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ACTIVIDADES DE RECUPERACION DE MATEMATICAS DEL PRIMER PERIODO- NOVENO GRADO-
2021
Para realizar la recuperaciรณn del primer periodo el estudiante debe resolver en hojas
cuadriculadas y a mano las siguientes actividades, estas deben ser entregadas por tarde
el dรญa 30 de Abril-2021 en el pizarrรณn de tareas de la plataforma institucional.
Desarrollo de los talleres propuestos en el periodo, el taller 1, el taller 2 y el taller 3,
recibiendo la asesorรญa por parte de la docente, usando encuentros virtuales, videos
explicativos, y los distintos medios de comunicaciรณn para la elaboraciรณn de los mismos.
Anexo Las guรญas y dentro de cada guรญa estรกn los talleres, las autoevaluaciones y problemas en
familia que debe entregar.
GUIA 1: CONJUNTOS DE NUMEROS
ACTIVIDAD 1
Responda las siguientes preguntas:
a) Quรฉ entiendes por numero natural? Quรฉ significa para ti el sรญmbolo 3? Quรฉ diferencia hay entre el nรบmero 3 y el sรญmbolo 3?
b) Quรฉ entiendes por nรบmero entero? Todo nรบmero natural es entero? Justifica tus respuestas.
c) Quรฉ significa la expresiรณn 2/5? d) Que es un nรบmero racional? Todo nรบmero entero es racional? Por quรฉ? e) Quรฉ es un nรบmero irracional? f) Quรฉ es un nรบmero real? Para quรฉ sirve?
ACTIVIDAD 2
Lee con atenciรณn el siguiente texto y desarrolla los ejercicios y problemas propuestos.
LOS NUMEROS NATURALES (N)
Los nรบmeros utilizados para contar como 1,2,3,4,5,โฆ,etc. Forman el conjunto de los nรบmeros naturales, denotado con la letra N. Esto es N = {1,2,3,4,โฆ}
CARACTERISTICAS DE LOS NUMEROS NATURALES
N es un conjunto infinito que posee primer elemento.
Cada nรบmero natural tiene uno que le sigue.
N es un conjunto discreto, es decir, entre dos nรบmeros naturales existe un nรบmero finito de nรบmeros naturales.
A excepciรณn de 1, todos los demรกs tienen un nรบmero natural que los precede.
El siguiente de un nรบmero natural n es n+1.
Entre dos nรบmeros naturales consecutivos no existe ningรบn nรบmero natural.
Si a,b ะ N, una y sola una de las siguientes afirmaciones es cierta: a < b, a=b. o. a > b. ( la ะ significa pertenece).
N estรก totalmente ordenado por la relaciรณn <.
El cero: En el siglo VI, los hindรบes ya tenรญan conocimiento del cero como un nรบmero. Algunas atribuyen el descubrimiento del cero a la filosofรญa hindรบ en la que se relaciona el universo vacรญo con el papel de Dios en la cultura occidental.
Al conjunto N ฬฅ= {0,1,2,3,4,5,โฆ} se le conoce tambiรฉn con el nombre de ENTEROS NO NEGATIVOS.
En el conjunto de los nรบmeros naturales estรกn definidas las operaciones de adiciรณn (+) y multiplicaciรณn (.), las cuales cumplen las siguientes propiedades:
1. Clausurativa: Para todo a, b ะ N, a+b ะ N y a.b ะ N. 2. Conmutativa: Para todo a,b ะ N, a+b = b+a y a.b = b.a 3. Asociativa: Para todo a,b,c ะ N, a + (b+c) = (a+b) +c y a.(b.c) = (a.b).c 4. Modulativa: El nรบmero natural 1 es el mรณdulo de la multiplicaciรณn y para todo a ะ N,
1 * a = a*1 = a
Ejercicio 1: Justifique por quรฉ la adiciรณn de naturales no cumple la propiedad Modulativa.
