"Żadna nauka nie wzmacnia tak wiary w potęgę umysłu ludzkiego, jak matematyka." Hugo Dyonizy Steinhaus VI. Funkcje trygonometryczne

Wykresy: y=tgx y=ctgx

Własności Funkcja

sinus cosinus tangens cotangens

Dziedzina \{𝜋

2+ 𝑘𝜋} \{𝑘𝜋}

Zbiór wartości [-1,1] [-1,1]

Monotonicznośd Rosnąca w

[-π/2+2kπ,π/2+2kπ+

Malejąca w

[ π/2+2kπ, 3π/2+2kπ+

Rosnąca w

<π+2kπ,2π+2kπ>

Malejąca w

<2kπ,π+2kπ>

Rosnąca w

(-π/2+kπ,π/2+kπ)

Malejąca w

(kπ,π+kπ)

Różnowartościo

wośd

Różnowartościowa w

[-π/2+2kπ,π/2+2kπ+ i

* π/2+2kπ, 3π/2+2kπ+

Różnowartościowa w

*2kπ,π+2kπ+ i

[π+2kπ,2π+2kπ+

Różnowartościowa w

(-π/2+kπ,π/2+kπ)

Różnowartościowa w

(kπ,π+kπ)

Parzystośd nieparzysta

sin(-x)=-sin(x)

parzysta

cos(-x)=cos(x)

nieparzysta

tg(-x)=-tg(x)

nieparzysta

ctg(-x)=-ctg(x)

Okresowośd okresowa T=2π okresowa T=2π okresowa T=π okresowa T=π

α 𝜋

2−α

𝜋

2+α π-α π+α 3𝜋

2−α

3𝜋

2+α 2π-α 2π+α -α

𝑠𝑖𝑛 sin𝛼 cos𝛼 cos𝛼 sin𝛼 −sin𝛼 −cos 𝛼 −cos 𝛼 −sin𝛼 sin𝛼 −sin𝛼

𝑐𝑜𝑠 cos𝛼 sin𝛼 −sin𝛼 −cos 𝛼 −cos 𝛼 −sin𝛼 sin𝛼 cos𝛼 cos𝛼 cos𝛼

𝑡𝑔 tg 𝛼 ctg𝛼 −ctg𝛼 −tg𝛼 tg 𝛼 ctg𝛼 −ctg𝛼 −tg𝛼 tg 𝛼 −tg𝛼

𝑐𝑡𝑔 ctg 𝛼 tg 𝛼 −tg𝛼 −ctg𝛼 ctg 𝛼 tg 𝛼 −tg𝛼 −ctg𝛼 ctg 𝛼 − ctg 𝛼

Wzory redukcyjne

Wzory trygonometryczne: 1. sin2 𝛼 +cos2 𝛼 = 1 2. sin 𝛼 ± 𝛽 = sin 𝛼 cos𝛽 ± cos𝛼 sin 𝛽 sin 2𝛼 = 2 sin 𝛼 cos𝛼 3. cos 𝛼 ± 𝛽 = cos 𝛼 cos 𝛽 ∓ sin 𝛼𝛼 sin 𝛽 cos 2𝛼 = cos2 𝛼−sin2 𝛼

4. cos𝛼

2=

1+cos 𝛼

2

5. sin𝛼

2=

1−cos 𝛼

2

6. 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝛽 + 𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝛽 = 2 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽 7. 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝛽 − 𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝛽 = 2 𝑠𝑖𝑛 𝛽 𝑐𝑜𝑠 𝛼 8. 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽) + 𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽) = 2 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽 9. 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽) − 𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝛽 = 2 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝛽

10. 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝑠𝑖𝑛 𝛽 = 2 𝑠𝑖𝑛𝛼+𝛽

2𝑐𝑜𝑠

𝛼−𝛽

2

11. 𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝑠𝑖𝑛 𝛽 = 2 𝑠𝑖𝑛𝛼−𝛽

2𝑐𝑜𝑠

𝛼+𝛽

2

12. 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = 2 𝑐𝑜𝑠𝛼+𝛽

2𝑐𝑜𝑠

𝛼−𝛽

2

13. 𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = −2 𝑠𝑖𝑛𝛼+𝛽

2𝑠𝑖𝑛

𝛼−𝛽

2

14. 𝑡𝑔𝑥 =𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑡𝑔𝑥 =

𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑡𝑔𝑥𝑐𝑡𝑔𝑥 = 1

15. 𝑡𝑔 𝛼 ± 𝛽 =𝑡𝑔𝛼±𝑡𝑔𝛽

1∓𝑡𝑔𝛼𝑡𝑔𝛽 𝑡𝑔2𝛼 =

2𝑡𝑔𝛼

1−𝑡𝑔2𝛼

16. 𝑡𝑔𝛼

2=

(1−𝑐𝑜𝑠𝛼)

