FUERZA AÉREA ARGENTINA

INSTITUTO UNIVERSITARIO AERONÁUTICOFACULTAD de Ciencias de la Administración

Actividad Obligatoria 3AMATEMATICA 1

Grupo: García, Rafael Armando Ferreras, Wasiucionek Ariel

Parte A. Grupal

La actividad consiste en seleccionar un enunciado y dar una respuesta fundamentada.

Ejercicio Nro. 22

¿ 313det detA A

?

Como primer efecto visual da la sensación que es verdadera, dado que parece que el segundo termino es exponente de exponente , pero si se observa detenidamente el (-1) esta elevado al cubo y el resultado seria de nuevo (-1), desde aquí no se cumple :

det (An )=[det (A)]n

Por lo tanto podemos afirmar que es Falsa la igualdad

Para demostrar la desigualdad generamos un ejemplo hipotético matriz 3 x 3 y aplicamos las herramientas web, llamaremos A la matriz.

Vamos a calcular A a la menos 3, veamos

Con WIRIS

Con Wolframalpha

Con OnlineMschool

Aclaración: en este programa primero hicimos A.A.A y luego le efectuamos la inversa de A.

Ahora sacamos el determinante de A a la menos tres!Veamos:

Con WIRIS:

Con onlineMschool:

Con Wolframalpha:

Vemos que el determinante de

Det ( A−3 )=−( 1729 )

Ahora veamos el determinante de A elevado al menos uno elevado a al cubo:

Como dijimos antes no es un exponente de exponente y solo queda (-1)

Vamos a calculara la determinante de A y luego elevarla a la (-1):

Con Wiris:

Con Worframalpha:

Con onlineMschool:

Conclusión:

Acá podemos corroborar que los determinantes No coinciden por ende podemos afirmar que:

313det detA A

Es falso dado que -1/729 no es igual a -1/9.

Parte B. Grupal

Ejercicio Nro 1

Resolución aplicando las etapas de Polya.

1. Un adulto debe ingerir diariamente un 19% de vitamina A, un 21% de vitamina B y 18% de vitamina C. Se dispone de tres tipos de comprimidos cuyo contenido en vitaminas A, B y C son los mostrados en la siguiente tabla. ¿Cuántos comprimidos diarios de cada tipo deberá consumir?

%VIT A %VIT B % VIT C % Otros componentesCompr. I 20 30 0 50Compr. II 30 0 20 50Compr. III 0 10 20 70

Fase 1: comprender el problema

Adulto precisa:

Vitamina A 19%Vitamina B 21%Vitamina C 18%

Al haber 3 comprimidos que poseen diferentes porcentajes de las vitaminas indicadas anteriormente, debemos saber qué cantidad (o fracción) deberá ingerir de cada comprimidos para suplir las cantidades diarias requeridas.

Fase 2: Idear un Plan

- expreso en símbolos las incógnitas del problema, identifico el origen de las relaciones entre los datos y las incógnitas y las expreso matemáticamente

- construyo el SEL, lo ordeno- construyo matriz aumentada- aplico método de Cramer para determinar las variables X, Y, Z- identifico las incógnitas libres, despejo las incógnitas principales- construyo la solución general (matemática)- construyo la solución del problema

Fase 3: Ejecutar el Plan

Datos Conocidos.

%VIT A %VIT B % VIT C % Otros componentesCompr. I 20 30 0 50Compr. II 30 0 20 50Compr. III 0 10 20 70

Cantidad necesaria para adultos:

Vitamina A 19%Vitamina B 21%Vitamina C 18%

Datos Desconocidos.

¿Cuántos comprimidos de cada tipo deberán consumir cada persona?

Definimos las incógnitas como:

X = Cantidad de Comprimidos 1 (fracción de la pastilla)Y = Cantidad de Comprimidos 2 (fracción de la pastilla)Z = Cantidad de Comprimidos 3 (fracción de la pastilla)

Planteamos las ecuaciones:

20x+30y+0z=19

30x+0y+10z=21

0x+20y+20z=18

Construimos la matriz que llamaremos A y la relacionamos con las variables y los porcentajes totales que precisa cada persona quedando así:

Donde en A están los coeficientes de las ecuaciones, luego se los multiplica por las variables X,Y y Z, y se los iguala a los totales precisados.

