EABJMJ. Giovendo

Terminales SCours de MathématiquesAnnée s olaire 2009-2010

Dans tout e ours, les théorèmes et exer i es pouvant faire l'objet d'une restitution organisée de onnaissan e(ROC) le jour du ba sont pré édés d'une étoile : ⋆.Il est indispensable de pouvoir restituer l'énon é du théorème en question ainsi que sa démonstration.

Table des matières1 Limites et Continuité 41.1 Limite d'une fon tion en +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Limite d'une fon tion en a ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Limites et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Fon tions ontinues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Travail Dirigé : un exemple de fon tion non ontinue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Suites et ré urren es 112.1 Raisonnement par ré urren e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Suites et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Limites de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Compléments sur la dérivation 143.1 Nombre dérivé - Fon tion dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 Dérivation d'une fon tion omposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Fon tion exponentielle 164.1 Introdu tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2 Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3 Etude de la fon tion exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Équations diérentielles 195.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.2 Equation diérentielle y′ = ay + b, (a; b) ∈ R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.3 Cara térisation des fon tions de type exponentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Primitives 216.1 Primitives d'une fon tion sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.2 Cal ul de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Nombres omplexes 247.1 Existen e des nombres omplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.2 Représentation géométrique des nombres omplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.3 Nombres omplexes onjugués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.4 Forme trigonométrique des nombres omplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267.5 Utilisations de la forme trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.6 Notation exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.7 Transformations et nombres omplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Fon tions logarithmes 318.1 Fon tion logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.2 Fon tion logarithme népérien et fon tion exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.3 Appli ations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

9 Produit s alaire dans l'espa e 359.1 Dénition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359.2 Orthogonalité dans l'espa e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369.3 Appli ation : équation artésienne d'un plan de l'espa e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3710 Droites et plans dans l'espa e 3910.1 Cara térisation d'une droite, d'une demi-droite, d'un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3910.2 Cara térisation bary entrique d'un plan et de l'intérieur d'un triangle . . . . . . . . . . . . . . 4010.3 Interse tion de droites et de plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4111 Probabilités (1) : Conditionnement et Indépendan e 4311.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4311.2 Probabilités onditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4511.3 Indépendan e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4712 Suites adja entes 4812.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4812.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4812.3 Appli ations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4913 Cal ul intégral 5113.1 Intégrale et aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5113.2 Propriétés de l'intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5313.3 Intégrale et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5514 Dénombrements 5614.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5614.2 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5715 Probabilités (2) : Quelques lois 6015.1 Lois de probabilités dis rètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6015.2 Adéquation à une loi équirépartie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6215.3 Quelques lois de probabilités ontinues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3 TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1Limites et ContinuitéExer i e 1. Déterminer les limites des fon tions suivantes.1. limx→+∞

(x2 + 2x)2. limx→+∞

1

x2 + 2x3. limx→1

(x2 + 2x)4. limx→2

1

(x − 2)21.1 Limite d'une fon tion en +∞1.1.1 DénitionsDénitions : Soit f une fon tion dont l'ensemble de dénition ontient un intervalle de la forme ]α; +∞[(α ∈ R). On dit que :1. f admet pour limite +∞ en +∞ si, pour tout A > 0, il existe un réel B tel que pour tout x > B,f(x) > A.On note alors lim

x→+∞f(x) = +∞ ou lim

+∞f = +∞.2. f admet pour limite −∞ en +∞ si la fon tion (−f) admet pour limite +∞ en +∞.3. f admet pour limite le réel L si, pour tout intervalle ouvert I ontenant L, il existe un réel B telque pour tout x > B, f(x) ∈ I.On note alors lim

x→+∞f(x) = L ou lim

+∞f = L.Remarques1. Attention ! Il existe des fon tions qui n'ont pas de limite en +∞. C'est par exemple le as de la fon tionsinus ou osinus. Nous y reviendrons.2. On dénit de façon analogue la notion de limite en −∞.Fon tions de référen es :1. Les fon tions x 7→ x2, x 7→ √

x, x 7→ xn (n ∈ N∗) ont pour limite +∞ en +∞.2. Les fon tions x 7→ 1x, x 7→ 1√

x, x 7→ 1

xn (n ∈ N∗) ont pour limite 0 en +∞.Exer i e 2. ⋆ Soit u la fon tion dénie sur R par u(x) = 2x+3. En utilisant les dénitions i-dessus,prouver que la limite de u en +∞ est +∞.

Exer i e 3. ⋆ Soit f une fon tion dénie sur R, roissante et non majorée. Montrer que f a pour limite+∞ en +∞.Théorème [Comparaison et limites : Soit f et g deux fon tions dont l'ensemble de dénition ontientun intervalle de la forme ]α; +∞[ (α ∈ R), telles que pour tout x > α, f(x) ≤ g(x).1. ⋆ Si lim

+∞f = +∞, alors lim

+∞g = +∞.2. ⋆ Si lim

+∞g = −∞, alors lim

+∞f = −∞.3. Si lim

+∞f = L ∈ R et si lim

+∞g = M ∈ R, alors L ≤ M .

⋆ Théorème dit des gendarmes : Soit f , g et h trois fon tions dont l'ensemble de dénition ontientun intervalle de la forme ]α; +∞[ (α ∈ R), telles que pour tout x > α, f(x) ≤ g(x) ≤ h(x).Si lim+∞

f = lim+∞

h = L, alors lim+∞

g = L.Exer i e 4. Soient f , g et h trois fon tions dénies sur R telles que pour tout x > 100, f(x) ≤ g(x) ≤ h(x).On suppose qu'en +∞, f admet une limite égale à 1 et que h admet une limite égale à 2.Peut-on armer que g posséde une limite omprise entre 1 et 2 ? Pourquoi ?1.1.2 Interprétation graphique1. Soit f une fon tion admettant la limite nie L en +∞.La droite d'équation y = L est asymptote horizontale à la ourbe de f en +∞.Cf

y = L

2. S'il existe deux réels a et b tels que limx→+∞

[f(x) − (ax + b)] = 0, alors la droite d'équation y = ax + b estasymptote oblique à la ourbe de f en +∞.Cf

y = ax + b

Remarque(s)Dans la situation no1, le signe de l'expression f(x) − L, lorsque x dé rit l'ensemble de dénition de f , donne5 Limites et Continuité

les positions relatives de la ourbe de f et de son asymptote.Dans la situation no2, le signe de l'expression f(x) − (ax + b), lorsque x dé rit l'ensemble de dénition de f ,donne les positions relatives de la ourbe de f et de son asymptote oblique.On a des dénitions analogues lorsque x tend vers −∞.1.2 Limite d'une fon tion en a ∈ R1.2.1 Expli ation du phénoméneSoit f une fon tion dont l'ensemble de dénition ontient le réel a ou bien dont a est une borne. On dit que :1. f admet pour limite +∞ en a si l'on peut rendre le nombre f(x) aussi grand qu'on le souhaite, quitteà hoisir x susamment pro he de a.On note alors limx→a

f(x) = +∞ ou lima

f = +∞.2. f admet pour limite −∞ en a si la fon tion (−f) admet pour limite +∞ en a.3. f admet pour limite le réel L si l'on peut rendre le nombre |f(x)−L| aussi pro he de 0 que l'on veut,quitte à hoisir x susamment pro he de a.On note alors limx→a

f(x) = L ou lima

f = L.Fon tions de référen es :1. Les fon tions dénies sur R par x 7→ x2, x 7→ √x, x 7→ xn (n ∈ N∗) ont pour limite 0 en 0.2. Les fon tions dénies sur ]0; +∞[ par x 7→ 1

x, x 7→ 1√

x, x 7→ 1

xn (n ∈ N∗), ont pour limite +∞ en 0.Remarques1. Nous admettrons que si une fon tion admet une limite réelle L en a, alors ette limite est unique : 'estla limite de la fon tion f en a.2. Attention ! La fon tion dénie sur ]0; +∞[ par x 7→ 1xadmet pour limite +∞ en 0, mais la fon tiondénie sur R∗ par x 7→ 1

xn'admet pas de limite en 0 : ette fon tion tend vers +∞ quand x tend vers 0en étant positif, et tend vers −∞ quand x tend vers 0 en étant négatif. On dit que :(a) x 7→ 1

xadmet une limite à droite en 0, qui vaut +∞ et on note : lim

x → 0x > 0

1

x= +∞.(b) x 7→ 1

xadmet une limite à gau he en 0, qui vaut −∞ et on note : lim

x → 0x < 0

1

x= −∞.3. Il peut être utile de retenir le résultat suivant : lim

x→af(x) = L équivaut à lim

h→0f(a + h) = L.

6 Limites et Continuité

1.2.2 Interprétation graphiqueSoit f une fon tion admettant pour limite +∞ en a ∈ R.La droite d'équation x = a est asymptote verti ale à la ourbe def . Cf

x=

a

RemarqueCette interprétation graphique reste valable lorsque la limite à gau he (ou à droite) en a est + ou −∞.1.3 Limites et opérationsSoit f et g deux fon tions admettant une limite en a. (a désigne un réel, ou +∞, ou −∞).1.3.1 Limite d'une sommeSi lima

f = L ∈ R +∞ −∞ +∞ −∞et si lima

g = L′ ∈ R L′ ∈ R L′ ∈ R +∞ −∞alors lima

(f + g) =Attention ! Si lima

f = +∞ et si lima

g = −∞, on ne peut rien on lure dire tement sur la limite de la some(f + g) : il s'agit d'une forme indéterminée du type ∞−∞.1.3.2 Limite d'un produitSi lim

af = L ∈ R +∞ +∞ +∞ −∞ −∞et si lima

g = L′ ∈ R L′ ∈ R∗+ L′ ∈ R∗

− +∞ −∞ +∞alors lima

(fg) =Attention ! On prendra garde aux formes indéterminées du type 0 ×∞.1.3.3 Limite d'un inverseSi lima

f = L ∈ R∗ +∞ −∞ 0 et f(x) > 0 pour tout xpro he de a0 et f(x) < 0 pour tout xpro he de aalors lim

a

1

f=7 Limites et Continuité

Ces résultats permettent de déterminer la limite d'un quotient.Attention ! On prendra garde, pour les quotients de fon tions, aux formes indéterminées du type 0/0 et ∞/∞.1.3.4 Limite d'une fon tion omposéeThéorème [admis : Les symboles α, β et γ désignant soit des réels, soit +∞, soit −∞, on onsidére unefon tion u telle que limα

u = β et une fon tion v telle que limβ

v = γ.Alors la fon tion omposée v u admet la limite γ en αExer i e 5. On rappelle que limx→0

sin x

x= 1. Déterminer1. lim

x→0

(

sin x

x

)2.2. limx→0

sin 3x

5x.3. lim

x→0

1 − cosx

x2(di ile)1.4 Fon tions ontinues1.4.1 DénitionDénitions : Soit f une fon tion dénie sur une partie D de R et a ∈ D. On dit que :1. f est ontinue en a si lim

x→af(x) = f(a).2. f est ontinue sur D si f est ontinue en tout point de D.Remarque(s)Pour être ontinue en un réel a, il est né essaire qu'une fon tion y soit dénie ; nous verrons qu'il existe desfon tions dénies sur R et qui ne sont pas ontinues en tout point de R.Lorsqu'une fon tion est ontinue sur un intervalle, on peut tra er sa ourbe représentative sur et intervallesans lever le rayon : ette ourbe est d'un seul tenant.Théorème : Des propriétés des limites, il dé oule immédiatement que les fon tions polynmes, rationnelles,ra ine arrée et les omposées de es fon tions, sont ontinues partout où elles sont dénies.Nous admettrons par ailleurs que les fon tions sinus et osinus et que leurs omposées ave les fon tionspolynmes, rationnelles, ra ine arrée, sont ontinues partout où elles sont dénies.1.4.2 Théorème des valeurs intermédiairesRappel : si I est un intervalle de R, alors, quels que soient les réels a et b de I vériant a < b, quel que soitle réel c vériant a < c < b, c ∈ I.Un intervalle de R est une partie sans trous, d'un seul tenant.Théorème [admis : Par une fon tion ontinue, l'image d'un intervalle est un intervalle. En parti ulier,l'image du segment [a; b], (a et b réels tels que a < b) est un segment.Remarques1. Attention ! L'image d'un intervalle ouvert par une fon tion ontinue n'est pas né essairement un inter-valle ouvert.8 Limites et Continuité

2. Soit f une fon tion ontinue sur un intervalle I, et a et b deux éléments de I. Le théoréme des valeursintermédiaires assure que tout réel c situé entre f(a) et f(b) admet (au moins) un anté édent par f .Corollaire [Théorème de la bije tion : Si f est une fon tion ontinue et stri tement monotone sur unintervalle I, alors f réalise une bije tion de I sur f(I).Remarque(s)Pour déterminer dans e as l'image f(I) de l'intervalle I par f , on utilisera selon les as les images des bornesde I par f ou les limites de f en es bornes.Exer i e 6. On onsidére la fon tion f dénie sur [0; +∞[ par f(x) = x3 + x − 1. Prouver que f réaliseune bije tion de [0; +∞[ sur un intervalle que l'on pré isera.En déduire que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans [0; +∞[ et déterminer un en adrementde α d'amplitude 10−2.Appli ation : puissan es à exposants rationnelsSoit n ∈ N∗ ; la fon tion fn dénie sur [0; +∞[ par fn(x) = xn est ontinue sur [0; +∞[ en tant que fon tionpolynme. Elle est par ailleurs stri tement roissante sur et intervalle.En outre, fn(0) = 0 et lim+∞

fn = +∞.On en déduit que fn réalise une bije tion de [0; +∞[ sur [0; +∞[.Ainsi, pour tout y ∈ [0; +∞[, il existe un unique x ∈ [0; +∞[ tel que y = xn.Dénition : Cet unique x positif tel que y = xn est appelé ra ine n-iéme de y et se note n√

y ou bien y1n .On appelle fon tion ra ine n−iéme la fon tion dénie sur [0; +∞[ par x 7→ n

√x.Remarques1. On a bien sûr ( n

√x)n = x : en utilisant la notation x

1n , ette égalité devient (x

1n )n = x. Remarquonsalors que n × 1

n= 1 ; ainsi, ette é riture, ave exposant sous forme de fra tion, permet de prolonger lespropriétés des puissan es vues dans les lasses antérieures.2. La fon tion ra ine n-iéme est la bije tion ré iproque de la fon tion fn. Dans un repére orthonormé, les ourbes de es deux fon tions sont symétriques par rapport à ........................ .

y = xn

y = x1n

On est maintenant en mesure de dénir la notation xp

q où x > 0, p ∈ Z et q ∈ N∗.Dénition [Puissan es exposants rationnels : La notation xp

q désigne le réel (x 1q

)p.9 Limites et Continuité

⋆ Théorème [Propriété des puissan es à exposants rationnels : Soient x et y deux réels stri tementpositifs ; r et s deux nombres rationnels.1. xrxs = xr+s2. (xr)s = xrs3. xryr = (xy)r.1.5 Travail Dirigé : un exemple de fon tion non ontinueDénition : On appelle partie entière du réel x le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x.La partie entière de x est notée E(x), où [x].Remarque(s)1. On admet que la partie entière d'un réel existe et est unique.2. On note E la fon tion dénie sur R et qui à tout x asso ie sa partie entière.Exer i e 7. Déterminer E(5), E(1.3), E(−3.4).Exer i e 8.1. Résoudre dans R l'équation E(x) = x.2. Montrer que pour x ≤ y, E(x) ≤ E(y).Exer i e 9. Représenter la fon tion E sur l'intervalle [−3; 3]. Cette fon tion est-elle ontinue en tout pointde R ?Propriété : Pour tout réel x, E(x) ≤ x < E(x) + 1Exer i e 10. Déterminer limx→+∞

E(x).Exer i e 11. Soit f la fon tion dénie sur R par f(x) = xE

(

1

x

) si x 6= 0 et f(0) = 1. f est-elle ontinueen 0 ?

