项动力分析中重要的输入参数及操作界面

ABAQUS/Explicit *Dynamic, Explicit , 0.001

图 12.2.3 给出了显式动力求解的选项对话框。

图 12.2.1 小球碰撞示意图

图 12.2.2 隐式动力学求解选项对话框

184

初始条件设置(Initial conditions)

*Initial Conditions, type=VELOCITY ballRef, 1, 0. ballRef, 2, 9000. ballRef, 3, 30000.

初始条件设置选项对话框如图 12.2.4 所示。 求解过程分析

当球撞击板面时，ABAQUS 中的隐式动力求解将根据动量守恒定理计算二者间的动量转换。 以下为状态文件(Status (.sta) file)：

STEP INC ATT SEVERE EQUIL TOTAL TOTAL STEP INC OF DOF IF

DISCON ITERS ITERS TIME/ TIME/LPF TIME/LPF MONITOR RIKS

ITERS FREQ

1 1 1 0 1 1 2.60e-005 2.60e-005 2.600e-005

1 2 2 0 1 1 3.14e-005 3.14e-005 5.407e-006

图 12.2.3 显式动力学求解选项对话框

图 12.2.4 初始条件设置选项对话框

185

1 3 1 0 1 1 3.14e-005 3.14e-005 2.600e-011

以下为信息文件(Message (.msg) file)：

INCREMENT 3, ATTEMPT NUMBER 1, TIME INCREMENT 2.600E-11

CALCULATION OF VELOCITY JUMPS DURING IMPACT AND ACCELERATIONS AFTER IMPACT（在球的冲击和受冲击后

加速之间的瞬间内计算速度的变化，即 2.600e-011）

ITERATION SUMMARY FOR THE INCREMENT: 1 TOTAL ITERATIONS, OF WHICH

0 ARE SEVERE DISCONTINUITY ITERATIONS AND 1 ARE EQUILIBRIUM ITERATIONS.

TIME INCREMENT COMPLETED 2.600E-11, FRACTION OF STEP COMPLETED 3.141E-02

STEP TIME COMPLETED 3.141E-05, TOTAL TIME COMPLETED 3.141E-05

12.2.3 结果分析

图 12.2.5 为整个分析中得到的关于球核和表面的速度变化历程曲线：

图 12.2.6 为整个分析中得到的应变和动能变化历程曲线：

图12.2.5 球核及球表面速度变化历程曲线

186

§12.3 网球拍和网球的动力问题（有算例）

12.3.1 问题描述

这个例子模拟了一个网球倾斜撞击球拍的动力问题，网球以斜角度 15 度，速度 6.0706m/s 接触网

线，如图 12.3.1 所示。

用 T3D2 桁架单元模拟网球拍上的弹性网线，且假定它们是线弹性的。弹性模量 GPaE 895.60 = ，

图 12.2. 应变能及动能变化历程曲线

图 12.3.1 网球倾斜撞击球拍示意图

187

泊松比 3.0=γ ，密度为3/1143 mkg=ρ ，网线初始预拉力为44.48KN。在ABAQUS中通过命令*INITIAL

CONDITIONS 定义初始应力状态。 网球拍的外边框认为是刚性的，用 R3D4 单元模拟。周边上的网线节点与外边框单元节点一致，采用

刚域化处理外边框。 网球用 150 个 S4R 壳单元模拟，材料为橡胶，取用超弹性本构。网球的初始状态是有初始内压力，

球腔气体采用静水流体单元 F3D4 模拟，而球拍上的网线的初始状态是受初始张力。

12.3.2 模拟效果分析

图 12.3.2 是整个分析过程中各阶段的变形示意图

图 12.3.3a、b、c、d、e、f 给出了不同阶段网球的变形情况。

iv

图 12.3.2 网球倾斜撞拍全过程示意

188

图 12.3.4 系统能量变化历程，其中 ALLIE 为系统内能，ALLKE 为系统动能，ALLVD 为系统粘性耗

能，ALLFD 为系统摩擦耗能，ALLWK 为系统所受外力做功，ETOTAL 为系统总体能量，可以看出 ETOTAL在各个阶段保持恒定。

3.2.5 12.3.3 输入文件命令流解析

该部分输入命令流文件 tennis.inp 可直接利用 ABAQUS/FETCH 程序由 ABAQUS 帮助手册中的压

缩文档中获得，tennis.inp 文件中引入的外部数据文件也可通过 FETCH 获得。 **用接触对模拟网球与网线接触，用静水力学流体元 F3D4 模拟空腔气体

