ACTIVIDADES PARA EVALUAR LA Unidad IV

Plantear, desarrollar y encontrar el resultado de problemas ejemplos relacionados con:

a) Prueba de hipótesis. Cinco ejemplos.b) Tamaño de la muestra. (Resolver los problemas de la tarea-

examen 1, 2 y 3, y cumplir con la actividad de la tarea-examen complemento, según indicaciones de las láminas 37 y 38, Unidad IV.)

c) Distribución t de Student. Seis ejemplos.d) Distribución X 2. Cinco ejemplos.e) Distribución F. Cinco ejemplos.

Fecha de entrega: Mayo 14, 2014.

NOTA: Sobra recordar que el trabajo es individual y el problema deberá estar relacionado con el perfil de su carrera de formación profesional (IC, IE o II). Además, usar equipo de cómputo para escribir e imprimir sus actividades.

Prueba de hipótesis.

1.Una marca de capacitores afirma que, como máximo, el 6% de los

capacitores tienen fallas. Se eligieron 300 capacitores al azar y se

detectaron 21 con fallas.

Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la afirmación

de la marca?

Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:

H0 : p ≤ 0.06

H1 : p >0.06

Zona de aceptación

α = 0.01      zα = 2.33.

Determinamos el intervalo de confianza:

Verificación.

Decisión

Aceptamos la hipótesis nula H0. Con un nivel de significación

del 1%.

Si se mantiene el porcentaje muestral de los capacitores con fallas y

1-α = 0.95, ¿qué tamaño muestral se necesitaría para estimar la

proporción de nueces con un error menor del 1% por ciento?

1 - α = 0, 9 5z  α /2 = 1, 96

2.- El personal de una fábrica de componente electrónicos realizó una prueba en base a sus productos, y los ingenieros encargados afirman que el promedio de los resultados, sobre una base de 100, fue de 76. El director corporativo pone en duda dicha afirmación, por lo cual se toma una muestra aleatoria de 400 prodcutos producidos cuya media fue de 74 con desviación estandar de 16.

Probar la hipótesis con un nivel de significación del 1%.

Solución.

Datos:  ;      ;  x(media)= 74  ;    (desviación estandar de la población)=16

                  Ho :   = 76  (Hipótesis nula)

                  Ha :      76 (Hipótesis alternativa)

Nivel de significancia.               = 0.01

 

                            

3.- Un circuito electrónico construido por alumnos del tec detectan una falla en los LED´s que: duran muy poco tiempo encendidos, normalmente con una media de 22 horas y desviación estándar de 6 horas. Respecto al defecto de los LED´s, un profesor de la materia  cree que la media es mayor y para probar su hipótesis toma una muestra de 64 LED´s de diferentes modelos(brillantes, de colores, blancos, etc.), obteniendo como resultado una media de 25. Si se utiliza un nivel de significación del 5%. Verifique si la afirmación es realmente cierta.Datos:

n = 64

a = 5% = 0,05

Solución:H0: ( = 22H1: ( > 22

a = 0,05 

4. Los alumnos de ingenieria realizan un dispositivo para evitar el exceso de velocidad en las calles.Tras realizar una campaña publicitaria, se toma la muestra de 1 000 habitantes, de los cuales, 25 no conocían el producto. A un nivel de significación del 1% ¿apoya el estudio las siguientes hipótesis?

a. Más del 3% de la población no conoce el nuevo producto. b. Menos del 2% de la población no conoce el nuevo producto

Datos:

n = 1000x = 25

Donde:x = ocurrenciasn = observaciones

= proporción de la muestra

= proporción propuestaSolución:a)

H0 : p= p0     

H1 : p< p0     

a = 0,01 

b)

H0 : p= p0     

H1 : p< p0     

a = 0,01 

5.- En el laboratorio de Electrónica se llevo acabo un proyecto donde se tenían que comprobar el valor de las resistencias (ya que como se sabe, casi unca cumplen con el valor que tiene marcado y por eso usan las tolerancias) donde el valor en su desviación de 2,4. Para una muestra de 36 estudiantes(y resistencias) se obtuvo una nota media de

5,6. ¿Sirven estos datos para confirmar la hipótesis de que la medida de la resistencia es 6, con un nivel de confianza del 95%?

