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ETUDE ET DIMENSIONNEMENT D’UN PONT DIFFERENTIEL GM2-ENIG

SELMI MARWAN- KHATTABI NADER Page 17

Chapitre I :

Etude de transmission de puissance:



1. Schéma cinématique :

2. Etude de couple a l’entrée et sortie :

On considère une voiture qui roule, et nous voulons contrôler la vitesse de chaque roue. Nous

remarquons que la vitesse change proportionnellement à l’angle de déviation.

Considérons le cas d’un virage gauche :

-soit l’angle de déviation (δ)=90°.

-la roue arrière gauche va tourner en arrière

- soit R le rayon définissant la distance entre le centre de virage jusqu’à la moitié de l’axe arrière des

roues.

La relation entre l’angle de déviation, rayon R, la vitesse de rotation et les dimensions de voiture

s’écrit sous la forme :

𝑅 =ωb

tanδ ; 𝜔désiré =

Vdésiré

R=Vdésiré .tanδ

ωb

On Remarque si l’angle de déviation est nulle alors le rayon R tend vers l’infinie donc la voiture roule

dans une ligne droite. Quand on tourne d’une vitesse désiré, sans tenir compte, de la vitesse de chaque

roue, tout l’ensemble (véhicule) tourne avec le même vitesse désiré, cela veut dire que toutes les roues

ont la même vitesse angulaire ωb.

Figure 7 : Schéma cinématique d’un pont

différentiel



Figure 8 : Position des roues d’une automobile lors d’un virage à gauche

On peut calculer les différents rayons des roues comme suit :

𝑅𝐹𝐿 = 𝑆𝑔𝑛(𝛿)√(𝑅 −𝑇𝑏2)2

+ ωb2 ; 𝑅𝑅𝐿 = 𝑅 −

Tb2

RFR = 𝑆𝑔𝑛(𝛿)√(R +Tb

2)2

+ ωb² ; 𝑅𝑅𝑅 = 𝑅 +Tb

2

Retournons à la relation de base entre la vitesse angulaire, la vitesse linéaire et le rayon du virage:

𝑉 = ωb. 𝑅𝑟𝑜𝑢𝑒

En utilisant la formule au dessus, on peut déduire la vitesse de chaque roue :

VFL =Vdésiré .tanδ

ωb. sgn. √(

ωb

tanδ−𝑇𝑏

2)2

+ ωb²

=Vdésiré

ωb. √(tan δ)² (

ωb

tanδ−𝑇𝑏

2)2

+ (tan δ)²ωb²



𝑉𝐹𝐿 =Vdésiré

ωb. √(𝜔𝑏 − 𝑡𝑎𝑛 𝛿 .

𝑇𝑏

2)2

+ (𝑡𝑎𝑛 𝛿 .𝜔𝑏)²

Répétant la même démarche pour les roues avant droite, arrière droite et arrière gauche:

VFR =Vdésiré

ωb. √(ωb + tan δ .

𝑇𝑏

2)2

+ (tan δ .ωb)²

𝑉𝑅𝐿 =Vdésiré .tanδ

ωb(

ωb

tan δ+𝑇𝑏

2)

𝑉𝑅𝐿 =Vdésiré

ωb(ωb + 𝑡𝑎 𝑛 𝛿 .

𝑇𝑏

2)

De même :

𝑉𝑅𝑅 =Vdésiré

ωb. (ωb − 𝑡𝑎 𝑛 𝛿 .

𝑇𝑏

2)

Finalement on trouve les relations qui nous permettent de calculer la vitesse associée à chaque roue :

𝑉𝐹𝐿 =Vdésiré

ωb. √(𝜔𝑏 − 𝑡𝑎𝑛 𝛿 .

𝑇𝑏

2)2

+ (𝑡𝑎𝑛 𝛿 .𝜔𝑏)² .

. VFR =Vdésiré

ωb. √(ωb + tan δ .

𝑇𝑏

2)2

+ (tan δ .ωb)2

𝑉𝑅𝐿 =Vdésiré

ωb(ωb + 𝑡𝑎 𝑛 𝛿 .

