Academia Paltay

8/17/2019 Academia Paltay

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GEOMETRIA

CONCEPTO DE GEOMETRIALa Geometría es la ciencia que estudia laspropiedades de las figuras geométricas, atendiendoa su forma, tamaño y relación entre ellas.

LINEAS

L. Recta L. Quebrada L curva L. i!ta

SUPERFICIES

SÓLIDOS

"ilindro cono esfera cubo

CONCEPTOS PRIMITIVOS

Los conceptos primitivos no definidos de lageometría son el punto, la línea y el plano.

El Punto#

- $s un concepto imaginario- %iene ubicación- &o tiene longitud# anc'ura o grosor- Lo ideali(amos al cortarse dos rectas

- )n punto dibu*ado a diferencia de unpunto conceptual, tiene tamaño.

La Línea:- $s un concepto imaginario- %iene longitud pero no anc'ura o grosor- &o se puede medir- $s ilimitada en ambos sentidos- +uede ser recta, curva o una

combinación de ambas- La línea recta tiene dirección

Puntos Colineales. on aquellos que pertenecen auna misma línea recta.

Puntos No Colineales. on aquellos que no est-nubicados en una misma línea recta.

El Plano:

- $s un concepto imaginario- %iene dos dimensiones- &o se puede medir- &o tiene espesor- uperficie plana ilimitada en todo

sentido

Postulados so!e "lanos $!isten infinitos planos +or tres puntos no colineales pasa unplano y solamente uno $n cualquier plano e!isten infinitospuntos y rectas

CAPITULO I SEGMENTO Y ÁNGULOS

$s una porción de recta limitado por dospuntos denominados e!tremos.

A B

e denota por AB

y se lee segmento /0.La medida de un segmento /0 denota por m

AB

o /0, y es un n1mero positivo quecompara la longitud del segmento dado conla longitud del segmento unitario 2u3.

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

2a

CA a

Ba

OPERACIONES CON SEGMENTOSa b

(a + b)A B C

Su#a#

/" 4 /0 5 0"

a (b - a)

A B Cb

Di$e!en%ia#

0" 4 /" 6 /0

ANGULO


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Rayos que tienen el mismo punto de origen.Ele#entos

Lados#OB yOA

7értice# 8Nota%i&n

O

A

BO

α

/80 , /808,

m /80 4 α9 # edida del -ngulo /80 es igual a α9

'ise%t!i( de un An)ulo#$s el rayo que partiendo del vértice de un -ngulo, lodivide en dos -ngulos congruentes.

O

A

X

αα

0

OX # 0isectri( de /80

m/8: 4 m:80 4 α

AO* *O'

Clasi$i%a%i&n de los An)ulos

I+ SEG,N SU MEDIDA

-+ An)ulo Llano. Llamado también -ngulorectilíneo, es aquel -ngulo cuyos lados sondos rayos opuestos es decir una recta. umedida en;

α

OBA

<istema e!agesimal# α 4 =>?9

A

BO α

.+ An)ulo A)udo. $saquel -ngulo cuya medida es menor que @?9pero mayor que ?9

O/ 0 / 0 12/

α

A

BO

A. An)uloOtuso# $s aquel -ngulo cuya medida esmenor que =>?9 pero mayor que @?9

12/ 0 / 0 -32/

α

BO

A

4+ An)ulo Re%to# $s aquel-ngulo cuya medida es igual a @?9.

5 12/

6+ An)ulo Nulo# $s aquel -ngulo cuya medidaes igual a ?9

O A B

#AO' 5 2/


3/26

II+ SEGUN LA POSICION DE SUS LADOS

α

θ

A

B

C

OLadoComún

-+ An)ulos

Ad7a%entes. Bos -ngulos son adyacentescuando tienen el mismo vértice y un ladocom1n tal que los -ngulos se encuentran auno y otro lado del lado com1n.

.+ 8n)ulos O"uestos "o! el V9!ti%eon dos -ngulos en donde los lados de unoson los rayos opuestos del otro.$s decir, se determinan al tra(ar dos rectassecantes, dic'os -ngulos con congruentes

2tienen la misma medida3.

α β

5 β

III+ SEGUN SUS CARACTERSTICAS-+ An)ulos Ad7a%entes Co#"le#enta!ios

αβ

A

B

C

O

on dos -ngulosadyacentes cuyas medidas suman @?9.

/80 y 08" son -ngulos adyacentescomplementarios

; β 5 12/

.+ 8n)ulos Co#"le#enta!ios

θα

on dos -ngulos cuyasmedidas suman @?9.

; θ 5 12/


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L3 L42xº

5xº

11xº

L2

8n)ulos $o!#ados "o! dos !e%tas al se!%o!tados "o! una Se%ante

65

87

1 2

4 3

/ngulos Enternos A,F,H

/ngulos $!ternos =,DI,>

/lternos Enternos F y HA y

/lternos $!ternos = y I

D y >

"on*ugados Enternos F y A y H

"on*ugados $!ternos = y >D y I

Jngulos correspondientes = y ; D y H F y >; A y I

PRACTICA DIRIGIDA

=. obre una línea recta se considera lospuntos consecutivos /, 0, " y B. Luego lospuntos medios y & de /0 y "Brespectivamente. Kallar & si# /" 5 0B 4?.

a3 D? b3 D c3A?d3 F? e3 ?.

D. sobre una recta se ubican los puntosconsecutivos /, 0, " y B. Luego los puntosmedios y & de /" y 0B respectivamente.Kallar & si# /0 5 "B 4 H?

a3 D? b3 D c3 A?d3 F? e3 H?

A. obre una recta se ubican los puntosconsecutivos /, 0, " y B tal que 0 es puntomedio de /B y /" 6 "B 4 ?. Kallar 0"

a3 D? b3 D c3 A?

d3 F? e3 ?