LOS NUMEROS ENTEROS (Z)
Algunas ecuaciones como x + 5 = 0 no tienen soluciรณn en los naturales, por lo que se hizo necesario ampliar el conjunto de los nรบmeros naturales y aparecieron los nรบmeros negativos -1, -2, -3, -4,โฆ a los que se les llama enteros negativos.
Los nรบmeros naturales, el cero y los enteros negativos forman el conjunto de los NUMEROS ENTEROS, que se denotan por Z. Luego Z = {โฆ, -3,-2,-1,0, 1, 2,3,โฆ}
Ejercicio 2: Cuรกles de las caracterรญsticas de los nรบmeros naturales son vรกlidas para los enteros? Escrรญbalas.
En Z tambiรฉn estรกn definidas las operaciones de adiciรณn (+) y multiplicaciรณn (.), las cuales cumplen las siguientes propiedades:
1. Clausurativa 2. Asociativa 3. Conmutativa 4. Modulativa: Existe el entero 0 (cero) tal que para todo a ะ Z. a + 0 = 0 +a = a
El cero es llamado mรณdulo de la adiciรณn o elemento neutro. El mรณdulo de la multiplicaciรณn de enteros es el 1. Por quรฉ?
5. Invertiva: Para cada nรบmero entero a, existe un รบnico entero llamado opuesto o inverso aditivo de a y denotado por โa, tal que a + (-a) = 0 = (-a) + a
Ejercicio 3
A. Quรฉ se obtiene al efectuar la operaciรณn de un nรบmero con su inverso? B. La multiplicaciรณn de enteros cumple la propiedad Invertiva? Por quรฉ? C. Para los enteros a y b, que puede concluir a partir de cada una de las siguientes
proposiciones: i) a.b=0 ii) a.b = 1 iii) a.b= 15 iv) a.b = 9 v) a.b = 18
LOS NUMEROS RACIONALES (Q)
Dados dos nรบmeros enteros n y k, no siempre existe un nรบmero entero x tal que k.x = n
Para resolver este tipo de ecuaciones fue necesario ampliar el conjunto de los nรบmeros enteros y se idearon los nรบmeros Racionales, denotados por Q. El conjunto de los nรบmeros racionales se define de la siguiente manera:
Q = { a/b : a ะ Z, b ะ Z, bโ 0}
Todo entero se puede considerar como un racional de denominador 1, es decir que si a ะ Z, a/1 = a ะ Q, de lo que se concluye que Z C Q (los enteros estรกn contenidos en los racionales).
Los nรบmeros racionales se caracterizan porque se pueden representar mediante una expresiรณn decimal PERIรDICA, es decir, en la que hay un grupo de cifras decimales que se repiten indefinidamente, (periodo)
Ejemplos:
a) 3 = 3,0000โฆ =
b) 1/3 = 0,33333โฆ = c) 3/2 = 1,50000โฆ = 1,50
d) 602/495 = 1,216161616โฆ = (observe que se le pone una raya o un arco encima del periodo)
OTRAS CARACTERISTICAS DE Q
Q es un conjunto DENSO, es decir, entre dos nรบmeros racionales dados siempre existe al menos otro nรบmero racional. El procedimiento para averiguarlo es muy sencillo, pues para a y b racionales, a < b, su semisuma es racional y estรก ubicada entre a y b o sea que a <(a + b)/2 < b
a/b es equivalente a c/d si y solo si a.d = b.c
Si a/b es racional, entonces a/b no tiene sucesor ni antecesor.
Q estรก totalmente ordenado por la relaciรณn โค.
Ejercicio 4
Resolver:
1) Cuรกl de los nรบmeros 5/7 y 34 es mayor? Cuรกnto le lleva el mayor al menor?
2) ( 1- 1
2)(1 -
1
3 )(1 -
1
4)โฆ(1 -
1
100)= ???
3) Quรฉ condiciones debe cumplir el racional a/b para que (a + n) / ( b + n) sea equivalente a a/b?