𝑇𝑏

2) (1)

𝑉𝑅𝑅 =Vdésiré

ωb. (ωb − 𝑡𝑎 𝑛 𝛿 .

𝑇𝑏

2) (2)

Notre pont différentiel est situé entre les roues arrière du véhicule alors dans la suite on va s’intéresser

uniquement aux roues arrière :

𝑉𝑅𝐿 = 𝜔𝑅𝐿 . 𝑅𝑟𝑜𝑢𝑒

{𝜔𝑅𝐿 =

𝑉𝑅𝐿

𝑅𝑟𝑜𝑢𝑒 (3)

𝜔𝑅𝑅 =𝑉𝑅𝑅

𝑅𝑟𝑜𝑢𝑒 (4)

Ce qui nous donne la vitesse de rotation de chaque roue :

𝜔𝑅𝐿 =𝜋.𝑁𝑅𝐿

30

{𝑁𝑅𝐿 =

30.𝜔𝑅𝐿

𝜋 (5)

𝑁𝑅𝑅 =30.𝜔𝑅𝑅

𝜋 (6)



Remplaçant (3) et (4) respectivement dans (5) et (6) :

{𝑁𝑅𝐿 =

30.𝑉𝑅𝐿

𝜋 (7)

𝑁𝑅𝑅 =30.𝑉𝑅𝑅

𝜋 (8)

Remplaçant (1) et (2) respectivement dans (7) et(8) :

𝑁𝑅𝐿 =30.

Vdésiréωb

(ωb+𝑡𝑎𝑛𝛿.𝑇𝑏2)

𝜋.𝑅𝑟𝑜𝑢𝑒

𝑁𝑅𝑅 =30.

Vdésiréωb

(ωb−𝑡𝑎𝑛𝛿.𝑇𝑏2)

𝜋.𝑅𝑟𝑜𝑢𝑒

Avec :

ωb : distance entre les roues avant et les roues arrière. On adopte ωb = 2200 mm.

𝑇𝑏 : distance entre les roues arrière. 𝑇𝑏 = 1200 mm.

𝑅𝑟𝑜𝑢𝑒: rayon de roue. 𝑅𝑟𝑜𝑢𝑒 = 17pouce / 2 = 215.9 mm.

Condition au limite (𝛿 = 90°)

Vdésiré : vitesse du véhicule au virage (𝛿 = 90°). Vdésiré = 25 Km/h = 6.94 m/s

AN : 𝑁𝑅𝐿 = 139.927 tr/min

𝑁𝑅𝑅 = 473.987 tr/min

Pour la suite, on admettra la valeur de vitesse de rotation 𝑁𝑅𝑅 = 473.987 tr/min comme une

condition a la limite.



Chapitre II :

Dimensionnement des engrenages

1. Nombre de dent de pignon :



Z1 maxi =

σFlim. Yst. YYsa. YFa. Yε. Yβ

(σHlimZE

)2

.1

ZH2 .1

Zβ2 .1

Zε2 . (

ii + 1) . Zv

2. Zp2. cosβ =

σ0ω0.

cos β

(i

i + 1) . Zv2. Zp

2

Avec : σ0 = σFlim.Yst.Y

Ysa.YFa.Yε.Yβ et ω0 = (

σHlim

ZE)2

.1

ZH2 .

1

Zβ2 .

1

Zε2 et 𝐶𝑟 =

𝑖

𝑖+1

1.1. Calcul de 𝛔𝟎 :

Matériau utilisé : C45(XC48) :

D’après le tableau (1) on a : σFlim. Yst = 75,6 daN/mm2

D’après la figure (9) on prélève :

Y = 1

β = 20°

Yε = 0,25 +0.75

εα or 1,5≤ εα ≤ 1,8 on choisit εα = 1,5

Alors : Yε = 0,25 +0,75

1,5 = 0,75

Yβ = 1 − εβ.β

120 or εγ = εα + εβ

sig⇔ εβ=εγ + εα

𝑑′𝑜𝑢⇔ εβ = 2

Alors : Yβ = 1 − 2.20

120 = 0,666

Finalement on en déduit :

