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Notae Philosophicae Scientiae Formalis, vol. 2, n. 2, p. 87 - 105, outubro 2013.

Abstracción y pseudo-abstracción en la historia de la lógica

Ignacio Angelelli University of Texas at Austin

[email protected]

Abstract: This paper outlines a new, revisionist reading of the history of abstraction in Western philosophy, from Antiquity through modern logic and recent foundational studies. This revisionist approach includes four main points, that naturally become guidelines for any discussion, whether on Thomas Aquinas or on Frege or on Cantor. 1) Only genuine abstraction is to be considered, 2) for a rigorous treatment,abstraction should be analyzed as reflected in language, 3) systematic abstractive procedures deserve special consideration, 4) the understanding of the nature of the products of abstraction (abstracta) should be the main goal of philosophers interested in this subject. Keywords: Abstraction; History of Logic; Peano; Frege. Resumen: Este trabajo esboza una nueva lectura, revisionista, de la historia de la abstracción en la filosofía occidental, desde la Antigüedad hasta la lógica moderna y los recientes estudios fundacionales. Esta perspectiva revisionista contiene cuatro puntos principales, los que se convierten naturalmente en guías para toda discusión, ya sea en Tomás de Aquino, en Frege o en Cantor. 1) Se tomará en consideración únicamente la abstracción genuina, 2) para un tratamiento riguroso, la abstracción debería analizarse en cuanto queda reflejada en el lenguaje, 3) los procedimientos sistemáticos abstractivos merecen especial consideración, 4) la comprensión de la naturaleza de los productos de las abstracción (abstracta) deberían ser el objetivo principal de los filósofos interesados en el tema. Palabras Clave: Abstracción; Historia de la lógica; Peano; Frege.

mailto:[email protected]

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1 Observaciones preliminares

2 De Aristóteles a Peano

3 Peano: una proposición verdadera erroneamente vista como

definición incompleta

4 Las pseudo-abstracciones del siglo XX

5 Supervivencia de la teoria de la abstracción (genuina) en el siglo XX

6 Supervivencia de la práctica abstractiva (genuina) en el siglo XX

7 Conclusión

8 Bibliografía

1. Observaciones preliminares

Como en toda labor teórico-histórica, aqui tambien es preciso combinar los

dos componentes: la teoría y la historia, System y Geschichte como se dice en

alemán. Pienso que antes de narrar la historia de la abstracción hay que empezar

por poner bien en claro cuatro puntos teóricos. Estos cuatro puntos teóricos sirven,

en la investigación histórica, como normas evaluativas. Juzgaremos a un filósofo que

habla de abstracción (sea Tomás de Aquino o Husserl o Frege) según se comporte

en relación a esas cuatro pautas.

1) Abstracción genuina. La abstracción en sentido auténtico debe incluir,

como rasgo esencial, una operación intelectual por la cual, en la

consideración de las cosas, según las frases de Locke, algo es retenido

(retained), y algo es dejado de lado (left out: Essay, III, 1, 9). No es trivial

exigir ésto, puesto que en el siglo XX, como veremos, han proliferado usos

del término "abstracción" que ignoran este punto, y que por consiguiente

denomino “pseudo-usos”.

2) La abstracción reflejada en el ocultamiento de enunciados. Si bien lo que

uno retiene y lo que uno deja de lado está o puede estar en las cosas, y

no es necesariamente algo lingüístico (por ejemplo, cuando al mirar ese

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hermoso árbol dejo de considerar el color verde de sus hojas), conviene, a

fin de rescatar una vez por todas a la abstracción y ponerla en la órbita

lógica y rigurosa que le corresponde, estudiarla en cuanto reflejada en los

enunciados que uno admite como verdaderos o falsos, relativos a las

cosas consideradas1. Por ejemplo, en mi consideración pre-abstractiva de

ese hermoso árbol acepto como verdadero al enunciado “ese árbol tiene

hojas verdes”; luego, durante la abstracción, ese enunciado desaparece,

es ocultado, ignorado —lo cual no quiere decir que el enunciado sea

tomado como falso o que se le prefije el símbolo de la negación.