10 Limites et Continuité

Chapitre 2Suites et ré urren es2.1 Raisonnement par ré urren eExer i e 1. Soit la suite (xn) dénie par : x0 = 1

∀n ∈ N, xn+1 =1

2xn + 5On souhaite prouver que pour tout entier n ∈ N, xn ≤ 10.1. Cal uler x0, x1, x2. La propriété annon ée semble-t-elle vraie ?2. Supposons que pour un ertain entier k, xé, on ait xk ≤ 10.Cette propriété se transmet-elle au nombre xk+1 ?3. Que peut-on en on lure ?On a mis en ÷uvre le raisonnement suivant, dont on admettra la validité : une ertaine propriété (i i xn ≤ 10) est vraie pour n = 0. (On dit que la propriété est initialisée.) En outre, si elle est vraie pour un entier n xé, on prouve qu'elle reste vraie pour l'entier suivant (n+1).(On dit que la propriété est héréditaire.) On peut alors on lure qu'elle est vraie pour tout entier n ≥ 0.Un tel raisonnement est appelé raisonnement par ré urren e.2.2 Suites et ordre2.2.1 VariationsDénitions : Une suite (un) est :

• roissante à partir du rang n0 si pour tout n ≥ n0, un+1 ≥ un.• dé roissante à partir du rang n0 si pour tout n ≥ n0, un+1 ≤ un.• onstante à partir du rang n0 si pour tout n ≥ n0, un+1 = un.Remarque(s)1. On dit qu'une suite est monotone pour signier qu'elle est soit roissante, soit dé roissante. Étudier lamonotonie d'une suite, 'est étudier ses variations.2. On dénit la notion de suite stri tement roissante ou dé roissante en remplaçant le symbole ≤ par <.Exer i e 2. On onsidère la suite (an) dénie par a0 = 2 et pour tout n ∈ N, an+1 = an +

1

an

.1. Étudier les variations de la fon tion f dénie sur [1; +∞[ par f(x) = x +1

x.2. Prouver que pour tout n ∈ N, an ≥ 1.3. Prouver que pour tout n ∈ N, an < an+1.

2.2.2 Suites minorées, bornées, majoréesDénitions : Une suite (un) est dite :1. minorée s'il existe un réel m tel que pour tout n, un ≥ m ;2. majorée s'il existe un réel M tel que pour tout n, un ≤ M ;3. bornée si elle est à la fois majorée et minorée.Remarque(s)Bien noter que tout minorant m de (un) ( omme tout majorant M) ne dépend pas de n.De plus, si une suite est majorée par le nombre 10, elle est aussi majorée par le nombre 11, 13.5, 2000 et . Unmajorant n'est don pas unique et il en est de même pour un minorant.Exer i e 3. Démontrer qu'une suite (un) est bornée si, et seulement si, il existe k ∈ R+ tel que pourtout n ∈ N, |un| ≤ k.Exer i e 4. Donner une dénition pour : la suite (un) n'est pas majorée.2.3 Limites de suites2.3.1 Rappels des dénitionsDénitions :• La suite (un) tend vers +∞, lorsque n tend vers +∞ si, quel que soit le réel A > 0, on peut trouver unrang N ∈ N tel que pour tout n ≥ N , un > A.On note alors lim

n→+∞un = +∞.

• La suite (un) a pour limite −∞ si la suite (−un) admet pour limite ..... .On note alors limn→+∞

un = −∞.• La suite (un) onverge vers le réel L si, pour tout intervalle ouvert I ontenant L, il existe un rang Nà partir duquel un ∈ I.On note lim

n→+∞un = LRemarque(s)1. Ainsi, une suite a pour limite +∞ si, à partir d'un ertain rang, on peut rendre tous ses termes supérieursà un ertain réel A, aussi grand soit-il.2. Dans la pratique, pour prouver qu'une suite onverge vers le réel L, il sura de prendre omme intervalleouvert ontenant L un intervalle de la forme ]L − r; L + r[, où r > 0.Ainsi, dire qu'une suite (un) onverge vers L signie que les termes de suites nissent par s'a umulerautour de L, quand n devient grand.3. Il existe des suites n'ayant pas de limite (nie ou innie) : on dit que de telles suites sont divergentes.Exer i e 5. ⋆ Montrer qu'une suite roissante non majorée a pour limite +∞.

⋆ Théorème : si une suite (un) onverge vers un réel L, alors e réel est unique.On dit que 'est la limite de suite (un) et on note limn→+∞

un = L.12 Suites et ré urren es

2.3.2 Diverses te hniques pour étudier les limites de suite⋆ Théorème ( omparaison de suites) :• Soient (un) et (vn) deux suites telles qu'à partir d'un ertain rang N , un ≥ vn :

• si limn→+∞

vn = +∞, alors limn→+∞

un = +∞.• si lim

n→+∞un = −∞, alors lim

n→+∞vn = −∞.

• Soient (un), (vn) et (wn) trois suites telles qu'à partir d'un ertain rang N , on ait un ≤ vn ≤ wn.Si limn→+∞

un = limn→+∞

wn = L, alors la suite (vn) a pour limite L.Exer i e 6. ⋆1. Soit h > 0 et n ∈ N : démontrer que (1 + h)n ≥ 1 + nh.2. Déterminer la limite de la suite (1 + nh).3. En déduire la limite de la suite (qn), lorsque q est un réel stri tement supérieur à 1, et la limite de lasuite (sn), lorsque s vérie 0 < s < 1.Théorème (Suites de référen es) :• Les suites (n2), (n3), (

√n), (qn) (q > 1) ont pour limite +∞.

• Les suites ( 1

n

), ( 1

n2

), ( 1√n

), (qn) (q ∈] − 1; 1[) ont pour limite 0.Théorème [admis (Limites de suites et fon tions) : a et b désignent soit des réels, soit +∞, soit −∞.On onsidère une fon tion f dénie sur D, dont a est un élément ou une borne.limx→a

f(x) = b si, et seulement si, pour toute suite (un) (d'éléments de D) de limite a, la suite (f(un)) apour limite b.Remarque(s)On notera qu'en parti ulier, si f est une fon tion ontinue en a, alors pour toute suite (un) de limite a, f(un)a pour limite f(a).Exer i e 7. Le but de et exer i e est de prouver que la fon tion cos n'a pas de limite en +∞.Pour ela, on va raisonner par l'absurde et supposer que ette fon tion admet une limite L.1. Expliquer pourquoi L ∈ R.2. Soit la suite (un) dénie pour tout n par un =π

2+nπ. Quelle est sa limite ? Que vaut alors lim

n→+∞cos(un).En déduire la valeur de L.3. Soit la suite (vn) dénie pour tout n par vn = 2πn. Quelle est sa limite ? Que vaut alors lim

n→+∞cos(vn).Aboutir à une ontradi tion et on lure.Théorème [admis (Limites de suites monotones) : Toute suite roissante et majorée par un réel M onverge vers un réel L ≤ M .Exer i e 8. ⋆ A partir du théorème i-dessus, prouver que tout suite dé roissante et minorée par un réel

m onverge vers un réel L ≥ m.13 Suites et ré urren es

Chapitre 3Compléments sur la dérivation3.1 Nombre dérivé - Fon tion dérivéeOn onsidère une fon tion f dénie sur un intervalle I ; a est un élément de I.Théorème : Les propositions suivantes sont équivalentes :1. Il existe un réel L tels que limh→0

f(a + h) − f(a)

h= L ;2. Il existe une fon tion φ telle que lim

h→0φ(h) = 0 et un réel L tel que pour tout h susamment pro he de0, on ait

f(a + h) = f(a) + Lh + hφ(h)Dénitions : Lorsque l'une ou l'autre des onditions i-dessus est réalisée, on dit que la fon tion f estdérivable en a, et que son nombre dérivé en a, noté f ′(a), vaut L.Si la fon tion f est dérivable en tout a ∈ I, on dit que f est dérivable sur I. On dénit alors une nouvellefon tion, notée f ′, et qui à tout x ∈ I asso ie le nombre f ′(x). f ′ est appelé fon tion dérivée de f sur I.Si la fon tion f ′ est elle-même dérivable sur I, on dit que f est deux fois dérivable sur I et on note f ′′ ladérivée de f ′ : f ′′ est appelée dérivée se onde de f sur I.Remarque(s)1. La fon tion h 7→ f(a) + hf ′(a) est une fon tion ane, appelée approximation ane de f au voisinagede a. On démontre, mais nous admettrons, que 'est la meilleure approximation ane possible de f auvoisinage de a.2. L'égalité f(a + h) = f(a) + Lh + hφ(h) s'é rit aussi, en posant x = a + h,f(x) = f(a) + f ′(a)(x − a) + (x − a)φ(x − a)On l'appelle développement limité d'ordre 1 de la fon tion f au voisinage de a.3. Notation diérentiellePosons y = f(x). On note souvent dydx

= f ′(x), pour illustrer le fait que limh→0

f(x + h) − f(x)

h= f ′(x).L'é riture formelle dy = f ′(x)dx résume la phrase : il existe une fon tion φ telle que lim

h→0φ(h) = 0 etun réel L tel que pour tout h susamment pro he de 0, on ait f(x + h) = f(x) + f ′(x)h + hφ(h).Cette é riture, appelée notation diérentielle, permet de fa iliter l'apprentissage de ertaines formules.Exer i e 1. Soit la fon tion dénie sur [1; +∞[ par f(x) = (x − 1)

√x2 − 1.Étudier la dérivabilité de f en 1.

⋆ Théorème : Si une fon tion est dérivable en un point, alors elle est ontinue en e point.Attention ! La ré iproque de e résultat est fausse.Par exemple, la fon tion ra ine arrée est ontinue en 0 mais non dérivable en 0.3.2 Interprétation graphiqueSi f est une fon tion dérivable en a ∈ I, alors la ourbe de f admeten son point d'abs isse a une tangente, de oe ient dire teurf ′(a). y = f ′(a)(x − a) + f(a)

y = f(x)

a

f(a)

Remarques1. Si f vérie limh→0

f(a + h) − f(a)

h= +∞ ou −∞, alors f n'est évidemment pas dérivable en a, mais sa ourbe représentative admet en a une tangente verti ale.2. Si f vérie :

limh→0+

f(a + h) − f(a)

h= Ld ∈ Ret

limh→0−

f(a + h) − f(a)

h= Lg ∈ Ret si Ld 6= Lg, alors f n'est pas dérivable en a, mais dérivable à droite et dérivable à gau he de a.On note f ′

d(a) = Ld et f ′g(a) = Lg.La ourbe de f présente en son point d'abs isse a deux demi-tangentes.Exer i e 2. Soit la fon tion dénie sur R par g(x) =

∣

∣x2 − x∣

∣.Étudier la dérivabilité de g en 0 et interpréter graphiquement le résultat.3.3 Dérivation d'une fon tion omposéeThéorème [Admis : Soit une fon tion u est dérivable en un réel a et v une fon tion dérivable en u(a),alors la fon tion v u est dérivable en a et(v u)′(a) = v′[u(a)] × u′(a)Exer i e 3.1. Soit la fon tion dénie sur R par f(x) =

√x2 + 1.Étudier la dérivabilité de f sur R et exprimer f ′(x) pour tout x pour lequel ela a un sens.2. Soit la fon tion dénie sur R par g(x) = cos (x2 − x).Étudier la dérivabilité de g sur R et exprimer f ′(x) pour tout x pour lequel ela a un sens.15 Compléments sur la dérivation

Chapitre 4Fon tion exponentielle4.1 Introdu tionThéorème et dénition : Il existe une unique fon tion f , dénie et dérivable sur R telle que :• f(0) = 1,• f est égale à sa dérivée.Cette fon tion est notée exp et est appelée fon tion exponentielle.On note e le nombre égal à exp(1).Remarque(s)1. L'existen e de ette fon tion est admise provisoirement. ⋆ Mais l'uni ité de ette fon tion est à savoirdémontrer.2. Conséquen es immédiates : La fon tion exp est ontinue sur . . ., dérivable sur . . . et pour tout x ∈ . . ., exp′(x) = . . . . . .. exp(0) = . . ..⋆ Corollaire : Soient u une fon tion dérivable sur un intervalle I. Alors la fon tion exp u est dérivable sur. . . et (exp u)′ = . . . . . ..Exer i e 1. Justier brièvement que la fon tion h : x 7→ exp(x2 − 3x) est dérivable sur R et déterminer,pour tout réel x, le nombre h′(x).Exer i e 2. Déterminer lim

x→0

exp(x) − 1

xet lim

x→0

exp(x) − exp(2x)

x.

⋆ Théorème : La fon tion exponentielle est stri tement positive sur R.Par onséquent, la fon tion exp ne s'annule jamais.4.2 Propriétés algébriques⋆ Théorème [Propriétés algébriques : Soient a et b deux réels et r un nombre rationnel.1. exp(a + b) = exp(a) exp(b).2. exp(−b) =

1

exp(b).3. exp(a − b) =

exp(a)

exp(b).4. exp(a)r = exp(ra).

Notation : On a don , pour tout rationnel r, exp(r) = er. On généralise ette notation à tout x réel enposant ex = exp(x).Remarque(s)On retrouve ainsi e qu'on savait déjà : e0 = 1 = exp(0) et e1 = e = exp(1).Le nombre ex se omporte omme les puissan es usuelles.Par ailleurs, pour tout réel a, on a √ea = e

a2 .Il est de bon goût de savoir que e ≃ 2, 718 . . . .4.3 Etude de la fon tion exponentielle4.3.1 Ensemble de dénition, de ontinuité et de dérivabilitéLa fon tion exponentielle est dénie sur . . ., dérivable, don ontinue, sur . . ..4.3.2 VariationsThéorème : La fon tion exponentielle est stri tement roissante sur R.Conséquen es : Soient a et b deux réels.1. ea > eb ⇔ a > b.2. ea = eb ⇔ a = b.4.3.3 LimitesExer i e 3. ⋆1. Montrer que pour tout x ∈ R+, ex ≥ x.2. En déduire la limite de exp en +∞ et en −∞.3. Interpréter graphiquement la limite de exp en −∞.Exer i e 4. ⋆1. Prouver que pour tout réel x, ex ≥ x2

2.2. (a) Déterminer la limite de ex

xquand x tend vers +∞, puis la limite de xex en −∞.(b) En déduire que pour tout r ∈ Q+, lim

x→+∞

ex

xr= +∞.( ) Que se passe-t-il si r ∈ Q−

∗ ?3. Déterminer la limite de xe−x quand x tend vers +∞.Soit n un entier naturel : que vaut limx→+∞

xne−x ?Ré apitulatif : • limx→+∞

ex = . . . • limx→−∞

ex = . . .

• limx→+∞

ex

x= . . . • lim

x→+∞xe−x = . . .On retiendra qu'à l'inni, l'exponentielle de x l'emporte sur toutes les puissan es de x.Exer i e 5. Prouver que la fon tion exponentielle réalise une bije tion de R sur un intervalle que l'onpré isera.17 Fon tion exponentielle

4.3.4 Représentation graphiquey = ex

Exer i e 6. Déterminer une équation de la tangente à le ourbe de la fon tion exponentielle en son pointd'abs isse 0.Représenter ette tangente sur le graphique i-dessus.Etudier la position relative de la ourbe et de ette tangente en 0.

18 Fon tion exponentielle

Chapitre 5Équations diérentielles5.1 GénéralitésExer i e 1. Considérons la fon tion f dénie sur l'intervalle ]0; +∞[ par f(x) =1

x.

f est dérivable sur ]0; +∞[ et pour tout x > 0, f ′(x) = . . . . . .Montrer que pour tout x > 0, xf ′(x) + f(x) = 0.On dit que f est une solution, sur ]0; +∞[, de l'équation diérentielle : xy′ + y = 0.Dans la notation xy′ + y = 0,• y désigne une fon tion, dérivable au moins sur un intervalle I.• x désigne une variable, appartenant à l'intervalle I.• y′ désigne la dérivée de la fon tion y sur I.Dans ette équation, interviennent seulement une fon tion y et sa dérivée première y′ : ette équation diéren-tielle est dite du premier ordre.Dénitions : Soit n un entier naturel non nul. Une équation diérentielle du n-ème ordre est une équationdont l'in onnue est une fon tion n fois dérivable sur un ertain intervalle I, exprimant une relation que doitvérier ette fon tion ave ses n dérivées su essives sur et intervalle.Résoudre sur I une équation diérentielle, 'est déterminer toutes les fon tions vériant sur I la relationdénissant ette équation diérentielle.Exer i e 2. Soit ω un réel non nul. On onsidère l'équation diérentielle (e) : y′′ − ω2y = 0.1. Quelle est l'ordre de ette équation diérentielle ?2. Montrer que pour tout réels A et B, la fon tion h : x 7→ Aeωx + Be−ωx est solution sur R de etteéquation.3. En prouvant que les fon tions i-dessus sont solutions de (e), a-t-on résolu ette équation ?Exer i e 3. On onsidère l'équation diérentielle y′′ = 2x. Déterminer l'ensemble des solutions de etteéquation sur R.5.2 Equation diérentielle y′ = ay + b, (a; b) ∈ R2Exer i e 4. ⋆ Résoudre sur R l'équation diérentielle y′ = ay + b, lorsque a = 0.On suppose désormais que a 6= 0.

