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Afijacion detamanos demuestra enM.A.E. vıa
programacionmatematica
AlfonsoSanchez,Leonardo
Solanilla, JairoClavijo & Alex
Zambrano
Introduccion
Afijacionoptima para elM.A.E.univariado
InterpretaciongraficaMetodo deiteracion“Knapsack”EjemploAfijacionoptima conrestriccion depresupuesto
Afijacionoptima para elM.A.E.multivariado
InterpretaciongraficaAlgoritmoMejorado
Conclusiones
Referencias
Afijacion optima de tamanos de muestraen muestreo aleatorio estratificado
vıa programacion matematica
Alfonso Sanchez1
Leonardo Solanilla1
Jairo Alfonso Clavijo1
Alex Zambrano2
1Profesor asociado, Universidad del Tolima2Profesor catedratico, Universidad del Tolima
Afijacion detamanos demuestra enM.A.E. vıa
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AlfonsoSanchez,Leonardo
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Contenido
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Afijacion optima para el M.A.E. univariadoInterpretacion graficaMetodo de iteracion “Knapsack”EjemploAfijacion optima con restriccion de presupuesto
Afijacion optima para el M.A.E. multivariadoInterpretacion graficaAlgoritmo Mejorado
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Tal como lo senala Arthanari & Dodge (1981, pp.216) enmacroeconomıa y microeconomıa se necesita establecerinformacion a traves de encuestas, enumeracion de individuos,. . . , etc.
La teorıa del muestreo ayuda a la seleccion de muestras de unapoblacion segun ciertos mecanismos probabilısticos. Lo massimple es asignar igual probabilidad a cada unidad de lapoblacion en la muestra (Muestreo Aleatorio Simple o M.A.S.).Se asocia con o sin reemplazo. Otra forma simple es asignarprobabilidades distintas con base en algun otro criterio en una“medida de tamano” (Probabilidad Proporcional al Tamano oP.P.T.).
Dentro del diseno de muestreo se consideran diversas manerasde seleccionar unidades. En este trabajo se mostrara unamanera diferente de calcular el tamano de muestra dentro deun muestreo aleatorio estratificado, usando para ello un criteriode optimizacion, lo que lo situa dentro del campo de laprogramacion matematica.
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ProblemaEl problema desde el punto de vista de la programacionmatematica puede plantearse como:
mın Costo de Encuesta.s. a. La perdida de precision quede dentro de ciertos lımites.
Una formulacion equivalente del problema 1 es la siguiente:
mın La perdida de precision.s. a. El costo se acomode a un presupuesto.
El anterior es un problema concreto de Afijacion Optima deTamanos de Muestra en M.A.E.
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Sea U = {U1, U2, . . . , UL} una poblacion particionada ensubpoblaciones o estratos. Una caracterıstica de la poblacion seinfiere a partir de muestras de cada uno de los estratos.Sea Ni el numero de unidades del estrato i-esimo y∑L
i=1Ni = N donde L es el numero de estratos, N es elnumero de unidades en la poblacion, mientras que ni el tamanode la muestra del i-esimo estrato. Se asume que las muestras setoman independientemente en cada estrato.
El problema de afijacion optima es determinar los ni, elobjetivo es minimizar la varianza (ganar precision) delestimador de la caracterıstica bajo estudio, la restriccion es elnumero de unidades muestrales tomadas con el presupuestodisponible.
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Sea yest el estimador insesgado de la media poblacional Y , dela caracterıstica en estudio, dado por
yest =1N
L∑i=1
Niyi,
donde yi el estimador insesgado de la media Y i (en el estratoi-esimo), esto es,
yi =1ni
L∑h=1
yih,
Sea V (yest) = 1N2
∑Li=1N
2i V (yi) la varianza del estimador
anterior donde
V (yi) =1
Ni − 1
Ni∑h=1
(yih − Y i
)2( 1ni− 1Ni
)
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ProblemaEl problema 1 se puede formular como:
mın V (yest) =L∑
i=1
W 2i S
2i xi (Funcion Objetivo)
s. a.L∑
i=1
ni = n (Funcion Lineal) (R1)
ni ∈ Z+, 1 ≤ ni ≤ Ni, 1 ≤ i ≤ L (R2)
donde Wi = Ni
N , S2i = 1
Ni−1
∑Ni
h=1
(yih − Y i
)2y xi = 1
ni− 1
Ni.