(1+𝑐𝑜𝑠𝛼)

Dowód 2: sin 𝛼 + 𝛽 =𝐴𝐶 = 𝐸𝐷 + 𝐹𝐴 = sin 𝛼 ⋅ 𝑂𝐷 + cos𝛼 ⋅ 𝐴𝐷 = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽 sin 𝛼 − 𝛽 = sin 𝛼 cos −𝛽 + sin −𝛽 cos𝛼 = = sin 𝛼 cos𝛽 − sin 𝛽 cos 𝛼

Dowód 4:

cos 𝛼 = 2 cos2𝛼

2− 1

cos2𝛼

2=cos𝛼 + 1

2

cos𝛼

2=

1+cos 𝛼

2

Dowód 6: 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝛽 + 𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝛽 = = sin 𝛼 cos𝛽 + sin 𝛽 cos 𝛼 + sinα cos𝛽 − sin 𝛽 cos 𝛼=2 sin 𝛼 cos𝛽

Dowód10 :

Niech 𝑥 =𝛼+𝛽

2, 𝑦 =

𝛼−𝛽

2

sin 𝛼 + sin 𝛽 = sin(𝑥 + 𝑦) + sin 𝑥 − 𝑦 = 2 sin𝛼+𝛽

2cos

𝛼−𝛽

2

Dowód 14:

𝑡𝑔 𝛼 ± 𝛽 =sin 𝛼+𝛽

cos 𝛼+𝛽=

𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽+𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽

𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝛽−𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽

𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽

𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝛽+𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽

𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝛽

𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝛽

𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝛽−𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽

𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝛽

=𝑡𝑔𝛼±𝑡𝑔𝛽

1±𝑡𝑔𝛼𝑡𝑔𝛽

1

𝜋

2

Zadanie: 1. Sprawdź tożsamości:

a) 1−2𝑐𝑜𝑠2𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥= 𝑡𝑔𝑥 − 𝑐𝑡𝑔𝑥,

b) 𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑠𝑖𝑛3𝑥+𝑠𝑖𝑛5𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑐𝑜𝑠3𝑥+𝑐𝑜𝑠5𝑥= 𝑡𝑔3𝑥,

c) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 + 𝑦 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛2𝑦 2. Wyznacz:

a) sinx z równania 3𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 0 jeżeli 𝑥 ∈ (3𝜋

2, 2𝜋) ,

b) tgx z równania 8𝑡𝑔2𝑥

2= 1 +

1

𝑐𝑜𝑠𝑥 jeżeli 𝑥 ∈ (

𝜋

2, 𝜋),

c) cosx z równania sinx + ctgx =𝑎

𝑠𝑖𝑛𝑥, a>0. Dla jakich a istnieje rozwiązanie?

3. Narysuj wykresy funkcji:

a) f(x)=sin(2x- 𝜋

4) + 1,

b) f(x)=(𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 ,

c) f(x)=|𝑠𝑖𝑛

𝑥

2|

2𝑐𝑜𝑠𝑥

2

Równanie elementarne – metoda rozwiązywania: sin 𝑥 = sin 𝑦

𝑥 = 𝑦 + 2𝑘𝜋 lub 𝑥 = 𝜋 − 𝑦 + 2𝑘𝜋

cos 𝑥 = cos 𝑦 𝑥 = 𝑦 + 2𝑘𝜋 lub 𝑥 = −𝑦 + 2𝑘𝜋

𝑡𝑔𝑥 = 𝑡𝑔𝑦 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷tgx

𝑥 = 𝑦 + 𝑘𝜋 𝑐𝑡𝑔𝑥 = 𝑐𝑡𝑔𝑦 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷ctgx

𝑥 = 𝑦 + 𝑘𝜋

Np. 1. Rozwiąż 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 Ponieważ sinx+10 cosx 0 oraz 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥 (𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1)2 = 1 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0 2𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1 = 0 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0 𝑙𝑢𝑏 𝑠𝑖𝑛𝑥 = −1

𝑥 = 0 + 2𝑘𝜋 𝑙𝑢𝑏 𝑥 =3𝜋

2+ 2𝑘𝜋 𝑙𝑢𝑏 𝑥 =

−𝜋

2+ 2𝑘𝜋 =

3𝜋

2+ 2𝑘𝜋

Dla wszystkich rozwiązao cosx 0.

2. Rozwiąż cos 5𝑥 + 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 0 2𝑐𝑜𝑠4𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 0 𝑐𝑜𝑠𝑥 2𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 1 ≤ 0

𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 0

𝑐𝑜𝑠4𝑥 ≥ −1

2

𝑐𝑜𝑠𝑥 ≥ 0

𝑐𝑜𝑠4𝑥 ≤ −1

2

𝑐𝑜𝑠4𝑥 = −1

2

𝑐𝑜𝑠4𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝜋

3

4𝑥 =2𝜋

3+ 2𝑘𝜋 ∨ 4𝑥 = −

2𝜋

3+ 2𝑘𝜋

𝑥 =𝜋

6+𝑘𝜋

2 𝑥 = −

𝜋

6+𝑘𝜋

2

𝑥 ∈ [

𝜋

2+ 2𝑘𝜋;

3𝜋

2+ 2𝑘𝜋]

𝑐𝑜𝑠4𝑥 ≥ −1

2

𝑥 ∈ [−

𝜋

2+ 2𝑘𝜋;

𝜋

2+ 2𝑘𝜋]

𝑐𝑜𝑠4𝑥 ≤ −1

2

𝑥𝜖 − 𝜋

3+ 2𝑘𝜋;−

𝜋

6+ 2𝑘𝜋

𝜋

6+ 2𝑘𝜋;

𝜋

3+ 2𝑘𝜋

𝜋

2+ 2𝑘𝜋;

2𝜋

3+ 2𝑘𝜋

5𝜋

6+ 2𝑘𝜋;

7𝜋

6+ 2𝑘𝜋 [

4𝜋

3+ 2𝑘𝜋;

3𝜋

2+ 2𝑘𝜋]

3. Rozwiąż 𝑡𝑔𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥− 2𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0, D:𝑥 ≠

𝜋

2+ 𝑘𝜋 y=𝑐𝑜𝑠2𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑥1

cos2 𝑥− 2 = 0

𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0 𝑐𝑜𝑠𝑥 =2

2 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −

2

2

𝑥 = 𝑘𝜋 𝑥 =𝜋

4+ 𝑘𝜋 𝑥 =

3𝜋

4+ 𝑘𝜋

4. Rozwiąż 𝑡𝑔𝑥 − 2𝑐𝑡𝑔𝑥 ≤ 1 D: 𝑥 ≠ 𝑘𝜋

2

𝑡𝑔𝑥 − 21

𝑡𝑔𝑥− 1 ≤ 0 y=tgx

𝑡𝑔2𝑥−𝑡𝑔𝑥+2

𝑡𝑔𝑥≤ 0

𝑡𝑔𝑥(𝑡𝑔2𝑥 − 𝑡𝑔𝑥 − 2) ≤ 0 Δ=9 tgx (-,-1][0,2]

𝑥 ∈ (−𝜋

2+ 𝑘𝜋,−

𝜋

4+ 𝑘𝜋][𝑘𝜋,+ 𝑘𝜋],

gdzie tg=2

-1 0 2 t

Zadanie: 1. Rozwiąż: a) sinx+cos3x=0, b) sinx-cosx=1, c) tg2x+tg3x=0 2. Rozwiąż: a) ctg8xctg10x=-1 ,

b) sinx+cosx= 𝑡𝑔𝑥 + 𝑐𝑡𝑔𝑥 ,

c) 2cos2x-8cosx+7=1

𝑐𝑜𝑠𝑥

3. Rozwiąż:

a) sinxsin3x≤1

2 ,

b) 1−4𝑠𝑖𝑛2𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥< 2 ,

c) tgx+tg2xtg3x

V. Funkcja cyklometryczna

Def. Funkcją f(x)=arcsinx nazywamy funkcję odwrotną do funkcji sinx w przedziale −𝜋

