UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILEFACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERAOFICINA DE EDUCACION EN INGENIERIAADMINISTRACION DEINVENTARIOS:TEORIAY PRACTICASERIE PUBLICACIONES DOCENTES4708-01-001MIGUELINA VEGA ROSALESWLADIMIR RIOS MARTINEZVALDIVIA-CHILE(2001)M. Vega. RINDICEINTRODUCCION...........................................................................................................................................................................1CARACTERSTICAS DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIO............................................................................................................2Demanda....................................................................................................................................................................................2Costos.........................................................................................................................................................................................4Restricciones.............................................................................................................................................................................5Horizonte de tiempo ................................................................................................................................................................6Nmero de artculos................................................................................................................................................................6MODELOS DE INVENTARIO DETERMINISTICO,ESTATICO Y CON DEMANDA CONSTANTE.............71.1.- MODELO DE COMPRA SIN DEFICIT........................................................................................................................71.2 MODELO DE MANUFACTURA SIN DEFICIT...........................................................................................................81.3 MODELO DE COMPRA CON DEFICIT.......................................................................................................................111.4 MODELO DE MANUFACTURA CON DEFICIT. ......................................................................................................131.5 MODELO DE MANUFACTURA CON PERDIDA DE VENTA POR DEFICIT..................................................161.6 MODELO DE COMPRA CON DEFICIT, DEMANDA POTENCIAL. ...................................................................181.7 CASOS PARTICULARES.................................................................................................................................................201.7.1 LOTE ECONOMICO DISCRETO............................................................................................................................ 201.7.2 ANALISIS DE SENSIBILIDAD................................................................................................................................. 221.7.3 DESCUENTO POR CANTIDAD O BANDA DE PRECIOS ................................................................................ 251.7.5 VARIOS PRODUCTOS .............................................................................................................................................. 301.7.6 MODELOS CON RESTRICCIONES ....................................................................................................................... 321.8 PROBLEMAS PROPUESTOS. ........................................................................................................................................342.0 MODELOS DE INVENTARIO PROBABILISTICO Y ESTATICO.................................................................... 492.1 MODELO DE COMPRA O MANUFACTURA SIN DEFICIT.................................................................................492.1.1 Sin Inventario De Seguridad..................................................................................................................................... 502.1.2 Con Inventario De Seguridad(revisin peridica) ............................................................................................. 502.2 MODELO DE COMPRA CON DEFICIT, CONSUMO INSTANTANEO..............................................................542.3 MODELO DE COMPRA CON DEFICIT, CONSUMO UNIFORME......................................................................572.4 MODELO DECOMPRA CON DFICIT, CON DEVOLUCION.............................................................................602.5 MODELO DE COMPRA CON DFICIT, CON COSTO FIJO.................................................................................632.6 MODELO DE COMPRA CON DFICIT Y PUNTO DE REORDEN.....................................................................662.7 PROBLEMAS PROPUESTOS. ........................................................................................................................................71Introduccin1M. Vega. RINTRODUCCIONLasempresasmantieneninventarioyaseademateriasprimas,productosenprocesooproductos terminados, de modo de satisfacer la demanda que de ellos se tenga.Como estosinventariosgeneralmenterepresentanunainversinaltaparalaempresa(aproximadamenteun25%desusrecursosfinancieros),elproblemaesminimizarloscostosocasionadosportenerinventario,demododequeelprocesoproductivonosedetengayquesesatisfagalademanda.Comoinventariosepuededefiniraaquellosrecursostilesqueseencuentranociososenalgn momento, estos pueden ser adems de los recursos habitualmente transables, recursoshumanos, espacios no utilizados etc..Los problemas en inventario deben responder a interrogantes de cunto debe completarse elinventario y cuntas unidades de modo que el costo total sea mnimo, por lo tanto, el tiempo yla cantidad son las variables controlables.Si la interrogante es el tiempo, se pueden dar dos tipo de respuestas:i)Cuando la cantidad en inventario sea menor o igual que una cantidad dada Re(Punto de reorden).ii)Cuando se haya completado t unidades de tiempo ( periodo de programacin).Si la interrogante es la cantidad, la respuesta puede ser de dos tipos:i)Ordenar q unidades (tamao del lote).ii)OrdenarunacantidadtalquellegueaunnivelSdeunidades(niveldereordenamiento).Introduccin2M. Vega. RCaractersticas de los Sistemas de InventarioEnunsistemadeinventariosepuedenidentificarlassiguientescomponentes:demanda,formacindestock,costos,restricciones,horizontetiempoynmerodeitems;ellasdeterminarn diferentes modelos de inventario.1.Demanda.Lademandaesunodelosfactoresmsimportanteyaunquenopuedesercontroladonidirecta ni indirectamente, se debe considerar en la formulacin del problema.La componentedemanda se expresa en [unidad/unidad de tiempo].Elvalordelademandapuedeserconocidoosepuedeestimarconunadeterminadaprobabilidaddeocurrencia,loquedaorigenamodelosdeinventariodeterminsticooprobabilstico respectivamente.La demanda sobre periodos iguales de tiempo puede ser constante o bien variar de unperiodoa otro denominndose modelo inventario esttico y dinmico respectivamente.La demanda puede tener diferentes comportamientos, dependiendo de cmo son retiradas delinventario.Todaslasunidadessonretiradasaliniciodeunperiodo,olafinal,oenformauniforme, o similar a alguna funcin conocida.Grficamente se tiene:FIGURA 1. Curvas de comportamiento de la demandaIntroduccin3M. Vega. REn cada uno de los casos se tienen I unidades al inicio del periodo, la duracin del periodo est unidades de tiempo y el tamao de la demanda en dicho periodo es X unidades.Matemticamente seria:DondeQ(T)= Cantidad en inventario en el instante T.I= Cantidad en inventario cuando T=0 (inicio periodo)X = Tamao de la demanda durante el periodo t.n= Indice segn forma de la demandaSi n=1 la demanda es uniformeSi n=la demanda es instantnea (demanda se produce inicio periodo)Si n>1 hay mayor demanda al inicio del periodoSi n Modelos Inventario Determinstico 9M. VegaR.[dias] 15 mes 0,5 mes 12 * (1/24) Ao 1/24 Q/D t D) - (R * T1 IM)2t( * IM * C3 C2 Q * C1 CTt+ + 2D/R)] - (1 * Q * [C3)QD( * C2 D * C1 CTT + + d)1.2 MODELO DE MANUFACTURA SIN DEFICITSupuestos:Demanda se efecta a tasa constante.Los costos no cambian en el periodo T.Si C2 = Costo de iniciar la tanda de produccin.R = Tasa de manufactura > > DR D= Tasa de acumulacinIM= Inventario mximot1 = Tiempo de manufactura = Q/R.Es el tiempo gastado en hacer Q unidades auna tasa RFIGURA 1.2.Modelo de manufacturasin dficitReemplazando t1 se tiene: y como N = D/Q =1/tReemplazando Q* en CTT se tiene:D/R) - (1 * Q IM0 D/R) - (1 )2C3(QD) * (C2.dQdCTT2 + Modelos Inventario Determinstico 10M. VegaR.[u.] 35 , 577 3/4) * 12 * ,8 12.000)/(0 * 100 * (2 Q* [$ao] 64,157 3/4 * (577,35/2) * 12 * 0,8 7,35) (12.000/57 * 100 12.000 * 5 CT + + 3/40433[u] * 577,35 D/R) (1 * Q IM [dias] 4,3 dias 30 * 0,144 meses 12 * 000 577,35/48. [ao] 000 577,35/48. Q/R t1 [dias] 17,3 [meses] 0,577 [aos] 0,048 Q/D t ao] al [veces 20,785 ,35 12.000/577 D/Q N Ejemplo 1.2Se supone que la compaa del problema anterior puede manufacturar los artculos a una tasade 48.000 unidades por ao.Si todos los costos son iguales al del problema anterior (costo deorganizar una tanda de produccin = costo de ordenar una compra), determinar:a)La cantidad optima que debe manufacturarse, Q*b)El costo total anual optimo, CTc)El inventario mximo, IMd)El tiempo de manufactura, te)El tiempo entre tandas de produccin, tf) El numero de tandas de produccin, NSolucin1 ao = 12 meses1 mes = 30 das D/R =1/4R=48.000 [u/a]1-D/R =3/4a)b)c)d)e)f)D/R) - (1 * C3D) * C2 * 2* Q D/R) - (1 * C3 * D * 2C2 D * C1 * CTT + Modelos Inventario Determinstico 11M. VegaR.1/t /N * t *Q 2S* C4 t *Q 2S) - (Q* C3 )QD( * C2 D * C1 CTt2 2 + + + (1) Q 2S* C4Q 2S) - (Q* C3 )QD( * C2 D * C1 CTT2 2+ + + 0Q 2S * C4 2) 1 ( *Q 2S) - (Q 2 * C3S ddCT + C4) (C3C3* Q S+1.3 MODELO DE COMPRA CON DEFICITSupuestos: Demanda se efecta a tasa constante.Los costos no cambian en el periodo T.El reemplazo es instantneo.Si S = Numero de unidades cuya venta se postergaIM= Q - S(de la figura 1.3)t2 = tiempo de dficit =S/D.Tiempo que demora en gastar S unidades a tasa D.DeABC DEF se tiene Q/t =IM/t1 t1=IM*(t/Q)DEC EBF se tiene Q/t =S/t1 t2=S*(t/Q)reemplazando en CTt, t1 y t2 se tiene:Por lo tanto2t2* S * C42t1* IM * C3 C2 Q * C1 CTt+ + + FIGURA 1.3Modelo de compracon dficit. Modelos Inventario Determinstico 12M. VegaR.C4) (C3C4 * C3 * D * C2 2D * C1 CTT*++ 0C3 - C4 2C3C4 * Q * C3C4) D(C3 * C2 2dQdCTT22++ + C4) * (C3C4 (C3 D * C2 2Q*+[u] 2.939 10) * 12/(2 * 12.000 * 600 * 2 Q* Reemplazando S y multiplicando por 2QReemplazando Q en CTT COSTO FIJO COSTO VARIABLESi se reemplaza S en (1) se tiene:Ejemplo 1.3La demanda de un articulo es de 1.000 unidades al mes, se permite dficit.Si el costo unitarioes de $1,50, el costo de hacer una compra es de $600, el costo de tenencia de una unidad es de$2 por ao y el costo de dficit es de $10 por unidad al ao, determinar:a)La cantidad optima que debe comprarseb)El nmero optimo de unidades agotadas (dficit)c)El costo total anual optimod)El nmero de pedidos por ao yel tiempo entre pedidose)Duracin de los dficit e inventario mximoSolucin.D = 1000 [u/m] =12.000[u/a] C2= 600 [$/orden]C1 = 1,50[$/u] C3 = 2 [$/u/a] ; C4 = 10 [$/u/a]a)04S * 2C44QS) - (Q * 2C3-4Q2Q* S) - (Q * 2C3QD* C2dQdCTTS222 2 + C4) 2(C3C4* Q * C3QD* C2 D * C1 CTT++ + Modelos Inventario Determinstico 13M. VegaR.