La funcion objetivo no es lineal, si olvidamos (R2) podemosusar Multiplicadores de Lagrange.
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Sea
V (yi) =L∑
i=1
W 2i S
2i xi =
L∑i=1
aixi
=L∑
i=1
ai
ni−
L∑i=1
ai
Ni=
L∑i=1
ai
ni+ constante
donde ai = W 2i S
2i . Reescribiendo el problema 2 tenemos:
mınL∑
i=1
ai
ni= Z (Funcion Objetivo)
s.a.L∑
i=1
ni = n (R1)
ni ∈ Z+, 1 ≤ ni ≤ Ni, 1 ≤ i ≤ L (R2)
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Minimizar la V (yest) es equivalente a minimizar
f(n1, n2, . . . , nL) =L∑
i=1
ai
ni
con restriccion g(n1, n2, . . . , nL) = (∑L
i=1 ni − n) = 0.Por condicion de lagrange
∇f − λ∇g =(−a1
n21
,−a2
n22
, . . . ,−aL
n2L
)− λ1 = 0,
bajo la restriccion g(n1, n2, . . . , nL) = 0
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Tenemos:
−a1
n21
− λ = 0
−a2
n22
− λ = 0
...−aL
n2L
− λ = 0
n1 + n2 + . . .+ nL = n
Considerando λ negativo y solucionando las ecuacionestenemos:
ni =√ai√λ
=n√ai
L∑k=1
√ak
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Se puede presentar los siguientes problemas:
I n /∈ Z+, entonces, se redondea.I ni > Ni, entonces, aquı se tendrıa que redistribuir, ya
que se presenta un sobremuestreo.I ni < 1, entonces, tendrıamos que tomar como mınimo
una unidad en el estrato correspondiente.
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Se puede presentar los siguientes problemas:
I n /∈ Z+, entonces, se redondea.I ni > Ni, entonces, aquı se tendrıa que redistribuir, ya
que se presenta un sobremuestreo.I ni < 1, entonces, tendrıamos que tomar como mınimo
una unidad en el estrato correspondiente.
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Referencias
Se puede presentar los siguientes problemas:
I n /∈ Z+, entonces, se redondea.I ni > Ni, entonces, aquı se tendrıa que redistribuir, ya
que se presenta un sobremuestreo.I ni < 1, entonces, tendrıamos que tomar como mınimo
una unidad en el estrato correspondiente.
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Es util suponer que los ai > 0, 1 ≤ i ≤ L (es razonable). Deeste modo, la funcion objetivo Z es estrictamente convexa.Tomemos por facilidad L = 2 estratos.
n2
n11 n
1
N2
n
N1
n1 +
n2 =
na1
n1+ a2
n2= Z
�
n∗1
Figura: Region factible y funcion objetivo cuando unicamenteN2 es mas grande que n. Fuente: (Arthanari & Dodge 1981)
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Referencias
Es util suponer que los ai > 0, 1 ≤ i ≤ L (es razonable). Deeste modo, la funcion objetivo Z es estrictamente convexa.Tomemos por facilidad L = 2 estratos.
mına1
n1+a2
n2= Z
s.a. n1 + n2 = n
ni ∈ Z+, 1 ≤ ni ≤ Ni, i = 1, 2
n2
n11 n
1
N2
n
N1
n1 +
n2 =
na1
n1+ a2
n2= Z
�
n∗1
Figura: Region factible y funcion objetivo cuando unicamenteN2 es mas grande que n. Fuente: (Arthanari & Dodge 1981)
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Es util suponer que los ai > 0, 1 ≤ i ≤ L (es razonable). Deeste modo, la funcion objetivo Z es estrictamente convexa.Tomemos por facilidad L = 2 estratos.