3) Abstracción al azar, abstracción sistemática, técnica abstractiva. De los

indefinidamente muchos enunciados verdaderos acerca de ese hermoso

árbol, hemos decidido ocultar el enunciado "ese árbol tiene hojas

verdes". ¿Pero por qué ese enunciado, por qué no otros? Evidentemente,

en el proceso abstractivo de ocultamiento de enunciados verdaderos

acerca de un objeto, podemos proceder de manera totalmente arbitraria,

al azar, o bien podemos proceder segun algun criterio o sistema, o

técnica.

4) El producto de la abstracción. Pero lo más importante y difícil, para los

que filosofan, es entender exactamente la naturaleza del producto de la

operación abstractiva. Podríamos contentarnos diciendo que el producto

de la abstracción consiste en, o más estrictamente, está perfectamente

caracterizado por el conjunto de enunciados que no hemos borrado. Pero

ésto no basta, ya que los enunciados son, en definitiva, acerca de

objetos2. El borrar algunos enunciados afecta, obviamente, nuestra visión

1 En relación a una previa versión de este trabajo, David Armstrong se quejó del nominalismo que, le

parecía, conllevaba el estudiar a la abstracción a nivel lingüístico. Pero no hay tal cosa. Simplemente vemos cómo se refleja la abstracción en los enunciados que consideramos falsos o verdaderos. Esto debería permitir el análisis riguroso de algo que ha estado a menudo envuelto en vagas frases psicologistas. 2 Ignorar ésto sería sin duda caer en ese nominalismo mencionado, o temido, en la nota anterior.

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de los objetos. ¿Qué pasa entonces con los objetos iniciales cuando

ejercemos sobre ellos la abstracción? El hermoso árbol de espléndido

color verde es ahora incoloro. El universo de discurso inicial se transforma

bajo la abstracción. Los objetos concretos (o al menos que hemos tomado

como concretos relativamente a nuestra abstracción actual) son

reemplazados por objetos abstractos. De manera más breve, los

concretos son reemplazados por abstractos. La gran pregunta filosófica es

entonces: ¿Qué son los abstractos? ¿Cuál es la naturaleza de los

abstractos? En metalenguaje: ¿Qué enunciados son verdaderos o falsos

acerca de los abstractos? Esta cuestión ha sido claramente formulada por

Lorenzen:

Man kann ein Wort an die Tafel schreiben, aber man kann keinen Begriff an die Tafel schreiben. Ein Wort, so lautet die übliche Erklärung hierzu, ist etwas Konkretes, ein Begriff aber etwas Abstraktes. Wer kritisch ist, wird sich mit dieser Erklärung nicht zufriedengeben. Er wird fragen, was abstrakte Gegenstände (kürzer: Abstrakta) seien. Oder schon etwas gewitzter: Wie wird das Wort "Abstraktum" verwendet? (Theorie der technischen und politischen Vernunft, p. 41, énfasis mío).

Es posible escribir una palabra en la pizarra, pero un concepto no puede ser escrito en la pizarra. Una palabra, como se suele explicar, es concreta, mientras que un concepto es abstracto. Quien sea crítico no podrá satisfacerse con esta explicación, y preguntará: ¿Qué son los objetos abstractos (brevemente, los abstracta)? O de modo más sutil: ¿Cómo se usa el término "abstracto"? (énfasis mío).

En suma, al abordar la historia de la abstracción y encontrarnos con tantos autores

que escriben sobre este tema, trataremos de determinar: 1) si la abstracción de que

nuestro autor habla es genuina, 2) si nuestro autor se preocupa por estudiar el

proceso abstractivo a nivel lógico-lingüístico, 3) si la abstracción que propone sigue

algun sistema o técnica, 4) si nuestro autor dice algo acerca de la naturaleza de los

abstractos.