H0 : μ = 6   

H1 : μ ≠ 6       

Para α = 0.05, le corresponde un valor crítico:  zα/2 = 1.96.

Determinamos el intervalo de confianza para la media:

(6-1,96 ·  0,4 ; 6+1,96 ·  0,4) = (5,22 ; 6,78)

Valor obtenido de la media de la muestra:  5,6 .

Aceptamos la hipótesis nula H 0, con un nivel de significación

del 5%.

Tarea examen

Demostrar que n=Z2P q/E2

Es igual a:

E=Z√Pq/n

2. Una empresa que fabrica reproductores de discos compactos, utiliza una Diversidad de pruebas amplias para evaluar el funcionamiento de los productos.

Todos los reproductores de discos compactos deben pasar todas las pruebas Antes de su comercialización. Una muestra aleatoria de 500 reproductores obtiene. Como resultado la falla de 15 reproductores, en una o más pruebas. Determinar el Intervalo de confianza de 95% para la proporción de los reproductores de discos Compactos de la población (P) que no pasan las pruebas. Considerar p ± 𝑧 en la

Solución

n = 21% E=Z√Pq/n E=0.8289

√(¿0.03)(15)/500¿

p = 15/500

Z (0.95) = 0.8289 E=4.3 x10-3

n =(0.8289)2(0.03)/0.95%=0.021%

0.0237<P<0.0376

3. A partir de una muestra de 400 pilas AA fabricadas por Eveready, se determinaron 20 de ellas con defectos de calidad. Si la proporción de pilas defectuosas en la muestra se emplea para estimar P, que representaría la proporción real de las pilas defectuosas A fabricadas, encontrar el error de estimación (o precisión, ε), tal que se pueda tener 90% de confianza en que P se localiza a menos

De ε de p. Considerar p ± ε

Solución E=Z√Pq/n

p = x/n = 0.05

Z (0.90)=0.8159 E=0.8159√ (0.05 ) ¿¿20)/400=9.1 X10-3

ε ¿ z √ pqn =1.96√ (0.05 )(0.95)400

=0.021

p± ε=0.05±0.021

Distribucion t de student

1). Los valores de las ganancias del IPhone tienen un comportamiento aproximadamente normal, donde el promedio es de 2.100.000. Se seleccionan 8 liquidaciones, siendo los valores los siguientes: 1.950.000, 2.100.000, 2.250.000, 1.890.000, 2.250.000, 1.950.000, 2.050.000, 2.350.000. Determine la probabilidad de que:

· El promedio sea menor de 2.000.000.

· El promedio se encuentre entre 2.000.000 y 2.200.000

· El promedio sea mayor o igual a 2.500.000

Solución:Sea X = Liquidación matriculas.m = 2.100.000 s =? =2.098.750 s=168.644.8085 n=8a) P (<2.000.000) =P (<2.000.000)P (t< (2.000.000-2.100.000)/ (168644.8085/2.8284)= P (t<-1.677)La probabilidad se encuentra entre 0.9 y 0.95, según la tabla T que se encuentra más adelante, no obstante, al t ser negativo, la probabilidad está entre 0.1 y 0.05, es decir, los valores complementarios..Para buscar en la tabla, se tiene en cuenta la fila con 7 gl y se ubica el 1.677, el cual se encuentra entre los valores mencionados.b) P (2.000.000 << 2.200.000)= P (<2.200.000)? P (£ 2.000.000).Luego de tipificar, se tiene:P (t<3.35)? P (t<-1.677) = 0.995 ?0.075= 0.92Existe una alta probabilidad de que el promedio de las matriculas se encuentre entre 2.000.000 y 2.200.000.c) P (>2.500.000)= P (t> 6.70) = 1- P (t< 6.70)= 1-1=0Dado que el valor de 6.70 es mucho mayor que el ubicado en la tabla de 3.49 y corresponde a 0.995, es claro, entonces, que para valores mayores de 3.49, la probabilidad será de 1.Por lo tanto, la probabilidad de que el promedio de matricula sea superiora a 2.500.000 es cero.

