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AFS - Dienstagsseminar
Stabile Hochzeiten, Stabile Hochzeiten, Zuweisungsspiele und Zuweisungsspiele und
beides gleichzeitigbeides gleichzeitig
Oder: Tarifverträge vs. Kapitalismus purOder: Tarifverträge vs. Kapitalismus pur
Winfried Hochstättler Hui Jin Robert Nickel
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ÜbersichtÜbersicht
Stabile HochzeitenMänner machen Angebot – Frauen lehnen ab
ZuweisungsspieleDie Ungarische Methode
Beides gleichzeitigZwei Algorithmen
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ÜbersichtÜbersicht
Stabile HochzeitenMänner machen Angebot – Frauen lehnen ab
ZuweisungsspieleDie Ungarische Methode
Beides gleichzeitigZwei Algorithmen
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Stabile HochzeitenStabile Hochzeiten
In einem Dorf sollen n Männer mit n Frauen verheiratet werden
Jeder Mann i bewertet jede Frau j mit einer Zahl aij .
Jede Frau j bewertet jeden Mann i mit einer Zahl bij .
Präferenzlisten
Im Falle einer Heirat von erhält i den Payoff und j den Payoff
Männer Frauen
Wenn jeder einen Partner gefunden hat, dann findet die Hochzeit statt
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Stabile HochzeitenStabile Hochzeiten
Eine Hochzeit ist instabil, wenn es ein Paar gibt, so dass i und j lieber miteinander verheiratet wären, als mit ihren momentanen Partnern.
Für das Paar gilt: und
Ein Paar heißt blockierend, wenn gilt
und
Eine Hochzeit ohne blockierende Paare ist stabil.
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Men Propose – Women DisposeMen Propose – Women Dispose
Algorithmus von Gale und Shapley (1962):Männer freien die beste Frau, die sie noch nicht abgelehnt hat. Jede Frau sucht sich den besten Freier aus und lehnt die anderen ab. Wenn jede Frau nur noch einen Antrag hat, wird geheiratet.
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ÜbersichtÜbersicht
Stabile HochzeitenMänner machen Angebot – Frauen lehnen ab
ZuweisungsspieleDie Ungarische Methode
Beides gleichzeitigZwei Algorithmen
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ZuweisungsspieleZuweisungsspiele
Wir wollen zwischen n Firmen und n Arbeitern vermitteln.
Aus einer Kooperation zwischen einer Firma und einem Arbeiter entsteht ein Gewinn (Mehrwert) Suche ein perfektes Matching, das den Gesamtmehrwert maximiert
Spalte den Mehrwert einer Kante auf in
Ähnliche Daten wie in Stabile Hochzeiten
Firmen Arbeiter
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Gewichtetes Bipartites MatchingGewichtetes Bipartites Matching
Im Falle einer Matching-Kante gilt Gleichheit in (D)u und v sind die Payoffs der Firmen bzw. ArbeiterDer Mehrwert durch eine Kooperation kann beliebig unter den Partnern aufgeteilt werden. In einem gegebenen perfekten Matching kann Payoff zwischen u und v hin und her geschoben werden
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Blockierende Paare und stabile Blockierende Paare und stabile OutcomesOutcomes
Interpretation von : i und j verdienen im Moment zusammen weniger als sie es in einer Partnerschaft tun würden (z.B. das Paar )
4
4
3
Ein solches Paar heißt blockierend Gibt es keine blockierenden Paarein und ist M ein dazu„passendes“ Matching, dann heißt stabiles Outcome.
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Die Ungarische MethodeDie Ungarische Methode
Starte mit leerem Matching und dual zulässigem Payoff:
Digraph G der dichten Kanten bzgl. :
Ein Pfad von einer ungematchten Firma zu einem ungematchten Arbeiter heißt augmentierend.
