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Acadêmico(a) __________________________________________________________

Turma: _______________________________________________________________

Capítulo 6: Funções

Toda função envolve uma relação de dependência entre elementos, números e/ou

incógnitas. Em toda função existe um elemento que pode variar livremente, chamado de

variável independente, e os que estão relacionados a eles, variáveis dependentes.

Existem diversas formas matemáticas de relação entre as variáveis independentes e

dependentes.

Como exemplo, temos que a área (A) de um círculo está associada ao seu raio (r)

conforme a equação abaixo:

𝐴 = 𝜋 𝑟2

Ou seja, com a alteração do tamanho do raio do círculo, a área também será

alterada. Nesse caso, a área A é uma função do raio r.

𝐴(𝑟) = 𝜋 𝑟2

Definição: Uma função matemática é uma relação entre dois conjuntos quaisquer que

associa, a cada elemento de partida (domínio), um único elemento de um conjunto

de chegada (contra-domínio). Os elementos do conjunto contra-domínio que são

imagem de algum elemento do domínio constituem o conjunto imagem da função.

Domínio: é o conjunto dos valores possíveis das abscissas (x), ou seja, a região do

universo em que a função pode ser definida

Imagem: é o conjunto dos valores das ordenadas (y) resultantes da aplicação da função

f(x)

Contra-domínio: é o conjunto que contém todas as imagens (ou saídas, ou elementos

dependentes) possíveis para a função.

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Figura 1. Representação das relações entre domínio (A) e imagem (B) para funções

matemáticas.

6.1 Função sobrejetora, injetora e bijetora

Função Sobrejetora: Uma função é sobrejetora se, e somente se, a imagem for igual ao

contradomínio. Em outras palavras, não pode sobrar elementos de B.

Função Injetora: A função é injetora se elementos distintos do domínio tiverem

imagens distintas, ou seja, dois elementos não podem ter a mesma imagem. Portanto,

não pode ter nenhum elemento do conjunto B que receba duas flechas.

Função Bijetora: Quando a função f é ao mesmo tempo sobrejetora e injetora, dizemos

que f é uma função bijetora. Neste caso, você pode observar que não existe um

elemento de B que não seja imagem de um elemento de A (f é sobrejetora); cada

elemento de B é imagem de um único elemento de A (f é injetora).

Sobrejetora Injetora Bijetora

Figura 2. Representação de funções injetora, bijetora e sobrejetora.

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6.2 Função par e Função ímpar

Função par: A função é definida como par se 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥). Os valores simétricos

devem possuir mesma imagem.

Exemplos:

1) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 → 𝑓(2) = 4 → 𝑓(−2) = 4

2) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 → 𝑓(1) = 0 → 𝑓(−1) = 0

3) 𝑓(𝑥) =𝑥4

2→ 𝑓(1) =

14

2=

1

2 e 𝑓(−1) =

(−1)4

2=

1

2

Logo 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥)

Função ímpar: A função é definida como ímpar se 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥). Valores

simétricos possuem imagens simétricas.

Exemplos:

1) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 → 𝑓(1) = 2 → 𝑓(−1) = −2

2) 𝑓(𝑥) =𝑥3

10→ 𝑓(1) =

13

10= 0,1 → 𝑓(−1) = −

13

10= 0,1

3) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 → 𝑓(2) = 2 ∗ 2 = 4 e 𝑓(−𝑥) = 2 ∗ (−2) = −4

Logo 𝑓(𝑥) = −𝑓(𝑥)

6.3 Função Inversa

A função 𝑦 = 𝑓(𝑥) define uma correspondência de x para y, isto é, dado o valor

de x podemos obter o valor de y que lhe corresponde através da função f.

A função inversa de f, que é indicada por 𝑓−1, define uma correspondência

contrária, isto é, de y para x, e indicamos 𝑥 = 𝑓−1(𝑦)

Exemplos:

1) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 → 𝑓−1(𝑥) = √𝑥 + 1

2) 𝑓(𝑥) =2𝑥+3

3𝑥−5→ 𝑓−1(𝑥) =

3+5𝑥

3𝑥−2

3) 𝑓(𝑥) = 7𝑥 + 4 → 𝑓−1(𝑥) =𝑥−4

7

4

6.4 Equação de primeiro grau

Chama-se função do 1º grau ou função afim, a qualquer função 𝑓 dada por uma

lei da forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, onde a e b são números reais e a≠0.

Na função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, o número a é chamado de coeficiente angular e o

número b é chamado de coeficiente linear, sendo a e b constantes, e o domino todos os

reais.

Coeficiente angular: a é dito coeficiente angular da reta, e se for positivo, a reta tem

sentido crescente; caso contrário, decrescente.

Coeficiente linear: da reta representado na função pela letra b, indica por qual ponto

numérico a reta intercepta o eixo das ordenadas (y).

Observe na figura 3 que se b = 0, então o gráfico é uma reta passando pela

origem, enquanto que se a = 0, o gráfico é uma reta paralela ao eixo x, interceptando o

eixo y em b e, neste caso, é dita função constante.

Calcular o valor da raiz da função é determinar o valor em que a reta cruza o

eixo x, para isso consideremos o valor de y = 0, pois no momento em que a reta

intersecta o eixo x, y = 0.

Equação da reta: 𝑦 − 𝑦0 = 𝑎(𝑥 − 𝑥0)

Exemplos:

1) 𝑓(𝑥) =1

2𝑥 + 4 → 𝑎 =

1

2; 𝑏 = 4

2) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 5 → 𝑎 = 3; 𝑏 = 5

3) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 8 → 𝑎 = −2; 𝑏 = 8

6.4.1.Gráfico da função

Sua representação no plano cartesiano, figura 3, é uma reta que, de acordo com o

valor do coeficiente a (positivo ou negativo), é inclinada para esquerda ou para direita.

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏

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Figura 3: Gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, para b=0.

6.5 Equação de segundo grau

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f

dada por uma lei da forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, onde a, b e c são números reais e

a≠0.

Exemplo:

1) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 4𝑥 + 1, onde a = 3. B = 2 e c= 1

2) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 6𝑥 + 9, onde a = 1, b = 6 e c = 9

3) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 8𝑥 + 16, onde 𝑎 = 𝑎, 𝑏 = −8 e 𝑐 = 16

6.5.1.Gráfico

A representação de funções de segundo grau no plano cartesiano é uma

PARÁBOLA que, Figura 4, de acordo com o valor do coeficiente a, possui concavidade

voltada para cima ou para baixo. O termo c, na função do 2º grau, é o ponto onde a

parábola corta o eixo y.

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Figura 4: Representação da função do segundo grau de acordo com o coeficiente a.

6.5.2. Raízes da função

Ao transformar a função do segundo grau em uma equação do segundo grau, isto

é 𝑓(𝑥) = 𝑦 = 0, a função assume três possibilidades de resultados de raízes, que pode

vir a ser resolvida por Bháskara.

1º Possibilidade: se ∆>0 a função possui duas raízes reais e distinta.

Figura 5: Representação da função do segundo grau com ∆>0.

2º Possibilidade: se ∆=0 a função possui raízes iguais, ou uma única raiz.

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Figura 6: Representação da função do segundo grau com ∆=0.

3º Possibilidade: Se ∆<0 a função não possui raízes reais.

Figura 7: Representação da função do segundo grau com ∆<0.

6.5.3.Vérticie da função

O vértice da parábola constitui um ponto importante do gráfico, pois indica o

ponto de valor máximo ou o ponto de valor mínimo. De acordo com o valor do

coeficiente a, os pontos serão definidos como:

- Quando a > 0 (concavidade para cima) logo ponto de mínimo.

- Quando a < 0 (concavidade para baixo) logo ponto de máximo.