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2. De Aristóteles a Peano

Desde que Boecio tradujo la aristotélica aphairesis con abstractio, el término

"abstracción" está siempre, y en un lugar central, dentro de la historia de la

filosofía. En los aristotélico-escolásticos ha servido para navegar prudentemente, en

la cuestion de los universales, entre los extremos del platonismo y del nominalismo,

evitando ambos escollos. En Locke, para reconstruir todo el mundo de la

experiencia y de la ciencia en base a las sensaciones elementales internas y

externas. En la filosofía de la matemática la abstracción ha desempeñado un papel

fundamental y persistente desde Aristóteles (cf. Lear, Cleary), pasando por los

escolásticos (entre muchos, en el siglo XVII Caramuel, De abstractione arithmetica,

en Mathesis Biceps), Descartes (Principia I, 59), hasta Cantor (en su conocida

definición de cardinal), Husserl (Philosophie der Arithmetik), y Peano. En general, la

abstracción ha sido como una escalera que conduce de un nivel a otro, y que

permite (supuestamente) atrapar objetos no dados de manera inmediata.

Desde las exigencias lógico-lingüísticas de la filosofía actual hay todavía

mucho que esclarecer en esa masa de teoría abstractiva que nos ofrece la tradición

filosófica, sobre todo en lo que atañe a los “great masters of abstraction” (así

designa Berkeley, con connotaciones peyorativas, a los escolásticos), tanto en las

fuentes cuanto en la abundante literatura secundaria. Dos ejemplos de cuestiones,

en las fuentes, que requieren clarificación rigurosa son la famosa metáfora del

intelecto agente, esa mágica linterna que ilumina al universal dentro de lo singular,

y la distinción escolástica entre abstracción formal y abstracción total. Dentro de la

literatura secundaria, los comentarios relativos a la abstracción que habría que

entender y poder formular mejor (desde un punto de vista lógico- lingüístico) son

numerosísimos. Menciono, como ejemplo, la distinción hecha por C. Giacon entre

un sentido “bueno” (universalizzare) y otro "menos bueno" (generalizzare) del

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término abstracción; el primero, practicado por los aristotélico-tomistas, según

Giacon, no es una mera generalización sino que captura el universal.

En relación a las cuatro pautas evaluativas, en la tradición aristotélico-

escolástica, que es más o menos como decir abstracción clásica (ya que entre los

aristotélico- escolásticos, en estos temas, incluyo, por ejemplo, a Descartes, Locke,

Berkeley), tenemos, 1) por supuesto, abstracción en sentido genuino (nada de

pseudo-abstracciones, como en el siglo XX), 2) clara conciencia de que la abstracción

se refleja en enunciados verdaderos que de pronto, bajo la abstracción, quedan en

suspenso u “ocultados” (“abstrahentium non est mendacium”: los que abstraen no

mienten, es decir, no dicen que ese hermoso árbol no tiene hojas verdes), 3)

técnicas sistemáticas abstractivas (por ejemplo la "reduplicación", o sea el uso de

frases como "qua", "en cuanto", que tienen el efecto de filter out, como muy bien

dice Lear, a los predicados de que se quiere abstraer) pero, 4) no parece haber

especial interés en describir la naturaleza del producto de la abstracción.

Para sorpresa de muchos, un matemático hacia fines del siglo XIX, Giuseppe

Peano, da un lugar importante al término abstracción en su vocabulario, se vincula

explicitamente con el uso clásico del término, citando a Boecio, y parece cumplir,

igual o mejor que cualquier filósofo anterior, las cuatro condiciones que hemos

formulado. En base a los textos citados en la bibliografía, se puede, en efecto,

afirmar lo siguiente. Peano 1) entiende “abstracción” en el sentido genuino, 2) la

estudia en cuanto reflejada en enunciados, 3) ofrece una novedosa técnica

abstractiva, y 4) por añadidura hace algo que pocos habían osado hacer: describir la

naturaleza del producto de la abstracción, del abstracto.

En cuanto a (3), la técnica abstractiva a la que alude Peano es como sigue.

Digamos, con símbolos no usados por Peano, que se parte de un universo de

discurso: a, b, c... en el cual se ha definido una relación de equivalencia x~y. Se

retienen las propiedades de un objeto si tambien las tiene cualquier otro objeto

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equivalente. Se "hace abstracción", o sea se dejan de lado las propiedades de un

objeto si no son poseídas por todos los objetos equivalentes al dado.

