ADMINISTRACIÓN DE OPERACIONES 2

QUINTA CLASE:

PROGRAMACIÓN LINEALMÉTODO GRÁFICO PARA MAXIMIZACIÓN

OBJETIVO:

Maximizar la función objetivo con variables que estén sujetas a restricciones

MÉTODO GRÁFICO PARA

MAXIMIZACIÓN

Ejercicio 1

Maximizar la función objetivo:

F(X,Y)=40X + 70Y

Sujeta a las siguientes restricciones:

X + 3Y ≤ 100X + 2Y ≤ 80

X ≥ o, Y ≥0

EJERCICIOS ADICIONALES

Ejercicio 2

En una pizzería se preparan pizzas vegetarianas y de carne.

- Cada pizza vegetariana requiere 1 Kg. de harina y 10 gramos de sal- Cada pizza de carne requiere 1.5 Kg. de harina y 7 gramos a sal.

En el almacén quedan 12 Kg. de harina y 140 gramos de sal.

Calcular cuántas pizzas de cada tipo se deben preparar para maximizar la utilidaden cada uno de los casos siguientes:

EJERCICIOS ADICIONALES

CASOPrecio (S/)

Pizza VegetarianaPrecio (S/)

Pizza de Carne

(a) 13 16

(b) 17 13

(c) 16 11

Ejercicio 3

Una carpintería fabrica mesas y escritorios con el siguiente consumo de recursos:

MuebleHoras

MáquinaHoras

Hombre

Mesa 2 0.5

Escritorio 3 0.25

- Cada mesa vendida genera una utilidad de US$ 60 y cada escritorio US$ 55.

- Se dispone de 300 horas máquina y 60 de horas hombre.

- Entre mesas y escritorios se deben fabricar al menos 90 unidades.

Calcule cuántas de mesas y cuántos escritorios se deben se deben producir yvender para generar un beneficio máximo.

Ejercicio 4

Una granja dispone de 100 hectáreas para sembrar trigo y maíz.

Se sabe además que:

El costo de la semilla de trigo es 4 US$/hectárea por hectárea y de la semilla de maízes de 6 US$/hectárea.

El costo de mano de obra por sembrar trigo es de 20 US$/hectárea y por sembrarmaíz es de 10 US$/hectárea.

El ingreso esperado por sembrar trigo es de 110 US$/hectárea y por sembrar maíz esde 150 US$/hectárea.

No se desea gastar más de US$ 480 en semillas ni más de US$ 1500 en mano deobra.

¿Cuántas hectáreas de cada uno de los cultivos debe plantarse paraobtener la máxima ganancia?

Soluciones:

Tenemos que identificar dos puntos por cada recta a graficar:

EJERCICIOS ADICIONALES

l1: X1 + 3X2 ≤ 100 X 1 X 2

P1 0 33.3

P2 100 0

l2: X1 + 2X2 ≤ 80

X 1 X 2

P3 0 40

P4 80 0

P1 = (0, 33.3)

P2 = (100, 0)

P3 = (0, 40)

P4 = (80, 0)

Ejercicio1

Graficando tenemos:

0; 40

80; 0

0; 33.3

100; 00

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 20 40 60 80 100 120

X2

X1

L2: X1 + 2X2 = 80 L1: X1 + 3X2 = 100

Obtenemos la región factible:

0; 40

80; 0

0; 33.3

100; 00

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 20 40 60 80 100 120

X2

X1

L2: X1 + 2X2 = 80 L1: X1 + 3X2 = 100

Hallamos la intersección de las líneas:

INTERSECCIÓN X 1 X 2

I 40 20

F(X1,X2) = 40 X1 + 70 X2 X 1 X 2 F(X1,X2)

P1 0 33.3 2,333

I 40 20 3,000

P4 80 0 3,200

Calculando la función objetivo para cada punto crítico de región factible:

1. Definimos las variables:

Ejercicio 2

X1: cantidad de pizzas vegetarianas a producir y vender

X2: cantidad de pizzas de carne a producir y vender

2. Función Objetivo:

Se debe maximizar la utilidad a través de las ventas, entonces

Para el caso (a): Máx Z = 13 X1 + 16X2

Para el caso (b): Máx Z = 17 X1 + 13X2

Para el caso (b): Máx Z = 16 X1 + 11X2

3. Restricciones:

X1 X2 Disponibilidad

HARINA (KG.) 1 1.5 ≤ 12

SAL (GR.) 10 7 ≤ 140

Sólo se dispone de 12 Kg. de harina, entonces

L1: X1 + 1.5 X2 ≤ 12

Sólo se dispone de 140 gr. de sal, entonces

L2: 10X1 + 7X2 ≤ 140

4. Rango de existencia:

X1, X2 ≥0

Calculamos 2 puntos de cada recta para poder graficarlas

L1: X1 + 1.5 X2 ≤ 12 X 1 X 2

P1 0 8

P2 12 0

P1 = (0, 8)