[$/ao] 22.899 12 / 20 * 000 . 12 * 600 * 2 12.000 * 1,5 CTT + b)S* =2.939*(2/12) =490[u]c)d)N =12.000/2.939 =4,08 [veces al ao]t= 2.939/12.000=0,245 [aos] = 3 [meses]e) t2= S/D=490/12.000 =0,0408 [ao] =14,7 [das] IM=2.939-490 =2.449 [u]1.4 MODELO DE MANUFACTURA CON DEFICIT.Supuestos:Demanda se efecta a tasa constante.Los costos no cambian en el periodo T.SiC2 =costo de iniciar la tanda de produccinR =Tasa de manufactura >>DR-D =Tasa de acumulacinIM =Inventario mximot1+t4=tiempodemanufactura=Q/R.EseltiempogastadoenhacerQunidades a una tasa R)t3+t4 =tiempodedficit=S/D+S/(R-D).(EseltiempogastadoendiferirSunidades auna tasa D, mas el tiempo gastado en formar S unidades auna tasa R-D)t1+t2 =IM/(R-D)+IM/D.EseltiempoutilizadoenformarIMunidadesaunatasa R-D, mas tiempo utilizado en gastar las IM unidades a una tasa D. IM=(t1+t4)*(R-D) S reemplazando t1+t4 se tiene: IM=Q*(1-D/R) S Modelos Inventario Determinstico 14M. VegaR.C4) C3 (D/R) - C3(1 * Q * S+C4) 2(C3D/R) - Q(1* C4 * C3QD* C2 D * C1 CTT++ + 0C4) 2(C3D/R) - C4(1* C3QD* C2 -dQdCTT2++ )D/R) - (1 C4 * C3C4) (C3 D * C2 2Q*+D/R) - Q(1 2S * C4D/R) - Q(1 2S] - D/R) - C3[Q(1)QDC2( D * C1 CTT2 2+ + + 0D/R) - 2Q(1S * C4 2) 1 ( *D/R) - 2Q(1S] - D/R) - 2[Q(1* C3dSdCTT + FIGURA 1.4.Modelo de manufacturacon dficit.CTt =C1*Q+C2+C3(IM/2)*(t1+t2)+C4(S/2)*(t3+t4)Reemplazando t1+t2 y t3+t4CTt=C1*Q+C2+C3(IM/2)*[R/D(R-D)]+C4(S/2)*[R/D(R-D)]Multiplicando por N =D/Q y reemplazando IM reemplazando S en CTTC4) (C3D/R) - C4(1* C3 * D * C2 2 D * C1 CTT*++ Reemplazando Q* en CTT se tiene: Modelos Inventario Determinstico 15M. VegaR.3.394[u]10 * (3/4) * 212 * 12.000 * 600 * 2 * Q [$/ao] 22.242,612(3/4) * 12.000 * 20 * 600 * 212.000 * 1,5 CTT* + Ejemplo 1.4Suponer que en el ejemplo 1.3 el articulo se puede manufacturar a una tasa de 4.000 unidadesal mes.Si los costos no varan, determinar:a)Cantidad optima a manufacturarse y Nmero optimo de unidades agotadasb)Costo total anual optimoc)Numero de tandas de produccind)Tiempo entre tandas de produccin y Tiempo de fabricacine)Duracin de los dficit eInventario mximoSolucin.a) D/R = 1/41 D/R = 3/4S*=3.397*(3/4)/12 =212[u]b) c) N=12.000/3.394 =3,5 [veces al ao]d )t=3.394/12.000 [ao] = 0,283*12 [meses]=3,4 [meses] t1+t4= 3.394/48.000 [ao] =0,07*360 [dias]=25.5[dias]e) t3+t4=212*[(1/36.000)+(1/12.000)][ao]=0,0235*360 [dias] =8,5[dias]IM=3.394*(3/4)-212=233,5 [u]OBSERVACION:Lasfrmulasdelosmodelos1.1,1.2y1.3puedenobtenerseapartirdelmodelo 1.4 de la siguiente forma:Para el modelo 1.1 se tiene que C4 > > C3 y R = Para el modelo 1.2 se tiene que C4 > > C3Para el modelo 1.3 se tiene que R = Modelos Inventario Determinstico 16M. VegaR.(1)QD* S * C4D/R) - Q(1 2S] - D/R) - [Q(1 * C3 QD* C2 D * C1 CTT2+ + + 0QD* C4 ) 1 ( *D/R) - (1 QS] - D/R) - (1 [Q* C3dSdCT + C3 * QD/R) 1 ( D*2C4- D/R) - D(1 * C4QD* C2 D * C1 CT2 2+ + 1.5 MODELO DE MANUFACTURA CON PERDIDA DE VENTA POR DEFICIT.Supuestos:Todos los supuestos del modelo 1.4, y adems:Cuando hay dficit se pierde la vent a.Tiempo entre pedidos puede ser dado o no.FIGURA 1.5Modelodemanufacturaconperdida de venta por dficit. IM=Q(1 D /R) SCTt = C1*Q +C2+C3 (IM/2)*[R/D*(R D)] +C4*S*/ D/QSi C4/C3t >1 se pide Q* (modelo 1.2) y S =0 y CT* o CV* se obtienen del modelo 1.2.Si C4/C3t 5 11,98 >5D =25 [kg./da] Q (1-D/R) S =5/9 *25 * 0,5 = 6,9 S =9,7R =50 [kg./da] CV =100/1,33 +5 * 33 * 0,5 25*625 =144,65 [$/da] 2*33,5*9 Modelos Inventario Determinstico 18M. VegaR.nT/t X - I Q(T) 1/n)tTQ( - ) S - (Q Q(T) 1.6 MODELO DE COMPRA CON DEFICIT, DEMANDA POTENCIAL.Supuestos:Demanda esLos costos no cambian en el periodo T.El reemplazo es instantneo.Existe una revisin peridica (se conoce t)QS) - t(Qt1 0 )tt1Q( - ) S - (Q Q(t1).n1/n + + t10tt1dT Q] S - )tT( Q [tC4dT )]tT( Q - S - Q [ C3 CVS)] - (Q1) n ( QS) - (Q * S) - (QQ * [n C41) n ( QS) - S)(Q - C3(QCVnnn++ ++01)Q (n1] - S) - 1)(Q C4[(n1)Q (nS) - 1)(Q C3(nS) - d(QdCVn n+++++nnnC4 C3C4- Q[1 SC4 C3Q * C4S) - (Q+ +FIGURA 1.6Modelo de compra condficit, demanda potencialDe la figura 1.6Integrando y reemplazando t1 se tieneReemplazando (Q-S) en CV se tiene:S * C4 *1 nn C4 C3C4- 1 C4 *1 nn* Q CVn+1]1

+ + Modelos Inventario Determinstico 19M. VegaR.[u] 180 * IM [u] 20 ] 32,4/40 - 200[1 S* [ ] u 114 ] (32,4/40) - 200[1 S*4 Ejemplo 1.7Lademandadeunproductoesde$200[unidadalmes],elcostodealmacenamientoesde$7,6 [la unidad al mes], el costo de dficit es de $32,4 [la unidad al mes].Si se pide todos losmeses, determine cuanto comprar, el inventario mximo y el costo variable asociado para:a) n=2 c) n=0,5b) n=1 d) n=0,25Solucin.D=200[u/m]C4 = 32,4[$/u/m]C3 =7,6 [$/u/m] t = 1 [mes]a)n=2 Q* =t *D = 200[u] t=D/Q CV* =2*32,4*20/3 =432[$/m]b) n=1 Q*=200S*=200[1-32,4/40] = 38[u] IM* =162[u]CV*=32,4*38/2=615,6 [$/m]c) n=0,5 Q*=200S*=200[1-(32,4/40) ] =69 IM*=131CV*=32,4*69/3 =745,2[$/m]d) n=0,25 Q*=200 IM*=86[u]CV*=32,4*114/5 =738,7[$/m] Modelos Inventario Determinstico 20M. VegaR.C4) (C3 2D/R) (Qu)(1 C4 C3u QD C2C4) (C3 2D/R) (1 C4 C3QD C2++t++Q] - u Q [C4) C3 ( 2D/R) - C4(1 C3u)] 1/(Q - D[1/Q C2 t+ tu) (Q QD/R) - (1 C4 C3C4) (C3 D C2 2u) - (Q Q + +1.7 CASOS PARTICULARES1.7.1 LOTE ECONOMICO DISCRETOCuando el lote econmico debe pedirse en cantidades enteras, sea esta la cantidad u, y si Q*no es mltiplodeu,elcostovariablenecesariamenteaumentara.ElQ*quesatisfagaestarestriccin se obtiene de:CV(Q) CV (Qtu)FIGURA 1.7Grfico de costos para ellote econmico discreto. Modelos Inventario Determinstico 21M. VegaR.[u] 3 , 145 120 . 21 D/C3 C2 2 * Q Ejemplo 1.8La demanda de un producto es de 2.400 Kg. anual, el costo de hacer un pedido es de $22.000yelcostoportenerinventarioesde$500porunidadalao.Sisolosepuedecomprarenbolsas de 100 Kg.Cuntos lotes se compran al ao y de cuntos Kg.?Solucin.D = 2.400 [K/a] Q (Q-u)2 C3 D/ C2 Q( Q+u)C3=500 [$/u/a]C2 = 22.000[$/o] Q -100 Q 2*22.000*2.400/500Q +100QU = 100[Kg.]Q -100 Q 21.120Q+100 QQ -100 Q-21.120 0Q 203 uQ+100Q-21.120 0Q 103 u103 Q 203 Q*=200KgN=D/Q =2.400/200 = 12 veces al aoSolucin alternativa:100 145,3 200CV(100) =22.000 2.400 /100 + 500* 100/2 =553.000 [$/a]CV(200) =22.000 2.400 /200 + 500* 200/2 =314.000 [$/a]Como el menor costo se produce comprando 200 unidades, este es el lote econmico optimo. Modelos Inventario Determinstico 22M. VegaR.C4) (C3D/R) - D(1 C4 C3 C2 2C4) 2(C3D/R) - Q(1 C4 C3C2(D/Q)w+++D/R) C4(1 C3D C4) (C3 C2 2) /R' D' (1 C4' C3') C4' (C3' D' C2' 2* QQb++ C4) (C3 ) /R' D' - (1 D C4' C3' C2) C4' (C3' D/R) - (1 D' C4 C3 C2'b++1.7.2 ANALISIS DE SENSIBILIDADSeanalizaelefectoproducidoenloscostosvariablescuandonosetrabajaconelloteeconmicooptimo,ocuandohayunavariacin,yasea,enloscostos,lademandauotroparmetro.i) Variacin en Q*Sea b la variacin de Q con respecto aQ*, yw la variacin de CV con respecto a CV*, esdecir: b=Q/Q* Significa cuanto se aleja del lote econmico optimo.W=CV/CV* Significa en cuanto aumenta el costo variable. Reemplazando Q por b Q*ii) Variacin en C2, C3, C4, D o RSupongamos que hay una variacin en la estimacin de los parmetros (o cambio), en vez deC2, C3, C4, D y R, tenemos C2, C3, C4, R y D respectivamente.)b * 21 b( w2+ Modelos Inventario Determinstico 23M. VegaR.5 , 796 . 5) 16 / 12 1 ( * 50 * 2070 * 000 . 12 * 000 . 5 * 2* Q 5 , 324 . 6) 16 / 12 1 ( * 50 * 2050 * 000 . 12 * 000 . 5 * 2nuevo * Q ] 091 , 1 50 * 50 / 70 * 30 C4) (C3 )/C4' C4' C4(C3 b + + 8 , 045 . 1950 * 2) 4 / 1 ( * 5 , 796 . 5 * 30 * 205 , 796 . 512.000 * 5.000CV + Ejemplo 1.9La demanda de un producto es de 12.000 unidades al ao, el costo por ordenar es de $5.000,el costo de dficit es de $20 por unidad al ao, el costo de dficit es de $50 por unidad al aoy la tasa de manufactura es de 16.000 unidades al ao.Determine el efecto que tiene en loscostos si se detecta un error en:a)El costo de dficit es realmente de $30 por unidades al aob)La demanda es realmente de 15.000 unidades al aoc)El costo por ordenar es de $3.000 la ordenSolucina) D =12.000 [u/a]C2=5.000[$/o]C3= 20[$/u/a]C4 = 50[$/u/a]b= 5.796,5 = 1,091w=1,003886.324,5[o bienSolucin alternativa: W = 19.045,8 = 1,0038 hay un aumento de un 0,38% 18.973,6en los costos variables19.973,650(1/4) * 30 * 20 * 12.000 * 5.000 * 2CV* Modelos Inventario Determinstico 24M. VegaR.5 , 961 . 1215/16) - (1 * 50 * 2070 * 15.000 * 5.000 * 2nuevo * Q 4472 , 0/R)D D' 1 (D/R)D' 1 (b 7 , 572 . 1170(1/16) * 50 * 20 * 15.000 * 5.000 * 2CV* 56 , 526 . 1570 * 2) 16 / 1 ( * 5 , 796 . 5 * 50 * 205 , 796 . 515.000 * 5.000CV + ] 2909 , 1 /C2 C2' b 65 , 035 . 1670(1/4) * 20 * 50 * 12.000 * 3.000 * 2CV* b)D=15.000D=12.000b = 5.796,5= 0,4472 w=1,34167 12.961,5b se puede obtener comoSolucin alternativa: W = 15.526,56=1,3416hay un aumento de un 34% en los costos variables 11.572,7c)C2 =3.000C2=5.000b= 5.796,5 = 1,2909 w=1,03285 4.490[b se puede obtener comosolucin alternativa:W = 16.561,5 =1,0328 un aumento de un 3,28% en CV16.035,65490 . 412/16) - (1 * 50 * 2070 * 12.000 * 3.000 * 2Q* 5 , 561 . 1670 * 2(1/4) * 5.796,5 * 50 * 205 , 796 . 512.000 * 3.000CV + Modelos Inventario Determinstico 25M. VegaR.1.7.3 DESCUENTO POR CANTIDAD O BANDA DE PRECIOSi)Cuandosetieneundescuentoporcompraoporproducirunnumerosuperioraunacantidaddada,seproduceunadisminucinenelcostofijoyunaumentoenloscostosvariables, por lo tanto, convendr aceptar el descuento siempre y cuando la disminucin oahorro sea superior al aumento del costo variable.FIGURA 1.8Grfico de costos paradescuento por cantidadSea C1a el precio de compra o costo de manufacturaSea C1n el precio de compra o costo de manufactura con descuentoSi CT CT*conviene modificar Q* a QC1nD + C2(D) +C3 C4 Q (1-D/R) C1a D +C2(D) +C3 C4 Q*(1-D/R)Q 2(C3+C4) Q* 2(C3+C4)En caso contrario, no conviene.Ejemplo 1.10Del ejemplo 1.4, suponga que si producen lotes de 5.000 unidades, la empresa tiene un ahorroenloscostosdeproduccindeun15%.Le conviene modificar el lote econmico optimoactual?C1n) - D(C1aC4) C3 ( 2Q*] - D/R)[Q - (1 C4 C3)* Q1-Q1( C2D ++ Modelos Inventario Determinstico 26M. VegaR.[ ]( )( ) 1,275 - 1,5 * 12.000 ?2 10 * 2394 . 3 000 . 5 * 4 / 3 * 10 * 2394 . 31000 . 51* 000 . 12 * 600++ ,_

