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EvolucaoFormalismo
Problemas Remanescentes e Novos ModelosReferencias
Abrindo os Brackets:mecanica quantica formal de maneira informal.
Ricardo Correa da Silva
Departamento de Fısica Matematica - USP
Ricardo Correa da Silva Abrindo os Brackets: mecanica quantica formal de maneira informal.
EvolucaoFormalismo
Problemas Remanescentes e Novos ModelosReferencias
Resumo
O objetivo desse seminario e apresentar a evolucao matematica
que levou a mecanica quantica como aprendemos hoje. A
proposta e dar enfase a formulacao matematica, assim,
tentaremos esclarecer quais sao as razoes fısicas, por vezes
esquecidas, os problemas e as sutilezas das estruturas
matematicas usadas, alem de discutir varios problemas tanto
fısicos como matematicos encontrados nesse processo e que
perduram ate hoje.
Ricardo Correa da Silva Abrindo os Brackets: mecanica quantica formal de maneira informal.
EvolucaoFormalismo
Problemas Remanescentes e Novos ModelosReferencias
A transicao entre a fısica classica e a fısica quantica nao se da
diretamente, ha varios passos intermediarios. Isso de deve a
contraintuitividade das hipoteses fısicas a serem tomadas e a
dificuldade de encontrar um formalismo matematico adequado para
codificar tais informacoes.
Tais problemas ainda persistem e voltaremos a essa discussao mais
para frente.
Ricardo Correa da Silva Abrindo os Brackets: mecanica quantica formal de maneira informal.
EvolucaoFormalismo
Problemas Remanescentes e Novos ModelosReferencias
Alguns dos mais importantes acontecimentos para o
desenvolvimento da dinamica de sistemas quanticos foram os
seguintes:
Hipotese de Quantizacao de Planck (1900) e Einstein (1905)
Princıpio de Dualidade de Broglie (1924)
Mecanica das Matrizes de Heisenberg, Bohr e Jordan (1925)
Equacao de Schrodinger (1926-1927)
Formalismo de von Neumann (1927) e Dirac (1930)
Rigged Hilbert Space de Gelfand (1964)
Teorema de Bell (1964)Ricardo Correa da Silva Abrindo os Brackets: mecanica quantica formal de maneira informal.
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Alguns dos mais importantes acontecimentos para o
desenvolvimento da dinamica de sistemas quanticos foram os
seguintes:
Hipotese de Quantizacao de Planck (1900) e Einstein (1905)
Princıpio de Dualidade de Broglie (1924)
Mecanica das Matrizes de Heisenberg, Bohr e Jordan (1925)
Equacao de Schrodinger (1926-1927)
Formalismo de von Neumann (1927) e Dirac (1930)
Rigged Hilbert Space de Gelfand (1964)
Teorema de Bell (1964)Ricardo Correa da Silva Abrindo os Brackets: mecanica quantica formal de maneira informal.
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Alguns dos mais importantes acontecimentos para o
desenvolvimento da dinamica de sistemas quanticos foram os
seguintes:
Hipotese de Quantizacao de Planck (1900) e Einstein (1905)
Princıpio de Dualidade de Broglie (1924)
Mecanica das Matrizes de Heisenberg, Bohr e Jordan (1925)
Equacao de Schrodinger (1926-1927)
Formalismo de von Neumann (1927) e Dirac (1930)
Rigged Hilbert Space de Gelfand (1964)
Teorema de Bell (1964)Ricardo Correa da Silva Abrindo os Brackets: mecanica quantica formal de maneira informal.
