Розв’язування текстових задачnavigator.rv.ua/wp-content/uploads/2018/12/rozv-tekst.pdfРозв’язування текстових задач

Моквинський навчально-виховний комплекс

«гімназія – загальноосвітня школа І ступеня»

Розв’язування текстових задач

Виконав

Галайчук Марія Григорівна,

вчитель математики

Моквин

2

Галайчук М.Г. Розв’язання текстових задач. Навчально-методичний посібник. –

Березне, 2012. – 65 с.

У посібнику розкрито етапи розв’язування текстових задач та розв’язування задач

різних типів. Матеріали посібника стануть в нагоді як вчителю – молодому

спеціалісту, так і досвідченому майстру освітянської ниви.

Рецензенти:

Сенюк Ольга Борисівна, вчитель математики Моквинського НВК, Старший вчитель

Бережна Ангеліна Миколаївна, заступник директора Моквинського НВК

3

Зміст

Вступ…………………………………………………………………………….…. 4

Розділ І. Задачі на спільну роботу…………………………………………….…. 5

Розділ ІІ. Задачі алгебраїчного змісту……………………………………………. 19

Розділ ІІІ. Задачі фізичного змісту…………………………………………….…. 29

Розділ ІV. Задачі геометричного змісту ………………………………………… 38

Розділ V. Задачі з параметрами…………………………………………….…….. 49

Висновки…………………………………………….…………………………….. 64

Список використаних джерел…..……………………………………….………. 65

4

Вступ

У чинній програмі з математики для загальноосвітніх шкіл України приділяється

належна увага формуванню вмінь школярів розв'язувати текстові задачі.

Розв'язування таких задач складається з етапів:

1) Аналіз умови і того, що потрібно знайти.

Цей етап передбачає прогнозування отриманого результату, чітке усвідомлення,

що у відповіді потрібно отримати: яку величину, які одиниці вимірювання тощо.

2) Вибір невідомих.

Успішне розв'язування задачі залежить від вдалого вибору невідомих. Як

правило, доцільно вводити невідомі, що позначають шукану величну, тобто

позначати через невідоме (або невідомі) те, про що запитується в задачі. Також

встановлюються межі значень введених невідомих.

3) Складання рівнянь або системи рівнянь.

На цьому етапі в учнів максимально розвивається логічне мислення, формуються

навички практичного застосування знань про взаємозв'язки між величинами,

подіями, процесами, про які йдеться в задачі. Іншими словами, створюється

математична модель задачі.

4) Розв'язування одержаного рівняння або системи рівнянь.

Під час розв'язування складеного рівняння або системи рівнянь школярі

застосовують здобуті знання. Важливо не забувати про визначення області

допустимих значень і одержані результати зіставити з множиною можливих

значень введених невідомих і оцінки їх під час другого етапу. Якщо одержані

розв'язки не задовольняють умову задачі, то їх слід відкинути.

5) Перевірка одержаних результатів і запис відповіді.

5

Перевірка одержаних результатів полягає у зіставленні з прогнозом,

передбаченим на першому етапі. Це так звана «груба математична прикидка». Далі

слід перевірити, чи виконуються всі умови, передбачені текстом задачі. У більшості

випадків перевірку можна виконувати усно. Записувати відповідь слів у порядку, у

якому поставлено запитання задачі.

Р О З Д І Л І

ЗАДАЧІ НА СПІЛЬНУ РОБОТУ

1. Два екскаватори вирили котлован за 24 дні. Перший екскаватор міг би

виконати цю роботу в 1,5 раза швидше, ніж другий. За скільки днів перший

екскаватор міг би виконати цю роботу?

Розв'язання

Приймемо всю виконану роботу за 1, а через х, у позначимо кількість днів, за які

могли б виконати роботу, працюючи окремо, перший і другий екскаватори

відповідно.

Тоді yx

1,

1продуктивність праці першого і другого екскаваторів відповідно.

Виходячи з умови задачі, складаємо систему:

;5.1

,24

111

yx

yx

;24

1

3

21

,2

3

x

x

xy

,24

1

3

21

xx

24+16-х=0,

6

х=40,

х≠0, у≠0

Відповідь. За 40 днів.

2. Два робітники за зміну виготовили 72 деталі. Після того як перший робітник

підвищив продуктивність праці на 15 %, а другий на 25 %, разом за зміну вони

почали виготовляти 86 деталей. Скільки деталей виготовляє кожен робітник за

зміну після підвищення продуктивності праці?


Нехай х деталей виготовляв за зміну перший робітник, а у деталей — другий.

Тоді:

х+у = 72.

Після підвищення продуктивності праці перший робітник почав виготовляти

1,15х деталей за зміну, а другий — \,25у деталей. Тоді:

1,15х+1,25у= 86.

Маємо систему:

,8625.115,1

,72

yx

yx

де х > 0 і у > 0.

Розв'яжемо систему.

;8625,1)72(15,1

,72

yy

yx

;2,31,0

,72

y

yx

.40

,32

x

y

40 • 1,15 = 46 (деталей) — виготовляє перший робітник за зміну після

підвищення продуктивності праці.

7

32 • 1,25 = 40 (деталей) — виготовляє другий робітник за зміну після підвищення

продуктивності праці.

Відповідь. 46 деталей, 40 деталей.

3. Дві бригади, працюючи разом, закінчили ремонт ділянки шляху за 6 днів.

Першій бригаді для виконання 40 % усієї роботи потрібно було б на 2 дні більше,

ніж другій бригаді для виконання 3

113 % усієї роботи. За скільки днів могла б

відремонтувати кожна з бригад окремо всю ділянку шляху?


Позначимо через х кількість днів, за які відремонтує всю ділянку шляху перша

бригада, а через у — друга бригада.

Весь обсяг роботи приймемо за 1. Тоді перша бригада за один день виконає

x

1частину роботи, друга –

y

1, разом

6

1 частину роботи. Отже,

.6

111

yx

Для виконання 40 % роботи першій бригаді потрібно xx5

2

100

40 (днів).

Друга бригада 3

113 %=

3

40% роботи виконає за

yy

15

2

1003

40

(днів). За умовою:

.215

2

5

2 yx

Маємо систему рівнянь:

;215

2

5

2

,6

111

yx

yx

;3026

,66

yx

xyxy

;3026

,308

yx

xyy

8

;3026

,30)8(

yx

xy

.308

606

,8

30

xx

xy

Випишемо друге рівняння системи і розв'яжемо його:

,0308

606

xx

;08

,0)8(3060)8(6

x

xxx

;8

,03024060648 2

x

xxx

-6х2+78х-180=0,

х2-13х+30=0.

D=169-120=49,

x1=3, x2=10.

Тоді 638

301

y — не задовольняє умову задачі,

.152

30

108

302

y

Відповідь. Кожна з бригад окремо могла б відремонтувати всю ділянку шляху за

10 і 15 днів.

4. Басейн заповнюється двома трубами за 6 год. Перша труба заповнює його на 5

год швидше, ніж друга. За який час кожна труба, діючи окремо, може заповнити

басейн?


Нехай перша труба заповнює басейн за х год, а друга — за у год. За умовою х+5=

у.

9

Позначимо всю роботу (місткість басейну) через 1. Тоді перша труба за 1 год

заповнить x

1 частину басейну, а друга –

y

1.

Маємо рівняння:

x

1+

y

1=

6

1.

Складаємо систему:

,6

111

,5

yx

xy

де х>0, у>0.

;06

1

5

11

,5

xx

xy

;5

,0

,0)5(6)5(6

x

x

xxxx

6х + 30 + 6х - x2-5х = 0,

х2 - 7x - 30 = 0,

х1 = -3 — не задовольняє умову задачі, х2 =10, тоді у2=15.

Відповідь. Перша труба може заповнити басейн за 10 год, друга труба — за 15

год.

5. Один робітник може виконати певну роботу на 4 год швидше, ніж другий.

Якщо вони працюватимуть разом протягом 2 год, то після цього незавершену

роботу перший робітник виконає за 1 год. За який час може виконати всю роботу

другий робітник, працюючи сам?


Нехай другий робітник, працюючи сам, може виконати всю роботу за х год, тоді

перший — за (х-4) години.

10

Якщо прийняти всю роботу за одиницю, то x

1 — та

4

1

x — продуктивність

праці другого і першого робітників відповідно.

4

3

4

13

xx — робота, виконана першим робітником за 3 год.

xx

212 — робота, виконана другим робітником за 2 год.

Складаємо рівняння:

,14

32

xx

де x>0.

;4

,0

,0)4(3)4(2

x

x

xxxx

2х – 8 + 3х – х2+4х = 0,

х2 – 9х + 8 = 0.