2) Los Sueldos de un grupo de los ingenieros de mantenimiento de maquinaria de la empresa Ferromex se reducen con promedio de 50.2%, sin embargo, no se conoce la desviación. Se tomó una muestra de 9 ingenieros encontrando una varianza de 36 y un promedio de 52.0%.Cuál es la probabilidad de que el promedio:· Sea mayor de 54%?

· Sea menor que 54%?· Esté comprendido entre 48 y 52%?Solución manual:Sea X = porcentaje de sueldo.m = 50%s =? =52% s2=36 s=6 n=9a) P (>54)=1- P (t< (54-50)/ (6/3)) = 1- P (t<2) = 1- 0.9625 = 0.0375

1 – a

N 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995

1 1.000 1.376 1.963 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657

8 0.706 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355

Como se observa en la tabla, el 2.0 se encuentra entre 1.86 y 2.306, valores que corresponden a las áreas de 0.95 y 0.975. Realizando una estimación burda, se promedian los dos valores correspondientes a las áreas. Encontrando que la probabilidad de que el promedio del puntaje de ingenieros sea mayor de 54 es muy baja, 0.0375.c) P (<54)= P (t< (54-50)/ (6/3)) = P (t<2) = 0.9625. Por el contrario de lo anterior, es muy probable que el promedio del puntaje de los ingenieros sea menor de 54, dicha probabilidad equivale al 0.9625.d) P(48<>52)=P( <52)-P( <48)=P(t<(52-50)/(6/3))-P(t<(48-50)/(6/3))=P (t<1)- P (t<-1)= 0.825 (1-0.825) = 0.65La probabilidad es de 0.65. Se aprecia que al ser simétrica la distribución t, se calcula la probabilidad utilizando el inverso.

3). La longitud de los catodos de las resistencias de 20Ohms De Resistence Inc. tienen una media μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular la probabilidad de que en una muestra de tamaño n=25, la longitud media del fusible sea inferior a 20.5 mm: 

P (μ<20.5) 

Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t de n-1 grados de libertad 

T=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5 

P (μ<20.5) -->P (T<2.5) ~ t (24) 

P (T<2.5) = 0.9902 

P (μ<20.5)=0.9902 

La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 resistencia sea inferior a 20.5 mm es del 99.02

P=99.02%

4). La medida de un capacitor μ=10 faradios y desviación s=1 fararios calcular la probabilidad de que en una muestra de tamaño n=25, la medida media del capacitor sea inferior a 20.5 faradios:

P (μ<20.5)

Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t de n-1 grados de libertad

T=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5

P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)

P (T<2.5) = 0.9902

P (μ<20.5)=0.9902

La probabilidad que la medida media de la muestra de 25 capacitores sea inferior a 20.5 faradios es del 99.02%

5). Los alumnos de electrónica afirman que el tiempo de uso del focos durará un promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio los alumnos verificaran 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, los alumnos se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?:

520 521 511 513 510 U=500h.513 522 500 521 495 N=25496 488 500 502 512 NC=90%510 510 475 505 521 X=505.36506 503 487 493 500 S=12.07

SOLUCIÓN

α = 1-Nc = 10%

v = n-1 = 24

t = 2.22

6). El cilclo medio de vida operativa de una muestra aleatoria de 10 focos costruidos por estudiantes del tec victoria es de 4000 horas con la desviación estándar de la muestra de 200 horas. Se supone que el ciclo de vida operativo de los focos en grl tiene una distribución aproximadamente normal. Estimamos el ciclo medio de vida operativa de la población de los foco aplicando 95% de confianza.

sx= s

√μ gl-n -1

N=10

σ 2−∞ gl=10-1=9

S=200

X=4000 sx=s

√n=200

√10=63.29

∞=95%

I=4000+2.262(63.29)

Ls=4000+143.16=4143.16

Li=4000-143.16=3856.84

(3856.84,4143.19)

El ciclo de vida operativa de la aplicación va de los 3850 a 4143 horas.