n2
n11 N1
1
N2
n
n
n1 +
n2 =
n
a1
n1+ a2
n2= Z
b
Figura: Region factible y funcion objetivo cuando N1 y N2 sonambos mas grandes que n. Fuente: (Arthanari & Dodge 1981)
n2
n11 n
1
N2
n
N1
n1 +
n2 =
na1
n1+ a2
n2= Z
�
n∗1
Figura: Region factible y funcion objetivo cuando unicamenteN2 es mas grande que n. Fuente: (Arthanari & Dodge 1981)
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Es util suponer que los ai > 0, 1 ≤ i ≤ L (es razonable). Deeste modo, la funcion objetivo Z es estrictamente convexa.Tomemos por facilidad L = 2 estratos.
n2
n11 n
1
N2
n
N1
n1 +
n2 =
na1
n1+ a2
n2= Z
�
n∗1
Figura: Region factible y funcion objetivo cuando unicamenteN2 es mas grande que n. Fuente: (Arthanari & Dodge 1981)
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Referencias
El metodo knapsack (que podrıamos traducir como metodo delmorral) es un metodo iterativo de programacion matematicaentera, el cual puede ser usado para resolver una funcionobjetivo no lineal con restricciones lineales como se presenta enel problema 2.Encontrar sucesivamente f(k, r), k maneja el estrato, es decir,1 ≤ k ≤ L. r maneja el tamano de la muestra en el estrato,0 ≤ r ≤ Ni, r ∈ Z+ ∪ {0}.Paso 1:
f(1, r) =
{mın
{a1n1
}s.a n1 = r, 1 ≤ n1 ≤ N1, n1 ∈ Z+
Solucion:
f(1, r) =
{a1r 1 ≤ r ≤ N1
∞ r < 1 o r > N1
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Referencias
Paso 2:
f(2, r) =
{mın
{a1n1
+ a2n2
}s.a n1 + n2 = r, 1 ≤ ni ≤ Ni, i = 1, 2, ni ∈ Z+
Si fijamos n2, la funcion anterior se reduce a:
a2
n2+
{mın
{a1n1
}s.a n1 = r − n2, 1 ≤ n1 ≤ N1, n1 ∈ Z+
a2
n2+ f(1, r − n2)
Pero como n2 no es fijo
f(2, r) = mınn2=1,...,n
{a2
n2+ f(1, r − n2)
}
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Referencias
Paso 3:
f(3, r) =
{mın
{a1n1
+ a2n2
+ a3n3
}s.a n1 + n2 + n3 = r, 1 ≤ ni ≤ Ni, i = 1, 2, 3, ni ∈ Z+
Si fijamos n3, la funcion anterior se reduce a:
a3
n3+
{mın
{a1n1
+ a2n2
}s.a n1 + n2 = r − n3, 1 ≤ n1 ≤ N1, 1 ≤ n2 ≤ N2, n1, n2 ∈ Z+
a3
n3+ f(2, r − n3)
Pero como n3 no es fijo
f(3, r) = mınn3=1,...,n
{a3
n3+ f(2, r − n3)
}
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Referencias
etc. Si conocemos f(k, r) entonces:
f(k + 1, r) = mınnk+1=1,...,n
{ak+1
nk+1+ f(k, r − nk+1)
}Paso final (L-esima): Ubicamos el valor mınimo de f(L, r), elcual nos da nL. Del anterior (L-1)-esimo el valorf(L− 1, n− nL) nos da el nL−1. El (L-2)-esimo def(L− 2, n− nL − nL−1) nos da nL−2. Etc; ası hasta quefinalmente encontramos el optimo para n1.
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Referencias
La siguiente tabla tomada de Cochran (1977), muestra elnumero de habitantes (miles) de 64 grandes ciudades en losE.U. en el ano 1930. Las ciudades estan agrupadas en tresestratos.