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Alguns dos mais importantes acontecimentos para o
desenvolvimento da dinamica de sistemas quanticos foram os
seguintes:
Hipotese de Quantizacao de Planck (1900) e Einstein (1905)
Princıpio de Dualidade de Broglie (1924)
Mecanica das Matrizes de Heisenberg, Bohr e Jordan (1925)
Equacao de Schrodinger (1926-1927)
Formalismo de von Neumann (1927) e Dirac (1930)
Rigged Hilbert Space de Gelfand (1964)
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Alguns dos mais importantes acontecimentos para o
desenvolvimento da dinamica de sistemas quanticos foram os
seguintes:
Hipotese de Quantizacao de Planck (1900) e Einstein (1905)
Princıpio de Dualidade de Broglie (1924)
Mecanica das Matrizes de Heisenberg, Bohr e Jordan (1925)
Equacao de Schrodinger (1926-1927)
Formalismo de von Neumann (1927) e Dirac (1930)
Rigged Hilbert Space de Gelfand (1964)
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Alguns dos mais importantes acontecimentos para o
desenvolvimento da dinamica de sistemas quanticos foram os
seguintes:
Hipotese de Quantizacao de Planck (1900) e Einstein (1905)
Princıpio de Dualidade de Broglie (1924)
Mecanica das Matrizes de Heisenberg, Bohr e Jordan (1925)
Equacao de Schrodinger (1926-1927)
Formalismo de von Neumann (1927) e Dirac (1930)
Rigged Hilbert Space de Gelfand (1964)
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Alguns dos mais importantes acontecimentos para o
desenvolvimento da dinamica de sistemas quanticos foram os
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Hipotese de Quantizacao de Planck (1900) e Einstein (1905)
Princıpio de Dualidade de Broglie (1924)
Mecanica das Matrizes de Heisenberg, Bohr e Jordan (1925)
Equacao de Schrodinger (1926-1927)
Formalismo de von Neumann (1927) e Dirac (1930)
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Alguns dos mais importantes acontecimentos para o
desenvolvimento da dinamica de sistemas quanticos foram os
seguintes:
Hipotese de Quantizacao de Planck (1900) e Einstein (1905)
Princıpio de Dualidade de Broglie (1924)
Mecanica das Matrizes de Heisenberg, Bohr e Jordan (1925)
Equacao de Schrodinger (1926-1927)
Formalismo de von Neumann (1927) e Dirac (1930)
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A Mecanica das Matrizes foi a primeira tentativa de descrever a
dinamica de sistemas com quantidades quanticas. Nesse formalismo
duas coisas de tornam evidentes:
A dinamica se da em um espaco nao-comutativo
A dinamica se da em um espaco vetorial de dimensao
arbitraria, possivelmente infinita.
Antes de discutir esses pontos, lembremos que entendemos
usualmente por matrizes nao inclui matrizes infinitas. Mais que
uma mera questao de definicao, “matrizes infinitas” dao origem a
um “formalismo” matematicamente problematico.Ricardo Correa da Silva Abrindo os Brackets: mecanica quantica formal de maneira informal.
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A Mecanica das Matrizes foi a primeira tentativa de descrever a
dinamica de sistemas com quantidades quanticas. Nesse formalismo
duas coisas de tornam evidentes:
A dinamica se da em um espaco nao-comutativo
A dinamica se da em um espaco vetorial de dimensao
arbitraria, possivelmente infinita.
Antes de discutir esses pontos, lembremos que entendemos
usualmente por matrizes nao inclui matrizes infinitas. Mais que
uma mera questao de definicao, “matrizes infinitas” dao origem a
um “formalismo” matematicamente problematico.Ricardo Correa da Silva Abrindo os Brackets: mecanica quantica formal de maneira informal.
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O proximo passo foi dado por Schrodinger, criando uma “equacao
de onda”(a equacao de onda e da forma ∂2Ψ(x , t)
∂x2 =1
v2∂2Ψ(x , t)
∂t2
).
i~∂Ψ(x , t)
∂t =
[− ~2
2m∂2
∂x2 + V (x)
]Ψ(x , t), (1)
Tal equacao foi criada baseando-se no princıpio de dualidade e na
teoria de Hamilton-Jacobi, inclusive utilizando a analogia entre
mecanica e otica feita por Hamilton.