D = 81–32 = 49,

,12

791

x .8

2

792

x

Значення х не задовольняє умову задачі. Отже, другий робітник може виконати

всю роботу за 8 год.

Відповідь. 8 год.

6. Дві бригади, працюючи одночасно, обробили ділянку землі за 12 год. За який

час обробить цю ділянку кожна бригада окремо, якщо продуктивності праці бригад

відносяться як 3:2?


Нехай х, у — продуктивності праці за 1 год першої і другої бригад відповідно, а

вся виконана ними робота становить 1. Тоді, виходячи з умови задачі, складаємо

систему:

11

,2

3

,12

1

y

x

yx

де х>0, у>0. З

;012

1

2

3

,2

3

yx

xx

;130

,2

3

y

yx

.20

1

,30

1

x

y

Отже, 20

1,

30

1 — продуктивності праці першої і другої бригад за 1 год. Це

означає, що бригади можуть виконати роботу, працюючи окремо, перша за 20 год,

друга — за 30 год.

Відповідь. За 20 год, за 30 год.

7. Два робітники, один із яких почав працювати на півтора дні раніше другого,

працюючи незалежно один від одного, виконали роботу за 7 днів, починаючи з

моменту виходу на роботу першого робітника. Якби всю роботу доручили

виконувати одному робітнику, то перший витратив би на це на 3 дні більше, ніж

другий. За скільки днів кожний робітник окремо виконав би всю роботу?


Нехай перший робітник, працюючи сам, виконав би всю роботу за х днів, а

другий— за (х-3) дні. Приймемо всю виконану роботу за 1, тоді x

1,

3

1

x —

продуктивність праці першого і другого робітників відповідно за 1 день.

12

За умовою задачі вся робота була виконана за 7 днів, але перший робітник

працював усі 7 днів, а другий — 5,5 дня. Отже, x

7частина роботи, яку виконав

перший робітник, а 3

5,5

x частина роботи, яку виконав другий робітник.


,13

5,57

xx де х>3,

.3

,0

,0)3(5,5)3(7

x

x

xxxx

7х-21+5,5х-х2+3х= 0,

х2 -15,5х+21= 0.

D = 240,25 - 84 = 156,25,

2

3

2

5,125,151

x — не задовольняє умову, що х > 3 ,

.142

5,125,152

x

Відповідь. Перший робітник може виконати всю роботу, працюючи сам, за 14

днів, другий — за 11 днів.

8. Два робітники, працюючи разом, можуть виконати певну роботу за 12 днів.

Якщо перший робітник виконає половину роботи, а потім другий — ще половину,

то всю роботу буде закінчено за 25 днів. На скільки днів раніше один від одного

робітники можуть виконати всю роботу, працюючи окремо?


Нехай перший робітник, працюючи сам, може виконати всю роботу за х днів, а

другий — за у днів. Якщо вся виконана робота становить 1,то x

1,

y

1 продуктивність

праці за 1 день першого і другого робітників відповідно, а 12

1їх спільна

13

продуктивність. За умовою задачі робітники виконали по половині роботи кожен зі

своєю продуктивністю і на це витратили разом 25 днів, тому:

xx

5,01

5,0 — дні, за які виконав перший робітник половину роботи. Аналогічно

другий — за 0,5у днів.


,255,05,0

,12

111

yx

yx

де х>0, у>0.

;012

111

,50

yx

yx

.012

11

50

1

,50

yy

yx

Випишемо друге рівняння системи і розв'яжемо його:

,012

11

50

1

yy

.50

,0

,0)50()50(1212

y

y

yyyy

12у+600-12у-5у+у2=0,

у2-50у+600 = 0.

За теоремою Вієта:

;50

,600

21

21

yy

yy

у1=30 , у2=20.

Тоді х1 =20, х2 =30.

(30; 20) і (20; 30) — розв'язки системи.

Отже, працюючи окремо, робітники можуть виконати всю роботу на 10 днів

раніше один від одного.

14

Відповідь. На 10 днів.

9. Перший насос заповнює бак на 6 год швидше, ніж другий. Обидва насоси

заповнюють бак разом за 4 год. За скільки годин заповнить бак перший насос?


Нехай х год — час, за який заповнює бак перший насос, тоді (х+6) год — час, за

якийзаповнює бак другий насос.

За умовою задачі складаємо рівняння:

,4

1

6

11

xx

у якому х>0.

4(х+6)+4х-х(х+6) = 0,

4х+24+4х-х2-6х = 0,

x2 -2х-24 = 0.

D = 100,

x1 =-4 — не задовольняє умову задачі, х2=6.

Відповідь. Перший насос заповнює бак за 6 год.

10. Два крани можуть заповнити водою бак за 6 хв. Якщо перший кран заповнить

0,6 бака, а решту — другий, то бак буде заповнений водою за 12 хв. За скільки

хвилин кожен кран, працюючи окремо, може заповнити весь бак?


Нехай перший кран може заповнити бак за х хв, а другий — за у хв. Ємність бака

приймаємо за 1. Тоді x

1 — частина бака, яку заповнює перший кран за 1 хв,

y

1 —

частина бака, яку заповнює водою другий кран за 1 хв.

Оскільки обидва крани можуть заповнити бак за 6 хв, то маємо рівняння:

.6

111

yx

15

Якщо перший кран заповнить 0,6=5

3 частини бака, то він працюватиме x

x 5

31:

5

3

(хв). y5

24,0 (хв) — час роботи другого крана.

yx

5

2

5

3хв. – час роботи обох кранів, що за умовою задачі дорівнює 12 хв.

Складаємо друге рівняння:

.125

2

5

3 yx


;6

111

,125

2

5

3

yx

yx

.06

11

260

33

260

yy

yx

Розв'яжемо друге рівняння системи:

;30

,0

,0)260()260(618

y

y

yyyy

18у+360у-12у-60у+2у2=0,

2у2-54у+360 = 0,

у2-27у+180 = 0.

D = 729-720 = 9,

,122

3271

y .15

2

3272

y

З першого рівняння системи, підставляючи значення у1 і у2 одержуємо:

,123

122601

y .10

3

52602

x

(12; 12) і (10; 15) — розв'язки системи. Оскільки продуктивність кранів різна, то

розв'язок системи (12; 12) не відповідає умові задачі.

16

Отже, перший кран може заповнити бак водою за 10 хв , а другий

— за 15 хв .

Відповідь. 10 і 15 хв.

11. Резервуар заповнюється через два крани А і В. Заповнення резервуару тільки

через кран А відбувається на 22 хв довше, ніж через кран В. Якщо ж відкрити

обидва крани, то резервуар заповниться за 1 год. За який проміжок часу кожний

кран окремо може заповнити резервуар?


Нехай х хв — проміжок часу, за який кран А заповнює резервуар, а (х-22) хв —

кран В.

За умовою задачі, припустивши, що ємність резервуара дорівнює 1, складаємо

рівняння:

,60

1

22

11

xx

у якому х > 22.

Після перетворень одержуємо:

х2 -142х+1320 = 0.

D = 20164-5280 = 14 884,

102

1221421

x — не відповідає умові задачі, оскільки х>22,

.1322

1221422

x

Таким чином, кран А може заповнити резервуар за 132 хв, тоді кран В —за 132-

22 = 110 (хв).

Відповідь. 132 хв і 110 хв.

17

12. Для побудови будинку потрібно вийняти 8000 м3 ґрунту за певний час. Роботу

закінчили на 8 днів раніше, оскільки щодня перевиконували завдання на 50 м3. За

скільки днів планували закінчити роботу?


Нехай х м3 грунту потрібно виймати щодня за планом, (х+50) м

3 грунту —

виймали щодня.

x

8000 днів — час виконання роботи за планом.

50

8000

x днів — за стільки фактично виконали роботу.


,850

80008000

xx

де х>0.

8000(х+50)-8000х-8х(х+50) = 0,

8000х+400 000 - 8000х-8х2 - 400х = 0,

х2+50х-50 000 = 0,

х1 = -250 — не задовольняє умову задачі, х2 =200.

Отже, 200 м3 — щоденна норма за планом, тоді 8000:200=40 (днів) — час

виконання роботи за планом.

Відповідь. 40 днів.

13. Бригада робітників повинна була за певний час виготовити 272 деталі. Через

10 днів після початку роботи бригада почала виготовляти щодня понад норму 4

деталі і вже за день до строку виготовила 280 деталей. Скільки всього деталей

виготовила бригада?


Нехай х деталей — щоденна норма за планом, тоді (х+4) деталей — бригада

почала виготовляти через 10 днів після початку роботи.

x

272 днів — час, за який бригада мала виготовити 272 деталі.

18

Нехай у днів — час, протягом якого бригада почала виготовляти щодня на 4

деталі понад норму. За умовою задачі

,101272

yx

Звідси .11272

x

y

За 10 днів бригада виготовила 10х деталей. За у днів бригада виготовила (х+4)у

деталей, що разом становить 280 деталей.

10х+(х+4)х = 280.


;0280410

,11272

xyyxx

y

;028011272

11272

410

11272

xx

xx

xy

,028011272

.0

,0

441088

10

,11272

x

y

xx

x

xy

;0521088

;11272

xx

xy

.0108852

,11272

2 xxx

y

Виписуємо друге рівняння і розв'язуємо його:

х2 + 52х-1088 = 0.

D = 2704 + 4352 = 7056,

02

84521

x — не задовольняє умову задачі,

19

,162

84522

x

.1611171116

272y

(16; 6) — розв'язок системи, що задовольняє умову задачі.

Отже, 16 деталей — щоденна норма за планом, 6 днів — час, протягом якого

бригада виготовляла по 20 деталей. Після цього до строку залишився один день.

Знайдемо, скільки всього деталей виготовила бригада.

1) 1610 = 160 (деталей) — виготовили за 10 днів.

2) 20 · 6 = 120 (деталей) — виготовили за 6 днів.

3) 20 деталей виготовила бригада за день, що залишився до строку.

4) 160+120+ 20 = 300 (деталей) — всього виготовила бригада.

Відповідь. 300 деталей.

Р О З Д І Л ІІ

ЗАДАЧІ АЛГЕБРАЇЧНОГО ЗМІСТУ

1. Число 180 записати у вигляді суми трьох додатних чисел так, щоб два з них

відносились як 1:2, а добуток усіх трьох доданків був найбільшим.


Нехай х — перший доданок. Оскільки два доданки відносяться як 1:2, то другий

доданок можна виразити через 2х, а третій — 180-(х + 2х) = 180-3х.

Таким чином, число 180 можна записати у вигляді х+2х+(180-3х).

Складаємо добуток:

х∙2х∙(180-3х) = 360х2-6х

3

Розглянемо одержаний вираз як функцію від х:

f(х) = 360х2 -6х

3

і дослідимо її на найбільше значення.

f(х) =720х-18х2,

f(х)=0,

20

720х-18х2 = 0,

18х(40-х) = 0.

Через те, що 0<х<180, то х = 40 — критична точка, при якій функція f(х)=360х2 -

6х3

набуває найбільшого значення, оскільки при переході через цю точку похідна

змінює знак з «+» на «-».

Отже, 40 — додатне число, що є першим доданком, тоді 80 — другий доданок і

180-(40+80) = 60 – третій. Число 180 можна записати так: 180 = 40+80+60.

Відповідь. 180 = 40 + 80 + 60.

2. Якщо деяке двоцифрове число помножити на суму його цифр, то вийде 405.

Якщо помножити число, записане тими самими цифрами у зворотному порядку, на

суму його цифр, то вийде 486. Знайти це число.


Нехай (10х+у) — дане двоцифрове число, у якого х — перша цифра (число

десятків), а у — друга цифра (число одиниць). Тоді (х+у) — сума його цифр. За

умовою задачі складаємо перше рівняння:

(10х+у)(х+у)=405.

(10у+х) — число, записане тими самими цифрами у зворотному порядку.

Складаємо друге рівняння:

(10у+х)(х+у)=486.


;48610

,40510

yxxy

yxyx

;4861010

,405101022

22

xyyxxy

yxyxyx

.4861011

,405111022

22

yxyx

yxyx

Помножимо перше рівняння системи на 6, друге — на 5:

21

.243050555

,24306666022

22

yxyx

yxyx

Від першого рівняння системи віднімемо друге:

55х2 +l1xy-44y

2 =0,

5х2 +ху-4у

2 = 0.

Одержали однорідне рівняння. Поділимо його на у2±0.

.045

2

y

x

y

x

Нехай ty

x , тоді 5t

2 + t - 4 = 0.

D = 81,

,110

911

t .

5

4

10

912

t

Повертаючись до заміни ty

x , маємо:

1y

x або

5

4

y

x.

Оскільки х>0 і у>0, то 1y

x— не задовольняє умову задачі.

;486105

44

25

16

,5

4

222 yyy

yx

;48625

486

,5

4

2y

yx

;25

,5

4

2y

yx

.5

,4

,4

,5

y

x

x

y

(-4; -5) — не задовольняє умову, що х> 0, у>0 .

22

Отже, х = 4, у = 5.

Відповідь. Дане двоцифрове число дорівнює 45.

3. Якщо двоцифрове число розділити на суму його цифр, то дістанемо частку 4 і

остачу 3. Якщо ж це число розділити на добуток його цифр, то дістанемо частку 3 і

остачу 5. Знайти це двоцифрове число.


Нехай 10х+у — дане двоцифрове число, х, у N , причому х [1; 9], у [0; 9]

(х і у - цифри).

За умовою задачі складаємо рівняння:

;5

310

,3

410

xyxy

yx

yxyx

yx

;0

,0

,5310

,34410

xy

yx

xyyx

yxyx

;34410

,53344

yxyx

xyyx

;336

,43534

yx

yxyx

;0336

,42)34(

yx

yxyx

;034

,0336

,34

42

y

yx

y

yx

;3

4

,03334

2412

y

yy

y

12-24у-(3у+3)(4-3у)= 0,

12-24у-12у-12+ 9у2+9у = 0,

23

9у2 -27у = 0,

9у(у-3)= 0,

у≠0,

у=3,

.2334

342

x

Отже, (2; 3) — розв'язок системи.

Відповідь. 23.

4. Знайти чотири послідовні натуральні числа, якщо різниця між добутком двох

більших чисел і добутком двох інших чисел дорівнює 58.


Нехай х, х+1, х+2, х+3 — чотири послідовні натуральні числа (х > 1).

Складаємо рівняння: (х+3)(х+2)-х(х+1) = 58,

х2 +5х+6-х

2-х = 58,

4х=52,

х=13.

Отже, 13, 14, 15, 16— чотири задані послідовні натуральні числа.

Перевірка.

15·16-13·14 = 240-182 = 58.

Відповідь. 13, 14, 15, 16.

5. Знайти три послідовні парні числа, якщо різниця між добутком двох більших

чисел і квадратом меншого числа дорівнює 188.


Нехай 2п, 2п+2, 2п+4 — послідовні парні числа, де п >1.


(2п+4)(2п+2)-(2п)2 =188,

4п2+8п + 4п + 8-4п

2=188,

12п = 180,

24

п = 15;

2п = 30,

2п + 2 = 32,

2п + 4 = 34.

Перевірка.

32·34 = 1088, 302 =900, 1088-900 = 188.

Відповідь. 30, 32, 34.

6. Сума квадратів цифр двоцифрового числа дорівнює 13. Якщо від цього числа

відняти 9, то одержимо число, записане тими самими цифрами, але в зворотному

порядку. Знайти дане число.


Нехай 10х+у — дане двоцифрове число, де х і у — його цифри. За умовою задачі:

х2+у

2 =13.

10у+х — число, записане тими самими цифрами, але у зворотному порядку. За

умовою задачі:

10х+у-9 = 10у+х.


;10910

,1322

xyyx

yx

;999

,1322

yx

yx

;13)1(

,122 yy

yx

;06

,12 yy

yx

,2

,3

;3

,2

2

2

1

1

y

x

y

x

(-2; -3) і (3; 2) — розв'язки системи.

25

(-2; -3) — не задовольняє умову задачі.


7. Знайти чотири числа, що утворюють пропорцію, у якої сума крайніх членів

дорівнює 14, а сума середніх членів дорівнює 11. Відомо, що сума квадратів усіх

чотирьох чисел дорівнює 221.


Нехай а, b, с і d — дані чотири числа, які утворюють пропорцію, тобто:

а:b = с:d, а≠0, b≠0, с≠0, d≠0.

Тоді a i d — крайні члени. За умовою задачі

а + d = 14.

Звідси d = 14-а.

b і с — середні члени. За умовою b+с=11.

Звідси c=11-b.

Знайдемо суму квадратів усіх чотирьох чисел.

a2 +b

2 +с

2 +d

2 =а

2 +b

2 + (11-b)

2 +(14-а)

2=a

2+b

2 +121-22b+b

2+196-28a+a

2=

= 2а2+2b

2-28а-22b+317.

За умовою задачі ця сума дорівнює 221. Складаємо систему рівнянь:

);14(:)11(:

,221317222822 22

abba

baba

);11()14(

,096222822 22

bbaa

baba

;01114

,048111422

22

bbaa

baba

Виконаємо алгебраїчне додавання:

2b2 -226 + 48 = 0,

b2-11b+24=0;

b1=3, b2=8. .