P2 = (12,0)

P3 = (0, 20)

P4 = (14, 0)

Para graficar la recta L1 necesitamos ubicar dos puntos de la misma:

L2: 10 X1 + 7 X2 ≤ 140 X 1 X 2

P3 0 20P4 14 0

Del mismo modo, para graficar la recta L2 necesitamos ubicar dos puntos de la misma:

Graficamos:

0; 8

12; 0

0; 20

14; 00

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12 14 16

X2

X1

L1: X1 +1.5X2 = 12 L2: 10X1 + 7X2 = 140

Obtenemos la región factible y los puntos críticos P1=(0,8), P2=(12,0)y P3=(0,0)

0; 8

12; 0

0; 20

14; 00

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12 14 16

X2

X1

L1: X1 +1.5X2 = 12 L2: 10X1 + 7X2 = 140

Identificamos los puntos críticos:

X 1 X 2P1 0 8P2 12 0P3 0 0

Precio de X1

Precio de X2

FO P1 (0,8) P2 (12,0)

a ) 13 16 F(X1,X2) = 13 X1 + 16 X2 128 156

b ) 17 13 F(X1,X2) = 17 X1 + 13 X2 104 204

c ) 16 11 F(X1,X2) = 16 X1 + 11 X2 88 192

Del enunciado de la pregunta calculamos y respondemos:

Para los tres casos la utilidad máxima se de en el punto (12,0), por lo tanto, conviene producirsolamente 12 pizzas vegetarianas y ninguna pizza de carne.

Este punto hace “cero” la función objetivo en los tres casos.

1. Definimos las variables:

Ejercicio 3

2. Definimos la función Objetivo:

X1: Cantidad de mesas a fabricar

X2: Cantidad de escritorios a fabricar

Se pide maximizar la utilidad

Máx Z = 60 X1 + 55 X2

3. Restricciones:

4. Rango de existencia:

X1, X2 ≥0

X1 X2 Disponibilidad

HORAS MAQUINA 2 3 300

HORA MOD 0.5 0.25 60

Las horas máquina no deben sobrepasar las 300, por lo tanto, L1: 2 X1 + 3 X2 ≤ 300

Las horas hombre no deben sobrepasar las 60, por lo tanto,L2: 0.5 X1 + 0.25 X2 ≤ 60; Simplificando: L2: 2 X1 + X2 ≤ 240

Tenemos una tercera restricción sobre la mínima cantidad a producir, que es por lo menos 90 entre mesas y escritorios:L3: X1 + X2 ≥ 90

Z máx = 7,950

X1 = 105

X2 = 30

Graficando y evaluando los puntos críticos se llega a la respuesta.

Respuesta:

Se deben producir 105 mesas y 45 escritorios para obtener un beneficio máximo de US$7,950

Ejercicio 4

1. Variables:

X1: Cantidad de hectáreas dedicadas al cultivo de trigo

X2: Cantidad de hectáreas dedicadas al cultivo de maíz

2. F.O.

La utilidad se obtiene restando a los ingresos por ventas el costo por semilla y por mano de obra que se invierte en cada hectárea.

F(X1,X2) = (110-4-20) X1 + (150-6-10) X2= 86 X1 + 134 X2

4. Rango de existencia

X1, X2 ≥ 0

Sólo se dispone de 100 hectáreasL1: X1 + X2 ≤ 100

No se desea gastar en semilla más de US$ 480

L2: 4 X1 + 6 X2 ≤ 480 simplificando, L2: 2 X1 + 3 X2 ≤ 240

No se desea gastar en mano de obra más de US$ 1,500 como máximo.

L3: 20 X1 + 10 X2 ≤ 1500 simplificando, L3: 2 X1 + X2 ≤ 150

3. Restricciones

Z Máx 10,720X1 0X2 80

Respuesta: para maximizar la utilidad se debe plantar solamente 80 hectáreas demaíz.

Graficando y comparando el valor de la función objetivo en las esquinas de la regiónfactible llegamos a la respuesta: