E1

Aritmética:Las propiedades Conmutativa y Asociativa de la Suma.

Actividades matemáticas

MALOKA-UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONALVIANY MARTINEZ MOJICA

JORGE ALEJANDRO RUIZ VEGARevisado por: JUAN CARLOS CUERVO

Marzo- Abril de 2010

DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD

En ésta actividad se pretende contextualizar a los participantes en el entorno de los Incas, en cuanto a su método de hacer sumas a través de la Yupana, de acuerdo a la propuesta realizada por William Burns Glynn, y de ésta manera se desea que los mismos puedan reconocer de una forma directa y práctica las propiedades conmutativa y asociativa de la suma.

CONEXIÓN CONTEXTUAL

De acuerdo a la definición de etnomatemática dada por el investigador Ubiratan D’Ambrosio como “la matemática que se practica entre grupos culturales identificables, tales como sociedades de tribus nacionales, grupos laborales, niños de cierto rango de edades, clases profesionales, niños de cierta edad, sociedades indígenas y otros tantos grupos que se identifican por objetivos y tradiciones comunes a los grupos”, se podría decir

que, a partir de la etnomatemática se comprende la construcción de pensamiento matemático en los diferentes grupos culturales.

Así mismo, es válido afirmar que la etnomatemática tiene ventajas en cuanto a la posibilidad de familiarizar al estudiante con los métodos utilizados por sus antepasados de modo que se incentive el estudio de las matemáticas en su propia cultura y no se lleve a cabo una postura totalmente occidental.

Es así que para la presente actividad se tomará como punto de referencia la aritmética de los incas y el hecho de que su desarrollo no se circunscribió solamente al quipu. Debido a la dificultad de hacer y deshacer nudos, los quipucamayos se idearon otros procedimientos más simples de efectuar las operaciones aritméticas. Estos procedimientos están referidos a aquello que llama José de Acosta «quipu de granos de maíz» y que hoy se conoce con el nombre de «yupana». El término yupana se origina en la palabra quechua «yupay» que significa contar. Por consiguiente, se acepta la yupana como una sección del quipu, donde los nudos se sustituyen por objetos o semillas de distinta coloración. Los números en la yupana se escriben entonces en la misma forma que en el quipu.

Ahora bien, la yupana es un material que permite potenciar en los niños el desarrollo del pensamiento numérico, el cual es fundamental para la solución de problemas matemáticos que estén directamente relacionados con el manejo de unidades de medida, como la distancia, áreas, volúmenes y otros. Un pensamiento numérico altamente desarrollado permite comprender el significado de los números y sus diferentes representaciones. Sin embargo, para el contexto de Maloka y su ámbito de educación no formal, se hace énfasis en que la presente actividad está planteada para el público en general, de modo que el objetivo se basa en lograr que los participantes evidencien de una manera directa las propiedades Asociativa y Conmutativa de la suma.

Tomaremos para este caso el conjunto de los números naturales, en donde se definen las propiedades así:

PROPIEDAD ASOCIATIVA: Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a + b) + c = a + (b + c)

PROPIEDAD CONMUTATIVA: Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a + b = b + a

OBJETIVOS

Objetivo Pedagógico: Hacer uso de la Yupana, instrumento conocido como la tabla de cálculo de los Incas, para familiarizar a los participantes con el valor posicional de las cifras en la escritura de números y una operación numérica fundamental como la suma.

Objetivo Conceptual: Identificar las propiedades Conmutativa y Asociativa de la Suma, a través del uso de la Yupana.

PREPARACIÓN LOGÍSTICA

Cantidad esperada de participantes: 15 personas Tiempo estimado: 20 minutos

Organización del espacio: Se deben tener

LOS MATERIALES

6 Yupanas 120 Canicas (20 por cada Yupana)

Mesas

NORMAS DE SEGURIDAD

Los niños presentes en la actividad deben estar bajo la supervisión de un adulto para evitar el posible consumo o mal uso de las canicas.