𝑋𝑣 = −𝑏

2𝑎 e 𝑌𝑣 = −

∆

4𝑎

8

6.5.4. Sinais da função

Figura 8: Representação dos sinais da função de segundo grau de acordo com ∆ e

coeficiente a.

6.6. Função Exponencial

A função exponencial possui como principal característica que a parte variável

representada por x se encontra no expoente.

𝑦 = 𝑎𝑥

Exemplos:

1) 𝑓(𝑥) = 2𝑥

2)𝑓(𝑥) = (3 + 𝑥)𝑥

Características da função exponencial:

- Se a > 1 então f é crescente

- Se 0 < a <1 então f é decrescente

- Assíntota ao eixo x, ou seja, a função se aproxima do eixo x mas nunca irá encostar no

eixo x.

- Interceptará y no ponto (0,1), ou seja, cruzar o eixo y

6.6.1. Gráfico da função

A representação de uma função exponencial no plano cartesiano é de uma curva

exponencial que, de acordo com o valor do coeficiente a, é crescente ou decrescente.

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𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥

Figura 9: Representação de uma função exponencial de acordo com o valor de a.

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Lista de Exercícios

1. Determinar o domínio das seguintes funções definidas por:

a) 𝑓(𝑥) =𝑥

𝑥−5

b) 𝑓(𝑥) =𝑥+2

2𝑥

c) 𝑓(𝑥) =𝑥

𝑥2−4

d) 𝑓(𝑥) =𝑥

2𝑥−1

2. (Faap) Durante um programa nacional de imunização contra uma forma virulenta de

gripe, representantes do ministério da Saúde constataram que o custo de vacinação de

"x" por cento da população era de, aproximadamente, f(x)=(150x)/(200-x) milhões de

reais.

a) Qual é o domínio da função f(x)?

b) Para que valores de x, no contexto do problema, f(x) tem interpretação prática?

c) Qual foi o custo para que os primeiros 50% da população fossem vacinados?

d) Qual foi o custo para que os 50% restantes da população fossem vacinados?

e) Qual a porcentagem vacinada da população, quando foram gastos 37,5 milhões de

reais?

f) Faça o gráfico da função, especificando sua parte relevante, tendo em vista a situação

prática do problema em questão.

3. A temperatura em graus Fahrenheit é uma função linear da temperatura em graus

Celsius. Use o fato de que 0 ºC = 32 ºF e 100 ºC = 212 ºF para escrever uma função que

forneça a conversão de temperatura de uma graduação para outra. Use a função obtida

para converter 15 graus Celsius em graus Fahrenheit e 68 graus Fahrenheit em graus

Celsius.

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4. (Faap) A variação de temperatura 𝑦 = 𝑓(𝑥) num intervalo de tempo x é dada pela

função 𝑓(𝑥) = (𝑚2 − 9)𝑥2 + (𝑚 + 3)𝑥 + 𝑚 − 3. Calcule "m" de modo que o gráfico

da função seja uma reta paralela ao eixo x.

5. (Fatec) Se f é uma função definida por 𝑓(𝑥) =𝑥−3

𝑥2+3 , então qual a expressão

equivalente de 𝑓(𝑥)−𝑓(1)

𝑓(𝑥−1), para x≠1.

6. (Faap) Durante um mês, o número y de unidades produzidas de um determinado bem

e função do número x de funcionários empregados de acordo com a lei 𝑦 = 50√𝑥.

Sabendo que 121 funcionários estão empregados, qual será o acréscimo na produção

com a admissão de 48 novos funcionários?

7. (Fei) Se 𝑔(1 + 𝑥) =𝑥

𝑥2+1, qual o valor de 𝑔(3)?

8. (Unesp) Uma fórmula matemática para se calcular aproximadamente a área, em

metros quadrados, da superfície corporal de uma pessoa, é dada por:

𝑆(𝑝) =11

100𝑝2/3

Onde p é a massa da pessoa em quilogramas. Considere uma criança de 8kg. Determine:

a) a área da superfície corporal da criança;

b) a massa que a criança terá quando a área de sua superfície corporal duplicar.