Solucin.R = 16.000 [u/a] Q*=3.394 uD = 12.000 [u/a] CT*=22.242,6C1a=1,50 [$/u] CT(5.000) =1,275*12.000+600*12.000+2*10*5.000*(1-1/4)C1n= 1,275[$/u] 5.0002*(2+10)C2=600[$/o] =19.865C3= 2[$/u/a] conviene modificar el lote econmico a 5.000 unidadesC4= 10[$/u/a]se produce un ahorro de $2.377,6 al aosolucin alternativa:-681,38+1.003,75 ? 2.700322,37< 2.700comoelahorroesmayorqueaumentodecostos,convienemodificarelloteeconmicoa5.000[u].El ahorro producido es de (2.700-322,37)=2.377,6ii) Cuando se tiene una banda de precios, es decir, el precio es funcin de la cantidad, sea sta:p1 0 Q k1p2 k1 Q k2p3 k2 Q k3 donde las cantidades ki son crecientesy los precios pi son decrecientes.FIGURA 1.9Grfico de costos para cuandoexisten bandas de precios Modelos Inventario Determinstico 27M. VegaR.255 , 15 , 25 * 1 , 0 * 1010) 25,5 * 4.000(0,1 * 400 * 2Q1* +265 , 15 , 25 * 1 , 0 * 1010) 25 * 4.000(0,1 * 400 * 2Q2* +275 , 15 , 24 * 1 , 0 * 1010) 24,5 * 4.000(0,1 * 400 * 2Q3* +286 , 124 * 1 , 0 * 1010) 24 * 4.000(0,1 * 400 * 2Q4* +297 , 15 , 23 * 1 , 0 * 1010) 23,5 * 4.000(0,1 * 400 * 2Q5* +Si adems se tiene que el costo de almacenamiento esta en funcin del costo unitario (C1), seaC3=f [C1], entonces:De aqu, reemplazando para cada C1, se determina en que intervalo cae Q*, luego se calculaCT*yCTparacadaunodeloslimitesinferioresdelosintervalossiguientes.Elloteeconmico optimo ser el que tenga el menor costo total.Ejemplo 1.11La demanda semanal de un producto es de 4.000 [unidades], el costo de almacenamiento a lasemana es el 10% de la inversin media, el costo de dficit es de 10 [$/u/sem].El costo porordenar es de 400 [$].Los precios de compra se dan en la siguiente tabla:C1($) cantidad25,5 100 Q < 50025,0 500 Q < 2.25024,5 2.250 Q < 3.20024,5 3.200 Q < 5.25023,5 Q 5.250Determinar cunto y cuntas veces a la semana se debe comprar.Solucin.Fuera rango Dentro rango Fuera rangoFuera rangoFuera rango[ ][ ] D/R) - (1 C4 C1 fD ) C4 C1 (f C2 2Q*+ Modelos Inventario Determinstico 28M. VegaR.semana / $ 040 . 10010 25 * 1 , 010 * 25 * 0,1 * 400 * 2250 . 2000 . 4 * 25CT* +L D Re )tL( Q N=4.000 = 0,76 Por lo tanto conviene pedir 5.250 unidades, 0,76 veces a la semana. 5.2501.7.4 TIEMPO DE ENTREGASi en los modelos 1.7.1 o 1.7.3 el tiempo de entrega no es instantneo, es decir, hay un tiempode entrega, sea ste L; la orden de compra debe ser dada antes que se cumpla el tiempo entrepedidos, o sea en el tiempo t-L.Si interesa saber el nivel de stock que debemos tener para hacer el pedido, llamado punto dereorden Re, se obtiene de:Para modelo 1: ACE ~ BCDse tieneQ/t= Re/LSe debe hacer el pedido cuando se tengan Re unidades es stock.925 . 100) 10 5 , 24 * 1 , 0 ( 210 * 5 , 24 * 1 , 0 * 250 . 2 000 . 4 * 400250 . 24.000 * 24,5CT(2.250) +++ 77 , 596 . 99) 10 24 * 1 , 0 ( 210 * 24 * 1 , 0 * 200 . 3200 . 3000 . 4 * 4004.000 * 24 CT(3.200) ++ + 7 , 299 . 99) 10 5 , 23 * 1 , 0 ( 210 * 5 , 23 * 1 , 0 * 250 . 5250 . 5000 . 4 * 4004.000 * 23,5 CT(5.250) ++ + FIGURA 1.10Modelo de compra sindficit cuando existetiempo entre entregas Modelos Inventario Determinstico 29M. VegaR.Para modelo 3: ABD ~ EBC se tiene Q/t (Re + S) / L Re + S = Q(L/ t) = D LRe = D L SSe debe hacer el pedido cuando se tengan Re unidades en stock (si Re > 0) cuando se tenganRe unidades de dficit (si Re < 0)FIGURA 1.11Modelo de compra condficit cuandoexistetiempo de entregaEjemplo 1.12Si en el ejemplo 1.3 el pedido demora en llegar 4 das.Cul es el punto de reorden y cuntasunidades pedir?Solucin.L = 4[das]=4/30 mesD = 12.000[u/a]Q*= 2.939 [u]C1 = 1,50 [$/u] S* =490 [u]C3 =2 [$/u/a]Re=12.000*4/30 490 =410 [u]C2 = 600 [$/orden] Por lo tanto, se deben pedir de 2.939 uC4 =10 [$/u/m] cuando queden 410 unidades en bodega. Modelos Inventario Determinstico 30M. VegaR.Ri) /Di - (1 C4i C3iC4i)) (C3i Di 2.C2i( Qi*+C4i C3iDi/Ri) - Di(1 C4i C3iC2i 2t*+1.7.5 VARIOS PRODUCTOSCuandoelciclodeproduccinocomprascomprendevariosproductos,cadaunoconunademanda y costos diferentes, se tienen dos alternativas para ordenar.i) Pedir cada tem por separado.En este caso se aplican las formulas apropiadas para cadatem, es decir:ii)Pedirtodoslositemsjuntos.Cuando se tienen muchos tem y se piden por separado sedificultasucontrol,otrasvecesesposiblepedirlositemsjuntosydisminuirelcostoporordenar.Para determinar en el lote econmico optimo, se tiene:t1 = t2 = t3 =........= Qi= tpor lo tantoDi ++ i iC4i) (C3iDi/Ri) - (1 C4i C3i Di C2i 2Di C1 CTT ++ + i i iC4i) 2(C3iDi/Ri) - (1 Di tC4i C3itC2iDi C1i CTj0C4i) 2(C3iDi/Ri) - (1 Di C4i C3itC2idCTj/dti2++ i Modelos Inventario Determinstico 31M. VegaR.[ ] u 219 200 * 2.000/0,25 * 600 * 2 Q1* [ ] u 5 , 78 700 * 600/0,25 * 900 * 2 Q2* [ ] u 113 750 * 1.500/0,25 * 800 * 2 Q3* 750 * 25 , 0 * 500 . 1 * 800 * 2 700 * 25 , 0 * 600 * 900 * 2 200 * 0,25 * 2.000 * 600 * 2 CV + + 250 4.600/486. t* Ejemplo 1.13Un almacn comercializa tres tipos de artculos, los datos son los siguientes:bien 1 2 3dda (u/ao) 2.000 600 1.500C1 200 700 750C2 600 900 800El costo de almacenamiento es un 25% de la inversin.a)Determine el lote optimo y costo si se pide por separadob)Determine el lote optimo y costo si se pide junto.Solucin.a)CV=49.915,38 [$/a]b) C2i =2.300C3iDi =486.250 = 0,09726 [aos]Q1* =2.000*0,09726 =194,5Q2* = 600*0,09726 =58Q3* =1.500*0,09726 =146CV=2.300 +0,09726*486.250=47294,3 [$/a]0,09726 2 Modelos Inventario Determinstico 32M. VegaR.1.7.6 MODELOS CON RESTRICCIONESCuando se tiene un problema de inventario con restriccin adicional, se encuentrael optimosin considerar dicha restriccin.Si este optimo satisface la restriccin, significa que el optimonocambia.Sinolosatisfacedebemosresolverunproblemadeprogramacinnolineal,dondeFO: MIN CVSA. restriccinEjemplo 1.14 Supongaqueenelejemplo1.10laempresadisponeencajaslode$185.000ynopuedeendeudarse.Se modifica la solucin optima encontrada en los siguientes casos?a)Si se piden los items separados.b)Si se piden los items juntos.c)Si se modifica la solucin optima, encuntrela y determine el aumento ocasionado en loscostos variables.Solucin.La restriccin seria: Q1 C1 + Q2 C12 + Q3 C13 185.000a)si se piden items separados219 * 200 + 78,5 * 700 + 113 * 750 185.000183.500 185.000no se modifica la solucin optimab)si se piden los items juntos194,5 * 200 +58 * 700 + 146 * 750 185.000 189.000 185.000 semodifica la solucin optima Modelos Inventario Determinstico 33M. VegaR.c)Para determinar la nueva solucin, se tiene:Corresponde a un problema de programacin no lineal.Tenemos: C2i = 2.300 C3i Di =486.250 C1i Di =1.945.000Construimos el Lagrangeano:Si 0,de (2) se tienet = 0,095Reemplazando t en (1) se tiene 0,006 (?)Por lo tanto:Q1 = 0,095 * 2.000 =190Q2 = 0,095 *600 =57Q3 = 0,095 * 1.500 = 142,6y Qi C1i = 184.850 185.000 esta es la nueva solucin optima si se piden todos los items juntos.CVj* =47.294,4 [$/ao]CVj nuevo =2.300/0,095 + 0,095 * 486.250 / 2= 47.307,4En consecuencia hay un aumento de 13,1 [$ al ao] +i i2Di tC3i tC2iMIN : FO( ) Di tQi 185.000 C1i Di tSAi ( ) 185.000) - 1.945.000 (t - t243.125 2.300/tt, L + ( ) 10 1.945.000 - 125 . 243 / t 2.300 - L/t + ( )2 0 185.000) - t(1.946.000 L/ Modelos Inventario Determinstico 34M. VegaR.1.8 PROBLEMAS PROPUESTOS.1.8.1 Se requiere capacitar a 500 administradores en los prximos 100 das.El costo fijo alempezar el programa de capacitacin es de $500.000 y el costo de mantenimiento por alumnodurante el curso es de $250 diarios.Cuanta gente debe capacitarse, conque frecuencia y cuales el costo mnimo? [R: 141 personas;28 das, $35.355 al da]1.8.2 Utilizando los datos del problema anterior, pero suponiendo desconocido el costo demantenimiento,cul debera ser este por da, si se quiere capacitar a 80 sujetos por ciclo? Y si se quiere capacitar a 250? [R: 781 $/ad/da;80 $/ad/da]1.8.3Suponga los datos del problema1.8.1pero donde la empresa se compromete a pagar$1.000 por da por administrador que no este capacitado cuando se le necesite.En este caso,cualeselprogramadecapacitacindecostomnimo?.Culesestecosto?.Culeslafrecuencia del ciclo?[R: 158 personas;31,6 das, $31.623 al da]1.8.4Utilizandolosmismosdatosdelproblemaanterior,perosuponiendoelcostopenaldesconocido.Culseriaeste,sielperiododecapacitacinesde60dias?[R:71.4$/ad/da]1.8.5 Cul seria latasa de produccin diaria de plumones cuya demanda anual es 1 milln,su costo fijo de produccin es de $250.000, el costo de mantenimiento es de $1 por plumnpor da, el costo penal es de $2,5 por da y la produccin optima del ciclo se ha calculado en60.000 unidades?[ R: 6038 plumones diarios]1.8.6Estimelacantidadoptimadereordendeunarticuloquetienelassiguientescaractersticas.Seconsumenenformaconstante10.000unidadesporao,elcostofijodecadaordenesde$32yelcostounitarioanualdealmacenamientoesde$0,5.Secargaadems un costo anual por almacenamiento igual a un 20% del valor del inventario promedio.Elpreciounitariodecadaarticuloesvariableyaqueenunaordende1a999unidadeslapieza cuesta $3 cada una, 1.000 a 1.999 unidades la pieza cuesta $2,95 y $2,9 si la orden es de2.000 unidades o ms.No se permite dficit y la entrega del producto es instantnea. [R: 2000 unidades; CT=$30.140 al ao] Modelos Inventario Determinstico 35M. VegaR.1.8.7 Una empresa de calculadoras compra 3 tipos de partes para el ensamblado del productofinal.Losdueosnodeseantenerinvertidoseninventariodeestaspartesmasde$50millones.Nosepermitediferirlademanda,elcostodealmacenamientodecadaparteesigual al 20% de su costo o valor de compra, el resto de los datos son:Parte 1 Parte 2 Parte 2Demanda anual 1.000.000 1.000.000 2.000.000Costo 50.000 20.000 80.000Costo orden 50.000 50.000 50.000a)Cuantaspiezasdecadapartedebenordenarseparaminimizarcostos,satisfacerlademanda y no exceder la restriccin de $50 millones?b)Cul seria la solucin de no existir la restriccin?[R:item separado, no afecta restriccin,t=0.00255 aos;itemjuntoscambiaptimo a: t= 0.0466 ao, Q1=Q2=46625, Q3=93250, CV=$53.217.158al ao]1.8.8Una empresa consume 32.000 litros de gasolina al mes.El costo es el siguiente: $2,8para los primeros 20.000, $2,7 para los 20.000 siguientes y $2,6 si se excede de 40.000 litros.El costo fijo por cada orden es de $5.000.El costo de mantenimiento es de 0,5 $/lt/mes.Sino se permite diferir la demanda.Cunta gasolina se debe ordenar para minimizar el costototal?Cul es el aumento de los costos variables si el costo por ordenar es de $12.000?[R:compra lotes de 40000 litros,CV= $97.200 al mes, aumenta costo en $5.600 oun 40%]1.8.9 Una fabrica produce 50 tractores por da.La demanda es de 30 tractores por da.Elcosto unitario del tractor es de $100.000 si se producen 300 unidades o menos, y $80.000 si seproducenmasde300unidades.Elcostofijodecadaordenesde$10.000yelcostodemantenimiento es de $500 por tractor por unidad de tiempo.Cul es el tamao optimo defabricacin, con qu frecuencia debe comprar?. Qu pasa si el descuento se hace slo si sefabrican 500 tractores o ms?. [R: fabrican lotes de 300 tractores, cada 10 das;si eldescuento se hace por 500 tractores tambin conviene aceptar] Modelos Inventario Determinstico 36M. VegaR.1.8.10Un proceso productivo requiere de 4 insumos, no se permite diferir la demanda y losdatos mensuales son los siguientes:Insumo i C1 C2 Demanda C31 10.000 100 10 0,12 50.000 50 20 0,23 10.000 90 20 0,24 10.000 20 10 0,1a)Determine el tiempo de reorden de cada insumo si la entrega sufre un retraso de 3, 6, 9, 12das respectivamente.b)Suponiendo resurtimiento instantneo.Cul debera ser el costo por orden mximo paraque convenga ordenar todos los items juntos?.[R: hay que ordenar cuando quedan 1; 4; 6 y 4 unidades del insumo 1, 2, 3 y 4respectivamente; el costo de ordenar debe ser a lo sumo $ 188,68]1.8.11Determineelloteeconmicooptimodeunproductoquetienelassiguientescaractersticas: [R: Q ptimo es 2000 y el CT = 2.974.500]a)Consumoanualatasaconstantede10.000unidades,Costofijodeprocesarunaorden$3.200, Costo unitario de almacenamiento de $0,5 por unidad al aob)Intereses anuales evaluados en un 20% de la inversin del inventario medioc)Precio unitario $300 si orden es de 1 a 999, $295 si orden se encuentran entre 1.000 y1.999 y $290 si la orden es de 2.000 o msd)No se permite diferir la demanda y la entrega es instantnea1.8.12 Una compaa fabrica dos productos A y B. La demanda anual de A es de 50.000 y lade B 60.000 unidades.Los costos de puesta en marcha de cada producto es $1.000; El costounitario por tener inventario del producto A es $4 por ao y un 25% para B, el lote econmicoptimo del producto B es el doble que el de A.Cada unidad A cuesta $16 y cada una de Bcuesta $12.a) Determine la tasa de manufactura suponiendo que es la misma para A y B.b) Cuntas veces debera la Compaa iniciar la produccin de cada producto?c) Cul es la inversin en inventario?[R:66.666unidadesalao;9.85vecesalaoAy5.22vecesalaoB;II=$161.139 al ao] Modelos Inventario Determinstico 37M. VegaR.1.8.13 Una compaa compra 40.000 pesos de cinta al ao, el costo de una cinta es de $1.Suproveedor le hace un descuento de un 25% si el pedido es trimestral.Si el costo de compra esde $22,50 por pedido y el costo por tener una unidad en inventario es de $4,95 al ao.Sedebe aceptar la oferta?[R:Noconvieneaceptarlaoferta,ahorromenorqueaumentodecostosvariables]1.8.14 Las lavanderas de la Empresa Quitamugres usan 30.000 galones de tolueno anuales.Elpreciodecompradetoluenoesde$200,elgaln,elcostodealmacenamientoes10%anual de hacer un pedido; y hacer un pedido es de $3.000 por orden.La poltica actual de laempresa es comprar cantidades iguales cada 2 meses.a)Cul es el lote optimo? y Cuntas ordenes debera colocarse por ao?b)Cunto ahorrara la empresa si adoptan la nueva poltica?[ R: el lote ptimo es de 3000 galones;se compra 10 veces al ao; ahorro es$8.000 ( 13%)]1.8.15Estamosenelao2100DC.Ud.esunfabricanteenelplanetaNoriza,produceramplasporttilesdelanzamientoparaviajesinterplanetarios.Ud.Producetreslneasdeestos productos uno para uso domestico, otro para uso comercial y otro para uso del gobierno.Hay3temsbaratosquesonnecesariosparaelfuncionamientodeestosproductosycuyademanda anual y precio se da con la tabla siguiente:ITEM DEMANDA ANUAL PRECIO ($)X 50.000 400Y 20.000 600Z 10.000 250El costo por tener estos tems se estima en 10% anual, el costo por ordenar $2.000 por orden.La poltica actual de la empresa es pedir cada tem trimestralmentea)Cul es el costo total por tener inventario y por ordenar anual con la poltica en uso?b)Cul es la poltica optima y cules su costo total anual?[R:costoporordenaresde$8000;costoporinventarioanualesde$862.500;poltica ptima es: Q1= 1700, Q2= 6800, Q3= 340 yCT= $ 34.676.123,5al ao] Modelos Inventario Determinstico 38M. VegaR.1.8.16 La asociacin de Estudiantes de Comercio decidi lanzar una guerra psicolgica contralos de Arte de una Universidad.Se propusieron hacer esto usando varios botones con frasesalusivas en ellos.El presidente decidi que eldeberatratardeminimizarloscostos.Cadaorden cuesta $100 por procesar y la administracin le han informado que tendr un costo dealmacenamiento del 20% del valor del inventario.El presidente estima que la demanda seria6.000botonesenelprimeraoyelcostodadoporelproveedoresde$50ladocena.Determinar:a)Cuntas ordenes debera colocar? ,Cul debera ser el tamao de cada orden y el costototal?b)Cul es el aumento de los costos variables si el costo por tener inventario se estima en12% anual?[R: se deben colocar 5 ordenes al ao, el lote econmico es de 100 docenas yel CT= $26.000; el aumento deCV es de $ 832, es decir, 3,2%]1.8.17 La compaa ABOM usa el formulario CD-1. Los empleados de esta compaa usan125.000 formularios anuales en el desempeo de su trabajo.La compaa ha determinado supoltica optima de inventarios y ha encontrado que la inversin media en inventario de estosformulariosdeberaser$875/ao.Elpreciodecadaformularioesde$0,7yelcostoportenerlo es de 14% del inventario promedio.a) Cul es el numero optimo de ordenes al ao?b) Si el costo por ordenar es $500. Cul es el costo total?c)Cul es el costo total mnimo? Cul es el aumento de CV?[R: se ordena 50 veces al ao,CT= 25.122,5, CT ptimo es de $ 3.500, aumentoCV esun 717%]1.8.18LacompaaAvendesecadoresdepeloalascompaasByC.LacompaaBordena 200 secadores 5 veces al ao y la compaa C ordena 240 secadores 10 veces al ao.Al hacerlo as, las compaas B y C sostienen que estn usando su poltica optima.Los costosportenerinventariosyelpreciosonigualesparaambascompaas.Podranenrealidadambas compaas estar operando a sus niveles ptimos?Si es as en qu son diferentes lasdos compaas? Qu condicin se debe cumplir?[R: tienen distinto C2 y deben cumplir la siguiente relacin: 5 C2B= 6 C2A] Modelos Inventario Determinstico 39M. VegaR.1.8.19 La compaa A compra 1.500 pinceles anuales a la compaa X.Los pinceles cuestan$40 cada uno, el costo por ordenar es de $180 por orden y el costo por tener inventario es del15%.Si el costo por dficit es de $10 por unidad al ao.a)Con qu frecuencia deben colocarse las ordenes y que cantidades deberan ordenarse?b)Cuntos son los costos totales y los costo por tener inventario?c)A la compaa le ofrecen un 20% de descuento si compra por lotes de 750 ms, deberaaceptar el descuento?[ R: se debe ordenarse 380 pinceles, 4 veces al ao,CT =$ 61.586,4 al ao , II=181,4;leconvieneaceptareldescuento,esdecir,comprarlotesde750unidades]1.8.20UnacompaacompralapiezaZ1,sucostodecompraesdeUS$35porpedidoyUS$2,2 vale la pieza. El cargo al inventario es de 18% anual. Actualmente la empresa compraUS$22.000 de esa pieza al ao.Cul es lote optimo y cuantas ordenes deben colocarse? Cul es el tiempo entre pedidos?[R: lote ptimo es de 1394 piezas, 8 veces al ao y 1.5 meses es el tiempo entrepedidos]1.8.21Unaempresatrabajaconlapolticaoptimadecomprasylehanofrecidoel1%dedescuentos si compra dos veces al ao.Si la empresa compra $50.000 de piezas fundidas alao,loscargosadministrativossonde$50porcomprayelcargoalinventarioes2[$/unidad/ao] y el costo unitario es de $1.Debe aceptar la oferta? De no ser as, desde qu % de descuento le conviene aceptar?[ R: No conviene, el descuento debe ser al menos un 43,7%]1.8.22 Un almacn produce y vende 3 tipos de artculos.Se desea que el valor del inventariopromedionuncaexcedalos$60milytampocosepermitedficit.Siloscostosdealmacenamiento son de 0,25 [$/u/ao] y se tiene lo siguiente:Articulo 1 2 3Demanda (u/ao) 2.000 600 1.500C1 18 70 75C2 60 90 80a)Determinelosqiptimos(noconsiderelarestriccin),sitasadeproduccinesinstantnea y los tems se piden juntos. Modelos Inventario Determinstico 40M. VegaR.b)Determine losqiptimos(noconsiderarlarestriccin),silastasasdeproduccinparacadaarticuloson4.000,2.000y5.000unidadesrespectivamente(lostemssepidenjuntos).c)Si consideramos la restriccin, se modifica la solucin dada en a? y la dada en b?d)Volviendo a la situacin b).Si el jefe de produccin indica que es posible bajar los costosunitarios de cada tem en un 1%, siempre que se produzca cada 11 meses. Le conviene ala empresa modificar la poltica optima de produccin?[R:temjuntos:a)Q1=1340,Q2=402,Q3=2005;b)Q1=1726,Q2=518,Q3=1295;larestriccinmodificaa)yb);casob)setiene:Q1=630,Q2=189,Q3=472,5; le conviene modificar la poltica ptima, tiene menor costo]1.8.23 Una empresa se trabaja con 5 tems y se tiene lo siguiente:Items 1 2 3 4 5Tamao Lote 200 100 500 80 1.000C3 2 1 4 5 1C4 50 40 20 30 10Espacio (m/u) 5 3 9 12 2La capacidad en bodega es de 3.000 m. Si se hace un solo pedido cada 4 meses cuyo costo es$100.-Sin considerar restriccina)Determine si s esta trabajando con la poltica optima.b)Sielpedidodemoraenllegar10idasdetermineelpuntodereordenparacadatem:(1ao=300 das).-Si se considera la restriccinc)Se modifica solucin optima de a)?, de ser as, Cul es esta?[R:notrabajaconpolticaptima;puntodeordenesde20,10,50,8,100unidadesparatems1,2,3,4y5;larestriccinnomodificalasolucinptima]1.8.24 El informe anual de la Empresa W indica que se hizo una emisin de 2,3 millones deacciones comunes a $38 por accin. Modelos Inventario Determinstico 41M. VegaR.Se sabe que las necesidades de capital son de cerca de $285 millones al ao con un promediode$185millonesaportadosporemisindebancosyotrasfuentesdecapital(abonosdelpersonal, utilidades no distribuidas, etc.)El costo de cobrar una emisin en el mercado, incluyendo personal administrativo,arriendos,derechos de registros, es de alrededor de $600.000 a los niveles de salarios actuales.El costodel capital (dividendos cargados a los accionistas) es de alrededordel 10% anual despus depagar los impuestos.El capital no cesado se invierte en valores a corto plazo al 5% anual.a)Silasnecesidadesdecapital,preciosdelasaccionesycostosasociadospuedenproyectarseparalosprximosaos,determinareltamaodelaemisin(nmerosdeaccionescomunes)quedeberandaruncostomnimoenproporcinalcapitalparasatisfacer las necesidades de la Empresa en el largo plazo. [ R:695.852 acciones]b)Sisupisemosquelaemisinde2,3millonesdeaccionesfueellotequeminimizaloscostos totales de proporcionar el capital necesario para la operacin de la empresa en ellargo plazo (no considere ningn aporte adicional) y que el costo de cobrar una emisin enel mercado no cambia, Cul es el costo implcito (% anual) por la compaa?[ R: el costo de almacenamiento debe ser de137% al ao]1.8.25Unmayoristadistribuyeanualmente12.000unidadesdeunciertoproductodesdesubodega.Elcostodetransporteasociadoconcadaenvoalabodegaesde$22.500.Cadaunidad le cuesta %800 y el capital inmovilizado en el inventario puede invertirse en cualquierotra parte a una tasa del 7% al ao.Cul es la cantidad optima que debe mantener en inventario?[R: 3105unidades]1.8.26LaHopeAirlinesentrena200azafatasanualmente.Elcostodeentrenarunapromocin es de $300.000.El salario anual de una azafata es de $160.000 y la Compaa haestablecido un fondo cuyos intereses sirven para pagar los salarios anuales de las azafatas.Lacompaa ha determinado que este fondo puede se invertidos y dar un retorno del 12%.a)Cul debera ser el tamao del curso para minimizar los costo? [R:79 azafatas]b)Cul es el costo mnimo total? Cuntos cursos se dictan al ao?[R:CV= $1.517.893 al ao y se dictan 2,5 cursos al ao] Modelos Inventario Determinstico 42M. VegaR.1.8.27 Una compaa tiene un nivel de venta anual de 1.000 unidades.En los tres primerosmesesdelaoelcostoporiniciarlaproduccinesde$1.000,elcostodefabricacinporunidad es $160.Sabemos que el lote econmico es el mismo durante todo el ao ( y puedeser calculado a partir de los costos para los tres primeros meses del ao).El costo por tenerinventario es el 20% por ao.El costo de fabricacin de una unidad ha aumentado a $200 enlos ltimos nueve meses del ao-a)Encuentre ellote econmico optimo [ R: lote ptimo es de250 unidades]b)CuldebehabersidoelvalordeC2paralaultimapartedelao?Culfueelvalormedio de C2 para el ao? [R:C2 para ltima parte ao es de $ 1200 y el valorpromedio de C2 es de $1150 la orden]1.8.28LacompaaEscasezdePersonaltieneinscritosungrannumerodepersonasquedeseantrabajarcuandoseaposibleenunaempresaminera.Lacompaahafirmadorecientementeuncontratoparaproporcionar20.000horas-hombredetrabajoduranteelprximo ao (50 semanas) a la Empresa Minera XYZ, que esta en otra ciudad.Los trminosdelcontratoestipulanquelashoras-hombredebenproporcionarsesiemprequeseansolicitados.LacompaaEdeP,deacuerdoadisposicioneslaborales,debefirmaruncontrato colectivo con grupos de trabajadores que reclutan para cumplir con sus obligacionesfuera de la ciudad.Esto crea un gran problema a la compaa.Durante la duracin del contrato debe depositarse en las oficinas del Ministerio del Trabajo,una cantidad de dinero equivalente a la mitad del total contratado a pagar a cualquiera de losgrupos.EstolesignificaalacompaaEdeP$0,25anualmenteporcadadlardesucapital atado en la operacin.La compaa E de P puede contratar gente slo en la ciudad donde esta ella ubicada, as esque todos los hombres deben ser transportados a la mina.Los trabajadores tienen una jornadade 40 horas, 5 idas a la semana, la compaa E de P paga US$2 la hora.Le cuesta US$200transportar cualquier cantidad de hombres desde su ciudad a la mina.a)Culdeberasereltamaodelaordenenhoras-hombresparaminimizarloscostostotales? Por cunto tiempo debera firmarse el contrato con los grupos de trabajadores?b)Cuntos trabajadores deberan asignarse a cada grupo contratado?c)A cuanto asciende el costo por transporte al ao? Modelos Inventario Determinstico 43M. VegaR.