σ0 =σFlim. Yst. Y

Ysa. YFa. Yε. Yβ=

75,6

0,75 .0,66 .4,52= 33,45 da/mm2

1.2.Calcul de 𝛚𝟎:

Recherche de (σHlim

ZE)2

:

On a ZE2 = 0,175. E

En se référant au tableau (1) on aura :

(σHlimZE

)2

= 4.54 daN/mm2

Calcul de ZH :

ZH2 =

2. cosβbsinαt + cosαt



On a

{tan βb = tan β . cos αt = tan20 . cos 21,17 = 0,33909 (∗)

αt = arctg (tanα

cosβ) = arctg (

tan20

cos20) = 21,17° (∗∗)

En utilisant (*) et (**) on obtient :

βb = 18,7464°

Apres tout calcul fait on obtient :

AN : = 2.cos18,7464

sin21,17 +cos21,17

ZH2 = 5,624

- Calcul de ZB :

ZB = cos β

AN :

cos 20 = 0.9659

- Calcul de Zε :

Zε2 =

1

εα

AN : = 1

1,5

Zε2 = 0,666

Finalement on en déduit :

ω0 = (σHlimZE

)2

.1

ZH2 .1

Zβ2 .1

Zε2

AN : =4,54

(σHlimZE

)2

.1

5,624 .1

0.666 .

1

0,9659

ω0 = 1,2536 daN/mm2

On prélève les valeurs de Zv et Zp d’après les figure (10),(11) :

Zv2 = 0,72

Zp = 1 (choix de calcul)

On peut également déterminer le nombre de dents maximal de pignon :



Z1 maxi = σ0

ω0.

cosβ

(i

i+1).Zv

2.Zp2

AN : = 33,45

1,2536 .

cos20

(4

4+1).1 .0,72

Z1 maxi = 43,52 ≈ 44 dents

2. calcul des paramètres de pignon :

2.1. Calcul de diamètre primitif de pignon :

2.1.1 Calcul des différentes couples :

Couple nominale de la sortie de la boite vitesse :

Pmoteur = 66 Kw

Nmoteur,maxi= 4000 tr/min

Cn1 = 30 . Pmoteurπ . Nmoteur,maxi

. i

AN : = 30.66000

π.4000. 4

Cn1 = 630,24 N.m

Couple de démarrage :

Cd1 = 2. Cn1

AN : = 2 . 630,24

Cd1 = 1260,48 N.m

2.1.2 Calcul de diamètre primitif de pignon :

On peut calculer le diamètre primitif de pignon à l’aide de l’expression :

on prend Zv = 1 et Kv = 1.15 (choix de calcul)

dp,pignion = √

2

ω0.ρKαβ

.Zv2. Zβ

2 Kβ. Kv

.

.Cd1Cr1

3

AN : dp,pignon = √2

1,2536.10.0,6

0,8.1 . 0,722

1,4 .1,15..1260,48.103

0,8

3

dp,pignon = 101,34 mm



2.1.3 Calcul de diamètre primitif corrigé de pignon :

Calcul de vitesse corrigé :

Vco1 = π.dp,pignon .Nmoteur,maxi

60

AN : =π . 101,34 .4000

60 ‘

Vco1 = 21225,8mm s⁄ = 21,22m s⁄

Vco1.Z

100=21,22 . 28

100= 5,94

On peut déduire les nouvelles valeurs de Kv et Zv d’après les figures (10) et (12) :

Kv1 = 1,28 et Zv1 = 1,025

Calcul de diamètre primitif corrigé de pignon :

Pour le calcul on prend b=50 mm :

Kαβ =40

𝑏

= 40

50

Kαβ = 0,8

D’après la figure (11) : Zp = 0,72

dpc,pignon = √2

ω0.ρ

Kαβ.Zv1

2.Zβ2

Kβ.Kv1.