DESCRIPCIÓN DE LA EXPERIENCIA

La actividad comienza con una inducción a los asistentes para familiarizarlos con la Yupana y el método de representación de números a través de ésta, tomando ventaja del manejo de la base 10 por parte de los Incas, y seguidamente se plantearían situaciones, donde los participantes deban usar como único método de escritura de números y de suma de dos, tres y más cantidades diferentes de algún elemento, a la Yupana.

Finalmente, se dejaría como inquietud a los participantes el interrogante respecto a cómo se podrían efectuar con la Yupana, otro tipo de operaciones como la multiplicación y la división.

EL DIÁLOGO

Se empiezan realizando las siguientes preguntas al público: ¿Recuerdan el ábaco? ¿Para que se utiliza el ábaco? ¿Alguien conoce el ábaco que utilizaron los incas?

A partir de las respuestas del público se muestra la Yupana como el ábaco utilizado por los incas y sus características, así:

La yupana es tomada en posición horizontal de la siguiente forma:

En las columnas: Cada punto tendrá el valor de "uno", y cada columna será 10 veces mayor a la que se

encuentra a su derecha inmediata, de modo que si se llena un punto que se encuentra en la segunda columna contando de derecha a izquierda, ésta tendrá un valor de 10.

En las filas: Las filas primera y última son determinantes de las cantidades, de modo que los puntos de la primera fila representan la memoria de las cantidades apuntadas, en tanto que las otras filas con casilleros de 3 y 2 puntos, son complementarias de la primera.

La última fila sintetiza al conjunto de las diez unidades de cada columna.

Para conservar un orden operativo, los puntos de la yupana se llenan de abajo hacia arriba.

Cada vez que se completen diez de los once puntos de una columna, se los puede representar con el punto único de la fila superior y para no confundirse, se barren todos y se vacía la columna para colocar ese punto único como uno en la columna siguiente.

Luego se realizan ejemplos de representaciones de números en la yupana (escogidos por el público).

Por ejemplo:

EXPERIMENTACIÓN Y DESCUBRIMIENTO

Sección 1: Representación de Números.

A continuación se propondrá a los participantes que escriban una serie de números en la Yupana, de manera que sea posible evidenciar el grado de comprensión respecto a la representación de los mismos mediante éste mecanismo.

Para ello, se ejemplificarán progresivamente varios números, de manera que inicialmente se mostrarán cantidades como 3, 5, 10 y seguidamente se irán incrementando las decenas y las centenas de modo que los participantes se familiaricen con la escritura en la Yupana.

Es así que se espera llegar a representación de números como 437 y 690, los cuales se muestran a continuación:

Finalmente, una vez culminada la sección de ejemplos de representación de números, se procederá a la ejemplificación de sumas con el uso de la Yupana.

Sección 2: Suma de Números (Propiedad Conmutativa).

Para este fin, se comenzará con sumas sencillas como 2+2, 7+1, 5+4, de modo que el resultado final no se pase de la primera columna correspondiente a las unidades, es decir

sumas cuyo resultado sea menor o igual a 10.

Luego, se abordarán sumas con números mayores, de modo que se involucren las decenas, y por ende haya que hacer cambios de una columna a otra, en cuanto a la posición de las canicas en la Yupana. Para ello, se ejemplificarán sumas como 15+ 3, 11+9, 17+ 12, 24+37, etc.

Igualmente es válido aclarar, que en ésta sección de la actividad correspondiente a las sumas, a medida que se vayan presentando los ejemplos, también se propondrá a los participantes que ellos realicen algunas de las sumas planteadas, y se enfatizará en el hecho de que no importa cuál de los números sea posicionado en la Yupana y cuál fuera de ésta, ya que el resultado final siempre va a ser el mismo, gracias a la propiedad conmutativa de la suma.

Por consiguiente, se espera finalizar con sumas de éste estilo:

Sección 3: Suma de Números (Propiedad Asociativa).

Para esta última sección, simplemente se propondrán sumas de a tres cantidades, como por ejemplo:

2+6+1 5+8+3 12+5+9 24+18+15

En este sentido, se pretende que los participantes puedan evidenciar que no importa en qué orden tomen la suma de las tres cantidades, es decir, teniendo en cuenta el primer ejemplo, (2+6+1), y como deben usar sólo una Yupana, pueden sumar primero 2+1 y a ese resultado le suman 6, o pueden tomar cualquier otro orden y el resultado final será el mismo, ésta vez gracias también a la propiedad asociativa de la suma.