F. obre una recta se ubican los puntosconsecutivos /, 0 y " siendo ?M puntomedio de 0", /0N 5 /"N 4 =??.

Kallar /?N 5 0?N

a3 =? b3 D c3 ?d3 =?? e3 D?

. $n el gr-fico, 'alle el m-!imo valor enterode y.

xº-2yº

3yº

a Fb ?c H?d @e >

H. La diferencia entre el suplemento y el

complemento de un -ngulo es H veces el-ngulo. $l suplemento del complemento dedic'o -ngulo es#a3 =9 b3 I9 c3 =?9d3 =D?9 e3 =?9

I. Las medidas de tres -ngulos consecutivossobre una recta est-n en progresiónaritmética. "alcular la medida del mayor-ngulo, si el menor y el mayor est-n en larelación de A a I.

a3 A?9 b3 AH9 c3 FD9d3 H?9 e3 >F9

>. "alcular ! si# L= CCLD

x

80º

70º

L1

L2

a =?9 b3 D?9 c3 A?d3 F?9 e3 ?9

@. $n la figura L= CCLD y LA CCLF, el valor numéricode A!9 < =D9 es#

L=

a =9 b3=H9 c3=I9d3 =>9 e3 =@9


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=?. Bado los puntos colineales y consecutivos /,0, ", B y $ tal que# /" 4 B$; 0" 4 "B y "$6 /0 4 =?. "alcule 0BM

a3 =? b3 c3 Hd3 > e3 D?

==. obre una recta se ubican los puntosconsecutivos /, 0, " y B; tal que /" 4

0B; 20B32/0 6 0"3 4 =D y 2"B320"3 4 >."alcular 0"M

a3 = b3 D c3 Ad3 F e3

=D. Bados los puntos colineales y consecutivos/, 0, " y B; tal que# 0"4D2/034 D2"B3 y2/"320B3 4 >=. "alcular 0"M

a3 @ b3 A c3 =Dd3 H e3 >

=A. obre una recta se ubican los puntos

consecutivos +, Q, R, , %; tal que#+R 4 Q 4 R% y +Q 5 % 4 H."alcular +%M

a3 H b3 c3 =Dd3 => e3 =

=F. Bados los puntos colineales y consecutivos

/, 0 y "; y & bisecan a AB

yBC

,respectivamente# /0 5 & 5 0" 4 H?;'allar /"M

a3 F? b3 ?c3 A?

d3 D? e3 ==. $n un recta se consideran los puntos

consecutivos /, 0, ", B, $ y O; tal que#/0 4 B$; "B 4 $O; /" 4 A?; "O 4F? y /0 5 "B 4 A?. Kallar 0"M

a3 =H b3 =c3 D?d3 =? e3

=H. $n una recta se consideran los puntosconsecutivos /, 0, ", B y $; tal que#A2"$3 4 D2/"3; /$ 4 ? y /0 5

B$ 4 D? y "M biseca al segmento

BE

;'allar 0BM

a3 D? b3 =?c3 A?d3 = e3 D

=I. Bados los puntos colineales y consecutivos/, 0, " y B# tal que#

F2/03 4 A20"3 4 H2"B3 y A20" 6/034D20" 6 "B3 6 D; 'allar 0BM

a3 D? b3 H c3 =Dd3 F e3 =

=>. $n una línea recta se consideran los puntosconsecutivos /, 0, " y B; se sabe que /"4

m

y se cumple las siguientesrelaciones#/0./B 4 0"."B; 0"D 6 /0D4 /0. "B. Kallar2"BD3

a3 mD b3m

c3m

d3m e3 mD

CD=@. obre una línea recta se consideran los

puntos consecutivos +, Q, R y con lasiguiente condición#

+Q 4 mQR y n < m5n 4 =.+ nR QR +RKallar R

a3 m b3 n c3 m < nd3 2m 6 n3CD e3 D2m < n3

D?. i los !Cy del complemento de la diferenciaentre el suplemento y el complemento de

aM es igual a los mCn de la diferencia entreel complemento de β y el suplemento delsuplemento de β . Kallar β

a3 FP b3 F?P c3 ?Pd3 P e3 H?

D=. Bados los -ngulos consecutivos# /80, 08" y"8B, tal que m∠/8" 4 I?P; m ∠ 08B 4>?P y m ∠ /80 5 m∠"8B 4 ?P, calcular lamedida del -ngulo 08"

a3 A?P b3 F?P c3?P

d3 H?P e3 I?P

DD. )n -ngulo llano es dividido por F rayos detal manera que se forman -ngulosconsecutivos cuyas medidas est-n enprogresión aritmética. "alcular la medida del-ngulo determinado por el primer y 1ltimo rayo

a3 =??P b3=?>P c3==DPd3 =D?P e3 ==?P

DA. "alcular !M, si#a 5 b 5 c 4=A?P y α 5β 4 I?P

a3D?P b3A?P c3F?Pd3?P e3H?P

DF. i las rectas L= y LD son paralelas y m es elcomplemento de n, "alcular !M.


6/26

a3=P b3A?P c3D?Pd3F?P e3H?P

D. $n la figura, L= CC LD, calcule !M.

a3=??P b3=?P c3==?Pd3==P e3=D?P

DH. $n el grafico L= CC LD, 'allar !M

L=

β

x

3 0

5 0

LD

a3 =?P b3 =P c3 D?Pd3 DP e3 A?P

DI. "alcular# aP 6 bP . i mP 6 nP 4 DP L= CC LD y LA CC LF

a

n

m

4L

3L

2L

1L

a3 =?P b3 =P c3 D?Pd3 DP e3 A?P

D>. eg1n el gr-fico. Kallar !M. i L= CC LD y LA CCLF

2 0 2 5

x

1 5 0

4L

3L

2L

1L

°β°β

a3 H?P b3 IP c3 @?Pd3 =??P e3 ==P

D@. Kallar el valor de !M. i L= CC LD y LA CC LF

4L

3L

2L

1L

3 0

!