LOS NUMEROS IRRACIONALES (Qยด o I )
Existen tambiรฉn nรบmeros decimales que NO SON PERIODICOS, como:
3,1415926โฆ ( y mรกs) =
2,7182818โฆ ( y sigue)=
1,61803398874989484820โฆ (y sigue) =
1,41421356โฆ= โ๐
1,7320508โฆ = โ๐
0,101001000100001โฆ
32,87945657803โฆ
Estos nรบmeros se llaman IRRACIONALES y no se pueden escribir en la forma a/b, con a y b enteros y b diferente de cero.
El conjunto de los nรบmeros irracionales se denota por Qยด, observe que es una Q con una coma encima o por la letra I. Entre Q y Qยด no existen elementos comunes, es decir: Q โฉ Qยด = ั (la intersecciรณn de racionales e Irracionales es vacรญo)
LOS NUMEROS REALES ( R )
La uniรณn de los nรบmeros racionales con los irracionales forman el conjunto de los nรบmeros Reales, que se denota por R, asรญ que R = Q แด Qยด
Un nรบmero real es entonces el que puede escribirse como un decimal de infinito nรบmero de cifras decimales.
De los nรบmeros reales se puede decir:
R es un conjunto DENSO.
A todo nรบmero real le corresponde un punto sobre la recta numรฉrica y a todo punto de la recta le corresponde un nรบmero real.
Si a ะ R, entonces a no tiene antecesor ni sucesor.
R estรก totalmente ordenado por la relaciรณn โค (menor o igual)
Si a.b = 0 entonces a= 0 o b= 0
Ejercicio 5
a. Averigua las propiedades de la potenciaciรณn y radicaciรณn. b. Consulta las propiedades de la logaritmaciรณn c. Hala al menos 5 racionales entre 1/2 y 2/3. Describe el procedimiento utilizado.
d. Utilice regla y compas y ubique sobre la recta numรฉrica los nรบmeros โ5, โ7, โ13, โ15, โ16 e. Explique por quรฉ unos nรบmeros reales son racionales y otros irracionales.
Este aรฑo estaremos estudiando los Nรบmeros Complejos, pero antes de verlos estudiaremos algunos temas que nos ayudarรกn a comprenderlos.
Observe el siguiente video explicativo: https://www.youtube.com/watch?v=lsoFP2YApvs
https://www.youtube.com/watch?v=rtNC7g1h_JA
TALLER 1
1. Halle todas las parejas de nรบmeros enteros (x, y) que satisfacen la condiciรณn x + y = 10 2. Halle todas las parejas de nรบmeros enteros que satisfacen la condiciรณn x.y + 1= 21 3. Halle todas las parejas de nรบmeros enteros ( x. y) que satisfacen la condiciรณn X + Y es
impar y menor que 20. 4. Determine el nรบmero racional que representa cada una de las siguientes expansiones
decimales: a. 4,12 b. 0,325 c. 1,622222โฆ d. 1,3455555โฆ
5. Si a < b entonces /a/ < /b/ ยฟverdadero o falso? Justifique. 6. Hallar los valores de x que satisfacen la ecuaciรณn / x + 5 / = 8 7. Para x= 7 de las siguientes fracciones ยฟcuรกl es de menor valor?
a. 6
๐ฅ b.
๐ฅ
6 c.
6
๐ฅ+1 d.
๐ฅ+1
6 e.
6
๐ฅโ1
8. Cuรกndo se ubican los puntos correspondientes a los nรบmeros 1
6 y
1
4 en la recta real, el
nรบmero que corresponde al punto medio entre ellos es:
a.1
24 b.
1
5 c.
5
24 d.
2
9
9. Antes que Amalia saliera a dar un paseo de dos horas, el kilometraje de su carro mostraba el nรบmero 27972, que es un nรบmero palรญndromo, (un nรบmero que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda). Cuando llego a su destino, la lectura del kilometraje era otro palรญndromo. Si Amalia jamรกs excediรณ el lรญmite de velocidad de 75 km/hr. ยฟcuรกl de los siguientes nรบmeros representa el promedio de velocidad de Amalia en el paseo?
a. 50 b. 55 c. 60 d. 65 e. 70 10. Sรญ a.b = 17 quรฉ puede decirse de los enteros a y b?