*HEADING

图 a 初始状态

图 b 2.5 秒时刻状态

图 c 5 秒时刻状态

图 d 7.5 秒时刻状态

图 e 10 秒时刻状态

图 f 15 秒时刻状态

图 12.3.3 不同阶段网球变形状态

图 12.3.4 系统能量变化历程曲线

189

RACKET AND BALL IMPACT ** 节点定义

*NODE ** Bottom curve. 104, -2.700,-6.625,0. 109, 0.000,-8.500,0. 114, 2.700,-6.625,0. ** Left side curve. 501, -4.020,-3.750,0. 1201, -4.520, 0.000,0. 1901, -3.780, 3.750,0. ** Right side curve. 517, 4.020,-3.750,0. 1217, 4.520, 0.000,0. 1917, 3.780, 3.750,0. ** Top curve. 2103, -3.240, 4.500,0. 2109, 0.000, 5.500,0. 2115, 3.240, 4.500,0. ** Rectangular portion. 202, -3.780,-6.625,0. 216, 3.780,-6.625,0. 502, -3.780,-3.750,0. 516, 3.780,-3.750,0. 1902, -3.780, 3.750,0. 1916, 3.780, 3.750,0. 2002, -3.780, 4.500,0. 2016, 3.780, 4.500,0. *NGEN,NSET=N200 202,216,1 *NGEN,NSET=N500 502,516,1 *NGEN,NSET=N1900 1902,1916,1 *NGEN 2002,2016,1 *NFILL,NSET=STRINGS N200,N500,3,100 N500,N1900,14,100 *NGEN,NSET=STRINGS,LINE=P 104,114,1,109 517,1917,100,1217

190

501,1901,100,1201,0.,0.,1. 2103,2115,1,2109,0.,0.,1. *NSET,NSET=MIDPLANE,GEN 105,113,1 2104,2114,1 501,1801,100 517,1817,100 *NSET,NSET=MIDPLANE 204,303,402,214,315,416 1902,2003,1916,2015 *ELEMENT,TYPE=T3D2,ELSET=STRINGS 1, 204, 205 11, 303, 304 23, 402, 403 247,2003,2004 1001, 402, 502 1016, 303, 403 1033, 204, 304 1231, 315, 415 1248, 416, 516 2001, 501, 502 2015, 516, 517 2029, 105, 205 2038,2004,2104 *ELGEN,ELSET=STRINGS 1, 10,1,1 11, 12,1,1 23, 14,1,1, 16,100,14 247, 12,1,1 1001, 15,100,1 1016, 17,100,1 1033, 18,100,1, 11,1,18 1231, 17,100,1 1248, 15,100,1 2001, 14,100,1 2015, 14,100,1 2029, 9,1,1 2038, 11,1,1 *SOLID SECTION,ELSET=STRINGS,MATERIAL=STRING 7.854E-3, *NSET, NSET=NCONTACT, GENERATE 205,213,1

191

304,314,1 403,415,1 502,516,1 602,616,1 702,716,1 802,816,1 902,916,1 1002,1016,1 1102,1116,1 1202,1216,1 1302,1316,1 1402,1416,1 1502,1516,1 1602,1616,1 1702,1716,1 1802,1816,1 1903,1915,1 2004,2014,1 ** 网球拍外框结构定义.