4 0

!

°β °β

∅2

∅5 x

a3 H?P b3I?P c3>?Pd3 @?P e3 =??P

A?. iendo L= CC LD. "alcule# ! 5 yM

a3 @?P b3 =>?P c3 DI?Pd3 DP e3 AH?P

CAPITULO II

TRIAMGULOS Y CONGRUENCIA DETRIANGULOS

DEFINICIÓN# e llama tri-ngulo a la figuraformada por A segmentos de recta que unen trespuntos no colineales.

C

B

A

"#n$o%

Ex$&'o'&%

"#n$o%

n$&'o'&%


7/26

NOTACIÓN. )n tri-ngulo se denota por las tresletras may1sculas que llevan sus vértices,denomin-ndolo#

∆ /0" 4BCA/CABCAB ∉∪∪

*º

a

B

Xº,º

A b C

α

β

γ

$lementos#

Lados#BC,AC,AB

7értices# /, 0, "

EnternosZ,Y,X

/ngulos $!ternos γ βα ,,

+erímetro 2Dp3# Dp 4 a 5 b 5 c

emiperímetro 2p32

c ba p

++=

CLASIFICACION DE LOS TRIANGULOSAtendiendo a sus lados

=3 $quil-tero

D3 Esósceles

A3 $scaleno

Atendiendo a sus =n)ulos

CAEO

C A - E - O

=3 Rect-ngulo

A%ut=n)ulo. us tres-ngulos son agudos.

D3 8blicu-ngulos

Otus=n)ulo# tieneun -ngulo obtuso

TEOREMA DE PIT8GORAS

C

a

B

Ab

a> 5 > ; %>

,ºXº

*º ,ºXº

PROPIEDADESFUNDAMENTALES DEL TRIANGULO

:9 5 9 5 9 4 =>?9


8/26

5 ?/ ; @/

; β ; γ 5


9/26

B

CA

E

FD

B

CA

E

FD

C

B

A F

E

D

C

B

A

F

E

D

0:# 0isectri( Enterior0B# egmento de bisectri( interior.

6 'ISECTRI@ E*TERIOR:

B

A C

θ

θBF: Segmento de Bisectriz

Exterior

CONGRUENCIA DE TRI8NGULOSBos tri-ngulos son congruentes, si tienen todos sus

elementos 2lados y -ngulos3 respectivamentecongruentes.

+ara que dos tri-ngulos sean congruentes esnecesario que cumplan con uno de los siguientescasos generales#

=9 "aso 2L./.L.3#

A'C DEF

D9 "aso 2/.L./.3#

A'C DEF

A9 "aso# 2L.L.L.3#

A'C DEF

F9 "aso# 2L.L./.3#

A'C DEF

TEOREMA DEL TRIANGULO ISOSCELES$n todo tri-ngulo isósceles, a lados congruentes seoponen -ngulos congruentes.

0

α α

CA

i# /0 4 0"

$ntonces

C A≅

TEOREMA DEL TRIANGULO EUILATERO

α

CA

α α

B

$n todo tri-nguloequil-tero, sus tres -ngulos internos soncongruentes.

A ' C


10/26

P

HL

P

A

o

H

M BA

P

DISTANCIA DE UN PUNTOLa distancia de un punto a una recta, es la

longitud del segmento perpendicular desde el puntoa la recta.

• La medida de +K es la distancia de + a larecta L.• /l punto KM se le denomina pie de la

perpendicular.

APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA DETRIANGULOS+

-/ TEOREMA DE LA 'ISETRI@ DE UN ANGULO+%odo punto que pertenece a la bisectri( de

un -ngulo equidista de los lados del -ngulo.

+/ 4 +0

./ TEOREMA DE LA MEDIATRI@%odo punto que pertenece a la mediatri( de

un segmento equidista de los e!tremos delsegmento dado.

+/ 4 +0


11/26

60º

2aa 3

30º

a45º

a 2a

45º

a

PRACTICA DIRIGIDA

=

/

E75º

x

$n la figura, $OGK es un

cuadrado. Kallar el valor de ! a H?9b F9c ?9d A?9e D?9

D $n un tri-ngulo /0", el -ngulo / mide >9.T"u-nto mide el -ngulo 0B" donde B es el

punto de intersección de las bisectrices de los-ngulos 0 y "U

a3 =D9 b3 ==@9 c3 ==?9 d3 @9 e3 =?D9

A Kallar el -ngulo formado por la intersección delas bisectrices de los -ngulos e!teriores de los-ngulos agudos de un tri-ngulo rect-ngulo

a3 H?9 b3 F9 c3 A?9d3 H9 e3 @?9

F $l -ngulo 0 de un tri-ngulo /0" mide F?9.T"u-nto mide el -ngulo /$" donde $ es el puntode intersección de las bisectrices del -ngulointerior / y -ngulo e!terior "U

a3 =?9 b3 D?9 c3 A?9d3 F?9 e3 ?9

α ααα

140º

B

A

Ix

C

Kallar: si# EM es Encentro del tri-ngulo /0", m/O0 4 =F?9.

a =??9b ==?9c =D?9d =A?9e =F?9

H Be la figura /0 4 0$; 0B 4 B"; el tri-ngulo /0Bes#

a3 Esósceles b3 $quil-tero c3 Rect-ngulod3 /cut-ngulo e3 8btus-nguloI Be la figura#/0 4 /$; /O 4 O$; OB 4 B"; $" 4

O". "alcular# m∢0/". i# m∢OB"4F?9

a3 F9 b3 I9 c3 H9 d3 9 e3 >9

> Bel gr-fico ad*unto determina la relacióncorrecta, si# +Q4 +R.

a3 A! 4 Dθ b3! 4 Dθc3 I! 4 Aθ d3 F! 4 θe3 I! 4 Dθ


12/26

@ "alcular !M, si /0 4 0" y %" 4 %B

a3 =?9 b3 =9 c3 D?9d3 A?9 e3 F?9

=? "alcular !M, si# α < θ 4 =>P

a3 =H9 b3 =I9 c3 =>9d3 =@9 e3 AH9

== $n un tri-ngulo /0" se tra(a la bisectri( interior, tal que mV0B/ 4 ID9 y mV0"B 4 A9.

"alcular la mV0/B.a3 H9 b3 HA9 c3 I?9d3 I=9 e3 II9

=D $n la figura2

. β+α

=

, /B 4 A, /" 4 >.Kallar 0"M

A

B

C

.

β

a3 F b3 c3 Hd3 I e3 >

=A e tiene un triangulo isósceles &+; & 4 &+,

en el cual se tra(a la ceviana"6

. obre"6

setoma el punto RM tal que &Q 4 &R y lam∠R&+ 4 AHP. Kallar la m∠+Q

a3 =>P b3 D?P c3A?Pd3 AHP e3 FP

=F $n un triangulo rect-ngulo /0" recto en 0, se

tra(a la alturaB/

. $n el triangulo 0K" se tra(a

la bisectri( interior BR

. i /0 4 =? y /K 4 I.Kallar KR

a3 D b3 D, c3 Ad3 A, e3 F

= eg1n el grafico. Kallar el valor de θM

ββ

θ4

θ4

θ

a3 =?P b3 D?P c3A?Pd3 F?P e3 ?P

=H $n un tri-ngulo /0" la medida del -ngulo e!terior enel vértice / es el triple de la medida del -ngulo ",

adem-s la mediatri( interseca a en +. "alcular0+, si 0" 6 /0 4 @.

a3 A b3 H c3@d3 F e3 =

=I Wl tri-ngulo /0" es isósceles, /040" y la alturatra(ada desde " mide =?. si + es un punto cualquieradel lado , calcular la suma de las distancias de + alos lados congruentes.

a3 b3 H c3>

d3 =? e3 =

=> $n un tri-ngulo /0",mV /4=?9, mV"4D9 y /0 4 H. i lamediatri( de interseca a en +, calcular +".

a3 A b3 F c3d3 H e3 I

=@ $n un tri-ngulo rect-ngulo /0", recto en 0, sesabe que /"4=? y mV"4DH,9. calcular lamedida de la altura 0K.

a3 A b3 H c3Id3 F e3

D? $n un tri-ngulo rect-ngulo, la bisectri( interiordel -ngulo agudo mayor y la mediatri( de la'ipotenusa se intersecan en un punto sobre elcateto mayor. "alcular la medida de uno de los-ngulos agudos.

a3 IP b3 H?P c3APd3 FP e3 AIP

D= $n un tri-ngulo /0", /04H y /"4@. +or 0 se

tra(a perpendicular a la bisectri( interior .i & es el punto medio de , calcular +&.

a3 D. b3 = c3=.d3 D e3 A.


13/26

DD $n un tri-ngulo /0" se tra(a la mediana talque la mV/04?9 y mV0"4H9. i /04=>,calcular 0.

a3 H b3 > c3@

d3 =D e336

DA $n un tri-ngulo /0", en AB

y BC

se ubicanlos puntos + y Q respectivamente tal que#/" 4 Q", m∠/0" 4 ?P; m∠0/" 4 I?P;m∠/"+ 4 P; calcule la m∠Q+".

a3 =P b3 A?P c3AIPd3 FP e3 AP

DF /0" es un tri-ngulo obtus-ngulo, obtuso en /,se tra(a la bisectri( interior 0B, si m∠0/" 4Dm∠/B0, /0 4 a y "B 4 b. "alcular 0".

a3 a5b b3 Da5b c3 a, en el interior del tri-ngulo0$" se ubica el punto +, tal que m∠$+"4 @?P y m∠$"+ 4 m∠+"0, si 0" 6 "$ 4 H."alcular +K

a3 A b3 F c3 d3 H e3 >

DI Bado un tri-ngulo rect-ngulo /0" tal que /0 40", interiormente se ubica el punto +, si# 0+ 4A, +" 4 I, m∠0+" 4 @?; calcule /+.

a3 A b3 F c3 d3 H e3 I

D> Bado un tri-ngulo /0" en la cual la bisectri(

interior AE

y la altura BH

se intersecan en +.

%al que m∠+"K 4 =P y en AH se ubica el

punto Q, siQP

⊥ PC

; Q" 4 D20+3, calculela m∠/0+.

a3 =P b3 A?P c3FPd3 AP e3 H?P

D@ e tiene un tri-ngulo /0" en la cual se tra(a la

medianaCM

y la ceviana AN

las cuales seintersecan en %, tal que % 4 %" y %& 4 u,calcule /%.

a3 =? b3 = c3 D?d3 I, e3 =?

CAPITULO III

POLÍGONOS

B$OE&E"EX& =. )n polígono es una figura cerradaformada por segmentos de recta que se cru(ansolamente en sus puntos e!tremos.

D

F

E

A

B

C

θ

φ

δ

π

POLGONOS CÓNCAVOS ? CONVE*OS

B$OE&E"EX& D. )n polígono es conve!o, si al unirdos puntos cualesquiera de su interior mediante unsegmento de recta, este segmento quedaenteramente contenido en el polígono.

B$OE&E"EX& A. )n polígono es cóncavo, si al unirdos puntos cualesquiera de su interior por medio de

=3 Los lados son lossegmentos# /0, 0", "B,B$, $O y O/.

D3 Los -ngulos internos son#∠θ, ∠δ, ∠ε, ∠λ, ∠π y ∠φ.