En cuanto a (4), Peano explica que el producto de la abstracción es lo que se

obtiene considerando en un objeto concreto inicial todas y solamente las

propiedades que ese objeto tiene en común con sus equivalentes. O sea Peano

describe al ente abstracto como un conjunto de propiedades. Nos guste o no esta

descripción de la naturaleza de los abstractos es muy meritorio que Peano haya al

menos intentado decir algo, en el espinoso asunto de la naturaleza de los

abstractos.

3. Peano: una proposición verdadera erroneamente vista como definición

incompleta

Parecería entonces que Peano es el campeón de la abstracción, por haber

satisfecho óptimamente los cuatro requisitos. Pero hay sombras, y en última

instancia catástrofe para la abstracción.

Un primer defecto en Peano es su afirmación de que todo lo que se enuncia

acerca del abstracto es eliminable, o sea puede decirse acerca del concreto inicial

correspondiente, porque es obvio que hay cosas que queremos decir de un

abstracto que no valen para los concretos, por ej. “es un ente abstracto”. Es más,

cualquier intento de describir la naturaleza de los abstractos (como lo ha hecho el

mismo Peano) es incompatible con esta presunta eliminabilidad general. Por

ejemplo, el predicado susodicho ("ser lo que se obtiene considerando en un objeto

concreto inicial todas y solamente las propiedades que ese objeto tiene en común

con sus equivalentes") se aplica al abstracto pero no a los concretos iniciales.

Pero el problema más grave en Peano es otro. Recordemos la técnica

abstractiva peaniana. Hasta el punto en que la he esbozado (más arriba) no ofrece

problemas. El paso crítico a dar, o no dar, según las virtudes filosóficas de cada uno,

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a continuación tiene dos partes: 1) reconocer la existencia de un abstracto, un

producto de la abstracción, 2) y en tal caso ponerle un nombre. Para decidir si uno

hace (1) y (2), o si uno se rehusa a ello, no vale tener habilidad simbólica o

matemática sino ante todo ser un buen y honesto fenomenólogo (recordando aqui

la hermosa frase del temprano (y aún no fenomenólogo oficial!) Husserl: die

Schwierigkeit liegt in den Phaenomenen, ihrer richtigen Beschreibung, Analyse und

Deutung (la dificultad reside en los fenómenos, su correcta descripción, análisis e

interpretación, Philosophie der Arithmetik, p.142). ¿Nos deja la abstracción (en este

caso, según la técnica peaniana) con las manos vacías o bien nos queda algo, un

abstracto? Evidentemente Peano en sus reflexiones ha optado por la segunda

respuesta: la abstracción nos deja algo en las manos, hay un producto de la

abstracción. A este algo, a este abstracto, ¿le ha puesto Peano un nombre? La

respuesta es afirmativa. En su notación, lo llama por ejemplo u. En la notación que

he utilizado más arriba, propongo escribir el nombre del objeto sobre el cual se ha

operado la abstracción, precedido por un símbolo “~” que alude a la relación de

equivalencia con respecto a la cual se ha llevado a cabo la abstracción. Asi, el

universo de discurso inicial a, b, c... bajo la abstracción se transforma en ~a, ~b,

~c.... Estos son los abstractos. Con nuestros nuevos objetos tambien surgen nuevos

posibles enunciados, en que ellos son nombrados. Uno de ellos es la equivalencia ~a

= ~b a ~ b. Esta equivalencia, para quienes hemos cruzado el Rubicón

(reconocimiento del ente abstracto, nombrarlo), es claramente verdadera3.

Mientras hacemos abstracción, a y b son indiscernibles. Ahora bien, el enorme

defecto, si no en el pensamiento (que no podemos conocer) en todo caso en los

escritos de Peano consiste en dar la impresión de que la equivalencia ~a = ~b a ~

b no es para él ese enunciado verdadero que surge dentro, o como corolario de la

teoría abstractiva, sino una mera estipulación o definición que uno puede hacer

3 Véase mi “Abstraction, looking- around, and semantics”; tambien: Lorenzen-Schwemmer,

Konstruktive Logik, p. 196, dentro de Abstraktion.

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toda vez que disponga de una relación simétrica y transitiva, donde el definiens es a

~ b y el definiendum es ~a = ~b. A esta definición Peano la llama definizione per

astrazione. Peano tenía en su mente todo el background abstractivo que permite

ver a ~a = ~b a ~ b como un enunciado verdadero (dentro de ese background)

pero por confusión o por debilidad filosófica no lo expresó. El resultado fué, para la

abstracción, catastrófico.