*NCOPY,CHANGE NUMBER=10000,OLD SET=MIDPLANE,SHIFT, NEW SET=FRONT 0.,0.,.25 0.,0.,0., 0.,0.,1., 0.0 *NCOPY,CHANGE NUMBER=20000,OLD SET=MIDPLANE,SHIFT, NEW SET=BACK 0.,0.,-.25 0.,0.,0., 0.,0.,1., 0.0 *NODE 10000, 0,0.,0. *ELEMENT,TYPE=R3D4,ELSET=FRAME 3001, 105, 106, 10106, 10105 3009, 113, 214, 10214, 10113 3010, 214, 315, 10315, 10214 3011, 315, 416, 10416, 10315 3012, 416, 517, 10517, 10416 3013, 517, 617, 10617, 10517 3036, 1817, 1916, 11916, 11817 3037, 1916, 2015, 12015, 11916 3038, 2015, 2114, 12114, 12015 3039, 2105, 2104, 12104, 12105 3049, 2104, 2003, 12003, 12104 3050, 2003, 1902, 11902, 12003

192

3051, 1902, 1801, 11801, 11902 3052, 601, 501, 10501, 10601 3065, 501, 402, 10402, 10501 3066, 402, 303, 10303, 10402 3077, 303, 204, 10204, 10303 3078, 204, 105, 10105, 10204 4001, 105, 106, 20106, 20105 4009, 113, 214, 20214, 20113 4010, 214, 315, 20315, 20214 4011, 315, 416, 20416, 20315 4012, 416, 517, 20517, 20416 4013, 517, 617, 20617, 20517 4036, 1817, 1916, 21916, 21817 4037, 1916, 2015, 22015, 21916 4038, 2015, 2114, 22114, 22015 4039, 2105, 2104, 22104, 22105 4049, 2104, 2003, 22003, 22104 4050, 2003, 1902, 21902, 22003 4051, 1902, 1801, 21801, 21902 4052, 601, 501, 20501, 20601 4065, 501, 402, 20402, 20501 4066, 402, 303, 20303, 20402 4077, 303, 204, 20204, 20303 4078, 204, 105, 20105, 20204 *ELGEN,ELSET=FRAME 3001, 8,1,1 3013, 13,100,1 3039, 10,1,1 3052, 13,100,1 4001, 8,1,1 4013, 13,100,1 4039, 10,1,1 4052, 13,100,1 *NODE,NSET=SPHERE,INPUT=tennis_ef1.inp

**建立节点组 SPHERE，tennis_ef1.inp 为外部文件，可以通过 ABAQUS/FETCH 程序获得

*NSET,NSET=REFNODE 30001 *NSET, NSET=QA_TEST 30022,30023,30024, *ELSET, ELSET=QA_TEST 40013,40014,40018, *ELEMENT,TYPE=S4R,ELSET=SPHERE,

193

INPUT=tennis_ef2.inp **建立单元组 SPHERE，tennis_ef2.inp 为外部文件，可以通过 ABAQUS/FETCH 程序获得

*SHELL SECTION,ELSET=SPHERE,MATERIAL=RUBBER .2,3 *PHYSICAL CONSTANTS, ABSOLUTE ZERO=-273.16 *ELEMENT,TYPE=F3D4,ELSET=CAVITY, INPUT=tennis_ef3.inp

**建立单元组 SPHERE，tennis_ef3.inp 为外部文件，可以通过 ABAQUS/FETCH 程序获得

*FLUID PROPERTY,ELSET=CAVITY,REF NODE=30001, AMBIENT=14.7 *FLUID DENSITY 0.1E-4, ** 材料定义.

*MATERIAL,NAME=RUBBER *DENSITY 1.E-4, *HYPERELASTIC,N=1 100.,25.,1.E-4 *MATERIAL,NAME=STRING ** Nylon type 6 general purpose. *DENSITY 1.07E-4, *ELASTIC 1.E6, ** 网线预拉力及边界约束施加

*INITIAL CONDITIONS,TYPE=STRESS ** Tension in strings is 10 lb. STRINGS,1273. SPHERE,22.5,22.5 *INITIAL CONDITIONS,TYPE=VELOCITY ** Initial velocity of ball is 22 fps at a ** 15 degree angle of attack. SPHERE, 1, 68.3 SPHERE, 2, 0. SPHERE, 3,-255. *BOUNDARY 10000,1,6 *INITIAL CONDITIONS,TYPE=FLUID PRESSURE 30001,6. ** *RESTART,WRITE,NUM=30 *SURFACE,TYPE=ELEMENT,NAME=SPHERE