Cuadro: Numeros de habitantes (en miles), para el ano 1930, en64 grandes ciudades de los E.U (por estrato)
1 2 390.0 57.8 36.4 30.8 25.3 19.5 13.9 14.0 16.382.2 48.7 31.7 27.2 23.2 18.3 17.0 11.9 11.678.1 44.2 32.8 28.4 26.0 16.3 15.0 13.0 12.280.5 45.1 30.2 25.5 29.2 20.1 14.3 12.7 13.467.0 45.9 28.8 27.0 14.7 11.3 10.0123.8 46.4 29.1 21.4 16.4 11.5 10.757.3 40.0 25.3 26.0 14.3 12.3 11.463.4 36.6 29.1 20.9 16.9 15.4 11.1
Afijacion detamanos demuestra enM.A.E. vıa
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Solanilla, JairoClavijo & Alex
Zambrano
Introduccion
Afijacionoptima para elM.A.E.univariado
InterpretaciongraficaMetodo deiteracion“Knapsack”EjemploAfijacionoptima conrestriccion depresupuesto
Afijacionoptima para elM.A.E.multivariado
InterpretaciongraficaAlgoritmoMejorado
Conclusiones
Referencias
Metodo de multiplicadores de lagrange
Los ni se calculan como sigue para una restriccion de 24muestras en total.
Estrato i Ni
∑Yi Y i S2
i Wi ai ni
1 16 1007.0 62.94 538.43 0.25 33.65 17.05
2 20 554.3 27.71 14.24 0.31 1.39 3.47
3 28 395.5 14.13 7.33 0.44 1.40 3.48
Total 64
Las soluciones redondeadas son 17, 3, 4. Hay un problema desobre muestreo.
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Aplicacion del metodo knapsack
Primero se calculan los f(1, r), para r = n1 factibles. Luegocalculamos f(2, r) y f(3, r) ası
Cuadro: f(k, r) para k = 1, 2, 3 y r = 1, . . . , 24
r f(1, r) n1 f(2, r) n2 f(3, r) n3
1 33.65 12 16.83 2 35.04 13 11.22 3 18.22 1 36.44 14 8.41 4 12.61 1 19.62 15 6.73 5 9.80 1 14.01 16 5.61 6 8.12 1 11.21 17 4.81 7 7.00 1 9.52 18 4.21 8 6.20 1 8.40 19 3.74 9 5.50 2 7.60 110 3.37 10 4.90 2 6.90 211 3.06 11 4.43 2 6.20 212 2.80 12 4.06 2 5.60 213 2.59 13 3.75 2 5.14 214 2.40 14 3.50 2 4.76 215 2.24 15 3.27 3 4.46 216 2.10 16 3.05 3 4.20 217 2.87 3 3.97 318 2.71 3 3.74 319 2.57 3 3.52 320 2.45 4 3.33 321 2.38 5 3.17 322 2.33 6 3.03 323 2.30 7 2.92 324 2.28 8 2.80 4
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Comparando la solucion obtenida estimamos la varianza dealgunos metodos
Cuadro: Comparacion de varianzas
Asignacion (n1, n2, n3) V (yest)
Metodo knapsack (16,4,4) 0.5841
Asignacion mediante lagrange (17,3,4) 0.5627
(M.A.S.) (8,8,8) 2.3410
Proporcional (6,8,10) 3.7127
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Contenido
Introduccion
Afijacion optima para el M.A.E. univariadoInterpretacion graficaMetodo de iteracion “Knapsack”EjemploAfijacion optima con restriccion de presupuesto
Afijacion optima para el M.A.E. multivariadoInterpretacion graficaAlgoritmo Mejorado
Conclusiones
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Supongamos que el costo de muestreo por unidad es diferenteen los distintos estratos. Sea ci el costo de una muestra en eli-esimo estrato. Sea C el presupuesto total disponible.
mın Z =L∑
i=1
ai
ni
s. a.L∑
i=1
cini = C
ni ∈ Z+, 1 ≤ ni ≤ Ni, 1 ≤ i ≤ L.
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ProblemaSimilarmente se puede plantear minimizando el costomanteniendo la perdida de precision dentro de “ciertos”lımites, es decir:
mın Z =L∑
i=1
cini = C
s. a.L∑
i=1
ai
ni≤ v
ni ∈ Z+, 1 ≤ ni ≤ Ni, 1 ≤ i ≤ L.