[R:debe contratar lotes de 4000 h-h,cada10semanas,sedebensignar100hombres y Cto transporte es de $100 por ao]1.8.29 Un fabricante de carteras produce 4.000 unidades anuales.El costo de fabricacin esde US$2,5 por cartera y el costo por iniciar la produccin es de US$ 20, si el costo por tenerinventario es el 10% del inventario medio.La demanda es de 3.000 carteras al ao.a)Cuntas veces debera producirse por ao y cuntas carteras?b)Un estudio de costos posterior revelo que el costo verdadero por iniciar una produccin esdeUS$25yqueelcostoportenerinventarioesdel18%delinventariomedioQuefectos tiene esto sobre los costos variables?[R:debeproducirse44carteras,68vecesalao,elerrorenloscostodeproduccin produce un 0,45% de aumento en costos variables]1.8.30 Una compaa vende 8.000 pelucas anuales, la tasa de produccin es de 120 unidadesdiarias,lasventassonde40unidadesdiarias.Lapuestaenmarchatieneuncostode$104.000, el costo de fabricacin de una unidad es de 3.000 y la manutencin de una unidaden inventario cuesta 25% anual.a)Cul es el inventario medio?b)Cuntas veces en el ao debera producir la compaa?[ R:I medio= $608 al ao y debe producir 4,4 veces al ao]1.8.31Unacompaaconsume80.000motoreselctricosalao.Lapolticaoptimadelacompaa muestra que el costo total mnimo se obtiene cuando se efectan 12 pedidos al ao.El costo de puesta en marcha asociada a cada tanda es de $125 y el costo unitario es de $3.a)Cul es la inversin media en inventario? [ R: I media= $10.000,5 al ao]b)Si la demanda ha aumentado a 120.000 motores anuales y el costo de puesta en marcha esde $120 De qu manera se modifica el tamao del lote?[ R:con el cambio hay que producir lotes de 8000 motores]1.8.32LacompaaABQMproduceciertoproductoaunatasaconstantede13.500unidades por ao; cada unidad cuesta $2,50 por fabricacin, el costo por iniciar una vuelta deproduccinesde$30yelcostoportenerunaunidadeninventarioesdel10%anual.Lademanda es de 10.000 unidades al ao. Modelos Inventario Determinstico 44M. VegaR.a)Cul es el lote econmico optimo y conque frecuencia debe hacerse?b)Demuestre que los trminos en el CV del miembro derecho e izquierdo tienen las mismasdimensiones fundamentales ($/ao).[R:lote ptimo es de 3038 unidades y se produce 3,3 veces al ao]1.8.33Una empresa consume 125 unidades al ao de un producto, el costo de inventario esun 25% mensual del inventario promedio y el costo de pedido es de $15.Cada pieza cuesta$2 y la cantidad econmica de pedido es de 300 unidades.El flete de un embarque de 300unidades es de $95 y si se embarcan 500 unidades es de $122. Conviene pedir 500 unidadespara aprovechar el ahorro del flete? [ R: Si conviene, tiene menor costo]1.8.34Una Compaa tiene un contrato para suministrar 600 unidades en 6 meses.El costodealmacenamientoyelcostodeescasezduranteeseperiodoesde30yde60dlaresporunidadrespectivamente.Cuesta20dlaresiniciarunatandadeproduccin,silatasadeproduccin es de 2400 u/6meses. Determine:a)La frecuencia con que debe programarse la produccin y la cantidad que debe producirse.b)Determine la inversin en inventario si le cuesta US$250 la unidad.[R: seproducen127 unidades cada1,3 meses y la II media = $US 1518,75 alao]1.8.35UnaCompaanecesita1.350mezcladorasdecementoalao.ElcostodealmacenamientoanualesdeUS$40pormezcladora,elcostoporescasezesdeUS$50pormezcladoraalaoyelcostodehacerunpedidoesdeUS$150.Determineeltiempoentrepedidos, el inventario mximo y el tiempo de dficit.[R: 1,2 meses en tiempo entre pedidos, I mximo es de75 mezcladoras y 0,5meses es tiempo de dficit]1.8.36Una Compaa puede comprar golillas a cualquiera de dos proveedores.La Compaautiliza 5.000kg.degolillasalao,elcostoportenerinventarioesel10%delinventariopromedio.Si el proveedor A tiene $200 el kg. y el costo por ordenar es de $20.El precio delproveedor B es de $225 el kg. y el costo por ordenar es de $14,4.Si el costo por dficit es de$100 por unidad al ao. A que vendedor debe comprar cunto y cada cunto tiempo? Modelos Inventario Determinstico 45M. VegaR.[R: le conviene comprar a A,110 golillas cada 1,05 semanas]1.8.37UnaCompaaconsume3.000unidadesanualesdeunproducto.Elcostoportenerinventario es de $3 por unidad al ao, el costo por dficit es de $10 por unidad al ao, el costopor ordenar es de $15 por orden.La Compaa paga $20 por cada unidad y la poltica actuales comprar las piezas una vez al mes.El gerente piensa que puede haber una poltica mejor.Es esto efectivo?, de serlo, Cul seria el ahorro producido?[R: Si hay una poltica mejor y hay un ahorro de $ 13,5 al ao]1.8.38ElFASnecesita2.000pilotosnuevoscadaaoauncostoparaelGobiernodeUS$15.000porpiloto,segnestimacionesdeldepartamentodepersonal.Elgobiernoquieredemostraraloscontribuyenteslaformainteligenteenqueestgastandosusdinerosyhapuestoencirculacinunfolletomostrandoqueenlaadministracinpasadahabantresprogramas de reclutamiento al ao a un costo de US$200.000 cada uno.El gobierno actualfuecapazdereclutar2.000hombresquesenecesitabanenunsoloprogramacuyoCV=$2.000.000.El partido de oposicin opina que la actual administracin esta dilapidandola plata de los contribuyentes porque al gobierno le cuesta 12% anual mantener el programa yque esta equivocado. Esta el gobierno llevando a cabo una poltica mejor de la que hizo laoposicin? Por qu? Qu recomendara Ud.?[ R: gobierno est equivocado, la poltica anterior era la ptima]1.8.39 La compaa ABQM usa una pieza muy especial en una maquina que fabrica.En losaos anteriores el consumo anual de estas piezas ha sido 3.600.Se estima que los cargos portener inventario es del 15% y el costo de ordenamiento es $15 por orden.La compaa haestado pagando $20 por cada una de estas piezas y la poltica actual es comprar las piezas unavez al mes.El gerente piensa que existe una poltica de compra ms inteligente a seguir.a)Recomiende la mejor poltica de compra.b)Calcule cuanto es el ahorro que les producira su poltica al ao.[ R: debe comprar lotes de 190 piezas y se produce un ahorro de $ 60,8 al ao]1.8.40Unaempresaembarca400.000Kg.delubricanteporcarrosdeferrocarrildesdelaplantamezcladoraanualmente.Bajolascircunstanciasactuales,elSuperintendente Modelos Inventario Determinstico 46M. VegaR.distribuidorordenaembarquesalazarylaplantamezcladoramandaelproductocomoessolicitado.Comolosembarquesrecienteshanvariadoenpesoentre24.000Kg.y100.000Kg., ha ordenado efectuar un estudio para determinar la cantidad optima a enviar.Los datosrelevantes son:Costos fijos por orden:Carga, 12 h-h a $30/hora= 36.000Vagn FF.CC. = 10.000Gastos Adm. = 14.000Gastos fijos totales60.000Costo medio del lubricante: $50 por galn (1 galn =5Kg)Costo por tener inventario :10% anualDemanda anual :400.000 Kg.Los costos por FF.CC. varan como sigue:EmbarquemnimoCosto por Kg.($)Embarque mnimo Costo por Kg. ($)24.000 11,8 60.000 9,130.000 10,5 80.000 8,640.000 9,7 100.000 8,450.000 9,3 120.000 8,3a)Cul es la cantidad optima a enviar?b)Cul es el costo mnimo total?[ R: se deben enviar lotes de 120.000 kgr, CV = $649.799 al ao]1.8.41 Deciertocombustiblesenecesitan2toneladasdiarias.Elcostodenotenercombustible es de $0,5 toneladas al da y el costo de almacenamiento es de $0,2 toneladas alda.Lossiguientesdatoscorrespondenacompraryfabricarelcombustible:Elcostodecompraesde$14latonelada,$90elcostodehacerunatandadeproduccinysepuedenfabricar6toneladasdiarias.Esmseconmicoproducirocomprarelcombustible?[R: convieneproducir]1.8.42Unacompaapuedeproducir36.000vlvulasdiariascuandoseiniciaunaproduccin.Esta Compaa tiene contrato para entregar 20.000 vlvulas diarias.Si el costoportenerunavlvulaeninventarioduranteunaoesde$30yelcostodeiniciaruna Modelos Inventario Determinstico 47M. VegaR.produccin es de $7.500a)Cul es lote econmico? (1 ao =360 das)b)Cul es el % de aumento en costos variables si el C2= $12.000?[R:loteptimoesde89443vlvulas,elaumentocostosvariablesesdeun2,8%]1.8.43 La compaa ABQM produce cierto producto a una tasa constante de 13.500 unidadesal mes; cada unidad cuesta $2,50 por fabricacin, el costo por iniciar una vuelta de produccines de $3.000 y el costo por tener una unidad durante un ao en inventario es del 10% mensual.a)Cul es el lote econmico optimo si le demandan 1.000 unidades/mes?b)Cada cuanto tiempo se produce? Cul es el tiempo de manufactura?c)Culesel%deaumentoencostosvariablessiporproblemastcnicoslatasademanufactura es de 10.000 unidades diarias?[R: lote ptimo es de 5.091 unidades, se produce cada 5,1 mes y el tiempo defabricacin es de 1,5 semanas; se produce un aumento en CVde 20,8 %]1.8.44Enunaempresalademandaesde48.000Kg./ao,C3=140$/Kg./ao,C2=2.500orden,loslotesdepedidodebenserencajasde1.000Kg.Cadavez.Determineloteeconmico optimo y su costo mnimo.Se puede cambiar a un proveedor que permita que elpedidoseaporcualquiercantidad,sielproveedortradicionalvendec/cajade1.000Kg en$80.000Qupreciodelsegundoproveedorjustificaelcambio?[R:debecomprarselotes de 1000 kg y CV= $ 190.000 al ao; el precio debe se 80, 146 $/kg]1.8.45Una empresa fabrica 3 productos, cuyas caractersticas son:Producto i 1 2 3Demanda diaria 100 200 150Tasa producccin Da 500 800 300Costo almac. $/u/da 0,01 0,016 0,012Costo arranque 360 480 45Tiempo arranque (das) 0,25 0,25 0,5Seencontrquedebidoaltiempoquetardanlosarranqueshaycapacidadsuficienteparahacercadaproductoenlacantidaddadaporloteeconmicooptimodelmodelodemanufacturasindficit.DetermineQproducidossieltiempodearranquedelproductono Modelos Inventario Determinstico 48M. VegaR.puede comenzar hasta que se haya terminado el lote anterior.[R: lote ptimo debe ser: Q1= 3125, Q2= 4200 y Q3= 1650]1.8.46Unafabricadeproductosqumicosrequiereparasuprocesoproductivodevariassustancias,losquetransportaenuncamincuyocostoesde$120.000.Elcostodealmacenamiento es un 10% del valor del inventario.La demanda anual y precio unitario es:Sustancia 1 2 3 4C1 210 120 180 30Dda. Anual 4.800 7.200 9.000 12.000Determine: tiempo entre pedidos; lote eco. Optimo para c/tem y CVT.[R: 0,79 ao es el tiempo entre pedidos, Q1= 37.888, Q2= 5.683, Q3= 7.10 y Q4=9.472, CVT=$304.052,7 al ao]1.8.47Unaempresaentregauniformementelaproduccinde3temaunarefineradepetrleo, debido a la importancia de estos items, la empresa no puede quedar sin inventario Lademanda, costo unitario, C2 de cada tem se entrega a continuacin:Item Demanda anual C1 Costo ajusteA 83.000 40 450B 24.000 70 800C 20.000 30 1.200Cadatemseproduceseparadamenteenmaquinasquedebenajustarseyrevisarsecadavezque se inicia una tanda de produccin.El costo de almacenamiento es un 10% anual.a)Determine lote econmico optimo y su costo asociado.b) Si la bodega tiene capacidad para 3.000 m y cada unidad de A ocupa 0,15 m, B 0,8 m yC 0,2 m Cambia la solucin del problema?, De ser as, cul seria esta?