5.2.1 Equation diérentielle y′ = ay, a ∈ R∗

⋆ Théorème : L'ensemble des solutions sur R de l'équation diérentielle y′ = ay, (a ∈ R∗) est onstitué desfon tions x 7→ Ceax, où C est une onstante réelle quel onque.Remarque(s)1. L'équation diérentielle y′ = ay, (a ∈ R∗), admet don une innité de solutions sur R.2. Cette équation est dite linéaire pour exprimer que si f et g sont deux solutions de ette équation, alorsla somme f + g l'est aussi, et pour tout réel λ, la fon tion λf l'est aussi.⋆ Théorème : Soit (x0; y0) ∈ R2. Parmi les solutions de l'équation diérentielle y′ = ay, (a ∈ R∗), il existeune unique fon tion f vériant la ondition initiale f(x0) = y0.Exer i e 5.1. Résoudre sur R l'équation y′ = −2y.2. Déterminer l'unique solution f telle que f(0) = 0.3. Déterminer l'unique solution g telle que g(1) = e2.5.2.2 Equation diérentielle y′ = ay + b, a ∈ R∗, b réel xéExer i e 6. ⋆1. Déterminer toutes les fon tions onstantes sur R, solutions de l'équation diérentielle y′ = ay + b, ave

a ∈ R∗, b réel xé.2. Montrer que si f est une solution de y′ = ay + b sur R, alors la fon tion g : x 7→ f(x) +b

aest solutionde y′ = ay sur R.En déduire qu'il existe un réel C tel que pour tout x ∈ R, f(x) = Ceax − b

a.3. Quel est l'ensemble des solutions de y′ = ay + b, ave a ∈ R∗, b réel xé ?

⋆ Théorème : L'ensemble des solutions sur R de l'équation diérentielle y′ = ay + b, (a ∈ R∗, b réel xé)est onstitué des fon tions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., où C est une onstante réelle quel onque.5.3 Cara térisation des fon tions de type exponentielDénition : Une fon tion f est dite de type exponentiel si, et seulement si, il existe un réel k tel que pourtout x ∈ R, f(x) = ekx.⋆ Théorème [Cara térisation des fon tions exponentielles : Si f est une fon tion de type exponentiel,alors1. f(0) = 1,2. f est dérivable 0,3. pour tout ouple (x; y) ∈ R2, f(x + y) = f(x)f(y).Ré iproquement, une fon tion f vériant les trois onditions i-dessus est une fon tion de type exponentiel.Remarques1. La relation : pour tout ouple (x; y) ∈ R2, f(x + y) = f(x)f(y) est appellée relation fon tionnelle.2. Si pour tout x, f(x) = ekx, alors f ′(0) = k.20 Équations différentielles

Chapitre 6PrimitivesExer i e 1. On onsidère la fon tion f dénie sur R par f(x) = x2 − 4x + 1.1. Soit F la fon tion dénie sur R par F (x) =x3

3− 2x2 + x. Déterminer, pour tout réel x, le nombre F ′(x).2. Soit G une fon tion dérivable sur R telle que G′ = f . Que dire de F et G ?6.1 Primitives d'une fon tion sur un intervalleOn onsidère une fon tion f dénie sur un intervalle I.Dénition : Une fon tion F , dénie et dérivable sur I, est une primitive de f sur I, si, pour tout x ∈ I,

F ′(x) = f(x).Remarque(s)1. x 7→ x2 est une primitive sur R de la fon tion x 7→ 2x.x 7→ x2 − 4 est une autre primitive sur R de la fon tion x 7→ 2x.2. Ainsi, si une fon tion admet une primitive sur un intervalle, elle en admet une innité. C'est pour elaque l'on dit : F est une primitive de f sur I.

⋆ Théorème : Soient F et G deux primitives, sur un intervalle I, d'une même fon tion f ; alors F et Gdièrent d'une onstante. Autrement dit, il existe un réel k tel que pour tout x ∈ I, G(x) = F (x) + k.Exer i e 2. Soit F et G deux fon tions dénies sur un intervalle I et k un réel tels que pour tout x ∈ I,G(x) = F (x)+ k. Par quelle transformation géométrique passe-t-on de la ourbe représentative de F à elle deG ?

⋆ Corollaire : Soit f une fon tion admettant des primitives sur un intervalle I et x0 ∈ I, y0 ∈ R. Il existeune unique primitive de f prenant la valeur y0 en x0.Exer i e 3. Soit la fon tion dénie sur R par g(x) = x(x2 − 1)5.Déterminer l'unique primitive de G de g sur R tel que G(0) = 0.Théorème [Admis : Si une fon tion est ontinue sur un intervalle, alors elle admet des primitives sur etintervalle.

6.2 Cal ul de primitives6.2.1 Primitives des fon tions usuellesPar le ture inverse du tableau de dérivées, on obtient le tableaux suivants, donnant les primitives des fon tionsusuelles Si f(x) = sur l'intervalle I = alors une primitive de f sur I estk, k onstante R x 7→ . . .

xn, n ∈ N∗ R x 7→ . . .

xr, r ∈ Q+ [0; +∞[ x 7→ . . .

xr, r ∈ Q− − −1, R∗+ x 7→ . . .

cosx R x 7→ . . .

sin x R x 7→ . . .Exer i e 4. Déterminer une primitive de x 7→ √x sur l'intervalle R+.Remarque(s)Les primitives de la fon tion inverse x 7→ 1

x= x−1 sur ] −∞; 0[ et sur ]0; +∞[ ne s'expriment pas à l'aide desfon tions déjà onnues. Nous y reviendrons plus tard.6.2.2 Quelques règles de al uls

u et v sont deux fon tions admettant respe tivement les primitives U et V sur l'intervalle I.Règle n1 : la fon tion U + V est une primitive de u + v sur I.Règle n2 : pour tout réel λ, la fon tion λU est une primitive de λu sur I.Règle n3 : soient (a; b) ∈ R∗ × R et J l'intervalle tel que pour tout x ∈ J , ax + b ∈ I.La fon tion x 7→ 1

aU(ax + b) est une primitive sur . . . de x 7→ u(ax + b).Règle n4 : si u est dérivable sur I,

• une primitive sur I de u′un (n ∈ N) est : . . .• une primitive sur I de u′eu est : . . .

• si u > 0, une primitive de u′√

uest : . . .

• si u ne s'annule pas sur I, une primitive de u′

un, (n ∈ N, n ≥ 2), est : . . .Remarque(s)Plus généralement, on utilise souvent à l'envers la formule de dérivation d'une fon tion omposée pour déter-miner des primitives.22 Primitives

Exer i e 5. Déterminer une primitive de :1. x 7→ 1

x2sin

(

1

x

) sur ]0; +∞[.2. x 7→ xex2+1 sur R.

23 Primitives

Chapitre 7Nombres omplexesExer i e 1.1. Résoudre dans N, puis dans Z, l'équation : x + 3 = 0.2. Résoudre dans Z, puis dans D, l'équation : 2x = 3.3. Résoudre dans D, puis dans Q, l'équation : 3x + 1 = 0.4. Résoudre dans Q, puis dans R, l'équation : x2 = 2.5. Résoudre dans R l'équation x2 + 1 = 0.7.1 Existen e des nombres omplexesThéorème [Admis : Il existe un ensemble de nombres, noté C, ontenant l'ensemble R, et un élément deC, noté i, vériant i2 = −1.Tout z ∈ C possède une é riture unique de la forme a + bi, où (a; b) ∈ R2.Ainsi, dire a + bi = a′ + b′i, ave a, b, a′ et b′ réels, équivaut à a = a′ et b = b′.On peut munir et ensemble C d'une addition + et d'une multipli ation ×, qui prolongent elles de R : elasignie que es opérations possèdent les mêmes propriétés que dans R et se mènent de la même façon, enremplaçant i2 par −1, lorsque le as se présente.Remarque(s)Le nombre i n'est pas un réel ; s'il l'était, la règle des signes imposerait i2 ≥ 0.Par ailleurs, il n'existe pas de relation d'ordre sur C qui soit ompatible ave l'addition et la multipli ation ;en réant C, on gagne des propriétés algébriques, mais on en perd d'autres.Dénitions : Soit z ∈ C. L'é riture de z sous la forme a + bi, où (a; b) ∈ R2, est appelée forme algébriqueou artésienne de z.a est la partie réelle de z et on note a = Re(z).b est la partie imaginaire de z et on note b = Im(z).Un nombre omplexe de la forme bi, où b ∈ R, est appelé imaginaire pur.Remarque(s)Attention ! La partie imaginaire d'un nombre omplexe est en fait un réel.De façon évidente, pour tout z ∈ C, z ∈ R si, et seulement si, Im(z) = 0.Exer i e 2. A tivité 2 p. 208.

Exer i e 3. Résoudre dans C l'équation z2 = a, où a est un réel stri tement négatif.En déduire la résolution de l'équation z2 + z + 1 = 0.7.2 Représentation géométrique des nombres omplexesLe plan P est rapporté au repère orthonormé dire t (O;−→u ,−→v ).Dénitions : A tout nombre omplexe z de forme algébrique a + bi, où (a; b) ∈ R2, on asso ie le point Mde P de oordonnées (a; b).On dit que z est l'axe de M et que M est l'image de z.Le plan P , dans lequel les points sont repérés par leurs axes, est appelé plan omplexe.(O;−→u ) est appelé axe réel. (O;−→v ) est appelé axe imaginaire.⋆ Propriétés : Soit A(zA) et B(zB) deux points du plan omplexe.• Le milieu I de [AB a pour axe zA + zB

2• Le ve teur −−→AB a pour axe zB − zA.• α et β étant deux réels de somme non nulle, le bary entre G de (A ; α) et (B ; β) a pour axe

zG =αzA + βzB

α + βExer i e 4.1. Dans le plan omplexe P , représenter les points A(1 + i), B(−3i) et C(−1 + 2i).2. Déterminer l'axe du milieu K de [AC.3. Déterminer l'axe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.7.3 Nombres omplexes onjuguésDénitions : Pour tout nombre omplexe z de forme algébrique a + bi, où (a; b) ∈ R2, on appelle onjuguéde z, et on note z, le omplexe a − bi.Exer i e 5. Soit z ∈ C ; dans le plan omplexe, représenter les point M(z), M1(z), M2(−z) et M3(−z).Par quelle transformation géométrique passe-t-on de M à M1 ? de M à M2 ? de M à M3 ?⋆ Propriétés de la onjugaison : Soit z et z′ deux omplexes.1. z = z.2. z + z′ = z + z′3. zz′ = z z′ et pour tout n ∈ N∗, (z)n = zn4. Si z 6= 0, alors z 6= 0 et on a (1

z

)

=1

zet (z′

z

)

=z′

z5. z + z = 2Re(z) et z − z = 2iIm(z).On en déduit :• z ∈ R si, et seulement si, z = z.• z est imaginaire pur si, et seulement si, z = −z.25 Nombres omplexes

Remarque(s)La propriété 1 i-dessus peut se traduire ainsi : l'appli ation g de C dans C, dénie par g(z) = z vérie, pourtout z, (g g)(z) = z. Cela prouve que g est bije tive et que sa bije tion ré iproque est elle-même : on dit queg est une involution.Exer i e 6. Soit l'appli ation f de P dans P qui au point M(z) asso ie le point M'(z′) tel que z′ = z2 + z.Déterminer l'ensemble E des points M tels que M'∈ (O;−→u ).7.4 Forme trigonométrique des nombres omplexesLe plan omplexe P est rapporté au repère orthonormé dire t (O;−→u ,−→v ).Exer i e 7. On onsidère les points A(2+2i) ; B(1 − i√3) ; C(5i).1. Déterminer, sous la forme [r; θ], les oordonnées polaires des points A, B et C.2. Représenter A, B et C dans le plan.3. Interpréter géométriquement les réels r et θ.Théorème et dénition : Soit z ∈ C∗ de forme algébrique a + bi, où (a; b) ∈ R2.Il existe un réel positif r et un réel θ tel que z = r(cos θ + i sin θ). On dit que :• r est le module de z, qu'on note |z|.• θ est un argument de z, qu'on note arg z.• L'é riture du omplexe non nul z sous la forme r(cos θ + i sin θ) est sa forme trigonométrique.r et θ vérient :1. r =

√a2 + b2.2. cos θ =

a√a2 + b2

et sin θ =b√

a2 + b2Le nombre 0 n'a pas d'arguments, et son module vaut 0.Remarque(s)• Le module d'un nombre omplexe est déterminé de façon unique. En revan he, si θ désigne un argument du omplexe non nul z, les réels de la forme θ + 2kπ, où k ∈ Z, sont aussi des arguments de z : on peut é rirealors arg z ≡ θ [2π].• Si z ∈ R, alors |z| n'est pas autre hose que la valeur absolue de z ; la notation utilisée pour désigner lemodule est don ohérente.• On remarquera que pour tout z ∈ C, z z = |z|2. Cela pourra alléger ertain al uls.Interprétation géométrique Soit M(z). Le module de z orrespond à la distan e ....... et tout argument de z est unemesure de l'angle orienté ......... .Pour tout z ∈ C, les équivalen es suivantes sont vraies :

z ∈ R∗ ⇐⇒ arg z ≡ 0 [π]

z est un imaginaire pur non nul ⇐⇒ arg z ≡ π

2[π]

•

−→u

−→v

MOExer i e 8. Déterminer la forme trigonométrique des omplexes 2 , 1 + i, 1 − i

√3 et i, ainsi que de

sin x + i cosx, où x est un réel xé.26 Nombres omplexes

7.5 Utilisations de la forme trigonométrique⋆ Propriétés [Cal uls : Soient z et z′ deux omplexes non nuls de formes trigonométriques respe tivesr(cos θ + i sin θ) et r′(cos θ′ + i sin θ′).1. z = z′ si, et seulement si, r = r′ et θ = θ′ + 2kπ, k ∈ Z.2. zz′ = rr′ (cos(θ + θ′) + i sin(θ + θ′)).3. Si z est non nul, alors r 6= 0 et :

1

z=

1

r(cos(−θ) + i sin(−θ))

z′

z=

r′

r(cos(θ′ − θ) + i sin(θ′ − θ))4. Pour tout n ∈ Z, zn = rn (cos(nθ) + i sin(nθ))5. z = r (cos(−θ) + i sin(−θ)).Remarque(s)On obtient en parti ulier la formule de Moivre : ∀n ∈ Z, (cos(θ) + i sin(θ))

n= cos(nθ) + i sin(nθ), outile a e pour obtenir diverses relations trigonométriques.Exer i e 9. Dresser séparément une liste des propriétés du module d'un nombre omplexe et une liste despropriétés des arguments.

⋆ Propriétés [Interprétation géométrique : Soient A(zA), B(zB) et C(zC) trois points du plan omplexe.1. AB = |zB − zA| et si A 6= B, (−→u ;−−→AB

)

≡ arg (zB − zA) [2π].2. Si A 6= C et si A 6=B, alors :ACAB =

∣

∣

∣

∣

zC − zAzB − zA ∣∣∣∣ et (−−→AB ;

−−→AC ) a pour mesures arg

(

zC − zAzB − zA)+ 2kπ (k ∈ Z)En parti ulier,

• −−→AB et −−→AC sont olinéaires si, et seulement si zC − zAzB − zA est réel ;

• −−→AB et −−→AC sont orthogonaux si, et seulement si zC − zAzB − zA est imaginaire pur.Remarque(s)Dans le as où −−→AB et −−→AC sont olinéaires, le rapport zC − zA

zB − zA donne la valeur du réel λ tel que −−→AC = λ−−→AB .7.6 Notation exponentielleExer i e 10. [Fon tions de R vers CContexte : Soit une fon tion f , dénie sur un intervalle I ⊂ R et à valeurs dans C.Il existe deux fon tions u et v de I dans R, telles que pour tout x ∈ I, f(x) = u(x) + iv(x).

u(x) est la partie réelle du nombre f(x) et v(x) est sa partie imaginaire.u et v sont des fon tions de I vers R.1. On onsidère la fon tion f qui à tout réel x asso ie le omplexe 1

x − i.(a) Quel est l'ensemble de dénition de f ?(b) Déterminer les parties réelle et imaginaire du nombre f(x).

27 Nombres omplexes

Dénition : Soit f une fon tion dénie sur un intervalle I et et à valeurs dans C. On dit que f est dérivablesur I, lorsque les fon tions u et v dénies i-dessus le sont. Et alors, pour tout a ∈ I, f ′(a) = u′(a) + iv′(a).2. Soit g la fon tion dénie sur R par g(x) = cosx + i sinx.(a) Cal uler g(0).(b) Prouver que g est dérivable sur R et déterminer, pour tout réel x, le nombre g′(x).( ) Cal uler g′(0).(d) Prouver que pour tous réels a et b, g(a + b) = g(a)g(b).Notation : La fon tion g vérie la ara térisation des fon tions de type exponentiel. Ainsi, il existe un omplexe k tel que pour tout x ∈ R, g(x) = ekx. Or k = g′(0) = i.On note don , pour tout réel x,cosx + i sinx = eixAinsi, le omplexe non nul z, de forme trigonométrique r(cos θ + i sin θ) s'é rit reiθ.Cette é riture est appelée forme exponentielle du omplexe z.Exer i e 11. Montrer que la fon tion g est solution sur R de l'équation diérentielle y′ = iy.Exer i e 12. A savoir : ei0 = e2iπ = . . . ; eiπ = . . . ; ei π

2 = . . . ; e−i π2 = . . . .Pour tout réel x, ∣∣eix

∣

∣ = ..... .En se basant sur les propriétés des arguments, on obtient la liste de propriétés suivante :Propriétés : Soit x et y deux réels.1. eixeiy = ...........2. 1

eix= ..........3. eiy

eix= ...........4. Le onjugué de eix est eix = ...............5. Pour tout n ∈ Z, (eix

)n= ..........

⋆ Formules d'Euler : Soit θ un réel. Alors :1. cos θ =eiθ + e−iθ

22. sin θ =eiθ − e−iθ

2iExer i e 13. Soit a un nombre réel ; déterminer le module et un argument du omplexe 1 + eia.Exer i e 14. Pour tout x ∈ R, exprimer cos4 x en fon tion de cos 2x et cos 4x.7.7 Transformations et nombres omplexesLe plan omplexe P est rapporté au repère orthonormé dire t (O;−→u ,−→v ).Soit f une appli ation du plan P dans lui-même, 'est-à-dire un pro édé permettant d'asso ier à tout point Md'axe z un unique point M′ d'axe z′.28 Nombres omplexes

Il s'agit, dans ette se tion, de déterminer l'expression de z′ en fon tion de z, lorsque f est une transformation onnue : une translation, une homothétie ou une rotation.Rappel : On sait déjà que la symétrie orthogonale d'axe (O;−→u ) asso ie au point M(z) le point M′ d'axez′ = . . ..7.7.1 Translation de ve teur ~wDénition : Soit −→w un ve teur. La translation de ve teur −→w , notée t−→w , asso ie à tout point M du plan lepoint M′ tel que . . . . . . . . ..

•

−→w M Expression omplexe : Soit b l'axe du ve teur −→w . Par la trans-lation de ve teur −→w , le point M(z) a pour image le point M′ d'axez′ = . . . . . ..Ré iproquement, la transformation de P dans P qui à tout pointM(z) asso ie le point M′ d'axe z′ = z + b, où b est un omplexexé, est la translation de ve teur −→w (b).

Exer i e 15.1. Quelle est en fait la translation de −→0 ?2. Prouver que toute translation est une isométrie.3. Soit A, B et C trois points du plan omplexes deux à deux distin ts, d'images respe tives A′, B′, C′ par

t−→w . Comparer les angles orientés (−−→AB ;

−−→AC ) et (−−−→A′B′ ;

−−−→A′C′ ).7.7.2 Homothétie de entre Ω et de rapport k, k ∈ R∗Dénition : Soit Ω un point du plan et k ∈ R∗. L'homothétie de entre Ω et de rapport k, notée hΩ;k,asso ie à tout point M du plan le point M′ tel que . . . . . . . . . . . . . . ..Image de M par hΩ;− 34

•M•

Ω

Expression omplexe : Soit ω l'axe du point Ω.Par hΩ;k, le point M(z) a pour image le point M′ d'axez′ = . . . . . .Ré iproquement, la transformation de P dans P qui à tout pointM(z) asso ie le point M′ d'axe z′ = kz + b, où b est un om-plexe xé et k un réel diérent de 1, est l'homothétie de entre

Ω(

b1−k

) et de rapport k.29 Nombres omplexes

Exer i e 16.1. Que dire d'une homothétie de rapport 1 ? de rapport −1 ?2. Prouver qu'une homothétie de rapport k multiplie les distan es par |k|.3. Par une homothétie de rapport diérent de 1, quel est l'ensemble des points invariants ?7.7.3 Rotation de de entre Ω et d'angle α, α ∈ RDénition : Soit Ω un point du plan et α un réel. La rotation de entre Ω et d'angle α , notée rΩ;α, asso ieau point M le point M′ déni par : Si M= Ω, alors M′ = Ω : le entre d'une rotation est invariant par ette rotation. Si M6= Ω, alors M′ est déni par ΩM = ΩM′ et (−−→ΩM ;

−−−→ΩM′ ) ≡ α [2π].Image de M par rΩ; π

3

•M•

Ω

Expression omplexe : Soit ω l'axe du point Ω.Par rΩ;α, le point M(z) a pour image le point M′ d'axez′ = . . . . . .Ré iproquement, la transformation de P dans P qui à tout pointM(z) asso ie le point M′ d'axe z′ = eiαz+b, où b est un omplexexé et α un réel diérent de 2kπ (k ∈ Z), est la rotation de entre

Ω(

b1−eiα

) et d'angle α.Exer i e 17.1. Que dire d'une rotation dont l'angle vaut 0 modulo 2π ? vaut π ?2. Prouver qu'une rotation est une isométrie.3. Soit r une rotation d'angle α et A, B deux points distin ts d'images respe tives A′ et B′ par r. Déterminerune mesure de l'angle orienté (

−−→AB ;−−−→A′B′ ).

30 Nombres omplexes

Chapitre 8Fon tions logarithmes8.1 Fon tion logarithme népérien8.1.1 Introdu tionExer i e 1. ⋆ Soit la fon tion f dénie sur l'intervalle ]0; +∞[ par f(x) = 1x.1. Justier que f admet des primitives sur ]0; +∞[.On appelle L l'unique primitive de f qui s'annule en 1.2. Déterminer les variations de L sur ]0; +∞[.3. Soit a > 0 et M la fon tion dénie sur ]0; +∞[ par M(x) = L(ax).Prouver que M est dérivable sur ]0; +∞[ et déterminer le nombre M ′(x), pour tout réel x > 0.4. En déduire qu'il existe un réel k tel que sur ]0; +∞[, M(x) = L(x) + k.Déterminer la valeur de k en fon tion de a.5. Démontrer les propriétés suivantes, valables pour tous réels a et b stri tement positifs :(a) L(ab) = L(a) + L(b)(b) L

(

1

a

)

= −L(a)( ) L

(

b

a

)

= L(b) − L(a)(d) L(√

a) =1

2L(a)Dénition : On appelle fon tion logarithme népérien et on note ln l'unique primitive s'annulant en 1 dela fon tion f dénie sur l'intervalle ]0; +∞[ par f(x) =

1

x.Conséquen es immédiates :1. ln 1 = . . . . . .2. ln est dérivable sur ]0; +∞[ et pour tout x > 0, ln′(x) = . . . . . .Exer i e 2. ⋆ Déterminer, si elle existe, lim

x→0

ln(1 + x)

x.Théorème : Soit u une fon tion ne s'annulant pas et dérivable sur un intervalle I ; la fon tion ln |u| estalors dérivable sur . . . et sa dérivée est égale à la fon tion u′

u.

Exer i e 3.1. Soit g la fon tion dénie par g(x) = ln(x2 − 1). Déterminer son ensemble de dénition et de dérivabilité,puis exprimer, pour tout x pour lequel ela a un sens, g′(x).2. Soit h la fon tion dénie sur R∗ par h(x) = ln |x|. Prouver que h est dérivable sur R∗ et exprimer pourtout x 6= 0, le nombre h′(x).3. Déterminer une primitive sur l'intervalle ]1; +∞[ de la fon tion j : x 7→ 2x + 1

x − 1.8.1.2 Propriétés algébriques

⋆ Théorème : Soient a et b deux réels stri tement positifs.1. ln(ab) = ln(a) + ln(b)2. ln

(

1

a

)

= − ln(a)3. ln

(

b

a

)

= ln(b) − ln(a)4. ∀r ∈ Q, ln(ar) = r ln(a) et en parti ulier, ln(√

a) =1

2ln(a)8.1.3 Etude de la fon tion ln

• ln est dénie, dérivable et don ontinue sur . . . . . ..• Variations : ln est stri tement roissante sur ]0; +∞[.On en déduit le signe de lnx, quand x dé rit ]0; +∞[ :1. si x ∈] . . . ; . . . [, alors lnx < 0.2. si x = . . ., alors lnx = 0.3. si x ∈] . . . ; . . . [, alors lnx > 0.De plus, pour tous réels stri tement positif a et b :1. ln a = ln b si, et seulement si a = b.2. ln a > ln b si, et seulement si a > b.• ⋆ Limites : lim

x→+∞lnx = +∞ et lim

x→0+lnx = −∞.

O y = ln x

Exer i e 4. ⋆1. Soit v la fon tion dénie sur [1; +∞[ par v(x) = lnx − 2√

x.Montrer que pour tout x ≥ 1, v(x) ≤ 0.2. En déduire la valeurs de limx→+∞

lnx

xet lim

x→0+x lnx.3. Soit r ∈ Q∗

+ ; déterminer limx→+∞

lnx

xret lim

x→0+xr lnxRé apitulatif :

• limx→+∞

lnx = . . . • limx→0+

lnx = . . .

• ∀r ∈ Q∗+, lim

x→+∞

lnx

xr= . . . • lim

x→0+xr lnx = . . .On retiendra qu'à l'inni, le logarithme de x est dominé par toutes les puissan es de x.32 Fon tions logarithmes

8.2 Fon tion logarithme népérien et fon tion exponentielleExer i e 5.1. Prouver que ln réalise une bije tion de ]0; +∞[ sur un intervalle que l'on pré isera.2. On note omme d'habitude ln−1 sa bije tion ré iproque.(a) Quel est l'ensemble de dénition de ln−1 ? Que vaut ln−1(0) ?(b) Indiquer omment on déduit, dans un repère orthonormé, la ourbe de ln−1 de elle de ln.( ) On rappelle que la symétrie axiale onserve le onta t : ela signie que si une droite (D) esttangente à une ourbe (C) en un point A, alors par une symétrie axiale, l'image de (D) est tangenteà l'image de (C) en l'image de A.i. Former l'équation de la tangente (D) à la ourbe de ln en son point A d'ab isse 1.ii. Soit s la symétrie axiale d'axe la droite d'équation y = x. Déterminer les oordonnées de l'imageA′ de A ainsi qu'une équation de l'image (D′) de (D) par s.iii. Pré iser le oe ient dire teur de (D′). Qu'en déduit-on, en terme de dérivabilité, pour lafon tion ln−1 ?(d) Prouver que pour tout réel a et b, ln−1(a + b) = ln−1(a) ln−1(b).(e) Prouver que ln−1 est dérivable sur R et prouver que ln−1 =

(

ln−1)′.Ainsi, on a prouvé l'existen e d'une fon tion f , dénie sur R, telle que

• f(0) = 1 ;• f ′ = f .C'est la bije tion ré iproque de la fon tion ln.L'existen e de la fon tion exponentielle est don justiée et e ours nous montre que 'est la bije tion ré i-proque de la fon tion ln. En onséquen e :Propriété :1. ln e = . . . . . .2. Pour tout x ∈ . . . . . . . . ., ln(ex) = . . . . . .3. Pour tout x ∈ . . . . . . . . ., eln x = . . . . . .Exer i e 6.1. Cal uler ln(e2) et ln

√e.2. Résoudre l'équation ex = 3 et l'équation lnx = −1.8.3 Appli ations8.3.1 Exponentielle de base a, a > 0Dénition : Soit a un réel stri tement positif. Pour tout x ∈ R, on pose ax = ex ln a .Remarque(s)Cette notation est ompatible ave la notation que l'on a déjà justiée lorsque r ∈ Q, ar dans e as, on saitque r ln a = ln(ar) et qu'ainsi, er ln a = eln(ar) = ar. On prolonge don ette notation a x réel quel onque.Maintenant, une é riture telle que π

√2 est pleinement justiée : 'est l'image, par la fon tion exponentielle, duréel . . . . . . . . ..

33 Fon tions logarithmes

Dénition et théorème : Soit a un réel stri tement positif.La fon tion exponentielle de base a est la fon tion expa : x 7→ ax.Cette fon tion est dérivable sur R et pour tout réel x, exp′a(x) = . . . . . ..Il s'ensuit que :1. Si a > 1 , expa est stri tement . . . . . . . . . . . . . . . . . . sur . . . . . ..2. Si a = 1, expa est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..3. Si a ∈]0; 1[, expa est stri tement . . . . . . . . . . . . . . . . . . sur . . . . . ..

Oy = ex

y = 4x

y = (1, 2)xy = (0, 5)x

8.3.2 Fon tions logarithmes de base a, a > 0 et diérent de 1Dénition : Soit a un réel stri tement positif diérent de 1. On appelle fon tion logarithme de base a eton note loga la fon tion dénie sur l'intervalle ]0; +∞[ par loga(x) =lnx

ln a.Remarque(s)Si a = 10, on obtient la fon tion logarithme dé imal, noté simplement log ou lg.Propriétés :

• loga(1) = . . . et loga(a) = . . .• loga possède les mêmes propriétés algébriques que ln.• Si a > 1, la fon tion loga est stri tement roissante sur ]0; +∞[.Si 0 < a < 1, alors la fon tion loga est stri tement dé roissante sur ]0; +∞[.Remarque(s)La fon tion ln est la fon tion logarithme de base . . ..Exer i e 7. ⋆ Soit a un réel stri tement positif diérent de 1 et b un réel quel onque : prouver, pour toutréel x > 0, que loga(x) = b si, et seulement si ab = x.Exer i e 8. ⋆ Soit (un) la suite pour n ∈ N∗ par un =

(

1 +1

n

)n. Déterminer limn→+∞

un.Exer i e 9. Pour α réel quel onque, on dénit la fon tion puissan e α sur ]0; +∞[ par fα : x 7−→ xα.Montrer que fα est dérivable sur ]0; +∞[ et déterminer sa dérivée.34 Fon tions logarithmes

Chapitre 9Produit s alaire dans l'espa eOn travaille dans l'espa e E , rapporté au repère orthonormé (O;−→i ,

−→j ,

−→k ).On appelle E l'ensemble des ve teurs que l'on peut représenter à partir des points de E .Rappel : Soit −→u un ve teur représenté par le ouple de points (A; B), 'est-à-dire tel que −→u =

−−→AB . Lanorme de −→u , notée ||−→u ||, est par dénition égale à la distan e AB.Si dans la base orthonormée (

−→i ,

−→j ,

−→k ), −→u a pour oordonnées (x; y; z), alors ||−→u || = . . . . . . . . . . . ..9.1 Dénition et propriétésDénitions : Soient −→u et −→v deux ve teurs. On appelle produit s alaire de −→u par −→v le réel noté −→u · −→v etdéni par :

−→u · −→v =1

2

(

||−→u ||2 + ||−→v ||2 − ||−→u −−→v ||2)Propriété [Expression analytique du produit s alaire : Soient −→u (x; y; z) et −→v (x′; y′; z′) deux ve -teurs. −→u · −→v = xx′ + yy′ + zz′Corollaire [Règles de al ul : Soit −→u , −→v et −→w trois ve teurs et k un réel.1. −→u · −→u = ||−→u ||2.2. Symétrie : −→u · −→v = −→v · −→u .3. Bilinéarité : −→u · (−→v + −→w ) = −→u · −→v + −→u · −→w et (k−→u ) · −→v = −→u · (k−→v ) = k × (−→u · −→v ).Remarque(s)1. Soit trois points A, B et C tels que −→u =

−−→AB et −→v =

−−→AC : il existe un plan P ontenant les points A,

B et C. Cal uler dans l'espa e le produit s alaire −→u · −→v revient à le al uler dans e plan.2. L'expression analytique n'est valable que dans un repère orthonormée.3. −→u · −→u se note −→u 2 et est appelé arré s alaire de −→u .Exer i e 1.1. Que vaut en parti ulier −→u · −→0 ?2. ⋆ Montrer que :−→u · −→v =

||−→u || × ||−→v || si −→u et −→v sont olinéaires de même sens− ||−→u || × ||−→v || si −→u et −→v sont olinéaires de sens ontraire

Exer i e 2. ⋆ Soient A, B et C trois points de l'espa e. Exprimer −−→AB · −−→AC en fon tion des distan es

AB, AC et BC.9.2 Orthogonalité dans l'espa e9.2.1 Cara térisation de l'orthogonalité de deux ve teursThéorème : Deux ve teurs sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit s alaire est nul.Remarque(s)Le ve teur nul est orthogonal à tous les ve teurs de E ; 'est le seul qui possède ette propriété.9.2.2 Proje tion orthogonaleRappels1. Par deux points distin ts A et B, il passe une unique droite de l'espa e, que l'on note (AB). Cettedroite peut être dénie par un de ses points et par un ve teur −→u non nul olinéaire à −−→AB : −→u est un

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de (AB). Ainsi,M appartient à la droite passant par A et dirigée par −→u si, et seulement si, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..2. Par trois points non alignés A, B et C, il passe un unique plan de l'espa e, noté (ABC). Les ve teursnon olinéaires −−→AB et −−→AC onstitue un ouple de ve teurs dire teurs du plan (ABC).