Тоді

26

-а2 + 14а+3

2 -11·3 = 0,

а2 -14а + 24 = 0;

а1 =2, а2 =12.

або:

-а2 +14а + 8

2 -11·8 = 0,

а2 -14а+ 24 = 0,

а3 = 2, а4 =12.

(2; 3), (12; 3), (2; 8), (12; 8) - розв'язки системи.

d1=14-2 = 12,

d2= 14-12 = 2,

d3 =14-2 = 12,

d4=14-12 = 2,

с1 =11-3 = 8,

с2 = 11-3 = 8,

с3 = 11-8 = 3,

с4 = 11-8 = 3.

Одержали чотири варіанти послідовності запису чисел:

1) 2, 3, 8, 12;

2) 12, 3, 8, 2;

3) 2, 8, 3, 12;

4) 12, 8, 3, 2.

У кожному з чотирьох записів числа утворюють пропорцію, причому сума

крайніх членів дорівнює 14, а сума середніх — 11.

Отже, шукані числа — це 12, 8, 3, 2.

Відповідь. 12, 8, 3, 2.

8. Чисельники трьох дробів пропорційні до чисел 1, 2, 5, а знаменники —

відповідно до чисел 1, 3, 7. Знайти ці дроби, якщо їх середнє арифметичне дорівнює

.441

200

27

Розв’язання

Нехай а — чисельник першого дробу, тоді 2а — чисельник другого дробу, a 5а

— чисельник третього дробу.

b, 3b, 7b — знаменники першого, другого і третього дробів відповідно, а≠0, b≠0.

,b

a ,

3

2

b

a

b

a

7

5 - дані дроби.

Знайдемо їх середнє арифметичне.

.63

503:

21

1514213:

7

5

3

2

b

a

b

aaa

b

a

b

a

b

a

За умовою задачі воно дорівнює .441

200.


,441

200

63

50

b

a

,7

4

b

a

Отже, 7

4 перший дріб.

Тоді 21

8 ,

49

20другий і третій дроби.

Відповідь. 7

4,

21

8 ,

49

20

9. Найбільший спільний дільник двох додатних чисел, одне з яких становить 4

3

другого, дорівнює 27. їх найменше спільне кратне дорівнює 324. Знайти ці числа.


Нехай а — одне з даних чисел, тоді a4

3— друге число. За умовою їх найбільший

спільний дільник дорівнює 27, тому дані числа можна розкласти на множники:

а = 27х , a4

3=27у, де х і у — невідомі множники.

28

Звідси випливає, що 27ху — найменше спільне кратне даних чисел, що за

умовою дорівнює 324:

27ху = 324.


.4

327

,27

,32427

ay

ax

xy

Виразимо х і у через а. Тоді система набирає вигляду:

.36

,27

,32427

ay

ax

xy

,3243627

27 aa

а2 =36 · 324,

а = ± ,32436 ,

а1 =108, а2 =-108 — не задовольняє умову задачі.

a4

3 = 81.

Перевірка.

НСД (108, 81) = 27; НСК(108, 81) - 324.

Відповідь. 108, 81.

29

Р О З Д І Л ІІІ

ЗАДАЧІ ФІЗИЧНОГО ЗМІСТУ

1. Один потяг за годину проходить 60 км, а другий — 40 км. Визначити відстань

між двома містами, якщо перший потяг проходить цю відстань на 2 год 15 хв

швидше, ніж другий.


Нехай s— відстань між містами. Тоді перший потяг проходить цю відстань за

60

sгод, а другий за

40

s год. За умовою задачі

,404

12

60

ss

,4

12

4060

ss

,4

9

120

s

30

s=270

Відповідь. 270 км.

2. Потяг повинен пройти 54 км. Пройшовши 14 км, він був затриманий на 10 хв

біля семафора. Збільшивши початкову швидкість на 10 км/год, він прибув до місця

призначення із запізненням на 2 хв. Визначити початкову швидкість потяга.


Нехай х км/год — початкова швидкість потяга. Тоді x

54 год — час. за яким за

графіком потяг повинен пройти відстань 54 км.

x

14 год —час витрачений до зупинки.

(х+10) км/год — швидкість потяга після зупинки.

10

40

xгод — час, витрачений після зупинки.

За умовою задачі на зупинку потяг витратив 10 хв. =6

1 год і прибув до місця

призначення із запізненням на 2 хв = 30

1 год.

Маємо рівняння:

,30

154

10

40

6

114

xxx

де х>0.

,015

254

10

4014

xxx

,0)10(15

)10(2)10(15541540)10(1514

xx

xxxxx

Оскільки х>0,то 15х(х+10)≠ 0.

210х+2100+600х-810х-8100 + 2х2+20х = 0,

2x2 + 20х-6000=0,

x2 + 10х-3000=0,

х1 =-60 — не задовольняє умову задачі,

х2 =50.

31

Відповідь. 50 км/год.

3. Від пристані А одночасно вирушили за течією катер та пліт. Катер пройшов за

течією 96 км, потім повернув назад і прибув у пункт А через 14 год. Знайти

швидкість катера у стоячій воді та швидкість течії, якщо катер зустрів пліт на

зворотному шляху на відстані 24 км від А .


Нехай х км/год — швидкість течії, а у км/год — швидкість катера у стоячій воді

(х>0,х>0). Тоді x

24 год — час руху плоту,

xy

96 год — час руху катера за течією.

xy

96год — час руху катера проти течії. За умовою задачі катер пройшов шлях за

течією і повернувся назад у пункт А за 14 год, тобто:

.149696

xyyx

До зустрічі з плотом катер витратив

xyyx

7296год, тому .

729624

xyyxx

Отже, маємо систему:

,729624

,149696

xyyxx

xyyx

де х > 0, у > 0.

.0

,0

,0)(72)(96)(24

,0)(14)(96)(96

22

22

22

xy

x

yxxxyxxy

xyyxxy

;0727296962424

,1414969696962222

22

xyxxxyxy

xyyxxy

;016824

,019214142

22

xyy

yyx

;07

,096772

22

xyy

yyx

32

;0)7(

,09677 22

xyy

yyx

;0796)7(77

,7

,0

22 xxx

xy

y

;09648

,72 xx

xy

;02

,72xx

xy

.14

,2

,0

y

x

x

Отже, 2 км/год — швидкість течії, 14 км/год — власна швидкість катера, тобто

швидкість катера у стоячій воді.

Відповідь. 14 км/год, 2 км/год.

4. Студенти взяли на човновій станції на прокат човен. Спочатку вони пропливли

20 км за течією річки, а потім повернулися на станцію, витративши на всю

прогулянку 7 год. На зворотному шляху на відстані 12 км від станції вони зустріли

пліт, який пропливав повз станцію саме в той момент, коли студенти вирушали на

прогулянку. Визначити, з якою швидкістю рухався човен за течією і яка швидкість

течії.


Нехай х км/год — швидкість течії, а у км/год — швидкість човна у стоячій воді.

Тоді (х+у) км/год, (у-х) км/год — швидкість човна за течією річки і проти течії

відповідно.

x

12 год — час руху плоту від прокатної станції до зустрічі з човном.

yx

20 год — час руху човна за течією річки.

xy

20 год — час руху човна проти течії річки.

33

За умовою задачі

.72020

xyyx

xyyx

820 год — час руху човна до зустрічі з плотом, що дорівнює часу руху

плоту від станції до зустрічі з човном, тоді:

.82012

xyyxx


,82012

,72020

xyyxx

xyyx

у якій х≠у , х>0 і у>0. Після спрощень одержуємо:

;02812

,040772

22

xyy

yyx

;04077

37

,7

3

2

2

yy

yx

.07

4040

,7

3

2yy

yx

Оскільки у≠0 то:

;07

11

,7

3x

y

y

.7

,3

y

x

Отже, 3 км/год — швидкість течії, 7 км/год — швидкість човна у стоячій воді,

7+3-10 (км/год) — швидкість човна за течією.


34

5. Човен долає відстань 392 км за течією річки на 14 год швидше, ніж проти течії.

Швидкість течії на 14 км/год менша від власної швидкості човна. Визначити

швидкість течії річки.


Нехай х км/год — швидкість течії річки. Тоді власна швидкість човна (х+14)

км/год.

14+х+х = 14+2х (км/год) —швидкість човна за течією річки.

14+х-х = 14 (км/год) — швидкість човна проти течії.

392:14 = 28 (год) — час, за який човен долає відстань 392 км проти течії.

,2814214

392

x

,014214

392

x

,0214

,0)214(14392

x

x

х>0,

28-14 + 2х = 0,

2х = 14,

х = 7.