11. Juego Interactivo: A continuaciรณn vamos a jugar con los nรบmeros Reales. Entra al
siguiente enlace:
https://view.genial.ly/5bb134df0c96e06f5f3852d3/interactive-content-numeros-reales
Solo hay que jugar, no debe enviar evidencia de este punto.
GUIA 2: POTENCIACION DE NUMEROS REALES Y SU PROPIEDADES
REPASEMOS LO VISTO ANTERIORMENTEโฆ
ยฟQuรฉ es una potencia?
Una potencia cuya base es un nรบmero entero y cuyo exponente es un nรบmero natural, es un
producto de factores iguales.
La base, a, es el factor que se repite. El exponente, n, indica el nรบmero de veces que se repite
la base y el resultado es la potencia.
Ejemplos:
๐๐ = 3. 3. 3. 3. 3 = 243
(โ๐)๐= -2.-2.-2.-2 = 16
๐๐ = 0.0 = 0
๐๐ = 1 (este es un caso especial, ya que no podemos multiplicar un nรบmero por sรญ mismo 0
veces)
Signos de una potencia
Al calcular potencias de base de un nรบmero entero, preste atenciรณn al signo de la base y al exponente. Tambiรฉn debe distinguir a quรฉ nรบmero exactamente estรก afectando la potencia.
En general cualquier potencia de un nรบmero positivo serรก positiva y el opuesto de esa potencia serรก siempre negativo.
Si la base es negativa y el exponente par o cero, el valor de la potencia serรก positivo.
Pero si la base es negativa y el exponente es impar, el valor de la potencia serรก negativo.
Ejemplos:
๐๐ = 81
๐๐ = 27
(โ๐)๐ = 256
๐๐ = 256
โ๐๐ = -256 (se trata del opuesto de la potencia anterior)
-
PROPIEDADES DE LA POTENCIACION DE NUMEROS REALES
1. Producto de potencias de igual base: El producto de potencias de igual base es otra
potencia de la misma base cuyo exponente es la suma de los exponentes de los
factores. Ejemplos:
2. Cociente de potencias de igual base: El cociente de potencias de igual base es otra
potencia cuyo exponente es la diferencia del exponente del dividendo y el exponente
del divisor. Ejemplos:
3. Potencia de potencia: La potencia de potencias es otra potencia de la misma base cuyo
exponente es el producto de los exponentes de las potencias.
Ejemplos:
4. Potencia de un producto: La potencia de un producto es igual al producto de las
potencias de cada factor con el mismo exponente. Ejemplos:
5. Potencia de un cociente: La potencia de un cociente es otro cociente entre la potencia
del dividendo y la potencia del divisor con el mismo exponente. Ejemplos:
6. Potencia con exponente cero: La potencia de una cantidad con exponente cero es igual
a la unidad. Ejemplos:
7. Potencia con exponente negativo: Toda potencia con exponente negativo es igual a la
inversa de la base con exponente positivo. Ejemplos:
8. Potencia con exponente 1: Toda potencia con exponente negativo es igual a la inversa
de la base con exponente positivo. Ejemplos:
1) ๐๐๐ = 12 2) ๐๐๐ = 70
Puede reforzar este tema viendo el video:
https://www.youtube.com/watch?v=fCiQKJP5BlQ
TALLER 2
1. Escriba cada expresiรณn con exponente positivo
a. ๐
๐.๐.๐ = b. 2y. 2y. 2y. 2y = c.
๐
๐.