.Cd1

Cr1

3

AN : = √2

1,2536 .10 .0,6

0,8.1,025 .0,722

1,4 .1,28..1260,48.103

0,8

3

𝑑𝑝𝑐,𝑝𝑖𝑔𝑛𝑜𝑛 = 104,16 𝑚𝑚

2.1.4 Vérification du diamètre primitif :

𝑑𝑚,𝑝𝑖𝑔𝑛𝑖𝑜𝑛 =𝑑𝑝𝑐,𝑝𝑖𝑔𝑛𝑜𝑛𝑛+𝑑𝑝,𝑝𝑖𝑔𝑛𝑖𝑜𝑛

2

AN : =104,16+ 101,34

2

𝑑𝑚,𝑝𝑖𝑔𝑛𝑜𝑛 = 102,75 𝑚𝑚



|𝑑𝑝𝑐,𝑝𝑖𝑔𝑛𝑜𝑛− 𝑑𝑝,𝑝𝑖𝑔𝑛𝑜𝑛|

𝑑𝑚,𝑝𝑖𝑔𝑛𝑜𝑛

AN : = |104,16−101,34|

102,75= 0,02

2% ≤ 10% 𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖é

2.2 Choix de module moyen:

2.2.1 Angle d’inclinaison d’hélices :

𝑡𝑔𝛽 = 2 .𝜋

0,628= 0,34

𝛽1 = 21°

2.2.2 Encadrement de nombre de dents maximal de pignon 𝒁 :

0,6 . 𝑍1 𝑚𝑎𝑥𝑖 ≤ 𝑍1 ≤ 0,8 . 𝑍1 𝑚𝑎𝑥𝑖

26,4 ≤ 𝑍 ≤ 35,2

2.2.3 Encadrement et choix du module moyen au niveau de pignon/couronne :

On sait que :

26,4 ≤ 𝑍𝑝𝑖𝑔𝑛𝑜𝑛 ≤ 35,2

AN : 104,16 .𝑐𝑜𝑠 21

35,2≤ 𝑚𝑚1 ≤

104,16 .𝑐𝑜𝑠 21

26,4

2,76 ≤ 𝑚𝑚1 ≤ 3,68

D’après le tableau (2) on prend : 𝑚𝑚1 = 3

2.3 Calcul de nombre de dent du pignon :

Nombre de dents de pignon calculé :

𝑑𝑝𝑐,𝑝𝑖𝑔𝑛𝑜𝑛 = 𝑍𝑝,𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙é.𝑚𝑚1

𝑍𝑐,𝑝𝑖𝑔𝑛𝑜𝑛 =𝑑𝑝𝑐,𝑝𝑖𝑔𝑛𝑜𝑛

𝑚𝑚1

AN : =104,16

3

𝑍𝑐,𝑝𝑖𝑔𝑛𝑜𝑛 = 34,72 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑠

𝑍𝑝 ≈ 35 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖é



3. Calcul de diamètre primitif de couronne :

3.1. Calcul de diamètre primitif de couronne :

3.1.1 Calcul des différentes couples :

Couple nominale de la couronne :

𝐶𝑛2 = 𝑖 . 𝐶𝑛𝑠𝑏𝑣

AN : = 4.630,24

𝐶𝑛2 = 2520,96 𝑁.𝑚

Couple de démarrage :

𝐶𝑑2 = 2. 𝐶𝑛2

AN : = 2 . 2520,96

𝐶𝑑2 = 5041,91 𝑁.𝑚

3.1.2 Calcul de diamètre primitif de couronne :

On peut calculer le diamètre primitif de la couronne à l’aide de l’expression :

𝑑𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑓,𝑐o𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒 = √2

𝜔0.𝜌

𝐾𝛼𝛽.𝑍𝑣2.𝑍𝛽

2

𝐾𝛽.𝐾𝑣.