Vamos a utilizar la regla de Cramer la cual se puede usar ya que tenemos la misma cantidad de variables que el de ecuaciones.

Recordando que la regla de cramer es el cociente entre el determinante de la variable y el determinante de la matriz veamos como quedaría el determinante de la matriz:

con Wiris:

con OnlineMschool:

Con Wolframalpha:

Vemos que coinciden bien sigamos:

Vamos a calcular la variable X:

Como tenemos que determinar el valor de X cambiaremos la columna perteneciente a X o sea 20,30 y 0 por los valores de los totales requeridos 19,21,18 quedando planteado de esta manera:

Ahora calculemos el cociente de los determinantes:

Con WIRIS:

Acá ya vemos el cociente =12= X

Con Wolframalpha:

det(x)

y det(A):

y el cociente entre ambos: (-11000)/(-22000) = 12= X

Con OnlineMschool:

Det(x)

det(A)

y el cociente entre ambos: (-11000)/(-22000) = 12= X = 0.5

Ahora vemos por la variable Y:

Hacemos lo mismo pero reemplazamos los totales en la columna perteneciente a Y veamos como quedaría:

Planteamos igual el det(y) sobre det(A)

Wiris:

Sacando el determinante de y:

y si hacemos el cociente con -22000 o sea −6600−22 000y nos da como resultado: Y=

310 = 0.3

Con Wolramalpha:

y si lo comprobamos concentran

OnlineMschool:

Vemos que en todos coinciden. Por ende Y=3

10

Vamos ahora con Z:

Vamos con WIRIS:

y haciendo el cociente: −13200−22000

=35=Z

Con wolframalpha:

y haciendo el cociente: −13200−22000

=35=Z

Con OnlinMschool:

y haciendo el cociente: −13200−22000

=35=Z

Fase 4: Comprobar los Resultados

Ahora que tenemos los valores de las tres variables X,Y, Z reemplazaremos en las ecuaciones originales para verificar los resultados:

0,20 * 0,5 + 0,30 * 0.3 + 0 * 0.6 = 0.19

0.30 * 0,5 + 0 * 0,3 + 0,10 * 0.6 = 0.21

0 * 0,5 + 0,20 * 0,3 +0,20 * 0.6 = 0.18

Conclusiónes:

Del comprimido I debemos tomar una fracción de 0.5 .-Del comprimido II debemos tomar una fracción de 0.3 .-Del comprimido III debemos tomar una fracción de 0.6 .-

Comprobación de los resultados Utilizando el método de la matriz Inversa.

Con Wiris:

Parte B elegimos el enunciado 23. A:

Para que valor de K no puede usarse la regla de cramer o de la matriz inversa:

Realizamos el método de sarrus vamos a utilizar:

WIRIS para sacar el determinante con la variable K:

Veamos con Wolframalpha

Vemos que da exactamente el mismo resultado la diferencia está en que sacó factor común -2k².

En OnlineMschool no permite utilizar letras, solamente números por ende no lo usaremos.

Ahora nos quedó planteada una ecuación la cual deberemos igualarla a 0 hagámoslo:

Veamos con Wolframalpha:

Veamos con WIRIS:

Vemos que ambos resultados coinciden y que indican que K no puede tomar valor ni 0 ni (-1)

vamos a comprobarlo:

PARA K=(-1)Con OnlineMSchool:

Con Wolframalpha:

Con Wiris:

Vemos que todos los determinantes dan CERO “0”

Ahora vamos con K=0Con onlinemschool:

Con Wiris:

Y con wolframalpha:

Vemos que también se comprueba el determinante da un valor de CERO “0”

Por ende para k=0 y k=(-1) no se puede usar la regla de cramer y el método de la inversa ya que no se puede dividir por CERO.