๐
๐ =
2. Simplifique y elimine cualquier exponente negativo
a. ๐๐๐โ๐ b. ๐โ๐๐๐๐๐ c. (๐๐๐)(โ๐๐๐โ๐)
d. ๐โ๐๐โ๐๐๐๐โ๐
๐โ๐๐๐๐โ๐๐โ๐
3. Determine si el nรบmero dado es positivo o negativo al simplificarlo, usando las leyes de los exponentes.
a. (โ๐)โ๐(๐โ๐)
b. (โ๐)โ๐(โ๐)๐(โ๐)๐ c. [๐๐โ๐(โ๐๐)๐(โ๐๐)โ๐] d. [(โ๐)โ๐]โ๐
e. 4. Simplifique la expresiรณn usando las leyes de los exponentes:
a.
b.
5. Hallar el valor del exponente o de la base segรบn corresponda:
a. (๐)๐ = 64
b. (๐)๐ = -27
c. (๐)๐. (๐)๐= 256
d. (โ๐)๐ = 625e.
6. Hallar una expresiรณn para el รกrea de cada figura
7. Resuelva los siguientes problemas
a. Una bacteria colocada en cierto medio, se reproduce cada hora. Se sabe que en
la primera hora dio origen a 2 bacterias, en la segunda a 4 y en la tercera a 8
ยฟCuรกntas reproduce cada hora? ยฟCuรกntas horas han transcurrido cuando llega a
reproducir 512 bacterias?
b. Una bacteria colocada en cierto medio se triplica cada hora. ยฟCuรกntas horas han
transcurrido cuando llega a reproducir 81 bacterias? ยฟCuรกntas horas han
trascurrido cuando llega a reproducir 243 bacterias?
AUTOEVALUACION
1. Simplifica las siguientes expresiones
a. ( 222 )yx ( 3)yx
b. 2
52
4
44
c. 3
5
3
5
b
a/
4
3
9
10
b
a
d. 2
222
2
23
a
aaa
e. ((52)0)3
f. 2
2
2
2ยท26
52
2. Hallar el valor de x aplicando las propiedades de los exponentes:
a.
b. 2x 22 = 29
c. xa
a 25a
d. 41
*3
2
x
x
3. Efectรบa las operaciones y exprese el resultado sin exponentes negativos.
a. ()4(
)2(3
32
yx
yx
b. ( 2223 ) pnm
c. 32
213
4
2
ba
ba
PROBLEMAS EN FAMILIA
1. Partiendo de cualquier casilla blanca de la fila inferior, buscar un camino, realizando
el movimiento de la dama sabiendo que el movimiento en el sentido de esta flecha
divide y el movimiento en el sentido de esta flecha multiplica, hasta salir por
una de las casillas superiores con el resultado igual a 1.
Escriba las operaciones que realizo para llegar a 1
2. De la misma manera realรญcelo con el siguiente cuadrado
GUIA 3: RADICALES Y OPERACIONES
Observe los siguientes videos: Simplificaciรณn de Radicales
https://www.youtube.com/watch?v=2HachLBuoZo&list=PLeySRPnY35dEhgikNGJjXZUOpWGt6LGzn
https://www.youtube.com/watch?v=-EMjsWjPDLM&list=PLeySRPnY35dEhgikNGJjXZUOpWGt6LGzn&index=2
https://www.youtube.com/watch?v=qSRMjsanmuU&list=PLeySRPnY35dEhgikNGJjXZUOpWGt6LGzn&index=3
Es importante observar los videos propuesto en este taller, entre otros.