2,𝜋

2

Funkcją f(x)=arccosx nazywamy funkcję odwrotną do funkcji cosx w przedziale 0, 𝜋

Funkcją f(x)=arctgx nazywamy funkcję odwrotną do funkcji tgx w przedziale −𝜋

2,𝜋

2

Funkcją f(x)=arcctgx nazywamy funkcję odwrotną do funkcji ctgx w przedziale (0,). y=arcsinx y=arccosx y=sinx y=cosx

y=tgx y=arcctgx y=ctgx

y=arctgx

Własności Funkcja

arcsin arccos arctg arcctg

Dziedzina [-1,1] [-1,1]

Zbiór wartości [-π/2, π/2+ *0, π+ (-π/2, π/2) (0, π)

Monotonicznośd Rosnąca Malejąca Rosnąca Malejąca

Różnowartościowośd Różnowartościowa Różnowartościowa Różnowartościowa Różnowartościowa

Parzystośd nieparzysta

arcsin(-x)=-arcsin(x)

- nieparzysta

arctg(-x)=-arctg(x)

-

Okresowośd - - - -

Np.

1. Oblicz arctg(tg(7𝜋

8))

arctg(tg(7𝜋

8))(-π/2, π/2) arctg(tg(

7𝜋

8))= arctg(tg(

7𝜋

8 - ))= arctg(tg(−

𝜋

8))= -

𝜋

8

cos(2arcsin4

5) = 1 − 2𝑠𝑖𝑛2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛

4

5= 1 − 2 ∙

4

5

2= −

7

25

2. Wykaż, że arctgx+arcctgx=𝜋

2

arctgx=𝜋

2 - arcctgx

𝜋

2 - arcctgx (-

𝜋

2, 𝜋

2)

x=tg(𝜋

2 - arcctgx) arcctgx(0,)

x=ctg(arcctgx) x x=x x

3. Narysuj wykres funkcji f(x)=arcsin(sinx)

arcsinx jest funkcją odwrotną do sinx tylko w przedziale [-/2,/2]

𝑓 𝑥 =

…

arcsin −sin 𝑥 + 𝜋 = −𝑥 − 𝜋, 𝑑𝑙𝑎 𝑥[−3𝜋

2,−𝜋

2)

arcsin sin 𝑥 = 𝑥, 𝑑𝑙𝑎 𝑥[−𝜋

2,𝜋

2]

arcsin −sin 𝑥 − 𝜋 = −𝑥 + 𝜋, 𝑑𝑙𝑎 𝑥(𝜋

2,3𝜋

2]

…

4. Wyznacz dziedzinę funkcji 𝑓 𝑥 = arc𝑠𝑖𝑛 (log 1 − 𝑥 )

𝐷𝑓: arc𝑠𝑖𝑛 (log 1 − 𝑥 )0 -1log(1-x)1 1-x>0

log 1 − 𝑥 0 1

10≤ 1 − 𝑥 ≤ 10 1>x

1-x1 -9x 11

10 x<1

x [-9,0]

Zadanie: 1. Oblicz:

a) arcctg(tg15𝜋

7) ,

b) tg𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠

2

3

2 ,

c) sin(arcctg5-arccos1

5)

2. Wykaż, że:

a) arctgx-arcctg1

𝑥= 0, x(0,) ,

b) arcsinx-arccos1

1−𝑥2= 0, x(-1,1),

c) arctg1

4 +2arctg

1

5= arctg

32

43

3. Narysuj wykresy funkcji: a) f(x)=sin(arcsinx) ,

b) f(x)=𝜋

3-arccos(2x-1) ,

c) 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 −1

𝜋𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑐𝑡𝑔

2𝑥−1 𝜋

2)

4. Rozwiąż:

a) arcsin(1-x)-2arcsinx=𝜋

2 ,

b) arcctgxarctgx ,

c) arccos(4𝑥+1 − 2𝑥) ≥𝜋

3