A3 Los vértices son los puntos#/, 0, ", B, $ y O.

K •


14/26

un segmento de recta, dic'o segmento no quedaenteramente contenido en el interior del mismo.

NOM'RE DE LOS POLGONOS DE ACUERDOCON EL N,MERO DE LADOS

Número delados

Nombre del polígono

Número delados

Nombre del polígono

Tres %ri-ngulo Nueve&on-gono oene-gono

Cuatro "uadril-tero Díez Bec-gono

Cinco +ent-gono Once $ndec-gono

eis Ke!-gono Doce Bodec-gono

iete Kept-gono !uince +entadec-gono

Oc"o 8ct-gono #einte Ecos-gono

POLGONOS REGULARES ? POLGONOSIRREGULARES

• )n polígono es regular si todos sus lados y-ngulos internos son respectivamente.iguales.• )n polígono es irregular si al menos dos de suslados son diferentes.

PROPIEDADES DE LOS POLGONOS CONVE*OS

+R8+E$B/B &P=.

+R8+E$B/B &PD.

Bonde representa la suma de los -ngulosinternos# 4 2n 6 D3 Y =>?P.

+R8+E$B/B &PA.

PROPIEDAD N°4

+R8+E$B/B &P.

+R8+E$B/B &PH.

La suma de los -ngulos e!ternos de cualquierpolígono conve!o es AH?P

+R8+E$B/B &PI

$l n1mero de lados n de un polígono

regular conve!o, es posible encontrarlo si se conocela medida del -ngulo interno mi ; la fórmulaempleada es#

+R8+E$B/B &P>

La medida de un -ngulo central /c, de un

polígono regular de n lados se puede encontrar conla fórmula#

+R8+E$B/B &P@

La medida de un -ngulo e!terno /e, de unpolígono regular de n lados, se calcula con lafórmula# 27er ilustración +ropiedad &P> 3

S 5 n B . -32H

n

S

im =

2

)3( −• nn

2180

+°

= S

n

3−= nd

im−°

°180360

n

°360

Ae 5n

°360


15/26

POLGONO INSCRITO ? POLGONO

CIRCUNSCRITO A UNA CIRCUNFERENCIA+

• e dice que un polígono est- inscrito en una

circunferencia si cada uno de sus vérticespertenecen a la circunferencia.

• i un polígono est- inscrito en unacircunferencia decimos que la circunferenciaest- circunscrita al polígono.

Circunferencia

Circunscrita.

Polígono

Inscrito. E

D C

B

A

• e dice que un polígono est- circunscrito auna circunferencia si cada uno de sus ladosson tangentes a dic'a circunferencia.

• i un polígono est- circunscrito a una

circunferencia decimos que la circunferenciaest- inscrita en el polígono.

O

CH

A

B

D

E

F

a

l

$L$$&%8 JR$/B$ )& +8LZG8&8 R$G)L/R E&"RE%8.

T "ómo utili(ar esta situación para encontrar el -rea

de un polígono regular U

⇒ +rimero# "alculamos el -rea de untri-ngulo cualquiera del polígono regular,utili(ando la fórmula#

Jrea 42

alturabase •

.

Be acuerdo con la figura anterior,correspondiente a un polígono regular#

$l -rea de un ∆ 42

al •

⇒ egundo: ultiplicamos el -rea de untri-ngulo /∆, por el total de tri-ngulos queconforman el polígono.

$l n1mero de lados de un polígono coincidecon el n1mero de tri-ngulos congruentesque lo determinan.+or tanto, el -rea /+ del polígono regular de

n lados es#

/+ 4 n • /∆ =

••

2

al n

=

2

)( al n ••

=

2

a P •

.....

..

•=

!,

!,

apotemaa

perímetrol n P

+R8+E$B/B/B

JR$/

2a P •


16/26

$n los Polígonos Regulares Inscritos en unaCircun$erencia correspondientes a, el 'e!-gono, elcuadrado y el tri-ngulo equil-tero se cumple losiguiente#

E*8GONO la longitud del lado es igual a lalongitud del radio de la "ircunferencia en la que

est- inscrito: !r l =

Relación#!r l =

/potema#2

3l a =

Jrea#2

323l A =

CUADRADO la longitud del lado es igual al producto2multiplicación3 de la............longitud del radio y la

raí( cuadrada del n1mero dos#2•= r l

.

Relación#2•= r l

/potema#2

l a =

Jrea#2

22 d ól A=

TRI8NGULO EUIL8TERO la longitud del lado esigual al producto de la ...........longitud del radio y la

raí( cuadrada del n1mero tres#3•= r l

.

Relación#

3•= r l

/potema#6

3•= l a

Jrea#4

32 •= l

A

+R8+E$B/B

La apotema aM de un polígono regular sepuede calcular, sin necesidad de aplicartrigonometría, siempre que se cono(can laslongitudes del radio r y del lado l , la fórmulaempleada es

$L$$&%8 B$L +8LZG8&8 R$G)L/R"ER")&"RE%8

Bel dibu*o ad*unto, correspondiente a unpolígono regular circunscrito a una circunferencia seobserva#

=3 La apotema del polígono esaOH =

, el radio es

r OC = y el lado es

l BC =.

D3 La apotema del polígono es el radio de lacircunferencia inscrita en él.A3 $l radio del polígono no es el radio de la

circunferencia inscrita en él.F3 $l -ngulo central del polígono es# ∠08".

Apotema del Polígono.

Radio del Polígono

Lado

Polígono Circunscrito.

Circunferencia Inscrita.

l

r a

O

H

D

C B

A

JR$/ B$L +8LZG8&8 R$G)L/R "ER")&"RE%8.

$l -rea de un polígono regular circunscritose calcula con la misma fórmula utili(ada paraencontrar el -rea de un polígono regular inscrito enuna circunferencia#

"abe aclarar que las propiedades de lospolígonos inscritos no se cumplen en los polígonoscircunscritos, en particular la +ropiedad &P=? que serefiere al tri-ngulo equil-tero, cuadrado y 'e!-gonoregular.