4. Las pseudo-abstracciones del siglo XX

Para quien contemple por primera vez tal definición, con ignorancia de todo

el proceso abstractivo previo, surgirá natural y justificadamente la pregunta de qué

es la denotación de los términos singulares ~a, ~b, y terminará por quejarse, con

toda razón, de que la tal definición es esencialmente incompleta, pues no

determina esa denotación. Esto es en efecto lo que les ha ocurrido a varios autores

luego de Peano: Burali-Forti, Couturat, Russell, y otros (es útil considerar el libro de

Natucci para ésto: §336: Critica delle definizioni per astrazione). Han leído a la

equivalencia ~a = ~b a ~ b como una estipulación salida de la nada, o hecha al

principio, donde los términos singulares ~a, ~b aun carecen de denotación, en vez

de leerla como un corolario verdadero que aparece luego de haber desarrollado la

abstracción.

Tomar a la equivalencia ~a = ~b a ~ b como estipulación o definición

inicial, dejando deliberadamente abierta la determinación de la denotación de los

términos singulares ~a, ~b, ya había sido hecho— nada menos que por Frege, en

1884 (Grundlagen der Arithmetik). Claro que Frege a la estipulación inicial ~a = ~b

a ~ b le añade un segundo paso: la asignación de una denotación a los términos

singulares ~a, ~b. Esta asignación está restringida solamente por la estipulación

inicial, o sea sólo se exige que sea compatible con ella. Este método fué aplicado

por Frege en la definición del número y tambien en su introducción de símbolos

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para clase (Wertverlauf)4 y es plausible imaginar que ha influenciado el tratamiento

que hace Frege de la noción de Bedeutung (cf. mi “Frege's notion of “Bedeutung””).

Décadas más tarde, Carnap dió forma general al método de Frege, enfatizando que,

en la segunda parte del método, uno "mira en torno" (look around) y busca objetos

que sean adecuados para funcionar como denotaciones de los términos singulares

~a, ~b..., es decir que respeten la condición de identidad. Por ésto he llamado a este

procedimiento el método de mirar en torno (looking around method). De manera

más solemne, respetuosa, y sutilmente etimológica, se puede decir tambien

circunspección.

La circunspección es un método paupérrimo desde el punto de vista

filosófico y del análisis conceptual. Es esencialmente frívolo y arbitrario.

Sorprendentemente, ha tenido una extraordinaria vigencia en el siglo XX. Muchos,

luego de Frege, lo han practicado: Russell, Carnap, Quine.... Quizás el ultimo

ejemplo importante es Dummett, en su libro de 1991. Pero no es éste el lugar para

desplegar mis opiniones negativas acerca de la circunspección, que he expresado en

varias publicaciones anteriores. Lo relevante aqui es señalar que la circunspección

no es abstracción (solamente en plan casi psicoanalítico se puede detectar, detras o

debajo del "looking around", un oscuro deseo de hacer abstracción, que se

manifiesta, por ejemplo, cuando los autores que practican este método aseguran

que "no interesa" qué objetos se elijan como denotaciones de los términos

singulares ~a, ~b... y que lo único que interesa es que sean compatibles con la

4 Esto ocurre en Grundgesetze der Arithmetik I, §10. Para introducir sus símbolos de clases, digamos

xFx (la clase de los objetos que son F) Frege empieza por la estipulación que es la primera parte de

su método: xFx = xGx x(Fx Gx). Pero comienza su §10 observando que ello no determina el

significado de los términos singulares xFx, xGx. Todo el §10 es un laborioso esfuerzo para probar que es posible seguir adelante asignando el valor de verdad V a un cierto simbolo de clase, y el valor de verdad F a otro. (Obviamente, la intención de Frege es dar denotación a sus simbolos de clase, y no determinar con más precisión la naturaleza de los objetos V y F, como se sugirió, erroneamente, en la discusión siguiente a mi presentación.)