Taller 3
1. Resuelva las siguientes simplificaciones de radicales
a. โ64 2
๐. โโ8๐ฅ3 3 ๐. โโ32 ๐ฅ10๐ฆ205
d. โ81๐ฅ4๐ฆ122 ๐. โ4๐ฅ7๐ฆ12๐ง114
๐. โ๐3
๐โ2
5
๐. โ๐โ4๐โ6
๐3๐2
6
โ. โ๐6๐8๐216 (Continua abajoโฆ)
Observe los siguientes videos que le clarificarรกn los temas, obsรฉrvelos en el orden que estรกn, pues se va explicando desde el caso uno:
https://www.youtube.com/watch?v=PUjZCFUzlUQ
https://www.youtube.com/watch?v=pqdgom7q44A
Lee el siguiente texto y busca el significado de las palabras que no entiendes y anรฉxalas al diccionario matemรกtico. Radicales semejantes: Dos radicales son semejantes si son del mismo รญndice y la expresiรณn
subradical es tambiรฉn la misma. Ejemplo: los radicales 2โ3 , โ5โ3 y 12โ3 son semejantes,
mientras que los radicales 3โ5 y โ8โ3 no son semejantes. En consecuencia, sumar radicales es tener en cuenta los radicales que son semejantes.
Ejemplo 1: 3โ7 + 10โ7 โ 15โ7 = โ2โ7
Ejemplo 2: 4โ3 โ 8โ5 โ โ3 + 12โ5 = 3โ3 + 4โ5 Para multiplicar radicales del mismo รญndice, solo habrรก que tener en cuenta la siguiente
propiedad de los radicales: โ๐๐
. โ๐๐
= โ๐๐๐
y luego simplificar, es decir se multiplica lo que este dentro del radical con lo que este dentro del otro radical y lo que este fuera del radical con lo que este fuera del otro radical. Pero, cรณmo se hace cuando los radicales tienen distinto รญndice? Recordemos otra de las
propiedades de los radicales: โ๐๐
= โ๐๐ก๐๐ก. Aprovechando esta โgangaโ podemos reducir
los radicales a un รญndice comรบn y solucionado el problema, es decir, es necesario escribirlos con el mismo รญndice y luego procedemos como en el caso anterior.
Ejemplo: โ๐ฅ23 โ๐ฅ = โ(๐ฅ2)26
โ๐ฅ36= โ๐ฅ46
โ๐ฅ36= โ๐ฅ76
= โ๐ฅ6๐ฅ6
= โ๐ฅ66 โ๐ฅ
6= ๐ฅ โ๐ฅ
6
Continuaciรณn Taller 3
2. Con base en la lectura responda lo siguiente: a. Explica con tus palabras el procedimiento para multiplicar radicales que tienen diferente
รญndice. Da ejemplos. b. Que quiere decir que dos radicales sean semejantes?
c. Los radicales โ50 y โ18, serรกn semejantes? o, podrรกn serlo? Cรณmo?
d. โ245
โ12 = ?
3. Resuelva los siguientes ejercicios y simplifique el resultado ๐. 6โ18 โ 4โ200 + 7โ32 โ 2โ50 = ? ๐. โ16๐ฅ โ 4โ36๐ฅ + 2โ9๐ฅ = ? ๐. 3โ20 โ 7โ45 + 10โ80 + 9โ48 = ? e. 5โ12 + 2โ27 โ 7โ48 โ 3โ75 + 6โ108 = ยฟ ? f. 2โ14 * โ21=
g. โ๐4๐2๐3
โ๐๐๐33 = ?
h. โ๐ฅ3๐ฆ2 4
โ๐ฅ2๐ฆ5 3
=?
i. โ2 โ33
โ44
= ยฟ ?
j. (โ๐ฅ โ โ๐ฆ)2
=ยฟ ?
k. (โ2 + โ5)2
= ?
AUTOEVALUACION
Efectรบe las operaciones indicadas y simplifique los resultados:
1. Reducir a tรฉrminos semejantes y resolver 24427312548
2. Simplificar
5 12151032 cba
3. Al multiplicar yx4
2 * y6 * x512
4. Al multiplicar *2ab 3 3b
5. La expresiรณn 53 102427 es igual a:
Cordialmente,
Ana Lucia Reina L.
Docente Matemรกtica
Telรฉfono- WhatsApp 3163912388
โEl hombre feliz no es el hombre que rรญe, sino aquel cuya alma, llena de alegrรญa y confianza, se sobrepone y es superior a los acontecimientosโ - Sรฉneca.