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Suponemos p caracterısticas en estudio. Sea Yj la j-esimacaracterıstica estudiada, donde 1 ≤ j ≤ p, L numeros deestratos, Ni numeros de unidades en el i-esimo estrato, donde1 ≤ i ≤ L,
∑Li=1Ni = N numero total de unidades, ni numero
de unidades elegidas en el i-esimo estrato, 1 ≤ i ≤ L.Los datos tienen la siguiente forma yijh, donde i es el estrato, jes la observacion de la caracterıstica Yj , h es la unidad. Estedato se lee h-esima unidad en la j-esima caracterıstica en eli-esimo estrato.Sea yij el estimador insesgado de Y ij , tal que,
yij =1ni
ni∑h=1
yijh
Ası el estimador insesgado de Y j es:
yi(est) =1N
L∑i=1
Niyij , 1 ≤ j ≤ p
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Tal como antes se puede calcular la varianza para cadacaracterıstica:
Vj = V (yij(est)) =L∑
i=1
W 2i S
2ijxi,
con Wi = Ni
N ; S2ij = 1
Ni−1
∑Ni
h=1(yijh − Y ij)2, xi = 1ni− 1
Ni.
Sea Ci > 0 el costo del muestreo de las p caracterısticas en eli-esimo estrato, 1 ≤ i ≤ L, donde el costo total serıa:
Z =L∑
i=1
Cini
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ProblemaEl problema de asignacion puede plantearse como:
mınL∑
i=1
Cini (Funcion Objetivo Lineal)
s. a.L∑
i=1
aijxi ≤ vj , 1 ≤ j ≤ p. (Restriccion No Lineal)
0 ≤ xi ≤ 1− 1Ni, 1 ≤ i ≤ L,
1 ≤ ni ≤ Ni, ni ∈ Z
donde aij = W 2i S
2ij (aij , C > 0) y vj es el error permitido en
la j-esima caracterıstica, ademas es lineal.
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ProblemaIntroduciendo una nueva variable Xi = 1
ni, podemos reescribir
el problema anterior como:
mınL∑
i=1
Ci
Xi(Funcion Objetivo No Lineal)
s. a.L∑
i=1
aijXi ≤ bj , 1 ≤ j ≤ p (Restriccion Lineal)
1Ni≤ Xi ≤ 1, 1 ≤ i ≤ L
bj = vj +∑L
i=1 aij1
Ni, con ni ∈ Z.
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Observaciones al problema 5.
I Z es una funcion estrictamente convexa por que Ci
Xies
estrictamente convexo para Ci > 0 y 1 ≤ i ≤ L.
I Las restricciones del problema 5 proporcionan una regionfactible convexa acotada, formada por inecuacioneslineales.
I La solucion al problema de optimizacion ocurre en lafrontera de este convexo.
Entre algunos metodos para solucionar el problema 5 tenemos:
Simplex convexoDireccion factibleProyeccion del gradienteLinealizacion
+ errror
Estos metodos se utilizan con redondeo, y sin redondear seutiliza branch bound, el cual es la generalizacion del algoritmoknapsack para una sola caracterıstica.
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Observaciones al problema 5.
I Z es una funcion estrictamente convexa por que Ci
Xies
estrictamente convexo para Ci > 0 y 1 ≤ i ≤ L.
I Las restricciones del problema 5 proporcionan una regionfactible convexa acotada, formada por inecuacioneslineales.
I La solucion al problema de optimizacion ocurre en lafrontera de este convexo.
Entre algunos metodos para solucionar el problema 5 tenemos:
Simplex convexoDireccion factibleProyeccion del gradienteLinealizacion
+ errror
Estos metodos se utilizan con redondeo, y sin redondear seutiliza branch bound, el cual es la generalizacion del algoritmoknapsack para una sola caracterıstica.
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Observaciones al problema 5.
I Z es una funcion estrictamente convexa por que Ci
Xies
estrictamente convexo para Ci > 0 y 1 ≤ i ≤ L.
I Las restricciones del problema 5 proporcionan una regionfactible convexa acotada, formada por inecuacioneslineales.
I La solucion al problema de optimizacion ocurre en lafrontera de este convexo.