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estipulación inicial.5) Sin embargo, y he aquí otra sorpresa, al looking around se lo

empezó a llamar abstracción, y más precisamente definición por abstracción. Esta

malversación semántica se explica fácilmente, y como hemos visto el primer

culpable es el mismo Peano. Como dije, Peano crea la impresión de que la

equivalencia ~a = ~b a ~ b no es un enunciado verdadero que está luego o es un

corolario de la labor abstractiva, sino que es una estipulación que uno hace al

comienzo, que se llama “definizione per astrazione”. O sea realmente la gente

entendió que Peano recomendaba y llamaba “definizione per astrazione” a la

primera mitad del método de Frege o de mirar en torno. Se trataba entonces de

completar al procedimiento peaniano añadiendo la segunda parte del mirar en

torno. Pero quedó la cáscara vacía, el nombre de “definizione per astrazione”. Frege

por supuesto no llama a su método “definizione per astrazione”, y algunos autores

posteriores se han resistido a hacerlo, como por ejemplo Beth (véase mi

“Abstraction, looking-around and semantics”). Pero la frase ha circulado con

excesiva frecuencia como designación alternativa del método de mirar en torno;

otras variantes han sido “principio de abstracción”, “logical abstraction” (Dummett

1991), o simplemente “abstracción”.

Llamar “abstracción” a la circunspección es tan sólo el más importante entre

los pseudo-usos del término “abstracción”; varios otros han pululado en el siglo XX;

por ejemplo, “lambda abstraction”, o la “abstraction” que tan frecuentemente

figura en los escritos de Quine (véase mi “La abstracción en la filosofía

contemporánea”). En ninguno de estos casos tiene importancia que se haya

ejercitado abstracción alguna en el sentido genuino a que me he referido. En

5 Se podría argumentar que la circunspección, por ejemplo el procedimiento que sigue Frege para

definir el número en Grundlagen der Arithmetik, es abstracción, con la única diferencia que se toma la extensión el abstracto en vez de su “comprehensión” o "intensión", entendiendo por “abstracto”, con Peano, el conjunto de propiedades que tienen en común los objetos equivalentes. La extensión es la popular clase de equivalencia. Sin embargo, subsiste otra diferencia esencial: los que proceden por el método de Frege, o circunspección, no llegan a la clase de equivalencia por afanes abstractivos, sino porque simplemente es un objeto que muy facil y obviamente satisface la condición estipulada en la primera parte del método.

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ámbito filosófico general, el uso del adjetivo “abstracto”, sobre todo cuando se

habla de “abstract entities”, es otro curioso pseudo-uso. Por “abstract entity” se

suele entender algo que no es tangible, algo que no puede tocarse o verse, sin

presuponer procedimiento abstractivo alguno – para un creyente, Dios es un ente

abstracto en este pseudo-sentido, mientras naturalmente no tiene absolutamente

nada de abstracto en el sentido genuino.

Naturalmente que no todos estos pseudo-usos en la filosofía analítica y

lógica del siglo XX pueden explicarse por la confusión relativa a la frase “definizione

per astrazione”. Ha habido otra causa que, al empujar a la abstracción al exilio, ha

dejado el espacio libre para el ingreso de los usurpadores: el rechazo, por parte de

Frege, de la abstracción.

5. Supervivencia de la teoria de la abstracción genuina en el siglo XX

Luego del naufragio peaniano de la teoria de la abstracción, el primer

sobreviviente de que tengo noticia es H. Weyl (en el capítulo 1, §2, de su obra de los

años 1920). Weyl parece ser el único que utiliza la frase “definición por abstracción”

según la intención original de Peano. Más tarde aparece Paul Lorenzen con una

enérgica restauración de la abstracción genuina en su Einführung de 1955 (véase

§10: Abstraktion, Relationen und Funktionen). En realidad uno esperaría encontrar

en Weyl, dada su clara conciencia de la abstracción genuina, alguna reacción contra

el error de ver a la circunspección como abstracción, y anterior a Lorenzen (1955),

pero no parece haberla. Asi, parece que es Lorenzen el primero en decir que la

abstracción auténtica se había perdido en la tradición Frege-Russell. El énfasis que

puso Lorenzen sobre la abstracción genuina pasó a sus discípulos y estudiosos

conocedores de su obra (por ej. Ch. Thiel). Por cierto, han surgido fuertes críticas,

como por ej. en la obra de Geo Siegwart, quien sostiene que la abstracción

moderna, a la Lorenzen, es inconsistente. Es interesante destacar que estas críticas