LA REFLEXIÓN

Se dejarán como inquietudes a los participantes, planteamientos referentes a cómo se podrían realizar restas u otro tipo de operaciones entre números naturales con la Yupana, y así mismo, se validará la metodología usada por los incas para resolver éste tipo de problemas aritméticos, y cómo el hombre poco a poco ha ido evolucionando en el uso de herramientas y métodos que le permitan mejorar su calidad de vida hasta llegar a nuestros tiempos.

ANEXOS

REFERENCIAS:

BOUSANY, Y. Yupanchis: la matemática inca y su incorporación a la clase. 2008.

CALVINO, R. Acerca de la Yupana calendárica. 2009.

PAREJA, D. Instrumentos prehispánicos de cálculo: el quipu y la Yupana. Revista integración, Departamento de Matemáticas VIS, Vol. 4, No. 1. 1986.

LUQUE C., MORA L., y PÁEZ J. Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: Contar e Inducir, Universidad pedagógica nacional, 2002.

E2

Geometría:Teselados presentes en la cestería Vaupés y Sikuani

Actividades matemáticas

MALOKA-UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONALVIANY MARTINEZ MOJICA

JORGE ALEJANDRO RUIZ VEGARevisado por: JUAN CARLOS CUERVO

Abril-Mayo de 2010

DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD

En ésta actividad se pretende familiarizar a los participantes con el concepto de Teselado y habituarlos con algunos de ellos presentes en la cestería de las culturas Vaupés y Sikuani. Para ello se exhibirán imágenes de aquellos tejidos y se les realizará una actividad con polígonos regulares, de modo que los asistentes puedan construir algunos teselados a partir de esas figuras geométricas y puedan indagar respecto a cómo se podrían generar los teselados presentes en los ejemplos mostrados. De ésta manera, se hará una aproximación a la Matemática del Teselado a partir de las mencionadas cesterías.

CONEXIÓN CONTEXTUAL

Cualquier movimiento (traslación, giro, reflexión) y cualquier homotecia (ampliación/reducción) de una figura conserva su forma. Esto permite su rápido reconocimiento visual, incluso aunque la orientación haya variado, a la vez que evita la repetición exacta del motivo.

Todas esas transformaciones son experimentadas, visualmente, todos los días. Nuestro propio cuerpo (al menos externamente), y el de muchos seres o partes de seres vivos, está dotado de una fuerte simetría. La parte izquierda parece reflejarse en la derecha, o viceversa.

Las traslaciones y los giros los observamos cada vez que vemos un objeto desplazarse o girar respecto a nosotros. Nadie duda que se trate realmente del mismo objeto, a pesar de ocupar una nueva posición visual.

Las simetrías permiten trasladar un motivo o patrón en el espacio, como sucede en los teselados.

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TESELAR

Los teselados son los diseños de figuras geométricas que por sí mismas o en combinación cubren una superficie plana sin dejar huecos ni superponerse.

Las  antiguas civilizaciones  utilizaban teselados para la construcción de casas y templos cerca del año 4000 A.C. Para ese mismo tiempo los sumerios realizaban decoraciones con mosaicos que formaban modelos geométricos. El material usado era arcilla cocida que coloreaban y esmaltaban. Posteriormente otros grupos (persas, los moros y los musulmanes) demostraron maestría en este tipo de trabajo. La palabra teselado proviene de “tessellae”. Así llamaban los romanos a las construcciones y pavimentos de su ciudad.

Una teselación debe cubrir una superficie plana con piezas (polígonos regulares, diseños especiales, polígonos irregulares…) que no deben superponerse y tampoco dejar espacios vacíos. Todo esto es posible si el ángulo diédrico formado por las piezas que concurren a un mismo vértice suman 360º.

La notación utilizada para identificar los teselados utiliza como base el número de lados de cada uno de los polígonos que concurren a un mismo vértice dispuestos en sentido contrario a las manecillas del reloj. Tomemos como ejemplo el teselado de un cuadrado, este se puede expresar de las siguientes formas siendo todas equivalentes.