Entre algunos metodos para solucionar el problema 5 tenemos:
Simplex convexoDireccion factibleProyeccion del gradienteLinealizacion
+ errror
Estos metodos se utilizan con redondeo, y sin redondear seutiliza branch bound, el cual es la generalizacion del algoritmoknapsack para una sola caracterıstica.
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I Z es una funcion estrictamente convexa por que Ci
Xies
estrictamente convexo para Ci > 0 y 1 ≤ i ≤ L.
I Las restricciones del problema 5 proporcionan una regionfactible convexa acotada, formada por inecuacioneslineales.
I La solucion al problema de optimizacion ocurre en lafrontera de este convexo.
Entre algunos metodos para solucionar el problema 5 tenemos:
Simplex convexoDireccion factibleProyeccion del gradienteLinealizacion
+ errror
Estos metodos se utilizan con redondeo, y sin redondear seutiliza branch bound, el cual es la generalizacion del algoritmoknapsack para una sola caracterıstica.
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Consideremos a L =# Estratos= 2
Problema
mın Z(X1, X2) =C1
X1+C2
X2(Funcion Convexa)
s. a. a11X1 + a12X2 ≤ b1 (1)a21X1 + a22X2 ≤ b2 (2)1Ni≤ Xi ≤ 1 i = 1, 2
Con 1X1, 1X2∈ Z para X1, X2 > 0
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X2
X11N1
1
1
11
N2
a11X
1 +a12X
2 ≤b1
a21 X
1 +a
22 X2 ≤
b2
C1
X1+ C2
X2
�
Figura: Funcion objetivo y region factible.
Fuente: (Arthanari & Dodge 1981)
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Para saber cual es la direccion de acercamiento, para ello, setienen las siguientes observaciones sobre las hiperbolas.
Z =C1
X1+C2
X2
=C1X2 + C2X1
X1X2
(X1 −C1
Z)(X2 −
C2
Z) =
C1C2
Z2(Hiperbola)
Lo que nos muestra una hiperbola para cada Z. Es mas estacentrada en (C1
Z , C2Z ) y es rectangular (no necesariamente
equilatero). Al aumentar Z el centro se acerca al origen.
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¿Como se mueve el centro de la hiperbola cuandovariamos Z 6= 0? Si utilizamos el siguiente lema tenemosuna forma de acercarnos.
Lema (De la Geometrıa Analıtica)
La rama positiva de la hiperbola(X1 − C1
Z
) (X2 − C2
Z
)= C1C2
Z2 para Z ∈ R fijo, tienevertice C1 +
√C1C2
Z︸ ︷︷ ︸ξ1
,C2 +
√C1C2
Z︸ ︷︷ ︸ξ2
Cuando Z varıa el vertice varıa sobre una recta que pasapor el origen ya que ξ2
ξ1= C2+
√C1C2
C1+√C1C2
= cte. La pendientede esta recta es diferente a la anterior por tanto va enotra direccion.
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Para obtener la asignacion optima debemos encontrar lahiperbola regular para algun valor Z, tal que, toque el limite dela region factible. Mirar figura 2. En general cuando tenemosL-estratos y la restriccion
∑Li=1 aijXi = bj , para 1 ≤ j ≤ p,
tenemos lo siguiente,
TeoremaEl punto de contacto del hiperplano
L∑i=1
aiXi = b (ai, b > 0),
con la funcion objetivo Z =∑L
i=1Ci
Xi, para cada Z fijo, es
X = (X1, . . . , XL) ∈ RL, donde
Xi =b√Ciai
ai
L∑j=1
√Cjaj
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Demostracion.Sea
f(X1, . . . , XL) =L∑
i=1
Ci
Xi, g(X1, . . . , Xl) =
L∑i=1
aiXi − b = 0
Mediante el metodo de Lagrange tenemos la condicion∇f − λ∇g = 0 para g = 0 y tomando la i-esima componentetenemos,
− Ci
X2i
+ λai = 0 1 ≤ i ≤ L,
despejando Xi y despejando de la restriccion√λ (con λ
negativo), tenemos,
Xi =√Ci
L∑i=1
√Ciai√ai
b
=b√Ciai
ai
L∑j=1
√Cjaj
.