6. Катер подолав 8 км проти течії річки, повернув назад і пройшов за течією 36

км. Рейс тривав 2 год. Потім катер подолав 6 км проти течії річки, а за течією — 33

км, витративши на рейс 1 год 45 хв. Визначити швидкість катера у стоячій воді.


Нехай х км/год — швидкість катера у стоячій воді, а у км/год — швидкість течії

річки (х>0,у>0).

(х -у) км/год — швидкість катера проти течії, а (х+у) км/год — швидкість катера

за течією річки.

Складаємо систему рівнянь:

35

,4

7336

,2368

yxyx

yxyx

де х>0, у>0, х≠у .

;0)(7)(132)(24

,0)(2)(36)(822

22

yxyxyx

yxyxyx

;077108156

,022284422

22

yxyx

yxyx

.077108156

,0142222

22

yxyx

yxyx

Помножимо рівняння на 7 і віднімемо від першого рівняння друге. Маємо:

;01422

,010222 yxyx

yx

;0)5(14)5(22

,522 yyyy

yx

;02496

,52yy

yx

;0)4(24

,5

yy

yx

;04

,0

,5

y

y

yx

.4

,20

y

x

(20; 4) — розв'язок системи.

Вілмвіль. 20 км/год.

7. Пішохід і велосипедист вирушають одночасно назустріч один одному з

пунктів А і В , відстань між якими 40 км, і зустрічаються через 2 год після початку

руху. Потім вони продовжують свій шлях, причому велосипедист прибуває в А на 7

36

год 30 хв раніше, ніж пішохід у В. Знайти швидкість пішохода і велосипедиста,

знаючи, що обидва весь час рухалися з незмінними швидкостями.


Нехай х км/год, у км/год — швидкості пішохода і велосипедиста відповідно (х>0,

у>0, у>х).

Тоді x

40 год — час руху пішохода з пункту А в В ,

y

40 год — час руху

велосипедиста з пункту В в пункт А .

2х км — відстань, яку пройшов пішохід до зустрічі.

2у км — відстань, яку проїхав велосипедист до зустрічі.


;2

17

4040

,4022

yx

yx

;02

154040

,20

yx

yx

;02

1540

20

40

,20

yy

yx

;20

,0

,0

,01530080160080

,202

y

y

x

yyyy

yx

.20

,0320283 2

yx

yy

06

68281

y — не задовольняє умову задачі,

,166

68282

y відповідне значення х=4.

(4; 16) — розв'язок системи, що задовольняє умову задачі. .


37

8. До матеріальної точки прикладено дві сили, кут між якими дорівнює 30о.

Значення однієї з прикладених сил у 37 раза більше, ніж значення другої, а

значення рівнодійної сили на 24 Н більше, ніж значення меншої сили. Визначити

значення меншої та рівнодійної сил.


Нехай х Н — значення меншої сили, тоді ( 37x )Н — значення більшої сили, а

(х + 24) Н — значення рівнодійної сили, де х>0.

Відомо, що рівнодійна сила є векторною сумою сил, прикладених до

матеріальної точки.

Геометрично — це довжина діагоналі паралелограма, побудованого на сторонах

х і 37x , причому тієї діагоналі, що виходить з вершини кута 30°, тобто діагональ

лежить проти кута 150°. За теоремою косинусів:

(х+24)2 =х

2+( 37x )

2 -2х· 37x соs 150°,

x2 + 48x + 576 = х

2 + 147х

2 + 14х

23 cos 30°,

48х+576 = 147х2+21х

2,

168х2 -48х-576 = 0,

7x2 -2х-24 = 0 .

D= 4+672 = 676,

014

2621

x — не задовольняє умову задачі, .2

14

2622

x

Отже, значення меншої сили дорівнює 2 Н, а рівнодійної сили 26 Н.

Відповідь. 2 Н, 26 Н.

38

Р О З Д І Л ІV

ЗАДАЧІ ГЕОМЕТРИЧНОГО ЗМІСТУ

1. Із порту одночасно вийшли два теплоходи, перший — на північ, другий — на

схід. Через 2 год відстань між ними була 60 км. Знайти швидкість першого

теплохода, якщо вона на 6 км/год більша за швидкість другого.


Нехай х км/год — швидкість першого теплохода (х>0), тоді (х-6) км/год —

швидкість другого теплохода.

2х км — шлях, що пройшов перший теплохід за 2 год.

2(х-6) км — шлях, що пройшов другий теплохід за 2 год.

Оскільки перший теплохід рухався на північ, а другий — на схід, то напрями їх

руху утворюють прямий кут. Можна скласти геометричну модель задачі. Це

39

прямокутний трикутник, у якому 2х і 2(х-6) — довжини катетів, а 60 — довжина

гіпотенузи. За теоремою Піфагора:

(2х)2+(2(х-6))

2=60

2,

4х2+4х

2 - 48х+144 - 3600 = 0,

8х2-48х-3456 = 0,

х2 -6х-432 = 0.

D = 36 + 1728 = 1764,

182

4261

x — не задовольняє умову задачі, .24

2

4262

x


2. У прямокутному трикутнику катети відносяться як 3:2, а висота ділить

гіпотенузу на відрізки, один з яких на 2 см більший від другого. Знайти довжину

гіпотенузи.


Нехай х см — більший із відрізків, на які висота ділить гіпотенузу, тоді (х-2) см

— довжина другого відрізка.

х+х-2 = 2х-2 (см) — довжина гіпотенузи.

Якщо k — коефіцієнт пропорційності, то 3k см — довжина більшого катета.

За теоремою Піфагора:

(3k)2+(2k)

2=(2Х-2)

2

Катет є середнім пропорційним між гіпотенузою та його проекцією на

гіпотенузу. Проекція катета довжиною 3k см є відрізок х см, оскільки більшому

катету відповідає більша проекція. Тоді:

(3k)2=(2х-2)х.


),22(9

,)22(492

222

xxk

xkk

40

де k>0 і k >0.

;229

,4841322

22

xxk

xxk

.4849

2213

,9

22

22

22

xxxx

xxk

Виписуємо друге рівняння і розв'язуємо його.

13(2х2-2x)=9(4х

2-8х+4),

26х2 - 26х -36х

2 + 72х - 36 = 0,

-10х2 + 46х-36 = 0,

5х2 - 23х + 18 = 0.

D = 169,

110

13231

x , 6,3

10

13232

x

Оскільки через х позначено більшу частину катета, то умову задачі задовольняє

значення х2.Тоді гіпотенуза дорівнює 7,2-2= 5,2 (см).

Відповідь. 5,2 см.

3. Довжина одного з катетів прямокутного трикутника на 3 більша від довжини

другого катета. Знайти довжину більшого катета, якщо площа трикутника дорівнює

9.


Нехай х — довжина меншого з катетів (х>0). Тоді (х+3) — довжина другого

катета.

xxxx

2

3

2

1)3(

2

1 2 — площа прямокутного трикутника.

Складаємо і розв'язуємо рівняння.

,02

3

2

2

xx

х2+3х-18=0,

х1 = -6 — не задовольняє умову задачі, х2 =3.

Отже, 3 — довжина меншого катета, а 6 —довжина більшого катета.

41


4. Периметр прямокутника дорівнює 28 см, а сума площ квадратів, побудованих

на суміжних сторонах прямокутника, дорівнює 116 см2. Знайти сторони

прямокутника.


Нехай х см, у см — сторони прямокутника, тоді його периметр дорівнює 2(х+у)

см або 28 см, тобто

х+у=14

Площа першого квадрата х2, а другого — у

2, сума цих площ х

2+у

2, або 116 см

2.


;116

,1422 yx

yx

;11628196

,1422 yyy

yx

;080282

,142 yy

yx

;404014

,142 yy

yx

10;4

,14

yабоy

yx

;4

,10

y

x або

.10

,4

y

x

Сторони прямокутника 4 см і 10 см.

Відповідь. 4 см, 10 см.

5. Периметр прямокутника дорівнює 34 см, а довжина його діагоналі 13 см.

Знайти сторони прямокутника.


Нехай х см і у см — сторони прямокутника, тоді його периметр дорівнює 2(х+у)

см, або 34 см, тобто:

х+у = 17.

42

За теоремою Піфагора квадрат діагоналі прямокутника:

132=х

2+у

2 або х

2+у

2=169

Складаємо систему рівнянь та розв'язуємо її.

;169

,1722 yx

yx

;16934289

,1722 yyy

yx

;0120342

,172 yy

yx

;06017

,172 yy

yx

5

,17

y

yx àáî

12y

;5

,12

y

x або

.12

,5

y

x

Сторони прямокутника 5 см і 12 см.


6. Площа прямокутного трикутника дорівнює 180 см2. Знайти катети цього

трикутника, якщо один із них більший за другий на 31 см.


Нехай х см і у см — катети прямокутного трикутника, тоді його площа xy2

1 см

2

або

180 см2, тобто

ху =360.

За умовою задачі один із катетів більший за другий на 31 см, тобто

х-у=31.


;360

,31

xy

yx

;036031

,312yy

yx

43

;036031

,312 yy

yx

;9

,31

y

yx

àáî

-40y

;9

,40

y

x або

40

,95

y

x— не задовольняє умову задачі.

Отже, катети прямокутного трикутника дорівнюють 40 см і 9 см.


7. Периметр прямокутного трикутника дорівнює 48 см, а його площа 96 см2.

Знайти сторони трикутника.


Нехай катети прямокутного трикутника дорівнюють а см і b см, гіпотенуза — с

см. Тоді маємо систему:

.962

,

,48222

abcba

cba

Помножимо обидві частини третього рівняння системи на 4 і додамо до другого

рівняння. Одержуємо систему, рівносильну попередній:

.192

,384)(

,4822

ab

cba

cba

З другого рівняння

2384 cba

де a>0, b>0 i c>0

,48384 2 cc ,

cc 48384 2 ,

2384 c =2304-96c+c2

96с = 1920,

с = 20.

44

Система рівнянь

192

,28

ab

ba

рівносильна першій системі. Маємо:

;12

,16

b

a або

.16

,12

b

a

Отже, катети трикутника дорівнюють 12 см і 16 см, а гіпотенуза — 20 см.

Відвовідь. 12 см, 16 см, 20 см.

8. Гіпотенуза прямокутного трикутника більша за один з його катетів на 32 дм, а

за другий на 9 дм. Знайти площу трикутника.


Нехай х см і у см — катети даного прямокутного трикутника, тоді гіпотенузу

можна виразити через х і через у.

х+32 = у+9,

де х > 0 і у > 0.

За теоремою Піфагора:

х2+у

2=(х+32)

2.


;)32(

,932222 xyx

yx

;)32()23(

,23222 xxx

xy

Виписуємо друге рівняння системи і розв'язуємо його:

х2 + х

2 + 46х+529 = х

2 + 64х+1029,

х2 -18х-495 = 0,

D= 324+1980 = 2304,

152

48181

x — не задовольняє умову задачі,

.332

48182

x

45

;56

,33

y

x

Обчислимо площу прямокутного трикутника за формулою 2

abS

9242

5633

S дм

2

Відповідь. 924 дм2.

9. Периметр прямокутника 60 см. Якщо довжину прямокутника збільшити на 10

см, а ширину зменшити на 6 см, то площа його зменшиться на 32 см2. Знайти

площу прямокутника.


Нехай х см — ширина прямокутника, у см — довжина прямокутника, причому

х>0, у>0. Тоді

2(х+у) = 60, або х+у=30 — периметр даного прямокутника, ху см2 — площа

даного прямокутника, (у+10)(х-6) см2 — площа прямокутника після зміни довжин

його сторін. Складаємо систему рівнянь:

;32)6)(10(

,30

xyxy

yx

;03260610

,30

yxxyxy

yx

;01435

,30

yx

yx

;0143)30(5

,30

yy

yx

;01435150

,30

yy

yx

.17

,13

y

x

Отже, 13 см —ширина прямокутника, 17 см — його довжина, а площа дорівнює

13 • 17 см2.

Відповідь. 221 см2.

46

10. Для спортмайданчика виділили ділянку прямокутної форми з діагоналлю 185

м. Виконуючи будівельні роботи, довжину кожної сторони зменшили на 4 м. При

цьому прямокутна форма була збережена, але площа виявилася меншою на 1012 м2.

Які розміри спортмайданчика?


Нехай х м, у м — початкові розміри спортмайданчика.

Тоді за теоремою Піфагора:

х2+у

2=185

2.

Крім цього, за умовою:

(х-4)(у-4) = ху-1012.


;10121644

,185222

xyxyxy

yx

;185

,257222 yx

yx

;185)257(

,257222 xx

xy

66 049 -514х+2х2 -34 225 = 0,

2х2-514х+31824 = 0,

х2 -257х+15912 = 0.

D = 66 049 -63 648 = 2401,

1042

492571

x , ,153

2

492572

x у1 =257-104 = 153, у2=257-153 = 102.

(104; 153) і (153; 104) — розв'язки системи.

Отже, початкові розміри майданчика 104 м і 153 м. Тоді остаточні розміри

спортмайданчика: 100м × 149м.

Відповідь. 100 м, 149 м.

47

11. Ділянка прямокутної форми обгороджена парканом. Якщо від неї відрізати по

прямій деяку частину так, що залишиться квадрат, то площа ділянки зменшиться на

400 м2, а довжина паркану зменшиться на 20 м. Визначити початкові розміри

ділянки.


Нехай х м, у м — розміри ділянки, де х > 0, у>0 і х<у.

За умовою задачі складаємо систему рівнянь.

;204)(2

,4002

xyx

xxy

;102

,4002

xyx

xxy

;400

,102xxy

yx

;400)10(

,102xxx

xy

;40010

,1022 xxx

xy

;10

,40010

xy

x

.50

,40

y

x

(40; 50) — розв'язок системи.

Відповідь. 40 м × 50 м .

12. Дано прямокутний трикутник АОВ з прямим кутом у точні О (0; 0). Вершини

А і В лежать на осях Ох і Оу відповідно. У трикутник вписано коло радіуса R=10

см, яке дотикається до гіпотенузи у точці Р. Знайти координати точок А, В і Р,

враховуючи, що ОА > ОВ, а площа трикутника дорівнює 600 см2.


Нехай а і b — довжини катетів, тоді а-R+b-R=a+b-20 — довжина гіпотенузи.

Очевидно, що

48

(а+b-20)2=а

2+b

2 і

2

ab= 600.

Звідси а = 40 см, b= 30 см; тобто А(40; 0); B(0;30).

Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої АВ: 4

3k . Отже, рівняння прямої АВ має

вигляд:

,304

3 xy

а рівняння кола:

(х-10)2 +(у-10)

2 = 100.


;100)10()10(

,304

3

22 yx

xy

Розв'язком системи є координати точки Р.

,100204

3)10(

2

2

xx

,1004003016

910020 22 xxxx

,04005016

25 2 xx

x2-32x+256=0

D = 1024-1024=0,

,162

32x

.1830164

3y

Отже, (16; 18) — розв'язок системи, тобто P(16; 18).

Відповідь. А (40; 0); R(0;30); P(16; 18).

49

Р О З Д І Л V

ЗАДАЧІ З ПАРАМЕТРАМИ

1. Відстань між селищами А і В дорівнює 5 км. Із А вирушили в В одночасно по

одній дорозі два автотуристи, які повинні прибути в В в один і той самий час. Але

перший турист прибув до В на п год раніше, а другий — на 3n год пізніше

призначеного строку, оскільки другий проїжджав за кожну годину в середньому на

m км менше, ніж перший. Визначити середню швидкість кожного автотуриста.


Нехай t год — запланований час руху автотуристів.

v1 км/год і v2 км/год — швидкості першого і другого туристів відповідно,

причому t>0, v1>0, v2 >0. Тоді

,3

,

2

1

ntv

s

ntv

s

50

v1-v2=m

Віднімемо від другого рівняння перше:

,411

21

nvv

S

або

,4)( 2121 vnvsvv

звідси

n

smvv

421

Зауважуємо, що розв'язками системи

.4

)(

,)(

21

21

n

smvv

mvv

є корені квадратного рівняння

.04

2 n

smmzz

Розв'яжемо його

.)()(

44)(

2

22

n

smnnm

n

snmm

n

smm

n

smmD

,2

)(1

n

snmnmnmz

,2

)(2

n

snmnmnmz

Отже, n

snmnmnm

2

)( км/год — швидкість першого автотуриста.

n

snmnmnm

2

)( км/год — швидкість другого автотуриста.

За умовою n>0 , m>0 , s>0, nmsnmnm )( . Знайдені вирази для швидкостей

додатні.

Відповідь. n

snmnmnm

2

)( км/год,

n

snmnmnm

2

)( км/год.

51

2. Швидкості пасажирського і товарного потягів відносяться як а:b.

Пасажирський потяг вирушив від станції А на 0,5 год пізніше товарного, а прибув

на станцію В на 0,5 год раніше від нього. Знайти швидкості пасажирського і

товарного потягів, якщо відстань між А і B дорівнює s км.