[R: sin restriccin: QA= 4322, QB= 2342 y QC= 4000 y CV= $ 45.681 al ao; conrestriccin cambia solucin a: QA= 4100, QB= 2025 y QC= 3651]1.8.48Unacompaaconsume3tem,paraellorecibeenvoscada2mesesloscualesnosiempreincluyentodoslositems,elcostoporpedidoes200yademscadatipodetemadicional al que se pide aumenta su costo en $50.Los C3 y demanda se dan a continuacin: Modelos Inventario Determinstico 49M. VegaR.Item 1 2 3Demanda mensual 1.800 225 400C3 $/u/mes 2 4 1Determine lote econmico optimo.[R: Q1= 2160, Q2= 270 y Q3= 480 y CV= $ 740/mes]1.8.49 La demanda anual uniforme de 2 items es 90 ton. Y 160 ton. C3 es $250 y $200 porton/ao, C2 es de 50 y 40 cada vez.No se admite dficit.Las restricciones de espacio son de4.000m.Siunatoneladade1temocupa1.000myelotro500m.Encuentreelloteeconmico de cada tem.[R: Q1= 2, Q2= 4]1.8.50Unaempresarequieremensualmente25toneladasdeciertamateria,estadebesertrada en camiones cuya capacidad mxima es de 8 ton., el costo de transporte es de 50.000c/camin. (independiente de su carga), C3=$40/ao/ton.Costo transporte Capacidad50.000 0 a < 8 ton100.000 8 a < 16 ton150.000 16 a < 24 ton200.000 24 a < 32 tonDetermine: cul es el lote econmico optimo?, cul es su costo asociado? [R:lote ptimo es de 24 ton y CV= $1.875.480 al ao]Modelos Inventario ProbabilsticoM. VegaR.502.0 MODELOS DE INVENTARIO PROBABILISTICO Y ESTATICODentro de los modelos de inventario vistos hasta el momento, se ha considerado la demandacomo un valor conocido con certeza, cuando en realidad es una variable de la cual se conoce alosumosuvalorconunadeterminadaprobabilidaddeocurrenciaosufuncindeprobabilidad.En todo caso, se consideraran solo aquellos problemas cuya demanda tiene uncomportamiento probabilstico y esttico, cualquier otra situacin se resolver por simulacin.2.1 MODELO DE COMPRA O MANUFACTURA SIN DEFICITSupuestos:La demanda se efecta a tasa constante donde se conoce su valor esperado.Los costos no cambian en el periodo T.FIGURA 2.1 a) FIGURA2.1 b)Modelo de compra sindficit cuandoModelo de compra sin dficit cuando no existe inventario de seguridad.existe inventario de seguridad.Se vern DOS METODOS de solucin:2.1.1 Sin Inventario De Seguridad.Seutilizanlasformulasdelosmodelos1.1o1.2,dondeDesreemplazadoporelvaloresperado.n_p(x) xDModelos Inventario ProbabilsticoM. VegaR.51Serecomiendacuandolademandafluctaentrevalorespequeos,esdecir,tienepocadispersin.Se caracteriza porque el tiempo entre pedidos y Q* es fijo, pero IM es variable.2.1.2 Con Inventario De Seguridad(revisin peridica)Alutilizarelmtodoanteriorpuedeocurrirque,enalgnmomentodadosetengadficit,ycomo esto no puede pasar se trabaja con un inventario de seguridad ( So ), para lo cual, con lasfrmulas de los modelos 1.1 o 1.2:-calcular Q* y t-se determina la demanda mxima en el periodo t( t Dmax)La poltica es, cada el tiempo t se pide lo que falte para completar IM unidades.Serecomiendacuandolademandaesmuyvariableysecaracterizaportenertiempoentrepedidos e IM fijo, pero lote econmico optimo esvariable.(Supone conocido el nmero deunidades en stock en el instante t, haya revisin peridica)Silademandatieneunadistribucinnormalconmediayvarianzayelriesgodetenerdficit o porcentajede perodos en que se produce falta de stock, se tiene que:Si la demanda tiene una distribucin uniforme comprendida entre a y b, la media es a+b/2,la varianza es (b - a)/12 y un riesgo de tener dficit, se tiene que:Nota: Si se trabaja con un modelo de compra, la tasa de reaprovisionamiento es instantnea.So * Q IM* Q - DmaxtSo+ - Z So a) - )(b - (0,5 So Modelos Inventario ProbabilsticoM. VegaR.52Ejemplo 2.1El costo por ordenar es de $160, el costo de almacenamiento es de 0,1 [$/u/sem] y la demandasemanal tiene la siguiente distribucin:Demanda (sem) 150 200 250Probabilidad 0,3 0,4 0.3Determine el lote econmico optimo y su costo asociado.Solucin.C3=0.1C2= 1601: -Sin stock seguridad t = Q/D =800/200 = 4 [sem]CV*=C2D/Q +C3 Q/2 =160 * 200/800 +0,1 * 800/2 =80 [$/sem] Lapolticaoptimaespedir800[u]cada4semanasyelcostoesperadoesde$80alasemana.2:-Con stock de seguridad.So= 4 * 250 - 800 =200IM* = 200 + 800 = 1000CV*= C2 D/Q + C3 ( Q+So) /2=160 * 200 / 800 + 0,1* 1.000/2=90 [$/sem] La poltica es pedir cada 4 semanas lo que falte para completar las 1.000 unidades yel costo esperado es de $90 a la semana.[ ] [ ] u 800 200/0,1 * 160 * 2 D/C3C2 2 Q* u/sem 200 D_ Modelos Inventario ProbabilsticoM. VegaR.53Ejemplo 2.2Suponga que en el ejemplo 2.1 la demanda se distribuye normalmente con media 200 [u/sem]y desviacin tpica de 20 [u/sem].Determine el inventario de seguridad si se trabaja con unriesgo de un 5%.Solucin. = 200 = 20Q* = 800Z95% = 1,645 So = 20 *1,645 =23,3IM= 833 [unidades al mes]CV =160 * 200 / 800 +0,1 * 833/2 =81,65 [$/sem] La poltica es pedir cada 4 semanas lo que falte para completar las 833 unidades y el costoesperado es de $81,65 a la semana.Ejemplo 2.3Supongaqueenelejemplo2.1lademandasedistribuyeuniformementeentre150y250u/sem.Determine inventario de seguridad con un riesgo de un 5%.Solucin.D =150+250=200 Q*=800So=(0,5 0,05)(250-150)=45 2IM=845 [unidades al mes]CV =160*200+ 0,1 * 845=82,25 [$/sem] 800 2 La poltica es pedir cada 4 semanas lo que falte para completar las 845 unidades y el costoesperado es de $82,25 a la semana.Modelos Inventario ProbabilsticoM. VegaR.54 2.2 MODELO DE COMPRA CON DEFICIT, CONSUMO INSTANTANEO.Supuestos:La demanda es una variable aleatoria y se consume instantneamente.Los costos no cambian en el periodo T.Hay revisin peridica (t es conocido, fijo)La tasa de reaprovisionamiento es instantnea.Antes de tomar la decisin se puede saber si el nivel del inventario es positivo o no.Sea X variable aleatoria de la demanda,I el nivel de inventario existente e Y el nivel optimode inventario.Si X< I, el inventario final es > 0Si X> I, el inventario final es < 0Por lo tanto existe costo de almacenamiento si Y > X y ser C3(Y-X), y existe costo de dficitsi Y < X y ser C4(X-Y).El costo total esperado (CTE) ser:CTE= costo produccin o compra + costo almacenamiento + costo dficitSi la variable es discreta y u es la amplitud de intervalo, se tiene:FIGURA 2.2:Modelodecompracondficityconsumo instantneoModelos Inventario ProbabilsticoM. VegaR.55p(X) Y) - (X C4 p(X) X) - (Y C3 1) - (Y C1 CTE(Y)u yy0 ++ + ++ + + + +yu - y0u yy0p(X) u) Y - (X C4 p(X) X) - u - (Y C3 1) - u - (Y C1 p(X) Y) - (X C4 p(X) X) - (Y C3 1) - (Y C1 +++ + + + + + +2u yu y0u yy0p(X) u) Y - (X C4 p(X) X) - u (Y C3 1) - u (Y C1 p(X) Y) - (X C4 p(X) X) - (Y C3 1) - (Y C1C4 C3C1 - C4p(X)u - y0+Y es optimo siCTE(Y) CTE(Y-u) i)YCTE(Y) CTE(Y+u) ii)De i) se tiene:Reduciendo se tiene:De ii) se tiene:Reduciendo se tiene:Si la variable es continua se tiene:C4 C3C1 - C4p(X)u - y0+ + + y0 ydx f(x) Y) - X ( C4 dxX)f(x) - (Y C3 I) - C1(Y CTE(Y) + + y0 y0 dx f(x) C4 dxf(x) C3 C1 /dY dCTE(Y)Modelos Inventario ProbabilsticoM. VegaR.56 yy0dx f(x) - 1 pordxf(x)+y0C4 C3C1 - C4dxf(x)ReemplazandoSe tiene:Ejemplo 2.4Untipoderepuestostieneconsumoinstantneoysucostoesde2millones,elcostodealmacenamiento es de 1 milln y el costo de dficit es de 4 millones.Determine la polticaoptima y su costo variable asociado, si la demanda mensual es la siguiente:Demanda 0 1 2 3 4 5Probabilidad 0,10 0,20 0,25 0,20 0,15 0,10Prob. Acumulada 0,10 0,30 0,55 0,75 0,90 1,00Punto critico es:(4-2)/(4+1)=0,4 Y* = 2 [ y-1 = 1 o Y = 2]Por lo tanto el nivel de inventario optimo es de 2 repuestos, para cada periodo de revisindado, si el numero de repuestos es 2, no se ordena nada, si es 2 se ordena 2 Irepuestos yel costo variable esperado es de 3,6 millones de [$ al mes].Ejemplo 2.5Un articulo tiene una demanda mensual continua dada por:Si el consumo es instantneo, su costo unitario es de $50, el costo de almacenamiento es de50[$/u/m] y el costo de dficit es de 450 [$/u/m].Determine la poltica optima y costo. + 2053[mill/mes] 3,6 p(X) 2) - (X 4 p(X) X) - (2 CVE(2)'> 1.000 x si 01.000 x0si 1/100f(x)Modelos Inventario ProbabilsticoM. VegaR.57Solucin.La poltica optima para el periodo de revisin dado, es no ordenar si se tienen 800 o msunidades y ordenar 800 I si hay menos de 800 unidades es stock y el costo variable esperadoes de $25.000 al mes.2.3 MODELO DE COMPRA CON DEFICIT, CONSUMO UNIFORMESupuestos:La demanda es una variable aleatoria y se consume uniformemente.Los costos no cambian en el periodo T.Hay revisin peridica (t es conocido, fijo)La tasa de reaprovisionamiento es instantnea.[ ] u 800 Y* 0,8 50) 50)/(450 - (450 dx100010 + y + 80001.00080025.000 dx800) - (X1000450dx) X 800 (100050CVE(Y)FIGURA 2-3Modelo de compracon dficit Y consumouniformeModelos Inventario ProbabilsticoM. VegaR.58Antes de tomar la decisin se puede saber si el nivel del inventario es positivo o no.SeaXvariablealeatoriadelademanda,IelniveldeinventarioexistenteeYelniveloptimodeinventario.Si X < I el inventario final es >0, si X > I, el inventario final es < 0.Por lo tanto existe costode almacenamiento si Y > X ser C3 (Y-X), y existe costo de dficit si Y < X y ser C4 (X-Y).Si la variable es discreta y u es la amplitud de intervalo, se tiene:Y es ptimo si CTE (Y) CTE (Y-u)i)Y CTE (Y) CTE (Y+u)ii)De i) se tiene:Reduciendo se tiene:De ii) se tiene +++ + + u y2u y2y0p(X)2XY) - (XC42Xp(X)Y C3 p(X) )2X- (Y C3 I) - C1(Y CTE(Y)( ) ++++++ + + + + +u y2u y2y0u y2u y2y0p(X)2Xu) Y - (XC42Xp(X)u - Y C3 p(X) )2X- u - (Y C3 I) - u - C1(Yp(X)2XY) - (XC42Xp(X)Y C3 p(X) )2X- (Y C3 I) - C1(Y( ) ++++++ + + + + + + +u 2 y2u 2 y2u y0u y2u y2y0p(X)2Xu) Y - (XC42Xp(X)u - Y C3 p(X) )2X- u (Y C3 I) - u C1(Yp(X)2XY) - (XC42Xp(X)Y C3 p(X) )2X- (Y C3 I) - C1(Y + + +u - y0 yC4 C3C1 - C4

Xp(X)Y)2u( p(X)Modelos Inventario ProbabilsticoM. VegaR.59 +Y Y C4 C3C1 - C4dx Xf(x)- 1 pordxf(x)Reduciendo se tieneSi la variable es continua se tiene:Reemplazando:Se tiene:Ejemplo 2.6Resolviendo el ejemplo 2.4 y suponiendo que el consumo es uniforme.Se tienen lossiguientes valores dados en la tabla.(a) (b) ( c) (d)x p(x)5 p(x) 0y+u2p(x)x5 p(x) y+1 x(b)(c) (a)+(d)0 0,10 0,10 0,5 - 0,4490 0,2245 0,32451 0,20 0,30 1,5 0,2000 0,2490 0,3735 0,67352 0,25 0,55 2,5 0,1250 0,1240 0,3100 0,86003 0,20 0,75 3,5 0,0666 0,0573 0,2000 0,95004 0,15 0,90 4,5 0,0375 0,0198 0,0891 0,98915 0,10 1,00 5,5 0,0200 0,0000 0,0000 1.0000 + + + y2y2y0dx f(x)2XY) - (XC4 dx f(x)2XYC3 dx f(x) )2X- (Y C3 I) - C1(Y CTE(Y)0 dx f(x)XY) - (XXC4dx f(x) C3 dx f(x) C3 C1 dCTE(Y)/dYyy0 + + YC4 C3C1 - C4dxXf(x)Y dx f(x)yy0+ + ++ + +y0 u yC4 C3C1 - C4 Xp(X)Y)2u( p(X)Modelos Inventario ProbabilsticoM. VegaR.60Solucin:Como el punto critico es 0,4, se tiene que Y*=1 no se ordena si existe un repuesto en stockenelperiododerevisin,yseordena1repuestosinosetienestock.Elcostovariableesperado es $2,422916 millones al mes.Ejemplo 2.7Suponiendo el ejemplo 2.5 con consumo uniforme.Solucin.Y Y ln Y + 6,9 Y = 800 8 Y Y ln Y 800 = 0Se determina Y por tanteoY=600 162=0Y=500 93=0Y=400 3,5=0 Y*Y=380 -17=0Por lo tanto Y*=400 unidades y el costo variable esperado es de $20.392,26 al mes.NOTA: Si en algn problema se tiene precio de costo actual (C1), precio de costo futuro (C4),costo de almacenamiento (C3) y no se tiene costo de dficit, pues este se asocia con el nuevoprecio de compra.Se utiliza el modelo 2.2 o 2.3 dependiendo del tipo de consumo.Se debecumplir que precio de costo futuro es mayor que el precio actual.Si en algn problema no se tiene precio de costo (C1), se trabaja slo con C3 y C4.