Los teselados los podemos clasificar en teselados regulares, semirregulares, demirregulares e irregulares, veamos a continuación las características de cada uno de ellos.

Para calcular si un teselado es regular el valor del ángulo interior del polígono debe ser divisor del ángulo Diédrico (360º). Para calcular la suma de los ángulos internos de un polígono debemos conocer el número de lados y el valor del ángulo interno.n(n − 2)180

TESELADOS REGULARES

Un teselado regular debe cubrir toda una superficie con un solo tipo de polígono regular, sin que se sobrepongan y sin dejar espacios vacíos. Esto nos permite deducir que los polígonos que cumplen esta condición deben ser divisores de 360º, el ángulo Diédrico que deben cubrir.

TESELADOS SEMIRREGULARES

Los teselados semirregulares cubren toda una superficie con dos o más polígonos regulares, sin que se sobrepongan y sin dejar espacios vacíos. La suma de los ángulos de los polígonos regulares que concurren a un mismo vértice deben sumar 360º y siempre deben concurrir los mismos polígonos en cada uno de los vértices de la teselación.

SIMETRÍA PLANA   Cuando tenemos figuras planas podemos observar como quedan si las trasladamos, las giramos o las volcamos. Una traslación mueve puntos en una dirección determinada y a una distancia fija. Todo se conserva, menos la posición.Un giro hace que respecto a un centro todos los otros puntos se desplacen, según un arco de círculo, un determinado ángulo. Si hacemos una vuelta es como si no hubiéramos hecho nada. Si al hacer media vuelta la figura queda igual diremos que tiene simetría central, y diremos que hay simetría cíclica si la figura sólo queda igual cuando giramos un ángulo divisor de 360º (un tercio de vuelta, un cuarto de vuelta,...).Una simetría axial consiste en fijar una recta o eje y hacer corresponder a cada punto otro situado idénticamente al primero respecto a esta recta. Una foto de nuestra cara  hecha de frente presenta un solo eje de simetría y se dice que tenemos simetría bilateral.Una figura como el cuadrado tiene 4 ejes de simetría. Las figuras que tienen tantas simetrías axiales como giros que las dejan invariantes se dice que tienen simetría diedral (ver figura). 

 La simetría axial es la reina de las transformaciones: si hacemos dos simetrías de ejes paralelos aparece una traslación y si los ejes se cruzan aparece un giro. Así, con las simetrías se generan todas las transformaciones. Además, una simetría tiene una virtud muy extraña: cambia la orientación. Pintamos un eje y a la derecha un reloj. Dibujamos su simétrico a la izquierda. Cuando pensamos en cómo se mueven las agujas de reloj originales vemos que las agujas simétricas van al revés, ¡a contratiempo!.

SIKUANI

Después de haber sido una de las poblaciones nómades de cazadores recolectores de los Llanos Orientales, los grupos de habla Guahibo (Sikuani, Cuiba, Guayabero, Hitnu), a partir del siglo XVIII se han venido asentando en las vegas de los grandes ríos, despobladas de sus habitantes originales por los efectos de las conquistas y las misiones. En este proceso de ocupación de uno de los paisajes llaneros más ricos en recursos, los Guahibos, y en particular los Sikuani, han adoptado técnicas y tradiciones de los Arawak (Achagua, Piapoco) y en parte han fusionado sus efectivos. Así, la horticultura es hoy una de las principales actividades de los grupos sikuani, desde la región del alto Meta, hasta el Vichada y Orinoco.

Aunque los sikuani se identifican como gente de sabana en contraposición a la gente de la selva (caribes, piaroas, curripacos), la mayor parte de su sustento proviene del río y de la selva de galería que se extiende a lo largo de sus vegas.

La tumba y quema de los conucos, la cacería y la pesca son las principales actividades masculinas. Las mujeres siembran y cosechan los productos de la chagra, participan en la pesca con barbasco y colectan insectos y pepas de monte.