.𝐶𝑑2

𝐶𝑟23

On utilise les mêmes valeurs de paramètres utilisés dans le calcul du diamètre primitif du pignon :

AN : 𝑑𝑝,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒 = √2

1,2536.10.0,6

0,8.1 . 0,722

1,4 .1,15..5041,91.103

0,8

3

𝑑𝑝𝑐𝑜𝑢r𝑜𝑛𝑛𝑒 = 160,87 𝑚𝑚

3.1.3 Calcul de diamètre primitif corrigé de couronne :


𝑉𝑐𝑜2 = 𝜋.𝑑𝑝,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒.𝑁𝑚𝑜𝑡𝑒𝑢𝑟,𝑚𝑎𝑥𝑖

60

AN : =𝜋 . 160,87 .4000

60

𝑉𝑐𝑜2 = 33693,84𝑚𝑚 𝑠⁄ = 33,69𝑚 𝑠⁄



𝑉𝑐𝑜2.𝑍

100=21,22 . 28

100= 9,43

On peut déduire les nouvelles valeurs d’après les figures (10) et (12) :

𝐾𝑣2 = 1,47 𝑒𝑡 𝑍𝑣2 = 1,042

Calcul de diamètre primitif corrigé de pignon :

𝑑𝑝𝑐,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒 = √2

𝜔0.𝜌

𝐾𝛼𝛽.𝑍𝑣2

2.𝑍𝛽2

𝐾𝛽.𝐾𝑣2.

.𝐶𝑑2

𝐶𝑟23

AN : = √2

1,2536 .10 .0,6

0,8.1,042 .0,722

1,4 .1,47..5091,41.103

0,8

3

𝑑𝑝𝑐,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒 = 172,77 𝑚𝑚

3.1.4 Vérification du diamètre primitif de couronne :

𝑑𝑚,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒 =𝑑𝑝𝑐,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒 + 𝑑𝑝,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒

2

AN : =172,77+ 160,87

2

𝑑𝑚,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒 = 166,82 𝑚𝑚

|𝑑𝑝𝑐,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒 − 𝑑𝑝,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒|

𝑑𝑚,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒 =

|172,77−160,87|

166,82= 0,071

= 7,1% ≤ 10% 𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖é

3.2. Angle d’inclinaison d’hélices du couronne et module moyen:

Pour assurer l’engrènement entre la pignon et la couronne il faut admettre la même angle d’hélices

pour les deux roues, et le même module :

𝛽1 = 𝛽2 = 21° et 𝑚𝑚2 = 𝑚𝑚1 = 3

3.3 Nombre de dents de couronne calculé :

𝑑𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑓,𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔é,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒 = 𝑍𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒,𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙é.𝑚𝑚2



𝑍𝑐,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒 =𝑑𝑝𝑐,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒

𝑚𝑚2

AN : =1

72,77

3

𝑍𝑐,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒 = 42,59 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑠

𝑍𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒 ≈ 43 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑠

4. Calcul du diamètre primitif du planétaire/satellite :

4.1. Calcul des différentes couples : Couple nominale de la planétaire/satellite :

Pour une condition de limite : virage gauche d’angle = 90 °𝒔𝒊𝒈⇔ 𝜔𝑔 = 0°

On sait que : 𝜔𝑎𝑝 =𝜔𝑎𝑔+ 𝜔𝑎𝑑

2

aussi on a : 𝐶𝑎𝑎𝑑 . 𝜔𝑎𝑑 = 𝐶𝑛𝑠𝑏𝑣. 𝜔𝑠𝑏𝑣

𝑠𝑖𝑔⇔ 𝐶𝑎𝑎𝑑 =

𝐶𝑛𝑠𝑏𝑣

𝜔𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒. 𝜔𝑒

= 𝐶𝑛𝑠𝑏𝑣.𝑁𝑠𝑏𝑣

𝑁𝑎𝑑

AN : 𝐶𝑎𝑎𝑑 =630,24.306,957

473,987

𝐶𝑎𝑎𝑑 = 408,14 𝑁.𝑚

Couple nominale de la planétaire/satellite :

𝐶𝑑𝑎𝑑 = 2 . 𝐶𝑎𝑎𝑑

AN : = 2 .408,14

𝐶𝑑𝑎𝑑 = 816,29 𝑁.𝑚

4.1.2 Détermination du diamètre primitif de la planétaire :

𝑑𝑝,𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒 = √

2

𝜔0.𝜌𝐾𝛼𝛽

.𝑍𝑣2. 𝑍𝛽

2 𝐾𝛽 . 𝐾𝑣

.