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se concentran en lo que es sin duda el punto débil y crítico, a saber cuál es la

naturaleza de los entes abstractos, o en formulación metalingüística: ¿qué puede

decirse acerca de los entes abstractos?. Lorenzen ha pensado a los abstractos, en

clave nominalista, como expresiones eliminables. Todo lo que se dice del abstracto

puede tambien decirse de los concretos iniciales. Los filósofos, sin embargo, quieren

poder decir cosas, verdaderas de un abstracto, que no son eliminables, por ej. “x es

un ente abstracto”.

Fuera de la linea genealógica Weyl-Lorenzen, pero siempre dentro de la

tradición lógico-analítica, escasean, o mejor dicho, parecen casi no existir quienes

hablen de abstracción (de “abstracto”, etc.) en un sentido genuino. Aparte de la

muy interesante nota histórica de Lear, un caso atractivo, y muy reciente, pero no

enteramente claro para mí es Kit Fine. En su reciente trabajo del Journal of

Philosophy Fine manifiesta un gran entusiasmo abstractivo: “Abstraction, as Cantor

and Dedekind conceive it, is ontologically innovative— it leads to objects that are

genuinely new” (p 601). Fine insiste en construir una teoria rigurosa (“cogent”,

“logico-mathematical”) de la abstracción y quiere obtener un “clear and definite

understanding of what abstraction is” (p. 608). Dejo a algun lector amigo de la

abstracción el determinar si realmente lo que hace Fine es abstracción genuina. (Por

cierto, su abstracción puede ser perfectamente genuina independientemente de

que su plan de revindicar las desafortunadas “unidades abstractas” de Cantor sea

sensato.)

6. Supervivencia de la práctica abstractiva (genuina) en el siglo XX

Digan lo que digan los teóricos de la abstracción, y con total independencia

de la proliferación de los pseudo-usos, la abstracción genuina se sigue practicando,

con las limitaciones, naturalmente, de lo que se hace a oscuras, sin marco

conceptual apropiado. Basta buscar publicaciones sobre "abstracción" en el

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catálogo electrónico de una gran biblioteca para quedarse atónitos ante la masa de

titulos que incluyen esa palabra, que en muchos casos parece ser usada en sentido

genuino.

Un ejemplo muy sencillo de práctica abstractiva genuina, carente sin

embargo, de una adecuada complementación teórica, es el pequeño y popular

manual introductorio a la teoría de conjuntos de Kamke, que ha nutrido a

generaciones de estudiantes en los países de lengua alemana, y en muchos otros

ámbitos culturales. El prestigioso matemático, en su texto elemental, se mueve

dentro de la gran tradición inaugurada por Cantor y continuada por autores como

Fraenkel, Hausdorff y Schoenflies.

Es aleccionador observar las definiciones y los comentarios de Kamke. Kamke

define el número cardinal de un conjunto del siguiente modo, presuponiendo la

noción de equivalencia, es decir de correspondencia biunívoca entre conjuntos:

Por número cardinal de potencia m entendemos un representante arbitrario M de un clase de conjuntos mutuamente equivalentes. El número cardinal o potencia de un conjunto M tambien será designado con |M|. La notación |M|, según ésto, simplemente significa que el conjunto M puede ser reemplazado por cualquier conjunto que le es equivalente; tenemos |M| = |N| para M~N. (Cap. II, §8).

La última cláusula es crucial, y engañosamente breve. Lo que realmente dice

es que la persona que se dispone a hacer teoría de los números cardinales deberá

hacer abstracción, en el sentido de ignorar, en su discurso acerca de un conjunto M,

todo lo que no sea también verdadero de cualquier otro conjunto M* tal que M ~

M*, donde “~” indica la equivalencia o correspondencia biunívoca entre conjuntos.

El lector de Kamke (nos podemos imaginar a cualquiera de los miles de estudiantes

que han repasado este manualito antes de dar examen) deberá atender solamente

a los predicados que son ~-invariantes.