Distribución X 2

1. La electrónica NEXOR concluye que sus bocina tendrán una vida útil de 10 años. Se elige una muestra entre los cuales tenemos: 11.8-9.7-10.5-12.1-13.3-13.4-10.3-8.5-15.0-10.5-7.6-6.3. Teniendo en cuenta una desviación de 1.2 años.

¿De acuerdo a lo anterior se puede corroborar que la desviación es de 1.2 años?

SOLUCIÓN

x2=(n−1 )∗s2

σ2

σ = 1.2

µ = 10

s = 2.53

n =12

V =11

x2 = 48.8

2.En la empresa Ducati se desea llevar a cabo la medición de varios componentes de sus transmiciones inteligentes, los resultados que producen. En una comprobación de, el cual se efectúa como parte del procedimiento, se analizó seis veces la mismos resultados. Los seis resultados en partes por millón fueron 9.54, 9.61, 9.32, 9.48, 9.70 y 9.26. Estimar la varianza de los resultados de la población para este estándar, usando un nivel de confianza del 90%.

Al calcular la varianza de la muestra se obtiene un valor de s2= 0.0285.

Se busca en la tabla los valores correspondientes con 5 grados de libertad, obteniéndose dos resultados. Para X2

(0.95,5)= 1.145 y para X2(0.0,5)= 11.07.

Entonces el intervalo de confianza esta dado por:

Distribución F.

1.)Los alumnos del Tecnológico de Ciudad Victoria  ponen a prueba dos nuevos métodos de ensamblaje de servomotores para una linea de ensamblado respecto al tiempo en minutos. Los resultados se muestran el la tabla:

Método 1 Método 2

n1 = 31 n2 = 25

s12 = 50 s2

2 = 24

Construya un intervalo de confianza del 90% para  12/ 2

2.

Por la recomendación de que la varianza muestral mayor va en el numerador se tiene la siguiente fórmula:

al despejar:

F toma dos valores dependiendo del nivel de confianza y de los grados de libertad. En este caso los grados de libertad uno valen 30 y los grados de libertad dos 24.

 y 

Estos resultados los podemos interpretar de la siguiente manera:

Con un nivel de confianza del 90% se sabe que la relación de varianzas 

12/ 2

2 esta entre 1.07 y 3.93. Esto supondría que la varianza de la población 1 es mayor a la varianza de la población 2 entre 1.07 y 3.93.

2. Una un grupo de alumnos del electrónica fabrica propulsores para uso en motores de turbina. A los ingenieros le gustaría seleccionar el proceso que tenga la menor variabilidad en la rugosidad de la superficie. Para ello toma una muestra de n1=16 partes del primer proceso, la cual tiene una desviación estándar s1 = 4.7 micropulgadas, y una muestra aleatoria de n2=12 partes del segundo proceso, la cual tiene una desviación estándar s2 = 5.1 micropulgadas. Se desea encontrar un

intervalo de confianza del 90% para el cociente de las dos varianzas  12/

22. Suponga que los dos procesos son independientes y que la rugosidad de la

superficie está distribuida de manera normal.

Por la recomendación de que la varianza muestral mayor va en el numerador se tiene la siguiente fórmula:

al despejar: .

En este caso los grados de libertad uno valen 11 y los grados de libertad dos 15.

 y 

Estos resultados los podemos interpretar de la siguiente manera:

Puesto que este intervalo de confianza incluye a la unidad, no es posible afirmar que las desviaciones estándar de la rugosidad de la superficie de los dos procesos sean diferentes con un nivel de confianza del 90%.