Нехай х км/год — швидкість пасажирського потяга, у км/год — швидкість

товарного потяга, де х>у>0. Тоді x

s год — час руху пасажирського потяга,

y

s год

— час руху товарного потяга. За умовою задачі пасажирський потяг був у дорозі на

1 год менше, ніж товарний, тому

,1x

s

y

s

а їх швидкості є членами пропорції х:у=а :b .


;

,01

b

a

y

x

x

s

y

s

;

,0

b

ayx

sysysx

;0

,

2

b

aysy

b

sayb

ayx

;0

,

,

y

aysbsab

ayx

;)(

,

aybasb

ayx

52

.)(

,)(

a

basy

ab

baasx

Оскільки х>у, то а>b, s>0, а>0, b>0.

Відповідь. b

bas )( км/год,

a

bas )( км/год.

3. Два літаки вилетіли одночасно з пунктів А і В назустріч один одному і

зустрілися на відстані а км від середини АВ. Якби перший літак вилетів на b год

пізніше від другого, то вони зустрілися б на середині АВ. Якби другий літак вилетів

на b год пізніше від першого, то вони зустрілися б на 4

1 частині шляху від В.

Знайти відстань АВ і швидкості літаків.


Нехай t1 год – час, потрібний літаку, що вилетів із А, щоб подолати відстань АВ;

t2 год — час, потрібний другому літаку на подолання відстані АВ у напрямі від В до

А. За умовою задачі складаємо систему рівнянь.

;4

1

4

3

,22

21

12

btt

btt

.43

,2

22

12

btt

btt

Виконаємо алгебраїчне додавання:

;2

,62

12

1

tbt

bt

.5

,3

2

1

bt

bt

Далі складаємо рівняння:

53

,2:

2 1

2

t

ta

ABa

AB

.2

2

1

2

t

t

aAB

aAB

Оскільки 3

5

1

2 t

t то ,

3

5

2

2

aAB

aAB

3(AB+2a)=5(AB-2a),

ЗАВ+6а = 5АВ-10а,

АВ =8а.

Далі з відношень 1t

AB і

2t

AB знаходимо швидкості літаків.

b

a

t

AB

3

8

1

(км/год) — швидкість першого літака,

b

a

t

AB

5

8

2

(км/год) — швидкість другого літака, а відстань між пунктами А і В

дорівнює 8а км.

Відповідь. 8а км, b

a

3

8 км/год,

b

a

5

8 км/год.

4. Міста А і В розмішені на прямолінійній трасі на відстані 5 одне від одного. Із

А в В одночасно вийшли два пішоходи, а із В в А в той самий час виїхав

велосипедист. Проїхавши k-ту частину шляху від В до А (0 < k < 1), велосипедист

зустрів першого пішохода, а потім, проїхавши 3

2 всього шляху, зустрів другого

пішохода. На якій відстані від місця зустрічі другого пішохода і велосипедиста у

момент їх зустрічі знаходився перший пішохід? Швидкості пішоходів і

велосипедиста сталі.


Нехай v1, км/год, v2 км/год — швидкості першого і другого пішоходів відповідно,

v3 км/год — швидкість велосипедиста, v1 > 0, v2>0, v3>0.

t1 год — момент часу від початку руху до зустрічі першого пішохода і

велосипедиста;

54

t2 год — момент часу від початку руху до зустрічі другого пішохода і

велосипедиста. Маємо систему рівнянь:

)4(.3

2

)3(,3

1

)2(,)1(

)1(,

23

22

11

13

stv

stv

sktv

kstv

Із (1) і (2) рівнянь знаходимо, що

,1

31k

kvv

з рівняння (4): .3

2

3

2v

st

Нехай х км — шукана відстань, тоді

,2221 tvtvx

,33

21

3

3

s

v

s

k

kvx

.3

)32(

k

ksx

Оскільки пішоходи йдуть до пункту В, то одержаний результат матиме зміст,

якщо sx3

20 , тобто, якщо виконується нерівність s

k

ks

3

2

3

)32(0

.

Ця нерівність справедлива, якщо k

k2

3

2

Якщо 5

20 k відстань між пішоходами в момент часу t2 дорівнює s

3

2, оскільки

до цього часу перший пішохід дійде до кінцевого пункту.

Якщо 3

2k то умова задачі не виконується (велосипедист раніше зустріне

другого пішохода).

Отже, перший пішохід був на відстані 3

2sкм, якщо

5

2;0k , ,

32

3

k

ks якщо

3

2;

5

2k від зустрічі велосипедиста другого пішохода.

55

Відповідь. 3

2s, якщо

5

2;0k , ,

32

3

k

ks якщо

3

2;

5

2k

5. Два велосипедисти виїхали одночасно з пункту А, їдуть з різними, але сталими

швидкостями до пункту В, приїхавши, відразу повертаються назад. Перший

велосипедист, обігнавши другого, зустрічає його на зворотному шляху на відстані а

км від В. Потім, прибувши в А, знову повертається до В, зустрічаючи на шляху

другого велосипедиста, пройшовши k-ту частину відстані А до В. Знайти відстань від

А до В.


До першої зустрічі перший велосипедист проїхав (s+a) км, другий — (s-а) км, де

s км — відстань від А до В. До другої зустрічі вони проїхала відповідно

s

ks

12

км і

s

ks

12 км.

Якщо два матеріальні тіла рухаються зі сталими швидкостями, то відношення

швидкостей тіл при рівності витраченого часу дорівнює відношенню пройдених

тілами шляхів. Тому для знаходження s маємо рівняння:

,1

2

12

k

k

as

as

звідси s=2ak км, де а>0, k>0.

Відповідь. 2аk км.

6. Із пунктів А і В назустріч один одному одночасно вирушили пішохід і

велосипедист. Після зустрічі пішохід продовжив свій рух до пункту В, а

велосипедист повернувся назад і також поїхав до пункту В. Пішохід прийшов у

пункт В на t год пізніше велосипедиста. Скільки часу минуло до зустрічі, якщо

швидкість пішохода у k разів менша від швидкості велосипедиста?


56

Нехай до зустрічі минуло х год. Одну і ту саму відстань від місця зустрічі до

пункту В велосипедист подолав за х год, а пішохід за (x+t) год. Оскільки при одній

відстані час обернено пропорційний до швидкості, то

,kx

tx

де х>0 , t>0.

1

k

tx , де к>1.

Відповідь. 1k

t.

7. Для випробування мотоциклів різних моделей два мотоциклісти виїхали

одночасно від В до А. Кожний їхав з незмінною швидкістю і, приїхавши до

кінцевого пункту, відразу повернули назад. Першого разу вони зустрілися на

відстані g км від В, другого разу — на відстані g км від А через t год після першої

зустрічі. Знайти відстань між А і В і швидкості обох мотоциклів.


Нехай х — відстань між пунктами А і В, де x>0, v1, v2 – швидкості мотоциклів

v1>0, v2>0.

За час t перший мотоцикліст проїхав відстань, що дорівнює p+x-g , а другий g+х-

р.


.

,

2

1

t

pgxv

t

gpxv

З іншого боку, відношення швидкостей дорівнює відношенню відстаней,

пройдених до першої зустрічі, тобто:

.2

1

p

px

v

v

Підставивши у це рівняння значення v1 і v2 із системи, одержуємо рівняння, з

якого знаходимо x.

57

,:p

px

t

pgx

t

gpx

,0

p

px

pgx

gpx

;0

,0

,0))(()(

p

pgx

pgxpxpgpx

;0

,

,0)( 222

p

gpx

ppxgpgxxpxgppxp

,02 2222 pgpgxpxxgpppx

,032 gxpxx

,032 gxpxx

,0)3( gpxx

;0x

,03 gpx

.3 gpx

Тоді t

gp

t

gpgpv

2431

, .

232

t

p

t

pggpv

Отже, відстань між А і B дорівнює 3p-g, а швидкості мотоциклів t

gp 24 i

t

p2.

Відповідь. ( 3 p - g ) км, t

gp 24 км/год,

t

p2 км/год.

8. Літак вилетів від А до В по прямій. Через деякий час внаслідок зустрічного

вітру він зменшив швидкість до v км/год, тому запізнився на t1, хв. Під час другого

рейсу літак з тієї самої причини зменшив свою швидкість до тієї самої величини,

але на d км далі від А, ніж першого разу, і запізнився на t2 хв. Знайти початкову

швидкість літака.


Нехай х км/год — початкова швидкість літака. Різниця між часом спізнення

літака у першому і другому рейсах дорівнює 60

21 tt год і пов'язана з тим, що шлях

58

довжиною d км був пройдений з різними швидкостями: під час першого рейсу

швидкість була v км/год, під час другого — х км/год (на решті шляху швидкості

були однаковими).

Одержуємо рівняння:

x

d

v

dtt

60

21 .