194

SPHERE,SPOS *SURFACE,TYPE=NODE,NAME=STRINGS NCONTACT, *RIGID BODY,ELSET=FRAME,REF NODE=10000

*********************************************************以上为模型数据块 ******************************************************* *以下为历程数据块

*STEP *DYNAMIC,EXPLICIT ,15.E-3 ** 接触定义

*SURFACE INTERACTION,NAME=SPH_STRING *FRICTION 0.1, *CONTACT PAIR,INTERACTION=SPH_STRING SPHERE,STRINGS

** 输出设置

*FILE OUTPUT, NUM=2, TIMEMARKS=YES *EL FILE ELEN, S,LE,ERV *NODE FILE U,V *OUTPUT,FIELD,OP=NEW,NUMBER INTERVAL=5, TIMEMARKS=NO *ELEMENT OUTPUT S, *NODE OUTPUT U, *OUTPUT,HISTORY,OP=NEW,TIME INTERVAL=3.E-5 *ENERGY OUTPUT ALLAE,ALLIE,ALLKE,ALLFD,ALLPD,ALLSE,ALLVD,ALLWK,ETOTAL *NODE OUTPUT,NSET=REFNODE PCAV,CVOL *OUTPUT, FIELD, NUMBER=2 *ELEMENT OUTPUT, ELSET=QA_TEST S, *NODE OUTPUT, NSET=QA_TEST U, *END STEP

§12.4 成形问题（有算例）

195

12.4.1 问题描述

现代的汽车构件中包含有数以千计的卷曲连接。在这些卷曲连接中常常有多束电线要在这里通过机械

成形形成一个接线的终端，这个终端应该保证通过节点的线路不受损坏。这些线路终端中带有部分卷曲的

部件被称为夹片，夹片将多束线路包拢，形成一个接线终端。 线路终端加工中通过刚性冲床向下冲压完成夹片卷曲成形的加工过程，如图 12.4.1 所示。图中铁砧

工作台面(Anvil)起到支撑和固定的作用。

虽然实际加工过程是一个静态过程，但是分析模拟时依然采用了显式动态算法。其主要原因在于，如

果采用 ABAQUS/Standard 程序的隐式动力算法进行上述静力问题模拟，将会在以下一些方面中遇到困

难。 因为夹片和电线有自由的刚体运动而使得问题的模型不满足静力稳定条件。 在卷曲成型过程中由于夹片在向下弯曲和冲压进入电线的过程中夹片两臂屈曲，失去稳定； 在分析中存在复杂的多体接触问题，这些接触发生在紧夹两臂和电线之间、每两根电线的连接之间、甚至

在紧夹两臂之间。 弯曲成形加工过程的设计与线路数量、线缆直径、夹片厚度、长度、材料以及成形工具有关。分析中

夹片厚度为 0.25mm，包裹了 19 根直径为 0.28mm 的电线，电线及夹片采用实体元 C3D8R 模拟。成

形工具采用单元 R3D4 模拟。加工中冲床调整冲压加工方式，以减小冲床的惯性效应对加工工程在的影响。

12.4.2 模拟效果分析

图 12.4.2 给出了成形加工过程中的夹片及线束变形情况。

图 12.4.1 成形加工示意图

夹片卷边

线缆

成形夹具

成形夹

196

图 12.4.3 给出了试验结果，与图 12.4.2d 理论解比较取得较好的吻合。

图 12.4.2 不同阶段夹片及线束变形过程

(a)

(b)

(c)

(d)