PRACTICA DIRIGIDA

=. i el polígono /0"B es un trapecio rect-ngulo y0$ es la mediatri( de B", entonces su -rea mide

a 5

2242

1l r −

2

a P A

•=


17/26

E D C

B A

!"

a3 AD b3 AH c3 D=,HHd3 DF e3 =D

D. Be acuerdo con la figura ad*unta, si el perímetrodel pent-gono regular es ?, entonces la medidade la diagonal /0 es apro!imadamente

a3 @,= b3 ==,IH c3 =H,=>d3 AF,?A e3 =DD,=

A. $n el siguiente 'e!-gono regular, si /0 4 D,entonces, Tcu-l es la medida del segmento "BU

a3 F b3 > c3 D3

d3 F3

e3 &./

F. )n 'e!-gono regular y un tri-ngulo equil-terotienen la misma -rea. i el perímetro deltri-ngulo es AH, entonces Tcu-l es el perímetrodel 'e!-gonoU

a3 AH b3 =D6

c3 ID

d3 D=H3

e3 =D

. T"u-l es la longitud apro!imada de lacircunferencia circunscrita a un dec-gonoregular si la medida de su apotema es =DU

a3 I@,D b3 @A,=A c3 =D>,DF

d3 DFA,@D e3 D,H

H. i el -rea de un tri-ngulo equil-tero inscrito en

una circunferencia es @3

, entonces el radiodel círculo correspondiente es

a33

b3 A3

c3 D3

d3 F3

e3

I. Be acuerdo con los datos de la figura, Tcu-l es

el -rea apro!imada del pent-gonoU

/3 =@,? 03 DD,>A "3 AA,HB3 F,H $3 FH,=

>. La figura ad*unta corresponde a un 'e!-gonoregular /0"B$O con centro en 8. Be acuerdocon los datos de la figura, Tcu-l es el -rea de laregión destacada con grisU

A

B

A

B

C

E D

A

B

C

D

E

#

!

#


18/26

a3 > b3 >3

c3 =H

d3 F3

e3 >,=

@. La medida del radio de una circunferencia es F

2. i el cuadrado /0"B est- circunscrito a

dic'a circunferencia, entonces Tcu-l es lamedida de /BU

a3 > b3 >2

c3 =H

d3 =H2

e3 =

=?. i la medida del radio de un dodec-gono regulares =?, entonces la medida apro!imada de cadalado de dic'o polígono corresponde a

a3 ,=> b3 =@,AD c3 =?,??

d3 =I,AD e3 =,H

==. i el -rea de un cuadrado es DF, entonces lalongitud de la circunferencia en la que se puedeinscribir ese cuadrado es

a3 Hπ b3 Dπ6

c3 =Dπ

d3 Fπ3

e3 Aπ

=D. i en un polígono regular la medida de cada unode los -ngulos internos es =HDP, entonces lamedida de un -ngulo central del polígono es

a3 =>P b3 >=P c3 IDP

d3 =HDP e3 =DAP

=A. i la medida de la diagonal de un cuadrado es >,entonces la longitud de la circunferencia inscritaen ese cuadrado es

a3 >π b3 Fπ2

c3 ADπ

d3 >π2

e3 ADπ

=F. i la medida de cada uno de los lados de unpent-gono regular es =D, entonces la medida dela apotema de dic'o pent-gono esapro!imadamente

a3 A,A c3 >,DH b3 F,AH

d3 =?,D= e3 =,H

=. T"u-l es apro!imadamente la longitud de lacircunferencia en la que se puede inscribir unpent-gono regular cuyo perímetro es AU

a3 ?,>D b3 A,D? c3 D,AA

d3 H,F= e3 H,F

=H. i la medida de la apotema de un tri-nguloequil-tero es =D, entonces el perímetro deltri-ngulo es

a3 DF3

b3 F3

c3 F>3

d3 ID3

e3 =?3

=I. )na circunferencia est- inscrita en un cuadradode I, de apotema. T"u-l es el -rea del círculocorrespondienteU

a3 Iπ b34

4"

π c32

#

π

d34

22$

π e32

#

π

=>. )n polígono regular tiene en total Adiagonales, Tcu-nto mide cada uno de sus-ngulos internosU

a3 IDP b3 ==H,IIP c3 =FFP

d3 =D>,IP e3 =D,HP

A

B

C

D

E

F

O

$


19/26

OE

D

C

B

A

=@. T"u-l es el perímetro de un cuadrado inscrito enuna circunferencia de radio =Dm.U

a3348

cm b324

cm c3 F> cm

d3248

cm e3 F cm

D?. i la suma de los -ngulos internos de unpolígono es =@>?P, entonces Tcu-l es el n1merototal de diagonales que se pueden tra(ar en élU

a3 FF b3 II c3 Hd3 @? e3 ==

D=. $n un dec-gono regular de lado D?cm., el radiode la circunferencia circunscrita al polígono tienecomo medida, en cm.

a3 =I,?= b3 AD,AH c3 =A,IH

d3 =?,= e3 =?

DD. La longitud de la apotema de un icos-gonoinscrito en una circunferencia de radio =D,corresponde a

a3 ==,> b3 =,@? c3 ==,F=

d3 =,>I e3 =,

DA. i la circunferencia circunscrita a un dodec-gonoregular tiene como radio =H, Tcu-nto mide el

perímetro del dodec-gonoUa3 ==>,HH b3 F@,H@ c3 @@,A@

d3 @,>@ e3 =?,=D

DF. $n el dibu*o ad*unto, el [/0" es equil-tero ylos puntos B, $ y O son los medios de cada lado.i las circunferencias son congruentes y lalongitud de cada una es =Hπ cm., Tcu-l es elperímetro del [/0"U

F

E D

C

B A

a3 DF cm b3 F> cm c3316

cm

d3264

cm e3 >@ cm

D. )n 'e!-gono regular y un oct-gono regular

tienen el mismo perímetro. i el -rea del

'e!-gono es D316

, entonces la medida decada lado del oct-gono es

a3 @ b326

c3 =D

d3

22

"

e3 =?