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Ungarische Methode IIUngarische Methode II
Wenn es keinen augmentierenden Pfad gibt:
Betrachte die Komponente zu einer ungematchten Firma
Setze
Verringere Firmenpayoffs und vergrößere Arbeiterpayoffs in C um bis neue Kante im dichten Graphen erscheint
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Etwas LiteraturEtwas Literatur
Gale und Shapley (1962)Algorithmus für Stabile Hochzeiten (Men Propose – Women Dispose)
Kuhn (1955)Ungarische Methode für das Bipartite Matching
Shapley und Shubik (1972)Das ZuweisungsspielExistenz von stabilen Outcomes (lineare Programmierung)
Roth und Sotomayor (1991)Frage nach verallgemeinertem Modell, das die obigen als Spezialfall enthält
Eriksson und Karlander (2000)Vorstellung eines ModellsPseudopolynomieller Algorithmus zur Berechnung eines stabilen Outcomes
Sotomayor (2000)„Nicht-konstruktiver“ Beweis für Existenz von stabilen Outcomes
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Stabile HochzeitenMänner machen Angebot – Frauen lehnen ab
ZuweisungsspieleDie Ungarische Methode
Beides gleichzeitigZwei Algorithmen
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Das ModellDas Modell
Firmen und Arbeiter sind entweder flexibel (Gehalt kann ausgehandelt werden) oder arbeiten nach Tarif (festes Gehalt)
Der Graph enthält flexible Kanten (beide Partner flexibel)und Tarifkanten (mindestens einer ist tariflich gebunden)
Aufteilung der Produktivität in einerflexiblen Partnerschaft:
Tarifpartnerschaft:
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Stabile OutcomesStabile Outcomes
Ein Outcome heißt zulässig, wenn werden aus finanziert
Eine Kante heißt blockierendes Paar in wenn Tarifkante ist mit und
oder flexibel ist und
D.h. i und j verbessern sich, wenn sie kooperieren.
Es existiert immer ein Outcome ohne blockierende Paare (stabiles Outcome) – EriksKarl2000,Soto2000
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Augmentierungs-Digraph :
Tarifkanten mitDichte freie Kanten:
Matching-Kantenfavorite blocking pairs
Ein AlgorithmusEin Algorithmus
Algorithmus:Suche Weg von ungematchter Firma zu - ungematchtem Arbeiter- Spieler aus R- Firma mit Payoff 0Wenn das nicht geht:- ungarisches Payoff-Update
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EigenschaftenEigenschaften
Invarianten des Algorithmus:Gematchte Firmen haben keine blockierenden Partner ist zulässiges OutcomeStabiler virtueller Payoff sinkt monoton wächst monoton
Komplexität: wächst monotonEine Firma mit Payoff Null ist aus dem RennenJede Tarifkante wird höchstens einmal Matchingkante
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Ein anderer AlgorithmusEin anderer Algorithmus
Augmentierungs-Digraph :favorite partners: Kanten, die bzw. maximierenAbbildung bildet immer eine Firma auf einen ihrer Lieblingspartner ab
Algorithmus:Arbeiter mit mehreren Tarifangeboten lehnen alle außer dem besten abSuche Pfad von mehrfach gemapptem Arbeiter- zu ungemapptem Arbeiter oder- Arbeiter mit TarifangebotWenn das nicht mehr geht:- ungarisches Payoff-Update
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EigenschaftenEigenschaftenInvarianten des Algorithmus:
Jede Firma macht immer genau ein AngebotFirmenpayoffs können anhand der -Kanten berechnet werden sinkt monoton wächst monoton
Komplexität: wächst monotonJede Tarifkante wird höchstens einmal Matchingkante
Andere EigenschaftenBenutzt gleichen Graphen wie erster Algorithmus, aber mit anderer OrientierungLiefert anderen Ansatz für Kardinalitätsmatching
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Vielen Dank für die Vielen Dank für die AufmerksamkeitAufmerksamkeit
Und noch viel mehr Dank Und noch viel mehr Dank für eventuelle Fragenfür eventuelle Fragen