Ricardo Correa da Silva Abrindo os Brackets: mecanica quantica formal de maneira informal.
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O proximo passo foi dado por Schrodinger, criando uma “equacao
de onda”(a equacao de onda e da forma ∂2Ψ(x , t)
∂x2 =1
v2∂2Ψ(x , t)
∂t2
).
i~∂Ψ(x , t)
∂t =
[− ~2
2m∂2
∂x2 + V (x)
]Ψ(x , t), (1)
Tal equacao foi criada baseando-se no princıpio de dualidade e na
teoria de Hamilton-Jacobi, inclusive utilizando a analogia entre
mecanica e otica feita por Hamilton.
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O proximo passo foi dado por Schrodinger, criando uma “equacao
de onda”(a equacao de onda e da forma ∂2Ψ(x , t)
∂x2 =1
v2∂2Ψ(x , t)
∂t2
).
i~∂Ψ(x , t)
∂t =
[− ~2
2m∂2
∂x2 + V (x)
]Ψ(x , t), (1)
Tal equacao foi criada baseando-se no princıpio de dualidade e na
teoria de Hamilton-Jacobi, inclusive utilizando a analogia entre
mecanica e otica feita por Hamilton.
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Essa abordagem tambem permitiu identificar os operadores
correspondentes as variaveis dinamicas, e.g.
p = −i~ ∂∂x .
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Nesse ponto ja e possivel perceber como estamos codificando os
espacos de dimensao na nossa descricao matematica. Enquanto na
mecanica classica, o espaco de fase e um subconjunto de (q, q), ou
seja tem dimensao de 2 dim (q). Isso e justamente o que se passa
na Mecanica Lagrangiana ou Hamiltonina: dado um par de
variaveis conjugadas indepentendes (q, q) encontramos qual e a
curva nesse espaco que representa a evolucao do sistema. Bastante
diferrente disso, na mecanica quantica, a evolucao do sistema de da
em um espaco de funcoes que tem dimencao infinita em geral,
independente da dimensao de q.
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Nesse ponto ja e possivel perceber como estamos codificando os
espacos de dimensao na nossa descricao matematica. Enquanto na
mecanica classica, o espaco de fase e um subconjunto de (q, q), ou
seja tem dimensao de 2 dim (q). Isso e justamente o que se passa
na Mecanica Lagrangiana ou Hamiltonina: dado um par de
variaveis conjugadas indepentendes (q, q) encontramos qual e a
curva nesse espaco que representa a evolucao do sistema. Bastante
diferrente disso, na mecanica quantica, a evolucao do sistema de da
em um espaco de funcoes que tem dimencao infinita em geral,
independente da dimensao de q.
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Para terminar essa secao, chamo a atencao para uma confusao
comum e polemica. Nao e raro escutarmos frases como “mecanica
quantica e aleatoria” ou, um pouco menos errada, “mecanica
quantica e nao-determinıstica”.
Veja que ate agora a dinamica foi descrita de forma totalmente
determinıstica, entao, ate esse momento meu posicionamento e que
mecanica quantica e determinıstica.
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No entanto, dada uma equacao de onda, nada mais natural do que
perguntarmos o que ela representa, ou pelo menos como tiramos
informacoes relevantes dela. A interpretacao de Copenhagen diz
que o modulo quadrado da funcao de onda e uma funcao densidade
de probabilidade, ou seja, todas as quantidades relacionadas a ela
ganham um carater probabilıstico e portanto as medidas que
fazemos em um sistema quantico nao sao determinısticas.
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Nesse ponto ja podemos dar mais atencao a matematica, afinal ja
discutimos bastante as inspiracoes fısicas. Perguntas como:
Em qual espaco se da a dinamica?
Quais sao as propriedades relevantes de tal espaco?
Quais sao as quantidades fısicas (observaveis)?