图 12.4.3 试验中成形加工截面变形

197

3.2.6 12.4.3 输入文件命令流解析

该部分输入命令流文件 crimp_gcont.inp 可直接利用 ABAQUS/FETCH 程序由 ABAQUS 帮助手册

中的压缩文档中获得，文件中引入的外部数据文件 crimp_assembly 也可通过 FETCH 获得。这里给出

crimp_gcont.inp，并进行简要介绍。

*Heading *Preprint, model=YES, history=YES

**.DAT 文件输出选项设置 ** 创建部件过程

*Part, name=CRIMP_REDU_PART-1 *End Part *Part, name=CRIMP_REDU_PART-10-1 *End Part *Part, name=CRIMP_REDU_PART-11-1 *End Part *Part, name=CRIMP_REDU_PART-12-1 *End Part *Part, name=CRIMP_REDU_PART-13-1 *End Part *Part, name=CRIMP_REDU_PART-14-1 *End Part *Part, name=CRIMP_REDU_PART-16-1 *End Part *Part, name=CRIMP_REDU_PART-17-1 *End Part *Part, name=CRIMP_REDU_PART-18-1 *End Part *Part, name=CRIMP_REDU_PART-19-1 *End Part *Part, name=CRIMP_REDU_PART-2-1 *End Part *Part, name=CRIMP_REDU_PART-20-1 *End Part *Part, name=CRIMP_REDU_PART-21-1 *End Part *Part, name=CRIMP_REDU_PART-22-1 *End Part *Part, name=CRIMP_REDU_PART-3-1 *End Part *Part, name=CRIMP_REDU_PART-4-1 *End Part *Part, name=CRIMP_REDU_PART-5-1

198

*End Part *Part, name=CRIMP_REDU_PART-6-1 *End Part *Part, name=CRIMP_REDU_PART-7-1 *End Part *Part, name=CRIMP_REDU_PART-8-1 *End Part *Part, name=CRIMP_REDU_PART-9-1 *End Part *Part, name=rigid_top *End Part *Include, Input=crimp_assembly.inp

**有限元建模外部数据文件，crimp_assembly.inp 文件可以通过 FETCH 程序获得

*SECTION CONTROLS, Name=Sect1, HOURGLASS=STIFFNESS *Amplitude, name=PUNCH_DOWN_DISP, definition=SMOOTH STEP, value=ABSOLUTE 0.,0.,0.018,-0.9,0.030833,-4.75,0.090833,-6.25, 0.122333, -6.88

**位移加载历程 PUNCH_DOWN_DISP 定义 **第一阶段平均速率为 50 mm/sec **第一阶段平均速率为 300 mm/sec **第一阶段平均速率为 25 mm/sec **第一阶段平均速率为 20 mm/sec **材料定义过程

*Material, name=COPPER_WIRE *Density 0.0085, *Elastic 117000., 0.35 *Plastic 241.5, 0. 268.2, 0.00075 282., 0.00164 287.5, 0.0026 290.3, 0.017 4100., 20. *Material, name=GRIP_MATERIAL *Density 0.0085, *Elastic 112000., 0.34

199

*Plastic 391., 0. 418., 0.00075 431.5, 0.00164 437., 0.0026 440., 0.017 4270., 20.

**接触参数定义

*Surface Interaction, name="GLOBAL PROPERTY" *Friction 0., *Surface Interaction, name=GRIP_BOT_RIGID *Friction, taumax=300. 0.3, *Surface Interaction, name=GRIP_TOP_RIGID *Friction, taumax=300. 0.15, *Surface Interaction, name=WIRES *Friction 0.15,

** 边界条件定义

*Boundary _G85, ENCASTRE *Boundary WIRES_END, PINNED *Boundary TOP_RIGID_REFNODE, 1,1, 0.0 TOP_RIGID_REFNODE, 3,6, 0.0

*********************************************************以上为模型数据块 *********************************************************以下为历程数据块

*Step, name=Step-1 PUNCHDOWN *Dynamic, Explicit ,0.122333 *Bulk Viscosity 0.06, 1.2