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Lo primero que se intenta:
I Encontrar los puntos de contacto de Z con losp-hiperplanos.
I Escoger el punto de contacto que arroja el valor mınimo Z.
I Verificar que Xj que minimiza Z es factible.
I ni = 1Xi
, redondear si es necesario.
Este metodo no es factible cuando hay muchas caracterısticas ymuchos estratos (lo cual en la realidad muy pocas veces ocurre).
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Lo primero que se intenta:
I Encontrar los puntos de contacto de Z con losp-hiperplanos.
I Escoger el punto de contacto que arroja el valor mınimo Z.
I Verificar que Xj que minimiza Z es factible.
I ni = 1Xi
, redondear si es necesario.
Este metodo no es factible cuando hay muchas caracterısticas ymuchos estratos (lo cual en la realidad muy pocas veces ocurre).
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Lo primero que se intenta:
I Encontrar los puntos de contacto de Z con losp-hiperplanos.
I Escoger el punto de contacto que arroja el valor mınimo Z.
I Verificar que Xj que minimiza Z es factible.
I ni = 1Xi
, redondear si es necesario.
Este metodo no es factible cuando hay muchas caracterısticas ymuchos estratos (lo cual en la realidad muy pocas veces ocurre).
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I Encontrar los puntos de contacto de Z con losp-hiperplanos.
I Escoger el punto de contacto que arroja el valor mınimo Z.
I Verificar que Xj que minimiza Z es factible.
I ni = 1Xi
, redondear si es necesario.
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I Encontrar los puntos de contacto de Z con losp-hiperplanos.
I Escoger el punto de contacto que arroja el valor mınimo Z.
I Verificar que Xj que minimiza Z es factible.
I ni = 1Xi
, redondear si es necesario.
Este metodo no es factible cuando hay muchas caracterısticas ymuchos estratos (lo cual en la realidad muy pocas veces ocurre).
Afijacion detamanos demuestra enM.A.E. vıa
programacionmatematica
AlfonsoSanchez,Leonardo
Solanilla, JairoClavijo & Alex
Zambrano
Introduccion
Afijacionoptima para elM.A.E.univariado
InterpretaciongraficaMetodo deiteracion“Knapsack”EjemploAfijacionoptima conrestriccion depresupuesto
Afijacionoptima para elM.A.E.multivariado
InterpretaciongraficaAlgoritmoMejorado
Conclusiones
Referencias
Contenido
Introduccion
Afijacion optima para el M.A.E. univariadoInterpretacion graficaMetodo de iteracion “Knapsack”EjemploAfijacion optima con restriccion de presupuesto
Afijacion optima para el M.A.E. multivariadoInterpretacion graficaAlgoritmo Mejorado
Conclusiones
Referencias
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Conclusiones
Referencias
Paso 0: Eliminar los hiperplanos que introducenrestricciones redundantes. Se miran los interceptos( b1a1j
, . . . ,bjaLj
)
X2
X1b3a13
b1a11
b2a12
b1a21
b2a22
b3a23
H3H2
H1
�
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Paso 0: Eliminar los hiperplanos que introducenrestricciones redundantes. Se miran los interceptos( b1a1j
, . . . ,bjaLj
)
X2
X1b3a13
b1a11
b2a12
b1a21
b2a22
b3a23
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Conclusiones
Referencias
Paso 1: Sean q condiciones no redundantes. Se construyeuna tabla
j Xj = (X1j , X2j , . . . , XLj): Contacto Total nj =L∑
i=1
1Xji
1 X1 = (X11, X21, . . . , XL1) Total n1
2 X2 = (X12, X22, . . . , XL2) Total n2
3 X3 = (X13, X23, . . . , XL3) Total n3
......
...
q Xq = (X1q, X2q, . . . , XLq) Total nq
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Paso 1: Sean q condiciones no redundantes. Se construyeuna tabla
j Xj = (X1j , X2j , . . . , XLj): Contacto Total nj =L∑
i=1
1Xji
1 X1 = (X11, X21, . . . , XL1) Total n1
2 X2 = (X12, X22, . . . , XL2) Total n2
3 X3 = (X13, X23, . . . , XL3) Total n3
......