Nao podemos perder de vista que a fısica e a matematica devem
ser uma via de duas maos, e extremamente interessante como
certas escolhas na matematica nos trazem drasticas consequencias
para a fısica.
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Nesse ponto ja podemos dar mais atencao a matematica, afinal ja
discutimos bastante as inspiracoes fısicas. Perguntas como:
Em qual espaco se da a dinamica?
Quais sao as propriedades relevantes de tal espaco?
Quais sao as quantidades fısicas (observaveis)?
Nao podemos perder de vista que a fısica e a matematica devem
ser uma via de duas maos, e extremamente interessante como
certas escolhas na matematica nos trazem drasticas consequencias
para a fısica.
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Nesse ponto ja podemos dar mais atencao a matematica, afinal ja
discutimos bastante as inspiracoes fısicas. Perguntas como:
Em qual espaco se da a dinamica?
Quais sao as propriedades relevantes de tal espaco?
Quais sao as quantidades fısicas (observaveis)?
Nao podemos perder de vista que a fısica e a matematica devem
ser uma via de duas maos, e extremamente interessante como
certas escolhas na matematica nos trazem drasticas consequencias
para a fısica.
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Nesse ponto ja podemos dar mais atencao a matematica, afinal ja
discutimos bastante as inspiracoes fısicas. Perguntas como:
Em qual espaco se da a dinamica?
Quais sao as propriedades relevantes de tal espaco?
Quais sao as quantidades fısicas (observaveis)?
Nao podemos perder de vista que a fısica e a matematica devem
ser uma via de duas maos, e extremamente interessante como
certas escolhas na matematica nos trazem drasticas consequencias
para a fısica.
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Voltamos agora a ponta solta deixada na primeira secao. von
Neumann logo se deu conta que o “ambiente” correto para
descrever os sistemas quanticos eram os espacos de Hilbert.
“Hilbert space is a big place!” Carlton Caves
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Voltamos agora a ponta solta deixada na primeira secao. von
Neumann logo se deu conta que o “ambiente” correto para
descrever os sistemas quanticos eram os espacos de Hilbert.
“Hilbert space is a big place!” Carlton Caves
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Mas por que? Nao faltam motivos!
O primeiro e que esses espacos sao naturalmente munidos de uma
norma, de forma que podemos dar sentido a Interpretacao de
Copenhagen, afinal, funcoes densidade de probabilidade devem ser
normalizadas.
Claro que se olharmos para a Equacao de Schrodinger e para a
Interpretacao de Copenhagen fica claro que o espaco de Hilbert
nesse caso seria o espaco L2(C).
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Mas por que? Nao faltam motivos!
O primeiro e que esses espacos sao naturalmente munidos de uma
norma, de forma que podemos dar sentido a Interpretacao de
Copenhagen, afinal, funcoes densidade de probabilidade devem ser
normalizadas.
Claro que se olharmos para a Equacao de Schrodinger e para a
Interpretacao de Copenhagen fica claro que o espaco de Hilbert
nesse caso seria o espaco L2(C).
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Mas por que? Nao faltam motivos!
O primeiro e que esses espacos sao naturalmente munidos de uma
norma, de forma que podemos dar sentido a Interpretacao de
Copenhagen, afinal, funcoes densidade de probabilidade devem ser
normalizadas.
Claro que se olharmos para a Equacao de Schrodinger e para a
Interpretacao de Copenhagen fica claro que o espaco de Hilbert
nesse caso seria o espaco L2(C).
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Mas por que? Nao faltam motivos!
O primeiro e que esses espacos sao naturalmente munidos de uma
norma, de forma que podemos dar sentido a Interpretacao de
Copenhagen, afinal, funcoes densidade de probabilidade devem ser
normalizadas.
Claro que se olharmos para a Equacao de Schrodinger e para a
Interpretacao de Copenhagen fica claro que o espaco de Hilbert
nesse caso seria o espaco L2(C).
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Mais ainda, usamos a hipotese de separacao de variaveis para
chegar a Equacao de Schrodinger, entao precisaremos falar em
convergencia.
Mas como obter o valor esperado de uma quantidade fısica?
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Mais ainda, usamos a hipotese de separacao de variaveis para
chegar a Equacao de Schrodinger, entao precisaremos falar em
convergencia.
Mas como obter o valor esperado de uma quantidade fısica?
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Teorema 2.1 (Teorema da Projecao de Hilbert)Seja H um espaco de Hilbert, x ∈ H e C ⊂ H um conjunto
convexo e fechado, entao existe um unico y ∈ C tal que
||x − y || = infz∈C||x − z ||
Alem disso, se M ⊂ C e um subespaco de H temos que
〈x − y , z〉 = 0 ∀z ∈ M.
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Isso nos permite respontar a perguntas como “qual a probabilidade
um sistema ser medido no estado com autovalor λ ?” Se pudermos
definir o que sao quantidades fısicas (observaveis), isso tambem nos
dara um modo de saber a probabilidade de obtermos um valor
especıfico em uma medida de tal quantidade fısica.
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Uma hipotese adicional, que ja na mecanica das matrizes, que que
tambem e necessaria devido a separacao de variaveis que usamos e
que o espaco de Hilbert em questao possui uma base enumeravel.
Isso nos vela a outro resultado interessante.
Teorema 2.2Todo espaco de Hilbert separavel e isomorfo a `2
n se dim(H) = n e
isomorfo a `2 (ou L2) se H for de dimensao infinita.
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Ja dito que Schrodinger havia feito uma correspondencia entre
operadores e variaveis dinamicas, assim, nada mais natural que
definir os observaveis como os operadores lineares agindo em H,
mais que isso, tais operadores deverao ser auto-adjuntos. O motivo
para isso ficara claro em breve e esta relacionado a positividade da
funcao densidade de probabilidade.
Note agora que p = −i~ ∂∂x , por exemplo, nao e um operador
limitado (contınuo).
Surge aqui algo completamente novo, ja que todo operador linear
em um espaco vetorial normado de dimensao finita e contınuo.
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Ja dito que Schrodinger havia feito uma correspondencia entre
operadores e variaveis dinamicas, assim, nada mais natural que
definir os observaveis como os operadores lineares agindo em H,
mais que isso, tais operadores deverao ser auto-adjuntos. O motivo
para isso ficara claro em breve e esta relacionado a positividade da
funcao densidade de probabilidade.
Note agora que p = −i~ ∂∂x , por exemplo, nao e um operador
limitado (contınuo).
Surge aqui algo completamente novo, ja que todo operador linear
em um espaco vetorial normado de dimensao finita e contınuo.
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Ja dito que Schrodinger havia feito uma correspondencia entre
operadores e variaveis dinamicas, assim, nada mais natural que
definir os observaveis como os operadores lineares agindo em H,
mais que isso, tais operadores deverao ser auto-adjuntos. O motivo
para isso ficara claro em breve e esta relacionado a positividade da
funcao densidade de probabilidade.
Note agora que p = −i~ ∂∂x , por exemplo, nao e um operador
limitado (contınuo).
Surge aqui algo completamente novo, ja que todo operador linear
em um espaco vetorial normado de dimensao finita e contınuo.
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Problemas de base e continuidade sao um assunto bastante
interessante, mas nao ha tempo para discutı-lo aqui.
Tambem nao poderei dar muita enfase ao trabalho de Dirac, mas
mostra uma abordagem bastante interessante relacionada a dois
teoremas importantes: Riez-Markov e Krein-Milman.
Mas antes facamos uso da notacao de Bra-ket’s tambem criada por
esse e que tem forte relacao com o Teorema de Riez:
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Problemas de base e continuidade sao um assunto bastante
interessante, mas nao ha tempo para discutı-lo aqui.
Tambem nao poderei dar muita enfase ao trabalho de Dirac, mas
mostra uma abordagem bastante interessante relacionada a dois
teoremas importantes: Riez-Markov e Krein-Milman.
Mas antes facamos uso da notacao de Bra-ket’s tambem criada por
esse e que tem forte relacao com o Teorema de Riez:
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Teorema 2.3Seja H um espaco de Hilbert e f : H → C um funcional linear
contınuo, entao existe um unico z ∈ H tal que
f (x) = 〈x , z〉 (2)
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Como claramente os funcionais da forma da equacao 2 sao lineares
e contınuos, esse teorema estabelece que H ' H∗.
Munito de tal resultado, lembramos que valores esperados sao
justamente da forma da equacao 2 e temos que
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Teorema 2.4 (Riesz-Markov)Seja X um espaco de Hausdorff localmente compacto e
f : CC (X )→ R um funcional linear positivo, entao existe uma unica
medida de Borel regular µ tal que
f (x) =
∫X
fdµ
Esse teorema nos remete novamente a abordagem de Schrodinger
onde a medida escolhida e a medida esta associada a medida de
probabilidade obtida como resultado da equacao e assim
interpretada e esta conectada tambem a construcao de Dirac.
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Teorema 2.4 (Riesz-Markov)Seja X um espaco de Hausdorff localmente compacto e
f : CC (X )→ R um funcional linear positivo, entao existe uma unica
medida de Borel regular µ tal que
f (x) =
∫X
fdµ
Esse teorema nos remete novamente a abordagem de Schrodinger
onde a medida escolhida e a medida esta associada a medida de
probabilidade obtida como resultado da equacao e assim
interpretada e esta conectada tambem a construcao de Dirac.
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“The method of Dirac, mentioned above, [...] in no way satisfies
the requirements of mathematical rigor - not even if these are
reduced in a natural and proper fashion to the extent common
elsewhere in theoretical physics.
[...],this requires the introduction of ‘improper’ functions with
self-contradictory properties. The insertion of such mathematical
’fiction’ is frequently necessary in Dirac’s approach,[...].”
J. von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum
Mechanics, Princeton University Press, Princeton (1955)
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Um primeiro problema que surge com a
construcao que fizemos e decorrente do uso
da mecanica classica para construir a
mecanica quantica. Em maior detalhe,
falamos da construcao de Schrodinger que
usa metodos classicos.
Isso da origem a problemas como o famoso
Problema da Medida.
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Outro problema e que na formulacao usual de Schrodinger a funcao
de onda de uma partıcula livre nao e normalizavel.
Esse problema foi resolvido com a construcao, devida a Gelfand,
como Rigged Hilbert Space que faz uso de teoria de distribuicoes
para incluir funcoes singulares como a mencionada acima.
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Outro problema e que na formulacao usual de Schrodinger a funcao
de onda de uma partıcula livre nao e normalizavel.
Esse problema foi resolvido com a construcao, devida a Gelfand,
como Rigged Hilbert Space que faz uso de teoria de distribuicoes
para incluir funcoes singulares como a mencionada acima.
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Mas ja que falaremos de J. S. Bell, vale a pena darmos uma olhada
na cor das meias.
“The philosopher in the street, who has not suffered a course in
quantum mechanics, is quite unimpressed by
Einstein-Podolsky-Rosen correlations. He can point to many
examples of similar correlations in everyday life. The case of
Bertlmann’s socks is often cited. Dr. Bertlmann likes to wear two
socks of different colours. Which colour he will have on a given
foot on a given day is quite unpredictable.
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Mas ja que falaremos de J. S. Bell, vale a pena darmos uma olhada
na cor das meias.
“The philosopher in the street, who has not suffered a course in
quantum mechanics, is quite unimpressed by
Einstein-Podolsky-Rosen correlations. He can point to many
examples of similar correlations in everyday life. The case of
Bertlmann’s socks is often cited. Dr. Bertlmann likes to wear two
socks of different colours. Which colour he will have on a given
foot on a given day is quite unpredictable.