** 边界加载

*Boundary, amplitude=PUNCH_DOWN_DISP TOP_RIGID_REFNODE, 2, 2

** 通用接触算法定义

*Contact, op=NEW *Contact Inclusions, ALL ELEMENT BASED

200

*Contact property assignment , , "GLOBAL PROPERTY" WIRES_EXT_SURF , , WIRES BOT_RIGID_SURF , GRIP_EXT_SURF , GRIP_BOT_RIGID Top_Rigid_surf , GRIP_EXT_SURF , GRIP_TOP_RIGID GRIP_EXT_SURF , , GRIP_BOT_RIGID *Surface Property Assignment, PROPERTY=FEATURE EDGE CRITERIA , 20.0

** 输出文件选项设置

*Restart, write, number interval=1, time marks=NO *Monitor, dof=2, node=REFNODE_MONITOR *Output, field, variable=PRESELECT, number interval=50 *Output, history, variable=PRESELECT, time interval=0.000970065 *Output, history, time interval=0.000970065 *Node Output, nset=TOP_RIGID_REFNODE U2, RF2 *End Step

§12.5 涡轮叶片的动力问题（无算例）

12.5.1 问题描述

将 ABAQUS/Standard 和 ABAQUS/Explicit 结合起来进行涡轮叶片折断滑出动力问题的分析

证明是相当有效的。 如图 12.5.1 所示，分析过程中涡轮叶片初始状态是与引擎相连的。首先在第一阶段分析中，可以运

用 ABAQUS/Standard 程序得到了涡轮叶片引擎旋转的稳态解。在第二阶段分析中，将稳态解视为

ABAQUS/Explicit 程序进行对涡轮叶片的滑出动力学分析过程的初始条件。

201

12.5.2 建模的方法

在 ABAQUS 中*IMPORT 的特性是将稳态旋转的解的状态从隐式静态程序转换到显式动态程序。 图 12.5.2 中以箭头表示了*IMPORT 的这一过程。

沙漏控制，在 ABAQUS/Standard 和 ABAQUS/Explicit 的分析过程中利用沙漏控制减少求解的

干扰效应。 荷载施加

在 ABAQUS/Standard 分析中，采用了相对固定轴的离心荷载(此时荷载形式选用

CENTRIF)。 在 ABAQUS/Explicit 分析中，涡轮叶片施加初始速度。 利用连接单元将涡轮叶片和机毂中心相连接，当涡轮的转动达到一定的临界状态时连接单

元失效，此时涡轮叶片从轮毂上断开。

12.5.2 模拟效果分析

图 12.5.3 给出旋转圆盘的稳态分析结果(此分析中没有叶片滑出发生)。

Import

Static procedure Centrifugal Loading

Import stress state

Verify Steady state Obtain associatedstress state Throw Blade

Initial Conditions: Spin at appropriate velocity

图 12.5.1 ABAQUS 中的航天器引擎模型；深色叶片为滑出叶片

图 12.5.2 模型 *IMPORT 变换过程

ABAQUS/Standard ABAQUS/Explicit

202

图 12.5.4 给出涡轮叶片脱离过程不同时刻变形特征

12.5.3 几点建议

在单元的相关表达式中采用二阶精确表达式

图 12.5.3 IMPORT 转换中干扰的削弱

2.6E+07

2.8E+07

3.0E+07

3.2E+07

3.4E+07

3.6E+07

3.8E+07

4.0E+07

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

Analysis time (seconds)

Inte

rnal

ene

rgy

Version 6.3Version 6.4Enha

Visco

图 12.5.4 涡轮叶片脱离过程不同时刻变形

图 a t=2.5 秒时刻 图 b t=5 秒时刻

图 c t=7.5 秒时刻 图 d t=10 秒时刻

203

在 ABAQUS/Explicit 中默认的有关单元的表达式的精度是一阶的，而这些一阶精度的表达式在结构

中遭遇多次旋转的情况是不适合的。 应用双精度控制

因为涡轮叶片装配的旋转次数是非常高的，所以在这些分析中采用双精度控制是非常适合的。 指定最大的稳态时间增量步

通过指定最大的稳态时间增量步，可以以此来保证对涡轮叶片每旋转一度的分析至少以 10 个增量步

来完成。实际上在涉及有限旋转的问题中，都建议对涡轮叶片的每一度旋转的分析至少通过 10 个时间增

量步完成。

§12.6 惯性释放（无算例）

12.6.1 问题描述

在 ABAQUS/Explicit 中对冲击问题的分析中，惯性释放是预加荷载的初始条件的一种便捷施加方式。

惯性释放分析使得模拟所得结果更加真实，干扰更小。 以气压射钉枪中一个活塞和一个橡胶缓冲器的相互冲击问题作为冲击分析的算例。 在 ABAQUS/Standard 中采用惯性释放分析的目的是计算外加不平衡力引起的物体内应力，并将分