Diseños en las guapas sikuani

namokobetjei: "palma de la mano del zorro" (rastro del zorro)

El diseño básico que se reproduce varias veces en toda la guapa es una cruz encerrada en un cuadro. El zorro es para los sikuani un animal de mal agüero. El verlo o escucharlo es presagio de alguna desgracia. Zorro es también el nombre que se da al mensajero que convoca al ritual de enterramiento, lo mismo que al instrumento que hace sonar cuando se aproxima a un poblado. Es una flauta de yarumo, de un solo tono y en cuyo extremo se dispone un pequeño zorro tallado en madera.

yamajü wakapa itane: "dibujo de la macana del rayo"

Este diseño proviene de cuando Tsamani, el héroe cultural, convertido en lagartija, tuvo que aprenderlo para sustituir la macana con que el rayo mataba la gente, por un ejemplar inofensivo. Se forma con una serie de líneas barradas, encajadas unas en otras. Es el diseño que usan los chamanes en sus macanas rituales.

tsawaliwali tofere: "nido de tsawaliwali" o jomowabi tofere: "nido de guío"

El diseño consiste en grecas cuadradas en toda la extensión de la guapa.

iwidakami

Dibujo usado en el banquito del ritual del rezo de pescado sobre el cual se debe sentar la muchacha púber durante la ceremonia. Tiene un efecto defensivo contra los seres del agua, ainawi. El diseño consiste en grecas entrelazadas. Esta figura básica recuerda el número siete, el cual en la nueva numeración decimal sikuani se denomina iwi.

OBJETIVOS

Objetivo Pedagógico: Definir y mostrar que es un teselado desde la Matemática y la estética, a través de ejemplos presentes en la cestería Vaupés y Sikuani, y familiarizar a los asistentes con la construcción de teselados regulares y semirregulares a partir de algunos polígonos como el triángulo, cuadrado, hexágono y dodecágono.

Objetivo Conceptual: Reconocer la simetría presente en los Teselados y algunos de los principios básicos para su construcción.

PREPARACIÓN LOGÍSTICA

Cantidad esperada de participantes: 16 personas Tiempo estimado: 40 minutos

Organización del espacio: Una sala exclusiva para la actividad

LOS MATERIALES

6 MesasFiguras geométricas

HojasLápices y Colores

Tijeras

NORMAS DE SEGURIDAD

Tener precaución con los objetos corto punzantes como las tijeras.

DESCRIPCIÓN DE LA EXPERIENCIA

La actividad comienza preguntando sobre lo que es un teselado, luego se da su definición y se muestran algunos ejemplos. Los participantes deberán realizar teselados regulares y semirregulares a partir de figuras geométricas dadas; finalmente se les mostrarán ejemplos de teselados presentes en la cestería Vaupés y de los Sikuani para que los participantes indaguen sobre como podrían construirlos a partir de ciertas figuras.

Por ultimo se deja como pregunta si solo se pueden generar teselados a partir de figuras regulares.

EL DIÁLOGO

La actividad inicia preguntando a los participantes si saben que es un teselado. A continuación se les hará una pequeña introducción respecto a éste concepto, mencionándoles que un teselado simplemente es una figura con la cuál es posible tapizar o cubrir todo un plano sin dejar espacios. Para ello se les brindará el ejemplo más sencillo con un cuadrado, de modo que los participantes noten que las baldosas (cuadradas) de un suelo son una muestra de lo que es un teselado.

Luego de ésta contextualización, se procederá a realizar la actividad con figuras geométricas, descrita en la siguiente sección de experimentación y descubrimiento, motivando a los participantes a descubrir de qué otro modo se puede teselar el plano a partir de otras figuras geométricas además del cuadrado.

Seguidamente, se mostrarán imágenes de algunos de los tejidos presentes en la cestería de las culturas Vaupés y Sikuani, los cuales evidencian una serie de figuras simétricas con las que es posible cubrir todo el plano para que los participantes puedan realizar esas mismas figuras o similares. Así mismo se hará una breve contextualización de éstas culturas, mencionando que son tribus nacionales que en el caso de los Sikuani se encuentran localizados geográficamente en la región de los llanos orientales desde la región del alto Meta, hasta el Vichada y el Orinoco.