[mill$/m] 2,422916 p(X)2X1) - (X42Xp(X)p(X) )2X- (1 CVE(1)522 5210 + + +1000yy00,8X 1000dxy1000dx$/m 26 20392, dx 2X400) - (X 1000450dx 2X400 100050dx)2X- (400100050CVE(400)40001000400210004002 + + Modelos Inventario ProbabilsticoM. VegaR.612.4 MODELO DE COMPRA CON DFICIT, CON DEVOLUCIONSupuestos:La demanda es una variable aleatoria y se consume instantneamente.Se conoce el precio de compra ( pc), precio de venta (pv) y precio de devolucin (pd), los queno cambian en el periodo T, donde pd pc pv.Hay revisin peridica (t es conocido, fijo).La tasa de reaprovisionamiento es instantnea.Antes de tomar la decisin se sabe el nivel de inventario.Sea X variable aleatoria de la demanda,I el nivel de inventario existente e Y el nivel optimode inventario.Sea UE la utilidad esperada.Si X > I, UE(Y)= Y pv pc YSi X < I, UE(Y)= X pv + (Y X) pd - pc YSi la variable es discreta se tiene:Y es optimo si UE(Y) UE(Y-u) i)y UE(Y) UE(Y+u) ii)De i) se tiene:[ ] + + +y0 u yp(x) Y pc - X) - (Y pd pv X p(x) Y pc) - (pv UE(Y)Y pc - p(x) X) - (Y pd p(x) xpv p(x) pv Yy0y0yu y + + +Modelos Inventario ProbabilsticoM. VegaR.62 pd - pvpc - pvp(X)y0pd - pvpc - pvp(x)y0Reduciendo se tiene:De ii) se tiene:Reduciendo se tiene:Si la variable es continua se tiene:ReduciendoSe tiene: + + + ++u - y0u - y0 yy0y0 u yu) - (Y pc - p(x) I) - u - (Y pd p(x) xpv p(x) pv u) - (YY pc - p(x) X) - (Y pd p(x) xpv p(x) pv Y + + +++ + + + + + +u y0u y0 2u yy0y0 u yu) (Y pc - p(x) I) - u Y pd p(x) xpv p(x) pv u) (YY pc - p(x) ) I - (Y pd p(x) xpv p(x) pv Y[ ] dx f(x) Y pc - I) - pd(Y pv I dx f(x) Y pc) - (pv (Y) UEy0 y + + [ ] + y0y0pc) - Y(pv dxf(x) pd - pv Y - dx f(x) xpd) - pv ( + y00 pc - pv dxf(x) pd) - (pv - /dY (Y) UE dy0pd - pvpc - pvdxf(x)Modelos Inventario ProbabilsticoM. VegaR.63Ejemplo 2.8Enunapanaderaelcostodelpanfrescoesde$12launidadysevendeen$20,elpannovendidoeneldaregresaalafabricayseutilizacomoinsumoparaalimentosdecerdos,vendindose a $10 el pan.Determinecuantopanproducirdiariamente,silademandatieneunadistribucinuniformeentre100y200panesporda.Indiquelautilidadesperada.Sisetienequedistribucinuniforme es 1/ (b - a) a x b y suponemos que el panse consume de manera instantnea.SolucinPorlotantosedebenproducir180unidadesdepandiariamenteylautilidadesperadaes$1120 al da.Ejemplo 2.9Suponga que en el ejemplo anterior la demanda tiene la siguiente distribucin diaria:X p(x) P(x) X p(x) Y-X (Y - X) X80 0,05 0,05 4 100 5100 0,08 0,13 8 80 6,4120 0,15 0,28 18 60 9140 0,30 0,58 42 40 12160 0,15 0,73 24 20 3180 0,10 0,83200 0,12220 0,0596 35,4180 Y* 80 100 - Y 0,810 - 2012 - 20dx1001y0 [ ] [ ] $/da 1120 1.440 100 - 180 18 -2100 - 180 01 , 0 12) - (20 180 dx 10010] - [20 180dxx)10010 - 20( (180) UE2 2180100180100 +1]1

+ Modelos Inventario ProbabilsticoM. VegaR.64Porlotantosedebenproducir180unidadesdepandiariamenteylautilidadesperadaes$1.096 al da.2.5 MODELO DE COMPRA CON DFICIT, CON COSTO FIJOSupuestos:Corresponden a los asociados con los modelos 2.2 y 2.3, pero donde se tienen un costo fijo,sea este el valor K, de modo que:CTE(Y)n= K+ CTE(Y)Como K es una constante, CTE (Y)n y CTE(Y) deben tener el mismo mnimo.Se define s como el punto que satisface la ecuacin:C(s) =CTE(Y)n = K+CTE(Y)Se determina s y la decisin es: y0180 * Y 8 , 010 - 2012 - 20p(x) + + +y0y0yu yY pc - p(x) X) - (Y pd p(x) xpv p(x) pv Y UE(180)[ ] /d $ 096 . 1 180 * 12 4 , 35 * 10 96 * 20 27 , 0 * 20 * 180 + + FIGURA 2.4:Modelo de compracondficity concosto fijoModelos Inventario ProbabilsticoM. VegaR.65Si I < s se ordena Y-I unidades, pues el costo de no ordenar es mayor que el costo de ordenaruna unidad adicional, siempre que no sobrepase Y*.Si I s no se ordena, pues el costo de no ordenar es menor que el costo de ordenar.Alternativamente: Si CTE(I) > CTE(Y*) + K se pide lo que falte para completar Y*.Si CTE(I) CTE(Y*) + K no se pide.Ejemplo 2.10Suponiendo que en el ejemplo 2.5 se tiene un costo fijo de $2.500 por hacer el pedido, cul esla nueva poltica optima?SolucinRecordando que Y*=800 sin considerar el costo fijo y que CVE(800) =25.000.= 0,25 Y2 450 Y + 225.000 50 Ireemplazando Y por s en C(s) = K + CTE(Y) se tiene0,25 s -450 s +225.000 50 I =2500 + 160.000 360.000 +225.000 50 Is - 1800 s +197500=0s=759, por lo tanto se piden lo que falte para completar 800 unidades cuando I 0,5 + 3.6 mill = 4,1 millSi I = 1 CTE(1) = 6,1 mill > 0,5 + 3.6 mill = 4,1 millSi I = 2 CTE(2) = 3,6 mill < 0,5 + 3.6 mill = 4,1 millPor lo tanto se pide lo que falte para completar 2 unidades cuando se tenga 1 o 0 unidades enstock.2.6 MODELO DE COMPRA CON DFICIT Y PUNTO DE REORDENSupuestos:La demanda es probabilistica y el consumo es uniforme.Cuandoexisteuntiempodeentrega,seaesteL,elpedidodebehacersecuandolacantidadalmacenada ha descendido al punto Re(reorden), se considera un stock de seguridad.Si el consumo es a una tasa =Re/L.FIGURA 2.5:Modelodecompracondficit y punto de reordenModelos Inventario ProbabilsticoM. VegaR.67Si la tasa de consumo >Re/L, hay un faltante L -Re = L( - Re/L),a un costo de C4( - Re/L) y el costo esperado esta dado por:Si del producto se hacen Q unidades a la vez, a la larga habr, /Qciclosdeinventarioencada periodo, por lo tanto, el costo esperado por falta de existencia por periodo es:El costo esperado de inventario de seguridad, independiente del lote econmico, es:C3(Re - L)El costo esperado de inventario de seguridad es:Donde Q* =2 C2 /C3 yCTE Total = CTE(So) + 2 C2 C3NOTA: Para variable discreta se cambia la integral por la sumatoria.du f(u) )LRe- ( L* * C4Re/L Re/Ldu f(u) )LRe- ( * L * C4 * /Q du f(u) )LRe- ( * L * C4 *Q) L - (Re C3 CTE(So)Re/L+ 0Re/L0F(u) )L1 -( L C4QC3 Re dCTE(So) d + 0LF(Re*)1QC4- C3 1]1

C4* Q C3- 1LF(Re*)Modelos Inventario ProbabilsticoM. VegaR.68Re/L(Z*) L s duf(u) )LRe- ( En distribucin normal: Re*/L = + Z * donde =1 -C3 QC3 La integral del costo en una distribucin normal es:, donde L(Z*) es la funcin deperdida normal unitaria ( en tabla)Por lo tanto:En distribucin rectangular:La integral de costos en una distribucin rectangular es: Por lo tanto:p(u) )LRe- (uSo C3 CTE(So)Re/L+ (Z*) L L C4 *Q So C3 CTE(So)+ C4Q C3- 1 con, a) - b ( a L* Rey C4* Q C3- 1a - ba - Re/LF(Re/L)a - b1f(u) + Re/L a) - 2(bRe/L) - u(du a - bRe/L) - (udu f(u) Re/L) - (ubRe/LbRe/L a) - 2(bRe/L) - (b L C4*QSo C3 CTE(So)2+ Modelos Inventario ProbabilsticoM. VegaR.69Ejemplo 2.12Lademandaanualdeunbiensedistribuyenormalmenteconmedia5.000unidadesydesviacin de 100.El costo de reabastecimiento es de $1.000, el costo de almacenamiento esde $10[u/ao], el costo dficit es de $20 [u/ao], el tiempo de abastecimiento es de dos meses.Encuentre punto de reorden, cantidad a pedir, inventario de seguridad y costo optimo.SolucinQ*=2 * 1.000 * 5.000 /10 =1.000 L=1/6 aosepiden1.000unidadescuandoenstockhaya588unidades,delascuales21soninventario de seguridad, el costo esperado es de 10.289 [$/ao]1,282 Z 0,95.0001.000 2010- 1 F(6Re) 0,9 5128,2 100 * 1,282 5.000 1,282 Re 6 + + [ ] unid. 21 L - Re So unidades 855 5.128,2/6 Re 0,0473 L(1,282) que dadoL(Z*), L C4 *QSo C3 CTE(So) + 289 0,0473 * 100 *6 1.00020 * 5.00021 * 10 (So) CTE + 289 . 10 289 10 * 5.000 * 1.000 * 2 Total CTE + Modelos Inventario ProbabilsticoM. VegaR.70Ejemplo 2.13Supongaahoraqueenelejemplo2.12ladistribucinesrectangularconmedia5.000ydesviacin de 100.SolucinEn distribucin rectangular la media = (a + b)/2 y desviacin = (b - a)/ 12a =4.827 y b = 5.173.Recordemos que F(6 Re) = 0,9yQ*=1.0006 Re= 4.829+ 0,9 (5.173 4.827)=5.138,4=Re = 856 unidadesSo =856 5.000 /6 = 23 unidadesa) - 2(bRe/L) - (bL C4 * /Q So C3 CTE(So)2 + 2314.827) - (5.173 2 * 65.138,4) - (5.173 20

10005.00023 * 10 (So) CTE + 231 . 10 231 10 * 5.000 * 1.000 * 2 Total CTE + Modelos Inventario ProbabilsticoM. VegaR.71Ejemplo 2.14Enunaempresalosreabastecimientoscuestan$2.500cadauno,hayuncargodealmacenamientode$20[u/ao],elcostodelfaltanteesde$40[u/ao],eltiempodeabastecimiento es de 1,5 meses (1/8 ao).Determine la poltica optima si la distribucin de lademanda anual es la siguiente:Demanda mnima 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000Demanda mxima 1.999 2.9999 3.999 4.999 5.999 6.999X 1.500 2.500 3.500 4.500 5.500 6.500p(x) 0,02 0,08 0,10 0,20 0,35 0,25P(X) 0,02 0,10 0,20 0,40 0,75 1,00SolucinEntre6.000y6.999hay999unidadesconprobabilidad0,25cuantasunidadeshayentreprobabilidad 0,8886 y 0,75?Por regla de tres se tiene : (0,8886 0,75)999/0,25 = 554 [u].Por lo tanto Re/L= 6.554 Re* = 819 [unidades] y So = 190[u].Elprimertrminoseobtienedelasiguienteforma:entre6.554y6.999correspondeunaprobabilidad de 1 0,8886 = 0,1114 si se toma el promedio de 6554 y 6999 da 6776,5. unid. 121 . 1 205.030 * 2.500 * 2* Q 5.030 p(X) X D8886 , 05030 * 401.121 * 20- 1 Re) F(8 So C3 p(X) /L Re - p(X) X CTE(So)Re/L Re/L+ 4361 190 * 208 * 121 . 124,79 * 40 * 5030CTE(So) + [$/a] 26.789 361 . 4 428 . 22 361 . 4 20 * 5.030 * 2.500 * 2 Total CTE + + Modelos Inventario ProbabilsticoM. VegaR.722.7 PROBLEMAS PROPUESTOS.2.7.1.La demanda de un tipo de velero por el periodo de vacaciones tiene una distribucin dePoissonconmediade10veleros.Lademandaocurreinstantneamentealprincipiodelperiodoyelcostounitariodemantenimientoydedficitesde$1.000y$90.000respectivamente.El costo del velero es de $60.000.Cul debera ser la produccin optimadevelerosdadoquesetienen2unidadesenexistencia?[Pedirloquefalteparacompletar8 veleros, es decir,se deben pedir 6]2.7.2Suponga que el consumo mensual de gas tiene la distribucin:El costo unitario de mantenimiento es de $10 [kg/mes] y el costo penal es de $30 [kg/mes] elcostodeadquisicinesde$20[kg].Resuelvaelproblemaparaelcasodeconsumoinstantneo y uniforme [Pedir lo que falte para completar 15 kgr, y 3,5 kgr]2.7.3. El costo unitario de una bicicleta con motor es de $10.000.El costo de mantenimientoesde$1.000.Silacantidadoptimadeproduccines4unidades,nosetienenunidadeseninventario; encuentre el valor del costo penal dada la siguiente distribucin de probabilidad yconsiderando la entrega inmediata. [17.363 C4 < 31.000]X 0 1 2 3 4 5 6 7 8p(X) 0,05 0,10 0,10 0,20 0,25 0,15 0,05 0,05 0,052.7.4 Un kiosco compra revistas a $200 y las vende a $250.El costo de dficit es de $310.Elcostodealmacenamientoesde10[$/u/ sem].Lademandatieneunadistribucinuniformeentre 200 y 300 revistas por semana con consumo instantneo.Encuentre la poltica optima.[max: comprar 200 revistas/semana; min: comprar 236 revistas/semana]2.7.5La demanda anual de tcnicos, tiene una distribucin exponencial dada por:30 x 0 1/30 (x) Modelos Inventario ProbabilsticoM. VegaR.73Los tcnicos se obsoletizan en 1 ao y por lo tanto se les debe capacitar al principio de ao.Lacapacitacinunitariacuesta$20.000peroaumentaa$60.000siselescapacitafueradetiempo.El sueldo de un tcnico es de $120.000 contabilizado al final del periodo, determineel numero de tcnicos que se deben capacitar por periodo. [166 tcnicos]2.7.6Encuentre la poltica optima de un producto para un periodo, con consumo instantneo,que tiene la siguiente distribucin:El costo unitario de mantenimiento es de $100, el costo unitario de dficit es de $500, el costounitariodeadquisicinesde$300yelcostofijoesde$500.Laentregadelproductoesinstantnea y se tienen 10 unidades en inventario inicial. [se pide si I < 6,25 unidades]2.7.7Resuelva el ejercicio anterior si la distribucin de demanda es:[se pide si I < 6,25 unidades]2.7.8En una panadera el costo de un pan es de $12 y se vende a $20 siempre y cuando el pansea del da, el pan no vendido regresa a la fabrica y se utiliza como insumo para alimento decerdosa$10elpan.Ladiferenciaentrepanfrescoyaejorepresentaelcostodealmacenamiento.La demanda que no se puede satisfacer ese da le cuesta a la panadera $25.La demanda tiene distribucin uniforme entre 100 y 200 panes al da.a).Cuanto pan debe producir diariamente para minimizar los costos? [148 panes]b).Cunto pan debe producir para maximizar su utilidad? [180 panes]0 x e 1/50 x) (-x/150 5 x 0 1/5 (x) inicial inventario de tiene se no y0 x e x) (-x Modelos Inventario ProbabilsticoM. VegaR.742.7.9Un vendedor de peridicos compra la unidad en $10 y la vende en $13.La demanda porda tiene la siguiente distribucin:X (unidades 100) 0 1 2 3 4 5p(X) 0,10 0,20 0,25 0,20 0,15 0,10a) Si los diarios no vendidos se pierden totalmente, determine el lote optimo a pedir.