析得到的应力状态加入到 ABAQUS/Explicit 分析中，为 ABAQUS/Explicit 分析提供更好的、干扰更小

的初始条件。 图 12.6.1 给出气压射钉枪中活塞和橡胶缓冲器相互冲击示意图。

活塞在空气压力作用下向下加速运动，当空枪(blank shot 即无钉子)射击时活塞的全部动能都被橡

胶缓冲器吸收。在 0.5 毫秒内，橡胶缓冲器吸收 45 英尺磅(ft-lbs)的能量，并且发生将近 0.25 英寸的

变形(总高度大约一英寸)。 在 ABAQUS/Explicit 中对此进行分析的常用方法为从活塞刚好在橡胶缓冲器的上边时开始。按一定

的初速度对活塞施加外荷载后从而使冲击作用发生。

图 12.6.1 活塞与缓冲器冲击示意图

204

12.6.2 模拟效果分析

图 12.6.2 给出了在冲击作用过程活塞应力时间历程曲线，分析中为采用惯性释放分析建立初始应力

条件。

从图中可见应力由零开始，然后随着外荷载施加于活塞后应力开始增长。并且当冲击发生时，将会有

很大的干扰传入到结果中。 对于这种情形，利用惯性释放可以使模型在惯性平衡中开始 ABAQUS/Explicit 分析。 图 12.6.3 给出了活塞加速向下时应力状态，将惯性释放分析得到的应力输入 ABAQUS/Explicit 中

开始冲击分析过程。

图 12.6.2 活塞应力时间历程曲线

205

图 12.6.4 将通过惯性分析建立初始应力条件的冲击作用分析结果与图 12.6.2 结果进行比较。

如图 12.6.3 所示，从活塞应力云图可以发现应力从 2400psi 等高线到外径范围内保持为常数。在显

式动力分析中得到非零的常数应力通常是非常少见的，另外，要完全阻尼耗散掉惯性效应的影响需要较长

的时间。

图 12.6.3 惯性释放分析得到的应力分布

图 12.6.4 活塞应力时间历程曲线

206

然而，从工程应用的角度看，图 12.6.4 所示并未有很大的差别，主要因为冲击动力特性掩盖了惯性

释放的影响。但是依然存在一些情况下，分析得出的结果是不同的。 这主要发生在下面的情况：

如果不是空枪冲击，而是在活塞和橡胶缓冲器之间有真实射钉(Nail shot)的冲击模拟时，分析得到的冲

击速度将是非常低的。在这种情况下，99%的动能留在钉子内部以致只有很少的动能被橡胶缓冲器吸收。 图 12.6.6 给出两种方法应力变化历程曲线比较。

从图中的比较可以看出，即使是很小的加速度，应力却是很大的。加速度是由于活塞底部钉子向上的

集中力。这个向上的集中力与向下的气压力组合使活塞内圆产生更大的应力。 采用惯性释放分析创建初始应力条件，应力在受到冲击作用之前的稳定加速过程中为始终保持为常数。

而如果不采用惯性释放分析，由于初始气体压力作用于活塞零应力区扩展而引发的瞬态波会掩盖由于冲击

而产生的应力。 图 12.6.6 中可以清楚看到，不采用惯性释放分析时，分析结果的均值与采用惯性释放分析的分析结

果大抵相同，但是由于初始不平衡荷载产生的干扰，使得结果不稳定性大为加剧。

图 12.6.5 活塞应力云图

207

图 12.6.6 实弹冲击下活塞应力时间历程曲线