DH. T"u-l es el perímetro de un 'e!-gono regular si

la apotema mide2#

U

a3 DI b3 AH c3318

d33$4

e3 H

DI. "onsidere las siguientes proposiciones referidasal pent-gono regular cuyo centro es 8#

E. mV08" 4 D2mV$"B3

EE. mV$"B 4 D2mV/"$3

Be ellas, Tcu-les son verdaderasU

a3 /mbas b3 &inguna c3 ólo la Ed3 ólo la EE e3 Oaltan datos

D>. "onsidere la figura ad*unta correspondiente a unoct-gono regular inscrito en la circunferencia decentro 8, donde los puntos K,G y & soncolineales, de acuerdo con estos datos considerelas siguientes proposiciones#


20/26

O

NH G

F

E

DC

B

A

B

A

E. ÓC = ´ DE

EE. mVG8O 4 mVOG&

Be ellas, Tcu-les son verdaderasU

a3 /mbas b3 &inguna c3 ólo la Ed3 ólo la EE e3 Oaltan datos

D@. Be acuerdo con la figura ad*untacorrespondiente a un oct-gono regular cuyoperímetro mide >?, Tcu-l es la medida

apro!imada de la diagonal´ AB U

a3 A,>A b3 I,HH c3 @,DF

d3 =>,F> e3 I,>@

A?. Be acuerdo con la figura ad*untacorrespondiente a un 'e!-gono regular /0"B$Oen el que se encuentra inscrito un tri-ngulo

equil-tero O0B de tal forma que´ EF

4 H,entonces -rea de la región destacada de gris es

a3318

b332#

c334$

d33$4

e332

CAPITULO IV

CUADRILATEROS

CUADRIL8TERO

e llama cuadril-tero, al polígono de F lados.

"onsiderando la medida de sus -ngulos internos puedenser conve!o o cóncavo.

"8&7$:8 "X&"/78

.

,B

A

*

Cβ γ

θ

α

Ele#entos#

!

=3 Lados#DA%CD,BC,AB

D3 7értices# /, 0, " y BA3 Jngulos Enteriores# :, , , SF3 Jngulos $!teriores# α, β, γ , θ.

&E

D

CB

A


21/26

CLASIFICACIÓN DE CUADRIL8TEROSCONVE*OS

/tendiendo al paralelismo de sus lados, se clasificanen tres#+aralelogramos, %rapecios y %rape(oides.

A PARALELOGRAMOS.on aquellos que tienen sus lados opuestosparalelos. e clasifican en#

A-+ROM'O. Llamado tambiénLosan)e. $s un paralelogramo que tiene susF lados congruentes.

Rombo o Losange

A.+ Ro#oide. $s un paralelogramo.

"AALELOAO

O

OBOE

b

b

A+< Re%t=n)ulo. Llamado también Cuad!ilon)o.$s un paralelogramo que tiene sus F -ngulosrectos

b

A+4 Cuad!ado. $s un paralelogramo que tienesus F -ngulos rectos y sus F ladoscongruentes. 2+olígono Regular de F lados3.

PROPIEDADES DEL PARALELOGRAMO

$n todo paralelogramo, los lados opuestos soncongruentes.

$n todo paralelogramo, los -ngulos opuestos mideniguales y los -ngulos adyacentes a un mismo lado

son suplementarios.

$n todo paralelogramo las diagonales se bisecanmutuamente. 2ise%an# se cortan en su puntomedio3.

Las diagonales de un rect-ngulo son congruentes2miden igual3.

Las diagonales de un rect-ngulo se interceptan ensu punto medio, determinando F segmentos de iguallongitud.

'+ TRAPECIOS.


22/26

on cuadril-teros que tienen dos lados opuestosparalelos y se les llama base mayor y base menor.e sub


23/26

"

C

A

C

"

A

B

B

θCb

B

α

"

A

E

α

θ

a

a-b b

II SEGMENTOUE UNE LOS PUNTOS MEDIOS DE LASDIAGONALES DEL TRAPECIO: P

2

ba PQ

−=

C+ TRAPE@OIDESon cuadril-teros que no tienen ning1n lado paraleloa otro. $!isten dos clases#

C+- T!a"e(oide Si#9t!i%o:

i una de sus diagonales es mediatri( de la otra. Lafigura es simétrico respecto al e*e 0B 2lo que ven allado i(quierdo de 0B es igual a lo que ven al ladoderec'o3.T!a"e(oide Si#9t!i%o o 'isos%eles

α

θ θ

α

CA

B

4

A' 5 'C AD 5 CD

%+. T!a"e(oide asi#9t!i%oC

B

A

$s aquel

cuadril-tero que no tiene ninguna simetría.

PROPIEDADES DEL TRAPE@OIDE

$n todo trape(oide, al unir los puntos medios de loslados consecutivos, se forma un paralelogramo cuyoperímetro es igual a la suma de las diagonales dedic'o trape(oide.


24/26

45º

A

4

D

C5

A

B C

O

D

A

B C

D

x

P

110º

CONVE*O CÓNCAVO

PRACTICA DIRIGIDA

=. arcar verdadero 273 o falso 2O3.

%odo cuadril-tero tiene dosdiagonales.

$n el trapecio las diagonales sebisecan.