.𝐶𝑑𝑎𝑑𝐶𝑟

3

AN : = √2

1,2536.10.0,6

0,8.1.0,722

1,4.1,15..816,29.103

0,8

3

𝑑𝑝,𝑝𝑙a𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒 = 87,68 𝑚𝑚



4.1.3 Vérification du diamètre primitif du planétaire :


𝑉𝑐𝑜3 = 𝜋.𝑑𝑝,𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒.𝑁𝑚𝑜𝑡𝑒𝑢𝑟,𝑚𝑎𝑥𝑖

60

AN : =𝜋 . 50,67 .4000

60

𝑉𝑐𝑜3 = 18363,98𝑚𝑚 𝑠⁄ = 18,63𝑚 𝑠⁄

𝑉𝑐𝑜3.𝑍

100=18,63 . 28

100= 5,14

On peut déduire les nouvelles valeurs d’après les figures (10) et (12) :

𝐾𝑣3 = 1,28 𝑒𝑡 𝑍𝑣3 = 1,022

𝑑𝑝𝑐,𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒 = √2

𝜔0.𝜌

𝐾𝛼𝛽.𝑍𝑣3

2.𝑍𝛽2

𝐾𝛽.𝐾𝑣3.

.𝐶𝑑𝑎𝑑

𝐶𝑟3

AN : = √2

1,2536 .10 .0,6

0,8.1,022.0,722

1,4 .1,28..816,29.103

0,8

3

𝑑𝑝𝑐,𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒 = 90,21 𝑚𝑚

𝑑𝑚,𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒 =𝑑𝑝𝑐,𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒+𝑑𝑝,𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒

2

=90,21+ 87,68

2

𝑑𝑚,𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒 = 88,94 𝑚𝑚

|𝑑𝑝𝑐,p𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒− 𝑑𝑝,𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒|

𝑑𝑚,𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒

AN : = |90,21− 87,68|

88,94= 0,02

2% ≤ 10% 𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖é

4.2 Encadrement de la module moyenne au niveau de planétaire/satellite :

on sait que :

26,4 ≤ 𝑍2 ≤ 35,2



90,21 .𝑐𝑜𝑠 21

35,2≤ 𝑚𝑚2 ≤

90,21 .𝑐𝑜𝑠 21

26,4

2,39 ≤ 𝑚𝑚2 ≤ 3,19

D’après le tableau (2) on prend : 𝑚𝑚2 = 3

4.3 Calcul de nombre de dents des satellites et planétaires :

𝑑𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑓,𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔𝑒,𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒 = 𝑚𝑚2. 𝑍𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒

AN : 𝑍𝑐,𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒 = 𝑑𝑝𝑐,𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒

𝑚𝑚2 = 30,07

𝑍𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒 ≈ 30 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑠

5. Calcul des modules réels :

5.1 Calcul de module de pignon/couronne :

𝑚1 = 𝑚𝑚1. (1 + 0,5 . 𝛹𝑅𝑀)

𝑜𝑟 𝛹𝑅𝑀𝜖{0,3 . . 0,35}

On choisit : 𝛹𝑅𝑀 = 0,325

𝑚1 = 𝑚𝑚1. (1 + 0,5 . 𝛹𝑅𝑀)

AN : = 3. (1 + 0,5 .0,325)

𝑚1 = 3,48 𝑚𝑚

5.2 Calcul de module de planétaires/satellites :

𝑚2 = 𝑚𝑚2. (1 + 0,5 . 𝛹𝑅𝑀)

AN : = 3 . (1 + 0,5 .0,325)

𝑚2 = 3,48 𝑚𝑚

6. Calcul de différentes largeurs de denture :

On peut calculer les différentes largeurs de roues a l’aide de cette expression :

𝑏 = 2 .(𝑟−𝑟𝑚 )