Si el lector de Kamke es filósofo y quiere saber qué es lo que queda luego de

practicar la abstracción desprolijamente recomendada por el autor, o sea si quiere

saber nada menos que qué es el número cardinal, volverá su mirada a la primera

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oración del pasaje citado, donde la grave pregunta recibe esta respuesta: “el

cardinal de un conjunto M es un representante arbitrario M* de la clase de

conjuntos equivalentes a M”. Si el lector de Kamke es buen filósofo, no se

contentará con esta respuesta, sin más precisiones. Suponiendo que Kamke tiene

un mínimo de coherencia, el lector concluirá que el resultado de practicar la

abstracción mentada al fin del pasaje citado es (idéntico a) un representante

arbitrario.

Esta charla del "representante" (que recuerda a Berkeley) crea la falsa ilusión

de que no se sale del universo de discurso de los objetos inicialmente dados. No se

advierte, en tal caso, la novedad semántica involucrada por esa frase "un

representante arbitrario M". Puedo tomar al conjunto D de dedos de mi mano

izquierda como representante arbitrario de 5. Pero D, en cuanto, o brevemente en

latín, qua representante arbitrario deja de ser D, es otra cosa, un nuevo objeto en el

universo de discurso. El término singular "D qua representante arbitrario" ya no

designa a D, aunque “D” figure en él6. En suma, el famoso manualito deja al lector

en ayunas.

Otra laguna teórica en nuestro autor, practicante pero no teórico de la

abstracción, es que en su libro figuran enunciados o predicados A(x) que no son

eliminables, es decir que se dicen del abstracto pero no del concreto

correspondiente. Si afirmo, con verdad, acerca de M un predicado ~-invariante A(x):

A(|M|), y A(x) es eliminable, podré tambien quitar las barras verticales, y decir,

igualmente con verdad: A(M). Pero el predicado "x es representado por M", dicho

del cardinal |M|, no permite borrar las barras verticales: la palabra "representado"

debería ser definida de nuevo, como relación entre conjuntos, y no como relación

del cardinal a los conjuntos que lo representan (en el sentido original). Hay

ejemplos más complicados, como “Debemos mostrar que el producto de los

6 Esta no es una opinión unánime. Hay quienes creen que un término singular como "Bill Clinton qua

presidente de los EEUU" denota a Bill Clinton.

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números cardinales es independiente de sus representantes particulares” (II, §9), o

cuando Kamke cuantifica relativamente a los cardinales, o enuncia identidad entre

cardinales. De lo último hay un hermoso ejemplo justo al fin del pasaje citado: “|M|

= |N| para M~N”. Sea M = el conjunto de dedos de mi mano izquierda, N= el

conjunto de dedos de mi mano derecha. Borrar las barras verticales, o sea eliminar

a los términos abstractos conduciría a una falsedad: M=N. Y de paso reconocemos

en "|M| = |N| para M~N" a la equivalencia ~a=~b a~b, que pasó, en el entorno

peaniano, de corolario verdadero en la teoría de la abstracción a definición

insuficiente (falta asignar denotación a los términos singulares ~a, ~b) en el método

circunspectivo, sin despojarse, lamentablemente, de su nombre “definizione per

astrazione”.

7. Conclusión

El problema de la abstracción reside en entender exactamente, y de una vez

por todas, en qué consiste el producto de ella, o sea cuál es la naturaleza de los

entes abstractos, o de manera lingüística, cuáles enunciados son verdaderos o falsos

acerca de un ente abstracto.

Creo que es ésta una tarea filosófica importante. Si la tarea es viable, y se

puede entender y llegar a un acuerdo acerca de la naturaleza de los abstractos, la

abstracción podrá y deberá volver a tener su lugar dentro de la lógica y la

metodología, tal como ha sido en la historia de la filosofía desde la antigüedad hasta

hace poco. Si la tarea arroja un resultado negativo, habrá que eliminar al vocablo

“abstracción” de los diccionarios de filosofía, pero entonces tampoco se deberán

aceptar los pseudo-usos que han dominado el panorama de la lógica y filosofía de

fundamentos durante el siglo XX.

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