M ∈ (ABC) ssi −−→AM ,−−→AB et −−→AC sont . . . . . . . . . . . . . . . . . ..Autrement dit, M ∈ (ABC) ssi il existe (a; b) ∈ R2 tel que −−→

AM = a−−→AB + b

−−→AC .3. On dit qu'une droite d est orthogonale à un plan P et on note d ⊥ P si d est orthogonale à deuxdroites sé antes de P .Cela revient à dire que si d est dirigée par −→u et si P est dirigé par −→v et −→w , alors :

d ⊥ P si, et seulement si, −→u ⊥ −→v et −→u ⊥ −→w .Dénition (Proje tion orthogonale sur unedroite) : Etant donnée un droite d et un point Mde l'espa e, il existe un unique plan P passant par Met orthogonal à d : e plan oupe d en H et H estappelé projeté orthogonal de M sur d.On appelle proje tion orthogonale sur d l'appli ation p qui asso ie au point M le point H déni i-dessus.

36 Produit s alaire dans l'espa e

Dénition (Proje tion orthogonale sur unplan) : Étant donnée un plan P et un point M del'espa e, il existe une unique droite d passant par Met orthogonale à P : ette droite oupe P en en H etH est appelé projeté orthogonal de M sur P .On appelle proje tion orthogonale sur P l'appli ation q qui asso ie au point M le point H déni i-dessus.Exer i e 3. Soit p la proje tion orthogonale sur une droite d.1. Quel est l'ensemble des points invariants par p ?2. L'appli ation p p est-elle dénie ? Si oui, à quoi est-elle égale ?Autres expressions du produit s alaire : Soit A, B et C trois points de l'espa e tels que A 6= B. SoitH le projeté orthogonal de C sur la droite (AB).1. −−→

AB · −−→AC =−−→AB · −−→AH2. Si de plus A 6= C, alors l'angle géométrique BAC est bien déni et −−→AB · −−→AC = AB ×AC × cos BAC.9.3 Appli ation : équation artésienne d'un plan de l'espa eDénition : Tout ve teur non nul −→n , dirigeant une droite orthogonale à un plan P , est dit normal à eplan P .Théorème : Soit A ∈ E et −→n un ve teur non nul ; l'ensemble des points M tels que −→n ⊥ −−→

AM est le planpassant par A et admettant −→n pour ve teur normal.Corollaire : Tout plan de l'espa e admet une équation artésienne du type ax + by + cz + d = 0, où a, bet c sont trois réels non tous nuls.Ré iproquement, tout ensemble de points de E admettant une équation artésienne du type ax+by+cz+d =0, où a, b et c sont trois réels non tous nuls, est un plan admettant −→n (a; b; c) pour ve teur normal.Remarque(s)Le plan P d'équation ax + by + cz + d = 0 partitionne l'espa e E en trois régions :1. Une région π1, dont tous les points vérient ax + by + cz + d > 0.2. Le plan P , dont tous les points vérient ax + by + cz + d = 0.3. Une région π2, dont tous les points vérient ax + by + cz + d < 0.

π1 et π2 sont appelés demi-espa e, ouverts, de frontière P ; ils se situent de part et d'autre de P .37 Produit s alaire dans l'espa e

⋆ Distan e d'un point à un plan : Soit P le plan d'équation ax + by + cz + d = 0 et A(x0; y0; z0) unpoint de l'espa e E . La distan e de A à P est par dénition la distan e AH , où H est le projeté orthogonalde A sur P . Cette distan e, notée d(A;P) vaut :d(A;P) =|ax0 + by0 + cz0 + d|√

a2 + b2 + c2Attention ! Cette formule ne s'applique que pour al uler la distan e d'un point à un plan.Pour al uler, dans l'espa e, la distan e d'un point à une droite, il faut pro éder autrement et réé hir...

38 Produit s alaire dans l'espa e

Chapitre 10Droites et plans dans l'espa eOn travaille dans l'espa e E , rapporté au repère (O;−→i ,

−→j ,

−→k ).On appelle E l'ensemble des ve teurs que l'on peut représenter à partir des points de E .10.1 Cara térisation d'une droite, d'une demi-droite, d'un segmentRappel : Par deux points distin ts A et B de l'espa e, il passe une unique droite notée (AB).

• M ∈ (AB) ⇐⇒ il existe k ∈ . . . . . . tel que −−→AM = k

−−→AB .

• M ∈ [AB) ⇐⇒ il existe k ∈ . . . . . . tel que −−→AM = k

−−→AB .

• M ∈ [AB] ⇐⇒ il existe k ∈ . . . . . . tel que −−→AM = k

−−→AB .10.1.1 Cara térisation bary entrique d'une droite et d'un segmentPropriété : Soit A et B deux points distin ts. M ∈ (AB) ssi il existe des réels a et b tels que a + b 6= 0M barycentre de (A, a) et (B, b) M ∈ [AB] ssi il existe des réels positifs a et b tels que a + b 6= 0

M barycentre de (A, a) et (B, b)Remarque(s)Par la propriété d'homogénéité du bary entre, on peut toujours supposer que la somme des masses d'un systèmede points pondérés admettant un bary entre est égale à 1.Il sut, dans le as présent, de diviser les masses a et b par a + b qui est bien diérent de 0.Posons alors µ = aa+b

: µ ∈ [0; 1] et on peut é rire :M ∈ [AB] si, et seulement si, il existe un réel µ ∈ [0; 1] tel que M = bar(A; µ); (B; 1 − µ)10.1.2 Représentation paramétrique d'une droiteSoit A un point et −→u un ve teur non nul (du plan ou de l'espa e).Notons D(A,−→u ) la droite passant par A, de ve teur dire teur −→u . Alors

M ∈ D(A,−→u ) ⇐⇒ il existe t ∈ R tel que−−→AM = t−→u

Propriété et dénition : Soit A(x0, y0, z0) un point de l'espa e et −→u (a, b, c) un ve teur non nul. AlorsM ∈ D(A,−→u ) ⇐⇒ il existe t ∈ R tel que

x = x0 + t ay = y0 + t bz = z0 + t cOn dit que le système

x = x0 + t ay = y0 + t bz = z0 + t c

(ave t ∈ R) est une représentation paramétrique de la droiteD(A,−→u ), le paramètre étant t.Exer i e 1. On onsidére de droites de l'espa e. Rappeler quelles peuvent être leurs positions relatives.Exer i e 2. On onsidère la droite d dont une représentation paramétrique est :

x = 1 + 2ty = −2z = 1 − t

, t ∈ R.1. Déterminer un point de d et un ve teur dire teur −→u de d.2. Etudier l'interse tion de d ave la droite D passant par B(0;−7;−12) et dirigée par −→v (1;−1;−2).10.2 Cara térisation bary entrique d'un plan et de l'intérieur d'untrianglePropriétés :Soit A, B et C trois points non alignés. M ∈ (ABC) ssi il existe des réels a, b et c tels que a + b + c 6= 0M barycentre de (A, a) (B, b) et (C, c) M est à l'intérieur du triangle ABC ( tés ompris) ssi il existe des réels positifs a, b et ctels que a + b + c 6= 0

M barycentre de (A, a) (B, b) et (C, c)Remarque(s)De même que pré édemment, on peut toujours supposer que la somme des masses d'un système de pointspondérés admettant un bary entre est égale à 1.Il sut, dans le as présent, de diviser les masses a, b et c par a + b + c 6= 0.Ainsi, on peut é rire :M est à l'intérieur du triangle ABC si, et seulement si, il existe trois réels positifs de somme 1, λ , µ et νtels que M = bar(A; λ); (B; µ); (C; ν)Exer i e 3. On onsidère le point A(1;−2; 0) et les ve teurs −→u (1, 2, 3) et −→v (−1; 0; 1).1. Prouver que A, −→u et −→v dénissent un plan P de l'espa e.2. Soit M(x; y; z) un point de l'espa e. Prouver :

M ∈ P ⇔ il existe (s; t) ∈ R2,

x = 1 + s − ty = −2 + 2sz = 3s + 2tLes équations i-dessus sont un représentation paramétrique de P ; s et t sont les paramètres.3. En déduire une équation artésienne de P .

40 Droites et plans dans l'espa e

10.3 Interse tion de droites et de plans10.3.1 Position relative de deux plansDénition : Deux plans P et Q sont dits parallèles lorsque P ∩Q = ∅ ou P = Q.Sinon, es plans sont sé ants et leur interse tion est une droite. En parti ulier, on dit qu'ils sont perpendi- ulaires si un ve teur normal de l'un est orthogonal à un ve teur normal de l'autre.Propriété : Deux plans sont parallèles ssi un ve teur normal de l'un est olinéaire à un ve teur normal del'autre.Corollaire : Soit P et Q deux plans d'équations respe tives ax + by + cz + d = 0 et αx + βy + γz + δ = 0• P et Q sont parallèles ssi les listes (a, b, c) et (α, β, γ) sont proportionnelles.• Dans un repère orthonormé, P et Q sont perpendi ulaires ssi aα + bβ + cγ = 0.Remarque(s)Deux plans sé ants se oupent selon une droite : on peut don aussi dénir une droite de l'espa e par deuxéquations artésiennes de plan.Exer i e 4.1. Prouver que les plans P et Q d'équations respe tives x − y + z = 3 et 2x + y − z = −1 sont sé ants.2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite d'interse tion.10.3.2 Position relative d'une droite et d'un planDénition : On dit qu'une droite D est parallèle à un plan P lorsque D ∩ P = ∅ ou D ⊂ P .Sinon, on dit que D et P sont sé ants et alors, leur interse tion est un point.Exer i e 5. Etudier l'interse tion du plan P d'équation x − y + z = 3 et de la droite d de l'exer i e 1.Propriété : Soit P un plan de ve teur normal −→n et D une droite de ve teur dire teur −→u .

D et P sont parallèles ssi −→u et −→n sont orthogonaux.Exer i e 6. On reprend la droite d de l'exer i e 1. Déterminer la distan e du point R(1; 3; 1) à ette droite.10.3.3 Interse tion de trois plansLes plans P1, P2 et P3 ont pour équations respe tives :a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 , a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0 et a3 x + b3 y + c3 z + d3 = 0Étudier l'interse tion des plans P1, P2 et P3 revient à résoudre le système linéaire :

(S)

a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0a3 x + b3 y + c3 z + d3 = 0 1er as : les plans P1 et P2 sont stri tement parallèles.Dans e as, le système (S) n'admet au une solution. 2ème as : les plans P1 et P2 sont onfondus.- si P3 est stri tement parallèle à P1 alors le système (S) n'admet au une solution.- si P3 est onfondu ave ave P1 et P2 alors le système (S) admet une innité de solutions orrespondantaux oordonnées de tous les points du plan P1.- si P3 et P1 sont sé ants suivant une droite ∆ alors le système (S) admet une innité de solutions orres-pondant aux oordonnées de tous les points de la droite ∆.41 Droites et plans dans l'espa e

3ème as : les plans P1 et P2 sont sé ants selon une droite d.- si d est in luse dans P3 alors le système (S) admet une innité de solutions orrespondant aux oordonnéesde tous les points de la droite d.- si d est stri tement parallèle à P3 alors les trois plans sont deux à deux sé ants selon des droites stri tementparallèles, don le système (S) n'admet au une solution.- si d oupe P3 au point I alors le système (S) admet un seul triplet solution orrespondant aux oordonnéesde I.

42 Droites et plans dans l'espa e

Chapitre 11Probabilités (1) : Conditionnement etIndépendan e11.1 RappelsExer i e 1. Un simulateur hoisit un nombre au hasard dans l'ensemble 1, 2, 3, 4. Une expérien ealéatoire onsiste à faire fon tionner e simulateur une fois.1. Déterminer l'univers des résultats possibles asso ié à ette expérien e aléatoire.2. On onsidère l'événement : l'entier obtenu est pair. Déterminer la liste des éventualités réalisant etévénement.3. Déterminer un événement B qui soit in ompatible ave A.Le simulateur est programmé de sorte que, lorsqu'on le fait fon tionner un grand nombre de fois :• les nombres 1, 2 et 3 sortent ave la même fréquen e.• le nombre 4 est 4 fois plus fréquent que le nombre 1.1. Déterminer une loi de probabilité sur l'ensemble 1, 2, 3, 4 ompatibles ave les données i-dessus.2. À partir de ette loi de probabilité, déterminer les probabilités des événements A et de l'événement ontraire de A.11.1.1 Qu'est- e qu'une probabilité ?On admettra le résultat suivant :Loi des grands nombres : Quand on répète à l'identique une expérien e aléatoire menant à n éven-tualités e1, . . . , en, toutes les répétitions étant indépendantes les unes des autres, la fréquen e f1, . . . , fnd'apparition de haque éventualité se stabilise autour de nombres (théoriques) p1, . . . , pn : pi est la probabilitéque l'expérien e aboutisse à l'éventualité ei.Ainsi, la probabilité d'une éventualité est la han e théorique qu'elle apparaisse à l'issue d'une expérien ealéatoire.Propriétés : On onsidère une expérien e aléatoire pouvant mener à n éventualités e1, . . . , en, formantl'univers U des résultats possibles.En notant pi la probabilité que l'expérien e aléatoire mène à l'éventualité ei :1. ..... ≤ pi ≤ ....., pour tout i.2. p1 + p2 + . . . + pn =

n∑

i=1

pi = ......