𝑠𝑖𝑛 𝛿

6.1 Calcul des angles des cônes :



-calcul d’angle des cônes pour le pignon et la couronne :

𝑡𝑎𝑛( 𝛿𝑝𝑖𝑔𝑛𝑖𝑜𝑛/𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒) =1

𝑖

AN : = 1

1,22= 0,81

𝛿𝑝𝑖𝑔𝑛𝑖𝑜𝑛/𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒 = 39,34°

-calcul d’angle des cônes pour le planétaires/satellites :

𝑡𝑎𝑛( 𝛿𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒/𝑠𝑎𝑡𝑒𝑙𝑙𝑖𝑡𝑒) =1

𝑖

AN : = 1

1= 1

𝛿𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒/𝑠𝑎𝑡𝑒l𝑙𝑖𝑡𝑒 = 45°

6.2.Calcul des rayons des roues :

-calcul de rayon moyen de pignon :

𝑟𝑚1 =

𝑑𝑝𝑐,𝑝𝑖𝑔𝑛𝑜𝑛

2.𝑚𝑚1

𝑚1

AN : =104,16

2.3

3,38

𝑟𝑚1 = 46,22 𝑚𝑚

-calcul de rayon moyen couronne :

𝑟𝑚2 =

𝑑𝑝𝑐,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒

2.𝑚𝑚1

𝑚2

AN : =172,77

2.3

3,28

𝑟𝑚2 = 79,01 𝑚𝑚

-calcul de rayon moyen de planétaires/satellites :

𝑟𝑚3 =

𝑑𝑝𝑐,𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒/𝑠𝑎𝑡𝑒𝑙𝑙𝑖𝑡𝑒

2.𝑚𝑚2

𝑚2

AN : =90,21

2.3

3,28

𝑟𝑚3 = 41,25 𝑚𝑚



6.3.Calcul de largeur de différentes roues :

-calcul de largeur de pignon :

𝑏𝑝𝑖𝑔𝑛𝑜𝑛 = 2 .(𝑟1−𝑟𝑚 1)

𝑠𝑖𝑛 𝛿1

= 𝑑𝑝𝑐,𝑝𝑖𝑔𝑛𝑜𝑛−2.𝑟𝑚1

𝑠𝑖𝑛 𝛿𝑝𝑖𝑔𝑛𝑖𝑜𝑛/𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒

AN : = 104,16−2.46,22

𝑠𝑖𝑛 39,34

𝑏𝑝𝑖𝑔𝑛𝑜𝑛 = 18,48 𝑚𝑚

-calcul de rayon moyen de couronne :

𝑏𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒 = 2 .(𝑟2−𝑟𝑚 2)

𝑠𝑖𝑛 𝛿1

= 𝑑𝑝𝑐,𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒−2.𝑟𝑚2

𝑠𝑖𝑛 50,

AN : = 237,04−2.102,17

𝑠𝑖𝑛 50,66

𝑏𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒 = 18,55 𝑚𝑚

-calcul de rayon moyen de planétaires/satellites :

𝑏𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒/𝑠𝑎𝑡𝑒𝑙𝑙𝑖𝑡𝑒 = 2 .(𝑟3−𝑟𝑚 3)

𝑠𝑖𝑛 𝛿𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒/𝑠𝑎𝑡𝑒𝑙𝑙𝑖𝑡𝑒

= 𝑑𝑝,𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒/𝑠𝑎𝑡𝑒𝑙𝑙𝑖𝑡𝑒−2.𝑟𝑚3

𝑠𝑖𝑛 𝛿𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒/𝑠𝑎𝑡𝑒𝑙𝑙𝑖𝑡𝑒

AN : = 90,21−2.41,25

𝑠𝑖𝑛 45

b𝑝𝑙𝑎𝑛é𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒/𝑠𝑎𝑡𝑒𝑙𝑙𝑖𝑡𝑒 = 10,9 𝑚𝑚



Chapitre III :

Dimensionnement des arbres

Pour les différents arbres on choisit l’Acier 45SCP6 (chrome-silicium-molybdène) figure (14) :

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