(Use a aproximação √2 = 1,4.)

9. (Ufscar) Uma pesquisa ecológica determinou que a população (S) de sapos de uma

determinada região, medida em centenas, depende da população

(m) de insetos, medida em milhares, de acordo com a equação 𝑆(𝑚) = 65 + √𝑚

8. A

população de insetos, por sua vez, varia com a precipitação (p) de chuva em

centímetros, de acordo com a equação 𝑚(𝑝) = 43𝑝 + 7,5.

a) Expresse a população de sapos como função da precipitação.

b) Calcule a população de sapos quando a precipitação é de 1,5cm.

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10. (Unesp) Num período prolongado de seca, a variação da quantidade de água de

certo reservatório é dada pela função: 𝑞(𝑡) = 𝑞0 ∗ 2(−0,1)∗𝑡. Sendo 𝑞0 a quantidade

inicial de água no reservatório e q(t) a quantidade de água no reservatório após t meses.

Em quantos meses a quantidade de água do reservatório se reduzirá à metade do que era

no início?

11. (FGV) Seja a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2. Qual valor de 𝑓(𝑚 + 𝑛) − 𝑓(𝑚 − 𝑛) ?

12. (PUCRS) Em uma fábrica, o número total de peças produzidas nas primeiras t horas

diárias de trabalho é dado por:

Qual o número de peças produzidas durante a quinta hora de trabalho?

13. (Fuvest) Qual função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3%

sobre o valor x de uma mercadoria?

15. (Mackenzie-SP) A função f é definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. Sabe-se que 𝑓(−1) = 3

e 𝑓(1) = 1. Qual o valor para f(3)?

16. (ENEM 2013) A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola

em torno de um eixo z, conforme mostra a figura. A função real que expressa a

parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei 𝑓(𝑥) =3

2𝑥2 − 6𝑥 + 𝐶, onde C é

a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V,

na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. Qual é a medida

da altura do líquido?

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17. (Unesp) O gráfico da função quadrática definida por 𝑦 = 𝑥2 − 𝑚𝑥 + (𝑚 − 1), onde

m pertence ao conjunto dos Reais, tem um único ponto em comum com o eixo das

abscissas. Qual o valor de y que essa função associa a x=2 ?

18. (ITA) Os dados experimentais da tabela a seguir correspondem às concentrações de

uma substância química medida em intervalos de 1 segundo. Assumindo que a linha que

passa pelos três pontos experimentais é uma parábola, qual a concentração (em moles)

após 2,5?

Tempo (s) Concentração (mol/L)

1 3,00

2 5,00

3 1,00

19. (PUCMG) A temperatura, em graus Celsius no interior de uma câmara, é dada por

𝑓(𝑡) = 𝑡2 − 7𝑡 + 𝐴, onde t é medido em minutos e A é constante. Se, no instante 𝑡 = 0,

a temperatura é de 10°C, qual tempo, em minutos, gasto para que a temperatura seja

mínima?

20. Num laboratório é realizada uma experiência com um material volátil, cuja

velocidade de volatilização é medida pela massa, em gramas, que decresce em função

do tempo t, em horas, de acordo com a fórmula, 𝑚 = −32𝑡 − 3𝑡+1 + 108. Assim

sendo, qual o tempo máximo que os cientistas dispõem para utilizar este material antes

que ele se volatilize totalmente?

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21. (PUC SP-06) Considere que em julho de 1986 foi constatado que era despejada uma

certa quantidade de litros de poluentes em um rio e que, a partir de então, essa

quantidade dobrou a cada ano. Se hoje a quantidade de poluentes despejados nesse rio é

de 1 milhão de litros, há quantos anos ela era de 250 mil litros?

22. Qual o coeficiente angular da reta dos pontos:

a) A (–1,3) e B (–2,4)

b) A (2,6) e B (4,14)

23. Construa o gráfico das funções abaixo:

a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1

b) 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 6

c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 6𝑥 + 9