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But when you see that the first sock is pink
you can be already sure that the second
sock will not be pink. Observation of the
first, and experience of Bertlmann, gives
immediate information about the second.
There is no accounting for tastes, but apart
from that there is no mystery here. And is
not the EPR business just the same?”
E no mesmo artigo de Bell, vemos uma interessante transcricao
sobre o problema da medida.Ricardo Correa da Silva Abrindo os Brackets: mecanica quantica formal de maneira informal.
EvolucaoFormalismo
Problemas Remanescentes e Novos ModelosReferencias
But when you see that the first sock is pink
you can be already sure that the second
sock will not be pink. Observation of the
first, and experience of Bertlmann, gives
immediate information about the second.
There is no accounting for tastes, but apart
from that there is no mystery here. And is
not the EPR business just the same?”
E no mesmo artigo de Bell, vemos uma interessante transcricao
sobre o problema da medida.Ricardo Correa da Silva Abrindo os Brackets: mecanica quantica formal de maneira informal.
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Jordan declared, with emphasis, that observations not only disturb
what has to be measured, they produce it! In a measurement of
position, for example, as performed with the gamma-ray
microscope, “the electron is forced to a decision. We compel it to
assume a definite position; previously it was, in general, neither here
nor there; it had not yet made its decision for a definite position....
If by another experiment the velocity of the electron is being
measured, this means: the electron is compelled to decide itself for
some exactly defined value of the velocity; and we observe which
value it has chosen. In such a decision the decision made in the
preceding experiment concerning position is completely obliterated.”Ricardo Correa da Silva Abrindo os Brackets: mecanica quantica formal de maneira informal.
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According to Jordan, every observation is
not only a disturbance, it is an incisive
encroachment into the field of observation:
“we ourselves produce the results of
measurement” - J. S. Bell, Bertlmann’s
socks and the nature of reality.
Ricardo Correa da Silva Abrindo os Brackets: mecanica quantica formal de maneira informal.
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Finalmente o Teorema de Bell nos traz alguma luz sobre as
discussoes quanto a interpretacao da Macanica Quantica
“Bell’s theorem is the most profound discovery of science.” Henry
Stapp
Ricardo Correa da Silva Abrindo os Brackets: mecanica quantica formal de maneira informal.
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Finalmente o Teorema de Bell nos traz alguma luz sobre as
discussoes quanto a interpretacao da Macanica Quantica
“Bell’s theorem is the most profound discovery of science.” Henry
Stapp
Ricardo Correa da Silva Abrindo os Brackets: mecanica quantica formal de maneira informal.
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As relacoes mostradas nesses teoremas sao usualmente usadas
como justificativa para molelos mais modernos para a mecanica
quantica como Algebras C∗ e Inetegracao Nao-Comutativa.
Ricardo Correa da Silva Abrindo os Brackets: mecanica quantica formal de maneira informal.
EvolucaoFormalismo
Problemas Remanescentes e Novos ModelosReferencias
[1] Masoliver, J. and Ros, A. (2010). From Classical to Quantum
Mechanics through Optics. Eur. J. Phys. 31 171.
[2] R. de la Madrid (2005). The role of the rigged Hilbert space in
Quantum Mechanics. Eur. J. Phys. 26 287.
[3] Dirac, P. A. M. (1930). The principles of quantum mechanics.
Oxford, Clarendon Press.
[4] von Neumann, J. (1932). Mathematical Foundations of
Quantum Mechanics. Princeton University Press.
[5] Bell, J. S. (1981). Bertlmann’s Socks and the Nature of Reality.
Phys. Colloques. Volume 42, Number C2.Ricardo Correa da Silva Abrindo os Brackets: mecanica quantica formal de maneira informal.