...
q Xq = (X1q, X2q, . . . , XLq) Total nq
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Paso 2: Se llama j∗, al ındice que produce el total njmayor. Si Xj∗ es factible, entonces redondear y esa es lasolucion.Si Xj∗ tiene una componente que no es factible entoncesfijar.
Xj∗i ={
1Ni
o 1 i: tenga el problema
se elimina el estrato y se repite los pasos con las restantes.
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Conclusiones
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Conclusiones
1. La solucion proporcionada a la estimacion demuestras en M.A.E., por medio de programacionmatematica concuerda con la solucion dada porCochran.
2. El metodo propuesto tiene limitaciones cuando sepresentan problemas de sobremuestreo, no obstante elalgoritmo knapsack elimina este tipo de situaciones.
3. La tecnica de programacion matematica no estima eltamano muestral sino que afija el tamano de lamuestra dentro de cada estrato, a traves del costo.
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1. La solucion proporcionada a la estimacion demuestras en M.A.E., por medio de programacionmatematica concuerda con la solucion dada porCochran.
2. El metodo propuesto tiene limitaciones cuando sepresentan problemas de sobremuestreo, no obstante elalgoritmo knapsack elimina este tipo de situaciones.
3. La tecnica de programacion matematica no estima eltamano muestral sino que afija el tamano de lamuestra dentro de cada estrato, a traves del costo.
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1. La solucion proporcionada a la estimacion demuestras en M.A.E., por medio de programacionmatematica concuerda con la solucion dada porCochran.
2. El metodo propuesto tiene limitaciones cuando sepresentan problemas de sobremuestreo, no obstante elalgoritmo knapsack elimina este tipo de situaciones.
3. La tecnica de programacion matematica no estima eltamano muestral sino que afija el tamano de lamuestra dentro de cada estrato, a traves del costo.
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Afijacion optima para el M.A.E. multivariadoInterpretacion graficaAlgoritmo Mejorado
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Afijacionoptima para elM.A.E.multivariado
InterpretaciongraficaAlgoritmoMejorado
Conclusiones
Referencias
Arthanari, T. S. & Dodge, Yadolah. (1981),Mathematical Programming in Statistics, John Wiley& Sons, Inc., Canada.
Cochran, W. G. (1977), Sampling Techniques, 3 edn,Wiley, New York.
Collatz, L. & Wetterling W. (1975), OptimizationProblems, Springer – Verlag, New York.
Hartly, H. O. & Rao, J. N. K. (1968), ‘A NewEstimation Theory for Sample Surveys’, Biometrika55(547).
Rustagi, Jagdish S. (1994), Optimization Techniquesin Statistics, Academic Press, Inc., New York.
Wolfe P. (1959), ‘The Simple Method for QuadraticProgramming’, Econometrica.
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Referencias
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Rustagi, Jagdish S. (1994), Optimization Techniquesin Statistics, Academic Press, Inc., New York.
Wolfe P. (1959), ‘The Simple Method for QuadraticProgramming’, Econometrica.
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Wolfe P. (1959), ‘The Simple Method for QuadraticProgramming’, Econometrica.
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Referencias
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Hartly, H. O. & Rao, J. N. K. (1968), ‘A NewEstimation Theory for Sample Surveys’, Biometrika55(547).
Rustagi, Jagdish S. (1994), Optimization Techniquesin Statistics, Academic Press, Inc., New York.
Wolfe P. (1959), ‘The Simple Method for QuadraticProgramming’, Econometrica.
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Conclusiones
Referencias
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Referencias
Arthanari, T. S. & Dodge, Yadolah. (1981),Mathematical Programming in Statistics, John Wiley& Sons, Inc., Canada.
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Rustagi, Jagdish S. (1994), Optimization Techniquesin Statistics, Academic Press, Inc., New York.
Wolfe P. (1959), ‘The Simple Method for QuadraticProgramming’, Econometrica.