[100 diarios]b)Siesposiblerecuperarporcadadiarionovendido$1,determineelloteoptimoapedir.[100 diarios]2.7.10Una imprenta debe decidir cuantos calendarios debe ordenar para el prximo ao.Esposible reordenar y las unidades que sobran no tienen valor.La siguiente tabla es la demandaestimada por la imprenta:X (miles) 10 20 30 40p(X) 0,1 0,2 0,4 0,3Si el precio de venta es de $1.000 /mil y el costo de $700 /mil.a)Suponga consumo instantneo. [20 mil unidades]b)Suponga consumo uniforme. [10 mil unidades]2.7.11El consumo anual de un producto se distribuye normalmente con media 900 unidades yuna desviacin de 130 unidades.Si el costo de almacenamiento es de $25 [u/ao], el costo dedficit es de $12 [u/ao], el tiempo de abastecimiento es de 4 meses y el costo por ordenar esde $200.Determine la poltica optima y su costo asociado. [Pedir 380 unidades cuandohayan 398 en stock y el CVEtotal= 5455 $/ao]2.7.12Resuelva el problema anterior pero donde la distribucin no es normal sino que es lasiguiente:X 4.600 4.800 5.000 5.200 5.400 5.600 5.800 6.000p(X) 0,05 0,10 0,15 0,20 0,20 0,15 0,10 0,05.[Pedir 206 unidades cuando hayan 1913 en stock y el CVEtotal= 10949 $/ao]Modelos Inventario ProbabilsticoM. VegaR.752.7.13El consumo semanal de un producto se consume de modo uniforme con la siguientedistribucin:X 0 1 2 3 4 5 6 7 8p(X) 0,05 0,10 0,10 0,20 0,25 0,15 0,05 0,05 0,05Si el costo de almacenamiento es de $12 u/semana y el costo por ordenar es de $200.a) Determine la poltica optima sin considerar stock seguridad. . [Pedir 11 unidades]b)Determinelapolticaoptimaconsiderandosstockseguridad..[Pedirfalteparacompletar 24 unidades]c)Determine el costo asociado con a) y b) . [CVEa= 145,3y CVEb = 210 $/semana]2.7.14El gerente de comercializacin de una fabrica de pintura esta tratando de decidir cuales el mejor numero de avisos para sus distribuidores que el debera ordenar.El departamentode ventas le ha dado las siguientes estimaciones, basadas en datos histricos de las aperturasdenuevosdistribuidores(acadanuevodistribuidorseledaunavisonoseconsideranlosreemplazos)NECESIDADES/mes PROBABILIDADES75-100 0,01101-125 0,05126-150 0,16151-175 0,25176-200 0,30201-225 0,15226-250 0,05251-275 0,02276-300 0,01Eldepartamentodecomprasharecibidounaseriadeproductosdevariosproveedores,lamejordeellasdicequehabruncostode$100porcadaordenyquecadaunidaddeproduccincostara$25.Elgerentedecomercializacinacabadeleerunmemorndumdelcontralor informndole que el cargo a su seccin por el exceso del capital de trabajo ha sidoaumentadoal10%mensual.Paraminimizarsuscostostotales,Cuantosavisosdeberaordenar el gerente de comercializacin? . [Poner 119 avisos y el CVE= 3125 $/mes]Modelos Inventario ProbabilsticoM. VegaR.762.7.15En una empresa el costo por tener inventario es de $5/u/mes y el costo de dficit es de$8/u/mes.Si la demanda mensual esta dado por:Determineelniveloptimodeinventarioysucostoasociado,supongaqueelconsumoesinstantneo. [se pide lo que falte para completar 11 unidades y CVE = 40,5 $/mes]2.7.16En una empresa se tienen periodos de reaprovisionamiento mensual, la demanda parados productos es aleatorio y se rige por:Sielcostoportenerinventarioesde$1[u/mes]yelcostodedficitesde$4[u/mes].Determineelniveloptimodeinventarioparacadaproducto,supongaconsumoinstantneo.[se pide lo que falte para completar 1 para bien X1 y 3.5 para bien X2]2.7.17Enunaempresaunproductoseadquieremensualmente.Estudiosdelademandacorrespondiente a periodos de dos meses dieron lo siguiente:X 0 10 20 30 40p(X) 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2Si el costo de almacenamiento es de $2[u/m], el costo de dficit es de $8/u/m.Determine elnivel optimo de inventario, suponga consumo instantneo y consumo uniforme.[sepideloquefalteparacompletar30unidadesconsumoinstantneoy20unidades consumo uniforme]2.7.18Lademandasemanaldeciertoproductoserigeporp(X)=0,25parax=10,20,30,40Kg.El costo por tener inventario es de $1 [Kg/sem]y el costo por ordenar es de $50.a)Determine Q, t y Re de modo de minimizar costos, si no se permite dficit y L=2 semanas.[Q=50, t= 2 sem, Re=50]b)Determine el costo variable y el inventario mximo. [CV=50 $/sem, Im=50]c)Cul es la solucin si utilizastockdeseguridadycuantoeselcostovariable?[pideloque falte para completar 80, CV=50 $/sem, Im=80]0 X e 0,09 f(X)-0,09X 6 X2 11/5 f(X2) 0 X1 e X1 f(X1)-X1 Modelos Inventario ProbabilsticoM. VegaR.772.7.19Una firma comercial tiene un contrato para abastecer de un material a 10 empresas, lasque durante el periodo de un mes pueden solicitar o no el material con igual probabilidad deocurrencia.Encasoquesesoliciteelmaterial,debeentregarseunlotede10[ton]acadaempresa.Cada vez que este material es solicitado y no se tiene stock se incurre en un costo de$3.000 [ton/m].Suponiendo que la demanda en un mes es independiente del mes anterior yque el consumo es uniforme.a) Determine el nivel optimo de inventario. [completar4 unidades de 10 ton]b) Suponga que la situacin en inventario ha sido la siguiente:Mes 1 2 3 4 5 6 7 8N solicitudes 3 8 1 2 7 10 4 2Determine el tamao de los pedidos correspondientes. [pide 4; 3; 4; 1 ;2 ;4; 4; 4]2.7.20LademandadeautosdeunadistribuidoraesPoissonconmedia3[autos/sem].Elcosto por ordenar es $2.000, el costo almacenamiento es $400 [a/sem] y el costo de dficit esde $2.000 [a/sem], el consumo es uniforme.a) Determine el nivel optimo de inventario y su costo variable si se pide todas las semanas.[se [pide lo que falte para completar 3 unidades y CVE = 934,5 $/semana]a)Encuentre el costo esperado si se pide todas las semanas para completar 5 autos.[ CVE = 1437,2 $/semana]2.7.21La demanda mensual de cierto bien esta dado por la funcin:El costo por tener una unidad en inventario es de $12 al mes y el costo de dficit es de $18[u/mes], el consumo es uniforme.Encuentre la poltica optima y el costo esperado mnimo.[se pide lo que falte para completar 4 unidades y CVE = 104,3 $/mes]2.7.22 La demanda de un producto se distribuye normalmente con media 10.000 y desviacinde300.Elcostodedficitesde$12[u/a],elcostodealmacenamientoesde$0.8[u/a],elcosto por ordenar es de $40, el tiempo de entrega es de un mes. Determine la poltica ptima ysu costo asociado.a) la distribucin es normal [se pide 316 cuando hay 885 y CVE = 3014 $/ao]25 X 0 1/25 f(X) Modelos Inventario ProbabilsticoM. VegaR.78b) la distribucin es uniforme [se pide 316 cuando hay 875 y CVE = 2872,6 $/ao]2.7.23 Un minorista estima que la demanda media de un tem ser de 1.800 unidades al ao. Eltiempodeabastecimientoesde20dasydurantedichoperiodolademandaesde100unidades y la desviacin es de 30. El costo de escasez es de $ 5 [u/a], el costo de colocar unaorden es de $100, el de mantener un tem durante un ao es $50. Determine Q y Re y So. [sepide 281 unidades y lo que falte para completar 60 unidades de stock seguridadpara 20 das de entrega]2.7.24Usandolafrmulaparaelloteeconmicohadeterminadoqueelnmerooptimoderodamientos H 203 es de 5.000 por orden y que el nmero optimo de ordenes es 4 al ao.Investigacionesadicionalesdemostraronqueeltiemponormaldedemoraesde4das(esdecir, el tiempo que transcurre entre el momento de ordenar y el instante que el inventario escero), y la probabilidad de consumo durante este periodo es la siguiente: (suponga consumouniforme)Consumo Durante Periodo De Ordenamiento Probabilidad125 0,05250 0,10375 0,15500 0,30625 0,20750 0,15875 0,05Si el costo por no tener stock es de $20 por tem y el costo anual por tener una unidad en stockde seguridad es de $5, de qu tamao debera ser el inventario de seguridad de la compaaXYZ? [se pide los 5000 y lo que falte para completar 375 de stock de seguridad]2.7.25 El anlisis de un producto en un local de ventas, establece que durante el ltimo ao lademandahafluctuadoentre10y79unidadesdiarias.Ladistribucindelademandaeslasiguiente:Demanda diaria 10- 19 20- 29 30- 39 40- 49 50- 59 60- 69 70- 79probabilidad 0,05 0,15 0,25 0,20 0,15 0,10 0,10Modelos Inventario ProbabilsticoM. VegaR.79El precio de costo unitario es de $25. Cul es el tamao del lote de compra?,si el productoquesecompreenundasepuedevenderaldasiguienteen$35launidad,peroaldasubsiguienteslosepuedevendera$10,perosepuedenvendertodaslasunidades.[secompran lotes de 35 unidades]2.7.26Unaempresaestporordenarunnuevogeneradorparasuplanta,unadelaspartesesencialesdelgeneradoresmuycomplicadaycarayesprcticoordenarlajuntoconelgenerador. Se desea saber cuntas unidades ordenar junto con el generador, el costo cuando seordenacon el generador es de US$500, si el repuesto se ordena cuando se produce la fallacuestaUS$10.000(sedetieneprocesoproductivo),elcostodealmacenamientoesel2%mensual. (Consumo instantneo). Un estudio de plantas similares entrega la siguiente entregala siguiente informacin:Repuestos requeridos 0 1 2 3 4 5 o msProbabilidad falla mes 0,90 0,05 0,02 0,01 0,01 0,01[se pide con 2 unidades de repuesto]2.7.27 Un tem es ordenado cada semana. La demanda para el tem durante la es uniforme conla siguiente probabilidad: P(0) = 0,04P(5) = 0,20 P(10) = 0,37P(15) = 0,30P(20) =0,09El costo por tener inventario es $2 [u/ sem], el costo por no tener inventario es de $24 [u/ sem].culeselnivelptimoaliniciosemana?[cadasemanasepideloquefalteparacompletar 15 unidades]2.7.28 La distribucin de probabilidad de la demanda mensual de un producto es:Ventas (miles) 0 1 2 3 4 5probabilidad 0,05 0,15 0,30 0,35 0,10 0,05Cada unidad se vende $100, si el producto no se vende se pierde. El costo de adquisicin es de$10.a)Suponiendo no se puede reordenar.Cuntas unidades deben comprarse? [4000 ]b)Sicuesta$65cadaunidadnosatisfecha,yelcostodealmacenamientoesdeun10%Cuntas unidades deben comprarse? [se pide falte para completar 3000 ]Modelos Inventario ProbabilsticoM. VegaR.802.7.29Laestimacindeventasparaelprximoperiodoesnormalconmedia50unidadesydesviacin de 10 unidades.Calcule el tamao de ordenamiento optimo para un riesgo de:d)60%[se pide falte para completar 110 unidades]e)40%[se pide falte para completar 115 unidades]f)5 %[se pide falte para completar 129 unidades]2.7.30 Un fabricante tiene un articulo cuya demanda es normal con media 100 t y desviacin de15t,dondeteslalongituddeltiempodedemanda.Cadaunidadcuesta$30,eltiempoderebordeen es de 2 semanas, el costo de mantener inventario es de $25, cada retraso cuesta $150.Suponga que la longitud del periodo de revisin es fija y es 6 semanas.a)Culeselvaloroptimo