EXPERIMENTACIÓN Y

DESCUBRIMIENTO

Etapa1: Teselados Regulares.

Inicialmente, se brindará a los participantes diferentes figuras geométricas regulares como triángulos, hexágonos y dodecágonos, para que ellos descubran con cuales de ellas se puede teselar el plano de un modo similar al cuadrado, es decir, repitiendo únicamente una sola figura.

Etapa2: Teselados Semirregulares.

A continuación se distribuirá a los participantes un conjunto de cuadrados y hexágonos, para que por ellos mismos traten de descubrir cómo se puede cubrir todo el plano a partir de éstas 2 figuras. El ideal es que logren completar el siguiente primer teselado regular:

Seguidamente, se proveerán nuevas combinaciones de figuras como cuadrado y triángulo, hexágono y triángulo, y dodecágono y triángulo, de modo que los asistentes puedan intentar con ellas para llegar a los siguientes teselados. No obstante, es válido aclarar que en la medida que los asistentes presenten facilidad o dificultad para realizar la actividad, se otorgará secuencialmente ayuda por parte de los instructores. Así mismo, en los siguientes ejemplos la notación numérica hace referencia a la disposición de las figuras para formar el teselado, de modo que en cada vértice o punto de concurrencia de los diferentes polígonos se presente la misma secuencia. Es así que cada número representa la cantidad de lados de su correspondiente polígono de manera que en el primer ejemplo se tiene una secuencia de triángulo-triángulo-triángulo-cuadrado-cuadrado, pero en vez de escribir el nombre del polígono, se nota el número que representa su cantidad de lados obteniendo así 3-3-3-4-4. De una manera similar en el tercer ejemplo se tiene hexágono-triángulo-hexágono-triángulo, que corresponde a 3-6-3-6. Sin embargo, el orden de esta secuencia es relativo al polígono que se tome para empezar a contar, de tal forma que para el primer ejemplo, si empezamos a contar desde el triángulo del centro, el orden sería 3-3-4-4-3, pero como se tiene una secuencia cíclica, el teselado al que hacen referencia las notaciones 3-3-3-4-4, o 3-3-4-4-3, o 4-4-3-3-3, es el mismo.

Finalmente, se propondrá el reto a los asistentes de que construyan un teselado del plano con una combinación de tres figuras diferentes, las cuales podrán escoger entre estas cuatro opciones: cuadrado, triángulo, hexágono y dodecágono. El ideal es que lleguen a construir los dos últimos teselado mostrados a continuación:

Etapa 3: Teselados en la cestería Vaupés y Sikuani

Se entregará a los asistentes diferentes diseños presentes en la cestería del Vaupés y de los Sikuani para que ellos puedan realizarlos por medio de teselados reconociendo la(s) figura(s) que deben repetir.

Los diseños que se entregarán son los siguientes:

LA REFLEXIÓN

En éste último apartado se retomarán las aplicaciones de los teselados presentes en la cestería Vaupés y Sikuaní, haciendo énfasis en que éstas son un caso especial de los mismos, muchas de las cuales se pueden apreciar como el teselado más sencillo, a partir de únicamente cuadrados, con la salvedad de que cada uno de ellos presenta una figura en su interior, la cual permite generar otro tipo de simetrías.

Igualmente, se resaltará la importancia de nuestras culturas patrias y sus conocimientos matemáticos propios, que por el hecho de no estar dentro de un marco del lenguaje occidental, no dejan de ser válidos, y representan uno de los claros ejemplos que menciona Alan Bishop en cuanto a las diferentes etnomatemáticas presentes de acuerdo al grupo socio-cultural que se determine.

Por último, se dejará como inquietud a los participantes si es posible construir teselados con figuras que no sean regulares de modo que se tenga una simetría similar a la presentada por los mismos a partir de polígonos regulares.

REFERENCIAS:

http://www.oni.escuelas.edu.ar/2002/BUENOS_AIRES/infinito/ teselado.htm

http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Cultura/Musika/GeoMusical1/ GeoMusical1.asp

http://www.educared.net/concurso2003/1095/webconcurso/webconcurso/hablamos_simetria.htm