Розв'яжемо це рівняння відносно х:

.0,0,0,0,0,0

,06060)(

21

21

dttvxvx

dvdxvxtt

х((t1-t2)v-60d)=-60dv,

.)(60

60

12 ttvd

vdx

Оскільки значення всіх параметрів додатні, то t2 > t1.

Відповідь. .)(60

60

12 ttvd

vd

км/год.

9. По колу у протилежних напрямах рухаються два тіла: перше рівномірно з

лінійною швидкістю v, а друге — рівноприскорено з лінійною швидкістю а. У

початковий момент часу обидва тіла були в точці А і швидкість другого

дорівнювала нулю. Через скільки часу відбудеться перша зустріч цих тіл, якщо

друга зустріч буде знову у точці А?


Позначимо через t час, що минув до першої зустрічі, через t' — час, що минув до

другої зустрічі, і через R — радіус кола. За час t перше тіло пройшло шлях vt, а

друге — .2

2at

Сума цих відстаней дорівнює довжині кола:

.22

2

Rat

vt

За час t' кожне тіло пройшло однакову відстань, що дорівнює довжині кола:

,2 Rtv .22

)( 2

Rta

59

Виключаючи звідси t', знаходимо .2

a

vR

Підставивши це значення R у перше рівняння, одержуємо квадратне рівняння

відносно t.

.02

2

22

a

vvt

at

.0

,042 222

a

vavtta

,020164 222222 vavavaD

.)15(2

)51(2

2

522

2

202222

22

1a

v

a

av

a

avav

a

vaavt

Оскільки v>0 , а > 0, то t1 <0, тому t1 не задовольняє умову задачі.

.0)15(2 a

vt

Отже, a

v)15( — час, через який відбудеться перша зустріч.

Відповідь. a

v)15( .

10. По колу радіуса R рівномірно в одному напрані рухаються дві точки. Одна з

них робить повний оберт на t c швидше від другої. Час між двома послідовними

зустрічами точок дорівнює Т. Визначити швидкості цих точок.


Нехай х м/с, у м/с — швидкості точок, причому х>у, х>0, у>0.

Складаємо перше рівняння:

.22

tx

R

y

R

За умовою задачі час Т точка, що рухається з більшою швидкістю, пройде по

колу відстань на R2 більшу, ніж друга точка. Виходячи з цього, складаємо друге

рівняння:

Тх-Ту= R2 .


60

;2

,22

RTyTx

tx

R

y

R

.0

,0222

,2

2

Tt

R

T

Rx

T

Rx

T

Rxy

Виписуємо друге рівняння системи і розв'язуємо його:

.02222

t

R

T

Rx

T

Rx

,0164

164

2

222222

2

22

tT

TRtR

Tt

R

T

RD

,4

12)4(4

2

22

t

T

T

r

tT

TtRD

,4

112:4

122

1

t

T

T

R

t

T

T

R

T

Rx

оскільки t

T41 > 1, то х 1 <0 — не задовольняє умову задачі.

.4

112

t

T

T

Rx

Знайдемо значення у, що відповідає значенню х2:

.14

124

11

t

T

T

R

T

R

t

T

T

Ry

Відповідь.

t

T

T

R 411

м/с, .1

41

t

T

T

R м/с.

11. Троє мандрівників А, В і С переправлялися через водосховище шириною s

км: А — плив зі швидкістю v км/год, а В і С— використали моторний човен,

швидкість якого v1 км/год. Через деякий час після початку переправи С вирішив

решту шляху пливти самостійно з тією самою швидкістю, що і А, В тим часом

повернув назад, щоб узяти з собою А. А сів у човен і продовжив шлях разом з В. До

61

протилежного берега всі троє припливли одночасно. Визначити, скільки часу

тривала переправа.


Нехай х — відстань від першого берега до того місця, де С залишив човен.

Зауважимо, що на цій самій відстані від другого берега А сів у човен. Способи,

якими подолали переправу A i С , відрізняються лише тим, що С спочатку плив на

човні, а потім самостійно, а А — навпаки. Оскільки вони пливли з рівними

швидкостями v, причому v≠v1, і витратили один і той самий час на переправу, то за-

значені відстані повинні бути рівними. Тому можна скласти рівняння, позначивши

через s відстань від місця, де С залишив човен, до другого берега.

v

xs

v

xssx

1

)(2

У цьому рівнянні ліва частина виражає час, витрачений човном на подолання

відстані до зустрічі з А , а права частина — час, що витратив А до зустрічі з човном.

Розв'яжемо рівняння відносно х:

(x+s-2s+2x)v-(s-x)v1=0

де x, s, v, v1 —додатні величини.

,022 11 xvsvxvsvsvxv

,3 11 svsvxvvx

1

1

3

)(

vv

vvsx

відстань від початку переправи до місця, де С залишив човен.

Нехай Т — час, протягом якого тривала переправа, тоді

.1v

s

v

xsT

Підставивши значення 1

1

3

)(

vv

vvsx

у цей вираз, одержуємо:

.)3(

)3(

11

1

vvv

vvsT

Відповідь. )3(

)3(

11

1

vvv

vvs

год.

62

12. Відстань між двома містами дорівнює а км. З цих міст назустріч один одному

виїхали два автомобілі і зустрілися через 2t год. Якби перший автомобіль виїхав на

t год раніше, ніж другий, то вони зустрілися б на середині шляху. Визначити

швидкість кожного автомобіля.


Нехай швидкість першого автомобіля х км/год, а другого у км/год (х>0,у>0).

Тоді перший проїде половину шляху за x

a

2 год, а другий — за

y

a

2 год.

За умовою задачі

.22

ty

a

x

a

Якщо автомобілі виїжджають одночасно, то весь шлях вони проїдуть за tyx

a2

год.


;,0,0,02

,22

yxayxt

ayx

ty

a

x

a

;2

,2)(

t

ayx

xytxya

;2

,22

t

aayax

xytaxay

;2

,2

222

yt

ax

t

axytay

.2

,22

222

yt

ax

t

ayty

t

aay

Виписуємо перше рівняння системи і розв'язуємо його.

63

,2

222

2

t

atyayay

,02

22

2 t

aayty

.54 222 aaaD

04

51

t

aay — не задовольняє умову, .

4

52

t

aay

Знайдемо відповідне значення х:

,4

5

4

52

4

5

2 t

aa

t

aaa

t

aa

t

ax

Причому t

aa

t

aa

4

5

4

5

що відповідає умові

Відповідь. t

a

4

)15( км/год,

t

a

4

)15( км/год.

13. Два автомобілі виїжджають одночасно з пункту А до пункту В, відстань між

якими дорівнює р км. Швидкість одного автомобіля на m км/год більша за

швидкість другого, тому він приїжджає до В на h год раніше. Визначити швидкості

автомобілів.


Нехай швидкість першого автомобіля х км/год, тоді швидкість другого

автомобіля (х + m) км/год.

Перший автомобіль проїжджає р км за x

p— год, а другий за

mx

p

год.


,tmx

p

x

p

де x>0, t>0, m>0, p>5.

p(x+m)-px-tx(x+m)=0,

px+mp-px-tx2-tmx=0,

-tx2-tmx+pm=0,

x2+mx-

t

pm=0.

64

,042

t

pmmD

042

2

1 t

pmmmx — не задовольняє умову задачі.

t

pmmmx

42

2

2 — швидкість першого автомобіля, а швидкість

другого t

pmmm

42

2

.

Відповідь. t

pmmm

42

2

км/год, t

pmmm

42

2

км/год.

В И С Н О В К И

Звичайно, така систематика умовна, оскільки, наприклад, задачі фізичного змісту

можна класифікувати здебільшого як задачі «на рух», а задачі алгебраїчного змісту

як задачі на залежність між компонентами арифметичних дій». На практиці часто

зустрічаються задачі змішаних типів.

Матеріал статті допоможе старшокласникам у підготовці до незалежного

зовнішнього оцінювання з математики.

65

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Горделадзе. Ш.Г., Кухарчук М.М. Збірник конкурсних задач з математики –

Вища школа, 1990.

2. Дыбов П.Т., Забоев А.И. Сборник задач по математике для поступающих в

вузы. Учебное пособие – Высшая школа, 1989.

3. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал

анализа. Просвещение, 1990.

4. Колесникова Л.В., Коротіна Г.Й. Алгебра. Дидактичні матеріали. 9 клас:

Навчальний посібник. – Х.: Світ дитинства, 2001.

5. Сєров М.І., Самоздран А.О. Посібник з елементарної математики – Полтава,

2005.

66

Documents

Розв’язування текстових задачnavigator.rv.ua/wp-content/uploads/2018/12/rozv-tekst.pdfРозв’язування текстових задач