Prin ipe et notations : Une loi de probabilité est dénie sur l'univers des résultats possiblesU = e1, ..., en par la donnée de la liste (p1, . . . pn) des probabilités d'apparition de haque éventualité.La probabilité d'un événement A est notée p(A) et se al ule en faisant la somme des probabilités d'appari-tion des éventualités qui onstituent A.U est appelé événement ertain et sa probabilité vaut . . ..∅ est l'événement impossible et sa probabilité vaut . . ..Remarque(s)Une loi de probabilité est un modèle théorique : à l'issue d'une expérien e, on ae te à haque éventualitéun nombre quantiant sa han e de survenir, dont la valeur est basée sur un ertain nombre d'observations.Une di ulté de ette modélisation est de déterminer si telle ou telle loi de probabilité est en adéquation ave la réalité. Nous y reviendrons.11.1.2 L'équiprobabilité ou probabilité uniformeDénition et propriétés : Lorsqu'à l'issue d'une expérien e, toutes les éventualités ont la même han ed'apparaître, on dit qu'elles sont équiprobables. Alors, si l'univers U est onstitué de n éventualités e1, . . . , en,la probabilité d'apparition de l'une quel onque de es éventualités vaut p = ....... .On dit alors qu'on hoisit les éléments de U selon la probabilité uniforme, ou qu'on munit U del'équiprobabilité.La probabilité d'un événement A omportant k éventualités vaut dans e as p(A) = .......La situation d'équiprobabilité est onfortable ar elle fa ilite les al uls : il faut savoir la déte ter. Ce sera le as quand on lan era des dés NON truqués, quand on extraira AU HASARD d'un sa des jetons indis ernablesau tou her, quand on hoisira AU HASARD une arte dans une jeu BIEN BATTU, et .11.1.3 Variables aléatoiresExer i e 2. On lan e un dé à six fa es non truqué, portant les nombres 0, π, π/2, π/3, 2π/3 et π/3.On appelle X le nombre qui, à l'issue d'un lan er, prend pour valeur le sinus du nombre obtenu sur la fa esupérieure du dé.1. Déterminer la liste des valeurs que peut prendre le nombre X .2. Déterminer la probabilité de l'événement (X ∈ N).Dénition : Soit U l'univers asso ié à une expérien e aléatoire.Une variable aléatoire réelle est une appli ation X de U dans R.Pour k ∈ R, on note (X = k) l'ensemble des éventualités dont l'image par X vaut k.On note (X ≤ k) l'ensemble des éventualités dont l'image par X est inférieure ou égale à k.Remarque(s)Dans l'exer i e 2, X est la variable aléatoire, qui à haque lan er asso ie le sinus du nombre obtenu après le jet.Dénition : Soit X une variable aléatoire ne prenant qu'un nombre ni de valeurs k1, . . . , kn. Déterminerla loi de probabilité de X , 'est déterminer les probabilités p(X = k1), . . . , p(X = kn).On appelle espéran e mathématique de X le nombre noté E(X) et déni par E(X) =

n∑

i=1

kip(X = ki).On appelle varian e de X le nombre noté Var(X) et déni par Var(X) =

n∑

i=1

(ki − E(X))2p(X = ki).On appelle é art-type de X le nombre noté σ(X) et déni par σ(X) =√Var(X).

44 Probabilités (1) : Conditionnement et Indépendan e

Remarque(s)(a) On note souvent pX la loi de probabilité de la variable aléatoireX ; ainsi, pX(1) = p(X = 1) ; pX (] −∞; 2]) =p(X ≤ 2) ; et .(b) L'espéran e mathématique est un nombre théorique qui orrespond à une moyenne : sur un grand nombred'expérien es identiques et ee tuées de façon indépendante, les moyennes des valeurs prises par X onvergentvers E(X).( ) Le nombre σ(X) a les mêmes unités que X ; il mesure la dispersion de X autour de son espéran e.Théorème [Formule de Huyghens-Koenig : Sous les mêmes hypothèses que pré édemment,Var(X) =

n∑

i=1

k2i p(X = ki) − E(X)2Remarque(s)On note aussi Var(X) = E(X2) − E(X)2.Propriété : Soient a et b deux réels.

• E(aX + b) = aE(X) + b. • σ(aX + b) = |a|σ(X).Exer i e 3. Déterminer l'espéran e et l'é art-type de la variable aléatoire X de l'exer i e 2.11.2 Probabilités onditionnelles11.2.1 Conditionnement par un événementExer i e 4. Dans un sa , il y a 60 jetons : des arrés et des ronds.Ces jetons, arrés omme ronds, sont soit bleus, soit verts.Le tableau i-dessous donne la répartition selon la forme et selon la ouleur :Carrés Ronds TotalBleus 5Verts 50Total 201. A hever de ompléter le tableau i-dessus.2. On hoisit au hasard un jeton dans le sa et on suppose tous les hoix équiprobables.On note R et V respe tivement les événements : Le jeton tiré est rond et le jeton tiré est vert.(a) Déterminer la probabilité de R, de V et de R ∩ V .(b) On te du sa les jetons bleus et on extrait au hasard un jeton : quelle est la probabilité qu'il soitrond ? Comparer e résultat ave p(R ∩ V )

p(V ).Dénition : Soit U l'univers asso ié à une expérien e aléatoire, muni d'une probabilité p. Soient A et Bdeux événements tels que p(B) > 0.On appelle probabilité onditionnelle de A sa hant B et on note pB(A) le nombre p(A ∩ B)

p(B).Exer i e 5. Sous les hypothèses de la dénition i-dessus :1. Déterminer pB(U) et pB(∅)2. Montrer que si C et D sont des événements in ompatibles, pB(C ∪ D) = pB(C) + pB(D).Remarque(s)Il peut être utile de retenir que pB(A) × p(B) = p(A ∩ B) : on peut grâ e à ela al uler la probabilité del'interse tion de deux événements.45 Probabilités (1) : Conditionnement et Indépendan e

11.2.2 Formules des probabilités totalesDénition : Soit E un ensemble non vide. Les n parties B1 , B2 , . . ., Bn, (n ∈ N∗), de E forment unepartition de E si l'on a :1. B1 ∪ B2 . . . ∪ Bn = E (les événements B1 , B2 , . . ., Bn re ouvrent E.)2. Pour tout i ∈ 1, . . . , n, Bi 6= ∅ ; (au un des Bi n'est vide)3. Dès que i 6= j, Bi ∩ Bj = ∅ (les ensembles Bi sont 2 à 2 disjoints).Par exemple, dans l'exer i e 4, R et V réalisent une partition du sa ontenant les jetons.On sait aussi qu'un plan de l'espa e partitionne l'espa e en trois régions.Dans une lasse, l'ensemble des lles et l'ensemble des garçons réalisent une partition de la lasse.Plus généralement, deux événements omplémentaires A et A, non vides, réalisent une partition de l'universdont ils sont issus.Formule des probabilités totales : Soit U l'univers asso ié à une expérien e aléatoire et n événementsB1 , B2 , . . ., Bn, (n ∈ N∗) formant une partition de U . Pour tout événement A, on a :

p(A) = pB1(A)p(B1) + pB2

(A)p(B2) + . . . pBn(A)p(Bn)Remarque : On peut é rire : p(A) =

n∑

k=1

pBk(A)p(Bk).Disposition pratique de la formule des probabilités totales : l'arbreExer i e 6. On dispose de 100 dés : 25 sont truqués et donnent le numéro 6 ave la probabilité 1/2.75 sont équitables et donnent le numéro 6 ave la probabilité 1/6.On hoisit un dé au hasard et on le lan e. On note : T l'événement : le dé est truqué. S l'événement : le dé donne six. 1. Compléter l'arbre suivant ave les probabilités orrespondantes :

b

b

T

p(T ) = . . .

b T ∩ S : p(T ∩ S) = . . . × . . .pT (S) = . . .

b T ∩ S : p(T ∩ S) = . . . × . . .pT (S) = . . .

b

Tp(T ) = . . .

b T ∩ S : p(T ∩ S) = . . . × . . .pT (S) = . . .

b T ∩ S : p(T ∩ S) = . . . × . . .pT (S) = . . .2. En déduire la probabilité de l'événement S.3. On hoisit un dé, on le lan e et on obtient 6. Quelle est la probabilité qu'il soit truqué ?46 Probabilités (1) : Conditionnement et Indépendan e

11.3 Indépendan e11.3.1 Indépendan e de deux événementsNaïvement, on peut envisager l'indépendan e de deux indépendants ainsi : la réalisation ou non de l'un n'in-uen e au unement sur la han e de survenir ou non de l'autre.Ainsi, si B est de probabilité non nulle, on dira que A est indépendant de B lorsque pB(A) = . . . . . .. Cela setraduit de façon plus symétrique par p(A ∩ B) = . . . . . ..Dénitions : Soient A et B deux événements d'un univers U muni d'une probabilité p.On dit que A et B sont indépendants sous la probabilité p lorsque p(A ∩ B) = . . . . . . . . . . . ..Exer i e 7.1. On extrait au hasard une arte d'un jeu de 32 bien battu. Soit les événements R : la arte est un roi et T : la arte est un trèe. R et T sont-ils indépendants ?2. On truque le jeu de sorte que la probabilité de sortie du roi de trèe soit 1/10, toutes les autres artesayant toutes la même probabilité d'être hoisies.Dans es onditions, T et R sont-ils en ore indépendants ?11.3.2 Indépendan e de deux variables aléatoiresDénitions : Soient X et Y deux variables aléatoires prenant un nombre ni de valeurs, respe tivementles réels x1, . . . xn (n ∈ N∗) et y1, . . . , ym, (m ∈ N∗).On dit que X et Y sont indépendantes sous la probabilité p lorsque pour tous i ∈ 1, . . . , n et j ∈ 1, . . . , m,p(X = xi et Y = yj) = p(X = xi) p(Y = xj).Remarque : Pour vérier que deux variables aléatoires prenant respe tivement n et m valeurs sont indépen-dantes, il faut ee tuer n × m véri ations.11.3.3 Répétition d'expérien es aléatoires identiques et indépendantesSi l'on lan e une piè e non truquée, il y a deux issues possibles : on obtient pile (P) ou fa e (F), ave la mêmeprobabilité p = 1/2. En imaginant et 'est vraisemblable que la piè es ne s'est pas détériorée au oursdu premier lan er, on la relan e et, quel que soit le résultat obtenu au premier lan er, le deuxième jet aurapour issues possibles P et F ave les mêmes probabilités. On dit qu'on a réalisé deux expérien es aléatoiresidentiques et indépendantes.Propriété [Admise : Soit une expérien e aléatoire aboutissant à un univers U muni d'une probabilité pet k ∈ N∗.Lorsque l'on répète à l'identique et de façon indépendante k fois ette expérien e aléatoire, l'ensembledes k résultats se présente sous la forme d'une liste (a1; a2; . . . ; ak), où pour tout i ∈ 1, . . . k ai ∈ U .La probabilité de la liste (a1; a2; . . . ; ak) est donnée par le produit p(a1) × p(a2) × . . . × p(ak).Notation, vo abulaire et ompléments : Une liste de la forme (a1; a2; . . . ; ak) où pour tout i ∈ 1, . . . k

ai ∈ U , est appelée k-liste, ou k-uplet, d'éléments de U .L'ensemble des k-listes d'éléments de U est noté Uk.Si le ardinal de U est m, le ardinal de Uk est . . . . . ..Exer i e 8. On lan e trois fois de suite un dé équilibré. Déterminer la probabilité que la liste des troisrésultats possibles soit onstituée de la façon suivante : (nombre pair ; multiple de trois ; nombre impair).47 Probabilités (1) : Conditionnement et Indépendan e

Chapitre 12Suites adja entes12.1 DénitionDénition : Soient (un) et (vn) deux suites de nombres réels. On dit que es suites sont adja entes lorsque :1. (un) est roissante, (vn) dé roissante.2. limn→+∞

(un − vn) = 0.Remarque(s)On peut en ore parler de suites adja entes lorsque la monotonie de (un) et (vn) n'est onstatée qu'à partird'un rang n0.Exer i e 1. Les suites suivantes (an) et (bn) sont-elles adja entes ?(a) ∀n ∈ N∗, an =1

net bn = 1 − 1

n.(b) ∀n ∈ N∗, an =

1

n2et bn =

1

n2+

1

n.( ) ∀n ∈ N∗, an =

n∑

k=0

1

k!et bn =

1

n! n+ anOn rappelle que 0! = 1! = 1 et que pour k ∈ N, k ≥ 2, k! = 1 × 2 × . . . × k.12.2 Propriétés

⋆ Propriété : Soient (un) et (vn) deux suites adja entes telles que (un) est roissante et (vn) dé roissante.Alors pour tout entier naturel n, vn ≥ un.⋆ Théorème : Si (un) et (vn) sont deux suites adja entes, alors es suites onvergent et ont la même limiteℓ ∈ R.Remarque(s)Si (un) est roissante et (vn) dé roissante, on a pour tout entier naturel n, ℓ ∈ [un; vn].Exer i e 2. Prouver que les suites dénie pour tout n ∈ N∗ par an =

n∑

k=0

1

k!et bn =

1

n! n+ an onvergentvers le même réel α et déterminer une valeur appro hée de α à 10−3 près.

12.3 Appli ations12.3.1 Densité de Q dans RExer i e 3. ⋆ Pour tout n ∈ N et x ∈ R, on pose pn = 10−nE (10nx) et qn = pn + 10−n, où E désigne lafon tion partie entière.1. Montrer que (pn) et (qn) sont deux suites adja entes de nombres rationnels.2. Quelle est la limite ommune de (pn) et (qn) ?Dénition : Pour tout réel x et tout entier naturel n, pn est la valeur appro hée de x à 10−n par défaut ;qn est la valeur appro hée de x à 10−n par ex ès.On a aussi prouvé :Théorème : Tout réel est limite d'une suite de nombres rationnels.On dit que Q est dense dans R.12.3.2 Prin ipe de di hotomieExer i e 4. Soient a et b deux réels tels que a < b et α ∈ [a; b]. On dénit les suites (an) et (bn) par :

a0 = a, b0 = b, et, pour tout entier naturel n,an+1 = an et bn+1 =

an + bn

2si α ∈

[

an;an + bn

2

] ou an+1 =an + bn

2et bn+1 = bn si α ∈

[

an + bn

2; bn

].1. Montrer que pour tout entier n, an+1 − bn+1 =1

2(an − bn).2. En déduire que (an) et (bn) sont adja entes. Quelle est leur limite ommune ?3. Soit p ∈ N : déterminer en fon tion de a, b et p un entier N tel que aN et bN en adrent α ave uneamplitude inférieure stri tement à 10−p.12.3.3 Sommes de RiemannExer i e 5. On onsidère la fon tion g dénie sur l'intervalle [0; 1] par g(x) = x2. Pour tout n ∈ N∗, on onsidère les suites (an) et (bn) dénies par :

an =1

n

n−1∑

k=0

g

(

k

n

) et bn =1

n

n∑

k=1

g

(

k

n

)Dans le repère orthogonal (O;−→i ,

−→j ), l'unité d'aire est représentée par l'aire du re tangle déni par les ve teurs−→

i et −→j . On appelle A l'aire du domaine ∆ = M(x; y) | 0 ≤ x ≤ 1 et 0 ≤ y ≤ f(x).1. Interpréter en terme d'aire les suites (an) et (bn).2. Montrer que limn→+∞

(an − bn) = 0.3. On rappelle que pour tout entier n,n∑

k=0

k2 =n(n + 1)(2n + 1)

6Exprimer, pour n ∈ N∗, les nombres an et bn sous la formed'une fra tion rationnelle en n.En déduire que (an) est roissante et (bn) est dé roissante.4. Que dire des suites (an) et (bn) ? Que vaut leur limite om-mune ?49 Suites adja entes

Dénitions : Soient a et b deux réels tels que a < b et f une fon tion ontinue sur l'intervalle [a; b].• Les réels x0 = a, x1 = x0 + b−a

n, x2 = x1 + b−a

n, . . ., xn = b réalisent une subdivision de l'intervalle [a; b],de pas onstant h = b−a

n.

• Les suites (an) et (bn) respe tivement dénies pour tout n ∈ N∗ par an =b − a

n

n−1∑

k=0

f

(

a +k(b − a)

n

) etbn =

b − a

n

n∑

k=1

f

(

a +k(b − a)

n

) sont des sommes de Riemann asso iées à la subdivision x0, . . . , xn.Théorème [admis : Soient a et b deux réels tels que a < b et f une fon tion ontinue et positive surl'intervalle [a; b].Les suites (an) et (bn) dénies i-dessus sont onvergentes vers un réel A, orrespondant à l'aire du domaine∆ = M(x; y) | a ≤ x ≤ b et 0 ≤ y ≤ f(x), exprimée en unités d'aires.Remarque(s)Pour tout n ∈ N∗, on appelle subdivision de l'intervalle [a; b] toute famille (x0, . . . , xn) de n + 1 réels tels que

a = x0 < x1 < . . . < xn = b. Le pas du partage est maxi∈0,...,n−1

(xi+1 − xi).On appelle somme de Riemann asso iée à la subdivision (x0, . . . , xn) toute somme de la forme n−1∑

i=0

(xi+1 − xi)f(yi),où, pour tout i ∈ 0, 1, . . . , n − 1, yi ∈ [xi; xi+1].

50 Suites adja entes

Chapitre 13Cal ul intégralLe plan est muni d'un repère orthogonal (O;−→i ,

−→j ).13.1 Intégrale et aire

Dénition (Rappel) : Dans le plan muni d'un re-père orthogonal (O;−→i ,

−→j ), on appelle unité d'aire, quel'on note u.a., l'aire du re tangle OIJK où −−→

OI =−→i ,−−→

OJ =−→j et −−→OK =

−→i +

−→j

I

KJ

~i

~j u.a.

x

y

O

13.1.1 Quelques exemplesExer i e 1. Soit f la fon tion dénie sur R par f(x) = 2.1. Déterminer, en u.a., l'aire du domaine ∆1 = M(x; y)|1 ≤ x ≤ 4 et 0 ≤ y ≤ f(x). On pourra représenter e domaine sur un graphique2. Soit F une primitive de f sur R. Cal uler F (4) − F (1). Que onstate-t-on ?3. La diéren e F (4) − F (1) dépend-elle de la primitive hoisie pour f ?Exer i e 2. Soit g la fon tion dénie sur R par g(x) = 2x.1. Représenter et déterminer, en u.a., l'aire du domaine ∆2 = M(x; y)|1 ≤ x ≤ 4 et 0 ≤ y ≤ g(x).2. Soit G une primitive de g sur R. Cal uler G(4) − G(1). Que onstate-t-on ?3. La diéren e G(4) − G(1) dépend-elle de la primitive hoisie pour g ?Exer i e 3. On a vu que l'aire, en u.a., du domaine ∆3 = M(x; y)|0 ≤ x ≤ 1 et 0 ≤ y ≤ x2 valait 1

3.Soit h la fon tion dénie sur [0; 1] par h(x) = x2 et H une primitive de h.Cal uler H(1) − H(0). Que onstate-t-on ?

13.1.2 Intégrale d'une fon tion ontinue et positiveDénition : Soient a et b deux réels tels que a < b ; f une fon tion ontinue et positive sur [a; b]. L'aire,en u.a., du domaine ∆ du plan déni par :∆ = M(x; y)|a ≤ x ≤ b et 0 ≤ y ≤ f(x)est appelée intégrale de a à b de la fon tion f .On la note :

∫ b

a

f(t)dtRemarque(s)1. Il n'est pas né essaire que la fon tion soit ontinue et positive sur l'intervalle [a; b] pour pouvoir dénirson intégrale. Nous y reviendrons.2. Dans l'é riture ∫ b

af(t)dt, la variable t est dite muette ; on peut é rire indiéremment ∫ b

a

f(t)dt =

∫ b

a

f(u)du =

∫ b

a

f(x)dx . . .Théorème : Soient a et b deux réels tels que a < b ; f une fon tion ontinue et positive sur [a; b] et Fune primitive de f sur [a; b]. Alors :∫ b

a

f(t)dt = F (b) − F (a)Remarque(s)La diéren e F (b) − F (a) se note souvent [F (t)]ba et ne dépend pas de la primitive hoisie pour f .Dénition [Généralisation : Soit f une fon tion ontinue sur un intervalle I et a et b deux réels de I etF une primitive de f sur I. On appelle intégrale de a à b de la fon tion f et on note ∫ b

a

f(t)dt la diéren eF (b) − F (a).Remarque(s)1. I i, on ne suppose plus que a < b.2. Le symbole dt indique que la variable d'intégration se nomme i i t.Exer i e 4.1. Cal uler ∫ 3

−1

xe−x2

dx.2. x et t désignant deux réels, omparer les é ritures ∫ 2

1

xt2dt et ∫ 2

1

xt2dx.52 Cal ul intégral

13.2 Propriétés de l'intégralePropriétés : f et g designent des fon tions ontinues sur un intervalle I ; a et b sont deux réels de I.∫ b

a

f(t)dt = −∫ a

b

f(t)dt

∫ a

a

f(t)dt = . . . . . .Remarque(s)f est une fon tion ontinue sur un intervalle I et a est un réel de I.La fon tion F dénie sur I par F (x) =

∫ x

x0f(t) dt est l'unique primitive de f qui s'annule en x0.Par exemple, pour tout x > 0,

lnx =

∫ ...

...

. . . . . . dtExer i e 5. ⋆1. Soit a > 0 et f une fon tion ontinue sur [−a; a]. Prouver que :(a) Si f est paire, ∫ a

−a

f(t)dt = 2

∫ a

0

f(t)dt.(b) Si f est impaire, ∫ a

−a

f(t)dt = 0.2. Soit T > 0 et f une fon tion ontinue sur R et T -périodique.Montrer que pour tout réel a, ∫ a+T

a

f(t)dt =

∫ T

0

f(t)dt.13.2.1 Relation de Chasles⋆ Théorème : f est ontinue sur I, alors quels quesoient les réels a, b, c de I,

∫ c

a

f(t) dt =

∫ b

a

f(t) dt +

∫ c

b

f(t) dt

Interprétation en termes d'aires :si a ≤ b ≤ c et f ≥ 0 sur [a; b]

y = f(x)

a b c x

y

OExer i e 6. Cal uler l'intégrale K =

∫ 1

0

|2x − 1| dx.13.2.2 Linéarité de l'intégrale⋆ Théorème : f et g deux fon tions ontinues sur I, a et b deux réels de I, α et β deux réels quel onques.Alors :

∫ b

a

(αf + βg)(t) dt = α

∫ b

a

f(t) dt + β

∫ b

a

g(t) dt53 Cal ul intégral

Exer i e 7. Soient A =

∫ π

0

cos2 xdx et B =

∫ π

0

sin2 xdx.Cal uler A + B et A − B. En déduire la valeur de A et B.13.2.3 Intégration par parties⋆ Théorème : u et v sont deux fon tions dérivables sur un intervalle I telles que leurs dérivées u′ et v′sont ontinues sur I.

∫ b

a

(uv′)(x) dx = [(uv)(x)]b

a −∫ b

a

(vu′)(x) dxExer i e 8.1. Cal uler à l'aide d'une intégration par parties ∫ e1

x lnxdx.2. A l'aide de deux intégrations par partie, montrer que C =

∫ π

0

ex cosxdx est solution d'une équation dupremier degré que l'on pré isera.En déduire la valeur de C.3. Déterminer une primitive sur ] − 1; +∞[ de la fon tion g : x 7→ ln(x + 1).13.2.4 Valeur moyenne d'une fon tionDénition : f est ontinue sur [a; b] ave a < b. Lavaleur moyenne de f sur [a; b] est :

1

b − a

∫ b

a

f(t) dt

Interprétation en termes d'aire :Lorsque f est positive sur [a; b] la valeur moyenne def sur [a; b] est la hauteur h d'un re tangle à tésparallèles aux axes, de base [a; b], d'aire ∫ b

af(x) dx

y = f(x)

a b

h

x

y

ORemarque(s)La valeur moyenne d'une fon tion sur [a; b] nous fournit une fon tion onstante qui a la même intégrale que fsur [a; b].54 Cal ul intégral

13.3 Intégrale et ordreDans ette se tion a ≤ b .Théorème : f et g deux fon tions ontinue sur I, a, bdeux réels de I tels que a ≤ b.1. Lorsque f ≥ 0 sur [a; b], alors ∫ b

af(t) dt ≥ 0.2. Lorsque g ≤ f sur [a; b] alors,

∫ b

a

g(t) dt ≤∫ b

a

f(t) dt

Interprétation en termes d'aires :lorsque f et g sont positives.y = f(x)

y = g(x)

a b x

y

OCorollaire : f ontinue sur I, a, b deux réels de I tels que a ≤ b, m et M deux réels.1. [Inégalité de la moyenneSi m ≤ f ≤ M sur [a; b] alors, m(b − a) ≤∫ b

a

f(t) dt ≤ M(b − a)2. ∣∣∣

∫ b

af(t)dt

∣

∣

∣≤∫ b

a|f(t)| dt.Exer i e 9. Montrer que pour tout u ≥ 0, eu ≥ 1 + u.En déduire que l'on a aussi eu ≥ 1 + u +

u2

2.

55 Cal ul intégral

Chapitre 14Dénombrements14.1 Ensembles14.1.1 Vo abulaire sur les ensemblesDénitions : Un ensemble E est une olle tion d'objets, appelés éléments de l'ensemble, déni soit parune liste exhaustive des éléments qui le omposent, soit par une propriété qui les ara térise.Une partie ou sous-ensemble A de E est un ensemble omposé de ertains éléments de E (et éventuellementde tous) : on dit que A est in lus dans E et on note A ⊂ E.Lorsqu'un objet e est élément de l'ensemble E, on dit que e . . . . . . . . . . . . . . . . . . à E et on note e . . . . . . E.Lorsqu'un ensemble ontient un nombre ni d'éléments, on dit que E est un ensemble ni et on appelle ardinal de E le nombre d'éléments de E. Ce ardinal est noté Card (E).Si E ne possède au un élément, on dit que E est l'ensemble vide, qu'on note ∅ ; son ardinal est 0.Exer i e 1. Les ensembles suivants sont-ils nis ou non ? Si oui, déterminer leur ardinal.1. A = a, b, c, où a, b et c désignent des réels deux à deux distin ts ;2. B = x ∈ R |x2 = 1 ou x2 = 4 ;3. C = x ∈ Z |x est multiple de 2.Dénitions : Soient A et B deux parties d'un ensemble E.A ∪ B désigne la réunion de A ave B et ontient tous les éléments qui sont dans A ou B.A ∩ B désigne l'interse tion de A ave B et ontient tous les éléments qui sont dans A et B.On dit que A et B sont disjoints lorsque A ∩ B = . . . . . ..Propriétés : Soient A et B deux parties d'un ensemble E ni.Si A et B sont disjoints, alors Card (A ∪ B) = Card (A) + Card (B).Dans le as général, Card (A ∪ B) = Card (A) + Card (B) − Card (A ∩ B).14.1.2 Produit artésienDénitions : Soient E et F deux ensembles : le produit artésien de E par F , noté E × F , est l'ensembledes ouples (e; f), où e ∈ E et f ∈ F .Le produit artésien E ×E se note aussi E2 et plus généralement, pour tout n ∈ N∗, la notation En désignel'ensembles des n−listes (e1; e2; . . . ; en) d'élements de E.

Propriétés : Si E et F sont deux ensembles nis, alors E × F est ni et l'on a :Card (E × F ) = Card (E) × Card (F )∀n ∈ N∗, Card (En) = (Card (E))

nRemarque(s)• Un jeu de artes de 32 artes peut être onsidéré omme le produit artésien de l'ensemble H des hauteurs(H = As ; Roi ; Dame ; Valet ; 10 ; 9 ; 8 ; 7) par l'ensemble des ouleurs C (C = ♣;♦;♥;♠).• La notation C2 désigne l'ensemble des ouples (z1; z2) de nombres omplexes.On retiendra que lorsque z1 6= z2, (z1; z2) 6= (z2; z1).Plus généralement, on hange une n − liste lorsqu'on hange l'ordre de ses omposantes.• Une n − liste est aussi appelée n − uplet.Exer i e 2. Soit E = a; b un ensemble à deux éléments. Déterminer la liste des éléments de E2.14.1.3 Arrangements et permutationsDénitions : Soit E un ensemble ni, de ardinal n ∈ N∗, et p ∈ N et tel que 1 ≤ p ≤ n. On appellearrangement de p éléments de E toute p − liste d'éléments de E omposée d'éléments tous distin ts.On appelle permutation de E tout arrangement des n éléments de E.Exer i e 3. Soit E = 1, 2, 3, 4, 5.1. Déterminer 4 arrangements de 3 éléments de E et 4 permutations de E.2. Les arrangements (5; 3; 4) et (3; 4; 5) sont-ils les mêmes ?3. Déterminer le nombre d'arrangements à 3 éléments qu'il est possible d'é rire à partir des 5 éléments de

E.4. Déterminer le nombre de permutations de E qu'il est possible de réaliser.Propriété : Soit E un ensemble ni, de ardinal n ∈ N∗, et p ∈ N tel que 1 ≤ p ≤ n.Le nombre d'arrangements de p éléments de E est n × (n − 1) × . . . × (n − p + 1).Le nombre de permutations de E est n × (n − 1) × . . . × 2 × 1 = n !.Remarque(s)Le nombre d'arrangement de p éléments pris parmi n se note aussi Apn.14.2 Combinaisons14.2.1 Dénitions et exemplesDénitions : Soit E un ensemble et p ∈ N.On appelle ombinaison de p éléments de E tout sous-ensemble de E de ardinal p.Remarque(s)

• L'ensemble des parties de E (qui est un ensemble de sous-ensembles) se note ℘(E).Il est équivalent d'é rire A ⊂ E ou A ∈ ℘(E).• Une ombinaison est une liste non ordonnée de p éléments distin ts de E.Considérons l'ensemble E = a, b, c à 3 éléments. Les arrangements (a; b) et (b; a) sont distin ts et sont formésà partir des éléments de la ombinaison a; b (qui est la même que la ombinaison b; a.)• ∅ est l'unique ombinaison à 0 élément de E.Si E est ni, de ardinal n ∈ N∗, E est l'unique ombinaison d'éléménts de E de ardinal n.Exer i e 4. Considérons l'ensemble F = a, b, c à 3 éléments.1. Déterminer toutes les ombinaisons à 0, 1, 2 et 3 éléments de F .57 Dénombrements

2. Combien l'ensemble ℘(F ) admet-il d'éléments ?14.2.2 Dénombrement des ombinaisons d'un ensemble E niNotation : Soit E un ensemble de ardinal n ∈ N et p ∈ N.Le nombre de ombinaison à p éléments de E se note ( np

) et se lit p parmi n.Remarque(s)• Si p > n, alors ( n

p

)

= . . . . . ..• La seule ombinaison qu'il est possible de réaliser à partir de ∅ est ∅ : ainsi, ( 0

0

)

= . . . . . ..• On trouve parfois l'an ienne notation française Cp

n pour ( np

).⋆ Propriétés : Soit n ∈ N∗ et p ∈ N, 0 ≤ p ≤ n. Alors :1. ( n

0

)

=

(

nn

)

= . . . . . . et ( n1

)

= . . . . . .2. ( np

)

=

(

nn − p

)3. Si de plus p ≤ n − 1, ( n + 1p + 1

)

=

(

np + 1

)

+

(

np

)4. ( np

)

= n×(n−1)×...×(n−p+1)p ! = n !

p !(n−p) ! .14.2.3 Triangle de Pas alLa formule ( n + 1p + 1

)

=

(

np + 1

)

+

(

np

) permet de déterminer de pro he en pro he les nombres ( np

)dont on dispose le al ul selon le tableau suivant, appelé triangle de Pas al.p 0 1 2 3 4 5 . . .

n

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14.2.4 Binme de NewtonL'examen du tableau i-dessus fait apparaître, ligne par ligne, les oe ients 1 et 1 ; 1, 2 et 1 ; 1, 3, 3 et 1, et .Exer i e 5. Soient (a; b) ∈ C2 : développer, pour n ∈ 1, 2, 3, l'expression (a + b)n.58 Dénombrements

Propriété [Formule du binme de Newton : Soient (a; b) ∈ C2 et n ∈ N∗.(a + b)n =

n∑

p=0

(

np

)

an−pbpave la onvention a0 = b0 = 1.Remarque(s)Les nombres ( np

) sont aussi appelés oe ient binomiaux.Corollaire : Si E est un ensemble de ardinal n ∈ N, alors ℘(E) est de ardinal 2n.Exer i e 6. Soit n ∈ N∗.1. Cal uler∑n

k=0

(

nk

)

(−1)k.2. Soit f la fon tion dénie sur R par f(x) = (1 + x)n.(a) Montrer que d'une part, pour tout réel x, f ′(x) = n(1 + x)n−1.(b) Montrer que d'autre part, pour tout réel x, f ′(x) =∑n

k=0 k

(

nk

)

xk−1.( ) En déduire la valeur de ∑n

k=0 k

(

nk

).3. Soit x 6= 0 : trouver le oe ient de x3 dans le développement de (x − 1x

)8.

59 Dénombrements

Chapitre 15Probabilités (2) : Quelques lois15.1 Lois de probabilités dis rètesOn s'intéresse à une expérien e aléatoire dont l'ensemble des résultats possibles est onstitué d'un nombre nide réels, qui seront i i, d'ailleurs, des nombres entiers naturels. Il s'agit dans e hapitre de modéliser quelquessituations typiques du al ul des probabilités sur e type d'ensemble.15.1.1 Loi uniformeExer i e 1. On lan e un dé tétraédrique équilibré dont les fa es sont numérotés 1, 2, 3 et 4. A l'issue d'unjet, l'ensemble des résultats possibles est U = 1; 2; 3; 4.1. Quelle information dans l'énon é nous permet d'ae ter à haque éventualité la même probabilité ?2. Que vaut ette probabilité ?3. Dresser un tableau résumant la loi de probabilité dont on a muni l'ensemble U .4. Quelle est l'espéran e µ et la varian e σ2 de ette loi ?Dénition : Soit n ∈ N∗ et U l'ensemble des entiers de 1 à n. On dit qu'on munit U de la loi uniformelorsque l'on ae te à haque élément i de U la même probabilité : . . . . . ..Comme U est onstitué de nombres (i i entiers), on peut al uler l'espéran e de la varian e de la loi uni-forme sur U .Propriétés : Soit n ∈ N∗ et U l'ensemble des entiers de 1 à n. La loi unifome sur U a pour :1. espéran e le nombre n + 1

2;2. varian e le nombre n2 − 1

12.Exer i e 2. Une loterie dans un supermar hé onsiste à tirer au hasard un bon d'a hat dans un sa quien ontient 11 (de même taille) d'une valeur 20, 21, 22, 23, . . ., 30 euros. On note S la variable aléatoire quiprend pour valeur la somme indiquée sur le bon et X = S − 19.1. Montrer que X suit la loi uniforme sur un ensemble que l'on pré isera.2. En déduire l'espéran e et la varian e de S.

15.1.2 Loi de BernoulliExer i e 3. Une urne ontient 30 boules, dont 10 rouges, indis ernables au tou her.Un expérien e aléatoire onsiste à extraire au hasard une boule : on obtient un point si la boule tirée est rouge,et zéro point si elle- i n'est pas rouge. On prend omme univers des résultats possibles l'ensemble U = 0; 1.1. Déterminer une loi de probabilité sur U ompatible ave les données de l'énon é.2. Quelle est l'espéran e µ et la varian e σ2 de ette loi ?Dénition : Une expérien e aléatoire aboutissant à deux résultats et deux seulement est appelée épreuvede Bernoulli.L'un des résultats est souvent appelé su ès et on le ode par l'entier 1 ; le se ond est appelé é he et on le ode par l'entier 0.Munir l'ensemble 0; 1 de la loi de Bernoulli de paramètre p ∈]0; 1[, 'est ae ter à 1 la probabilité p et à 0la probabilité q = . . . . . . . . ..Propriétés : Soit U = 0; 1. La loi de Bernoulli de paramètre p ∈ [0; 1] sur U a pour :1. espéran e le nombre p ;2. varian e le nombre p(1 − p).15.1.3 Loi binomialeExer i e 4. Une urne ontient 30 boules, dont 10 rouges, indis ernables au tou her.On ee tue 3 fois de suite l'expérien e aléatoire suivante : on extrait au hasard une boule, on note sa ouleuret on la remet dans le sa .• X1 est la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si la boule tirée en premier est rouge, et 0 sinon ;• X2 est la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si la boule tirée en deuxième est rouge, et 0 sinon ;• X3 est la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si la boule tirée en troisième est rouge, et 0 sinon ;• S = X1 + X2 + X3.1. Déterminer la loi de probabilité que suivent les variables aléatoires X1, X2 et X3. Déterminer l'espéran eet la varian e de ette loi.2. Etude de la variable aléatoire S.(a) Quel est l'ensemble des valeurs prises par S ? En fait, que ompte la variable aléatoire S ?(b) Déterminer l'espéran e de S.( ) A l'aide d'un arbre, déterminer la loi de probabilité de S.Dénition : Soit n un entier naturel non nul. Lorsque l'on repète n fois, dans des onditions identiques etindépendantes la même expérien e de Bernoulli dans laquelle le su ès a une probabilité p ∈]0; 1[, il s'agitd'un s héma de Bernoulli de paramètres n et p.Le nombre de su ès obtenu à l'issue de es n épreuves est un entier de l'ensemble 0; 1; . . . ; n.La loi de probabilité du nombre de su ès est appelée loi binomiale de paramètres n et p.Propriétés : Pour k ∈ 0, 1, . . . , n, soit pk la probabilité d'obtenir k su ès à l'issue d'un s héma deBernoulli de paramètres n et p :

pk =

(

nk

)

pk(1 − p)n−kL'espéran e de ette loi binomiale est np.La varian e de ette loi binomiale est np(1 − p).Exer i e 5. Retrouver par le al ul que les nombres pk vérient n∑

k=0

pk = 1.61 Probabilités (2) : Quelques lois

15.2 Adéquation à une loi équirépartie15.2.1 Rappel : u tuation d'é hantillonnageOn lan e un dé numéroté de 1 à 6, bien équilibré, et on repère le nombre qui apparaît sur la fa e supérieure.On répète e lan er deux fois 100 fois et on obtient deux é hantillons A et B de taille 100 : on a onsigné lesfréquen es d'apparition de haque hire dans un tableau :Nombre 1 2 3 4 5 6Fréquen e A 0, 14 0, 17 0, 19 0, 18 0, 17 0, 15Fréquen e B 0, 15 0, 16 0, 16 0, 18 0, 17 0, 18Sur es deux é hantillons de taille 100, les fréquen es d'apparition des diérents nombres ne sont pas les mêmes,bien qu'on ait lan é le même dé équilibré, dans des onditions identiques.Ce phénomène est appelé u tuation d'é hantillonnage.15.2.2 Problème de l'adéquation de données à une loi équirépartieImaginons maintenant, sans avoir l'information le dé est équilibré , qu'à l'issue de 100 lan ers d'un dé à 6fa es, on re ueille les données suivantes :Nombre 1 2 3 4 5 6Fréquen e 0, 14 0, 17 0, 19 0, 18 0, 17 0, 15Il est alors légitime de se poser la question suivante :Cette distribution de fréquen e est-elle ompatible ave l'hypothèse : le dé est équilibré ?Autrement dit, les variations des fréquen es d'apparition des diérentes o urren es ne sont-elles dues qu'àla u tuation d'é hantillonnage ?En répondant NON à la première question, on prend le risque de rejeter une hypothèse valide.En y répondant OUI, on prend le risque d'a epter une hypothèse qui n'est pas la bonne.Il s'agit i i de déterminer un ritère qui va nous permettre de répondre OUI ou NON , en gardant à l'esprit lesrisques d'erreur dé rits i-dessus.• Si l'hypothèse le dé est équilibré est la bonne, la distributions de fréquen es des diérentes o urren esobservée sur l'é hantillon de taille 100 i-dessus doivent peu s'é arter de la distribution (1

6;1

6;1

6;1

6;1

6;1

6

).On al ule le nombre d2obs, déni par :d2obs =

6∑

k=1

(

fi −1

6

)2où fi (i ∈ 1, 2, 3, 4, 5, 6) désigne sur l'é hantillon de taille 100 la fréquen e observée d'apparition de la fa ei.Exer i e 6. Cal uler le nombre d2obs pour la distribution de fréquen es (0, 14; 0, 17; 0, 19; 0, 18; 0, 17; 0, 15).Prin ipe : Plus e nombre d2obs sera grand, moins on prendra de risque à rejeter l'hypothèse d'équirépartition.Problème : Que signie e nombre est grand ? e nombre est petit ? Et par rapport à quoi ?• Pour répondre à ette question, on simule (grâ e à un tableur par exemple) 1000 fois un é hantillon de taille100 du jet d'un dé équilibré. Ces 1000 simulations nous permettent à haque fois de al uler le nombre d2 dela même façon que i-dessus.62 Probabilités (2) : Quelques lois

La distribution des 1000 nombres d2 obtenus est résumée dans l'histogramme i-après :

Exer i e 7.1. Quel est le pas de l'histogramme i-dessus ?2. Quelle est la lasse modale ?3. Dans quelle lasse notre d2obs se situe-t-il ?Exer i e 8. On donne, pour la série des 1000 nombres d2 simulés :Min 1er Dé ile 1er Quartile Médiane 3e Quartile 9e Dé ile Max0.000255556 0.001922222 0.003355556 0.005588889 0.008830556 0.012658889 0.025855556La simulation montre que dans 10 % des as, la u tuation d'é hantillonage permet d'expliquer le fait qued2 > 0.012658889. Où notre nombre d2obs se situe-t-il par rapport au 9e dé ile D9 ?Règle de dé ision :• Si d2obs > D9, on rejette le modèle d'équirépartition ave un risque de 10 % .• Si d2obs < D9, on a epte le modèle d'équirépartition.I i, les dé isions sont prises au seuil de 10%.Remarque(s)

• On a simulé i i (1000 fois) des é hantillons de taille N = 100 : quand la taille de l'é hantillon augmente, lesnombres d2 deviennent de plus en plus petits, si bien qu'on utilise souvent les nombres N × d2 où N est lataille de l'é hantillon qu'on simule.• Noter qu'on ne pré ise pas le risque d'erreur lorsqu'on a epte l'hypothèse d'équirépartition : le al ul de erisque requiert des outils qui dépassent le adre de la terminale. D'ailleurs, vous verrez plus tard (surtout sivous faites de la méde ine ou de la biologie) une te hnique de validation d'hypothèses qui permet de se passerde l'outil des simulations.• Il arrive qu'on prennent des dé isions au seuil de 5 % ou 1%, auquel as on ompare d2obs respe tivement 95eper entile (respe tivement au 99e per entile).Exer i e 9. Que diriez-vous de notre dé ?63 Probabilités (2) : Quelques lois

15.3 Quelques lois de probabilités ontinues15.3.1 GénéralitésOn s'intéresse i i à une expérien e aléatoire dont l'ensemble des résultats possibles est onstitué d'un nombreinni de réels pouvant prendre n'importe quelle valeur d'un intervalle.Exer i e 10. Un générateur de nombres aléatoires a he un nombre réel de l'intervalle [0; 1] au hasard .1. Quelle probabilité ae ter à l'événement : le nombre a hé est 0.8 ?2. Quelle probabilité ae ter à l'événement : le nombre a hé appartient à l'intervalle [0.8; 0.9] ?Lorsque le résultat d'une expérien e aléatoire peut prendre n'importe quelle valeur d'un intervalle, le al uldes probabilités sur l'ensemble des éventualités ne fon tionne plus omme dans le as d'un univers ni : il nousfaut modéliser autrement la situation.Par exemple, le taux de gly émie d'un être humain peut varier, de façon ontinue, de 0 g/L à, disons, 8 g/L.Il est ependant plus probable qu'un individu pris au hasard dans la population ait une gly émie de l'ordre de0.8 à 1.2 g/L : la densité de probabilité est plus élevée autour des valeurs 0.8 à 1.2 g/L.Dénition [Densité de probabilité : Soit f une fon tion dénie sur un intervalle I. Si :1. f est ontinue sur I,2. f est positive sur I,3. ∫I

f(x)dx = 1,on dit que f est une densité de probabilité sur I.Remarque(s)• Si l'intervalle I est de la forme [a; b] ave a et b réels tels que a < b, alors l'é riture ∫

I

f(x)dx désignel'intégrale ∫ b

a

f(x)dx .• Si l'intervalle I est de la forme [a; +∞[ ave a réel, alors l'é riture ∫

I

f(x)dx désigne, si ette limite existe,lim

b→+∞

∫ b

a

f(x)dx, qu'on note aussi : ∫ +∞

a

f(x)dx.• Il n'est pas né essaire que f soit ontinue sur tout I pour être une densité de probabilité : elle peut admettredes points de dis ontinuité isolés , mais vous verrez ela plus tard.Exer i e 11. Déterminer la valeur de la onstante réelle c pour que f soit une densité de probabilité surl'intervalle I onsidéré.1. f(x) = c, pour tout x ∈ [a; b] (a et b réels, a < b).2. f(x) = ce−2x, pour tout x ∈ [0; +∞[.

64 Probabilités (2) : Quelques lois

Dénition [Loi de probabilité à densité ou ontinue : Soit une expérien e aléatoire dont l'ensembledes résultats possibles est l'intervalle I et f une densité de probabilité sur I. On appelle loi de probabilité Pde densité f l'appli ation qui à tout intervalle [a; b] ⊂ I, ave a < b, asso ie le nombre :P ([a; b]) =

∫ b

a

f(x)dxUne variable aléatoire dont l'ensemble des valeurs est un intervalle I est dit ontinue si sa loi de probabilitéest une loi de probabilité à densité f : ela signie que la probabilité que X prenne ses valeurs dans l'intervalle[a; b] est :

P (X ∈ [a; b]) =

∫ b

a

f(x)dxRemarque(s)• Le nombre P ([a; b]) appartient à l'intervalle [0; 1] et représente la probabilité que le résultat de l'expérien ealéatoire appartienne à l'intervalle [a; b].• La probabilité P (I) vaut . . . . . ..• Si J est un intervalle tel que I ∩ J = ∅, alors P (J) = . . . . . ..Si J et K sont deux intervalles disjoints, alors P (J ∪ K) = P (J) + P (K).• Déterminer une densité de probabilité qui modélise de façon satisfaisante une expérien e aléatoire est unproblème di ile que nous ne ferons qu'aborder ette année.Propriétés : Soit une loi de probabilité P à densité sur un intervalle I.1. Pour tout a ∈ I, P (a) = 0.2. Pour tous réels a et b de I tels que a < b, P ([a; b]) = P (]a; b[) = P (]a; b]) = P ([a; b[).Dénition [Espéran e et varian e d'une loi de probabilité à densité : Soit une loi de probabilitéde densité f sur un intervalle I. Lorsque es é ritures ont un sens :L'espéran e µ de ette loi est donnée par ∫

I

x f(x)dx.La varian e σ2 de ette loi est donnée par ∫I

(x − µ)2 f(x)dx.Exer i e 12. On prend i i I = [a; b], ave a et b réels tels que a < b. Prouver que :σ2 =

∫ b

a

x2 f(x)dx − µ215.3.2 Loi uniforme ontinueSoient a et b deux réels tels que a < b. La loi uniforme ontinue sur l'intervalle [a, b] a une densité deprobabilité f onstante sur [a, b]. La valeur de ette onstante est . . . . . . . . . . . ..Ainsi, la probabilité de tout intervalle [u; v] ⊂ [a, b] est donnée par :P ([u; v]) =

∫ v

u

. . . . . . . . .dx = . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .La probabilité d'un intervalle [u; v] est don proportionnelle à sa longueur v − u.Exer i e 13. Déterminer l'espéran e et la varian e de la loi uniforme sur l'intervalle [a; b].65 Probabilités (2) : Quelques lois

15.3.3 Loi exponentielleOn onsidère un omposant éle tronique et on s'intéresse à sa durée de vie D.A priori, D est une variable aléatoire prenant ses valeurs dans [0; +∞[.On fait les hypothèses suivantes :1. Ce omposant meurt sans vieillir , e qui signie (s et t étant des réels positifs) que la probabilité queD dépasse t + s sa hant que D a déjà depassé t, est égale à la probabilité que D dépasse s.Cela se traduit par :

P(D>t)(D > t + s) = P (D > s)2. la loi de probabilité de D est une loi à densité.La loi de probabilité de la variable aléatoire D est don une loi de densité f dénie sur I = [0; +∞[.Pour tout t ≥ 0, P (0 ≤ D ≤ t) =

∫ t

0

f(u)du.Exer i e 14. ⋆ Soit G la fon tion dénie sur R+ par G(x) = P (D > x) : G est appelée fon tion de abilitéde la variable aléatoire D.1. En exprimant G à l'aide d'une intégrale et de la densité f de la loi de D, prouver que G est dérivable surR+. On pose G′(0) = k.2. Cal uler G(0).3. Montrer que pour tout (s; t) ∈ R+2, G(t + s) = G(t)G(s).4. En déduire que pour tout t positif, G(t) = ekt. Quel est le signe de k ?5. On pose k = −λ ave λ > 0. Montrer que pour tout x ∈ R+, f(x) = λe−λx.La loi exponentielle de paramètre λ > 0 a pour densité la fon tion f dénie sur R+ par f(x) = λe−λx.Elle modélise les durée de vie pour des objets qui essent de fon tionner sans vieillir : des ampoules, desisotopes radioa tifs, ertains omposants éle troniques, et .Exer i e 15. Montrer que l'espéran e de la loi exponentielle de paramètre λ vaut 1/λ > 0 et que son é arttype est 1/λ.

66 Probabilités (2) : Quelques lois