$n el rombo las diagonales sonperpendiculares y congruentes.

a3 7O7 b3 77O c3 7OOd3 OOO e3 O7O

D. $n un trape(oide /0"B#

2

Dm

6

Cm

5

Bm

3

Am ∠

=

∠

=

∠

=

∠

;Kallar la m∠Ba3 H?9 b3 A?9 c3 AH9d3 I9 e3 @?9

A. "alcular la mediana del trapecio /0"B

a3 H b3 H, c3 I

d3 I, e3 >

F. i /0"B es un romboide# /8 4 F, ; 08 4 AKallar# 2/" 5 0B3

a3 =? b3 =D c3 =d3 => e3 D?

. $n el trapecio mostrado, calcular !M

a3 H?9 b3 =??9 c3 @?9d3 =D?9 e3 >?9

H. "alcular !M, siendo /0"B un trapecioisósceles y adem-s /" 4 0+ 4 +B

a3 F?9 b3 ?9 c3 H?9d3 I?9 e3 >?9

I. "alcular !M

a3 =?9 b3 =9 c3 =D9d3 D9 e3 D?9

>. i /0"B es un cuadrado y "$B un tri-nguloequil-tero.

a3 A?9 b3 H?9 c3 F9d3 AI9 e3 AA9

@. $n un romboide, las bisectrices interiores de 0

y " se cortan en un punto deAD

."alcular el perímetro de /0"B, si 0" 4 \

a3 F] b3 D] c3 ]

"

0 α

α

!

θ

θ

B/

D!

?9

F!

"0

$!

/ B


25/26

M

N

Q

D

C

B

P

30º

d3 A] e3 D,]

=?. $n el trapecio /0"B mostrado. "alcular /B;siendo +Q 4 =I & 4 A

a3 = b3 =F c3 =Ad3 =? e3 D?

==. i /0"B es un cuadrado, calcular el

perímetro del trapecio /0"$.

a3 D? b3 A? c3 =d3 =D e3 D

=D. Bel gr-fico, calcular M si /0"B es unromboide

a3 H?9 b3 H9 c3 I9d3 I?9 e3 >?9

=A. /0"B es un rect-ngulo, /0 4 F

3

/B 4 =H."alcular la mediana del trapecio /Q"B

a3 =? b3 = c3 =D

d3 =A e3 =F=F. "alcular la base menor de un trapecio

sabiendo que la diferencia de la mediana y elsegmento que une los puntos medios de lasdiagonales es F?.

a3 D? b3 A? c3 F?d3 H? e3 >?

=. $n un paralelogramo /0"B se construyene!teriormente los tri-ngulos equil-teros /0y 0"&. Kallar la m∢"&.

a3 =9 b3 A?9 c3 F9

d3 H?9 e3 AH9=H. i la medida del -ngulo e!terno de un

polígono regular es ]M veces el interior."alcular ]M 2] ∈ 3.a3 = y A b3 = y D c3 = y Fd3 D y A e3 D y F

=I. $s un polígono regular /0"B$... la m /"$4=FFP. T"u-ntas diagonales medias tieneU

a3 =?? b3 =? c3 =H?d3 =I? e3 =@?

=>. Los -ngulos interiores 0, " y B de unpent-gono conve!o /0"B$ miden I?P, =H?P y?P respectivamente. Las bisectricesinteriores de los -ngulos 0/$ y /$B, formanun -ngulo que mide#

a3 A?P b3 AP c3F?Pd3 FP e3 ?P

=@. $n un 'e!-gono equi-ngulo /0"B$O, 0" 4 D,B$ 4 =, "B 4 F y /O 4 A. Kallar superímetro.

a3 =? b3 = c3 =>d3 DF e3 D>

D?. La diferencia del n1mero de diagonales decierto polígono y el n1mero de -ngulos rectosa que equivale la suma de las medidas de sus-ngulos interiores es >. T"u-ntos lados tieneel polígonoU

a3 F b3 c3 >d3 =D e3 =>

D=. Las medidas de los -ngulos interiores de dospolígonos conve!os regulares se diferencian enD?P y las medidas de los -ngulos e!teriores

suman =??P. T"u-ntas diagonales tienen elpolígono de mayor n1mero de ladosU

a3 DI b3 => c3 ADd3 F? e3 D

DD. e tienen dos polígonos regulares cuyosn1meros de diagonales se diferencias en AFDy cuyas medidas de sus -ngulos, centralesest-n en la relación de D a A. Kallar ladiferencia de las medidas de sus -ngulosinteriores.

a3 P b3 DP c3=?P

d3 F?P e3 ?P

DA. $l perímetro de un oct-gono equi-ngulo

/0"B$OGK es244 +

, dic'o polígono tiene

0 "

>D9

$B /

α

0"

I?9α

/ B

Q0 "

B/


26/26

dos tipos diferentes de lados los cuales sepresentan en forma alternada. Kallar

B A5 +.

a322 +

b323

c323 +

d3223 +

e3224 +

DF. "alcular el -ngulo central de un polígono regularen donde al disminuir el n1mero de lados en Dm-!imos n1meros de diagonales disminuye en=.

a3 A?P b3 FP c3AHPd3 I?P e3 @?P

D. $n un trapecio /0"B;m /4m 04@?; las bisectrices interiores de los-ngulos " y B se intersecan en +. "alcular /0, si la

distancia desde el punto + a es F.

a3H b3> c3=?d3=D e3=H

DH. $n un rombo /0"B, se tra(a ⊥ , talque /K 4 KB, calcular m ".

a3A?9 b3F9 c3F?9d3H?9 e3I9

DI. $n un trapecio /0"B se sabe que#m V 0 4 Dm V B; 0" 4 F; /0 4 ."alcular la medida de la base mayor

.

a3H b3I c3>d3@ e3=?

D>. $n un romboide /0"B se tra(a labisectri( 2 en 3. i /0 4 H,calcular la medida del segmento queune los puntos medios de y .

a3D b3A c3F

d3 e3D3

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